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Madrid, julio 1933.
Cálculo de arcos parabólicos de cuarto grado Por J. L O P E Z Mucho tiempo ha, cuando la afición a componer artículos me entretenía preferentemente escribiendo sobre cosas de arcos, llegué casualmente a conocer y a tratar, algo, de cerca, una familia de parábolas de cuarto grado, poco distinguida por aquel entonces, que al cabo de los años ha temdo la fortuna de lograr brillar destacadamente. Ingenieros relevantes, mis compañeros Elul, Villalba y Martín Gil, al estudiar arcos de notables puentes, han encontrado ventajosa la adopción de directrices parabólicas de cuarto grado, sacadas de dicha familia de curvas, sobre la que van a versar estas notas breves, sencillas y modestas por demás. En efecto, arco de esa familia es el de 50 m. de luz del puente de Purchena, sobre el río Ahnanzora, citado (¡desdichadas erratas de imprenta!) con una ecuación que no os la de su directriz, en las páginas 125 y 126 del toma IV de los "Puentes de fábrica y hormigón armado", de D. José Eugenio Ribera; e individuo más destacado de la misma familia va con el arco de 200 m. de luz, del proyecto aprobado del viaducto sobre el Esla, para el ferrocarril de Zamora a Coruña. Yo, que me serví de los individuos de tal familia de curvas parabólicas, más para hacer mis pobres artículos que para proyectos y obras, fiel a mi tradición, he entrado en deseos de escribir el presente, que apenas ofrece novedad, dado que constituye una reedición algo corregida y ligeramente aumentada de uno de mis viejos trabajíllos en tomo a los arcos parabólicos de cuarto grado. Corregida digo, porque daré expresiones analíticas más sencillas que las publicadas antaño; aumentada, porque adiciono a la obtención de la ecuación general de la familia la deducción, hecha de la más sencilla manera, de las expresiones de las líneas de influencia utilizables para el cálculo de arcos empotrados cuyas directrices sean curvas parabólicas o individuos de la familia en cuestión. Cúmpleme ante todo advertir que es particularísima esa familia de curvas parabólicas de cuarto grade que nos ocuparemos; y no quiero dejar para después la sencilla tarea de justificar mi aserto, para lo que basta y sobra, definir su esencial característica. Supongamos (lo cual no es mucho suponer), que el peso propio de un arco empotrado varíe según ima ley parabólica de segundo grado, tal como (para el (1)
Ingeniero de Caminos.
R O D R I G U E Z (1) semiarco, naturalmente) se ha representado por la superficie rayada de la figura 1."; pues bien, la funicular de ese peso propio, que muy bien pudiéramos dibujar siguiendo los conocidos procedimientos elementales de la estática gráfica, nos daría uno de los individuos de la n u m e r o s a familia con la que estaremos en relación durante el breve discurso de estas modestísimas notas. Dividiendo esa superficie rayada de la figura 1." por verticales, todo lo próximas que el lector quiera, podemos obtener gráficamente la posición de la línea de acción de la resultante peso propio del semiarco; pero es en nuestro caso, más cómodo y breve, operar analíticamente fijando esa recta QA por su distancia D al eje de ordenadas, como sigue: La curva límite superior del área rayada tiene por ecuación: 1 + (/? - 1)
L
[I]
C
que nos da para — O el valor C del peso por metro de luz en la clave, y para Sj = L el valor RG del peso por metro en el arranque. Peso cuya relación al anterior, que hemos llamado R^ es, como pronto veremos, el parámetro que para determinadas condiciones de luz (2L) y flecha (/), determinará las curvas o individuos de nuestra familia. El área de la superficie rayada o peso del semiarco que consideramos es: dz, =
CLj
y por definición de centro de gravedad, tenemos que:
=
1
(ií-i;
i.2
¡¡I dz-^ —
R + l
CL^-
de donde deducimos el valor de la distancia D^ que es: ^
4
R + 2
Tal como se ha representado en la figura 1.®, es decir, haciendo abstracción del semiarco de la izquierda, tenemos en equilibrio el peso del semiarco, 345