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flJNlJA(fO['J Jl1~~,~,[Lú rURR!JlNO , BIBLiOTECA


COM·PÉNDI0 DE

MATEMÁTICAs PURAS . y MISTAS íldli.

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n. JOSE MARIANo. VALLEj(), ex-Catedrático de 111atemáticas del Real Seininario de Nobles de il1adtfd. SEGUN D A 1m ICIONo

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Corregida y anmentada , .con varios C,asos de ignaidad y semejanza: pe triángulos, por la mucha importancia de esta clase de propo,icio¡:H;S, y tambien con las fórmulas generales para determina' 1011 C'Dt~O¡ de sravedad, y nn tratado de Mecánica Indumitl.,

TOMO

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MAiHÜD: ' imprenta que fué d(l

1821.

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t~do diIigericia al.gtlna"qne',~·pueda ·t'6utrib'üit; .'tt'-\ara "'''q' "fl'r\~ en ' el ~ inefibr ' volúrú~rr: pqsible~/t9'n~teHga :el mayor núm,erQ;de verdades:útiles. En

su c0O'rd!!'l3.cibn hemO's ' prqcufa,QO seglJir ,sÍeÍri'pre un xnétO'do rigO'r?so Y exac'tú,.:.pJlra que no.:s_e,lDterrumpa la c~ü:lefla de lós cO'nocimientO's q?~·:,~glP~r~J:d.e.~ ~Y .~uQq\le .el cAl~ culo. mhntteslmal se' e~phca " en "el 'cO'n ,t.Q.~~~a.ctitw;Ly :pd~c.isiO'p, y con ~I

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:pe las dif~r~flciqles segunda1, térceras, ~!i' ! ' '1,9 Aptitacior¡ iJlit ' fálculo ' diJerenéial al desárrollo " ~e lCls f!mciones algebrai(:as ~n' séries • • .' • ~ . 81 -~ j,lplicacton rte~' qátc'uCo' dif¡;I'~vcía1 '4 la.s diferer¡-; ~ • " ct'a~ '. jin~' t a~." • •••• , . . •. \ "L! t ~ . ' '", ' • ' \ " .t ~ • ~ ,•• ! .' U(# , :P11 id í:lifer'etldaciOfJ ' ¡te' '1'{¡s ·fúnc'io.ires t tr'ahs~e,,!-: • , dentes; y de ~u d~sal!tQllQ ~p fÚies: ••••• :., ~ as :p~ la diNrenéiisc'Ío~' \d~ ; c'uálesq~i~f4 eéuticióhe~ ~ " i de 'dos variables. ' •.• ' ••. ' ...... '. ~. ',,: . : • .... 98 ,#plicaCion 'J~l cáic~liAÚfer~t?~~i~ :icir¡al ;4~fif"ii.~ ().~~ ,,'ncW tris ntáximos y míhtmos Clr la~ 1imdimes ',' ". " bl e•••• . , , • .••• .~ ~', •~,Jl' ¡~', '<. >" d e una sO'1,a 'I!~r,a '. ,."., , '. JO,[ . ( :P~ Iros való ....es q~'e 'tárl1an ell cierto~ 'casos ~Q~ coe-' .. ':' "jic~el1tes diferenciales; de 'lhs ~~pres~ones ~ : : 'se' cqnvierteh 'eh~: : ; ; . ; : '. ; : '••• ~ • '; '.' : ~oS ~.I1pti'cacion cM' cálcULe¡ 'díf~refNi'al 'á la teoría de ', . tas-! 'Líneas' !cú;t·ij~. ~ ¡', ;•• " , ~"fJ~I~~. ~~ . ' ! .. ~ ; : o.:~~ 11 ¡ ,

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D'et t nov.wnent,o de un cuerpa en una Ctlrva ve~- . U ,,(1 l i6at,. y 'de 'la-S" osCitdcio"néf' de l' les' pén4uZo~.I: ~ : 2-1 ~ ~ l.~• • • , . . • • • • . •.< ~~ ~. .,1 ,(1,1 \. ~ " •. 1 ~22S~ ve MS Juer'Z(IS ce1'ltra~es. . •• . •. . ... 'n,e l a ...znercta .:.;. I:: ~;;1. '( O¡ :01. 0 .1.' "lr.¡.\•. 'I,a~'~t 7.\' _1>\.:<1 ¡.C· l ~o...l y c wque~ ¡,ve.iÁ)..OS ~uer o§'.V ., ,.- 2Z, '~ J . . . . ... . (~t ~ ... ... ",.l ... <! c. "3.1) P!~f-O~T~TÁJ~.-:·. : : . ' : : ' : : : : : • lo :: ;.¡it{I\~(.) ·to13"tla

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ANEMO-LOGiA •• , • • • • • • • • • • • • • • , • • • • ACÚSTI€A. • • • • • • • • • • • • • • • '. . . . . . . ; .

'De la Tierra' considerada físicamente, ó con 1-nas

pro'pie,huJ ~ geognósti¡;amente • •••• , • • ••• 408


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. que hemos dado de elH, manifiestali ~ue su carácter , esen-cial es fa gelftef!aiid~d; y,'ef¡.de la' Ge'om~tría,- que pl'e.se.nta á los ~¿ntid'Gs los' 0bjc~os de las' ideas en ~ ue ' se,J()cupa., 'es Ja, dai'iduá~ 'ÁBÍ!,-éaaridCJ: 'para gene,rali- ; zar algaml. :v.erdad g:eom€uica, se ha:ee uso del Alge:.. , bra, se dice que re.lapl-ira.el 'AlgebraJáJ:a Geomet.ría; 'y cuando para hacer sensible ¡il,guJ..l resultado alg,ebráico se ba,ce Us.o cle la Ge9metría:pe'aplica J'á G~o11letría al 'Atge~ra. , Por lo cuai bajo el nombre de ' a:p±ipa~ion Ael Nlg,ebr.'a á ,la GeQlÍ1e~éía se emiend¡; el. UáO'''1ue se hace:;d? ¡mas do'S' ciencias,;lya sea para' resalve, o/gi.ma;cU'e.sú!J1;z=pertenecie1'!te á lUna' de eH as', ya, ~ par.a reso¿'Q.er ot.r..a 1'C;uá¡qu~era. , ~. '; q , ._ ~ , .' \ ,; f, ~. La a plicaci!:m:de! .A l'ge I;lr.a-a:l'at D:eometr.ía trenedÓ'S pa,rteS", ,~ saber,: manifestal' cómo 'se pu.ede,n cons-: ~ru.Í1' por GeolJ1etrw kos 'lZesutta'dn~de J.aJAnái,isis; y remo .se ;ppeilen ':trodpcit ahatJticame-nte ./as cuestiones de Geometría. ,'~JJ' f b h:;~ oI ~ -3 . PIip'Crpíar~mós 'po'¿Ia.pvim-el'a:Qbnstrllyendo las ecuaciones deter minadas de primera X·segunc:le glra"4,o'" Sea la eIl:Hacict!! ~p!,op'~esta x=a+b-c: ~onstru~ _es;:a- ecua€-ioll'; -tÍ Qmi eúifl1uiera, es hallar una línea que esprese' el valor de x. Para esto se tirará una línea illdefinida DC,~g~ -. )rdes~e uno Gual~ quiera, A. de sus puntos., se tomará hácia la derecha una· p~Ne ~AB2 if/uar~onJa:ca'lltjdad§; desd.e:S ta:m,.bien hacja la derecha, ·se tomará otra parte BO-b; y desde.C maciada·'¡zquief.cla .se r rpwará CE~c, y ' será.:A.E::;:ABst-iBCr-CE; "'. l , Y sustituyendo sus valores a, b, c, sera AE=a+b-c; pero ántes- teruauios x=a+b-c, ;l.\.l'~go AE~x; ) 1

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APLICACION DEL ÁLGEBRA

luégo,se hahallado unifírieá. q úe espl'esa el valor de!f: - Es indiferente el tomar estas pártes 'hácia la 'de~ lecha ó hácia la izquierda de! punto que se elige, que se llama punto de oríjen; pero lo que es esencial, es, que si las cantidades positivas se ~oman de izquierda á derecha, las negativas se deben tomar de' derecha á i~quierda, ó al contrario; y si las pritrle~ ras'·se toman áe ahlajo arri~a, las' segundas se toma.rán.de arribasa~.ajo. " , , . Ese. Si se tuviese c=a+b, el valor de x seFÍa cero,J y la construcéion se reduciría á solo el punte A; pero l si fuese e>a+~, el valor de x seria nega.t ivo, y la censtruccion daría para x la líne~ AE' negªtiva, ~

ó x:....a+b-e_AB-¡,.BC-CE/=-'AE.'•. o . ' , • 'ab .' \ • 4 Sea ahora .x=---",: para construirla ·f irarémos.l ":)f (1. 3 24) á ar1>itrio ~os rectas AV ." AZ (lig. 2) qu~ . formen un ángulo cualquiera VAZ; ·en uno de sus 1ad9s se tomará ULla parte AE=e; en el mismo lado. se tomará otra parte AC=a,. ell. el otro Jado se to... maI:á una partc0 AD=b; se unir'a el estremo. E de-la , púmera con el estrewe D de la ter,cera por meaio -de ~ una recta ED, yhpo.r:el estrerno C de la segunda se tirará-la CB ¡ paraJda.á JDE) Y la...parte AB que corte ' en el otro lado será el valor de x. En efecto ,d os triángulos .A:ED, -ACB', son se¡;nejantes (l. 328) Y, dan ;1 ~

AE:AC::AD:AB

ACxAD . ~áb AE

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,!!ue era lo que se: pedia. •

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S SI la ecuaClOn por construIr fuese .

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. al: aa x=-=-'-, e e •

se reduciria la operacion (l. 324 esc.) á encontrar un~ tercera porporcional á las dos camidades e y a.

. _ . ab+db, 6 Sea la ecuaClon ·x= . .1 o C+u.

(a+d)b c+d- ' J

x_~---'--,


, .. A. I.A O,:EOM:ETnfA. , 3 (porque.en .el numerador es comun la éantidad b);

lu~go h~llando" una cuarta proporcional á c.+ d, b Y se pide. -", " ¡; aZ_b z , " (a+b)f-a-b) , Sifuest:~ . ' c ' §(I.§IJ,6esc.)x ~ , ,

Q+d, se' tendrá lo que

l e ' hallando una cuarta propofcienal á e, a+b y a-b, se tendría e! valor de x . . 7 ~qda,. ~c uaciol} en· que la incógnita esté re,presentada por un, quebrado, se puede construir con el ausilio de las cuarr¡ts y Je~c(;!ras p¡;0,porci9nal~s . Va- ' ra esto 'se descompondrá el numerador y deno.minad9r 'en, tal?-t~~ factores· 4§lm0 di\nensiop.es t~ngan ,' '1'" ~e pqnqt,á p~r factor , un~ ¡letra igual con ~2; ,unidad , tantas veces como sli necesÍle en uno de los LérminQS, par~ que f esllíte e! numero de dimensiones "Jd numerado.r una unidad mas que el de! denominador • .. r' .~.

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shiá m6-& ,lo q.ue daiia: ' x:"'~; {, e,'

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9 / Sea la ecuacion 9,ue se quiere cOl'1stru·i r x~ '=""!';' "1,.: ',j'" ..;~ :',!' 1. ~t <tomo, al- l!e¡:¡olI).,i gador le faltan dos dimensiones'.para, tener uaa mé(1¡'~s que el n~m€~a~o,l;. " espr~sar$mos la, unid~.d por )lna }erra cua!q uierfL Lal COlDq §;;;:y com~ toda potencia de la unida-d-es ig.ual con ella misma, multiplicando. el denolllinador por;é, q.ue' es lo :qúe se Ilecesita paca q, ue en él ha)"a Ul'ladimeasion méno.s que v ... _

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APLIC'AC'ION 'D EL

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y .se· éons'fF'ui-ria 'eéme la espresion a.Í1ten0r:- ·;W~ '.- :;~ ,1 ( ~ Pasemos

á const!uir los radicales de 2 ~ grad<;J. (J ... . ·... .) a Stl x~V af; ' . ".... ~ , : ".", . tÍi'ese '(¡na ~línea in'deflnida A'B (fig. 3); l ómes"e-eii"ella:. una, parte AC=q i á c.Qminp4¡i~ion de }pa t6q¡~9~ ofra CB=b; trácese t~ol¡¡re-AB-e~ibo diám~ir(j). un " semi-~ c!,rrru1o 1:QB, y~ e':1" e,lr J)tV~t~ 9 fevá,nJes,e ~~ <Eel pen. d1cular De; lo' qué{I: '333)- .~ará.AC:D~::p~:CB, "JI,. ..t. .. "' __ .... _ .J,I ....... d,f ¡dortde DCz-ACxCB=ab, y DC=Vab=x que §¡;~ .Jo. Que §e 'P-ed~~ ..}<: :1" ~ ; . )l; • .,~ ,,1.:12 " • 1:.1 2 Sí fu·ese la ecu~cion ~=V abc~ eh qu~< itebaj0 del rádica-l ~ha:y trés 'd'imeiisiortes', se" pondPí'~ :¡:iór aenominader ' á la cantidac! ·que naY' de:';' bajO' dd radical" una 'I,erra, d"igual corda uélida'd , -('!~~'"

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-1 . I¡A :.~~O~ETRí,A. I (,~~ h~fJllN~ primero una ey.arta . propor~j:0naI á;

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. b, y' ilámá~aola '.m se tendrill x=\I me; -( ';'')

J.,'..

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~ I ¡.' y x=v a,

3., a y

, ,..

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, que ql,leaaria constru,i4a (11) hallando,usa ~edia pro. ;. po,rciou'll entre m y "e. ,y~ , ~¿ e ;f 11 '; - 1'3' ,. Si se tuv,iese

.'.~ "')--;, '

J'.,

se ' muItiplicaria la cantida'd que' está debajo -del ra• dic~l ,ItOr la uni.dag" ~s ,P-J;.e,sada por la ·le~ra q, ";j seria.

x=Vab"

..

.....,

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: y es,raria reduci:da al -caso I,>rím~:ó.

-,n :1 : ~ - r ~ ~

J4

- .....,

I

·C;:l!.ando ~a ea~~iaid que .está debajo,re}e}.;radÍ-: cal e~ .un poHnomio, se p,u~4e co~struir p.or, dos mé• todp.s,::<1> por, una media"prop9,rcioaa!, ó~~m el a-usi. lio del tii.ápg.ulo r~'<tánguto.

,

.

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"q mnq.

" ' , Así, si se -qúiere cóns:truir' x= V a,z+2b L. __ , ..J! .. •

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.. , " I '2 be 2bxe se hará 2be=qk,---;-:;-; ,~ ~h qe d.onde k-:;- .- ,-;::-,-; ; P ., a , a

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qu~:se cPlJs~ruirá h.alla.~go u~'a ~uarta pt~p.or¿ional.á

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qu~ se construir~ por 1« cl.i~ho~ámt;$

en vez de

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(8),

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S!!stituy~l1'do

e"~ 1; pr opuesta

?!I!lsl sus v,!IQres

"V' .,c' ;> f : _... b ia convetira en x..;;:::V~+,ak7"ah==;.V:q( a+k-h), ',

se

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d~-,~~~:i---e,4}!a.~ )á.t,ép~~c~on. á ¡hallar· uqg ",[[J~qi.a·.-p¡,:~porclOnal entre a. y. a-¡..k....:h-,- ". 1~

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~} .1 :.e~Uéici?<~: p,?r cpnst~~i; fu.:~e re,,:,\( a2+~Z, . ~ena't.la b=:-'a1l1 y---serra _.,

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~. x=V ~~:fu~5~V'P~+",m~-:v. q,~<l..+Ji.t),· ' •.,)~ cuya oper-acioji .¡ep.t~,t~d~i\1~.~~L"a·sp.9.~ ántes.


, ,6

APLI€ACrdN DEL .{Ú;E1JllA

Si se quiere construir por el ,tr.iángu4o reétáñgu~o, seiormará un ángulo recto VAZ (fi.g:.. 4); en u~o de los lados'A V se tomará un;:t parte AB=a, y en el" otro . AZ otra parte AC b; pór ,l0s estrenlps R y'C~'de es. tas líneas se tirará la BC, que será igual con -x.~En efecto, por ser rectángulo el tri)ángulo ABC, 43:rá

BC2=AB2+AC2=a2+,b2'y BC~-v'a2+~~-:-7x. ~ 16 ' Para construir·la ecuad01'l x=Va 2';-'b 2 en' el " • supuesto de ser a2 >b 2 , ._, sobre la línea AB=a (fig. 5) como cliametro, ,se tra .. 7.ará una semicircunferencia ACB; desde uno de sús -estremos B se' colocará por ci:íerda' la BC=b'; y/tiran. do desde el 'otro estremo A 'al punto ' C l'a CA, esta · ser.á e·l valor de x; porque .el :tr'iáng,uro ACB 'rettángulo en C ~ da AC2-AB~-'-'"'BC2=a2-b2, ~ J _ •

. de do~de }.C=Va2-:-~2::~tq~e era!o ql¡le se.pedia. Ese. r. o Se ha construido este radical en el suFuesto de ser a2.>b2, Ó a ~b; pOl'q u~ de otr.o modo . ~eria imagiaari@ y no se' 'podria- construir~ ,'~r, " Esc. z. o Otra construccion del mismo radical. F ór. mese el ángulo recto VAl. (fig. 4); en ' UNO , d(} ~s.üs lados AZ tómese una Rarte ~C=b; haciendo centró en C y ~on un radio CB=a, d'etermínese ' ~l ' punto B de imerseccion con e! l,ado AV, Y la, parte AB será. el va!ol' -~e -x ' que se pide ;, potqtlé ' ~¡'!)- .. ': ,~t~::::V~C'-Al;Z=Va2-b2n' :;,

17

4:;'" ,, )

Si el '¡-adical fuese polin(')mi~, como '-


1 LA C:MMETRíA. '. ,7 Y. llamando.q ~ la hipotenusa BC, y sustituyendo en , el radical qZ en vez de ~ u igual m~+cz, resultará , '-.

./~ X=v q +n 2-p' z•.

Ahora, en el estremo C de esta nipotenusa se le: vamará la perpendicular CD=:!n" y tirando la DB que llarnarérnos .. , será . .BDz=r2=BCz+CD2=q2+n2, y x=V..2, p2.

.

..

,~ .

Ahora, como e'l cuadrado que sig).le es ~egativo, -sobre BD corn0 diámetr0 se trazará un semicírculo BFD;' desde D se t9mará una cuerda DF p, Y \lniendo el punto F C0n el B, se tendrá la BF=x;. porque '

' -, .'

_~_

BF2=~:Q2

...,..DF2=BC2.:¡...CD2::.-DF2= ,

AB.2+'AC2+C];Y~-DF2=m2+c2+n2_:p2,

.Y BF=Vm2'-f-C2..¡:.n2-=-p2=Vab+c2+ef-gh=x, .que e.ra lo q úe pe&ia . Sea'ahora la ecuacion de

. ~"" I'8

2. o

gr.td.o X2+pX=q,

;~es~lviéma(!)la "(1 ...16-8) será x=-~p±·Vip2+.q, ~ 'que separancl? lbs valores de

:Ji; ,

da ,

'

} ~r::!=-~p+Vtp2+q

-,:",,:r

_.,

.' ":'

r~~.=-~p-\/iPZ~q

~ara hal~ar estos, vt-1ql'.e.s de

tIC

.

tie constrttirá :primeto

el rHical V ;fpz+.q ;\, _ " ".. ._ pero c0!ll0 q no tiene mas de üna dimension, se 'muJ. tiplicará por la unidad espresadíl- 'r. g. po, a, y el ' . . .

radical se convep irá en

\ I

F

~

Vlp2-+;aq; ,_ .' . ' .

'• y' haeiendo aq': 'mz q'!le da' m=v/ ' >(_, • '"" ,'v ._ I

t

a; .... · ~,

\

-~,,~ •

rell'adieal s~rá" \?ip2+mZ; "per C0.llsJguient~ forma,n do un t d ángulo. rectángulo .,ABe (fig','7) en que uno deJos catet·ps.GA 6ea, igual ~p ;l y e1 otro CB:::;:111 l se tendrá . ". ¡

-

.

.'

__

_

,,:'~- 'AB "VAéz-F<iB2'.-V(~p')2':¡':mZ=VYpZ+m2. 2 • , ~ 4 , '-

'1,

.

.,

ah~ra-) t; ma ndo dJsde B h~ciaJ~ iz-<¡1l.i<;;rda 'un~ parl!é ,.

t


';",8 L

APLICACIÓN DiEL, ÑLGE1'!nA l

, .:..

1

. :

j'

~

l' . " . •

;I. "r

• BO=CA::;::tp ; ~fá AO:;=A,J~..:.-:aO _ ' , Vii!.+¡n~::7f1't, qiú: e'¡¡ el. priliÚ!r V~kor áe1x. ,0 . .IV"-' , ~-~ Para construir el segundo se·tornar-á desde A hácia

,la i~q uierd.¡i~ !l{)f,,:,l?;a,rt:e AM=tp> Y ~esde M ,E,~lbien . ~ácia

la

ixq1.li~rda otra

paue :¡MN:;:::,V¡tp$..¡.,q=ABf

y se t'f:qd.rª AN=."...AM-MN ' "

q

- v r

>-.,

- .....

:"";tP-v'iP+qi ~;.r - ._ ' ~.

',

I

Ese. - Si fuese negativa se ~C;'óiistf'U:ifia.' el radicáI , pordo dicho ('l(1)~ J ' :.. ( '"~: ,,~,\ '.. 19' Fara»na!life-stal"' el moa0 ·de aifrar; ecuaéio- ' -'Des ias cuestiones de' Geomettía-;;resblverémos. eHi. :'K,uieote problema. . lf jo, , . . J ' , ' '.J d:, Dada un 'iriúng1tlo ABe '(fig.. 8j, ' t'iral'" pttl-alelamente á uno 'de. sus ' l'ndos', 't-tb¿ irómo,r }lO, WrfCi línea DE .Ilu~ sl:a iguat á u.lla recta- ctaO:!r'M':...N. - * _ ~ ;r lfes. y Dem.' COlüo el tr'láp.g,U¡9 ~e~, Mdh-;:-C¡uiel!e, d~G¡r qtaj! ~,oq ,~ono~idos s\J.sJá.a~s y fo~d~s ' sus dalo; ; (por lo~cual ha.Ci:enao AB=c; Aé ''' b~ 'j"Iá rectaDdada M~=n 2. todl;l.-cstará ·en de¡errnÑol'llr. el1",é1Jla<!1ó ~Thd punto D por donde se ,h a de tirar la paralel~::qúeipe. pide. Luego tomando/por incógllimJa,. parte AD que espresaréfIlos por _x >~s~ra BD=c-'x ~ y los triángulos BAC, BDE, semejantes (1. ~~8), dará,ll ~A:R:1\t;:;;:Bl):DE .6 c" b~;c-=-x;n., que da c~ltc,,-b-~;f I

,,',

en

.

-

,

qc-nc'i: c(b-,n) ..

·" v·-=.'-- b- j

y despejando x se teJ;ldra, x¡=;;; '-, -. '. -,,,,~~.. . e .:

J,)

j "~

:cuyo~val%r ófañiiúSí:a' q~~ la' dis~arJCÍ~' AD 'ae5~~(igr

una ,cuarta proPQroiomd á b, C'y" /¡.~11. '::.l.-J""z~ Este valor s~ ,pudria,hf,oustruir ,~4..) ~I;l ,llp, p¡trale cualq uiera, y cofocándole despué.s. desaé A Ilá.éia B, se tendría detennina~o el pk1n:to, D, lles¡d HiS'é'a 'j pero en esta da'se laefi~u'rstidn'é& e·s"macs _elegante d ,haee.r - la ·construecioo' (.lO la misma fi.gura que se.,..a?.::.R'ána esto, de la recta AQ';' b 'se.-tJ.u.it'á:rá. \:I ~la)~ne GE-S..f¡, . y tira,ñdo. por.,K ,una parale~ á~ .~§o ~C ' .' est,a deter~ minará en el rado f\B - e'l punto p ~d.í~o, de mall~ra qué Al)' será el !:Vat(¡r ."de~. J'~' '.' !.':.(;J t.l;-:c~· t:

q


...1."

e 19

.," l, LAo·'-Cl':OMETRiA; ·' ,.

~ ¡.., r Én 'efecto,

la semejalJut deAGs triángUlos- ABe, .AED> (1. § 3z8-) da AC:A&:AB:AD; ~ : ...... efb-'n)- . '.

~,,_,.

o b~e::b-n:x=---. " , ( b"

,

' .

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.\:. •

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' ••

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' ''.- Si la línea-MN fuese may.or-.que AC, llQ se"po~ '"dria tirar én 16 interior del trJangulo A:BC ;¡¡ÍnQ 'qIJe s seria necesario l'»fO'longar tós .lados AS; ,BC, 'J el prQ-o blema deber,ia decir po,- la prola.ngacio~ de amo tie ,s'Ys · 'lad()5 ~c. en vez de.por fm~ de sus {CII$I)$ :ete. En es:·~te casb 'el-· punto qUfi! 'se pide sería el.. D 7 , . el cMa!. -eji'-taria pOI' la pine 'i nferior .del punto A) CO\!lO 10 .da , á conocer el cálculo y la cnns!rucCÍon. ., .J {~.. '· En efecto, si se-'tiene M'N/:>AC, resultará; 1J->b~ ::eltrénces el ;fa,e'~or b-ll. que: será nega~Ívo, aa-r-áql!e !,10 sea e1 ~aloT de "'-, y por con5igo'i~nte que se de. 'be tbmaF (3) (desúe A hácia,abaljo; y. 'COl'JlO .ha(jefl~ s }a\(!C)nstrucdon en )a: misma-nguEa la linea b.,-fl st;rfo. ó{3 ese. ) la AF' negativa, lá 'fet:ta PD' tIFada P-úl" el tpun~6 'Fr, 'páit-aIdameBte ~ Be nol p.ó.d nkeQcop.ti'aJ:.si. ¡)e !a prolengaci@fi de EA elreLp¡ma i :P)'. f zo· Tétmbic:m suceden aquÍ,'casps análogos á l~:is ~ qJie?helÍ(os < @spuesto (l. 23-6};:.eslo;' es, que mu~J:¡qs ~ veG€s se €Eluncia cómo pl'oblema ,una'pr'oppsjciOh-'ilQ.e -·eh re-alidad "es< teorema. _' i ," C.f-

I

fl.

I

(

;

-.

.

)

'-' p~tef'mf1'Ja¿ion de los puntos :/r.~c!as srbr~ un plano. ~',-,' 2 I r 'para fijar la 'posicIofi'de' ;Il. p~Dto M (fig: 9)

-!sebre u'n-plano., lo ~prirnertilqMe s¡kha~e es.'~jtar 4qs -¡rectasi ·jndefinidas' Xx, Zz ,..q.tie {ormen un 'ángulo ~ua!quiera, que pa:ra.mayor s.tmcUlez le ~sul!Q~f~ ~ \I'nes=constantemeríte recto" Elu-seguida ,se tiran desde . didlolpu.hto. QO§ 'l'ectas 'l\1P ,~ MQ, respet¡;tiv-ªQ)f¡Il,1ie ,p.araI~!as á Zx, Xx i y en conocleflslq, estas distaB~}an'e tehdltá determinada la posicioD ¿~l -pun~o..:M,; ' "puesral mismo tiempo que- dista , de la, reNa- ,A;X., ;Ia -Ilia'gniplld M~, se' sabe'.ql\le dista de la,otra recta Al.' '>la :lJ1a~nitud' MQ, ~' :rv:nb d1a~Y' btr.o ' p-\;I11{Q 'qAe..P\1~$. cumplIr con estas cotidú:iolIes. ,siuQ el M. ..., . ' " .. .

-


, io

Al'~IeACION DEI. .kr;~~!B1tA

Iguálmente 'el punto MI quedará determina.'do por las rectas M'P / , M'Q';.el Mil por las 1\f/P", M"Q"; Y el Mil' por 'las MIIIP III, MII/QIII. . 22 Esto supuesto, las líneas MQ, ~'Q/, &c. Ó sus iguales AP, AP /, &c. se llaman abscisas; y la. línea Xx en que se cuentan, se llama eje de las al1s- ' ; cisas. Las líneas MP, M/P', &c. ó s;us iguales AQ, · AQ", &c. se llaman ordenadas; y la líaea Z", en qlJe se cuentan, se U,ama eje de las orae1;1adas. Las abscisas y -o rdenadas juatas se lla!I,1an' coorae· ftadas; y entónces las Xx, Z'Z, se llaman ejes a~ las coordenadas.; el punto A. desde donde. se cllentan las coordenadas, se llama el punto de aríjen.. • 23 Representemos en general las abscisas peír x, y por '" las ordenadas; y .como el punto puede ser el M , ó M', Mil, Mili,. es necesa rio .dar á las x, '" f el · signo convenÍente para saber fn cual de los ánglJ- los ZAX, XA"" zAx', xAZ, se halla el .punto que se quiere fijar, Por lo cual todas las abscisas, que ~e ' cuenten desde A háci'a la derecha, ,las llamarém6i positiv,a s, y las' quesayan hácia. la izquierda se l~­ marán negativas.; y todas las ordenadas que se ·c.,uenten de.sde A hácia arriba s,e rán POS#iVM, 'Y las que '· desde A hácia abajo serán negativ.as. Así, en el ángulo ZAX serán las coordena.dra.s positivªs .; en el ángulo XA", ser4n las abscis;'l6 positivas y.las ordenadas .'n egativas; en el r¡,Ax, todo negatívó ~ y en el xAZ serán abscisas negatiVlas .y' ordenada.s po~ít}v·a.s. L~ego si habiendo mediao las longitudes AP, MP, 5~ en.cu.en¡ra AP=a, PM=b, para ·fijar el j'l.u nto M se tend:rin i,as ecuac.iones x=a, 'Z=b. . _:.:¡:-¡ L as .ecuaciones del punto. M' serán x=a ,. ",~-b;

lai> dd W.I -s.eráq x=...!..a,. ~=-b; y rá.:lil JiC;:::=-(l, z=b.

l~dehMIh' · s.e.

. 24 Si p·er.maneciendo una misma la a,b seisa Nf!, dismioure la ordenada MP, el punto ,M s.e ..apnox'¡. mar-áal .e j e AX ~ vi. MP 'ó b llega á,ser cero , el punto M cae,rá elf P s0bre el mismo eje de las abs.ci$as, y 'sus

ecuacione s seran x=a, z=o.

.~~'

(.

.


,

1..

GoEÓ'METitíÁ. ~' ./ ' 1t :;. :' . Si p~rmaneciendo una misma la órdenaa~ P;M, la. 'abscisa AP_dismil\uye, el 'puFlto M s€ aproximaFá al r'eje ~:C ;'con. el cual coincíaüá si AP. ó' a LIega á ser cero, 16 ~ue da x=o, z=b, ,que $0'11 tás eGúacioneJ • ile un'p:utlto- Q' en el eje -de b'as ol'den,!ci~s'll' . . ' En fin, si la abscisa AP· y la ord!!nada ,PM He: gan á ser cero á un' mismo tiempe;H,punte M que "'debe hallarse en ambos ejes ;'s'er-á: su punfQ;ddmersecdon ;-y por 16 mismo ' c!iérá 'sobl'~ eJ~ pu_nto A que ' es' 'el oríjen de las ' coorllenád.as ,'cuyas-',é€wad'(;l11es serán x=o, z':'o. . . , . .: • - , Doá\je se ve q'ue:Sü poiiiende á las vari:ables x y z __to~QS_ los v~lores .po~itivos Y,n egativos posibles, desde cero h~sta' e~ 'infitlito, sé; puéde¡fijá,r la I10sicien de ' ~odo~ !-os puntos dél 'plano en qU,e se hallan los ejes. 25 "Todo le d:icho -hasta aqu í eq.la1;v,ale :í-la s'o luci?n general de -este problema: dado oo'punto en Wn, plafwhaUar 17JS' ecwiéiones"quek· determinan .. Tra.te": mo.s ahQra de resolver el inverso, á saber: dadas las ~~c1!ac'io~~s~~a ; z "b'¡ ha~lar eZ p~nto M (fig. 9)' que

· determinan. . ..,

LA

. , ,••.

Para estÓ, 'considerando la primera como ~i exi~ ~!~~~(~..oI<f, ~c.o!1v'~ene á', todo~· lós purúos cuya abscisa. es ~guat con a. Pero SI su ponemos AP=a, todos 10'5 · pup tós de,·'·la 'líriea ' PM pr ólol'lgada ' indefinidament~­ > áÚ$farán ~ -está condicion; luego ta ecuacion x=a E!rte!le~e' á u,na_rect'a .~~ pm-btela aL eje - de >tás or'; -7JenaUas''' '< , .• , --: Del mismo modo, la ecuacion z=bconp,Íene á

}odo~

los 'Puntos de una- línea QM paratéta at ~je dI! -", ( " ;, .

-i1s' absci~aS:

- . Si se verifican ,á un tietnpC}-' las do's"-eéuaeiones r;~." á, z~b, la' primér~ corresponaé rá á uñ p Ul'ltO de una paralela al eje de las ordenadas, Y>la segunda .á ., unp ~e una: paralela al ej~ (le las abscisa:s; 1uegé si el punto que determinan se ha de hallar:'a l mismo tiem· PQ en estas dos rectas , será~s'u pUl)to .de inrerseccÍeh, que es la traduccion literal,de la construcciQn geo .. ' métrica que..sirYlÓ· para encont1"ar·dichas ecuadORes. 1,


r

z

AP~l~4(nGN:~ ,DEL lt~E]n! A

~ , ,"2Qr '~CltIi,Ó !a ecú¡ki~!! _~::;:a, representa uM... recta

paralel¡¡ ~J , ejeAdas - or~e~adas, se~u~ ~~i.a ~ " P.o_~~,ki7 ' va ó n,eg¡¡.üva, esta rec,ta. se haUara a ¡la)deredic¡. o á ,la izq'uieI:d~ ~el ~je, de l.a~·rordena~.§~ y siJ~ ~Js nula, coinddü;á con este eje ; 'de, ~~a!1e~a)l~e ta ecuq.

, cíon , d~t -eje.. de las !lrden-a4f1~ es :¡¡:=O t '" flII!-" l'guª,lment~)- s,eguIl; s,e a b P9sit~ya ,óAl~lJ~t~v~~la recta .cu¡ya ,ecul!:cioq es z=b estar.á ,por ~a } p,~(te qe arriQ.a~6 ;por la. de ab.f.jo del eje de las, aQscisas; ,y si

-

,b .es .llJ!!a c.ojºc.idir~ có~n ,e,st~. ej~,'cuya ~c~gicióñ será . ''', Z=o. J \ • -, ." (" En' fi[t, si §~ f verifican á un .t}emp~ las dqs' ecua.

dones ' '.lO:::::;:o, z;:::::o, " '. ~. I ~ la pr,imera cOLlviel!e al ej~ de ':;s or~enaaas, y b seg.únda al de l,as al;>sci,s.as" 71, s.i9~ep.1,t.d~ ~icb~s • ecuaciones determinará su_puq.t<p ,<1e interseccion, que es el or,íj.en i\' de l,a-ss,o,@rdel\ad~s; luegp las ecua~io.

Y como

nes-a,et punto de ,oríjen ,spn.r~~?·"_ ~ 'H ~ ,~ . q~e(, ~s

ro

" mismo q ue Q.aUámo~ ,á ntes., . J ¡ i, .• " , i . :; 27 ."Get:l~r8-1i~andp ,esl'.e fes\!lltado se,-ve que.,si dos los puntos de 'una línea recta ó curva :~ soñ tales - qu·e '~x;~ste, la-misma tel,!-;<;~pn e~ú~e la9 , ~oorde.'\la¡dás _de,aada ,uaó de ellos ,. l~ e~}l~~C!n :entre-.x:'y B.!l;e es pr~e \est¡l.~;f'~~ac~on",,~~.b!; ¡f!~r:f,c,te~izar, ,á~ ~St4, Hne.a, ~y!::p@;I." l~ ¡pis,mp se llama e.cuaciQn de.¡aicha),ín,?¡j. Re, cíproG_áfJl~nte "siendq da~ 1\1- eCl!aéio,~,,'~e;~ed~J:~ d:e ellaJ.<i tJ.ªtijt¡ilHa de}a ,~Ul~a,j ;Ro~.9.<!.~::~l :;s~ }l~ler_e? , enco~trar aqu~llos p~tos ~ue c?rr.espond~J.iA¡~na ~absel.Sil: fr~tgr:!1l4Iad¡l., bastara SlfStJ[\ll( po¡: ;le ~~t;e va-

t.o-

i:

~lor ~n: la .e¡;lg~i.0n3 est~_9:0. cp~te9~r.áv Y,a¡nas~ ir:.~~&­

Y uará os valores corres'pondíenie~ de " " con relaQ-lOl1 ~ Ho¡" I c91 ocaran a eje de las, ~b,ssj6,a;.§{; :<¿ü ~~<?rt31~ ,:-1, sign,o. a;ej,~e":"e~é'p afie:cllajl.~ :lgtt¡¡,{o:zen!~ ., . siendo dadfl.."',/; , ·la .ef}1a.d op; nifesu~,F4:~~~.:v'!¡!i)1;es ~o~r~spon4ientes e 'f.'. N~ r¡J ' . 2,S0' c.~!'I e.;¡~ps COI~99~lpi~ ptos pasemos ,á r-esorv~r al.g·u.p.ofp.r;,QQ.IS! II\a.s :; ,Yr.s_e~.,~l primer¡ó ',,' ~ D(I.~4Cf: t¡1'!4,:,¡·eela ~.N! '(fig, ,h allar S1' ,7·SIl~~ion •. ~ r .R.e§.,~y .::P~!11~_ .•.T:l.r:_ens~. Br~tne :o los . ~j~~ ie..cta~lf· nita que la

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Si: ~.f!.I~: ec;uacion j~ ~ ax+b , .se hace x=o, ~da...

'rá. 'Zi=..b, ,q ue es el ,.v'}lor A~ A¡Af¡, ~ detennina l~ üis

4 ,

tancia del oríjen' á que corta la recta al eje .de, la~ or, -;r [1 J ~ b rr .. ti' '. .... .... denada~ ; y haciendo z=~~ _dará i"=- 7;" que e's '~a •

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distanci.ll riegativa AB a n ue, di<;~\l ,¡;ecta con~ ~l eJe de las ~ bS 9ka-s. '. '" e ¡ ,,' '/ 1', 1"'" -33. Regí p~o,famen te , r.s~ ~ada.1a;e¡;~~s~oP ~" /:f~*~{J se qUIere traza,r:!a.req a. q ~~ ('ep,r es¡':1,!~~"s,~.)p,~,~nclpla4 r ¡Í. por tirar.J.Qs:ej es AX "AZ' ;, de~ u €sr s~Jiaiá x=o,

y(s~:tend:E<Í' '1.:b,,. •

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q ue d~.te.rmi:na· eJ, ;p~~To( ~~¡ el! S~j,..

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~~¡;[!lipa~~Cp~nt<2 É'{Y -: i1iafiá'o-1'líria'reétii,!~'gr ¡~s.toª, dp~ .P~l;!,ª't!D~s!~~Eá),~ Fu.é} ¡~~i~a. :t á~~bfé~~:r~~~~ed~ '

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pej1 d!~ u{ª,r:5' s.!at€Je qt; ~a_s _~bS,Cl~<;lS , ~on ,ll¡) que se ten';: dr á.n Ja_s " coo¡:~,~l'¡.ad¡¡.s) de ca~a ullp~ de eStOS, tP:unto.s~

llamárid~l as ' x') '1.'; XII, '1./~J ' y Í:eñi~9,do pi~sil1te que, la , ecu<¡.qo ~ Ae.:J.,ª" '~~Cfa e,l1 gel~e.t:aI , t;s, 'Z=ax..-rb, ~sta. d5tberá ,q ue¡daf sa[,~sfecl1~ ~usdt uYf~~o, en ~llá ~(W v,e.~: de la,Le..<i!91~eg.ag~~ g:enet¡~l<~~ , }~s paftlcul~¡¿,es de. ~s~) ,lOS pu-m os ; 'Pqr:lq: c~~ ~~,.,te}~d4á e ;. 'c~, ,_, " .! • ",' ~a~~ ¡:fr'p.. CA), paJa e~ P41ltO ,M'I . , .~: _~

y _'1.11=ax':,,+.g¡{ ~" ,p~r,~ ,e~ lY!,: :J . '

" :, : ' ~,'

Despejando en 'es ¡as dos eCllacio~es las: iÚcl(Üe.rmi~ nadas -a: "J .b ; S-s~ustituye!l<4.9 s~s valores e'~ 'lá e~\Í~: ciQn 'l,:;::;.ax;+.b,(c;), se tend~,la de la recta sujeta.. á,ia,s q!ii'ndiciJ,>í¡f,S d~l~I!roblema:,,¿ste' ae~pejo s.e .h~Ee: ·(w~ mU,cllÓ\ sencillez.) r:es~afldo; l~ éCl:lá~ion B) ~e J~ (A);

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lo que dar A ~;-':~"

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'yá ", '1.:~~;,-p.~(D)'¡•

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CBOME!J'ítfA.

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restando la CA:) de la (C) se teadrá,:z;-z'_a(x-.,,') (E); y··sustituyendro en: esta el valo.r. (D) de J se tendrá ;

.' .' Z'--z'l _" ~--:r/=~( x-x'),

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'.. •x'-x" <:.c

....

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que es la ecuacion de l'a recta busca?a. ... '"' 3' ) Pro!>.~. o Hallar La distancia llulos punf~~ _ M,' M' (fig." u) cuyas coord-enadas s.e .conoc~n. . ,; - "Res~ 'y!' Dem. "Sean f!l;1, ,, ,/; las.coordenaa.as dd pJ:~: :. men) , 'y .~/', -rJ,{1 las del segund:o.~ E0fol.dbase la"MQpar.ale1a al ejt: d~ las absmslls, y Halném.o.s D la .di,st~ncia ·lVIM! qqre..s~ pide; .hecho. . esto. ,. el ' trián,~o ';'

~QM; rectá'qguln;en Q dará MNi'=VMQ2+M~Q:2; ;:

pero."NfQ= PP'.:...:AP'-AP=x"":"x" ::... ~" , -;r~' ·=Í?'M/......:U/Q .. P'M/-PM¿~~"....-.I.:z;'" ' ;," y'. M/O +."¡" ~'( , r';. " ' , l~_é&rs;us~itti..y.~!i{fID ~st6s vaIOl;:es'; s~ ~te?d~a. . ~1'!·.'· D " V(x"-X ' Y+-(7.."---:z;'·l i, que es lo. 'que:- .se p.edia. . : .'-.)'..~ . , Ese. Si: el '.pl:l~to M es'tuvies~ . _eJl:..e1. o.r íjen, S\iS , coo.rdel)a~as x!1 ~ <" serian Iilulas~, ;y l~ c!ist<l,flcia lite! punto·de oríj,en A,~fig. IZ) 'á 'un pUQ.t..€> <l.l.!alq¡uier¡i MI : ~

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del pl~rlo, v<;:~d"~* espresada por D ':.y xna.,...xr/Z; ... 16 q u~ tambiefi s:e' co.ri·fi9~a Fo.r~l e tríáll.gulo l 'AfiM' .f~"

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reé:tángul~. enll~f, :que da AM'::~-v.4B.:':-t.g'lVl'~. ,. f'"" ~ J ¡...,. q . .,.~ .' I! i

De ¿os puntDs" 1:_d~ la ol.... ~

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p"e.ct(f

.. -t en ., el - ~sJ!aci~il'

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con~.id.eraaot _~ 1·~\1' r

~ . . -= - ; . ! . . . . - ". if' "1.. " b -!'g:6 i"Hast8;; ~ho.:ra. he~o.s co.n.sid~~~ ..J9~ , ,p unto.s,7., re-(:tas~ sjEuado.s· sobre un mismo. ,p!ª!}O; aho.ra v.al1l~~ á considerado.s en el espacio. Para da~ .uf!'!t id ~'l j,L¡sta:

d_e lo que nos proponemos, se debe saber q-ue p0r es· pacio se' entiende Ja estension indefi.1Jid;p 4~t ul1ivc2'so, donde ·se concibm covoc,ados t.odgs l~: cuerpos. PilFa poder fijar '!a posi€iol1 rel~tiva de cualesquie,ra p.u.n~ t0"5, se conciben:tres plano.s il1defi!illd~s ZA:,X> X4\U, Z·.8.LJ (!ig'l 13)~ '1 ue se coneu de u"i¡. m~~9, ~ual'l uieK a,


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APLteAer'>N DEL ÁUEÍlRA

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qtfe; par~~y'(}Jr' señcilla los sllpomirch~~$) r-éotltngu"!O ! láh~s~;y 'uRpumó' l\1 queda determinado cllan4~ s~o~'{ nacen tas distancias respectivas lVll.Y~'. MM If, MM.' '',

á cada uno de dicbos,lplae.0~ .. Est9s :futma u en A un állguio s{¡l1do, semejau{e al '1 ue forman en un !"incoa de una sal~dos ~p"~ue -e11lt y>el su.-e!{¡t: :;y Zpl'P-'"l loogw.os, i'ad~linidamen°t'e f.ócma'r,áJiDc'bf! ángtrlos os ó:

lidps. q Ue~Ó\}i~ r.eml.elláa tri'dus k)s l ~l4.lltPSlj u~í~/eq.úi~;.1 raff a et-ésp4ci.o')lasi CDl:IlWJbs ~uau"Q:ángulos,"q,ue for~ m~o;Hos ~es rJxtafi'g~J:aÍres.~203-) Crimpr'en'tieri'todos J0_S j p1.l~"Üs sii:ú.ru.wsü$ciibq~ ~n plél!úQ,>:LeS¡ pq¡¡ti~S¡:lJ.\x, 1 }[ !tEJ oZAU I,"á, (j;~se:rehéIeu.l'os panl!(!)p deL~,esopaeio, , I

se~j~¡úl .pt[Jfí.q"soor~epfl4()~s.; l¡¡.~ J,tn~íl§J~iM/, IY'''. ~1 ó stts i 'u"iiles ' t I.:§ nO~ ) AR " A'~ AP.:¡ llaman' dt;! distancias de ,~H~iio -p-p1¡to, M p,lanooS coora'en'a'¡ r- .. ...J .. - .. TI -~z Aa..> , t \-, I I ~ r.~ .... f. dos; las Ílneas A ,Ii.. ,Al( )- sonre sé 1:l1eiHan'

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la;;, ~o.Qc~~ni,~'!.s

., nos 'rue

las coordénadii'f se 'll$laq ejes' 'de; lar c'bardenadas; y el pU~lO A es el oríjen,o Las cooi: d(~na:da:s r ~q ue como,? ifR.?se e ueát.iJ.i::~fi~Pej e AU, 's e ceplTe,senüfn f)(j)'r 'u, ioi~ Hne!l"AU s"ó 1:j.a{H3: eje de I.-a¡ ~';': l~s: AQ que ~ se J cuentan ~ID. f<r A~t ¡¡e.:.lfepftqentaD-i'Fdr ~,' y la 'AZ es ~ el éjé-aeb"aT.'Z;/ y...'e: !íp_ea_!\.X e ~ ,,~l eje de tas .le... -'b I,.'¡El.p lan 9:tfti r; H~m~Jtano iJe)"a{,~!Z ;. él ~f\.P,o · plano de las' x;'¡, ;_y el ZAU será e~ 4l Jás zu. J.;J 04 Eos''Pumás' M/, Mil, M"'I, en qtjellas: pel]?endi-l c ularoes M~/, &c. enCllentran á los planos L.AX, &c. se Hamirñ 1ft§' proyecciones 'ael p ÜliJt~ ' M .-\., ,~d ~:. 37 Esto enrendilie f si l1abie'Lfdo llledid las. tres od istancias A.p, .AI¿, oAR > se halla x=:a " 'Z,=b , u=c, e'¡¡&3' serán 'tas dúac:wnes' def¡ °puM/}-.M;' JI 'combiñ~n. dQi:los signos- se-tl&tífrminará.el ángulo e.m- q ue.:se-ha,. lfi -dicho ·pup.ro; " , ' " , . 1~ r, :, - ,lo. • 'o:~r' ,JI: , ~ Si se s~pbne t ''.;), se tendrá .?Cpa, a.=b, u;;;;:o,) 1u.'e"odcteraHnan Ú'R plillto M' en 'e1f plano de lasokZ;f i '::"'ú, Z::O;:d; ,!,=c, determinarfrn~ un,>.pullto , ]YIf' en é ·¡.r'4ho °de 4'ás .lVU; X=0> 2=b ; u::::rc, detenminílu' l1il' ptillto'1W'J /'eo 'el 'p Iano de las 2U;°.\lt::r:::a, 2=0, W--:-:O, den:nninan tfri J:lll1Av l' en el eJe ae la§ :>ti; x~o , 2 ,: :;:0,

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~¡::::o,:dete'rmin,an un .puflto' Q en el-eJe deJaSf~; x=o,

z=o " u:::::c..,.zdetermill'all u·nl punto R en el eje de I , 1 . !as U; Y'finalmeme, x=?5'·:t=?,. u=o, ,son, as ecua.. CÍofiles ,del pUft9. de (l).r~Je.n A~ ',1 l' _' 3,8 :,~Pasel'Il,os aaora¡lá.la r.esoluFion de algunas cuestÍJ)nes, ro '} , 1 '1. a Dada tma recta MN, (fig. 14) en el ,espaci'o; o

hallar las ~~1Jqc.iones qtpeJ.a .4et~minam--' , , Res." y Dd111: 'Pa'ra ,!"esól.vJi: este problema 'adverI

tirémos que o a~í ~cop;lO ~~ ~ puntp queda' detertniñadQ por la in&.déccit n a.e"oQ:s rectas (25), del' mismo m(i)do'.,rina ,recta queda. determio¡;¡ada por la interseceioll d:el~dos .p lanos; adema s se Hama proyeccion de, una ¡recta sobre ' un plano, la' interseccio<lln de este plallo'-eon otro (que se 1Iama plano proyeetante), qu~ le. es Ip'e pp(md,i ~ ular y pasa ,p9r. dicha recta. ,As,í ; la. recta MINI es la proy!,!ccion de la recta °MN en el plano de las xZ; la M 17N" es líl proyecclon de la misma recta MN §obre el plallo de las xu; y la rec. ta lVlN qu eda, ya determinada por la imel'seceion de ]QS planos proyectantes MNlj MNI/. Ahora!,' como la 'recta es dada, tambien se C<lll'lO':' cerá¡;¡ sus proyecciopes M INI, MI/N", cuyas ecua. dOlles son z=ax+b' , 1'=al-x.-f.b l , en que a, a', esfinrscrn. tars ~alngentes trigonométricas de los-ángulos , que dicha'~ p.royecciones forman (;:on el eje de las X; y 'b:, 'bf,' ~~presan la cl,ista~cia á que dichas proyecciones , coftan' 'á los ejes de las 7:'. y dé las U; y como :conocie'ríüo' estas 'proyeeciones y titando por e}¡ta~ plé1iHÓS per,pendicu.lruoes á los coordenados, su iIltersecc,ioH determinará ·laF·ec~a MN e_n ' el o éspacio~ tes.u!ta que las ecuaciones de esta serán .

z=ax-t"b '; ·u=a':x:+b'. ji \:Si. 'la! rec;;ta pasase por eJ oríjen, seria b=0, b'~o, y sus·'.ecuadones se cohvert~pi'an cm 'z=ax, -<,

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392. a . Hallar la'S ecuaciones de una recta que pas~1i?r.· ~.¿} 'Plintos tIados en.et espacio. . lo Rei,¡;y. De'LTi. Sea'mnx', ",', uf, las cGor.'~eF1aclas ae! ~

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n.


APLlcACJ@N'. lmu. ~r:GEnRA

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primer. -PUnto'; '"-'x ", ,7;", If~\.las .dd segundo.;: 'Jf ten. dÍiérrios que':Jlas e(]uac~ones z=ax-T'b', 'u=a~x+.[:l, de una ,rec¡a. €a ,g~nerak.",..::d'eQerán q uedatr. 'Satisf(:chas; si dicha recta ha de pasa,r{pI'Jr eS¡(l)s.pu.jltoS, 'Sl!l'Stk; t U}leILd0 erLelias' elil:,:vel¿ de t1a,c¡"'cooriliena:das ' getl~ra­ 'les, las pal'ticulares- de estos puntos; péF lÍ9' .que se te~drá: . J . - : :::: ~= ".\1.. r ' 5 z'=ax'+b( "". ", l ' !., " ; J {.u!=a!x~+b' S . ~~)~,p'~~~ .e . · w~me~ ;p~nt.~, ' .' ,

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.Á!'L~::QHOMETjR1;~. :! 1'5) Ia~ " ;,:"será lpcirpendkula:r (.l:,z}to) á PMf,r e.l t&iápgilE0. feefá.flgulelÍ1n'M'Q , d,ª'r·á.¡ M'l1~ ' 7=m'QQ.

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M'Q? ,(q;Jpero 41í~Q'±=Bp=:APr-Ap~.l<i"-'''''" •• r..f[''B,¡..,R"'~" 'p-'7U_'Z/. , .• -,.,. ,\ 'M',10.' '<.. -J,~ ~ ~ X. = . ~If/,D_7F ~V..J.!.1: . ~lu,igol'la:ecatacio:ut,(q,:sé ,eonv,entrá, L " ' e¡;¡)n~'l1 ni'2,=t.l<iI/"+x-t)1+~:z,"-".')~"; l.uego ,sl;lstituyel'1:: q.(¡) eút la , .eG~aci0b {a~' el¡¡ va:1~r de l.\1'1.Ií'z, e.n vc;!z G:~ ' S;I1 ·ig\Ua l 'Q:ln~, 'y, eh l ve'Z tG:e MQ;su valor (B), la es'; pnesion. (-A9id'et li2 disrancra peaida s.e ~Gnv en~rá eu f-

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dehes,pacio, .veJTd'ria·¡ Sl-sf'r~,5.?-qái:;pOr •• ",: ~-~r ,,] ,

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• ,41 Hem'os. visto, 8) qu~ la \!c\l¡icion i"",,:",G~;;/"bl l'epL'eseata rn gener· ! '!a natqral~za de 1a !ínea,lj$lc¡, ta; po~ 16 éual' ,dichfl. ecu,a.ci9!l., seJl~19a ) ineal.d' ~a r teCla líne.a de pril71er Ó'~den. , 1, " , ~ ,Cuando J.a rdacion entt~ l;~&. c0J)rd,enad'l~ d!i un¡l líaea viene. e,spresa:da, por ,qua ecuacio,n ae segur¡do gr,ad0, ,l a líf>lea~ s.C;!)litLDá: der,segu:ndo ór,~en;; Y,;.cua~; do, la ecuacion ,es de teIcer gr,ado, ja línea es d'e ~,er.oer ci!deli' &JJ._&c. &c. ~" . ¡' ' J " " : J ' ~>. Las jínea ~, de S~gUfl~O qJ<s\e!l',se Jla,¡n¡¡~ secciotyef f Ó"l'!.ic.t!S ·, p0Fq ue írtl~ultan de. cortar IAn ,cono, (~ue Ra.<:, fa mayór ~s&n¡::iU.!!7c: cl'~ PS?ªd.r~l!lQ.S .re~jp) pOF , ~l} ,pla..r no en diferentes posiciones. r,"~i 'o, ' .4.!. " \ T J

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~.

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,', . 42,~ S~UP:Ql):g.a"liF!<¿S ,g'U~ ~e_ t~e~e, el,'cppo :r~ct~ ,CAtl {fig. , I7~-' Vx:ol(ln;g~do, ,Íilld,efir,¡ipamen,tcvp,t;lF li¡~99S: !~f

·do,s d~l ~ér,t~C(LC ,,-y, ' q)Ú~ , Se ~qrlte \ P9-~ ~lr~pl,ano MM ,páralel<!l áia·.h.'l~~; cpt1 !~ f t,l~,¡j la, s.~,~'ito51E~l~~g¡r::­ ~~a¡,ll ' círclüo ~'.',419):! S~" d rlan~ ~ecant '~L<itÍlJti~


11.'0

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. SBCCrO}.¡ES C6NICAS.

nas.e pO~b~€fi.g.~ 18), la secci<!ln EFGJl que resul. ta:'; tambien es cerrada, 'y se .llama elipse. SLe!,.pla'''' no ~e<zaute fuese paralelo , al'lado BiBr, (filg. I 9); ' f.~ seccion" EFG se es~ende'rá al infihit<!l, .y se HiJ:m.a pa. rábola. Si el plan0 'MN (fig. 20) cont~nuase inclináll... ttGse un- 'pocí¡i"lnas , .encontrada á -la arista BB' há!.,. da el ' otro lacto B' 'del': vértice, la seccion EFG,. E'F/~, se cstiende indefinidamente por ambos lados. del vértice, :y se llama hipérbola./ Si el plano seeante pasase por el eJé ;ta seeoioii estaria representada por las dos rectas AA', BB'. Si el plano fuese' tari: gente 'á la s'Ú'p~rficie;o.el é0np ; la' seccion seria uná línea recta AA{, Finahntmte, si el plano secante' pasase lpOr e1',vé·l'tiee 'C (fig. 17) sin encontrar á las generatrices AA', BB/, la seccion .resultaria ser el ~sm9 'plJntq C. De c;onsi~uie~ite '. las ,secciones cn.nicas son s,i~te, a. s~?~~: el punto, una línea. recta, dos rectas i el círculo, la el'ipie" Id ' pzw'áb'ola y la hip6-rbola. ,._ 43 Veamolj. " pueJ ; como podemos sacar una ecuacion que convenga á todas ea general. Para esto "sea el cdno Tecto CBD (l1g. 21yen que se haya dádb !la' sección AM0 'Par un plano cualq uiera; con:: cíbase ' por 'el eje CK del cono un plano CDB perpendicula,r al plano secante (el cual tambien lo sel'á á la' bade d~l -cono (I:' 3'78) ); cuya; interseccion AO se Hama eje de la secciol'l eónka. ~b'r ' un punto, eual'q uiera:p de este eje, é'oncíbase un pla,no paralelo á la ba'sé DB ; Y.tend1"émos que ,la il,1terseccion de- es.. te plano eón el, cono s,erá el CÍrcu'¡o GMF, y su in. ters~ccion con la 'seccibn' AMO será la recta pM, la cual.;l e's perpendié'ular- (Ii 378 cat.0 al Jilbno CThB; Y" por 'consiguiente 10 es á 'las ' dos"r'ectas FG y 1\0, fJ. t¡~ pasan por su pie. . ," , , ; " ¡ .' ~ Por 'ser 'daa¡;¡: ér ~éonó, se ?eC1111ocerá .él ángulo peA qu.e rorman' sus dos lad:Os ; que rep;fesentaré,. mos por ~l ; lit inc lináci,0fr C;:AQ, del' plano ,secante tamqien és conoci:da' pórque está 'a' n1!lestro arbitrio, y lat 'UahÍaré111ós ~ ; i'g u'a'ltnente 'e-s ,dílda ila · distancia

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CA del vértice del cono al •HU?!!!, 'í\; ,de la !e',c-eiemt que tamb,ten se cij,ama vért~c~ ,~e t~ s~c:~i<?n ! y rucha. distancia CA la"Ílamarémos c. Alio¡-~,. consldét,ando el oríjen 'de · l~s cbdtde; acfa-s· ed el veni'ce A de la :secdon, las Uneas Ap, 2M, serán; las coordenadas det puntp' ;~ ,1Y' todo;-est..a4educidQ--:(enco'ntr~} una , re~acion . el1tre 'Ap y pM ~ 6 éñtr é x y i: ,y' las camidade'S"(lI;' ~¡ y) c!'q ui::i;ison ' c~llQcidas iPaJia cO.l'lsegJ¡j~r, es~ -to')sudene lq,Il0-¡l'a,Mp, perp~n~ie-u,laJ! .a) .diáme¡¡f1i>:}JfG thrá' ,~ : ,§ '333)"pM3 Fp~:pG;¡ óJ 'Z~ :::=;FpxpG:.; ~:a¡¡í; solo falta determinar lás espre~sion~.s al gébráicas de

Fpi p.G, ,: ~fl~v~lores, el.é.: las·~ pa ~e,s.;bp" Ap., : dek ',e¡~

d e la secc ion, y de los dernas datos conoaido$. Para esto, en el triángulo AFp >;,,~e ~ónoc,e- el áhguJ<t:.el'l l'J 'que complemento de b..GF=~b en el triáf!gulO EG:h; t-am bien l se,' conoce ,-d ángulo. en A-'-?r-,-Ia:~ llH!-gO (11,468") tendrémos ~ o .. l.! ',." ' '1 " j

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COS ~ 2~ ' :)':2 JOb ;) e f' Enfel ,t!r~ál1gu:lo)íp0G Sfr. '¡¡:0IilQce ,(~1 ángul"(¡) 'tep rí'. . 1. O==!J1 ·,,=Il!.....~; . B:::,d d .:.. ,1' . 1 ",;r {n<j';:

el án~úlo en,;:G:r-'Jt-CGFc'::'7!..."f.'I,~'1l" :' ~~)=:!.'1L-f4~,d ~ 2 2 .., . " '", '" I J\:por. 1a3lU1sma -!'~'Z.o ID"nos , í3!rá ~;¡ : '( :. ~:,í '~~ sen.('7t-"-~)==sen . ( a:+~):p~fi-I¡en.(~'7t+f~) {. l.' 01 . 1 c'o·s ~~:6p"':;"A0~x., - .:.,,, - ; , . l.!,~~ . _,. , señ"la:+~~) "{. ~~--:"' ; - , - d.;(!'rr;;;; ~ue da pG- '1' x(A0--'x) .~:"' (B)', - r:;'} "a ¡. ~ .~ ? ~.. .r.os •..!~ __ '; ".~~o..._- .. ~--.~ '

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sen , G'=sen,20lt=í~~. ~o49dj;:~r.,rAs~n':~c·~ci:~1l: ¿ "I 'P Y cos.~G'=cos,( ~'7t-()l)=sel1.()l ~~6- ,:¿os.~G'Z=sel1.a2;

y su?tituyendo en (M)

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0J_\ u' Jjtcr;',J ."S

; ';,::~i'f:l _~~~~;~~~f~·~!,¡~~~s~n~~J~(s~ ~ ~~x~)~ 3~ '{~', J 'ji: sen. 012- ~\ sen,Ol ' , "7 2cxcos.a-x z (N) p<káJ .la l'ecuáci~Jil,~€'lf~cir~u:lo ... .¡;~ T 46. 2. 0 • Sea aJa.pf,~, .~P get'er~\ q:.-t;G'<'7t, sin suponer c.ómo e.l'l-€LCasó.:'anteHorque 1(~t~;Ue le ' falte á a+G' pa¡a '7t sei"re~isarnePteC 'y torno esto e~ lo.:..mi§i'ño que ,d~Í't.:qu.e' eHngul~;.q~¡; , .f:Q(~a. la ge-

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S'ECCIONi;;s:, ~{m1C *Só'

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ncratriz CB con la CA 1: junto <;on el CAO que forma la AO _? ~t;l pll}.Q.o. se~~Íue> coh 'la mism"á. CA,:";y,á~ len ménos q úe dos rectos' j ' a.ié:6as nn.~a i' :CO, A:O (1. § z8 1~ se pa~oh trii t,á \'} ,~Q lCil ,q'ue ~~ 10 ,mIs m0 ;' el plano Clle,efln1.e'.encomrar:í :allas g~nel1a tri_ce~· de1~ cP!!lp. á ,U,!) ,misrRo, lad;o del ,<:éJ t·¡~tt,; eL}.este, cas.o lar secci e,[]¡ es una ¡cilty ll. cerraJia-- ,q lÍe~seJ JJamª ~lipj~¡ , .c !lI)\ª e cuad on es la misma (M), que es la que ,'hembS , de~ d~~i.dQj ~~l¡;Sje ; SUp hl~tQ .. !.!J(;;Ja :; • L 4.7o-3. ~ :lSi fU,efle' a-¡.,b'= 9l' , ilAs..:lín ~<I!s' .C0.., AQ no.! se enéo!ltra·iiaJJ., {l.. 28 3) ; "ó' lo '1!ue es , lo. ~'·mjs LJlQ, ~l· :plafl Q s ~cáfl te:A,tl .ell.cofl~¡;a t.;i ¡¡. ~ a\Aas ác)a, !Jg.e.Jl~rJlt rii ~G pdr ,sede .'pa¡;alela; la" cur,va EFG '.(-fig'-¡·19) ¡;"e estiende al infinito, y se H!l!¡lJa~ p(J'¡:ábola,;, .en e.ste. Gaso\'S erá~';¡Jstl ., (.r,~ n.-.f., o, J ' l f" ~, c-} . JJú. sen. (a ~~l;-:0\] .'ie.n. ~;e,t1tXJr\~):(l. § ,!,59' c.or.):,r::¡ sen.b'= (I. § 460 cor ,) 2sen. ~~cos . ~b'; . y sustituyen.do en (MI), la es uacion .para J~ pará, bola sef\á-- ~:. ,-'.' _ .,' ,,~ .. \ ,:oc, 1 , _ t ~ , .... -. ·.1 -: ..... ' "'\,'.:1',1: - --,----~ <,_'

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2 sen''2ccoS''2b ' o I ,o .' 1,0_ ' ! 2 2 XCXX2Sd).' '2b COS.'''2,, -M~S~.r.,'2~ (P). COs •..!b' . ' ~. ~~ .... .¡ . , . ~ 2

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Cuando ~-¡...b'>'7l', el plan@ secante en~uen!;ra:; áda '~s!l¡;ier.fici,e ',cgw,qa á:••:~lnO y otr<ií ll º'!! del (cúspide ~~I~ono..; la t CU !'V4 (lig. 2,2) tiene dos ta ma§ MAN, ~l 1;QfQ " de ·cutiY'}tqt:a. 9P 1}¡e~ ta .q),l~, s~ ..e,sti ~n­ ~e,n ·al i.nfi.Jili~o" )1 lf se ll';¡;~JJ ~ :a.j~é!i/;¡ola. ,p.a,r~ s.¡tJe- ¡l¡¡, ~ ~ c¡uacion ~M) ,~0ljJ. Ilenga, á.h~§~a; c_ury~ ; qastª' ob~erYa r q u.e ,la:,!J.oe_a A0 JEfig. z.r.) ["a~.~Jad!s , A,O',~ y¡Jps tr.ián! .g,ulosj<l!l;le.al~ora , hemos <te SQl.\siqe~ar s.<.)[1, 10!? ..~ º/G, , O/Gp , A.pF .; el primero nos dará el ánglJJ~ ~Q v,-48 4. 0

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,~O'r-'7tTCA,O'r-A.q(})~~I7l'(-';:'( 'I't-;-~ )'-;'( '7l'j"j' ?~""":;

.. 9I' :¡;:,'il:T~.:-:-'7li;t-~=-:-'1(T(~j*~=~('7l',..-!;~ g'j; "1 V .de consigl,Jitj..nter{J . 456. y 4'j9.,c:;olJ:.D,se teqd f~ :;"J1'-~~ . ' sen. O' .. ·.§~ll.~('7l'-~-;-b:'j-:-.;.,. ~ en.(~+ ~.); 1". '. YlCO [)}!il¡Jtq~l.Q;jJdel?~s_ §E, 1@'¡n.i9Ll1.0 , r~.§1}¡~ ~á',:..qq.e só" t0 CO ij1 Al IJ,d,<ur\,e-},signo .á se.11 (~+.b') , Ó ' 10 ¡q\l~ ~YÁ~º e ál ~t;;¡r ¡ ~09~.isLI!Q J.,a.1

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' sep..( a+:~) ,') "í,l1:) . 4'9' Las, alteraciQúes d'e ~ ry e, é lo que é& la mis,,: IDO, el hacer variar las ' dimensÍones del cemo cyda distancia AC (fig. 21), no (;aus~n ninguna-alteraci0n , en toaa:s 1':<1:s posiciones ,del 'plano que acabamos de considerar.__ .J _,.:~ , . : \ • • Nunca se puede suponer ~=o, Ó.=<Tt ,' porque en este éa:so no lia:bl'ia .cono. Si se haee i:===cr, - el plano secante pasa, por el vértice;, ,entónces, la ~uter-, seccrion es un p!mto si ():+~<'Íl'; J,ma r<lcta si a+~=ir; en eu yo cás@ el plano secan.,te 'es rangente .del cono;. y d0s ¡;e,ctas ,si a+b'<<Tt. J' ¡lB _ '.' . Luego si en la ecuacion (M) se hace c=d , .1' su':;; cesrvament~ sen.(a+b')- positivo, 'u1,110 r negátivQ, se lendrit _ • ' r' .1" _~ , .';' .'::, sen.b:sen.(a+b') ,,( \ . ';' 1~,:. I

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(S). " .r cos.~~2 ,. ;,. ;' ,, , La (Q') no ' puede q nedar ' satisfecha. sinó en el· caso ae-·x=:o, que cia· z=o ; -por c0nsigúi'em-e s@lcil 'conviene ,á un punto (26) qúe es <ll fé rticé d:~1 cono; la· (R), que· para cualqu.iel' valor de x da -2'::;;:::íQ,1 es lá-ec,uadon de ün,a l'1fé1!a"que es el misUjo eje de' las x ; finalmente, " la (8) 'qúe. se .pu;ed~ p0riel'.Jbájo' la forma: -z,z=a'xz ', ;cqué -da 'Z=::±'ax', "re:pl'esent~ dos rectás. ~. ~ ~ huego en general, cua~qu.jera que 'sea ~e1 ceno y la ¡'posiéion del: pla¡;10 secante; l<li' eCl.'laci?o (M) representa las siete secciones eónicasJJq.ue enuneiá~ IDOS al pl'il'1éipib', 'si C- ,' o, ..g'e tienenfjáis::-tr~s · 6eócio. ,D'e soque :'p asan pór el vértice; y cuandcí.éuüepe un ~alor eualqlúera , ~ represe.ma un círl::.utó", una l?lípse, una~pa.f'ábola ., -6 . una -mpét-bota, segun quec.él·'co'e ficicnte de XZ es la Llní:<da.dnegariva ;.le$ ,negativo XZ

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teniendo un valor cualquieré,l} es',flulb él e~..p'Ositivo. Pasemos ahora á c(;¡¡lsjc\€')"ar cáa'k: l({).ll; ck, e&:tas curvas, y.::á -dedll'aii"::;d'é:J~s eeuaciemes que ,'las re': preseBtan su's principales p,ropiedaq-e.s ,¡ :,..~ -=- 'J" '!S' _

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J, ~o ,: Cort3:nde, ua' cono . recto €Cil~ 11n, plaBo .pa 'l'aleIo á la base " ~abemo~ •{4z~, q u:e· J¡¡'.J~s,eé.ci Qn _q u:~ rh ulta es ' un círculoSí' Yi . hemos· <d.ed:uci<do (45) p,aEa ~'u. 'ecua:cion ' :ZZ=~cxcos.~~"'~. '.1 , ~~ J Haciende ccos',a;=a, dicha ;ec.liaCjen-.: Se ,cbnver~ tirá en ~2 = :mx~x2 (AD. ' ...... " ¡~'t i;~ > ~. J Para~ obtener ~los ,puntos ' en qu'~ C(!)l!ta . alt ~e. las x, harélÍlOS i=:o:-i..'q:ue',da Dr- - ' o,'.y. -J!?- ~20.; por, cOlilsigui€~te le cona.. en eLot:fj eri B ,tigl'" z3l< ,.Y en E' á una distancia del oríjen espresada .. POl'. 20. s~ hac-etpos, r.iXt::o, res,!ll.ta..e~o; pOI.' coosig,tI,te~te ~a , curva sólo ca,r ta Msje<. d~Ja~ j o~~~n2:.4,~? = .~~ Eunto B. , ." ' ~ :~ - ..... ( ,-. IsrJEs'ta,1 ;tyisfilá ~ écn'aeioo!-!1'l0. pu:ed~ ~uboist~re~ sino miépr,¡:as 4 <1:. .", es ' ,0'§i~i.V,anYl.menor apler¡ 2h, ), Jo ql!l~ pruebacque) a ,eur.'Ma só~o § e,'e-sti~nd~ "eB,tore 1GS 'pim" tos, B " B' ,' y q ufe,'es r.ee&ibranté ,~:que.:les :una'.) de 'las pfO'rieda;¡;fes . de.I, '€lt@,ll().. ~ . ~" "., \",,~.,'" " > ~

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':5 r W .Si~eh la, e€ uac~:n:')zPr""'2Q~~1"a=(2a"..-x)x)

81istitu}m@s' va~o,rtís~,es,pr.e'satl:os: po'!' ¡díneas} á:::saber,

",-, "'-lo ' , "Ir ....::.IWx(B'B?...t.:IBP):::::BP'xB'P; .:l t f ".d que da BP:PM::PM:B'P;, ,¡ • " ::, lueg(yj;l.liV'eufv,a 'es ,fta'1 11cq ue la ,:pe"pell'aiew~ar bájnda ~esd~n 4iJntd 'M 'i:dt. itj'e .~ó iil:i·ámerr'Oj ,, ~es; :media.pró. p'IJ1;G{On,atatentre l os.%eg1n~ntos del diáll~ef",o 'i '<¡ue 'es r or.rn pl'tfpiedad )del.. cir.c(llo r (l. 333). ~."'J •• :> ~r • ~%MP" '",:wEF· iV..lB'B/~Zasel'á · \ . J ,':, -, ¡ ,¡ ( ,PM~

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SECCI0NES::CÓÑICAS ~, ,u', . ;m~...¡J..~PMz+B';P.z p . . :"'" :) -, k 'y C'O[ll'J J plv.l?=BPxB'p'¡,selli, '~' 26

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es deei r " que el triángulo BMB', es tal que el eua,. drado de un lado ~6 \ '¡gtlalhál)a suma de los cu adrados de los otros dos; luego el ángulo en M E-I: ' i3 '3~ '~6C , ,~o~~ J:OO¡:tY , (V¡1le:>esliDt1J1iqDr1f1Üeda,(;htet cíl'Cul}o i :demo~had:a ((I. ~j04rCOl'.d}:f. e,), ¿ ,.J l. , ' ,z'¡rS'3 i \: SJ tltásládª,mtrs-:.eJrl O'~ íj.en~ iL cA: , rme.dio,' dJ!. la línea BB' , la nu eva ttIDsc-isa .-A:R que llama'rémos ~, se¡¡.á.!>é'·+-<>B'Pr.,g;.M::::x..:,.,aJ,' q ue=da 'x-:a4-oo{;" 1, ,,:luego sustituyencl.o a+x' e'!J .yez: , de ' ",,:e.6Ja. ,ecua. cio,n ¡0A~;, ,se\lternirr~ .z S=211,{a~xl.}~(a +ool,;f=- ~ ''J f ~2-4~f.la~'..,...a~•..-2z¡,X/~r:\=7.;---"nI:,>!,¡I, t:.t es1

que :~O~ e~u~cibill , qjfda : flullv:a¡'cr!iJ1il:sicler atlill.:\'b tP,0'.r-~

Lb ,s: .. [)!;.úb B!!!.J i.. .~ acontmá-:.1a :J9. , : '-1- tra slacl:a-ncl0rp'S.eXi ~h. ",'rl o ' o ! "h' . \ ~ . ~ .1" ·J: ~ · z ""~ -'~J,;. .. v. d "·· .. ""'J....:/ ....)flO~ '!' • .., (J Oa t-..,¡ t"-' a,·=z + 00-, que a a=y z- ' x ;

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\po s€cGi«a~ 'lJ&.ái~<t ,~ y. l.ll;; .cil:Cu'a:doruíg~}!J€ rª,hl·e ~Iltall nos ha dado sus pri;ncipq.~§~~1'bpíe~ades ; ~ll-~t·a. ~~ IDOS á res<2'{8'€.rxla::C'ue'stt0f.l,íii~..Fsa ;~',ª,sªQeSr , d"do e& círculo deducir su ecu~ciont :.r,}' 1"':: '!" i .1'1 :\.,11 ..1 !!::!;? e'" , Sea'tV1JM,¡f~';:(:!lg" ,r4~ UO fdJ~u)o¿~ll;Y.G! !S:~¡Y;-0,~st.á en . t; tír,eltS,e ~rhitrarí~ui.7nc~ 10,s,l,~~s:.~~AZ,·~e l?-s e09r~~ij:!l:dasX e,m prJmefdy;gaJ3..:.fjJarSl¡n.os: ¡l¡¡';jpE\~l.! cion del eentro, J;!~~~na9 ,~üy.;lIl§u§.:~o_brd~n:a$.~ AoB., EC; d~s,de. IUli-.:"P.llnto_ Gll.ª!Cjll,l.j~r;a, ¡l\:1.de, la,. q\l')"v~;: se bajará la orsiep-ad'f ,:gM~~ H'Qt1: 10,.A~t;, ,sJl,. aQ.s-'i,i:s~ será AP. ~x ;, y_'tira'Q~0.l ~<!:.a,d~0 CM=r , €o.f'r ~} p ~n. di ente al mismo punt0, e-l r N;i:~~gJu-lo :r !iqtál}gID~ eG M , .:4a~J ,~M~?~G{j!~~~i:,;"- ~" ::." ro-,li:..i


Sli:C-9~N'Il!i ..c~b''''9*S.,

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pero CM=r, CG=§'P;r.FG-rr~TAfmh-!.'; ":, 1-:: GM=MP-PG=-P-M, EC·- :9-b -,... , luego súttitll-yelicrt: esfos "va. 1drn:;:séTeÚ'd?a ' :"-==~

t:~E:;~íI-xi!):+-~7i-bJ)ft~t¿z:-@CI$7\f ' }-t;g,z=1.Pz~If,(~;);, 5 S \ E.s lJI:i e~k1¡t-.cl~ 11 ~l1.Ja .l'!'J.'i~ g,..eQe¡¡ªl,.¡aeLG·lfQU!J¡¡:, Si , s\!~ §'ili RQl1ed1:Ft9n, }{~j.Q.;.es " ,q UG {.~kcjBt ~ el .1i1 S ¡~I¿~., .c,iJi.íl§ (\hQal::q(ª,~j<;l;cla,q9 ta .~m! q.Ii¡;j'~flS;.ét Íl0,f ~l ,cenJ., tf¡O~ ~~&:; e9q<),iCÍp]l.l)j¡P.r~¡ fi.U ",eSC,c ~t(h::;' , ¡; 1; \,¡cl :;'< LJ~ ~d - ?'

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Si se hace [1=0, ~ ; jt0::<'J.u.e!. es¡.10. tQ:j.~.!n.p;.1. ~, .se tra slada el ej~ ~~ ~ t ?r,denada:~á¡: a, !S.9.:~e pasa por el centro ;- l¡recD ~ élOrr~eF lr&lo se)":r~ tt~ti;;-1'i?<tz.~",,2bl?~'H..g ;)'lrl " h obIlfI' 1 !'I'p el '10q t J .l.SÁ~ªJ'!> C9J.!ac~9 fii'z(!3)2.§~., h!icl:e( (t~~ ¡¡S!tQf (lS, que' el eje de ordería:das sf;"ii,' la -líijl!ª: m!h:Jla~e ttª~i:Q'o ~e..;: rá r 2=r!l-2rx+x 2 7 , qJ~e"d.aTZ2FMt>t-kx21D}, · que es la mi~~~ 9~~~$~vi~os-ál!tf' ~5'p):"~· . Si en la lrii'snra- -ec'U'áClOH (B)sé' ~Mc-e.- {¡.....o, Ó s.e

+z

¡l.\P;O~ 91!,r: 3:1¿~JYjjefl td~ M~p. QoPl!cl(l¡1a~a§ t.seftel: ctl~

tro, la ecuacion será r2=~e,+~~~ Q 2l~~';~if' I(EW que es tambien la misma Jde 4meS ~(+$:). 0.,¡,?h:d, ' , 56 Cua)s ui.!¡~r.- ~e~ las_~~aci~?~~s~~Lcírculo q u~ 'hemos sacatlti, -esSQfrci,efrre- pata:co!1srL'It:iresta cuÍ'~a>l'a.l'! , p1J'rftP~. (" ';.:!¡, p,;i." 5t!O "rI ,,:'nf.O'!o.! r nh~k" ,t,QllI;t:.ri m(os,po{ ej.émpi~.lA:: e~,~clo\¡;r, (BX.eq1 que obsefvamos,::<'l~i! )~a-yC'una: ~a-I')cidaÓSQ.I'l&rame ',h f y que-por cOl1s.i~qit:.l!..t~:'(<l:~~n~~est~ :v,a,l Q!.~,:,ariará tambien la curva tesae'til' ;-se'rá, mayór, 'lñenor &c.; p~.!: 11Qgq.\ie [li!,; :d.:e.t.etl!liinarémos. á at I¡,i.tfi,O,~, ,sl1pociiel};¡ do 2r=AB (fig.. 25); .Y'.c.opcibié04olllc; d:i.vidiüa: ef,l¡Juw número cualquiera ~S! ~ p'a-rtes, t't1.cflme 1.0 '" repre• ¡eWql'\4.,0 ,por~, Ji :el e~ ªlQr\de ~eada <u.ma de rest~s partes,t seconve~tirá li ec.~atjp!l ep ~2~-.oXh':X2" que d.a!. :r.. , ot. ,noi z ..... + .. / 2~

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Supongamos áhÓra )~::~15scisa fteñdrémos . ~'7i-fef; Jtj ú:e 'iflcl>iC'alJB u·e.:el, punt9 ~l6¡ o.r.íj,(ln A' ha ~e· ser un punto de la curva; sup0:1'1ieml.o da 'absci5ilJ &;~l :es"to· es) .gua} (l:Qlda cj:iStíuwia..,q.u hay. désde


- 2'8

1!Ect :YÓKl!!.' CÓN-IeÁs ;

el ortj~n háiii~el P,~~to ....

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4ael-aiee ,q:ue 'en- el ~puntó' 1 se lévanf<; 'una peq,..eñ~

dieúlar 'ú oi."d€n,aaa iM ; igu?al á!·tres 'veces la.. ~is. ta'Fl~ia Ar ~' Y como 'áJuna"mismá tábS1:rsa. cor'respoií. ' de~Qtr0 ~aiór' igu:al negativo dd W:f1ordenada , tám¡ bi en se bajará desde el mismo punt0 "l' Ú'n~ pe'rp~li¡ dicular igual con 3 , tál · como- l 'lIJ. ~~,~ :;7 $ u,p onieTI'dé . x~ z~; resuld ,tl ~" .

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por lo que tomando dos ordé·nadas;, la-una positiva y ll~ 9tI'·ar, nega,tíva. ,ei,gua'les c.Qa '¡¡7 {.los pUlltb~<M/, m{, co"Úespónderáll a I'a!cúva.<;; '1;,,:)__ • ." '., ,~-:Ia.del1dil) ",.:;;f .:reSu1t<a ',' ':'" .•• l' - .h :l ~

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que. tomliO'qo GPdl!hadas de estrtJtnagbitud, se:-t~n~ M'1.;-m", ',.= ~-', ·I, LJ' .'CJ ' 1 \ Ó. " Haciendp .k=::,4.fIF.es-ulta '.G"- d ~ • J.:J •• " ~'ÍJr "b~ '1;"'-~.\71ó~;16 ' J +:Vi¡~ j'+ 4' '8:' I~ ' ( ,

dr'" ' \. ' ' ~an ~ros p¡¡mé5

...1 .... :.. .Jlrl'-,,~ jTL'".! ~J;;1 ... r, :J.j'j! ;,l_'J. U ·; ~ ~ '..... ' a.Hu" l que tomando las orde~)adas 4l\Í1/11, '4ml,'! ,,,, d'eJ'.~S'~a ruagni,tud:: ,:. ~ OS~ ; púrn&§f M{II, ,rmii,~j \.!!coC:l'€sipol1derán 4 la Gur.v,a,' S\.¡.p~Rkndo 1( '; ') , ::.s€~á¡,-'í '. '~'~v !'lÍJp ; t ,'. 'Z='~\Ys ó:':'z' S:" ~-";,:- 'v '! 1'1 'J[) l~ 't, -1-4

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por loqu-e toma¡¡¡dl!l -lás ordefiadas de' e§ta magnitud; ae...1:endcán,lÓs puntos, M,v, _mlV. í . ' . :!.. . ,D -: . Haciendo.x=6, '7, 3, 9", I'0·, (~. " , I • :>w!:!l ~esultane paia~ 71 101$ mismos , valores :que ántd:s'e ·ob. f¡uvieroll, pai'a · I( ..... 4·;. 3,· z,'.i.,'o;'J 'l. ¡ ' , ' ):,; Haciendo 1(=I1, resulta. :

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'?,alor imagi~a.rio " que indica. quú mas allá.oel pun" t~ ,B n0 ha y.l'Cl!!riv.aJ. r !"~ ~:~. ' ,~' ;.,~Esc. ,&l lIFazarL una , cnr~a por 'p\lntos "no. lsól¡¡l I

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~BCC1!>N'ES ~~~iC:M!. ' 29 se han de ~ar á la abscisa valores -positivos, 'hasta. que l'e~uÁtelJ.. ordenadas ~m,agi¡1arias , ~ s~ vea que crecen lildefi~l1damellte , SUla' q~e ~aml¡,).en se le han de dar todos los valores l1egaúv0s que puedan sa'1' tisfa\cer á su ecuaei ol1: ' Asf, ahora su pondrémos

~=":"'l, lo que da 2;=±V-IO-"-'-l=±V-'11; ', val;r tambien imaginario, el cual indica qU<I nó bay curva mas á .la- i.zquier~á de-! pp.nto de oríjen A; . por lo que haciendo 'pasar allóri una curvá por los ... puntoS M , M /MlI& , ,c. m, ro,1 1ro1 ",ve. esta sera'1a cilícuaferencia del circulo, y quedará trazada (;00 toda. . exactitud. . 1

De la eli¡m.

5.0/ ~ ·Cortando un cono, cuyo. ángulo ~ de. la~ generatrices, junto coñ la inclinacion de! planQ sea cante, sean menores que '1(. , hemos obtenido una. curva .cerrada que hemos llamadQ ,elipse, cuya , e..

-

"

- . . ~ sen.asen.(a+~~( csen.~ ~) ; cuaClOn es z, I 2 -"-"' . ;.¡ I . ': . ~os. -b.~ . I : sen. (c.;+~) . csen.~ . - 1 1 . AO es 19ua Jl . eje (fig.-~.I), sen.( a+G') . . . Qal BB' (fig. 26), .t:epresentand~ . }!ste por 2a, la e. . . , ·sen.asen.(c.;~) , .. cuacion de la elIpse sera2;z-----'-_.:..

y como (§ 43 )

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cos.!G' . J '. ~, " Donde vemos que la ;; no 'puede , ser negativa, ni t~yor .q,lJ.'t . ~q.; pOJique . ef1tóu~<;.~ seri~ .la z .im~ .ginaria. . ) .,:.", ' _~1..... ... "" \," .' - " '~~J., "'" Para obrener los puntos en que la cu·rva corta al eje de ~as or~enadas_ , se 'p'á~ ~~-:2 ,. g;ue da ~=q; consIguiente sólo la corta en el orijen B de J.as , Qord.en e4llS.., ., . . , ' . ",- ... " '- - . ~.. t O"

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S1J;;~CrI ó'N Ef 'C·oNÍ€:.&'Sf, ' ~I-!J:a éiéti1~é?'zt:::o",: f e-.S'ú lta , x:;::o j :x:::zá}

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~ ~L1€ mahitiesta

q'Je, la t1.ll'Va o'<¡Jd'á'ta,jIJej'e I~te las absol e ish s'~en~e1 ,€J'tíje'rl B , ry en' el pÜ'H·f:l0 B/,' g,j:st'ante ,de1

-or,íj e~

la ' t;nag¡j.ít l1'¡;l ' 2t¡ T'~" ,,, ~~.c ' .~ • ' '., , j , " S·i ·se ha-<re 'la- x 'n ~ ga,tiva:·éJ ~2a:}, lIa.3z ;setá:.itira. gi~~da ; ~Q:i9.~e" m~úi ti1 s ta 9 ~ e "la ;~ ~l,F!i "está ..<:0111' prendida enrre ' los pUntoS B, .B r• .~ .' • ,~ S3 Sadn~o ,e1 val€i r geñe,¡!i¡,I Pde1 zl ;-será ,";

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q \:le manifies t~·,. que ,á cada al;jSG,i.sa J1i!6r,FeSpGndéVl' idos . !

or~e~adas iguales y de signo contrario ~ 0 ·10 qu'e es . lo mismo, que la Rse s~ e~.t~ende igualll1eme há· cía uno y otro lado del eje de las abscisas. r.r~ El prjm¿r'~faetór" es corrst'anfé; y ,e,1!btl"0 2ax,7 xz va ilffiCie ndo alliüsrn0 !tiemp'0"que lQ hace. x, hasta q 'lié est'a' ti&ne 0011 ~va¡'o'r ~a : y: para 'Vwl!)res mayo. Tes f qU€! a ', ' '(a: ' d~smihuyendo 2' ax-i-bc~; ltlego la ordenada z va~ qte~¡en4o hasta ~:::;;'rf. ,~Y, de,s pues va dismi:ntl'yendo ha:sta X-:-2zr, CJ ue d-a--z=o\ . ~ . " ~9 HÁ.gariids x' ' BA=a" { 'se tendrá

en

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~~:!i:-. '- ~- ·V'sen.as'en;(ct'+~)=±C~:±b,' · "~o' cos" 2:~ , , ' ¡,;

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'1'ept es:eihá.mio por(¡f,ti mayor. -o:reenada CA: ,de la e. li pse; yl ,~~e~ao:do:~J. cuadrado, será 2,-,0:- ~:~ll.:..::~ ~' . . J . w ·, ' ~ b!l.= :.~;'" ;<sen. os sen. (a+b') , que da cos. ?J.\; , ~ ,1 _ ' .. • ¡.

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'luego :sustituyendb -en vez dIe.elfte. segUndo miemllto el primero eq la ecuacion (CA )§ 57) ~e la el~:pSe', e· \) ... . ,, " ,.j.... -.. ".... ,. -b ' _.r·-- o . d"" " ... n~

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·5e:COnvertirá. e,B- i2.= '';'(2'ax'':'';2.HM). ~ ~ . ., :: 1 ... _'--a- ~ . i',,';~. \4 -'. . .... , 60 En general, hemos' dado el Bom1ú'e ,d'e éjé,:i


Sl!:C'€I0NES· .cÓNI€'ÁS ,

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la -lín'.ea:.:BB'~2;a i pero ~nJ~ e}ifpse lai~B~!e; llama primer eje ó eje mayor, l¡¡¡ lÍl}ea CC' ·se 1.lama· el se,: gUlldo,:eje. .ó;:é#e .me.nor ¡;-y,.:.eltlpunté"t -A .en, ij."llé':,s§' 'eru""

' zan !l¡:is,. ej.es" ,se. lIllima1 ceptr<o\-de da · eJ¡p,s~ '''('4" '. Si' t~aslaQ:alDos el oríjen á A, Y representalDos · 'ar .rr!' a aoseisa' A:P.:;;;:B:P-f-a.B"';""'''';\;J, a:,Jqtle da ) P r.=ií+x', sustituyendo este valor en la: ecuacion (M), _ J~";J' r1,. ;.. J ~~ : :~ :: n~ -.::, f::' ...... } 1. .. , " 'vd~ se tendrá ~·,2-::~(2a(a+,,')-(a+.lC'~2)~ . . .

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que ,esoda;'6Guacio:n. de ¡fa dip-se refe,rida á' sus ejes

4 ¡su \céntIto~ e J I " e-:.~ ~ ~~ ~ :"¡ c". 6T lSe, llama, panáme,.tro. d.e, un eje á unaL.tercera proporcional á~ 4-icho eje y al:; ptro; aSÍ, l:la.~ maiid~ ;P ,~eL-pár~.lDetro :d~r"eJe- lD~y'.ór·;· será ,,' 2bZ, " .. , . ' .. a.a:ibl::zb:p- J •a. ¿,y. que ' dhllruendo,. p.or"za 'saIe; l. J4

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refqcio.n. 4' ~p'tlf..ároet¡ro.¡I' .. '" -, :,6It.!l, Si trasbd.amQs el 0Jfí~e~, al PUltl,t€l; 'C, ¡cuyas (lOO rdenadas res poctq '9.,<tl .<i1~ ij e!l <so.n x~ _a " 2'=b.; Y. "lilal1la.rnos·..z. á ,,las ,nuev:as' abscisas lcorUaiél.as ~n el ejf' ce' ',y. !X, ~á las, ordem.agi~s .~~ q!U~ .ah\!l,ta:, se: coo· t!lrá,lj. en, .el..!!je BB"(PQJ; ~F .parale1'o- al, 'q ue Sct' podría tirar. ~¡>o,r. C), ten!il.1éo;l2s"Que la ab,Saisalí&::C.Q) . cQrr,~~po(¡j!ldient\! a.l:,p,u:¡i¡,tQ l'f.I~~.ser:áj-igillal á.,o : ¡)'-

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32

S'EttrION'l!:S' CÓNIQAS¡ ;1

CA-AQ':"':C:A.l...PM, Ó, Z=b- ~ l' q'ue-a.i'1z:::b~Zi y la nuevá €lrdenada será, " ¡'" , , • 'i,' " X =QM.-:...AP=BP--,AiB , x-~, 'que ~a<' x=X+a1~ Sustituyend'\> estds val<llfes 'llnc:la:- ,ecuaC10n ,(M) ¡de la , 11'1-'1 a. 2- ~ ~ '. ~ curva,. yrdes pejando -Xz j ' se tendrá X~ bZ (2-bZ-~ i ,

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y si' ahora mudamqs la X en z, y la- ,Z en x; la ecua.

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,~

don anterior se convertirá en :¡;z=b z(2bx-x2), que es" la ~~uaci'on de ,la cUlrva' iref~rida 'a.,l: vértice pero cuando se haga uso de, ella, se ' deberá tener presente qfUe se han mudado los ejes; esto es,; qu~ el- eje ,mayor 'q ue ántes, reria eje de absci.., sas, ahora lo es de ordenadas; y el segundo, que era eje de oh!l.enada's'" abora 'es eJ:- 'de ' hes ·abscisas.63 Si consideramos dos puntos M I, M', eUJas, ' eoorctelTa'das' 1tP" P,M,,; )ArlY,";l?fM\ sean x, .. Z, x', 7.', , "." bZ ' - "" b z ,"'j' Z telldrérnQs :¡;z.;:=-;(a :; 'p'zh :¡;':z=~ z( aZTx~Z):i Y.fOJi~ a ~'.'r. mando! pr0pórciofl con':e'stas dOR ~cl:l.:cion~,s'~ será~ .\l :.! , " hZ bZ

e;

"

~~::'2:~a2. ~aZ~xZ)~~ (a:~~x::)::~~, ~x,Z:~~:~/Z:: (:~--.i

(a..¡...x)(a-x ):(a+x'Xa-xi ):: BPxB' P: BP' xBtPi; " , ll,legd ~lQS' tua4rados' de' las (irdeñlidCfS ~oh ~riFe # ~ eti..) mo los pl"oductos de las abscisas, entend,iéllQ.pse en ' general pl?r , abscisas las;-.par:-#es "en, que-'qu;cia d~vl;.~ dido el eje por las ordenadas. Así, la 'abscisa del punto M, considerando el o.ríjelll ea' A ~ "es la AJ?-, consídeiin!!l:0 ¡el 6ríjen- en Bes BP, &c. y;las abscisas',:dd mismo pUnto S0n BP, B'P , '~. , 64 Toda línea mAM til'ada por el ce'alro y quC! termina coa ' ~us )estr~mos en 'el perirn'~tfo qe 'la, eli~~ ,se, ..se ' llama diámetro, y todos los diámetros es'tárl évididos en et- centro en dos parteS igtfat-es. . .' :" Por<}ue si: a de&echá é i:z.quierda del· pUjltd de ,


C?Nri:A.S.'

lECCJONES

"

-

33

crijen A, se tOillftn las a~stisas A:P, 'Ap ,iguales, -la ecuacion 'de la curva ilará iguales las ordenadas MP; mp; lue'go si "unimos los' puntos M, m eDn ef centro A, los tri4 ngulos A mp, AMP, ' ser&11 iguales (1, -260), y 9.a,rán mA=MA, y fos ángulCis ,mAp=MAP; y aíía.diendo MAp ,~ será ' , 9ÍlAp+pAM ....:..MAP+pAM=~ ;, por 1'0 ' q ~ (l. 2 S6) las dos rectas mA, MA, rio' form,arán sinó una ) sola y misma ' línea, la cual ' será un diámetro, y qúeda.rá dividido en dos, panes ig,uales len A. ,1 65 Si desde el ceI1tro A (fig. 27) con un .radio ) AB=a', se describe una circunferencia: me círculo, ' y consideramos que la abscisa x es comun para úL" elipse y el círc,ulo, la ~cuaciod de este será (§ ~5 j)

~z=az_xz; ,

\a2~~2).

y la de la elipse será x2=b 2 ' '-a ' \ ' . I Y l(9niendo en vez de a~_x2 su valor Z2, se tendrá

,

-~

b "

en general x=- xZ;

,_

;.. "

"

el

j segun 'sea

b<. -6 >a,

asl ~érá

x< 6' >Z;

por consigui\'! !1te si 'd'esde el €~ntro de la. ¿lipse y con los semiejes, se describen cl.os circunfer.encias de cír"._, Gulo, la elipse cOl1'lprcnder-ª á la maS pequeña, 'j estará comprencLida por La mayor. -" De aqu4 Se. ·Sig~le que et prime1" eje' de la elipse e--s mayor, p,e,todoJ Jos diámetros, y et segundo mellar.') , 66 ~i en virtud ~,de la relaúon precedente, -'ie,

quieren encontl:adasrcoorqenadas de la, elipse, cuando se con'oc-en las deT círculo~ descrito "sobLe uno"dei ,5;'S- ejes, ' Bait§. -di~rrnnuí,ro au:ufeiíili~~ ~~ta~~últidias ~~ hi rer~cion. ~e, b,.a ~Sf.á.p~~gié'daír 'no~ va ~ s(~r'':':

a:

v.fr p~ ra descr;!bzr ou_~ aA¡"E~~_ p~r>,p,u1J.~~S, , cuaf¡d~ se: cono' cen' r ~o d ' . ~.' __ 1 - u~ , _, . , ~ '. !; J~ ~ 6 S

os ejes.

' .

'

r

,

, Desde ~l pnnt~.,A C?IE.~ ...c~,~t~ol, éon 10.s i~dios ~B , AC , 19uale's a los do'S ~enueJes a Y b, &e <les~ribíráll dosc,lri:'ürnfe'~el1-¿his tie drculo; desp'Uc-s ,se! tirará LÍa radio cuhIq uiera ANI\1; se bij'ara desde' el-

S

T.l1


34 SJi;CC IO,.:N:J:i:S , CQNICAS" punto M ,una perpendicular MP , sobre el eje' BB'; y.. tiraado despues NQ paralela á AB',"el punto Q lc/ 's¿:" , rá de la elipse;porq ue l~s triángulos semejante0MI!, _ • AilN' ' b . NMQ, dan AM:AN::MP:QP:::; A1VI xMP=-;xM~. Haciendo lo misl~o para cada 'punto ,. se tendrá (65) construida la elip~e. ' . . /. . 67 Se llamanfocus (le la elipse á los puntos F, F' (frg,' 28) sitüados sobre el eje BB', y tales que la, do:' bIe ordenada que corresponde á ellos,. es igual al 1 _ ~

~

z

, 2b d ' mayor.· parametro-e ieje a . Para. determinarlos, en la ecuacÍon de la elipse 7.

2

b Z( a =a~

2

~X

Z) ,se- h ' 2=-, bZ ara a

Z(!I bZ 1o que dara' b-42=b-2 a -11( Z) ,. o'd'IVI;d"len.dcr por-, 2 I

a

a

a

será,b2 ~aZ~xZ , de dop.de- II(z=a z _b z .1 y representando por e el valor conocido que te~ulta para x,

I

tendrém05 x=-+\I aZ_b 2 _±c. < ' Para construir estos valofes-lCl.e·'" " d:esde et. estre.., mo del eje menor eOlITO .c entro, con un radio' igual al semieje mayór (16- ·esc. 2;O) se desccibi¡¡á; una cir-cunferencia de CÍ-rcu}o, y los)putHOS F . ,;. ~'~ €ll que encuentre al eje BE', ser in. l@s . focus;. por:q ue .el (riángulo ACF _da: AF VCFz-CA 2 Vaz":;;H~. " 68 ' I}i. aistaÍlciá~AF del centró &'jO& focus ,; q?e hemos señaladp . pO.~. c." s~e',lIama es.cenir.rciq.ád d~.- ta ~Upsé, y las dos ' Fet {ik 'FN!y F'M,. qué~'desCle un pUnto cualquiera M ' se-tÍrl ú {i los focus, se llaman radios vectol"eS, . ,':i"ro-, " , 1 '" .. p¡¡ra hallar los valo -el'-desstqs~· C'onsiderarémos 19s (r¡ángulos reér'ál: ?:U{OS FPM., lf.?>M, que dan ef primel,'o FMz;-:~~2+Fpz=zz+'(CT~)2;. poniendo, ... .. J .... I .. '( ... _ _ .... .... r.:. .... ...... . ~.

'i

#

.....,

~.l.1.,¡

.t

,1.

~

~ ,.;

;1


_

.3 S'

SECCIONES. CÓNICAi.

y

~¡;¡ :v.e,z de' z:-su valoi: (N, 60), aZ_b z, ~n Tez de c~ ,. reduciel'ldo el .entero á la especie del q uebradQ

y. -simplificando,

tendrémos

.

b~

F~'l:Z='-:-z(aZ-xZ)+(cz=az_bZ)+2C",,+$2= a '.

'f

/

'/ .. -'

a.zb~_bzxz+a4_azbz+2a2cx+"Zx~

"z

.--.

,

la

Q4+2azcx+«a2-"-:,bZ)=c~)x2 _( az+c",,) ~' .' • I a2 " ti'

.

cx

lo que da FM=a+-; . tI

del mismo modo ~ éonsiderándó ei segúnd~ ; ~e, halla F'M=a-.;cx.

a Sumando estas cÍos espres1ónes resuita: ~M+F/M= 2a, cu}(a ecuacÍon nos dice que la suma de los radios 'Vectores tirados á un mismo' punto de la elipse es igual con el de 1iwyor. . . .' . . : 69 De . aquí resulta un fiuevó inétodd para' descriqir una elipse, cuando se conoce su eje mayor BB' y la posicion de los foel¡ls F , F', p~ta esto, se tomará' desde el puht0 B una longitud cualquiera BR sobre el eje BB'; desde el pun~o F como centro con un radio FM~BK, se describirá un arco de círculo~; desde et punto F' como centro y con uIl radio F'M=B'K, se describirá otro afco de círculo; su 'punto de interseGcÍ@rÍ M <;orresp'oildefá á.fa elipse; y ' procediendo · d~lllli.smo· modo' se teJ.=lc;l(á!i los puntos , que se desé.eii. - . . t. . '\ Esc. Es ventajoso"d'escribir los árcos de círculo á un l1}ismo tiempo por la parte de arriba y por la de abajo ciel eje; pues p.or e-ste medio se encuentran á cada operacion dos-puntCls de la elips'e. }O ~: Si ~e da.n IOollocidos los dos ejes " se d~ermi4

.

.


36 ~ SI1CCrO~ES CÓNICAS. , nan los focus (67) , y despues se procede á la cons~ trucóon; pero si la 'elipse ha de ser muy grande; se

fijan en los focus los estremO$ de un hito, igual en longitud a;t eje mayor, y estil"áTldole b"ierl por media de un lapicéro, se hace girar este, y va describiendo la elipse por un movimiento continuo. ~ Ese., Recíprocamente, partiendo de la propiedad de ser la. suma de los radios vectores igual al eje ma' yoré, se pu~de deducir la /ecuadun de la elipse y todas sus propiedades. ' 7 [ Ya se sabe -(1. 297 Y 44 10 que en general se llama. tangente; pero, en las secciones có¡;¡icas se llama en particular tangente á la parte MT de la tangente tT , comprendida' entre el punto de contacto M, y el pqnto ,T ,en que corta al eje de l~s abscisas; y se llama subtangertte á la parte PT del eje de las abs-' , cisas, comprendida eorre el púnto T y el P , pie de la ordenada correspondiente al punto de contacto. Se llama normal, á la línea MN perpendicular á la tangente en el pUnto de contacto; y subnormat, es la parte p~ interceptada por la normal y la (lrdenada PM del pum o de contacto. De dos diámetros Mm, M'm ' (fig.29) se dice que son conjugados, cu'a ndo él uno 1\1./111', es paralelo á la tangente q lIe pasa' por el esrremo del otro. , Ese. ' §'e puéfe deducir una ,ecuadon de la curva referida á sus diámetros; y tambien ,se podrían haIlar' espresiones,analíticas de las líneas qué hemos dicho ámes; pero esto último lo dejamos para otro .ugar. i ., . .

h

De, la parábola., 72

Cortando un'cono recto con un plano paralelo las geneqltrices) ha resultaao una curva. infinÍtá, que hemos llamado 'p ,wá'boJa ,y hel11ós 0l;J. tellído para su ecuado!! z~=4cxx sen.~~2; y haciendo la cantidáa constant~ 4csen.~b'2 ' p, la ecuacion de la parábola será Z2_pX. . ' Para tene!," 10,s p J:l,mos en que corta al 'eje de .las

á una

d~


SEOCION.E S CÓNICAS. 37 ec ', hagamos~ ~=~ !I resultará x - .' o; es dedr, que esto tiene, lugar en un solo pUnto, que CI? el oríjen, de las coordenadas. . " , Ha'ciéildo ~=o ,s~ tendrán ': 1.05' punto~) en, q u~ ,corte al eje <le las Z; y CPlJld está suposicion da, z=o, . manifiesta q ut; esto no ~é ve'rj,!ica sino en el odjen. , Así, la curv¡a 1'1 0 tiene m~s 'pé~ un punto ,comull. cad / el eje de la,s ~ y d~ las,'z" .q~e es el oríjen ~a~ las ,coordenad!as. . . J 7.3 Resolviendo su ~S~~51io~' con relacion á z,

.. sale

..¡ .,

Z"~±Vpx;

r. • "' 1 ; . E~tos .G.@s yalores ~gtJal~s y de signo cont.r~mo, manifiestan que la curvu se ~.s!iende iguat!nel'lte, por ( fa part}"s!!perior é, infeúpr A.ef eje de las x: ' Jh ,r..ar~ tod~s los v.alór~s n~gativ~s ,de x r~s~Il.t~ .fI}Il;!'lglPalll~, ,, p~es que p es una cantIdad p.osltlVa; }l1egC:bllb <:l!rv,a. no s~ ~sti(l~d~ por el lado de las abscisas . neg~tivas, y está li'P.itada en este sémido ¡por,t l ~J~ 4~. la~ ~. .'~l.J.[ Y: f¡om o los valores 9-e ;z¡ ~on tanto m~y~res cuan.) ,to U)ayor ~~:x, la cu,rva .se· es tiende indegnidamenie ,po!, e's,~e I'ado )del eje .é:!e-J~s "y tiene la fpnll.'j,e'f1'lAM que fe presenta la (figs S6)., . " ¡ , '7·5 .;- 90t;I.o pol'. la e<;ua~ion precedente; la relacion d,el" cllapr~dq . de , la orQ¡epada á la abscisa es la rI)is;:, m.hB~r'Ü odos los puntos deJa cllrya" t.flspecto de ~tr?5 G9.9¡:4en,~das X, Z ,,~,~e .tendrá Z2 -.-:pX, 10 .que .d~ Z,2Z;~~;jX:py: :,X:x ~.-qcuya ,proporcion manifiesta Jq)l,~ 'en ba pwábota fos cu,a11"-ad'os de las ordenadas son , ~lltr.e, ~í..C,QiilO las abs;ásas ~orres1'Jon(lientes . ~ ~ r ' . ~ ?",¡l1~a¡ ,l~gea.: ~ndefipi~a se llatna el ej~ de. la ,pa~~.lbq}a h Y' Aes su verpc,e.. . . ~. 7~ ~.P..a:f¡¡. ~¡:lescri~ir .l~ parábola, SI;! t,?mar¡Í sobr:~ «:: "t1:t;..q!1 ~<¡~! ñ! pattie~lqo. dfl ()ríjeq , .urra ,distan,c j~ A'B, 19 al con p , que s~~ llama panímet¡"o de la pa1"áqola. ! f"""'!. De~p.u,es ·hacielido_ centro. en u,n, p'unro cuaI• '!> , , ~-A. ~~l~ ril;. ~l, Jprnado , e!l .,el ,m!$¡Ilo eje, y co¡~ , un radio 19l1liJ 4;,{i:§; ~~se' des' ¿'iibi\·.á:una. círcunfer~ñ¿ia de cír..... " ""1 _"~-V I

""

,

#

~

A.X.

f"';


SS

.

SECCIO~S CÓNICAS: , culo. En -el punto P estremo ,de su ¡:rrátñ~&o -# ele:' vará la pérpendicular fM ; <y en ella se tómafá ~ur¡,a parte, M.f=QA , cp'p lo que se tendr'á el punto M~ qué corr'¡¡ls ponder¡í' ¡í'"la: parabol!l. : dJ<_ - \. J?J1 efec~o, por esta. éonstruccioo 'se tiene (f~, § 33-3') AQz=A.BxAP, de 'q9pae" ;PMz=AQ2=p:xAP~px; tomaqtib -la Pl1r:;:::PM, sé tendr¡í el pii'nfó,'n¡; por la \ parté"'jnf-erior; y -del '¡ni.srno moao sé 'q)'ó~t~uirár't ¡', cuantos p~ntos se neq:siten. Esta paráb&las'Sé 'S'lleIe llamar ' la 'vulgar 9 ppj¡ltitÍ{ana;P ,! ,~~! \:.. ' 7,7 Se Hawa focus de la parábola 4.l!,l11~punto F (fig. 3!) situa\to s9br~ el eje de' las x, tal qlje lil¡, do~ blc:; otd¡;nada que le ~órresponde, ¡;s 2'Yg1¡<tF ~on el pa.ráme'tro de la curva. :Oc ' :: , " t:, n~ ) ,:,,' ."1 - rara determinarl'e ~e' RaÜ' 'Z=~p én<;'lac~cuaeie-n de la, parábola, lb .9. ue"da '~pz=P"" de d.on:d¡~ x:c,ip; gue esp-res<j. l<j. ªbscisa ' pedida. A-sí, en rl~ ': p'a'ráfjoI~ la distqnt:~a del focus -pr 'vértice ~A d,e •fa' c'Ut·f!f) ~'s , ~guat 4 la O cuarta parte del parámetro: ... -" ": :,:.",,1, 78 Si se busca la distancia ·FM de un 'p',lÍnto ~ualq uiera de ' ta- paT<lbOtá 'a'r fOCl1'~,' se; 'tehdr~ y FM~~PM~TFp2='ZZ+( X-":ip~2 ". 'le ': r,;.1 1 ptc~x~..:..tpX+/6P~: xZ'i-;~px+'¡6P~=(';;L4p)(1i; qÚ'e . ~strayelldo la raiz cuadra.qé!, s'ale FM',' "'~W;" ! Luego .'1a distan<ci,a de u i:rpunto c~allq_l1iéra ,de 1.4 parábola' a'! focus, es igual á la abscisa\l-e)est~': p'untQl, mas la dístanc'ia del fdcus"a·l vérti.ceG de:; la:' Icurval. Por ~onsig~i<;nJ:~, ~¡ s~ toma á 1i iiqui.e¡:d-iÍ~·N!' ',f.. pna magnitud BA=iP, y -pl'lr B se cOflci¡:)e·"l'a- B:t pe'rpepd,icular al eje AX, ~OlT/O toda iÍpea MIH iráda desde !lll pllnto ~ualquier,a i (le la curva, ' ser)!. igtia'I cofi su paralelá ' PB=AP~BA=x+ip" t~hp'\éa;¡?s q udas .ptmt,os de la parábola"es.tán á<igu'aV dzj f~¿in'ci'ts del focus ,que de una tíñea BL 'tirada péf:p'~1idictllar­ mente á sU eje, y tÍ, una distáhci'a de~ vértice iguaf-iP; cllya línea se llltma directri'fo. ~! . (J' .:, : < ' 79 'De a'quí resu lta ,un me-dio de traza~' la pai-á t bola c uan'dóJes <:ol1Qcido el. pl}Í'ámerró 'p. 'Para ést(i)~ de una y -o'irlí-parte de'l.J pt111tl:r'J!"-se toma-ráfi' en 'd J

"

-


SEécIONES

3"9

cÓIsnzú.

eje ,AX Ias,longitudes AB=AF=i-p, Y e~ punto ~ será su focus. Por un punto cualq'uiera P oel eje se ~evantará una perpendicular'indefinida PM; despues '{arriando fa distancia BP , desde el punto F como centro y oon esta distancia por radio, se describid un arco de círc!llo. ,q ue cort~ á: la recta PM eq dos puntos M, m ',' los cuales c0rres'p~nderán á 'la parábola. ?9rquede, este modo resuIfa 1:"M-::'AP+AB=x::l-tp. . 80' Tambien se puede en virtud de la mis,ma ~ro~iedad qescriBii la parábol~ por un movimíento cont1nuo. , " '.,' Para estb se aP.fsta á la directriz -BL una escuadra móvil EQR tfig. 32); despues tomando un "hil,ó de una longi['ud igual á QE, se fijará ~uno de sus egI , tremas en E, Y el otro en el focus F de ¡- la pa.rábola; se estend.e rá ,de'sp~es el hilo -por medio de un lapicéro que se tertdrá siempre bien unido al cant.o QE; y haciendo andar la~ escuadra á lo"largo de la di¡'ec~ trlZ, el lapicero girará á 10 largo de QE y db'cri~ blrá la padbola: J P , . ) ;"'. ' ; , E~ efec't o, ~G)flio el ,hilo, es,-igual con la' longitud de la tegla: QE, se tef1drá !"M+ME:::;;QM+ME-,. q Ll~ .q!ljtando la parte comun' ;ME, da QM=MF! ' ~ ~~ l . _ . En la .p~~áBol?- ~ corrío?en 1a ,éli pse, se Hama t~'ng~71te á la: MT (fig. 33), subt'angénte á la PT" normdt á la MN', suvrion nat' á la PN, Y diámetro es ~oA~ -~ÍJ1ea ~L ' P'lf~al~la al ~je de la 'parábola. ~

f

t

I

-..

i __

De la hipérbola. ' 8:¡ Cortando un cono, cuyo á'ngulo ~ de las generatric:es l , junto con' la inc1inacion a del plano secante, sean mayores que 'lf, hemos ootegido una curva. i!~mitada por amho~ lados .del vértice del cono; la lí,emo~ llamado hipérp.ola, y nOB resultó (48) p~ra su. . . ..- .

;

~

,

- - ..

. :<.2=sen,axsel1,(a+~)(' cs~n.~ . - ; sen.(

ecuaClon ' .

c'(:)s. ~ ~Z

a+~)

x+x

2)';,

"


SJ;;:CCIONE~ CÓNlpAII. J.

tr

; , csen.'b, l . ' JI ' l " Ifne¡ y como en e'ste caso es 19ua a a , ... , sen.( a+~) .. ,AO' (lig. 22) 6 á la BE' (rug. 34), repr~~entandp esta. .por 2a, la ecuacioll de la J;¡i ¡>érbol;a :se~'á·. ,J. \.~

f~ '"

"

~

2_ sen.acen.(a + G') ( 2 QX+-1C ' 2) '(!, 'A') • .

:z, _

J.

cus.tG'!l

.. ,

'<'

.

_ :par') tener .los, puptos e~ q:üe cort~Jf~ eje de,)ai x harémQs z:;::::o, lo que da "'-:-0', y X=-2Q; es 'decir, que esto se verifica 'en' dos' puntos dife:r~liL ~tes B, B') de 105. cuales el U¡lO , es .el mi,smo oríjen de las coordenadas, y 'el otro es,t~ silll~do del la40 'd's las }bscisas negativas á una dist.a ?ci¡1 J2Q ~el niis~ mo onJen. , , Haciendo x=!,o; se ~tendl'án los púnto.s en 'que.!lii curva corta al eje de las z, CljY;.i' SUp'Qsicion d¡i X~Oi eiS decir, qúe esco solo se 'Verihca e¡~ el .oríjen d~ las coordenadas. ,. ¡ ', .1 ,'.' " . . . . 83 Resolviendd la ecuacl~n t:o'n -relacioIÍ á •

1 "'," , se rendra z==l=

_

V "

l

'-:i;

,

~_

se!1,~·s en. ta:if!G"' {2·a1+,é'). ·

-- - ..-. i~2"77 ; , ',. cos.'2'" , que lnanifiesta 'que á' cada abs¡;:is':;¡, ~Q.rresponden cfot 9rdenadas ~g4ales y~de ' signo, cQliItradb , ~ lo qu~: ~s lo Li:JisLUO, q u,e la curva sé estiénde igualm~nte hácia! ~no y otro lii;do del :ej~ de las~,~~ .E'n eS,t a ecuac.ion j' j. l . :se ve que cuanto mayor sea", postova, tanto mayor será el :valor , ~. 'L " ,y. FO~, ~ I').nsiguiente l~ rama MBm se estzende al tnfimt'o. SI se hace negallva la .x, se conver~ir'Í- 13. ecuacion en -" l ' " f •.•. ~ ~ '-: ' •

::

,: lo.

z=±

""'....

.... ~

~~ . . .'

J

.

V ~ sen.axsen.(a:+G) (~2~2'aX)' .... r 2 -'--· ' '

j

"" !~

, cos.'2~ , ,', valor imagin~rio, mientras" sea X<2~; nulo cuande: , . ' , ' , 1 X= 2a: y real y cada vez mayor, conforme va sien. do la x negativa mayor que 2a; és decir., q Qe des<;le el pumo El á la izquierda»)a ~~.fV'a JYl'B'm~ se eS:

I


8:EC.CIONES C6NJ.e:A~.

!1-'(

.tiende. tambien al infinito. ' Si bl¡lscamos la ordenada

. k-~

c:orre'spondiente 'á. x=a, se obten.drá " _ o

J'

.

,;=+ --'---;Q' V -sen.axs\!n.~a+~)= (1. § 136) COS.~b • . • - .)

o

_

_._

r

±---v.sen.axse.n.(a+~)xV--L=±bV-;-I" cos.i~

·

,

&:

'

- '

. ·(liamando b la -parte real

lJ

J-

A

:'

.

cos.~~

V sen.asen.(a+~) . -

,J

que elev'anl'lo 1-1 cuadrado est~, ( vi.Í~r set'á . 2

0

2

-

b

_

2

, \(

se.ase.(a+b')

b.= coso ---xse.ase.(a+~),queda 2 I~Z , • a

¡.~ -

'~.')

.,

-' <coso !.~z

'

}

ln Juego. s,ustituyendo en vez de este seg,\l~~o piem"9.t"o e1¡ p'rimero en ecufcioQ (A..' 8 7). .4ej~ ~pél'bQl~, '2

~i

-..

...

_~ !lJ.<'f

la

se cenver¡irá:e.n .~z

r"b :C zox~p CE); _

.

a

;s:

'!...

841 ., La Iíne.a.~ ~R/~za .,eje iPrimero-de"l& :-"'t.._. b'''se ;' .}lama. . 1• ,4 h!p~fpola, Y¡, !a:-Hne~ b -::zb, ~e Jlli.~.a ~l ~eguJl#~ ,e;, y el P\lnto ~ ea q tle 's~ CD~4...~~l ~ -eJes, s,e ~, .t

'l·

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~8t· ~f!ttro_.

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I

I

VI?,

~~ \~ \ ;J t~~.

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,8'S' Si trasláClamos ~1 orÍ:j~n, a.1 _cc;~Jf~. A, rej>[~, l sen_~amos pGr ~' \l~ a!:Sqi~a, P;=A-!3;f-BP=a+.lS ÜilPBl ~a cfl-;-:-;x'~5) , ~:S~.s}itu~os e~fe v,alor ~p, la:..~.cuac;ton

4

, -" . 'l b Z ,\ ,¡; . (b.v·~ -ª3) se tendrá 'zz , ......,(zá(.icJt _",a)-Í{x'-a)Z) . -~.J .. J ... a!l

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6 supr'imieUdo el acento 'será zz=~(xz--':a~)

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que la ecuacion de la hipérbola réjel")ida á sus eies :( tí su centro. r '86

Se llama parámetró 'de

liD 'eje ~ una ter.ceu:


'fr. -

... •

42

~

I

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SECCIONES CaNICAS,

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'PrClporcion~t a. dicho eje y al otro; "así " l1aman~9' el parámetro ' del 'eje 'primero, se tendrá ' , , '- b b 2b z . - _.• ,

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. . ' ----l5 z que' dividiendo p'or 2a sale 1...==_ --;;; , .

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20.

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cU1'n.valor sustituido en las, ecuaci<?n_~f !Jn,teri0res.(B), (e), tas convertitct en ,.. ' ),

%2=L<.ia~+x2) (D), ,

20. ·-

7- 2"

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~~e:"son las -~cua¿iónés' de

1! (.,i:-a~) (É):/ ,', 20.

-

la hiliérb51a:CJ>rl rélaci'~A al pará~etro: _.' , . ' , '. _ _ I ( 87 SI C0pSlaeramos dos, puntos cuyas 'c<?ordena. das'-sean 'x , ~": 'j " .... , ' .!JI; " z' tendre"mt.. v s r .. ,', b 1'., • ~ b ~. ',' .• J

%z=...!>-.(xZ_a~), %/,2=_(x/~2..-a2);

/C'"

a2

aZ ;;hé-E fofmañdo . l¡?ro" porCion . y• si~pÚficandó s,er~ ~ .t ~ t ~ , /.--,'"Z:'7IZ:xZ-a2';:"c'2-aZ;:(!JI;~a)(x-qtt!Jl;l+a)(:?,1 ¡-a) 'i , qtié 'matfi'fiest%il' q Ue los cuadrados di' }lds \o'rc!ena'd;u§ son, entre ~í co~no vos procluctos.. (l:e}as.- al2{Efsas:, llal*an1 dése aquí· a"b1fjrasJas' distancí.á? .BP, ':t3/~ ;' d~l pie'A~ la ordenad~ á- ' lo-s ao·s7~ rtice.s)3 ~ ,B.'~ ª .e 'la clÍr~a¿ :¡

[(- 38 ','Todailfínea MM'; que 'pirsa' por',el cenrro ':f termina e~ la, cúrva ' \ ~e ll:im~di.~met~f, i . ~ ~~ . u7f muestra del- mislno · iñOda -qu~ 'en 'la: ' e'lipse, ' que ro

¿os los diámetros estJ.n divididos en el centro en dO$ partes iguates. . ' ,_ . ~.-' 89' -ES' Il.lUy-im'poriánte ob~ervár'-qú'da e:~uacion de la hipérbola, y todas s us propiedades, son las mismas, q,ue l~~., ae l.a~elipse., ~u~~l}do,.. en esta; b ~~ -,

-

b V --:-1

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b 2 err _b 2 •

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, 90 - 'Si sU:po~e[ÍJó~ 'b la' iduiCi¿:ñ dé l~ hjpér~) bola será z2c:::¡x 2_a2, en cuyo ,caso s'e 'llama hi}?er':' bolá' equitátéi·if. . '_, ".. . . '


.. , ........... \

~ ,... - 'l

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'Sl':CCTONES CÓNICAS'.

t" 9~ :' L'O~focus de la hl-pétuola' son Iós" pticitos F, .If' ,(fig. M) situados, ep. l.a "prplongarc~on ,del 'eje BB", tales que' !~ d9b1e o'tdehad:'~ que les ~on;csP9~de ,.es

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vaJoll gue ' se construye ,d.tfl modo siguiente'):U"( ,~ : :> ,eie ,:~'b: e!ev~ ;una perpendicular "BE ig"iil:atsemiej~hsegptliM Desde el' ceITtrb l A cbn :un' ralii,o' AE, se' de'sciitltrá un! .f. ' . . d ' '1 ' 1 ' '¡ - " d: ,. b r • CIr~~nferenqa .~ clréu: o qüe cdrtar:í 'a l eJeí ;~ !a'S ~ ~dsas et(dos.' pqntos F,F/que :;erán los' focus d:é fa -hil.

, \~rÍ, qrt'ó !le íos 'e~í:r~df<?s'\ 4~1 prinÍ¿i

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'flé:thoU1? porqu~ Ar-AH:;:;:~·:AB'+B;E?=1\!~2~b~. · '92 " ·.S¡~ desde 'e1 puntól ~ lde ia hípér'ilb'f~J?¿· til'aIi !os rfldiqs ·y.eCtor~~ -t~ ;·ítiM i á los.f~c~s'~'Y, ?~.'haéa •

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de donde $e sac( d~ \llfmoaQ'.ahálogo ¡llespuéstQ' (6!J


44

snécloNES ,CÓNICAS,.

r.acliD~ , 'Rectpres tirados á Ull ' mismo punto, ' es igual al eje pr!mero. - ',. 93 " !!;~ta propiedad da una c'onstrucdón pa~a la hipérbola análoga á la' q ue ~emo's halládo p'ara construir la elipse, y es la sigüierúe. 1 r" Desde el focus F 1 comg , ceñfro ; - cok un radio cualq u,jera 130, se describirá un arco de circulo; ,des,de [el otro' focus .f.~>l ~omo centro, con \ln , r-adio 1YO-::-BB'.,¡...BO, se deS'crr6irá o't'ro arco ae círculo, y los puntos como el. M en que corte a~ precedente, p~rte,Q!ee:~l! ~ lar hif(JbRla,;' porq ue, '!~guQ ;¡c.slJ ,COÍlstrUC,ClOn sIempre se tendvaFM -FM= B=~a. ' Seña.tan~o. el punto correspondiente por la parte inferio!:" ,", haciendo lo mismo al oJr,o lado del.¡o ríjeno " wJ ra,'jI'1a' segun . ' da rama cu. :;, :T' ;::u .... .J se ten ae la curva..JlJJl u - IJT 94 E l1 vif.t,ud de la misma propiedad se puede deserlbir ' tam'bien '~la"}(hip~rbefa...!por un r.ín"o'Vimi~:á~ contÍnll,Q'lr, ' l' L ti J " " ~. a ~iJ~ :LJI .., (" rPa,r/ eS,to se ~ja el}, ~¡~foc:us ,F ' ¡1m1 .re§h~ I F/M ~qué p,u~di g~r'ar a.~ re<re:~pr :d,e es:te p~nJp)\I; d~~~\no o.~ y. en.·¡;:r otro focus F "e,s.tá..fijo. un l1ilo FMQ ~al kM r .) 1 • :<i?C F/l~lQ-:-FMQ=B~r, !;} u,~, q~itandql~:; p'a,rf5"cor m,un QM hace, q\ue¡ F'I\f--'FM=BB7; hac)enao giJ;a~ -~~S_P!!~S ''t'íií lapiéero ti ro Iargd ael 'bi.lo ; s~ 1~ obí{ga , ,á :ap1ic'a.'l:se 'mempre contri' Ja ri gla -¡;¡ u'e girq ,al redle99J',. d~1 ~F~nt9 W, f Qel "l'1-Bic~r.Q ¡po,r ~slel;;pro.c(edi .. furento:v 9-é~Fibe Ja hipéf:l:ip'rá , 9l~.e , se qp.i~r~·Íl'F~· 00[ -- 9f Lá hipérbola, éómo' la eJ,ipse :, tiene atá1~e­ tras conjugados, tiene tange~tt., s'Ubtangeñ'te, normal Y..l.lf..?n.or;maJ,; y .ademas ~~rFlf(l<:Le¡1-,tirar '1l~rA~ ~o tro llñás' IíneasY~le's como Ar:-;'1f..L' (fí"g:"it) que ~·u~que cOPkÍ.nll¡iute!Ee ~~ ~X~l,. ¡.:a,.c~f:qi1d!?.<...? J;l !l<;ur,v a, jamas lá Ir[gan á eódontrar ;"libx cuya ráton '(licha; líneas 4,L AJ.' se ,llaman asíntotas. • i.. r

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DE LAS :FUNCroNES~

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,'r 4S' toda ecuadon indeterminada la variable del primer miembro es funcion de la del segundo" y al contra.:. rio; y las ordenadas son funciones de las ahsci- ' ~as, &c. ~ Las funciones se dividen en reales y aparentes. Se lIam~n reales aquellas en que para cada valor ' de la variable resulta uno nuevó par la . funcion, tales 80n 2;=a+2'*, z ' aDC+YaZ .)(;z.' &c.; .

.,. :

r

y se llaman aparentes aquellas cuyo valor es constante, cualquiera que sea.el que tome la variable, tales son z=xo, Z=lx, &c. que siempre 'son igua- ' le.S ''con la unidad. . Tambien se dividen en algebráicas y trarlScenden-" tes ;, a!gebráicas son aq udlas eq, que ' las variables están enlazadas con las constantes, sóLo por adicion, sustraccion) &c. sin entrar en ellas líneas.trigono.' \ métricas, logaritmos , ,&c, '; pues cu'ando entran es. tas, cantidades, se llaman transcendentes. ' . 'Las tLinciones algebráicas se dividen en 'raciona- ' ¡,~s ,é irraciorlf les; racionales soíl ¡as q'Úe _no en- ' v~elven ningun radical; é irracionales las que, con,- ' tienen la variable debajo de algun r'adical. .. L ·Estas se dividen en esplícitas' é implícitas; esplí~~ta~ ~?~ ,aquellas en, q,ue, ya se halla d ', ,radical,:

I t I

como en z=a+V ax-x~ ; implícitas son las gue-no le ~bntienen( hasta~despuell . de resuelta la , ecuacion, como :¡z=2ax_xz, ' qué d~ ------~ .

"

Tambien se dividen las funciones en e'?t'éras, que; Son cua'ndo 'la variable 'no tiene espOHente¡ iJ.egativo ni se baila por divisor; -y queb~ailas, que son cuando la variaSte:' tiene es ponente's 'negad,ves ó, ,s~ nalla ,' por divisor. ,,, . Si el-.esponente de la variable en el muu'e tador ~s menor que en el ' denominador , la funcioLl.'es 'ge. . j¡¡¡ina; a{ contrario ~ es e>§l'u'ria. '

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y'si

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DE . LAS:", ~r¡r1ic.i9N:P;~,<.

Tfm1J>~n ,s.: aividen ~¡; uniformes ., bif.<Jt;tpes" tt:ij¡

fprmes, ... muNfonnes , . ~~g!ll1 ~esul~a par! ,la fún.

cien ~no , d.?~" tres" ... mucho? varores" p.,!-ra c¡¡da uno de la variable, '. . 97 Tam~iefl hay. funciones, d~ dos ó rqa~ v.alia. hies.; Famo zZ' axu+bx\t-.cx+mu-;l-nuz , -en las cua. l~s . s~.p ~e:d~ considérar ¡~ "': c~~o . const.ant~ y' la u cerno varIable '< y al contra no : o se puede hacer ya. riar á las~ dos ·á--un mismo: Tiempo, y ver. los va. lpres .,~~e 4resu,!'tan en oad,~ uno de estos .cásos: p.an. la funcio,n; y:; como va~ian'do {IC? no hay piec~s¡on: de. que. ~~lI:je, fI al mi~~9_' tié~p¡? j ó al .co.n,tfario,: por esta razoa la furrcion zZ' se dice que- eS a~ dqs v.ariables indeNndientes. ':' : " . . Para indiear. que uná cantidad es funcion de otra, se pone ,delante; de la ~ar;al;>le . u,na f ó F, Ó ~; así, -&=f.X$ ~ ", ~.x, z=q>.x, dan á entender que' z es. fll.Ocion d~ !§ " y se leen :z, igual funcion 'x " i igual fundon gt·ande x, ~c; CUán,do ,se quiere indWar la f ynciOol!. de una. canudad yá édciJp.uesta de la va· r,iable , .se encierra dentro de un paréntesIs' ; 'así, %~~(~Z); z::::f.(a+bx) &c. espresán funciones de Xi y de a+bx ; ,.&c., y par.a señalar la funcion de dos Ó mas ~ariables indepel!-dientes; se escribe ~=f.(x,u), J

!iI=f.(x,u,t) &te', &c::. ' , , 98 -Ó';anaó et primer miembro de una le~uacion ~s ulIá futicion, 'j el seguhdQ una tmnsformadon suya, s~ tatio 'to;:que :hay en el , segundo miembro ~e pasa al prjm!r'o j toa..os l,~s coejici~ntes de las 'difedntei potell~ cías dé' la variable seráll cero. En efeéto; sea z=f.x; rsupongam~s que esta ecua,ci,O-n ~e tra_llsforrne en otra que no contenga ra· dicales~i dívisotes ; v~mos á , ~emostrar que pasando al pdrri...e{ miembro todo ~o que pueda: haber, en el segund,g..., ÚL funcion vendrá á tener dta fprma: a+bx+cx2+dx3+~c,-.:0,. y será. a=o ; b~o , c:::O, ~ o, ~e. ,~ • Pa;a cOIl.\¡encernoS de esto; observarémos qu~ no habiendo ya radicales ni divisores, lo ¡¡¡as ql¡ /


,

47.

n;E LAS SiRlES"

I

p'odrá\ suceder es que haya un término~donde no se, h~lle x otro donde esté elevada á. · la primera po~ te;lcia , 'otro do'nde se ellcuent~e á la segunda ,. y asÍ. s'ucesi vamente; luego tendrá la' forma que le. h~",!, .IDOS dado; pero esta ecuacion se debe verificar, ' cual~i.¡¡era que sea el valor 'de x: Ó p~J,"maneciendo inde.... terminado dicho valor', ningun térmlqo se' debe ¿es-, t.; úir ni por lo_s .~:l,e· le preceden ni. por los',q ue le sjguen; luego cada uno de ellos será nulo' por ,si; mismp; y cO~? ,la ~ d"e?e s~r una cantidaq. cual-: quiera, resulta que el coeficlent~ es el que debe!": iá se'r cerb en cana término, . ,99 De esta prop?sidon resultá. que si se. tiene una ecuacion ' de esta forma ,. .' \

a+bx+cx 2 +b'c.=A+Bx+Cx':i+q,'c. los coe~cientes' de lór Íén.ninos hom~l.ogw' se.rán iguflleRJ el1 cada miembra ~ y será A=a, B=b, e e, &c. por,.. que' si trasl§ldatnos tpdos los t~rmin~~s del segunüQ. rViembro al primero, y resolvemos ~n fa,ctores ., será, , (a'-A)+(b .!.. B)x+(c-q2x~+~~.-:-o, ;

:

. _,

'lue en virtud .~~ .lo ~ca\)aao de}e,mostr,a,r ~ se tendrá, •

J

á-A=o , b-B=o, e-e , ,o, q,'e~ =0; e=C, ~e. :,r.. " .

q:ú'e dan a=A, b=B,

r;-t;

J

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~de~ igetlerat c1~ tds sé'ríes 'J" Je tos n4r!l~'ro$ p.gufladot.: •

1 ; -

'=',.'7 i

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...

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I

'Cuando én los cáfculos ocu,rteri. fu.nciones. que"b'radas-, irrácional~s ó trascendentes ;' es suma- ~~nte complicad,o el hallar sus, Y-ª!m-" e~ , respect4yos. por las' operacÍone's' ordinarias' del: AI'gebra: Para: hac,er .los cálculos con alguna e,spedici,:qn:y' ,q.!! l:lU rtJ0da \inif'oÍ"me', se han ítiventado las serie"'1,e,ug ndi"énaQse ,por serie un polinomio de infinit.os· ~ér;i!!ír9.s; :J>,ór, me4i?~ d1~ .cu~l s(~~pres J el va.tor 4f¡. y,l!'!.~ef!;ntidad.:,lJ.ué.! no le- tIene ,e'a1:fal_ Cuando' los e s.Ronent,e.ij ~ de' la: iVar: iiablé los' tÚmrno5 de la serie :"'~"ri\ po~íti.v'os y van ~rec'iendo ,: ó ne'gativos y v~n'. ;!tepgl}g@q;" ,..llt ·stlrie 8~ llama ascendé'nt,e ;' CU ~f!~O' jon,,p,o§ittyÓS y. v.a n menguando ~ ó negatiVos van 'cr~ci~~.d~, s~ HéJjIla {Je¡-' • 100 '

l'

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y


4~ '

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t>E

LAS

SÉRIE9.

"

.

cenaente ; cuando dando valores particulares á la va.. ria~le, los términos van disminuyendo, la serie se Ual!1a ,COnve¡'gente; y 'cuando van creciendo, la serie " se llama áiverge!lte. · 101 Cuando una serie es tal que un tl!rmi'no< cualq uiera depende por una ley C0nStante de alguno ó algunos' de los que le preceden, se,llama recurnnte; si depende de uno, se llama recurrente de primer órden; si de 'dos ~ ae ,segundo órden; de tres, ~t' fercero, &c'. ; la ley por medio de fa cual se halla úll' término en valores de los que le' preceden, se llama' , . l

S!

escala de reiacion.

,.

Se dke que las series son' aritméticas- de primér órden, cuando restando cada término' del que le si·' gue, dan todos una misma diferencia; por lo que toda progresion aritmética es una serie arhmética de primer órden; cuando de ejecutar €stas restas se orijina una prog,resion aritmética, se dice que la serie tiene constantes sus segundas diferencias, y que es" de segundo órden; "del mismo múdo se dice que son deÍ'tercero, cuando las terceras diferencias son cons.' tantes ; y en -generar dd órden n cuando Son constantes las diferencias 'del órden n. ' , ~6~ Hay m:ét~.do~ gen~raks para¡ desenvolv~r e~ Cierre todo género de funcIOnes; pero como el c~lcu~ lo diferencial nos suntinistrará medios mucho lI!a$ sencilios, sólo daré mas aquí una idea muy suéinta.J , I

l ' que se q Ulere . de's~~ Para esto, sea - a a es presIOn' a-,:-x

.

env.:oh¡er en serie; lo primero supondrémos que 1&' sede en que ha de quedar: desenvuelta sea .. '" -

_1+Bx+CxZ+D'i..;3+Ex 4+Fx 5+G x 6 + ?de.

do~de los coetidemes A , B, C,

'b-c. son cantidades: indeterminadas, y no contienen á la Antes de ~if"; poner la forma de 'la serie, ' se deben hacer alguna;' refiexiones, pata ver; l." si tendrá el t é-rmino conf", fante A, lo que se l:onoce' si haciendo -"=0, resu!¡,\ la funcion igual á una' ,amidad 'cOll0eida , 2.'" si 1" (

x.


DE LA,s SÉRIES, 49 deberá hatM¡- ~ la variable en el derJOn1inadof' ~ lo q,~@ se conoce si haciendo la variable igual cer.o, resulta. la funcion intinita; y 3. 0 s,¡ · s.~ pebeTá ot-denal" la se~ fiie por las potencias ,·sucesiva~ ., ó por ¡as pares ó lq$ i,mpares , &c. . ' . J ' . Así como ,haci~ndo x=G¡~eflJa f!.meion prop]les~

, a a ., ta, resulta --.-~-=I , la ·s ene. debera' tener a-x a .

t~r-

mino constaóte A, que en este caso. valdra 1 ; pOI[ ~~ qué tendr~LU0s .. L '

a

.

.J

~

J

--=A+Bx+Cx~+D!;(3+Ex4+FxS+&c. a-x :, r ...

(M):'

;¡."

Si esta serie es -el valor d'e la funcion propuesta, quitando el denominador se ~endrá . a=Aa-rBa5c+Cax 2 +Dax 3 +'ldcó

-Ax. . . .B$~-C!;(3--'ldc.

Ahora, ,igualando (99) los coeficientes de lQ5, tér,minos hQnJ010gos en ª,mbos l!liembl'Os , y observando, que: por no estar la x en el primer miembro, todos los c:oelicientes de las potenÓ'íls de x en el segundo. serán cero, se tenará esta serie de ecu.aciones. :: a=Aa,. Ba'T'A=o , Ca~B=o, Da--C:::::o, , ''1 .. A 1 11 1 i quedanA=I, B=-=- ', C=-=-, D=a

al!

" . . _. 1 ::-

1-

a

;

a

t

a3

y. así sucesivamente seda E= a 4" F~aS' 'ldC·. luego sustituyendQ~estos valo,res e'u la sétÍe CM), '" , , • a l , I " I ' , se tendrá - - ·=I+-X+.....:: ,,2+ ...... x3+'ldc.::::: ~;

; ,

a -;--<x.,

_ -a

u

/

a!l . _ q3?

~ x'1- x3" :x;'4 x5 Xn--l 1 +-~+-:-;:+---+o"'--r.~G~!' --.'- . a a q3 a4 a 5 , • an-I

L

.. '

(N).

~sc. Si o~seniamos la1~ ~e ~los esponeRtes., y su ya lar respecto delluga·r que ocupan los términos,

.

4

T .' II.


~o

DE ' LAS 'SERIE,~:

verémos que 'd es ponente es una unidad menor que el luga'r que ocupa·;, así; ' en el término que ocupa el tercer lugar los espónentes son ZZ::3-1 ; luego en el MrlllÍnó q:ue ocu.pe ecllugar ti, los espon~ntes serán t I - I , como se ve en el término (N), que por estaJrazQn se Jrama térniina getlera~ de 'ta serie.

a ' 'Si la. fundon fuiese - - , llt haríamos igua~ ' , a+~x éon' A+Bx+Cxz+Dx3+Ex4+Fxs+Gx6+'ttc. porq ue ha y término constante, y no' 'Se debé hallar la ,variable en 'el denomilfador; y será " a, " '., _ _ A+Bx+CX2+Dx 3+E x 4+FxS.+'ttc. ~ a4-G'x - '1'03

-

que quitando

d

.rn

denominador será

a=Aa+-Bax+,Cax 2 +Dax,3+'ttc.

í

+~AX+bBxz+bCx3 +l!1c.

(

que ig~aÚtn~o ,los coeficiente~ de los té-rminos homó~ogQ'S en ambos miembros, resülta a=il.a, de donde se-saéa: A=~; aB+bA=o , , a ' . ~A ' b ~ a ' b'G '" de donde B=--=---xA=--X'-=-~.;

a a a a ,a , aC+b'B=o, '" .?:... 2 b'B , b' b' b'a b'2. a que da C----=--!1=--x--;-:- .- ; .~ a a · . o;. _ ~ , " a 3! . aD+bC o, r ,', /'. bC ~ b b'2. a ' ~2a ." . ,.

_7

que da' D=-.-=- -¡ xC-- - x - ¡ =- - - ;

. "

a ,

a ,

o;.

".

a3_ _ .'

0: 4

--:

lo que manifiesta que si"el coeficiente' de un término / cualq uie ra se t1~ma P y 'el del ,siguiente Q" se tl;:ndrá para ,aetermiúar est~~a- ,e cuacíon, o:§!,+~P=O,'" T

.

,

.bP

b··'./

ae dondé se sac'a 'Q~- -:=::- "":";xP; a 0;.

.1

~


----------------~----~~ DE LAS SERIES.: St que maniliest~ la escala de relaciono Comparando los esponénres' de ~ ', 0:., x, c.on e'lll:lgar que ocupa qda ténnino en la 'serie, y llamando n el lugar qué dicho _ ~'I...,..ra términO ,dcu pa, será ± ___~__ xfl--I la esprcsion del

,

~

. 'l

ex

término g,eneral, tomando el signo + cuando n es impar, y .el. - cu-ando n sea par; y por último ,se '}a ' 1,

a~

a

a~Z

a~3

a3

0: 4

.

-----='"- --x-lr_. _,-2 _ _ _ x 3.:...... 2

tendrá

,¡x.:~.x ,

. .a ,

0:

I

1

a

I04; :I' Si la fuqcion ,f;uese -=--b . 2 " ántes de desen. ·- x volverla, veríamos que debe temer' términd COIDsta-nte; y eomo la variable x. solo. se halla elevada \Í. la segunda potencia, es de inferir que la serie no tendFá p0~ell\:jas ímpares de 13. variable; por 10 que ordenándola por las poténciaspa¡:es se tendrá , " a ~ )

.

.

- - - - 2.~A+Bx2..¡.Cx4.,¡..Dx6+Ex8+b'c.

b-x que da,a-Ab+Bbx 2+Cb.x 4+Dbx 6+Ebx 8..¡.b'c. " - , ~Axz-Bx4_CX6"'7""Dx8_b'c. que igualandó los coefiCientes, resultará r I ~ ", o· a - Ab=a, de donue sale A=-; ~

.J;

I

¡

I

... -

.

'"

l'

••

..

r

,,_

b

:.

"

A\

~a

Bb-A=o, .................. B=-=b Z ; b

.

.

..

B . ·a

Cb-E=o , ................... C·= ._ =b3' b . '.. - -. . ·~ O a '· \

pb.-':::o,~::: n

.... ;...;....~~"~ b~bt

~ ~c.. 't ....... ,....,... ,;••• :.• ,.r;.,;.~ •• ••~c.

,y sustituy~ndo se tendF~


.

J ~~ ~~--~--~--------------~----------~----

DE

a ~

a

a '

LA~

a'

SERIES.

4

a;

a!l1l

b_x'1.=¡;+b"X .... b3 !1J +b4 x .... + ·¡;ñx . -

2

105 Toda serie que es el desarrollo de una fundon, debe ser convergente Ó n'o nos hace al caso pa. ra nada; porque como el objeto con que se desenvuel. ve una funéiofl en serie, es el formarse una id'ea de una- cantidad, cuyo valor no se percibe con clari. dad, e's necesario que tomando un cierto número de términos de la serie, se tengan valores aproximados "'de aquella cantidad Ó funcion, lo cual no puede verificarse si la serie es divergente; porque como los términos que se dejen .en esta, van siendo mayores y son en número iñfiñit~, siempre valdrán mucho mas que los que se tomen. Pero el ser convergente una serie solo se conoae cuando á la varia,ble se te dan valores particulares. Así es, q~e <si en la serie aSQertdente anterior, x" es menor que b, la. serie ,será converg(mt~; pero cuando X Z sea mayor que' b", la serie será divergente, y entónces n9 se pqede decir que heii1o~ resuelto el problema, á· no ser que encontremos la serie descendente que sea convergel}te cuand:ó x 2 >b. Esto se consigue ordenando la funci:on de diverso-modo, esto es, al cO,ntra.rio de ántes; así,

a

en vez de la funcio~n b . ,

.

\

ha dad~

a

.

,.!l

.

~upond~'émos quese nos

_,.2+b" que es lo mismo, y la , vatiable . . ..... ,--,

se hubiera hatlado en el denominador. 106 / l'

v a-x\ haciendo las

Si la funcíon fue.~e .c •

.... ...

2

•. ,.

mismas observacioq,es de áFltC'S la haríamos igual COD , ' la serie A+Bx!l+C'x 4+D,é +Ex B+'t;tc. ' y eleva¡>do ambos illielJ1bros al cll'ldrátl-o se tendrá a.2-x2=i'P+~I1B,.!l+2AOx;4+2ADx6'+2AE.'!(,8+b'c• . +B?·.x4+~BCx~+2BDx8+b'e• • , 0+ C!I ~~+'t;té,


DE LAS SERIES.

de donde sale A"=a z, zAB=-;I, zAC+B"=o,

Sil

2AD+zBC=o, zAE+zBD+Cz=o, b'é. q~e

dan A=±a, .

r

I

1

B=--==F-; 2A 2a .

e

B1. 1 . ' Be l ' - 'zA=+ 8a 3 ,D=-¿¡::;;:.=t= Í6á 5 1,'lde. ,

y-sustituyendo en la serie será __'_

'"

x'"

x4

:)<;6

VaZ-xZ=±a:¡:-.::¡::-3·:¡:--s+ 'lde. . za 8a 160 de aquí r.esultan dos series, una tomando los signos -superiores, y ptra tomando tos infer!~res; lo .que en efecto .debía· verificarse, á causa de que el ra~cal .ldebe tener da's valores. t 107 Se llaman series de númel'os figurados, ·aque·Ilas en q ue la~ unidades de, cada upo de sus térmi. nos, se .pueden disponer. de .rñanera que representen Ulla figura de Geometría. ' . Se Haman' núme.ros .de primer órden á las simples unidades 1 , 1 , I , 1 , 1 , 1 " 1 , 1 , 1 , 1 , &c. Números de segundo orden á los natúrales 1 , Z " 3 , 4, 5 " 6 , 7 , 8 , 9, 10, 11, &c. que se forman porJa adicion de los de primero. . Números de tércet' ónle.n, que se llaman triarlgú. Zares, 'á los que de forman por la adicion de10s na· ·turales, y son 1,3,6,10., 15, ZI, z8, 36, &c. Números de cuarto órden (, piramidales, aqueltos que se f.orman por. la adicion de los triangulares, y "son [' ,4.,10, zo, 3S, S6, 84, IZO, 16" &c. ,Núrnerbs de quinto órden á los que se forman por la adicion de los precedentes, y son 1,5,-1:5, 3S, 7°,126., ZIO, 33°,495, &c. Números de sesto, de séptimo, de octavo, &c. ,órden, á aq uellos que se forman. por la-·adicion de los precedentes, y son '1 , 6, 21 , S6, &c.; ' J, h ;¡8~ 84, &¡;.) 1, 8, 36, 120, &c., y así al infinito.


54

;DE LAS SERIES.

·'Como las Clnidades de los números ,dd tercer _órden" 'se pueden eolocar en forma de oriángulo eq uilálero; y los del cuarto en forma: de pirámide triangular, se les dió por estension á todas estas series de números el nOm~f€ 4e. series· de n'Úmeros figurados. Los números ,triangulares resultan de sumar los términps de UBa progresion aritmétic~, cuyo primer_.ttÍflpino es 1 y- la- razon I ; Y epm9 , las ,unidá des de los nume ros que resulten de sumar lQ's términos de una progresion arirmetiea, cuyo l'l'llime.r térrni119 es 1 y la razon, 2 , s~' podrán disponer en forma -de cuadrado; y la de los formadqs po'd a s'uma de los términos de otra progresion, cuyo primer i.érmiQo fuese-;;r y la razon '3" se podrán 'dispo'mer en 'fomía ,de pentágonos regubres :'. y ea generallá.~, de los fon,m~dos peI: la s'uma de los término's .d·e una: prognesion ; cuyo primer término es la unidad y la razono -d, se podrán colocar 'de ,manera que,f o.rmen un po-lígono regular de .d"t'-2 , lad'o s, se leS: ha- d¡¡do á todas estas series de nlÍmeros los nombres d~ 'ntím~r.os 108

~ !.,

polígonos.

Det método' , de ¡tos límites. ! .

:r..

. (1

_11 '.., l.

Queda dicho (l. 232) lo que se entiende por límite de una' cantidad va viable , y .que 'los ;-límites ger¡.~ r a les de las cantidades son o ,é 00; pero ta~­ . bien hemos visto que hay límites pa'rtiQJut!ares., cpmo . (1. 345 cor.) la circunferencia, que.esi lím'i te de los perímetros de los polígonos; el círoulo Jo ,es de la ' su perficie de [os ml¡smos polígonos &'c." . l. ' Del mismo modo, ailnq ue los !ímítes .¡generales de las fUllciones son tambien o é 00, los fienen tambien- paniculares;, lo __cual sucede cuando: l1lila funcion en su forma actual, p en otra.,qlue ,se pueá.e ' dar, se compone de una papxe constante, y de otra. variable, que acercándose á su límite cero, hace q U I:! la parte constante sea el límite de dicha funciono 1 lo Sea por ejemplo, a una cantidad conlitante, y x y z dos variables , que decrecen. cQ~1tiL1uamente 109

re.


m~ LOS LÍMJTF!$t

,SS

acercándo'se allíq¡ite cero, . ~n c_uyo ~a.so a ~ será lí:' mÍte d,e a+x ~y a-z; pues le .cGrr~sp.onden ~a.s .dqlf ideas del lími te (1, 23 2 ). (; f . ; .~. 1I [ Hay fllfj~iones que reconocen dos Ifmite9 determinados: uno para eU,ando la va:riable decrece acercándose á su límite o, y ot'ro para tuando c~ec~ acercándose .conÜnu¡¡.mente allímiie a-; ,

'

\

(

. a+b!JC tal es esta --o c+ex En efecto", ~~ando !JC sé '''la' acercando á s\i J.fmi~e , l' a o, la espres·i on se acerc,a á _c';, sin !lue jamas' pueda ~

'.

,,;

_

. • ';

r.

___

o.

llegar á serIé igual·; luego t: ;

.... \" .

e

.:!-<~.

.

'.'~j

'í_t

será su límite.

.i'

"

-"

...

'. ' Pa,ra indagar el límite cuando .le ~rece, . div'Úli, rémos Jos do~ términos de 1,!-, flfnci.on por :le " y . s~ J

"

..' a . ' '. b+-

5c .. ' (lonv.~rtirá ,en. ~, la cual ~

-

-

~.

IJ

, .' e

·:.J' e+~"::···

X

rt 'i -'

-' b ~ se acercará á - , t.a ntq e .

_

t'

'

t .,.

"

\.¡.

lIlas cuanto !JC se acerque mas á t; 6 00; de manera q'ue .la difere-ad.a. en!re dichas C¡l.lll;Í,dades pocl:r,t $el' menpr 'q ue. cua1q uier ·cantidad dªdiJ, .'p.or pequeña q u~

~e~ ; y por lo. ~is~~ '~e s~rá ~11í~ite ""(. . f

-.~

de la

~unci~~

."

propuesta. , 112 En toda serie ordelJafla pór itls potencias d~ una sota varia/:Jle, se le puecJe dar á esta U11 v alol' , tal que un término ·cualqt¡iem s.e.a, mayor que la mma de todos l~s W e le siguen. l · .


S6

t1E LOS LÍM1'TÉS:

En efecto,~ sea la serie A~m+B:.;/1+CxP+"ldc, todo está reduci.clo á probar que 'á x se le puede 'dar un valor tal /que cada térmÍllQ sea mas de dos ve. ~es men0r q,ue el antecedente; porque hemos visto (1. 20 S ese. 1. 0) que en la serie : '. ") :. r..

..

:r • .!.,J:

I: ~

r

Q..,.

1+"2+4 +1f+t6+3'2M-<X~·

,

)

'-

. Cada término es igual á la s\lma.de tQdos IQS que le siguen; y corno aquí cada término es la mitad del anterior, se sigue q úe si en este ~u Pl,lesto ljn , tér.min.o cualquiera es igual á la suma cl~. todos los qUé l~ siguen, ~4ando uno ' cualq uiera se3. menor que la mitad dél anterior, un' rérmino' oualqu.iera será' mayor que la suma de 105 que le siguen. Luego todo est.á- ~eduddo á :rmb,!!' que se pu'ed-e d,al' á ce un 'v.a-

Bx'¡

Axm

CxP

lar tal que _ _ >Bx n, -'->CxP,' -->b'c. • 2 ; ~. . c

,

'

'~~

.'

', ' :

2!

~

I

, 1 , o . Sea la serie ascend'ente, esto es, m<n<p<b'c,? C0lll0 el caso méáo'sfavo,rable es aq uel 'en 'q ¡,¡e lQS coe-

ficientes A, B,. e, 'ldc'; van creciel'ldo ', Jo d'em0'st.ra~ rémos en este caso ~ .y ademas su pondrémo.s que la relacion de dichos coeficientes sea variable, Repres~ntem0s pOl J!x" Y por fJxr~s fes dds términos consecuiivos e'n qu@ s'e encuentl'e la mayor ·relicioll de los coeficientes; y aSÍ, será necesar,io dar á x un vaPx r

. :.0.

lor tal que se tenga __ >Qx r+ s; !

\

"" ", : :

9

. ')

r: J

~ ....

,~

y ~uedando satisfecha esta circunstancia, se tendrá tlem0strado lo qge se desea; luego .splo'falta indaga!' si existe un número que cumple con es~a condicion, J im caso de que e§to ,se verifoque, determinarle .•

< :

~ ... ~

Para esto, dividirémos esta desigualdad, :rOE x r,

p

p

2

2

"!~:

que da _:>Qxs ó Q",S<_;' Y dividiendo por

\..

Q se tendr~ xs<~; :.IQ

"-

¡ .

.~

1


~

. : s,..

,.1:

-: 1

V 2~. ~

~ ~str3¡;enclo la r~iz)s nos re;ult~r~." .le<

r ..: - ; . n , .. Per.o P y. Q ~on' dos caniidad~ diadas y constam,.-

~t

_.

,

tes,; 'Juego P,' Y' 2Q JI, l _

'id

ta,iz s,

t.;

ta~bi~Fl <s;r~ll ' cantida~ ...

~ ~~.I.,

.J

-,.,i r

5"

des (onstaBtes, ql!~ ,podrémos deterCI!i~~r; y ,., oOQlQ por p~q ueña que sea esta cantidad', podemos conce:pir el~ :J(J otl'o jV;¡¡lox~~.or (1. ~.29 c<?r, r 2', 0) , resultª _ que siempre se podrá dar á .le un.vator que cumpla :

'

:..

;i~~

....

Px r

.t

ll

¡::on la circunstañcia de ser _>Qx Y +

! S

,

2

,')

un término cualqui~r(J S~(J mayor que í~ suma fle todos lbs' qu.e le sigue-n. ", f_ t • . ' 2".0. pea ahora d¡:scendente la sede·, esto es, ~~­ pongamos q':!e m>..n>1?>b"c:, Y. qy.e LQs dos ~é1jrni:' 119s·consecutivos e.O!');lJ.e la r~lqci9ij sea: mayor, sea!!

Ó que

.. ','

p~r:¡. y ~

c,:" -;

,

Q4'Y; ' ..!':

Oo __

~

;.

. ...

~ ..

;

~':....,\

_.Y Jp"tr~J\

..

_.c,

, tCldo estará reduciao á probar que - - - ; > QxY ; 2'

y. ~.omo ~ividiendo pOf ",Y tenemos. Px

.. :~........

...

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de donde ",s>

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1!.. #~."

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1

2

Q P" M

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,

s

I

~ ."

~e, dando á .... un valor m!l~or . que V .;g . 'P !JO

t

,

cumplirá con la circunstancia pedida;' pero P y 'on'cantidades' . -, ,

(:

,

$J

~nitas, luego la es,presion 2Q tambi~n "

P

.


~'8 DE I.ÓS LfMIT:E~. ~ lo será, y su raíz s; y como siempre podemos con· cebir ell· x un valor mayor que cualq u ¡cr otra cami. da:G::clada,resu.Jta ,que se le" pod'l'á"dar une ¡at.·que cada .~érmino de la serie sea mayor' que la \SUl1l~ de 'f0tlos los q-ue ,le sig'lá'en. Lueg0 é·t:i'primgro sej:á~ ma· yor que la suma d~ todos los demas. L. Q. D. D. -fof,&c¡~ :Si ;lós 'esp01~(mtes dcf 10s' té'tminos conse<;uth. vos, solo s/diferenciasen en la unidad, ó lo que es lo mismo, si"se :suponÍ'l S~I" él':valót de x en el pri. -' y 1l',. o ) (',_...Ji? ' 1 ........ ;. p i

~:r'.~ as~ ~e:iá,~u:I¡~~iera 'que ;~~~~ n;~no,r que~e~Q' y en el segundo seria,. cualquiera que fuese mayor ri.-·- #.J ~'_ ~ ::: ~ l~"'· . 2Q ' ", que - . -; . HH I p.,:.:. < '- ~ ~': , -.. .',1.," ',:~~~. - " '.~. ,', .. , ... Il.~,! .\ 01

1

porque el radical tendria port' es'pon'ente la 'unidád¡ yra.atia rpol' ráI2: ~lHñisma carititlit<d;'q ue tÍ'erú~ debajo. -1!· iIP3 ' Si-se tl,ef¡'e¡í. dós' funciónés F.X!~)¡f.~; de '004 mi.s1n(f víJ'I'iable. x ?'el i~/I'¡vte: de la relíieion ·éJe,'estas funciones será el mis¡flo que l·a' 1"~acibn 'de .los límites·. En ef6ct()\)(~i la relacion la espresamos por ¡p. x, ~~~ .;";: ~ .. - -: :·J'...(Y1:.f.. ~J!-,~Il ;::". -:'.~~ f , FI'x

-

se tendra --=tp.x;

f.x. , e

.

~

(

~ \

.- - _ .. ;, {,r::j'

~... r;..)..J uJI...:;

.

_y

~f;t~....

'1.

ahora, cada una de estas funcíoIfes lIegará a su IllDl" te, cuando la variable x Jlegue al suyo que supon' d remos ser a, y

,':'_-

--,--:'

.

f

. ':J- , . F.a -'.' , . . . tell~'l'em(!)s '~f'_!, 7"":'~"a, ; pero1lf,J.¡ :..~

-.

.a

i

f·a-'iím. ... ,,. de F.x, f.a=Iím / de f.x, y cp.a=!ím. de <p.x, ' lím .J de ~F

luego

r

,V.

, Hn.

I

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)'-',1 ;

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~ l ,x. )~. ,

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~. ~'i

"'n ···· · l ' I (',} - H.: • .) ~!

~"u ; espresa la prop~sicion emunciada~

.

JI

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'

::~.1

"'0"'1".1 ~~ ~ (...

\ Como Fx, es una ·oantidad. va.ri[¡\jle ,. la 'po~.rémbs señalar cdn z, y por la misma razon podrémos su1. ,.-.

. ,.,."


~

-

_....

-

~

• r

..

I

I

Z' !. ~~~

'1'.,

poner f.",=y, Y ¡p.X::JU, -la,que dará ~u; <le Glende , , ., y .. ' 1ímit de z' -, ( t· ~ •• " . . ' -lím. de u; qqe-,espresa' que ,el, Pitnite d~ f llfD ., ~e_y , ',:) 'j f Jo " " . '. _" ' . ,) la· netaci01L de do; ,icant~dai:ks variables,l e Id mismo que la relacion de tos ;~ímites :de qic.'1:as cantidades.. :

D;t"~¿1~ulo "'aé' las~~'diferenciás. ' I ~,: .... ~I.:) lJ'..

,'1-

~.

","

__

(>f! ¡

Vamos a¡wr~ á détermina,r';el: incremento ó .de.c-iemento q me . sobrevie.n¡! á, una func;:ion " réual'ldq :creoe ó mengua la Iv.aúable .de que depende;- y p4ra lijar lasjdeas obsellvarérnus q.ue si una, vaJri~blli se au ~ menta ó disminuye, y. se. llega-- á CQn~ertir x-+-k; ·la ca'¡;]il:idaa iBdeterminada _k,_qu~ e.sJa qúellhi cau~ sado su aUmento @:.dimwucion, se Jlama. el· incl1e'11¡en~ .to', ·J aj difeTlencia finita, -ó:.símplemente larc'dife:rencia -der¡~. Del mism(1) ' Lllo!il:tl.'; si ¿variand0': z llegá á·. sér ,:z±h,;Aá- cantidad JindeterIlÚnada h se-Jlama!~la dif?,!. ,mncia.·..de z: cuyasldifel'~IJdas ser-án.: pos.¡,tivas @. ne!. gatixas, segun !JI; ->Y] z ha yaifl. ~umentado:;ó' dis mi 1'1 ui d{)1 tper-e (coinri.muehas-veces-se.ofrece cóñsidera:r' en 'una mism~ cuesti~n las dif~rencias de Ililíchas Lva'riables .y de sus fencciones', á.fin .de. e.¡;,presarías'áon~urr!iformi: -dad ,:y, saber el oríjelil x ó z de dichas 'dif~rericias , se ]lace uso de un sigl;lO~ general A, que es<húdelta gr.ie." ga, antepQniéndola á la variable cuya diferencia se quiere espresar~ así,~ell ,l ugar de ±k se'eScribe ±Ax, y ±Az en lugar de +h, y se leen diferencia x, di· ferencia z, Las varias pote.pdas .(L1x)Z, (.llx)3, (~x)4; .~I;. : d~ li! diferencia de unit variable x, se espresan por .6.",2, L1x~, .::1x 4, b'c;; y pa~a que estas,espresiones 1).9 se to· men por"las difer.erid'~s respectivas de.x2 , X3,\ x 4 , ~c. ,se denotan estas per ~.x22 A.x 3 , .6..xA, b'c: ' , ; .[ I ·S .~ Entendido.este, pá'semos á rescilv~r este'problema. . 1 14

'en

, Dad'a la di¡ere1fc·ia de ¿na variable, hanar la de la funciono . .," /

J


60

." DEL CÁtCULO

. Res. y Den;. SlIstinÍyaS'e en la funcion eh vez de }a variable, la 'variable mas 'ó ménos su ,difeFencia; de

esto réstese la fu~cioll primitiva, y se tendrá la di• .ter.encia de dicha, funcion. . ._ .En efecto, se!t z=f.x; si en vez de x sustituimos .x+Llx:,. la funcion z variará y sé convertirá en 'l.'; Illeg0 se. tendrá zl,=t:(x±Ax); . ' . y si de esta ecuacion restamos la prirnera>, hallaremos el increl~to de "dicha f lInci(illl, que será ' , z -z=f.(x:::h:Llx)-f.x;-;¡ '. . pero como z, al v·a riar x, ha padecido: pIDf precision un incremento ó decremento, resulna qtte z' será igual á z-+Áz; luego el primer miembro.se convertirá.; en ¡ 1';" ~z=,z+Az-z=Az; _ _ J J ,por IO'cual tendrémos Llz=f.{x::!=Llx)-f.x,:o ponien',. do f.x efi vez de z , ' será Af.x=qx±.oÓ.x)-f,x (M), ' ! I ro' t 8i tlna constante afecta ·á .una función por via de Sj.lma ó'de resta, desaparece'rá de la diferencia; por· "lue si ftlcse z_f.x+a,. como las camidades' constan. tes no aumentan ni disrni!1\ayeri'.en un mismo"cálculo, ¡;e tendrá z'=f.(x±.oÓ.x)+a", de donde ' J Az=z'-z=f.(x ±.oÓ.x) ±a-:..f. x.:.¡- a=f.(x:::t:.oÓ.x)-f..~, porq ue ~a , y 4=a q.uedaa destruidas. <j i Si la constante afecta á la fundon pol vi,! de mulo ti plica ci O.ft. -& di vision, esta constante afectará d~llUis. mo modo. á SI!l diferencia.; porque si se tiene ,~ ~ d .-., . . , L a ! . z:¡:: :Z/.x:será- z'=_f.(x±4lx),

~

{

o

~

~

-,

' .¡

. r.:

-'Y

b(qx~.oÓ.x)-f.x)= ~Af.x.

, .b J Ahora; dividiendo la eCllaóon CM) por Ax, será .oÓ.f.x f.(x±.oÓ.x)-f.x . """";\"=-- __ (N) : ' . "-lX Llx ,_o

\


DE ~ LAS DIFERENCIAS.

6t'

que espresa la rdacían 9ue tiene hl' diferencia de la,

fu.ncia n con lá de la vanable.

.

.

Cuaddo se tienen muehas ~unciones enlaza.das por vía de suma ó resta, la dIferencia' total es. ' igual al conjunto de las diferencias de cada funcÍOIl componente. '. , Porque si l{:netnos 'Z=f.x+F.x-!p.x. será 'Z'=f.(x±.6x)+F(x3:'óx)-{J.(x±.6x),' y 'Z'-'Z-=:.6'Z= . ' . , 117

f.(x±~x)+F1.(x±Llx)-qr.(X+k\x)-f.x-F;x+~.x? ·

perof.(x +.óx)-f. x=.óf.x, F,(x+ .óx),.-F.x=.óF.x, y_!p.(x ±Llx)+~.x=-(!p.(x+.óx)-!P.x)=-Ll~.x;}

luego se tendrá Lh-=.óf.x+LlF.x-Ll~.x. ' lIS Como el cálculo diferencial, que proñto da." rérnos á conocer, nos ~umi'nistra un método general y ~el1ciJlo para ,hal!a~ la dife~encia de. un~ f~'~cion, noresolverémos aqUl SInO el ej'emplo sIguIente. Sea 'Z=ax 3+bx+c, y SOl tendrá' . t ·z/=a( x + Llx)3+b( x'±Llx)+c~

ax3 ± 34xzLlx+ 3LJxLlxz+a'Ax3+bx+bLlx+c;

luego Ll'Z='Z'-'Z=ax 3+ 3t1X2 AX+3axLlxz+ai1x3~ - bx±bLlx+c-ax3-bx-c=±3ax2Ll~+3axLlx2± '

aLlx3 +bLlx=+(gaxz+v)Ax+jaxLlx2±aLlx3 ; . 6 considerando ~olo el signo +, que es lo que haré.. mos de aquí en adelante, será

. ,A'Z-(3LJX2+b)Ax-!:'3axáx2+aLlx3. Pasemos ya á las funeÍenes de dos variable~ -indepen\Hentes , y sea 'Z=f.(!JI,;, u); donde velDos que ' Z puede va-rÍar por tres causas: 1. a por la ' variacion 's~la: de ,' ;, cuando. se transforma en x+Áx; 2. a porque u sola sea la que varíe, y se eonviena en u+Llu; og_.a variando ambas x y u. En el primero y segundo caso las diferencia~ qu~ resultan 'de 'Z se llaman difer~neias -parcialés ' . y ·se espresan respectivamente Lb . Ll~ ~(:)r -:-ó,x, -Llu; en el tercer caso resultará la Ll ~_ 'Ll u_ r d¡fere~eia- Az quese -IJama aiferen~í~ total, ó sl:m· ,~lemen~e la <iliferencia de li fundon. . tl9

.


.~ . DEL (JÁL~U'LO CpUI,l0 , en -105 áos primeC0s casos

62

solo vada 'en.h . funcion 20 una de las cantidades x ó u, su diferen. cia se hallar<i en virtud del 'problema antecedente; ' y por lo q ue to~a al tercero, lIama'ndo 7/. á la fUFlCiori ~.(x+Li"" U+,óH) que resulta st+.stituyendo x+,ó", por x, y u+,óu por 11, la diferencia de .2o ó Liz será, Z'-:;y=;f.(X+,óx, u+,óu)-1:(x, u). Del mismo modo tendníamos que si fuese ' (z=(cx, u, r; t), resultaria _ Az=f.'('lIi-J::L1,.,(; un-Liu;r+,Lit::, 4+,ót)-f.(x, u" r, t), , 120 Si entre ·las variables hubiese una re1acion espres'losia: Ror V: , Lex, Z }=o, ~n €ste caso, x seria fundon de ,Z" y recíprocamenle 'Z funcion €le x; de «!onde.s,e sigue 'q ue si x varía, y, se transforma: en x+Ax l.a z .variará , n~cesariamente y se convenir,á, en z+Llz; y. estos nlL€;vos va-l ores de $ y.,de deberán necesariamente satisfacer á ,la ecuacion 1(: f..(*, z)=o, ~ y tendrémos V'=f.(x+,óx, 2o+Ll2,) =0; ,luego VI_[7: . LiV~f.(x+Lix; 2o+Az)-f.(x, z}=o, , . ód1V: O; '1 ( cuya ecuacioil es presa la relacion entre' Lix y Llz; de donde inferimos que esta relacion se hallará toma'ndo la diferencia de TI,' como, si '¡ las variahle~ x ?' fueseri'}iidependientí!s, y hacienclooluego ,óV: , Q• . 121 El mismo método se segl,lir.á en las funciones de mas v;ar,i ables; y así p,asarémos á las diferenci¡¡.s de un .ó¡;uen superi01'. \' r , Con ~a 'mira de: dar á conocer cómo se origiaan éstas dir~rencias, supondrémos ,que haciendo variar sucesivamente una funcion de u'na ó mas :varial;¡les, 'q ue,llama¡f¿mos z , sean z'" "l.'"\ Zlll los valo-) . ~ ~, Z'V , ''''c. v Jes , consec'l~ivos de z cuando a!umema; y ''1., ~/Z, III Z, ;Y'Z, 'ttc., cuando disminuye; de; manera que '

z,

:y

~c. IY z , III Z, 11'1., IZ,

"l., "l.', Zll,

Z'll,

'1. 111 , ~G.

'forme una serie de términos sucesivos. ,. Ell' virtwi de esta q'll1sÍueracÍoll y de. 10 ésp.u~sto ~I! s), tendremos 2/- z=Llz,; ZII_7/=,óZ/;:"'. .z~" -ZIl=,óZ~/;,

zlY~ZIII=Llz'lI, ~c.; 'Z_IZ=,óI.Z; 1'z_'IZ=Ll11Z'" I'Z_III:¡;=LlI,IIZ; IIIZ_I{/:¡;=A'IIZ , b'c. (

,

.

- "

,

.

,


DE <LA'S DIFER~NCIAS..

61.

Ahora, Az/-;-=-'L~.'z · será por lar misma tazon-la diferencia de ~z., y se tendrá Llzf-Llz=LLó.z. _ " ' Lardiferencia:' cde -la diFerencia ,de l:lUa fanción z de una ó muchas variables, se llama diferencia S!!f".,.unda de z, y se represent~ por Ll zz ' . cuya espreTi ~ioÍl no se debe confundir con ninguna de' estas A.p;z~ Azz;' puesA.z z ind,jéa la indiferencia del c~adrado ~ z la Azz indica el .ca.adrado de la diferencia, y AZz. i;dicil., como acabamos de decir, la diferencia de la diferencia de z.' - L ' Por consiguiente tendrémos , 1 .. Az'. -Az :::¡A2 z, ó Azf =Az +;ó"z; ~

Az" -Az' .=,ó,2Z', Ó Az" =Az' -...¡.:oA 2:¡;~;

. flz'If_A~"J ~Ll2'Z"" ó Llz"'=Llz" ~A2ZIf; -Llzí'l_Llz'''=Azz'fI.,Ó A:¡;'v ' AZflf+ilzZ'If, b'c.'r .ilz ...,..L::..'z .=.&.2'Z, ó Lh =A'z +A2'~; _ ti'z -Ll"z =ti 2 "z) ó Ll'z =A"z +Ll 2 "z; AYz _Ll"' z=A2If1Z,Ó Ll"z -.Ll:1fl Z+Ll 2 '''z; b'c. La diferencia segunda de la diferencia de z se Llama la diferencia tercera de z, y se denota por Ll3 z7 y en general ládiferencia n por LlIIZ ; " 12Z . Si z fuese ·funcion de una sola'Vari_able ' ''7 hallal'Íamos z' sustituyendo x'=x+Ll.x en lugar de x'¡ :Az[, sustit.li}lendo x~=",+Ax en vez de-x en I~Z; !rA.x'=A (x*&x)=A x:+Ll~x por Ax, . y..á~X'=~2(X+A·x~=A2DC+A3x., por t::.?x, b'c. . ~. 123 Si en una funcion z de dos variables inde.. 'Pendientes x Y ti, sustituimos DC+L:lX en,lugar de X; . Y u+Au e.n vez de u, resultará z'; sustitu yendó -DC.'=~~ pbr x;en' Llz ,:u+Ll.u por u ,,,Llx"lfo.Ll 2 x( por Llx, ''Y,'üu4-A z u por .:::1 u , resultará Ci&/; si sustituimos. x*,Ll.x en vez ae ti( ea A2 Z , u..¡..Au_ en vez de -u; -Ll'x+A 2 x en luga¡:,de Ax, Au:-tiA 2 u e¡;Lhugar de Lltl, ·, 6"-x+Ll3 x en lugar de {lzx , y A Z u-I'-A3 U en vez' d-e ~au., resultará A2Z', y ast en adelante. ~ 'Con la mira de' simplHicar 1los cálculos 'se sueIe su'poner que una de las cantidadlis variables varía. u¡;¡iformemente, ó lo que es mis mo ', que su difei',encia " p~imera es o~tIstáni'e~ resta ,.s irve d~ térm~no

,t

lo'


64

DEL CÁLCULO , ,

de comparaCÍon al cuaf se refieren la,s diferenciás de las dema,s cantidad.es.Nosotros supondrémos -'lx cOflstante, y nos propondrémos hallar las diferencias segunda, terGera &c., tie una funCÍon cualquiera dI:! x. ' ; 1.24 Sea z=a'x a , y tendrémos z'=a(x+L.lx)'=Il.,,:'+2ax-'lX-f-a-'lx z ; lo que dar~ .ó:z=z'-z=2axAx+aLlx2, Sustituy~}L1do x+-'lx en \'ez de x, se tendrá AZ'=2a(x+-'l~).ó.x+a-'lxz=2ax-'lx+2a-'lxz+aL\:xz;.

lo que da_rá -'lzz~-'l'Z'-;--'lz=2a.ó:xz: . . Esta segunda aiferencia' ,es constante, y de consiguiente la tercera-será cero" Este ejern plo , aunq.ue sencillo, manifiesta -el método que se deberá seguir para hallar las diferencias sticesiva's , si las tuviese funCÍon, y aun 'cuamio esta fue.se de-dos variables.

la

Del cálculo dife'·étlcial. . t 2 5 Hemos visto (1 16) el modo de .hallar la .re'; Iacion de la diferencia ó incremento de la funcion con la diferencia ó iHcremento de la var.iable-; y aho~ ta debemos advertir que entre la; funcion primitiva y el límite de esta relacion; .hay . uria, dependencia que determina la una cantidad. por medi0 de la o.tl'a; y todos Los medios que la análisis indeterminada nos afrece para conseguir este fin, están comprendidos en el tratado q ue s~ conoce en general con 'el nombre de cá¿culo infinitesimal. Este precioso cálculo tiene dos partes: ll!- prime, , ra, que se denomina cátwlo dif~renciat, trata 'de'ha: llar, dada la funcion " ellímire de la relacion d\hSll increment0 con .el de la ~variable ó variables que en. ttan en ella; la -segundCIT trata de determinar la" fun\cion, cuando se da conocido el límite de la relacion de su incremento con el de la variable, y se llama cálculo integral: q ue-por consiguiente es el inverso dél diferencia 1. { ' 126 Para esponer los .principios de este portent0,~


\

so

,

D.EL -CÁLCW'LO ;.DIFERENcÍAL.. Q) ' cá;l~ulo' , demostrarémos en prímer ·luga'c' el. si.

guiente , ' . . , . reor: , Si siendo ., :Z¡ . f'x.'; se sustituye x+ k ·en. vez'

de X', señal¡¿mdo k una ca'ntií:lad cualquiera, positiva ó .neg.a-t.i.v a".,se convertirá, z, en- if, Y t.endrá·¡ésta form", z' j:x+Ak+.Bkz+clt 3 +Dk 4+E.d:+&c. si.endo A, B, .c ,~ D, &¡;;. Jumciones cuaJe$quiera de x, pero indep.én.dientes de Le .. I

.

, Este teorema quedará aemostr·a do , si manifestam0s' <1u.e-lá ,ca.midad k $Glo se puede haHar con es,po,. nente enter@ y,: p0Sj¡~V0 ,~ 1>0. q Qe se consegu\rá demostr~ndo q Qe HO puede ser el esponente en ningun térmiho ni- negativo ni fr~ccionário, y .q ue ademas debe haber ún térulino inJd epeniliente de "k'qué es lá fundel) primi~i va. Para esto, observar:émos ' en primer ,Lugar" q.ue sí en el desarrollo de una funcíon s.e ~ustituye en ~vez , de la , v<J,riable de que depende, 1,In val.or· parti<;ula;:, debe resultar el mism,o valor que daria la funcian aí1tes de desenvolverse; pues de otro modo' no seria la funcion igua'l con su desarrollo; y como ,tíaciendo ,k=o" -z'=f.(x"f-k) se c01lVIerte en' ~7=[<" r s.e sigue que ~ el de~~rrollo de ,- z'=L(x+k), cual'q Ule'ra q Ul! sea la forma que lenga, se debe re-o ducir á -z=f.x ~uando k=o; por lo cual se hallarª- \ eSte término en la seri~, sin estar afecto de la canti" dad~; el eual dirél'Il0s que; es 'el primer término del des~rrollo. Ahora, el desarrollo de f.(x+k).Jl0 puede .. .. . ' 1, ... M ' tener ningun térmil10 de la forma - Ó eFl que el n

. .'_.,

, k

esponente de k. sea .aé'gativo ;.porque enlon<::es cuan· cl~ ,k; fuese igual oon c~r(} , este t€rmino seria ,infilüto, y por cOlilsiguieme lo seria tambien L( x-<t-k ); pero _ c'olfip .eu; e,ste· caso~'e. eb'ltv.iene 'eff~f.x l' q ue no f'u@de $el1 in,f;i.Hita.sinó' en .v:a 1.0 res 'particuláIr(!s :de '-x, -no pu~­ de_J¡¡¡¡¡ber. ,pi¡;¡gun tél1miuOlqu.e tenga dicha .f0rma. Tampoco puede ' tener esp9nenteS fraccionarios, :ó l.f¡)':.q lle es 110,-< ¡niSffi<Í> c,¡¡¡di:cales, 'á ' meriQs' que 110 se den á x:v,!10res, p.a!"ücu,lanes~.Po rq ue los radicales.de

, )

T.

n.


(J6

Bt;:t. CÁLCUl.O DIFERENCIA!:.

k 'n0 :podrrán' provenir sinó de los rad,ical~s¿0mpre?-~ didos en f,x, y la sustitudoq de x+k en vez de x no podrá a¡,ulilentar iIi disminuir:; el- númelÍO de enes, ni mudar su ,naturalez~ mientras que x T~ permanez .. can iNdeterminadas. ,Por otra 'parte <1ueda; 'indiC;<rdo (1. 168 €sc;) que todo ,radical tiene ta'níos 'valores cl,iferentes, .CO!JlO unidad~s hay en su esponente; " p or consiguiente toda fundan irracional tieme tantos valores diferentes como c'(!)[nbinaciones ~e pueden hacer con los. diferentes valores de los Fadicales .q tle encierra; luego si el desarvollo de la funciof.l f.(x-t-k) ·m ., "

;

II

-

'

1J'_

..

contuviese un, t~rmino de la forma Mk n ==Myk Yll , la f,uncion f. x seria necesariamente irraciana,¡, y tendria por consig uiente un cier ro númer0~. de valores diferentes, el cual seria el _mismo para la funcion f.( x+k) q ue para su desarrollo. Pero estando este desarf\¡¡llo r epresentacio flor la serie . n ' f.x ;f.Ak+Bk 2 +C k 3+ ... +MVk1lZ+&C.

á~ los n v alores de} i a,lical M V k m, 4e mañera q~~ el desi r cada v( lor de f.x se cOlÍlbif.laria con cada uno

rollo de' la fllncio-n f.(x+k) tendria mas valor~s dífe, remes qu e la misma funcion né desenv uelta: lo q uc es a bsurdo. L uego tend'rá laJorma que hemos dicho en el ¡Co·reml. . . 1 27 Si de ,la ecuacion z'=f. x+ Ak+BP +Ck 3+ b'c.• se resta la primitiva z:z:f.x, y ponemos Ax err.v:ez de k, se tendr á z.'-z=Lh~A~.lii+BAx2_I'ÜÓ¡x,g+J:;)AxJl*b'c. _(M), -que es prc:sa eJ·.Í!lCoreinento ó difereqcia.'de;;¡urria,'iJfun. , cion' e uando á la variable .le soh>re;viene e~ ~~crell1en~ 10 ~x. ? . '. • • ..,. ,.. q.. , 128 Dividiendo esta .ecuaci0Jil' por .ó.x, se tendrá. 'la r.elaclon de los i!1~r.eQ) ent.os .e.spr~S'ada' p0r·. .:


-~i:tLi-c,kLetiLO DIFERlútt'Il.'t, ' ,L\z ":,1 , ).. --=A+BAx+CAxZ+D~x3+b'c.

_A x '

'

61' ·'1

'

'C ; • Aquí vemos que la reiacion de los inGrementCili, de la funciop y d e la varia bIt'; , se compone de doS! partes: la una independiel?-te de dichos incrementos que es A, y la- otra que está- afecta de A x-, ó que depende del incremento 'de -la variable. Si se su pone_ que Ax ,vaya disminuyend0 , el resultado se apro~i'; mar á sin ¡cesar .á. A., sin qqe jafIliís_pueda.serie ig,ua,l, sí!).Q en e.I ~aso de ,4x=0; luego (l § ~ 32) A es" el ,al

. .

A~

.

mite de dicha relacioFl, y se tendrá Hm. d¡; --=A; . ~x - pero como este fímite se-saca suponiendo Ax=o" y en este cáso. la ecuacion anterior (M)" d~ A~=o ,el

d ' Á~ . o . .. " }Imlte e - - se conVIerte en - . : _y no se amq ulla, o .

ÁDC

puesto que es igQar con A; y -cb mo esta r.elacion :no ~os dice si e,l o de arriba proviene del límitecl.el incremento 0 diferencia de la funCÍon ó del de.la variable, es indispensabl e elejir un signo para espresar ell~mit¡; o de la diferencia ó incremento A~) Y el de la Ax. Este sig;no es una d antepuesta á.la funcíon 6 va,riable ; y así, dx es presará el límite-de la diferencia de la funcion ~, y dx e'l limite de la difere'ncia dé la variable x; pe[(~t es indispensable tene!; presente que el valor abso'l uto de d~, dx , y, en' g ener<ü de c ual,. quiera variable precedida. de la caracte rís tica d, siem': p r:e es cerl') ; y sólo repr~senta un.a camidafl cuando ~stá señala aa la relaciol1 ¡;~tre ~0~ ¡cl.é'esras.,espresion~~? I

; en' e1 eJemp ~ 1o antece d· ente, ,ten_d.r émos ' d~ - =A; -, dx - '

aSl,

..

J

'

:-

1.

que se lee diferencial z partido dife1'encial x igua'1 A • . •~- 12 9 AUL1que ;d~ , q'x 'b:c. no S,0 n cantidades', se pueden ejecucaF e Ofl es'to,~ sírp'bojo~ !iJ,S mismas ope,.


6~

DltL CÁLCULO "DU'ERENCIAL:

. . (' ra'ClOnes que con 1as cantl°dades ij"nsmas. Para 'pr obarh, e.n' la ecuacion , ._

,-

.ó.'Z=IJ..ó.x+B.ó.x:+C.ó.x 3+D.ó.x 4+ ~c.

ballar¿mos la relacion de la diferencia de 'la variable con la de la fundon, y será '~ .ó.x ~

-

1

"

,

" dx 1 , I d'Z 1 " d" , 1 " . cuyo }HDlte es -=-; pero IJ.=...;:", uego ,- :::::-. .. ' U'Z A dx ' d'Z dz '! : dx dx , Resultado que manifiesta que :- se, puede sacar por d'Z la regla de dividir un entero por un quebrado. S'ea ahora u una funcíon cualquiera de x, yo;¡; una funcíon cualq uiera de u, con lo cual tendrémos (§ 127) ' .ó.u~A Llx+B .ó.x 2+C .ó.x 3+b'c'. Ca) { y .ó.o;¡;=AI.ó.U+B'.ó.U2+CI.ó.u3+b'co (b) .

Y sustituyendo en esta última espresion en vez de ' Au, .ó.U Z b'c. sus valo)'es sacados de' la priLnera, será. .ó.'Z"::"A' A.ó.x-+B A ' .ó.xz+ b'c. , +B'IJ. Z .ó.X2..¡.. b'c. , A'Z de donde sale--=IJ.'IJ.+IJ.'B ,ó,x+ b'c. _ . .ó.x +B' AZ ,ó,,\,+ b'c.

y pasa:ndEl á: los lfmites

,do;¡;

re~lllt.ara ¡r;=IJ.1A; "

'. . ~ dz du · .pere· de las .ecuaciClnes (a, 11) se saca A /= -'; A=-:; . . _ du dx .

I

d7. dz du luego se .tendrá-=-x-; dx du dx " ecuaoion que manifiesta que la du se puede suprimir en el numerador y en el denominador, como si fuesen


·nt't~:c:=1iCUL'O 'DI'F:E1tDNCHt. 1 ,~'. I •

69

"'C§nfidades. .

,De donde-se deduce que si -se quíta el deno~ '.' t· . .dz . ~ -. nominador dx':~,:~a,. ~~p~esl~~-,d~~~ " .;-:;

(", '130

'"

',..

'.

.

.¡$".@ tef1<:ii'á,-:, a:Z=Ad~.

v"

¡.J";~

,!)

, ~\,,\~ -~brÍlo 'cref'efl\t ·depen'de ' er:.vá~r d,f:' la relackin ;:eilt-l"'e" d:i~hos límites} se 'a:ieé\lue A'dx es la'diferen,ciat de la funcien ; y da , á e0floce·~ q-ue es el primer 1:érmiub ~e ~rardifere.ñda, 5&10 con poner ,en vez de Ax e-.. .:.;-~.:'! t:~ ~.:;, '. t d~ ", "": t".(· ~u límite· d·~ ;:,·y.eo.IDo la es-pl'esiol'l': 2-~ es lo qúe l'

.

\

,q~

;.,

<~.,

. ~ .. ~

multiplica á la diférencial de l!i va~,iable en la , ~e la

.

- - .. d....... ~ e_._.!.:

.e:-' .::..-: .

~

... !~

fundon, se .ha, daao 4 .!., ó á lo que 'representa, el 11:: .~~--!-~ ".Lf '.! -!'i' d~ lu~~,,! :;f f' ... 4~ _~: !' ,:,",,,,,~ nombre de coeficient! diferencial., De donde se dedu. " .re'iaetou\1· ~ ', \!le'! JI .~ 1 • ", " . s'", -' "-d':' ce que e1'1 . imIte ' «': 'la 0S -lIlCi'ernrenl'e' .(J el. coeficien!e diferencial, se obtend~á dividiendo.

1

r.

. ..

l:a 'lfifére'nc.iapllR:1:t& f lmc'ionl pór qa "id P lct r;Y-aiiaffte; y redpro.~amente, se obtendrá lal.d ifereacia.l de la funciol'l multiplicaiirlrreÜÍ'miite:- )d'e~-a' rel:ae'i01l' ele tos increm.entos,~ . ó d, coeficiente-.diferenéiat., por la dife~, rencial de t'a v'ariable. _ Luego seguq todo lo e's~'ulSf~; ; 'el bHe'tJ¡l\:tcl.'ifefen~ cial es aCJuel ramo de ta análisis ind-eter.min~da, qtle eñieoo ·/í.' &terinina~~ e'/I i~Mi'(~ i'l1/' H~':.t};ta.Cioh -tl~ ~ ¡,os incrementos sil~uttáneos ,de una iumbo1'f. y de la. V.lriabte ó vari~btes de que depeñ¡je~ '.. ' . .. 131

Aunque se puede tomar por evid~nte que

dos fU1.lpiorfes igt!Eles. tiemn difFencial,es .igLfales , 'n o

obsta'nl:é, como 'es ÚU'a. ae''1a's·tproposici'elrfes flir¡laa~ mentales ~ narémos paleable su vendad. . - En"e'f:eéFó', gi~¡;roSfu'i{91ofre~;~oh ilgual€S! (éL;alquie- ' ra que sea el valor de su vanable) sus· des'a'I'J.'0Hos ~J'de9ad.o~ por las pote.nci~s ,d~ esta '{,a riable ó c!.e su Hlcremen.tó·J, "deoem. 'Ser~:j'0:emie0s'" pues' de é11:O modó podria resultar alguna eéuadon que determinase

-

.

,


,DE1rn·eÁLC,,!-~ D'l1f'RENC:~AJ5¡

(lO

cualquiera de dichas cantidades; por consiguiel't~ \ ..si :r,~, [i~n.f,! u:-oz,::::f.-"", esª~.cesa.r,;io que sl!l~tituy~ndo . ~-i-Ll-", en vez de ~, y desenvolviendo, se tenga u-+-A Llxf~' Ax:2-.t-C: .4.x¡S,,-f-:~e,'!,,;= ; ..j . ,,!!~--; ..;_! z -t-A I Llx+.B' A~z+C/ Ll x 3+b'c. cualq uiera que sea el valor de 4.lC ,;' -luegp,.se ~~114.~ rAñ:r;=A' Llx ; ., ~' paspl-flae, á , 10,5 Hl!lÍt~s L49X,=fi'dx; , ,Jj como Adx es la ,diferencial du A.~! .u.., M;d:cl.x la, A~ ,de :z. "sS<.. lf,!pdr.á du=dz!, ' ·'f.' 'L '1' 'o.... . .;, ~,. ~sc. .La) .ny.eJ&a,d-e esta prqp"q~i,-€io!'l. ~g' gen~r~l no es verdaqera; y se caeria en error si siem pre se ~s~uJ;«se 'Lu~ d'o~~cdY;e.1!ep.;i{l-te.s jg,/!¡aJes; p'e.rte.n.~c.e.n..; fi·

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, l- . ~. Doilde se ve que al diferenciar una funcÍon cualq,uiera, t,o das las constal,l!.es combinildas solo por vía de adício~ Ó ,de s.y.stFac~iPfl cles~pa'rccen~; y. )!is 'qu,e están por ,vía de multip.Ikacion ó division ,quedan afectando á las difeF~fif;~aJ~IL, . d,e l rpis[Í]o . modpr.; ijue afectaban á las variables. • ~. ..::.~ .~ .. , -. '13~~:~ Cu~p4p' dos ca~tidade~ ~ y '5, ~stál}_~,l,ll¡i~tas P9~ _u{la ~~PWlqe~ci~ [lll¡tl:la' ., ~e p\1ed~ d~c!:r.i ,i,gllal~ mente , que z es funclOfl q,~ ~'.,1l "JUI1clóP.de>'i , ..§e.:;o guo se q uier:~BJira,,,. ~ ~L~m.Q determi,llada ~P9r medil3.~~ t¡(., ó ,~~ 1lC .~omo .detel'miila4a por· !negiq:Act ~i e·l..c0~fi¡;;t~qt~:.d;it~n!!lciaJ'1;t~wlli:eQ,,~!! pl-led~ .nU'L:a:r ,baje ~a~a ,).l.1~0 ~d,e es~~ dos a.spectos. I ,') , . . ) .. , . . .• ' ' .. dl2l l1 ' J e:' C-ua.rt.d.e~\'l1i~.c;: ~~d,.lIb). z~ (. d ~d,uc~'a ·" =4; si J. ... .. • ("., ,'"

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t 33 Ap'Hque'tp~s lo ,qu.e, pr~c~de á la diferenciadon de la li, ;fg'qdotre~ . .alge brá-icas, y , consideremos primeramente el caso ,ell,~q.u~ "se .ti.€nen mucf.Jps can ti; , dades dependientes de " reul1id~s por via de suma ó resta, ,como la .IHi.pre~¡on , z.=u:+v,-,w, donde u, 7J Y se"n funcíones d~ ~~ ~egt!l.1l lo es puesto ([ T7) se tendrá Az=~u+~7J-::-4w.;j , .pero como u) 7J Y w,

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72

DEl'. . CÁlLCÚ¡¡l,c). j)'[rE1(iEÑ-G rA:11.

-son funciones de x, sus di [e ren<:~as estar~L!: espr~sa. das .( 127) por A.ó.x+B.ó.~ :¡+b'D., :~, ': " +':''' ! A'A lC -t- J:h1xz+"4?'~., A.".ó.x+-B~'.ó.X2+b'C.? por lo 'Cual ·se' ,t~ lId,rá á~= A ~bCi+B~x~+~G.;¡¡...en:., : n,:-; ;j .,' A' .ó.x+B' .ó.x 2+b'c, -Al!4 ",:-B"A x z-b'c. y halIan~ -dd la ,;.,r f!la:ehm resuhafá ' , -1 " . ' !lit• .fl ).r.!' < ·'~."

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perb':Ad;f; A''dx. ,fA"dlx, ¡ ,són las'JdiferenGiales~ que (!0ffeSp'~fldén á ·cad~ l<InáH:l.e: 'la§- fún'c~;Qríe!s Il-V Iv t w; o ' du ; ·d.J',rdw; luegb tSe tenl!lr'Í-.J, ~I ,'} ~ :lUP : ¡ lI')i·, 1 : "1di=d : (u+'V2.-W7~d~,':¡:'dt.v-4Ur) I~i'rp 58 Ull~ es d>etir''' que-ta 'dí}érénciláotq k ima ':ftkil~ofl.. d:6 x;é6m:l pue:hEú' (Ú--muehos ·té1'miMS ~ Js~-"tendral~o,hand9í1¿'{j Jd~J fere ~cj a¿ de cada tél'íninO'f'can ,el, sig-n'o "dep~úe :J¡.ti afecto d~aJ o t érmino. la 13~'''''' 'E-nt€ndlido es~o 't' l,ka-s&¡:érn:¡]¡' dé "1" __ "'_ 2.gr-á .mtmi.u:c.t:Ol' dos fl!lnclones de una 'misma ya-ríable. Sea ~=t~t, donde u y :':t S0 !} fl!ióéitfri'€-'§J ale/~ -'& R>~ .lfeI:i~J:t>c.rni'S~ !TI u= f.,x , ,t =f. x , lo (flí'é dará (§ 12 7) ( ;.o',t, _ ~'=ih.í-.:.ru+AA~v.:zr~'~W.~1 )~~:lV~~\1e....) .'C

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=ut~rfl lC-:I- .B! L1 _~2+b'C. . .. .r_.. r ;. +A'u·á x+#·Xa .lx;.z+1:t-ern: JiJ oas::; le:;>'n +B'~ L1 x 2 -Hb'c. , y restando de esto z= ut, s~i -=:é"':'" =~ b Az = z'-?;;= A t.ó. x+Bt' 'il x2+-eC.' .. '

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(13~) ~l~· .id.iferhi~ia·t du .fie, !.u ., lY-'.r.l!ti!IG-\j:s",iahdife'f'~n4 dal dt .de t,; luega t(!ntitémt>& ,;+.L, "(:"' ! , •

C' ~r:.d,it::iQ . utft:!tl)(:!iu.lflúX~t ! ;·Jj.! ~L'F 5;"(:; :;(.''1 ::.:.;~ ~'0;rq u<e~ ~.~ :es'p'uesa;, que l ~a.( ~fift21:t(!i.akd'ebpr()dul::fO' :de -dos f'Uhcio1t'i~+ .~;r : ~~~ :á, la. IS:ufna,;ck t:O.Jll!yiF.duepeirJlck

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y como siendo u, t funciones de x ,. las p6demoslx:'oa:.·5i'4.ei!li~€f.l~;gtTh~ilal~¡i¡y0i rv,ar-ia bI:éSJ~lJieSllhádj ue' ~uan­

do se tiene una funciPn que es el prHduc'to ,de" dos v~riables. par~ b~-~U'tMifetelIciaJ tJ ~~e. (XJ};ul'ttipf¡ieat fJ

cada una por j a diferlncial de la otra ~ y :w1:eul~irán estos productot. t ;: ~¡;+!f:: ~=,)tb. ~ ,~ ~=ll 5hn"b 3b ~tJ.3 S ,J?j quisiéramos cornpa-rar la o.iferencial .de ¡}I'fl:3!-ft:ffiei-e"r::cba:;(l~m.~Lmt €llllf.c1(l¡lar¡B ~irydl:lkíaímo'~ ms dos mierdbros de la ecúaciGfi d.ut~ud,t+tdu_ por la. , . " :.... - - d~ If't -du dt .fu.\.l'di<:i'W"f!¡¡itpiEiw~-ift'jG,~teód:cii!tnbS1~m~ 'r ut u t -,

lo <¡¡ue,~ nps sUl'fli' liIiÚr.~ "o,~ra nLreva é iJnr>ortante vei 4 ~ag. . ,~!J_~r, qB \f ~Q f,1t~PQioll,,?e llJf!fifeIJ1ic,ial de -Ülna. t.<U1tCio~e:'¿trpz,r:.rit:lzk~t(J,p~ m~m!''.ftumfiek;Eeili.guaZ. á. (a ,sUlh.a de las fet,acio1J?s:;.qu~ tie.n~ la iJ.¡Jerencial de

ir'a¡JJt:.~;!!tiabtd()rk4p;;Pi~l!)j); Vll r'tá'tp~;;j~ ¡€u:a>l !rl1D&:éd~ d~~G~itát:á4.a éSRrasi~n ~~ llaJ :cl'ife.r~tldall ,üe\1illhpRod~'c~

~~püest@ Fe ctal~t@5¡fa'c~~te'S :~Gl~O~61 ..qiUi'Bra' ,:~pb'li,'! 'C:l.u~~~j) kQv-ittr~\nngl\~;';'Ur~b, <d~~i!dt ; flQ¡rtl-¡ h ... ·~r; :¡·r hE!.clendo t·s ._ t, seria z=ut-y - ',~~ ~.a ~~ \) o ~-''::, ~~ :lú..:;m /L:,( '{ 51rJ¡;:jUio~ a:;; :fu J¡;:l;}J.!Jjfi b i2 ...

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!Y.aríabfes-

"lúeto serÁ '¡g-u.a~ á:ha,¡swn.la.Id? :kO§1!roaua,t-Q;i,, :¡1,c,¡I'(J ..dfr

fer.euc.iaLíle ·-cad.a"'una,,át:' eU.fJ,5 ;PaT',el. p,r.o"'~c{º 1dé.,La.$ J

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constante' , 'él térlbino' tdu=t'aa=t3eb=o liesa parecerá • '¡ h p' ¡, " " ~, adt de la espresian' anter~or ,.y_sel1á 'dz"."..d.-= ""T~, ~~ , "t .1 • "J t


.»J!:lt-(lok~QiU.L0 ~~F_E-~~~·C ~Y. . 'fl-? que nos dice que la dif,erenciat de un quebrado cuyo flU'!1e~.a4.or e,U;g~Ftant~ 't e;s.:.igJ!a! ;~t- rt-Ifm~rqdpr ~~mfid8 con un signo contrario, muttipticado por la diferen'~iQJ 4.et JJ,e~rH)~7!iJ)lifd9r:, ,~~ivÜ~~dq P9~ Ft qf'tdradiJ¡ det . denominador. / . / 3Q,:. '-:P ¡'U'é!: h~~?:'!'!~~Aiger~.nd~L4,e !~ .~J:!s.Í<?P -~::;:"~~,

pri~ero que ' n sea .uó número enterb y posif.~I!.~ f. ' Y ;P-Q-l'J jo,:,'t!~slfo0 ~ lserá (l1~PJ~9..duSH~¡;:..~_e ~\;l

s)lpandrémos

número .n de Jact'or~~ iguales ¿. x ; por lo .q ue (13 S) será . . ' _·.z ,, -. ~~ ,.:.. b - " - ¡;: e- " . .:... ':. ~ .., ,. ... . _. '" ..... n ~'Z_ d.x ~~· ,XMxx7 .. ~.::';dx ax . dx d,le .. ...!' ~

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y reuniendo los reswltados ,par.ciale~.J, si tendrá - ,. ...~ : ; .' ' '3' " :,-. . 2cdx 3 '1- " d2;==adx-f'-bV.xxd~+~3 = a+-:-¡¡Vx' +~3' dx; . x X ' #,"

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4.°, Si fuese z' V'ax....;.bx~+cx3, se mi'rar·á ~ste trinomio coin'o una fundon' particular· u'; y tóino;'! a _:t

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2Vax-bx z+cx'3 . . . • - • • .14 1 ' El resultado (A) dé la dife ~e~~i;cion del ra. dlcal Vu, manifiesta .'1ueja,difel':;ncial .ele -u~ radical de segundo grado se obti~lle di·viaien.do la de la cantidad c¡u.e se encu~tt:a d~bajo, del .ignp ra4ir;at ~~p.r . el ' duplo del t'adical. .,'.t . . ~. _.(-1 r;"J . «- .. l r


7f

rii ~CALC'ULO

'DtFER.EN€tÁ~;!

14Z -Cuando se ti~ne I!na ecuacie~ entre tres va~ riil5l~s' , es' nécesario'tijados"vidores dé'¡ QÍlls.. cúaies q ¡;¡ier~ de estas para determinar la tercera, que por consig'üiente 'es u'na fu'nciQ'Fl de, fas 0i..r.as ; dos: . ' . , Si s,e lieL1e por ejecl1j!>lª la ecua~ion. .le z-¡"u z+2'::a', ño se podrá obtener 2 síñ haj.Jer. seiíalado de ant€L11ano' valores á .le Y á ti; per'o'conviene observar.que no es'ta1iluo ta,s cantidades' .le y u enlazadas por ninguna r~­ ladon, la segunda p1,lede , permanecer la misma aún~ qué la primera naya 'mudado, y recíprocamente. De donde resulta que el valor de 2 puedé variar: l. o ,en, cónsecuencia de- una mmdanza que llaya sobreveliid~ ~ llC ó á u ?ólamen~~: ' Y 2. 0 por el concurso de estas dos circunstancias. Como en' el primer caso la cantidad u ó la .le se considera como constante, la ecuacion propuesta viene' á ser en realidad, una ecuacion ile dos variables; así, cuamto x sola varía, se tiene di. férellda~do y di ~idiefldo por ' 2 ) ~1:le ' _ ,. . ' dz ",d~+z.~z=o) Ó "'+2 el.le=0 ; , .3 J. , '. d d - " , dz' u vana , sera u U+'2 20=0, o "+2Y cuanuo , \ du.,

=0.

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se tIene sl:lceslVam'entC IlCdllC \ udu dz=----, dz=- - --,

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donde se debe advertir que la prime~a de 'estas diferenciales es relativa á la variabiliaad' panicular dé '" " y la segunda á la de u; 10 que se espresa diciendo que la una es ta diferencíatipaf'ciat relativa á ¡(/ Y la otra ta diferencía'¡ parci aL relativa á u: Los coeticiemés diferenciales análogos §on: ' d2 "dz u ' r~.) - ~=--- ,

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d", ~ du z I ' 143 Eh general cuando se trata de una funéÍon de muchas variables, se debe tener presente 'que. en


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Siendo ' eLcoefi<!Íent~liif!e~fmeial~ul'la1 , nuev:a. fundan de x, se, ppede sOlI}eter á la ~d~ferenciacion) y dar para,é1límite d,e la:::rdadon -.de -su incremento con- el de la vadable x, un -nuevo c6eficiente dife~ ren¡:ial q ue51s~r·a taml5ien una func'ion:'de.:'X.i:Haciefu. do;sueedeJ:. .ásí.r- U!nas ~difereflaiales á otr¡ts; se- dedue~ .' de ¡la tuncion propuesta una ' serie ~de:.límites ó':.a'e coeficientes,! difé'r.enciales y <iJ.ue se -distinguen ,en\ órden~§ , segun el número de diferenciaciones que se han hecho paFá obtenerlos. ' ¡ .. , ,; - Así es, q ué s~endo z= f. X' , si al primer coeficiente ~ dz ~fe~enci~lle llamamos.IJ., tendrémes d~-/.l, l' Cl!)144

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. I;l!o A es fllndende x que se lieriva de' f.x, la HaI;uarémo.s f.' Y_siendo A=f.'x, será ,sús.ceptiole de -

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' " dA diferenciaeion, y el coeficiente-diferencial será ; ;:.. '. • :;,~ ~-l ~¡j ; d" que si 'J~ llamamos B, co~o ha d~ espresar ~tFa funcíon d~ x, que se -deri va áe l. 'x "cid mismo npodo que f.'I.x1de f.i; se tendr,á~B"":::-f.l/x, , , y -su coefiCiente . . --. dB -; " - " ' ; : - ,. .dUereI;lci,al será '_=C f.'''~ 1 &e. ; \'i:~

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.' Asi, A ó f.'x representará el coeficiente ¿iferen.., ci'aL..d:e'l¡IDiitlwq8rden ct¿Hra ,fundan proJ5 lil ~s ta ,.. ó la. f t/lncio1t primera como la: llama Lagrange; B el de la' fulClcion. A !, .'0"éh:Qeficibine: ,difeJlienciai :d~ <seg undo: órden d€ la.f:l¡lncion propuesta f.x, &c.; y se debe observar q.u:e -los cqeficremég. ,B,,: (i; &c .. sé.sa.c¡l11 dI! !·as· diferencialE!s»sucesivas de dz, tomadas'en el supuesto de ser dx constante. Esta~ ,p.ifereJilciales se señalan de este modo: d(dz) :d:;.a;=az~ ,.·, d~clZz)_i:l;3z., &C{ El es ponente que af€cta: 'á la característica d , indica una operacion repetida, y no u'na potencia de la letra d-; qu'e .jamas.se boa~fde~a~ ~q uí c'0mo~ oant'idad, sino como un signo. , • ~ EstQ supuésto, las· €cu-áci011eS '!Jll'j¡3 ' r,! , ',,"I 'O?",· , e • ) - ·C) r 1 --&i . ~' '. ·d~· ~ .,,,:,}, d!lB~ ,;¡ ".4' .... , , ;:;"', .: ,,,-,- =.A , ...::-!--;;= 'íB,' - -,::::C, &c. ; ') ; , :' <!f: ' .d~. ::.: d~ ; -: ~! ~b . ',; L,) darán .dz-:-Ad,,~; dA=Bdx, dE=Cd,x, :&C. , Dif(}renoiamlo d€ hueve la' prirne'r a: sin:: ha.e.er .v·a.. riar á dx!)- se c0nvertirá en d,zz--:-d.Adx=dAdx ; .y. " poniendo en ~ez de dA, su valor, sacado .de la segun" ." . :. ~ 'd2 z . 'da, se tendrá dz.z=Bdxdx=Bdxlt, de dende B='. ; . .'" d"z . diferenciando de nuevo la ecuacion d~z=Bdxz, en e! .mismo supuesto de ser ~~ constante , _ se _haIolAln;i d3~=d.Bdxz~dBdx2; y cmuo por la terc~ra ecuae

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cíon dB=Cdx, será d3z=Cd~dx~=Cdx3, Ó

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&c• ..... dx?'..... . ::. 'I45 ~ 'Sea la funciolil propuesta z=az n , y se ten~ .' drá dz:r::d.a,?qn-:-na~tl;= ldx. ; y supo~eñd0 , CÓllstan~ tes á n y dx en esta ecuacion dife,r encial, si volvemos á diferenciar será 'ti; z d~.axn ü:d;ax'!:::; d.naxl'l-ldx=n"dxxd.xn....... l= . . .

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DEi. C-ÁI;CU'LC/ nÜI'BJlERCJAX.

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..:;.::.- %"ad.;é(1j"':-I~x(!0"7~<ix~~¡f¡-1 )xax!I';"-~d~~

y de! misL?o modo se

enco~tra:á

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f.g~:Sd ti .J~IÍ~(n~'f)(n:":2 )a,i:'¡-'3d!~9~

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.l'ir,~'á,(~r,:fÍ;J ~t¡ 1]-:':1 )(n-2j~n-? {;x''¡-4d~4, . J 1' ~ } w>iJ, ~' , J'

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dS1.=d~~~D;~:;:;;:!J .11=-:-1 )(n>:-2~(n.L.3¡)(n-4)ax-f!-;:;-5dx5; i llálV'G0itficient:e's dife.renciálesJ tendrm los ¡valor~ siguientes ¡ .,.. ... '.'" ,,"'" d ~J._ 1 ,.

~=naxn-a, dx

d3z

.' ,.:!:::.,..... '-':--

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~=n(n-I)(n-l)aXn-3,_ dz 3 , •

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&:c, '

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• ~-: Donde sé-lI.'d~ierfe que -eh el 'ca:so' da ser'n.. un.nú,,· fltero (¡mem' positivo, la f.uncion z-'-..ax f1 rencdrá un número limúauo de' diferenciales , . y la mas elevada será .d,"1.=dn./~",,, r 1l(n-I.)~f¡-2)(n+-3)(n""'4) .... 1 ad:x~; éSp'r~siohJ q lile' por' ser constañt~ 110 es susceptibk d~ mas difel'enda'éj'bn, luego 'sa tenata 'paFa el ultimo :

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es d~cir. un~ c~t~y!a~ P j)pstanle,)

ilP¡iC{lcio~'~el' ca~¡ot Ji~~en~i,iF~l dÚa:¡;ollo de lQ$

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.~ 146 . I;.a- '~e0Ha..q ue ¡¡'€at;iarnGS '"h:'\e~po!1et' '{ nos va á . ~a~i1itar un medio' mu'y pimple ~ar~ desenvolver

e?'-Serie ~egu,Q , la-s i'OJ\!-Il.ei~ eafe.J!"S::de x";-"tO'da fUll'" ~Oll suy¡hlñé sea suscepnble de esta fo'rma, y cuyos ,Q 1l; 11.


.. DEL CkLCtTT.,O· l!UFB<JJ,Bl'JCJ,A~

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coefici:éntesen., , dife.t:enciales sucesivos (se_pue~n . contrar. . : - : " , . ' . 1,;, • " Sea z=f.""~ esta.funcÍ0l!.;; y c;~q poi" el su puejtó se quier~ tran...§forqlar e~ una serie ordenad~ poi.lu p~ten~i~~ énteraf ~e'-x ~~ se teild'rá! ' , . ~- . z-2A+Bx-+CX2+Dx3+Ex4+&c. (ID~, -~ '1 hallando' los valores ,de los' coeficieme's diferencia. /

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&c.

e,

Como las cantidades A" B, D, 'a1c. son ing~.;. pendientes de 'x') res u·! ta"'<];1:l e el valor. .q tle tengan pa1"a uno panicula-r de ~, ese tendtá.n .PfIa t~4.os; luega sus ' \'aloresd.os po~re¡'J¡¡é~' determl..naI' bapgndo x=ct, il' como badend~-:JC-:-o ,. e~ :ct:esar.roU() de la funcio~ primidva se convierte, eO'\4, tene1I!OS que el primer coeficiente A ~5 iguat á. 'aquello ~n :.que· s~_ ~on vierte .la fundon primitiva ,'. haciendo en ella la variable igtlal o.;' ;' ~i H¿{wawos·r'llf,"-:I.ll.'~ A';' ':;y A/~",~C ••.it aqu~:, 110 en que s~ c'o nvíerten los' coeficientes diferenciales

dz. d!l~ '~' d'3z· L lJ4zF ' r ' ~ - , - - , ~t - - , &c•

: . __

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.dx. · .dx2.. . d~;~ dx4 , 1 ~n este mismo' su pu~st-()', ;$e, ten~.:a:!ilj~jlªcj~~~ ~~o ,.4.. . . . . .....

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en los valores' que: acaballlos de sacar, será A':;:;B; .I.i"-·1~2e 7' (,d(.h= ~xa:<áD; Afr.~~~~:3),f4E, ~c. -

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(m) resultara¡ z.=f.·~A"f-; ·'"-'-.iJ!X+_-A'IX:4_~ 1

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IX2X3

A x 3+&c.(n) (;*): . ,. , Luego para desenvolver en serie una fqncion c\;!a<lqui~ra :e:e ·una ,valriahlle .poliemos cl.~r '!!s.ta re., gla: supóngase x=o en ta funcíon .primitiva ,y se ten.. I drá el primer ..tér.mino de ,.ta.serie;;. h4H:ese. et,primer coeficiente diferencial, supóngase en ét la variCfple igtwL cerp, párt·ase por. uno y '-se ten4t á-el coefiqie1'}te de X; , en general para hallar el coeficiente del térinlno donde la ,vari'able Est'.é ,afecta del esponente n, hálbese,el coeficiente diferenciat del órden-n , supóngase en ét fa, val'ia-, ble x=o, pártase esto por el producto IX2X3X4xS .•. n, , 'se tendrá el coefrciente de. xn -en et de'sarro.llo de la funciono ', .' lll

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Esta fórmula se' .ha dado á ,conocer en ·las obras de casi t.,odos los Matemát,icos del co'ntin~nte, bajo e{ 'IIombre de Teorema de Maclaurin, supon#ncto ~, {jl.l.~ este sabio la encontró. Yo jamas la he ca·rar..teri:¡,ado en 'IIinguna de mis obr.as ;-com9 i;nve.1Jtada por Ma~laurin, por ha,berla visto en obras inglesas anteriot·.e¡.;' pero no tenie¡¡i/¡o.• suficietltJls datosupara .contradecir (a ,aser.qion de unos -.sabios tan respetables y dignos de aprecio _com.o MM~ LagrafJge, Lacroix, ~c. Q.:1c. ;i pasé en ~ilell\ cio su autor en esta, para evitar el dar alguna idea equivocada. Ahora tengo la satísfaccion de indicar que .e..nJq.leccion qu["M"r. 'La,c'foix espticó en: e~ Colegio de Francia el día 1.0' de· éliciembre ·de 1 ~2 5 , tuve la c011'lplt!:cet¡cia ! ~e pide :....q\l~, aunque ,en §,us ,o bras l y .~n otr~~ se ,daba á conocen. ,clid}a, :fómnula ' bajo eJ Jlomb¡;e de, 'Feorerp:a" de. Maclaurfa, 'sin .em.ba·~go, ..d,ebia . advát-r~ que estoJ ~~ ~rla·e)\:acto; .pu,e§: qq~JJh: • .:,Peacoq~ . ,1~ habia, ;-h.eQ~o L;O.otar., q ¡,¡e dieh¡;) ;~eor$!mjl . s~ ,de~i~Já Stirli9g., q4ien ~o ha.bíá~ .Elubllcad~ desde ,el , año ,de '1717 ,en SLtS Linca:· 'teNii , o·rUin; • . Neuto,~!lj~n~:4, ."\te. .,',~ . . . t.:'; ~ ~ c~ l oc.:. jo

. ; . ; ..

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84" DE~ CÁLCULO DIFElt'ENCIAL; . 147 Sitomamos po,," ejemplela funcion 'zz::(a+.lC)", tendrémos que hacer x=o ,para encontrár A, Y resultará /.l::::.¡¡'u; hallande. el primer, coefieiente difeten~ " .. dz ; cía! será -d =n(a+x)n~l; , ; . ,x y como para sacar·el valor de A' es preciso hace;¡' '5=0,' ~erá A'r=.nan- 1 ; , " ' el' segundo .ceeficiente diferencial será "

.

d 2i . . '~ .¡ - '-z~n(n,""""l)(a+",)~--:-z, que paoiendQ ~=ci dx ' . se ·convertirá e'n AI/=n(n-IJall- z ; el tercer, coefi';" ciente diferencial será ,. ' , daz . • ... ! __ _ =n(n-IXn.--2)(a+x)I!-S; " .. . dx 3 que haciendo x:=o' se 'conve!t:irá -en - .t1"'::=:n(n-l)(n~2 )an-;¡¡ ;_ hallando del ,mismo modo los demas coeficientes diferenciales, y haciendo en ellos x~o , resultará '- ~. ,.Alf==n(n-l)(n-2)(n-3)an-~, . , "A v=n(n~1)(n-2)(n"'-3~(n-4)an¡-$7 ·j ·'2 .

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Luego~ sustituyendo estos varlores en "l'a! e¿U'aCio~ , o- í..

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. Esta fór-mula q üe- S~ conoce' con el ' nombre de bi.uh modo general las re&'la-s' dediúbidas- por analogía (l. I.66~ ~'-6 olo pa ~a cuandO' el és'p.ónente era. entero;' pero ¡¡:bm6les 'pril!,cipios de l~, diférenCÍaciem l?s l:lem0~ '~puesfo para te'dos 109' '~alores' del eSf'onente, sin su pot'ier 'el des;.. 'arrol'lo ¡del ;,binomió:( a"+x~rz, p6d~~Íló:s lprra:rle· aho'lÍa cO'mO', delllostrado para. lOd'O'S lO'S casos ,ea ~l.l~·, el ~mio -dé N'éuton) manif1esta::(J:e

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!p~::.clf;(!,y,)'r.0. !)t1'z:ft!!weut..

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tsponent7es· ~nte~o Ó fracciOI~ario, . positivo.¡.ó negad \/0 :f*)"' l:"::: .•--,-- ~ . .. , . ' ,I ~ ;t.'

148

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~.yo,.")

Sea en seg!l~do lugar Z~c--.

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i~ -coefic~e;t~s, ;~difet::ci~~s, te~iendo

y hallando ' presente lo espuesto (136) resultará

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Luego z=a2'.;;. - - - + - - - \tc. ;: ~; ' H . , 2aí, i'~a~ ; ::'16aIL-.: "<11 obns: Tri ";' . ; .. ..;.~.'.- , , - ~ . ..t. .... ~ t ' ~ J C ... .,~1~ :;"jo.o i;,.~ ... ji,¡-~ ..,

Aplicacion. del ,cálculo difer.~;ncial á

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Hemos visto (12.6 la forma que tiene el desarrollo ,ae"una- '(¡mcion ~cua.ndo en v'~z de la varia-' ble x;deqtieJ:te-p'en~_-,- s~~Jlstituye-x;~~~inc~; y. c.qmo ~a}~í ~17>: he~?.? ~a€i<?, _~~ ~qn~~er~~~ ~t\~to~ogeóe: ra-liJa<ra -1terermlh¡w~, 'B,.!(J {' 'Ib'c,.olDmeaiatám~nte, dada la- funcion, ~'Vam¿s '7ah~~á:' * manite'Starle;h,ero antes observaréruos que áJ d~senvólver l~ fundon z/=f.( x+k) la' hemos -coosVfera'do: cóniéni-:fuese una funcion de k, Y con-re1acion á eUa la h~mos ordenado ; l~~~?" z' tendr~J§ 11~}..esta ~orma_ ~ ~ ' -H ... . -><.1' 11 " • - ' . .p.. ¿.¡.'->"'1.- - .1.:l" - , -- ,¡jlll_ - ' . Al - ....... -- '- , ~':::"21+~k~-_'_kz,+ "- ~ .. ;'k ,3:¡': ',- ,- -k4_,+\tc~' 1 SO

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't .t........ .':~. 1- ' .;r: 1!.(: ":7 OJ ... l:5'}::Jl.l;,l!!'? "';: donde las inde-terl~in'aaas A, t;¡A', ~c' representan -+,...,-'.,.. , <"\. "'--0 --!::'--' ;r - '-d~;;" ~d- 3¡ /: ~ ,lJb!1-; ... .... MoZo N . valor qüe toman z'-f. (x+k) " -~; -2; - - , \tc. ._

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cuando en~ éstas esp~~íones se hace k _'0;1pérodh3._' ciendo k~9 ,..l<i, func;iQh..z!~f:~~+.'k) -¡¡e _convíet:t!! len fx, esto ,es, en z. Por otra parte, IOS;;C9Idij:!ientes' diferenciales mirando á k como variable y á,x como <;ons ~ante Cs.Q~-l~s_ lnfSJ!19L :9E..e ~ - ~l'ílt: ~.~_Jiall.~riªn' con5id.ef.ªlldg,¡~ x ' -Gomo- ~!ll'i¡¡~~ y á k.cQ~Q,~o~tan~ te; porque SI suponemos 1)( ;x+~, 1~~f.u9G~9J1- ~: ,se. compondrá de x' del mismo lÍloa6 queJa l'únéioÍl' Secom,poñ}atle-k; de -aon(1esecoriéluirá dZ":'' '::'' ~lendo "/51r-¿na funcioir (le-~~'; l-rj d",'=d~.tx+k, i) s~ sólo se hace variar á k ~ se tendrá. --, ",.;'

z.

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no 'haciendo variar sino .le ,: ~e tendrá \ '. ' . • /. • • < ;. ' . dz'-- " - ' ' tIz" -d7o' ~'=d"" dz'='Adx y -' ~'A') luego -=-'- '.

dx dh Como la. funcion"'-A es· ~~a: fund.oJl de d' A d'A ' ~ ~r~z' d 2 z' drá au~ dk' =d~ 3:de,.dond~ d'k 2 ' : a.ic~'

". :ciñ:,

dn7o' ,-::- ~

y en general __ =_. dh n dxn

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".. Este su.p ·liestó.~' <:~anao ~~o~~'"se' éonviepte en ·z,· . dz " ' d 2 . -"v" d3 . A"= Z Al" Z .. .. y rcsu1tara. ..41 "A. =-, c. r' 7;: .'~,: :.~ ~"l= d\x~;' d,,2 .~. dx 3 Z1 ,

,

l., ,." ai ." k-" - d~7o rt

- ,.a

=--, . . .

-,

,h 2 .a3z ·~ k 3 Yz'=:¡+-x-+-"x..:.....,.:+--x---+b'c.(p). " dx 1 d",2. IX2 , .d".3 "n X2X3 ; t; i Ési::fr6rmula, que 'se 'conoce con el nombré de teOrema·d.e TaiJo'r ~ se debe'·mirar .como la base. del

. cálcul¿ difeien~iál. -~ ) - _. , ~. • ," ) ~ •~ Si ' sl,l~tiruimo!i ~~ ;~Il4 4,,-.e n· V!!Z <le k , -y ·haIlaIpo<s la ..difgr~l}ci~..~~ ljl.lH!)~io?, tCJ?drtmlos , dz ~x (i2z Ax2 d3 7o' ~,,3 , \ 1 ~'-z=Az:::-x- + - X - - - f - -x---+b'c:

, ,"d:'x: {'J; ;" ,d,,2 't -X2 . .dx 3 lX2X3 '/. . ...¡_- _. que podrá ser:vtrl de fórmula para hallar inmediatamente las dif~-renciª~ finitas de las funciones, como vam,~s_á ,maQ.i'f~sf~r~,,@IJ1ic~fl~~Ja ~a.\.gul1os ejem·p los. 1. o Sea 'l.=a!t~+bx+c, y ·tendrémos .~ "'

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!)EJí- CÁl;t'!U~Q. D-ln:ft.ñ7~l.A¡~ (3GX~+b)41x+3ax41x~+a~x3 , lo mislI!0 .q U¡:!. ballam,Qs á'l:!.l.e'l1 ,GT,1:.8~:t:::' . Sea z,=ax4+2bx~-cx, y teodrérnos

<)

.que es 2. o

,:. .~~..

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~:J·i;.j'''~l Uf'l.~ -·""~< ():l

"7;::4ax3+4hx-c, -~;;;:¡I 2-ax~+4b, :li=~4(U:, 9!JO _ ~~ 'f\,\ __ \ 't..lC :.::'';'' :'Ú l'

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d 4z ,~dSz ' . "!. - ' =24(J, -' -=0', b'di,), j·-;·rh

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, dx 5 , .• \t .. ,.", t. J) J. _ JJ sustituyendo y ,simplificando', ITOS 'l'~su-ltart -'

.

~~=(4ax3 +4:6"x-c)Áx+( 6~X~:2~~t'¡'j líl

i;'"

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,-;::-: ' i "1:lz. :; ': L adflJ.rencia~io-n. ~! las fu~cio!les:) Pr~se.fl;!Sde~te~,

4GxAx3+aAx4. ~e

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Y de su 4ef{frroUo en s4ries. •

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1 Sz 'La fLJ¡:¡ci~ñ mas s¡~;le 'cÍe' f~~~~n~c~ñd:~tJ es z=a x. Cuando s~ 1ustituye ~H eH~ xt~x en ve~ , « ., • -;.... .,: ' d ; , í_x+Ax. -;-+-- ,-~ o:. . , '( (le .le, se t~n ra.. z, -..a .. " .') );.;;¡ y restando de ,eStfl ecuacion la p:.i~iJ~v~ ,s~á + í .l

~ ,;

.....

,

Az,=a x+AX_i.:·d!J'=(/:CXatl!;(,_QI!f.~,~ .ax ia,4. x .....; i )t:>' .1.,. ~ .,,\ :.;{r) ~ ...k. ,. i

-" Par.a desenvolver -Iá esprésiafi a4.~dé¡ 1~·lOdoJq ~e no se halle ~..lI! -p'Ó'r espeoente, há.relÍlÓS ~ a";' 1+o--;·1 (l4J.) tendr,émos ".. A, '. "1. .;¡ , ... , .. .ó.x , d~ , ' - Lrx ~ .óx(3x~i) ~, ..; - ::- ..\ I! g, :::;'(1+C). =I+~XC+' , ~c; +~.c.

.

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. ~4..e: ordenan<\O-CQp rela~ion ~ :t~r<se 'i~~vierte_~~ ~x ( e 'c ~ e S - ) t • ~ •b -I=~X

á ,

---+,-Q?'c. +b'c., 1

2'

3

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:6EL~ CALcULO nníiútEÑcrÁt:•

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':Esta ecuación es á~propositG"jlara hacer Céno~ 'C~r á a por q:¡edio d~· 1z., sino,:G-l1a9~0 esta cantidad es peq;u.eña; podO:'inismp busca--)cmqs'.é't \r.ai:¡.,ii-..que dé. be tener a cllando k= 1 ~ llamándole .e será . .: .:~ : (,~:J __ L;3 r t -:t. \. , , { 1 1 , . :'. e=l-t--;'f-o- , ( , + 1 - ~., ' . +l7.c. , .1 ,': ; .,, __ ~ , .:n.<2: ;..lX2~-3 .J.x.n<;3X'I- " - •·'.Continuan\io esta .serie y váluá'ndo los :~rminos en decimales se ha11afá! e"'-z;7·¡.·g~8:'18'2·84 S'904S"&!C: 1,$14 , E5tO tSllpur~te .~ p.u~s q~,U.§t~. valo!, corres· Ponde a k='I '.,<,: se SlH'o ue-que_ - - ... • ¡',.)

x'l "'s . . .ex:::I+--" '· · '~~-I'''~é. 1 JX2 IX2X,3 < \ :le

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• .-:l 3 . - - - 7:¡--;¡rr- '-1ja-y que igualmente ek:.....I+~T"-.-+--·'- -+-b'c.

,...~"-, . ... ".\ r~0.~~ ~ :~~~3 :c ~ ?- ,a 'l6-égé.se téMr~Ie~""":'a;l'Alío~a, -.si .pon urra.-y. Ót.ra": parte . se toman 'loSlogaritmo-s ,,·se :obt<endrá:.klog.e=logrd, . '! ..... ;.~r~

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- , k- log.á "d- '~. dI> ~x k '~d!" .1'l b"'g.a'· ;d' : o l' C--;- y . ~ COfi&lgu,rente: r;~;~ a, ~ ~-I-f!,' x;: < 9\~e e :..: ..... )\L. J CtL"P ',~ " 1~~ ,.~ ..\ --. ¡' :-\ \J.og.. e ! . Y. si consideramos ·que estos Iog~ritFI\9's: sé' ) G1Uan 'en el si~t:m:~~~~base ,~e~ .a, ;'ille:p~ ~§, ~ará•. . ,:~ ~ .. "-~- .. ~ ....., .. , ; -;- t- ,~ !1_.. ,.¡ ~ -'''' ..h 10g.a.-:-'I , se téfia.tá k= ~'; y .d.a~ ' -' _a~d",."J e:,¡; " , ~ ...... (:" 2 '- (' ..... ~ 10O'.e -"" r:.....I.,... -lGg-.e .,.}~r¡IO:J '(. O¡ ,(,--.;,,,,v Si tOlnásemos los logalritmcis ¡en,e1i1.s1stema:.l·c-li1-i J

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base f.ue%e ~::-¡.~l0t :CU~Ies:.sefial~t"'érn'ds ~1T~s-ola la inicial J , sed¡t· 1.e=r, y",-\se ten;dria d. a.lC=a~dxxLa (m)• .:.\::i S~ .' Anora-¡pMeIÍl0s-baTla:r. tá:éi'h<fie~ll~ la. ,fi'fer.etr. cial de toda rfincion' logarítmica. En efecto, si se Ha: l-FIa a la base del ~iSlliéma, :l. -et-.máhr.erp y íx .el'~:lo(a­ l'itJ}lQ" s'e tendrá "(1: /2(7) la·'eoLlaciOfli ~=íl'~ ;' ')r) t~~ mando las diferenciales de ambos ' mié~nbtos 1!ñ:l:orltr,arémos dz..=ka~d~.,-hdx; ',:!_':;':':L':'_ _.'~


~r; CÁLCtTf."O"'~ !M"E-tu;:ÑtIA.-F ~"\:r.. :~~b,n;-,:!.

ti!

.t!.. ~¡! .. ·L &'Zl'~

de ~o~de.rs~,_~acará ~x,~kz_ '.

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_ ~t. lé. c~~e:.;~

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3e\'tendr;á, d.log.z~l'Qgl e~ .zF(ál). '!;:-~t,;'! .i1.. 'ti ~ ~.ri ~!:)

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¡: '>'f/,.:s

El número e' es .la:',base del sistema Ge. t€)ga:rittn0~ que/se'"11ami n, ne.peÍ"fano~ ; ry¡:e.omo¡ €.g:t~sJQ¿l¡llr ren"(wn lIfuclrá ::f..¡foo u€nda. ~ñ~los:. céÍlicuJ.'o s ; y ~á leUb"s ( Sé ,han. de referir los .de 10~/ 4emas sistemas, p d-r eso los he-

lIi(js~iSei'í.alár&q;~Ql0 rcOn. !:a <'clcllltáÚépístj'(fa t;Nasí:¡ •.kan:

relaciol1á este "'s'IStefu~ tendrémos Le=I . .I,r.cI:)(lO ) !!:; '. ' __ ~'ti ~ .s'_~fJ . .!-<--Ju~t~~ :~ ~~ 2c:if1~ d';a~=aXa;cl.lá "y ' d:.l¡~~~ (.h):,J1~,"' ¡! !l Ll ,.1" :'¡i:, :;';':y ,rc5:J0 ¡:. \..l~ l :.~) s:72L-'- Z~·.~ . i1';1- };.~~~ -;;,b ,=i~l ':'~ -=.!• •

'! 'I'f~l; ,S¡'qú<tremos¡~oiñpá:r'air, .los' Io'g ar-itrños lIé un niiSrnb .¡lll~Lfier.o · z 'em.' ,tl6s)? €lisl i:tft 05 si:s t effié!. S),l 'et Jtum)" QUj¡f."§a'/le i;'e a-e -y el -lllt4!o: éü~, base:';s¡::a1 1jl,; S(l:·tend-i á.:::

-J~LítiZ) 'f ,t(!

- !0g;.z'¡L T

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' • ; uonue sa e e =a ;_~" i/" , y tomando los !ogaritlllos .de ambos mielübras eñ:er..J 2~e

y'7.~a

sist:j~~~y'á: pase ~t~, ~~ :iend~á-:'~~'\~~ ~=lQ<g:~J;·~.,i....log~~og,.~,;- );

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.J.',.;:::-':"-

- 'h ,l-1-i ,

,

ó.tQ;>s.Iqg.e:::!:"¡o,g. z'~log.¿:-Jgg;~l (P)'" ¡;í@~ &.e¡-lo,g.lll~l . ; ~t ~hQ.ril(; , (l9~9 .tQ,d,~s ,los~§~~t~rna,s, dC:)¡~garJ tJnps se~

refiere~ al de Nepe.J;,.§§!}¡l<t~<l ,!~o ~ylo al, J1lJLDer.~.:,l,ogl e~ , p.or el cual se 4ebe \J'mit~plical' un logaritmo nepe-

t1a!lO par,'I.;p.ii!~~r' '!1 b.g ,!rit[ll...§l,del mis~o ' nú~ero 'en Otro ~iste'ma'. A sí, para d~terminar el módulo corres-

R?\1,.,\\e~g.~~ ;ár,~~¡§istema) ~ualq~i ~ra, ~o h~X m~~.;Jl!!e _ H,allar el i0garumo de e~1;7'í S-28182 &c. en cheho ' 3~Stem~.; y!' Qorno ' eI::IQgaritmo de este mímero ejl el Slsterña" flib~}a"f cuya pase' es( n)- , está re p reseiitatlo ~or ~,434 2 94& '& c., resulta que este es 'e! módulo ",el SlStema 'tab}llar. ¡ :"., ¡ ,'! "'.1 !, f "

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9?:

:Qm:.é.{tIi~~~( DIFE~.JiNC~~~

L\;Iego si llamamos M",'hdicho módulo, tendréll10t i.. ~_:~ =-.Í ¡,: . . ; ~ iM!cL, !)i1 (~c ..p) log.z=MxI.i/y (ec;t d.log: z=Mx-(q).

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L~ es¡r-ésign (q) quiere decir que la diferendal

iJe.I _4agantl~o_ ~

Pi;]; JlltlrW;o.r::t<1 ~Utl¿: -.ak GPr,f)du.~ti~.! ¡;f;J

~(i~tó ~po1"el cociente de la diferenciaf del número ptlt"tida por el mismo núm~r~; y (1 55 eco m) si ~s en

d. sistema de Néper .~n'q.ile'l.t~g! e_~I~ ,lªJ4jf.Ii.'(AAcig~ 4eJ logaritmo de un nÚ';/lero es igual á la diferencial ~b~Ú:.l!Jyj:[ ~ª.r~¡j.a~p9)" <~~ lIJj311lQ*úin~1'1b'~:)r!!ilfl !3: r. H>7':;-AiLse é\l ujsi~s~,~a~af ,~~~qlltL¡,d¡s:l~MJJ1211QlDp ~ ep. ~, .9 >~~ll()ga,ej.gIllQ) \~J:l p(}~eJ)J.:ias det~JÍitlepº,.,j!l1~ -_,_.0, v • ..: -,,,'1 :~r.í ;>Jic" ai¡n~a.l<:; G! ~x aoi '¡';51:)1 ~b ~Uati~~ ~~ .

lis_~~nt;iJla;Af;S ~ ,<W' , (~ P~Q· ,~~~l)~

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finitas en el supuesto dez~ax=o, y se concluiría q ue siend0 Z el númerQíi'i.~ UJ3~d ¡iA~s~d~,~)'v.~~..eA una serie de esta forma x~+Bz+Cz'"-+-Dz3+b"c.

_.:, Np éltug~e~ª~ l()ícis~ ,gb~~Sie!lr~f¿ I_r~{i!re~~!ar

~ _ QJllPs:rpí.'.~t.. ~, le.!.r_ep:r~se.n.tlir;ª,l'Il.!(ls ,:p.ºl:W ( b¡l}~r'

lJ;Uo b+-~" p.0r¡q.l!~ ~!J1Ó_f,ltS:~ &i!.r:.,i~ ,I,+tU¡;:::mJ~' Sl\~C;; ~!l( !lt

sistema,$:1i )1¡¡' ,ba~e::e~ .~ ~ ~¡t :"-r:-lO.g.('l.;t.v¡ ~ ~!~~: \ ciando' será. 1__ - - 1 • :),,, ,; ~ , '¡._- _ ~ - --. ·n.~ .ao~' ru~im a '·¡".,R :JJ) ¿o,t:l.i 'f" .. í G.o.!.. otAfi R.!i J. j " . ~~ A3 .. .' "'::-Mx_I_, ~ .J.M-'.i _l e ,!:...!'J :M ,1 %"0:", ~EJ!l& . d¡¡¡- . , I+U du Z (I+Ui)~A d;11<3- , (r,~J.$F\ ¡

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q;¡¡e':ha~btte' ü~ ;·lJl,stituy~nd0·')0'S- ~~t!s~~.r.é-' s,ultOOflérn J la.ob p resÍ<>lR ,~ñy'íl 4 6r,hy j sácando <ruera ~e w p pa¿éq;¡,1e'S:is'J.el.{a~t~l>'Mf se tfend:r-:i::..' ~ ::lb 11; fl:l'j:)íhí _ ¡t ~') ,lit" f(c~ 1. ·· ~S~~ ~0,h~rJ." .. -L,r, .é:a .I.{..1I') h ·lOq ~ .', .. ' r u,= u 3 ti. 4 _ . , "d! I

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?_qu~ per ár 1.(~-¡l-~)=u-;;S'"+;;:-:-'7.:'4<'"'h~:~S~;p¡ ... .J ::¡ f~ -l,r, ::."J 3 ,:., ';, :-~ ..... ~ '" 1 S8 Vamos á a.p licár estos princip.i~ft _á_w,gUNtS I;+U

I


Du Te~;¡¡¡ctfw. :DrF,ERE~'CIAL'.

93

~emp-I<?~'Ae" d,ifere'1ci~.c¡~p(~ ~~ el·Sl.lpU.iS,ccl.,q,e ~?-e los ff~~r~t~~w.$l p...e~. n:p~f .~n~~•.> •Lt lJÓ'

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(::L '._ ) ' . . : -cdx • ;-_ . _ _ , 'i"'"bd"T': :¡.' '. - .... _ d.{a-bx+Vc.?C), ~Vc" , d~ --a-btt:+V~x .... :a~bx:rV ci~- ..

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2V~x(a-ltx~V:Cr) ..J . _.' ~J _ •

IS9 La consideracion Ele los logaritmas facilitll mucho la diferenCiáci:orí~~e la.~ functQnes ,eSf>onencia¡les, cuando son complIcadas. '. . t ... I •.~ $e,t.p.p r ejemplo z;::::u , sien~~ t.~!f ~1do~ fun., ~i~n~}:, ~U~~;9q.).üera ~e ~; tomand<t el'J lo'g~'riun~' 4e , tada miemor? 'se .;endr,á).z;'"tl.,u? . '1 e:: e ~J .; '", ' ¡ . -' dz ,du ' . 1 ~ifeÍ'eneiando 4espu~~ ~&5r~ 7~t-¡;:l;r.U0~t~ .: II

ie:do~~e Jz"n"~(td!~+l.~dt y,\:'(; d;~;.~r(¡du~I:udt). ) u u' .\ . i':.,~ b~ , ..( l:' ~.: ' . _~ ,,\ ii;~:- Sea z=a "HaciendO"b~=t; se leódr1Li=a:; y(1 54 e~.;'m) será d~=~ihxl.a ?


r

-9.4 1)$1.. C-Át..!JUIiQ. :etFEJl;~N<!Mt;. ro ( • " :Ie:le ,j' " ,' b:; -'!Ié-$' , " ' y como at=d.b =b dxl:li, resulta dz=1J b uxl.al.b: 160 Pasemos ahora á fas f(¡ndones éifCídahs;y supongamos que se tenga priql€F0 z=sen.~; susti. tuyendo x-+Ax en vez de x, .~~J"A .' - ",,,~ ~'~sen, (x+Ax)=(I §46o) sen.xcos.Ax+sen.Axcos.:I:, de donde se saca par:a la diferencia'. . .

~/-lo=A .z=Á~ sen. x"':"seh.,iJéos:zrx,*~e'n:A,*o&á.,,!.j

sen.x=sen.x(cos.Ax- 1 )+cos.xsen.Ax.

y tomando ia ~elaci.-o:n~¡~d- ~':-. Lh ' Cbs.Ax-I r- - sen.Ax _=sen.x +cos.,. --- ~- = ~$

A~

"

A~

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.' ¡-:cos,A,i'- , V sen:'L1,. ,-sen.x +cos.x,~---,.-. . ~.~ '. ::..frx - _ "1 ~.: - ,A,. , y como se.Axz::::::I'-:"CO~ , Ax!Z=(I+COs.Ax)((-CO •.6lC) sacando de ~qüí"él va10r d~_J-cos.Ax, será I

1

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-"-~ós-. .ó:~=-- sep.Ax - , --- • ':

;-~.(~l_.hcos.A~

':--¡

'-,

luego sustituyendo arriba e st,.e , y~lor . se. t..endrii 'Alo ,sen.X sen.4,~~ sen:Ax -=-~x

\ 1\' ' 1 +cos ...... x .. ~ ~.V~r .... :.~ • . ~! . _! t i

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+..f:os.xX 'Á • !

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~)I·~f I ,~

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. sen.,Ax . _ sen. Ax '.~ . " "( "";'seh:-** .,. ;." .- ·+cos.x) , ~--"" - '; ' ~ .- ,¡ ". . I+cos.Ax " I,f.~· A,. . . . A Y'para':pasar' H6~~1írrlites odscaremos ¡en lo que se ~colTVierten íds' dos fac~or:es ~del segunad':miembro cuando el incremento Ax desvarÍecé. ' -'.j'' En esté case;¡ sell'.4x=o, cOS.,ó,X=I, y el pri: mer fáctót se- redúce á c'0s.,.. · '~: ' .. :''; - ','

se

~

.~

sen. Ax ' , 1 'd d ~l,!:~to~ .. :Lt!l',~. ~~ a,cerct_si~ c~.:~r~,!., a l!~~ ~ t .

,'" sen.A ".\ sen.,4 .d' po¡:quj ,de :tf.l}g,~=~" t s~de~uce .- - ---.. =<:0,5, , , .cos..li: tang.4 , I ',' i .... ~

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... . .

. .... .

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r pues que

l)Er..:~ dC,t¡-J:,O ::DJ,FE~E~CIAE.:

' 9.)

cuando A=o, la unidad será' el límite de la rela<;io!l' entre el:-s~!Í9_ y la 'tang~Ete ' cuando el arco se desvanece.;. pero siendo el arco menor que la tangente y mayar que el seno, se sigue que con maror_razon su. ..rela'cíoa:· con .el~ seno se ace,rca sin cesar á:'lá unidad '7 luego se tendrá en virtud de todo esto dz cl.sen.~ - ,,-,,: "., ,~.~I' ~~: : . d", ' ~ --cos.x" o dz=d;sen.x=:c(l)s.xdx. I6[

COS.A=l

Óbtenidálli::qife~enciat~_e.t~elJ!'!t% 'las' o~~as

se ded:ucen de eUa con 'facilidad,;. porque se tiene l. o ,

Cos.x=seI.!.:ff'!f....::x), d~cos.-"=a.se~.(~'7t.:-x); -,~' ....J

y'com~ po; lo qu""é prec~de d.se~" @'7t-);~ !'

,' d:(~'7t-x)eos.(~'7t'.....!.X')=-'-~~os:c:~'7T~),~ " '. - • .., ,r{ ".,. ¡.,.. ~ ( ~ ~. ~ • t(I"; §,4$9 cor.reo·s.(f~~-:cFs~n: x~ -s'e tá e' -..,

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- -=- --:¡.-::-cot."cOSeC..léd$, 5en! ~~ :~"', 'Se1!r.", !r~ ~)·Jl (, ~ J.

6~

'rOO1bien:.ek arco és futlchH].cde ..J.as ·!íaeá-s tri .. ,gonomélricÚj P:~ ~f1~P que vaw.~s) .g~~ª,r ~,4 difer~n; cial bájo este p tlnto de, vista. Para -<,;sio '~ Sea x'lll t unJ cion propuesta, y ~ la variiilbl'é:a:~ qu-e1fdép'eaae , y teil~rémos (160) ~ue la ecu.acion d.seo:x ~xC.9s''''J I

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z';y :cos.x=vr....::z\ -- '~'

·'.;J"·'"1J,..k

á causa d'e séo.~-

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dz=d~\Í { ; i~ " Ypor cOÍ1~igJW~,.te~dx=. "-r ~z -

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que :es ,la -qif.éfenci~l del P(1r- su-ilifere r¡~iaJ.

qt'CQ e$pretq~ por. el.sell.Q.-$i ':.:: -,_.' - --.----------

Para esp~rcsar1a por su coseno ', 'pártirémos de la.

ecuacion

~.cos.x=-J~5j!n. ~~

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.~T .

- -- - ' -ái ' -'- - dz

--:::.:;.:;=-, V--==:.

que hac;iendo cos.x=z, di dx=;; sen.x

._,...-

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Sea tang.x=z ; la e~uaclOn d.tang.x=-

d M" cos.~ da d~x" , dx=d~cos . x!1; , ..,. --. cos.-xL - '~ _.,- : y como (1. § ese.) .cos.x!1= '1 . ~ :;: ~ : " ' / '_< L+tang.x 1+~2

445

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97-

poniendo est.e"_va-lor en-~l ~'\l~:; N?s ulta1'á'a~:.., ~; f.~ .~ .! ._,,- ¡ ,..

1+:1:."

.

de dondie':.se puede C,.l;1tt~lujr que la ·djf~ren.cia~ de&. 4JrctF"i-s' igua,L-7Í-l-a- dife..r,wcrq:t"-:-de tW1angefíié--liÍ'Í'biiJ,t:';· t''''' "i;:(t , , _ • . ~ - t-¡ \:. . Da 'por el cubaraJó de la $eC~'1te; porque V 1 +.z~ '01.)

espresala:.see~e...;u~~o~z i s3a .tan~.éll~' :-! ~ .

16 3 \~ P~Lpedro(;q!! .J¡t-s drfeioe~iate.s... .iCJue-§at;.~b~).

mos de obtenef , se puedén des·envolver·en senes las princip~IeS")fL1riéi0!1es JCir'd\.¡tl~reS"•. '.}" . . ~cl) . ", Pa;f~ ~=sen:x~ se fiéiie +S-

.----:-.;:"5.

. ,t:' :~ ' . -:a"'l !J.(' . 'd4 Z" "Z ' . • d•Z -"rl. '~-:-: 'u-:I:. ,-'-'~-~"':":'se ~ I _!.. _~"";h.(. ~ ...!.2,;,ci... 'e·.,f¡,~, eJJ -~'-""o1Y, _ '''''', _ \ó:.U''''''' _ s .XI.lJ. dx

. d. dx~o::::;;,

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dxj!- i!}

~5 .!t). ,.

que-haéiel'lcll;.'·x · ' 0, será~-"" l" , " , : = .~. ,c.~· ,~. .11=0, A'-,If,AI/=o, ¡A."'=-I, A'v=o, ¡1Y='1 \te. de .donde- 'r"'~\-s'e' con"l"'trritli'°- -.' h,:P,·~ '", i í;" :;1 Joq ( ; ~ ~ " ~ . t ;, _ ., -;- ,;:'.1 ~

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%=sen.x=x- - - - +

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-:.>: :;:, 'I.~' ::r .:I'J~ ' ..I %?.x~3'~rJ l '~2'X'3>.X'P~1j ¡< ~ .¡ que es e~ 'Valor del seno espresadopor el drccH:" _ I

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.Para z=ce:s.x., :~(f ~ ro ::r-:./I

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tendrémo~ ~ .rn~ .. í0~

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' ..... , ·d3:. ! ..·t!~ ,! " :r:~ ' zr.l.. .....~ sen·." ·' ·------d ". ~"~ ----::- 'ci3s"x . . ~t~séñ~x'::· . , d ~ --:' :.. . J. . (

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~ Déi ~,iShlO ~Od0 ; sél ~Ú'eden hálÍú " tó'd'a '1,(5 ,de, '¡¡'¡as HH'e ás tti.i gon0metrrcas efl <valóres (i:e fStl s~;arC0s, '1 et, ' dÍ! 'e~los~ éspr.esa·ci0§. pbr'~lás '1ínea~ ¡; ~ er6F ~qi1Í 'sólo ila~laremos , eide! ':.al'C~ fespres·ado rFO~ 1 sh 's eno. ;. _ Pa.'Fá·-e&tO) , sea ·:tl.é:1"ared y

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el 'sen1:5 certespon-

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~.,~~ ,e;~:!-q!!~. ~~!tJªj:'y~I~~

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(T-:-~~)~ IJ ~1~,,2)2 l:II-'I2m ."(lt¡~~)~!·, ;;'t ...l~"'}U: E- . zr.l ... ~rl:}~ H:J~ .. · '.. tl .. :,';t~F¡ I¡"',b '":'·, '2 :. OC .~"jn:;'Jdo;)b , . . :.:1 d 5z 3X 3 .a~ .~~.s...~9~X· •. 'J13~¡Si<'7.~,1;(; r:·. ';a

•.. . ;.• . . \ tC":'l.l&C . .. dx--S ..... ""-'er" •• :J J . ) 7 ,+ • ~,-' S _ .~~.;;-X2)2 (1;¡:o .fC2)U:, · (I ~2 )2 ';; i,J de 9-2'l~-'~::!.I~clend!?,J '9'~o;?-:r. ~em~n.d:2 -pr.e~~t~, Sl·ue., entónces es 'tarnoien 2=0; ~¡;esu1tará ~;x. ; 1;'>; '" C' 1 A'V-o A -_0, A'-¡ - , A"-o , - ,' A'1I--;::;tF..' -,.~ AV'~3'X3 '7 1'V .)tI ..r);: l-'li~ «1 -= .. ~~ ":,,,-~-=""':X.3 ' ''''=· -3X 3:fS-q:S ....,..\. (,e __ y por J.(j mismo será2="í.i1f~~3 rI-:{x'iX'3'~~~'Sro-~.~ ~ ~ . c-;r.. ~

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De ta diferencjacion ,de CU4.l'tsx¡uiera ecuaciones de do: varittS~~! .; ",,.. . . ¿Ún¡~i.c¡:; ó:·,...~ i 'iJ 'i~\;:'U' ~~ ~~ 3;;-e. .lo....

,

164

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Hasta aq uí sólo hemos diferenciado t'f3laeio,

ne~'f.~~r.a,4.[$~ '_e~ ,.~~~:!'.,~l,1.f~íónr~' ~ij,ál..ll.~.~aria.

lile se halla-'ba:) sola en un Imelnbro y la fhlncron en el otro; tales son las ecua'cion es s}e·la forma Z~, .J *fl,ao~a')J~fu.néi.9JJ. de.. ~i 'ff- X una. ~1l~~U:tn -de..x; pero en el mayor n.úmero de ecua'¡¡:.i·Mes que se~l!if.. ~uenga!\ t:~.las in v.e§giga§~b:fH!p, ana,lí.tica~ ;r~a r-vari,a., ble l~ J~Iil~iOIl s~ 'ilªlf~~IIj~ ZlcI!iga~ . ~ ~cQ.~nQiJlada-$ -

y

entre

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. .~\;J.l.-ª-~dQ..S~3llile. .lllUl•.e.ctÍ'acion;..cualq.u~~,.g;.V:~:7 '

entre X"Y: z ., S!l' efecto e,s' íletei'lllinar z tpor inedia de J!'. , 9~ "p0;tJDedio. de-¡~¡.,A~ man,era que.ü¡..pa di! ~stas cami,4a¿i~p .e,§ fu ncion 4.~ d~b0tr.?--. .Si co.nce9imos ,q\:le .se .haya 1~,ter.minado. tz, \Por:. l~.edio de x ?) sU.$rituyen: do l~ ~~p¡;e~ien de z e!,1 ~, !s:s .t~ se cOll,V'eqi~áen un~

f~ll:io¡~ cJ~ ~ sola ; pero·. ~<¡)!PP.;u~st'!. de t.~{)ninQ§. ql1é

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. J;)~Lf~.Á:LtTiTl:.ruDÍElJll}~N,«}I,~,r;'i-

se deS~l'uirán . indep'endíelt.t-e~flté de 'ningUl~ valer ~i~ {tu1~~lde~-5;!, pu:es'qüerl:Ster..v'i'ltii-;iciebfa ¡rér'Mftiie'l cer illde~el'bñm¡do.J?e .donde,$'¡;e 'sigue-que 1~' camD: da'éFP':Se~eBe::aiirat\' irrrFl-íéifiliñ€-hte":: coilló 1Ii1i=rli~.. cio'ii:::'H:-S;-,:t qu•c ? el nula p1tfa' tód'iiis~los ~ítores q~~ p.u~.d.e .:1Íe,~~1!:.;é.~mc:.lHl!'.Í_abl~~.r}t iJ;u]!bp~0r co.nsig~~te slv difurenciaLrlpbt>_ sex nula _tambien . lueg. o en ~ est~ t\ l.4 -UI .-l i) 5:J ~ ~1.,1 J c• • ~/~ t.T_, "' ~~1· - , ."; , ' . --\>:' t.¡f':.! casó.la Ai{eregc~aJ g,e.;¡;- ~e deberá"toq1at coqsl~era!1~,&eSroJ Jr, ~¡l '~f ,,u 1~ ,' ,;.& ~ ll - r. --. t"- J- 'é;r. o a coo unClOn ex, que a¡f~)lue ~~g~ ; :j

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'; En g~n;r.al;;iH,,~er ;vari.~t las ·eantídades A~, 'B.,.¿; \:te. comol fUl}c)Qne$ de ~, eSttornart¡¡ª,ª_difej\~9cial~ª .' • .,'." . ... k!); 4Íiz .dllz ~:ac ~e las. espresiones ~<ru-i.vale;Jt.!ls ~ d"" --:-r' 1de.~ ; .en: x .. .dx r" • .;...t _ "'; una palabra~,:.es considera·rdl , .dll.z 'cte. cO!llQ1flJ!t~ ciones de ~.. , 1• .i 1\, ' . .-<:" .,f.;; .La ecuaeíon.{ M) es Ji/. 'difel1~'neíal ~prír11~a' ile la . propuesta; j a ecuacion (iP.),es' su IJiferencial 'S.eg-u.1ida; ~c. y segun la <observacÍon hecha.ántes j Jas dif ergn.:l dat es. de:·u.n.a.ecuaeion príl1iitíva '¡~J'opue:Sta; .se ded,.ucen Las unas .de las .otras por Ja'·4ifer.encíacíon ,..J;Q.ns,id,l:" rando á z, dz, .d:~ &c. ;;cqmo J un.aiones .de x. .~ . ,") Se pasa á 'd~:s;~cuacíones 'lue dan -;los c.o§fi.cj~nt¡~ difereneiales-., ~,bservand'0 . q;u:e.J:stes 'caeficielil'tes..&I,:l!'J - !: :.._- - Jdlz-v ·~ ~z " ' •

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ÓJ'hacÍeitdól<lz.-Adx, d~~Bdx,Il;J~c. ' .. " ~'O por, estas úhimas $Ust'itu,ciones las .diferenciales desaparecen-:, ..y·.s0lo que{dan en losJt es.uhado.s,.las [un... ciones ,~

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~pÚéa~i6';' dePé~Úulo diJerenc!aí 1!~r:tJ i1etermín~r los ~. :máxi~os ,:Y. '!nín,il!10s de tas 1í1!1~fo~7s ',de !un'a' solll - 1iaritilflé.

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7.~' t~6 ..s,eg:llo la;jdea qúe l1emQ~ .dade de Ia J un_cion, sieey¡ite,qtte Rad e 1á, vari¡¡..bk debe ~ariar la fU!1cion~ y.. ~oriJ€l ha Y 'Olud~as fundoJl~S ';4l;l.e,\tienen:.<:~<:.(tos lí\" mi.t.e s, aU!l(l"te"slus variables ,e.@b,an .todos--<lQs ;\l'aJg:- . ·res. posibles,..c:s:il)teresan.t¿ ~¡Íber ci\i c;uiatas'y en qué o,c ~sione& .yat~a;.la 1ey de' los ind¡;ementus p de.e'remen. ites de.E1ad'uh.!::l0C!f, sin "a·t;i,ir: il()~ :...a~ ·la variable. .!;: . !> •• .: Enl:,~.ct~ I:.CUaf.!t;\¡0~iá varía;bk .de que ~epende i1:lnalf.une,iqn'l pf.opt.testa~ .ipJlsa' ,s;úcesl.v.aInent<:. P())f ,t.o,dOLI:~.s gMdcas. ae matgl~tJ:l.ii¡' ::5.l;lcede algÚ;l1~:s ~eces \


f~2 DEL ":lifÁq,d.út6: DIFERENCIAL: ~í1~la <lAA!i@ de.l'ós :valores~ que r~ibe tl~á!fu:,n~í-0n; e'~ al principio creciente y se convierte des l!H~sten decrela ili!nte ~ ~enloHeésj iháj' 'en d·i:ciha seril'f.úQQ:-d€L~s:tos.va­ :tél'@:"" q utYsobrepMj.v 'á : l~ que le 'a.ntéc~thln0Y' cSlguéñ inmediata¡yegte. ~ ,al contrario, la serie de los valoroo \de 1i fllncio&:?·ropties:t<3.· es· ~l pdnci~¡-ó (~etr.ecien te, y se convierte cfespues en creciente, se enc<:)lltrará necesariamente .uno , q (le: s'eliá menol' q:ue!'·i ós ! q~e'rle ll-nt€ceden Y siguen inmediatamente. .' ~;" " .~ ~," . Eh~rmiqo en ~qu:e" é:l iilc'r emeñto ' de~'l'tna' ftlOcion se aeúeQe;~ se·'1laipa má'ximo; IY' aquel:en:q ue: deja, dct d~'(':'I'eger· ,.

'1l1í1limo .... ·~·,, 1 r:f)r: ,· .. ·[¿·C(} ¡,i J' .";~~., .... :; ,,',: ,Seá, por ejemplo, bt¡e'Gua€iQn ·2:=2¡,¡.no.x. ... x~,: ¡~

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enLla\.cuaJ .obser:v.aré'mbs ,,! '1. : .::';" <':-". '.: ' •.",:. .. • •\ que si .'lVrd0, 1," 2'j"'3" ~ p :s, ,:;~:, &6-. ,·.J ,- ¡ 1: ¡", tésüHrtr,z=z,rJ,I8,:Z3,2'6,27,26, &c~.' l; _.::'1::3 doiHté' _v.&tlos.q.ue: cUándo rx=5-(.res:utlra pttia ;z.·l!1Il v'á~ lor máximo que es 27, el cual es .~'tY0r Aue los que le préceden y sígue n inmedia:tame"fltf; ~ - ¡; Si la @cuacion fuese z=13-4x+X2, se tendria qU(di~ci~nag:¡az:: o '1 " ~ --=:, 3 ,f," 4 ~"'8i:iJ . r . f, :""'" .• . ...% : ~- 1 3,: .. ,rOf'~9,., ~ .. ~' r t'ill,,, '.. ' ,.. ' -~.~ resfi' 1tatul. '1'3,' &(l,, , ctéBde vern¡;¡s q ueJGuancto-''''....... 2 ·c0.Fresp,.o~cle!á< x'Jet mi.~ l1iaro ' 9,.4..ue. es fif~u0r -qúe eLq ue.je ~¡r~eéqe J -:.sigue , inmediatamente. ~ ., r"q:¡. . 'l:oda fl-ln~iQn. g.J.le. ~rece ,61d¡:~:re~t;. ~in <;,esar, clianap .Slt ,vá.¡-iaQle,<;teee 'ó"decr~'ce, leS' iq1~ept'iI;)i~ m'áximo' ni iüíciítnó, pues' qué" ún ·v .r~of' CU¡¡19.uie,\ " '~..l' ra sucede siempre uno mayor ó men0r. · " , . • ELcat"á'Gtefii é-sencial del JníÍXémo c'ofísÍ5tún qli:e los .v"alores. que té preceden y si:guen iílmiclj'ata?n~te..SF!erifS -menoreS' ;. el· mínimo,. al eontvatio'; .debecTse;; ' 'henor '?¡U~ -los' 'Va~o-r.es "que 'le "Pre"C-eden j .Jiguefl i.111.1neaitltG1venÚ¡.; :.. ~, fil~ qice imneditltr:1ñ~ñ:el.' porqtl:e¡ s~c¡edé- (}~f.~e;. 'cfiencr'a qlle una.fldnClwn tlen'e;"Ya10¡iOS ¡q¡;¡e'5(¡jbr~pu:Fi!1i1 á 'su máxinoo¡ ól qilie "son~;ttf(ft1ores qll!le~ su '~rniliiilloi.!~ 'én ,tiq::q,unjene mu élms 'máru¡;¡;'Qs y_miIIDiln~deSlgua­ les ~iltj'é-.5í;" to'dÓ3 h~ ,.eual ~st: -coh'ei~e cbi~rny ;por.;q u'a,"Si :d:e&pue$ ' ~~ :na:bbi'.cl'.e"itltl .w.?!l~edd"0,j (!'Ste fu·mciow1 4

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·i)ii:.~7€;hcüro '1iii~ii~ejAi. . "'{o3 -v·a!lve!¡ ~ereeet ' de ñúé{/b 5tHMfididaineirté!; SJ6al&ar á ..p0'f · 5¿\;1rep:tlj'ár a:l;ffiáx~~<frq~~~!~fo·~.1 pii~;i~!~:', :l¡

En vez de suponer :Jqu'e .. ~te¿e mdenn,lda:II)ente,

1ióa€~aS fciht"eHintlue-deerezCa :üe's p'ireS' ae nii3cierto término, y de 'aquí nac.e rá ufl,nuevo máxim9 qlte ,'~dtá'-=Sm,.;·, flifere~Tté' dé1 1pi'iEheio i , de dondev 'sell>ue'. de inferir lo q de debe suceder cuando estas ,mudan.. _,' , .. '" . " ......... ,. ' .... .. ... ..., .. !S'e- fe '~l.feri... ................ ~ '''T-'' .,~ Loo .... II.J_' ';.. D I"~· 16.8 . ~a~a aplicar el cálculo diferenciar la la, 'in:vestiga'c,io'¡ "de: los-'rná:iiího~ lo' inmhno;,s' _p¡:;ach6irá lo siguiente: , hállese el .prim.er c;.oefieíente difer.e",. "dat, ;:'j5'ig;uále,,ie 'c'On cero ;7íáVt en-s¡l lo¡' -V:cdlJr,es- ~ile':t~ va;iab¿e 'qüe ¡safi:sfa~en:'a ecitác!o.n ,; y ft SfLdjr"rrl!i. "ZlC iino ó"mmi1lJo) será en algwio . ile :estos vi¡"furef dé tG . bt'e.. ;,e _'u~ .. ~~ __ - " - ._._';"~J ',n.rn '- ~)['lt nl""..... ....' ~ ?~rr f' roana . ,- '" " ---r"'-~ "" ,u " ' H~Uens.e d,espues los c;,oeficientes difet:enci.lil~lJtl'¡. -guien fes"; suStí'túyaie "eíí.léUó'i en ae"%~1Ji¡Y.iable ;cada 'Útt.w¡-·" ai-ioi qué ¡f,hallar'ori '~n :lzúgtla.fJciorl ·'/í , ~_

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'!1~áxi~no:i:' L'~~-p:í~~r~ '~áefc;e~~~que~"n..~., ~,es,~pir!~i;

;ttene.d ~gn&'negatzvo;' ytsda m11ltmo; "sz'"ttme é'fffg-::'no positivo. Si la s,ustit,ucion d~ e'stos ,vat01'es' ';';dilc'e -6 cero. . it.91,:nuiJWrO Í'ar~ ;lecde¡iE'i'eñPés aíferenCíale-'s, LIJ fún6io'nJpr'opue;ita"'ña' teñilra' m'Úirí,o '!'I( mífiíffiQ. 1: "w , Sea, porbje'm'plÓ'~ fa'1 -fltnCibtr Lz~Fd.ilD~~~:Jj ,. ts: ~r::4 t~x d~ ' ; ~b \ cu:y~-cociictente~ l\tfet'em:i:¡I.¡-e;' ..:.c.".=!!-¡ 0"':::'2,,,,",' ; - ,. _iS

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y como 1€ 'p üede ser taon ,peq ueña que u~ te.rmi· ,no,,.,<:4,:lq ij~~rf.. se,á. rm¡tv¡o.f. (q 2)~que l,a ¡;uqta ~~ :tI¡lQ~ .' _'. • ~ ... : ' ; '".¡ " . ! r"" .1 -. d.z'· ""!~ .. los, q, ue. le s1guen , 're~u!ta. 4l!le, ~! t~f..IDÍl~9 xk PQ-

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drá CUl!lpliF con, esta condicion; entól1ces .~ será ma:yor qué el primer va~or 'z, y menor que el seguf!.;dq rz1Vfuego la: ~úndon pro.puesta .:no: seí:á, ni:" máxi.'

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lnd:óE mÍfiimo ,:mréntra:s::q ue !:..l~ x]¿ no 'se~ nulo. ,Pe-

ux puede 6er .cero si no le es aJguno . .del,sus racto~s\ ;:,y -i:omo·,.~:nó pllede. ser ',cero; por.que re suponemos ' -u,n valot ?eterminado, ,aunque . dz. ;:. ," - . ~, " -: s pequeño, .se .d.educe B!\lJ c¡; ser4 el qu~ deba ser ce..~'::.. . ':~. ~ ~ '--:--: ~ ~~~ - - .,,:. ro. Luego;'siendb 'indisyellsable que -~p, para que .dx haya un valor ~máximd 6 mínimo) 6~ teúárá entónces ..... :.; : . - J!.: - - ..../-. -:-:~ I d~z. . kZ " d3z, ~ k't ,-d 4i'.',. 'k 4 L./

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l:hpJ!illler. ca:so-daria~á)ra,....z un ~ínilno ,_.y el -;egundo un fftá.lirluO".q)e dóncl:e inferimos Cf~e para encontrar cuándo una funcíon z debe .t ener un máximo ó u,uJ uínímo (porque en"ámbos' casos los da 'una misIh~J'ecli~~~~); ~~, !le~~%a,fio' busca~ Aa e&P.l']§íbn del pnm¡:r .coefic'í¡:nte ·diferencial é igualarla á cero" que es ,;la~ primer.a patne.,de. la, regla.. l , ,, __ ~ • • ·'''l,:¡-o'i,:.lfemosrdi,€hChq.,ue para 'lue haya ,máximo g • • < . • dz. " ,

IlllnunQ "tS(.indisp_el4sable::que.: -::cero; a.-x ..sea.Jigual/r~.4\eón tJ .


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•pero no ;,POL esr0 se deQe' inf€r·il" que , si-t,grplIe ?rúe dz ~ . 'r.... " · t::' 10' l l-t ~.: ._' " '\ •(fi':-O., de.ba haber, m'áxim0 Ór,El1lÍnimo. En::efeqt0' ,}si x d .~t::valbr.~dee ~ q.ue ,haGe :mtloc..eb va:lcir. de: liiciesc l

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'~a:3z 'k3 " .~, ~. " y come¡ -. - x - - - podda llegar ~ ser mayor que dx 3 IX2X3 ~'. 'f~ sutña gs:. todo,sclós té~~¡aoS:.que ·s~guell'~IJa··1ialJi'ia eqtónces entre las tres cantídades 'z, z, z', la subor. trlinacion:q ue' conviene al má'ltimo. ó al' lní1llil~'b. ; :pue:s media z s€ria mayar que la una de l¡¡.s estremas1 - 1 "J. ~en<:)J:'" ~ ~e a 'ojra· ::z. . :<: .::rI:::~ " ':, ~ ~~ ', ' ::: ~ ..

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. se tuvIese . d 3 z =0 , tesu1tarla. . tam b'len __ P ero sL,... . . ' '" .• :. ~. ~. ~ \ dx 3 " "-. t. r ' :"7 1:;' ..... "..... ~ • •- . .Ji'. .......... Ar; ~.J ~ (,

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en doo.de las condl~.i:olles' dd~LDá-xi'm0 .t>.o<iel·'lJlÍ.rlimo q~dfu.d.'.am al!OCSél)cif t'eC'lfJ:§ , 'y;' da:f'j.áJ-.á~ cot1Qcer .e'hig-

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Del mismo modo se haria ver qua en general no puMe r.rabú lll1áximó', 6:mínimo ,..sinl!) cnanHo el,'F.f<4meDO:de ü~s coeficie~res ; (üfe:ren~i1!:les..que· NO desa parece es de un órden par; y si este coeficiente es. ,n egati.vo ,. la funcioR seI:~ m~xiQJ9: X,.~i. pO,si!jvo, lD~ni­ mo; lo que ~ompleta" la regra qXj.e h~mcis dado áni'es. ,l á:;¡'r'J:uLa. t€o.DÍa-'de.:Jos(l1!áxim0s:y mínimos se avplil ca á todo género de cuestiones; p..s:fol.comq. la determinacion se hace siem'pre pºr: un'misl'Fl&mé-wdo "iS.m:' lo nos metendrérnos en la sig,uienté'." ~. ~~. Di~id~r sI{. prOd¡ift'b

una cantitl(l,d a en dos partes, tales qHe sea 'ibná~im'l:! zle:t.odos, Zo's:pÍJo(:lúctas ! sq!/Jejaiites que se ptl~datl formar. ' Sl?\Sea ji

una d:e :las cpri'ftes de

a ~ C011

10 qu e la otra

~er;i usl-x,,· y lf epresefúando PO! uelp.roducte c~p ma~m9 SI; I;>usca, se tendrá z=x(ªr..1\'J?~X-p'2; de

na di. ::,)Cl:;~ ".. ~ donde $ale "':'=a-2~, que iguala'do-á-cero da ilo ~D~Q;I ,: ~~ .~: L,..;~ ~: . ~. " . .

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const;¡nte y Fleg~ivo-',=ma l'lifié's.ta.:qu:e..eJ -pr.oducto:.~ máximo cuando x=1G, Q euand9 las partes en que se descomponc:: 'la ;"á ,sofJ igua1es,; que::es 10 mismo ~ue ~edujimos en otro lugar- (l. \ 9~)' ,o."'. . :- ':Eíee~qÍl.í f,€S'uI:Fa que' si G fueséeeJ semip.eríáíet.r o d~ ~n rect~E1gu1.o '. y se quisiese <.l~ "e,s te fuese un lBaXlmo, RO habria;o¡fias' -:qu~'GC9I.lstr-uir~'Un,cuadrad~ CU~O ladoo fuese igual :f la 'mitad ,de a; Juegp ercuaUn

-aradtJ es ef máximd·~c !tódos'Jlo's·.cuazlr'iMtero's .isopet'Í'~

~netr()s. ,.

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~uego ,el' triánguZ'o' ~~cf¡ángut~ 'isósceies" ,es el "ma:,.

de todos tos triángulos que se.púedetf formar. euan&o eonoce lo que han de componer juntos sus_dos catetos; porque si ¡:l1!ftD1iml:fS, ~l,~l :triánguIG, b la base y a ~a oal~ura , ose tendrá t::r:fab, cu y0 pn.ducto es ~p éqmmo "é1falÍla01a-l.· ,'..i-::. '}.' , y--'1.:t.

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fUndon tlz....-.V,a 2·xr.,-x4. por.::ejemplo, -se dedu,~ri¡ .' ' - di ' :o2""'-- .2 X 3 :l .• ' . .; .de ella: .el ' ~ . ' , ; 'l x ,a V.a2.x 2 _",,¿J. _ rí " : .\ . l . .dz que haciénd<:;>le.1g.ual con eera. daria ~x=o Y'dx=:=~ .'

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,Sin embargo,' con un poe.o ae .atencion se verá que. el numeraHur y ' .denomj.nad~r .de ,la fra~cion ~ -, .oZ~-+:2~3 ,

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q.ue~ en · el'supU'esto

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t!,lSUpuesto de flu(l~ la's eahtidild€s~ B 'Y ~¡rr(:)"sean nll"-. las ni'il'lfinitas por,-d supuesto de x=u. ' ' ~ ,Luego ,CU¡gu{g .se..crehe ,UU:éf .espresion' cl:lalguier.a b~j!il t~'\.D0rma es ·nec.-€M,rio _para ~onocer su :verda..

g¡;.

deva &ignificadofl' ~ ih!spNaáer-la' de- 1o.s factQxes:' OH mlln-es¡;ál slJ¡ Ja l.llne:r,adt ¡t. J .I 'defl'ornrpaaor. I\a ,diferenaili'éien'-suminÍstra- 'este medio con ~mllcha 's'emcillez;. 't~, :J!;~d~fer.~nciª.1 de :.,.Iairh.p>l'esi0n.:P.(X-~), en que ,l? e§ Iu'na ,ful1cion 1'!uaf~uiér'a. de..,:'X,' per:o-.J.ndepen~iente ,del"fac!b¡; •.(x~a>~" :e§: (x-'a,~dJP+1?cl:"',,~q ¡¡¡'e 'ne ,s~ desevi!le~e 'ya. cu·aadG' > x=a; .' " ;',:", , '1

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~IIlISi 'Se diferellCiª$"e ,d9;s:v:eces :l~ t7unCí~Q P(x-a)~, i,:'h ' 117' :'. " ( ...., \)~ "'p" P( x-a • j'a' x".l' f,- •• \ ., . , ~e a ' ana ",-a u "1- 2 ' • • \ t' .J ,,' r'( ... . : . . . \ '1 • . (\¡¡¡fi7&:2,I:'~2(~~qlq~q"'t'2(x \~).~x~P+2Pd,f'";<~t ~..

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y~~'óri{ó ':P: ceóHene á x-á':..,-'1 a:',di¡fiúeJlcÍ'a,1 segunda: se reducirá á su último 'término; continuando' del 'ó!lsfulí Ín-oclo dedu'clbíam0s que tód~s· .}'as'diferencia1es de una ~spresíQn de la forma P(:x_a)m, hasta¡ la del ó"i~enilm'':''1 11ridus¡'Ye; des'~ an~c.eh eñié'f su p¡¡¡es1!d 4e-","""'«, cuañdo '1n e5="u n núilie,te entero'; y' qru eJen., ' ton&s ' la¡ diferencial. ¡ dd órderH n' "se r'e'dlu ce, á; ¡ ;~! •. iX2'X3:.. mPdx rJ1 ; lueg0('el-fact0 r:C~~ 'd)m",desapare~~, despues de In dfferenciadortés~ ' " '" <:. , '~~l_... ~. ~Sea por ej,empló' 'l,a fúnGi0rF~L..li.!6~-az",+a3.:;, qÍll! se desvanece en ' el· su'puest'o ae!x' ~ a ;vsu difeten"': cia!' primera se desvanece ,tambien ep esta hipótesis" pero no su diferencial seg,unda .<r.J..e:-es (!6 x! 2a)Ql.?C~~, la cuaL se encuentra ya libre déFfactor (x-a); y ,pues que ha sido necesario pará e~~9' d·iferenciar Eles 'eces ~r'esegc¡jda) J§e ·a.eb~e conCluir Iilue-es de la:for...; , ~a .P.cx-a?; Ie . q~e en efecto se verÍ'fi~a, pues que <J t \; ~3,:"",axz...!::,f.2x+a,g; (x-t-'aJ('x .:.....a)Z'. ", ,,' } 7} Aplicand~ lo ' ~ ue. pre'iede á la fracCÍen

'se'

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~( , /1' se verá qu'e dif~rencíando muchas vece~

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!le se¡u.ida su ,n umerador y denominador, quedarán

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Il1l1L: :,e~Le'U~I-9': »'I~lL~q,1Xri"

l:n<1

.lilir.es -::t.<Utl1diisméj, tiempo deJ.lj¡,¡;:ton (~ a) ;$1¡m~A Si el nu~é1''aqo.t) es. e1 Pf!~l~{l!'.o~~~e d,a: ' IJ~~, ,;r~~ll'h{ ~diJl q be, aQ~ se,AeF:aI.'lece y ~~bi: ¡¡:¡ªi}.4J:nru:~'!;> ~.Iq ue eLf,actor' X"-a-'s,e) ~€¡;¡,cuenyrª,.,¡;i~~<\.~ ~~; él á .:jIH'I,a '!iQl,,~ KIlCia, l1il:erlDr :q;¡ge: eJ1::d ,del1'!),w-mac,!c¿c; ::t.y:;:p:i¡tlJ:\ i~o!l.llj~ . t;\l!liente la"frac-e,i(j),n Ipr0p1.uest\i seJ:,áilannita;. si:;,al:u.l)jl:! trnio les~,el d.'e noming;d0.t ~ __ L!l;Ú:~Il@i~.Q..! vrópJ\!!<~st<\, serJf, ffuh . •LU.q{CD -?o~'r,ém('i&. ;,esj St.ble'¡;;e.r. :q¡ú e Jp.ariiDQbj¡~¡¡er et:~ve}1dadt>i:o !vQI:or' 4a-.::UiUS 1P'¡q.Pjl21JJJ ~!f.~ ,¡se d:of}vi,ept.o ~n/~" euando./fe.da, á-,x 'á~ .va.P,oJ P~'"'t{t;utar, !:.i. 1JgQeMJ r.o diferencial" sepm·adament? ,-5.u),v11Jhgrudór:,,'l>' 1U).d.~f tlói1Jinaqor .~.hast.atql/.e ;.Se- enc~~t1;~4iarA!' f#l¡ú 4;9 ~t\:>, un resubtado que no se 4e~~am'Ze,a, ;;:-t4;; ir:.r:.c..iqn.pro.1>~esta / ' ,¡:;

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.gefltl1étricas upn.1.ebaPÍJ die' u~

modp_muy exacto, que la re1a~!on de los incrementol> ~e ~na~lf¡.tWoj¡ y. tos.de: S'tl. variable, es 'eE',~gé nel'd susceptible de límites. I \• , . •

• "1:¡61¡~I':ada '¡u,ncion, de una,'Vari-able-se puedE!.> .f'epre" se!lt,Qr:.,por.'J ta. orde nada de unll 'curva ; de '.l:a., qué. est4. 'liariabie es la abscisa; porque si vamos dando \ valo~ ;.es pa:rtiet¡,l áres á la abscísa ,/y tomamos_estas partes i'lo ).a·r~o _de; l.lllaJillea ,.'j ,e.n lQs eStrelUOS se levaptaa.


¡ ir 2~ 'J:mr; ~CkrJcuir:6 "Dr'FE:R>nNarAt:~ líneaq)ilr~~~las~ eliltore 'sí ,;!ie';la trtagni:~rud 'q!\feJe~presa­ o

la funeion, en 'cada casO')-tel'larémbs' Gons[Fuid'á)''-um,¡ e'Ur va: ,':..c u)'i~ 'e~uad(¡)1'l s'ea: l~ ig.:U~lacioli . de 1la :fuáti'oú ' ¡rropuesoca, con' URa ' v,al'iable. Ahot¡p,: 'ía rel'aai'Ort4Je ".laordenada, de La curv,a con su subtangent,e,lcor:r>é5.J!en·¡Je!. DI c,Q\1fi...gente diferencial dc í(J funcion, En efecto, si en tiña 'c'urvá CD.(fig.-3.1? se lliraepoc odbS (P~~~l(oSJM y' M' ~aa'sh:'ant~ MM', proIOl~p'ad~ ha,s ta que. en4 c\l.entreLeo·;Sl al eJe ~AB ¡lie ' las ' ~bsGlsas". -y,';$e t tll'a¡p ,despues;!Ías .ordemtdoas ,RM" of"M1;0Y' 131 ' recta :MQ> paralela á ~B. ,- ~)QS .t~J,áug.ulo~, soemej,ant<:.s. J,Ylj¿M' y F1% -" 0.a-r.án- PM~PS;;M'~:~-{ill) ·".-de-deade ... 1_':_

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DÉ-t~ c..ucüñ6 ~I~ifltIEÑC¡-AJ1. . , .¡ Í 3 TeS ~ tl'étetminarl ~rl la· curva' p-un~Q.s ; ·que'S~. pueqtliil

consider~r como' yér'tic~.s \ del:·ló~ áñgulos. ae ·'l:Í'n' .p olír ¡ " r· . . r: rl""' esta - Cll'rva ,,,ti r r' l ' . Igono Inscute-·e • .J • _ • J. ,~.', .:, • _ ªi.se toman.Lp"q~ei~mpl0, ~sobre. el .tejé'" dé; fas abscisaNo~ puntios P, P';',¡>'f (tig~J8), distantes en~ _. lre si ·una :misL'f¡a' cantid'aa i-, se·'teadrá ... -,;. . ='~.: : AP'=",::¡",,', AP"=X+2X; b'~. Y si' 'se le.., vantáA lii~~' or.Ü'éfládas ' a'órrtl.§liontil.ienres 'PM, (pI.M', 0'-' y •Stl unen . los' 'pUlI-t",s rl 1\:/1" M'"'',' "Mil- ! o<c~ o• • 'errlllTYAI' ' in,'., . ",,-e.' lVj,', por , ccie'rda:s1j . se 'fbrmarill ec1 ,p'(llHgóno MMfM":&c¡ qué -$~!di.f;er~.tli¿j.tariÍ tanto "métf0S ~ de :l,aJ cut-va" pL"g';' puesta, cuanto' mas próximos <se. h:ftléf.l .emi'/i 'sí: '.l(9li puntos M " M ', ~", &c. ,;. per? al n¡isl?o ti.e~po el númer.o'.de·sils ~!adós auru,en~a:l"á%ada :v:éz mas'; pues que la distancia. P.P' estará contenida un nú¡,uero de veces mayor en, ia abscis·a determinada AP. Por lo que la: ei.ú'Va CD será ' el \líÚlite. <le nod'ós estos p<Dlí!gono5, 'y, pbl" cónsiguieme las propiedades qU'eJconvengan i este límite convendrán 'á la CUFv.a pr,\i>.C

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ra, ehriángu!o l'MR,. sj!.qt.re(fta.ngl!19 en J.4; y como ~esd~M, téne~p~ :..baja,da, la, perpert~¡::\:ll,a~, ~~, : !:e-

iultará ,q ue los triáng-lJtºs..J'.?~, P¡yIR.. serán seme;' jªnt:es (l. 33 2 ) Y darán , ",' -- ' .. ' ., PMz " .,}z z,d!'¿ ti PT:JlM::PM:PR,::;;: ,~-:' ~ d " ,. f ..,.' PT z, "-' .. " • .!- .... ..~ ~ ..... " dz ' .q ue. es e~, valor ,de l(uubnpt;fnal de ,poJla c!,w,!,a. ~ ) El tri-ál,igulo PMR." rectángul~ ~n, l?,' da para .la nOl:ln.al ~:'" '~·- ,v.~ '" j',: ". ¡ z,2d:;.' '1 / ,' d'1.'. tMR:-i\!PM'-i-PRs=, g,? + """--z- ;%Jé .1+.:-,' , . ~ ~ dx d~ "~l ;'''vJ J . 1·8,0 Vam0s ~ á, aplicar, esta teoría" ~ l.ª:inve§\~g't­ .don d~ las subtangemes ,sta ªgen~e.s , n0tll~ a'¡~s-y su~· ~1,l,Qrtna1es de las secd9nes' cóliic¡is.; ~: : ,~ Consideremos pFimero que la cu.rv'fl.AtvIJW (fig. 39) ~ea, ,u.n círculo.;;: cIJya , , e¡;uadon . es ' z~¡¡a.lf-p'z, ",,J.."

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gente tirada por el estremo de la ordenada que pasa por el centro, es paralela al! eje ae-las' avscisas; lo _q ue de~ ve¡;~fkarse así, pues en este casq la tan~ .tgenr4;¡ el' e:i~ de las abscisas -s_on perpendiculares ·á la erdeilad:a: ·¿' :al , radio: "'~ll r- P.,ara Jfl-j n9Futa lf, (tendrém0s •

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;~!ll~_manifi§ta qúe- 'ltu~or;"al deJ-;iticuJo es co~statlÚ'4 mente igu~l ál radio; lo <lile tambien-es conforme con lO ,demostrado a ...29.0). _ t _ "lt _", ... "...."t: ,.. , l"'t\t.l" ~ . - ?'<.; l"O· ,J ._ ;;: :I~J~- :?'~_¡f:~av~~f 1ft. ;cü,r,yá un~ e!ip,s~ ' . cuy¡a ecua. b2 dz. b2(:W-2"2 " Clon es Z2=-Z(2G",_,,2) , qJ.t~ .da . -..:...-'-.- 2 --:= a· , - .- -d~ , 2a z' l

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a .' 1/ a-~ ... a-~ Este valor tambien es wfinh6¡{8~ ~el -~up~esto de. lIC=a; y' come cm este caso la. eGúad~ fi' de la curva da z=±b, se sigue que la tangente de la éli-pf.e"· en lo~ estr,emos ,gel-eje menor, es p,,!r~lila al eje' 7p'ayo,r.. 1..0 pre,p io 'sucede re§.p-ec~i-va;mentg elJ.-·los: 'estreme'S del ej~ mayor, que entóácés la' tangeñte es paraMá '11 eje meno,". .J r.

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Si resulta PR=o como debe vérificarse; pues en este caso la misma o.rdenad·a --viene ~ ser "la normal, y,: de consiguiente D:cLhay, üistancia ninguna deide su pie al de la ordenada. I8:t Supongamos ahora que la rama de la curva. AMM' correspC!>nde á una parábóla, cu:}'a ecuacion es :.. - .. , ~ ... ~.. - - ' .. d:z. p . p p ~~ px, que da -=-=-'-:':=i -:-; . dx 2.70 .2VpX__ _ X )

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de donde <sa'carémosepara: el v.alor de-la sUDtangente -. .' 'T' dx l.'/-:- ' ''' / - ; px!/' V xl i=2.lt; .cP .... :::::%-=·v pxx2 ·V !" ":":':::2 .' - ' -' '::!:2 ¡;. ~_fdz .: . . ~ ..._.~ ~ . " ~~ . ,_ r .~ p >~ .!~, ~

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_'l,ue. 9.uie~~ ~e~ir? 'a u,7 en l.'f Pf'rá'?'1~i'l1' s_u'Bt~~&ente es ¡:em.pre rgual al ;;tupbÓde la QPscm~ correspondIente lit p-wn-to de contacto. ~ ( • \' l ._ t . . .-:> ,.. La ~ ubnormal sera J' (\ - . , ~'-::r

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que representa 'todas las, s~cciones cónicas, á saber: Ull .$:fn; l!¡º, ¡~~\1:y].~o,p~2a 'JI se.. t,0tn a el, signo -:-, q:l;!~ :J entónces se conviene cry .z2=zax- x!l; un~ elipse cg~ID.dº· s~, toJ~ ~ ~l si,gno'infer~@n l..ms ,hi pérl:JO¡a ~¡¡]!:v-o do se toma el su perio;: ; y una parábola cuando se sÍ!PQn.e za=9Q., :.. p.ues na9iepdo Jas~ qp~¡:aci0nes iqdi.\ ~~fl

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cadas se tiene 2'0 ,. ' 1 .0.1I S~{Ii{~ ~, . 2a '. ~l~ , -y , -~J~(l': '11:: 0 r ~ ~..:J, y siendo 2a=00, desaparece el segund:o término y se "

coóviel'ts: da)¡e:(}u~~~s¡n" crn

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SUpl,HlSlq ,jiifer'enciaado ,será ' d·z' '!- (p " . .,"""-,=,,," , .'. 2 U'-::!Z 2 ,x, 1 ." p.IJ" --,- .... a" SE"

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Con estas fórmulas es sumamente sencill<;> el

f'i.rQf' t'aflg!lfl~~$ ~ lqj curvas. El)' efecto" dado el punto de contacto, per medio de sus coordenadas ~e calcuI


11\8>

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cÁ:¿C'triÓ 'DIFEilltÑCrA-t:; ·

lará la subtang.ente; ,y, tÍrandb p'6T el ~s'trelJló 'de esta;,! y el P).1nt0 Ae cb;ntacte 'una lín~a: , esta ser,á - l~ !an. gentey -y la 1;>erpe~dicuhrr 'á .esta -en' el;'ptq1te:a~(::on. tacto será ' la. nornild, Taq¡bíeq se puede cálc;ular la s'u bnormal, tirar despües la l nÚ'rJ¡áll ~~ Y. laJ pérp~Él'1i1-~ cular á esta en el p.unto de contactó' será)a i:a~gente. Si t.e' diese di!sde luego la , sii5tang'erlN ú· s-ubnor.ili1tjF,'I , ... • Y,se buscas~ el ' punte cl.~ , contacto para ,tiras 'fa tan,"ént'ese , sust,lt"li1.r,k~lefl~·sli ec,na@lefly¡hJi.\rálQT d:i'c.l.:O, ' se despejaria la abscisa, y ~e ~iFaria la oFdenada para. obtener el punto de eonNfdo,: =..x - :'..'~ • " 186 Siend? ~l áreo MeM~ (Hg. 37) fu'a yor que la ' ., o '1' ?,~:'" M r' ' -} t ~ ~f ')) ¡;1D.~ - -: .'::;¡ :::111:1 eM • ctterda MM'; 'la -razoa "' o., ' de'la; d¡:{lé'Fen~ia 'liel~I'" ~1 ,

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á MQ, ó que su igual--; á causa de los triángu. ~:! ... ~ :., ':_;1, ~ {:;.PS ~:-'"J~c;,!:r .. c. .--Y:'=~: :J)lj ¡ , ~ ~ -' ~ los sem~jantes MM'Q,MPS; ~~~o':.cuán1:ci' !m<a;s ':s;~' ra~') cerque el punto M "á: M~ tantd ' ma la· eijef.diá~ MM' . se acercará á coqf:undirse con el a,pcQ-1Y,leW; PQ~con.

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siguiente tanto mas' la primera - '- --de l!sla razones MQ o

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MS .l -, d' se acercara, a, .1a segup d, él- - , u~ manera¡':t'Jepu l¡ PS -- ''. ferencia .llegará á ser ~enof que; cú~1qui'er cantidad dada, pdi" 'Peqú~ña? q.u,é se~; de deJ:ilde 'éó.ndúirém-es .' ' . . MT n.l e , 4-~ que el HíÍiite - ,-- / de la- segunda de estas razoneij P'T ' l" ~ ! . ' . . • . ., .' , .. '. MT' será igual al de la primera; luego la 'ra~on - - de o

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esto es, ~a rfJ'Zon dé)la tang.eñte con la ' orile,n adá, Ó de la normal con la subnorméiJ,;}e una línea {¡Urva , es el límite de lq ra'Z9n de la di{ere.ncia del arco tÍ 19.di. ,f.,et re~"' '''' '.J:_"' q-,~,... d ' n "J~~"~' .-, >, e ' ""'" l' ne~lJ 'we' va' or enau'a :' -, , .. • , 18'7 J1~Héb].ós ·dielió~ (9· n aque por el 'c enno la h.ipgrD'01F~Pse· plJledéntrra '~ ufla'S~líl1eas' , lal slidof.!. fcfué ~la ·'eu~rlra¡:se!.V~ acereahdo continuamente' hácia ellas, y jamas las pueae enéontra'r~'y :qúees-'

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l>~Lr CA.!flGlfr.~ rD!ln~1I!~~IJ:l.4r

tas; ,~~¡ieaS:l s~~H~rp~!l: a5.Í11t~1iJH :'F q):l€,~S, \11;! ¡;p,i¡$~0 !..qU~i si dlJé&.~,q1p6 tangenpes al mfintto. !' ~ ~rA4~qeln(')s,..on;lici.ilQ'~h~!'!~J!.rmh~~~L<¡.§ ,)Jpo:r.qJ.1~', JQ.S; métodM ,'son c0mp'licados, y lo dejámos Rara hacer4 16,¡p;Qk eLCálcll!Ii?..l fi<i't:t~Jildj~t, ~qi.lle J~~. d'~~~~mif.l~ c:~1\

la: mayor fac,ilidad. . .s~~· .i1:r¡<i('~:' ~ eb clM ~ fEb .efecM)[,1:¡i.íla.'lc.Qr~aaA~¡(¡fl~. ~~, ctll:~eJ.una asíntota BFr, á m,ed¡i,d a que las coordenadas 'x, z, a'umen tan i: tos.~p.lu:¡iGS ' ~ ~I'L. .1tto~MJ,{t!ji!i§~ti-t~ :;l\:'J;l'j encuentra'1 ¡ 'sus ~es ;se acercan continuame~te á. su s lío;¡ife§:;l:és,pecH \1:Os.:B·, .~,;;o§in:QIWTJ~S GPlI~~1! confundirse con eUQs.,...Por consiguit:n~e para cono: cer si una curva f~ ya ecu,14:ion es dada, tiene al4 gumr-¡fSmt>Ota, y ~~n-le~so ~~ la teng~~et~fI}jnar

su~;p,osíqi~n, ,~rl-,mi1W.r.4n. ;Í{>~~twes ~e,::4I[HJ¡ AL~",(e'h valores ,le X ó ~ por medio de la>ecuált,ón de . la ct;l:f'ltcr;' -y'--sj nftciendo x ó. t.":!t:.OO',"fe;"uttcIn. lq.f lími·

t6:S-1ir,tt'9s .~B " ':dli ~:JA.f&cta ~Blj, :que..pase--J.9i'~p..o~ §$<~, ra una asílltota de la curva AG·o :";,0 ASÍ, lo primero que harémos será hallar los va ~ lores de A.T , A~ , para lo cual fé~f,j.I1&P~S,~ ;.lr~; u:, '. ' "r'" '~d~ ~J ~ <-ro ,..,A:r : =PiX 7:4P=-= ~-7"il~t :~:J~)~ ~! orcsil-.i7l'1 ~'~ -:"D ' - '1."-,:: uZ~.,)

y para A~ los triángut~~¡§.~JD$<jap~e~ r':f AJ.t~.p¡~N.J,.?

' daran 1,

TP:P 1 TA A PMxTM *J~ ::,+ : L_ .,I ~ ~ .I_ ; ;". _ b , TPl ' J t--.- :--::--'-- < 7::-., <> " ':-.: -:-

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Yr ' I~:se&~Efl3 ·i?0l;.,~ ~ }f!S( ;Y~10f,~s ,q Ui'; . t,<?,lHeq \ es~as ' ~ant,lfra~~~ ¡-!!,ll . Cadil:, C~.So lo' pait~cu!a.r , 'id~;efJ.?:lil?ll.rárp: d?s .. p~~tos pC!r don~~ :.s_e. ~ir,ar~n.las t;e~ta§ . q~le se":) ral} ~~~tot~L4~, . 1a..: ~Y.¡;~~I. " 4 • l." •• , r. ,\

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y had~n~q_-....~.jn.~nit~ r~~~s~l!~r.i"4~o;,,B:¡=+o,; í:"

par G~a&igl:1Íefite la- E!-uT~a· ptopues~a . tie.n ,e, ~s-!ts·ín­ totas, q ue~ pasan parbeI, oTíjefi B, ,lá ' u:tiaJ enéfuía y la otra debajo del eje BD. 5 "Wp 'o. 'te:¡ Perlo como eSJos dos va10f~., eo1o deterillÍnan el UEltrQ~.n~se B@Gesita-etr-o fu~to _par~~~,a;¡:la poflc10n ~e_Laj!Sínt<ita-, h~ rémcis ~) intinita ~n la espredz :~ .' .' . . si0n dx~ -q)l.5! .e~ Ü.7S)..;la ~~:pgen;e . ~rigo~o~~rica ~e~, _ _ .._ _..~ -- ,

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ángulo MT~ y resultará la de1'FBD que' la asíntota forma con el ejeAe las abscisa~~or.'lo q~~q,~tli;!t yendo ti:~aJo~ eu:el::de.l~~e!!t5? dtfe~1t ' &2:"'+ ·Zfz'-x\(':;:!:.: b~ .' '. ;: "'-: I\'n± tendrémos ' z Q ± d", a ZI Z + . ~?V-xz~ ax~ ~

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~ I'jGe!?IJ:l§ 2.Bbnq.~;,oo:; ~ ~ r¡ h .r¡r::.,il') lr:t ;·.t o iguales ~ segundo semi!Íe b, la rectas BE, BE', se~ ráI\ ~l~s , a~íntj}.ti\§'~de.~: ~pérbo1:a: C4;C.'l.:.a • -¡-¡ti!)') 11 19 1 .Loo puntos q l,le se llaman singulares en las curvas, coirtg igu~l:tnente-1.a euryatura de estas 't:n cac da uno det ,sus IUlOtos , se:.deter81.iüa tarnJ;¡l-€n tacilísi "'-, . .!! _,":..... '" l . . ... .t ~ mameme p0r -me<tlo del ealculcr'dlferencral.


D"·,~km~Ó;r!>T:Fl1>ro;¡N.CUIl';¡~

i:~!

.1 ~ ,

1L / . 'De los coejieie[lffes -;di!e~inéia~l!s( de e/ias; Rupl!rfic.ié.s :-c..~¡I! ~I

vilineas , ¡JI' t'as súperjicies de ¿os cuerpos áe revotucion , y de los votúme'r¡?~ ~e .esfas, . ~ y.b.:=-tb o ( - ::=::: L -';Ónsj 'J2 0a~IJ 192 Hasta aq·uf hemC4S encÓ'ii rado los 'coeficientest'!!lif~~r1Gl:ltresi.tI,~u Fra:fu pCÍ'0n~a I:qmmiJa:d..e )X;. arhte.;o:l ra;~.e·0áio .. en:m f¡!)¡iCÚ'pVáitral eóm.'€l ia:ftF; (fig. \4':í), ~eh funcion de . iá:-ltbs~isa~.¡l¡o : -st;)l'o 'la :OT.deíltada· BM, si'póh tM~i~ eI.a'i-tlo S'A"M? la; súpprftéie;~P,5 lif .su2enfi. de;:,yi[el ?V01.¡Jrr,¡ftfn¿c\!el., huérp0 'lq uef.orijiha.1ria AMPt'Al jr.r'3:t;';aQ:;r~d'.e<!l.:OiJ~e5Al?: ~vaiiro' áa eni:onm:ar sUS::.eo:e > fiGr@Íl Í!~s ,diifel'enci'a1lé'St"D~ lars tl~Si ~irFlcina,s~ yaRLos Jtei'~

n.B'!l'0s 0~Y¡~!W), 'y.'a'sí~ pasa>rémos~l(!)'s

~e,laa ,tre5:>

tmima§.':;$;'¡ .sI .R' 7\0; o.l:Jr'!'l.d:!í . ~~:;n1 qil? ..,b1{ .., t n ~C !) Para esto llamarétl3Qs, ,rfc),l áLsu l'eicliGier-A.;l.\4Pr ;#b concibie.nd~ ~~!l~: ' ar mSF!i·~~..:Ap=x5e ~<:~. vierte. en. ~=x . ~;-- .'WS ( U'-í> .1) entóncei z=PM' s cOI1~ertiri en Z'~P'M/:"""Z+.ó.Z •. y,la su phficie 4-~~es.e!lt~.t!..a.éP~H\5e converti-

s

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ra en s'=AB.!M~-A:Fl\.!J iJ?MeMl~~r~s,

y Lls será igual á AP/M'-AP\vr-=~MiM.'P!;

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pero "al paso que fl",..disminu ye r.~ , tra pecio rectilíneQ PMM'P' se va ~eDtJ.an¡\e'a )is;láe-R:Il~fl-eia.?~ue podrémos ha,c er que la diferencia enfre }(licuo/trapecio y el espacio mistilíneo igual ~o1il ~iií:llttgué á; se~flE,em-pI.t

~..s~a.l'<1.ui!.r' c..~~~ d:dq..; ~ClI3~~.i(!,.(.~~,q~ ~J. ~{~-a • '>'-- ,

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s'~ '?~@de- a~e\rcéf@'á ~~!~fa:átd" &OtE;a ~~~q¡ uiera ~ 8 \d['4 / "'l<henqo, port....ó.",,' endré!'Ú.o.~ q ue, z+-~:.ó.z se pod,rá

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la funcien de " que esp,r esa ·el volúmen 'del cuer.pO\ engendradp pOI: el 'espac~o "APM, en su revolueion aL r.ededOf:.deI eje A€:, ei-va," JÚlnen 'd el cuerpo engendrado por. el espacie PMeM'P' 'terminado porel.arcolMeM', será f:¡/v, y eLce,no trlÚl. cad'O engendrado por el trapedo-EMM!P! será igual: ': ' . (l 42 '3 esc ) ,, ~, ~ ," .~,- \ : pp' , " ..631:' 91'(P~2~P~X.J.~:~+P/~/2)_,==~(~2+.-Z:;~+~t.:}_.. , , . '. - '1_. ,. 3- " ~ _ 3: ';:', \ , ' . ¡;, : ' ..6", '( ,.~. ~ •

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:~(3Z:'+32~Z+~z~b . ~'1t\~~-:~Ai~~ A"7 - .. " " 0_ .3 , .. ~ .,c ,__ d,. :,.3." yo pasando á la re1acion"se"'t-endrá '~ ~"Ó1'.orU. por trapecio P'M:1Vi'Iv ~ .~~(:i 0 .~:¡;2~··· -91' z2+ z Az+ __ ' ;.

. :-"' :;.)

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j"

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I~'

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v",

_'" vi

3, c..i \..J AV' " ~

-

\ P,el'(i)e~taé. relacIon -se. aproximará

tamto mas á __ . > ~_ r: i .Ax. -cuanto-mas se a,c erquen .,¿l" y ..6:t á ·su líqlit~ cero, · de modo 'ql!le sU'diferendaipuede .11eg¡{r á ser menor' ..i

J

:

.)

'

.

'

. q,uc.cualC;l WCL', camidad por peC;l ueña 'lue sea.; luego'


~n6

Jl}l;¡r} O.ÁL~U.kO m~'E!l-~:!!G.rt.~

~ '·H.s.' \ ~O'\. :"¡;'l !. \ r. ~ ~ )i ( ". d'l1. sus límites sel'anigu1de's '7 por c~Bsrgu'Iente d~ ::::1~1~ (t.

<,

'

...

esto es" igual á la superficjé ;ae.l;-~í;culo que describe la ordenada PM en su movimiento de revotucion; y ¿iá\:di[er:eNciaíl ctV:ch:t~olWne.q: ~e.rª.~ª:p::;:~~J¡df' ~" "b

DEL INTEGRAL. ... --e-kLGULO . " ~

11..;;

!>

~,

~ J "

. -:- ' ,--'''~ ....

e,: ·.~o"l

De la integraeion de las' funcione~ racionales dc una sota_'lNJtÜillle... , ..;,. : . . . . ;--t~'.

~~, .•....¡ ",'"

\(' --

....... J

- . !-!

,.;;. .

::'=-.",

v

El cálculo l'titegráhiene por, ebjeto, segun shemos ¡úlªnifesf.acl'o '( 1-2 5)': el det.e.rminár 1a ,fff1lcion primitiva, .dpddSe"t Vímite . de· }a relaci.on entre e.l incremento .de la Jf'lmeion y, el. d.e/ la aJariable. De ,dond.e . se deduce..q u« sié1'ldo in.versb.::rdebcáh::ulo difer~n.Gi_31, ,'las reglas q u,,':se ¡;len _para JÍmt€grar.., ,hah. de .s,e r ll\s 19;

..o~uestas a" ~a~_ q ue'-se _cl:ierO~! p.aF.~ tdiferenciar:. '" ) La esposlcIOn de los pnnCIpIOS cl.e :,este. cálcuI?, presenta divisiónes análogas' á las que/ nos ofreció el cá:lcuto .a.iferen~ia:l:;\ y ~sl calÍl0 \,r.';n~tando de . est~1 aplicámos primer.o las. reglas de diferenciar á las funciones esplícisas 1 tambien principiarémos estas investigaciones 1>0r-eI-e:as0 ~eru q.ge ~l· eDefict~l;Iie ¡:HfeJ:encial de la fundon que se busca, se da ininediatamente en valores ~~ las variabJes in.sl~ péndiente$.. Cuando el 'é:g"efi~iet;te- -difér.enc1af -d.-e:- prim~r. ó'!i.den:'d.e_u!Ba-.·f.YIl'ciou (ie',;x , viene espresado' en valores de -"', se tiene

_~' .. ,

d

. ~=-~~

~ d ",

Ó dz

' .. :-.:;:1

r.' 1:."

,

r

f',,1

Q. _

.,1 J

.t

.;.

\O'

,.. . . ~,.~ .t.uc..;.. , f

~l!\X, sie~'io, J[: _ .fl x~lu~~9 laJH..{li.i~ñ

.::':'--i .. - . -_ _ __ _ _

buscad~ es aq u~na cuya diferencial es Xdx, y se.indifta P?niéndole uaa f ~nt~; coa lo cual quisieron dar á: Coh~)ccr- ló's pt.i:met.os ~:ih~11li'0l:es · del t:áh:ul~, qJe la .f undon equivalía á la suma de las diferenciales,- AsI, z sed igual-á f.,Xct,,;; y se v,e q u:e la_cn-a¡¡·terístiGa f .es:la "Opuesta á l'a .d.~ Para. ha·li~r esta fun-CiOfl 7,e-s· n€ce~-al'i.o iqves tir !as .reglas de.la. diferencia-

I


;Q:BL, :CÁ~U:W: "N[.I,\!ro~:r;

-

.12.,

don; mas á fin de prq~eder .con método, tratarémos sucesivamente de la..s_ dife~!)t~~ fpr,Í1í1<1l$.. <;J.\le,':-pu~:e~ ner la funcion dada x..,'-y que clasificarémos en fllJl!l. ciones racionales ., en! f~Qciones irracionales, y ei!I funcion~s trasceitliS!!ltes -; cl.~~ªt~, ·mg>Q.e¿ 'J ;(:~ i~ vI

"

,

'

.)~ '1,(JJñ~ t"~ x?,.:+.J;'~fÍ'+11,c•. \

;

.FU'nci,ories-racion~les· ' i~~ ;'irx.~ j.{:~f _+~'C: :,ir .;

¡

!.¡,; ', ' --;. ~

,

.'

r

.

- '-

· .6í'."ml+B/~~~c;i,xPl..+:6'-c. ji

\o

;

l'

Funciones irracionales U5<V n , . .. ...o- _ ,,4 _ .

ti

~ ~. ¡:

I

,~t, "'.1 - - - - -

Funéiones trascendentes F~'(U).V), F.(U;sen.:V))'\14!'.. e

,<.; ~ ~ ..... .. .';'" ,n't <.?~l· • • , ~~j :r.¡-' j U. ~, ~j; . '¡'96, Supong~os . q.ue el, ~{!)efiCieate ,~f~rencial;¡; I

~sté reée~,er¡~ac;lp, p~r, d ~onorni0 ~m: y .teruk.étnOf d:z. 7 ','" _=Axm p,e,donde

tix

' .~ ,

.d:~=Axmd~' - ' .' -',

,

-

"pero cuando tpitá.~os ge"diferw.o!ª,I¡"·lJ.!llffionom1C!l en . q!l~ l~ var~able estaha e,le.va:¡:ia á pote.ncias , dijimo-,s ~ quej~ T!Jultiplicaba ~t , cspoT)¿nt! dj· (q. ,p,qtcncia por ,el : ?~ls:mo mO!lom~~, 1ir!Jin.UYeyí~o eJr'el¡f~n§~l~? ' en una ~ mi:Jad, y mutt~pltcandolo tod,9, por, .~a, tltfcrenGiaJ de ~Ja ;1l'J1'iabJc.; lLl ~gQ a.gui ds berémos 5!~t<'!ºlé'Cfr:l:a.li regolas .en un 6r~~n jn.:ters0, gicien4s> 'Jts~l'íma)5.t t,t di·ferenfj al ,... .au?~~nteH ~'I",a unidacf, !JJ.,~$ipofJent,e , y íPq1'''; • t~se. esto. por .el ,efpof}e,ntc qu~ Jffcct4b,(~ 4 ~a 1J~ri·"ble . despves de aumcnt~~ ~en. una :,t!nj~~d. ; .en virtud de dz .+, ' cuy~ l~g}a tendrém911 que ~iendo "P" ;;::::;.Ax"!!, • v.'X

_

Ó d~-4x

...'

m

-

~, ~

,.-'

m'

dx, sera z f.Ax dx

..'

To~ndo

~ A'9cm:+- I

.

, " m-ht casos 'particularei se tendrá ~ que si


~.~,~ .. /

r

(

I

,

~

4 . .'

11(/-' • • •• " •• •• ,

'4i~=4a",~d",; ~~.-deduce- ~ ~·}~-l'I ':.. ax4 ; ~ .j~\::JJ

. .

si

"':/.L-, . ¡~ ;

1 •

_~ •

(; 4 .. : l ·:

' Sb'~ l¡Ó~ ' 6",10 ' dz=Sbi 9dx-, 'será. z=~"";' " " ~é. ' . ; .. , - j, :.

, '

,:

10

:_1

2

1'97 J·faU';bieA ' ph-dríamos :deducir ' de cada regla del cálculo diferencial, otra cbnt¡;aria en.. el6. ' int~gra¡'; .. pero ahora' sé'IO' notar'émos' que, pues la< diferencial \i~ uñ~ runl'l<?n,.era la.mÍsma. que la de la funcion a· compañada de una coristante p~r v,ia de suma ó de ,;esta , no sabemos si la integral 'de A",md", , es -

~

\

••

,.,

Ax1ll+r

f

\

ÁX'"¡rlT-I Ó

I

..~ .

.'

¡

, ,. ',. ,'

+B,

es

, ' . ·;: .rl m;+:~ .: ,{ : , .11ZfJ <,~.' ' . . ') " , ;siendo B una' constante cualquiera; y por, 10 mismo --debernos . d:éjal'. 'ñ uéstra- mi1¡iiá? duda ·es pl'esáda., 'añaruendo á la integral que da el cálculo u·na constante . ;iadeterminada ' .que· seña·líttétn0s' con 'la: inicial e; :1' dirémos

, ,

Axm+I

que.F.21x~dx:i::::~:+.a. "

',

I

m+l

'.' .-'

.

, ...

,~

1] \Esta~éOrisfahté;s'c '11i tÍla'; comta~te 'arbitraria:; ,par 'que €uando·!t'tO llay úii1guna dtcun'staricia'que lá-iie-

; 1

',term}ne" la' podemós ·e1ejidi,arbitrio. La ic1t'egral qúe -da el cál'Culo ,"júnt'a'con 'I¡h:'cinstanie' arbitiaúa' ~ se !.llama integf..atc l:o'mpleta~ ' ," ,", • I >, I , .. -• •, ~ - - 198 .. Cu~ridQ se qu'iéf'e 'Ínteg'r~t' ;una espresion, se , debe ' dejar' .indete'riniháda 1'a constante'; y si s'e :. pide - qu.d a tl'ete.Emjnemos ; á lo \lite 'sé 'suddlamar ;c01f¡pJetar <tes. integ.ral, enEónces 'se a,e be'pe'dir la: conüieioh. !:.J Así, supohgamos :qu'e se 'pida cómplérar la JnteAxm+1

é

'

gral ~. , de 'm aneri 'que"séa m+l

.

ígua-fcon ljlcuando ,

"=a; em@nces .sustituirémos a ,en vez .d~ A 'xm-F r . .

'.

• ' ,

... .,

!J! en la es-

. . . . .0 . '

..' ;

. . - ...... \

.• . -.

'

¡>resion -.- - +C, igua1arémos esto con b, Y de 'm+. 1 ' . . .

i ''¡'

\

_,. !

f.

'.

~

...,.

.,

'.

~


129

DEL CÁLCULO INTEGR..AL;

esta ecuacion

despejarémo~

'Aam-t-r

C; de ¡podo que será

,/

"

A;m-t-I

---+C-b, lo que da G-b- _

, !:'

..!1J+I

m+1 -

I

por lo que en este caso se tenará ,. ,

'

::4;D' f.Ax 7ll d x

Axm-t-I

m+r

+b~

A"m-t-r

1' ,

_. m+r

,Ahora ', cuando el '~álcuhime'gral se aplica á alguna cuestio¡;¡ ,' ,entGnCCS esta mi.sma debe sumí:. nistrar la condicion con que 'se ha de determinar la c0nstante ~ de maneJ.la que el resultado' no convenga sinó á d~cha cuestÍem. Bara est0, lo que se necesita es conocer un valor abs0luto de la integral; pues l:estando de él la integral 9 ue da el d)eulo, tendrémos el ,v alor de l~ constante, el valor absoluto que se puede conocer en cualq uier cuestion es saber qué valor

C" '1'99

tiene ta variable cua-ndo -ta itltegl'a¿ que espresa lo que indagamo~ se t"ed,!!!ce á Cel"o; y por lo mismo vamos ~

manrfestar qué .forma tiene emónces la constante. 200 Supongamos ' que P sea la integral que da 'el- cálculo, y... tendrémos q üe P +C seF>á la integral :c'61Ílpleta; supongalnos ahora que sustituyendo en P 'éILva·lor de la variable que ha de reduci.l' á cero. la 'ihnegral c01I1pleta, s'e convierte en Q, y se tendrá Q+C_o; lo que da C=o-$.2' _-Q; de~ donde se de'd\lce que en este caso se completa:"la integral aña'dief}'do á la qúe ¡jo, el cálculo, t,o que \resutta 'cVe sustí'tUil" en la ínisma qt~e &a el cálculo ,el valor de la va'ri~ble que t"edtlce la integral ~omptetá á cero, y ' t?,

'mándo todo esto con un signo contrario.

"

. Así, si nos propusiéramos integrar la espl'esjon '(i 97) de manera' que la integral completa se redujese á cero cuando x=a, tendríamos 4 a,m-+-1 ' ---L--¡..C

,

-Ad1n-t-r

o de donde C=----, lo que da

m+l ' 1/1 1 A ,,1n-t- [ A p.m-l-r ....... 1n z· f.Ax dx " - '- '-'=

9

T.

n.


1,30

D-:J!L CÁLCULO INTÉ.GIlAL. · A(~m+I_a1ll+I)

--'---

""

,)

-- - - CM).

7Jl+l!

Si -la ' ~uisiéralDos completar de m4nera que se redujese á cero cLl<}ndo x-o, tenc1riamps v •• " t1 111+1 - . . . • - o ,~c o, de donde e 0.. ; to que nos dice m+I

L

\,

..

qúe ' cuanao ·la' integnil compl,eta es cero al ,rr¡.i!m" ,fiempo que ta variabte, no haij término constant~ e!l fa funci,QrI. .' . _ , Por lo <'l ue la integral J.Ax 11l dx, en el sup~is~Q de convenirse l.

~n

cero cuando x=o,

eQ

A",m-t-'

z=--(N). m+r

Cuando se señalª en general Ja'esprésion f.Axmdx, J. Xdx" siendo .x:. [(x) se lli;u,n a integral indeterminada; cuando en virtud de una de las condiciqnei de la cuestioll) se determina la constante como ~c¡;; . bamos de haeer, se dice que s(,! tiene y.a la in"te.gral ,comptet(¡: de ,manera que las ~&¡;Jresíones (M) y.l~) ~on integrales completas de}A x11ldx;, la primerae $J~ completada baje la condici¿n de que roda la itnegra) debe reducirse á cero cuando la .variable pc=a;. y J!l se,gunda cuando la va.Jiable x=o,; pero dichas integrales aun no estan entetamente ,determinadas; pue.s que €ualquiera de dichas es presiones puede recibir ' tantos va)9r\!S cuantos se su pon gan á la variable.",. \ Ahora, cuan40 á la variable que contiene una integra! ya cOlp-pleta) se le dal un valor particula~, emonces el valor que resulta par-a la integral) se llama integrat det~rminada. Así es) que si suponemos x , B) en la espresion (M) será ' A (B1lI+I_um+ 1) 2= (O); cuyo valor está ya ~6

1ll+1

absolutamente determinado) pues que está redudJo á una cantidad llJa y constante,'


D]!;1!. C:ÁLCU7"O' I'NTEGll Alí. ~

13 t '

!,alor á ¡>; e~ la espresioCl I __ /J.B7IJ,+I ~ (N), se convertirá en :z= ¡ (P); que tam~ ¡ ~' , ~ . . , .:.' tn;,t;l , 11 J )r.' ~ie,Fl dl l!.lldla deJ tode" pUllt<2 ~eterminad(j). 1 .' .. ! Para indicar las condicio,nes con 'Lue se pide el def,~:vJnJnar las integJ:i¡Je,s.:, :se ,ac0s~umbl'a.lo mas Re-' neralínente el poner al lado derecho del sig no J de 1.,!;i!)J§gral por la parte inferior el primer ~alor que' s'e sup on,tr á la variable' para determinár-la constante¡ arbitraria, 'y por la parte su periol' el v}110r .q ue reci be la. v·al ia·bl~ pai'á determinar, t-etalme¡¡¡,re' la) ínt~-, gral. Así es, que J IIBAx7J.I dx espresa el valor (O), y foB~xmdx espresa el . ~valor\ (P); Las es.pr.esiones a y B de la primera, y o y B de la segunda, se dic~ qJ.le ,s.o.rulo.§ tíJ·I~itei .ef¡tre que $e toman tas .·integrt:;tes., E'n generaJ, su poniendo que una integral se ha qll t~~.~€-r¡:F1iflar primero completando 'lá: integral que da "el cálculo por el valer d,e x '0) y des pues sup.o~ie¡;¡do á ~a var'iable x uñ"valor Xc) se· úsa de uno dtt~ e~ tos ges med~o~ , . X -, Suponiendo el

rriis~q

f:9t(e?~~ " ,ff(~)~x (~) iJf{x~dx (: - ~P ).

1~ , pr~m~ rtt

de estas nptélci0nes concebida por MI'.

Fo urier, es la mas simple Y 'la qlle está .mas gene~ r~lllTente

adoptada. . Nq .puedo dejélr. de indicar con este, motivo que Mr Callchy) de quien el cáleulo infinitesimal ha re~ cibió,o muchos adel~I,ltamientos) acaba de , publicar ,una i!lJeresante memoria .s obre las integ;'ales deter- _ mi.f!Cld~s-.,. tQmadas entre límites imagi'na·r i,os..

, De aquí en adelante q lJ,ed:ará indetel'minada la constante, á no Sil!' que alg.una investigacion par~ ticula'r conduzca á 10 ,cont,r ario. _ -'. 201 . Antes de pa:sar mas adelante ~ onviene exaI}linar un caso particular eH que el valor de la es- ' presion (M) se convierte Iln g, qu.e es aquel en que m=-I; porque entpuces se tiene


DEL CÁLCU'LO INT~d-itAL. ·:

( i3Z

,

A(x¡' ~ aO)

,"

¡.( O" ¡.

z=

11(I"'...:. i)'

.'.

-1'

g.

-o _.:..~-. "

,

Para enc'ontrar sú verdadero valor es necesario recurrir á la.l'eglá (173'; Y .C'om0 ' hemos Lhecho ;ver

. h

~

<' GáX~bX

.~,

. "

(i7.4) que-.- . -se redueia á ' J:a-f.b en el s'úpuesX

i.

:-

.... ,

;'" .. t'

(.

to o de ,X~0, tendl'émos que en el 'ejemplo ae-tual" mudandr® las letras c'onvenien:ie'tne¡:lte, será , , t

z=A(l.x-l.a) ;' pero cua:ndo m=-I, se ,, '

"

Jldx

' t~elile

, '. !Í<h;.;

di=A",-:-:Itlx ; .1

. '-

'Ir

t_

.

Iuego..da.=-' ,da z=A(l:",-1. a) , Ó z=Al!x"tC, - •

.

- r__ x

~

-'{

:~

.

I

. ' Lo mismo se hubiella ded~cidt> de lo diGhó '( [ 56) •

pues se tIene

:2

'1 . dx

.J l!I.,

(

·

.

·.'

x=-; y .mamúesta que SJe1n'Pre que x

~

,

el :mme;ador de , una' fracción sea la diferencial del de",:, 110min(, dor, esta fraccion tiene por integrat. al togárit-> 9110 det denominador. .. 20·2 , La -eS ~ epcion C¡Uf,! presenta aoquÍ -¡¿i ' r.eglá. ' (200) pl'oviene de la imposibilidad de éspresar la u-anscendente 'l.x por un 'númerd 'fitrito de i:é rtj~inó~' a!gebráicos. . ' Toda la dificultad de la integFaCion de laS:¡·.ftlh. clones de una sola variable, 'consiste en la .invésti-.. gacion de las tran~fo J.tma¡¡jones, propias pa-ra r.edu. cit- las fundo}1es propuestas á u¡:¡o , ó: rnu d~ 0s m.ono¡'· mios",. á que: se pued~ .aplicar Ja regla antecé~e~ te • .Lueg0 " S1o se tuVleSe dz=ax mdx+bx fl dD<i+éxP,tlxl ' 'hallariamos inmediaramente (§ 19 6) '¡, '.~ e" a ", In"'¡-I bXf1-¡-' I - cxil + 1 z = - - - + - - - + - -'- +C,

m+L

n+1

1;+1 .

)

., ~ 0:J ,¡,,,tU?' ,~

añadiendo mas, de una ,có'nstante arbitra fíd, ' pól:.' que si añad résemos una para eatla mOllomio:,rj uDla& equivaldrian' á ·una sola ig'Hahí 'su oSellna. '}in 'lren e:

'00


DEL €:ÁLCULO - INTEGRA<lL. 133 tal, pues que hemos visto ( 113) que d.(u+v ......w)=du+l1iv-dw, se debe concluir que . J.(au+dv-dw~ J:du'-f;.J.av-J.dw; ·y que J.(Pdx +,Q dx-Rdx) J.Pdx+J.Qdx-J.:&Hx. 203 Hagamos notar desde ahora una consetuenda que nos será mUY ilhil emadelante, y,les ,qhe in!. tegrando separadamente cada-término de J d.ut=udt+tau (§ 134), da ut J.udt+J. tdu; 10 que establece una l'elacion entre las fl:1<I1ciones pri: miti vas de las diferenciales t¡dt, tdu, de modo que siendo conócida la una, la otra lo es ' tambien" porque se tieneJ.udt=ut-f..tdu; " u du d-t la diferencíal d. -==--u z (§ '136), t . t - t -y

.' u dará 19l!1:almente .~ 1 ~

t

. J,

.

dlf

udt

--¡. 'T' t

t

edt u du de donde se sacará J.tI z=_.:-.+J. -. ,

'

t t De que d.aú=a~t' (§ 131), ,,'

1);

t

j,

I

204

se sigue que J.aXdx=aJ.Xráx,

<..

._

'

. 'o.

es decir, que se puede hacer'salir del signe J la constante a. Si nos propasiés'emos d'l.i=( á~+byndx' ,-' efectua­ 'ríamos la potencia indicada, é integraríamos cada lÍlonQmi,o q u,e .resuitase. de esta operabon '; pero.,c,ol'l':. vi'ene observar que se puec!e llegar al' resultado sin ~feduar élr desarrollo:; paTa e,sto bastallacet >áx-t!/;I~) u-b ' du ' l02qllle dar 'x=~, y, dx= ,- ; ti a y sustitu yéndole ea tal·e-spljes~efl,dé d-z,; ~s~ cenvenira. " u 11l du • ' u m+ I en d'l.i=--; Yi·p{ircQl1si.guiel1te' ',1',=---; a a(m+l) y poniendo aliora ' en vez de u su valor, se tendrj.


134

DEL CÁLCÜLO lNiTEGllAL.

1 ,. ;"(ax+ h)11I+1 ' t ,j Z...... LC. a(m+I) _ 1Ci5 PasemoS ahora'á las funciones fracci0n!lrias; y ,COl"! el objeto de principiar ¡;>or,el caso mas ,senci;. ..J ' Ax1ndx 110; S'upollgamos que se tenga d.2 ==---; .(a.!l:+W ' i '. , • ,rl. u-b da hacIendo a-x+b~u se halla 51:::: _____ , ·dx:::-,; a u ,r I

desen~olv iendo la po'tenda (u~bf1}, multipÍicaindo el resultado por dl~, y dividiendo despues por un, se tendrá . una serie de r;nollOluios que podrémos integl.'arp<.tr laregLit:dada -(t96) ... ,. , " ,.~Tomemos por ejJ:mplo el caso en q,ue m-:3 Y n:::z, j

y resultara d2-":: ~ ,

._,

."

A(u~b)3dú '

-

, a4t~

2

.~

.

-

':

"

A

.

<j

aiudu~ 3bdu+3b:1u-ldu-b3u-Zdu); _

J.

(

ro ..,

_

aplicando á cada uno de estos monomios la regla ge-. A ~ . I ) ' n~ra), -tesu,hará 2 =-(~"""t3bU+3b21.U+b3U;-I . +C; 4 a 2 '

Y poniend.o en vez de u su valor', Se tendl'á. p011 ú-l; A

.limo

2--(1

l~( ax+v_y~:= 3b(ClfJC+b)+

..

... .... '~

')

3b21. (a.!l:+b)+b 3(ax.+.b)TJ,)+C. •

I

• r•

.~

'-.


~ --------------~----------~-

De la integrae.ion de las funciones irracionales.

\

~o6 La's funciones. ir"raeionales se deben considerar como integradas, siempre que por medio de algu.na: transformacion se 'hay'áJ;l heGH.o r~cionales; Ó al menos, cuando se flan reducido 'á series de monomios irracionafes; p'orq üe entónees ~e l'es puede aplicar inmediatamente las I;'eglas precedeJ;ltes. Pro,poagámon9s por ejempl¿ la espresion _ 3_ dz ' ( 1 ~"1' ",-,'\1 "'~ )dX,;-

.

3_

- I+v'",

~qU! a~vel!tirém9~ ,que $i .en, vez de ~ se sl,lstitl!ye una cantidad que tenga raíz cuadl'ad'a y' cúbica exacta, entonces se éoñve'rtiorá en una fundon radonal¡ luego si h¡¡.ce~o,s x=uq, resultará dx=6u 5 du, ' I " '.'

3_'

3_ ' 3·...; , 3_ u6==u2; V.?C=v' uÓ:- u3, '\Ix z=VU 1z =Ú4, 1 (I+uL"-u4) . u 9 _u B_u 5 loquedadz . ' x6u~du=-6d!lx ; z " I+U , "';'". oI ,+Uz lo

__

Vx=v

que haciendo la division hasta donde s'e pueda, se tendrá. . , .(

. "

du )

dz=:-t,í uZd~u()iilu-If's~~+~4du7Uzdú+du--Ii1. , , . +u ~

..... ,-.

~

_.

:-

\\

cuya integral teniendo pl\esent~ (16~) que du

" o, ) Éir.co (cuya tll'ngente=u .) es z=-6

f '--~ I+U·

"

~

.

~

U

8

u6

u7

u'S

u3'

I

( 8'- -:"~-+----+u--arc.(tang.~u)

7

, 01

,..

o,

-

.6

;,

,. .s

---

. ¡,

)

3

:,. ..... "'

-

- ...6

Y SustitlLyend~ al'ior¡J. ' en ;ez de u su' valdl'

+C;

V;-;

I


i 36

.DEL CÁLCULO niTEG\RA,L.

6

6

6

se tendrá ~=-~xv X 2+~XV:';,..¡..x-~\I X 5 -tf 6 6 2V-;-fiV·;+6arc.(tang.=V "),..¡..C.

'1 "

De la integradon de las diferencia~es binomias. "' -I

207 Bajo el nomgre de diferenciales binomias ' se compr,enden todas las que son susceptibles de la f~r.•

. p ma siguiente: dz=Kx m7 L dx(a+bxn)IJ; en la cual podemos su pe>ner q u\: m y n son números enteros sin disminuir su generáJ1da¡;i, y por consiguiente todo . está en averiguar en qué casos se podrá hacer racio-

,

p

nal la diferencial dz=Kx~-tdxCa+bxn)q; para esto harémos G+bX'I=u..IJ , lo' que dará .,' I

' ..

, .m=C'b a f

" .'

~!'

,

diferenciando esta espresion se tendrá nl

'-,

._

- m-Id 11; (~q-a)-n=- 1 qu'q~:r dfJ mx x=-;- - X , "

,

n ~

b ",

. . . . . _.

.

".

J'

b

m

!

.

;

J

;,'ru::J

. \

""

i

. q (Uq-~)ñ"""Idu(~l). lo 'que dará ~z=KxbuP+IJ-1 - . . " ' t n " ,. " ,b , •


·1.

)

,

<:t.'§1

DEL ' CALCULO INTEGRAL.

.. "Donde se Vle 'lue esta espl"e'S:iórt será raciónal' s·iem~ m

_

l.

l're que - ' sea: un.número entero' ,~y por .consiguiente en _ n '.1 " u <. '. .. -la 1'$ este caso se podrá integrar; pues la podrémos desenó

( volver en una serie de rp!?no!Dios i¡:¡tegrables cada uno de por sÍ, ' Así, si · queremos integl1a'r la e~presion . :1" ,

2

9 dx,(c¡+bx 5)3, d'Z=Sx . J."

.J~

I

.J

como aquí ser,ia: m= 10 y. n=5 , ) resultaría 1..sº-:-;;"z,; número entero; luego esta fórmula seria íntegrable ~xactamente; y como, aquí K-S, p=2, ' Q=3 , Y u=a+bx 5 , haci'éndo' las sustituciones en la fórmu1'a. (N), s,e rá d'Z= .

.~ . 3 S' SX-u Sb

l208

(u.3_a)'·S "du=-.u (u3-a). ,

-

I

-1.Q_r

1

!1.

--

. b

4

Sb

4 .- -

b

-

.-:I , clu~ "

Pues que ,no siempr.e es posi~le integrar la

p fÓÚlul~.¡.xm~Idx(a+bxl1) q; la idea que se presen..


-138 bEJ:. rCÁL<!:ULO rNTEsRKn. -ta 'aL principio, es, tratar de reducirla á, los' caso' mas simples, valiéndonos de la obse,rvaciQn qu~ hi~ cimos' (~o 3) acerea vde"q,ue f.udtcup .....J.t.du; porql:l~ si se descompone la cantidad j

,-

~,

c:

'

1 -

p

l~

kJ

",m-tdx(a+bxn) q '

L, l j'}

I

en dos f~ctores, .de los éuales' el .uno ·le . re'presentemos por dt y el otro por u; ~e pará.dhRender la in~ tegracion de la fórmula anterior de la ' de J.udt, que ,en algunas ocasiones será, lEaS sillli)'le" que la prO'~ .puesta. 'Dé la integráción. d~ fas cant,i4ades lbgarítmicds esponenciates. . ~ '. I I

'

, •.

j )

Supongamos la fórmlll~ dz=Pdx(I.x)lt, en la cua1 P sea \lna ·funciqn algeb¡;áicil' 4e x, y ten\ .dréÓlos (2°3), que ._. '.' I < J, 209

#"

z

\1

f.Pdx(I:.lt)II=(l.x)tiJ.Pdx-f.d.(l.J)nxJ.Pdx'; -

~

"

y como p es una funcion algebiráica . d~ x> resultará qu~ la f.Pdx será ex.acta, y si la llamamó's N tendré.t mos que f.Pdx=N; o, • dx y cómó po~ otrá ~parte .. 4.(1.~)J!::::n(J..tt~~x -;- ', . r'

Sustituyendo estos' valores _en la ~sptesipn de z será . '-'d«. ," .. . z=N(I.x)n-"rlJ.-(l.x)n- }N. .: ,IX

r I

Ahosa' , .c'omo N es UM, fuqch;¡.n alge~r;Uc~ , ten.

. ' 1 d ,' dx . ~. • l dr é moS que 1a lfitegra ~ N- tambieq ~era a ge~ t_ . !:J()1, ....... í.·~ \ __ _ bráica, y llamándola M resultara que éomo ' "- . ,. - , dx -. - J' O" d. (kx)n-f:=(l1 ....... i)-'"(l. xyz"--", l

.

,

'

t'

IX

la<1llisma advertencia nos ,da.r4 . ' ;: ./'


,

1

l .

r.r

..

.J'~ro si HaIfames ('

"

\

,

dx '

iL la integral de -;M',

I

la misma observac;ion nos dara dx, . .. • . '

J

dx

f'-(I. .lC)~--:--~ M=L(l.x)~-2~(11-2 )f.(l.x)n-S_L; : « .J . ~ _ ' .le

'

lweg.() _z-¡.Pd.le(l.xl=N(l.x)'!~nM(l.x)n-I+

.'

dx

ft(n..-l )L(l.x1n:;-~-n(11:-.1 j(n-;':2')J. "':-(l.x)n-:-:3 L.

x

~ 1o

Don~e se ve que: coñtínuando del mismo

modo, cuando 11 ea un número, ~ntero, como se le 'han de ir quitucle sucesÍvameate unidades, Uegarémas al fin á un factor 11~n, el cual siéndo cero hará rlesapa;récér el último término que se halle afecto· de la integr.al; y como toilas las f onciones N, M, L., '4:JC:. ~?Fl a,lgeoF'"ái~as., ,r esulta <'}ue.Ia f..!.1nclon az=Pd!l1(l-..tc)" tIene integral algebr,áica, siempre que n seá un nq...¡ mero 'e~tero: Sea ~ po~ ejemplo dz=xmdx(l.x?, y tend¡¡émos. ~" .- _;= .. xm+I

1.° f.xtndx=---=N; m+I

d.le .~- :~tn-t.i: ¿.le . 'xm' xm+f 2.° ¡.N- i'--X- :f·-dx=-'--=M;

,'')

';.' ']:=:-' 1p+I.le

.

·a·~ '-l.

·' xm ·

m+I

-

x1ll+1

3,° f.M- f · - - d x = -2

(nH:1rz"

=L;

" x. . (m+1) (m+~.13 . , y tomb 'e-J.\ érmirro qüe debería' segu¡'r , tendria por coéfiCieme 'n-2=::2...,...2, que e~ nuestro caso es cero, .'


:tl.EL. CÁ.:r;;CULO j INT~GJlAn :

12\.'0

se sigue que ya no hay mas términ0s, y resuItará}lUC .~::.

~.

f.xmqx(l.xyl.=NtL~)2;2MC1.x)+

,

2XIXL.(!t.xt=xm+~

2) ' .

((~.X)2 2(1.x) -,,-' -":-;---+J'-, - - +e. 111+1

(111+1)2 (111+1)3

211 Pasemos ahora a-la itltegraciep de .las fun. dones esponenc'iales; mas primer@ notarémos que siendo U una funcion algebráica de aX , la integracior¡ de d'Z=QHx no :presentaria, ni!llgtURa difiic\l1'Jtad; pues que haciend'O aX=u tendríamos xl.a=I.u, 1.u "dti'· 0,, , ,,~~;' de donde x=l-' dx=--; - . ,. a uta- , y ~ustituyendo estos valores se convertiria d~ en-~ná difereacial algebráica .con' relacion á la v~riable u.

ASÍ:, SL tuviÚalúos d,z susúÍtlic~ones

hacÍeF.ldo ·las

, udu

. ¿z==

,

YI-f-a llx resu!tar¡a ' du- ',

.,

~~:------

, u1.aVI-f-U rl -l"aYI+url I 2 rz . Si la eeuacionJ ,(l\;ife.1'J:,ncia) propuesta fuese dz=Pa':i!lx, ·se.la desciDmIllondria en dos Jactares de este',modo-ax.cb~P; y .siendo (§ 1 54) d.~x=l.axaxdx, res:u1ta'rá que ' 1(,1 " ~ ! ,,' •• ,

v

.

~

'_' 'a~

I

aX f.l.axaxdx=l.af.axdx ,é f.axdx-:-",~-.;, ..1~¡

-, por lo cual

tendrém0~ j/:.:-:,:

l.a

?

,


D1Er: eA'iC:ÚLO- 'trNT'EGR-A:t,:, 1:41 + correspoHde si el término ocqpa ull1,-u,gar impar, ~y €I --, si lócUpa 'Íln 1u,gá-r-pa't: · i. 2 i 3 ¡La aplicac~Qn de esta fórmula condu~irá á la'·integraJ 'iexact:ay.si'emFI?e. que P '-sea 'lllná fúnden raéional y ~íuera ; pori1rli,e etítdhGes el' Jfiúmero de U.as

aond~él~signo

- d_P R·4Q dE, cantl'da des Q'==-=-) -"d. , "T =--' • '.< ,d.x "._~X dx

, ~...

,

V IC. "

será limitado, y la última Yj-ser'á cOflSta1jiHe,; Y' - por: consiguiente J.Uaxdx se mudará en ' ,," ........ j'~

~ ~"

~.

..

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~

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r- ")¡.~11c(

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t

-

" nUJ.axdx=Ux-+C. . - .' .... . , l.n: _, ." "Jl ''''.' A ' , ' ....T' _ ......~ _ • -, . Sea por ejemplo P=x n, siendo 11. un mímero en'~ -~

.

'\,

~

r

~

"

."

tero y positivo; con lo cual se-tendrá dP=nxn-1dx¡ y la, ~x.ee:Ullc~on (O) ·se CQqv~türá(j!n ,.... .:..,J.... x.oh. ~' . ' \. \... ¡ , . I x .... 'w.,.. ',tI':'.. d 1 \

. f .ax f!'n dX~---a xn nI.ax xn-JdXi' ::4.t

J

,:.-

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j 1.¡.a ')l~ l..!q.;j . ') ~

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'1

y continUér~d'Oll'a 0pe~icill)fl ¡"᧠' fl~'llará: ' •. ~ -'" •~ -,2- T: i'l'C n.:-l.Mrn....:..2)xn-S 1\ ~ ~ de dónde J'l"! \ ~. J. ' <;IL ':¡,;1 '.~; -o . _ ~ -i."" ( ~ n ' nx n-1 ( 1) f, ¡ nnZ~ .nX!ttl d.l<1-ZjX ·:_ .'-,.,. .•. -F--' Xxn-o~:Z..-¡ . l.a ~1.~)2- -". l.a)3 - ~- .1 _ • ~=n' &"*,,,:l BR=n(n-l)xn tG 1 ) '

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Y'~f"~: n t '·1'J )...... :;)· :. ,,' - ''':) xx n -"3' ;;;t: c.• 'i . . . •) +C _.

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l)e la iniegráci01l d.e las funci~nes [.irCi¡l~:"es. "11

:!"¡,;S Vfl ',

~r

••

h··~·"·".J-i".. 1

i ..

r

'~r,'5bn""

5upongámos~;a ' esprési~h-' ." J.Xd~xarc;(sen', " x);' si se ·in~egra

214

~lplO'~~ fac![br 'Xdx, obs<;r'v¡üld'o' (16z) ' qq,e . Jr', \~ Ir <4':' .1.["4 ,r ~) !. f ' !J.¡ I

"j,

...

I

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d.ar,c,(se~=x)=-===, '~'.Lj

...

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VI-X 2

-r.

-"'1. . ."

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y hacicnd'o ¡'Xd:-.=U, se tendrá

.,._;:,:. , al ¡prin-

,

,


I

r4~ •

,nErr CÁLe'E1Lj) ÍNTEGRAL, ; ;".~

:

"J:l, ,

1,'

r

~

:-.0 'l,Udx.'

)

f·Xdxxar~.(sen.=xv=¡!Z~ªr9.~sep.;-x):,{.' ¿ '_' _ , ; .... :

... Ir') ... ~ 't 1"*' ~. J '.. .. 1'" ; , l ' (; \ !¡ I.......:x2. luego la in~;gr'lci0Q. ~r. l~.! ~ó;m,~(~~p~op~uepja. , . . ~e, ;re., / ferirá á, j,lnat f.ul1cioa 'é\,lgf¡,brá)¡¡;íLSi U!o : ¡;;~ l' I " ..',~, • , dx, . CPIDO, d.arc.(cos.=xT :.-:- . , __' ,; ." . ., 'fl" )

-

,

I

V 1 ~Xlll

d:X

y, dr al\.~\(ta,ng.=x:)=' ~ í+x2 ' ; .

.:.

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~

,

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~

I

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," .-;-+': U

..; \!1..

!,

1

)

~e tendrá obrando I del mismo JI}?do....qUé ántes, que .J J ~ " ' - .,; ~', :',Udx

f·Xdxxarc.(cos.=x)=Uxar,::·fcos.=x)+f' " - ; .. -' r":~,

)~

~

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~I ; ..'

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-

l,! -;. ....

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Z

-

j

" " V Xar.é.(ttlllg.=x)J,.¿ ' ' f.~-Udx é f.Xdxxarc.(tan.=.?t)::: ' -2; '. ." l+X <.' f J l -.. ~ :~ ... : '• . _ _ _ _ _ .... ~';#;;.~=: :. \.= ~

~

y la integracion de estÁs fórrrtulas no q,ependerá sinó de una funcion.' alg~I;>:rªica., siemp5e q1!.e, lA 1,0 -se¡tr" ¡ '.' Z ['5.: _ Fa,~~ hac~J;.....~lguna aplicaci9n,.~~~ ¡¿ UP í1 r co,; y x su tangente, y por lo dicno (1'62) tehdI:~mo~ ~ dx r. _ " 1 1 6 8 ' dz~ - - z~~ dxx _' -~=d~( 1.-:-;;XZ...f:X4~x,:-¡.hx,. W'c)::::;: 1

I+X

I¡+X

~,.

• •

lo, 1 : \ "

.)

• ..J

.

"

.'" ,-

11

dX_X2dx+x4dx-:~6ci~r+x8dx_XIOd~+xI2p.X~,b'C.

é integJ:.él:n~o (i96)Jlos' ~eg,~1~1!-rá , ", }"'= Ji' ::..2:": , 1. .... , 1t . ..... x3

' ~5

~

x Á ' x9

XII

x13

~ ~

"1• .-)

:¡;=x- - +---+----+--::¡::?dc. • ,. 3 ·5_ '::' 7- , ":"~ _\:, I ~ .~ I. ~ Q~L~. "\ donde tendrémos el arco es.presado en"-valores de su tangente, y no le p.oneD;lps, copstante,) pPZ;q ue el a~co es cere' cuando 'lo ,es ,su , tangente. ',;' ¡ Del mismo modo sI'! p.u~~de hallar e~ ~rc,? 'ep va) lores de todas las líneas trig0nométri~as, y estas en valores de su arco; pero aquí no no~ detendrémo s ,en esto, y solo darérnos una idea de1.rñ0tl.0' de r.ecüficar ~a éircunferencia. por medIO de la f0nIluj~ anterior. '


DEL ; cÁnJi:.U «'0. INTEGRAL.

14:31

I

.: I.Ea'l"a. ~SlG., l.; observarémos que, sen·300~t 1 y coso 3o 0-= vi l-i-:Vi=~V 3 ; ., ¡ , : !.J ¿t;Ü(~ -,Sen:"I .......

c:;

'.~~.4

v,,".

l'~

;-.!: ..

' ...

Y COm0 t~ng.=--, será tango 3oo:::: I • 2/ = - ; ' .. . . ) v, . . a C ?e·.J (,' '_~ i.:. '''' ~v 3 V 3.

luego sustituyendo este yalor~ en. ¡'a'1 ~spresio~ \a:Qtt;.~j

.

r~Qr· ,

. ltara. " larco. de.,$Q._= o oos·-j.e$:I!J', "

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-ji¿./ " , 4 .'; """:"i .'~ · 6.·r+&·~ ~; SX3 3 n~.$ v A" ,'9X 3 v _~', I.o~~ ~ 3. ~'Il"' y .como l¡¡ :s'emi(drcunf.eJ'~nciac e'iiazYate á seis veces ~L,arco de 3-0°,..11lJ:llti:plicando 1pé'lr 6 , •.sacando. ~l fil~~ .. L

":i V

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_.

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J'I,() J

JI . "'0 !...~ ....d. ~ r J~,J , )y~ simplific~~o~ ~o~ -

~o~_ ~Oml/.n

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-

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~eJllLC 2V)3X(I.:- ::.

J:I:.

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f.o

~iJ;.,·;:

:?---S+'- '-4-&e.) ;"c.

3X 3 SX3 7:c..;3 t )~ >: 3 ~ " GJ • ~ calculando 72 t~rminos de esta serie:; y¡,Jhacienáo las operaciones nec,esari~s, hem~s.:haJia.li~,<E,,!-nu~~tro tra· tado elemental (tom. § 647), qu~-, ., ::. ~ §emi, C-,-'3, ¡;41' ~92.6 53 S,8"9'V 9-3'2·3:8462.6433&:~· Este vala~ ~ es.tá sac~do en , e1 sJ-lppest0 de A~.r , ~! -ra.die , la, unidad; por to c~l:, ,sktom~lJlos ' aho~ll::ej f iámetre llQ.l" l;lni.dad, este ,mi~Q w-al@.r 's:erA, ~ll¡ d~ ,toqa la circunferenda, l~ Clj.,!J~ será ' J : ~ o ,<j:). '. _ ~C'. 3,t4.H92ºS358.979'3z3'.8J1.~2,643<3&e... q1:te ¡~s el valor de que hemos hecho uso en la Geo9-1e~r!ª elemental. ~ . :. ,: La n('Jtasioq q}le hemos dado · á c~noce.r (§ 200) para- indicar las i~tegrales tleterg:Jinadas, se usa lDuy _ ~frecuent.emente en la resoludon ,de l ~s problemas · .de J;i'ís~ca; y como aun no se halla ~sBn~saqa en niri. gu~a obra er~nW!lt,al de ~ákulo", no juzg~ inoportl,l. no el detenerme aJgun tanto ,sobre este punto, á fin de que los principiantes se 'familiaricen bien COQ di" cha notacion ~ y puedan compJ'ender las. iWPQL'tames

n.

>

_


DEL raÁLC:cr'L@' lINTiG-RAL:~ ~ace¡;¡ del cálculo jnfinitesillliil á los di versos ramos' qe -la .Física.· -;: -.\ 1 - dz ~ \,

f"4=l¡. '

a pli<!a,.eiones CJ. ue se

Csm este _objet0 , obs'e rvaré CJ.H§},,, pues ----====- es

(

,

i'~~-

-

~J'

';"

I

",--=-'::~ro/l-'Zz. ~

(§ 162) la diferencial del arco cUyo seB~ { es z, re~ s-afta, l!!. ue 1

• i-

,

,:

in~egr-ando ,,~,será

dz,

f. __,

,"}.>I .11 11 '1,

-:,

';1

ac.c~(sen,::z:z)+COn.i~.-~~); siendo:

VIL..z2

Consto ta conspnte arbitraria. ¡ " Esi:'a espr;.esio~l, c?nfeJ~me- esth' ~s· ~~;que hem,?s llamado (§ 200)~ lfltegral mdetermmallu. ( ~~,¡!Si queremos-espl'esai, CJ.ue el v-ilortde esta inte.· gral se ha de e!l1pe1J~r fa ceJmal.l' , desd~oel" parage ~en que z=o, esto CJ. uÍere decir, CJ. ue la integral debe 'redu~irse- á 'cerb) ~ur~lll(;i¡¡¡, Z=O ;:C!o:q.ue da para CoiUl; pletar la: integral o~arc.(sen.=o)+Cc)nst.; y como cuando el s}!no es cero, fO es \arnbien el arco, re· ~u#a~q ue, Const.=o ;:.-l':tego la fmeg.t)d .:.completa ·de la espresion Ca), es\' e (::~:. (IJ:·.~. _.~ dz "''''' 1_·~ (.¡. , . .. ji;, . r- \; ... j:'".i(.6;

fe' __ ~a:.l1e.\15e{il.=z), t V I -:t~U i;

t \ \ {

~

'_

t~

J )

"

¡;1

,E Sfa rlitegtát~lln p,{),está de~enÍlin<i.da ' ; pues que ,'iie tÍ~néLI'á -Ulll v.aliDr 'páttÍCular para é!la:; 'jDer@ 'si s,u pdfi~ln<:>s que s,e ~q:¡[i(úta encon~r~i' él v4lor' €le esta mtegtrall e ~a ncdó .ea -ellJa se háce Z±:l~ corno el arco cUyQ ' ~<ft:lí5 eS iglia'l COH .fav uHidad'; fes tfn :GÚ;'ad~a-nre . ó ~'1t ,l1eliu.!ta q ~e ~'l1 .será el valor de la 'ií'ltegral ~ ,~, G , ... "':l (f' , dz . " ,•. ,' (~;,¡: f.---; sypoaiencÍoVqué' se , .principie á. I f,' Vt:-z z ,,. I ' " ' .) "!f' '~o1i-1'ar tlesde"el parage en que z:co 'l!las-ta el parage -en 'qNe Z=I; y segun la no¡aoi0n que ' h~mos es'pJ.lesado (200), es<t~, [riodo de determinar la imagra} JI l . , dz J' 'Se indica así : ' Ió ~-==t'1l'. ~égülñ varíe z

J

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:DU' 'C,Á LCUEO , fNoi~GR~r. '"'I'4'; Sh pubiésemós , q uerid,<HcÓntar' esta integrár'desde . el p,arage en que '2::::%, ~esto nos q uetiQ; decir~ ,q ue ,1a;, irritegtal ,c,om,ple'ta ~S:e Ir el!\!ucia ·á cere' ouando tZ-:-t, Ipo •..lo tq ue, e.111 este. ease', la ecu:aeiQn,.,e-~ 'pos dará> palJ,'a Qeter:tninal'-!a· coriSta,n te la siguiente c:;cuacionicr.=a...C'.:(:sen.===~~Canst. ;,lo qUe"il'es da! J Cl:lnst.=-a..c,.(sen~tJ ;<y ,como el arc()'~4úe,:ti:ene por seno la mitad del radio, es el.;.~rco de , 39~ Ó de i'1t., resulta que Const.= __ a:rCO~~30°:::.::-t'1tt 'Ji" - ") Por lo que se tend&á para ' la integral completa 'c: ~l: _ :J:1!' r 111,:::1;: i:.,:, ¡.el J.. ) .:> • 11, .) en este ca~o ¡ ; , ==arc:(sen.,~z)-i'1t. V I __ i Z '1 ::'~:' -' "...... ... ¡ ¿;;) "\ Si I queremos ah;;iie·te.~inada enteram~nte ;- 6 , halla. su valoP " ~If'lll'ldo 2 & ['; fOlDo.'eh:r,co que,tiene Jlor sen~ la unidad es ,u n cu'a drante, resulra' ~ ue

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,146 ' DEI; ()-heu!.o 'tN.T,l;:~:ltAi~ , S.1sq;uis~ésemos , de1ie. J:mincrF 4. misma'ihlegrál; (~) .para . cuaad~ se tu\'ie.s.e ~ -J., . estQJ e;s 7 que qui. Lsiéj.'JlLfl).OSI .hallar el airco .de .cireulo··.q uei,p.ni¡;¡ci.p ia en ,el pun,tol.ehl.que su C0seno es Tr, ' y:' a:eaba' eme,l P\lUl;a en q u~ ¡S'll, 02.seno llega á! sel1;.; - r ,; resulta qlue c,omo el arcoJ€.uyó !coseno es la unidad neg.ll'tLva,-es ,igual á, -una i emicirC:l:lnfereneia ~ ó á: 'It J tenemos que ·el\ j

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, AhQ'lia~t. si-qU'er.emo~ :.toUlltl.'- el valoF':-~e esta il'ltegral cuando z=oo, no tenc!IJ:l'iD' mas' q ile a veri-guar ;'.que:;'allcor~qe cÍrculo.<.1:iene l.a: .\t a,ngente infin~ta , ;¡;Y co.¡no ~ste ~s el arco _~guaLá :.urrreuadtante! Q:á: í'll':):'se ~; IJ ."J:'~ l~J"az .: " i.':':·~~:'"T': -,.¿.··?··}l'r--.... ~~f1'.I·. tIene q~~ ~o) ~'i+~.:~-:~~ .u~ · ... !~:\:- !~~O: ~'1"~~q ~~'!~ ..~

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Bien 'per~¡biá~ ~stk ~dt~clOn ¿¡¡lbt casos espresados, no. l:!@st~rá. y..a... ninguna dificultad emen9.er el semidu (l'e-;-l~s-d~ffia's -q u~rse\p'uM'¡¡ri ~r1C0htni:i'~ .; :) El ·dar á conócer los J;Iledios que ha encon,t rado Mr. Cauchy para determÍ!!ar las integrales emr ~ límites imaginari?s:-):12..!esefv~E.!.qs pa~ ó't~o ll;lgar:

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cuyo radio sea medib ·1r,(fp~féi~ñ;¡". gWi»é¡;ic2"entfe '1/oi dos ~emiejes de la elipse,

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