Page 1


)

\,

..

1

.

-

..ยก

I

-;I

\ l

1

-{ ยก.

'1 .

.

"

\

' "


I

~

flJNlJA(fO['J Jl1~~,~,[Lú rURR!JlNO , BIBLiOTECA


COM·PÉNDI0 DE

MATEMÁTICAs PURAS . y MISTAS íldli.

i

n. JOSE MARIANo. VALLEj(), ex-Catedrático de 111atemáticas del Real Seininario de Nobles de il1adtfd. SEGUN D A 1m ICIONo

, -

Corregida y anmentada , .con varios C,asos de ignaidad y semejanza: pe triángulos, por la mucha importancia de esta clase de propo,icio¡:H;S, y tambien con las fórmulas generales para determina' 1011 C'Dt~O¡ de sravedad, y nn tratado de Mecánica Indumitl.,

TOMO

ni

MAiHÜD: ' imprenta que fué d(l

1821.

Gatc'ia~


\

8 AT 2IlfI

1

2A ,~lU1

'1

JI

.el ~l~')i\

\ \~ . \ •.: ..

'OY')'!\IW, ~s'B~'"L

\ll~) \ ~\.

'j\)

'c. "j\

\ I

~

,..-.'-

e,~)

().'

\"'<' ,~,\).r)_-..:."

~l) \.)·l·\·~ \'\\ ('f ~.¿

, ff,md:)mSl ~

fJIJJ) ffiHg i- ~b

• fl'':'\.\l :~L 4!f;f~ L~~ 'Jb

apali::l i!oi';;'Z'",

llO') (!ibLJW:HlfilS ,

'ls!Ji.un:.1')b b'l~q a~1¡:;·I~.1J9ii eo!unnc'l anl ¡ro:;. • !val .. .:.;!JúI tI,;,si,,:,,·f¡){Jt•.a:

húiB:lTl{fJ

sj!).G.L.J h-t.:!Uli, h l l:JilHI u[ 'IQ'.t I 2l.J"}j. tS ;; j'lI ...,~

s-b

fiJ .• iu

.)11:"0.111.1.1..1 --: !.Lht;.

..... ,

"j'

...~ t ...

L1 .~

!'

¡;:¡:lubi•

'J ';)D ~O·'Ji1J. i.;Ul


, •

_ ....------M-

-;

J

._~--~

I

._ - - - -

A u.~~l!.~,l· ;n est~ p~~~;~e~aio hbs

he~~(?s j:rÜ'~ues~o ~L.pr~~,en~a.r ~na suomla Idea de .todos los trfltaQ.os ma' tem~lt!coj, nopor '~~ºJiemQs omit .... ,..

" --

.....

......

1'. -

~

..

-

..

t~do diIigericia al.gtlna"qne',~·pueda ·t'6utrib'üit; .'tt'-\ara "'''q' "fl'r\~ en ' el ~ inefibr ' volúrú~rr: pqsible~/t9'n~teHga :el mayor núm,erQ;de verdades:útiles. En

su c0O'rd!!'l3.cibn hemO's ' prqcufa,QO seglJir ,sÍeÍri'pre un xnétO'do rigO'r?so Y exac'tú,.:.pJlra que no.:s_e,lDterrumpa la c~ü:lefla de lós cO'nocimientO's q?~·:,~glP~r~J:d.e.~ ~Y .~uQq\le .el cAl~ culo. mhntteslmal se' e~phca " en "el 'cO'n ,t.Q.~~~a.ctitw;Ly :pd~c.isiO'p, y con ~I

~.

\.

_ .",1

u n~ gr.~_ª~.:P:~

septi}~~~w~Ys.!raQrdi~~­ ~!~ ~jj~.~I~~a :.g,? ,__~~~ ',~l~fin 'd~ h~~ I

~c~r"ést1}()ópr:~ta -rijas ~t.lI á'tod~o Jene-

rO' de~-,E.~rs~as ,1:í~mos-prq~ur~?? nO' hacer· uso de l d\cbO'. cálculO' en lO's t~~(a'a~~T'isii:ó~M~'~!Pái}j:oSt~~:


\

"

,.e(tRtfRd贸~Nis.


,

!V

<W)!d'w'

• -

,

~·'¡,:'It··/i : ~ :¡~~ ,. .....

. E~ 1

'lo

11',J

·"'T1\.1'DIC ;o

"" r.

, ~

,:!\~ li~'

E ' .

~..

-!

,~.

",i.'" l' •. ",.. DE ~AS , l't1Arl!~4-S 'CONrE;NID,1-S , ' F;N¡ ,EST~ \:. .. \

"'

_ ;:. •

"\

#

~

I

V

.J

T.0M..p.

.'' ' IS I

,

..

'r ,~

' 4plii:qefO;~ ' r¿e1: Alg'eb:'a á ~q 'G~ome~r-ía . • " P~g'. , :" "1 D'eterminpcipp d,~ . to~ punto}: y 'if;ectas , sobre t¡n:·. o;.. \..J~I Jo,. • } • , .......' • ~/ of...l. pano.' . •..••..•.•.•...•. , . . . . • . 9 l ~~:Pé Jos pU~~?l y, qe t~ :t~nei yqtff¡,cons¡a~~,l.os·f!h '~ ~ 1J .. ' el' eS ,..•••• ! • , ".l,,1 •••••• !' ,.J" . r: acxo: , . , ..•• "'~J'. _~ De l'Clf sec;c~ofJ~~ ~~mcas . . ' .' • , . , •.. . ••• - 19 Del 'circ~/o! .•. ~ • ! ; ' . ! • ! • .' • • • • , • • • .- ~ .: 2) De 'la elipsq.• ; .. , ••• , •••••-•. ', ' •••• '. : 29 --D '_, ¡e l aparq.o ' " b t,a, " . .!., •.' !!, ,! ..••.• ,'o ~ 6 ' De la' Mp,érpolá, ! •• ! , • , • • ' , ' : , • " , • • • , ~ 9 De l'as f'Úrl~fon)s ,. •• ' •.•.•• ': • . . . . . . . • •• 44 l.~~a· general de tq~ s~ri?s '1. de 10$ n4m~ros ftgtt, retaos! ••• , • '••• , • , • , , • .- ..... ! • • ; ' . 47 Del rpétodo "lie los Ztmites • .••.• ', ' • • . • • •• 54 Del bálculQ de ta~ ~ifer~nctt;1s .;. '. ', ' • '•. '. '. ~ : ,J? f

1

lJ

".1-.1

"

J

PEL

d,LC'(,J'LO DJF~RENqAL., • • • • • • • • ' , '

.•••

, 64

:pe las dif~r~flciqles segunda1, térceras, ~!i' ! ' '1,9 Aptitacior¡ iJlit ' fálculo ' diJerenéial al desárrollo " ~e lCls f!mciones algebrai(:as ~n' séries • • .' • ~ . 81 -~ j,lplicacton rte~' qátc'uCo' dif¡;I'~vcía1 '4 la.s diferer¡-; ~ • " ct'a~ '. jin~' t a~." • •••• , . . •. \ "L! t ~ . ' '", ' • ' \ " .t ~ • ~ ,•• ! .' U(# , :P11 id í:lifer'etldaciOfJ ' ¡te' '1'{¡s ·fúnc'io.ires t tr'ahs~e,,!-: • , dentes; y de ~u d~sal!tQllQ ~p fÚies: ••••• :., ~ as :p~ la diNrenéiisc'Ío~' \d~ ; c'uálesq~i~f4 eéuticióhe~ ~ " i de 'dos variables. ' •.• ' ••. ' ...... '. ~. ',,: . : • .... 98 ,#plicaCion 'J~l cáic~liAÚfer~t?~~i~ :icir¡al ;4~fif"ii.~ ().~~ ,,'ncW tris ntáximos y míhtmos Clr la~ 1imdimes ',' ". " bl e•••• . , , • .••• .~ ~', •~,Jl' ¡~', '<. >" d e una sO'1,a 'I!~r,a '. ,."., , '. JO,[ . ( :P~ Iros való ....es q~'e 'tárl1an ell cierto~ 'casos ~Q~ coe-' .. ':' "jic~el1tes diferenciales; de 'lhs ~~pres~ones ~ : : 'se' cqnvierteh 'eh~: : ; ; . ; : '. ; : '••• ~ • '; '.' : ~oS ~.I1pti'cacion cM' cálcULe¡ 'díf~refNi'al 'á la teoría de ', . tas-! 'Líneas' !cú;t·ij~. ~ ¡', ;•• " , ~"fJ~I~~. ~~ . ' ! .. ~ ; : o.:~~ 11 ¡ ,

' '

y

,

que'.'

"{


,:r.r

¡n';

Ü L\

H a ''' " ' • f N~!, E t ,,,, ~ ' _ ,.. "; X t far",Q,,,o r 1,, .1' !J •. ••••••••.•.• • • G"" ,ISl), • ~\:; ...... I$pl , ':t. O':> ~, ;. ~ - . ', .•.•. ~••••.• 20~i

lieF m ' ovilnieht'o' ddos' ¿Jérpo'J' sJb'rr~tA~qt;i~: ~: ~{ ' () 11, 'd .. , . .. . , ... . ... . . , .... , lii', ... _~t " .1. ."clzna os. .•.....•....•.•..••. •',,{ . ~ -fl0,9.-.

Dét i)n~~~~~e?~o:: d~ '~o~' ?~b7~c~i!e~' .é~· ~t. ~~fr?·:~\:,i Ifu:

D'et t nov.wnent,o de un cuerpa en una Ctlrva ve~- . U ,,(1 l i6at,. y 'de 'la-S" osCitdcio"néf' de l' les' pén4uZo~.I: ~ : 2-1 ~ ~ l.~• • • , . . • • • • . •.< ~~ ~. .,1 ,(1,1 \. ~ " •. 1 ~22S~ ve MS Juer'Z(IS ce1'ltra~es. . •• . •. . ... 'n,e l a ...znercta .:.;. I:: ~;;1. '( O¡ :01. 0 .1.' "lr.¡.\•. 'I,a~'~t 7.\' _1>\.:<1 ¡.C· l ~o...l y c wque~ ¡,ve.iÁ)..OS ~uer o§'.V ., ,.- 2Z, '~ J . . . . ... . (~t ~ ... ... ",.l ... <! c. "3.1) P!~f-O~T~TÁJ~.-:·. : : . ' : : ' : : : : : • lo :: ;.¡it{I\~(.) ·to13"tla

,fJ

~

f' ", . . . .

••

<l '

I .......

¡ ..

DRODIN MICA • • • • • • • • ' . ' • • • • '. "' .. ' . 1- ' , ~ 3

.

, itÁÑicA' i:ÑDU.STiü~L. ' . ' • •••• ' . '. ' • ... . ~':~r '.-:~:u2d.~J . - (J$'l. 2l>J t:a, "hJi .• 'l\. e (,1 .n\JT~ ,I.• ,( J ~ TJl ... \. PS '·~~l;rda .p.a~t~.::: .•. '~" . .. •. •.•. ., :: : ~;"iI. ~, ·'·.Ihai S .é¡;,un -a. Dqrtp: ,r... .·, ·\· .>· -.,.... I. ;~,,',d ,. I · ".~ . \\•••~. i... ~ ,,~}.,, * ~ . · ou J. , .. \1. _li..... . . "' ~'I'¡;¡' SVT \I~<...l. Tercer~)1.p¿¡r~f;\"b:~ '" U .:)' ': ~, " ~~'hhi b ·tl)<.l)<) " : b·,~.~7 ~ Cucwta 'Darte, 1":-' •••••• , .•• ' ,' •• ~ ¡-' .Ifu • ' ~ ' , 2_0..8 · ~tL Ir 1. 'li·'lH¡ ó\·'" .. s ,: ·, " I" •• tt ~o-:rt.:¡ '" •• ' l o t A FINITOr:O\.T!!A.· ••• ; . . . . . .. . . . . . . . . . . ' . ' 2 j l r, . ~;, ~n \.n . . !;lt .... ln;$' S W) J !.u11q E 'l'\ :JU ~<\J ~'1 't ...

u .•

"""...

CRISTALOGRAFfA • . • • • • • • • • , • • • • • •

'

'.,: ~ l ~::¡

d:~~úRóÍ.ó¿fA: : : '.:.:: : : : : ...., .. '..: :.;

""1' ,;¡'

ti

f1

1; . ~lr>hH, . 1", ~~ 1,(11:':"1\1., ,', • • A •• \ . , • • , • • • • • '•• '•• , • • • • • • • \. 2 R

n'f" ,-.. ,ó,ú,{

P IROLOG

...

C Capaci'á'Jifde !\~,tw~~n f

o~u 2¿'¡;~0; ';;d~~~ ' eZS ctq1g;i~1.' :! :'l~.·\~o .:1"\v-

"'.\t.

~:)# .... ¡, 1~n.'

'(

t(r~w'lY.\~ .. ; ...,,~,

E LECTROLOG Al . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \ 3e& cA .. t'e,, '-i. ... ,.':-'.i.,;.t ~ fa rnJ<' !':J~ ~:.::: ¡q·.. u'..; "" ) ~i) ~ ~/~ t'~

.... "'f A' . . . ~)}KGNETOLOSl~ N

;j

\

• • • • • ,. .. ~ : ; ••• f .., ' . • ,. ~ ~ \ . ,-. ''' rr ~'\R. 01 .. . " . '¡I ." ,1 0 ,, - ~ . ,~ RUMATOLOG A • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 324 ~

' G A~OLOG1A.

1.'1 ... ..

• • , • • • • • • • • • • • • • • •

i

t • • • 33,6

HIGROMETRíA • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

347

35 0 353 ÓPTICA.. • • • • • • • • • • • • • ! • • • • • • : • • 359 MET!EC!ROLOGIÁ.• '. • • • • • • • • • • • • • • , •• ~' ¡ ' 368 ASTRONOMÍA: • • • • • • • ' • • • • • ' • • • • •• : •• 37(; :pe las ~streUas fijas. • . • . . • . . . • . • • • • • . 377 ' De los planetas. • .••..•••.. ! . . . . . . ~ , • 38 3 I?el Sol . •.••••...•••. , ..••....• " 386 De Mercurio. • • • • • . • . • • • . . . . ~. . . . . . . 39 [ . De Vérz.us . ••.• " . ', •••..••.• >• • • • • • • '• • 39' De la Tierra • •.•••••••••••.•••.••.• 393 De la Tierra considerada astronómicamente. • . 393

ANEMO-LOGiA •• , • • • • • • • • • • • • • • , • • • • ACÚSTI€A. • • • • • • • • • • • • • • • '. . . . . . . ; .

'De la Tierra' considerada físicamente, ó con 1-nas

pro'pie,huJ ~ geognósti¡;amente • •••• , • • ••• 408


• f • .... ....,. :

:~')_¡. fi 'i.'Z¡ "'),ú o rt fnfi

..

• •• • • • " .... ... " ..... ~

~<t ~(~ .; ,

·-'V !.

C~~

1- ..

..

~

..

. "' . . . .

,

f

,

....

.

OJ.'()LVl~lv",-A

.- • h.!

~ ~ ~ ..

• "

..

.

.

' Jo. ':::.') l T~·J~l ""

• , ... , . ••• '.: • • • • • • •• 1,"{Tq f-, • • • P".~ .-, ,,-:., .u,!,fH)dfJ_f,-j!.''c'JIlr

"

.'"

••

ti'

~

I \

tI"

i~li"Jl 3-Ü

. . . . . . . . 1'li,', "í ~\l .: . .

..

f

....

....

• " .. " . ·,¡-''¡"t'l'\r."

JI.

'SC[


, •

f -

:'"T'

~

" kPtrCACION DED ALGEBRA ...'. '. 1 v.

--

...

I

_~

. '

,

,

~'~

f

.:

'

..

.

.

I

A ' ,L~ ~EOMETRrA: .1

..,...

,1

!""h .. ,.

,1

:~:, .12~ ,¿e~J~n d~l A~:~F:;' ;1 ~~ollo~imi~n;o

. que hemos dado de elH, manifiestali ~ue su carácter , esen-cial es fa gelftef!aiid~d; y,'ef¡.de la' Ge'om~tría,- que pl'e.se.nta á los ~¿ntid'Gs los' 0bjc~os de las' ideas en ~ ue ' se,J()cupa., 'es Ja, dai'iduá~ 'ÁBÍ!,-éaaridCJ: 'para gene,rali- ; zar algaml. :v.erdad g:eom€uica, se ha:ee uso del Alge:.. , bra, se dice que re.lapl-ira.el 'AlgebraJáJ:a Geomet.ría; 'y cuando para hacer sensible ¡il,guJ..l resultado alg,ebráico se ba,ce Us.o cle la Ge9metría:pe'aplica J'á G~o11letría al 'Atge~ra. , Por lo cuai bajo el nombre de ' a:p±ipa~ion Ael Nlg,ebr.'a á ,la GeQlÍ1e~éía se emiend¡; el. UáO'''1ue se hace:;d? ¡mas do'S' ciencias,;lya sea para' resalve, o/gi.ma;cU'e.sú!J1;z=pertenecie1'!te á lUna' de eH as', ya, ~ par.a reso¿'Q.er ot.r..a 1'C;uá¡qu~era. , ~. '; q , ._ ~ , .' \ ,; f, ~. La a plicaci!:m:de! .A l'ge I;lr.a-a:l'at D:eometr.ía trenedÓ'S pa,rteS", ,~ saber,: manifestal' cómo 'se pu.ede,n cons-: ~ru.Í1' por GeolJ1etrw kos 'lZesutta'dn~de J.aJAnái,isis; y remo .se ;ppeilen ':trodpcit ahatJticame-nte ./as cuestiones de Geometría. ,'~JJ' f b h:;~ oI ~ -3 . PIip'Crpíar~mós 'po'¿Ia.pvim-el'a:Qbnstrllyendo las ecuaciones deter minadas de primera X·segunc:le glra"4,o'" Sea la eIl:Hacict!! ~p!,op'~esta x=a+b-c: ~onstru~ _es;:a- ecua€-ioll'; -tÍ Qmi eúifl1uiera, es hallar una línea que esprese' el valor de x. Para esto se tirará una línea illdefinida DC,~g~ -. )rdes~e uno Gual~ quiera, A. de sus puntos., se tomará hácia la derecha una· p~Ne ~AB2 if/uar~onJa:ca'lltjdad§; desd.e:S ta:m,.bien hacja la derecha, ·se tomará otra parte BO-b; y desde.C maciada·'¡zquief.cla .se r rpwará CE~c, y ' será.:A.E::;:ABst-iBCr-CE; "'. l , Y sustituyendo sus valores a, b, c, sera AE=a+b-c; pero ántes- teruauios x=a+b-c, ;l.\.l'~go AE~x; ) 1

T.

n.


e

APLICACION DEL ÁLGEBRA

luégo,se hahallado unifírieá. q úe espl'esa el valor de!f: - Es indiferente el tomar estas pártes 'hácia la 'de~ lecha ó hácia la izquierda de! punto que se elige, que se llama punto de oríjen; pero lo que es esencial, es, que si las cantidades positivas se ~oman de izquierda á derecha, las negativas se deben tomar de' derecha á i~quierda, ó al contrario; y si las pritrle~ ras'·se toman áe ahlajo arri~a, las' segundas se toma.rán.de arribasa~.ajo. " , , . Ese. Si se tuviese c=a+b, el valor de x seFÍa cero,J y la construcéion se reduciría á solo el punte A; pero l si fuese e>a+~, el valor de x seria nega.t ivo, y la censtruccion daría para x la líne~ AE' negªtiva, ~

ó x:....a+b-e_AB-¡,.BC-CE/=-'AE.'•. o . ' , • 'ab .' \ • 4 Sea ahora .x=---",: para construirla ·f irarémos.l ":)f (1. 3 24) á ar1>itrio ~os rectas AV ." AZ (lig. 2) qu~ . formen un ángulo cualquiera VAZ; ·en uno de sus 1ad9s se tomará ULla parte AE=e; en el mismo lado. se tomará otra parte AC=a,. ell. el otro Jado se to... maI:á una partc0 AD=b; se unir'a el estremo. E de-la , púmera con el estrewe D de la ter,cera por meaio -de ~ una recta ED, yhpo.r:el estrerno C de la segunda se tirará-la CB ¡ paraJda.á JDE) Y la...parte AB que corte ' en el otro lado será el valor de x. En efecto ,d os triángulos .A:ED, -ACB', son se¡;nejantes (l. 328) Y, dan ;1 ~

AE:AC::AD:AB

ACxAD . ~áb AE

e=X,

,!!ue era lo que se: pedia. •

.

:

.

S SI la ecuaClOn por construIr fuese .

" .

! 's

. al: aa x=-=-'-, e e •

se reduciria la operacion (l. 324 esc.) á encontrar un~ tercera porporcional á las dos camidades e y a.

. _ . ab+db, 6 Sea la ecuaClon ·x= . .1 o C+u.

(a+d)b c+d- ' J

x_~---'--,


, .. A. I.A O,:EOM:ETnfA. , 3 (porque.en .el numerador es comun la éantidad b);

lu~go h~llando" una cuarta proporcional á c.+ d, b Y se pide. -", " ¡; aZ_b z , " (a+b)f-a-b) , Sifuest:~ . ' c ' §(I.§IJ,6esc.)x ~ , ,

Q+d, se' tendrá lo que

l e ' hallando una cuarta propofcienal á e, a+b y a-b, se tendría e! valor de x . . 7 ~qda,. ~c uaciol} en· que la incógnita esté re,presentada por un, quebrado, se puede construir con el ausilio de las cuarr¡ts y Je~c(;!ras p¡;0,porci9nal~s . Va- ' ra esto 'se descompondrá el numerador y deno.minad9r 'en, tal?-t~~ factores· 4§lm0 di\nensiop.es t~ngan ,' '1'" ~e pqnqt,á p~r factor , un~ ¡letra igual con ~2; ,unidad , tantas veces como sli necesÍle en uno de los LérminQS, par~ que f esllíte e! numero de dimensiones "Jd numerado.r una unidad mas que el de! denominador • .. r' .~.

•,

,

... • ~ (lJjc

'

,-~ . ~i 'la, e~~acion por construir fuese ~ , de' ~.'

">4.,

. ,

la ~eso.l~eriénnos en facto~es de est,e 'r¡"" ~ .

• .,'. -'

~;1

Jo

'.

..

,-, "

lb

'

~odo x=~~x : ;

,t

! .

", ....

donde se ve que hallando primero una c,uarta ,prop'orcio!l~l á las cantidadé~ 4, a, b, Y l1alDárd~ila, m,

- - .. ~"

~b

--

,

m>.<c '

shiá m6-& ,lo q.ue daiia: ' x:"'~; {, e,'

" """1 J.,'

y ?áÍla~~ p';~h~ra una Guaík á:pf,o;póréional' á { ,~'fI) ie' tehdna. el valo.r de x. - ¡" ~,

-

~ >

'

~;:~• .:::. ... -

... _.

y:é:, b1l""

9 / Sea la ecuacion 9,ue se quiere cOl'1stru·i r x~ '=""!';' "1,.: ',j'" ..;~ :',!' 1. ~t <tomo, al- l!e¡:¡olI).,i gador le faltan dos dimensiones'.para, tener uaa mé(1¡'~s que el n~m€~a~o,l;. " espr~sar$mos la, unid~.d por )lna }erra cua!q uierfL Lal COlDq §;;;:y com~ toda potencia de la unida-d-es ig.ual con ella misma, multiplicando. el denolllinador por;é, q.ue' es lo :qúe se Ilecesita paca q, ue en él ha)"a Ul'ladimeasion méno.s que v ... _

"


APLIC'AC'ION 'D EL

f" . ", ,¡r,";',

,.

".)"

..{Lea:IlltA 'b4 bS

~.,

b'

...... \.

b. .

en el ,numel'ado·r , se teúilrá x=-z-=~X~X-; '. 1 • .", , ' , e xa c " 0.." G ;~ Y estaria red9cido á en~;nt!,ar prim_er.6 "una terce.r~, ' peo pordonal {f¡ {; y b; que· llamáiidota~·m dlffia- •. .:::. , (

J

>

~

.\ !

J

oJ

x~nix!!..x..t¡r;; 1'- ,~';.- ~,.:('~..; ,.... e

G

1

c~i

..

:' Hall~Íldb "ahora .uñt cua;J.l.ta1'p rqporcionál á' e, m y

J

r '"

...

~

i."J.

~

.t.. -"

. ......

e" ~,. 'b

b, Y Hamándoia ,1J',set:1 x=ñx-'-. -' 1:

i l.Jh \'

'1'"

..... J.

'

... ):t .... JJ_

'."

.',

1,' ,"W

t

- ?I

.1",. 'C:)' ... ' . ..... J

~

••

y¡ halland? por último \uÍl~ cua<rta' proporcio~árá a, j líneá que espresará el valdr' de x• .•

'11' Y b-, se iellth'á. una ; . l' (.11 (-\.JI • #.

~ ~l

J' ...

-:.

1

~ u~ ?,~,:.:)V·;:'

.. ~.;

f G , ' 1'0 .S1 a ecuaClOD uese X=-¡--z; , ~ : lj',,(' , . ".... lo! ... ; ~Lp . ~ . ~,.. b , - dl. r: . .9L.J!. " ... -!~:1 multiplica~iamos e~ numercldor a p~~ la cua~ta. .potef1I

1.04

:-::=':'w _:! ,.

"

. Cla aec=l,

1

O

.J

.... __ ". 4 tiC

.! . . ,; ,')

't

J

.~.

;-_

~_

ac e

e

.J..

e

que dana xe!'bz d2 =-¡;-x¡;x(J1<7;

..

.

'\

y .se· éons'fF'ui-ria 'eéme la espresion a.Í1ten0r:- ·;W~ '.- :;~ ,1 ( ~ Pasemos

á const!uir los radicales de 2 ~ grad<;J. (J ... . ·... .) a Stl x~V af; ' . ".... ~ , : ".", . tÍi'ese '(¡na ~línea in'deflnida A'B (fig. 3); l ómes"e-eii"ella:. una, parte AC=q i á c.Qminp4¡i~ion de }pa t6q¡~9~ ofra CB=b; trácese t~ol¡¡re-AB-e~ibo diám~ir(j). un " semi-~ c!,rrru1o 1:QB, y~ e':1" e,lr J)tV~t~ 9 fevá,nJes,e ~~ <Eel pen. d1cular De; lo' qué{I: '333)- .~ará.AC:D~::p~:CB, "JI,. ..t. .. "' __ .... _ .J,I ....... d,f ¡dortde DCz-ACxCB=ab, y DC=Vab=x que §¡;~ .Jo. Que §e 'P-ed~~ ..}<: :1" ~ ; . )l; • .,~ ,,1.:12 " • 1:.1 2 Sí fu·ese la ecu~cion ~=V abc~ eh qu~< itebaj0 del rádica-l ~ha:y trés 'd'imeiisiortes', se" pondPí'~ :¡:iór aenominader ' á la cantidac! ·que naY' de:';' bajO' dd radical" una 'I,erra, d"igual corda uélida'd , -('!~~'"

--:--- ¡

."" ....

~_.¡.

"

·I).~

'1

P

~

-.

:lena "

-,

-, . ,

¡V

r • --

Vabc ;-t'/ -abxc

x=

Ir

~= a

VI

,,'.'

~;

do

'.

.,

.'

t


-1 . I¡A :.~~O~ETRí,A. I (,~~ h~fJllN~ primero una ey.arta . propor~j:0naI á;

" );

J

. b, y' ilámá~aola '.m se tendrill x=\I me; -( ';'')

J.,'..

.~.

~

~ I ¡.' y x=v a,

3., a y

, ,..

".

-

r

, que ql,leaaria constru,i4a (11) hallando,usa ~edia pro. ;. po,rciou'll entre m y "e. ,y~ , ~¿ e ;f 11 '; - 1'3' ,. Si se tuv,iese

.'.~ "')--;, '

J'.,

se ' muItiplicaria la cantida'd que' está debajo -del ra• dic~l ,ItOr la uni.dag" ~s ,P-J;.e,sada por la ·le~ra q, ";j seria.

x=Vab"

..

.....,

'I~

: y es,raria reduci:da al -caso I,>rím~:ó.

-,n :1 : ~ - r ~ ~

J4

- .....,

I

·C;:l!.ando ~a ea~~iaid que .está debajo,re}e}.;radÍ-: cal e~ .un poHnomio, se p,u~4e co~struir p.or, dos mé• todp.s,::<1> por, una media"prop9,rcioaa!, ó~~m el a-usi. lio del tii.ápg.ulo r~'<tánguto.

,

.

- '... /

"q mnq.

" ' , Así, si se -qúiere cóns:truir' x= V a,z+2b L. __ , ..J! .. •

¡ .. ,

r)

v~ J .;

,

' ,:...

p

',.

~·!..ll1)nd

.. , " I '2 be 2bxe se hará 2be=qk,---;-:;-; ,~ ~h qe d.onde k-:;- .- ,-;::-,-; ; P ., a , a

'" p

;J

:..::.

W

¡

qu~:se cPlJs~ruirá h.alla.~go u~'a ~uarta pt~p.or¿ional.á

J; ; f ... .:.

a, -...

....

~b ~i..

~\

.. ., '\'

'!"

'111nd ."

7nñ .,, ¡J.

3;1 '4f pJo~d~ la línea .b , Y á e ; y h=--. -:---'tx'r-;

~ y""

; ~ ~J \ -

""' ~ ~

<:

.

,-

,

qu~ se construir~ por 1« cl.i~ho~ámt;$

en vez de

°

2fje~

p,

, 01]" .,.. .. ,a • ...

(8),

~

S!!stituy~l1'do

e"~ 1; pr opuesta

?!I!lsl sus v,!IQres

"V' .,c' ;> f : _... b ia convetira en x..;;:::V~+,ak7"ah==;.V:q( a+k-h), ',

se

:1

d~-,~~~:i---e,4}!a.~ )á.t,ép~~c~on. á ¡hallar· uqg ",[[J~qi.a·.-p¡,:~porclOnal entre a. y. a-¡..k....:h-,- ". 1~

;:'

~ .::

'?oiY

r-

-t.

;

't

:~

I

••

~} .1 :.e~Uéici?<~: p,?r cpnst~~i; fu.:~e re,,:,\( a2+~Z, . ~ena't.la b=:-'a1l1 y---serra _.,

Ú · J·~l, .:r.. l

;.!

' llL-:.U

1!;H~

~"-

') J:a ~

1.

-

.1. '

"~ • • • ";

_

,...

,

• ,1

~. x=V ~~:fu~5~V'P~+",m~-:v. q,~<l..+Ji.t),· ' •.,)~ cuya oper-acioji .¡ep.t~,t~d~i\1~.~~L"a·sp.9.~ ántes.


, ,6

APLI€ACrdN DEL .{Ú;E1JllA

Si se quiere construir por el ,tr.iángu4o reétáñgu~o, seiormará un ángulo recto VAZ (fi.g:.. 4); en u~o de los lados'A V se tomará un;:t parte AB=a, y en el" otro . AZ otra parte AC b; pór ,l0s estrenlps R y'C~'de es. tas líneas se tirará la BC, que será igual con -x.~En efecto, por ser rectángulo el tri)ángulo ABC, 43:rá

BC2=AB2+AC2=a2+,b2'y BC~-v'a2+~~-:-7x. ~ 16 ' Para construir·la ecuad01'l x=Va 2';-'b 2 en' el " • supuesto de ser a2 >b 2 , ._, sobre la línea AB=a (fig. 5) como cliametro, ,se tra .. 7.ará una semicircunferencia ACB; desde uno de sús -estremos B se' colocará por ci:íerda' la BC=b'; y/tiran. do desde el 'otro estremo A 'al punto ' C l'a CA, esta · ser.á e·l valor de x; porque .el :tr'iáng,uro ACB 'rettángulo en C ~ da AC2-AB~-'-'"'BC2=a2-b2, ~ J _ •

. de do~de }.C=Va2-:-~2::~tq~e era!o ql¡le se.pedia. Ese. r. o Se ha construido este radical en el suFuesto de ser a2.>b2, Ó a ~b; pOl'q u~ de otr.o modo . ~eria imagiaari@ y no se' 'podria- construir~ ,'~r, " Esc. z. o Otra construccion del mismo radical. F ór. mese el ángulo recto VAl. (fig. 4); en ' UNO , d(} ~s.üs lados AZ tómese una Rarte ~C=b; haciendo centró en C y ~on un radio CB=a, d'etermínese ' ~l ' punto B de imerseccion con e! l,ado AV, Y la, parte AB será. el va!ol' -~e -x ' que se pide ;, potqtlé ' ~¡'!)- .. ': ,~t~::::V~C'-Al;Z=Va2-b2n' :;,

17

4:;'" ,, )

Si el '¡-adical fuese polin(')mi~, como '-


1 LA C:MMETRíA. '. ,7 Y. llamando.q ~ la hipotenusa BC, y sustituyendo en , el radical qZ en vez de ~ u igual m~+cz, resultará , '-.

./~ X=v q +n 2-p' z•.

Ahora, en el estremo C de esta nipotenusa se le: vamará la perpendicular CD=:!n" y tirando la DB que llarnarérnos .. , será . .BDz=r2=BCz+CD2=q2+n2, y x=V..2, p2.

.

..

,~ .

Ahora, como e'l cuadrado que sig).le es ~egativo, -sobre BD corn0 diámetr0 se trazará un semicírculo BFD;' desde D se t9mará una cuerda DF p, Y \lniendo el punto F C0n el B, se tendrá la BF=x;. porque '

' -, .'

_~_

BF2=~:Q2

...,..DF2=BC2.:¡...CD2::.-DF2= ,

AB.2+'AC2+C];Y~-DF2=m2+c2+n2_:p2,

.Y BF=Vm2'-f-C2..¡:.n2-=-p2=Vab+c2+ef-gh=x, .que e.ra lo q úe pe&ia . Sea'ahora la ecuacion de

. ~"" I'8

2. o

gr.td.o X2+pX=q,

;~es~lviéma(!)la "(1 ...16-8) será x=-~p±·Vip2+.q, ~ 'que separancl? lbs valores de

:Ji; ,

da ,

'

} ~r::!=-~p+Vtp2+q

-,:",,:r

_.,

.' ":'

r~~.=-~p-\/iPZ~q

~ara hal~ar estos, vt-1ql'.e.s de

tIC

.

tie constrttirá :primeto

el rHical V ;fpz+.q ;\, _ " ".. ._ pero c0!ll0 q no tiene mas de üna dimension, se 'muJ. tiplicará por la unidad espresadíl- 'r. g. po, a, y el ' . . .

radical se convep irá en

\ I

F

~

Vlp2-+;aq; ,_ .' . ' .

'• y' haeiendo aq': 'mz q'!le da' m=v/ ' >(_, • '"" ,'v ._ I

t

a; .... · ~,

\

-~,,~ •

rell'adieal s~rá" \?ip2+mZ; "per C0.llsJguient~ forma,n do un t d ángulo. rectángulo .,ABe (fig','7) en que uno deJos catet·ps.GA 6ea, igual ~p ;l y e1 otro CB:::;:111 l se tendrá . ". ¡

-

.

.'

__

_

,,:'~- 'AB "VAéz-F<iB2'.-V(~p')2':¡':mZ=VYpZ+m2. 2 • , ~ 4 , '-

'1,

.

.,

ah~ra-) t; ma ndo dJsde B h~ciaJ~ iz-<¡1l.i<;;rda 'un~ parl!é ,.

t


';",8 L

APLICACIÓN DiEL, ÑLGE1'!nA l

, .:..

1

. :

j'

~

l' . " . •

;I. "r

• BO=CA::;::tp ; ~fá AO:;=A,J~..:.-:aO _ ' , Vii!.+¡n~::7f1't, qiú: e'¡¡ el. priliÚ!r V~kor áe1x. ,0 . .IV"-' , ~-~ Para construir el segundo se·tornar-á desde A hácia

,la i~q uierd.¡i~ !l{)f,,:,l?;a,rt:e AM=tp> Y ~esde M ,E,~lbien . ~ácia

la

ixq1.li~rda otra

paue :¡MN:;:::,V¡tp$..¡.,q=ABf

y se t'f:qd.rª AN=."...AM-MN ' "

q

- v r

>-.,

- .....

:"";tP-v'iP+qi ~;.r - ._ ' ~.

',

I

Ese. - Si fuese negativa se ~C;'óiistf'U:ifia.' el radicáI , pordo dicho ('l(1)~ J ' :.. ( '"~: ,,~,\ '.. 19' Fara»na!life-stal"' el moa0 ·de aifrar; ecuaéio- ' -'Des ias cuestiones de' Geomettía-;;resblverémos. eHi. :'K,uieote problema. . lf jo, , . . J ' , ' '.J d:, Dada un 'iriúng1tlo ABe '(fig.. 8j, ' t'iral'" pttl-alelamente á uno 'de. sus ' l'ndos', 't-tb¿ irómo,r }lO, WrfCi línea DE .Ilu~ sl:a iguat á u.lla recta- ctaO:!r'M':...N. - * _ ~ ;r lfes. y Dem.' COlüo el tr'láp.g,U¡9 ~e~, Mdh-;:-C¡uiel!e, d~G¡r qtaj! ~,oq ,~ono~idos s\J.sJá.a~s y fo~d~s ' sus dalo; ; (por lo~cual ha.Ci:enao AB=c; Aé ''' b~ 'j"Iá rectaDdada M~=n 2. todl;l.-cstará ·en de¡errnÑol'llr. el1",é1Jla<!1ó ~Thd punto D por donde se ,h a de tirar la paralel~::qúeipe. pide. Luego tomando/por incógllimJa,. parte AD que espresaréfIlos por _x >~s~ra BD=c-'x ~ y los triángulos BAC, BDE, semejantes (1. ~~8), dará,ll ~A:R:1\t;:;;:Bl):DE .6 c" b~;c-=-x;n., que da c~ltc,,-b-~;f I

,,',

en

.

-

,

qc-nc'i: c(b-,n) ..

·" v·-=.'-- b- j

y despejando x se teJ;ldra, x¡=;;; '-, -. '. -,,,,~~.. . e .:

J,)

j "~

:cuyo~val%r ófañiiúSí:a' q~~ la' dis~arJCÍ~' AD 'ae5~~(igr

una ,cuarta proPQroiomd á b, C'y" /¡.~11. '::.l.-J""z~ Este valor s~ ,pudria,hf,oustruir ,~4..) ~I;l ,llp, p¡trale cualq uiera, y cofocándole despué.s. desaé A Ilá.éia B, se tendría detennina~o el pk1n:to, D, lles¡d HiS'é'a 'j pero en esta da'se laefi~u'rstidn'é& e·s"macs _elegante d ,haee.r - la ·construecioo' (.lO la misma fi.gura que se.,..a?.::.R'ána esto, de la recta AQ';' b 'se.-tJ.u.it'á:rá. \:I ~la)~ne GE-S..f¡, . y tira,ñdo. por.,K ,una parale~ á~ .~§o ~C ' .' est,a deter~ minará en el rado f\B - e'l punto p ~d.í~o, de mall~ra qué Al)' será el !:Vat(¡r ."de~. J'~' '.' !.':.(;J t.l;-:c~· t:

q


...1."

e 19

.," l, LAo·'-Cl':OMETRiA; ·' ,.

~ ¡.., r Én 'efecto,

la semejalJut deAGs triángUlos- ABe, .AED> (1. § 3z8-) da AC:A&:AB:AD; ~ : ...... efb-'n)- . '.

~,,_,.

o b~e::b-n:x=---. " , ( b"

,

' .

v

.\:. •

..

,

' ••

~.

' ''.- Si la línea-MN fuese may.or-.que AC, llQ se"po~ '"dria tirar én 16 interior del trJangulo A:BC ;¡¡ÍnQ 'qIJe s seria necesario l'»fO'longar tós .lados AS; ,BC, 'J el prQ-o blema deber,ia decir po,- la prola.ngacio~ de amo tie ,s'Ys · 'lad()5 ~c. en vez de.por fm~ de sus {CII$I)$ :ete. En es:·~te casb 'el-· punto qUfi! 'se pide sería el.. D 7 , . el cMa!. -eji'-taria pOI' la pine 'i nferior .del punto A) CO\!lO 10 .da , á conocer el cálculo y la cnns!rucCÍon. ., .J {~.. '· En efecto, si se-'tiene M'N/:>AC, resultará; 1J->b~ ::eltrénces el ;fa,e'~or b-ll. que: será nega~Ívo, aa-r-áql!e !,10 sea e1 ~aloT de "'-, y por con5igo'i~nte que se de. 'be tbmaF (3) (desúe A hácia,abaljo; y. 'COl'JlO .ha(jefl~ s }a\(!C)nstrucdon en )a: misma-nguEa la linea b.,-fl st;rfo. ó{3 ese. ) la AF' negativa, lá 'fet:ta PD' tIFada P-úl" el tpun~6 'Fr, 'páit-aIdameBte ~ Be nol p.ó.d nkeQcop.ti'aJ:.si. ¡)e !a prolengaci@fi de EA elreLp¡ma i :P)'. f zo· Tétmbic:m suceden aquÍ,'casps análogos á l~:is ~ qJie?helÍ(os < @spuesto (l. 23-6};:.eslo;' es, que mu~J:¡qs ~ veG€s se €Eluncia cómo pl'oblema ,una'pr'oppsjciOh-'ilQ.e -·eh re-alidad "es< teorema. _' i ," C.f-

I

fl.

I

(

;

-.

.

)

'-' p~tef'mf1'Ja¿ion de los puntos :/r.~c!as srbr~ un plano. ~',-,' 2 I r 'para fijar la 'posicIofi'de' ;Il. p~Dto M (fig: 9)

-!sebre u'n-plano., lo ~prirnertilqMe s¡kha~e es.'~jtar 4qs -¡rectasi ·jndefinidas' Xx, Zz ,..q.tie {ormen un 'ángulo ~ua!quiera, que pa:ra.mayor s.tmcUlez le ~sul!Q~f~ ~ \I'nes=constantemeríte recto" Elu-seguida ,se tiran desde . didlolpu.hto. QO§ 'l'ectas 'l\1P ,~ MQ, respet¡;tiv-ªQ)f¡Il,1ie ,p.araI~!as á Zx, Xx i y en conocleflslq, estas distaB~}an'e tehdltá determinada la posicioD ¿~l -pun~o..:M,; ' "puesral mismo tiempo que- dista , de la, reNa- ,A;X., ;Ia -Ilia'gniplld M~, se' sabe'.ql\le dista de la,otra recta Al.' '>la :lJ1a~nitud' MQ, ~' :rv:nb d1a~Y' btr.o ' p-\;I11{Q 'qAe..P\1~$. cumplIr con estas cotidú:iolIes. ,siuQ el M. ..., . ' " .. .

-


, io

Al'~IeACION DEI. .kr;~~!B1tA

Iguálmente 'el punto MI quedará determina.'do por las rectas M'P / , M'Q';.el Mil por las 1\f/P", M"Q"; Y el Mil' por 'las MIIIP III, MII/QIII. . 22 Esto supuesto, las líneas MQ, ~'Q/, &c. Ó sus iguales AP, AP /, &c. se llaman abscisas; y la. línea Xx en que se cuentan, se llama eje de las al1s- ' ; cisas. Las líneas MP, M/P', &c. ó s;us iguales AQ, · AQ", &c. se llaman ordenadas; y la líaea Z", en qlJe se cuentan, se U,ama eje de las orae1;1adas. Las abscisas y -o rdenadas juatas se lla!I,1an' coorae· ftadas; y entónces las Xx, Z'Z, se llaman ejes a~ las coordenadas.; el punto A. desde donde. se cllentan las coordenadas, se llama el punto de aríjen.. • 23 Representemos en general las abscisas peír x, y por '" las ordenadas; y .como el punto puede ser el M , ó M', Mil, Mili,. es necesa rio .dar á las x, '" f el · signo convenÍente para saber fn cual de los ánglJ- los ZAX, XA"" zAx', xAZ, se halla el .punto que se quiere fijar, Por lo cual todas las abscisas, que ~e ' cuenten desde A háci'a la derecha, ,las llamarém6i positiv,a s, y las' quesayan hácia. la izquierda se l~­ marán negativas.; y todas las ordenadas que se ·c.,uenten de.sde A hácia arriba s,e rán POS#iVM, 'Y las que '· desde A hácia abajo serán negativ.as. Así, en el ángulo ZAX serán las coordena.dra.s positivªs .; en el ángulo XA", ser4n las abscis;'l6 positivas y.las ordenadas .'n egativas; en el r¡,Ax, todo negatívó ~ y en el xAZ serán abscisas negatiVlas .y' ordenada.s po~ít}v·a.s. L~ego si habiendo mediao las longitudes AP, MP, 5~ en.cu.en¡ra AP=a, PM=b, para ·fijar el j'l.u nto M se tend:rin i,as ecuac.iones x=a, 'Z=b. . _:.:¡:-¡ L as .ecuaciones del punto. M' serán x=a ,. ",~-b;

lai> dd W.I -s.eráq x=...!..a,. ~=-b; y rá.:lil JiC;:::=-(l, z=b.

l~dehMIh' · s.e.

. 24 Si p·er.maneciendo una misma la a,b seisa Nf!, dismioure la ordenada MP, el punto ,M s.e ..apnox'¡. mar-áal .e j e AX ~ vi. MP 'ó b llega á,ser cero , el punto M cae,rá elf P s0bre el mismo eje de las abs.ci$as, y 'sus

ecuacione s seran x=a, z=o.

.~~'

(.

.


,

1..

GoEÓ'METitíÁ. ~' ./ ' 1t :;. :' . Si p~rmaneciendo una misma la órdenaa~ P;M, la. 'abscisa AP_dismil\uye, el 'puFlto M s€ aproximaFá al r'eje ~:C ;'con. el cual coincíaüá si AP. ó' a LIega á ser cero, 16 ~ue da x=o, z=b, ,que $0'11 tás eGúacioneJ • ile un'p:utlto- Q' en el eje -de b'as ol'den,!ci~s'll' . . ' En fin, si la abscisa AP· y la ord!!nada ,PM He: gan á ser cero á un' mismo tiempe;H,punte M que "'debe hallarse en ambos ejes ;'s'er-á: su punfQ;ddmersecdon ;-y por 16 mismo ' c!iérá 'sobl'~ eJ~ pu_nto A que ' es' 'el oríjen de las ' coorllenád.as ,'cuyas-',é€wad'(;l11es serán x=o, z':'o. . . , . .: • - , Doá\je se ve q'ue:Sü poiiiende á las vari:ables x y z __to~QS_ los v~lores .po~itivos Y,n egativos posibles, desde cero h~sta' e~ 'infitlito, sé; puéde¡fijá,r la I10sicien de ' ~odo~ !-os puntos dél 'plano en qU,e se hallan los ejes. 25 "Todo le d:icho -hasta aqu í eq.la1;v,ale :í-la s'o luci?n general de -este problema: dado oo'punto en Wn, plafwhaUar 17JS' ecwiéiones"quek· determinan .. Tra.te": mo.s ahQra de resolver el inverso, á saber: dadas las ~~c1!ac'io~~s~~a ; z "b'¡ ha~lar eZ p~nto M (fig. 9)' que

· determinan. . ..,

LA

. , ,••.

Para estÓ, 'considerando la primera como ~i exi~ ~!~~~(~..oI<f, ~c.o!1v'~ene á', todo~· lós purúos cuya abscisa. es ~guat con a. Pero SI su ponemos AP=a, todos 10'5 · pup tós de,·'·la 'líriea ' PM pr ólol'lgada ' indefinidament~­ > áÚ$farán ~ -está condicion; luego ta ecuacion x=a E!rte!le~e' á u,na_rect'a .~~ pm-btela aL eje - de >tás or'; -7JenaUas''' '< , .• , --: Del mismo modo, la ecuacion z=bconp,Íene á

}odo~

los 'Puntos de una- línea QM paratéta at ~je dI! -", ( " ;, .

-i1s' absci~aS:

- . Si se verifican ,á un tietnpC}-' las do's"-eéuaeiones r;~." á, z~b, la' primér~ corresponaé rá á uñ p Ul'ltO de una paralela al eje de las ordenadas, Y>la segunda .á ., unp ~e una: paralela al ej~ (le las abscisa:s; 1uegé si el punto que determinan se ha de hallar:'a l mismo tiem· PQ en estas dos rectas , será~s'u pUl)to .de inrerseccÍeh, que es la traduccion literal,de la construcciQn geo .. ' métrica que..sirYlÓ· para encont1"ar·dichas ecuadORes. 1,


r

z

AP~l~4(nGN:~ ,DEL lt~E]n! A

~ , ,"2Qr '~CltIi,Ó !a ecú¡ki~!! _~::;:a, representa uM... recta

paralel¡¡ ~J , ejeAdas - or~e~adas, se~u~ ~~i.a ~ " P.o_~~,ki7 ' va ó n,eg¡¡.üva, esta rec,ta. se haUara a ¡la)deredic¡. o á ,la izq'uieI:d~ ~el ~je, de l.a~·rordena~.§~ y siJ~ ~Js nula, coinddü;á con este eje ; 'de, ~~a!1e~a)l~e ta ecuq.

, cíon , d~t -eje.. de las !lrden-a4f1~ es :¡¡:=O t '" flII!-" l'guª,lment~)- s,eguIl; s,e a b P9sit~ya ,óAl~lJ~t~v~~la recta .cu¡ya ,ecul!:cioq es z=b estar.á ,por ~a } p,~(te qe arriQ.a~6 ;por la. de ab.f.jo del eje de las, aQscisas; ,y si

-

,b .es .llJ!!a c.ojºc.idir~ có~n ,e,st~. ej~,'cuya ~c~gicióñ será . ''', Z=o. J \ • -, ." (" En' fi[t, si §~ f verifican á un .t}emp~ las dqs' ecua.

dones ' '.lO:::::;:o, z;:::::o, " '. ~. I ~ la pr,imera cOLlviel!e al ej~ de ':;s or~enaaas, y b seg.únda al de l,as al;>sci,s.as" 71, s.i9~ep.1,t.d~ ~icb~s • ecuaciones determinará su_puq.t<p ,<1e interseccion, que es el or,íj.en i\' de l,a-ss,o,@rdel\ad~s; luegp las ecua~io.

Y como

nes-a,et punto de ,oríjen ,spn.r~~?·"_ ~ 'H ~ ,~ . q~e(, ~s

ro

" mismo q ue Q.aUámo~ ,á ntes., . J ¡ i, .• " , i . :; 27 ."Get:l~r8-1i~andp ,esl'.e fes\!lltado se,-ve que.,si dos los puntos de 'una línea recta ó curva :~ soñ tales - qu·e '~x;~ste, la-misma tel,!-;<;~pn e~ú~e la9 , ~oorde.'\la¡dás _de,aada ,uaó de ellos ,. l~ e~}l~~C!n :entre-.x:'y B.!l;e es pr~e \est¡l.~;f'~~ac~on",,~~.b!; ¡f!~r:f,c,te~izar, ,á~ ~St4, Hne.a, ~y!::p@;I." l~ ¡pis,mp se llama e.cuaciQn de.¡aicha),ín,?¡j. Re, cíproG_áfJl~nte "siendq da~ 1\1- eCl!aéio,~,,'~e;~ed~J:~ d:e ellaJ.<i tJ.ªtijt¡ilHa de}a ,~Ul~a,j ;Ro~.9.<!.~::~l :;s~ }l~ler_e? , enco~trar aqu~llos p~tos ~ue c?rr.espond~J.iA¡~na ~absel.Sil: fr~tgr:!1l4Iad¡l., bastara SlfStJ[\ll( po¡: ;le ~~t;e va-

t.o-

i:

~lor ~n: la .e¡;lg~i.0n3 est~_9:0. cp~te9~r.áv Y,a¡nas~ ir:.~~&­

Y uará os valores corres'pondíenie~ de " " con relaQ-lOl1 ~ Ho¡" I c91 ocaran a eje de las, ~b,ssj6,a;.§{; :<¿ü ~~<?rt31~ ,:-1, sign,o. a;ej,~e":"e~é'p afie:cllajl.~ :lgtt¡¡,{o:zen!~ ., . siendo dadfl.."',/; , ·la .ef}1a.d op; nifesu~,F4:~~~.:v'!¡!i)1;es ~o~r~spon4ientes e 'f.'. N~ r¡J ' . 2,S0' c.~!'I e.;¡~ps COI~99~lpi~ ptos pasemos ,á r-esorv~r al.g·u.p.ofp.r;,QQ.IS! II\a.s :; ,Yr.s_e~.,~l primer¡ó ',,' ~ D(I.~4Cf: t¡1'!4,:,¡·eela ~.N! '(fig, ,h allar S1' ,7·SIl~~ion •. ~ r .R.e§.,~y .::P~!11~_ .•.T:l.r:_ens~. Br~tne :o los . ~j~~ ie..cta~lf· nita que la

'Z,

-las-ó¡¡del'lad~~, ~~ cua)e,s:se

g

10)

illn-

r; ,:


I4 '

AP'I.IC;ACI0N" l?F;L. ÁLGE:BRA

, 3z

,

Si: ~.f!.I~: ec;uacion j~ ~ ax+b , .se hace x=o, ~da...

'rá. 'Zi=..b, ,q ue es el ,.v'}lor A~ A¡Af¡, ~ detennina l~ üis

4 ,

tancia del oríjen' á que corta la recta al eje .de, la~ or, -;r [1 J ~ b rr .. ti' '. .... .... denada~ ; y haciendo z=~~ _dará i"=- 7;" que e's '~a •

-

j";'

-

J ~;. J ~... '.:' ~ i .. ~,

']( .... i "!,;

r~

r

r

distanci.ll riegativa AB a n ue, di<;~\l ,¡;ecta con~ ~l eJe de las ~ bS 9ka-s. '. '" e ¡ ,,' '/ 1', 1"'" -33. Regí p~o,famen te , r.s~ ~ada.1a;e¡;~~s~oP ~" /:f~*~{J se qUIere traza,r:!a.req a. q ~~ ('ep,r es¡':1,!~~"s,~.)p,~,~nclpla4 r ¡Í. por tirar.J.Qs:ej es AX "AZ' ;, de~ u €sr s~Jiaiá x=o,

y(s~:tend:E<Í' '1.:b,,. •

t

q ue d~.te.rmi:na· eJ, ;p~~To( ~~¡ el! S~j,..

•. , .

"

••

~

1

"

...... , .

... \

-1. :j .,._

~ ..... ~"' . . . . . . ~

~,

¡

..,..

J...

,

t'¡~E"· 'r'

guida $e ,hará 'l--:-o" , y. ~ '5 ,t~ndF-~ ::)t - ...,.. ~d ;~ ":'i*r' ~e5':J

~~¡;[!lipa~~Cp~nt<2 É'{Y -: i1iafiá'o-1'líria'reétii,!~'gr ¡~s.toª, dp~ .P~l;!,ª't!D~s!~~Eá),~ Fu.é} ¡~~i~a. :t á~~bfé~~:r~~~~ed~ '

deter,m,\uar,\ q.¡ í<h~ lmeaJTl?,r .. ~~!e "i-uler~ . 0 ~a~,_do5 , C0fl6.rl €IQnes. ~¡ --~ .--

...

---'

...

!,

.~;¡

0-.

_

¿ ...

'r

-- L-\

\ ..

¡¡..

I

1'_-

...

',~

4e. "

i"'C";J

I

~,~

r

I

'-'J

34 ,Prºb.L~~~·, Iiatt a.r.Jil :e~uap~o..n un~!~t~ qJie pase llfl[ ,-,loj punfos M ú1VJ.~ ,{!ig:.. 1,,;-)', cuya,s,}¡E~orq::

fiaáas lE eon~cen:.L - - - .

,.. , . ·y. "·w ""

_.....

" _' \

j ¡

,

._)

.¡~

r

t

., '' )

fl

¡

.fl..e,s y. ;D~~1¡. :¡ ~B~j ~us t , des~ 7 ,~lch9,¡¡ ~.fWms; J?~r.""

pej1 d!~ u{ª,r:5' s.!at€Je qt; ~a_s _~bS,Cl~<;lS , ~on ,ll¡) que se ten';: dr á.n Ja_s " coo¡:~,~l'¡.ad¡¡.s) de ca~a ullp~ de eStOS, tP:unto.s~

llamárid~l as ' x') '1.'; XII, '1./~J ' y Í:eñi~9,do pi~sil1te que, la , ecu<¡.qo ~ Ae.:J.,ª" '~~Cfa e,l1 gel~e.t:aI , t;s, 'Z=ax..-rb, ~sta. d5tberá ,q ue¡daf sa[,~sfecl1~ ~usdt uYf~~o, en ~llá ~(W v,e.~: de la,Le..<i!91~eg.ag~~ g:enet¡~l<~~ , }~s paftlcul~¡¿,es de. ~s~) ,lOS pu-m os ; 'Pqr:lq: c~~ ~~,.,te}~d4á e ;. 'c~, ,_, " .! • ",' ~a~~ ¡:fr'p.. CA), paJa e~ P41ltO ,M'I . , .~: _~

y _'1.11=ax':,,+.g¡{ ~" ,p~r,~ ,e~ lY!,: :J . '

" :, : ' ~,'

Despejando en 'es ¡as dos eCllacio~es las: iÚcl(Üe.rmi~ nadas -a: "J .b ; S-s~ustituye!l<4.9 s~s valores e'~ 'lá e~\Í~: ciQn 'l,:;::;.ax;+.b,(c;), se tend~,la de la recta sujeta.. á,ia,s q!ii'ndiciJ,>í¡f,S d~l~I!roblema:,,¿ste' ae~pejo s.e .h~Ee: ·(w~ mU,cllÓ\ sencillez.) r:es~afldo; l~ éCl:lá~ion B) ~e J~ (A);

e

lo que dar A ~;-':~"

=a '(~'-xl/),

¡

'yá ", '1.:~~;,-p.~(D)'¡•

~

~-x


, :" kM

CBOME!J'ítfA.

rs .

_

restando la CA:) de la (C) se teadrá,:z;-z'_a(x-.,,') (E); y··sustituyendro en: esta el valo.r. (D) de J se tendrá ;

.' .' Z'--z'l _" ~--:r/=~( x-x'),

"

'.. •x'-x" <:.c

....

=- . . •

que es la ecuacion de l'a recta busca?a. ... '"' 3' ) Pro!>.~. o Hallar La distancia llulos punf~~ _ M,' M' (fig." u) cuyas coord-enadas s.e .conoc~n. . ,; - "Res~ 'y!' Dem. "Sean f!l;1, ,, ,/; las.coordenaa.as dd pJ:~: :. men) , 'y .~/', -rJ,{1 las del segund:o.~ E0fol.dbase la"MQpar.ale1a al ejt: d~ las absmslls, y Halném.o.s D la .di,st~ncia ·lVIM! qqre..s~ pide; .hecho. . esto. ,. el ' trián,~o ';'

~QM; rectá'qguln;en Q dará MNi'=VMQ2+M~Q:2; ;:

pero."NfQ= PP'.:...:AP'-AP=x"":"x" ::... ~" , -;r~' ·=Í?'M/......:U/Q .. P'M/-PM¿~~"....-.I.:z;'" ' ;," y'. M/O +."¡" ~'( , r';. " ' , l~_é&rs;us~itti..y.~!i{fID ~st6s vaIOl;:es'; s~ ~te?d~a. . ~1'!·.'· D " V(x"-X ' Y+-(7.."---:z;'·l i, que es lo. 'que:- .se p.edia. . : .'-.)'..~ . , Ese. Si: el '.pl:l~to M es'tuvies~ . _eJl:..e1. o.r íjen, S\iS , coo.rdel)a~as x!1 ~ <" serian Iilulas~, ;y l~ c!ist<l,flcia lite! punto·de oríj,en A,~fig. IZ) 'á 'un pUQ.t..€> <l.l.!alq¡uier¡i MI : ~

(.o

"

..

del pl~rlo, v<;:~d"~* espresada por D ':.y xna.,...xr/Z; ... 16 q u~ tambiefi s:e' co.ri·fi9~a Fo.r~l e tríáll.gulo l 'AfiM' .f~"

-

I

reé:tángul~. enll~f, :que da AM'::~-v.4B.:':-t.g'lVl'~. ,. f'"" ~ J ¡...,. q . .,.~ .' I! i

De ¿os puntDs" 1:_d~ la ol.... ~

, ~-

;'!'"

1>

~•

lí~a .

p"e.ct(f

.. -t en ., el - ~sJ!aci~il'

·cr

'11-

.

con~.id.eraaot _~ 1·~\1' r

~ . . -= - ; . ! . . . . - ". if' "1.. " b -!'g:6 i"Hast8;; ~ho.:ra. he~o.s co.n.sid~~~ ..J9~ , ,p unto.s,7., re-(:tas~ sjEuado.s· sobre un mismo. ,p!ª!}O; aho.ra v.al1l~~ á considerado.s en el espacio. Para da~ .uf!'!t id ~'l j,L¡sta:

d_e lo que nos proponemos, se debe saber q-ue p0r es· pacio se' entiende Ja estension indefi.1Jid;p 4~t ul1ivc2'so, donde ·se concibm covoc,ados t.odgs l~: cuerpos. PilFa poder fijar '!a posi€iol1 rel~tiva de cualesquie,ra p.u.n~ t0"5, se conciben:tres plano.s il1defi!illd~s ZA:,X> X4\U, Z·.8.LJ (!ig'l 13)~ '1 ue se coneu de u"i¡. m~~9, ~ual'l uieK a,


d

t

APLteAer'>N DEL ÁUEÍlRA

,

qtfe; par~~y'(}Jr' señcilla los sllpomirch~~$) r-éotltngu"!O ! láh~s~;y 'uRpumó' l\1 queda determinado cllan4~ s~o~'{ nacen tas distancias respectivas lVll.Y~'. MM If, MM.' '',

á cada uno de dicbos,lplae.0~ .. Est9s :futma u en A un állguio s{¡l1do, semejau{e al '1 ue forman en un !"incoa de una sal~dos ~p"~ue -e11lt y>el su.-e!{¡t: :;y Zpl'P-'"l loogw.os, i'ad~linidamen°t'e f.ócma'r,áJiDc'bf! ángtrlos os ó:

lidps. q Ue~Ó\}i~ r.eml.elláa tri'dus k)s l ~l4.lltPSlj u~í~/eq.úi~;.1 raff a et-ésp4ci.o')lasi CDl:IlWJbs ~uau"Q:ángulos,"q,ue for~ m~o;Hos ~es rJxtafi'g~J:aÍres.~203-) Crimpr'en'tieri'todos J0_S j p1.l~"Üs sii:ú.ru.wsü$ciibq~ ~n plél!úQ,>:LeS¡ pq¡¡ti~S¡:lJ.\x, 1 }[ !tEJ oZAU I,"á, (j;~se:rehéIeu.l'os panl!(!)p deL~,esopaeio, , I

se~j~¡úl .pt[Jfí.q"soor~epfl4()~s.; l¡¡.~ J,tn~íl§J~iM/, IY'''. ~1 ó stts i 'u"iiles ' t I.:§ nO~ ) AR " A'~ AP.:¡ llaman' dt;! distancias de ,~H~iio -p-p1¡to, M p,lanooS coora'en'a'¡ r- .. ...J .. - .. TI -~z Aa..> , t \-, I I ~ r.~ .... f. dos; las Ílneas A ,Ii.. ,Al( )- sonre sé 1:l1eiHan'

MM'"

M , .

la;;, ~o.Qc~~ni,~'!.s

., nos 'rue

las coordénadii'f se 'll$laq ejes' 'de; lar c'bardenadas; y el pU~lO A es el oríjen,o Las cooi: d(~na:da:s r ~q ue como,? ifR.?se e ueát.iJ.i::~fi~Pej e AU, 's e ceplTe,senüfn f)(j)'r 'u, ioi~ Hne!l"AU s"ó 1:j.a{H3: eje de I.-a¡ ~';': l~s: AQ que ~ se J cuentan ~ID. f<r A~t ¡¡e.:.lfepftqentaD-i'Fdr ~,' y la 'AZ es ~ el éjé-aeb"aT.'Z;/ y...'e: !íp_ea_!\.X e ~ ,,~l eje de tas .le... -'b I,.'¡El.p lan 9:tfti r; H~m~Jtano iJe)"a{,~!Z ;. él ~f\.P,o · plano de las' x;'¡, ;_y el ZAU será e~ 4l Jás zu. J.;J 04 Eos''Pumás' M/, Mil, M"'I, en qtjellas: pel]?endi-l c ularoes M~/, &c. enCllentran á los planos L.AX, &c. se Hamirñ 1ft§' proyecciones 'ael p ÜliJt~ ' M .-\., ,~d ~:. 37 Esto enrendilie f si l1abie'Lfdo llledid las. tres od istancias A.p, .AI¿, oAR > se halla x=:a " 'Z,=b , u=c, e'¡¡&3' serán 'tas dúac:wnes' def¡ °puM/}-.M;' JI 'combiñ~n. dQi:los signos- se-tl&tífrminará.el ángulo e.m- q ue.:se-ha,. lfi -dicho ·pup.ro; " , ' " , . 1~ r, :, - ,lo. • 'o:~r' ,JI: , ~ Si se s~pbne t ''.;), se tendrá .?Cpa, a.=b, u;;;;:o,) 1u.'e"odcteraHnan Ú'R plillto M' en 'e1f plano de lasokZ;f i '::"'ú, Z::O;:d; ,!,=c, determinarfrn~ un,>.pullto , ]YIf' en é ·¡.r'4ho °de 4'ás .lVU; X=0> 2=b ; u::::rc, detenminílu' l1il' ptillto'1W'J /'eo 'el 'p Iano de las 2U;°.\lt::r:::a, 2=0, W--:-:O, den:nninan tfri J:lll1Av l' en el eJe ae la§ :>ti; x~o , 2 ,: :;:0,

'l,

o

o

I

lé'

,~~t.Q;~·;~?sii-e'~~J~;'~~S;

o

o


, '1' * t i

fi

,GEOMETltÍA; - ',

~¡::::o,:dete'rmin,an un .puflto' Q en el-eJe deJaSf~; x=o,

z=o " u:::::c..,.zdetermill'all u·nl punto R en el eje de I , 1 . !as U; Y'finalmeme, x=?5'·:t=?,. u=o, ,son, as ecua.. CÍofiles ,del pUft9. de (l).r~Je.n A~ ',1 l' _' 3,8 :,~Pasel'Il,os aaora¡lá.la r.esoluFion de algunas cuestÍJ)nes, ro '} , 1 '1. a Dada tma recta MN, (fig. 14) en el ,espaci'o; o

hallar las ~~1Jqc.iones qtpeJ.a .4et~minam--' , , Res." y Dd111: 'Pa'ra ,!"esól.vJi: este problema 'adverI

tirémos que o a~í ~cop;lO ~~ ~ puntp queda' detertniñadQ por la in&.déccit n a.e"oQ:s rectas (25), del' mismo m(i)do'.,rina ,recta queda. determio¡;¡ada por la interseceioll d:el~dos .p lanos; adema s se Hama proyeccion de, una ¡recta sobre ' un plano, la' interseccio<lln de este plallo'-eon otro (que se 1Iama plano proyeetante), qu~ le. es Ip'e pp(md,i ~ ular y pasa ,p9r. dicha recta. ,As,í ; la. recta MINI es la proy!,!ccion de la recta °MN en el plano de las xZ; la M 17N" es líl proyecclon de la misma recta MN §obre el plallo de las xu; y la rec. ta lVlN qu eda, ya determinada por la imel'seceion de ]QS planos proyectantes MNlj MNI/. Ahora!,' como la 'recta es dada, tambien se C<lll'lO':' cerá¡;¡ sus proyecciopes M INI, MI/N", cuyas ecua. dOlles son z=ax+b' , 1'=al-x.-f.b l , en que a, a', esfinrscrn. tars ~alngentes trigonométricas de los-ángulos , que dicha'~ p.royecciones forman (;:on el eje de las X; y 'b:, 'bf,' ~~presan la cl,ista~cia á que dichas proyecciones , coftan' 'á los ejes de las 7:'. y dé las U; y como :conocie'ríüo' estas 'proyeeciones y titando por e}¡ta~ plé1iHÓS per,pendicu.lruoes á los coordenados, su iIltersecc,ioH determinará ·laF·ec~a MN e_n ' el o éspacio~ tes.u!ta que las ecuaciones de esta serán .

z=ax-t"b '; ·u=a':x:+b'. ji \:Si. 'la! rec;;ta pasase por eJ oríjen, seria b=0, b'~o, y sus·'.ecuadones se cohvert~pi'an cm 'z=ax, -<,

~=a'x.

.

"J'

-

~-

_. -

392. a . Hallar la'S ecuaciones de una recta que pas~1i?r.· ~.¿} 'Plintos tIados en.et espacio. . lo Rei,¡;y. De'LTi. Sea'mnx', ",', uf, las cGor.'~eF1aclas ae! ~

T.

n.


APLlcACJ@N'. lmu. ~r:GEnRA

liS

primer. -PUnto'; '"-'x ", ,7;", If~\.las .dd segundo.;: 'Jf ten. dÍiérrios que':Jlas e(]uac~ones z=ax-T'b', 'u=a~x+.[:l, de una ,rec¡a. €a ,g~nerak.",..::d'eQerán q uedatr. 'Satisf(:chas; si dicha recta ha de pasa,r{pI'Jr eS¡(l)s.pu.jltoS, 'Sl!l'Stk; t U}leILd0 erLelias' elil:,:vel¿ de t1a,c¡"'cooriliena:das ' getl~ra­ 'les, las pal'ticulares- de estos puntos; péF lÍ9' .que se te~drá: . J . - : :::: ~= ".\1.. r ' 5 z'=ax'+b( "". ", l ' !., " ; J {.u!=a!x~+b' S . ~~)~,p'~~~ .e . · w~me~ ;p~nt.~, ' .' ,

-.. ... :; .

/_ 11 L , ' 5 ,z 1, ~a x +u.

I

,( C( ) ' " 1 '''ld '1 Y, '~"l u'''=a~x~/+bl~~ "'~ ~'tr~ ,9 . se~uy _.~., ,! ': ' E s,téj>S :cuatrp , ecu,á tion'es;, ha.rán ,COflOCel" las cu,a. tro indete~iladas' a. ~ b, a', b'; y sus~it¡iry..end:o s.us va!llres e¡;¡" las ' generales :se b~qdráB. las ,de la ¡recta pt~Í(;l:?-.1 Palla ,. ,hac¡;r. el despejo y sustimcion, con facilidad , .restarém,a sJ ~as,{n) , de las (m) ,,Jo " qu~ dará. , .l' " ' '),(,.:.....'Z'/=a (x'~.x") l ' '. _. t'J" . ; " ~,r'

~ uf7"u.'~-a'{x~-~'()

f"

" : ", '.. ';.."2-. z " u':-u,r ' d.e dohde 'sa·Le a,= -;¡;--¡¡, a'= -:.:/ "," , :; . ' !, .',~ '¡; L, "X;r,x' ~ ,~ . ?-::X, I , ",'¿,1 ,cestanao las Cm) de ' las .gem¡rales se ténd~á::"l .:' ~ . I

...

.

'f

,

={ , u,;--u'.=¡¡IE.l<i-:C''). \ ~#.I,- N ~/-a ~ , (x

s)J~.tituyenl'io

••

\ J

x' ¡;\o} 1\

, " ., J' ~

• . _ (,.,

'1

''~'~ '

en ,es.ta.-s: .1Q5; :valoT.es.de

r¡,~-il/J ¡.

' l j -:•..;1

i

i

.. :: i:f ,

.. \

"

I

j"

¡ ! ',.:\!

'\ 1 : ',' "

' ::U 'J

a.<} se';ten~ !.l..,:: '1.1

.. ul¡~af!: '!,

d.r.á: z-:rz~~ '7-=-;¡í{~- ~'? 'iJli+':-IIor=. ~r-;q;:,/.(.iQ~ < i')~ •

I

J

X ~x ....

J'

!)J,

¿,::;.t

;.

,t

I IfJ{J~X. • ) .

; -,r-

<ÚJ

q u~ spn las" eC,uaéioIJes' ',d.e,<!íl!"!Í' ne~~ed¡-da.j::)')r.c :)' v: '1 I 40 . 3·a":;·ll.(¡t~P.1" I.a disJ:a¡rt-iaj,d.e,~do" ,p(tnt..@s' 1I1 ,:,m (fjg. l, 5) ,. ¡;uyiH caOrdeJlacla s se. C,OflOc.e.n· en. le~· e,¡pJlP w •.i Res , y De.m. .s~:'!il ",.:~,L~,..u".;. :1a.s,, ~oor<1e¡jadaa del primero, y x', z', u(, la$' :,a-el s~gLlnd€l ';' :eoncíba. - ye·¡',¡"mQ pvar.alel~ al pJ¡¡.no de"las xl' ;.•y,JiamluiÉlP D ' la dis ~a!lcia , Mm ·.qu.e .•~j:! p¡d~;, . &e. .tendrá ..- , ,:-: 1 :r;. '( ......-..;


.Á!'L~::QHOMETjR1;~. :! 1'5) Ia~ " ;,:"será lpcirpendkula:r (.l:,z}to) á PMf,r e.l t&iápgilE0. feefá.flgulelÍ1n'M'Q , d,ª'r·á.¡ M'l1~ ' 7=m'QQ.

@je rae

M'Q? ,(q;Jpero 41í~Q'±=Bp=:APr-Ap~.l<i"-'''''" •• r..f[''B,¡..,R"'~" 'p-'7U_'Z/. , .• -,.,. ,\ 'M',10.' '<.. -J,~ ~ ~ X. = . ~If/,D_7F ~V..J.!.1: . ~lu,igol'la:ecatacio:ut,(q,:sé ,eonv,entrá, L " ' e¡;¡)n~'l1 ni'2,=t.l<iI/"+x-t)1+~:z,"-".')~"; l.uego ,sl;lstituyel'1:: q.(¡) eút la , .eG~aci0b {a~' el¡¡ va:1~r de l.\1'1.Ií'z, e.n vc;!z G:~ ' S;I1 ·ig\Ua l 'Q:ln~, 'y, eh l ve'Z tG:e MQ;su valor (B), la es'; pnesion. (-A9id'et li2 disrancra peaida s.e ~Gnv en~rá eu f-

,~V(xlÍi?.~I)zl¡::l zlI ; " 'Z" 12'+Cu"'~ ~Ú¡')2..

!".

, ..

,;

,.,. ..

.

Vi ,::,

!::; . ( 1 t ~ ~ .~ (J:):. 1\ . "\. , Ese. ' Si eLptlntp, ?p. estu ~i.e-$e., !!n eJ Grljen A, sus G00rdelítarla-sc X"', I(~'~" ur~ (serialjl ' :Q'yl~s, i ,y .la dista.ncia, del punto, de ,oríjen ~\ (1ig. 1 6~ . á otro cualq ui~ra M -1 ('

r;,;~,jc ~ ..

dehes,pacio, .veJTd'ria·¡ Sl-sf'r~,5.?-qái:;pOr •• ",: ~-~r ,,] ,

D~V.éi2:'l-%'i2¡¡,l~J :; 'fc,"liú'c')tambien se Cleaucé de ...

1

••\

j

:

:

f\,. ~t.~·

,!}r~

1'. ,

4 .... k

"T

".

10S triángullDs ,re,ctániulos ., Al\.q.'.NI" ,AM,',p. r'

\

.'

",'

l,

.De 'lt;sJo.feccione{, ¡;óni~as:; ," , .

ci

" )

1 ' • ti

,

'). '}

,:

"

• ,41 Hem'os. visto, 8) qu~ la \!c\l¡icion i"",,:",G~;;/"bl l'epL'eseata rn gener· ! '!a natqral~za de 1a !ínea,lj$lc¡, ta; po~ 16 éual' ,dichfl. ecu,a.ci9!l., seJl~19a ) ineal.d' ~a r teCla líne.a de pril71er Ó'~den. , 1, " , ~ ,Cuando J.a rdacion entt~ l;~&. c0J)rd,enad'l~ d!i un¡l líaea viene. e,spresa:da, por ,qua ecuacio,n ae segur¡do gr,ad0, ,l a líf>lea~ s.C;!)litLDá: der,segu:ndo ór,~en;; Y,;.cua~; do, la ecuacion ,es de teIcer gr,ado, ja línea es d'e ~,er.oer ci!deli' &JJ._&c. &c. ~" . ¡' ' J " " : J ' ~>. Las jínea ~, de S~gUfl~O qJ<s\e!l',se Jla,¡n¡¡~ secciotyef f Ó"l'!.ic.t!S ·, p0Fq ue írtl~ultan de. cortar IAn ,cono, (~ue Ra.<:, fa mayór ~s&n¡::iU.!!7c: cl'~ PS?ªd.r~l!lQ.S .re~jp) pOF , ~l} ,pla..r no en diferentes posiciones. r,"~i 'o, ' .4.!. " \ T J

,

~.

1

,', . 42,~ S~UP:Ql):g.a"liF!<¿S ,g'U~ ~e_ t~e~e, el,'cppo :r~ct~ ,CAtl {fig. , I7~-' Vx:ol(ln;g~do, ,Íilld,efir,¡ipamen,tcvp,t;lF li¡~99S: !~f

·do,s d~l ~ér,t~C(LC ,,-y, ' q)Ú~ , Se ~qrlte \ P9-~ ~lr~pl,ano MM ,páralel<!l áia·.h.'l~~; cpt1 !~ f t,l~,¡j la, s.~,~'ito51E~l~~g¡r::­ ~~a¡,ll ' círclüo ~'.',419):! S~" d rlan~ ~ecant '~L<itÍlJti~


11.'0

un

. SBCCrO}.¡ES C6NICAS.

nas.e pO~b~€fi.g.~ 18), la secci<!ln EFGJl que resul. ta:'; tambien es cerrada, 'y se .llama elipse. SLe!,.pla'''' no ~e<zaute fuese paralelo , al'lado BiBr, (filg. I 9); ' f.~ seccion" EFG se es~ende'rá al infihit<!l, .y se HiJ:m.a pa. rábola. Si el plan0 'MN (fig. 20) cont~nuase inclináll... ttGse un- 'pocí¡i"lnas , .encontrada á -la arista BB' há!.,. da el ' otro lacto B' 'del': vértice, la seccion EFG,. E'F/~, se cstiende indefinidamente por ambos lados. del vértice, :y se llama hipérbola./ Si el plano seeante pasase por el eJé ;ta seeoioii estaria representada por las dos rectas AA', BB'. Si el plano fuese' tari: gente 'á la s'Ú'p~rficie;o.el é0np ; la' seccion seria uná línea recta AA{, Finahntmte, si el plano secante' pasase lpOr e1',vé·l'tiee 'C (fig. 17) sin encontrar á las generatrices AA', BB/, la seccion .resultaria ser el ~sm9 'plJntq C. De c;onsi~uie~ite '. las ,secciones cn.nicas son s,i~te, a. s~?~~: el punto, una línea. recta, dos rectas i el círculo, la el'ipie" Id ' pzw'áb'ola y la hip6-rbola. ,._ 43 Veamolj. " pueJ ; como podemos sacar una ecuacion que convenga á todas ea general. Para esto "sea el cdno Tecto CBD (l1g. 21yen que se haya dádb !la' sección AM0 'Par un plano cualq uiera; con:: cíbase ' por 'el eje CK del cono un plano CDB perpendicula,r al plano secante (el cual tambien lo sel'á á la' bade d~l -cono (I:' 3'78) ); cuya; interseccion AO se Hama eje de la secciol'l eónka. ~b'r ' un punto, eual'q uiera:p de este eje, é'oncíbase un pla,no paralelo á la ba'sé DB ; Y.tend1"émos que ,la il,1terseccion de- es.. te plano eón el, cono s,erá el CÍrcu'¡o GMF, y su in. ters~ccion con la 'seccibn' AMO será la recta pM, la cual.;l e's perpendié'ular- (Ii 378 cat.0 al Jilbno CThB; Y" por 'consiguiente 10 es á 'las ' dos"r'ectas FG y 1\0, fJ. t¡~ pasan por su pie. . ," , , ; " ¡ .' ~ Por 'ser 'daa¡;¡: ér ~éonó, se ?eC1111ocerá .él ángulo peA qu.e rorman' sus dos lad:Os ; que rep;fesentaré,. mos por ~l ; lit inc lináci,0fr C;:AQ, del' plano ,secante tamqien és conoci:da' pórque está 'a' n1!lestro arbitrio, y lat 'UahÍaré111ós ~ ; i'g u'a'ltnente 'e-s ,dílda ila · distancia

'.


t '

í Sl!CCrONX5 _CÓNleA~.

:!

e

CA del vértice del cono al •HU?!!!, 'í\; ,de la !e',c-eiemt que tamb,ten se cij,ama vért~c~ ,~e t~ s~c:~i<?n ! y rucha. distancia CA la"Ílamarémos c. Alio¡-~,. consldét,ando el oríjen 'de · l~s cbdtde; acfa-s· ed el veni'ce A de la :secdon, las Uneas Ap, 2M, serán; las coordenadas det puntp' ;~ ,1Y' todo;-est..a4educidQ--:(enco'ntr~} una , re~acion . el1tre 'Ap y pM ~ 6 éñtr é x y i: ,y' las camidade'S"(lI;' ~¡ y) c!'q ui::i;ison ' c~llQcidas iPaJia cO.l'lsegJ¡j~r, es~ -to')sudene lq,Il0-¡l'a,Mp, perp~n~ie-u,laJ! .a) .diáme¡¡f1i>:}JfG thrá' ,~ : ,§ '333)"pM3 Fp~:pG;¡ óJ 'Z~ :::=;FpxpG:.; ~:a¡¡í; solo falta determinar lás espre~sion~.s al gébráicas de

Fpi p.G, ,: ~fl~v~lores, el.é.: las·~ pa ~e,s.;bp" Ap., : dek ',e¡~

d e la secc ion, y de los dernas datos conoaido$. Para esto, en el triángulo AFp >;,,~e ~ónoc,e- el áhguJ<t:.el'l l'J 'que complemento de b..GF=~b en el triáf!gulO EG:h; t-am bien l se,' conoce ,-d ángulo. en A-'-?r-,-Ia:~ llH!-gO (11,468") tendrémos ~ o .. l.! ',." ' '1 " j

'es

~eíl:1\==sen.<'1l'~n;,=(l; §4';9Cor: )selil.a::: se,n,F=có.s.~.~:,:

..

; r: \1 !J_'C, ~'t a. ' . ¡ Glli .J-~ ;~n ~ t ~.. . !1:J~ .Fp: Ap...!..~'~'1-,d:e ]d~nde sále¡ FlpÍ::.lCX:~ (A~:Ji~Oq :>r,

COS ~ 2~ ' :)':2 JOb ;) e f' Enfel ,t!r~ál1gu:lo)íp0G Sfr. '¡¡:0IilQce ,(~1 ángul"(¡) 'tep rí'. . 1. O==!J1 ·,,=Il!.....~; . B:::,d d .:.. ,1' . 1 ",;r {n<j';:

el án~úlo en,;:G:r-'Jt-CGFc'::'7!..."f.'I,~'1l" :' ~~)=:!.'1L-f4~,d ~ 2 2 .., . " '", '" I J\:por. 1a3lU1sma -!'~'Z.o ID"nos , í3!rá ~;¡ : '( :. ~:,í '~~ sen.('7t-"-~)==sen . ( a:+~):p~fi-I¡en.(~'7t+f~) {. l.' 01 . 1 c'o·s ~~:6p"':;"A0~x., - .:.,,, - ; , . l.!,~~ . _,. , señ"la:+~~) "{. ~~--:"' ; - , - d.;(!'rr;;;; ~ue da pG- '1' x(A0--'x) .~:"' (B)', - r:;'} "a ¡. ~ .~ ? ~.. .r.os •..!~ __ '; ".~~o..._- .. ~--.~ '

G

Q!:, .- ::'G -t, z ~

...... -

~-:..

'~.

del tri'á ngulo ACO 'se 'sélca'ic F

"

~'!.

O'r . ~11..,.1V

Cr'~d'~\ n:; "L.. ~L":. :!.2 ...

\}

i

AL· ~:' 'J~ '';. -. ~';:)(1 ~~':¡'!':Ie~ - - c~ sen~ien~v -,-sen.(!i.+~)::AC=ruse·n ~~~--n .~:A()'!! ~ ". . .; .

-' , '"

I

.

,

'?; ÍÍí-

.,. iL

'

,\,-

.'::l'--I- ) ,,' )0 ( ·sen·, \~+b )' " ~ , ,

pG........ 1 I

A

~'I

'"

. c><sen:b'

, ' i .,-

se.(o:~)

",

-.1 sUS,tituyelídb'1ew c(B) 'se}tendr.$q (~ . ..,-~"

I~

"..J

,_x. (C). '.

'1:cos.-!~ •..~~n¡,Ga;-+~),

i

)

-

<

'X". ;..

,

''''{l -;-_ '.:c>..~

- ::: l..ue~o suStiruyengo::ew l'a;.¡~uation z.: =Fp:;¡epG,

/


!H

S'ECCl'ON:ES CÓN.D.:l'tSi

JoS' va'!o.(e's ·fAY." ,~e) ,,'l'e·s u1tatá st. ~) $ú"

I

i'h l\~"!

",1~,i" ': ~ireír:~ ' i~n.(a+G"( ¿stn J,s, !:J' '19' " }.' :");.-

"

r.hl; .. jl_~x" .i. · "} ) «.-" , ¡';> ~¡ _ ... ....:.. ~.,:¡¡, 1 ~ ::-.C,0S • .!G'·. :~:.!G'r". ' serta+- -~ ", ""', ----:. , '-; ~ " -- ,. ~ , .,.. ~,- :..z , €~) 11'),1 'v'",

,UCJ .; ~ ~."EJsel1\isén,·(d+i)('2 t~en,G' (/'· <.:,:;r)'i 2';Y

"J"

¡J~"~

..:X ___ ~2(~ ~M)" \! . ; JI I J' '( I J'!ID.1 ·,, 'J,lflC:J CQs.~'5.: '~ . _ seg.. ~t~J q, l.,. ,') ¡' ' :<: ','1 l~.'< c,u-a!, ;recl·ueiendo¡:en ~:.el ' pa réi)~esls ie!" er(er.Qca:',!.il

' ".

,,- L .

I

¡ P,

,

, .. ~ ~b, 1

éz

.0 0'

,

¡o

¡

e.spede=del _quebrardo 1r ,y suprirrliendo .el·faot¡ol1~cDí· mun ;sen.0cHG') ; :lie', píi'e;de:'ponét¡! \atf1,pi~n .:b.ájp_;es~a . • ' ,.... .., f'I.... .. ~.. l .r.., .," ! ~ • • .. ir.!:' \ sérí:i:t'1.ú.,.,'tlr:.,;., J ", JJ.'1 1~.:. forma:: 'k~- 6 '¡¿z (exsefl~~""::x~seo l~!g'~) , (~), ,,'f~ I

,#.

.

,..:t:'

l-f:.1

<:!

<;: ,§-gc;l.u é:·""'L-..~

~l ~lJ Y (iJO

1 ..":·

l)."

:-1 . . !)

.que·:será, la" et'tra'<!ion ped¡ii1a;. ,1 J~,n;'l ) 1:; " . , ... c:~44 .: Fa,r a '00 ener·:i1:JaaiL la'S1 se'cdi~l!lé5> del : cQnQ\ has-tadr dando :dl p1J\ITO :s.ecallte(rufel'entes 'poskiot1es; Ó lo que es lo mismQ, haeer :.giraiJ lá ~.&cta AQJll1f ;¡;sdedor.::del p a:n:to:'A';rY:Jdafldo 'á-J;a.s-in<iteterminAda.s se~.a, e , c<?!,.~G' &c: los valor~s 'respectivos á estas ,- la ecua"CÍQfl: 'á Posici'o"nes ". _ 1M'> \',... i-[·án~brté.spClud.:ieI}d:o .., c.\ 1 cada seccion: -C.l 1 r.IJ"S cr:'? "Su'pO'uga.rn0s',eH 'p~!m~~ higa¡tl~t .piano secante paralelo á, la base, eh 0uy0 \CaSOJ la secdoCl .Al'40 ~s (42 )-ulH 1-l'C.ulo '; ~ n (}sJ¡e:-oa~OJ :€I 2¡~~ será 2()l+G'-:-'7t (porgue e!· tri:ingulOlG:::A:Orser.á::is6$cel~)~ lo q lle d(s· a-;J'-~p~d:~ ,. "i":<')'w,~:: (.~-_ - -\;':: 7' ~ y seo. (tlI+G')==sen. ('7t-T-~~(I. §"fW':,~O¡,,); sen. 01; tarnbien será G'='7t~2()l, Y 1,~-::-f~í.';% lo que da I

sen , G'=sen,20lt=í~~. ~o49dj;:~r.,rAs~n':~c·~ci:~1l: ¿ "I 'P Y cos.~G'=cos,( ~'7t-()l)=sel1.()l ~~6- ,:¿os.~G'Z=sel1.a2;

y su?tituyendo en (M)

se;.ten..dl:~

0J_\ u' Jjtcr;',J ."S

; ';,::~i'f:l _~~~~;~~~f~·~!,¡~~~s~n~~J~(s~ ~ ~~x~)~ 3~ '{~', J 'ji: sen. 012- ~\ sen,Ol ' , "7 2cxcos.a-x z (N) p<káJ .la l'ecuáci~Jil,~€'lf~cir~u:lo ... .¡;~ T 46. 2. 0 • Sea aJa.pf,~, .~P get'er~\ q:.-t;G'<'7t, sin suponer c.ómo e.l'l-€LCasó.:'anteHorque 1(~t~;Ue le ' falte á a+G' pa¡a '7t sei"re~isarnePteC 'y torno esto e~ lo.:..mi§i'ño que ,d~Í't.:qu.e' eHngul~;.q~¡; , .f:Q(~a. la ge-

(j.'"

i\

I


S'ECCIONi;;s:, ~{m1C *Só'

,

~3:

ncratriz CB con la CA 1: junto <;on el CAO que forma la AO _? ~t;l pll}.Q.o. se~~Íue> coh 'la mism"á. CA,:";y,á~ len ménos q úe dos rectos' j ' a.ié:6as nn.~a i' :CO, A:O (1. § z8 1~ se pa~oh trii t,á \'} ,~Q lCil ,q'ue ~~ 10 ,mIs m0 ;' el plano Clle,efln1.e'.encomrar:í :allas g~nel1a tri_ce~· de1~ cP!!lp. á ,U,!) ,misrRo, lad;o del ,<:éJ t·¡~tt,; eL}.este, cas.o lar secci e,[]¡ es una ¡cilty ll. cerraJia-- ,q lÍe~seJ JJamª ~lipj~¡ , .c !lI)\ª e cuad on es la misma (M), que es la que ,'hembS , de~ d~~i.dQj ~~l¡;Sje ; SUp hl~tQ .. !.!J(;;Ja :; • L 4.7o-3. ~ :lSi fU,efle' a-¡.,b'= 9l' , ilAs..:lín ~<I!s' .C0.., AQ no.! se enéo!ltra·iiaJJ., {l.. 28 3) ; "ó' lo '1!ue es , lo. ~'·mjs LJlQ, ~l· :plafl Q s ~cáfl te:A,tl .ell.cofl~¡;a t.;i ¡¡. ~ a\Aas ác)a, !Jg.e.Jl~rJlt rii ~G pdr ,sede .'pa¡;alela; la" cur,va EFG '.(-fig'-¡·19) ¡;"e estiende al infinito, y se H!l!¡lJa~ p(J'¡:ábola,;, .en e.ste. Gaso\'S erá~';¡Jstl ., (.r,~ n.-.f., o, J ' l f" ~, c-} . JJú. sen. (a ~~l;-:0\] .'ie.n. ~;e,t1tXJr\~):(l. § ,!,59' c.or.):,r::¡ sen.b'= (I. § 460 cor ,) 2sen. ~~cos . ~b'; . y sustituyen.do en (MI), la es uacion .para J~ pará, bola sef\á-- ~:. ,-'.' _ .,' ,,~ .. \ ,:oc, 1 , _ t ~ , .... -. ·.1 -: ..... ' "'\,'.:1',1: - --,----~ <,_'

7,0

Z

2.

1,0

'

JJ.

'

2 sen''2ccoS''2b ' o I ,o .' 1,0_ ' ! 2 2 XCXX2Sd).' '2b COS.'''2,, -M~S~.r.,'2~ (P). COs •..!b' . ' ~. ~~ .... .¡ . , . ~ 2

~/ .. \

.~.

__~ :...., .. ~"!

_

Cuando ~-¡...b'>'7l', el plan@ secante en~uen!;ra:; áda '~s!l¡;ier.fici,e ',cgw,qa á:••:~lnO y otr<ií ll º'!! del (cúspide ~~I~ono..; la t CU !'V4 (lig. 2,2) tiene dos ta ma§ MAN, ~l 1;QfQ " de ·cutiY'}tqt:a. 9P 1}¡e~ ta .q),l~, s~ ..e,sti ~n­ ~e,n ·al i.nfi.Jili~o" )1 lf se ll';¡;~JJ ~ :a.j~é!i/;¡ola. ,p.a,r~ s.¡tJe- ¡l¡¡, ~ ~ c¡uacion ~M) ,~0ljJ. Ilenga, á.h~§~a; c_ury~ ; qastª' ob~erYa r q u.e ,la:,!J.oe_a A0 JEfig. z.r.) ["a~.~Jad!s , A,O',~ y¡Jps tr.ián! .g,ulosj<l!l;le.al~ora , hemos <te SQl.\siqe~ar s.<.)[1, 10!? ..~ º/G, , O/Gp , A.pF .; el primero nos dará el ánglJJ~ ~Q v,-48 4. 0

('

,~O'r-'7tTCA,O'r-A.q(})~~I7l'(-';:'( 'I't-;-~ )'-;'( '7l'j"j' ?~""":;

.. 9I' :¡;:,'il:T~.:-:-'7li;t-~=-:-'1(T(~j*~=~('7l',..-!;~ g'j; "1 V .de consigl,Jitj..nter{J . 456. y 4'j9.,c:;olJ:.D,se teqd f~ :;"J1'-~~ . ' sen. O' .. ·.§~ll.~('7l'-~-;-b:'j-:-.;.,. ~ en.(~+ ~.); 1". '. YlCO [)}!il¡Jtq~l.Q;jJdel?~s_ §E, 1@'¡n.i9Ll1.0 , r~.§1}¡~ ~á',:..qq.e só" t0 CO ij1 Al IJ,d,<ur\,e-},signo .á se.11 (~+.b') , Ó ' 10 ¡q\l~ ~YÁ~º e ál ~t;;¡r ¡ ~09~.isLI!Q J.,a.1

tétmhlo..-x,z que h~y', ~enJi¡ O¡(~,eJ

-. paré~lt,e5is~. 1a, ecua~ion , ~~d.'[""

<

_~

'~

J.

I

':J'~

I


~4

S:aetI~~ES'""cONICAS:,

' sén~'~~en.(a+~)( csen:@ 2 )';p:) "'¡':1'1

' :¡

=.

'ti

'~

,-

'

,:_

cos.k~í

1

x+,, :¡

"

-< ~

' .

__ •

"

' sep..( a+:~) ,') "í,l1:) . 4'9' Las, alteraciQúes d'e ~ ry e, é lo que é& la mis,,: IDO, el hacer variar las ' dimensÍones del cemo cyda distancia AC (fig. 21), no (;aus~n ninguna-alteraci0n , en toaa:s 1':<1:s posiciones ,del 'plano que acabamos de considerar.__ .J _,.:~ , . : \ • • Nunca se puede suponer ~=o, Ó.=<Tt ,' porque en este éa:so no lia:bl'ia .cono. Si se haee i:===cr, - el plano secante pasa, por el vértice;, ,entónces, la ~uter-, seccrion es un p!mto si ():+~<'Íl'; J,ma r<lcta si a+~=ir; en eu yo cás@ el plano secan.,te 'es rangente .del cono;. y d0s ¡;e,ctas ,si a+b'<<Tt. J' ¡lB _ '.' . Luego si en la ecuacion (M) se hace c=d , .1' su':;; cesrvament~ sen.(a+b')- positivo, 'u1,110 r negátivQ, se lendrit _ • ' r' .1" _~ , .';' .'::, sen.b:sen.(a+b') ,,( \ . ';' 1~,:. I

\

:.;2=_

"

A

x!l

cos·i~:¿

(Q);

;

_ ":

-se~.¡.j~én.:( a+~) - '. -

z"'=

70 2=0, <'> z;=o-~R),

-~., -:-~ --;;

(S). " .r cos.~~2 ,. ;,. ;' ,, , La (Q') no ' puede q nedar ' satisfecha. sinó en el· caso ae-·x=:o, que cia· z=o ; -por c0nsigúi'em-e s@lcil 'conviene ,á un punto (26) qúe es <ll fé rticé d:~1 cono; la· (R), que· para cualqu.iel' valor de x da -2'::;;:::íQ,1 es lá-ec,uadon de ün,a l'1fé1!a"que es el misUjo eje de' las x ; finalmente, " la (8) 'qúe. se .pu;ed~ p0riel'.Jbájo' la forma: -z,z=a'xz ', ;cqué -da 'Z=::±'ax', "re:pl'esent~ dos rectás. ~. ~ ~ huego en general, cua~qu.jera que 'sea ~e1 ceno y la ¡'posiéion del: pla¡;10 secante; l<li' eCl.'laci?o (M) representa las siete secciones eónicasJJq.ue enuneiá~ IDOS al pl'il'1éipib', 'si C- ,' o, ..g'e tienenfjáis::-tr~s · 6eócio. ,D'e soque :'p asan pór el vértice; y cuandcí.éuüepe un ~alor eualqlúera , ~ represe.ma un círl::.utó", una l?lípse, una~pa.f'ábola ., -6 . una -mpét-bota, segun quec.él·'co'e ficicnte de XZ es la Llní:<da.dnegariva ;.le$ ,negativo XZ

":!!

\.

'

'.

-'

..... 1

r


SJ!:CC!J('J~!S:S~~ ~NIC!AS..'

,

2

t.

teniendo un valor cualquieré,l} es',flulb él e~..p'Ositivo. Pasemos ahora á c(;¡¡lsjc\€')"ar cáa'k: l({).ll; ck, e&:tas curvas, y.::á -dedll'aii"::;d'é:J~s eeuaciemes que ,'las re': preseBtan su's principales p,ropiedaq-e.s ,¡ :,..~ -=- 'J" '!S' _

.J

~~

!

~,.....

~

"U,~'rC C'L .......

:.._

[J,'

,.

..

Del' d r,aWo.

- ,_.Ji;'"

"

'1'"':. (-il

.' ;::. ¡¡~ 'L '

,~(

.

,.')!

: '-

,"

. .....,

J, ~o ,: Cort3:nde, ua' cono . recto €Cil~ 11n, plaBo .pa 'l'aleIo á la base " ~abemo~ •{4z~, q u:e· J¡¡'.J~s,eé.ci Qn _q u:~ rh ulta es ' un círculoSí' Yi . hemos· <d.ed:uci<do (45) p,aEa ~'u. 'ecua:cion ' :ZZ=~cxcos.~~"'~. '.1 , ~~ J Haciende ccos',a;=a, dicha ;ec.liaCjen-.: Se ,cbnver~ tirá en ~2 = :mx~x2 (AD. ' ...... " ¡~'t i;~ > ~. J Para~ obtener ~los ,puntos ' en qu'~ C(!)l!ta . alt ~e. las x, harélÍlOS i=:o:-i..'q:ue',da Dr- - ' o,'.y. -J!?- ~20.; por, cOlilsigui€~te le cona.. en eLot:fj eri B ,tigl'" z3l< ,.Y en E' á una distancia del oríjen espresada .. POl'. 20. s~ hac-etpos, r.iXt::o, res,!ll.ta..e~o; pOI.' coosig,tI,te~te ~a , curva sólo ca,r ta Msje<. d~Ja~ j o~~~n2:.4,~? = .~~ Eunto B. , ." ' ~ :~ - ..... ( ,-. IsrJEs'ta,1 ;tyisfilá ~ écn'aeioo!-!1'l0. pu:ed~ ~uboist~re~ sino miépr,¡:as 4 <1:. .", es ' ,0'§i~i.V,anYl.menor apler¡ 2h, ), Jo ql!l~ pruebacque) a ,eur.'Ma só~o § e,'e-sti~nd~ "eB,tore 1GS 'pim" tos, B " B' ,' y q ufe,'es r.ee&ibranté ,~:que.:les :una'.) de 'las pfO'rieda;¡;fes . de.I, '€lt@,ll().. ~ . ~" "., \",,~.,'" " > ~

ae

eJ

':5 r W .Si~eh la, e€ uac~:n:')zPr""'2Q~~1"a=(2a"..-x)x)

81istitu}m@s' va~o,rtís~,es,pr.e'satl:os: po'!' ¡díneas} á:::saber,

",-, "'-lo ' , "Ir ....::.IWx(B'B?...t.:IBP):::::BP'xB'P; .:l t f ".d que da BP:PM::PM:B'P;, ,¡ • " ::, lueg(yj;l.liV'eufv,a 'es ,fta'1 11cq ue la ,:pe"pell'aiew~ar bájnda ~esd~n 4iJntd 'M 'i:dt. itj'e .~ó iil:i·ámerr'Oj ,, ~es; :media.pró. p'IJ1;G{On,atatentre l os.%eg1n~ntos del diáll~ef",o 'i '<¡ue 'es r or.rn pl'tfpiedad )del.. cir.c(llo r (l. 333). ~."'J •• :> ~r • ~%MP" '",:wEF· iV..lB'B/~Zasel'á · \ . J ,':, -, ¡ ,¡ ( ,PM~

',.

!';l,

~

S ~ ') Si-' se dran ~la'Sl ¿l!l-~das BM;t.B{M"I@s.:trián.

gMós1 'l'ee~áf1'gujosl

BPM r':B~PM , darán:": d ' BM' -:-Bp2+PMz, ..IMM~::::B/-P~+PM.z,;' 'iu e';íl(j¡:¡:¡ánd0Ia5 ' a'a'r an )!:! ' o.' q 1.1; . • ¡,

. BM~-!-B'M2=d~~:i"'¡"'¡PM2+B/.p.=4'PA.q?:"'"


/

SECCI0NES::CÓÑICAS ~, ,u', . ;m~...¡J..~PMz+B';P.z p . . :"'" :) -, k 'y C'O[ll'J J plv.l?=BPxB'p'¡,selli, '~' 26

' ••

;1"

, "' ,(JI

,: gM?:.LpB!M~':"::'Bl?;~:;tBl?~B:'iY*,BP~=

(BP+B{,p;p =BB'~;'i 1'",\ r

,,

,','

1

,r

I ".

O!'M~'!:j::'

".p', ,'I':IJ' ")')

d ' r';l ,:';:':.01

~,

es deei r " que el triángulo BMB', es tal que el eua,. drado de un lado ~6 \ '¡gtlalhál)a suma de los cu adrados de los otros dos; luego el ángulo en M E-I: ' i3 '3~ '~6C , ,~o~~ J:OO¡:tY , (V¡1le:>esliDt1J1iqDr1f1Üeda,(;htet cíl'Cul}o i :demo~had:a ((I. ~j04rCOl'.d}:f. e,), ¿ ,.J l. , ' ,z'¡rS'3 i \: SJ tltásládª,mtrs-:.eJrl O'~ íj.en~ iL cA: , rme.dio,' dJ!. la línea BB' , la nu eva ttIDsc-isa .-A:R que llama'rémos ~, se¡¡.á.!>é'·+-<>B'Pr.,g;.M::::x..:,.,aJ,' q ue=da 'x-:a4-oo{;" 1, ,,:luego sustituyencl.o a+x' e'!J .yez: , de ' ",,:e.6Ja. ,ecua. cio,n ¡0A~;, ,se\lternirr~ .z S=211,{a~xl.}~(a +ool,;f=- ~ ''J f ~2-4~f.la~'..,...a~•..-2z¡,X/~r:\=7.;---"nI:,>!,¡I, t:.t es1

que :~O~ e~u~cibill , qjfda : flullv:a¡'cr!iJ1il:sicler atlill.:\'b tP,0'.r-~

Lb ,s: .. [)!;.úb B!!!.J i.. .~ acontmá-:.1a :J9. , : '-1- tra slacl:a-ncl0rp'S.eXi ~h. ",'rl o ' o ! "h' . \ ~ . ~ .1" ·J: ~ · z ""~ -'~J,;. .. v. d "·· .. ""'J....:/ ....)flO~ '!' • .., (J Oa t-..,¡ t"-' a,·=z + 00-, que a a=y z- ' x ;

, jen ,en AJq ¡" J\

J ; ~ 3aJl~G:) h3il10

,Qu,íi¡;a~ijo cel

f

!t

.8:.

ú~!'~!.C

quecespJO!sá l(:;g ).)bs.<!:~ 1?l ,di~WÍlGig,:;de fun ;puh¡tQ;&ual: , quiera 461:;, p$¡¡l}D ' ¡¡,(oJiÍjttn1'Ái1i:yo~\n.O :e&lÍl d,¡'~ta~~i:a fI, ! e~ eQhs.ta:~ ;' lrJlsulr:a ~q l;1éc; t.Q(lp; Jos :P,Hll-!;os,c.Ge J,! curva e~n &:quidi:stlmteA1de~ !Jtl mis111~ , p'ur¿~ ,; qtl~ ~¡ la p,'opiedad esencial de la <;i~,l c'UPlfllf~r¡cid', ~kh:Jn~uk(j'Í . ~~t .. Ha~!l"d.::á;qu,h·h(!!lWs:;e~[lsjde,¡;ªdo ~Lc1f,cu-lp :co­

\po s€cGi«a~ 'lJ&.ái~<t ,~ y. l.ll;; .cil:Cu'a:doruíg~}!J€ rª,hl·e ~Iltall nos ha dado sus pri;ncipq.~§~~1'bpíe~ades ; ~ll-~t·a. ~~ IDOS á res<2'{8'€.rxla::C'ue'stt0f.l,íii~..Fsa ;~',ª,sªQeSr , d"do e& círculo deducir su ecu~ciont :.r,}' 1"':: '!" i .1'1 :\.,11 ..1 !!::!;? e'" , Sea'tV1JM,¡f~';:(:!lg" ,r4~ UO fdJ~u)o¿~ll;Y.G! !S:~¡Y;-0,~st.á en . t; tír,eltS,e ~rhitrarí~ui.7nc~ 10,s,l,~~s:.~~AZ,·~e l?-s e09r~~ij:!l:dasX e,m prJmefdy;gaJ3..:.fjJarSl¡n.os: ¡l¡¡';jpE\~l.! cion del eentro, J;!~~~na9 ,~üy.;lIl§u§.:~o_brd~n:a$.~ AoB., EC; d~s,de. IUli-.:"P.llnto_ Gll.ª!Cjll,l.j~r;a, ¡l\:1.de, la,. q\l')"v~;: se bajará la orsiep-ad'f ,:gM~~ H'Qt1: 10,.A~t;, ,sJl,. aQ.s-'i,i:s~ será AP. ~x ;, y_'tira'Q~0.l ~<!:.a,d~0 CM=r , €o.f'r ~} p ~n. di ente al mismo punt0, e-l r N;i:~~gJu-lo :r !iqtál}gID~ eG M , .:4a~J ,~M~?~G{j!~~~i:,;"- ~" ::." ro-,li:..i


Sli:C-9~N'Il!i ..c~b''''9*S.,

~1

pero CM=r, CG=§'P;r.FG-rr~TAfmh-!.'; ":, 1-:: GM=MP-PG=-P-M, EC·- :9-b -,... , luego súttitll-yelicrt: esfos "va. 1drn:;:séTeÚ'd?a ' :"-==~

t:~E:;~íI-xi!):+-~7i-bJ)ft~t¿z:-@CI$7\f ' }-t;g,z=1.Pz~If,(~;);, 5 S \ E.s lJI:i e~k1¡t-.cl~ 11 ~l1.Ja .l'!'J.'i~ g,..eQe¡¡ªl,.¡aeLG·lfQU!J¡¡:, Si , s\!~ §'ili RQl1ed1:Ft9n, }{~j.Q.;.es " ,q UG {.~kcjBt ~ el .1i1 S ¡~I¿~., .c,iJi.íl§ (\hQal::q(ª,~j<;l;cla,q9 ta .~m! q.Ii¡;j'~flS;.ét Íl0,f ~l ,cenJ., tf¡O~ ~~&:; e9q<),iCÍp]l.l)j¡P.r~¡ fi.U ",eSC,c ~t(h::;' , ¡; 1; \,¡cl :;'< LJ~ ~d - ?'

ª

-

1

Z

' Z 2 (B) =a 7 -2ax-:n{'¡ -tf~. t.... eJ

, ~C

', .

f

b:) ... f.!.!áL )b.~l:::

~

Si se hace [1=0, ~ ; jt0::<'J.u.e!. es¡.10. tQ:j.~.!n.p;.1. ~, .se tra slada el ej~ ~~ ~ t ?r,denada:~á¡: a, !S.9.:~e pasa por el centro ;- l¡recD ~ élOrr~eF lr&lo se)":r~ tt~ti;;-1'i?<tz.~",,2bl?~'H..g ;)'lrl " h obIlfI' 1 !'I'p el '10q t J .l.SÁ~ªJ'!> C9J.!ac~9 fii'z(!3)2.§~., h!icl:e( (t~~ ¡¡S!tQf (lS, que' el eje de ordería:das sf;"ii,' la -líijl!ª: m!h:Jla~e ttª~i:Q'o ~e..;: rá r 2=r!l-2rx+x 2 7 , qJ~e"d.aTZ2FMt>t-kx21D}, · que es la mi~~~ 9~~~$~vi~os-ál!tf' ~5'p):"~· . Si en la lrii'snra- -ec'U'áClOH (B)sé' ~Mc-e.- {¡.....o, Ó s.e

+z

¡l.\P;O~ 91!,r: 3:1¿~JYjjefl td~ M~p. QoPl!cl(l¡1a~a§ t.seftel: ctl~

tro, la ecuacion será r2=~e,+~~~ Q 2l~~';~if' I(EW que es tambien la misma Jde 4meS ~(+$:). 0.,¡,?h:d, ' , 56 Cua)s ui.!¡~r.- ~e~ las_~~aci~?~~s~~Lcírculo q u~ 'hemos sacatlti, -esSQfrci,efrre- pata:co!1srL'It:iresta cuÍ'~a>l'a.l'! , p1J'rftP~. (" ';.:!¡, p,;i." 5t!O "rI ,,:'nf.O'!o.! r nh~k" ,t,QllI;t:.ri m(os,po{ ej.émpi~.lA:: e~,~clo\¡;r, (BX.eq1 que obsefvamos,::<'l~i! )~a-yC'una: ~a-I')cidaÓSQ.I'l&rame ',h f y que-por cOl1s.i~qit:.l!..t~:'(<l:~~n~~est~ :v,a,l Q!.~,:,ariará tambien la curva tesae'til' ;-se'rá, mayór, 'lñenor &c.; p~.!: 11Qgq.\ie [li!,; :d.:e.t.etl!liinarémos. á at I¡,i.tfi,O,~, ,sl1pociiel};¡ do 2r=AB (fig.. 25); .Y'.c.opcibié04olllc; d:i.vidiüa: ef,l¡Juw número cualquiera ~S! ~ p'a-rtes, t't1.cflme 1.0 '" repre• ¡eWql'\4.,0 ,por~, Ji :el e~ ªlQr\de ~eada <u.ma de rest~s partes,t seconve~tirá li ec.~atjp!l ep ~2~-.oXh':X2" que d.a!. :r.. , ot. ,noi z ..... + .. / 2~

r,p

~'-'V

lox-x • ~

OJJ.J ... _

,

x-o',

J. ...

• ,1_

...

Supongamos áhÓra )~::~15scisa fteñdrémos . ~'7i-fef; Jtj ú:e 'iflcl>iC'alJB u·e.:el, punt9 ~l6¡ o.r.íj,(ln A' ha ~e· ser un punto de la curva; sup0:1'1ieml.o da 'absci5ilJ &;~l :es"to· es) .gua} (l:Qlda cj:iStíuwia..,q.u hay. désde


- 2'8

1!Ect :YÓKl!!.' CÓN-IeÁs ;

el ortj~n háiii~el P,~~to ....

"~._._

.

1,

s,er~ • '

--

,

J'.J.

-

l

Z=±VI~~~'-;- ~~=±I\IJC;¡-I, ~±Y9=±3~

I¡!

4ael-aiee ,q:ue 'en- el ~puntó' 1 se lévanf<; 'una peq,..eñ~

dieúlar 'ú oi."d€n,aaa iM ; igu?al á!·tres 'veces la.. ~is. ta'Fl~ia Ar ~' Y como 'áJuna"mismá tábS1:rsa. cor'respoií. ' de~Qtr0 ~aiór' igu:al negativo dd W:f1ordenada , tám¡ bi en se bajará desde el mismo punt0 "l' Ú'n~ pe'rp~li¡ dicular igual con 3 , tál · como- l 'lIJ. ~~,~ :;7 $ u,p onieTI'dé . x~ z~; resuld ,tl ~" .

"'~r":!':i

....

~

)'

' _ ' ~'~ \,

.... 1

.. , /

..

1.,. _

Y

i. "' .. ...

'Z~t,v~.r.?jlI1-=-±v

..

l

1 .....

!6-::*4; .

,

.l 1' J(i

por lo que tomando dos ordé·nadas;, la-una positiva y ll~ 9tI'·ar, nega,tíva. ,ei,gua'les c.Qa '¡¡7 {.los pUlltb~<M/, m{, co"Úespónderáll a I'a!cúva.<;; '1;,,:)__ • ." '., ,~-:Ia.del1dil) ",.:;;f .:reSu1t<a ',' ':'" .•• l' - .h :l ~

.~ . / J" " • fe'' ",) '/

t'

~t o

t

Iq~

· l /-.OJ..i~LJ.

: Z=:Y ' 3Q:,?~ ::;~~ I-;--+:::4,¡U

Ói

I

,

r

e\

J.,J'I.'

s;t ",,-.,

que. tomliO'qo GPdl!hadas de estrtJtnagbitud, se:-t~n~ M'1.;-m", ',.= ~-', ·I, LJ' .'CJ ' 1 \ Ó. " Haciendp .k=::,4.fIF.es-ulta '.G"- d ~ • J.:J •• " ~'ÍJr "b~ '1;"'-~.\71ó~;16 ' J +:Vi¡~ j'+ 4' '8:' I~ ' ( ,

dr'" ' \. ' ' ~an ~ros p¡¡mé5

...1 .... :.. .Jlrl'-,,~ jTL'".! ~J;;1 ... r, :J.j'j! ;,l_'J. U ·; ~ ~ '..... ' a.Hu" l que tomando las orde~)adas 4l\Í1/11, '4ml,'! ,,,, d'eJ'.~S'~a ruagni,tud:: ,:. ~ OS~ ; púrn&§f M{II, ,rmii,~j \.!!coC:l'€sipol1derán 4 la Gur.v,a,' S\.¡.p~Rkndo 1( '; ') , ::.s€~á¡,-'í '. '~'~v !'lÍJp ; t ,'. 'Z='~\Ys ó:':'z' S:" ~-";,:- 'v '! 1'1 'J[) l~ 't, -1-4

i"

tv,;¿:-

.. ,

rilA •.d ... • l

tt)

~

':.'

.1; J

~

!¡J 16.' r"J

por loqu-e toma¡¡¡dl!l -lás ordefiadas de' e§ta magnitud; ae...1:endcán,lÓs puntos, M,v, _mlV. í . ' . :!.. . ,D -: . Haciendo.x=6, '7, 3, 9", I'0·, (~. " , I • :>w!:!l ~esultane paia~ 71 101$ mismos , valores :que ántd:s'e ·ob. f¡uvieroll, pai'a · I( ..... 4·;. 3,· z,'.i.,'o;'J 'l. ¡ ' , ' ):,; Haciendo 1(=I1, resulta. :

:¡;=±Vq0-::I ~I=-±V _.!} ~ n J

{

l'

.. _ ....

\

v'

__

J.

,

;

110

...

'?,alor imagi~a.rio " que indica. quú mas allá.oel pun" t~ ,B n0 ha y.l'Cl!!riv.aJ. r !"~ ~:~. ' ,~' ;.,~Esc. ,&l lIFazarL una , cnr~a por 'p\lntos "no. lsól¡¡l I

·.i


~BCC1!>N'ES ~~~iC:M!. ' 29 se han de ~ar á la abscisa valores -positivos, 'hasta. que l'e~uÁtelJ.. ordenadas ~m,agi¡1arias , ~ s~ vea que crecen lildefi~l1damellte , SUla' q~e ~aml¡,).en se le han de dar todos los valores l1egaúv0s que puedan sa'1' tisfa\cer á su ecuaei ol1: ' Asf, ahora su pondrémos

~=":"'l, lo que da 2;=±V-IO-"-'-l=±V-'11; ', val;r tambien imaginario, el cual indica qU<I nó bay curva mas á .la- i.zquier~á de-! pp.nto de oríjen A; . por lo que haciendo 'pasar allóri una curvá por los ... puntoS M , M /MlI& , ,c. m, ro,1 1ro1 ",ve. esta sera'1a cilícuaferencia del circulo, y quedará trazada (;00 toda. . exactitud. . 1

De la eli¡m.

5.0/ ~ ·Cortando un cono, cuyo. ángulo ~ de. la~ generatrices, junto coñ la inclinacion de! planQ sea cante, sean menores que '1(. , hemos obtenido una. curva .cerrada que hemos llamadQ ,elipse, cuya , e..

-

"

- . . ~ sen.asen.(a+~~( csen.~ ~) ; cuaClOn es z, I 2 -"-"' . ;.¡ I . ': . ~os. -b.~ . I : sen. (c.;+~) . csen.~ . - 1 1 . AO es 19ua Jl . eje (fig.-~.I), sen.( a+G') . . . Qal BB' (fig. 26), .t:epresentand~ . }!ste por 2a, la e. . . , ·sen.asen.(c.;~) , .. cuacion de la elIpse sera2;z-----'-_.:..

y como (§ 43 )

.

-,-.. . _

..

(:¡ax-xZ)-

sen. ce sen. (a-t-G')

-

cÓS. ~G'2

~.'"

,

11 ':

.l

~'-'

X'I¡(2a-x) (A).

cos.!G' . J '. ~, " Donde vemos que la ;; no 'puede , ser negativa, ni t~yor .q,lJ.'t . ~q.; pOJique . ef1tóu~<;.~ seri~ .la z .im~ .ginaria. . ) .,:.", ' _~1..... ... "" \," .' - " '~~J., "'" Para obrener los puntos en que la cu·rva corta al eje de ~as or~enadas_ , se 'p'á~ ~~-:2 ,. g;ue da ~=q; consIguiente sólo la corta en el orijen B de J.as , Qord.en e4llS.., ., . . , ' . ",- ... " '- - . ~.. t O"

Zr

\

.


s

ª

S1J;;~CrI ó'N Ef 'C·oNÍ€:.&'Sf, ' ~I-!J:a éiéti1~é?'zt:::o",: f e-.S'ú lta , x:;::o j :x:::zá}

: ,:: ,-

J

~ ~L1€ mahitiesta

q'Je, la t1.ll'Va o'<¡Jd'á'ta,jIJej'e I~te las absol e ish s'~en~e1 ,€J'tíje'rl B , ry en' el pÜ'H·f:l0 B/,' g,j:st'ante ,de1

-or,íj e~

la ' t;nag¡j.ít l1'¡;l ' 2t¡ T'~" ,,, ~~.c ' .~ • ' '., , j , " S·i ·se ha-<re 'la- x 'n ~ ga,tiva:·éJ ~2a:}, lIa.3z ;setá:.itira. gi~~da ; ~Q:i9.~e" m~úi ti1 s ta 9 ~ e "la ;~ ~l,F!i "está ..<:0111' prendida enrre ' los pUntoS B, .B r• .~ .' • ,~ S3 Sadn~o ,e1 val€i r geñe,¡!i¡,I Pde1 zl ;-será ,";

<:.,

<l

J

' . '. '

:'z=,-h

l. '

'

.

V '.'

"

,'.', : r·.:t 2'l1'x.!.....X 2);

.!

COS\ A~"

'i

-".. •

1 .( !seH,a s"en,(a-r:t:\ • "

,

1 ,1.'.'.

j

;_ ..,-'J'

q \:le manifies t~·,. que ,á cada al;jSG,i.sa J1i!6r,FeSpGndéVl' idos . !

or~e~adas iguales y de signo contrario ~ 0 ·10 qu'e es . lo mismo, que la Rse s~ e~.t~ende igualll1eme há· cía uno y otro lado del eje de las abscisas. r.r~ El prjm¿r'~faetór" es corrst'anfé; y ,e,1!btl"0 2ax,7 xz va ilffiCie ndo alliüsrn0 !tiemp'0"que lQ hace. x, hasta q 'lié est'a' ti&ne 0011 ~va¡'o'r ~a : y: para 'Vwl!)res mayo. Tes f qU€! a ', ' '(a: ' d~smihuyendo 2' ax-i-bc~; ltlego la ordenada z va~ qte~¡en4o hasta ~:::;;'rf. ,~Y, de,s pues va dismi:ntl'yendo ha:sta X-:-2zr, CJ ue d-a--z=o\ . ~ . " ~9 HÁ.gariids x' ' BA=a" { 'se tendrá

en

r ....

. ~ ..

Q ,

_.

I

. . . ., . .

.!;~ ..,

~

~~:!i:-. '- ~- ·V'sen.as'en;(ct'+~)=±C~:±b,' · "~o' cos" 2:~ , , ' ¡,;

'r:

'1'ept es:eihá.mio por(¡f,ti mayor. -o:reenada CA: ,de la e. li pse; yl ,~~e~ao:do:~J. cuadrado, será 2,-,0:- ~:~ll.:..::~ ~' . . J . w ·, ' ~ b!l.= :.~;'" ;<sen. os sen. (a+b') , que da cos. ?J.\; , ~ ,1 _ ' .. • ¡.

(

i !.' \

-- 4. . _··

-:,.

",

,_

J..,

~-··I .

'.1'

• 11. ~_;

,

aós.l,~z

'"

.

-~,

~

b 'le" sen:a sen:(a+\;) •. ¡ - =-- - ------ - ; , I

I

"

I

:.(";.....

..

-

.~ ~ ~ \

"

...... .

,

'luego :sustituyendb -en vez dIe.elfte. segUndo miemllto el primero eq la ecuacion (CA )§ 57) ~e la el~:pSe', e· \) ... . ,, " ,.j.... -.. ".... ,. -b ' _.r·-- o . d"" " ... n~

~.....

Z

~

(1

~

·5e:COnvertirá. e,B- i2.= '';'(2'ax'':'';2.HM). ~ ~ . ., :: 1 ... _'--a- ~ . i',,';~. \4 -'. . .... , 60 En general, hemos' dado el Bom1ú'e ,d'e éjé,:i


Sl!:C'€I0NES· .cÓNI€'ÁS ,

'

I 3~

.

la -lín'.ea:.:BB'~2;a i pero ~nJ~ e}ifpse lai~B~!e; llama primer eje ó eje mayor, l¡¡¡ lÍl}ea CC' ·se 1.lama· el se,: gUlldo,:eje. .ó;:é#e .me.nor ¡;-y,.:.eltlpunté"t -A .en, ij."llé':,s§' 'eru""

' zan !l¡:is,. ej.es" ,se. lIllima1 ceptr<o\-de da · eJ¡p,s~ '''('4" '. Si' t~aslaQ:alDos el oríjen á A, Y representalDos · 'ar .rr!' a aoseisa' A:P.:;;;:B:P-f-a.B"';""'''';\;J, a:,Jqtle da ) P r.=ií+x', sustituyendo este valor en la: ecuacion (M), _ J~";J' r1,. ;.. J ~~ : :~ :: n~ -.::, f::' ...... } 1. .. , " 'vd~ se tendrá ~·,2-::~(2a(a+,,')-(a+.lC'~2)~ . . .

\

J.

\.

J.

i ~jt-:'\J~·',,.. a -~:"! ~~~ :1Y:; _'!r:~1' J~ "l,J;'l~:;ri~

" 1:

e1:..J

~.'

.~...

b2

i)

r

b2

,

J-,

,,)':' -

.......·a2¡:r-.:p.a~/· .",'!l.,,_ . f.¿¡'!I.\__ ti,,·(za· 2..¡.iaDC' . "", . ~ ~{-a" '\ . X'2).Y

.'

i :>"f,r¡

,~

O'~\,.-.

I

1

_ ~l(,_.'

r:~r.

':' bZ. ~'

,

....... ,,, ..

'.

0

é) S\iprilDien~9 el acento, será z;2=-¡(a Z-'--'F 2 ,(N), ,,') I IJ (' ............. , q., .,.. ,1 ,.., ~I o, . o<::o. 1"ufl"•. ~. J. J , 01

¡

,.

que ,esoda;'6Guacio:n. de ¡fa dip-se refe,rida á' sus ejes

4 ¡su \céntIto~ e J I " e-:.~ ~ ~~ ~ :"¡ c". 6T lSe, llama, panáme,.tro. d.e, un eje á unaL.tercera proporcional á~ 4-icho eje y al:; ptro; aSÍ, l:la.~ maiid~ ;P ,~eL-pár~.lDetro :d~r"eJe- lD~y'.ór·;· será ,,' 2bZ, " .. , . ' .. a.a:ibl::zb:p- J •a. ¿,y. que ' dhllruendo,. p.or"za 'saIe; l. J4

y~

't'fo

I

,(

P b2 "·'r- ~ 1 '" "'. "d 1 :' • _=-; cuyo va or sustltUl o ~en aS' .eGUaClOnes 2a

a:...... ~., .. c ~

... ~I'

, \ .

~..

4,

"', '

-

~ :-1)'1(.1

_:

./...,.

.,.,

.-"

tMt)'" ~N) ·; ·l~~~~~;',~Ni.r{:eJl 22c:;::f.E2~x~~dr. (P)• . . ~ .,'

,. . ·r .•

t':"

.~

ZG ~.

~~~" t:(~~~~i);('Q) ;;,q"u~,~p~.~la;;~cudcion~~ ~1!' , . ~~.,

f'

.... -

'.!,J'

_

. 1. '

t

a;·i" e~

,

refqcio.n. 4' ~p'tlf..ároet¡ro.¡I' .. '" -, :,6It.!l, Si trasbd.amQs el 0Jfí~e~, al PUltl,t€l; 'C, ¡cuyas (lOO rdenadas res poctq '9.,<tl .<i1~ ij e!l <so.n x~ _a " 2'=b.; Y. "lilal1la.rnos·..z. á ,,las ,nuev:as' abscisas lcorUaiél.as ~n el ejf' ce' ',y. !X, ~á las, ordem.agi~s .~~ q!U~ .ah\!l,ta:, se: coo· t!lrá,lj. en, .el..!!je BB"(PQJ; ~F .parale1'o- al, 'q ue Sct' podría tirar. ~¡>o,r. C), ten!il.1éo;l2s"Que la ab,Saisalí&::C.Q) . cQrr,~~po(¡j!ldient\! a.l:,p,u:¡i¡,tQ l'f.I~~.ser:áj-igillal á.,o : ¡)'-

Hpie

'CO/k

[j,

:a

I

'.


32

S'EttrION'l!:S' CÓNIQAS¡ ;1

CA-AQ':"':C:A.l...PM, Ó, Z=b- ~ l' q'ue-a.i'1z:::b~Zi y la nuevá €lrdenada será, " ¡'" , , • 'i,' " X =QM.-:...AP=BP--,AiB , x-~, 'que ~a<' x=X+a1~ Sustituyend'\> estds val<llfes 'llnc:la:- ,ecuaC10n ,(M) ¡de la , 11'1-'1 a. 2- ~ ~ '. ~ curva,. yrdes pejando -Xz j ' se tendrá X~ bZ (2-bZ-~ i ,

,',

...... 'll • .I'"(;.. ! I · ,

j

' ¡ l'

j

)

.,

1"

;.

"

...

¡/ J

l'·• • \

"'+ \.' o--:

y si' ahora mudamqs la X en z, y la- ,Z en x; la ecua.

--=\ . -•. ,_/ ~ . .:-: . ,)' ~ )..... 2-

'-

"

a

• ~

.r'

,~

don anterior se convertirá en :¡;z=b z(2bx-x2), que es" la ~~uaci'on de ,la cUlrva' iref~rida 'a.,l: vértice pero cuando se haga uso de, ella, se ' deberá tener presente qfUe se han mudado los ejes; esto es,; qu~ el- eje ,mayor 'q ue ántes, reria eje de absci.., sas, ahora lo es de ordenadas; y el segundo, que era eje de oh!l.enada's'" abora 'es eJ:- 'de ' hes ·abscisas.63 Si consideramos dos puntos M I, M', eUJas, ' eoorctelTa'das' 1tP" P,M,,; )ArlY,";l?fM\ sean x, .. Z, x', 7.', , "." bZ ' - "" b z ,"'j' Z telldrérnQs :¡;z.;:=-;(a :; 'p'zh :¡;':z=~ z( aZTx~Z):i Y.fOJi~ a ~'.'r. mando! pr0pórciofl con':e'stas dOR ~cl:l.:cion~,s'~ será~ .\l :.! , " hZ bZ

e;

"

~~::'2:~a2. ~aZ~xZ)~~ (a:~~x::)::~~, ~x,Z:~~:~/Z:: (:~--.i

(a..¡...x)(a-x ):(a+x'Xa-xi ):: BPxB' P: BP' xBtPi; " , ll,legd ~lQS' tua4rados' de' las (irdeñlidCfS ~oh ~riFe # ~ eti..) mo los pl"oductos de las abscisas, entend,iéllQ.pse en ' general pl?r , abscisas las;-.par:-#es "en, que-'qu;cia d~vl;.~ dido el eje por las ordenadas. Así, la 'abscisa del punto M, considerando el o.ríjelll ea' A ~ "es la AJ?-, consídeiin!!l:0 ¡el 6ríjen- en Bes BP, &c. y;las abscisas',:dd mismo pUnto S0n BP, B'P , '~. , 64 Toda línea mAM til'ada por el ce'alro y quC! termina coa ' ~us )estr~mos en 'el perirn'~tfo qe 'la, eli~~ ,se, ..se ' llama diámetro, y todos los diámetros es'tárl évididos en et- centro en dos parteS igtfat-es. . .' :" Por<}ue si: a de&echá é i:z.quierda del· pUjltd de ,


C?Nri:A.S.'

lECCJONES

"

-

33

crijen A, se tOillftn las a~stisas A:P, 'Ap ,iguales, -la ecuacion 'de la curva ilará iguales las ordenadas MP; mp; lue'go si "unimos los' puntos M, m eDn ef centro A, los tri4 ngulos A mp, AMP, ' ser&11 iguales (1, -260), y 9.a,rán mA=MA, y fos ángulCis ,mAp=MAP; y aíía.diendo MAp ,~ será ' , 9ÍlAp+pAM ....:..MAP+pAM=~ ;, por 1'0 ' q ~ (l. 2 S6) las dos rectas mA, MA, rio' form,arán sinó una ) sola y misma ' línea, la cual ' será un diámetro, y qúeda.rá dividido en dos, panes ig,uales len A. ,1 65 Si desde el ceI1tro A (fig. 27) con un .radio ) AB=a', se describe una circunferencia: me círculo, ' y consideramos que la abscisa x es comun para úL" elipse y el círc,ulo, la ~cuaciod de este será (§ ~5 j)

~z=az_xz; ,

\a2~~2).

y la de la elipse será x2=b 2 ' '-a ' \ ' . I Y l(9niendo en vez de a~_x2 su valor Z2, se tendrá

,

-~

b "

en general x=- xZ;

,_

;.. "

"

el

j segun 'sea

b<. -6 >a,

asl ~érá

x< 6' >Z;

por consigui\'! !1te si 'd'esde el €~ntro de la. ¿lipse y con los semiejes, se describen cl.os circunfer.encias de cír"._, Gulo, la elipse cOl1'lprcnder-ª á la maS pequeña, 'j estará comprencLida por La mayor. -" De aqu4 Se. ·Sig~le que et prime1" eje' de la elipse e--s mayor, p,e,todoJ Jos diámetros, y et segundo mellar.') , 66 ~i en virtud ~,de la relaúon precedente, -'ie,

quieren encontl:adasrcoorqenadas de la, elipse, cuando se con'oc-en las deT círculo~ descrito "sobLe uno"dei ,5;'S- ejes, ' Bait§. -di~rrnnuí,ro au:ufeiíili~~ ~~ta~~últidias ~~ hi rer~cion. ~e, b,.a ~Sf.á.p~~gié'daír 'no~ va ~ s(~r'':':

a:

v.fr p~ ra descr;!bzr ou_~ aA¡"E~~_ p~r>,p,u1J.~~S, , cuaf¡d~ se: cono' cen' r ~o d ' . ~.' __ 1 - u~ , _, . , ~ '. !; J~ ~ 6 S

os ejes.

' .

'

r

,

, Desde ~l pnnt~.,A C?IE.~ ...c~,~t~ol, éon 10.s i~dios ~B , AC , 19uale's a los do'S ~enueJes a Y b, &e <les~ribíráll dosc,lri:'ürnfe'~el1-¿his tie drculo; desp'Uc-s ,se! tirará LÍa radio cuhIq uiera ANI\1; se bij'ara desde' el-

S

T.l1


34 SJi;CC IO,.:N:J:i:S , CQNICAS" punto M ,una perpendicular MP , sobre el eje' BB'; y.. tiraado despues NQ paralela á AB',"el punto Q lc/ 's¿:" , rá de la elipse;porq ue l~s triángulos semejante0MI!, _ • AilN' ' b . NMQ, dan AM:AN::MP:QP:::; A1VI xMP=-;xM~. Haciendo lo misl~o para cada 'punto ,. se tendrá (65) construida la elip~e. ' . . /. . 67 Se llamanfocus (le la elipse á los puntos F, F' (frg,' 28) sitüados sobre el eje BB', y tales que la, do:' bIe ordenada que corresponde á ellos,. es igual al 1 _ ~

~

z

, 2b d ' mayor.· parametro-e ieje a . Para. determinarlos, en la ecuacÍon de la elipse 7.

2

b Z( a =a~

2

~X

Z) ,se- h ' 2=-, bZ ara a

Z(!I bZ 1o que dara' b-42=b-2 a -11( Z) ,. o'd'IVI;d"len.dcr por-, 2 I

a

a

a

será,b2 ~aZ~xZ , de dop.de- II(z=a z _b z .1 y representando por e el valor conocido que te~ulta para x,

I

tendrém05 x=-+\I aZ_b 2 _±c. < ' Para construir estos valofes-lCl.e·'" " d:esde et. estre.., mo del eje menor eOlITO .c entro, con un radio' igual al semieje mayór (16- ·esc. 2;O) se desccibi¡¡á; una cir-cunferencia de CÍ-rcu}o, y los)putHOS F . ,;. ~'~ €ll que encuentre al eje BE', ser in. l@s . focus;. por:q ue .el (riángulo ACF _da: AF VCFz-CA 2 Vaz":;;H~. " 68 ' I}i. aistaÍlciá~AF del centró &'jO& focus ,; q?e hemos señaladp . pO.~. c." s~e',lIama es.cenir.rciq.ád d~.- ta ~Upsé, y las dos ' Fet {ik 'FN!y F'M,. qué~'desCle un pUnto cualquiera M ' se-tÍrl ú {i los focus, se llaman radios vectol"eS, . ,':i"ro-, " , 1 '" .. p¡¡ra hallar los valo -el'-desstqs~· C'onsiderarémos 19s (r¡ángulos reér'ál: ?:U{OS FPM., lf.?>M, que dan ef primel,'o FMz;-:~~2+Fpz=zz+'(CT~)2;. poniendo, ... .. J .... I .. '( ... _ _ .... .... r.:. .... ...... . ~.

'i

#

.....,

~.l.1.,¡

.t

,1.

~

~ ,.;

;1


_

.3 S'

SECCIONES. CÓNICAi.

y

~¡;¡ :v.e,z de' z:-su valoi: (N, 60), aZ_b z, ~n Tez de c~ ,. reduciel'ldo el .entero á la especie del q uebradQ

y. -simplificando,

tendrémos

.

b~

F~'l:Z='-:-z(aZ-xZ)+(cz=az_bZ)+2C",,+$2= a '.

'f

/

'/ .. -'

a.zb~_bzxz+a4_azbz+2a2cx+"Zx~

"z

.--.

,

la

Q4+2azcx+«a2-"-:,bZ)=c~)x2 _( az+c",,) ~' .' • I a2 " ti'

.

cx

lo que da FM=a+-; . tI

del mismo modo ~ éonsiderándó ei segúnd~ ; ~e, halla F'M=a-.;cx.

a Sumando estas cÍos espres1ónes resuita: ~M+F/M= 2a, cu}(a ecuacÍon nos dice que la suma de los radios 'Vectores tirados á un mismo' punto de la elipse es igual con el de 1iwyor. . . .' . . : 69 De . aquí resulta un fiuevó inétodd para' descriqir una elipse, cuando se conoce su eje mayor BB' y la posicion de los foel¡ls F , F', p~ta esto, se tomará' desde el puht0 B una longitud cualquiera BR sobre el eje BB'; desde el pun~o F como centro con un radio FM~BK, se describirá un arco de círculo~; desde et punto F' como centro y con uIl radio F'M=B'K, se describirá otro afco de círculo; su 'punto de interseGcÍ@rÍ M <;orresp'oildefá á.fa elipse; y ' procediendo · d~lllli.smo· modo' se teJ.=lc;l(á!i los puntos , que se desé.eii. - . . t. . '\ Esc. Es ventajoso"d'escribir los árcos de círculo á un l1}ismo tiempo por la parte de arriba y por la de abajo ciel eje; pues p.or e-ste medio se encuentran á cada operacion dos-puntCls de la elips'e. }O ~: Si ~e da.n IOollocidos los dos ejes " se d~ermi4

.

.


36 ~ SI1CCrO~ES CÓNICAS. , nan los focus (67) , y despues se procede á la cons~ trucóon; pero si la 'elipse ha de ser muy grande; se

fijan en los focus los estremO$ de un hito, igual en longitud a;t eje mayor, y estil"áTldole b"ierl por media de un lapicéro, se hace girar este, y va describiendo la elipse por un movimiento continuo. ~ Ese., Recíprocamente, partiendo de la propiedad de ser la. suma de los radios vectores igual al eje ma' yoré, se pu~de deducir la /ecuadun de la elipse y todas sus propiedades. ' 7 [ Ya se sabe -(1. 297 Y 44 10 que en general se llama. tangente; pero, en las secciones có¡;¡icas se llama en particular tangente á la parte MT de la tangente tT , comprendida' entre el punto de contacto M, y el pqnto ,T ,en que corta al eje de l~s abscisas; y se llama subtangertte á la parte PT del eje de las abs-' , cisas, comprendida eorre el púnto T y el P , pie de la ordenada correspondiente al punto de contacto. Se llama normal, á la línea MN perpendicular á la tangente en el pUnto de contacto; y subnormat, es la parte p~ interceptada por la normal y la (lrdenada PM del pum o de contacto. De dos diámetros Mm, M'm ' (fig.29) se dice que son conjugados, cu'a ndo él uno 1\1./111', es paralelo á la tangente q lIe pasa' por el esrremo del otro. , Ese. ' §'e puéfe deducir una ,ecuadon de la curva referida á sus diámetros; y tambien ,se podrían haIlar' espresiones,analíticas de las líneas qué hemos dicho ámes; pero esto último lo dejamos para otro .ugar. i ., . .

h

De, la parábola., 72

Cortando un'cono recto con un plano paralelo las geneqltrices) ha resultaao una curva. infinÍtá, que hemos llamado 'p ,wá'boJa ,y hel11ós 0l;J. tellído para su ecuado!! z~=4cxx sen.~~2; y haciendo la cantidáa constant~ 4csen.~b'2 ' p, la ecuacion de la parábola será Z2_pX. . ' Para tene!," 10,s p J:l,mos en que corta al 'eje de .las

á una

d~


SEOCION.E S CÓNICAS. 37 ec ', hagamos~ ~=~ !I resultará x - .' o; es dedr, que esto tiene, lugar en un solo pUnto, que CI? el oríjen, de las coordenadas. . " , Ha'ciéildo ~=o ,s~ tendrán ': 1.05' punto~) en, q u~ ,corte al eje <le las Z; y CPlJld está suposicion da, z=o, . manifiesta q ut; esto no ~é ve'rj,!ica sino en el odjen. , Así, la curv¡a 1'1 0 tiene m~s 'pé~ un punto ,comull. cad / el eje de la,s ~ y d~ las,'z" .q~e es el oríjen ~a~ las ,coordenad!as. . . J 7.3 Resolviendo su ~S~~51io~' con relacion á z,

.. sale

..¡ .,

Z"~±Vpx;

r. • "' 1 ; . E~tos .G.@s yalores ~gtJal~s y de signo cont.r~mo, manifiestan que la curvu se ~.s!iende iguat!nel'lte, por ( fa part}"s!!perior é, infeúpr A.ef eje de las x: ' Jh ,r..ar~ tod~s los v.alór~s n~gativ~s ,de x r~s~Il.t~ .fI}Il;!'lglPalll~, ,, p~es que p es una cantIdad p.osltlVa; }l1egC:bllb <:l!rv,a. no s~ ~sti(l~d~ por el lado de las abscisas . neg~tivas, y está li'P.itada en este sémido ¡por,t l ~J~ 4~. la~ ~. .'~l.J.[ Y: f¡om o los valores 9-e ;z¡ ~on tanto m~y~res cuan.) ,to U)ayor ~~:x, la cu,rva .se· es tiende indegnidamenie ,po!, e's,~e I'ado )del eje .é:!e-J~s "y tiene la fpnll.'j,e'f1'lAM que fe presenta la (figs S6)., . " ¡ , '7·5 .;- 90t;I.o pol'. la e<;ua~ion precedente; la relacion d,el" cllapr~dq . de , la orQ¡epada á la abscisa es la rI)is;:, m.hB~r'Ü odos los puntos deJa cllrya" t.flspecto de ~tr?5 G9.9¡:4en,~das X, Z ,,~,~e .tendrá Z2 -.-:pX, 10 .que .d~ Z,2Z;~~;jX:py: :,X:x ~.-qcuya ,proporcion manifiesta Jq)l,~ 'en ba pwábota fos cu,a11"-ad'os de las ordenadas son , ~lltr.e, ~í..C,QiilO las abs;ásas ~orres1'Jon(lientes . ~ ~ r ' . ~ ?",¡l1~a¡ ,l~gea.: ~ndefipi~a se llatna el ej~ de. la ,pa~~.lbq}a h Y' Aes su verpc,e.. . . ~. 7~ ~.P..a:f¡¡. ~¡:lescri~ir .l~ parábola, SI;! t,?mar¡Í sobr:~ «:: "t1:t;..q!1 ~<¡~! ñ! pattie~lqo. dfl ()ríjeq , .urra ,distan,c j~ A'B, 19 al con p , que s~~ llama panímet¡"o de la pa1"áqola. ! f"""'!. De~p.u,es ·hacielido_ centro. en u,n, p'unro cuaI• '!> , , ~-A. ~~l~ ril;. ~l, Jprnado , e!l .,el ,m!$¡Ilo eje, y co¡~ , un radio 19l1liJ 4;,{i:§; ~~se' des' ¿'iibi\·.á:una. círcunfer~ñ¿ia de cír..... " ""1 _"~-V I

""

,

#

~

A.X.

f"';


SS

.

SECCIO~S CÓNICAS: , culo. En -el punto P estremo ,de su ¡:rrátñ~&o -# ele:' vará la pérpendicular fM ; <y en ella se tómafá ~ur¡,a parte, M.f=QA , cp'p lo que se tendr'á el punto M~ qué corr'¡¡ls ponder¡í' ¡í'"la: parabol!l. : dJ<_ - \. J?J1 efec~o, por esta. éonstruccioo 'se tiene (f~, § 33-3') AQz=A.BxAP, de 'q9pae" ;PMz=AQ2=p:xAP~px; tomaqtib -la Pl1r:;:::PM, sé tendr¡í el pii'nfó,'n¡; por la \ parté"'jnf-erior; y -del '¡ni.srno moao sé 'q)'ó~t~uirár't ¡', cuantos p~ntos se neq:siten. Esta paráb&las'Sé 'S'lleIe llamar ' la 'vulgar 9 ppj¡ltitÍ{ana;P ,! ,~~! \:.. ' 7,7 Se Hawa focus de la parábola 4.l!,l11~punto F (fig. 3!) situa\to s9br~ el eje de' las x, tal qlje lil¡, do~ blc:; otd¡;nada que le ~órresponde, ¡;s 2'Yg1¡<tF ~on el pa.ráme'tro de la curva. :Oc ' :: , " t:, n~ ) ,:,,' ."1 - rara determinarl'e ~e' RaÜ' 'Z=~p én<;'lac~cuaeie-n de la, parábola, lb .9. ue"da '~pz=P"" de d.on:d¡~ x:c,ip; gue esp-res<j. l<j. ªbscisa ' pedida. A-sí, en rl~ ': p'a'ráfjoI~ la distqnt:~a del focus -pr 'vértice ~A d,e •fa' c'Ut·f!f) ~'s , ~guat 4 la O cuarta parte del parámetro: ... -" ": :,:.",,1, 78 Si se busca la distancia ·FM de un 'p',lÍnto ~ualq uiera de ' ta- paT<lbOtá 'a'r fOCl1'~,' se; 'tehdr~ y FM~~PM~TFp2='ZZ+( X-":ip~2 ". 'le ': r,;.1 1 ptc~x~..:..tpX+/6P~: xZ'i-;~px+'¡6P~=(';;L4p)(1i; qÚ'e . ~strayelldo la raiz cuadra.qé!, s'ale FM',' "'~W;" ! Luego .'1a distan<ci,a de u i:rpunto c~allq_l1iéra ,de 1.4 parábola' a'! focus, es igual á la abscisa\l-e)est~': p'untQl, mas la dístanc'ia del fdcus"a·l vérti.ceG de:; la:' Icurval. Por ~onsig~i<;nJ:~, ~¡ s~ toma á 1i iiqui.e¡:d-iÍ~·N!' ',f.. pna magnitud BA=iP, y -pl'lr B se cOflci¡:)e·"l'a- B:t pe'rpepd,icular al eje AX, ~OlT/O toda iÍpea MIH iráda desde !lll pllnto ~ualquier,a i (le la curva, ' ser)!. igtia'I cofi su paralelá ' PB=AP~BA=x+ip" t~hp'\éa;¡?s q udas .ptmt,os de la parábola"es.tán á<igu'aV dzj f~¿in'ci'ts del focus ,que de una tíñea BL 'tirada péf:p'~1idictllar­ mente á sU eje, y tÍ, una distáhci'a de~ vértice iguaf-iP; cllya línea se llltma directri'fo. ~! . (J' .:, : < ' 79 'De a'quí resu lta ,un me-dio de traza~' la pai-á t bola c uan'dóJes <:ol1Qcido el. pl}Í'ámerró 'p. 'Para ést(i)~ de una y -o'irlí-parte de'l.J pt111tl:r'J!"-se toma-ráfi' en 'd J

"

-


SEécIONES

3"9

cÓIsnzú.

eje ,AX Ias,longitudes AB=AF=i-p, Y e~ punto ~ será su focus. Por un punto cualq'uiera P oel eje se ~evantará una perpendicular'indefinida PM; despues '{arriando fa distancia BP , desde el punto F como centro y oon esta distancia por radio, se describid un arco de círc!llo. ,q ue cort~ á: la recta PM eq dos puntos M, m ',' los cuales c0rres'p~nderán á 'la parábola. ?9rquede, este modo resuIfa 1:"M-::'AP+AB=x::l-tp. . 80' Tambien se puede en virtud de la mis,ma ~ro~iedad qescriBii la parábol~ por un movimíento cont1nuo. , " '.,' Para estb se aP.fsta á la directriz -BL una escuadra móvil EQR tfig. 32); despues tomando un "hil,ó de una longi['ud igual á QE, se fijará ~uno de sus egI , tremas en E, Y el otro en el focus F de ¡- la pa.rábola; se estend.e rá ,de'sp~es el hilo -por medio de un lapicéro que se tertdrá siempre bien unido al cant.o QE; y haciendo andar la~ escuadra á lo"largo de la di¡'ec~ trlZ, el lapicero girará á 10 largo de QE y db'cri~ blrá la padbola: J P , . ) ;"'. ' ; , E~ efec't o, ~G)flio el ,hilo, es,-igual con la' longitud de la tegla: QE, se tef1drá !"M+ME:::;;QM+ME-,. q Ll~ .q!ljtando la parte comun' ;ME, da QM=MF! ' ~ ~~ l . _ . En la .p~~áBol?- ~ corrío?en 1a ,éli pse, se Hama t~'ng~71te á la: MT (fig. 33), subt'angénte á la PT" normdt á la MN', suvrion nat' á la PN, Y diámetro es ~oA~ -~ÍJ1ea ~L ' P'lf~al~la al ~je de la 'parábola. ~

f

t

I

-..

i __

De la hipérbola. ' 8:¡ Cortando un cono, cuyo á'ngulo ~ de las generatric:es l , junto con' la inc1inacion a del plano secante, sean mayores que 'lf, hemos ootegido una curva. i!~mitada por amho~ lados .del vértice del cono; la lí,emo~ llamado hipérp.ola, y nOB resultó (48) p~ra su. . . ..- .

;

~

,

- - ..

. :<.2=sen,axsel1,(a+~)(' cs~n.~ . - ; sen.(

ecuaClon ' .

c'(:)s. ~ ~Z

a+~)

x+x

2)';,

"


SJ;;:CCIONE~ CÓNlpAII. J.

tr

; , csen.'b, l . ' JI ' l " Ifne¡ y como en e'ste caso es 19ua a a , ... , sen.( a+~) .. ,AO' (lig. 22) 6 á la BE' (rug. 34), repr~~entandp esta. .por 2a, la ecuacioll de la J;¡i ¡>érbol;a :se~'á·. ,J. \.~

f~ '"

"

~

2_ sen.acen.(a + G') ( 2 QX+-1C ' 2) '(!, 'A') • .

:z, _

J.

cus.tG'!l

.. ,

'<'

.

_ :par') tener .los, puptos e~ q:üe cort~Jf~ eje de,)ai x harémQs z:;::::o, lo que da "'-:-0', y X=-2Q; es 'decir, que esto se verifica 'en' dos' puntos dife:r~liL ~tes B, B') de 105. cuales el U¡lO , es .el mi,smo oríjen de las coordenadas, y 'el otro es,t~ silll~do del la40 'd's las }bscisas negativas á una dist.a ?ci¡1 J2Q ~el niis~ mo onJen. , , Haciendo x=!,o; se ~tendl'án los púnto.s en 'que.!lii curva corta al eje de las z, CljY;.i' SUp'Qsicion d¡i X~Oi eiS decir, qúe esco solo se 'Verihca e¡~ el .oríjen d~ las coordenadas. ,. ¡ ', .1 ,'.' " . . . . 83 Resolviendd la ecuacl~n t:o'n -relacioIÍ á •

1 "'," , se rendra z==l=

_

V "

l

'-:i;

,

~_

se!1,~·s en. ta:if!G"' {2·a1+,é'). ·

-- - ..-. i~2"77 ; , ',. cos.'2'" , que lnanifiesta 'que á' cada abs¡;:is':;¡, ~Q.rresponden cfot 9rdenadas ~g4ales y~de ' signo, cQliItradb , ~ lo qu~: ~s lo Li:JisLUO, q u,e la curva sé estiénde igualm~nte hácia! ~no y otro lii;do del :ej~ de las~,~~ .E'n eS,t a ecuac.ion j' j. l . :se ve que cuanto mayor sea", postova, tanto mayor será el :valor , ~. 'L " ,y. FO~, ~ I').nsiguiente l~ rama MBm se estzende al tnfimt'o. SI se hace negallva la .x, se conver~ir'Í- 13. ecuacion en -" l ' " f •.•. ~ ~ '-: ' •

::

,: lo.

z=±

""'....

.... ~

~~ . . .'

J

.

V ~ sen.axsen.(a:+G) (~2~2'aX)' .... r 2 -'--· ' '

j

"" !~

, cos.'2~ , ,', valor imagin~rio, mientras" sea X<2~; nulo cuande: , . ' , ' , 1 X= 2a: y real y cada vez mayor, conforme va sien. do la x negativa mayor que 2a; és decir., q Qe des<;le el pumo El á la izquierda»)a ~~.fV'a JYl'B'm~ se eS:

I


8:EC.CIONES C6NJ.e:A~.

!1-'(

.tiende. tambien al infinito. ' Si bl¡lscamos la ordenada

. k-~

c:orre'spondiente 'á. x=a, se obten.drá " _ o

J'

.

,;=+ --'---;Q' V -sen.axs\!n.~a+~)= (1. § 136) COS.~b • . • - .)

o

_

_._

r

±---v.sen.axse.n.(a+~)xV--L=±bV-;-I" cos.i~

·

,

&:

'

- '

. ·(liamando b la -parte real

lJ

J-

A

:'

.

cos.~~

V sen.asen.(a+~) . -

,J

que elev'anl'lo 1-1 cuadrado est~, ( vi.Í~r set'á . 2

0

2

-

b

_

2

, \(

se.ase.(a+b')

b.= coso ---xse.ase.(a+~),queda 2 I~Z , • a

¡.~ -

'~.')

.,

-' <coso !.~z

'

}

ln Juego. s,ustituyendo en vez de este seg,\l~~o piem"9.t"o e1¡ p'rimero en ecufcioQ (A..' 8 7). .4ej~ ~pél'bQl~, '2

~i

-..

...

_~ !lJ.<'f

la

se cenver¡irá:e.n .~z

r"b :C zox~p CE); _

.

a

;s:

'!...

841 ., La Iíne.a.~ ~R/~za .,eje iPrimero-de"l& :-"'t.._. b'''se ;' .}lama. . 1• ,4 h!p~fpola, Y¡, !a:-Hne~ b -::zb, ~e Jlli.~.a ~l ~eguJl#~ ,e;, y el P\lnto ~ ea q tle 's~ CD~4...~~l ~ -eJes, s,e ~, .t

'l·

'.

~8t· ~f!ttro_.

-"""i

,,'i

'"

\

I

I

VI?,

~~ \~ \ ;J t~~.

,,\t

,8'S' Si trasláClamos ~1 orÍ:j~n, a.1 _cc;~Jf~. A, rej>[~, l sen_~amos pGr ~' \l~ a!:Sqi~a, P;=A-!3;f-BP=a+.lS ÜilPBl ~a cfl-;-:-;x'~5) , ~:S~.s}itu~os e~fe v,alor ~p, la:..~.cuac;ton

4

, -" . 'l b Z ,\ ,¡; . (b.v·~ -ª3) se tendrá 'zz , ......,(zá(.icJt _",a)-Í{x'-a)Z) . -~.J .. J ... a!l

'

.,¡..J

~ 'd~l 't~ ....

.

(1'"

".

b2( '

f

~..

'

IZ

2.

......

• ..

~)~b Z(

I

IZ

']

r

f); !l:

n"'J~..... :~,." -;-;; 20x .-za +x · -zox +q .--".." X -lb , ~- ti '* • . ,¡ D Z ·

t

I

~H!

c<;

f

ti

,"

....

LI.l

...:.

.

b~

, \.

",

,"

~Q

• J

'

,,~'

CC),

.C

"),J

6 supr'imieUdo el acento 'será zz=~(xz--':a~)

I

~.

, •

j

J

'es

que la ecuacion de la hipérbola réjel")ida á sus eies :( tí su centro. r '86

Se llama parámetró 'de

liD 'eje ~ una ter.ceu:


'fr. -

... •

42

~

I

...

SECCIONES CaNICAS,

..

"

'PrClporcion~t a. dicho eje y al otro; "así " l1aman~9' el parámetro ' del 'eje 'primero, se tendrá ' , , '- b b 2b z . - _.• ,

aa:2 ::z.

(

*

:p=--; a

. . ' ----l5 z que' dividiendo p'or 2a sale 1...==_ --;;; , .

\

.

20.

a-

cU1'n.valor sustituido en las, ecuaci<?n_~f !Jn,teri0res.(B), (e), tas convertitct en ,.. ' ),

%2=L<.ia~+x2) (D), ,

20. ·-

7- 2"

:. ;

~~e:"son las -~cua¿iónés' de

1! (.,i:-a~) (É):/ ,', 20.

-

la hiliérb51a:CJ>rl rélaci'~A al pará~etro: _.' , . ' , '. _ _ I ( 87 SI C0pSlaeramos dos, puntos cuyas 'c<?ordena. das'-sean 'x , ~": 'j " .... , ' .!JI; " z' tendre"mt.. v s r .. ,', b 1'., • ~ b ~. ',' .• J

%z=...!>-.(xZ_a~), %/,2=_(x/~2..-a2);

/C'"

a2

aZ ;;hé-E fofmañdo . l¡?ro" porCion . y• si~pÚficandó s,er~ ~ .t ~ t ~ , /.--,'"Z:'7IZ:xZ-a2';:"c'2-aZ;:(!JI;~a)(x-qtt!Jl;l+a)(:?,1 ¡-a) 'i , qtié 'matfi'fiest%il' q Ue los cuadrados di' }lds \o'rc!ena'd;u§ son, entre ~í co~no vos procluctos.. (l:e}as.- al2{Efsas:, llal*an1 dése aquí· a"b1fjrasJas' distancí.á? .BP, ':t3/~ ;' d~l pie'A~ la ordenad~ á- ' lo-s ao·s7~ rtice.s)3 ~ ,B.'~ ª .e 'la clÍr~a¿ :¡

[(- 38 ','Todailfínea MM'; que 'pirsa' por',el cenrro ':f termina e~ la, cúrva ' \ ~e ll:im~di.~met~f, i . ~ ~~ . u7f muestra del- mislno · iñOda -qu~ 'en 'la: ' e'lipse, ' que ro

¿os los diámetros estJ.n divididos en el centro en dO$ partes iguates. . ' ,_ . ~.-' 89' -ES' Il.lUy-im'poriánte ob~ervár'-qú'da e:~uacion de la hipérbola, y todas s us propiedades, son las mismas, q,ue l~~., ae l.a~elipse., ~u~~l}do,.. en esta; b ~~ -,

-

b V --:-1

,_

Ó

b 2 err _b 2 •

_..,..,.

'a;

J

J

,_

, 90 - 'Si sU:po~e[ÍJó~ 'b la' iduiCi¿:ñ dé l~ hjpér~) bola será z2c:::¡x 2_a2, en cuyo ,caso s'e 'llama hi}?er':' bolá' equitátéi·if. . '_, ".. . . '


.. , ........... \

~ ,... - 'l

- '.

. 4'3

'Sl':CCTONES CÓNICAS'.

t" 9~ :' L'O~focus de la hl-pétuola' son Iós" pticitos F, .If' ,(fig. M) situados, ep. l.a "prplongarc~on ,del 'eje BB", tales que' !~ d9b1e o'tdehad:'~ que les ~on;csP9~de ,.es

.... zb#

.., .l~

1 .1

.t

.l..... ....

, J

igual a,~ p'~!ám<:tro -' -" -" ,il!"f,L.

~

- 1,

~,l""' a

.~

;O!l.J ... ,i,

~

i.

)J

~:I

.i\.,¡:i"-,U',

, 'Pii:~ aef'erminarlos /lt4.r~m05

~J t..J ••• __ "lr :.)~,,)~J-

d

'

!

.... J

'."

!i J

.J

r· ~ f'¡~J ¡ ..

2-/ -"en l'a ~ecua~ ,

" ..;

qll

:;'1!r.,

··t~

Il.,l

J! OQe~"!'1'JJ O)

r,

1_

¡l '

.,.\1.

~ • < bZ ( • • d~' . b 4- , 2'-"':~:(xZ.!-ozr ' lo " da'- ~ ''::(;. lo-: 0 :21 _ - , .~. ~ l . , c.,O ~ ¡

<

-dbb

.' ')

J,,;:

..

H

A

'/

v

'.

1

~A

0 (x"-u"');

¡ l ' '.' .

,

J

!r -"'_e

('JOI

J

~'U~{'tiHtlt~p'(f~ -¡llI~bºi liÍfi~hf~~bl p&!- 4 :..:.s'e{i~1itíc~ ~ r . _. I -

~

..

!l~U ~..i ::>3

;),f

,h~q;;¡x/~mlh~, •

J

...

t'.'Jt 1

j~

b t

.... t

·~i.,,¡ .r-; ~

j

)

t

lo ..

.1

_

J

'I~ 1.';. ¡- .t .--1.-

:61".~a~.J,b,~ i.í,ue" dé\l~~;;¡!;-\t:Iif;Q+b!· . ' ..1'"1

vaJoll gue ' se construye ,d.tfl modo siguiente'):U"( ,~ : :> ,eie ,:~'b: e!ev~ ;una perpendicular "BE ig"iil:atsemiej~hsegptliM Desde el' ceITtrb l A cbn :un' ralii,o' AE, se' de'sciitltrá un! .f. ' . . d ' '1 ' 1 ' '¡ - " d: ,. b r • CIr~~nferenqa .~ clréu: o qüe cdrtar:í 'a l eJeí ;~ !a'S ~ ~dsas et(dos.' pqntos F,F/que :;erán los' focus d:é fa -hil.

, \~rÍ, qrt'ó !le íos 'e~í:r~df<?s'\ 4~1 prinÍ¿i

,;, "

~

I

,,,1 .

~ J •• 1

J') 'j ~

. JJ ?!:I.J

'

'flé:thoU1? porqu~ Ar-AH:;:;:~·:AB'+B;E?=1\!~2~b~. · '92 " ·.S¡~ desde 'e1 puntól ~ lde ia hípér'ilb'f~J?¿· til'aIi !os rfldiqs ·y.eCtor~~ -t~ ;·ítiM i á los.f~c~s'~'Y, ?~.'haéa •

.I _.... l ~.. !('¡ CU..l Z 1• 2 _ , . . •.; '''/a ..L.. 'y, ~v. r-r\f ~ , ' ~.,

..J

. ". , ; J ,'-1

tJ

(.,,".l" ..

(

v

J

I",

,,'

"."" ~(tal"".

\.v ,lo

~e~ 'fen.d:i~· ~MZ=MJ;J".f1i;>~a '. MPZ.*(~P ; ~~R):" ! f .. p '.J ~-' IiJ 2,lL, 11 ...... p.' Hll~( ~ - ) ' PI ': Il'!.'111 \"', z · U'i ' ~. ~.':"'~ =~ C~ -:0 _I.+ X -~CX-!"¡: i ' " ni

·

';

~ ~

t' ',":

__

'- 1

..1 \J..¡ 4.¡.,.L • .1

_

w

q~

' c ') .

_

J"i,

f'

t.

1

• ".

J I ' ; ~__ i

.1..1

(

\ Íll

#.

T

...

1,

ne,,, , .

de donde $e sac( d~ \llfmoaQ'.ahálogo ¡llespuéstQ' (6!J


44

snécloNES ,CÓNICAS,.

r.acliD~ , 'Rectpres tirados á Ull ' mismo punto, ' es igual al eje pr!mero. - ',. 93 " !!;~ta propiedad da una c'onstrucdón pa~a la hipérbola análoga á la' q ue ~emo's halládo p'ara construir la elipse, y es la sigüierúe. 1 r" Desde el focus F 1 comg , ceñfro ; - cok un radio cualq u,jera 130, se describirá un arco de circulo; ,des,de [el otro' focus .f.~>l ~omo centro, con \ln , r-adio 1YO-::-BB'.,¡...BO, se deS'crr6irá o't'ro arco ae círculo, y los puntos como el. M en que corte a~ precedente, p~rte,Q!ee:~l! ~ lar hif(JbRla,;' porq ue, '!~guQ ;¡c.slJ ,COÍlstrUC,ClOn sIempre se tendvaFM -FM= B=~a. ' Seña.tan~o. el punto correspondiente por la parte inferio!:" ,", haciendo lo mismo al oJr,o lado del.¡o ríjeno " wJ ra,'jI'1a' segun . ' da rama cu. :;, :T' ;::u .... .J se ten ae la curva..JlJJl u - IJT 94 E l1 vif.t,ud de la misma propiedad se puede deserlbir ' tam'bien '~la"}(hip~rbefa...!por un r.ín"o'Vimi~:á~ contÍnll,Q'lr, ' l' L ti J " " ~. a ~iJ~ :LJI .., (" rPa,r/ eS,to se ~ja el}, ~¡~foc:us ,F ' ¡1m1 .re§h~ I F/M ~qué p,u~di g~r'ar a.~ re<re:~pr :d,e es:te p~nJp)\I; d~~~\no o.~ y. en.·¡;:r otro focus F "e,s.tá..fijo. un l1ilo FMQ ~al kM r .) 1 • :<i?C F/l~lQ-:-FMQ=B~r, !;} u,~, q~itandql~:; p'a,rf5"cor m,un QM hace, q\ue¡ F'I\f--'FM=BB7; hac)enao giJ;a~ -~~S_P!!~S ''t'íií lapiéero ti ro Iargd ael 'bi.lo ; s~ 1~ obí{ga , ,á :ap1ic'a.'l:se 'mempre contri' Ja ri gla -¡;¡ u'e girq ,al redle99J',. d~1 ~F~nt9 W, f Qel "l'1-Bic~r.Q ¡po,r ~slel;;pro.c(edi .. furento:v 9-é~Fibe Ja hipéf:l:ip'rá , 9l~.e , se qp.i~r~·Íl'F~· 00[ -- 9f Lá hipérbola, éómo' la eJ,ipse :, tiene atá1~e­ tras conjugados, tiene tange~tt., s'Ubtangeñ'te, normal Y..l.lf..?n.or;maJ,; y .ademas ~~rFlf(l<:Le¡1-,tirar '1l~rA~ ~o tro llñás' IíneasY~le's como Ar:-;'1f..L' (fí"g:"it) que ~·u~que cOPkÍ.nll¡iute!Ee ~~ ~X~l,. ¡.:a,.c~f:qi1d!?.<...? J;l !l<;ur,v a, jamas lá Ir[gan á eódontrar ;"libx cuya ráton '(licha; líneas 4,L AJ.' se ,llaman asíntotas. • i.. r

l

M

"

L

LJ.I

I

J

,

.

",

JI •

.

-:'5J (lL 5~ ~

~)

.:-

~

,.

113. t "..'0 '!

al! 5¿ ' oS'" .. ~ $2 "S"", fl ;) "JlJ

.:. :::::. ~ \ "De-( las iUn&iones. r t ¡) -:- '!"-'"

'~

n

• 'l" ,,' r !-q ..

:¡~(r ....¡ l

. .2~~. ~J~e ]~T-~ ~unf.~on.. ~,~of5'!: §'ln}i~a,d ?o~R ffiJ.o n, ~uyo vlJfor _ae pende ~M\. a:~. una.....V,an 6 e.( !4sí 1), eg ~. .~ l ... ~~1(;'-I .. _ J IJ ...I" ... t. ...

• • J .i 04 !


-

~

...,

,..

DE LAS :FUNCroNES~

t

,'r 4S' toda ecuadon indeterminada la variable del primer miembro es funcion de la del segundo" y al contra.:. rio; y las ordenadas son funciones de las ahsci- ' ~as, &c. ~ Las funciones se dividen en reales y aparentes. Se lIam~n reales aquellas en que para cada valor ' de la variable resulta uno nuevó par la . funcion, tales 80n 2;=a+2'*, z ' aDC+YaZ .)(;z.' &c.; .

.,. :

r

y se llaman aparentes aquellas cuyo valor es constante, cualquiera que sea.el que tome la variable, tales son z=xo, Z=lx, &c. que siempre 'son igua- ' le.S ''con la unidad. . Tambien se dividen en algebráicas y trarlScenden-" tes ;, a!gebráicas son aq udlas eq, que ' las variables están enlazadas con las constantes, sóLo por adicion, sustraccion) &c. sin entrar en ellas líneas.trigono.' \ métricas, logaritmos , ,&c, '; pues cu'ando entran es. tas, cantidades, se llaman transcendentes. ' . 'Las tLinciones algebráicas se dividen en 'raciona- ' ¡,~s ,é irraciorlf les; racionales soíl ¡as q'Úe _no en- ' v~elven ningun radical; é irracionales las que, con,- ' tienen la variable debajo de algun r'adical. .. L ·Estas se dividen en esplícitas' é implícitas; esplí~~ta~ ~?~ ,aquellas en, q,ue, ya se halla d ', ,radical,:

I t I

como en z=a+V ax-x~ ; implícitas son las gue-no le ~bntienen( hasta~despuell . de resuelta la , ecuacion, como :¡z=2ax_xz, ' qué d~ ------~ .

"

Tambien se dividen las funciones en e'?t'éras, que; Son cua'ndo 'la variable 'no tiene espOHente¡ iJ.egativo ni se baila por divisor; -y queb~ailas, que son cuando la variaSte:' tiene es ponente's 'negad,ves ó, ,s~ nalla ,' por divisor. ,,, . Si el-.esponente de la variable en el muu'e tador ~s menor que en el ' denominador , la funcioLl.'es 'ge. . j¡¡¡ina; a{ contrario ~ es e>§l'u'ria. '

r

y'si

.1


4~

,:

'

DE . LAS:", ~r¡r1ic.i9N:P;~,<.

Tfm1J>~n ,s.: aividen ~¡; uniformes ., bif.<Jt;tpes" tt:ij¡

fprmes, ... muNfonnes , . ~~g!ll1 ~esul~a par! ,la fún.

cien ~no , d.?~" tres" ... mucho? varores" p.,!-ra c¡¡da uno de la variable, '. . 97 Tam~iefl hay. funciones, d~ dos ó rqa~ v.alia. hies.; Famo zZ' axu+bx\t-.cx+mu-;l-nuz , -en las cua. l~s . s~.p ~e:d~ considérar ¡~ "': c~~o . const.ant~ y' la u cerno varIable '< y al contra no : o se puede hacer ya. riar á las~ dos ·á--un mismo: Tiempo, y ver. los va. lpres .,~~e 4resu,!'tan en oad,~ uno de estos .cásos: p.an. la funcio,n; y:; como va~ian'do {IC? no hay piec~s¡on: de. que. ~~lI:je, fI al mi~~9_' tié~p¡? j ó al .co.n,tfario,: por esta razoa la furrcion zZ' se dice que- eS a~ dqs v.ariables indeNndientes. ':' : " . . Para indiear. que uná cantidad es funcion de otra, se pone ,delante; de la ~ar;al;>le . u,na f ó F, Ó ~; así, -&=f.X$ ~ ", ~.x, z=q>.x, dan á entender que' z es. fll.Ocion d~ !§ " y se leen :z, igual funcion 'x " i igual fundon gt·ande x, ~c; CUán,do ,se quiere indWar la f ynciOol!. de una. canudad yá édciJp.uesta de la va· r,iable , .se encierra dentro de un paréntesIs' ; 'así, %~~(~Z); z::::f.(a+bx) &c. espresán funciones de Xi y de a+bx ; ,.&c., y par.a señalar la funcion de dos Ó mas ~ariables indepel!-dientes; se escribe ~=f.(x,u), J

!iI=f.(x,u,t) &te', &c::. ' , , 98 -Ó';anaó et primer miembro de una le~uacion ~s ulIá futicion, 'j el seguhdQ una tmnsformadon suya, s~ tatio 'to;:que :hay en el , segundo miembro ~e pasa al prjm!r'o j toa..os l,~s coejici~ntes de las 'difedntei potell~ cías dé' la variable seráll cero. En efeéto; sea z=f.x; rsupongam~s que esta ecua,ci,O-n ~e tra_llsforrne en otra que no contenga ra· dicales~i dívisotes ; v~mos á , ~emostrar que pasando al pdrri...e{ miembro todo ~o que pueda: haber, en el segund,g..., ÚL funcion vendrá á tener dta fprma: a+bx+cx2+dx3+~c,-.:0,. y será. a=o ; b~o , c:::O, ~ o, ~e. ,~ • Pa;a cOIl.\¡encernoS de esto; observarémos qu~ no habiendo ya radicales ni divisores, lo ¡¡¡as ql¡ /


,

47.

n;E LAS SiRlES"

I

p'odrá\ suceder es que haya un término~donde no se, h~lle x otro donde esté elevada á. · la primera po~ te;lcia , 'otro do'nde se ellcuent~e á la segunda ,. y asÍ. s'ucesi vamente; luego tendrá la' forma que le. h~",!, .IDOS dado; pero esta ecuacion se debe verificar, ' cual~i.¡¡era que sea el valor 'de x: Ó p~J,"maneciendo inde.... terminado dicho valor', ningun térmlqo se' debe ¿es-, t.; úir ni por lo_s .~:l,e· le preceden ni. por los',q ue le sjguen; luego cada uno de ellos será nulo' por ,si; mismp; y cO~? ,la ~ d"e?e s~r una cantidaq. cual-: quiera, resulta que el coeficlent~ es el que debe!": iá se'r cerb en cana término, . ,99 De esta prop?sidon resultá. que si se. tiene una ecuacion ' de esta forma ,. .' \

a+bx+cx 2 +b'c.=A+Bx+Cx':i+q,'c. los coe~cientes' de lór Íén.ninos hom~l.ogw' se.rán iguflleRJ el1 cada miembra ~ y será A=a, B=b, e e, &c. por,.. que' si trasl§ldatnos tpdos los t~rmin~~s del segunüQ. rViembro al primero, y resolvemos ~n fa,ctores ., será, , (a'-A)+(b .!.. B)x+(c-q2x~+~~.-:-o, ;

:

. _,

'lue en virtud .~~ .lo ~ca\)aao de}e,mostr,a,r ~ se tendrá, •

J

á-A=o , b-B=o, e-e , ,o, q,'e~ =0; e=C, ~e. :,r.. " .

q:ú'e dan a=A, b=B,

r;-t;

J

- <

~de~ igetlerat c1~ tds sé'ríes 'J" Je tos n4r!l~'ro$ p.gufladot.: •

1 ; -

'=',.'7 i

·t J

...

,\

I

'Cuando én los cáfculos ocu,rteri. fu.nciones. que"b'radas-, irrácional~s ó trascendentes ;' es suma- ~~nte complicad,o el hallar sus, Y-ª!m-" e~ , respect4yos. por las' operacÍone's' ordinarias' del: AI'gebra: Para: hac,er .los cálculos con alguna e,spedici,:qn:y' ,q.!! l:lU rtJ0da \inif'oÍ"me', se han ítiventado las serie"'1,e,ug ndi"énaQse ,por serie un polinomio de infinit.os· ~ér;i!!ír9.s; :J>,ór, me4i?~ d1~ .cu~l s(~~pres J el va.tor 4f¡. y,l!'!.~ef!;ntidad.:,lJ.ué.! no le- tIene ,e'a1:fal_ Cuando' los e s.Ronent,e.ij ~ de' la: iVar: iiablé los' tÚmrno5 de la serie :"'~"ri\ po~íti.v'os y van ~rec'iendo ,: ó ne'gativos y v~n'. ;!tepgl}g@q;" ,..llt ·stlrie 8~ llama ascendé'nt,e ;' CU ~f!~O' jon,,p,o§ittyÓS y. v.a n menguando ~ ó negatiVos van 'cr~ci~~.d~, s~ HéJjIla {Je¡-' • 100 '

l'

ea

y


4~ '

'.

t>E

LAS

SÉRIE9.

"

.

cenaente ; cuando dando valores particulares á la va.. ria~le, los términos van disminuyendo, la serie se Ual!1a ,COnve¡'gente; y 'cuando van creciendo, la serie " se llama áiverge!lte. · 101 Cuando una serie es tal que un tl!rmi'no< cualq uiera depende por una ley C0nStante de alguno ó algunos' de los que le preceden, se,llama recurnnte; si depende de uno, se llama recurrente de primer órden; si de 'dos ~ ae ,segundo órden; de tres, ~t' fercero, &c'. ; la ley por medio de fa cual se halla úll' término en valores de los que le' preceden, se llama' , . l

S!

escala de reiacion.

,.

Se dke que las series son' aritméticas- de primér órden, cuando restando cada término' del que le si·' gue, dan todos una misma diferencia; por lo que toda progresion aritmética es una serie arhmética de primer órden; cuando de ejecutar €stas restas se orijina una prog,resion aritmética, se dice que la serie tiene constantes sus segundas diferencias, y que es" de segundo órden; "del mismo múdo se dice que son deÍ'tercero, cuando las terceras diferencias son cons.' tantes ; y en -generar dd órden n cuando Son constantes las diferencias 'del órden n. ' , ~6~ Hay m:ét~.do~ gen~raks para¡ desenvolv~r e~ Cierre todo género de funcIOnes; pero como el c~lcu~ lo diferencial nos suntinistrará medios mucho lI!a$ sencilios, sólo daré mas aquí una idea muy suéinta.J , I

l ' que se q Ulere . de's~~ Para esto, sea - a a es presIOn' a-,:-x

.

env.:oh¡er en serie; lo primero supondrémos que 1&' sede en que ha de quedar: desenvuelta sea .. '" -

_1+Bx+CxZ+D'i..;3+Ex 4+Fx 5+G x 6 + ?de.

do~de los coetidemes A , B, C,

'b-c. son cantidades: indeterminadas, y no contienen á la Antes de ~if"; poner la forma de 'la serie, ' se deben hacer alguna;' refiexiones, pata ver; l." si tendrá el t é-rmino conf", fante A, lo que se l:onoce' si haciendo -"=0, resu!¡,\ la funcion igual á una' ,amidad 'cOll0eida , 2.'" si 1" (

x.


DE LA,s SÉRIES, 49 deberá hatM¡- ~ la variable en el derJOn1inadof' ~ lo q,~@ se conoce si haciendo la variable igual cer.o, resulta. la funcion intinita; y 3. 0 s,¡ · s.~ pebeTá ot-denal" la se~ fiie por las potencias ,·sucesiva~ ., ó por ¡as pares ó lq$ i,mpares , &c. . ' . J ' . Así como ,haci~ndo x=G¡~eflJa f!.meion prop]les~

, a a ., ta, resulta --.-~-=I , la ·s ene. debera' tener a-x a .

t~r-

mino constaóte A, que en este caso. valdra 1 ; pOI[ ~~ qué tendr~LU0s .. L '

a

.

.J

~

J

--=A+Bx+Cx~+D!;(3+Ex4+FxS+&c. a-x :, r ...

(M):'

;¡."

Si esta serie es -el valor d'e la funcion propuesta, quitando el denominador se ~endrá . a=Aa-rBa5c+Cax 2 +Dax 3 +'ldcó

-Ax. . . .B$~-C!;(3--'ldc.

Ahora, ,igualando (99) los coeficientes de lQ5, tér,minos hQnJ010gos en ª,mbos l!liembl'Os , y observando, que: por no estar la x en el primer miembro, todos los c:oelicientes de las potenÓ'íls de x en el segundo. serán cero, se tenará esta serie de ecu.aciones. :: a=Aa,. Ba'T'A=o , Ca~B=o, Da--C:::::o, , ''1 .. A 1 11 1 i quedanA=I, B=-=- ', C=-=-, D=a

al!

" . . _. 1 ::-

1-

a

;

a

t

a3

y. así sucesivamente seda E= a 4" F~aS' 'ldC·. luego sustituyendQ~estos valo,res e'u la sétÍe CM), '" , , • a l , I " I ' , se tendrá - - ·=I+-X+.....:: ,,2+ ...... x3+'ldc.::::: ~;

; ,

a -;--<x.,

_ -a

u

/

a!l . _ q3?

~ x'1- x3" :x;'4 x5 Xn--l 1 +-~+-:-;:+---+o"'--r.~G~!' --.'- . a a q3 a4 a 5 , • an-I

L

.. '

(N).

~sc. Si o~seniamos la1~ ~e ~los esponeRtes., y su ya lar respecto delluga·r que ocupan los términos,

.

4

T .' II.


~o

DE ' LAS 'SERIE,~:

verémos que 'd es ponente es una unidad menor que el luga'r que ocupa·;, así; ' en el término que ocupa el tercer lugar los espónentes son ZZ::3-1 ; luego en el MrlllÍnó q:ue ocu.pe ecllugar ti, los espon~ntes serán t I - I , como se ve en el término (N), que por estaJrazQn se Jrama térniina getlera~ de 'ta serie.

a ' 'Si la. fundon fuiese - - , llt haríamos igua~ ' , a+~x éon' A+Bx+Cxz+Dx3+Ex4+Fxs+Gx6+'ttc. porq ue ha y término constante, y no' 'Se debé hallar la ,variable en 'el denomilfador; y será " a, " '., _ _ A+Bx+CX2+Dx 3+E x 4+FxS.+'ttc. ~ a4-G'x - '1'03

-

que quitando

d

.rn

denominador será

a=Aa+-Bax+,Cax 2 +Dax,3+'ttc.

í

+~AX+bBxz+bCx3 +l!1c.

(

que ig~aÚtn~o ,los coeficiente~ de los té-rminos homó~ogQ'S en ambos miembros, resülta a=il.a, de donde se-saéa: A=~; aB+bA=o , , a ' . ~A ' b ~ a ' b'G '" de donde B=--=---xA=--X'-=-~.;

a a a a ,a , aC+b'B=o, '" .?:... 2 b'B , b' b' b'a b'2. a que da C----=--!1=--x--;-:- .- ; .~ a a · . o;. _ ~ , " a 3! . aD+bC o, r ,', /'. bC ~ b b'2. a ' ~2a ." . ,.

_7

que da' D=-.-=- -¡ xC-- - x - ¡ =- - - ;

. "

a ,

a ,

o;.

".

a3_ _ .'

0: 4

--:

lo que manifiesta que si"el coeficiente' de un término / cualq uie ra se t1~ma P y 'el del ,siguiente Q" se tl;:ndrá para ,aetermiúar est~~a- ,e cuacíon, o:§!,+~P=O,'" T

.

,

.bP

b··'./

ae dondé se sac'a 'Q~- -:=::- "":";xP; a 0;.

.1

~


----------------~----~~ DE LAS SERIES.: St que maniliest~ la escala de relaciono Comparando los esponénres' de ~ ', 0:., x, c.on e'lll:lgar que ocupa qda ténnino en la 'serie, y llamando n el lugar qué dicho _ ~'I...,..ra términO ,dcu pa, será ± ___~__ xfl--I la esprcsion del

,

~

. 'l

ex

término g,eneral, tomando el signo + cuando n es impar, y .el. - cu-ando n sea par; y por último ,se '}a ' 1,

a~

a

a~Z

a~3

a3

0: 4

.

-----='"- --x-lr_. _,-2 _ _ _ x 3.:...... 2

tendrá

,¡x.:~.x ,

. .a ,

0:

I

1

a

I04; :I' Si la fuqcion ,f;uese -=--b . 2 " ántes de desen. ·- x volverla, veríamos que debe temer' términd COIDsta-nte; y eomo la variable x. solo. se halla elevada \Í. la segunda potencia, es de inferir que la serie no tendFá p0~ell\:jas ímpares de 13. variable; por 10 que ordenándola por las poténciaspa¡:es se tendrá , " a ~ )

.

.

- - - - 2.~A+Bx2..¡.Cx4.,¡..Dx6+Ex8+b'c.

b-x que da,a-Ab+Bbx 2+Cb.x 4+Dbx 6+Ebx 8..¡.b'c. " - , ~Axz-Bx4_CX6"'7""Dx8_b'c. que igualandó los coefiCientes, resultará r I ~ ", o· a - Ab=a, de donue sale A=-; ~

.J;

I

¡

I

... -

.

'"

l'

••

..

r

,,_

b

:.

"

A\

~a

Bb-A=o, .................. B=-=b Z ; b

.

.

..

B . ·a

Cb-E=o , ................... C·= ._ =b3' b . '.. - -. . ·~ O a '· \

pb.-':::o,~::: n

.... ;...;....~~"~ b~bt

~ ~c.. 't ....... ,....,... ,;••• :.• ,.r;.,;.~ •• ••~c.

,y sustituy~ndo se tendF~


.

J ~~ ~~--~--~--------------~----------~----

DE

a ~

a

a '

LA~

a'

SERIES.

4

a;

a!l1l

b_x'1.=¡;+b"X .... b3 !1J +b4 x .... + ·¡;ñx . -

2

105 Toda serie que es el desarrollo de una fundon, debe ser convergente Ó n'o nos hace al caso pa. ra nada; porque como el objeto con que se desenvuel. ve una funéiofl en serie, es el formarse una id'ea de una- cantidad, cuyo valor no se percibe con clari. dad, e's necesario que tomando un cierto número de términos de la serie, se tengan valores aproximados "'de aquella cantidad Ó funcion, lo cual no puede verificarse si la serie es divergente; porque como los términos que se dejen .en esta, van siendo mayores y son en número iñfiñit~, siempre valdrán mucho mas que los que se tomen. Pero el ser convergente una serie solo se conoae cuando á la varia,ble se te dan valores particulares. Así es, q~e <si en la serie aSQertdente anterior, x" es menor que b, la. serie ,será converg(mt~; pero cuando X Z sea mayor que' b", la serie será divergente, y entónces n9 se pqede decir que heii1o~ resuelto el problema, á· no ser que encontremos la serie descendente que sea convergel}te cuand:ó x 2 >b. Esto se consigue ordenando la funci:on de diverso-modo, esto es, al cO,ntra.rio de ántes; así,

a

en vez de la funcio~n b . ,

.

\

ha dad~

a

.

,.!l

.

~upond~'émos quese nos

_,.2+b" que es lo mismo, y la , vatiable . . ..... ,--,

se hubiera hatlado en el denominador. 106 / l'

v a-x\ haciendo las

Si la funcíon fue.~e .c •

.... ...

2

•. ,.

mismas observacioq,es de áFltC'S la haríamos igual COD , ' la serie A+Bx!l+C'x 4+D,é +Ex B+'t;tc. ' y eleva¡>do ambos illielJ1bros al cll'ldrátl-o se tendrá a.2-x2=i'P+~I1B,.!l+2AOx;4+2ADx6'+2AE.'!(,8+b'c• . +B?·.x4+~BCx~+2BDx8+b'e• • , 0+ C!I ~~+'t;té,


DE LAS SERIES.

de donde sale A"=a z, zAB=-;I, zAC+B"=o,

Sil

2AD+zBC=o, zAE+zBD+Cz=o, b'é. q~e

dan A=±a, .

r

I

1

B=--==F-; 2A 2a .

e

B1. 1 . ' Be l ' - 'zA=+ 8a 3 ,D=-¿¡::;;:.=t= Í6á 5 1,'lde. ,

y-sustituyendo en la serie será __'_

'"

x'"

x4

:)<;6

VaZ-xZ=±a:¡:-.::¡::-3·:¡:--s+ 'lde. . za 8a 160 de aquí r.esultan dos series, una tomando los signos -superiores, y ptra tomando tos infer!~res; lo .que en efecto .debía· verificarse, á causa de que el ra~cal .ldebe tener da's valores. t 107 Se llaman series de númel'os figurados, ·aque·Ilas en q ue la~ unidades de, cada upo de sus térmi. nos, se .pueden disponer. de .rñanera que representen Ulla figura de Geometría. ' . Se Haman' núme.ros .de primer órden á las simples unidades 1 , 1 , I , 1 , 1 , 1 " 1 , 1 , 1 , 1 , &c. Números de segundo orden á los natúrales 1 , Z " 3 , 4, 5 " 6 , 7 , 8 , 9, 10, 11, &c. que se forman porJa adicion de los de primero. . Números de tércet' ónle.n, que se llaman triarlgú. Zares, 'á los que de forman por la adicion de10s na· ·turales, y son 1,3,6,10., 15, ZI, z8, 36, &c. Números de cuarto órden (, piramidales, aqueltos que se f.orman por. la adicion de los triangulares, y "son [' ,4.,10, zo, 3S, S6, 84, IZO, 16" &c. ,Núrnerbs de quinto órden á los que se forman por la adicion de los precedentes, y son 1,5,-1:5, 3S, 7°,126., ZIO, 33°,495, &c. Números de sesto, de séptimo, de octavo, &c. ,órden, á aq uellos que se forman. por la-·adicion de los precedentes, y son '1 , 6, 21 , S6, &c.; ' J, h ;¡8~ 84, &¡;.) 1, 8, 36, 120, &c., y así al infinito.


54

;DE LAS SERIES.

·'Como las Clnidades de los números ,dd tercer _órden" 'se pueden eolocar en forma de oriángulo eq uilálero; y los del cuarto en forma: de pirámide triangular, se les dió por estension á todas estas series de números el nOm~f€ 4e. series· de n'Úmeros figurados. Los números ,triangulares resultan de sumar los términps de UBa progresion aritmétic~, cuyo primer_.ttÍflpino es 1 y- la- razon I ; Y epm9 , las ,unidá des de los nume ros que resulten de sumar lQ's términos de una progresion arirmetiea, cuyo l'l'llime.r térrni119 es 1 y la razon, 2 , s~' podrán disponer en forma -de cuadrado; y la de los formadqs po'd a s'uma de los términos de otra progresion, cuyo primer i.érmiQo fuese-;;r y la razon '3" se podrán 'dispo'mer en 'fomía ,de pentágonos regubres :'. y ea generallá.~, de los fon,m~dos peI: la s'uma de los término's .d·e una: prognesion ; cuyo primer término es la unidad y la razono -d, se podrán colocar 'de ,manera que,f o.rmen un po-lígono regular de .d"t'-2 , lad'o s, se leS: ha- d¡¡do á todas estas series de nlÍmeros los nombres d~ 'ntím~r.os 108

~ !.,

polígonos.

Det método' , de ¡tos límites. ! .

:r..

. (1

_11 '.., l.

Queda dicho (l. 232) lo que se entiende por límite de una' cantidad va viable , y .que 'los ;-límites ger¡.~ r a les de las cantidades son o ,é 00; pero ta~­ . bien hemos visto que hay límites pa'rtiQJut!ares., cpmo . (1. 345 cor.) la circunferencia, que.esi lím'i te de los perímetros de los polígonos; el círoulo Jo ,es de la ' su perficie de [os ml¡smos polígonos &'c." . l. ' Del mismo modo, ailnq ue los !ímítes .¡generales de las fUllciones son tambien o é 00, los fienen tambien- paniculares;, lo __cual sucede cuando: l1lila funcion en su forma actual, p en otra.,qlue ,se pueá.e ' dar, se compone de una papxe constante, y de otra. variable, que acercándose á su límite cero, hace q U I:! la parte constante sea el límite de dicha funciono 1 lo Sea por ejemplo, a una cantidad conlitante, y x y z dos variables , que decrecen. cQ~1tiL1uamente 109

re.


m~ LOS LÍMJTF!$t

,SS

acercándo'se allíq¡ite cero, . ~n c_uyo ~a.so a ~ será lí:' mÍte d,e a+x ~y a-z; pues le .cGrr~sp.onden ~a.s .dqlf ideas del lími te (1, 23 2 ). (; f . ; .~. 1I [ Hay fllfj~iones que reconocen dos Ifmite9 determinados: uno para eU,ando la va:riable decrece acercándose á su límite o, y ot'ro para tuando c~ec~ acercándose .conÜnu¡¡.mente allímiie a-; ,

'

\

(

. a+b!JC tal es esta --o c+ex En efecto", ~~ando !JC sé '''la' acercando á s\i J.fmi~e , l' a o, la espres·i on se acerc,a á _c';, sin !lue jamas' pueda ~

'.

,,;

_

. • ';

r.

___

o.

llegar á serIé igual·; luego t: ;

.... \" .

e

.:!-<~.

.

'.'~j

'í_t

será su límite.

.i'

"

-"

...

'. ' Pa,ra indagar el límite cuando .le ~rece, . div'Úli, rémos Jos do~ términos de 1,!-, flfnci.on por :le " y . s~ J

"

..' a . ' '. b+-

5c .. ' (lonv.~rtirá ,en. ~, la cual ~

-

-

~.

IJ

, .' e

·:.J' e+~"::···

X

rt 'i -'

-' b ~ se acercará á - , t.a ntq e .

_

t'

'

t .,.

"

\.¡.

lIlas cuanto !JC se acerque mas á t; 6 00; de manera q'ue .la difere-ad.a. en!re dichas C¡l.lll;Í,dades pocl:r,t $el' menpr 'q ue. cua1q uier ·cantidad dªdiJ, .'p.or pequeña q u~

~e~ ; y por lo. ~is~~ '~e s~rá ~11í~ite ""(. . f

-.~

de la

~unci~~

."

propuesta. , 112 En toda serie ordelJafla pór itls potencias d~ una sota varia/:Jle, se le puecJe dar á esta U11 v alol' , tal que un término ·cualqt¡iem s.e.a, mayor que la mma de todos l~s W e le siguen. l · .


S6

t1E LOS LÍM1'TÉS:

En efecto,~ sea la serie A~m+B:.;/1+CxP+"ldc, todo está reduci.clo á probar que 'á x se le puede 'dar un valor tal /que cada térmÍllQ sea mas de dos ve. ~es men0r q,ue el antecedente; porque hemos visto (1. 20 S ese. 1. 0) que en la serie : '. ") :. r..

..

:r • .!.,J:

I: ~

r

Q..,.

1+"2+4 +1f+t6+3'2M-<X~·

,

)

'-

. Cada término es igual á la s\lma.de tQdos IQS que le siguen; y corno aquí cada término es la mitad del anterior, se sigue q úe si en este ~u Pl,lesto ljn , tér.min.o cualquiera es igual á la suma cl~. todos los qUé l~ siguen, ~4ando uno ' cualq uiera se3. menor que la mitad dél anterior, un' rérmino' oualqu.iera será' mayor que la suma de 105 que le siguen. Luego todo est.á- ~eduddo á :rmb,!!' que se pu'ed-e d,al' á ce un 'v.a-

Bx'¡

Axm

CxP

lar tal que _ _ >Bx n, -'->CxP,' -->b'c. • 2 ; ~. . c

,

'

'~~

.'

', ' :

2!

~

I

, 1 , o . Sea la serie ascend'ente, esto es, m<n<p<b'c,? C0lll0 el caso méáo'sfavo,rable es aq uel 'en 'q ¡,¡e lQS coe-

ficientes A, B,. e, 'ldc'; van creciel'ldo ', Jo d'em0'st.ra~ rémos en este caso ~ .y ademas su pondrémo.s que la relacion de dichos coeficientes sea variable, Repres~ntem0s pOl J!x" Y por fJxr~s fes dds términos consecuiivos e'n qu@ s'e encuentl'e la mayor ·relicioll de los coeficientes; y aSÍ, será necesar,io dar á x un vaPx r

. :.0.

lor tal que se tenga __ >Qx r+ s; !

\

"" ", : :

9

. ')

r: J

~ ....

,~

y ~uedando satisfecha esta circunstancia, se tendrá tlem0strado lo qge se desea; luego .splo'falta indaga!' si existe un número que cumple con es~a condicion, J im caso de que e§to ,se verifoque, determinarle .•

< :

~ ... ~

Para esto, dividirémos esta desigualdad, :rOE x r,

p

p

2

2

"!~:

que da _:>Qxs ó Q",S<_;' Y dividiendo por

\..

Q se tendr~ xs<~; :.IQ

"-

¡ .

.~

1


~

. : s,..

,.1:

-: 1

V 2~. ~

~ ~str3¡;enclo la r~iz)s nos re;ult~r~." .le<

r ..: - ; . n , .. Per.o P y. Q ~on' dos caniidad~ diadas y constam,.-

~t

_.

,

tes,; 'Juego P,' Y' 2Q JI, l _

'id

ta,iz s,

t.;

ta~bi~Fl <s;r~ll ' cantida~ ...

~ ~~.I.,

.J

-,.,i r

5"

des (onstaBtes, ql!~ ,podrémos deterCI!i~~r; y ,., oOQlQ por p~q ueña que sea esta cantidad', podemos conce:pir el~ :J(J otl'o jV;¡¡lox~~.or (1. ~.29 c<?r, r 2', 0) , resultª _ que siempre se podrá dar á .le un.vator que cumpla :

'

:..

;i~~

....

Px r

.t

ll

¡::on la circunstañcia de ser _>Qx Y +

! S

,

2

,')

un término cualqui~r(J S~(J mayor que í~ suma fle todos lbs' qu.e le sigue-n. ", f_ t • . ' 2".0. pea ahora d¡:scendente la sede·, esto es, ~~­ pongamos q':!e m>..n>1?>b"c:, Y. qy.e LQs dos ~é1jrni:' 119s·consecutivos e.O!');lJ.e la r~lqci9ij sea: mayor, sea!!

Ó que

.. ','

p~r:¡. y ~

c,:" -;

,

Q4'Y; ' ..!':

Oo __

~

;.

. ...

~ ..

;

~':....,\

_.Y Jp"tr~J\

..

_.c,

, tCldo estará reduciao á probar que - - - ; > QxY ; 2'

y. ~.omo ~ividiendo pOf ",Y tenemos. Px

.. :~........

...

J."

, .¿

"

de donde ",s>

",'f').

resuJta

:y.' )

...

1!.. #~."

V$ .. ."

,~ 'O x>' P' :, ,

2

<

"(..,

s

:> Q,

.2 ; "

•.; J,; "

.J

.

"""1Cnl1

t

'"

I

~

1

2

Q P" M

--

,

s

I

~ ."

~e, dando á .... un valor m!l~or . que V .;g . 'P !JO

t

,

cumplirá con la circunstancia pedida;' pero P y 'on'cantidades' . -, ,

(:

,

$J

~nitas, luego la es,presion 2Q tambi~n "

P

.


~'8 DE I.ÓS LfMIT:E~. ~ lo será, y su raíz s; y como siempre podemos con· cebir ell· x un valor mayor que cualq u ¡cr otra cami. da:G::clada,resu.Jta ,que se le" pod'l'á"dar une ¡at.·que cada .~érmino de la serie sea mayor' que la \SUl1l~ de 'f0tlos los q-ue ,le sig'lá'en. Lueg0 é·t:i'primgro sej:á~ ma· yor que la suma d~ todos los demas. L. Q. D. D. -fof,&c¡~ :Si ;lós 'esp01~(mtes dcf 10s' té'tminos conse<;uth. vos, solo s/diferenciasen en la unidad, ó lo que es lo mismo, si"se :suponÍ'l S~I" él':valót de x en el pri. -' y 1l',. o ) (',_...Ji? ' 1 ........ ;. p i

~:r'.~ as~ ~e:iá,~u:I¡~~iera 'que ;~~~~ n;~no,r que~e~Q' y en el segundo seria,. cualquiera que fuese mayor ri.-·- #.J ~'_ ~ ::: ~ l~"'· . 2Q ' ", que - . -; . HH I p.,:.:. < '- ~ ~': , -.. .',1.," ',:~~~. - " '.~. ,', .. , ... Il.~,! .\ 01

1

porque el radical tendria port' es'pon'ente la 'unidád¡ yra.atia rpol' ráI2: ~lHñisma carititlit<d;'q ue tÍ'erú~ debajo. -1!· iIP3 ' Si-se tl,ef¡'e¡í. dós' funciónés F.X!~)¡f.~; de '004 mi.s1n(f víJ'I'iable. x ?'el i~/I'¡vte: de la relíieion ·éJe,'estas funciones será el mis¡flo que l·a' 1"~acibn 'de .los límites·. En ef6ct()\)(~i la relacion la espresamos por ¡p. x, ~~~ .;";: ~ .. - -: :·J'...(Y1:.f.. ~J!-,~Il ;::". -:'.~~ f , FI'x

-

se tendra --=tp.x;

f.x. , e

.

~

(

~ \

.- - _ .. ;, {,r::j'

~... r;..)..J uJI...:;

.

_y

~f;t~....

'1.

ahora, cada una de estas funcíoIfes lIegará a su IllDl" te, cuando la variable x Jlegue al suyo que supon' d remos ser a, y

,':'_-

--,--:'

.

f

. ':J- , . F.a -'.' , . . . tell~'l'em(!)s '~f'_!, 7"":'~"a, ; pero1lf,J.¡ :..~

-.

.a

i

f·a-'iím. ... ,,. de F.x, f.a=Iím / de f.x, y cp.a=!ím. de <p.x, ' lím .J de ~F

luego

r

,V.

, Hn.

I

e~

d f •

~

x ·· j

)'-',1 ;

l ' :.

-Hm. de

~ l ,x. )~. ,

'",

I '\

':.

~

<P,"',

1" . :

~. ~'i

"'n ···· · l ' I (',} - H.: • .) ~!

~"u ; espresa la prop~sicion emunciada~

.

JI

oS

'

::~.1

"'0"'1".1 ~~ ~ (...

\ Como Fx, es una ·oantidad. va.ri[¡\jle ,. la 'po~.rémbs señalar cdn z, y por la misma razon podrémos su1. ,.-.

. ,.,."


~

-

_....

-

~

• r

..

I

I

Z' !. ~~~

'1'.,

poner f.",=y, Y ¡p.X::JU, -la,que dará ~u; <le Glende , , ., y .. ' 1ímit de z' -, ( t· ~ •• " . . ' -lím. de u; qqe-,espresa' que ,el, Pitnite d~ f llfD ., ~e_y , ',:) 'j f Jo " " . '. _" ' . ,) la· netaci01L de do; ,icant~dai:ks variables,l e Id mismo que la relacion de tos ;~ímites :de qic.'1:as cantidades.. :

D;t"~¿1~ulo "'aé' las~~'diferenciás. ' I ~,: .... ~I.:) lJ'..

,'1-

~.

","

__

(>f! ¡

Vamos a¡wr~ á détermina,r';el: incremento ó .de.c-iemento q me . sobrevie.n¡! á, una func;:ion " réual'ldq :creoe ó mengua la Iv.aúable .de que depende;- y p4ra lijar lasjdeas obsellvarérnus q.ue si una, vaJri~blli se au ~ menta ó disminuye, y. se. llega-- á CQn~ertir x-+-k; ·la ca'¡;]il:idaa iBdeterminada _k,_qu~ e.sJa qúellhi cau~ sado su aUmento @:.dimwucion, se Jlama. el· incl1e'11¡en~ .to', ·J aj difeTlencia finita, -ó:.símplemente larc'dife:rencia -der¡~. Del mism(1) ' Lllo!il:tl.'; si ¿variand0': z llegá á·. sér ,:z±h,;Aá- cantidad JindeterIlÚnada h se-Jlama!~la dif?,!. ,mncia.·..de z: cuyasldifel'~IJdas ser-án.: pos.¡,tivas @. ne!. gatixas, segun !JI; ->Y] z ha yaifl. ~umentado:;ó' dis mi 1'1 ui d{)1 tper-e (coinri.muehas-veces-se.ofrece cóñsidera:r' en 'una mism~ cuesti~n las dif~rencias de Ililíchas Lva'riables .y de sus fencciones', á.fin .de. e.¡;,presarías'áon~urr!iformi: -dad ,:y, saber el oríjelil x ó z de dichas 'dif~rericias , se ]lace uso de un sigl;lO~ general A, que es<húdelta gr.ie." ga, antepQniéndola á la variable cuya diferencia se quiere espresar~ así,~ell ,l ugar de ±k se'eScribe ±Ax, y ±Az en lugar de +h, y se leen diferencia x, di· ferencia z, Las varias pote.pdas .(L1x)Z, (.llx)3, (~x)4; .~I;. : d~ li! diferencia de unit variable x, se espresan por .6.",2, L1x~, .::1x 4, b'c;; y pa~a que estas,espresiones 1).9 se to· men por"las difer.erid'~s respectivas de.x2 , X3,\ x 4 , ~c. ,se denotan estas per ~.x22 A.x 3 , .6..xA, b'c: ' , ; .[ I ·S .~ Entendido.este, pá'semos á rescilv~r este'problema. . 1 14

'en

, Dad'a la di¡ere1fc·ia de ¿na variable, hanar la de la funciono . .," /

J


60

." DEL CÁtCULO

. Res. y Den;. SlIstinÍyaS'e en la funcion eh vez de }a variable, la 'variable mas 'ó ménos su ,difeFencia; de

esto réstese la fu~cioll primitiva, y se tendrá la di• .ter.encia de dicha, funcion. . ._ .En efecto, se!t z=f.x; si en vez de x sustituimos .x+Llx:,. la funcion z variará y sé convertirá en 'l.'; Illeg0 se. tendrá zl,=t:(x±Ax); . ' . y si de esta ecuacion restamos la prirnera>, hallaremos el increl~to de "dicha f lInci(illl, que será ' , z -z=f.(x:::h:Llx)-f.x;-;¡ '. . pero como z, al v·a riar x, ha padecido: pIDf precision un incremento ó decremento, resulna qtte z' será igual á z-+Áz; luego el primer miembro.se convertirá.; en ¡ 1';" ~z=,z+Az-z=Az; _ _ J J ,por IO'cual tendrémos Llz=f.{x::!=Llx)-f.x,:o ponien',. do f.x efi vez de z , ' será Af.x=qx±.oÓ.x)-f,x (M), ' ! I ro' t 8i tlna constante afecta ·á .una función por via de Sj.lma ó'de resta, desaparece'rá de la diferencia; por· "lue si ftlcse z_f.x+a,. como las camidades' constan. tes no aumentan ni disrni!1\ayeri'.en un mismo"cálculo, ¡;e tendrá z'=f.(x±.oÓ.x)+a", de donde ' J Az=z'-z=f.(x ±.oÓ.x) ±a-:..f. x.:.¡- a=f.(x:::t:.oÓ.x)-f..~, porq ue ~a , y 4=a q.uedaa destruidas. <j i Si la constante afecta á la fundon pol vi,! de mulo ti plica ci O.ft. -& di vision, esta constante afectará d~llUis. mo modo. á SI!l diferencia.; porque si se tiene ,~ ~ d .-., . . , L a ! . z:¡:: :Z/.x:será- z'=_f.(x±4lx),

~

{

o

~

~

-,

' .¡

. r.:

-'Y

b(qx~.oÓ.x)-f.x)= ~Af.x.

, .b J Ahora; dividiendo la eCllaóon CM) por Ax, será .oÓ.f.x f.(x±.oÓ.x)-f.x . """";\"=-- __ (N) : ' . "-lX Llx ,_o

\


DE ~ LAS DIFERENCIAS.

6t'

que espresa la rdacían 9ue tiene hl' diferencia de la,

fu.ncia n con lá de la vanable.

.

.

Cuaddo se tienen muehas ~unciones enlaza.das por vía de suma ó resta, la dIferencia' total es. ' igual al conjunto de las diferencias de cada funcÍOIl componente. '. , Porque si l{:netnos 'Z=f.x+F.x-!p.x. será 'Z'=f.(x±.6x)+F(x3:'óx)-{J.(x±.6x),' y 'Z'-'Z-=:.6'Z= . ' . , 117

f.(x±~x)+F1.(x±Llx)-qr.(X+k\x)-f.x-F;x+~.x? ·

perof.(x +.óx)-f. x=.óf.x, F,(x+ .óx),.-F.x=.óF.x, y_!p.(x ±Llx)+~.x=-(!p.(x+.óx)-!P.x)=-Ll~.x;}

luego se tendrá Lh-=.óf.x+LlF.x-Ll~.x. ' lIS Como el cálculo diferencial, que proñto da." rérnos á conocer, nos ~umi'nistra un método general y ~el1ciJlo para ,hal!a~ la dife~encia de. un~ f~'~cion, noresolverémos aqUl SInO el ej'emplo sIguIente. Sea 'Z=ax 3+bx+c, y SOl tendrá' . t ·z/=a( x + Llx)3+b( x'±Llx)+c~

ax3 ± 34xzLlx+ 3LJxLlxz+a'Ax3+bx+bLlx+c;

luego Ll'Z='Z'-'Z=ax 3+ 3t1X2 AX+3axLlxz+ai1x3~ - bx±bLlx+c-ax3-bx-c=±3ax2Ll~+3axLlx2± '

aLlx3 +bLlx=+(gaxz+v)Ax+jaxLlx2±aLlx3 ; . 6 considerando ~olo el signo +, que es lo que haré.. mos de aquí en adelante, será

. ,A'Z-(3LJX2+b)Ax-!:'3axáx2+aLlx3. Pasemos ya á las funeÍenes de dos variable~ -indepen\Hentes , y sea 'Z=f.(!JI,;, u); donde velDos que ' Z puede va-rÍar por tres causas: 1. a por la ' variacion 's~la: de ,' ;, cuando. se transforma en x+Áx; 2. a porque u sola sea la que varíe, y se eonviena en u+Llu; og_.a variando ambas x y u. En el primero y segundo caso las diferencia~ qu~ resultan 'de 'Z se llaman difer~neias -parcialés ' . y ·se espresan respectivamente Lb . Ll~ ~(:)r -:-ó,x, -Llu; en el tercer caso resultará la Ll ~_ 'Ll u_ r d¡fere~eia- Az quese -IJama aiferen~í~ total, ó sl:m· ,~lemen~e la <iliferencia de li fundon. . tl9

.


.~ . DEL (JÁL~U'LO CpUI,l0 , en -105 áos primeC0s casos

62

solo vada 'en.h . funcion 20 una de las cantidades x ó u, su diferen. cia se hallar<i en virtud del 'problema antecedente; ' y por lo q ue to~a al tercero, lIama'ndo 7/. á la fUFlCiori ~.(x+Li"" U+,óH) que resulta st+.stituyendo x+,ó", por x, y u+,óu por 11, la diferencia de .2o ó Liz será, Z'-:;y=;f.(X+,óx, u+,óu)-1:(x, u). Del mismo modo tendníamos que si fuese ' (z=(cx, u, r; t), resultaria _ Az=f.'('lIi-J::L1,.,(; un-Liu;r+,Lit::, 4+,ót)-f.(x, u" r, t), , 120 Si entre ·las variables hubiese una re1acion espres'losia: Ror V: , Lex, Z }=o, ~n €ste caso, x seria fundon de ,Z" y recíprocamenle 'Z funcion €le x; de «!onde.s,e sigue 'q ue si x varía, y, se transforma: en x+Ax l.a z .variará , n~cesariamente y se convenir,á, en z+Llz; y. estos nlL€;vos va-l ores de $ y.,de deberán necesariamente satisfacer á ,la ecuacion 1(: f..(*, z)=o, ~ y tendrémos V'=f.(x+,óx, 2o+Ll2,) =0; ,luego VI_[7: . LiV~f.(x+Lix; 2o+Az)-f.(x, z}=o, , . ód1V: O; '1 ( cuya ecuacioil es presa la relacion entre' Lix y Llz; de donde inferimos que esta relacion se hallará toma'ndo la diferencia de TI,' como, si '¡ las variahle~ x ?' fueseri'}iidependientí!s, y hacienclooluego ,óV: , Q• . 121 El mismo método se segl,lir.á en las funciones de mas v;ar,i ables; y así p,asarémos á las diferenci¡¡.s de un .ó¡;uen superi01'. \' r , Con ~a 'mira de: dar á conocer cómo se origiaan éstas dir~rencias, supondrémos ,que haciendo variar sucesivamente una funcion de u'na ó mas :varial;¡les, 'q ue,llama¡f¿mos z , sean z'" "l.'"\ Zlll los valo-) . ~ ~, Z'V , ''''c. v Jes , consec'l~ivos de z cuando a!umema; y ''1., ~/Z, III Z, ;Y'Z, 'ttc., cuando disminuye; de; manera que '

z,

:y

~c. IY z , III Z, 11'1., IZ,

"l., "l.', Zll,

Z'll,

'1. 111 , ~G.

'forme una serie de términos sucesivos. ,. Ell' virtwi de esta q'll1sÍueracÍoll y de. 10 ésp.u~sto ~I! s), tendremos 2/- z=Llz,; ZII_7/=,óZ/;:"'. .z~" -ZIl=,óZ~/;,

zlY~ZIII=Llz'lI, ~c.; 'Z_IZ=,óI.Z; 1'z_'IZ=Ll11Z'" I'Z_III:¡;=LlI,IIZ; IIIZ_I{/:¡;=A'IIZ , b'c. (

,

.

- "

,

.

,


DE <LA'S DIFER~NCIAS..

61.

Ahora, Az/-;-=-'L~.'z · será por lar misma tazon-la diferencia de ~z., y se tendrá Llzf-Llz=LLó.z. _ " ' Lardiferencia:' cde -la diFerencia ,de l:lUa fanción z de una ó muchas variables, se llama diferencia S!!f".,.unda de z, y se represent~ por Ll zz ' . cuya espreTi ~ioÍl no se debe confundir con ninguna de' estas A.p;z~ Azz;' puesA.z z ind,jéa la indiferencia del c~adrado ~ z la Azz indica el .ca.adrado de la diferencia, y AZz. i;dicil., como acabamos de decir, la diferencia de la diferencia de z.' - L ' Por consiguiente tendrémos , 1 .. Az'. -Az :::¡A2 z, ó Azf =Az +;ó"z; ~

Az" -Az' .=,ó,2Z', Ó Az" =Az' -...¡.:oA 2:¡;~;

. flz'If_A~"J ~Ll2'Z"" ó Llz"'=Llz" ~A2ZIf; -Llzí'l_Llz'''=Azz'fI.,Ó A:¡;'v ' AZflf+ilzZ'If, b'c.'r .ilz ...,..L::..'z .=.&.2'Z, ó Lh =A'z +A2'~; _ ti'z -Ll"z =ti 2 "z) ó Ll'z =A"z +Ll 2 "z; AYz _Ll"' z=A2If1Z,Ó Ll"z -.Ll:1fl Z+Ll 2 '''z; b'c. La diferencia segunda de la diferencia de z se Llama la diferencia tercera de z, y se denota por Ll3 z7 y en general ládiferencia n por LlIIZ ; " 12Z . Si z fuese ·funcion de una sola'Vari_able ' ''7 hallal'Íamos z' sustituyendo x'=x+Ll.x en lugar de x'¡ :Az[, sustit.li}lendo x~=",+Ax en vez de-x en I~Z; !rA.x'=A (x*&x)=A x:+Ll~x por Ax, . y..á~X'=~2(X+A·x~=A2DC+A3x., por t::.?x, b'c. . ~. 123 Si en una funcion z de dos variables inde.. 'Pendientes x Y ti, sustituimos DC+L:lX en,lugar de X; . Y u+Au e.n vez de u, resultará z'; sustitu yendó -DC.'=~~ pbr x;en' Llz ,:u+Ll.u por u ,,,Llx"lfo.Ll 2 x( por Llx, ''Y,'üu4-A z u por .:::1 u , resultará Ci&/; si sustituimos. x*,Ll.x en vez ae ti( ea A2 Z , u..¡..Au_ en vez de -u; -Ll'x+A 2 x en luga¡:,de Ax, Au:-tiA 2 u e¡;Lhugar de Lltl, ·, 6"-x+Ll3 x en lugar de {lzx , y A Z u-I'-A3 U en vez' d-e ~au., resultará A2Z', y ast en adelante. ~ 'Con la mira de' simplHicar 1los cálculos 'se sueIe su'poner que una de las cantidadlis variables varía. u¡;¡iformemente, ó lo que es mis mo ', que su difei',encia " p~imera es o~tIstáni'e~ resta ,.s irve d~ térm~no

,t

lo'


64

DEL CÁLCULO , ,

de comparaCÍon al cuaf se refieren la,s diferenciás de las dema,s cantidad.es.Nosotros supondrémos -'lx cOflstante, y nos propondrémos hallar las diferencias segunda, terGera &c., tie una funCÍon cualquiera dI:! x. ' ; 1.24 Sea z=a'x a , y tendrémos z'=a(x+L.lx)'=Il.,,:'+2ax-'lX-f-a-'lx z ; lo que dar~ .ó:z=z'-z=2axAx+aLlx2, Sustituy~}L1do x+-'lx en \'ez de x, se tendrá AZ'=2a(x+-'l~).ó.x+a-'lxz=2ax-'lx+2a-'lxz+aL\:xz;.

lo que da_rá -'lzz~-'l'Z'-;--'lz=2a.ó:xz: . . Esta segunda aiferencia' ,es constante, y de consiguiente la tercera-será cero" Este ejern plo , aunq.ue sencillo, manifiesta -el método que se deberá seguir para hallar las diferencias sticesiva's , si las tuviese funCÍon, y aun 'cuamio esta fue.se de-dos variables.

la

Del cálculo dife'·étlcial. . t 2 5 Hemos visto (1 16) el modo de .hallar la .re'; Iacion de la diferencia ó incremento de la funcion con la diferencia ó iHcremento de la var.iable-; y aho~ ta debemos advertir que entre la; funcion primitiva y el límite de esta relacion; .hay . uria, dependencia que determina la una cantidad. por medi0 de la o.tl'a; y todos Los medios que la análisis indeterminada nos afrece para conseguir este fin, están comprendidos en el tratado q ue s~ conoce en general con 'el nombre de cá¿culo infinitesimal. Este precioso cálculo tiene dos partes: ll!- prime, , ra, que se denomina cátwlo dif~renciat, trata 'de'ha: llar, dada la funcion " ellímire de la relacion d\hSll increment0 con .el de la ~variable ó variables que en. ttan en ella; la -segundCIT trata de determinar la" fun\cion, cuando se da conocido el límite de la relacion de su incremento con el de la variable, y se llama cálculo integral: q ue-por consiguiente es el inverso dél diferencia 1. { ' 126 Para esponer los .principios de este portent0,~


\

so

,

D.EL -CÁLCW'LO ;.DIFERENcÍAL.. Q) ' cá;l~ulo' , demostrarémos en prímer ·luga'c' el. si.

guiente , ' . . , . reor: , Si siendo ., :Z¡ . f'x.'; se sustituye x+ k ·en. vez'

de X', señal¡¿mdo k una ca'ntií:lad cualquiera, positiva ó .neg.a-t.i.v a".,se convertirá, z, en- if, Y t.endrá·¡ésta form", z' j:x+Ak+.Bkz+clt 3 +Dk 4+E.d:+&c. si.endo A, B, .c ,~ D, &¡;;. Jumciones cuaJe$quiera de x, pero indep.én.dientes de Le .. I

.

, Este teorema quedará aemostr·a do , si manifestam0s' <1u.e-lá ,ca.midad k $Glo se puede haHar con es,po,. nente enter@ y,: p0Sj¡~V0 ,~ 1>0. q Qe se consegu\rá demostr~ndo q Qe HO puede ser el esponente en ningun térmiho ni- negativo ni fr~ccionário, y .q ue ademas debe haber ún térulino inJd epeniliente de "k'qué es lá fundel) primi~i va. Para esto, observar:émos ' en primer ,Lugar" q.ue sí en el desarrollo de una funcíon s.e ~ustituye en ~vez , de la , v<J,riable de que depende, 1,In val.or· parti<;ula;:, debe resultar el mism,o valor que daria la funcian aí1tes de desenvolverse; pues de otro modo' no seria la funcion igua'l con su desarrollo; y como ,tíaciendo ,k=o" -z'=f.(x"f-k) se c01lVIerte en' ~7=[<" r s.e sigue que ~ el de~~rrollo de ,- z'=L(x+k), cual'q Ule'ra q Ul! sea la forma que lenga, se debe re-o ducir á -z=f.x ~uando k=o; por lo cual se hallarª- \ eSte término en la seri~, sin estar afecto de la canti" dad~; el eual dirél'Il0s que; es 'el primer término del des~rrollo. Ahora, el desarrollo de f.(x+k).Jl0 puede .. .. . ' 1, ... M ' tener ningun térmil10 de la forma - Ó eFl que el n

. .'_.,

, k

esponente de k. sea .aé'gativo ;.porque enlon<::es cuan· cl~ ,k; fuese igual oon c~r(} , este t€rmino seria ,infilüto, y por cOlilsiguieme lo seria tambien L( x-<t-k ); pero _ c'olfip .eu; e,ste· caso~'e. eb'ltv.iene 'eff~f.x l' q ue no f'u@de $el1 in,f;i.Hita.sinó' en .v:a 1.0 res 'particuláIr(!s :de '-x, -no pu~­ de_J¡¡¡¡¡ber. ,pi¡;¡gun tél1miuOlqu.e tenga dicha .f0rma. Tampoco puede ' tener esp9nenteS fraccionarios, :ó l.f¡)':.q lle es 110,-< ¡niSffi<Í> c,¡¡¡di:cales, 'á ' meriQs' que 110 se den á x:v,!10res, p.a!"ücu,lanes~.Po rq ue los radicales.de

, )

T.

n.


(J6

Bt;:t. CÁLCUl.O DIFERENCIA!:.

k 'n0 :podrrán' provenir sinó de los rad,ical~s¿0mpre?-~ didos en f,x, y la sustitudoq de x+k en vez de x no podrá a¡,ulilentar iIi disminuir:; el- númelÍO de enes, ni mudar su ,naturalez~ mientras que x T~ permanez .. can iNdeterminadas. ,Por otra 'parte <1ueda; 'indiC;<rdo (1. 168 €sc;) que todo ,radical tiene ta'níos 'valores cl,iferentes, .CO!JlO unidad~s hay en su esponente; " p or consiguiente toda fundan irracional tieme tantos valores diferentes como c'(!)[nbinaciones ~e pueden hacer con los. diferentes valores de los Fadicales .q tle encierra; luego si el desarvollo de la funciof.l f.(x-t-k) ·m ., "

;

II

-

'

1J'_

..

contuviese un, t~rmino de la forma Mk n ==Myk Yll , la f,uncion f. x seria necesariamente irraciana,¡, y tendria por consig uiente un cier ro númer0~. de valores diferentes, el cual seria el _mismo para la funcion f.( x+k) q ue para su desarrollo. Pero estando este desarf\¡¡llo r epresentacio flor la serie . n ' f.x ;f.Ak+Bk 2 +C k 3+ ... +MVk1lZ+&C.

á~ los n v alores de} i a,lical M V k m, 4e mañera q~~ el desi r cada v( lor de f.x se cOlÍlbif.laria con cada uno

rollo de' la fllncio-n f.(x+k) tendria mas valor~s dífe, remes qu e la misma funcion né desenv uelta: lo q uc es a bsurdo. L uego tend'rá laJorma que hemos dicho en el ¡Co·reml. . . 1 27 Si de ,la ecuacion z'=f. x+ Ak+BP +Ck 3+ b'c.• se resta la primitiva z:z:f.x, y ponemos Ax err.v:ez de k, se tendr á z.'-z=Lh~A~.lii+BAx2_I'ÜÓ¡x,g+J:;)AxJl*b'c. _(M), -que es prc:sa eJ·.Í!lCoreinento ó difereqcia.'de;;¡urria,'iJfun. , cion' e uando á la variable .le soh>re;viene e~ ~~crell1en~ 10 ~x. ? . '. • • ..,. ,.. q.. , 128 Dividiendo esta .ecuaci0Jil' por .ó.x, se tendrá. 'la r.elaclon de los i!1~r.eQ) ent.os .e.spr~S'ada' p0r·. .:


-~i:tLi-c,kLetiLO DIFERlútt'Il.'t, ' ,L\z ":,1 , ).. --=A+BAx+CAxZ+D~x3+b'c.

_A x '

'

61' ·'1

'

'C ; • Aquí vemos que la reiacion de los inGrementCili, de la funciop y d e la varia bIt'; , se compone de doS! partes: la una independiel?-te de dichos incrementos que es A, y la- otra que está- afecta de A x-, ó que depende del incremento 'de -la variable. Si se su pone_ que Ax ,vaya disminuyend0 , el resultado se apro~i'; mar á sin ¡cesar .á. A., sin qqe jafIliís_pueda.serie ig,ua,l, sí!).Q en e.I ~aso de ,4x=0; luego (l § ~ 32) A es" el ,al

. .

A~

.

mite de dicha relacioFl, y se tendrá Hm. d¡; --=A; . ~x - pero como este fímite se-saca suponiendo Ax=o" y en este cáso. la ecuacion anterior (M)" d~ A~=o ,el

d ' Á~ . o . .. " }Imlte e - - se conVIerte en - . : _y no se amq ulla, o .

ÁDC

puesto que es igQar con A; y -cb mo esta r.elacion :no ~os dice si e,l o de arriba proviene del límitecl.el incremento 0 diferencia de la funCÍon ó del de.la variable, es indispensabl e elejir un signo para espresar ell~mit¡; o de la diferencia ó incremento A~) Y el de la Ax. Este sig;no es una d antepuesta á.la funcíon 6 va,riable ; y así, dx es presará el límite-de la diferencia de la funcion ~, y dx e'l limite de la difere'ncia dé la variable x; pe[(~t es indispensable tene!; presente que el valor abso'l uto de d~, dx , y, en' g ener<ü de c ual,. quiera variable precedida. de la caracte rís tica d, siem': p r:e es cerl') ; y sólo repr~senta un.a camidafl cuando ~stá señala aa la relaciol1 ¡;~tre ~0~ ¡cl.é'esras.,espresion~~? I

; en' e1 eJemp ~ 1o antece d· ente, ,ten_d.r émos ' d~ - =A; -, dx - '

aSl,

..

J

'

:-

1.

que se lee diferencial z partido dife1'encial x igua'1 A • . •~- 12 9 AUL1que ;d~ , q'x 'b:c. no S,0 n cantidades', se pueden ejecucaF e Ofl es'to,~ sírp'bojo~ !iJ,S mismas ope,.


6~

DltL CÁLCULO "DU'ERENCIAL:

. . (' ra'ClOnes que con 1as cantl°dades ij"nsmas. Para 'pr obarh, e.n' la ecuacion , ._

,-

.ó.'Z=IJ..ó.x+B.ó.x:+C.ó.x 3+D.ó.x 4+ ~c.

ballar¿mos la relacion de la diferencia de 'la variable con la de la fundon, y será '~ .ó.x ~

-

1

"

,

" dx 1 , I d'Z 1 " d" , 1 " . cuyo }HDlte es -=-; pero IJ.=...;:", uego ,- :::::-. .. ' U'Z A dx ' d'Z dz '! : dx dx , Resultado que manifiesta que :- se, puede sacar por d'Z la regla de dividir un entero por un quebrado. S'ea ahora u una funcíon cualquiera de x, yo;¡; una funcíon cualq uiera de u, con lo cual tendrémos (§ 127) ' .ó.u~A Llx+B .ó.x 2+C .ó.x 3+b'c'. Ca) { y .ó.o;¡;=AI.ó.U+B'.ó.U2+CI.ó.u3+b'co (b) .

Y sustituyendo en esta última espresion en vez de ' Au, .ó.U Z b'c. sus valo)'es sacados de' la priLnera, será. .ó.'Z"::"A' A.ó.x-+B A ' .ó.xz+ b'c. , +B'IJ. Z .ó.X2..¡.. b'c. , A'Z de donde sale--=IJ.'IJ.+IJ.'B ,ó,x+ b'c. _ . .ó.x +B' AZ ,ó,,\,+ b'c.

y pasa:ndEl á: los lfmites

,do;¡;

re~lllt.ara ¡r;=IJ.1A; "

'. . ~ dz du · .pere· de las .ecuaciClnes (a, 11) se saca A /= -'; A=-:; . . _ du dx .

I

d7. dz du luego se .tendrá-=-x-; dx du dx " ecuaoion que manifiesta que la du se puede suprimir en el numerador y en el denominador, como si fuesen


·nt't~:c:=1iCUL'O 'DI'F:E1tDNCHt. 1 ,~'. I •

69

"'C§nfidades. .

,De donde-se deduce que si -se quíta el deno~ '.' t· . .dz . ~ -. nominador dx':~,:~a,. ~~p~esl~~-,d~~~ " .;-:;

(", '130

'"

',..

'.

.

.¡$".@ tef1<:ii'á,-:, a:Z=Ad~.

v"

¡.J";~

,!)

, ~\,,\~ -~brÍlo 'cref'efl\t ·depen'de ' er:.vá~r d,f:' la relackin ;:eilt-l"'e" d:i~hos límites} se 'a:ieé\lue A'dx es la'diferen,ciat de la funcien ; y da , á e0floce·~ q-ue es el primer 1:érmiub ~e ~rardifere.ñda, 5&10 con poner ,en vez de Ax e-.. .:.;-~.:'! t:~ ~.:;, '. t d~ ", "": t".(· ~u límite· d·~ ;:,·y.eo.IDo la es-pl'esiol'l': 2-~ es lo qúe l'

.

\

,q~

;.,

<~.,

. ~ .. ~

multiplica á la diférencial de l!i va~,iable en la , ~e la

.

- - .. d....... ~ e_._.!.:

.e:-' .::..-: .

~

... !~

fundon, se .ha, daao 4 .!., ó á lo que 'representa, el 11:: .~~--!-~ ".Lf '.! -!'i' d~ lu~~,,! :;f f' ... 4~ _~: !' ,:,",,,,,~ nombre de coeficient! diferencial., De donde se dedu. " .re'iaetou\1· ~ ', \!le'! JI .~ 1 • ", " . s'", -' "-d':' ce que e1'1 . imIte ' «': 'la 0S -lIlCi'ernrenl'e' .(J el. coeficien!e diferencial, se obtend~á dividiendo.

1

r.

. ..

l:a 'lfifére'nc.iapllR:1:t& f lmc'ionl pór qa "id P lct r;Y-aiiaffte; y redpro.~amente, se obtendrá lal.d ifereacia.l de la funciol'l multiplicaiirlrreÜÍ'miite:- )d'e~-a' rel:ae'i01l' ele tos increm.entos,~ . ó d, coeficiente-.diferenéiat., por la dife~, rencial de t'a v'ariable. _ Luego seguq todo lo e's~'ulSf~; ; 'el bHe'tJ¡l\:tcl.'ifefen~ cial es aCJuel ramo de ta análisis ind-eter.min~da, qtle eñieoo ·/í.' &terinina~~ e'/I i~Mi'(~ i'l1/' H~':.t};ta.Cioh -tl~ ~ ¡,os incrementos sil~uttáneos ,de una iumbo1'f. y de la. V.lriabte ó vari~btes de que depeñ¡je~ '.. ' . .. 131

Aunque se puede tomar por evid~nte que

dos fU1.lpiorfes igt!Eles. tiemn difFencial,es .igLfales , 'n o

obsta'nl:é, como 'es ÚU'a. ae''1a's·tproposici'elrfes flir¡laa~ mentales ~ narémos paleable su vendad. . - En"e'f:eéFó', gi~¡;roSfu'i{91ofre~;~oh ilgual€S! (éL;alquie- ' ra que sea el valor de su vanable) sus· des'a'I'J.'0Hos ~J'de9ad.o~ por las pote.nci~s ,d~ esta '{,a riable ó c!.e su Hlcremen.tó·J, "deoem. 'Ser~:j'0:emie0s'" pues' de é11:O modó podria resultar alguna eéuadon que determinase

-

.

,


,DE1rn·eÁLC,,!-~ D'l1f'RENC:~AJ5¡

(lO

cualquiera de dichas cantidades; por consiguiel't~ \ ..si :r,~, [i~n.f,! u:-oz,::::f.-"", esª~.cesa.r,;io que sl!l~tituy~ndo . ~-i-Ll-", en vez de ~, y desenvolviendo, se tenga u-+-A Llxf~' Ax:2-.t-C: .4.x¡S,,-f-:~e,'!,,;= ; ..j . ,,!!~--; ..;_! z -t-A I Llx+.B' A~z+C/ Ll x 3+b'c. cualq uiera que sea el valor de 4.lC ,;' -luegp,.se ~~114.~ rAñ:r;=A' Llx ; ., ~' paspl-flae, á , 10,5 Hl!lÍt~s L49X,=fi'dx; , ,Jj como Adx es la ,diferencial du A.~! .u.., M;d:cl.x la, A~ ,de :z. "sS<.. lf,!pdr.á du=dz!, ' ·'f.' 'L '1' 'o.... . .;, ~,. ~sc. .La) .ny.eJ&a,d-e esta prqp"q~i,-€io!'l. ~g' gen~r~l no es verdaqera; y se caeria en error si siem pre se ~s~uJ;«se 'Lu~ d'o~~cdY;e.1!ep.;i{l-te.s jg,/!¡aJes; p'e.rte.n.~c.e.n..; fi·

juncionesiguates.

lJ

~

:..

. , b -:) tI

:~:·I -- ::J ..

/.

~ J~ ...l·'.

,1... ~

En efecto ~ si settiene u=o.+ -f.x , ,f

r,.r '.J.'

L'

P.

Oi, ;. , ; '-

n

r. •.

I

~

a")

,J.,

r.oJ ~. " . ').'.

~

llamando ",' á lo .<gue resulta ·de sustituir x;+Ax e~ \

.. '

r

~~'"

...

~ ~~~:~"'.'

b ~ ':'

.•

: .. ~.:),S . . .

~

'Y.el- d,e x., se tel1drá, u'=a+-f.(xi'~~.~)l; . 'f r rest.uclo. de es~ª, ' ;~uác~~m la ~it~!io,;.~;' t '

y ,¡.

').'

~

·r.

~

b : ,:,

_

,;-l

'.1

';c'r

..,.

J r-.."

F~,s'ulta.f4

~JJ¡j :' C;;J>..(.~

.:

r

,-,,' ·J %{":"'If=a+-f.~( ~..,¡,.,tA"f);-:-f.~, ·.. r\.~·l\uu; ~ú:']rlu-:. ,1""

_ "l:,' .... j

l

e -... "

"

¡

~

..

1-1,.~ 1

~'

t.

t~

..

0-

.:Jt \.

-,

,

~ \o.}

'.; f)

..;

~

,~

,

b .- \ ~~ ~"'~ ~ 6 AIf7J~(f.(x+4xhf. x); ,,' ~)~o' 'J~'r ') { ~-" ~~.,. ~ .. ~'..Jo c .. ¡,., ,~~} ,~~, ... "".:'J' ~,comp !oq ue ~ayd~q.trp ,lit parént~sfS és A:t.Xi . -h ...• ' _. Au":'" -Llf.x,·_ , ~, -,. ~ I' '"" '9

'.1:: ";'

I

,,'

Y p'~§an~o

••

"' ....

\

.

I

ser.*

.... "'1

e

. rl

,,1

',",

"

,

;' ••

',lo

: ... ~I

(

.·::;G~"

'Lb 0~_'t

.....

4' los lílI+ites lse tend.~á dU7- ,..,.. xdf.x; .' l e ' ......:~

..

!:L":'

."

.

.

I

r~su1tado : en el que no q~e5ia n'ingun" ~~tijio. de c,onStant~

.

"

Lu~gQ -

a.

t

.

"

y

',~n

. \ 'b

\

Ja, dif~rénciji~ :-,~Qf.xp~~teneceÍgualmeh. '

J.I

c. J

¡

_,

¡

j

~

fj,.:"

;-

I


:DBL CÁLCULO DIFERENCIAL. j

"''j

0- ; :. ,,:ti ; ~ ~ ~ ~¡

y .... 4

71

./

b'" .,~ b . te á a+-f" que á -"f.x.

-

!:

.

e

__

con~iene, .,gen~ralmente ~ los diferentes ' easos que . _!.~.;:_

~

r

r-b

I

_

,..

_

\

presentá la funcion a+ -:- f.x , 'cuaado se dan ',á a toc '

do~ IllS v't I9re:; pqsib1~s~

, l- . ~. Doilde se ve que al diferenciar una funcÍon cualq,uiera, t,o das las constal,l!.es combinildas solo por vía de adício~ Ó ,de s.y.stFac~iPfl cles~pa'rccen~; y. )!is 'qu,e están por ,vía de multip.Ikacion ó division ,quedan afectando á las difeF~fif;~aJ~IL, . d,e l rpis[Í]o . modpr.; ijue afectaban á las variables. • ~. ..::.~ .~ .. , -. '13~~:~ Cu~p4p' dos ca~tidade~ ~ y '5, ~stál}_~,l,ll¡i~tas P9~ _u{la ~~PWlqe~ci~ [lll¡tl:la' ., ~e p\1ed~ d~c!:r.i ,i,gllal~ mente , que z es funclOfl q,~ ~'.,1l "JUI1clóP.de>'i , ..§e.:;o guo se q uier:~BJira,,,. ~ ~L~m.Q determi,llada ~P9r medil3.~~ t¡(., ó ,~~ 1lC .~omo .detel'miila4a por· !negiq:Act ~i e·l..c0~fi¡;;t~qt~:.d;it~n!!lciaJ'1;t~wlli:eQ,,~!! pl-led~ .nU'L:a:r ,baje ~a~a ,).l.1~0 ~d,e es~~ dos a.spectos. I ,') , . . ) .. , . . .• ' ' .. dl2l l1 ' J e:' C-ua.rt.d.e~\'l1i~.c;: ~~d,.lIb). z~ (. d ~d,uc~'a ·" =4; si J. ... .. • ("., ,'"

r.{

.. h.

a-: t::lcl..

i .n'-? :(

~

(;.t.j;~ j 11

.'-

~

. 5e~,~oo~ttkJ;.a~ la~ eolJW d'et~r~nil'!a4a p9!" ;pc,¿ :'.'" J., dx . . '. 'f.:d) ~. ...' '" n , ' i ~ ""K.. -- .. ;:.;r ~ :: L.l y dz.' L..=9_' 5:I:l,~Qr se,.slffloFle :M determllladª pt>r- z; '.11." ~ -,." -, .... ¿' - ~, ' ' ,- "~- ' en este cáso 'últiUlo

.

:

,

T

la_dif~rencial ~de .-'" ...

dx=~z,=--.:.... "

.

jI. _s,

... ~._.

x

e$,~·::;;'· . ~

·~'~az ~;-;::;~\r

A

_

~~.

'~..~' .;'_ i:

L,'"

-r"

~

x:

_ ..... _\

t 33 Ap'Hque'tp~s lo ,qu.e, pr~c~de á la diferenciadon de la li, ;fg'qdotre~ . .alge brá-icas, y , consideremos primeramente el caso ,ell,~q.u~ "se .ti.€nen mucf.Jps can ti; , dades dependientes de " reul1id~s por via de suma ó resta, ,como la .IHi.pre~¡on , z.=u:+v,-,w, donde u, 7J Y se"n funcíones d~ ~~ ~egt!l.1l lo es puesto ([ T7) se tendrá Az=~u+~7J-::-4w.;j , .pero como u) 7J Y w,

w.,


72

DEl'. . CÁlLCÚ¡¡l,c). j)'[rE1(iEÑ-G rA:11.

-son funciones de x, sus di [e ren<:~as estar~L!: espr~sa. das .( 127) por A.ó.x+B.ó.~ :¡+b'D., :~, ': " +':''' ! A'A lC -t- J:h1xz+"4?'~., A.".ó.x+-B~'.ó.X2+b'C.? por lo 'Cual ·se' ,t~ lId,rá á~= A ~bCi+B~x~+~G.;¡¡...en:., : n,:-; ;j .,' A' .ó.x+B' .ó.x 2+b'c, -Al!4 ",:-B"A x z-b'c. y halIan~ -dd la ,;.,r f!la:ehm resuhafá ' , -1 " . ' !lit• .fl ).r.!' < ·'~."

-~~ ' '.8..n

..

.J

,

A+BAx+b'.c.+A'+B'.:!lx+q;,'cr~:i.1'''~c; ", , ,1s.:',u ~J.vio; .,I~: ~);';l, >~

1'"

"-

·.I

...

~~ q.;.i~

"').~ ~ " "~!0J

..:,J;••

' ~"t.")

pasand'ó al límite , :,sérá! '¿'='A+:M'-A'''joí::l~f. ~ ~n '.H .. d~:l~ .. :~· ./Jo.. f.iv "'iU f t fit ~ .; y .é{uj,ta'oao c¡l divisor <t€o'drémos ,'G ,.1 ; ú' !J" ':~\ ; Ó

~ dz=Adx+A'dx-A/ld*l;

: -,~I .1> J¡;d.~, _JJ ••

perb':Ad;f; A''dx. ,fA"dlx, ¡ ,són las'JdiferenGiales~ que (!0ffeSp'~fldén á ·cad~ l<InáH:l.e: 'la§- fún'c~;Qríe!s Il-V Iv t w; o ' du ; ·d.J',rdw; luegb tSe tenl!lr'Í-.J, ~I ,'} ~ :lUP : ¡ lI')i·, 1 : "1di=d : (u+'V2.-W7~d~,':¡:'dt.v-4Ur) I~i'rp 58 Ull~ es d>etir''' que-ta 'dí}érénciláotq k ima ':ftkil~ofl.. d:6 x;é6m:l pue:hEú' (Ú--muehos ·té1'miMS ~ Js~-"tendral~o,hand9í1¿'{j Jd~J fere ~cj a¿ de cada tél'íninO'f'can ,el, sig-n'o "dep~úe :J¡.ti afecto d~aJ o t érmino. la 13~'''''' 'E-nt€ndlido es~o 't' l,ka-s&¡:érn:¡]¡' dé "1" __ "'_ 2.gr-á .mtmi.u:c.t:Ol' dos fl!lnclones de una 'misma ya-ríable. Sea ~=t~t, donde u y :':t S0 !} fl!ióéitfri'€-'§J ale/~ -'& R>~ .lfeI:i~J:t>c.rni'S~ !TI u= f.,x , ,t =f. x , lo (flí'é dará (§ 12 7) ( ;.o',t, _ ~'=ih.í-.:.ru+AA~v.:zr~'~W.~1 )~~:lV~~\1e....) .'C

°,

=ut~rfl lC-:I- .B! L1 _~2+b'C. . .. .r_.. r ;. +A'u·á x+#·Xa .lx;.z+1:t-ern: JiJ oas::; le:;>'n +B'~ L1 x 2 -Hb'c. , y restando de esto z= ut, s~i -=:é"':'" =~ b Az = z'-?;;= A t.ó. x+Bt' 'il x2+-eC.' .. '

+A'íC'L1;JG+'A'Y.l~llC 2!+l~bt· t~ , " ,., ,";:; :;B 'tÍA5a~~¡,:l(tC. "1 A) "uí

ó halIandSl ,la relacion 'se ' t.en'dr~ " ¡~ t, 1;' _ -'_~" ( :t .Liz· 1 .., ,

"

\\ , '

• __ ¡

A", :. .

=+.d'IH-A'A.A ÍYi+4:fe.J· A ~t i. + ' ~' t [ L'l. i~+~C~

1

'1!

,',

,J,..1

J

J

f:1 .....

,. ...

'J

-"-

"i..i." ~:"!}.LI""

G~.P'

. '

•.!w..G ",',( .rf;-:B!"ti-Ax+Q!te. --,. . z.,¿ e,

nJ,

D -


.J

~Bt~:d.i;etl'jm. \t)I~1tE1l"(!'!A'n

I

' .. ~ .• ::.:::,

~~':!.: on["~_',~

. . Ljl

.

.ri'~ I-l • .... ~ J>~~)!; t trrj!f!'

'~3 1 t'-'

Y pasan!io ~)Os ,~im~~es ,..:!~S~~~ar~,,+ ;¡#t+A'u j Ó . ,; .. -:' :-':---"'!".~ '1 (.:-:-"+~:-'-··~7-51"=-':".!.ii:-!!~ns'. ef.. . d.() el~d"lVIsor <' • J ;.J, ,,;... ;s: qUItan tenuremos" 'v .. .j.., dz:::iAt.th~'~A'utlGt~tk:M4JxA{d"5t 1 1'J!r(,)1.0,4di~ ~

(13~) ~l~· .id.iferhi~ia·t du .fie, !.u ., lY-'.r.l!ti!IG-\j:s",iahdife'f'~n4 dal dt .de t,; luega t(!ntitémt>& ,;+.L, "(:"' ! , •

C' ~r:.d,it::iQ . utft:!tl)(:!iu.lflúX~t ! ;·Jj.! ~L'F 5;"(:; :;(.''1 ::.:.;~ ~'0;rq u<e~ ~.~ :es'p'uesa;, que l ~a.( ~fift21:t(!i.akd'ebpr()dul::fO' :de -dos f'Uhcio1t'i~+ .~;r : ~~~ :á, la. IS:ufna,;ck t:O.Jll!yiF.duepeirJlck

_b

:c-acM:. untt:J¡;rmbtipHca~ ~~l~) difer~hlt :l4teH,'<Í:\\Jtral¡

y como siendo u, t funciones de x ,. las p6demoslx:'oa:.·5i'4.ei!li~€f.l~;gtTh~ilal~¡i¡y0i rv,ar-ia bI:éSJ~lJieSllhádj ue' ~uan­

do se tiene una funciPn que es el prHduc'to ,de" dos v~riables. par~ b~-~U'tMifetelIciaJ tJ ~~e. (XJ};ul'ttipf¡ieat fJ

cada una por j a diferlncial de la otra ~ y :w1:eul~irán estos productot. t ;: ~¡;+!f:: ~=,)tb. ~ ,~ ~=ll 5hn"b 3b ~tJ.3 S ,J?j quisiéramos cornpa-rar la o.iferencial .de ¡}I'fl:3!-ft:ffiei-e"r::cba:;(l~m.~Lmt €llllf.c1(l¡lar¡B ~irydl:lkíaímo'~ ms dos mierdbros de la ecúaciGfi d.ut~ud,t+tdu_ por la. , . " :.... - - d~ If't -du dt .fu.\.l'di<:i'W"f!¡¡itpiEiw~-ift'jG,~teód:cii!tnbS1~m~ 'r ut u t -,

lo <¡¡ue,~ nps sUl'fli' liIiÚr.~ "o,~ra nLreva é iJnr>ortante vei 4 ~ag. . ,~!J_~r, qB \f ~Q f,1t~PQioll,,?e llJf!fifeIJ1ic,ial de -Ülna. t.<U1tCio~e:'¿trpz,r:.rit:lzk~t(J,p~ m~m!''.ftumfiek;Eeili.guaZ. á. (a ,sUlh.a de las fet,acio1J?s:;.qu~ tie.n~ la iJ.¡Jerencial de

ir'a¡JJt:.~;!!tiabtd()rk4p;;Pi~l!)j); Vll r'tá'tp~;;j~ ¡€u:a>l !rl1D&:éd~ d~~G~itát:á4.a éSRrasi~n ~~ llaJ :cl'ife.r~tldall ,üe\1illhpRod~'c~

~~püest@ Fe ctal~t@5¡fa'c~~te'S :~Gl~O~61 ..qiUi'Bra' ,:~pb'li,'! 'C:l.u~~~j) kQv-ittr~\nngl\~;';'Ur~b, <d~~i!dt ; flQ¡rtl-¡ h ... ·~r; :¡·r hE!.clendo t·s ._ t, seria z=ut-y - ',~~ ~.a ~~ \) o ~-''::, ~~ :lú..:;m /L:,( '{ 51rJ¡;:jUio~ a:;; :fu J¡;:l;}J.!Jjfi b i2 ...

~.

L.'

d t :¡ d.rs . ch

d s ' 'd'~ ' d. urs

C{)rn(j.'~~ !G íZt W;) tl¡.I...q ,,'I Y';)--'f~'-" aOII:!ncd ¿:L~:~1~(~ S3l) ~t O~ ,t;~ -=~5:=:'lI§t .vr!i ~l el f g~8:':Jr;J}J~i"Jf)~

pt,'!ro

:t~d'

d.urs

qu,

dr

ds . '

t en ',rem:~ -- : '-::'~"f.:..lL.· ::r ·'~ r "jn" r,~ ' .,.~ .. ~,o ~l \~ ~~urs u r' - . ¿ --- _ ...... _~J.- - ..."

• I

7'

"b


"EL. CÁLeUt..tlI ID'III'E~~Nef~~.

f7!r

.

del mismo modo se baIlaría que siendo z':!!!ursty ... I

.

':.¡

...

e

l'

~

".4 ~ '

1 .... ~

.~_~:.

e

, s"'¡,d't

r' r

.~(... ,',

..

'ay""] " . -:- +-+-+-¡...-+... r u stY"' :JfI. 5+. b.!J ,,,,,Si,!i ,.t ,._ rl,) ,;i '1;

'-:- dz- id.ursty. H"'· au: .O:r '0

se tenana . z

i'j.- si:.ahor~ . qtlilitarriós. el.Aenominader ;',s.e.:t~lJ.ar~ ~b dz':':"'d.úr.stp;, .:~YSty ..:.du.j..ujty,;.¡d1 +!!lf'.t,9. ,.. d~-:I¡t~ 1 )

.ursy .. . dt+ur.st¡,¡l....d9lrl-J:tc¡. _.,L,

; ~

:.;b

10

:!::.,

que nos dice que' .cuéjJq~ier..a. .. .q u,e .sea ..el:::lll,Úmero de

qe :úLá -fu..nci?4l ,.':.1a;~i{ifp1]~'lctP) ..t!q¡ S:!'JI pr&Í'

!Y.aríabfes-

"lúeto serÁ '¡g-u.a~ á:ha,¡swn.la.Id? :kO§1!roaua,t-Q;i,, :¡1,c,¡I'(J ..dfr

fer.euc.iaLíle ·-cad.a"'una,,át:' eU.fJ,5 ;PaT',el. p,r.o"'~c{º 1dé.,La.$ J

,

-u-e1.na:S.JJ.s:[ o'..¡

~~_ ~.'

.J.I

~ .\ ' :;tI(V~r:J;'. . ~;

"

"

" :.! ot;n!HG ,Offl, -:'r ,\

,

- ,13ó,·4,i . la ~iuI!ci.on z estijlvae.s'..el ~epre~,e..6.~a-AA ",poi ~8:; :..':;. (Ji' t.~Üh".I] ~ '~ !!~":-:l\Ú BU.J' 'j1l:J' j 'l:! 'Oh J ..¡

.... : :

elquepr'ad'0~" LtenarialiJes ~ '. j'''l~·Jk. :~;;v ¡¡-r;; :~"~ ... ~~, ,~ ( ~{ ~ . ', ' " ~~l ~·t~~;fi·:~"I\ · \\ .; ¡-ü~ Lr~ \ ...~} ') • de donde u':zt, ydu=zdt+tdz j , 1.(,t- "l.v,,<q ;,:;;t~ ~~ i';: ~:';f!~!:'lj:\'; ~~

·I

i ;1~c~ t!O!"!.iLI!~~·¿i .. l~

fá!ú

<: ~at

.le donde·:aesp.eJando·~dz,¡j ~émd>s ,.dz~~~ · t::¡ , .si '~..;~ l!IJ{+-,\-~,;) ¡;".s].;, .h r'O ':' :)~ .~I!J jl{ c. .... -¡dfil:,L•.tJ ~(.n . .¡'.0. \i D c\', . El ,. ..! ·U y. sústi~¿Q'o-,en1ugari:del'Z{sw~~loiii7:ri~d~Md1'ª'tí ".J'')

v.

~

.. ~

"'

..

--¿ ~!~

t

,.

( .:<.

L

·S.~;BJ··~(\(j~~l r ;J f.J) j l J 2'!1G·~i.friJú.e' af)'ti ·~H p ei ~. '" • ..1" _~tit:J~i1 íi1.i lNi · ·:lt !'!(\~NrtM dr...úllF _,( 'l:!f-B'1l _ ..-l. __ , 2 ud;¡;;h . ....

....'1:! .'

"U J j '

~,..; _

~ ~._,

o

-

A~;"'"

~.

\.. .. "'.~ 'A.1.N+'-'.~-.~\ ..._ ~~'J"':'t~~tJ .... ...~'t. ~

,!

t-->\ '.',)"'{~"" O,J '"·l:t: _~ -<#

¡.:-

...

t~'l 1. '.

l' "1'

:t'\.! \· ... h_J. J , ) :, \ ü

}1 ...

t_

"

v

....J".J \

tI ,_.~...

~

1

. 'J,'U -. .J& I • .:J,...

"\t~,,, : .\' . :'

l·)-.\ ,J;'.

,de. donde!5C..sigll~~q:1;l.e JIit ~if';e"t.~f,lC~~~i J¡ ·,.U'71J ..~gbr.'t¡ao .e$.jgúa~r rplJtdiit.omi1'.ladliJr.>¡ir.I1J¡'J.tip.,J·ic.€tqQ ! !lO?

ljj ..'Il:ifier¡e.1ÍJ' cíaJ '¡d~k ruimerm:l.oc~ menOs. ~l.) tjy'tr¡e11:~.do~lpQ.1] .J{j [d¡¡f~ tenda.l .det dp'!jom1.ffJld?-ru il¡'Qilb.Go",íq[Jo,p,ór .e~ ,oqJ4(L!' 6 ,0 del &enQmínaaor.;::: - y ia =:¡.: ;;i':iin ~:;=.; 'dL,,~¡);; '1 .si el numerador es ~0nsta,nte 'JI la funcían es I ,

.'

~"\~i.!)

~b '

t~

',b

_

~ ·i. h

z=-,t

1;] . haremos , 1,-a:;::~<!omo....tL{Bo..tit~ne:.ru.r~r.enCJª-{cFor :SJr ,

4

constante' , 'él térlbino' tdu=t'aa=t3eb=o liesa parecerá • '¡ h p' ¡, " " ~, adt de la espresian' anter~or ,.y_sel1á 'dz"."..d.-= ""T~, ~~ , "t .1 • "J t


.»J!:lt-(lok~QiU.L0 ~~F_E-~~~·C ~Y. . 'fl-? que nos dice que la dif,erenciat de un quebrado cuyo flU'!1e~.a4.or e,U;g~Ftant~ 't e;s.:.igJ!a! ;~t- rt-Ifm~rqdpr ~~mfid8 con un signo contrario, muttipticado por la diferen'~iQJ 4.et JJ,e~rH)~7!iJ)lifd9r:, ,~~ivÜ~~dq P9~ Ft qf'tdradiJ¡ det . denominador. / . / 3Q,:. '-:P ¡'U'é!: h~~?:'!'!~~Aiger~.nd~L4,e !~ .~J:!s.Í<?P -~::;:"~~,

pri~ero que ' n sea .uó número enterb y posif.~I!.~ f. ' Y ;P-Q-l'J jo,:,'t!~slfo0 ~ lserá (l1~PJ~9..duSH~¡;:..~_e ~\;l

s)lpandrémos

número .n de Jact'or~~ iguales ¿. x ; por lo .q ue (13 S) será . . ' _·.z ,, -. ~~ ,.:.. b - " - ¡;: e- " . .:... ':. ~ .., ,. ... . _. '" ..... n ~'Z_ d.x ~~· ,XMxx7 .. ~.::';dx ax . dx d,le .. ...!' ~

.r:;

L. . \ n

---

.4x

l ""' .

~ , 0 ~ ........ , d--·~'1·rt l;..

,-.v

'

......

'7

·fTI.:: .... .

.. .IJCxxxx, .... ' "" X ;.x ' .x . . 'x' '" )-". , ' y .como .siendo nel ~l~dle..tQ .ddo.ú~-oI:~ ~Ae~Bri?t~r , ~iembro , .el seg undo raNíbien s e):~mpon~ ,de tantos terminos ,cOn:9}¡,llIfrcdilcl,e~J¡ay ""e~f.n-:;-y-to~~ustos son. ,;,-'~. :,:.i,:" d'5c {j'; ;; :" - ' , .:'. tlz ;-<t.Jé!l:ri~llid"J~;I y::í 19uilJes á ~ , se , ~e9~á ;-=~.si~ ó.)qJlita~ :

r , ]X , _ ~ <'~1" ; • ., • .

I:{'.I' ,_

c . ~.

"'::

t

¿

~.'.

'. ... ; - .

••

J

~ (J

I.!.xIr.lp. \' ~

~

\

.. ,...

", )(i"

~

R

~,'" ~ .l._.

.1.

,:, ..

'''',

nxt!ti~ 'ulJ . .il

t:'

a!

4;0 ~1 .dlvls9r ser!l ~z*~xn-: , , """''1;::~'''~~~A~." ,

"1~'" 1-i S.

.

.... r

' . . .~. ';Jt\-!<, ~~ ~ t i

.......

¡ rf. .... . . . ~~.~

ii: ~7.

'J ....

J

le.

'3.b

P

J",':

~~vO?j· 5.up~n~m.9§-~bQr~ <il:l!!~l;l~~~~¡§~~ ~ _: _~-¡¡

~;¡endo P ,Y q l]1,Í~f.m~! ~.nte~~J Y. 'PIl!~~q:YRlb ~l~vaq~.~ ála potencia q 1endréOlo~~~~~,.d~,q~eF.: ~q=~ .•xp;. p6ro ~iendo p y q .@~llperos enter(it~ "Yi Jl9~!!VO~ ~¡(i''lt lendr!l:' I?;Qr ~ l"o _ a~al;tctd~€l.~ ~6mqs):rar. )~. ,,_.' ..

d.'Zq=q,z!l-~,d'Z, y:.d.xp p:J.CP-·l d",; . . luego ;r~s."lt~Faqz:q-,~p'~ :p,,,,P-.lrl~ r-Ji d)!~p~Japd~ pxP~Jd",

,

.

P .xI-Id" .

= !1'l.q-::! " -. ~ .( l)_i~ ~ _<~

dZ .sera .dz= - -

- =-lI.'- '.

",

.

,,,

. . ....... '

,,9

,

\l."


0/75

f1Y.~Jil!,~N~tA:-~.:,

, nli.i ':C:1Lcüto

r

j,:~,

..1_~~... "...

.~~"

¡

,',.~

t'

..J

~ Up.

:",'1['

u

1 ......

es lb . mismo que lÍl'l'tes, '..:!-"i ~u'p@niendo n~ p,•' '\ rq

~he

·h~.

..-'.......

o', ~ ~~!)

'1,'"'

,.C':)

• :".'1.

{ , <} i3Y> '-EnJfi'fl;\ si flI'ese" negá~iV'o ' eF ;es?ronen-te _

YJe

• tv'. .....

.'1

iepreséñtás'e~6~ ~pcí{-,* ;~¿e t-ena'¡'i\i'r~---5.l+n -: !:.. t IJ ;';';...i': ; .. ~ ilL ;'-1 " '~l i"!': ~r: ::!~~ qi" !Mii-bndé: observando -ló éspdest6 \t~o9 'se: &ádiir~,oq l, ! ....... .)

- -

,, _ )

,

J

d

l ...

r

......~"

.J.y ....

f......

t

......

d

1

_ . Jl:n t

f"d:~

·n / l J~ J.~.1..J

-:-- . .lG

'J

<

\!l. X

= .-=--.-=---- i

Z=.x

'~'I

lO

d -n

!J'I

"""

'u

~n

..

~

X21Z

'.~ ~~n

i

";.:n

" .... ;

!)

y · "t:dme~ poffo -ilLie :preceEl~ d:x"-:-n.."n-=-.1d",:-,-res¡¡..I• •~

_.

yo.

r'

.. ,

lfÚ'á'idzJ=:!d: x~..n..::...2. ~t")jf\'¿ O'1 .:!

j_!:" ... ~.H ..

• .JO •

....

~"...

".

nx,!-Idx .

"

L.J:J~

":'! . :

xzn ~ :

"

\;c.

..

I¡ '. í!:'12 :)W'J_ '{

tJ

~

í

~o:~~ñ~n.-r-~ -r!1nd!x-J;..l.n:;c~n~~ldx.

"tÍ) \:Jo::;rm ':.;, ~ ~UL L· lJ]

" ;De ,est¡¡.;'cu'iúmeradon !le, cilsOS en q\-le puede ba~ '}hrrs'ePét :espunent~!I' , resliHá'!q t'le::'pa.ra", ¿.ifet'eh--¿i¡¡¡r Una potencia cuafquiera 'ae una cantidaa variable ó de uIf¡¡,l~.pcíOI'l f,:!te~~ultipticará por su espC?lI~!'tf, se dis7ñihuirá·':tfé.spue. eb-elfioñe~n;;:;~l .u~ia1 ú-ñí:(l'áW, ~y oJ} resultado s e multiftirará ,por la diferencial de la va· ó de la funciono . .;l.. r 4"o ~• qT'llffid& "ái ¡¡1 h1i'caf' ' es(.aís~r-e?.qis ':i(aFgiífidSf A.• - • &

r~abte

~o's'

fa(á

ejé'~ci~m·r~é"lo:s~~dfiéi}5iamffS\: :! , . ~ CH:.>l: ,·"1;'0 - Séá~i~J¡'x.L;-bx4+G, "lJ·'~!¡ !" jJ " l, .. ,, ::" 0'j Jlh pbtdol7~~p'i:t~sió, fI'3-s-}l!etidi!éttifisl i' '~ S. OQ¡'é,': 01'lf{

dz=d. axS.s:la.bx4+d).'e:itS1i.l;i4dx-'~bx3'cl.,l¡,.J·1!~n~! •

..

,,'t

f

~) 1

<j'_.,.i.......,,.;.- '\"

..... - .

f, r ........~

,

';.lo:> t)

.,'

~d

,

Y'-elf 6pefieieñte. flfferendql.:serr.-af= S·ll,¡;.f~4'b,,¿3'¡';-'J.¡¡ 2. 11

Sea

~'l)l-

' .

't

----

~el:J . L

r"

~h¿rá' '7.~QJ~b~J;-- f ; •

...

....

J.:t.... J:i

·'¡a ~.!l

1);2

tomando s~aFadame~te la diferen~ial de cada térm!' no, lardel -priwero eS 'Q.4lF :....ej.-s,~g~:r.do : PJlesto_~ baJ~

~t '

:3 "'-

lJ

..'

~..

la forma Ik~"i"

._-

... "-.

"a d,bx'2=!bx'2 -ld",=!bx'2dx=-!by'x xd"'x; -"" 3

3

7:

_

(1.

, ..

'.:~


DEL , C.hCU·LÓ

DIFEll:EN~I.¡\-r;...,

c .',~·; ' · <:,

1.1,

zcxdx · . ' ladeltercero:~es(§ , I36)x4 ,- -;-

-' l'

. . ;

~" o*

...

'

I

l

~cdx.' .;{3 .' ';'> .... ,

y reuniendo los reswltados ,par.ciale~.J, si tendrá - ,. ...~ : ; .' ' '3' " :,-. . 2cdx 3 '1- " d2;==adx-f'-bV.xxd~+~3 = a+-:-¡¡Vx' +~3' dx; . x X ' #,"

..

:

()I

~

,

2C)

~

.'.:

_'

r

d z . •3 - !t ,C" el coeficiente djf.~rencia.} será d-=a+-oV x+ . ;,. t Y , .le; ~ -'x" ~ "} • ,'·'..f.1 m 3 ; 0 .Sea ahQ.ra z=({J-bx )',. . _ . :Bara aplicar /á ella, 1<¡. regla (139) se considerad ~~ binQmjOJ a-bx;nd;ofC)O \lna funcion particular ~ J' ;.d'~ ~odo, que será ~=un; ~ obser\'a?d,o .qüe. la difeJe~!) ,nal de un .. es nu'J;-Idu, se conclulra . dz=n( a-bxml-·I'd.( a--bxm); y-C0mo ..• ¡ p d.(a:....bxm)=d:..:bx'lli' Jbd.xm __-:-m.bxm-I~x' , re; suIta dz=n(a-bx'lll)n-Ix_mbxm-1dx.:... · ,.,' -nmbxm- !x(a-bt!'ml-Idx. ¡~

I

,

4.°, Si fuese z' V'ax....;.bx~+cx3, se mi'rar·á ~ste trinomio coin'o una fundon' particular· u'; y tóino;'! a _:t

,1

\

diferencial de y'U~ 0 de u'2,

'1

1 r l .. r duo es-u-:¡-Idu=_Ü-2du= __ . (A) 2 • - - - , --~ , 2 ;2VU . • <I du d:(ax-:-bx~+cx3)

Eesultará

-=

dz=d.u~:::;=-·

._

~.

2V;¡

. adx-2bxdxf3 cxz:dx ~

~V ax~bxZd-Cx3

~_

. -,

.

- ,. ~ .•

I

l '

-

2Vax-bx z+cx'3 . . . • - • • .14 1 ' El resultado (A) dé la dife ~e~~i;cion del ra. dlcal Vu, manifiesta .'1ueja,difel':;ncial .ele -u~ radical de segundo grado se obti~lle di·viaien.do la de la cantidad c¡u.e se encu~tt:a d~bajo, del .ignp ra4ir;at ~~p.r . el ' duplo del t'adical. .,'.t . . ~. _.(-1 r;"J . «- .. l r


7f

rii ~CALC'ULO

'DtFER.EN€tÁ~;!

14Z -Cuando se ti~ne I!na ecuacie~ entre tres va~ riil5l~s' , es' nécesario'tijados"vidores dé'¡ QÍlls.. cúaies q ¡;¡ier~ de estas para determinar la tercera, que por consig'üiente 'es u'na fu'nciQ'Fl de, fas 0i..r.as ; dos: . ' . , Si s,e lieL1e por ejecl1j!>lª la ecua~ion. .le z-¡"u z+2'::a', ño se podrá obtener 2 síñ haj.Jer. seiíalado de ant€L11ano' valores á .le Y á ti; per'o'conviene observar.que no es'ta1iluo ta,s cantidades' .le y u enlazadas por ninguna r~­ ladon, la segunda p1,lede , permanecer la misma aún~ qué la primera naya 'mudado, y recíprocamente. De donde resulta que el valor de 2 puedé variar: l. o ,en, cónsecuencia de- una mmdanza que llaya sobreveliid~ ~ llC ó á u ?ólamen~~: ' Y 2. 0 por el concurso de estas dos circunstancias. Como en' el primer caso la cantidad u ó la .le se considera como constante, la ecuacion propuesta viene' á ser en realidad, una ecuacion ile dos variables; así, cuamto x sola varía, se tiene di. férellda~do y di ~idiefldo por ' 2 ) ~1:le ' _ ,. . ' dz ",d~+z.~z=o) Ó "'+2 el.le=0 ; , .3 J. , '. d d - " , dz' u vana , sera u U+'2 20=0, o "+2Y cuanuo , \ du.,

=0.

T, \

se tIene sl:lceslVam'entC IlCdllC \ udu dz=----, dz=- - --,

~ue·go

:lO

Z

.

donde se debe advertir que la prime~a de 'estas diferenciales es relativa á la variabiliaad' panicular dé '" " y la segunda á la de u; 10 que se espresa diciendo que la una es ta diferencíatipaf'ciat relativa á ¡(/ Y la otra ta diferencía'¡ parci aL relativa á u: Los coeticiemés diferenciales análogos §on: ' d2 "dz u ' r~.) - ~=--- ,

-:.....=---.

I

d", ~ du z I ' 143 Eh general cuando se trata de una funéÍon de muchas variables, se debe tener presente 'que. en


. !>Et; - clLct.rI.Q__ nrltEREN~lA~

-

r .....

di ~

r

• ". , I

I

'

J....

":" "

~

......

....

--

'9

~.. { . .

_.'.-

.... -

I

,,,

_ /, .la'es-presion' dz: es la .d1fellendal.parcialjrebtiva

da . -' f " n' l" ,,' " á u; mas para 'mayor',claridad se seña.la ~á ruferen~' •

..

~d

.

(

'

o' ..

1

dal parcial .J":,

.' .

....

_

';:, •• ,

'

t:) d~Z I

~ con relae.Íon á x ,por ~ d,,> -.JJ

1

r

,;:. .; " .-

y~ con

~

..'''.,,.

de

-.~

,'_.

,

e

1_

di<

!,

J" ....

! ..) ,.

¡

I

.,~(p

I

-..J.

relaelon ¡t-u por--:::..,.du.

_

j

!

'. , :Oí::'.

i

)

r~ d~

n.

J

j:: ~

,

J

'.,

( ~ De las!.! aife1'encial~$ .Jségundas-, -terce:rtls ,\ 'lde: " ~ .:.

..,(; I

~

j

'Ir'

Siendo ' eLcoefi<!Íent~liif!e~fmeial~ul'la1 , nuev:a. fundan de x, se, ppede sOlI}eter á la ~d~ferenciacion) y dar para,é1límite d,e la:::rdadon -.de -su incremento con- el de la vadable x, un -nuevo c6eficiente dife~ ren¡:ial q ue51s~r·a taml5ien una func'ion:'de.:'X.i:Haciefu. do;sueedeJ:. .ásí.r- U!nas ~difereflaiales á otr¡ts; se- dedue~ .' de ¡la tuncion propuesta una ' serie ~de:.límites ó':.a'e coeficientes,! difé'r.enciales y <iJ.ue se -distinguen ,en\ órden~§ , segun el número de diferenciaciones que se han hecho paFá obtenerlos. ' ¡ .. , ,; - Así es, q ué s~endo z= f. X' , si al primer coeficiente ~ dz ~fe~enci~lle llamamos.IJ., tendrémes d~-/.l, l' Cl!)144

I

••

....

t

'.

;..1

....

i,

. I;l!o A es fllndende x que se lieriva de' f.x, la HaI;uarémo.s f.' Y_siendo A=f.'x, será ,sús.ceptiole de -

_J

' " dA diferenciaeion, y el coeficiente-diferencial será ; ;:.. '. • :;,~ ~-l ~¡j ; d" que si 'J~ llamamos B, co~o ha d~ espresar ~tFa funcíon d~ x, que se -deri va áe l. 'x "cid mismo npodo que f.'I.x1de f.i; se tendr,á~B"":::-f.l/x, , , y -su coefiCiente . . --. dB -; " - " ' ; : - ,. .dUereI;lci,al será '_=C f.'''~ 1 &e. ; \'i:~

.'

..~

•.:.


itq-

»~tT.l "clLCUtO'l nrFElt,dtI'!I4!í~

.' Asi, A ó f.'x representará el coeficiente ¿iferen.., ci'aL..d:e'l¡IDiitlwq8rden ct¿Hra ,fundan proJ5 lil ~s ta ,.. ó la. f t/lncio1t primera como la: llama Lagrange; B el de la' fulClcion. A !, .'0"éh:Qeficibine: ,difeJlienciai :d~ <seg undo: órden d€ la.f:l¡lncion propuesta f.x, &c.; y se debe observar q.u:e -los cqeficremég. ,B,,: (i; &c .. sé.sa.c¡l11 dI! !·as· diferencialE!s»sucesivas de dz, tomadas'en el supuesto de ser dx constante. Esta~ ,p.ifereJilciales se señalan de este modo: d(dz) :d:;.a;=az~ ,.·, d~clZz)_i:l;3z., &C{ El es ponente que af€cta: 'á la característica d , indica una operacion repetida, y no u'na potencia de la letra d-; qu'e .jamas.se boa~fde~a~ ~q uí c'0mo~ oant'idad, sino como un signo. , • ~ EstQ supuésto, las· €cu-áci011eS '!Jll'j¡3 ' r,! , ',,"I 'O?",· , e • ) - ·C) r 1 --&i . ~' '. ·d~· ~ .,,,:,}, d!lB~ ,;¡ ".4' .... , , ;:;"', .: ,,,-,- =.A , ...::-!--;;= 'íB,' - -,::::C, &c. ; ') ; , :' <!f: ' .d~. ::.: d~ ; -: ~! ~b . ',; L,) darán .dz-:-Ad,,~; dA=Bdx, dE=Cd,x, :&C. , Dif(}renoiamlo d€ hueve la' prirne'r a: sin:: ha.e.er .v·a.. riar á dx!)- se c0nvertirá en d,zz--:-d.Adx=dAdx ; .y. " poniendo en ~ez de dA, su valor, sacado .de la segun" ." . :. ~ 'd2 z . 'da, se tendrá dz.z=Bdxdx=Bdxlt, de dende B='. ; . .'" d"z . diferenciando de nuevo la ecuacion d~z=Bdxz, en e! .mismo supuesto de ser ~~ constante , _ se _haIolAln;i d3~=d.Bdxz~dBdx2; y cmuo por la terc~ra ecuae

L

,

'

"

~ ':'a 3z ~

cíon dB=Cdx, será d3z=Cd~dx~=Cdx3, Ó

. . .' - d-i " , luego se tendr,á

,. d~~ ~

'~,

J)

ñ3

e

'~i;

z~

A=ci ; B=- , C=-,

&c• ..... dx?'..... . ::. 'I45 ~ 'Sea la funciolil propuesta z=az n , y se ten~ .' drá dz:r::d.a,?qn-:-na~tl;= ldx. ; y supo~eñd0 , CÓllstan~ tes á n y dx en esta ecuacion dife,r encial, si volvemos á diferenciar será 'ti; z d~.axn ü:d;ax'!:::; d.naxl'l-ldx=n"dxxd.xn....... l= . . .

x ~~.

dx .~ ,

~

=

=

\'

,

"


DEi. C-ÁI;CU'LC/ nÜI'BJlERCJAX.

'

..:;.::.- %"ad.;é(1j"':-I~x(!0"7~<ix~~¡f¡-1 )xax!I';"-~d~~

y de! misL?o modo se

enco~tra:á

,

f.g~:Sd ti .J~IÍ~(n~'f)(n:":2 )a,i:'¡-'3d!~9~

_ '. ,'. . l.

I

.l'ir,~'á,(~r,:fÍ;J ~t¡ 1]-:':1 )(n-2j~n-? {;x''¡-4d~4, . J 1' ~ } w>iJ, ~' , J'

u

H_

:1 •

1

\

"~O

,.

dS1.=d~~~D;~:;:;;:!J .11=-:-1 )(n>:-2~(n.L.3¡)(n-4)ax-f!-;:;-5dx5; i llálV'G0itficient:e's dife.renciálesJ tendrm los ¡valor~ siguientes ¡ .,.. ... '.'" ,,"'" d ~J._ 1 ,.

~=naxn-a, dx

d3z

.' ,.:!:::.,..... '-':--

~.

~=n(n-I)(n-l)aXn-3,_ dz 3 , •

d4z -( --n(n';"'1)(n-2)(n-3)axh-4, dx 4 ,

&:c, '

"~

f"

.1

.

• ~-: Donde sé-lI.'d~ierfe que -eh el 'ca:so' da ser'n.. un.nú,,· fltero (¡mem' positivo, la f.uncion z-'-..ax f1 rencdrá un número limúauo de' diferenciales , . y la mas elevada será .d,"1.=dn./~",,, r 1l(n-I.)~f¡-2)(n+-3)(n""'4) .... 1 ad:x~; éSp'r~siohJ q lile' por' ser constañt~ 110 es susceptibk d~ mas difel'enda'éj'bn, luego 'sa tenata 'paFa el ultimo :

'

~

J .

,

dtl Z

"

,

ceemeiente difeteQci~l ,,,"'-'~€n"" 1)(n-2Xn43)... IQlI~ fJ ~'".;: '.':~""

~'... ¡:!.."

ADi

~

.i.

:'':._.;

11

,,!'!.._ -.. ';.

,;<'~ "

._

es d~cir. un~ c~t~y!a~ P j)pstanle,)

ilP¡iC{lcio~'~el' ca~¡ot Ji~~en~i,iF~l dÚa:¡;ollo de lQ$

(' funcione; 'ulgebr:a.ioásYe'n:t'Je.-t'ies. • ~Q

_"_, ,', _~

't -

_ •• ::.

_~.

... ... __

)

'-1

_:4 1 ':.

. . .. _:. '.

...

.~ 146 . I;.a- '~e0Ha..q ue ¡¡'€at;iarnGS '"h:'\e~po!1et' '{ nos va á . ~a~i1itar un medio' mu'y pimple ~ar~ desenvolver

e?'-Serie ~egu,Q , la-s i'OJ\!-Il.ei~ eafe.J!"S::de x";-"tO'da fUll'" ~Oll suy¡hlñé sea suscepnble de esta fo'rma, y cuyos ,Q 1l; 11.


.. DEL CkLCtTT.,O· l!UFB<JJ,Bl'JCJ,A~

;S,z

coefici:éntesen., , dife.t:enciales sucesivos (se_pue~n . contrar. . : - : " , . ' . 1,;, • " Sea z=f.""~ esta.funcÍ0l!.;; y c;~q poi" el su puejtó se quier~ tran...§forqlar e~ una serie ordenad~ poi.lu p~ten~i~~ énteraf ~e'-x ~~ se teild'rá! ' , . ~- . z-2A+Bx-+CX2+Dx3+Ex4+&c. (ID~, -~ '1 hallando' los valores ,de los' coeficieme's diferencia. /

'd

"

será~-B+2CX+3Dxz+4Ex3+~c.

les I

dl>

dlZZ

'

'

-;-=2C+2X3D:JC+3x4Ex!I+~c.

·dx

'

. -

_.

d3'z ;,dx S =2X3D+2X3X4Ex+""c,, \ ,. . . ..' ~ d4 z -.=2X3X4E+~c. dx 4 .., f.

&c.

e,

Como las cantidades A" B, D, 'a1c. son ing~.;. pendientes de 'x') res u·! ta"'<];1:l e el valor. .q tle tengan pa1"a uno panicula-r de ~, ese tendtá.n .PfIa t~4.os; luega sus ' \'aloresd.os po~re¡'J¡¡é~' determl..naI' bapgndo x=ct, il' como badend~-:JC-:-o ,. e~ :ct:esar.roU() de la funcio~ primidva se convierte, eO'\4, tene1I!OS que el primer coeficiente A ~5 iguat á. 'aquello ~n :.que· s~_ ~on vierte .la fundon primitiva ,'. haciendo en ella la variable igtlal o.;' ;' ~i H¿{wawos·r'llf,"-:I.ll.'~ A';' ':;y A/~",~C ••.it aqu~:, 110 en que s~ c'o nvíerten los' coeficientes diferenciales

dz. d!l~ '~' d'3z· L lJ4zF ' r ' ~ - , - - , ~t - - , &c•

: . __

.=-

.dx. · .dx2.. . d~;~ dx4 , 1 ~n este mismo' su pu~st-()', ;$e, ten~.:a:!ilj~jlªcj~~~ ~~o ,.4.. . . . . .....

\."~_" ..... .J

"

i¡ •

,~

.... \

• '*-

I

') .. .:

1")

en los valores' que: acaballlos de sacar, será A':;:;B; .I.i"-·1~2e 7' (,d(.h= ~xa:<áD; Afr.~~~~:3),f4E, ~c. -

,)

5 .,

..

,:J .~ 1. r C.¡' 1 ... r..ot ! ,.. .....,..r.A"~ D_. ,;. . A:" ;"o1.C• ,(~-...l ~ •,~C> ~¡, ...J.~2.1é ..... ··, ..~ r,."' ~>;21 ~3 .ti.} "' .... .... •• _.. --.... '01 .. 1. "" .,¡;;; ..... r 1.!='":";

1 't'f[ l

' l'

que. du B=--:::-:Vl(; '.C .¡

'1

~J

l.

.T

o

-M

..


I

.

'

DEL! CÁLCULO" DI:FEllENCM"L; 83 Lue~o ·. si sustituimos, estQs ,valores eb.la :él:ua"Ci~l1

" u ': )

J

• \

••

1 .'

..

I

r

'

l

'

(m) resultara¡ z.=f.·~A"f-; ·'"-'-.iJ!X+_-A'IX:4_~ 1

I

IXZ

IX2X3

A x 3+&c.(n) (;*): . ,. , Luego para desenvolver en serie una fqncion c\;!a<lqui~ra :e:e ·una ,valriahlle .poliemos cl.~r '!!s.ta re., gla: supóngase x=o en ta funcíon .primitiva ,y se ten.. I drá el primer ..tér.mino de ,.ta.serie;;. h4H:ese. et,primer coeficiente diferencial, supóngase en ét la variCfple igtwL cerp, párt·ase por. uno y '-se ten4t á-el coefiqie1'}te de X; , en general para hallar el coeficiente del térinlno donde la ,vari'able Est'.é ,afecta del esponente n, hálbese,el coeficiente diferenciat del órden-n , supóngase en ét fa, val'ia-, ble x=o, pártase esto por el producto IX2X3X4xS .•. n, , 'se tendrá el coefrciente de. xn -en et de'sarro.llo de la funciono ', .' lll

'x;

,

,

,."

~~)

.... J

Esta fórmula se' .ha dado á ,conocer en ·las obras de casi t.,odos los Matemát,icos del co'ntin~nte, bajo e{ 'IIombre de Teorema de Maclaurin, supon#ncto ~, {jl.l.~ este sabio la encontró. Yo jamas la he ca·rar..teri:¡,ado en 'IIinguna de mis obr.as ;-com9 i;nve.1Jtada por Ma~laurin, por ha,berla visto en obras inglesas anteriot·.e¡.;' pero no tenie¡¡i/¡o.• suficietltJls datosupara .contradecir (a ,aser.qion de unos -.sabios tan respetables y dignos de aprecio _com.o MM~ LagrafJge, Lacroix, ~c. Q.:1c. ;i pasé en ~ilell\ cio su autor en esta, para evitar el dar alguna idea equivocada. Ahora tengo la satísfaccion de indicar que .e..nJq.leccion qu["M"r. 'La,c'foix espticó en: e~ Colegio de Francia el día 1.0' de· éliciembre ·de 1 ~2 5 , tuve la c011'lplt!:cet¡cia ! ~e pide :....q\l~, aunque ,en §,us ,o bras l y .~n otr~~ se ,daba á conocen. ,clid}a, :fómnula ' bajo eJ Jlomb¡;e de, 'Feorerp:a" de. Maclaurfa, 'sin .em.ba·~go, ..d,ebia . advát-r~ que estoJ ~~ ~rla·e)\:acto; .pu,e§: qq~JJh: • .:,Peacoq~ . ,1~ habia, ;-h.eQ~o L;O.otar., q ¡,¡e dieh¡;) ;~eor$!mjl . s~ ,de~i~Já Stirli9g., q4ien ~o ha.bíá~ .Elubllcad~ desde ,el , año ,de '1717 ,en SLtS Linca:· 'teNii , o·rUin; • . Neuto,~!lj~n~:4, ."\te. .,',~ . . . t.:'; ~ ~ c~ l oc.:. jo

. ; . ; ..

,"1


84" DE~ CÁLCULO DIFElt'ENCIAL; . 147 Sitomamos po,," ejemplela funcion 'zz::(a+.lC)", tendrémos que hacer x=o ,para encontrár A, Y resultará /.l::::.¡¡'u; hallande. el primer, coefieiente difeten~ " .. dz ; cía! será -d =n(a+x)n~l; , ; . ,x y como para sacar·el valor de A' es preciso hace;¡' '5=0,' ~erá A'r=.nan- 1 ; , " ' el' segundo .ceeficiente diferencial será "

.

d 2i . . '~ .¡ - '-z~n(n,""""l)(a+",)~--:-z, que paoiendQ ~=ci dx ' . se ·convertirá e'n AI/=n(n-IJall- z ; el tercer, coefi';" ciente diferencial será ,. ' , daz . • ... ! __ _ =n(n-IXn.--2)(a+x)I!-S; " .. . dx 3 que haciendo x:=o' se 'conve!t:irá -en - .t1"'::=:n(n-l)(n~2 )an-;¡¡ ;_ hallando del ,mismo modo los demas coeficientes diferenciales, y haciendo en ellos x~o , resultará '- ~. ,.Alf==n(n-l)(n-2)(n-3)an-~, . , "A v=n(n~1)(n-2)(n"'-3~(n-4)an¡-$7 ·j ·'2 .

(' •

'?l.:rc.

l

1 ,"'

.

¡.

~

.......

'.

':

Luego~ sustituyendo estos varlores en "l'a! e¿U'aCio~ , o- í..

~

.... ~

(n,I.4 6).se c<j?nverúrá en ¡¡;=(a+~)n=an+~an""""J~+ •

"1

,.

,

~.

n(n-'-l)

I1- Z

~a

I,X!1r

~....

4" 1 ,

z·· h(n-i)(n=-2) ~'-':3 " 3 . " + ·-a x +~c. · .

:le _.

i

1X2X3 '

... . . . /

. Esta fór-mula q üe- S~ conoce' con el ' nombre de bi.uh modo general las re&'la-s' dediúbidas- por analogía (l. I.66~ ~'-6 olo pa ~a cuandO' el és'p.ónente era. entero;' pero ¡¡:bm6les 'pril!,cipios de l~, diférenCÍaciem l?s l:lem0~ '~puesfo para te'dos 109' '~alores' del eSf'onente, sin su pot'ier 'el des;.. 'arrol'lo ¡del ;,binomió:( a"+x~rz, p6d~~Íló:s lprra:rle· aho'lÍa cO'mO', delllostrado para. lOd'O'S lO'S casos ,ea ~l.l~·, el ~mio -dé N'éuton) manif1esta::(J:e

;

I


!p~::.clf;(!,y,)'r.0. !)t1'z:ft!!weut..

.S'S

tsponent7es· ~nte~o Ó fracciOI~ario, . positivo.¡.ó negad \/0 :f*)"' l:"::: .•--,-- ~ . .. , . ' ,I ~ ;t.'

148

ti

~.yo,.")

Sea en seg!l~do lugar Z~c--.

;

i~ -coefic~e;t~s, ;~difet::ci~~s, te~iendo

y hallando ' presente lo espuesto (136) resultará

d~ j'~~~:'I: w'-

'

,::a : d~z ~ -~x:::::i-(a"';~) ".':)~i¿ '.

- ::: ---:::---;-!d", {a_x)!l (cr-x)Z d",s

.

. ,

(a-x)4

';

(a-x)3

. ~~b J9 ~ fie- " -:: ,.r. - t.l~ z ... . .: 1" . - - },11~/'! O' Y .d3~., ~Xj~ ~ d 4'.t '\ ~~j.x4" fl'~Z ~ .. 2,X3X4~S b c!; ,n~ 'a~r-"-(f; _ x)4;\1~4- . (a ~~éd:~5 ' (Q,-:Xi~ ;!J~C.,• .-. ,-

,

,..

.......1

1..""

.J. ~ l! rO. •

I

:.'

J .... '.J

.. ;.;; '\"

... U ~

_

i...

:r_rl.j

Placiéndo x=o,.en la funcion y coeficientes.f '1dife. '. , 0 .... ; ... (' ...... , •.:.. ' .1 1!t~,.J "

~

~-

't'

....

.J .Jv> .....

I ....

r~gSla,l~h.f~_· tend~a spce.slV~I?epte . j ,,,~i .;;i ..::L.~

.J


~'6

DEL~ CÁLCm.O D,IlÍfl)!lt:SNCU~

-~

'\ r J' i~:

A-(¡?: -,

l .

JO••:

A'=~r'

"

\l'

- 2(;2 ..

~ :C

(

<tJ

.......

~ i~

\J=3,7";'

"'1 . ~'t

A"=--. A'II=-_-'S ., -'\('iJ:JI'~.U "• 3' ~ '.

...

8a2

.¡:a2 1'!

"

• .\

~ - . "[ _ ~2! 1 o,, ~s

_

;.\.«.,e¡~}.

¡

')

... ~

8'~

!J, ---~

~-

Luego z=a2'.;;. - - - + - - - \tc. ;: ~; ' H . , 2aí, i'~a~ ; ::'16aIL-.: "<11 obns: Tri ";' . ; .. ..;.~.'.- , , - ~ . ..t. .... ~ t ' ~ J C ... .,~1~ :;"jo.o i;,.~ ... ji,¡-~ ..,

Aplicacion. del ,cálculo difer.~;ncial á

',;_'fi-Jitas. _. . __=___,_

" 0<- -J~- __ o

I

__ _

.. }

••

.. _

o

;~

-~

~

L

._~~_ = ._.:

~_~)

las

diferencia,$

1-~ ." -,.... o .L4.,..__.::--,. " _::. .. ;

~'"_ ~:

- (;¿~

. ...\\

_...1

Hemos visto (12.6 la forma que tiene el desarrollo ,ae"una- '(¡mcion ~cua.ndo en v'~z de la varia-' ble x;deqtieJ:te-p'en~_-,- s~~Jlstituye-x;~~~inc~; y. c.qmo ~a}~í ~17>: he~?.? ~a€i<?, _~~ ~qn~~er~~~ ~t\~to~ogeóe: ra-liJa<ra -1terermlh¡w~, 'B,.!(J {' 'Ib'c,.olDmeaiatám~nte, dada la- funcion, ~'Vam¿s '7ah~~á:' * manite'Starle;h,ero antes observaréruos que áJ d~senvólver l~ fundon z/=f.( x+k) la' hemos -coosVfera'do: cóniéni-:fuese una funcion de k, Y con-re1acion á eUa la h~mos ordenado ; l~~~?" z' tendr~J§ 11~}..esta ~orma_ ~ ~ ' -H ... . -><.1' 11 " • - ' . .p.. ¿.¡.'->"'1.- - .1.:l" - , -- ,¡jlll_ - ' . Al - ....... -- '- , ~':::"21+~k~-_'_kz,+ "- ~ .. ;'k ,3:¡': ',- ,- -k4_,+\tc~' 1 SO

'l"

.'

.

1

. lX2

IX2 ?$,3-

t .....'"

IX2';<3 X4

.

-

't .t........ .':~. 1- ' .;r: 1!.(: ":7 OJ ... l:5'}::Jl.l;,l!!'? "';: donde las inde-terl~in'aaas A, t;¡A', ~c' representan -+,...,-'.,.. , <"\. "'--0 --!::'--' ;r - '-d~;;" ~d- 3¡ /: ~ ,lJb!1-; ... .... MoZo N . valor qüe toman z'-f. (x+k) " -~; -2; - - , \tc. ._

'1'~'¡'J;

'. ' "

\.,

ei

J.

, •• >

N

C ·~..... - ... ~ ;...-, .J

' ''.-• ""-

v'J ......

_

-

.. 1

¡ rt ( "-. l ' ...

dk~ ,dk ~ ._ '.. , ,dI.J ~ 'Jo 4, "'/ ,

'\

-,' ( . , n,-_, -.J ~J:.,lII' I

.

cuando en~ éstas esp~~íones se hace k _'0;1pérodh3._' ciendo k~9 ,..l<i, func;iQh..z!~f:~~+.'k) -¡¡e _convíet:t!! len fx, esto ,es, en z. Por otra parte, IOS;;C9Idij:!ientes' diferenciales mirando á k como variable y á,x como <;ons ~ante Cs.Q~-l~s_ lnfSJ!19L :9E..e ~ - ~l'ílt: ~.~_Jiall.~riªn' con5id.ef.ªlldg,¡~ x ' -Gomo- ~!ll'i¡¡~~ y á k.cQ~Q,~o~tan~ te; porque SI suponemos 1)( ;x+~, 1~~f.u9G~9J1- ~: ,se. compondrá de x' del mismo lÍloa6 queJa l'únéioÍl' Secom,poñ}atle-k; de -aon(1esecoriéluirá dZ":'' '::'' ~lendo "/51r-¿na funcioir (le-~~'; l-rj d",'=d~.tx+k, i) s~ sólo se hace variar á k ~ se tendrá. --, ",.;'

z.

Aox;'

,1


.

no 'haciendo variar sino .le ,: ~e tendrá \ '. ' . • /. • • < ;. ' . dz'-- " - ' ' tIz" -d7o' ~'=d"" dz'='Adx y -' ~'A') luego -=-'- '.

dx dh Como la. funcion"'-A es· ~~a: fund.oJl de d' A d'A ' ~ ~r~z' d 2 z' drá au~ dk' =d~ 3:de,.dond~ d'k 2 ' : a.ic~'

". :ciñ:,

dn7o' ,-::- ~

y en general __ =_. dh n dxn

.~

,.

)

d", .j .le, se ten-

, '1' '¡1~' . \' ,<

.

:. .•

0..';; .

".. Este su.p ·liestó.~' <:~anao ~~o~~'"se' éonviepte en ·z,· . dz " ' d 2 . -"v" d3 . A"= Z Al" Z .. .. y rcsu1tara. ..41 "A. =-, c. r' 7;: .'~,: :.~ ~"l= d\x~;' d,,2 .~. dx 3 Z1 ,

,

l., ,." ai ." k-" - d~7o rt

- ,.a

=--, . . .

-,

,h 2 .a3z ·~ k 3 Yz'=:¡+-x-+-"x..:.....,.:+--x---+b'c.(p). " dx 1 d",2. IX2 , .d".3 "n X2X3 ; t; i Ési::fr6rmula, que 'se 'conoce con el nombré de teOrema·d.e TaiJo'r ~ se debe'·mirar .como la base. del

. cálcul¿ difeien~iál. -~ ) - _. , ~. • ," ) ~ •~ Si ' sl,l~tiruimo!i ~~ ;~Il4 4,,-.e n· V!!Z <le k , -y ·haIlaIpo<s la ..difgr~l}ci~..~~ ljl.lH!)~io?, tCJ?drtmlos , dz ~x (i2z Ax2 d3 7o' ~,,3 , \ 1 ~'-z=Az:::-x- + - X - - - f - -x---+b'c:

, ,"d:'x: {'J; ;" ,d,,2 't -X2 . .dx 3 lX2X3 '/. . ...¡_- _. que podrá ser:vtrl de fórmula para hallar inmediatamente las dif~-renciª~ finitas de las funciones, como vam,~s_á ,maQ.i'f~sf~r~,,@IJ1ic~fl~~Ja ~a.\.gul1os ejem·p los. 1. o Sea 'l.=a!t~+bx+c, y ·tendrémos .~ "'

r

....

~'Z-

~

~

f

. ~.-

_ _ .:..

.{

" 'i'" " .d~z d4z ' -',":':'~X3ax) '-:2X3a, -=b, ~c? o,. d~z dX2 r. . dx3 d'x 4 .

'

r

'" =3a,,2+ dx

_ '_ o

.:

\

,. .ó. X ) ' ,A",ll .ó.x 3 luego l.ó.z=(3Px2+Z;)-+2X3a~-+ax3a " -- = : ,'.',.

I

."

"

'.'

1 '-,.

'

IX2 .

r

IX2X}

,

J '


/

~8"

!)EJí- CÁl;t'!U~Q. D-ln:ft.ñ7~l.A¡~ (3GX~+b)41x+3ax41x~+a~x3 , lo mislI!0 .q U¡:!. ballam,Qs á'l:!.l.e'l1 ,GT,1:.8~:t:::' . Sea z,=ax4+2bx~-cx, y teodrérnos

<)

.que es 2. o

,:. .~~..

dz

a~z-"

~:J·i;.j'''~l Uf'l.~ -·""~< ():l

"7;::4ax3+4hx-c, -~;;;:¡I 2-ax~+4b, :li=~4(U:, 9!JO _ ~~ 'f\,\ __ \ 't..lC :.::'';'' :'Ú l'

~.

.

..

~

. ..

d 4z ,~dSz ' . "!. - ' =24(J, -' -=0', b'di,), j·-;·rh

,

"1

d~4 .

, dx 5 , .• \t .. ,.", t. J) J. _ JJ sustituyendo y ,simplificando', ITOS 'l'~su-ltart -'

.

~~=(4ax3 +4:6"x-c)Áx+( 6~X~:2~~t'¡'j líl

i;'"

;,

,-;::-: ' i "1:lz. :; ': L adflJ.rencia~io-n. ~! las fu~cio!les:) Pr~se.fl;!Sde~te~,

4GxAx3+aAx4. ~e

r'

,,

Y de su 4ef{frroUo en s4ries. •

~

,

'" I

v

J

..

1 Sz 'La fLJ¡:¡ci~ñ mas s¡~;le 'cÍe' f~~~~n~c~ñd:~tJ es z=a x. Cuando s~ 1ustituye ~H eH~ xt~x en ve~ , « ., • -;.... .,: ' d ; , í_x+Ax. -;-+-- ,-~ o:. . , '( (le .le, se t~n ra.. z, -..a .. " .') );.;;¡ y restando de ,eStfl ecuacion la p:.i~iJ~v~ ,s~á + í .l

~ ,;

.....

,

Az,=a x+AX_i.:·d!J'=(/:CXatl!;(,_QI!f.~,~ .ax ia,4. x .....; i )t:>' .1.,. ~ .,,\ :.;{r) ~ ...k. ,. i

-" Par.a desenvolver -Iá esprésiafi a4.~dé¡ 1~·lOdoJq ~e no se halle ~..lI! -p'Ó'r espeoente, há.relÍlÓS ~ a";' 1+o--;·1 (l4J.) tendr,émos ".. A, '. "1. .;¡ , ... , .. .ó.x , d~ , ' - Lrx ~ .óx(3x~i) ~, ..; - ::- ..\ I! g, :::;'(1+C). =I+~XC+' , ~c; +~.c.

.

-

-

..

t...

l

1

l'

('

A

~o;.

'

I

~ ¡ 1'~2' ,('

I";~

~

,

'}~j

;

r_ ro

)

"<:'IT

de do~de a4:'-;I":'~~C+ A.x{~~:-;::llxca+~c:·',~:, 1 .

I-X2 ..... ". "

( 1

. ~4..e: ordenan<\O-CQp rela~ion ~ :t~r<se 'i~~vierte_~~ ~x ( e 'c ~ e S - ) t • ~ •b -I=~X

á ,

---+,-Q?'c. +b'c., 1

2'

3

,

-

poniendo en vez. eJe e su valor

;.

0-1 ,

.

, I

fJ-

'nos resultará

",-


:6EL~ CALcULO nníiútEÑcrÁt:•

'90

h ~'1. .

•R

.1.

"

..J

~ 3 "

'.

lXf X 3

I

, ~. a=[-.:¡..~";-"-+ " [ ::

iX2

ito

- ' rb'C ...

\

-=:. -'" "

':Esta ecuación es á~propositG"jlara hacer Céno~ 'C~r á a por q:¡edio d~· 1z., sino,:G-l1a9~0 esta cantidad es peq;u.eña; podO:'inismp busca--)cmqs'.é't \r.ai:¡.,ii-..que dé. be tener a cllando k= 1 ~ llamándole .e será . .: .:~ : (,~:J __ L;3 r t -:t. \. , , { 1 1 , . :'. e=l-t--;'f-o- , ( , + 1 - ~., ' . +l7.c. , .1 ,': ; .,, __ ~ , .:n.<2: ;..lX2~-3 .J.x.n<;3X'I- " - •·'.Continuan\io esta .serie y váluá'ndo los :~rminos en decimales se ha11afá! e"'-z;7·¡.·g~8:'18'2·84 S'904S"&!C: 1,$14 , E5tO tSllpur~te .~ p.u~s q~,U.§t~. valo!, corres· Ponde a k='I '.,<,: se SlH'o ue-que_ - - ... • ¡',.)

x'l "'s . . .ex:::I+--" '· · '~~-I'''~é. 1 JX2 IX2X,3 < \ :le

-

l.

~. i .J-. ~J,T

- ( l .... -

J',¡

'

, 1 ••

i

r · · ...

f., • ..,!!

o

/

• .-:l 3 . - - - 7:¡--;¡rr- '-1ja-y que igualmente ek:.....I+~T"-.-+--·'- -+-b'c.

,...~"-, . ... ".\ r~0.~~ ~ :~~~3 :c ~ ?- ,a 'l6-égé.se téMr~Ie~""":'a;l'Alío~a, -.si .pon urra.-y. Ót.ra": parte . se toman 'loSlogaritmo-s ,,·se :obt<endrá:.klog.e=logrd, . '! ..... ;.~r~

!! ..f _ . ;

~

..

'c;-'",_7:.-

"

... _

,"..-.... - ,

- , k- log.á "d- '~. dI> ~x k '~d!" .1'l b"'g.a'· ;d' : o l' C--;- y . ~ COfi&lgu,rente: r;~;~ a, ~ ~-I-f!,' x;: < 9\~e e :..: ..... )\L. J CtL"P ',~ " 1~~ ,.~ ..\ --. ¡' :-\ \J.og.. e ! . Y. si consideramos ·que estos Iog~ritFI\9's: sé' ) G1Uan 'en el si~t:m:~~~~base ,~e~ .a, ;'ille:p~ ~§, ~ará•. . ,:~ ~ .. "-~- .. ~ ....., .. , ; -;- t- ,~ !1_.. ,.¡ ~ -'''' ..h 10g.a.-:-'I , se téfia.tá k= ~'; y .d.a~ ' -' _a~d",."J e:,¡; " , ~ ...... (:" 2 '- (' ..... ~ 10O'.e -"" r:.....I.,... -lGg-.e .,.}~r¡IO:J '(. O¡ ,(,--.;,,,,v Si tOlnásemos los logalritmcis ¡en,e1i1.s1stema:.l·c-li1-i J

: ;

-'

'J:\.

t

.... _- ..f ""._\.t(..!

~~

'.

....

. "l

base f.ue%e ~::-¡.~l0t :CU~Ies:.sefial~t"'érn'ds ~1T~s-ola la inicial J , sed¡t· 1.e=r, y",-\se ten;dria d. a.lC=a~dxxLa (m)• .:.\::i S~ .' Anora-¡pMeIÍl0s-baTla:r. tá:éi'h<fie~ll~ la. ,fi'fer.etr. cial de toda rfincion' logarítmica. En efecto, si se Ha: l-FIa a la base del ~iSlliéma, :l. -et-.máhr.erp y íx .el'~:lo(a­ l'itJ}lQ" s'e tendrá "(1: /2(7) la·'eoLlaciOfli ~=íl'~ ;' ')r) t~~ mando las diferenciales de ambos ' mié~nbtos 1!ñ:l:orltr,arémos dz..=ka~d~.,-hdx; ',:!_':;':':L':'_ _.'~


~r; CÁLCtTf."O"'~ !M"E-tu;:ÑtIA.-F ~"\:r.. :~~b,n;-,:!.

ti!

.t!.. ~¡! .. ·L &'Zl'~

de ~o~de.rs~,_~acará ~x,~kz_ '.

11Z,¡';;:1¡-, L:

,~-t' -;é¡ ...... ,, -

_ ~t. lé. c~~e:.;~

_, _~.

.l,_~" ~.:' __ ó Pbniendo en ve,z. de x su espresion log.z ~ en vez 4\

D) - ..

!

"

~·,~ , ,#¡o;.""·1

",

f ,..~'~

c.

,J" ......J

1

~

I.

'v

I

4

( ,p Ir' nO:' ::Si.CJ¡ 5

~., .)-.'1 ~1:..r::..

~

..

T

..1

de>á~:su.:.~albt g, y',ep vez.xre k s~, 'valor >~('§,!S 41-" ,.,

• I ••

~t-(.""-!I. ~.)

:-.J_ "':; ~" , i ... ,

',}"'¡¡

" ___ ~ ~ ~ , )

~,\

:,'::¡

.z-, ...,;---:.. . .¿ ~tl~gie .

t (d !l.t. .• · •

..~; ~~

3e\'tendr;á, d.log.z~l'Qgl e~ .zF(ál). '!;:-~t,;'! .i1.. 'ti ~ ~.ri ~!:)

.....

\

')'/.:

3-

.,2f - ,,~i·;

t"\.,

""~

t

•• ~

'",

~'J'

l;,' J ' J

\.~;'~~"i "90&

....

¡: '>'f/,.:s

El número e' es .la:',base del sistema Ge. t€)ga:rittn0~ que/se'"11ami n, ne.peÍ"fano~ ; ry¡:e.omo¡ €.g:t~sJQ¿l¡llr ren"(wn lIfuclrá ::f..¡foo u€nda. ~ñ~los:. céÍlicuJ.'o s ; y ~á leUb"s ( Sé ,han. de referir los .de 10~/ 4emas sistemas, p d-r eso los he-

lIi(js~iSei'í.alár&q;~Ql0 rcOn. !:a <'clcllltáÚépístj'(fa t;Nasí:¡ •.kan:

relaciol1á este "'s'IStefu~ tendrémos Le=I . .I,r.cI:)(lO ) !!:; '. ' __ ~'ti ~ .s'_~fJ . .!-<--Ju~t~~ :~ ~~ 2c:if1~ d';a~=aXa;cl.lá "y ' d:.l¡~~~ (.h):,J1~,"' ¡! !l Ll ,.1" :'¡i:, :;';':y ,rc5:J0 ¡:. \..l~ l :.~) s:72L-'- Z~·.~ . i1';1- };.~~~ -;;,b ,=i~l ':'~ -=.!• •

'! 'I'f~l; ,S¡'qú<tremos¡~oiñpá:r'air, .los' Io'g ar-itrños lIé un niiSrnb .¡lll~Lfier.o · z 'em.' ,tl6s)? €lisl i:tft 05 si:s t effié!. S),l 'et Jtum)" QUj¡f."§a'/le i;'e a-e -y el -lllt4!o: éü~, base:';s¡::a1 1jl,; S(l:·tend-i á.:::

-J~LítiZ) 'f ,t(!

- !0g;.z'¡L T

,,>

~iJ rnl ~~ l.z ,J '!Qg;~.sf

,c

"

' • ; uonue sa e e =a ;_~" i/" , y tomando los !ogaritlllos .de ambos mielübras eñ:er..J 2~e

y'7.~a

sist:j~~~y'á: pase ~t~, ~~ :iend~á-:'~~'\~~ ~=lQ<g:~J;·~.,i....log~~og,.~,;- );

.

.J.',.;:::-':"-

- 'h ,l-1-i ,

,

ó.tQ;>s.Iqg.e:::!:"¡o,g. z'~log.¿:-Jgg;~l (P)'" ¡;í@~ &.e¡-lo,g.lll~l . ; ~t ~hQ.ril(; , (l9~9 .tQ,d,~s ,los~§~~t~rna,s, dC:)¡~garJ tJnps se~

refiere~ al de Nepe.J;,.§§!}¡l<t~<l ,!~o ~ylo al, J1lJLDer.~.:,l,ogl e~ , p.or el cual se 4ebe \J'mit~plical' un logaritmo nepe-

t1a!lO par,'I.;p.ii!~~r' '!1 b.g ,!rit[ll...§l,del mis~o ' nú~ero 'en Otro ~iste'ma'. A sí, para d~terminar el módulo corres-

R?\1,.,\\e~g.~~ ;ár,~~¡§istema) ~ualq~i ~ra, ~o h~X m~~.;Jl!!e _ H,allar el i0garumo de e~1;7'í S-28182 &c. en cheho ' 3~Stem~.; y!' Qorno ' eI::IQgaritmo de este mímero ejl el Slsterña" flib~}a"f cuya pase' es( n)- , está re p reseiitatlo ~or ~,434 2 94& '& c., resulta que este es 'e! módulo ",el SlStema 'tab}llar. ¡ :"., ¡ ,'! "'.1 !, f "

/


9?:

:Qm:.é.{tIi~~~( DIFE~.JiNC~~~

L\;Iego si llamamos M",'hdicho módulo, tendréll10t i.. ~_:~ =-.Í ¡,: . . ; ~ iM!cL, !)i1 (~c ..p) log.z=MxI.i/y (ec;t d.log: z=Mx-(q).

m)

:. t

\1.J

. ,H ~

'Q " '1 . .H,.· "'I.t~ ~. "'De... ( .~ \~J:''"'u ..I L.......... ..... 1JG,r. J ,,~.f

.!"... "

Z '. !

r r . -)"'~_

l

n,~fp \

L~ es¡r-ésign (q) quiere decir que la diferendal

iJe.I _4agantl~o_ ~

Pi;]; JlltlrW;o.r::t<1 ~Utl¿: -.ak GPr,f)du.~ti~.! ¡;f;J

~(i~tó ~po1"el cociente de la diferenciaf del número ptlt"tida por el mismo núm~r~; y (1 55 eco m) si ~s en

d. sistema de Néper .~n'q.ile'l.t~g! e_~I~ ,lªJ4jf.Ii.'(AAcig~ 4eJ logaritmo de un nÚ';/lero es igual á la diferencial ~b~Ú:.l!Jyj:[ ~ª.r~¡j.a~p9)" <~~ lIJj311lQ*úin~1'1b'~:)r!!ilfl !3: r. H>7':;-AiLse é\l ujsi~s~,~a~af ,~~~qlltL¡,d¡s:l~MJJ1211QlDp ~ ep. ~, .9 >~~ll()ga,ej.gIllQ) \~J:l p(}~eJ)J.:ias det~JÍitlepº,.,j!l1~ -_,_.0, v • ..: -,,,'1 :~r.í ;>Jic" ai¡n~a.l<:; G! ~x aoi '¡';51:)1 ~b ~Uati~~ ~~ .

lis_~~nt;iJla;Af;S ~ ,<W' , (~ P~Q· ,~~~l)~

-.1::':-_ ,. ,:;,

,~\LlI'

j

~~~~',¿~Z :m~

j;

;¡oi~tb

finitas en el supuesto dez~ax=o, y se concluiría q ue siend0 Z el númerQíi'i.~ UJ3~d ¡iA~s~d~,~)'v.~~..eA una serie de esta forma x~+Bz+Cz'"-+-Dz3+b"c.

_.:, Np éltug~e~ª~ l()ícis~ ,gb~~Sie!lr~f¿ I_r~{i!re~~!ar

~ _ QJllPs:rpí.'.~t.. ~, le.!.r_ep:r~se.n.tlir;ª,l'Il.!(ls ,:p.ºl:W ( b¡l}~r'

lJ;Uo b+-~" p.0r¡q.l!~ ~!J1Ó_f,ltS:~ &i!.r:.,i~ ,I,+tU¡;:::mJ~' Sl\~C;; ~!l( !lt

sistema,$:1i )1¡¡' ,ba~e::e~ .~ ~ ~¡t :"-r:-lO.g.('l.;t.v¡ ~ ~!~~: \ ciando' será. 1__ - - 1 • :),,, ,; ~ , '¡._- _ ~ - --. ·n.~ .ao~' ru~im a '·¡".,R :JJ) ¿o,t:l.i 'f" .. í G.o.!.. otAfi R.!i J. j " . ~~ A3 .. .' "'::-Mx_I_, ~ .J.M-'.i _l e ,!:...!'J :M ,1 %"0:", ~EJ!l& . d¡¡¡- . , I+U du Z (I+Ui)~A d;11<3- , (r,~J.$F\ ¡

,e.-

r

~

(...

, .¡

~ J1

. rs ~...

..

"

.

q;¡¡e':ha~btte' ü~ ;·lJl,stituy~nd0·')0'S- ~~t!s~~.r.é-' s,ultOOflérn J la.ob p resÍ<>lR ,~ñy'íl 4 6r,hy j sácando <ruera ~e w p pa¿éq;¡,1e'S:is'J.el.{a~t~l>'Mf se tfend:r-:i::..' ~ ::lb 11; fl:l'j:)íhí _ ¡t ~') ,lit" f(c~ 1. ·· ~S~~ ~0,h~rJ." .. -L,r, .é:a .I.{..1I') h ·lOq ~ .', .. ' r u,= u 3 ti. 4 _ . , "d! I

v'~log:Ú4u)-M(¡t\!.U: ~-r-.;!....--+,"&f.2"

.... 1 ' ....

::l~, e

lf

., ("

"'1

,

J

:'

r

~,,! )"' ~ / 3

l'

,..,)'-,~

'f\'

u

~ 4? l1.. ,~!.r::.IG.~~t{J1JC! .11

J

sed

~ .,

y -$~g, ni_~~d.o;~M~/ , Se ,\~n~d:" éllOgai~<~~rl}efé~~ ,l ~. l 1: . . ~r, ') ' ... , " u.'"' 14;,3 (¿;¡,~4{ (¡. l~i>. de

?_qu~ per ár 1.(~-¡l-~)=u-;;S'"+;;:-:-'7.:'4<'"'h~:~S~;p¡ ... .J ::¡ f~ -l,r, ::."J 3 ,:., ';, :-~ ..... ~ '" 1 S8 Vamos á a.p licár estos princip.i~ft _á_w,gUNtS I;+U

I


Du Te~;¡¡¡ctfw. :DrF,ERE~'CIAL'.

93

~emp-I<?~'Ae" d,ifere'1ci~.c¡~p(~ ~~ el·Sl.lpU.iS,ccl.,q,e ~?-e los ff~~r~t~~w.$l p...e~. n:p~f .~n~~•.> •Lt lJÓ'

1.

¡ f¡.¡.. r.;., -f r,aX ~~' (1 ;:,ea ~- • v-.::t¡ ¡:---;. ' { •

q . J -~

;J

¡;, :;1,1;

,

,fi?

~+ ~ d ¡ " du o ',,;;: I.j Ql!~ .%~S~~l!<:\'?·4i~" ' , !,_ ~~ ,~t~dr~ ,. ~-::: fJ~ i .,-' . 1-:" oJ~!6 .q~"

t

.v'

.J~

,ax ' J

"

l. ," ,

,,·. . L. . p;] !;.~-(, ~ 3C t

J y ~.

':_ ... {~-x)~

luego ;~'

d tI

:¿ ,

r __ : _(q.-:..x)'.1.

., J.

:

~Qa.f -;' -q~ ...::.. ' bdx. <, . '~ ••

u eb;;;x? Sea

'\.'

abdx . . l (..... ~,'!¡p:.J ' ..

a(b-x)dx+axd"F "

pero'du

2.°

I

'JJ

?~X-x'b x)

.

·i ~ 1.(h-t~:¡'V~x), :y_ t;nd~¿~ós

(::L '._ ) ' . . : -cdx • ;-_ . _ _ , 'i"'"bd"T': :¡.' '. - .... _ d.{a-bx+Vc.?C), ~Vc" , d~ --a-btt:+V~x .... :a~bx:rV ci~- ..

¡,

({.2- ib v' c-;)d~ i

·

t.

I~

,-o>

2V~x(a-ltx~V:Cr) ..J . _.' ~J _ •

IS9 La consideracion Ele los logaritmas facilitll mucho la diferenCiáci:orí~~e la.~ functQnes ,eSf>onencia¡les, cuando son complIcadas. '. . t ... I •.~ $e,t.p.p r ejemplo z;::::u , sien~~ t.~!f ~1do~ fun., ~i~n~}:, ~U~~;9q.).üera ~e ~; tomand<t el'J lo'g~'riun~' 4e , tada miemor? 'se .;endr,á).z;'"tl.,u? . '1 e:: e ~J .; '", ' ¡ . -' dz ,du ' . 1 ~ifeÍ'eneiando 4espu~~ ~&5r~ 7~t-¡;:l;r.U0~t~ .: II

ie:do~~e Jz"n"~(td!~+l.~dt y,\:'(; d;~;.~r(¡du~I:udt). ) u u' .\ . i':.,~ b~ , ..( l:' ~.: ' . _~ ,,\ ii;~:- Sea z=a "HaciendO"b~=t; se leódr1Li=a:; y(1 54 e~.;'m) será d~=~ihxl.a ?


r

-9.4 1)$1.. C-Át..!JUIiQ. :etFEJl;~N<!Mt;. ro ( • " :Ie:le ,j' " ,' b:; -'!Ié-$' , " ' y como at=d.b =b dxl:li, resulta dz=1J b uxl.al.b: 160 Pasemos ahora á fas f(¡ndones éifCídahs;y supongamos que se tenga priql€F0 z=sen.~; susti. tuyendo x-+Ax en vez de x, .~~J"A .' - ",,,~ ~'~sen, (x+Ax)=(I §46o) sen.xcos.Ax+sen.Axcos.:I:, de donde se saca par:a la diferencia'. . .

~/-lo=A .z=Á~ sen. x"':"seh.,iJéos:zrx,*~e'n:A,*o&á.,,!.j

sen.x=sen.x(cos.Ax- 1 )+cos.xsen.Ax.

y tomando ia ~elaci.-o:n~¡~d- ~':-. Lh ' Cbs.Ax-I r- - sen.Ax _=sen.x +cos.,. --- ~- = ~$

A~

"

A~

'7¡

-: ---"--'

"

-=.--:~..1

.' ¡-:cos,A,i'- , V sen:'L1,. ,-sen.x +cos.x,~---,.-. . ~.~ '. ::..frx - _ "1 ~.: - ,A,. , y como se.Axz::::::I'-:"CO~ , Ax!Z=(I+COs.Ax)((-CO •.6lC) sacando de ~qüí"él va10r d~_J-cos.Ax, será I

1

"

I

:t \\"

..J ....

-"-~ós-. .ó:~=-- sep.Ax - , --- • ':

;-~.(~l_.hcos.A~

':--¡

'-,

luego sustituyendo arriba e st,.e , y~lor . se. t..endrii 'Alo ,sen.X sen.4,~~ sen:Ax -=-~x

\ 1\' ' 1 +cos ...... x .. ~ ~.V~r .... :.~ • . ~! . _! t i

Ax

r

I..J. X

+..f:os.xX 'Á • !

'

~)I·~f I ,~

~

"

'

h

. sen.,Ax . _ sen. Ax '.~ . " "( "";'seh:-** .,. ;." .- ·+cos.x) , ~--"" - '; ' ~ .- ,¡ ". . I+cos.Ax " I,f.~· A,. . . . A Y'para':pasar' H6~~1írrlites odscaremos ¡en lo que se ~colTVierten íds' dos fac~or:es ~del segunad':miembro cuando el incremento Ax desvarÍecé. ' -'.j'' En esté case;¡ sell'.4x=o, cOS.,ó,X=I, y el pri: mer fáctót se- redúce á c'0s.,.. · '~: ' .. :''; - ','

se

~

.~

sen. Ax ' , 1 'd d ~l,!:~to~ .. :Lt!l',~. ~~ a,cerct_si~ c~.:~r~,!., a l!~~ ~ t .

,'" sen.A ".\ sen.,4 .d' po¡:quj ,de :tf.l}g,~=~" t s~de~uce .- - ---.. =<:0,5, , , .cos..li: tang.4 , I ',' i .... ~

t

.,..

... . .

. .... .

..

...

~


r pues que

l)Er..:~ dC,t¡-J:,O ::DJ,FE~E~CIAE.:

' 9.)

cuando A=o, la unidad será' el límite de la rela<;io!l' entre el:-s~!Í9_ y la 'tang~Ete ' cuando el arco se desvanece.;. pero siendo el arco menor que la tangente y mayar que el seno, se sigue que con maror_razon su. ..rela'cíoa:· con .el~ seno se ace,rca sin cesar á:'lá unidad '7 luego se tendrá en virtud de todo esto dz cl.sen.~ - ,,-,,: "., ,~.~I' ~~: : . d", ' ~ --cos.x" o dz=d;sen.x=:c(l)s.xdx. I6[

COS.A=l

Óbtenidálli::qife~enciat~_e.t~elJ!'!t% 'las' o~~as

se ded:ucen de eUa con 'facilidad,;. porque se tiene l. o ,

Cos.x=seI.!.:ff'!f....::x), d~cos.-"=a.se~.(~'7t.:-x); -,~' ....J

y'com~ po; lo qu""é prec~de d.se~" @'7t-);~ !'

,' d:(~'7t-x)eos.(~'7t'.....!.X')=-'-~~os:c:~'7T~),~ " '. - • .., ,r{ ".,. ¡.,.. ~ ( ~ ~. ~ • t(I"; §,4$9 cor.reo·s.(f~~-:cFs~n: x~ -s'e tá e' -..,

' 1

'"

, ...

'.

I

(

\

.,

\ ,: d.~~~.;~-:-.:-;r4.x,sen. X .. , " :. ~ " • ~t ' -"~~¿{.!; ':;:" .. ' . ~~ ... ~ . ¡ ' u... Se·D."".. . ....... {:.", ~'"U 2. O SIendo tang.x=--, tendremos ,( § 136)' \ ~ ~- ,,:l:....~c.~s....~ ~ ; "', ,-,,:,):,~ . ,"~ . . ...~,~ ..! ...

t

,0\

J

.... ;

~


:{",,--

!.

d:cosec.«=:;-~

d;--se •.?O '

é@s,,?,td:4'~ J.:J, ~-"',.

_ ..r

".'

r

\)j"'::t -

- -=- --:¡.-::-cot."cOSeC..léd$, 5en! ~~ :~"', 'Se1!r.", !r~ ~)·Jl (, ~ J.

6~

'rOO1bien:.ek arco és futlchH].cde ..J.as ·!íaeá-s tri .. ,gonomélricÚj P:~ ~f1~P que vaw.~s) .g~~ª,r ~,4 difer~n; cial bájo este p tlnto de, vista. Para -<,;sio '~ Sea x'lll t unJ cion propuesta, y ~ la variiilbl'é:a:~ qu-e1fdép'eaae , y teil~rémos (160) ~ue la ecu.acion d.seo:x ~xC.9s''''J I

.

da

z';y :cos.x=vr....::z\ -- '~'

·'.;J"·'"1J,..k

á causa d'e séo.~-

__

~ ~ I',.,

0'-

--n-

..,..

..~

dz=d~\Í { ; i~ " Ypor cOÍ1~igJW~,.te~dx=. "-r ~z -

;

--'-"--':' ~

,

,

'V

J

{-2o-

que :es ,la -qif.éfenci~l del P(1r- su-ilifere r¡~iaJ.

qt'CQ e$pretq~ por. el.sell.Q.-$i ':.:: -,_.' - --.----------

Para esp~rcsar1a por su coseno ', 'pártirémos de la.

ecuacion

~.cos.x=-J~5j!n. ~~

. -

:.. ~.:.'.,

.~T .

- -- - ' -ái ' -'- - dz

--:::.:;.:;=-, V--==:.

que hac;iendo cos.x=z, di dx=;; sen.x

._,...-

\

... .&.......

'... ~

.~. :

-

........

"-

1" ...... ..;.:

_.".

r-z~

~

...

d~

.

.-

Sea tang.x=z ; la e~uaclOn d.tang.x=-

d M" cos.~ da d~x" , dx=d~cos . x!1; , ..,. --. cos.-xL - '~ _.,- : y como (1. § ese.) .cos.x!1= '1 . ~ :;: ~ : " ' / '_< L+tang.x 1+~2

445

I


.

.

:~b·

,.

d

97-

poniendo est.e"_va-lor en-~l ~'\l~:; N?s ulta1'á'a~:.., ~; f.~ .~ .! ._,,- ¡ ,..

1+:1:."

.

de dondie':.se puede C,.l;1tt~lujr que la ·djf~ren.cia~ de&. 4JrctF"i-s' igua,L-7Í-l-a- dife..r,wcrq:t"-:-de tW1angefíié--liÍ'Í'biiJ,t:';· t''''' "i;:(t , , _ • . ~ - t-¡ \:. . Da 'por el cubaraJó de la $eC~'1te; porque V 1 +.z~ '01.)

espresala:.see~e...;u~~o~z i s3a .tan~.éll~' :-! ~ .

16 3 \~ P~Lpedro(;q!! .J¡t-s drfeioe~iate.s... .iCJue-§at;.~b~).

mos de obtenef , se puedén des·envolver·en senes las princip~IeS")fL1riéi0!1es JCir'd\.¡tl~reS"•. '.}" . . ~cl) . ", Pa;f~ ~=sen:x~ se fiéiie +S-

.----:-.;:"5.

. ,t:' :~ ' . -:a"'l !J.(' . 'd4 Z" "Z ' . • d•Z -"rl. '~-:-: 'u-:I:. ,-'-'~-~"':":'se ~ I _!.. _~"";h.(. ~ ...!.2,;,ci... 'e·.,f¡,~, eJJ -~'-""o1Y, _ '''''', _ \ó:.U''''''' _ s .XI.lJ. dx

. d. dx~o::::;;,

d,,2

"0

dxj!- i!}

~5 .!t). ,.

que-haéiel'lcll;.'·x · ' 0, será~-"" l" , " , : = .~. ,c.~· ,~. .11=0, A'-,If,AI/=o, ¡A."'=-I, A'v=o, ¡1Y='1 \te. de .donde- 'r"'~\-s'e' con"l"'trritli'°- -.' h,:P,·~ '", i í;" :;1 Joq ( ; ~ ~ " ~ . t ;, _ ., -;- ,;:'.1 ~

>

x3 '

,,5

%=sen.x=x- - - - +

~c.

-:.>: :;:, 'I.~' ::r .:I'J~ ' ..I %?.x~3'~rJ l '~2'X'3>.X'P~1j ¡< ~ .¡ que es e~ 'Valor del seno espresadopor el drccH:" _ I

.. :

.Para z=ce:s.x., :~(f ~ ro ::r-:./I

,

;lt'I""',,"!ol -

'd4 ""-.r/! •.•

tendrémo~ ~ .rn~ .. í0~

.._

' ..... , ·d3:. ! ..·t!~ ,! " :r:~ ' zr.l.. .....~ sen·." ·' ·------d ". ~"~ ----::- 'ci3s"x . . ~t~séñ~x'::· . , d ~ --:' :.. . J. . (

Z.

r "

.

• . •

r ..

v

..

~

~

S: d S -,q ,1 ,.. . IZ

("-1

~d 4~=COS

"

~ I ... ! H 'JL":. •

!..1J~-t"~I.; ." ti _o

-

L

~J

...

' ·Xy,¡;.!Ji;u .. ¿ JI"} ",,' l' • ,..~ . ?""'~S;oI (VA J., ,Z --J: ¡ l' ". r, IL\!:J' l'

JO .

'd6 1

,L5 -.:-S.eFl~'~ ·,_. " ó:- ;7:.C9:'X; . e.~ f) .. , . . . ~ U'" ,S.;..1 ... n . . t._ q,-Ue 'llaeíeFldo:J ho:::!o ; l'é~Üaf 14.2. 1, A'~o ~ .3.~::;,¡- 1 ~

" .o?' ", . •' ,

'!

"

.J ' ... 1 ~

.1

'.1:J,"!'::""O'o' A~Y":'1 , : ;¡qI:f:f:6~1;,¡qr'''';:''-''I', l~C. 2

4

,

6

Z' .~

, :

:' ~ 'H ... ,

ryJC"'OS~XZ=;¿'~I-L+f ,r'"' "'~ ''i'' "q!ll. 1" ~? QJ t ~\!tc. ~,' e; " 1" ',~ IX~ I'X2X3X'4~": IX2·~'3~4-?r.S:x6 ;', r 5

o

"

'T

~ Déi ~,iShlO ~Od0 ; sél ~Ú'eden hálÍú " tó'd'a '1,(5 ,de, '¡¡'¡as HH'e ás tti.i gon0metrrcas efl <valóres (i:e fStl s~;arC0s, '1 et, ' dÍ! 'e~los~ éspr.esa·ci0§. pbr'~lás '1ínea~ ¡; ~ er6F ~qi1Í 'sólo ila~laremos , eide! ':.al'C~ fespres·ado rFO~ 1 sh 's eno. ;. _ Pa.'Fá·-e&tO) , sea ·:tl.é:1"ared y

.

7

~

el 'sen1:5 certespon-

T. ll.


~.,~~ ,e;~:!-q!!~. ~~!tJªj:'y~I~~

SJS;\;.

~.

h.

(~6 \

nA'

d ' .

~¡~te ,~J.e!¡>l1fi~p:¡.ce.S ~;)! . [¡ _~Jl hf ~*,," ' ::,::.} 1'"'

l'

~X

;~H :') O!:J .::;¡;¡')~ ... .

VI-XZ

.~. ~~.~·-,\r:,·;il dz ~ '. :,. r' 'Ú; hl:~Z:i) ::.~~q e3d.$'i,tCoIl ,b lo~i'l, ~"8 dará.' : - - · - ,' .,;,...,.-..~ . .. . ,~ ". " n) -¡¡'l r.:o ll. \-r:-:. >;.....l..-.:l: va· ~ Z· L'- ". , '3. 'm;-¡~ .. ,)

V

"

/'

." , (f...!.olC2.}~ aX~ uX I_X Z ~~+! ./ ~~. r'~Jcr ~ ~rl;,~'::'\$;" ~~ :.,.\, . ."~.:'q "-~ l~ "': (\<1 ~. . 1 ~ 3XZ ' d4Z gX3x 3X5.X3 _ _--;:-1tC . .- ..1qy..... ... ~ _ ¡') .. j. ..~.,.V l..·"o:. ,) .::d .. . ~o.' :"~.,~ • 3 . si .l o ,v S .. ' Ú - ':'

(T-:-~~)~ IJ ~1~,,2)2 l:II-'I2m ."(lt¡~~)~!·, ;;'t ...l~"'}U: E- . zr.l ... ~rl:}~ H:J~ .. · '.. tl .. :,';t~F¡ I¡"',b '":'·, '2 :. OC .~"jn:;'Jdo;)b , . . :.:1 d 5z 3X 3 .a~ .~~.s...~9~X· •. 'J13~¡Si<'7.~,1;(; r:·. ';a

•.. . ;.• . . \ tC":'l.l&C . .. dx--S ..... ""-'er" •• :J J . ) 7 ,+ • ~,-' S _ .~~.;;-X2)2 (1;¡:o .fC2)U:, · (I ~2 )2 ';; i,J de 9-2'l~-'~::!.I~clend!?,J '9'~o;?-:r. ~em~n.d:2 -pr.e~~t~, Sl·ue., entónces es 'tarnoien 2=0; ~¡;esu1tará ~;x. ; 1;'>; '" C' 1 A'V-o A -_0, A'-¡ - , A"-o , - ,' A'1I--;::;tF..' -,.~ AV'~3'X3 '7 1'V .)tI ..r);: l-'li~ «1 -= .. ~~ ":,,,-~-=""':X.3 ' ''''=· -3X 3:fS-q:S ....,..\. (,e __ y por J.(j mismo será2="í.i1f~~3 rI-:{x'iX'3'~~~'Sro-~.~ ~ ~ . c-;r.. ~

~ ,..~

'(o

--

A.

"'-r:j

-

_~_

..... _ _ _ .:...-' ...

. .:.

~::r::::

De ta diferencjacion ,de CU4.l'tsx¡uiera ecuaciones de do: varittS~~! .; ",,.. . . ¿Ún¡~i.c¡:; ó:·,...~ i 'iJ 'i~\;:'U' ~~ ~~ 3;;-e. .lo....

,

164

p

-,'j

'":

~

• • 1):'~'~

¡ .. i

~

Hasta aq uí sólo hemos diferenciado t'f3laeio,

ne~'f.~~r.a,4.[$~ '_e~ ,.~~~:!'.,~l,1.f~íónr~' ~ij,ál..ll.~.~aria.

lile se halla-'ba:) sola en un Imelnbro y la fhlncron en el otro; tales son las ecua'cion es s}e·la forma Z~, .J *fl,ao~a')J~fu.néi.9JJ. de.. ~i 'ff- X una. ~1l~~U:tn -de..x; pero en el mayor n.úmero de ecua'¡¡:.i·Mes que se~l!if.. ~uenga!\ t:~.las in v.e§giga§~b:fH!p, ana,lí.tica~ ;r~a r-vari,a., ble l~ J~Iil~iOIl s~ 'ilªlf~~IIj~ ZlcI!iga~ . ~ ~cQ.~nQiJlada-$ -

y

entre

SI.

'"')

o

f ·

.,.\

.

. .~\;J.l.-ª-~dQ..S~3llile. .lllUl•.e.ctÍ'acion;..cualq.u~~,.g;.V:~:7 '

entre X"Y: z ., S!l' efecto e,s' íletei'lllinar z tpor inedia de J!'. , 9~ "p0;tJDedio. de-¡~¡.,A~ man,era que.ü¡..pa di! ~stas cami,4a¿i~p .e,§ fu ncion 4.~ d~b0tr.?--. .Si co.nce9imos ,q\:le .se .haya 1~,ter.minado. tz, \Por:. l~.edio de x ?) sU.$rituyen: do l~ ~~p¡;e~ien de z e!,1 ~, !s:s .t~ se cOll,V'eqi~áen un~

f~ll:io¡~ cJ~ ~ sola ; pero·. ~<¡)!PP.;u~st'!. de t.~{)ninQ§. ql1é

".,

.~

\'


¡;.tv

. J;)~Lf~.Á:LtTiTl:.ruDÍElJll}~N,«}I,~,r;'i-

se deS~l'uirán . indep'endíelt.t-e~flté de 'ningUl~ valer ~i~ {tu1~~lde~-5;!, pu:es'qüerl:Ster..v'i'ltii-;iciebfa ¡rér'Mftiie'l cer illde~el'bñm¡do.J?e .donde,$'¡;e 'sigue-que 1~' camD: da'éFP':Se~eBe::aiirat\' irrrFl-íéifiliñ€-hte":: coilló 1Ii1i=rli~.. cio'ii:::'H:-S;-,:t qu•c ? el nula p1tfa' tód'iiis~los ~ítores q~~ p.u~.d.e .:1Íe,~~1!:.;é.~mc:.lHl!'.Í_abl~~.r}t iJ;u]!bp~0r co.nsig~~te slv difurenciaLrlpbt>_ sex nula _tambien . lueg. o en ~ est~ t\ l.4 -UI .-l i) 5:J ~ ~1.,1 J c• • ~/~ t.T_, "' ~~1· - , ."; , ' . --\>:' t.¡f':.! casó.la Ai{eregc~aJ g,e.;¡;- ~e deberá"toq1at coqsl~era!1~,&eSroJ Jr, ~¡l '~f ,,u 1~ ,' ,;.& ~ ll - r. --. t"- J- 'é;r. o a coo unClOn ex, que a¡f~)lue ~~g~ ; :j

tc'í. "

ta forma ,dz=Adx; por lo

~ual

si stn6rñá T

~la -dlf'e:'

Ff~6~f~et~JiaJá~~{t~" ~:{~~f~il~~~ la!'i~'ua~~ ~~ñ~~,l ttfJ t 'St! <te dfa! .v-eeuaclOd queA:Í~De dt!term'l:ril!t-a. "A 1

~il .eslaiMp0ret1rs';-= ' -+-

', -

{.y, '-

.

"-~-J' .:;¡

' -"-.

.~. ~tl\l!'~m0$c'~~~11pr' rpedi_o !l.e ~u~Jej,e_lnpl~, ,_.s '!$S:. Sea la, .ecliladen 7;z-2m.lC~-;h,*~-a2=o; • ,. ' !l ' ) . '" 11 - [ " 1 ' ~,~.u ; ~ ~ ..SP) S.tl.§tlt:~¡¡: 'ell-: 'f§~u;,:Z(§~ Fa or·::. '- n!1g; . m,,;;!;Vaz _x 2,.'j..íñ2x 2 _. yO;¡;; ' ; ~ i1~ csII-':~1 :!~! c ~ ~ v ' ):: a::'!.!1~ sacado de la mlsmá eéuaclon, se coiwertid. eh una {Yt\';ililgJ d.§:J~i li.@l,i(d;U.YQ§'J::~J!lifi9''§,J t,9Jilils se Q~[trui.. rA.~' ;' a>si 'J9.~....~~¡¡~ncia-~ b~jo $$ta {prma S€ff!:..,igu.aJ ~O})'3~t0.: ]lerQ, ¡;fi~eg@ncial!g.§>i.e.l WiJIl~IC.!.I!i~.~bF9. . ,e~ el supuest0 de ser' z flJ.ncion de x, se tendrá

;./ '~2¡~!l~772m~dz- ~m.z9."Xrl-$~4.X':"":'~' ~3 ~.:.. o súprimiepdo él faci01' comun 2 será

~f.~

zd" -mxdz-~zdxrt-~d..?\t:;=o (M), 'frt'':' _:

C ;¡

ó·'z-mx)dztcrf-w.z?--x)dx\Q, ·- o) ~ , _ ..../ el' .2 ~ d~v'i) .lC'i~.....x ' ~.b (~.u.t .11"" ' .),-It-~::;n q\l.e da d FA;:::? ".. (N)~ ,L· -' ':-. 'h .-::ÚiJ)~' x z-mx . . .. ", !

"

-:

~

y SustituY~ncl;a

~

A el:de z,

1.... ... :.

s}!~á,

.. JI

_,_z· ') ~2::":x2+m2x~ . .., ' A==. '::x':+'-mz,¡¡-±in,\1 J. .. ",... ..x'" I.':J.... :c -1) . . \o

.í:.r .,. . . •

·a:::t, ~ .. ?iJH ~L 7-,: .'; . §lj. ~$t~ valarl Q.Ci! -.':,-1-.' ~ I'f ~

_ *r

J

_1....

...

_.l.!

•.

±-\Va2_x2+m2~~ "':;'::':.L~t-.

¡ -

..~.

- .2 1""

-

•• --

·.....x ....m x ~' , m:;l;;: . ~ 2 2 2 2 ';;''-· y';a :-x +m x .. f;

•• '

l"esultado idéntico al qu~ s~·,4.é-ªqciri~, de l~ ecuacion , .. ~1·;· : l-


D1\:'[,l ~l:tcu;r;tY-~DitFEREN-.eI~J.

tao

.s- o;;-~· d eb t~3t=r;:-''' '2 - :'- ~""'2-·!::lJi ..1 iC":d !.! ....) ·. d· :-\~ separada ~=mx±'V,p:>/r'.-J~. -x. +m '" "''1.~ .1 9}~e_ 1.4.0 :"'!'lI"' :;Iq"J"I...I _''J ...11 ....... ~ ... ~.f1a 1:;1. ,d~.1s:;¡ ,tli ~l! p-~.x.;-h2t1fxb·. ".'{" .0;.l rr~rh7l:¡'Z'" . ~\"'~, nr;r-~t± or.':·~ "'M~~"""~' .. ..,.17J.:I;... " .. " .h "d:t' , ."J +2V dr=>x2"'+i).¡.~~t. . ~ va2 ~.~x~+¡¡,:~",z ~. -:.¡()

jI":,

l.

::\i:{ \ ':1,'11:. .;.

~1·l.:

,{. ?'J)(n

-J',

T-

,

.'J 'Ut· ~r., ~

.....

J

·'l.np6,S:~(2A-pli'U1Jdb'4 tnisIhO ' r.azonamieni'&'a~la ·ecua~

H~'h ~i...Qril~)'14.winf-4l::i_ó " qú'e 's2aetiJ&:'tle".la '(N'''~ "J,~,¡;¡1~S.".~:lf.."

l.;~t'); .ti j .lr<;~é. ~ ... -

' .~..~' lit

_"" !

'..,

: ¿~

s~nl~~l.f!'jl~~~ ~~iya:?~5 ~(1 ~O~O !~~qo?e~~a~~, 5;t:s 5U ta

el

eCUaCIOIli.

~

I

.

..

,

-,::;; (~,....:...... ¡;~m4~ ):'__4.¿'( 3~1~~j~¿~;ndz+~x~p;/i, haci~hd~ ,.. ... 15 '-:'t::ÚlJ ... . - . . ... UV:a ............ _· ......... ~

A

l\z=¡.Mx ,-:¡A/J. :...:J!?"S-,,) , ...f. di ~ld.l~gsl~,lPQ¡;t~~·,. .;resuJ~ \

tará (:&-m)A+(z-mx B-mA+l=9~5eeljaClOA que da_la 1'é'1~oioli:J:q1i~. ~ :¿áefideIH.e c~~feréfi¿i11id~1 se4 C)-'dY > ~H .• L .. ~ I J ~¡ ~und0 ótdea!Byé ~debe ten!!tc~n~el'J .ité ~pl1ilÍleJ - ,:;-;;-dxa,;---- 1 • dz' .';~ -':1\ { - 1, • -::." 6rden A ó - , y con las vanables z y :t"'. BI';; n3 ~"t:- d~ lUC' ee tnr,;::: . . j~4 ~n~¡m"'rr :J':"'.t.. J:I-.J ~ ~ - ~ , Gohtinua'ndo' diféf<fri'e-Íá:ñd() a:~ J:.r1wÍsma>manera; , ~é'fórlf1ai'ia 'la: ·'e~-uaCiérí/;4él qUé .. d~l:"~ndi'ése. ~el cO'e&: t:ierl-te::diferenl::ia:l¡ de >tere~l' "órder,q Xasí é'im adelaá~e¡ .i:'r__ :i .... :''.~J U(j ' d~ .:}~ !;C (";: .. 1"1 . Z . Si seo:á'liende : á,~q·~"Br:E.-2-' y qucf.ii&z=d.(di), :>..,~ irrLi,i(J dx ;;1! O.t-.ulZ .. '~'.- ; ~, ie reconw'é rá (l'tre::::l:aCédl1tcÍGlill L,A:~,.- .'. (A....:m)A,.I-(z-71iX)B-1hA+"t.±!o;._·.!:;tc' ~-)., se deduce desde luego ~~ .la, ecu~cio!?, (M~" cuand<}, se diferencia baciendo ~Miar ' en-réP!át >{tz' coálo úÍla func ton de '" ,. y. dívidic¡:¡QO a~1púbs por ax 2 • En e. fectrI,~ ·d1fef.eneiánd'o y -\rcij.ucieñdh 'Y sé 'i'i'ea'e c; '!: dz2+zd2z;·21l!cl.~mxd zZ;;l-dx"=o (P);' reduci~@-y:..myidí<;i1d'9 ,por º~~s.era dzz clz'-':-,:- -- -d:1.zo¡:: -', d~z- -2 m áx ~(7J"::m~¿dx:1. +1=0; t..

I

I

L

y

ecuadofi que

_.,'

t

-

cuallcl~(:se::;muda

- .. ::.:.~. ~~t

en ·dla


DE,!.' ,~k.J.CJ1-{¡.9.! D.IJl'cP:!t~NCIAt:.

!:Cl.l

Se. trasferma en 43' q.ue .helljQ§ü9.Pte,niPo_ ª!1.t~§ <:pa.ra. 'determina:l".B; ~ . . ,6· .• , ' r' ¡" n ;'. - :.-

'; En g~n;r.al;;iH,,~er ;vari.~t las ·eantídades A~, 'B.,.¿; \:te. comol fUl}c)Qne$ de ~, eSttornart¡¡ª,ª_difej\~9cial~ª .' • .,'." . ... k!); 4Íiz .dllz ~:ac ~e las. espresiones ~<ru-i.vale;Jt.!ls ~ d"" --:-r' 1de.~ ; .en: x .. .dx r" • .;...t _ "'; una palabra~,:.es considera·rdl , .dll.z 'cte. cO!llQ1flJ!t~ ciones de ~.. , 1• .i 1\, ' . .-<:" .,f.;; .La ecuaeíon.{ M) es Ji/. 'difel1~'neíal ~prír11~a' ile la . propuesta; j a ecuacion (iP.),es' su IJiferencial 'S.eg-u.1ida; ~c. y segun la <observacÍon hecha.ántes j Jas dif ergn.:l dat es. de:·u.n.a.ecuaeion príl1iitíva '¡~J'opue:Sta; .se ded,.ucen Las unas .de las .otras por Ja'·4ifer.encíacíon ,..J;Q.ns,id,l:" rando á z, dz, .d:~ &c. ;;cqmo J un.aiones .de x. .~ . ,") Se pasa á 'd~:s;~cuacíones 'lue dan -;los c.o§fi.cj~nt¡~ difereneiales-., ~,bservand'0 . q;u:e.J:stes 'caeficielil'tes..&I,:l!'J - !: :.._- - Jdlz-v ·~ ~z " ' •

I

"'"

'

n

_

1

~"

.'

~

-

1

I

'

.d ? 'd :Il' '\:te••. J -,-x

;le..

..

1,

1"

dz

:;:,

•••

<" .... .:...J..,' ...........

1;

"_;..' ::. .. _,.!:..L ..

ÓJ'hacÍeitdól<lz.-Adx, d~~Bdx,Il;J~c. ' .. " ~'O por, estas úhimas $Ust'itu,ciones las .diferenciales desaparecen-:, ..y·.s0lo que{dan en losJt es.uhado.s,.las [un... ciones ,~

de x .

,.13., el' .~C'. :absolutalll~nte

indepe~cl.ientes

.' . . 1

'.

~pÚéa~i6';' dePé~Úulo diJerenc!aí 1!~r:tJ i1etermín~r los ~. :máxi~os ,:Y. '!nín,il!10s de tas 1í1!1~fo~7s ',de !un'a' solll - 1iaritilflé.

'

-'lo

~

..

l '

' .. .•. .

!

.

;."

"'T'

_."":

..:-':2

,

!

"

\

I

7.~' t~6 ..s,eg:llo la;jdea qúe l1emQ~ .dade de Ia J un_cion, sieey¡ite,qtte Rad e 1á, vari¡¡..bk debe ~ariar la fU!1cion~ y.. ~oriJ€l ha Y 'Olud~as fundoJl~S ';4l;l.e,\tienen:.<:~<:.(tos lí\" mi.t.e s, aU!l(l"te"slus variables ,e.@b,an .todos--<lQs ;\l'aJg:- . ·res. posibles,..c:s:il)teresan.t¿ ~¡Íber ci\i c;uiatas'y en qué o,c ~sione& .yat~a;.la 1ey de' los ind¡;ementus p de.e'remen. ites de.E1ad'uh.!::l0C!f, sin "a·t;i,ir: il()~ :...a~ ·la variable. .!;: . !> •• .: Enl:,~.ct~ I:.CUaf.!t;\¡0~iá varía;bk .de que ~epende i1:lnalf.une,iqn'l pf.opt.testa~ .ipJlsa' ,s;úcesl.v.aInent<:. P())f ,t.o,dOLI:~.s gMdcas. ae matgl~tJ:l.ii¡' ::5.l;lcede algÚ;l1~:s ~eces \


f~2 DEL ":lifÁq,d.út6: DIFERENCIAL: ~í1~la <lAA!i@ de.l'ós :valores~ que r~ibe tl~á!fu:,n~í-0n; e'~ al principio creciente y se convierte des l!H~sten decrela ili!nte ~ ~enloHeésj iháj' 'en d·i:ciha seril'f.úQQ:-d€L~s:tos.va­ :tél'@:"" q utYsobrepMj.v 'á : l~ que le 'a.ntéc~thln0Y' cSlguéñ inmediata¡yegte. ~ ,al contrario, la serie de los valoroo \de 1i fllncio&:?·ropties:t<3.· es· ~l pdnci~¡-ó (~etr.ecien te, y se convierte cfespues en creciente, se enc<:)lltrará necesariamente .uno , q (le: s'eliá menol' q:ue!'·i ós ! q~e'rle ll-nt€ceden Y siguen inmediatamente. .' ~;" " .~ ~," . Eh~rmiqo en ~qu:e" é:l iilc'r emeñto ' de~'l'tna' ftlOcion se aeúeQe;~ se·'1laipa má'ximo; IY' aquel:en:q ue: deja, dct d~'(':'I'eger· ,.

'1l1í1limo .... ·~·,, 1 r:f)r: ,· .. ·[¿·C(} ¡,i J' .";~~., .... :; ,,',: ,Seá, por ejemplo, bt¡e'Gua€iQn ·2:=2¡,¡.no.x. ... x~,: ¡~

t

enLla\.cuaJ .obser:v.aré'mbs ,,! '1. : .::';" <':-". '.: ' •.",:. .. • •\ que si .'lVrd0, 1," 2'j"'3" ~ p :s, ,:;~:, &6-. ,·.J ,- ¡ 1: ¡", tésüHrtr,z=z,rJ,I8,:Z3,2'6,27,26, &c~.' l; _.::'1::3 doiHté' _v.&tlos.q.ue: cUándo rx=5-(.res:utlra pttia ;z.·l!1Il v'á~ lor máximo que es 27, el cual es .~'tY0r Aue los que le préceden y sígue n inmedia:tame"fltf; ~ - ¡; Si la @cuacion fuese z=13-4x+X2, se tendria qU(di~ci~nag:¡az:: o '1 " ~ --=:, 3 ,f," 4 ~"'8i:iJ . r . f, :""'" .• . ...% : ~- 1 3,: .. ,rOf'~9,., ~ .. ~' r t'ill,,, '.. ' ,.. ' -~.~ resfi' 1tatul. '1'3,' &(l,, , ctéBde vern¡;¡s q ueJGuancto-''''....... 2 ·c0.Fresp,.o~cle!á< x'Jet mi.~ l1iaro ' 9,.4..ue. es fif~u0r -qúe eLq ue.je ~¡r~eéqe J -:.sigue , inmediatamente. ~ ., r"q:¡. . 'l:oda fl-ln~iQn. g.J.le. ~rece ,61d¡:~:re~t;. ~in <;,esar, clianap .Slt ,vá.¡-iaQle,<;teee 'ó"decr~'ce, leS' iq1~ept'iI;)i~ m'áximo' ni iüíciítnó, pues' qué" ún ·v .r~of' CU¡¡19.uie,\ " '~..l' ra sucede siempre uno mayor ó men0r. · " , . • ELcat"á'Gtefii é-sencial del JníÍXémo c'ofísÍ5tún qli:e los .v"alores. que té preceden y si:guen iílmiclj'ata?n~te..SF!erifS -menoreS' ;. el· mínimo,. al eontvatio'; .debecTse;; ' 'henor '?¡U~ -los' 'Va~o-r.es "que 'le "Pre"C-eden j .Jiguefl i.111.1neaitltG1venÚ¡.; :.. ~, fil~ qice imneditltr:1ñ~ñ:el.' porqtl:e¡ s~c¡edé- (}~f.~e;. 'cfiencr'a qlle una.fldnClwn tlen'e;"Ya10¡iOS ¡q¡;¡e'5(¡jbr~pu:Fi!1i1 á 'su máxinoo¡ ól qilie "son~;ttf(ft1ores qll!le~ su '~rniliiilloi.!~ 'én ,tiq::q,unjene mu élms 'máru¡;¡;'Qs y_miIIDiln~deSlgua­ les ~iltj'é-.5í;" to'dÓ3 h~ ,.eual ~st: -coh'ei~e cbi~rny ;por.;q u'a,"Si :d:e&pue$ ' ~~ :na:bbi'.cl'.e"itltl .w.?!l~edd"0,j (!'Ste fu·mciow1 4

,re

••

"

bit

a

\


·i)ii:.~7€;hcüro '1iii~ii~ejAi. . "'{o3 -v·a!lve!¡ ~ereeet ' de ñúé{/b 5tHMfididaineirté!; SJ6al&ar á ..p0'f · 5¿\;1rep:tlj'ár a:l;ffiáx~~<frq~~~!~fo·~.1 pii~;i~!~:', :l¡

En vez de suponer :Jqu'e .. ~te¿e mdenn,lda:II)ente,

1ióa€~aS fciht"eHintlue-deerezCa :üe's p'ireS' ae nii3cierto término, y de 'aquí nac.e rá ufl,nuevo máxim9 qlte ,'~dtá'-=Sm,.;·, flifere~Tté' dé1 1pi'iEheio i , de dondev 'sell>ue'. de inferir lo q de debe suceder cuando estas ,mudan.. _,' , .. '" . " ......... ,. ' .... .. ... ..., .. !S'e- fe '~l.feri... ................ ~ '''T-'' .,~ Loo .... II.J_' ';.. D I"~· 16.8 . ~a~a aplicar el cálculo diferenciar la la, 'in:vestiga'c,io'¡ "de: los-'rná:iiího~ lo' inmhno;,s' _p¡:;ach6irá lo siguiente: , hállese el .prim.er c;.oefieíente difer.e",. "dat, ;:'j5'ig;uále,,ie 'c'On cero ;7íáVt en-s¡l lo¡' -V:cdlJr,es- ~ile':t~ va;iab¿e 'qüe ¡safi:sfa~en:'a ecitác!o.n ,; y ft SfLdjr"rrl!i. "ZlC iino ó"mmi1lJo) será en algwio . ile :estos vi¡"furef dé tG . bt'e.. ;,e _'u~ .. ~~ __ - " - ._._';"~J ',n.rn '- ~)['lt nl""..... ....' ~ ?~rr f' roana . ,- '" " ---r"'-~ "" ,u " ' H~Uens.e d,espues los c;,oeficientes difet:enci.lil~lJtl'¡. -guien fes"; suStí'túyaie "eíí.léUó'i en ae"%~1Ji¡Y.iable ;cada 'Útt.w¡-·" ai-ioi qué ¡f,hallar'ori '~n :lzúgtla.fJciorl ·'/í , ~_

~zas

~t-

r

"

..

~.

.

,..

iJ·~.

..

está

f'"

1:" .. ... 0

vez

'Cero-det' pl'iij¡e? ',coificfeñ~e 'diJ~rFncíal; c.~iJ,~' tfJbWr.:, a~ estos qU,e rldüzctFá :cero' úñ númer6 "imp,art,oile:'coeJ!...eiVh;' :'téS 1li¡¿rlril¿i:aw,rr será un 'máximo - ó u~ ;jl¡tfÚnld " :' ~e¡:-!

'!1~áxi~no:i:' L'~~-p:í~~r~ '~áefc;e~~~que~"n..~., ~,es,~pir!~i;

;ttene.d ~gn&'negatzvo;' ytsda m11ltmo; "sz'"ttme é'fffg-::'no positivo. Si la s,ustit,ucion d~ e'stos ,vat01'es' ';';dilc'e -6 cero. . it.91,:nuiJWrO Í'ar~ ;lecde¡iE'i'eñPés aíferenCíale-'s, LIJ fún6io'nJpr'opue;ita"'ña' teñilra' m'Úirí,o '!'I( mífiíffiQ. 1: "w , Sea, porbje'm'plÓ'~ fa'1 -fltnCibtr Lz~Fd.ilD~~~:Jj ,. ts: ~r::4 t~x d~ ' ; ~b \ cu:y~-cociictente~ l\tfet'em:i:¡I.¡-e;' ..:.c.".=!!-¡ 0"':::'2,,,,",' ; - ,. _iS

( ¿,

~~I

~.

",;:,1

áx /

- '-.-

iguaí~.r:.dole ~o~ ce;~, ~a ,1 ~~2X=O' :b . de:.~.!l.de_ x -::'~~ 5_'; haJles.e ...!'!l.. ~egundo .· coelie:tl!Jtt~ "'-'_," ~x 1 ~..i':;:' ! . ~ ,(,t, ¡ ~)

que

c.'-'. - .. -

,

u·~

difereneial, y se tendrá -, - = - y 2 ; como es J nde-

'r..~ ::~.;

... -

-

" dX2 :~::'A. ~

, ,. ..I.: 0J t

jiendié'l'itif aé"x~,i, Bo ~se -:r:edúcíH 4'á!h!ro 'p'or nih~ ti valor q:l;!.<e tenga esta variable; luego h:lbiendo sólo 'dé'§a'~át~cia~!1u~.l ioel1titearei. ffi'fe'[endar~ :'i'nfe-iimos que cÜáfido hay máximq ó mínimo; y co~o

x=s


,.JP.~.

.!?~H:'\~¡\f.'~lf~~ m~Elt~!)TeJ~tí. '

¡~j ~F.rYHes c&:eftl2~_~te. ~ lle \99.Aes~pa:~t;C;~ J~s !.ulJa.' ~,a~.. lraa~" qe,gH,lIV~, , _.l!1:!'~rJw.9~_ -9 tíe,¡:l1<;~O I Y',~J.9!1eS, ~~~. mo ~ ~omo " iJ:ebia v:eriliC4:rse .( [,66). "j, :" , ,,' ~ • ?

•-:,::SJ!,~,j~ ,s~g'',unA'Ó.' l~ar- ~~ 1 3;"-:i~';;f:~j- )b hallan.. ..

~ ...... ...,

'":'/0

.......

~

,JL;....

(r ' J:jol~ . .

"

,... ....

..

'-.

..

....

1

-

:_o:!.; ':.! ~._"" ~

__ ) d'.t :~ v

('.H

r

¡'o

:t!~ c~4fo~9Gi~n~~ 4ifm;!l~i~l;sera, dx-::-:'74+~Aq que

..ti.tfai~"d~ ~i~-n (,éér6'd~J;;':;z'; volviélído ¡,diiérenti;i~~ - rü .~ i a.!1,.Z: ~

!' J-_41 >. l'!' :~~I") '1 .:.~ 7!;':" -:' q I~ ~se~~) 'd.~2" -::-:~ ;, ~ltJR :velp.~Jc,~nstaI}t~, ~ i1'9~i~i:9, lllá.~ j

"t"':--~;'.~.,.'. "'H"':, ~:.:, . ',' .:::.1 . 4.· . ¡ ,ni~~st~ .~u~ lacJu~,c~on,: bje,n~ , I:lO ,m.ínjrI!9 c(qH,e~pon• _

Io f".· ..

.dieMe,,á, i-?'-;;-z" . csmlO , ha~!,!~os j,nt~s (J 66). ' ~ ', ~é?, ~ ,J?~,;cp~i~~'ya ,)\l ~!;~c~i~a, , ~~ ~tr ' ,t;~gl~ " va· mo.s. a examinar analíticamente la CUeStl0n, .para ~• ..d.\lClr.~é\i ~\

r:,1'"

",

,:-~

.>::A

(.:'

~

.

0.: ... ~~:

J.¡

$~"" }?3sa~~s~o, , f'~~ & LI&~jup~io,l1 \C\l~lq~~era;d~ 'd!¡,Jy ~uI?0qg~~os " q,ue . ~ , ~a~!i,1~elpqq~:a.1: ~'!.Wr. il~ M el e1~~~~ i é;mÍnimR . .~~ el>t~ ~.uc}9iQ,n, ; :,en~,~t,v. GªaO : " .$.e .1nfie;~ c.i:lt:;1.as )~e.ae fl~t.@átHq¡.o :f' flIf.9:im9. . , que .~i, §,\! :buscan ).os valort;s ,de· z. ,c.l¡>rresp'o~di~l]~~~ á,..~,~4k. y,á :JC+y,.;:~e. deben obt~.~,c:.r:- ~~~l~99S ~PR!;leMo.sa: :resul:o ~f~~ -~~eno.r:e~ ,q U!! el .~~xi~<2,):, R~fYP.~~~ . q ue 'el ,íjJlUHQO. , ' «\l" ,,' - , ,\ . ¿ ". i':J~ , . 'j'"

:~" .' :Es,p}:.e~1I;ndQ' P.Rr.!:~ff~, i~!p~· de ¡\,a~e: CP~~~SB¿I!~ de 'á ,?-:-k. " y' pq~ "/ ,et q!-W,G-o.rr~,SPO,1!~~ I.á,.(X&k ., s! te!l<lr~ (I.:5:Q~ :PP!.:~l . ~~?,.'~Flta ~~, :'J;aiJ~:r J l' 1 ; ~~, ': dz. k

'?z=z.-

dZ~

d 3z

k2

k3

d',;f'T" ~:d'~'1 ~1 kd r:-~ dxá5''S'i~kx·r.>'T~C.!1 r.c~' :"

,-'[,fn .. ;,rr:...,-~Tr:t..q"'¡

'o

t-o i

a'¡'z.

'. .~ dz. ' k : .~i' ' 'fe1- ,," -,' k 3 . ~, , ~;'=2¡-+~x~+-,r ~ ·;x~..¡L~i·.&:- ' ~ *~c"'; 3 -I~2X3 d", ' 1 'dX2 ,I·X~ .. ..,;t:-: c.~ c·:.J.·) ..... ~, -~ :.:.- - -. r,".;U1 !:1) ~}a"; (I~ ~~l:.: .. :~o

dx

y como 1€ 'p üede ser taon ,peq ueña que u~ te.rmi· ,no,,.,<:4,:lq ij~~rf.. se,á. rm¡tv¡o.f. (q 2)~que l,a ¡;uqta ~~ :tI¡lQ~ .' _'. • ~ ... : ' ; '".¡ " . ! r"" .1 -. d.z'· ""!~ .. los, q, ue. le s1guen , 're~u!ta. 4l!le, ~! t~f..IDÍl~9 xk PQ-

dp.

} ;'\.,..1 ... \

( ......... ! .... _

,.,..

:"'!!J!.?~ ~ _.

X.

_~

:

(~ ,1;

f .....;

.,

J


, l

'

nEL CkU~,ULO iDlFEB:irncr./tD'.

)' O.)

drá CUl!lpliF con, esta condicion; entól1ces .~ será ma:yor qué el primer va~or 'z, y menor que el seguf!.;dq rz1Vfuego la: ~úndon pro.puesta .:no: seí:á, ni:" máxi.'

.

dz

.

~

lnd:óE mÍfiimo ,:mréntra:s::q ue !:..l~ x]¿ no 'se~ nulo. ,Pe-

ux puede 6er .cero si no le es aJguno . .del,sus racto~s\ ;:,y -i:omo·,.~:nó pllede. ser ',cero; por.que re suponemos ' -u,n valot ?eterminado, ,aunque . dz. ;:. ," - . ~, " -: s pequeño, .se .d.educe B!\lJ c¡; ser4 el qu~ deba ser ce..~'::.. . ':~. ~ ~ '--:--: ~ ~~~ - - .,,:. ro. Luego;'siendb 'indisyellsable que -~p, para que .dx haya un valor ~máximd 6 mínimo) 6~ teúárá entónces ..... :.; : . - J!.: - - ..../-. -:-:~ I d~z. . kZ " d3z, ~ k't ,-d 4i'.',. 'k 4 L./

ro

un ,.término~no

'>;

z=z+ -

x - - _x 3 dx

dX2 lX2

~-""'U·C<rt .. ~ o"'\ '"

~

r,:

lX2X3 "..~ . .f. '"

-- ·d2z 'k~ , '{Í3;;--H. k3 '\"'

-

-:

-

-

-..:

+--x

. ~x4 1~~x3x4 _ ,'- " .d4z. ' .,k 4

t'::;'Zrt---x.---.+ --X......- +-x

. _

?:1c.

)/-

" Q.1C.

' .dX2" iX:;P ~ ..dx3 '1)<2X3 'dx4 " IX2X3 X4 ! ":rr ~~ t $')Jf" .... ,_:! ~ .. ___ .:;: . _ ,y e~ .cst$ caso .s L-se p~dr.á tener á un mis.IDO . tiem p'0 ) " 1"

~.

( •.3

~:.'!. _

.

e.._

.. j

7.<.'z. y

.

_.. !.::! r.; ~ :::-

~itivo;

~ ,:

1: '::__ ! - _

..

:, ..

z<z', que .seria siempre ,~ue; .. .~

.

~

• -

'

·

z!.' ..... :: a!Z.z!:~ c,uando fu~se d 2 negativo;

.~..: ~ ~, .

z>'z, i,.:z', ¡

,f

d2z'"

d~ ~' fllese po"-

"" .

'

, -

x

1-,

.

.

l:hpJ!illler. ca:so-daria~á)ra,....z un ~ínilno ,_.y el -;egundo un fftá.lirluO".q)e dóncl:e inferimos Cf~e para encontrar cuándo una funcíon z debe .t ener un máximo ó u,uJ uínímo (porque en"ámbos' casos los da 'una misIh~J'ecli~~~~); ~~, !le~~%a,fio' busca~ Aa e&P.l']§íbn del pnm¡:r .coefic'í¡:nte ·diferencial é igualarla á cero" que es ,;la~ primer.a patne.,de. la, regla.. l , ,, __ ~ • • ·'''l,:¡-o'i,:.lfemosrdi,€hChq.,ue para 'lue haya ,máximo g • • < . • dz. " ,

IlllnunQ "tS(.indisp_el4sable::que.: -::cero; a.-x ..sea.Jigual/r~.4\eón tJ .


;1'OP

c..heu.Lo

l>l!:Lr

Dm.:r;:,R ENCIAr•

•pero no ;,POL esr0 se deQe' inf€r·il" que , si-t,grplIe ?rúe dz ~ . 'r.... " · t::' 10' l l-t ~.: ._' " '\ •(fi':-O., de.ba haber, m'áxim0 Ór,El1lÍnimo. En::efeqt0' ,}si x d .~t::valbr.~dee ~ q.ue ,haGe :mtloc..eb va:lcir. de: liiciesc l

, ,.

\

. d3 z

ka

M

,.dx1.,.'

I

d~'·" · lr, k4.

:.

' ZI=Z"'¡"; ~X~"¡:'-" ":""":::'::x"

1..-

.~

4

~,

. n ~.' ..! +\:tc; ~

" d~s...~ ,;1.~2Xj . d;cA'~. lX~,X3.X4

..

"J:-=:'.\

.

'~a:3z 'k3 " .~, ~. " y come¡ -. - x - - - podda llegar ~ ser mayor que dx 3 IX2X3 ~'. 'f~ sutña gs:. todo,sclós té~~¡aoS:.que ·s~guell'~IJa··1ialJi'ia eqtónces entre las tres cantídades 'z, z, z', la subor. trlinacion:q ue' conviene al má'ltimo. ó al' lní1llil~'b. ; :pue:s media z s€ria mayar que la una de l¡¡.s estremas1 - 1 "J. ~en<:)J:'" ~ ~e a 'ojra· ::z. . :<: .::rI:::~ " ':, ~ ~~ ', ' ::: ~ ..

la

lo..

\

. se tuvIese . d 3 z =0 , tesu1tarla. . tam b'len __ P ero sL,... . . ' '" .• :. ~. ~. ~ \ dx 3 " "-. t. r ' :"7 1:;' ..... "..... ~ • •- . .Ji'. .......... Ar; ~.J ~ (,

,

Iz=z+

d4z '" -=--'-¡-'X

h4 _!,

-;"¡;:~X '

"

'V ....

,

dSz .

e

k5

Jo1

. • ,irlJb

~ . dx , ~. lX:2':<3,Xít> , . Jd~~ t lrX2X3-X:t-~S !:~ ~'J 1 '.J ~ f..J .:.s( ~_ ~_" ,. , i ,d 4.'lí . ,kil- ,'~' d,5~ ~, k 5• 7'_1' '! ni' ti

..

2'=~* ~X-

-±.~C.;

--':¡';.-' - ' :X: "

--'

-,- ; ;;¡. cl.~:f . J.x2X3.X4 \ ; d'i~ ~;IX2X3~~xj _ :~,'".~ .,.

I I'~

_

\

r

J

~:7.l

I

"t

,

•.,ü l l

en doo.de las condl~.i:olles' dd~LDá-xi'm0 .t>.o<iel·'lJlÍ.rlimo q~dfu.d.'.am al!OCSél)cif t'eC'lfJ:§ , 'y;' da:f'j.áJ-.á~ cot1Qcer .e'hig-

. ~~ 1

' ,

..

PJt ,de !.~,¡:-re...,uaÉ:cl:e :lo~- di>s;;débta ,t~nér .l\l(gaNfl,:!!(i! ~

-..J

\

\


ro,

,:::_m7i:L.lC'Á-L"ULO::: 15f.FEn~:rAL. J ~

Del mismo modo se haria ver qua en general no puMe r.rabú lll1áximó', 6:mínimo ,..sinl!) cnanHo el,'F.f<4meDO:de ü~s coeficie~res ; (üfe:ren~i1!:les..que· NO desa parece es de un órden par; y si este coeficiente es. ,n egati.vo ,. la funcioR seI:~ m~xiQJ9: X,.~i. pO,si!jvo, lD~ni­ mo; lo que ~ompleta" la regra qXj.e h~mcis dado áni'es. ,l á:;¡'r'J:uLa. t€o.DÍa-'de.:Jos(l1!áxim0s:y mínimos se avplil ca á todo género de cuestiones; p..s:fol.comq. la determinacion se hace siem'pre pºr: un'misl'Fl&mé-wdo "iS.m:' lo nos metendrérnos en la sig,uienté'." ~. ~~. Di~id~r sI{. prOd¡ift'b

una cantitl(l,d a en dos partes, tales qHe sea 'ibná~im'l:! zle:t.odos, Zo's:pÍJo(:lúctas ! sq!/Jejaiites que se ptl~datl formar. ' Sl?\Sea ji

una d:e :las cpri'ftes de

a ~ C011

10 qu e la otra

~er;i usl-x,,· y lf epresefúando PO! uelp.roducte c~p ma~m9 SI; I;>usca, se tendrá z=x(ªr..1\'J?~X-p'2; de

na di. ::,)Cl:;~ ".. ~ donde $ale "':'=a-2~, que iguala'do-á-cero da ilo ~D~Q;I ,: ~~ .~: L,..;~ ~: . ~. " . .

O;:¡¿:j Jl

~ :~..

,

d~z

'

r

J

x=!G;

"_:.f

".

\

"

,

8ulv.rend'O'"'á dife+en(iiWr :súá~ :lZ;.4..a· ; ¡¡;uyo ' valor 2 '- _ =;;;.

, ,d.x

~

{

const;¡nte y Fleg~ivo-',=ma l'lifié's.ta.:qu:e..eJ -pr.oducto:.~ máximo cuando x=1G, Q euand9 las partes en que se descomponc:: 'la ;"á ,sofJ igua1es,; que::es 10 mismo ~ue ~edujimos en otro lugar- (l. \ 9~)' ,o."'. . :- ':Eíee~qÍl.í f,€S'uI:Fa que' si G fueséeeJ semip.eríáíet.r o d~ ~n rect~E1gu1.o '. y se quisiese <.l~ "e,s te fuese un lBaXlmo, RO habria;o¡fias' -:qu~'GC9I.lstr-uir~'Un,cuadrad~ CU~O ladoo fuese igual :f la 'mitad ,de a; Juegp ercuaUn

-aradtJ es ef máximd·~c !tódos'Jlo's·.cuazlr'iMtero's .isopet'Í'~

~netr()s. ,.

;,11

,í~_ ~'I

.. ,,'" "

.. ,;',

.~¡~

~""}}h

f

j

i

~uego ,el' triánguZ'o' ~~cf¡ángut~ 'isósceies" ,es el "ma:,.

de todos tos triángulos que se.púedetf formar. euan&o eonoce lo que han de componer juntos sus_dos catetos; porque si ¡:l1!ftD1iml:fS, ~l,~l :triánguIG, b la base y a ~a oal~ura , ose tendrá t::r:fab, cu y0 pn.ducto es ~p éqmmo "é1falÍla01a-l.· ,'..i-::. '}.' , y--'1.:t.

yOf

~e

1

,

..

• \...-:

-

....: , .. ,

.#

r)


~

{ t

D~Jos vaIores' quetoman ~ tes diJef'enciates , .Y de

en' .ciertos..casos los ·coeficien. ·.lasespresiones lJ.ue se con~ -. vierten .e~ ~' " ' •¡ L , f ' •• J:7'i . '~i se litíscase el nráxrmo ó 'e} mínimo de la. . ', '

-

J

fUndon tlz....-.V,a 2·xr.,-x4. por.::ejemplo, -se dedu,~ri¡ .' ' - di ' :o2""'-- .2 X 3 :l .• ' . .; .de ella: .el ' ~ . ' , ; 'l x ,a V.a2.x 2 _",,¿J. _ rí " : .\ . l . .dz que haciénd<:;>le.1g.ual con eera. daria ~x=o Y'dx=:=~ .'

'l..'

L . \.. "

!1 (" .~,

~' .

,..,:,

It

,Sin embargo,' con un poe.o ae .atencion se verá que. el numeraHur y ' .denomj.nad~r .de ,la fra~cion ~ -, .oZ~-+:2~3 ,

5 .

I

,'"

t1~

.... .

; (.

r

m

!l: ~

- - - - - no .se .desvanece .á un mismo - ,av'a:i2 _x 4 ·. ;. ~. ") ,,'~- _. : f,~ ~,:'. 1 tiemP9 sino porque están afectos del factor comun x, . .' dz .a,2~2x~ 1 Si 'se su.pr~m~n a.mbas; se halUªrá'd . :. .;; .- , ' 1 <

q.ue~ en · el'supU'esto

de

,aVa~-~

x

ser~""""?)" ~~~"

j

,,~,

',':;'

á

v ....

Z -¡:. ,d~ .. áZ ."0 •. . T '1 :J 'I ;' -~:~-.·~·~± ,I; . . I f ~ .l 2 - - _. - ' . ' ,uX .a,v .a 2 a (. ,) ,~:) '~Y.' 0f-.·

±

,.

,~

l'

En :l?eheral ~' .si.:se hace. .x;=;.a ~.L\ una espll.fsion ~e

', . ( p' f.\x ~'p, ' )m -r " , . .... '1 1 • ~ " l .. ,,_' ~ .. forma '. 11 ,_s~, convertJra en ,gs ~ Dí ;¡ J -.~.J. Q,.x'-l stJJ ~ 4, ! h!.!ft!:·I_!J:'! . . ,/o,;·to 1") p.ero. su ','7.erda.dero, \¡alo.r ,g-ebl! :sc;:r(,v1J:10." ,fiJlit.o 6\ i.nfi~ nito, segun se .tenga m>n, m~n, m<n; 'por~,ue barra-ndo Jos ·faCt0res;·':e0li11J~1(t~ .a-j.~.pI;1~neJ¡<t,qprl'Y- de' . daL', . $.e bU' , nomllla a. . o/a - ,....., ., J_ ,,¡ "" ',. 7. , . :. ,:)..(,~ '. ' ';01; \111-n ' " . '.. l . 1 • ~ . . ,), '3" P( x-a, l' " . . O, ~ ~., .en pI mrip"pr ea"Q]: r'G'- wlJ"'1('; ,,:'1 , ... ' ~ 'MY... .. ...: .• ~ _ ~ .. t: , .¡ ~, fp - -~ ;n.i!;:i " _ '\'·,... ~I J~I¡..;:lIJ,JJ " ~!ti1.l.i';S' -0- en el segundo; y ~Il ~-l t~rc.!lrG;.;eD I

A·Y

#

~sta

.....

'

.'

•.,

I

4 ""' ..J

J

I _

Q( x-o-l-!-.m . ,

..

'


!>E~ C~.r:C'UM DIP:t;;:R:n'NC'IAl!í;.

1;09

t!,lSUpuesto de flu(l~ la's eahtidild€s~ B 'Y ~¡rr(:)"sean nll"-. las ni'il'lfinitas por,-d supuesto de x=u. ' ' ~ ,Luego ,CU¡gu{g .se..crehe ,UU:éf .espresion' cl:lalguier.a b~j!il t~'\.D0rma es ·nec.-€M,rio _para ~onocer su :verda..

g¡;.

deva &ignificadofl' ~ ih!spNaáer-la' de- 1o.s factQxes:' OH mlln-es¡;ál slJ¡ Ja l.llne:r,adt ¡t. J .I 'defl'ornrpaaor. I\a ,diferenaili'éien'-suminÍstra- 'este medio con ~mllcha 's'emcillez;. 't~, :J!;~d~fer.~nciª.1 de :.,.Iairh.p>l'esi0n.:P.(X-~), en que ,l? e§ Iu'na ,ful1cion 1'!uaf~uiér'a. de..,:'X,' per:o-.J.ndepen~iente ,del"fac!b¡; •.(x~a>~" :e§: (x-'a,~dJP+1?cl:"',,~q ¡¡¡'e 'ne ,s~ desevi!le~e 'ya. cu·aadG' > x=a; .' " ;',:", , '1

-.... .

~IIlISi 'Se diferellCiª$"e ,d9;s:v:eces :l~ t7unCí~Q P(x-a)~, i,:'h ' 117' :'. " ( ...., \)~ "'p" P( x-a • j'a' x".l' f,- •• \ ., . , ~e a ' ana ",-a u "1- 2 ' • • \ t' .J ,,' r'( ... . : . . . \ '1 • . (\¡¡¡fi7&:2,I:'~2(~~qlq~q"'t'2(x \~).~x~P+2Pd,f'";<~t ~..

'"1

(x-a)Zd2P+4(x-(()d1Pc;l:f+_2Psi~~;. _'" "

no'

~

1".

.

,

o',

)

('!

y~~'óri{ó ':P: ceóHene á x-á':..,-'1 a:',di¡fiúeJlcÍ'a,1 segunda: se reducirá á su último 'término; continuando' del 'ó!lsfulí Ín-oclo dedu'clbíam0s que tód~s· .}'as'diferencia1es de una ~spresíQn de la forma P(:x_a)m, hasta¡ la del ó"i~enilm'':''1 11ridus¡'Ye; des'~ an~c.eh eñié'f su p¡¡¡es1!d 4e-","""'«, cuañdo '1n e5="u n núilie,te entero'; y' qru eJen., ' ton&s ' la¡ diferencial. ¡ dd órderH n' "se r'e'dlu ce, á; ¡ ;~! •. iX2'X3:.. mPdx rJ1 ; lueg0('el-fact0 r:C~~ 'd)m",desapare~~, despues de In dfferenciadortés~ ' " '" <:. , '~~l_... ~. ~Sea por ej,empló' 'l,a fúnGi0rF~L..li.!6~-az",+a3.:;, qÍll! se desvanece en ' el· su'puest'o ae!x' ~ a ;vsu difeten"': cia!' primera se desvanece ,tambien ep esta hipótesis" pero no su diferencial seg,unda .<r.J..e:-es (!6 x! 2a)Ql.?C~~, la cuaL se encuentra ya libre déFfactor (x-a); y ,pues que ha sido necesario pará e~~9' d·iferenciar Eles 'eces ~r'esegc¡jda) J§e ·a.eb~e conCluir Iilue-es de la:for...; , ~a .P.cx-a?; Ie . q~e en efecto se verÍ'fi~a, pues que <J t \; ~3,:"",axz...!::,f.2x+a,g; (x-t-'aJ('x .:.....a)Z'. ", ,,' } 7} Aplicand~ lo ' ~ ue. pre'iede á la fracCÍen

'se'

P(lr":"a)""

-,1"

.;-

,'.0':

~( , /1' se verá qu'e dif~rencíando muchas vece~

'o'Ii X~a)

.

, . ',_

."

l'

~. ~"

...

!le se¡u.ida su ,n umerador y denominador, quedarán

f'


l.

Il1l1L: :,e~Le'U~I-9': »'I~lL~q,1Xri"

l:n<1

.lilir.es -::t.<Utl1diisméj, tiempo deJ.lj¡,¡;:ton (~ a) ;$1¡m~A Si el nu~é1''aqo.t) es. e1 Pf!~l~{l!'.o~~~e d,a: ' IJ~~, ,;r~~ll'h{ ~diJl q be, aQ~ se,AeF:aI.'lece y ~~bi: ¡¡:¡ªi}.4J:nru:~'!;> ~.Iq ue eLf,actor' X"-a-'s,e) ~€¡;¡,cuenyrª,.,¡;i~~<\.~ ~~; él á .:jIH'I,a '!iQl,,~ KIlCia, l1il:erlDr :q;¡ge: eJ1::d ,del1'!),w-mac,!c¿c; ::t.y:;:p:i¡tlJ:\ i~o!l.llj~ . t;\l!liente la"frac-e,i(j),n Ipr0p1.uest\i seJ:,áilannita;. si:;,al:u.l)jl:! trnio les~,el d.'e noming;d0.t ~ __ L!l;Ú:~Il@i~.Q..! vrópJ\!!<~st<\, serJf, ffuh . •LU.q{CD -?o~'r,ém('i&. ;,esj St.ble'¡;;e.r. :q¡ú e Jp.ariiDQbj¡~¡¡er et:~ve}1dadt>i:o !vQI:or' 4a-.::UiUS 1P'¡q.Pjl21JJJ ~!f.~ ,¡se d:of}vi,ept.o ~n/~" euando./fe.da, á-,x 'á~ .va.P,oJ P~'"'t{t;utar, !:.i. 1JgQeMJ r.o diferencial" sepm·adament? ,-5.u),v11Jhgrudór:,,'l>' 1U).d.~f tlói1Jinaqor .~.hast.atql/.e ;.Se- enc~~t1;~4iarA!' f#l¡ú 4;9 ~t\:>, un resubtado que no se 4e~~am'Ze,a, ;;:-t4;; ir:.r:.c..iqn.pro.1>~esta / ' ,¡:;

.f.. ;t, ,.

,

s~~ !:'b!mtf :¡¿ .7t:.'/prm~er

~

~

... L ¡

(

e'p.s? l ,nJ.M1'

' ¡!

_ •••> ~ ,fJ?

e,: seguf.iuo., y

~n

tenafá'urf veMt finIfó¿!,t }eJñ!.a~~'á!raÚ'I!7mi!.71O'~'i!emf~ dos resultados que ~ño e-ahWj:U¡iafr¡ -:\,- , ,_ .~ - (t)- .,) J::br:~!gg¡ªS)'p~~,~@j1l1.l{)§..iI!-~lflI.:tr~fl) es.~p, .s,;~ficiel'lte~~8teT

f~b ',., ~'r ,. J') · O X'1 l · Óru:J>f] r . ') i' ~'~;'. I~ L~·l q; <:: 't·:~ , . La; ~" ) qü:~~;p;'j}.§a '1~:i:um~,:4;' .~b ~ ;.. ,! .. ~-=r --/ ~-1 di!:.! 5 h 1J.'~".: -i J;qi1;¡& la'-óprogresion .ge9J1)etrica :,;,;I ~~:~1;il' ~¡~4¡X~;~~~~f"

¡f6rt:I)1!&

5e.:'!c:o.m.vierte)':C;~~ Jg

~51ndo x~~ 11,stfl embarg,o_,..~sJ! Ja ~ pr.o-gU¡S~9!J ,geq~~ tüc¡~n.it..I ; I: I~! : ~Shv~

en

s uma;.

~u·e" 'lw.s: .. ¡;'Ol'!~ Ucy )d-jcho , sup.i}~~to , ~" tiene .u~ _ ~~~! detertri1l1adG é igual cqL1 '.?10;~q u~)a J~gla' pfeI;5~.e~\~ ~s va á s.u:~i'nist ra . fal)Jbi~~n E1'!ieX~.sr~ " des Ei::Ss de

y, ,ef den~!pi,n.a49~

haber' di(eref1:9.~<l4.o ,~ l~ n_umerilA~ ~ ~ ~.

~

...... : -.. ~;";;'.

--1 .... -xn~'¡ ~L.

de. 'la" espresJpfl - - I,.

t...

,,¡;"

b

:. Ji

~ '\

"'1"')

n

rf'

Lt;!)

onlJ " .-;>:1'1

J 1 - ~-;:- ,; c: ••< > { 1 !';¡ $1 nx n--l ~ dx ,r:/ - :, 2." _ ..' ~ ,; ... :. /~ se _halla~ - . o -n.!CIi-:-I=n cuand:o , ~~i: ." l '; :

i.... •

- d"X '1.

174

.?,

¡

osi ble dar la _.. ,.

-

~"

'..

..

1";

' "

~

-

,

f~r~¡P( x_-a} {)(

"x _ -vx. : . . .. ,. .--4 .:..... x-a.. X,

~

m

)n

z!.:'l

c.ómo eS

I.')

,

'C¡ ,fáf~ñéi~n trisc~n! "

:. ,~

~'(

.... _

de11te - - - , que se cOIlvierfe en x

1 .'

__ - , ....

AU1fque- ~o',se ve inmedialaJnent~.

--

P

~'

t;f'"

?

r

_:

._ ---

g cuand'o, ~q¡j " ' -.

~


tU: 1.. ! ~~;t¡e~~.~aD~..n.N.OI.a::1l"'" t :U l fl9.:9~aF¡¡tef se :le . p~~4e,la~ li~a'r la, F~g:la; ;,i Y':.despues \ 4euha.I:tg.\.";.¡ ~jk.te.nQi.agg ; $.I!.JJU)lilWldor ~y.: ~oo.nrin~dor, !

nc

a.

ú'eIiJ:1¡,r a~1. Cb-..&;;J& 1_ I<iU e s;l:ls~u..uJ'J! l!l'<tQ r('~ ro- ea} 'I\\!¡.~~e;\~~§:t; 90llfi~j"·te .\!Jl.l~l,b.., CJ:ij"~ es'p.re.sa' e1 Ya:~ '

SJ!(I!

ló,rf, .b.uSAl\,~~>" •.. _6.1 ,;.¡~I.\m. . 1_ • ,

I

:.t.'¡¡n :;.', ~~ "~'

: ; ¡. r ,y:)

j3 ( ~ J:>';ij~ H"'~ _~":~ \~)!~ .. }'. . ".. \

o ~I~

\

~'--se_ ñ . x+.cos-~ ~ ,,:,· ¡ViLromioStpQlsuce,de.cri.á b: e~resi9fl:i::~ ~'''';;.::' o.·. 'j.> - H:} ~!J: ' SJlb! ,: •• l.: <','.'l' /, ~ f191l:t~t:~~I·X-,. 1 r t1

•• ..:

qM i~e·iPItVÍfrte .eo:.:& c:uáMO AC~iir ; .-péro~mfere(l>o~ Q'ta'l1,dCM.s·ij,1Plll1wera.,d:0r'1y del1ló minado ;, se éeJhcká. <! ". ~;~ ·..... ~lj,'::, ~.J'-~." '<'~'<" """""1 • ;;':;A;' ...:u ...xuJIi-sen iX.d . •lj '~eos.x~sen~ :» ., f

'..

~ Jé!¿'t.xcr:,,~\s¿n,xd~

oC

: .1

\.

'.

'

···Gós ..;;~Sen.~

-:.~

"lb

--.~,

&.

- ~~

"'oI.;.ll

l...

r _"

."'!\.~

r. .' . ~

~.Ye.;esaels~o~Wr <clJ~ 41C)ia¡ ¡::~p.reSlon .cü.an:do x~~ •• , ~ ,

1.

.

Ilplicacion del eátcul.p i~iferenciat á Fj¡illi.ñ:¡d;~ut:pcy~ '·, ~ ~- :;,;j • . : i

'

"

.."

;/ J.. _

,

''' .

l! teoría ,de . -

.4/...'i

la$ ')D .r..d 1.,-"

1'7 r; En la desc~p.Fjon de ,una línea se óbserva q"i,!,t'eJ.dcis ±(!),~ pJl·~lt?S se sü-ee,den los u/luDs, áidr<DSliil1a".o.S\ sin interrupcion ning~na, lo 'cual constituye lo que' ~l~t!J~¡:no!l

g y,tde. continuidad..' ¡ro

"

~ t

,'1 b:'

J.

;,. tE"o eh e>á"lcuJo 'se PQe<ile ma:cer..qu.eJlos, '\iá!for.esAeJ ¡1t~.:1k~Qi~jÍ~~ se v.a;X~·:il, J<fcercand,.o . 'á €st>a,, 1~y1 todo: lo qu'e se quiera', dando á las variables de que de,.¡ penden los v~l~res corresponáiemes. '~sta ' arra~ogía, aunq ue algo~ imp.\:.rf.ec.t.á!s~ ehtre la C!es ~.Ilip~iqn,'-d.e las ·líneas y la marcha del cálculo, dió ·oríjen al 'Cálculo 4if1;te.lld.:a:J.!~::' .·L :)~, _Ir :.~! ',' ',. ,1;; a . ~ ·~o . La. s,:;C0osid_el·aci.o~es.

.gefltl1étricas upn.1.ebaPÍJ die' u~

modp_muy exacto, que la re1a~!on de los incrementol> ~e ~na~lf¡.tWoj¡ y. tos.de: S'tl. variable, es 'eE',~gé nel'd susceptible de límites. I \• , . •

• "1:¡61¡~I':ada '¡u,ncion, de una,'Vari-able-se puedE!.> .f'epre" se!lt,Qr:.,por.'J ta. orde nada de unll 'curva ; de '.l:a., qué. est4. 'liariabie es la abscisa; porque si vamos dando \ valo~ ;.es pa:rtiet¡,l áres á la abscísa ,/y tomamos_estas partes i'lo ).a·r~o _de; l.lllaJillea ,.'j ,e.n lQs eStrelUOS se levaptaa.


¡ ir 2~ 'J:mr; ~CkrJcuir:6 "Dr'FE:R>nNarAt:~ líneaq)ilr~~~las~ eliltore 'sí ,;!ie';la trtagni:~rud 'q!\feJe~presa­ o

la funeion, en 'cada casO')-tel'larémbs' Gons[Fuid'á)''-um,¡ e'Ur va: ,':..c u)'i~ 'e~uad(¡)1'l s'ea: l~ ig.:U~lacioli . de 1la :fuáti'oú ' ¡rropuesoca, con' URa ' v,al'iable. Ahot¡p,: 'ía rel'aai'Ort4Je ".laordenada, de La curv,a con su subtangent,e,lcor:r>é5.J!en·¡Je!. DI c,Q\1fi...gente diferencial dc í(J funcion, En efecto, si en tiña 'c'urvá CD.(fig.-3.1? se lliraepoc odbS (P~~~l(oSJM y' M' ~aa'sh:'ant~ MM', proIOl~p'ad~ ha,s ta que. en4 c\l.entreLeo·;Sl al eJe ~AB ¡lie ' las ' ~bsGlsas". -y,';$e t tll'a¡p ,despues;!Ías .ordemtdoas ,RM" of"M1;0Y' 131 ' recta :MQ> paralela á ~B. ,- ~)QS .t~J,áug.ulo~, soemej,ant<:.s. J,Ylj¿M' y F1% -" 0.a-r.án- PM~PS;;M'~:~-{ill) ·".-de-deade ... 1_':_

PS PM

I

1_.. "

j,'.. 1' . . ' ~-

~'l t .

~

_l \

_ ' '''

Az o;¡ .1' , 0: ' " '. ~. ~"'1 ""ot-~l~" .O'~ PS ... ... _..... ¡, . · A~¡."' . . ... . J

o

,,'

q

C" " j .oll

- '" ..• "'.:C~':':

..:1" 0.1 ~ ' . l ' l' . r .• '; ). '$7, tr-a·l;am,w,a ·GS milIeS"-se!ltel1-

MO M'Q

---",,=.~ t;~ -"

I

Jo

"

\..

:.""';'\O" ...... ¡ '~ ... ..J • -

.,...

l.

drá Hm. de -- ' --lImo de -- - ; pera lel.;limite

del

PM , Az . ,~., ,~ , é·ol.. . " PT ~·,;"su-Bt¡ "o·.~,o' "'-' . \ • • 1. ' . .1. . ' d'~ prImel!':mlell'luro eS . ~ =~ 9 :\Fo·~4ue [<&I.me lil¡l • ' ,. (.. FM .o , ZI ..,. o j • ,_ • , ., \ ........ f o ~ue el punte M' se aproxímá al punto_lVJ ; se acerca el·B- aio'E:¡ y; ,pO'I:_ ~nsi:guiellte'.l.fl soubs€uan·te .;iP:S:.á la subtangente~ PT; y ,como (i29),e:l1íll'litoe' d:el segundó "";enlbro "'" " ¡l' .' . • . ,' ' ' ' ") . . . o ~.. , ~'o"~ . ! :'" '¿d:le; - ;.; subr. 0" ;1);" 0 ,~ o, ,,.., C• od'.lj;'· - ~ : , . ~ ,. , s.e~á. _ _ ~.;...o, ós,j:l'bt.=z·x ·-....!..;.;:,·· _ ' o

!:...-.,- ~ ,

~

.~

....

I

Jw~

¡ ,.l~\oI

"' ..

> ..

"

~

.#

'~'.

....

", ~,, 'l

.. ,' '''~''''

......

J

""

"

~ '1J,~ '·~' L

"~J

..

,01

l ••

~ .~ ...

'¡A

o. '1.,.• z . dz . • o".",1, ",\ dZ ~I .... " ,.,..; .., _. I\ +: l -, dz . ..' 1,,, que es la fórmula general q,ue determina.lla °s:ubtángenté de<;una-;:c urva cualq uie~a.;. y nos dice:qúe .aebe• -J

• J.

~

'.

~

......

, ....

"

,/

¡

~ ......

-

1·,.,r::.dJt :

1

,na$. :, h~lt:ar eí 7¿alor del coeficiente' '4lfe.pen'r;iíll!-:;"', 'de

.~ " J _ ,1: i ..~~'f;_ " la . abscisa.'c_on l"élacion:' á 'la ' orde,nada¡; 'muí[,típb~Cáf¡~ por el vatm" de ta ordenada., 'y este será.,et,'ItJ'ailJl' d~ ~a subt,angente. . :,.~ t', \. ~ -, 1'77 ~, Cuando' se dan á lá abscisa v,al'Ü'P~s$U~esi:. vos) 1as .ordenadas qLÍe cot:responden á:.est!>s :valQ;


DÉ-t~ c..ucüñ6 ~I~ifltIEÑC¡-AJ1. . , .¡ Í 3 TeS ~ tl'étetminarl ~rl la· curva' p-un~Q.s ; ·que'S~. pueqtliil

consider~r como' yér'tic~.s \ del:·ló~ áñgulos. ae ·'l:Í'n' .p olír ¡ " r· . . r: rl""' esta - Cll'rva ,,,ti r r' l ' . Igono Inscute-·e • .J • _ • J. ,~.', .:, • _ ªi.se toman.Lp"q~ei~mpl0, ~sobre. el .tejé'" dé; fas abscisaNo~ puntios P, P';',¡>'f (tig~J8), distantes en~ _. lre si ·una :misL'f¡a' cantid'aa i-, se·'teadrá ... -,;. . ='~.: : AP'=",::¡",,', AP"=X+2X; b'~. Y si' 'se le.., vantáA lii~~' or.Ü'éfládas ' a'órrtl.§liontil.ienres 'PM, (pI.M', 0'-' y •Stl unen . los' 'pUlI-t",s rl 1\:/1" M'"'',' "Mil- ! o<c~ o• • 'errlllTYAI' ' in,'., . ",,-e.' lVj,', por , ccie'rda:s1j . se 'fbrmarill ec1 ,p'(llHgóno MMfM":&c¡ qué -$~!di.f;er~.tli¿j.tariÍ tanto "métf0S ~ de :l,aJ cut-va" pL"g';' puesta, cuanto' mas próximos <se. h:ftléf.l .emi'/i 'sí: '.l(9li puntos M " M ', ~", &c. ,;. per? al n¡isl?o ti.e~po el númer.o'.de·sils ~!adós auru,en~a:l"á%ada :v:éz mas'; pues que la distancia. P.P' estará contenida un nú¡,uero de veces mayor en, ia abscis·a determinada AP. Por lo que la: ei.ú'Va CD será ' el \líÚlite. <le nod'ós estos p<Dlí!gono5, 'y, pbl" cónsiguieme las propiedades qU'eJconvengan i este límite convendrán 'á la CUFv.a pr,\i>.C

J\P=x,

puesta. 'l ,

'

';.

-:.-

~',

:'

~"_

_

_:

'¿' IDGnde , tiebe,mos ailverb:r..: que si en lo ' smre<"si V.o cot\sideramos a,l guna curva como un poltgonQ de in'fiñitos ,lados ;' se 'Ha de · eRÍeilder "q üe ' es'ta és u:lÍla 'es'pr.esiow!aI;¡Í'€viadá.'de que ,el 'polígono es tat ,que ~ao di... ferencia entre ét y su 'tímífe , qí~e -es ta' curva :; e.s ¡me~ ,j¡ovqúe'/(;u\ f'q!,iér-canti d'ad ¡Jada'. ., 1'[7'8 ....I>da:: eprop. m, 176) se.·saaa tambi~a ~': ' PM M'Q " A~ .,:-, ~ ~h --'=- -.-- ' .r; ': ..: ~ ~-- i .;h.! tJ ~ ';."

PS

MQ;· __ -A", !, PM . d

..

d , <. l' :-~Z ; ,11 pasan o 'a -10,5 1"lmu.eS..s.j:;ra . '. ~:l., . p .... . "p 1 ,,,~ cf,;cr. . ,-,:.J ... '_ , ahO'ra, p,l¡>,r ,ser e} tiia.~guIo PMT..(fig. n )srectángulo ...,¡(¡"

"'

~'~. -'- -..RM.....,.,-'. . ~~ .¡.... ::.[._.... _- :::- ..• rf"'l' . en P; la' relacion ~espL"esa la tangent~ del ángu-:

l· ~,

1

,

:,

... -f(. _,

;

Ir"

1~

.:

1"~~ J~,f ·1'.~·t , '","':

d);; . ~I..!

r "' - ~~)

!"

~i~

;-

",1

~l..

~,

;'..:,

...1

j.J

~

' lo' PlPMj luego ..f. ~s laiotilflgenfe :trigonoíñéni'oa de.e

. ~"

I . ...

.

.o."

~~ ,

~="'" ! ....,..

3..

t

~ .':'~

\

'f" li.

I

r

'~l i


J J4 ;J!BJ¡"C:Á:I>CY¡I,'<9' 11IFEn~NC¡'A:~ 4ngt,lo ;que la tangente Jdp-,urlP C1.lf,!,Q f!! f.41'I. rpynt'q cua1r _ ql{ielia f.proma C!Jn¡ e.t. eje de-tas abófh as.,~ .. • ~. , ' . v ;' El mismo triángulo .PJ.\~.T' !iá la, mag~tud de la tangente Ó ! . 1 l ' r,!:. '" ,,"!,, , • " j r" ~ V· ',:, ; ' éd'bc" "' -/'~ ",

H

, •••

MT=YPM2+.P r~~ ..... ;,

.;'''-

.'

x

-.

: 'z,2+_.. dz. -,-=z" K"

- l _ ',

t

o

,l

'

_

.

¡ "'¡"'p .,...

_

4

_

~

" 179 , . Si, supot!e¡nos'Jq~l~ ,MR sea lIorll~al, ~!,! la CUI'-

ra, ehriángu!o l'MR,. sj!.qt.re(fta.ngl!19 en J.4; y como ~esd~M, téne~p~ :..baja,da, la, perpert~¡::\:ll,a~, ~~, : !:e-

iultará ,q ue los triáng-lJtºs..J'.?~, P¡yIR.. serán seme;' jªnt:es (l. 33 2 ) Y darán , ",' -- ' .. ' ., PMz " .,}z z,d!'¿ ti PT:JlM::PM:PR,::;;: ,~-:' ~ d " ,. f ..,.' PT z, "-' .. " • .!- .... ..~ ~ ..... " dz ' .q ue. es e~, valor ,de l(uubnpt;fnal de ,poJla c!,w,!,a. ~ ) El tri-ál,igulo PMR." rectángul~ ~n, l?,' da para .la nOl:ln.al ~:'" '~·- ,v.~ '" j',: ". ¡ z,2d:;.' '1 / ,' d'1.'. tMR:-i\!PM'-i-PRs=, g,? + """--z- ;%Jé .1+.:-,' , . ~ ~ dx d~ "~l ;'''vJ J . 1·8,0 Vam0s ~ á, aplicar, esta teoría" ~ l.ª:inve§\~g't­ .don d~ las subtangemes ,sta ªgen~e.s , n0tll~ a'¡~s-y su~· ~1,l,Qrtna1es de las secd9nes' cóliic¡is.; ~: : ,~ Consideremos pFimero que la cu.rv'fl.AtvIJW (fig. 39) ~ea, ,u.n círculo.;;: cIJya , , e¡;uadon . es ' z~¡¡a.lf-p'z, ",,J.."

J

I

d.'

.,

_ _ J ••

v

#

¡

..

: ..

..

V

-

I 0,

dz 3a-3" que d a - = - - d",

De l. ,:

-\

~-::

. ~~

¡Ir "

,

_.

~

V-záx':"',,¡¡ _- . ¿.;

dotl~~,' par~ l~ ~1rbtang~it~ ~r·~e ¿iéá ,'"

a", ~

"T

~ ~ V 2ax-x~ '

subt.==z, -='\1 3a"-,,lIx

..

"'2S~.!.........~ A

-

>

... J.::,_. "~ ',' ~ . ~ z . . . .. . . I . '\ I G., ... a-x ...... a-x ' .. _ ... .,.... Si se hace x::::a" resulta ,in'finita la subtangente, y por lo mismo la tangente l}0 s:ncuentra al eje de ~ fas a.b.scisas, y 4! ~~ pa;ralel.~ ; y 'co'q:¡@ este COfF~S' ponde á x=a, que da. -:t.=±a se dedLlce que la tant

.~.

,J ._

~

1

I


• ·P~l!I ·;:cM~u.L@ DIJtEJt,ENCJ~~'

,

:V)

gente tirada por el estremo de la ordenada que pasa por el centro, es paralela al! eje ae-las' avscisas; lo _q ue de~ ve¡;~fkarse así, pues en este casq la tan~ .tgenr4;¡ el' e:i~ de las abscisas -s_on perpendiculares ·á la erdeilad:a: ·¿' :al , radio: "'~ll r- P.,ara Jfl-j n9Futa lf, (tendrém0s •

,,'

I ' '4) iz. z 1 7 (0,.....:...")2 ,, ~ nerm.=z- ( J.h ' 1 +'~:;:==z V~'J·I + - - -- ~

' , '

J~.-i

d"

'0

~ :1 fJ 11 1': 1 •.

.¡"

20"-'''z

t

V

..: ..

~

iI\.~",, "; -'L"'~

••

&,or...,. -,:;;:"", .

JJ

L,,'

• ,._ - - - - ; : : - - _

-, . V2G "'" ~Z...u~2 , 2 '''A' _"-~Z, .2 0 ' -z " _ . ,. 2ax-x Z ;.'" .t7 -

q.,.

.J 1

¡

r

'"

.......

~

~~

,"",

.....

. 22a"-,,,. _ _ ......

- - L'" ~ Va _ 2 ".,~r' '"' =±:Va =±a 1. ¡ ---- V2a~7."';X ". ~ ~... . V, 20,,,_,,,2 . ' "'-, • . Z

;~!ll~_manifi§ta qúe- 'ltu~or;"al deJ-;iticuJo es co~statlÚ'4 mente igu~l ál radio; lo <lile tambien-es conforme con lO ,demostrado a ...29.0). _ t _ "lt _", ... "...."t: ,.. , l"'t\t.l" ~ . - ?'<.; l"O· ,J ._ ;;: :I~J~- :?'~_¡f:~av~~f 1ft. ;cü,r,yá un~ e!ip,s~ ' . cuy¡a ecua. b2 dz. b2(:W-2"2 " Clon es Z2=-Z(2G",_,,2) , qJ.t~ .da . -..:...-'-.- 2 --:= a· , - .- -d~ , 2a z' l

"

p . a.- x

-hA . , a"':;" .-

.:....)(~-

' 0,2

.

~

Z- -~ b

b

:II::i.~X . Q

_ '___ .

a-x

...... •. ; ,...,

_-=

_

....

~i, :y':-2a~Í"""'~ ~r,r- '\I2a"....x2 ... ,'.., ~t ... vd -N'" ~ . ..... --:~... l:' de dondersalt~. \;l¡),T=' " -, .... :.ti ".1 1: \ '.....

';)" .. .

,1 .... ~ . . ""'~vU _,

"dx b ~' U'(I'.' du:~2á~~é·' 14~::::::!~~~2W~~~>t~~ <. •• " e ft \1 ~

J'

~dX_.!Ct_:.~ 1

).,

.

.

....

a .' 1/ a-~ ... a-~ Este valor tambien es wfinh6¡{8~ ~el -~up~esto de. lIC=a; y' come cm este caso la. eGúad~ fi' de la curva da z=±b, se sigue que la tangente de la éli-pf.e"· en lo~ estr,emos ,gel-eje menor, es p,,!r~lila al eje' 7p'ayo,r.. 1..0 pre,p io 'sucede re§.p-ec~i-va;mentg elJ.-·los: 'estreme'S del ej~ mayor, que entóácés la' tangeñte es paraMá '11 eje meno,". .J r.

dz


" ti6

'DÉL CÁLCtJ;LO DIFE-n&NciA'to.

, ,

l . _!

.'

.La.subnorma.l será r - .~J' dz "b: __ b b" .~ :.PR=z -d:'. =-V2ax-x~x-x 'J.(a-!'&>)> x a a V '2 ax~x'J. a . o

._

a-"

.

,,=a

Si resulta PR=o como debe vérificarse; pues en este caso la misma o.rdenad·a --viene ~ ser "la normal, y,: de consiguiente D:cLhay, üistancia ninguna deide su pie al de la ordenada. I8:t Supongamos ahora que la rama de la curva. AMM' correspC!>nde á una parábóla, cu:}'a ecuacion es :.. - .. , ~ ... ~.. - - ' .. d:z. p . p p ~~ px, que da -=-=-'-:':=i -:-; . dx 2.70 .2VpX__ _ X )

---_

V

de donde <sa'carémosepara: el v.alor de-la sUDtangente -. .' 'T' dx l.'/-:- ' ''' / - ; px!/' V xl i=2.lt; .cP .... :::::%-=·v pxx2 ·V !" ":":':::2 .' - ' -' '::!:2 ¡;. ~_fdz .: . . ~ ..._.~ ~ . " ~~ . ,_ r .~ p >~ .!~, ~

I

_'l,ue. 9.uie~~ ~e~ir? 'a u,7 en l.'f Pf'rá'?'1~i'l1' s_u'Bt~~&ente es ¡:em.pre rgual al ;;tupbÓde la QPscm~ correspondIente lit p-wn-to de contacto. ~ ( • \' l ._ t . . .-:> ,.. La ~ ubnormal sera J' (\ - . , ~'-::r

J

In

.. /p~x:; .L'" / P-::.:i: ÍI <p~~-':'u /p"2"':'ip' PR-~...,.. ~~-"-v "'" 2·V- --"2 J4,~.-;---~v- -::-2' d~_

.

• .

:--.

_

'!' ~

>1'_

l!

.

• "

que tpáñifiesta que eñ- [a parJllola la subnormal eJ ~onstante é igual á la mitad del:j>á.f'@lwtr;o.·:/,r, < . -I? S_ §.,upong~ID~s.~ a~r~ q ~~ l a misma fama de ~u!va _cer res pQPüi..iJiña:::m pé'l':eolac,,,e.u ya: e\:úacion el . - b~ ,:r ~ , ~:] c' • ;..~!::O:;:;'J.(~a~+x~~ ?:.. "~ ;d "1 ,!c l J'7 \j'

F

"J":!')'

!

i

~ Jj

...

, qu~.\!iª"

~~r-r~."'.:;J ~[.' "" ~ t< ;<

\:~

l

r

_:JII

:

"t.O'::

J"75

<,',~,~ . '

,"~

·dz (' b 2 ,: 2a+ ~~ ";h!) ' : }fr+'~ ':~': ~~"b . a+-" ": , X-~·-"'-x.. ·' .,A ._ .• -~- ' X" -• "d'x-a 2 21. "....a'J. ' b: / ¡ ·, ·~ ;~¿:;~2~ j.

q¡..

'¡r..

,

_ ·,y •. 20UDló;-:lr.X i,'

a

,",'!.

'v :¡ aDC+X


1~

DEL eÁ.LGULQ DIli'nn.ENCMLr •

rQ ,que 'c;l!; p~~a }a ~1.rbta¿gerHe

,- , ,'" a Vzax,+xz,_ zax..f.x llo .J

,','h '~ " ; ~ ~,: ., PT=-"/zl1x+",~x-x

- '

(

r

'110:1

'"

=____

'f.

',.

,· n..,'" Y.. , '~b - , .'.A ~. ,. '" J. ':; ;,,'~ ~: . :J_'~' ~+x a+x ,)j:;;;;~ y pa.-¡¡,St la sqQn~rrnª-:l tCjm_dl',élI}p~, eH • . , .'J ';:!.l?' _

". dz ' b',f ~' - -' 'h , ), o+x 'DR-z ~··l!"/zax+",Zx-X . ~ ~ ~ . . ·_= d . . v,v ... ·· ...·c~ .... \,..; ... ~ _. \. ..

:..:,l..::>

b!l

(a+",). o'·· '., ,x -' f , 'Bn'ó) ,; a " y¡Z ax+~Z a ,,,.? , .,184 ·Cq!l.sid5!re:I!1_º~ ,PO] 9lt~lBo la ,ec;uacion gen.!!'raJ-~

:P ~. . J..D¡·f

1

11

'"":

~

:'¡j j

~

~-lf "-'s :~r: _

J'

~ l'.J

... ~.(.. . . "

'S;!'.u·J

ZZ=..:..x(zqx-:;x!l), ·, .El

2

h

I

,:"

:.1:. 1~

'\"1

"'.!.;

',("

t

que representa 'todas las, s~cciones cónicas, á saber: Ull .$:fn; l!¡º, ¡~~\1:y].~o,p~2a 'JI se.. t,0tn a el, signo -:-, q:l;!~ :J entónces se conviene cry .z2=zax- x!l; un~ elipse cg~ID.dº· s~, toJ~ ~ ~l si,gno'infer~@n l..ms ,hi pérl:JO¡a ~¡¡]!:v-o do se toma el su perio;: ; y una parábola cuando se sÍ!PQn.e za=9Q., :.. p.ues na9iepdo Jas~ qp~¡:aci0nes iqdi.\ ~~fl

~

px2px+--;,

J'

2

4

-

cadas se tiene 2'0 ,. ' 1 .0.1I S~{Ii{~ ~, . 2a '. ~l~ , -y , -~J~(l': '11:: 0 r ~ ~..:J, y siendo 2a=00, desaparece el segund:o término y se "

coóviel'ts: da)¡e:(}u~~~s¡n" crn

2'0

2

px1'

~'l\(B.$tO¡ -110

:

'

s

SUpl,HlSlq ,jiifer'enciaado ,será ' d·z' '!- (p " . .,"""-,=,,," , .'. 2 U'-::!Z 2 ,x, 1 ." p.IJ" --,- .... a" SE"

-= .... x

" , dx

(;~ l t

_

2G , zz ,,},)~-, 9J'~~,_..

-' ; . 'V· ... -

.

.

l.

,<.

r! 'i~ ,

,J

. . . ,..~ _. ~

r

X

...

_

2a ... ./. ." ' '~~~:~ X2)

V

.-'

2a ,

' r1i'",-

a ...... ,\\"

-X

za ). / zax -+ ··nL ~ ,.

~,

;

' ':l.,' ·~I, , d~r..d9J1¡le. llusti.t_UY,€Qdp Y,. :sj~p¡Jf;jc.a~,!lo" .);~It< _ • t' :~;:¡.JJ,)

.

' dx

2 2GX±X

",,2

Y"

"

dz

p '

rr."':'"'2'o...--_ , a±x -. , ~ ,· X ?R=.z-= - (a±x). : d2'o dx • ~a.J,. , ¡..85

Con estas fórmulas es sumamente sencill<;> el

f'i.rQf' t'aflg!lfl~~$ ~ lqj curvas. El)' efecto" dado el punto de contacto, per medio de sus coordenadas ~e calcuI


11\8>

r

DEL'

cÁ:¿C'triÓ 'DIFEilltÑCrA-t:; ·

lará la subtang.ente; ,y, tÍrandb p'6T el ~s'trelJló 'de esta;,! y el P).1nt0 Ae cb;ntacte 'una lín~a: , esta ser,á - l~ !an. gentey -y la 1;>erpe~dicuhrr 'á .esta -en' el;'ptq1te:a~(::on. tacto será ' la. nornild, Taq¡bíeq se puede cálc;ular la s'u bnormal, tirar despües la l nÚ'rJ¡áll ~~ Y. laJ pérp~Él'1i1-~ cular á esta en el p.unto de contactó' será)a i:a~gente. Si t.e' diese di!sde luego la , sii5tang'erlN ú· s-ubnor.ili1tjF,'I , ... • Y,se buscas~ el ' punte cl.~ , contacto para ,tiras 'fa tan,"ént'ese , sust,lt"li1.r,k~lefl~·sli ec,na@lefly¡hJi.\rálQT d:i'c.l.:O, ' se despejaria la abscisa, y ~e ~iFaria la oFdenada para. obtener el punto de eonNfdo,: =..x - :'..'~ • " 186 Siend? ~l áreo MeM~ (Hg. 37) fu'a yor que la ' ., o '1' ?,~:'" M r' ' -} t ~ ~f ')) ¡;1D.~ - -: .'::;¡ :::111:1 eM • ctterda MM'; 'la -razoa "' o., ' de'la; d¡:{lé'Fen~ia 'liel~I'" ~1 ,

.

~

J

. ;. -.

_ G.

;

MQ

., -~ .. 4...0.,.

...

"-1

_

• ;'1(

.'.

j I•J~ ~ ?.,J

C'\,...~. j ~_.,,¿~\o

n!:t

co CM á la diferéEl'eia de la abs~ls!á 'é'orpespo'ndieble~ Ir,.::!i: . . [..! : .

'"'-';' L )

...

~~ vl::

'~lf - :±:;l.'r-::.:",:¡: ~r.\!o¡ ~~

eSb.ll:)

...

M~

,e'l ' fJ::'

f')

,~,

bP ,-1 será. mayor ii lH!·Iá'l'aiÓn' &ói:e lál¡hlel'da-MM:1~ ~,_ MQ \1

4 '].

.

.

á MQ, ó que su igual--; á causa de los triángu. ~:! ... ~ :., ':_;1, ~ {:;.PS ~:-'"J~c;,!:r .. c. .--Y:'=~: :J)lj ¡ , ~ ~ -' ~ los sem~jantes MM'Q,MPS; ~~~o':.cuán1:ci' !m<a;s ':s;~' ra~') cerque el punto M "á: M~ tantd ' ma la· eijef.diá~ MM' . se acercará á coqf:undirse con el a,pcQ-1Y,leW; PQ~con.

;:: .

__ -:-,

-

-

MeM'-Y"":':::

LO

siguiente tanto mas' la primera - '- --de l!sla razones MQ o

(

MS .l -, d' se acercara, a, .1a segup d, él- - , u~ manera¡':t'Jepu l¡ PS -- ''. ferencia .llegará á ser ~enof que; cú~1qui'er cantidad dada, pdi" 'Peqú~ña? q.u,é se~; de deJ:ilde 'éó.ndúirém-es .' ' . . MT n.l e , 4-~ que el HíÍiite - ,-- / de la- segunda de estas razoneij P'T ' l" ~ ! . ' . . • . ., .' , .. '. MT' será igual al de la primera; luego la 'ra~on - - de o

'"f':

..

r

-

P,T

J

.;.J


&.

-~

..-.\t.:.....

~

'"

-~--:..

--

.--....'

esto es, ~a rfJ'Zon dé)la tang.eñte con la ' orile,n adá, Ó de la normal con la subnorméiJ,;}e una línea {¡Urva , es el límite de lq ra'Z9n de la di{ere.ncia del arco tÍ 19.di. ,f.,et re~"' '''' '.J:_"' q-,~,... d ' n "J~~"~' .-, >, e ' ""'" l' ne~lJ 'we' va' or enau'a :' -, , .. • , 18'7 J1~Héb].ós ·dielió~ (9· n aque por el 'c enno la h.ipgrD'01F~Pse· plJledéntrra '~ ufla'S~líl1eas' , lal slidof.!. fcfué ~la ·'eu~rlra¡:se!.V~ acereahdo continuamente' hácia ellas, y jamas las pueae enéontra'r~'y :qúees-'

len

ae ruspo-


~a-(f

l>~Lr CA.!flGlfr.~ rD!ln~1I!~~IJ:l.4r

tas; ,~~¡ieaS:l s~~H~rp~!l: a5.Í11t~1iJH :'F q):l€,~S, \11;! ¡;p,i¡$~0 !..qU~i si dlJé&.~,q1p6 tangenpes al mfintto. !' ~ ~rA4~qeln(')s,..on;lici.ilQ'~h~!'!~J!.rmh~~~L<¡.§ ,)Jpo:r.qJ.1~', JQ.S; métodM ,'son c0mp'licados, y lo dejámos Rara hacer4 16,¡p;Qk eLCálcll!Ii?..l fi<i't:t~Jildj~t, ~qi.lle J~~. d'~~~~mif.l~ c:~1\

la: mayor fac,ilidad. . .s~~· .i1:r¡<i('~:' ~ eb clM ~ fEb .efecM)[,1:¡i.íla.'lc.Qr~aaA~¡(¡fl~. ~~, ctll:~eJ.una asíntota BFr, á m,ed¡i,d a que las coordenadas 'x, z, a'umen tan i: tos.~p.lu:¡iGS ' ~ ~I'L. .1tto~MJ,{t!ji!i§~ti-t~ :;l\:'J;l'j encuentra'1 ¡ 'sus ~es ;se acercan continuame~te á. su s lío;¡ife§:;l:és,pecH \1:Os.:B·, .~,;;o§in:QIWTJ~S GPlI~~1! confundirse con eUQs.,...Por consiguit:n~e para cono: cer si una curva f~ ya ecu,14:ion es dada, tiene al4 gumr-¡fSmt>Ota, y ~~n-le~so ~~ la teng~~et~fI}jnar

su~;p,osíqi~n, ,~rl-,mi1W.r.4n. ;Í{>~~twes ~e,::4I[HJ¡ AL~",(e'h valores ,le X ó ~ por medio de la>ecuált,ón de . la ct;l:f'ltcr;' -y'--sj nftciendo x ó. t.":!t:.OO',"fe;"uttcIn. lq.f lími·

t6:S-1ir,tt'9s .~B " ':dli ~:JA.f&cta ~Blj, :que..pase--J.9i'~p..o~ §$<~, ra una asílltota de la curva AG·o :";,0 ASÍ, lo primero que harémos será hallar los va ~ lores de A.T , A~ , para lo cual fé~f,j.I1&P~S,~ ;.lr~; u:, '. ' "r'" '~d~ ~J ~ <-ro ,..,A:r : =PiX 7:4P=-= ~-7"il~t :~:J~)~ ~! orcsil-.i7l'1 ~'~ -:"D ' - '1."-,:: uZ~.,)

y para A~ los triángut~~¡§.~JD$<jap~e~ r':f AJ.t~.p¡~N.J,.?

' daran 1,

TP:P 1 TA A PMxTM *J~ ::,+ : L_ .,I ~ ~ .I_ ; ;". _ b , TPl ' J t--.- :--::--'-- < 7::-., <> " ':-.: -:-

.. b . == ._--~ Jo:]j

r

d~l

Z(Z--LX) . dz

,....

v

x

!.l't , Xd~

.~

__ ;~_. ¡;jj.

;,~)

( .,

Z---=z--. ' ,~::i:clibc (; l.:, -~ .'., !.·:d~~::>.t..\ r\ 4~

'!

~~iJ·-~dz~J . .

.

,<,!;In \.:

H

'

••

'~ ~~\iz;-. ¡~:~ .. ,·.. ;:J·,~·;

:'"'):l ,":,

~ ~~ ('.~ )

~' , ~; ~

... \:.J.

. ~b~ ·:n~~~ri'~ú·e-~f ~S~~~S~~9J)á..P!i~:;'~ ~~,9·r.)J.

Yr ' I~:se&~Efl3 ·i?0l;.,~ ~ }f!S( ;Y~10f,~s ,q Ui'; . t,<?,lHeq \ es~as ' ~ant,lfra~~~ ¡-!!,ll . Cadil:, C~.So lo' pait~cu!a.r , 'id~;efJ.?:lil?ll.rárp: d?s .. p~~tos pC!r don~~ :.s_e. ~ir,ar~n.las t;e~ta§ . q~le se":) ral} ~~~tot~L4~, . 1a..: ~Y.¡;~~I. " 4 • l." •• , r. ,\

".'


y had~n~q_-....~.jn.~nit~ r~~~s~l!~r.i"4~o;,,B:¡=+o,; í:"

par G~a&igl:1Íefite la- E!-uT~a· ptopues~a . tie.n ,e, ~s-!ts·ín­ totas, q ue~ pasan parbeI, oTíjefi B, ,lá ' u:tiaJ enéfuía y la otra debajo del eje BD. 5 "Wp 'o. 'te:¡ Perlo como eSJos dos va10f~., eo1o deterillÍnan el UEltrQ~.n~se B@Gesita-etr-o fu~to _par~~~,a;¡:la poflc10n ~e_Laj!Sínt<ita-, h~ rémcis ~) intinita ~n la espredz :~ .' .' . . si0n dx~ -q)l.5! .e~ Ü.7S)..;la ~~:pgen;e . ~rigo~o~~rica ~e~, _ _ .._ _..~ -- ,

~-._"'__ _

~;¡ - u.:

...... \

ángulo MT~ y resultará la de1'FBD que' la asíntota forma con el ejeAe las abscisa~~or.'lo q~~q,~tli;!t yendo ti:~aJo~ eu:el::de.l~~e!!t5? dtfe~1t ' &2:"'+ ·Zfz'-x\(':;:!:.: b~ .' '. ;: "'-: I\'n± tendrémos ' z Q ± d", a ZI Z + . ~?V-xz~ ax~ ~

b

b

, ~+

'

:

.

¡'

• '

'~

__ ,

;;0 ' : ::r ~!:b: ' ;~:.::~ .::s: ·;..f1~\i :t. (¡bn~ bs rI ~up v-V ...iZr.:;:¡~i\ "'Z ..... _ 1., <" _ ' 0. ?. ; ~'· 'ct.J .... "b .t d - I--~.< ,,-';: """. ._,Cb;)'":f.ru~ ..... ~,: u ... ..~ u 71:. ~, ... \1 -

1{7

¡;'-:='.

\ t:

..

~ ;:r\~~. :.:) ·~~,B ."'C:',· ," 1"

t~ ·(,.'J ~r\;Zlt¡

'6.

¡;¡r ... }l { \ · \.\.-..1. 1 - -=. " I '113' ~·2 ;. tlf·('J:tr.htn tO~) !) - -.:

~ ~ g t'.,', :~.~.h"'.!c. ~n: 5'\ ~:t.a\\) !"~Tm~U:l-:I~

't

y -:.h.¡¡.c~e.nd.ó. 1$': 'oó ,,~ ~SJ1.ItIt:ia 'tangente"del; 'árl:glllo _:.¡ ~~ ~ ~ ~ ¡i-;.\': \. 1\ ;;,~ \ \':~o!~·'(l ~!\;) _1 "t. ,;\¡." 1\ c: .~? I FBD= +-; tomando, pues, las 1ínea~i;A¡E., ~E';¡ 0

l'

~ I'jGe!?IJ:l§ 2.Bbnq.~;,oo:; ~ ~ r¡ h .r¡r::.,il') lr:t ;·.t o iguales ~ segundo semi!Íe b, la rectas BE, BE', se~ ráI\ ~l~s , a~íntj}.ti\§'~de.~: ~pérbo1:a: C4;C.'l.:.a • -¡-¡ti!)') 11 19 1 .Loo puntos q l,le se llaman singulares en las curvas, coirtg igu~l:tnente-1.a euryatura de estas 't:n cac da uno det ,sus IUlOtos , se:.deter81.iüa tarnJ;¡l-€n tacilísi "'-, . .!! _,":..... '" l . . ... .t ~ mameme p0r -me<tlo del ealculcr'dlferencral.


D"·,~km~Ó;r!>T:Fl1>ro;¡N.CUIl';¡~

i:~!

.1 ~ ,

1L / . 'De los coejieie[lffes -;di!e~inéia~l!s( de e/ias; Rupl!rfic.ié.s :-c..~¡I! ~I

vilineas , ¡JI' t'as súperjicies de ¿os cuerpos áe revotucion , y de los votúme'r¡?~ ~e .esfas, . ~ y.b.:=-tb o ( - ::=::: L -';Ónsj 'J2 0a~IJ 192 Hasta aq·uf hemC4S encÓ'ii rado los 'coeficientest'!!lif~~r1Gl:ltresi.tI,~u Fra:fu pCÍ'0n~a I:qmmiJa:d..e )X;. arhte.;o:l ra;~.e·0áio .. en:m f¡!)¡iCÚ'pVáitral eóm.'€l ia:ftF; (fig. \4':í), ~eh funcion de . iá:-ltbs~isa~.¡l¡o : -st;)l'o 'la :OT.deíltada· BM, si'póh tM~i~ eI.a'i-tlo S'A"M? la; súpprftéie;~P,5 lif .su2enfi. de;:,yi[el ?V01.¡Jrr,¡ftfn¿c\!el., huérp0 'lq uef.orijiha.1ria AMPt'Al jr.r'3:t;';aQ:;r~d'.e<!l.:OiJ~e5Al?: ~vaiiro' áa eni:onm:ar sUS::.eo:e > fiGr@Íl Í!~s ,diifel'enci'a1lé'St"D~ lars tl~Si ~irFlcina,s~ yaRLos Jtei'~

n.B'!l'0s 0~Y¡~!W), 'y.'a'sí~ pasa>rémos~l(!)'s

~e,laa ,tre5:>

tmima§.':;$;'¡ .sI .R' 7\0; o.l:Jr'!'l.d:!í . ~~:;n1 qil? ..,b1{ .., t n ~C !) Para esto llamarétl3Qs, ,rfc),l áLsu l'eicliGier-A.;l.\4Pr ;#b concibie.nd~ ~~!l~: ' ar mSF!i·~~..:Ap=x5e ~<:~. vierte. en. ~=x . ~;-- .'WS ( U'-í> .1) entóncei z=PM' s cOI1~ertiri en Z'~P'M/:"""Z+.ó.Z •. y,la su phficie 4-~~es.e!lt~.t!..a.éP~H\5e converti-

s

e

ra en s'=AB.!M~-A:Fl\.!J iJ?MeMl~~r~s,

y Lls será igual á AP/M'-AP\vr-=~MiM.'P!;

,_ .

pero "al paso que fl",..disminu ye r.~ , tra pecio rectilíneQ PMM'P' se va ~eDtJ.an¡\e'a )is;láe-R:Il~fl-eia.?~ue podrémos ha,c er que la diferencia enfre }(licuo/trapecio y el espacio mistilíneo igual ~o1il ~iií:llttgué á; se~flE,em-pI.t

~..s~a.l'<1.ui!.r' c..~~~ d:dq..; ~ClI3~~.i(!,.(.~~,q~ ~J. ~{~-a • '>'-- ,

p€'cm

"

,e···

,~ I(pM.f:P'l\[")

PMM/p/!:pp/~

..o') ~ :;.:~' "::-1 ¡:, ;; ,, ~,-a ~,~~ '(;"·1 ·...,~) ... _, ja

¡

.;.

~xx

('Z.-=r--~/)--'-

t f>125!.I({.J

-- = ú~ ~ !.!..t. -

:~F- !~~+~.i .,.1:) l.E~ r¡~, i\:'Z.).~j:'O(:!¡~ .cf :>b flO r' f! :.;h~t.

fíx* , .,: : ' ~"I ~.¡!.lC -~..¡l[":':"' . rte~vlta:r.r.u~~",~ ''Z4'~ ' "l"~' . b" 1~'$::JiJ:; ~i! ....n ,S a /, ,;¡.~) ·2 ' 1 .d I ·í ~ ·~ ~ 2J " qJ."~ 'Jh J

s'~ '?~@de- a~e\rcéf@'á ~~!~fa:átd" &OtE;a ~~~q¡ uiera ~ 8 \d['4 / "'l<henqo, port....ó.",,' endré!'Ú.o.~ q ue, z+-~:.ó.z se pod,rá

( . lt ~·

~_I\t-l

.\

,a,t t'car tantocOJ;rIO se quieta ~

~,lii(

'-

; 01-' ~t'

+21_ '!I' ~f11-

á'...:.!... ; luego

~ ~ r A.t'-t

"

"

~a:B':

los límÍ14"

lc~, d&eSÍas. tlo~ es:pjd.i~bes ~Í'áh<igíuales;. p~,ro:~


1>MI:'C>ÁLCU,L'O DlFB>Il~N:l!'lAL ~

124 !

1ím~te de· z+-~Az -es '~.J'

.~

,:¡

..

,

GlI ~

. :d'tf."" luego se .t endrá -r.t);J'

j' ,'~ .11

7.

ds '

rAs

,i,. y el ,de :.1,'", ,es: dx' L

...

1:.'.. \ '. " . >~j~: .t~

..

..J

'...

\",

d' ó ds=zd",;

(' /I r \'.;j f!" .

J '

.J-,"'I~':)'.: ~·.f~ -. f'!

..

')

r

,cuyo, t"esulta<hi manifies.ta :.que rd r;cJ)'ejiÚente. clifei.ell,~ j ci'al He ;la stfperficie ¡J1PM,' ;cJJn'Sidecrada cd.mo fu~ciolS'! de fa absCisa ,AP, .es~.iguatj (c()1t.,~,anQfJ.a.e!l:aa.a. ..... , ¡;,~ ;.', ,r,n93 '.Si :{iu<p(mem&s ;-:~ue ..la. ~urv~ .fiMF, dé ,I;ma ; 'Vu-el1;a .alrecl:ed~r, .del ~e, A~r,-de 1as:~b§cisas "y{eb pr:es'amos ;poll riL~a:; ,g.u perfide ,.q,úe ,desFdbe ela-rc(ji. AM, '·la,4eseFita 'P9F~lar'co'_MeM~i.s(lrª 'la ldiC~r.~n;" J cia ,de Yla! cll2r.aa! MM~, ,d~..scl;!bi,tá¡ 1;lfl,:.cqn<? ~t:,1;\nz, .c a4o , cu ya su perficie, llamando '1t ,á la xaZ,0U!A~tj ·,d~ám·etJ.'bI·ár,la?ciT~uafeb~hci~; >t:$~ 1!;:r.z : ~ .. '~ ":z'!

'$"

!l':!

::J':~~'. •::::1:la

:t::::-'J(MP.+M/p'iA' r,¡ir

~L",

.i":;'Jf1¡ll

x~M~ .-:. . L-:-,,:· ·'.!~/l\'q:·--~:r: 115' : ';!J .!,....,~1 0 :" 3 rv~"':!.;:::..;1" ;!,;:J!! OJflJ

(l. § '4:Ü) 2'1'f

:- .t11.:lV;lr:.

t", I

j

~.'tH ~r~~>:,y, y,,~r,

f

, :::'1;

-

.

,

" "

~ ,""

:

JiC'¡¡ 'T.

".-" ~ , ; íV!M,~!4fM~Qfa;:L ::-.:::',¡; m

·';'iv-_",L. '~":L-:~ I q.x_\f,,,'.G'.:. ~ ¡''''[J',. , ~--.L ...... .. .l. _1,.'..1 .l..a,i ...

(.....

.l

...

.:"

.;;)

r;-''lj'( .... ,.;..¡ ~-:Jr:-}r .~ .. i1:lzD q¿(.f · · !~ I ;,rb·, I 0t.rf>("';l r~n )""', 'j .'$'7Jl r Z*' -= .,:. «V.A~l!l-:4l~!4,; n '. =~

g'l

_n, ,(. " ..J:" \.._ '. t ;.; Ot~(r

,-. J>:F~

b Y '.)b~q!m orbrlf ".me .-i";)3'15i'b d J;]f' ·1~: .. ::~O::l la;:!eHl~iofi. s!!Já ¡ 'jj;g; , 't' i'j 20'", l',' ".{;.'l C!',f ··' d '." " "::~ '"' :'<'¡"" M ' Mi '..¡~'lorJ~N ~lf/ r''''A':I~ ..:>up. etroW"'rl!'l'0r' o'V .O:~ - ,-- - '''' '1.1::0" , .' ',' )A' ; l'r. -<+F,z'Jf ,z+I+z' , \ r" ... - - ' • }. v'9-2.\ ~rl' ;". 6}:x.. ¡ -ESfo sil ~~;;to, sr eonsider¡f~~s 1~' -su pirficie 'sj~~. il}'PA une:on .de la :abscisa .:e, .eo~ar.émn.~!1. ;'~~ que ,,\uantp · llJaSl;~e:j3:-,*J.j81J;¡.~!\ ~~ Yt4 ~~§E.:l'imIte ,_'taupg ma~ searcercara la :SHper,fi@ie del ctita por l'a cue·rda. MM' á la :su'p~ficej,e~ 4s~. ,p.espl1ft,,~ JP~~ 1l~,~¡;c{)'JVle~~ e~pr:e~i:n-? ~-~,~!~({;)~ f f.Y'l;j;AA·z,::¡< i~ .~s .: I \¿" . .2 V x "ó." ,~ <~l_ '( ~¡ (_ .:~ r> r '~ E()!(C'J.JI... " ' : ..t,. . . ' y que la diferenGia,·de estas 'd€ls podrá llegar á ser meU0r q ue c~~lq~ie.r. c:anti~!l-d ~.ap.~, po!, pe,! ue~a <i u~

'YI'Pa:sandD . á

.'

o,

i ia '0

L


:iea;=d~' dond5~pnc~~irémo~ .q ue ellímitc'

, "

V

"

.,

\ !¡w:¡;

,

, d~~ ·

. , 1+ "~

d",

.

• "

'.

d$

'\

'

de la primera será igual al límite ~ de ..l'Q. segunclO; , dx

IV'

y ds=z'7tzd" '

J

I

l.

~ ~r

I

d

Z

o"

'

l+~=Zon:(Z~d~2+dzS. ~!

~

d""

194. ' Si lla'mamos

.. ,..

r-:;.

..

1

la funcien de " que esp,r esa ·el volúmen 'del cuer.pO\ engendradp pOI: el 'espac~o "APM, en su revolueion aL r.ededOf:.deI eje A€:, ei-va," JÚlnen 'd el cuerpo engendrado por. el espacie PMeM'P' 'terminado porel.arcolMeM', será f:¡/v, y eLce,no trlÚl. cad'O engendrado por el trapedo-EMM!P! será igual: ': ' . (l 42 '3 esc ) ,, ~, ~ ," .~,- \ : pp' , " ..631:' 91'(P~2~P~X.J.~:~+P/~/2)_,==~(~2+.-Z:;~+~t.:}_.. , , . '. - '1_. ,. 3- " ~ _ 3: ';:', \ , ' . ¡;, : ' ..6", '( ,.~. ~ •

L... !: •

...

~

........

V!

..~., j.

-

I

~

,

·='1t(z2+i(Z7..6:¡;)-I',,2+...62)2.~~ ., .. -Z ..... e~ t _- '" ~ -',

Jj

6.",'.' ( " .

,

..6z 2

) -

.~

"

:~(3Z:'+32~Z+~z~b . ~'1t\~~-:~Ai~~ A"7 - .. " " 0_ .3 , .. ~ .,c ,__ d,. :,.3." yo pasando á la re1acion"se"'t-endrá '~ ~"Ó1'.orU. por trapecio P'M:1Vi'Iv ~ .~~(:i 0 .~:¡;2~··· -91' z2+ z Az+ __ ' ;.

. :-"' :;.)

. (~? ;

, 4" ::;"r'r-,t ' ..,..

~

j"

,

_ .. '

n

,'r '..

"

;f-.

I~'

.,

..: • .

)

v",

_'" vi

3, c..i \..J AV' " ~

-

\ P,el'(i)e~taé. relacIon -se. aproximará

tamto mas á __ . > ~_ r: i .Ax. -cuanto-mas se a,c erquen .,¿l" y ..6:t á ·su líqlit~ cero, · de modo 'ql!le sU'diferendaipuede .11eg¡{r á ser menor' ..i

J

:

.)

'

.

'

. q,uc.cualC;l WCL', camidad por peC;l ueña 'lue sea.; luego'


~n6

Jl}l;¡r} O.ÁL~U.kO m~'E!l-~:!!G.rt.~

~ '·H.s.' \ ~O'\. :"¡;'l !. \ r. ~ ~ )i ( ". d'l1. sus límites sel'anigu1de's '7 por c~Bsrgu'Iente d~ ::::1~1~ (t.

<,

'

...

esto es" igual á la superficjé ;ae.l;-~í;culo que describe la ordenada PM en su movimiento de revotucion; y ¿iá\:di[er:eNciaíl ctV:ch:t~olWne.q: ~e.rª.~ª:p::;:~~J¡df' ~" "b

DEL INTEGRAL. ... --e-kLGULO . " ~

11..;;

!>

~,

~ J "

. -:- ' ,--'''~ ....

e,: ·.~o"l

De la integraeion de las' funcione~ racionales dc una sota_'lNJtÜillle... , ..;,. : . . . . ;--t~'.

~~, .•....¡ ",'"

\(' --

....... J

- . !-!

,.;;. .

::'=-.",

v

El cálculo l'titegráhiene por, ebjeto, segun shemos ¡úlªnifesf.acl'o '( 1-2 5)': el det.e.rminár 1a ,fff1lcion primitiva, .dpddSe"t Vímite . de· }a relaci.on entre e.l incremento .de la Jf'lmeion y, el. d.e/ la aJariable. De ,dond.e . se deduce..q u« sié1'ldo in.versb.::rdebcáh::ulo difer~n.Gi_31, ,'las reglas q u,,':se ¡;len _para JÍmt€grar.., ,hah. de .s,e r ll\s 19;

..o~uestas a" ~a~_ q ue'-se _cl:ierO~! p.aF.~ tdiferenciar:. '" ) La esposlcIOn de los pnnCIpIOS cl.e :,este. cálcuI?, presenta divisiónes análogas' á las que/ nos ofreció el cá:lcuto .a.iferen~ia:l:;\ y ~sl calÍl0 \,r.';n~tando de . est~1 aplicámos primer.o las. reglas de diferenciar á las funciones esplícisas 1 tambien principiarémos estas investigaciones 1>0r-eI-e:as0 ~eru q.ge ~l· eDefict~l;Iie ¡:HfeJ:encial de la fundon que se busca, se da ininediatamente en valores ~~ las variabJes in.sl~ péndiente$.. Cuando el 'é:g"efi~iet;te- -difér.enc1af -d.-e:- prim~r. ó'!i.den:'d.e_u!Ba-.·f.YIl'ciou (ie',;x , viene espresado' en valores de -"', se tiene

_~' .. ,

d

. ~=-~~

~ d ",

Ó dz

' .. :-.:;:1

r.' 1:."

,

r

f',,1

Q. _

.,1 J

.t

.;.

\O'

,.. . . ~,.~ .t.uc..;.. , f

~l!\X, sie~'io, J[: _ .fl x~lu~~9 laJH..{li.i~ñ

.::':'--i .. - . -_ _ __ _ _

buscad~ es aq u~na cuya diferencial es Xdx, y se.indifta P?niéndole uaa f ~nt~; coa lo cual quisieron dar á: Coh~)ccr- ló's pt.i:met.os ~:ih~11li'0l:es · del t:áh:ul~, qJe la .f undon equivalía á la suma de las diferenciales,- AsI, z sed igual-á f.,Xct,,;; y se v,e q u:e la_cn-a¡¡·terístiGa f .es:la "Opuesta á l'a .d.~ Para. ha·li~r esta fun-CiOfl 7,e-s· n€ce~-al'i.o iqves tir !as .reglas de.la. diferencia-

I


;Q:BL, :CÁ~U:W: "N[.I,\!ro~:r;

-

.12.,

don; mas á fin de prq~eder .con método, tratarémos sucesivamente de la..s_ dife~!)t~~ fpr,Í1í1<1l$.. <;J.\le,':-pu~:e~ ner la funcion dada x..,'-y que clasificarémos en fllJl!l. ciones racionales ., en! f~Qciones irracionales, y ei!I funcion~s trasceitliS!!ltes -; cl.~~ªt~, ·mg>Q.e¿ 'J ;(:~ i~ vI

"

,

'

.)~ '1,(JJñ~ t"~ x?,.:+.J;'~fÍ'+11,c•. \

;

.FU'nci,ories-racion~les· ' i~~ ;'irx.~ j.{:~f _+~'C: :,ir .;

¡

!.¡,; ', ' --;. ~

,

.'

r

.

- '-

· .6í'."ml+B/~~~c;i,xPl..+:6'-c. ji

\o

;

l'

Funciones irracionales U5<V n , . .. ...o- _ ,,4 _ .

ti

~ ~. ¡:

I

,~t, "'.1 - - - - -

Funéiones trascendentes F~'(U).V), F.(U;sen.:V))'\14!'.. e

,<.; ~ ~ ..... .. .';'" ,n't <.?~l· • • , ~~j :r.¡-' j U. ~, ~j; . '¡'96, Supong~os . q.ue el, ~{!)efiCieate ,~f~rencial;¡; I

~sté reée~,er¡~ac;lp, p~r, d ~onorni0 ~m: y .teruk.étnOf d:z. 7 ','" _=Axm p,e,donde

tix

' .~ ,

.d:~=Axmd~' - ' .' -',

,

-

"pero cuando tpitá.~os ge"diferw.o!ª,I¡"·lJ.!llffionom1C!l en . q!l~ l~ var~able estaha e,le.va:¡:ia á pote.ncias , dijimo-,s ~ quej~ T!Jultiplicaba ~t , cspoT)¿nt! dj· (q. ,p,qtcncia por ,el : ?~ls:mo mO!lom~~, 1ir!Jin.UYeyí~o eJr'el¡f~n§~l~? ' en una ~ mi:Jad, y mutt~pltcandolo tod,9, por, .~a, tltfcrenGiaJ de ~Ja ;1l'J1'iabJc.; lLl ~gQ a.gui ds berémos 5!~t<'!ºlé'Cfr:l:a.li regolas .en un 6r~~n jn.:ters0, gicien4s> 'Jts~l'íma)5.t t,t di·ferenfj al ,... .au?~~nteH ~'I",a unidacf, !JJ.,~$ipofJent,e , y íPq1'''; • t~se. esto. por .el ,efpof}e,ntc qu~ Jffcct4b,(~ 4 ~a 1J~ri·"ble . despves de aumcnt~~ ~en. una :,t!nj~~d. ; .en virtud de dz .+, ' cuy~ l~g}a tendrém911 que ~iendo "P" ;;::::;.Ax"!!, • v.'X

_

Ó d~-4x

...'

m

-

~, ~

,.-'

m'

dx, sera z f.Ax dx

..'

To~ndo

~ A'9cm:+- I

.

, " m-ht casos 'particularei se tendrá ~ que si


~.~,~ .. /

r

(

I

,

~

4 . .'

11(/-' • • •• " •• •• ,

'4i~=4a",~d",; ~~.-deduce- ~ ~·}~-l'I ':.. ax4 ; ~ .j~\::JJ

. .

si

"':/.L-, . ¡~ ;

1 •

_~ •

(; 4 .. : l ·:

' Sb'~ l¡Ó~ ' 6",10 ' dz=Sbi 9dx-, 'será. z=~"";' " " ~é. ' . ; .. , - j, :.

, '

,:

10

:_1

2

1'97 J·faU';bieA ' ph-dríamos :deducir ' de cada regla del cálculo diferencial, otra cbnt¡;aria en.. el6. ' int~gra¡'; .. pero ahora' sé'IO' notar'émos' que, pues la< diferencial \i~ uñ~ runl'l<?n,.era la.mÍsma. que la de la funcion a· compañada de una coristante p~r v,ia de suma ó de ,;esta , no sabemos si la integral 'de A",md", , es -

~

\

••

,.,

Ax1ll+r

f

\

ÁX'"¡rlT-I Ó

I

..~ .

.'

¡

, ,. ',. ,'

+B,

es

, ' . ·;: .rl m;+:~ .: ,{ : , .11ZfJ <,~.' ' . . ') " , ;siendo B una' constante cualquiera; y por, 10 mismo --debernos . d:éjal'. 'ñ uéstra- mi1¡iiá? duda ·es pl'esáda., 'añaruendo á la integral que da el cálculo u·na constante . ;iadeterminada ' .que· seña·líttétn0s' con 'la: inicial e; :1' dirémos

, ,

Axm+I

que.F.21x~dx:i::::~:+.a. "

',

I

m+l

'.' .-'

.

, ...

,~

1] \Esta~éOrisfahté;s'c '11i tÍla'; comta~te 'arbitraria:; ,par 'que €uando·!t'tO llay úii1guna dtcun'staricia'que lá-iie-

; 1

',term}ne" la' podemós ·e1ejidi,arbitrio. La ic1t'egral qúe -da el cál'Culo ,"júnt'a'con 'I¡h:'cinstanie' arbitiaúa' ~ se !.llama integf..atc l:o'mpleta~ ' ," ,", • I >, I , .. -• •, ~ - - 198 .. Cu~ridQ se qu'iéf'e 'Ínteg'r~t' ;una espresion, se , debe ' dejar' .indete'riniháda 1'a constante'; y si s'e :. pide - qu.d a tl'ete.Emjnemos ; á lo \lite 'sé 'suddlamar ;c01f¡pJetar <tes. integ.ral, enEónces 'se a,e be'pe'dir la: conüieioh. !:.J Así, supohgamos :qu'e se 'pida cómplérar la JnteAxm+1

é

'

gral ~. , de 'm aneri 'que"séa m+l

.

ígua-fcon ljlcuando ,

"=a; em@nces .sustituirémos a ,en vez .d~ A 'xm-F r . .

'.

• ' ,

... .,

!J! en la es-

. . . . .0 . '

..' ;

. . - ...... \

.• . -.

'

¡>resion -.- - +C, igua1arémos esto con b, Y de 'm+. 1 ' . . .

i ''¡'

\

_,. !

f.

'.

~

...,.

.,

'.

~


129

DEL CÁLCULO INTEGR..AL;

esta ecuacion

despejarémo~

'Aam-t-r

C; de ¡podo que será

,/

"

A;m-t-I

---+C-b, lo que da G-b- _

, !:'

..!1J+I

m+1 -

I

por lo que en este caso se tenará ,. ,

'

::4;D' f.Ax 7ll d x

Axm-t-I

m+r

+b~

A"m-t-r

1' ,

_. m+r

,Ahora ', cuando el '~álcuhime'gral se aplica á alguna cuestio¡;¡ ,' ,entGnCCS esta mi.sma debe sumí:. nistrar la condicion con que 'se ha de determinar la c0nstante ~ de maneJ.la que el resultado' no convenga sinó á d~cha cuestÍem. Bara est0, lo que se necesita es conocer un valor abs0luto de la integral; pues l:estando de él la integral 9 ue da el d)eulo, tendrémos el ,v alor de l~ constante, el valor absoluto que se puede conocer en cualq uier cuestion es saber qué valor

C" '1'99

tiene ta variable cua-ndo -ta itltegl'a¿ que espresa lo que indagamo~ se t"ed,!!!ce á Cel"o; y por lo mismo vamos ~

manrfestar qué .forma tiene emónces la constante. 200 Supongamos ' que P sea la integral que da 'el- cálculo, y... tendrémos q üe P +C seF>á la integral :c'61Ílpleta; supongalnos ahora que sustituyendo en P 'éILva·lor de la variable que ha de reduci.l' á cero. la 'ihnegral c01I1pleta, s'e convierte en Q, y se tendrá Q+C_o; lo que da C=o-$.2' _-Q; de~ donde se de'd\lce que en este caso se completa:"la integral aña'dief}'do á la qúe ¡jo, el cálculo, t,o que \resutta 'cVe sustí'tUil" en la ínisma qt~e &a el cálculo ,el valor de la va'ri~ble que t"edtlce la integral ~omptetá á cero, y ' t?,

'mándo todo esto con un signo contrario.

"

. Así, si nos propusiéramos integrar la espl'esjon '(i 97) de manera' que la integral completa se redujese á cero cuando x=a, tendríamos 4 a,m-+-1 ' ---L--¡..C

,

-Ad1n-t-r

o de donde C=----, lo que da

m+l ' 1/1 1 A ,,1n-t- [ A p.m-l-r ....... 1n z· f.Ax dx " - '- '-'=

9

T.

n.


1,30

D-:J!L CÁLCULO INTÉ.GIlAL. · A(~m+I_a1ll+I)

--'---

""

,)

-- - - CM).

7Jl+l!

Si -la ' ~uisiéralDos completar de m4nera que se redujese á cero cLl<}ndo x-o, tenc1riamps v •• " t1 111+1 - . . . • - o ,~c o, de donde e 0.. ; to que nos dice m+I

L

\,

..

qúe ' cuanao ·la' integnil compl,eta es cero al ,rr¡.i!m" ,fiempo que ta variabte, no haij término constant~ e!l fa funci,QrI. .' . _ , Por lo <'l ue la integral J.Ax 11l dx, en el sup~is~Q de convenirse l.

~n

cero cuando x=o,

eQ

A",m-t-'

z=--(N). m+r

Cuando se señalª en general Ja'esprésion f.Axmdx, J. Xdx" siendo .x:. [(x) se lli;u,n a integral indeterminada; cuando en virtud de una de las condiciqnei de la cuestioll) se determina la constante como ~c¡;; . bamos de haeer, se dice que s(,! tiene y.a la in"te.gral ,comptet(¡: de ,manera que las ~&¡;Jresíones (M) y.l~) ~on integrales completas de}A x11ldx;, la primerae $J~ completada baje la condici¿n de que roda la itnegra) debe reducirse á cero cuando la .variable pc=a;. y J!l se,gunda cuando la va.Jiable x=o,; pero dichas integrales aun no estan entetamente ,determinadas; pue.s que €ualquiera de dichas es presiones puede recibir ' tantos va)9r\!S cuantos se su pon gan á la variable.",. \ Ahora, cuan40 á la variable que contiene una integra! ya cOlp-pleta) se le dal un valor particula~, emonces el valor que resulta par-a la integral) se llama integrat det~rminada. Así es) que si suponemos x , B) en la espresion (M) será ' A (B1lI+I_um+ 1) 2= (O); cuyo valor está ya ~6

1ll+1

absolutamente determinado) pues que está redudJo á una cantidad llJa y constante,'


D]!;1!. C:ÁLCU7"O' I'NTEGll Alí. ~

13 t '

!,alor á ¡>; e~ la espresioCl I __ /J.B7IJ,+I ~ (N), se convertirá en :z= ¡ (P); que tam~ ¡ ~' , ~ . . , .:.' tn;,t;l , 11 J )r.' ~ie,Fl dl l!.lldla deJ tode" pUllt<2 ~eterminad(j). 1 .' .. ! Para indicar las condicio,nes con 'Lue se pide el def,~:vJnJnar las integJ:i¡Je,s.:, :se ,ac0s~umbl'a.lo mas Re-' neralínente el poner al lado derecho del sig no J de 1.,!;i!)J§gral por la parte inferior el primer ~alor que' s'e sup on,tr á la variable' para determinár-la constante¡ arbitraria, 'y por la parte su periol' el v}110r .q ue reci be la. v·al ia·bl~ pai'á determinar, t-etalme¡¡¡,re' la) ínt~-, gral. Así es, que J IIBAx7J.I dx espresa el valor (O), y foB~xmdx espresa el . ~valor\ (P); Las es.pr.esiones a y B de la primera, y o y B de la segunda, se dic~ qJ.le ,s.o.rulo.§ tíJ·I~itei .ef¡tre que $e toman tas .·integrt:;tes., E'n generaJ, su poniendo que una integral se ha qll t~~.~€-r¡:F1iflar primero completando 'lá: integral que da "el cálculo por el valer d,e x '0) y des pues sup.o~ie¡;¡do á ~a var'iable x uñ"valor Xc) se· úsa de uno dtt~ e~ tos ges med~o~ , . X -, Suponiendo el

rriis~q

f:9t(e?~~ " ,ff(~)~x (~) iJf{x~dx (: - ~P ).

1~ , pr~m~ rtt

de estas nptélci0nes concebida por MI'.

Fo urier, es la mas simple Y 'la qlle está .mas gene~ r~lllTente

adoptada. . Nq .puedo dejélr. de indicar con este, motivo que Mr Callchy) de quien el cáleulo infinitesimal ha re~ cibió,o muchos adel~I,ltamientos) acaba de , publicar ,una i!lJeresante memoria .s obre las integ;'ales deter- _ mi.f!Cld~s-.,. tQmadas entre límites imagi'na·r i,os..

, De aquí en adelante q lJ,ed:ará indetel'minada la constante, á no Sil!' que alg.una investigacion par~ ticula'r conduzca á 10 ,cont,r ario. _ -'. 201 . Antes de pa:sar mas adelante ~ onviene exaI}linar un caso particular eH que el valor de la es- ' presion (M) se convierte Iln g, qu.e es aquel en que m=-I; porque entpuces se tiene


DEL CÁLCU'LO INT~d-itAL. ·:

( i3Z

,

A(x¡' ~ aO)

,"

¡.( O" ¡.

z=

11(I"'...:. i)'

.'.

-1'

g.

-o _.:..~-. "

,

Para enc'ontrar sú verdadero valor es necesario recurrir á la.l'eglá (173'; Y .C'om0 ' hemos Lhecho ;ver

. h

~

<' GáX~bX

.~,

. "

(i7.4) que-.- . -se redueia á ' J:a-f.b en el s'úpuesX

i.

:-

.... ,

;'" .. t'

(.

to o de ,X~0, tendl'émos que en el 'ejemplo ae-tual" mudandr® las letras c'onvenien:ie'tne¡:lte, será , , t

z=A(l.x-l.a) ;' pero cua:ndo m=-I, se ,, '

"

Jldx

' t~elile

, '. !Í<h;.;

di=A",-:-:Itlx ; .1

. '-

'Ir

t_

.

Iuego..da.=-' ,da z=A(l:",-1. a) , Ó z=Al!x"tC, - •

.

- r__ x

~

-'{

:~

.

I

. ' Lo mismo se hubiella ded~cidt> de lo diGhó '( [ 56) •

pues se tIene

:2

'1 . dx

.J l!I.,

(

·

.

·.'

x=-; y .mamúesta que SJe1n'Pre que x

~

,

el :mme;ador de , una' fracción sea la diferencial del de",:, 110min(, dor, esta fraccion tiene por integrat. al togárit-> 9110 det denominador. .. 20·2 , La -eS ~ epcion C¡Uf,! presenta aoquÍ -¡¿i ' r.eglá. ' (200) pl'oviene de la imposibilidad de éspresar la u-anscendente 'l.x por un 'númerd 'fitrito de i:é rtj~inó~' a!gebráicos. . ' Toda la dificultad de la integFaCion de laS:¡·.ftlh. clones de una sola variable, 'consiste en la .invésti-.. gacion de las tran~fo J.tma¡¡jones, propias pa-ra r.edu. cit- las fundo}1es propuestas á u¡:¡o , ó: rnu d~ 0s m.ono¡'· mios",. á que: se pued~ .aplicar Ja regla antecé~e~ te • .Lueg0 " S1o se tuVleSe dz=ax mdx+bx fl dD<i+éxP,tlxl ' 'hallariamos inmediaramente (§ 19 6) '¡, '.~ e" a ", In"'¡-I bXf1-¡-' I - cxil + 1 z = - - - + - - - + - -'- +C,

m+L

n+1

1;+1 .

)

., ~ 0:J ,¡,,,tU?' ,~

añadiendo mas, de una ,có'nstante arbitra fíd, ' pól:.' que si añad résemos una para eatla mOllomio:,rj uDla& equivaldrian' á ·una sola ig'Hahí 'su oSellna. '}in 'lren e:

'00


DEL €:ÁLCULO - INTEGRA<lL. 133 tal, pues que hemos visto ( 113) que d.(u+v ......w)=du+l1iv-dw, se debe concluir que . J.(au+dv-dw~ J:du'-f;.J.av-J.dw; ·y que J.(Pdx +,Q dx-Rdx) J.Pdx+J.Qdx-J.:&Hx. 203 Hagamos notar desde ahora una consetuenda que nos será mUY ilhil emadelante, y,les ,qhe in!. tegrando separadamente cada-término de J d.ut=udt+tau (§ 134), da ut J.udt+J. tdu; 10 que establece una l'elacion entre las fl:1<I1ciones pri: miti vas de las diferenciales t¡dt, tdu, de modo que siendo conócida la una, la otra lo es ' tambien" porque se tieneJ.udt=ut-f..tdu; " u du d-t la diferencíal d. -==--u z (§ '136), t . t - t -y

.' u dará 19l!1:almente .~ 1 ~

t

. J,

.

dlf

udt

--¡. 'T' t

t

edt u du de donde se sacará J.tI z=_.:-.+J. -. ,

'

t t De que d.aú=a~t' (§ 131), ,,'

1);

t

j,

I

204

se sigue que J.aXdx=aJ.Xráx,

<..

._

'

. 'o.

es decir, que se puede hacer'salir del signe J la constante a. Si nos propasiés'emos d'l.i=( á~+byndx' ,-' efectua­ 'ríamos la potencia indicada, é integraríamos cada lÍlonQmi,o q u,e .resuitase. de esta operabon '; pero.,c,ol'l':. vi'ene observar que se puec!e llegar al' resultado sin ~feduar élr desarrollo:; paTa e,sto bastallacet >áx-t!/;I~) u-b ' du ' l02qllle dar 'x=~, y, dx= ,- ; ti a y sustitu yéndole ea tal·e-spljes~efl,dé d-z,; ~s~ cenvenira. " u 11l du • ' u m+ I en d'l.i=--; Yi·p{ircQl1si.guiel1te' ',1',=---; a a(m+l) y poniendo aliora ' en vez de u su valor, se tendrj.


134

DEL CÁLCÜLO lNiTEGllAL.

1 ,. ;"(ax+ h)11I+1 ' t ,j Z...... LC. a(m+I) _ 1Ci5 PasemoS ahora'á las funciones fracci0n!lrias; y ,COl"! el objeto de principiar ¡;>or,el caso mas ,senci;. ..J ' Ax1ndx 110; S'upollgamos que se tenga d.2 ==---; .(a.!l:+W ' i '. , • ,rl. u-b da hacIendo a-x+b~u se halla 51:::: _____ , ·dx:::-,; a u ,r I

desen~olv iendo la po'tenda (u~bf1}, multipÍicaindo el resultado por dl~, y dividiendo despues por un, se tendrá . una serie de r;nollOluios que podrémos integl.'arp<.tr laregLit:dada -(t96) ... ,. , " ,.~Tomemos por ejJ:mplo el caso en q,ue m-:3 Y n:::z, j

y resultara d2-":: ~ ,

._,

."

A(u~b)3dú '

-

, a4t~

2

.~

.

-

':

"

A

.

<j

aiudu~ 3bdu+3b:1u-ldu-b3u-Zdu); _

J.

(

ro ..,

_

aplicando á cada uno de estos monomios la regla ge-. A ~ . I ) ' n~ra), -tesu,hará 2 =-(~"""t3bU+3b21.U+b3U;-I . +C; 4 a 2 '

Y poniend.o en vez de u su valor', Se tendl'á. p011 ú-l; A

.limo

2--(1

l~( ax+v_y~:= 3b(ClfJC+b)+

..

... .... '~

')

3b21. (a.!l:+b)+b 3(ax.+.b)TJ,)+C. •

I

• r•

.~

'-.


~ --------------~----------~-

De la integrae.ion de las funciones irracionales.

\

~o6 La's funciones. ir"raeionales se deben considerar como integradas, siempre que por medio de algu.na: transformacion se 'hay'áJ;l heGH.o r~cionales; Ó al menos, cuando se flan reducido 'á series de monomios irracionafes; p'orq üe entónees ~e l'es puede aplicar inmediatamente las I;'eglas precedeJ;ltes. Pro,poagámon9s por ejempl¿ la espresion _ 3_ dz ' ( 1 ~"1' ",-,'\1 "'~ )dX,;-

.

3_

- I+v'",

~qU! a~vel!tirém9~ ,que $i .en, vez de ~ se sl,lstitl!ye una cantidad que tenga raíz cuadl'ad'a y' cúbica exacta, entonces se éoñve'rtiorá en una fundon radonal¡ luego si h¡¡.ce~o,s x=uq, resultará dx=6u 5 du, ' I " '.'

3_'

3_ ' 3·...; , 3_ u6==u2; V.?C=v' uÓ:- u3, '\Ix z=VU 1z =Ú4, 1 (I+uL"-u4) . u 9 _u B_u 5 loquedadz . ' x6u~du=-6d!lx ; z " I+U , "';'". oI ,+Uz lo

__

Vx=v

que haciendo la division hasta donde s'e pueda, se tendrá. . , .(

. "

du )

dz=:-t,í uZd~u()iilu-If's~~+~4du7Uzdú+du--Ii1. , , . +u ~

..... ,-.

~

_.

:-

\\

cuya integral teniendo pl\esent~ (16~) que du

" o, ) Éir.co (cuya tll'ngente=u .) es z=-6

f '--~ I+U·

"

~

.

~

U

8

u6

u7

u'S

u3'

I

( 8'- -:"~-+----+u--arc.(tang.~u)

7

, 01

,..

o,

-

.6

;,

,. .s

---

. ¡,

)

3

:,. ..... "'

-

- ...6

Y SustitlLyend~ al'ior¡J. ' en ;ez de u su' valdl'

+C;

V;-;

I


i 36

.DEL CÁLCULO niTEG\RA,L.

6

6

6

se tendrá ~=-~xv X 2+~XV:';,..¡..x-~\I X 5 -tf 6 6 2V-;-fiV·;+6arc.(tang.=V "),..¡..C.

'1 "

De la integradon de las diferencia~es binomias. "' -I

207 Bajo el nomgre de diferenciales binomias ' se compr,enden todas las que son susceptibles de la f~r.•

. p ma siguiente: dz=Kx m7 L dx(a+bxn)IJ; en la cual podemos su pe>ner q u\: m y n son números enteros sin disminuir su generáJ1da¡;i, y por consiguiente todo . está en averiguar en qué casos se podrá hacer racio-

,

p

nal la diferencial dz=Kx~-tdxCa+bxn)q; para esto harémos G+bX'I=u..IJ , lo' que dará .,' I

' ..

, .m=C'b a f

" .'

~!'

,

diferenciando esta espresion se tendrá nl

'-,

._

- m-Id 11; (~q-a)-n=- 1 qu'q~:r dfJ mx x=-;- - X , "

,

n ~

b ",

. . . . . _.

.

".

J'

b

m

!

.

;

J

;,'ru::J

. \

""

i

. q (Uq-~)ñ"""Idu(~l). lo 'que dará ~z=KxbuP+IJ-1 - . . " ' t n " ,. " ,b , •


·1.

)

,

<:t.'§1

DEL ' CALCULO INTEGRAL.

.. "Donde se Vle 'lue esta espl"e'S:iórt será raciónal' s·iem~ m

_

l.

l're que - ' sea: un.número entero' ,~y por .consiguiente en _ n '.1 " u <. '. .. -la 1'$ este caso se podrá integrar; pues la podrémos desenó

( volver en una serie de rp!?no!Dios i¡:¡tegrables cada uno de por sÍ, ' Así, si · queremos integl1a'r la e~presion . :1" ,

2

9 dx,(c¡+bx 5)3, d'Z=Sx . J."

.J~

I

.J

como aquí ser,ia: m= 10 y. n=5 , ) resultaría 1..sº-:-;;"z,; número entero; luego esta fórmula seria íntegrable ~xactamente; y como, aquí K-S, p=2, ' Q=3 , Y u=a+bx 5 , haci'éndo' las sustituciones en la fórmu1'a. (N), s,e rá d'Z= .

.~ . 3 S' SX-u Sb

l208

(u.3_a)'·S "du=-.u (u3-a). ,

-

I

-1.Q_r

1

!1.

--

. b

4

Sb

4 .- -

b

-

.-:I , clu~ "

Pues que ,no siempr.e es posi~le integrar la

p fÓÚlul~.¡.xm~Idx(a+bxl1) q; la idea que se presen..


-138 bEJ:. rCÁL<!:ULO rNTEsRKn. -ta 'aL principio, es, tratar de reducirla á, los' caso' mas simples, valiéndonos de la obse,rvaciQn qu~ hi~ cimos' (~o 3) acerea vde"q,ue f.udtcup .....J.t.du; porql:l~ si se descompone la cantidad j

,-

~,

c:

'

1 -

p

l~

kJ

",m-tdx(a+bxn) q '

L, l j'}

I

en dos f~ctores, .de los éuales' el .uno ·le . re'presentemos por dt y el otro por u; ~e pará.dhRender la in~ tegracion de la fórmula anterior de la ' de J.udt, que ,en algunas ocasiones será, lEaS sillli)'le" que la prO'~ .puesta. 'Dé la integráción. d~ fas cant,i4ades lbgarítmicds esponenciates. . ~ '. I I

'

, •.

j )

Supongamos la fórmlll~ dz=Pdx(I.x)lt, en la cua1 P sea \lna ·funciqn algeb¡;áicil' 4e x, y ten\ .dréÓlos (2°3), que ._. '.' I < J, 209

#"

z

\1

f.Pdx(I:.lt)II=(l.x)tiJ.Pdx-f.d.(l.J)nxJ.Pdx'; -

~

"

y como p es una funcion algebiráica . d~ x> resultará qu~ la f.Pdx será ex.acta, y si la llamamó's N tendré.t mos que f.Pdx=N; o, • dx y cómó po~ otrá ~parte .. 4.(1.~)J!::::n(J..tt~~x -;- ', . r'

Sustituyendo estos' valores _en la ~sptesipn de z será . '-'d«. ," .. . z=N(I.x)n-"rlJ.-(l.x)n- }N. .: ,IX

r I

Ahosa' , .c'omo N es UM, fuqch;¡.n alge~r;Uc~ , ten.

. ' 1 d ,' dx . ~. • l dr é moS que 1a lfitegra ~ N- tambieq ~era a ge~ t_ . !:J()1, ....... í.·~ \ __ _ bráica, y llamándola M resultara que éomo ' "- . ,. - , dx -. - J' O" d. (kx)n-f:=(l1 ....... i)-'"(l. xyz"--", l

.

,

'

t'

IX

la<1llisma advertencia nos ,da.r4 . ' ;: ./'


,

1

l .

r.r

..

.J'~ro si HaIfames ('

"

\

,

dx '

iL la integral de -;M',

I

la misma observac;ion nos dara dx, . .. • . '

J

dx

f'-(I. .lC)~--:--~ M=L(l.x)~-2~(11-2 )f.(l.x)n-S_L; : « .J . ~ _ ' .le

'

lweg.() _z-¡.Pd.le(l.xl=N(l.x)'!~nM(l.x)n-I+

.'

dx

ft(n..-l )L(l.x1n:;-~-n(11:-.1 j(n-;':2')J. "':-(l.x)n-:-:3 L.

x

~ 1o

Don~e se ve que: coñtínuando del mismo

modo, cuando 11 ea un número, ~ntero, como se le 'han de ir quitucle sucesÍvameate unidades, Uegarémas al fin á un factor 11~n, el cual siéndo cero hará rlesapa;récér el último término que se halle afecto· de la integr.al; y como toilas las f onciones N, M, L., '4:JC:. ~?Fl a,lgeoF'"ái~as., ,r esulta <'}ue.Ia f..!.1nclon az=Pd!l1(l-..tc)" tIene integral algebr,áica, siempre que n seá un nq...¡ mero 'e~tero: Sea ~ po~ ejemplo dz=xmdx(l.x?, y tend¡¡émos. ~" .- _;= .. xm+I

1.° f.xtndx=---=N; m+I

d.le .~- :~tn-t.i: ¿.le . 'xm' xm+f 2.° ¡.N- i'--X- :f·-dx=-'--=M;

,'')

';.' ']:=:-' 1p+I.le

.

·a·~ '-l.

·' xm ·

m+I

-

x1ll+1

3,° f.M- f · - - d x = -2

(nH:1rz"

=L;

" x. . (m+1) (m+~.13 . , y tomb 'e-J.\ érmirro qüe debería' segu¡'r , tendria por coéfiCieme 'n-2=::2...,...2, que e~ nuestro caso es cero, .'


:tl.EL. CÁ.:r;;CULO j INT~GJlAn :

12\.'0

se sigue que ya no hay mas términ0s, y resuItará}lUC .~::.

~.

f.xmqx(l.xyl.=NtL~)2;2MC1.x)+

,

2XIXL.(!t.xt=xm+~

2) ' .

((~.X)2 2(1.x) -,,-' -":-;---+J'-, - - +e. 111+1

(111+1)2 (111+1)3

211 Pasemos ahora a-la itltegraciep de .las fun. dones esponenc'iales; mas primer@ notarémos que siendo U una funcion algebráica de aX , la integracior¡ de d'Z=QHx no :presentaria, ni!llgtURa difiic\l1'Jtad; pues que haciend'O aX=u tendríamos xl.a=I.u, 1.u "dti'· 0,, , ,,~~;' de donde x=l-' dx=--; - . ,. a uta- , y ~ustituyendo estos valores se convertiria d~ en-~ná difereacial algebráica .con' relacion á la v~riable u.

ASÍ:, SL tuviÚalúos d,z susúÍtlic~ones

hacÍeF.ldo ·las

, udu

. ¿z==

,

YI-f-a llx resu!tar¡a ' du- ',

.,

~~:------

, u1.aVI-f-U rl -l"aYI+url I 2 rz . Si la eeuacionJ ,(l\;ife.1'J:,ncia) propuesta fuese dz=Pa':i!lx, ·se.la desciDmIllondria en dos Jactares de este',modo-ax.cb~P; y .siendo (§ 1 54) d.~x=l.axaxdx, res:u1ta'rá que ' 1(,1 " ~ ! ,,' •• ,

v

.

~

'_' 'a~

I

aX f.l.axaxdx=l.af.axdx ,é f.axdx-:-",~-.;, ..1~¡

-, por lo cual

tendrém0~ j/:.:-:,:

l.a

?

,


D1Er: eA'iC:ÚLO- 'trNT'EGR-A:t,:, 1:41 + correspoHde si el término ocqpa ull1,-u,gar impar, ~y €I --, si lócUpa 'Íln 1u,gá-r-pa't: · i. 2 i 3 ¡La aplicac~Qn de esta fórmula condu~irá á la'·integraJ 'iexact:ay.si'emFI?e. que P '-sea 'lllná fúnden raéional y ~íuera ; pori1rli,e etítdhGes el' Jfiúmero de U.as

aond~él~signo

- d_P R·4Q dE, cantl'da des Q'==-=-) -"d. , "T =--' • '.< ,d.x "._~X dx

, ~...

,

V IC. "

será limitado, y la última Yj-ser'á cOflSta1jiHe,; Y' - por: consiguiente J.Uaxdx se mudará en ' ,," ........ j'~

~ ~"

~.

..

r::

:j',

1):

t

~

;

ti'x\

r- ")¡.~11c(

_. . . "

:I

t

-

" nUJ.axdx=Ux-+C. . - .' .... . , l.n: _, ." "Jl ''''.' A ' , ' ....T' _ ......~ _ • -, . Sea por ejemplo P=x n, siendo 11. un mímero en'~ -~

.

'\,

~

r

~

"

."

tero y positivo; con lo cual se-tendrá dP=nxn-1dx¡ y la, ~x.ee:Ullc~on (O) ·se CQqv~türá(j!n ,.... .:..,J.... x.oh. ~' . ' \. \... ¡ , . I x .... 'w.,.. ',tI':'.. d 1 \

. f .ax f!'n dX~---a xn nI.ax xn-JdXi' ::4.t

J

,:.-

¡

~~::

.r

j 1.¡.a ')l~ l..!q.;j . ') ~

...

"1

('\

..-

r~

:"\

'1

y continUér~d'Oll'a 0pe~icill)fl ¡"᧠' fl~'llará: ' •. ~ -'" •~ -,2- T: i'l'C n.:-l.Mrn....:..2)xn-S 1\ ~ ~ de dónde J'l"! \ ~. J. ' <;IL ':¡,;1 '.~; -o . _ ~ -i."" ( ~ n ' nx n-1 ( 1) f, ¡ nnZ~ .nX!ttl d.l<1-ZjX ·:_ .'-,.,. .•. -F--' Xxn-o~:Z..-¡ . l.a ~1.~)2- -". l.a)3 - ~- .1 _ • ~=n' &"*,,,:l BR=n(n-l)xn tG 1 ) '

f. .. '1

f

,

....

I

I

-, fI(~\)(~~+2) ' el,

-

Y'~f"~: n t '·1'J )...... :;)· :. ,,' - ''':) xx n -"3' ;;;t: c.• 'i . . . •) +C _.

1';-:' (\ (l.uln

~ r,

., '(l.a)4

.

l~.

~

"01

'~';:~.

.....

,

~ ' .~

~¡...

''-,

.-

-:.

l)e la iniegráci01l d.e las funci~nes [.irCi¡l~:"es. "11

:!"¡,;S Vfl ',

~r

••

h··~·"·".J-i".. 1

i ..

r

'~r,'5bn""

5upongámos~;a ' esprési~h-' ." J.Xd~xarc;(sen', " x);' si se ·in~egra

214

~lplO'~~ fac![br 'Xdx, obs<;r'v¡üld'o' (16z) ' qq,e . Jr', \~ Ir <4':' .1.["4 ,r ~) !. f ' !J.¡ I

"j,

...

I

~

d,,'"

#

d.ar,c,(se~=x)=-===, '~'.Lj

...

~

".

_.'

VI-X 2

-r.

-"'1. . ."

..

• .:

.t )'

y hacicnd'o ¡'Xd:-.=U, se tendrá

.,._;:,:. , al ¡prin-

,

,


I

r4~ •

,nErr CÁLe'E1Lj) ÍNTEGRAL, ; ;".~

:

"J:l, ,

1,'

r

~

:-.0 'l,Udx.'

)

f·Xdxxar~.(sen.=xv=¡!Z~ªr9.~sep.;-x):,{.' ¿ '_' _ , ; .... :

... Ir') ... ~ 't 1"*' ~. J '.. .. 1'" ; , l ' (; \ !¡ I.......:x2. luego la in~;gr'lci0Q. ~r. l~.! ~ó;m,~(~~p~op~uepja. , . . ~e, ;re., / ferirá á, j,lnat f.ul1cioa 'é\,lgf¡,brá)¡¡;íLSi U!o : ¡;;~ l' I " ..',~, • , dx, . CPIDO, d.arc.(cos.=xT :.-:- . , __' ,; ." . ., 'fl" )

-

,

I

V 1 ~Xlll

d:X

y, dr al\.~\(ta,ng.=x:)=' ~ í+x2 ' ; .

.:.

;.. ~,]

'.1

-'

~

,

!.....

..

: ~

~

I

'".

," .-;-+': U

..; \!1..

!,

1

)

~e tendrá obrando I del mismo JI}?do....qUé ántes, que .J J ~ " ' - .,; ~', :',Udx

f·Xdxxarc.(cos.=x)=Uxar,::·fcos.=x)+f' " - ; .. -' r":~,

)~

~

"J

~I ; ..'

~ I .' I

~,

",'~:

! i

( ..'::

~/

,';'':\~ l. ~l(t ~~x

-

l,! -;. ....

.

Z

-

j

" " V Xar.é.(ttlllg.=x)J,.¿ ' ' f.~-Udx é f.Xdxxarc.(tan.=.?t)::: ' -2; '. ." l+X <.' f J l -.. ~ :~ ... : '• . _ _ _ _ _ .... ~';#;;.~=: :. \.= ~

~

y la integracion de estÁs fórrrtulas no q,ependerá sinó de una funcion.' alg~I;>:rªica., siemp5e q1!.e, lA 1,0 -se¡tr" ¡ '.' Z ['5.: _ Fa,~~ hac~J;.....~lguna aplicaci9n,.~~~ ¡¿ UP í1 r co,; y x su tangente, y por lo dicno (1'62) tehdI:~mo~ ~ dx r. _ " 1 1 6 8 ' dz~ - - z~~ dxx _' -~=d~( 1.-:-;;XZ...f:X4~x,:-¡.hx,. W'c)::::;: 1

I+X

I¡+X

~,.

• •

lo, 1 : \ "

.)

• ..J

.

"

.'" ,-

11

dX_X2dx+x4dx-:~6ci~r+x8dx_XIOd~+xI2p.X~,b'C.

é integJ:.él:n~o (i96)Jlos' ~eg,~1~1!-rá , ", }"'= Ji' ::..2:": , 1. .... , 1t . ..... x3

' ~5

~

x Á ' x9

XII

x13

~ ~

"1• .-)

:¡;=x- - +---+----+--::¡::?dc. • ,. 3 ·5_ '::' 7- , ":"~ _\:, I ~ .~ I. ~ Q~L~. "\ donde tendrémos el arco es.presado en"-valores de su tangente, y no le p.oneD;lps, copstante,) pPZ;q ue el a~co es cere' cuando 'lo ,es ,su , tangente. ',;' ¡ Del mismo modo sI'! p.u~~de hallar e~ ~rc,? 'ep va) lores de todas las líneas trig0nométri~as, y estas en valores de su arco; pero aquí no no~ detendrémo s ,en esto, y solo darérnos una idea de1.rñ0tl.0' de r.ecüficar ~a éircunferencia. por medIO de la f0nIluj~ anterior. '


DEL ; cÁnJi:.U «'0. INTEGRAL.

14:31

I

.: I.Ea'l"a. ~SlG., l.; observarémos que, sen·300~t 1 y coso 3o 0-= vi l-i-:Vi=~V 3 ; ., ¡ , : !.J ¿t;Ü(~ -,Sen:"I .......

c:;

'.~~.4

v,,".

l'~

;-.!: ..

' ...

Y COm0 t~ng.=--, será tango 3oo:::: I • 2/ = - ; ' .. . . ) v, . . a C ?e·.J (,' '_~ i.:. '''' ~v 3 V 3.

luego sustituyendo este yalor~ en. ¡'a'1 ~spresio~ \a:Qtt;.~j

.

r~Qr· ,

. ltara. " larco. de.,$Q._= o oos·-j.e$:I!J', "

,

'

1

"

1

tI-

,

1 '" Id'_.". )

1 '¿

1

_

-::-~+

/

3x'3 v 3

.'y _3 . - '1t

¡ ." ;¡,-.n. .'

u.

1

-ji¿./ " , 4 .'; """:"i .'~ · 6.·r+&·~ ~; SX3 3 n~.$ v A" ,'9X 3 v _~', I.o~~ ~ 3. ~'Il"' y .como l¡¡ :s'emi(drcunf.eJ'~nciac e'iiazYate á seis veces ~L,arco de 3-0°,..11lJ:llti:plicando 1pé'lr 6 , •.sacando. ~l fil~~ .. L

":i V

:.

_.

,:"," 0

J'I,() J

JI . "'0 !...~ ....d. ~ r J~,J , )y~ simplific~~o~ ~o~ -

~o~_ ~Oml/.n

.9'3

-

'- , ~.' ,. :i e

~eJllLC 2V)3X(I.:- ::.

J:I:.

l "

~

-

_' . . .~

:-'3 ,ser:á,J)~ .

1 .• )

, ¡

' 1-;"',

. -1

f.o

~iJ;.,·;:

:?---S+'- '-4-&e.) ;"c.

3X 3 SX3 7:c..;3 t )~ >: 3 ~ " GJ • ~ calculando 72 t~rminos de esta serie:; y¡,Jhacienáo las operaciones nec,esari~s, hem~s.:haJia.li~,<E,,!-nu~~tro tra· tado elemental (tom. § 647), qu~-, ., ::. ~ §emi, C-,-'3, ¡;41' ~92.6 53 S,8"9'V 9-3'2·3:8462.6433&:~· Este vala~ ~ es.tá sac~do en , e1 sJ-lppest0 de A~.r , ~! -ra.die , la, unidad; por to c~l:, ,sktom~lJlos ' aho~ll::ej f iámetre llQ.l" l;lni.dad, este ,mi~Q w-al@.r 's:erA, ~ll¡ d~ ,toqa la circunferenda, l~ Clj.,!J~ será ' J : ~ o ,<j:). '. _ ~C'. 3,t4.H92ºS358.979'3z3'.8J1.~2,643<3&e... q1:te ¡~s el valor de que hemos hecho uso en la Geo9-1e~r!ª elemental. ~ . :. ,: La n('Jtasioq q}le hemos dado · á c~noce.r (§ 200) para- indicar las i~tegrales tleterg:Jinadas, se usa lDuy _ ~frecuent.emente en la resoludon ,de l ~s problemas · .de J;i'ís~ca; y como aun no se halla ~sBn~saqa en niri. gu~a obra er~nW!lt,al de ~ákulo", no juzg~ inoportl,l. no el detenerme aJgun tanto ,sobre este punto, á fin de que los principiantes se 'familiaricen bien COQ di" cha notacion ~ y puedan compJ'ender las. iWPQL'tames

n.

>

_


DEL raÁLC:cr'L@' lINTiG-RAL:~ ~ace¡;¡ del cálculo jnfinitesillliil á los di versos ramos' qe -la .Física.· -;: -.\ 1 - dz ~ \,

f"4=l¡. '

a pli<!a,.eiones CJ. ue se

Csm este _objet0 , obs'e rvaré CJ.H§},,, pues ----====- es

(

,

i'~~-

-

~J'

';"

I

",--=-'::~ro/l-'Zz. ~

(§ 162) la diferencial del arco cUyo seB~ { es z, re~ s-afta, l!!. ue 1

• i-

,

,:

in~egr-ando ,,~,será

dz,

f. __,

,"}.>I .11 11 '1,

-:,

';1

ac.c~(sen,::z:z)+COn.i~.-~~); siendo:

VIL..z2

Consto ta conspnte arbitraria. ¡ " Esi:'a espr;.esio~l, c?nfeJ~me- esth' ~s· ~~;que hem,?s llamado (§ 200)~ lfltegral mdetermmallu. ( ~~,¡!Si queremos-espl'esai, CJ.ue el v-ilortde esta inte.· gral se ha de e!l1pe1J~r fa ceJmal.l' , desd~oel" parage ~en que z=o, esto CJ. uÍere decir, CJ. ue la integral debe 'redu~irse- á 'cerb) ~ur~lll(;i¡¡¡, Z=O ;:C!o:q.ue da para CoiUl; pletar la: integral o~arc.(sen.=o)+Cc)nst.; y como cuando el s}!no es cero, fO es \arnbien el arco, re· ~u#a~q ue, Const.=o ;:.-l':tego la fmeg.t)d .:.completa ·de la espresion Ca), es\' e (::~:. (IJ:·.~. _.~ dz "''''' 1_·~ (.¡. , . .. ji;, . r- \; ... j:'".i(.6;

fe' __ ~a:.l1e.\15e{il.=z), t V I -:t~U i;

t \ \ {

~

'_

t~

J )

"

¡;1

,E Sfa rlitegtát~lln p,{),está de~enÍlin<i.da ' ; pues que ,'iie tÍ~néLI'á -Ulll v.aliDr 'páttÍCular para é!la:; 'jDer@ 'si s,u pdfi~ln<:>s que s,e ~q:¡[i(úta encon~r~i' él v4lor' €le esta mtegtrall e ~a ncdó .ea -ellJa se háce Z±:l~ corno el arco cUyQ ' ~<ft:lí5 eS iglia'l COH .fav uHidad'; fes tfn :GÚ;'ad~a-nre . ó ~'1t ,l1eliu.!ta q ~e ~'l1 .será el valor de la 'ií'ltegral ~ ,~, G , ... "':l (f' , dz . " ,•. ,' (~;,¡: f.---; sypoaiencÍoVqué' se , .principie á. I f,' Vt:-z z ,,. I ' " ' .) "!f' '~o1i-1'ar tlesde"el parage en que z:co 'l!las-ta el parage -en 'qNe Z=I; y segun la no¡aoi0n que ' h~mos es'pJ.lesado (200), es<t~, [riodo de determinar la imagra} JI l . , dz J' 'Se indica así : ' Ió ~-==t'1l'. ~égülñ varíe z

J

,.

"

'i ('

,~.

At. /

·y~ Il..,...:<'

3

,)

'

..' r:.


:DU' 'C,Á LCUEO , fNoi~GR~r. '"'I'4'; Sh pubiésemós , q uerid,<HcÓntar' esta integrár'desde . el p,arage en que '2::::%, ~esto nos q uetiQ; decir~ ,q ue ,1a;, irritegtal ,c,om,ple'ta ~S:e Ir el!\!ucia ·á cere' ouando tZ-:-t, Ipo •..lo tq ue, e.111 este. ease', la ecu:aeiQn,.,e-~ 'pos dará> palJ,'a Qeter:tninal'-!a· coriSta,n te la siguiente c:;cuacionicr.=a...C'.:(:sen.===~~Canst. ;,lo qUe"il'es da! J Cl:lnst.=-a..c,.(sen~tJ ;<y ,como el arc()'~4úe,:ti:ene por seno la mitad del radio, es el.;.~rco de , 39~ Ó de i'1t., resulta que Const.= __ a:rCO~~30°:::.::-t'1tt 'Ji" - ") Por lo que se tend&á para ' la integral completa 'c: ~l: _ :J:1!' r 111,:::1;: i:.,:, ¡.el J.. ) .:> • 11, .) en este ca~o ¡ ; , ==arc:(sen.,~z)-i'1t. V I __ i Z '1 ::'~:' -' "...... ... ¡ ¿;;) "\ Si I queremos ah;;iie·te.~inada enteram~nte ;- 6 , halla. su valoP " ~If'lll'ldo 2 & ['; fOlDo.'eh:r,co que,tiene Jlor sen~ la unidad es ,u n cu'a drante, resulra' ~ ue

C;

¡ "

r.

:::Jrl"'tfl á i .

~

"' -1 " " , , , $ ' : ' , ' ; ' 1 . )

,"'\ i; :i-;I, ·t~$~ j '

{

.,=" ~!I.!!::

"\l

I

' ~ -aréo1 d~ $>oo'""'""t~:-t~~'1t::;:f-'1t. ':

- :. J

;;-1 ~ -

, .0.# u L ! . i

' ", -~_ ,)

.?

11"

!!t

Comó,' la'J piferenc,iaJ del airCO- cilyol~coseno1:esL~ ;

, d-z. · , ;;oí." • es .- _ ·s ¿.~~.; integ.í:a·n d. .o,f:5:elfiÍ!<. Vl--z.~

~ .. r ....

d~ ,~C!-' l

q

, 'c ~11.1

. {

~r

'-.

,

-:. if~ · "~aFc ;~e-0S ;=2)+'C01f.st;

': ,)

¡

,

~ l1~?' f . . .. J ' !

t

1:-

-

Si, '" pa:'i'a, dereIlminap ,la 'constátlte f

, •

.

SU1?OnémO~

:que i a i'lltegJlaol. s.eJCeduce :á ~'er~ , cuan&e 'Z:::1I ,," tendrémos o=ar,~, (COS.=l )+Const. ; ,pero~el arco, que tiene por coseno"la unidad.;;. ~s'.:el' aréiló ct~¡o;;.?lu~e'go aquí resulta la ~onst. ===o ; y por l'Otrfiísmo se tendrá p al'a-,e,l valoI' ~~e '~á~'iale;g¡rabeompteta '7J::;;),=:-::C;,1 '?' . (lz"J ; co

~~

"",,1''''

r . >';

"'f~:;-

. . . ...

"

-~-~

~IJp

;¡~ .gH'tG,: .. . ~

2 :=ál'e'.(eos ¡=~) ~~n 'Y

.;t; .~~;

Sl1¡pOFl,iel'ldo

~' ) V ¡ ..-l ~r. ~ ''';'1 ~., \rt "tI! ".1J T ~l - -" . 'a hora, ,q~e" z p g ' com~~l ~.~o--ql1i; ~i~~e'~c;¡:o~'p'dr ¡~oseno, es ufl ' cuaQrante i@~'7J'. , ,res ~lta env este casa ' fH Jf !)~ Q1 -dz't I 'J·Jiuj:-:;i,!.~ .... 'l_'f~(t'·t~ .. ,,1:)"':

r..

f

~,

...... r

~ ,. "~ ---'----" """'I'"-2

. ..

~

~. :¡; V-:4:-~A. ~~·,,~ :;~ { : ,

'

lQ

,

T.

n.


,146 ' DEI; ()-heu!.o 'tN.T,l;:~:ltAi~ , S.1sq;uis~ésemos , de1ie. J:mincrF 4. misma'ihlegrál; (~) .para . cuaad~ se tu\'ie.s.e ~ -J., . estQJ e;s 7 que qui. Lsiéj.'JlLfl).OSI .hallar el airco .de .cireulo··.q uei,p.ni¡;¡ci.p ia en ,el pun,tol.ehl.que su C0seno es Tr, ' y:' a:eaba' eme,l P\lUl;a en q u~ ¡S'll, 02.seno llega á! sel1;.; - r ,; resulta qlue c,omo el arcoJ€.uyó !coseno es la unidad neg.ll'tLva,-es ,igual á, -una i emicirC:l:lnfereneia ~ ó á: 'It J tenemos que ·el\ j

..

"1'."

,1

j"

~ste caso f.--:

't:.

,

' dz1

-1

~..

J

'¡'

-----:::::=~"""'

~

1..

",··

.

}- -

. ...:.

no:, l¡,h, ,r, VÍx ';':'2'oz ' ,,', ...

t

tómo la- diferencial . del arco"::l~uya tangente e9 ,"":.

d~ -''7~

l

di _

....

-.

~, es igual 'con· - '- 2· , se tendfá: c ~ " 'J' • )';-" ,3 ." ,. "' U2; . . .. 1+2'0 r: •o' '1t ,. ~. 1'1"•. '" C'1~ -~p:: ? 1z:-ar.c.(tang.~~)+GÓm.t, •J

'

1t~ ~a'.)

"'(b~:1:"l Il !... Z~.

I

~

('1)• _

Sí su ponemos que esta 'integral

r '..

..

c~~~,.. ..,

~,e pri:nclple

á

c'QF\tar de~dey.~.LpuHt0" eQ 4u¡da tang~F!:te..z ", o, entónces q ujere d!!cii q tle la integral :se- nihlli:e á cero ~l:la;ndor.1a: ~Ya¡¡~~ble ) ::es, c'el1o ';I.,pot ,-lo que' Gonst.i:=ó, o

-

S:,.

d2'o

y la integral completa¡'Se.t¡á.f ;¡~i ,, =ar,c.(tang.;:Z2;). ::: . .

"

1+2;-2

.iJ

!'

·

. \:-"'L

'"

, AhQ'lia~t. si-qU'er.emo~ :.toUlltl.'- el valoF':-~e esta il'ltegral cuando z=oo, no tenc!IJ:l'iD' mas' q ile a veri-guar ;'.que:;'allcor~qe cÍrculo.<.1:iene l.a: .\t a,ngente infin~ta , ;¡;Y co.¡no ~ste ~s el arco _~guaLá :.urrreuadtante! Q:á: í'll':):'se ~; IJ ."J:'~ l~J"az .: " i.':':·~~:'"T': -,.¿.··?··}l'r--.... ~~f1'.I·. tIene q~~ ~o) ~'i+~.:~-:~~ .u~ · ... !~:\:- !~~O: ~'1"~~q ~~'!~ ..~

.

:.n.:

r~., .U~ 1: ... i¡¡G .,p S upongam~s';. .q¡,u:eJ sé..q1;I:i·siese :l::on.tar·rla i'l'lte-gr4 desde el punto en que z=-oo; e.~tp es, supon·

r.

'";

-,~ .~;_ f~ •• -

\.

11, Y \: r _ ., 41.

j

J

lo

gam0s _. f!J.¡U(e ,,1'1 \f:4tr;grah'se', r6d;u7.c~:::..á ce·l'e..l cuando ~=-oo, y tendrémos pára determinar la constante d-e-J a1ecua eimí; ('YDr9:::;:a:rc-.(~arrg ;:¡:¡:>-oo )=FCo:n:.st. ,. pj!ro, . el a'r€(Y.(lu~a tal'J.igcflte, es·; eLinfil¡¡,jt<il"negatiw-O ".,escu1íl cuadrante tomado negatívamente; l!,lego léf"' ~cuaciou ~lnferior se con viertt; en o=::;?-;-",¡'1l'±yonst'i ") '1 u.e da Const.=~7r y la rntegiáJ. C&1p pleta de la ,....

i

,

1. .. _

r..

í


nÉ1b '"¡@Á!IlGÜLO IÑ~:EG\n>A:m: ecuaciQ.Q. (¡y~ ser:á en ~ caso ~: .~~ -:'-: "l. "' .. . $.:.~\¡

.4z .. "'*2 -a're,(ta;fl'g.=zJ+'~'7t.

o-

"f

r

1+:1:.

po

~ _~ .) ..

.

st quererhQs- ;fhG·ra:.•ad'¡l);f...-de¡,~.de,ter.lj¡lnir oesta!. integral) su pon'Lendo que eJ estremqcdel a.rco sea el plfrage err.::q.u-e7==oo, r,es ulta <fl1-t;cotTlo :. el- )a-r.co· cuya tangentt: tl's' ~nfil:lita;' es ~u':hl cuadrarne, se Fendrá n'1' ~, -tImo 'Por ,

-

~

J:+'OO

a

.

o

,. O

:1:. .••• ; , ., L __ - 2 =2'1t"l-2'1t'='1t. - -2 __ .2 _ .• . _ _ _ '

-00 1+:1:.

-"

•• ,

-~,

-

-.

T

.x..;;!-r. •

Bien 'per~¡biá~ ~stk ~dt~clOn ¿¡¡lbt casos espresados, no. l:!@st~rá. y..a... ninguna dificultad emen9.er el semidu (l'e-;-l~s-d~ffia's -q u~rse\p'uM'¡¡ri ~r1C0htni:i'~ .; :) El ·dar á conócer los J;Iledios que ha encon,t rado Mr. Cauchy para determÍ!!ar las integrales emr ~ límites imaginari?s:-):12..!esefv~E.!.qs pa~ ó't~o ll;lgar:

.-

. ... ~'"

-

"'~n~u~·:~~

' ~'I

ae

l'.

A¡licacion del cálculo Ultegral á ,l a éuadrattvl"a las ".; 6'urvaJ., .. j ti -sú Jt§'ciifi€~'e¡on:.; 'la , cuaM·áflwá dé' . las sup,erficies c!:frvas, 'J á 'la valuacion de los VO~ ,~ . L.r!11'1~pe;:CJ.!!I!..sO.J.npl·ende..ñ.~ _ _ - - .. :",) 0 1 U .t:"': . '''v.... 2 t6 Puesto qu~ l'a diferencial d.~1 éspadó com.pr'éhdide 'eü:tre ¡:las \C00't'G,lúiaaas' d~ hFlá):~lj:¡;V~:.~: ef arco corre~pond~ente, está i"~prese~ltada , (192) por, . zdx, ~yqúé ¡i 'é~~Uña··fan"Qf.bR4i:e·:la: a9seisa ;. x ,- { q~-e podtémos repr~sentar p~r X, resulta que ~l problema ge,n eral de lá cUa"'dt"áfu:ta! de ,las,f0U't-va.$' /" se -r~ duce á lá integraqjon de la .4ifere.p.eial Xdx. • " -.a"~1-lis' ~eur.vas , ' , ~."\prres-¡-a:, hacer "'a n'l"lCa'C]¡O"I<l Vamos¡, _ ,.... ~ t.' , r ' ~ .' -, que hemos considerado: Sea' en p'riiner ~lugar el CÍr-' culo (figt 4'2 r eftya;' eCllacioll~ tfonsidérárttÍo .éF;'Ii}iÍjeri ~ I t (1)1:; ~ '\;, .... .;." ~ ~ 1, " en.Q,-_, ,.~s, #-2_a?,:::-x~, @~l!:;:;.;;!:¡,y zax--x2.;, J n -, ':) .. ' '! -"·1-

-a.

..

\

t

'''''1

t

.~

,~

. ,.J' L;>

_J

IU1}go' (-~ 92} 4a, dif~r,'6Mi'al dé! 'segrfieFl,té ' aFN 'S"era. 1 di' ( .._"_ :.J' z,r' ,'¡';. ~ ";,,1 :'!',l;:J.; " :!. !:'IJ l..:o,!. .) ! "#

. x;\(ria~Jfx ~e~(~'%x~.?CY "-, d.?C>.<~2(zaI i~d2'; ·'~'1 pe¡:o deseóvolviendo (146) en' S~r-1~~2'G":"'~)~ Wáiine


_____'~

:!. . '

1:

lu.e~o ·dxM 2a",-i..x~:zx~dx( 2Q""T~~ }~ ~"

Jz J.':'~ -.:.._r

x

,,'

!t

';¿!2. c

' ;j

~.!Jf1 ~r$)sr.e

,ia

.

·_"',",,~UJr.:.

~2d.lq(·/2a""~ , . , , .!.ll.-:;~;:C')= a '_ 'y .... _ ' ..,/ .....___ .. ~J. ,, ' / ' ""'V--'~. /.L J .' .. ')} , .. , zVZU'J 1¡qGy 2 a .64a ~y ZU., _'J""; .. -

~

I

3

...;

-:.

'(

,~I

x'2d~

.:- -

.

~~\.'J

',''','

ti

...... ~

':'"'3

;'\o!l

,:,~

.' J

1.,=:~: ~¡;. <..'.f .L ~ ~lJ..• ". ~J ,:) .:. i I , ~ 1 r.Ii.'' ¡ ,....,; ~ ~~C; -

\

.,%2 . . .__ ..:.

.~ • ' ~C."j; ·~

.:-lUi ). . :~ !.!::.'

é integrando~ s~.rá.;{.cl",V 2a""....x1~ .... ( S

'í r ' ;;·z'.lQ g~ 2 ,a < -uf f.~

, ' • .;._ ~~.~I ~""~JJ~J¡-

.

. '.

l6av' 2Q ' 64a~V' 2a

',.,'

'..

;

~d~

zy 2U

~~,,..

I

S

. ~d "td"V2Q-~ '

.• .. ",2 "" - :"''l"",:f r=..-"" "; ,J I ~ -

s6 a v za . Z8~UZV2~'l O'.,'

sv', 2P

"}

1~,-'fI'''Ó

')

,, ° , 0'\ \

...

, 1 "f)

. '.

.,,.. ...........

ñ

Haciej.l.do.~~~; ,s.~. t~~d~:.Lq~r el ~~qdt;;l}J~ 'de

" ."

. ..,..d

.," ~

i:'H) '2 Lfl'".f\l2 '

~"'{1t¡t 2

'\ 1

za ,a " a n .•. ,,' .. a ~. círcúlo aEC=-v' 2----~. . · ",... · ~c. ' 3 .. SVz S6v'z 288Y2 _; .:'., ._.~ },l.t • ~¡(.J A Ic':'\j"-=,r q :.. m~lbi plicand0 el ptill1l:tJ:}i~~nSt·a,p:ibgl; y ra]¡¡a-jp. &~~ ..1

:..

... ' . '

.. ~.

,':'"f~

1 ~":t.; r~j~r

..

'l

l.""

u\r

.

V 2- , Y saeande f~era'ji~~u~, p,a~é~t!!~~~.,~,l ,f~c:or 4.ue

,

aZ

.vi:

r~sq.ltª c'~lJllJ~" .s; t;fldrá ,:":';v ::;,. '..;' .... a~"( )4:::,,,;i ; 1: "" ~'" ';.,::<),: , ~

pEq~ ,\1 2 ' ..- ::""-¡:- -:-:r.: -6 ~;;SS~~&0. . ; 3 ~ S~o'I 5 " ~ ,., ~"1 ~ 1.._ ; ~.,!tj.,) ¡..o (,.. (J m}llt~Fltc;¡¡.nclo , pqr -4 am1>0S: mi~!DIDsOS., y. si~plifiealJ., ; '1

....

".l. ,

dó el segundo pONV ~ , se tendrá \ ~: Sup.de círc. o=~zX'2V'zx(t-f-l6-'·.fu-&e. )::=;7fa'; rel?,¡:€s~qt~n_de p'0/.' 7r eJ. fat;:tor. BunJér.ico 2V~€1-&c.) el cu.al des pues ' de cakular un nlÍmero-suficiente de té.rminos; v.iene á ser elC{3-;-' 14i $9 &c, q:üe bemo$

Qallado. ánt~ .( 2 l ' S.). ' r ' ?

ir

j


r", ... -

D~:r:;.: ~;tLCUM)~ INi'E~]!l~!t:i

\

r

• ~ ".,1

C,I•.f'_; ~;__'HOC/s1c(1l1)'''':,,,,~j

..1'49

r

' b '-

,. ~ :,

" ,,\~ 'f!7 ' Si'en'd'Olla ·oJ.ide.nacJ.rcv 'd e lro eli:Rs~Í:--V 2a*_~~:, ._.\.1)\~., .... \ , ",

"",; -

.. ,

I

: \

,}.'.

t~

I" fI " ..

~J~I

I

,'~

(.

,~l !.segtnento . '

eI.íptic6 'a MP ,seráiriguaLá i, • b·l . .. J.I.~ _ ~,. C[. J P L; LJ::-r,. 2 -xf.dxV 2ax-x ; .r i 1'" •

~H!¿

'J

'

,"

.. , .

,A.,¡..¡. .....

_ "

M

.{

_ ••

r~ 110 1\;'~ !:!C' I.~c..!,!.E .. ~ ,7~~1 ..) ;,t~.){J'!'J

".1

,!:~,'l.

l.

• • ~ :\.]'-1"')

1;

'A r, I ," (i

1 .. :

y como es nulo al mtsmo ,t iempo que él. segmento circular aRN',se :teH<l;l'á.:.:.: ... ; ~',''',,, '!',je in"', . • - ,-J , ~

~

ªgM;J~¡>N:: <f~O'"f\dxV~ax-it2:f,axV2ax-x2::b:a. ..:-H .... , ( . t:

\

~ ~, -~::~.-=lLJ;;

...

...... ~Y:"¿G:~~·( Si cada piR e deÍ segmento elíptico guarda (?on e1hf::lmÓIO'gu!oI,tcula!, 'ésta :r,aionJ 'I Jj.~fla.-lª: e1ipseJW~~~ , dauácon el cireulo .la mis!l'Íl!. ;: Th.o~,.~ ' p,!ml:Jl~ en piitIler JI'ugar Jtend'rell'los q Íle¡ · t:¡".~:J·¡ ." h r,l ,:, ;' ~/~ r: ·1

·_-,."t> ...

~c'

--

t":; dlte('~l.1,u:; .G·;"! B L .. : ~ d.. ~ te ,<. ''''' l'~'' 'EC' r;: ;., . cua , . ellptIco n'C _" a:-cua. ;1 CI cu ar lt , .: :0: G; y cuadru plicándo 10s " fél'f.I1Í·ii0s¡~e ·lª,cprifP!'Itar .~ª~P, se(ten.dr.á.s\:lJ?€rJ q~sliJ?~e ~ .sql?~~ficie =de cíttp:lo::b:a; r.

••

}H~

I

....

. . . .,..r.J

"-

• .1 .. "

~

'.'

.....

'~'C':!..!!..fJI:~t

~ l

,

r

",¡:ji'l

::.~e) "d ' id"",) ¡.l ';11'd1",c' i,1'jS '¡,IJb,",i~s¡'¡ J~L' f'd' i ~J} ( '?t · on e sUBen, e e llBse=:-x.su,t'erL.- e e r\,;, c'u~ n

~

.... l !.

,1:;'00':

d / .. Ja.$i !J~

1{ (

iJ,-,Jr..:,.t'MJ]

.r.l

. t.

.1.:"""

·í

Q'I:j"1vl

1;, I,B!~ fr] t

h .. ~

1

'¡j "~~! . '~':.;.!J:' !::J(!~ '<w . "!J .. Jitr.l1{;!

y'~ji~~g'¡( .a) " ;t~~~) 4tI-'..&c.~)iá~~$.J¡i . &c,~b. · .-.¡I. "' .. ... T:,J ,- ',. Il:·10"1q ~

~

¡;:')'1¡

~., L -vi

h)'

I

vlJ'r.¡1 ~

_';t...J

! ~J

..

j.r. QÍ~

-

:;o'.

i-

b'fi ':.

.c ?

.o"

.

,.lor • •

., l!~ro est~ .}sf¡re(%.o~ ~H~ ~~ Jill ~~i'c~~.o ~u10 ' ~a~

ella s~a medlQ:pllop00rp,oI,lal en.fr~ a y"b'; porqu'~ 'en~ ...). .v•.. '1 ,4.) " ::1' .. 4 ,f¡'''' a'' :11" t'o ~'.~ LJs!L•. ' .. , b <1 ' ton~es e cuauraao de 19 o raarb sera =a '; ' 'l uego la , s~perficie dé la ' et~.2!.!: ~§l igu},d á l'a {le. !.I,n , drcu~,Q,

cuyo radio sea medib ·1r,(fp~féi~ñ;¡". gWi»é¡;ic2"entfe '1/oi dos ~emiejes de la elipse,

.

~ ~~!8 ~~a~a~p'~a }~ ! p~rápol~J1=A~J~g:; 1~~' ,~~~ e:Cuaa-ioH es I.¡."fl

z=Vpx ; por consiguiente la difef.~nciaI

..... ~ ' .',''''

del ,e~pa~jOd\J?M •

~ ••!

\

'

-

, - ' 1'.

~

..

-

.~.

, , , , ':"- . . Y

~~r~ zé3}c=dx\('É'¿' e.. ..:..,

r o ,r

;;J.

~.

'.'

I

-' .. .!.

~.

i.

", ;a

:t ~ __ {..:.

r!.,éz-d*', : '"

J t:; ..... , ~.

...

t

.!,..!. .

~

)

1'::J,...;')

.

e lUtegrando será ·J,h2.x2dx':"':f)'2 ~~~""'Zp2X·2X' ··· --:1 ..

1

~J _\C"~

1: .... 1: !LiJ

3r~ Fi~

;/ ij :;le

~,,·o¡;¡,ie¡:¡d(;i 'i,eR~v'e7. , .de p~-iJC}i,) res):iita!.~~.Úa ClS.W e- • (


4:r~~

_ L"1 , C~]j€'TJru!) .>JNTt;~R!A;-Jii

'

sioll..de.Ja sllperficie del' segmento parabilico ACMP ~etá,-í~ 1.· ; ,ó~lQ':.q:Úe; es hil, cru,sm0, hts ;40'~t1;erceraS1par. tes det 't'ectángulo A,PMD de las coordenadas AP, PM. Lo que mariitfest'a. gü~ la~p~i' áQóla :(5)iN.1tI~,u:rVia,. cua;!' drable; propiedad que nQ @ ne. c:Lcírculg pi ninguna otra seccion cónica, 1 ' . . . . ' ';:"L '~ 19 La hiyérbo1a consideral,ldo el óríjen en el -l!) O.J_

·:-m . ) ;.... ,; f;;..¡p

Q"-~r; '~r

JIT, tJ'2J f~

0fl.ln

~,~ J!I".:!)~} f;r

vértice tienlí! por ecuado~ .:z.2=i:-¡~2'a~-;¡.,,,,~}¡ ·,, ,

'

.~';

,ff , ~"'b" " .v:q, "1't ~.,, #.--.l., .... f.-#V' ' :.:T - -.~

.¿:-'= \.

• • •••

.f

y por ~o mismo ~er~ (fig, 4z) AQR !!')')

.f' ~;;[,:- O"l!J(ítl!:l Oj,!:

, q'lfé,tnftib,i.iHl

v·~

.-:.~:'.l.

-

,¡¡;! ;

'

,-" _)/!'-!r,.

-:r~~xV 2ax+x z,

¡<ih

", fJl"

...

'o<

;~

pb(\{ bi'a~os integrar pó~'~ru m~tod~'~rllb

fOg0" aJ €S;pU.e:s td'{~ld ~1 rr¡ el OLf~,l In," r."ltb 220 La diferencial del ¡arc0'.!de'lllGll. 'pqry,a '"~r.efe,, r.q:~:JN\.Jw.d';Ir.; ~da. á-co.o t.d~nada:s '1rler Q~nciic ul~res. enu'ecs.Í.. .' está es: ... !.t) -r . r ..L'; j ,,:,_F}'JfQil!} ;~ J

....

preSaaaf.Eí86)' p~LVt a.\lir"'i"cl:iZ¡;:;ol

oEns:>i¡,}"

.j,

,jiJ

'l

...!:~I"". r.... ~ - .. '"rl ~ ~ .. SI,'• ,""SUStItuImos .o ~~I . ~, ~J'" , ~J"'"'r' "'11 "'''' I , ')'d ' '!:,]'!Z ~' , ' ~b eH e a en- vez 'i:! (r'L 'su -val '~' r; 1uego §~S~%>' ,~e .~a·,e,~lt'fjc;,i~n\!~!!e~~rfjalbd¡; la f u!ya "pfO., f"

~ '(,

f

.l

puésta, tomará fa t Of ftl.aX'él .. , y sú 'iW ekhl' l1ái'á 1~ longitud de esta curva, Pedir la longitud del arco

d~: ~~. ~ u~~~ ? ~ S.s.4l,~di~,~u !',e ~t.ificCf~i~n.; . .p,o.r~~~e ;~ SOIUClOll de 'esté proo1eriiá: CU1aili:fó'< 1\~ (jb\i'elle-exaCta~ mente" n 0'51 conduce á determinar una Hnea Í'~cta .". 0 , T'., I ",'j,,, l'lj 5b ,1;' ,- Hú [""11l"'" 1" 't " ~f <s~~ i gll~l \ep n0f.1,W,W'q c~~ ~~c!>~ a'~"q~~ s'e' trat a,.' A,6í, como lfamantld,J ~l 'i aR:íd ra¡g un' eft,Culb ~ 'n

~~. ~ ~ \1_::::: .&1.:"a 0 1;) 1;', • i J.. rdJ ~J).-oE.t".!bEL~ '1..1 2:J~ü\); ~Jr "~ J'.o • ... l ~'l" '~'\{"l'O' q \,l" <.,,:,). . ~... x¡J'I' ; ,

t <le arc0.es "" ,~.. d~l!,~erencl(l: ~:- .. - é).Jii ·~:::t\O'S~ !:Jr\o/~2~~~ f;:' ~it"t- Ú:;:t 'l.

>y

, , . l' o

".

rl~ ~··t ~jnj3 ~,~:~.I"' -" , t,,¡"

.'H<tih t.\ sb f Ji , ,~. ~., .~\ t't!::·lir ~r~i:;',· ;'1 ","~.. ,_ I ~ ad-'C -i cuando 'se supb ne €.To.r'í;en'én lI'c'eiitr~'¡:;~ - , ,. ":"

,-' ' f: r lC!~U!'!;Pf!,~' ~ ' J ,~2iJ,~7""~~~, ., ; . cuan~Q.r,fe! ¡e ..§.=;~!l~ ,~)<! .,cyc~nft¡eqcia. , Y~,ba~?, ,:oUl ,.,

)(C-"

::::".

c ualq UJera dá estaS formas ca ue sé "con$ider~',':ln'() Jse pue1e,.'~bt~!1et..~y:Weg~a,t si!~, p <;¡r , ~p~~~~a~¡Qn~ jle SIgue que la ci'tcuMe[eí1ci'a ñ'óLes1 t éó'ifi'ca151e;j'Ji _ -51f:Z'í ')P:aIS~lllOslá:1'a ~n-pte.2 YUQIlJeD!l:Q:S'P0)1 ~CLl;~§ip'!


VELJ':(i,ÚCU.LO' "'íN'TiGllAL.· ~''fd!I '-.tJ .s, f;r;í;, J' : b !J"lc;,":'l.:1Cr...: Z2!::: ';7~'1 iil)"~..;~r~·,:, '~~~I ¡'n -:;.'

r l ··"",.J.o('of~

I'rco

~.un ':. ~

~{~~':';';.It~, la>" d1féi-~nclál~.~~' S\l

ele ; ; ta' curva :-

'I~S\:I'"

, _,

"-'1'

t...

' , ";,)! I :!: , 1~'l")'v}J4

": .. ::l;~

'r'Zo b2.

<18'6~c,setái, ~X'l-" -r:~.,c;.

t

('

.:

>- _I ) X •

'L'!.-u.'!.aVá~+-x~

,Q"' "

a'"t:

s \ !~

,cliycYv-áloi'~a• . I

_ C:"'.R h i , pr-emma'd(j 1iiÍm,Haih0s;. ha.)lal~ pat '/sedes! I! ¡,vI1l~nbr._:: 222 . Pasemos á %l?~rábola, cuya' ecuacion es ,,' ~tix ',' la diferen~iál·de ~ 'i =ru1t!trto, o ,será ' ;'0 : :i.:t¡= " '\ ¡,flh

!le:"

1:.1,-,

"

<'JJI", /r -0 'j,tlz:' , ':-a ,ib ;'l) ~ H':l PJi,'.,¡ , , > -'ÓJ¡;., p/~ ' ... Cli V ' 1 +--= x ,V-_l~=-=dx 1 +-:: , dx' <~ ,d:H • 4Z,2.; ,· ~~'.!) 4px '

V.

~b!Dlcf.. r-· t~l ~L

\V

.:l ¡~J

~..

oj}n.t·..:ge~!"< ~

. -p.-- , (. 4 j" -P)~, P - -V 4+~~dx dx_ -~--=Mx t

4X +

'" ,.... \ A,"'" . ,.. '-(l'-¡..-:.t ,""--~--t~ ':;:

J ~ !:

-

. .-

-. s. ~

;O.

cuyo ,:valor" aproximado s; sacará por serie~ • . " '¡¡:~3 --l' Si-e!ld'O laJ ~éuaci:oñ ~e- la hipéflbóla.'1) -rb ~.t,í!(Jb ~. . '1._ -...... "j¡!·v" ~rJ[l~·.. = :l .....

- r:~ t,a ;' j,t lj)$, H.J

.¡ (~;;"¡¡.:-....:: dxV(a:l+b!Z~9'~-!l" ·

~~' ".!J.2;:;:._/x?~a~),,5e ' Jr.. ~ J2.~ Lti;-..-4j 4 ~·_ ..l t,'ene,. :r GJ ....... l .....

.. 41-J!.&. ...

.

'

~

,

-~~~ " " ,J a .. _X . ~If~ -'r'-.) • v~ "' J -

pan lá diferel?:cial ¡\e su 'SJ!:~@' " cuya ~ntegr.al ..aproxiinada se podi á- ha-Har::M p'ot"s'eries. )" ..- , -' " , >; ::;.~4 kas primeras super ficies curv..as q,üe han con~i(téraaó~ léS' :Geólme1ir ás ,.!Han! slido l ·la:s: 'Q1e' ievoi'U~ cion; porque las difer~F!a~e~ 'de ,:~us superficies 1, , de l~s volúme!-"es qliJ-f~~ ~_I,l~~, lti~~.!~R :Ut:l}I: .,es. pres10n mas slmple que sus a·m alogas entre las ,suB!!¡~f.i~ ~.ufY~~ .,e,n g~n.era,l. .• ~-.. -; : d'~ f.o, 1 °r ,- Cu;ap.4~ ~a~,!rV~}l~tjir.~ es, ~n.a ~gol!;t~~iq; se ,o rijqna uÍl <!uerpo 'á que . ie da el ffombre de conoide; s1 es parábola" sfl-ll'llIDª-..:~on_oi,de pQr,9gQ.lico ó paraboloide; si elipse, '.se.d lama cOl1oide elíptico ó eliPsoide; cu;¡.ndo la semieHpse jira al r!.~ydQ!, d.e! eje mayor, resulta el elipsoide prolongado, y cuando al lJ~dedo t: de! menqr,-el dptapa~o, ~l , elipsoide, de cuahr,.ti,ier'' 'd ase °q..ue-sea, r eéiBe' tam61éh el riombr,,~ de eYferoiae i üÍ'üD.mente ~ .cuando la seccion có.


DJE.L.. Ci 'IlC:r.TI5Q ' :rNT~GR-""{¡. . 1 51 ~·.·.~Shno~-. prepusiéra,mos ·bal1~r el vQlúmel1,del·, mis{

cne"pa.ra@ploid,e ." Sl>lstitu·i'rlatÍJOs eh la ~es-i>lie1ion': .. fJ ,.,. ~~'C~ :d'Vri:9tz~dx:, . . ~-C ..7¡:_'" • • , " r l 1 ('. , en velo de z''30 su.. valor- 'px; é jrttegr;lliaroos~~,Jo . 'qu,o da-riá";; YCJlúm; ,de :Rarapaloj<te, 7"¡.i.z.~dx.-.lJ.nrpdx== irpx~; ,rj !,:¡pr.C;'~~ s-; .:: j ... ' ~ ?~ .~: :... !;':.L.;'" :; ~ lB !:A.pj j l'

I

~-===:'~='1J'.z.~~"::",,;",,,""círcalo l.RMSx : ...~ = .~ !.l! ~i.Jn :1~~ {....~!~ '~. "":-) (a...> .F) ~'.~ !..•.•. .!!:tjj)..... _'~¡~!~ !'.,.¡.!/~ ~"'; liHdrh¡.LNAM 7,l\oo:.!_ • .J.I.

: I'~' . --r' !" ~ .. , ."... x. . ' J::JI " . "-i ¡ ' $.,...,,. • ...!.--...:.s... ,.,IJ Para h'allar el v.olúmen ~del\clips.oicde~" IiUS~ tituirél'llos e!-} la misma espresion en vez de ~ su , _ ,~

.l,;

.... '.1.0 .

.....

-"'l.

:%26

fb~

,-

~J .</J~~_!\~)~,:."~

valor~x(2ax-x'),), ~ t~~dJ.:émos .q~: el v~lúmen del

a

,, '!.~.

1

\í,~ :l;,"f"'\ 'í.~: ~'':'\.lt.'1

.•

cuerpo que ,engendrá .!!l ségmento de eH pse' APM (fig.·:*s:~~,,:e.sl.!afá r~pJic;sent:adru por ~.JI'·::; 2 '":"" i ,í) e¿;'wb; 2~·::;·., ·J!:L· ~ 1.:~ "'1J'Ffoi.{1 .¡, . ;x.S'~'~;:,:;"'ro:o'íJ.' ,.":) :$-J j nfi¡}J!~'1 (~áx~",'),)~~ ",l~~~:} \+G" 'que

a; .

. "·.Jll".l -a .. , 3 ( , : '. ' ~J ._ ~ ~fl (IJ r .~· ....1, ... "'U_~~":"'R_ CQt;nO;dj'cho\cuer.po lseJ'¡dIlCe'~ o ~~ua't1d0 ~~Q., la -cpns..

,I

(Ji.

~apte' es 'c ew\; ·lueg0) :S1,.-sltp(¡¡ne~nos :~hbra:.,q ci~' w,;:;:;.za~ fes ~l'tar'á :-pár.a , el ~ eli pS:0id.~; ··Jpr.olo~gaaó:.AC:sp.J",.. la

Q~ Í-:.', ~1:"~ ;:'b ~( ' . ,-~; j';~'~-:'~3:¿ ~ ' H!l;{f2·a~.2...8 43') "

espres10n t. l~r

'1f-.., aX4a~--- ='1f ...... . ; :;:::~ :::':- '} ,

"~G .c-'Sí ,r " :,)Q:, - "'~:J 3- .. (:/r bw" · ; ~;'tr r.a""'··· ll-"• ' ' 4'1rb d '" . -~r~·-'·;·" t~1 ; j " . I " ", . .''ta''· ' -'''' ','--......-:,",:, ' ''L' " ~ ~. 3 ~~!1i:~~~~~1 ~ ~ 1~ J.~ .~:\: J _ ,,,.~ ~ t~ __ • , » _. ' . .3 , .,.1 . '~ '-':¡4 " ,~ , J~~.. . T '" ~ . '~.~7í· t Faradqa1J:a,~ 'el v!Ó1áooen ,dol,'eli:ps0idé, ~pla? p..ad.!!l, A:ebe:r.éino,s .consf~era$~ qlue · la: semiel~pse · pAD jira al rededor del eje menor CD, cuya eCUaelCiUl r· Ji !'Jb~L!{· 'l't.l -' n,:¡,J. ij ·:tl!~.!l'a2.'· .r-, (J J~. r~!~:~~ade estejeje~(62)le:1z!2=¡;'i(:¡bX:..,...~'),)';~T '. 'll f

''' ,a~ ~.:,.?,> t •'r",.... '"'I'...........

.

.<')

~

~

~

'-

.1.01_

-

......

....~

-

-.,:,t>.ot

"'l),l~

proc;:ediendo 'de.im,·maG:o¡.an'álbgo' ahprecedeñte, pua}téner eLde'~Qdo; el elipsoide; Jios·-re~ultará!:lVel. del' eHpl;~id'e..laplanad€ll .....l"'lsM~b. , . " Ahofa.!.;,ISi:; can este ,.valb'r ;~.,el\ a:nterior \fo¡imamo$ proporcion, tendrémos .) '". ~, . H)';:¡. J

~. haciend0 '",=:¡b


~I:l;~ DE~-; ~A';~trM ~íN't'~«;~~! E;'¡ijp sl~p~oi.-:-Eli ps. a p1. ::1'71'ab;e:-$'ñ'u f b: :~:c:l '?, q:ue.,quier:e

§t~etip/(}ide , aptít1iaJo< es mU.o/O'rí qu:ele~IPfJ~ Jongado, en la mismara'Zon que el'- \St1'l1i~ednayor es

deciq .: q.l'le

mayoj~ !queoet ! ;e;mieje ' ñ'jeoo1;;;;t". ".v l , ' ;';' ;;: -' :¡:'-;- .. = !t.2i3--:.'..C,\l'2.ndo a=.~ ; dLctler~p'o . IH''0PLle-s't o' :s e.!'€ou:' ' vie~t~n u!:a es!er a., y la ,e sRresi0nde ~!~,?,híu:ien~~ ~~3~t~~.¡í!-&d.~a'3·-'4,t:a,?'1,~&:!;:>c~3, ífl:le no se difete'ficia de~ hallado (1. 43"5 cor.) sinó !en q ue ~llí se espl'esa en. valores . del diáÚletrQ:{.j -'á'tut.loú!6ti r ea;J ~a1ot,és ' 4éh ladi0~';)mHo" .~ -; ~! ,i f\ !:':!. ~='." . lJ Z ,- :"t ~ÍJ .i~I, Jl:' .I'J,t'?:" eS

1

::!L:;:!'u

l!iJ n6mr'fio;r ~ í 1) v''''Úl¿''J) i!7! y•. (~;,: . ': ' ?V0ciones pflelim~n~·es. !)zq rb 3h

n~ ;'¡-" J i~·U UJ!I

eL

MECANICA.

" So d .

~-l~) ~~_ t(l{"""

ti

..

O"'~lIíI~n b - .s'!..J:l~~n5

s;;p

S:¿ -""-

0'11;.li :/

~Z9 ~Se dice que tnP~~1W1e-ftá OOl'7nO~lItie4tf~¡ éuando ' pas~ ~ucesi v-alH~me por dile rentes s¡J,~rtes del eSlj;ració'?;-ty <:J;lNs'Fá ~~:c'fO'~(~lilu.ai)'aO'h~.ei'IDa,nece constantemeNte en ud' Llitsmo SIUO (*). . ,,¡:, ,

• ,,, -rgif ; (Ningzt.n 'C'Uet:¡ro 4'fú:,dt~~.t, .ptir¡iSi , mhíntó,rdél ~ (ep(J'su ~ tdJ · movimient~u,'![1:f.ÍgJid ; ~Mvimient'0-' W zf.ep11so; (üya~~óp\usi.c)olJq,conqei$i..eqi.~LQomBr.f .ae. tey:dé .

~lJe:ci~ 3.ss~llP¡~ec~0 q I¡l'e~es f..eri~ncia ~a acr~ditado ,en ,odos tHlmp9s W .1, --"l)~X r, '¡.- '" r v!~;ns.~=' ,rr d s • !> " 1'\:" ,. . . r>L o : ~ causa ; " CU¡l qUIera que sea SU' naturaiéza, 9ue sea capaz de comu)l~~ IlovifIJJent0 ,~ un eue,rpo, o de alterar el que ya-tlivlese-,..'S~::a-arna, jiu:e'r1!Za o po· tencía; y se llama clireccfon de lat fuerza á la recta qu~'idiéi~~F.~perz~ '_ o'~güi:a:! ~ a~scr~~r..a~ ,Pl\ntt> {, cw:rp.oc f! ,~q u'e· .::estUiV.ilJs'e~'aíPffi?a1ia «.I6[!.obtitSt ~o~,~~

$(1l:!<a.::¡:::;':.l

I;l; j '

'.,,;

'll)E¡'')!1' ;¡t!:) I!>D

lvf.,~b;;¡'j 1J; r:' ~r-

Co~ou~ ,punto ó cuerpe no puede ir po~ much~C(t'affiirrbs i á .unt.;lI.J!i'smcil Jiei? p:d i',3 ~6Ii!lbta.¡tHU'e 23.[

,

.

(.

,

»

, (*1 .' Solp 'p()lr[pJ5,if¡¡rGa:~'Patlel1ioS)Í;o:nshkf'lltfJefés" - fado: &f cep,0s.o ;Jpot'1Ue 'nalhuy:uJn'(J plJr#oom:}(MJite.pbsQ en .to.&.ful U'nwers.Q.tW.ds íp.La.;rc.ta's ~; ,se,mHev.ewdh redtdJorJ:dek sQl '~(& el !s,olt:1nrS1tt.ol.1ie'/lle ,un,nnQv..in~ie1J'f¡Q\bJ re· tJedor el:e su eje. . . (;u~;'!¡,;~!1J 1 Od10q,-;"';

\


)

~

ME(;!lNr~A:.

~<Io:S

~uanao muchas fu~r~':.s_ a~l~~~~s á un pUl'jtp a un cuerpo, se desrr;uy.e}L.:IfiA'tu~ll1~nte, ' el cuerpo na pu'ede te,net mov:imiel'lto <tlguno, 'Y se qice que di~l1.a_q ;f!l<;.r~ret slOq~7jiJi'l?rq.fJt:P {'Sp¡;í~J}111ellwiHb~iQ.

el

Si

, (!)

se destruyen, cU~f'pO seguira u!,iJ cierta dir~ccion, ~omo~ ,~~ _50to~b~4e,0j~,re~tfr.1~J'la jfJ'f1:'it..ri.. ~~k~Q¡¡¡,jl;1ftt{l:-dé fuerzas qü~, Qk>~~lli" s;Qp'r~' -un ,e!)'~!iJi1!\l·,;<'::s!!.l1ama . s/'ste .. nía de fuerzas; .y" resu:l t,cmte tnie,nvada del ' si,s tema, ,¡tJa ':LIll~r~jl7 ¡ ~ffij~a3Q.~e~es4J~ª,d 19J.,lfIS (,i-gs cI.~as, g.tle r..t}ntol'lces ,r.e~p~ll ~l ' nÓlIJttl"~1~e : g01J!.p.G9g~) 1lrb _ l

rr)~ 13~

S~ lJal![a Me:oátlí~,~if,té~~, <;l¡¡.t, rIt0,vim' elli~

~e<lLli:ilibri9 I'd~ ¡ ~OSH euer pos n#o~'!!.iy;!~~ ~~q'dE:Y.toá:~~t¿4l!J })iz¡p.mica f' Hi§l:ro:st!#jog é :H~(hDP¡nMn¡'W'i lf?P.ri~i' !li!:JI(,,~!~ d~J, req,~.w.ª~ip de los c:.u~.r.pes:;s-9@9~..,i!a~.§-ªt

g:.l!nsl:4j, 'l!~ sú.mQY4pi ento ,;'JaBtrfi~ª:Jt¡'úk~~:! ~ab j.iq~io" de los , ..fl!J~d9..51;' , iYJa- é!l:í!rM, A,e1.s.Y. ,IAw¡V!iniell~

W~! J,.:a ~e~;ª~-!Gª~~Qª~jder,a~ ~JQ~ };!:,~icª!Jlce~~ltie tarFcte.rf~a: C;:~!.l\¡S!.1 ;p..Ofº~r~! fl~~e¡;~l1i6,{! , xeCiOfliJl ; ,tixri~, . ppr ,Qbj,~tP.:. ~J:;~~.~e-[j}lipi!'r., ~ :g.e-\1~ral ~od;l'~ L~ª ' I~YJ~o?tp.(~t ~'t9if'l,1dQ ,y..,:J?ov~O:¡i~,1:.(Ftd~v~!Ol{' cu~.gtos; 1<,I~,uapdo .t'ie~,e ') P~.1:. :¡ <tQj,~ ~º, -;ª' p;\li:ar-" jptTIep,ia~\l:~:~tlit ~~ta~\~ ley~s· ¡l,d(;)"~:. ~'¡;,0§:;~,~ ,la, socie@~d ;I; . S~~ 1~ . !;!lt,I¡ae,,!

f.'"

t~rI~3;: :€,e~:,el

noq¡pr,er,de ,Meeapi§p ~pr:áC"tic.a , .ó -!'1et;.4~~ ,. L -;n t '¡':':'. J " 1" '\Q' t' 'i d . ~§:B ! ~n, lt~a,:.f~)jza , haJ'í..q.J.ié 1~9'p'"si~..!';atr::~1Jt;t~~." .larmente $U dwecczon. !/. SN, , m,W~.du~a4: rJ,,ª~ dlr~~¡')r *€, ~e _ r~l!re~.nJ~n \po~ ~~¡was. re&tM '- ~g.,e~tas €.e1:O~h::u,n~&. rug.-gqitu~~~ ¡ p.ropor~lq!ta.l~ \ª" taoS fuer~éI¡S", Y~ 1.:\l¡p!-,.e§,"l~.t1lJ1 ,<.Sl:lS;,¡ .i~l¡1!,"ellS.r~a,d~s ' ..!i ~.¡:l: ~l e4JcuJ.!\U.~ '1;q~ I),plicaila. ;) ,

'~lf'~§~n ;PQE-,sl l~tl!fls: P"' ~~":~ ~"\~~<l-;'~~ •ob :J"':, ,1 f:' tf rf" úrft,1. . '.~' . ~ l3:':Orn Js lL''n... _; .. l

•... ,!

r> ,,~..

";' ~ 1:0J


I

¡I;5'6

"

'(!: .:: 011" ~.,.'.# f "lff .... r. "'- " "'.1 "J I 'lo . . ~..

;:.

t:,

_ '1

'ii"..

( ,,)!;t¡

1':Qu:t:n:~:Bltl.(y. 'DE

(": - \i ;"h

'1

.. ",,¡i

,...!

' '''1)''- ~ i{~ •• p,r;

..J.) ....

a",(

1,

<Df:Ft

';'j/fJB'

:-~.~;,.; i,'''"IC\~'~' 1J"'llP~ b "¡ ~;,a.;lil;...J, \:,..In. ; ~,..,f

I

..,.

-1 , "' 1 f.t~h:rÜ\7

ill'''' h\ ¡'~

,

. LJi~r i~ I ! '.. 'j' ~.

r¡ <t ...

1I'¡¡ , 1Jf1 ')l

j/.JC1

lUN,-'tÜ!'t'l!O' . M'A 'PERTAL¡ ,"

' ·1."'llJ~) 'ts . (. n :"'f.Jj1 J ~ ~ b !., :!

Propo'rid()n~$ l ge11e.fa1es. \a'Cerca~ 1¡j~ ~ta'~\eofi¡pos'icidft r.~ ~.

. " "

.~--,

~, ~~i~ ! ~:., \'t\ l~~(.) 't:'.

¡;~: lJekQ.'fñposicioti1.(Jq .lb~ ji&'er'i/iJs' " ~ f, ~ I ?J.Jl. (\ ¡r "1 I',\,b ' :'{ ('-z'''' :::; '¡)il~ ... 0 ~: ! :~ ¡ ...

:;~~4: ¿Eín~I~E;Mee!ínie!.a., hay-'i-l1e<'t~sijLv~r- con thu~ cha .frrecoenciaúe} !";l>-rébléma de tá'cé~pó'f.i'i:íbn de r'lfts ~~rn~'. ,-;;Y!t4.}.I.ftlé"~ mseJriJposic-'i!1tl. bEF, ~ f.J'lÍíero ~dbn5i<Slié~ éri'lhá'l1ap h la;·resrlIÉa'tite :M ' UÁ 0~istertIá· ' aicl'ó'3¡fe (?

,

·.fue:iz~s 'll !,~~mmse.g®t.Mo:.. seJi:rat~ de:~J.¡a.Uá~r<iós, ~ -ma&>f ú.e'rik:g. Ó2cfi.yli1 ~{OCt'Ól~~3; éliffii'sm'@ 'q de '-eFafél báa

&Q'a: . ~al re;o~uéi'0'N·'<iéIJseg~iítr.d:~~b.'blelÍla s&.dJ4U~.~ d-e láS'I'@iÍ'wrn;fafi~ia'S 1.a~l; pri'¡Mrói1SeMdroo. 'E]:u@l a&s fúel'ias ~ ód .tgiüit,er9J l~af.¡\1:e: ¡ir.t!l!hllt~f.¡'.;éfe(S{ds!igl!l ales; por ~€IHs~g't!liente i'JU Jaof1 'f.uerza~J-ígltálfés~-:Se: ,a'plUcan:!'¡J 'U¡'¡{ rñiS-mo píiñ'#ij'ev, ~fídos"clintflIJMos-'),.I ~~eqÜílíPÑijól! , ;Y>2f3'S' '- s,J - do~ bfÚii.~~t ¡¡],é"s1gú(tté,.i'tP¡ ¡ j ~i ~e, al'H'cat' ~f un imismo:Jp'!tntb'l:'rUíl 'Setñtido5) cootra~s~! /.U;·\:deifiofÍ só6f'e este púnfl.ÓJ,- ff.,iac:renílt'a1'lteélde mehdt 'fúe.r-'Za'S Fn, igüEiz r;á,osu' ·ilifer~citV.: :P0'~q'ue l~a~m.efi5p. destruif4 1 é'li la D?-a yor una J?arte igual c0!l e1ta, .y de rc'.0ff~i~úiérue e l:l~vifnieéitp,, (fél ~p' ú-n:tO \ sblos¡¡t'elmeáélera' del éscesa • • 1" , . . r of ( fll!lél::J~Hnayet-lleve áí la: memor. ;, ,~:m!l 1» ~1!".1. I '~ l ~ c 23·6

-Sí ~dRJ:¡ (F1f~lu'ér'Z'ifs-'-

F " Q,,· 'Bte~')iJbftit,n-s:oBr'e

. I ?: J ' 1 '. , 1 " ui!l':1'unto e'ri': ~a cd'tf'e~i'ó1;i~ ae:'Y.tfia ~i3+oo¡;';e8Ú¡ {iy¡eW~v mísrhl5 i sent-icJb ,L'el 'ifectb' sobré ,¡;zrrehrf.pu1'Ifd s~a ·ehinis!.

mo 'que et de wñ¡j>;fueba'~igúa¡-·á ,tp..¡.:~"'l4&~. '!Pefiflí'e todas',conspiran á mover el punto de un mismo modo. 237 Si un número cualquiera de fuer'Zas obran sobre un pumto en la direccion de ·una misma rec,ta, ' yen la opuesta de su 1Zrolongacion, la resultante de todas será igual á la Sm1la de las que obran en un sentido , menos la suma de l&s que obran en el sentido CO)1trario ; ó mas general, la resultante es igua~ á la suma algebráica de todas ellas. Est0 es una consecuenéia de las dos proposiciones anteriores.


1'51

Efo'l1ÁTIElAo:

•:-~ 38 , , 9u~ndo, m.~9:h'(W f~er:¡,as qu~ , ob.ran sobre , ~n mismq P.fflJt,O', ' f ~'~~@fJ.uiiib'IWP , cad{J ,ut}?,¡{i.e, ell,a<$''Se :pued.e: GOl!ii'dJrat: Cq17~~ i-~~aVy ;directamepte~ optjes:ta .tJ tá reSYf!'q!lJ¡Ldf , t<l.~s}'qj,¿ºkas. _ ,_. \' U.t. .J ¡. ':i - u ljin ,e(~étq, "liida,s1 ¡u,e.f~~s .p"",Q¡¡, ?" :r (fig. :46J~ O~~,a,n J..~obre ~l' p-untg rn Y se eq.ui~ibJan, aplica<uda. a~ si:~t~JIJc¡. 1!~:(!-fU~,F.A.~~T:/::, ig ujll.uYg! Qllu.:a,rifl,; ;i .T, Ha'S fu.€;~as" ¡r,¡y.,1"! fier !!ll/.lli H,b raráf11 (~3lt}l,~;:ly sóhl> :q;u'e ..' 4~r~(AfY, tod'o) et sis.te~a:. l~s tr,es fU'~r7¡as 1', , Q; lS,M , ~::r.~Q;L",,¡ ~~r-.?- p,ª Fte s.~lj:onj~'}t-?Jqi.~,jªs ,~tia~QJueD71aíID , 'lf, fQf, S" ,T,,[ s\! PªU, e?:eq~lhbnQ , por: el ~sUPUttst~·­ ~~_go{ teq~.!pps .'Sl:q:~l.l, lC~~COr f!1 e rlza.s . R., :Q" -.,$ 2 T, T.S{ tales que la T se equIhbra eon l~~,tl-'é§ Bl, Q,: s.;. .:y~ c.P,~ .l~ T', lUl'!g9;T.-', Ff!ilduce eh?,ISmO ef~~tJ) ' que las t};e(E ,, ~Q, S "'\ y.., poI.'; lo tanto ,ser.á S,l!l, j1esu,h ante ., .,y-.

cgW.9 ,r-.:;e~ igH--<l;~~y.:diJ'~.s:.faip.en~~. P'pA~s~~ á'T, re,sulta; que T es Igual y dlrectamente 9po.~sta a la . resulta.n~ t@..~~Ja,sA¡;!nil:.s·It·Q·D.D. - -.) ,/ < -.'-239 Un sistemq~ de fue-r-z.as nlLse:.'41'ter-a:" -aunque:-

IF

~up¡mga

'lnl?

~

,ag!,ega otro que por , sí mism'O _$C

eauitib~a .,; pu-ss\e(i,t e H0 'podrá 'pr,¡¡¡dlJsir 1linguB':efec.~ " \ . t9_sobte ,~ 1 ,.an,t~r>i<:)!:. , ,.,.l'¡¡ .t-'~ ' _ ~~40 ", Cuqng,o., yr;a--~1!,er'],a" obr,a, sob".e ,)u.n punto In' J

,

,

'.

.(tjg:. 'l-7.~ ,

s~.'1?Ífe~e f sUJJQn,er que s-u"'Jaé.§i,Qn_ es:P.á. aplic~~ da en el p'unto F} .ú ,e7J :cutitqlJier¡~o~ro Q ¡J¡: su.... dú·eé... r;j.,9tJ /J :f.ll1l( tal que, I es!e segundo .esJé-.invariablemente lItl-utO! aJ }p~imerd. ..:; -, 1 l e .1''; . ::7. _ . , ,-

':., ,fqr¡<}.Ol,e; s·i ejp). 1ª, c¡ÜreoeÍon de ~p., a pliaamos ,db's fu,erzas Q" S, igualeª entre sí y 'C.Cilll P , 'y ;(¡ue ohi"ea ~g:~eht~dCil có~fra:!'io la;U'na d~ ! !~~ 0fI$i. ; estas" tlos' fJ1jr~s_ QQ"a.!1ie,¡;ar3,n el~fecto de 'la, primera, p , ó lo' q¡~e /es )0 mfsmo, ,se, podr,á , s';lponer .q,u.c el efecto' d~ la ,Jue·~a :~s= eJ.l) rni~lltQ qu~..eLde:L sistema de . las tr es¡l\.. $il,.S .; y C~)[PQ- P:;::.S', .y o~raf¡l en sentido con. tra¡jo, " ,se _q estruirá'n; luego s910 liuedápá de! siste; t:nc} la! flirerza Q., qqe~~s , ig.u,al eon P , 5cuya ac.:don se he tr,'~j~dª-~Q ~J(JpílIItQ ~ ~: aO.l'lde produCírá el mismo ~fect~ ,~p,u,e§ estes pUD:tos C0nSe¡Van. si~mpre la misP;¡ •• I .~a P.9~!C!gp. , _~ ,,' :" ~ ,:. ' . . , ~ ,,' , .

'-r

1 (


1;8

.

ESTÁ'rICA,'" ,

"

'Cuarido GOg f tierzas f0r.#f~n·:uñ 'anguto , 'la 11.;.. flé'Ceio,n de su f'ésültarite pasar-á"pot"'tlic'ft,o 4ngulo~) -~ .¡ POL~que.si, ~as~ doS! .fLl;erzas 'P .y!.Q' CRg, '48) r obrátil sobre el punto m formando el á'1'lg'úl'o'PmQ, el efect.'d'· ;2

lP

t

,'M.

0-,

dé~Ia iuer~ si':'obf ase podPSfukf,: esf&r-ia ' tédu~ ií!id@ á hitc;:ernpasa:F , ,<::I~puató 'IÍ~ .fiáciif.:Q;, íjor:;J..a · pa:~ t-e;fi rifet'ior de la Prl1P";"Y· ef"'efecw; de;'lá¡ fuerza? p; . tratf1'rá d-e 'i/1ai~.~h: "pása.r desde á P:'-por :lét' 'parfe! superior ele <Ha- -Q1'j\Q~; hiegó'( paít.!áa ~Qe; í.H,,; p-@nt'iil";;W 0h>.edez~a á las 'dos .fue~za~ ;:.ser~, pfeeis<?: q~'e ~ p.ase por' ,deI.1'lll1o.!del ~nga'lb'iPmQ, qU1!lles ' la ..pa"Fle' d.ef. p1anm. que : halla':-ififeriec'" á' :!¡f¡I!flh Pmp!' : y':" sií,¡,[

'm:-

se

p'e~ror" a ,Jít QmQ'. :, 'r'~'~~' " :', '~')' .1 i:' a42 , 'Cuam:l'O ,dos Jtle..,..~as ,ob,.-an sobre 'un PUtlto.fo'r':"

ma1'la.o un ángu·bo cualqúiera,' sW rre~ultante .i sigtle ti;i direa,cÍ'fm:t:le. la :diagonat ae~ pa,ráteló#4'no cons~f,uitl!)" $Ob,re",c:lichas -dos, fue,t~tJs: :..01 " ; . , ' •• - 'C; . Aquí pueden ocurrir doS caMs ',' á ~áber :-que la,. fU~Jiza's se'an -ígua:les ó desiguales!"" ' . • I;f?, Si bs d:os .f~erzas me;~ ihRó, (fig. 49), son!. igná.:les \; y. obraa ¡sobre ,ehiílaij))'t;o"'1'/i, :su> res'ultant,e) dividirá en dos partes. iguales. el ángulo CmE.; púe~ n.o hay -llÍFIgutl<f'l'a:z.t5n ' par:a,. 'qu~.ge iR~lin·e Jma:s,· fiá. Giada, ¡fuer.z-a , mü -que hacia,- 13!_''lnB ~;:' iuego seguid} la... d.iag(;>nat iñD ti'e1'.,ro!iIlbg .'mBDC:'· " <,l.\ ~- ~..o , Si la fuet.za i1i-B (P.g. ' :50 )," ejeee y ~e <;oil~' vierte en mF=2mB, construyendo el seguñ'dó·pára.' 1

l.tlógramo: :DBEG, tendrémos que lite]: punto ,m s,e h.allase· su)icJtfldo so'latnerít~ dt lás fueIrzas mC ; ¡ni; seguiria: la, diagonal mD del.rOlnmb · m€'DB~ ; á ;est~\ r.~sgltante mD 'ó á sus c0mpOnelqt€sL¡!¡lB, mC ,:' sé . lé~ pueAeri sustituj-r sus ,igualels C:D~, ~ B[); que 'dbre~ en' la clir,ecd<Dn de e h:!cra, ,Ji) ; 'y.ld(: D há€iii':D ,' est~ es;) . que obren empujando aLpUríl!1il Ahor:r , 1&' fuer7Ja BD-'IiJ.'ue ,impele al pi:lnt~ D~ ' pr.od,ute e1:.lDiSt1'l6 ~fect@ que" ~i .tirase ,del eunto B 1 Y lJ.co~ñp:ffi:a;d!a- ilfé la fuerza BF=Bfr" pi:.oducir.a l'a ,n~~ul1taríté BG;-y ~e podrá sustillHr ~orellas ; luegéi -~a~' tr-es fuet za& GD; BD, BF, ó sus igu.ales mB 1 me, B.F, . lás: t€'a~Qsi

'o:.


/

BS'F*'Dl'c:'Wo , l;~ 9 redú€rdas rá .las 'tlds: CD , y" BG.T~er..0 ' elri:íu~tb de.

aplicacio:n de la- CD se pued.(LSl!l!.p,on~·Jt{ 240 )-:.qu:e e!l el . ~~nt€J i G),. q ae 'está ,inva'riabliBmenté unlU@ 'a!1 ,pun .. to 'D 1 J~eg0 e:Sté punto ·.haUar~á ~sulicitad()"Hd.e. la ac€Íoll simu,l táne,a:'del hts!:doS lfb1eL~aS .eIl;JBG~" Ó, dé las Utes CDl;,Bi), BFi ,p de sus ,i-guales;mB~ , ('mO, BF,., , luegé el pUnt0, 'G es ' un punro :.de ~Ja resu'lrante. del siste~él ,lile 'est~s tr.es \f¡¡l'erz<;ls; y .como ~2' 36))as, ¡mB~ ~F ,"equi'v:alen á \lIlillt sola .igual, á sU"5uma " wF~ .se $i~ue <fuel la, r.es\llltanJ¡~ .de, l~s':dos .fuérzasl mc,"mF; pása .pon,el punto G ~ pere" ella- parte del puntQAn, lu:eg0 'q>uedará deter,mil'ladla·,lIper·'!€l!Y.iPUf.I:Ú>s.cmo,' :G, ó,l()'que es lo rnisID(¡ s'eg.uárá la cl:iagoqarl~ ;¡:¡G ,;,del parádelógramo mCGF> , ~' , . :;:" '::_,::oqw:! e';; , ' Del mismo modo se demuestra cuando la '1i1!B sé. 'conv ierte' sucesivamente eu' 3mB, 4mB".>.,~XvíB; y lióm0.se l'epetiria ,la ,misma deI1l'0stracíClrl..:cuand-o' perma..neciese' COllst<fllte la mB, iY: la me fuese valü}nM

se

weesivameme.2mC"" 3mG:,. 4mG,.. .. m,xmC"rc;;síilta q,U:~ liualesquiera"q.ue 'S.e~fl'; las riugniil:udés, de las'itu~rzas me, jn~:;~.s,u - deriv.élda'"~eg.~iT4 siemyr$ la ;~Ja;génal del-p~J:la:letogr~mó ferm.a,dGJ spb.re. diehasl~ flte;rz.as. _,_ 243 La magnitua de ta",resultante '(le dos .fuer'u f. cU'alesquieh~ P.-'Y ' Q ,ró' me ,:;mB..(fig. iS'í h ,esta <¡rep.re. sentflM.por la diagonaL .ael,pPTalelPgr.¡;mo. cons~r.uid() 1

'f'h e'~as · •M"u... ".. ' f:J'e' ... .f'na· N .le

"1 .,.,... ......... ,',' &v ,"~ ~........ ' - •~.•", ~l'• -" _' _ .... ..., 11"

.

¡ '

Para:1de-most~arl0¡,~';,ª,bseiwa~émos "que. ,Fues.:rta§ fuerzas p.,y Q equivalen / a ;l,lna que.:;pase :.p.O'r l<¡; ;¡iit" ileccienimR-, ' para' que 'háya:equip:blli.o -s,e rá pr.~cis'() ·fnt!'Cila uurJ..upa ! llueVia. í ufrza :R.,';, ,q ue "dest¡¡ uyél. á di' :tesuHanre', ' la lilual d¿be,r á ser igual, 90n- eUa <:: y' di.. l'e~tameQte opU'csú:(.2 34'); 'Jj" p.u.es que J as; tres .fueE~ 2as :P, Q y R' , se eq uilibran~ -p:odcé!!1os"supQnel' !(~ I3.a) '<J:~ :la 'fuer,za !.t.se equilil)F~ic0n,Jas :·P ~ y ....R{, Yo la ¡l'esu!Jante ~d~ esta.s "d0s ' pasará "BOJ;, ..la , pJ:plongaci€l{l mQ' ,de Qm ,. y estará represe!ltada\' por mE-.:~:a; l>e~o:aqui:aa. : componeiite Pi eS. diada de ~magnitl,ld y Idirec€ion, de. la ' ~Lra. c.Clm pOlleilte R t, s,el!,> se <¡:Ofl,0Ce ~S~ i~,eceio~l) ¡ y l,a resl.lr~a'Ul~ ~~,e.s:.~uoc~4a ell_J;Qª,g~ "' ¡


EST~IJ;II€~i

t 60

nítua~y, diré(!ci(im ~ ; paes 'h ~ de,sedgual 'con

mIl·; ·lije'!

g0 s.olo ll(!)S fa'ha deterrxfümar~ la magnitud de .• la ' C0m;¡ F0m;nte mR/. /Palla esto" l1<rilrém0s...los; puntos F ,y ,C¡ y_tifaré¡nos.')~por . FAa._;FG- paral~la . á me.; .y <t.ig.Q que '11lG $erá la magnitud de~la. componente ,R'. ·Por., que si..no tló,.flaese; ·sepia maYQf :ó !DenQl\; ~ i. si s'u; pusiéramos'~ q.ue ,estaba r.epresentada por mG: <~.G; ~0flstru~end9 ,s·0br.e ,~C \y mG/.. .un .pal'ale'lóg,r.am0, su .diagonal mF' e's presariala <:U,ceccioI1 de¡ la .res-ul:o tánte,.de~ las. i?uer:z.a's . P~y. R':? p:er;Cl ,eS1la re'$u1tahte de" be pas~r pOIl la"direccio¡;¡, mF,. pl.'<lilongaciow. :de 'mB, luegO' "debería"pasar. Pl?r"a0s rp.a1:aj,es distintc¡>s ,á, un miSl~O) tiempo, lo q ue-; eS,;~b$urdo; luego.. no se pu ede suponer que mG' <mG represente á.la..'fuer1' J

<:z:a 'R.t., ('!

.

"

'.

'~¡.-

¡

,

.

~

• mG1t::>-rriG nO

Del mismo modo s~ demuestra que 'puede l1epresentar á R';.'luego 'no pudiendo esta fuer~ za esta·);' represéntada ROr UDa: recta menor 'ai'ma%r que mG ,"'1q eStará por ~a ·mis,~éi. mG •. Pero .'mG:::; ron p6r1bi igualdadh te' los~ tHállgulos mBD y -mFG tI, '(2~ltj)\ ruego, la rnagn;it~d de la resultante,"R está representada: ¡rol'. mD ,~ diagona.t del para'l dógramo mBDC.! í~~

4" ...

~"';

~~ ... ~~~ .".:'~::.

' .. :

I

-

.:~

J: .

Ese• • ·RééJprs:camente,; ,toda t fue;,ia .R. 'se::puede desGompon~r en rotr-an rJ¡~s ' ,euaiesquie7la P " Q i para 10 cual no hay mas que construir ¡;obre ·l~ tecta dada e.amo cliago~at un,;paFalclÓgramo cualq I:liera , ::. y.~Jos. lado'$ -que formen el ángulo de uno .de 105 estremos de--ht! 1:uer:z:a dada.,. s~tág las ,ma-griitud~s " y.·djRecci(1)~ ries de las ·fuerz'!,s que $e : pideá. A'luí p.uede ~(;)/;¡?er~ -varSe de "paso, que' e,ste problem,a ~s iRdeterminauo; pOl'que -(I:; 314)- una',. recta puede ser diagonal de 1D1:l'eho~~ ·p~ralelógramo~ •. , '., _ . .' ' .. ~ -:.. > ;¡ 244 La resultante R cJ:e dos fuer~as P-y. Q .(fig, ),2), s~ · puede espresar por medio eJe estas .;fuerzas y a~l . áng'tfio qUé' ¡g.l·man. .' _. ~ . Si tirarnos d,esde D la DG perperrdbi.lar á m.Q, y ,llamamos cJ al ángu10 PmQ, el trián;gulo rectángulo BDG ). y. eioblicuáng~lom~]) .,_ dan (4~4 esc. i 335)

I


161

ESTÁTICA.

DG=BDsen.DBG=inCse[i).PmQ-Psel'l.a, r BG=BDcos.DBG=mCcos. PmQ=P,cos.a, ' y mD2=:BDz-¡t-.mBz+zmBxBG; '7" ' que pc;miendo en v,e z de mI>; BD, mB y BG sus va .. leres, se' temirá, Rz",¡pz+Qz+zPQcos a. 'Coro IEl triángulo mDB da (1. § 4Ga) , BD:niB:mD: :sen. BmD: sen: mDB:sea'. mBD; péllO sen.mDB=:se'n .PmR, . y (1. § 459 cor.) sen.mBD=sen.PmQ. " ). Luego si 'sLlsLivúimos estos v,alores, y en v.ez de las líneas. Bn, mB, mD, las fuerzas P, Q, K, que representan, tend'rémos . '" P:Q:R: :ién.QmR:seó.P.mR ~sen.PmQ; que nos dice ,._q ue, l;¡¡s tres fuerza. P, Q, R , de' la$, que una es· r.esulfante de las ,ótras, s,on entr;e sí como el sé/la del1állgul'o,'que forman las~ ~tr.as dos. • , z45 ,La r~sultante de tres fuenas P, Q, S, aplicadas á 1m ' 71,ismo, punto, y cuyas direccione~ no se hall,an en un mi§lho:.plano, ~stá representada en magtlitud y direcaíon , por la diagonal del paralelepípedo construido sob"e ~as parte:s de las dille'cciones de estas fuer'1.as que ~spresan..sus magnitudes lY'es;pectivas. , Sean mB, y mD (fig. 53), las maghitud~s /fespectiv.as ere las' fuerzas P, Q, S, Y mBCDF el p.ar~Ielepípe.do construido sobre estas rectas. 'La resultante l7.de. l<as ¿do,s fúerzas P y Q, está repres,entad t pcir,' Í;r diagonal mE del paralelogramo mB-EC; y á éau$a de : que' EF es igual y parale.la co'n ,m E),; la figura mEFD es un paralelogramo. Luego la <Hagonal mF de"es·te, paraleIGgramo; ,ó ¡¡lel p~raleJep.i., pedo, representará la resultante de estas dos fuer. zas r y S, ó de ' la:s' tres P, Q, \ COI'. Si,lás fuerzas P, Q, S;. s,@n rectangulares ~ , .:z_pz _____Qz ' se tenará ,-."..., ' r

me

s. .

,

o

-

' ''j

:lF;::::rz+,s,!l=Pz QZ,+Sz.

..'

Re<dprecamente, una fuenza R aplic.ada en un punto , m', siempre se puede" deScomponer. en otra; fres , respectivamen~e pmoutetas á tres ejes 6 vectas ~i ., r"cla,s por un m~smo punto ae~ e..spac.io. ' 246

, II

T. H.


162

ESTÁTICA;

Porque si 'se tom,a mF para que represente!:¡ fuéq:.a R, Y por el punto ,m se tifan tres rectas mP, mQ , m8, paralelas á los ejes dados ', estas rectas delfrminarán tres planos PmQ , PmS , QmS ; y llaciendo pasar des pues- por el punto F tres planos. , resp,ectivameme patalelos á estos, se formaEá un paralelepíped0 del que mF será diagonal, y cuyas ¡(ristas mB , mC, mD, contiguas ' al punto 111, seFán , las componentes buscadas. . .: ,Si el paralelepípedo es rectáNgulo, y se une el :P'U'l ;¡tp F C()H los B, C" D, el tr1ángulo mBF re~~ tángulo en B ,. dará mB=mFcos ..BmF; el mCF;rectángul0 en C, dará mC=mFaos.CmF; y eJ-mFD rectángulo en D, dará. mD=mFcos.DmFj y '''1spresando por (X¡ , G' , 'Y, l0s áng.illos BmF, CmE y DmF , que fOlrma la diagonaLznF c~m Fas' aristas ,nB~, njC, mD á que llamarém'o'S, ,P , Q, S Y R á· l~ resultante mF, las reeuaciones ameriores st: conver= ~'~- ti,rán en P=Rcos.a,. Q=lk~s:~ y $~Rcos.'Y; . donde se ve 'q ue la accio'n, de una fuerza R , -estima; J

da:..s.egU>rJ' una direccion dada, se ha-lla multiplicando esta fuerza por el coseno del "ángulo que forma su di~. reccion con ta ,Rirec.cioll dada. .

Sumando l0s cuadr,ados' de estas tres ecuaciones¡ y res@lviendo en factores el segundo' ooiembfo i l'ei sult:a p24-QZ+S2=R2(c0s.a2+c(Js:G'~:'t.-cris.'Y2); ,33 Y como e.n este caso (2'45 cor.) R2t::¿:P~+Q2+S2~ ' d simpfificando se tendrá cos.a2+cos.G'':-hC0S.'Y~=I; .~

.

Ir

H

Composicion de las fuerzas que concurren en un puntp; ., J

í

247 Para determinM la resut't;a~te ,de un númera cualquiera de fUefJzas a.plicadas . á' un' mismo. pt\llt<n ,'] situadas Ó 110 en un mismo plano, ,se: halla primero l~

resultante -de dos ae estas fuerzas; 'despue "se 'coril: pondrá esta resulnante con una tercera fuerza; lue· go, 'se hallará la reswItame 'de esta segunda resu,¡tante y de otra fuerza; y así se cominuará has.ta ha/:jer hallado la r.esultante de toda~; con lo cU,al S~ ,,

(1.


~ST~TleA.

,

16~

habrá reducido ' todo el sistema á una: S'o lá f.uerza , ~ I que en el caso de equilibrio será ~ero, _ \ , , _ "Supongamos que dichas f:uerzas estén representadas po.r las lineas mA, mA', mA'J, mA"', &c. (fig. 54), q uc panen desde el punto de á'Plic..acion f!l. Por el punto A t~remos una línea AB ; igual' y paralela con mA; per B tiremos la BC, igual y para.lela con mA"; y as~ {ill,cesi vamente. COIl lo cual fotmarémos una porcion de polígono, cuyo número de lados s.erá igual al de las fuer:zas d~das ; y u,njendq el esu'etno cl;e SL/. último Jado, con el punt9 m, p0,t. medio ue una recta, esta ,será la resultante buscada" , En efecto,, ' la lhlea mB es la res ultantg de la,s ~uer'Zas mA y rnAl; , pues tirando la A'B resulta el paralelogralIl<iJ inABA', cuya diag<mal es m;B, y cu .. yos lados mA, mA' son las dos fuerzas q ue hem(i~ considerado. Por la misma razon la m,C es la ,resul, tan te de las fuerzas mB y mA/~, Ó de la~ tres mA$ mAl, mAII; y así sucesival1lente, - 248 Ahora~ ,si por el pUllto m riFamos una Hne,a cuahluiera -mX." '} 'desde los p.untos A, B, C, 1;>, s~ liran á esta línea las' perpendic~lares AE, BF, CG,. DH, ,se tendrá mH=mE..,¡..EF+-:F9+GH1 pero mB~ es~ l~ proyecGion. _de la resultante' 'inD' 50-::, bre deje arbittari0 ' mX ,- 6 es la magnitud. d~ dicha resuhawe; estÍl,n ada en l~ direcóon de dÍcho' eje: y mE, EF ; FG ,. GH, son la,s m'agaitudes de las cOLU~ ponenteS, estimadas en la direccion del míslEo eje; , luego ba r,nagni;ud de¡} a resultante de un número cual~ quie'rp de-fuerlZas que obran sobre U11 p'unto libre, es; timada en la di¡"eccion de un eje cualquiefla tirado _p~r dicho punto, es igual á la s~¡ma de tas,~ com:eo~en~' ' fes estimacbas 'e1} ta direccioJl ' det mismo ej ~f

," Composicion

.

,

y equifibr:lo de la:s fuerzas parátelas., , ' (

. 249 ' La resuttante, de dos. fuerzas' paralelas, que \ obran en el 1Jlis-mo sentido; es .paralela á la direccion \ ~e e¡fas fuerzas ;é iguat á su ,fuma; y tas distanuias

\


1(>4.

ESTATICA.

-

Qela cUré'ccion ele esta resultante á las de 'las componentes, son inv,ersamente proporcionales á estas jue,"zas. - - 'Sean :P y Q dos fuerzas paralelas, representadas por AM, BY (fig. 5 S}, Y que se, hallen aplicadas á la recta inflexible AB; si ,á esta aplicamos, las fuerzas AH, BK, iguales y contrarias, n0 se alterará el válor de la resultante (239)' Esto supuesto, construyamos los paralelogramos AHLM, BKNY, Y tendrémos qu~ la resultante de las fuerzas P y Q, sel'á la misma que la de las fuerzas :AL, BN. Aho· ita, _por ser las AM,.BYl paralelas, resultara (1. 284) que los ángulos MAB+YBA='1l', . luege LAB+ABN>'1l', y 'por lo mismo los BAE..!f'-ABE<'1l' ; luego 1as dos .fuerzas AL , BN ,,' concur.rirán (1. 287) en un punto por la partf supellior de la AH, tal come E; si concebimos aplicadas estas dos fuerzas (240) en el punto de 'concurs(!) E-, l' rep'r esemadas podas EZ=AL y EV=BN, tiramos la recta EC paralela á las AM, "BY, Y construimoi los paralEilogrambs EGZ,!, y EDVO, tendrémos descompuestas cada una de las EZ ,EV en otras dos, á saber, la EZ en las EG, ET, -y la EV en las ED , EO; y la resultante de las dos fuerzas P y Q ser á aun la mism;t que la. de las ctiat.ro fuerzas '~G; EP; ET Y EO; ' pero las a0s' 'p'rimeras S011 iguales' y contrarias, ' lue~o se destruirán, .y solo quedarán para for mar ~a resu!t¡:tnte las do~ '::'i;uerzas ET y EO , que obran ea el mismo sentido en da direceion de EC, y que "por consiguiente se 'reducen á una sola igual á su su'ma (~36); luego .R,':"ET+EO; y como,ET:...AM..:.P, y EO=EY.:..Q, r~sultt R=P+Q (1). ' ,¡ ' , Ahora, los ,triángu10g. EZT y EAe:: -són,semejan-. tes (1. 328), Y por lo mislTI0 dan ET:EC::ZT:AC; y los EOV y ECB nos dan tClfllbien EC:EO::CB:0Vj multi plicando estas dos proporcipnes, y simplifican· do, se tendrá ET:EO;:BC:AC; , y siend0 ET=AM=P, Y EO BY=Q, --sustituyendo resl;lltatá P:Q::.BC:ACj ,


~STÁTICA;

165

con lo cual quedan demostradas 1~5 dos parJes de la , proposicioJl. ' , 2)0. Componiendo esta proporcion será P+Q:P::BC+AC:BC; ¡

~

-

ó poniendo en vez de P+Q su i~ual R J Y en lugar de BC+AC su igual AB, tendrémos R:P::AB:~C; , y comparando con el consecuente,será R:Q::AB:AC; y como alternando estas dos pro]i>orciones tendrá!! / 'una razon corpun , p,odrémos poner . ' ' K:AB::P:BC::Q:AC; ° (1. § 185) R:P:Q::AB:BC:AC:Pero si por un punto 'cual'quiera de una de las fuerzas, ó de su resultante, se dra una recta mon, de cualquier modo que sea, que encuentre á las fuerzas ó á sus prolongaciones, se verificará siempre (1. 320 coro 2. 0 ) que AB:BC:AC::lim:no:mo; luego podrémos poner (1. § 184, 2,:a COl.) R:P:Q::mn:no:mo; dond~. . .se ve, que si se cortan las direcciones de dos fuen,as paralelas y do: su resultante, por una recta .cualquiera, elida una de estas fuerzas podrá estar re- .presentada por la parte de' esta rect,a interceptada por las otros dos. ' 251 La anterior serie de ra.zlilues iguales nos da ' : las tres proporciones siguientes:

(2)}

R;p::mn: no, que da Rxno=Pxmn { R:Q::mn:mo, que da Rx~o=Qx;nn (3) P.Q .. no.mo; que da Pxmo-Qxno (4)

Con estas tres eGuaciones y con la (ec. 1.), tenemos lo suficiente para resolver completamente el problema de la composiéion de dos fuerzas paralelas que QJ;>ren en una misma direcciono Ep efecto " la (ec. 1) da la magnitud de Iaresul~ tante R , 'y cualquiera q.e- las dos (ecs. 2 y 3),deternUHa el punta o por donde debe pasar; la (ec. z) ,da. ', Pxmn ' ' , Qxmn ~~" ,1f1o;::::¡:¡-,- ,- , y la (ec. 3) da mo=;,..--; o,;!; , ' . <. __ R ' .... ..""..... .• R .t... ' ..,..,...~

~'-


X66

- 1- - .,

, -, PXI';tt ' Qxmn • O flO;::; P+Q (5)? 11'!O , ,- P+Q (6).

•• 1

Si fuese P::::;:Q , resultada no=~nm=lho; que quiere decir; q \.le' la resultante de dos fuerzas -paraletas ~ igllale$, pasa por et ptlntQ medto de la 'r?ctfl ql~e Une ms pt.mtos de aplicacion, ~ 5q.' Si la fue'rza Q Gbra'se en sentido contrario d,e la P , se deberia mudar su signo, ~on lo cual las fórmulas anteriores ' se eonveiLirian en '\ ., Pxnm ~Qx11ln ' v_P_Q (8) ....0 P_Q (9). "''--'''' .. (7) ~ no" -P-:-R., · ,." -

t'~

- •

-

_. . .

-

.

..

.

Si P>Q, la mO será negativa, '6 lo que es 10 mismo, se deperá ~omar desde 111 hácia lq' izq llier- . dª, y la resultapte obrará en el mism0 sel1'tide que p. , Pero si P<Q, la TIlo ser4 positiva y m¡¡yor que m!, (pues será igual á lq ¡njsrpa mn ¡nultíplicada por yn q uebrqdo impropio)? ó la resultan~e tendrá su punro de, aplicadop la derecha de n, y oprará, en. mismo sentid,p que la fuerza Q? que en es~e caso p,ebe ~er jie ~ hácia ar¡-Íqa. ~ S3 La¡ resultante ' de ,,!zuchas . fuerzas paralelas ;p. , P!, P", &c. (tig. 561, ya estén ó na en un mismo plqr¡o,; es igtlClI iÍ la sU11}Q dg e$tas fuer'ZCls? diÍ ndole3 '#gnos Cor¡venien,te$, Porq lH! !liengQ paraLelas las fllerzas P y P', su fesyltanie ,R' es paralela es~as fuerzas 1 y se tiene F,./~P+P'; y siendo J;?.' y pI! paralelas á J!I, sQn para\!!la~ entre sí; lllego SU resu!¡ame R" ~s paralel;a 'á ~stas fuerzas? y se tien~ R,./I-;;:::.R'-+P" ó ~":;=P.+p'+P", y. ~sí ~qc.~siv~,~n~nfe. Si la fuerza P~/ .obras~ en ¡:lirec~lOn opijes~a las P y P', al ha'lrIar la Í'es!.!ltallF~ de

ª

el

ª

ª

1I' y r;', t~ndriamps ~/'.;.,..R'-P'I=p.,,¡.:,P'-P",

.

que' ~s la SlllDa alg~brá-ica de f , fl Y ___ P", . ¡ -, Cor. · >Lu¡;go si eSf"l'ésaroos·.por R ,la resultapte de lIn número cualquiú'a de:; fuerzas P, ?" prt, P''', , pIV i b'c., de las ' ~úal~s ~s'i}pon~~élJlÓS qu~das tres l?r1m~¡:as obran en una ¡nislI~a direcciol!; y las reo·


ESTÁTIC4.

tantes en direcciones cont~arias ~ -tendrérrios .

167

R=P+P'+p".....;.p"'-p'/I b'c. (10). Ese. Para encontrar el punto de aplicacion de la resultante, se unirán los puntos de aplicacion de P y P' por una .recta, la ' cual 'se dividirá (l. 323' esc.) en dos partes que estén en razon inversa de dichas fuerzas; despues se unirá este punt0 de apli~ cacion con el de plI, y s~ dividirá ,la l(nea que los una en razon inversa ,de R'=P+P' y de P"; Y así.. se procederá hasta encontrar eJ punto de aplicácion de todas. .7 254 Si las fuerzas dadas, 'permaneciendo siempre paralelas y aplicadas á los mismos puntos, jiran at rededor de su punto de aplicacion, la resultante fÍo mudará de punt.o de apticacion ni de intensidad; y su direccion será pm-alela á ~a nueva direccion de las fuerzas. séan las tres fuerzas P, P', p lI , dirigidas segun Jas rectas mA, m' A', m" Al! (lig. S7); sea nB la, direccion <.le la resllltame r de las fuerzas P, PI, y será: t'=P+P'; s'ea n"B' la direccion .de la re§ultante R' del las fuerzas P+P'=r y de P", y .observarémos que la figura supone que P" obra en sentido con, trario al de y P', y que <l;derrias se tenga P">P+P'. Ahora, si las fuerzas P, P', p lI , jiran al rededor de sus puntos de aplicacion m, m', mil, y toman las nuevas direcciones paralelas ma, '1'1:/ a', 111,"a", ten-. drémos que la resultante de las fuerzas P , P', encontrará á la recta mm' en el mismo punto n q.ue antes; pues la posicion .de 'este pUl'lto solo ~epende (249 Y 252) de la relacion de las com ponentes, y de la distai1;cia de sus puntqs de aplicacion. Por la misma razón la resultante R encontrará siempre á l~ ,· prolongacion de la recta ñm~' en el mIsmo punto n'; luego. la resuLtante, El ue debe ser igual á la suma algebráica de las componentes, y paralela á- ellas, (249) , no alterará su magnitud absoluta, y deberá jitar _al . rededo.r - de\ su 'punto de aplicacion, del

r

~


~¡¡8

ESTÁTIC"\'.

mismo nfedo' que '10 hayan hecho las~ cotnponeVltes¡ L.Q.D.D. De los momentQs.

-2'; ; Se llama momento de una fuerza a'l ptoduc-. to de esta fuerza p.or la distancia de su direcc:ioIl á un punto fijo '; @ por la diSlancía de su punto de aplicacion á una línea 0 á un plano dado de posícion. , El momento dé la result(mte de dos fuerzas paralélas-, con relacion á un punto cualquier.a del mismo' plano de las fuel"zas , eS igual tí la suma de los momentos de d.ichas fuel"zas. . . Porque si desde' un punto A eRg. 58) tomado en el plano .de las fuerzas paralelas P y Q, 'tiramos la' r~cta An perpendicular á las di¡;e<;ciones de estas' fuerza. y de su resultante R, el puntG de aplica., cion de esta resulrante debe eSFar simado de mánera que se tenga (ecs, 1 y 4) R=P+g" Y Pxmo=f;!,xno', pero mo:::::Ao-Am, y ·on~An ...... Aoi ' . , ~uego $Ustiruyendo estos valores se tendrá , Px(Ao-Am)~Qx(An-Ao); que ejecuta¡1do las operacrones, trasladando los términos negativos á los rnieinbros opuestos, y resol. viendo en factores el primer miembro\ dará (P-J'-Q)xAo:.::::PxAm+QxAn, .o RxAo::::PxAm+QxAn: ... Pero RxAo es el lDomentd de la resultante, con relaci0n al punto A; PxAm y QxAn son los momentos d~ las c.omponente.s con rela.cion al mismo punto; luego la ecuacion anterior manifiesta L. Q. D. D. Ese . . Para mayor sencillez espresaré¡nos las distancias 'Am , An y Ao, por p, q, 1", Y teúdrémos . Rr=Pp+Qq (11). . ~ 56 S i una est as fuerzas obrase en sentido confrario al de la otra, se debería mud,w su sign(f ;1,' ;. , tambíen se mudaáa el signo de su -distanuía al punto" ./l, sj ta di'reccíon de estas jue'r'l,as estyvi.ese 'situada, (Jl otro lado de dícho punto. Ahora, si se tira lafiL, las partes Aa, Am, An, ~erán pn;,po¡;cionales il las AH ,. AK, ' AL; luego e~,

ae

I


ESo:rÁ'l'lCiA'

\fez' de aquellas se podrán susütmir estas ~n ·la (ec.

:r;69 11)

sin alterar la-.igualdad; pues esto equivale á mult.i; plicar todos sus téFmirÍos por una misma cantidad; ~ de donde se deduce que no hay una precisiQn de que la recta An sea perpendicular á las direcciones de ta~ fuerzas. Basta solo que las cóne de un modo cualquiera. ~ , 257 El momento de la resultante. de dos fuer'ldls parafelas', con rel'acion á una recta que se halken el mismo plano que tas componentes ,' es igual á ta suma de tos mo.~nentos de las componentes con relacion á ta misma rectel. Dem. Sean P y Q dos fuerzas paralelas, y R suresultante, cuyos puntos de aplicacion 111, 1'1 Y o, se baIlen en la recta mn; y supongamos que se quieran hallar los momentos de estas fuerzas con relacion á la "recta AL, que se halla en el mismo plano que las fuerzas; para esto, tirarémos desde los puntos m, 1'1 Y o las mM, nN, 00 " perpendiculares á. la AL, Y resultará (2 SS) que PxMm será el momento de la fJerza P, con rela'cion á la recta AL; y QxnN y RxoO serán los m0mento.s de la,fuerza !J y de la resultante 'R. ., ' r Entendido esto, c0ncibamos prolongada la mon hasta que encuentre á la r((cta dada AL en un pun\ to tal corno A, Y tend,rémos (ec. 11) RxAo=PxAm+QxA!fI; y como (256) en vez de Ao, Am, An, podrémos sustituir sus proporcionales 00, Mm , nN) tendrémos RxoO=Pxml\l,I+QxnN (12). Pel'p RxoO es el momento de la result~nte) to)lado con rela~ion á la recta AL; Y corno PxmM y,QxnN , son los de las .eQmponentes P y Q, resulta qu.e la (ec. 12) espresa L. Q. D. D.- , . , 2 S8 El momento de la resultante de un número eualquiera deJuer~a~ paralelas, con relacion á una recta qUf! se' halle en el mismo plano que 1M compo- . ne~~es , es igual á la suma de los momentos de las com\ponentes ·con retacion á la mi¡ma recta.

c..


liJO

J!:ST;{TltA.;

Supongam'o5 un número cualquiera 'de fuerzas P Q, S, T, \1c.; si desde el punto de aplicacion ti~ ramos á la recta con relacioJ.il á la cual se cuentan Io,s momentos, líneas paralelas entre sí, sean ó no perpendiculares á dicha líne~, y las espresamos por p, q, t, b'c. tendrémos ql!le si 7spresamos. por T la resultante de P y Q, y por y la línea que desde su punto de aplicaci0n se tire para,lela á l~s p, q, se verificará que Ty.:.....,Pp-t-Qq. Si llamamos T' la resaltan4:e r y de S, é y' la recta que desde su punto de aplicacion se tire \ á la línea con relacion á la cual se cuentan los momen~ tos, se tendrá Tly'=Ty-t-Ss=Pp-t-Qq-t-Ss; . y como lo mismo demostraríamos de todas las de~ mas, se sigue que llamando R la resultante de todas, y r la línea que se tire desde su punto de apli. cacion á la línea con relacion á la cual se cuentan lGS momentos, se verificará q,ue , Rr=Pp-t-Qq-t-Ss-t-Tt+Qjtc. (13), que espresa L. Q. D. D. ' . Si el punto de aplicaGion de la resultante se halla en la línea con l'elacion á la caal se determinan Íos mome~tos, la distancia r será cero; y la ecua" c:ion anterior se convertirá en .i \

s,

_ Pp-t-Qq-+Ss+Tt+b'c.=o '(14). 259 'fJ mOl~¡ento de la resultante de muchas"fuer." :11M paralelas, no situadas en un mismo plano, COIl., f'elacion á un plano paralelo á las dir~_cciones de es';, tas fuerzas, es igual á la suma de tos momentos de dichas fuerzas.> ' Sean MN y ML (fig. 5'9) dos planos, el 'uno paralelo y el otro perpendicular á las direcciones de' las fuerzas paralelas P , Q } S , b'c. La interseccion MA de estos planos será una línea l'ecta que se ha~ llara 'en el plano ML. Sea V la resu,ltanfe de las fuerrzas P y Q; R 1\1 de las S y V; Y su pongarnos\ que las direccionés de las fuerzas P, Q, V, ~ y :8., ~'lcuentrt!,l1 al plano r~L respecti""lmeate en los puntos D, E, G Y F. ' . " .• ' ' _

e,


:ESTÁTIC~.

'171-

Tiremos -desde ~stos pUBtos perpel\ldiéulares sobre MA, intérseccion comun de los planos MN , ML; ~ como las dos fuerzas P y ' Q y ,su resultante se ' hallarán en un' mismo' plano, los tres puníos D, E, e, eh que encuentren al ML estarán en una línea recta 'DEC, que prolongaré!pos hasta q,ue encuentre en LJn puntQ cualquiera B á la MA, ó al plano MN. Esto supuesto, hallándose el punt~ B én el pla-: no de las 'fuerzas P y Q, se tiene (2,5 S) con relacion á este punto VxB.E:::PxBC+QxBD; p~'ro á las tres' distanci¡ls BE, BC y BD, se les puede sustituir (256) las perpendiculares EK, CH y DY, que les son proporcionales; luego la ecuacion an~ terior se convertirá .en VxEK.:---PxF H+QxDY (15), ' Espresando por R la resultante de las fuerzas yS, tendrémos por lo acabado de demostra¡: J

v:

.RxFO_VxEK+SxGg (16); y poniendo en vez de V xEK el valor anterier, se tendrá RxFO=PxCH+QxDY+SxGg. - Aho ~a, aunque el punto de .aplicacion'm de la fuerza P, se halle mas abajo del planQ ML, la per~ pendicular que desde él, se tire al. plJno MN, Y que espresarémos por p, sellá igual con la CH; porla misma razon, si llalnamos ,q, 's, r, á las' pellpel'ldiculares al plano MN, 'tiradas desde los pUl'ltQS de ~pli­ cacion m', mlJ , ¡;le las compQnentes Q y S, Y cualquü:r punto de la resultante R , que se podrá tomar por punte de aplieadqn, se' tendrá siempre

.' DY=q, Gg=s, FQ=j'; ,, y sustitllyendo estos valores en la ecuacion anterior, , se tendrá ' Rr=Pp+Qq¡,¡..Ss; \ \. y' como se demostraría lo mismo si hubiese mas fuerzas T, b'e. resulta en general) qu~ cuandQ las fuer-, zas S0n ' paralelas se tiene - . ]{r=Pp+.!4q-f"'S.f+Tt+b'e. (17), que es presa L. Q. D. D . -: Ese. Estl!- !lli$q¡~ proPQsicioll se verifica auneuando"e!' plano se elija á arbitrio, y no sea paralelo á las direcciones de las fllerzas.,. (


J72

I

iKSTÁTICA.

Para demostrarlo, supongamos que se tenga un número cualq uie'fa de fuerZ'as P, Q, S, \:te. (fig. 59 *} .que sean paralelas entlie sí, y se hallen situadas en el es pacio; y que sus .puntos de' 5lPJ,i¡;:aci0n sean :res~ ( pectivamente m, m', m", \:te: ; y que el plano resped o del cual querernos hallar los mo¡nentos se! el BAC. ' Concibamos proyectados los puntos de apliCacio'n m, m', mil, \:te. sobre dicho plano, y q,ue sus proyecciones sean respectivamente los puntos '1', q, s, \:te.; y <i ue las. longitudes de las líneas mp, m'q, mI/s, \?'e. que espresan las distancias de los puntos de aplicacion al plano, contada1¡ en líneas perpendiculares á diCho plano, las espresemos para ~ayor claridad por p, q; s, \:te. Considerémos las dos fuerzas, y ~; sea n el punto en que s u resultante corta á la recta mm' y r' la proyeccion del punto sobre dicho plarto, cu~ ya distancia nr' espresarémos por rl; tirérnos por In la mb p~ralela á la línea pq que une las proyeGcionrs de los puntos rn, m' y tend.rémos (1. § 322)

r

n

mm':mn::m'b:ntV.

. , Pero la (ec. 6) puesta en propmcion, teniendo presente que lo que allí era o ~s aquí 1'1 en la figura, y 10 que allí era n, es aquí m', da P-t-Q:Q::mm':m1'l; luego (1 § 184. 2.') P+Q:Q::1ñ'b:na; qi.le da (P+ Q)na=Qxmlb; y siendo (l. § 286) ar'=mp=bq, podrémos formar la ecuacion idéntica' (P+Q)ar'=Pxmp+Qxqb; y su~ mando estas dos ecuaciones-se tendrá (P+Q)(na+ar')=Pxmp+Q(m'b+hq); (,. poniendo en vez de na+ar' su igual nr', en vez de m'b+hq su igual m' q, y ,en vez de P+Q su igual R', ~e tendr'á R'xnr'=Pxmp+Qxm'q, Q espresimdo por ,.' la nr, por P. la;mp, y por q la m' q se ten4rá. R r'=Pp+Qq. y como obtendriamos el mismo resultado combinando áhora la resultante R' con otra de las fuerzaJ; S, :x despues la,res\:11tante que obtuvü,sémos cea


ltSTÁTICA.. 173. btr-a; y así sucesivamente, resulta; la prop0sidon;

Terminal'émos éste asunto manifestando .el método general que deberá seguirse para determÍJla'rlas coordenadas del .pun.to d,e apli€acion de la resultante de muchas ~uerz.as p~.ralelas en funcíon de las coordenadas de los puntQs de apIíc;acion· de las COIIlponentes. Para esto, 's upongamos que se tenga. lJn numero cualquiera de fueri:as-P~ P', P.", ~c :; cuyos puº,tos de aplicacion sean 11't, m', mil, ~c. (fig. 59**); I.:oncíbamos por un .runto cualq uier-a-·,A q~e:elegiré­ mos por .0r1gen de las ' cQordena¡:t.as ; tres ejes rectanguláre's~ AX, AZ ~ AU', i'' j'" es presemos 'por x, ' z , ·U . las c00r.denadas del punto m, con reladoR .á diohos ejes; po.c . x~, .z;', u' las del punto m!;. pOI ~f.i' z/l r u~'~ las del mil, ~c., y tendrémos '(36) que u, 'u', u~~,- ~c:,~ espresadn las dista:ncias de los puntos de aplicadon m, m',·'ml.{, \1c. -al plaJO:o (de bs .x2o' luego.·mulÚpli-,:. cando cada una de estas distancias 'por la. ,magHipld de su respectiva fuerza, se tendrá que Pu, P'u',. . P"U"S' \?le.' serán' los:,fltm.n'€Htos ded as eomponeQtes cOl1llJJ:éladtlil al~ .plano de4~s "'20'; y" si. eS.p.resamos< P0"J:i¡:R. .la" resultante':de todas las' fuellza.s: ¡P,' PI'; pll/~!tC.:, :y pOl"i~!x/; zf, u../,;!as eoonlenad"ás·, d~ .~1Í puntold"e. áp1icaeiorr, t'enar.émos que! R>U7 se.l'áleJrmo:Q , mentd de ' laresu)taflte' eop r~lacibn :..a;Lmi'Srp(hplSl·~.Q , de las xz; y. ea ,viFtud de"lo."acabado 'de ¡demest-rar en '~l ¡ escolio .anterior .,·g eadremos " " ~.,. ;-. ::. ~., ,......""" " ...L.p",,!.lc.L~"'C!~ ' ... · ! "... ~ !..-:'.l ---:-n ~ Ru ,-P"+P' _ ... . u....... , 'w. ~ -¡:;r.'l.JI ~ ('t""),) . t) rlO!J o ,:·,;O<¡¡mQ .x, x',. xl! , .~c.·, ~espresa>a" las diS¡tancias de -l(j)s~ pu.ntos de aplic.adon al plano de"las zu; Jenclré."" :ntIDS1QU'e "P,x , P'x(, PI/x", ?d.e~..; seÍ'án lost'rnomentos :de d.írehas fu erzas ' cOll rela:0ion al plano de 11l'S ZU; ~ -y ~xrel' momento, de la.Jl'eS'ultante ; y p.dr :la mísU,la ra~on ser~ RXI=PX+P'X'+pIlX"+~C. (b). , 19ua.lmeate se " teódllá entre los 'momentes ,de l~ 'tesultáhte y compoaente con ¡reladon al plano '" de ilas 'IIiU,' la ecuadon R:Z¡=Poz,+p',2O'+P"'l}'.,¡-Q:j·c: (e). ' >

,.

_ •

'" ..~ Ywp:uejt0 ¡¡Ale (~ ')3 cr¡¡r.)

L-____________

~

__

.

'

'.

.'

/

R-'p".¡..P'+~c. ,.resui-

________________•____

~

,

~~

__


r;r'f

ESTÁTIcA.-

ta que despejando. en las ecuaciQnes anteriQres los' valO'res .(!)le' x~ ~ """ ,U) ,' Y PQniendQ en vez de R,,' su. "falQr st:;<tenclrá " '? , I " , l ,¡ - Jpx+p,,,f¡.',rIP'LXIl+'tJC, x ., _ _ -, (d) " P + pI +. P" +~c. 1 ... ~ lJ I ) ,.." ~ ... I

p",,+p'",,1+P"'1,'1+t?'c. P pI ' po ~ ,¡)/'~, + + T~, C :.

- ~,

.,

'

Ce)

Pu.+tpl.~!+,pl1u'(+b'c, ' ' , ' ,';, ).,', (f)'.Je.'

;::

' u;

'1 J P + , P ' f P: ¡ -+;~c:" " . I ecuaciO'nes , ' pur. cuy.o; ' me~iO' '.:.pO'drémO'~ d~.terminar l~s c00udenadas x" .""/(,, ul s Jdel. punt0 de aplü:aciont d'e.ia, l\es...ultame 4e,lclllantas !fuerzaS' paraleJas rs'e cen"', \, . , -(:. ~ , -.....,.LJ.r:f -' SJ.'d'e' .v. e{l. ~ ( . . r' . Ji)' le" .... ~ ,\ ,\\ J. ,I ~ , :;1 i' il B ~n ~""j, ~ .., e'.:' ... 1, ,:;,... 1 1"'j;.... 8.\ ~ 1 ... · ; G 'j' .' j De }a'-FesantelZ' y, der modo cde' hat.lar tos ce'YItros p~ i grrayédad. '. l~ ,!'j'lI; 's,l;"..,; ,J _.) ( ',) lo

\'1 t.. - r:"

;t

. ..._• ,J ",,' .ó .... 1;: " . _ Ij

_

J

I -c;..;,;I •1

t, ....

h

~;J

". 2'60 La ~pesánte% , Ófg.'Fu~.edad---,I'es Ja, Ül.efoza' ebri que tO'do~' lO'S' G~erpos:;,ql al;¡andO'nadds á ¡lSb.m.ismos? ~e , p¡¡eei ¡)Ítan hacia 'la:'. tieIl'a:::,en~di.recci.ones 'p erpen: Gli:cular~s á. .su. slLperfic;.i ~u !\l't ensldad i10 ..es,"lá misLt1!V en' lO'dosdos .:pomO's rae la sup~rficie tenresvrei 6C"Sa:p€lfpo:r especienaia que crece .pY:_op.ol"cio,!ÍaÁme1lt~ 'lit.'!cuádr.ado deL ..eno:, deda Z,atitud l ilesa! el, ecuadoll1

r.

donde es la menor f'.11rcuta efpo,lo"r Q,J)')de es l'ts mayor. Se ha reconO'ci9-9 ademas 'q u~disminuye ,en .J;.azon in~ (¡b-sa 'del' cüadrado de ¿'fl' 'ái.sp.ancia Jet cuerpo, pesado a¿ centl:q 'de la t,i eha, áj '1Í1edida 'lúe -se eteva~ s.obre. Ji¡. . :misma vertioal. Sin eW9a!r go,,"se puede ~u pO'nfd' ~q¡tle ,tO'das las, partes materiales de un cuerpO', 'infemaFl .rlesceader' con, la misma tuerza en direcciones ~ pa:raJelas. -,.' , " 261" La resuüante de tO'd¡ls -estas fuenas s~ lIa,ma peso, del cuerpQ ~, y es igual á la gravedad - de .unQ de sus pUrit0S materia'l es m1'lltiplicaclar pO'l! el

número. de ellos; y CQmo>el conjuntq, <le puqtos' wa..


t7;

ESTÁTiCA;"

~ríaIes

de ' un cuerpo constituy,e ' lo gue . llamamos su masa, resulta que el peso de un cuerpo es propoT..'! Gionat' á su masa. ' •• , , No es ·lo mismo gravedad que .p,eso de Ut!. cuer~ po; la gravedad es una .pro.piedad general, que del mismo modo c0n~iene á un cuerp0 que á su mas, mínima molécula;- y el peso le 'GQnstÍru ye,la Ieu. nión de todas las molécul<l!s" ..~ , De donde resulta que el peso :de un cu.erpo· homrr-., géneo es proporcional á ·su volú'l'flen ; , 'Y ~ dos. óuerpo$ homogeneos, equivalentes en I voi,úmen, son ,iguales en peso. 'Fado lo 'cual está eonfirmado ,por .la eSiperiencia, .como igualmente que los cuerpos 'heterogine09 tlO tienen (el mismo pes.o ,en ' vol«111.enes .igua.tes. v ': , z6z Los cuerpos se dice que smn mas ó menosdensos, segun contengan en .igual v0.lumé,n {,u~1 mI;;; mero mayor Ó . menor .. de., pa,r.te~ ' mattfiales igual. ment~ ~esadas. De d?,l\lae se deduce.'que la iJem~i:l'!ifl. r.elatlv.a de -do.s'cuerpos, t;S la: !.eIactO~: de'{susJ p.~Sf)~ en igual volúmen. ~ lo que ¡pesa un, cuenpe)o en 'U1\l vobj,men .dado. ., · ,s,e , llama' tambi1n pes:~, específico ;:eJ'f ~omo en un volúmea dad€) pesar~ mas'el;cuerp0 'que tenga mayor dénsidad, r·esulta. qll ~ Iós p~DS Jespe.c~ fieo S! son propot'cionates á :las de.m ida'd.es; -,y'lq ~ej si el: 'V.oZúmen del ctier..po es ,igual á la ,uniáa&" . entónc.1lS e~ peso, específico. es ¡ igu.a~ á.:Ja:., d.ensi:dad.; .cllya" pr0posi,J €ion ' puide sel,'vir¡. de bas.e paI'éIi. forrnar ,''iablas de; 'los pesos,-,e.~ p.e.d €c.QS'_ de"dj~oers0s1c¡uerPi@~, wtanto s<,>~ lidos como filliqos. , .. ,. -1{ __z6~- $i Uamfunos DJa densiclacbd~" un ¡CUerp(;), P' e1vqlúmen, y . M sU m~sa, será M VD ;~ I8) • . 2.1 , Espresando ;por le1:)ra~ fl1inúsculas las .cantidaaes; <tn~ál~gas .con relacioD. á ot¡to cueEp0, será'1hc:qv (1 !1)~ Y fo{'mando W.opo!cio.n!.t¡eslll~ará M:m::DV:dv l{Z.O);o que quiere deeÍr, que l,as ?1l.asas:de. ~dop. cM.enpo·sú:¡.¡.a" lesquierg éstán.,en· lIaion compuesta de la de' sus·· volúmenes y . densidade~¡ ") :) .. l ) ¡ " .<':" .... >" 'í ~. SuponieJldo ]j~a., (y, des pues V: '; '1)., ~~ hallará' qUe la¡'J 7nasas t ¡}Jigl,l-alt;laa de 4msida;d.es '.. san~ c~mQ J


1.76

ESTÁTICA.

'Ziolúl&1ener; y á iguabdad de volúme)les, son co'mo sus demsidades • •-' .¡" J _ , 'ivh~lti plicando estremo,s y medio~prop. 20), tenarémos' ¡M » dv:::zmx.DV, que 'da: ,[);d:;Mv,;h~V (2 [); SUJ

I

que ''}uiere dedr ,Jtl'l.e>en ge_lleral ' tqs densidades· de dos cuerpos le~tán en l'a'Zon compuesta de ta , l:tirecta de' las.. maws' I. IY¡ de. ¿.ti; invet:sa del los '&otlÍlmeñP~; .} Ese. El peso dé los cuerpos no ,v aría en ,un mis.l mo páraje ae fa, tiel¡r:a¡<j' <ÍJ. á. u~a misma latitud; por lo. cuúllalll<illdo ;P. ' el ;peso , ah>solu~o y' M l¡¡t masa del un cuerpo, 'Ietliendo presel1te le dicho ~26,I )" nos, resultará P=M.:; Lpero ¡clDlU@ la fuerza de ola / gra.ve~ dad decadal;mol~.c¡llla va.~ía de un paraje'á otro (2QO),' y el peso es. la T:es1'lliame de ' tG,das 'es'ras fuerzas., sr qmu;emóS? q'ue "la e'cua'cÍ.0n amer.ic¡¡r·,esprese el peso absx;¡Wo ,rle riros"cuerpos ;, elF cualquiera , parte"que e-St<ih'i lse <considet:en ?~6r á necesar,j;o mGdificarla, mul, ti.pliCána01á _pql' :..I;u: fue rza glue en ai:¡ uel paraje .ten.gae' gwvl!dad:;>-q:U:er Uamándola- g ,Aar'écuaciom '<in;: te:riGr¡ se' eouyerrtide·e¡¡¡. ~f>;:= Mg; Y sus~ituyendo ecl' ,.e~ ,uel 'M . .s.u '!N.a·~or ~(e·c. ,18),- se' teHdrá P=VDg'. r ~ .• rD@ndeJ.P -es rd pes0'"de1 ~cuer'po, V su volúmen,. D::¡s~ defisi~atd, y' Wes la fuer'za de da gravedad en allu'e Lpllm:o ó"sitlti' 'en, qué se consicih:T.a el cueEpo;~ ~'" cARora'" ,en un misme paraje, Ó á 1atitud~s igua~ ¡¿s'" se Ápo~r.á Su p'Orrer , g~[, " y€'el ~peso del cuer: pO- ~eIfclr¡í:J espEesa!rlo por' .el :vbllll.nen multil"licad'Q' p'o:r da d:el1s:ia~d 'ó:>pl!so especí!ico..,)y se ¡ tendrá ' . P=VD. .:>",r. ' :; ~ z>6'f., Pue-s qu6tQ,h5S los 'puntosl'de un él,Ierpo es~ tán SG1i~~tádos po'r fuetzas:' 'PaJrale1~s , se sigue q'ufe s:L se 1(: 'hace ~~om~ r suc.éfÍl v.;a:rn erí re-qi versas pcisic!o·I¡.es COfi ' rn1aclOn ata, dulecUlufl lde ,e-stas fuerzas ;.sw ,t;esu~tan.té· pasaú'col1stan!;.\!m.e'lQue ~2 5'4'1- por \:lon cier:: 1'0 pU:llt;b de eS.ce (lue~po. , 7 \:)JI P \ . ;, r Este pun~o sé ltalDa. ~e;fft4'(j: d-e gr'a'Vedad. Su pEO· piedad característica, en 10S cuerpos, sóJid.os,, · ton; siste en "lue 'si::sé sfilponé fij9ai'CÜO. Pllmó , el Cliler· po'. á. que. p,er'tenece, .perll:J-al1éce ·~h~e,~.c¡jlibFio' ea t'0~

\


177

ESTÁT'¡ CA·.

das las posiciunes posibles al ' r,ededor de este punto; porque en todas estas posiciones la resultante de las fuerzas aplicadas'-á los puntos del cuer'p o;' vi'e ne . á pílsar por el punto fij o. .' , 26; Luego el centro de gravedad se puede/con- ' . siderar como el punto de a'plicaciolil de la resultante de mucha.s fuenas paralelas; y atend.iendo á lo es" puesto (2;t) tendrérnos 'qued centro de,gravedad de dos pesos iguales, es el punto medio de la recta qÍle une sus centros de gravedad. De dond'e ['esulta que el , cent,·o de' gravedad de todo cuerpo homojémo es su e,entro de figura, si es que tiene ~ste, úhtimo ~ por ... qúe en este caso se pqdrá descol~poner el p~so 't otal del cuer,po en un nÚmer.o de pares de pesos igwales, opuestos y, equidistantes del centro ' de figUl.'a. Luego l. o el centro de gravedad de una recta homojénea está en su 'punto medio; '2. o et det perímetr o, ó area de un paratelógramo, está en la interseccion de sus diagollate-s; 3.° el de .una circ~nferencia, Ó de un círculo, est4 en su centro; 4. 0 el die ta superficie ó volúmen de una esfera está en su cent'l,"O 'b'c: 266 El centro de gravedad de la superficie , de un t!,iángulo se halta. en la interseccio1l' de dos recfas, que partiendo de dos cualesquiera de sus ángu~os, dividan en dos partes iguales s,us lados opuestos. EIil éfecto , si en el triángulo A:Be (fig 60), se tiran l;l!s AL, CO a los puntos L, O ,1medios de los lados Be, A.B, Y le concebimos com pUeStCl de elementos paralelos á la línea Be, el centro de gravedad de cada elemento se hallará (265) en Sli punto medio, esto es, se. ha-llará en la lílnea AL; luego el centro de' gravedad del sistema de' dichos elementes esrárá tambien en"la recta AL. PQ-r- una cazon análoga este centro de gravedad se debe hallar en ,la r€c,ta CO; luego se hallará en el pumo G, inters.c edon d.e estas dos r\!ctas , que es L . Q. D. D. I . Y como (1. 330) el- pUnto G está' situado de manera que AG=~AL, se deduce que solo con , uar la 1

,

,

z

T. ll.


'17~ ESTAnCA..' l \ . . AL 'J toma·t desae' el vértice sus dos t"ercera.§ 'par:'. ~e$, qu~qará

~ ;.67-

determÍ:nél,aG eL-punto G .

., _/--

un

Büra halla.r el centro de grave da&- de po.! ligono ' cualq,uiera ; se descompondrá en triángulos; . se . huscaran sus centros pa1"ticutar~s de gravedad; JI ' considerando cada uno de eHo.s como punto - de -aplicd: cíon de . una .fuer'Za pal"alela' , -igual en magnitud: á la $upe-rficie det. triángulo ,. se buscará (2 S3 '~sc J}el pun: to de üp,licac,i0'1: de ,la resultante q,e. tDdas ell.as;, el J

~ual

será el centro de gravedad' que s.e bus~~'(265j. ; 268 L,a base sobre q ue: insiste Ull cuerpo. clllal· quiera, se , llam~ base de sustentadon; y se 'c0neibe, fácilmente que un cuerpo 'estará tant0 mas ..firme cuanto mayor sea' su -base <le .sustentac-ion; y que' si. esta ~s regular, el cuerpe estaca en su máximo.. de cst!J.bilidaa, cuando. lá vertical 'tirada par sJt' centro de 'gravedad pase por el centro de la base. Así; la column~ AB (&g. 61 ) cuyo ¡centro de gra veaad está e'il medio de su eje, está en su máximó dé estali>ilidad; pero esta misma columna se mantendrá trin - caer '? aunque tenga una posicion oblícua 'AlB!, siellil", pre que la vertical tirada por el centr,o de graye.d ad caiga ,dentro de la ba;se~ Estando en e~ta p.osi.cion ,Se podrá aumentar la 'ma-sa' plDr el lado ,él: A'Bl. ~e tal , modo-que la vertical pase por el ceorro. dé ' la base, en cuyo caso eL conj.unto ' de la co1umna y del peso añadido estaDia en su mayor estabilidad. Se cree que lé!-s torres 'de Bolonia, y Pisa, que e~tán inclinadas al horizonte', y parece que amena',zan ruina, h.an sido cOI1stnl'Íaas. espresamen'te d.e esr~ manera; y. que .en cada, llni¡¡ de eUas se e!ombinó de tal modo la disposicion de las pa,r tes, que la v.errica! ~rada por su centro de gravedad pasá por el centro de la base. ' , _ 269 El Centro de gravedad ' del cuerpn humana s: halla hácia ermedi~ rle la parte iDferior de la ca~ vldad" que se llama la:-gran pétvis. ' Para que 'Un hombr~ esté en .equilibrio sobre su;

/


\

, , 'i:sTÁTiéÁ. , , ';i19 pM, es necesario que la direccion de su centro de ' -gr'a:vedad pase por la bas'e d'e susrefltacion ', que détermina la posido,l'l 'de sus pies, Un hombre que ~e 'tiene de pie" v,erticalmenre está en equilibrio; y está 'tálrtb mas fitmé ,. cuant'o mayor .latitud rieae l¡¡ base 'de 'Sustentacion. ", " ' . Un hombre que tiene sns pi¡¡s unidas por sus tít-Iones, estandó estos en línea recta y las pu'n tas muy -abi~rtas, tiene m.ry poca estabilidad, porq 1,1 e al me .. ndt movimiúlt0 la vertical sale fuera de esta peque'ña base; no puede iÍlclinarse hác~a adelante; á menéis -que no 'lleve ahnismo tiempo hácia atras la pitre -posterlOr de s:u cuerpo, pah ~acer que -la v'ertiéa} 'caiga dentro de s u base. Un hombre que "tiené sus pies uno delante ae' otro ,en una misma rectit; ,est'á 'eh' el mínimo de estabilidad lateral; - los volatineros 1idq U1eren \ sin embargo, ~I h~bito de mantenerse co'u seguridad e'n esta posiciono - ,- -'. ' " Cuando un hOl'nbre está senta~a, le. es 'imposil1Íe lev antarse , mantenie'ndo su cuerpo ' iJéttir:almente sob.e ro asiento; PQrq ue en este caso su centro de grave-

:dad está sobre el tásiemo,')' C'ae fbleFa d-e la base fQrmada por sus pies; se v~, púes Ü'b'ligado á inc1i1'Iárse há"C'i á- áde)ante, para hacér questi c~ni,ro de 'gravedad pase' esta base. ' , -' Un nombre, que íleva un fardo á las 'espaldas, se ve precisaao 'á zndinarse-addante, porque (;1 fardo y el ; .formari~ Un ,si(stema;' cuyo :centro de , gravedad p'asaria , mas aHá de sü ~base, si s'e mantuviese ver'u. d dmente! ", ,, ' " ; ,

por

: ,..: Uw"ho!1ibr'e que 'Uéva ¡~n fat'do en sus ' vrazos,. se ve por 6a': misma \ razon;' en la necesidad de i-nclinai;e hácia atras". ' ¡ . , <'~

" Los dív·érsós. ~i!ivimientos qué hacemos naturaI~:'" mente con-los: br,azos i pa ra , sos teÍ:1Í!rnos ,cuando tro);iezamos' , no' tien-en otr o obj eto q tl~ !e!~rocu~ar que la düeccio n:.~~l centro 'd:e'g~'"eg a i;i<, ' pase pdr la -base fo!m~lda por los pies. Es.ta es'.la ,ia:Zo'n ,por q ue; -I o~ volatilleros em'plean-el o¡¡-tariéíri ¡ttIÚíi'rit~ s,,: s -j uegos,

.

,

~


l~O ESTÁTICA. I , ó hacen movimientos con los braz0s; y resulta que ~stá

mas diestro' el que §in llevar balancín se mueve \ méllos, ó el que .no hac.e ning,un~o.vimi(;!nto. "Igo De lo dicho resulta que la posicion en que -el ,soldado tendría mas estabilídad, sefi~ aq uella ~n - q ué formase 'c on sus pies un áRguló recto PAQ (fig. I 62), porque entonces. concibiendo unidos los estremos' P y Q de los pies, su base de sustentacion es· taria ·represent~~a por el trián.g ulo rectángulo iso.sceles PAQ, que segun hemos visto (171) es un má.. · ximo. Y el soldado estafia igualmente firme) fomían. do con sus pies un. ángulo obtuso RAQ,. ó uno agudo SAQ de igual cornplememo;. pues. en ambos ca. sos las bases de susfentacÍon serian dos ttiángulos , equivalentes ARQ, ASQ;, pero como el soldado es un hombre' que viene del campo, y no está: acostumbrado á estas· posiciones,. por esta .razon previene muy acertadamtmte la táctica,. que' el áng.ulo que ,han de ·formar los pies· d~l recluta sea un poquita -mé~os que' el recto Ó e,s<::uadra. ' T e..tmi'narémos este punto deduciendo- las fórmu. las generales que sirven para determinar en todos lC2S casos los· ce~1tros de gravedad. Ccm' este' objeto, observarémos que sr 'á diferentes puntos u¡:üdos en· q.'e si de un modo, invariable y cuyas coordenadas $00, , , respectivameate X' , x ' 11·' . " x' , .' xl', uro ,:r xII', ",Ir, iI," ,' b'c. se aplícan los pesós P, PI" pll, &:c. resulta, <¡lu 7 considerando estos· pesos como fuerzas' paralelas, .podrémos· determinar las: coorde¡;¡adas XI' X ,11 del punto de: aplícacioll de su resultante,,- a~ c~al ~e 1" llama tambíen centra d~ las: fuerxas. paralelas., por medio de las ecuaciones (d),.(e), (f) dd (§ 259) • . Sí espresamoS' por m' , m"; mil, Q.:tc. las masas- que ~orre5ponden á 105 pe'sos, P, Pi" 1?/~, &c. y suponemos que los .pUntos· no· se hallan tan dÍstantes entre sí, que tengamos ql}e at€fld,eF á: la! varia.ereo de la fuer¡.a, _de la gravedad 7 q).1.e, e~presarémos por g l. tenp rélllos (263. esc.} P=mg 1 :pr~mrg~ P"-l1¡,lg; b'c~ Lu;ego si ~USAHlí~o~e~l_ vez. ~ ~ ~P):;,; P:1 &c~

rlll.


_ • . ES'TÁTrCA.

,

18

i

eStos valores en dichas ecuaciones (d,) , (e), (f) y su~ . pri'mi'mos, la g, que resulta comun en todos los tér.; , minos del numerador y denominador , tendrémos mx+m'x' +m"",II+&c ' " . . {g) 1 , m + m' + mil +&:c I

mz+m'z'+m"z"+&c Z- ' , (h) , m + m' + m." +&c

mu +m'u' +rr!'u"+&c ('). I m + :m' -1- mil +&c ' , r - Algunas veces se emplea una notacion mas CG~­ ,moda ecuaciones ~ yes la si. ; . para representar estas gUlente; . ~ (mx) )~ ~ (mz) < ~ (mu) . u-

\

!i;,= ~~m) (k), z~'= ~(m) (l),u,= ~(m) (ll)._

espresando el-carácter'~ , que es la stgma ó S mayúscúla griega, 'una suma de cantidades de la misma f0rma que la que está t:omp'rendida en el paréntesis. : Cuando 'se aplican estas fórrrl1l'1as para hallar el centro de gra>:edad de toaa la masa de un (:uerpo, eñtónces .es .preCiso .considerar cada 71w'téculo Ó par~ , tkuta de . por sí; 'J en este ·caso ·en vez de la canti.: dad m, debe ponerse :dm, para espresar el Umite de las pequeñas partes en que se supone di vidida la roa. sa ó la diferenci~l de la masa: en (:uyo caSQ la ~ que representaba una sUlna :de €antidadas finitas, espre. sará ahora una suma -dediferéncíales, y por lo mis- ' m~ se espresará con el signo integral f. Por lo que las ' tres ¡iltimas ecua0Íon es, se , 11'05 . -, ~ f· (xdm' f. (zdm) convertIranen·x.I J d ) {m); z,= --- d' (n); ,·C m ¡.( 1ft) " ( ) u,-f·(udm) J(d ) O. I

"

In

\

Las cuales' 'nos dicen en general que para tener I

I

,

,


182

lMtr.-Á'1'IeA • .

t~ ,afsMnc:ia '~fl ,c~ntro de .grave}.a,d, a~ u.E, , cu~r¡p~" H.:¡.

u~.;.~an~" es n.e.c~sario rJ.~ulfipticar u,nQ ..de tos element~s { Ó moté,c;.uJas }?¡q~ ,t 1f ,díS,f,mciq,á est¡ pi:,!"? é i1!!egrfl!J

en tolJa la estemzon del cuerpo: cqn ,lo cuaL se tenara la suma de los mel'r¡e.I]!,oj¿! e'iJil's elimeJi.to~' ;'::FN.iespues será necesar.io div'iair;'PQt- la integ1-!~t de ~Qr10! los elemento¡ , que es la mas F d!{ ~pdo, ~l , cl~~rpo. pe !;!SÚS ecu~~~o[l~s_2 ()lo. s,t~~ tlin 'las-<i;{1s p rimera s, si se supone , q.t.¡.e to.d~Ja's lUll,5~Q se- hallan en un mismo. plano. ; y so.lo."se t~ndr á necesidad de la primera si ro~i1s -~:le\ f¡all~n~p 'lín'ea r ~cta, ~ Ó estan de tal mo.do. . tiísp n.e stas, que to.da~,e b sis téma se p.LJ.~~a Ir~,dLJ.cir ;í .. partr s ?,f uyo.g ,;~mr,g~ d tt ,gFHeAad stz· 1ii.dle~ en Hn~~ r~c;t~, '. -. _,t,.:::' '1 '[ ;.. ~ .dJcm ' ; En vez, de f.(dm) p,odernos poner ~1. ma~>'1J:'5h~ cuerpo '1 ue. e,spresaremo.s pOL' .M ; Y q Ultap do el dlvi~pr. ln Las ,~c}ta~io!~~~ 'ailted or.es ,.. ~~:-COllv~rt.trá~.: en \ Ntx/~f. ~dm) Oi), M;IZ, - [.(Z,'d17ir ('q ! ; M~,= ¡'~1f¿d;!z ), 0r ); ~~~) Ito.S: ~ke l1 q~l ~J l,:: 9,l!!Pí. ¡.t~ 1fr), ~YfJ:~:) fQ , mHl!~p1icadll. p'Qr ~ tlistan,cjfle.! :' ce~t,rQ ,dP,:pT;~rl'" v:d.' iita Ul} p}a~o" a . :q,n~ ¡~n,eql" o q, ¡ f.m,PlfPtP . '!;'i.f.íi i~tlar á.t~ Sf.¡.¡na 4~ t.o ~os to,s lJ1io~!f~5 0S ~q,e, ~a~q '1fna P; !as pm;tícut~s: o mo~~cut as 4~1 f ,t!e}l0 por su 4js.j~ t c:nfia.;, a} 111isl1~9 plqn,o 1- 4- la 11JJJ11lf'IOn~f ,9..; qt !p'Ür :) .r11:.0 pU1?tQ.

__ .

• "

é....

'T

5~"

r .'~ "

~

,,~ '

máqul1.W,s. J' ~ ~ .~; , "d , , , .. 1o o _~71 g~ llama.!} 1páquinlls, IQs_.~d~-s gCl e. S$.,~!11")'~ plean pat~ ~ac,er que las fu~qa~ .op,rt;n sO,b t e¡ P'l;ll1 ~S ~ que se hallan fÜ,e ra de su direccjop;, La.fu.~r;za .;q ~e, li~ " ",p~if a la ¡.páqu¡9q. s~ llama pqtem;ia 7 y el C\l~¡rcP0 que la potencia debe poner ' en equilibrio, la re~ ~istenc; i[f. Las máq¡.¡.ina s ~e dividt;!l, en sirr>pt~s ·y qq1?1lj? puestps: Las prjme ras S'O l} siete) sabeF: La cueraa P 7J'I úquina funiculqr , ~a palanca, la poLea ó garrr4~ ,¡¡ha , él torno "el planO ind inadp" , lq rosca '1_tg cuña, L as' compuestas r esul ti.l'IJ de la 'é on:bina,~ioii . de ~as sim¡:>!~s ? y. plJ ~d~!1 g !r ¡IB!Y Y.~rJa~~,s. _ 1

-'''-¡.le las

ª

ª

es


.

)." ~ ' ,\, . '".. J.'l- ,,._;, '. ..,.,j, ~ .~_~.) f.;:.~neE ,'équitibniria ~n

~ .:.J/~'

·la maroma. ~ p

L

:;

(.'Z,,'ZOG.~·~~ llama tharomli40 máquina funic;tlm-, :í aqúeHal f!:11 JfUe. solo se~einplean cu~rdas pal¡;a,sgstener R~s(;>s.;? ,6 para ' cpmrar.eS1ar. .IlJuchas fuerz:a'S. _ ;'vr,Eádo que 'Vamos a.deei'r l supondrémos las ' cuerdas. S*H.kgl'aveqad y , lieduddas" á -5Lis- ejes, ,11(!)$ qué en -,es,t¡é:,o~s,(!) ;¡¡ettán. unaSJí:neas p'erfectam.eHte flexi-: bj~s,l .éq1li!~te.lilsibles: .. ,' ., " t" rS.eilltJAT " AF ,AP (fig. 635, tres cuerdas unid(ls p.Qri;niedW~~~lHJ: Hudo,-A; sea. ,T .un pUDtO fijo d·onde, eSJáV~ada' fa:-;AT--¡ F . u-naJuerza< .o pOl:encia aplicada 4-J¡¡,;r,A.JF-:.;::.qiue ha, derlma:m~ne;- en equilih>l1ic:> ,.e1; peso' P, q~1~.:. é1tá:;c01gado nela, AP" y 'pr.opQl.lg;ámonos. 7W1ar, Y¿v;con.dicioneá del:':eqttiliebrio. . ,,- P,are.· !!SU1 ., descomp;obdr-érnos la .fuevzlerAF,. quet r_epr.5!sel'Í.tar,ém~s por:AB-::,.:en .otr-a-s d0S , . Ja;~ur;¡i AV el:da).djr:.e:~iqri de) cprd0ll ~Arr;:;Y' la otra Al\1 dir,ec-' taxnent.e¡ @ ,pu'e sta a'¡ l'pese",J~ : que exije q.ue:las: tres c<ú.e'r:~1l:~stéJl:e¡;¡ un, lnismc:y¡pIano. Ahora' ~ la fuerza, 4'f,f,1~dá.ná destruida' p.o J:a resisteneia .deb.punto fijo ,.'r¡ Y'tr~p'..res.entará hLp.fesion ejercida~' seh>;¡:e eli~ho~ ¡mnrto ; C@{'ló, q,úe..es,J.o'''[nismo., .esta será- a~ :tensio1i.T~ de ·l~~errla. ATo,;, y ta-fúh.za .AlY1 será 'la:::c¡:ue €l.ebe.', r¡:í.. seJ.'.{ ig,y~baLipé.so. ,e~)ebca:so del eq ~ili:bri1>-;' luego ' se) tlilüdltá :.F:¡1i':JI;;:AB0':M:A1L;?tpero (244') 'en este cast> eada~fU!eqza; ..está.,J. esp'.Fesadá, 'por el ;senp 'did án-' . . {"'_ ....... 1J1,g,<,lQ;,.I;!l!le e1tQr~u, la.s.¡dli:Fe.c:clOues el,e' las ~otl1as dos; Juego las condiciones del etftiiJíbr!o :\1endiálil" espre- . sadas,'P.?bF~¡P:T::::seru?~:S:em·'PAF:seFl' FAP. , . ~'z7"i ::; ~~ lá:cuerda ,T.AF (fig. n64) "pasar,por un ani- ~ lI.o Ó osoitija;;, ;. arada aJ., ?!st,nemo de la" ClO'.eJ;.da 'AP,pJj.r¡¡. qÚl.e!Jba!y.a equilibrio se neeesitará adelIJas que La~ dire.ceion,cdeé::pe,so P r di'Úi.d€re,n dos parpes í~li{ttes" el ' áng~lo:TA!R;;.:p@ rq ueLcOffi9 en ~ este eas0::Ia;;dil'eeciou ael .. ·p.es(!) .e:Stá .ig¡Jahnenteá ncli-nada rese'cct0 ' de~ ras ' nos ,(H.lei.~as · AT,'AE;,t'110 hay.~·ning4.f:lli;:raZ'(i)ll"l P-a.ta.~ ,.j.


I

1:8.,4

B5TÁ'T,Itr1l.r

q u,e la sortija corra hácia ningun lado; de donde resulta que .las dos cu"erdas -AT, 'A!F, estarán igualmeme, tirantes y se tendrá . ' F:l?::se,n.TAP=sen.-kTA,F :sen.TAF:: (1. § ;f.6on cor.) ·__ sen;tT&F:zsen.~TAFcosdTAF::l:ZCO'S{~roAF. ; 374 Ahora, si dados dos puntos fijos 'T,F{fig. 6S~, y- la ) onigit ud de una ,eu~rda T AF, at.ad,a al diahos dos pUNtOS, se quisiera determinar el punto 'A len que sé de.t.endr.ia el, peso P, 'C?lglldo de utla sOT'ttja ' que. puede correr libremente por la cuerda: pOI" losdpuntos T, F" 'se tirarían las vérticalesTG., FH , .fhaci'endo centr(i) en los mismos .pUl1to~ con Ull radió ' igu'al 'á la longitud: deola C'ueraa; se determinarian en! las verticales los '!!'UlltOS N, G ;. ~ ¡e1 ¡punto de iBterseccic;m A de las líneas TN , FG , seriá ·el que se pedia; , Porq ue tirando las .horiionta,les NM, GH, 105 \ triángulos· rectángulos TMN,' FGH, ademas:de: te· ner las ,hipotenusas iguales, .p or ser ig;uales.' á la cuerda , /t~enel1 iguales los eatetos MN; OH'; luegQ' , (l. ZTr coro z.O) serán iguales, Y' nos dar<Í!n='el án· gu·lo en JI' igual al en ,pero el ángulo en T=:TNF ) pOI.' alcemos internGs; l~ego el ángulo, en F.::::éJ.TNiI; por lo _q l!I..e el triángulo NAFl es iS<Ílsce!es, y ~ dará AN=AF ,; ahora, el ánguió TAQ T~F \ pot ~czor. respondi.entes; el Q,A'F=GFN, PQÍ' alteri1os 'inter-) nos~. luego el ángulo TAQ=QAF; . luego .ei · p'unw A , deter~iQado de este mo'do " es tal.,cq,üe la -dil'ec- . cJon ,del peso P di:vide en dos partes iguales . el áng"ulo T AF ; luego este será el pURto dende se ¡!etendrá ¡a sor:,.Úja L. Q. D. D., j , ' • ..., G" (Y' • Z7S . AhOl1a obser varémos que cuanllo.. el.-peso 6,· fuerz~. P mantiene en equílibrio,á 'la ~ortíja ;~odemos ~ira"r el.pu,nto de la sortija. que está en(:o'~tacto eon ; la cue,rda , como si fuese un 1i'Unto fijo al cUall están 'aplicadas 1as dos potencias}T,iF, q\le :se -,contrares-' , tan; ·de d.onde se deduce que euando dos ,fuerzas tix:,an de 105 estremos de uria 'cuctda, que está sujeta á un;"punto -fijo ~_ ta pTeSion sobr:e este punto cli:vide en

F,


ESTÁTIC,A.~

,

,

.

18 S·

los '1ilf.YteS 'lgú.alU el WllguÍo rfOr-mado 'por las dos partes ae la Qu7er:da ,- las cua'les están entóllces igualmen-.

=' W

te tirantes-: • .' '2/7'6 ';Jj,hego

cuando dGS fuerzas "se equilibran', pOI! medió de una €uetlfta 'que pasa p6r c0iivexi- ' MM d-e '\un polígono ó ,d e una: 'c,urv~ éua1il uie!a " la pl"esion sobre' el , vérJtJiGe ·ael cuda ~llguto t'e ' divide en

la

dos ,P'ar-J;es ,iguates ;'~ to'(];as las partes de ' ~fI' 'ctwlda se hallan , igülHijnente ' :tirantes)' y. las dos fuerzas son ;,guates. " - ~ • i ' ... : ~ ": " ! f},11 '";SH:potJgarftos ' 'áhóta!; muchos I ~udos unid'os entre.sí por medio de las cuerdas AH, Be, &c. (fig. 66), ·'Y titatl6§· pOF",la~ fue r-'z as' P , Q'>. R , 'S, T; y., 5UpGngamos que e'n ,el ,caso' €le eq tiiFbrio se quiera

averigucw·$¡j.oYéfacion ¡éntre 'dos-fuerzas cualesqui.era det' sistema, v: g. emre p. y,¡:. ''''" , J' Pa.ra, b'rQ " 'ten(ir:émos q UC CGmo el 'sistema se supone en equitibdo' , y 'e Flcadk ilude A, B, C', &c. 501G 'están l'eunidas tres cl:\erdas, señaland6 ' por t, t',./~a,s , fefl,slbnes' respectívas' de' las A;B, BC, y los á'nguI0,s ~ por las letras minúsQ.1:l1as .q ut! .J.lienéñ en los apeos,. .1i"éadrém@s {27 3) es,t-a'S';tr.gs ,proporciones R:r::,:sen:a:sen.b, t:~::sen¡c;.geÍl.d; t':T::se n.e:sen.[, 'l'u'e ÍI1u:1t.iif>lic~das. o.llderradam\nrte (1:. .I '9Ifclan '~ e

~

"

rP:'if::'sea.asenlcsen.e:s,ehü bser;¡.dsenJ,

que"rnéH'lMésta ' la,'-¡:eHlc1o~ pedi'da. ¡."'( • •' 278 JSi "la.s fu'el'z>as ;.Q:;< ~R , S (fig., 67) ~ 'fuesen Uños , pes@'s ', e~ polígono' P$\¡BCT y ellos -=éstarian e,n 'UIt misma plano vertíca.lr~ ..porque e1 -p~nQ ver- . !ICa] PA~:B ' y el ABRC },';tienen comuñ fa reéta AB que n:o ~s:Jyérdcat;, p@r,,,Í:tna '-rai2lon semejante el pla.. n? NI:HtC.,yr.el BCST ''Sór;¡ uno' mistm>, y a,sí suces(v.amen:t:e -si hubiese .ruas •. - .. '" " , 'Ah<ira, <l:os ángulos a, d; Y los, c, j, Q#c>,-t1enen Un ltlísmé senQ , :por ser suEilementos los UllOS de l~s otr@s; lUégo 'simpl~fica:ndo la proporGio~ ~ante. flor ,'-se' telile.r.á P:T. :sefi~ e:serl,b. . ,P rro ,sí per el punto de c~ncurso z de las d'Os ' fUérzas P." T" se tira 1a vertical ~x, resultará e,l án-, 4


t~4 :r¡:S~4'Fle'A.· gu~Q g::-zGS , por alteJ~os int,~rnos" Y '9,P@:!."c.\ E:~n~i~ g,~~e~~~ ~~n.:g'~~~lf.~CA?':'SJl.l'l.,SC:r~selJ.e, ~ ,,\ "1.. ~

y" el ángulo h=zAQ y sen,h=sen.zAQ:;:3§!!.!il~,b i; :'YJ S~sti~~:yenªo !;e;n :yez.",~S! §~tl.eoy, ¡sen.b sq~ ligual:,e? ,en ~ YI:.0,P9TCicw ~l1terio~ ,~se te¡¡¡elJ¡á ~:T,::S~D.g:W€Ii!:.¡h .. .?q :S<;>~o ,!~~ fuet~a1l:IB, ¿¡¿ cest,a,f.Hl1 la J.la~on l ~~ tos s~~0s. ae los áng\,!J.olh q\!1tl forrn;¡. la,:,ot-lffl.:: ~Qn)J,oa: terc,~~~ :~!- ,,;resulta C~44)!q\!.lé\Jp 'Qer-ti'cl(f~)\..,. .,es. ¡ lf! 4i~,

q

r!€~iorA/Je ,

l.-a

~7~ul~a.ríte ~dlJ.s ¡i9S .¡fu~f1.:M,S.l dJ?, "T'~,;;.'/I '

p.or consiguIente tarnlilen lo sérá <;I.e los pe.~@~:;,Qi ~, :.s: l' ~cH;q u~ ..,eargªnd'isl euer.da,s,. y )eql1Jra~e,s1;añ las fuerr-as T. "" ~! ' '.. l 'lb ,;ru" ,, 1 ';o(p;::';~ :: 279 uni',~u~f:d¡ pe§ada se p,ued.e, c0n,~¡;im¡ar::cqt~lOJ u~ h~1(i ~ª:rgado 'de , ul!"4IV~Ir,itu,d .dJ! :p_~~~.ijí,~,~~e~p'&>' d,lS~tIt5~~~~s ep. tO~OI?, §l;1s" p..ul');tos ,1¡y"POll 'CO)ÍlStgJ.l~em,ttl) esté hilo formará un políg,ol\loÁde~~@tQ~ l$(d~s_~oJ~C'}¡ EesoS,':p.e:'l u~.q.9q:eh~j',,ª, :; :--y.: ;eOft¡¡iQje.l1d~ q uedqs ,p,ªsos v9a~. di~~i~l1E'epdpl, ,lb":jr.:í'H vh¡¡.(úeft.d,C! ~~qJ~~~t~ lo~ l~o~ ,:cA~.:p:,oljgppo~,. .J W!"€1'l; llegaado ;.ax ~J!.)hJmfe, eL pqlrgQoo s~ con~ert.irár) enJ ufla. Cw';).·,YJli:i:! !:}!l,e ¡¡t.11,d,a:¡

)r,

eg~. ~~_t~rffi: ~~~ ~~l ~pJ¡j.i;l0J,Me:tbÍtg:it-1,"!.el~ ;.!lI.1.ltJ o~e 2,~ª1~J,11;

las ~9,~ , p~t~9~i:as" ~p1icádas' (~ su) , ~s~r~l'l'I:q¡§! ~r¡,J.k.~ recElp'ne§ lta0!9~nJe9 a .J:sn¡¡:v~uw{¡ip tY Sl_,Pflli;tbp>.1:FJ$l'll

d~' CO¡\S~5se. <;I.~ .~~tªs.' ~S'.tt'4!ngente5 ~e .¡ l:~~~ .pa~:Jil

,una recta ('w~r~c;¡.l,. ~sj)<} Z pq!llJpr.eJ,llde.r<l!.~~ : S;.~l1tro de gravedad la cu,~r'A.<L" ,y ..!llé.r,Ó! la ,dll;~~~);Gln;4\!~at r~LL.lJa"flt~ (de. la,s ~os , f.»,e~'Z{élI.s ~ g, ¡;>resion~s iS ue = ~é!..r~ g~,t1 s,??{e 4g.5 _.dos p..uB;t,1ilSI. d:~J!P.poy.o ;L)a ~al~s ,~s.'! ta_ráq ~''+Jll.z0a jny;~rsa si.edQs <s,enos <\..y t!&!sa.;ª-,pgulo$'\ q l!!~ \s!he¡J.dil)e.c~ci9nes tQ~:loÜ.ae-~e0I:l~ ..la yert&:§li.. .:: ! 0, 01 •• ~u~g9J s~ !J.flª ,pote,lllcia; fQbr.aJ\~o,bre ' )i;¡1;~ C,I;l'J!l't~!l~ OJ u!Ja}p¿í.qb~ln~ ~ , p0r irnediOJ de_H:uña(~ cueJ.1<!a'{p~s.l!4.~:" )/:1 en una direccion que no séa ¡;~terttical , "'14¡;(;I¡}~Jitllj.l¡!I.Q~ cOIl,! 1lL:¡!H5áJ ¡Jda.la .áe,~tO:.El ~ d~ 2la pot'eij¡¿;,j¡a .," $.i.n~\ en el ~a.sre ,de -q l'le_la ver.6cal tirad<!- "p0J;)f¡eJ: IHl,nto" de'; cO'f.!~!:!Es0.9.,~..1as, :tangentes' 1€11 ,lID s est¡;~rnQA ~e.J4..r§Ut!.!' , va desCrita poda cuef,da; ~ .divida tl1:dG.s,lIlª,rJe§!lgll.a~1 les ,c'l 4f1~ªlo J Qt:maao" por .dic,has tang_e ~1 t~s. '" 1 , .~8:0.:!. íl!la .•cúer4cu;pes,9ila" 110 p.ued¡;. ~ iéWlf~ ... ~¿Wt!

de

r

¡


~$TÁTI.c_4 ~ I87t e~91tam~nt~ . tiranJe , /i1ló en .ullQ r..d~1,,~ccion . verp ~caA. {,: :rorque . df!~po~l}P'1q..iendo el. p"c:&p~ ~e ~\l:: .\cuh~a~ eq) d~p; iu~rza~ '~íf~ft~J~~?te o.p\l(}s!a? ,~·.las gos P.9t f&~",;) c~s, qtU~. j4:· Jl~g~.t:l. ;:.t!.r~gte~ y,J¡¡' :l.ql~!Elt¡enen. en .e9.,.lJ};:!

liV:i.o "~o dicho ·. P,~fr,9 . ~stá. r~,p,r~sertag,o (2_44~. por ,~! : s!!~~ ~de.~ ~1~g~¡P(.q'l:l,e..fo~~n.an :LaA 40s.f,Rpte{lcias 5,. ! ! Cpll"1.o.¡e1 pt::so ,de- la ,, ~uer9.a . ,Fl9:,pufflf'! jamas seF.rflJ" 19.,) ~ s(!:sig4e.:.q~f.. ~e)t-~ego si~m~re ,!,el1~rá; ~lgul] a; :-. lq,r; " ,y: RO! 't,€J~§jgNi~q;te ri U.fl~1J..; . e..J . -ª~gu~q~ po.drá.: lJ$d gar á' 'valér dos r.ectO'~ . : '?< .XL).

;"'C .. .:_ _

t ~.f...'J ·v

...

~1

.,.~>!'j . ,," <:_

• (A(t.JG

!,)

·Dv ..~;J :.~

~=i e~ pe lG:,p'all!}'Jgg. ,;I~gta11''t,Q , lr0?HfJna.

~~.. ~

,~~.? Iq

,T

~

1 :..,:,

·l~:

......... .., ~ _ • ... .,. .... a< r r ......... ':i, ... !1 ~..,; ~PI~ .1. <L¡tcPJ!~fl.C{J~ ~~~l:m.a '.Y~~'~' ó/ b'¡¡.rpi )nttexigl~,,~ •

.?,

:'1

Jo

1:1

~

.. "

t;.J.) ...

...:

....

.".\

r§ct~ 0 . S!ur~~~í. g\:!Y:0~ {IlP.Y~ml~~: h.~d.e1 §er ~d~ t~J~;'1 t c~R..rí el rededpfAe 'un p:Ump fij0 ¡ dl~ ~ ¡;e,¡llªQla Pf~t~.~ de qP!JYo, hip@!~g~io. :,,-Q..simJ!.~~gtctf!les~qp~.xo' ''r:;..t..- ,,::¡ ~:\ JYY ±!.~lap'éa, (fi.g •. ~.8) !1;ty,J1;~ª~C9~~~) qu;e: so~­

!a

~i4~~~f: ?.á:· fi:iLRef i~t~.., PC!~enc!a !:'9 {'.!I.~~~ J?;)~ !,~~is.=!) t~cléLo pesQ-: R-:; rYJ C}l a;P9Y~ Yo lfitaJ1ap :.el ag9J.-9.-

ea~.~ ;.e~t.r:e~ la~:; ~~5!J~~

iJ.j:

et .p.t\~p;~ -:l~,F.a:.1,9P~~ L.~~i;~I}:

pmnera ,espee-},q-;?tl'!Ua:l4do ~1·, aJ¡JoY9;;~¡;t.a ~rr~ el ~str~~~1 COt,fig'!P9 1 ,..3, ~.t}l.tsg,.R . está, ~n(i:e \c eJ.. a pbyo ..Y :.l a

.p.m~n~i~ .,

l~ 1>Ri:t¡tm~a . se llll,i!l¡t..::: g,~ ~;]~g!!fl4.a:.~sPEc-ieh Y .rcl~aQdo~ est<!.q,dg", e~ apo;Y!?f.eq eA. ~~tr_e~«?, la"p5ltll tl(í19 .a se .1}!11.1f!. snt!,e, el-Y€SC!;:-,!!.f. .ele&PI'!y'0v'; ~a;;.p~.~\ ¡~gsa 5!S de tercert;J., ,fspecle ~n.g. ,7. 0).; .,' :'¡'. , 1 ( ,VI'..," ._ . riZ:~ ~~ P~rª- :9.~H.aJJa~ s_onflJci9n~s .c!~~ffi uiJibf..i..().'ie~ c~c!a :l:ln~ de,le~t:~1! ,~.s,B.f!ge.§ de p'¡lI,!rW~:;lJ sup.qpg~qWs-!, Ql1Jl. :lM;fig. 70 :S;~ª 'Uf.l~, lí'(;)tencj~~A.~f;;. sQ~tie~e~ el !pe~o'; l\p01' medio ~e !p. .B~!ª,-n<;~ a-;B,~ís:'tYQ tPuntqAe~ ~p,.qy~n e~tá ~!1_ C. ~}l,l?.9ºga~"ps la, pgt~nda t\apJis~qa ev. ,<¡1m p.U,nto K, do!u!e" su diFeccion ~!lsuen~G.jJ~ 'Y~~ti~\, e,al ii~ada po!,_ e~ centro de gravedaq., ge! p.e~o . ¡J{; s tlte~,~ ~a r~c\<tY~.Jllpl!.I,!to 9.:e ~poyo;, tómese..l'la-;-p-~J'l' . te KH para representar la - pot~n~ia P,,' 'y ~ OPIi~ ! ell,a como diagbJl'al y lal¡. di¡;ec,ci9!H~l!. KD,. Ke, cor¡sJ ttllyase el paraleló gramo . DHEK. t • A,ho!-,a , ~_.q, .y.~~.~e la fuer~~ f. se.• pqª~~n..~_u1th. l .

,


:1

J8'S EST'ÁTIC.A. tuir-(z43 ese.) las-dos KE, liD; y'camo la KE que:':' 'd¡trá destruida por l'á ,resistencia:ael ap,oyo, y la, KD ,está directamente '6pues1'a al Beso R;' ,d eberá serli l ,igual en el caso del e"luHibdo. i'fómesé ahora KG= RI}, Y tírese la GE '; de donde ,Tes uTta:rá , por ser KG igl:ial y paralelá .á HE, que la figura ' KHEG será ' un paraJelógramo; luego RE 'lue es ¡la carga del ' a'P0Yo, es ,a l misma tiempo la re~111~ame.de las dos l fuerzas P ; R; yen virtud 'de 10, espuesto (244) será \ P:R::sen.CKR;sen.CKP. ~ • '3 Pero si desde el ,p unto e tirama5 las CL, CM, perpendicu,l ares .á 'tas: <iirecciones' de las fuer·zas R y P, ,r~sulta_ que est~s eS'presarán los senos de los ,án. gúlos CKR, CKP; ,.Con ielaciow a'l ibismo radio' eK; luego se~endráP:R.::C;v.~}_:Jo que ma~fiesta que ' la pot.,?ncza y' res:s'tencza estan' .ell ruzon .znver.sa de ) las distancias ,de-sus ·ilirecdones al pu;ntD de apoyo. ) - 'Como ;oda 'fuerza 's e p!le.e:e considerar aplíeada; en -cualq uier 'punto ~e -su direcCloa, pódrém0s su':~ pane); que .P 'obra en M, y R 'é n L , yen vez de la palanc;a r'e ita ACBGpodrémós cOflsilde,fat la¡ pala~' cá angulilf 'LCM que , produce el '~siBo efecto. ' 283 -La pFDp0:tiewn P:R::GL:CM;es lo mismó qii.le KH: K~E; :CL;CM, J manifi~sta que las dos líneas.- KM, HE; son proporciona:les-á 'las eL, CM. ' A:[ ora ,' corñd ¡los' árYgúlos M, L, dell cuadrilátero ¡ CMK~ s,o n rectos{;:el angulo K séra -s u Flemento del C,Jpe'i o el áag·ulo K 'es ,tambiéó sflfplemento del .án, g'ulo KBE; ~u'ego el 'á hgulo ,C=KHEi.; luego '51 se tiTa la M-L, ' -lbs tÑál1g.ufos 'CMIJj, ME, seran- se· mejantes (l. 330) ; ~ .o.arán HE:KE::CM:ML.; y lla.' mando e la carga de,l -apoyo; se tendráR:C::CM:ML, ó P:R:C:;CL:,CM:MoL~; 10 que- manipesta- "1ue la: ,poténciá, el péso y carga del aF0y,b, :se pueden ,es- ' presar- respectivamente por 1'os lados CL ,CM, ML, ' del triángu,k> CML. ' '284 Si la palanca es rectÍl (fig. 6~), Y las direcciones PB, RA , de la , flotel'lcia -y pesó son ¡la,rale- ' las) entónces en vez de las perpendiculares Cy.., e p, '


·, 189 se podrán' sustituir l-as oblícuas é brazos de patallpa AC, CB, que les son proporcioaales (1. 331); por 19 que en este caso la potencia y peso está'n en razon inversa de sus bl"azos de palancá. Así, para que la potencia esté favorecid~ , se ~eberá procurar qu~ su ' IDrazo de palanca BC sea ma~or que el brazo CA; si , los brazos son iguales, la potenCia y peso deberán ser iguares; y si \ el brazo de palanca de la potencia fuese ~enor que ,e! del peso, se necesitada siempre una p01(!fleia mayor que el peso 'que se , queria equ~librar r 285 En la palanca de segunda especie (fig. 69), siempre está favorecida la potencia; p0rq ue el brazo de palanca CD á .que 'se aplica la: pdtencia', siempre será mayor qu~ el CB á que se aplica la rc;;sisten¡;ia; y si la distancia de esta al punto de apoyo fuese nula, tambien 10 deberia ser la fuerz~ } como en efect0 debe verificarse; porque entónces el peso está sostenido. por. 'el aFoyo Y !lO por la potenciar _. . 276 Por esta~· mismas tazones, ~n la palanca de tercera especie (fig. 70), sien!pre está p,erjudicada la potencia. Por)o cual sólo se aplica con ventaja ' ,en los telares, donde las resistencias son pequeñas:> ,y con facilidad las puede poner en inovimien~o d ,tejedor con sgs pies. 287 En la: palanca hemQs prescindido de su p~~ ~o, ; si, se quiere atender á él, sé le deberá considerar como una fuerza aplicada, verticalmente á' su. centrp d~ gtaved;¡d, y considerar su momelit0 como ~i ,fuera : una verdadera: fuerza. _ . 288 Se-llama batanza ó peso de cruz, á una peI~n~cl d'e primera espeei," de brazos igualeS') qu~ $lrve para pesar ~as mercancías; la: palaQc~ .{iR (tig. 72) )' se llama la cr~z; en, su pUl~to medio E está atra'vesada por un eje perpendicula~ que se llama fie~, y entra en lo~ ojos de las ,armas EM, q ue ~e }Ia~a la at~oba, y_es la que, sostiene la máquina ¡ el fiel termina 1'01" la par¡te jnferiQI en un tOl'te mas ESTÁTICA.

I


, '1'90

.

·l!:STÁ'Í'íCÁ.

.

.

. •

.

:ó menos aguao, segun se destine la balanza pa:r'á. 'pesar en p~queño ¡¡¡ en grande; por entre las a~ mas p.a§a una ie.ngMta ,xz p~rpe~aicular á la palá-d'ca, la cual cuartdo queda dentro de la alcooa lDáni~ ·fiesta q:ue la palanca "esta ho'rhoflta'l; de los estr~­ 'mos A, B, de la pa'lanca, cuelgan por tnedio ' ir-es cordones dós platillos G, D; ' en el uno v"g. en se coloc~n las pesas conocidas de á ~ibr¡¡, do~ , libras, media libra b'G., yen el otro se va/echandO el géne'r o . ó merc<l'ncía: hásta que se equiliara con la pesa; y la lengüeta con su desvío hácia ,la ,derecha ó hácia la izquierda, ó quedando en la alcoba, maniliesta que falta género, que está eor:ria(}, ' como se dice vulga'r men'te, ó q U lo! está en cája ' en fiel. \" - . Iq , ' 289 La l'oma;¡a (fig. 73)'tambien es una palanch AB éle'primera especie, y solo se diferencia de la ba.lanza en que el riel E está inmediato á uno d'é sus ·estr,emos ; en el es;remo A ,ha y un garfio C donde se cuel~a eJ p~so R, Y á lo largo del brazo mayor, qtle está· co"n las divisiones de 'arrobas ;' t~bras, b'e. :segu,n la magnitud de ra rmñana, (erre por medio de una argolla un peso consta'nte P, c;¡,u-e se Halná pilOn; Y la division en que se pOBe el pilon para que la ro·' maHa quede en caja , ó· un po¡¡:o, cerrida (qa'e es 9olno se acostumbra) señala el número de a-rrobas í 'li~ , bras &c. que pesa d género R. , . Comunmeme tienen dos div;isiones las r(¡manis: ·l a una correspondiente á la posicion. qUe tieñe a'h1ira-, que ·se ·llama por lo mayor; y la otra cua-nd~ se euelfia la romana ,del garfio k, que se llama por to meilOf:

ae

e,

i

o'

.

.

.

,

~

,

~

De la polea ó garrucha, y

.

de la'S tróculas y potipastros, - .

; 290' Se llama polea Ó garrucha á un cilindro po: co g'ru<;:so, en ellya superhCie e$terior hay una' es; pecie de g arganta ó earr ir qué. se ·llama e'ajera, ·por. 'donde pasa una cuerda, ,á cuyos estremes se aplica~ la potenda y l~ re-sistencia.;


ESTÁ'li'I'CA.

_

_

191

- :: ' _~l éj~ de la d~.la: s'l!1petficie

.polea sa'le uh p0CO poniinbos~ lados. de la.s dos.'caras, y se apoya en un arrmazpn'CO (fig. H), de modo qqe pueaa jirar COD' toda ' !il:lC:lr,taa. ~, . " .. ~. . ' .: " $e !llUecre hacer uso de'-}a ' polea ,rile' des drs'tintos mod0s :.6 e'stl!udo fijo .eÜ:e.ntro, como se ve '(fig. 74), en cuyo caso la polca es fi,ja- Ó' inmóvil, y 1~ poten::;. cia y resistencia obran. en direcciones t·angentes - á la' p'o lea; ~ó : se a plica fa tesisténcia al centro de .la' polca ', y. la. potend!! á' uñ .estl'emo. de lá cU'erda cuyo otro estremo está fijo ~ y ' se .llama polea móvil; que estáÍ 'representa(la per la (liig. 75). . . ,, '29 1 .Para avedg.úar las condiciodes de equilibrio en la polea fija, tirarémos los radies Cp, Cr {fig. 74);') y como p0dtémos supencr(-240) que.'p obra en p y R: r, la palanca angularpCr, dará (§282') P:R::Cr:Cp; y;como c,r::::Gp, }'lcg' í'ad'¡os 1 se tendrá P=R ; luego en ·ta polea fija, para. que' haya eq'lfitibrio; es , n"eces~ río que. la potencia sea' ig¡.H~t . á Va resístencia; mas' á pesar _(hr '~sto 'hoS propo'fuiona la ventaja de poder variar la dirección de la . fuerza qtie·se. ha de\ emplear.: ( ' 292" . :Para averiguar la· carg.a que sufre el Gentro C, observarémos que deb.e ser la resultante de fas dos fuerzas P. y R.; ;J cOglO estas ~o'l~ i'gUáles, , direcdo.n .de su re·sultante·, que d¡:be pasa:r púr e! pl.ilnto de concurso O ,.de las RrO, PpO 'y' ' por el punto fij.o C , paTa ~ue pueda s7r destruida por él, div.idirá.(2?3) en des' p~rtes iguales" al ~ngLllp POR;' .lUegO':' Sl espresamos .dICha resu~tante pbr ''R'; 'ten:. ~ré~los (§ 24'4) P:R~::sen.([;OR:sen.POR; p~ro si se tira ~ la cuerda pr? .s erá "d ¡J~~gulo CO~qcr.R, por ser ambos. compl'elne¡:¡tos- del r~O '; y- como- por' ser tecto§"los.ángulos Cp.O;'c.:rO,.el á[Jgulo pOn!'s (1. 3 10) suplemento del PÜ", resultará (1. § 459 cor.)' · .. . sen.pOr=se¡:¡~pC,, ; ~. r •• J::; ',' " iue~o P:R'::se!il.C~p:sen.:~Crl:Cp:pr; ~sto .es>z ·l c/pf!.fenc¡a es á la p¡"eSlOn que siifre et centro fiJO', 'corn o' d radio de la poJea es á- tq.:C'ue1·da del are,! q!le á~, .. 'Za el cardan. .

en

la


192 ESTÁTICA. 293 P,a ra determinar las c0ndiciones de equili- . brío en la polea móvil (fig. 75), observarérnos que siendo ,P la potencia y R el peso, ' ~enemos que en el caso áe equilibrio r<!presema aquí R lo que en la polea fija espresaba la,carga ó presion que su~ , , fria,' el \celltr,o de la polea; por lo que la condi• . cion 4e equilibrio sera.

'P:R::CS:SO; . \ . esto es, que en la potea móvi~ la potenci'rJ es á la

t'esistencia, como el radío de la po·tea es 4·la cuerda dd arco que abraza d cardan. , 294 Si los cordones (fig. 76) son parale10.s, la cuerda SO s~rá el Giiámetro, y la proporcion ante~ rior dará R=zP; de modo que una fuerza dada)

P se equilibra con u·na .doble

~.

Si el arco SDO (fig. 75) fuese la sesta parte de la \ circunferencia, ' la clierda SQ seria igual al ra"; dio CS, y la potencia resllltarii1, igual con la re~ sistencia ; si este arco disminuyese, la fuerza P se.ria mayor que la res~steo.cia R, de manera que la , máq uiHa perj lldicaria á l,a P?tencia. . 295 Conociendo la relacion de 'la potencia á la ' r.esislencia en la polea móvil, es fácil hallar esta felacion en una ,combina,cion cualquiera de estos dos géneros dé poleas. Y cuando tiene!). la disposicion que manifiesta la (fig. 77) se deduce que la potencia P es á la resistencia R, como el producto de los radios AB, A~P/, Al/Bit, de las poleas, es al producto , de las cue¡:d¡¡.s de los, arcos BC " B'C'"B"CIf; l(¡ P:R::ABxA'B'xA"B":BCxB'C'xB"C". ' 296 Una reunion cualquiera de poleas fijas 6 m6yiles, forman lo que $e llama t,"ocutas, polipastros Q,aparejos. La que está. representada en, la (lig. 18) es la mas ventajosa para la potl!o6ia. - , La trócula (li g, 79) está fOJ;'mada de tres poleas fijas á unas áiismas ar~as OY, y de otras a~ma~ móviles AK que tiene!). fijas á eH,as otras tantas poleas. Una misma cuerda las aeraza á todas pasando alternativamente de una polea "de las armas tijas á


lj:ST.~T}tl4a

9:3¡

una de las armas móviles; esta cuerda esta unida ' Rl?r s.u ' estír~m·{)~Já; !9,s:,ar~jlp"jij~"p. ; tiJ~ potencia] .ss,. apliú al otro esrremo; la r esistell ci.~¡ q p es,! . ~; esta fijo á las arm¡(s ,móviles; yen, este peso R se debe ~qH'!.r~M~Jt g.111f>ss~d.5{, et[~~) g¡,i¡>.w~f -¡trllIl᧠y ,elrde lo5I:$' c:~e~q,Aª ,.q:@ l;a,§ ¡¿¡nen, ál!.aq· !pqlC;~& lNas. , " f ¡(o tr~.f!~~ 4§l~~~n~Ji~')'~Clr re1as:i~l) :c ~H.t!fe:.P:. y R ~I} A,~l; C!1§Qa~~ .§~ q¡..~,§!I;\;'~; " GDse.r v.are;¡p,lQ"l-¡ que p!:les fgs c0t,~, ~(¡)~e§¡ ,~EB~ : ~LC";_~9.· Jorf9~n 'J¡?aqe" d.e un¡¡. Jnisl!la, ~l¡ler~<!.6- :.~~j¡J~~ ~ir4f ~ tq.¡;J,.~.§:.1~Jn;¡isl1jla }.e~slol1 , etL."e.~

s~~iq.o€.c!.~, s \1, l{)ñg~t¡ud; porqu e . es ,ic;n posible' q,u ~ ~na, %lJ,erda e§t~ ,deiig!l\ilmente !;sEendid.a; en sus dife~,en.., ~s. panes -si•. h.a . q,e .e,stap en equi1i~l'jo. Luego ,si ~t. ~;scompºi¡l~~!a.rflJ:.~JZ'! R ~ n.. ~~rap ~,!pta~ fuerzas ,p.a: ¡¡.í11~l.í1.s~lé !gui!;l~ ~omq c,or.qpq.~ s, hay~ empleadgs,,,,en sostener este, peso, es decir ; en ~eis fue r zqs ~dicigi­

\!~~ ¡s~glIlJJQs , <l.o:/.'J!.gn~s ~13¡¡y;,*_'f:D . E/B', . F~'~:')·.l.&é~

§stas 'eompon,eptes ,tgu¡i>les r hs.F,r~s~-,in las ~eI}pio n~:l de est!)s"eer dol1 €s.¡.; o> 1, ''''ti ~ ,. '" ,< n"'" , " -~I r~$) eStos ~e};;-':t GQr.do'~ e¿ es ti;a'cÍo . . ",.~ 9.~:s.a.., . " \a;'~0.de Á ~ "11 ~<..J 1 ~ 1. 'AJ el sen~tiAA q.:e. ~p: ~]!~samez~~ory:'nna fue~z ~ igual F~, ~e ,m0d§l; ql:!~ ~l Go.J!ion R:a ~sta ~It el m;tsll1or ~as,q ~q ~le si ' s~f sl;tª'p~ndje-&..e ~ en slt); estr€l'Il0' infet:ior-'-Bf1, _peso igu4l .' ~_)'~,K; J>~~~ el .mi§.fIlo:i~or cLq~ .está tira,dp> _e~u . sentidq '~on:trál'Ío l p0r la fut!f7.~ P ,; } uegg se r;iene p~.: ];a f;l ,eqp~hbrj o 11=;:=~~, ó -A=6P': , . '~';_ " P.<:>r §Ofl§!gl,l,iente,.la p~ ~eq~ia f se e!;J.lail.i!)~a..s <?n yna resist~p,cia ,iglla,.lJá 6 ~L,Abpra, en cualg u jef. o~r~ W!QquJªíBJ.PBuep~\lAe 1,a J¡Il,\.sm5l!. qlap<:,r'a ., y q~ e. filt! , 9,~ diferencIe de esta sino po"'r el.,JlÍl}U\!,r:Q de la:1.. .P!?~ta~í d~du~~.¡¡tqJ o~i_P,c:¡!, .wp. p~oced ~g¡\~~P2 setllej¡¡,?te, ~ que l;g ¡pQtelleia, eS.; 4.; fa ,t"eSi;~enci'f; ~.1f ~tl, C;qSO de \ ~qy.P~ ~I·~q " como la u!,tclad e~, al numero d~ ~ordo!les q~ettel"11JP(lf1J j

..1,

\.1

,

tm" las- pol?~'s, de tas, arm~s .~nR'¡J!J~swY ~o!lSidm~I" , cOI1~p~~mpleád.ós , en, sostenef'

en

que se lw,edell í41 ~,esi8t?llci.a;


:..

1

c:'

,

Del ' torno, de Jas crv.é~as !'dentaiJás ,rdet -é"ié • Y deJa cábrim .' I ,b,' ,

t

,

Ó

lLJ

g(~tQ}l

. :tr, \: li ...Jlr! ::: 297 -: Se trama tlfrho é'n genera1 <f¡ 'uria rueda · atta~ -j-

.~

~..1

:.. ..

.:.:J ..1!J

" ~ ¡...~ :'Jv!I1 "'::::~ll.,¡.·

vesada perpendieula.r~ente- por ):lO:, ei1irnd¡r€S , :'¡á~yo¿' eStremos descansarr sóei1e cl.os apóycis-Ci; 'y:G (fig. ,80); eñ esta máquina tin-a 'potencia pJ apl~~~da ~li una' ai~ ¡feccion tangenteJá la! dreuFlfere!Íci-a-d€. la lr.ueda)·íSfI neva 1tras sí á diepa; cil'cül1ferenci~; ;y áJ eili'naro que éstá sólidamente unido-á ·ella; y óblig~ndoles ,á, , dar,) vueltas ar rededor del eje ~de1 ciHndr0, es ~éausa,·d6 qqe 'se :vayan arrollandol sucesivam,ente' alr red€;doD , d~l cilin~ro las diferent~s" partes de ' la' lIía~oma DQ, á la cual está a·tadoc el peso que se i'quiet.e ele:val' Ó, acercar al cilindro. . 'h -,-, , O' 'G .' En algunas ocasi'ofles no se' hace 'lilso de la rueda: para 'h acer que dé-vúe!tas el ciÍinaro·, l sÍJiO que s~ colocan perpendicular~enté á su "'eje 'CUfias ,palan:: cas -E á que se a p1it:a la poienci'a , y !¡Jroiluce elhni~. mo efecto que lá rueda'~,0 siéndo mals tfáéi·P s1i< ' fraihs~ porte. En otras lleva ~l cilindro en s·¡js· dos estremos< ~ nas ,cig:ll\,!úas p/~ á ,l~s '! b.ales se ~:p'li~'a~ p~ra. el~mi~z mo fin la potenCIa o '~uerza motriz; y en 'otras se J)o¡;lI~ n unos dientes a ;'CJ pa'ra mover' lá _ru'eoa. '. 29& En cualq lliera de estas disp?siciones se pue.l de cálócar , combinando su acCi0fl con uná ó muchas poleas móviles, ' pará Yev¡l!1tar 'peso~:,=e6mo se 've 'en la (fi§. 81), sUPQdienCl.? que la ,polea D J!epresent~ la secc-ion de un torno: _., '" ~;j :, -' " ~ Cuando el eje 'del cilindro esta eh su:uacien ver"' tical, recibe el nombre de (lrgüe Ó 2abrestanve ; comd el de, la (lig. 32). .. ' ., .' <:", 299 En esta m'áquiná (tigs. 80 y 82) se verifica pár.a el equilibúo, que ba ·poMnc¡'{HsOí1. ta resi~tenci'ai como el radio del cilindro es al de la rueda. Porq ue si concebimos la potencia P a plicada en K, y el pe,so R en D, Gomo el eje del cilindFo ps fijo, podemos considerar la seccioll perpendicular al eje


ESTkTicrA.

19;

que l~a'sa!pgr. D uaslad'adá' al'> pl'll11:o G; yen este, casó; tém!.re-l'IÍQsGen-G!<Julfi<lJ pa1lal'lea en la <iJ. ue J la J ¡DoteRci<i es·tá Jal~l~¿ad!a á ~'tlna dis~~qc.ia del~ punto cl.e;, apoyo., q ue ~ es ,:''Iftl 'lp1il.i'ltrGl del 'eje ; ' jIguafi; COIl el ra:dll?~ de la ..l. que' esprésaremoS! " .'0./ . .enCla . Y' b J;ueUla p.pOillJ!_,. y 1'a resls1i ora;..' r-á. á" tlña¡distane1a del plillltp de a poyo igaal al f adio del cil4n¡{!ro que 'espresaremos :por lu,ego ·~i82) se tendrá P:RnT.:R{,.que es .bo '<¿. ·D. D. _", l."u . .' -~ 30b:>.a eU1tn'cl.d ,se cGlIlbinar-el tor,no c0u)ii:uparejo;. trÓcU'la::Jó.Jpoli~a:5tro, rescrl'ta la máq llÍna (~g. 8'32), que se /l'laliraGe.ttbri4~ S-la~cual' s'e elÍlpiea ~para le,vantar ma" las coriS'idt}tabl~~·; CQlU'0l ca:ñones, &c. e.uyas cohdi,. ctones=ge !é'qui!ibtio. 5611: q ue)a potencia s,ea :á· id. re" s-í:§Cencias,": ~_omo ~l radio ' del eje -il'e~ terno es á tantas ' lIece~ et Nidio' d; ' la' "úeda'r ' C071l!> :-cor,dones' termina.n

r,

e'fMái polta! --.fflórdil:es. c.,,' -

-

"

- G') bU€gd' aum~ritand6~el

R11mer.o de, cordones ó el rádio.J.e-l1a~ rta~d:a.., Ó. el.isunilluyenao el del .cilindro, se puede ;atunelltar todo'lIo que' s~" qtliera la ventaja de la' PQterteia• .,. ' . _ , 3eI ' ·Efl',UFl sistema de tornos cdlocados como .r.epresenta la (l1g. 84),.la ¡rote·o cia.P aplicada á la rue~ d'a'\Ap' ;" Íi.llt:le mover al cili'ndro. Be que comlinica el· mQ~imiento:¡á, U'~a :r ueda~ AI'D/~ " por ·una 'cl,l'erda BA /., Esta rueda ,A'D' hace mover al cilindro GB /, al cual está unida uha cuerda,B'A" ,,'Y a.sí s ucesi vamente has~ ta el úl~imo cilindro, que está ,cargado con la resis,tencia~ ~. L!!s' €ondidones "del túplilibri0 son .-.;:: J_

,p;f}t::oB,xbIB'xO"<B.(~ OAxO..'NxO'rA'/.

EstO',es , 'la po'tencia. es:-:-ád n r,esütencia ,1 ~o.nW e& producto,,4.~ ~os-,~ad,ios de J os cilindros .és ff:k:f!J·pd ucto de los ra~tos ,de-ilas wuet:J;a'S J, _ ,; ¡ '", sO.2 ,' S-e llama' 'rueda',dentada. á mi 'cíli¡;¡dro ) nóvil al' l'ededot- ~e un eje, o/ en letlyá' slilperficie .tieªl! jJn o~ filetes ó dientesc; e~tos' engranan, Ó engargan~an en ,Jos <]lue (se forman del miSlIlQ mo,d.o~ 'sobre· .0tl'1t ".l'litctd~. dentaqa &c. 800IJe el eje ,le- caGi¡p rue.da d~nt~da sé . adapta, ordin'arianente otra .·; -:q'l1e fdrma cUyrpo C?u. ella, y cu.yQ di;í.metr~ es \mej H))r'; esta r·ueda me.nor

\


1;'96 li:s'1'ÁricA. s'e '1l«1'I:Il-2>} pm,!!", YXá. '5us'~,-diente5 .'ala.k De $.~ dedu'c'elf~~ un sistema de. ·dl'eda-s· deátadas.« ijg. ,815), _ Qo \vieae Jt. serotra; ·cosa..:qll.l'e··un cO.l'lju.nj!\'h<iel tQ:r@~tS • e'omo <rlE:aró,-teDior' ;_y' 10s)p~ñones. reF'Jiest¡nt~n tos ci-¡

cP"rul.r

~iLrdt0s,;de-:.l'acQml:liqací0a ~Pfec.ecLente.•- l~Qf ~Q r-<]);Ij~-lj.~

deduce., .q;c¡'e en las· f'tle.~a$ dentada va. 'E:pQtY¡~i-a1 e~ ~

l,(J. t ejjsi)enl{ja!, como ej 'P.f'oducto·,iie: ),o.s !:a4~q,, 'icl.~. tQ,f; piñones es al de los 'ra#os .de tasí,rt'lldA.t4''''';1 r.,~) .. i {~ ·3·o3q.t. Hll cric 0 gato.es, una ,m·áqui&SluqlJb se ,rige:-

re aU;~:lImq, jy que !lO se diferenci.a1~!1~ljtlq¡~ªte- d~; él. Corrsiste;en una ba;l1Ta AB (lig. 8~~. ~ I:}.t.~..necida.. ae' dient<€s tM una de sus callaS!,. .y ?ilói<d.~m;~l.§~nti-• .cio de su 'longitud; los 'ditntes.'. de,. eata: 'bar::r¡¡, : engJ;Il~) nan con los de un piñon E ~ qúe,se hace gir;ar. s$;lbI:é; u·n eje-'por. medio :de ..tUl ma,'lubrio . CM.#Sffill ~enJ~4;> del' piñon llevan consigo á los d€ J.¡¡, \ I;)~u~~a~) 'Y ~a4:eGj subir al peso que s.e eoloealsobre 1a:' ~1lb.e~1l:}Ád~ es4i bav'ra., ó se sus;po¡:¡cl.e ;en ;su estren¡¡,Q i'ofe.rior,¡ &", este 'peso"es la . reJisrenc~a ;, [la PQten~ja¡f ~~tá ~-ªp.liea:" da al estremo M de la cigüeña ó man"~t..ioI" .lY;rSl1;p0- . RiendliJ ·su direcciOll MC ~arigente ~ ~ l<l( , ci.reunf~I~n­ eia q ue ¡d~scribe este_ésu.em?, e~ , n~c.etil',riº ;p¡U';ª~#¡­ ¿q uilibrio que 1u potelllJia' séa á; le} resiS$en~i,!, 'C'Qn¡();

eLr.adio. 'del piñon 'e:q aL'f:a'dio de la 1

","1, \,. \

.

·a ' •. 1. J". J

~

w

Del

~

1 ¡

J

¡ ,;

~

ei.giJ,~ñg. j;?!.;{""~

I

'.

p.lar:o~ inclill"aor.

'~ :J 1: . .!!/':'L.

lo '"

'IIJ

'1

'-'

-'_ ", .. !!:.J of!J.~ ~ L_

:"i

304 El pláno indinado se Haml¡. a..-sÍ3PQrq;¡;¡e ' Í.Qr;.r; ma mi' ángulo con eHhorüonte' ; Siry,S!ipl\!'ª:~ostener cuerpo poniéndole eniequiHbdo..,c;Qn,..0trlJ,§ f.uer.ias. {. Paratrnanifestar .s ú .US0\ , sup.g¡:¡gam0's q~c:. s~ ,teJl-~ ga un cuerpo M (fig. 87), cuyo pe¡¡e: R, J~.LCon.~ide,:, rarémos reunido en SUlceo.tw de glia'!(eda.d,~G. P~ra <fue este cuerpo Rueda esta>r en _eq IJ.~Ub)Ljo~, p.or una; fue,rza P,' sobre un p'larro j nclinado¡,: .es, ñecesario' que !las fuerzas R y p' ten.g-an una. r¡esultante que s!' desttllya por el plamo inclinado, J¡(DJ.<iJ.Sle eª .ip r.i mer· lilgar eX'ije que diehas_111erzas se ha,lleo. en un .l);Jis,.. m9"Plano -(278); Y siend0 .R uJla v.ei:tic~l,,. <!,ue pas<L(" . ,

un

~


,

'

... ,

",

,~sTllTI"tA~

I'9V

1'0r ~e¡r ~eBtl'O de' graved>ad "el plaU0 RMP- será....ta'IÜ-

-lii~á !v~rtical ·, .y' <:ontendl.1.t ~l~centro <te <gríil~eclad G. Por lo q ue~la.prhneta \(!ondiij:i0n de equi1ip'rip es .qú~ la direccion GP de lª", (ller-z.a ,p d,ebe,es.ta,r en un plarl? ve~tical , . que pa~e erceñtro de"grav;dad del .cUCH'pO •• ";, ::: ~

ro:..

.,~

por

•••. l ;'

;"

I

,

"

.

.

lli:segulicla- -C'0 Bdicieni es que.la ·re:su.ltamteoGN de las fuerzas R y P sea d~stEuida por lla resistencia del plano inclinaüó;-'ltIegó"'p ara qu<; esto se ve1'!fiqpe deberá ,dicha recta ser per,p end,icular al plañefoÍ'fie:llllifde ;' y eneontl'aoile eó ;(rho 'de sus pUntos. '", B<lsl' 'Qued'lü:i üd ~at.isfe~has ;estas dos cONdiciones, ~üpoflgaLh¡',s ,!iUe s'~a M un GtierpG que se' equilibre. 'COrT una 'fuerza l P sQbte:' wn plano inclinad-o. Conoi. bamos eSp'resadó su peso por la GR, Y descompofl. 'gamós 'e'st.k) fú@r:Za .en o'ti:á-i dos, la una GN per:pendicul'a¡¡ :al :plano i'ncliflaGb ," y la otra Gil 'que (;¡¡jre ~n la dir:eccÍ<~m dé la PQ~ehoia P ', .y (244 1 001'.) ' temd'l"em-bs l P:,R,::sen,RGN:sen.NGL. !; J~I. ;"-lr~ .A~iií I6Ds.érvaré'rribs 4u$ 'siendo el , ánrg¡lü@ RGN -é<in~ian~e· ;pües· la.s' i'h/ ecillones '.@N'y Glt Ison - da-l , ., f ..l{.." " 1 - ,,~~ " . ~1 uas ., a¡' potel%!la <tu étlata mas a:vmreCl'd'a "-cuand'o' <;;¡l ':á.nW:1lo··NGL tenga 'ehrijiy01' seno, 'iue 'se.riÍ ,e,úanua ' sea:"reé'to ; ~eá .....eü'5'o fGasQ la direccion' ':GF d'e la '¡>dtenc-ra' ser~ paraléla"a-i -plano 'iac1i{1adG ; 'Y cQmo 'eñri'jiiées.::bl -tr'iá~ngu!d:LGR sérá ,semejanté al ABe, -pór ' se!: afubos iect.-.ingu'losl,- @l uno en L y el otl"o .ea !Ji; , :yr.\::efl~r-¡él.áflgul'O 'RGt -igu.al El./ 28~j€0n el -A{!)B ~~sé.@á\ Y:1n!GE!'GR.¡:-Be:AC; ;, 'Ji '::. ql:le quiete deci!" que CUGHtlO la .potenc;¡ar. es p'ara'lelá ~á 'fi; IóWgitad . 1:4 plarro ,. se verilkaJ'q ue la. :po. tet¡cfia es á. ta resist~ncia, cOl,fm :la altlM'a.del .plano e~ "'U . ', " . -" .1 J :':" SoU 1}·ongt~tuu-

-\j }l~' 1:'1-, \~.

l'

l'

\

,

":

' <l E'rÍ 'el rrlisnm 'caso tendrélnQ~ GN:GR:::AB:AC,

-que :q'1:l'ihé decir ;' que tu ' presion q~'e . s:ufre el plano indjnado ' ~s \í ta: f.esi·stencia ó: peso-d'el. cuerpo'" :;como

tJ :~serraw1pZ;án? iesc á 'su l!ongi'Pud." ;: ~ -. ". s : <:Esc.-· cSi lla;maLnosH'tcz;~!¡U . ángldº lBAC=LRG, el l~iá:nguro· ¡ec¡:tá:llg.uld (iLllh lo;s-'dad (9i. 4~4 ese,)


~r98

kTIC~l..

\ EST G L=R.Gxsen.LRG=Rsen.,O\ , y LR=G,.:ril' , ~~e~.1b , 306 · '5ii ~a direcdon ¡ d~ la p'otend:¡t fues\') ;paq.l!!l~ (lig. 88) á! ,la base del p¡anp, se tenaria .~ , '::.. 'J':R::GL:GR::BS;:1\.B, .

,

~

L-

(h' .' .~; .

'i

.'

;)' (

que quiere decir, que la potenda 'es Jf la f'esist~ncia, .como la dltura det ptanl!*ndin'aq,oJes 4< su pGS~} ,.!

De W¡'rosea. ')l

"".

J_

'_='~~~

¡

ú ,

J

aLf

S

,,' (' '. ,i

- -J<

b •.,

. 3°7 '''' Se' ,llama rosea i !!~ ,o ilinÚo re,¿to, r~,cÍead~ de un pniso:i.a triang,u lar ó paralelogi:?mico, que ..por una de sus caras está unidQ ªl c¡.i~jndr~ , .y es tal q u~ en cualq tilÍer Funto for¡llla >,un mismo, ª~l'gu19 ;hpn l~ , generatriz del cilindro. " / Se, lla~na paso de la' r,osea (lig. 8!i!)" t;l int~,valo ó distanCia AB entre d.os filetes consecutivos, ,medí.do , para,lelamente al eje de la rosca. _J" . J Si sobre AB se cogst!-"YJe ua tri4qgulo¿,.{\BM, rectángulo en B , CUJ0 Lado BM sea i-g,u~l á .la. citcunferenfiª- del cilindro, Y.. s}lponemo,s que este U#J1r gwlo,se ,arrolle al cilindr:9, el pU~to M yendljá á ,paran al pUf¡tQ B, la hip.otenusa AM despues 'de arrollad'a se ,Convénirá en ABB, "-1cOIil~er..v!l.ri!..cql}staq,. temente la miSllJa inclinacion ,,~o~r.e.,A12 y; su~ par-j1lela.s, y será la po~¡ciqn d'e~ filete sGbre ' !a~ ~_~~~flj­ cíe del eiliúdro; el filete ,~si-gui_ent,e ~.epdJ:~ ..J'k IUi~r m¡¡. iJldinaciQn, con tar-:q ue ..§ea )a hipot(e¡;¡.p~a ~ H!1 , triángulo recd,ngulo e~actamerrte ~gli!.~~ <;qlJ~é!, ªI!J~~ rior, y así sticesívámente. ,. . JI. ." . .:, ',' • - 308. Lu~go. 1.0 todos )os, pasos ¡Je ,"na r.osca bie~ c~ons.tl"utda son zguales. , ~ ',1',: 'l . '. ~ z. o • Un punto pesado en equilibrio" so~r.eeZ fitet~ de la. fosea~ se Pllede c..onjid~raf'"- comp'; ,sq¡t~ido sobr&. un plano ' indinada·, euya aUiJra sea ~l _Pf!sº Ae :4a ros,. ea, y,la bqsda circunfere.nci~ . .del eiHn.drQ, ';Ji-, , .. 3." Cuando una 'línea t2Urva tiene la"fOl'ma de la 'A EB, se U$Ima esp'il"a,l; ),'1s omq 'el ,(¡.Jete ',4i 'Í~~ ~,qséi es \ln só1igo s"u.~ u~n~) ~s!~Jigur;a,rS,e ~i,gúe,. qlf;e<:,cjjr


,

:ESTÁTIC J\¡.

,

\1-9'

.eho. file~~ sp , P,J1!~~~cg,!siderar. como compuesto ,ite tan~ tas espirales paraletas entre sí como puntos tien~ la secR§Of! ~det· fite!!.!.' i!g.pon~e.nd0" q ':le ~ada ~s.1'iral rodea, á

un cilindro cuyo ' rallio es la distap cia de dicha espinI al eLe d~~l<l;. rrg sca. < ' 1 , '''' La,ros~a F·ntr@- en un s6Jlido t 1>lamado tuerca, que eq su inter.iRt:. tie.n~ URas conca viciades iguales y disp,u estas del mismo modo que. el /i1ete de la rosca; de ma,?era que se puede consider~ r. la tuerca' como, el molde Ó' matriz del filete de la Josca. La potencia s-e aplica á una p~lal]ca q ue atr~vte§a.. el ciliNdro de la rosca ó el sólido ' de la. tuerca. . • ... ! ) 309 Para el equilibr'i9 l·a. ¡potenci,:, e~ 'al peso con !J.1J.e., está ,cm'gadl! la tuel'ca, ~omo el ¡paso de la rosc,! es, 4- la circu1Jfer~nciq que de!cri~e la potencia. , Porq ue estando la' rosca, fija y r ertical~ la ~~erc3. ~band(llna,da á su g~~ved,ad y prescindiendo del rozamiento, descenderi~ recorriendo todos los filetes inferior e.t 4€f la r9§ca, .y , una . potencia horiz~nta! P ~plicada \ á, 15!- tu~rca podria;'IA'!Y bieg~ opoper:.se· ~ .c()I1tra ~~st~ estt:' movimientg. . SU}!lOniendo ap,qr~"el .p eso R (fig. 90) con que está:, cargada ~a ~ue¡¿c~, . des (:pmpuesto en taÍlt'os peq).leños ,pesos r co[Ilo , .Run)' t<?~ de la tuerca apqyaR sobre el- filete ' de la rosca; concibamos !a ' fuer~,!- p ..desc,omRuesta en otras~, ta.!1¡ tas horizontales como pesos pequeños hay ; y sea p la fuerza elemental que se 'debe' eq uilibrar con el pe- so r colocado e.n A; tírese por el eje una horizon· !al ~AD, que pase po.r el ' pun.to. A,,,, Y.,s~pop ga~o~ .que lé!: fuer~a p obf:..e ..p erpendicul~q~ente á LD; iéna." gjnemo_s ademas q u@ el l?e ~o r e§ré s9?~nido a~ P.rfu; Sipi'l1" P9r~J.l!1a' fuerza~, p~ralel,!- á Pi llamemos A la altura, ó .j>al¡o . d@ , la tuer~.a ; .y '!,', R~ , las distancias LA, J;"D. Ah~ra), p,uesto que l¡¡. fu c:;rza h?ri2ontal -! ~ostiene el p ~so r; por medio de.}ln: :py,ne inclin.?~ s c.y ya altura es). A ,y la base es la ~cMc!Jpferencl~ .qu"e tiene r\po~ l1a~jo,. se tiene. (§'. 3OS) ~;r:;A:,2'1f1~/. ,~i! _¡ Pero Gonsi~erando LAD Qon;¡():,u n.~ \ palal1ca euy~ llP9~Q. est"á en L" l .obseryando q1;l,~!e ~uerza p, db..r~n: ... ~

~

,


1'2'0"& 'ÉSTÁTICA. -do' ent,D' 'debe prod1:lcir 'él~~ismo :e(eeré, q'Úe: I~' $, ~üe " ' .. , \en . t .., se' ,nene' l , R' ,~".. ..", \.... ~''''', "dura p:s:,:r:. , ••."" ~ A h Mlihip1íéá'ii~(j es'ra's'Ros pr~pótcfoi1es/s~~~c,iidÜ 4.':J ' " - i" '..> "...~ :2t]f R' ' ; II ' ( i ! ..... 'J '"' .V'l')'" _, y multiElicando los dos t~rminos dellá'príinéfa ~fzoh ~'~ e't:n/im~to' ae 1'9$ pesos, ~~ :~,n t€'~ ~:itán_re.~'f:~~· l Lvameme en P, R, Y la pl'OpOrCUlli' ,s er¡'l- , ' ~" 'J '"l ' f j 1 P:R::l.l:z'7l'R'" r I ~_¡ ,'"q \¡ue,l es'~L. Q: 'D.t D:'l!J, I",~ H; , l~"'l ~? 3:1'd' Si la ruecta',M un torn'o' es}debrada (fig." 9'I')~ slft; (d'ientes éllgrárÍafi"en 105 filetes d~ una rosca, á la que 1.II;UI pot~ncia P ' procura pdner en mov'imient<S I,O:rmédio dé , lm~ dgü'eña, se tendrál,l a máquJna que 's e ' l'lama torhi'tZo sin fin'; y para ,'deretffiiíia:r lá rel~ , cion de lá potencia a1 peso se o~seFa:r,éÍ' 1'6' sigúienté! ... f':o " ,'L a pó~encia e,s á 1ft- resistencia qúe'-ún (l~enfe -de fa rueda opone al filete ,de' la 'yólia; eoínflet 'paso 'd'& éitl}' Ú á ba cin;,unferencia' qúe' des~r'ibe Za'p!itencia:. ' ! ~ 2. ° La resistencia de? 'dienPer.a:e-la r~eiJ(¡ es' a'~ pel ' so R 'que se ha de l#vantar Ó sostener ~ cbl'fio 'e'l radio 'cM 'cilindro es al radio ~:de, fa ruéda; Yrntfltiplica'¡¡¡ tió besfás1?roporciOnés s'eoiJdéduce'é]:ué ba potenciá ' ek "Ól 'pb8 f; cor¡10 el-prodtlcto ',del paso ae leJ'résca por,~it rií'dió1dH c'ilind¡"o es ar'prod~cP.o ' de ~a Fircunfer,enci'IJ 'd~ 1a" cig'üef.í.a pQ.r el, ruBio ' de ta:'rúe}la¡ " '! :::~' J ¡

->

"!.~..

f.~W p:r::_

L

••

-

__

t

.'

'~JG'{·

•e"l 1, ['

~

•• '

().~'.:J:' ':""~"',

d:';

I

, ,~

;~J

..\.: .

'De la é~ña. ; "JI _, l~" • 't ,1 t.•. '-:':_ ..) ··G .! ~¿ .... t,l. ' tl': ,,~, 3,Ú ¡, LúuiVa.'(fig". 9,'2) :e's 'ufri p'rf§~á1 tuyas Bases ~'bn triángulo's"que 'pe>r 10 regú.li lso'il ~sósceIes ; . la -

éaT'á' correspo,nrueni'e alIado desig;li.~l déÚriángulo; qu.e ge'n.eraln'Jerife e,s' menbt"que 'lés o~t0S ," sé lqa~a cabeza de la cuña; La arista ' opuésta, á' 'l,él! ,cabez:a se llam'a, corte, por ' el Gual se introauee eh e1 eu~r-po que:;s~' qu~ere(1divídrr. ',) ,.' " !" " • ~ ::.;.¡rs~w ABe d perfil de la cuña, 0 .i'!na s€cc-ien ·cau" sada por'-'1'ú'n 'pFano perpendiculár".á, SUs :aristas; y que pase poflla ' ai~e'C~ion de la potenciaé'P (lt\l,e cemunltÍe"nte obrij!oi-' medio de lÍa-mazo}, aplicacla-ier.l\


ESTÁTxCÁ.. ::&~ jen,1't~tilaHr¡'eófe ; a A-B. 'bésco~ionieñHb lª- fuerza e~~¡''¡'amé'.firé pef'héndícú:la' r~ en otras <tos-X-'t' ,Z;O' J1és;",' f r r ~ 19s~'lá(i!;'S'.A.€\ ::'Be ~!~ ten&ra 'ez4;¡; ~éor.) · . fif.:c.. ¡,..... :)I~ ~J:L ".n ~ !l;/ "<1':: u ) 1)'.1 ',_ • ~,j • ¡: f';~iZ': :7~q·)f.Q~.sse~.RQ~~.~en.... 1?OX; 'Peró1¡n¡~;:¡'59 éi1iFUi éii vez, ~e I~stós : s'éno~ se 'puedét'l %ustfndr h;¡s de !,PosJ4 hgules ' G ~:·~ ,. . ~ ,¡Jque ' son su~ -sup1emeiitoS-;'6J(11 468) los -lados 'qp-uesEos á éstos '~[(ellt:riánguJ,n\BC ;·ll!l.ego la' serie.dé p :zones 'igua~ :lésJal'Í~erior 'se 'convertirá en 'P :X:Z::AB:AC:B0.· ,.~ 3i 2 " De~cofñ PbFiiehdo la fuerzá Z ea otras dó~, 1a:una pe~pendicú'lai" ,Y la otra L · paralela- á la ca.. 'beza de la éuiía-; 'se tendrá: (§ 2'4'4 cor.) ,. ," ·'Z:L::sen,MOL=I :sen.MOe=s~fll P0Z:: 1 :sef¡;B,: 'y cO!Ílo tirarld0q~JGR. perpéndicülar á'·/la c~bez~ · de 'l i"cuña, se tiene {~: sen.E::CB:CK;.. ' ~erá: Z:L: :CB:{[;K,' ..) " .' ': P:' . ' ,; ; • ..: ,Pero ánt,es ~teniaIllos P:Z::J\B~BC; J ji l,uego mul1:iplkando estas dos pteporerC?nes, y simpli~ 'fi.cafldó, seíla''P'l L:: A-B:CK: ~.J :.. , l ' " ' ~ ".,. igna1,rnente'; 'por ser AC=AB; I'espectc:> ·de--L' se encontraria P:L'::AB:CK, ~,"" "'" , '.. ~ .. : luego tendrémos P:L:L/::AB:CK:CK, que da P:L+L'::AB:2CK; " í lo que manifiesta gue la fuerza es al .efecto que pro~ duce en el cu.eYP¡J que se ha de rajar ~ ' co1h o la base del, triá~gu,lo isósceles es af "duplo de su 'altura. (:1 • • '/i ~ t:" I

I

l

'

VT

I

l'

'ft

.. . ...

pel rO'i.amj e11fó'.

!

~J

El. ';:,1'

.. "1

... ,., , .. ~ JJ", .. ' P¡r ,. . ! '. , 313 Se llama rozam'ienro la. resis'tenciáu.que se 'tsperimefl,ta all querer hacer resbalar un cuerpo sobre otr0. Esta resÍsrencia proviene' de la naturaleza de los cuerpos, que por sér porosos tienen sus su~ perficies sembradas 'di! hoyos Y eminencias; Y crian:do uf.¡ euerpo desc.ansa "sobre o·tro,..se i ntrc~d1féen "las par.tes 's alientes d¡¡l .tino en las e¡;¡tran tes <:lel orre; ifór c6hsig.uient!e:'pata que- Hn-cuer'po resb aJe so bre otro ¡ será necesario desprender estas ,desigll aldades, ~


~Q2

:nSTÁ'l'IGA.

('

doblarlas Ó romp'~r~as ; Y la fuer~a que. se ¡lebe ,em• .plea¡; para este efecpo sfi)'lama ro:zamientQ. L uo n~ . ~omo el ro~al"ll~em~ 4~ p_epd~ de la nat\!lu~ezp' q,e I~s superficies en c9ntacto, -Y las cuerl,lª$ ,necesitan de .una Cierta fueria~ paÍ'a dobla'rse , á la-cual se da !el-nombr€ cle r jjide.z" 'y por otl~a, parte nuncft s~ ·h t Jlan la máquil!~s constr~idas con la . perfeccion, qu~ se necesi ta ,resulta que no, se ,puede det!!rminar ~eHc- I .tamente por reglas ..generales. Así es, que en ,ést~ punto nos debem0s atener á la~ es,periepcia ,)a ..cg~J ,e nseña que el ro,!-amiento disminuye, pulimentando bien las superficies y cerrando .1os poros con materias grasas; que el rozamiento de dos cuerpos de una misb111 materia es mas considerable .que-cuando son, de '!Ia~terias heterojé!lea~; lo cual proviene, sin duda, ¡de que en los cuerpps hgm<?jén~os d!!ben ~ncoqtrar ,m~s facilidad las partes salientes en i,n,t r,oducirse en l~J entrantes; que el 1Toz.amie1}tQ.,es. el mismo, cualquie.1'n que sea la superfi.cie del con.tacto (0011 tal de que no se aproxime demasiado á ser una arista ó e.squi~ ;;na) ;, y últilI!amente que el rozamiento es prop0!,cio1Itd á la presion hasta cierto punto. , ~. ~\ .'7 t

DINÁMICA.

Del movimiento, uniforme. , ¡. i~. .. ,,,._ 314 Eri general se, llama movimiento-( intr,) la translaciÓn <;le un .Gu€r~9.. Q.~ u,.,n ,tugar del espacio á otro; si el movimiento se refihe á puntos fijos del ~espacip, se llama ,!bsoluto'; y, si se refier~ á puntoS que; no están fijo'S , se llama rel{ltivo. Este pu<:4e ser <tal q~e el cuerpo ql\e le tenga, con re\acion á Qtro¡ _puede~ estar inmóvil en e,l espacio ; f pOl' ejemph;¡, un hombre llue en un navío anduviese de proa á popa - lo misqrQ que el navío andaba de PQpa á p ~o~, e~ t,!ria: en reposo en el espacio, al paso que estaba eq movimiento respecto del navío ·y deJa gente q.ue es' , ,J , tu viese dentro. .

.

/


DIN:Á'MIC'A>'

201

I

.·,t Ouando .el llil0v:imient(Ld,~ . U,m. cuerpo es..tal que 'en biemposd guales and,a escracios iguales , pe llama uniforme; cua~do no, se Hama e~ gene.r~l variado • .se llama velowJ,ad de un cuerpo el espacIO, que corre

ell'

una unidad de ti~¡;nFo, v.' g. en un segundo,

~n uñ minuto, en una 'hora

&c:..' ,

,'

31 5 - Cuando un cu,erpo está en reposo, debe per- ' 'severar en .este es.t:ado á'menos que una causa estraña no le :saque de él. Porque en sí no tiene nada que le induzca á t0mar un estado eon preferencia á otro. RecÍpnllCamenre, un cue,~po en movimiento y aban,donado á sí mismo,' debe co.nse.rvar ,CQf.lstantemfinte la misma velocidad. Porque en s)í no tj¡;ne ninguna cosa q~~J~ puej-a , d~,tener; ade~as debe mov~rs~ e,n !ínea ¡'e c~a; porqu'e el de suyo m apetece el mOVImIento 'ili' el relpo.so , y pJ)r consigui.enre tal,1p€!€0 hay nid.guria na'l:on para que él por sí iniSffi0 se separe cte la recta qLte, une el punto que él ocupa, en un ins!an~~ ¡::ol~ J el q,ue. oCLtpa en el instante siguiente• . 3tó' El efecto de una· fuerza sobre un cu~rpo es tI ha~erJe 'correr un cier,to ~spacio durante un tiem,pe éualq tliera. En este efect0 se han de c0nsiderar dos C0.sas , á saber: , la masa. fiel cuerpo y la velocidad con <'lue se quiera .q 4e, v.,á'ya; y C0mo €lel . mismo mo~o que crezca ó mengüe cualquiera de. ellaS; .será fanto mayor ó me.n0'r ,el efecto ,. y PQr ,c0nsiiguiente la t u e r:¡;,a que se debe emplear, resulta que .dicli.o efecto .se ,podrá medir por la masa del cuerpo 11lul.ti1>iicada' por la velóddad, cUy,o producto se lla'ma cantidad de movimiento. Como la veloci,dad e!) 'proporcional á la fuer.za.j resulta que la composicion de las velocidades comun~ada~ á uy¡ cuer'po, se debe hacer del misln0 .moda que la de las fuerzas aplicadas á ~icho cue,;.po. , ,SI7· El espaciQ cór.r:ido por un cuerpo. cOli .inovi.'/liento 'uniforme; es· igual á la velocidad muliiplicada por el tiempo. ¡ . Por',qUé Sll se ¡epite el espacio corrid:o en la uni~ dad ~e tiempo? óJo que e.s lp mismo la. yelocidad.,

.'


'~04

·:'eÍNKIIUC..("• .

_tantl1S--VeCeS eO~blH'úda~es de ~iel'1'J:pO r fua:;b.ent.1li duo raciori del m@viiniento ,;·'resl!l.1tará el espa'Ci.o:.. ~oml corridó. ~ J:.J i .,:f\:'.;'· I'! - 1 -Luego 11am'a'ndo E" ~l espacio ' corrido, ~, la,'ve~ ,Iocida-d, y.T el, tielNpo, .s,e tendrá E · V"T'(22) .; J Llal,nando e el espaeit)"corrido por " ottroccuerFo, 'v s.6. ';\~eloerdád ',' y t el tielI'iji>o" se tendtá e=vv..,:, Con estas dos e¡;:uaci:on,es. se pueden f.ormar, y se debe!} f-orlNar, todas las .pro pOl1ciones anáJog-a-s :á las espue'Stas"(2'63'" para ,dedücir de la tradl!lccion , de dada tula -la 'r-;izon de los espaeios ,: tiemp0s y v.elaci. 'dades', ' en los cl.iferentes casos en que puedaniliallar, . .! ·se las' cantidadesq\!l<eentran en ellas. . J.

..J'

..

Del .movtmier¡to üniformemente' (jc~krad;J.' y retar~a~~f

'....,

-

¡

¡

.

~,

- :318 ' Para que el ¡Nov:iiniento sea:, v.a~il~~o, .es) in¡ llispeñ$able que una fuerza, cualquiera OBBe o@nti· nuamente en el cuerpo;, -esta fuerza se llaqt'l:Jllcetet·Q. triz " si sil eEecte es aumeatar 'eLmovimiea'tio ~~ ,'Y,lfl' 'eft'datl"Í'Z, cuando le disminuye: Si la fuerza a·c~le. ratriz ó retarda triz 'e's constante, es deoir.., ~:qme én tiem pos ig uales le haga, adq ¡,¡irir ó' perdeD -Cflhtidadep d€ movimiento ¡'gua·tes, el:I~novimiento .se. llama' llI¡i, fOY'memente Gceierado ó un~iQf'memente 1"etG1'dmJ'oJ ,JJ .2 31 9'O.J Sea. g la. fue)jzal. aueh,~r.:atriz; '; Ó ~l grado, de ve!oeídad 'q1fe ella.-com'llnrca al móvil en·cadartnstan· te, (¡.Jlo que ;es lo. mism0, el espaCÍOJ 'q,we.' el.!mbl'i) anda en cada insta.nte; k, el tiempo q Uc- obréh)a'fue'])o '2a l1Celeratriz ' "V'al:,uado en ;¡nstantes bastanté p'eCj,ue. - ños, eara que en su du.ráci'oH se .puesia . €o¡;¡sid!!rar .el .ffi0vimíentm-'C'O¡1:1O ,upiror(ne; t el mismo;tiemp@ va· _-lu,a do. en segundos'; y..n el n.ú mero ,d-e -insrantes :ClJ'fi" . tenidos en un segul'ldo ; ' rJDr manera q uese tenga ,

'

. ~ 1,;1 •

-k.m'Stantes=t seguD'dos," o ]e'rnstantes=nt" lOS[ antes . • ... 11

'~.

~

°f.-_

r'"

,t,1

Esto su puesto, la "elocidad adq uii.rida por el m6al .fi!~' del 'primer' insra.nte será g; a.J: cabo. del se" {S,undo instante será :¡g ,.esto ~s , .1", q lllC. tenía ya del

vil


nloN:kMi~'*!J.!

20$

primero, y l~ ~que;adq!ll;¡¡rm ~'rc d§egup.do ;, al fin del t~l\.cerQ"; §uá '3g;,. t,~ y al cal¡¡o ' d~l ins.raljlJe ~'.~~rá kg~ , &;dividielld0. p0r ,11. para t,e&Lllc:ir ~l tien;¡p0,. 4segun~ dos.,Slpm¡¡liehdl0, t'jJail;a . espJles:ar}Qs~ y ll¡imªmiq,'P e,s ta ve.fo~idat{;adq uiúdjl,, : t]!1.j~§dla.ma 'Vetº/á4{1~ filla¡,.;

'1 -, ). (' •

r ... : . \.-\ t I (~U .J-.J j. ... ~

.1.'

;:,.",1:

\,.,

~

~::...

_

~ r~(

J!

I

j

I

,-

~ I.

l

'

;1

'et~ndrá 'V=-g=tg ~,2-3.0, ':',' J,~ M~.'!:3 <D~:~l')L L

>l-."';:' :.1 .JI .. , (,oh",,: ¡.. -. ... ' Jo \.. .sd,a},cabo"d¡l~\ f,ie!Dpo t tde¡a,s@ig,e obrar) la fuerz-a aceler-atJ:Íz " \cl../ln,o'Vü~.car~inaria; <;Q1'!;lIna velocidad ttilaJ;, 'ti ,!:a [liJ.lsJ111f' ffieh,usce¡erajr,í~_ 11¡¡¡.ltjJ!li,inl'd-:por.ttt "ti'emp,o', qá'e ~bf\h. " <.' e~ .) '" " ') De do~de:poaf.\íamo~¡ d~d-ucir, espr~,sap~o por' 'V{~ g91i!;J;as rcar1tid~df!'s¡ corre5Fondientes :l. Q!ro::- mGvimien1(O 'r4Cieien ~ mo,v.iU1ifVPJH.. ac.eJf!f',gdf)J~ l¡js veloc.i., dades¡soJl) it'd1no, ~as jlJe'ria$' q€el~rq,t,r~ces . mY;hiptjc.fuJ..a.s•. ' po~ ;l(}s tiempos ' ? " P t,· .. · ( " " q :3 S ' ") C!:a:a~': ¡Z\.hoia',,·e~-'e;paciojtQtar ~~t:liicÍ~:PQr~~J ;utJr¿ p~ qcrn 'est~ m€l'V,imieliltQ'~' ~~I;.á<.iglJsil\ ;;i. J9r: s~a, de te, dos ,ij~Sl ,es.paci(!)s,:pall"eiahes·: co..t:r,idQ,S e~ \fa'ld'<1: ' i'Jlstan t~j atJo l<f'U¿' .es~ 1el imIS ~l'l Q" é&f'~ , i'l- "sl!).l1;Jéjr, g-F!::6;-S1f!.1!:< p"p,@..g¡:e,; ~ion aritmética ~~:;2g..,zg'-4g:Sg:...:o ...k'g~ iJ :"t'" l!~ Qu.y?fml~erél'lJe-té!~no,S):e¡:k; :luego su sl.n[[a (1. 2?O) s~t!a.'.Ig~gJ\x.!.k ~"" f ..............~ ~, 1.. ~ #:... ) 'L \ ~ 2 . -·-" ... ,... ., ...,;, -- ':lt.._..l. Mas para flue . elmoviqJiento se pueda mirar GOmo unifQt!IJe- en:::Ga.aa" J.-n$.u¡¡iP1i.~" ~1¡ .;rt~~§!grip': que , l~ velocidad g sea muy pequeña, y 'que k sea muy 'gran~7;' luego suponiendo que ~mbas Cegue.fr:. á S'lls~ ií­ ~teserespectivoS'~ e1 1¡i~hne.~.. t'érmino g , del parénte\ls:aesaj?arecerá ,"l 'tj, eI.l¡~-gundo kg ?erá 9.:!fa <;ailtig? d fiOlta (1. , 235) Y determinada; por consiguiente la. ~sp.r€sion anteriC;r áel espacio, lla:miñdole e,- se cont ~,e~tirá en e=~gk~i ( .~' _ ' _.1., '." ,,' o poniendo -en ve:z de Ji2 su igual t 2 valuadc¡¡ se. gundos, seráe=tgf~' (24); ... ,_.. • q~e quiere decir, que el espacio corrido con movimIento uniformemente acelerado, es i.gLw,l ~á la mitad de I(} fue,n a. aoetel'Atri ~ 7,nyttipticad~ po~ el cuad,'ado de( t¡e!llpo filH~ dlln~, el. movu7Jielltq. ¡~" (\\:':~'!' :\'\tr~·~n_ .. ~': ••

es, decir, ,; q~¡¡:

<

J

,1Í..l .... "

f

-

oH

en

!,


)

DIIN'ÁMicA:-

!206'

321 ~ -Rol la. (ec. ~-231}\ s"é .!1ii:ene ,,'V gt; .: ,.. ..1.-q Y poniend'o este valor· len la-. (ec. '24) será e=~vt(25r,¡ es decir, que el ' espac'io corl"iJo,lcoo .movimiEnto uni~') formemente ..'aeelerado , tambi-e.n e-s :iguat á' 'lraJ'mita.d)

,

de t'J vet'o'G1-daw final multitp}icada por el !t.ie.mpo.

),

Llamando e' o~ro espacio, v' la yelocidad, y " el tiempo , ~e ·tendrá e';~pl~/;_ . s .: 1 r j :-'l y formando propoFC!On, será e:e/::~vt:~vltl::vt:v!t';. que ' málüfiést~( q!~~ ' los~ .es!)(h~o. , e~tZín -,en r..a;'Z,01Le~,m~

puesta :ué ftas vetoctd'a'di:'$I",Ylttem¡os. ; j~l~

,~ ~ .~~-

h!

. 'J.S i e=e!, ser,.á~ vt±v('t'\'t 'iue.1d:áa":'l1/:::~/;t; .;: .:~~ que nos d¡ce, que á igu<Pl-ffMJ, -de, e-sp,acios !las Jf)eloci~

dádes eit~n . é'n"razon · iflfiersa ode. los f.tiempoi: e~_ - Pero si d móvil 'hubiél'll'" pl'indipia.do"á "camina'Ji¡ eón movimient'o'i unifol'rne\i\co.n la vélooidad 'l! ;;.yclu~: r,ante ell Ln'i:smo dem.pó ~tJy h,lubieFl! ~anclado (3'~7} .1l1l! ,espacio e esp¡;esado por vt, qlle es duplo de tvtj Q'1 '}ueg@ de'i~s1asl a'óS' ~edaa:~i<5ñes FesU1ta. qlle, el.espaci~

corriJo"t!:óWmo7Jímiento u.nifatme17ie,-ite acelerado ,;, te~

l.a mita&. a~tr.~úe~ oor"r+¡,üt1et.,7ílÓviL en et mismo .tr..iem.,

po, con' n'ió'7Jil1'iienJtó unif@f'$l'leJ"tY ,(1O'n 'ta velocidaci,finQ~ adquirida en .el-'movimiento· 'ar;,elerado. ~',! '1 t. 322 " '1 )éspéjafldo la, t_ te.e. ,, 2IJ~ 'y S'1lstitu~endo"el1l la (ec. ~s), . se tendrá el espacio espresaao,'en , 1álg~ IJ r ~1 ~T ~ n v.", ' -ro- "res . de la" velocidad, el dual será e=- (26), ",' (

,

o.J,

o~,

que da

......

,,, ...

,

J

...,

<4

'-

.....

2g

~. •

v=V zeg

(2(>*).

<

-

· , ..

~.1

,

,

'J

Si antes de principiar á obrar Ja. fuer:z.á aceIerit..; tri.:z.) tuvie.s e el fIlóvil una;' velocidad cualquiera, 'li,.

) as

~ecs. '23

y 24) se

,

convertiria~ en.5 v=V::-+ 'g:g't :¡ ,. 1 e=v. 2' fl "

des,pejando t en.la priLU'e ra" y' sustituyendo Sll Yalo~ ,

..

.¿, '

en la segunda, se tendrá

V2_V/~

e=--- Ca';?). ' .zg

¡",

'_

~

....j

o

J

323 Estas ecuaciones se han deducido en el s1i~ puesto de q ue la v elocidad. v' se haya comunica~o. en el mismo sen~ido de la aceleracion; p ero si la.


. ..... .,-.' .... _.. . . .

" ... ~

~o7'

DINAM,t €A.

fiíeÍ'~ai áceféf-átNz 'obl'ái ft!'1- s'lint·inoí é'ofitl'bio, emónce§. ct! -movi'm b1w s'ftrá" um..fi5~memefl:te r erávdado, f \ $:1:jl~re'é ña:icioij~·i'-ien:tlián espresadas t pof,> · st as ecual l C101tes:.'' fi9 j'lliHA !Jrl~ ~'.' F .'J' 'l~'! '>J' V "r':) !l!;P 0 1 'l ~df~ ~ 1;:'j.J P J? uf. J C, ~ { : iG 0_. ~ ) . I . V -v r • 'D'#:':!fJ' ..:J[f;t (2 8J~ r e::::vt";~~gt~ (29) r e= ~ (3 o ).ú . o:;hr~' ( 1!1)') ~" ti:; ~ JJ! :>1, 'J 5S ~ 1:. J ":'~" ) ; .ls IJlaffuaflde; zj: e~ ",a-I0r~d'e :e ¡(eco i24ycer.re'Sp6ridien: rei1§ t;¡';¡'¡I',' y- dés'péj:a:n1l:o .g", l§é' lt@~j!l~r,á g_2b, ~ n es cle~~r, que\ fa::-foer~af,aclelerá(fi'li. ?,f-tefié: par m'eai'iJá' ,I;?dúplo del GeS1J~eiijlc'ortído e1i5elr'P"imer, segundo: ., .'~ 32!1- . Las (ecs. 23,. 24 Y 26) ma~fie$t:ta' : la pri..;' mé'rá ~"~q'uer fá '.;zMaciüla¡j IfJé1 ah móvil, sOl1ietido á, la Á

á'é'cio# 'ile uña ftie-r"'.(J 'acilératriz c0r!stántes

-es propór-~

éiancil~ al: tí'e'mp~ fly,¡-l~sJ .e'trak 'd'osl,UqU'e ' el¡ "espáció· cor"'\ "ido por dichfJ' J';"¡'óvil('f está )en' ¡'a7,oil;'iJup1icalV(iJ' dev t~empo

ó de la velocidad adqr;iriM.:-¡-' 32 S Los espaédos ·crorrídos .en los-segun'Goi sucesi-

vos 4e IfJ duracion del mo.vimiento\Jniforme"!ente acelerado., r50n eñ{r-é-"s', Goinó'Jló..iJ tJú1fi'Jrí)s~ 4ri'fpaf'es. _. ) E_n efecto, el espac.io c0rrid~ eaJ.:t se~uincl.oSt es~ ' '' ---1;I(eco ~- 24: - ) ~'-a7""' .... '{. -'. -~ ,e,,~ :e'V,) '¡:• rgua :rg· tz'\ ;-'-: . , . ,. r e!!borriM en '(t....::!I)·rseg-i!nd'0s: será' ! ~g(t~IyJ; I r r"éstañd& est~ valGr del anrerior;' YJ llamandoE la reS . ta, se téIfdra~E=~gt2. ~g(t- 1')2'- 1g;(~t'-I); r' (}ue es la espresion del eSRacio -eorrid·o en un solo sé'gando. Hadend'o sÍlce-Sivaméafe t-":'li ,'t=2', idc. Y' llalrlando.E1, E'I,.. E/(\· E'V~ b'c. 'lús ~~IóPés··ci[ue ' va! tomlÍIld~: E 'en estos s li'p~ tfestos,' ·se :tendÍ'a '.;' ", . 1 \

E(==igx11 , E'I=fg~3 , -'E/~/--::~g*5 ., 'E'<!'~'fgX7,

'b'c. qUe form.anclo uria ~serie de razones igual,es 'Y' simpli-.

ficando por

~g,. s H'endrá':~

'E/:EI/:E'I/~:'E¡y,:qyc.:·:x:

r. - "

. '

3: S:'7:b'c: 'que es I:.. Q. D. D.

.

"''326 -'El, rnévi'ri;lientó ' v:ertical ó ' descenso de los~ ~ cuerpo.s, es uniformeIÍH!ó.ie acelel:ado; porque la gra. védaa obra cont'iriuamente sobre, ellos; y como la fuerza de la· gravedad no es la misma ' entJ'ldos I Oi ' purt~os 'de la tierra ni en todas 'las ~lt1;1ras, es necei~6Q d-eUlr o;¡jna,rla para cada p araje en particul¡;r¡


~lt,

:QJ.~,Mt,~4i.i:

e§.in q U~~~:f!:d.:J.'JC} " ll;tfrpdieng,o ~~s1,!; ª1t!lJ:~ Sflbn;;}~.]¡. .¡;¡~YS,l g~l Jmart'J ij:l *¡ §u,~Ii!;¡¡~t#!ib. ,M..~i 'Il-¡:¡<;:Pn-j:J¡~) dI? ~er~9.ehffj, !J:;pi<t§. ~P.fiñf;l~~&'¡6'G-*~~ RqL,$'eg!!l:p4~j!: cuyo valor sera el que se debe sustituir en v!N.~¡;!,)g) en las (ecs". 2,4. Y"(3) cuando se quiera saber lo que d.~ee 'paj aLuñ ;~~ ~,~q:rt '\1t;IJ..ti.e.rQ;~~d,a'~Q j ~3el ~~ po que de15erá tardar en ca'e r de una aÜura conocida. _. 'Pq ~ ,ej~rr:.Blo(,,¡.~i . !i~i~ro ,, ~j;l;* fiy4').1tít . s ~!i..á¡¡ :!i al. tura de tIDu~ <fa €¡', 1,lAA:1\;~e~pO; J cP~l~'\.H~ li>Ae~ c(ep'sol ~~'l Fl~¡1 13 S$~l!n'<ms :i::Pmh!pJ.w,a!; ,:~gRA7"S 5 , ¡ ' JJ!) a~ por !..3~: " IR9~f'~ ~f~~en~ré' f.L1W)1~i ~~~l!~a: R~~~1~\§e¡!. "á 2965 9<S .11Iies , . 'I (',<." , ~ ~. ! .). ! r ... ~ ~!~f.l.. \ (_ .,-,~ 'o. .... .. . ~ ~.R •" f"._~ e' ) t S! e .. , J~! ~ ~y ,q IFrr~1j~ i¡~a.ber. ~1 :.tJ~!V~q4~, tª¡;~~rlshYfl¡ c,uerpQ c::n f¡¡'~¡:l \l1!\,oqIW:"tª,JW!~Giib: \~~\I ,.5.S p,J,e~ {)l :fo}¡; ~U.~tjta.tJ:!ª:.tS!5.~ :lY..'1l o,r?,fen J¡l.'{j'lS:I!~~i~q f~ 1.,'7, s" fr').¡¡~~, 'V~b q,~ ~;' :Yi.¡¡:l~sJte}aQdp tl~..1c1 Ste~t~O~;f1~h\1 ',r,,\ (,h','¡ fI / 14!'21i-' Sr ll) h!...l ;·"Jk-~~, ,~):: ,C;it:Ji\ -i ... " ~~J>(¡:"h" v.'. ' ...... ~.sJI~"(l¡::'· ::. 2~ C. - '. .," • ,,<,¡ i¡,lt7¿S-5, "OW l b ) W'" J ' , ",,) 1."" f1U~ so'~: los ' s~glit}oo,~ 'qul< \d.!Qh9.¡ ~:\lctr¡p,~ tarJªi~~~~ Jeijar ,9.e;l!1!' al~u¡lS> ~~_4'[¡Il()J oi.:>.Ér''l~ l.) " ~_. ;;r 327 Las (ees. 28, 29 Y 30},siJ"f$!n pat:,¡l.)~d.:~g!if. minar las _cireU!I1stanf:ig¡.§;,d~J:~I!'l:9v.iPn e\1to sil} yn ~l1J!f, P9 ' . a,rrojacl;c¡¡, ;l(e!1Ü0¡l.lJliumt~ ·de · abaj.o á, ¡¡'¡;l'~b~¡J:on · I~, 'Velocidad...v!. :<~9Lejéniplo~, ~~Lq-'tl:i~~ Q ift.b.et ~l:q¡!Q¡:n~l!. _'¡-, Así

.c r)

I '!

_'

-'

(h N~t/ d~rr 1~2 d,e ¡:ro.~0' :3:.

t

o

tp~o elet}!~tc¡.t,. ;}i'qrIJlmn dtle"'!~~~\ e.n

.P.-;'

¡~aAié{2r-;;~

d¡cha; 1.1 0t.ar,que la fue rza ~e .Ja.,gr9pedad 4,,~IhJa¿tj~~d de "45[': er-a.}~ 35, 189~6 ~pie$"espa:fio.tes ,. ',Y , qu~ .r¿omg p,ara h~par-: t(J, fue~~~! d! ,ta . ,gr-::,vi4fJlJ.á yma latuud cualq'lfierá ~: Illecm ta 771ult¡pltcar esta p0.rl !~last0r- ,_ ~. ~;:1 'l -o,oo~8.3i,]~OS.2 ~,. la jórmul,a para' hallar la gr't~ '7{e}ad. á- une; la,t,ittid cualqt;iej a.. espre~.C! da, por 1, ,!f tJ , 3S,189&6.(I-O,002837coS.2l). _ ' fl"[,) (**) Creeljio.s PRortunp ailve,rtir- 'que toila{ la! m~' ,!úlas y pes,os d,¡¡ que hagal'/,!os 1ISO en lo stlc~:5 i V9 de ~ ~án españotas 'J tí, méno..s qu,e ,en :qtgunos caso-s nprj,t es; prese HJ cOl}trll1~i o" por .t'f. denQniíf!,Q€iol1 que ª~p.1J1'p'qfii;

i'


'PJ..Nkrvn CA,,:

ª,Gl9,

t!}:j!~ ,que' dej~ .dr\911bir un c\ler'Fo, aJ~oj~qO I C.0']1~l1(lª velocidad v' de ~'7¡,) Rj~§J pºr s..c;lgq:!1d.S)~" 4.'lJlé:.Y¡;::OL~ª - la (ec. ~ª), y despejando i tendré ' ... {

..

I

-

,~,j) -~ 97

I(

\

V>

., - -;, '

T

-

\~')';""':J~ 'd' --" . ~

-,

r.!-.~ 1!,c.-- ~

1 " ...

>.1 -'

t~ --':'=-'- =2,76 segundos; que mamfiesta que el zr.¡ ,!?'Ü l ~5,~ Ir '( .:,'1 '. 6~~ ~ , " ,1 P!l o' .. '-J .cW!r:p'~. dejariÍ.·~d~ SllP1 rot 10e..i2lJ7~ .s_e~l!6!4t)s g~ ¡ hª~ :p:~rJt;,. ~rr.QJadq. ¡' üi .), , ¡ ti Jl, ""p.,l ¡ ¡ Ji ·d

-ií"i.I ;l S,i t;1il e~te mi~¡l!<il .§.UPJlli~t.9. ¡§~ ' ~IJl~~!,~~ap¡etJª, o .á ( l ue'h".tlFá:,subia:n·, ea,!", (eo. t"""\ -se i;.aF¡í1V¡:¡;:~~' ,,;.!t.m: ""\':''i ''';~ ~ ........ 'L .. ... .... ."'t,:~~ .... .. ", 1 .... ;':;f.. "'.' joe . A jJ~'1 c: I I ':~ - ,

.

97 z

9409

. G'H/ !

¡. . > ~ 'll

, e:;::¡:~;=........,-~134,0, ?-"q:ue $0n lQsples Y seA:en,.1r,a \'~ Y""" "~~7C55~ '70-;z 'f -~- - 'u * - Y ~

~

IJ -

' ....

a que sublra el cuerpo. J> I . :::::;ll' Si algun valor de t , há~e Íl{}g-ativg¡:': al de v ó al d~ El, el r.es~jt.ac;l.o i~di~~t~ q ue¡¡¡.¡ <t,al'Lo;dsi9,ieho tiemKO e~l~ cl!erpoJ \¡I¡l,th~ á;.f,!!€r 'cen ~stª y:..elQ§!}i~g) IÓ 'il4!1 ha~ b<j.JadQ m'ls., ~pi¡j0 ,M) ,pun,to d~ ,proye¡;,CiOH llnél¡. ql\tidad iguaJ,a] fnl!.~,!d'9' ¡¡ue se h~H _o,btenfdD. 'l ...._ ~ ,.."

"', #'

r

l' tl .., .......... .., f ~

?

'I~'''' ¡

,-

r

j

PP..~l7tOvi?[I;~n;~ ~~H1o;f;e;'fos, ~olJre p~a11P~',il1di1;ad'os. ,

..

~'

.. :JO

L,·~.~:;~~

Z ~

,)

f

-, ¡;3>~8 - Par't, dl:{te~miq.(l.r da,s .e,ol1¡:li<;:il'ln;~ r dd !p.qvr.. ll.!i~E1..t(i) de l!lIl CÜ(H~ P9;a:band!JnaQo á si' mismo elf; uIl. pliu~j n~l:ini!-~R r~~ !ler.if.oqts: f s,~ G9nsi~j:!ra ,S11 g,fi!-; vedad g á cada instante descorr.Jp'ues,t ~ en ~os fue!:-:- _

zas aceleratri~¡:;~ ,. la una perpendicular y la otra paralela ,\1 .plau:o~; l!amaHd~,." IlI,la jnGlj.nacjqn del pla no ,.la primera de tillas, tendrá (30 S ese..) por valor g~os"q;, la cU,a:l _ ~ l- wis,mo tiempo que -e§, de~t¡:,mjc!; . " p~:lI;)~ .resis~~l1.C\éIf,d;Lp':la,no l. c;spresa l,!: l~presiof!, :Slu.f5 ' ejerce el cuerpo. sobre él; Y 1¡.h•.s.e gUJrd~.r á)<j.- ~ual ' Rpe.rt~qe d - ,~HlÍ)v!l e~l.,~.l;}q. ctodo, tiene cOíJst¡tntememe P0'¡; :y~I'Jor gseg\~;, .1}'1f,g,q el mqvill:.lientq. 4e €Ste 911~r. P.°..~~- ll¡üfonq€,W~F~ ,!~,,?lefado. '" • .. ~ ".,7 3 29 Luego si q ueremos obt~p~li , ~áS SlOn diciqn€~ s!e este, movirnientq~ no. habrá mas 'q u~ ¡ 1;nQ¡iifi~ar las (~<!.s ! ~2 3, 24 Y 26) pqniendo en yez cl e'g el valo~ gse;f!.o¡; y el movim~eilto de un cuel'po que d(j:qc}tmQ

14

'"

\

T.

n.


DINÁMWA~

2IÓ

de á lo laf;~Ó') de~uJl' plano incliniúlb) léstará deteirrti:' nade por' 118.-5, e.c,uaeion{¡s siguientes: ' t .

:...

.•

'f'f

2

.

'V_gtsen.~ (31»e-'Mt~sell.~ ((2) ;e=-v--'(~3).

'f ~ ~ " ., \ ~ 2gsen._~ " , :Haciendo en las (ecs, 28, 29 Y 3o)' las mi'srr¡as sús.tI.tuciones', el fil.Qv~~nientci '(fe ua ~cuerpo que'!:S'ú~ be á. lo largo de 'un plano inclin.ado, en virNsl efe úná évelocidad VI 'éorFlunicada al cuerpO' pa'ral{¡lamente a:l "p'lano, :,v,e,ndrá ,espresa'0.@, por lals tres' eeijJieib,-, ne~ siguientes: ::.¡..,.. - '"' '. .. í:~ '" v=-tll-"g'tsen; &,.(34) , ~='V't-tgftsel'i.";l(3 5'~ "~\ v IZ _v'1. ,,'

'.. -

.1 ,ti •

l '

~

,

, e=-- (36).

l ~ .';

:f 1' h

".. 'J¡; 2gsen.~ ,." J '¡¡V ,-, H:acieridá! ;=0' eil :las !(ees4L3'4 .y.i36) , ~dará: I~ 'lila: el tiempo al cabo del cu~l aej~r,á' él cuerpo de rueíq"y l~ (!ltra, el espacio tota'! que, a;ndará el ctler-' po· 'á lo larga del plane.. Todas fas ~'jrbunstancia-s de est~ m,ovimiento. SO,Il)~S misfl~as que las de los c1 r; p(')s que Gaen hbremente, con solo la Inodlfiea~!On que se ,a~aba d~ ~acer. , , " , ~ 330 Si:el plano fuese 'horiz-Gnlal y opusiese,c@l}sfamemente ·ál eáerpe Ulla rés~gteneia' f, las órói-iísl tancias 'del movimiento vendrian espresad'as pot " l~$ ecuaeiones sigu'ielltes :' ,. ' _l., ~. "~-f ¡\ 2 v-s, • , V , -V ¡ v=v'-rt, e=v't.i....írt2; e"=:-'-' - - ;, ". -" ~ .... I." " ~T , de donde se sacai"á h,a dendo v'"';""d, el tiempe 'al ca.. bo 'del cual se eªtlngl!le la vel@ciaad, 'y-él espacio ~éi· , tal corrido pot el ,cu·erpo. ',., ! ,}" , ,/) r 33 1 Un''cuerpo que ha cOI''f'ido' la '~ongitudde u?) plano indinad'o; ' ha adquit ido1iJPa ?nisma vel'oéi,aád que si hubiera caid9 libremente tmCl cantidad igual tÍ TéI abtura de 'dicho p~ano. ,,' ,. Porq ue si llamamos a la altura del plano, y'{ sil lón gitud, la (ee. 26) nos dará para la v.el9cidad iI&: qllir-ida por el cuerpo (¡¡ue ha andado el espació) 6 J ••••

lo

'1


DiNÁMICA'

áÍtu'r aa; ia esp~esioli iI:=V 2ag; , ~ 'y la (ee. 33) dará para la veloéidad ,del cuerpo que ha corrido el espado ó longitud tdd plano~ este va.; . - ...

.

iot v~ V2glsen;d; , y éOIDO (1. § 464 esc.)Jsen.á=a, , , , sustituyendo en la eeuaeion anterior 'se' cenvertid ~

~n

~

V 2ag j .<tue

~

.

" l

~'.,

~.

es l~. misma qué nos dió la (ec; 26);

iuego ias veiocldádes ,adquiddas por ies dos éuer~ , po~. son igualeS Lo ' Q .. D; D. . . ' .' Cor, . De aqu; se si:gue qué si llamamos v' la velocidad adq uítida por otra euerpd á Id latgo. de otro plano lndin'ado; éuya altüM sea a', se 'tendrá J

\

~/

.

_. .

-=vza'g ~ y fofm'ando ptopordoñ, y sIm,pllfieári"

. dd por V2g¡ resultará v:v;::,v'~;V;~ . ' , que quiere. decir; que las 7feloéidades adquiridas " lo Zargo de dos planós inclina.dos, son como ta's raíces cuadradas de-las ¿¡huras de los m~s11l0.s planos; , 33:;1 _nos éuérpos qué partén á ,la vez del vértice coimiti de dos ptanos 'inclinados para correrlós; llegan al mismo til!?ñPO á !Ó3 pun'td$ en qué éncuentr¿m tí ' di ... chos ptanos las perpendiéiúarés que se les tire desde un misrno punto de sti óomun altúra, . Sean t; tI los tiempos 'empleados en correr los espacio~ AB , AC (fig. 9-3); , determinados poi' las pel'péúdleulares DB, De; sean' d; ti' las inclll,1adoBes del los planos i}.M; AN 1 con llil cual la Cee, 32) nos dará AB -:~gt2sen.~, AC~~gtIZsén.~/; .,":c. (í §- '6' ' )' 5 'Aa::::'ADcos.BAD=ADsen.a, pew " 4 4, ese, (AC=ADcGls.CAD:'-":{iDsen,~/, , iuego' iás-' dos ÍléuáGloneS ánter10res 's,eráf.i lo lUIsmo EJ:u ~\

eStás \

, •

'- '

, , ÁDsén.a"':"'{gtZs¿n./i, ABseIi,.~i=~gti~seó.,a;, , iílue dan u'n mismo - valor para t y tI; y por consiguiente t~tl; que es Lo Q. D, D, , 'Si sobre AD.como diallJetro se des~ribé una eit.. cunférenciá, está pisatá por lós vértic~s de 10$ án-


21.a,

'

DINLMIU A.

g~los rect0s ABD , ACD; de donde se d~duce que todas las cuerdas de un círculo tiradas- desde /el estremo del.Cliámetro v~rricál, S0n corridas en un mis-' mo tielripo' pOfLun Cllerpel; Y / éste tiempo eS-1:ambien -el mismo que emplearia el cuerp.o en correr todo el diámetro. ~', ( 3.3 3 -[Jos tiempos ~711P~:ea:40s pOl' dos cuerpo! en correr J¡;¡ s ,Iongjtu des de do's ptanos inclinados ,. son entre 'Sí -Como .las COllgitudes divid~das-por ta5.l'aices euaclradas d~ hH alturas. ' .

'1

, Porque conservandQ las mi,smas denomina<;iones, si en 13) (ec, [529,pónemos sU,<;esivamente t, 1', en vez' ' a

1" L.....

la l

,

) J'...

de e, y, T' V.en'vez ¡;le sel).\ ~, desp'ejando los -

J:I

(

'd' / pos t., t, ara

t , t ,='---==:,; ti t=-==v~ag vta'g

que formando proporcion y

,

*rr¡. . J....;

~implificand,o por

. --.

t

¡, . será t,t'::-=::--=,", que es 1.. Q.

'\14 Va'

.

1

,

vtg

n..D.

liJet moviri1iento de lO$ proyectiles 'er; el paoÍD' ~

I r .~

J

.. · L ....

. 334! Se llama proyectil todo cuerpo arroj,¡t'¿o ~n 1;!na direccion cllalq uiera, y Sllfle al misnl,!) tiempo: obedec~ ~ la gravedad. . ' <, ' • I 3'35 E? espacio que and4 un proyectil es. U1¡a cur-

va pana y v¡:rtiéa 1• 1

", '

'1 , ,\:."'~,I v supongamos JJ!1-"punto g.¡¡lterial )a.1l1

" En ~feetell,. zado desde el punto A (fig. 94) en la direccion, A<;::, y que AB ,sea el espaci'o 'ql,le s-iguiendo e~ta direc:' cion cor.n:ria en ~l pnimer instante en virtud ge ,l~ fuerza ó velocIdad de proyecciofl sola; y sea la Y~J­ tical Al? léi ' que ,la gravedad haria · .baj~T al cLl~rp5 durante ' el miSJllO i ¡¡sta lú~. S:o~$ truyendo',ijn N.r~;j /

I

.


_

'J;lINAMICÁ.

'~ ·t.3

lelog-ramo sobre AB, AP, el proye'ctil se ballará ' (242 Y 243) al fin del primú instante en el estremo 'L de l,a' diagohlil de dicho paralelogra mo'; en el segundo instante, el proyectil sin la accion 'de la gravedad correria en la prolongaciqn de la 'diagonal un espacio LD=AL; y combinando esta fuerza con la~, -aecion verücal LQ de la gravedad en el mismo tiempo, el proyectil se ha.llúá al cabo del segundó' instatue en el es tremo 'O 'de la' diagonal LO del para: }elogramo construido sobre las líneas LD', I:Q; y lo mismp sucederá en los ins'tantes siguientes. Ahora, su ponienilo q u~ los instantes vayan dis~inu yendo hasta llegar ~ su Hmite, tambien lo irán haciendo fas ,diagonáles, ysu conjunto que formaba 'Un polIgono', vendra á construir una curva; y como cada paralelogramo tiene dos lados contiguos en el plano v,ertical del anterior, resulta que la curva descrita por: ' el proy~ctil está toda en un mismo pla'no vertical.

L. Q, D, D. 336 Esta curva se llama trayectorü Para detérminar su_ecuacion respecio de la línea horizon[~ l AC (lig.. 95), sea a el ángulo de proyeccioíl RAC) que forma con la horizontal -.la direccjon en que ha sido arrojado el proyectil, v 'la velocidad comunicada, a .

la altura

2

. ~..J.

~ debida á esta velocidad, AMC la curva 2g ,

descrita, M el lugar del 'p royectil al cabo de un tiempo cualq uiera t, Y x ) z las coordenaJdas, rectangulá: res AP ,PM. ,,,' ~,¡ :;, Condba,m osqlle el thOlpento en ,qHe se lanza lel proyectil su velocidad esté ,descomp'ues'ia' el). otra-s dos, la una hor.¡.zQntal, cuyo varor f305 e9lS") será. 'lleos, a; '. y la otra ve~tical espresad..a po i Jvse¡¡,'J . En \ 'virtud de la primera, el espii'ci'o AP=DC ~fla brá'; S1:¡;fó 'corrido con movimiento uniforme., y (~l7r~~ tt~ndrá

en

,

x=vtcos.(Z (37);

'r'

~)

:y (¡timo PM es la al tura á. que un ' e-tlerpú puede S11-


214

,

DINÁiMICA.

' /

pit~q ~l tiempo t con la velocidad, -p~el1.Q;, la (e<;.:28') J!9~

dará z=vtsen.o<-~gtZ (38).

I

S~s~itllyemto ~n ~st'l ~11 vez d~ t stl valor (ec.

x -. - - ,

n)

d " -pxsen.Q; 'x ten ,ri!: z = - -,- -'2g o 2; 'P<;:~s.~ . v-cos.a qui~a!1lio ~l di,visor, $Ustitlly~ndo des pUes en vez de; 1-'~ s~ vale!.' zag, y di vjdiendo "por g \oda la eCl!\acion, res~ltar4, 4azcos.q:2::::;4axsen.acQs.a-xz (39)~ qUe eS la ecuacion <:le 1'l trayectoria, - '337 -:¡.t~sotv¡éqd,ota GOI1-.relacion á x, se tend,rá 'P~os.~

s~

1,

• 1

(l. § 166) ~=~asen.Qlc.os,c:\!±V tacos,aZ(asen.a2~z!, cuyo valor manifiesta: priq-¡cfo, que la curva es si?1Jétl"~Clf r~speeto de un eje vertical 'ED, distar¡te de~ príjet! !1 la cantidad AE=~asen.ac'()s.a; y por Gada valor de z da <ips par'l x, \;uYo§ ~str~fpos distan, igual¡nente de este ej~. ' . 2. o Que;: para el máximo v al'or rJ~ x, 9 el lflcance correspqf!diente á z:::=o ¡ se tíen~ ' ,. !1C-:4asen.acos.a=(I. §, 460 '- 3·a)2as~n.2a. ' 3.° Que la mcf!Úma elevacion del proyectil Ó, el f1Jáx¡mo valor d~ z, pen!laneciendo x. rea[., es asen.a 2 • Este valor que c'orrespopd,e ~ . ~=~asen.acos.a=AE '- está representado pOr ' ~D-:-::asen.Q;2, . _.. . ' . El valoJ:' 4a.seq.acos.a de AC, permane<;:e el ll1i{ roo ·a,~nq uy el1 vez de a se sustit\l ya ~'?I'-a ó su complemento; lo qqe mapifi~sta que [.os alca11Ces ser(Í.n !o~ 1J~ismos c.o~ dos 4ngu1os. qu~ sean comptell~eJJto ~l ~nq de~ otrq, .ó gquidisfat!tes de 45°; esto . es , el ll1isJl1Q"alc!F1Ce se tepdrá <;:onul1 ángulg de elevacio9, g~ 3i\ qu~ 1;:0 11 \.1.I1O q¡; 53 , I ' " ;... : _~J o~o valor 2a$en.~~ Ii~ l'l- mi$m'l !\,C ~ pace V{!l-' q ~e ;iJerlllar!~cien4o gna miSl1!lf !a carglf de pólvorq , e~ 1JVlY01" el atganqe Ctfalldq ~l ángu!Q d~ proyec{:¡ on a es la mitad 4e 1fno r~()to ó e$. de 4 So; pu e~ entónc~s sen.?a=~, ql¡e es ~l mayoJ:' senp; 'y llatnan~ Aa f á · di~ho 'alcánce bajo !;ste ángL+lo, se · ~endr.~

de:

/

I


!2IS

pINÁMICA.

P=2a;

sustituy;~nao"este

valor eg. ,eh).e AC, tlJdas lilS ,ampFtudes con una misma carga quedarán refe~ida.s á la amplitud P, y serán. <;lag.as por la ecua"' cion AC=Psen.2 IX. ' , 338 Si se quiere con0cer la natuFa.Ieza de la curya AI)C" refiriendo sus pUntos al eje vertical D~, se hará MQ=z', DQ=x', y se te!ldr~ l. x=2C1sen.ctCos.ct-Z' y z=aseri.az-x'; sustituyendo estos vli¡ores bn.la (es · 399 Y simplificando, se comrertirá en z ' ~=4ax COS~ ct~; ' , luego (72) la ,cu'rva es una parábola cuyo parámetro . relativo al eje DE es 4acos.az. " 33,9 Para hallar el ángul@ de. prlJyeccioN, que se debe empleat para ,dar en un punto cuya posicion es conocida; se dividirá la (ec. 39) por cos.a; des.

. ., ' sen.a pues se sustlUura tang.a en vez de - - , cos.o;

- y

,

sec.o;~

I+~ang.az en vez 'de

Ó

,

I

cos.a

2'

~ 2a+V4liz-4az-xz

y se tendra tang.a-

• x Esta fórmula manities~a que mientras xZ+4az sea inenor que 4(}z, s¡; podrá dar en el punto que quisiere con dos cLirecciones diferentes, Si el punto está en el horizonte se ~ará z=o ; y si está inferior ,al horizonte se hará z negatin. El" tiempo que el proyectil empte3: en lI~gar ' al blanco se hallará por la (ec. 37), sustituyendo en vez de :x; la distancia horizontal de la batería al blanco, y por v la velocidad' #niciat, que es aquel1a CQQ que es arroja~o eh::uerpo. , 340 Se llama línea de puntería' el Fa ye ,visual (fig. 96) que enrasa la parte superior de la culata y el pUnto mas tdevado del brocal. . El cañon siempre está mas reforzado de metal en la reGámara que' hácia ·.la boca; por cOlJsiguiente

se

I


U8

I.D INÁMié1lI.

c.~ar!'ld o 'ia Hnei de punteda n'atura! está dir·íjht~::ai hlanco , el -ejérd~ la pieza se ha~1a ' élevadd s·o~l'e . la. linea de pUntería una cierta can ~idaq , que se llá~á ángulo d? puntería. . .' . ~-, 341 - Sné"efuncibe la 'veloddad inicial -del ' p.ro~ y6Glíl' como descompHesta en ot-ll as dos, la una h'o'! rizontal 'f la Otl!~ 'v er tical" la pT'iI~'era será la '~iga ma, durante t @do el alcance del UfO ', ' y la: vertical i-1~,á' d:jfgll'lü'íu(yendo ' ,cGbrülu'amente en razdn de la gta~ ~ed,aq, y venqrá, arser ' nul-a élllfa flfe ·el ' c0rto instan";' te- :@íi ~qa~ él ~móvimje ntp sea horizontal, des'de el cual in sfCl. l1t~ en ade1:ilite sel'á ' negativa; dobde se ve . qu 7' ei proyéctil que arroja la pieza cortará, a~ principio la línea de punterí'a al subi r: y al descen'~er la volverá , á enconDrai: una 'segunda vez en el punto M . La distancia AM de este pur¡to á la Qoca ---- de la piezª, es lo que se llama alcdr¡ce de plinto e1J blanco; y cu ando el blanco es el punto M,' eS herido COI110 si el pwyepiJ hubiese corrido la recta AM. Luego para d'ar en ct. blanco' es n1éesario que el proyectil, c.'onsideradQ cq11'10, sin g'ra1!edad, y liegada ?í la vertitwl del blanc.o , .s!! eleve en ella por, la parte ~tlperior á este blanc(J ,~t-a misma cantia.éM que tti grd:; vúJ,ad ,hace descender al proyectil ?n el mí~mQ tizmpa tíilé emp'lea "e11 ilegal' á la-verticál, qu e es justamente 10 que se veJificá en el pUflt0 ,en blanco M. Pe~ 'fO si d oBj eto está .mas q.ista'nte que el pUntO en blanco y á la misma...altura que c;:s¡;e "el proyectil pasará por la parte interior á- ~} ;. luego para darle será 'r!ecasario ¿¡puntar mas alto ó por etevacion. _ . , 'Si el objetp estuviese mas inmediato que el al·(laHee .. de punió en bll1nCO, se 'deberfCf haae'l' le¡ pUfl'o , 't61'ía un poco mas baj-a. . , " , 342 Con eStos ccinoeimiento's .se pueden resolver ;vari'os, probl¿mas rélatívós á este PQnto; pero éomo ta tesistencia del áir~, calidad de la pólvora, estado de la atmósfera &c. alteran considerabletllente los -1'i!sultados; se ha procurado conocer por esperimen-tos: l(!. v\!locida~ ,qu.e una cierta. ~aFga de pólvora

f


J

DIN"~MlqA.

'zi7 puede comunicar á. un proyec:iWde un peso conocido, tiraodo á una peqlíefia distanc·ia sobre un péndu.16 de gran pes o, y observando la cu erda del arco que un punto deterOlinado de dicho péndulo ha corrido 'en virtud del c!loq ue de la baüh ' , El res ultado de los esperi mtSFltos ha sido que has., ta' una carg~ ig ual á la mitad del peso de la bala, las veJocidades cGmunieadas eran entre sí co'mo las FaÍces <;uadradas de la sca ~g as de pólvora, divididas por las raices cuadradas de los pesos de las bala~ Así para conocer la velocidad qué recibirá una bala de caño n , basta saber que una bala ,de á 24 con una c~rg a igual á la tercera parte de su peso, es arrojada CO\1 una velocidad de 420 á 430 varas por se~undo. , Tambien se ha obser'vado que los alcances de una misma pieza, bajo un mismo ángulo, crecen como las raic~s cuartas de las cargas. La misma esperiencia ha hecho cónoéer que los alcances de punto en blanco' de las pj'ezas carg adas con la tercera parte de·l peso de su bala, para 'las piezas de sitio deá24, 16,12,8, ' 4, ' 5011, ..................... 84°, 760, 7':>..0, 670, 620, varas. Para las de campaña de á 12, 8, 4, ·50n .. ··· .. ················;···.·.··· ... ···570, 550, 530, varas. /' Que el alcance de punto en blanco del fusil "es de 210 á 220 varas, y su alcance total de 360 á 380. Luego si el objeto está á la distancia de punto en blanco del arma, 1e debe f.á á puntar á él mism~. Si la distancia del objeto ,escede ' ¡¡,l alcance de punte en blancq, es necesario tirar por elevacion; y la ctrteza del ~iro siempre dependerá de la práctica del artillero' , y de su mayor ó menor destreza' en 'calcular á simplé vista la ¿'istancia del objeto á la pieza, para guardar}¡¡, elevadon porqúe deberá tirar. "< Si la distancia del objeto es menor que el alcan~ ~e dé pUnto eh blallco', se apunta dos '\Iaras ~nas aba~ , JQ que el objeto, si está á una distancia de 2'00 varas; y una vara'mas abajo ~ si eSta á lá dist'anci¡¡. de 4°9' .

o


¡:lIS

DINÁMIC;:·A~

Hemos visto que el alcance de punto. en blanco del fusil es de 220 varas, y su alcance total de 380, 'Si entre estas dos distancias se hubiese de tirar á un olJjeto de 2 á 3 varas de alrura,. se podrá hacer la punterilf á la parte S'Upel"ior de dicho objeto; si el ob. jeto está á mas de 380 varas de distancia, se debe.rá

hacer ta puntería un poco mas m-riba; y', si el objeto está á menos de 220 váras, se Lleberá apuntar un po~o mas abajo. . Del movimiento de un ct¡erpo en una CU1"ViJ vertical, y. de las oscitacion,es de los pénclulos: I

343 Si un p'unto (que por ahora concebirémos sin gravedad) corre los 'Zados sucesivos de un polígono ~ á su enG¡¡ent¡"o COll _cada lado / pierde una parte de su ve. IOyidad actual, igual al prOclL¡cto de esta velocidad por el seno vena del ángulo que fonna cllado de que sale d punto con el l'ado en que ent¡"a. Porq ue considerando cada lado como un plaqo inclinado, y llamando a el á¡lgulo que forman dos de ellos, v la velocidad que el cuerpo tiene en el mol,11ento q uc entra en el segundo lado, resulta que si 'se concibe su velocidad descompuesta en otras dos, la, una perpendicular y la otra. paralela á este segun.do lado, la pl'imer~ de estas ,velocidades será destruida por dicho lado: y la segunda, que será con la que el cuerpo correrá el segundo lado, será igual (30 S esc.) vcos.a; luego la velocidad perdida será igud á v-vcoS.Q;=V(I-COS,Q;)~vse.n.ver.Q;, que es

L.Q.D.D.

344 Ahora, teniendo presente lo dicho (l. 44Z cor. ' 2. O), 'si concebirnos que el ángulo a vaya menguando hasta llegar á su límite cero (en cuyo caso 1.05 lados del polígono lo harán igualmente, y constkuirán una curva cualquiera) entónces su seno y tambien su seno verso habrán llegado á ser menores que cualquier cantidad dada; por consiguiente la velocidad perdida en el encuentro de cada lado, lo.


, DJNÁM,ICA. , , 219 ,ser~ 'g~l mismo modo; y- por lo mismo el cuerpa correrá todos los lado~ de este polígono, ó de una cur·

va, con la velocidad , primitiva v. 345 Consideremos ahova (5gs. 97 y 98) una cur'va ,vertÍC'al como l ellímite de, un polígono, cuy-os lados AB, BC, CD, &c, 10$ podrémos mirar como otros tantos planos inclin~dos, y prolónguense las J3C, eD &c. hasta la horizontal HK; dé dORde resultará que un punto pesado, abandonado en A sobre el plaQ.o AB, al correr este ¡plano adQ uirirá la misma v~locidad (33~) que s~ hUDiera corrido el EB; y carpo al .pasar al plano Be no ' pierde (344) ninguna velocidad, F,odemos su poner que el tránsi,to se verificaJel plalío EB al BC , que es su' prolongacíOn; entónces al llegar al punte¡ C tendrá la misma velocidad, que si hubiese corrido EC. Del mismo modo .se dem6s~rará que este pun~o tendrá e\¡ D la misma v~locidaq que si hubiese corrido el plano HD ,' ó la .v ertical GD; lllego un cu,erpo pesado que desciende por una curva en virtud de stt¡ gravedad', tie.1.e en 1m

punto cualquiera la misma velocidad qué si lzubiese ' caido de una altura . igual á la del arco co .. rido, y ~tI ?1~o'(Jimiento es índependient? ¡;ir: le¡ nc¡t~rc¡te'Za de la ~rv~ . I . C~ando el cuerpo haya pasado del punto en que tél- tangente á la c;urva es horizontal, lli" gra v¡;dad 'le irá quitando los mismos gra~os de velocidad que le habia, comtlnica,do ;11 descender por lOi¡ lados correspondi~!ltes; de donde se sigue qu~ no dejará de subir hasta q ue est~ elevíl-do en la rama, KT á la ' mis.,. ma altura, que aquella de que habia bajado en la, prí .. m~rél,; , gesplles yolv:er~ á ,t;>ajar \!sta, segunda fama para subir el'! la primera hasta ~l ,. punto de donde ,par~i9 al principió, y as~ sucelliva,mepte. El espado ATK s~ Hama 4QéI, ·º~qil!lcion, y ~¡ Al,' ~s ~Qa, $emios-

cílacion. '_

.. ,

"

$i l~s dos famas, de 'la ~\lrva, ATE son slrpéu;icas l'esp¡;Cto de la vertical TD, todo~ sus ~l~m~ntos corfespondientes s¡;rá,Q igual¡;s 1 y será¡¡ corridos con


=:rO

lilINÁMICA. /

Una misma velocidad; por consiguien.te fes ' ffempos ~ "empleados en describirlos serán iguales.

346 Si la cU'rva A1'K (lig. 99) es un círculo, las velbcida.des adquiridqs en T por dos cuerpos pesados que hayan cOlorido los arcos AT, MT, sel"Íín entre sí como ¿as cuerdas AT, MT· de dichos ' arcos; p'or .. que estas v.elocidadds son (331 COl'.) como' las raiées' cuadradas de las alturas TO, TP, Y estas rakes son (l. 333-cor. 2.°) como Jil:s cuerdas AT, MT. 347 . Si: se tratase de hacer adquirir á ,u n cuerpo una velocidad dada v, se sllstiVuiria este val'or en la

,,,2

fórmula - , y resultaria la altura- pedida; si la 2g

.

r~-

presentamos por TP, se tirará por el punto Puna horizontal MP, Y el punte M en que encu!!ntre á la curva, será el 'punto de donde debe partir el cuerpo para tener en T la velocidad dada v .• 348 Se llama péndulo en ge'neral un hilo ó vari• e lla sujeto á un puntlD (lig. 100), del cual cuelgan uno ó muchos cuerpos, pesados. Si solo cuelga un peso B se llama péndulo simple; y si hubiese otro ó mas . por la parte superior ó inferior al punto B, se llamaria compuesto. Aquí solo tratarémos deL simple. Si el. péndulo se separa de la vertical hasta ha~ ber llegado á A por ejemplo, y se le abandona á sí , mismo, entónces en virtud de la gravedad baj,a rá hasta el punto B, donde habrá adq uirido una velocidad \ con la cual subirá hasta f'J.', á igual altura de donde habia bajado. Porque descompo6iendo 4. cada instante su gravedad e!1 dos fuerzas, la una en la ~ir.ec. cion del hilo, y otra perpendicular ácesta direccion~ la primera. q.uedará destruida pOI: ef punto fijo e, y la otra será la que hará mover al , péndulo del LDisj~ . mo modo que si bajase. . por una. curV'a verticaL 34!'1 Con siderando un círculo como el límite de todo poligol1o ', uno ct¡alquiera' de .·los lad0s de est~

e

la

polígono, al acercarse' á su tí'mite, es igual a.l pfoducto de:.· sw .proyeccion ~(} ~re :et fliámetro que pasa por


DINÁMle~.

~2I

el ,qdjen, por la ~elacion det (adio det círculb á "la ' ordenada eorrespondiente á di~ho lado. " Eh efe~to, sea M~', (lig. 'r'o 1) uno de estos la· dos; tí:r'esé el r,adio CJY]:, y la! linea MO pa.tal'ela al , diámetro AB , Y ~endr é mos q líe el triángulo ~M'O en m ,Hrril,,e., ' se podr,a considerar como re'clill neo, en cuyb caso será se.(IJejante al CPM, por tener sus lados perpendiculares, y~' tendrémos,: ~ 'MQxCM - -, , "a' mP:MO::CM:MM , MP (4 0 /;

:'Ir . ,-

- -,

~

+

.,

;..

~

.....

.~

que traducida ma:Flifi~sta. L. <¿'D, D. ' ~ " ' \ ,i 3~0 ,~i J lamc(Jl1os r la longitud ,del péndt,J-J.9:;:9 d , radio del arco que "desel"ibe, g fa ,grave.daq , 'lf la relac¡o11 de la circunf-eretlCia l !b .p,.i~metro, y- Lel tiempG que ,emplea wn péndulo simp,le 'en u'na oscitacion de un arco muy p:que~o de cí~c~to, ~e tepdrá pr;ó~_imq¡ng!J-}

Vr, ,'_"(', c:',.yg

,

'

J.

te

,

.u

t='lt-. .

'oí

_ .. ,

~

·1."""

.

~

.•

«, .ao ...

" ,....

,

~

~\ I

Supongamos que el pé.o.du'lo h~ya pavJidQ de ·Bl (fig. 102) Y llegado á m, y c[1¡e ' sta v 'la yelo~id~d que ha aqq uirido en este .pumo. Tírense -la .bo.riZior:l. ' tal BD., l~s ordenadas_ sumame'pte, próJciLD ~s m~, 'm'p~,,­ y descríbáse spbre AI{ como diámetro la circunferen-, cia AnRo; hágas,y, Ap=-x., PIn::=4'L, el peqil eqO ~Jado mm'=s; su proyeccion pp -':"'s', la alt LLra de la oscilacion AK=a, y en fin sea t el tiempo qpe el11pl~a el p~,I}duLo ' r(lt correr 'Ij'¡m'; y T,'el tiempQ. d~J~,:.(;isci;'~ lacio n entera." -, • ',,'. '. ' E~ p'~i(ÍieÍ' lugar tendréQ1~os \§'33 ~) 1V=v 'zgx; . ahora'; 'la pequeñez del lado mm' permite sup Giner que está: cClrrid:o "únifOl\ nemenre' oon la veracidad' v, y ' mm'. ' . r'?<s" , por conslgUl:,ente t=-- =(ec, 40) -.:; ,

,

..

J

.L

'

• ,

• <'

~ ..

I·{:'

t

-

V •

zV 2 g X

.. _

¡

"".1:

Pllro cOl!)O a es el s~n'overso de un arco BK que l~ s!:I¡>gnejuoi¡ ~uY_ peq,u ~ño de podrá rep u<ta,r ,q ue z


:fzZ'

btÑÁNrH!A.

es luedilt propGtciOl'la1 entre a~x y

2r; id qüé 'da.

z.,...;,V 2r(a-x); , y ,pOI' consiguiente sus,ti,t'~yeñdo este valot én la ecua" don aaterlot, se tendta t

, ~s'

VI" ,' _

X

./

'v g

.vl'

.

v'x,Ca-,x)

,'x/

--

.,

,,u.

+:i/ ,

,

V2!~_~X)

V2gX

==

vr " fln'

- --x-'- ," V,.o_'y. xCa-x) "/ g f':no '

- -'x .

'

u· / ", . /

l'

y come! h~llarémos un resultado semejante patá todos los lados q ue e.QInpon~n (JI a·FCO BmK, resulta que la' duraeron de la 'caída por este árco ó %T será igual á

" V 'r

,~

AnR " r . Vt' 'AnKo. ,Vr <, -" -:1<--; que tiLa T~x--·-=7t.. j .« ·g ,l. u .. , v'g AK V,'g

c,. ·

que eS 'iV. C~ D. D ~, Coro Como el valor de T es lfidepelildlente dé ' o=AK, se sigue que tas oscilaciones en pe.queñas-P'or.¡ "dones de ta circunferencia, son sensibtementé isócr¡¡- _ nas"61 d~ ' una mismá düracioti; 39 [ La duracíoll TI' ete la oscHacíon de otro péri~1 dule' (¡:uya longitua sea ,ri, ef,J. unrlugat d0fide la 'gra.. veqa!d ,sea g/, estará- igual'mente e,s presada por . - - " v'r i ~" . . ' , .' . o T"=7f--, que: da en general . ':t., J l

. . ~ ..

vg

, ' . ~ , p ' ~ -, / ¡ v r v r

'

"

~..

•, ,

"

.

T:T/::'7T:7- :<ft "/gl ::v"'<\¡{g::VrIVg, lo q~e ' mani. v,g ·v, ,."I} fiesta que, (ps -tiempos }e)as,oscilfcionef están e!."a· zon ' ¡;ompuesta iJ.irecta . d~ Ilc¡.i. raic,es cuad1"adas de. las lorigitudes de Jos RénduJos, e i-¡lVer~a, ~e t9 grao, vedad; , Si r-~, ó"es ,uno._mismo el, péndulo ,q tle osciI~ en difereqw; lugar'es: simplificando la proporcion anterior se rendr'á ,T:T'::v g/:Vg. _ , Si los péndulos ó,scilan en un' mislÍJo lügal"; 6 á latitudes iguales, será g .gl ~ Ylá Ip.ropo'f cion se con-


• , DI~ÁMI(!A. , 223 , . ,,,en"'rT " , /r,¡, o' T'·T'" /1"/" verura ' ;' f ...,.y / Y.y ... y . y/1' (4'1)• ( ~En fin, si T=T', ó los tieinp'os de' lás ·osciladoñes son iguales, en dos péndulos que oscilan en dOi lugares diférentes, ,a proporcion anterior dará ,yrVg{=Vr'Vg ó ~g'=rJg, qué da g;g';;ta·l ; '. ' 352' ) L.os ~ números de osc'Í'la·ciones .' que .dos pénélulos diferentes pueden hac,er. en_1'n mi'lmo tiempo y en ' Wl misíllo' l:ugS1'; están en raz-on inversa de las raicé$ cuadradas de l,!s longitudes di" los péndulos. , _' Porq:ue :Celnse.rval1db }as ~lÍÍjsmas .denominad~nes de ántes ,"y llamando n, n' los númerós-res'p'f€tivo$ de oscilaciones que dichos péndulos pueden hacer en un mismo·~tiempo k, ~e tendrá · , k=nT n'TI , que da n;n';;Tf;T; pero '(prop' -4I" T';T;; '\1'1"';'\11", ' ,~-~ , , luego n;n';:Vr'V1', que es L. Q: D: I?

•' ,

~De las fuerza~ ce~tf';ies. ,

-

353 Como el m9vimi~nto de . l<ils cuerpos aban. donados á si mismos debe ve:r,!ficarse 'en' linea ' reéti ' (31 S), inferimos' que. si un cuerpo puesto ~n'\ 1!lpvimiento descrfbe úna" curva cualqúiérá: ', ha dé e-star sujeto á la acci0n dé dos fuér·zas·; 'la' una, que" re atraiga há~ia el centro cle la cu'rva, q ud por esta ra~ :'ton se llama fuer~a centrípeta;:y la ,OHa, que le ehlh gue á separarse del miSJ1iio centr0'-, 'que toma eJ nom~ bne de centríf,uga: Es'tas d'os flilerzas se, cónOC€n' €OIl el 'uombre.'general ,de juer'ZCt$, eeritrales; y vamo~ ' ~ demostrar ql1e si un cuerpo M (fig. '103) atraido 'con- ' tihuámente hácia' uwpunto'fijo C por una fuel"'Za~ consfante 9, Y a:rrqjado en una direc90n MBpe'rpend¡;, cúlar~ á CM?"d'eic:ribe una circunfe,r-encia de circulo ~l rededor .det p'nnto C, la fuer'7.CI centrípeta <p es á Za gravedad, eomo la altúra debida á ta veloci. dad de proyeccion es , á la mitad del radio CM. . . Enef€cto' , llama!ndo v la, v€1pciéhld de p1'oyecdon en la direcciQn lVIB, y r el radio CM, el móvil sin la !lccion de la fuerza centrípeta cami'naria por MB, en el tiempe sumamente pe'lueño ~ ', u.n espacio


/

aa4 :QJNÁMIlCA. :MN;:t::·vt , _.sepaI'á.f1dº?·e~ elel: Ce¡¡¡~.r0<' ü)lJta,s~tiqa<J: LN , i qlle prÓ1ÜlI1all).~n:~e üi.t jllO(d~~11.QSi:;rIli[a,r¡ cpmo ¡.gqa¡~ á :M:O; Jp'eg~l s ' l:e,l l~.9'yi hp'erl,TIa.ñ~~h en: J!! ci rcu.nferencia:,.ha:l ~9biQo ),¡¡:r fltr~iAQ ilf¡Jt 1¡¡. fue!;t za <p 'u!1a ·o;¡.midad ,LguaI: (ec¡ 24.);:,á" i~H;:;=f2tz..>.JI r"¡' l\!tlro ea vlr ~udA.@.:lo. ,esp ue.sto G~~ . 3":3Icot:" Ii! 0), .' '. ' ' ¡ , r ·(Gu(}ooa:tML)2. .\ ', •• , 1 , ') , " ~"í ~e . J~t¡ne MG= . ~ ¡ .•.; .•.. ,.' ; y .coa¡0;.j?,qr ~!W\lP~¡¡¡ . 2:r . • - , ,. ,J... ~ " , \ ¡rol 3~ '1.r. • '.. §e !~btJ.~mp o , -NJ,l uy "B€,q ut1.ñ~ ~ ppp..r ét;no"s 'l p'0f1e.r en vs~ "l'l.e la cue'rda ML:r ,el, arco ' ML .6' W. ~é!!'tg¡~qJ~ ~l.· _ .. ... ... ~_ .... ' !. MNz v!1t~ ~n ~1'" • '~I) MN , tendrémos MQ.WE.i.~~ ..=F--: ; lu~q.igl1al'!l1= j

J

j

(1

_

...-;- \ro; ; \

,

• _.

'!-j..L. .

do los dos valores . ~- I'~

2~

r.

.

.. 2 '~

__

\

v 2J

,_ _

q'l MG , .r<:su!r'!.r~¡ q¡=:;:-:-Á :(H).:;o I\~_

.(,

~ ~.~"\;\ ;

';!') ...

••

", .~1:

..

') ,J1

¡\'._.

Ahora, llamando a la altura debida á la· vel'ód. daa. v, el valtJr!'dt!i ~ 'se"có'nvertirá '(ec. 26''') en f'I('I>;.{ .>;a.

- .... ~~ ..... f

~_" . . ....¿,~

Ij

t:

1

f

,• ~

., ~

' ..,

í,.. 'Jo_'

...........

.u.~.'."

()~ ..

w' I

,o

... ;'.q, _. '_ ---:: r ...1.

I.. ¡~ .,.., " I J¡. 'J

t",

'r

I

L

, ."... ,("

_ '. _ •

:. l;~ aE n

)

r.

\:j

q;¡;:¡::,-. -,,-, que ~a¡.~~¡gya:!r; '"

~:~rl L' ":!.;,' -Hf¡ ,,\

J.,'~)

lo q\l~aqil;9Ám!1s." de. d~cú¡ 11(1 . M-!Il.OS Q§!1,,: I!,i:decado .re*gn(lllte 'ma·¡;~"q,ue l.a·u{1ida,g_;~~ @¡J.sa; pe ro; ¡¡1-§~; mj11.tiplical1 Ü;¡S, Q.i!§ l?¡il~el:Ii>J téfJUino~.qe la :pJ¡Cjl,~ :B9.r,~io.niinrerior. !;>91'(.lf ,masa ,A¡¡I :JIl9_~j.t " r ~s:h\Í pr.o;: HiW!#Q~ se, podó e9P..\1 clji r ª~L:;:; •. )\ .,,;..-. 1 ~ ' . l ¡;, )') ~~ fuerJ. lh ~cg'[ltripitae thl , c¡~.eri[>Q ,;. §.i

est.4

libre~jlg

ti' fo!er,g,ff" c-ent{í!.uga~J· i *~tfÍ (ftjeJIJ flL'B-l!'.7!tg C, ppr me, d.i.o"p,r¿ t\n hitq ..,-AS ;al 'pes,o de aicho oUeJ;p'o , . cOlwJ;:dí! a.ft,,!~a~ Jl'fbida á La ''Peto9ida~~r:v. ~~s" 4.¡ljf 41útad det i

rU.41O:CM. '!)~

. ':" : :\:.. ,

.:... ,,'

,> .

..'

~

.lJgnde ª-e-V:(},Sllie -si ~ y r per!lla,l1 ~c~ll ,C'ol1~ta·R~e.~, ~m~i~n será, C5Jn sta,n~~ la velJJci@il~ V ',- , . ,\ : ;:35 4 _ l~\lldpliG:f!n!ió I.Q/l, d'qs miembros de.la (ec.' 4~ por la masa m del móvil" y señalan~o ,p{)r~ F.l~ fqefj za -centrífuga qortll.sp,9udieme á esta- m~s~) se tendrá.


.

)

\ PJN·ÁiIÁ.l'e<A. , "2 z S ..,E,sta . fór¡n~la l1lanifiesta, que a mrm¡s igua(es tao flfetp;as~ cent.f1.ífugas.. dos ct!?rpos' son e'ntt'e ,s~ como ·tos c,/fadradoi . ¡ie'jla~s velocidades di;¡Jididos por los )wJdios g.e ~qs circu,r1feJen~i'qs desc-ritás ; , luego si F' ~es. ~ª fu_€r~a q,e -oVR ewq;p,0 "que 'd ·r cula con :la velocidad v', en una 1;ir:cu.qferencia cUyG.radia sea .... :~~ :J~ 1 _V2. V'" . se tendrá F;F';;~; .!-~ "" , l" r 1'" ~ 1 , . . '. _-' ""'1 - J ..,¡~ .l~(i....... c:..(,.¡J p .. Se",afl Ir, XI', las duraciones ,de las ·. l"e\V0Iuciones

ªg

1"';

',1

p.,

:

:

L'

Jb 1 .,

,.,

•• . . } '

~

,¡.j- ..

;!.!:"''''1:'.',1w;

:._~

..

_q ...

Jr"..

zwr'

2rrtr'"

.,)'

de lGS de-s, mó,viles,' y pues,t0 que V=:-.-," 21'=·.-,-,

. '

r:

~,rf"

_~

J..

~

~erá,:,F;F';;' _

I

.

,\ T

.....!.~ ..

"-:....

T!· .

(27t. r)2. 1(27t.r')Z 1 r ' r' " : i:~ X7: ' T" ~ X7;:TZ:T"Z' (43~' , ~ 1

-.

, , j?i:.f_ T~, . será

F:F';:1':r';

J 1

'D • •

I

1

l!_

Y si se tuvies¡: T2;T';:'r~': <r %s;om~ su.cede en los Imovi.!p!e.n.tp§;(k 19S pierp,(!)~ ,Ce1eSleS, la (prop~ 43) ~(\,I

\

t,.

r ",' t l

.""~I",

.j'

¡e con~~1.ti:ri,a en F:F':: r3:73::1'/2.:r2. t-

.

-.-

,~.111

../ I

rl . . J .

c:~

>:~r pe ..la in~rcia y. choque de tOa eue-r>po-s. -.!

i

."

J)

,.',

~;::."

!!) n

\

.. -3 S; .•- S!!JI\L!I!a ,inercia la propiedad geqeral de que goz,an Ios;euerpos .; $!,n ·\¡i.r t,ud dF: la cual les es enter9mer¡te indiferenJt~ e]·'q:uldal.' de estado; así es, que un cuerpo en reposó Ó ell movimienw- párn~neceria e~erf!a.!ne)1t~ ' elJl él, 'á m~l:iOs 'e.Ll!! una, causa: estraña !lO !~;)~jlJ}ª§e_ ql!!Al§'le rhicie.s,e muaar de estado. Es'¡a ~IQro'14~d,se ma~ifiest.1L len todas direceiones, y p.rQ yie!ile d~ ·la ¡gl.'ávédad , 'puest0 qQe á un ctler'RO, q u,e sae se .!e p}led§ hac~r dí!scender con, [naS .ve., locidad q.ue.la que le cOlllu!\lica la gr.a vedad:; y á un Guerpa que está en un plano 'horizéntal se le puede hacer que camÍae en cualquier direccio·rt" !f la :'gra~ ;v~d:a.d! 5,010 _oPJA. po.r líl1eas -veEtical~s. " J I t\ho1-a, paril hacer pasar á uh ,§uJi.rPJl del S!ita.

ªQ

,

1

S

T.

n. -


226

DINÁMICA.

do de repos€) al de movimiento, se,~á . nec€s,ári; emplear una fuerza mas ó mehos gra'llde ¡ segun sea su cantidad, d'e materia, @· h!> que es lo uúsm0 ', para ha'" éer mudar de estado lÍ utí (}Uj!'fP;o, será necesa}io' una fue7l'lia proporcional' á su 'masa y at mov,imfe~t:oJ ~e; hayal 'de prQdu¡;ir (), des't'fuír. Ll ••; ~ .- ,LI:J"'_~ ' 3 56 Esto su puesto, se llama~ cuerpos ,eurof aq ueHos cuya forma no se puede- ¡ilteral'"o@n. €uaJlq-u1~l' fuer~a c¡Lue esteriormente ?e .les a~pmp~~ c~rpos ,~tan- " dos, aqueHos en que<..se-:v6'r'lRli!a lo cont-ral'-lO,!.y t'euerpo~ elásticos, aquellos que pueden s~r ~omprimi40s" "i tienen"la pf()piedad :-dg;~elver_ á recobrar~§!lí; ~rÍliúti va forma, con los mismos grados de fuerza que la habían pe_rdi~o. - , ,7' . ,_ ~ , Se Hama choque en-los cuerpos, e) go'Ipe -que :Há'rl I unQ contra otro de UF! ,mod'o cualquiera; si, se verifica en la direcelon de -la r<icta que une 'sus ·centros de' ghvetlad, se llama directo; y cuando no, obtlc'uo. , .3 57 ~i dos cuerpos ·iluros~ de' iguates .~7iascps '; ~ chocan en sentidos contral~ios, con velocidades iguates, deben permanecer- en ' h1pOSO' ,despues d'e1 .(!hoque. ~ ~ :! Porq ue C0mo las masas y 'velocidades son ,iguales,. tambien lo serán (316) las cantidades de movimiento; per.o los dos ouerpo§ se·chocari.en diFeccion opuesta, luego quedará destruido elmovimient0 del uno por el ,dd otfO>; iueg0 qiu.edáj'áih ¡eh repós¡i¡: ' L-. .Q; .n.'D. ~ - 3 S8 Si dos cuerpos rlutás rJ.re , 6hoca.fi~'én.Jsentido'1 contrwi.os, y se equilibfárf','t'$ene'll earitidudes {;le movimientos iguales. /, l ' e l ,~¡ .• • . Porque suponietldg la,masa de und dé e111ós reduciaa á un punto material ¡ .(j , á :una pa.rte~ alícti'Üfa de la del otro, cada punt@ ,del'.segundo cuerllo:i 'cféoer,á destruir,en el. pu,nt0 únícg del prim€ro ¡Í¡na:velo'cidaü ' , igual á la del segund0 cuerpe';' k(ego l~ ·flierza del primer cuerp0 debe eq1:liv.aler á la de un punte material animado de una velocidad igual al ,p roducto de ja v.elocidad del seg undo fnu ltiplicada ~eJr él· nú~ m~ro de sus puntos matéria les 19uéi'les 'al pri'll'lerO, ó lo q úe 'es lo mismo, p,,!r Sll masa. -

que

(

í

.


lHNÁNíJ€A¡

~2"l

Por un razonamier¡to a¡;¡átogo se deducirá que á la, fu,er.z¡l:../>ií!l seguqd~ cuerp6 s'e 'PJJ~d~ ' s!lstituit la de un punto material, 'animado de una velocidad \ iglla:-L~l próducto de~ la veloQ:idª!i Q:~.1 pri¡ner \;u.e tpo p <l!.r §u ~mas~<~ lu~g(!)Jse. puede reducir el choque a,1 del dos puntos lhater~aks .iguale?, .Cl) y.as ~elocJdades eI:1contradas sean respectivamepte iguales á estos produc'tos. LuegQ:-.en í!J..¡::a.so 'de eq u~li_b.riq· e:stos prpdud:o~ ó cantidades de m~vimiento serán i,g~ales. L. Q. D. D. ' ~ 3 S9 La,. vtlrJ¿Q4dFd ,de. lpL c!,erpos: dy,ro~ ; ~despl~es del ch·oque, ef igual á la ' suma de sus cantidades de . movimiento ántes del-· G7~oque: , .djvi.4.id{l< For ,la sumá de sus masas.' ,. . . "~,_" Para. d.emQstra,dQ_, 'suppngamos que . los cuerpos caminan en un' mismo sentid0, y que-M s~a, la" mas!! !;ld . éhocam.te~, ·y·V: su v-eloddad áL1tes del choque; s¡::.a M' la masa ,de'! cuerp@ : ehQcafio , .y V' su veloddad tamoien ántes del choque. Ahql'a debemo.s observar flue el ..chot¡ ue qo c~sa past-B.,. \J.'ue el cu.erpo ch0cado tiene J ant<J. velociclad cQmo le $lueda:1i! ChO;7 cante ., pU,es hasta este moménto ~i~m;pre le irá empujando; por COfis~guieqte cu'aFldo c~sa el,<;hoque, los ~m¡ cUFr:pos caminan unid,os con unas . '!e~@cidacle3 ' \.. ¡guales., l;), ue.. s.on l.as _'a~.!t r.~onsel(:van (. d.esp-l:1!!s . del .1' . .choq ué. n . Lla,mando q<; esta, velocidad C<!lmur.J, se podrá eoÑ... 'Siderar al .chocante, en , el instante_del cheque, co~ mo que. tiene l:as 40s velocidag,es 'x) v,""7.X, ~l].: el s.e!1.. tido, d,el choq.ue ; ig,u~Jmel1t~, el chocaclo, ,elJ ell'f!isroo .instante, se podrá cons·iderar ,é0lJ las dos velo.cid,ade.s. x en, el $el,ltido dda ,¡veIo-ciq,¡id del eJ').ocaJH~, .y IJL;-,V' en sentido contrario ,. PllcS la -clif~r.encia ~cl.e ' (es.tas dos v.elocidªdes e~ J:/ l,ell e) semid.oJ,d.el cho~ tcante. t .) ..... ~ ~ e .r.".,,_~ ! Pero- lo~ cuerpos. solo deben conserv.ar la veloci.- · -Aad <.C<!lm:U;H....~.;, 11l~~0 !!e!)-eFág .elil.uiV.bl'<\Jse con- l~li otras velocidades, y por lo dicho ánte-s. .se tendJiá..~ ...l--• )\tI:iVf'.:,:x"-V~;V-X; :;r :. " ·i~ ! , . .


228 .f .'

.. '

D'tÑAM:IGA; ~''''''MV +M1V1

o

de dbnde sale ~= ,

1.'~

'

". ,

r-

'; e¡ue es :n.. Q,":p~ ,D.. !

' ;" IVl+M' " " ',' .' Si él Ghogadó hubiera caminado ántes .del cho"l. ue en sentido c'o ntrario del chocante, ;esto es, cleJ que tiene lna:yó.r cantidad de movimiento,' s~ habría

(, Ese¡.

e

I

J

.

-"

, )

deducido para la velocidad c~mun ~=

MV~MIV¡ '

M M" '...

-+ lC' ) .Si' el· chocado está en reposo ántes del choq,ue, se ~\ '"\ ; ' " . , ' . MV .. " debed. hacer VIr:::.O , y .res_ultad. x=lY.{+.MI .; ·. , •t ~

"

í..;.""'·'

.

.

r

I~

Quitando el divi'sof del f>rimer valor de~, se ten. drá iV.[x+M'",=MV+M'V'; lo que' manifiesta que 'la suma de las cantidades de.

movimiel'lto despues del choque es la misma que á,ntes. 36 0 Si el choque- se verifica entre dos cuérpos elásticos, y se quiere hallar su velocidad despues del ehoque, det duplo 'de la velocida'd que ..tendrian1l·es." o

púes del choqt¡é, sillo fupsel1 etás,ticfQs, se restClf'á 'ta que cada tina tenia ántes del choque. . J?orq ue mientras q uelas cuer pos 'se cornp rimen~ la distdbucion de las fue-rzas se verifica como en el choque de los cuerp0s du!o~ ., de donde resH'lta qu:e si llamamos .le la velocida-d q uc Iros cuerpos rt;ndrian en este caso, V-x s'erá la- velocidad p.el!dida.. por d -chocante durante ' la compresioh, ; pero ' por la naturaleza de l'Os cuerpo~ elásticos ~la '~rea'cci'On 'de Fe'sorre es igual y ci:lnlirátia á la fuerza, con querha sido comprimido; luego V - x será tambien la. v.elo''cida,d perd.id-a f>qr la reaccion; de suerte. q ue la :v,\:locidad total perdid¡¡,"por .el cI~ ocante será 2V-2!>C; ~estando esta velocida~ .perdida de la -velocidad 10, 'q ue tenia el choéanfe ' ánt~~ Ciél éJ'jóq ué, se tendrá ~2X-V, que es la v~locidad del éhoca¡ne desplles del choq u.e.·... . ~ .;. ·',e.:... , . J La velocidad que el chocado gana durante- la. <

su

~I


DINÁMICA.

229

compresion es x-V'; y. como la reac.cion del resorte le hace gan~r o~r'(,r tanto, la xelocidad total adquirida por el chocado durante el choque será 2X-2V'; sumando esta .veloeidadgañal'ia·eon la 'P' que ' tenia 3~i~es del ch¡:'q u~, . s~ vendrá '2x~VI 2para ·la veloci~ dad deLchocacl.o de~p~e.s. del choq ue. Este lies,ultado y el anterior manifiestaa la verdad q lle,as'egu.rám·o:s; y:. cléb~ acl.''4ertí.rse q'\ie en este JáItim@ la velodd.«u V" puede.ser aula Ó, ¡;¡egatjv~, _SSl.gj.lll. el . cue¡;p,,() . cboe~ t.!G. ~sté en, r,q)(i)so @ vay.a e.n dir.ec.ciQa contraria. 1.' ~. 36~,. En el ;eho,q~e de, l,os. cu.erpos,. e.lásti.coSJlIl J'3u." minie los I productos de cada: mas..a por el cupdtraaq, del su ve~ociJi~4. ·, de~p-t~es ·del .chqque, · es iguat ·~ la tuma de los productos de ca~a masa por el c~ad:rá.d~ tiu.u veloddacL4l1.t.et-dei choque. ,_co.m.o lo manifiesta· lé!o .siguiente ecuacion M(2x-::-V)Z+111'(2x-V'y: . i - I 4X2(M+MI)~4x(MV+M'V')+Mvz+M'V/~= ~ 1 - (MV+M'V')Z, ' " ' MV+'M"V' \ ,

~

M+M"

."

,

~.

';.\., -

·\ (~-¡"M')-4. :\1+1W' (!!'iV+M'V')~

l~

.....

I..~.! ~.....',

..r:.

.

M1(P+M'V"Z·~nf.J7z+M(V''',

~

.

:. \ ,¡

pprqlle. l~s·· dQs

pr.imeros término.s se destruyen. w~ , - 362 Se €fltiende por fuerz,C1 viva de un cuerpo, et producto de su . masa por el cuadrado de su v'ejo~ ddad; aSÍ, en ,el ~hoq ue de los cuerpos perfecta;, meute .elásdcos, la su~a de las. f!.lenClS vivas es \ ja fJJisma ál1tes y despps-s del cHoq:ue. " _ (. 363 La vel.Qciaaá con que {os cuerpos elás.tieos se sfipgr:an, áespues del ~hoque. , es igual á la velod'dad, con que se np,·o:J¡iJn.an ántes -det choque. " ~' . Por}/ye si los euerpo,s caminan en un mismo se~ ,~ido áute,s del c'h¡:¡q tle , la .velocidad co,u que el cho." cante' se aproxilEli!- al clt0~ado es V-V'; . " ::"'\ pe ro la velocidad ,eoil que el chocado se s.epara del " chocante despues del choque es " 2X-V'-(2X-V)=V-V'; '. ~

¡luego estas velocidades son iguales. L. Q. D. 'D • ...~

--


1; • • •

~;,::;",..; '.

I

,~-

'l.

1e-;'t

HIDROSTÁTICA;

) I • \

'"

;

'JJ "J

__ ,

I

I

1.

;. ~~!~

r'

ae

364!' , Se llárÍla l1í'asa fluida ucia ,iíflUn;j,(ill1 patifí; eUlla,s, rpateriales 'a'e- una s¡,una liél1.uidad, yl d0t'adra~ de'Una p'et'fecta ¡:il9vilidad en tqda:,das~de .direc0ird:i ¡:res'¡ó sentidos .•I ';" ,'~ ,1 ';):", ¡,1 ..r: '1' , j v.. ....... ;-.-" \ Se , d~sdinguefl) , aunque> no 'C0j1 todal prGpi.edád~ dosJe-speej1i!s I d'e l flLíidc)'s' , á sahel':\ :fiui:do$ '~nc(j711pr'éi sibles, que son a-q.ueUQ5 que ne' se pueden r.eduei~ á" menor ~v.olúiüen sens'ible por lIlas 't¡Jue 10s1c¡;¡mprima ",como el agua y la ma)'lilr:'p arre, de! 105 ' liCGres,; y fhiidos ,cml,lpY'esibl'es Ó eMsticos , ~ como el, ai'ro y los' diferentes gases (*) _,,! '" ' :~

se

,

"

1\

\

1

\,

•• ~

\

...

"D. \)

('*) ' Al hablar de esta d~visil),ñ¡:ae" los fl~¡idoún éí a ,de JI1i. -Tratado elenten'! § 4~:faet tomo 3.~, pal"te., I. tal de Matemáticas, impreso en 18>1 'C,' ttlve-ka fi.nne.;,.ZlF d'e. dec¡'¡'~ 'que esta divisjel1 'er(J¡ Aron-ew,-á pesar de que estab~do'ptada ,por ~?do,~ los Sa~i2s" Jet' COntinente ; ma~i-f:lté ~os sólidos funda1flelit{}'s ~ue tenia p~ra::.et}~ ', y nté"k¡s esperiment'os l hech'os'J!or :t"S'tí; • bJO zngles Mr.. Callfo,;\ , 'acerea ~e, la (;'Ompreszon de • -los Uqui'dos, que negaban toqavíar [;0$1 esé-fitores france:' ses.--:::A hora, tengo la satiS.f~ccion !le !anurtéiai' , qút habi-endo. asistido en Pm:ís , tÍ )hs leéc:iofies,ip{Micas d@. Física y Química, dadas,~ pol" lo ~'dbidS. Glly-Lussad y Thenard, han 'reconoct,do como_~dati6-td culfnto ' ;;0 espuse sobre esPe papticular. PosteriQr7?1e.n-te~'se lían hecho otros espetvmentos; y -todos;'ettos ij'~el"e'n muy ~ poco de los que yo cito en mi Mécá11tca:ElJ efect~, de los~ e~perimenPos de MI". , Canton' ;~ remltaque el agua se comprime O,OO?046 ~et ~olúmen primitivo! PO!" la compres ion de untl 'atmosfera rde los de Mr1t Oersteclt, resulta solo 'o,ooo04S ; y' de los de MI". Pel'-' kim, que 7:w enco~trado médios"'m~y 'ingeniosos parJr hac.ér SUfl'i1' a~ agua ll:! compresio~" de~11?Úchos ceJlte!.\ ?'lMeS ¡le atmosferas, resulta c(m lo ¡numo que ha"! UÓ Mr. Cantono / J;

¡


:gm):toST:Á'l'IIC A. 231 " "Si ~una..l'Flasa fhlida llena enteramenteI une vaso Cl~i~ado por \t~das parte$ ', I'j haGiend0 en,ldich0 vaSí!) d.0~ a!?~lt:\l\l'~S igualel¡ se les aplican po·rcimedio .·de dps, él11b,o!o~ 9,9S presior~s iguilles, manifiesta la es,. perienciª, q,u,e " tos émbQto$ qu.ed(m en ecJuiti'~rio; .lo .. ~ue prueba que el Ifluido trasmite enteramente; y el} todos s~ntidos la .p¡:esion apHeaaa á 'ijfl.O de los ém-

helos., ~~ . ',.,., -_ 'o j I "

t",

J

J.

-

. ,L~egQ si una ~e Jq,( aID~J!tMras es m3iyor que Ja 9tra, ~a) p,resion aplicada al émbolo menor' se trasmi~ tirJ p\!;q~~eflts: sobl1e cada pa'rre de la base delma<l y.pr agual iJ la dellI)enoJ.>,; :!de modo Iilue ::para que haya eq~l!¡}ibl1i0, las presiones 'aplicadas l á los cf0s émDolo~ deberáa es t~J." ea ra~.\'l11 inversa de las ba.ses g:e los mismos émbolos. ' ( ',. rr:', J l • ., Cl,laudq,!,ll'!a J¡Ilªsa: Jiln,uª"p;¡m pdúiida está en equilibrio, la presion ' que ¡;;a¡¡J,a !l101écula contigua á l~ sUJ!er.fieie jile! y~so· ,.,ó ~ Ja~ un .ouerpo irúroduci.. <:lo, en el ,fl.u ido, ejeq:e .~qbr-e tai.Yl1ii.s\J.pe¡¡¡.ci~, er per..pendicu~~r -á la misma mpúficie; pues de otro m'o do. ~o Ls~.rjaJ4: presi9'q ~elilte!;aqg:¡;¡.r~ !:ffislruida por la re~is,tencia ,de la ,S¡I perfiCie , [1 y~ poJ¡-co ~sigu:ieiJte:.ialta; rja r.e~ 1alg¡JiRr10, que és · c~mtra et supuesto. ,,,J' 'l N

-J. j6~ ho 5b ,la~ m.fJtéeutas ~ 4e UIJ.. fluido contef}ido un vaJq, jqbierto, se hattan ~ solicitadqs- por sot.a

en lá grave'{l-Jtd_,J~, I!f .s lfperficie '4.e)jJuid,o está á nivel,,todá fa, ma~4rJlf&o.i¡da e,st4 en eqyif,íb.t:i.o.; ~ ~ , . _)

_ P0'J¡!l:lJe t omo la graveda,4. de lUna cualquiera de las. m<i~~e.LJ,ljis~sl~Í.a sup.erfi~ie, es entónces per,pefldi;:. eular á, Slicha superficie'IJ la"l1)olécula no rjen,e, nih~ - gunª,.. t~f).d,~acia aLmo;vimiento hácia niag un lado de !a su'.p§fici~ ;! y com0.,.~u~ced~ lo mislIl,o r¡:specro dll teda,s las,- IIlO'lécuJas de las capa~ paralelas á la pri! ' m€ra ,~ fes],lI1ia la propos~d.Rn. , Luego Jas superficies de ,Uf! mis1uo fluido cpnp,eni,,,

do en un tubo ,'ecU1''l.' O, y . que ,se, J¿qlfen en 'equilibrio, e6tán en ,una misma superfic~e de nivel {¡ hgri'ZQntal; cuya proposicioa es el fundamento de la nivelacipn 1<!0Q. el... ~nivetde agua. • 'f ... ..

r


232. ' RH'HtO!TltTlc~r , 366n ba' presion '¡jt~ :'éil¡ tódÓ~ ·senti¡¡~s ~fúfrb':'.un" molécula cualqld~l"~ de un fi'uido qu~ i s-tt!iC'i!.noequi1ti,)

bhon;lentflo-de un vtiS-!h és ~igü¿¡l al péso?(le '1Hrtl c?luin' n-a '7JIertical de! mislllo ,jl-úido; wya áftu'ra\ seíÍ''b& dí'sJ t.anqi'CI, .que. ~ay desde la rñot~¿ula hdSf-G·la Jjupe'rfieie. supc{ior ¡del fluido . . ',S" J : " , ,.d, d, J. ) . Poéq.ue enrpfin'Íel' "lug' al' estac; mtlle'eH:¡a· ~ "hall-a!,.1 . igualmente comprimida p.ol' todas part~s; pué~ >\de J

-

Jo

••

,

lo Gontrari,@í se m'ov0vi¡t ,M ela raq'uel tadó J:¡áé'iá don- ' de esperilIJ'€l1tase .1I)etlot. presi0H :' Ell '''ségíif.¡íi0:~lugari concibientto que toda: ·lá, rnasa-fluiaa', eS,cep1:'o €sta 1co· l~mna, s,e 'llega;:í conjela:.r '; sln '~uda'r a~· 1blgáil ni yolúmén ; la'molécula,'swPFifá 'tcida vía- la:l:mi~ma 'pres.iGIil; r como 'en este a'50 sostiene !t0de "ell pesó ·de la columna que ha quedaclo ftuitla ;rresul?t>adt.~. ;Dl D: . 3~7 La presion que '!~'jluido eje'r~e solir~. r.ma. s~~

perJicie plana 'cualquiet'd, es 'tgúaL dlopr'ailq.otlJ ,lfe.'I{Ueha' supel'ficie ]lorta 'd'istancia ¡:kiu eent,:o .de' 'grave.. da~ 'al (plano denivet ; :~ ~(jr 'el"'p'esóJJ.e'spedfiao- de~ flutdo.v , ~ ~. {,l~ .) ~" ~. - ' Porque concibiendo la superficie dividida ea ·un.a ..J

.... .::-

... ",

I..J.

\

infinid:ad de superficies ,. múy pequeñas, ·{é·l!los · tos PUntqs de: Gada,un3!se ped"rán considetá'l' :~ótBo ieqfií_ distantes del plano de nh'el, y ptl'csto <l lte\''éada: 'puntó es:tá. C'0II!primido) perp¡'l~d,icu1armf¡fut'e: .ft;'lch·upai"'¡ 1ioie, poJi,u'Ha· fuerzá 'igu.M al 'peso' Id'C \ lÍá'Ia~colUlllna de fluido ,de una alt.ú~a ~~s'p!esáda ·pbf.~1:a; !diBta.¡iJti" de dicho pUnlÓ á'Jlá: -6f péÉfi'Q'ie ~ d!{,:i ni",tít::; ¡¡~á.ljil~á que cada una dI! estas p~q.ueíías su perli&fes 'tÍsp-eritne¡:¡tá una. presi'Oll igual' al pes5 1q,.e un p.rglftá· d~Lfiutd~ 'q ue tuviese por base á dicha' '5:l!Iper-ficié f; y " F~'r:'ah'ura la distancia de la misma ·superficie 'al .plaho' cl:e. ' 'nJ'vel; pero el peso de esté :;¡frisma es í:guaJ¿ ('2¡63~ ~~C.) al producto de su base por su,'altl1(a .f(q~lei· da su VGlú¡ meQ) multiplicado ' pol' 'e~' 'péso eSp_€GíNQ~ t1é~fluido.; luego la presion tota'l~e's 'igLi'¡tl á~ ta, ~s'um'a" d'e los productos ~e las peq ueñas su pe'dicies mtll~iplicadas cada. 'una flOl' su di'5ta¡:¡dá· all pla{10:, de1-niv:e:try ~I)or' el peso específico del fluido. Y COÚlO pór, IÍ!, pítopiedad


:arI>R,dsJil'Á1U1 c:¡n ! n demostr~d:a. al í}n rdé"j, (§ 2,16-); esta's,uln1l1~d prod,uc.:. to§· es..i~Il1:al , á ::l'a ~sllperfidéJ..el1teá lI,J..ultip)ioaqa. po§

la distal1cwg.e .su..certt!ro,!de graveda:d idQP'l<ifiocJi!~. ¡!ii vel, resulta L. Q. D. D:c - -' ="-:1-' 'l... )' 001". ' ; LlJIego si''Cl 'f.onti~ de, un :,vá'So, ,l,l-eoQ de un 'fluido pialq uiepai e's )1orirí0plaL,da -presí:O rl ,pobre ,a.i;j H¡}o ftHtdd ~éf'á .igl:uíL, .í$.n:lJ1,d 6 c.mc:yor-, qt¡~ ·d :-pef ó:, det jl1tid,(l:cqnt<e.niao '.en~~t' :vá~Q ; .se~u'laSr¡ua )~g=-:'?tI:~í>:';seap ci 7 líf!d:tU;-o ; :6 ~ea" alic7vo,~\ó es.tr::é.c:lió'2.de Doca, te's.t9 e~, sef

gUllild.l:'enga:,la fig.L'l ranle ul .{,t'ozo ·d'e,/eoo,o .¡ig§~ang¡.n~, do obr.é .Ja ,base~l:D!fet¡'G;r ,'Jf> 'sonrerr1a,Hna y,Qr. J ~I'b ':J 368 - ~uat¡do u~ ;CI,ÚpO~::está ' ;umef'gi.~p 'en":~11 fiui(lo' pierde una· pa'1!te' de'lsfl. pe.(o ;- e~resa.¡l¡q pgr el peso Éle, u1f:aJol{l11'1en..igiual' r.le· fiui:do. ~ "';:>,'; .", >~!., ';' • ') -!,~ ebocibatIJQs en' med.io "!i'e;la masa' &ujcl~-(6g: 10 4)

uri tp:rer:ahd-epipedl;lJcg ;Jy teud:rérnosi(3671 qd>l!€:l-a- P¡;~j si(JTP que sufre lat (cara rliuer:al ,~bdNe's..tqrá'cre.pre Se 117 tád(l" poi.:....uoaccolullflila fl.ui!ia., cuya q,as,e.es ,la . lllism~ car:a, y ,1a2a.lt.u.t'a\\la¡ , di~ta;¡¡jda de ' sU"ee. i~t*e ~~,g~fl '{é, dad al ~ivel deritií i~!\!i·;s.*~caral~ o;ple..s~~ .f.g,f1r· sl,lfr'e ~qa!l ¡;n;.esión 19¡oia~·p:pe¡-f.l.:e¡{ ?:Gá,tidxD,_~(jmr&¡qq.;;, por J~<t¡ u~ • .t'!s dos IIM!si.6·m.~$¡~s.e\. destrL\,y.~~ :F'Y\ 110 IJW9 'aueen niogun rno~ itIll~l'Ii:'Qj i 'Ji 'lQj ~¡nisJñ0, , s,uc~e,~~r,* :la.s 'o~l'.as~ dos.C'aM s ~aterales lupuesta 5 r.bhJ;-:.~drigr- Aho'ra, la aara supeHcmubgj sufq!Ja ~Pf~ion tl~ la q9~­ 'lulIJ-L1a ~idro de.,1iJ. ¡,¡,e eHa~·es ;l:a....pase ;.~y 'ó u:H ~ltjÍra es 1n1l. La cara inferior sufre_una presiol1 . !;f.Il~e. se ' ej€s~ !Ce aiDajo ácarr¡i ba i espresadá pm: una .¡:idh!!nna de ¡fluí,do, cUiJa base es la misma cdili y, cu ya:a~ura es pnj - .pero:.\ si ~e esta¡ s~ .quita,¡a 'presiail"Sup'efioll que traj -~a dedraeetle 'deseel1lder , solo qued:a,rá ~[¡lía JDresion, 'qu~ .ejerc~rá Ideia'l:iruju á arriba ?lY es.ta-rroes·pIle§ad-a. 'por .una~ column:i")fiu.jda cL'lya' base es edi h, YJp111 la altuDa ;.-.y C0mo' eFe f.orma el voltímeh' del, pal'alele;'pIpeao cg, il'esuita ' q'ue el cueTpo está solid!ado de 'agajo ' á~rriba por<un esf uerzo'.iguai al' pellO del vo,: %men 'fiuid@que él ,desaloja ; luego eoté peso menos <tendrá el cuerpo, que es L. Q. D. D. ': 369 ·_Luego si' l'eiialamos PO!' f _<::1 pepo e6peci~

d<

se


234 IUDRidSTiTH!A. , Iico d:el clÍer'po, ,~ por VS<Jl, vo!úmen , 'Y)porfp :~I'Pesó é~p.ecíficót deLfiuido, re.suJta l f]Jl,~ el peso l del cuerpo d'entroLdel rftluido estar~ nepresent¡¡.do pot ~ Ir i' Ji! . .PV-p-V,-V(P-p). (, 'iLJ2~" ,J:n n.', Si P'::dp , el' cuerpo ¡p'ermaneeerá ea . equi1i.brid\ eh ·ct¡-a:lquier parte del ftuid'o 'que, se ' le lc0IoJitlé: ~R' ~'. ' Si p<P , el duerFo desoe¡.iaer.á ,h~s~a el fondo MI vaso ~ -c().n luna ttuec:z,adguaLa,l escés.o de . s:u~,peso::s.Q,\ bre el 'éieiAluido desal'Üj.a:d:o;. ;~> si p,>P.,,- ,e~ 'Clteí:pb' se eleva'ra.I y 'saMr.á delrftuido i hasta 'que 'eI ;.,volúliBe¡-; 'V 4,e la.párte.. su'merjida 6ea :tM q(i,e se veJiífiqtierque -,

P¡¡:'~p'l:i=o(,; ó·,RV<=,Fv·· {4r4). ' ,

f

3\,

,,, 3.70\ '.$~ Namal1il_0S V. el v,olúmea.Ge un 'cueliP,Oj cuyo peso' específico P' , es'cé~a · los. de\ dife[é~1tes fiU!i.. áOs qué )esÍ?h~a~étúos pCiJ.rap,,,rp', lf".['Q.?'d>:J$ fel introdu1!imos ~~f(~~sí vru[Qente:.eh~ qiGh~.s fl.t;li40!sJ.\rnesFha que pV~' 'P'!V.r'P''V, 'tt.c •. secán Jas_p,érrdida,s¡ res¡peoti& ,.vas de péSüsdeJI cuerpoi eh ~tCiJS ,fibidos¡ rAh.O!'a;.f:dil: . at'os' v.~I?res·r '5-B sa:can eS1as-_p1:0!"oucipnesrl .. ~n~::¡ ~ " pV':'fy:: ~plP-;O pV:p:;Pl:¡:p;p-,'i,Jl 'q:)',C~ ~' ¡ l,fH lB 1)00 ','.J La p'f ill1-erra! s¿'rvmcá paJra ;d~ter1rninar' ebip&so-{ es.p.eJo , -{Jfieo -dH"cuerpo, por medio,'lM :deI:1!ui'dCT-Iyúk :JaíPé1ii!diilq de pe101 "'d:e~rcuerpo en. el fluido •. I .. '~.,'.i !l!}!)u h :" -L~s'e,g!1'rida hará cpnocer' -el peoso ,espeéíftoDl:fDJ ~d~ 'un H'qrú¡J,o '¡;[~lGlquiera', ) .01: in~dió del o p de ,ots:o U'q1fido y~ de las PérdidlZs de, pes:o J(k-i.t.nmj~mo , cue}r[i.o 'e.n_l ko~ -itos ·lítfutd'o}.•r ..) ';' ' 1 ' I J 'j 1 > l ¡' . ¡.¡:') L f '1'[[ ~ Tad'íoleIt.se pM~de espresar el peso especifkb cl~ :Un líquid0 por medio deUJilir:amipQlleta las,t,r adá., ,en 'Cu ya; par té su periof. ha y 'Ün \pl~tillor donde lsejval'l -échaacl:é 'diferentles, pe·s as; ,s e~ sum.erge la· ampoHeta en el 'líq ürdo eu y,o .peso es'pec,~fico :s'e eono@~:l, ~y des, :pues en el otpo cUJo pes(J)l'espeoífico:¡se qu;e.r.e cene'cer; y eargand0 Ó descargaJlld6 el platillG cqnr la.$ pe~sas, se nace que el v.dlún;¡en v .de la parte" su!iIlergi'da sea uno mismo; ·6 eN ·otl'OS términos: ·se .;añadell ó q uitall pesas al platillo ha:sta. que la amp0.11ena sé . Íntroduce hasta un mism o pun.tQ. en ambos liquidos,; hecho esto, sí '1 y q±k son los pesos con que. s~ ha,

l

I

,


nIDRO.5TÁTICA.

,

~::3)

cargado el platillo I y p, p' los pesos específicos de los dos líq;tlid0s , :se teñdiáIf)f'lA;fp;:k=p'v; lo que dará q:q±k::p:p'; " 's'37i' : E1 j,nSH~u'rne11tol, <f1!é. se!emplea~en esta' ope. nCiori~se llamahareómétl'o ,Joi~

'o' ¿

-;¡ . '.',

" , ~~

Si ,se quid'e¡,¡tono:cerl eqMu_~specífie; de tm( cuerp~ '1Il4S ligero que el líquido en flue. sfrJe ; qt~iér2151Jme'r!3il'J; t"

se,'ata-ra, "á: ~¡-clú;¡ ~C1Ú!rpo ro~ó l!ba:¡;[~me pesa'dcr par?queJeh sisnema,deLlos dos ,s~'1>ueda: sl'lm:e¡;gir: énte'Fa'.. I!iJ'erIt~ ,; ~ se . obsel:va.rá l:a pé'Faidar df{ 'pe,sQ !deL:sJst'ema eÍl' el Huido id 'est-a ~se" re!>ta¡¡á': }a ' ~pér.dida de peso del Fuer po añaelido ,nf~ la resta s~er-á :el: eseeso deL fll1i~ 00 s0bre el prünex, cl'lerpo ,::e.s, deór ;'. el pliloducto de! ~5{r específieo' ,<del, . fiuLdo por, ~d\"v.(¡)h.íq¡e(lv~~ "dieh\!) e1!1e;rpo; y,di v.iW:(m'dQ l¡¡¡restac '.lp'OI!\'dicho' ',cuer:p(p,1-se . tendrá ,l a relaciofl\ deJ- pes(j~ espe-cífic-Ol ,de~{luido:'all tiel-cl1erpo : l;o'q, físicos 'han: formldo q,hlas 'de los pe~

sos es pecífi'cQs::.dé,difer.enies.:Sust'a.nda:s ; na:biend'o , tÓ~

mado .por. térmi~b de _col'ijí'ar,aclo:m qj¡ p'0¡r" qj.nid,a d de tp.edi'da' , el pie-$1íbico de ..agú,,! desti'l,ada', cOfl's ider¿¡;da¡ en 'el' vacío y cá, ;¡¡¡f-t~mpe~atlur$.tt~ .t~0ai (t~c4°· s.ID)Ji,~ eero 'd el termómetro ce'cit1grl\.dq. Estas tab1as< pueclen verse en mi meeáqica;práctica (pág. ~24 Y. siguiefltes); y aquí solo adv,ertil'émos que en éstos principios es· fan fundados)os. difer efltes ·espe.r.üI1fpios qúe se ha! cen echando ~n una vasija diferentes Hquido& 'ó'flür.. dos' que no pueden mezclarse, Iy ell' lGs. emales no' se ~erifica el equilibliiQ hasta .que losl d-e me\lo.r.¡peso es',. ·pedfi.co van"quedando enCima, cmu'b 'sucede cuando se echa aceite y .aguá. en un vaso ,i Ó·en 'U!lJplíl-to &c.; si los líqu,idos ~on tales que se ¡nezclan ~mno su~ tede con el vino y eItagua, en ecmando 'p¡;imero "eJ agua y luego eLvirro, de modo que caiga suavemen-' te por medio de u.na COl'teza de pan ó' un papel, el , ~ino p-ermanece arriba y el agua abajo. Ademas, en la rr,tis~ mecáni~a practica (§ 44) se manifiesta que :un pie clibi o de <rgua destilada pe~a 47 li,b !as. ,

i

,.


2,36

~

. "",'lr

(1 n , :~,.,q ", I .:;:i?'''1 ..

...

'fl el

..J

'~f ¡l "1

w-rr \'I'i

",

1 ,..'

\- ....

,

..;' ._ •. :..HJD~0:QIN!ÁM~C~, ~,j',' í, .

• \,t

,:.

fJ fJJ

- <./~qZ<J .LaJJHid.r;pdilllimi'cct.tr.ata. d~G m~ví11'lientq'¡: de los jluidlis;. y- su aplicaciefr a:l. ·a fte :,de. condu.ci-r ¡las.

a.g:uas, y. de Íl<l!€,ér'~a-s!ser~t.\ para mo:er;las máq úi'uas, ~e , ~ama J-lidrauttca. \ 1) l' . \ ~ ":. ' . ' ; : ... 1 S:.' +aesperienda' p~úeb'fLque si•.se ttien~ una va~ij.ét ABen (fog.1liOsD llena de . agua ó .de cualquieJi ~ 0llJ<! fluido, .y, .(lU'fo fondo,-Be s'ea bori-z:oilt'Íl'l ,. y!Jtenga,.e·¡;) él. U~1a aber.tu.r<i 'cmilq;uiera,q ue -s:e. 11ama,luz ti arifi~ ~ío.~. se ' verlfica': 1. °r'que todas t(fs, moMcúias·s· comIJfi~1 tniéndose mutLim~e;it.e. ~' 't,ier.en 1Ul1G. tendencia htá:cia IC0 !J..f'iji:cio ·, ':2lr., q¡¡e 'dic7~a,s Jlnotéc'u.Zas tJ.e'scie-ndm con ve.~­ c.,i:d~de:s seJlsibleJÍíen,t.etrVet,ticates. é .ig1-"átes, las de tmlD tIJi~1'I1á;.cap;.l 'harizontql , hasta q¡le lvañ ¡tlegado 'á ;l~n'lD . ¡;i.erta 'distanc4/a ,d'8lJJo.ndk ; j~rP oqu¿~ á peSa}" d~ la ·,te.l1!, d,gpcia,.deJkus lno:U(1uJ1!'s". 7~áoia:el-. q1iiHia:.i ' la. stvpevfi'cie. del Uquido 'pJ!~mane{e siem:pr:e· sensibtemevte· hqri~ion~ t::áJ~ ai. mgllQ.s )¡éi.sp.tJ: u:nG p ~que9.iÍl di-.s.tanci.a· del prifi:cio, 4;¡? que fO";'/'/'lismi. ·su.wJ¡e¡cuantd?l et·;fiu'ido .~f!le · por 'una ab~rturllo ,lateral.:. 'P&J. {fig. 1 (6)::,... e,s..deeir " q tie _to.da$ l~s-:. motée~ula~ .'d-es.cJe.n.den al; p~!n¿ipio v~rticalmefl>t..e, 4esp.¡¡es, se .¡;li-rij.en Meta-el ol,ifici'o,¡ y )~CL superficie-.s!t~ p.er.io.r.d,eJ fluid;o"-p.ei manpce siempre. semi~lemente hurb ':;'ot¡;,tát:- ,.·· .¡r: :.. 373 .. E;Sf O S,ú.pMesto·, si ~

J

... .0

[j. :)

i'!l ftuid1J. COTt7e' porumtubo

vaso (walquieJJ"a,;" que perm~nece canstantement'e )Ieno, kás veloci.d.q(J.es le.V. ( 4ifererites. se·cajones ' serán inven.a· ~ne.nte c0rlt0 ..Zas 'á/(eas de ' las s.ecci.o.ne$'. ~ P 'J': - Por'l'ue como el t·u.bo ó el vaso.siempre está igilllI-: fuentdleno r la misma cantiqa d de<fluiGo pa:sa¡¡.áQpol1 cada seccion en el mismo tiem po.-; .p.ue"s de lo contrlll, :rio.. q.uedaFian- a-lgunos hu~cos, lo q I'l e ,es .c,IDn,tra. eJ :;,upuesto ;, y ,n.o seria posib1e.en manera alguna ,- á· cau,sa de lit gran movilidad de las moléculas .déI Ilui~ ~.... . ;/¡ ." .C'J1~~q u¡era; d o, P.ero §l' eSp'leliamo.s ppl' S. u~.$¡!ec¡on y por V la vé/ocidac1' que tiene el fluido al pasat por dicha seccion) tendrémos' q u'é ~n la unidad de tiem~


HIDRobr~AMI'CA; t J31 po ' p':tsad pÓj:'- 'di$ha seocion 1ma 'cantidad de .fluidq ésj¡>'resada; pbr"SV; pOJ.l la 'moi'Srnar;ll.aÍ,@l1) 'Si llamames' s .la: S'uperficie' rle ' @tra .seccion· cualquiúa } y 'V la 'Ve;: ioCi~aq, resultar.á que 'en la 'm,isma mli:dad ',de tiempa: pasará 'por dicha secciOm'1l>la lCa,ll1idad 'de filudo ~presada -.F@r ..Iv!;)" comp es'~~.g cantjcl~des de fluido han de ser iguales, se,"tendr.á,,ISV ' s-v;,! ~ ,'~ ' ) de donde V:v.:s:.?"que espresa: L! Q. n :'D.

Cüar¡¡;lo un fiu,ido sale por, u'h ~pequeño' orificio el fondo ,del una 'vási1:~ , ,que per.manece c(mst~ñt'e'1. mente Uena, ó tri que el nivel del fiuidose haUa sizn¡pre á una ,altur:ll:"cons'taflte, sobre el orificio ,~a veffiei,dad det ft.úido que:.sale sel"ú' ,igual á la '1u~, un cu!fpa pe~,ado; adq:!~íririá eayendo '¿'ibremente de ,la alturA,liel fi'uído sobre el 'of'ijkío. , • ,' ~' , o' Sea. ABCD (liig-:. 107) una,¡ vasija que.esté llena d-c: un',.fluido hasta el nivel. ,EL;;; concibarno's q'\.le ,en el .fondo BC haya una ab-ertura Ú orificio ';p q, que sur

~314

fn

q¡~hdrém.9s ' ser m!1Y" pequeño elll c.om.paracion del

fondo BC; y tend.r~ mos que kpqt será: la columna de fluido q ue d(e~!l~nsa direcitament.e ~sobre la:, aberlfuT"a¡, Su,pongamos que 1nnqp sea la capa de flgido inme-diatamerite eonrigúa:, al ,orfii~io; espresemos por- v la rvelócidad que un c.uerpo,;pesad:o adq uiFiria cayencl(') JlbrpneJ!lte. de la ai1t~1fa nq; y, suponiend..o. ;que la:->Ga'pa mnqp caiga, como un cuerpo pesalilo de la alturá. 'Ilq, al lleg.ar el p,unto n á q habrá adquirido dicha cap~ por ' un movimientcí ,acelefadou,na v~locícl.ad 'V

,~~e:::~~~á (~c. 26.*) igual V 2f; X'llfl,r ~ ' ~, " . de modo que se tendrá v::::V zgxnq- (-4.5~

r:

J.;

Y como la fuerza motriz en este caso está reduoida á $010 el peso\'~e. dicha ,cilP'a, si la:'espresa~~lO~ por f, por K el ,área del orificio, y Ror D lé!- densidad;de! fluido, se tendid (§ 263 esc.) j.: K'X'Ilqx.J.i). , . Pero su poniendo que cargue so~re el orificio to.fda h¡!co,lu,tnNa fluida 'kíqp, ;al pci~i¡pio del'ni0vimien;,~'ia C'l-p,a 11lnqp se ve co¡:gprimida é im pelida por 'el'-peso ae too.a L colull1na- ktqp~, y"aCl~lX1as priríci-

,.o

,;


23&

kIDRüD'lNÁMICA..

pia . éL übrá.r : en ,ella J.a gra.vedad; ',de;,müaü 'que -e} espaciü nq le .anda·l!á!" cün un! lR0;vimiento acelerado; :y~ la caus,: ó fuerza . motriz de ,este lIlo:vi[Jliento~ s.eri eLpeso de 1:0c1a 'la c<ilIumna ktq'f?, de modo <fue lla~ rnando . F á dicha ,fI,leJ:za lIlotriz.,será (§ 263 esc.) iF-KxlqxD ; ,y,fOl:mando propo!sion con ,esta eC\l'<b CÍon y la ~meridr , a endrémos .,' ' 1 F:f::Xxlq~-V:'KxnqxD::tq:!lq (46').-: "J ~'- Ahora" esp.xesa'lld.o por jV l¡i vdocidad con .gue se hallará la capa mllqp, al Uégar el :,plulto á q, im: 'p elida por la prés)on de la coIumaa klqp y de Sl). pro'pia ,gra-yeaad "tendrém0s .qlueJ ,Com0 á igualdad de espacibs en los; m0viffiientos acelerad'0s" ~as velo; ciclad,es (321): están',en ,razon ..ÍJil'versa de 10s;,tiemp.0s si llamamos t el tiempo que empleauel punto n e~ pasar arq , t¡cl:lando la capa. m~nq¡p se mueve á impulso ,:>010 de su peso, y -'f'., el. 'que ,ern,plea dicho PUlUO'; tJ en pasar á q, (mando la capa mnqp se mllleve F.or la .p resion deltoda la!lcolumna,~kZqp y ¡por la gram:dad) 'f'" vt '..... v.~,- . teadrémos ' P':v::t:T, que da:,T: , V (4?}· ,,'"

n

r

-

,

... , . . , .

j..I

,

Por otra parte ' sabemos (319) <rue ~n los movt· mientos aceÜ!radO's ias velocidades están ea razon compuesta de '.las fuerzas motrices y de los tiempos~ luego tendl'émos tÍlmbieu Y:v: ,: FT:ft , '

,

-

vt

vZFt

V

V

que da 'Vft=vFT (ee. 47)vFx-=--;

,

_

'" ;"

que quitandü ~l.:d~isor y suprimi~n'do 'ia t que! ~" sulta comun, se tendrá V2! vZF; "-. y ;pol1iendo en pro,parcion será ..: V2: v2::F:f::(prop. 46)lq:nq,

v 2 xlq ,

. ; .,., , zgxlq'; ",~ nq I 1 nq,o -:: y por último si espresamo$, por h la áltul'a lq: dé! que dá VZ="-7-,,-=(ec. 45)

2gxnqxlq _

~==~ e 2.P:xt .Gi! ~ " ~v' .

fll.lido sobre el 'orificio, se tendrá V = "/ ~-'


HmRobroMIC'Aó 1139 eGuaéión' qáéJen VÍTtllcrde lo espuesto' (éc. 26*) de~ 1 z •• • • RlJÚestralt.taiJprOpOSIC100. •• ,. , " __ ,,,U 'o ;;!', 3'V9 .:J ílileti-rrnismo mddo :sé "dem0str,¡tr-iá, que si e.l

or.ifi-c.io'se ·hall4oen ¡mO ,de, 10'$ áados ,,;Yles imt¿j pequefi~ e.n -compril1'aciorr .del fon·do r ,el-fluido. s'Cltdrá con. una vd'oeida.d .debida,: á }a;;aiü"r..a.idet fluido.\'Sobre ~t fondo . det vaso, ó mas exactamente, 'con una velocidad debida. áda> aZtuf'f ddq sápel'fi'cie ·del fluido sQbr.e el ~entroJdeJpl':esion. deLo~ifiaio' ''1 ;;:. f'" \ .1 t.g:g6 •. Ik.la.quL J¡€s.ultar que la -canti.tlia¡L9 _ vj)lúm~~ Be fluido .que_sabe en ·un .tiempo cualquipr,a, y' que se {káma "et 19as~o - del 'orifieio, •.es; igua¡-.á u11 .eitindro Ó prisma, cuya base es el áreaJdet orificio, y ,su , altura ~f ~sf~;¿o 'li~:rido I!n este tie'mpo con.t,a veloci~ad adquihda 'cayendo ae ta al~ufa det flutdo. })e manera qÜ€l ;SV és:p¡;e~a1!Flos p(!)L~_ dicho gasto, y 'p ór E el espacio corrido con qioha velocidad:, tenarémos que K es"el 'á.¡:ea del orificio, será Q=KE; pero permane'ciendp const.antemen'te llellQ (:,1vaso, sale, ¡>iempre el fluiO.o por 'eL dDificio .c0n :la misma veloei:dad ;, 1u-ego. en cada ~urridad ., de 'tiempo salará una mis¡;¡¡\¡¡"'camidád de fluidq ;oy- 'coñno"V; es la velocidad ó -eLeS"pacio 'andado en lit unidad de tiempo, respecto á que in ea~a unidad ha de~coJ:fer un-espacia ígual, en::el rrúmeJ:O- T .d~ unidades sahrl.rá VT; lu~go si ' s<us~i~uimos V-T 'en yez _de.E en el valor de §l-, .seLá IQ=K~VT; l _ '.~ • pU'e&

o

y. 'fg}1A:n~~ ~~. vez

de

!". sú j alor V2gh,

será por

lÜtimo-Q-ET.y 2gh (48);:;. . J " ' ~ _: -: ' • -Ecuaoion por cuyo ' medio conocerérnos una de las cuatro can:ti~ad~s Q-i, K, h_ó T, . cuand~·,se nos dén \ conocidas las ,otra-s fr~s- ;. pues la g 'esp.llesa: lá . graveda'd que' es dada pafa .cada~ paraje ~e la tIerra, ~ en Madrid (326) es 3,,1 ,pies. . ._,; ~:_ 4. . 3:77- Hemos dicho (3'72, 2.°) que toda5(ta~ moléeulasodé una misma capa horizontal de fl,uicl!o descienden ~9ri :vdocJ.d,!des sensiblemente veLticalcs é iiuales,¡ pasia 'q,ue han 1l:e,gadO'.á una ckma· distan,.


2~d

HID"RohmÁM1€l\i

da del,:foRd9; pOfq,lle aL lJ.eg¡;llt ' c.erc.a:det omdo tIas moléculas fluidas, toLDan 'diflecoiones cOllverjeutes: hác.ia 'cil[oritiftio". lo cuaI· produ.ce , una .dirui"liluc1@n: ea la magni:tud d'e la ven~, ó., cnpffio" cUy0fen0mé~o" ., se cara€teriza con el nomhf~ ~e' éhntracciomd'e.,t.a:verJlJ ftui &a , y se 'Verifica:_c.ualq-Ltiera'. que sea la ,. posicion

del ó'rificio.

. , \

...~ ;

r

l.

4

...

t)

La es·perienci~·. prue~a, que p'a¡;a <que,J-os)~esuIta! dos teóricos ca'lculados pb.rla ~ec. 48) "concuerden con los que' d'an ~lo-s es.perimedtos :¡. es p.ec.e'sarlo~ ~l~ tiplica'r 'd seg.undo m~embrc> PQJr '0,62.; ,cuañdo 'el -orificio está hecho en paredes defgada.s; Y..pOf 'c,s.f., tuaBdo s'e aqap'ta al orifide untubQ; €le ·maHera. q us. se tie}le Q=O,62KTY:2g1f par\ ' e'l pritrler 'l ~a~'o" ; •

.. ..::.J

~,

\ •

~

Q=0,8.rKTV 2gh pa-ra 'cuándo .se adapta eaL

r

1 ...

órifici~

un tubo adicionaL ., '-'J 378 cCuand_q ~lvaso no.permaneee. constantemente llene;¡, ·esto es , :'que y.a disminu'y endo la altura 'del nivel del lh ido ~ obre .el drifido ,J¡Í' prQPoIci<Dn qu.é. va sali€mio el fl l!üdÓJ, ell!onces lo que ma:s' nds inte4 resa conocer. es el:- mell1 p;:o;q ue tardará la ' vas~jllJ en 'Vaciarse; y para determinarle, sU.pol1gamos~ ue en la unidád de ,tiempo salga del 'vaso una ca¡],Di.iad .de fluido espresada por pq'"S~fi.g. noS), y~tendrémos que ps espresará la vel<llCidad con que sale, .pl1~S ps e~ .el espacio que anda la s uperficie pq dl la unidl;id ¡d~ tiempo. En ~ste mismo tiempo haprá baj ado la superficie AD un tier"to espacio que no conocemos , y .que por 10 mismo le espr.esar:émos por x ; y 1como este espacio -le anda AD en' la. unidad de tiempo, ;r'e presentará la velocidad co~ que princip"ia ,á bajar la s uperfic-ie AD. Ahora, la canüdaa ~e Hquido pqrs !la. de ser igu ~ l á lá q ue. falte ~ del v,aso; Y' como la su 'perficie del. flu ido ~e.rm,anec~ si~mpre h~r iz ol1ta! . (372, '37") ; dlcha captIdad de hq Ulde eSEal:a repre~ sentada, si la vasija res cilíndrica ó prismática " ,p.or un ptq Llefi0 cililldrD 0, pr,i sma ,. que @ n la p ane suredor qll:eda'rá vacío, c~¡ya /;>~~e se~~ t\D.. y x s,¡,¡. 'lb,


lUDl'lODINÁMICA. 2~I tura; Juego si A represelna el á~e!~, de la superficie -superior AD, dicha Ci!a'ntidad' de líquidól estará espresada por Ax, y se tendrá Ax pqrs; , 6 esp.resando por K la Shl perficie pq de~ orificin, y:por 'ti la altura ps, que es.la ve/locidad con <i u~ el rlll,Í(!h;)

"'

'

lfv '

principió á salir, será Ax::::::.Kv, que da x::::::'

'

A ;"

y como x es tambieq una velocidad, la. es'p resarémos\ , ' Kv ' r' por V, y será V 'Ji. " ,~ 379

Pero la velocidail ~~ 'con q'ue principiá á

lir el fluido, es (ec. 45) I

,

luego sera V-

V 2gxha;

KxV zgx'ha A

sa.-

~_ ", r,

(49)·

y como al paso que se vacía el vaSQ' dis¡pinuye la éliltura ha, resulta qlle irá disminuyendo v; luego el moyimiento será"uni,formf!ll!leme Fetardad0 ;' y, co-, mo en este movimiento (ec. '2,5) ' el espacio .E=~Vti ,si queremos averiguar el tiempo en que la superficie AD llegará al fondo pq; qlle es cuando se hal:¡Tá a'i::abada de vaciar~, ;supondr~lllos E:::;;;::ha, lQ que, dará,

"

v ,gxtW: , ;

txK

_ ha=~Vt:::::::(.ec •• '\!9) ,

2

2A

_!

/

v

,.

.,

-', -f:~;'¡'!.'1,'~. "'- 2'Axhá l ' 2AVh~ I , y despejand(j) ~t ser¡Í¡;t= --=:.. 'JKVzgxha ."::. IfV!2gJé 380. Patra que es,ta,.fó.rPlu la~ concuerd:e, COL} 10,. ,resultados obten,i do·s en la p:liáctica, se aebe Lcon'tar con eLefecto d~· la contr.ac<:io ~i de la veQ'a .fhiida, y su poner flue KeS!p(es·a :la , ~u perfieie efecti.va del ori,ficio multiplicada por ¿p,6'2 CUalldo está en paredes delgada-s , y- flor 0 18 ¡: cuando a,1lGFifici0 se le adapta un ¡tub0.. ,- r ~''':L.1 .. 0 .. _ '/ ~ ~ .;~ . • '1' 1 ,1 ~' )....,; .!Jl 16 T. II. i'

I

(


,

1

~MECANICt\, INDUSTRIÁL. '; . l~ , proporéion queLse eptiende la esfera ne los) o.on (i)cidJient0s humanos, ; es md}s pensa~le_ hacer nu.e~ vas diyjsiones y subdivisiones de las ciencias. Y como c.a,·estos · úliimo ~ ?TÍos_ nan :Sido !TIui estraorcLina-: rios los progresos que se han hecho en las aplicaQÍon.es):de "lr Mec~nix:a: -,pá:ra isa,tisfacer tcrd:as taos Be-. cesidades y comodidades de la especie humana, ha sido preciso formar obras que tratenex'Prol~'s.9 de: un asunto de tan grande im'portancia: las cuales se conocen en el dia con los InGmbl:es de l\iecánica inlJ¡Ut,'iat; tl:e Mecá!lica ªJfliC:ada á las ~;t~s, &é. &c. y proponiéndome yo .en mis obras. dar á, corlOceD d I estado en que se halla la ciencia en el globo terrestre, al tiempo en qué l~s imprimo, no puedo menl!1s. de añadir en esta edicion el presente tratadito, con el objeto' de indicar lo qu e"líasta ahora -existe sobre ta'n interesante asunto. Pues, aunqúe yo he procu.' l'ad(i) cooperar ~ qlle se di~l!Ilgu'etl las luces s.obre este particular, como se puede ver en mi compendio de Mecánica práctica parte t~sO de tos niños, de los ll1,tistas y de lós a¡'tes a·t~ ; sin embargo, lo que he presenciad@" al viajar por.:'FfaQcia~y ,por-Ingla,terra, no me permite dejar ele indicar todo lo que en este - importante asunto sea compat~lble c,on el objeto ¡;le esta obrita. En éfecto, no se 'puede poner e,n duda, el que á la feliz aplie~eiofl' <iJ·u §. se ha..hlleho d'e' la :Mecánica en dichas Naciones, se debe en gran parte su ri. q úeza ; pero en Inglaterr:a .c6n.@specialitrlad , se han lIeva.do esnas aplieaci0nes á"un p'unt,0 .tan esnraorcl.inario de perfecdon, que. sin .verJlo .materialmeme no se puede formar una justa idea. Y para que nO,se -repute que en esto hay exageracion , citaré ·un hecho, de tal modo conc.luyente, que no se puede dejar de admirar el considerable- influjo que tienen las aplicaci~nes dr la Mecánica en los' adelantamiento? I


~ MECÁNH'!A Í'NDUSTRÍAL. . ,d'4c3 d.~ la i'fidu~Úa , Yí prosperid~d, de 'los estado§. ) Es sabidd ; ' que ha:sta: estos liltimos tíem pos; l;j. India: ha dada la l€í. en ' punto á los tejidos de algof dbn,. peto en l'd qla: se han :he~hq ea Ingla:terra unas , at>1i~a'(úon€s.cie)a: Mecánica tan fe¡ices y útiles; ,que d nangállte, Iilrit,á nÍca va ·á, busG:at los algodbtles al Asia ;; l0's , trae f If.lgla:tetta: d,e euáti:á mlI leguas ,de distaneia; los manufactura eon ~:1 ausilío de las máquinas estable«:idas Ílillí ~' vuelv~ á He,v ar estos-:, pto-' duC'tos ya , mal111faetllrado~ a.! oriente" haciétldoles andar ~de nuevo cuátro mil ,leguas,. y á pesar de la: pérdiM de tielTi po.; á pesar' de los gastos enormes, ~ue son necesarios para este via'ge, de odia mil leguas; los algodG1F1es mánu[actutáqos poi' lo~ m.eca-' nlsmos estableddos en Inglaterta; vÍenen á set me.. .nos coStoso.&auq.,. que Jos algodenes lllladQ$ y t.eji.. dos á la mano en el diÍsmo Ca:lIlpO' que los ha: pro.. dilc;:ido, lo< ;.< " ,~ • Demostr'ada; ~@'!yesté hecho, la: i¡npottáticia: que se debe d'ar las aplieaciones de la Mecáaica, pa-semas á .indicar el €Sladó que presentan d.!ehas aplí.. .ca(¡iones en la actua.lÍdad. ' Con este objeto; recordaré " CiJue sí observa:glOs' con ateneiC{ll las siete máquinas simples; e§plícadas en 'la estática (§- 272 Y siguienr~.g), echarémos de' . jiU, quct en toctas · ella:s hay ,que considerar tt'es co-l, sas, á saber: la, potencia, la reJiste'nCia, y la 1i1áqttina propiárnente .dicha, por m~diQ de, la, c11aI se hace que' la pote'núª, obre sobre I~ ¡esistencia. Allí, solo hemos oonsiderado las condiciones que se han de vetifiGar para eenseguír el e<'i, uílibtio;. mas ed las a plícacione,s , .q ue se hacen ;Í:, la indu's t'ril( , es Ije,ce-' .sirio coriside-ra~ ~lestado d~ movÍmíento i y para: conseguirlO', es indrspensai:lle a¡;>l1cªr' ' una ' pote'ncia ~ fuerza: ; ma:yor que lá fle€esaria patá obterr~J.:: el .estad&: dF equi,l ibdoi Lo' mismo "s¡,¡:c,e'de e'n ;láS 1I!á:'quinas ' compues~as : de, lrianera i' que elI to,~¡t o p<@ta- / ,cion mecánica: ,0 industFÍal , s~ flresentan des'de Jl1e-;go:á p.r~er¡Lyist: tres co¡as ; 1. a U!Ht p~Jencia ¡ q u~e

a


244 M'RcÁ:~ncA Y'NDUS'1'lfu.r;. es á l~ que se Barna 'motor, porque él es el que pro,cl'Uc~ el movi~iento; :i:? una hérramiema, instrume'fuo , mecanismo ó máquina:, y 3. a l,una materia eualqtliera que ferma la resístenc\:.ia, s09re la cual el ' motor ejerce su .füerza por él imennedio de lá. espresada herramienta ó máquina, ya sca para dar á esta materia otras f0rmas "ó ya para trasladarla de ' mI lugar á otro. - Cualquiera que sea la disposicion de una má.qui'n a, ese deja con0'cer desde-Iuego quc lhay eH eUa una. -parte, ' destinada ünica, sola y esclusivamente para rccibir Él reGojet GC una cierta manera el movimien-to Batural del motGr; otra parte de la máquina está. 'destina:da para traslÍlitir este movimiento' en diferen"tes di>reecrones j' y á ciiferentes planes, y para mo'dí'f karte en case necesario; final!llt:nte, hay otra ter'cera parte, cuyo pbjeto i se reduce á aprop~ar este movimiento al géuero de accion que la fuerza 'debe :ejercer sobre la materia sometida al trabajo., Tambien se echará de ver, que ,c ualq uie'ra de estas par:. les puede recibir altcracion, ó modificacion sin q UG: se varie en ~ada el cpnjunto de las otras dos. As.í es, que en la figura 80 en .que está representada la máq uinll que se conoce con el nombre de torno, á. una: miSllía aplicacion de la Jesisteneia ó materiá sobre ql:le se debe ejecurar él .movimiento, hemos se- o ííalado diferemes modos de aplicar:. el· motor ó l:/.. potencia, y podríamos señalar toda\tÍa .muchos mas, Resulta, pues, de :lo dicho, que en t.o da operacion mecánica hay tres partes mas ó menos complicadas, que se ptleden considerar cada una de por -sí, cOfil 'cieria independencia ue las delI1<ts " para esttldíarla,s' separadamenteot Por 10 q u se puede con'sider ar que: Ja MeciÍni~a inf.lt~stria¡ tiene tres partes~ 'La La trata! de los moteres y de sus t1wdos , de ·a plicacion; la 2 . a rra!a ;de los medi0s <:te trasmitir este movimiemo á Q.ife,["ehtes disl&ndas Y. en dLverso's plan'qs ", trasforma-Fldole é lIl Qdifi cánd@'le segun eonveng,a; y l.a _ 3. á trata de ~las máquinas Ó fa~~~s ¡¡J;e·


M1.:.eÁNI~A INDUS'l?R!'.t\Lr

24)

.

máquina , que inmed.iatamente ,ejecutan el t·rabajo, como ,sumir la pjeclra, Ó ~l agJla, estend.er l(ils . met-ales', pulverizar .las ma,tedas ,,_ 4i~ar, carcl,ar(, I;>ata.' nar,&c. '&C\,I"'tj

'":'\

,' ,

-r

I

'

'

'\-

Tambiefr se. e"oQsidera lUla c,ua r ta_ 'parte ~l} la. Mecánica ,industrial, cuyo objeto es , <;1 determinar; las relaciones generales q U€; existen entr¡e 10$ motores y, las · fnáquin~s, y' el)tre 'estas )'?los trabajoJl industrial'e S', con _ fin de investigar; !!n, ge q~.l:9,Ues Irlediqs de pe,tfeccionar, estIDs' trabajo,s., ,y de s~mpli~ fiear ,la,S) máquinas. : e.V' it~n~e s;aer, ~n \los . gl'a:ves i.l.1cenyenierúes: en. ¡;¡uc se iocurre ge1;\e~~lme{lte §lJ,ªJ1, ,/'1 do: se procede sin los ' debidos. cO.lJ-.9.cimientos. N os ;/ estenderémos SCilb;:.e ca,aa.. un~ , d~· es"tas,\:uatl'P partes--:/ €Uant0 sea compatible oon l,el obJeto ~ de esta o ev--ra~ - 1<\:'

ef

I

~... 4;'

::1 -

,-

r,

I

:-' _

... If "'"

t';

.

',( . \ , • l.

. P.RIME~A PA~~¡¡;;.

lP',

./'

...

te

\

,/

, / .....

: . La fuef''ttt motriz , cuyo~ efecto

},

puede~ ~es­

cribir y va111a-r . mero que) @o ,se/ , ed,e defiou', se . , r /! a sa'b'er ' 'a d 1 8!:ca rte' tres fL~é¡:¡.~es 'prin Gi ~aJ. "" , · 11 • I, • e movimiente. de 10.5, serés a'oil~os~, j, de l;; pesa·u;te~ ó gra'vedad ' y 3. a de lrfpansi eu repentina qU(j! el calor pro.du~e por 7~Ion s,~bre el ag.ua, so.. ~anclas analogas breal ·alre y otras d h . , ..así ~ o mo ' .1 l dil '. ' , e e acer ililad'<}cerá los c ~er-ue a ataclOn ' eben 1" ' . E " ' . ' 4P I.ca¡¡sf!:il .?lg¡,¡n'!s piezas' 'cl ' .pos... st@s mor: Gmul11carJes d su él'l.r ~u ' o su moevi;.materiales ' n " , 1 L SI! pue e ,efe<;1fla'r ,de dos modos d" 1l1Iento : b . . ,'. ' y er .. por szem1Jle 1Jj'e¡~o1/. . 1t ferentc5 ' .' " " . ' , 1': . " C ,~ , .p>Qr tmpu " --Q'TeU tmon : slendo " e¡l general m ~ . ~ . ' -- '<, ' as ven , o.' e pnme.t"· ll1el!lio. , __ L [' ,~:.,: ~" ~a '. e~1il1p~eo, de ela ruer?-a motl'iz; ;eo .1os traba ' , .. J OS ';'~,~ , -males' meo e Il!l gar ~on des Clb a de' . . 'f Ut;.t@S geue~ales: I '~ " . , 0 o ,s qUI~'l1ef'~]ecut_aT-p.9 r~¡m ª!luina 10 q ue : ~ma des.tr.e.za o un cierto¡- 'grado de atenci~~ eXl.. la que eJeGuta el h0mbr e., qu e es un se r "r ',corol0 ~ ' 2 o cu d d - ., aClo na ';J ' an p se ,t ra ta ..e producir g ra-ncle f 'Zos y.de su r a' 1 f " s es llcr, , , . p l¡fx a uerz.a -f ~ísiea del hombre. ,

~ ,

-'"

1

; ;-


r

,

.,


MECÁNICA ¡'NDUSTRIAL.

.'24-'7

,n o puéde venir sinó del motor. ·8." Quéli<ty'circuns-tancias en, que calia u;oto~ pr@duce u1l máximo efec,. fO; que estas. circunstancias son variables paTa cada motor y se' deben t.e ncr en' c(;lllsiaeracion, pan obtener, siempre que se pueda, el mejor y máximo 'efeetoo 9. 0 En fin , que los' e,uathados de las v;eloci~ades ,producidas por los motol'~s ~ s?n com@ las potencias mecánicas gastadas. oi; , , f ' . , e ~. ~ .C Todos los motores, ,q!le en el dia se emplean en la indlistria , se pueden . reducir á· seis géneros, q úe son: 1. o el- hombre' ; 2. 0 10S1 animaies ; 3.? -el agua; '4. o'.el vieoto; 5. o la es pa<llSi,on~ q u.e el fuego' ollijáJ. na en los líquidos, en los cuerpos 'comb,ustil?les "y en, los flúidos aerif<'Jrmes .;;, 65 la ,dHatacion f<'Jnnada de los cuerpos sólidos Ó. ltq uidós por el calor. Pero .cQntrayéndonos á haceF mencion solo de 1us moto, res de ' q lie fa industria hace ó puede hacer .uso en el dia', con ventajas conbcimas, pasarémos en silencio los ensayos inge¡¡¡iosos~ de Me. BonnemainLp-aora sacar partido de la dí¡'atacion de los Hq I!lidos com@ potencia matrIz; no ~al'enios mencion de Jos dé Mr. Cagni:ard Latour para ha'<;:er obrar el aire 'dilatado., ni de los d,e' Mr. Niepce,.paea desenvolver. la fuer?-a cspansiva por la co~bustioa repentina de minerias inflarpabld;_y ~olo nos. ocu parémos de ¡aq uelltls motqres q uc tienen aplieácion con conoddas venta: tajas, y . son 10s1seres animados, la pesaatez:.o.Brando por, el. intermedio, del. agua: )j .del ·aire, 'Y la' espa¡;f.l. sioq que . produce .el fuego' en ,los fluidos,'3;Crifomies, y con ~especiatidad en; el NapGr del agua. ) : L~ ., . ELhomb.t'e.es el mott'Yr ,m as .pr.eciosQ ' de cúant@s ~e conocen; p<'Jrque, como está ·dotado de e.ntJ:.ndí~ miento ~",ad'emas de podefC(ilibra¡r can su fuerza muscular y lcon su' peso, puede ,arreglar, proporcionar 'y vardar 'su accioll, segun Id exige el trabajo en que se emplea; pero tambien es . el mas oa:ro de t'odos: porq ue se cansa en poco tiempo, en lo "cuat-.i.nfiuy e la magnitud del es fue t¡Z'O ,q ue ejerce, la velocidad .que. da á, sus miembr,o's al Opel.iaT'J y I~l tielupo <ruS!'


';'~4'8

;..

,MEckNleKtJINDUSTttIAD•

.aura su aecion : y por lo mism'o solo se debe "em;;, -pfear" para aq ueNos trabajo's q Ille exijen maos destre.l7.a 'q ue .fueJlZa. ( . '''" -~. ~Il 'la: págirÍa 97 -y 'siguientes ,de. mi compendio .de MectÍniea práctíc.:¡ se lla'lla el resultado de los es.perimeotos h'ech@s ,.p ór Coulomo para ~eterlninar la, 'cantidadr <!le' accion .q \:le pueden producir los hombres por su ti'abajo diario. P osteriorm'ente.'se han rhecho "esperimentós p0r MM.~ Sch.ul.ze, Rober.t son, BUlchanal'l ', y Gueayveail ny .cle todos ,elros re~ulta: J,°,QIll'e todo lo que Ul'l hombre cle una fuerza me· da.a , p¡;ecl:€ llevar ' á nna peq.u.eña dis·rancia es de unas :'315 'libras espafiolas ~ 2. 0 Que todo 10 ' que um " ,hombre puede hacer Habitualmente, marchando so.bre un terreno horizontal, es llevar una carga de unas 130 libras españ'olas, y de trasportar en un .día de rrabajo la cantidad de 15°0 liln'as JeSpañ0Ias ',á unos 3600 pies espa.ñoles. de distancia:. 3. 0 Que, stibiend0 una escalera, to'doJo que él puede hacer, es llevar 1!lna carga de ' J '1:5 libras, y eleva-!' en un dia de ,tr:a:bajo 122 ,libras á uao.s '3600 pies. En cuan· t0 al esfuerzo que puede ;producir ' c.o n. su ·fuerza. muscular " esto es. , ya ,s¡:a ti¡¡ando, ' ó ya' ·sea em,p,uja1ndo. con sus brazos 1, I~e¡;¡ un' trraJ;¡ajo ' aontinuo; es ' el,.equivalente á,' e!e-var 26 á 32:1Hlras á 'unos 2 :pies,. ó dos '_pies 'y medio de altu¡;a :en' un .segundo • • -; ,110S- animales de q u€ se ;;hace uso' comumnente como .motores son el caballo, el buey, la mU'la y eL M:llo-';;énJas cocinas se sú(!!e hacer lllSO de ' fOS per.,. ros para dal.! vueltas á fos 'asados, y' en pequeña:~ máq uánas' tambien suelen se¡l'vir de motores lá'S ardillas. 1 ~ 1.d.S ratones. . /'r - v Ei caballo es el qLle, ha .llamado malS, lÍl. .at€ncion: y la es ptl'riencia p.c.ue ba 'q l!le el esfu(¡~zo d(! ' un bue n caballo de mr:diallílJ ra,Jla\ flcontra . un obst-ácliJ.0 inY.ellCible , se debe .váluar eu' 782 libras. ' La veloci~ .dad del caballo á .galope se e~itilDa comunmeote en u nos 36 pies por seg,updo;, al trote -.en" unos 14; all ·paso la.r~o 'en yll?SJ' L.1 1i>y.!"l pasoc:orto ¡eJl ) unqs


,MHCÁN1€A.:INbtJ"~T~IA~. , \ - '"249 .tre5 piesr y ,medio. 'El fesfu.erzo relatiV"p die~ u'br ea,Da-

·llo es el 'de unas 196 .libras con una véloGidad de I '6l á.c¡ tpies ;por segu.üdó. '....; J • ~ r,~; • !j <La"fftl,e rza ' 'de' Jos. 'ot¡;;IDS m0~ores ' está' sujeta ..á -las leyes 'generaltscue la 'naturaleza ; y-:p~rá 'servir.. se d'e eUos, ,es neéesatio ' tomarla ,donde 'la' na~~­ raleza á'pliea' sus 1>wpiadeyes., óeseitar 'Po'r,. medio [de a:rti~ci ~s' lillaoS Ó menos :~pn! ~:¡'iea,~os ::(l\e}f't"ddo 'd~ ·la ponemc!la de est<~s, lmotores. Ta~ .es, la . ~~~r2a . del "-

ligua.

,

.(I ,

"

t

' ,- r

, . El- agua sola obl'a tolJ'lO 'motor ,r- cuanl!lo es con·ducida por su pesG desde·' un punto elé-vado ~. un "punto 'q ~-e lo está ménps " siendo ' la pesantez 'su -princi pio ¿te accion.: .Elca-gua obr.a t como ,motor dé ·tres modo's_, ,á.. saber : ¡ l. Q,' l'·or : . péreursiol1 .e' G:lü!Í"l'ue; -!Z.o<,por' ~Í1¡nple pres~oFl ;'; ylÍ3:~f"0t perctíSiún y pre'siom) :Qe; estos treS 'medios '; ,;el 'mas:~ ad~{;:ua:do paí'á , .sacar todo d parth¡\'0~ posiblt; :de S\1 '¡ pd'tenei:a mecá:,nica , es el ae haClfDla .Gl}¡::ar· por pr.esiG'll'., c:' ~ ' fi~ ]?ara, ~v.aluar :l¡¡' p'O~encia arbs"dluta'; '€lé :lli acdo» plot-riz; que ,ULla r~ntidad_ de agua puede eje'f..€er ea 'un tiemJll,O dado " se,íI11!8lti,p'lica eb ,púo d-e"!'tiJdC&-':léi éan-

fidad de?agua qúe

'O-bl"{J

en:dicho

tie~p"o' ,

pór. la .altu;;'

, f'a de ;que 'cae1et ;-ag:ua, 'Es. ,deeiu .; q,u-e si.: e~.ll;l1-minu:' .tio; ba:1) (pasado ..por eho·ri-ticio'·de saHda:i~000 quin~a'¡es" ¡ietagiu:a.. ,.; ~ fa.m!l0Llra de caida' 'es· de 'lO' pies:, Jar,ftrerz-a'rq ue se -p;r oducé 'en run,'minu;1!\¡)'re'stá;¡repre'Ilentada~ por '2000'X.IO=Z00'oO"quintalevdevados UFI pie. Pcei'9 se debe tener 'presente que "esta: c:anli-:(\ad , esp-resa la 'mayol' ¡ r-elllcion posible;:;énl!1l~ .est0& (\08 .Ival~OJ;és; y el , mod0'd~ apl-icac.ioFl qué diese esta rel?-aiomísería el mas' 'peéfe€to cl.e euaLltos/s ~:. pueden discurrir; y como esto casi nunca se podrá cb'ns\!g:uip., ;se- infiere q u'e .et-,qu:e mas; se ap1·.oxitne á dar f'!S1!e resultadq , será ,él mas adecuado, atendiendo á -la economia de 1a .Dl!1erza. -~ ':- ,E'n¡aire atmosféuico .puede o'bl'ar como' meítor por ,'p.reS:i,€)B Y- por imputso. ,Rara obrar por presioll es liádispensable que se , pol~ga en accion ;-por una fLler-

a

"


zs-o

,MECÁNICA lNDUSTl,UAtí.

.za estrañat; p.ues .sin esta"eooperacion, la ' presien del a~rctJ>.'or §í.Jnisma no .:puede ofrecer á la industria ninggn medio aplicable de .engendrar el mQvi,. :l11ient?;~ P1!ro cJ!lan@.Q ,s e muev.:e .en la su.perficie de li! tierra, vie~;¡~ á. ser··un'.fietor , poderase qlÍe. ya nó .puede :óbrar SÜ<lÓ por iOilpulsQ . .cuando Qbra por pr.eJ' .sion , el hombre es emeramente cdu eño ' de erear , y ,de $tr~g.lkr 1su ' poten~ia' , ; p'ue~ 'q ~.e debe poneda en juego por dive;:s@.s ar.tificios '1 u:e ;dependen de él bájq todas aspectos. , ' , _ Gya,p:do- et aire ?bra pOl' chóque 6 impulso, se ~uede decir, que de tod0S 105 motores. es el mascá,. pric;.h@sQ , el mas variabfe F? 'el mas difíci.l de dOUltnar y; a.u<;:glar ; pues r np es " COL1S.trante ·mi eú S,l!l po,,tenda , ni en s,u direcchiln~ U nas veces .es...tan:Ju.e r,te · ¡:¡u,~ n,g.<ia . p.u~de resis~ir, á:su" violel'leia, pues .derriba los e difieio s'( y' _arranca. los árboles; ~ y luega ,su~le C§fsªr .de repente, enuépl'lin'os, que nb se -halla en estado ,d~ ' comur'lÍaar·,el menor .movimiento, á la .q ue se ha sometido ,á, su' ·accion. Otras vece9 repentinaa¡.eJltª I.JlUda ' de dire.ccian '"tomando la opuesta~ Ó s~ acrecÍenta sin medi.da " é. disLninuy,e enteramen.te. ~Q¡' lo cpal, para sacar. partido de este motor tan var·j.able , ha !'sido preciso .in ~entar.. rnecar;¡isÍlilos} que puedan.,.prestai:se ;.á::itannas · mpdanzas" yi á tan frecueQws , v.alfiacion,es: De¡,dhncre se inmere' que ,de tgdos los"motaJtés"inanimal!os, el viento es :en .gene~ ral _el últim0 á que S€ debe.:·l'ecurrir para' ~a mayor .parte de las operacione,s -indllstriales. .Y así" es "lque po se emplea .comt3111neñ.te', sinó en los para:ges cJlon~ de fakan las corrientes de élJgua':, y donde preci-si~ mente el -v.iente, reina hab~.u¡tlmente con la: :may.or fuerza." ' " r J' J ~ L " L Sin embargo, á pesar de estos inconvenientes, el viento presenta la ventaja de ser mL<ly ecoo@mic>'Oj y de poderse multiplicar limitadamente el· número de paorages ó puntos para reci,bir . su fuerza .¡no.trizí. pues '1ue en una gran llanurá ~ e pueden c0,loc;:ar tantos meca~ismos como c.permita su _~stensiqn: Jo


r;tl!:dNICA -INDúSTiU:llúí

no sntede

~ Sl '

por ejemplo' cOU:.una eol'Írrel1lte de a~ ' g,ua. El agúar,uPlo obstañte ¡ ¡;eUI1\=, la.!hetltaja de pederse reunit· ~ /J0n:ser·Yillr y cliúgi¡¡; se pll;ede ecoÍl'03i Inizar ¡SU fuerza,. y " o/;¡tener poi dlaJ J,ll0v,jmientos bastánte reg¡,¡lar~s; : sien'do-a,sí q úe la acciopl delvieru tó ~$netesari0 fbll1a¡.;la: eOI1lo cUa:ndo ;y..-dbndé ella apáree~ {~o. s~" pu6áe infl:l;lir ~r sobre su fuerz,ál a'bsglC1ta ' ,;) ,¡:Ji ~)so,bre .su (,di:r~doW~ 'SJl:(nd0 . por otra par te- ef trabaJoFqti~' prodUfélY'este motod , tan i¡¡re.;; gpl:v~ ,·C~ID~·:et:¡rrnis~,Q p;cp'r ;-10 ~~ª~ jamas $e..pue~-e lípl!l;ar a n~J.'\gtfna ' o-:peJ!aClon-tneeamca' .q:ue:exI3a ~una pdt€-m:~ra motriz- cQns~á'rJ't4J( ~ula¡;l ; c'éJIJilO sl!lntu~ ~as las'; qlie se:- coÚJ:ponep ,d"é' Ufia s'ser4e de trabajo's d~(mdientes los' únós t-de .los ot{tost,~y 'ID '1 u~ se apli::> ~áh [rnllchas' JIfa1ÍltiS';',ysoJ:e' ¡gofiviiné"Íí:; ¡¡ietlcas opera". ctones -que: pideJ1!.. =:~l <concllrse d~r(j'cO's 1 0bre~bs ,.y. €uyo trabajo :. ptledéaumentat ;- 0' dl:S~Nuir., y .auin jntérl'umpirsl;: ,r¿&H ,ipco.tiv-€¡:¡int~ :"t<des' sÓI1;pbr ,ejem~ plon,. Jos' dedGslfméli¡:¡ós ~ord!i¡jal't0 d~casca, de jla4 tiífiWy lde a~eit'~9tlbs :ဠlas sier.ra's'. C0~'fu'Unes ; y prio; B-í pallneFlte Jos' !i~ :sa~ar aS'\.l.a l >''la ·sea"·pav¡¡ regar Ó para'd@seoar,. I.'!J:-.. ~ ., ) . ~~~~ _. ___ , ' ! ; \ EH medo que! or:dinafÍ.amente se hal'!-a esta,lDlecid'Q p9:l'~ ¡;eci~if·!aqfG€ib'f.lvde -este motót. ¡ ~ ,tPasmiii~la al u-abajo ?_ ~e aproxi¡n~ tant'? á· fa pellf<wCion , -comó ~é'püede deséáf.- 1~ pOlencia-d€F ~ierit0 depende de -la1 Iiriá.sa de airé 'q ¡,¡e 0bta y de su lVeloGMad. De las . .jn\testígaciones y Gsperi¡nenlos de MariJott? ) Bor:¡Já; -R1JtfS?'," Y $l1iealion i r~suita: J.o'Qu:e el valor del i¡n-:; püIso directo yj perp~ndiculalf del viento iCCuya ve,. llodclad:es de UnOS H ' pi'es por seg.úndo, ¿olltra una _ :Superqcie de iUlQS ¡,36 pies cU,acltíardes ? es 'de unos ;36'015-' gpulOs del '¡pa;¡:co éspaúóh 2, q ' QNe~,la.. a€ciolt ~rnpul~iva es proporcional los cuadrlJ,do.s' de las -veloddades"del v1e1¡to. yO En-fin, <fU€, C0N una ve! ¡l0citlatl~ dada, -y sup. .erficies difel'entes', el hnp~so 'CIl.ea:e eh una re·lacioFl mayor que €·Sl:ats' sll'pertici~s; , ~~n' lla:s ob~~rYaciones de Bordá, sobre poce ·!Uas - I>~.C' " 3- ' P 0r·u·Jlln.0, '1' l.. .- I~ICl> . , OIl.e ·J4;¡¡;~ a -4. oC/serva-, q:U'e

'es'-,

r

1

ª


a

5!i

MEc"'mcA IN,nU~'!I,'ilU:L;

:rémos qt11"é' ~os ,l]l'0Jinos de viento en' que las a.las ~ g~ l'an en \!la 'pian01v:erJ.i.cal son p.referibüts ;á aqueUo~ en,.q ue gil'an en ekplan0 horizoma:!.. , , ," , .. ,J ,bos me.tores·-:>illanimados, ta~es oCBmo 'el agu~a Y! el Viento, ai.emen jtl>Fla~ pOtclilGf~ J .ndepel1diente del hombre.'; es,te la: t@ooa dOll(,iC¡t~ .'co~o &Ha existe; él Il€l ·es,''d1!\0ñ.0 'nL&e, am~'e!1tarla·, ma.sl arJá, dlC sus' lími~ tes ;natu.:a.des ." .lÚ d~ ..) :!lra;nsp,0rtar~, á .d~¡¡¡d,~ , l¡! '. c;:on", .~enga ;1 ~ . cuandp--;l)a.~e IJ¡S,O de. d,icra. p.:Ofe::IDj;iá.en lo~ niismq¡s· pa:rage~ q,\!l'eJ e1la1 part:ee"lH@et: elegido-íé . ir~ Ee.v.:oc~bt~met;1te ..délsignado " ¡el ~G..mb.r¡c HOI F-uede :dé :una:'Iil1anCl'a· ,aJ:>sQ!j.lt-a~ ,

·1?r¡;Ga¡Y;~r'l§ ~; cohotra: .. tpqaoS

las

~a.riádon.eis de;:.iJltcnsidiJi J.l:!.l.~·l'!ll~ padece, ·Yf e.S !1~

€'és,ario q lit- el ~e~Jll1<ks : ó l'¡l1en~~s, J..'J0,)es.la:" PQt~.A~ja la rq ~e eL h0ml:ir~r!!~lilt'!¡ q.ue ,pr0"pP¡fl~:iolilat;' al tl'¡¡,bajQ" ~qó J:¡ue e.n g~ne.laJ f, el, tr.al;lf!j.o es ~Uque se ve"p.re., cisad<? ,á pr"Qp0tfdooaJ;. áJ-a.. "PQt<tliJl;ÍC!q SU activ,ida~ J~ indústr.ia d~ nªditd~ .sir.vea pª!'ª :pAb;por~!onarse UIJl! mayer. masa.::::<te pOOJiu~~P6; :¡oS tJ!~it9S : , ,en qu,e 1a fllef,Za de , eSJ.o~.·mótg¡.!'es es.tdiJ?pmiible. , le Q,bHgal'1 'á encerrilfS~ t¡n ; e'eOJlt>p~stringi,enq.o ~el .JrabajQ ;' y si las localidades, donde la fuerza se halla, fuesen des\íbiltajdlsas , eS·,!iepJ!s.cuio, Ó r¡;J.1.\.1ns:i~r , á esta fu¡;rza~ o sQ'rv.?!r:se;:d¡: t IJa .con .t~d~o§ :lo,ll iQ~ª.n:Yenien.tes locales"q,ue JCl; ;1J, CJ ó tn ptÍÍ@;n. JI r ~.".;" ,"lo " r La_p.0teOO~ª" :f1'léttiz dd ¡¡gua,;, c.eflvertida ~I1 V-ª,L,per .lp or 'la;aCÓliH'l 'g$l .fueg~ , :s;e :})li~esenta c.pFA -~~rac¡. téres. e[9i!1enteO&.a[}!~ di(e·f.el!)¡f~s. ': ,e,Sta ,f.uerz'a ,;qu.e.l~ .hOlllbve · CJIeat dOl'lae~.~e ,§:ony~ene, '~.lJe est~~ha ')Q es, tiende lo:i . límitesi~ -su arl;>j~r1.Q ,~ !lu,e lé! va:<;e ,obt:ar cuando itqu,iel:~y <:;01110 ql)¡iere, ya,§...Íl1 ipterrupC1€lh uing).l:!1~ ~ ~ con i~t.~r'q!i.si0l1:1 ;y.a ¡!'frg,ulHmen~Y:"ó ~on .l;egll~an.ltiad , ;ha~~enctfi), GJ. HSJ ªeqeLl,Yl1!!tv~ toJia s,u 'l:.C~ ti vid.ad:,;o.ó s,á,Sp~pCij~l1d,01.a: . s.e·gl¡lH:¡le" acomo~~ ;. es:.~l moto)." que .ofr¡:c;:.e ten ,el diá. ·111;¡.s.:recursos,á li! indus· 'ria '" CplpO el::;¡ñas :pF,012ió p",ra ~atis\ace¡; .-, tQQas)a~ ¡nir.as. que·, el gento , de la. Me~á'l~jj)á..l puede ,!en5!f- ;,..1' ,todas las., cQ[pbia.a.ci.oll~S q u ~ ;p1:l~d~;fl.f:recer'l p;!'!eF' ~~ causa, ¡uo parecerá·ÍlnTlortu,lli'el. q.ue Jel.Q@F; jlS -." . .r:.,. /' ~ ~ " ;7


MEC;'NICA lNDUS1.lllIAt.. !J53 ojeada acé'rca de los mea:ios que se han , empleado para perfeccionar el liSO del vapor, en las máquinas ó bc:Jmbas que se caracterizan C011 este nombre; pues segun dice Mr. Despret'l. en su Tl'atm.to de Física, publicrado en el año de· 1825, estaS' máquinas han venido á ser ·, des pues de 1m corto número de ' años, de una aplicacion tan g€neral ea las artes, que su historia de.be ocupa!, un lugar hasta cm las obras mas, elementales. :r.. La primera idea de eluplear el vapor corno fue!::.. za motriz la concibió Brancas·' en 1628; . cerca de 30 años despues, el marques W()rcester indicó' que podría traer ventajas ' para elevar el agua; y aunq~e esplicó su::"idea 'enigmáticamente, en Inglater-: ' ra no se dudó ya- de la posibilidad d,e emplear útILmente dicha fU€l'za. En 1683, el inglés MorlaoA propuso á Luis XIV ele al' el agua por medio del ~apor. Papin' propuso en 1695 levantar un émbolo por el vapor, hacer un v'acio a-etlaj.o del émbolo y dejar enfriar este vapor paTa .hacer bajar el émbolo- por: la presion atmosférka. En 169'g $avery en6eñó á condensar el ,vapor por uoa inyecc!on de agua fría. En 1699, Amontons propuso á.la academia de ciencias de París un modo de aplicadoa que no tuvo buen éxito , -y se volvieron á ocupar en Inglaterra del principio de Bap,in. Los célebres Newcom,en y Cowley , p~sier.on este principio ·e n práctica ,en 1711 , 'de un modo qu-e podia corr.espondClr á la poten(úa imponente del vapor. Sin embargo, ya sea por los pocos recursos qne hallaron en el arte de construir las ináquinas,. ó ya por las dificultades .que presenta.la .aplicacion de un modo cual'quie-ra de recibir y, trasmiúr la aecioll Jet vapor " el hecho es que , hasta el año de' 1718 no se consiguió emplear la máquina en grande. New-~ comen bacía abrir Iy cerrar á la lIlano los conductos de inyeGG.Íon : un jóven , encargade de .esta 0r~­ r~cion ; y probablemente fastíd,iade d~ repetir, CQll'Pl.1u..alJleme 19S rnisnjo,s Jn(¡) vimiento~, sin pod'er ~-


254'

, ~EdÁNICk

íNñuSTRí'A~.

,

bandónal.' tlfi insta!1te la máquina, imaginó hacerS!1 rem.plazar por la máquina mis,E a , -e;;tablecllwdo Uj lljl. (gomunicaoion 'm.u}' simple eH el ,reguladQt ell1! pleado €lltónces por N<nyco!?J<w, Ellrique Brighton, ll1eeánico Husl:rado, se a provechá de la idea de, di;; . :eho jóven, y perfeccioh0 el reg~lag.or, dimÍnuyeu..do mucho la complicacíon. del. sisteq¡~. ~ Esta máquina, denominada ejuónces atmosfér.i. ca" permaneció larga tiempo aplicada solo ¡(la e·levadIDn del agua, á pelsar de las investigaciones de Hulls en 1736 sobre el empleo de un yQlar¡te y de un eje de doble manubrio, y las de, F¡;lck en 1779 para hacer concurrir dos eilindros ceu. el Qb~ jeto de producir un doble efecto; , ~ .. ~ Sin embargo 1 desde el año' d'e/1 769 ~ el obje:, .to de las máquil1as de vapor esdr0 las Í1w€stÍga• .ciones de un espídtu nacido para.. salír del cami.. no abierto por NewcQ[IÍen, y- que seguian come d,e~ \ ,gamente los diversos cóñstructores de estaS ¡;náqui-nas. J acobo ~t~ Escocés, reuniendo las luce~ de :un sabip1,-la perseverancia infatigable de un buefl .obs.ervador, y la habílíáa,d de un escelente arrista, resolvió por primel'a vez el problema., no solo con toda generalidad, sinó aun con rodas las condicioneS de economía y de constrllcciQn; con lo cual, proporcionó á la industria ' un morol" mas y de una potencia indefinida. . '.. La narural€:ta habia fprmadG el ingenio de Watt; y las circunstancias ~e favorecieron para que Se de,senvolviese; encontró un país que le apreciase y horo'bres que le entendieseln , y desde el año de 1774 en que se asocíó 1 con Boulton d~ S6ho pdncípia una ·nueva era para las máquinas de. vapor, que forman la base principal en que estáva la ~ndustrla inglesa. Watt abraZó bajo un solo golpe de .vista: los prío' cipios teóricos de las maquinas d~ vapor, y todos los medios de cOl1sr-ruecion que podián .perfliccionar su servicio; y á él se debe el estado ventaj.oso que hoy presentan; siendo muy G!!.gno de, notarse, que

,)


·

MECÁNICA: INDUSTRI:AL,'

,

2SY

en , sú primella. patente f se {encuentrañ' (:onsignádos: ill1plícit~ Ó esplícitamente rtodas los a'ddan~amientbs1 perfecciones y mejoras q·ue ' ~'e l hélllV ieje¡;utad0 despues" sea por Watt, seairpor sus ' i~i¡ a~0res. Así· es, que· Oltver ,EvallS en.!0s Estad,<¡s u.mdos.; Trevit.hick y Vivian,w lflgla,terrat, ántes 'de' elte5 Hornblower , despu,es W oolt: , ' ".f OtF0S IhábiJe~ Icóm.st·ructores que. se pod-íaIf cital! , todos 'han' tpmao'o hasta, el presente en los trabajos de' Wat!?, los principios fundamentales de las máquinas qúe :llevan SU$ nGmbres. ' 'J " , h, .. ' Antes de Watt, se haibia concebido ''1 aplicádo, la fuerza del v'apor;, perQ Watt' ha sido él prime;,. 1'0 que ha hecho de ella un motor universal, y el mas regular. Él ha viV'ido~bastante tiempo para go-' zar de su fama y de sus sucesos: á s'u ' muerte, las máquinas mejor camstrl~idas y de servicio mas segur0 y regular, salíaa de sus talleres; des pues no se ha hecho nada [Dejor bajl'> esta doble relaciono El nombre de Watt será eterno. emu.e todas las personas que esten enteradas de lo mucho que importa promover 10,3 trabajos de la industria. En tGdo el univeFSO hay unas veinte mil máquinas . <de vapo,r y representan la fuerza de cuatrúcientos mil caballos; se reputa en tres cuartas partes de ,ellas las .que hay en 'Inglaterra; y el haber en dicha naden el tripl<? ' ,de las maquinas de vapor"que existen esparCidas ea todo lo demas del globo, ha contribuido muy estraordil'lariamente para elevarse con tanta rapidez al grado de _pros peridád en que se halla. .' I

,

5EGUNElA PARTE.

i

Los movimientos obtenidos inmediát~mente pOI." los. moto,res , clJlalq U'ie;:.a que sea su m0do de ap,licaclOn, son de l!lna naturaleza tan particular, que su uso ea la industria seria sumamel'lte limitado si ·la ciencia no enseñase a ~ransmitir , transforma:r, y modificar estos movimientos primitivos de-ta1Jtas,ma.


llS6 Ml!,C ÁNICA INDUSTRI.AL.neras eomo el trabajo' puede exigir: lo chal forma el objeto del esta segunda parte. ' , Los mO\limientos que se obtienen inrnediátamen-_ t.~ de los motores, ~on 'ls'¡empre Ó movimientos de ~otacion en fll ' plano hotizontal ó vertical, ó movi. mientos de J aiven, ya rectilíneos, ya· por arcos de cÍl,cuI0,: .'y dtos mo,vjmienlos se efectuan pr,ecisamehte en el ~araje misl1\o en. ql!le obra el motor: cuyo Siti0; fl0 es adecl;lado en ~anera alguna. para ejecutar allí ningun ,géne¡t>, de _trabajo. Por €sta razon, es indispensable enviar ó transmitir este moví•. mient@.. á· di versas distanCias, con "diferente's direcciones , -en vario~ planos, y en uno ó muchos.. puno. tos donde convenga operar. Por otra parte se de_o ' b~ - tener en consideracion que cada género de trahajo nec~sita ,no solo 'un movimiento determinado que le e.s característico y que raFas veces es el -mili. ID0 que el d,el motor, sinó, una cierta velocidad, que le ,es. peculiar, para que el trabajo 'r esulte con la debida perfecciono Por lo cual, se puede asegurar que casi nunca se aplica el movimiento de 'Uij motor, cu'alq uiera que sea, sin modificarle; y se com:prenden bajo el nombre de modificacion de! movimiento motot , tados Jos luedios que 'se empleaa para regularizarie, acumularle , acelerarle, retar-, , darle, suspenderle, yen , una palabra acomodarle al trabajo que se quiere ejecutar. Y para ella, s¡émp¡:e es preciso hacer una nue v;a reparticion de los dos elementos de la fuerza motriz, masa y v~loci. dad ', sin añadir nada a la ~fuerzá' primiti'ya; la cua~ l1Q hace sinó descomponer para recomponerla con nuevas proporciones de, sus elementos. De aquí resulta, que para disponerse i ejecutar operaci0oes' mecánicas, no bAsta sitber recoger la accion inmediata dfllmotoL, sin@ que es precisó. sabe~'la trasmitir á donde y como convieHe l ya sea / . integra,mente, ya sea pOF partes .. Para conseguir estos di versos c;:í'ectos, nay un gran< número de me~ tl,ios , que l'econocen:por f¡,¡ndamemo la dOCLl'ina eSr ,


. ME€ÁNIC.A, lNDllS\{'RIAL. 257 plicalila e.1'1." la ,Es1;ática: pues qu~ todos ellos vienen ~ comp~ners.e de , una Ó ,mas <;te las siete m~8. ui-; nas qi.l~ ·.qemos dado allí ji. conocer como simples, modificada's para el ,caso panicular á que se q u'ie..: re hacer ,aplicacion: de manera, que toda esta segund,¡¡, pan~ debe reducirse á un~ ' serie de ejem: plCls , ó ,ptob!emas particu1aFes , resuelto.s para una l(FlultitlJd-¡ de ~¡¡,sos, ó que se traten de resolver ell 3lgunQS Ga ' 0S n,uev~s, Pero como e! estendernos so· bre este particular no corres'ponde al o,bLeto d<:;. esta; obrita "nos contentarérn0s'. COI~ decir, <i ue en nuest.fO ]:'ratta.do elemental ae ,Mecánica, y ~~ nuestro Compendio de Mecánica p!-áctica; se hallan , todas aq uella1! ,.ideas útiles que son com pa~ibles C~)l1 el.objeto de diqh:.a:s "o~;fas; y que los 8. ue deseeñ adq-uirjr cOll<¡)QÍmientos mas estel?1¡o,s , ,deberán con~u1t<l;r, el Ensayo sobre la composici:on a~ las máq,uinas, publi~ c_ado -en ü;ances ,por los .~s.p~ñol,es don J.osé Lanz y d0!'!rAgu~til1 d~ ,BetancqlH.t, la ,Mecánica ,apl~c{!­ da á la artes d~ Mr, Bp~g~is.,,3 .!~. ,Mepáni<;.a in~~y,;: trtal, ,que ,ea ~el rnism0 'l\ñQ de ,I.ª2j ha~ pu_b¡icadp Me, Carj§tjj.rn ;,;.dire:ct9J'_dS~ G~ns€r'Yatorio. d~; ar ~es "-'p ' , rt~ ~. otiC1QS \:Le ans. ~~ .......rq i". ". ~. \ ! ' .. <,!:f ""',;.1.-, ( !'~b (' 1 ',., . Tl!:R€~R:.A r,PAn,!,jE. • ,~I jf.J) ' f " " . '

¡.,.

t)~

)ar

I

~

,;

';:

~.,!"J):J

....

,.[

r

:) •• )

~

,

~.

t.

_ ... ~... ,,~ .

Ha~ta:, ahjJFa hem~s ,:Wft!}~fe~Eado .. dOf!d~,¡ s€, ,~jtllt flil,er.za·, :<@Il!.<{ se obtiene: , R,'<.) fe~gge ,::..s ~ tJ;w;p.or-

~a·,' sel de,Sa_OlItp,Ofle , s.e V~'5í,!:; Y C~)[JJO s~ Pt!l t¡5t~ r~~ . cproducir de qup.J,quier, '~,ller11';, ;bajq fO!~~bcW ása~,; ~per.o, ,JaJ h~!l\.0S . yis~o estér.il, y nQs hqnos rlimirado ,á consi.detqftfi ¡y. ¡í v.aluar1~ ep )9S qiIh e)1tes. gé.ne::to.s .d~ l<lovitniemo§,. que. puede ,cou¡.uni<:~r., . ~n )fl ;S!s.pa~iQJ¡, átpi~?-~s .- q¡.ater:iales ~,de ~odas f9r~~sJ : '..fi~Je <.liernQ~ s€0,a;l¡l:do ,aun O?jet9 ·.q.ue se ~ ~J;>e.ts: o¡l1§eeJlj r" .ttal:¡aJo 'q!>~r. F5}, deba eJ ~.(l.4t.lf~H rneCeSldqd l:·I1~ll~yi<rl <l'que IS~ Idebca j s.ati~f,acer: : h )Cf~a'1 .fQ.r,ma~~·.9bit10 d"€ :;e~la tr;:r:..Oe_ fªs pª.J;te, ~ .,1 .r.n... ", ,~, ,;;>' 1 • '" ~n }a¡;,@.[pJh:aciof¡~s· q1,1e~ s.~ hacen ~ .1a§La~~$S; se 17 T. n, j


258

'MECÁNICA IND,U STRrAL":

entiende comunmente por maquina la retínídn a~ las piezas que comprenden €l modo de aplicacioá <!lel motor, los medios de trasmision y trasformacion del movimient0, y tambien -el mecanism0 ' que ejecuta- inmediatamente el trabajo: de manera, que si por abstracciOll se suprime esta" 'l'eúnion de pie~ zas 'en ' una operacion mecánica, so'1o queda PID!; un lado el motor si n' medio de accion o, 'Y PO!! o,t r0j la materia sobre la cual se debe ejeéutwt , lthrabajcJ en un estado de aislamiento complet(). I 1 , Considerando las máquinas bajo el aspecto,de la naturaleza del trabaj<:> ' á 'que se destinan~ se 'pueden dividir 'en 'dos clases muy generales: -la , La. comp,lIen1 de las 'q ll'e solo tienen por- o.bjeto el desarrolla de una g¡;an' fu'e rza; y la - 2. a las que estan ¡.(!special~ inehté destinaaas~ par~ un trabajo eü J el' cúalla destreia es la:' princi pal c<:>ndiei<:>n:, < ( ,. Las de la 1. a. Clase(:son 'Y deben ser, la:s mas sim.! l>le~; sus funciones está,rí ) r1gorosa y absolutamente; limitadas á la ¡;e padicion 'q'U'e por medio ,de ella,s 's'e hace &: los elemellws de la (fuerza del -moror', es deeir ,~ qu'e , si en lo -q&e representa l~ fuerza- primitiI va d,el motor, la masa entra comO -'Í-€)0 ~y. la ,velo: cidad como SO , sus· funciones consisten, y no pQ.e. den jamas C0nsisúf "';siñÓ "en' t'ransfÍlit¡r esta fuerza, muci~ ndo el valor de la parte que cada elemento puede téner en la-espresiou 'PFimitft'a: ' :Asi:, 'ert lugar de ' transmitir' ioo ,c,l'e ma'sa 'Y 5'0 fJ1cl'e veiocida'd, 'se podrá transmitir 5 oo ~ de " masa 'Y Í9 'd~ vdotidad~ Ó 5'000 de 'masa y 1 de' vf(l'loeidad "O bien: aun if,(i) de mas'a y 500 de v, elEiciall'tl, ,'&c: : ~ 1'>U'(lS' tQdas estas ,espres'¡ones de fuerza ·vienen á eqwi'valer -á la prim era que repres~'nta lá fu erza ,€Id motor,. ,La perfiecc:ion de estas máq t1inas consirste Í en; sUJ's0li~ dez ,ef,¡ su, senciUez '" en la faci'liclad~ de " su servicio y eq , una buena aplica'cio n de' la potenQia UJ0triz. , "EL o.b]ero principal ,<k las máq'uinas' ·de' :la 2f clase, és , ejecutar una multitud ' de trabajos que exigen destreza para: ' se'r' desempefiades. ;Este ,QP-

/


\

,

,

/

.MECÁNICA lNDUSTRIAL. compli~ado, como simple

,/ r>

!l5 (j

jeto' eS tá¡;i el de las mAquinas de la primera clase. Aquí no se tratá ya so~o de irnponer á la máquil'!a la única funcion d~ mu~ ,dar la velociqad del movimiénto mOlor, sinó de descompQner este movimientp , ,de dividirlo, de tr.<!'nsmitido Hajo mllchas formas ,diver,sas , y; 1levarlo s.o.bte :la materi,a. d~ trabajc!J , me una manera propia para JlenaJi todas las ,c!?udic,iofl.'t$ ¡qu.e este u:abajo encierra, se trata de formar una combinacion de movimientos .C[ ue se sucedan ) <;lS uno11 ~, lQ1¡,:Qtros: COJl unit precísioIl ~infali~l~ ~~ ªe,sqr~QJIC:J de ,y t<locidades , y en direcciones ya:rüu!a.s, y 'q ue oQre!1, gl.~ 'concierto para, GJ. ué s,e :conful'ldan ~u¡; ,e(ectos e..rÜ IJ§UuHes detemiin~c,los. El apr,eeio..ó)v-aluaciol) ,<¡ie:ta! f&~r~'a" motri~ y Ilt ~eeenol~ia ,de ,su ,gasto " no pOJl\.y,a aquí e.l)¡ , general, tSinó~ de u,n;int€tt:!:s secunda,rie ;d o_es.el'lCÍales el. jue~ go regular de la rnáquiaa, la "convenIencia] ,de su:s JIlov'imi<tllt@¡; y. ,de sU:· 'com p0sicipn para. .llenar las .Fri.nd:pªles, eondiciones del .tra·baj.o. ~ 1,. , ,Cada una ele e,stas .máqu'¡ft~ s. , el) su~ r.ela'CÍQnes .con el tral¿ajo, tiene ·su tt o.tía 'Il'lrticular:, que'_ n.o puede.•cl.,e9,llci,r ,sinó de la -Qp-eradon misma\) de que .~lla está eaca.,rgaga. POJi l~ !;uat, .IQ mas GJ.l!le se pue~ .d~ :h.ac:e-r ¡;j n~eJl[rªr en pormenQl'es;, ageaos de e.sJa .pbríta "" es, ~l'ldiGar~ por gcu pos l¿l '. clase d:e. óperaciones que exigen 50bre poco mas 6. menos .lél.S mis.Rlasmáq·"iaas..- I'l • . • , . 'J ' Así ~s , .ql·te~ta, operaclOn rBé.cánÍca que tí.el'le;-pbl' ,:9bjéto hace:r pel'lS:Jr,a r ·un- c,uerpo en otro, ~jQ ahé..t:ar Jas·..[QqJ}asA<':.l~ p.rj lJ'ler:o , corpo..él.clavar es1acas, pilótes &c. eXige necesariamente el q,ue se haga, p01' .pércus.iqn" ,yyn.o, se' ¡pueqe : c.ol'lse~uir el objéJo por rpXe§ion; tS' 9.e~ir, que convíel1,e;mejor ha~er oDrar .UJlJi fuerg.a: en una masa d~ )ln peso mediano Qon mu~ha 'velocid'a,d , t.q.ue una gran masa 'con pO,ca vel<D. ~idad. . ,:",' .. , Laseperaciolles mecánicas que tienen p"or obJé~to , a.p.roJ¡;,iq¡a¡; ..la,s1¡:uoléc,ulas de ,que ,un cuerpo se ,~ol1lpeJle. ~ - y au.~;nentar PQ¡¡ este medio su ,densidad, ~

}.4

_

_ •• )

~

_.

)

.,.#


260

MECÁNICA íNDUS1"lUAL.

él bien ¡;edúcir_el volúmen de una, masa cualquiera., si el volun'Jen no tiene e,lasticidad, 'Puede usarse de la percusi'O'[1; Ó de la presion, pero si el espr<l:sado -iVolúmen éstá dotado de elasticidad, es mucho mas iVefltajds0 empl'lar la fuerza <de pl'é{¡jon ;' y las máquinas en ~uso para ejer.ce-r esta operacion se llaman prell sM, que las hay dé d.~Yersos géneros, á saber: prerisas de palancas ,' de roscas; es<ientriclts , hidráu-:lic;,as y deol cilindros. " ' Las' operacio~es mecániéas qut¡ tienen 'por obje, to dar una forma , nueva,..á :una masa", háciendo 'que ' varíe la 'dis posicion de"SUif'lÍloléculas, siri~ separarlas) Corrío ,o,u ándo á una' látntna; que eS1á ', esfé'¡¡¡d~da ea pl!!no. se le quiere <dú<,u na 'forma c¡arva &c. exigen masd)i~llrla per'clfsion ~l1e l la pr¡esiol1~, á ;ne ser que -los cuerpos ¡¡éa;:J. des~e'¡¡¡ll7Ja'bles; que enrqnces suele , se,r 'II1ej'0'r la pre~ion. ' t, " ' J ' , 'L" " , L _ :Clla'ndo se tlrata de¡'Ca1!l5ar en un cuerpo d,iferen. tes iU1pre~iones , e,omo 's ea wao gél'l'ero de ; est~mpa..,dos y 'de imprentas, seJ puede hacer' uso de,,la.. pre. ,sion ~ dií: la pér<?,usio¡¡¡'i seguoQ las Qirc:úllstanchiS<. ' CUando 'se hace,u.so de,la percusion" debe ser siem.' pr~ Gon, 'Poca intens~dad $ 'en los dem'P's c~-sos, cuaFi. , do) se hace uso de la ' presion r, ¡:fa-ra [obtene'r los me'" -jofes' resultadGs " importa desenvohr'~rl:a- cpn una ~ ciert.a léntitua. :1\:'1 : '\,.1.,. ~" Cuando se quieren separar ciertas· palrtku1as ul'l~ ~da:s á -un cuerpo " COElo1(j "en la ,opetaeion ,<de aatanar ' -10s paños y sus al'lá'logas, ' es nee'e sari'o"étn plear la. . pel'Gusion, y mientras mas viv~ s'é a, pr-O'tlllce',mejores resultad0s. · . ' .. I ,_ , 1, ') , Cuando se qu.iel1err separ.a'r y, recoger- las , mole:"culas líquidas q ue conti'eÍ1en~ 'los €lIerpe>s / como &011 ,·'todas ·las operaciones mecánicas pal:a estraer lel acery~e ,la sídra &c. , si .se . q uiere 'sac;ar ' ,l a Íña yol' eantiaad posible de moléculas líquidas, deben · 've:Fifiéarse las c0ndiciones siguientes: 1\ a pedudr los=cl1er. ,pos ¡¡J.mayor grado de diJ\lision posiblql,2.a-fjl.lVore. cer por algunas operaciones, apropiadªs, á la ,natao\. -

7

t

• ')


MEclNICA JNDUST.RIAt..

261

raleza de los cuerpos, la separacion de las rnolécu· . las líquidas; 3. a disponer cOl1venientemente el cuero po dividido para la accion de la fuerza; 4. a en fin, operar con una fuerza suficiente y proporcional á la cantidad de matérias que se l~ some~e. Las operaciones mec{.nicas que tienen 'por objéto re.ducir los metales, á láminas, hójas, ó hilos, se ejecutan por el desarrollo de una gran potencia 'de percus¡'pn 'Ó de presiol1 ; pero es indispensá.ble ejecu. tar la ~peracj.on gradualmente, aunque se pudiese disponer de upa vez de toda la fuerza necesaria pa. ra hacerle de un solo golpe; es preciso pues, para.. obtener la forma que se le q.uiere dar, precede-r por grados, esto es , pasando por una multitud de fOfmas intermédias; p.orque de este modo, no s.o10 la masa entera de~ metal se arregía á la forma que 6e l!! quiere dar, sinó que cada molécula en pal'ticular toma la disposicion conveniente á la colocacion nue- ' va que estas moléculas tienen que tomar. Estas operaciefles, respecto d~ los metáles duro.s , como el hierre y el aeero, se efectáan des pues de haberlos hecho enrojeceJ;al fuego para ablandarlos: las mo. léculas en este caso se prestan mejor ~ la trasfermacion que deben sufrir. Para la r:.edú,ccion en hílos, es siempre mas ventajosa , l,a presion, haciendo que pasen las variHas, ya redonde¡¡,das, per un agugero cónico un FOCO mas pequeño, hecho en una lá· mina de acero, que se , llama hitéra: y esta ope"ra.don debe hacerse estando fril;¡s los lIIetáles. _. La reduccion, mecánica de los cuerpos s0Hdes, en por~iones mas G menos grand~s , se puede ejecu. tar de dos modos diferentes, ó por una lámina cortan te , reGta Ó circular, ó por el aserrage ·y' otros proGedimientos análog,os' ¡ Para reducir las matérias sólidas á par:ítcu!as frias, es precisQ atender á la naturaI.eza -de las ma- _ terias j- porque unas veces basta machacarlas con una fuerza suficiente ;. otra:s es necesario desganar. la¡, Y otras es preGis~ a plastarlf s y fro~arlas al _mis.


I

!Z6z

MECÁNICA INDUSTRIAE.

mo tiempo. Las sustancias pulposas, tales: como laS! frutas y ciertas espécies de raíces ó de tubérculos las fibrosas" tales ' cOmO las hojas, las corteus, la madera, la paja, los trapos &c. se pueden redacir· á un gran tstaqo de division? por simple desgarradura, en virtud de super.ficies llenas de asperézas. Para las hojas, conezas, madera, &c. ,que' se deben emplear en polvo fino, la accion mecánica, de desgarra~ ' no basta; puede servir á lo mas para preparar las materias; la acdon por simple 'p.resion aún, p.o obraría sinó incompletamente; es necesario recurrir á l!l percl.j.sion, que es la única que parece poder tritmfar de la resistencia que estas mateFias presentan una gran division molecular.· Las cor~ezas para los curtidos, la madera para los tintes &c. se pueden dividir en filamentos groI , seras. , en astillas, ó aún, en polvo,; pues· que esta oper¡¡cion mecánica solo tiene P@F objéto facilitar la aceion del agua que d¡;be percibir la materia colo,rante; pero los ~rapos para el papel d~ben reducirse á filamentos de una gran tenuidad, y que sin· embargo tengan suficiente longitud, para que se puedan er:llazar los unos j:!on ~os ' otros, y formar aquella especie de tejido ~ue presenta el papel. Mientras lIJaS sutíles séan los filamentos, y estén re· , ducidos de algun modo á sus fibras elementales, el pa pe! es mas unido; y mientrás q ue al . mismo tiempo Jos filamentos conserven. maxor longitud, mas te· pacid~d y solidéz tiene el papel. La redllccion del trigo ea harina s~ efectúa machacando y frotando al mismo tiempo el grano. Las operaciones mecániéas que' tienen por objé. to separar las l"articulas finas de las groseras, coIllO ,lé!S de cerner, cribar, &c. ó las pesada~ ae las . ligeras, como las de av:entar, separar los granos' metálicos de las arenas &c., requieren ó' que estas panículas tengan una forma y dim<:nsio,nes q~e les' permitan pasar par donde no lb hagan las otras que - lie -q uiercQ: separar, Ó que . dkhas partículas, aUI1~

a

o

o


,1 MECÁNICA INDUSTRIAL. 263 que tengan 'dimehsiomes iguales ó mayores, que las otras con que están mezcladas, séan especificamen. !e mas ligeras. Hay dos médios generales para con,segl!ir estos objétos , á saber: ó sé hace mover de diversas maneras la masa sobre una , s u perficie coq ar¡ujeros, por los .cuales pueden pasar solo las partíoulas delgadas; ó se suspenden las partículas en un medio agitado, que For su naturaleza ó por su pequeñez, pueden permanecer allí mas ó menos tiempo en suspensioll. . Una mezcla de partículas finas y groseras, q partic;:ulas ligeras y pesadas, se separa,rán mas ó menos completamente, espopiéndolas al · movimiento de un medio agitado, cuya acciQn se pueda ejercer. simultánea ó sucesiv.amente sobre todos los puntos de la mezcla. El medio llevara en su movimiento las pa,rtículas bastant~ ligeras para per,manecer suspendidas en él. Solo el agua y ~l ayre pueden servir para esta operac.ion. El empléo del agua paJ;;ece preferible en los cas,?s siguientes: l. o cuando se opéra S09re_materias terrosas 'ó metálicas; 2.~, cuando la operacion se debe hacer con _mucha eco... n,omía, sobre grandes masils ; ' 3. o cuando la mate:via no es' disolúble en ,este líq uidQ, ni su~ceptible de ser, altel'ada por ~1; 4. Q en fin, cuando las partículas IlJaterial~s son de un cierto peso, séa por. su naturaleza , séa PQr la humedad de que se pueden ha- , ber impregnado. Para materias de otra naturaleza, es necesario recurrir al movimiento del , ayre cuando se quiere fundar el sistema mecánico de separacion sobre l~ difel'encia de 'peso espedfico ' de. que las partículas -, están aféctas. Hay tres modos de presentar la masa á la accion de este agente: I.~ golpeándo violentamente sobre esta masa, y dirigiéndQ al mismo, tiempo una, corriente ae ay re que venga á to,car á su superficie; 2. 0 agitando vivamente tod ~ : la masa; y haciénd'ola atravesar por una corrient~ p'e ayr:e; 3. 0 h_a~iéndo pasar la .~asa 'po~o á poce ~n esta ~ºrr~~~-


264 MECÁNIC~ INDUSTRIAL; te y perpend)c ularmente á su direcciono . ' . La operaciol} mecánica que tieue por objeto la 'rraslacion t'o rzada del ayre, sea para renovarle, séa para e~citar-Ja accíon del fuego, puede verificarse de tres mOQos distintos; el primero C011siste 'en ralificar por el calor una coll:lmaa de ayre en un t ubo, á la manera de chime}1é~; pues en ' e~te caso, -el a}(.re ,frío se precipita de los puntoS que se han detenniuado; el seguudo-se pract~ca haciéndo el (va~ CÍo en una capaci.dad cualquiera, que se puede abr~r des pues , para dejar llegar allí un torrente de ayre, que se establece inmediatamente para llenar este va ... CÍo; el tercero consiste en ejercer sobre un'! masar de ayre !ina presion que le obligue á salir con mas 6 menos ' violencia por una abertura practicada sobre el depósito en que esta masa de ~yre está encerrada; se puede emplear uno de estos tres medios, séa para renovar el ayre, sea para escitar la com... bustíon. . , Con el fin de indicar las operaciones' mecánicas que tienen por objéto preparar la~ matérlas filam'en; tos~s para los diversos sistémas de hilados, ODSel'varémos que estas matérias filamento'sas son el cáñamo, ellíno y algunas cortezas vejetáles, el algodb11y algunas otras borras d$! plantás ó árboles'; 'las la.: , nas, pelos y vello d~ diversas espécies de animal'e s; y en fin, ia seda y algun airo pt0dul:to ~nálo-. go del reyno animal. Las principales cualidades de las matérias propias para el hilado, son, una ;gran fiijura en sus filamentos, y que estén separados 19S unos de los otros '; ígúaidad en ~ u s longitudes y gmesos; pureza de la matéria, ó ausencia de todasustancia heterogéuea; en fin , la flexibilidad y tenacidad de los fi lalllentós 'eleínentMes. f , El l~uo y el cáñamo presentan sus filamentos tan sumamente a'g lutinados; que se ne~es¡'tan muchos· trabajos pre paFat orio~ para hacer de e1l0s una matéria. para el hilado. El al g·odon, aS1: como las diversas especies de laflas,y borras, están eompuestas de.filamen·r


MECÁNICA ,INnus'rItIA:G

"26,

lÍbs 'de diférentes grados d.e finura, sin t;lingun'a trabazon entre si, y susceptibles de pasar al hilado en el estado que tienen naturalmente; pero estas materias están cargadas mas ó menos de impurezas; los filamentos son de longitudes muy desiguales, al~ gllnas veces no son de la misma naturaleza, y siem~ pre se hallan tan enmarañados entre sí, tan rep-le .. gados los unos sobre los otros en todos sentidos; qué es indispensable darles una ~olocacion regular~ para hacer de ellos un hilo. No sucede lo mismo con la seda; la seda es un hilo de todo punto hecho 6 indivisible; y no hay mas que deyanarle, redoblarle y retorcerle. Para indicar algo acerca del hilado y de sus prepar-aciones y ,¡procedimientos, observarémos que el objéto del hilano es <distribuir, en 'una longitud da~ da una série no interrumpida de filamentos, uniformemente colocados, y por todas partes en número igual, y de dar á esta línea de desarrollo un grad<t de torsion determinado p'a ra hacer que estél'l reuní· - <f0S tod0s estos filamentos. La práctica de esta operacion y la manera de efectuarla en 10s ,diversos fa" mas de que se compone, forman lo que se llama! propiamente el arte del hilandero; y como su desarrollo está fuera de loo límites de esta obrita, pasarémas á hacer algunas observaCÍ0nes generales sobre la f0vmacion de los tejídos. Entrelaiar los híl9S entre sí , desenvolviéndolos sobre-un cíerto ancho y longitud, es fprmar uh tejídQ; y como este -entl'ela.zamiento es susceptible devariair íñdefi¡údamente , hay una variedad infinita de tejídos. De tres modos gen~rales se puede formar un tejído. 1_. 0 el'ltrelazando un sol0 hilo consigo mismo, como se verifica en el punto de calceta; 2 . 0 entrela· zando jmftós un nÍlme;r0 determinado de hílos , cadaUno de- cierta longitcad, y colocados paralelamente 106 unos allado Y de los otros, como en los cordones, y. en al~unas variedades de túles y de encajes; 3. o ha· (¡lendo pasar un hilo eontínu0 entre Mios paralélos,


,

~66.

j :r¡IECÁNICA INDUSTllIAL.

roiéntras que se les hace cruzar de U1=la manera éuaI~ {luiera, como sucede al formar ellién2iO y la mayor parte de los otros tejídos, ya sean ó no labrados. , j I Cualquiera que sea el género de tejído que se trate de producir, RO hay mas que hacer enlazar los hílos por ciertas movimientos de piezas determina· das. Las cualidades de la matéria sobre la cual se 9bra, si influyen.·algo para el aspecto del productoj 110 10 hacen de ningun modo en el trabajo del tejido: el @bjeto por otra parte, que uno se propone, varía con cada especie; pero como lo que se deséa es ob.· tener una cierta forma de entrelazamiento, todas las condiciones del suceso, están encerradas en la pre~ cision y fácilidad con que las piezas mecánicas ha. cen mover los hílos , á fin de que, sin mudar de·fol'roa, séan encorvados y replegados de mil madéras , diferentes para formar 10 q\ue se ·deséa. ') Este asunto ·no es de tal naturaleza que puede ofrecer á la ciencia datos suficientes para fundar una doetrina aplicable á la' f0J.1macion de ~os tejídos en general. No preselilta sinó parti(wI-a:rida-des ', sim. pIes mov!mientos de piezas que describir, que pertenecen mas bien á la práctica de cada uno de los tres modos de op.erar , que á la teórica, y no pare(Je posible hacer en abstracto observacipnes propias. para mejorar lo que existe. En este género, las inno.· vaciones LÍtiles, y los perfecciolilamient,os e$tán baje. d dominio del géhio de la inveRcion , guiado y sostenido por un conocimiento profundo de todos los recursos de la mecánica, y del dibujo, para "comprender la correspondencia que debe haber entre un disep,o cualquiera, y el nLÍmero de hílos que oí cada; instante se deben levantar (.) hajar , p~r(a .que r.esulte ~l tejído con la labér que se apetece. Los aderezos que se daa á lGls diferentes géneros ge tejidos, son, ó por composiciones que se pue.. den llam ar químicas, ó por procedimientos puramente mecánicos, y como a-quí solo 110S corresp0nde el ocuparnos de estos LÍltim~s, dirémos que se dis.tin~

/

,\


MECÁNICA INDUSTIUA:t. 267' guen ' los 'aQerezos mecánicos, seglJ.n el ' objeto que se trata de conseguir en el empléo de cada uno: así es, q-ue unos tieneri per objéto aplastar los hilos del' tejído y batanar otra vez, ú ocultar el vello que se Fresenta en su super~cie ; por otros, se !rata de ha. cer contraher una fuerte adherencia entre los filamentos Ó ~abos 'de filamentos que salen de los hílos de que el tejído está formado; en unas ocasiones se deséa que aparezca en la superficie del tejído un I gran número de estliemos de filamentos, que' se van á buscar -en el cuerpo mismo del tejído; en otras, se deséa cortar á la misma altura, los cabos de filamentos, así conducidos á la ,superficie; y otras veces se quiere quitar todo el vello é borra de que la., superficie del tejído está cubierta: y cada una de es· t-as op'eraciones exige un procedimiénto mecánico que le es· particular. ' . Dirémos tambien algo sobre los procedimientos empleados para pulj.mentar las matérias-duras ; y se , reducen á que el pulimento tiene-por objéto borral' t-odas las asperézas" que hay en fes cuerpos, redu·, eiéndolas todas á pequeñas superficies pla.nas, que se confundan con la superficie entera del cuerpo, ,y que son C0ut0 sus elementos. Los cuerpos que deben recibir un pulimel'lt0 brillant\!, se frotan sus superficies con matérias, al 'menos tan duras como lo$' mismos cuerpos. El mármol y el cristal se preparan para el pulimento, frotando una con otra dos su· perficiés de la misma matéria; des pues , se les da el pulimento, eomo á los metáles, fr0tándolos .con diversos cuerpos, en polv0s lIJas ó menos finos. 'Para obtener un hermoso pulimento, se debe frotar con u'na gran rap'idéz, y emplear polvos mas fimos segun se avance en el pulimento. \ En cuanto á las operaciones generales de la ag.ricultura,observa'rémos que hay una operacion mecánica que. domina á to"'das las otras, por la importancia y estension de su -resultado, y porque de ella sola ,depende t040 el suceso de! cuJ~ivo, con r e. , ?/

./


26'S

MECÁNiCA INDUSTltI.A.L;

lacion al ménos, á fo que eS" dado~ al hombre h!eer para favorecer la produccion en este género. Esta. operacjon es la t abr-an'Za: no podemos. hacer acerca de ella sinó indicaciones generales, y baje el punto de vista puramente mecánico; los detalles y aplicaciones prácticas pertenecen á un órden de conocimientc)S enteramente estraños á ' nuestro asunto. ,Sin embargo, es de la mayor Íl~portancia indicar, que el objé~o de la labranza es no solamente dirigír hácia la superficie de un campo, las capas inferiores de la tierra vegetál, tomadas á diversos grados de' profundidad segun las circunstancia,s en que une se halla; sinó aún el de reducir esta tierra, así vuelta, al mayor grado de division ó pulverizacion, á fin de que todas las ramificaciones de las raíces puedan pe. netrar facilmente, y que reciban, al través de la capa de dérra 'que las cubre, el ayre que les é s útil. El cultivador debe tambien dirigir sus miras á. disponer el terreno para obtener las mas abundantes cosechas. Lo cual se consigue, mezclando á las tierras demasiado compactas y húmed~s, tierras areniscas , cenÍzas &; Y á las demasiado ·areniscas , arcillas, márgas, y otras diversas sustancias: q uitando á t0das, los cantos y las grand,~s piedras que jmpíden nacer á las semíJIas, y des pues estenderse las raíces. Con esta disposícion del suelo es CDma los abonos ó estiércoles Pli.eden procurar las mayores ventajas: sobre cuyo pUf to, observaré; que en virtbld de los es perimentos mechós hasta el dia, 10$ alimentos que las plantas ret:iben de los aborlOs, solo contribuyen para aumentar la vigésima parte del p eso que adquieren por todos los otros agéntes atmosféricos, como son, el ayre, el agua, el oxíge. no, el hidrógeno, el carbónico, &c. &c. t

CUA RTA PARTE •.

En las tres partes 'auteriDres, hemos visto, co'

mo éon rnatéda y uloyimient0, tomados en la nanli


MECrÁNJCA. JNDUST1tJA.:t. \:169 ralez!p, se tién,en 16s medios, de suplir á' la Fuerza • .y á la destl:eza del hombre para ejecutar epta mul, útua de trabajos diversos que~l~ prescriben las ne~ cesidade!; y comodidades. ~emos, 'pues, corri9.o, .aunque muy rápidamente, todo el domíníq de la mecánica industrial; 'Y' en rigor, el objéto que nos habíamos propuesto pQ(!ía terminarse aquí. Pero nq ,hemos querido dejar de pon.e r esta €ljarta parte, papa hacer ,algunas ad vertenCills útiles. Con , ~ste objeto, observarémes qlle las cuestiones de mecánica. industrial se pueden eonsiderar , y pued~ ser re,.. &ueltas por dos vías distin~as, Ó por la inspiracio~ -ó por investigaciones •.esperimentales. La mecáni~ tiefl~ una circunstancia'_ part.icular > y es: que un" ·multitud de hombre.s ,sin conocer absolutamel'lte 10.1 'pl'indEios de esta ciencia, ·se aveqturan. sin telDOrj, ád\l'"investigacion de las máqu.inas, guiados simpl~r mente. por aquel instinto -que parece pertenecer, ~ la orgariizaciofl dellio!Í1s-re, Ó 'nacen de las numeJ" ·rosas Ilircunstancias .en que él es testig0 p~ los dif~­ rentes empléos de l:a. fueFza, '_ y del lIlovimiento: TafIlbien se les ve consumirse muchas .~eces en es, .fl!l.eJ:zP~ ruinosos, Ó, parª, r~solvér cu,~ftio_nes inso~ 'lú~les ', ó para tratar, ,de poner e{l 'ejecucion solucig" -nes ménos €ompltltas ,. @, IJlas cO~'J¡>lic,apas que la¡; ' 'lue 'se han encont,rl\,do~ ª.q.~es de ¡::l1os; ó:.en,Ain, 'p aora ,llegar á una p!!rfeccion ideáL d..s: ,:S9.w.bi~a,ci,o{l,?$ $lecánii;:as,' que. se pU~4e presenta¡;", al espíritu co.mo, una realidad, pe¡;o que es iill.p9S~~1<: alcanzar ~cn la ejecucion. " , > Eas investigacir>m,es ¡\el ill0vimi.ent9 'perRétuo .6 de cualquier máquina propia para servir. de motó~; :falsas .a.plicaciQnes ~de -las ley e~ de la natural,!zá~ i"proxectos .q ue ú~nen ,es)',as leY,es en, .Qp.0~sion ; vl!l1as ::.combinaciolles de, pªJilnc~s }¡l.ar'!.. prod:ucir efeeto,s muy símples, ó para producir mucho con poca fueri za; mejoras 'pretendidas á procedimientos roedni. eos ? .que FlO s,e n sjnó RUfas mpda¡lZaS d€ construc•.cion. Si,(1 ul:i:lida~ para lq,s resultados de la opel'acion;

r


"70

.

l\lECÁNICA INDUSTRIA!i.

investigaciones á priori sobre cuestiones de qure no se poseen todas las condidones, ó en que todars sus condiciones no sé pueden abrazar ó determinar ri,.. gorosamente: 'todas e~tas €osas ocupan f! ,bastantes espíritus, y son muchos los que se estravían diaria,. meme en ·estes falsos camino~, pierden en ello Sl!l ' tiempo, y á veces su caudal. l P-or el contrario, hay 0tras muchas personas, 'q ue tienen una preveuaic:m estr.aontinaria contra las ,máquinas; y esta prevencion suele tener por orí-gen dos causas diferentés:' una es la que resulta' de .estar acostumbrados á ver hacer \!lna cosa de un so. -lo ¡;nodo, é inferir de aquí que este eS el únic'o me-dio adecuado para el objéto; y otra es la de su poner que, empleando las máquinas, se quita el trabajo á la clase ofurera y se aumen~a elnÚffiero ' de pobres. Como esta opinion errónea, ha sido ado;ptáda por algunas personas tlustradas, Mr. Dup1n, miembro d'el Instituto Real de 'Francia, ha " hecho i-os mas vivos e~fue~zos para :demostrar por el razonamiento y por er' cálculo, cuanto se sepataban d'e :1a verdad los que la adoptaban; pero teniendo pr'esente que la.'s demostraciones mas cONvincentes, cuan· do. contrarían-opiniones g~neralmente llecibídas, se -re.chazan sin examen por la p.revenoion, se ha ocu· pado tambien' de demostra'fla:¡con hechos; y babiénrdo examinado -con atenciOi'ld Ó que "pasa en Inglaterra, por t uyo país ha viajado, ha deducido que ,hay .ménos pobre.s en aqueUas-ptov ~'hcias de Inglaterra en que hay mas máquinas. Con lo caal, ya Nada se

puede objetar en contra del útil. empléo de las má.quinas ; y terminarémos éste tralaJdíto indicando los médios que han proporcionado <á la Gran' lhetaña el elevarse ·á un' grado tan alto de 'pros peridad , pues que fodos se hallan Íntimamente unídos con nuestro ebjéto. Smith, profesor, de ' Edimburgo, dió á 'conocer , las ventajas de la division del trabajo en las opera.dones industriales, y aclaIJ0 vados puntos de la eee-


271

MRCÁNICA INDUSTtl.lAlr.

ae

'1l0'mia "ppIítica: estos conocimientos sirvieron base á la~ sábias leyes comeFciales "<le Inglaterra. .. : Bla.ck, profesor de .Glasgow, por sus adelanta.. mientos en la química, preparó los inmensos servicios que .esta cienciá -propordOlia á..Ia,industria. ~, Watt:, eonstructor de instrumeNtos de Físioa y .cite Matemáticas, Hegó 'á hacer de la'máquina de vapOJ)' el motor mas · poderoso' y. el , mas útil p.ara las ,a'rtes modernas. 'H.. , ' ,1 . < Un ': p~luquero pus0 ·,en.' prácti'ca uinnecan:ísmo para hila'l' el algodon¡; y. esto solo ha bastado para dú. á la indústriá' británica una ;ÍmpeÍlsa superiori·dad: en térmiños ;' que :esporta anualtnenre Juna caw(idad de algodc;m~s" hilados y tejíd(!)5., por el valor .e.ei mil y seiscient0s miUGnes de reales'. . 1 , • r Al DQctor B'urbeck ,." profesor de Mecá¡:¡ica .ea la Institucion Andersonniana ~ es á quien la ·GralÍ .Bretaña es deudora de la instruccion científica estendida á la clase:ohIérii~ 'EL primer prospecto del curso ';lue abri~ SO~l'~ ~ste inter~sa?t~ ~~u¡:¡to hace p'clt;0 mas.de velqte: a:mos en la cludad ,de':Gla-sgew, ;contiene , unas reflex.iones tan' justas y pr,ofundas¡ t~rue:.,.Jgrabadas en el corázon de.los .aFtí'5tas-de GlasgoW', les ha hecho adquirir un sabeF-práctico " y pJlia. fiabilidad tam célebre: en .roda la 'Grarn Bretaña, oql.'l'e,tomando pOl"m0·delo, eLest.abl~dl11ientQ ¡;le G!aS: ·gQW , se har:l imitado Y' estenaido estas insti'túciónes, . détnode .qúe las hay; en d dia .en ¡'oóllres' ,"en.,Edim1mrg,0, en Aberdeel'l, en Leeds ' . en Manchester, .'ea '\Bpitninghan, en N eweast.le, en, .tiv-erpool, ',e a d?,étltcaster , y.le .ser-á ~uC'<;s~vam'ente ' e.tii l tóda'5~las ctU,da:des , de 'la. Gran ,Bretaña.! ~n diél1c,w es,ta!)leGill'lien!" !tQS,;(.'S'e 'easefia 4 f<P élálSe o~rera de ':;[Hglrotetr1t 'Y, Es.,c0cial~' '108 principios ' <;\e,6~ometríaí ; d:'e tMecéFnica, rde Física y de' Q\ümica; 'esplita:do'S Qon .la~(inayo'): ·.c1ari'dad, p'recision y ~en€~'lléz~ "n. ): '; 1' ¡ " ¡: ~ Estos son 10s médias ad0ptadas por I¡¡. Gran'Bre. ~:ña.,! y que la han elevado ..á un punto tan altó de lJii'l\l~a.y 'pr.Qsperidad~ tléi'l.üe slillo vié:nd!C)l~~se F~e' ,'j


MECÁNICA INDUSTRI'AL•

!),7Z

•de fo'rmar alguna idéa. Baste decir, que "atónit~ la Francia de tanos pasos tan agigantados, y re,ce.;: lando, no , sin fundamento, el Ill'btedarse muy a.trás .eH sus producciones industriales', se ,a pliesura de l1n

modo muy estraordinado á difundü en la clase obre! ra todos los cORooimientos indispensables para que DO desmert:zcan sus artefáctos.' Así ,es, que en el Conser.vatorio de artes y ' oficios de Paris, ,se abrió el año de 1824 un curso de Geometría y. ,de Me~ cániea, ,a plicadas á las artes. En los disGu,rsos que el sábio Mr.,,cha:rles Dupin, encargado de eS't .ta enseñanza, y á quien he"tenido la satisfaccion de oír, ha pronunciadó en dife~eI.1tes ocasiones, dQ ~al modo ,hace ver las vemájas" c.y,aún la absoluta semcjante iRst>ruceion , ,que, por ¡su in!; necesidad ~¡,¡jCil ',. sS!:van abriendo ,Ciltros curs.os análogos en va· :ril1.S ciudades de Francia. , ~ ,.{

de

,, r..

t. "

. AFINITOLOGIA;;

,~~ • . "

...

I

.. '

,:;)

38 I ' Afinitologia es la. cie.ncia, q.úe trata de llIq1J.ttr na prapieda~ que tienen los ,ouerpos, ,en. virtud de la cual sus] moléculas, se) dir>ijell;¡ 1,,;5 unas ' á uuirse con lªs otras. 1 l ' ", ~ . ' ,( • ( Les' antiguos rec.onoda6 como!~h!ment(l)s. aJi air.G lief'ra, Juego yagua, potq ue' 11@¡JOS 'podian desc@llJ.~ J:>~ner en :ot~a's sblstanéias ,mas simples; yi s.,up,oni:a<9 que deJa, combinaciofl de estos c,uatro pri~cJ.piQsl re.. sultaba,n ~odos los cU~¡:PQS de ·la natUraíez4., P;e.liQ ~los q uj}uicos moder,nos han .dem.o$t~ado que ninguna .de es,tas sta~tancias es simple 1 en efecto, lel, aille s~ .(wmp,one de otras dos q ~e '.&e -llamaR- oxíJenó , y" d20~, ,en una prGporcion tal q.ue en loO partes de :~Íi:e . en volú,m\!n pay. 21 de pxjj~no y 7.9 de azoe ~ªinbie~~en .volúmell, ,Lo que c0my.nmeme:;g llam¡t #é1Jrt1, ~es bien conocido de todos que puede se~ de'dj ye¡sa. rta.tura!eza, pues, eJ?- gene¡¡a'l ~sJ: tllla ~ezo~a d,t{t fi¡irias SUSHwci¡¡s" comq son Ja, da~ , lél!, a.tlicilt'l, t&~. f.UUfgo se cOillj¡!.Gne de 'un¡¡. sust~lJq~ 1 al la cu~l 9,é ~e .sI.~ppit¡¡. . ... J

~


. AFÍNliol.ÓGíA ¡ !21J p'fópiedad de ftácer visibles los dbjetos ~ y que' se lla~' ma Lumínico: y 'de otra que tiene la propiedad de es"' €i-tar ea nosotres"la sensácion que IJ¡imamos ca~or, '1 por lo mismo, al ajente que le produce se le caracte-t riza cod el fiolÍlbre ae caMricoo El agua se coui'pone ,dé caos sustancias qu:e son o~,jeno é hidrójeno ,rea una' proporcion tal que el volúmen , del hidrójeno es do-~ ble del del oxijeno, yen ioo panes de agua en peSÓ' ha:y SS ·de oxíjeno y 12 de hidrójeno tambien ea peso.! ' 38~ Los químicos consideran como cuerpós .sim", pies, elementos ó pi ineipios elc.mentil~es, á Jaq ue!l~s­ sustimcias qúe pcir los eonocÍmientes áCtuále's de ~i' ciencia no se pueden descomponer; '1 en el dia'el hu-. mero de estas sustancias, no comprendiendo el radical presuluide ,del áciao fiuórtco ; 'q fle se catacti::tiza' €on· el nombre de fluorina ó tore, aséiende á SSo De' estas hay, cu,á tro que sOf1imponderables, es decir, <iu~ no se ha podirle apreciar su' pese ' ~asta el día ,' bi' aun con las ba'lanzas mas exactas, y son las, sigui en':;; tes: el calórico ,'el :fluido lumínico' ó ¿wninóso; el flui.! do etéctrico ', que es el q trI! éroJuce 'los ' ra 10s en , 1~S' tempestades.; 'Y el -fluido magnético ~ ' que es el que' produce en lo q lJIe se llama piedra '.Íman; -la J?ropie- , dad de dirijitse 'por un lado hácia' 'el norte, '; , - ' 383 Los otres '51 ~.uerpós todos son p0fidetabIes; de estos hay 9 que no ,.Son metá'Ili'cGs, ~ saber:' ocqíjeno, hidrójeno, Dore, carbono", ' fósfof'o, azufre;' selenio); ¡oJo, cloro y 111,oeoJ:;Jbos et-fes 4-j' sem susGin'" cias metálicas " es decir, q-ue son p1Jcas ~ lTIlJIy ' bri-i llantes, ca páces diHreóbit: un lierniosb pulimentojl b~u~nés -coñduétor'es· del éal'éri~~ .y·tle lla elect<cieidaqi susceptibles de 'comb¡n~rse COB 'el ,oiúj.é ho, y ¡:le con-' vertirse ~m unos éxidos' tlelezn1ables' 1s~n lustre; pues': t0s c.pet :el éFd'en ~e ·a:fijii'dad 'qúe' t>iénefl toó él QJfiíje.,¡, ne, guardan próximamente eSIeLórden; ' ¡itieie, cir-! c/}nio, fo HiJio; ab!minio t i'tf1io!;' gtucinío, maJ!jnesio, · c~.teió , 'é,strondo", 'Gát'io , lí~la, ¡J"tálritalo, ' sodia t'pota.( S'JO l' -mang~isjo J' ~i'flC ~ hierro, é{ fañu ,. arséllieo" mo:! . 13 . ¡. ¡ro '


2-74 -1- F ¡NITOLOGIA. , ljbdeno" cfomp·,JI,m~teno, co~o1p¡ji9-."antitn(fnio, ura~ nío,,: ff'l!!O, c'oba ff~; cadlllio, ~\itanio, bismuto, cobre, 't,l~,;o,1' niquel.;,;¡phJ1!W, mercurio , .osmio, plata, rodio" :e.a~q4iQ, or()" Phitj,n,o~¡ iridio. . q . l. t _' _ .3.>8 4..: .T~dq~ los' :..d~mas cu~r.pos" de la, natural€z~ ~9nJt.¡¡'!l. d~ ,algg.h~ § ~e ,estas 55 _sustancias simples, y. . j

PO¡; lpJ ll~ismo , s,e, dlaUlari, c071lpuestoJ.~ , SL ~OJ0 constan 9:~ do:; sustancia,s ~imples, se llaman binarios; si de, t.~s''ilt~fnarios. i: Y cMJ, sqcesi vad,léme •. Las sustancias, IliffiP.I~~ .,q ue eq~ran \!ñ lit,c01np,osicion ¡;le un cu,erpo, ~e di,ce que son sus: principios .co?stitutivos ;~f.asi; 'F,1Jle~ ' q ue el .~gLta. ¡;.~. compon~ de: qxíjeno y de hidrój.~n.~ >:; rppl~a que .eg~$ son sus prin¿!p,i~s , coIlsrit4J:j YjJs 1; no se depeJ confundir 10 ;que se eIldende por; p ~iA<;!piGS ~o~nstip:lti<v.o.s .,. con),? qlle.)se llama moté"j G,.uJ...a .9-paré,e 1Y!JgrQr¡t,C \c\e u,n ,IQl;FP9, que es UIHj, IH\t~ ·.q~l ~i,smo }cu ~rpo que ~¡ene, la . misma .nat~ra:­ lJ:?~ hq}}(! ~el. . 4-N", §eIP~rilCldo .de u11.!VaSO que .tIene agya una.gota ,ge¡e}la, e~ta gqta sea grande., sea pf;~ CJ. ueñlJ. ~ goza de ~ié mismas propiedades que la delpa¡¡ l!gua:.q ue q¡uea~ ~~n" ~J. ;raJo, ¡y 2_e eompone de l\l)s l!Jisq¡ps principi?s, cens.titutivQs" á saber, de o~íjenq y. de I}tdrójea'o,.l~ en 11s. mismªs .proporciones, que el agua del Q)Í;SLBO¡;:Y.íl:$,o r; ,y .IW.r 10 mism0 s~ .pue~e, cOllsic¡lerar como 1ill ¡l}1ol,écula ó parte itltegra:me. pero ~ada uno de I .q ..Plinci,piJq$ cop~titlativo~ tiene prorj J]iedades que Je SOl.l f,>,eC ll!,iar~s~ , que no son .1íls del uno la:s mislDa~ que,IJs .d:el otro, y. S011 muy diferep.';' tes de ,las del .,qo~ p¡uestº_~gua; J:}.:sí es , q~ue· tan~o. el oxíjeno como :gt-J\llróje,J10, ~PDJ ftl.!jgos. , y el agua es l,íq uicla; el oxíjeno es Q\l..~¡1o para.)a , respiracÍ0n, y¡ el hidrgjeno f!9 s,e p~e4~ r~s¡;¡i·ral! en él, po.rq ue !lla,t1! á los .,aaimil l~s ' l1lo1e le .respiran.; elio~íj,eflo es ·,¡ S veces ,mas pes,ad,o que .d higr.ójeao., Y<;7 06 veces roc;, nos ~esaqo. queeI agua. 1~.. •. ,; .. ,¡ J I ' .. ,!, ""1 385 A !a"Ga"usa,-, ~e,cu,altl uieJ.; l'latur~Ie~a qu.~~ea, por m~dio de.la, C\lá:( s~ cOlnbinan dQssL¡lstancias, sim, pIes c~ando se, P:9.!)~fl en .c0.nta.otQ:,'" se ,le ~ar¡¡c.te¡;iz~

....


,

)

A.F'1NITOL(!)(}t.N~

~1~

cQn il nombre.de afi'ni.dmL ';- y s,<, llam,a: oohefion~ á' la \ fuerza con q u.e están unMas entre sí las 'moléculas integ~antes. II ) ,(\i e' ." ~ .: ' J ¿ A 10 que. hemos 'Hamad0 afi.nidael se le ,ha dado tambíen el nombre de atl'accion nio't,ecufaf.'.;'. porque se ha: nbtado úna cierta ana'log.ía en el m(!)d,tliwe Jobrar entre esta fuerza 'Y la.. a~¡'aacif)n cebeste óLgralvipacion univers-al; pero con. la difer~ncia de que la:-iti.nidad obra á aista'l1cias insénsibles ; :ó solo poniendo'i!n eon.:.. tacw ras ' su&tancias , ' s~efl~o así que la atraccioh .ce.. lest~ se. verifica á distaadaS'lmuy considerables". y: eatre rné!Jsas muy grandes. , 1 • ' 38.6 -.:' Para ~eterml11ar. con 'exa<,;titud la.s.1eyes de la afinidad entre las sustancias sirn ~les, se nec'esira. atender á' siete circun's tancias: l.lL á la cantidad ' re-

lativa' de cada cuerpo, dé· 1.0; que 'Se ponen tl:n contacto; 2.:1. á si estos c'ue'rpos son ,'Simples ó es.ún·combinqJos; 3. a 'á. la cohesion lJ.ue tienen _e1itr.e sí; 4. a ,al. cator tÍ qu'e se- haUan espuestos'7 ·s,.,:I.:4, Ca cantidad y c'aridad del fluido eléct'rico lJ.'lte tengan; 6.:1. á su . peso específico;, y.r¡.a á .te¡ presiori1qtce su'¡f.'el'lf; ,pues seglln varíe alguna ó algunas de eólas circunstancias, 'variarán , la,s leyes de la afinidírd;, ' ~ ... 1:> " . • . ~ 3~7" Los Ciluerpos nos ofrecen dos especies di$'tintas ~de combinaciones r ·Gl1and@. tienen mucha:; afinidad no se combinan, sino en un Cierto númen¡ de;: propor. dones; y cllando tienen :pooa:! afinidad~ parece que , pueden combinarse da,qméhas maneras. En -el 'primer caso, las pr.opiedades del" collil ~Liesto, sofl lTIUy diferemes. de las q.~e tieneh.las sus¡a'ncias comp0nentes; y \?n el .segut;Jdo no se rlifer'en(!ian mucho;. de ,este úl. timo género de combinaciones ,es la que resulta dI: echar 'azúcar ó sa'l ~en e'l agua,.; pues en e-L compue'S;, to ri{;)fam0s~las . p,ropi'edÁde's c¡iel ¡agua y Las die' la% al ó azúcar; del primer 'género 'de combin¡lci0nes es, la '. q'ue 'resulta ' quelIiando en el iai-re libre el azufr,e , que es ¡.un¡ nmerpo~, insípiqor ~é ¡jnod'orp, p!les se :combina ceD.· et QXÍJe.q,0 \:ie~ air,e y. fO'.r~a :el ácido sylfúú¡:,o,


~16 ¿FINITO:r.OGIA" que', es un 'c uerpo cuyo sabor y ,a lar ' son sumamente' fuertes.J .,. ~!.; • 388 ") Se dice en todos Íos casos que un cuerpo es- o tá saturadó. de. otro , cuando,está combinado con toda la¡cantidadr posible de él. , El determinar COIl exactitud la medida 'de la afinidad de las diversas sustancias, es sumamente dificil. Sin ¡embargo, ya se na dado un paso bas~ante venta:' josa. -Para formarnos idea de él, debemos' observar q,Qe los cuerpos simples b01"e, carbono, fósforo, ,azu- f¡;e.,?azoe é io.d~, combinados en determinadas por'ciones con el oxíjeno, fonnan susta-ncias binarias que se llamaín ácidos'; y. que tienen ,la propidad.de enrojeeer los colores azules vejetales, tal como el de violeta; ciertas combinaciones del pafasio y sodio COIl el oxíjeno; que se conocen c.bn el nombre de potasa y ,de sosa, que se llaman, e.n .general ákalis ó susta'n .. cías alcal.inas, tienen lá propiedad de enverdecer lo~ e.olores az ules de los veje~aJe~, como el de la 'Violeta; . combinándo-los en ciertas. p.re.pe~eiones resulta un.compuesto que no muda ni el col9r del tordas al, ni ,el de .la vioJeta. ; . • . En este estado se dice que el compuesto está fO.r mado de· cantidJ!des de áeido y de álcali·, tales que se neutr;al¡zan ó se saturan recíprocamenre ; y .eomo esta sam-racion es un efeCtO inmediato de la afinidad de estos cuerpos, se pu.eden\c.onsi~erar como la medida de esta misma afini,d ad ; /por lo que se puede de:: cir <>J. ue las afinidades de los álcalis con los ácidos son praporc.ionales á la¡ cantidades, 611 que se necesitan combinar para saturarse: De manera que si una par~ te d~ .un álcali A necesita para su 'saturacion una p.ayte -,tel ácido B, dos ,partes del ácido C y tres del .ác.ido. D, las afinidades del álcali para cqn los ácidos B, _C, D, guardarán la razon -.de 1:2J3. ~ 1389 En los. mas dé lós .casos el estado actúal de \ la Ciencia no se es tiende á m,a s. que á .determinar.cuál es, de des, tres Ó ·l'na.S cuellp(:)s " el !iJ.\¡e t~en·e.J !!las

y

I

'

r


• 'Á~JNITOr.MU..

177-

aRniélad para con el ,otro: para lo cual'sé émple~ diferentes medios. ¡ ',' ) y ó ct:eo q \!le se deberla ten'er en consideracion ademas de todas las circunstancias indicadas (386)" el tiempo que deben estar en contact0.las sLlst'lncias para que se efectúe la ',eombinacion.

CRISTiÚ,OGRAFíA. - 39.°"- Si examinamos con a'tencion los cuerpos qu~ nes rtodea,n, hallarémos que.se puedén diyidir el! dos .gramdes clases:~ los unos .gozan de vida, que consiste, en nacer, crecer, ,te¡;nar, díferente~ formas, re.. produeirse por órgan'o~, d:estinados p¡¡,ra la generacion, dando oiíjel1rá nuevos individuos de su mismao especíe , _y á cierta ~poca desapareeer, CGrno son los 'Vejetales" y, los animales, y se caracterizan con el nomqre general de euerpés orgánicos; los otros pri. ;vades 'ue todas -las ckcunstancias .que constituyen la vida,' se ,c~racterizan Q6n. el ~ombre de cuerpos inor~ gánieosi ó minerales: tales, s,on el aÍ1:e,; , eh agua ) ,las piedras, los ¡netáles, &c. " 391 Una 'piedra tal .. como el mármol, 'Un metal come ,el hierro, una sa~ como el alumbDe', ~un .Iíqui• . do C01110 el agua, un,fluido, CG,m6 el avre, y en ,I:lna pal-abr.a ,todos los cuerpos que 00 se ven rra'eer; que no viven, y que no se n!produc~n, se ~o¡;man .y tlle.cen lile una maneta 'enterame~te diferente de aquella con q ne lo ejecutan !los. vejeta~es y anima'les.. ,,' ,,~ '~Un .minera1.-se far'ma ' por la reuni<iin,de.molécu las semejantes. entre sí, q ue eomponeñ' una~.masa, 'y ' n6 'yufren pingúna mudanza en su agiieg~'ci'on; y si aUI'll(m,ta, de vehímen ¡ se ' obsenva. qué hue:v.as capáS se 'apliean á su superficie y. le cubren por todas par.tes; ¡y p<ilr esto se,dice ,que crecen por y'ustap,osiciO"IS ó agregacíon. " ,~ ¡ Una vez' formado e~-mineral, le basta para 'con~ervarse el que subsistan las condiciones' esteriores que. le han producido; y ~apaz .por si dé una du,ra~,


~11l

CltlST-.Al:r:OGltA!.FfA.

ciorfqndefiniaa, no será]. dctSmuido simo por Ia:;Iaplia cacion de fuerzas q u'e estén fuera ,de _éb. -Mientras l'l.uhe:,sulélGistencia, no ~ed: ~suscepti/;¡,I'e de'sufrir:mu':' ~a:Iiz~ji siRo en su 'focma, .en 'su voltímen :y:,en s.tc:ma.: s.aLS.u,fuLSer,á ·el re~.uJtadG"de las mismas.fuep7Jas fí~ ~icas, químicas .y mecánicas á.q ue él. ha.. d:ebido .sú.. odjen, sin poder dar el ser á otf0 mineral, sino ce~ sando él mismo de exi,s ür ~ ._ ,__ .' 392 Los vejcHales y los animales, que se comFrenrl,e~ b~jo' la deuominaJúon de cue¡'pos V1VOS' ;1tie~ nen poj¡J);:íjen, una,j~1'Ier(kciQ.n.;" es deéir ,. g !l.l1! provie" t:l.en~.siempr.e de una molé~,uh .q ue ha: estado ·.en .otro ~uer.P'(!) . semejan[e ,á él,~ ,y q u~ despue~" de una1 serie -cle ' desa-¡r.dlLos determinados, ~e ' han ·f(j)rma-do .• Cre~ , cen,~ .de m.q di,verso modo q u,e Ic;¡s,'úúneralffs ;' ,pl!les la.s' sUosta'lll!)i,~s que concu¡;r.e~i para su' creci'l\i:e.nta, n.o ;se:.Je:s.:parecen por lo' .r ~g u.jar 'en: nada~ Es ras ma. • tcri¡¡.s rraFlspoltadas por ell'<¡)s en SUt i'medo).:. ó'! pues~ tas ,s,e}amenteJen coaracr:o..co¡;¡..clil.os",~on. r:eciIDid:3.'s en toraliclaq ó en 'parte, por>G01'Idllc~os Ú róng-anos; 'q ue tje.n~n.. l~ pr.:o.pi,ed:id de nmdificarl:as Cjl de aisrribuirla~ en todas las partes del animaLó( v.ejetal¡ tte lI.5imilar: {qs :á. estas .pairtes, rJiepositarla.s ':iJIÍ ~í.a~ conc,urrir"aSi á ¡ste<zceeirnielU®,.:de Ólane'll3.' qU·e!I b01lld~I(!)! .que eQfitnibuNe<pailla au~ejjnarl e!rlvolÚlVeIll q.e e-stOs ¡s'eres, prp'v~el!l1il': ¡del "5tl jnterw,rí~ "f esne 'm0d(Y'lfe ,cneo1:rl s~ dic.e fll1~l esllpor. i1'lV.uslSu'Sc·e1'lct.on • .; , .J ' j " ,n91Í " v! ~ ~_ Sll'_c1iI.ns.e.nvaddli rlel'lemae 'de'J!o que ,se,llJ.amálmu .. tricion, ,q ll!luco:nsiste .éEl~ el..ll'ledniEmo P9rrál :cuac e-s~ to& ~sereSi!fe:~:rilDen ,sin Ic€sa¡r ', rdeJfu:e.ra de ¡s[ng:lÍsmos, ~u~.Yus~ materÍaJes ,pata¡ r.eC;0l11p-O'I>Ier .sus\Jórgaooos f ry aes~chanJfI ':;llli~mo t'¡empo:,a~go Lq tre.lO's <formaua,1prek limÚIlamrellt!(t! Miell'tll3ls·duca Sil existeQcia/ ,p:r.flsen.uan mutaci'GHaestct111StlUltes y.. d~te:rülioadas ,queJeS"lq rq ue , se' es priesa .bvaj o ,el mOll!lIDr..e.pe!e:dades ,~.g(!)zall"'l~ :fa;. ,culrad de reproducirse, esto es, de poder dar, la existencia á ,orros cller¡:lO:si sémejames, sin rdeja.t por esto d~ exi,st,i r. ellos . mismbs. Su duraoio1'l e's jimita¡¡):a; y e¡;¡ cada es p.eci-e ) 'es. propq,r~iol~ada á ,la solideZ' del

ue


-

,.CnISTALMR:A:HA\

'm~é1tnistn'0" iht~rio:t, ;,p'ol" e.l q!¡je

se

.'

~79

e~ec1úa s:u ,n1U1:H~

cion: y el t}empo que dura su existene-ia ,.que se"rélo ,~onóce pri'l1cipalrne!nteJ pet las "ChDS faculhldes ,d:'e~1,'Iu­ 'tricion y t'epfoduccio1Í'~ ~'lii cóé'pet-al;1 á,'la' cOükr'V'á'¡ i:ion ,del individuo y d.e su especie'; es á '!ld : q'lie rs~ ,llama vida, SI:! fin constítuye lo qll~, se-Hama íi~uer~e­ 'e n' los anima'les, Y' 'secarse en los" vejer~les.. ' 1 ; ~~ r 393 ' Los"cuérpes inorgánicos simples, 'es ded,:r~ áquellos que ne 'l'esurt'an de la agrega~i0n de mi\chas ~peeies diferentes ;' ''esián fórija-ue's oe"-rnoléclllas Ó -partes i[Ífinitameh~é pequeñas ;· to'das !serneja!1 ies '1á)~ masa que compelieñ;' aSÍ.-es, ~.e 'si: éjili;i,ó.a';barhPde ero'¡ pm:o se '&espreri<:te-uña p~r¡¡tíCii.I.a:)Lil'b:.iHrlq{¡¡er par.~e lqu'e se la -tóFri.e ~ ' será ' eh -un ' ifodo, §emej lmre á la masa de or0 de qu~<fortÍ1abt partt;., Esta :sém'?ja'ril zar eliltré el tedcf.-ys1Ís' parttls ~ 'nO= ~s'e ':encuentra en lós 'animales 1ü 'el¿ los"vejetales:'Las1nojas nOJr~rg ~enran eJ! árbol 'en pe<'}'ueño ;... ~i€fldo 'a sí 'qbe' illí' rcufi~ de sal representa en pequeño una masiréli15i'c a de"la m,isma saf;"pór 'ló-'q"ue i,se nota!' qüe)2H~10s cUe~9~ tit,g á,nices h~y -~~~i'¡)i,d~?s" es) deel~,Jáy~:res :,c;:~ R~estos de moleeUl'as. . éhferentes , qu'e ¡¡W"se p'~eael1i:l..i'Vidi.r sin ser destruidos, mieJtrás q1u'eie.n los 'nline:. -rales' no se ven iadi vI'daos., sine"soltlt'né'nlté ¡nas~s1 rpás: 'ó fmtnosgrue'sas, ifU€ puede'a s'eF i'{lfviHidas ca's'f ~aI infin~toJen. peq l:!eÑa's f)¡1~-i~~s :Similares ,<que üeqe cáH:á. ,u lila ' las mismas ptópiedades ' q-tlHa::m:r~a\ de !q ú'e~1íá? sido,s'eparadaSi, l :~'~'J . l ' ,"""' ':\ ' ,,'P::llJ':.t I f r. ; ";'§ff4 L0s -:min~rales, y muy probiHlem,e,l'1te,fodas las s'ustanCias inofgaíücas" ,cú-alq\ífera "q'ue séa 'sil t)'t'íj€n (*), go~an de~otra' prop'iedad-<?~¡{i notab!f'q1;le , t~ :la' dé crisfrati"Zái- ,,'is' decir'1 ag tbmar una f¿i:má poliédrica de án~u,los constantes) eua'ndo ~ lai:1Ci~ ~nstalidas- 10' perlnit'en ; y', lif t ienda: ifue tl.-a,t~ de ,mll!ni:Eestar J:ªs"leyes een qiie 'Ht natilral~za' ef~c'tií.a r~ a '"11:':" ;.... . H:('la 1 ..1:_;:. _ ,.. r: . ..:. w

~.

-'L

. c*i

_

J

E,a 'esperma"éle', b<1ítenii; ii¡~e<es

de o'ríjen áñi~

mal, y et"alcánf'Or 1 ; éll ' 'f'Zúcar. ~. b'~'? que ,¡,on proá'ücci-o::' nes' v:ejetates, son suseeptibJes de ·crh'tali'Za.r; -, ,. - J ~


~So

'"

:CRIS.T<A-iLOGlltAF,fA.

~!l~~~Ii¡.ac.i0n~, ·s.e U¡UP;1 cri~tatogflafí¡¡, (;)' segun IJ.Ilgu'!.nqs cri~ta)ologia. ', , ' . : ,) 1 _ ,39'5 Lo~ :..crist~le ",que 5011 los . prodnctos de, la j:r~st3l:H~apon, $on u.n.os. cuerR<?s T~r¡:n¡nados natu·r:a¡L. !p:eQ,~~ .Bpr 1J.q ,s:iertq nt~EJ1ero de faCe{íl,s¡ planas y bvi~ J!~nt~~ 1 .como.. '9 q1u,bL~s<;n sjtlo tá,ll~das y pulimenta;' 9as por 'vo .la:pidari9. E~tas fit~.etfsc .f9rman .erlj.te::S;Í ~ng»loli , que :SO/1 constant~.I1l~B~ '1~s, .¡:ni~mosep. . 105 ~i,:,srsps p~dfl.~o S q¡; una lI}~m:¡'1l ~aJ.'i~F.la,cl de cd ~ah (j lara q-He J¡t cris~a.li¡,a~iofl ~s~ pg~ga yerificar" 'e.s p.ecesado <lile .lo~ qlerp~os ~SI~!1 r~d!1~iqos á su~ rn.Citr !écH!~~ inpl~r.q.l)t,e,s; y. qlit! es~a~ J11J9N.~ula-§ ~stén. b,as ... ~ant\! apro~imadas. , pa~a, qJ.}e.~u ;H,r-a,c\;ion recíprocª, fo~~epuj,e ~ á l:J¡..atr~!;CiOfl ~ ije , S!je(\;e..~Q.br¡: ellas: ~c;l ~2~rpo !;I.',¡e ¡aS fien(! cj.iv.idi¡ias:, r. r ~,)" , ' ",~, ",t r ;L4 s~parac;.ioq ~e la~ rnojé,G.u'las solo plJecae., s,el' Br.o~4ciga pO,r la aecio,n del c'lfó,i~§o; P :pbr laldisof };Uci9q. ¡i¡; un ~QlidQ ~ :§e~ eq. @ líq1l1qo, S<;!a ,en ,u n Ú.ui,q.o ~!~ptic9 ;:-~ " tJ '" ,., " • " ~ ..,b (l~ 39.Q., ';uaqqo la atl;',aCciOll d~ ,q nnp,g.§idon (esl:dei' ~.ir· , l~ qU!! hay eptre qos, cuerpos <le Q¡¡turale?-a,"di..fe~eNf!, cpW:9 ~1l- que. y,n.!íq u'¡dQ ,~1~r¡;~_;s0bre 1~¡;~UIJ3t Jécql¡¡~ inte.gJaq.tes ~e un, ~ijerl1o~;; Y ,~R yirtud:r ¡l;éI ~u a), las rien!! separfdas) '.' y,ien¡; , ¡í: ,<;!~sa r ó dismir pui;f..?1,lfi<;!ieI],tem~n ~. p,or una ,?ca¡y ~ a ,p,;a.l8i1ier.:ar:.; da:s ~01~9.1Jlas int~gJ:~nt~~ abapqC;lOag..~sé~\~í !n¡~).IlaSr , sé

!!pfoxima'A, ~~ rellns¡? ; simétr¡c~'!ll~rvy, y f~rman'i\!l''¡;¡ p~erpo regular, que es lo. que se l1ama' ¡;nstaf. ',]:':: ¡. , ,t}.st, <;!uapd0 se; pope , ~a lo ,p' aZlkar en el :aJtua. ~~te líquidp ~~,parª, ¡¡¡S molécl).las in~egranteft de §:,s ~ ~as s}lstan~ias i ~t; c,ombiqa cClD el~as , y. .la!>' h?e~)fl., visiples fprlI}án1q Un ~oqQ h.pm.oién~p, qUt; es ' Joo qu~ ' ~~' l1~wa llqaUfisolugi!>n., ,',- j ,~, . , , :10U ~' ,Mi~Iltril:§ que el ~guª, por 's:U 3~ra-qcion de eptn; po*ipn p(!~g}anez~ll1!.f1~q~ ,á.¡:~t0S I''t.lerpps, S!1S mol' !éculas p~rma_n~c~n §_ep_ar~d<!s,; pero si s~ dkmio...u..y-e por u,r¡a fl!eq.asual\lu~~Fa la asci~n q!1ímil;.a deh~ua ~o~r~' estas ~!1sta~lC!ctS" P91' ejl!rnF,lo ) sj, se 4ace' ,~yª .. ll"cii:~!i ,,' ~ ~~cliJla" q. u~ -las roqJ~¡;:~las, iprr::grªA¡o - . ~l ~gqa ' ,"


0'1\ UT A:r.O~JtAP'.fA; ·tc8 jd~..Ia

s'al ¡, mel

~~úcar,

~'8 1

se ll.:p.roximarn, obe.decen ¡á ,:su ¡~racdQn' ae agregacion ó fuerza de c0hesion~ se reunen simétricamente, y producen cristal~s ~ i$aL ó:d.e azú.car. , t., ~, 397 De toao esto se deduce lo. o que la atraceie.ll ~e co.mp0sicion, ·ejercid.4 por 1:H'l ~~q1.l'ido ó p0r "ll!Il 4luido,_so~l1'e las moléculas de un cuerpo ~e está sus!' !pendido en él, :se opeae á la edst,alizacion de este .(:l:Iel"po ;,~ que para que la cristali,zacion llegue á ve.rific~r.se, es inruspClnsable 'i ue esta air.acéion ées.e, ó á lo menos qué disllÍinuy~ ~u~cíentemente. ' ' n' .2,. 0, Que' .lall:fQ!'mas peliédricas y CmD$tan;tes de ' . -les cristales, .$e: d,eben. á la s:olQcacíoH. simétrica de ;~.us molécu1as integ,tTalltes: las cuales parece que.tire.. llen ellas misinas una "forma p0.liédrica, y. COD.sJ:ante. Ademas, para ·que la crist.aUz,ac;:ien sea mas regular., .se ,necesi.ta que da masa del disQl·vente sea muy · s.upe-l\iQr á ,la del .cuerpo disueltq :;~ ~q;u~ se halle ep ,r,e.:}lQSG;, pues' sUaltan estas condiciqnes no ·se o~~e:ne ~8inO una cristalizacioIJ, conf!1.s~. , .. '. ~:-.JL{ r - d 98 , EiiJa¡ cdstalizacion §e;.ngta: 1. 0 que en el memento' en que se efecuía , ~.se !lespr~nde_ un , calos ¡1lluy sensible, .debi~e·,á la ;apr9xi!l!ad:en de las 4moJéeulas' deLeuer.po. que cristaliza. ,', ,; J." :2,' ~ , Q'ue un movimiente brusco, @,la presencia de ,un euerpe>, es tramo , ·decide.lili €J¡iª'taH~llcion "y haee ~J'~cipitar algunll's vee'es un gran- ~ú~ero de cris,taLes.. :- \ 3. q Q.ue la luz es favora,ble áJa' (lristªll~as:roU', y lque los eristales se ,depositan en qllieho mayor núlh~­ -m> e,n la: pal1te de."los 'vasos que SI! ·e11louentra 'p,.p.ues~ ta á ella. • .~;' ";.¡.,,'~: :"1, . ; _r"''4-'?: : <tue los' á-ng·!Ü.<l!S y las aristas p-arece que. se ,.fórm¡¡:n Josf,primeros., , " dA ,- • .;) - 'J s,.C?- Q\re los cristáles, que s,e h:¡.llan -en el fonda .de Un vaso , "aúmentan mas en el §~ntido horizontal !.'l:U:e .en el 'vevtiGal. ' L. . 6. 0 Queponieado' en un vaso largo y estrechó .erista!es á diferentes alturas. en, m.edio de ~n a-gua ~ll:turada, 1.05 ;eds~ales, del.fon.®c érecen mas ,ydez,.


I

Qg~

CRm~~mO~RK~~~

mente que ,'lo-s 'de' la: s'tlp@.tficie '; y qtua 'hay' UAr 111'"(jl. meBt"O e/1 q u@ tos ,debfbndo .cre'éen'.ffiientJ:as <1ftleJ ctos de la:.\sl!l.perficie se 'di}ú'~lve¡:¡. ),¡ ; ¡ " 7'~ Que los cuerpos ,simplement@·~undidos~nua.an de' V:Glúrnel1', I1Q s81ó á:J...orista:l1za'r:;. si,a tr aun alg).\;.nos ,irrstantes antes de q'ÚeJ se verifique est@' fenómeno; (la mayor pa.r.t~ , 'e~,me'rcuri'o .ent.r.e:JGti'O's,-disminuyea de ::v.bj¡úaúU1~ e.I agua al contratio'¡sedilª-ta,r no sol(j ~ al -he1a>rse, Si¡¡¡Ql'íÍufi.:.tin, p0'co' la,nte:s 'del¡lño!llepto del su p;¡njelacion: lo q l!l.-e,; hatle que él> J.l¡ie:l'é s,eaiimenos ,pés'a:do que el ~gua i ~á igualdad de ,v01úrpen. .. ~ " :. r, 3!99' Examrp::tñel\:i J:-e¿h .!Ll'gu.fil:a:'arencil0n un' g,ran .nlÚmero .de cristales Jtse obsel'Vaq'u é 'uBa,ffii.sma sus~ , -taincia es susc~pt,ib'llrde' pJ:!ésenftVr'sé'Jbajer fo.rmas muy diferent@s, qu.é par'écerfaun 'algunas1veees ;no tener nitfgl,!na 'r0lacibn eLitndí. ',:3::: ~ !' :';1"'- " • J' , , -~ ,_ Sim embrergo, 'p~rp€h~e qlÚekl'ars [[l~~é'oqias:~¡¡¡tegranl. <{"eS d'lt ,uÍ:! mtsffi(;¡l'auetrpQ 'sorrt'odas"de Jlá misma ';fblfma¡:Y'Y 'po'r -cQfi.§lgcií:l!hf<!) ~ úe lQsrs'6hdoS! v.ari~dos-q'U~ producen por su reuníe'Í!ir están)f0dtikédmpuesws. ne peq.uefíoS' crísraie§ Psemejantes :á ~ laJ moléculá inte'gra:ote1de este (ju~r'P"b. ~ ::¡::'L A :l[J p r:'" ':O. 1:; ,,) tl! '- , ,; E!-.l gl'an,: p'aS0 'q.ue·,se 'hro d'icl:~ .éllc eStós ~ úlrimos tiempos en la crista1{)gtafiaJ, 'eíf rel( Q~rlDinar? e1 tné~ d!o' c~tr que1se. Cl61eoa:!1iláll [iIlólé(jtttalS :S'€II1€j~teS ,para for.ma.r,,€-ristal'<!s ,tatlftlilÍeréútes';.cómo s'e disponen, pór e-jeln¡;>10, las,ñjQ'lée:u:iw!r:rQmbola.a.1es: d\:hcarbonáte d~ ~a.J'1ól-€spato éali7;b f'Páitt~'t)r'bc,itU"cirsya ¡:¡\oall.(¡iJi,des; ya prislIlasíi" 8(e.1 y !asirtlóléódas: eúbicaS ,del slllfurero 01-

"

':

tW.h~rrtJ !0 ,;:pi:r'¡'fa:tB~él~J -pa.:f.:aepr6du(lin :c}lb0s,>

taec:lros, icosaedros &e.

''

L r

,.

(!le.. ,;1

e" 4:ó~ :;:N'o-rf1ú'.Q:r.e.6.tros:é\.l h~cf¡J r it ~it»ll {ls(a inld~a­ cion " se ha seguido el rumbo G:¡nre:st~" ;íYv' s'e:nar;-O'o.:..

5érlVá~~ ~ú,e:~~i:~r.:0r !parté. ltd<:!o'S e:lliSf~l~~ se" '~u~­ tlencdiuldlr meéa¡:¡H::amerrt~rañ.elrsmvrdo tde sUSf11amInas. Esta division regula~ se efectú3lil11'jlloJi m'edi:0 d-e iai:perelisTon, ·'(j; !c~l'1.~611 (ausiliocQ~:ún.)i/.1strumeiitó de aceru:que se,4nfl'odutle'entre "Ia'SJiálrfi:i1ak dejos áis'tales, Ó·esp01'liéndotós 't ~un ·gr~d().l de ;ca.lor ,IDUy fuer...


C1l!rS.1.i\M~lt.1l.1fl.fA.~81

te y é~hán'do,l@s despues'-irepeminamént¡;:en ág{11~muy

fria, se cOl1siguen en él ciertas grietas q ue i al': i(ilan la sepa¡;áchiJ'il de- Las láminas.' Las (}aTaS 'q ue se 'obtienehl.de 'esta manera gozan-de un pulimento 'llatural, 5iend~. asi que por la: {Ii<l¡ctul'a ordinal.1ia: se-ubLienen s,u.p.erficies.-irregulares y es~a5t05as. .. - Cua¿ndo las llUevas caras" que se d'e~clll¡¡rea ' por e'sta"di vÍ5iOR í no son paraidlas á 'Ías del GtÍstaJ..sol!lre que ,se obra, .se obdene ,j!ontimuáadola ba.sta .el punto' ne€es~r.io" otfO' cnisl!a:4 qrue. es d~,visibLe par~lelar­ menté á~todas tlas nuevas· i car.as ~producida's'r poli 1 este med,io ,la1l'l¡:l!lál se le llama. el núcleo 6 la J bt:1¡¡W ..pri': , mitiva de lila e~ecie de mineT.aLá que pertenece", ,y par laS. ebservacion ~s masJn¡geniosas 's:eiha~Jlegado a descubrir que la figura de la forma primitivad0': d:~ este núcleo es siemp.rélliiiáJRéJás seis si guientes: 1.0, el para'Jelepípedo; 2.", el prisma exaedro ~eglllar; 37~;~et <d:bcreca.edro::¡;omliloiu:al' S'¡4. ° ,.\ebbcta1!dro; ~. 0, el . tetraed:l'o regul¡iF'5i1Yil6,,,; °q..:él do<!iecaJ,edrro I bipi¡;ami~ dal6 terminaclo..en dos'1>i~~ll1¡'cl.es • . a01 JlJ J," J .I'. . 4100 1 ~'P~.nal (!ada u.na¡:d é e:s:tills:f0rm.aS!ha y.hllíla~ e'O- ' ría matemática muy i¡:¡genrJsa:9~por Ldseánguibs que fonrna:n los, planos .enare s'Íl.y d~['f)as cir.cunstaiaOiaoS, se He,ga·..áJ,d:en'e,J::IT1Ínar en 'JU.fl ·cl'is.ta} :o.ua,l~.uier.a ~ ,cu'ál es , -la forma de su mícleo, la de su molécufa'imeg¡ante (qué,:puéde :seb ó' tetráe-qrGl :negdlar, ó, pT,isma u:iangula!' '6 p.ara~el,epípedo ," ;Y:Jel modo con·,q\l.e)se ha. fónñado ,.eL ellistal¡ ., ~'- ¡I ,:J! '.~A \ ' • .L . ' RaTa la' mecl.icion de: loS!5áU'~h;)s que f'ol'man rlas ,capas¡ ,de l um :crista1., ,,se ~ hilrce-'lIs0 "d€Linstn¿rriel1ts> <fig;; 1.09D q,ue ~e .llama gqniá)~¡etro ,. q U'el(pl~e~e:.decil! · me'didor.:. d.r'ánguto'i. ' j( O'! ' i~ f:, , l <: rn obn_ ., ~." ~t:pnsipte;eiI, un semidnc~lo .grad,uadG M:U~r que tlen'edasl cl:~s" pie2as. 0B r 6G:¡'.erwre las oual€S1'Se,co.:; leca:eil á-nguln"del cris~ál J.(;fue ;1Se ?quiére ~:nTenig1Jlarj ~¡;p:or.;ltnecliQ ,de llli piezar..CR'se :v;e:éa el:limb.o delIi!ns:rum~nto¡l el-;número' i;l'e .igrllid@$ cGluespondienre:. al . -::nguhJ!NOA·, 'igua.!. cl!!~el ·G€JB:,...pGlr ,ó.pl!lestoJa1:.V'~,r­ Itlc,.e9S,Y"P<ili';c\il'lii'siguieIllteJigua!.l€bn ~1 que forman las I

"

I

J

f

", )


284 ..cnI.5TALOGRAll'fA. caras' del c·ristal á que s.e han aplicado ' Ias):piezas

CB, eG. ,. . '. ' 4°2 . Como los cristales suelen esta,r en la matriz ó ganga en que se crian, y no·;conviene ' aislados este instrumento tiene la disposicion conveniente para que las partes CG, CB, puedan ,acortarse cuando se nec.eslte pGr medio de las correderas Cn, Cr; y ademas para 'que el cuadrante MI se pueda,d0blar háda, 'a tras por medio de la pieza OC. Este instru. mento ha í:eeibidó mejoras por Mr. GilIeq pero Mr•. Charles:,haeé 'uso en el día para medir l~s ángulos de IGS .,cristales de un goniómetro. fundadG en ~la refie. ~i0n de la luz, que' es' mas ventajoso, pGr cuanto tiene· la disposicion neeesaria para repetir los ángulos. _' . CAPILAROLOGIA. J . 1. ........:

1.../

, 403 ..J'L os fenómenos más: mtel'esantes de la Física, son aq,úellos que nos darr algul}as luces sGlore la naturaleza de los cuerp0s; Y'sobre las at!ciones reci. pr.acas. de, 'Sus partícula:s • .Yamos á considérar ah0Ta una rdase de, fenómenos.;d,e este ,gél'lero muy- es tensa y v aríada, y q Íle 'es iantG mas ' impoFtante 'cuanto . ofrece la ventaj.a de 'póder ser sQmetirla. á .. ún, cáku. lo' rigeroso. . Á < ~ ~" Si se suspenden'h0rizontalmente placas''de vidrio, ' . mármol.,.metal v &c. á:,u1?-0, de los platillos de una balanza, y despues de haberlos ptiesto en eq uilibrio coo ' pesos ·, se les ha~e '.tocar' á:la su:perficie de un lío quido, se nota que se~ 3!dhieten 'á é1.eon· una cierta -fuerza; . po.rqu~ ya HG. se.,pueden separar sino aña· diendo ,mas peso en el otro pladHe. ]usta adhésron no res· proáudda por lá presion del aire; porque se ve¡;ifica det mismo medo en el vacío; ~':leg6 provieri~ 9-1! ·ql,Íe ·las mismas melépilas del cuenp0 sólido se unen Já las partículas del líquid0 .ea !.v'1riud de runa fuerza,· ae. afinidad. Per0 toambje1Les notable, que. se ejer.ce una .accion p'e este .géner0 entre ' las _partícu. - las mismas,dellíquid0 ~ cOIÍl~ se, y.~!ifica:; p.0I, eie!Ilplo l

o


28 ~

CAPILAROLOGIA..

en el cáa.o'de un disco de vidrio puesto liobre el agua

6 s~bre el alcool, que al retirarle lleva consigo una pequeña capa lJquida que 'permafi(¡!ce adherida á él. Luego -hablando con propiedad d cuerpo sólido -no es el que1se ha desprendido del líquido, sino que está pequeña capa es la que se ha separado de las moléculas líquidas que estaban debajo de eHa. La fuerza q,ue es necesario emplear- para desprenderla, es incomparablem~nte mas considerable. que su propiol peso, y por consiguiente este esceso de fuerza prue .. ha necesariamente la existencia de una adhesion de la pequeña capa al resto de la masa líquida, é inde~ pendiente de 'la pesantez., ' 404 - En virtud de las nociones que hemos adquirido ya sobre las atracciones recíprocas de las moléculas de los cuerpos ,. debemos presentir que la fueria que se ejerce aquí es de la misma naturaleza que estas atracciones; y que no tendrá efecto sensible si~ no á distancias muy pequeñas, lo cual está demos .. trado po~ la esperiencia. , l - Cuando ,se sumergen tubos de vidri(i) en el a:gua ó en el alcool; se observa que en ellos sube el líq ui..do á mayor altur~ que se halla su nivel estertor; y estos fenómenos son producidos por la mism~ causa~ aunque son diferentes en apariencia. Pero si el ,l hjuido por su naturilléza no es capaz de mojar el tubo~' como se verifica cuando se sumergen tubos de vidrio húmedos en el mercurio" Ó. tubos engrasados ' en el agua; se nota que el líquido se depDime en le¡> íntelior y se halla debajo del riivel esterior en vez de elevarse; y esto siempre tanto mas cuanto el tubo es mas:.es.tr.e"ho. -Tales son los fenómenos que tos Físicos han llamado capilares, para espresar q.ue el diá';. metro de los , tubos que servian par~ prochfcirlos, debía aproximarse á la finura de los cabeUos; y á la ciencia que tratá de ~manifestar todo lo q ne tiene relacion con eUos, se l~ 'caracte'rÍ7;a CQ,!' el nOlIlbr.e-d¡;

CapiJarologia\

'

-.


~,86:

.

.

CAP·ILAJ:tOLOG'IA.

Pára que ellí<;jtLÍa0 suba en"el 'ttl:bo éa:pilror', es

Freós(') ql!le la auacciO'Pl de lla mat,e ría del , tubo Con el lí~uido', sea .mayor q:ue.,la que tl enen entre sí las p¡¡rtícula,'l del misl1w líqlúdo,; luego si llamamos Qá la prim~.Fa: y .q á la segunda, tendrémos 'q u'e, Q':""'-q espFesará ,eL esceso de la,. ·atraccion de ,l a ma;~e~ia del tubo con ellíq uido, s0bre la .de las pal1tes dellíqui do entre: sí? este esceso'j estadt medido pOl' el peso del líquíd0 que haya en el tubo sobre la >-línea del ni vel estel'ior ;. y como, sLllamamos V el voh{íraen del l:íquidó, D slf densidad.,rg.l;i fuerza de' la 'gravedad, este, pe.s\l :.eJitará represen.tad0'(-2'6 3 esc,. ) por Ji)gR, tendrémos DgV=Q-q (so~. . , !. i . ' 4lo:S , Eara determintt. ,e l volúmen de es'ta columna de. 1iq ilido',! observarémos q u.'e la paTte superifo'll del. Iíq uido en ;el tubo UO! es ho~izontalry sido q ue les eónca ~ a' ÓJ <.:on yexa s e g L~~l la na;turaleza de ~cada lí; qui "!<;¡ S.en eLa.gua y es piri-tt u 'de. vino es ,c,oJicava, y el! el j Íletcurib Gon v. exa ; r(y, Je.~ta paree cóm:avaes:pon lo regular una semiesfera cQmo ~ .rep'rese.mta la (fig; :t;101, tnda qiue NN eSJelniycl; y. en S eStá te.pre· sePtad<!. . Ía~ cQnca vidad, Q},?e' presenta ~en. la parte sup~ ~iOr',l p'lles süpoue~n0s [que' e! .argua ,es.. el líquido 4~ !qU'.e se trata. 'A •• ).!-. L:,Q, . ' , ',1::'1 _ " ::' 4'0.6 !.J Emendidó ,e sto", 'Pan ~determinar,·:e.l v0Iú· lP€ñ .Vdellíquido, esptesernos ¡per o la, al<t:ura..,sH¡ eon.'tá:t1a desde la line,a¡ ¡d-e ' nivd hasta el punto mas bajo de ja- coq~ayidad , ; y, tendrémos;.q¡ue .e1 Y.olúlDen del líG},;\l.iq;o se-.:cqmpGodiái d,e Un cilindlio ¡c.uya base sea la ·del. tubo y 'la ; a±lillra:', la -of, a,q'Me llamaadQ r el radio deL tUIDO ttmdrá p.o r espr,esiofl (I~ :: 4~4. cor.) , ffr- 2 a. ,La pane de1líql..licro;que eStá superi0r•.al.pun; .:;;r.q ~ ',~':'.

-'

• ')

'7Tr 3 '

to $ les; ,i gual (I; 'f3)'eSC .. ~ I ::.O) ,ft~; •

,

- ... -. .

:1-' '.- ?~~ ~.. b S ~. ¡.j,

~

r

¡:,~ L ..~

~~.

"j'3-'

./

¡.i

,

3 · ~"O ';-t

t • •...J3· ~. ·Jo' rrlr -

y tendrémo$;' q'1:I:e V: : l1T1' zcn:.-' ::1 .;~

-:.b' .

"

. !' ..

1.('

ni

,., .~~b

',.', "',' 'J

;!u:; .. : ~I

I


z87

qAPI:r.4RO,LOG'I>\~

y_SUStip,ly~nd'0:oeS.t!;

y~l~{ e.nJ¡¡., {~c, ' r).QP

- ,,;gD('7tr"a*'o ¡z.· íj¡ot- ,.-n_q:f. ,~·,.i 3)'

-',

-, - 3

L

."

"tl,

e I I

"--1<';

\

,

(

será

l,

I

,

o,

407 ~ Ahora, puesto qJle~la ~cG'ion dt!.Ia at·ra'cer0n que las' paredes del tubo 'ej'ercef¡~ol;¡re' el líq uido no' ~s qehsibl<:;Gii.!w á: dis-t!Jn(¡jas , itl;lperc~ptiblles, se ~ pue­ de hacer abstraccionl,de :la Gurv.at,ura de ,e stas pare"') de~ ".,Y; GJ;ll1si!il.e.rarlas Homo. des¡;¿¡)¡.Y1!I,é.lt-as en un plano. , Entónc'e,s la' {uer:z.a ,Q ser,á pJ;.0'(!>orcional al"andio de est~ ptano , .ó ,19. q1LeJ vi<me a' se.d o mismo, al contorno de la base .interior del tubo. Luego si espresamos por C ~ste-e0nt!(i)rn0" que es l~ ~ircunfeliefleia.' de la base del ~ubo, se tendrá Q=mC, siendo m un coeficiente eot:lsta)lte; " qli~ po,drá f€¡p1',esentar la 'i n"" t¡:nsidad de la atraccion de la materia del prirn~r tubJ! ~,oQ.re el fluidQ ., en .el eas~ .fi.n. que la~ atracCÍoaes de los diferentes cuerpos fuesen .•espresa.das po.c::la. misma funcion de la distancia, pero que en todos los casos 'espr~sa ~<w.1i&lª,d. 'que d¡;,pende de la. , atraccion de- la materia d-el tubo, y es ,i ndependiente' de su figura y, ~e su ;tam~ñ0 : D~l r;¡is¡;nd'lnocio. ' se ~en~'r~. q~:nC ~ . <t~ p'.te;~ando r; ,~otI ,t~lacio.u. á la ,allr.ac";) cion de las' partes del fluido entre sí, lo que a;cabal!.losA¡; espregr" 'lt0r.l'n COll Il¡:la~j.oná la atratcion qe1- tij~9.. 'sobl;e,¡éLtIl,lidp, [qego ,se t¡;udrá ' , . ' _', , '" - <( , • r '7l'l'3)_ ' .l:! • 'glJ.), ,.'11r,zf!t+:~ : ' mC;nC._' (tn-n)C.' .. .r:' .3. ,~ 1". 4..; ... · ,",\ JI •.j ' ." \ ,~... qo.tno .c es la circunferencia de-Ia base del tUe. b(Hengl.r'~,EI, d41) por e&presion, ,2'7tl'; lllego será ' ?C~'!n-ra), •. - _' _ ; '. ' L' . 'v. - ' ,

llªª

r

- , .,,(¡'J.,;

-( ,gD

t

pt.t

.... 'o

~

c.. ...

,'1l'r z¡:¡+=-:-, "!:J t;.

¡ ,

\.,: ~ . .. \J

:::;(m-n)z,7tI'; I

-.' ) ~ . ,I '~h~ ,

t

.¡~

( '

·,ü.

j,

r) ,

(~

:,'

~:~~~i~~~~cl~,p~~~~~'7tt,,.~a r ~~ 3 " r.: A-q~}1' ~.Ab,QIat, si.eemjll.a,rarUQs:eliltre

..\

'o' , ..

...

..

, ~-(m:L.n,

.l gr(

J'I

~

"r~

~(.~ll~~

sí dos. tu,bgxsl de.

la misma natLll'a~¡:z;a:. sumcrjidos~r u.n jIlismoJihrido,'" '\


~3g

C:APlj,Mt@tóGtA,~

.

i una temperátura C!!!lnst~nte, 'las cántitt'Ades ;';', 1Í; g:

y D, serán las mismas. para estos t1!bos" Y ~l segun· do miembro (ec. ".1) ~era constalue. Representándole

( r)'

"'.

r A por 4. ,·será r a+-- =A; de donde a.:.¡:-....-:z:;-.. ..,.' . ~ . ,3 r ,) • 409 Si el tubo es sumainente estrecho, la. altur~ es de la columna líquicla será muy gréÍnd'e en' GGilipa..;· racion del radio de , su base. En este €aso; á menos' , que los esperimen~os, no 'sean muy predso's, la' peque-, fía cantidad ir se confundirá c~n )06 errores de las ' , '. '. ~ A J 's observadcllles; y se hallará que a:t::-'-; ~rn " . . r , que nos dice que las alturas medias a son j·edp.r?éamente propoT-Giollales á los diámetros interiores de los' , tubos. Propiedad que los físicos habiaa ya anunciado hace -mucho tiempo.. . ' ." " \ J;- ..

I

PIROLOGIA. '4fO Pif'otogla' es }á 'dencia qúe ttata del fúegO' . ó del calól'ico, y de las modificaciones que po'r élj <

tlufrea"ltls 'cuerpos. . ; ,:,l Si fijamos nuestra ~tencion sobre el conjubto de' fenómenos físicos y químicos que se nos presentarl." echaréll10s de ver que el. ajente mas poderoso, el mas· activo y el que -se, e-mplell; mas' genera-Im'lnte .S!n la naturaleza y en las artes, es el fuego. Nosotros sentimos' catlá 'insu'atite lbs efectos qué ppotlÚ@8' sªbre nuestres Ql'ganos) sea cuando los quema por un a¡;al -dor demasiado grande, sea cuando los cali'enta suavemente en los rig~res 'd'el i6vierno. Él" caliéf,¡fa todas las sustancias; y si no las abrasa, las flinde, las hace liq uidas, tas haCe! enrojecer, herbir, y las ohlig~i 4FonverriI:se ~n,vaporh: Aunrcuápdó' pá'rece qü~' obra con nieno~· enerjía', él es tiende las dimensiones dé ·los 'cuerplils, tn Ú'da su volúmen;y los módific~ ,sÍQ / cesar.. en 's us' propredades mas ocultas.

a


:r¡IR0LOGI~!:. ~~ i1ü4;ll (".ai.lhf:lu~:.. l~·~pªlal;>ra, fu~g(>'AJe~a consig0' ,la i.tieªEae f.HtJ1ll;a Y,l d~ h;'Z, 1sin .e.m~a:rg<jl Jy ll.O es ,dificil,

f..\i!h(>.~~nes ~\t!baGaba.mo$ 4~. el epn<;utso de .es-,. W.s:4.0s~ (l~rpll1s.tanti¡Jl.H ..p.Q(~lYe .~i s~ t:qru!e R!Q!TIO en, Q..oI!c\!pji q ll'e' todps

lQ§

des(l.ri~irb<j ~~.p.ª~t.ljpt:lo,<d\lci,l; · sin ,

Ufla¿¡Vias}¡ja §ití ·lü@J!J!'QJ.I!l,of 'LDe~io! d~I :'fflE;g.Q " ,este, pJo-,

IT!00'1f.1!'!'!lQ.. eptª"Fá: iftfi:amado , y.) ~ qe _n0;:,a l! oj.ará i ll,lz,t y€q<kJt!Í ·á serlleap~k<i~~ éla,le!c1'ta..r;:º~r<;¡§ :&.-lt~J1PP~ ·;; b~r~. ~1Jj14i.rJ. el hi~l0 ., "§bJª'?lJfl'e iY2. e¡'""eSl'a~0 ~,iinfiama~ª . la., <!.y.!ilisrnªf<t ·herY(ÍJ¡~J agu¡l Y<i todGs ,l@§Io!foS J.íq uados,. ~~19s.¡c~n..ver1-ira .€llhY't1lgr( Y Rl!~ª, qlJ!.e . ~n este 0a'SQ, q!Jra,)lSoQ!'€t ~M<1>J~ c~J!.<rp'os sin llawa ni."}.uz, .podemos PlH'j W~~~0 MJJl¡ ~s ~~ccion: s.~pa-r;ar ~sJ.ªs ,do¡; ~Qg.i-, ti~gt~QI~es .d~.1 p!iiQqF'i.():J~Gualq,l,11era que él sea, .q,ue Rfjil!l!.~~ :t:.odQ!i; .~§t.9s::.efectos; Y ,pa¡;a fijar invariaJ;>l.~r m€pte. , e~ta I sepal1¡i~1i:\iln_, ~á:ra d~sign,!r. aisladaa¡ento est.c;~pJins:ip~Q ".§e, lea@.a;I~ . n0Il\bre }?a,rt.kular de cq-. l-.q.(ricº, ", .,. ) r r ','1" l' \, ~ , Epto~os:~oJ1ª~~e á o~p;i~af que l~ pa.iab'r~ cq}.gr ~, ~l}. l,!. .c!1~a~':.s.~;,}!<;lm:prellde; ofdina.rjame~lt~ la !~I'tª,,,y~g.a {si~ ¡¿-rm. 'causa, po espresa ];€almwte sipQ h,,¡sensaci<y1..;,;q..ue-:el FaJ:ó.rico prm\use.,spbre nue~tr¡Qs, ~rgafl9s, y por <;s-JJ:Wq~Oll la que ,Pr,9duge sohre . qr.~ ganos Il\as' resistentes, ó aun~ sQbr<; cuerpos np . OI,:"' ganiz.agos. l,.;)~¡J.'lJ'¡I; r. i." i L¡ts !·lgp:lJ,iI;d~d~s· mas gener!lles ,d~L-S.l!lor SOB )a§ si..g~¡entes : 1 1'J~ : ,ªqq,ªlor emana ~4,e Ags"dif?rentes cuer:: P!}f. en f9rtl~¡.g,fl.¡:r~y.QS y. penev a. en Lóh.0tj·os · w~r.12ps que t.ienen me;l~~; [:e.~ ,et calor .s~:..f!ft.·eial1; como .la kuoz; ftor:Jnq!ldo ..el'f ng)ll.o .de .~'eftexioll ig\u,aA;al # incide11cia; Y.. '3:~ ! ~a i~ten~i.d.(ul¡; 4ef cal or Jecrec(e en 'r,azon Íl:lVers,a.' cf!l i,{:uadrudo .de J,g,, ªistan~ia. , \ •.~ é " (' AB Todos ~Qs',S4~r~os que.; e cGlJ!i.entan sin. m.u, \ <!.~r~s.\! .natu,ra'¡.s:\a , ,se; estIend~n. e~l: ~~dosJos s en;~9.9.s, sl.€fl!I\,!I1~rp. q ue .ocupan lUI volúmen mas consiqerable que el que ·o,cllpa.qa~ árites; e~!a : mDü.i.ficaci0l.l dj!}oJ' 1i\l~Xpos se llama dzJatacwn, y ~o,dos los cuerpos, cualqu1e¡;a que.,.~e~ _ ~u natura.1eza " . ~on susceptibles de este efecto. '.< . " 19 T n.

.41;-

I


i90

PIRbLOG~oX;:

.,

:, 414' La dUat~dQa d,e los 'euerpos:s:óli'dos, y ~~,

particularidad 11<11' ae hDS metales, ·eS muy pequeña' si

no' están próxim0s al estado en' q:ue ' se<funden:. iLa'

dHafadoa<de los líq.u1dos y 'flúifJdS:'€S much0 .-itii§C6n~, Siderable que la de los ~uerpos (sol~d0S en-l"a?mismai circunstancia{, Midiendo cbnL 'c uidad0 1 ras d:¡íne'fisló..l Fles dé 16'5 éifeffos;1ae'splles doeí',hciberlbs espuesl O á 1 diversas tel1lpc;:r~turasl, se hállá1,g~~éjalmente 'Í'lle s~ el fuego rio- haartef,a:~o su naturaleza, el1os ,vul~l\Í~I\i{ . exac~amente á'-'l¡¡,g· rñismas, dimensrones que.tenian 'áP , 'l?rincipio > éualq uiera , que ' se,a -e1,' Flúm~r0 de vec~s~ que se les esponga' á estas tnudanz(lJs a1<rérnát.iva's f~al ardUa y algunas ' otras' sustaneiasfrparecen al"'co~tra~ ¡i.i'o que se eóntraen cuando se .~sponen al" fuegó :déspues de haberlas huqieclecid9';. pero entónces ellas' oe: vllel ven á tomar sus primeras ''climeas1<ihes; )é -q ue' manifiesta que -sú. contraccion' es el efecto fre see-afse, ó de una combinacion mas íntima de sus elemenw tos ~ 'y no de 'un efecto pasagefo deh~alor. , 1 " ::' 4FS Esta! propiedad que ,todos los cuerpos po'~ se en de dilatarse .p or efecto del calor-~' y:de volver'á la-s mismas dírnensiones cuando sé,r;hftllán'¡ea-Ias iBismas circunstáricias, J.ófr~ce- un:"n1,edio. ~uy simple y exacto para medir d ·calol'., y eés ':la ' base en que S.e ' funda la construccion de lós instrUl,ne1ltos que sirvef¡ para 'este efecto, y qlre se flama-A 'ter7'¡iÓjhet¡-os. -Esro~ se hace¡\¡ de,aire, d~e spllÍ'ii¡'¡ ' de -vino, ¡dé iner<~ u,rio; y de metales, El de .aire fue 'el primero que se in venró por Dr:ebet; pero fi,¡e el lli-á!S' i'¡'i'exactO'; los de espíritu de vino Sbnl1l'!$ á prbl?ósit,b para -las {em,:; peraturas bajas', porq ue tarda muelio e¡j hélarse'i los de mercurio son los mas aaecuados para la, tempe l l'aturas elevadas, porque el mercurio tarda müeho én hervir';. mas para lós g rad,os' mu·y e'levados de Jea~ -lor, ,como los que necesitan los metales para fundir~ 's e, se ,hace uso del de me.tat con arcitta. ~ ¡ Toodo el artificio de un ter'ln61uetro de espí~ifu dé ,;,ino ó de mercurio, se reauce despues de tener ellíq urdo dentro de un l ú bo con ciertas pre ryaciones, e


PÍll.0I.OGIA!; 2'9-1' á:jnt,roducirIe en el hiel,o 'al derretirse, y á "señalar o ea este punto para la.divisÍol1 que se. llama de De,lúc ó-de Reaumu'r, y para el centígrado: y para la de Fahy:eh,)eií: 32 . en el mismo punto. Despu.es se colo.;a e'~ mismo . instrum~nt0 en el 'agua hirviendo, y .~e señala el punto á, que sub.e' ellíquicl.o; si \la distancia ó es¡paClo comprend'idé entre los dos pumos del hielo y del oagua hÍJ¡viendo, se·divide en 80 panes iguales, q,ue.:si: llaman grados,. se tiene la di vision de que usó Reaumur, ,y que se ~o,ns.erva toaavia CON su nombre;..diviah~nd(,l esta distancia ,eq 10.0 partes igúales, se tiemedal di:y'ision del termómetro -centígrado; y dividiendo este es pado en, .<18,0 'partes iguale·s ., se tieiJe la ·d~vision . dehomin da de Fahrehneít. 'E n todas las-;-d.iyisiones Jse 'señala1il;ipor la parte de ábajo del hiel0.,panes iguales, 'y en Ja divisio9 32 por abajo del hielo se p0ne o en # de: F"hrehn~it , pbrq.ue es1ie puqto 'fijo corres~(mde a-l fdp. prOt'iuCid6. por una me~d$uksal marina j !il11ev8. El teJim011Je[TID metáli- , co de ' liJ?:edgwood se 1'ech\ll@e tá uná planoha efe ' metal que iiecle 'u1Ela cana'l cuya.tbase '6S trapecial: se pone \ln .,óuinüeo de arcifla. dentro' de un cris.@I J"€n el horno .ó::.paraje, .cuya tempel!at~~a: elevada se' el uiere ob~ se,r¡var; ,se introduce,;por?el paTaje mas alFlcno d~ la ~a;n~ ~·.yi'Coroe:> segua ¡haya: sufrido mas Galor se h~ brá ce:>ntraido mas, bajará mas eñ la eaHa'l! 'Y señalará ma'~Qrrt grado de ealo.r : : 'iI'od'as estas Jdjmensi0nes se ne.@ceI) c.on fa:(!ilidadl -las ~ l1ñas á las ·ot.r as, ob. se·FvanMo que ci~co g.ra{los ,del termóme(ro 'cIM¡tíg!:ado , eqp.ival.en. á cuatro deL'.de Reawnur, y dÍ, ooe,'Ve, del de Fah.r ehpeít .. En el 'pírómetflo 'de Wedg.wao¡j¡/ ca4a grade eql:l,iva,le ·á· 72 dd ·termómetro centíg~ad'o' , y el o de (dichD , pirómetro cone§ponde al grado 598 del centígeádo. " . " , '') .' 1 . M'r;,Bunter ha iny entado termómetro que se cara.¡¡teriza" con el sobre 'Nombre de -hórizontat·, el cuaLi~dica la mas alta Jo/ larlllaS 'baja 'temperatura q,ue ltielle.n lugar en la ausencia: del quepecesi(a ha. cer estas observaCionej.. . I ~ < ._

un


292 l:J![6;'

P,I~O 'LO~lK.:

.> Se'.. ~ebe ' poner e1 'may.or·cuid'adó eh. la 'jpre~

paraciol'Í y graduacroll de los ,lúúlómetr.'os , 'y, niHguna, preeal1c;ion estará demas ~ara: cpqsbr:uir,. \J.u $ns '-tnimemt:o;,_'IlJ.lle aunque Beq'wciÍo Y' de {>o<;.a illl\p·@rtan.., cia el~ la apariencia,' es de ,la may.or. urUdchid. para.los progr~s,o's <;te las .eiellleias1ri-atu.ra'li!s 'y eK~d(as\ !La's! i.tl<!iicaciones, que nos da "SOH ¡J4:IDase, ~e' todraUa'-:lieo';' ría del calor ;' él es el. f(!gul~IDr de, t@cd.as:ta-s !operéC..! ciones qtlíinicas; el astrónomeH.e'consl!l1ita á2Cada: jns':: tante, en Stl'S obse¡;vaCÍ'ones ,{_.:pa¡;a;(e~l~uJar ! ehiésvjol que lo.s' rag_o.s, 111rnillosos;, :emaimados i.ded'Ú ",ásU¡os,! sufren at.ra;yesando' la 'atm<Írsfe:rá qu:e¿,Hos) ¡;óm;~ ;" Y' los , eúcurva más Ó luerO segú¡;r sl1 tempel:-a ro,¡ll1a~" kL' termómetro se, debe todo'. lo:,~,ue se sabe"sObrel e.llk:aJ.i. " loe a¡;¡imal, produ<~ido y .tpaJDtenuto -:paE- Jarlr:e$!p:ir~"': cion; él. e~ el q:ue fija en'/cada \paraJ~vl,~'t tempelJa,ili,r a: l~edia ,de la ti!!rra'Y del dima'; ¡el que. ITID5.,maÍfillestal el calor ' ten:estre, qtié:es, cunSl!ame . en c~a;p tpar.~j'e. y va disminuyend.Q 'de il1teirsf~ad d~sde· elJ.,!eC'dado'1r! fuasta les,polos, q ue .pe,r.mwnet:<en1seonstan,sea'ii:Ti1rethe!' lados;_~l: tambjen nQS :.e1Ts.éña~<I!!."ue el Ca-f(l)'F :dedtece~, á med'ída:i'q ~e U¡;¡O se.,cileyareLÍ. la :ru1;mósfeIUllÍlnítfr-.a, dial rejioru ,de' Jas,:nie ves 'prep.e,llU.aS4pó./u,!nd,Q:tlfrO~!leosu;;r merje enlGl:s abismos 'de les'tm¡¡res ,_de donel~ 'C'<tSIÜ': tan l~s ntudanzas pr,ógrQsiv~~d:e,;la. é.Vej,era'(úQn: a::clie' . versas"ai!túras. , ~;I'~¡'" ¡, ).i¡;O¡'fiOJ",:l ~ 4L7 · :E1.:calórico"pueae eXis~i¿,de.JdusJmo<loSJ err 10s cuerpos: ó combln¡rdo"co'nr:ellbs, en-cuy.o~islr.!Tc5 causa efe.cto1.5ob¡;e el. termó[h6r~o ' ;, se ilaJ.llaJibClti'1lte, . Ó tib.l'e ,. que. '€S ~uando sé' p,l~'ea:é . transmitir., á: rrr-9s cue¡;pos ;. y,causa efecto 'sGlbre:el ,q:rmóínetio · ;}\( ~o1>re. nuest~os oeganos. Paua ..d;'u: ':f'.tCrlU'(j)cer eS!aS\ldv0¡S ~ ~~ , pecies /de (UÜÓrICo, supogg.amm:s que se. n~qgarJurfa li~ bra de agua 'á 60 grados de Reauiihw ó' 7i'5 l clei)oen- , tígrad:'0;, ~"q'lie se cn(}Zc1é.:t'OI:1" Otra, libra delhiela á o grados '; .en 'este caso -laespari,e'ue'¡a manifie,sta q tie' f'e~ sultan dos libras ' de agua >á ¡:J.ar temperat'u.rá · de'~o;, de m~ hera 'q uc'. aq.u,d ios 6:0 Ó o/ ,1, gradjps d'e la[¡Ji:br~ de agua , se h.an gastado en EumüD. la li~ra de hielo

.

/


2 9.3

.J?.nt0XQ:G'M. y .®aer~" en ,es.t~do .de liquidez;

aLcalor':qu1e ne<::esi;~~ ~par¡Le~t.o. . una. libra ..de (hielo, que es t\Íoo de la diyisjolJ. .de_'~e.atlmur. ó 7.So"deLcentígrade, e~ 'á lo que §e JI.ama.;"..:c~i.ór.i.co latent.e; y al calor que se hallaba en la libra d.e.agua q u,é .se .hacia sensible al termóme'11:0 y.::. á.nuestros órga;¡os., ..y que la ha abandonado p.ar,a,:-eom.pioarse con :e~ hielo ,es á: lo que se llama

, Fal:JÍrtJ!.o hbr~" .. . ,_ i~'1(), " ¡" .... , .: \'4.l1k . ~os primeros.e,nsaJos .de Lavoisier y' L,aplale, q u.e_ soJt 16s , sabíosrq.ue · COl'l mas aciertq se han Oeu t>aCló ~ oór~ la dilatacionde .los sóliaos, .les ~ieron 1. coneccr: 1 ;.0 que un cuerpo que ' ha .sido calenta.do 'tles-deeét térmi·n.o ,d.e .la. .c.Qn.jÉ.t.ac.ioll .hasta .el dd agua 'hji:Jvje.nd9', y que se ha enfriado .despues , desde el agua

h!j·viendo. hasta la T conieLácion~,vl~eí'lle wtomar - rigoros amente las .1}liS11His d.imensiones. 2.0 ! Que.. el , vidrio ~ tos metales ~ufren dilataciones;;ensibleJ1f~nte.propor:. tioz¡ales á.la d,el.. mercuáo ;. de. moúo ,q ue un número ,~ rJ,upko. de '.gfl.ados del te'(mómetro. da una '¿¡'ifatacioll dob~e. ; . fin ruJtnero .d.e .gTll'&.os .tJ·ip.la, una dilatacio1l 'trip~a, b'~. , El :vjd~jo. es

f

.

:J.',

:\.

tanto menos.,d:ilatable '€]lanto meaos plomo contie!Je. La dilatabilidad del hierró varía mucho ,,'Segun los diferentes estados en que se haIla; lo q:ue confirma, que d híe-n :.o que"se emplea en-las.artes ;: ::n:~és .un .metal .ábs6lútame.nte idéntico. E~ estañ@ ,de"Jas., Ind.ias es Tnucl1o~.ma"S. dilata:~lf! qúe ,el ~ de CQtnQu.ail!es;; y ,-por.j :loo5Íguiente esta,s. dos sus¡¡a,n. ciasm~ti(licas no s"onrla;~ mismis.: ~el plomo_es lel mas @ijtua:hll:! td.e tadeJs I@B metalés. Para .sa:ber, tDdos ~ es-. t0,s 1 grad~-de, dilatabili~ad, skve iaí:$guiente _o . .. ~!.I\ ~ !~nú! ~ ,. ~1 : (1."- ";lJ ~ -:; "',iib L~ !...1 ,'''' . _Tab..lal:d.e.1flSl Ath.a1fa.dj)n:es ~Hm.ales ",del, ,v id'nio !j de ,'los, l1J~t(Jiesa'\) ien.,vifltJ¡d4;:d~-s.bos· esp~r:i1péf¡t'Ós::; hi chos f'1l :. "1'>f7¡8z ~1!ót'-LaplaÍ!C~'y.3:.lJviJiSier. : ' . .,:'''l .. " tS "....s

:,-r,._

.¡();~e· \y .~'\ .... (,~ ,., ..,:,.-:- ~ ~ 7 .. ' oS" ~~.

l'

t

~

:.J.t'l: .:'.;.

... ".:

-n' "tJ,I~~(r..(!gla'c,J[ya.]~ngitud:es 1 ;OaQoo,!ocd.la teinpexA\tur~, 4e, la cal'ljda\,'!nw.q tOllla\.}3or cada gratio' dd termólI\etro cen(íg r:a}il9: la. ~.¡ ~ ••• s.~ ~., t ':H' :.4.. ; .101'1gitu <! r

.


294 . .PIROLOGIA:. . Vidrio de SaimhGobain ......................·.. 1 ,00000891 Tubo de ~vidrio sin plomo .. : •..••• ~ .......... 1,00G>.0 0897 Flim glass iHgles ................. , ....... , ....... 1~0000081 Z Vidrio ' de Francia con plomm ............... l,QOG>(i)0872 Cobre........................ " ...................... 1,°°0017.1 7 Laton .................................. .... : ..........1 ,°000.1879 Hierro d,uJee forj.ado ....,. ............. , ..... ....· ~,ooooI220 Hierro fundido pasado por la hiler-a...... l ,oooó l 'Z 3) Aceró no teLÍlplado ......................... ;~ ......lf60001.p79 Acero templado amal'íllo reeocido has- ~ •. 8 ta ~ oo ....... : .........(........... : ........... S .:¡,oOO?137

ACte:~ ~~~.:~~~~.~~~~~~~~ ~~~~~~~ .~~~~

. } 11"0.°0.° 1 ;3'9 Plomo .......................................·......... 1,00002848 Estaño de las Indias ó de Malaca ......... I ~ oOoo1938 Estaño .de Fahrlouth. ; .....·..................... 1,00002173 Plata de c0oPela ....... ;; ........ ....'....... : ....... 1,0000I909 Plata)de ley de Paris ........................... 1 ,0000 1 908 Oro de apa:rtado..................... , .. ·....., ..·... 1,.0000146'6 , Oro de ley de Paris no re.coeido . ......... 1.,0000 [ S5Z Oro de ley de París recocido ............... I,OOOOI 514 Platina, ' segun Borda........ ; ... .. ; ......": ~ ; •. l ,000008

si

El mercurio se dilata '54\ 2 de su voltímen lomado .á '0° porcada grado-;deLtef,mómetro centígrado. - 419 El' conocimiento de' la dilaracion de IOSi'cuerp.os sólidos ,: y con partíc~la.ridad de· los metale~, es sumamente útil en una infinidad de' circu!l1Stancias que imeresan á las dendas J .á las .ilrtes. Ahp·r.a ,vamos .á manifestar el ÍDod'c::l'de determinar.' la dilatacion ; de la capacidad de una v:asijá·, '. solo '. p.or 'el' conocí': miento de la dilatacion dI! una de sus 'dimensiones: y vamo.s .á demos,tra:r que s# .la Jit.i:itaCiorJt.tineaJ está

espresada p.or D, entre las temp~r,!,~uras '1~e se ,observan, Ja iliJatacipn p.ar.a la unicJ,{Zd r,d~ ZJotúmen :)e.ritre estas lIJis271aS teJnperat.uras, e.stcwá espresa,da .por 3D; qe manera que sLVes el vD-rpmén~e la .vasija:.fómado á la te.m peratura mas baj~, ' s.u ~dlú¡pen á' le¡. Ttem. peratura mas elevada. ~etá, J((1"'¡"3P). : '\:p,:" J

,'1


,

~~0WG~

-

~

.

~~

.. "W EQ. efecto, .s1ilpongamos que Vesprese un ¡volú~en cualquiera a.omqjéneo, que dilat~n.dose por el .cal9r se co.nvierta en VI; él conservará una forma st;.mejante en estos d9.~ ,elitados; Y C9tl!0 los volúmenes de los cu~rpos semejantes son (L 43) esc, z.O) COglP los ·cubos de 10s 1~40s homólogos, si eSjilresamos pqr l y; tI estos lados, tendrémos V/:V::.l'.3:t 3., que da (1. § 18.3) VI_V:V::~/S_ta:p; " V/~V VS-:!.lS "Cl'-l)(ll!2.+W+l') de donde -'-p- . la ' •

v-

,- ~ . Espresan&l por D la dilatacÍon ll-l,\será V=l+D; y sustituyendo este valor, y ha<;iendo las re9,uccio, ' , VI-V D(3 l'+3 lD + D') ·nes. convementes, sera V • " I la • •

I

""_ Si la dilat'a~ion D, e¿ muy p~queña en comparacion de l, como se verifica en todos los cuerpos sqlidos, observados á temperaturas q~e distan mucho _d~ SL! pU!.1tq de fusion, la diJa.tacÍon}-:/;-V.§~rá talI!bien muy pequeña en comparacion de V, á causa del factor D que ~ultiplica su valor en,el segundo mieh!bro de ta ecua~ion, Ll,lego tendrémos un' valor bas.tante aproximade, y del .cual podrémos, hacer uso ep la ,mayor parte de los caso~, tomamlo solo el primer, t~rmino de los" que qay dentn> del paréntesis, y r¡;... . VI,-V . DX3l2 3D D .sult~ra . -V ::---ta-'=-t-= 3X y' Pero

'V'-V '

-:-;¡;:--

'

es.Ia dilatacÍon clÍ.bica para la uni-

da{ linea~; .luego se v.erifica que la dilatacion cúbica' es tr~pla: de la lineal, que está :represt:ntada por D ,~ T" J)es p.ei~·pdo VI en la ecuacion anterior, y por:ieq.

- ( .V-l)

l.

do

t' ..... l en

vé~ de D, [es~lta ~

.

V':::1V 1:+-3X-t-. ' ,

\

t..

-t -

¡


:'2-9'6 'PÍROLO'(jP-"v.,• . •.• 'Pé~o 'e ñ'"los ctierp@s s61ido'S ', c1i4ie¡mas,1á t¿fupelrattita' se ' na1re lé'omprend~da ' ~ntre ' ellÚlo y el,ágúi -hi'r viendo, l~· dil~ta€i'on lineal· t!~l'se· puede rep~ta;r proporcionál ¡U· mímero de gra&os ídel term6r:f¡e't~ó ' conrados desde c'ero. LU'eg@'is Hl\!sFresaÍT)os '~p'OT 'V ei wolLÍmen cl.el'cuer'po á 0°, por t el' illímero de g:r-ados q ue s~ eleva' l~ tempeFaturá sóblie, es-t!e' púÜto ~ p,o'y k, la dilatadon lineal para" un' g~ad6 r ~eñdFámf)'s :q:\Íe kt será, la dilata'cio'n IÍneal 'p'a.ra· 'el [l~ímerp t de gr~­ dos. Luego S'e;rendr:á;·Vt="VQ:-J=3kt), . ~' } i' 1) "-J. ó . simplement~ i7'=1((I+Kt) ,haciendJ K'-3k. " ..4z0 Si 'ód se' conóciese·éi ~ólúmenr primiri,Jo V, . se ' podda: :deducir dé !estas, fótm\:l!~fs (hua-ñdo' Se-' hu,.. biese obser.váoo el de P'; 'y 'se podría ta:~bien encontrar la dilatadorrque c@rrespehd'etpl1l!tiéhü'(}de' otro cualquier vol(lmen. Porque repres~ntan,~o pO~rV' y -VII l@s vohirpenes ' COl: ¡'es pondientésra~ flosltefrl peí-at.u' ras t' y tI!, se tendria -igua,lmente' " ',). \ " . , • , V=V('ht-Kt' ) , 'V'J:.=V( ¡+fI:~II), ' ~ "siendo siemEre' V el .-V'blú¡uen primiuv,e' a' oo; .elithlV'el ~ Ktll ) -ñando V se· 'tiene VI' , "ti' • . ,l!J:± • " '( 1 ·+K( 1" " esprésion <i~e efect:uando 'IÍt divisiO'~':tndicada se pue..

y

.

,

,

;

,de poner bajo ," élita.forma ,

, n -:'>" ]{j 11 '

!

l '

V"=771(1 +' ,. (t -t;)) ..

'I+Kt ' , Pero todos los cálculas que- a~a-bamos de hacer,

su ponen que la dilatacion cúbica K es ~astante pegueña para que nos . podarpos limit~r ',á' la primera ' potenci<i de la fr,áécioñ que lá espresa.~· " Luego deIDemos aun conservar aquí el mismo ór-den de apl'o~imacion, es decir ,4 llÓ ten¿r -én co~'ide­ '.lFaci('jfl el térmi:no Kt l del denominadér--¿k fa,.fra@cion': lo que dará !7"=VI(~-:t-K(tll-:-tl)~, ' que @s:ellriisrnó resultado qiíe si.;lil'iiHkta:cibn s@CO'rrtase partiendo de la temperatura t' y 'del vo'l\Ím~n V/~ ~ieLÍl,pre, cpd el mismo eóefieieh~e':';· ,.) . Si q uisié ~éliIlos- val\lres mas a proximados~ despre, J


PIRÓLOG.t~

.

~~O/

r~iliiíamos !solle ·efúIdmo ¡ténnii1 ,tiFlá. '~s,pres~on del , .(§'i¡Yi ~), ó nb 'despredafíamo~r;n:ülgh¡;¡ Q de .eHosP F'er'Q> hasia d ' cliá; ho <se' ,con¡;icie ,j.dhg-.uu Gtier¡1J@ q ueh exya !t'aa'tá apr0ximatidn¡ t '!lf1!~4 e ,J, ",') 1,' 1; '1 ,' l ' !. 4-2 ( ' 'Pór ~ed-i0 de ' la <ii!llátati(m~ dlv ll:)sl ,ai'v ersos tmet<Ües i Se< Iia~ podia0 Q0nseguiJ, ¡.el las 'Réndol'éf09 'de los rel9j~, (Í0Bser,ven~ia 'f.oitlBa ¡;¡eeesaria pa,l:á. que ,las osellácioni:!& s:ean iguales, c~alquiera q ue ~ea. . lá. variacion de 't€fH·per4tu.r~. .' ;;JJ!! ,j ~"~. ')j, , 1' .. r. EQ. efeeto cuande la ..;arill~ de una ,péndol~ se ''dilata' por el caI01'.,-e-l-péndu10'es má~ la~gQ y l~s- o¡r­ ólaciones son (352) mas lentas.; y slíeede lo ccínu:a - ' <ri0 cuandG -Ia- té{upe a\ur.a -¡lája; ·PafaoevÍotar este inconvenient'e se hace que las "atiBas' se 'comp0Pg~1l -de ' ba,r ras de 'di vé'¡r§QS\ metaJés; =I¡SOl!..ejéIn plo , tle ~ co • bre, acero, hierro, laton, platiJ~a, I oro y p!afá; de ,los (males los mas usuales son ,el..hillfro:i el<lal®n; y -todos estos aparáto's; que se Harban eompensad'?f'es;:se ' reaBcen en láltima análisis á h'aGer que sul:J.aí.lu!ía par~ té del peso de1 sistema, cuarido la variMa se al¡lrga, y á bajarle cuan'do se acorta; de suert"e ,y' en talipr9cpor6ion que estos (¡[eetos-cór1tririqs se Cbmpel'lSen "exaCtamente. 'u ;.:_ i¡,;;; - 422 La dilatacit;>n de los·Hqu-idc.rs:sj:g ue la>ríliSID~ -ley que la 'deJIGs cHerp0s sólidos .y fiuidos, al me¡;¡.qs '?Jientras no se aoerq ij~n a1 :punto -de~hetvir ó de CGaJe1a,rse. ' ,.:;: . : . . ,~ ., ~~ 'El agua que' es el 'líquidO' cuya..' dilatilcion se 'ha estudiado mas, no se s;onderlsá ühiformementé cil .ácer'éar¡;e á la c0nje~acion. Su éontraccion disminuye pa~ ~l'a ' cada ' grado, á medida q'üe 'la.- temper'atuFa: des'cieñ:de hácia 'el término de 4°' del ~er.mórnetr0 centí'gr~~o.Mas ,abajo de este límite, :si la teml'e:~fura lbaja, el volllll'len del ag.lla ' pe·rmánece" algufi. lilempo 'oonstante, y d espues s e dilata<6n 'vez de ,c@fltraetse: -Luego haY',un punto JeJ~ , qU'e.e1· ;y~l(llneQ del .aglúl,:es " menor que, á cualq ~lier otra temperatura; ~~'nr.&¡;¡¡.. , ..c~s es éuamdo sU densidad es níay-GT , eS- decir, q ltC :ti\!ne mas .masa bajo l elmí~mo 'Yolúm~n • . :)~.

que'

f

Jf "


29&

¡;ÚI.OLOGIA,;

42-3 Haysustanci'!s que se dilatan' ·aJ co¡;¡j~lar:s~ .como el ¡¡gua, tales súa el hierro fundido "ell:>is;pu,,la ,_el .antimonio, y el ~iufre; otras,al €ontraFió ·ie contraen cuando pasan al estado sólido, come sen (}I mer~urio y el aceite de olivo" que al conjelarse se contraen considerablemepte. El' mercurio conjelado ,tiene todos los caractéres de un verdadero lIletal sólido, se es tiende bajo el martillo ', y se parece en todo á una plata de bajilla que ha servido mucho tiempo. El aleoel , se dilata' 0.,1.254852 de su volúlnen · desde o.Ó hasta 80.° del termómetl10 de ReaumIfr, ' ó 10.0.0 del centígrado. , . . " La dilatacion del agua en los mi.smos límites, es 0.,0.4660.1 de su voh'¡men á 0.°. _ , .A24 Generalizando estas ideas podemos establecer que .no existe r.ealmente estado naturat de las cuerpcs. La liquidez, la solidez., el estado de vapores, (!l estado áer,ifol1me, 'no son silio acciden~es ocasionados por la may'o r/ó menor temperatura. De ,manera,que si nuestro planet<.L se alejase del sol, los '!íquidos y los gases podrian pasar al estado sólido;-y ,si se acerC¡ise, podria suceder que los cuerpos mas sólidos se redujeran á líquidos, y aun á gases. J,ue.go el"princi'pio dél calor, de cualq uier natur(llleza 'que 's ea, separa ,las moléculas de los cuerpos cuah.do su enerjía aum¿nta, y las deja aproocimar cuando se debilIta. Estendiendo esta idea se ha com:luiq.o generalmente que este. principio era la fuerza que mantenia las !Doléculas de los éuerpos en equilibrio contra el esfuerzo 'de su auaq:ion recípwca, que tieJle una cC:lntirma: tendencia á unirlas; cl.e modo que los cuerpos se puec;len ~onsiaerar como un conjunto de pequeñas parüculas" gue _s~ hallan ~ontinuamente en eq uilibrio entre cl.os fuerzas, á saber, la atraccion que trata de reunirlas; y un .pr'incipio repulsivo, que ser.á, si sé quiere, .el del calor fJ:ue propende á des· _-unirlas. -; . .. El estado sólido tendrá lugar éuando la atraedon sea dOGliname> y en este caso será necesario 'llle


' PInOL0'GLÁ.

,

299

,la eni!rjfa d'ef prínci.pio re púlsi.vo aúmente par-a 'q ue las panes se. de~unan, ~Si ' es'to sucecL.\! " "'llegará' U(l ...-, término en que estas dos fuerzas serán. iguales, 'y este será el estado lígui4.o; en ' fin; si el: pri.n_cipio repulsivo aumenta todavía, separará las moléculas má,teriales ci' tal punto, C!fu'e sus ;atracóofles mutuas dejarán de' ser sensibl~'s á ,la distanóa "en ' qLle ·se hiHan: (loIQCllda's; y en~ónGes el cuerpo pasar.á al es .. tado' gaseoso. -." . \ Cadá"cuerpo muda de eStado á una'.tempel'atura particula/r'; así es.., ;qu~ el a.-z'ufre toma el estado lí-, , quido 'á 109 grados del termómetro centígrado, y 'Pása al. estadó de y a'p'or' á;J(i)s 300 'cdel lnismo te,rmpmetro T:€l' ydo' se lfunde'... .F 0°, Y' -se ,convierte en vapor ¡ á' los, i>1'ooo; ta --fusíon dél mercurio se ,/ verifioa 'á,,' -=40?.,' .y' ,su transformacion en vapor á 'los 36"0°; J&e. . '':/ -:¡;, " 42'-5,', !-~ara acumular e1il, un pumo¡1J.na cantidad dé 'calóÍ'íeo .muy~ gr,a,nde ', se nace uso de, un i.nst-l'umenlb que se llama sopiete, que 'es muy útil para los plateros , " l'o~'. mineralojistas '&c.; y ahora ·se acaba de inlilenta:r y perfecci@nar un nue\'o soplete, p'o r .(:.1' cual se; f.Lihd~n' ~:casi instantán'eamefue la platina y todas las sus~áncEls que hasta el dta no se p.odian fundir. ' Se r.educe ,á c011densar m[,]üho una ~€zela ,de, sieté p'artestde' hidrójeno y tres de oxíjeno_, y haGer- que sa1ga pOT- Uh tubo ca pilar, y encendiendo dicha corriente, -y .qirijién<l,ola á cualq uiera sustancia, se con l sig:ue. íQmed,ía~amehte su Jus~o¡:¡. "' " , Lo que, en, g.ómera-¡ , HamalJlOS frio, no viene. á serotra .~osa, quefalta a~ cator; y C0tnf> en muchas ocasiones para aliv.jo de ciel'~as d0lenci~s ,conviene tomar medkina's' froÍas, y. no siempre háy 'nieve á la mano, tro¡:¡drémos aq uí los medi(!)s ele producir: artjJ ficialmente Un gran frio sin hacer u¡;O de la ni-eve ni del.y~lo. ' , : r '"o Me .."clam:lo p'af'te,s ig[wles cl~ nit:l~ate de amoni aGoy ,de dgua, se obtie¡¡e JmJ¡'io de +Io°:á, -ISQ,6 . • ' :¡. o , 'Mezdando. tr.es partes ,de sulfate dé ':sos'a cr,is-


,.

, .. ~

"''.f,

j

~.lr.

'.J

p{D ..- ---,.,í1

__ ,': CQP/JcÍ(:ltld ¡de , l:os:,lZ;u.ér:pos. piJra el caJ6r:.ico~ _ , _

~

....

f

-1_

~

~..

,1:

~:.:h':J.

t..

r,,"

I

. . 4~'9 ,' En todo lo que"he¡1,'los ,dicho' sobre la pro • .pagacign !I comui:licacipn,,cid 0(1101:, solI'lJhero.o~ cQn• .side·¡¡fld.QjElcremeLlto~, Ó.diroLn IJ.ciQ;11~s de .te.mperatura: Ahora nos di'r,ijimos á dar á conocer la~ ()lld:a.dob~~ $l;~.e ~~)!;isten· entre, estasj '{aria(!i0lJ~~ 'y. la·s -caontiéltades ,,absoilu·ni.s d,.e ca,lÓ,rico:.absQr,yi<il~.s p despreadidas por .los cuer-pos. ' - . I .~' i:.., ~t..J ':~'. -~ ., J i "1 . El. 9ledib !na~ di'rectQ pa·ri! descubti;rJ e.st¡¡S; rela¡ ~cio.qes , ., co¡¡si~te( en h,aeé:.lU:W-friarwUi'r m15q1O. 'Quel'po ·suce§inrn~qte de .. \lu" oóerto y .d.ete'¡;!il1Íl'lil,do\-!Jümero :de:.g(aao~ .de ~alor ,.)1 <>![EiP 1ea;: j!!"ca,)'O.ricQ. ql.l:le se des.prenae de .él en producir un mismo efeCtq. ~~i~rnNe id6p-tiqo,,:Y cl!l·ya-\repetioio.1il~ pl:l~dta !s.en:.¡r~ck m,edlda, .se ~jgqf! esta: ve,!ltaja ·eª.r~ª fusioH deJ~hi~lo, .pt!es ;:s~ .ha ";~&PP9P~4-~ ~ l:l-e d ,,J:lielo f!lndente tiené Jl:!1a. ~emt opera.!!ir~ fija, y que to.do ~l calor q ue:se:le-comuniea se ell1plea V1)iCameH~e j!Jil fundirle: Ltiege si .Il.e, ~uita ~ 0~ga < jnstante el ag,lg <il'ue. F~su1.t.a, 'Y se pl!es.ent<1! i{l. cesanteineQte á la. accÍpl'.!' del calórico Una ' n.ue,y·a; J::a.n~ pqasl sie hielo, el efecto. será siempre idémicamenfe ~emeja!1te á él mismo; y una cantidad doble'.ó tr¡pl~ de ·hiel~.(ql1didq ~ e~ijirá!ufla ' cantidad do;ble-',~ t'f~ple .de ca}fJr(; 'de _wP_d.o~ que .se ;valuará la prcip'orci~nl:de ~esta última que. 0'0 lle ,puede .yer..; .p!lpar nL p..es~r, por!l';!; eanti1ad de hiel@. fUJl~idfJ q~e se puede .pe~sar; y p.a!"~PQdeLr~agtal', t!2>fto esto, se.ha)ri.vent:ado:l!\l ap~.,a¡l¡~ ..que.· se 1hlma,. . céI'l0'JífJtetrÓ'. .. , ... .1(, , ~, 4,27 ;'$j eLcujl'pe· <>!~ s61idp df 'de tal na!.1i1P..al,ez-a; q;liJ1!.;¡nQ.;R~~da m\!da ~{\í!.,eSt.á.i:l.oJ d.;es.deJa'lte~pnatura <j\f!lJ lie.lo fungenfe Qast-<!l ta;- de la ebujiGion: del:.ágl!a (que es el estadQ repentioo en que este cuerpp.,de.Jír q,l\i~PtP,asa á. fiuirto-h: ,e1)l~r\,eeS t habtéqdi!lle S11eva'<!.tJ á l}l1a.t~mpst'aturA oualq uiera. t" .com,Fr.eQ~da, en~re esr. 1:OS ¡í[]jij,es.) : y- m~Ui<Ja .S!n g:rados del' ternlórt¡.4trd'Ojn. (

~,


P1¡(O!JO(Ht(~r '

3'01: .

tí~r'a¡ft.<okleJtner.curia ,~ ¿ohroriúétiIÍosl~ eéf~I é:atlopiJ1a~t-r'ó: J:d~fé.a1t1s1~ enfriar ha'Sta ' cN:J CuáI1dd lIlr&gü~ .j[ :es~eJ

(l.srtidet.,r j;}aMaremos q·Úle.-¡l'a calnticlád ,d~ ' bieW ··q,tfe.... Ha') fundid'él V·es)'!'f-I@PQrcien·a ü arÍ\Ííflmet:tlM d'.J1giFh!aÓ~S,''' Dé( , llla'lfera:;qllle''Si, ,ha fund:id~t'Úrut, lib'J.la ' ~fpíá'Iidds'e\, ¿:é tÓ9 áJ!<!lq,e:fuvn'fiiir,á do's ehfriáfl'aofe'}db' z~O;t:á?o~:¡tPes' de'"Ij-¿i' áho~i(y, así' su.cesi.;~al[Jeli.!¡;:e etl'1todl!a: la res1lep:sl@'i i de,;la jeseal:a:ule~~nomé:tI1i<ta')Íp.eriiJj la. Cbq:st'a\f.Jt~ q,lá8: :e5~J pr.~se e'S:l!iL~Ji'op(11:ci0dalitiad:J $eDá:.dd:f(1iÍelf.¡fe 1>~áNdif~,",

re!lites'¡'Ql:l({rJp<os Fá·JÍg.uaMa<!l.¡d(ú~a-sa; , 1;"

. 4i8

, , ' OUl!'!%! ,~:t, :~:Pal:a .¡f0l:méIJl.1ll{)S 'unaciMa~ dal'b.i'dw~s1f0¡S,rf,e~

sulwt41S!i:)'ldasen vo'1'AéJ:' :s'.l>I:S'J.coÍ1s~er1ª¡:¡~J GEltf ,segrP lfida-d, QtC!l~ln6'S '1'0r> ~uni4~dr,;cle \ €a10ric(')[1iarJ t1:f{liia~ál d:eseenocirla ,de'::e'st,e' fltin~ pilli ,Jqu'e:leS ' lÍ&~ájjli¡f 1 p.á,ta~ f.[{q~~rQJ.mp1ifutal 'de hiero :;¡\¡ oY; despue~" r&pt{!¡5@ffi~:: Hfóli¡por..l.?fel Llúmer'~ t.0!t-aIfJy>e1.eSc:mil·o~id(j!ilir.tilRlaae~ iguales, Ique á la temperatm:a del hielo fUF1~e:~€t!i&&i t:á'n $¡¡¡:téMida:s. eQ..cCcrd!a iliJlDpacxll e.lÍ!ntcilie tI> onÁ d e<e(ftlalCj'uier d¡arriera: que este ,caio$üie-;su,bsiS~¡J¡ ~lJJ'íl;,.e%i6<b' @¡1' y~ :seahalle f~IDl'Ebi~laiiOl y;iflj.e;¡ eh- 61 ~ 10r~3J ~ie!cu.tmtó.vt1lJ

mu<lhrlJlle9....Tom. roS: ljlrt6sC<pler..p.(l)s.,¡d¡!1'le~.l:!itiqZóJ.eHf.filfi'f ya' rs~lrhaa tm::pa roi'a¡fmente rteU:' ~s.t.(¡J.s ..di1\~erM's (:esJti't!ltfb s... Si .elevlltE(j'S",jJ-a. ¡;e'Ll'l¡raratl\nai 4e:,!¿hlpst¡{lar:.,¡g~{¡n~et léntlo1óCU~¡'05 <rel}tíg'(acib áe· .l:¡;¡:ámll¡f.i!@:J,r!Jy..-: r~ rti1@ffi¡jo1l9§ deS~lWO)lJf¡':iar ilia.sla 'o°'1erpcl.a:aMlf1rneprébr;nfu!¡'jilirá.ell é,bmru.rierJio W:he[,Q:)d¡i;J l.iliI'á:s[!d:e{hield~ :tpL'l~~r~ Ples'e\atal'~.[D~i~'P(}r .],'¡; ~\)y fenrlf.é:dimz ~N!e~fé§a-f.á tambien Ja nueva cantidad::de., <calórico e¡ue 'ná'~)titl~ , ne0e;9a J;ÍO"Jifl1lrOO ud r ,mLebe um: pD, 1palJa ldhW~vr f!fJl.. s lt t~lnpetllt:l,rri<l'$i <'. ¡ ,~_ "'n ú .& ,,sS~ L :>1 ;,,\: t ~\i' sbi::.ui •• ·itn P.:er.0 ~I"t :e;l?e-rienoii!luFa;:m~l»al GIUbe nt:t.€'lW'.) yl ¡¡50"') eh liun me!!.ohNúk pro p,proi,obailalIhúmer..o@ dlh gl'átlí6s,r all\lebl<Urs:}e\!Ila)l1do. eh ,cLter'[$'(!)[J!l..O ,mla~a. ~~ ,asltad ~: ·¡,üe! -r: '~ I. N ' go si divi~os·. N .poD 'FJ;. ~l-.l.:oci:ente)~J.tfúel>JlafuáZ ~~H

......

~.

J..

,'\

~.é~os é,~ d p-Tesará. entr.e: e's:to.é' lítnite.s et :n~ÍlIlÚo de libras ,de'·thréLo·\que eLicu:erp.<? Plllede fL1Ddi·r 'bajando Un g.rado, s,ú,.tem.peratu~,'l'" y ,~ste 'mism¡;hcoC'iente és~'


Scz~

lH·U0LOGIA.r

Rr"e~ari _t¡ul)~i~l1. , ~h Jl!loci0n de; nuesl'rarulltd¡¡,u pd.· mitiyan; :.l~ G.antidad de cá'lóri$:orneeesá'ria para, .e.leyar'

(¿ qajc\rfs\-h~~in p~r¡Ht.H'a rll1.n: graJdq¡. En1. 'ilirFll.lác:td,e_ ésto,~ ~11.'a, 9J!..~lg:l;lkr, o~a:.te,¡¡i¡¡q;>élia.l u ra;t" oOllilJ>rendjel,a ~am~

Úlf:r:e~te~ .1ÍluiJi.es d'8da;e:sc.ala .teWlOmé.mica', ten·' drém¡5~.).q,u~('~7eP~ es piesará)a C'<lntidacl trgtal <:le!! calóri¡;º::.~pj1réC\ido, iC.rr,A,' lf:.ot ser ' et húm@[c de 'libras, d¡; hi~lp 'áJ,q>PJ quS!. Pll@Me".f,undi!l?l \eLlmrhúúdos.efh1!,~ta.'7oo., SUa, lPi\.S~ Aeb<:lJerpo...;., e~i~_ .e1I ,dc. 5:.el' unas.J.ib.l:a;fl:lese ro, per,ma-neciendQ la misma¡ su '-na!hütle,z!l tJseria ~le,\ c~s.atÍ@J . ~ol'fsiderá:rl&),é:omo! compuesto.:de. :l11l ,libras e1CacJe I~Hl@ te jigua!eJtá,la::¡pFece<:lemre. Enton,c~5' -la cano; lltd¡Hl, tPi'jlI!j!ti,y~; d:.e!~~alóbicb-q tre:::co.otfncl.r:ia .á 0.°, seria'

bien

1ll~ ; : IS f'i~ . p.On!'.e.n:¡:l¡ria ~ál it~, igli?d'\,>s' ,¡<s:erila 'J.n.x:tnvcti4" mct !;s p're~ria.; el'; I'lÚUI~'tO\ rilediLiras..de:.hielo·á ' 0 0" ''iué. :B9cj.r!rufJnJW.'J~q,fr1,á-ftd:0s dtes¡¡l-e t.~.ha:s.t-a l eO. en el c.a- ' 19.r 'm~Uí9?J,:i. U, ". r::rol:':"!:" 'j:' J l,' r'IJ..Fz: 1 -, ,..; 42~9íj Kn.:~ ;yir~ud, de:HoFq!ll,~ '1áemQs~ aUlÍhciél!d:o, se 1'e_qil;lsae,l' i1títÍ:¡er.Q:;ic Yaj¡íaotl.~ una !Sustancia::á otra; varí~ct~HJ:bij:@, 'Ü'iJ. r¡L cada: rSi:rsl.'~m:'ia, ,;cl:lal!l~e 'tie sólida. ri.t~Iilf'!. ¡á.,s~l) ¡ljq~á, Ol-~JMq..uida; pa,si. át...á.ecilfbr:rne, y r~J~j,~;o~ªlTI'e;;¡fe. Del :mhooer.. rnodb ,es -verosÍluil- .que estas vil:riªd!>m.J:s priHci"!>ümr¡Í: serijs.eus~bÍfts ántes que , ~e, efjec~hle:: la';{1\u.da,tlza .de estado. -L~uego 'es 'mJ!cesario detª~.i!Íiñ~r el ¡lfúmeJ:O ·CJfpor ' la Qbserv.acio-u.. en :@stas diver&:a-s cir¡¡;ú1nstimeia:sl¡Lffis:i;od:s 1'6;·l.iJ.Ílc¡tratal!lilos de !1ac~r,,~ y)o. q:u<? se: llarn<li lel q,alófliao fSfP'ecífoco (k los cl:!-er;PQS. 'J: ,{ ,',_~ J- 3,;" t -L. i·," 43q ',vSLeLcuerpc es S'61ido., se' toma: una masa conocida 111, se la eleva á una temperatura, c.Cln0.ci· , da t; y:. c1jlccándole ea·,él Ica:Jodmetro .,: s€ p'esa :.el mí· meFO' 1~~ de , Hbras, 'de hielottá ,cO qlle ha: f,u'udido ahn, friaJ~e hasta G~. Este~ núme.ro,,1siendG c0nocido:, se

-,.

,

n

tiene la ;ec,uaGio.n nict-ti.., de donde 0.-""'. '" ~ -

mt

> G_

Es decir, que dáclo el peso del hielo-j¡m,d-i,40 po~ el cuerpo, s~ di~iclirá por 'et producto de' su ~nc~.a ~ det -número J.e grados q-ue;efpresaba primitivamente su \


,

\

PI-RÓ:tOGIA.:

30'3

fefup"ef.aiura;Jy e'~ ei5Gíente' r~SLelí,eQMrico..especifieo aet, cu'erpo Rara la unídai( de .miis,a¡." ". ' ' • .,' ., h ,r ! Pa'ra- actara1'lestostón u:nL'eJ~mpl<D ,.::eleJlrernos un ' isperiméntl:!l -he.~ho pór 'M. M !li,awoi~iehy , na pd:aeeh ln'troau.jeroff., ~h, '¡d. ([¡¡;I9'rímetró _uªa¡ ~as'a de -bierw, bati.<;I.o, que p,esaba 7,¿0'7;QsI:!Hlrl;n:as:rt~~éa~;~:::~ cu ya telt!perat'tu'Fa. p.o~;m~di0 , ae"l,U~ baño de <a-gÍ!la' se' bl5ia e!1&-va&0 Já 7'8Pi<R~;aL Ií:wb'.0 :.de · É~h(i)ra~ -redada, tñ~sa seh'aibia1cmpriád@' has~a (¡)I?" 'Y' e~.aalbríUlle~r.o:.su·r _ . niifliÍstró , 1' ¡T! 979 fJlihr:aíS.r.~eahi~lo·, ~fu-nai.dQl · !A!s-Í>;::ef' ca1Ó'ric0'~ t:fspe't:ífi~~rcilellliJieÍ'lIo-; 6¡ttüao es:::. ~~J; :;';ob f>.:., 0J u,·d.s¡ ~í'697 ')5 .-u.', F. ~')7"!' v!:'" ,"J .:."1.l' "1;;';" -1\' C . ,(, ',. 9 ~6;bó'I.$41I87)' 5 ¡H:.0 _ j ~

7"7º~Q319X78 .'f,; tr;.~,:: , . . ·~'-i .

• :.;

C'j

.~. ;Este.' valpt :dé, Ó es eJ mismo~. Cu.ahll!l.i"era.!!'u,ó'se3c

la unidad de pe~o que ,seeli:J~3 Jp'6r4Jieilar:mismaail'¡:í-i dad se .halla en el numerador 'y ,denominador de la f:Fáé<.::ion. que)e \esp're~a~ . t:::~··: .?':. ' 43 I~ -,.::Pará,. -Goa0cer.,el ca¡qr.k,o ,:esptrcífico·,d.e los líq ujdós; seó16s ,.iRtr00du~e. ,tm . el .é'álorrmetro, eoio. cándólos en.Lvas0s cuy.o. ·e,!lfúaw,i:entp:li.a y.a·lsildb- ~ob;­ servado antét'¡ormtmte., .y €uy;o.calóricór'esp·ed:fk"o s.e ha ya dete.rmi-aaG.0 ·rarnbi-enli;I:itame~nos¡ qn lai I!na~a del vaso,... mI la del .lÍ€:lllido; e, e!:J(i)s:"cal6:ri'cos;'específicos d"e (lada,.. Ll'l'la '!Íe €6.taS. sustanGias.;. y en fin., .} la temperatura cO!.Dun.. á la cual s~e \l:leva'n. Si n es él mílnero de lib'ra.s¡ de 'file:IO. .fuJidi"chj r:q'.u:e ~su en{pamie~t¿ da, se·tenará 'q.u;,e COinO ~l1I¡Cti espresará el..lu-ier -19: fundido po,f;lw ma§;f d,el V([§(),,:.:y i nl:.cÓ I ,la, fund,ida 1~FeF líquido·,'.sérá' 1»et+ml ¡;l t '.:!::.n:; de donde .) .".

... '1:.... ,f~ f

l.t,' ~

ir} .

•! "J,. ..f) el ' 'I1-:-11, i'l~JI ~ ...~ "". 1-1'·ct.• , . . ~, . . . '" v ... t ......""'":1""./' .' o '11'l 1 ~ G 1 ~ ~ . . ,. 'Es decir, l:J.'ue~ dél'pe~o total' del hiel"O fundído p"or 'el ~odo, se quítái'á -la €antíd'ad qü~ el , vaso hubiera' :debído.fHndír pOI' /sí solo, y ~e f d~vi'dÍ1'á', la resta_por rel proauetio deta 'n""fa y de la iel1rperat'Ul'a del líquíJo'. De este modo se· ha el1(wn~rrado · q ue una libra de -agua líquida: el~vac;la á, la temJ:'feratura <te '60 0 R ó ,l. .........

¡,;

(,

j

,

...

J

_.

"'"


30~

~lRQL0 ('l.I,*or

\:.

,

1',2 ceñ,tesdmále.S ',OfwRdia .precis'a!j.1elil·te( tJl¡J,~Ji:~f:a1 d~

hielo al enfriarse hast~.. 0 o:.: ::s I-;;:;~.'¡ 'o.:.. ¡r. ~ ·!~~o ." !l. PUI c.Q ·?5fg~égte~ relr..calórico ttisp~ífigQ; @~ :uto deka;gua:, 'ta~.tan.~ !ª/. dJ.yiflisl:p ~~t>~:e~imal ,; ft61:.!Í.> if;!3:IJ',D 1..66666% ;!:JY!.!sb'SSb:ado-pt<t l~) (bVl~Jºl1l~~e..ru~§J.;{ l'\'!-aJ.}rs.,(!DiI'7\":::w,;¡¡¡i.·33~B.H.· I),,\ d.!ll::q ::.r_p c úJl,Í J,•.J :).~ ";Si5>se~di ;~ikd .P?l"!: ~C)..'0l ·c;le., e~t:iilf' ~)!il'lpr.es'i!oº§ Je.~lq.~) ll-IC(!)$lf.e.'; ~.e1!:1bieQ sr

a'¡¡'.s~tCl~f.d~)bt1:.st,~ ~u§t9;!l,e:1;ª§ ,s¡~ª,·f

lfwr.drn:¡¡-:'eIhlilrunb...9. ,€l.'}) (thQJJc¡¡¡Jj;i~§ema & ;. se Itend;tªr!l lbs',Qa¡l¡l:ri o&SfJ€fijle IÚfuici s~t.e.Iª,:.t:~í1~S i Qe\s.' I!~<;i:f ; .. 'g'¡i~J1b

dGS ·a l del agua. t4LüadoopG>rül\1~i.dI¡a~:il . JM~.!iélPa.sai ¡v.ol".) v~r 'de estos valores á' los resl l,t adqs )absolutos ,~ ~s neGlesra rio s~.pJ,T~~~¿!(}~á ..€llós..:~.t'dlúrice~specífi­ co del agua, Hé aGJ. uí ;álguri~:isY~suJtacd-Q'S ,de este géne-I?.tt.Wm-a 0!Sr¡pph:iM.J-YIr.!¡¡,La V0i .s.:ier~ y;j.Lp.p. l¡ie~, ?r#e. 'l'idcl.s :.á..l:ár;;dWi~p1 9qt~jttslknal. :i'Jp 0~:::.~ _ l. I , : 1;

a

f

:

~1 $1'.1 ,LS'Ú fl lu.n jI; '{ 1:0.~1:1!:1.L;r.ifi 1:) }~5 !.,' \ :..~i ::~ Ll. b " ..... SHstancias;' ~- ' . 'alo"':l e~pi.fíJj,ll~ ngJ01!f!1.Q.( 2')1 ' ~gl\l'llllbilltHlr;¡ . •w"'·' l~.•Y~''''''D ..j,oqooQ r,

'.r.. ;o.::·..

.o.1'd cfli€'rrG "liatiHQI. ' .. r. ;'.' t;••• ! •• ·..". ..¡. · .".lo}'~ Ip');lJÍJ r.. 1 =d . ~ ·aljariw ,siheplo.lJlit,o:;¡¿•• :.,•• ••.•••• ','. (.'j!,)!, . o,;I'9~90 ,}- ,;.~~ ~3 ·o~~ercurio .r ;..~\ r¿ .t~)."t ¡:'~• • ;~.p" . . ,-:v. tt· ·O,02 900 '?"!5e f '

•. ,; rOxide; rojo::d NEér~1ld-ü ....";.•. ,.J",r,!'G>., o'5cpH é<~~;1 - .'i·~~eite,·~d~:.cr.Iiv¡o~ .•. •.... .. .. !. " ,~¿~ .•I.-P,13096[ ., - ¡ . frlt.\~"•• ~.-..: ......_~ • • a-; ••• , .•~.-,.· • •~.J' · •• l-j.9, 20 8_S0<. ::' 7~"J .ti . ·:. AZll r~ ("~'

/~

f~~-·. ~ n.:,... ,¡z .. ..,

f

1"

!.I~:

~I

,,_

..... :"'-Ui!:;

.El..l1I{meró :·0,0~9/GJ.t¡e en ~stfl ' ra~l9- .coir.e5~ ponde al mercuric~ " ü}dica q,lle l¡rta~ l'f!a;;.a de rp.<~r,mli ¡rie .que se enfria ;un--,g.rado, ?ºaLldo!1,! ~unª, camt~\l,~ de calórico sufic¿.e.nl~.!Fara eJ~y'a;rlª,1o~ ,,~9.té\. ~~}JlJ><!f l'aUua de una masa ig ual de agua. -, ' Si se multiplican lo~ número,sA~::eJ,'t~.t~bla.. por .,¡s=!;~, que espresa: el C;alórico espcl:4fico absoluto \ deJ tg úa en gr-aCios eéntesima-¡e$:.; s~-{~nprán')a;{~can­ 'l:idildes pondera..bl~s de' hielOl que la ~,I?) dasl 4e, pe~Q de' esta~ sustáncIas pued~ fUP.4i.r .~n f!~aq~os r;' up g-ra¡ do ;de esta misma' ,div,ision; y estOs; serian :ept6Ilc~~ ~os' calóricos.. fspecÍácos absolllloS rde;. !.as sustanCias ...espresadas en la tabla • .Se .ve 'l:~e ', el' :Ju.ercurio .t.ieny

-<43'2.'

7


,

30$

PIllOLOGI,Á¡-

un calór.ico ,específico muy 'débi,I, pues para ' elevar la temperat1!ltra de este' metal es necesario SGlb de lo "1. ue exijiria una masa igual de agua en peso. , , , 433 Muchos físicos, y ,.particularmente Deluc y ; . CrClwj'ord." hañ tratado de d¡:terminar los calóricos especí~cos d\! otro modo. Tolnaban masas igulLles a y b de un· mismo líq uido; elev'adas á desiguales tem~ peraturas; y mezclándolas rápidamente' tom.aban por la temperatura definitiva del todo la: media aritmética entre las temperat~lras de las dos mas¡ls. En efecto, si se su ponen los calóricos específicos constantes en toda la ,escala termométrica ,. la can!idad total de €alórico conhmida e[\ la ' primera masa el á lª,' t"em pe~ , ,ratura t será (§ 428) mx+mct, llamando ~n su masa, y c el calÓ'ri~o específico de la sustancia. Del mislIiO modo la cantidad de calórico contenida en la segun... da masa á la temperatura t', será mx+mcl', y ,ia suIua será 2'mx+mc(t+t l). ' Pero si T es la temper4tura media de--la ~mezcla1 este resultado deQerá tambien ser igual á 2mx+2mcT, pues que la suma total de las 'masas será 2m. Luego ie deberá tener ,2T=t+t' , de d.onde T ~(t+tl). , Del mismo modo se podda efectuar la operacion con ma'sas desiguales, con tal que fuesen si€mpre de la misma naturaleza. Porql1<;..espresándolas · por m, mI, las cantidades de calórico ,que ,cOl1.tendrian, se1"Ían mx+.mct, m' x+m'ct l ; lo que daria .en la mezcla (m+m' )x+c(mt+l1/l); _' pero Ha'mando siempre T.1a ~emperatura COllll1n despues de la mezcla, este resultado se hallará tambien espresado por (m+ml)x+c(m+lIl)l'. Luego seria necesario ' q ue se tL1 vÍese - ' " mt+m1t' Gm+m')T mt+m 't', que da T ' .

_ l°

~l!

(

~

,

,

111-t-m'

fórmula que se convierte en la precedente si m=m";_ El GalorÍmecro puede tambien servir, pan deterI).)i,na~ las cantidade¡¡ d,c ca16ric:o desen.v'Ueltas po:r r¿o

'

T. Il.


\

30'6 PIROLOGU. ' . la combustion y lá réspiracion; pues no hay mas que quemar cuerpos Ó, hacer respirar animales en el calorímetro ¡ y medir las camidades del. hielo fundido. 434 Cuando los cuerpos pasan dd estado sólido al de líquido, absorven calórico; y al contrario, si , ,del estado de liquidez pasan al dé solidez, lé abandonaR ó desprenden. , _ Al pasa'r de líquidos á 'fiuid{)s tambien absorvetÍ calórico, y al contrario le abandonan ó desprenden cuando pasan de fluidos á líquidos. El calórico desprendido por una libra. de vapor aeuoso al conden~arse y tomar la forma líq uida, es ca paz de elevar 5,671 9S libras de agua líquida, desde la tempe, ratura q.d hielo fundente 'h asta la de la eb~licion, Ó es capaz de fundir 7,5626 ' libra:s de hiele á ,6°. El calórico específico del aire á 32,73096 pulga,das de presion es 0,2669, tornando ,por ,unidad el del agua;, el del hidrójeno 312936; el del ácido carbóni.: ce 0,22 [O; el del oxíjeno 0,2361; el del aZ0e 0,2754; el del óxido de aZQe ' 0,2 369; el del hidróje,110 percarDenado °,4207; el del óxido de carbono 0,2884; -, y el del vapor acuoso 0,8470' ' " Cada U!10 de estos resultados espresa la ~~eN a. cion de temperatura que una libra de cada gas produciria en una libra de .agua líquida (Hlfriándose un grado éentesimak Di vidiéndolQs por 75 9 ', se tendrá , eJ número de libras de hielo á q tie este mismo enfriamiento podria fundir; y dividiéndolos por 100, se tendrá el nLllnero de libras de agua líq dida que p0dria elevar de la tempe,ratura , del hielo fundente á la de la ebLllicion. El vapor acuoso es uno de los ajentes mas)poderosos de que hace uso ta M ecánica para producir el movimi ento e,n la,s máquinas; 'y el aparato que se ~mplea para ello, se 'l lama bomba de ,vapor. Todo su mecanismo está reducido á que la fuerza elásdca del vap or acu oso se desenvuelva por __el calórico,. y se precipite repentinamente por el en; friamÍt:nto. El efecto de las bombas de vapor se mIde comparánuole con el que pueden, produ~~r un I

O"


pi:R6t<1>diA¡

301·

élertó mimero de 'eaballos de u.na faerza. medra. La . bomba ·de vapor mas poderosa se e·t ee que es la que· hay en laJ minaS de Cornou~illes' , que produce el. mismo efecto que 1010 caballos, . L;y; ventajas, casi inc~eibies que el empleo de Ías . máq uinas de va por pf"OCU ra á las artes. y á todo género d.é hrdustriarj atrahen eada. dia/ mas la atéhcion 'pública .entre las nadones cÍvilizadas. Por ' todas partes j ~as ,artes conspiran para perfeccionar estot , eonq uista de la mayo.r fuerza de la naturaleza. Ella lieempiaza en ·los pro~edimiélltos tan di'vef"sos de ,la' i-l'ld\lStria, l¡¡' laccion pen0sa ' de los hombres; el (ra"'! bajo de los. animales "la potencia 1imitada é incierta cle las l'a glias cortientes, y los movimientos tan- v.a .. riables del ay re. E.s ta fuefza inmensa dd fúego, siempre presente ~y 's iempre nueya, agota incesantet:J:.lente las aguas ' en las minas profundas; d{vide; ~0m­ prime, trituta¡, d·a figuras regulares y variadas en pocos instantes á materias iJllfoJt!iI1~s 1 cOlÍlunica .á cada especie, de máquina tll mQ,virniento qu~ le cÓi1VÍe... nI!_ P; rfota los cañ(mes, ·fabrica hilos delg':ádosJ tejidos j. cuetdas, poleas, &c.; abre en el 'd'ía al comercio rutas inesperádas;, y del mas largÓ' cur~ 50 sobre los rios de l0S E~tados Unidos 1 hace comúnicar todas las' orillas de la Inglaterra; y que Sean vednos todos sus puertos; transporta los produGtos t1e laS artes mas . allá de los mates' temotos., ó en. lo interior del t€tritorio sobre .canales ó sobre éaminos de hief"fo. " . • 435 Una libú de carbon, segun las' espedmentos. de M.M. Lavoisier y Laplace, es capaz de pro..! G.uo[r un grado. de calor suficieqte pata convertir en vapol' acuoso cerca de 13 libras de' agua que Ja e·stuviese á la remperaq.Jra de la ebulidoh, pefó- 'C'<isi la~ mitad del calórico se pierde, ya ,ea calentar los euerpos qu e e's tá61 proximos á Jos ho bnilJós, y y.a la atmó 1ferá q ueJe ..Lodea; de rna:ne.r~ 't1:l'@por u~qgran número ae errsayo:s 1 hechos qGil 1~'S,nBáquíllas lTIas · sé perfectas ,y C~'¡'l las -bo.Dl'llUos l1!ejo¡;.... '~Qnstruidos, . ..


30&

1'~tR0r.OGIA.-

• ha encontrado que U1~a libre¡ de cm'boh dnnr;dera sr).. lo convierte en vapor. 6 0·7 libras de' agufI ; y q u'e una l'ibra del mejor 'carbon de piedra nunca produce mas d, 6. ELECTROLOGIA. ~

. .c .

l '

436 Electrologia es la ciencia gue trata del fluiao etéctrico. La palabFa electricidad proviene .de una palabra griega que significa ámbar ó sucino 7 porque, , en. esta ,resina se encontró primerameate la l;>ropiedad de que f-rotada p,r0ducia lo,s fenómenos eléctricos. La electricidad se ' escita; e~ los 'c uerpos por modificaciones que se les· .hac~ sufrir pasajeramente, y, s@n tamo mas singulares', cuanto sin añadir ,Q:i q uitar á sus. partí.culas ninguh prine.ipio que se pue-' da palpar, pesar, ni t<'lcar, desenvue~ven fuerzas muy ,Poderosa'S , cuya influencia mecánica: pl1ede despues pOljer en movimiento cuerpQs materiales. LOi principales medio.~ de ptodl'lcir 'la virtad eléctrica son el .rozarnie nto, el contacto y el. calor. Por: ejemplo: ~i . se toma una barra de lacre ó azufre, un tUbo de vidrio, ó un pedazo de, ámbar ó sucino, q lle' n0 hayan sido tocadas estas sustancias ,en· mucho tiempo, y se aproximan á algu'llas partículas de papel, paja Ú otros cuerpecillos lijeros, estos no sufrirán ninguna impresion; pero si ántes de hacer esta prueba se -frota _con suavidad' y ,;,iveza el tubo de vidrio, la ba.rra de lac re ó el pedazo ele ámbar, ,c on una tela de lana ó una pIel de gato · bien seca, y se aproxima despues á pequeños/cuerpos lijeros, 'se les ve á estos velar hácia dichas sustancias. Si despues me h'aberlos frotado " les a prox:imamos la mano, ó la; ca'fa, se percibe ,á cierta distaneia una sensacion igual á la que producirían telas de . araña; y si se tocan con el <dedo' ó- con qL1a bola de medd, se oye el cha,'iq nido J.de u.na chis pa que s.e, lanza , s-obre el QueJ:p<D que selJle presenta._Es.te efecto se hace mas sen si'bre, sustituyendo, a:l. turro, UJ?í,gtue'so. globo de vid.rio ló d,e resma >.o UillOiLlIHdltO ó -.ul'l 'pla'~i1lo .de vi::


,1

I

~LP:CTIlO:CO(;IA.

' 30!)

,tl!fi@ que se eS:trecha p0r c0jinetedijos, :y 'que' 's e h~­ ce jirar ci ' cuIa,r.ll1ente por med'io de u t~ manubrio: este aparato es lo que se llama , tl~áqttina eléctrica; las c'~ales se construyen en el día, de modo que sus ' efectos son bastantes intensos. . 437 T0clas las susrancias vÍtreas y resinosas. pro.ducelJ estos fenómenos en di,versos grados. Tambien se o~tienen con telas de 'sed~; pero .110 surten del t0do. su efecto eon, tos met ~les. Si ULla ba~ra metálica -s.e tiene en ULla mano, y se frota con la otra <;on una .piel de gato ó tela, de lana ', no da ninguna sefÍal de .eIeot~·icida d; pero, ~i la misma marra se fijac á' un túbo de vidrio ó de tesina bien seca, y se frota c@n la ;pi.el/de gato o COll uma tela de lana , 'Pero sin que le .tog u.e nada mas que el cuerpo con que se les frota, . -a~q uiere .todas las propiedades elé,ctricas. El mismo ,efec:to se e0litsig,ue si se_le sacude con un3J piel de -gato des pues de' suspendida de cordot1e~ de seda, ó .si 4>ara sujetar.la. se -env.uelve 'la mano cC?n algun0~ ·d,.obleces ae una tela de seaa; ¡pel1o en el. mornen,to -eliÍ lque ,se.tot[ ue á la b'l-rra eOI1 el dedm' ó con un ~e­ (daza cu~lquié,ra de me~al, piC;l1de 'enteramente su's .propiedades:'_. ' ~J1 '. , '. J -Si el metall no .adq uiria al principio .las propif;.. ·Q.ádes eléctnic3Js pbl' ,el rozamiento, no er'l- por I'l0 . recibirlas, sino porq~e no puede cQnserva,rlas; pues -que cuando las posee, se le gui,tan tocándole con el ~dedo ó con ouo pedazo de m~tal. ASÍ, c'uando l e -tomaba en la mano para frota tle , lá -electricidad g se dese'nvblvia en él, debia perdede al mismo ·tiempo. Pero se ha hecho seasible mando el metal se sus.perrde en el aire por apoyos de ' vidrio, de seda, () ldé resiaa; lue:go" esta es urra 'p~ueba de que estas -div.ersas sustancias resistian al paso de la dectrici,dad.; y en efecto, esta no se esparce rápidamente' de .un estremo á otro de ml.a ón\a.de-seda, de Hn tubo cG($' vidrio, ó d~ 'resina; porque cuando estos cuer,pos están electrizados por el razoÍlamicnto, si se les _../ ;toea en. tm paraje, se despoja ,sglo esta parte- de las

ue


($.I~? . .ELJ'!C:I':aOLOGIA: • . -pmpkdades eléctrica:s" J súbsistea,. al:ln ' en to¿'@ el ,resto'. Esta es la razon porque .s.e .pu:edelíl electrizar ,eStj)S cu~rpos por ell rOZami¡;;li'f0 ~ r, ~e¡;¡iéndo.lºs ea ,Jamano por uno de' sus estremos, 43a por esta cau sa i>e dividen 10s ~c~1.erpos de l~ .paruraü:za. en ~Qs _g¡;andes clases, segllJil< t"1;qnsmiten :6 HO trcmsl¡liten librement't! la el ~c·td~idad... A. los q 'líe la tránsl1'lílen 61e dan pasó, se res caracteriza .coa ·d.ílomhre de co f¡d¡.¡.ctores, ó idio?léc!tr:icos r, y á los .que .pe ' la transmiten, se les llama no annductores ó ·ane.,. dictri'cf)$ 6 cuerpos (Jislar¡te~, 1>0r.q ue sirv.en pan~ . ais: , .,lar <Í: los o~ro~ de toda ~Q[n~nicacíon <;.o n los _<;on:d~<;tor~s. ~ , El aire atmosfédco es de la. j::!ast) ,de los cuerplDs ,110 cor¡ductores; porque si él dié~e paso liIDre ¡í la electrici(iad, níngun,cLlerp\'l que estuviese sumerji,. , . do en él podria produ.cir feqÓ¡nf;ooS elé.~trieos durables :; .y se advierte que un tubo de 'veidrio ó de .resi¡'pa frºtad~ ;, conse rv,i.'sus ' pr(!)pÍ'ed>ades ' el~c~rrca,s ~iYr ~ucho tiempo:, alli!<iI.\le ~st~ rodeado dt aire. Al COlil- ' trafip, ~l agua: es un buen cqnductloL-;¡ p1!lf;S si se.moja .~on eSte líquido., Ó. solo eOflsu .vapo;r, . un tU~0 !"le vidrio ó de r esiná . electrizado por.¡,r,Ózaniiem:q, _pierd~ a.l i(1$tante toda:. su ' virpi.d~. óf.arnbien eLva por ,~<; uQso sqsp~ndido e:n el aire, ·altera las propiédá. ·~~s aislantes de este fluido. -' r , , No hay ningun<!i. relacio~¡ constante emre el esta.· .¡lo dí'; lO$ 'cuerpo$ "y 'Su facultad conductri~. Entre J9S <; uerpos sólido~, los metales I1r4n$mit~n perfecta>Jnent~.la electricidad; pero las gOIT!<¡'s y las resimrs i>eC'!S no la transa¡it~n. ·Casi todosJos líq'lJidos son pueqo$ conducto res, y sin embarg0 ~l aceite es", up. conductGr !DLly ia¡ perfecto. La . cera fha y 'eL .sebe conducel1 !Da.l la electrid~ad, y-de.rretid.a s Ja COl'1Qlll, c~n bien. ~a facultad conductri-y ge observa ,en .lós ¡!Sta9\.91; mas opuestos"por .ejerlil pro_, "eo la !-lama del ;t!c0..p! y ~n el hit,!lo.La tempor.a.mra d~ los Cuerp.0~ . par~ce no tener pillgUlla intluerncia s€J1sibJe s.obre ¡'as chi~pas eléctricas que emanan de _eJlos ~ Las qUe se


ELECTnonO~IA.

Srt

sacan del hielo 'no son frias" y las que salen de un ( hierro· emojecido al· fuego, no parece por esto que queman mas. El aire y los gases secos, ademas de la pro pie. dad aislante que poseen, parece que tienen la facultad de retener la el,ectricidad en la superficie de los · cuerpos por su fuerz!l de presiono Los.cuer,pos se elecnizan también' por comunic~­ cíon, poniéndolos en contacto cQ!l lQ§.. electrizados. Se deber,¡ cJ.:istinguir dos géner{)s de e eá rici ades:' la una análoga á la que desenvuelve 'el ",idrio frotado por una tela de lana , ~y que se llama electri'cidad vítrea; y la otra semejante á .la' que ofrece la resina iguahn~nte frotada c'@1f una :tela ,de lana', la cual se llama electricidad resi;nosa; y se observa e0ns~ taritemente, que los cu~pos cargados de e[fe~tricidad de la misma n,aturaleza, se. rechazan mutuame1lte ';" y los que están cargados de electricidad de naturaleza ./" difereñte, se atraen.

, . Compa:rando ' este .resultado c(:m lo, espaesto (§§ 385 Y 4[3), tenemos 'a quí un hecho gene.fal q~ comprende al mismo tiempo la tendencia á la comb'inacíon de las moléculas, 'y á su separacio,n @,. dilata.! cíon: pOf lo cual, pareee q.l1e la electricida'{l es la fuente 'comun de las afinidades y del calór~co , vinien-

do á ser ' de este modo la espre~ion ma:s ge'I:1eral d.e estos hechos, que en virtud 'de lo que acabamQs, de esponer, pueden cons'idera'r~e. como proC"eden~es de 'u na causa úBiea. l ' ~ ',' 439 La naturaleza de la electricidad des~nvuelta , por el rozamiento de un gran número ' de susta.J.1cias, n0 tieRe nada ele absoluto, y depende tan!o de~Fa es- ' pecre del, eue,rpo frotan'té como de la del. fl1ótadoi Por ejemplo, el vidrio.pulid®, frotado con una telli de lana, Joma la electriddadvhrea; y fr®tado con . una p~el de gato adquiere l'a eléctricidad resi¡;¡<ilsa1 La seda frotada con la resina toma 'la electricidad resinosa; y frotada con e1 -yidr-io pulimentado, toma. la electricidaa vítrea;..· ._


i'! 11:'UEC'!I.'ROLOGIA. r JJ ~iúo -miSflio sucede á otras susta!'lci~~, : :n'ofándose

que' n0 hay ninguna re1acion apa,reótte enllre la na~. turaleza Ó li constitucion dé las susta~1cias, y la es,pecie de electricidad q,u'e .d esenvudven, siendo fro" tadas las unas con las otras; la única ley general quo e.ba encontrado en esto..s fenómenos, es que el cuer~ po frotai'lte y el frotado Cldquierew'siempre dectricida· d.~s · dj'(Jersas ·, ttl tma resi~!osa y .ta otra- vítrea . . JE;t f<!lZamiento ~e los líquidos y de lbs fluidos contra 1,os cuer;pos sóy¿os desenvuelve tambien la electricidad. El rozatniento no es el único modo de \. d'l!s errv 0'1ver la electricida"d, a unq ue sea ·~l , mas comun·.' Se desenvuelve ?l calentar lo's cue(pos, y al Üln~jJiSe y 'al combinallse)as unas sustan~jas con las otras,. : .. "¿ .... . ~1J..i: ... Las fuerzas eléctricas sigueJl, C01JlO la atracGion eelr:st.e., la razon inve rsa Q,f; los cuadrados de las dii.. t1inCÍas. 440 Hay instrumentos \lar cuyo medio se 'miden ~B.S °rnas", peq ueñas cantidades ,de eleQtriCidad, y se llaman . etectl-óscopos; consis·ten en spspe~1d,e[' de Ílg , hilo de seda, tal cor~.o sa le de·l ca puJleJ;, €l<t}..l11aS cuatro pulgtada-s de largo, una aguja de u,n'tpe(fueñó hilQ ele gonla laca, de lac¡¡e @, de' cris~al " de unas doce ó cátbn;€ )í'oe¡¡s de largo, terminada en,'l:llI1Q'de 'sus ~stremos TIo!' un pequ efio CÍrculo de b~j!liela':.de oro pIde pla~a' ; si· este af>arato p'e electriza y se aproxima :á .ou;.Q:s cuerpos, st Le:v~ oscilar; y. por la- . l1a~ turaleza de estas 'oscilaciones se viel1e en ¡;oilocünien" to ,de ·l-?s· ~antidad'es de~ eJeCj:rJcidad. , ".1 ,,..' . En ' la .naturakza 110 existe 'probablcmeat~:l sus~ tancia p-erfectameme aisla,nJe, ponque 'pe ' i¡e_gonoee ningu'il<l. que p.o propague al ,me!'\,€ls so!»re Stlr SH p€l1-: pci~, 11!"ª fuerte elect,riéidacl:?~ el vidrio{{ el (Iqérey ,lít mi§mJll)goma laca l~ rtans'tl1Íten de ~.sta ·ma¡neira, difr¡::J,lw.eflte <\ la verdad, pe:ro~ de un moqQ ser¡¡sible. 'r '.. ,L~s pr,incipios de I!lB dos electricidades existen naturall}lep te el1Jodos los cuellpos co¡;¡duetores eñ ua. estado de combinaci,on <¡ ue los neutraUz~; .'1- ~f;.S.~O es f ••


313 estado r¡atural !le l'os eu~rpos ;' ".1 !~. q u~ se acumula en_,~¡gun cuerpo~ preyiene de la' tierra; por lo que ,se tUce que el 'globo terrestre es et agpfJsi!o comun de leÍ electricidad. , . Ha.y ' otras éJases de el g,c.1J'}·ps copos , que . gualmell~ te~ tO}i0S están f undaaQs em "el prineipio general de la repulsion que se eje:Fc.e4~enJre cue.rpp§ ca.rgadoll' tl$l eJ~ctridct¡ldes iguales; y. su sens~~ili.dad depende ~e' Ja , ic~ IHil.Ídad y llblilr-tad de, los cuerpos q!J.H~ se' em'" F.le'an, .:para mani.fes,tal', esta repúJsion.. .:'. ' , .' Lo.s etectróscopos se ~aqºterizaqa~ ántes con et n9U)ºr,~ ,:de electrómetros; pero .esta, denomiHacio.n es i,m,propia, porque quier~~dS!ci r ¡n'ediclq r1~ dectricid:ad, y la palabra medida se debe reservarop.a¡;a los instrum.erttos cuyas 'divisipnes mi~en inm e dLatament~ 1.0s~.efectos-· á que se_a pliearl,Jls decir, l1,ªe sen pro· ,/ p:oreio~na¡es á estos ef¡;cto$'.; y esta. pl:o-por'ci0.l'lallidad -e.&tá ~i'el'l léjos de 'exi~ljt, los elec:tréscepos. · . , ' ¡ 441:,' 'pe todas las. ch:~u'p.staneias..Siue se verifican ~n los f~:nómenos ' eIéétr.ic(')s;; s~ puede cQnc1uk con s.l:Jfióeute¡ fundamen,to. ~qkl1Lcuando se,f,rotan juntas l;a~ €u'p~fficiesr de dos c1.ferpos ,ó)·CzfJ.1.l-,ella cUyCl'S ,paf:.tjq,tll.~s i,ntcgrq'n~e:s . ~e separan mef(os,Zas un~~ dg las o;r.as;'y ha~ell e.s~Ii.fXiQnes menoreS rat req,edor de s.u.s p.QJi:G:io.nes nati!rafts qerer,¡uil-ibrio , pqrece ' y!! están .,1 litlj- di..s.pJl.estas áto111ar; {a electl'icidad lPíwe;q,,; y .esta-Jte.~clencia au.,. t!]eqta, si ~la superficie suJf_e ,una , co l!ll3 r"e~iélfl pasa." j,clfa... ·:E!ecí procatI1$!~te, flquella ' de las .dos s~peJ:ficies, .c,uYf~ p Cl1: t!cultís se ~7uillp:(t: l.1JCJ§. separ.ad(ls~,; es,tá ma~ .qiSPttes,t a .á,,M1nar~ lq ejectf:Ü:idq4:. ,resi:1Jo-sa. Es;til. ten~nS:j:a. '.é!-./J.!:Q.t;.nta si l~ §lt~~rfisie sufl1e Jlflª, yerdadera dilatacion. ' .. ,.\._ ~ , G ., ¡;,(. ) •.¡.' / M:ié4ttas rnars fue.rte~·{) ~s!a op0sic;:~on .de1QÍrc.uris • .tJ!frci.a's.,r mas ené,r jic9 ~s ~lc:~e.sa"rrof.lo de ,~ : tlec tri­ c!d~d;~.9bre las dos spp~rJicie~.· Se,'de@ilita; áJn¡¡~di.da. . t¡ue sU"es rado.viene á §.er- ~as ~sernejanJe .. UQ<UguaI,4ail:.pet-fecta, si puclit-se ~existir, le .hafia ,nulQ..l . J!!ª" ge..n~l1.a.l; ~uq.J1ªo.·l1'po <le los cuerpQs ,f.t:..óta'd0s 1;:r:,~eTn\,>LO&IA.

lo

ql:lé -Uaml\1n.0$ 'tlt

en

/

7~~

¡'tli':M!l@ ~~JmJi&i:3L))


314

!l!:LECTROLOGIA: ( @. vejetale~, .tate~md

es un teji'd o' -de fibras animales

,una cintá de seda, una tela de lana? un peaazo dé papel seco; el mejor cuerpo C01'1 que se debe fpotar, debe ser aq Llel sobre el cua,l estos tejidos solo pl!.e'den producir una compresion g;eneral y pasagera. T.ambien enseña' la espe'rieÍlcia que 'en este caso na· da es preferible- á una. piel con su pelo. ' : :.., PerG cuk'l1do las sustañclas ' animales 6 vejetale~ que se fr(i)tan, se dilatan ambas ' con el rozamiento, la especie de electricidad que toma' cada una de -ellá~ aepende de Ió que, 'se prolo'l1guehJnas Ó menos sus poros, )' ie'ntónces las mas ligeras modificaGioñés en él estado de la · una ó de -la otra pued'e n detenñil'laJ.' resultados opuestos. ' , o'. ' ~' 442 -, Se d,a';el nombre de cofidens'ado.· á un a1"arat0, por medio del cual se- puede l!eunir' 'ú Ba gran cauticraclde. electricidad / 'y está te'p resehtado ed fá (fig. IlI)j- 'Se' collfpoae cli~ dos ; platillos A iJ B , 'de materias q ue ~¡,eán !:luenos 'coqduGtQres, y '«¡¡ ue están cubiertos por los "parajes"po'r dobae se han ,de poner en conta¡;to, cOl1 una simple capa de barniz res.inosó aplicada separadamente sobre cada pla.rillo. El pie sólido <de B es de metal;,' y' se ada pta sobre la su~ perf<ici-€ su perr@l' de A 'un man'go aislante M ¡tl'é vidrio barniz·ad,(,),. Cuandp se" quiel'e hacer" uSo de él, se poileli. io'suptat~llos telt'lar,H" encima <fel citro; se toca al inférior;J4;3 para ,hace-t:le ~omunicar con e-l: suélo; d:espues {se ' toca!ll los~ cu~rpos ' eléct¡;i~ados con el botol'l 'a ~ de unf,hi.lo metálico,. uúidü fijame!lJ..té: al phi-tillo, sU~r,i'O,r A: que se 'llarn~et p!atill0 aote6tor ~ por: q Uf!¡ en efecto é1- es e-I :qli~7t(!)Jñá. la eleátrkidad -dedos cuetpos á que se aplica. . ' . ",.,.r i

- ' Despues '&eh:Gírftá'iHo se "porte el"p'ié d'ehúmderr. sador¡ sobre :ufia tabla -sóJida=;' y,- conservándol'e fijam¿nte ·u~iQiQ.;í ella, se c~úi'ta el platilfo colector

y se

prue.,ba ·1:1. electrieidaa. :-de iq'll8Se ha , eargad'0. ,,»' 'J Los aparatos que $irven 'papa to'mar la électriciJ. tlad deJuh cuerpo y llevarla á (¡¡'tia; se -HaQ:)1tJ.il elec· I

I


J1LUCTltOLOGIN.

"3 t S

1róforos. El eondensado'f y el electróforo están t:un-

,dados sob>re la aeci<;m ~léctrlca ejelJcirAa ¡Í¡ ciena dis~ ,ta!lcia:. ' ! . 443 Uno de los medios mas pode'rosos de acu;o muJaJ¡ la, electricidad' es.l'a bote}.l.a ,ae_Leiden .. ,q Ué ,ha tpm.adQ e.ste nombre de la Giudad ·en q ue\ Musquem-, P'l1oeck" observó por pi:imer:a vez sus pro!~ieCiades .• , \'~l :Consiste en una botella (dra-sc:o 'ae:-vidrio, ,á c:"u,. .'fio eSJeriór se adapta UIJa! cubi@na delgada' ,de meta}¡, :y duy.o, iated'0 f 'está: lleno d~ obejas ' metálicas, bien s,ea adaptadas, á la IrrismaJ botel~a, ~) s'irnp1ernente 'ni,. .seminadas.. Una: vara "uret·álita que ¡1:ermioa por fu.era ~ . un boton, pasa Po¡; "el ta pOl~ de la botella y sir;'lC para llevar la' electricicilaJd á ·lo interior. J l.. J1'1 ; ;:;::: Bitaúdo se qu,iere' <fcumula.a.- ,rn~lcl;¡a electricidad, :se (oernan botld'las 1 de ,Leiden C,9n"granCles jarr-os de _ vídrio, que se rev:iste.n de hojas Jñe-rálieas sobre-s:us :d:.ós s;\>l'Perfici@s ;::y!Se ha.c ea .comunicar !t0'pas las. \1a·ras de' estas rnisinas~,bo"tellas con Ulil mismo·'conduc'lfor rn~táliq) " jp>Gt medio del cual s.e 'consig¡u.e ~. des. ~a~g'a ~,j[;nultánéa1 {.esJe rapar:rto llama b~pef'ía el~c!' ,trzoa . .r -' G ~ :ü!í''Sh :; nt ~:-v -)!'" ,..,~" ,d¡; ille~de 'que\~e ' d.es'c.lÍbrió lá ~bo~a' d.1i! Leid'en (y !acs baterías eJéotri:us·, los . efec~os de. la~ electric.idad. .amumrladi p~~ estos 'aparatos, .hallaron tan se'1n(Jj~ot;es á los .¿{eJJl'a~o~,~ ql!€ se:':sospéchó',esia arra.. .!lbg&iu .FranHin1jue lel "primero "lúeTbae.i€ndo rec0;. ,mcirlirel p,odei: de',~asc.pu;nta.:; 'rnetáHca'S"Ea~a descar:-. gar los cuerpos ¿lectr~zados, concibió la p.osibilid!ad -déiell1.plea! éste:'IÍlé'dio pava illa:éer s:ensilb>les los efec·t@s' dé lae eleetnieídaq anmbsférica, y, preservarse d~ . , -sus esplosionés.;, dé "cd6nd!e ha i v,¡::ni~á, H, uso de ros -pdrar.ayo'S, 'qU'e·:consist€n. en .Jlna. ó. :rna'S(;~al'as rnetá-: .j.i~as,,. que s€:'pioFlelli'a11ado de los, edifiCios, profundIzando bastantti-en el terreno y "terrninando en pun::-t'lrs ;Cestl\, barra. debe subir l;¡asta lnas ' arrib>a de! edi. ·ficio i y su ' efec.to se '.x~duce á que c.uando ~na nube ·e:vrga:da de' electricid-ad pasa , porenC'ima', la punta. ·de. la ~barra- metálica~ sirve pata, descargar la n'u'be

,sr

i ....

r'Ot'

1"

se.


~16

rmL~C'l"~(')¡;O(n.A:. ( ,

.

·de electricidad ', y,la cond~ce al ,dep6sito' eomun, que ,es la ti'erra. Para, que esten ,biefl construil1es los par árayos se n~cesitan dos circunstancias indispensa ·bles, La primera es, que esté bíe·» eS1iabie'ci.dMla, co'munic"cion c:on el suebo y ~11't're las 3ivers'as barr'as me! tálicas de que 'S~ comp , one el ,apárato. Sin esta, Im~cau' cion seria' inútil, ,)' aun perjud'ioiaJ."La segund'a c(ijn~ -dieion es, qlre "las barras metáli'C(ls"q'ue ~irven de Mnductol-es, !la tengan menos de u¿1,a puiga'da. d'e, diá; metro; porq ue st ,t);lviesen.méoos, poárian ser . fun; didas ó volatilizada:s, como ,lost hÍllos ".metálicos $'0metidos á la des{:arga que ·sale !d:e las háterías éléC'tdoas 9 y' entónces no ' hallando paso abierto la ' elec' . - tricidad restante, se c5capa'fia, cou,esplosion.\' l ' .' La puu~a.rde Jos "pararay.os' dehe 'ser de ~latina; :p6r'q ue es el metal que estando. puro' 'se funde y se ;oxida con mas..dificultad. .. I ;;:.¡ l . ..: T , ; - p', p.ara"que la:comunicaclon' c.OIl :e¡ 5uelo ~sté bién ~snablecida ,, ~ es necesaFio ttue losr, mismos ·'contd\!lcto. '·res: se;in.t'l'ciduzca:n:·lin la tier¡(a: hastá 'IiII:¡e encuentren humedad; por lQ q,1l€ será l'I1 u.y..bueim,:.e l q \!l,e v.ayan á parar a algua deposi,to '¡fe agua,; pero en' tmd0S loS"éasos :6 -neeesairio q.u~ '.esJla.:,üóh;:lOgació.n sub· .re1Ú:á.nea ,se-separe;dd edificio{q,ue7se_quiere libtlrtarl. '.,.e',! Pmr .meaio:.a la , €lle~ui~i,&~cl se EXueden';vQ!1\1ilJi!i, ,z,aTIi les' meéaler, ';;came, , sucf'd~: cof)r el. drG, r' e~, el día, es ullo·'de 10.s. · ~ymes m;as porlh.GSDs: qúe U6a la ~uimica., ;:;pa,Ta- -la QQmpos·ieipl1¡"ijot,ecwm posicioLL de los. cuerpos. . l ' " . ! r.J:",,· ¡;. , ~ "';~'~44r El! c!l'esru:rGllo iie la ,electncidad p'Or .~l sial· pIe conticto í offece el contlias.t e 'd'e ' un gran desc\t· bTitnientO'.&bi!il:o!á -la 'casualidad ', 'YI 'crel un de,scubri1 miento mayorraufl , " obteni~o directann.e,Ne -y condui. ciao á su úlú'mo, término de pe.u-fe,cci<¡Jfloé'por JQs es[i'eriEDentos .e :im:esdgaciones ~'nas ri:gorosas. ~:.' iil ,.,Las primeras ' oIDsen:ac:iones exactas de-este' gé. geliU se .tJiciel'Ou en 1\789' Galva1li, p,rofesor de, Fí,~ si'ca en Bcfl(illlia, hacia invesdgácioaes .sobre la eSCl' tallujJjdad de los ó.rganos m.usc,u lares por la ele'~tri. r',


EI.EC'I'ROLOG1A¡

3117

'em.pleaba en estas pruebas ,fanas' muertas y 'des011adas, en que habia descubierto los nervios lumbares como representa 'la (fig. 112.) Pa.ra poderlas ma'nejar fácilmente., habia pasado, en la porcion '~estante E de la columna dorsal un hilo de cobre enc0rvado. Por una casualídad susp~Fldió 'u'a día mU-, \ ' chas ranas muertas por estos ganchos de cobre á un );'alcon de hierro; al.inst~nte sus pies y sus pie'r nas, que ,se ap0yaban tarubien en parte sobre es'te hi'erro)1 entral'on en con vulsion espontánea, :J ".el fenómeno.t o$C repitió, tantas veces com'o se reilercf> el €ontacto. > Galvani percibió toda la impbrtancía de este fenó-' meao; y Votta hizo despues muchas apUcacione& \ útiles. . , 445 Se puede hacer con mucha facilidad U\1 es- , perimento, que es muy prQ?io para manifestar la., influencia del contacto de los metales heterojéneos wbre los órganos animales. Se toman dos piezas de metales difer~nt~s (lo mejor es. que el :uno sea plata. ó ,cobre, y el otro zinc,; SI! pone una de estas ',pie.: zas, encima de la léngu'a, ,y la otra debajo, de modo que s'obresalgan un pOGO hácia a-delante. Miéntras. <J.ue estas piezas no se tüquen, no se recibe ningunlt: ' ~eflsaci.on particular; pero cuando. se pünen en cün:!' tacto., se escita un .sabür de tüdü punto análügo al del sulfate d~ hierro. ó caparrüsa. POliliendü en cüntactü düs me'tales, pür ejemplo. ~l únc y el cobre, encima de estüs ).I'n 'cu.e rpü cünductor cümü el agua salada, y despues lGS mis,mos, g:¡etales, y asi s ucesi~amcnte, se tiene la, pila que ,se sueleJlamar galvánica ó voltáiciJ , que es uno de lüs. medi,üs mas admirables, y de que se qace ~ln usó muy c0ntinuü é importante en la Fisica, ,en la Química y en la Medicina. El mejür medió de fürmar , esta pila es süldar aüS pla'Flc];¡as ciJcul~al'(~s, la una de zinc y la ót.a de cübre; se pünen siemp'.e de maner:a que un mismo. metal caiga debajo, y entre ca~a .pi.eza se ,cüloca Il!n pedazo. de paño. ó bayeta müJatloen agua salada 1 y pJi)J7 e$} e medio se hac~!! Unas ~idad;


3'I'S-

.

ELE.CTRÓLOGfA,

desdrgas eléctricas tan considerables como el 'de ra"s> mas fuertes ,baterías elécuieas¡ El primer fenóm¡¡mo ' .q uímíco que se efectuó en 'la pila, fue el de la descomposicion del agua, y despues se hah ·descom~. puesto muchos cuerpos <1ue ántes se c.onsideraball' (¡ó,mo simples. La mayor batería y ,la ~as fuerte que' se conoce; es la que se Nalla (,!n la Escuela P,oli~ técniea de París; contiene 600' par\!s ,de plaeas de . unas 1 S pulgadas cuad'r adas; está batería, y. er,¡ ge., neral todas las que tienengr,andes superficies ~ no . estií.íl construidas en pi.la, sino puestas vetticalmen, te y pata,lelas unas á otras en cajas herizontales de madera, Cuvo, interior esta cubierto con un unto aislaaor. Las "pilas compuestas de placas anchas, son capaces de producir cantÍdades de electricidad 'ba~ tatue cons id~ rables para inflamar muchas pulgadas de ' alambre, como, lo han conseguido H achette, j Thenard.

Termina.rémo$ este punto ' indicando un d.escubrimiento iinponante que acaba de hacer Sir- HI!HU" phry Da,vy. El aguª,- del ,mar ejerce una accion cor" l10siva sobre las planchas de cobre con que se foi:.> ran ' los büq ues; y el ilustFe presidente de la Socie. dad Real de :r.ónclres, ha deducido ,teóricamente Uf} medio muy simple de prevenir este efecto. Se redu. ce~ poner en contacto con una hoja dI!' ~,obre de gl'an superficie un fragmento muy pequeño de ,'Zinc ó'de hier-

ro. Este comact.o muda el estado eléctrico del c0brejl y 'pgr eSto hace césar la accion múrua de esta sus· tancia y ,dél agua del mar. Esperimentos reiterados y observaciones hecbas en un viage fd\! lárg'o , cursQ han cOljlfirmadGJ , hast~ ahGJr¡l esta feliÍl a plicacion. I

MAGÑETOLOGIA. ' 446 Casi todos los ,minerales ,d e hier(ó ~ en que este metal se halla -poco oxidado, poseen la-Siflgllh~ propiedad ~e a(r,áer 'el hierr o por Una fuerza ,invisr- \ ble, l\IIuchas veces esta atraccion es . tan débH, . qfle es necesario emplear l?foceaimlentoi muy' defícaélos.


MAGNE:!'-'0L0GIA.¡ 3'1-9 para descubrirla; pero en algunas oca&iones es tan enérjica, que eleva pesos, considerables. Egtónces el mineral toma 'el nombre de iman, y el de' magnetis, mo los'fenólnenos de atraccioLÍ que produce, llamán .. dose fluido magnético la ca:usa ó potencia 'q ue produce estos efectos, y Magneto&ogia la: ciencia que, trat}. de indagar sus' pfopiedades., , Si se pása un ' iman p~ 'encima de lima'd uras de lJierro, y despues se le retira, se advierte que ao se fijan igualme-nte á tpclos los punt~s de su sl!lperficie" sino q tie se aumentan principalmente en dos partes opuestas N, S (fig. 1.13), en q~e se mantienen lai' limaduras eri~adas. " Estos parajes se llaman los polos del iman; y ca.. da polo, presentado á cierta 'distahcia á 'las limaduras de hierro, las atrae. Si se suspende horizontalmente ' una pequeña aguja de hierro ó de acero á un hilo. de ' lino, de seda ó de cualquie¡ otra materia flexible, de m0do que tenga plena libertad en sus movimien...' tos, ea da polo del íman la atrae· dé! mism0 modo ~ y , 'podria hacerla oscilar ,,ªl rededor de ~u ceatro. Aunq ui: los fenómenos tpagnéticos tienen cierta analogía cen los eléct'r icos, no se' puecre suponer' que, proceden de' la mrsma causa; pues el magnet~smo se ejerce indiferentemente á' tra, ves de las sustancias con~ ductoras ' ó no cond!1ctoras de 'la electricidad, y el aislamiento no, es ,necesario en ¡;nal'lera alguna. 447 Sí la superfiCie polar A de un iman se pone sucesivamente en c0ntacto con las superficies A' y , B' de otro iman, se halla que atrfle á la uóa de ellas; ,j, E' por, ejemplo ; y rechaza á ¡a A'. RecípF.ocamente" , la superficie .polar B del primer tman atrae á Al yrechaza á iR I • Lo cual nos manifiesta Ciue hay dos especies de 11}agnetismo, así como hay ',dos especies de , electricidades, y caa" uno de ellos ,domina en uno de , los polos det' imano Se. h3. ,observ:ado qU,e frotando el áierro á un iman· adquiere la misma propiedad; y de este modo le ¡pagnetiz.an las agujas de acero, que ~e suspenden


3'2"0'

MACNE1'OL@CIA.

luego sobre los ,estilw!s, yse ll~ma n agujas mag'l',li.' tica;, q u~ tanta utilidad producen para la na vega(úon, por 'la im p,órtante p{opiedad que tienen de. permane,c er en un mismo 'plano, y de volver á él <despues de' algunas oscilaciones cuando se sepa,r an de él; este plan0 se llama meridial10 magnético; y >el ' ángulo que forma con el meridiano terrestre s~ llama. declirwcion de la aguja. En el año de ¡ 804 de!etminé la declinaciOfl de la a:guj'a en Madrid, y lrallé qué era de 21" y 3'0' al oeste. Cuando se. presenta uno d.e los pólos de un iman Q. una aguja imantada, suspendida p€lr su centro Y' eq ui1ibrada de manera q!!le perl11ane~ca hori~ontal~ los dos' polos del iman obran á un mismo tiempo sobre la aguja;' pero la acCÍOll del. polo mas veéino es ,siempre ,la mayor. La aguja vuelve hácia ' el iman' aq uel polo que es, traido, y aleja. de él aq ud q Uf} , es rechazado. Despues que ella ha tomado la poú~ Gion de equiIi!:lrio, si se separa algun tanto, vuelve á él por una scri-: de oscilacÍolles, de'! mis!D@ modo que un péndulo separado de la vertical vuelve á, ella.. por su' pesantez. El globo terrestre' obra sobre las agujas imantadas, como 10 haria ua verdadero iman ~ sea q u~ deba esta facultad , á la 'Lllultitüd de minas de hierro que encierra, sea que la tenga de alguna. otra causa toda VIa mas general y desconocida. De' todos modos esfo 'nos suministra \,¡na c:scelente denQ= rninacion para, distinguir las dos clases de magnetis- , rno, llamando boreal al que ddmina en la parte bo:r.eal del globo, y ctl,{-strat al que domina en el hemisferio austral; eptó¡;¡ces pai'á conservar la analogía de las atracciones'y repulsiones, es necesari9 cousi~erar el estrell1u de las barras que se dirije ál rl)CiF~ te ' como el paJo austral, y el que se dirige hácia elmediodia, co'mo ,'su polo boreal. 448 En una aguja imantada, cuyo centro de gta~ vedad e¡;lá sostenido por un eS,tilete , se ad viene q \le no permanec'e ~,q direccion horizontal, sino q úe el ~ 5 tremo que posee el magnetismo ~ustral" g. ue es el

-',


3=Z't;.

M:Al'G\NIlII'OLOGiI'A::

ql1ll:é~se l dimije.Jl.hU19r.: e;,~:se rnoljna<./ hácia:

d ' hori~ont'e,

ah llleaos _en;'[J;LIestrrQs·, clim<l!S:, Jj deSlpues de algunas > osólaoi:olles '&e.'o etiene; formamio_c0IL'la vercicat 'mm ~iel1t:@l. áng!UUl determililador Este ~mlguld se llalna la' iildina'cÍon! 4nagnétic·a. . ¿

"~! i

!

. ¡¡() !J 1iIaJjJl\!lIl~'!l JZOl1a ' cerea déhljcuador, donde la aguja i.1Da:~1~4a. ,p.ermá:nece florizontal; ,al sur ae esta zona la águja: -ihclinafu.:ípia la superficie , ~edestre el estreaw q ue,poee"er-e.!a lilagnetisrnlO hór.ea:!., .19 I!J. ue'/ indica. dos suertes de fuerzas, las un'as .a'Clsnra1és y· las otras~er~altls:, dirijidas ,'de una~y ~0'tr:a ! parte de1- ectl'a dor terrestre. ;;: ,C1 D ¡¡ .. ~ " e" -[ , Para , ,miarur ~xa'{)tameni-e la inc'linadon milgnéti-' ca., se ,eo1.~oaLel.;f!je de s~us:pension de ~la, aguja en- eh eenÚ'.o , d:e:!lln 'f~ifcl.üO vertical, cuyo limbo dividid'O tlLl! grados' ¡da, á con0ce,r la- inclinaaioll ' de la aguja eri,d 'paf'aie dom±e,s-e obser.v..a ; ';Y e'ste<1p'arato se 'Ha" rna ,brújuJa,de.'mdi nacion y está -repl'esemadan en la ,

@ig . .JlJ~4)!: '

0 ..

Ji·

!

"

'

' l

.

Se h~ creido porr,:gm'ch0 tiempo qu.e S'0];9 el }:¡iefl'o ~ Y? el-o aCerOi( e'ra-n li!s . sustan.c ias q'u,e podia a~hpiirir el mil!g;netismo;' 'pero en estos últilI.!oS 'tiem pos ~e. ha re~S)lTdúdo, qú e el Fliq.ud ~ el cobalto tie." nen la mislJÍ.a:< p'r.op~édad'. '1 :C~!. _ ! .• eua11do . '~nac lámifla har adquirido. en .cada: uno - de ;sus , pl!l'm0s .la-mayo¡; ',éantidach libre de 'magne;: tismo ;q ue , p.ue~e a:!d:mitir l)J Se' dice' que' ,está:. iman•• '... ', • • faJa ~a saturacwn. , '1 "'l . '.~ El mod0}rnas 'si!;aple de .comuNicar el magn~tisG.lo cOl'lsiste ·en ' aproX'irnar. ·el estrem0.Q (fig: .1'l s-).·aé una ba.rra de acer,d> ó "1,e hierroiLd'u-r0 'á~ cua.lqui..e,r ldi:;;l' t¡¡¡ncia ,@ aun ,.fuas,~aHe1 ,co:nt~~toL; 'a.l p010 A ,austra.I ó boreal de un imaa AB. 'Emopces.Jos, magnetisin0s libIles ' G-E1 A Y B obran ambos sobrei los mágnhislfiGlS ' ha,~mirales de la batra~ ;E-Laiagnetismo de n o m~ blle contrario> á 'A :es atl'aido;; .el 'dei mismomorpbre es rechazado; ;y. pqr consecuencia : de esta )separa";' cion., el est,re.rno b de la 'ba-rra: adq uie¡;e ·un :polo de lJatllraJ:eza contra,d a á A.,J : . / ~ i:)- ". .

449

J

¡¡l

T.

n:

' g:. ::"~. I~f 'u"lilQ.¡(¡. ~, 1iV!W~


1

322:. <

456

MA'G\NETOLOGI'At

Un imah n0 pierde na<!l:~'P0 lÍ la.Fnantaci'G~

que 4.a á un númer'0 cua'1 quiera de -ba.rras); ,alilltes. al' aontraDi0 , la repcticion' de' iman~al' : áéot¡;as i )j¡arras,I lejos 'dt! debilitarle ~ a,.l!llnen~lI; mas lbÍ'en sU Jemll'jm~ '.:b La fuer ~ a de tos imanes, sean natunales ó arti ficiales, sé háce mas _po,derosa..,adaptándIDles .:.l inoi pedazos de hierro dulce á 10sJados,"m.eHlI},afl" y¡ testo: ~s1 10 _q ue se llama 's u!; ,m:maduras; las éuales se ,He..' gan á"hacer magné'tieas, por inªu:ellcia,:,,:J )UaUm!!malll Gon e,¡·tiempo su 'enerjía~ r~', t. ?',j'¡, ;, G") ; ,4S '1 Las brüjulas cloe"que se hae~}usóJ,<ya ' el'l ' e~ mar por los navégarites) ya en tierra al ejec,uta:e eperaciones geodésicas , ~se.fOl1maill por agujas ,imanta~as que tienen en~us ,cemros. uila: I'chapéli "que eS triba sobre un estilete dt! metal n0:rmrgnér~b. oIDebe tener la aguja un p e€J.ueño contl'apeso ,~ k:p!1e 'se pueda acercar 1. separar 4~h centr'O:, ~para qu e rcuando se varÍt! la latimd) se co,l oq,u e .de modo}q ue ,:;e (l;onserve horizontal \la aguja. Es ventajoso el Iq:ue Id ;/ águjas- sean bastante. delgadas.¡ . 8 .en ~~ C' .. .;Cuando se forman agujas - coa todas) las ~ sustan .. das sean orgánicas ó inor.g~nioas· , :!cle.-4 á S líneas de long.itud y up cu¡tr~O', de J}nea:; delrg;rl{eso,.. y ".se suspenden á un hilo muy tlexible .entr,~;Jos ' 'polIDs 0'puestos -de 'dos , fuer t§s. ~maJne'S " se v.e.Jgue ,.s-e: dirijen Gonstantemeflte .en el semido ~e eS[ID5" pelos;;y si les hace. oscilar al rededor; de rs'l!l' d-HecCion de equi~ . librio, sus oscilaciones en presencia!~Q0 ,~10s Imanes sen 'mas .rápidas qiu1e cuando e~ iall~,'aisla¿'a!ne-ate sus· penaida'~ 'ea el ~spa:eio . .De donde, s'e'd~duc:e ~q tie ·~s" tas .peq.u~Ña:s aguja.s son, seR'sibles .,á d:a ·influenoia: de 10s imanes; y ' q á'e ,debe habel1 _a1guna causa désco~ nodda. q g e " sea~.mas general. D'.:' .!. _.l L~ ,!" l ' . .La iJ.:¡eli.naci@u ',. la dec.linadont>y J'a intemoidml.dd las fuerzas mag néticas , varían HO 50.J0 en 105 divel''sos pan~jes de la ,tierra ,llsino tambien en un 'mismo lugar, 'con el tiempo y.' eon a'lgllna~ otras: círculOS'· !ancias,¡q.ue aun uo son . b'astanre conqcirlas; ' pe vo la i"ijclínaci'oL1 varia lUeno¡¡ CGn el ltecl1po .•q uC" ii , deeli~ Q

'se

.~


MAGNETU:eO&IA.

3~s

\

aachm. lIáy 'una serie de punto's que form'an sobre Ila superficie de la"1.lieDra. una 'c úrva qU'e se llama el ecuador magnético,' 40na.e 1 la\ aguja perllilanece horizontal;, .todos los autores ' han considerad'o hasta aquí á ;esra cur lla como' un d rculo máximo.·'terrestre, iFlclinad0, sobre el ecuador cel1C:l de 1iz <?, pero las ültimas obs~rvaciones dan á cpnoFer q lle el ecuador, mag~ tico' debe formar sobre la supe~ficie de la tierra una 'curva que encuenue al ecuador terrestre lo.'meno's 'en' tres puntos. Tambien hay ' pa,rájes en el ' globo e·n que no hay .qe¿linacion, . y ' se dirije la agl!l9a exactamente hácia eLnorte. La ~e.rie de punto's .en ~que esto se V'e,riij.c a forma lo que se llama lmeas Jsin dedinac,íon. Est~s no ¡¡i.guen los meridianos geográtiicos, pU(fS .~(m :·q¡..uy Gblídiás y ofrecen inflexiones mlly irregúlares. · La posicion de estas líneas no está 'fija sobre. el globo. en 1657 pasaba por l;óndres , y 'por PaFis en 1664; Esta mudanza, ·no es unifo'r me, Si110 muy desigual 'en lós diversos paralelos. , ~ . La intensidad absoluta de la fuerza magnética. en los diversos' parajes de la tierra, se ha ,estudiada menos ,t'odruvia que la declÍJ,m eion . é ~nclinacion, ásí es, que sobre este punto n.o hay lhas observadomes ' precisas que las del Baron de H,tlmboldt y fas de Mr. Rossel. Las del primero dan á conocer un au· mento general de intensidad . de ,f uerzas magnliÍticas, y'eJ:;¡do ~ del ecuador mag¡¡¡é tico~ hácia los ~ polos. En fin, , ohservaciones ml!llti pticadas prueball : a u1nq ue ¡a aguja irpantada está suj'eta. á variaciones re,pen:.. ·tina'S y accidentales, que ,co..indden cbn las apariciones deL meté crro lúminos0 que se' Ua'ma,'atwora b.oreal', -y Guya: €ausa se ignora:," - ' ", ' ." ;¡¡ -¡ Se.gun las üldmas in~ss ti g;ach;)'fies de Mr. Hans:"en~ Icúed.¿á.tico.,deA5tronolu.ía en la ~i.llliv-ersid'ad de Cri'st.iam.Í,a" p; r,ece que hay en Iluestl"o globo 'cuatr-ó polos magrréticos, ü-dos .ejes rpagnélicels que f orman ángutés ¿,e '28 á 30° con el eje de la ti er ra. l!.l polo 'ártiQo de ·~u.no deeSlQS ejei e>:>tá ' e¡:¡ e·l cS[f,e<::hQ · d~ r

..'


MAGN~,TffLOGIA~

'324

Hudsoh ,sobre po~co mas Ó JUenos, y su' p-(')]o. ~meri" djonal eQd mar de.lar India '¡¡¡l,S:u,r ' ~e.la :Nueva,Ho­ lancla; el polo ártico "d'eJ.letl1o eje, está! a~ nÜirt.e,' d~ .'la. Sjberia., ·en 'las inmediitci(')nesHi:e Nueva-Zelllbla, y ,s!:l polo rr¡,e ridional en el mar del Sur,>- un po~o- in~linado' al oeste deJa 'Tierra del Fuego. ,. Estos ej.es magnétjc.l'l's;.llluda.ll todos ~10s -años de' pos.icion '" y su mov.imiento; oeasioaaJa-s declinaeÍones' de la ,a'g,ujar . . 2..l-;.Mr. ·; al:ág,ó acaba ,dé '0:escubrir el $igui~.nte hecho , qu'e es bien nótable., Una aguja imantada), sel' .. \O, 1 ' " . ,par;,tila:,~e¿ [Jteridiano )mag~ético, vuelve á témlu su posicion de equilibriolcuatro veces ántes -en ::J,!n cír~ . .culo de cc¡¡bre, 'q ue en ,un drQ:\!llo de mad,e ra; de moclo q us! ~J esp~esado_¡dr:eu.lo~ J11e,tá:lico v~i~n.e:.:.p p.r:oelu,:, cir el mismo efecto .q\lile la res~s~encia. de Uil'l: fluiclo.: . En virtud de un l11;lmer.o _qJu~ considl-~é!ble de pbseHac.ie:mes hechas ,en .d observatorio ; 'de ~Paris, ~ -por 'el mistr¡o sábio , parece,q.ue la aguja se aC!!r<:a ;tbora, ,al ~er.idi..arno, es decir "que su decHnaejon va disminuyeildo. A la misma 'eonse<;u'e ncia C(;)fidUCCll Jcls . ob2eFvaciones de Mr. ¡Beaufoy , hechas cerca de Lóndres, La retrográdacion anual,enUTe 1819' Y 18~2 .I!a§i~o <le l ' SSIl. En 1.8'r8. la-declinaeiori oq:jden~ .t~JeqJ~ati~ . eTa · d.e ' 22° y 26'. '.

--

,

!:[J

. .

NijUMATOI.ÓGÍA. (~1

.I~

~,....

t

• .,1 ...

... t

.'

....... .

,u

El -aire que par todas partes r.o.dea 'la tierla ;y. ~'orma, 19 ~<fue se llama la atmósfera te-n"estxe., es \JO

J..:

45 2

.

huido tr¡¡.nsparellte, invisible, sin color, : ni , s~por, J!lti§€l.d.li2.;. <;Qmpresibl,e y perfectamente elá,stieo~ ~ c;a,da i¡;¡st~Ót~ , {j.o~ Jpadiemos, ast:gura,r ,de las cuªtió p'ih mer~.s circl:l!1stan.c ias; pues hallánd'oRos .siempre 'SUt merJ~dps ó.Jo:ieªaos .dé él, notamos ' ql!1~ ªa;.p~so á . la luz, <¡!n el!,,! qJ:!e c(')!1siste í'!l ser traspareme ; 'o?- l~ .vemos ~ no nos causaJa seflsaóon de col~Jj ni, saboJ? 'ó ~l menos estamos ya-~t.an acostum);¡Jlªª<ils , ,á "estas sensaGÍones " que no l?s di stinguimos ; t'>e:r~ ¡as OLJ!as ,tres calidades .ne~e.sitan examü~lüse .de ,plJr sí; y la

'/


N1!lWM a\TOlLOGU;

.

32 S

ciencia rq,üe:'tierre 'p(',ljfl'lXilJj¿to~ -.el indagar l1:ódos les fel'ló!Ife:np-S":q\l!e¡ . ~ieheiJl!e1aci ól1l 'con el pesOv rlel aire,. su cg~ pt"estbil.idad' 'Y' ·:elasHciict:a.d , :se llama' Neum 'tológilt . . fl ';0': ' .. • ~:':"!J'l , 1 .... , j j Hts a ~1'! t;Í'empo .de 6 áWeo se creI<l! "que ain· guná ,parte del·'é~a,ci'o :-pedia estar vacía ''de ma:te..: tia , : Y;' U esp~eS-abaesta impesibilidad didende que ,l{J-natwJaZ(z.a teniéi' h;(f;'-¡.on!at vacío; y á ,é t;a, causa 5e;a;tri~u;iá. el.rasce¡:¡soJ(iel<aguíJ, en, lis bommas .;. irit'B ediatam.e ~ire qU ~ 'se ¡elevaoa !e!Ic~mb01-o • .GaJileot,fue d · pl'h~e:P.0 q'lilJ! ái1it.ibuyó, estM b'Í ólilleno al~'pesQ' -de,l ai¡:e;> '-PerQ~ habie~do ![Il.le(t.'O':siq hablIDl~: dad0'l á(' ClO'I'l'ocer ,) .su di,scípulo Torriceli le demostró de un rno~ ,Ítt€'i v..eca;bte' é0íl e1.rsigu.teñl!~~~~ ricueCJto;':Men0 a~ ijJf!reur.io· ti~T t:u:.l;lO .de,J~iqr.:i~de~mas Je .. tre& ~ ¡\te j:a1rgé; yi·~c.Clfi'ad'0cl'>p r" uno ·,d~SÚSl¡ es trern{)S-l;r: tdeSlp'lll eS'l la pó eotf.Í(!l~di!dG,.et f0l!r,óJ ;:eSlt-.r~m0,--'Clél tl:I!b(');5 c-~.e " ip~irt~ó

y.: smnerji.6.. :par ' ' éh.éstpf5'l1lo ilbier.to.: ere 'i.u~a v.asija d-ó na'e ha'bia-¡~a.tm;p:i:en ,iiiet-rét.uriq; en toncts" q.u,h @,~(lt cletilo ~X· nbi(r ,q,l!eUa <éliiluit.lJAa:. de mT~r~llri~ tcQélteai'-¡

da -en el1.. ~Qó'~prJl1Hpi'c!¡:l iá!oba9a.rlha'sta 'qu'é . llegó. á:.,

5e~1 ae! Unas l28 pulgI'q~s 'ft:inéesas. (\Y¡~ reR'ex,¡oll!lnd~,

ac~rtJ'ai-de ?l~$ 'l~usas- '1u!e>p:uedan orijína1"J es:re efe<:t0,.l 1iI0!se wcu~t.r31 otra:.<~rfó1 «l.L'lue-la pri siori q,ue eH a~rir;~qr~ t'o&re .elJmelrGlffiolj de.la cl!loet:at s'e, e:i:¡ui-l lmf-a;¡{é~m,~ li,¡;, eoiuítlFia Ü'e!.snWreurjo, J) la. 'longi~ud de esta misma columna sumjnistra la medida~'e-x~c~ y/ lligGPo'sa ¡¡fe la pr "si~n ca't n'!1;¡sféúca "é'n:;eada' parajed;e0!ra ttertlai "y¡,ác ca'da in]tatnrtle:· p'ara'- 'cuya ¡efeb~~ Se:' p6J1la diftll'aSilde ' es ee -~ubal~aq¡S'cala graduada J,5y':; s~ t-i'eneJel' iti"strug;¡en,¡o; ,q~e 'se conoe.el'€Oll'!, ~ l !)¡fJ~l!ire) e.e r¡bln,iímet rQ , .qu~ • íif~ít;'a\ni'a ~ t'np-ortanl:ía.J <[ema)

-' el teItnr~iUe.tr-o '1 y. c-C¡;'¡W\F S~tld-~ ' bien:'~s u'Qid~. plÍe-'r de servir'con mucha, utilidad para inedir!*ltu,~as" ~~F-:: ticao}es. b, s:·~ :.\<,t,.r ':ío-.ém !:;b;:.':! l~" 0J '~c-l' - 4H .:.-Lá-a-!tu.¡:a-dcl-mefeY:fi0 e~ el baróm~.r-e v-a:1(ia, pbr 9uent\lS -éaulla.s ,~, 110'100 'siDa la' ~hitit·u! , ·l~ ~l­ tl.l-rllivO:el Raoliaj~ s()blfe>:~l\, !liveL- del uhar 'j j ogi v'¡'i'! n' i tos, la temp~ratura ~ y la- cantidad ~«¡fe \,tgn:a- 1Hie'}


<'gc2g

lJl!;~MATOIl€)(~. IA..

la fuerza. elástica del aire, cuah,do se halla contenido en la parte superior ,de\u1;I t.ubo.ó catnpana , que por la parte inferior contiene m~~curio, agua, Ú otro li<f!!\.idb ', 'I!~ é~y_6 caso la pr~sioll,';de ambos s.e :equL~ l' libra con le¡. qe la atmósfera '- ,~n(traréIIt0s ~n alguno~ , .,po¡;menores s<;>bre este punto. ,- Supo.ll'gamo~, que se tiege, un tubo lleno de ~er­ curio hasJa 'll'Ila Cierfa alui'i.-a, cOlocado de LmodQ -qJt?e ~ ~a§tl! ¡-Jipi'!:!1 ta,, §~.-ba,He háda \arriba,.; . midasé~ c'on toda e~c,fit~~ ~ I?lrte que no ocupa' el ~ercur3,o, y ,q~1! (po'r_ con~~g.llle'nte .se' ha-llarllimald~ ,alfe.; t-aIpese con el dedo, iFlviérÍase el tubo, introdúzcase en una ."\5ª~iJª-, qlue!f:~)lqfe.n,ga<.l'IiercUor~, 'Y,se iiQtatá que este , -h~j~rA($!1'l!)éht?b.0. mas] de... !o que ,se thalle en €l .tubD (~~Q!'Jlé-ttii.~0~;OPiu.es ;q;ue .sQQ a ~ste flp .carga. na6l.a~ y '6l\>bI:e lieb~W:i¡'J(!aoJ!g>ajj¡0j sólo lek a7l0'gJ.ie ,del tilhOis1nca .~IDbi.el1) d i 't¡'r~ iq,ue.. llé. paH-.?lem) a paqe, ~\l'.p.erio~. Espresemos PQr V el, volúmenque ocupaba el aire ántes de if.lfer~.!!:lel ,p}bQ.J y fror P la pr€sion de la ~t,mósfera, ~ó ~ll. fü¿t;a el'ásHca . .Supongamos que cl:lando e'l tlll)0-es-Éá-iEtv-ertido '~ re; (0: :es,; ".Gori e.f'iést¡;e-~ cerrado hácia '~iriba, ocup~ 'ii:n esÍ>acio que s'e ~¡tcle!, ~d:Íf , y j l q,I!I:~5presaJrémós)'p0r~ 0'; est aire ,djta-tado -teJl(lfá" lllia;¡ fuef~a Gl1ástiaarfIlenor q üe~.cua'lil­ d:~\ teni~ ~u\\vol:úqien .pllilIiiti.y:0:; l"'P si, la eSJpr:es~m'O~ _,por f,1'esli¡J.t:~urá en ú i¡;,tud de da ~t;y : de M'fYiotte', L~: .. . ~~~.~; ( ~\. , \ . .J~,0n.:"'ra ~ ':. ~ r.~ Px 17 . it~b"t\¡! e f>:<"f5.,,,,:,,pxVh que 'd:a f: . ~ ':/. "- ~'). . . '( . , ~ .(.~~~it~,\ ~ 1u' ~~{~.~~¡ .. T{ . \ ,'.\..I.t ~ai,. SupongamoS:;!l:hpra .que.1l sea, el· volumen t(!)tal cle:lá. eaFaG;idl¡¡.d'd-el tuh>o·:AC &i:g.CVi6} ;.. Y~tendrém()'s , Qll¡e, ¡¡-,-~,fl.s.erá! eLespáeio , AiH 'OCUp~a.0, por el meJ;:'e1:l!rJ,@1 'J:!IL el -tub"b sobr.e el 'de : 'la "eúbeta. y J eorn'Q esta.,columfiilt" infedC:Jr del merculrio, mas la fUerll11 elástica del airó .que' o'eupa la-Fáde su perior, de e ben)· equilibL:a.rs.e,,cgn la pre'S i,am 'al1iIP"Osférica P, que , • .s,el ejerce spb~e ' ,él mercurio de da. cu]¡¡et~, y qúe s~ ) -p~,e.de- mcdíri ¡id el tubo BF i q~e 'est'é purgado . ~e :all~,'el1 _ su :parle. isu,pel'ÍOl1 , ten¿ké:mos _ _~ 1 J

'

,mo

'.J

J,.


'3'~tS •»

,.

().1J1f!:1.

, NE-tJ<M.ÁTOL0\:;I..(f• . 1",: J "";"?~l~'" r: ..1..2~,It."¡1t~~u ,·...PV~ !. .~.A.J

,:;oq =1H; H' ¡

.u~

I

r

t

1J-p'í'.:.¡:. """':""".L:::ip; ,r¡ ~

TT.I

t '..Jlltlf '1JIl

4,

otO

. _ - .. , ,D.

.j

"'-1~

J."",

"

't

e>1 ni

I(W!~'; -,:tl'!ji'{ 1 f! • • , 1 n"- #¡Ct1:;l n ~J ... tq .S

-Ór q ~itand'O e}ncli vi'smr,; y~pre'pataB.<t<?:~ (~) ii'~7yJS6rá::~[ ~, ~ ",I V '2 ; "'lb'..!:.' )V/.~PV: ' ji'", 4~" b El ',C::': s';ad ~\.L •. a :c1 ~! . . " ..... ') ~ .. rl0'- e:d\-.[._· .•~I·Joq

-~ ~gl

;í-¡,,<,. Ví...J~ líp 'l'a ~'iV p~¡& zlt ~- {1!!~, rJ~ .,cr~:.0;-r~;. , LJ'!:;;~') T.~. ~:J~,N iH1r.r-.

:;'l¡ "I~ I!O',)

."..

)

Elsta.eIl:1l~cri0n lTos::datda .e'rva'l or de:Mr'6i~~'Í~ c!{j.. '1 'l .' l ' l' ,. ú'l .... JI' ':) ~p:r¡~p...::.. , ~) ,¡ •d~V'¡ 'Jj <"~ ••,, O~f ~ ¡' o¡

'uesiese¡nos , ')Ófesultada:¡V= ':n "fI,?-C fl Q" '))'(~S2J} P .lV¡J :¡ , ,r .,) ,'"j ,_.d JI' "·)-,l·~l rJit ,s oh:.."" 1::; ,.:>::> :. .45'6', Si.elrHq:uidp aa,ie 1j;¡1.vbfese:~n:JlaJ~a~iln'a: ;p~!,. (seurg lra fln 'vezr'de merpuFÍ0.l~1 puesnoJqiléee¡j¡~e§G,L'sl , 'pec.üfioo ael ,agua'J.es- D 3'J" eveC'lfs cm~qoro~l:Il9 te:l)';ddl \ anenl.ubÍG , lendJEgrmo 51q 'a b-.cl.i,v.i:di-JSlI$liiirfletenHa~..J$é' ,por 3.f~J 5, "Pf?slj) as p.~í&e9 élef -melt~úfÍftf lb> qu~~óro_ ~"!. l' !:',.¡',C¡ ',,~; o n' "¡¡: lO··T !" \ '¡()g 2OfT.;'~:. "l-úI d b;¡" --;-;;J d -.' ;Oí{ :{ q;TI '~:Jp bq'!t!G\, : !J ~ 2~ ,Í; ~!J P ~L"l ; 'Jr e .s~L ~i!.~ e 1~~ íj~ .DJ:. (' r...l J1r~.,¡¡tlS :.

J""

...

--:

,)

.J

4

" . '1a') \;"~.'l f.p ~, T~.!...! " J')~ , .Vietttrta ~ 2l1';en ,~= ' 3'ii '~f::;pi :;) GCI.I _:i OLl.lU: I!:> !l2 '::l! .> " ~ nI{ .'{ I)~'O ( .EJin,~ ,ci:>i;d o . n:ij:ó::>" on. 5-:. is ':80das 'es.tasieduceir0'flesr:.s:u,.~pn''ij1!-ij¡ 'el rai'r~!~

't

-ma: Lv.ra:ri,!dot)temp@rávmia ," :del1m dtl'tlJqU!~)[~t aUtlif'a dO)!'I!!!le . t-el1OOlOs l'I:.Iapj¡fesiardoqe5.:}'Iwké{¡al~tiiifta1 qu'l

sea kc1 te117;pertithf'"! c.on:l abrqucivslfU:> rió'ti'$~améJ, ~.sj~ somete. ;ma ~sJ!tf masa de aire á presiones divel"SaS y sucesivas,. lf)s,,",'UOl~m'e,l/l'es!.fC.l'f~':(1llrr=oc'úfrg guar.dan siempre la Tazon inversa de las presiones~, '\,j 45 T " S'dpo n~end1inahoi",a:-'l n(!qnhrmam~~anrf1'ái:mis~ ma la px.esion~M-(;lbem9,s. ouse,liv:ar. r4u~ jéJ ¡a>i¡i'~&éÚ.,#­ .q ui et ot e,0 gas ~cs:e_,di~t.a r á;si <~¡;'l!,cb .l~¡;¡!l:~mperal: ~~ ~r.COl1IlO 'se,gm iJ!¡s es pci;imento'stiaed§1yy,-1:-tlSstt'c; 1í~do:i .bos ga~es " 7}apó~roI G!lI:nezda~, He" gásé.l fj vl'lljJ\).~~~'Ser:ltíl) ,batan O,00 37~ :daIS<lj vbl.ú'!lerx; Wl1fC!tjxJiá a~t¡ pOt í cada .§1"1dpl dret teíb:n.ánw·l"1l .é.e.11tfgrrcí,do ,~'teAal1~aios ¡q'\.l ~si. ..sIC e. presa P0l! ' b e1.l!)Ú~nel;ol de:lgnidps1á:kl':{;ue'sejtOlua. -§!J g.a;s:; ':¡[,j VO*MH!il> ;eS (>a [láL€sHr oa'd:UlIfdh el' Q'Ue.\Jt5:f nía á la telñpe:r.at.'UJJá¡(ie~ hielro 1 <lilnd6nt'ej, tt¡;l.le-:: eQJ~


<31219

. •.J.IITn.1JM-A:T0E~Ulritl.

oCJili~¡ &e: ,torni !501', ÚLli~,ªd,1 f.b,:01i:s~5tr~ frS~~t;.ci'¡:~N:Ill.re

.csl'a'J!:r · cspre'sa\\!Ot p~i1:¡I~O.,:bO~:r,r.ljla- tr;;i ~.h ,JJ ¡; l~i( H':Ir (; qh8¡j ~ E.1 (pe:s1l.Ql!1J a!lÍe '56 h1\.!ld.etfnmillai4d)eh~ad~ "! t-oma:riuiC)¡1:ttD:daiSqlas.ppr~", :CilrÍL~'lts eim~Jihé!:~l'eg 1 ::lpg.8s" se ihHel1'¡d:\:)ffaril':.é::60,~idl:(!.J::ájo.

-erl át8li ,¡úliimQ's i.aíio~" .cib~ ¡4a:glli i, l'á!

t1J1ta!tfaoiOfl :df!?la;s., "l4.si¡ja'1

blbq.!ae¡jst: ~ ,j¡¡i

i>e6~,-J!:i~ p:l'esin:11'7atmosEé<FiCa~~Mf~ !Q.omece.h~ rl~ la:,p resüln 4va:r~( 4.~ 3>Fs.eg:Il.m~1á titN~: }'I'1t'a1DlliiJ(!J!l

.ae:@.!llID 'da' a1tumt¡lrlel oI1ar:~el"s@bp6#J ~lii'~el ~eb~;.J:l, , mes¡l1ta ~q~:e ~íl1'a,~~~r. :el p:esooue-¡nmú R0ltci0n:\-ld.e!: · ~e~illrin~d3;~;cl~ 'aThnken¡¡o~o;,phraj.e~Q.illf!4u~á:l, ~*~ cesita conta·r Qon estos dos. eleJ?eI.'ltQs~ B'S _.ih,ru,SlF~~ .s~.ble atendeF á est~dos\Q.cftI:d.io\C;¡-a&s;:iiát, ~alll's~~b~ lcbn!tpN'S'ib'ilM'ad¡'.ci€1l'l aire 1;,. y!.. f01I'l1i $~'::rl~~ s:u~ed'e r :001\ l'O's.:gasés , tpu~,un. !colúnr~af¡msrfuri.J;¡a.d0 ~ai.r:e ló\d~, ,gas;co~1'1fdtftl..tlá1 ~a~r IlTéj:S~1flÓlrrodq U~ l!S ~om:cism.~ " t

A

\

•"p~sar.a;'~mas

11

,

r

.L. ....

·

..¡l \ e ;grri!-~ '~lD:f~ .

a '~plldj:llttrt!lO.n .q'UC};:se'l!!éW>

j f>

l'

:IJl¡cib',,<.!ot 4lí~dod~cru ~ID!.d¿~(!d.erp'~ ~<ik>S:;¡Thi

COR 105 líq uidos:, 'que ¡;¡p,{~e lEom pri~l1€n, al menos ,sensiblememe ,C0n..: ~j¡1':;:p-¡:~~iu:~~;1iIÍ:~<&iJ,:-ei) de la · ,atmosfeFa, Por' esta !;alttSli;:s1-·hia redU'<tidO el res~uJ-'

-trd~ (jbt~aicl.'drdlrilúraílltléí'iteI.él1j LP::Ilri6'Ját!fI.q,e

s'e ~

rdrja~ gaj oqlal ima'Sflfas 1p r.e-gi'0'¡lJ~~¡ÍJ:léV1t-ª't!tt.\¡ ti> ,de¡ 4~ ~

laI-

~iva.Btdél'l _uaE4 ~JhabésW.t-adol~Qlt~ áil:á¡-0~Lpa?r:refl: un .IC~ntímetr.o

cúbico<de. aire ·e¡'t'mb,sfé-ri'éo: seco, . á la

f~4r,1NJ'fdt1b1etelq3ft¡~ y,liÍ~ip~Olr..M\~!7j) e,ei!'-0,b'Ol 299°'7 5 -deí'grama. • ~ " .~ ¡>r",

. Haciend(i,daiSl'r~_¿¡~iles'(.f~mre~~á'.f!tnfStil.Gl! p;esos, yt !pedidas (*) , resulta ' q he á hi¡ es pres·a4-a la ~ Iltucl;.1te-4 5~~\~r;!.arí~~¡ !i'C'b'.l')JaE',: l~pii)'cá¡"; ~H e aire •. (, v..~ • 4 _ ~ et..."Pvo.,''( at1r¡OsJerzco ISeco ., á 1ft tehlperatura· del ~h.ielo fundetl~e y .á ~¡J p!~e~~rr.·de.l~ 2.17S0-:9- :Ó'p¡J,~g-atl·lPtI~7P)¡6'Zj!)~'. 63 I granos. ',: ~ tl.ff.-..

n.

. 45 9 •.!!.!' .... ;'

.

COl~0 ' eJ P!l~o" cfe..lú~~:;cÓYJmna:'l'dt.:Mercurio "' D ¡·;'''rj}.,i . ~!,i' '' '

;·I ~

~'-"'.r)

'U)

:""

2crr::;.j rrrJ: ~4n. '(

O~· {"fJ) ' ~,,:(eho:mo';J~~:;p~' ~i.,a ; í:iíJ'1?1!Íl fN,'f¡afidl~k:rn-ef¡hlt

;d(b1l4''I.II¡,en~íí t,i:~''s<')se hi, fl a' comi tdtltl iWJa'éhf;iii¡eli::l lPlfal"¡"'e:v~ f'onÜetlDia. ,de .tod.Cf.SJt.lcú'J1'tedid,irsry:Cpe:5,c>~ ( f~·e¡tic.e.'SaS!$$ Inglesas con las iS'pa~ otas. . .e :1!}J, n Ol? $'1 ce: '


"

~~

• Nf&UM(AT,O'I;QC>l'A.

i!lef!3 ;,,~o/~·6·9~;Rutgá.da:s~ cl~ long1tud , 1,y.,r,ia; IC~ln. aa-, i~ tensidad de la 'peS<1iC\tf!7; (~S lete~,). , oy j1l:n!)e.s.aate~ ~ á :gIa~edad /€B l illiIl;paÍ'~j!:!l cua.lquí~a 'lie .óQtiene «(.¡gz6 -not:a;}1.q¡U'ILIP.hiWaid@.1eiJ¡ ~alür , ~ue <iient!, :á, :4s:I3'Jde la,. ·titu'citiP0111:.ek'faetbil íI:-;;.Ó;O¡:l 28)3 g,co~. 2) , .ewr¡!sa1;l<:hd _ .Iai la;ti,UJdpd~ ,p~*,de'lqUe .5e itr:a¡~ai M:resuha:que' .de;. ,dll~rhos ,mwl~ip1Jca.r:,pQ¡¡'I~st~¡fa€to n"i21' F.,es~ @i.e;?hif' m,~[j(!)'b¡~li.~;¡:?iJ!~p :se; :ten:~~,4. ¡.qJi7,;,el llpe$~,, 4ellJíe

~bU:Oi" ae l.mre keco ·;r<lIi rlaltremRel:'at.u1"..at IlMl~ hfelolJ~

,déntet\'Yj:1mjg: ralp~~!i?m ~ ~z;t¡J3b?6:,pufgadfls {l 'tn ?:Uf!. ~r.l1i-e ,cuya fv;d~t¡,¿d~fa fl l,y:;aJaniJ/J.ebJjl,el _:mar,) le~t'fJ'Iá ,8$1 e·ió,dÓ :eii,gt:.atm"crpdJ:, .wb_aól~:J [li,):" ,f,jj1f,'l ni¿J:J .~6'~¡9'l:tD6.3 ~(I. <;H!)i;P,9'~8"8'fJeo!~z~;¡>,:J ]; 1::::.r.:m; 5!dha 'J <'it ~:La3':g.rá'iJ.f:d:a-d¿~3.!riá ,ttrrT.ojen;tilJ.l:rá,e,On,¡nver$,.audol , ~ ,tiaibíad9J>Ait ~~ldls t~pcict Jt:;l :~~~l1fQ;::Pr ::la~ ,ti~p.6t ,.1(ae ',. , ~er.auq Ull 'sil paril:{!!lP;s~ :g ¡'~a~,1gr~p.:e¡l~¡i' e_n.íf t niyol , , .de\.mar ,y.rg/ill~ grau~a,cl tác iinªc.aJ~~r¡i A:ls,obrC-ldliiÍ!:h~ru..v..el?, ~4f1eL.1'~.p_ lme.d~ÓJ.4.~{laytie!l"ll'tj ,O$1t <t-wnc I

I

eofJ:;ru,l;;<JI~:r¡bqróoj:~Xra !if)p «(:O;.: l'I,; 1 ou~ no:) .7('-, hl ~b {f:m-A}~:Jlthg;.g[~~~ Jr;':'I~

'. -1¡¡;5f

- '}.

n "'QC

5 t rh n:¡'

'0~, j¡rJ~t-:..)~ ¡;T!f~~)[; J;;~;" I ~~i"~B~;~a6ml~

. , hego ~si :qJ.te.,re.lIli')~' lijlJe:¡:aj fór.m~1a.1~nte:riol'J i1€lSl1.$.. ! 'ipl'~sé' # p~sí>¡de!upÍ(:;.l:J.lbi~oiUíqi~<,erir!l!In Iparajestú:e ~tés,,~v~d.ijj S~Jll'l ilo'pi;v,~l aa'~li..t:Ila( )ar;~aÍ1lida.dv~

)

..,

!

.,

~l'

h ::

c~:.t C' ':) ~'(51:~f){\l ~n $":' ~,:) \ O ~ ; I\}~~ ,,"'\·r>_ .. ,l I~¡~

rw!

&i¡$'eliétb,as :mu4ipliea~~khá~presíón,~?oli: · : }j~r; ,1' 1¡\jJ'\~. .!)l¡ \:..\ Ol,!' :. r('(;:5'ñi~( JlDl\ 40'.lJ.U~~\I¡:t¡i\?~-(l0ID'eli1.Ítli¡Le.1'liJgta'nos) .en;í',di - r-l r.~::!t-';t!~5,~1' srl!. t"jliJ?,!1'1 ~(4-/ ?..r;_:"j,b" .rS{ e02.5q

'"

J

"

. ~ ") ,5,6~/9J:s:p6:Zlp'~1 ~O,.0Ó~j:7eb_s.l2.l-'~(~¡, 'Y ;4,~ [JJil : . i)b"~!~"! r\'j·~.r.:\~~: , ~'.. f~~h' n I~ ;"t ~ ¡;;, t 'c':)s-,- 1; ~.',.{)nlln 1 GPS!1l0 s~ efed;1l:a.!ÍWQ.Ja: di:vd~ioILde.\t:i. por ;'. \,\ h 'f

-

mi

, - ~, - A\Z~ ~ A~ . " ~ ..... :tc,¡, (!·:H1.::-~:;trrt!) 1¡r':mrg;2;;! t"'¡ / ')as(! ):VC f ' q,t' )U1os1i~i~a~o.s..áJQs...d.a~prime1'-Os í-étllijnos ,..en.con· síderad0N @~~ll~ ,e.br~.di(Üen;estre:.e,s:,muy g¡fan'd~en ~ompMaci:on de l~$ 'altur.as á 'que ne.s podem'Os_:~elé. var;n$p);>r.e' lª,:;~u.pe,rfi~!ie del -glóbo~,, :se convertirá,¡ \l~ ~spresionanterior 'ii""_,, ". '". :",i

en

.... ',,'


:tjEUMlA:mODOG;M r. , ~(iX( \' ~::: (; ..~:· •

J

~

(J,

VIJ;'·"

l~I.I¡¡

~¡J •• ':J :~~ j~.

"

...

u~() f ~ t J':::ü

,

Sl!

nlJ ¿;}1.,~,

••• 0

;2!\t~ '{~ ; .,=

;6Z'9!-O~.3.IX~~ -._9,eo~8nCOS..

(..

0r

l.." :1 3

~O., ~·t~d I1 ,;):·

J

[

par c1iyo' ''Ped.ió · P?~~émos ~~lrla,¡: e.sp~~~~1{ .ep: .gFa~O$ €b .¡¡teS;Q. ti~L Pll() JOUIDlcél'Ale) ¡U~e ~eCGl!)~li)¡~C:1!la:...Lq,~l~I:,~Pª't raje, ,¡naotelDpcr~tl1.;J:::a, de!S):riélo fundente r¡y. ~~J¡(j) .rl~ ' presid.ll-de t ~2'73d~q .!gulg.ai1\:a,s. ~ I: p ,eL:Gk' l~ G 1 _!) é' b46.o'¡¡,l!J¡aég.ol'l']¡lP.o¡¡¡'" (~u.winrim0 S:l la?1,atitu.d.') ;c!e r.1¡t... plaza ma,yor de Madri.l .;· que es 4~(2 '9'-J;iy , pbl'J :A .!l( altura dt~qrd:-cicl: :sobre)~;J:: ¡fi~ek a~ttll!-¡¡;r '1-'fj¿e¿eS 79& :v.a:r,~s ;) ' Y tefle[~OS ,p.reserite;niaeJ~bEf~if'lUé¡jioJJ: de la ltierr(l.j e?1de Gl 6l!~&Jr'6t ~ár'lfSI~ utl1;¡dTéJlw5) Lqu~~ 6¡UI."

pJaz.u.Jmity6n¡af M,aiMid:el1i:s.~.cl ~1liej ~tfPiFO , rJ,~1 flif~; bajq'l Za 1l1re;,rí!Jn~(espr.e.sádcr- ~e~ts~n90 9,~j ::Pfl¡gd~¡¡"- r,r.~4

ta0fe\nperq'f~ deJ, kie{o,e-S( S6,~; S9'9 .gr;.a~'N¡: b.~., '20m -<' i~ . , Peno >;;c.Offi.0, en ~ad·pid ;,a¡:rraxaie:rte ~j¡ r.a~ otaffta pr@~íqn ', :regudliém~ O~st6 ~~l0T' !milli F\i¡e&,iQa¡i¡h.l;.di.~

de.,~ a':t~Ó.spefa'3erlldídla ~a:'pitl'il} ;.1qo:i,e ~\s 1!~rfi!;f~1ntll! ser :l4!:d:e.. ~q'; i ~I:67 ~Pn.dtg.arm.ilSd q u.e :fL\ert~ ,étl~IF¡¡.¡)ln~~ dia cqr~espoñdiente al año de 18oo .;;~ot~¡h;¡lii~pJ l¡l

r.ednciDéID0süi.c r2 ?3 .aemttlrmó~~n) ?eQ~e~p1ilU!,f,í, ~ la. cualres,r.áiJieJe:ri¡J.a,. la ies,presaua:;altt¡.¡¡á mridla::dtHJ ~ l'ÓrE.ethrrJ ~l!ld~guem.ós, ::pj!im<rJlCo? la: .a}tlu(!¡rUt '~2lRJ3e9ú pulgp.ltas.id~~ (IDár@!Uet,i;p $.I lahtem.PFta~~~dl:h~ftle~ á~ q u.é)'al~~n~ C!.On:e.s¡wáa:eJ4ala."der¡1hl' ~eb!el!dlqme.. t·ro icl:e:..RI~~mUf; i' q¡~e ~S.0l'1 iDsgld..eh c.eridIgrl¡¡,ru(0)Y.Qélll'l

m@ .¡:lll}e~riQj se! conderi's'a ~h~ 'd~ ~Ut ~(!"l:lú.inqm.p:on eada ·grad0 Jm.d IerIDóm~'tL@ ~el)~ígna:aG~~esnltá: ,q:úd' ~~ su ~oh~m.e~á,1a ~errlpe!la.Ulll~.de1JaiHt¡? .eS!liábIepte:':: sentia,d .,j:i.dCi.lIj .á ~la)1te 4.-5 ?.)'1id ~eTmómbtooeeqt1~ grado lo estará por I+s¡h=I,0027j72 .; luego tendné~rn:os '<Í ri.e :~.wplicai" la esp.í:é$ada-a.4Í.lr38ppO!llsfe número, y .será ,~t\~.<2 \' • e • 3¡¡~ 7c,3ll>-9Q).(1;~ ().0í2¡]i¡~='3 2 ,¡&:f1 Q.8 :..p.u:lgarlas: 1íJ l~" ') A,hora, ,en virtud de lo espuesto (457) , la mis~ , ma ·l'lt-as·aade (aire que' á la I tem.pera tura cl.'e:l -hielinfuíit,ío &nte ,ocupa un volúmen es.presado por un pie ¡:úbi~· Ca ,!.á l~ ¡ d.é 1~o "d:e:~Reaumur Ó' )1 '5'9 :dé¡ f,ce.!'}tígrMbp

,.

"


s~ ~M.EU MAr:r.Q:COG.rrK. " ocuvarA un v.plúfuen espresado por I+o,o037'5XI,o . =t~0~.62'S ; l,ue-go te~ell'los'(ql.ie J4.ta ~te1),~r<WI.¡I"a de 1 So ce'r!tígr~dos en Madrid, 1;0,'62 S pies c,úbicos pe. ~án', 56 Z;~ 9~ ;.gf,a'1os' ú01S:aüo.. eL':oire.rá ,ti.iUJ'-PK"e'Sitrn·' rde '3rzj81j;:I}~i~':ptJ¡tgaJ¡a"' r;;Y emÍnd)j];o'S;;v.01úmemc!s.:cpm;.o"cu, pa <illi:.wál' ~i;l;lt1a )masa '\de l aillé eSbán.;en.taziont iinye.rsa dé las 'presiones que s.ulfirceitré:45>4;)" p.a{:a ·.:hadlait: en ,A:J.Ít1~i¡¡e!J¿.Qin"I(!J;~6',>!!st6:iM(!)!úmén(-áqlá 'pre.siOtlúÍledla; dé Madridq '4i¡'~rn'Ós ;. ;,::; :nJp 'tLnM,. '1. ;1:1'(;-'. 11 s~sfq

~Q \' z::SOYí:4ttlo/rgl!,8 -l~681: !\:,OI 56~5 ~.i~t:¡{Íj ~ fI .r;¡;, 1h I¡aé~:tl~iJí¡aSa! de:atreíilleJpesaba '5,62; ).9., e gr.a~ nÍ;¡~~·1upre.:o:cup'aJba; va pie eÚG!co; \oclllp'a; un ~ólú.l. U1eil' Icl~ ~''l\!3~S: r;;1?jH~clilii~os ~~l,ú€gb 'i)'ana'~!ba:Har:o el pes~ tdapi~ScLibjc@ ~t;H te5:f,as,lbircl:l¡l'S'úll'l'Qia:sl ~\ di v.~~ii "" rérno's' 562',lS'9, ,po~ , i;-Db 5.:l;', c.)''irésu.ltatrá.,t¡u,e' 'el pii . túbtQóm :-aiYe biel'f".seoo, '4. UIl~·e¡hp~flattNlJMe OF2°,. del r'é

fdhrt&ín~t.rÍo:l &~' ReaU1lI1JIlijr áJ l cyo 3fi.d "Cel¡títraq,o,,': prs~

-:. en ¡~tiittidJ. ;; übaj of'lq 'pmes;io'fII 1rPe¡J,ia "de ~ 3'0~',,4,t"1 Ipttlt g".ada~ ·4l9'f,6-34'4 \·grano:i,,~ q.l!le~aqen '!I3';1~ Ma~riJ.es, " 0';86.. . '.el:'e:!orrza. ' " tl~ V ,," ' .l¡¡ r vdS _IS· " '1.!~4."·1" r';] j

.!'.~ 4:6~ ¡'i'lRlté~f~ ,que,.ya"feqer;\0s.. aetermiI~a.do el 'peso

. den ~i6c.úbh::o de : aire;:atmQsf~Dicó , si ai;n·ltiplioainos

e"s!e EVIl\.fO! per eLpesG especifip¡j',de urn gaslc.nrlq1!liie-. (a!;:.~endDérn.osf.eI p,es:o ¡del wn ¡pi:e. ~úbieQ !d,e,au·al~iie1i gam~)duiegd :;~i 'Mlpesoi.césp~UiclJ1 <fer Ulll g.as i ; f1:0111 plJ.i.. . l'<IIdO'{ C;01;i.eJi~elimré;,~ h~ {e:s ttres·a.m~os: p0' . p'; ,terldréA nru~ ru¡;trel rÍf9;s ,4'344~:::~S pces-aJE á ebpeso Jde1~ pÜi.Joá" bicp dem;íi)'.g~S!IeilllJ.1tuien!l;IA:la tero pev8itu>ra 'd~ l rlíie 1()'.'~Cm.é ~loj¡jaJj (hla .pnesmofl'.,de 32,;7~0~6",pWga!das~ ~l Jpe90(:dH larne '~nmb.s.fé:¡\CD tSéGo,) á iguahl¡td-JIil>e'N(,)'> _ -!l91 0a!)!.![ t S: \í:~r"'¡~,1=~1~ ".-f-1 -_<Ir ~!J~~ lJ óbll '!'I }lll¡lIen(~y es-¡~ ¡; aeik¡¡:guaf des1i.1fadál;ny~/ !a tempe~ . '7 6 9.44 .. f, IQ~. '1 (01~1lj¡;1 .

'<

raturaard6;I¡3?!4!2 8y.. rbáliPl 2a::misma ,preSipui:;,\'.el ,peso ~L' , ' 1 ~1

"' t;¡

...

~

. ( \,f...:: , • ,)

t.

'l"

Q

"{"~o¡

'"~ ~ '¡ ~1 <!.·'

.4

. t.

.... , . .. ,

l' , "

~ 1'"

"."

,\

¡:~,;"J\,»",u':r

deb ID1SDm 'a'llre ,a; 19·ualdad,.dll ' volpr:nen;) ')6s~ 1 -r·lrl" ,;,., "('! " ' ~~'" '4:.1en _.... " , ,¡ 't', 7)'J'9.,$J'r) r 4eé dei.;a,gua desti:4tda), q.ue,entonées!'Se ha:ll-á .en, d •• ..1

- .... '"

.-..:

(t".q" -V"l V4 j.~."

oJ

.l.,."

-

""


'",,'

r..;.i

J,'

WEU'MlvrO·LOG·Iw.. 3.33 I li,:} L ... ~1!~~I .. = . O';;j ~ 1' .

roa yQt g~adp de c0.¡¡¡d~a:sacitcJn ; asUa fra~iQq",~ ~ -4'.~ ~ ~ !I" : 1 l~¡f .,~ I!:.4:'! (,' (¡ ,.J,7?,J.7. :¡::0,ÓCHZ,83oa;, €.SF.re·sa_.el ,peso específi~1i) del. aire ....

I

.....

S¡lQO , l0,mando -por.; ,ullida'Q el. del:aguª,~eJlí Sj! 1PªY9,1l grado, de '~ondeflsacion¡ t~~lJ";: ,~ :.; ;,;; '" .. tI .i 46:1 ¡-J 1 ,0 S ql).Ímjcos &.a(l¡,analizad!'l .e,l ~ir§, :.;y._ha'lJ ~f\eontrad:ó que en J 0.Q pilrJ:€S .d~~Ai~'r eh ;y,o qmen ,se h.al!an ~ 1, de,'QxíJ~n~r Y- 7l!) de, a.:zoe ,~ainbi~q JHjldt:ill~,: fllen, c.o¡nOJ y.a indícªmp st.en o~r.o túgª~'l (3a ~I) (; ' acle,; !l1a~ cÓÍl tit!Ó~ a!gtJOO1¡, át~m!,{s de . á~ido carbci>nkq;, y. de a,g·u:¡t. La cantidad de ácido qubQPi~o y~c;I,e.,agua que contielie, el a,irg ,_tª=¡:Í;.iU}:lgun la-s ,10ealiqad~ y d!!'!U..as .cir,€unstancias.;· pero la propor~~pl'l ~rUlu~ !l,e halla ,el oxíjeno y el az~oe )!\l$ ·la misiD,a,: !!Pl. todos los, pap~je~ " en: :todos tiempos y circlj.nstan~ias, y '~ c.ualquier altura , sobr~ el ,nivel del UJar; . p.ues s~ ha analizad0 el tomado á 80000 varas sobre dicha niv~l en una ascen.sion aerostática, 'y S!! l¡¡a_ ;W'f.o~i' · tradQ lo~ mismo. ,'( _' ' . ( t. • ,',' • 463. . CemoU á:s cllpas inferiores de l~ atm,9pféra es;tán "cargadas por las ~uperi9re~, .r-esu.Jta ~\:1l!. e,{ aire -,va estrand() c¡¡.da, 'v~z mas ,comprimido segJl.rr-es" tá, mas próxim0 ~ la ~u perficie de la tieJr¡l!_;' y p~1\ co.nsigujente que eH y irt.\ldd~ su elasticicl.a.cl, , pro-, cura estenderse en todos semidos con, uná fuerza igual aLpeso de la~s;c<l!pas s~perior~§. P~~¡:lg~d~ re: ~u·lta ~ U~Jil <ko&jqad d~eJ.Jtife va dismmu;yemdo c~n: f0:r!p~ ;clis¡;,VJ;1gs de.l~ superfide de lít. ti~~Fa 'l: .- '-, :. 1464 ' El banÍine~rcb :.~og10 he~0s .ind~g'lodo :(45z}; es ud tubó qe y,i9.rioAll. serGa de ,u~a va·ra. ~eJamql e~rrildo 'p0f, un estre~~ ' ,Y cuye lnte-rier ~.e :~a, w0-; ,curado hm pIar y se<!a;r·;P~ff~clal!~e!1te;~. P:é.H"ar. ¡:.argarh·; .se; llena todo el tl,lb0 CGn m.er~urlo -pu,t¡ifj9~do-,~ :Y ."l ye se ha-lle; bien depurado de aire; d~~Pl!ct.-s: g ' aj~s­ ta bien la yema del dede ,.en la;parte ,!bi,e-Jja'-Ite~ ~ubo, .se Yj.lel~e este,. y ~e imr0duJce cm l:lna :cu~eta CJE.\! cO,fl tíene~ mercurio en cantidad "óastante' g¡:ange Pll.ra ,que des pues de q lli~~ r _~) 9~A9_ ,1}9 ,p. l!~da I:ntr~ : aire I

~

I

-

~

~


334

N'EU1~tA 'r"or;t;¡GIJA;

en ~I tubo: En " es~e caso ,el" lrercurio del tubC? baja has'ta-1p¡ré¡[:S'e;;~lf€da , á Htrra~' 3!ltul\a: de 32 py.Igadas pocó 'mas ó menos sobre el nivel del de la cubeta, ::; ~La:.Jjsu§r(!i:J.s.ít¡ nj&e~ el;itá colull1'I)Q. 'dé me.rc·urio se aebe 'á la~ pies'1Ql'l.'qtie,. el aüe anrfósf!érico 'ejerce so. bre el mercurio de la cubeta :1' l(\) cl}allo acredit¡¡.. ·.Ja i:sFe~ie¡;¡éi~ ; lpure~ , illtt0d:u¡¡¡i'enQr0 el tubb"en un red. l>iente-:j1Y"es~ray(ÚidQ el ai"re\.jpor mediQ I4:e la: ~aquina neurñá'1!ic;aJ ~ - c'0 ¡l¡;Forme se va esttrayeado va .desoend:iendb (d: mercurio del, tWb0 ; ~é . inj¡Foduciendo otra ~ez e'l la-ire encJli:t.ecipiente,!vuelve á subir. Y c(\)mo en JIegétndo1ál,una CÍ'er-ta a'hu.ra! sé detiene, es prueb'a 'a¿)~d€ 'a'llí está equmbr,ado, c(\)'n el aire a~rnósfé.­ ric,b ; luegb'un'áJcolu'l.1ma ve,rticgl a'e aire atmosférico de toda. Pa Mtuf.a de:la at1tlOSférá ,-pesa tanto corno una co'lumna"" tf¡e"II1fereu.,:i"O dé igu.al bafé 'que la de aire, y de trúrita y 'ilos pulgadas poco mas <> 'm,enos de altura• •, 46'S':"lS¡;,seJHevaCel ba,rómetr(\) de un paraje á '(\)t[Ó m'a-s)'~evad:o~"la..e01umriá-de aire que comprime al mercurio dé la cubeta será mas corta, y por consi. guiente'ineft'os ' p€sada; IUégo no podrá sostener al mer,eutiQ del tubo a ia misma altura á que 'estaba en el sirio"'ffiars.,bajo, y descenqerá. Veamos pues, cómo este desceñs'o ;p1'lede servir papa determinar la altura ce un l¡,¡:gar-respecto de 'otr'o, ó la diferencia dé ni· vel entre dos 'pi!! ftto's' aonooidos. l. " Para' estó ) c9nCibamQs-u'na celurnna vertical entera de-l~a atmésfera-, compuesta de un gran onúmero' de capas hor izontales-de u,na misma altura x ",,bastante, pe$l ueqa J para q'ue1a densidad del aife sea~ sensi-bléfriénie ,la misma en to'da la estension de cada ca-\ pa; y t eml.i émos- q\:le'X, 2,X ,' sx .. :nx=X, serán las disüll'íc:Hts, de ' la~ ,b3'ses sup,erieres de es:ras' aapis tal ni'lel ·de n'ná..r~ (Seal1 Al: A",.,AIII .... a, ,las elevaciel. nes' decreéi'iííúe's ~ddr "'mereurid en el barómetro carresp0ndi'ent~s' á ' e~tas -alturas; sea ' 1 la ' densidad , del mercurio á la te,IT?peratura cero, y D la €lensidad del aire alniveF del mar á la mislIl'!\ temperatura, ' , . Al pasa,r 'el barómetre de la primera capa á la

\


M'EUM1\'TOlJ00J~

~3)

-

lIega,t ital, el pes(!);d~ 10, que ,ha (clismrIJ.urdt):)Ia colillnnal @ in~rG.ulrio ~[1} eL.barómetr.ó, será: ig:ua;.l al peso, df/!í larpr,imer'l,capa '; :¡;l fiása!)-deJa ,seg.tlRQa: á la tercera" el>-p'es:~'

de, lo' que ,fua 'clismiauid0 ~a' colúmna de ~er-:

cy.T~(f.'Fefi' el <; b<rt@met);o~req!Uivalíitácal peso' de, 1aSJ d~),sh p¡\ime'ras l capas" Y'as' sU"CeSiVII~rnte¡l.n ,n .,. p .0486 .. illeniendo ~'pl'eqentesestas" y I otras~ mu(!h~ QIl)fisideracionea¡ell,' eh t.om:(!)lt~r~er.o' 'liIli:'tra;ta.d0~de~ \mtlilbiil ¡he , uecl'ucl<1(!)\"pa.l,~,; medir,~ al!u'ras. pOI: me,:aliq- , de:t,~áll@tllet.ro J la.(.~ór.rilU1a~siguiente.J -, _ '. ",'! .

-we

~ i>',n!::f1, '13', .(;;j:JJ*+t~) ·' k ,':) d==66'OI I(tl:'¡¡"c;1;oo,zg-3·1CQS ~.2l) ",l¡~~ log.-:-, -i

! .. '

- !!

(!u:"

".v:

~-::df.l~'

-:l_e"'!L,

;. "\. :J"1~~1

SL;J , "'), .

,~"~d~ .!. 900

_

v1f."i'-

en la q ne A re p'r~ienti en pies.la att'ura q ue ~e:q uite~ re averiguar; t, es la lat~~ud dellugaf; t ' es la (tem:" peratura del aire e¡¡:e'l~péka'je mas bajo, y h la altura del mercurio en el barómetro; y t', h' soú las mismas C'ánddades en eJ. pa-1J'l:ie ~iÍlas alto, tenie:ndo cuidado \ de vahUal' en pies 'las 'alturas h y h1'J " J "~' ('C,": Ha:cie¡~do usº cl~ ~·~ta) f6rl)lUla he encontrado qMe ~a , altura de , Ma:lilr,iI~,~obre , ~ ¡nfvelr :a~1 mar enr San~ tander; ~..es de 798 .~ar:a&. ~' o~i ¡!.:. .;' _.>,;¡ ,.,,;.• La\ ac.aqemia,_d<t:Dijpnc!ilá 'aprobado ;en;est'Gl'S 111,. timos ,añc;¡s un termo"ba!)líl1)~tro inventado 'pol" ~ Mr~ Goúbert:'\'Se redüce -áodlisptm'er de'..ta'Dmodo el üirómet¡o j , que, sirva;iambi:é~d:e tel!]ptfmietl,o'. sin añadir grari.coffiF'fkaehm. :ÁJen él, S'e c¡¡bsétva 'primero la "'at" ta!fa tbaro!D.~tri:ca o/' :::cl:e~ p®s 'l'br ,j,lna' simple.~mud.an.." za¡d'e 'sitli1aci@n"se 0b1Íen~ la ( H!m:BÜ~túra.~d€J.;; m€-r~, ellrio.

'fJ1. 1

..

i

~1

11

\)~. t

-.\rMr . .Adiej en tEcl:it)1!;¡utfg9",t qa ' hooho>ieonoe'erf a invencion lde un' instrutnent'b° :al 'oual da;. el' rrf)mhr~ de simpiriómetro j yJ'qu'e',si'rve!parl'a~~ndicar li s " rn~ lijerás. mudan~étS,-eh léi pesantez~d~la;.",atniosfer.a'J1c;, En eons~etiencia cle la obJigaóióhl que' n'Qs ,hemos impues'to de..üncl.~ir en-.esHt;·co'mpendio, "t-oda ,idea: ' l'I,uey,a ~l1lle tenga ¡;e:lác.i:O'll <li:ln '.su u obj~to " .•iio:'P0d~11J0S lIierlOS de inc\ic¡¡.r, :q¡.¡e l\'Ir'; lRafinesque ~a {l1c!.Q

,


336 N-1HíM'lU'OL:0G'1'~t: h:hll~adQ¡en.lesfóS'nñri1.Í!(DS-iafí~~) 1!l.Qa; (m~mqr1a .tr;á.ta" d.¿ · pJ'obar . q,ue,' C€lnt'Í:fl\,la,me~lte :¡lls1á~ a~e.J1'do~1polv.:ó¡ .atlllo.sféricbi. aÓ@JJ.e¿] 'la "tierraszEt,lpi~llIsf&:)q ueFQ¡lCp9l F'Olu-o ; )fiotaado:.;sili tces-au;¡e.n i .'<&·ali.t;6 ,r. es! eb q¡¡;¡:e--i s.b d~poshautaq .abilnliltnte!l}en~e.';el1l' llLtesnras . ca~s.*.:y:s que se vermea <Ígua-lmeme, est~ (e;~p:ljmo. enl cih~a¡;Il§ FOi'nalso ,q1tamo eru .un t.iemp,!il! .se<Ub!C:Olnolllu ~ÍQso. Diee:::.que:1se:üCGliJJ. p..one pr..uqcipahneHtr,eooeJ a·ló.tV~qa.)I y..::que su cáida, pf.ogr,eSiMa!, ,:p~~~ida!) á,l J deta!iÚuucl.oe!. . las plantas, da lu.gar ~ á:f.onc,ebir.,-é.oni<x 10s·la~tMt¡¡I0s.1 edificios dé.Jac~ecia. y de Roma. han sido casi en~ ", '\ - ~~ ~ ttfam(!dte~ .sepllltªdps.' .Eg§t~rt4ltP G~l} lfiJlI; b'ibeJ:lo. visto en ' SlciHi, sobre los Alpes, sobre las a;¡oútafía's.,de, Am~ri(;¡,aJ.y!;l ¡¡'~I'l , e~ ~1B~¡o~ deJ~QcóéQ1'lop l,;f !"l~ -,-'!J•.";:'! !: .. .. ....

I '! __ ~

~

.: ~ ...... :..:..~ !_ .

.i

.~,'

t

IJ 1,;::rZ: ~.,. J~I ~.; .. '.}~~t~~ ~ ~ ~1

.1 GASOLO~i(2A¡)'i

,:nj" '

,.'~"-¡ ;C--~~~'14',~;:,J ~-::

f1~f.'·"f

e .!' . .:':~ '-t~ v46IJ .' Se,da ,el. npmbre de c;,a~'O~ogja iL la ciémcia. ' que ·trata de todo,J!!?; q\.l!u:ieÓ'e ~l'.tHaeion con 10s · ga.~ se~; .pe:fu.c.Clffi0lílemUs isto' (4i24~) que todo. :cl!l.e rpo, elIJando ,se le: a¡j1iéª ...ttn ,gr·ado c0·¡irwen'iente, de., calo!'; toma un estado áeriforme .ó ·gaseosD:', ~d.eb,e[Í.lQs" Ju.a,~ c.er una ,dimincio!1l .enrre:. Eos gases; 'cq uc. SOR permanentes, y 10s q ue tr ~ ulta_l'l d~ ,la é v:a.p0racion~!.cle los lfq.uidos pOl:..ehO,<Uor; Ip.S:~l.ja:tesr;se:Haman ~'Vctporé~. ~ Un verdadero .gas se,dif,erencia de l:ln ,vapor " en que .I;,¡. elastieidad dd. Wis.; a~iimenta "cuanél.e .se~ .clismk nuye el .es·p.aC.ÍU:;.'!!1;l qu~ ,está ·ence.,rrado , iy, na~a' ,de esto. sucede en ~l':fa pOI'; Fl.j~p ..si cli.6lJ3~iriu,ye. el-e.spa~ cio en que el vapor existe, una porcion de él p1.e;r;, de su' elastie¡dad y'pas:¡"á¡s\l,esta'do ·!íllüid0. De ma~ neta, que el cat áote·r est<n.dal dejos v.:a pores es. 'q\i~ pana ~cada temp&ra-tl.lr~ s·01a,mente. pl:lede' existi.c . una, ca~Didad limitada en: uh espacio dade.;· de modo q~'ti disminuyendo gra4u<l;lm.~me .e'l espac·io" topol.&l esceso de vapor ,se ~educe á:Hq.uido..poda presi'un, sin que la fuerza :eJástiea -aumente: si<:ndo asL-q ue los/ ia~es , resistie~d(i) á toda presion, p ueden ;sec C.UIil, ..

ft'..J


,

.

,g~1

GASO,Lc;>GIA.

densados il1~efinidamente, y no se pueden reducir al estado llq uldo por ninguna presion aonocida hasta ' , ' ahora (*). 468 .Las fuert.,as elásticas de los gases secos; á. la temperatura <iel agua hirviendo y á la del hielo fundente, son entre sí como 1,37) á 1 ; 'las ae1 va·

(*) Ejút P¡'oposicion era verdadera el año de 1819 ,cuando se pubtícó la. prímerá edicío1) de este Compendio; pero como mí objeto es el presentar siempre en mis obras 'todos los adelantamientos útiles hechos en las ciencia¡ hasta el momento en que se ¡'tnprimen-; debo advertif' qu'e Mr. Far:aday ha conseguido en Inglatéi-ra conVe¡"· ~ir en líquidos por fuertes presiones el ácido earbónl:· ca, el ácido s ulfur..oso, el tcido hidroclórico, el cia,'" J ilÓgeno, el amoniaco'; el elore y el ácido hidrosul.. {úrico. Mr. Bussi ha llegado á condensar por medi() de una me'Zda refl"igerante el ácido sulfuróso y algu. 1I0S otros gases" Lós líquidos 'que resultafl son claros, blanqui'Zcos y il"anspc¡¡;ente~. Mr. Perkins hd descubief'to que el ,aire atmosférico se l"educia al estaél:o de Zí. quide'Z , sometién~o le á una presion de mil ár1J.lósfel·as, , que el líquido quedaba bajo e~ta forma aurante- alg,unos instantes despues de haber suprimido la presiono De todo lo cual i'esulta como probable el que todos- ¡(JS demas ,gases podrán ser condensados hasta coñve."tirflt en liquidos, ya Po!" fuertes comp'r.esiones, y{f por ¡¡rezdas refrigexqntes, ó ya 'e¡{¡pléañdo;simul,t&.n,ea1nente .la compresío,tl y enfriamiento. ' POI" e-8M causa , en el dh• .se deben comprender pajo la detiominació'n' fre' gasés, -.aquellos cue,"POS capaces de permanecer co-nstcmtei¡¡ente: bajo el ~stado aeriforme en 10<atmósfera á·{C¡ tempeyatura y :presion ordilla'rías: diferen-ciáf¡d~se dé los va• •p,o'res en que', e,.stos so!,! 'Producido. po.,. la eb'lltlcioll drr u¡; líiJ1lido, qúe 'no queiJ,,, constafrte"me'nte trt 'eJ éstado _~irif9n~e , y lJ.ue ,la Pemperatur¡¡ Yimio~ ~tl1iosféri c'ff' : fQIl c&Jp:acr-s. ae condmwr ,-, .

... á'z

T. á.


:33& GASOLOGIA. por acuoso' entre los mismos términos en un espacio saturado, son entre sí como 160 á l. Una cantidad cualq uiera ~e agua reducida á' vapOI." adquiere un' volúmen 1696,4 veces mayor; el peso específico del vapor acuoso, comparado con el del aire bien seco á la t~mperatura de 100°, y bajo la presion de 32,7 3096 pulg~das, da la razon de , 10577 á 16964, Ó COUlO 1000 a 1604, es decir, mUy l, ,aproximadameml como la á 16, Ó corno 5 á 8. ,Pero 10s' vapores, miéntras 'conservan su estado áeriforme, se dilat'an y condensan exactamente' Como los gases por las mismas 'mudanzas de temperatura y de .,presion; de donae resulta que los pesos específicOi _del vapor acuoso y del aire, conservarán siemBre e,sta misma rehcion de cuando ambos estén sorne_tidos á úna misma temperatura y á una misma presion. ; l ' 469 Una cantidad de éter sulfúrico, reducida á -vap.or y elevada á la temperatura de 100°, daria un volúmen de vapor que guardaria con el de igual volúmen de agua la relaciQn dé 44313 á 16964; lo qué manifiesta que el vapor sulfúrico es cerca de 4 veces mas pesado que el vapor acuoso; de donde se podrá deducir que los lís¡uidos q.ue se eva poran con mas facilidad son los que ' producen vapores mas pesados. el alcool fa vore<:e esta conjetura; pero no es I general esta ley como lo ,ha averiguado Ga9'-Lussac. La fuerza elástica de los gases seéos, bajo pre,siones d[ferentes ,Y'permaneciendo una misma la telñperatura, es, así como la del aIre, recíproca al va" ,l úmen que ocu pa. Esta regla es general en la mez" c1a de los gases secos, Y en la mezcla de 'estos con vapores; de modo que la esperiencia pruena de un , modo incontestable, que.si ~e mezclan varios fluidos,

t,

de cualquie-r natlirale'J,a que 'sean, que dula wno de por sí sostenga tas pl"esio-nes p, p', p", &c. y que no seall de naturateút de poderse combinar tos unos' con 103 otros á la tfmperatur:o en- que se obra ~ si se ¡ama Ulll

, ,


. GAsoitódiÁ..

3.39

_ ..

mismo. vot.Jmen ele cada uno de estos fluidos; fj se re.ducen todos esPoso.volúmenes á uno solo ~spresada' F(}r V; la f<uefi'Za .elástica de la mexcla ;resulta iguav. á le.; , Suma de . tasofuer'Zas etástic!~s par.ciales; es decir .6

.p+pl-+.-p"""&C,

.

470 Li dilatac10n d~ las gases secos; ás~ cómo 1á de los cuetpos sólidos, entre la temperájura dd . hielo fun.dente y del agua .hi'rviendo.; es ptopotcio ió nal á la dilataclon <lel meteutio: re~ultádb importarít~ que se debe á Gaj,"Lussaé; el c'uª,l had;¡ec~o Una multitud de espetimentos int€l"esantes ingeili<!l"; ii05; que Íe h~n condúcidd á los te~u1tados siguientes;

e

Todos los gases pef'manéntes espuesto19 á temperatur.as iguales bajo la misma prr!sion; se. ditatan eXQc" iaménte la misma cantidad} La estens.iorl de sus ' dilatacfonés comunes; ilesde Id ,te11lpé¡'at!ira de~ hielo hasta la de 10'0'° del tef'¡nómetra centígradó; es igual á 0, '1>7 ~ elé su voltÍmen primitiva ,6 0°; suponiendo é0n.3tan~e l,a presión. . ' . , Entré éstos dos límites; l'a.. dibataciorl de los gases es éxactamente proporcional á la dilatacion Li?l mercurio ~ de donde resulta qlJle para cada grado,dd termómetro clintígrado y bajo una mismá presion; todos los gases se dilatan una cantidad igual á 0;0'0375 deb .tVolúmen que ocupaban á la temfetatura d~¡ hielo, Mr. Da-lton, físico inglés; halló sel0' 0",372 en .vez. d€ 6,j75' , . _ . '. . . .' Mr,. Gay-Lussac sé ha aségui'ádó tambien de' ·que l.i8 sustancias áeriformes pr'0du.!'idas par la vapad ... Melah .de los líquidos, se dilatad absolutam-€!'llé dd tpis~riO modo c,¡ue los gases', [nÍénWiS 'que ilp ,WGlan . la forma líquida; Las tnezcla·s de, gas'esy:.·de' va p'ofes .collsetvail fámbien la mlsn:¡ar ley i pera.es necc .. ¡-itrio que nO' baje la tempetaturá del grada en <jtÍe 6e hallaba cuaiidü el.gas se ha.JlJtro¿:J(;;lda; pbtq.ue un vO'lúmen de gas ~ una teffi¡pN;a~Ur.a dada, n;ó pue-de conterier sino una ¡¡:i.erfa cantida:d limitada de ªg'ua .en vapores 7 de 10' ,"wU· resulta, q'l:le .si está. S{l,t Uté(f}o


340 . G:ASO~OG.r.A,. ' de vapore's !CÜOSOS á' un cierto grad'Q'd'¿ .tempera_ tura', y esta baja, una , parte de este ,::a por se pre,cipitaorá, y pasará al estade líquido. Como esta porcion \'f,ue se. liqu.iaa <;Jcup,a ', U¡¡¡ ;velú¡Een ,mucho menor, disminuirá el volúrhen absoluto del gas, y mudará. • ~u fllerza -elástica, y pOlr estas dos causas hará va' riar l;ts leyes de ,su dilta tacion aparente.. ' . ' 471 .. fara €spresar' el peso específico de los gti~ - ¡es, se toma por unidad el del aire ' atmosferico, el ~ que 'siendo de una mi.ma naturaleza. en todos los' climas y en todas las estacio'ne~ (462), ofrece una unidad de medida constan,t e: y, se suele preferir al agua, - porque como las densidades· de los gases S01l muy · pequeñas compa~adas €on la del agua, conviene para hacer sus diferencias mas sensibles y facilicar Sil comparacion, no referirlas desde luego á e~te líqui,do, sino al aire; y pues se sabe que el peso específico del.:,.ai,r,e .comparado con el del . agua en su mayor grado de condensaoioll, 'es (§. 461)' 0,0012 8308, ll,Iultiplicando por este vaJor el pesó especítiC'o de un -gas' comparado coa el~ ai,r e, tendré mas su peso específico comparado 'CGln ,el agua. ;;¡ 472 Habiendo ya tratado de las propieda'¡:les que ion' comunes ó generales á;todos los gas.,es , pasemos á indícar sus príncipal€s, propiedades parric..¡lares. Los gases permanentes conocidos hasta el día , no contando al aire atmosférico de que ya hemos tratado en la Neumatologia, son 25 (*); r uatro de ellos ' 60n cuerpos simples, á 'silber: el oxíjeno, el azoe, el Jhicl¡'ój'éno y el clon).; los orros son ,cOlnpuest.os, á saber: hidrójeno proto-carv'Onilflo y pe'r-carboncuto, hio

dl'ójeno mlfurado , hidrójeno proto·fosforada y per-fos• forado, hidróje·no arsenicado , .hidl"ójeno potaseado, hi.- drójeno téluriado , hidrójeno a~oado ó amoniaco,' óxido· (*) Don Saturnino' Montojo 'J don .Francisco Mar .. t ilJei Robtes han publicado una tabla siñóptrca de ¡a. dos tos· gases perm¡mente."


~~~0M~.JA.~

/le ~arbono'i 6éido carbónico, ,p,'otól*ida; de

'

3*1

aMer, ' a.eu:

tóxido de G,z.ge, fci do ,nitr:08o,. azoe fotforado ,., ácido 's-utfuro:so,; áci,do liidrocl-óriio, _ácido cloroslt ~~, áciao. hiclriódioo, ácido fluo ,bóriGo, fÍciao fluóri-co .s.iticeado, IÍdao aarbo·dórico, .y eiaflójeno ¡ó radiwt prúsico. , ~ 473 El oxíjeno es u.n ga~ 'Que !10~ ti~l1e color, QIoJ:1, ¡kli ',~¡l.bol1; su FesQe,sp.l!€Ífi~o es 1,~. 0359. ,. 'su• . poniendo, 1 e! cl.el aire atmo'sférico í y 0,OGl'l416 suponi&pG.,G' 1 e! de! agua tO.mada. en el ma-ypr' grado. de' cond.ensiciü.t}; el .p.eso absoluto .de \)11 pt~ cLÍbico, á-1¡¡; !t;.erUpera ura .de :t2~_R.¡ "YO á la presioa me.di,a de Mad;dd~;~~l rleS,.'194 -'l:~aI'.lUes ;.ING> · se ~.es,C;{)x~pODe , pot, el calóric<;Í; p~ro todos J-O..$.;:fu.e.r pos combú~tcibles" le ~bspq,en,; ¡ s,ll . c.a¡'ó'l1i~o e-s.p¡;~ífiéo complH~@:O con el . de.l aÍI:e '¡¡tlJlosfféric,o ,q ueh,~;.t6.wa por u.~'l'Í~ad, e~,~. jo lJl1<l; misma 'ptesiOll,,'.Gl,,9"f65 T o, .vQhJtp.ef!.!ls}igu~lell., y 0,8.848,á peso iguat; fj 9óiJ¡lp¡¡rado con ..eJ,~el ªgl-lJ,., á péso', igtial , y torrlado i'e! óxíjcno á la pr~sien"1 de 32í,*30,9tií... puJgada:sj ,js>;.ck' 0,:;36 I. Sin 'él n0 pucede haber ,c.ombus-tion, ni';relSpiracion ; lo~ am.i!J1Jlles puet de.l}. ñ.és-pi.ra¡tle p0r a,lgun tiempo; entra C(;)!ll'l! ' p,d.nci-pL0J eG>n~tj.tutivo en ,etaire attnos.férÍc0 ,1formaHdo 0,2.1 ,de su v..oltunen;. ta:m.bien eotra en e1-a¡glla-·y 'formJ.:!Ufl tercio de su Y01úmen Ú 0,88 _de su peso. ' 474 ' El. azoe es~ un ,gas· sin 'color, olor, ni sabor; su peso es p€oífico es oW6.9)13 compa'llado con el del a~re", ' y~ 0,Oó'l243Hc el1 ,relacion al del agua; el peso absoluto de un "pkcúpico en las mÍslna$, circunstanc:ia.s.:::q ue el anterior ,les 13,343 adarmes; por si i010 00 puede mafl~enef.\la ' respiracioll" ni la combqs- \ tk)h; cSU"calorico eS'pecífi€o,- ea volúrnepe§ ig,uales, e!t el mismo que el dt:tª,ite-"'atmo~férico, y) en peso {gual ~5 , 1,031\8 a.e! de este ,i y. ~0 ;á 7 54 del del, agua. Burra; como principio coostituti·vo. en el aire a-tmo"sférico, f0f!Jla-ndo 0,79 de, su v.olLÍmen. '. 47 S El hiarójeno n9 tiene eolor:, ni sabor ~ pero lH:'ne un olor desag,r4djlble ,; su peso · especítico es Q,07?:,'H comparado cOfl 'd aire, y O~..o0009~92 coroo


314(~~

~ASQL0GIA.

pll:¡:ad~~ c(»¡'1 ~'l, ~g4a:' $ 'd·.p~sP' ~[)5l;¡luto 'de ~n 'pIe ~ll~" . pi¡::Q. elil; JaIS !ri¡sq~as ,cir'¡::!!f!'1's~a,i}~ias( 473 ~s' l ,60S ' ¡¡i~arrPe~ r

y.

es el gas q ue ti~n!; ¡nenor peso !;S ped6c;:o; per 19 ~4'a¡ es e! ¡:nas. á FF¡;Jpósito para 'la Con$truc-' don &e'lo~ g10bp~ aerost~tiC(!)s. ,¡N(!) pgepe rnanfenel' la r~'S'pira¡::ioí} !ili , la ó(!)rnb4,~¡ ipn; p¡;ro' Se, -inJia:¡na y' arM, ~!'l¡;¡ tal q l!j'~ se halle '~n Comat:fO con Id .aire afIllP?f~ri'c;:o 'ó eón e.! 6lXíjeño, y lo qU!; restll1na tle.es~~ ¡::O'lI¡bustH:mes aglfa; ,de !PéJiÑera 9ue .s~ ! p~ é,de de, elr q ue· ~,l agua es la ceni7l~ qUe resulta Q:e "q [l'eQila·¡." j:lÍdrój~ñ'O y 'oXiíjeno; e¡;¡tra ¡::omo fl,rin'cirio <;oq$"ti¡ll~iV0. <.tel ¡¡g\.l3." 'f(l)f[flánm,o ·dd$' ~erceras, paJlt~~.J ~J sil: Volqme'111 ··Q"g'; f2 de $11 :peso! , / . ~ ,(""j , . 47Q" ~i: 'r:lqro es ,UÍl ,;gas' arnarHlo 'N~1·.9'0~9 r tl'lle¡ tle!w ll!1 ol$r':y' \.ln §¡¡.qor ¡nl!1y- d¡;.sa~ram.á'bles ; SU 'pies o ~speaífico eS"2,47 eornj!lar«ctn'\!:Qn el aire, y'q,oo 31.69'i ., ~.ó[Ji.íparad.o ""con el 'agua ;I!eu p!5S'Qamso}.uto en ,un pie ~úbi~o, rel1riendo este y tbdos'Jlbs dema$ ,qwet sl.gaa .lit'§ r;:Jr¡::~lq~tal}c:ia$ ~S'presadas. (413') e~ ~4; o0q ªclarp:jesr; es pe1i~ro?g e! r espirarl'€ ; ~e §i puy,e '(0$ coiopes yejetale$ "r ~ a,~i~n¡i¡es; apll~a.' 'pd~o' ~ poo~ /llas' 'h~?e.sl

que sé surner)en en él; p~¡;O p!lede mantelilef la: compusripn del €Íjirbon, del fósforo , del a?:'\l;fr~; y de mu~~os. ¡:n~[ales; $~ disllelv~ ~n !!'}. ~gu~. ha:sta la 'Ca'ntifiad q\! S Ó J ~ , y.~\;e$ su vph~rn~!lJ e'J.1t 1 de ag.ua, yl en ~st!! !!sta~o se p!lede ¡ipli~at ~n la§.' artes' tpara bbu'l": qu~C!-r ~os Ií~nzos, Ja cera', &p.; ,destr!lye !OS'~ lllta'S~ lIlas pútrido? q qe contiepe ~l' ~¡r~, y por, c:on~jg:!Íi'e!il~ t~ es IÚtil ~~ta qe¡;iqfic~oqar.:* a~rr¡,ó,sfiep!, !!tl ,l?'s 'l:í~s.; pItC!-le§ y ~n' la§ poblaclpPC::s en pempQs de ~''PI.zl\;lI1'lla. Á !!S~~ g1!-S ~!! l!; Ualllapa: ~m!!S (kjdo piuriáúct¡ 'wije': ~'aqQ, Yd ¡ñgdQ de obt!!nerle 'para des in~do'na fl la: jl~llló¡;fej:'4, is !±¡p,c¡aJ1dó~1 ,ó:¡¡:i!iQ d'~ ¡:nangap!!sf!" tOIl Ilat ¡parina y á9 1Qo sulft1ri~(!), ." " ' ,1 '

4:77 ErhiQr9j~no ~~ ~o¡nbiA4 ~n do~ pf9pO¡:i2.io~

PeS ~on ~l ~afºollo; ¡::U¡¡!1~g ~iel1e Ja ¡:n~n9rpprC;lOn de carbeuo se Harr¡a proto,t;qrboflqdQ; Y cyando liep~ ~C!- mayo!, l?9r~ion- c!.e "~l\rºOP9, s~ Jla¡pa fer-r;al;bo;;.

,

/


r;.ASOLO.GIA. 343 noao. El per-carbonado se <;ompone de 0,86 panes de carbono yo', 1 4 de hidrójeno; no tiene color ni ·sabor; pero su olor es desagradable; su peso específico es el mfslJIo que el d,el aite atmosférico; no puede servir para la comuustion ni respiracion: en contacto con el oxfjeno se inflama con detonacion; . su ,calórico específico, comparado con e~ del aire, en volú~nen es 1,553, Y en peso 1,5763; y comparado cpn el del agua ¡!n peso es 0,420'7 ' El hidrójeno proto-carbonado se compone de 0,13 de carbon0 y 0,27, ~e hidl~ójeno; sus propiedades no se diferencian demasiado de las del ,precedente ; es menos pesado que ~l aire, pero mucho mas que el l1idrójeno; se desprende del cieno de las aguas estancadas, por lo que se le ha llamado aire inflamable. de las' lagunas. ' 4'18 El hidrójeno sulfurado se ~ompone en peso de 0,94 de azufre y de 0,06 de hidrójeno; no tiene rolor; pero su olor "!I sabor son muy desagradables, como el de los ,huevos podridos;' su peso específico t ,S . I,1 912 ~o.mparado con el ,aire, y 0,0015284 comr F~rado con el ag,ua .; su pe~o jlbsolutq en un pie cúbico es 26,4 a~arúles. Es incapaz de mantener la respiracion ni la combustion. . \ '479 El hidrójeno se combina con ·.el fósforo en (los proporciones: ~uando tiene la mayor cantidad ~e fósfor.o, se llama per-fosjo,rado; 'y,cuando la me~ n~r , protodosforado. . , " .. - J El per· fosfora~o no tiene .c olor ; su olor es fuerte y desagr~dable, análogo al de los ajos; ~u sabor es amargo; s,u peso específico es 0;9022 compatad,o con el aire, y 0,00115 75 9. ~om parado con el agua; s!l peso absolut~ . en un pie' cúbico es Il~,4Gl adar'Pes. El proto~fosforado no difiere mucho del perfosforado. 4 80 El hidrójeno arsenicado no tiene ¡::olor' su olor causa náuseas; es incapaz de ~antener la ~(i)m­ \ \b~stion; es muy peligroso el re. pirarle, pues inmediatamente mata; por lo que no7se saben mucnas de


("

.

...,

H'¡; .

,_.

.. ,.

~A~~LOGIA.

.

!us propiedades. Cien partes en volútiren ~d'e es"te gas contienen 1'49 de gas ' hidrójeno. 481 El hidf'Qjer¡o potaseado nó tiene' color; se in~ama' espontáneamenú: par el con tacto del aire y dd bxíjen?, cuan40 está r~cien preparado; ,pero, despUes pierde ()sta propiedad. ' .) . 48 ~ El hidrójenQ tet ~¡l-iado tampoco tiede eolor~ $U olóe es desagradable, serpejante al del hidrójeno sulfurado; arde puesto ' en con¡acto con el aire, '6 con "el .oJi.íjeno y con un cuerpo inflamado. ., " 483 ' El hidrójeno (l'l-QCldo ó amQ~iaCb / 'se eom po'': : ' ne 'en vo!ümen de tres partes de hidrójeno y una qe azoe; no ~iene eofor '; su sabor es acre y dbagrada:' bl~; su olor es vivo, picante y ' escita las 'lágrimas, s~ p.e'so específico es 0,.596 comp'l.~adó con el aire; .Y 0,00076472 Can el agua; su peso absol uto en u\l ,pie 'cllpic;:q eS8,206 adarmes. Este liquido. disuelve casi la ~ercera parte de su peso ó 430 veces su va'.. lúmen; en este estad!) constituye '10 ~qhe se llama amoniacQ Uquido ó ál~afi,votátil; de, gU'e s e 'h~ce usB para hacer volver en SI a los que son acomettdos' q.~ ~sfixías, desmayos y paroxismos ,hisré ricQs, '1' 484 . El óxido de c;m-bol1o 'se 'colnp'oIle de 0,43 ,de carbono y 0,'57' )de 'oxíjeno; es il1visibte é insif'liClo; su pe~o específico' es 0,96783 .cOlnpa,rado con el ' afre, y 0,00~24 ~ on el agua; su peso absoluto en u~ pie cúbico es q,325 adarmes; su ealorico es¡ieéí-fi.!. co comparado cón el del aire en volúm~n igual es 1 ,c;¡.34, .y en peso ¡ ,080 5 ¡ Y c'om parado con el- 'dd 'a g\la en' peso es 0,2884. : , ... t' 4-85 El áddo carbónico se compone-de 0,27 de ~carDono y de 0,73 de oxíjeno; es invisible ~ su sabor 'es- acídulo; Stl olor llll PQco picante; no es btjenó para la combustion ni respiracion 1 su p'eso específi~ t@ M' 1,5'196 comp'arado cen ' el aire, y 0,OQ194077 l(;o n d agLla; su peso absoluto en 'un· pie cúbico eS '2 0 ,9'22 adarmes. 'Su calóFico ,específico r comparada con <;1 etel air~ en vplúmell es 1, Z S8 3, ' y. eCJ pes~ -.

...


y

~A~OLOGIA.

S4~

e~828; comparado con el del agua en peso es 0,2:21 • . ' 4 86 ' El protóxido de azoe se compone en volúmen de dos partes de azoe y una de oxíjeno, y es cono~ cido con el nombre de gas oxidulo de azoe; no tiene 'color, ni olor; su sabor es un poco azucarado; Sll peso 'específico es 1,36293 comparado con el aire, y b,60174874 compara!io con el agua; SI1 peso aoso luto en un pie cúbico es 18,76'5 adarme,s . . . 487 El deutóxido de azoe se compone de part·e~ iguales en volümen de azoe y de oxíjeno, y se le ha llamado gas ' nitroso; su peso específico es I,038S cOlnpar;¡,do con el aire, y 0,00133285 .comparado cap e,l agua. Poi" medi0 de este gas se puede averi. guar el grado de' salubridad del aire atmosférico, 6 -el oxíjeno que con:tiene; para lo 011'al hay un apata. to que se llama euiliÓmetro. \ - 4188 El ácido nitroso se compone de oxíjene y d~ azoe;, tiene 'Un' c01or"rojo anaranjade;, un olor y sabor muy fuertes y desagradaBles ;-es-lÍluy ptd'judlciaJ para la respiracion; su peso especifico eSl 2,'I .999? -comparado cad· el aire, y 0,0027°828 -eon, el agua; y su peso absolúto ea un pié clÍbico es 29,05 adarmes. • 489 El azoe fosforaclo se cOfnpóne deun át0mo 'de ;fósforo y un- V'olúmen igual al suyo' de azoe; , RO ti.ene color; huele COJ¡D0 ~l fósforo, y es un pocGi mas pesado que el aZ0e. ' . , ,~ - ' "., ,490 . -El"áci·do sulfuro~o se compone de o,s~pal'. -tes ae azufr~ [y de 0,48~e oxíje~o ~ !'lO tiene' color; , ~u sabor es- lfuer~e 'Y desagradable; su ·olor vci va t ~0focante, análogo al del azu~re encend~do,; apag;¡ 1~S' eue,rp'os:::infiamaao's , y"ma-ta. 1'<,)5: animales que le - respiran; su 'peso céspecífico. 'es- ~,2IS S3 comparac;ló _'con el aire', y O,Oo:z8937'Z-Gompa,pad:otcon el agua t 'Y su peso absoluto en un ' ,pie ctloico es 3'1,.O-S ¡¡ 'adarmes. ' ,. ( . , • , . ," • 1 ~91 El áciilo hidroclóric.o se compone de vo.IÚlJle-; . 'nes.'ig1,lales <le cloró y de hjdrlÍíjen9l y ~s COUGddo ~on el homore de ácido muri4,tico i es ibviiible'i , ~l,t,

. ¡'

\


346 GASOLOGIA" <;llar es picante·; apaga los cuerpGls en combustiol1, y mata los animales que le repiran; su peso e:specí~ fico es 1,27ª comparado CON elaire, y 0,00163977~omparado con el agua; y su peso. absolu'tO en un pie cúbico es 17, S96 adarmes. . 1 , . 492 El ácido ctoroso se compone de dos partes de' cloro y una de ox~jeno; liene un color amarillo verdoso; su olor participa del del cloro y ·,del qu~ tiene la azúcar quemada; su peso específico es 2,41744 ~omparado con el aire, y o,o~ 10176 con el agua; y su peso absoluto en un pie CÚQico es 33,083 adarmes. 493 El ácido hidriódico contiene la mitad de ~u yolúmen de hidrójeno y la útra, mitad de oxíjeno; nq tiene color,; es muy oloroso Y' s~brbso; a paga los . cqerpos encendídº§ ) y mata los animales .q ue le respiran. . . . ~' 4'94 El ácido fiufJ.bórícü es invisible; su olor es picaate, un p0GO 'anál0go al del áci~9' hidroclór,i¡;:o; ~ofóea los animales q ne , le res'piran" I y apaga 105 c1!,€rpoil, enc~!1didos; su ,peso específi¡;:o ,es 2,37 1 com~ p¡¡,rado co.n el aire, y 0,00 3°42 I? ca¡:¡ el a~ua; y llU peso absolut9 en un pie ctÍb~co r~¡; , --32,644 adarmes. '-.49E El ácido fluó¡:jco siliceado s~ com ponede 0,6 i de: sílice y 0,39 de .áddo fiuórico; no tiene color; su QIQr' es muy piéanu~, análogo al del,áci~o hidroclórico; su sabór es fuerte y ácido; no ~irve para la c9m-bustion ni:.sespj!ado,n; SU peso " esEecí~co es 3,S.'7.:4,' ~ompap~do coa .el aire, y o',9Q45~, S,73 con el Il;.g1J,a ;.y su peso abª91uto en,un pie c,..ul:)ico es 49,207 3~ar<o;¡~~, . J!."

_

~,

r.

. .• , <;

,

, 49Q ,El áci{lo" c~r..lzo·c,lórico~ ~I'f ,G0mpor¡e de volt¡. lPeae,s )gual~s ,d,.e dpJQ. y de gªs j¡xido de carbonQ secos -; no tiél!~ ¡ eGlor; .§,u 010r "es.::,4~sagradable y so' .(o,ca~m~ ;zapa'ga •. e~n pron~itud 19.5 c.uerpoS encendi~ dos) y es peligroso ef respirarle; su peso específi:co el; 3;4'.269'COrnparadQ,cC:lfl eI'air.e, 'Y 0;0'0439698 con el :ag\ua; y su pes~,. absel\ltG el)_up pie cúbico es 47, \ 8,~, áda~mes., .. _ . , ,,

/


GASOLOGI~.

~

347

497' ~ E:l -éidnójeno ó rodical prús~ico' se cotrip_one ' de dms partes en voltímem ,de~ va por de carbomo y una) de a~oe'" condensaqos !:¡¡¡.sta que formen un tercio del vC:J1úme'lilJ'llie ocu pabaq los ¡;los c.omponentes; e:¡ invísrbJe; su 1il10r es surpamente vivo y pen~tra:(He; aho· ga Jos aFlimales, y apaga los c\l~rpos encendidos; su peso, es.pecí~o es 1,8064' comparado con el aire, Y' o,oo2317'iJ5 comparado C011 el agua' ; y,/su peso aq., ~olutoen \l'n 'pie ~í!bieo es ;1'4,871 aciafmes, I

'

498" ,Higrometría es la ckn~ia que ensefí~ á conocet', !@s grados ,de 's~equedad y de hume,dad de los' cuerpos; y: pa:nicularmente de-la a tlll0sfera ;.Iy 'se lla· ma: e's,tm:lol'higrométrico de tó.s f!Jd.ses á 1a. cantJÍqa,cl. may@!!' p':I'IlenOr de vajD0J:es),ac,uosos ql!le cOfl~ieheFl. ' Pa!l!a. medilf"eslO's grados de hurneQ.a¡d se han, in. 'Venta'Cio¡ los· instrumentos qrue $~ llama; lpigrp,metf'os, ' y'. que casÍl todos lQS , conscDüid,o{) hasta eh~diá_ s'e han hecho C"OFll &Ustancías @Fg.á¡{lcaJs~ Los vapores :actlo· sos. í' im.trodu.ciéndose en estas sustan€Ía'&--,.d Il"dan sus 'd,im~Fls¡ones, y "¡l.'\l'n su forma >, de uIt, ll10do:- muy sensthlLe ;J '!f ,. es \ili~fl ' cónocida ' palra t09-0S 1<1. difer.e.nte ,elastioidad que .tierre \I11 pe~az()) de pergamino htÍmedo ,. y un pedazo de pergamino ~eco: Sobre es· te piincipjrg,apliéado á laútier:das p'e vihuelas. eStálI fundadas .las construccde¡;¡e$',de laS'flguFasl,-que(¡~di-: ean 'po): S4'S movimientos :la.seq1Íed~d y laJlulVia,_esteas fig.uras' lioa por lo ' regu'lar .me ca puehin€ls, de agu¡ifl'e_re~, rÓl1 de lo que' el eap,ri~h0 él fantasía,:.dd eor¡g.ruc@lro !~ '~u9i'ere '; pue-s:Ja:iomia'de 1a,figura..e$' de mdú punto ~nde'Pe!1lliente tiel efect€l. . .. e , 499 EFlu¡e las ~J.ls~am"~il1's 'qu·e gozán de estas propieqa,de /:ljW0!f):~trica$ " no hay ninguna mas seásiele, pi l11a¡¡ \l!o!i!;tante q.u~ los cabei10s lavados en un'a, débi¡ 'disolu~ion de póta~sa, qme ,les quite la, gras~ que ,tienen en su e!ltadó natu1'.al: " ,.

ª

l'


!4S

\

Slm ,n oMET,Rfa.

El ca-be-lIo, Jespues -de esta preparadoii; se~.ltcor. ta por la seq uedad, y se alarga por la humeaad;, 101 cual 'no .le impide alargarse tamh>ien por el calor '71 acortarse por el fria, como todos los otros ouerp05, pero en una proporcion muchOJ menor. t Saussure se ha ~ervido d,el cabellID así preparado para ,cor,¡struil' , ' el higrómetro .. que lleva su nombre, con!.eL ~ual .so: ha c.onseg~ido <tn la,s invesligaciones de <:;sg~ género una exacútud hasta entónces descon0cida. Este higrómetro está repr~sentado en lª (fig. 117); el es.tremo s.uperior del cábello está fijo en S por una pinza que le retiene; el estremo inferior está unido cie! mismo ',modo á la cireun'fe.r:encia d:e "lliña polea' P mu y mÓNiI, que por 'U11 lado- estádirad~~por~ e! Clthello' y poc' el ot,r o por"lifl peq ueÍÍo peso R; 'cliando el cabeLló se 'acorta ha~~ ji.,rar, la p.olea en Y11 sentido, y cua1nd0 se alarga, e! pequeá0' peso' [aJ.>hace jira'r en ' otro ;· la. pO'lea COf1 . sl1 ·ülOvimiento'r,nace, movér á 'una lárga. agl1ja n sobre.3J.~-arco dé cÍróulo: gFadua. do, ~ , d:é est.e lñodo,r-inaiéa !al dHa1:aciol1 o' contrac.cjon que padece el cabe.l'lo, )ll0r conseClHmcia de lat variaoio¡¡es de' la humedad del aire queJe,·f.orlea.· " 5oo:lb'Si se pone este higról1~etro , en .. üUl,· apia-rato que cont@l1ga ail'e ..ó un ga.s cualqú'iec.a, y ~u,y:as par~des '''es¡'én ' mojadas), ~e agua ; ;se ~ota que -la - aguja. marqha Sübne la di'vlÍ!si0a <q Ule indica q,lfle el, cabello se,ha' alargad'o ,.:y p0I:. .wDimo se detiene e.llnin cierto PU,liltro; '~n~6nees:, &ifse; boIGeal el instrumento en otro aparato. eo KÍ ue ' el air;e €sté ,encerrado alg~nos ; dias eón . Sllstahcias 'des'ec-aro\ües ' como el. muriote- ;&dorure~o " de. eal, ó la potáSia C'áu!1'tica ~ se 'v.e) q;:Ne(inmediatamenne prÍlléipia,'la aguja á retrogadar ,.101 ,~ue:.supo­ ne ,una colltraccion del c,abeHo .; de.6p.u:.e.s ~ d!f lo. cual ' la- -aguja' se 'detiene. :Gualq uiera, q ue;;seil,;lá)emperalúra- á que se obra ', 'e0n 'tal que: el .\lAl · :t~arato esté satUlia:.do de vapOlTes~acuos,os y el 0J;ro' es.té p¡;:rfecramente priv~do de eU0s por la desecaciol!, ~stos puntos estremos son siempre h~~ mis_mo.s ~sQbr.e~ d limbo rl


trIGROM1tTII.fA.

349

dé! instrumento. Saussure llama al uno de los dos el. t¿rmino de la sequedad estrema, y le . señala por O; llama al otro el término de la humedad eftrema, y le señala con el númel'o. 1.00; de.spues di vidiendo el ar- " co que comprenden sobre el limbo en 100 partes ·igualés ,. cada una de estas partes le sllministra otros tantos gracios intermedios de humedad .. S0l Saussure ensayó si los vapores del üer, del alcool yrde otras sustancias" producian el,mismo efec,'to que el va por acuoso: y halló que si prod~cian algunos efectos muy débiles, era solamente',en raZOR del agua que ellas cedian ó que podian absorver. El higrómetro construido con cuidado, es cons-· ) tante en sus indicaciones;y es comparable; de modo ,~ue 'en esta parte de la ,Físicá ~jere~ l¡¡.s [mismas fun~ cio/les que el ter.mómetro_para. los fenómenos de} calor. 502 'fambien se ha' usado de un filamento de haBena palla la construccion del higrómetr0; y ahor" acaba de , inventar 1I1r.' Wilson un higrómetro lnur simple y_al mismo tiempo muy sensible. Para construirle, toma una v.ejiga de rato~, y d:espues de ha- f heda lavado en agua fria, la retueree, y une á Sil ~(Jrificio un tubo _capBar de vidrio,;.lo llena todo de lJ'lercurio, y obtiene el término de la hUClJeda.d m'e .tiendo la vejiga en agua á la tempera.t¡,¡r/j. de 15°,) centígrados. El punto de sequedad ·le detel'mina en-cerrando ya sea todo el instrumento, ya sea s010 la. véjiga que le termina, en un recipiente·,de vidrio -que,contcmga una cantidad d~ ácido sulfútico de una./ , densidad igual á 1,85, El intervalo co~ prendj~o ~en.­ , tre' estos dos puntos !1jos, q ue e~ muy considerable, ,e divide en loO partes iguales. El autor ,aseglura , que hat~nido higrómetFos construidos de este,modq, :..que despues de tre§ ifios no han padec·ido aheracioll - ninguna en su marcha. ' , MI'. Adie, en .Ec;l.imburgo, ha inyentac10 talDbie~ . 4ltiwa.we1l.te otro , hi.gr.óm~tro, que hace mu 't se~s~-


g'5d

lIIGROMETRíA.

bIes 'las meñores mudanzas de hUlnedad " de la atmósfera. I

,

503

Anel'riotogia es la dencia que trata

L

Jai' á conocer el oríjen, direcelon; y todo 19 que tiene . :relación con los vientos. Se ~a el nombre de vientó <Í una p0FelOil de aIre ·a tmosférieo. que se mueve en uná direccion cl!la1q uie .. ra. Los vientos pueden ser constantes, periódic os 'j variables. Los constantes son aquellos que s'Oplan ó 'vienen siempre de un mismo lado; los peFÍódlcos SOIl ' dos que reinan en ciertas épocas ' solamentej y los va'f iables soa aq uellos que se verificán sin sáberse ·toda vía las épocaS fijáS, ó las leyes q u~ guardan en sú aparicion.. " , . Los vÍertto$ provienert de la taita de eq ullibrió en la atmósfera, producida 1ás mas veces por' el ca.lar, que allmemandp la elasticidad del aire, rechazá ~ a l q Lie está en sus inmediaciones, y. d«. eSH~ modo se Tompe el eq uili~rio. En efecto ~ como .el aire calentado cs mas lijero, se debe elevar por las leyes de "la hidrostática (37 í); Y em6flces_seácumula allí el ·aire frlQ contiguo, 10 que J!llr oduce uila corriente que 6e esparce por todos lados, El pasd del sol y de la ·luna por' el meridiano eJercen su atraccion sobre la atll'iósfeta, 'y ,se verifican mareas atmosfét Ícas analogas al ±tujó y reflujo del mar. , . , . S04 En el viento ' se deben conside.t~ r cuatró ca· sas, á saber ¡ su dir.eccion j su velocídad, su fuen,o; y .el, tiempo q u'e cada uno reina 1 segun lá dÍlreccion del viento coh relacion á los p>untos cardinales; se leS dan diversos notnbres ; y se conocen <'> d'istlll guoo 'hasta 32 j que.se suelen llamar rumbos, los cual:es ~se sefíalau en la (fi g. 1 r 8) 'q ue se llama ros a de tos 'l:Jielltos, ó rosa nautica.' Los cuatrel vientos priaci.pale¡ están señalados eon las letras N; E, S Y 0,d niéia-


'\

3;i

ANEMOLCiGIA ,

les de Norte, Elte, SUJ- y Oeste: los cuales están ello los estremos de las direcciones NS y EO que se Cruzan á ángulos rectos. Si dividimos en dos partes igua. les cada uno de los cuatro ángulos rectos que forman los cuatro vientos cardinales, tendrémbs otros cuatro intermedios que reciben el nombre de los dQ!t puntos cardinales entre que se hallan, y se señalan I por N E, S E, S O, N Q, iniciales d~ Nord-Es~e, Sud-Es~e, Sud· Oeste , N.or-Oéste. Si dividimos en dos partes iguales cada uno d,e los ocho ángulos d'e 45°; resultarán las dir~ccion,:s de · otros o~ho vieQtos 6 ~umbos, señalados por NNE, ENE, E SE, S SE, SSO, OSO, ONO y NNO; Y se leen Nor-NordEste, Es-Nord-Este, Es-Sud-Este, Sur-Sud· Este, Sur-Sud-Oeste, Oes-Sud·Oeste, Oes-Nor-Oeste y NorNor-Oeste. Con lo cual se tieuen ya 16 vientos ;- y clividiendo en dos partes iguales cada uno de los 16 ángulos que forman, se tendrán los otro:; 16 que se señalarr ea la fig~ra; los del cuadrante NE se leea Nor~e-cuarta al No-r:d·Este, Nord-Esté cuarta al Norte, Nord-Este cuarta. al Este;, Este cua;tá at Nor.d~ Este; y análogamente se leerán los demas. so~ Se tienen muy pocas observacioneS' acerca de la 'velocidad del viento. Don J orje Juan hiz.o algunos esperimentos eu la bahía: de CádÍz;- i es lás_'tima que, no se hayan repetido. La fú erza del viento) 'contra un objeto proviene de su velocidad, de la densidad del aire que se mueve, y de la superficie q\le 'presenta el cuerpo al viento. ,En mii<:;has ocasiones se verifica que un huracan arfanca árboles, derriba casas y eleva las aguas del mar á una altura es'paatosa. Esta fuerza proporciona un ajente. 6 fu~r­ 'za motriz á la mel:á:niéa"'; que se aplica con mucha 'utilidad en los molinos, bataI\es &c. ' . . Para saper los nombres y efectos que I1 fO qu.ce ,. '~l aire se~ull 6\1 velocídad"1 sirve la. adj untíl . ,

)


ANíl1!víOLOdtA.

Tabla que manifiesta los d¡fel'entes nomb¡'e$ que se dan al aire, segun ta v.elocidad que lleva 'por segundo.

.~ p,:;;~;i!.~¡:;: Y,Z ......... .... . ..

4 .. ·.. · .......... ·

1· ........ ·.... .. 19.. ·,·· ........ ··• 36 ....... : ...... ..

7'1,· .. •.... ·• .... ··• 8r .....: ......... .

97· .... ·.......... • 13~"""""·,,·,,

162 ........ : ....... .

I

I

-

Nombres que va tomando et .aire.'

I

insensible; ya es' sensible; moderado; . algo fuerte; fuerte; muy fuerte; 5 viento de tempestad ó teml pestuoso; 5 de gran tempestad ó muy l tempestuoso; huracan; huracaa 'fuerte, que derri- . ~a las casas y arranca 10S _~. arboles. .

I

i

'.

. Nota. La velocidad mas conveniente para los molinos de viento es la de 21 á 30 pies por segundo.. Acetca de la duracion de los vientos no se tienén obscrrvaciones, y seria de lá m~yor importancia; pues .si se observase con exactlt;ud por buenos anen:¡ómeJ:.ros la direccion, duraciou y .v~Joci~ad de Jqs vieI3tO/3 en cada paraje, y se EU viesen en cotlsideracion .los 'puntos lunares y e) movimi,ento del sol, se lle'· garían á deducir las lflye~ con 'que obran e¡l los di· ferentes puntos d~l globo. Los anemómetros ordina;rios ó, ve~etas q'u(se punen en las torres, solo indican la di~eccion .del yiento', yeso con imper(ec.cio~. ·W otfio y OusembraJl describeJJ. anemómetro. méjore'$,


JJ'

".'1,

AC~'l?ICÁi f,

"i ',;

I lo

'i ~

'_

r' : ~

',-

1

,

j(,

566, Ac1ksticw. es la ciencia, <!fl~e ,trata dei.-sonido~ , €lJar., I observ.:arimos que ' ÍasA

y para dar" una idea ,de

paníel!l¡'as de lqs' cqerpos 'elásti~os, cuando s~n esti-) l1ad0s y .saJen momentáneameate de su poúo¡'oh na.., tural, vuelven á eLla pot-iunamJulütud dews,c ilaoiones. Estas vibr~ciones se comUnieaJl a t.a.ir e , que ,sienda )lri~ .c,uerpb cempr,esH>)'e:y. ¡;J.ásticor;l"p'r :o:cl:u;en en él ciertas condensacie,htl.s ;y dilatadoJl@s) altefflativa~, qué a\J:.;pl!incipio sOl'l(;escitida.s en las Lc¡¡,pa:s mas inmediatas á ;10,& cuerp:o.s 'puest0s l S!1l movüni,epte; 'l.' de estas se~pr.opagan ;á ,la-s ' mas, distantes en toda la masa dd airc{ , del mis¡i.t9L~od9 , q)1e cual1do ese ) irtoja ·.jun~ pie<ka: en ' un , a,gua tranqullai 'J:fi'S Gndas · que se; forman ,. se propag-al'l,c-irciflarmente por. todo alrededor. del punte dGlDd,t:l .ea-yó. , Guando, €.sta$.diJa:taciones f ,col1t1!aeeiones sel.!n:!J,eyen con ,bastante ra~ pidez ;..esdt~n:.er: el órg,aÍroJ,del eido la s~n.S¡ldOfl de lo que 'se llama un SOhi41J):oy' ,l¡¡. r:apidez. ,lJia~1 ó,:menos · gránde ,a:l!~'su .sucesiQ¡}(,J.onna teda ll! td.ifereJ'!ciá de los tonos aguáos ,o g.r~Ie$", por los cl!aLe~ Jse ·di~ .. tingue,n 'los, sGnidos. . ''''J! . f.'. • 'lC ly .~ ~. '. $07, Se debe ha,~e:1.' l:t!lá~ di.gtinciQn én~re lo "iué .se llárna sonído, y lo qu~ simplemente es yet ruido; ¡d pril~er~u;:s._sus~ept,it>le; (d~ g.f'rI,1,O'r.¡iIJ y 1Ja¡m; _musical Ó ' tielnpo ; 'el segundo oar,ece ~~ , ~~bas :S::.L,1:(!>li9.,al:\es. E;l prime.r:0 le produc~n lá$,. cam.pqnás; ufna euerda ¡ lnqS' .@.;,~e.nos ~s'tenaida, lHl ,\tubC¡¡i &re:--; ~,1 ' seg.updo Uf.l caiíon 6 atrn.a ,de f!i1.e;g'b ,:. eualqui!!~ e~~_'1ué de las arma;;.:, b.1ancas, un, pesol.que ~~cf\&c. D~q}gdº 'q!J,e CUamlG la:.s-,- osciladoP7&1l0~. tªf1 !,á-pid_as ,I\l¡1¡I~ J n~ Pl',G· . 6 duce n,'sens,aciones, distintas..ea el Qido, entemees solo prQd,UCén r_ui,do. f, , j ,u.' , , • < ! ,la.; mús¡ica: s0io trata~de1 verttat;ler9$9hido.,j q!J,e es J.!l1J~eeF~iQl'e ·de ,.J~,lJ.toJ!:~ei_(jn 'ff p,ledida,;\ Y.. ha y"que considerar e'n ellá lo que se llarIl:'a -mdodía y armonía; ' ljl¡ me!,pdJ.aF·~e~ ita, sue~sJO}l_ d~, vário$ sonides unos Q.es. v

,

ZS

T~

n.


35!t.. ACÚSTICA. pues de otros; y armonía es la verificacion de dos, ó tres ó mas sonid0s. á uJi'mismo tiempo . . 50.8 Desde luego es bien fácil de probar que en efeQioolos.~Ll(~tp(j~ 's@üdcis 9'óua'ndro soú' saéhdiaos "dct modo que<prGdu.zcan Ul1 ts0~'¡id'li)' cifistinto' y 110".un rui.: do ', -vi'mran;cofl ml.fl!ha ra.piGlez , 'porq.ue s,i ,se( les_to· ca, entolllces lijel:an\eñ'tre '0'011'1 el dedo:t se c(j).flo~e Coa mu'óha)di~i¡jci0n una fllIldrirad de pulsaciones que se, S'.\!lé~d..e-n rcon una 'estreliIJa~ .vfveza ;'. trsta ,obs(,rvacion, re::.purecl h¡wer fáGihnehte:cso:pre "una oampana.- 'q ue stf fa~'aba d:e fs'icu'dh}lbo'(l :el h>adajo: ,110:;; ' J .¡j ., U¡¡CUfa'!l'€];o rU'na -lálliü1a:..' etáiStiÍ!cn ' t..engru ~alk 10Ilgi tud,., q"u~ luaga[¡3·i·.Q'scilatioñe's'pgrcs:e-gu.¡;¡¿'oy ,Jila'rá un, soni. ció bi~fi.1¿i;s:rinto; y ~ \láf.1dél 21rag:a exa.cr~n~n~e e'S'te mi- , 11'lero .d:e CVJi¡l;¡taéioae~ ,-el s@'n~lin' que' ca~~ sera, el que · e<id6'S"<3r'glltnbS ¡;S Iitoducído [pIDr la res'orian~a:.de ' un L /""'tü/)o abi€1rtG de la:'16ngimligde.. treinta, y -<Í0S pie's. Si · seEco\rl:'<t' mas; la parte 'sªllt'efi.t(!{.d~ iaháqütla ,1 cs!e~ per,,; cibirá. [¡a, áJá:y,¡¡¡r númerdllieao'S.€'i1a;éi'tll1'<3S ,. 'Y ' j(js~ sonÍ-< d6-S 1$0"¡:¡Hmas 'agtldoJ ,. ~¡fl'l@W ~'¡¡:lOS" qU'e¡! el j tCl'¡¡¡O mas "IgiJl'eió'J @r;;mas-grave de ko.s 's<úrid'os. prmhid~i'O~¡,patl U11 euepptY sonoro fr-<tepe¡¡¡de n ie la· J)a~pi'de2 ' de:' sus viot.a'cio1}~S." Nb · ba,s t.a tél-qtl .· eJ::sGmido, ~sea ":esdtadtl : por las vibraciones· rá ¡>idas de Jos ,(i!l1!le1'Fos ' ~lá ~é~­ ' c'-0s) l ~n@l <fue pa pa )qí.ie, se~(j;'a[JlSmÍ'ta !jes1neciso. q,ue haya aii. pu ~s- en 'l'a'.l~ií ~),l[!iij'¡ n~umá1iGa,\no 'se per~' c'ib1út 10'5 'sónidos, 'MUlq ue haya sacudimie¡:!to '{.y' por consiguiente 'vibr-ad0neS¡-~Il 'Jtos éuerpos';) pcJ'J.!.'cliyo ' , moti vo' S ~ '¿,ice qué el áíre>es e1 vehíquto : dev'S·onido. SG9 Lo's tiquidos' tctrrfb'iell ·i i.r'l)en paf.a,flt7flismitir.· . el "sonido; porque si se::'¡chQ~al'l l dos piedras~'del;jare ' del ,agua ;' se percibe el 5'orüd'0~ d~ @ste cl~QqU(f <tUJil á" gral1 d ('}S1 di,S~ri'e.jas, Qufai:l'db',~n0 tiene la c-a[¡¡e2¡[·'®eJil-1 t¡;o' dé:éste líi!J.uido ;~ Et 's.iYnitíl€Hm~bien. se- tr-afmite ' á J , t'raves de tos cuerpos sólidos; en efecto " ~l ,ininador, a4 trabajaren su 'g aleriá ; " o'Y~ los gellpes,' de:Jt lñi4:Jad.0r e¡;¡efuigo(, ' '1 juz,ga de este,' ~odo de· ~I.J ";~i¡íec\

~

'e,

CICln,

t

.::~

'J

;;.'.Jp...

_ ~ .1:..) '..t .Gl ... j)-

J.ú.,

~J¿~ .pl'op~~acion del' iónido->p'0'i' rmea[iQ:c:lé4~i.~.~ ~ "

,


\

A.ciJsTIC.A:., I 3'5~ ufiji'forme; Y 'el v;'á" ldr de su véMddad E0i:'~) segánd:O se'Xagesíma1 J d6ducüfo c de UB' gfá.¡:¡;' núá1:el'@"d~ espél:. rü:i.'ient0s:;¡f,¡:écoos' en divérsos 'para-jes i J s« pl1é'Gh: ' t'e~ ptl'far 'en· 4 i:3 vat-as. ' Esta v~lbddad es sensib1eménte l;¡Anisma } 'ya e,st:e: ~,ll -tiernp~' É!ub.Ja&lnó' ser~nó}' C~l1: tal· que el aire 'se halle "l'Il'PQsé. 'Pere si j~S:l:'úvh1s'e aji'ti!,do-, ~la vé1ot'illl¡fd ': de11Jvretitu ,- deSé0mp"u~ta' s"eJ g'l1'l'l '1-a: diFecóou,{I'e la líl'ieá ?~cihdl'á , ,aUlfierrta'rá= Ó. dismiQ,b~l,á 'eH 'l:e'd0 ;',su '~aclbr:,,{f" jet ve1ocidá.d) ae. ;¡Ja,( pílÉlFágaGrciü: dd ~S0ñidQ', ' ,ségüh J¡ie,' se~; Eavorabie: Ó contraria. . ! l', "l.. '~, , ' , I 'J ,;l.1--1 13' Sj J: • .La t~Ha: da ~~ló 3:38: ."'a¡fi?' }"q~e es 'cet:ea d~· ¡' mehos ,de!a 'que'1 da la esperienciá. &~gU¡;¡ ]}apt'áe~ esté 'pré'vü~ne:,dd. ealor q ut: S~ d¡!'sehvueli¡~e ¡¡€e¡nt 'el ' , air'e por "' :e.fec~G'·! dé h" ~Qm'presi'0nl ''- ¡"... pues ,t• seH sab'¿ • .. h.¡we, {HuGbJ~ ''tiempo' que una· masá ':{\e"'á~l'~¡ s.u\:?~é C0ufptirri€ , icie~Ff,c¡:nde 0¡f1o~ ~ Y'cuáa¿fo :se -dilíl'ta pro:! duee frio!. "· t: t" \ .:.1 C' <>-'-)"'1: ~ ,). O/j' ':.11:) .' ,Segun ·M~ re'1a'eién de lQs' 'esph;i~el¡t0s ~ ;g'eibre I~ V'€-loddadi del sÓtlidOJ;·, heGh<lls c0h @lt'ñayot eSml'rcJ e,n Holan'da f 'fÍol' ,et rpr-ofe,sor- (~\ ~ó'llqJ:y,' ~1 d eró'u V'lLn~Be(lk ' ej~el ,tn:e.s cti'eIJunio dé, lY8~ f t tin'se rta: en' IllSl Tránlsacciónicsl Fitbsóficas de J,,;ó11ihéif~ d'~ -dil'lho , áúól resulta que en el..a,~re peFfectameI}te s~co y á ja tem1ie,!,. l'Murá 'de ée¡¡o g:rad@s J dicha veloddacit6s d ~ 3 3il j¡.? - metros, que eqúiv-altm á 397,59 varas ·eipa'áblas."' ~ 5'! 6 '-LoSl's@ÍU.idog. ''1l!le éomponen 'IIra'f1fscat'a 'mí,sibti ó: diapason, 'sbtíl":Ftocludaos ppt ~1r1JtÍJffiñer0~d'e ~ íhf¡i-' ci.or,¡es tal , .! <lu€~ t-erI,1a:ndo -por úlüdad" e}l nútneFo d.~, vibraciones que pertenece al sonido funtialIi~ii.ta:l 'ut: \ lbs·¡tl€mas Sé halla,n·,es,presados:e.n rja 'taQla: siguiJ'nte: N~Ulare ddos $oriid'os.: ,uP, re 1 , 11'I.i~' fa, 'so/!., ,la; -s,i;,út. Números de' Vibracio~ !} 9" 's ' ., -!) :i 's "'1. 5 .i: J , . ' ::z: ,2. :nes. . en·lgual tletnp:0' .. · :" 1 " -~'~: -"'L ,3~d'l!~ 3' 8 1' , ~I:ongitudes de , l:as} . [ ¡ ' " ....;L"f,L"'l , ' ' " ' 1 ' -ª. ~ • .l!. 2" J!. ' _8_ -2. eaerd'as -qu'e 'lGS' dan:J ·' , , 9' 5" 't'" '3' 5' I5' , 2 f~, :Sí ¡s'e reunen solJr~~ fina: 'tabla 0CJ10 euerdas,,€lle ,Uf misma: natural'€7.a:, ésttmdidas Bor- peS'ós ~i¡gu>alés " Y' cuya. lo~gitudes ,se ijalleo en raztl(¡,1inversa 'de 195

ea

1I :,..

,1


SS/?

ACÚSTICA.

l¡rl\lle'l\O~S;:, di!. a.ª~iiª€iQ¡i¡es . q ~e peJ.1JeJ¡lec.'~ . ~ éada s:o.. , ntd.~ 'es,tas, c¡i,Í.e(da-s-cuarudo se, les)':tagª yvqrilr, pr.o-,: d~~ir:ª!'J ~(i).S' ~i!!te §.!lJlúdo~ del dja pa¡sPf\ ,.como se pU,e -" uno, con",en~~ CJ por la. esp@/:,ien§léj.;?, Y'.S'ise el1\:pt~.a. ,·

d.<;

W;.! '!14rl}~¡;Q rna§'01: deJ ~uerdas, cUJa~.lollgitudes se.an:

~I,lce$i va¡pem.e· d9b.I~s" G,q,aclru pta:s' " <:Jctup.Ias &c., ~,e , la.:.s; prQ.s.eQ.en~es, s.e tend¡itín otros :tantos nU,evO':; d~a; , paSO{!f;S, eUy0s s0'f!i~os serán la, ()et'!Vfl, l~ dolJje Oí;":

~av!!, ~, ó la triple oota,v a. dfi-la ;pril!w¡;a subieQd':Q, ,·.i •. Ú ~{~.f.: L!Ii prjlJ.1er~a cií: a.s d?s ~e. r,!~s ~l}.tel'iores pue ~ i

6

, ta en lenguaje vufgar, quiere decir, q ue ~os Ql!~t-;; ~all f~~i!1. 1Í la .~ªl1pda, Ja una dda otra ~ijcuando la ptime-ra hace ,~hº · v;~brié:;Í¡QDes .oliS}otras 1;; @tra,nu§-:¡ Y5 ;,,~~ :.cue~~das e,stáQ á la. te't'aera " cua.nc:to ll'J·ienu:¡¡s !íl"ila.uª a hac~ ,~u:n-rtlf ,-:,ibraai~ne§ !~ . otua,.,j¡lac ~. .c:inc~it tHáq, p. la , cua~a 'r. C,u;iilldp . n¡jefltr(9-s ! ¡a !I1\a,o,!~é tn/& ' y'¿qft1~~~nes ~ljl ·At,f¡¡t , ,ta~<t :u.a \~º t; ~ ~s"tá~ ,á la, quinta, , cuando la una hace dos v.lbraclOnes rnlel1tq.§ ~a 9!r"a ¡ lJ..~C@ ·I¡t~§; ~st~I}I,ál lé!:",esta, cu'!.¡¡d~· efl · el: ~jempo que 1& una hipú¡;ff:5 ~!.a §llL:iichJIG.e. c::itloo f estáh ,ª las-éiiI11q" G¡lt,an40 Iniellt[a¡St, ~ .\loa. há1;:61' o~bd. '.y¡ib·l!~5Qn.es. @) Qt-r-:l, ,hac€ qlf..i:llF~~!}' estJn á la Qct.c;u,a', ,G uando. el}l,d r t}~lnpQq ue 1~ .llfo.<l-\ ta~~ ~l}~' Y,i~l~ª§.io!J l-ª" oc g ¡ ·,Pfl.G.f t dgs' ·;J~~. ';' 53el¡'J,.>fr, 11 .. bwJ' ,~01: ,5{I,< En, Jps, i!;¡~jtl uJnentos. d~ L~~lsica ;t ta les CPl1IOt €tI'. forte~i~no , ,. §e ~i!.~uden 1as c;p.er~as 'ds: las d,1v!!,f- ; ~a~ , octéfvas· :p.o..r ,Jll.arü110s , "fue se p9.l)en ~n mpvill!iento por ~ tllt;di.Q¡ <;l€ peq uefias palar.¡c¡¡B bl,!ncas "y) {legra§. d~ m~dera( sobre que se, pO,Qen 1,95 dedo's , . J'. s ~ llaman tedas 'JL ~ 1 J ~ ... " Lªs q-ue }!~rtenecen á la eS,€~lan6 tOll o, de;~t , ,$00, ljiS. tefl~s bk~,ªc.as, que ~ Llc'esivaqle'nte suben. ASÍ?".la teda , q ue da el t i es l~segun,da.' comaódp desd~.;el. tlt'; la q'ue 'lÍa <l.!- mi -es ·la tercer~ ;}a que el fa . es la c ~ arta; },a que ,da el sol es la ·qg.inta; 'y asi s 1I.Gesiváme~ . · De a'qui ' ha provem,~q , e1 US!ll de depsigpa.r') ~a5 no[a~ pOE ~l lJ.lgar q ue, 0<t~Mn á conti!ll,lªcÍOll ~e'l tlt" , Asi" .s,~ PjQ~ · que mi es <l.a te'N .erra de ut; ¡fa, la Plarta; .fP,t,,: l¡i quima ; la,'lq §$qta? si, 'la, ~ép~i. '


,

rt.¡a

:Á:cúsTi-c~;

357

/y 'asf'sucésiV-arÍlenté; de' módtó que si s<enuncia:

p'ó,r ejemplo ' la dé"éimaséptrimá de ut;' esto quie'r e decir

q'ue" es 'lá tec¡;a~eti11laséptima 'partienclo de út 'hácHi. ~h; lo "q u~ cor'responde por 'éonsig\:liente á 'lal ~oble octa va de 'l1íi: ' , !' ' "'. l ,', VaTiando la tensioa ó tir'a!ftez de la cuerda; "se 11liede tambien C¡:u~ficar y tripHcár =elnúmero)de viTIraciohes, 'ó "eh' general multiplicar en fa telacioñ 'q ue nos acoLnac!:e,0., · • 1 < 312 ESGuchando con a.te7n~ioh el s0nidQ 1>rodu~i .. , do por'urna cuerda ' meúi:l~ea-"se puecle fácilmeate f~­ conócer' en' élli mezcla de otros muchos 'sonido's,fná:g agudos que el fundamental; de ¡nod'Ü; que si eS,te ~e halla represehfá'd® PQ,r út ,1se ,oye muy distintaméhte; (por éjeníplo, el sol aguao y mv sobre'agudo, ~s deciR; ,la octaVa de su 'qüima, 'y fa -4091e bctava 'd,e su ter.!. 'cera, las cua'les éstán res'peciivament\! represeh,ada por los númeroS 3 y ,5>cu'anCl?, se :espres'ª PQr 1 el 'Sonido functamental : Unoido biefl 'ejerdtado ap'red<Í aun la octav~ de ut, qurel ést-á"'répr-eserÍtada por :el somido' 2, yJla,:d5ble' octava: cu'yo "vaLor' es ,* .. pe suer,~é qué geñerafizand'e e'Sie re-sultado,' se conCibe que la misma cuerda ,hace oh¡ al' mIsma tiempo; pero éon 'una intensidad c0ntinúarñ'éhte\iecreciel~te, los soni? dos <r, z, 3,4,5, &c., ;es aécir-, todos aquello's' que ella J:'l,ued~ dar dividiéndose "en 'lin niírfie'ré 'entero de partes; lo cu~l ha: hecho cla'r á'estos sonidos el nem~ bre de- Mn~ó'nic'os, porque 'Ja 'pála.ota ~rlltoniq espr~sa. la r~sonalfcia simultánea '¡ji'! muché-¡; soni~os, ,cuyo élQñjLinto agrada al oido.' A-fin: €le' Cju'~ 'su doe3é-sieri· , <:ia en la cuerda vi'brant t sea l1Í~s fá'ei~ de r-econ()cer;. 'e s -nécesa·riéi , hacer la es peri'el~ci~ , c,9n una l cuerda bas'tal'lte gruesa y .larga;' para q¡ue. el sonido princi.l pal sea gtáve é intens€>o , '} ", Los es perimentos manifiestan que la resol1:ancia: simÍlltááea de un' so.nido · pril'lefpil con la: s~ rie de sus , ar~órtied,s, fórma un acorde 'tán agrad':¡.ble , q u'e no s€ le ) puede 'alt~a:r e~l la- €osa mas mínima ' sin q'ue se 'perGiba at, instante; así es ':que' se -le 'ha dado -'

,


I3st ' ..,.e:PS(l't~A, ~1;'i¡9mbfe d~ CfGoy:de perJ,§cto,; ' Yl$l'J¡'pr~me'P ,S(il,Oj~!')b ¡¡id ¡;ual se deriv&1l !odoij, los Gtrps ). ,se ha llamad..? fUofldQ111e'I1tQt Ó ger~radQ'" Desigp.ando . ¡;sie Sot~.i.~9 p'€j!'r~/i< ; q! 1, se, •.!:¡atla_liJy.e !Quos, !9S ,otros soni~o~ del diapasol1, eséepto el fa y el 'lfl, s,e derivan de las ~r!:tlÓf.¡,jc;as de, up.· e0mp~en'did~~.~Jl la 09~ª"va , de tlt. , .. y].z ( En los iné tr.u~ne!il tos de :¡v.i~J¡üo ,;,q ue $e componen generahrte.rge A<:. tubos, el- ah;e cQn~enid9' , ~llos es el que se pone, en vibraeío,q¡§egug.el scnrid,o .t!.:;,su lqngitud ,;,POf "4i¡ver-s0s ,,p~Q!2(il\,iimientQs. Estás :yJbJi}JC;}pn.e.s tra..sfI!ÍJi9GlS ~ ~~ qi're, . ~s t~ri,Q.r: P~;9.~uce9- en ~;:Lu i,\.§.Q.nic;I:o qu~ viene ;í. ~~,r a.pr~qi3.ble . 'f.uaJ¡ldo, soll past,ante rápj~as! 4si, ;:, ~~, ¡;stos ~ns.t rulf1.entos no es el mismo tupo, sino la 'c;olumpa de 'aire:;.e,nq~f:f ada la f.hue, fO,flna el cuerpo sonoro, y sq !qer,Í¡¡.. es de todo pU1}tp igual á la de !¡¡.s 'Vibra\,!ipnes 19'¡;¡,gitudinales. E~ra, p,oger ~n movimiemo la COIUI111}..a.; ,de,1}ire, encerrgdfl e¡1 1Ufl ~ub6, de ~0.d:0: qUe, le ~¡¡.ga ,p¡¡oducir un ~opidQ, ,!:J'o, es ll,es;e,satio empujada'J)' cQrnp.r1qJi¡:la en~t3ram,el1 te ~ pues esto 'no.,4!l-r~a ~s¡~(t ~r¡¡'q-pDrtarla pafal~lame¡;¡t!;! á sí misma" , Q.,<;OQdl'll}Sa,rla 'en u~ espa~io m~Clor.; es nec;esario ,escitar ení !lno de S\ls--pur:- · to~, á uno de sus estr:~l?;lOi¡ Jil0r cti~-mp-l.o " una- pre§iQn~ g.e rápida:s ~o,fl¡¡le9f.a 9j0r1' eS y , Maftasrqn~.s, ,alter;- , 9ativ,as,' ~a!epc;:,Olyo las, q ue r~~ uJta.r)a Q de las idas .y ~~njdas d!;! un cuer.Fo ':.s ~lido p.uestp en ':vil;>~~cLQ!1. Estos moyimÜ~ fltp$: . ah!!r~atjv:os , tlwst;r¡.Íticfos. totd,<¡; !a ;..co'!uml1¡¡ de airé " léJ. ,o,bligan á qscila. en el s~n­ tido de S}l longituA; y escitall ea ella ;;D@};l!r~, sQn,oras, , ig"uaJ~~ .rA las Iilue h~mos. q~s.H.itp~ , "Jk¡¡.;taº,qº , d~ lª :PFPP'1-·g~cjou <lel ~Ol:¡id.o. ~,~ ,', < /¡ O'JlJ:" ~' ' • ,-, El.} medio ma§ ' simple "de c'o pseg\lit ' ege plovi, ~el119 d~ psci)ª<;:iqn, cp~sj s.te en soplatlt en. el tubQ (le manera que una lámin'a d,elgada de ai-ré W\le,:~t~ en 1110vj~nienJo {lon ,rapid~z, veaga: .á. <au_epta~se <;:on~~~ ..Le! filo , ó las l or~~las de! it;l.~~r~~n-to, ,Ji así e§ C0111~ s~ .silva ~~, una. ~! ¡l7e , herpqra. E~ ,gt¡per~t, ~Q q u}~ ~e.. l)¡apla ,un .itvc:to e§ U~1 ,;¡t,~po! üi.líHctr:icO, ,e a q ue 'se so,~l~ por uq p/..illdo, h~c;;,ho:hácia una de sus

,en

ª.

-)


.!::\Í"~'r(!t:A. [~s:, ~r.ilI~s; y ·.~egtm:~~a "P:¡a:.s có ;.1n~IJQsja.t:go. , 'teS!u-hanJ9.s sonidos ma~ graves ó 'mas agurdo~ ,y hé aq.i1i "f¡;>o,r

qué los, institüuib.11-to.s. de'j~ i~/!l,1Jo ' t!i.en~n !a:q.l:le:llos ag"ujeros, laterales ~rq u-e cuand~ 'se cl,j;:s'ta paro , eltvaJJ!;(}~díl "uno de el1!;)s el "sonido fundamental una cami ela·d re:latíva á su magnitud-y j . s,u ,di'suRcía- deria el1ljbqca~ .dura . .En dichos, <Ínstrum.tmtos_ tslmb.iel'l se ha. ,-obsem-. 'l ado .que s.oplane:o, con 'mas v.i-')l~neia ,dan l-a i oéta'v!a del tono que da.rian con men.os aliento. ;,1:),!'_1 o. S14 Los gases 's..on... tammen á prop0s.itQ ¡para la ,pIopagacion. del sonido ~ _y ~s,e. !ha eH,contrado, qMe h;¡s ~onidos orijil1ad0s en varias .eolumnas ga'seosas gU,a r.dan .aeproximada,men'te·la ~aZOJ1) I1Ye.rsa de las r.aÍCes ;cuadradas de sus densid'ades "ájgualdad d,e p,r!!~,iort; 'de 'donde res'wta ique el- gas hi,dr'ójeno, que:-,enel ,mas 'lijero td!e tbdos, da fos _sonidos mas agudos,, ' lo , 1 ' c_ d I " . ) ,. 'o Lr ~ ua esta '.e.Iíl,nl'lll:lna o ppr a es-pe m.enc.¡a; , M., , '-' (_,!~.J ~ . "l ~.o:-tl"':

u,ÓP:FIGA.<""'; :; ... ~~!

'", ~:; :;6 #~

P 5 Todas las rnáfdr<\!lgadas . pádernos ohs'er~á1" que 'c uando el sol princifia á elevarse sobre el, hÓJ. :l'izonte, se' v;a presentancl:(¡) 1á ,nuesltra- v~St¡t CJlue ánte,§ ·no ledesc,ubria: 10 cual -pós manifiesta: qué hay !?e.'cesariamente entl1e este astro "Y . nO~0trOs., ua 'cie,r.tJi) modo de Gomunicacion q.ú,e nos haee c,onOQer_, su 1!XiSfLe~cia)' sin q \<le .tenga-rí10s ñec.esíd-a:d:'~de 'ltocalrle-. Este l~odo de o0rh:11f¡icacton-:que~se €j€rcr,~ así á.ci'erta distancia , ~'J se ·t--liasLEite ",'p or. ros '<Dj.?s~ _cól'lstituy.e, lo que se llama luz; y la ciencia que trata de sus .pl',o... piedades, sé Barna Optioa~ .Losouer'pos que~pu.eden ,p resentarla imri.6diatarúerHe.; .s.e,ilalnan CU€q~'Ó$ lUlUi~ 1I0SOS por sí rhismos:, tales~ sonrel iol;y las _dtrel.l.lln Generalmente.)todas¡Ja ~ sustancias máteí-iales, v.ienen ~ . ser:.lumino-sas "tambien, pU''tndo. su tempe¡;aflHa ~stá:,suficier,¡temente ' ,eleva:cla:;ny ' J¡J~e,¡;den Ci!sta' fac;ul; tad al enfriarse.- Sin, C';mb'argo, si en este' ,ühimo:,oa~,0 ' s:on iluminadaS" por UH c.uerpo. lumino:so, pl1edea enviarnos 'toda via su l tl'z~ c(:)mo , ~ fl1e'§c p'rQpia, y


.,

rg,Q'~

,

. ' OPIl'!CA!,

,~ritonées ,:vieneq ~ , set 'rvisib1es

reflexiono

p-ara

nos~trü's

pt:¡r

La! é'iefl~ia de -1a- .1'u,z : sy:: suele, 'cliviqir -en euatre ' ~ratados, á saber: en Optiioa pl'opiamehte tal, qu<:

,

*rata de las propiedades ele la .luz ' directa; Perióplica; qúe fr.ata de la direccion ,~u.e toma la: luz al pa. $ar por junto á 0trO$ cuerpos; Gat6ptr.ioCl<, q lle, trata derla ~ lu.z r~lleja; y Dióptrica, qae ~u~'" ~e, Ja l\lt-) :r~f.rac~a~

-

'

.

' !'

, 'f

~

..

'

,;.)

.; - - EtHodos tos l=asostwand0 un objeto' ños tr:asmite ,la sehsacion de .$u ex,is~enda por medio' de la luz~ ~sta trasmisigq se hace;: u.f1irorrpem.ente)"ep línea recta, y casi instantáneamente; pues cllanq0 el sol SI! halla ;en uno de los puntos qe 'su 'ó rbita, nO$otres tenemos ¡la s~n,sacion de $U preseflcia en- <;ti cnG PllotO"s' BIt 'des,pues que ha !legado'aHi; y cpmo 1", disraJ;lcia rpe:. dia d~l sol á la ~ierra es 2144045 3_üeguas de 20000 pies, resulta que la vilocídad cOQ que camina la luz, ~~ d~ 5,'S,66Q leg l~as por 'seg.'mtlo. ' SI(~ c'uanqo la luz se propaga, de uq p~erpo luminc)'so''''háci¡¡¡, n0sotros' , n~os Hega siempre á ~FqVeS de. diferen tes, medios, tales CO\TI0 el aire, el agua w. 'ot.ros cuerpos diáfanos ql'le Je permiteFl el''Paso: Los ray~s :aLeÍltrar ,en estos ~UeTp0$ si gnen' al g~lllas ve,. ~es sn ruta en HPM recta; pero 10 ¡mas regular' es .que se, desvien de su dí ~ecci011., ' á cUyor fenóme¡;¡Q se ~lauta .r6frz¡ccion~ Y olas l'IlQdíficaciones que" paclece la lila,.', 'al pasat: 'por cer.c.a de"los estrem0S ' de los " ,cuer,pos, 'S~ ,compvendeJ;l Ba.jo el !fIomb.re de .aiJraocioll -de la luz. " -. , :. " _Cqando los Guer¡pos no~)dan pas'O':á la, luz " la, re!, 4iejan; y si 'tienen óastélnte densidad y están, pulfr mentados, fa reflejan"con regqlaridad 'y presentaB !un~ imáj.én distinta ,del objeto lqminoso,..La ~5''perien'' da pl'ueba que el rayo. 9u~ v.iene. del ouerpo. luminoso:, y .que se !kml}(I rayo i.n~idente ~ !Y el ,r{jyo, 11efiejo se ha~ ~aCli¡ ámbos en un 17íismo plano, normal á lQ superficie ·de in~iqencia ;' y ade7l~as se ver.ifis:a que el rayod~ci.. ~le¿lte '1 el i-efiejo for17ian. co~ l" superficie reflectante f

.. ,

.

, ;

,

.;


3(f! que N¡L (fig. Il9) sea normal á l~ superficie . reflectante, . KLH" Y <l!ue SL sea el racl,io 'incid~lte rY RL el re'Rejado ,. se llama comunme¡úe á~.&H el ' wagulo de i11cícVe11cía ó sim ¡,>lemente ta inciJeflcia, y á Rl.-K el 'ángulo de 'reftexion; y cromo segLln Jd que acabamos .deindic,a.r., debe ser RLK=SLH ,. resulta ,que eJ ángulo de 'rejlexion es igual:con el de 'incide1Jcia· > • .c.Ój1lQ la refitlxion de la: luz se verifica, con un ri, gol.' \Ilatemático seg,un la.ley que hem'os e¡:¡untiad0, se puede hacer, uso ae esta propiedad con mucHa ventaja para medir los ángulQs fOfma'dos por dos ' su:Ferfici~s p'lanas pulimentadas: y en eSLa propi~dad esniba. el goniómetro que Mr. Charles -emplea para .medir .les ángulos de los cristales; este aprecialDle -iüstruinento es mas ventajoso "que el' descrito' por RaiiÍ y.por Brongnicsl"t, por <;:uanto ,es adecuado para la repeticion de los ángulos. En la refiexion dé la luz está fundada ·la consJ1ju.cdon de los espejos: lGS cuales pueden ser pbCS1~OS, .cóllca'vos y cónve{Jl;os; Jos planos dan á conocer la Jmá~en ,igual al objeto; los cóncavos la haaen conocer mayor, y los Convexos menor; Los espejos ordi. narios s.e hacen de cr.i stal, poniéndoles aetras luna a.leaci~n ae azogue y es'taño; pero se pueden hacer de cu·al~uier sus·taacia ,que sea 'capaz de recibir pu1~m.e[1to; vara 105 ,telescopios astronómicos se hace :uso: de los espe¡jos de mc~al. Los 'Incas' del ~erú 195 .tenia n de ob.sidiana. I . .,' . , LCi,·f,!ler·za que p.reduee la reflexion de la luz en la superficie de los~cuerpos, parece~qu.e, es á primera .vista 'un simpl'e res.u hado ae lá elas~iddad" que obli. ,ga .á, . la:; q}oJéeúlq,s luminosas árefleja'l'se en la suiperlid7 de los cj.lep,os ,pulünenJ:ad~s. . t' ~. . S17 Cuaqdo 'la. l.uz penetra' ea ,10 interior de les ,¡:;uerpos, si la incidencia es oblicua no 'continúa su ruta en línea r~cta , si'no que se ,desvia de su diree-.cio!! ;_y este fenó~erio es el 'q ue hemos llamado lá ,.e!l1liecign de la luz. La..¡;:antidad que ~e" sepwra ~e' SLL . ÓPTICA.

:(!t¡gul,o$igucs!es .' De matrel,"¡t q ue

r

,

sr gu p'qntlnos


l!6t ~d.il!eecien

,61''l'ICA.

'primitiva", depende de ' lit, difeieneÍa ::que

'existe eutrtda, densidad y naturaleza del medip .que li!:ja y ¡a ·de ud en que' entra. ~ Si los dos medios ·SOn hGtillojéncbs y de densidad igual; la refraccion es nula, y el rayo continlÍa su ruta en línea Teda. ,S i son de.,' la misma naturaleza, pero di[e~entes en .(l,en~idad;, 'elJ~Yo luminoso 'al entrar en e~ mas den~ 150 se apr0xima á la normal' en'~su superfi<;:ie -éumul'l'; y-si la flaturale~a y densidad. de los .medios d·ifieren, concurren ambas circu.nstancias .aI [cnómcnG, y el ~ayo se ~rbxlma á·la normal en el' medio cuya ae,.cion sobre la-lcI7. es mas fuerte. ,1 ; ..La: esperieocia(prueba que el rayo incidente y el

iq

,"f.,.actQ~ett:án

-siempre c,ompr:tmdidos.en ".n mismo ptano de inciiÍencia; ademas" si los -medios 06 mudan, et seno del ángulo de incidencia y \ el ,de,-rejiraccion Igúarda.n ,sifl!'fpre una retado!,! 'constante. ''1 " J'lormat á la

'~"perficie

En-la refracion ' q.ue padece' la luz al atravesar por <iifetentes medios, está tfundaqa.la construccioR d~ las lent~ , ;que son de tanta impmctancia para ali:Yiar, y ayudar la vista, y para ll!-I construecion de m,uPNos instrurnent6S' lÍtiles. ~ ''- r '.1 :\' Todas 'las fórmas r q!ue ' puClden .tener los vidriOj qlH~ ~uedeil . ~er.vÍI' ,para es te- o~jet(i') ;1están ~e)?l'esen­ tadas ' en la élig:- .1:'2'01), ~ La A -PQ"n:.:e5t~r te rmIº,ada pÉlr dos supetfiéies, convexas " sed·liu:¡;¡<{ 'cbnve.?Co-eonve"a; f' por Ia lsémejanza que, tiene ::éonj !loa l~nteja, es por lo que á todos estos vidrios" se 'les ha: da~do .e! pombte de' tenté. ,.la B se llama: pldnd-convefa'; las C. y. D cQncav~'COltveX'a., o/ difie¡;én 'e ntre .sí en- <fue la. e es lIlas gruesa háci¡¡'·el centl1-0 y la 1) a'l con':. trario; la F p¿'anó-cóncava ;' y la ,F cóncavo-cóncava. Las ,A, B , C ~ sirvenpa,l'a'.réUnir. I€ls .11'ayós 'cl.~ luz; y las D, E , F -pal.1a sepaÍ'¡fl'l~s '; 'las ' primeras sirven parro ausilia.r la vista 'los qu'e la:Gtjellefl cansada, :que"s'e-llárna;n p"éshitaS; ' :1' las <seg\.!lfdas:, p ara los que · pOF 1!ener los ojos r'd\!ma'S iado esféri~ eos 0 salt..c>n~, ó _demasiada i uer,za" reftinjente. ea

o'

j

de,


'5.6 $

ÓPTICA,

.e1I0$,:;; .¡IilO vea &ir10~ á ·ffil;1y"poca. distanCia ', Y' s,e, l1~¡. roan) miqpes. .' ~ '. _". ... 5J 8 .,:Qisponie.\'ldo. ~0bre u,n r¡piSllJO .eje ml1c;;ha~ lentes, cuyos focus. é intervalos §e qaLlen eonvepien.:' teme.me. caleu,ladps , ·se llegan á formar sisfemas q u.e o

. '

"

,

o

l¡acen· ver 'los objetos mas dislil1tqs y }~ayores que ,e.o'n-la simple vista,;. y el) ,esto <;:ons-js~f¡!n · las lur¡et(ts 'Ó tetese.opí?s, q ue tant~s· u,tilida4es _ producen á la Astronomia, Navegacion ~ &c;.; Y:ílos jlli~rOSDopío¡~ por c.uYo. medio se C0fJS~gue el hacer visibl~s hastá los seres mas impel'eeptibles. !') Para dar á conGeer cómo se verVka este efecto ,en las lentes, S~¡pODgall1os q~e sagre la. ~elJJe 'COI1.veX0-convexa (fig._J 2 t) . q uc es el. tipo de todas. }a¡ ·de priml!ra elase , ' caigaa varios r.a yos paral~los, da Jos que su pondrémos que el uno f'á~e;;por el oentro.y como l!ste sérá perpendiéplar á la. s'uperficie l1efrinjente no padecerá refraccion, y ' contÍnuará . pOr ló .interior de la lente, y luego, saldrá' .de ella s'i n mudar su direccion, pero les..dcmas rayos paralelos, ~l entrar- en la lente ,se hacen convet'gen1e~.:., y alsa~ lir se hacen todavi.:i mas ., convergentes, de modo que se van á reunir en"un p'unto F que se Uama el focus de la lente·; !j. .se da ,el nombre cdedistallcia fooal i la. que hay desde dicho . punto á la Ieiite. Lo contrario se verifica en la seguqda j clase ,de lcnte¡ -e,omo .Se. .ve ((ig.- 1.2Zi). · ¡ . . SI9 .Los telescopies dióptricos ~e pued:§n~~nsi:~ detall como eseacialmt;ute comp'uestes,_d~Ldos s;istema:s... ..de 'Vidrios " cuyos "destinps' s~n diférentes. · El p¡;i,mel'e . que se lla~a.· el objetivo i· ; ~~t;U situado cid Iade 'd:~l ;.Objeto, :)¡..sit,pfido es eLpnoy¡eeta.r fde~ras. e.e :él ~~ tlma cier-ta d:istapcia una pe<!J ueuéIi imájen .dJi!l eeJetq.J, muy cla:ra~:y' m1.by luminosa . .s· .: . , Jo :; < ~l OtliO sistema 'que .se' llama octllar, e.stá situada deI.hrdo del oje del o~servaa(i)'r , {es:t<Í,7destinado :i hacer mayor la pequeña jmájen formada en eLfocus del "objetivu, rá enwiatlál á ,una · disrancia.. del 0j0 '1 ueisea la conve~iente :para.1a' v?,si0n ,distÍfilta '; pOtr


,g6~

•61'Tr<!!l\. "

-lo Jque la-dii posieir:m del ocular 'd'ebe.,mGdific'arse sel. I gu.a las difere?te.s. vistas., Todas , las .lentes q~], c::etn;, 'ponen un telescopIO, se deben.colocar en el eje de un ·tubo ennegrecidó ,. á fin de que la ~úz ·de los objetos :situados sqbre la- prolong-acion de este eje sea la única que pue'cla llegar al ójo ;'y auares necesario que 'el ,tubo total se componga de dos partes móvilés la una ea la. oti'i!., 'de las ~I!le la'-úna Gomprend'a 'el oh. je,tiv0 y la otra: el ocular,. para que cada observa~ der tenga la ·fáoultad d'e aprox.imár ó retirar el uno del otro y pon~rle al alcaiice' ae,su ·vista. ,~ Sustancias de densidad muy diferente pueden tener fuerzaS refringentes ig.ua1es;,_y se ' ve al mismo tiempo que una sustancia¡ tueáO'$ \dehsa que otra pue: de sin embargo posee!' un poder refringente mayon Así, la accion de los cuerpos sebre -l'a' luz no sol~ depende 'de su dedsidad , sino rambien de la naturaleza química de sus -partfculas. Se nota ademas que las' sustancias cuya fuer.za refrinjeme e's mas enérjica, son en general lágo resinas ' y, a!ceítes~; . y puesto que la del agua desülada no les es muy inferior, se puede concluir que debe haber en el agua algun principio inflamable,. análogo á : aqllel ,de que 'se compo~(m las resinas y los aceites. Como el diaman, te es el que mayor . fuer~a refrinjente :tiene, dedujo N eutoll que 'debi a ser combustible ': '10' cual ha sido comprobado por la Química mQderna, pues' ha de. mostrado que él @,iamante es el :wrbon. purGo '. ; -' 520 w De todos lqs gases y ¡.de' n0das las, 'sustan. cias 'obsélvadas , -eJ que ti'ílne . ma)'orfuer.za r.efrin· jeme es 'el hidrójeno ;' que es, 6;6 veces mayor que la.,ael aIré atmes(érico; este' .princ~pio existe én',gran. de abundanciaJen Ias, resirlas, aceites y gomas', don.; de está ~nido aLear.boq y a~toxí:i,eno ;:_PQ.roJo ,que se deduce ~ (le, él es eh q ue da¡ á es!as sustandas aquella gran fuerza refól'lje.Flte q:ue_Neuton: habia ob.s erv-ádo. " ,I.J ¡ .. :.: 1:"" ' __ ~'? _ I .' El poder refrinjente ael aovre atmosf~ricó -i es : el mismp .en.toaos los parajes '~e ,Ja, .tierra; pues se. h~ A


Ó;¡?TICA. ,

36) _

c<a.1culá~o por I~~ p{;)deres refl1injenres 'p arcil!les del sus .prinápios cons~itutiv0s, "j ~liJ.o§ SlQ v.arian (462) ni con la latitud ;, ni con la ' altura def observa~or sO~l'e el . nivel del m~r. l;)or C;OJlsiguiente las tablas.

de refracciones ' calcul.adas para una, latitud, se pue~, den emplear ~o· tOq0~¡Ó~ climas_ ,.J~.!ljeJ1do en cOfl~i-· deraóon solamente las var-iaciones ·de densidad producidas por .l~¡¡ ..17lJ.l!A!11,'¡;Z\ls de "pr~slo_n y- de teOil- . '" . . .' t _",' per-atura. , . En cuanto ,á)a-s d.i.f!!r:.eneia~ .ql:lY @od,riall. de,p~l'l"'L I <ler ¡;l~ la humedad es pareida en· la- atmósfera ; está¡ demostra,filq _(;)};l.~ l¡Qn~)l¡aJo,S~, .Y; q.U¡; .es: i.gíltU a:(ep.,.~ , ,der á ellas; pues el vapor del agua .mezclado con'" el. aire obra so.~¡;~ .1a)J:lJ; ,_ Qasi ::.Qe.IJlQ _10 !.~:a~ria el aire of9t.iqar.io que, tijv.i~s~r.un .grado, d<r tellsion .ig¡¡al;· ta~biéIT resulta/ que lª mu~apzade,,!ea].~eratura nO~ produce mudanzas sensibles en ~J ~FQd~.rl .refringente' ~ 4.(~J,o's ·.gases y del. a~¡:f,. ,> f' ~ ?,J1 "1.' l ' • ,;'. , .' Cuando PQ¡.· ~i~~u-{l~tªnC!i~ª·joQªl.e.~ hay dos~ ca", ' p,.as ;i¡l,e..; a.ir:e eOf!lltgu~W ,1 en qu~ lFs derlsidades son q¡uy, d.iferentes':JPP:f l ~~tª!r: ~ ' \1:flfl.! !lJU:Y¡ ,!i!a,liente) porv' lps rj!.y¡os d.<tbs~qh~ ~u~JGJ. uie~~ q¡t¡:at¡ .ciX~q:pst(l¡ncia , "Y: un dbserv:ador"c,o[óca'ii9. en Ja qp.a 'qe d\l~si4acLmj:- " dí~ ,j ,mira á P~ . G.Qjeú;> r~D;lQtº" ~i!!!:~9:..p. ~ambien en ' esta capa, le verá de d'os modos: direetameme por. : q¡edio, de la <;a.pa ·, Pel ¡¡.jr~ g!!,.\\\eq~id,ad, unifo¡me q.ue ! l~Ji e.para " é jnqirectam~Jlte peJr Fayos FeReja. , dos en la ca p,\ iqfe,l 'Íor; y habr~ dos .JI;n a.jen~s .:,.de.1 ; o.pjet~, )a· ",Ul)9- ~~~ec;.ha, y 151- Fot~a in~~ertida por ,la reflexIOn. ' . .'. i : .A este· f~Jiló!.n~noJé §ueJe.~ J.l?l!l.:rr 19§ ~nari;Qs TflJe. De l'Jlanera. q'ue~l U'rr hom,b re,que se fue§e ale- o • jagdo ,del ojo. gel. qbs~~r~a.4~r ., §~ jr.ia vie.nd~ con~cl0s ' i¡nájen~s ri¡'lv¡§nida~ eqmo .repres;entaJa" (fig. 123)• . ~ 521 Hay ~ristale§ que tienen.deblHefr?ccioll' y,' e.~os ,s e debell t;li~dir ¡;:n ,doble ll!.eil~accioJ1 atracti1.ia' 'J ' in tJ.obte reff'a¡:c~on,-rep,ulsi1Jat _~ : '~. ~ ._ • ,{Todos _~osj''IJ_os, Juminosos -.emgnfldos de los obje~os f.ffre~lre,s ~, 1Jo } zglfefl qLrijr-gcf(jrs~ ~funjsn!a retfl~iQ.1:¡

1;i'. .. ,.


3'66~

ÓPTICA.

de~ seno de' jnd¡Jeñ'cía 'ap sen,? de~ t'efJacc~órJ:i ~sí 'es,; que si ull .ray,0 de '11.>12. se hace a'tta;v~r por un pris. ma ,'-Y 'se"'¡;eoibe ta..i'rriágem fen. ui[1¡ b<iJstidor j ·se <des'-' C'om.pone la luz f¡ presenta \J.¡1~-í11l1¿ffe;1 ó espectro' ,sobwr, dé l!\. f0rma·' qui) se::ve en la ., ~fig, l'I:;¡lj.), ' en la ,eü~l;seJ 110ta¡:¡ los' siew(w.1ores sigñremeS't: rojo -, anarcmfado¡' a1ñ~¡libJ.o-s ~verde;l~a~'uLé€t'esPé; azkt. "tíh'quí, -y vioJ.allo,. De ma:l1era qlld ~ta ll-l'z',det ,so'b ls tlrlci<71l,hela de 'Y':lIyos'l

hete.rojéfleos ,; de tos cual~s tos ,unos son mas refra!lji--J. bw's t{jtie tos -otr'o§; iy;tomad.os t~; ¡te' ; Jná jm~1J~'a::;e5pe' óÍea~epa-N¡'(UI1:¡1¡en'te!:(j,ei.tos ,aem'cls:f ,¡.'an- -8úsceptilbt8s 'di, pro1t4rcw :soore ,'nuestros ,óí'grmós,:lá se--Íl'sacion :(\Il!::'¡Jlí~, ~,....." .-¡ I ~Ir ~, ¡' -h ''''Sfev.,/.IVos ' COtOl e1i ::.' • - '"':i '. <~.-" ...:.i?' Se, noca igbi'lilíríenf'e 'cfuet esto.f., -ajos difiel'ertl~~r¡¡>.;J hieW ~én I'efi,e~tiJibJUaIii4 ;y que. Iló-nnasr'e!mnJibbés' solÍJ ¡tlJ¡i1bten tos~i,{¡tMeepfibM.~ ile 'SerJi'6jléj"itos int'ehoral

w....."

.

'."

. ...

'(:1",'

~ ?fll!ijt'~'P'or ':.-r.eJfi'{¡¡;c·(ofi!

.1:. (,., _'"

I

?

1, ~ '~;,~

r

, ... \

¡L '".'

Cada uno de los rayCls homi1ljént-ruB tOllJpre9d~dO'i enll'ei:l-o's 'd-i-' tm:sos {1írrrÍ'tes- de' r'0j'Q'? auaraaja"dth.&c; t!efre s'cl<'Jg,pado :P¡i(;jFié': ~, iFw.ar.i'áble.<de ¡refranjibiJPiMd! y~ d~ colo¿ i,"'cjU"t"lféJFfs€tva Si:empr@:::,S'Glialqu'j@}!¡f; qú,¡¡J s'{a~:l:'i~lmtí.r~:tt~:;¡te.fÍ'a€cre'É'es !qu~ s'e ,l~" h'a-g-an sJi'f rHt;: ~ta!l1'19igw s@ ~ver;iñC.iC q lie ¡-6Sro's " ei3léflts~ no s€ ~ .alte--'

"'-,l1lJa ptr: la's r.éíf?tidne? que'JpaQ~_G~ri 'Sobre lós ·tuér.' pOS"iffa't-uffale'§;

1:':; :2~"·. L ",.) __ _,_~"

'J

~rr'$r ise ' c0nci¡)0 ~diV:laida eh S60 i'ª-ruesla longhtíd" t(:)fa,~ .de-1 es¡ptha¡:o~: l'e-Su:JIta: ~ ué el color violado o€U pa ' &dJ~e estas p'art~s fePJ¡¡.zul l:!U:fq¡,¡:í."4~ j"~r az,úJl tiel@s!!)

te.6é..,_el v€roe· 6d ;--el amarillb ~4g,'S e-l :anaranjadGl1 27; y el rojo '4S' . . ~. ~~'~~ Cua.kle 1la:Sr uiol'éculas lu1nin~8á.s 'atraviesan • cu¡fr:pos crisí:4li''Z.a.iicfs; dOládos' de la d'ógle refr~Gcion" Ilufi:en a.-I rededbrtd'e 'su centt0' u<Qgtav'eda-d diversas: mov.imienró,s d'tlpeHúiemes de· la Ílat~Falez'a de 'la,s; fÚ,erza-s q ue las'~ partículas del crÍs-tál "ejercen sob,re ellas; :Algunas "\.~"@s~'él "eftlcto de' estas fuerzas ,se:lít11ita á disponer todas las moJ'€éd!'as!Qe:U:Íl mismo tá.' y0~ papalelamen¡~ l~fa'S"ullas á lás', o'tra,s; de modo que ~'ttS 'caras homólogas ésté:¡¡ v,uelta$'-:J¡¡ácia~ !Oi lÍlismoi I


61\TICA..

.

i/¡1.

lád!0S del e~pacio. EstMeIl0l1'leno ' 5~ ba espl'es1rdC!l ~Ofl') el no.mbre .décp.olari'Zacton" a'similando el · efecto de· l~s };lltel12laS al.de mn iman 'que vO'lviese 10s.1pplbsde una serie"de agujas magnéticas todos ·en lamisnla di~. r.ec'doll~ .:Y se clemlilésu;a por~ ~s periaj(i:lÍras ;dlfr~ctós la l existencia de los mo.vimientos diversos que 1se acaban1 de indicar, y que se co.ntimfran realmente á pTo.fundidades muy seD.s]5~S:;e1Lléi ·intério·f.I,ddo.s cuerpos. 523 Habiéndo.se notado. que la, luz va po.r 10. 1'<;g:ulal! 'ác.om:paña,da"cd:e. caloh , 'Se 'ha tdracl6. cl.é;-iil(;lag~r ~i ,tddQsi·lo.s. ray,o.s tie. !@s:.diferentes c01ore·s"1 i'tm~ qli. ~ se .de.s:e.<WJ:p.o;n..e~p,Q,I!:medío,Jd~l prisma, 'p0set:Ji igll'a l i facultad ~de , calenta,r los éuerpos; y s~ ha erfcGtllnadC qtlle, es.pe; facu.ltad e·rf!.Jinayor ¡¡n. el ft'1.úL tt¡,¡;.q"Uí '1!~e- en. elr, viobadh ;c1'lwyor en. ,el, a'Zt¿-t;'ceteste "que )en.~ t a!J.ul' fur- 1 qUí ;.'m~or en el .ve'rde du'e--en 'el' a'Z-uZ ,ce'le'sté~. . y así) 5uéesilim,flle'nte ~ hastf1."et· '/:ojo;. que pr9/J;u'Cia' una 'tempe"- 1 ra'ptH,a mas..efevl,Jda que-- to\:l@$ .t"D. ptr:o'S1é.wopui y- a'ufi'.:" lie ha enco.ntrado. por 'a-lgirno5.. q,ue,el máxi'mó 1de lem- > . peratnra'estaba mas aU'Lhreti.:roj(j estrenit> ~"!y fú~r¡j de ¡¡¡da l.a.p:twpe 'lIi.sible-:de.t e'.sp,ecno. '.( .•,r, ,(',1\. - ;..:\~~ ;. "Habréndo.se o.l::l;erv.ado "<±1lLe: é\lan~O' se! es:¡ione- el ' rnuiato.·'M Jplata y otr'\l,s ,liLiv.elJsás salt~s blaneli~t l'¡t¡ lU2:"se enlleg~e.cen:. qué cla:r.esÍl¡;¡a ~uayáco esptresta á:.' la luz' pasa .del amarillo.-at·.xrer.de,,: y 'q ue.- espOf1:ienao·: a Uin ray.o. de luz so.lar 'uname~da cle vo.lúuíen-es ·igua.. les. de gasr 'hidrójeno y;_de :'Clo.ro,. se: y,ecifica: 'al -i'ns- ; tante una det011~cio.n.., cuyo .pro.ducto. es el ácidó hidvo.clqrico.','-llama:do. árites' ácido,muriático ;f~e,{h'a na- . tado de indagar si' cada po.r.dün . ¡::p10ríñca:.~el'e's:peé- I tEI!li'so.Iarpas..eia, Ulla misma: 'Ó :difereqte ener}í<f' q uí- • mica; y ~e ha enco.ntrado. que esta enel"jía el'a ~ljlé:no,' .2 er¡ .c;' 'l:ojo qué., en"'cuavquiera"ae los O't'r.6s, y qüeiba:er..e- . • ielTlllo. hastaj el violadq:que~p'O'Seía.la mu-yo f.. 1O.e. l'Iiane.l ::, ra, .que ... po.LtodQs 110. fenómepes que basta je!· aia nos·' pr.esenta' la ' luz!" debemo.s,'inferir <iU'e ia ..fiJ.C.ítltad aaborífica- y química v-aría ' en ( toda. ·fa -e"SteI!lSi011 del espectro) abilismo. tiem pO"q'uda' refranj'Íbit id'atJ~ pe.:. . ~Q.iei\Ul fu.u¡;ionei dii.cre~t~~ Qle¡"qu"e la faéúl~ád '


36S.

.

6PTIC'M

.

calorífica ésté en 'su mínimo al 'cstre!iro v'Íoladó' ·¡;ld ;sp;c~r0 ;" y. en ~su mixirno.al estremó rojó., Ó un po""-' co mas all-á, \nientras que ·a.l COllltra.rid la fa.eu·ltad . quimiQª"les;presada por oira fundon., tuvieseisl:l mí.<; l1.imo en eJ,es.trerno rojo ; y su máx.inlQ aL ~Stl:.em0 vio'- . l¡¡.dQ; '·ó 1:IJk p®C0, masal1á. ,.'. ...',' . j ~..

., •. ~-. ~,~

,:

"

.

• .' , , ' ;

~

"

.i l·

.

t

., METE@RQ.to.GIA. ,

I

ro)

,

'"

~'

t-"

r

,

nmabre . de f~·n6j¡¡mo á toÚ' h'ech~" _ que ,nos presenta la naruráJeza,; así, el salir .él· s.blj.eL p.o,t~.erse,_ e.t .eclipsal'se &c;.,,' todos.'estos SQ)'h feUIDlnénos . y. .se !jama'a metéoros á ~J:os, fenórnenos qu~¡"skviéri~ fitan .en.l.a :atmósfora;y MeteQrol.ogí'a á la ciencia que trau¡¡, é1~ cLar á.eonocer s:Íl!:;mr..i.jen ;·formaciol1 .Y dernas cir<;ullstanrias. La' Me-teg.r0'10g,í a la ceHsid.e·ralJ;l a.lgu" nos ¡:;PJP9.parte, etc la ·,Afmosfe.rolágra, él. .deuda ·.de tqdo l~ .9.~e, co.r iespmlde '.á ha am}ósfera.., ~J ¡j.eberia t ab.pl,z,\F.J1! ¡ffi¡]rológia, 'Jl l'aJ;Meteo¡;l!lvogía. _",~;"',.J~, J . • ... Los ·. metee[('lS se pueden .reducir á treS elases, ' á saber.: a~uo.ios, tuminOSlJs<, é · íg' eo$'. Los memores .i. - acueW5.'.5<:l)1Jos:Ciue ,cleb.elilfsCL oIÍj'lmtal agua,;Pa1'a darlos 4.. qQ.Qoú:er "recQrd,:¡,~ém0s ' GJ.lae, el aiee tk~)€, lá Éa..: c\llta.4:: r¡l,~ 'contener ,~gu.a".en .rliso).ucio'11 ,. Y'q.uec'On.;. ti.e ne diay;o;f' cantidad de; agua 'á. propotú:ion 'que se haJl,a lna~ ~comprirnido 'l ' hace mas calor. I¿uego . si I suponel1las q.ue' p,Qr. twal.:-ca!usa cualq uiera: v~ríe b pre"siQn ' del aite ó el ..grado del calor, ó ·a mbas caU" sas á ;U(l ~ ljJ1~SWQ tielE'p:Q;; :>el-airé abando.il¡u·&1pane del a,g-l!a , <i¡Ju·e tiene el1!di"s.o.lu.<Úol1i; y seg~n. sea él es .. ' ta.dg ~d~.ta: ¡;unósferá'· :s..erJÍn· dtiferentes' l'Os metlÍ'G'I0'S j que sucedan. .' .~ i, • ,,.. • ,1 , " . i . S'~ S .~. bs moléculas. ¿e agua, abandonadas por., eL¡¡.irt;, no tiel~en bCl!st~nte masa ,para vencer la' adhe· re~Gja•.$l1J~ tienen coa el, a;ire', permanecen ·susF~dl. d~s .en la atmósft;ra'. y. .t'll1'ban~su tiaspa¡:elllcia; este m~téor.0 se Uª,ma .nieht:a. , <si ' lá ,falta de tras par'eh€Ía de la iltmósfera se, ~eriii.caren 'parte próxlrna á la s'u ·· . .perJlcie terrestre; y se .Ham.a nube 1 si se· ,yerifi\;a.eQ.·.

.$24'

:.Sé·4a d

Si.

(

/' )


METEOROLOGÍA.

,l as ~ejioJ¡les éleyadas. de la atmósfel7a. , 5,26.. f Cuando las molé~ulas ae agua que se desp'~end<}n. ,y yudy,en á tOlnu el estado líquido, estáq muy próxim~s ~,as unas á Las otras, y obedecieo~o á .las l~y,es de. la · atracc~onJ .~e reunen en gotas que se ,precip~ta~ e!l virtud de la gravedad y caen á la superficie de la tierra, entónces este metéoro se llama Uuvia. . 527 _. ·h~biese una 'ff i¡tldad en la atmó~fera, tal que .conj~!él:se las moléculas de agaa ántes ~e_ ~aper­ se reudido en gotas, entónces estas mol"éculas se van '~redpitañdo'; se reunen· cQ~ otras en. su tránsito, y forman .cepos de diversas figuras que se .prec.~pi~an á la superficie de la tierra', ·á cuyo fenómeno se'le ca, r·acterl"za, con ' el nombre de nieve . . ~ 528 . Si es.tando el agua ya re.unida en gotas, 'sl! hiela, ca~ á la superficie terrestre conjel'ada en forJ'¡;a, de esferoid'es, y se llama grqni'Zo. Cuando el grao .nizo es muy grueso, se llama piedra: y emóm:es es muy· pe'rjudic.ial para los 'éampos y ganaaes, y aun .paJ;a l?~ ediñEios. . : '.' . • C0ffiO dura,nteeldia hace mas calor que de noche, resulta que mIentras se halla el sol sobre el .honzoll;,te, hace .<fue se, elev.en. vapores sobre la tierra, .J lue~ .go al ppp.erse el sol, se' v.a, j~nfriando la a,tm6sfera y deja qu~ los vapores t~me~