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:Orregi da '1 anmentada, ¡'on vanos .ca§os de ignddad y ~emejanza e triangnlos, por la mucha importanCia de esta clase de propo¡ciones, y t!mtbien c~n lás f'6rruúl~s generales para deterIllÍlílIU' . los centros de_gravedad,'

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TOMO 1.

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MADRID: 'imprenta gue fué

de Carda.

1826. J.

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¡f'fn~m!~ J!~,!!híje zt,niP.'!1e'f!!esJf ?iertO;.

~ proppslCLOn en que se funda la: que se está efectuan.do, -fe halla ei, ~t párraf~ qu~ ~jcf! rdicho número i. ddem~s. s~ 'pondra .la senal § cuando la~ cztas .r:steT1. - Jfñ'fq,~éY¡ (~alc1ilas H~ (\-;~.~ ~ r' )t~ ~'7Í{ . ~. (~. ;. ~~~,..' .,. ~"'\:_ ~ ,.; ~ . _.~,¡ ~·"",:.Sb alguno . rJesea,.sfl - mas eftlfllsi(Jn solm; ,'Cüa:lqu'iél p'unto dé "Zos cohteilidos en ' eitt i com¡ieiu:Üo:J-PQdrá.c'e~nsuttal'el rr.riztado ,inentfll. en el pm:~ge, correspondient~.

'J.ta q.ue la ·operacio.n

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yetfad,. T.~mJm:n h~ .a;5.~d.i,dD"dos n~eViQ~

c.~S!il~

ye igualdad. de.triángulos q.ue sOIill~' :corola.. ~~os -4,~..y . 5,~ , del ,§ 2:,.3 ·del tomo pii~6FO, ~y otro5dé)~N~'aso's tambien nuevos de- sem'é:jaMza ae trIángulos " qu'e 'son' tos 'conttmid:ós"eILlª5egurtda ~ 'pa¡'fé del; e~~~no 11.°; eh 'el'eSco:' lio i:~ ·.~é~J' 3~~ t'.?!9u, ~)la?ie.~.?~~:~%lado clerpue~A~ ..l?\l.~J,wªaa ,Jj( 'w.lIAAr~ . edtCl~,¿ .J~zgo ~t; l~,.:m~.y:Qr' jmp9rt.;itk(á~;.y I.I,-eC~sida{l eL ql!le ~ean..crihociQas; l de ,tofl(j)S~· lqs\ que emprtentlan el eshull1i:€1:de ,las;,lV[~temii~as"En euantG' -á lo pem9.s,;,-casi ··no ·se··ha.· hecho ·ot,ra ' atteraciOll qué el haber corregido,,las err~t~s_ de la pri- . Eera' ·. ecl'i:cit)ll';'l1ó~ 1~\ c\la.~j úriiq~m~rl1:e' HeHo ~ilve~* ·qúe , e~tand.Q··c'8~ven"cid~ ~,~ h<hrg~t¡­ 'jisilÍllrneceSidád qu~ ' ~ay" de ·.qp.~' ~till~fragwe ~t e~~~m~·.4(es~a.s . ~ii~s~~~· ep toda~;, ~~ ~l!l~e,!i

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De la su~a de las cafl~id¡¡des ,ilgebráicas.......;,.~. 8S De la 'op'éra~ion ele réstar ~anfidades JLgebráicás. S1S' !Ds O la ~~lfiplfcaeiojJ algefjráic((....... ;... ;; ...~ ~~~: o.

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De la 8iVision algebráica.................~ . : ••-t.;!:.:. 91

De los qufbracJos literales ... ... ,......... ........... ..... ' 97 'Ds la efe'VadQn á potencias. y sstraccion de ~'iIÍces!; de loS" mono7nios .............. ~ ........'i ............ 100 De tasoe¡presiones imajin,Qrias ............. ¡. ~.: .•. :.•. lQ6 SEG-V!iDA PARTE DEL AI.GEBRA. De la- atl4li. si" 'ulge,,~;cfJ, , .moÚ"cion lllS, wI,,!ion."

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la rluz ·cubrca .............. ;............................... I7S tlJl" '~~acione$ ltlil'ttti'mifldllas' iJt p.,.¡níer ... grado .............•.......................................... 17; De la permutaeiones y combinaciones ................ 179 ~r01:0!!~i?ne~ i.mp.o~~~~;{ a~~rca , d~ tfls cen~id~.-_ "C' ,- des 'eolis~aWtes y .vtitral1les', y de l·os l"imS.f.. • 18r'

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, GEOM1i:TnÍA. Nociones preliminares ................. 196 De las par,~l·ebas ................... ,................ ¡ .. i .... 224

Del circuló:;:y de..las rlctas considerat/¡g.s-en 'él: .. Dellos ángulos considerados en el drculo ...,.,....... De las ~guras! en gene1'¡Jl, y~pr0p-iedades -de los cuadriláteros ................... :......................... , De los poUgo'!.os ..................;................ (....~ ......' De las Uneas proporcionales •• .................. ~.\ .... ' - de 1as fi guras ¡. ......................... . .f:L D e 1a semeJanz.a SEGUNDA T..fRTE. De la esfension en IB7tgituJ :y lat#ud, 6:de las superficifs ......... ~ _ ....~ .... ¡; ..~ De la redu.ccion de lqs superfJ.~ies ...... ...........: ... De los plalfoi ~ de su '" posicion, y de los ánghtos sólidos ••••.•••·.................................. ~c;.¡-:t~•••: •• Tli:RCERA PA1tTE. De los p~smas, y mediptpn . de SIlS sup!ijicies :y 'Votúm~Qes..................... De la pirámide, y medicioff de ·su superficie' y '

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De ta ' m'edlcion de las .líneas •• :........ ~: .........~.:.: .... 356 De l~:me~¡do~ de los. á~p~t~s..:;:.:: ............:..... :. :35 8 Medir pl.tffras y distancJas aw¡ib,¡es~ é inaccesi- .\ .ble;" j, ~'o~o de Jeva~!.tf!: 'J~~ p'tanos to.p~~ .. • gráficQ$ .IU •• ' ••••••••••••~ ••••••• !.,•••'! ...............I.' •••••1" 36[. ,.

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SeL:;~m: ;~erp~--~~do'lO ~~~S" Cápaz d;ha~

cer ''impresioh "en' ri'hestro's(¡ señtidas: Las: impresiones 'q ue dos causáÍl'los cueppos, ~e Ha! ti1an sensdciones. JLas sensi:H::'ib'rles 'corlslderaJ ¿as' como r~presenfanao 1os '~ objetos, se lla:: roan ideas; y la facultád, por cuyo trJedio per , demos retener las ideas,. se llamd memori(j~ Si para dar á conocer el objeto qy.e repre§e:n~ ta, una'idea, ,es -absolutamente neoesario 'pre.ó sentarle al sentido á que perteneoe, come 1! blan:cltl'a, picante, etc., la idea es simple'; >YSlJe'1 objeto se puede hacer conocer sin esta éjrcunstanda como una mesa, caballo." etc., la idea se llama compuesta. Si ~la id~a cO'l;lviene á 'Un solo objeté) , como la de este libro, se llama singular ó iAdividual; y es abstracta Q universal,' cuando conviene á muthos como 'la idea de libro; manera que para formar una idea universal 6 abstractá, se obise-rllará aquello eñ

de

que ponllienen muchos ol?/e!os ,y se prescindirá {le lo -demas.' .' - La óperac;:ion -pór cuyo medio podemos p~escind.ir de aqu'ello en q'u'é se difer~nciarl ,v-arios objetos',.se llama atistrracGÍon; de maJieFa 'que abstracc!on es una'oper.acion delal~ 1~ª·,

por medio de ' la c~l <¡oncebimos como ,separadas, cosars:r¡u'e. reafmente no -lo están. . .,"". Para hacernos cargo de los muchos Qoje:;'

~e:s

que se nos presentan, se·debeñ consld~.:. lo ,que se· consigue por

,-fal'- seF~adameñJe,


!NT'ItODUeeION.

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medio de ").,a:- atem:idn; 'así la 'atencÍon es unt1J operacion''det'a,'i'iña; por 7ñ~dM de' la cual de

mnchos objetos que se nos presentan, elejimos uno para hacernos cargo,de él; Y 'haciendo ) lo mismo con todos los demas ~ se vendrá eI\ copo~imientoi' {;lt~ ¡tQ.dos

ellos. .:, , " , e, 1 _,,,' C;E¡rpq' c;~ ,t,~~¿s)qs obj~t9s son compue5, tqs, nO, Bq~t:fJaat~ncí<?n sqla para.conqcerlos, sjno~ que . ~s .;nece§arío ir, co,ns'ide,rando Gad<\ nn~ de su§ ' partes,.¡y es.to s,e .consigue por la análisis, y re.s -una ,up~racion ¡teZ p.lma, por

p'l,edio ,de (a. GUfZ~ -;fl( ,descompqnr¿ un todo e~t $l/t.s::par~e$ ,.para ve" que relacitjn tienen entre 4y;con €( J!llsmo.!o401:Y .se ·vu.eh!en .ájunta~ , ~fri l'l!eZ Pf/;r.p;ljUe; ,C()]?zpo7Jga;tL¡e~ Ínis¡no todo. J?of :,eje~p10, si tuvíé~einos qu~J~ac~rn0s . car: go. de los Q'lU~bl!ls qt¡.e ha.bi~ en una sala" pOl1 mecho de la atel?GÍo~ elejiríam@s uno, ¡Y,. g, un reI0~; ¡y,>pqr, roe~i0 ¿e la,.;a,nál,i5is le des~ ~9JDPondri3,mosen las ¡.]jfer-entes piezas de que , constaba, pqJa ver que Telacíon. tenia~ entre.sí ry 09Jl" el totªl de la máquina; ,y des,: pues,las- voJye!,í~os . á juntar ,para formar ~l ;r~19~. Lo mi1?m,O ~e ej~cutaría".c9~ t¡¡ldos ;lq$ í\e.IQas m,ue'Qles,;:,,,.:. : , ' ' " ~:" ' " , , ~ , , La exactítud -de 'las ideas clepeI!de ~el :ro.,¡lf y01'- grado

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y:la idea qlie c}€, ~l1a rtien~ ,s~;,llama qbscura. ' Otro, que ¡sªhiend,o \3: valt~~,) ~ól0,. dugas,e entre i10~ Ó t~~s, Cé\~S' ;,.hi}Qf-á @p~ti?,'!~.lJ1la~'.Y1 la ige~'


J.NTR·ODUC€¡10N. -n !itl~,.t~~l').e ¡de .1a-~éa:sa ·se ·,Uawa:.::c~hjibsa¡rf,)tro

qu. , ~ntl)ando en)a:,qane~ se fQese. derécho á la as.a $iPl p,r.egla.1ilt¡l,F á !l1lad,ie, haBrá' ,analiza.. gQ. f~as.dTo2" lª Í,d~ª ,qqe tiene de.¡laI1:as& se Ua~ roa: clara. Y otro que no solo supiese la casa~ ·.sino ·qué·,estal'ldo,léjos.. ae¡ella;,J'r:es.€' oapaZ de dé\r á l. otro tales-rijeí1as, que , ~iD:_ preguntar á . Aadie ~e.fuese der~phQ {t ~lla, este ,habrá.Rna" liza<il0 -mas 'que todos, .y:.la idea qu'e.-fierre :de la .~asa s~ Uam a distinta ó ex~cta: "Esta es la idea.que i hemos .de.pr:ocurar .adquirir. en to .. . , dos nuestros eonOClmlentós. '~::l!.:. '" . . • Si despues .de.haber examinadto dos' obje,. _ tqs, v: g¡ dos relojes, prestamos nues;tL'a"aten.. C.,i0P..á .ambos á :tJ.n .mi$mo tiemp0¡ 'entórrces se' dic~ que los ,comparamos; de maneI1a que ~ompaF.acioPl es uiza apeTacion del alma, p.on medio .d.e la .cual prestamos nueslFa atencion. ~ :unr ;l!isJrw tiempo' ti dos opjetos" De ,la' com.. paracion..resultará que el uno será mejor" ma.... y'or, etc., que el otro; y este gi ado :de mejoría; lP ay.oda, etc. se llama T:e(ac.io~z, que no,es mas.. que ;e l.re,sl{,ltt;ldo de la_comparacion. ',',; Cuando al corpparar dos id·eas .,hallamos.: qNe 90nviénen, ó NO" é ,interiorment€ nos'convep.eemos de ello {C.OID0 Guarrdo me,.convenzOl dt}:~!;I-eia/~ie?!? es .bkmca) , fori.nam05 locque se llama'juicio, que es una operac'ion -del. a[;. 1?Za, por medio. fle 'la: .clfal ajirmamo:s ó liegaJJ:los una .eo,sa de .otl:a. . ~.; . ! "f.l.¡ • C\. - -~. ' Si pe 'espresa,nehjuicio {Jon pálabras tC'0mo :SI, yo l~ ,díg,Q. á QtrQ lP.. nieve es frlanca~, .se llaL _ m.a,p/l?p.osicioT/.,; ·,de manera ql!le;' p1-oposicion es un JUlcio espresado por palabr:as.- . -,' Lá ptop<Jsici0fl COi:íst.a. de tres -partes' suje. I

i

, l'


, ~II

IN'!'1tÓDÚéCIÓ~•

•t@; ,que 'e~' la c6sa d€ que -se habli:( v:i" eH'~ r

' anterior la"nieve)'; pl'edit;ado, que '~s lo q:U:e se aijrma:'ó , niega del ' sujeto (Vi ,gP'blan'ed) ; y cápula el! verbo ,( v. g. '8;5') qué ,los fuñe'ó \') .,r' • "' separa., ' .' (. '"\..') " 'T , ¡,.,," >. , -Cuando .por la compar~cion d<:!ldos, ~déa3 Ílo:.podemos averiguar, su: relacion,' y 'pal,a: '8s;, to las' comparamos con otra Ú o~ras, usarño~ del mdocinio', ql!lenes'una operaciolí'; por me~ dio de.la cual.se ,comparan dos ideás~con ul1;a Ó 'mas i'nter..1nedias" para, averigua;r r slt pe lO;; - cion. Si el raciocinio. se espresa por proPQ~icioñes',"se llama rdzonamiente. ,) .' , Las' proposiciones pueden ser evidentes J 'ciertas' y probables. Se llaman . evidelíite's 'ó axiomas, aquellas cuya 'vei'dad se COlz'oce, inmediatamente q,ue se pranuncian. Tal~s 'son: }.o l Una c'Osa es igual á ella misma. " . 2.° • Un todo es igual al canjunto d,e i'Sus parles. ' , ' ., f - ¡ 3.° Lo que hagamos 'con 'el tOr/le)1quedará h~cho con el canJunto de sus partes;: y lo _ que hagamos con el con/unto de sus 'Partes" quedará ' hecho eOFb el ,todo . ' " (" ,r ; 0',4.° El tado es mayo~ que éUálquleNl. de sus partes, á la parte es..,menbr que et tadó. , 5.° , Casas. igualb 'á uria tercera san"iguales entre si. ' , \ ., '., . El primer, axioma está al' alcanCé ,d~ t(3!dos;' y los demas lo est~rán igual'm'€nte , ~s'i 'se tiene presente;qúe 'cuando una t0sa ,se comptme de otTas, á ·la:-compuesta se le llaina toda, y á Cíl':': d.a:- u.na de-las !t0mponentes 'sé (le's lram!l'pal''''C tes del mismo toda; ''1 <: ' .~ • "~,' ;1 . ' EL: j:€rce~ axioma .y el último 6011 de¡ }!ama~1


.. " t..'" .1~iJ,'lt'0nV,€€1ON:.

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,J9r: imfl9rta~Dcj~, p~~?

en e1l0s ,se-f}1ndaIi ca~ si todasJa~ <lemoS~r'clClQn,es. . 1 1) ,;~,~ , . . ~~. J?r0pi?,s~ciones 'Ci~lltªs; Ó: teQlJema-sJr se ~ U'a~ m~!1 .tJ:.q~ufJ-ll(l;{ quepg:¡:a; á)]'/I1)e,.ícen;élel'Su~ , 4fl:.r} I~~ ,p rp;isp .c~n;zpf7¿!!ªtl€ls. COTf los '~'(],x'iomas,; y¿ ./ifu;f}¡¿p~r ,q ue. :e~~419 cp.mp".endidas, ren. ,ellosJ ó de otro m9dq,: .t~Qll~~a és ·u1J.aprbpV'~IHioTl qit,~ JiA€.,cts.itrr d~f(I·9$tf,:cw~on ; 'Ji d~mosltr!ffií¡jn es

ver·

Uf,&. ra.7.(jllamien.t.o,s~~'p:u-ifio" I">.en n,UfiN,@ ·fi:tr¡ee.'ven ""'1 l. .. . t:r ..... r " , D .' 2' , . -...v

..... ..) -)

.fiue la . pr.qposisip!h e&'fJTt,<;jad.a> ,.~·de'?'.bar/.'VJíuj)d()

¿fl:Jl~}l:eJ.)«a C9{l.l.q~j.!\.~·n\4bpios, ,ma'$'ciélfi:tiJ:PJ: e1.!i· dentes, que no d.~¡(k;·~lj,¿¡a,., iJe. SU \v..e:r.,,!f;Lll. ).. :·~, :~ .~. ~j'kAw-lOs,tlt\J.l;9.:g.~'cplA,{tde, \Sel\ d¡IlE.:qta.!J) a

,4

}.2':~o.p4~ ~l;J.dir~opa~ó--A'f1Q:Stel;ior.:i;.~q1il€ ,tam~ien s~ i"paU1~.pd , q,k~,l¡r-df.tl~ \,:ES , d!r.ecta', ,C-UUlldo parttend,c<r?lel s'UJ~te ,df!~ia pl'OP()S.icÍfíJnfGe0ma.. (lJfi§.#.g,)?:.3).eFdJ~# ' rJ.Y.fl: (jf1Aha ~7;l.áne-¡a.'4o ,,; ie in~ir€:CJtfl HCYfLnrj~ ' ~~(bJ.lP'~ ):.v~r -q<l1:e---¡z(!)'\S'6.tp.uetM rp~rifi.~Ef'r n,ilJgul}.fi gtr§l;J~Qs{!- /7)(JSJ q.u&' r;l;)¡zn'u,",:

ciadQ. Este métoao ,de demostrar seJ1ainarm6wdoIde jf!j1{aUp,i9.fj..r;,,·-d: ,.,~ .,' 'J (: O~c4 .

.~~~ 'j?~qB~.§.ip~9Ms~;F~bílbles son'l,;;' 9·~'e·,únas ~f8{E!ffdeflJ ffff,j{Vf}[§lg@eras,y .otna

flalr.q.s; ¡ Segun las cosas 'ql1e\se. enuncian ,en::l.a'PYO"'

-Bgs~i~~n t9PH\ gSJ~-I{Jfn,~n:lbr.e, rl€)~iJejiniéi'on, · R!"oA?~?lfa, ,CQ~~~c;z:i()~, '>PQstul¡¡,do. 9,:J8'ftol~r;'f:r JW(l,a:.r\\,¡}.\í\\

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JiÍ<;,Sy,.l[rRMV!3) ldf/.flQ J'f) lna canteoner 'a!lr.dijifl'idQ• ;p..t!.o.pasü..i(im ~12 'que 5«

• úJ \:P.tt.q-glfl.mª :.l·et~"U~~

.

.!l}.'!,¡n/;ifll qu~ F(JI;"~_d.if!!:.lie _eieftas eosas c:o.nÓi. cid«s ,d.~bem(,)s\ aye[iG-u(j.n "IGJ¡.nr.li..dei.ccmQcida. .


~rv.

.I:!i'tñ'~))tret:~oÑ.

Estas pro.pbsi:cione.s s'e CQtlÓc,én en " ~'e!p¡'iñci; pian por el infinitivo ó 'imperativo <!I:'d :'Vérb~ Eli pl'oh;l'em\a -üorista dé ~ f.ú@lücii:J1i, r dé;¡niJ}traCiOlZ r~eI'l!~:1a' :t:esoli\Ic[@Ií'. s'e~-a.'Ft:: la? \regtás para cu<:mitr,al'UtiJ q.1,l6 s€>Vh1ilsc~; \y en ta -d~'els.¡:fti:. cionCs€,haa:é~ver qu~ practk'anS o'd.icnas;regfaS\.

se llegar..á:;a te.tledo~1!l~r§é1>ediá.¡ ·: ~J lrBo.s~l!l'lado: es

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l:fTt á'i:'¡,ol'íi'a f!ntln.dadif,en paf~

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vez de-:'jj:ii pe:

6,o.durbrU':pu€d'fm w;'l'Uit. Ó'lÍf'i¡c(Fpe~etlls. ~)~ ~ \:} ~h ¡ 11\"smM'¡~ -es" 'ún:a.:yijjbjJ'(f§'ipi'G'rl"en q?teJse 'esJ. plica)!Í,:'Oid'VieTV;e, rilgulza\'eils,ét. (" C'<. \, -: ):<-,~.\,.:¡ ~, . Lama'.;és UtallJ1JOpójif5fo'i?Fque'j'éfleeneCienI d(j~ 0, ,@.tf,'o)IaiYu..iuo"di'fif:1J'6~dJd:e\¿l'r) üe-*'e ~¡lt~,·· sé, .1' \ , 7. ' 1' (}nUnci:D. pxi7Ja;'que' JiN,Já'l:(j,'if.''b,f¡¡''S:Ól'a'(J.Éoh,tr5 prin::' cipio:wle,J(.úniSlJl(j' q.l~(feh~ ,tVoXá tratal?'y, ,) . \l~\.,)t\ -r! ~:rf.mbielf;h':iy prop'bsi~i9hes, CeJlidtci'O'nalei; t.al'Pa(Jltlf<.etr. que':ehllI!a 1a:'é0ñdie'Ícin.se')H:fma 7i~ .

1'6tesiS.;\ Y' l~ 0tra, q@ éS"l& ,t<pié I~e, a'sf!gtira;-se l1ama:rtés~·~ 1s.:·~~,·'~'*l'·¡/)b eb

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Esto su puesto, ~e ll~ma. cíeiz~iti"el :¿onjliit.. .

t<l , dert~~las'Pr0pdsitii~t'Íres ' eVÍ'deñ1ti'é};~i her.

tas~ pé.rlenecien~es á :iltrt 'J a!m.flOO~ eíi'l~.z!aQ.,cfS: en;:' .tre ;sÍ'.con .cmnto' ór,den'~ l 1.-l :;,,;t ÚJ ,'; 1ll;rf,~ ~: ' '''''' " .:l ' 'd'tfp00ue~~~ ll, .¿:," " • 'l ' • ~ ~ ").!F'HfZ x.rJ\ Eshl\·oI'lllen.o es' o' que s't:~ ll:' 'ir}a,-,métodq ?tl'U'€~,es" e;.l ~ot.df!riJq'tt.e s¡F.:s-~gúé- ef¡. la a¿quisicion (ó esposicion) de nlfesJrpi7-t~\. «l.9CbfJ?iem(Ys~ l;á ' ci:r:(}tn'i~cjra~esetlei~IrtaH ID.é.

j:ódi?- 6~ Lq'Yt~ \'$e'P'I'f!)c-edib \9i'&J:np,7Jec'de,:,t~ ~'onóCtla '

tfl.Q, .4 ¡Jo d€':Sconpcit1o:rs~§e :riM f"aaH ~c~IÍ'óctaas

las pact.esJ;y.p.Qf <:ltas: ;]héÜi~§. alé'~':V'oorrSett e&.notifu~ 'débtbd0 ~l 'tnéfo'(t0 .s#')Itií)n~~s'tH.. ~étf:co\~ vl-e (wmj;>~'$~c¿b1í}, r j11sí;;~1c(Íhió1Jm~ el to,d6, hernoSl de.~cOnQeetf s'Us~-pá~t~~'i-~el~ptét-O?b Aé.l1arna-.:«zWJiticó) ó 'ilf1'.lt(ps(!@mposlC:'io'Ít. ~. l:¡~

r


'íNTRo:óúecioif.

"1' '¿~ oh's~áIÍlós -q.n c~érp'~~réd~r6fulera,

g. ñ,nlíbro,"lé 'haU<l'Fémos:·dbtado. d~

'XV'

v.

muchas I[f.rop,iédáól'é&; j t!émo 'SOHl, 0oupar ,tui e's p'aoio eü'áRtuiera, 'qtle se' llama: 'e¡st{7í~i'óri 5 ~o'i>0'Clre~ ifo'\1tpar 'oh'cil}cqeipc> él mlsm~ ,é~rpa~il5tqu'e ~l a1\Jb rntismó tieilipo~; qúé, S'f :I1-am.a- .Z,7::¡Ip~Tl;lttra­ .{lilidad;· setJ~. ifiélifere1'lté el 'm'Overs:e Qresfl:lf.se 'qi:l'ieto i:!t111e! 'sé,> Uarr:ia ¡inerc'Ícf..';"¡ poaer' :set·\tnis-, ~dadt) rle~~it{l par1~ " aer-esp'iicib-~''útdl; '' qu'C ~e llama 'mY5pfliddd ;,'pod'erlfér~,tfeGerí .sieJit.¡. . pié":en un rll'¡§mo"sitio, qriÜ! se ll~má'í.~up~slil~ -/JUidati';s dtilÍ'ijíise ...·l3.'á cia la: '~íerf.a~ ~m~dJi:roii irréht-é' ' qú.e~l~if:rIta e~ .apoy¡(qü~' .!ié'}~(fsli~n~~

-qti'él s~Uamá¡grave~i:la':; ,el: :esf~Í' ~ermj;na'do:de

~s-Ifa' Ó de 1& ótra~IiléiÍréI'á~, que 1é:;.1o' que con'S~ ·~tuy,e' sufol'íñ*'ósi!1.ligu"'tf,. y sé41h:m~fi.g3r,a 'h..'ibidad; etc': 'etc'~ r yJta~1:ií,eFfi ta ".d~' pOaer -~éi lÍ1a'f.ór ó men6'r"i:llié 'se lla-rii[,~ztldad" ", J r ..-!:.: . .. ' d6 'm<R . ti'era'>qiYé ' .éántitl'aa- 'é f' t'eat/ .!€f-::q 'ue' pue'de a~

mentar Ó disminuir. ,,,'::, :)'1:30 ,:)j':) ~f'. "'~(:-C';! 'O'\~. 1Y'~l banfidatl' se f(n~iae "eB2w[s~rera.('y, é'iInti...

..l'nu.1:a. j ' t'l11scr~la" il" 'l." l.nn 'T~ Ix)e< 1l '-7íJ:K'''-r- " " ' 'es' a~ uer: ti: e""J'~s' p6l:rte$

n~

:h r tite-;

néTftf'fJ,'ii;igunti:OfFetbc&Ól'l en. t~nli:u»,'J.'oom@ ~ montan de pesos duros; y-continua: es aq-ue· , lla cuyas partes están unida'S entre s[. como . las partes de plata que componen un duro. , La cantidad forma el objeto de las Matemáti· ·c~s; de manera que entendemos por M~temá. bcas las ciencias que tratan de averiguar las relacio¡{es y propiedades de la cantidad. Como esta solo es susceptible de aumento ó di~ minucion, las ~atemáticas solo podrán espresar, componery descomponer las cantidades; y c~lando se ejecuta cualquiera de estas opexac,lones, se dic.e que se calcula. I

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1(;VI

¡'~MDVce~o.1it.

La5 -'M!ate,Jn.á,ti9'?"S ..J S~ di:VÍl:l~I1..~n.:pu,{~s

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JJ:Ji~J~s; se' J4tm¡.ui;pura~A~~ _qlfeJ~tT;ªta7J: fZfj t~, .c~lJ,t#a4.' gOfk;(a, ¡,:"ayor .abs(1·q.s.c!f21J!; J . .ffi:l§tAf ~on, l(fs~ qUf3, ,Q.{{rA~~{,l¡(l!,q,Tl la I cW2~~~q.1~t;,n, a(gl&!HJ ZOf .q,uefpqsl".'lJ<os\;r:i\w~Q$

¡ie ,las.pJ'@pil(dar).ff§;! rie.

.de·,JasM.attemáti,c~s fllJ~a}, ¡sop...c¡lPSr-- 1:IFl.~ ~qp.,~ !r.at;;! ;~de la,'I (}aJ;l-tidadjl1§~retá ~ .q~~ ~!f ,llam~ 4f'it!néf?'ep, l!~JJfV{3¡">?q,?" ,~W~, ·~c.ti q¡.e'isl~, ,eg.l 41\* m1tz qa p-r@P!#J!l~lJ!,eJdlc~CfJif <ffr.¡ rA?geérq..r.rJ. cID'9' q'uft)'tl'ata d~ l~~jl.nt~d.w,~ m;¡nt-i.¡lp a 9.5!f JªesJ~QSiQIl::q~H~ ~~ ilama. fGJl.f?'llf¡~é{~h Iz,os",. !rª~~ des ·4e .lª-~ l\ilªt§W1á¡tjcas Jnjsta~ ¡tPffi. ,t~nJ~'S ' ~~ w~ pr:opjeP:ag~s,.)ti§rH~n;l@¡¡ €1:I§~P.Sls; y i1W\1 u,~ , ID iS:lÍla ;pr~pieq~~§l'i! ,qliij,~P:.~'s:p:t{e¡f¡([n,t¡~s-J ,trsa;tf¡ d~st Por ;e;Jet'r\flJ~,tj el ,mo§lm.i.em~l) 9qll~ld~r_~~~ elÍ lo;; qJ~Ijp~~' -~er.festres sóliqRs" cla ~l'jjeJ;! i~ l~JJlnámicSl"; gpqsiº''yra~o eI~. :l§lS.,liC:J.uidcn'~, ~;

rijina l~~-lUd¡;9.tjj~ámica::.ó fl~dr4/!;I¡ca; ' G9n~:

.' . d.~r;ad() -e-1! 19..&\ GQfir.p,o§

~~J<?§~_esj,~Br~jina-la '~-1?~

'tronomía; etc.-etc. etc. ,'\: .:\'.. ~~ '.. ' . '~.'.\ ~~. . ,.. \tstaS31-9~ib\l1e~l ,~stt1:difl~aJ' GQ_Fl..it>1,lell__métóc d~t; son &uaÓeates. Bru:a ,poder,.. yo.wp¡:en:cl:~l: t~ do¡; lqs ~npGiI;íliep.tQ~ ql:le ~~!fi0~' .á espq¡i~F. '-

"


ARITMETICA. -Nociones preliminares , numeracion, dil'ision J subdil'ision de las unidades .de peso$ y medidas. _ .

Se

l ' llama u-nidad cualquier cantidad que' se elije 9 toma para -q ue sirva de término de com paracion ó medida. :respecto de todas las de su es.pecíe. V. g. en urra cantidad de dinero es presada. en reates ; si~ve el real de unidad; espresada en ¿U¡'os , sirve el duro, &c.I • El agregado ó conjunto de varias unidades forma lo que se llama -número. O ' d~ otro modo: cuando com paramGs una cantidad de dinero con un duro (ó real, &c.) con el fin de averiguar los duros (ó reales, &c.) q He hay', el resultado de esta comparacion se llama nÍlme,·o. Así, cuando des pues de habedos contado decimos que ha y tantos· duros (ó reales), la. . palabra tantos es el númer~. y se llama AritméticaJa ciencia que tt-ata de averiguar las rel¡;¡ciones y propiedades de la cantidad es- , presada por números. . 2 La Aritméticá solo pueae bacer- con fas números las tres open:i.ciones de espresa1·tos, componerlos, y descomponerlos . La parte que trata de espresai- los 'números, se !Jama numeracion. Esta puede ser -ha. btada , y puede ser escrita; la ilLuneracion hablada. consiste eL'l espresar con palabras las diferente. colecciones de lJ.tlidarles . . 3 Para darla.--á cono.cer observaré mas que cualquier objeto que nos presenta la naturaleza, es en sÍ. lo que llamarnos uno; esto supuesto, el agregade de uno y uno, se espresa con la palabra dos, y por lo tanto dos equivale á W10 y u-no; para espresar el cO,njamo de dos y uno /, se usa de la palabra tres; tres y uno se espresa con la palabra C!Hltro; cuatro y uno v

1

T. 'l.


2

ARITMÉTICA.

con la palabra' cinco; cinco y uno con la 'palabra seis; 'seis y uno con la palabra siete; siete y uno con la palabré!: ocho; ocho y uno con la palabra nueve; nueve y uno con la palabra diez . , 4 Ahora se toma esta colecciop. 'de diez unidades por una nueva unidád " que se' llama 'Unidad de decena, y se con,tinúa cont.ando por decenas y unidades, diciendo: ~iez y uno, die'Z y dos) &c.; mas por una irregularidad déllenguaje ', en vez de diez y uno se dice once; en vez de diez j ' dos s'e dice doce; én vez de diez y tres se dice trece'; en vep de ,d iez y cuatro se dice CCltot7ce; en 'vez de diez y cinco se dice quince; y des pues se continua reg~larmente die ... y seis, die.z y siete, diez y ocho, die'Z y nueve; y para espresát dós dieces ó decenas se ,usa de la pala:" bra veinte, y se continúa diciend'ó : veintiuno, veinti dos , veinti.tres, ... veintinueve; y para es?resar tres dieces ó decenas (y 'en general cualquier 'coléccion de decenas) se modifica la palabra tres (ó cuatro, cinco, &c,) que las espresa , con la terminacion enta, y se dice treinta; despues se continúa: treinta y uno, treinta y dos, t-reinta y tl"es, ... treinta y nuev,e , cuo~f'o dieces ó cuaren,t a , . cUMe~ta y tino, cuarenta y dos, ... cuarenta y nueve; cincuenta, ci-ncuenta y uno ... cincue'n ta y nueve; sesenta, sesentcl y uno,.. sesenta y nue~e; setenta, setenta y uno,... setenta y nueve; oche·n ta , ,ochenta y uno, ... ochenta y nueve; ' novent'a, nove'nta y uno, ... novel1ta y nueve; diez dieces ó decenas, que se espresan con la palabra ciento.

S ' Esta coleccion de diez decenas se toma por una nueva unidad, que se llama ceñtena , y se continlÍa contando por centenas, decenas y unidades; dicien- do: ciento, ciento y uno ,... ciento y diez, ... -ciento cincuenta y se~s, .. ~ doscientos, ... doscientos ochenta y cuatro, .. trescientcis, .. ~ cuatrocientos, ... quinientos., ... ,seiscientos, ... setecientos, ... ochocientos, ... novecientos, .... novecientos noventa y nueve. Añadiendo uno tendrémos diez cientos, que se espresa con la palabra mil; se tema por una nueva unidad, que se lla~

-j


, AIUTMÉTICA. 3 mi! mill¿lÍ' , y se continúa contando por millares, cen.. tenas, decenas y unidades, hasta tener un mUlar de millares, que se llama mitton; este se vuelve á ·to· mar por unidad, y se continúa contando por miUenes, centenas de millar, decenas de millar, mUla .. res, centenas , d~cenas y unidades, 'hasta tener un. miIJon de millones,' que se llama bitloll. Despues S~ continúa contando hasta un millon de bmones, que se Uama trillan; y así sucesivamente cuadril/on, qui .. llon) sestilton) &c. &e.; de modo que solo con lai trece palabras uno* dos, tres) cuah'o) cinco, seis, sie.. te , ocho ; nueve, diez, ciento, mil y la millon, modi. ficadas) se pueden espresar todos los números de que puede necesitar el hombre. ' 6 La numeracion escrita: consiste en espresar todos estos números con pocos signos' ) que se lla¡;nan cifras, guarismos ó caractéres. La que nosotros vamos á esplicar consta de los diez guarismos siguiente¡ 1 , 2 , .21110,

3, 4,

),

doJ', tru, cuatro, cinco,

~6, \

7, - 8.,

9, q ;

J'eiJ', J'ieu, ocbo, nueve, ccro;

y cada uno espresa la palabra que tiéne debajo; advirtiendo que el carácter o signitica la idea que tenemos de la nada, y solo sirve para ocupar'en los núme .. ros el lugar en donde falta alguna especie de unidades. 7 Para espresar con estas diez. cifras todos los números posibles, se considerara cada una de ellas con dos valores: uno absoluto) que es el que le acabamos de fijar; y otro, relativo al Jugar que ocupa contanda de ,derecha á izquierda. Así, el 'guaITismo 4 v. g. siempre espresará cuatro cosas; pero si está en el primer il!\gar de derecha á iz.quierda, serán cuatro unidades; si esta. en el segundo, cuatro decenas, &c. 8 En' general .) el primer lugar, contando de derecha á izquierda) 'está destinado para las unidades; el segundo para las decenas; el tercero para las centenas; el cuarto para los millares '; el quinto para las decenas de millar; el sesto parCJ las centiYlaS de millar; el séptimo para los mWol'l~s; el O~tavo para las dece .. . '

'.

.

.

.


AR'lTMÉTI(~Ai

4

naS" de millon ; el _noveno para las cen~ena.r de 'millon~ 'el décimo para ios millares de mUlon; el undéciml) para las decenas de millar de milton; el duodécimo para las centenas de millar de mitton; el' dé9imotercero pqra los ,bitJones; el décimocu~wto para las decenas de bitton; el décimoquinto para las centénas d:e billon; el ,décimosesto para los millares de' bi~ Hon; el décimosep.timo , para las decenas de miltar de biHon; et décimoocta'zJo pariS las centenaf d~ m~llar de biHon ;. . el décimonono para t.os trillones; y así succesivament~ ; , el vigésimoqui!lto para los cuadrillones, ... el trigesimoprimo para los quitto!les, &c. ~

9 - ¡Esto

supue~to

, par:a escribir los números,

s~

seguirán las t'egtas de una rigorosa traduccion; , esto u , se colocal'án suéesiVá1nente tos guaflismos que espresen el número de tmid~des de 'cada ónlen, los unos al /.:ado de lo. otros, p.rincipiando por la izquierda, teniendo· bien present~ la mcesion de estos órdenes pat'a ~o omitir ninguno, y ocupando con ceros tos lugares de.lo.- .órdenes de unidcides qÍle puedan fálta:r, 10 La razon de empezar á 'escribir por la izquierda" es que la unidad de es pecie superior es la que está mas á la izquierda, y cuando enunciamos un,mÍmero, principiamos por la especie superio!'. • 11 , Así, si quiero escribir el númerc;¡ cillcu~nta y , siete 'mil, seiscientos y tres; lo primero escribiré la palabra cincue'nta, que equivale (4) á cinco 'decenas; p fl'r l:0nsiguiente, ponaré en primer lugar un 5, que para que sean decenas debe seg,uir (8) á su derecha otro guarismo , el.cu~¡ ha de ser , el que esprese las . unidades; y como despues de cincuenta sigue la palabra siete, infiero que des pues del 5 debo poner un 7 y tendré 57, cOn 10 que están escritas las palabras ,cincuenta y síete. ,Ahora sigue la palabra mit, 10 que me indica que para que el S7 es prese millares, faltan aun tres cifras (8); y como la, primera que debe seguir es la que esprese la.s centenas, y en el mímero dice seiscientos' , escribiré el guarismo 6 para -espresadas, y tendré 576. ,Despues debe seguir: el


.A:ii:ITMÉTICA.

J

~ua:iismo q tie esprese las decen~s;: 'Yecbtño 'eJ"!JúmeJ ro dado no las tiene '(pues no hay en él las palabras 'diez, veinte, treinta,... noventa, qlle las le~ presan), pondré ° y 'rendré 5760. &un faltan las unidades; M ,c'olTIo en el número propuesto diée tres, escribiré ~l guarismo 3 despues ~el ° y tendré 57603, que ~s: p'r esa el núinero que se q ueria. ,. ~' I'2 Con fa m¡srüa facilidad se escribirá cqalquier iiJt,ro múmeto , aunqlie' sea mas' complicado: V. ,gr. si lifuiero ' esli:l'ibir el mÍmero o,cho mil quinientos sesent[f

.lol' tf'es miUQné-s, doscientos cuare11ta y ,seis ,mil; lq pr,i mer0 escribiré por lo dicho ánries 8 S6 3, con 10 <i u~ , tehdl'é escritas Jas palabras ocho mil quinientos ~e~ senta y tres. -COlUO despues s~gU€ .1apalabr.a . m·#lo,:, nes, me da:-á (tonocer que (altaQ aUll seis cifras (8), y la priql~l'a _ que debe seguir es la que esprese l~s centenas 'de millar; y ,como el mÍme[o dice tántes ~la· palabra init) doscientos ,el primer guarismo que '4.ebó poner es eh~, y tendré 856'32. ' Ahor.a .l;Ian ' d'e seguir las ·dec.enas de ~illar; y como dice cuarel1ta, 'tendré que f>oner el 4 Y me resultará 856324. D,e.s; :pues siguen fos milla Fes ; y como dice seis; pondré ;e.J guarismo 6 'y' teNdré .8563246. Despues deberán -seguir la'!;- celwmas " decel'las y unidades que haya ·en ,d nÚlllerb pro~uesto, y como des.pues ge laslpafabras 'seis ' l1~l' no ~igue nada, p0nd·ré tres cer'os y. tellaré ' -8563246000, que espresa el número dado. Hé aq-~í V::irios ejemplos 'para que se ejerciten los pri.oci-:;piaFltes. ' · , . 1..0 ' El número tl'escientos cuarenta se escribe 340. _. ' 2. 0 El nÚlnere siete mil ~cincuenta y. oc..ho se es¡Cribe 7 0 58: f • , - ,;, " • 3. o ) El~ número noventa mil seisciento5 diez ' se e$' ctibe 9°610. '.. ~ 4. o Doce millones, treintlf y ocho. mil' setecjento$ l' - cuah"o se escribe 1 2038704.1 .,;.; S. o QúinienMs tres mil iniUones y noventa se es"cribe So 3000000090. " . , " l'~. Para feer un mImer€) cu,ande está escrito, se

de

,}


6-

;

.AlI.ITM~TIe'A.

observarlÍ. el lugar que ocupa cada guar;ilmo y -la e's~ pecie de .unidades. que espresa, y ~e pronu'ncia la pg-:: labra eorrespondíente á cada uno. :¡i;sto .e~ fácil, ¡;i el námero tiene p0COS guadsmos; pero si -es compli~ cado se ,dívide en porciones de seis guarismds, empe;-

'Zando por_ la derecha; en la primel'a separacion .¡'~ pone un 1, bien sea por la parte de arriba ó ,bien p,Qr llif ae abajo ; e~ la segupda un 2; en la tercera un 3, 'b'c., clespues se divi&e cada pordon de seis. guarismos . ~1} dos de tres con tina coma; y se empiez;a t¡;y.endo 1'CY6 " d izquiet'da ,pro.ll~ciando mil d.onde se enctle.ntre un\, coma, y donde se halle un r, un ,2 , un 3 , 'b'.c.!'Ili.;,1I0n, billon, trillon, &c., y luego al fin se pronun; cía unidades. Ejecutando esto con el núm,ero 46832í572°57?02154¡309807 "",t.endré 468,321 5'7~,057 002,154 ~. 3 ,.. 2 1 r._,;

:ioo,8oi

que se lee: cuatrocientos sesenta y ocho

mi~ , tl'esciento¡ veintiu-n trillones, quinientos s.etenta y dos mil citlct!ent{J y siete billones, dos mil ciento ci'ncuenta y cuq.tro mílto;nes , trescientas mil ocJ1.Ocientas y siete unidades. 14 Ahora, si á un nu~ero cualquiera: se le pon,e un cero á la derecha, se le _hace diez veees ma'yor:;

porq ue su último guarislno que ántes espresaba unidades, ahera espresa decenastlas decenas, eentepas, ~~. del primitivo, se ,habrán hech~ tambien diez v~ces mayores, luego habiéndose hecho cada parte diez. veces mayor, lo hahrá quecl<l¡do el tocio (intr. a~. 3.°). Del rniSrnQ modo 'Se demostraría que añadiendo dos ceros, s! haee el. númt>ro cien veces mayor, 'b'c. 1 5 Los número.s. s:e dividem en abúractos y COncretos ~ s.e l1a~an abstracto$ los que no de,terminan l,a , . especie, de unidades "coq:¡o cinco', vei,nM, y todos los que hemos considerado ántes ; y COl1cn;tos son los Hue la determinan, como cinco hombres, seis manz.anas, 'b'c. Los números co·ncr.etos se subdividen ea homojé·lleos· y heterojéneos ; ~e llaman hOLUojéneos los que espresan unidades de una misma especie, com@ S hOLU~ . > bres ~ 60 hombres ~ ,_&c.; y heterojéne.os los que se

q.


A.n.JTMÉTJeA.

7

refieren' á diferentes tmidades " cemo 20 hombres 80 manzanas, &c. r El número se llama díjito Ó simple, cuando se es- I clÍbe cen Ufo!- solo guari:smo; y compuesto, cuando se escribe con mas. , Ademas, el número se divi;de en entero, iJuebrado, f1iisto ,fraccionario y quebrado de quebrado. Entero es el que So compone exactamente de unidades, como todos los considerados. hasta aquÍ' ; quebrado 'el 'lue ,espr:e$a partes de la uilil:lad, como tres cuartos., dos quintps " b'c. ; mistQel que sé compone de entero ~ quebrpdo, ' como cuatro y medio; fraccionario es aquel en · que, contandQ POI" partes de la unidad, se .llega á tener una unidad ó ,mas de una unidad, cornil) tres terc-i·o~, e cinco tercios.; Y, por último, quebrado de queb~ado es el que espresa partes de partes de ta unidad, «¡¡ame lo.s t)'es ¡;,uartos de dos q¡¡intos , b'c. 16 Ea 10s pesos y medidas €spañolas se observa. la .ley siguiente. Las medidas de longitud se refieren al pie; eSte se divide en 16.dedos, y el dedo en mitad, cuarfa, ochava y die7.. y seisava parte; tambien se divide en 12 pulgadas,. y la pulgacra en r 2 \fíneas. . La va~a se compone ae tres pies, y la legua de 29000 pies. '. . '-< , . 17 ' La, .p rjmera de las medid~s agrarias es el esfadal cuaMado, que es \ln cuadro de 4 va,ras ~ Ó 1 Z pies qe largo y otro ~anto de anche. pespues- sigue la aran7..áda ., <!lIJe se compene de 20 estadales er'l cuadro; y luego la fanega de tierra, que se compone de 24 e,St1l:dales en cüadro. 'Lá fanega de tierra se divide en 1 2 c~lemines, y el celemin .en i cuartillos. . 18 :eara los granos; la sal y ~s cosas secaS'¡ la unidad de especie superior es el ~ahi7.., que se cempot}e de 12 fanegas, y la fanega de 12 celemines; tambien"se divide la fanega en 2 medias fanegas y en 4 cUGrtiltas. 19 Para los líquidos, escept0 el aceite" se usa de la cántara ó arroba, que se divide en z medias


a

ÁRITMÉTICA.

cántaras; lá ,.media cántara en 2 cuartillas; 1:t cua:f tilla en 2 azumbres; la azumbre en 2 medi,üs azum· bres; la media azumbre e~l 2 cuartiUtos; ' el' c'uartillo .en ;: medios cuartiUos; el medio cuartiNo en ' 2 copas; de modo que la cántara tiene 32 euar-tiFlos. El .mo::>,o se compone de 16 cántaras. ' , JI 4

, Esceptuamos el aceite, porq ue sus medi'aas están arr.egladas al peso; y así se usa de la 'an"obcr, media

arroba, cuartilla Ó cuarto ,de an"oba ,. libra-, 'media libra, cuarteron Ó panitta ,'y de l-a media pánilla, P ara las cosas que se venden al pe-so ,' la; uni. dad de especie superior es el quintal-, €[ue se com· -pone de 4 m-robas ; la arroba de 25 fibnJs; la libra. de 16 onzas; la onza de 16 adarmes; el'a'dárme de 3 tomines , y el tomin de 12 granos. La 110ra se di. ,vide en 2 medias libras, en 4' cuarterone-5-, f-ly en g me.d'ios' CtlCll"terones; 1a,..onza en 2 medias ón¡¡.,as, en 4 cuarPas ,y;: en 8 ochavas ó drac'mas ; lla1 l;i'i;)r a se< divide cambien en 2 marcos, y el mateo ~n 8"onZ1H. ~ 2 [ ' En la moneda la unidad de especie süperior es el 'dob,t on, ,que se compone de 4- pesos; el peso de 15 rel.lles, y el real de 34 maravedíses. ' 2~ En el tiempo se' observa la sjguü~lli~ divisioñ: el siglo se com.p,one de 100 años, el año de 1 ,2 meses; , Ó de 365 dias y algo mas; el m,es de, z.8 ',' 30 ér 31 dias; el dia de 24'horas; la 'h ora de 60 'minutos; el minuto de 60 segundos, &c. . ,', l' ~J 1

- . 20

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• De la ' operacion :de sumar ó de ,la' adiC'ion. ~ , ¡r ,~

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J3' Aunql:le es verdad que d a!d0 un mQrrr6rO soIs se' le p'odrá ,hacer' mayor 6 menor, los dife,r emes mo', do~ €[!le hay de aumentar Ó, disminuir ~ós - rJlímeros, conducep á ,seis opera'ciones , que son: s{/~ndr ', res'tar , multiplicar, dividir, elevar á potencias 'y I%traer ' raíces. ' Slllnar es reunir en un solo número el valor d, dos ó mas líomojéneos; ·la operaCion por u1edio de 1a ~ua1 se ejeC"LLta esto, se llama adicion ; 1005 números

I J I


, AlIITMET'T€A.

'que se 'dan

9

'para' sumar, sumando-s ; y la que resulta 'de la 0peracion , suma, Lo!, sumandos han de :ser ho'mojéueos, porque un;aum'ero de hombres, po\r ejem-p'lo,," me puede áiÍmentar 'Ul'l0 de éa'ballos, &,c.' f " Se indica esta 'operacion poni'el'li:lo entre los su'mandos éste signo ..... , q u e' se lee 1)¡as. Así,' la es pré'-sion 5 "t- 3 te let: : cinco l¡nas tres; y para indicar que de-fJjiHl<?s de- hecha esta suma; resulta !l, se p'on~ el signo =, que se lee, igual; de maneF¡j, -q ue k~ e8p~ésiol'l 5+3=8, se .lee: cinco'1naS"tres igual ocho. '.'.1 ' • 'J' 2:4 Para poder sumar, es nt:cesari ~ ('saber perfect.a men'tele que componen juntcwd.e &os 'e.n dds , los 'números díjitos, cuyas sumas son las C'Gnterlidas en 'la. siguiente " ,ir :" . ' , . ,,¡:", " 'P bl ' , \ ' \ " .L' a ápqr'lf'Sumar. " . "1\ "

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• 2'5 - &a bi tla la la.bla ,' séis ben sumár de memo ria t~dos ios' mímerCls díjitos~

y para' s umir' uÍ1 número


A.RITl'4ÉT.I~A..

lO'

compuesto con un díjito; se añadirá el dijito á lar unidades det compuesto, y se p~onunciará el todo; si de la suma del díjito con las unidades ·del COlillpuesto resulta alguna decena, se pronuncia en la suma la dFellq inmediatamente mayor á la qt¡~' lleve el _compuesto. V. gr ..25 Y 4 (dicien~o: , y 4 S0n .9) son .29; 27 y 8 (dideado 7 y 8 son 15) son 35:, &~. ;; , 26 ~nte~dido es't o, para sumar toda das~ de mí:meros enteros resolverémos el siguiente , . Problema.' Sumar números' enteros'. . Resolucion. Colóquense todos, los stlmando!" lÓs ,unos debajp de los otros., de m04ó que se ,c,orl'espon:,dan unidades deb,aj9 de u'nfdades ,¡_decenas debujo ,d.e decenas, ~c.; tí¡~ese despues Ulía raya; ,empíécese .¡í sumar por la col!Jml1;aA~ : Jgs uni]lades, y súmense todas ,las _de _J os sumandos :" esta Juma se ,compondrá Ó de unídaaerf61as, ó~fi,~ decenas solas", _ó, de aec~nas y unida~e.s; si se compo,t.¡e sofo de y,ni4aq"e.~, se pon.,e debaj.o. .de la ' raya el ,guarismo ,que ta{ eS'prescr, ,~e modo ,q"!e se COrl'espon~a..con fas. unidaljes dé los , sumand~s ;- si se co~pol1e . splo~ dé decenas" se pondl1á o debajo, de las u,nidades. t}.~..tO$ s!f~landqs, .y l~s d~­ cimas ~f. g!,~darán pa1:a. sumarlas con . Jq~ de -la colWllIla siguieilte; si ,hay if"ecenas y uni4a¡i~s, c~.: locan las unidade~ debajo de t'ás u'nidad.e~ ". y se-gum..: dan las decenas ,p~ra sumarl.as con' las de la c01umnlS , im;nediata. ·,Despues S? suma la co~ulnnq, 1e ' las:- 4eee,nas, teniendo, cuidado . d~ sumar lc,on el pri'me.r g~q­ "islno las que resultaron de la. suma de)as. , unidades: esta suma de decenas ,se compon:drá ó de, decenas . . solamente, - ó 'solo de cen~~r:as, ~ \de c?nr~.nqs .. 'Y ~e. cenas; si solo contiene deceñas ', se pon~ .debqjo · de lIS columna de las decenas eL guariS1ho que las ~ espres'a; si tiene solamente centenas, ,se pone Q debajo de tas decenas, y, se guardan las c~ntenas que resulten para sumarlas con Zas de los ¡l'UI~andos; ' si _contiene centenas decenas, se colocan las decenas deb.ajo . de Las decenas, y las centenas s~ guarq,an palla sumarLas con las de ' la columna de lti ,it-quierda. Luego, se

se :

y

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4-...


,ARITMÉTIC-:A~ tIJ1f1,

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á s~maf'· las centenas, teniendo ' ctdclado de. aña¡-

Jiy al primer guaris?no' las que se lte'lJab(¡n d~ la suma ,de la~ decenas; y si en la suma de las centenas hay wi/t'ares, se guarda"n.para surnarlor con tos de la co.lumna inmediata 1 y así- se continua ha5 ~a llegar 4 la ~ttíma co?umna de .l.a i''Zqtlierd(~ , de cuy.a, suma si Y'!¡ s.utta alguna á. algunas unidades de especie superior, -3e:polle.¡r¡ á la )'Bquierda del guarismo últil1iamen~e puesto; y el nÚ1'11r:.Q qtte resulta .gebpjo ,de ~a raya es la 'S.uma pedida. " , . -- Ejemplo . . Si qu,i~l,'0 sumar los, mímeros 35.72, 6~~i' '~7- Y '7 °9, los pondré .los unos G,~p~jo de los otro~, .de modo fIue se cO.r11esPQnqan 1,lnid~desl debajo de 1¡l¡pidades, decef!as deb,~jo de dec~lgs, ~G~; tiraré des;.pues una raya: en_esta forma: , ':! Empiezo á suma!; For .las uLJi,dades , y. 3 57~ digo: .2 unidades yJ~_ son 8, 1- ¡¡ 50Th 1 5, 69 6 I -y 9 son 24; en .24" que 501'1 . unidades, 57 : .bay _2~ decenas y 4 unidades, ,co1990 qL'!s 4:. 7 0 9 1l gnidades debajo .~e la columnª !le, las uni¡dades , y guardo la~ 2 ¡deeenas ' para SUr SO 34.marlas·, con las <;le Ja ~olumna siguient~,e·q. r • ·q.ue digo: 7 decenas ., y 2 f:J.ue llev¡¡ba .de la ¡¡uma de las .unidades, SO{l 9 decenas, y 9 I\on 18, Y S SOl~ 23, Y o son. 23 ; en 23,. Sllie S9f.l .decenas, hay tr~s decenas y 2 centenas; por lo cual pongo . un 3 debajo' de las decem¡.~, y guardo las 2 centenas para sumadas con las de· la columna ia.m.ediata t diciendo: f éentenas , y 2 q-u'e llevaba, son 7 céntenas , y 6 son 13, Y 7 sen 20; en 20 ., que; son centenas, hay . 2 .mH1al'es ju~tos y niÍlguna centena; por ~o que pongo o debajo de léis centenas, y gu~rdo los 2 millares para' la columna inmediata, ed que digo: 3 y 2 que llevaba son S , que pongo debajo de los millares; y como ya no hay mas ,guarismos, digo que la suma de los nlÍmeros propuestos es cinco mtJ treinta.y cuatro. Escolio. Al sumar cada columna no se necesita ir r~piti~ndo si son unidades, decenas,-&c.; pues como por e! -sistema de numeracion eada diez unidades l '

o

,


i2 ARITMÉTIC"A. 'com ponen una de es pecie s u perior, se suman los gua;. .ris,lnos de cada columna como si sólo espresasen unida'des ,y 'despues de colocar desajo deja columna que -se suma, las unidades sencilla,s que <resulten,. se Hetvah para la columna jnmedia ~a .ta,nta:s unidades como aecenas resultaron e·n la suma' de la' eolull'Í'n a ametior. , t, 27 COlño' el pr919lema cO,ns{a de-resoluci,on y de" 'mosl'racion, y hasta~ ahora sólo hemos dado Ja reso'lhcion, nos' falt:illlá:, 'segunda pa...rte ~ue . es la . . '~ Demost1'(j,eion. La colocacion de ,los sumandos. es 'p'or comodidáG:t ehp'ar la F~ya és' póf cl,! lri dad , es,tó es, para: que no se confunda ¡la"sfuma con los. slt~ -máados, to'do Jl'o ·demas está red'licido á que en' elnú-fuero-de-debáj@ de 'l a raya e§t¡.áli to~á:§ las unidadés, decenas, centenas 1 &d~ ,' e:st0 'es, to'aás las panes d,e lo ~ s uman'lh;¡s 'y '(lomo lott..u;e se' h'aee"con ,las partes (irftr / ax" 3. ~) queda ,:lieáHo· con: ell todo, se infi-ere q lbe el número 'q.uff está cl'éba:j? 1:ie la - raya es la su,'má ae todos ' fos (~ú[úandos , qúe el1a lo que debía hal!er 'y demO'st'rm:;' qWe se ·espresa":1U. Q. .o. H. y:D. ' 'Ese:: Si, fues'en, lÚuchos )108 sulna!Fídos, se podrian hacer varias suma!s de á seis tá rocho sumandos 'ca. ~á. úl~a', 'y ', I~eg& se sumarian esta"s ,sumas; pero es 1.nejor acostumbht;se á "hacér siemprela operáciqn de Ílna vez, comó::se ve en los· sigui·entes ejemplos.

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ARITMÉTICA. t

, De la operacion de restar ó de la sust1'accion: 28 La primera o peracion de dismin ui~ '" es la ' de restar, que es averiguar la diferencia ,elltre dos números homojénéos; la (iJperacion por medio de la cual se ejecuta esto, se llama sustraccion; el número de que se ha de restar, 1ninuemZo; el que se resm, su~­ traendo; y lo que resulta de la operacion, se llama resta, es ceso ó diferencia. {. ) , Elqúnuendo y sustraendo deben ser hom,ojéneos por razones análogas á las dic~as (23)' Se conoce el minuendo en que lleva siempre antepuesta la preposicioll 'de; y para indicar una operaéioll de restar se escribe el minuendo" despu es est~ signo-, qu~ se lee ménos , y luego el sustraend.o que es el otro núm(¡:o; y para indicar el resultado se po ne el signo=. Así, la espresion 7-4=3 , quiere decir, que despues de quitar 4 de 7 quedan 3, Y se lee:

siete méno$ cuatro igual t·l'es.

\

29 Entendido esto, pasemos á resolver el siguiente , Problema . . Restar númerQs enteros. Res. Colóquese el sustraend'o debajo .del mi11ue ~­

do, de modo que se correspondan unidade~ deb ájo dS unidades, decenas .debajo de decenas, ~c .; tírese .. des-./' . p¡¡es una raya debajo del sustraendo; véase las 1f1;1i; dades que jaltan á las del mstr..aendo para que tenga las mismas que el min¡.¡end'o, y las que te falte n sé ponen debajo ele l.a raya en la .columna de las unida" des; ejecútese lo mismo con l·as. decenas, centel1~S; millares, q,'c., y el número que 'saZga debajo de ¿" !'aya ,será la ¡"esta.. , Ejemp. Si de 4783 S quierp restar 23512, veré que I!l número que lleva; la pre.posicion de es el 4783 ,por consiguiente este es e-l minuendo, ' y por 10 mismo colocaré el sustraendo 23 SI 2 debajo de él, como aquí se v,e:·, 47 8'3),

S;

Y dcspues ~e tirada la raya, diré: de, 2,Jlllidades á 5 unidades van 3, qüe pon,go debajo de la raya en la c0hlmna de las

235 12 243 2 3

l'


14

/

ARITMÉTICA.

unidades ; ~e 1 dec:ena á. 3 san 2, que pongo de~ bajo de la raya en la columna de, las decenas; de S cent/mas á 8 van 3, q uc pongo debajQ,,; de '3 millares á 7 van 4, que pongó debajo; de 2 decenas de mülar , á 4 van 2, que pongo,debajo de su colúmna correspondiente; y tendré que la diferencia entre los p.os números propuestos es 24323. , Dem. El colocar (}l sustraendo. debajo del minuendo es por comodidad, y el 'tirar la raya por claridad; todas las aemas reglas se reduceri..á que por ellas encontramos la diferencia entre las unidádes d~ los dos números propuestos, la de las decenas, la de las centenas, &c., esto es, que ' hallamos la diferen'; cia de todas las partes de los números dados; y como todas estas diferencias las hemos ido colocando la¡ unas aliado de'las airas en sus lugares correspondieo.tes, resulta que su conjunto ,formará (intr. aX.2. 0) la diferencia total. L. Q. D. H. YD. 30 ,Al ejecutar las restas parciares no se necesi. ta repetir si son unidades, decenas, &c. , sino hacer siempre la resta como si fuesen unidades sencill¡is. V. g. si quiero restar 47305 .de 5&,639, los ,.colOl;aré como aquí se presenta: 58639 Y despues de tirada la raya dir¿: de S 47305 á 9 van 4, que pongo debajo; de ·o á 3 van 3 ; de 3 á 6 van 3 ; de 7 á 8 va 1, Y de 4 ,11334 á S' va 1; Y colocando estas diferencias en sus lugares respectivos" digo que la diferencia tóta! es II334. 31 En la operaoion de restar sucede con f,fecuen. da que algunos guarismos del minuendo sean menores, que los correspondientes del sustraendo. Ea - este ca~o s¡ toma una unidad del guarismo inmediatO de la izquierda del minuendo, la cual como vale cüe~ respecto del guarismo que se considera, se le añadea á este, y de su suma se resta el guarismo del sustraendo ; y cuando se pasa á restar el otr0, se considefa el guarismo, del minuendo con una unidad ménos; pepo es Illa.¡¡ análogo con el modo de pr0cece.r en las


ARI'Í'MÉTICÁ.

1;

demás :operaciones , dejar los guarismos del íninuen- , do como lo que sean; y añadir unét unidad alcorre~~ pondiente del sustraenqo.V. g. si quiero hallar la dIferencia entre 58276 y 23848,. les calocarécomo he dicho (29) y aqllí se ve: 58276 .' Y despues de tirada la raya diré: de 8 J 23848 á 6 no. puede ser, es decir, que al 8 no le 34428, 'faltan ningunas unidades para convertirse en 6, ó que no pued'o quitar-8 al que no ticHe mas de 6 ; po·r 10 mismo tomo uná unidad del guarismo in,mediato 7, que cqmo vale lO respecto de las del 6, las sumo y tengo 16; de cuya suma ya puedo restar el 8 diciendo: de 8 á 16 van 8 que pongo debajo; ahor¡ podría considerar el7 como 6, por haberle quita'do una unidad, y dedr de 4 á '6 van 2; pero es mejor acostumbrarse á añadir dicha unidad al guarismo del sustraendo; y aSí, diré ,; 4 Y I que llevo son 5, ,de 5 á7 van2 quecolocodebajoipaso á la cillumna inmediata y digo: de 8 á 2 no puede ser; to, maré una unidad del guarismo inmediato, y hallaré que de 8 á 12 ,van 4, que poPgo debajo, y llevo 1; 3 Y 1 que llevo' son 4, de 4 ;í. 8 van 4 que pongo, y no llevo nada; de 2 á S vas 3 que pongo debajo, j resulta Já diferencia 34428. I . 32 Tambien suele ocurir en esta operacion el que

el minuendo termine en ceros, ó que tenga c~ros entre ' ·sus guarismos significativos; ' en cuyo ca$O se deja él minuendo como to .que es, y se añade UJla unidad a~ gUlWümo deZ sustraendo, sIempre qu.e para restar el anterior se haya tenido que /lomar unidad ausiHar. V. g. si de 370480000 , quiero restar 3 57~ 9486, los ~01ocaré corno aqllí se ve:

y despues de tirada la raya diré: 3704~0000 de6 á 10 van 4, y ,de 10 llevo 1; 35729486 8' Y 1 son 9 , á 1 o val , Y de 10 lleVo 1; 1 Y 4 son 5 , á 10 van 5, y He- 3'3 47505 '1 4 va 1 ; 1 Y 9 son 10, á lO va cero, y He,vo 1 ; I Y 2 seD 3, á 8 van 5, y no llevo nada; d'e 7 a, 14 van 7 ~ Y llevo -¡; 1~ Y- 5 son 6, ~á 1'0 van 4, y


1'6

,ARITMfTICA..

llevo 1; lY 3son4,á7van3, .Y nolIevonada;y corno del 3 que q lJeda á la izq uierda no tengo nada que restar, le pongo debajo. ( 33 La razan de esta práctica, contrayéndoilps al primer ejernplo, es que para poder restar el 8 tuve que tomar una: .u nidad .ausiliar deÍ7; de donde se infiere q u_e al restar el 4 no se debe consíderar aj 7 mas que como 6; per'o si dejo ah corno,]o que es, y cuando voy 'Í-' restar el 4 tengo cuidado de quitarle una mas, r~slllta que cualquier práctica es igualmente segura, aunque la segunda es preferible. _ Ótros ejempl<.)s d~ sustracciOll. 1.0

2.°

357 10 4 2 4268013 68, 475 586 435 -~

S·· 3·° 4·° 135°3°4 257 08 42 320 400 ) 5?4 2 58 . 64 357 6 86 3957

-

2aó75 7 3661 5.7 8 °7 660 46' 19 2 7 266

23400 4&

De la multiplicacion. I

34 La_ segunda operac~on de aumentar es la de multipticcw. Esta es el caso particular de la surna f2ll que todos lo sumahdos son iguales; y as~, se dice ,q ue multiplicar es ton:ar,un número tantas veces como unidades tiene otro. La operacion se llarna muttipiícacioJ1.; el núlI\ero que se ,ha de tornar, se lIarna mutti1Jcicand?i aquel que-con . sus unidaqes e'spresa las veces que se ha de tomar ' el multiplicando, se lla,ma muftiplicador; ' y lo que resulta de la operaciQll • ~S@ 11.arna producto; el multi plicando y multiplicador jumos, 'se llarnanfactores del producto. • , La operaeion de multiplicar se indica escribiend.o el multiplicando, des pues. un punto 6 este signCl X; y Iyego el q}ultiplicador ; así, 4.5 Ó 4X5 indica que se ,ha de.. multiplicar el 4 por el 5; Y para indicar el resultado' se usa tambi,en del signo =; de maRera que 4.5=20, é5 4':,<5=20, espresa que el producto de .mulüp1ic..:~r

4 por S ~s

2~ ,

Yse lee: 4 m'Ul tl'Pti ~LI¡J,O P.OI


.R:JTMÉT,IPA,~,

,

17-

Si iguQf:zo. OQutre con \\nt:loha frecuencia.el.hacer ofi-

ciQs,de multiplicandQ 6 de multiplicador ., . SUmªS a re9tas indicadas; en ~ste ea§o ~~ _:'Flcie.r.ran en un par~Me~¡s d,e :<;stl'! modo :-(,k t- 1.)X(7 - 2)=2C; que quiere decir que la suina de 3 con 1 que es 4; se d..~eellíu>ltip,licar ppr. lo. qy.~ .'i.l.ueda de testar 2 de 7 que es 5; Y por eso hemos puesto el producto 20. 3S .:La. derinicion de la lnultíplícacion manifiesta que el prod~cto delie ser de la misma especie que el mul-ni'pHeando; y, tU muldplicador debe ser un ,mímero absHácto, qll:e solo dícé !'as veees que se ha de tomar ' @ sumar el muhi-plicando. En alg\un¡¡s euestiMes ·cGnv}e'ne distinguir los factores , "mas en e. pf0duQto ·no influye el que se truequen- sus oficios, cOmO ·vamos á manifestar en el siguiente 36 Teorema. El órden de los factores na altera el

producto. I Esplicacion. Sí quí~r(j muItíplícar ) por 4,-voy á demostrar q~e el producto será el mIsmo " ya mul·tiplique él' S por el 4~, ó ya el 4 por el' 5. 1)em; . J?ues que .la mulúplícaeion es una suma abrevíada:, ' tendré /que suma'ndo cuatró v.eces el 5, hallaré el producto¡ql1e busco; pero si descompongq á cada 5 en las cídco unídades de que consta, deberé sac.ar el ll?-ismp resu.ltad~ de sumar ~stas unidades que de sumar lbs' ~ua.tr<? S á que equivalen;. por lO' mismo, indicando ; y 'ejecutando la dperacion comO' aquí. se ve; , Observo)queeI con] unto de! 5=1+1+1+r+1 unidades que están á la.dere..,-·· 5=1+1+1+1+1 cha: de los signos de igualdad, ' 5=':::[+1+1-1-1.+1 equivalen ádos· cuatro S· que 5=1+1+1-1-1+1 está:n en columna; 'pero eStaS mismas· unidades, sumadas, zo'::::;,q.+4+4+4+4 equivalen á: los cinco 4 que hay deba;jo. d'e la. raya; luego' si cuatro' 5 equivalen á ciaco· 4 , será 'cuatro veces un 5 igual cinco veces un. 4; Ypor lo mismo cuatro veees S es· igtlal<á cinco ve:..ces 4 Ó 4xS=SX4,. qqe era L.., Q. p.~ D. 2

í '

T.l.


18

AllITMÉTIC:A..

- '37 . Entendido esto ~ 'Para poder ejecutar una muI~ tiplicacion ., es indis pensable saber perfectamente los produGtos q u'e resultan de multiplicar entre. si 10s números díjitos, que smrlos contenidos en la siguiente:

Tabla de los productos de los números díjitos. 1 por 1 es . 1 por 2.... 1 pqr 3.... 1 por 4 .... ·1 por 5.... 1 pqr {j .... 1 por 7 .... 1 por; 8.... 1 por. 9 ... '

1 2 3 4

2 2 2 2 5 2 6 2 7 2 8 2

por por por por por por por por

3- por 3 son 3 por 4 ....... 3 por 5....... 3 por 6 ....... 6 .... 12 13 por 7 ....... 7 .... 14 3 por 8 ....... ~ .... 16 3 por 9 ...... · , 9 ..... 18

2 son 4 3 .... • 6 4 .... 8 5.... lo

9

12· 15 18 21 24 27

9 (

· 4 por 4so n 1615 por 5 son2516' po'r 4 por '5· ... 2Q S por 6 .... 30 6 por , 4 por 6 .... 24 S por 7"" 35 6 por 4 por 7 .... · S ~or 8 ... : 40 16 por 4 por 8 .... 32 5 por9 .... 4S 4 por 9 .... 36 '

28\

¡)

~on 36

7..... · 42 8••••••• 48

9· ...... '54

.

7 por 7 son 4918 por 8 son 64 9 por 9 son 81 7 por 8·.... 56 8 por ? .... 72 7 por 9· .. · 63 .

' L ~-

lo

"

r

por 10 s'on ' 100

10 por;;;;;; por . 100;,;;;;;;;;; .. ~ ~IO ........ ' 10000 000 ;¡;~~ 100~ ~.;.

I

10 por 10000 ..... ( 100000 10 por IO OOOO... 1000000

::

.

. 38 En la multiplicadon pueden ocurrir tres casos; multiplicar un número cUjito por Otl"O .dijito; un

compuesto por un díjito , ó un díjito P01" un comp.uesto~ y un compu,esto' ,por otro lcompues~o,. Para ~1 .i;'Fime-


,

ARITMÉTICA.

"9 '

,

ro' 'basta saber de memoria la tabla anterior; ' para -el segundo resolverémos el siglliente 39 Problema; Multiplicar un número compuesto

por un díjito. Res. ' Colóquese el ' díjito debajo de las unidades del compuesto, y tírese una raya por ~a p(lrte i.nferior; multiplíquese el guarismo de' las unidades de' ,m~ttipHcand;o , que es el compuesto, pOl: el multiplicador que es el díjiM; si en este pfo(lucte hay solo unidades, se colocan debajo de las de los factores: ,i cont,iene solo decenas, se pone o en el luga.r d'e las, uniclaaes, y se guardan las decenas para añadirlas tll'f>roducto de las decenas de la columna inmediata: 'J si' .contiene ckcenas y unidades, se ponen las unidades debajo de ras de los factores, y se guardan las decenas para añadidas al producto de la! decenas. Despues se ~ultipLican [,as decenas del multiplicando por el mismo múltiplicador; á 'S,u producto se añaden las que se Llevaban 'dd pr.oducto de las unidades, 'J se colocan las decenas que r.emlten debajo de las decenas, guaraando las centenas, si' las hay, para añadirlas al producto de las centenas' de la columna inmediata. Luego, se muktiplican por el mismo 17)ultiplicador las centenas det muhiplic'l1Ido, á cuyo producto se añaden las que se llevaban del producto de las decenas; y ,así se continúa hasJa qt¡e no haya mas guarismos en el multiplicando. Si en el último producto hay algunas unidades ' de especie su~.erior que Hevar, se colocan á, la i7..quierda; y el nÚlIiero que r.esulta debajo de la raya es et producto. " Ejemp. Si quiero multiplicar 453 por 6 , Ó 6 p01~ 45 h colocaré el 6 p.ebajo de las u~ljdades del 45 3, en esta forma; \, • nl.· .' Tiro ,debajo una r:aya, y empie~ó á . 453 'mu1üplicar diciendo; '3 por 6 ' son .18" ." 6;( que. son unid~des ; y como 00 lB unida:- •. , J , des hay 1 decena 'y '8 ,u nidades ol eol !it~o , 27 r'8, :J el '8 debajó de las unidades de los facto ., ,l. res, y guardo la d'~eena, . parat,a.ÍÍladio.rlili al pxoduet'O J.

.'

"

,

J


10

A!R1TMÉTrCK.

'lile las decenaSi, 'Y digo: S por 6 s.on l30, 'y 1 'queUle'! yaba son 31 , que son decenas; y,:CQrno en 31 deceo; nas hay 3 centenas Y 1 decena" CQ~OCO el 1 deqajo dc las decenas, y. guardo las 3 centenas pata añadir"{ las al pl'oduGto 'c idit éo1uluna siguiente, en qU¡! qjgo: 4.'por 6 son ~4; 'Y 3 que llevaba s<?n ,27, qu,t::. s,on eentenas ; y como en ,27 centenas hay 2 millare~ y 7eentenas , cóloco las '7 centenas) y~ guardo los 2 ; 'tilb Hares para amaclirlos al product<? de la colulf.ula,;..si'7 guitmte; pet6 c¡:omo ya uC? hay mas ,guansl:nos er:¡; el multiplicando, coloco estos 2.milla,res á' la izquieJ:da, dd 7, Y tenge que 4S3 multiplicado po~ Q 4a z7.¡S por producto. " : : '( . t , - De11'l. ,LJa @olocacion de los -factOl:es es por como.. didad, y la ray,a se tka para claridad. Todas las de~ mas reglas' están reducidas á multipliea'r las U¡Údl. des, las decenas, centenas' , &c., esto ,es, todas las partes del multiplicando por el multip1i<!addr; y 'como todos los productos 'parciales los hemos. ido reunien1 do en uno solo, resulta. que d número que está delilajq de lar,aya es el product'O de todas las partes de ~ue se compone el multiplicando por'e,l multipliéador,; luego (intr. ax. 3.°) será el producto total. L. Q. D. R y D; - 4.0 Al haHar cada prodlicto no' se necesüa ir es" presando la especie de unidades, de manera que eñ la práctica bastan 1,lS'palabras Jel sig,u,i;ente ejemplo; Si quiero multiplic:ar 7263 por 8',,<colocaré los nú,· ,meros como he dicho y aquí se ve; 'y des pues de_tirada la raya di-r,é: 3 por 726'3 ' 8 soa 24, pongo el 4 Y llevo ~ i 6 'por 8 ' 8 " ' SOlil 48 , Y 2 que llevaba son S'.o , 'pong.o , ----a J llevo 5; 2'-P(l),r 8 'son l6.; y~J.5 que He", 58 [ ,04 ~ yaba son 21 , pongo 1 y llevo 2; 7 por 8' • ' ,l / son' 56" y 2 udfevaba 'so'll 'S..8 ,.p,ongo eL 8"y llevo S ; q ue com~ , ¡:¡o hay mas guarismos en el mult'ipU· ca,l'Ide) coloeo el·s á la. izq uicrda ~l 8, Y resul\a ,q \le el producto 'de 7263 ~por 8 es 581°4. ' , 41 Ahora observ.arémos que tO'do nÍlmero muir,L¡licado p~r ta unidad¡ ó la. unidad muttipticCl~a pOI'

q


. ARITMÉTICA. , 2t ~u'alquier tiún~ro " da po.r producto el mismo núme"o~ y que cero mukipUcado por cualquier nlÍr11ero, ó al con- . ,.1' trario , da cero pO'r produ.cto; 4'2 .Si. atel1dcmos ;¡l sisteIlfa de numeracíon ,verémos(!4) que unrrúmero resulta mu1t1plieado por '10 1 ,5010 con·añadiode un O; seJe ni.Nltipl~ca por 100, eon añadil'le 'dos ceros, &c.; yen general, para mul_ tiplicar un número. por la unidad s~g'uida de ceros, 'Se~ colocarán ¡Í la derecha de dicho número. tantos ceros como acompafíen. .á:'ba unidad. , " 1 • -': 4'3 - De aqu.í se,sigue que la m).lltíplicac~on ge un fiúmefO eua~quiera j1lor otro ,de un guarismo siguifi7 fiati V0 y ceros, se .r:educe á ~a de. por ~no dijito; pa\;. 1'a..lo cual se multiplica., el. .númer.? J:omp¡.¡,esto por ef . guarismo significativo, y al producto ,se le. añaden j' '. tantos ceros col1io .le "acompañen. En .efecto , para.multiplicar S3'g por 400 , i1Íd¡'~ caré 1a opel'R'eion de este medo:, S37x400; . , ¡pero 400 es lé,·I!i1iSÍIló que 4C<100 ,1lJego,pouiendo en vez de 400 este valor, la espresion anterior se conv.ertirá'eñ 5375.<:41«00'; l ' , ,' . . pero aq·uí tengo indicado que elprodú.cto de 537 pOI!' 4, que (40) es 2148, le debo multiplicar por 1001 y como' para mdttiplioar por 100 ', basta solo añadir dos ceros, resulta que si al 2148' le a~ado dos ceros; tendré que"2 148dO' es el procLucto de 537 p0r 400. :'Otros ej.emplos de multiplicapon.·'

1

J..o

1.. ;~.

2~~ r '

j

.'

...~

3.Cl •

~0407S3 ' . '142 $78 39 . 60 r'

'.~'

1

5000

1

46-296

' 6¿98-~:9

48244S180

71289195000

- -44 Comprendido esto, pasemosaltercercaso que el siguiente I "'~ Problema. Multiplicar UIJ nlÍmero' compuesto po~ otro eo'mpue-sto. _. , Res. ' Tómese por mukipHcador eL que tenga.' mi-

~splicarémes en


lU

ARITMÉTICA.

los guarismos,' y póngase debajo del muJtiplicañilo, 'que es el otro nÚmel"O, de modo que se correspondan en cObumna las unidades con las unidades, las de~ ,cenas con las decenas " b'c.; tírese ,una raya; mul. tiptíquese todo el multiplicando por las unidades del lIm~l tipf.icador (40), cuyo product'o se po,ndrá , debajo '-- -de la ' raya de . modo que caigan l,as unidades, defe'nas, b'c. debajo de l'as unidades, de'cenas, b'c. de los factores; multiplíquese despues \ todo el multiplicando -pO)" tas decenas del multipticador, y , cotóques# este producto debajo del anterior., corriéndole un tu§lw ,hácia la izquierda; luego, multiplíq.uese todo 4 multiplicando por et guarismo sigtliente . del multh plicador, y colóquese este producto, debajo del ant ecedente,l cor.Iliéndole tambien o;ro ' lugar hácia la i ~quierda ; y continúese de este modo' hasta que.-,no hayá tnas guariS'17ios en el multiplicador. Despues se ti'rará debajo d'e~stos productos_parci{lles otra ray'1; se sumarán todos eltos , y la SlIma -será e~ producto que se pide. . Ejemp. Si quiero multiplicar '82'37 por 536, to· roaré por multiplicador el 536 Y le colocaré debaja del l'Illlltiplicand0 , .en esta forma: . y despues ·de tirada la raya, mal8237 tiplicaré el, 8237 p0r 6 ,é iré colocanS36 do ~I prodl:lcto. debajo de la raya co- - - ,: roo en el caso dicho (40); desplies p~Sc¡l 4942~ á multi plicar todo el multiplicando 247 I I 8237 po.. el segundo' g,uarismo det 4118.5 multiplicador ,qpe e~ eJ 3, Y coloc.o. su - - - prggucto debajo del anterior, coáién- '" 441 S¿3~ dole ún lugar hácia la izquierda. Paso despues á muitíplicar todo el IT'IumplIeando por- el tercer -guarismo del 'multiplicador , que es el S, Y col.oco ~u producto debajo del anteriór, c0rriém.dole.un . lugar hácia la izq uierda. Tiro des.pues una raya, porj q u,e ya no hay mas guarismos en el multiplicador; sumo todos estos p~oductos parciales, y tengo en la sum~ 44 1 $032 ~l producto de los dos ,ucimeros propues~os. J


, ..

AIUEMÉTICA."

"

,lZg

.rDem. : "El Atomar p0r mq-ltipliéad0r ¡eL ~e' ménos guarjsmQs es por,que ~1. ó,rd~n de los facJ:brt::s (36) no áltera' el' pro®ucto, y, de este modo resulta,la oper3:q on C0n mas lsencillez.; sllc ,col€!caeion es p.or e0moClldad, y el' tirar la Fa ya por, claridad; to&s las demas reglas están r,educidas a. 'Q1ultiplicar todo el muhipli. _ cando por las unidades del-inultiplicaf!.p,r; despues tO~0 , ellllUJtiplicatldÓ J por, ¡~s decenas del ~ultiFlica . dor, y hemos de colocar este producto .,debaa'o del g\l~a;" rismo, de -las deEenas del anterior, porque de m l,.llti. 'plicar por dece~as (42)' debe resultar al fin un cero, ,y Jos g,uarismos sigJ.;¡jficati VQS deben em pezar desde'~as decenas etl adelante, y p0r c0nsigui~nte se deben co,-locar debaj0 de la.s aecenªs <lel primer produ_cto par- " cíal; para poder ejeeutar des pues la suma; ¡[espu'eshemos multiplicado por la,s centenas, y a.:sí sucesivamente, ,hasta habt;r multiplicado tpdo el mu·Jtiplicando por to'dos Jos guarismop ó pClrtes del tllultiplicado.r ; pera ,todos estos pr0ductos 10sJ 1S!mos sumado y re unido en un So.lo número, qlle,es el que sale debajo de la ra')'él'; ,luego (intr. ax. 3.0)-este name'ro que eOEltiéne la suma 'd610s productos del multiplicando por todas las partes del multiplicacl,0r, contendrá el proQucto de todo el multiplicando por todo el m.~lti1'licaldor.L.Q.B.H. y D. .

- Ejemplos de 41lu:ltipHeacion. t. ~ ·

, ; 1 ... í'_ir

7 8546

_ " 1 , 3 2 54

--~ 3 4 18 4 2 1

39 73 0

,1570 9 2 ~' 3' S638.'

--88 6 8 4 -, 2555 "

3·°

-----597r¡7 6 34 1 47 2

512208

Spf3096

9475 86 47,9 8 , 75 ~.06 Cl 8

85 282 74 6633 102 379.°344

--4546 517 62 &

4·° Ei producto de 69'572 )por 8563 es 595749317)'


~~

.ARITÑIÉTI~A..

;, S. o

mprMu'ét~ -dé S'5926 F01j 47~

.

6S 14!o; ~'9g~~.

6.° 'Y e1 de 35796<j!;poi 4869 ~es ~ 17422'1O'i'S'Sí: /' 4S ) .[Ía! dpera~io'rl '~e" multip,liear .ge :a'brei[ia~culJnd3 uno ó ambos'Jactores termir¡an eh~ee~os,.' lor<lue S~ é'0tl:.:. ~igue 1Jifl,ltípticando s'olo ldS' 'gúat'is,mos 'signifi,cativosj y aiíaditlído al producto (tantos ei;y-.os conto iiáy' dlrjin .. ' j '1 !.l'! en amoos'¡ac'tores jttntQ'ó.l .h ;(..1 , ~n ef~cioJ , si nen'g<D <:¡uetnl]l1ttrl~Ga,r 631d(§ por;;56~ 's era en vlirt;u!:i de lo eS'pLleswX§' '413) . '"',,, .r '1' • .

6300XS,6=6gXlooXSÓ ", t~) 3'6)-63 x' 56~I0b;o'~;':

.Luego' sil multiplico ~1 :6'3( pbYS6, y al pr oduoto

le añádo a0S ceF0S (42), tel'lar~ i¿VJ. 3'52800 'el p'tO"duc:• ·tQ

,-

de, restos ' tres. facuóreSl;Jóf¡!l'{ de los dos prll'flÍtiv-os'. De'! mismo Illodq ~¡' ¡fl!les'é' 6'hooo por '2~,e0j rtel1l.'-

·dfia;.633d(i)0X2'SOo=6f313X1I6éO~2)-XIOO=r'j;;(j tí,' , 633X25XIOOOXI00='P5'8zS'0®ooo'," -;i 'r lr ' ~('!,

Tambien;se aIDre-via', ésta (o peraóofl ' cualld'o1 1~s ee~ ..os se haUar¡. entre los g'l~arismos sig1iificativos dd muJtiplieaaor; en cuyo 'Qaso 'se mu~tipliéa 'et: 1'ruUti;.. ' plicando por Jos guar'ÍsÍ1Jo~'" sign-ificaotivos., lJeJ'!muttiplieador , hasta ttef?}ar'á tos ceI"OS, en ltegrlndo'· iJÍ:'e;;tds , no se rJwltiptica,j>0r et~os' ~ y, i J~ paSll tí- mutti~ticar. po.r los demas guarISmos szgñifiéat1ivos ; perb ten~endo C1/4.daq,o de cor-rer el primér produeto>háeia : tai,Z:q..uíer.d~ tantos lugares mas uno, cuantos ceros hay j es decir; que si.hay Un éero ,se. 'debe C0rrer el primer prOduct0 dos Lugares; si dos ceros, tres lugares, &c. á la ízq yíerda. V. g, si fU f ílMe que multi pli1:::rr 847536 p011- 400,306, colocaría los, factores d~ est¡¡. manera: ~ ,' Mulriplicaria todo t!l 'lllllLríplicag~o p~r~6; lo 'lue!!.le ~a. ~l ~ __ 84.75,.1.6 produC}ó parcia~ 5085216; como 40°3°7 despues del 6 hay un cero en el lUu~¿(plkador ', paso á mulup-li5,085,216 . car por .el primer gu~rjsmo síg:~ 542608, ni¡:¡cat~vC! que encueJ.1tro, que es 33.90144 eJ 3, Y coloco este producto de - -,---"modo que ' su' primer guarismo 339~737460-16 caig'a' d+l;>ajo del ~2 del ,prod~cto


~)

A:ltlTM:É:'l'ttC'k.

.bf~e·edenbe: ,r eSU0 f es , €bniéndQle ~d'O'S 'Iug~nes:;há~ia

fa j.ztfuieJ:da,¡ CIDmo .des'RueS>.lvuelv.oJ.á','encóflt1.'ax-'ce: ros , pa~o á multiplicar por el guaris'uÍo~ sigFliiica~vQ q:ue: ;tiay~éspl'les 'de ellos!; q u.~' e~ 'e 14f5 ;G:1!llbc,9»efp.:rodat!to ltres, l}l.gares ma:s 'h:áoiada jzqui~¡¡da,jj ilieS,peato del ~n:teGed~l1Iw" ·' fl0rque i;aqllí: , ha:y , d9sJc~r0s ;;¡' s:um~ . -desf>ue¡' €~tos '-preducrosl) <y, .saeo .q ue 84V 5,3'6\ mulú;pliGado~:plDr' 400306 1:da 3'392O'Y7!J.qocló,pon p'r~ductQ. - ;4ó¡· ... Lá'S':oaesti·ones· qu~'"€bnducerl j á.la qp.eraciou 'de multiplicar",' se ,presoo1láll1vbaje tres a6peeúOs ~cLife­ 'l'e,rltes" .q.íte'.s<dlaLIÍan usos! de'€st~ 'oReraciotI :;1.'0 qUUnl,ao.se· tfJ.úUr-e wacer¡á ,ufÍ-I/1Ytnef-ó J oierj]o número ~ 'Yéce$ mayor; 2. o cuando o6nocido .el valor. dE una.,uñiFJad, se quiere averigum" el det~uchas; y 3. o cuando se quiere"n reducif~idades de esptcié/3i}perior )¡j unida~j.)Je especie inferiol". ,.~" 1>§.ra et.~rimer ea:stneU!l'hIt.i:plíca eb..1iú7netlq-· dado por aqu~l qu.e espresa con S:fjS tmidades las v~ces, que 'se le-quiere-haeer mayor ' -'V-. g.-·si....·1. m - 1e-q,.¡,¡.i&l'0 l1aléer.! 5rS;:,v~oes mayol'u;'\ IIQt.l,tip:lkaré ~g~St4 pOT 58, y tendré-que el producto 43732 es un númerq '58 veoces--mayO'r"li):ue.-e1 7'5"0/.- -· --- - _.- - - - - - Pa~J. el" ?egundo, se rnültjplica el vaLor de ,ta unidad pOI" et~ nfÍ7ÍJero de ellas.. iV.~\g. si quier.o averiguar lo qu.e valen 312 S8o-varas' de paño á de ,peales la v:ata ', ri'tud.r,ipli€éi·r é el·fl:úm~ro de Y\ltas pQl~ el valor de una de elfas, que es 60 reales, y hallué que¡-valen 'l22 354800 reales. Porque , ' por (;ada ¡u-nidad 'q-ue haya, se ~é15e· fem.ar una v.ezcsu-v'a,l or; lu~go se .!!l:ebetá tomar tantas veces el valor¡ ¡;le un-a corno unidade. -hay. Así mismo, 4)7-anobas de aceite á 96 reales valen 438'p ' i:ellles; y 3574Jam~gas de t-rigo á 8, 'reales valen 303790 reales. . . , . J.i'ara: éll tercer ~aso sé 1nulftiplicCf1el ~ú1nero ' de ¡lI-ntd¡aiJes de, especie superzor, por aquel número que ~?n sus un~ilaaés, espresG 'kasl ut1idadesJé dpeeiéJ inferzor de que se c.Qlnpone la mayor. .' r.er ejemp. Quierosa);¡er ,cuántos pies tienen 7 varas; como la vara es la unidad de especie superiÓr, lo

I

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d A:l!:ITMÉTICA:. y se 'componé de' 3 pies, multiplica,r é el námel'o¡7' de vara:s· por 3, Y tendré en el producto 2 dos ,pies El ue hay en '7 varas. , ,..j 2.<7!.Quiero averiguar cuántos marayedís~s hay en 79 doblenes; para esto,multiplicaré el 79 por los ma· l'a vedíses· que tiene un doblo n , que ,s.on 2040, Y sa· caré 161.1,6.0 maravedíses,; ,pero es mas cómodo r,edu:cirlos pt:!mero á peso~, luego á reales Y: despues ' á mataV€1íses. Así, en e.1 ejemplo propuest.o, veré pri:' mel1'() cuántos pesos hayrenlos 79 doblQues.;' después los pesos que saque, veré.los reales . q~e componen; y lu.ego este númer,o,de. 'reales .v eré los lllaravedíses ' ". ' qué',.tienen) como se ve en (A). , \~ ':H

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~os dos ejemplo's , (13),; (C), manifies) a¡IÍ :) ~I €B) el rnodo ~ ~e ~reQ:u~ir 7 r; 8 ~3 ~aTas á líneas 1: y ; ~ . (e) ,~l' rnod~ cJ,e red.~clr 43~7 qUinta.les á onzas. ",. ,', . ~

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ARITMÉTICA.

De la division.

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47 Pasemos á la s,e gunda ope]acion,de disminuir; que es cuando se ha de restar el sustraendo del mj,. , mféndo tódas las veces que se pu-eda'; y como se p~ • .drá quitar tantas'veces· com<;> eSte contenido; se dice que clividir es averiguar ¿uántas veces un número ,contiene ,á otro.' La operadOR se llama division; "el número que ha ,de contener, se llama dividendo, el que ha de estar contenido, se llama divisor; y Id que resulta cociente; e.1 dividendo i¡ divisor juntos, seJla::. ,roan términos de la diyision ó del cociente. , 48 Come dividir' es averigu~r~ las veces que el divisor está contenido ·en el diy,jdendo, s~ infitm: que multiplicando el divisor por .el coc,iente' ha de resultar el dividendo; luego eH la di,visien eJ - ná~ero. que, mu.lti'plicado, por el divÍ'sor no Jde. el divi. dendo no puede ser d cociente. ' " , ~, ~ .' ',~Para indica;)1 que Un númer.o se ha{de 'dividir por $Itro, se pone el divid~ndo, debaj0 \1ha ,raya? y lue" .go~l divisor; cD se pone el dividendo ,. despues dos 'puntes, y laego el divisor; así., V Ó 1 s: 5 , indjc~ la division de 1 S por S, Y se lee: 15 dividido por s; .y par,a indic;ar el resultado usa:rémos del signo _; de manera que ,Ii=3, Ó 1 s:'s=a ,~. se · lee: 1 S divie,

dido pOf' S igual 3'. \ "

,. .

'

~

"">

" 49,' Tr~s .casos p,ueden ocur.rir en la Jivision, á

saber: dividir un nÚmel"O díjito por otr.o díjito ; dividir, un compuestQ por un díjito; y dividir un com" puest8,pqr ot.r.o compuesto. " j"

'

. ' ' ~a,ra diyidi·¡; un .nhlmero díjito p0r. ' otro d'íjito ,; ~y, a\ln u,no compuesto sólo de dos guarismos por uno dljito que sea mayor que el ,guarismdde especie su... perio!" del compuesto ., no hay mas que saber la tabla de lamuhiplka oj¡¡¡n' (37); pues en este~aso enave- . riguando el número por que se ha de multiplicar.-el divi$or para que d.é el diy idende (ó el producto inIlledi~tamente menor)) este s.erá el cociente. /'

/

I


?:S

AltITMÉTICA.

t .el' efemp.

,1

Quieró saber cuantas veces e16 con,tiene a12, ó cuáruo.· és '6 dividído por 2; Y como haciendo varias tentativas encuehtro que el 2 se ha ',dé ,mllltip'1icálli pblV'B para producir 6,uig0(qU6' b es .ek,cfJc.Íentet:.,<"L::J: ':' ~'. ,~: 'J' " ,.; . l' :... r"'o" Si ,q!lisiera ,cl.iyidir 1 r p'0'r 4~; veria. q U~ ·des- ' fJ.l~s~ cll} ,dar:.al \:¡ociente 2, me sobran 3; estas 3' uni.. dacles que. sGb.r.all ;se\ pooen al lado" del ':cociénte::ha,.. HaiJo, debajo >-se ..tíra-.una waya d'y sdebajo "se :pone,iL,et ~í't\;,sor:" ertésta:foITna: 2~,.y .SeI ltee! :dos'ytres cua¡tO~i :;!. Pal'a leer tódas estas espr'esiol!lcs F se,hee el ~l¡m~ ..o' que )está. encima de 'la rayá 1 COW ~(js ' nomhy.d. 1; ,mí.. merates ab.tolutos.., yJ el que está debajo. con 'losl nw. ·meEP~-erpar/Jitivbs" . Lsi'no llega ',J" 10'1 ó' con lO;s"¡-,ab<sotutos ~i, tkegrKóJipiua!de '1.0 f' afi'acli6ndo' despues la partícula'avos., .Así " ,la espresion '3'I~ se lee :,,,tt"es:y lI.!leve:diez,;y;' sjete .la'!Jo~. 0 1; L I ,¡' ,¡ . . I '. , , •• ~ ~o .J2. Q \caso,r¡;JhdID,;Diviptr ,un;nftmello GOl1..1pUeS~o por un díjito. ..' .1. , .,L,~\\ "j , ), R:~,¡ ·G:otoquése'. él:.divisor ff la 'dévécha del'H-iviqer!dQ, ,d¿e'modo' qtte Gse. pórres,pon¡;'f¡ah> :enu ' un~ tlíiSino c.ef,iglo.n~' tír.ese. entrebZos ,.tVos 'una ,raya) ~'e arrt.bd .abctjQ,;,'..ylotr.a "debajo dld sdivisor.:¡Hech:(i~s,tQ , i tóme,se- é:t guarismo' ,de i'esp,ecie "s'uperior( de·l dM¡idendo, 1>ea:se cuántas veée¡, es,~á:" contenido 'en el el"' divisol" ; Iy ~~ :pone e~pe', cocieme, ¡jebajo, de , 4a. r-aya :. del ,dlivifar. ;)~i el primer guarismo del dividendo¿esl me110r qwete't"di>. -biso.r , se''tanuS"otrrr guarisri'lO'mas &elJdiviaendb:>, y para que se sepa los 'que se h,,~ . tomadn., se pon~-diiíJ coma, 'J .se .ve cuát}t<fJs veces en .aqud ' ntÍm~ro Idel'dos guarismos se contiene el divisor, ..conforme· se' rolil:dl! ~ho« 49), poni6fld~o , por cociente .lo;qtte, resulte,,' 'Despues se 'múltipkioa este cociente 'por' e~ &ivi'sor,. ¡ y .:~~ coloca el pf:oducto. .debajo del ,guari'Smo 6 dos guaris:': mas ..que se sepan;won en el dividendo; se 'tira 'deb'áj'd '. ,,~a ,'aya, y .se resta este pr,oducio del guarismo ,0 guarismos., s,eparados. Al lado de" esta , resta, ·6; al ~ado_ de, o ,si no quedó ninguna, se baj¡a el guar!~mó siguiente .del ,di'/¡)ide.ndo, 'i se ve cuántas veces en- -la


/

kRITMÉTICJ\~ r..ésra ~juntamenté con.~ eL g!f'ariSmo. '[qye- se. "bajó,

!:9. está,

contenido el divisor, y el número. tJ.J1e resulte. se pon~ ellf~el . ~qcienp.e á :.. ba ,dérecll:a aeb g.warÍlsmo i hallado ántes ,' se multiplicareste segun40 'cf!ciente por el diviJ sor., s e colocai lsl.. pr<oaucto lfeb.aj.o; d~l " segundo dividendo par.cial, ~ se .tir.a tma ra.ya, y se ·resta. Al la, dOlde la. resta"se .. bajal.el ;siguiente;, gua1ii smo,.! yas4 se"colltinúa. hastaJ que~ nó. hayal en-e/! dividendo ma~ gua1/.ismos ,que ) bajar. , r. aptmtalldo. 'oor¡, una coma et que '!Se, baja para Jno'. equivocarse. ,,s,i aJífin queda res.,. Po, se. pone c.omo, .se ha . dicho,(49)1; y d ,número que: resulta debajo .de la raya es el cqciente. .: Ej'emp. Si q úiero ru.vidir 924 poJ.! '7,}pond.ré el dil.

"

visor á la derecha del dividendo, .separán~olos con una raya tiradá de arriba abajo, Ji titaré ó~ta debaja del divisor, en' esta forma: (> Separo con la ,coma ~l guaris- '. . 9,.2,4 7' roo 9 de la izq,u ier,da del dlviden'7 do, Y digo:, el 7 en 9 cuántas ve;.- -' -~. ces ~ está cOB-tenid9? veo que ~na, 2 2 ;vez, por 10 que pongo 1 debajo de' 2 1 , la raya d.el d¡:visor; multiplic€)' este .primer cociente pardal 1 por., o· 1 4 el divisor 7, .diciendo : 1 por: 7 1 4 es '7, que pongo debajo del divi, i . -o o dendo parcial. 9 ; tiro una raya y resto 7 de 9. ALIado de la resta .. 'Z 'bajo el guarismo sig;uiente 2,del dividendo, le apun:" ito arúba y digo·:_el 7 en 22 cuántas veces está con>tenido? hallo que 'son 3" y pong.(:) este segundo CIDciel1~e pardal á la derecha del primero, ,le muhiplico por el divisor 7, su producto 21 le p0ngo debaj:o .de1:segundo ,dividendo parcial ~2, Y resto. Bajo al lado de la resta 1 el gaarismo 'siguiente 4, Y digo: '7 en 14 cuántas veces está con~en.ido .~ veo que SQ'Jil 2, . pongo este guarismo en ' el cociente á la derecha del . 3, Y le mu,ltipl1CO p(i)r TI divisor 7; pongo su pro-' ducto 14 debajo d~l tercer div.iden~o pardal, y 'le resto de él; Ycomo no hay mas gua¡¡ismos que bajár

..

\


30

ARITMÉTICA~

......

ni queda 'resta, resulta que el cociente de div¡dir por 7 es 13 2 • . La colocadon de los dos términos .es pet: comodidad, y las rayas se tiran para claridad; ahora, para hacer ver la exactitud de 10 demas de la regla, nos contraerémos al ejem plo anterior, donde ob~erva:­ mas que hemos dividido primeramente 9 cennenas por 7, ó hemos visto' 9 ceLitenas entre 7 á_cómo les toca, y hemos hallado que es á 1; pero como el9 esp~esa centenas, este cociente es 1 centena, y por lo mismo despues del 1 debe haber en el cociente otros dos guarismos j en 9 centenas, no sólo habia 10 necesario para Ci} ue tocase á 1 centena, sifl0 que habia al/ go mas, y por esto hrmos multiplicado el cociente por el di visor, y le hemos restado de lo que nos servia de dividendo; á su lado hemos bajada el guarismo inmediato 2, Y vemos que estas 22 son decenas, y hemos cO~ltinuadó diciendo: el7 en 22 cuántas ve~ ces está contenido? ó 22 decenas entre 7 á cómo les toca? hemos hallado que es á 3 , que las coloco á la .derecha del I que habia de espresar ~entenas; ahota, para ver si des pues de tecarles á 3 .decenas quedan _aun ~lgunas decenas, se multiplica este segundo cociente por el divisor, y se resta del segundo dividendo parcial 22; la resta 1 q uc l'e~u1ta es'presa una decena, que.junta con las 4 unidades que s¡: bajan, son 14 unidades; que entre 7 les toca á 2, que pongo á la clerecha del 3 ,q ue espresaba decenas; y corno he _visto cuánto cabe el divi_sor en todas las partes del -dividendo, y' tengo reunidos en un solo número todos los c0ciemes parciales, resulta €intr. ax. 3,.0) que este es el cociente total. L. Q. D. H. YD. . 51 Al ejecutar esta operacion se debe téller preto ' sente: l. o que no se puede poner de una ve~ en el cociente nada mas que 9; porque si se pudiera poner á mas, lo menos seria á 10, y" la decena no corresponderia al cociente parcial que se hallase, sin.ó al anterior, 10 que daria á cenocer que el ¡lllterior era me~lOr de lo' que debioa. 924

Dem.

I

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AllITMÉTIC~.

~'.o

I

31

-

Que cuando s~ baja' un guarismo y en el du~'­ fo con la resta si la hay,. no cabe el divisor, se debe. poner _ó en· el cociente, y se baj a al instante el otro Kuarismo. 3. 0 Que todo número cabe en si mismo una vez, ó lo que es ~o mismo, que si se tiene que dividir un número por sí mismo, el. cociente es l. 4. o, Que todo número dividll-Jo por la un¡dad ti" por cociente el mismo número. ' • y ;.0 que o dividido por cualquier número,siempre dá o por cociente. Todo lo cual se ve practicado en los siguienFe ejemplos. _ ' 2. 0

1.0

7 2 ,0,8,4,7

g.

45'9'0'9'41' 9 · 45 --

72

---

00 08

SIOI~

0°9 9

g

,

, . °°9 9

04

°7,

52 ,Cuando se ha adquirido ya cierta destreza, se ejecuta la operaciofl con mucha brevedad, taLPa ndo del dividendo la parte que diga el divisor. V. g. si quiero dividir 4568; por 7 , .diré: la 7. a parte de 4, guarismo de especie superior, no puede ser; la7. a par te de 45 es 6 (que será el primer guarismq del cociente), y quedan 3; que juntas con el guarismo siguiente 6 son 36, Y diré; la 7. a parte de 36 es 5, que pongo alIado del 6, Y queda 1 , que j unta con dS v.ale 18'; la 7. a parte de 18 es 2, Y quedan 4, que juntas con el guarislno siguiente S cCilmpone~ 45; la 7. a parte de 45 es 6, que pongo ' alIado del ,2, Y quedan 3 por resta; por lo que inliero que el \ ocien.. te es

6sz6t.

.

",


,

g2

53: \~. 3',e,. , ca:so:

.A'RtIJ.'MÉTIC'>\;

Pro~,,, .Divídir

un·número'l!ompms. .', , . Res. ~ Colóq.uese el divisorIA la derecha, det. divi~ dendo separándolos con una 'raya, y poniendo ot1"tJ debajo' det ·'divi-sor .segun se ha dicho en .el casó . ~n. feri'!)): ;' .Jespue~ se sepanan corr, ~na coma , á, ,pa. , i:z~ quierda det 'dívi'dendo tantos.. guarismo$. coma tiene el divIS:O¡':, ó un guar'ismo mas.si en estos no cabe. el divisor, Separados ya estos guarismos, se ve cuqntas veceS el p¡'únel" gWJrismo de la izquie·rd.a .det " .aiviso~ está . colltef}ido ~en el, primero det dividendo (,6 en los dos primeros si. se tomó para el .pr~mer dhridenau un guarismo mas de los que tenia el divisor), yJel nf.Í.. meró de ve&s ' que está contenido se pone en el cocien. :te ; se mubtip~ica. este cociente por t.ocZo el divisor, y el -producto se coioca .debajo--det ·dividendo parcial, se ti'ra .urta ,raya. y se resta d! .ét. AUado · de ¿a-flesfa se baja el guarismo.,siguiente (apuntándole con la coma en el dividen~o) , y se ve cuántas veces el primer gual'is/1l@del dwisor está- contenido en ·el prime. ro (si tiene tantos .el uno como el otf<?)- Ó dos primeros del dividendo (si tu viese este uno mas que el divisor); se pone este guarismo en el cadente á ta~de­ recha de~ pri<mer cociente parcial-, se multiplica por fodo el divisor, se tira la raya y se resta. Al lado de la ,"esta sé baja el guarismo 'sigtliimte , y así se procede hasta que no haya mas gum'isma$ que bajar; y si at fin queda ,alguna resta se peme á la derecha dd cociente con una raya y et divisor debajo. . r,er ejem. Si quiero dividir 966 por 42, colocaré el divisor 42 á la derecha del dividendo 966, separándolos con una raya en esta forma: y despues de haber tirado otf.la de4Z 96 bajo del divis,o r, separo á la izquierda 84 del dividendO' dos g¡,¡arismos, y vee - - 23 cuántas veces está contenido en el pri- . 126 mero que es 9 el primero' del divisor 126 "l ue- el 4; hallo que son 2 veces, Y. pongo el guari~mo 2 en el cociente; 00 Q fo por-ot,"O eompuesto, " . '

I

)61


, " .A.ruTMtTICA.. :,33 multiplicO ¡este cQciente' ~ por todo el, di·v isor '4::, yeol0co el produeto ,84 debajo del-dividendo parcial 96, tiro la faya y. resto, :AUado de la festa 12 baj e .el gl!arismo siguier,te 6; Y como· ahora tengo, por segundo ciividenclo un n11merO que tiené un 'guarismo mas ql:le el ,div.isor, averi,guaré cuántas Yle:ces en los c:tos primeros de este dividendo está contenido el primero del divisQf; y así, ,d iré: el 4 en le cuántas vece~ está contenido ~ veo que son 3, pongo 3' ell el cacÍente á la derecha del 2' , multiplico todo ,el diviser pqr este 3, y coloco el, producto u6 debajo ,del dividendo lparcial 126 1 uro una raya y fe'stO'; ;y cumo no hay \ nas guarismos q.ue bajar, ni queda resta, digo que el cadente de dividir 966 por 42 es ~3. 1 2.° ejemp. Si quier,o averiguar cu'á ntas veces cabe .-el ~ 12 en 44i6 3 5 , colocaré los números COUlO' aqut se presenta: 'y despues ,de tíradaslas 44 z6 ,3", SI:: rayas, separaré cuatro gua- 4060 . :J ,rismos en el dÍvidendo , pOli' S4S~ ,110 ser. ,suficientes los tres (131)6 3 l primeros para contener a! 3248 'divisór , y diré,; 44 entre 8 ~es toca {{ 5, que pongo en el. 041 S ) cociente; muttiplic'o el 81 Z 40 6 o par 5 , có'16co el producto. 4060 debajo del dividenda 009) -parcial> 4426, tiro una raya 'y resto. ALIado de la resta 366 baja el 3; baIlo que , el 8 está contenido 4 veces .en 36 " Y pongo 4 en el -cociente; mu,ltiplico el8I,2 poc 4', COJ0COel product~ 32 48 debajo del divídendo parcial ,,6631 tiro una ,raya y restO. AlIado de la' resta 41 S- bajo el, S , ve\) que el 8 está contenÍdo 5 ve'ces en 41 , pongo 5 en el cocieme, multiplico' el 81 ~ por 5 , coloco el pro- , ducto debajo del d,ividendo parcial, tiro la raya y resto; y cOIÍlÓ ' na hay mas guarismos que bajar, lcoloco la resra 95 (fome he dicho (49) y tengó que de dividir 4426.35 pórSu resulta H>-(lj ,

~hQt:a

I

.$

T. l.


34

.AIU'i'MÉTICA. D'em; La colocacion de los tél'mid6s 'y la-s rayas,

se haCe por com0dicdad y claridad (50). Despues too mamos á la izquierda del dividendo tantos guarismos como s~ necesitan para que esté conteqido el di visor, y, hallamos, contrayéndonos al primer"'cjemplo, que se necesitan dos guarismos, y que en ellos está con. tenidó el divillor 2 veces 1 Ó que 96 tll'ltre 4:1, que es el divisor, les toca á 2; pero cerno el 96 es.presaba decenas, resl}lta que estas dos serán decenas. Hago la multiplicacion y resta, para saber si ademas de <tocarli>s :í. 2 decenas queda aun algo que repartir, ' como sucede eh efecto, pues queda.n 12 que son de. cenas; y bajando e! guari~mo 6 de las unidades, he visto cuantas yec~s cabe el 42 en. I26, y hallo 3, q uc como son unidades l~s coloco ,á la derecha del :l , q uc esjncsa ba decenas. Hago la multiplicaciol'l y re~. ta para ver si quedan aun algunas unidades por. re· partir., ·y veo que no; y COlEO todos los cocientes que han sa..lido de dividir todas las part~s <tel dividendo po!~e.l gi visor, los tengo reunidos en un solo níu~ero.) r esult:: (intr. ax: 3.°) que este es el cbciente to~I. L. Q. D. H. y D. x., 54' Suele suceder que el cociente' p~r,cial sacado por la regla (S 3) es mayor de lo que corresponde, por no estar 'contenido todo e! divisor ea .todo e! divjdendo parcial tantas veces como el primer guarismo del divisor está en el primevo ó dos primeros de! dividendo. Esta circunstancia (que arredra á los princi. p iantes, y oriji¡;¡a toda la dificultad de la division) desaparece a-l instantc , si se atiemde .¡, lo clicho (48); pues si el producto que resulte de multiplicali' el divisor 'por e! ce¡ciente puesto, fuese mayor que el di· , v idendo, e~ tá . reducido á bon'ar dicho producto y J cociente, y poner en éste una unidad lnelJO s ;. se procede á la multiptíeacion , y si el pt'oducPo es todavía mayor: que el dividendo, se v uelve á b,ol'ra-r , y se "'1uita otra unidad al cociente ; y así se continúa has_i a ql!e encont¡'afl do un p¡'oducto igual <:) ,men.or que el diVIdendo se ej ecu~a .¡Q resta) y · sj empre·~'lue. 1 (J reJ ,

,

..."


sea menor dadero. Si la sor, se irán 'que venga á &0

' ARITMtTrCA. 3; que el dívisor, et cociente será e~ 'lIer:~ r esta fuese igual ó mayor que el div~-:

añadiendo Ifnidades at cociente, hast~ queJar unfJ resta menor que el divisor.

De donde se infiere, que teniendo ,un poco de paciencia para hacer dos ó tres operaciones que comprL,!eben el verdadero cocie~te, y ejecutando muchos ejemplos, llegará,n á ponerse tan dies tros que no tendrán luego que :hacer ningun tanteo. Por lo mismo ¡e ponen aquí estes dos ejeUJ plos. l. o Si quiero di vidir S7S72~Lpor 493) los coloca-ré cemo se ,ve en (A).

(B)

(A) 575,7,2;6, 493 ' 082

1 493

'

7

---;'

fÍu1'¡f.

llt

34395

JI,

,&é

c¡ 69 8'

493 334

41 M5"-!' 29 5, 8

0128

'6 o

-1'8'1"5" 86679

'03 8 46

59 8

1

4

é~9 -f' '¡'

¡f. ~ 8'1 S914!~

345

é

035 681 3439 S

'71.ll 493

2

a~ ¡f.

68 19

37963,r,o;4,

"

55 o 3 ~

1

-039 S

y

Separ,o tres guarism~s en ~l dividend9 digo: S entre 4 ,á 1 que pongo en el codeme; multiplico y resto. Alladl),de la (esta 8~ bajb el guarismo siguiel1~ te 7 del, divjdendo, y ,d~gj;)_: 8 ...el1tre 4 á 2, que pongo en el cociente y ~nq.ltiplic,e ; y C<¡lmo el prod.ucto 986 ~s mayal' 'que el d,i,vidcl1d,Q parcial 8,27 , ¡'¡üiel'o qu~ elco.c~eJ1te ~ e~AW,y@¡ · d~ lo que de~es ~l'; pono,

..

\

.....

"


3~

.

"

ÁRíTMiTIC'••

pues ; el 986 y tambien el Il, Y pongo á- 1 en el ·có':· ciente; multiplico y resto (porque el producto 493) es men€lr 'que el dividendo)'. AlIado de la resta 334 bajo el guarismo siguiente 2, Y digo: . .3 3 ': entre 4 á 8 j que pongo en el cociente, y multiplico; y aOQ1o el producto 3944 ,es mayor qu.e el' dividendo 3342, l~ borro y tambien el 8; pongo á 7; Y como el pre: ducto 3'451 es aun mayor que el dividendo, 101l b.orro y ponge> á 6; multiplico el divisor per este cociente 6, y como su pr'oducto 2958 es' ,menor que el divider¡do·, tito la raya 1 resto. ' AlIado de la resta ,38'4 bajo el 6, Y digo: 38 entre 4 á 9; Y como el prodUéto del divisor por 9 es mayor que él dividendo, las bofro y pongo á 8'; mul,t iplico y' sale tambi'enun produ'C:t'O mayor) le eori¡o y pongo"á 7 ; multiplico y resto, lo q ae ,da la resta 39 S; Y reumierido ahora todos I los cocientes terrdré el :verda~ero y total en 116'],g;. ' 2;0 ' Si quiero dividir 37963104 'por 6879, ejecutaté la operacion como se ve en ~B), y saco el cocicnte SS18it~~· .' - . -. S5 Entendido el modo de ha)lar, el verdadero cociente, Se Pllede ahorrar todo este trabajo,. pra-cticaricia estaspos reglas·; l.a cuando el segundo ,guarismo del divisor sea 8 Ó 9, s~ cQnsiderará -et primero,{al tiempo ,de buscar cada codente)-.:omo co~

I

"

una unidad mas. ' .' 2.<1 V~ase si en la resta qué q14eda de' 'iJivfdill el , primero ó dos ~ p:i1Jleros "-guari5111os del d~vi~en~o ?or etprvmero dd Clz'/JiSor, Junta Con el g¡¡arwl1o s.Jgut.ente det dividendo, cabe el .segundo del divisor' et mismo número de veCes que el prime·ro en el primero ó dos p! imerl!s del' di'Videnda; y. si cabe se podrá asegtira.r q14e el cociente haltado es el " verdadero; si no 'cabe, no lo será. ~ } ' Ese. Los princi piantes debet1a plica!' la 1. a regla :i los ejemplos anteriores, considerando eh'el primer.o (siempre que V<!l.yan á-: s~car el cociente) el' 4 como ' si fuera 5: yen el segundo el 6 C0mo ,si fuera 7, "y verán que nó eSGriloleo mas -guarismos que -neceo;

!os


.AnITM·É TICA. 37 ,sariol} para:enc·o.n trar el verdade-t:0 cociente. Ade~a~ deben resolver lós siguientes !!jernplos. _ S~ q uit;ro dividir 18597 S ppr $ 9 S~ lo~ ~olocar~ I como aq uí se v.e: · '; .. Separo cuatro gU, arismos, :r8S9,7,S , 395 y en ver¿ de decir 18 entre 1 S80 .... 3, diré: .IS entre 4á 4,que , .' ' 4& \ pongo. en : el co~iente; rnul- 0 2 797 . 70m· tiplico todo el' dh'isor por ~a~ este 4; 'cóloeo el pro4,ucto ,debajo del ,dividendo, tiro e¡:f.i' 1 una raya y res~o. ¡<\Uado Q.e · 276 S 'r r la resta 279 ..;bajo ~l glladsmo sigu.i~nte: 7 ,; y digo; 'n _ 90$ ; S entre 4 á6, que pOngo ¡:!). , el cociente; ¡nuhíp'lico y re.sto; ·y como la. resta 4zt es mayor que el d.ivisor, infiero q ue ~l ¡::ociente depe ser mayor de 10 qu.e le he 'pueStO; podo ,cua-lle Qorro, y~borro tambíen la resta y producto; pongo, á. 7 , mulüplico y resto. aIJada d.e· la resta 32 bajo ~l guarismo siguiente 5, Y por ser' el ,dividend0 me-o ·nor qll~. el, dhr,isor; po!lgo <:> en el' cociente.; y como DO hay. :ma§ gua'risQ;!os que· bajar~ pongC! la ,resta 329: alIado de.! ~oCíe¡:¡.te, cpn la: r~y.a y ~l <Uvisor. debajo, y resllhá. por {!otiente 47ó!~: ' Si qllierod.ividir ~2SS473 por .3sz6,losj:oloc~. ré cbmó aq, uf se Ve; . . ' , Separo 4nco guaris. " ~28'S4,7,3, 3s zÓ mas y digo.:·" ~2 {!iltl.'e 3 . ~ 1 1,6 -á 7" Y. qu~da- una, qUe . .:.... ~48!H" j-uflta cpn.d Z v~l~ JS; ~I 69S7 ' . y como. :l'S ,~ntre 5 (se14J()4 gundo.-, g~arisll}o del di- . .- - - "isor,) DO les ~ape á 7, infiero que'lilO puedo poner 7 en el cp¡::iente; veo .---.~ q ue ~ 2 eutre 3 rláud01es ,0062 5 á 6 sobran 4, que Juntas .(:on el 8 valen 4S;} com<;>, 48 conúene;al ) ma~ de ,

1

1 "


'38

AIUTMÉTIC.4..

seis veces, digo que 6 es el cociente; le pongo} nlUI. tiplicq y resto. Al lado de la resta 1698 bajo e! 7; 1- 'co!'ltilmando. e! mismo raciocinio evito los tanteos, y saco el c?eiente 648-!N . /. 56 La operacion de '~ividir se puede abreviar siempre, haciendo la resta ' al mismo tiempo. que l~ 'I1Jt*íplicaci.on - del divisor por el cociente parcial. .g:, ,si quiero dividir 57327 por 46, los colocaré como be dicho (S 3) Y a'q uí se ve: . Separaré dos guarismos en 57,3,2,7, /4 6 el dividendo, y diré :. 4 en 5 ' 11 3 .--,'- cabe una vez, y pongo 1 en 02 1 2 Í246U el cocientc, mul.tiplico ' ahora 02 87 eldivisor46poreleociente'I, OII , Y en vez de éolocar e~te pro. al:lcto debajo .d'el ,dividendo parcial 57, para restar des'pues, voy .ejecutando la resta al mismCiJ tiem po. que forp.10 e! producto en esta forma: 6 por 1 es 6, d@6 á 7 va 1, que pongo debajo de! 7, Y continúo. f por 4 es 4,_de 4 á 5 va '¡" que po?-go debajo dd 5: Al lada (ida resta '~ I bajo el guarismo sj'guiente 3, y 'J.igo: 4- en 11 esta c'ontenido 2 veCles, pongo 2 en el cociente, mtlltipl,ice y' resto diciénd@: 2'por.6 son 12, de 12 á r'13 -vá': 1, y 'de 1311evo'l' ; 2 por 4 'son 8, y, 1 que llevo oori 9 de '9 á I.I van 2, r : de, u~ tlevo' [ ; "de 'r 1 no v~ :' oaaa, y pongo o ~eIDfljo del ) último r. Al lado de la resta 21 bajo el -gua.rismO' siguiente 2; Ydigo: 46HZ 3; pero CGmo sólo SODra y u.nrdad, y tw, élla junto con el r guarismo' siRnie,Q.te. 2, no está contenido 5 veces el. segundcr guarismo de! diyi&o[ 6. p0ndré sólo á, 'H mul •. tiplico y resto diciendo: 4 por 6 SON 24', de 2'4 á.'3z: ,van 8 , Y de 32 flevo 3; 4 por 4 son 16'; y 3 :~on r 9,. de 19 á 21 van 2, .yde 21 llevo 2, á 2 ' no Ya ¡Jada: Al lado de la resta 28 bajo el guarismo 'Si'gu<iegte 7,'. y digo: 4 en 28 está 7 veces; pero.como-no sobra, nada pondré sólo á 6; haré la multiplicacion y res· ta, diciend9: 6 por 6 son 36, pe 36 á 37 va 1 , Y de 37 llevo 3; 6 por 4 sóh 24, Y 3 que lleva,ba son J

v...

r'a


39.< y, de, 28 ' Hevo' 2.,rdé ,2 ,á 2,> no va nada, y pongo o debajo, del 2; Y comO ,il0 hay: mas gy.arismos' 'que bajar, >poag.0l& resta 11 como he dic?o (46), ,y teng¡;¡ el cociente ~ ~2;¡'1S*. · < "" ; Ese • • -Si al ~leeutar esta ?ieracign no se pu{Jiese hacer tiP' úl'ti)n'aUresta, ' ef señal' de'- que el cociente e~ mayór de' lo 'que eOflresponcVe; y (si ,des.p ues de hecha la res~a,. resUllt:t:esta ig,u al Ó' ma;yor .que,el 'di,vis,or et señal·'de 1éJ.út se ha puesto de 11'tén'Os::al:cocie11t.e ;:y en es,:, tos caS0S se hará la eorrec-eioFl J;lecesaria. "',~ . Hé aquí mas ejemplos para 'ejerd'iars~ , , ' _

~7; de 27.. á

,_

ARtTMÉTICAi

28 v~

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2. 0

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'9,8)46,6~7~~'15478I " ... r;

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¡'7~ 8 .H41~ '

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" 51 'Ademll.s' se a,breviala division cuando ambos

té rminds ó ;s'ólo' e~ di vÍsor tern¡inan en

ceros. En el

r.er ·caso,se.rboflT.an en -los dos, iantos c.eros <COI¡lO hay en el que time 'mé·no,s, y, 'Se,>,hace la divis~on c,on lo /

I

demas qt¡e :iJ.upl~,~ Y en e} ' 2,:o s.e separan á la dergcha del divi'de<tido tantos gt¡aris,11los, como ceros ha;y "a¡ fin del ,I:iv;;sor ; se hace -la' dJivision de lo que queda 4 l'a izquieficl'a ; al lado de la, resM., si queda, se ha]" todQ lo sep(l!"a~o,' y se tiene ¡a resta total, .la qu~,sa • l>0ndrá eñ'éimtJ de una raya" [Y toah ..el divisQY d~ba.io. • S8 Lt:>s US€lS' de 111. di visÍlm:s.0ll seis: 1-. o cugnd" 'claf'amente 'se diee que se quiére .bu.scar lal ' veces _que _ 'un número' estít ,conterido en otf'O;J ~ "o cu·an4o hay que f:epartir entre varias penonas cierto número, de cosas.; 3) o cuanq,o se quiere dividir un ' número en parte.r í.gtlales, ótomar tina pm"te de ~ un nÚ1nero,' como milad, terc·io"; b'c, .. 4. o ctlalldó cOJ!Qci.endo el vatgt: d~ '1nuGhas ullidlldes, se -qtdere avel7iguar 'el- de una; S: cuando se guíe'ren reducir unidades de especie i-llfe7 iior á unidad~$ de especie 5uperiof'; .y 6. 0 cuando se 1)

,

L


4 '(1,

~ '1uiei"~n

.A.JtITMÉT1C'A..,

háll'ar todos' los. númer~s que dividen eXG,qttS~ mente ti otro dado. ) .. , En el prímer .eas,e se, diyide d mayor. 'p.er 'el me~ -nor por el métOdp · espuest0. (56). ,J';: ¡ . _ En el .2. 0 se divide en absttacto,' sL.- número ,fJ~Ja$ cosas por el d'e, Las' pe1:sonas..•V:. ,g., UID. pad,re ,a lmoj J'ir .ha dejado .8 hijos, y en hacienda ,. )a!aja~, casas,. &:e. 7'465235 reales;' dividiendo el¡ :I1~\n:er;91'7:.491 5.2 3-';: .p0r el ~e 10s hijos que es, .s,.el CDc~ente 9r3~[H~' es~ presará los reales que corresponden á ~4.aa" !:l!lo. :;~r En el 3.. ~ se ,~ivide e} uÚ(I1!exo~t$aJ¿o.:p0Jj ~"',que~ espresa Jas partes.en que se ha de dividir, ó' la parte que se qu.iere tbinar. V. g . .sLq uiero di vidt1; c;:n 7 panes , iguales ,el númerQ_1.673, dj"vidíré 1 6 1.~ po!:, '7.., y ~r: e~ eoei~¡;¡te:"2 39 tendt'1i ~l valor de uni D.'eJ!st-a'g ~par€es;' .: En el 4,0 caso", se diviae et -vajOl" de 'dicha.; U11i~ nades por el n~m&ro .'de ettas, y el cocie';l.t~ ,&rá. ¡'S valor de una, V. g. ,sabiendo que 35 varas -'ele páño han costado 1505 reales; para av'eriguar'iá cómo' ha. (;os'téJ.do-Ílfvara, diviiliré: ervalórcle-IiQf.i;á$lap val'as, <' que es 15.05 reales "-por el· ntlmer0Jc.l~ ~¡l¡ts .3 S" :y ,1::4 cocienJe~ 43 será, e1.valpr,de cada vaIia, ,,~~ _ pañD. ,En el ;,0 caso; se 'd,ivide ~l núwer(il;, ~~ 1fl1idaaes Je,espeoie Í1~ferior, ppy; el -número que.r.'es.pl:esfl.\ fas ve~ ces 1J.ue la u:nidad ~et esp-.ecie -jnferior; §tJ;Q,e.. en; -,la d~' espeoie ~Upet'i01:. V.g .. si·.ipúefll) recllJó,r-,9H5L lJ!a,ra~l ve¡¡!,.íse-s á rea!.es·divicl'in~.lQs 9'245 ,mar~v~dí:¡e.lrpor 34', , q u@ son·los rparavedíses q ue .tiene UN .r~¡¡,1-" y el. co.eiente 27 J ~¡ seráml'os ¡reales q uecOJ'Pppnen; pero en , est'os ¡¡ases no s~ poue'la resta como á[Hes ~(49), si no I'jue'se' deja conserván'doi<:, eLnombre,q I:J!! tenia el di; v.ideodo ,de que proy>Írio; de modo q:ue \e!1 v!,!z de, de;, dí: 27 I reales ytrei1¡t(J) un treinta. y' ,cugtro avo; (le -reat, ·se dice .27Ic 1:eales y 31mar.avedíses. , .. Ese. Si entre las ,ulilidades que se daq y ªq uella~ , :áque se quie,ren redu~~r hay otras i)lt~rmedias, se ·van reduciendo sucesiva111ente .á Jas de especie .super ríor· inmediata hasta llegar .á la ' qu~ se pide. V. ~ si quiero reduci.t: 7483506 má,!'a vedíses á do.blJ:H).~s;


41

.A1UTMÉTICA..

di-.idiré pri~ero ppr 34., par~ ,redu~irlos á reales;: lds :reales que ¡;esul.ten los di videré por 1 S, para redu~lr!Qs , á ,pesos; y finalrncate, estos pesos los dividir.~ P.Pf ,4 .para reduclrlos á doblon~s; y tend~~ en este ¡í/.¡imo·cociente jgntosC;~lil las restas anteriores, los dobloIl~S, pesos, reales,.y .~ara vedis,e?, que ha:y' enl eLnijtríero propuesto. ~a op'eracion se ~jecutará como ~qU·ise; ve; :.,' '. '. . ~.:.:.....

t .... f

(n~fravfdíses

11t.,8,3,5,o,6 , 34 . , 068 :

, , ,o 3 S.. ,zz,o; 1 ,o,3,rs. 1 S " " (h -~~ .1 ~ 'o 1$. · 7·:p ~~ ,r. • ,o,il 4 J o 1 '1 14,6J 7,.3,pe: ... oZ 6 , ., 4 ~ J o l ' 0 ......",-, ¡; el o S 3 J_' OZ: ZL.' ---8 o 3 3 ¡,,_ óQ8 ~

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y. diré ,q'1.le··en 7.48s~cp6 mrs. hay' ..36~8 fdoblones., ,I~ peso) '8 l'e¡I.1~s yl 4~ mafa·;¡~rl.ísesJ, . .' 'S9 ,Para .propeaer al sesto uso adv~ertirémos, que ~uando un mímfa¡t;l.~e.stá. contenido el} otro un. ntÍmero' fxacto:de vec.es .,.. se· llama al. que" cc¿ntilm~ múttipto. del..contenido, .yiak,c0Pte¡iido submúltiplo. ó .parte atí:' C!lot'a, deLque cOIUieme;; CJlij.ndo q,n ' nú~ero no e$tá contenido CI,l otro: nMmere exacto ¡;le veces l se di, ee, q~~ ,es 'parte aJic;uallt,a del con:tin,ent~. V" g. el 20 es máltiplo respeet.o,de!4.Y Iilel S; y,~I4. yceJ S,son sub!l)últbpLos ó partes .~lícl!ota, s lile! ;20'; Y 4- es parte alí; c.uau.ta de! 21. La fia-rte a!kuota: se H~ma ta:(nbieri ¡act i~r, ,po~q'ue muhiplicad.a: por la Qt,ra. produce el· ntÍ¡he~ .r.o,de.que,lo es; '!'. g. 4X,5=2:0; y eomo §i dividimos el ·2" por el 4 <1> por el 'S, dará cocieI4te exae>tg, se in-:fiere q u.e parte .alícu.otQ l ' factor ó divisor de un nú, .mero·, .~s cuatquie·r · 0't'l(0 que te di:vide >sin dgjar re~ta, Pero si consider:amos el S y el 4, que son factotes,del 20, obser,varéII!0$ que e! )'.llo.se p Lleó,e ,divi,

,


,\

I ,

I ,

I

4z

'

.AltITMÉTICA.

'

que

/ dir exaGtamenté por ningun otro aymero mas por. él mismo y por la unidad; ' por lci.que' este' nÚllleronl todos los que tienen esta misl1l~ ' pFO piedaa, 'como 2; 3, 7, 11, 13, t7, &c. se Hainan 'nwmeros primos,. Ó primeros O· facttJl'es simples ,";EI 4', ademas ser. di visible por sÍ'inismo y por,.la .unidad, lo es 1!aml¡ mefl por 2; por- éu'ya· ra'lon' este número, y tQ(!<,lS' los que son di visibles por alglln otro ademas -de: eUps mismos y la unidad, corr¡o 6, 8, 9, 10, 12, &c., se llaman factores compuestos. Esto sUI>uestó ;-" piafra poder encontrar todos los factores símpl' s y.CQIJ1,püeSr tos de los números, se debe--sabe'r -'que , todo nú1Ímo

ae

r

qlLe termina, en ce'ro Ó gual'istílQ fpar es divis"¡b1epor

2. Todo 1l1ímern- (v. g. 264) cuyas'"cifras, (iá t 6 Y 4) sUl1!adas COlj¡'!iiúhdades ~enciU as;: dan 3·"6 un' múlti· plo de 3 (que aq.uí es H) es dCv¡;sible por 3. - Como tados loS' multí plos, de:: , ac;¡ban en o. ó en S , ' se conocel'á Iju~ éun núm~'ro es divisible por 5 si Maha en o Ó ell S; Esto ,supuesto, para hallar los fac-

tores sim.r,lell c~,m~~:st~s d.e .unn~~ero cu~lq~~:;a,

se pone elt.nul7'¡ef"oJko 'mas .· alto " y ? hac~a Ila - t'zqu~wJ,t1 deL papd ó pizarra donde se eje'ciltá tt} oper.acion.;r&es;-, p¡tes se 'ti-ra una' iráj" 'de : arl'ilJa1 dlfajo ~ y á :la derecha (le'~s'1:CI f'áya :;; ~enfrente ¡J¡el - nit/m~l:o 1p"opueJio ,oí9epone el' l'l~mel'ó " ph'¡rler~ 17íeniJf,· p<Yrq:u'IlJsr;1P divisil1l'e~ -est,~ division~, ,G.,ól1ió:'es sen-ciPta, se f{)~(lj haciendo mentÍi~ ,ilente (52 ), -:i el ~'éociente !se ¡¡JaI5 p<fñiendd ••debaj:O''lM ntÍmero pi'opttestfo!i E1¡f't'eñte ' de';Ter.teYcoGÍente fJse·_ fOlie ~tra vez el, rnis¡j¡oiilivisOl( , si 'es::¡J.ivú¡j,bke 'por ?éi ?!Yfsifl,{) tiquel nÚlnero primero tnooor porlf.¡¡1 ~5e[t divifi¡jf"érrest~ 'Cocie-n-te; y -así se. trmtinúa<'hastClilll:-eg-ar á un ' 'cQ€ie;tP"e que seCf númeí'o' lh!imo, y ".se 'diltri7;lifrá por l'sfí l11i'síllól Despues se tircf Ífna raya áda,;ckrk1t:d de los: fa-qtQrel si1nple~-, y.pan for:m~r los. cpm'puest.Qs de UOS, se..ílllJ.¡· tiplica cada úno de ,10"5 ' sitnp'kescP(W 1 l"Os que tengiJ' a,e. iJajo de sí; y. el prodllcto ígpond-f'a ,á la de¡;egh'Ct' d~ ta raya ellfrente del fácto;r -sijmpl-e' por.que .s'8.,.Jlill,tti. plica. Luego, ~é tira otra tayu', yl 'para formar los cómp~estoi de tre¡, ,H muttiptir;;a cada compuesto dlJ

I


re

43

-AÍlITMÉTICÁ.

·6 dos por todos los simples que háya debajo del reng/on .en que está el eomp,uesto de tÍ do.; :Y así se pro'ced~ hasta Uegar al último que debe resLiltM en et 'r~nglon inferior é'igual con-' el número propueóto. i ¡.e1:" ejémplo. si q u.i efo hallar lQS factores simples ,y compuestos del" número z 10, le co10Gar-é lo mas· arriba y hácia la izq uierda que pueda, y tiraré la ra'ya como aquí se ve: ~ J

:' -~~~ II; 1: ~ l/

SS

~

., ;.{?

J;.O'; 1 ~

1:1-;

2!1;

. I ", 13.9.2

l·" .

3>4: ; 7~; I~.~ 1210 ,

ycomo, el 9Z10 termina ea

~"

cero, es' drvisible' por 2; pongo el z renfrenre ,. y hagQ la division diciendo: ,la. Initad: de 'z es 1, qU'e"p911go ' debaja de'l .z del 2 I O; continúo: la mitad ·de 1 es O que pOBgO debajo del I del 210; Y me quedª. lino·, que j.unto fi Oll .. el o de arriba da:. 10; la mi,tad de' 10 es" que ' pollgo á la der;echa del o. Como, el. "j o',. no es di visible ' por. 2., veo si es divisible por -3, diciendo ;.- " 1 'y~ o' es 1, Y I so'¡:¡ 6, 'y corno 6 es 'lIllÍh.i plo de 3, ín:fier01 que ,el !IOS se puede di.vidir. PQr~3,'Y por lo L'¡;}isrño 10010co eCJ3 ' á: 1;u , ti~recha¡, 'y Il;¡ag:(j) lat'divisi€)¡:j de este-modo: , la:.g,a' plll.lte,de 1 .eS 0, qUéJnB pongo y SO'bra i 1, ·qu..e jU'nt0 ' Qor¡) 'el co vale IG'; la! 3. a parte de 'Io" es 3, qu~ pongQÍd€bajo 'del 0, YU'l'\!lea.a 1), que JUHtO C'0 n el ~ Ion 1 S; la 3. a ::parie Q,e 15 es 5, · que -portg0 á la derecha , del' 3. El 3'S no es' ya divisible- por 3, p~ ro lb es por S, CO~OC0· el. 5 á' su d.erecha y, digo: Ü, I,a parte tH~· 3;' es ' 7'; que poago debaj0 del ' y eomGl ·.el :71-es númerO -primo: ' le dividiré por ehnism~ ,_,diciendG: la ' 'Y,.~.<par,te .de 7 ~es 1, qtle p0NgO debaJO del 7, Y tengo todos los fa ctores .simples. - -' • Para hallar los factores COll1plleSt~S de dos silTI~ ~les, tiraré á- la derecha de estos una ra ya y multiplicaré el ~ por todos los que tepga debajo de sÍ,

S,

,


44

,Ül,ITMÉr,ICA.

diciendo: ' 2 ' por, 3 son 6) que coloco 'á la, ,derecha de la 'raya) enfrente del 3, que es por el que he multiplicado, conúnúo: 2 por 5 son 10" que pongo enfrente ~el 5 que es por ,el qu,e he multiplicado, y continúo: 2 por 7 san 14, que, pongo por la. misma razon enfrente del 7. Paso á multiplis:ar el 3 p.or todos los que tiene debaj9, diciendo: 3 por S SOlJ 15, que pongo enfrente del 5 gue es po!, el qqe he muld plicado; y para que no se confund~ con e! 1 Ó , que teng@ en el mismo renglon , los separo P9~iendo 'e ntre ellos punto y coma; continúo ' diciendo) r3 por ' 7 son 21 , que pongfj enfrente del 7 , al lado del 14 ',separálildolos ce!! punto Y coma; despues pasó á mul. tiplicar el 5 por todos' los que tenga deoajo;de sí di· ciendo:. 5 p or 7 son 35, que pongo enfrente de! 7 al lado del '2 l. Como el'] n9 «¡"me ninguno debajo de;s{, ,n o puedo ya, sa:car mas fac~Qrés. ,cle á dos. ~ , Paso á los de á tres, para lo cual tiro uh::t rao/á y multiplico e! 6, primer fac..!:or de á dos, por' el ~ por eL?, que son los simpJes que hay , debajd ,d~j .renglon. donde, se halla, ~l 6., , !!Üciende·: .6 por 5 'son 30, que ..pongo enfrente· del'.5,~que es el sj,mple~por ' que he multipliqado; y ';luege 6, por '7 son,J4iz tIue .pongo en€rerite del 7. Pa.so ahora ámul¡.ip~i~ar ,.el ')10 ,por á 7, q\le, es el sÍl~l'k que' tiene ~Mbajo · de ~ sÍ; diciendo ;. !:0 por 7 s¿n~ 70. ,. qllle pongo en~re.i;J.tt: del 7, al · lado del 42; tiro' otr~ l'a;ya Y' paso ,á los -d!! =á .cuatro; para lo cual multiplicaré el 30 ~'p0r.] los qu~, ,h aya en lQs simples debaj0 del rengl0n doade está; el 30; Y come sólo está el 7;, diré: , S,~ Pbr 7 son 2 lO, que_es el número cl.ªdo, ,'fO,mo debia. Lver~ticª¡¡~ :se; pues 'j~ no hay mas fa,cto-r.es: , :' €1 Si se repite algun factor simple taml:ikn se Fe; petirán 105 compuestos; pero se evita el:-p011let: es ~ tos ejecutandO' la operácion como se v.e en el .ej,em. plo siguieflt(~: í : I

"

y

¡

,1 :: ,¡. ..

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~ _~: '1


ARITMÉTICA.

~I " ' 9° 2'1

,

360

I

4>

180 2 ,4

45 3'\6

8. II

24

3 I 9 . - ,'8 . S1Sl' 10; 1 S 20; 30;' "1 S

.

1

36

7l

45 40; 60; 90 120; ISO 360

.

De las pruebas.

, .'

~o

Probar una operac,i on es hacer ot1'lJ que de Q prim~ra está bien hecha" Como e;n la operacion que sirve de prueba estamos tan espllestos á equivocarnos G0mO en la primera, resulta que la mejor prueba es repetir la operaciOl.1 dos ó mas veces. " "Las operaciones con que se quíerencomprobar las de sumar y multiplicar, s?n mas complicadas que ellas; por lo que no se, acostumbran hacer, y esto nós escusará de esplieatlas, 'y sólo dirémos: qúe en. la operacion de restar el sustr,aendd sumado con la resta

conocer si la

debe dar. el' minuendo, si la operacion ~st¿j, bien hecha. En la division se debe m-ult.iplica¡· el divisor por el cociente, al pro dueto se le añadirá la t'esta (si la hay), y la suma deberá ser igual al dividendo si lá operac~?fI está bien hecha. Consecuencias importantes de las ?peraciones . ~splicadas. l ,

.

Las eantidades conocidas que ~ntran en los problema~, se llaman Clatos;; y lo que se halla por mediQ de cUas, se llama fJesúltado. Así, en la adi· cion .l?s da~os spu l~~ sumaCi'dos, 'Y·Jtt~ suma es ~l resultado, &c. 'Vamos, pues, á ve'r las' alteraCiones que ,deben sufrir los resultados en variando lOi datos. b I. Pues que sumar es reunir en un número el valor de muehes, resulta que la suma erecerá ó men· gU¡Jrá tantó como crezéan ó mengüen tos sumandos; !y ¡mOl-suma perm6fllecmJ 1" misma, sj ).á un sumandQ S~ 61 '


46

. ARITM;Él;I'le4.

te añade 11'71 número cualquiera y á o,tro se le - quiflJ el mismo número. \ • 2. o Como en la resta se quita el .sustraendo del mim:~ao, se i'nfi¡;re que cuanto mayor ó menor sea el min]Jendo; permaneciendo el mismo sustraelldo, tan. I to mayor ó menor (se en~iePlde p<ill' vía de suma ó resta) será la rest~ y cuanto mayor ó meflot· sea el sustraellao, permaneciendo' el mismo minuendo, tanto menor ó mayor será ,lal res,t a; 'lo <fue manifiesta que la resta puede crecer ó aumentando el minuendo ó disminuyend~ el sustraendo; y puede menguar disminuyendo el minuendo ó aumentando el sustraendo;) ó lo -q ue es lo mismo, á la resta le sucede lo mismo, que al m.inuendo, y lo cOJiltrario que al s'ustraendo; y tiria resta no se alterará' ó permanecerá la misma, , r añadiendo ó quitando una 1nÍóma car¡tidad al mi. nuendo y sustraendo: ) 3. o Pues que multiplicar es tomar tantas ve€es. el multiplicando como unidades tiene el multiplica. dar, reslllta que cualquiera de los factores que crezca, .ó mengüe, debe CaUSal" incremento ó decremento en et producto. Si el multipl,icando se hiciese el duplo, el triplo, ~c. de lo que era (permaneciendo el mul.tiplicador el mismo), el producto aeberá ser el duplo, et. triplo, ~c. def que se sacó, .ál1t~~. Si se hiciese l~ mitad, tef'cera, cuarta, ~c. parte (quedando unu lt.lÍsmo el. ¡riulti·plicad.ó r), el producto sera la mitad,. terctra , warta, ~c. Jarte del que se tenia antes. Lo mismo decimos respecto del mlJltiplicador, permaneciendo el rnis!1lo elmultiplidador; de d0ilde se infiere que un producto pemllmecera .el mismo si ·un factol' se parte por el mismomJmero que se multi• . p!ique El! otro. " " ,, ') ; 4. 0 Hemos visto que dividir es av~riguar las veces qlJ(~ d divisor está contenido ,en el dividendo,., ó quitar aquel de éste todas las veces que se pueda; luego si, el dividendo crece ó memgua" deberfÍ Cl"e.ce1' Ó menguar el cociente; y si CJ¡rece ó ,mengw~ el ~iyi~ -sor, deben) menguar ó c'~ ecer .e{ 'GoGient? Estlil es e+1


,AltITMÉTICA. 47.: .general; pero ,si el dividendo se hace el duplo, e~

triplo, Y.:1c. (qucd¡mdlil uno mismo eJ divisor), e! cociente será el . dt{plo, el triplo, b'~. de lo que en¡ ántes;)' si el dividendo se hace la mitad, tercera parte, b'c. el cociente será ·la mit(~d, Pe·rcera parte, b'c. de lo que era ántes. Si el divisor se hace el duplo, et tripl:o, b'c. (quedando uno mismo el dividendo), et . cociente será' la mitad, tercera parte, b'c. de lo que era ántes ; plles para cada unidad que les to(;:ase ántes, habrá ahora dos, tres, &c~ enn:e que repartirla; y si eX divisor se. hiciese la mitad " tercera parte, b'c. el cociente será el duplo, eJ tripto) b'c. de ¿o .que era ántes; pues para cada dos, tres, &c. unidades que les tocase ántes, no habrá ¡¡hora mas de uno entre que repartirlas. De donJe se infiere que un cociente, no se alte-ra aunque se mut.tipliquen ó partan los dos términos d.e la.. division por un mismo número. Porque lo que aumenta ó dislllinuye por razon del úividendo, lo disminuye ó aumenta<por razon del divisor.

De los quebrados ó fracciones ~ de su espl'esion , redt écion á un comull denominador, .y simplificacion.

, 62 Hemos dicho (1 S) que quebrados son aquellQ.9 números que espresan" partes de la unidad. Para fo~­ ,marse una idea exacta del quebrado, es necesario a.tenaer al número de partes que se toman de la uqi.dad, que se llama numerador (porque las cuenta 'ó ., numera), y á la clase de partes que se toman: esto es ,. en cuantas partes está di viclida la unidad, q lIe . se lla~a aenominador (porque da nombre al q uebra.do) V. g. en el q;uebrado tres cuartos Ó fns cua¡'tas partes ' de una unidad, como una manzana, una na.l'anja, &G. el numerasior es tns' , y él denomjnado ~ Cuatl"O. El p.ulDeraGl.o~ y d~p.~)Ulinador jl.kDtOS , se Ha. J lUan t~1'711inos del quebrado. . ; 63 TeOf. Todo quebrc¡diJ es u.na ,livision indicada il?} nu¡ne'r~4dor por el denominador' •. ' . . \". . - \: .

-

-

(


48

AltI'PMÉTICÁ.

,

Espl. Si tenémos que dividir 11 manzanás entre 4, dará el cociente 2, Y 3 de resta, que se han de repartir entre los mismos 4; pues vamos á demostrar que re partir estas 3 manzanas entre 4, eq ui vale á tomar tres cllartas partes de una manzana sola. ~ Denl . Para esto, 10 mas nalu.ral es dividi,. , cada manzana en cuatro partes iguales, y dar á cada uno .\ una de estas cuartas partes; pero como las u~idades 1-6 manzanas son iguales, en lugar o.e dar á cada lino ' una cuarta parte de la primer,a , otra de la segunda y otra de la tercera, le podrémos dar tres de la primera, ó de cualq uiera de ellas, que era .L. Q. D. D. Por esta razon se escriben y leen los quebrados del modo dicho (49); v. g. el quebrado anterior 's"e "escribe i, y el quebrado H, se lee: diez y nuevl 'Veinticuatro a·vos. Como el numerador denota las par' tes que se toman de la ,un·i dad , y el denomifilador en . cuántas se considera dividida la misma anidad, ó ' cuántas com ponen una unidad, se infiere que cuando el numerador sea igual al qenominador , el quebrado equivaldrá á la unidad, y así tendrémos que 1-"2-3-"S-2.- 7 &c • &c • ' -'li'-'3-'S'- b - ' t En eSte cai'O se dice que tu unidad s~ha puesta en forma de quebrada; \ Y cuando el numer1!-dor . sea mayor que el denominador, el quebrado se llama. impr.opio. V. g. ~, ,~, &c. &c. . ' 64 Teor. Si una unidad se divide en un número cuatquiera 3 v. g. de partes iguates, 'J ta mism'a unídcvl.t je divide en otro número ' S de partes iguates, cada piirte que resulte de dividida en S) será '/1'lenor . que ta que resulte de dividirla en 3; Y si se dividief'lS en 6 que eS' dup~o de 3) cad.a parte, que resulte de dividiH¡,j. ~n 6 7 será ta mitad de ta que re?uttó divi· : diéndota ,en 3. 1, J)~¡¡¡. Estamia la: unidad . en el primer, cas~ divi· dida en tr'es partes, equivaldrá al conju11to ¡;le eU<lcs; y poi fa misma razoll la misma unidad equivaldrá en el segando' casa al conjumo de las cinco partes; luego (intr. ax. 5.°) el conj umo de las ,res partes pri.. I

I


ATITMÉTIC:A. , 4!ol (, meras e,\!uivaldd al conjunto de las cinco'segundas; luego si se ñ~~esitan S segundas para componer 3 primeras, no b¡¡'$tará~ 3 segundas, para componer 3 primeras ; luego cada segunda sera menor que cada. primera. 'L., l,Q Q. D. D. Cuando se di vida en 6 , tendrémos, discurriendo ~el mismo modo, que las tres partes primeras equilaldrá\1 al 90njunto'p'e las 6 segllndas; lllego si se necesitan 6 segundas para componer 3 primeras, cada ~ s ~gund~s com l"(j)ndrán 1 primera; luego cada segunda será la,mitad de €i1da prilIlera. L. ~.o Q. D. D • . 65 .reOJ;. Si permaneciendo uno mismo et denomiI/ador; dg un quel;rado, g'umelJ1ia Q qisminuye su nume .. fador" ~umentará. Ó. di3minuÍ1"ú d~t mismo modo e& quebrado; y s] qumentq ilJQr via de 11'tuhiplicacion 6 ctis1lli1lt~ye' J30r vifi de division, lo hará. del mism() modo el quegrf'dQ. , " , , . • Dem: '~ ;Por no alterarse el·denominador , no se altera ~ y.~lor .de -cada parte; luego cuand0 se tom~q mas p ~.rtes, .q u;e. es ~ uanci'Q erece el numerador, se tendrá un quebrado mayor;.. y cuando se tomen fiénos , que es cuando disminuy~ el numerador, se t,endrá UlY quebrado menor. ,L. r. o Q. D. D. Si _el número; de partes que se tom6 , fue el duplo, el tri plo , &c. el va'lqr d¡;;l quebrado que nos resulte , .será et du plo, el tri plo r &c.;. Y sí fue el sub~ duplo" <;L subtriplo, &c. el valo_r del quebrado que nos resulte, lo será igualmente. L. 2. 0 Q. D. D. Esc. Hé aquí quebl'adQs con esta condicion !7' y9"f' l71 H, y~; , ./ , y m3,nifies t~q q u,e ele quebrados que t.ienen un lnismo denomlq¡t~qr, Q'qU?t es n:lClyor que tiene mayo r nu mefaJor; y que p ara multi plicar ódividir un. q uebrado por un cnúmero cualquiera , basta 7W.¡,ltiplicf/T Ó' divi4ir su numel"ador por dicho número. " 66 Teor. Si pcrmwfleciendo 1<";10 mismo et numera...· do,. de ~n quebrado, aumenta ó disminuye su deno~¡inador , disminuir á ó aumentará el qHebl"ado. Si Id denominador aumenta por vía de multipticacio7l, el. I

,

,

I

4

T. l.


~")

~O

ARITMÉTICA.

"

.

quebraJe!) disminuirá por via de division ; !Y si el denominador disminuye por via de division, el quebrada aumentará por via de muhipticacion. , . Dem. Como el numerador permanece el mismo, se toma siempre un mismo ntÍmero de partes; luego el valor del q u,ebrado será mayor ó menor, segun lo ¡ean las .partes q ue e~ prese ; pero miéntras mayor sea el número de partes en que se div.ida una unidad cualquiera, será (64) menor el valor d@ cada una; luego miéntras mayor sea el denominador, será me. nor el va'1or· de cada parte, y por consiguiente el valor de un número cualquiera de eUas. L~I. o Q. D , D. Si 'el denominador se hiciese dos ó tres &c: veces mayor, el valor de c~a" ' parle se haria (64)dos ó tres &c, veces me!lor; luego un número cualquiera de ellas sel'lÍ! tambien dos ó tres &c. veces 'rnénor que lo que era ánte? ~i el de~ominador disminuye, por vía de divisi'o n, entonces· el valor de cad"a pa.Ete aumelltará por, via tie multi plicacion. L. 2. o Q. D: D. : Ese. lIé aquí quebrados que satisfacen ,á esta$ condiciones 16' -l'i' 15;' 3~' ti y. maníliestan que de quebrados que tienen un mismo numerador; es mayoret, que tiene menor denominador, y "at contrario; Y' que pana multiplicaró dividir un quebrado por un ' ntln1eto cualquiera, basta chvidir ' Ó multiplí¡;aT su del10mi1'la¡;lbi' por dicho ri1J,71ier·o. Con ' De aquí se sigue que para mutltiptiear. un' quebl"ado por su denominac.t'or basta suprimir este, j et p"oducto ser4 igual al numerador. . ~sí, ~x8=5 , -ffx I} -:"'6" faX 13=8, &{ &c. I ~ 67 Tecr. - Un qtlelirado no se altera, aunque ·sus dos términos se muttiptiqu~n Ó pa:tall pOf" un >mismo >

¡

.

1lú11le,'o.

Dem. Cuande se mlíltiplicaq ambos 'términos por, un mismo mímero , tenemós que con multiplicar el num~rador, se hace al ;quebrado tantas véees mayor (65) eomo unidades ti ene el número porq ue se mulLiplica i pero con multipliear el denomin:ador p'or el mismo · nÚqlero, ·se le haee este mismo ftLimero de ve#

1


. ,.

.

.'

ARITMÉTICA";

.

;

r

c~s

menor' (66); luego no se altera su valor ó queda conforme estaba • ..L. 1.° Q. D. D.: , Si se dividen por un mismo número, con dividir el numerador hacemos el quebrado tantas veces memot como uniciadés tiene el número porqúe se divide (6,S)S y con dividir su denominador por el mismo mí.mel'o, se le hace el,mismo aúmew de veces mayor E66); l'ue' { go qu·eda.'célnfomie estaba. L. 2.° Q' D. D. - Esc. Hé aq uí quebrados iguales q lle satis[~cen al teorema ¡\=H·=t= &c; , . .: :,. J es digna "k ~otarse la c~nformidad de estos re'su1.. táaos~ con lós deducidos pal\a la division (61,' ¡¡..O). _ 68 En la primera parte del ·teorema af.ltellior "se funda la reducci'on de lós qtiebrados á· un comun den~­ minador; yen -la' segunda su·simplifi'cacion. .. Cuando dos', ódlas quebx;ados tíefien un mismo de~ nominador í s'é-dice que ·le tie!1en cQmun; muchas ve..: ces se necesita que le tengan, y para conseguirlo se multiptican t-ps ~os. té~mino{ de CC1da quebrado por el producto de Jos denominado1"es .de los demas. En este caso no se altera el valor de ningun quebrado, pórque sus dos iérminos se triulti p'litan por un mismo número; y safe el mismo denominádor, porq ue Le's ulta de la mult~pliéadon dé les der'lOmihadores de to,.. dos los quebrados. V, g. Si quiero reducir a tin ca· mun denominador los quebrados i'Y t, ' los po'ndré , "{ ~ s como aquí se ve: 3; J "

• '

.....

J.

j

.!.~ 2.X'

ti • 2.~

-

, Multipiiéaré los dos términes del ~ por 7, que és . 'el denominado'r del otro q uebl'ado, dici\!ud<;>: 2 · pGr '7 'son 14, que pong? ' por numera(ior del nuévo <fueIbrado, debajq de su. corr-espondien't~ 1; tiraré fa raY!1 y diré: 3 por 7 son 21, que: pom-go(debajo de la raya. ·Paso al segundó q uebtado .~ y digo! 5 por 3 son I 5, 'que pongó deb-ajo delt;.tiro la: ray.a ·y despues~ p0i1·go .debajo 21, producto de 3 por 7; c'o n lo que tengo j ~s 'quebrados ~'~I' ,'~' que son igu ales: cada unó con, s-u . . ..;.el cor r espoul!1it:ui!e 'y' tienen un mj.s(Ilo 'denominad01', J


S!I

,

~~UTMÉTr'(!A.

,

Si los

'

queb!~do,s fuesen~, ~"t;multiplicaría los,

dos térm\nos del- primero i [>{lr , 10, proq,ucto ~e ~~ l¡)'on 5, que SOFl los .(kqominadores de los ' ,demas, y tendria que el primer q~ebrado se convertiria en ig.; p~saria al se,guJ!!io~~ , c~u ):09 términGs)os mutti plica) ria ,por 30 ~ producto de 6 y 5 deqom}aado.res' de. !os d.el:n~s " y se convertiriª en ig; . _ " 1 Y luego.1os d'os términos' del tetc~ro !~ !2.s multip.l~'7 ~ria. p.or 12, producto de 6 PQr-2 , den,~minildores de los demas, lo que 'da t!i .' , . ,: .co.n lo q ue tel~go los tr~s q uebr:a"dos .~&J)~, i!. que son iguales con lQ§, primitivos,y /ienen un misglC~ !;l~nominador. " . : ",' J. _ , _ Como el denominador comun n~sult~ de la mul~ ti plieacion de todos lQ.s d,enomiH,!~o.re~., no se neee¡ .sita hallar mas que et 'del pri1J1éro, y , pOll~rte 4 ¿os nemas cuando se h~ puesta ¿l , u~~~radol' que, le~ cOI'responde. ~; r _ 'j. • , • -

, Ejemplo.

1, · 1.2'~' { dan

5

~

al

·lirs, -l'i'ts, x 1o ., ,~2°(J . 9

.'

, 69 Esta operacion coqvierte los quebrados en otl'O~ de igual-valor; pero mas complicad9§'; y así, solo s~ ,ejecuta como ausiliar de otras; pero l¡¡. q u~ se deb; hacer en todos los resulta~os dOl'lqe haya quebrados, es simplificartos. .se .dice que s~ "simplifica un qU~r brado cuando, sé convierte en" otro de igual vala.r, y cuyos términos son menoj"es. " '_ Para esto, se dividen', sus dos términos por 2 to· 5ias las veces que se pueda; lu~go por '3 ~' y por los ,de mas núm.tros primos ', lo cual se COnoce 'p0f 10 ,di_cho (~9). Así, si quiero simplificar el quebrado xV?!; VeG1que sus ,dos terminas se pue~en dividir por 2; 10 ,hago y tengo 'ª-~-' que ~ igual' con x7irn y que se puede aun si~prificar por 2; lo hago y tengo f~, que .aun se puede simpiificar por 2; lo hago y tengo x9S1 que po se puede sim plitica¡ por 2, p.ero si por 3 (§ 59); lo hago y tengo l, que ,es igual con el ¡Ves que senos dió. En efecto, el 2" es el que provino (en el ejeu;¡.·

i..

\

./

..


SJ

ARITMÉTICA;.

plo .de .antes) del h al reducir los qu¡;brados á un n'lismo deNominador; y cemo ahora deshacemos lo que ántes hicimos, ha, de resultar 10 mism,o que habia. . Les principiant~s deben simplificar todos los puestos anteriorme.nte, com~ se ve en el que aq uí se presenta. 9900

_~9S0_247S_

8?S

_~7S_5S_

:¡; 3"¡j61)-o9:l0-3465-j"~ -

.

.

.

385'";-77 -

S

'7'

, ' Sumar,. ,restar, multiplicar y ilividir quebrados.

' 70 Los q \!lebrados taU1bi~n se suman, restan, multiplican y part!!fi'. . ·Para sumarlos sé reducen á un mismo denominadar, (siao le tienen); ,despues se suman los numera-. dOl-es; á esta suma se le pone por dmomil1ado.r el' aeno'minador comun; y si este quebrado es impropio, se divide el numerador. por el denominador ¡ara sacar los •• enteros qtte contenga, yl se si'mplifica si sit.puede. ~ Si quiero sumar! con~, lo.s reduciré á uncomun denominador (68), y se convertirán en i-~, fo; des~ pues sumaré los numeradores I5 Y 8, Y á la surna ,23 le pondré pGl1 denominador el 20, que es el comu'n, y la suma será %~; que sacando lus en,te,ros será I-lcr. ~ La 'operacion. se' indica así: ~.

!+~=~¿+'¡~=H=I.Jcr·

.

Aplicande la regla á estos ejemplos se ll'allará

1.° 2'0

~+j+~=f~;+37ros.+H~-.íi~-[1~1; 27..L 2 9 -2 :J - l 2+4+"5_60+72+ 75-'07_2 "903 · S 6 - 91) 90" 90- 90 30'- xcr

Dem. Se l'educen á un comun denominador ;' pot'- ' que no s'on pemojéneos si no le tienen; despues se . suman 1.os nUll}eradores, p01'que en elles está el valor de l,9s quebrados; y á está suma se le p<;me por denominador el'comun, para saber el nombre de aquellas '~artes,l;a simplificacion 'lúe despues se hace, es ) porq'te en wetas las 0peraciones se deben presentar ·, los resultados coa la mayor sencillez. L. Q. D. D. ~ '7 1 - Al sumar,quebrados puedenocurri.rtres casos: SU11lc:r queb·¡arJos con quebrados, que es lo que aca- ... Minos de ejecut-ar ; sumar un enter:o C011 un qt/:.ebrádo;


A1UTMÉTICA.

y sumat· números mistos con números , mistos•. , La cuestlon €! ue <::onduce , á sumar un entero con un q uebra'do, se prestmta cuando se tiene un número misto, tal eomo 4h y se quiere saber cuántos quin~ tos compone el entero j un~o con el q~ebrado. En este caso. , se dice que se req,uce.el entero á la especie det . quebrado que. te acompaña; para'lo"cual se multiplica et entero por et deflormn,aaOl' del quebra{io; á esto, se añdde el numeradm' ; y á ta suma se te pone por deno· minador et denominador det queb,·ado. 4e manera que para aplicarlo á 7h lIlul.tiplicaré el 7 por el 5, al producto 35 le añadiré el numerador 3 del quebrado, y á la suma 38 le pondré por denominador el 5 del q.uebrado? y tendré ea 3'¡'ejecutad'a la; ,operacion que

se me pedia .. Porq ue en este caso cada unidad vale cinco panes; luego 7 unidades valdrán siete v'eces cinco Ó. 35 'partes, Y, las 3 que s,e t~nian serán 38 de estas partes, esto es, 38 q uintars partes Ó 3,{ , que es L. Q. D. D. . " . Del mismo modo se ticne 14t=IF; 12 17I =I.{1. 72 Para sumar números mistos con números mis. , tos, se Stlman tos ,quebrados con tos ' quebrados , y tos enteros con tos ,e nteros, cuidalldo de sumar con estos los que resutten de ta suma de to~ quebrados, y se simpt.ifi.ca si se puede. " , J .C1" ej. ' Si quiero sumar 45t con 27t y con 62, los pOlldré los unos deb,ajo dé los otros en esta fonn~:

CoUJo los quebrados tienen un mismo (l ': sumare los num.erªdores, pondré á e~ta surn,a el denominador co- ' 45 ~ muti '; y sá·co de la suma, de los q uebra; 27 ~ des r.¡; per,Q en· I.,{: ha y, ' un efltero y t; 6t borro .el I.,{; y ponga d,ebajo el t;' el 1 le ~ H' '. coloco, sobre los enteros J separándQlecon . .~ 7S-- ... '" urla !n.edia lU,nFt ,- pa,ra q ue §~ conozca que ,' t:¡'~,. ha .provenido. &leJa suma pe los quebra, d0S, sumo despu€s .los enteros y faca 7.9; por lo que la. swna; pe,iitla es 7.9f. 2.° ej. Si quiero 'sumar los núm~ros 47f! 9¡ Y denol~linadór

t

'


Al\lTMÉTlcA.

38!, ptimero reduciré los q uebradó~ á u'n comun denominador, y ejecutaré la operacion (1 como aquí se ve: y saco la suma 19St& . ' 73 Para restar quebrados se redu, cen á Ul1 comun denominador (si 'no le tienen); despues se restan l'os númeradores; y á la r.esta s.e le pone por deno- 195 és minador el itenominador comun, y se 29 !

simplifica si se puede. 615" I.er 'ej. Si quiero restar de !' los reduciré á un comUll denQminador (68), y se convertirán en -!cr y H; r~stando el 8 numerador del quebrado 10 correspon-

t

diente a'l sustraendo t, del 1 S numerador del ¡~ correspondiente al minuendo!, y poniendo á la diferencia 7 el denominador comua 20, tendré la resta -l6' que no se puede simplificar. La operac'ion se indica así: i-%=U-ftF=-lt). 2 o

.

13_5_II7~_

i5

42 - t i

9"-!TI" I3s-i3S-¡¡;s' S~ reducen á un comun denominador,

po!:que en la re.!'ta los datos deben ser homojéneos ; despues se han de restar los numerado?es, poruue en ellos está el v,alor de los quebrados; y finalmente se . ba tie poner á la resta el denominador comun, porq!le es el que da nombre al quebrado. L. Q. D. D. 74 .Al restar quebrados pueden ocurrir tres ca- ' sos: restar un quebrado de otro, que es lo que se acaba de ha\:er; restar un quebrado de un entel'O; y re!tar un núm~ro misto de otro númeró 11listo~ . Púa restar un quebrado de,un entero, se le quita Dem.

al entero una unidad; al lado de este entero, despues de rebajada la unidad, se, pone un guebrádo cuyo numerador es igual á la diferencia que hay entre el de,íominador y el numerado¡- del quebrado dado, y el de11ominador es eZ mis?]10 que el -del queb'rado que se .da; con ,lo que está hécha la ,'esta. : , •

Aplicando esta regla á los ejemplos siguientes, se e,llcontrarán los 'l\€sultado§ que ellos mani fi esta-no 0 lA' 32 - 37 , l - o . 8 --¡5' 2 • ....-:-:9- 1 9" 7 2.

3

'. •

o 29

14-

- f i -2

9 • 8 n'


56

.

AIUTMÉTICA.

porque haciendo en todos una descomposici6n ,Semé"jante á esta 8-~=7+-í- i=7+%=7%, nos resulta

L.:Q. D. D. .

.

-

.

15 Para restar un númer0 misto de otro se res'fa el quebrado - del quebrado', y el entero del entero. Sf- despues de reducidos á un mismo denominador., si no le tienen, el quebrado del sustraendo.es' mayor qlJ,e el del minuendo par~ poder restar se toma una unidad del mil1uendo, Ja cual se reduce á la. especie del q¡,ebrado que le llcompaña (lo que se consigl,re sumando el numeraQor del quebrado coq el denomina~or, 'y á .esto poniendo por denominador el cOlDun); ... de este quebrado que. w "á impropio, se resta el del ¡sustraendo, y luego al ejeeutar la t"esta con los enteros, se debe advertir que al minuendo le ha quitado una unidad. v r ejemp. Si quiero restar de 33~, los co~ Iocaré como aquí se ve: . reduciré á un comun denominador los 33~ ..... ~~ q uebrdados; y como .s'l a le el del sdus - 1 ti traen o. menor q uc e d e1 minuen o, _ _ __ paso á restar el quebrado del quebrado I 5 Yo I y' el eI-ltero q~l entero, y saco r sH. 6:3 2. o ej. Si quisiera, restar 24t de'. 4Sx\, los colo~aria como aquí se ve: reduciendo . ·los quebr.'ldos á Utl 45r\.... t-f... :r.;.¡ comun denominador, sale me- 24 í .....H.... -}f ~ Dar el del minuendo , tomo una unidad dd entero, que en este 20 S'I . ~ caso vale H--, y sumada con los , 1l1r~~ me da 183.6 ; paso depl1es- á la resta considerando al 5 del 45 como 4, Y tengo por último 2.0j%. '1 ' 76 Para multiplicar un quebrado por otro se mut'tiptica numerador por 11umerador ,y denominador por denominador, y se simplifica. V. g. si q niero mufti" plicar ~ por Vdiré: 2 por 4 son 8; S por 7 SON 35; pOnieJldo. por numerador eJ producteJ de los I1umeradores., y por uenominador el de los denomina&0res., l~~dré en 385 ell'roducto pedido. -

se 18t

8t.... ·


_ ARITMÉT'! CA:. ,. S1 Dem. Porgué si tuvü:ra que multiplicar 'el ~!' por 4,

esta:ba reducida la operacion (6 S) á multi pDcar su l ,ñumeraCilor por 4 ; Y en este caso el producto seria~; pero de mlllriplicar el %PQr un núulero siete veces menor que 4, esto es por t, ha de resulta.r un P/oducto(6r, 3. Q ) siete veces menor que t; y 'corno esto se consigue (66) ¡;nultiplicando su deno': minac.:lor p'ol' '7, resulta ejec'utándolo, que :ls es el proc1ucto verdadero. L. Q'. D. D. 3-2T.- 7.8 X $-1°- 20 _4 Del 'm1'sIDO modo 97 X S-4S-IS}IS '6-90-45-9' 77 Al multiplicar quebr¡¡,das puede,u ocurrir tres casos: multiplícar un queb; ado por otro, que es lo que acabamos de esplical'; multiplicar un entero por un quebrado ó un quebrado por un entero; y multiplicar

un número mfst"o por otro misto.

,

Para multiplicar un entero por un quebrado ó un quebrado por un entero, se multiplica el ente,I"Q por el numerad'Or del quebrado, 'J al producto se ,le pone por denominador el, denominador 'del quebrado, y se

simplifica si se puede, , / ( Ler ej. , Sí quiero multiplicar 4 pór multi plicaré ,el 4 por 5 , al producto 20 le pondré por denominado'r el denominador 7 del quebrado, y tendré

t,

que el producto sera ~o; que sacando lqs enter0S se convierte en 2,~' , La operacion se indica así: 4Xt='f= 2~. Del mismo modo 7xL-U-1-r!. , I 4 - I 4 - : ¡ - ?' Dem. Esta regla está fundada en!o dicho (65 ese.). y tambien se deduce ,del caso anterior, poniendo al entero ~idad por denominador. ' .1 8 Para multiplicar un número misto por otro mIsto, se ,'educe" el entero á la especie del q¡¡evrado ~u.e le acompaña en cada factor, y despues se qnulti-.

pltca ~umeradol" por nmnerador , y denominador por aenommador. g. Si quiero multiplicar 32 p€lr -24~ reduciré en ambos factores el eoten;) á la eipecie d~l' quebrad/9 qlle le acompaña, y tendré que multiplicar y por V; y ejeéutando -Iaoperacion (7 6) tendl'é 2xz4-r:!xI8-30"'-8?'; - 35 7- 5 7-'3?- 3S'

v.


'SS

ARrTMÉTIC'A.

'Del mismo m'odo' 28~X24i=2'~oxcj;==

~Sl40-I~7o-64..3

36

-

18

-

9

S_H_4S-7I 3 -

5•

\

79 Para dividir un quebrado por otro, se multiplica el numeraadl" del dividendo P01" el denominador J.~í divisor, y este será el numerador del cociente: y el denominador del dividendo por el numerador del di'v isor, y este prodf:'cto será et denominaac)f' del coeiel'lte 1 y se simpiifica. V. g. Si quiero dividir i por %,multiplicaré el numerador 3 del dividendo por el denominador 7 del divisor, y el producto 21 será el numerador del cociente; despues multiplicaré el den~mrnador 4 del dividendo por el numerador 2 del divisor, y el producto 8 será el denominador del cocieate ~ el cua,l será 'q Ó De1mismo modo ~: 185-~=~~=H=i. , J)em. Porque si solo tu viese 'lue dividir el i por 2 csta:ba reducida la operacion (66) á multipicar su denominador por .2; de manera que seria el cociente; luego de di-vidir el i por un número siete ';veces menor que 2, esto es por t, ha d~ resultar (61 , 4.°)' un cociente sÍete veces ' mayor que ti y como esto se "onsigue (65) multiplicando su numerador:) por 7, resulta, ejec,utándolo, que el verdadero cociente 'se· rá V, ó lo que es lo mismo, !:t=2·il=Zt, que era L. Q'., D. D. 80 Al -dividir quebrados ' pueden ocurrir cuatro caso~: dividir. un quebrado por Ot1"O , que es io que ~e acaba de hacer; divi,dir un entero po,r unque,brarffoj d?'Uidir un quebrado por un entero; y divi(lir un númeya misto por otr,o misto., _ ' Pa.ra; dividir un entero por.u.n quebrado; se mu1:tiplica el entero POt" el,! de.r¡o.miuador del quebt'ado, á este :producto se le PQlle por denominador el numeradoi' del quebrado, y se simplifica si se puede. . , .. V. g. si quiero dividir 7 por t, mlJltipli¡:ar~ el enterb 7 por el den~minador 5 ) Y tendré .3 5 ;. á este ,p roducto le pondré por denominador elllUlll,eraa.or z. del q uebrado, y tendré 3 i , ó sac.ando 10f ,enteros 17~" Delmisrno modo 9.: -~,:-Iíj=Iot=lO~. "

2t.

_

t


ARITMÉTICA.

,

1$9

. SI Para dividir liln quebrado p.or, un entero se multiplica el denominculor det quebrado por el entero, y queda hecha la divisioll. V. g. si quiero dividir por 6, muhiplicaré ' el denominador S por el entero .6 , Y tena.ré ¡lar cocien: te -/O' ó -fO desp-ues de siml>lificado. ' . Del mismo modo 13:4=l2=.}d P;9=IJ:5~3=t"I' Dem. . Poniendo, en este caso y anteric,r, al entero la: unidad por denominado·r ,la demostracion s.e reduce á la dada (79), ó se puede deducir.de lo dicho (61, 4.° Y 66) ese. . 8z Para dividir un número misto pór otro misto se redu1:e cada·entero á la especie del quebrado que ll! acompaña ~ y despues se divide como u'n quebrado pbr otro. . V. g. quiero divídir S! por z t; primero reáudré cada entero Ala, especie de su quebrado, y tendré que dividir L7 p0r I.3,.' que (79) dará L7: ~ U.J = 2_5S.1_. 3 7 . 3 1 57 4..Q _68.50_748 _~74_ , 24 Del "m¡'smo modo 9~' 7' 'I Y - i 'II-~ - f i 1 - "lH'

t

el

=

J

J

Esc' Ademas puede ocurrir el dividir un quebrado ó un entero p0r un número .misto, y al . .con- , ( trario; pero reduciendo el entero á la especie del quebrado, se tienen. los casos anteriores) que' se 'practican como se ve en estos ejemplos. '

1.° t:2!=t:I-!=M·; 2.° 9:S~9;\3=%~=[ ~~; .0 S3 ..4_Ú.4-342_17J:- 12 :1· " 3 7'9-1 '9-28 - 14 y:p 20 - 4-¡J: 4. ° / 623'·S - 2°'5a' -TI-3]'.

De la valuacíon de los quebrados. Valuar un quebrado es hallar su ~alor él1 u~i':' ilades d~ especie inferior á la 'que se refiere. V. g. en de .vara n? hay niNguna vara; pero cLamo la vara tiene 3 pie:, l ' pie ·será la tercera parte de la v~ra, y. p,or lo mismo (intÉ. ax, S. 0) f de vara;:;:; 1 pie, y') esta. valuado el quebrado: .. , ' e

83

t

\'


60

ARITMÉTICA:"

Para "va'l uarun quebrado, se múlt~plica el nhme-: t~¡ldOt" por et número que -espresC! las veces que, 'la uni~~ dad en que se quiere valuar el quebmdo, estiÍ cOl~tenida im aquctta á que se feji!!re e] quebrado, y esto se parte ~r et de.tlominador; s.i dé la division resulta Wl ntÍ. mero misto, y hay todavía unidades de especie irife. rior, se haoe con el qt~ebrado · lo ;nismo; y así se con· \ tinúa hasta que no haya mas unidadesJde especie infe~ior; en cuyó caso si queda todavía quebrado, se des·' pf*ecia si et numerado] no llega á ser la mitad del ·de~: nominador: y se ooalte en vez del quebra40 una unidqd á tas unidacles ante'rÍo¡"es, si el.nwneraclor Hega ó pasa cEe la mitad del denol1'lÍnadol", \ . _Así, si _q uiero saber cuanto valen t de doD'ion, multiplicaré el numerador 3 por 4, q u~ son los pe· 50S que tiene . el 'dobloN, y dividiré el producto ,T Z par 7, lo que da 1 peso y 9.de peso. Para averiguar fas reales "l:ue hay en de peso, !?ultiplicaré el nu· merad.or S por 1 5 , que son los reales que contiene un peso, y di"idiré el produeto 75 por. 7, Yteñd.ré ro reales y t de real; para a'verigllar los maraveclí-, ses q 4e hay en t de real, multiplicaré el I1Umerad0r , por 34, que son los maravedíses que tieae un real, ' y diVIdiré el p~o~ucto 170 por 7, y tendré 24 ma· -ravedíses y t de maravedí; que.colllo 00 hay unidad inferior al maravedi, y el numerador 2 no es la"mitad del denominador 7, le desprecio: y tengo que los ~ de doblon.valen~ 1 peso, 10 reales y 24 mara:vedíses. Dem. La rázoo de esto es q ue ~ de doblan es lo nñsmo (63) que 3"doblones rep<l¡ftídos entre '7; y_ca· mo no les toca á doblon, se reducen á pesos, estos á reales, y lós real~s á mara ved.íses -, para ver á CÓ~ m~ les toca en estas/u!lidades de especie iuferior. ~

t

De Zas. quebrados ó fracciones. decimales.

"

84 La ~eoría de los quebrades ,a'cabada de esplicar , embaraza mucho }o,s cálculos, en razon de la ninguna ley que siguen los denomin¡¡.dores·, que van

'1


ARI~ÉMTICA'.

6i~

,q

v.ariando en, cada ue~rad0. Pa~a, ~V'itar 'este 'inconve'11i~llte, 'Y facilitar y ,!niformar todas las operacio-, ~~s s,e ha r~ ~VSl}t?>.~o, las frac yio11es' decimates; la q ue ~1 mismo \i~5';1Ilo-que so,o 1;'11 e<l;~o ' p ~ ~deula.r de( !e!' q uebrados, ~omunes, lkn.ªp cJi9Jtoll los objetos \ mencAonados. ',. ~ 1" " '\ l-"~ ',oO.: .:.: ; '. S.oI1, pu~s,' lasdecimal~s~ lf1JPj' qtl~bra¡J.o5 que tietl~n por .aenomillf1'c1g~jo, JOO, l(').:p~." ~q~ 2!J' en ge... neraUa unidad segl,l-J da, q~, qeros, ]ararfortnamos. una id~a exáNa de las decimales, pÓfl@e/Jj~.OS .di'v,idicUt unicl~d ep '~1 Q~J~p~p-J~~ ~~ly.aly~~ 'que. ~, lJ?man ...t;" ~i2r¡aJj~ c~oncib\e ndo' , d~y~di~ª,. ~~~ª:1G.<¡¡irQ'a; , ea dieh parte¡; igua)~q:~"La. V~!~ª~ te¡:¡d~a ¡,~leªtt' , zy. p.or:, la lEistPP s}'! llalJ;l:¡.n .Fe;Y!t~j11lfls rpg3 t~s\...qe l~ lU~da~ ; ;C0Ú" dbiend<;> , cadaG~~It.t~~s¡m~ diyicLi</.la; e,ij) di~!p,ªr.tes ; ~ ~'!.~:~~qán., mité~il1~"t ~~:Ji! t:J.p.i~a~d ';..r~I..,collfil1uandeJL~ vi~S,9.d9 ~n,;<2~~l!§ ~l~? 9ad 'kU!J9i !l:!;l~ ',1ªy'ausa:liende! resultarán las -die'lJ1nitésima.s 2 cienmí'lésil'l1as mitto~ simCls, die.'ZtñiUii'ñéfi,,{a} ~'... Ci'enrPlf.lf¡f¡~siNia1 ; C ';ítnir.: ~l.ongsimas , dip:~:7:ni¿¿:1'liJ:bfmési1r,J.a,s ',,::,?e;15 "_ s ?,~'.. la uCJifQrg:}jcta4.ci~:l9s.lleIl.PRlinadq:r~ , y ·l.x ley que sigue cada :p.<.tn:$!Ae iLsLenEt~l 9ih";\lec.~s rpe4 nor, no se escribe ~l denominador de estos !1 uebra.dos , ~inoq lit!' §e 'P0neiPá (la d9.J;Jcha(:¡fi 'l(!J f :[¡ntaades\ la} ,décimas, 4 laAe,r,ec;ha de esta~ ~Clj~-t..e,r¡té.simas', de$~' -' pu~s las mi.lésimqs " hleg~,.lqs, diey.J11jtés,i:n'H}ls\ .cienmit¡i;¡ ~imas, ~c. T paX'l cp.noce'r el g~qr.iJ'l1'lo'iJ.ueJespresa Id), y.nidaeles, se pone ~o7Itrlt él y lcis dé¡;imas ,una coma S" ¡i .?,!O, hay unid",des , " s~ .P9n~0, ánM:S.,-d.e. la , coma, ,ptVrtJ ~ue ocupe el ltlgar ?le las unidades. V. g. si.q,u iero es+ presa~ ~, uarenta y, ,~ifleo :~n!l!fos. ~ ;tej~ décimas, es@l'Í. p~ré.;ll:sí. : 45,6 ,; y la COIlJa da <í. ~w(¡m.d,(¡!r ,que el gua .. risrnó 5 éspresa las , unidades, y el 6Jú décim,!s; ·s!.:solo_hllbiera.. que~~dQ c~..scr.~b~r~·f~is décima¡., hu.~lera pu.esto o ~l! lugar de las uwdades , J.y tendria ~scritas las seis d~~imas q,e este m@dd: 0,6. Si se quiere espresarsl .d.en@l11Írtador· , se pllede poner -frs el! vez de 0,6, Y 4510: t;n '!,ez de 45,6; d.onde se debe ~d:y'eE!i.r 9:ue la coma, hace, oficios de

;

la

' r '

nir

:;-,

'H

I

I


6z

AnITMfTIC:A:'

(

denominador, y que cuando se 'q tiiera espresar éste; se ponMá la unidad seguida de 't'antos ceros C011l11 guarismos hay' despues de la coma.. Por ejemplO' . 3,S07=3m7n'Y 0,0039=¡clu90o ¡' • , 8 S U n número que ileva en'eeros y decimales, es un verdadero ,número misto; J ~sí , .para leerle, leerá 'prim'(Jl'o<'el entero (13), y ,lu'ego los guar;slDos decimales del mismo modo, (pronunciando despiles de eS.tas Jea denbiIDiiacion que les correspG'flde:'-la 'cual ~i no se C0nQCe' al golpe por haber muchos guar~sino~ d~cimales' " 'S'e: a veriguá dicienao desde l<~ 'comá:' la derecha, -en 'el: prime~ lu'g ar d,écimas;' en el~segundo céntésimas ~ y ashuc~si V<I'Uleate , hasta el úhiluG .gu'a~ rismo., cuyo ' ROlubre ' se' apunta 'si es' 'c-om pl1éádo. 'él Ilúme·ro.' iP~r.a· qmr Be :se Genfuridafillirs ' cómas de 1:i divisÍ'GTIfde 'pedoMs !'co'n la de -las deeüha1'es,'~s'e hace la coma mayor q:ll~ Ya'S otrás? Así, s~- qúisiera' lee!' el

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'averigu aria la esp'eG,~e. cie 'uru.dad~s 'del último" gU<t~ ris~o_ ~,y"·haHaFíá. ser .didm'itbitt'o'nésimas. Despues le _pre:pal'a:ré:.€r3j , ~n:esta

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,},GS~I4,?,3,,~ 74,3,S092,0:59¡6--i'íi 70 3,3 6 4, ~', I ':y..-seJee:ási:: siete ·11iit ómeuen'Pti'y" seis\ mi·ttones , Cf.l;fI~ trocientoó ¡res· 11l}t ~ doscientos sepenf'á y cuatro uhiéra=\ Qes ·ó .enteros ': ,t tei ' I1iit quinientos'" ñü'éve bittone~ , ciñcuent.a fY 'if1e. ' mi¿'-iéuat'rocientos e~ñcQ' mH~ones,' sete:" dentos t.res'mit trescientas SGs~nta 'y:cuatro die'Zmil>bi:' UOJlésimas. ;~., -: ~ ," - ' ..~ . ;. 86, ~ BL.valo·r de las decima:les 'no se ·altera. ¿wa-hilG ~.e ponen ó'quitatu;;eros á coi~tjnuacirin :de los guarismos ~ignificativos. :'.. . ? 1 : ,'.,• l'

,v.. g. 0;7=0,7ó=0,7oo~ó,7ooo=0,7000'0 &c~ ~ . Porque como' 0,7=-&, miütiplicando sus díos ter~ minos por 1.0 ., por '1 oe, por 1000, &c. no se al~erara ~l quebrado (67), ylse tendrá qué ' 0,7=~lo-;:Z'I1t01.. =}t&=~J:boü~%':'" &c. ~ 1., ; '" 1

~

~

Ó o,7::;;.o·,77ó::::,¡or:.J=o.¡7'ó oó- ·&c.


ARITMÉTICA. , 63 , Si teniendo ceros al fin se quitan, resultan 105 dos términos divididos por un 'mismo número, lo que (67) tampoco altera el ,qu'ilbrado. L. Q. D. D. , 87 Si los ceros se colocan entre la coma y los guarismos si,guificativos, se hace el quebrado tantas 'Veces, I menor, como espresa la ¡¿.ni,diid seguida de tantos .teros, c01'».0 se han puesto entre la coma y tos guarism@5 significati'Vos; porq ue en este caso se hac,e !diez,. cient.o,~ mil, &c. veces mepor el valor de cada parte" y no. se hace diez, ciento, mil ,. &~. veces mayor el mimero de 'ellas. ~ Del' mismo lIlod0 , si en un númer:o que neva en-, teros Gon. decim~les, se C0tre la coma un luggic h:íc.ia, la izquierda, como el gúarismo que ántes es,p resaba; unidades, ahora espresará décimas: el que ántes dé": cimas ,; ahora ce,ntésimas: y así suce.sivameúte-; ce ~ sulta que ·cada parte se ha he'cho diez veces menor, y por lo mismó eSta'flilutacion ' de la €'(!!Il!a habrá'eofJ.vertido>al número p Dopuesto en otro' diez . v;eces U\.'C-;: nor. Si se hubiera'cortidó la coma ·de>s )uga:~e,~ hacia lá izq,uíerda, hubiérarnos hecho éiea vece$ '¡nenor ~ dicho nrmero; y en geneial~. coñ correr. Já com.a 1m' oomer@ cualquiera ,deAngares, há.ciQ 10,_i'l,quierda, s~ hace III n~¡1Jlero ta.ntas. .v~c.e menor> ,C~1¡¡0 ,esp,,;esa 1% unidad segttida de t.a.nt()s éerus como.lug,;"'''ps r.s,e 'iorri6, la coma. , •. é "PQr),el contrarío.;_c.orct:i'e,ndo la coma un n41J1el"<Ícualqui'er:a 'de lugares- hácia la qerec'bJa,. . q,ue.d?}rá he... oho 'el mJ1net·o tantas :veces mayor, como' e,r'presa la unidad /seguida de tantos ceros como lugwe¡ se &on"íó la ebma; Así, si en ;el núme.r q 8:5'3~ ,q4 914 , ~ . col0(;8 'la, coma entre el> , ' Y' e1 3, tendré 8'5,3'~ 7 4914, q üe ;s~tá .den veces menor. 'q ue p,re> pIJ.est0 ~ y si l~ pusie.ra- énrre el 9 'y el ~ teÍldcia 8.$32749,14, ' , ' que es mil veces ma.yoI1 'que el p.rop.uesto;; ... _. • 88 . p';uesro que. las d'ecima!es.sigl'¡;~IJ, lSl .mi>sma ley; que l?s ~nteros , y se escriben y leen lo miS!D0 que, ellos, 'es un p onto -te ,la 'mayor ímp.Qrran-cia ~l Sl,1stituir 10$II]:I.l)ebrados de,dmaks. á !Q5.) NmuneS., 19 que, n

1

el


..... 64

ARITMÉTICA.

se eon¡¡igue convirtiendo en decimales los quebrados qUt; hayal.l de entrar ea los cálculos. Para esto"se to~ ma el numerador det quebrado por; dividendo y et de~ nominador por diviso!?, y se divide el uno por 'el otro; mas si el quebrado es propio, no cabrá et divisor:- en el dividendo; y así se pone Q en e~ , cociente, y cles~ pues se añade un cero atodividendo y se diuide por el divisol: ; ·el cociente se 'pone tÍ. la 'derecha de la coma;, se multiplica por et divi sor y se resta . .I1!.la .ves.tat se Miade otro .cero y -se, di'IJide PO); eL divisor ; l~ , que 're~ sulta se pone en el cociente tÍ, la derecha, det-.g¡,¡.ari,slJ'/'l-o. anterior, se'7nultipti'ca y resta. A la resta,s,e¡::nf),ade otro ce¡"o ·, y se confinúa hñ'adien~o' un cero por; cadt4 guarismo decimal qu~ se quiera sacar;.: 'obsel¡p:af¡dr¡ que si despue} de Jlfínd;it un 'Cero 1110 oabe eb ditvisor en 'eh di1:lidenalt,~ se' ~ne cero ql' '1:oci~nt.e y , se qfíade , otra cero al iJ:ivvdenclo. '.l ,< •. 1/ . ,. 'f, J, • I ,'et'.:.e.j'. . 'Qu,i ero saca.r,C'OlFtireS deoimales el valol" de f i ;" ej(fcutal'é.la operacion OGlmo aquí 'se "ve : .. , Tomo ~l 5 por dividendo. 'Ji 'eL 17 ' , '' por ruviú :>r "ve.o que 17 no cabe -en S, ' Y por lÓlmismo pon~o ci :,n el co~ ~ ~o Tf~, ~lente, y despues la coma; ar;ado un e,29lJ. 0 " o al S,-Y veo·que 50 entre t7 les 'to~ °°7 02 ca á 2, q-ue 'p0J:.1go en el cociente des~ pues de la coma; multiplico e~te ca· " , ciente por el d.i visor, le- resto,del dividendo 50 ~.saco la resta 16 ~) A esta añado un cero, y veo que 160 en~ tre 17 les cabe á 9, que pongo. en el cociente'; 'mul~ tiplico por el divisor, y resto del dividend.o .r'60. Al lado de la resta 7 pongo otro cero, veo que 70 eQtre 17 les toca á 4 que pong-o 'en el cociente; multiplico por el diqisor y resto, Del mismo modo COlJ.,tiflUaria. si q uisieta sacar mas de los tres guarismos deci:male~ que me pf(;)puse; con lo cual tengo r~ducido e! ql!le;1 orado i1 á quebrado, decímal, aproximado B_aSta mi:lésimas, ' 2.° ej. Si quiero reducir á quebrado decimal :9!3' lo ejecutaré como se ve en la .pájiua sigu.e~te;, f

I


. ,

ÓS¡

• AnITMÉ<J:ICA.

Tomaré t:I ·8 por qivi9-endo, el 943 por,divisor, y popgo en el 'cociente cero y coma; aiíado un'cen:>,a18, 8000 " .943 . Y como 80 no con"tiede al 04560 8z . d 1' v~sor 94'3 ., pongo o en . . 07- 88 o ~0,0084. el cocieme; añado. otro al ' 02?9 o ' , . (Hviácndo, y pongo tarn.- . bien o al' coeiente; añ~do otr0 o l!l. divlden~o -, - y, y,eo que-943 em. ,8000 Ó 9 en 89 ca~e J veces, POflgo 8 en el cocÍe¡,¡re despues de 19S dos ceros; ml!!-: tiplico por el divisor y re~[Q; á ~a resta le aí!aq,o I,1n cer.o, y así continuaré 'la di vi~ion hasta sacar lo~ guarismos que pecesite, que supongo' aquí que son seis, y tengo el q uébrado 0,0084~2, que es el mismo que el ~h, con diferencia de menos de una mi~ llonésima pane de la únida:d. Dem. Como de tomar el numerador por divi~ dendo y el den'ominador p.o r di visor, no puede sa. lir rlingun entero, se pone cero y coma en ·el cociente; añadiend.o un cero al di videncto se c,onvierte . en décimas; y por 10 mismo se ve si les toca á al:' guna, y si n,o, 'se p<:me tambiefl cero en d ;cocient~ ,en el lugar de las décimas; 10 mismo decimos de .todo 10 demas de la regla y res~ltª' L. Q. D! D. • 89 A.l copvertir l<:>s quebrados en dC€Ímale's r~­ sulta cociente exacto, cuando el·denominador no ti.ep~ mas .factpres simples que el 2 Y el 5, como 8;. 16; \~c. &c. 2.5; 125 &C;" V. g. si convierto en. ,decima- ' .les los quebrados , f;;·~75; lI!p lo har'é c<?mo se v,e 0_'

¡c:.n .(A), · iBh ,~C)· :;

,

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. (t\.) _~;·l· ~,)-_~:> ,~(B)

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S~o l·:;62 S.,1 "::0 L~;2'81 1.\l :::0.\:~:~'2~'"

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. Y sac0".eocienfe exa~to 9 )p0r lo ,que diré, ,que ' , j==o)6~)-.; ~-J.s=o',:;.~~),.y. ·. 'f\\= CD,,112~ . ,. \. ,.

5

T."I.

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66 . ARIT'MÉTICA. '. : Si BC; sale cadente exacro, su:c edera <fue como-la

resta ha de ser siempre menor que el 'divisol:, así ,~'u~ se hayan sacad0 téf.ntas· restas ' diferentes cOl~O uni ti>a~ des tTene el di visGl' Hfé flOS uRa, la. si-gil!lieme deber~ ser uné{ de las a'FHeóores1ó el mismo nume.r'a dor; de dandé se &igue que añaq.lend0 un (;), dará el mismG co(;ie ~lte y resta que dió ántes: ¡Í. e~ila le sUC€.derá 1'0 mismo; y, así, se. poritWtn aq ueUo$ guarism0s las- ve~ . tes qu'e se quiera. Esu!>s fra-ccioHffH e,ll<!,ma¡¡¡ per-iódictts-:; Así, si 'convierto en decimal el ~ q !¡lebrada ·i, tendré (A) que al sesto guarislÍl'e hallo la~'l'e-staL 5, que es el

,j

4 · ·

J.

< _;

... ~

1

...

~

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«

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SO IQ

- ... . .~

3° 29

60 40

5' mismo numeradofr poi- lo quese repetirán I'os mismo? guatismos, y tendré ~.=Ó,71428S7lLf28S·7[428S &e. Si convierto eH ~ecitItal el. q uebdld0 ~, encuell',. -toro (B) que al segundo guarismo se 'r epite el tlUme:'l'ador; por lo que 1I,~é,36363Q3-6363.6 · &C. ':,: .. 0 Si cGnvierto e1l tendré que 1.=0,6666'6 b'C¡ ,j Si la resta q uc se repite no es el mismo ElUmerador del qlleb~ado, entónce.§ _~ ~f:r.accion' es en pprte per,iódica y en parte no, como se verá en estos quebrados 7. y~;!. ue dan { -l'2=o,S8333 &c. _ fi 9:lS q , y }.E~ Q 64 1 08103163108 &c. . '

9~S- ' ~..,_

Su.ma~ 2 resta-r, mu'l:irf.!cqr

y .diviilir:

~e,..cimel.es.

90 Panr.~,u~ar las decim~res se ponen lo; 's¡¡mandos Jos unos d~¡;ajo de los otros, de modo qu:e se-correspondan las décimas thbajo ,4e.Jas décimas, lws centé~imas debajo de las centé_~ir¡la$- ~c. e~t.o es, que la.


ARIT.MÉTICN.

/

''61

(¿oma' en' toaos Jos sumandos forme , columna; 'desl'ue$ 'se t,ir:a una raya y ~e suman elJl;actamente como si ifue'Sen. enter.os" teni~ndo cuidad9 de poner la coma en la suma, de, modo que forme columna con las de vos su. ~ , , .mando,. 1) I.~r ej. '.. SLquiero sumar ,0,027 con 35,46, eOll ' '78 3, 06 39, Ctl ll¡0,3, 'con 9,53 'Y con 32,°757, los pqndré los unos debajo de los ' otros como aquí se ve;

. y ~e~pues ~e tirada la raya" empiezo por la derecha diciendq; 9 Y 7 0, 02 7 son 16, poflgó 6 debajo d,e la r,~y~, y 35",46 paso á la columna siguienfe donde di- 7 8 3, 06 39 go: 7 y ¡l1 que llevo- son '8, y '3 . son ! 1 I ) Y S son 16, pongo 6 y llevo 1 para añadirla á h suma de la colum- , na siguiente; y continúo da operacion - - como si fuesen enteros (26)~ teniendo 860,4566 cuidado de poner la coma entre el ° y, el 4 debajo de las de los sumandos, y digo que la ,SU'lIla es 860,4566. , .2.

0

ej. 85!37+9,0345 +'0,63 82 +4 2,08 5=137,rn7.

Dem;

Como haciendo la colocacion dicha y sumando en. colul1ll:~, sumAmos todas las un¡chdés de una misma especie, y todas las sumas parciales las ,reunimos en una sola al mismo tiemp.o que las vamos sacando, reslJlta (intr. ax. 3. 0 ) L. Q. D. D. 91 Para resrarlas se pone el sustraendo debajo' del

minuendo, de modo que. se correspondan, t ~s tmidades de ca4a esp:tcie, esto es, que la coma del sustraend/) cOf're~:ponda ,debiJjo de la Jet miuue'lldo; se ti'ra .una raya, y se resta como en los 1l1;meros entet'os, ponien.do tiJ coma ,e/l la resta) formando columna eon la¡: de ¡arriba. . " Aquí puede ocurrir"queno ter;¡ga,n 1:lQ mismo nú· mero de guarismos decimales el mio uendo y sustraen- ' do: si el sustraendo tÍ!ene .mén0s, se pOnel.1 aquetto$

guarismos q-ue tie/le demas el minuendQ_" "j luego.. se feJtqa ;los :del sus'raeado de, ¡os que que4a;f) e'n ebsJui. ,lIuend~; si elmin¡¡enJ.o tieue W~.ilOS q, u.e el ~ USt ra,ell~


'68

AltlT'M ÉTICAi

do s~ resta el guarismo de la der-echa da' sustraendo de l(;)" Y todos tos demas de 9 " .7:/.aHa llegar al primer

-guarismo del 'minl~endo, el cual se considera ,con una unidad méngs. ' I.er éj. Quiero restar de 625,4685 e! número -3 )-4,8796 ;"pondré el sustraendo ' 3 54~ 8796 debajo del rpinuendo como he dicho y se ve en (A):

(A)

.

,

62 5,4 68, 3?4,879 6 27°,5 88 9

(B)

(C)

8375,754 26 39 2 '7 8 9;435 8

475,3 6 28 7,4753 82 ;

, 7)86,3 18 4 6 39 2

187,8846 ~7S

-----

y despues cié Jirada la raya, resto CQffiO si fuesen ' enteros (31 j, cuidando de poner la coma entre el o y el 5, Y, saco la resta 27°,5889, 2.° ej. Si quisiera restar de 8375,75.426392 el número ')1 89,4.3-58, '105 eoloca'r ía como se ve en (B): y como el sustraendo tiep e ménos guarismos de-cimales que el' minuendo, 'pongo debajo de la raya los c!latro guarismos 6392 del minuendo, que il<Jtiel1en correspondientes en el sus~raendo, y despues re$10 como áutes y saco :7 586,31846392. 3P' ej. Side 475,36 quisieraresEar 287,475382;, 105 pondría como se ve, en CC). y corno el sustraendo tiene mas guarismos que el minuendo, diría .: del 5 á 10 van S que pongo; de 2 á 9 van 7 ; de 8 á 9 .va 1 ;. de 3 á 9 van 6; de S ,á 9 vaH 4; ahora debo considerar al 6, del minuendo con una unidad ménos, y digo: de 7 á 1 5 van 8 , Y de 15 llevo 1 ;' Y G:ontinLla,ndo' la operacion como ántes saco la resta 187, 8846175 , • Dem. En los dos primevos casos es la misma (29); ~n-el tercero, es porque se pu:edencoilsidcrardes¡;¡ues 'de lil's g¡,¡arismos decimales los ceros que se :deseen -'Sin altera:,~ s l!l valor (86), Y queda redu €ida la ope,'"l"acion, á la espuesla {32}, qLl é por c~mQdidad en eSte ~a.SQ se .É'ractiq~ del ¡lIodo q ~~ ·heiI¡:OS dicho. L. ,Q .lJ ..V.


.AIUTMÉTICA.

r

6,

• ~:t " :Paramultiplical' las decimales no'se 7zace caso 'de h; cOllía ,) se 11iultipHcan como si fuesen números

enteros, y luego e·n el producto se separan eon ta ca," 'ma tiJn'tós' g-uarismos de .derecha á iz.quierda como ·de'ei1l1aZe5: habia en ambos'faetores juntos; y si tIa. hay bastante~ , se completarán con ceros' á la iz.quierda. . x. er ' ej~ Quier,o niultiplicar "'5i37.p0C 6,3; tomaré pO'l: multiplicador el 6,3, y 'le pondré debaj.o del multipli-cando'cemo sino hubiese coma, conforme se:ve en (A):

¡

(E) ' .

I ,(Á)

(C)

S,37 , 6,3

.

x6 1 3 222 i("'

1

(D) . 0, 02 73 ~ .

0,0026

0,08. 7

~---'

33',8 3

1

0,000070 98

' Despues de tirada la ' raya, multiplicaré '(44) el S,37 por el 6, 3 sin -haeer ca~o de la coma, y separando en el prGducto l 338'31 tres guarismoS de .clere- , ch& á iz.quierda, que son los.decimales ·que habia en ambos fal'ttores, . saC0 33,831 que es el producto verdadero. / . 2.° ej. , Si quiero mulli'pliéar o,35 ·por 0,4, ejecutaré la operacion como se ve en @). Multiplicaré el 35 por 4, ~lo que me da el produ~to 140 ; Y como debo separ.ar .tres guarismos" que son los que 4ay en ambos factores juntos ', pondré ántes un cetro y tendré 0,140; pero como los ceros despues de los guadsmos decimales no les aumentan ni les disminuyeh (86), borraré el cero que hay despues del 4 , Y diré 'J.l-le el produéto es 0,14. . ~ 3. er ej. ' Si quiero multiplicar .o,z9 por 0,3, eje'Cutaré la operacion como se' ve en (C). , ," Multiplicaré 'el 29 po~ 3 ; Y COlnO ~l productoS7 DO tieBe mas de dos guarismos, y debo"separar tres, . .supliré con ceros los guarismos que me faLten, y ~en' dré el prod\lcto o,087~ .


· 70

.AIUTMÉTIC'A •

.Por último si quisiera multiplioa.r .O;é273 .por 0,0026' , haria,la operacion éomo s'e v~ ep.4D)" y.tendría el pr0ducto 0,00007°98 , \o', '[ , ''' .. , Dem. Con prescindir de la coma, el'! eL !Il1Jltipncando, le hácemos tantas ,veces mayor, ()om(i),.,~spre.sa la anidad ;seguida de tantos ceros C01iJ0. g~ªdsJTIoS decimales tiene (87); f con" presciadir de e1~ en el multiplicador, le hacemos , ta:nt.a~:.. veces !,Ilay.cp,}l:c:óm@ es presa la unidad segu.ida,de tan.tos c~ros COI1)O gu,~ rismos decil11a~es h~y en 'é l; ll}ego (61 l 3,,~) ,\el producto debe sahr tantas veces ,mayor como, e's presa el .prcduct9 de estos dos mímertJs ; ~luego par:f obtener el verdadero l se debúá hacer es te mismo número de veces meñor; lo que se ~onsig~é ,(87) separand'o con la coma tantos gua'rIsmos couro 'decimales ·haY en ámbss factores juntos. L. Q. D. D. ., 93 De- lo dicho (87) se deduce que' un ,'número que lleva enteros y decimales l Ó decimales ~olas , se multiplica por 10, cor.r\endo la -éolliª un .lugar 'hácia la derecha; por 100 corriéndola·dos; por 1001" corriéndola tres. ; y en general, para multiplicar por 1.1 unidad seguida de cie.rto número de ceros, se con'erú la coma tantos lugares háci.a la derecha," como ce'ros hay despues de la unidad. . 94 Para dividir las dedín.al.es se C01'l?pteta.r-4f1 l - esto es , se hará que ámbor términos tengan un rniS113() nÚl1ter.o de g!~arismos decimales 't añadiendo 1;05 ceros que se necesiten al que tenga minos; entónces 'se, boro ,r'a la coma l J se ejecuta la division como la ,~e .los enteros, sin tener que hacer nada en el cocient J. Desp~es l ,. si la .division no sabe,'e.xacta, aque!k;a resta que se había de poner en forma de quebra4o, se con· vierte en quebrado decimal; esto es, se añade á la re.sta un cero, y se pone la c,ama en el cociente ; ~e ve cuántas veces cabe el divisor e.o esta resta, se pojJ~ en el cociente despues dé la coma este mímero d~· veces, ó cero si no cabe; se multiplica por el divisor y se resta; y así se contináa, añadiendo un cem á la resta por cada guarismo decimal que se quiera sa<;,ar. g

L


"7~r.

AltITMÉT-IC1.'

( r.er. ej, . Quier,g dividir 0 ,6 pgr G,\15'; añadiré

al

9J videndo un cero, y se conv.ertirá en 0,60; despues , bort"o la coma en el di videndo y, di.viso~ , y q ueda Fe.~ 4,ucida la opq '¡Kioa ,á dividir 6p por f. 5 ; lo que eje;. Cl1taJo como ,aq uí se ~e : , 6' '. , '15 . ~a . 4 por c:gcie¡:¡t~, ; ., y Gligo que 0,15 00 / _ ~st~ cO\1teoi,c;l.o c¡,¡at~o 'veces en,9,,9' . , 4 , .' iJ"o ej . • , Si . g-\l¡ el~o¡iivitlir 43 por~ _1 ~~S , cq}TIO eJ 4iJ¡i~,~tldo 09 tiaqe_ningun guarism¡:¡ d~cimal , le añado un cero; y borrando la coma en el divisor queda reducida ~ la 0peraJc~Gll1 á di vi dir 43 0 por 125; la que ücc utada, como aquí se presema: ,,_ . 12 5 da 3 ,po.\' c.ociente y. 5 5 por resta :)a ,4,30 qge redu ci ré á d ee-i1na les añadién- o 5So - dale un, cero, poni endo la coma de~- " °5 00 3,44 pues del 3, Y cominuamio la divi000. sipn; pa ra esto, ;veo que el 1 2 S está .• contenido 4 veces en SSo, pongo este 4- des pues de I~ coma , multiplico l?or el div'i sor y [esto; á la resta 50 añado otro·ceFo, veo que está c.ci,ntenido cuatro veces el gi.yisoJ,: :, ,p ongo 4 en 'el cociente; y. así continúo \ hasta sacar los guúismos decimales que de's ee, que, ªq LJÍ sóló son dos, porq ue da cociente exacto. 3,. ~1' ej. ~i qui ~iera dividir 37,, 5421 ,p or 8,3, aña; diría al divisor tres ceros, porS!. qe le,faltan tres pa~.~. r~ner tamos dec;imales com9 el dividendo; botro des pues la coma en ambos, y queda reducida la ope-. racion á dividir 3"75421 por 8 3000,; Y ejecutada l~ (¡)p~racion c.omo aquí se ve: saco el cociente4, 'y en vez de 37542118 3ee0, ~ 5 3 4 aáadir un- cero á la resta bor434 21 4 ' 2 1, : raréun0ea eldivis0c, pondré 1221 coma en el cociente, y averi26. ~ , guaré cuántas ·veces el 8300 ,120 ~stá contenido ea 43421 ; hallo 370 que cabe S veces, pongo S en -3 8 el cociente des pues de la coma, , multiplico por el divisor y resto ;borro otro cero en ~l djyisor, y continúo la operacion, advirtiendo q l!..~

-

.'

-

°

I


~1-:Z

-.kiüTMÉTréÁ.

si despues de borrados los cero~ del ditrísor , quiet9 sacar mas gúarismos decimaks, se-añaden ceros á l~ 'resta como allí se ve. - Dem. Con 'añadir los ceros que necesiten al tér~ mino ,que tiene menos guarísmos dedmales, no \alte. ramos de ningun modo SÚ valor (86) ; Y con supFirnir , la coma en lós dos términos, los> ~nultiplicamos poda un,idad seguida. de tantos ceros como guarismos de· dmales ha y. , lO. que (61, 4. O) no alrera el cociente.

se

L. Q.D. D.

-

,

1.

_ 95 Cuando el divisor es la unidad seguida de ceros q!,leda hecha la di vision, corriendo la coma hr¡;. cia la'j zquierda tantos lugares c071ío cel'os acoínpañan á Cf!unidad supliendo con cero~ 4' la izquierda si el di:~ videndo no tiene bastantes guari'smos ; lo' cual tjstft f\:lfl. dado en lo dicho (87). Así, sí en el númer0 8465,379., cor~o la coq:¡a dos lugares hácía la i7:quierdél' , resul:' tará divi'dído por 1 0 0, Y será,84;6S379' '. 96 Para valuar los quebrados decimales, se mul~ tiplican por el número que espl"esa las veées que -la unidad en que se quiere valuar.,el quebrado, cabe en aquella á que se 1'efiere el quebrado, ' Si hay unidade's de'- espeeie' inferior todavía "se vuelve á multfpliccw el quebrado que I-ésulte, por ~t número de vec~s que la unidad en que se, quiere' vatuai' ahm-a ~ste qae,brado, cabe en aqueUa á que se refierel y ásí se cont'inúa hasta que no haya unidades de és~ pecie illferior: y si al fin -queda queo1'ado, s'e ilespreeicl si 110 ttega á cinco décimas; y se añade en vez 'de 'éb una ·unid'!.d ', :si llega ó pasa' de cinco décimas. ":'l ~sc. No se dice que se parta por el denominlido.r, l"0r~' que la divisiofl se ha<;.e al colocar la eo'ma en el pródu'Cto.t l.'" ej. Si, quiero -averiguar cuánto valen 0,411) de doblon, rmulriplicare el 0,47 pOI' 4, que son' 110s: pesos que tíene un doblan, y saco como se ve en (A)' 1,88 pesos', ,esto es, uri peso y un quebrado de pe'sb,. vallÍo el quebrado de peso en reales; para 16 cual' coloco el 15 debajo de 1,88, le multiplico sin hace roe lo con el entero 1, Y saco 13,20 real~s; porro el

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mas de rea'! por~:3'4' , y ' , 0,47 dohl~ °,7432 saco 6;8 mara vhÍíses ó 4. :: . r 3 7 marivedíses-, porqúe , ; té' .j , -8 décimas es m,a Jor que,\ 1,88 )?,es. _ ' 2',,22'9 6 S; porlo qudlIg-o q u.e_ 15 ) " . iz p;,41 d-€ dqblon -;val,e n 1 -...__- _":' .... , :' 459 2 pe~o J 3 reales y 7 ma-; 4 4 0 .¡.. Iar,edíges. " ' , ',": 8 8 ~ ' 2 2~6 ' 2. o ~j. Si q,uisie:ra,¡tv,e,riguar cuánto va-o lj,2e' rs. ' 2,7552 ¡ (, , 12 lían P,:7432 <!¡;, vara" , 34 T ' t I) ejecU'~arí.a la op'eracion·' comp se ve el,1 (B), Y , 6,8 mrs~ ' " 1 (S Íé 4

varas, ' 1:>. l

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'~allaría 2 , p~e: , ,2 ' p~t. .

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'9,6624 lIneaS':~.A,

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Sumar, res Par, -1ilultiplicar y dividir 'nÚmeros deno,. ", minados. ,i'" -:; , '",", 1,

97 ' Se' llamal1 'números dendmiiia'dds

los que coit;~

tan ede unídades' de diferentes esp'~cies rkativas todas d un mismo género: co~o 6 varas ;:-'¡ kpie, 7 pufg!i~ 'das 'y 4 líneas, 'y -~ qnintales, 3 'artabas y 8 libl:á's; Para entender l'as '0p'eracionés qu:e vamos á 'hacér .con 'iqdispénsable tenéroi~'n presente 'estos números ',' la' 'division de las unidades de p'esos ' y me<!id'a s (16 al 20). , - , .' -l ':9& Púa' ~ uiháHos ' se ponen todos'j ós summzdo,'s :1os iitló$ aebdj'o deltas otros, ae módo que se coy,esp-onddn

es

l~s unidades 'de cada especie; ~e tir'a -una raya, :y 's i empi?'za á ' sumar por la especie infúiol"'; 'si la sümtJ del'estas unidad'e'S'éontiene a[gurta 'Ó ' illgúnds 'de 1.a espe) tie 'superior ~inmediata, ' se guardan para 'sumcirlas cón"ebtas; se suman estas; y así ~e cimtinúiJ hasta ha.) ber /s.umado -las de especie superior, y et número ' qu~ ~eiu1,ta debajo ~r ~~ r~'Ya es r~ 'suma f:dida. _ • EJemp, QUIero sumar 38 d.oblones, 3 pesos, 13' reales y 14 ¡narav'edíses , con '4 doblones, 1 peso, 3


7.4

A ltl'rM4p C,A. . reale ~ y, 6 maravedises , coíl 4.9 a?pLones', ~ .pesps." ~ .~e,íi1e~ y 2 5 ffig ra ve,~~s,es '7¡Yc,\n 53 d?bLo~es, I .~ ~e~i les y 19 ma'ca vedíses ;, cOlocarf tqdo.s . los r ~~mi1pdo~ l os u~o's ~epajo de lo~, etros conW <q~uí' se ve~ ' '1 '\ • Tlrare una ~.t ._ ~

Taya,ysumi~- "? 2 .

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do los má rave-

"- .,.)¿ dob .. 3 ~ t:lS.' '1 g.' rs. 14mr~ rlíses teqg o ,6 4, ~~ r:J -, 4 c" . 1 -',,~.' 3" " '6 "v ' , que comp o..(J~ ' .8 " . ' " un real y q u ~49 " :" :~ ; 2; ~ 'Wda.B jO mar aS t;53;' vI 1'2" 19: " - [" : 1" : dtses " bor=rb" ~d ~~~ - ' - &.' .....'. ,i.3',y, é'tf.. ' , 6+, pong o de- , 146" ,.,.,. 1I b ' 1- - , Oc." • - 1" " 'S o ',,"'l aJo os,3<p que . ¿. , , \' t ~ .. , é r . ,~) q uedan, y ~ el, 1 real que lI e~0 pala la Golumn?-lli,g;mediata le' 1?9ng o encima de ¡os 'rea.Le~ sep,?raq? ,col1 l!nª ¡nedía J.u,l.1a; sumO todos estos r eales ; y tengo 37, 'que: 'Cbmp.oI?5!n 2 pes<?s Y 7 reales; borro ~l '37' , p(\)¡¡¡g0 -debajo ·fus: 7'.reales _que quedaron', y 'lGfs a pesos los coloco sobre los pesos; sumo estos y ·ten&0 8 pesos, Hue. ~0,!..ll;l;'one!1 .2 dQl:>IQrycs .justos.; per 10 H:ue boiro el 8, pongo d ebajo o, y coloco los .<;lo~I9.ñes'eo La columoade .los doblones, c~ya suma da [,46 l oblones; 'y' teng6 p orsnma d é los n{¡ineros prop l;l€S; I:9 ~ 146 ,c!P b19ne~, o ~peso,S, 7 reales y, 30 marav~dJ.s~s~ c. De!». 9 ?mo li~mos s nmado tQ4a,s .las panct,s d,e ~os sumal?d09. .• no qy~da duda de que hemos sumad~ , Jos todos. L. Q. D. D. " ':, , 99 Para resta! los uúmeros den@rpinados , se ,po':. nI! el sustraendo debajo, del minu.endo ~ de modo 'qu~ st corresyondan tas y nJitades de u,na misma especie ó 5.~ J

z

tira una raya' , y s,e 'ZiP. restando cada , especie d~ . '.un,i~ dades del sustraen> d9 fe las cor!"e~por4ientes. en el ;¡l1i~ nu.endo, empe'Zan,do por las de ta eSE~ci,e inferior• .~i alguna especie. 4e unidades def SU1tt'p~z¡do ~s ma,Y.01j que la corres.pond~ente en el minuendo, se tom~en, este una, umetad de la I especie inmediat{;l Juperior:; ~ ú !nQhubiese en esta se tomará de la .otra, Ó d~ la ~!guiente si ,tampoco h.ubiese ea esta ~q., y cuatíd~


• :ATJ¡'I'Í'¡!:É;.'l1I~A.. 7S toma flnQ ·,uniilail de ¡Jos, ó tres órilenes"snperior~ se¡:desc.o1'lipO,n¡¡ ·en las jf}ferif)f'es . d~¿ JI1od~ Lque s~ "ier4 eJI tos siguientes ejemplos. ' . : • e". .

1e

I. ~ I De 295-: dobl ~nes, 2 pesos, 3· r,eal¡es y. ~ I5 ma1a!Yeªís~sí,_ quier?, re&t3;r 89}Q9~lones, ¡3 ..p~~ q.s,,z re~­ les, y.. S mar~ v...edls,~s.;; cq~oc~r.e el sustraé{ldo d\!baJe> del. minuendo como..aq.lÚ. se_ve: . '('; .. ~ • . l"-. déspu~s ~e ti- " " , c " , • u~ . ~ada la raya empe- z9S dob. !l ps. 3. r.§~ H mrs. zaté á~re~tª.r ~ por la 8.9." ,3" 2" 5" J

coJumlla !\leJ os 'ma- _~ '. ' -~---:-­ ravedÍ$es, lo ,que ~a.,... ~~S .?! : 3" ,,1 ," 1 ~Q ] ' lo mar.avedlses de I ion:::).l". _' : .. _' .. teqtíl; pasg-á restªf los reales del sus~é\fl).dQ <!.e los: cOfr~spondientes del mimiensiQ , . y hallo J r~e ,resta; paso 'á 10.5';l\lesCils, y como de :2 p~sos nQ.:l?ye49 restar 3, tomo tUJa unid.ad d~ .1<;>,s, ~pbl.ones q u~ v.a l1e ,,4 pe:so~ , y ,l.:;on los 2 que hay hacen 6.; d~ l¡;~} ,q-I,fe , restando los 3 quedan 3 po!"J;esta; Y.pOnú1!it;n0 pasando . á los ..do.blenes" t~Qi~ndo en conside~aeion qú~ tomé J, re,c;¡ilta ppr ,resta i.oS ,doblor¡es, 3. peªºs, 1, reaLy 10 mal'avéd!ses. .:., ' " ! '.\., , 2,.0 Si de ,47 qu,i ntaJ~s quierCl, re~tar ·2-3 qií,inta~ les ,: 2 arrobas, '9 lllJlrªs y 1'4 pnzas, ·los co!c,¡caré Como aq uÍ 'se ..ve: . ,1.como no pu~~o .... .3 A 24~ -- r6 rq~ar I40rízas de dOI1- ,47q~. · 0 ars.' o lib. (;) on~ oe no haT., opaso :'i tQ- 23'" 2 " 9 '1 14" IDar unalíbra,.que CQ- - .-, - -.- - - -,,- _ IDo tampoco hay, ni ar- 23" 1" 15". . 2 " robas, ·tomo un q u,i nta,¡ 1 , • , ~ue tiene .11- -arrobas{ y como yo solo ,l¡lecesito una llbra para. restar las onzas;, dejo 3 :arrobas, en ellu~ar de las arilobas: de la atir~ba que queda¡d'ejo 24 hbras en el lugar de las libras: y de la .otra libra. quf vale 16 onzas, resto las 14 en-zas , y centinúo' la op:racion como allí se ve, con's iderando al 7 del 471 q uU"l'tales como 6 ; Y' 5aco por testa 23 quiut'a les, 1 arr~ba, liS libras y 2. ORzas. _ .


76

, ,

, ~iiliMfTIO'A.

, 3. 0 ' >, Si. restara 327 varas', 2' pi'es, 6 puIgad'as y 'S ,linea~ ', .de 57'8 vaiil's l>, haría ' la opeJ)aGion - ,~omo

.

,aquí se ve: y la e,esta sería 250 ~ - , z · t.I ~. 12 ' varas, ;s- ' pulgadas ,1578' 1's. e~ ps'. 'o ' puJg. ' o líllt Y-7· HMá&.:·- .!._- " ~i,t\".1 2' ,; , 6 ',, ;['" " S' Dem. Como res- , ,e ;, ~, tamos todas las par- ~ 50" o.,; ~I S ~" '" :~,; I

tés 'de}: sustraeñd.&

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de todas lá's del minuends ,r: .y todas las restas p~aicia­ les las tenemos 'reunidas-errun 50-10 húliie:fo, este es~ presar-á- la{T@sta =tm:tal. L. :~~ D. D; -: 100 En la multiplicacion deqos nútñet'0's deno: minados se- pueden s<egul1i' ::~aríó~ métodos,; ,pero a'quÍ solo pondrelÍios el{q ue fes "mas independiente: del ta~ leme "clél éalcúiador, y--ce!1siste:en ptácti'll:ar las tres: reglas ·sig-¡üeilt-es: ! .;t. t'edú'l.canse el ' mult'iplic'ando • y mu~tipliéador á la menbr de'~sus especies; z..a mu¡~

tipliq,uense entre sí eStós"~,do! números despues de re¡lucido's.; ,g.a divídase el PI'oduéto por el nt'~mero- que espresa"lfKveces que Ca úinída{f de especie 'inferior.. ,~d multiplicadar cabe en ~a maY,or ',-'y ,el cocient: 'espresará el , pÍ'Qdfkto~ 'en las i~tiiaa,1ies ' dé especie inferior. de~ tm~ttiplicana,o; por , J.o!qu~ se deberán red·ucir á las de especie superior segun las ~eg;[as dadas (58). En'

esta ctlestion es ln'dispensable~ Conocel!. cada factor, para 'prac'Eiáu 'la 3. a :regla'; pur ,lo:.q ue :diré,mos que el multipli-cando 'es .el de ta especie que' se busca en el

prodtú:to , y por consiguiente -¡¡l ' otro selt á ' el m-ul .. tipli.c,ador. :, .' ": t.~ ~ - ; , I _ ','; '. , 1, er 'ej.

Si quiero averiguar: cuáqt0 valen 7 varas

y, 1 'pierá. 9 pesós':y 'tí 'reales' la ::vara, obser:v;are que

comO' 10 que' busco •aquí.,. son F'esOS y Feales , el multi plic~rldo, e5J 9 pesos 'Y' 6'.reales; ' por lo q \le ' los re· duciré primero á la: menor 'de suse's pecies, y. tendl'é reducido, el OJultiplieapdo. á 14'1 reales ,y. d , multi-pli'!o cador áí. 22 pies; mulcipl.ico el 141 por 22 ', y saco el pród,uetCf 3~ 02 ;' d (.malle divido ,Fo!" 3 " á 'caus~ de que el pie es~á contenido 3 veces . en la:' vara, lo

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ARr;rMÉTJC"Á.

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77

que 'me 'da el' cociente 1034, que eS'pl'esa lbs' reales que valenlás 7, varasyl pie; y reduciendo !!stos 1034 reales á pesos (58), sacaré 68 pes.?s y 14 reales. . 2. o ej. Si quisiera averiguar. cuánto valel'l 6. q~in­ tales, 3 anobas y 8 libras de azúcar ~ á 8 doblon_~s~ ~ pesos y 9 reales, el quintal i lo,s reduciré á la menor de sus especies, y se me convertirán el mulripli,cando en SI 9 reales, YI el filultí plicadór ,en 683 li- ' ,bras; multiplicaré estos dos números , entr.e sÍ, y el .producto 3544:77 le dividi'ré po.!: 100., lo que ' (;95) ,dará 3544,77 reales, que reduddos á ,doolan,es hacen , S'9 doblones y 4,77 reales, 'qJle (96) vienen á ser 4 . reales y 26 lnaravedíses. Dem; El' redu,cir los fa.c tores á su menor especie , no influye pada en el resultada; pues lo mismo son (ej. 1.0) 7 'viuas y 1 {>ie que 22 pies, y 9 pesos Y ¡; reales lo mismo que 141 reales. Al practicar la 2.a regla temamos el valor de la yara tantas veces c,!mo pi'es ha y ; eSto es, multiplical11<ils el valor de la Val'fl , por un número tres veces mayor que el que debe ser,; y como' pral.!ticando la 3. a hacemos el producto tantas veces menor como lo que ,ántes le habiamos tomad~ 1llayor, resulta que' eSte' será el verdadero. El convertirle en las unidades de especie superior: , es p~r :satisfacer á la cLl:estion en lqs mismos terminos q u.e 'venia 'propuesta. L. Q. D. D. - 10'1 Para dividir los números denominados se .practicarán las tres reglas siguientes: l.a se 'reduce \ ,el di.visor á la. menor de sus especies; 2. a se hace la

,division empezando por las unidades de .e,specie mpefrior del dividendo; y si de es,ta division .queda algunil resta, se re,duce á las unidades d,e" especie in.

, feriar inmediata, y' se pñaden las unidades de e~ta ,especie, que hay' en eJ divi.d~ndo; se dividen.,por el di.~ -visor, y si 'que.da alg.upa t:esta , se . 'f:educe á las ,unz. ,dades de especie i,nfel'iol"ir¿mediatu; 'y asi se continú.a ihasta que no. haya unidades, de especie inferio¡"; , 3," .despues se m:ul.tipiica todo este cociente pO I~ 'el nÚl1i.ero 2ue ~spreS(J ~as 'lJeces q~fJ'! u:y~aq, de espectei:nferior


'78 ,AIIITMkTICA:. , del divisor" es:fá:"conteni.da en mayor, .:empe'Zanc1IJ .esta mtdtipticacion por las unidades de especie infe.· ri,or; para 'ji resultan unidades de . ~specie_ superior, "o·ñadirlas al producto de Za columna inmediata, y el ,resultado es lo que se pide.

la .

Por ejempl? Sé (LOO) que 7 varas Y 1 pie han costado: 68 'pesos y 14 reales; si' quiero averiguar ,á como ha costado ' la v~ra "di~idiré lós 68 pesos y 14 reales por- 7 varas Y 1 pie. Aquí se conooe el div,i. dendo en que es de la misma especie que lo que se busca. Practico' la La regla y se me convierte el divisor en 22 pieS; ¡¡hora hago la division como aqut s'e ve: Empi,~zo por los '68 ps, 14 rS'j22 . ~ ; pesos, y digo: 68 entre 02 1) 3 ps, 2 rs. 22 les ·toca á 3, que son ' 3 pesds , y me qJledan de ' , ... resta 2 pesos, que para 30 ' ,9 " 6 " reducir los ·á reales los 14 multiplicaré por 1 S, Y al pr,o ducto 30 le aña- 44 diré las .14 reilles que 00 hay en el dividendo; veo ·que el 22 cabe dos veces en 44 , Y no deja resta; ahora el cociente 3 pesos y z reales le multi plico por 3, que es el' que es presa las veces que 111 u11idad d.e especie inferior del div.isor está coútenida en la mayor, y saco el producto 9 pe· sos y 6 reales, que es en efecto el valor de la vara, Dem. El reducir el divisor á su menor especie HO -influye nada en el resultado; pues 7 varas Y 1 pie es lo mismo que 22 pies', Al practicar la 2,a regla, como dividim,os por el número de pies, hallamos el valor de un pie; y como lo que se piQ..e en la cuestion es ' el va lq-r de la vara, por esta cazan se ha de practicar la 'S.a. regla ; e3to 'e~, en 'este caso se lp de muldp~· car el valor del pie por 3 que son los pies q ue ti~n.e <b. vara, y. ell ~geneFaL por el número que espresa las v eces ' que ~a. ul:idad inferior, del diviso.r' está contenida ell' la ¡payor L. Q., D. D. .


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-J 02 - Algebl"CI ed'a denda que trn-ta' de la cantidad en gé'neral. Los signos de que se v41e para esprésar

las' cántidades, . s(;ll:PT'ás'ilefras del álfabew; v" g. (J puede represrUltat'-.t:úalq¡,¡.i er ca l1lidad,- sea ' de la especie 'que sea,' éom~ 29, 30;' &c.r 410 vants, So bom.. bres " &G., N llnca fe puedell falt~r Sigl'lOS al Algebra, para ~s'presar l!l's ear;tiaadesrp·ues; s'e ·v·a lé cle 10.5 dós áU:a-betos minúscllilb y mayúsculo, y tambi.::n,dergriego. Adémas,' si:í: ún¡{Jlet·r a W'~ 'g. a 'se le: pone -un acento · porla parte de a'ffib'a< ' ó po'r ,M. páhe 'cle.abajo, á li dc·recha ó á la i~qtirerda. ,' en esta fOfma 'a', 'a, a,; la, t:epl'esema tiha~atl1.id<ad 'diferentéldeJla 'e¡úe:espresa 4; y se leeh 'f' prim~ra, ' primera a, a súbprimera, suvpri'mera a.j tªIllDieu :Sé 'le püeden ponc·. des·, tres &c~ \ acentos, y se l.~e~ segun~as " s'fbsegunda,s ~c. 'lé J;,as del1niQiones de ~la AritineLÍca yí:A~'geb ra manifiestan la mayor generalidad de es~a , y para que el principiante no · teLll~ ' efempre~der su estli,dio, le de~[ñ{)S queJas 9peradones del Alg'ébrá son las fl\ismas 'o ue las de ·la Al'i~méfica, v que haY '1ina gorandísiu¡a .' ;nalogía entre dlas: En 'ef~cto , despues' de haber da. do ;1"Gon'(:)c@r les 'nú:m~r0s , v. g; 2'0 homBres ; 20 ca~ hallos, 20 peras '&c. hemos prescindido de que ros 2~ .fu·esel1~homf¡)res ~, caballos &c., y nos hemos quedaao" con, ~l' Búfu.ero ·aQ,stt>acto 20; pero 'e ste nunca puede se.( I9, ni t~mpoco 21 ,&c. Don~e se ve que la mayor , 1lbs'r:faceiéa !€J.ue~ púede hacer la' Aritmética ·en los n~­ 'mereS:, es:'l a del ·valor específieo; pero si-anora s610 ,'considerarnos 'en 'el 20 una colecci,on de h'Jmbres, ca, >baltos- &c-:~ sI.m-=a.teilder á que' sea uri 1íúrnerb deter,mipado, si nÓ' 'UIÍa:~€oleecion capái de Já'urnento ó U'iminucion, enténces"l1o puede es'tar representa:da por . <!ilo,..yda esprésarérnos por- a; For' eOl1sigui'ente la a Il,l!preSel1<ra Rna, ~anti&ad de h0lubres·; caballos &c. sé·


Sq ÁLGEBRA. gun ¡tOS acomode. Consiste." fll:les) ~~do el gran secreto del Algebra en prUciridir ·d¿l 'veUor numél'ico de la. cantidades; cuya máxima bien inculcada á los priacipiantes les hará disipar el gran cúmulo de , díticultades que vulgarmente se dice q ue hay en el Algebra, lo qu e los .an;edril) y hace q4,e ,la m:iren como supe.' rior á sus fuerzas. ' . . 103 ' P~ra, ~qdicar las d¡f~ren.t~s · operaciones SJl~ p.,uesto~ q Íle se ha:cen. coa la,s cantidades , ~mpl,e¡¡. e~ Algebra los signC?s que dejam_os· esplicados eLl ~a ,Ar,~t; mética, y algu.:nos otros que darémos á conqcer. Asi, ia es presion a+b ,quiere decÍl: q4e lo que valga b ,se lfa de añadir, á fo que valglf a, y,nada mas; a - b quiere decir q ije lo- que valga. b se. ha de quitar de lo que valga a; a~b Ó' a. (J , ó ab, indica que el v,ator de a se ha ¡;le mult.iEli,car PQr:. ,el ... d~ " Q , (en el Alge!?r.a, ~e puede s'uprin~r e) signo X ó .. y' dejar sólo ab, y ~n la Aritmética ,np, á causa , del ~s¡stema d~ nu_me;racion; v. g. 3'x4 ó 3.4 vale I;¡ ; y si s,e quita el signo

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11

d~ a' se hd ,d~'.'djv;slir , por- gl d~ ;b.., ;" ! , E.ste s'i gn9 :> ·e,s. e~ de, mayof¡ia; y, puesto ,~l rev.éS .<; el _del.nenO!:~a"así, a>v qy,ie,¡¿e deci~ ql!e. l!: es ,1!WyOl:' que p; y b~a, que· et vafor, de b es meno,r-que ~t de a ~ ó mas géneFil,!: :eJ signo. >,ó < 'o sirve para es;, l?resar la de~iguaJ~a_d de d~s <;a_n~idag./;s. El .sign.Q. ~ ,s e I·lama el signo p.~ ambigüedad; asL, .a+b, ó a+/l<, }ndica que la b s.e ~a de áñadir ,ó quitar al va"tor de .a, Ó III contl·ario,~ . . , - , ~ ,:: • l04 1 Ea' el Algebra no ~(>lo , s~ ,atiende .aJ . valor ¡aP$9~uto de !a~ . cal1Jidades, sin~ ¡al ·mpdo 'CQ!l Hllejn.ft~yen ~n. la cu~stion que el .ca!c~Jéj.c\,or se pr0pone .r~solver. ~hora, al r:esolver .una cue~tton sólo se pueden, enc<?ntral' dós .clases de cantidades que i!lfluyan .en e,Ha,:' cantidades que conspiren-.al fi-n que se..JpI.opb~ é cateulaclor , que se llaman BQ,i.tivaj .; y ·ca{lt.id¡¡.~es qu~ conspiren á u.a J1!l o¡>il.e~.tQ) que ,~e.llamaD.

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S'"

ÁLGEBllA:

negativis. As-í, si qurero averiguar en 'cuánto tiempo ,se llenará u'a estllnq ue, en que pór un -lad0 e1'l't'r aó: agua y por, otro sale, tendré' que atender al-agua que entra y á la 'q ue sale; y como el..agua que entra cons~ pira al fin que me propongo ', esta será !a positi va; y1 fa qlíe sde, que ' cOl~spira á vaeiar el estanque, se~ ~á' la negativa. ' .' Si, 3/1 contrario, quiero averiguar el tiempo en ' que se vada. un estanque, en que pm una parte sale a-gua y por otra e'ntra, tendr.é que atender cambien' en es ce cas~ al agua que sale y á la que entra; en cu~ yo caso la. que saje e_s la peshiva, y la que entra la ' R'egativa. Como las cantidades positivas cOl'lspitan al fin que' se propone el' cal'culador, tratan de aumentar el re~ . sultádo que busca, y por lo mismó'·se señala·n con el signo -r', que es elcde aumento o de adicion; y como la.-s cantida-des negativas conspiran al fin opuesto al que se- pr0pone el calculaddr, tratan de disminuir el' itesultado que busca} y pór lo mismo se señalan con el signo - . De ma'n era q l'le de aquí en adelante e~' , .signo -+- ~endrá dos acepciones: una general, que es. la de indicar la operacion de sumar, y la 0tra parti~ mIar. de decir que la cantidad á que afecta, es posi~' tiva; lo mismo sucede con el signo-,que siempre indicará la operacion de restar; y en"parcicula'r) que la cantidad á que-afecta es nega·tiva. , Por consiguiente toda cantid-ad que se escriba; deberá llevar el signo ...... ó el signo -;:- para denota,r si 'es positiva ó negativa; no obstante el signo -+- se suprime al principio de escritura. V. g. a es lo mis~ fue que + a; el':"'l'lunca se suprime. . , '. H)5 L9S signos -+- y - , ó las cantidades posi.. tlvas y negativas, son los únieos recursos del Algebra para espresar las palabras con que se su ple todo' en Aritmética: y aun las frases irónicas con que nos producimos, cuando decimos que fulano ti~lle 1'00 reales que debe; la .palabra tiene parece que da á ca'" nocer q Uf¡!· posee dinero) y la palabra debe maniriestá'

6

T. l.


8z A,LGEBRA • . que lo decimos de chanza .ó que nos qurla,mos : .esta ffa ", s~ dellenguage :vu,l gar se espresa en Alg~bra d.ü;ien-~ do : fulano tiene, - r <;¡o reales. , ~ . . ., " 106 Entendido e&J:p, cuando está rep~tida por .s;I}..':) mando una misma letra" se pone una sola trez con l,1U, número ántes que espresa }as vece.s ~que , está repe.-I ti da , cuyo 'número se llama coeficiente; v. g. en ve~l de a+a se escribe za; en ve'z de ab+ab+ab, se-pone 3ab ·; ,y los núm~ros 2 y 3, son los , eoefidentes~J 1;ambien se pon.e coeficiente cuando la letra ó can ti•. dad está repetida con el signo-; ast en vez de. -ab-ab-ab-ab, se pone. -4gb. " Cuando una letra está repetida por faptor, s.e: pone una vez sola.- (Wl1 'un número á su -derecha ún poq uito mas alto, q,ue teGga tantas ynid<¡.,des .como· ~eces está repetida la letra por fac-ror i ¡a.s!, en vez, de aa, se escribe a;; en vez de aaa se pone aS, Este) mímer'o se. llama espone-ntej y para leer v.. g. a5 se; dice a cinc o, ó a elevada á €incoo ~ Cuando ~Ha letra p se presenta sola, se. le sup0f!.e· la unidad por coeficieme, la unidad por. espolleme,) y tambien si se quiere la uni~ad por di viso.r ; .por esta 1

~

. .

·causa a es lo rriismo que .

"

la,

.

que al, y

.

¡al

q~e. - ~, 1

Ahora, toda cantidad ó espresiém de cantidad, sea: de la especie que sea, separada d!! otras p0r me· di.o del signo+ó-, se UaLp,a término; v. g.·-a es 1 '. .

:.

7 bd

a 8 b 3 cS

.

.

un término, 8abd,--. ~, ,son tambien·términos. e 107 Se dice de un téllmino que. consta de tantas dimensiones cuantas letras tiene, si q.o qa y denomina~lor ; ' V. g-:+a es .un término de una aimension; sal: de ,dos ;..L.7abc deJres; donde se ve que el coeficiente HO constituye dimensiono Si la cantidad está en forma de quebr;;¡.d0, el número de las dimens~olles está espresadQ por la diferencia entre1las del numerador y las del denominador;

a-e


-

'.

A.LGEBRA. ,, I

k ' 20v

.

de una sola dimension ; - - es un térmi... o

ca

i

no de dimensi0n nu~a, 6 de cero dimensiones; y cual.}do hay mas en el denominador que ,en ~l numerador, entónces se dice que la dimension es negativa; . ah '.r, asi , el: término-d-es de minos Una dÍmens~on. Fí~

e nálmenk, cmando.Ia~ letras.tien~n esponent~S ; -~e re .. 'c

puta ,I!:a¡da letra 'p or ta!1tas dimensiones como, unida.. , des hay en su esponeate'11 . ' , 108. Cuando una ~sp-re$íom, ~!.gebrá!cá~ ~onsta qe un solo término 1 S llama, monomia ó es un.monol1¡io; ~uando CúlnSta de mas de ·unp se l,lama en ge.neral po ... 4inomío/ , , ;distingu¡:~nd0se ea particular t on los nom bres de binomio; trinomío t cuadrinomiá ~c, cuando .consta de .dQS>, tres, cuatro &~'. mQ'J;10m~o$ •. Así, las espresÍones a+b, 4os-:"Sbzc3 sQn binomios, de 105 cuales a y 4os'sonlos primeros términos¡ y +b,:-Sb z c3 . ·son 105 segundos, &c. ' , Cuand0 todos los térmÍnos de urt polÍnomÍo· tieneu. ,un mismo número de dimensiones, se dice qüe es .ho ... mojéneo 1 y cuand.ó no, que es heterojéneo. 109 Se llaman iérrnin0S¡ semejantes áquelJos que tienen unas mismas letras· ~ en cada una los 'mismoS esponentes ; por ejemplo 4a.2 b, sazb. y 7baz scm tér", 'minos semejantes. Es muy frecuente en el Álgebra el ens:ontrar tér~ minos de está espéeic en los· resultados de las ~Ipera:, ciones 1 en cuyo caso se deben simplificar. Esta simplificacion se . hace' sumando tos cpeficiente. ,: si tienen un mismo signo' tos ténn~nos· semejan/ies 1 y poniendo esta suma- por coeficiente á :un(1 1dlt tos térr1nVnos con su signo "cuya Qperaciol1 se' llama reduc'Ciol1 ; Ó' restando los coeficiente~, si ticmen diftre'nte' signo, y poniendo 1" t""ésta á. ullo' de' los términos , semejantes, c,on el signo del tét'mino' que tenia mayor co~fici~nfe ) cuya o¡¡e. racio.n se l·lama destruccior¡o J

\

.


24

_

ÁLG-F::nnA:

. P9r ejemph:;, su pongamos q ue~e tiene ~l poliqoIl1Ío "4aS·-ib6":"'d,'+3ar...¡..5a8+ 3b¡J+a3-8dJl~ 3ae+g.b3; en que observo tres términos _donde se halla' a 3 , y por 10 mismo hay ~res· sem~jafl.te's · con el; Y cerno tie11en un mismo signo, haré' la ~eduecion dicielJdo': 4 co'efietente ¡;le 4>a 3 1 y. 6 de Óll!, son 1,0, y I •. coeqciel1te , qe a 3 (§ lOÓ) son 11 ; luego pondré un término en -que haya a,-8 cen un coeficieHle. I 1 , Y con .el signo..f< que es el que Hevan dichos términos; pero ~quí se -omitirá dicho sign@ (I04). Luego, veo qu.e hay dos 'tér'tnihG's ldende se halla ,be; .y corno tienen-diÍlúente signo, haré la destruccion diciendo: la cl,ifereLlcia en- . tre '7 y "3' es 4~ qu'e se'rfei coefidente 'que deberé po'n er á bc; y como e,l téfomil'l0' -7bc es el que tiene ll'layer e oefi,cient e , maflifiestá que las cuatr0 que que'd'an 's oa'pa.ra q uhar, y de, cO]:Jsiguieme ,polldré.el sig'no - al ',q,bcj 'como hay clos ·términos. semejantes COLl ti z y t-ie·nea un misrno 's-igno, h1ré la reduccion dicie-ndo:- r c'oefióeme de - d~,. y 8 de -Sdz son 9, que 'p-olldré~por c0eficiente al d'1. éon el signo":"', y tendré -94-1. '- ahora paso á hacer la deslfulCcion de 'los tél',.. minos+3ae Y,-3I»c, dÍ'ciend~: la diferenda.,ent:l'e 3 y ' 3 es cero, :que deber'á ser-el c0efióente de..ae ; pero el cero por coeficieate':maqifiesta que no está ,el térmÍno aqueYHiHguna v@z por sumando, y por lo mismo no se pondrá'. Cuand@ ~'bs, términos semejantes. son iguales pOI' tener un mismo-coeficiente, y tienen diferente signo como en este. caso, se dice '4-'3ae y ' ~3ac se ode,¡truyen, y se bQrran Ó tacha:n en .el para'gé donde están; y co ~no ya 110 hay mas que el ,+4b3 -que no t~efle semejante-, esH: quedará dd LIúsrno modo en el resultado, el que será 1 ra3-4bc-9oa;2+4:b3. Para en€ender la -razof.l de este , se cOIlsiderará \ ' que cada tél'm~no, si'a ' I;lgefi€iente, representa una . cosa cualquiera, comQ un duro, una manzana &c.; 'y así como no' enC0F1trarmlS ninguna dificultad en que ffes manzanas y l<:uatI"O manzanas son siete manzanas: Ulieve QU-f03 ,l1'len0S seis dlll'OS 50a tres duros: !f ménos cinco pesetas menvs 'cuatro pesetas son luenos (

.


." _

S)'

lLG"EBRA.

nueve pesetas, ó que el que debe cineo p'es'etas- por un lado y euatro por arra, resulta debiendo'nueve &c.: del mismo modo 1!ltl'la:'C0sa ab mas tres veces la misma ab Ó 3ab, son cuatro veces laü;sa ab Ó 4ab. Todo está segun~ se ve, en 'compren~r ellenguage algebráico" De la ~uma de las c"antidades algebr6.icas. 1 10 ' Sumar en Álgebra es reuni1' en una sola espresion el vaLOr"Cfe dos Ó' mas. ;Parf ejecutar esta operacion se coloean ~odos _tos sumandos los unos á continuacion de los o~ros , con los misnlos signos que llevan "y queda hecha la suma ; ¿ie~­ pues se simplifica si se puede (109)' • Dem. En efecto, si&] Lfiero sumar +b, con ..¡..a, 'i ndicaré la operacion Celmo aq uí se ve : + á+(+!7); , ddnde observo ~ ue el signo + que está fuera del paréntesis, indica la operacíon de sumar, esto es, que aquí lo que me propongo es au~entar ó"elSigll0 +cle dentro del paréntesis ., indicá que lacantidad+.b que está aenfte, es ,p ositiva jJ.e&to,es ;"q u'e C'®nspi:r a al fin que.me propongo; y como e~te es aumentar, se deberá:' 'poner la b i cont-inuation de la a con el signo que denote eSte aúmem'o, esto es, con+; y 'tendré que

...

, 4a+(+b)=+a+b=á+b.

r

r

,

Si c®n ,la ca ntidad' +a quiero sumar -b , indjga. ré l,a operaciofi 'eomo aquí se -ve: +a,,/-{-+b); donae observo, como áutes, que el signe +ode fuera del paré,ntesis, i¡;¡dícá :que el fin que me propoggoes ~ume11lar ; 'el signo....:.. d>e dentro, indica que la cantidad 'b-es negativa, b 'qIue conspira al fin contrario para q Lie se enfabla el cálculo; hleg61 conspiraTá f disminuir; po'r l@q,ue ,cleberé poner la .b á cont-inua;' 'cibn de la rf coá el signo "- que denelta la diminu-cian , y tend'l'é <.l ue +a+(..:-b+.)=+a-r-b=a-::-:-b. , Compafa[1do est@s resultados con lo, que ' pres'cribe- la regla j y,'generalizándola á, h)'s palinoQlios, resulta .L. Q. D. D. " "_- ~ , -' : - ' ''''¡-' ; Cbr-• • D~ donde s.e sigU!i! que, ',_' ,';' ' jt ...t..(;± b)='lI;:p.'b}í !~,- a'*{-:l:-b)';=::'a+, b.

J.."< 1


86

.hc;E:BltA.

Para suimn polinomios se ~ntU~es , .lar operes. cion , poniendo .los sumandos Jos unos á co~tilluaciofJ 1 11

de. las otrGs, cada uno dentro de un paréntesi5'; ,desT' pues se pl"actica la reghHolo .con. quitar iQs paréntesis; :y luego se Si1!}plific~, como ,se ve. ~n este ejemplo. . (4bza+5azC~2qbd)+(3P-8a3)+ , ' . (7abd+4a3_zaZc t-3bZa)+(4c3-6a4)=4bza+i'!zc- , zabd+3bz-8a3 +7abd +4a3-2azc:+ 3Pa ~4c 3 ..... . 6a 4=yb 1 'H ~aZc'"PS abd~3bZ -4aS+4c3-6ú4. :pe la operQcion de restar ~Qntidades algebr,áir:css. 1 12 Res't ar en'Álgebra es hallar, la dlfere,ncia en .. tre-dos cantidades, ó quíPaJ" una. cantidad de otra dad·a. Esta operacio'l.l se ejecuta poniendo el sustrt¡lendq c0t! signoy contrarios á tos que tteve, á 'continuacio~ det minuendo 1 y. despues se simplifica. ' . Dem. En efecto-, si de la caflüdad +a q,uier~ restar la ~aCltidad +b, indicaré la ,operilcion Celmo aquí se ve: +-a-(+b); '. . 1 ~,r , .

do~de

observo que el signo - de fuere¡. delparénte. sis indica la operacion de restar, 'esto es, q u~ e! fin \ que ¡ne propongo es disminuir; el signo +- de dentro, iñdíca- 'lue.la cantidad b es positiva, ó que·cons. pira al fin que me propo!il,go; lueg0 d~beré poner la b despues .de la a con el signo".,... <fue indica ~a dimi~ nucioil, y tendré que +a -(+b)=+~b=a:-b. Si de la.cantidad ·a q uisieFa-restar la }::antidad -b, indicaria I-a operacion de este rpodO: +a-(-b); . y observarla que el signo - de fuer<j. dd paréntesis, -indica que el fin q \:le me pro.p0ngo es disminuir; el _ signo ...... de dentro, indica que"'l a c,antj dad b conspira al tin op.uesto; luego cOfl..'s pirará á aumentar; luegel se debeFá poná la.b ir coutinuacibn ~e la ,a, con el signo + .q ue denota. dicho aULncu.to ,'y tend!é que

+3-(-.b)-=+ a+b=a+b. ,

'

.... :

Comparaudo estos resu·l tados coa la regla, y.ge. nera1i~álldola á los P9lino~t05', resulta L .. Q. D. Do'


lLGERRA. 87 :Cor. : ',De, donde se sigue en geneFal que a-(±b)=a+=b, y a-(:::¡:: b)=a,+ b. Esc. El segundo resultad:o de la operacion de sumar corresponde ªl lenguage irónico ,á un h01nbl'e le 'han hecho pobre con dádivas, que quiere decir qué ,le han aumentado gastos. Igualmente, el seguliIdo re'sultado de la operacion de restar:corresponde á hace'P' ~'ic,o :á un h01nb~e lluitándole..; pero será quitándole gast?~.

Mas el Algebra, que. es una lengua perfecta, no admite .palabras de doble sentide, ni capciosas; -en 'ella todo est¡í ,perfectamente detenIlinado, todo es verdad, todo exaICtitud. t' 1 [3 Para restar polinomios se escdbe el minuen- ' do (si se q uier,e dentro de paréntesis), despues el 3igno"", y luego ,eL sustraendo dent'ro de un paréntesis; > despues se practica "la 4"egla quitando los pal"éntesis, cuidando' de mudar los signos del su'Straen'CÍo, y se simplifica, como se ve en este ejemplo. ,Si de x8a 7bz _ 5c4d+9azbzcS

quiero restar 4azbzc3-3a7b~-7cfd, ejecutaré la operadon como aquí s'e ve:

.

x8a7bz--sc4d~9aZbZc3--(4aZbZc3~3a7 b2~7c1d)== 18Q7bZ-sc4d+9aZbZc3_~aZbZc3+3a7b2+7c4d= 2 w7'b?-;,r2c4d+s,aZbZc3. ,

De

'

<

19 m'Ultiplicacion algebrdica.

-. Ú4 Mulüplicar en Álgebra es tomar unacanti. itad tantqs veces como diga otra, y tomarla del mo"do que diga se debe tomar. -Esto es, el multi,¡;>licaaor e@n SijS unidades dice las veces que se debe toma~ , el mukiplicando, ~ con su sigmil' el modo cen que se debe tomar• . . ' Pu~den ocurrir tres casOs ': multip.Licar un mono'l/Ita por 'o.tro ; un polinomio por un- monomio, 6 al con~rari'@; y un polinomio por otro polinomio. Para-multij!>!icat un memomio por otro, hay que atender á cuatro cosas: á signos, coeficiemes, letras _ y esponen.tes. '. ,


88

.

.ÁME1HÜ.

.

Para áfálostrar la regla de los <si'gnos, me proa pondré multiplicar +a 'p or '+ '7 ., Ó p~ta mayor sencillez' y claridad' haré b=l, é ind,i caré la 'operaeion este modo; ~ax+I' ; ' '..' ~ ahora, el multi plicador 4 1 dice con sus unidades que .se t.ome una vez al multiplicando; y con su signo-+·dice que se dehe tomar corno él sea; el multiplica:n~ do +a es positivo, luego se deberá tomar una vez po.siti·vamenre,; 'luego será +aX+l=+'W . .+0; Y ~n cuañto á los signos dará '....¡...x+=+. Sf\a ahora ellE~lltiplicador - 1 , Y tendré indicada la 'o'peracion de eSte modo; +ax ...... ¡ ; •. aq uí, el multiplicador con sus unidad<'ls dice que se d\!be tornar una vez al multiplicando; y COIl su signo que se di(!be tOluar al contrado de, como él sea; el mu·l.tiplicando es positivo, luego le deberé tornar UIl<j. v.ez negat!vamente, y tendré +ax-r = . . . . 1 a=-a; y en cuanto á signos : +x~ =~, . Si el multipli.cando fuese negativo tal corno yel muldplicad.or ,-!-1, indicaria la operacion de este modo; -ax+ I ; .., \ donde el multiplicador +1, dice Con sus unidades. que se debe tomar una vez el multiplicando; y con su signo, que se debe tornar corno él sea 3 el multi· plicando es negativo, luegQ se deberá tornar una vez negativamente, y será - aX"¡",I,-".;""'ra=-a; y para los signos dara -X+=-. - . Finalmente, si el muhi.p.Hcado¡i fúese ~ 1, tendría indi@ada la Qperacion de este-modo; -aX ...... r; donde el muhiplieador - 1 , dice con sus unidades que se ~de.be toma·r el::: Ut ulti p1kanQ.o una vez; y con Slj sigl1!'ls :que. se. cl.eb,e tbma'r al ;c9,ntr;lfio de eQUl@ él sea; -el multiplicando es negativo, luegp se:.. deberá tema!.' posüi v,amen te; 'J -se tendr á - á>: -= {c+ w=+a, y p ara 1:05 -signos resulta:rá ..,..x...,...=+. '" E stos Cl:j.a t~{i) 'é ª&06 ,se ·conv ierten en ~stos ~QS " á. §abe):·l;.-s{gIl0S, selueja'o.tes, esto 'es , _+< p'PfI '+ . ,o.!. por =-¡ Ó ell génera.? ~ 12,Qr !:-J: 0 ..,¡-, t l?l; ,+." da~ si~m,;, pre +- er¡ el producio ; y ' signos dese1/'1 cjanfes , . "sfq es(

Ae

-a,


* por -

89

..(LG-E1HtA.

ó ...,.. p~f'. '+-, ,ó en gene,"al + ,por :;= 6 =F por

;±: , dan siempre...,. en eb producto. .

L0S coeficientes. se multipl.ican p.or las reglas d~ -Aritmética; porq ue si axb=,ab, €le mulLi plicar 2" por 3b, debe resultar (61, 3.°) un producto seis ve~ 'ces mayor que ah, esto es, 2X3ub Ó 6ab. ~ , Las letras que son diferemes en ambos factores, -se ponen unas á continuacion de o'trus sin interposieion de signos ningunos (10 En pUnto' á los esponentes, los ij,e una mijma letrJ' se suman ; porque si se tiene t¡ ue qlulti plicar a 3 por a Z , indicando y ejecutando la bpeFacion como aq,uí sé ve : a3xaZ=aaaxaa=aaaaa=a5=a3+Z ' . ¡esultará lª, regla. I Así, para ' multiplicar +4b 3a4c2 e por sa 3p5cd 4, diré: + por -+- da +, que pondré en el producto; 4 por, son 20, que pondré despues de1 signo +; h3 por b5 , sumando sus esponentes, será b8 ; a4 por a 3 dará a7 ; CZ por c, sumandos sus espon~otes 2 y 1 dará c 3 ; 'y como n6 hay e en el multiplicador ni '" en €l. múltiplicando, se pondrán despúes de lo que ya hemos sacado, y se tendrá que +4iJ3a4czex+sa3b5cd4=+20b8íJ.7 c 3ed 4• - Si 16~ esponentes son indetenpiflados, se indica l~ _suma de los de lo.s factores; así, si quiero mulú. plicar +3amb2-c'ldr por -7hsate7¿s, ' • tendré que el pl'ocluct.o será -2 [am+tb~+;cndr+'<e7. 115 Para multiplicar un polinomio por un aio~ nomio , ó un monomio por un pelinomio, se multiplicá cada término del polinomio por ~l monomio; así, si quiero\ multiplicar ' . Sb,.zc4-.-4a3d.S+gbZcd4 por -3as,¿6c3, indicaré y ejecutaré la operacion de este modo :. CSlj!2c4-4a3dS+ 3b2cd : )-X3a5d6c3~ J Sl:i.2 C7aSd6 ;- 1 ~a8d 1 Ic3_9b2C4c.I().,¡,S;

3). "

.

mu1tjpJicaré el primer término ;b ~ c4 por _3a5d6c3, lo qlJ,e(I I4) dará..."..1 Sb 2 ¡;7 tl $.d 6 ;. luego multiplicaré el-4if 3 45 :po.f;';-:.3a54.9c~, l~ que dará + r ~a8d I le 3 ;

,


"90 ÁLGEBRA. Y pGr último mu-Iti'plicaré e! +3b~cd4, POF-"':"g·a5d.6 c3" que dará _9b2c4dlOaS, y tendré e! producto que 'a.iji' se presenta. ' 116 P.ara multipLicar un polinomio por otro, se 'multiplica todo el multiplic(ln'áo por el l.er tépnir;o Lid multiplicador; de:spues todo el multiplicando por .el z.o término del multiplicador; aespues por et ter-cero b'~.; se ~an colocar¡ao los product.os Ull0S á COIltinuacion de otro$- con l,os signos con que 'Va~an sa-tiendo, y luego 'se; simplifica si_se> puede. l.er ej. Si quiero' multiplica.r a+b , por a~b, multiplicaré primero a+b por a, lo que da a2 -+-ab, y luego a+b por -b, lo que da -ab _ b2 , que puesta á continuacion de! anterior y destruyendb +ab con ' ~ab,

se tendrá

.

(a+b )((1-b) -;- a2 +ab-ab2-b ~ =a2 _b 2 • Ese. Este resultadp nos dice ,: que la SU71~a de dos cantidades multiplicada por su diferencia, da por producto la diferencia de estas cantidades' ~on un espOTlente duplo del que tenian ellllos· factores. ,

Recíprocamente, si dada la diferencia de dos canse quié're descomponer ea factores, se pon-:-

tidade~

drá la suma de dichas cantidades lm"ltiplicada por su diferenC'ia, pOlliendo á cada tina la mitad "del es- , ponente que tenia. Así, "S_b6=(a 4+b3)(a4_b3); '. . 4' Z!' 4 I "ZI) • m9-:-n5=(m 2+n 2)(m 2' - n 2

ej. Si quiero multiplíca.r 4a3P-3azb'!+sb5 '~or 3a2b-4ab~, indicaré y ejecutaré la operacion de' este modo: ' (4a3bZ-3azb3+sb5):3éb- 4 ab2 )= 12a5bL':"'9a4b4+I S'/j6 a2-r6a 4b4+1 za.3 bS_2oab 7::::. Iza5b 3_z sa %4+1 sb6a2+Iza3bS-zoab7; ' 2. o

multi plicaré primero todo el ll}~lti plicando por el pricper término 3azb del mul'ti p1icador, lo que , da el producto lzaSb3_9a4b4+I Sb 60 z ; despues ' mulo. tiplicaré todo el muJtiplicando por eJ segund0 término - 4ab z del multiplicador 1 é c.olecando el

ire


, . ÁLGJtlutÁ. 91 .prodact'o. á éontin~acion del 'arit'érior ; y ejecutp la lleduccion como aH! se ve. _ 3.° (a6b3..ra9+b9+b6a3)(aS_b3)= a 9b 3 +a u .... '113,b 9+b6~'6-"-a6b6~a9b3-'-bl!Z_b9a3=a12_bl:• ., ,

'

.......

De la division algebráica.

'

117 Dividir en Álgebra es buscar cuántas veces tina cantidClCl contiene á otra, y deL modo que la contiene ; rde donde resulta q uc el 'divisor muttipticad() por el bociente debe dar el dividendo; y por lo mismo se puede decir tambien que dividir es li:aUcw una cantidad que multiplicada por el di7:Jisor di el dividefldo.

,

Para dividir un monomio por otro ~ay q.ue atender á cuatro cosas, que son: 1. o signos; 2. o coeficientes; 3. ° letras; y 4. 0 espone.ntes.

Signos semejantes dan .... en el cociente, J

1.0

desemejantes d(ln "'"-. I Dem. Como el signo del divisor, combinado con el que haya de llevar el cociente, ha d'e producir el ) del dividendo, cuando el dividendo tenga el signo + el cociente tendrá el mismo signo que el divisor; pues solo signos semejantes (114) producen +; y cuando el dividend0 tenga el signo - , el cociente llevará signo contrario al que tenga el divisor; pues estos Son (114) los que producen-; luego

+

-=+,'_ =_, _=_,_=+, ...¡.. '

'''¡''

-

-

...¡..

ó en general

± ± ::¡:: ::¡:: -=+, -=-,-=-, -=-41,' ._ e

± =+ :i: -1que es L. Q. D. D. 2.° Los coeficientes se dividen por las' reglas de la Aritmética; y si no se pueden... dividir con eiClctitud, se simplifica. si se puede.

' Dem. Como el cociente multiplicado pór el di vi~ Sor ha de dar el dividendo, el coeticiente del cociente por el de,¡' divisor ha d~ producir el dd divi~en"


9:t

,

Ár.GEntu;

do; luegq el 'coeficiente dd cóci~rite deberá ser, lo que resúJte de dividir el del ruvidenuo por el del di. vÍsor. L. Q. D. D., " , 3. o Los tetras difereJ1tes que t.engan el dividen... iJl) y divisor, se dejan aonJe estén ;' y la~ letras que haya comunes) sin esponente ó con uno mismo, se boro ran en ambos 'términos. · D érn, Lo primero es porque de este manera que. da indicada la operaciorr; y lo segundo, porque en el cociente no puede haber nada q úe sea comun á los dos términos de la division; pues al hacer la multi. plicacion resultarian duplicadas en el pr'oducto, y no como están en el dividendo, que es lo que debe re·sul~ar. L. Q. D. D. • 4- 0 Si las letras comunes tie'nen esponen1ies diJe,'entes, se resta el menor det mayor ;,. y queda la letra en el tér1nino que tiene mayor esponente, con Ul1 espotlente igual á la diferencia hallada. . • Dem. Esto equivale á suprimir en ambos términos lo que tienen de comun. L, Q. D. D. Entendido esto, vamos á resolver algunos ejemplos. 0 · 1. Si quisiera dividir I2a S bzc 3 dz por-ba 3 c7 e diria: + del dividendo (104) dividido por -, da-; 12 dividido por 3 da 4; a$ dividido p0r aS, 'az, porque restando el espenente .2 de la a del diviser, del es ponente S de la -a.. del dividendo, queda 2; bZ dividido por b, es b, porque 2 - 1 -:!-, Y bI=b; c3 dividido por 'c? da c 4 en el di",isor, p0l'-que la diferencia entre 3 y 7 es 4', yen el divisor es donde hay mayor es ponente ; la. d Z quedará en el dividendo, y la e en el divisor; de matl.eFa (pe tendré 1 za 5b'-c 3 d,'1. ;, 4a2bcj!l· · , . ; __ 3ba3c71: _. :-d;,..

es

~

2.°

Si-tuviera que

f ". , r Q8 4b'1. c".d ¡-a. !10a 9bS c m d s

ditia:

ejecu~ar esta div,ision indicadá

..¡..

.

por -+ da .... , que , no pongo

.

~

(r04); zo 'divjdido por ~ rw '$~ pt+ede .. ejecutar, ya5í J


, 'lúiEBRA.

93

simplificaré ' dividiendo ambas cantidades ,por 4. , 10 que las reducir;!. á ~; ahora di,ré: a9 div,idido por a4 es aS en el ,divide.ndo ; b5 dividi'd'o pO'c bZ d<il'b3 ; cm 3ividido por en no podem9s hacer sinó indicarlo; pero caLDo ' no' sabemos si m es mayor que ti Ó 'Ii may~r que m ,. ne sabemos cuál s~· deGe res'tar de euái; po, demos restar la n de la m y dejar en el' num.erador del cociente em- n; ó al c@ntrario , y ,dejar en-m en el d'enell'lli:¡;¡ador" pues siem;pc.e el cociente por' el div'i~or ,da tev. dividendo ; pero prefeFirémos el deja!; cm!.-llt que es mas sencillo; y haciendo lo mismo con las aema:s-letras tendr.émQs·' :-. ._.. 1\ 2oa 9bScmd sf Sa5b3cm-nds-r Sa5b 3 ! . ,.." I~ ,o 8a~b~cndrf!1.

= . z¡:

J

'"

zc n.• 11ld r $f ·

Consideremos ahoTa los resultados que puede cm dar la espresion el} = e~f1!.--::n (4). ': 118

puede ocurrir:, que m > n, ó m=n, ó m<n. 1:° '-Si' in>n sei-á neceSado añadir " á~b, una 'can~ tid'ad cualquiera u, para que sea igual Gon- m; de ma¡¡ella ,q lié, "In = n + u; .sustituyendo 'este valor en 1'1 em espresion CA), será _=cm-n=cfl+u-n==cIJ, en ~Aq uí

i

porque +n y -n se destruyen. Est~ caso no nos en.. 5efia nada de nuevo. . 2.° Si m 'n, sustituyendo en CA), será , , cm -_ _ =cm-n=c'l-n=eO; en t

'áqúí ét1cúentro 'u na espre~ic¡¡;¡ 'c 0 , desconocida; así, para ver lo que significa haré la sustitucion >de n por de indicar la resta, de los espo.nentes, y. tendré cm en .

'nI áfites

e7=-;=r, e _"

porque toda cantidad dividida por sí misma da (S 1,3.°) I

/


,ÁLGE1fR!~.

94

la unidad; luego" tengo aquí dos ~spresiónes CO "! tl . . " l .,.,' cm • que son el resultado de una misma - n ; 'luego serán

.

,..- .. ,.

c

~

J.

(intr. ax 5'°) ~guales entr~c sÍ, y,se tendrá CO:;::I ¡: : pero e espr~sa una canticla.d eualquiera luego todá cantidad etevadt¡ á cero es igual .á la unid.ad~ • 3. 0 . - ' Si m<n , ,añadiendo ,á m una cantidad ,cual. quiera ,u J par.á que. Sea igua-J c.Qn n será .111 -1'- u.= n; y poniendo en (A). en v~~ d~ ti este valor., tendré , u-cm ...

J,

u

..

.

..

J ... ~¿'

.~~.-

i

-

-;¡=cm~n=cm-(m+fJ)=cm-:-m.:'!=;c-u. ' [ c, ;.. ~ :' _ lo. __ •• , ~\ • • • r'. ~ .. ';I'ambien hallo ª-~uí una ..espresÍau.c.:::-Jl- Iro' conocida;

así, pa-ra indagar lo que espresa, haré la &UStítuciell ántes de ~j.1e!ic.a·r. la resta de lQ$.· e§poneÍlt~s , ~y te;n.dré

.' '. , '. ~ cm., i 1 ·1 donde tengo; do's valores ,de fi' ' á. §a.b er: e-u y tí e ü .c ,. que por lo dicho (intr. ax, ..s.O) serán iguales,;y t~ll· J

1

o

dré -"::"c ' u~ eIJ• q~e diee que t.oda..,canti.dad se ' puede trasladar de! di'visor al dividendo; ó al contrario, mudando el sig' no á su e-spo-nente. .. . e .. ~ Esta proposicion se puede demostrar directamente de este modo. ax m . Sea - - la fra'ceiou propuesta, Si el numerador I

hoz"

~e multi.plica p.or oznxoz~ff~ozn-ff='Z0= I, no se al· terara la fraccioll; y por la úüsrna razon, tampoco se alrerará mulri plicando ~'su. denominador por xm.~-m=l; luego se tendrá


a~W ~ axmz,.n.'z:.-n '

,

.. " .'

.1

X

"

.:

~~'~. :;::=bzl¡.x,?,.x~m '; , SUpfl~.l~Bdo en ambos temuno¡; ,IQs /éJ.ct0}.~es' .cQmun~s Xl~: Z'¡; resulté\. _, ~.J,. ' , <>axm . ~"az,n ----_ . ' bz l1 - bx~m " .' ... '-

1 1(j

~

¡

'.

Paráo4iYid~I":~trp,oJilJ0l;t'!.ío -p!l>r~un

m0.nomio,.

se divide cada tirmin(} det polinomio .POt el monomio;, _

r.0rqu~ .div~dieaº,c~:J¡o~as lla.s par,te.s ~el .dividendo, y' r~9!?i~dQ todQ.& lo.s·" spciemes ;; ·~el;¡C!i ¡esultar. (iQ,tr ~_ ax. ~g. O) el cociente' total. . _ . o ASl, si quil'!l'-c¡ " dividj::F, la, c.an¡id.ltd,. _~':. ~. " 1,a~2._12a4(:3+8b4cS' por _6a 3bc 4; tendré . 6 - -. , - , 1 So. b2. Sa-3 b '. t

1/

-6a 3 b¡;.4 -~~_.

2q~"; ---

8b4¡;S 3bc 4 -6a ;:J ~¡

;.;, . 1)a6bz-Í'!!a4:c3+8b4cS

luego t.

--;-6a~bc4 j

'\' 2a

'

Ji e

...

, J. •

sa 3b

I

4b3c

- -'- - - ..l-.

..,1"

- ~2c4: " ga 3 .~ ~

1

..

l~.o

Pata dividir,un polinoIlfÍo por otro,. lo pr,i mer,o que se har'á es ord.enar ; ~aJ:á -l@ cual se ver:f.la !etr.;l que tstá mas repetida e~ el cl.ividendo y di:, yiso¡, y se volv~¡án á .escribir p(ipc):piando en am;:; ~os por el térmi,no en que dicha letra .tenga may,oi:: es ponente ; despJ.les el que tenga eL esponeqte inme ..· diato menor &c. .; _ \ _ _.~ "_ . , He¡;ao esto, di'lilídas,e el r.•el' t~fimino del t!iviaen. 40 por el l. Q ¡Jet divÍJ(n; , y se ten4r4 !JI} termino a;e.~ I!.ocient~;

multiplíquese es.te t.,é:rmino por toeta e~ 1:livisor, y rés,tese el producto de todo el dividenq.o (10

cual: se conseguirá mudando 'los, signos del Fpoduqo se vaya formando) y se hará .la- destrucóoñ. ~ue se pueda.. Des.pu.es se divide, el l.el' térmif.!g' de es· tg, resta por el 1. 0 del divisor, lo que dará el 2. o tir:'

~Qnforme

!1¡/~Q del cociente; despuesse ejecutqr~

la

mu~tipticq-

\


96 ~ion

Á:MEBia.

y resta; y se

~ontinuará del ;.mi~q1'10 modo hlJótCf

que se 'hatte cOGiellte· 'éxacto, ó '.hasta-9.u~ el majór es_o pone·nt-e de la letra por CLue se ordena, ' sea en ta resta menor que el mayor de la misma'étf 'et 'divisor '; étltÓll.;J us no hay cociente exacto, y se in'diC;,a la division de ta resta por el diviso1' (49). '" Ejem'p. Quiero dividir J <

a3b3e-abzcz·---"-·za4b2c+aslie.!fl2"a?:bo-~:"'a3e!1. "

For .a~+b2-2a'q. ,.~

.c.

. ) :. '

"

:.~

•. '

Para ordeúar, veo/que 13o' a eS' la l¡ue se 'lía'lIa. mas repetida en, am~os térmiuos,..y .'e r,denaflG!o por ella tendré ~ f ;,! .. " " ." I ,> . " , ,. ,,; aSbc-za4bzc+a3b3c-+zazbcz~abzcz '1'a 2--z,a1i*b z ~

.

-a3c~

.

-

_ aSbc+za4bze_a3b3c .

~~

~',

-

------.------,------.~--~ ( --==--

-~

_

a 3bc.......,ac z .,

_a3cZ-+zaz'ticz_ abzcz" , ·,,+ 'a3c2_zazbcz.-t-abzcz,

",)'\·0

I

o

o

,,Ahora ,~eFPpezal'é la divisi011 d~ciendo : aSbe divi. dido por ~z ~s-a~ ,- que pondré efl el cociente; ha..'. re la multipticacion de a 3 be por todo ' el divisor, diciendo: -+ poi:'~ t;l11'j- , y como se irá de restarresque pongo debajo' cid -+ que de'bia tener el 1 ferl.tcl:: mino del divide-nd'o ; a-ilbc ppr a'l. da a be, que. pongo des'F,ues del Signo'-:"; comi.flúo ~ + pOl; ~ da _. - ., que como se: ha de l'estat es -+; a~bc por 2Gb es za 4 bz c, qU'e pongo despues del signe T; -+ por -+ da -+, que como se ha de restar será --; a3bc por b'l da ·ailb-ilc ,'lue pondré tambíen; tiraré una raya para ponar debajo de ella la resta que quede· despu~s de hecha la destruccicm i pero advirtiendo que +asbc de arriba con -asbc de abajo se destru~ yen, que -'-za Pc 'se destruye cmn +2a4 b7.c , l' -+a 3 bil c con -;-ailbilc, por¡go deaa.j0 de' la raya lo que queda, que es __a3cz-+2aZbc'l_abzcz. , .8:1 l,er lermiuo de es la resta __ a 3 c 2 , le d'¡vicliré por primero del divisor, l¡¡¡ que dará ~ac :l: ; mul·

"z

l •.


,

Ár..GlmRA.

97

_

tiplico y resto ', diciendo: - P9r + da - , y como se ha de restar es +, que pongo debajo del- ~igflO _ del - aae z ; a Z por ae z es a 3 eZ que pongo; Continúo -"ac 2 por ~zab es +zazbc z , que CalDO SI! ha de restar pong@ ___ 2a zbc z ; sigo : ~L¡C2, por bZ es -ab2 cZ , que como se ha de restar será +ab 2 c2 ; y como estos términos se destruyen cO,n sus correspondiellte~, pondré debajo de la raya o por resta, y tengo que el coCiente será a3 bc-ac z. ¡ El ordenar es' una operaciofl q~e se ,pue~ de hacer, porque este no altera el valor de los términos de la division; y se debe practicar, porque muchas cantidades (como la anterior) que ordenadas dan cociente exacto ,.llO le darian sin esta ciréllnstan- cia, yel resultado debe ser siempre el mas sencillo. ) Todo lo demas es enteramente análogo al proce .. doirniento aritmético (S 3), Y se reduce á buscar les diferemes ~érminos de un polinol~io que mulr,iplicado -por el di visor dé el di videndo , <'l ue es L.Q,D.D. Ese. La mulriplicaGion del cociente por el primer término del divisor se puede omitir; pergue como dará el Ler termino del div,i dendo, y se ha de restar de él, se podrá tachar imñediatamente e1/ .er término del dividendo y multiplicar desde el 2.° del divis@r en adelante, que es lo que se ve en el ejemplo siguiente. 6.:-b6 a 2 _b 2 Si q uier.o di vidir a _ 4b z 6 bO 2 'bZ ,+a a4+a2b2+b4 ah ~ l por a. - , +aZ b4 ~re a ~peraclOn co~ +b 6 mo aq Ul se presenta. o /" Donde veo que , 'sale... coeiente .e:cacto; porq~e. ~I +b 6 C1J.ue tesulta.; se destruye con el _b 6 dd diVIdendo.,

pem.

r

Dejos quebrlJlÍo:S literales. -:~. '.J

~,

. "121 Las' quebrados lit~rales ó algebráicos 's e cal,euJan cl,el ini5liIlo modo que los r!uméricos ; porq ue lo-' 'das .las .demostraGÍones qüe dimos res pecto de estos,

,

7 -

:r. l.


" 98 ' ;{LGEn~A, .· -/ estaban concebidas en términos generales~ 'Así", su'válor no se alterará: aU.n cuando se multi1"li'luen @ par.. tan sus dos términos por una misma :Caotidad. Por esta ~¡lUsa se reducirán á Ufl comun den0minador del mismo modo '1 ue aquellos (63);, de manera' Cfue si ten~ ,

,

. 11 . c m 'p go los qutrbrado~~; - , - , - , _ b ~ ~ ~

quedarán teduddos\~ un comun deLlominador,. si multi plico, los dos términos del p-rimero por dnq , los de! segundo por bnq, los del tercero por bdq, Y los del cuarto 'por bdn? cuya OpefaC!On los transformará en

adnq cbnq mbdq bd'lp --, --, - - , - - ,' 'bdnq bdnq bdnq bdll~ '_ Igualmente, si se dan quebra,qos con factores óletra? comunes arriba y abaj9~ $fj; 'podrán suprimir y '1 ue· , .. ,ad a ad +lJa a,:J daran slmphficados. ASl, -.--=-, y 2 =:-; .' d~c cj C d. -J- bcL .~ pues, en el numerador y dellorriinador del p!:ÍlIJel1o es comun la d, Y en los dos términos de~ segundo es comun el.factor d+b, que suprimido se' ·conv~rtirá el quebrado en lo que hemos, puesto. 122 Para sumados se hará ka mi~mo que con lO$ tluméricos (70)' I - ,--.- "a m a~ bm an+bm De manera que - "'¡" - = - " ' ¡ "' --=:-' - ', -, . b-' n bl1 bn 1m

"'- ~e ha'rá lQ mismo qw~ con los Para restarlos a m !lt'méfi-i:o~ '(7'3),; Así? si d7q uie~o re~_~ar_'";' tendré ~23

a.

~n '

an

~

bm

am-bm¡ "

-

b--;=b'1-:7;;' ~ ~'

124 - Para redilci-!:- áqurun -e~tero <Í- la e"specie del quebrado que le acompaña., ya ' sea por via de suma ó de resra , ~e '1nuttiptioa e~3ntero por el denominCldor


,

99

• ÁLGEBRA.

det quebrado, con estó se SWl11a et numerador del que, br{ldo cuando este llev~ el sig!l0--t-, Ó ;:s~' resta cuando' tleva el ..2.. , Y á todo esto se Ze pone por' denomina'.. . .:;. a4 " dór e~ del quebrado, Sea la, espresíon aZ+b 2+ p2_ !l.-

a

la que se quiera red~cir ~ multiplicaré el entero aZ+bZ. por el denominador bZ_a z , que mct da (116 ese.) b4-a4 ; con esto suma,ré el numerador a4 , y' á la su.. I

iRa le pondré por denominador el del quebrado) el¡-

, .

a4

a2+bZ)(b2_a2)+a4 bZ __az . :=; / .

ésta forma: a2 +b 2+-.bZ .--=.C __ az . -,

..

125 Para multi plícarlos se hace lo cUcho (76); de manera que "

I

ti m am JH-.m , a~m ' . (a+m)(a'\"lm) a2 _m'J. ~x-=-y--x ' ---b 11 bn c2_nz C2+112 (c Z_n2)(c 2+n2) c4-n 4 y- púa multiplicar un q\lebradopor un entero ó, al contrario) se multiptíc.ar,á el nmnerador dek que ... b!ado por el €interó, corno aquí se· ve' : ' 2 2 -.:,a c 2 b m _ (a +b )m á Z l1Y+b 2 m ' - -b XC_- ) y ~affl- Z )~ -.;..."...-~ n n n b _. 126 Para dividir10s se .ejecutarlto dicho (79); de , ' ." .... manen!., que. .... \ .

:- a

~

a ,'m an ' a+m c-n -'... . y . ' '1?"'-;;-bm' :~-:~ .~

~..,

éa+m)(a-m} a2....l.m2 · _(c~~)(¡:~n) ~ c2 . nZ '

Si.-se tratase de dividir ur entero por un quebra .. •,,-'L ';: ! - ad2 .~o, se}t'act~carí~ lo dicho (80 )-~: a:sÍ,,~~~z _:.' r,..: ~:

'

Para.::~iv.idiI\un qUl~brad.o pOI l.kkl'ent-ero ¡ se pr~c~

ficca'á lo dicho (81); así'1

:. ~.'

. -"' ..:


la'o

. Ár.CEnitA.

a ' ti a!2.b.. . . a!2.b a'lb , .,,-:m=-,. y-. __ :d3~-,::-2. --:-:---:-,:-:;--"..,. 2

Ji

bm

c _n

(c -=-n)d 3

c2cl3~nd3°

De la eleváciqn á potencias· y estraccion de raíces de - fo. monomios. 1'21

'Se lLama en. general potenciq- de U-Na eanti'.

dad, al prl'Jducto de mu.ltipl,ic;.ar dicha· cantidad por st mi-sma cit'.lrtO' número de v€.ces.;. si se multiplica. una Vf.!z.., res ,ulta la ..segunda potencia ó cuadrado'; si ss! multi plica .dos veces' , resúlta ·la tercera ' Ó cubo; si tres, la cuarta; y si n, la potencia del grado n+I. La cantidad que se multiplica se !lam~ raíz; y en gene ral, se l1ama raiz. de upa-cantidad aqu-elta que multiplicada por s-í misma cierto nÚ11111fO de veces pro, dUce' ia cafltíílad primitiva. 128 Para indicar que úna cantidad se ha de ele... var'-á una Fotencia , si consta sblo de una letra, basta- ¡}'Qne'rle á su derecha un poc'o mas alto er mímero ' q 111~ espresa la potencie! á q He se ha, de elev:ar; y si ~a c,amidad tiene mas de una letra o tiene esponente " se enckr.l.'á. dent'ró ete ' un paréntesi's, y. fuera de este se coloca ua poco mas' ele.vad'o el nÚl1}ero q,ue; espresa la potencia, el cual se llamá esponente de la. pOlleJlcia. Así, para indiCar que la ~ca ¡:~ida:d za;b. se ha de ejeva!' 'al cuadrado) se' es'críbirá (ztJb/" fue (h06) se lee: dos ab elevado á 40~;, (~ab)3 se lee: 40$ ab elevado á tres 5 y (2ab)'1 se iee: dos ab elevado él n. Los grados de las potencias se han a.educfdo del númef'o de ve.ce~ 'lue emra por facto,f la ra!z, que SOft t-a:n(-as come únidad~s:'tiene él espoflente:;' PQtl\l qu'e to1a canriaaa sin esponente ó Con 1, es su 'prt. me/m' potencia'. Las lJltlltiplic'3'CÍones SGn t>a'ntu'S ménos una c.omo <unidadcs tiene el esponente. ' • La,e1e-v:aoio\rI ,á- potencias'es el' caso pa:rticular:, de la trÍuldplicacion ,en que los factores son iguales; per@ aquÍ- s'01-e se, ne.cesÜa' at,endel" ~ I· .~ a' l'ignoi; 2. 0 á. coeficientes y 3, o á esponeyttl1J. ",l'. ..i

r'. _

"

.

-.


Á~G~~RA.

, i. o

I

ror

Si el esponellte de .la potencia 'es ~mnef'O par,

el signo de 4a potencitJ'Se'rá siempre+-; y 'si es impar, el signo que -lleve t.s potencia .serlJ el que tenga laraiz.~ Porque ·si la ra·iz lleva el signo +, combinado cu'!:l. quier número de veces siempre dará +;.pero si 'tle:' V4-, (mando e·l es ponente sel!. par, c9ffie> 'un número j?a'r de signos - en la mult1pHcade>n p1'oducea +; y un númer0 itnpa·r pr'0 ducen - , ·r esulta !a ·r eg,la. de los 's ignos. .~ 2;° De los ,eoefidentes se formad la potencia que I diga el esponente, esto es , se multiplicarán por .rí ,tnismos tantas 'Veces mén()s una ·romo unidades tenga -el eSPQnente; pOi"q ile en la qperacion de ml1ltiplicar, los cgefie1entes se muhiplican (u4) los unos' por 105 otros, y aquí dichos coeficient-es son iguaies. .. 3,° En p1.:H1teá espe>hentes se multiplicará eZ de -la cantidsd por et de la potencia. Porque en la multipHcackll1 se SUlnan ; 'Y aqll'í habrá que sumar cada. ' es ponente consigo mismo, tantas ve<;es <;:om6 uni-dades tenga d de la potencia, que equ.ivale, á mul~ 'ti plicarle>s. " Coro De 10 .d-icho (IZ',) y de lo qu-e acabamos de manifestar, se infiere que para formar potencias de ql1ebrados, se formará la dél numerador y denominado?:. Aplicando las reglas á estos ejemplos se ,tendrá l. ° (aZ)3=aZxazxaz=áz+2+Z=a6=a,2X3 ; :.

z.o

(-4ab3IlS)s=-4saSblSn2S:;=:-i024aSbl.s~~

3·°

(6a2bllcryn=6ma2T1!bnmcrm;

3a213 ;4)3 =(3 az~:: 4)3 2'1a6b9'c IZ. 4·° ( 2 S 4e d f3 . (4e~dSJ3)3 . 64 édI5f9 Los cuales manifiestan que la potencia de un producto ó-de un quebrqao, es lo mismo que eE preducto ó cociente de la misma potencia de 'Cada uno de' los fac~ores ó términos del quebrado. 129 Para i~1dicar que s~. ha de proceder de la


I O~

ÁLGEnRA! '

.

l,otencia á la raiz, s~ usa del signo radkal V;' el'ltve .sus ramas ó piemas se pone e! . ~sponente radical., que es el número qu~ es presa el grado de la raiz qUl! _se quiere estrl!~r; y debajo del signo se pqne la canJidad,cuya raiz se: quiere sa,car. ~ \ :. " C.omo 'estra~r l'aices es bt~scar tma cantidad, que . entrando por fac ~oi' tantas veces como ynidades tien,e '.!l esponente t"a4~cal , p.rodu:zca la cantidad dada, qw~ se COl'!édera como potencia: establecerémos por reg~a~ ., . . LO Si el es-ponente radical es Rq-r , l.a I:aiz llev,ará · ~l signo de aml?igüedad; y si el e~ponente t'adicat es impar, la raiz ltev{wá el mismo' signo de la cantida.d. Por.que cuamio la .potencia. es de grado . par, siemp~e ti~ne (12~, 1. O) el sigqo --1- , biGn tep,ga la raif: el-¡.. ó el-; y ~uando la potencia es efe grado impar lleva -el mismo signo que tenia 151 raiz. : 2. o De los soefic:ientes se dejar:,á indicada la op~ yacion debajo del,rculical, hasta qu,~ -se sepan estraeF las raiees <:le 19S números. , ' • 3. o En punto. á esponentes, se dividirá el esponente de la cantidad por el del racliC'Clt. Porql!e est,lt operacion es la inversa de elevar á potencias, y en este operacion .se, multi plican. : . , .. Así, si quiero estraer la raiz .c,~adradél: de a6b~, obsérvaré que ocurriendo con mucha frecu,encia él estraer raices cuadradas ,' -se omite ell eS,J),onente 2 ' del -

',"

2

, radical; de modo q~e VNes lo mlsnlo que:vc/ib s ; y .ejec1:ltando la operacioll del moa o qJie acabamos de decir, será

l. o

Va 6 bs

=± a~b ~ = ± 68

Q3

b4 ;

,Si fuesen quebrados, Sé,' estrae1'á la rajz del nu·


lOS

ALG-EDR.A:.

f/lera~ot' y la d~l .de,nominl;Hlor. ) en esta-ffwma : __

-

n ~ ___

8

2

m r'

~

-;- n n ¡

4

Va8=± a =±a " V b Ó ' /Q b 3" , bit

. a1l!brc5 t::::: a . b . c d7 s '7 8 s; ._, __ ---:; unfnen .lo cual está fundado en que para eieval' á potencias 11n q uebrad6; se ha de .elevar el l1UlÍ'lerador y el denomi.!1adQr ,; nor lo que aq u·¡ se ¿leberá ,seg uir la regla cOl1t-ralYl; de donde se deduce , que .la raíz :de un p,i'o¡;/'y,cto-Q {je , un q;lepr..ado ej lo nmmo q¡,be el p.ro'dueto o cociente dé las t"l~iees dé los factores, ó térlj mi1iÓs . IMt •. q1J ebradó, .'., ' , ; -¡ 30 Cuando \la division de los esp,onehtS!5 hó. sé puede.hace; exactamente ,_aun debe pe¡:macn.\!cer radical enlª €spr({.sion; pero se deb~ sacar de él todo lo que se p~leda ; petra, lo ét.~at del e..~ pongnt.e fo'iacc,io!' narjo que ,reS1¿k{a;de quitar et 1'da'ical, se sacan bos :en~ teros qué se puedan; y aquettd ccmtiáud se descomp(Jn(3 en faétOl'es fónie'(ldo' p.or , primer ' factor la carJ:.tidad con d esponimte entero; y Eor segundo ld misnw ean'" tip,i/.q, con. et ésp.onmté quebl:ado ; yiMgo $e 'lJt¡elve. ,á restable'r:e:r •'¡lt , ~adiéab, pOrJien,do e¡ltt'e su,s piern:as e~ denomÍ11 ador det quebrado., 'y ,deb ajo d~ él la cantidad, cón el nUlIIe¡·aaor. del quebl'ado pOl"esp9ne·nlie: ~ Así, si qJuie¡;o esrraer la raiz cúbica de a S b7é, ejecutaré "la óperacion cbmo aquí se v~; 3 '.~ . j :1 É. . .2 .! ' V aS b7cÓ a 3 b 3 c3 =á J 3b z 3 é-:? ~ i ..... ~ ~ ~r:r . . ,. 3 ~- . aa 3bzb3cZ::::abZc'la3b3= abzczYazb. . , Esto está túndado (l29J en que la raiz deünppo.; dueto. de tal1tGs factores como se q.uiera, es igual al produet0 de las raiees del mismo grado d.e los fac~ tones. ." .~ .. "L • _~ 131 Estas cañtidad.es qlle e'stán afectas del signo

¡ae

=

-

,

_

3~

Vse llaman, cantidades rqdi()nt.es~ así, Va, v:b, b'c!.

'


104

'.

ÁLGÉBllA.

so'n cániidades 'radicales; cuando a .'Íl? se repl'esen~ ten por números, podrá suceder que a v. g. sea un ñÚlllero cuadrado como L, 4, 9, 1 6 ~c. ó !' ~, ";6 &c., _ y q Lle b sea un número cúbico, como 1, 8"; 'Z7, ~e , Ó t, -ir &c. En 'es~e caso . el radi~al des1lJparecerá; p~ro <;uapdoIlo sea ninguno de estos números, como cual1do a valga z, 3, S, &e. y b sea z, 3, 4, S, &e. no tien~ raíz exacla; y es imposible hallar un núme4 ro emero ni quebrado que esprese d valor de .estos radicales; por lC! cual y,z, V 3, V 5, '\16 &c. 333 I V Z, V 3, V 5 &c. , se llaman números sot·dos, irracionales ó incomensul-ables. 13 z Con los radicales se hacen las mismas operaciones 'q ue con la s demas cantidades. La suma y la resta se ejecutan en un todo-10 mis. roo j solo que para q u~ los términos se.an semejantes han de tener un mismo esponente radical, y u-nas mismas letras y esponentes fuera del radical y debajo. ' __ , 133 Para multiplicarlos, si el radical es de un mismo grado se pondrá (1 Z.9) debaj del radical el producto de las 'cantidades ; y despues se verá si se fued~ sac{J'Y' algo de debajo del r-ad,ioat' (130)'

4_ 4--

4 __

=v

' 4 __

, Por ejemplo: V é bx-Vazbc 2 aób~c2=aVab2c~. t Cuando los radiG,ales 110 rienen ' U¡¡¡' ,mismo esponente, se red ucen á él m,dtiplicando tos esponente~ de" cada cantidad y de .cada r:-adical, por el producto de los esponentGs de los radicales ae tos demas. Esto .está fund,a do en lo-dicho E68); pues si se quitan los radicales poniendo á las -l~tras esponentes fra'Ccionarios (130), ITO nabrá mas diferencia si' no que aq uí los esponenres de los radicales hac.en oficioS' de deoc;llI'lÍnadores,. y los de, las letras. haC51l oficios de numeracJor~s. Así, si quiero reducir á un mismo f . 3-.,-- 4 _ _ . ' esponente_ radical los. v'a 2 b z , Va 3 b2 , Van, rimlti.. R!icaré primero lodos los es ponentes radicales dicien?'


.Á:MinRA:' Iof do: 3 por 4 son 12; 12 por 2 ,espopente del ter:cero son 24, Y este será el- espbnente comun del -radical; ahora, para saber los que ,deben tener las cantidades qu,e se hallan debajo de cada radical, multiplicaré los es pomfntes de .las letras que se hallan debajo del , primero por 8, pi'oducto de -4 por 2 ; les de las que se hallan dt;!bajo del segundo P.9f 6, produc.tb de 3 p0t 2 ; Y los de las que ,se hallan debajo de1 tercero p6r '12, pwducto de 3 pOI' 4; de manera ' que dich9s radicales los tendré reducidos á .:' ) "

24 -

¡/a I6D I6,

>--.

y. :si los

4 -:-::--:-::V4 a bu, J~/u.I!lnI2; -2

2

I8

quí.siera tp\lltiplicar sacaría~or pr~dueto

24 ___

24 -

24 ---.,---,:-

al6bI6 XI /0,18 0 12 xVaIZn IZ

~

'V l ' . V . 24 24, _ ' V a46b21ínI~=al, ~a;Zb4n.lZ. •

~

_

~

~

i

"

= .

'.

134 Para dividirlos, cuando los radicales ttmgan un mismo espon.ente; quedará hecha la division (129) con poner debajo de un radical det mismil f?rado el cociente de-lps cantidades que haya debajo: 4 __ -4 4 z • Lue'. o Va 3 b;c _1 ,- /a 3 b c 1 -~ ' g -V ~V -c;:-. ., . .~ zb 3 d2 ~ a?b~cd2 bd z ya c ., . Si no tienen el mismo esponente radical, se'reducil'á~ á él, COLEO se ve en el ejemplo siguiente: ' r

.4

-3

'-

V~

12

v;;s¡;¡¿r

4--::-1:2~ ·

Va 2 b3d 2

,Va6Jj9t.t6-

. '135 Para ele'Varl0s á una potencia cualquiera basta (133) elevar la cantidad que está debajo á la fl¡1SIlJ::~

pOfencia '- dejando el, mismo espollent.e del ra..·


/

-

Jot

)

5_ . dical; pnr que elevar Va 3 b4 á la segunda' potencia, es efectua.!' el prnductn .... -:. . S~ ·5~~ ._ . ; , -,_ (Va3!Jl!)2 = Ya 3 l?f.><V' q. 3 b4 = Ya 6 ba,:=abvab 3 , Como es traer raíces es.lo contrario de elevar ó potencia~ ~ pata e5traer la taiz de una cantidad. ra ~ , , dical, se dividirá el esponen.te de la cgntid:i¡ld que ha. ya debqjo,-" ppr e'l es pon~nte de ta ráiz que se quiera 'sa,car, j Lit resultado se le pgnar:á :ej i.~~llZ0 mdica¿.

V ',8/ 3

Así,

\

'.

---Z-b' cnthó ·he, va 66'3'c3 ~~" _ ,<:u c ; pet.o " '-, slem'

,,'

'l

"

'\.

:

pre se ,podr:! ejecutar lá d\vislnn exactamente ', .con el nn ·dé <tUe én él resuhado sólo 'haya 'u¡n i-áili"c'aI,

se múltiptica et espon~nte ck,t .radical pri!l1iipivo por d de b.~ raiz' ,que s~ '1uiéé , s'ac~r , ~.i n Uega..r á las. car¡tidLldes que hc¡y- debajo det sig'no radical.~ Asit 5 IS~"--, ., ... ~= Véb~é. , -- - .. 2 2

Vya .r .... ~

b

• -

(;

..

.

"',

,

')

De las espresiofles imagirlarias; ~

"1

-r '

~. '::l 1

, ¡

I

./ 136 He\TIos v1st9 (( 28) qu€ ,af elevar, una' ca.ntÍ"J dad á una_potencia par, siempr.e :-esu1taba ;eJ signo + ; de 1o~de se ded J ceq~e rmll~uné! cal'llidasi negativa pu.ede .se'f ' pote11cia ,e grado par ; luego si nos pidiese\l una raiz de grado par de una cantidad neg,a tiva, se no's pedia !ln implfJsible; nlil obstanre'ocurre esto con, l:nlJC~a frecJleacia, ~ y 'por esta cal1sa: á estas esp!,e5iones se les _ha dado el hombre de ime¡·

ginarias. <,

_~

4-

~

<L-.:..

2n--..:. _"":,::,,

Así, Y-a~~ .V - a3, <V-b~ , Y_a m- . son ~spresiones imaginarias. . ' Antes de,enseña.r cómo' se éalculan , demostra:rémas esta ptbposicfon. , . Toda espresion imaginárjá .re pueéle . dsscQmponetl. .


AL~EnnA.

en c10s

~ b7

,facto1'e$~::I¿}.

uno real C)!Je ser4 un ' ra'lfi'aaJ dre! mínnQ .grado, qite, co~:¡,te;n,ga ~~bai.o, qe . s~ la cantidml real ; y "el otro tm radicat del !..~ismo grado que contenga debajo¡,dg sf;.ta u1'Ijg,fI'd "o.n et'~g¡u,o I 1'!egativo. \

2ft

Ene'féctü '; sea la espr~sion. V ' iám , y se tendri que como t<'ld", l:lanti9,q.q Ae pu,e'd~"c~~lsicl.erar multi" plicadé!:_ppl' ¡a. ~~ida"d ~ s_erá ; " .. ' , ,. ~·tim=:..::. iatn --J-oIx-am-="'::::' i x--¡:am; ...

J. ..... ~'I .....~~

!'...;. f

I

luego

,

, ' , • ..-' .

~

..

..(~- m ~

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2.n __

~n

V -am'

VamX-1=(§ ·r2'9J(¡~ltx(....l..r?n;

,

~

of

~,r--:'.

...

"

\,

_'

_

_

_

211-.i..:.'1' 2:tl ._ ~ _

.n.f.

1f resta:gleciengo l€ls rcadicales, será. Va1!lxv(."I, qUt; fra>!" Q,D;, D.~¡:('t) :;. . ., ¡ ) ' : ' , ,,':1 .~;\~

• :Jl.,37 " Con ias~ imaginarias .se. h~c,eh la&l I:Qismas o~ Pw,c!on~s Q1}t.c,o?, l~~;;é!I2~i~ad~s. ~ea}e~ L~ sum~ y 'la res1á se práctican 'por las reglas ·dadas (I'3 2). 1 :riS'8'!': P.ara mul.t>iplic~las ' se--de:s;cotrJ.p.ÓJldyán. áñte:s (".tuf

.. -

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-.

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f"'r"""

_.(, • .J. ~!-

J ...

.. ,

~

.

(*-)- nlVb__A.-L..-Cn.ucb~o.-de. Pl),entes~.y

'Cahadas; é1~ 5w€-mso:.de Allálisis'de la,Eku-ela· PoH:lécnica-, dice, -que toda:: t;cuacion.imaginal'ia es la re~ púesenritcion sirriD6lica de dos ecuachll~et' .éQtre canti~ dades lleales. Pqy."ejempl'o, la ~cuac,ion si1!lb-áZica ,~,

{+b\i-1 c+dV":"1 equiv,¡l~ ~ot.o' j • ,1

.1;:'.,) ~:_:..,

-. ....

I

I

)

ias dós ecuaci~·1:. .::~

IlwI'eales a=€, b=d, . . 'l · E~te sabio profesor j ton quien 1ze tenido e-l:honor·de 'convet;sar en Pm-is" :ha desenvuel;,o ,con l1moha maesti'ía varios puntos de Allálisis'; :J se espera con Jsólido fll~damellto que simplificará y actar,ará ;ot.r.os varios, 'qlle no se hal'lan espl'icad.os con ka debi'da. e.xactitud-. II mí me.resulta la g1'an sf;ltisfaccion de ha~er coincidido 'nlgun tanto con sus .'ideas , y aun haberlas l'kvado al,:" 'go mas adelante.' . . \En efecto, en el Resumen de sus lecciónes dada:; ;.fn la Escuela P--0litécnica sobre el cálculo illfinitesh.. !nal) impreso en 1823 , reconociendo .tfJ incerti..dU1J1brt

"


ÁL~EnRA~

(08

,

sus dos factores, y despueS se ejecutará. la operacían domo en los radicales; aSÍ, para multiplicar éll

" V -a por,. V.....:b , descotE pondré á' V~ en VaxV-r, y á V-b e,n VbxV::;:

J

.

.

,.

y..la rnulti plicaéion la haré en esta forma:

V-axV-b .Yax'\ /-IxVbX'\f-I= •

"'l:

"' x -

. ---

VaxVbX(-I)2X(-1)2=Va~X(-I)I=

V abXc

1 =-::-yab.

Observando 'este resultado, echarémos de ver que 'tE ~poduct(Y de ,'dos. imaginart'á's die segunao grado ' ~s una cántidad real; y que el signo que nos resutta es 'contrario ' lit que ~a,y.ia ·ta 1nwltipticacion ([ 14) ; pues t eniendQ

V-,-'a y V':""b los signo,s ,p¿.sitivos , debe:~

salir 'el producto positivo, y vemos que es 'negativo. 139 P-aradi vidir las se descompondr.án tambien '"

~

~~

:",-~.~ "

.

.

-de los resu1tudos", á que puede' uno ser. conducido por el 'étnpleo de series &ivergente.s, tr.nta de evitar estos in, -convenientes t y dice en la a4verteflcia de dicha obra, ljue espera:, que los que la '1~aa" se ,convenceráñ de ,~~e )o,~ p ~~gc~r~Q~ , 1i:I , Cálc~l~ difer:.:~cial Y, s~s im J portantes aplIcacIOnes se pueden espOÍ1er fa6!tñente sin la inten:endon de las series. T como yo esplico'Lo$ principios' de ' dic'ho Cálculo, tanto ~en mi tratado elev¡nenta¿';, a,o~npue"to en 1 807 é impreso en 1 &'1l, co11,!0 e-n este eompenttio; sin suponer conocido ev a.esarroll.o de las series, resulta que me he ar;ticipado diez, y seIS, oños en este asunto; y si se iiene-presente que Mr. Carl' chy supone ya conncida la ¡ónllula, ., del binomio de -Neuton, y qU! yo esplico los principios del espresado Cálculo diferencial, sin suponer demostrada de antemano, dicha fó rmttLa, no SI estrañ.c¡rá el que yo hoya asegurado habe·r Hevado aLgo ?nas' adetante las/idea; de Mr. Cauchy. (

/

"

,


en

ÁLGEBRÁ. 1°9 (actores el . dividendo y. el divisor; así, será

V=a Va V=i -:=:: - - ,; V-b Vb V-l,

j

ycomo V - 1 arriba y, V - 1 abajo se pueden su:' . " que d ' pnmlr, aFa " 140

Va Vb =(§

134)

V-;¡;-. .

Si se multiplican entre. sí dos binomios de

esta forma A+BV"- r, pero que en 'cada uno sea.

-

.

.

diferente el signo del radical, el producto será uria. cantidad real; v. g. si multiplico A+BV- 1 por !

A-BV-I, tendré (A,,!,"By-r) (A-BV-I¡::::: AZ+ABV-I-ABV. I+Bz=Az+Bz. , De donde se deduce una regla para descomponer ea factores la suma de dos cantidades, cuya operaciOD es muy soc9rrida en la práctica, y es : que se ponga la raiz. cuadrada de uno de los términos en ambos factores por primer término, y 'P01" segundo la raíz. del otro multiplicada por V - 1, pero c:on ,d iferente signo en cada factor; de man~ra que

¡¡4+b 4=(a2 +b z,y_I) (a Z _b2 V_I).

SEGUNDA PARTE DEL ÁLGEBRA.

De

la .análisis algebráica, y resoludon de las ecua ... ciones de pr'imer grado • •

141 . S~ llallla ecuacion la .igualdad de dos cantÍ-: dades, corno c-:a+b ; lo que se. pone á la izquierda del signo = "se)lama pl"imer ~l'~iembro; y lo que se ,pone á la d,erecha, segundo miembro; y cada una de las camidades ,Siue los forman, se llaman t érminos.. ,La part~ de! Algebra qlae trata de r esolver 10s pro.. .Qlerpas ~espues g,e. pilestos en ec uflci ~p , ~e llama a:-


) tI Ó

, e

'.

Á,i¡,GEBRAI

nátisis, ; é'uy.ó es.piritu consÍste.eIÍl supontn:onocidil lo mismo que se trata de averiguar. , Como en los probkmas entran cantidades conocidas , que se llaman datos, y desconocidas que se HaJ;J1an -incógnitas., las conocidas se, señalan con las p'rilrÍeras letra~ 'a; b; c~ ' b'c': , del alfabeto; y las' in.. cógnitas con 'las últimas z, y, x~ !I; b'c., 1 42 S~ña.ladas lás~an ~idades' coIf letras, se pa-: s~ á p,la;ltear- eL' problema , qu,e "es cifrar en ecuaciofte:s ',todas las condiciones que comíeHe'. Para; plar¡tear ' pien l,un problema es necesario Jel'!rle t~es Ó éU<l¡tr~ veces, hacerse cargo bieñ'del'sentido absoluto y terminante de las palabras, y condido¡;¡es á que han: de satisfacer las cantidades, y escribir los signos 90rrespondientes. ~s , por consiguient~, el planteo d~ un~liL'Oblema, una: rigorosa traduccion del lenguaje comun al lenguaje algebráico; y a§í, para pod€ll' ejecutarle con alguna facilidad, se tendrá en1e'ridido que las palabras stdm~do, agregado, aumentadto en ~c. y sus sinóniLnas, conducen á poner· el signq '+; las restado de , quitado, disminuido en , b'c. 'y sus .sin'ónimas quedan traducidas poniendo el signo - ; las multiplicado por, tantas v eces mayor '~9 .. cnnducell ~ p.oner el signo x '; l~s dividido pOI:, tantas veces menor; b'c. conducen al signo: ó raya de la divisiol1; las tal potencia b'c. al ·de elevar á potencias; y las estraer tal raíz 'ttc;, al signo radical; y la~ palabras dé, C071lponga , resulte, salga , y tedas sus equivalentes, quedan traducidas escribiendo el signo = . .. ~ ~ Cuafldo planteado un problema se hallan tantas ecuaciones como incógnitas, la cuestio'n es determi~ n,ada; cuando resultan uolénos ecuaqiones q u~ incógnitas, es indete'rminada; y cuando resultan mas tlC1la<:iones que incógnitas " se debe,ria llamar- mas que dete'rminada; pero en este caso la cuestion ó es absurda, ó es in útil alguna condiciOfl de Jas' que se dieron; por lo que no se considera esta clase de cuestiones. - Cuando <:ln !:lna ecuacio n, cOllsid<:lrada por S! sola ) no hay mas de una ineógnÍta 1 se d.ic~ q ue e~ de~


A.LGEB-RA:

\

111

terminada -; pero c1l;ando ha y tlos ó mas incógnitas, se dice\ q'ue es i1'l.deter171inadiz'. . :.' 143 Las ecuaoiones, sean determinadas ó indet,eorrlluada'i), se dividerf en grados, tomanao el nombre del mayor. esponen1i.e que tiene la incóglú~a , así, a+ux="Cx+ t1=t-e es una ecuacion d~ r. er · grado, porque la incógnira x sólo se halla elevada á la primer¡¡, potencia .; y es determfnuda., porque sólo contiene la incógnit a x .. La ecuaciOL1 axZ,-l:"bx=c+ dx ,e s ae 2. 0 grado, porq ue el mayor es ponente de la incógnita es ' 2; Y es determinada _, porque sólo contiene la incóg. nita x; y' la ecuacion .;x 2 +bx 9+d=cx 3 es de 9.° gra do; y es determinada por lé\ mi§\Dé\ raZOfl. que las antedm;es, _ ) . .- .Las. ecu.aGiones indeterminadas {ambien t(1)1nan el nombr.e del mayor esponénte de las im:ógnitcls; pero como puede haber términos donde' se 'hallen, multi,; plieadas.ó divididas entre si, para averigua,r el grado de.. la ecuacÍon, se suman, los esponentes de las incógnitas que se hallan en el- término que hay mas rumensiones desconocidas. V. g. la ecuacion ax=b'J.,+d es indeterminada, porque tiene uos incógnitas; y es de .1.Br gr<td0 l porqUe en un n;¡.ismo ~érmino sól'O se halla una inc;ógnha,' y es' eoq)a unidad po,r· espol1ente; la ecua<;;ion ax 3 +b'J.,Sx 4 ==ax z +cd, es indeterminada" porque tiene dos incógnhas; y adema s es de 7,° grado, porque en el segundo término de! primer mi~mbro se hallan, dos incógnitas, la una con el espOl,'lente 3., Y la otra ,con, 4; luego en este término' hay' $iet~ dimensiones desconocidas. . Cuan 40 las écuaciones 'son de un gradQ mas e- ' ,levado al primero ,Mpweaen ser de dos maÍJeras : puras ó incompletas, que sofÍ aqu ellas en, que sólo -se ~al!a la incógnita con el es.PQllente Iq ue da- nombre 'll la ecuacion; ó mis~a~ ~ completas Q afectaS., que Son a:q nellas en qt1(}, adernas del término donde se ~alla la incógnita; c;on, el es ponente que da flOmbre. 'a la ecuacion, ~ se enc;u~ntra en otros lér?:ni~los con \In esponenre menor. V. g. ~3+a==:;b ·, 'x 5 +c=d, Ó


TU

ÁLGE-BRA:

en general xn=e, son ecuacione~ puras de 3.°, S,O. y n. o grado. I;as ecuaciones x 3 -+- x -+- c = b; x 5+ax 3+bx=ccl, ó en general x'l+axn-I+bx n- z + l:tc.=c, son ecuaciones mistas, eompletas ó afectas,' de los mismos grados q!le las anteriores. Esc. Cuando las cantidades conocidas'que entFan en las' eeuaciones SQn mí.meros , Cl;lmo en eS.tas: ",2+ 3x'= 38 , z3+ 2X z.=20, &c. las ecuaciones se llaman lluméricas ; y cuando las cantidades éonocidas están espresadas por letras~ Gomo en x 3 +ax z+bx=c,. ",2 + c¡,x=b , &c. las ecuaciones se llaman titeral'es ó alge.bráicas. En estas, y siempre que en los fáleulós .entran cantidades conocidas enla~adas CQn las incógnitas , se da el nombre qe coeficiente á toda la can.. tidad conocida que multiplica á la ,·incógnita. V. g. en el término 2-" , el co~ficiente es 2; Y en la espre~ sion 2ax el coeficiente es 2a. _ 144 Como el espíritu analítico consiste en ha.. llar una ó mas cosas desconocidas, en valores. del las que se dan conocidas, todo el artificio de la aná· lisis, cuando. ya está pla.nteado el problema, consis. te en detenninar á qué cantidades conocidas esigua6 ó son igtwles las illcógnitas; y las operaciones ..que se ejecutan para dejarla sola en un miembro, sin coeficiente " es ponente, ni di visor, y con el signo posi. tivo , se comprenden oájo el nombre de despejo d~ las incógnitllS.

145 En el plant(w de los problemas ([ 42) se suelen encontrar muchas dificultades, porq ue las condi· ciol1es á que han de satisfacer' las cantidades, están á veces tan intrineadas y enredosas, que parece Ílnposible atinar con la /operaci0n á que deben .colldu~ ~ir; lo cual no sucede así en el des pejo de las incógnitas , que está fundado en q Lle si con cantid.ades iguales se hacen operuciones iguates , tos resuttad(js so~ i· guates; y ademas hay una regla para' saber ' las' ope:raciones que se han de hacer, q blC SOll las contrarias de ías que est~11 lnu.tcaáas con ~as I;'frmelades que afee-

.t,m á

~a.

incógnitas.

" I


. ÁrJ(;EllRA. t r3 , 146 En efecto, 1.° cuando la incógnita se halla I smna:d:a con ot'l'a camidad. , queda despejadra ptÍsandl) por v i'!:fje resta at otro miembro ta cantidad que su¡YlClba. ála i'TÍcógnita. V .•g .• si ··se tiene x+a=b; que;. dará despejada la x pasa¡Jdo el término +a al otro\ miem~ro con el sigfi(i) -"', de este 'modo x=b~a; por.:que sÍé;ndo x-l-a=b, si de ambos miembros'q ,uitamos la a ,será','X +a-a=b",:";a; pero en el pr.imer miem~ bl'f) -!-tl Y -a se destllu.yen] lue~o quedará, x=b ~ 11. ;. I'l¡.7 " 2'.? ·.c1¡1ando una cantidad afecta á la ,i ncóg,, fRita por,vi;a de resta, q uecta. despejada pasando .aLotr() mie;nbl'o. di chaJcantidad por via; de suma. Por ejetn. pto" si 'se, ti~he x-a=b'; .será x=b~a; p.orq ue si , á amq0s miembros de la ecuaciol'l añadimqs. una mis ... ma Jcantiúad a ;se tendrá IX.-a...¡-a=b-+a i y como -a 'f *a se destruye9' 'q uedará x=b-ta• • GO f)~ '. ~· De· estos dos caSQS se ·.deduce que para pasar un. ,términ.o de' tm· miembvo á otro basta mudark~~ -5igno ; y qlle ~si al fin de un cálcuko re~ulta. ta incógntta con ,et signo - , se podrá poner con el ,signo, -1-, tnuaando foS' signo~ á toda' la _ecuacion ; po rq ue esto equivale a trasladar los rtérmin(j)s de un. miembro á. otro; así: 'sÚu-\¡iese -x=a-b podria"poper x=b-a. -¡ r4& ~ '3..0 Cual1do uil'a:.cantidad multiplica á-la in.cógnita ,. quedará esta despejad.a part.ieado el otra ~lliembro'1 por lo .iJ.ue 1'I1ultiplifa tÍ la incó,gnit..'l-'_V. g. ~ l. b si se tiene ax=b, resu1tará, x po1-qúe~ si di" I a

= -;

vidiaítis' ~lÍlbos.:; mie~br~5' de dic-ha écuacúm ·por a, ..

'.;r.

ax

r

. . . . ., _b ;'.-.y ,.'corno a~ arriba

se tenorá ~' = a a

~

.

~ • "' . • '

pueden suprimir (6r, 4.°), quedará x

__ _ y a abajo s~ . I b I .' ., . ,

=-. a

\

149 4.° Cuando uná caiuidad divide á la incóg.nita, se despeja esta D1lu~tiplicilndo d . otr.o mremlirG 'por .qu~ .divide á la i.ncógnita. V. g. si _se t-iene

'o

8

1r. l.


If/;'

-=1>, a

,

s'erá x=a'b;, pO'rqúe LUuItrpltcandó amoos , • '"1' ' ax

=

ab~ a ~y. su pdmiendO' en el primer rnielllbl'O' a arriba .y abaj,O' (6[,4.°) , será x=ab. ~50 _. Al despejar una incógnita nO' si'empte se pr.e"sentan ecuaciO'nes tan sem:iUas' como-lás que he" mos cORsideradO' hasta ahora, sinO' 'que se haHa:n á 'un .tiempO' ·enlazadas cO'n las incógaitas las' canrida~ des cO'nO'éidas, pOI; via de ~I!lma, resta, mu1tiplica.. ci011 y",clivisiO'I'l ; y en este caso pafa des,p ejada, le) .primerO' que se hace es pasdr ([47 'GO'r.) 'al''Primer :m iembro: tDdos IDS términos dDnde se h.aUa la' ~Zl.Cógni-­ ,t a, y al segtmdo todD5aquellos donde 'no se haJla¡ Despues se qwítan tDdos ,IDS cVivi'sDres de '~DS térininDS 'dond e- hay inc;ógnita, Jo., que ~e cDnsigue lnultipbicandD ca" .da, ttirminD 'por el prDducto. de los divÜDr.es, ,d~ lDS de~ ,~n,as ;.t",!egQ;, se des~OmpDná!,á el p,'imer:miemb j('o en dos J actDtlf:s, SaCa1~dD la in~ógl1it.a' fue ra dé: un. paréntésis, . y encelTando dentro,/ck .é.l ,lo que ka- mult:ipv.ique·;. 'y fi~ .nalmente ~" q.nedará despej.ada ,dividiendo.. et 0tr,O,ll!iem.bro por ko. que mult>ipl icalila incógnitá, 'q.t+f: es"lp que se halla JlEfl t1:D, del. paré1l.t.es·is. " :;' Así,.si q u·i ero d.espejar la ínc6glili-ta ea :esta' ec.uamiembrO's .de la ecuaciEln por a,. se tendrá ,

.)

2X 4d", x 3x-a.:t--b +ax=~::f''!''--, ' ':'" __ ')"': .• , 73C ~rip:~r? ,péfs~~é al pl'í~er miemb~~ lO's .tér,rni9fs 4 dx ' x ' • , ~ ,Y:. -;:--:- ~del .seg.un~€l, y el al segUl~q~, m~~ .• .<;rO'~

• "J .~ . "

' 3,c

. ' ,.

~.. . .

dándole~ los 'sigf!oS ,. y tendré •

. -

,

.'

-a -:

---".

.. ' r,--3 p;¡f

4dx ' 'x 3"'+¡;+ax,.---+-.:=n...¡,..a CA); •.

2X

¡: -...

• fe," , ',' 1. , 3'c ' "+' ;ahora .quita.r é lO's divis~res ,:;multipli'c:and~ el- ~ p0i ! 2 fib:c ; <F~"Od,IlCtA de 16.5 di vis O'r es b) ,y,ry. .:,c , cte, JbSld~ • • .i

I •• ~

""


,

ÁLGEBRA: ..

2 "c

!~

'

J

J,. ~}\"..;

~

, .... ~ .... "

_

t

por 21 é, producto de 7 y 3C; el ax, pÓl'J b , ,. " d . ' ~ 4' x 21bc, prodl:lcto de b, 7 y '3c 5 el ~ - - por 3Qc, pro.}

mas' ; el -

,

,

.'

' 1)(;

" ."'

"J.

, -

dueto de by 3C; el- por 7b, prodllcto, de b y de 7; .L', '.. bc " '~'_ " •.: todo 'el se'gundo' mIembro se muld plicará por Z 1 bc, p,roducto de l0S di visores b,. 7 Y '3€" y. se tend'rlÍ'J '," ó3bcx+4zcx+Z tabcX-I zbcdx+7bx=(n-Ha)z Ibc. I Esta tí:asformacion no altera' la: ecuacion CA),' por..: 'i'lie eq uivde á multiplicar \ us dos miemIDros perr' el producto' zlbc'de lfQdos los diVisores 1 pues en el téI'''-; mil'lo donde ha:ya alguno, queda hecha la m¡:..l tipliea ..' ~ion .GOU .supdmklet (66 co'r.). Ahora't sac¡:ánd:(i)' la x fu'e.r a de- un paréNtesis que; aontenga todo lo que la multiplica, se tendrá , x(63bc+4-ze4-Z' j abc-= r f.bcd+7b)=(n+.a)z·Ibc; y-di vidiendo por lo q \:le lnulti plica á la incógnita ;, re ..: , . (ti~+a)xz ¡ bé 1 .. \ sultará xc " ' , - , '" • , . . 6~bf.,f-42e+zIabc-J2bcd:+7b , Coro ,- De aguí se ded\:lce éJ.'ue una ean~idad que' e~ rn-iembro se ·halta como factór:. -puede pasqr a~ . ot}y'(j por' divisar; y al 'GontFari"9 ;toda.c,antidad que se ha-l. ita por divisor puede pasar por, jactare al ' otro' -miem-) , bro; y que úitar los di vis OJ: es . de I:lua: ecua:cion 'equi- vale á multiplicar sus dos . mi'e'Mbro s par .el produift'O 'de todos -eUos. ,- " "1 '! ' '; ~5 1 Cuando ·lq. -idc6gni t:a s~ ha-l'ta e1evadq, a ¡ PQ~ tencias en una ·ee'uacioa puta',~ se! d;es:pej'a eS1Jráyenda del otro mie?llbro una rái'Z deb' mismo g'(u'do 'que ~ et~',de, k¡ potencia. V ,; g-. si se tié-rre ' x[l ~b:t l ' I J. 'Ji' ." { . n. ,_ J ,~u:;,. sa quedará ~.espej~a la x pOJ?-iendo ~. '\lb; ". :. ',_ \ por4 ue ~l eStra,elJJOS de ambos lPiembros la. ral~1'..!1' ?er.a ,

un

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~

~

J

~

(1\ _ n " , n -.:: ,,¡::!L . ' .. " , 'n ) 'C y xll::;.Vb; !'pe.Fo·. V~, I1=-x '~ ;:::;,xI:;::;x, 1~eg9 .... .. - ~-:V~., ~

\,.

~

-


\ \

ALgEnRA~

II6 (

Si n es un número par, se _deberá poner- ~I, signo±; d.e manera que' si, fu'ese x2=a2 , r,e.511lraria x~ ~a._~ 1"52 Si se h~l1ase la incógnila debajo de 'algun ra. ruca:! ,,'q uedaria des p@jada elevando el ,otro miembro 4una ~pot.;nci~ dll mi~mQ , grado 'lue el radical. V. g. ;

~

'"

~¡ st: tuy¡ese \, . '

[~

vamos á. 'Il fes.ultar~

.11. _

v' x=b ~ resul~aria.

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_

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x=b'Z ;. porque si ele-

;.rr)~\ ~. 'r. t:: ."" 10& 'd,o(miewQros d~ la. e.4j:l¡l,adQ~

.n"_

Vx

n_

(v x)'{=(§' 13'S)x=b n.

~ ,.(~

=b-t,'-'

. ' Cll,a{ldQ al · plantear uña cueStio.n hay tan", tas ecuac;io{les, S;Qmo.' incógnitas ,,' dléha c¡,¡estion, e~ determii -:ida (142.); para despe.jal;" en estt:- caso cada incógnita se pueden segui¡;~ ~res métodos diJerentes;. pero aquí solo 'esplicarémOii, t;¡ uoSadO: 1l"'qS, ge-!1eJal.. ~'Qente que es el de sustitucion, ' ,', J Este' GO.[lS~S~e el!~ dete.rmina-r ~*lC{, e.cuacion, rT!a$ senc{ttq la incógr~itQ wqs. óenciltc¡ , y, ,ws.tituir: .su, va-, (01" en las de1Ílas; l!.iego '-' e~ la \ec~wcio1'l\. mas s.e'l1cilla que rest!lt~, ~e.-det~¡:¡¡'1ill¡i;á la. f fi t;óg11ita m.as ~e'ncilta~ ' 'Y se 'sjkstitui'rá s4 vflkar- en kas. d'el1u!~ :;' y asi se, C;Qnti~ 1lUará hasta qUC$oto. ~¡¡ ~t¡¡1!g(f ¡~lvu:cv.t:}cioñ. q011 una i:flcógnitll; en cuyo. eMe se despejar4 ; y sus#t1~ye1'Jdo

" i S3.

v

s.u valo.r (w los. an'teriores ~ 'queqCl1,:án. .(;l~speja!la~ toda~ las. ineógnitas. .. '., - J;>fopongá,mon®sdespejar la1i)nC;ógQ:Íta& e~ este sistema. d~ ecuaciones (Aj.. ,'J;>a¡;¡ esto. d~tefmiqaré (La) x_u+?<-:a en la prirnera -\.l'nª- c\;lak _{?a) ' X-f-U-'l¡=q (Al q uier~ 'de, eUas, tªl cqmQ r (3 . a) .I«-,-U¡.,.....~=e la IX, ) y tendré. x::::;-ct+t¡~.2. Sustitl'\iré este v·alor _de ,~ en las,:. dos. de abajd y ~e ~Q~venirán e~· (B), Ó, simplificando. en. (C) i 't .; , , .,¡ ,_ ~,;+.~--..'Z+t\....,.,.?<=b {(B\ a+~u-2z=Q {(e), " i " ª~tJ:u .....'Z-..u-z=c t Q-.2Z=C • S ' -:. . . S i"

1 o

'

~

y como en la segl'\nda de estas ecuaciones no hay mas d,<:; ' la incógnita z ¡-lá;'ct0-spej-aré por 'erO' dicho. (1 5/0) Y

... .

'7

.

. ."

,


J .LGLnRÁ;

,

'~erá

a--c z=- -- =~(a-c) (*).

.

2

Sustituyendo en 'vez de' z su valor en la ·prImera. de las (C), ó desde luego en vez de - z'z su valor e-a., tendré: a+2u+c7a=b, ó zu+c=b, ·que (ISo) da ~,=~(b-c). . Sqstituyendo estos valores de 2. y de u en el de X; será x=a+u -z=a+~(b~c)"";"'~(a~c); _ ~ue, reduciendo el entero á la especie del queqrado que le acompaña, Sé convierte en . "2 a+b-=c-"-a+c a+b · . 1.

I

1.

"2

-

.

,

'2

"-~(a+b). - \

4

..

..1

Con 10 cual quedan despejadas ias tres l.ntógnita~. Eateml.ido esto, va[)¡lQS á resolver algunas cuestiones. 1 54. l. a Dada la suma y ·la díferencia de dos ' . _ ,calitidades, haUar la mayor y la me¡zol". .' Res. y Dém. Sea s la: suma dada; y. d la diferen· cia " sea x la cantidad tnayor '.r"1ciüe se pi- x-f.z"':""'s , de, y 'Z la menor, y el problema que"darájJlante:i.do en estas -dos ecuaciones. Detetminándó z en la primera, será cuyo valar sustimido en la segunda da 1 x-'-"s--t-x==.a ó zx:=s+d; . .de donde (§ i48) ·x=Hs+d):....~s+~d; y sustituyendo este valor en el de 'Z; !;e tendrá s+d 2s.-...s---d s-d s d . _. z=s _ - - - = - ....... -~~s-~d.

x-z,=a 7.=s-x,

!2

¡

'

2

2

"

2

2

'

Cuyos resultados manifiestan t¡ue la cantidad. mayor x es .igual á la ??litad de la -suma; mas la mifa4 de la dife¡'e-Ilcict; y la menor z á la 1J1.ftad dé la suma, ménoS la mitad de la diferencia. 1.

(*) . Cuando tengamos cantidades. divididas po!'"' lIúme.ros; les póildrél1íos lÍntes él coeficiente ql~eb)'ado qu.e tes co-t¡"esponda., poniendo la.. cantülad d'entro J~ 'harétitesis ., Ó '•no• ~ seolJ"w¡~ s.éc. neéesa,¡-¡o. C .....,r . I


"n:'8 ,Ár,G'EBRA. ASÍ, sí se pidiese hallar la edad d~ pn padre y de un hijo, en el sl;lpuesto de qu'e er,¡tre ambos tu· viese¡~ 60 años, y el padre llevase á S~l hijp 'lO, di· ,Tia e la mitad de 60 es 30; la mitad de 'lO es ro; su'Iñando. 30 y r-o, será 40 la edad del padre, que es la mayoI:. y paFa hallar la Jel hijo, que es la m~nQr, rliria : 30 ménos ro son 'lO, que seria la edad del hi" jo ; cuyas dos cantidades son tales que 4 b:+ 'l o -:- 6 9, Y 40. -'l0='l O. - ' 'Í55 'z.a"HlIUa·r tres números tales, que si del du. , plo del primero se qnitan los dos ·tercios de tos otros -dos, l"esulte 56; si qel tripLo p,et segt¡,flao se quitan los li de 'los otros dos', ¡"emlte 48 ; Y si del 's~ptupto q,et .•ercero se quitan las tr~s CHartas partes de los otrros dos, l"esubte 39. ' , Rq', Y Dem, .·Sean u, x, a;, los tres mÍmellos que se piden, y el problema quedará plaBteado en las tres ecuaciones · A), ó quit'l-ndo los divisores en las (B).

i (",+z)==5 6 j { 6U-zX-'lz=r68! 3X--I7' (u+z); . 48 ~ CA) srx-,-Su....,.-SZ=8·16 (3) 7z~ -t (x+u)=39 J " ,'l8z"-3 x -3 u . (5 '6 . De terminando x en la primera de las (B), se tiene x~(6tl-'l Z~I 68)z3u.-z."..-84; Sustit,~yendo . su valor @n las otras dos , result~ 5 I (3u-:z-84)-su-=-sz=:8 16} 28z- 3( 3u-.z- 84)-'-3 u=156 ó efectuando las operaciones tendrémos , z =;:816 }. 1 S3u-S lZ- 4 Zª4-s u zlsz- 9U+3z+Z'i2'-3u=r S6 que redtlciendo y uasladandó sále • 14.l$u-o-s6z=8r0+4 28 4=5I oo 1 3IZ--I'lU:=TSÓ-,-'lS2==--96 f ó dividiendo la primera de es- ( 37U-14z=I27S tas dos . por 4, resultará . S 31%"";'" 1 'lU=- 96. Despejaudo z en la La da z=I~Ú7u -"J2 7 5), euyo valor sustirnido en la segunda da ' , 3 O' y\(37 u - 1 275)- 1 'lU=-96; q uitando el di visor será . " P (37 u-,-l'l.7 »)-:-~6?u¡;¡;~~ 34-4i 2U-

-s.

/


.Á:L(;'Enit:A~ ,

u9

bac'iend@ 'la lU1ulúplicacion 'indicada tea&cémos 1 147 U-39S 2 'í- I68u= - I 344; reducieaao y úaslacl:a-ndo res·tütará '9791<=-1 344+39'S2 5=38'1 8f; Y despejando u, da u=1~~~-.!=39· ' , Poniendo este valor de u en el 'de z resulta '$:;- I\C3v'u-127 5)=f,¡:(37)<:39....:...1~7 5) \ l~C1443-' J27S)=¡r4X[68=129'

,

,',

y sustituyel!do estns valores ,e n el de x) darán x= 3U-Z- 84=3 x 39,,,.-1,2-,.34= 117-96=2'1. Por corísiguiente lns tres números pedidos SOR 39 , 21 Y 12; JO.5 cuales satisfacen, á las .c~-'ldiciones . .del probl~ma, corno cua,lq u-j era puede comprobar. ' 156 ( Las cU,estiones su.elen venir propu~?tas coa adorn~, como puede ~erse ,e n estos dos ejemplos. LO Supónese una sala adornada c.on tres esta. tuas , ~_e Juno) Júpiter y Febo, tales que las dos primeras pesan veinte mjnas ,Có, arrobas), y la tercer¡¡. que pesa seis, es igual á la cuarta parte d"e la primera; mas la t.ercera par,te de la segunda; se q u'Íere saber cuánto pesa cada una, y se'propone la :Cuest'iofl ~n estos .término.s. Juno y Jtípiter pesan veinte minas; , Un cu-art.o del primero y un tercio del segundo ~orñponen al D'¡os Febo, Que pesa seis, Lucero De la aurora serás si me adivinasJ Lo q!.lle pesa cada uno, ,Juno sin- JLípiter, Júpüer sin Jl:1nO. Res. y Dem. Llamando x l-as minas q ue pesa Juno, Júpiter pesará 20-'-X' ( pues entre 'los dos pe-san 20 ) ; y como i de Juno y t ~e Jtípiter 'componen seis , el problema estará p'lanteado en esta eeua. ~ cion iX+~C20-=-X)=6, de dOf}de (150) sale x=3, ,peso de J lino; el de Júpí ter será 12; Y la cuestion queda resuelta. ' _ 2. o , Su pónCSCUJ.1l Lf;.o n de bronce,- q:ue arroja ,


i 20

ÁLG ·E BR&.

ag~a' por 105 0joS'- por un pie X por la boea, y se sabe el tiem.R0 en q.ue cadí! caño solo llena el pilon de la fuente; ' se trata de saber el tiempo en - que le llenarán corriendo todos á la vez, y la cuestion se , . I propone en estos termmos·. -

El que fulminó incendios en el Cielo,

-

y si me abrasa el Sol, abraso el mundQ, Hoy ei}' la tierra .convertido en hiel<J; p'o r ojos, píes y bo.ea, me difundo, 'Y con -néct¡ir divine Refresco al fatigado peregrino. E ste pilon de mármol escul pi~o, r· Qúe en pocos dias há sido fa bricado, 'En dos el primer ojo le ha llovido; Pel'ó en tres el segundo le ,ha llorado; En quatro el pie l.e toca, y le escupo en -seis horas por \la boca. Esto hace un caño solo, ~y todos juntos? Lo defina Apolo . . ~ y combinados? Tú lo has de hacer solo. I

- Res. y" ]);m. Sea t el tiemp? que han de correr todos los caños á la vez, para llenar el pilon, que llamarémos p; y tendrémos que el primer ojo que l¡ena el pilon en 2 días, en 1 llenará....... tp;

:~ ~eTI~~~~á~!.~.. ~~~..l.~.:.I.~:~~.~~ ..~.~..~ ..~.i ~.~:}

Ir;

el pie que le llenaba ·en 4 dias, en 1 lIénará. l :.f,J?; la boca que le llenaba en 6 hora~ ó i de} . ' ' , en 1 d'la. 11 enara........... dla, ......... ......... . 4P; ahora, sabiendo yá lo -q lie cada caÍÍo llena en un - día, se a-ígue que copicndo el tiempo t todos juntos, arrojarán una cantidad de agua espr~_sada por lo que cada uno arroja en un. día multiplic;ado por el tiempo; esto es, el primer ojo, en t dias ó riem:ipo, arrojará tpt; el segundo, tpt ; el pie, tpt; y la boca 4pt ; ,y como toda el agua q ue Ijan de 3lrrojar' en el tiem po t, se q uiere que solo sea l?- del pilGn p, se tendrá la ecuacion tpt-t-tpt+ip! +4pt-p;

I


Á'LGEBRÁ.

#

121 -

ql1e- d~v-iaié~dola 'tbda por p, !,erá ~t+tt+tt+4t=I~ y multiplicándola toda po!, 12, se cpnvertirá en 6 ~.!.¡...lJ-t+3t+48,t=I 2 _, Ó 6rt=I2; ,

.... ~.

.

.

de donde sale t=H de dia =(§ 83] 4 horas, 43 mimitOS y ~P,7 segundos: _ Ese. - El úhimo r englon da oríjen á diez solucioIles 'mas·, q Ú e corresponden á averiguar el tiempo " qu e tardarán los ·dos ojos s€Jlos, el primer ojo Y. el ¡pie &c. com@ se ve en las respuestas siguientes. , La Los dos ojos le Henarán en · l dia, 4 horas y 48 rninu tos . > . 2 .<1. - El pr~mer ojo y el pie le llenarán en 1 día y & horas. 3Y É l primer ojo y la boca le llenarán en 5 horas y 20 mihutos. 4. a El segundo ojo y el pie le llenarán en '1 dia, 17 horas, 8 minutos, .34,3 ,segundos. 5. a El segundo ojo y la boca le llenarán en ) horas, 32 minutos, 18,5 segundos. 6. a El pi!! Y la boca l~ llenarán en 5 horas, 38 minutos , 49,4 ·segundos. · . 7. a Los dos ojos y' el pie le llenarán en 22 horas, 9 minutos, r 3,8 segundos. . . 8.a Los dos ojos y la ,boca le· llenarán en 4 horas 1' 57 m¡'l1ll't~s, 55,9 segundos. .. . 9. a El primer ojo, el píe y' la boca, le llenarán en 5 hor a s, 3 minutos, 9,5 segundos. . _ lo. a El segundo ojo, el pie y la boca ,. le llena- ' rán en 5 horas, 14 minutos " 10,9 segundos.

De la elevacion al cuadrCldo de los polimoniM, y estraccio11 de la ,'aiz cuadrada de las cantídades nu~ 'méricas. 157 Queda dicho «( 27) ,gue cuad,-ado es el 'prodU,eto de lIna cantidad por ella misma; así, multiplicando a+b p or a+b, se tendrá el cuadrado de a+b" comp se ve en la página sjg uie~lte :


12 Z ÁLGEBRA. .. (a+b)Z=(a+b)(a+b)=qZ+ab+-;¡'+b2.=a Z 4-zab+-b Z(A)

que quiere elecir que el cuadrado de una camtidad q lle se compone de dos partes, consta de tres, á saber: de cuadl'ado de prim¡¡ra parte (esto es lo que dice a 2 ) .; de duplo de primera por segulld'a (esto es lo que dice 2ab); y de cuad1"tuto de segúnda (q ue es lo que es presa b;l.). . Toda es presioll que como la anterior suministra una regla práctica ., se llama fórmula; de manera que fÓfjJ1Ula es una espresion andtític~ en que está cifrado el modo de ejecutar una 'operacion, ó alguna propiedad de una cantidad. . Si .la segu.nda parte del .bino.mio tuviera 'el signo ' negativo - , resultaría (a-bf=(a ~bXa~b> a2 _ab_ab+b;l.=a z _ 2ab-Fb', y solo habría que enmendar ea la regla " el decir' minas et d~¡plo de p'rimera por segunda; de modo qu~ reuniendo los dos resultados, será . (a+b't=a 2 +2ab+b 2. ISll Esto supuesto, la;Íórmula

( a+b)2==a~+2ab+b~

,

,

.

sirve para €levar al cuadrado cualquier polimonio tal como a+ b+e+.cl ; donde observaré q lle ·tomando por: primera parte la a, y lo .demas por segutlda, el cua~ d,a-do se compondrá de las tres partes que acabamos de decir. El formar el cuadrado de a y tomar el duplo de. a ó !w por lo qlJe sigue, nada tiene que hacer; des pues , para formar .el clla.drado de la se.gunda b+CJ+d, se tomará b por primera parte y lo dernas por segunda &c. &.c. , y cominuando la misma observacion, establecerémos la siguiente regla par¡i elevár al cuadrado un polinomio : cuádrese el pr.ime¡· tirmino ; multiptíquese el duplo . de.l 'prime'r término pO tO todos

los que le sigLlen ; clládrese despues e6 segun-

do; multiptíquese su dtlplo pOlo todos los que ,le siguen¡ ctddrese et tel"c;erO, y continúese le miS1110 hasta cuaaral' et último término. Así, aplicándola al P QIj¡w~ mio dicho tendré (a+b+c+d)~== aZ+2ab+2ac+-2C~tl+b2.-h2b¡;-¡~2bd+czrt<2Cd*d2 (B~ ,


Á~GEBRA.

1Z3

,' 159 Los cuadrados de los mí.meros díjitos están en la tabla de multi plic¡u , pues 1 2 , IX 1 = 1 ; Z2=.2X2=4; 32=3X3=9; 4 2=4«4=16; 2 ,2=SX5=25; 6 =6x6::::::::3 6 ; r=7X7=49;' g2=8x8=64; 92=9X9=8 {. Estos es necesario saberlos de memoria, par;;l encontrar sus raices y las de los números intermedios; de l)Joao que los principiantes se del'>en familia,rizar ¡nueho con ¡;:s~e lenguaje: la miz de 25 es S y 110 soprq m!da; .la raíz de 38 es 6 y sobran 2:; Q:1c. Ahora, si el número es compuesto, se desc-ompondrá siempre en dec.enas y unidades; aSÍ, si q llle¡O elevar 38 al cuadrado} le desGolJlpo"ndré en ,di¡:has partes, y será 38=3Cl>-!..,8; y sU'poni~nd!J , 30=a y 8=b, tendré por medio de la fórmúla CA), que 382=(30-.j-8l=30~+2X30x8+8z= 9°0-+4 80+ 6 4+ [ 444; donde advierto ql1e el cuadrado de todo númer o que se compone de decenas y unidades, consta de tres . partes: de euad,"ado de decenas, de cl-upto de decenos por unidades, y de wadrado de !midp,aes. ¡6o Formemos ahora los cuadrados siguientes. 2 2 2 1 =[ } 10 =:I00 } 100 =10000 }" 9~::::8 1 992=98ó [ 999 2 =99800 I 1 &c. Y ;observando las cifras que tienen los!números y sus cuadrados, veo que el menor mímero 1 de una cifra titme una en su cuadrado, y el · mayor 9 tiene dos; el menor nú¡¡¡ero 10 d:e dos cifras .tiene tres en su eua'd rado lOÓ, Y el ma'yor 99 nene cuatro; y ~n general todo número de n cifras tiene en su CU. {~_: (li'ado lo mas el duplo ó 2n, y to ménos et dupt Q m?~ !Jos una Ó 2n~L 16 I RecíproGamente, todo número de una ó dos cifras tiene S\.j. raiz espresada por una; todo número de tres á c\.j.atro cifras tiene dos en su raíz; y en g~~ ueral todo número de un númel"o par 2n de' Ciftoas . ~1eI¡e en su raiz¡ la miUld n; y todo número de un ntllIIe'ro ímpar ;111- 1 de cifras, tiene en stt f'aiz la mi- _ t.ad j' ~. ín~s , ~3tO es, ~(2n-l)+f=%nf +~=L1 . . .


B4-

,

I,6z

ÁMEn:!!.A.

ApliQal1do' la fórmula (B) all1úmero

67~,

será a=600 , &=70, c=8", 'y d=o, y 678 z=(600+7o+8)2=6002+2X60oX70+2X60,o x8 ..... ' 702+2'X 7ox8 + 82=360000 -+- 84000-t-9600+49'Qo+ ' 1 t 20+64=459684; don de observo que el cuadrado de las centenas es· p'resa ,&cenas de millar; el duplo de centenas por . d e~enas espresa millares, &co; luego pata pro<i!eder €Id cuadrado á la rai:i, hemos de buscar cada' parte del cuadrado en. el lugar que le correspohdc. 'Así, ~e e~taó-lece~'á: por regla. , Divídase 'et número PI"Opuésto él1 pé'rioaos de á dos 'g:ucrti3mos, empezando por la derecha, ' y no le hace que el último pe,oiodo ,contenga solo un gHa-risino; á su der"€cha se coloean las ,oayas de dividir; se halla lá raíz dél periodb dé ta izqui"erda, y se pOlle en las rayas; e.t{~ raí:?> sé cuadra, y el cuadrado se resta de di cho periodo 5 'al lado de la tOe.lta se baja él periodo siguiente, y se separa con una toma el gucwisíno de la , ·derecha; lo que queda á la izquierda de la cóma se div íde"por el duplo de la raíz hallada (qué se colo! ~a debajo de lci ~eparádo con la eoma); el cociimte que ,oemlta se poné en la tOáiz. á la clerec7w del guarismo anterior, y al lado del duplo de la' rah que, sirviá dé divisor 5 se l'1iultíplfca el- divísor junto 'con el cociente, por él ínisl1io tociente; y el pro'dutto se ¡;esta , de lo que tiene ~ncimct, esto es, d'el résidub antet-ior, junto t01l él p!!riodo que se le añadió; al lado de la resta que ré~ulte, se baja el periodo {iguiente, ~ se separa el guansmo d~ la derecha; lo que queda a la izquierda se divide por el ~¡J-plo de toda la raiz hallada; y ásí sé f Olltinúa lwsta qÚé no haya maS pe- / ~f'iodos que bajar; en tuyo tasb, si la últirha 'rést.a es cero; el ntÍmél'o tiene raíz exacta.; y si no, es señal de que no la tiene. PlWa aproximarla por decimales se añadirán ti ta_resta dos téros, tos que se c01lSidetoarán C011ÍÓ si f uese un Péloiódo; est.o es, se separará' t In O, se rJividirá lo que quede á la hquietOda por et rl¡,plo dé tocla la raíz halíada , el cocie!1ite se p:mdrá'


\

Á~GEnRA.

IZ5

en la raiz d¿spues. dé la coma; y luegó se' contint!~rá t.odo lo que ,s,e. quiera, afiadiendo ,:'dos cer.os por cada gllarismo ,que se intente sacar. . .. V. g. si quiero estraer la raiz cuadrada de 459684;

te div-i~iré

en periodos de á dQS guaJ;ismos cada r~yas como aquí s~ ve~ .~ Lueg0 ,. ver~ q Lle.l~ · raiz.

liLUO,

y tiraJ:é las

de 4S es 6, qu~ pongQ en las ~ayas, y su Guattrildo 36 de~~jo del 45 i tiro una raya y res't o, lQ que, "da. -9. Al ladq

'!":J~~9_ 6,& 416.1 .2,' '.0:>

~'

Q 9 ,9,6 ' ,.. ....J l' 27 \ ( ~",t t~ periodo 96 ; s.eparm d gua~ , .,..."..-.... ~il>mQ d.e la dt;resha, con .una J l. O? 8,4 .. COrrta.) Y- ·lQ qlle'.qu.e.da.. á la I 1 348 ' i.zq~ierda "que es 99,,,lo ,divi- -, ~ .; " " dQJ p.o,e 1 Z., du p.1Q .de la crai'L ' Q O 'Q Q hallada, que p'or¡go debajo '_""" " (.) ..! d~l 99.-,- esto es, si.(!.b:~jo de lo separacla con la.. coma; el cadente 7- df}.·clividir ?9- por lZ ,. le. pongo en la raiz á la derecha. del .6, Y también al laao. del 1 2;~ multi plico el~ 127 por .el cQc;ie\Jte...:¡ ., y. Yoy: n;stando el prQdLlct0 de lo qil1e tiene encima " diq,¡~ndo ; 7 por T Son 49 '- de 49 á(' 56~ val'! 7 y llevo S i 7 por 2 son 14,y 5 que llevaba ~On.-.19, de 19y á..,I9 . ~a cero y 'lle~' ve 1; 7 P?r f €S ,7 , Y l que ' llevapa 'son 8, .de 8 oí 9 v¡¡. 1 que poago. AliadQ deja resta 107, bajo. el pe.rio<;io siglüente 84, separo el guarismo 4, Y lo { que queda-á. la izquieI;..d a lo djvi.dQ ~por el duplo d~ , , toda la .raiz hallada que es 134; # . cociente 8 d~'; ( divicUr 1°7 8 por 134--> le pongo 10.5. parajes di-.¡ chos;. Y: hecha.Ja:. ¡m,¡Jtiplicacion del 1348 por 8 J"y.~ restandQ al mi~mo tiempo, ROS sále - o; de co¡;¡si" glliepte. la raiz exacta del númer0 pro,plléstQ es 678. !tiC. Al 4hriclir.) 10 separad,Q ~ i4<llVerda de la;} coma por el. duplo de la raiz hallada. ,. se debe. tenerp pr~sente: que nunc:;.. . se p~~d~ poner ma~. d~ á 9. en l'a; I'a/~; y. si 19 Cfu~ está. á. la izq uierd.a es., m.e.n01' q u~ ~l d\lplo d~ la raíz 1 ~e pO'narw o. in, elt.CI, ~ ~e bajar~

d.elar~s ta9,bajo. elsiguien- ,

,J

en

la;

I


;'

126

Á1~EBRA ;

periodo siguiente: Tambien suele dcutrir el qúe se..i, ponga en la raiz mas de 10 que corresponde ,",lo q'ue se conoce si al ejecutar la mUÜiplicaci0n"y te's ta, no: s~ puede hacer esta última. 163 Si (;!!1 la fórmula (A) haoemos b-":':'I? se tendrá, (a-+l ):1=az-f-2aXI +Iz=a z+-2a+l;' . y como el primer término aZ ,es el cua:dFad0 de ai re. sulta <i ue' lcts cl.úulrados de dos núme¡'os a y a+ 1 qu~' se diferenciqn en una unidad, ,, se diferencian en ¿t, dupio d~l men OI" a mas la unidad, (esto es, en za+I)~ Esta proposidon sir:ve para comprobu las ,r estas 'Púe: resulten al estraer las raices, plÍIes ' siempre pufedeu' llegar á ser hasta-',el dupto de la raiz hallada ;: peroen llegando á ser- el du polo ma, 'uno .,~ d'e[¡¡6rá ,t'eneda raiz una urridad mas de lo , 'i ue se le haya puesto. ,. ! @4 Para es·t raer la raíz cuaq'I!a(;ia de 17I503U le di vidiré en reriodos , y eje'¿u~é1Jré la operaóo1'l CO'" mo aq uí se presenta. ' , .'" Á ' Dcwdeadvierro -q ue 1,7 1',) 0',31 1309,5,94 como al sacar el tercer 0 7, l' - - _ .guarismo salj! 0, el Fro~ 3- ,. • ducto del ~60 por cero - -, "debe ser cero; y, 'así, la 2 S,ei: ' (,. :¡;esta será el 250, aL la:.. 2 6 0 do de la cual baj:o el pe" • ----'- . riodo siguiente 37iYco2' ; o 3~,1 mo al fin me .saLe- una 2 6 o fj resta 1.5 5.6, infiel'o que' . ' --L.-.,.¡ el ~úmerG ['ropuesto na o 1 5 5 6- 0,0' ti ene raiz exacta, y d.i2 6' '1 8 ~ . l~ ,ql,le su rai=z' es 1309 -'""=",- Y algo mas. e 2 4 6 7 S o,d' , .~ 1 - Si quiero apro:x:hnar.... 2 6 1 9 o 9 la por decimales, -p.,?n... ' '- oré €oma en la rai'l.; aña" , Ó l ' 1 0 , 3 1 9 0,0 .diré á la resta 1556 dos .j qz 6 1 Ij 1 8' 4 'o). ceros por cada guaris.~- ¡ i lUG d.ecimai que~ quiera ., Q o 'S S 5 1 64" • ~ca~, y ~oLlsider¡¡¡.re ca,.. .r _ • • :Zl , '" ":t.!J;,1;¡ el,

°

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, dI.'G'BInt'A.

127

/

da dos ¡;er:os,,' tomo si fuesé un periodo', (-cuy á p.tác'tka está ~undada en ' que si- la raiz tuviese un guarísmo deei"llJ'<11; su. c,l1adrado tendrá: dos, uno por cada vez que es factor), y ap.r:oximán~ola hasta ~ilé:simas tendré la raíz 13°9, S94· • Si el número consta dé €nteros y decimales, ó de decimales solas, se~ luwa qjM -et número de guarismos decimales sea 'par 1 añadie1:l'do un cero si fuese ímpar;' v., g'. si q'u'Íe'r o estraér 'la raiz cuadrada de 0,9, añadiré un cero, y c;}'eslpllles de haber puesto, !~l cerQ y toma en las~ rayas, como:..aquí se p,rli!sema: ~ v.el'é. queJil raíz,de 90 es 9' que pongo en ,ICl11raiz, r.~sto su <;!ua·' o,9 r;;j 0,9.'4 g rlpad:m 8 jL'1;,,~ añá:d(i) -á I,a;.. r.esta · ' 9. 0,0 : (, ~ : - 9' Idos ,ceiO"s'; y contim10 hasta ~ )1,:8J4, "; , 5acar tos ,guarismos ,que d!!see, - ,: , . l . ~ q,ue ~Up0¡;¡rgO <iue M ,ID. trefu,i'}" , ',JI::: 6D4: o,o tendré que la raiz de;coi 9' es , , 1 &, 8 .8" .,J 0\948: '",~, 2.J '. '1 • I ""1;:/ ':} 165 I ilS>ejamo.s- .díGho': (~Cii) 1 2 9 6 , ~ómo -S,e'-l,fotrnarr. las.-PD.teJ!Jci-as, . ~ L ••_-." I / Y (1,29) cómo se estraen las -r aíces de los quebrados, pero cu~ndo SOn níunéric0s;' suele ser ¡):las &.enc-iUo-,~ cORvertittlos en d~c:il:nales, fluego hacer con ellos l<\.,s 'O:per'aciQn'es que séi:q ¡;¡,i-eraa. AsÍ" si <i ijieí:o ~stra~r la ni:z, de :~, tendré FO}' el· pJÓ01er; método " ' r

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1" 166 ~aemos ,diicNo " (~'2_7)jo que se en-de'nde por 'poter¡c1.iL< n general;- y fue 'ü()s dadoJ,;ls reglas para ' fOl'mar las de los .UJ.G>:ll.\DQ:ii,Q.&.. _Par<\. h)fln ~r .l~s; de los,

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128

.h.'G'EltRA'.

binomIos' ;', y d~aucir una reglla ' general " ,sea a4éb el binomio cuyas potencias se q-uiereJJ fonnaJ!.:: qu,e. yéa., dole multi,plicando p0r sHnismo, y reC!l.ueiendo dará las potencia'S -siguientes. ., ! (1' , , ,'" T ' .,." . La (a+h)'=a+b . 2. a (á+by~a2+2ah-+h:' ._ .' 3. a (a+h)3:=a3+3a2b+3ab2+bS , ~ 1, _: ,') 4.íl .(,1+b) ;= a4+-1-a3V4-6a2 b2:;:¡"4ab3+b4 , 5. a (a:.¡...b) 5::::ra S +sa 4h+t1oa..3 b:-i!l¡ oa/:b3.,¡,.~ab4-:f4b1. ' \ DOffde se 'observa (,.l) ,p or>1ejémplo) ,que la ta parte a del 1bilnpmio; se,naNa 'e n todos Los nérmin0s ménos el último, que su e~poneJ(lte .en 'el pómer:o ,es el mismo S de la pOl:enei'a t Y' va meq.glianC!l.o una ,uni. -dad eni,c adá l!fnO hast~ Qoel1Contr wFseeu e! últiuJ(!},qW(! la seg ~l!1da' piu;<te b del. biuómio no s~ halla: emel 'J!'ri-mer térrnio-o, el't el se~)lnttQ. tiene-la.unidad;p.or. es,PQ~ neQ[e, ~. va'aulnentándola en> caC!l.wtérminoJ¡a..sta que en el último-tiene el mismo e'~.px;¡nellte ~ S d.e. 4 . Fote-neia. I Luego 'en punto á letras y es ponentes esrá 'cono1 cicla la f<~1 que $iglle.[l; ~ V~¡llnos íI0s2 ooetid'ehte~:' el ) del segundo término es ~eJ.)fe·slmjleni:e de .la';p-o.tenci.a~ ~I'"~ r~\') ; .... ~ ( . ~.;. :.l ~'! i )-' , : 5 x4. el coeficiente 1'0' del teJ¡eellO' es lo misl'l'lo':que-; . (~ z• ¡~t... l' a')

.. .

Pr.l,

..

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-

....

r

J.

H

,:..

,

I

pero s'es <;1 @Geficiente dehegqndo térmiFl<\l~ .4 el es,'" ponente q ue l1~va en éJ<la. primera: pane ,,'Y'z1 di:V.l\" sor, es lo mismo que el t.n ~'. úmero de térrnino~ que hay , t., ., . ~ ....... . antes del terce1',o que, se -pl:l-5ca. Esto mlsm(j) se verl-l fica en Jos demas; luego para hallar el coehciente de un término cualquiera" $e, rii¡Jttipli'Cará 'ehle,~.:té-rmp': no anterior por et espongncerque_eg él ttev~ fa primera parte, y et producto se pü~úrá por et número de tétmino~ que anteceden al que- si¡ bu.J.ca. ::: ~n ~~O? Si la segunda parte b del binomio fuese negatl va, .v ariarÍan de sig'n0 10'5 te:tlnÍnos ea que ¡se 1i:allase b con esponeme ímpar, que son, los, que ocu'pan lugares pares en la poten~ia '; por 10 ql!le seria? :-!.. el signo. del segundo témüno" +~ elide!, ~erceúj). f _~l dd cuano, y así ahernativ;am.enre. f ;., . ,,_ 4


-Ái(;"ÉIÜtA. ' íz!g Todos estos r.esultados pU4sto~ en rel5Ia darian á conocer las partes; de q ue:s<! compomf cada pcItencia ; y contra yéqdolos á numeras descoLD puestos en decenas y l!p idades , darian igualmepte á conocer laS p<rD6es d'e q'Ue' se Cotr.cponian :ms' pote{1cias',. y qU!e especie de unidade$ espresaba cada una de drchas partes ,- par,a poder p'f0ceder de la potencia a- la' ra-i2¡, y deduGir u'na regla' para estraer raices' de un' gtad:o cualq uiera. Pepo e OOlQ uesde- la raiz cú.bica en' adelante 50H ffit.¡.y cGlnplicadas las: operaciones, y For !oDra p alr"re .ha y .medios- s<'!OI::HIO's de eje(;utar lo" lo re¡... ·3ervam0S' para 0tro '11:l~ar.J _ '

Ese'.

...

(.:.

1

De, la-¡ ecua'Oi-ones detet¡'mi-nacta'S· tkeseg'uondo' grlPdo,· 167' Qweda dicho' (1'43) lo que se entie-nde pOl!'" ecuaQioD1 de segund.o grado', Y' q uedail·r-esueltas ([ 5'1') las puras. Pa'ca resolve-r las mistas', es Hec€sal'io manifestar que toda ¡icuacion mista de segundo grado ha' de cónsfar- de tres· términos: uno en q-ue se· halle la itlCóg.nita: elevada' al cU1Odirado ,. otpo en- ~ue se halle ele.vada· á:.la primera:' po~erl(úa' , y otro donde no se halle incógnita; de modo que la: espresion. gener-ai:de· las ecuaci<mes de segund-o ' grado será w,x:2...¡;.bx""'::'c " ó A~xz+bx-c~o (A). - _·NQ .puede 'haner mas' términos, porq'ue' tle pued~ ·heJlalJse ni'I)guno con¡ ka·.incógl1ira ·ele.v·a da á la~ ter,ce~a:. p0tendas 'fli , á ninguna· gtr-a sup.e rióp;.si hubiese 'muchos tét:.ni'o:os donde· sé hallas'e ; xZ 'ó ' la x, se reducir,ian. todos á uno· encena'ndo ~n Ul1 p:;rérltes,is toda lo (;j'ue las ml1lltiplic;ase;- y. todos los té·r minos dOnde no se hallase la.x se'podrian consid.erar comó"un0 so!@-. Tampoco puede tener mémlS té-rmililos;. pClrq ue si Ja.ltase el.axz no seria de segundo gra'do-; si· faltase el bx. no sepia mista; y si faltase el térllÚ'nQ constante e, quedaria ·peducida. á ax 2 -f"bx=.o, • ' . que dividie.ndo por x se ' eon:verti~á en, a~+b=o) que es de primer grado. .,. Ahora, dividiendo PQ[ a, la ecuadon ~A) se con«

9

T. l.


.ÁIiGEBRA~

• • • b ' e ..vertlra ep. "'~+-"'--=Q ; _ .

y haci'endo. •

b'. a,.

a,.

a,

c· '

~

p ,. y - -.=q, será., x!1;+px+q=o (B), (!,..

que será la' fórmula' general. d~ las' eCHa:cÍomes: de segundo grado;; y- cuando la· ecuacion. está: bajo esta forma:' , s~ dice que está; :preparada,. Para- esto· ~e - re' nuiere q:ue ,se haya reducido la- ecuacion. á so10s tres ~érmiflo_s" ; .. q.ue se hal1~' sii1: Go~ficiente el prImer término ,. q.ue es, donde la incQg¡:¡,i ta,. está\ elevada, al eua,brado" (lo. qpe se consigue dividiendo toda' la: ecua-o €~Oll- por el- coeficient~ que tenga:, lllicqo térrrÍi:noy; y q.ue: ademas dicho primer térm~no te¡;¡ga: el s~:gno. positiVO'" 10'!Ii!~e. se conseguid: m;udand010s ,sign0s: á too d ar 11:). e91¡}a~lOn . €1'4'7' cor.)' en· caso de: no' tenedev -:. I'6&. . ;pU~s\o. 9.LU~ como' acal5amos· de ver' ' , x,r +p,X--!foq;

<:>

, ~ . o -x +'Ex=-q.,.

_

.

es la' forjTla-· genera l de, la s. ecuaciones de 2,~; grado, -e d.,resolvien<;io esta', se. te¡:¡dFá:'la regla:para' las demas. Pa·ra: esto-advertimos' q,ue 'esta ecuacion' q,.ueda·ria .resTueha·~. s-i'elrpúíuer ~njem~no fueseul1'cu~:drado:exac­ t,o;. por q,u e': estl'ayenqoAI:).' ra,iz:'cuadrlfda' , '.tenar-íamos la· x elevada' sol,o la pr,iq¡.era, pote ncia-~ . pe.ro"compa-· ,randad-p r.iinell- miembr@'G<i)ID..la· eSFr'e 5ron -x.:r+2,áX:::¡..a~ ,d'e t' cuad,¡:ado ae cx+a,..!6nJ,QsJ!l'll..é le falta: elHérGeJ1 térmliw dekua'drado; luego-considerahd-o á':x;,€0mOLpri.mera: parne; .x~ s.erá· su-clla'dl1.a do.).pxcd duplo: cl:e:pri. me.-r~ por segunda·;:.y como"oo-:es. lélJ priínera, p s.e-iá el .dup.l'o de' La- s~gunda'" y lior J-o- mismo- su' minaq!.: fp .será' rgual. ;í. diGha: s@gunda·'I?arue.;. luego' si á~ a:mb~s.

á:

~

.mieu~!l;)-ros. a:ña-d.imos ip2~ que e& e .kc m-~drado-,áe1Qicfia: ,~ita d; ~<1i !~cu.acjon np.. se alrénacá·,. J. "el-priíne'¡;'!Lni'em~ ,br0¡ será- '@ua:d.rado perfec to ·~ Ji.lego se tendrá 2 ::::x. 'TEX4-ip"~p'~...:o.q;> vO que, ~esttayeñdo~ Í'k raií

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cíá'drid·i a,. . , da:: <J'~' . ..,.....;-.(.

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~-!:íp.:.:..±-V:*;f! :.. · q., ,·},"~vz::-~pií:: V ,¡.-p~ . -q -~C),

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_ .hGEBR'Á'. 13J '. Este res?ltado 'com parado con la écua:cion (13)(,! 67) da la siguie¡:¡te. regla. • , , Para resolver una ecuacion de 2. 0 grado que ya está ,preparlld,~"pÓngase desde 'luego la ,incógnita i tue:-

go el- signa .. ; desj>'ues de este signo' ~a 17Útad ·del' coe.,\ , fiéie'nte detdeg.undo término I 00 n- un Lsi:g410 contr,wio (le que tleve; 4espues el signo de ambigüedad -i- ;,:luego üil rfJdicat de ,:Se[§t~flil(), grado ;. debajo de este radical, e~ cuadrado' dfla mi'ti:úJ det1cogjicieñd del segundo ,tér'l mino, siemjJl"é :con el signo positi1!o; 'J despues' el ·t'et':' cer ,término de la ecuacion' con el mismo signo que tenga en .el segundo ,miembro, @.c~'n· uñ signo opue:sta · at que Pénga en e.~ prilnero. " " :' ' ~. ,5atande los. li-o's <valere's que ' d'a el signo .± de la ecuacíon ' 1:

(C) se

ti~ne

~ /T - Z ~1J..

x:=-::2'P+v

- .', '

r

. /~

-:,q, 'y x,-:--:-2'P-:v ¡¡:p -q . . \

.

E;stQS ,<!Es valore{.nq p.E:" déñ serJgl1al~s t á menos que p no sea cero; porque entónces el prÍ!nero será .. -::=--

=.'

-.. .;."

~

l"

'. bc=.y::-1 ,] el $eg~nda x-::--V-q, " 1

) ...

1-

4

.

que sólp se · dif~r:encían ~n el sígfiO;- Pera ' cl1·an&) p=o,' la ,'ecuacion· (B) es' pu,raC,' luega .para \1'tle .los dos valores q U'e da .urra .~cuaeíon 'de ,segundo graaol $,ean"iguarles' , aun:qué cie- Síglf!!1 c·ont,rari(,)··j(..es preciso q u'e dic'lra -ecuacion sea 'Pura; '@que .el coefiGien"'te del seguDG@ . té rmino .s ea- ce ro. ~::; . . .; -Eso. rr9da' ecuacion de, seglilll¡¡{'@' gr.ado da <dos ·v;alsúJes para.. l~ ilicóg~ita 1 ó .-15a. (le seFi:aiagi[1ari~; por analogía se deduce, .q ue si fuera ae; t€,f€'ef,¡ gra'·do tendría tres: valores &c. y, errgenera1 ~ toda '¡(ouaül1- Zgrdd,() ,. d-a pani lp.inc,ógnita , talltós v ¡j,lore5 como :útJ.ida~~s t~efie~.!:.t espo.n ~n~e . q~e 4q¡;.n~1Jíi?re;; á. ka, ~uaeron o al' t'adical~ , . .. ... , .

:cion , '1 Y pO'r 'cOfllsrgute:nte. toaá ,ral#c-ab-; ; de cualqui~~a

Ifi9 -'I!:r-opongárnonoS',FesolveY a,lgunas.c uesti:d'nes . l. ou· Dos- 'co)'lr:eos A ~>B-) , ,;sateni'al mi's'lf¡/j t'i-eiwpo' al -éllcue-ntro 'Uno de lotl'O ., d'é•• drJ.J"ctudúd&sQ;ÜSt(,mli:es "eti-

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' J.

Cfre ~'í 3(00 t.eguas '; JI\, 'á1l(l~. cada '(ha ,a· rteglJ:M' mani1ie

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,~LG~Blt tí. , 1'lÚtl1ero -ijec:ilja-; qf:Le {arda1L~n•. frnCQ1'Itf'aÑe e"$ la mitad de las leg.uas que and,t;I R al. dia FuániO$

l 3'.1

~..,

y el

d.ías tarq,m;á,n 'ffl er;Pofltr4rse? '!' " . , Bes. y, D em. Sea x e.1 número de litas 'que $e pi. I

c;or¡ 1.Q. cijat z..x se.r ijn. las legua.s _q\le B al,:1da.· al dia.; y el tQt.al' ~e. leg.u.as q ue ,habrá ai~da.do B ha~. {a ep,cqntrar á.A.,· Será 2XXX~~,~z.•, jA, t' .. . • Sj¡;ndo ' ~x !o que anda B, .& que ·a nda 8 leg,uas mas ; andará 2~+8 " Y.el. total. basta el'lcontrars~ Será el prodl,:lqo ,de lo que anda ep U11 dia, que es, ~.~-t-8 ~ por los "Ha.s qJ1e..está caminand9 qUe son "'1est9 qs (~ x+a)x:;;;2 ~z+8x. ' , " \. ,Y como lo que anduvieron. ~€>~ des es toda 1@:di.s.1 ¡;a,ncia de Ja~ ·d.s;¡'§. cj.t}~asie$ .) se tepdr~ plan,teado el problema en esta ecuador¡ _" 'J. : .... •. , . . ~,~Z+RX+::,2~ .J2~ , Ó 4X Z y 8x=3'2,O} ' f y dlVld:e~d0 1?0~ ·4 ~ ~+2x~8~. ' . ~n;

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q;ue da x:::;::- p!:: v ' 1,+;80"':':"-;1 ± '?

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~ ? de dO{lde sale x=-I+9=8 1 á ,X:;::-1 '"""9:-- ÍO, por consiguiente ' sé ' encontraron ':. a'J cabo d e . ocho c\:.ias; B an,d,é,l ba. .,l6 leguas. diafias ,. y A a.nd.aba '2 ~ ~l 'tQ.tal de A h~sta en.c(¡mt.rarse.., s,e(éÍ.. 24X 8:;;:; 19-2...;. y el d.~ B será 1 6~8=I 28: ,. q ue ~ntre l as dos C; QmF1Q~ .I)~p. ¡as 3,20. El. val or ~':""'-1c;l satisfac@. á l~ ' e.C:: lÁ-a.~ .~ion 4~:T_8x~3~o" ~p..ues_ 1é). cQuvierte ' en_ 4X(-[o)z+8~- IO;;::4X100....,.8o=32'O;. · ijIá,s no al 1¡er¡tidó en q1:le ~viene propl:lest;;\"l;t cu'estion. :h.a ]Jivi4iy et n41ne,ro 14. en .dos pa'rte.$ cuyo pro.dueto. . s..e,a 54... . ,~ , . , . ,(" _ Res •. s. Dem., Se~ x la. mayor· , coa }D .q>ue ~ me- , .{lor, será , 14-« ; ' y ,la ' cuestiQn .q u.edará ,planteada <;n. ~sla eCl!aÓo¡l.' ~(I.4~'-<S,4 é 14.~-x1'::::;)4 (;) •

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I4x =-s<r,:'que da~~ - 7'+1/49-S,4=:7=tV'-;·

·Este resu4t.ildoJl'uaginario. manifiesta q;ue la ; y .c:g¡mQ gen.eralment.e al.enun· . ~iar un pN!:>lema, o al p r,oponerse_uIlo l:N:).;a inves dga.~io¡L~L.l'Ü¡¡ . .o,.9 ~S;, QeUQc:en,todas la:s rela~o~es . . . . . . ~er'l,. . 1.19

c.u.es~iQQ ~s il1JlPQsi~le

..,;.

.

,


AL~E~111.

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.1' 3~

de 11:)'5 ·'p,a.t@'S cCiñ el: tesi:J.>ltado , lal impcrsi'bilidild de eS'" t~ .manifiesta q l'le-

'la proposkionenunciada está en C0ntradici0n "cón: a\lguna verdad 'deirlOstrada S y hé ' 31]:uí la !J.tiUdad .(le' !as im\lginarias. . . -r Bn efecto., en, el .p roblema 'propuesto, S6 pide que el prúdl1tt0. dé' lª,s d·o s paltttls l G1cl núrnero i4 sea ~t¡¡., que es, rna y<!fr que el cuadrado' 49 de la mitaa de 14 '; pero ' el producto 1'náximo d'e ·un númerO descom" , PM;;to éll .;tlOS partes, ~s el é'uadrado·ll!e. su init.ad ;-ll1ego p<:dir un proclUctG mayor , (:!s ·.pedir un irn'P0sHrle¡ " 1 Para dem0strirlo, ,s ea 'a'a' ,l¡f!(;antidad qlue se ha: d1!-descompotleri;ef:l dos partes, con la conqicion~ de que su prodúcco sea el máx1r]]'@ ~pos·i'ble ; si llama mes ;~ la: dit\ú"ene-iéli de 'dichas d0s . pá'tte.s, estas. {l S4) .serán a-f!.i.y a"'-i-x i y su producto ,. (a"t'x:ta...:....·x)::::a2-x2., -el cual LlUnca serft ¡payo'r que cuando x=o; pues entónces 110 habrá que r.estar , nada del t:t.la~radQ a2 ; pém' si x '~es b ,. cada parte (le la cantidad 2a se 'c onvierte 'e n a que es' su mi.t<ad; luege. .re>..sulta la proposicion•

I

...... t 7 t ~ $e ~ lI~rM. f(tMn ia CCJ[f! pa:r ación de dos can~ tidades; 'la 'cant,i dad que se compara se llama 'antecec.leJlte; ,aque.Ha con qu'e se 'c'Ofl'ipara, cansecuente; las do~ ;jiID.,nt0'S,· sé Hatna!fl términos de la Tazon; y lo que resuJta ·s~ .1Iama esp6nellte de la razon ó simple. ~ente raozon. Si el aatecedente es i'glual al consecuen~' te, se ~lama ra"ozCln de igual7.lad; si el antecedente es.mayor que 'd<:13nsecuente; se llama de ' ni'ayor desigtwl . dad; y si menot ', de menor desigualdi1d.; . Con dos miras diferentes se pueden comparar dos cantidades' : ,ó para,:averi-guar ' la diferencia que ha y .entre ellas., 11 ue \ se llama raozon aritmético, ó par~ averiguar las veces que la ' una contiene á la etra, que se Harna razon geométvica. La razon aritmética se señala poniendo el ante.. ~ederite 1 desp_u~s un punto) y luego el conse¿uent-ej / '


~'34

,1,J¡:GrEBR:A..

'

la, géométtica: 'pon-iéndq ,s:\os, pU9-tQs ~I:*~ el anteeé:.. liente y el cOlls~q):l,el)te: V. g;. la r~zo.a..ari,Hnédca en.. tr:.!! 7 Y 3 , ~\'! ell¡;H~e 'P. 3 , Y, se lee :, 7 es df:i'tmética:.. 'ment~ á 3; la razo!) geo¡;nétrica ~nJte; I·~. 'y 4 se seña~ r 1a ' I2::41,Y se let; '~l=;Z es geom~tricpme1'Jte _ á 4'; ó. p·or 5 611

estas razones

Üj.S

q.úe 0currea .cQl].C' Q:ias [recnen,,-

da , se le~n olll~riel)do la palal;n:a_ge01!l#ricame~t~ ,d'e ' este mod0; 1 2. es á 4. \ ' ,~ , , 'Pari,!! hallar la. ra~om , aritméti€.a ·, se resta ,el c.oll$'k ' cuente 4et antece'de'?te ; ~v, g. h1. ~e 7 'á 3 será 7-3=4~ Par.a. haHar la geQ.qlétri..ca se, div~de et 4ntecede"t~ por' el.:;,conse.C~lente; v: gda?de , I 2 á 4 s.!!rá" I: 2 ~: 4 Ó'l,f-=3) , -v

Dende lopservan;lOs 'que aunque CQU dj~¡into l!!fl gua,je, volvemos á lCl's, operaciones dé ,l1estar }; dividk; y que el punto pllesto, entre los términos/ de 1¡¡. razon aritmétiGa eq,uivak.a l ,s igno ...- .de'· la ~pperacJ0n. d~ restar-, " ,., ~ . ~, Cor. ~ De esto ,Y'ddo dicho, (6 2.~;(y 4,°) se'sigue E}ue á, tina razon aritmética te .suced.e" tÓr mismo que uZ.

1,

antecedente, y to ,cJJntr.ari!1 que '!ti) .consec~®.t.e ;

y p,OD

lo mismo si ,se tienen dos ra7-ones eon un mjsmo antecedent~, aqu.~tta ,será:'llwyO!, .qut t~.nga¡1,nel10r COnSpcuente, y vjceper,sa; y "i tze'nen un mismo conseeuen~e, a'1uelrl e; .erá mayor-ó -menpr i' !]1,Ie ,.tenga l1iay.oí:; .6 mellor ant~cedente ;y' una: r,az'OIJ, tl'Y'i~?H~t'jca. 'no ,se ,¡jlt.~ra· aútí, que á sus Jo s ténnin.o§ $'p tes izfíacJa ,¡h¡ui.te unp J7lism~ ' ca/'lt i4a4. /l la g~om#rica te .suce.de ló n~i~mo ; y no Si:. atter¡;¡.rq, 'aun cuulldo se· muttiplique11 .4 pgtt,áp ~1.l:.s do .• ¡érmino,r.por una 'misma,cantidad. .9 :'" '.'

. 172 . Cuando de d9S raZQues de ) ma ·misma¡ es.pe~ óe., Ja una tiene por ameeedep,te io r,q u~:la' otJa pot COl1seCueme, se dice .q lle la llna es jnver:sa de Jit otra; asi., 3.7 ~s inversa de la 7.3; Y-en' ,efecto $e tiene _3-'7,=-4 , que ,es lo ;conrratÍo de .7......,3=-4. Tam~ bien 4; ¡ 2 es razon geom.étl'ica ¡n;y~rsa d.e la 12:4; pues 4: l2.= n=f, es 'lo .col11?ra.rio de J 2:4=1.!=3=t~ 173 . P roport;~Qn es la jgualdad' de d os razones \de Una misma. es pecie; así, p,roporcion :tfitmética es ta igualdad de dos razone;\' aritm.éticas ; y. prop0rdoni'


./

135 .g eométriCa)a .igualttacl de dós razones geol1iét'r·iéfl.s. Para .e scribir .u na ,pro,porcion a.ri¡·mética ~e pone' una 'fa2i~Jl1 ,á ..condnuadondeoira , ·se'par.án~olas ,con dos pU·llt:OS '; y .para esc-ribir'.u-na .geomé'tric.a tSe poden cuatro ,puntos .entre :las ,d0s razones. :eara leerlas ,s,e ; lee .cada 'raz.Qn's.epa'faaa:ln€ri.te~ y cuando s,e llega á· ,I'os .dos pllntos ~en ·la -aritm,ét'ica~-ó á .:los.cüat-ro .en .l a geomé,t Nca, 'se 4ee coma. ·En ,wd'i ,prop.orc'ien ,emran " cuatro ,térmi nos -' ,de ·los ,eua·Les .el prime,r0 :Y .ter.,ce-ro . se ilaman ,anPecedentes ,' y el segundo y ..cu~rto ~onsé-1 cuentes'; ,el .primero J ,CUartO &str.emos ,,/ y ..él ,segundo y tepcero .1nemOS. . . 174 ' :Para esc·iibil'- ,prop0rcÍ0nes ·aritméticas· ¡con facilidad,se pondr-ándos':CGIlt.id.a.4e.s c1latesqUiera,sepa1'adas, .entre ,sí ·con .un puilto., para Cjue Jorinen:ta pri. mera .raz.on .; despues .:se po~drán dos puntos, y -Juegoá Vas 'dos iJ.antida de.s lr.iniitiv.as.se les .añadil"á 1..ó .q uí. tará)- t~'a ,~,,!isma cantidalJ.; y se pondrán .e-stosilos niÍ-· me.ros despues ·d~ ./tos :ilos puntos, -separados .,?ntl:e .sí con un'punto .; .los' (;uales jOf'--1'I1.afá,n· leí' .s~uiid;a j'azoí1; ' pues .e neste 'c aso 'las aOj, razones·son 'igl:lales (17 LC·Or,). . Para. ¡fOl'mar ,una p'fepG'rc-ion .geométrica' , .~ e ,es~ cFibij'án ~:aos -cantidades -cualesquiera, ,separ.a~ás .con' dos puntos, para que .formen la primera .razon; Juego, se pondrán J6s .cuatro pUÍl~OS) , y .despues ;p'01- 5~g ullda raz6n'!lo. que .resulte de .mul.tiplicar (:ó -dividir) por .una misma ·Cantidad :lo-s ,dos #"mmos de .la pt'imertl ; por-' que en este/casó .tambien ·s eda ,ig~a:les las .áo~ :raZ0.Des (17)' eor.,.. · .AsÍ'; si q tiiero escríbir ,una pro/pordon 'arltll1éfiéa, p,o adr'é '.dos cantidadés cClalesquie.ra '7 y 5 , se..! paradas con '.tin pumo .; 'lu~g,o~ pellldré los, dos pun-' tes, yañadir'é .á las anteri0'Fes ' una m'ism.a eal1'tidad; v. g. 6, Y :t:ehdr.é 7.5:13:(1, que -leeria .d iciendo: 1 es arúméticamente ti -s como 1 3 á .1 l. , Si quiere -escríbir ll:na proporcíon geométrica, escribir.é dos cantídades .cuatesq uíera v~ g.8 y 5, para. q u'e formel1 la primera ra-zon ; des pues de puestos los cuatro puntos muhiplicaré ambas' camidades ·

.ÁLGEnRA.

/.


:I

i-g:Q . ÁLGEBRA; por et-ra :cua.lquiera, tal ,como 3, 'Y lelildllé' la: pr,e.o Bordon 8.: 5::24: 1 S , qJ.l.e lee.,fJ~ didendo.: Z ~s. ,4 5 ,corp.o 24 ,á 1 g. ~ \ •, I7 S Cu·ando. los ,mecl,iosJde ;una prGpci.;f~~i:on' son ,d iferentes ,~,cQIDO e.n las ante riores. )as propo,f<;:iones SI'! llamaf.l .dis.cret,as ;~y c,ua nhl;o ,son ig.uaJe-s los It.J~di o 8. la pro,po.rcipn ,se llama .contif,ltIa. Así, para f.o.r mar. ll,na ' prop orc~.()n . ~ominua ,ar1tm.étic.a , se p011;¡irá. .. po,t· tc'rcer t,énni;no el .seg.tt1'1:.do·\ y pJW<s po.n?r' el <;J-tM¡tlil. se - añadil"áp l ter,cero lo qtle et ,segu1'u,lp tle~a..b_a ,oLprímer'Q, (6 se le q~;~tará lo q,ue el.púiner,o .llev?:b¡¡. .!t'I :,segl,ln.. ,d o) , v. g. para escribir una prop0r<tic,1I{ a Fitm,éti¡::a· " ,continl¡1a" 2ondl~é p or prim~r~ razonc,ualqUierll 5-' 9; ,despues 4,d ·9 F,()l1dr,é los d.o§ ~Jinwtos~ luégor,el mi¡;~ ,m o 9, Y d.espues ""de un puntG , lo que .re €l¡l·lJ~ dea~ , .ú adir 4 ...a,! .9 , Y tendré la pni> porciofl 5, !'t.: 9,} '3", , La pr,oporcio(1 'ii ri,ttnéti<;:acon~inl;Ía -s,e eSHíhe <!le un' mod<;> abr,eviado. poniendp, ántes ~,s;te sigJ;lo +,;' ,despues el primer t.érq-¡i,1.Ji!>, JQ.egÓ eJ medi.0 ,! y des pu~s d otr,,@es,tr,e\TIO se:p, rá,n dplos cpn, !:lu 'P!!-t?t.o,,; ,d,~ ~anera q!le Ja a.nterior ,stoe~~rib.e ...,;... 5Y9' 1 3:.' ,Ú¡' , DO,nde -el signo -+ p.u esto ..ántes, ,<;I:a á liQnQcei"" ,que se P.i!. de ,repetir el s~egundo :té.f,m.i,n~,., .y r,Sf:. ¡ef.!~' oS es aritr.néticamente, á 9 ,e;; á '13, ' ' , Par~ -formar una .prop.or~iof.l geo,ffJ:.~t;~ca:, cwnti~ ~ua, se -'e4,cribirá 'tm llúm~rl) :·c,tlatfJ.:lI~r,a " ,d~spues s~, pon.dr4 por segtm,da ,térmir;o y por t.I1rc,ero #11 'múl #pJ o 'cuplquie,ra de este número; 'j' luego pan¡ el -f tlarto se :toma el mismo múltiplo del múltiplo ant,e,ri,0'f_ y. g;_ pondr,é pl'imer.o un mí~ro cualquiera: . s: ~ desFues un m~ltipl.() .cualquiera de este, tal cO,mo liS (J, Y est~, :$,e rá el q,ue ,r ep,r esente lGS ~¿ll1edio.s ; para haBar. el o" ~ro estremo, tomaré el lnismo mliltiplo de t.5 , ~sto,· g,s, el tripIo y tendré S:J~::lS:,45 Ó *':~5:45. Donde el signo puesto .in,te,s , indica qU,e s'e pa. de repetir el 2. o t,é rrnino, y se lee: S e,s á 15 e,s á 45 ~ 176 ', ¡;¡;n toda prop,qrcíon aritmética dis qre fCl l,a ,suma de los estremo,s es igual á la ae)os medios ,; y a~ • . 'duplp ,del Jérmill() 1J¡e~io ';7J ,ll! cDntjl1~a, <J , .

J

*


. . ~ Espl.

. "

l:r.G-ElflJtA.

\ 131-

Bean-Ja:s prppercion es· 10'7:'f.'J. 14i07:8<. 1·L 14.

digo qu..e en i a..p~iPJlera set~ 10+14=7+17, ~ en la,' se-g llnda :8+It 4'-; 2 x 1 l. .:.IL .u.. .. , ,

" Dem. , L~ ... _Col110J'Prop.6 fcion es igualdad 'lle razo':¡:¡es.;)a p rri.LNer.a ~ará rO-7=.l>7-14·~-Y trasladando. ~í4-7..co~r.))hs ,cantitlaaes .negativa s al miemb~o opues~ to rletJca 'q ue se h.alla:1ll, !.será L\O.'''lt"I 4:;::;;1>7+-7, que eraL. x.°Q:··D.D.1 '~: . . . . . .... , é . , • • i . 2:''; , cli,a,s:g.g·uncla proporcigm ¡pl!le6t;a~oFl~es.te!J.sieu;: se.ri 8.'lj:.IlL~·I4;AlJ e :da 8·~I. l~1I'-I4.; y trasJa~ ~ailíid.o , t:oroD:ántes ,;.f¡e~)á 8+14= 1 l:t-l a, ~X<.:I~t, .q~\ioe°QT\D ,era L . "'2 6.;:) ' .. i.LI.• l. ' tu.. • ..~" \,J v( ¡, \~\~' .. ' -~ Ese. Sean en gener.aUa s· dos p-r@porcio_hes .a;b:.G..d y +a.b.e;' y discurriendo d.e lll1~Slpfil~nle.do~l(j;~e.;í.ntes, _ daÚ -la~pJ;i.liIJeta a ......b=~ ~ dr:,~y traslacl.a·nd0J(.I4V eor.) será a+d=e+b (1\}- I.'.{> .... \~ • ,,";3 ~~;_~n;¡," .) La ' segunda nos' a.ará a-b=a-c., ,Y ,tr.a'5-ladando~ ~e¡¡á: 2a.-dI--.c:"·~'b.,¡,...&.:::.:zb~ (Ro)}), ~,úe lflani~est<il1i, la pro.p.ool .sicion con toda generalidad. '. ...... • 177 ' Si ,en la ec~acion l Aj .a+.a ll!-:+íe, ilJ~slpeja.,,:,f mos la d, se tendrá d=b+c~a ; que quiere decir, que -d-aau$..'¡'os' ,t·r..es primer:.o;s::; terfl1itlos a tl., <é., .de un(J\o l' I • pi"0p0l'eion, se hallará et !.e aartó~ d S!t7@ nd;fb eJ segun,,:) /le,'cen eLJte¡:cer,o.:, ; y. .r¿sit.tf,1tá:pJe~ pdme!:,o~~ A:s(, -daqos' .105 tres términos 2, 25 . Y 32 , para hallar ' el cuarto, ¡q¡;le llamaré x , 4aré-x=2:~3 2t 9,;:-48;~ gitya ope 'y racion y proporci6n se practican de est~ modo:

::"' 9>2.S:32.X:-:::2_S.-'t';3.2=-"'" 9=4'"8.• ~u~ ohm,. ~.. ':: Esc.\ f D~sl?eja:n'd(!), .Jas2 d~[nas letra-s, se· ~\!Ii!drá ' - • c-;a.+d'r-Q, ~ .. , ,';. r,egla~ para ha-Bar el primero,.

," .a, b-+c ........ d, ,b=a+dd c,

y. ca-da. Ú'ma dará una

el seg>undo, el .t ércéro térmim.os , cuarido s,e necésiten.\ '¡ 17~. \) Si en la . ecuacÍ(;m (B) a+c:r:2b, d~,s pejamos .Ia e, dará. c=2b-a; que ,q,uiere. de¡¡:ir, que etlClfld.() .~. se quiera .haltar unl tercer.. té.rmina continua'proporcional pritmetiea á da:s ~c(jnti¡J¡ades, dadas, det, dupla de Ja s~gunda se restará la prt7J~er(1.. Asj , ~i ,quier:o h<\tia#.' un tercero proporcional á 26. Y 34, ~spresándo.

,


I "

J:~8

ÁLGEnRit:

le.porTni', se'r á x-¡2X34..,,-26=42; que se ej~cuta ca· . IDO aquí . se ve: +26.34.x=.2X34-26=42. ' Si en la misma ,ecuadon '.despejamos "la b, dará b=Ha+c), .quequ·i~re d,edr, ,que-.si dadas .dos canti" . ¡Jades .JF ;luierle .7wt.lar una .media p1·opor.cionat .aritmé", . tiaa, .de ta' suma de :4ic.has cantidades.se tomaráj'a mi-} . tad~ Así , ..si q¡,¡ieterhalIar -:U~lllNedio proporoionafen..l tre 27 y 39, llamándoJe x, .se tendrá '. x=-!(2'7+'3'9:=33; y la proporcion.será +27: 33.39. . 1'79 ;En' toda ' propo-re'ion geométrica' .discreta el. produoto. de los' estrein.os es .ig,uat. at de .kos;medíos;, y at cuadrado .det término medio ,1m la continua. , t , . . Espt. ~~ Sean las -p:ropot:dbhes , ;''''', ': .,8':'.3:" 24':9,<*6:·18:5'l!;

J

. • : ".: •

voy á \decU0"Stt.ar.q.ue 8><-9,~3X24 ,-y que 6X54=I 81:;, Ó en general,. si .a:b,::c:d) y .: : a:b:c) :.· .' . .; slwá ·d-cl:':"bc;yaa=b z.-.---:. :¡~t;', erJ . ' ¡.,. "_ " Deml .. -CSilll'lO ¡J>Foporcl~n. .S!s·"i,gúaldad 'de xazoIlesf . ..

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Y quítandg los d'i:viso'l'es..,:sel{á .ac:::::::bl!=b?- (B). 1 86 .I:-iR;ecípFocamente: ~}-' s.i ,cu-aPro cantii:l-ades '~on tates que e-t-prod,uGto ·de Jdos ,de eH"éls(sea igudb t pro dUoto ,de, Jkl ·otras. dios " co:n .dichas cantidaclzs ~se:-p()... d1"án fOf'tMr '-oaho ' prppor..fÍ'anes '. diluentes ,,) poJli,endo, por est,re'tnós tlás .dos que~ '.formen uan produ.cto ,ly por medi6sJtsrs ,dos: :qúe formen 'l t ctro -froductol . 1 EspL Sel;lri d, rb, !!,' d, -t'aIles"canticlades q·:ue,ad=bc.;. 4

'Voy' á d'eIPO.StI;ar í que ,se pu.eden 'saca;r las ocho' pro;, porciones'úguiemes (A)." '~' t ~ : ' , r r:


AL~E~RA. 139 ... d),em'e " Sí-en la 'F~~a~,hDn ad=bc, = trasladamos (150 cor.) .la d y la b al ((A) ( t -a S ;; C:J eJ:f:b:':c:d (l.a) ¡,\ otro miembro, se llenHrá .-':-='- , a:c::b:d (2. a ) _ • t ,.,b _,d ,.., LII. J·'b'••·c·a (3 •,al' • que puesta en pr0'poT¡::ion dará- ~ . d:c::b:-a (4. a ) /,.b"c·d (1 .a) .~ " c·d"a·b '5 a) "'-:" ..... . . , - .• <: r) S~ en' -la:misma :.ecu'a ción tr.a:s±a.; ,C¡ a:': d:b._ (6. a:): 't. ' , '.1' , ' , .... ; 'a ".• 'b>l",i ·.b:'á,:'d:c 17:?):; da.mos la d y 'Ú sera '- = - , ~up~,~:~::a:c..c8.a)!

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. Esc. Si se q uislt;3.ell saca-r:mas propo;rcio.mes, saldría alguna de las anteriorés; de donde :se sigue que

dadf una e,cl1acion ,se pued§n sc¡car tJ ho, propor ci.ones; '(l Uda uná, 'propotc'ion se t? púede; aaroc!ü) jór171as diferentes. , ' .J 0,


( . ~4~

- A>L'G-'.P:lnnt·.

Si en Ia:~ecuaóoa (A §1791 aiJ=#bc',. idetl-¡'e",

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" !e'" be \ I"'~' -','. jáiho's la -.el,; ae te!1drá d=-- ; •

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'!fue quiere ,decir ~ que-dadas tres cantiiJadés ,- se ha-

-Utlrrí una . cua.rta. proporciamH ;geométrica., ,flf1.dti-pli'4 cando la segunda por la tet"cera., y pa.rtíendp '-el pt:~-" , i(rict.,o P ,OI" '¿a .prirl~1"m ~ Así ;. si q uielI::G), Jñallú un Clfarto ' Froporciona1.'á los nÚfllero~ 9, 14 Y 27, llamá,n,cl.oie X ' ~ ~ .~ ~·:: 1 ·4:d~"~

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Ese.

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105

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términó"s p, 'b,' e, ·se ten'di'~

t'"' '''c'':'--- ·~~ . . '\~hti ~'~~· b=-, :=:c-; . el e .b , ' \I "

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Yncád.i , unal aa,r;á ~lal1e.g¡'a ; pa;ra .'haJrav el prhrrer.ó,

el

segundo, ó el tercero término, cuando se necesiten • .';¡I~, 2 •• Si. ' enb l-auEc-uacioB {B'>§ .Í-7-'9J',u.c::::bJ;~es,pe¡' tz jamos la e, dará ,C :=:-; . a r f

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que quiere decir ; que,para 'hallar ún t~cer t€rmiM continuo pro.,porcionat geométrico á dio? ciirrtidad.és Waf ~as, et cuadr.a-.do- ae . :la. '-segu1fClra se,; partirá 'por la e,rimera. A§i, si~-q uiero hallar un tercero propordo, • . 24"~ .~~:r 6 f. ,.."? -" ~.al á 161'Y ~4" Hamándole x sfi!rá X==, :=:~T36, . - t_r l .() 16 · r .. -q ue se pfactiea como aquí se' ve: . 24 2 . ~ S7 6 , . I

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Si en la m1sII1 ª, -ecuadob despejamos lá. b" J

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sed


lLGERRA.

141

qUt, quiel'e di!c;Í1!' , q~e. si d.a.d~s.~"il()s 'ean;~ades se

quiere haUar.'una mecJw p,ropor..ctonat ., geometnca, dek producto de dichas cantidades. se .eSitr:a:rá la rai~ CHaarada. Así , ~i, quiero .hallar, un medio. prop.o rcion.ü entre 8 y 18" .llamándole x, ser á. ~

- -

__

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x,::::v'8:~'o,8=:V 144""":1 ~r;

,

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y la propordon será :: 8: 12: 1 3. ~ Ese. Elh dignar de net:ar~e :l,a ªa~¡ogía q\té hayeniO tre laS' propiedades de las proporcio~es aritméticas y ·geOluet!lic.as; pues.las d~. ªg¡ uel:la;;~e.convier.ten en las de esta, sustituyendo 17fu1tipjica·r á la voz sumar; di .. vidir á la restar ;. cuadr ar á 'tom:M~el dupto, y estrae~ la rai~ cuadrada á 'tomar l.a. mitad. ' ,

-. " De fas t¡"ansformaciones que SI! puedf!.n cJar á una pra:.. )

'porcio~,

.'

sin que: deje de: subsj.$·pir proporc.ion,

;. 183

H¿:mos visto (180). 9,.l.!e .á la propol'ci9n . , - a:b::c:'d, ' . "" '" Lse la pueden 'dar pcho formas diferentes, y ue sielll~ :pré hay, pJ;opp rdon. Estas y otra s_va Iiias qiue.. v.amo's á es poner ; se llamán a.tt~l"nar, il1wrtir,. co.mpoller, di~ 'l(.j di~, pe¡zmup,a¡". y e,O'/jvertir ,_ _ _ -, j ,...' r' Alternar es comparar antecedente con t.lntecedente, y conseeuerlte con consecuente. , cuya, 0per.acion queda. hecha mudAndo. cJe.' lugm". los medios 'ó l:os estremo¡. Así, la ~ gunda. }i t,el'c,era (18o~estáll alt€ruadas l\es~

q

p~ctp

de 1(1-: pLÍmera. . . . ' ... , . Im'ertir es co.mpar.ar consecuent.é con. anteced~r¡.t~ ,en. cadq u.na de. )as r.a7iQnes; cuya· operacion q ueda hecha poniendo tos medios en Ü!gaf de: los e"t.t1emó~) y los ,e.stremos en lugar de tos medios. Así, la 7.a) es. tá i:nve¡;.r.i da liesp,ecto · dda:, primepao.!-i Ahora", si se continúa aIrernando -é invirtiendo la pri[I!era ;" s~." llegarán á.,tener las ocho que hemQli ¡¡icho. . ," ' ,,' ~',;" Toda preporcion se pued'e- eOTnpolle¡", que es com,~

p¡¡rur.

J~ '¡U11H~.:. d.e· Qnt~c.eg.e.1It~

J q:o,nsecumte con

· U I~


1'-

I .

~42

ÁLGEBn~.

de lonJas ,. en ~ cád~ una 'de las razones, esto es,.-;ó con el antecedent'e ó 'con el consecuente.: ,Sea lar proporcion. a:b::c:d i 1; (ligo que a+b:b::c+d:d y a+b:a::c+a:c .. I ". 'a c Dem. La pn)porcion a:b::c:d' da¡ - = - ; . . ' bd

.... ,. ' ., ': ce . e . anadlendo 1 a ~tnbos mIembros, sera ];+1= ;¡+1 ;, reduciendO' el entero á la especie aeI quebrad0.que le~ ' d ',a+b c+'r1 ac-ompau<! ,. Sf!, ten ra - - =-- ; b .; ..d . ., que poniendo- en proporcion da: , a+b:b::c+d:d (A)ll'. q,ue era L. r ..o Q. "D. D •.· . Iny.i:[rien~O' 1éj. pr0R'0rcioll dada: s!: tendrá b:'a::d:c, "

,

0'"

r • b a' .. '. . . ' Z, ·d . que da'"-- = --'; añadiendo r tendrémos - +lz-:- +I\; a c a\ c 7

_

reduciendo' el entero á la especie del quebrado qu~ ,. . '., .: ; :b+a" d-f-c' . . " le acompaña,. da: --= ~ r Ó b.+ a:a::d+c:c (B),. 1~':"'I.i'" ~ ae ~que era L. z.O Q. D:. TI. .' '-:' . T oda proporcionose puede dívidi-r', que es c·ompa..· la dif erencia d~ a,ntecedg,mte y conse"cuente con uno .. de tos dos, en cada una de ta~ razones. ;. esto' eSI, Ó :bien ,con el antecedente ó bien eOil eI' cons~l.C uenl e. . . Sea la pI'0p-or.ciop. a:b::c:d; digo q ue a-b:b::c-d:d, y q ue ~b:a::c-d,; c. . • :"

",m.

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.

..

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.; ., Dem• .~~~ lr~porclO.~ ~ : b : : c: a, ~a quitando

a

e .

¡;='a ;

'1de ámhos miembros, será' !:-l ___ ':"-i;

b·-- :- d nduciendo el eotero 4' la: especie .del quebrado qlre!~


ÁLG.EnRA.

a-b' c'-a

acompafía,. dará--=--, , b

a

6 formando propordon a-Y:b::é-a:a (C),. que, era ,L., 1.0 Q. D. L." ~ , Invirtiendo la dada, se tendrá b:a::d:c,

b' a a C . quit~ndo' ámbos' miembros, de' la unidad, ó restando queda-=-;

esta ecuacion de la

1=1

,

b'

1

--"-= 1, a

,resultará" .1

'

da-u c-d ó_, "-- - (-"

.......

CI

a-

c

ó p'opiendo en proporeion a';"'b:a::c~d:c (ID)," que era L. 2.° Q. D. D . . -" ; " Permutar es 7'nu8af1' de' lugar las razones,. ó poner' ld segunda razon por primera, y la primera p'(Jr.' se:g~nda._ Así, la 'quinta, está pe.nnutada respecto de la piin:íéra (§ ,I80)~ '._ t Convertir es' invertí" una' proporeiort compuesta 6' dívidúIa;.:cuando' se.illvierte 'una compuesta, se llama 'conilertir oomponiendo: y cuando' una dividida" coo" vertir dividiendo.. " , ,Así, i~yirtíe~dci 'la (A,.y (B) tendrémos .' . b:a+b::d:e+d (E) Yd l:a-f-b.::¡c:c+.d (F), --., , . 'qu'e' res'];>ecto á: la primítiv$ están converúdas' com·poniendo;. é invÍrtiendO' las (C) y (DJ se ten'drá; ,b:a-.v;:a:c ': ~a. (G) y a:a-';"b::c:c.-d (H)" que' res,.., pecto de' la: primitiva están con:v.ertid.as dividiendo. , 1 8'4-.: :Alio!,~ vamo~ a: d'emostrar algunas propiedades de, las 'proporciones ... ;.; .' ~ .,' ". ). I,&. ' Si los antecedentes d( una Pl"OpO'¡"cíO'rf S011 iguq~ :¡'es ,.otambien tI> se1'á'n 'l'os;. com'ecuel1t'es;, y recíproc;l~ mente-.. . :. '.1 ..., ". '])em,. La proporcÍ0II a:br:c:ct, da atI: bc;. sí se 'sU>l?one' a=c<" se podráu'su primir , y oq uedará' ti 1J; Ysupenienao d=b, quedaria a.=::c,'que es ;L:' Q • .D. D . 2 .<1.. Si. 'a.9S. proEorci'Qnes t ie Yl~n una' n~~on C'6mU¡1~


1- '

T<1i4

,ÁLGEB1tA,

,con las otras dos raZOfles se podráJarma," P'"OpOI"cian; EspL ' Sean las 40s proporcioriles '::a:b;: 7t;:~ ,', .y." ~ a:b:: m:n, que tienen comun la r azon a:b ; digo que se tendr ~ c::d/;ml11 • . ;Dem. Igualando las razones. en· ca'da prop(j)rdoS .'

t

se' tendrá

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-b =~, y -b = - ; d

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c , m.. ' · b ·" 1 ' a:. 'Y,como ,.y - ' son· am as. 19uaes ~~,' ,d ~ .=_'! b .... ..;. , C'mtr. ax. 5" O),~ 19Ua: • les. entre 51, ' , ' c m' seran esto es, ---"'="-; .)

.

d

n

que fortn'<ind@ ,pl1oporGion., tendrérn0s, c:d::m::n,. que es L. Q. D. D. ~ Cor. , De aquí se decl:iice lifue s·í iJos'-: praporcio1les . ·t ienen unos mismos amecedentes\ ó unos mismos, co·n'sewentes , Je poa'rá farm ar p;oporcion con tos c:oose.cueiltes ó alltecedemes ~ porq. ue alternada~ cendrta'.! 'una ' ,razon cO!nun. ." 3. a En to da propot"cion geomét¡:ÍGa la smi.a; de ·añ,. ·t eceaentes es á la de consecuente$ ,. como un antecedente es á su consecuente. " , ~. ~ Espt. · Sea la pF'Oporcion á;b::c:ct; v.oy á derpos. trar que a+c:b+d::ll:b ó· a +.e: b+d ::c:d. . ". " Dem. · ; Ahernando la dada ,será a:c::b:d; y comp(i)o niéndola dará a+c:c:{b+d:d Ó a+c:a::b;Kd:b, .q lH~ al~ -t ernadas s~ rá!q a+c:b+d::c:d (I}, y a-f4c:b-f-'i:l::a:b (R), que es L. Q. D. D, .";, - 4. a :. En toda proparcian geamét1'ica lis.' difef'$flcia , de antecedentes es á la de consecuentes·, como' un" ant,e· . cedente: es á su consecuente. ' . , Espt. Sea la p'ropo,r¡;:iorl((:~: b::c:d; Yoy: ádemos.tri r que a-c:b-d::c: d: , ó a-c:v-d::a:b. . Dem. AhernaDldo la, daOlaserá a:c:;b:d ,~· y div¡· diéndola ,. s.e tendc<Í! a.,....c:c::.b-d;d, 0 a:;-c:a:~b-,d;b; que alternadas dan a-c : b~d::c:d: (L), Y a-c:b-d ::a:b Hv1), <¡'-le es L. Q. p. D. ~


,~ S'. a "

En toila

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AÍ:.G En If

Á:

1'45

proporcidn~' geóinétrica lá suma d'~

antecedent-és es 4', -la de consec'uentes, como~ la dife'tencia de (lntece'd'eñtes es á la . (le consecuentes. ' Dem. Si'Cle';. lásproporeiorres (1) y eL¿) }l qlt1e tie" nen comul1 la raz dn c:d safcamos la ...1. a+c:b+d::a-c:b-d (N), tel1drémos ,L. Q'. D. D, 6. a En toda proporcion geométrica la suma 'de. ~ntecedel'!tes eSi'w S'tl diferenCiá , como ta suma de. cóJ... secuentes es ÍÍ' ~U I difeY'enci-a. ' • L. Dem, Porque si alternamos la -propordon a.nt'e rior tend.rémo$ a+c:a-c::b+d:b-'d (O), que ' es-

presa L. 'Q.'.o. D. , \, .. ~. Ese. , Compararido la proporcion (O) con la primitiva altemaaa., que es a:c::b:d, n95 dice, que la m.ma de loes do. pl"i1n~ros' ténninos de una p'roporcion

es' á su diferencia, como la suma de bos do~ últimos

es

á la suya já cuyo meda de comparar le llama. Les'lie, mixing ', esto es , co.m parar me'Zctandó. . , COI'. De todo esto resulta que 'dando la primiti va ocho formas, la eA~ otras' ocho, la (B) o,tras ocho, la. (C) ptras 1ocho" la (.o) o~ras ocho, la (1) otras ocho, la (K) otras ocho" la (L) Qtras oehor, la: tM) otras ocho, y ¡ la (N) otras ocho; se si'gue que alternaddo é invirtiendo la primiriya, y las que resultan de elJa, s'e pueden sacar ochenta proporcioñes de uaa dada. " ,,, 18 S ES',tan itñportante ,la regla <lada (174)",que por su medIO no sólo se pueden fo rmar ¡nmedIatamente proporciones, sinó q u'e dada una' razon, se p.ueden poner ,otra multiru,d iguales con ella, mul ... tiplicando sus dos términos por' 2, por 3 &c. As·i , dada la razon 2':'3 , obtendré.mos , . 2:3::4:'6::6:9::8:12::10:15:: '1 2:18::>14:21:: &c. ~ue es lo que se llama $erie ele ra'Zones iguales, y se suelen e~cribir abreviadamente de este modo: 2:4:6':8: lO: 12: 14!: &c.:: 3:6:9: 12:15: 18:'2 1: &c. Cuando se quiere sacar una proporc:üon, se to- ~ , ~aráfl dos tél'mi'nos cualesquiera áfltes ¡le los cuatro PUlltos . y otros d.o's cualesqllÍera eq uidistanJ. J I ' 1 lO T. 1.


f46 -

4:¡:'~Elm A.

tes des pues. Su~, P!opiedades soti~ las si·guientes. . Ira E.n to.da serie de razones ig~a¡es la suma ae to·aos los antecedentes es á la de todos los consecuen~ Ús , com~ un antecedente e~ á su cmlSecu~nte. .~ Dem. " Sea esta la serie de ta~Qnés iguales ~ a:b::c:d::m:n::~.c.:~c; . ' .. . y tomandQ las dos primeras tendr,ém€ls ,a:b::~:d; q¡u~ ([84, 3.a): nos dar4 a+c;b+.di!~c:4, . ó poniendo en vez de la razonoc:d s u igual m:·n por el sUj¡>uesto, se,tá a+c,:b+d::.m:.1'l;. '1u,e :pos-.la, misma propiedad. da a+e+m:b+d+n::m:!1 Ca), que es .L. Q. D. . • Esc: Si bJ.u.b~ese mas razones i,guales , en vez-- d~ la 1,í..ltim~, m:n, se .s ustituiria otr<j.;" y..se cOlúinuaria 4d mismQ modo hasta que no hl:l.biese ~nas. · . ,2. a En .toda. serie .de r.azones ,iguales la diferencia de. anticedentes es á la de,. comeCUe1.ltes ,. corno un an.. tecedel1te es á su consecuente. ) r Dem.~ Supongamos la misma serie w:b::c:d::m:·n::Q:f. y. tpmando las dos pri'meras será a:b::c:d; lac cuat(184 , 4.~) nos dará a-c:b'-d::c:4;. ó ponien.., d€)· en vez de c ~d su igu~l m:n" sed a-c:b-d:.:m:n;, <fue en virtud de.1 1a. rpisma pro,p ledad .nos da a-c-m:bid~n::m~n (h), que es. lj. Q. D. D. _ 3. a ,En toda serie de -¡;azo.lles. iguales la sU1ná de antecedentes es á la de consecuentes, como la diJeren.., del ·de antecedentes es á la ele. consecuentes.. .' .DeJll. Como' las dos prq'pof(;iQnes.(·~)., (b), tieñen CGlm ll·¡;¡, la raZOl1 m:41 ,. con las. ot¡;as dos forma¡;érnQS: proporcion (184, 2. a) , y tend1=émQs , { a+c+m~b+d+ll;~a-c-l'U:b"7'"d-n 6c). Je" ¡Q. D. D. 4. a E n toJa serie de razones iguates la .sttma d~ antecedentes es. á su diferenc~a ,. como la sU.1l1a d,e COlle secue1'!t,es, es á la suycl. " _~ . _ _ '1 ])em. Porq,ue si. aItemamos la ptoporcÍGn ante~~

n.

:r ior, tCl1dr émGs-a+~ + m;a-:~-m:;b+d+n:b-d-ll(d), que €spresa. L. Q. D. D. . . En toda sel'ie de razones igU¡flte..s l.a relaciQ~ oljue tenga un antece~ente ccm ta sumi:] i"ke lo§ 011 os, ,es~

-. ' s..~

------------------~~--______~_ _ ch____~______


~

Ár.G'-BnR A.

misma tendrá el consecue'n te c01'respondi~nt~ suma de . los demas. '.'

De1n.

147 ¿a

C011

Sea la serie d;e razones iguales a;b;:c;'¡;;m;n;:p:q::'ttc.:b'c. ,

Si consid~ramos f>lue empieza desde la segunda ra .. Z0n, uenarémos (1 .a) C+I11+p+W'c.:tl+ll+q+'ttc.::c:d; pero si en vez de c;d ponemos Sil igual a:b; resultará \

€+m+p+'ttc.:d+ll*q+'ttc;;:a:b, : .

la cual, per\TIulada Y altel;Qada se convierte eh a:c+'1n+p-+'ttc.:: b•d+ n+q+'ttc. Ce), .

:q..

, . (-

"

que ,espresa L: Q. D. Coro De aquí resulta q~le si el ptim~r drtte"aedetJ-

te es 'igual €on la suma de tos demas, el prilner

COll~

secuente t.ambien será "igual con l{~ suma d~ los d e11.lM . consecuentes; pOl:q ue , si,en. la última prd porcion supOQemos a=c+171+p+'/JtC. la primera razon será de

igualdad, y debiéndolo, ser' la segunda, ser;á b=d.+ll+q+'ttc.

.

," 18.6.. ' Se llama crazon compuesta la que . res ul ta de multiplicar ?rdena<!l.ameflt~ (esto es antecedente p or antecedente, y COfl$eCuente por ,c onsecuente) dos ó mas razones. As-í, sHas' dos razQnes 3: S y 4' 7 las multiplicarnos "ordenadamente, teJ;ldrémos I 2: 3 5, . que será la razon compuesta de aq uellas dos; las tres · razones 4:5; 6:'11; 9:13, dan la compuesta. /' 4x6x9:5XIIX13I Ó 216: 715; &0. Si la razon .·compuesta . reslllt,$IL de dos tazones . iguales, se ~lama duplicada 6 )!úadrada; así, si se tiene'n las dos razones ig,ual(}S: 1í:8 y 3:4, la 6X3: 8x4 Ó 18:32, será dllplicada 9k uadrada de la 6:8 P·3:4 . .Si se multiplican tres razones ·i,g.uales, v. g. 3:5; 6no y 9: 15, l~ €OlllpuestCl! 3-X6x9: S-x lOX 15 Ó 162:7 So, se llama. tf'ipticada ó ~cÚ~.' ~sí sucesiyamente Gl.tadr:lbpltcada .&c. -/ '•.. ~.. ~ -.' Ma!aiemfo la,mul¡.ipHc8.cion c9m0~ s dicho, se siga;e.'que fcmTIar~,ra7:0nes.,cQm'Pu·estªs. ' es ' mismo que-JIill,uhip1icar quebrados; pues, toda FaZOl1 es un ' l!J.uebrado- €uyo' numerador es el al1te~ed e.m.1: y . denomil'lade'l' ej cons~(c;ueJ.ilte. Así) ' cuand~· la s . ¡

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14.8

.

ÁlIG'EIfRA.'

son iguales; equivale á formar potencias ddos·mis.... mas quebrados; y hG aquí la razon porque se:llam~n. cuadfildas ó' dtfpticadcIS, cúbicas ó tr:iplic-aáas b'c. De que se sigq~, que po ¡;!S lo misluo razon d-upl~ que duplicfSda; \.l,na razoa es dupla de otra, ct,lan:d(;¡ Sll es pQqeme es ¿u pt9 d~¡ de ella? du ¡>lic;ada, 9~a~qQ e& su c;qadrado, &c. &c;, ., ' 187 Es muy impQrtant~ ,el simplificar las razones y prop<;m;iom:$, pafa: poder ejeclltar c;op 'esp~aidon los c~lc;u!os de sus conühuas aplicadop.es. Así, en cu'anto se dé llna ra~on se verá si se pu~d~ sÜll,Ellifi. (far, d,ividiendo sus qos térrqin0s por ' 2, por 3 &c. lo q U€; ¡:lO la altera (171 cor .)~ por lo. q U'e e~. vez ,de la fazon ~;~~ se podrá poner ~:9 <> 1;2i en vez de l~; 18 se pondria -619 q ~:·3 &c. ~ 188 Si la pri!uera ¡:azon de una pfoporcion po se pueqe si¡pplific;ar 1 9 ~e p.~ ~iqlp1ific;ado ya, Se verá, si se pueden di vidi¡: los dos a~1,~ec;edentes pOr u[\ mismo número l' 19 qUe tampoco alrerará la 'p~opºi:ci@l1; pues si se alterl'\ase, se 'podria ya simpJiíi~caf la pri~ mera razoD,. Así, si tengo La. 'p'fopon;jon CA: pág. sigte.) cuyo cuarto t~rmino ;x; q \.liero busc;ar, sil11pliticaré la , primera razon por 4, Y tendré la 2/ qlle: allí se v/e; abora dividiré por 3 l@s amece- ~A) :. :;. pentes, y tendré la nercera; qUe 12:8::.36:x da para el c~arto tGrmino x=241 3:2::36:;x; que es lo miS(IlQ qUe ' 1:2::12:"'=24. 8X36 288 ' x=:--,= --=24, l~

, ~~

pero muchq rq~s sepc;Ulq. .~! e- :..189"" Al fO.flllar razc¡¡pg1¡ C;0mpuesta:s, ·puede ocur. rir el que no pudi~¡;¡d,9se simplificar las $iLuples " se puedan simp¡il1car ,las compl!estas ; pOfque al-gúnqs factores de lo"s antec;edeqte~: -dé las \lnas lb 'seamItam. bien de)os . Qonse~uentes de l.as o~réfS ,,"Y a"l QO?tr.aIl'!P~ En este caS0, en luga:¡, de simpliacar la compuesta: despues de formada, se indica la operacion ~es01vien.¡ dlil en faqpres simples Los términos ddas cOIDj?0rten.. .


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.!LC-li:DltÁ.

:[<49

tes., ' y suprimiendo los q,ue sean ~omYt1es. ASÍ, si , tengo, las razones 3: '5 ; _4~; ,10: 21 , que dan la compuest~ 1 20:9H " Ó simplificando 40: 31S'tí 8:63; , ' fOfl'l).aré ~a compuesta, de este modo: ' ' 3X2)¿2X2 X 5~SX3Xsx;3x1, '", ~ , ' que 'supdrrliertdo los factores cbrtlUiles .3 y S queda en ~X2~2! 3XjX7 Ú, 8:63, que es la nism,a que ántes. C~lI!o, aJ forwa.r 'l1na, razo'n eomp J esta,' se puede poner ea lugar de cualquier razoa simple; ,btp que sea igual' coq ~lla ', se sigu'e <;púe despueíl d~ ferinada; se podrá hacer igualmenté esta sustitucibn, ponlendó el arttéc~derité en vez del antecedente y él éOl1sécllente en ~ez ,del c~)ll$eé!l€h t:~, A~í ; cuando v,oy á, formll.r la razori' compuesta de las 3: S y 6:7," eri vez de esta podré poner ,s l,i ~g>,u~l (2 : hÍo ó' 1 8: ~ 1; Y eH vez.d€ l~ compuesta 3X~:5x1_tendré 3XI2:SX r 4 Ó 3.X I ~:5 Xü; luego invétsáq.¡,énté ;', s,i teñio la tazon c<,!mpuesta , 3>< rlk 5Xi.t ; en vez¿de,la cóttlp,t;mg,nte 1,8:21 podré poner, cu~lquie.ra de 'Sus iguales 12:! 4,6 ,6:7; y la tendré" cbnvér-tidá en 3Xi2:S)(I4, Ó 3x6:5~7' Es.ta pt'.oposicien es de la,_m.ayor ~mportan~~¡¡. , y los pÉ-8qp.~nf!e $. suelen encontrar I?uchas dlficultad~es en , ell.á:~ c,uando no se' p(es€nta con toda esta lespe:' cificacioñ., :, :, i 9~ S,~'-dos 6. m,as prºp~r¡;iollés se multiplican t/rd.ella ra1j~e,nte, 'el .-r:esultado será una propor.cion comp'uest.q'I, Rorqu.e sie~do lél!s. r¡fzoBes componentes "de la, primera tazon tompuesta ; iguále~ (por la natuJ1aleza de las ptopGtéionés) con ' lá$ . . , , ' 4: ~:: 8: to (a) componentes de la segunda; ,!asraí.óh~s.fófupuestassetá:n 6:11:: 18:, 33 (b) ¡~,uales .y+ for.l?ª[~n , propor:' , ' .----. ClOno Así; si tenéliiós las pro- 24: 55:: 1 44: 3 30 (c) porfiones (a), .(b), multiplicadas dara-n la éomp\uesl'a (c). ' , _ , Luego tnultiplicando btdéfiádaménté Una ptopóttión pat..sí mis~a, el resultado formará pr9p oi'cío l1~ de dende resulta que si cuatro' éantídad~s éstáll en,' ;Proporcioll , taJnbiell lo ésMr¡;Ín s~s cuadrad.os; ,sus CU"

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"150,

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ÁL(;EDR,A.

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lai· pofen~ias de' un mímfo grado"f'y al contrario, si cua.tro canp.idades están en proporc;iQn, tambien lo estarán sus r(i·iees de .un mísmo gfaaó: hos, y en I

g~neral'

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~ll ~fe<;:t.o? la proporqiOIl Clib:;Cid da ~. 1 \ . , ;

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que eSJD. z ..q (Q': D.. ID! - '} 9'1- , Al fOFmar ',pro perciones com p'll"estas) oeon' vendrá simplificar las razones al tiempo, de,.sac"ar:lá.s~ pero pa,rticuIarmente 'conviene tener pFesente_, qut;:

ClJ.ue ,da; ·va-:'\Ib::V'c:·V'd,

si dos r-a.zones sQn taleS- que en- ro, una es alltecedéntdó

que en la otra consecue1it e', se' omite el término Gomun, y se , ponen tos otros.' Así, si 'tenemos J. J''':''" ,,-,

P :Q::a:b ,J Q.. .tlú".• C.U

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se tendq. P:R;;ac:bd; .. ,

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,;...¿.

porq ue si se fuioiera c(')n e~t:ehS'i~n seriwPQ:Q:Rl!1l1:!bf1;' -y sÍln plili cande la'" prfmera' razQn por Q, . rc;!stl'ltaria.. poi ~rltimo P:R:¡Clc¡[,{l. "

. "

Ve la reglq de tres

. ;,

' .. ( ,,'

y de compañíéJ. '. /,

192 Se llama regl-a de. tl"eS Ó regla de oro; la que enseña f, determinar los efectos por medió "de las causas ~ ó las caqsas p.or mediQ de los efec;tbs) c;uan·


i 5i do :~<c~~b~e" r~~ 'depen.cfe~cía 'iu~ tÍenen entre':t sí,: ÁÚ;.Í;:'BRA; . ' ~,

,

La ff~gra d~ '¡r~s puede ser sjmple y compuesta; si,mplerc.uaf!do, para determinar e1 efectoó causa que s.e ' l:lusca/s~IQ ~e 'ati~9de á 'l}-na circunstanCia; y. compuesta, c'uando sé 'neées'ita atender á -dos ó mas: ~ La ·r~g.ta' -,~é~ r~,es simp'ie ¡ se s~bdivicle en directa é inversa; díreéta' f!S aquel'l a en-que se trata de 'ave':: 1-(guar e'f eEeétb :,<Jue '~pr('jdli&t; un¡¡. ~c1ttsa:, ó la -causa de que proviene' un' efecto, euando se conoce el ~fecto' producíd9 'p,?r, ~ti~~ ciúsa:" de la misma ~specie;,y la inversa ~s aqu,eHa 'éJi <;lue se trata' de averiguar ' la! caus'a que se' nec~sita para producir, janta con otra dada, el mipm-O ~ e(écto que ' 'han prbdtlcido' ya ot~a~ a,os cau.sa~, de, lá m~sma especí~. ,'para que se ,vea bíeuI la dif(!,rensi,a. q~e hay e1i.fte las f,eglas de tres; nos !,al~rélno~ ~e ~~ro's eje~p}os. , . ! ' ~. o ~ St fa~~~~~o que 1 2 ;ofi,<i1.~l~st de ~astr.e ?z,a,? 'hecho en una se,mana 72 v.estuarlOs, qU,t'e1'.() avengUim~ éllál1tOS :Ves'tú4'6 f SPbdrán hd'fer- 24) sastres en el mi~i1J,ó\ iie;~po', e;to·'ei·, una 'splltJhá r esta es' una' regla dÉ? tre2 simpl~; .N? ~g ue. el nw.n~ro d~,v~stuario~ que busl' '~~, soló ª'~pcn'43:!, .ige una cit~udstancia, á s~b~ r , .d el Illlmer,o a.e ofici~les de, sastre q úe los han de hacer, adell'las ·e.s dü!ecfa, porq Uf! trato qe aiVeriguJa r los véJsj iuarios ~ esto~ ~~", ~l efectO" q~~e han de .produdr 19 s J4:.sa¡;1rés', S~~ ~on !.~. ~,a~s~;, p'o'r med!o del co!. l}?Clml~í:J~o 9.~r ~ep?o del, qut: pan pr~duc¿do'en t,~si mlsmas CIrC\lostaIÍCla's 12 sastres, . • . .'!~T'9,~~~ ~~~i:~'sim píe 'y, cli:i§~~'~;la ' re~Ia ,d~ tri~~, SI VInIeSe prop\l.e'Sta' en estos ter,mll10s: H 12 sastres ' h.un he~hq. enyn~. semana 72_'l!es.t,€ários, 7¡aper en el '1i!is~b 'tieinpo 144 ve.stuario"S, ¿ cttántós' SíH't'féS . sé nec,esit~,.;a~t ?}~orq U'§ ~Qu:í, s'~ data de averig uar ,~a ~ausa , esto' es" ' los oficIales de s.astre que se neceSItan pára ' hacÚ'l'ós 14:4.' ~estúa~ que Sbl{ el efec~ l to, F~r:: ~~~d!~ , del ~f~Ctd' 'col1oddo 72 ' vesruaribs c¡ ue han heclió tos 12 s'as ri:es~ . 2.? S'í'-subiendiQ que"'12 5C1Stl·és 'han hecho en t:" es ili{lS 72 'Vestuarios, quiei'o a/lJeág-uar cuántos sast{es ,

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~ .los ,~te9 dia¡¡ q, u) .hal1 trabajªao ; ,x rÍ,O,ór;¡. trito~d..s

détwninar un~ de l~s é'al1~á:s ~ á ~~~ge.r'] ~~l: n§~ierló" ae ~as,tres" que Junta ,c on la otr:a ; ,es decIr , ~09 J9S~ ó di en Ll1ué han .de'.t~abajar, ha d,-.~,1' J.(.I óroduCir 'ellhis: > '"1 'l~'~, ¡ ,~: mo ~fecto de hacer 10.5 7 2 v.e~m~r~os. ~ 'u'j" ... :J' , '. 3. 0 Si sabiendo que r 2 sa,$5r!s hpn )iec,~o en 4aias 7'" vestuarios, .quierQ averig~¡ar: 1 t'o~ ~stüarioS. q.lI:~ ,ha'r.4n ,36 sastres e.tI- ,~- ,di~s: esta r~'gl~~ 4e , ~rps se3 fá compuesta; porque el, numero de r,estuanos gli\; busco, depende de d0~ cir<;:únstanoi~s~ ,a ~aD~F, de lo{ ~ 6 ' sastJ:es, y de lqs:(( dias'q uenan dere:;far: tia,lJª,jaQ(ro~ '-'r 93 Toda cU"estiOVl que cQndu,cé J.1 ' uiía 'r eg hi de' tres, c@nsta de ~cl.os. :par~és : dél sup~'éstp'~X Í~ :prgg,u~: tajOen el supuesto s~. da: la dependericiá"q tie tiene la ~ausa con el efec,fo' ; ' y.. pre.ÚtJtc¡." .J:a ca,usa ~fecto que Se da ~, p.ara áeterminflr er ~fecjó ó' d'&s~ ~ b .. ~'-J ~;.. que ~e asea. . .;; .. ', "{' f.I :r¡'h" ' l ' ~ , _, Ell toda , regla de' tres ' simp ~ ,ef1t ~a _( res cáñ1:i; dades conocidas: dos de~ supues fo , ~y u # ae la g_lll\lta ; cqmo, es t~ ./;la ,de; Syf de la, m~~ \11a, ,elBe~ié_ q l;l~ uña de las ,del su pl!i sto; ~ las' d¡;¡s ( ~.anti~\ides · cQnó~ c:;jdas 9u.e son de , ur¡.a, mrs',irii e-'sp~~le ,,' se.J,é~ ':1I,ama. ~r;,{~ci.pa.tes ; la otra Y.1~: ~u é se :~~$$1á ,; ,,~· tltl-¡:~~n ,r.ei lh·tzvas; pero como ete las relatIvas SOI9 ~ ~ §! <;onb~~ un.a" se llama ca¡n ~iaad- principal 'Y\!). -r eJáti}-;f á lai dos/,del supue to, siendo la princi~álla gl,Je ~IS de)a., miskIa: .e,specre que lat de la p"regunta.'., 'V. g' . eu. al1do~ "':"-.J ... -, u" ').. ~1u;,~ o, averiguar 1p& vest).tarios ?q úe · hl!rá'~. ~4 sas~reS: en el Su p.uesto dé que ,r 2 ,hayan liechQ 72 ,y es.tuanos,. tas ~j-01 ,cantidades .p'rindpal<ls ~Q[l los "-): 2 .sa's'tres y,~ ' ~3~ ;~4l;J l1 s , relativ~s~;s:~~Jp\s, 7. 2 iés tua riqs,y J9s q,ueJ bu sco; y las que se llaman cantÍ'dad prindpa~ y su rela ti va son los 12 sastres y los 72 vestuf~,rio,s, siendQ, la p rincip:tllos r 2 ~as tr~s que e,s la df Jª, lnj$ma es-" pecic q~ Ii e la de , la, pr ~glj.nta;" I ..":" " ..,. ~ • ,! ... '-' -'- . ,}

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194 Toda la dific·fr'J.ta¿""á~- a regla de tres ¿'o hs~ste ,en gb~.~e~r a';-lp~rgl~~ da.sF}lt;~ 't-o~~ [~5lá r~~u . Gld0 a encoQ.traNl.I .cuarto termmo de una proporClOn sreom~~rica . Po¡:· lo¡.cual.;y:amos á .déducir, l:eglas. ,ge, ...• ~ -;1 q t,! 1 ( . 0 • '~~) 1 j ,lo., t ~i)f ',?I"A,:1 _..... .. .... g~r.al~s Ri!!~< 50. ,. +afrteq. - " . -, -J"" ..' • ~ .\ ~{ fa r.e gla de-1i1;ú. es ~directá .; ,y. ..s.e'· pid'e ,el efect9, (¡T;.e p·ro<aúeirá\·1~·ca:usa ..2~ ~ujeta' erdas rri'lsln. ~s concfi~ :J.f¡!1 ' '''C<f.,J'jV 'JI(U"'~: If ¡J~""'f' .~ .... . !;fQne~ eb",,_1q,ue laeau¡; ¡a. a. ;ha .l'nt:oal1cido l?" ... c.I: J~ . ' v . ;..¡¡., - ~ .r::.. .J .;eJ . J... ... _; ~fec~o_ ., ( ~?.rgq,P,?( ,r~?nQce,tpo~ ~Is:.t~ .~fecto l~, l;~alllfl;l.·~FPH.L .?C; ."1) sléndo [j el efect0 q ut! ha p~~dUC:~Ol!qp se~r&'tftp. pro ~ l.

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:-~.,~ e,~ :1 ...~:j-: 1 . . . ~~ b,r;h(~:r,

!;¡J.t!",

~_i\.O\I~.~ l~· 'Ja

proponclOn, sera lJ:á::x:c 6 a:b::c:.?C o 'a:c::b:x. ·

r;' c~l)lg,? para~P}lappe~;PIt~ r~, ~1~,dt.~~~s~4·~e~ta. , $e~ !g~~r~~or prime'f.. eJJ.'m11oii1(f~ cart~ii~~; p~terWfl ~:¡:;,

stfpuesf;e-; luego, é.uaiffq'.uierct de las ot'Y'as itos, á sa'ber, lal ret.aJ~'5!a tfet~ SLtp}te tt¡) ·á~a<-p,l;!ncipa!r ~f.r¡~a 1l1J,g1:'~~a;.' d~p¡¡es la' ot1"a', y /t cuarto término de la proporcton

3tt¿~_ ~ol~ude }e ,b,uS5e ;.Au"~ P51~á enc?~:~~f:lJ .::~e _p: ac,:"

¡cara o 'lC h (') (1,81). / Ententtidio esto',pasarélllOs á; re,sot~~r ;algunos, ejemplos. ' . L' ; , ' •• ~" - " 0 ."1. ' S.e sabe qy-P, ,40,,,,so{dados hgn' abierto en un . tIempo cúalquiera i 60 varas 'de trinchera; para abrir ' ~oq :,pr~s en eJ _mi~mo . t~empo, ctit;í1(t:~sJ soldados se , ~e:rsttqr~,n?"

Aqilí

.'~

la"canti'd"ad priNcipal y 'su r-elativa son 160 varas y 40 .s oldad0s ; luego :p~antea.r~~os _tª' cueªtion del modo sIguienre: ' ,


I06.-18~h\ '6'.x~.7.P4~7.?<6;. 4:JP,qp z L, . -. :" , . 100 ' .:r00 --'f' jr.. 47b~~z~14706'¡fs . IY 7!nl~s . ' .' , ,v~l> -'~ .12.; ~ Si 1"ª: .f.egl~ ~de .tres~~ ~nier,s,~_, y se ~ Y.p,9\.l;~ <1tte'::;lrá~ )Jifs\!a7Itas"d j'l'J ,fiaH"pr8ürut 'id6 Urf ~féc to"14 y dada una cau's a c de la.mi sma especi~q ue a, se 9. uiefé'av&lguaréól;H ¿;áy~a 'x ae'fi'm~sma es'p ééiéq u-e'5;' que iunt~ coñ l { q pr'o duzca el mismo efecto K; c1ís<ttll;dr~'lAQs.~ .lS¡e...mGdÓ.~ ~i1<g~e¡ij¡j.;¡~a s0la:I!~ócdllje . :l ~ ' . K se el ef~cto)t:, >~l!,a . ~9i. d ~d .~;.p,_.prf 9 d~dri~¡::;:)~ r'; ~1 ......\.!-..;.;.".. v I."Jo ~..J ..... ,...:'3. _. I.,¡ I.f'

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_ :{lip:;a', '2Jte!éf'~étB.(l-ebed ~'~W~iatG:"m![nor en,c'ú';(b.~~ la cWsa" d:s:e!á'a)tft{ltd~ ~if~ l\1i.&/ fúíego el é'fect{ qur pr81 ~(.

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,Ái;a:ÉBRA. Í S) ydivi&en"do p'0r K séfa -ex . ab, r ¡..... ~ " , d' . .. ' 1. " r..- ' \.. ,\.,.~. qu'~' a C~C/I::u:'X @. c:,u::a:x'; ' ., ';' "~.~ ( que man!1iesta que' l.a r'~gla de tres iüversa se plantea escribíe1illo p01~ pri-ine:r térmíno ~a can~idad 'principa~ ·de . l'a ~pi~gunia., ? espúes Ja:s dos de'!i ~'uptf.esto, 'Y eA ·Cuaf'tiné·rl'nino sefáJ Zó qu¡!'~re'pide;') ,que sé. halIaFá 'por'"

lo dicho (i8 I~.

"~} :. ~ J r,:' '). '1\ ¡,' '.' . At>li'q.üe(uos esta"reg li!: á ..a'lguQos ej~mplos~ ¡ 1:°' (1"CJ'1i cpmerci'antery¡~ gimadJo en' 5 m"eie1 4'5o rql

I .!¡

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'lilo'tÍes ~ ·con un capi~a[: de 6000 dobfones; pára'~ga'nar ,Jos ·mí\{f?His 4 So '.:lJdb'tqiie"si co:f( un~·éapi:t'at de," 1:8'00 "doblones, cuár,iit'o t-íé11ipl? ñitesttará V "L" • . :' , A:q ~í ,la cantidad prjnd paJ y su r.eIa-tiva sun 6000 ;ddM'loIfes YT mes.es ;-y·Ja' pí~i¡fcipaf¡Ye' é]a '~p regllliti es 18,09 .doblones ; p'or !o que ejecutando la opera-

. ' N fi ' ~ - , ......f' ' ""n.-'), ~.. ro "'1 C"t 'lv ' ~Oll'lO it'll:1 l' se"ve: ". ;.c,jnf. ') ?f;; ,r, ( . . .,i~'~~ ~

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,

' Un g,eneraf' de ' tfi~c(í.~ra tielt(' c~t,t1.¡.lg·do 'que

con poner 'S~óo honjb',,'e~ a f.-r4bdjar1'.já.~Fa 7iaira , ya

á la tl'mchera, ltegará, en 6 . días á . h'tteer (odaj tai obkás~qJ¡e-:! .necesit'á· farivUegár at-carnfño ci~bierto, tie¡le aviso de su mayor General que es' ind'i'spei'fsav le to:: mar et ~amino cubiert,o d¡mtro. . de 4 di as ; cuántos hombres' necesitqrá po';¡e f''á'Yrabajar? ~' ,; ':-' . . , Aquí la cantida~ llri!1ci pal y su relativ a son 6 dlas y 3000 hombres, y';.l ~ "prindpa-l.;ie la: p1-.e gun,ta , es 4 dial'; por lp, cuC\,l 'plantea~é la cuesViol}, en estos

té'rmÍues ;

, o" ~

-

~

..d t d s h s .. '3000X!$ 4' ,:6': ' '::'36'00 ' ,:x= , ""," ,~

:~

..

,

4'Sc:l0homb. -I500X-3 . '".' ,

'

que sO!;l-Ies qtle teItdrá qlJe poner á"trabajar. '-, f9 6 P¡ua resolver ilila 'l.'egla de tres compuesta,


,t ,s·~

1LG~nn.1·

. ."

halla prim~l'o el rfsultado .q,ue, c·(w,·espow~e·4· Jq :p,t"t~.. gunta, atendtendo a una · so~~.,c~r:<:.uns!anc.ta; :~I?spue$ .&l que, cGr;re$pGnde ,6 est~), resultado halta,dq ;...sonside,. 1·ándql'e .comq pr,egúnta ., ~te,:,p,iendo\,.á btrct til'F~tl~tanr :cia; despu~~ et tJ.¡ué ~ot're.s¡ppn..de á est~ .resu.~tgd\o !~flltí1J' .!lo; ~~e!lP"!e!:do ~ otra . éirqu.1l¡~ta~c!a; y lJ:sí, 'Sf'cesiva,.ménte, como mariifiéstañ estor éj~mpto~~ J. . ':'ris';;u! t.~_Q·'Quiel:ó lJ'vér:iguar. l,os c(l-}¡,ices de trigo,i q;lf~ pó . . Pr4n jra{r,:.3,.6 c~!:~os 't1},.§ l d,f(ls.,~e;n, el, ~u1?uWo d~fha. ,ber traiqo p c,at1"Os, ~n ,);} 4,itts 71?- ca~ice.~. -.:~-fJ~P€t9 .a)~etig~fir~ Jos, ~,~hice~ q)J.e}f.aet,á~ ..10sJ}6 c;:~.t:fP~'.en:.4 días, lo que ,eJecut~re ~O$~ ,aq,Ul ~e, v¿e,::;! ,1',) ,"') ,r c .... - ',C" ',j.• ,.'" '.' \ ·12X·36·~_o.1íLp;, ¡tzcarr.· 36 cat.r·!!72 caJ'1:lx.c~h. '"":. 'Pr" '2 : :::::'Z2':(' ::;:ut;

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y encuentro qúe traerán ' 2 16 s~~.ises. !.f\.4,og,~j ~n · 4 días traen, 36 Carl'os, 216 ',qhices ,.ep 6 dias cuántos' traerán? Ejecut'il:~é la 0f.~ra<jqtl ' qórrio aquí s~ 've: d. J d. ~" L ' h' .' "'<~'1 ~ ¡-6>l:6 :6 ._ ::~~~;..ca lS~;"'DC'::;-: ·. _

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tr~~J~~ ~2'4~ahicM¡,-::~ '-:>:\~- J:p \):)~J 2.° Se 'lue -4 . {omados en 5 .4.icvs" tt'a,bajandó ~JI • cada ai,a \ ?>}wra~ ,.han hec"f1.o ,I ,~00 fajinas ,:-:.,6 sQJ¡;la· 4a:,e~ ~8, g,ia~ ,: ~r~baja1J~o 6 horas atrdia,., ,.¿;~u~ntat

.

JaJt'nas, liarán?. <J" " " ';'{ '.... Aq~t' ,!er1d~é{'. qué 'hcic~~ ,1a~ :tres reglas' cl..~ ,.tl'~$ simples sig~ientes: , ~:~ ~d ~"~I ~~~ V' \ .~"'~ ~ .t s .... faj.s . f[Jj,s ' " t-

_

l!!l

4 :6 ::12.00 :-1.800,.. .. ' . . . j .d d ' faJ·,s "· t './;a·: · ~n.:· s- :.8 ::1800 . ;288oJ:'3~.;1" • ií ' h faJ' ,$ ~ ....u t:taJ·; l.-'J t;¡ 8 :6 ::2880 :2160 ' : y saco ¡q ue harán '2 I 60 faji!1..a~. . < • l' -," I 97 Se llama regla de_.éo11:'lpañí~' 1~ EJue:.eris,t;!pa á determinar CUá,ntb cotresp0.nde ,de la ganancia ó pérdida á cacj.a 'uno demuchosréompa,f,jeros que hªn pues; to su ca.udal en un fondo, c~n_~arr!!g19.á lQ, que FU-


ÁtG-EBWA;, . r 1. 57 so' éada ,uno. 'E sta, como se suele aecit ,~ es' de dos mo .. des.: s.i mpte y comp.ues~a ó con tiempo; se ,acostumbra llamar simpl¡;: ;' ~ uando el caudal qlie ~iene cada: uno. en; el fº nC\0, pc:nn,ans;ee un mísmo ~'áeLÍlpo; y compuesta, cuando nq p~rmaneceI~ 10$ c¡n¡dales e! mismo ti~w.p(i) en el fonaó. Esta, se ·re{i1;l<;;e· á-!a S1m. pie, multiplicando eJ tiewpo por lQ q~e puso cada. IUn 0' ; ,pues lo mismo es 5o doblÓnes en ' dos años que . L,0b ~L\ 'a"o, año" Esta. rt:e;la, 'Se f~Ild,~ ' eL\ fá'·siguient~ · (luegion~ , , l?Mtir un número d,ado él, en las partes que se quie-

ti~ k V~i g, eñ-tres, que tengM!!. el'ltre sí ,la m'Í-sma razon

que las cantidade-s .d/adas in, n, p; esto es , que la ptimerá tenga CGn la segqn'da la razon 'de m:n, y la. rl'imeliaiebn .l1a tercera la Fazon de m:p. I , . Si, llam('? '~ la primera 1'al"te ~ será,

.

.

, . nx ' px 'Ili;n'; ;X~- la s€gud:'d a, y m:pl :x:- la. tercera; '

m

m

'

~ como ~0'das jti'n tas han de equi valer á a, . , 1IX . px

a ~\·'

x+ m , " m

,

se tendrlÍ

que quit¡Ul.do los diviseres' será mX+1Ix+px=mo., éi descompeniendQ erf cfa<;;toi'es x(m+n.+p)=má, 1,

'_ : L

,

' ~a.

"

,

a ' ,··T',

saca X=-, - ,- .,-=.mx . ...m'i".n+p. m+n+R ' _ Si ~ustituimós este valor de X I en lQ que corres. pondí<'\. á la se'g unda, y. silllJ;>HficamQ$ ~ se tend r á

de donde

SI;:

P:

na .; ' y l~ terc'er~ ser-á, po.; m m -l;.~+e m m+n+p cuyos resultados manifi¡;stan' , que podel~os: hallar cada "una de estaa parte&, por ~~dio ae la siguiente prQPorcion; .m+n+ p (suma <:le , las puestas) :a (ganancia @/ pél,'d~da.) . :: PO que puso cada uno: 'á la gct .. 1ian~ia Ó~pér--aitla qué le cor,re·sponde. '. ¡ iEiempboi" Si de tres~ugetos el primero ha puestQ' 1lX


1,5,8

.(,LGEDRAi .

,en un f€>ndo - 500 doblones, 720 el segun<lo, y 3C~.. eJ tercero, Y. han ganado 456 doblon,es; Fara halla!: , lo que <i:i orresponde á cada uno, será ' 1, . '171=,00, Il=720~ P=390, y_m+n+p=J )20, . ' 500 X4S 6 luego será la parte del l. o _ . '1)0 d9bI.,. \ 15 20 20 6 la del segundo ................ .= 7 X45 __ 216 d0bI.. .

"

.

.

.

-.'

15 20

.

,

,

y la del tercero ..............., Q20

cuyas Rflrte§'<':omponen la ganancia total456 dO,bIQI1es,. IEl no hal?e~ c0ntado '.Q9,n, el tiempl'l, , ~ndiQa que -las puestas peFmanecieren uno mismo ea ,e.1 fOil.do; pero si el pr:imero la huoiese puesto por , 8 meses, 'el seg,undo por 10, y. el tercerq por S, sj endo ' la. misma ganancia, para hallar lo que corresponde á cada vno,se observará que 50Q d0blones puestos pe!:· 8 meses, ' e's lo mÍsmo qué Soox8 por' un solo mes; 72Ó doblones puestos por 10 meses'" es lo mis'mo que 720XIO doblones por un solo mes; y 300 doblone~ ' puestos por 5 me~es, equivalen á 300X 5 per, un solo, m~s; de man e.r~ <;J,J1.e la~,p u estas ~ er~nA009 ; 7200 y 1500, cuya suma es 127°0; Y en este caso ,

' .

7'9 ' •. '...-.-143--- , 12 7 12 7°0

- 4'56x4000

tocara al pnmero . ,

J'

4S 6X''7200 .

al segundo '

'.

¿

.

y. al rerc;ero ,

1~ 7_00

456XIS 00

.

12 7° 0

...66 :

~2 58--,

" :'27'

=

10 9' ,

;,3-- " r' ,. • l. 2'1

1.

~r'!.

" J

,

cuya ~uma es ígual 456 GO~O ántes. ' '. I , Esc~ .. En l<!-s corpG~aciones y r;egimiet1,.tos, Cjcqr~. r e coti bastante frecuencia el hacer ' gastqs ~,qu~ han <!e,.satisfacer 10,$ indi v~duos V. 9Jwiates ~á P.~(¡)~Ofcjpn


ÁLG-~lJR A. J,S,9. de sus;sueldqs.;; para determinar la cuota de cada uno, se.di~á: el sue'tclo 'total ele tos individuos, ~s al gasto,-

'que ~e ha hecho, como el suela.o de cada uno es\ á la, parte que tiene que paga!'. " j -' De ~

.. J

10; progreSi.one; aJ'itm#icQs,y geomé;ricas, ~, ~ •

19 S Se llama progí'esion aritmética una serie Óc continuacion de términos, ,tales q úe cada uno lleva , ~l9:¡¡¡e , te p!,"ecede, 0 sigué un mismQ esceso Q di,f erencia; 'cuamdo lleva al liJ. ue le precede, la progresión .se lJama creciente; y; cuando lleva al que le sigue, d~creciente. ' \ , Se 1.lama ra:¡;Oll Ó diferencia, lo que se debe a:ñ~­ ~ir (~quitar) á un térmillo, para que se convierta en el que le sigue; aquí se tratará solo ~e las creci<q~tes, Rues sus propiedades son las mismas, mudando el signo á la diferencia. Para escribir una pf0gresion afie-, mética ,se póne 1;lna proporcion continl!la (175), y se contin,úa como aquí s@ve: ¿-2,5,8.1 I.14,17.~O.23&C. l?onde ;el signo -;,- indica que eada término medio Slt ha de repetir. I Si al primer término le llamamos a, y 'd á' la razon, la ,e spresipn ' " ' )'

f

.;..a.a+d.,a+2d.a+3d,a+4d.a+Sd .. a+(n-l)d=u(A),

será una progre~ion aritmética general. , De, la definicion de la progresi0n aritmética resulta ,S u e el segundo término es igual al primero ma( la raza n ; que el terce1'O es i'gua~ al, segundo mas: l'!., razon; pero como ,~l segundo e~igu'a.J al primero mas la razon, el t~l'cero seí"á igual al primeí"O mas dos veces la razon? el ~uMt0 ,se compondra del tercero mas; la1I"azor¡, ~ del, p¡"imeró mas tres v,eces la razon; yen , general un término, r;ual.quiera' se compqnd1"á det pri. I

!IIe~o,

mas tantas veces1,a razon como térmil~OS hay áll/es de él: que es lo que espresa,la fq,r.mula (A), en que ¡u,es el término que se bus~a:, n €llugat que ocu'pa en ~a progresion, a el primero, y el la,diferencia Ó razono , Ca:? dicha fómiula CA) se puege hallar un téf.mi~


160

:ÁLGEBRi;

. .

.

ne ,cualq u<iera en co'nociendo el príai.ero~ y lrrazoq~ Así, si en-la progresion anterior 'se quiere el tértni4 nó sépnimo, será -a=z, d=3, n=7, Y se tendrá térm.o7,o=2+(7- r )X3=2+6Xj=2+18=20. 199 De la formacion de la p'rogresÍon s~ deducen varias cons'e,clÍeriCi'as. " e

Cuatro términos consecutivos, tomados donde s~ quiera, formá~' pr~porci~n discr.eta: ." . ~, Así, S.8:rt.I4. .' ',': 7 2.iI, té1'7'I'Iinos' con$ecutivos ltl-'foqna'n cont'in~a. 1. a

r,;b

A'sí,7S·Q';LI.

-'

... " , . :

- 3.8, Dos té1'minos consec.[~tivos' forman proporción discreta con otros dfJs t~rminos consecútivos, tómense. donde se quiera; porque la razon de los dos' primeros

(que es la de la progresion) es la misma que la de los dos últimos. Así, S'.8:17.20. 4.11, Dos términos cuatesquiera están en proporcion discreta con otros dos términos cualesquiera, que disten entne sí M'nto como tos dos primeros distaban; por-

que la raz-¿m, en ambas equivale á tantas veces la de

, la progresiíln come tér,minos ha y en medio mas un(), Así, 5. r r : 17.23. 5.8, Tns términos cualesquiera, tales que los dos estl'emos disten iguahnente det medio, forman ,proporcíon contúu¡a; porque la razon entre el primero yel

medio es ,la misma que entre el medio y el'es~remo; pues ambas equivalen á tantas veces -la de la pl'ogre. sion, como término'S hay e!)tre ellos mas uno. ' Así, 75.14.23. , 6. a La suma det primer tém¡jno y último es igua& á la suma de ~os ténninos cual'e squiera, equidistantes de ,tos estremos; é igual al duplo del término medio, , si. el número de térníinos es ímpar. Porque el primer , término y el segundo forma,n pr0porcion con el pen,último ,y el último (cons. 3. a), y dan ( 176 ) que el

segundo juntO con el penúlti mo serán iguales con el primero j unto con _e~ últim b; el primero y el tercero forman pro porcion con el antepenúltimo y últÍlPO,! darán 'lue la suma. del primer(¡) 'con el último equl.


~ .. · lLGBnRA.

161

valdrá á.11J. del t~rcero y amepenúltim0; y así 'de los derp.~s,' .. ' ,- . " \) ., 200 _ J.:un~a;qos en esta propiedad vamofi :á en.contrar la su~a d¡; tamos términos como se quiera de una; ,Plogr~sion aritmética. Para .esto sea progresion genep~l.-7-a.b.c.d .... q.t-;·t.u; llamando s la .suma I de les ;:t,énl¡fnos ,hasta , u, que conside.rarémos ser, d últimp, y opservanc\'O ' que la suma no se altera aunq);\e ,se escriba a.l reves , tendrém'os ponje¡¡¡do. debajo d~ la suml!. eJIamisma escrita e.n un órden iav'erso : " . s=a+b+c+d .... q+!·+t+u 1. y s·u mandp estas d,os s~u;tt;:t¡r,-f-q .... d+c+.b+a ~ ecuaciones será 2s=(a-J¡u)r/;r(b+t)+( Cf¡')-I':( d+q).... . (q,+4)+(f"+c) +-(t+ b)-;+-( u,+ a).-. , y somo a+,u :-b+t=c+r=b'c. (cons. 6. a), sustituyendo se te~drá '. ' . ' . . , ~~ j 2s=(a+u)+(a+.u)+(a-;l-a)+(a+u) .... . . :!t( ~Hu)T(a+ u)+(q+H)+(a+~); .. ~onae veo <]:\l,e el ' duplo de la .suma eqUlvale a taR, tas veces \~, suma deJ 'primer término y último ,. como términos hay en; la .. progresi@n; luego si llamo z¡ al pú.wero i de té1:l1!inos ,tendré 25=(a+tl )xn;- de a?nd.e ~esp ejando s={(q+tt) x n=(a+H) x~n; que nos dice q u ~ ~a. fuma .de todos (08, ténnillos que' se quieran_ de un~ Rrógt-esi pll aritmética, se halta sumando el primer ténnillo con .el út-ti71~O, y 11,lultiplicalldo esto por la mita4, d~l fI~mero" de lo.s , térmj nos . .. , ./~,sí, ~a sllma de. 7 }é EWil? os;de la progresion (198) ,sera,Igual . á_ (g+~ 07 X~=22X~=I lX7-:::::;'77,~omo en e.fl=,ctp s,e verifica. , -1 291 S~ enl la ecq5"¡::i~IJ. ,u;::a+(n-:t;)d despejo d, ':; ; -. u-.a _ '-, ~,;ll • ' . tell~[.é , d-:--,.l¡f\eu~Lqi~~ q.ue 'Gpu0cido d último

la:

~~~

.. ... ' -

.

-

.

1

ro

,

1J,-I'

... ...

-t

,..i

y,c,;l

...

't;'

'I.~

'"

... '

~,

)

,térmll'lo , el 'prf~ex:'o nql;Il~r,O d.e ellos, para hall!!r la ~a~Of\ ;se. t'esta el. •prituero det {¡~!imo, y ~o ~~tle gv~ea.a, se aiviJ~ ,par el, l'Iíf'l 'IJero de términos 111 ~...110SU1l0. ~ ,,"--

.

--

_".'"

O -E

__ ";i:' .. ,s _ ..

~

II

.~'.!~I!:·


162 .' ÁLGEniu. , , En ' estQ se rU'nda la interpoladon dé, n6mero cualquiera de medios· aritméticas entr;e dos, núme.l ros ó cantidades dadas; Así" si q uie'w iAter polar entre 7 y 4-3 (l).cho medios aritméticosl " restaré eI 7 del 43 , Y la; resté!' 30' la dividiré: p'0l" el nútne'ro. de términds q w.e ha de habeF-ántes· del 43-;' y, COLD(') en': tre 7 y 43, ha de ha-ber ocho' medios;,. habrá ámes ,deL,43 un térmi·flo m'as'" á saber'" el primero· 7; luego esta resta la deberé. dividir por el· mímet"O; de -medio. que se han de intel'Eotar ma~ r " esto· es·" por 9, 'y resllltará. q.ue J1.92. 4,. Y los término's' serán : " . .•,:-'7' Ir·15 ·1'9, ~ 3. 12 7 ~:3 1'. 3~· 39·43·" . ' ~02.",' Se Jlal'IlaJ prog,re{ioy¡; geomét¡:ica. una série Ó' conti~lllacion de términos;" qu:e' cada; uno: ca'be en el . qúe le precede ó sigue un mismo, mlmero: de' veces; e·uando. cabe .en el que le'sigue' " la .progr.esion ' es creciente ~ y cuando en el que ~e precede,. (tecr.etfente. Aq,uí se' llama' razon al nÚll1~ro porque' se ha de multlp~icar un. término. cuaJqúierá.,. parao que resulte el, que le sigue,~ Bara: escribir una plTog,¡'esio~ geométri'G,: s,e pone unÍ¡¡ p,roporeion c~ntínua (t'7,S)! y se' cO.Q¡unmt <lOina, aqul se. ve :. j *3.:6: J¡2~24.:48:'96:19·2:-384 &c. yo ~ escrita CO,I't eslension será 3:6:~6: ~' 2: ~ I2::-24::24:48':~' &c, ~i espresa-mos por a el' primer' térmÍl'l0 y por 'eJ.': la' razon ; ..

un

.....".a·aa'an~'aa3'--aa.4 · ,;aS·aq6.... •• • :1.' '1. • :t • '1. ''''1.'

aa 'Z- I ....:J: - "... \B)'" s'cr~...

'Una progresiof.J. geol'llétúca geperal. . ' "'.. De la definkíoa de' la' p i ogresj'on geométrica iesuIta: que et segundo: tér.minó· ,se;, cOinEone del 'primero' multifticando' por la. r.a¡zon -;. eZ.':: tercercl det segundó \ multiplicado. por. la. flnon ,. pero· como' e{ segu'nd'O

eq uivale. al primero- mnlüpliéádo- por la raúm,. el fercero' equiv.ale. al. primel:C!', 11,mttipt,icadC} por e} c,~a: drado, :de la ra.'4on ;:'eb cUc»'t'O"Se'- compone deL prÍ'm~b multiplicada. por. eL cubo ' .de. la. ,"azon; y en. gene'ral, u~ ~érmino. cuatquiéf~' se' .cfinpon~, d~l pril~efo n1u/' / ¡¡plzcado- por.' una. pótencza. - de' ta. razon:" eSfresada PO," eL númem de tÚininos· 'qtj,e hay ántes de ét.; cjue es lo que espresa la~fórmula (B) > en que u eS. el ter-


,

i63

ÁLGEnRA. \

mi)lo que se busca ~ ·n· el lugar que ocupa, a el pritnero, y q la razono " , ~a fórmula "(B) sirve para calcular un término c;ualquiera; v. g. si quiero hallar el< sesto término de 'la anterior 1 tendré n=6, a=3 , q= z , y será término 6 ~o =3xz6~J=3X2S':""'3X32=96. I 20 3, Es di'gna t<itnbien de notarse a.q uí la analogía entre el lenguaje de las progresiones aritmé' tica y geométrica 7 pues las propiedades de aque:" lla se convierten en las de esta, sustituyendo multiplicar á la voZ;- sumar; cuadrar la razo11- al duplo ó do's · veces- la- razan 1 y en general formar poten- -. cías de la razon á sumar muchas veces la razon;. y por lo mismo se' verificará que 1. 0 cuatro térinino$ , consecutivos joimoln proporcion geométrica di. creta; 0 2. tres consecutivos la- forman contínua 1 3..0 dos términos . consec~tivos están en proporci'on con otros aos consecutivos cualesquiera; 4. 0 dos té,"minos cua-· les quiera forman proporcion con otros dos eualesquiera, que disten igualmente' entr~ sí; S. Cf tres términos equidista'nte~ la forma-n continua b'c •• 204- Para hallar la suma de una progreslOn geométrica , llamarémos a el 'Frimer térmÍnó, q 'la razolil (por consiguiente aq '·será· el segundo)7 u el ültimo, 'Y ,s la 's uma de todos los términos que buscamos;. y 0bservando (202) que todos Jos· térmipos medios' se han de repetir; 'resulta: que todos 'los de la . progresÍon serán antecedeBtes ménos el últi~o, y por consiguieBte la suma de' estos se'rá s-u; todos son consecuentes rnénos' el primero, Y ;por consiguiente la: suma. de estos será s-a; luego por lo dicha (r 8 S, 1. a) tendrémos s-u:s-a::a:aq::I:q ;, ' que multiplicand0 es'tremos y medros, Des dará , (s-u)xq=(s-a),xI, Ó sq-uq=s-a, de donde sale I sq-s=uq-a, Ó .

"

' . "

' uq-G

s(q-r)=uq-a, y s= --(m). q-1


Á~cE:nnt\. '

164 ~

Lo que dice que para ha:Ilar la &Utna lile una, progresion geornétrica, se mult~pliem:á_ el último tér¡ 21lino por t.a ra'lion, de e·sto s,e l'esta~á et primero, y la resta' se divip,irá por la razan 'ménos uno.. Asi, si quiero hal'lar 8 térm?.nos de la p.fogresion (202)" será a':""3, q=2, ~=3'.84-, y-resulta,rá , ' 38 4 X2 - 3 768-3 sumo de 8 términos -;76~ • .2 - I

1

'r

como en efecto se verifica. . . Ese. Si en vez de u sustituimos 'en la fórmu.la (m) su valor aqn-r ,. nos .resultará '.

aqt¡-Ixq'-:'a $=

aqn_a

a-aq" -(p),

.- .

q-l , q-II-q la cuaf servirá ,para: haltar la s,uma de 1'1 térmjnós d~ una progresion, cuando solo. se conozca el. prim~~ término a y la +azon q. . " 20) ,Si en la fórmula u=aqn-I despeJo la n, " '.t ;& n-t .

" V -_u sacare, q= a

~

,1

;.

:J..!

.

I

la cual· podrá. ser.vir para ' iBterpoIar med.íos glWmé~ .triGOS' entl'e dos números dados; para- lo cual, se dí~ vidirá el úl pimo tél"mino por el p,rime.r q , y det cociente se es traerá una raiz det· g.rado que esprese. el núm?-i f.'O de términos que ha de haber en todo~ 1!,énos !,frlo,;, .6 ,del grado que espre¡e el número de medios que .se ha;!'} de inter:polar mas uno. _ '.'. Ese .. LO , ~i la ,pr0g¡;~sion- ,fuese .decreGl(mte ~ la cazon seria ua quebrado p-rop~ó" y el téúnigp §gs[

q

tractivo ael de la fómmla (p). s,era taqto menor, cuando.. maJo!' sea el ñúmcfo n de términos que se vayan tQmando ;. y. tautos se pÓ'd rán ¡.omar" que dicho término lleglle á. s..er mellor qu~ ~lIafquier c'!n.· t!dad dada po~ pesueña que esta sea;. de donde. se SIgue que ,l a dift:l;encia, ·e.@Ll'e, ~l nblg¡~Fador de la formula (p) y eI primer téfáiino. a.lo úe Ía prog'resion1


J 6)

ÁLGEIÚtA.

('

podrá U~gar ~ ser lneno!" que cuaIguier cantidad

asig~ahle, Juego ~ (r) es una cantidad á la cual "' I-q se puede acercar todo lo que se quiera la suma de los términos de l~ progresion', y nunca pu,ede dicha s~ma .ser iguaf con ella. Es, pues, la espresioIi (r) coín\) verémos deatro de -poco, el límit.e de la surná :de fa progt:esion decrecÍeate";_y áunq ue se la sueÍe ;i nirar éomo si en efecto fuese la suma verdadera, ' es "añadiendG la circunstancia de que la progresion esté cOlltinuada al infinito i pero como e~ta es uná palabra de cuy~o s'ignificaélo no' podemos Jormarnos una cabal idea, advertimos que cuandp nos valga. mos de' esta voz en algünas o@a~lones, no,q uérémos dílr á entender: otra cosa, sino que la cantidad á que?la a'pli~'e[rios ha ilegallo á 'ser tal, ' q ue la dí. 'feren~ia entre ella y su límite es menor que cual~ q uier canJidad dada por pequeña que sea; por con ~ sigui,eRte lá sustitucipn ..de.! límite :en vez de ella; '5Ó1o- se -detie"mira'r corno 'una espres:¡Gn abreviada de.llargo "razonamiento que se debería, hace[- para JarIa á 'conocér d:rcunstanciadamente. Esto su puesto., la fórmula (r) traducíd'a 2n regla bajo e,stos prin~ cipios, rlC!s 'dará que para hallar la su~a de una prol.fresíon:vge6m'étrica' decreciente, continuada indefinidamelJte, se 'lUvidi1"á el primer ténn'ino purola diferencia que haya ' entre la unidad y la razono Por esta caus'a la suma de 'la progresion , , • r ' -Í-

Ir

','

+.f-I:-:-'-!-:-:&c. es "

2

4 8

16

1

1

--=-=2. I.;-':~ t (,

~ En este resultado óbservarn0s' que .sien~ do 2 la _s:tlma de ' todos los términos, y -1 el Hi-

Ese.

2 ',0 "

mer.o, ;todos los términos qu'e" siguen al primero no val~rá'll , mas ,de 1 ; siendo ia suma total 2, Y I'''¡'-}---'-lla d~ los dos ' prir.peros términos, todos los que si-guen-a'l segundo valdráá ~' &c.; litego eu-\!ste


166 I .Á LGEnn.A', ~aso un término cu~lquiera es igual", á }a" ,suma de to~

dos bos que le siguen. . Ese • .3. 0 Si la, progre~lOn fuese;: ~+~::ll).:&c! "

1

1

r-uya .,cuma ,es '.s = l-_r - ' -=-=1~ ;2

r ..

~

3

..

$

.se ~endrá .q ue .como .e l pri,mero vale l , los demas yaldrán rnt nps .d e .esto es, ~; .el 'primero y, se;' gu-ndo yaWn l+1=1=!, que par~_ %=i-', $Óhll le falta ~ , esto es, luellos ' de -t;, lueg,o ·a q)uí un tér,min,o euatq'lJ-i¡m. .es ..m~yOl" I).ue .la ,su!na de.) :todos J:os IJ.U:~ Je siguen. . r. . '" ' :. JEsc. 4-' o Si la progresíon fuese ;': I.} i,5,-;}S,: &~:

I..,

,

1

. 1

--:--a=--=*;

cuya .su,ma es .S = :1--

_

.s.~.

'l!

_

'5

. ',_

_

'

.

se tendrá q ue val~endo _l el p'ri~e'r término, 105 dt;.mas valdr~n %, esto es;maslque el .prirne~o; - el ¡>rh" mer,O' y segundo Yal~1} que pa~a !=-i~; le faltan ter, que es ~l)ayor: q ~~ j . fo &71' &c; ; lueg.ll .e n es~; casc¡ ¡In ténnzno euá!,qu¡era es m~tl~r _,qu.~ .la ·S.U; ma de :todos tos que l~ .siguen. ._ ', COI". ge1Í?rat. . Lue"gO' ~11 una progresiotl geoinét1"iea, d:~l~eeie~te' , un tér:m~llo cualquiera puede ser igual, mayor o m,ellor, que la suma de todos los que)e si.gue;n , segun s,ea cada término igual, menor Ó l'payor '9. ue. la mitad del antedor. -

¡+-!=1-=tg.;

206 Si reunimQs dos progresiO'nes, una aritmé~ ,t ica y .o tra geO'm¡!triq ; de m0dO' q I:fe se cor,¡;es pondan .s us' términos Com-o :aquí, se ve: . ' , J +4·7·1.0·1,3,16.19· 22.25.28. ' ,31 • &c. 1 -;-;- 3;6:12:24:48 :96; 1-9,2; ,384:768:r 536: &c.. , los r¡:érminos de la arhmética se llaman Jog áritmos. de lO's correspond~eñtes de la geomÚ,-ica, qQe' toman el nombre de números. CO'mo .sO'n Ínfinitas las .p rogresiones que se pueden elejir) se sigue qut; 'es - ,

'


ÁLGEBRA. 167 infinita la ¡divers,idad de 10g:;lT~tmos; ,p ero, si emre , las progi-,e~io,nes. ·se ·elige la aiimética ,q u,e 41¡:inci:piando po~ :0 ,siga .des.pues por ,la séiiede los mí: ,merros, ,n~uraJes , y 1~ geométrica que em pl~c.e ,por la .u~id3;,d " ~n,tónces ,s e .tiene un .sistema,.d¡; .~og.aritI

fn9s. ·V . .g.

.

-;-o.í. 2 . 3· 4 ·. '; ~ - ,6 .&C'}f .. ;0: I': 4H6:64!:zS6:'I'O z4:4096,: &e: ormanun slstem~ o

I

DORde ,deb~mo~ 'Obseiv<l;r 'que ;fos .términ9s .de la aritmé,t ica :son .los ,es ponentes á .q ue ·se ha de ele.:v-ar :,el se&.l.!E.~o .té!.mir:'?4~1~ 'g~o~étricé!, :pa¡:a"p.r.o- . dudr :cualq1iier1:érmino .; pues <64 v_ g.es 4 3., y 3 ~~ el ~o,?-alIit~ol.ó .t~rm~~l.O. .d:e l~ .~~itmé.t'¡c~ CQ~n:e_sp0l?-J dIente .a -64·5 'Y .como puede deJw¡e .cuaiqule.ra ·otro ntltn~r,~p<l'ra :segundo térLriin.o ~d~ la. g~omé.t.¡:~s.a , .1I!e:surta 'que .tambien pueck Jwber :muchos sistemas de Jogarit7l1p5,; ~ ~ '~ Esto ,entendido, 'se lIama base -en un 's istema de lQgadt~o~ áJ segl,\.:ndo1:ér.mino ode ~~a :pt og,resiol1 :geo .. !.l1étr,Íca, .cuy,o logaiitmo .e~;l3J :ul1idad, y ,de cuyas ~ pootep.yias !V<\11 ,,-:e~.Lr1tando 10s 4emas; y logari.tmo de un nlÍqler.Qjes ;et espouent.e.á 1.ue sely-a de ,ete"!,ar .t a.qqse, para ,pr~duci.r:. " di~]¡o .númer.o. ,) . o , ~ !},07 j,ea" pues, .a la b,~se d~ un sistema .cual:: quiera, .x .~!1 :logaritmo y ~ :S!:l' !lúmero -' y. .se tendrá, o'

.

. ',

x=1o-g..'Zoy- a"" {)

J '

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~gua1meflJ:e ~ ·s iendo x~~log.i', . d .:' .-~, log. r¡,cf " se ten ra.a =a =~ o

, 1.0 Si mü1tiplicalI)OS -esJas .Jos, '~cuaciones , o~en­ drélnos trxax/.=zz/ .ó .a~X.I= Z r¡,' ; pero x+:"..~ es eJ espon.ente .á -'q ue .'Se ha de elevar,fa bas e a, para qpe resuite .el produc[Or¡,i' ; tu.ego será su °Jogaritmo., y .se' tendrá "<i,;+-.lC'=iog. Zr¡,1; J {:omo x= log.z y x' .::. log.i', .susÚ!tuyendo ~esuhará .\og.r¡,+1@g.r¡,J=L0g. r¡,:l ; _'que quier.e 'decir que (para ~att"r el.: logaritmo de 1~11 producto se han de sumO)'

-

"

.-


16~ .~fL({EilRA.. . . .,' , _, ld-s"ile 'ros failtóres.;";j'e't ~ÚI1!efO 'que ' e11 hH tc¡7Jlas d~l

·s·isÚmo 'C01Tesponda:'á:' elt-q ~ hm1a~ l¿rá '!(I; 'lp?o~lucto~ ASi, si .(l"l'J.ier?m~ItipHca'f · ió' Bor ... '?6::','dir'é :' " , 10'g. -I(j~~, l0g. 2S'6"':;¡:-;' fsll '.suma ... 1 6'"~er~. el fa. -gaát'me del prod ucto: Y'cOlllo' 6'e'orfe's ¡1o¡qdt~ 4096~ infiero que este es el produ.cto de 16 por 2'56,1como eñ ~fe~to se verifi~~.. ~, ~. :.:. . ~, . _ '. ._ .~i2;P. ~ Di-vicl-iendo fa~tqis_m~s .d.9~ ; 3ctu~,q,i9!1e~; ~s~ ·" t ~·...... 2; ",·~·r:!~"·"" áX~X =I ~~ ) J ..;; ... J\' l.

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Ó:':;.l_~~!;r:. G_Z'

para h~llar el' Z~garitmo ,,¡ú co.cilnte" se téstarfí' ellogarztmo &eI U{];i'7!liWr ' det logaritmo del divi#ñ'dó '; y 1d númú'Ó, qüé--~n ¿'as·' feP. btas- con"esponda á esta diferenai'a, sgrq d· 'cfoci'ente' que se busca. As~, si q ujero di vidir IO'2 ~ p~r-i'6 ;' dir'é:, 10~dó24=5, lag. ;6='2; "y su 'dii'erenci'a---=3 syrá. el logaiítmo del ' e0CÍ'ente;' y' comó ~'eSte 3' cortes;; ponde al número 64, es! @§erá el GP~ie11~e. y.; se, t~a.~ drá 1~~4=64. , ~oma ,en efect9 se .verifica: 3. ':. Si elevamos á diFerentes p'dtelldá!S 'la eeuá:', cion anterior aX:=:z, b z:=:a'x , sepa ,:..:;. ('1. .; z2=( axl=a 2X , z3-;-(oX)3=a3X,: ... zll=(aXyz=atIX; d é"'flonde sale (por:. ser ~.Ic el esp~¡j9ént~dá: Jine se hí} de ~levar la base a para pr(:)g:u~i~ :;'IIT ,!ue ' .; I . log. :z.n=nx=nlo'g.",; , -', , 1 '} que .q uiere decir, q i.¡.e f a'ra hallar' el logaritmo de un~ p~tenci~, sé ha djYrYz:ultifticar' el tOg~dt71~O dé la ."atz (o cantzdad) por el e~ponenta ele la potellcza, y el número que e~ las tablm corresponda aF pro~\~cto hu., ¡¿¡¡[Jo ~ será ta'1!0te'ncia ~ae se pide; As!) pi quiero Úli


,

,--.". - t " "ÁLq'ltnRA'o • 1u9 lti'riñarZJctter¿er.~1'ci·H!Ocüi ,de ' IQ' , 'djrei:~"lb,g~ 16=2~ , .

que, ~p.ú1,iipl¡bi.do -'p;?'~ ~t·(e.5'p':>nerlt~ d~ ~a l p'ó~~ne,~~~

'da" Q ; -- y ~con:lO -ó' 'cotres.p®nde'!a-l' rmmero"4"ó'96 ',

11110 ,

Jie~? 4~¡~~10 3, o:4~~t.,.>=s'~n~, efx.f, ~ect~') s·e)'V'é::~~.~.a :":

1: 4. o " SI de' la eCllaCtotrr'z=a : es~ra:ernos('nuce,s' de difeJ;f!ntes grados, tendréli)b;; , '", " ' 1 J',: r. ~ ~ J r

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'Así'.,

'sio<~.ü íéfo Jb$trafiJ-'1~ raíZ: 'Cijaclr.a~~-;: tle: '~cY9'6;

ílii:(í Io-g:~46 9.{{ - lJ , ~l:iitc1~v.idído ''pér~ í 2J' p!spen'el'lre dé. la/ t:ai'i) da ',3fj'"y . . .cocm1f 3 "eohesp()t1Mj,~hiuffier~ tí4 :~:; (rr~' ',l.ué' :~T 'es T~~ i-aiz. 'de~'4B9& fJ6 ~fj:tié,-;1 "r ~....

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{1 Qn~ta'tf~· de ,Fijez ~l} , d,i~, tambi,e n ¡¡ ;1la¡~}eji4!?~ ~§;; t~ iI3Ú~~GRatét bas$rd~b~j.1!t~l1~i!-).ogalglJl ic.9 ~..n~s;,.1}n ~l.€lJ,~; g,e ~ndodl<¡J I~,~k g§1.:l!¡¡: "!.a f?rm¡l.C:i~~t1~,,;la?o~tabla~ ~ Ni!.} ~e"~q~ o ~ as,:y,0si:,progr¡e,Slqne,S ;Slgttl(t1tl~~;;,. '," '" ~'~l~+c:l~ '1-: i , . 0 3 "~ o :)[t~ -r . " 5 L ílrr::t¡'6c-:,- '.&~. p

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l,o"' Si éfi. éllas se iiit'er~b¡'ase .ehtré' cáda 'dos términos'

il,n ~ númerb considerable de m~dlos '- l. o~':resultados

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·thrlnVi~Q. dos IllJevis progFesÍones sufr¡~menfe lar_ gi's ~ y tomando" ~rr Í'a' giwmétrita lüs"büu1eros l1'a,tu.-' ,d(e~ J ~ 2 ~ $; 4, S &c. nastél. ¡OOOO /h~sta l'o80oo 1 '


.1'70

lLG-1M3RA.

.

(de !od~s .estas :hay iáb~as iinp~esas} hasta. ~oo,ooo1 :(de estas las 1iaycalc~l~as ,., pero no imRresfls) &c, p.~nién4..oJos en, col,u!Dna ,y .,en :9t,ra á s,u . d~rec~~ ¡os tén~,i.n.os .correspondi,eIite,s .4« la aritmética Ó, ,lo~ !~gar}trp,o~..) .'y,e teQdda.¡~..!or~'!.a~C;l,!s las :tablas .como vulgarmente . e presentan. <¡~. L; 'En todas las tablats .de logaritmos está esplicada su disposlcíO-G- paft:~cular ~ .y las :regias para manejarlas)) 'Jcomo :p ar,.a enteudú.e~ li~S .d0~ cosa:~ ,~ süe.~e aprovechar mas media nqra .de viva voz .del Pr.o¿~sor, .que,.t@¡d¡i) a ~~plisidG}lllq~ ~y pued~ pOl)~r ,en un libro de la natüraleza ,de .este, ~ 'y por {Jtra parte ' .e n nuestro Tl"ataclo .elemel1tal decimos muy drcunstanciad.afil@.Jft~ ~~do -locn,ec¡!sariq par,a la ,:int~l¡gencia y usó de las ,de D.' Tadeo Lope y Águilár ~ -q ueson de las que nos serVimos ,/~Ul!ct .en aq,ue1fa (Jp~3!, co¡np en .esta, para tod'as las ,operadone,s .: y por Qtra par.te , CDUlQ ~ eS.ta misma: .esplicaeioo..conviene á-Ias).otras 'r. '1 ., ... . . PI·,blas q¡.¡,e ~ay. pub¡icad~s ~ ,f}lllltÍ-FéWPs aquÍ, t~dQ. .es:.lo ",' y -5cGJJo ,b.arémos, 'algunas, .ob,serv¡aci{)nes. 0' 'r~', ; .~' 209 J?Ue.st~ -S.U~ lO°i"h ' Y i'qI='I 9, :"~ Ké!Do~ ~ue log.'I'=O,,,,10g;.{0=I; ;l.u egq .el.logarhm!') -de tp.do !l1~l!lero d.jjil9 )'f€oino_.2-,3,4&~¡,p,a; ~~.5.er majd~ que <? ~J menór !4~e L1 ; e§to es, '5el,"a2.ú~ .quebl,"ado !#cimal~ Igualmente, ·como: 0 1 -'::-1 o ~·v i o~-':"1.00, :s.e.1nferirá ;.L que ellogarippo de tocto número de dos cifras,?-d~sde 11 has.ta~91 1Ík1usiV'e , J:&a",t1Je <:ser"mayor q ,u:é-' 1 y m-enói' que' -estb' ~S, sera i!tt:.entel'o',:y un ,queorado (fedmal. Dél mismo modos.e .itflfer-ira:, que el cl'é';tEldo nünJero de'hes dfxas, desdé 'l'Ü-f 'hasta '9'99 'ú'íC'l ú¡ .51Ve, :será trI'~yo!-, ~.'tue ".2 "Y 1!leltQJ,.. ,qlie 31 '.est.o' :es; dos ,enteroVy. cun!~-<iuebia:o.ü ::d1e.d ·fu:¡-a;,l. Yen igenéfál que ,el 10galfitmQ de "todQ fl$nerO ~Oll1 puesto !~.sc.ep~ r to la unidll-sl.-:;.5(}g.qL<ia -<te .cS.t;!i!s)r yo,n~ta .de rantas'.Jmidades ·en énteJ~osc , como cifras tiene el .número ménos ;J,ñil , yde ur¡.qu7b,r:ad,ó. ilecÍ11iat'; "sí d número es ,1a ,).ln~dad seguida de ..c~ r'6.5 , su logaritmo COrista , de .tan:t~~ tmidades-~o!'.¡.¡~. ceros acotlfpañan' á fa imicIaJ, e& quehrado decimal E,S cero: ._ .... ',_ .. _ ~'. _

_ '.'

....

~...J

"

..

J

'"

J

~

... .

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1

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I

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...........

l.i_

~...

~

""

."

1.1

z';

;i


ÁLGEnR~.

,

J1'

'~to, ") IE,I .mlm~ro, q ueespresa Io~' enJeros., en .los 10-

g¡¡\'ítmqs, .se H;¡'ll1a cara'c,ter.ística ~ ' y el q~lleQr,ado de ,;, cim.al .se llama' mantisJJ. , ' - " 'r. , . ,i Luego dado u~ f,1~mero, sq>1,lede" coh0cer írim<:; diatameBte la cara,cterística de su loga,ritmo, (209); y dado,¡un logaritm O' se puede saber lñmeqiitamei).te Jás ,c ifras q ueha de ten~rel mímero , ~J1 enlerQS~

~Úy' .s01i_ !anta~ ~;';zas(¡ñ.a' .c,omo un~a,¡dqr

tenga

l(¡-cá~·

rac.t.~rJ,stíca? por '.es'ta; ca,usa .se .sue,l e emi'tida carác:

te~stí~a e!1~ aJgun~~ ta~lás,. ,~I ~

_ ,~.

"1'

~

-

"r

Les logprit~1JPS 4~ los .nú1~~rq-i qup crece,n e~ pragr.Úion Jféwpt-a .tién.en tm{Z mism~ 1/iat:Jti(a ; por~

la

qu,e-, ~an de res.~lf,~~ .d..e suma' ~etJ9~~r!fmo, J~l meuor , cplJ. .eJ, ,~e ,lo, 100, 1000, ~c, ;· que · 50h ,1 ~ 2, 3, &c, sin rnantísa. V. g. la ,m'\ll1ii qa ge ~<3 ..e,s , la- mi~ma que l~ .d.e r? o" de :2309~ 'Q/23900: &c;i :porq lJ.e

.' . '. ;.,

, ..

'.: : ' , '....;

·~;30.:::;;:~31>,(10 y ~§ ')".07.,1.,0) lqg.2 3~ log,.2 3+lp g .yOj' , ~ 2300-,..-.23XIOCl_J log .2 3o o,==16g-; 2Z,+~'ºg~; loo, ,

-' •De,~np.e res~lta '9:u,~ é se. a§a~~1#,~ad¡'1'!i~ad, ~4 . l~fqrpF1¡e rís.tifa .•de., .un ,togq,ritrr¡o ~ i:Qr:r~;'pQn«e á un

núr¡¡el'~ die: vec~~, ~m9y'or~, ?ó e2ulvaJ~ .~ .tnu!fiilicar,

P!1,'::. jl~~rz _;dtcJto n~!I.l~fq;;~ t , ,s~ ¡¡nalfr¡r1,,i!os umdades

~quí'l.'ale 4. muJtipliqqr .p.or ]i 00 el mij71Jo nümero ;~y. así ,Su;~s!'Pal1Jente. ;. r~ ~i. .~e quAta. u~a unif!f~ tJ tf ,c~~ raet.er-zstz'fa de un,J ogan!mo" f qutvate .a halJe \ atvt,~

~id?-" sU', número par, 10; st .se le, qui~,!~,.'~o~':,,: :WI.¡,Wa:, le (J' haber::,J!ividi4.,o :Jy, nyl1~~r::p por ~e~~, E c., }2:c:, 2{I2\ Se, llama qomJJtern.e n¡~o,.prit'Jll;éfjco. .a,e un nú¡

,meJ!~ ;' lo qU,e le fa1t'!: E.ar~ .y~l~r, la -:;~Hi'fl~_d s,e&,uida:

de ~afl~tos .ceros flo~~j!if!)as,.t~ene ~~;~o .n~rpeYó, Jis~; ,

el ¡;ompJell.!ento de l.os, ntlIh,erps dlJlt~S es lo.q¿tJ .les

falta, pªra 10; el deJ~s J~U1;neros 4e dos ,c,lLras." es lo que les falta par,a lOo, :&c. De donde Se" .sígu,e qlJll para ha'llar .elco.IVpleinento a,riuné.tj~o de uj1,núl¡1 er lil .cu,alq niera , s~ r~§tará la f if!'a : de ,la:! Am~agdes , de J 0 JJ to.df.lS la; demas q,e n? ó al con¡r-ario, que es lo mejor, se m,t(¡r~, ~'mp,itz'!.ndo po.,r::: 19 ·¡;.zr¡u~er.a...a, . tada gua~isp.o de 9 ', 'y.é úftil11p" SiPlific,!ti'lJO 'RÓ \el d! ~


t,7~~

J~s

'--

, '" ,,_ . ' ÁI.G.nnit'~. _

_' .

,,,.

unídades de 1 0 . Así, SI q Ulero Rallar el comple. mento ue 35':7, diré: de 7 á 'ro van 3 '; de 5 a'9 van 4 A, ~f!..3 á 9~ y~rt ~ ; y ,tendré 'qu7e' . . ~o~,p'. ¡ftl.t: :de"3 ~'7: ~43, Ó e~Re~an~o' por la ~z~ .9, I!lerda: dma; ' de 3 a 9 van 6"; "qe 5 a 9 van 4' , Y 'le' 7 á 1 o \Pol"~e es el último' vari ~3 , Y tengo 643 ~? álO án!es 5 .Y...liac~e.ndo l,a i.-es:a ,por 'el m'étode> el!\' J

I

",

'

4in,a..l)Í~ ("3.~), s<?mn aquí se 've' (My:' se halla l~mismm "-' Sí q'uierd"hállár €l de 894,0' , diré,' e¡n· ' (M)~ p'e~~1}~0 I?~r !a ..i29P5er~a~:'dra ¡í. 9, va '1; I i'ó~oa ~J a;~ - 9 á '':)9. va; b(\; . a~" 4 'á rB Cp~rqlie' es ' el 3'57 FW¡no ~i&,h}&¡::~~:o): va? ~ '; de ~~ á ? ?, v~. \' ~: '~' J oj., y~ te,~g~, ~Oli:r'é . ~!~t m, ~240='~'060. ' Ó4=3 J1) pI,) 21 3'. Se liarn'a 't:'ambie'l1, complerlle1tto 'Zo'garítrhlclJ Be lfn níúnú~o! a1 1comp1eménto,a ritmédco d tf Sld logi¡.itfr¡o~ 'J\,sí:, :Osi quÍe.¡:o hallar el com plemento 'logarít~ mico de 85 <1~? buscaré su logaritmo, y enc(:in ~fa¡ié iiu\~ " e-s ' 4,9'tit> 4-o~; Y'H~Úari4o 'e1 completñé'nto .d'e t!ste(;"dideñde 'd& 4 ~ "9 y.an 5;' ae~ 9 á 9 :.v:a o ~ de 3 ~~ , v ~h ~r ~~,~ 'i ' á" 9~,vah S"; áe ' ó á' 9" :V:afl¡' 3 ~; ~q a '9"'V~r'i. ) i'~e 'e'" á:9 ' Va,ci.,"'9) ~ dé 9 'á 'lo va ' 1;' fendré

i ue

,ebl'l1p .1O if.8~'ÜO:' ~5,,<óo'8 '359 r: -,

.. ) t4 " ',E! ,b~rnp'l~lneñ-to :,ár~üne tí.co

~

'H

".

:;;1'

convierte\ la ' ó, peracion _de restar en slttn ar; pr.l;ra lo 'cual sUfha dm ~el ?1;únue,n~o.' eb coin1j!eih"e.,iito:: aritmét~Go , de't ' sustraendQ , 'y" e-n 'ln ,suiirq ~e' rebaja 'la unidad (ó unida.les) corf'eSpo'na~énte a1' ~()7hpZerl'ieñlio ; ' esto es; eú''las decéñas':' 'SÍ efcomp'l.ementü:' ftie 10' ea" \ .~ "

se

'a

~ás cent;r¡.as~; sFe·! ¿ómpl~rhent6'Flde

á ;6¿, - , (A)" ~c. Así.','Si':qu~~óJe$t~r ~3,8. áe 787" eOlf • 787 '; ~f 787( surha'te ' U~.) el' ctnnp!etrieilto de 11.3 & , :' 'S8i ' ,,~~e es 5~ ~, ~"e~:. .'la sü~a: 'iAft~charé ' el "·',¡.L_:,'j' I:~f.~l'a ~ , / ,. me, ' queda[i!- "· la: Gresta ' ve:rd~- ~ 341 ', dy,ra H9," ')" . < ':') 1 f~ , • .'" f , E'sto s~, ~~~da eJl q ue' é~ 'v ez de quítar ''dé. 7,81' el 438' , le "a:na:d'o :Io que le fafFta para m'il ; lu¡ego ' n~ solo tenéir.i~ 'C):úé q uiiar' el ~lB8\ sin6 aderrias d S~2 i) y cqmo tod o cOlnpone"l 000' , por eS0 se,bo'ua eh la'

sumá1 dO!1:dé corrés,porrde, la unidad. del eOlnpleÚle'l1to:


-

I

A.r.GE.nRA.~ 17~ I:' !! 11) .La imp0rtanfia¡ del coinpI~m~qto ~s ,~uar¡dq hay, q U€ ,h3¡cer sum~s e Y restas ~,on' las ' cantidad~?;, pues ~ntonc~s sumando tos compl.ementos de las que, se han de'" restar .-, .y rebajando las ..)únidad€s donde car: ~ .• l wponda, con UIla sola operacioll ~e hacen todas. Es.

to es lo que st¡c'ede en. l~s propórcíohe~) e¿ qU€ se 'lhiere calcular. el cuarto término· por logarÍtipo,s( F1,l\!S comq su tog-aritmo se com'p oridrá, de la suma, de IQS logari,tmos de los medios, lÍlénos el10garítrno del 'primerc;: en vez de sumar y' .r estar , se suma con' los logarítmos de .los medias el coniple'1ñé'('to logarít. mico del primero; y rebajando' la- d~cerla en la carac~el'ística,

se tendrá el logari'tnso .det cuarto té-rmino ~

ASÍ, si qtüero 'ballar por logaritmos el cua:l1te

mino ~e esta proporcion 864~I329::46~3S:x) con ................... log.'I329= 3,.I2 3}'25 0

ter- • .)

s.ulUo ... :.... ....... log.4635= 3,6669497 y.7.7'.:••.•.•.. comp.1og. 86 4= '7, 06 3486 3

y tendré ............ .Iog.x=.f'3,8 5306ro::clog'7l29,53: cuyo número será el cuarto térmiqo.. q.ue se pide. 1 216 Por estensas que sean unas tablas, nunca. pueden. contener los .logaritmos de toúos lo ~ 'm11rfe~ ros; pero por su media sepue,deQ hallar. En efecto;. si se quiere haH~r el logaritmo de un número misto; se reducirá el .entero á la .especie del quebra40 que te ¡¡compaña (71) , y estaráreduc·ido 4 hr¿,ttay .el togarit. J110 de un cociente (20.7, 2.°). Así, si S(l pide ellogaritmo de 25~, diré: lpg.25~=log:g~~ " log.~29-log·9 : .Z,3 59 8 3 S5-:;-0.,954 2 4 2,5=1,4 0 5593 0 . &i \;!fl vez de r~dt:¡.¡;;ir el entero á la especie del queprado , se convirtiese este en de~,imaJ C0n cil)cO guarismos, seria 2 5,444.44; en este caso, poniendo ,1 de ca:racterístlca , 's~ encon~iaria "q~e;ti. mantisa es 40 5-5 8 54+75=40.5 S9 2 9,yJog. 2 5,44444=1,4°55929, que sólo se díferencia de~ anterior,'el{ 1 en el s¿p,Ji~ ,lIlo g¡.¡arisll!O ~e~illlal, que en ~ada influye. , 21 7. El Iogar~tmo~.de todo, ~ t¡.ebni'do 41egati-oo

es

.".

,""',

"


I

Í;;4

' .

,

Á:iGEnR~: .. defectivo, comal manifiesJa la ecuadon [am=n~ ;'en que si n ha de' ser un queb~adó ~ debe (118) por prel cision la m ser n~gativa " pues la base a es \:ln J.1ú. m,ero entero. Pera cama nosotros' hemos semado por regla geneFal, que cuando se hayan de caIcular.q,u¡¡. Í>rados se conviertan en decimales: , sólo tratarémos de estos introduciendo ef cqmplemento logarítmico,' para evitar 105 Jogadtmos neg~tívos. As! 1 sí !l uiero ellogaritmo 'de' 0,371 dité; Iog.o·,37-':'log.-fo7o= t. • . / log. 37-Iog. Ioo=Iog. 37+comp.log.100; por consiguiente con: log'37=r,,682011 sumo..... :......... compJog.loo=8·,. , Ó

,

1

""

,

.

y'tengo .......•~: ........ .rog.O,37--i), ,68

2 0 1 7-

Si fuera log-~0,037=log,YHO', diria: con ........ .......... :.... n: •.•.Iog.37' 1,,682011 sumo ............ com~.log. rooo=7,'

y_-tengo ........ ' ....... Jog.o,o n=8, ,68 20 17' Si fuera log-.0,00'37=log;ytloo ,. diria~ , con ............................ .log·. 37=t, ,682017 ~uma .... :....... co~p.log. ;Óooo=6" e o

y tengo...............log.o,00j7=7, 56820,17;y del rllÍs!p.o modo s~ría. tog.o,00037=6,,682017,&c Donde observando que en todos ellos es la n¡an· 'tisa una misma, que es la de' los: gúar.Ísmós sígnifi. 'cativos 37"y la: característica respcwtiva 9,8,7,6 &c.¡ se deduce por regla general ~ 'que el togcwit7'1lo de40' •do quebrado decima~ ·tiene' por' cal'acterístic;a 9 , .6 tan· 'fas uniétades' mé11oS' que' 9' , comO' ce'ros hay entre' la. CO"\ ma y' tos· guarismos significativos ,. y ' ppr mantisa la ,misma- que l~ eJe' estos~ . 21 g RecÍprocaménte" si' ~e pídlese el q m:bradó 'decimal á que correspondia un logaritmo dado, se -pondria O" y comá;: d'espues se: pondrian. tantos ceroS c,or,!o_ynidades faltasen á la caracre-rístrca p-ar-q 9, Y luego lclS ciji"as significatí'1.las CJ.ue C01"-reSpOrl,ttesell tí la


,..1 .

\

.

_

. ., .

""r ..,..

mqntj's a. JAsí, se tiene 9AH234~-::-Iog. O,4SI06; 8,772,S1I~I~log.o,0 S9 z. 3'4; 7,376 S77 0 =log.0,002 38. ,

.

"

Aplicacion' de 10$ 10g(¡,rünJ'O$; á la. es·traccion de 1" , ra!z,cúbica~ , , ,' 1 ¡

,

Si para fo~mar él cubo de uN -número, prefedmos á la: muhiplica:ci'ofol! el ejecutarlo' }?or medio \ 219'

de los logari~mos (201, 3.'°)', respecte del 47 Clirémos: \ róg~413=3Xfo~47=3XI ,6720979= -s:,é>l 62937==log. IOgSz3, • ;, ,que es en efecto el ~ub'o de' 47! , Más para estraelr la: rai:z; cúbica: de un 'númer<> cualquiera:, siempre se hará por iogaritmos ; para lo' cual,. se dividirá (201" 4. O) el logaritmg, det númera por ét 'esponente 3 ; Y núméro, que corresponda á este coc:i~nte' se'rá fa rai.z cqbica, exgcta, 'ó', apr:oximada. 1\:sí, si quiero. esu;aer la r~íz cúbica de S9270'{a>ir,é;,

.3~--.-

log~ 5'9d.70 4

' 1og.y 59'2704 .

. 3t

·c

-

,,77 28.379

r,9z42793~rog: 84;:

-

- ' -3-

'

.

P?r consiguiente la ráíz: cúbica c;leI, númerÓ' ,) 927°"4es 84 exactamente. 'ffil que lo quiera compFooar pue.. de forma,!' el cub'o de '8 4 , Y encontra:I-á 592704. ' .• Igualmente se tiene ~ ,

: - '1

!/-.-

'log'7,S4i~, 4,87¿S,I5~~ ' - , " " -.".

og.y 75425==

:P

t

3 ,: _.,-

,.

I,62'58384-':10g.42,25 1 1;

.3/ ,~ _ 10g.78S4679~H 1og.y 78 54679545= . . 3:

,

.

9J89;r,~86 '

'~ "

==3,298376~=Iog': I9&7,8~59 • .':-, .,' ...

,,;;.

-

De las ecuaciones indeterl1Jinadas de primer ,grado. 220 ~Dejimos. dicho (I 4~) lb que"ie enYifilrrde p¿t problell.1a. indeterminaJdo ~ y ecuadon,in'dt;tenuinada . r


W4 ~p~:¡;:;rn~. ~ Ahora añadimos, que se llama' cantidad constante fa , -il1(;~ ;dri tFn <fhl1i~illii. eÚe6tl'O # no · ~.ue¡fe ,ther " ma~' ae: un solq v,alor.; (y, .ca;ntidacl val,i'abte ., la que, en , una, nÍislna . cúe'stion pU€ae t~ n er' todos los " ai ores qlie ~e, q~ie.r~ .. v.\ .¡g~. s.i R1il,i·er9,,, d~? ~Q.i~ e!12 ~ n \;1.05 , partes, puedo decir q ue son 8' y 4, Ó 7 y ·5~ l. .•• p..9. Y,S, Ó 10~ y I~; Ó I5 Y'-3 &c.; clollde veo que las parte~ en que ){O}[ di vid~~!l~9 el I,~ ,yPIJ ' dife ~ente~ " y por 19 mA9 ~0 son vm;iabtes!.; M,,~l ~ 2; "qu~ per.\liane~e . ~~~ _}?rsrr:~ : , es cQ~stanf(¡" , El (número . ~!'! sql~~e.io-: nes de una cuestion l:ndetermina~a, .se limira' en muchas ocasiones' poniend'9 ,p or. co~dicion e1 gue los números sean enteros y po~~~ivos/, f as S.~PÜ:c4des, 'fQus.tal?-.teAJ e~ señalaN ~ c ~n la,? f pryp\!¡;as le ~.ríls del alf~ bef0>l y las ~~ria~les 90q,la9¡ú}sitD:as;: as~ '- ,Qx ,+ bx::c, l" .1 ~

"

ax b'

I.. C

'",.

. r

'..

..

I

J'

nue da x=±-::¡:: - , es la forma general de las ecua-

b

"";l 1

'

I

.

.)

j

>. .

'~:1,

~

c:~~ q~s iJ1.d~~~rmina~a~ ~e.J>.~irp.er gr~~o e.n~~e d~s y~: rialilles. x 'y z. Pasemos á resol ver algunas cuestio'nes.

Hattal- dos"l1urlJ:ej'Os' cuy a ~.uma -sea 16. S~an x y -; los dos ntun-el:os ' que busco, tendré planteado el proble~.á. en.la ecua(.:iofl 221 ' La:

Res.

: . _ :,+z=16' , qU~ .J<!a", z=I_6 - x.

y

".. ' ."

' . Ahora .~ dandQ v,aloJ;~s< á f,. irán res l;lIta(ldo p~. fax., l?s q,~e aquí se 'ye,: , :t:,. .', ,.l. ""' Si x"":" 0- , x= I , X= 2' ,- x=3 , X'::: 4, x :t: h será z=[h -z=r 5., -z • ~4, ~=I3, z ' x=¡j-'; x-:6...J~=1, S;9,· I:Q.,: I.!:, 12, 1-3,14, IS ,. [6, I7,

12;

2'.= 10,

X~9,

8, 7, 6, S, 4, 3,

2, 1 ,~ O

,-r,

Donde se ve .qu~ la. p.ri~er.~ y ee~íy tim a no son ~Qluciones , porque RO Gan dos números, pu es resul· ta:.llno· d€! ' ~~los ::::0. L,a últÍma t~iinp oco es solud oJli porq;ge resulta un ri,úmero negati vo;' y observando que la solucionox=8 á que. corres.ponde z=8 , no d~ dos núm.éros difererttes , 'se ,deducirá q ue el i?fin~' te ftLÍmero de' ~0'1llci0nes que se pOI!Uan d=cü" 'á la cllGS" ti.o n , ;q t;eda reducido á sólo si.~t~' ; PE-~s ~.-..;.g. 18--"";::' que da I x, •. 11 ; ~s la L;nisma_ que , la, x. ¡ 1 q U5 da·, .


- ,ÁLGEBRA~

_

:-¿::: 5. Por' cori?,iguiente ,. ;la'€uestion en ill!Upé:t os

17' en:;-

teros pOSitiv0S y ·diferentes "sólo admite estas siete resoluciones: ' 'J' 1 Y '1 5' ~ ' 2' Y 14; 3 Y 13'; 'S,·)' I t i 6 Y 10; 7 y. 9·· a Dividir 53 en dos parlies t'ates' que la • 222 2: U?w sea divisible pOl' 4L, y la Qtra por 7. '.\11 • Res. , .,PU @S!O que la ulna ha de ser divisible por, 4\ (la podrérnos llamar '4,x ', y ,la 0tra será 77.,; y 'tendrémos 4.%+7°Z=53. .J :Aho~a Se despej.¡:¡ ta ..x:, Ó en' general ta- var.iabl~ que- tenga menor coeficÍ'enre.;. si en su éspresion - resul; fa qtiibriH1'6 "se· iguata-r.á' co'll~ oh'a.! variable del mismo signo qHe la· det queb;·ado ;se despeja esta; y . si ern m valb·Y- ·reS:nita quebrado" se hace to 'mismo j hasta llega!' ,á •una variabté qm . dete-rmine exactamente. lci nnterior; en este caso,~ se: va ,sustituyend.o e!l ..los va.... lores ¡de las antecedentes, y se J tendrán tIU det pro., b¡ema,r~ { q'Ue.·'soto dependerán de la. última , rl se J. ·da.rr valores !á e·sta, y se 'van formal1do las sotuciqnes qUg satisf'ar:án aZ problema. Así, aplicando) este método ci la ant@.rior·, CQmo se V€ eH (A), despejanao.x y'sacan:, ,do los enteros tendré la (ec.B); igualo 'el qqebrado · que.riíe ha, resultado, con otra vaJ:iable u, ,y tengo el valo!' (C); (le pongo el signo ménos, pOijqp.e el ,nu.; merador debe . ser 'negativo, (A) !::4.!Xi+7°Z=53 siha de sel'. en;' '5.3-7'1, i-3 Z ..' téro; '1(:ie-con~ (B) , x':"'::'---' =I3-'Z"t·¡'-~~iguienteelco-

ci~l1tedepartír pO!; 4' ltall'lbien ~oserá); des pe-

,4

, (e) . ""'---

Je ea esta la '1, y rengo. el va- -(D) lor (D) ; igualo el quebrado, Con ti Y·tengo (E) la (E); despejo la u 'i tengo el (F)

,I

4

."<0

. I~3i .

4 "' ~

4u+t 3.

U.+ .I

U+-'- -' .3

T. ¡,

''¡


l"78

ÁLGEBRA.'

valor (E); aho- I (G) '1.=3t-l+t~4t....... I n sustituyo es- (H) "'=~3-4t+I-3t+I=IS-7r te va.Jor de u y f en el" de '1. (L», Y se convierte en (G); sustituyo el de 7; el de u en. el (B) de '" ~ y sale el (H). Donde tengo 105 v~lores de las variables del problema, que solo dependen de la vari.able t; doy, pues,. ~alore$ á esta em p\!z.ando por cero, y tengo .q ue si t= o,' t=l, t=2" t:= 3 sale '1.= ...... 1, '1.=3, <;,=7, '1.:= 11 Y X= 15, x=8, X=I, ",=..-6. El v.alor t=o y t=3 no satisfaceFl, porqué dan negad va una de .las' partes del S3; luego sol0 tiene el problema dos solucion~s: pdmera t:.... r' , que da 2 = 3, Y '" I 8 , Y las dos partes 4'" y 77; del nÚtnl:fO serán 32 y 21, cuya suma =53; . y segunda t:::::;2 , que da '1.=7 y x= 1 ; Y las do_s partes deL número serán 1- y 49, cUy,a suma-:;-S3' 223 3.a Un mercadel' compra pafio de LÍ, 61 reale; la vara, y paño de ~á 78; aL ajustar cuentas ,e'ncuJntr,a que el pafio ele tÍ 78 ).e ha costado 97 r¡;ales tnJJS que el de á 61 , cuánto c,ompró de, cada clase? · , ~ Res. , Sea.", el pañoJrle á 61, con lo que 6rx será su valor; por lo mismo.·tambien será 787; el valor del pañ.) Ele á 78; Y como el de á 78 le h~ eostado,. . 97 reales mas, se 'teridr.á ·planteado el problema en la ecuaci?n 6IX+97=7.8'1., Ó 6IX~78z""':"'97." '. De la q ue aplicando eh;pis¡no:racio,c inio de ántes, se sa'c ará despues de haber sustituido las variables ti, f, s, -r, q, que ~-'::-78q+47 , y 7..:;::6rq+38 . • P.or ~onsjguiente, danáo valores, r,esulta que pu.· do comprar las siguiente varas de" {Si q:- 9, 1 , 2 , 3 ' , 4 , S ., &Ci pañQ lie.a 61 . "'=47,125 .,-2-°3;281,359,437, &12; ldem de á 78 z=3!l, 99,160,221,282,343, &c, Cuyos números satisf~cen á la condicion de· vale..; siempre 97 ! eales mas el paño de;á '7 8 'lue el de á 61 .

i

(

o.

"

,

'

-

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.. )

'


ÁLGEBRA.

De las permutaciones y ~ombinaciones. \

"

t (.

-

'. 224 Se llaman permut~ciof¡~s los difefept~s mo .. ,dos de disponer ó colocar 'muchas cosas las unas ~on 'r especto a las otras; y'se llalnan combinaciolles los aiferenres moaós de tomar. muchas cósas de 'una en ltina, de dos en' ~os, de tres en trés' &c. · sin atender al órden con que se han de colocar: ' , , Sean, pues, las cosas por permutar las 'letras aeI alfabeto. Si tuviéramos una sola letra tar'como a, esta no admitiria nada mas' que una permutacion. Si .tomamos ahora d~s letras a y b, se pod'r á poner la a ames ó despues de la' b, en esta forma ab, ha; luego dO.S letras se, pueden permutar de 2X 1 maneras. Si suponemos ahora otra tercer letra c, 'esta se podrá cólocar al principio, en medio y al fin de cada per- \ muracion d!,! las anterior,es ,,y tendrémos las seis . guientes cab, acb, abe, cba, 'bca, boc; luego tres cosas ofrecen u~ ,número 'de permuta~io­ ÍJes espt:esado por 3X2XI " " y en general siguiendo el Ihismo ráciodnio, deter¡ninaríamos que un nÚmero n de letras 'ó cosas, ofre~e un nÚmero de permutaciones espresado por n~I )(n-z )(n- 3): .. ~x 1. . , , Es prodijioso el número de permutaciones que Qfrecen las, C9sas; pues si suponemos que en una, 'clase entren nueve discípulos, y se quiere averiguar Jos diferentes. modos de que podrán colocars.e, ,este .número ~stará éspresado por

si.

L

ne

"

9x8x7X6x5X4X3xzxr=362880;

¿' ,suponiendo que cada cinco veces que se colocasen; 10 hiciesen en un minuto, necesitarian 50 dias, 9 horas, y 36 m!putos~ , , 22) Si de ~as c;osas que se dan para permuta x: ,~uesen dos igua,les, el núm<;ro de pe:;rJnutaciones se reauciria á la mitad, ó se debériá partir por 2=ZXl: co~o se ve en ab y b,!, pues si 'f==b no ha y mas 9~(~ Una óHJ 6 bb. Si de las , tres letra$ a,b,c, que dan seis •


180

ÁLGEBRA.

perinutaciones, fuese a=b; río habria mas ,qúe las tres ebb, beb, bbe, que ,e's la mitad. Si hubiese tres let.r ::¡-s iguales , e1numero de p ermutaciones se reduciria á la ' sesea parle; Ó se deberia dividir por , 6= 3X2XI : como se ve en las seIs permutaciones que dan a,b,e; pues si a=b=e, se redúcen á una sola can ó bbb Ó ' cee. Continuando dd mismo m.odo se deducirá que si hubiese cuarro letras iguales, se de .. heria dividir el número de permuta'ciones por 4X3X2X I ; Y en general q ue..§i hubiese n.letJ.:.as iguales, se deberia <di vidii por , . . m(ni,71 )(m~2 ).•. 6:< S:>:- 4X3X2XI. . : _'226 Ell' las combiuaciones generalmente se pone por éondicion, que no se repita ninguna, cuanlÍo se forma n las de dos en d0s, de , tres_ en tres , &c. Así, ~i se toman para combinar las diez letras a, b, e, d,

~ k , de Una en una, d ' e, f ,g, h )', aran .

\

.

10XI

10=~

,

1

éorñbínaciones. Si se q uieren eombihar dé dos en dos, la a da las ........ 9,ab, ae, ad ... ak, fa b daria ot.ras 9,ba, be, bd ... ble, 1, '. y ca,da una daria 9i de modo que el número total será 1 OX9; pero como ~b y ba, no dan mas de una com.binacion, y cada u'na"se,repelirá, talUbien dos ~ eces, ~

Id b"" d'!' ,IOX9 e l numero . e COml11aClOneS llel'er¡,tes sera--=45_ ' l . 2 . Si las inismas ,Ietras se quieren combinar de tres en tres, cada dos darian 'ocho diferentes; cuyo total 1le.ria IOX9X8,; pero como cada seis no formarán mas de una combinacion diferente, se deberá partir dicho I

'

, d ' IOX9 X8' numero por -2X3 ~ y ara ----=120. , 2X~ .

Del mismo modo se sacará que de cuatro en, cua.. ¡OX9x 8x 7 • tro daráfl \ 2X3X4

210;

Y así 'sucesivamente.

l


\

18t

ÁLGEnRA.

Luego elju gador de lotería que a~ertase los ' cinco estractos , puede ganar Col".

l'.

I

I

' -,X4 '-= 1 o ambos; 2

y

5X4X3 2X3

, 10 ternos.

Pt'~posiciones impo,rtantes acerca de , las ca~tidadzs constantes y variables, y de los límites. '

X,.

22"1 Teor.' Si una cantidád variable al paso que crece, se acel'ca á la constante B, la comtcmte B sel"á mayor que la vClriablle X. ¡.. Dem. ' Si no es B>X, será B=][, ó B<X. No puede ser B=X; porq ue entónces, si }{ créce se ~e , para del valor de B; Y si vuelve á crece,r, se volverá á separar lÚas; y á cada paso que vaya creciendo, se irá separando del ",alor de B ; lo ).::ual no cumple con la, circunstancia del teorema, que es aproximarse X á B al tiempo que crece; luego no puede ser B=X . Tampoco puede ser menor ; ~pu es si B<X, al paso que X cretca, se diferencfará mas de B; Y por lo mismo 'no cumple con la circunstancia de que X, al crecer, se acerque á B; luego no puede serJB<X; luego si B no puede ser igual ni menor que X, será' , B>X, que era L. :Q. D. D. 228 Teor. Si U!Ja cantidad var!abl~ X, al paso ~,ue mengua, se acerca á la constante B , esta B será

menOl" que

X.

' Dem. En efecto, si no es B<X, será igual 6 mayor. Si es B=X, y X mengua, se diferenciará '-de B; Y si vueJve á menguar, se difer,ehciará mas; y al pas~ que vaya menguando, se irá diferencian,do mas 1e 13,; lo que no puede ser,' pues la condi~ion del .te.OI:eD?-a exije que ,$e vaya aproximando. Tampoco puede ser B>X; pues al paso que X , mengüe, ·se irá diferelllúando IJ! lS de E, que talTl poco cumpl'e coD lo enunciado. Luego si B no puede ser 'igl,lal ni maro.,: q~eX, será,B.,::::X? que es L: Q. D. D. ~29 Teor. Sí -dadas dos c,mtHlad.es dmgttaJes, de


~

,

í8z'

ÁDGEBJtA.

_

. ia mayo~ se quita la mitad, 'y de IQ que quede l~ mitad, y así sucesivamente, se Hegará _á un resulta~ do que será mellor que l,a otra cantidad, por pequeña que sea. . Esp/'. 'Sean B y K estas dos cantidades (esto .es, B tan grande y K tan peque~a como se quiera,); digQ

que si de la mayor B se quita la mitad, y de lo que quede la milad , y así sucesivamente) lfega ré á tener , un resi~uo ' menor que la otra cantidad K) por pequeña 'lUe esta 'sea. . Dem.. Multi plíq uese l( por un número 1'1, tal, que el producto nK sea lnayor qU'e B) yal mismo , tiempo sea el múltiplo mayor mas '¡¡proximado al va; lar de ,B ; .y en este caso será B<rK. Ahora, si estas camidades son desigua-les, tambien

-

"

"

'.

B

nK

2

2

tendrán desiguales sus mitades, y será -.-<--; ,

1

•• ".,

' .

p,ero 'si en vez de tomar la mitad de nK, se quita solamente K (que será igual con la mitad denK solo cuando n=2 ) y en todos los demas casos será menor .q U€ la \nitád de nK), con mayor. razon quedarán des:' , ig.uales; lUégo tB<nK-,-K.=(n-l)K. . Si de estas cantidades desiguales quita!IlOS Ja mitad, tambien queqarán desiguales; y si de la mayor . quitamos méposde la m~taq (como será quit~r K en el caso de que (n-:-l) s~a mayor que 2), con mas razon queda rán desig~ales, y se tendr,á iB_«n-2) K; 'y c.omo sig uiendo .quitando á la menor la mitad, y á la mayor la cantida:d .K (que solo será igl:lal éon la mitad en, e~ ca~o ,de S ue el múltiplo que reste de K sea el du plo) los r~ su 1tados q uedltrán .siempre desiguales; tendrémos que, al haber hecho ud número ,de division es y restas, espresado por n-l 1 lp~ -¡r:• . B· , '," sultados -1 y nK-{1¡-I)K K". " . 2 11 '. " , . B ' ,..quedarán. d~siguales, ~sto es, r~I<r.r; I

.

"

2'

, .


..hGElntÁ. '1"83 luego K ' ~erá mayor que el residuo qu~ nosrquedé de haber quitado á B la mitad, Y: á lo que quede l~ mitad &c. que es L. Q. D. D. COI". r.o De aquí resulta que si de dos cantidadu desiguales de la mayor 1se quita mas de la mitad y de lo que quede mas- de la mitad. , y así sucesivamente; t Ofl mas 1;.aZOI1 podemos asegurar. que, lo que resulte, po4rá llegar á ser men.or que una ciY~tid:.aa. dada, pOI' pequeña ' que sea. . . Coro z.~ Tambien resulta que podemos concebir " á toda variable un valor menor que cualquiera otra cantidad dada, por pequeña que sea. J>orq ue ~e puede supo~er que la ley de ~u variacion sea el irse haciendo sacesivamente dos veces ó mas de dos veces menor. . , Coro 3.° .y ~omo un product0 (61,3.°) distninu. ye al paso que mengua uno cualquier"a de sus factores l (mando se quiera hacerle J;Denor que cualquier cantidad dadá., basta hacer á uno cM los factores sucesivamente dos veces mas de .dos veces menor. 23.0 ' Teor. Si la. variable X se puede acercar á un mismo tiempo (creci~ndo ó menguando) tanto como se quiera á dos constantes A, B, dichas ..constantes ' serán iguales. Dem. Si no es A=B., será A=B+K; yent6nces acercándose X á A tanto como se quiera no se podrá acercar á 13 al mismo tiempo, pues' se acercaria 'á fB+K, Y lo impediria Ja cantidad K; Y como por el su puesto se puede X acercar á A Y 13 á Un mismo tiempo tanto como se desee, re~ul,ta que no puede haber ninguna diferencia entre ellas; lue. go serán igtlales. L. Q. D. D. l . 231 Teor" Si dos variables X, Z, créciendo ó menguan'do, se pueden acefl car tanto como se q!fiera 6, dos constante.f',A, B, la relacioll de las constantes ~erá la misma que la de Zas variables) y se tendrá A:B::X:Z. , Espl. Esta proposicion ,tiene dos partes, oí saber: '~uando las val1iables crecen, y cuando menguan) ó

o


~ 84

ÁLGEiBRA.

,

lo 'que es lo>mislno' :' pl)im~r.o, cuando A>X·, B>Z; 'Y segulldG ,- cLlando "'¡/:l<.1{" B<Z. Dzm. !.o Si no se verifica que A:B;:X:Z, será A:,B':> X:Z, ó A:B<X:Z. ' Si A:B > X:Z, podrémo,s hacer que crezca el ant ecedente ,X de la-segynda ra7.On lo suficiente, para que esta,1'esu1te igual con la primera; y suponiendo que.. sea X';dicho antecedente ~ se tendrá A,:B:: X':Z "Cm), siende X'>X; , pero, por peql:leña que sea la diferencia X'-X, todavía p,b r el supuesto puéde ser menor la diferencia A-X; luego será A - X<X'- X; y como estas dos dife rencias,-desiguaJes, tienen el mismo eonsecuente"el antecedente de la Frimera (171 cor.) sera menor que el de la segunda, y se tendrá A<X'. -. :Coinparando estas dos cantidades C0 11 una misma B, cuando se compare la ,meqor se ,tendrá (171 cor.) menor razon, y' será A:B<X':B; 'pero (proI'. m:) A:B::X':Z; luego" sustituyendo esta segunda razon en ve2; de la primera, :;e tendrá X':Z<X':B; , ' y com0 estas dos razones tienen un mismo antecedent e>, la me,nor tendrá (i71 cor,) mayor c6nsecuente, ó lo que es lo mismo, será Z>B, que es ,contra el supuesto; luego no pue'de ser A:B>X:,z. , .. Tampoco puede ser menor; porque si A:B<X:Z, podré mas hacer , que crezca el CO!ilse~U~f1'~ e , Z de la segunda razon, para que mengüe esta y resulte iguaJ con la pl!imera.; y representándele por Z/, se, tendrá , A:B:':X:Z' (n) y ZI>Z; , '. ~ , ' :p.eró, por pequeña que sea la diferencia 7/..-Z, puede ser aun menor la B---:-Z pér el supuesto; beg.o será B- Z<Z"-,Z, 10 que l'la B<Z/. . Comparando ahora la can~idad A s;on estas des, cuando se comp'are 'con la ~enor B, se tendrá mayo~ xazon" esto es, A:B>A:Z. "' pero (prop. n) A:B::X:Z/; , luego sustituyendo se tendrá X:Z/>A:Z'; . , v"' como estas dos raz.ones tienen un mismo c'onsecuen· . -

,

\


~LG,E:BRA.

I?'>

te', '!a mayQr tendrá mayo! antecedente" y dará X>/J, que tambien es eontra el supuesto; luego si n0 pue9.e ser A:B> ni <X:Z, s'e rá A:B::}{:Z, , que era L. 1.0 Q. D. D., - . _ 0 , En el caso de A<X'y 13.:<Z, ~endríam05 que ' . .12 • ~i no fLlese A:B.: :X:Z, seria A:~> Ó <XZ. \ I \ Supongamos en primer ' lugar que A:B > X:,-?-, ~n CUy0 caso ~e hará A:B::X:Z' (o), sierdo Z'<:Z; y disc;urriendo como án,tes sacarémos Z-B<.Z-Z'; de donde (171 cor.) sale B>Z'; ~omparando ahora la 11 con estas' dos cantidades, da.: rá A:B<A:Z', y en virtud' de la (prop. o~, será X:Z/<A:Z / , que (171 cor.) da X<A, q,¡,¡e es contra. ~l s,upucsto; 'luego no puede ser A:B > X:Z. Tam poco puede ser menor; porque siA:B < X:Z, se podrá hacer A:B::X':Z (p), si~¡:¡do X' < X; JI siguiendo el racioCinio del c~so, an~erior se deducirá que X-4 < X-X', lo q,ue nos ,dará A;> X'; . Y.comparando con una misma cantidad B, se tendrá . , A:B >X':B, Ó (prop. p.) X':Z > X':B, ' de d,onde re'suIta Z '< B, que tarnl;>ien es co~tra el 'I>upuesto; lu·ego si no puede ser A:B> ni <X:Z, ,¡¡e)"á A:B::X:Z, que es L.",Q. D. D. COl:". De aq uí resulta 'q l}e si la segunda razón fue] se de igualdad, la ,primera tmnbien lo sería; ó lo que¡, es lo mismo ~ si las :variaciones de X y Z fuesen ta., tes que en' todos io,. casos se tuviese X=Z , se tendria, .A=B, ,ó ta1 constantes s~l"Ían iguales. ' ,: . E sc. 1. 0 El caso de A > X YB < Z notiene luga'r~ porqu,e cuatro cantidades de esta,especie, cOf!!panadas ol'dena~amente ,j~mas pueden formar proporci0n. * ~," Es,c.· 2 ,0 Los pri~cipiantes del;>en procurar fami4 Farizarse n;lUcho cgn ellengyaje de la demostl'ac~o~ ,an¡erior; pues en lo sucesivo solq pond,r,émos las des_proporciones y ' cóns~cueneias que de ellas resulten., , Esc. · 3. o Si dos cantidades variables X, Z, se , ¡meaen acercar á 1fn, mi~mq tiempo respecti'vamente á, ',dos constantes, A.. y B, tan'/iO como sequiei"a, el pro- ' ,~lIcto X Z ,de ~as a'os, primeras, ~e podrá acercar ta¡¡·

-

\

/


"

ÁLGEBRA.

to como se quiera at producto AB eJe las dos últi~ mas (*). Espl. Esta, proposieion comprende tres casos: 1. o cando X < A Y Z < B; z. o cuando X:> A y Z:> B; Y 3. 0 cuando X> A y Z < Ji, ó al contra- · rio' X <:: A y Z> B: voy á dem0strar que en todos

(*) Coñio esta proposicion se ha tomado por evidente, no sié'n4010 en realidad, haré aquí abgunas n~­ flexiones que me parecen de importancia. Tanto por tos prólogos de mis obras, como por todos aquellos patages de eUas, en que se habla de los axiomas, he manifestado constantemente lo mucho qu~ se ha abusado de ellos, con pel"juicio notable de la instruccion, y son bie'll notorios tambien mis no intel"rum'pidos esfuel"zos para demostr'trtos ~ sin tomar como verdaderos axiomas, si no aquellos que en efecto lo $011, Y están reconocidos como tales por los , mejores metafísicos; y son únicamente los que ,"esultan del pri1.ldpio de identidad, de que una ' eosa es igual á ella ¡nisma. Pero cuando' yo me lisonge'qba de no haber incurrido en la fatta de haber tomado por axioma nin~ \ guna otra proposicíon, que careciese de dicha circunst añcia, y de que había demostrado todas aquellas qu~ Je han toma4o y se toman aun como evidentes por los , 'matemáticos, y que segun mi modo de ver, y el de los mas famosol metafísicos no tr) son, hé aquí que un dis¡;"ípulo á q/fien yo esplicaba la Geometl"ía; me ha hedw ciertas 'reflexiones, por las cuates vine en conocimiento de, que la proposicion del testo n~ tenia el grado (J,e. evidencia que se le suponía ~ pues que las mis:' I~as razones que yo quise t:l'lw para disipar dichas dU7 das, me dieron á conocer la necesidad de demostrarla. En efecto' , supongamos que X y Z sean las doj, cantidades variables que se puedan acercar respectivar: mente á A.. y B , que se suponen ~onstantes todo lo que se quiera; no es t on evidente ,como se ha supuesto hasta ahora en todas' lds obras y aun e'n las 1Aias, á peSCIr de mi -decidi Ja repugn ancia á tOUlCtr por aI"iomClS- l'fQA


.' ÁLGEl3ltA. , , 187 btos ca:so~ se tendrá que la 'diferen¡;ia eptre los pro.' duetos ¡LB, y X.Z podrá llegar á ser rn.e{lor que cualquier cantidad dada, por pequeóa que pueda ser es¡a cantidad. ' Den... 1.0 Supongamos que X < A, Z < B; Y que en un estado cua-lquiera de la c~estion sea ~ I

r

I

posiciones que no lo son, el que el producto X. Z se puede acercar al producto A.B_tanto como se quiera; porque suponiendo las mismas condiciones espresadas, y qlle se tenga el primer caso que ' ofrece dicha proposic ion , á saber: que X < A Y Z < B, el producto X.Z será menor que X.B; y X.B siempre será menor que A.B; luego, pues que entre el producto X.Z y d A.B, ,ha de haber siempre una cantidad intermedia X.B, resulta, que hay mar mo~ivos para, inferir que la prop'osicion es falsa, que no para tomarla por'wcioma, como se hace en todos tos libros de Matemáticas al de... mostrar ta~ proposi~iones qt¡e citamos. • Lo mismo se verifica en eL 2. 0 caso de ser X > A' Y Z > B ~ pues X.Z será mayor que A.Z, y ~ A.Z> A.B; luego tambien hay aquÍ'Una cantidad A.Z intermedia entre X.Z y A.B. -_ Lps primeras ' tentativas' que yo hice para 'disipar dichas, dudas no cooperaro~ mucho para comprobar ld evidencia de la espresada proposicion. En efecto, ya quise hacer una cqmprobacion numérica, y supuse que, fe tuviese A= (00, Y B= [000, X=99 , Y Z=999; es decir, valo'res qu~ se separan el de X en un~ :e~tés.ima' pal·te del '00,10)" de A, Y el' de Z en una mtlestma del,de B ; Y sin embargo resúlta. que en este caso la dife. rencia ~ntre los productos X.Z y .'A.B, es nada ménes que 1099, qlf:e es de mucha consideracion: Suponienda ,X:::9,9,9, Z=999;9, conservando A y B los mismos 'lJatores de ántes, résulta ta díferel1cia ' de J 09,99 que tambien es considerable, y suponiendo los mismos va~ ,¡~res 4- A Y B., Y que K=99,99, Z=999,99, toda~ía .)'eSll¿ta una diferencia de 10,9999, \ .. Convencido ya de que no se. p'odia tOmlW por em.;


18S

ÁLGEBRA.

\

~l eseeso de

A .sobre X, Y (; el de B s9bre Z: la cual fr:¡os dará A-X"+a; (l}, B.-Z+(; (2). Mulli plicando estas ecuaciones y pasando el primer término X Z del segundo miembro al primero, se tiene A.B-X.Z7"" aZ+(;X+o;(; (~). Y todo es~á reduddo' á probat que, por la na~uraleza d~ la eues-

I

J ente dicha proposicion, tl"até de demostrartél; y en las investigacione's que hice ántes' de ha.,ttar la demosiracion det testo, encontré nuevos f¡lndamentos para no debeda reconocer como evidente ..En efecto, yo tra~é. de pI"obar que el segundo miembro de la (ec. 3) se hacia dos veces menor, suponielldo que la aif~rellciCl entre cada variable y su CO'nsta1'lte ¡"espectiva se hiciese (Jos veces menQI"; pero e'ncontré que no por esto dicho ~egundo miembro se hacia dos veces menor, y que por consiguiente 'na disminui~ic, bastante para poderse comprender en la proppsiciol1 (S 229) . . Supuse despues que la segundq variacion que sobrevitliese á las variables ~ fuese el reLlucirse su dije. rencia á la tercera parte de lo que el"a GÍntes, y ob.tII· ve el siguiente I"esultado ~~Z+:t(;Z-++x(;: dende vemos que cada uno de los dos primgros térmil10S es menol' que la mitad de su cO"respoñdiente en el s-egundo miem· bro de la espresaq,a (ec. 3); pero que el te'rcero es mas 4e la mitad, y pOI' consiguiente no se puede deducir en general si eSJa es presion será ó no la mitad de la (ec. ~3): Para dis11linuir desde luego eJ número de tentati'Vas, supuse en ge11eI'{¡l ' . que ta seg;u.~da variacíon de ' ~ y Z, fuese ej convertit'se en n n . A=X' + - --.a, B.=zt-+- ___ . . (;, esto es, queell 2°-!'"-í-

2°-1-1

.

general las difere'ncias fues~n ~MS d;d,os veces mepo~'es que la4 primitiva~ <X y (;.' Y me. propuse determinOl' el valor que deberia tener n para que la difel'encia dI los produ,ctos f uese !nas de dos 'veces meno!' que el ó~· gtl,ndo 17¡,iembro dé la-: (e9. 3); Y obtuve, tJ!.'e n debla ~er igual c9.n v' ~ ).to que . d~ba pa!a las difer:1!cias el~ r


18 9

iLGÉBlu.

lion, el segundo miembro 'de esta ecüacion puede llegar á ser tan pequeño como se quiera. No se puede tomar por evidente el q ue ', pudien~ do disrninuir (t y ~ todo lb que se d.esee , Cada uno de los términos de que Sy compone dicha espresion dis· minuirá lo que se quiera; pues, aunq . . tie es, Ciert0 r

I

1

1

3,5

3,5

tre X Y A, Y Z y B, los' valores - - oc). J

~,

y este

'aato es el q¡:e me ha ~ el'vido de ftmdamento para S!$'. ponét" 'en él te/tó ·que di'chas difel"encias ~e fUl!sen reJú!.. ciendo á cada opet"acion á la .cuarta parte, y quedase

ta

'demo'strad,¡ P1"9posi0ion. Despues, he refeT'ido á etla las proposiciones en que se demuestra '4i:8) que la di: 'ferencia entre la 'superficie de la p¡:rámicie rüscrita en el conQ, y la de la circunscrita puede llegar á ser menor que cual9.ui~! cantidad dada; y (4-31) que 1<t diferencia entre la su perfióe del cuerpo circunscrito y la del cuerpo inscrito en una: esfera, es menor que cualq uier cantidad dada ~ y tambien el qtl~ á toda es'"· fera (434) se le puede ipscri:bir y circunscribir dos 'c uerpos, tales que lá diferencia entre sus vo'lúmenes . 'sea menor que eual'quie,r canti4J!.d dada. Con lo cual,

queda." demostrallas estas tres proposiciones con . todo. 'el rigor geométrico, y 'que po.r los métodos con que s.e han demostrado has.ta_ el dia se hal}an sin. apoyo alguno. . , Esto nos ,da tÍ conocer lo muy circunspectos que de;.- . bemos ser en t0111CW por conocidas, éttsas que no ·to SOn, y uwn en hace.r ci,ertas hipótesis áventúrc¡das, que despues se reco.nocen ine!Xiactas: así es, que aho¡"u se aca~ :b'a de 'reconocer por los i1.nportantts trabajos á'e ,M. M. Poisson y Cauchy ~ que es falsa ta s.uposicion que hizo Lag,"ange, de que en la oscilacion de las on- .. das, el f11ov"imient.o solo se estendia á capas muy cerea de la superficie: y del mismo modo se echará de :ve.r q~¡e en tltgUflOS o~ros puesto~ se hacen hipótesis at'b¡.tn¡~ nas Ó se viene á S1{pOnel" lo mismo-que se buscCl. .

J

)


19 0 ÁLGEDRA. , que ~ y t pueden dis'minuir indefinidamente- por la. naturaleza de la cuestion, resulta 9 ue en el' mi$mo caso aumentan X y Z, por la dependencia q ue tie~ nen en vi~tud de la relacion que espresan las ecuadones (1 Y 2): luego los dos primeros términos sen de tal naturaleza' qué caapdo "uno de 10s factores disminuye. ~ aumenra el otro', y. por consiguiente nada se puede establecer, en geI?-eral, acerca de su (fe: cremeIlto ó incremento: por lo cual, ell indispell$a_ble manif~star, que por 1as corrdicioges qu e se' p ¡~e­ Jijan, se 'ha de llega.r á verificar que la diferenéia .que espresa la (ec. 3), podrá llegar á ser meno~ que cualquier cantidad -dada, que es lo que voy' á ejecutar, fundándo11fe e~ la proposicíon demostra· da (229)' ' , Con ~ste objeto, 0bservaré que,. pues X siendo ,variabl~, se puede acercar á A tanto como se ,quie: ra ', y lo mismo Z á, B: se pedrá suponer que la var..iacion que sobrevenga á X, despues del estado que suponen lás (ec. 1 y 2), sea el de convertirse X en X'~ ,de modo que le falte t~ para convertirse en A, ''1 ,qúe .sucediendo una cosa análóga á Z, se tenga .I.l=X'+t~ (4), B=Z'+:t~ (S)· Formando el produt lo, y pasando el término X'.Z' al primer miembro, se tendrá A ; B-X'.Z'=taZ'+t~X"+II6~~ (6). Igu-i · lando l(')s dos ",alares de A" (ecs. 1.y 4), Y los dos de B (ecs. 2 y 5), se tiene ' . X+~=X'+t~(7), Z~=Z'+~"

(8), ~

que dan X'=X+~ a (9)-, Z/=Z+*~ (10). " Sustituyendo estos valores en el segundo miem-bro de -1<1;-( ec, 6.), resulta ' .Il.B-X'.Z'=t~?+¡~X=t~a~ (11). Comparando eJ segundo miembro ae esta es presiQn con el de la (ec. 3); 'resulta que el primer término taZ, siendo la cuar,lil p.a rte del primeró aZ, es mas de dos veées, menor que él; 10 mismo sucede al t~.X respecto de! ~.X; y como tambien se ver,ifica q ue I~~b es mas de dos ,veces menor que e! tercer término ~b de la es pn:sion (3), (esuha que cada uno:"de 10's t~es térmi~10&


lie! segundo

Á~GBnRA.

191

miembro de la (e'c. tI) es mas de dos veces menor que su correspond-ieme en la (ec: 3)'; y por consiguiente todo el segundo miembro de la . (ec. 11) será mil.S de dos veces menor que todo el se~ . gund~ miembro de la (ec. 3), Y como -lo misLDo su~.ede á 10s primeros miembros, tendrémós\ liue II.B-X'.Z' es mas de dos veces menor que .t1,¡B-X.Z? y como raciocinando del mismo modo, obtendriamo~ espresiones • , /l..B -,rX".Z", A.B-Xm.Z"', &c., que á cada paso' fuese-n siendo cada una mas de dos veces menor, resulta que, al cabo de cierto tiempo (229 cOro 1.°), s'e ~leg~rá á tener una que sea memor que cualquier cantidad dada; que era L. 1.° Q. D. D. , ' 2.° .Supongamos a,hora que sea X> A, Z> B; yoy á demostrar que tambien se verifica, que la diferencia entre el producto X.Z y A.B, podrá ser menor que cualquier cantidad dada. : 'En efecto, supongamos que en un estado cual. quiera de la cuestion, se tenga . X: A+,c xfI2}, y Z=B-f"~ (132; formando el producto, y pasando al primer miembro el ~érmino A.B, será X.Z-A.B=cxB+~A+cx~ (14). · ,, Aq uí ya la demostrac.i on es mas sencilla; pues eomo A y B son ,c<::lllstantes suponiendo que ex y ¡: se hagan solo d,os veces ó mas de dos veces menores, los términos exB y ~A se hacen cada upo dos veces meno'r ; 'Y .como el a~ ,se hará en este mismo ~aso cuatro. veces menor q:ueda demostr.ado, que el segundo miembro de la (ec . 14) se hace mas de dos veces menor: luego al cabo de cierto tiempo (229 cor. 1.°) llegará á .ser menor que cualq uien:aliltidad. dada ., que era L. 2,° Q. D. D. . 3.° · Supongam9s ahora que X> A y B z, l' tend:rémos por ejemplo, 1I=~+ex (15) Y B=Z-:-~ Cr6); lo que nos· dará A.~-:-X.~=exZ-b.X-a~ (1 7). . Aquí no se puede asegurar nada en general so~re $i:l pr04¡¡~~9 .A.B será,mayor ó menor que X. Z~

<


19Z . ÁiG~RA; , ' . . pero lo que si sabemos es que dicho seg'undo rriiem.· .bro, ha de ser ¡nenor que el segundo de la (ec,· 3) que consta de los mislnos términos pero toJos posí.:.' tivos; y como hemos demostrado (1. 0) que dI segl1n~ do miembro ·de la (ec. 3:) puede llegar á ser mellor que cualquier cantidad dada, con mas raZO[iJ lo po~' drá llegar á ser el de la ' (ec. 17) que es menor; y' -como io miSmo demostrariamos del caso en que X> A, y B> Z, resulta' L 3.° Q. D. D. ' Esc, 4:° Hemos supuesto en - la prop'osicion an~ terior que A y B eran cantidades constantes; pero: si una' de' ellas ó las dos ' fuesen tambien. varf<¡ bles 1 fajes que 'al variar, se fuesen acercando á, los va]o~ res' de las otras dos X, ' Z; con mas' razo'n se verifi.: caria l~ pt bposicion: por 19 cual '-se puede est.ablecer en general, que si cuatr:o cantidaaes S01i tates qúe dO¿ a.e eUas se pueden acercar respectivamente (tt valor' de las otra() dos á ~n misino tiempo ' Úl11to como se quiera,' el producto (le ~-a.s dos primerlH se podrá acej"car tapto com.o se quiera al pToducto de las otras dos.

"

- '232 Cuando una cantidad variable se p.uede aceró ear á otra constante tant,0 como ¡se quiera, de ma~ nera q ue ~a diferencia entre ellas pueda llega.'r ·á ser menor' que cLialquier 'cantidad dada, pero sin que jamas puedan llegar á ser igu'a les, se llama- á la constante ~ímite de la variable. ' En la ·idea d.e límite están comprendidas eseneiaI~ mente dos : la primera que la cant~dad se pueda acercar al ·líl1lite tanto como se quiera; y la segunda que jamas pueda llegar á serIe igual. . -.Por esta causa A y B (§ 230) son erIímite de X; y aquella proposicion quiere ,decir, que si dos can~ ti.dades son iímite de una tercera, son iguales entre Igualmente ( '§ 231 ) A es ,el límite de X y B él de Z; y dicha proposicion, quiere decir, que si .dos variables al crecer ó menguar, se acel·can respectiva~ mente á sus líri'lites ,..la relacíon de estos 'es. la ' misma que la de tas variables. ,. \' , 19ualtnente, la'proposicion ' del (ese. 3'0 .§ 2'3 1)

si.


193

ÁLGEBR'A.

qurer.e deQir -:-que si dós variables se acercan respec" tiva1'/'lente á sus límites, el ¡producto ~e dichas cal1ti~ dilde$ s.e ,'C}l?e r~pambien,al produ.cto de SU~ límites. 233 Toda cantidad váriabte tiene . dos límites: uno ve,,21;aderd qtte es Q; y . ofr:o que es Un límite consí .. derado y .se 1'epresenta por ~" • ~n efecte, tri x es , di~ha vapiable, y á cada Iva~ riacio), ,~ va conyiJ;t~en~o en ser la: D.)itaQ. ó mendr que la mitad, al cabo de· cierto tiempo llegará á ser , men9t :q.u~ Qualq uier ' camidalli dada, BOl' pequ.eñ~ que sea; y por lo 'mismo la diferencia e~tl'e x y o .pbu.rá llegar á ser menor qJle · cualquler cantidad dada. Por otra parte ", !Ie jasnas llegará á ser cero, mi~p.tr,as per.manezca cantidad, luego el o ti€ne las dos ~irc:unstancia& \!,senciales al límite , y por lo ,rni~ .. IDO es e.t, nmite de J.as cantidades que decrecen,

Ah qra', Sl. en 1a e.spreslOil . -a ,o _, lI d '151 a . ~ va . , x x . .

.~

a, ·minuyendo, - o

r- ' ; { . . "a.u mentando; y co'rno x

~irá

X:JI;

pu~.. ~

· . . tanto corno se _d esee, res u1ta qúea o, -t , de d lsmmUlr

.

'

x

x

podrá llegar á ser' maybr. q~e toda ca~tiaa(f~signa. DIe ; .~ro :X. ,~.rAismiFlllir ,3se va acerca~do continua:-, . a 1 mente á s,u límite o. ;J4.,ego. la_espr.e~ioq 7':' ~ -;-. se '" ~x

.(

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1 ...

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1:.-

i(á \leel'caqdp:'<;OFlt~puª,~~:.I~~er á _ 6 - c;4-uc es ~ ,~ ~ ~ í .."¡. ... ( 1 ':) ~ I . o . Q JJ 1,ímit.e.Jel-d'ct.§. ccmtidfJ_tlgJ: f].l:Ie ere¡;en. , '... Ese. Este limite no t;? verdadero; porq1¡1e no' cont¡ene l~ !!.eguilda. P.,r0Rie4a4 del lí!!l}~y~\ en ,efecta, ,no. ~e 'p.uel;ie s:upont;r .que siendo Z ~f!<¡' var~able, .qqe ya cre~iendo, .J e .falna pa-ra lJeg~r á: s,.~ . ~ ~a cíllltidad K; pprqu~ e;nt9Ij1.ó·es .añ1fd~e~d? . ~ ~ Z, la K, . . ,1.3 T. 1.

1\

.,

7' {.

'.


194-"; :líGBnBA. / deberia ser Z+K-ls, y por consiguiente ~ no po .. dria esceder de Z+K, que' es contra ,€l supuesta ·de q~ ls. pued~ ser mayor que toda liantidad dada, g'r~uqe qU(} sea, " , - 23'" A 'tao espresiQ:n fr ~e k suele dar el nombre d~ infir¡ito", y: se s~ñala Gap, este 'sigQO 00 i M manera q ue ~ é 00 repre~entan jJna. misma I;Qsa, " '[ ¡>uestQ q,ue ~=OQ ~ s~ q,uitam~ el di.visor será

por

I

1 ~QXQQ

• ..

,

i y di v~dlend,Q pOI;' •

QQ i ~eJ;ó;I,

'

.

t '

-

I

=0; lo qu~

c;:o.

suministra otro. medio de representa!,' el. cero, lí~ {Ilite de las. cantidades que decreceB. ,23, La espresion, ¡=oxOo,' Ó, !1=QXOQ, da á. copocer que. u~q cantida4 cua?quiera se p.~e,de suponer, f'eJ;resentada J;0r- cerO. m.ultiplicadQ ]?or 'r:~ infini,to.

) - a,ó!-, sera:, ' , . S¡·. en, vez. d.e QQ pOlle\I),l:l1i su. va1' 01; a

'Q

axo

~~qX ---.:...~ -,...-~g

-

" o,

y s~ en. ve~

d~

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.

sqStituiqlOS

.'

-!- ; será:

'_ 1

Qq

b¡,u,

1 ~~oX90= ¡.-:. . 00

xoo=;- ;, ,

_00 , '

donde' se ve q'ue tambieD,~ e¿stlllbolQ, de una caJ,ltidad: _' o oo. , 'cualquiera. ~a- espresión, ":":: oj~ ,

,

/'

.

o

OQ

2 3~ Todos esto~ . símhQlos, sirveta para indic~r­ 'nos, cQanqo ,l as cir<;u'nstá'llój!¡¡;s' qon qU(H,ráta~o'S de qeteJ;qlinaJ; tma,' can.tidad ). son insuficie~lles para este objeto) por <;@veQir á_' cü,al~uiel; cantidad:'Jen: ; gener~l. V: g. ésta Gll,esdon, '-" .~, '::' V~ hombre), á quien se pregunt~ q~ánto, 4¡lIe~o , tiene, resporlde,; si a} tripl.o d~ 'mi din.ero: (l-fiQdQ ) du lo ¡ t'OS , tengo a,os veCeS, la séptima' parte de 2-1 , mas ei1l 4

el) 'octava, ,partes de v,inticuMrif'veces mi ilinerQ 'par-


ÁLGEn~A. -

t9~

tiao por cinco ,' menos un durq. Cuánto dinero tenia~ \ Res. Llam~ndlll be á dicblO nümero, tendré pJah.. teado el problema en la siguiént@ ecuacion: , ,

,

~

., ~

, 2í¡.-X

.~

"

gX+S=-X21+-X--I; 7 , 8 ' S 43,ue practi'c'ando 1'0 ,dicho (1 ,So), téndré ' , 24M

3",;....áx ~

" queda

.

;

.

=.aX2'I-S-I,O,x;(3-~xa4)=.aX2I":")':"Jj

S

'1

r

"

,

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~

,47~-5-1

.aX2I-S-1 , ,,-ix~,4. ~ 8 .>

x=:::.7.

~ '.

'1

.',

6-5~I

'

,

- -

O '

3"-3 --;" Lo que manifiesta que la cantidad x puede tener, un valor cualquiera. Para que no se ,estrañe este re.. su'ltado , se ejeeu~arán las operaciones i~dicadas en el seglJndo miembro de la ecuacion , y se tendrá 3x+5,=~ I Il'oQ.X-l=6+3 x - 1=3 x +5; , que quiere decir que ' el triplo de dichonúrnera mas cinco; , es igual con el mismo tri plo mas cinco. Y cómo cualqll'iu cant,idad es.igual coa ella misma, re,suIta que "toda ecuacion en .que 'los dos miembros estén representados p0r una misma cantidad, no puede servir para determinarla; y por lo mismo el cál.. eulo debe indiear en el ,i1'ltimo r.esultado , que cual.. quier cantidad cumple con la circunstancia exijida. ' Ese. Es.a clase de ecuaciones se 'llaman idéntioas;: y al!1.nque las -espl'esiones que se reducen á ~ pl!1eden tener en gener'al un valor cualquiera ; hay casos pa:r.-: ticulares en que no t·ienen mas de' uno-solo y , deter:-, mi~ado, 'como verémas á' su , t.ietnpo. , -('l

.

..

\ . ,

3-lLflOQ..

..

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1

PAR1;'E PltIMERA.

NQcionf;s prelimir.u.l.res.

~'31

,

~s

av-e~

2 ' Geome;ria la 'Q;encia que trata de riguar las relaciones y propiedades de la estension, eH~ cuaJIto te.¡minada ó figur~da •. Dt: consiguiente, entre todas las propiedades de les cuerpos. que.. be.. · mos dad,g á conocer (inlf.), la Geometría solo consí,,: d<:ra la este1:lsiotl y la figurabiHdad. . " PaTa adq uidr una \¡d,ea e~acta de la esteusi-on, ie observhá que un cuerpo Cllalq uiera, v. g. un libro ·, en cualltuier parage que esté ~ 'ocupa un.a' parte de.l- espacio; y-.. quitado d,e allí, lá parte del espacio se que4a'rá dQnde ~a, la cual es la es:,' t.~mioi' del libro. . . . DQI~de se ~e q,ue el· obj~to de la Geome.tría nQ ~s_ la estens.ion il:\1pene,trable del clJ~r.po, sj.no la. p.arte. .d el espacio que ocupa, t:n d@ndese pueden ir. c@lgq~ndo sLl.ces~vam~n!te etros dif~rentes cl!erpo.s. Todo cuerpo ~s .estensp en . tres senrü;los dife.J:~l;¡tes que se 1i.aman dimensiones, .ca,da ,t,¡na cle esta~. t;~e.ne .s u nombre particl:llar, relaJ!Yo ~l' modo Qon que se c¡:¡nsidera el cue.rpo. Así, la dimen§ion 'iu~ al [Uirar uq <;ue.¡·p o es la mas larga, · se llama lon" gi·tud; la <¡,ue CQ!lStituyc: lo a.o.cho de~, ~!1erpo, se \ llama latitud; :'1 ~~ que C9nstitU);e ,el gr u~sl,l. ,. al..,. . tuta ó profúndidád -' se llama p'rofundidad. ó' gr;,ue-so. Así, en el libro (fig. 1-) visto de plano, lo que hay desde A á B es la longitud;. lo qu.e hay desde B á D la latitud; y lo que hay desde B. á G su grueso; pero si se mira el libro de camo , pOI: la parte DFGB, enton<;es s~ llamará 10l:Igitud á la DB, latitud á'" la BG; Y profLllldidad á Ja AB) que ántes era la longitud. J

,

r


'~38

e EOl'JIETilH.

t'9~

cuerpo', se ilam1t tam~ Nen 'VoLúmeu Ó cue!"p'o, geométri'col; y aunque para constitl~irla son indi'$pensables fas tres dimensioiles, Ó Ipor meJor decir, a:unq ue en la: estemsion: de todo cuerpo existen simultáneamente las tres dimensio'nes , 'SÍn elIi~argo ' por medió de 'la lrbsnacclon po. demos prescindir de ' una , de "dos ., 'y aun de las tres .. iisí, prescindiendo" del gru'es0 BG, queda sola ~a 't!s~erision con las ck¡s 'dimehsiontl5, lOl'lgitud,AB, y -lati tud BD, que,es 1'0 que s'd láma 'superficie; , " , Si en esta pr'esdndimus de la 'latj'tud BD, queda la idea de ew!n§iün' -en sola longitud, que Ha~ ma lín~a; y. 5i ,ahota prescindimos de esta 10r:lgi~ h ia, po "'qti.!eiiátá absolutamente nada de la ·esten" ' sion; y á esta idea que' r:es l'l Ita , ,se-le 114 ma' pantO , ,tnutemlÍti'to. 'De m61l.o que asícOl'uo para ~ormar­ n0S -ideá. ~ ae :'la ' - ntlda Ó de éero,.es~ neceSário pres::" cindir de toda cantidad, igu'almente ~pará forma~~e una idea cab', ¡t ~él punto, ' es necesarió prescindir -oe ru~a est~h sibn; po'r manera que punto matem'á'l. t.ieo, y ceró' 6 _ carencia de toda estension, es un:i misma c<Ds'a. ' ,:. ' ' . L '" ,', " 239 De todo lo dicho' re!mlta! " 1.0 que la-superr,

ta 'estén'sibn de un

se

ficie no 'tiene'n ada 'ae grueso y qu~ es el límite de los r f;!-,erpos; pues para fOl'marnos su' idea presCindimos f (le él; ' pero si en vez de ptescirfdir de una vez, s u.. -ponemos 'q u~ -'{a disminu yendo póce- 'á poco, el cuet'po' se irá acercando 13 superficie, sin que jamas pueda éonfundir.$e con--ella, -hasta qu,e el grueso s~ reduzca á 'd ero- ,~ esto es , has~a que 'nó haya cuerpo, 'que son las rlos :circunst:!ncias ídellímité (232). 2. o ' 'Que. la Mnea no ti e'ne nadarde grúeso ni de

a

",ncho, y por lo mismo; es ellíinit~· de la superficie. ; 3. 0 Que el' puntó no t i e-iÍe ninguna dimension , yes el límite de Id linea, y de -toda' estension. :: ¡ , 240 La línea se d,ivide en -recta y curva; linea ' ~el:ta es 'la qUé tiene todos sUs puntos en uná mismÍl , direccion, es-t9 es; aquella que 'está dispuesta de tal lnanera, que colocándose en Uno de S1.lS estremos,


-'~~Eo.Ml')TIt.1A. , !±ue~dan, ocultos tedos sus puntos )mtertnedios , cQmo .:su~ed'e ~n las alamedas puestas á cardel, y con 10~

.1,98

guias de un regimiento ~uando ,están, alineados ; , ~a, Jes ~o.ll l.a~ que queremos representar por ~as AB, ~,W'~ '. , _ .'. ~ul:ya .e~aqueUa . cuyos ,ptm~os no esPán t.odos el! una .mis,ma direccion, como la DF, BG, &c . .. ': 241 La s!lperfi~ie se 'divide en plana. y curva; s~ ll~~a plána, aqueLLa fU;YI'JS puntos , estd-n ·todos t,an al, tos bOs unos com~' bOs otrós,. como !a ABPC;' y cl1rv~ oquella. ~yo.s pwt'ltos no estátl todos tan altgli tos unos como los opros, como la CDFE. Ademas , .las super, ftdh Y:línea~ clfryas , ,Pueden se,r. ~ónc~vas y convepca~: las cuales tQman estas denom,lil'!:.clO~es: segun le l aspec:to' bájo. q~l<; se',~ian. , _ 242:' La Geol1.letría ti.ene tres partes :, l a primera tr~ta 9-e las línea~ ;, la segl!lnda:.de .~as, S~l perí:icies; y la ter~era de los y.p,lúmenes. , , '. ; ',En:1.~ primeril: parte. s~s~pone que todaJs las :1ínea,¡; _estan n;azap,as $o~re !-l}~ plano.mat~lF4~,i~o ;& q ue es un~ .supetfic~e plana (z4-r)J'1 ue €o,n~e~imo~ sin jímites; 'y con talperfeccion cual no existe en la natu.t:,aleza. ~~ . 243.' flna trecta queda determinada, en fijando dos /J,e ~us .puJ'ltos .. Porq.,ut;. la . esen¡::la ~e 1a~ lí.ne~ r ecta; ;es que todos sus Pllhtd,s e'Stén en Ufla_ m,isma <;ii rec,cion; y_ como.'en -la idea de dir<ecc.i on sólo enu:a la del pu.lltO~ Ó. par~je. b-~ (fig_. 2), qe dO~lJé se P,arte, 'y la del punto.ó sitio B á q.ue uno'. s~ di.Jije i ¡ se siguf ' que 1.05 Jilu~tos interrriedio~ . deqen <]rueda'r c~bi~r~os por los eStrem0S A y B; Y, los que se su pong,all á 1~ 'i zquierda de A te deben cubrir, chmo igualmente ( .los q ue-se súp01!lgan á: Ja derecha d~ B', deben q,ue~ dar. cubiertos por él. Peré,¡ este c'onocimü;:nto ha pro¡ ,venido sólo de los : dos pu~tos A- y, B; luego . do$ puntos determinarl la 'P?sieion de una recta. ' ~; . .244 Un. punto n~ ' ~s suficiente;, porq ue desd~ un pUnto O se puede ir . á todas partes; y en el mismo punto O pueden_<?oncurrir todas las direccione.s que se quieran.


.

I~9

t;'Ea.METnfA.

Cer.. f:. <) Desde Ull punto A ·á of,·o B (fig. 3) no se

puede tir:.ar. mas de unq n.t:eá ~·ettá; .pero sí 'infiniM$ curvas. Pgrque si sé pudíesé tirar mas de una recta, no bastarian dos puntos pata ñj~rsu -flOsicion; pero· !la }'éqdo en HnM }'ecta, 'se podrá ir por ACB, Ó, por ADB, o por AEB &c. ' . ' ~ Cot, ~ ..o ~a di..,ta12;éÍa ;entre dos ,puntos se debe medi!'> por ÜlJa ,-eda·, pqrq u~ es la única que se puede tirar de su. ~$pecie. . . ' C\i>~. " 3. o pos res~a~ no pueden enoontrarse 1na$ que, en un -punto; porque .si se eacontrasen,.en dos, se -S9nfub.d1.rt~n en l1na sola; y de 'Cons'igúlente nó habrra dos ,tectaS ~ qüe .~~- contra el SUP~$!$tQ. . 24l'S. ;P0r su ponerse. las rectas, tirad,as en uf:¡ misme p}.a:no, '}",no teIJer , este límites, ~nf~rimos que cua,¡¡¡clo se h'éc,eSlte., se pc:d.d.i1 éOhce?h prolongadas Ó. áéó.ríagas.. las líneas LY que en SIendo .re.c tas se l>ó~d.a .s11:pi;rponer , d.e maqeta que se toÍ1fundan en UltJ~dp .si so.n iguales ~ ít enliquella parte que· tengan , de. 'CO!llU~; y recip¡to<;4me\lte} siat superporier dos rectás se cQ1ifundén s'tsestremos, se h[lbrán con ... Ju;lldido é1i ·¡o,q(l ,sU! long(tud, ;y de consiguie~lte .terálZ ig'uale -: l" ' . ~ . E.se • . $e v<11<;.e. que dos ; i~ne.~s tien~n .~n;t co71iim flledú;la ~ ó que son .co7neilsur~/jtes, cuáhdo ambas ' cOQtienep !Í UiJ.jÍ tercera d~ Su tIfis,ma espeCie Ull HÚmero exa<;tjD de veces. . 246 , Entré la infinidad. de éul'vas <,!ue puede concebir hl.)~stra imag!ná~i:or: ,1 la Geometría elemen~al .sólo ébn~idera la tiréuriferend(f de dl'éu{O ; qu'e es Wl~ lín.ea éUJrvcI , f'?éntl'an,te-; tuyos puntos dis·ta1i iódos igua.l?!ignte: de ,U'IZO qu~ se tlamátentrb: ~al és (fig. 4) .:la A$BD, c.l}.yó centró, es C. El es'paclO Ó· superfide que endena la cuCúhfe.rehCia " se llama tí·rcuto. Las i'ectas- CA; CE; &é. que desd.e el centro v,!u á parar á Ja ; citéunferi!ndá, sé llaman radios, los cuaJes soli tod.os iguales, por m.edir (244 col'. 2.°) la distancia de lá drcunferencia al centro; y ser dicha distancia una misma ' en todoS los puntos. ~


~ó6

,_ · G.~OMET'RU. ( Toda ií~ea DC~ ', que pasando por el -ce-ntró,ferinlna con sus estremosren' la drcuIIferenéia ,' se W~ma. díámet1"o ; ':por consiguiente " ét diámevro ' ~s igual á dos 1"adiM"(i al dupto I de uno; 'l como todos 1.os ra. díos son ~guales , ' t,ambiln lo serán los ·{jiámetros." . Esc. Para úrar rectaS 'y describir Gi ~Cbl{1ferencías, se emple¡¡. la regléi' y el. comp-as; euyA' €{)flSrÍ'UCclon y us@ se entiende fácilmen,l!e ,con la eSf'ticacion del ,Profesor. ;.' 247 ' ' Se f'jama arco una p0'rcion €ualqúíeráude la 'Cir.cunfei~ncía ; aSÍ, la parte BFD es~ !in a:¡:cd-:; y la :parte DAEB es ot·ro arco; t0cJia 'i.'ecta Sr> que desde un 'é'st~emo de un arco va á F~rétr aJ otro, ·se llama 'cuerJp. ael arco; y se Hafuá -sajita ,d'€~ mis-q¡o· ar'CO J á la par/te FG,de! rad'io 'FC', intereelHaaat enHe el puntó medía de rocho ·ardo'- y la cu'éPda .· Se J:Iáma. séct.or de. éircuio," espacio" 'CBFD, comjúcndid@ por 40's nidlos y .un an:o ;" y ~'se l'lai~á ';.f~ihe41.t'Q , "3,1 es pacía comprendido -entre üiia clierda y J's u a:rco, tal es el BDF. Siempre 'q l'l~ -se habte "'de..! á'iieos' ó cuerdas, se !!ntiende de-' los. menores . . ,', " : Cuando' dGS cí'rcúnfenm¿ias ABD,- alid (fl.'g. ' ~), tienen un mismo centro e,' ~e dice que spn '€(mcé1~­ 'tricas; y cuando tienen diferent-e,s ~eBtt'Os >se llárnan escéntricas. , . ~ El' e¡:ipacio ABD3bd; comprendido' entre DOS cir~ cUl~ferencia~ concéntricas;' S$ . llama COr01j,a·@ anutOi 248 'F'éor" Dos circulljer'Cncias concé11t,":icas no se pz¡eden',encont-raf Sil~ conf!mctirse en una sota," ! . ') Denf:r" Porq ue '0 sus l'adiGs son ig-ualés' ($ desi· guales :. sI ,s bn í~llaies, tdd@i los punt9s de la' una se conf undirán' exactamente l.ce!l lGS de l-a' e'~ra, y por io mismo se habrá~ con'fündidoefi" una sola. Si los radios son desiguales, la que tenga 'me'nÜ'l! J.'adi'éJ ~stará roda dentro de la otra, h~biendo :siempre' eñtre ~llas una distancia igual á '13,- dife rencia de los ra:" dios. Luego dos, cin;unféreñcias, b'c. J • Coro De donde se deduce que si dos circunferencia. ticne;; U'll mi'smo t'aclío serLÍn iguates ; ,;y coiacalla

ar

1

L

4


GEOM~TRiA.

la una sobt'e la otra,. de .manera que se

c6n-f~nl1¿~

~ol SllS

,centros, se confundirán todas ella,;. . ';> . " 24~ T,e or. El diámetro divide .al círculo · y á la ' éircU11.ferencia en dos . P?rt'es oiguabes. '

Espt.

Si el' círcmlo ABD~ ~fig¡ 6); digo que si dobla: por' el' diámetro AD, la parte ZiED¡' caerá exactamente' 'sobre la ARD} y habiéndose' confundido serán iguales: , ·.4. ~ '; Dem •.:_ S,i la pa¡r.te A~D no cae sobre ABD, caerá ó por mas arr,¡ba ó por·mas a1>ajo. Si' ~a'Yese J!>0'f. mas arriba ¡ y.,:es·~uviese reJlresen.tad~ por AND, tirando la NC, esta seria un radio del cÍrcul(!), y p0r cOIDsi:.glliente ig)lal con Be ;' radid tambien t1.eLmisiEQ, cí:r eute ;10 q ue.. es absurd:o., por 'ser', NC .todo y BC parle.s·u1'a; 'fueg0 ,n.o se puede ~suPQner que caiga ji>.ct mas. aEriba .. Si cae '¡ror mas abajo, y; se repregenta por :AMO, tirando la: MG ; "será unl.ladio del ,cítcuJo', y' por cOllpiguiente:iggal C0n Be ,ilo que tambieil es' !ll1posrh>le; luego RO p'ueCle caer' por' m¡fs, <!bajo. Luego ,si D'O puede¡~caer3li:.p0r mas ' alfriba' ni por , mas ,a:l~aj'o' ; ;$e ' habrán eonfanditlo Yt ·ser<Í<n Ílguales~ ~e

4

.L. Q; ,D; n.

.

., ,; ",

¡" ' . , "

.

. 250-LICu'and9 dos ,lí;neas~ .AB, AC (fig. 7) se en-:CllentJ;an en un punto A, se lla,m a árlgulo á.la ab¡;;r* tura éJ ±ID.dinaciorl'qú.e" t{ene~: entre sí; el punto A donilte; se €nc'uentpaIH", ie . Hama vér.tice;: y.:.se,;.llaman ladosdas ·d(!)s lineas' AH, kC.-, ?que le ,forrna1'l'¡ 'l. Gliando~ un ~l1gu:lo :esM . solo, se enuncia nombransJ:oJla letra del .vé,rtice ·; pero cual'l'd,o ,el}' Un mis.;. mo .p unto se forman varios .ángulos, se.leen ' las tres Mnas , , ~)f'()'fiunciand0 siempre en mediO:lkLd'el.véni(le; así ,itel :de: la' (fig .. '7}zse ~ l:eerá BAe @')€AB. ~ l. 'Bsi mas ($endllel" aUll\i ' pone<r una leira:HllÍmíscula dentr,(l) deLvé-r.tice Y"prdnundarla sota ,;- así ,; el mis~ 'mo 'ánguli;) s'e leerá coIl Inas senciJlez eL ánguló n. . ' , . Si se pro10iÍgad a CA: hasta D ,: la AiB ,formará ,Con la p.arte ,pJ.lolopgada:AD el á¡ngulo BAD ó m, '~lly0S '- d@s ángulps ]3~C, BAD Ó 11, m ,se. llaman 'angulos com,iguos ' Ó' adya'C(Mtes. .

,_


!ió~

~'BOME:TRh.

\

Cómo, ya se·l'r.o long'u..en 'ó .acorten las Iínea~ AlJ, AC, su clíJ.1eccion Ha se altera (245), resulta qU.e la il;lc1il1~ciQn que. tienelt~ntre SI' :D0 varía; por Iq que la cantidad de un ál1gulo t7,O pende de. la lo.ng.itua dir ',sus lados, Jino de su jnglinacion. 'j Cuando las lados del ángul0. son' líneas rectas, se. ll.aQJar_'f.ectW.n,e()4 ó .~ ángulp .plano ~ cl!lando "Cll!rvas., curvilínéo. , tomo DAC (fig. 3); Y cuando umo,de los l<!dos es l.HJ.a línea reeba ~ Y el otro 'una curva; se ·llama- mistilíneo, tal es el CAB., '. ' ' ',' 25 [ , ,TeQ~. Dos angul,o dg.ual.es Je pueden $uP.~. :poner de-.modo -<jue· se cnnful1dun., " ~ . . Espt. ,Si el ángulo bac:=BAG: (fig, 8)" Y~e ~?lo• . ca el ul)® 50bi;e el otr,o, de ~lnanera q ueJel vertlce 'a caiga -sobre el A> 'ji ac,.sobJ.1e AC, dig0 que, pb caerá ,sobr~ ~ ~ y. q¿uedarán (wnfundidos en um)'s.olo. , . D.em. ,., Si::es-to. nQ.se i:v,et'ifi€a, la ab éa~r'á por lnas an:iba dé la 4B ; 6 pot más abajo. Si cae por .!]laS ,ar~ riba y toma lil,.. dke.ccion.AN, se tendrá que: bac.esta. 'r á representad:O por NAC, ó.;será igu-aJ 'Con él; Y COIl1QJ l'l~ol;..\':lsl:l FY€&to<bac=B-AC) será ,iQt¡:~ ;áiX. 5.°) NAC_BAC ~ lo que ~s absurdo: pues NA(L' es ttildo 'Y BA-C"pa'rté\ S'uj _a; ·lu~goJ.a·~.ab rno 'pucdf0 caer por mas arriba .de AB. . ;:,l' . _ v, < : ' .! ,.8J cae: p@t' tñas ah'\io f'y se réprésenta_1'>-or AM, ..se tel).drá· MAC . b~.c..;; I y.. corno por el Sil ji>l,\esto BAC=Qae; será MAC=nAC; lo cual siendo tambien 'abs:ur.dÓ " 'por ser ·MAC parte y :SAC .todQ, lna~ uifiestá, que n0 pUéde, caet ' ppr m,a.s, abajQ. Ji.JuegO"se ~{)nfu'fldj:l':á-J'l.<L.Q.J).D. ~

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- Esc.' :)~Recipr.ocaltlel~~~ ;. h do", ángulm ~óil tules ' I que, púe.sfQ,el. uM sobre .. ct bJr~ " '0 e confunden ~iXiacM~ mente'{ 's.e.r.án .{guaJes ; pli.eS epará,f011marnes la. rdea de la igua(dad ó desigualda& ikdo~' cojas' , 'Sielllji>re re,cur.timo& . ,á - la :::su p:er-posicion. "rt\llemas, -aavert'imos .que siemp,tl.e qlU~ digamos_de tlros cesas ~, qll~ son j. guates han de ser tales que Sé, puedan sup~r.poner, como sucede Con ... ul). dtiro _ql,\e. se puede $tape:tponer á otro duro, y río, se ve n.las.' cl.e -uno; y cuando lin:t

-


)~

.C~OM:ETld~.

.

o~'0:3 '

cosa·v.alga tant(? eOIT).Q 0tra, pero que puesta la una sobre la Gltra mtse ajusten exactamente, comb Sl1cede con un duro y d;Qs ~nedios dar.os Ó. ejnco pese.tas, .las llamarémos (equivalentes. . '. • - 2 5 2 ~Cuando..uña lílleª DC tfig•• 9) forma con o. ha AB los dos 'ángulos' adyacen~¡;s DCA, UCB, igua. ¡e~ entl'e 'sÍ, cada upo de diehos:..áJJgulos se llama recto, y la línea DC perpenaicutcvr 11 la AB .; p'.e maner.a 4 u~ . una línea es :,per,p~ndicul¡lr' á:.mra euanao.fomna fon eHa dos lÍngul-ps', ig!f;4l~s; ó. cJJ.Gv4o cM sin inc:ti~ ~,w~e 1110,.$ hácj~ ¡ÚJ:! lado .qJJ.e lÍ.¡Í-cia ot~o, . ._,~ Todo ángulo BCK, menor que uno recto, ·se lla,. rol! ·agudo ; nod.(j)~ngulo¡ AGK; ' rn,¡iyor '[u~ unQ recto, s~J.laff¡a ~btuso; y..}~ j.láqJan ángu-to$. o opvest.os al 'Vér~ tice los qUf;! tieJlen sus v)!¡;.tic;:c;s ~ pue.st0s ¡~ . ~om(:) AOD ~~GPB (fig. 1'3),;y .AO~ y DOB.; '-"-'--~'. • : :redª Jíneª ~CK c)fig. 9~ q \le {otina .e.on Qtra dos ~QglJlos de..sigl:laJ!:;s~,_.s_e llama .0~Hcfut.t:especto de ella. 2 S(Teor. .Todos los ángulos r,ectos . .top igualft$ e·lltre SJ. · . -¡'-" - n, ¡, ·f,l,pI. S~-D0 p.e.rpeBdictllar:¡ A~, -lo .q.ue supa.... ne (2" 52) que los ángülos DCA, DCB, sQn rectos ..é ·¡guates enlr~ sí ;::..y\ seIJ liG penrepd(i'l[:ula·r ~ ER, 10 ~ Ue_ ~'l'm bi~n .$!l,pqni. . qu~ los áng,u.!0s HGE, flGF¡ son rectos é iguales entre 51; p.li~$·¡ Y.o~ á 8.ejnostrali .queí <?S~Qs ,últirn,Os són ig'y'ª"'l~s conO' los ,primeros. . . {;I)ilstrucciof/.. T ótbes!,! AC=EG , .C.&:-GF "y s~ ,t~nd.:rj ,Aa ~EF.o ; c01f;¡<;J.1iftse la E:B; s0bre Jª-, AB, d~ modal$} u;e se_C;OQhH1.l'la"n, sus estt:~lI:lOS;. en -cuyo c-a-:: W~I. p~mto G, ~.sJr_emQ . de EG ,~ ca:e.rá &0.Pte e.l pUI1"f ., ~e ~~i ~gr~me d~ $"ll.. jgijlllJ~ AC;. y 'digQ' q¡u~ la Hne4. GH caer:á sobre la cn. ., . , ¡ L~ -p,em.:.> I;?([lrq u.e ~r"esfo no se' v:~rifi.@Jl" el::!ad~ GH .(!ae.~ fuera ª-~U:;';D i ~si, ~qpone~.<:?s cque_ tej¡ga la, di recq~!!¡. ,Cl{, se -. t~l'.ldJ'á ACR KC.B ·,. por .. ser es,:, t~s.,á"hgulos Ios~q..ue. re.p.resemélln 'ác res .EGIl~, HGF, :Iguales¡por elsupu.estp; pero ,esto es ,u)l~ absurdQ~ ·P9r~ue slendo tambien .p.o r. el .su pue.s:~ o. 21CD=DCB, n0 se puede verifiQar que AeK fl.ue es. inayor que ¡

¡

..

=

1


~MMlETRb.

' lZ"tl'1-

,AeD', sea ,igu3il coa RCB ~u'e' es' lI~nor que DCD, Ó qtle su -iguctl ACD-; Juego no ,se puede suponer ~ ue la GH caiga , [,¡;¡era de la , en , ¡'lieg0 caerá en~ cima, y se confundirá EGH 'Con '. ACD , y HGF ~on Des; luegó se terídr:i EGH-ACD::y FS7H='BCD, 'que era -n Q..ID. D. ' - '-.' . (', i: •• z S4 Te0'r: \ Los des ángutas j untos que fo.t"ma una r

línea al cae·r sobr.e fJtra, 'Vat'en ' do~ ángulos . reCtos. 1 :. Espt. Si RC ca.e sobre AB de un moue cllal~ ' quieta, digo que la. suma de 10s" dos ángulos ACKI ¡{Ca, contiguos, que forma ' eOIl 'eHa. -, eq u.i \'aléná dos -rectos. ' , .: 1 Dem •. •'CoLl'CÍba.,¡;é i ' la perpendiellllar CD" y tén! drém()'s qU€ los ¡¡J:Qs - ~ngulas ACD, DGB s&ráh< rec· tos; y; co'm0 ' A!eK~ACD..t·¡~CK?; se tendd. '.- ,. ACK...¡..KCB=ACD...¡..DGK4-KCB '; ' Eero DCK..f.KCB coínp~nen rel 'á'ng:m.~? : rect,o . D~B:';.:lQ.e~9 res ú:ltará A(cK+KGB;~GD+DCB=2 ··te~tos: qué era

L ! Q. D: :p ...... ':.;'.\

~,;

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,.r ,....

, ..

De aquí en adelante llamarémos 7t -á Ia ·sul ma d.e ~dbs ·á¡;¡g·u10s;rettó'S " y' por:c:€lhliguieme ,,!'7t al an-guiQ .re~o. " . ( . .•.,1. ,n ' . \ ,SI : '. Coro '1: 0 ~I si ' Ú'liO:' de lost'ángulos :.I1GKi Ó K<;B ,é~ recto, lo se'r,li .tgü'J!fmente' el; ' ó't'rfo"; 'pIDrq \:le entre~ lbs dos,'hafl de, v;íller, rlo~ ,rectos.' <,_ 4, ) ,

Ese.

el)

Coro ~.o : ~ $i .ún~: línea , (fi~.IIól) es perpen1:lié'ú o lar<'á otra. AB " esta .!lB lo sprá á ta prime¡ilJ GD. Pl!JrHue ~0mo la; AEC~eEB

en es perpendicula:r á AB, se,tiel.

c~mo de ser 1el' AEG recto, se ' deduce '-!l,ue su 'a dyacente AEDl ¡ t~mbien lo . ha rdei .s.e;r,~.Iies[dt.á que la.. AE perpeiidic·ul~t (zs~)álaCB. ,:<',["" , ..... } 'Dé 'sér ¡:ect0'--el'¡¡Í,agulo t 0EB , 'Se.,.deduce' <'lue Sil contigU'o BED 10~ha de ,ser.;lueg(;¡, Gúan'do (los per-pen¡,

ne

pOí\. rectIDs,; y

es

clieulares se eruian , fo','man éwatI'01áf'l'gul05: ir-éC'tos. " 3-. 0 _ -ToJos los ángttl'o'sl :Ilq;F, FCI),;' DCE) ECB ;'que' ~e forman (lig. I.: I) ..en ) un -punto, há:eiljl'UlI 'llismo lado de.Mná'·reeta ArB ,.'Vltlen':juntos dos áñgutos, rectos tí qf; y '~6dQS l,os án.galos JJ.CF, FeD, DCS,

.' Coro


, CEOMSTnfA~

!a O'>

ECB, BCP, PCN, NCM, MeA, que's ~ puerJin· formar ql rededol.:: de, tln punto C., no valen mas ni minos que Cllatro r¡;ctos' Ó 2'1f. . • • ~S) Un ángulo es $uplemef).t.o de otro, cuando ' es 10 que kfalta para dos feCt-oS J aSÍ:, KCB (iig" 9) es suplemento de ACK, y al contrario. Y un án.· , gulo es compte.rl'fent.o de otro, cuando· es lo que le (alta ó sobra .para - un recto; así, el áng'u lo ReD, ~s c01nplemeJi1io de, ~ada u.o,o d.e l'o s dos; ACK y KCB. ~ 4el primera por es.ceso , y dcel Stgundo por defecto •• De donde s~, qeduce que Jos ,ángulos. que. tienen un' mismo suplemento Ó. suplementos iguales, son iguales;.. y los que tengan. un mismo complem~nto, s"ólo será'/1 i-. g\¡aJes c1J:.andQ l(,)~ cpmpleme.nt.os sean ambos. por.esc.e.sQ Q p.Q.r defecto. 256 Teor. Si aoJS" line:as, ·t.irada'$ aJ esfremo de 0-.-. trq fonnlYJ con ella dos ángulos. EJ.ue. juntos' valgan dO$ r~ctos , di.chas dos líneas. so~ una sota y misma líne.a. Espt. S~an aC y BC (fig.. 12) ~os rectas titad"as ,-, .' . por eJ e<¡t_r~mo e d~ la. el) , de. modo ,que , ' J):CD+DC'B =?l':,; d"igo que cliehas des r!;etas AC y; CB S0lÍ. una §.o~a ~. misq¡a ltnea, ó qpe ,la CE es. prolongacion, dda AC. . ' , I)emt Si esto no se verifica, la vecta Ae pro., longada caerá:_ ó por q¡.as arriha. Ó por -mas ab.a jo ~e la :S.C. Si la, pro,1(¡mgaciolJ.¡ de la AC t:uese la CE~, ~eria (§.zS4) ACD+DCE=~; y como pór el su.-,-

puesto ACD+DCB=?T, será (intr. ax. 5.°) ACD+E>CE,,:,,",AC.D-+;--QCB;:y q.uitandQ el á.ng·ulf!l eo. t¡lUll A~D, 'q.u~aa DCE=DCB : lo que es absurdo, ' por ser DC,E parte y DCB tQd9.; luego, la AC Jll,Co ...., longada no p'u ede , <:ae.r , p~r . m~s a,rriba ~ de la CB •. 1,' 81 di.eha prolorigadon. f)¡ese la CF, se tendría.

~CD+DC;F=?T; y j::,Omo.. por el supue.s to.

J'

aCD..¡...DC.B =?T, seria. ACD+DCF=ACD+DCB" ~e donde quital}¡;lQ ACD,. ,quedará DCF=DCB? que tampo<;p. FU,ed.e ser,; luege si la A,Q pr,olpnga.,.

~a no puede cae\ _ pot: Jmas an:iea n¡ pOJ' mas a¡ba:, l~ ca ,~ .~e.~ei.á ellc:i~a, y. di<:~as. rect,as AC"

ip ~c;


Z0Ó'

~EOlVÍETRiA.

CB, serán una s(Dla y misma líne'a. ·Lo C[. D. 'D.~-' 2 57 Teor. Los ángulos .~opuesto$ al vértice son' igt.tates._ · : , , Espl. Sean las dos rectas AB, CD (fig. 13), que se corten en el punto O; digo \"1 ue el ángulo .

AOD=COB, y ¡qu~ DOB=AOC. Dem. Si consideramos q'Me la DC cae '¿obre la AB, sel'á (§ 254) A:OD+DOB='7l'; y s'upoIDen~o qué la BA cae sobre la De, se ,teFu!l.rá COB+BOD='Il';

luego (intr .. ax. 5.°) AOD+DO'B=COB+BOD; r q uirando e'¡ ángulo comun· DOB, quedará AOD=COB; dd mism!) modo se demostrará que DOB=AOC, que es L. Q. D. D. 2 S& Se llama triánguto rectilíneo, ó simplemen. te triángulo, el e~pacio. cerrado por tres ,líneas reet-as, que se llaman ladus det triángulo . .' Los triángulos, ,c on rela€ion á· sus lados, se di. videa en equiláteros, isósceles, y escalenos; y con re· 1ac~on á sus ángulo~ . , en rectángulos y oblicuángulos. Triángulo equil'á,tero es et que tiené sus tres lados i~' gyales, como ABC Cfig.. ,I4); isósc,eles el que tiene dos:' tados iguales; C<llmo ABe (fig.' 15); Y esealen0 el que' 'tie1!~ sus tres lados desiguales entre ',1, como itCR, (.fig. 16). Es r~ttángu-lo un tI'iángill'O cuando tiene UII ángulo 1'ecto , como, ACB (fig.I 7) ; Y es oblicuángulo cuando. no tiene niizgun ángulo rl1cto. Este se llama obtusángulo ; c l~ando tiene un ángulo . obtuso, como ACB (fig. 16); Y ac~tángulo, cuando sus tres án· gulas son agudos, como ABC (fig. [4). ,En el 'triángul<ll rectángulo el lad0 AB (ag" 17)' opuesto al ángul0 recto ~ se llama líi¡otenusa ; y los' .o tros dos lados AC, Be, catetos. _ .. l .' En g,eneral se llama base de un triángulo al lado :sobre q uc se considera insistiendo; pero euando el triángulo es isósceles ,se llama base al lado que no es igual con ¡ninguno de los otros. li,a línea que se baja perpendicuJannenre á la base ó á su pn~longa~ cion, desde el ángulo o puesto, se' llama attut'li j"así, las ·líneas AC son~ la_s bases en las (figs.. IS y 16)¡ 1'


, I

f

G.EOMETR A.

201

las BD las alturas; cuando en un triángulo rectángulo ('lig. 17) se consid~ ra ' por base un cateto 'AC, la altura. es el etro. cateto BC. 259 T~or.. Dos. tri·án.guio$ son iguales' , cuand(i li~nen. stls ' tre¡ l.ados ig~al es, Espl.. Sean los. dos triángúlos. ABC" abe (fig. 18)" en q ue s~ su pone AB=ab, AC=ae y BC=b~ ; digO, que S.us tres. á:ngulos, ~ambien. son iguales i este es, A~Cf, B=~ Y C=c. .> t ' Constl1" Ha.ciepd0. centrll> ~n A Cílon un radia AC=ac~ trácese el. ,a,rco, . m~; y haciendo. ·centre. en. B COIl BC~k:e ~ tJ;áeese d arco 0P" De'l1¡.: '·Concíb.ase superpu.esto d triángul0 abr: sobre el A:&C., de manera que. el lado ah. se. con. fun~a con, A,B:. en lb..c;ual no. habr ~ dificultad.(24S) por ser AB=qp.; COIl lo ~ual el Ru ~to .(\; e.strelllO de: ac=f,..C, caerá. en. algun. Pl\~t.Q. (246}del arce· mn; y pOI; ser ~c..:::;:;:BC, el estremo. e' del lado be caerá. talUbieiJ, en.. algun.. PU(lto d.el arco, '1J i peJ.:o. los dos lad0$ ac, be ~ t~enen s'u. estremo. en el punto.. comUIl c., luego, es~e.'Inismo punto será;. com,Ua. á. !cjlS: dos. ar'COSon¡n ,. QP;. i.tre-gQ~erá sa. punto. de inte.li'seccion,. pero, su. punto. d~ inters~ccion se. haUa. en f'U!nto donde se. en<;uentran. '105' lado~ AC y BC del triáFl~ gula. ABC; luego: el puato , c: e;s~remo. del ,lado a~ ,se, habrá'. ¡;;oo{u.od~do, con .c' es~rem0 de A!C;. y como el Fllnto a s~ b.abia. confundido. 'c~n, A" resu·lta ~24S) que, todl:> el. lado; ae se, habrá cooJundido coá. AC; por la misma razón dIado be 's~ habrá confuo~ , 'dido con BC;, y habiéndose cOJlfu1.l.dido sus tres la:dos, se. habrán confundido tawbiem sus , tres ángulos (2 51. esc.);. deéÍr, qtle se. tendrá, A=a, B=b) lk!c, que L., Q: D._D•. . E~e. , Se 'd.ebe advertir que los ángulQs que resul\taldglil.ales'·~ sQn 10s. que en, cada, triángulo se oponen, á los ,lados i'g uales., ' 26e~ Tear,. Dos triángul'os son iguales, cuando ti~.. f1en dos lados iguales. é igu'Qt el ángulo comprendido . ;Espt. Sean ABe, abe; des triánguloi, ep. q ue ¡¡~

c.,

era

es

"


208

GEbMETRfA ~~

tenga AB~ab ,. AC=ac, y el ánguLo en A~ .al cn a; digo CiJ. ue 4ichos triángulos son iguales. De,m. Concíbase superpuesto el.triángule abc sobre el ~ ABC, d'e manerá que el v~rtice . a caiga sobre A, Y el lado ab sobre AB, con lo que el ladc.> ae c a~rá (z SI) sobr~ AC. A.h ora, por ser ab=AB y paniÍ' , estras líneas. desde un mismo .punto A, el plinto b caecá sobre B; Y por la misma razon el punto é caerá sobre C. Pero b y c' ne¡¡ sólo. son es~re m os de ab y de ae, sino q u,e lo son tambieli del l¡ido be ; lueg9 se han confundido los estremo's d'el lado be con los del BC; luego (z45) todo el lade be ha' coincidido C0ll Be ~ y, habiéndose · confunaido s~s tres lados, sél'áll iguales dichos triángurlos.

L.Q.D.D.

' ...

Teor. Dos . triángulos, son igúale-s, euahdo tiene~ 1-'n lado igupl á un fado, ad~aeente á ¿los án, gulos iguales. '.' t , , Espl. Sean los d0S tri á,ngulos ABC, abe, en que se 5.u poneel ángulo A=a, el B=b, y' ell'j,do AB, ad!)'acente á les ángulos A , ..B del primero, igual al ab del . segu·Qd.o.;: digoq ue estos triángulos/ son igual-es. l • . Dem. ,Concíbase superpuesto el triángulo abe sob.r e ~et A.6C, de ma:nera que el lado ab caiga sobre AB, lo .celal se Ji>liecl.e macer., porque ab=AB; hecho' esto., el lado be tomar4 (25 [) la direccioll! del lado Be, por ser el ángulo .B=b; y pOI." la misma razo,n 'el ae tomará: la direccion del AC. Ahona, e o¡no. fas rectás be, ae, y BC ~, 'AC ~ ; se cortaban .á,ntes de superponerse, y la ,superposicion fl(') altera .en nadª 190 naturaleza' de los triángulos, resulta que J ambien se ·cortarán después; y com9' dos receas no pueden enco~trarse ·€z44 coro ~. 0) mas que .en, un _p unto , 'SI:! sigue q qe habiéndose confundido las be, tJe con las Be, AC, el punto ,de intersecéi0 ~ .: c_ de . las primeras, se habrá ,J:!onfundido con .el p.unto de . ipterseeciqn G de la ~ seguadas; luego se ha eon, f~lI1dido el trIángulQ ahe con el ABe, ."1' será .igua:J ~on él L. Q. D. D. . \ __ . . :'" .. ' 261


.

:C:ÉOMET'Rf1\.

209

~r'~2t!1~

Tlt!', Ib .-dicho se. infi~te <J. ue cmn cualesquiera d1aos • q u,e .satisfagan á ¡o demostrado en los teoremas anteriores./) <: se podrá fQ,rJ!\il·a r un triángulo i'g ual ;l? OU!O. :dadID j . y ~ ademas se podrán resolver estos problemas. ' .• . .' 26'3 ·l.? ,t' Ern; ,un ,ptmtq a'·(fig., 19) de una tí~lea , ab, formato u.n :ánguto "bac iguát con 'Otr.o dado BAC. ~ ,! Res,. y DeiJ:¡.) 1Iª-óendo¡c.0ntrtl en a con un radio cualquiera , ap, trácese '\!ln a'n'{(i) in~efuJ.ido prq;1haCiendo centro .en f1. C{)Fl e.1 'U¡'¡'SlDO radio, se ,u;azal'á . un: arco HRQ ,.: hasta q ue ~ncuemr¡! á los lados del ángulo Ce.B; cQn l~ cl!er~a PQ del arco PRQ., haciendo centro en p, se trazará l.jn arco we; -por ·el punt0 :de , iFlt~rseccion q y :po; a, tírese la línea aq, y se -tendrá el ángulo cab =CAB. Porque si con. ~ébirnos ras cuerdas pq, ~Q, ~tte son iguales por construccion , los triángulos AQP , aqp , serán igua'¡lc1¡ (259) ', y podo mis¡no el áng~llo en a...:... al en ".; 264-. 2.° pa.dl) un .ángulo CAB, di'lJ~dide, en a ,QS 'partes igtwlel" ' . '" .' ,1; • Res. Y.. Demv " HacieIld0 centro et1 A con un rádio cualq uilra AP, trácese ~C>l1!fe sus lados ~n arco PRQ; haciendo centro 'e n sus es tremas P y Q , con un rauio c'i,lalquierá, trác~nse délS areos que se crucen -en T, parA y T, tírese ~ lí~ea AT, la cual dividirá el ángulo pfélpnestél ~~]" las..uos panes iguales ' ~Q'ÁT y .TA-E:. Eorqu..e .sí se' e~n~jbén 10s. radies .PT, QT, los triálilg1;11os QA1:,:T.AP; serán iguales (2S~). -. 265 Tedr: ~En un rois.p110 ,t-ri,ánguto , ó en triángu • . .los iguav.es ,iá j¡iJ,dO.$l.ii<g1-lale~: sé oponen ángulos iguateS'; '1 l ' / ., t ., t 1 C!> 0 que es 'J!o ,mrSl1Il(j) " en un t,nangu o t$í)5Ce es, ?.os ~ángutós ,iJ,ed(a,basoon .iguale,s. ,::J al cOfltrario , si dos '¡¡mg(htos de un' t:r:iánglUlto son ilgtiales., ~os ladoSNJpues, tos ta111Dier,¡. lo' serán ., Ó, el t.'riátlgtll o será isósceles. _ , Esp.; " ~eaen- el triángulo ABe (fig. 15), AB=BC; ~digo que se:: tens!'rá el ángulo ACB.:.... al BAC; )d i :sC,.lluRoue AeB.:..BAC·, será A:S=BC. . Dem. L° Por el vé·r ticc B y el punto D, medio •del, lac!.<il..ABJ;:c¡e'Qncíb.ase tlra}ta l*~ lJB, Y resultará 14 T. 1.

A;


~ 10

_

. GEOMET~fA~

·que lbs triángulos. ADB, Bpe, serán iguáles (~)'9);: 'luego, los ángu.los: en. A y en C) opuestos al lado· comun. BD ,. serál1 i'guates. L. ' ,l . o _Q. D •. D. . 2-0 ' Si: los lªdQs, BG'". AB no 's on-iguales', seráa desiguales'•. Supongamo's; que' BA sel{ e! mayor; to.,. mand0- en él· una: parte AE:::BC,. y cOVlcíbíendo)a CE,. - los: tr.íánguI0S' AMlG/ AJ3C,. tendván: diado. AC ca,\:mim,. dIado AE:::a:G:~ pOI' cOJJ1StrUGc.ioIli,. y.el án· 'gulo' EAC=ÁC.B: p0-r- él súpuesto -" ¡uego (269) se~ rán iguales" 10 que .(rs- abs'l udo;; parque el BAe ·es- tod(i)'" y el AEC eS~S\ll parte; l'uego si 19S lados . BA Y: BC no· puedeij. se];, desiguales" serán iguales", ; 'L. 2.1' Q.-D. D., _ Cor.. Luego eL ;triángt¡J(J. equilátero e; eq~i4ngul() ~ aJ contrm-ia;_ . Ese... La igualdad de los; triánguloS' ABD, BDC~ -prueba: al mrsmo. tiempo. que e1 ángulo. AB.D DBC, :y que. BDA=BDC.;; de donde s~ ' deduce (252)' que estos' dos'. últÍmos s (;)ll'-rectos:" y por consi'g.u iente 'ilue una. Unea. til""da desde el vértice de- Un' tri'áng:ulOo i~ós. (celes. 'al rtz.edio . de' su bCJIse-,. es.· perpendicul ~r á esta base ,. Y: divide a su ,áng.ulo. opuesto. en d~s partes igualesr 266- Teor., S i. se' prolonga' una de los; ladar de' "1l' triángulo,. el. ángut() es terno es. mayor que cual... 'luiera. de los dos< illt"e'rnos< opttestosr . Espl.. Sea el triángulO' ABe (fig. 20) ;. digo que sí se ' prol'ol'lga- u no d€ lOs Jade ~ BC,. <;1 ángulo AC)i> • que: se lIamá e:sternl>' pOIT esta!' fuera: dd triángulo)

:(es mayo!; que: c¡,¡af'luiera de 10s,'d<:Js,- BAC,. ABC,. opues[Q ~ á los lac!l:<ils crue forman. el. ést'erno'.. . Derll.. Para demostrarlG' respeCto del' BAe,. tíre.;. -- se p0r B y. por d punto' E medio, de,AC , la¡ BE, '1 p l'olónguese de manera: q,ue la prelon.gaci'onEF=BE;. únase' el' punto F con. el C, y resUlltarál11os' tEiá:LlgU- los ABE,. FCE igu ates (260 J;: luego nos daFán, et án• . gulo BAE ó· BAC=BC.F ; pero< ACD;> ECF ,. luegQ ACD::> BAC . " Haciendo en el lado BC~ .una -construCciCi>H aqá+ ~

/


~ 1 1;

f}E0M'E TRÍA',O

loga"s,e ,d~mostrará' del mi.s~o modo ,q ue BCR> y c;omp .(§, 257) BCK-ACD, re~,ultará ACp~

ABC;, 4BC"

q\:le_es :¡;'; -Q.,D. D. : ,.' 'T .," , :Coro 1. o' Siendo' BAe <. ACD' , aña:diendo ACB, ~erá' 13Ae-f-ACB < ACD+4 CB';-percJ:ACD-j-ACB=7T, luegd J3AC-f-4C~ <'Tt;' lu~..go e'n tódO' triánguto I~ sum.a"de:jg,osl':4:ngul6s ,es 1'I}ei'l0r Jque' doS' ,r~dto's_ _', . COr..;2 ~ ,Luego., ,en. ,t(ldo tl"iá'nguto- reettÍflguto Ú' obtu~ál!gVtq 1" cado, una ¡k .Jos. otros. dqs, ángut'o,~ debe: ser Qg!l/1P< " . ,_ • ,- ,~ ~ , C~r;. I3 .~' Desde un pu~to' cua{quíe'rct c: (ñg., 21 y"~ \ fuera de' una recta AB " nose;·le'~puede: t ,i l",a r; n.~as' de ~na ;Fer~.endiculp.f! CD ~ ¡t0r'que SI' se le pu.di'dan titar dos, tales c-omo) CD ~ 'CE" en ~i triáQg!l:10' CD~,_ los ángulos eDE 1 CED, v'aldri'aIlJ jumos; dlilS rectos,. ~o' \ll:l ~ ~S:. 'i'!J1lP9sib1e-.

l.'

,,'!'

~

. Cor~ . ~. o . ,f..C! perpe1!dícu{g( .es 'fa: qu..e· mi~e:Ja verél'aderlP dístancia que hay desde un punto á~ u¿1a líner;" pues ,es; la J~ni€a: que se pued~t~i:rar, de' SUI espe'Gie'. ", Cot.,- 5.0' Tampoco. s~ p:Uedé tirat"' mM de' un(/¡ per~' pendici}lqf" en 1/In' punto! 1l4e- unCf'línea. AB " ¡t0rq ue' ~i sl1Jj>oneqr0s' qu~ haya dos:" taleS' c omo DS:;:: ~ l'YK;', s~: ~endrá; ~'ll}e: l~s áFlgu19sv KD~,. CDA" s¡!rjn Il'eetos, 'i }il0r ,c0Llsiguiente iguales (2 S3~,:' lo q u,e' no' puede: ser '..JPG).J:'Jl q ~~ AJ)~ es p,arte-,. y ADC es' todo~ : _ C0r~ ,o.. <;?', rSi: desde;,un, p!fnto' 9' d{·U,n a oblkuCf CE' ,se' l1a1a: ít11g perp!mtie'U t,m; ~D' áj a< A}f, cae}'á; liácia eL á1',lgu}Q' agt:l4e..J por;q}l:~ ª~ cayese ,háda! et á'a.guIQ' obtus:o' , e)!; áflg ulo ,AD.C no go!!l:ríaJ s ~¡; mayOl: q¡ue' él • •: 2~7' ,J'e0-f:',; ·lá~ "todQ: tI"iángulo' a~ mayor' lado , 's~ Op;ofJ~ ,elhmQ~ol" ..á12gulo' ;'\:Y' .,gt . contrario' ,. a/.: maypt" q.nguj,9: e'§¡t'b o12ue~to' d mayor" ·lctdo., " , ,~: \ , ~E~J3ro;; • .s,~éu~t)d:!i:r<¡g!tiQ\~:AC {fig., 22) ;- SHgo' que' sí el1ladá 1\-C> ~C' ;, se rá: el ángu,hABC> BAC; y ~i ;-se.;sJ! ptJ.~e [\.~C> )~¿é" ,fle¡;á;, AG:> '~19., De7n.,. r! ~ ;ról1)e§e ~~ B; ~%)a~CJ ma:yor J\~ lJ.nal par!" te' CD-=-B~, Jil tírese líl' ~p ~, <;on, }O' cmalr e1 tri'~l}J,. gulo :e;DC d,~r~ 19.s ,ác;¡ guto.s n y , 1} !g ~ al'eg (265 )1 ;. pe- . ro n> A pol' sel' -estemo1 en ~1 triángulo, .A&D, lue-


,

2U:

GEOMETrrIAl

go ta'inl5iffi-ierá m.-'::>--A:rY' c0mE)A13C::>-:m; ,:c0fl Ma.s~ razon sé'rá-AEC> B1\.(i;, q lH~ -er~ L. 1. o ( Q ( [),,<D;. t 2. o Si no es AC> BC). será !AO ig!;l.a1. é men(,)~ r .. " "',, " - "'.. Be . . Si' AC BO, l'€suJ'cii-rá "por lo demQs.tritdo <265~, <

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fj:ud\,a c: "BAG', ' qúe' ~'Sl tOh~ra-el supu.e..stG,; '-tam~ ' poc,o puede, ser me,¡¡njjr"i ~PQfq ue cmtQH~eg. \ e'l ' angul(:j ABe ::SflI'iit" meno!' 'qlue e'1 BAC 1 que es tambie¡'bGOn~ t'ra ,e.}. 's:u~puest(,) ; ~' lú c§gb ~sÍl';"il(l} puedec'se¡:: ' :JtC~' ni <BC, s~rá AC> BC, que es L." 2. o Q. J). t>., ". • (¡ 26~J!FeGr. La -Mlrí'¡a' ae,.aps la$J:s~ a.e un triLingtilo ' es., m'ílyolY. que ~1' Urc8l'dI - ' -" '~ - Esp'l;, ~éa' BCA (fi:g;•.'~3yUn 't'r-~áng,~lo'.eu~Iqllié'foéf; a'igGi 'fl!l'€! BA+CA:> Be. . '" e, ~ . , l· 1 Constr: b Maéendo c\'mtr.o· €FÍ, B Y '«onJ ¡,¡f.l· rat'tiÓ jgual alIado mayor Be, trácese el al'Q0 CE:E>,~ hasta q!liIe ene-f1eMl't re al [adol BA :pi:G!ongadG, y·,úrese' la €úerda: DC; . h , ,,~ , , '.') ];)e111. ''; Eas lirneasí,BC '''Y' BU son Fg~af~s 'por r¡f,~ cM''O'¡; &€ uA mismo 6Í>l'cu'):@ , )ll,egó (2651 eÚ :er-fri'án'g ulo , €Bll el ángulo 'lDC~ g; p'e w el 'ángulQ r '<:D~B " por 'S@-l' paree su:ya;, Juego- tameién. sef..á r < 'g. L\iego en €I. t~áfl'gwlo DCA- el. á:ngu.l'O'g:> r, y. P(!)t: le n'lismO'-( Z0o/) '.d litao CA> ·])A. 8~ .:.> á estas I cantidadeS> desi-guale&. añadimos una n:Jism@q~antf:~ '~ad i\B, t-al1'l'bien 'pefEuaacceEáa desiguales ¡ y'se 'ten~ c:irá CA+AB:> DA+AB;;~y,€ornoDA+AB=BD:'::"Be, se sigue q'~e CA+AB;p BC~ :qLl€ eFa.L ' Q. ,D,,· p • . ..; 269 'Febr. Si dmJe..u.n pumo ouak¡uie'~a' -dénÍl'G de ' un tr.iáng~lcr,. se"tira1'C:t'ínIJ'a<So 'a, 100s vé.rti-c~s (kdos 'd'é. s~s ángulos-, la , suma ,dé ' es-taS' ·<linea~..'§·ertí 'Wié·n§r 'iue la de to~ tadoli' ~ iM "tioiQ,ngtlto 'opui$'to}"a' M(tdn\. Jtu~os ;:,y!"eJ: ángulo que 10Y1í:¡e-n' die~asi li~a.s , 7er...á,~I!p •. yor q,ueI- it :ángutg: q.ue· formen - dichoS'''.;,I<lit'f)¡¡ ~~ ' :')':, Espl ~ -Sea él · t..¡!áng'a!e--lA-RC 'Efig. ,<:z4'); Q.:igo;'que si desd~ ' Uf!'. punte ' D~ 'd ,efido aemre, s~ tiran -dos J1.l1eas DB' ~. -:DC·,. á· dos -ál1gU'!05 "cualésqiüet·¡¡. B, 6, se tendrá- BD-/roDC ~A.13.:pAQ". y 'C];Ll€ B.uC, ó ' eh¡¡;~ "gulo ea Q~ '17J:•., " :) .'''' ' ~.

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.2¡~ las-mas . líneas , ta·l:.COlll0IBJ!) ,. fu<tsta: l:J.ue ',vllya á 6Qcp¡ltrar al ¡jada D'~uesnQ\ :A.C ., 'se tena.·rá ,(§ 268)' BA+.éYE::.> :BE; ,y aÉ.¡¡;diendQ; ~C~:~er;á BA+AE+EC:> BE+E,C ó re::nucienao.sera BA.,¡,.4C~ RE+.EC ( m), _. ~~",' J . Ahora, el triálilglilJO DEC dará DE+EC;>., D.C¡ ~i'añadie~ndb BlD, se it.eodcá B.D+DE+EC:;¡.. BD+I:>C:; , .ó. por ser BD+DK_BE ; res.iilJ:arL _ ;~ ii:.' ..; \ ' .':1' '..;' RE+EC::?:,BD+DC:. .. ~. , .-" . :,: . y >como ántes ~m} teníamos IlA+AC:> BE+EC, con' mas ;r:azon.Jse ' tendrá iBA+Ag> BD+D,C., ;q.l,le 'e fa 'L. I' , O jQ iD El : ~I ~ ( , " ,

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:(l];;(l)M1!:Tdl.'lA.

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~;1}.e11~ H Q",':l P'r0-I0Iílgand0 ,lilna"cuaJ'ql1i'iellalle

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2.° ,

im:'tri¡n~ul~RA'E-: d; '(2~6) elá!JJg~¡~ ~ r>. m,;

y por li! misma , tazan ' el , 't.r~ángulo DElC d'!:l'á ,el 'á:ng'ulo IO'i;;::f n:; ll:le;go !Con lUaiS razOEl o > ..m, que' \e§

z.o'Q. D. B. " ú ·1·~ , z-10 {Eeo1!/J Si. a:s~e" un.=puntQ

, ~ I ; •.J i t I :se' tira un~ recta y una curva ,...i/', recta es mas corta qiJe la·clwVg.. ~triE-spt~ U Si a-es:I!1~1el' p.uIito, A, (fi:g~ 25' a~l punto B, sel.t:ká<¡ :fa:; ¡recta ' AB y 'lál elllrVJi ': ACB, clftgP q 1te ',t\'CP'-"' "'AE • r,' ' f ' .'., • " .Ji1.~':' t' . - .... • ~Dem:' ~ Desde/.Ac. : .y: B tír.ease a '.un pwnto cualquiej ... .... ..iI. _ . . . . . ra C de la curva, las ;rectas AC 'ti ,BC ., y se ~et¡).4'.uí. (§ 268) AC4K:> A.B?J _.:. .' -- , ' y si dddeJlDs-pUlIl.t0s 1C -4'.;¡ A ·s~e;til,"an á ·ul1IO €lilª-lquiera D, intermedio del arco AC, Jas: AD ., DC, s~ tendrá ta,..nhl~'?I AIDd-D<;·:>. A,S:' que 'ªñadiehd.º '· ~B ~ da t\.D~DO+G:B'i:7-'AC +CB);'::lY sicv1Jlviéra~$:.J . tit~ .r.ectas .;~ !os.. Jp.untf)~.. iflterrn.edflo~ de los l!re!!l;S .... !t12~ DG , &c:, el ,CU'Dljl!lJ,i} to ,cl:e lLn~¡f§ ;:S}t!ile, r.esu1táse ,:;eria . mayor q,ue el AD+DC+&c. pueq;, la 'suma de c~d<Í -dos..t,íBeal) :J ~emiJl,e se..¡;,ia ' .tllªY0C lqúe su ' .corre·spond1ef.lt~? ¡pero'.es~e, conjiUn.tel_ de líneas, ll,l .paso qu,~, c-rece, se apF.Ox;iL'¡;¡a á la cm:va ' ACB, po!" te,ner lnas . puntos comunes: oon ell¡i, y hallar'se en.tre el conj.unt(¡¡ .anteFi0'l1 y. la misma C:Ll r'Va.;. Jueg.o .1.11 curva .se,r á ma- . yor..( z:2o/).que ~ada URO .de estos C(mjunt0s; y eOIll\l) . cualquiera de es·tos es may.or .que.AB, con ma-s, razOR 5:ei-.á la el:l'{Ya ACB > A;B'r 'l)leesc L .. Q..p. D. \ ~L;

~, o,tro

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e1WMETllfA. ~I ~~ 'P01' tener mas- phn'tos c,o munes ~@Q telIA y ,estar. <cada conJunto entre la curva..y- el ~orijllnto-ant.erJor ? luego (228) la curva::ACB es menor que .~ualqúiera" de :estos , é"onjunt-os ,!ff ,cófi¡mas J:az.0.n~e....tel!ld.Fá ACB ..;;:;ADB,

que:era L: .Q .D.D. .1 ,1 ," Con. " ~.;PU.ést0 Iq üe-¡la :ctb.rva 'intéri(;u;, ,es me'ñor <que ,cuatq t!ieF .eon],Unto -de 1íneas ',hCqaa oaroo de .cu·r'va .sera menoY.'9,ue .la por.eion ,de Jínea$ .co.rresponilienpes.-,á, .dicho .ardr"ó 10 que es l01Bísmo :ar~0 CoP -<:PS+CS. , 27.2 Tear. :$i .dos ,laao! ,de :un ';triállgul'o ,son i.gua- , l-es á .dos ile :atto., IY .el .ángulo .que..foy.l'n,an esdes'ij;uat, · ";el lado ,opu~sto ¡(J.t .mayor .ángulo .;erá .maY()l··,qúe ..et. qúe :en.el .{)tf'O ltriangulo .está IOpuest;o .ál iÍngulo ,meno,", Espl. Sean .d9s,.trlápgl:rl0s ABC, DEF (fig . .217)'-' tá les qul'l AC-:-BE'"AB=QE,ydánguloBAC:> EDF; . .dlgo que.iBC1> FE. . ' . Dem. :S u peu.p.ó n:gas e ,el :triángulo DEF .·sobre :el , BAC., .ae mar'i(!ra 'que el- Jado nF ·se .conftmda .con AC, «con J.o, :qüe ,eLtl'iángulo.DEF ,v entirá .á .tener ,

la poSicion .delAF/e .cayendo DE .dentro .del :áagulo I 1P0r ;ser .él fanglllo F~E--<.BAC.. ,,' . A<a uL ;p'Úeden .ocur,rir ltr,es, -casos.: ;¡. 0 " -que .e1 , punto E ,caiga ¡fuera ,del :tl!iár:g~~o ABC como .en. El. , ' .2:9 ~ue ,caIga !sobr.e el lado BC .cOlTI9 ,en ifI.; y . 3 ~O., .qll:e, qig~ .iit!ntro ;del :tFiáo,gulo .como .en ..K. 1. o J;,Si .cae ,en E' :ser,á ,(§ .2.6.g~ ; E/G+GC:> E'C., .y AG+"GB .:::> :;SA.; .Y sumando ordenadamell;te"!S€ .u ndrá E'G+.GC+hG4GB :> E 1 G+BA, .(, lo ql:le es 10 IIiis~ mo E'A+.BC;::;;i E'C+BA .; 'y. osuprimJendo .em amhos mij:!¡ni.:lros E'A y BA"que .son 'iguales por .ser~ El A=DE' BA, .quedará BC:;>. E'G:-EF. ' ~/) :Si E .oae en H, .en .el lado EC,se .tendrá, .(ax. 4,'0);Be:>. HC=FE. .. . . ,.,., \ :3'0 . Én na, ~i el pu,mo E cayese dentro, 'V. g. K, se ,~eodr'ia {§ 269) A.B+BC:> AK+KC., y qliitan-: do AB JI AK ) .q ue -son iguales p0f :ser J') E_A R:=AB, .q uedará BC> RC-EF ., .que .e9 L. Q. D D. ,.l Coro Red p 'roc.ament e -' .si' Jos, lados .de_ltl! trián-, .l~AC

:en


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aE0.ME1:t!.f:&

~t¡lo ó6ii' ,ií?:tlales~ á~ ¡J'os ' de otro,

yrd. :te'~r ladD! a'P!" iguaZ, e't ángulo, opue~to~ ~n el trVánguto: donde._ellado~ selJ 1!lenó.r' , ser4;''lilenÓ't' ~¡e:., d det dtí:b "triá11g~¡to dí}j~ t{e ek lado -es. 11iajor..' lI!orq ue l'l(j,~'pue¡d:!!l ser ;.Jig ual · tlt rnayqr. ) , .C 1 :' .;;!) !: ~7 3 { ~eor. 'Si:ile:ide un 'pur¡to":f,ueru ,de. u.11a .fiecta: se í:t'irf ' una pevpemiVGttlar 'Y' ·'dif-et:e·nt.e'SJQbUc.uas, ,pri"J merw., .~la perpendi'cultw,. se'l'a mas GQrta qUf .zas ~ obl:i,.: c#asi'" segundo, Zas- óblíeuas que dis~1l).tg.ufl'Mnent.e; d~ la . perpendiautal', sel,án ' igua}es.; y lt;¡¡rce.ro , 1' Z'a'\ o/;¿lí. c¡.¡,a . que .inas se ' sep..af:e: de. fra.' pe r.p~l1¡:bi(Jrtlar ,.será. I'a! mas Zq-rga. ' ." '~" _"': :;.. .;:"¡ .:", ' r " ~ ~~ ,' Espt. . Si desde el p1<l.n. t0,A fue.I.'\l,a.e,laJ,FD (.lig, 2.8~ S!!' le tir;i.' ~na 'pe~endi'culal' , AB ,ay! dTfe.rente$ oblí': qi.as.AE, AC; ~D·, iose , ~.eáfi¡gat.á. .!l;i ~ P ',qHe.Ja, ·hB! será,la !llaS cdrta de todas; 2. 0 qU'e .Jas"'bblíe.u.as AE';" AC, ' equidistantes ,¡le' la perpe1fdi~~ " AH, ~ serán igLiales,;•. y 3..0 '<lIue-thdas óblíeuag:¡Ai0, AD, laAD: q:ue' mas se separa ,p'e~ la : pellpendic\+la1: "serª- lato rnas , ~~rga, .- lJf! " -." '.-::.}. ".Dem. 1. Q Por s\~r.ie l~ .,tr.rárrguLo j ~BCu;e(ltángl1:tc[ e'n B , 'Y ,,ser el áflg;til0' ~ i\éctÓ .el .maYloi..de un, triángulo ' (26'6 'coro 2,q)~ ,se isigue é26if!) . . que , el ladoA,C.;;> AB, Ó AB -<':A:~' , l qt1(l es L-;~h!? ~¡jD. B '\ , 2'? Si BC=BE:, ' lC!ls ; triáng,u.oo.s - ~BE.J, A'SC.i; serán iguales (26o)l{l>q.egJ1l dª'l'án 'AiE::::;:AC~; que ,es T~ o Q D . D . ..... --'. <y.L\ \.. '\. .' ... .Jfj. 2. ' ' . J ¿" -: )~..... . .:1.. 3. o Siendo el triángulo ABe ,recn<Í!m:gul!D en B,'} el ' ángru'lo A,CD ~ estÚlilo de dicho :-ta.á~ngul0 sgr~ obtuso, ]Jues ,ha' dese¡ mayj;)r (.z.66):que.el inter11e ' y .recto~ABC; luego 026'6 boro 2.0-y:!el ·á-ngulQ AC,Q es el mayor del~ triá¡:jgulo ACD , ¡Y. .po.uo mi s lllo~ s:e l~.() pondrá rnayeü- :lado (267) ; lu:ego' Al) 1> A,C; 'que , era 1. 3,1) Q, D. D. , ~ - . 0, , -j • 'Cor, , 1. C?r Desde _tt!~ -mismo punt\ó f1.j.eY'ad:~ !ln-a-línea, no s~ le pueden tir¡;¡r tres recta( igu,a¡'~s. -. 0 < Cor 2. Dos triáñgutos rectángulQs :son , igua~es, cuando tienen , iguakes 'bas hipotef,lusds y uno, de Lo! , cqtep-os ., 6 4mo de tos.. átJguto~ Pgt¡.qQS;, p.Qtqu~ pri-L-

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G.ECiMETJ:tÍ:A;; '!. [7; m~:r,:('j: st!~ti'J~s 'ii'iangulo~ ABC y DEF~g;:.~.9:):; en

q\!le ,Se' ~uf)Qne ~AC=:DR y AB<;:::.DE;I Iili<go que ¡rC=ElR ; 'Y ponlo.lBi~tno estG.s triángu.lQ8. s~n i.gua.:. les- (~[59), ' . :. . :: ", .., ! , _ ,J " 1(': -, l En tfecto , si,:€<dmc;amos ,el triángú.l6 DEF sGlbre, en ABe,. de moda ,que I D~ SI! eombuncruaLcon,; A>B, l'esul,t3lFá q ue, ~IIlü:l1iJs )áa~u1;0s eH B Y' en:.:E SQU iglJ,a,: les por rectos, el lado EF caerá sobr.e .el ~C (§ Z SIV Ah'@l'i;:si el'ppntci F~mo ,cae .sóbre ~l puñtQ ,rC ; ,e4~rá ' la'lzqluler~la · .J '. iT" ( , L..l h .) 8, masr' a,. €omo ea 'i3,o, mas'.ªJl4 4ere(\:·,~ª" como en 'H. " ~r" ',O,\.." .• ,;: .U~$ S tal! en G') l¡dínea DF esta~á;, r-eFJiJ!..Ss::niada por ~,h.í\iG··n' ,eomo :por el ~ú.puesto ~F.. ~ AG?_§Il . tel'ldr:,,1;: A(:,...;:"AG,t q~.flS twr.al1su't:d@ · ," pues.:sé t~4.rán dos; eblícuas iguales á uTI Ffnrsm0 'lado t±~ ~a, p.e.rp.~d~o\!il.á.~ , ~B'lUiCc(n:¡0 d~I.mii.sLDQ ¡nue.o se aeLJ.'IQsir.a'ria .qne_ no

ere

~úlé!de" c:'íaél." ·ih"ácira)'!ar.Hereepa C~"~y¡< ' g,f;, 'ltH, r.~ s.td:t:<1t que . caerá '.s:ol$rtr, C; luego 1St c<ha~rán.~oó.fufl;:'

dldpl io's tres Jad:o$ ó)delrtri.:í.ngutCll DgF ( ~o.tmJ~QS ,dd' ABe); luego son igbale's. J·'. ('OJ:)~~ 5 ·,::-IJ. L~,Il~ • <l ;Sea én ;l ;Q luga:rLAC=DF, y; d J áM \!lI.0 (BAC..,..,: EDF·i .c'óJ:Man,do · el tll'i;í.ngulo DEF!Js,Gl.Qr.e"eL BAC:~' (kmDd~--que DF se confünda CGln AG.,Sla DEotOII).4Z. r,.t~a<::~Ht.ee~io~ u'fA.B.(.§, z.5I); ~ cOJll.fl, el:pttntC?F: se na .'(!:@¡;ffund1do .c.0n cC ,1SI la -FE!l1o ca}'tlse"s.oh.re, t~ 'OB ;-Ije ;podriau"" liiral' ldesde C clo$)rper:pendicula': .res ácA:B ., lo quei1fs Jahsurdo; luegÓJ!ps' .tti.á:!Jguto~ se~án igyáles. : . ?51" , : ,¡ 'z 'C,-fl5i~[. ::. : ti Gor: 3.'1Si Ú1iJpUllto de un-a p.érp.endil!uJar_disM.r, .i:ga(flm'ent~ :dedOJ' ~untos. de' la line.a rí- qu,~cJ:(ÚS ~ to ~ dados, plintos de,' V.o, ~rinie!l"1l estarán~ ,Ugtlak g,istan~' e~ '.deacfu~llos. mismos _punt.os .de la:: .:I:í!g:u.1JIk¡;p~ .iJ?prq ú,e: S1 fUese B (fig. 28) 'el pUl!!ro que distase,:ig\Jitl[Jlent;é) (l.e E y 'e , desde' ~ualq uie'r punto A(,~ 1\1 ó ..;a, gl~ la. \ AH ;:" qlte se tirasen líñeas á E y'C, <-lie ri'!lrt ig.bal@SI fZ60) ~os rriáogtilos' ABE, ABC, 10s.JM]3E.~'{l\1.B~ tambien ', él los HBE ; HBO; luegq. ,se teadll<Í" AE:::;::: ItC,ME:::::M8yHE:::;HC. -: .• \, ' ... Ir , , •• ... -~ Si ,el.ruJiltojLql~e:$c halla ,fuera :Q.e la.EO, dis .

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:ta i,gualm~ñte .dé E y de Q, ;será JAE=:itC ; y; comO} ti!!ne.o:,un l~d@ AB ,cotrlun itos Jdá~g.ulos rec:tánguJos .ABE, ABC., 'Ces.u ltatá .( cou: .ant~t.¡) 9. ue EB;::;:Be~ y :s.i :por ,un ¡punto ,cualquiera ,de AB , .tal ,coq:Jo}:M, :se ,fjr.<Ín ,lás ME, MC, ·ser.án; ~ gl!l'aks :, por. fiiJ>0t~nu .. ~as .de tr:iánlgulos EBM, MBO, :iguales"; y.,como lb: JIlistJio .se .deUloSt.raria .de .cuahluien otro punto, .re" ~s'uita la l?'¡:.OPQ.5'i'cíou~ . 1 , ." .: .11.-'.. ..: • ·,CG'r. ;'Fo Dd.s triángulos. ,son 'igt/la~es -cuaniJo fíe .... ~en ,ao.s J-dtio..s'·:iguales é iguartambJen 'e? .ángulQJdpue:s .. :to a.l mayor ,de .eH.os. " " C ~ orno . ~Espt ' :¡:S~aFl!ABe .;DEE{fi:gj. :24 *) .dos .ti'1.Íe.g u• l{)s en,que se :su!úJlleAB=Ep;AC~DF, ACB=D:Ei:EJ :sabi.éndos~e..ad.ern3!s 'Gue 'BA: .>-.,AC,; ,,d~go que 105 .dos, I ,trW!l]l,gul'os,.ABCJ. BDF ;Soli}.1rgu.ales..;, ' . ' ¡- !'~!): '-"v , D!em.• '·!For <.ler AH:> AC, !J.1esulta ('267') ·.que1e'I ',ánguio .AGB~.> .ABe; 1.lleg:o ,eLán'gtrlo A.BGser·á pOli precision-:agudo :; plies ' qu'e' si 'A!G}B ,es agudo, ..~:On - .mas t:azQ1'l:lo iS~rá ef ,,!A'BC qúel)es.:IJ:leOor qU1!_"él ;JSb .ACB :fuese i"e.cto, Ú obtuso '.el;- íABCsedá :(. 2'á6~ .c~i' .zel) ¡por 'Fhcisiem agtl.d.'o j lli:ego la·.AB .se.ri .0· ,~lie:ua respec't<D deJá.BC., 'Y' pa~la roí.sma n:zo~',;terf • . .clr.él1;l.o s-que ,DE ,.se.r.á ,0bJkua .respecto de EF:.. ;:Aho~ ia; los ángulo.s ACB, .D.F-E .,que :son d guales ·, ',uo. pueden' ménos ,cl!! ..sei' ag·udos, ,.J~.€tji)S .ti ,0bl.uSSilS...' ~1 . .Si los .su:pomeLUos ,agu.dps J .resulta .quf las. AC ~ .DFserán ,talIll:iieQ; .0blkÚas r!!5':pecte ~e las ,:Be, mF; y .cElnci.b1.en.dq Ja's .perpendiculares.AP" DQ. :caer.án ,dentro de l.lils i,triángu.Jos AOB"iDEF ':(266 ,coc·; ,,6.0); y los .triángulos ACP, DFQ seráq ig:uales (COl'. 2.~); pues :son 'ambos' :rectángulos .d !¡,¡no ;en P y ,el ,ótro. Q , tien'en ~gliales ;las ,hi p.o:tenus,as.AC ~ ,DF., -y ,a .. .<lemas ,tíenen~guates los ángulos a,g,.llftos AOP, DFQ; luego AP=DQ. y PC=QF• .AhOI:a) por ser AP::s:DQ, l'es.ulta .que los .triángulo.s APB" DQ~reeJ:ángulos . .en P y \!il ,Q ·ser.án iguales {cor.. 2:°), pues qHe(:ade~ mas de ;ser J.".e.c.tángul.o.s lienen l$llaies las J ripotenui .sas AB, ED Y los catetos AP, n.Q. Lueg,o ' PB=QE; y sum~n.do esta ecuaeion con la F.=CQE., . erá.

en


<c.EOME~ RI"Á:>

<2 f ,

J30 "iEiFj:, y' pb.r Cc'ons.i gyknte ,"t~Hr(end...i:l' :poli r.el su., pues.to .AH : ·'o.E , AC ' . :D,F,,~ ¡por lo qlJ.~jl.~abamos

.tifi CiecQos):ra,r- :BC' ··~ E,Ffl,-#su1tit ,q ue 105 uiánguJos

AB(¡:l.;,:D EF .ti!!n~~j$uates !,s,US ,tr~s,.laJ;lQ~ 5' Jl,1.e$b ~ 2,59) ;ser.án ~gualj:!s.. ._ .j',- . " __ ). ' : ) " , ,j . - $i :l:os'.ángul05 .ACB .; 'D.EE:fü.esen,.r.eSt.0s ,I.entós'J'

cedos'ápiángllJo.s .¡r~C¡á,¡:lgulos · ACB;) ..J)YE· .t~n.dd.ari por ,el!:.s,upuest9 ~gl:l.a~~~ .liiS, hip.o,tenÚ,s~s::AB :, DE; ,y l05 ..c1tt~n0.s A!l>? DF,vA'u~go ¡(,coro .2.°) ,s~ria.til ~'g'U'lile¡; i ~, ' - ¡Si·lbs :,lÍQlgu:tÓ$ -;4CB" DFE(l!e.s~ñl .oPfí:I;!.sos, ~~I?-~ ,en, l<l!~fi~•.~ 5'*9 , •.res.¡,ilta 'q u'¡das ..per:pe})di~t;lares J,\P..~ , .DQ', .J!aeda~ fu~.ra }.~dos, '.triáagúló.s ~~9.ó{;!tor.., 'Óf.•_\; ¡y :r~es'ulJla.da . q I,leskndoj i~ualsts ¡pJí.r(;~bs.t\r,l:1j!s.t.o los áhg,I;l.¡lps:,&C:S" iDEE '· ~l!1s:.l :supl.f'men.to.s .ÁCP\ D..FQ suia ¡a:mbien .;iguales :;~ud~s ~t.riállguiOA.AGP..) iORQ l(ec.tgn:gul.o.s t<!n (p y. .efr ,~:;.s'er.á:[1 5gU'9.kl1¡ í~br., .2~o.), .pu~s ~d$!lJ¡lcl.:S .iie;¡¡¡~n:..ig uáks las, h,ípot.en!isa{),tAC,-DE; #:¡,do:nd~ ::res¡¡J.ta, fAP'¡""DQ. ,y :C:!?;;;::l{(¿,.fJ)e ' set .AP.....,,1)Q; Yd~ '.t~uer ·pP.l'~·~lsu.pues.tq A:lk::'QE;)'. . r:~~ .&ultt''9.l:lIe los ,triáogul.9.5 .2\tB'p" ,~EQ!/~~.ct:ál1g,l:l:los . en .1? y:ren ~<Q'"se.rán. ' ;Íg:~llal~s (e.or.!IZ\-fi},:;1'y POli,fi.e .l1l'is!Ílo .RP~E~ ;, :l'es.tancilo ,.w.~ ·.es:tc¡;¡ .e~l,la¡,:ío~ l.a . . C.P¡;:;:.EQ~ ~é ,t.ien.ei~C::,;:::EE~ j. .e.o.OJ/D1,p).0.r ', ehs U'Pj.l ~s~oCQ. B.= DE1" Y"AO......DF, !f~s'u'1.ia .que, Jo.s t.ri.áf,lg~u.lo~ A,BE, DEE ti~:h.efl ~,s'us ':tre's ..ladhs..' '¡lgII:1<\.les ·, YitpGP1:coÁ.soiguiente (2 S9 ' ,ser.á.n. iguales, J;¡J.¡~go. .entPcl.,Q.$ ';.t!il.S '~a.sb~é..es ·ve!''': dadtra ,1a p.rp}'>p.sí¡!Ípn~~ -..,ii) .J ,:,):>" ...u:l:J... . . C9'c. ?, 9 .D.o,s", tr,iángu.Zo,s ,son -igut:itpf f~.afldo tie, ne1L ,do,s. .ta.aos ~igual.e. Ly ~ .ángulo ·optm.to .O}. 7'li~J,!or d~ ebJof; ..con l tal 2u~f~én0tz.mbo.s .friáng~Qsu.sti:i..df 'la :J1'liiS.~ ma i!.sp.~ci.e .e.l .ángu.~() f)p"¡esto=at·:ma:~o! . .,JaJo; e-;,t.o es, que. e~¡ tJ1:nb.os .'Sea: Jig.uap&,ú ;obtuso. :;'1' lt,. ! '< ~ E.spJ... ~Se¡¡.n los 1.&05 ~J$.ábgI;l10$· !A}3G: "DER,{figs.... ~¡¡:*yj H*~; en los ~uQJles- .su·pbnellw.s ,'que '..A:B=DE, ·~:;:;::DF., .ABC=1'>~F ~ ~n '10.s .eual.e.s . s.ab~.mo.s ,ade-, tpas ql,le AC <AB y , D:¡;¡;,<DE., y q.lJe Jos . .áflgulQS AC8" PFE .50!! en ~01b0s,Ariáng).}1Ó.s· de ,una .mísma. ~specie ,',es,to .es, s 'Cll1 ,e.n am,bós ó ·agudos ~.omoen la

(lig. ~4'*)

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I


~20 \

~0m~~~fuc

dílgo :""'qtle ' s~n:'. .:.liguale-s 16s . espr.esados . trní.1!í:gcló:s ABC, DEF.': . _ ','J.I _ ::::::'1 . • :... r "'\ ojo. ' . ~- Dem. ~ Cc,,-ó'quesé el tl'íá.ng..úfu,;·DEiF.. sebre elnA'BCi~ .~e ,np(f:(~u~ ::,]i)E!se . c·gu.[:uad!a;;!c.@n AB ·, y, .result!á.i:.á. (251) que el ladO' EF caerá sO'bre el Be} 'J~\ ,·.h~ , . ' " ..A;!lpYa;;-Jás,i21,f,c.U:ns.tallCias.. q I!l:e í6;e 'su.ponem iéono. l:ida6 ;.da./.'l¡U:n.t~'flMr 'qu e la's. A1€o/ DE nb, s<¡m lpeI:~ :Fe!1(!l.ie~J$ris ~a "la·s B ~~;: EFl, :pmre5 ;;}que .si r!O' ~ filese.n~ 10's á~g:ulO"$.1elil C .y F(seri'an~~r'.ecwi y 'lbs ' tniállrgulos *:BC" J);ElID¿seFl!élJG ' igúale~ p,8filO' ?.demO's.i:ra,d,Io¡;{cor. ~ :O). Lu'ego!si' éO'lllcebimO's par. Ar...l¡lIla perparidi<t;úla-r al 'lado-r opue¡)nO"Be'g lfesu.lta:.iá~ue-I Flor ser DE' . ~G: y: esla~.}€.¡.!pudtO'1:ID CGnfuiRgid'(J-.'elDB Á.! f qu.il la;oH ~ §e ' c'onfúllüirá,,~ !AG Óoc:arerá. en Ac {z63i}deim.ódo ~u'e;,J1?~Pe.(M~6' 'B,i 's a'Jil'< ;J1.,!e¡noszque J.cáJigacern Ac, d )ángüjo ~ OOEJ ~sta;l1'á ~t¿p;res~entaófu rpol1l:,-eL'~d3:¡ey

~élla.r~Qs '(lig:! .214"!'ry".q-ue AC1? J:;?t lihre:fi'í, eb~.u~0"; ).y L e) ~P-~AcP,4 P'0']¡. .la jg\l~la'ad ra€ los;h-i:á.ngnl.oscAPC,

.kP.c · Efé~ ;:;f. é) pS~r'áp, agtido; ;.gr COl11O'P.ot ~ J&S:ilp:tleS~ f~ stf's'abel'q.llle lys 'áng.ú'lds ¡[JRffi, AGB~( sO'.lilI~ tie.; una

. $~s;ma espeGi~ ;:n:su.J:tia. q;u~ dR JE>~l DO . pue.<:tefca(!.r ·~ : Q!v~r-s-é~fadO' ,deola ~ pttrp:emdiéiJ. larI&- ,luegO', cáif~á~ái mism:otl"ao!:"/f."-S'e'..Ie.on~ká ,d9Fr'r fOLl, AO ,_cayincle/ .-! 'J' . sQbt~.:-,t>;_ y_ odo: ~l Fla.c@.O' lEtE ' se:;,tiAi/:¡r~ CO'¡:¡fi.tIRH:d~¡:C<5ñ¡ <B~. Lu~g!@;:'fu$ .¡fusl twngull0s ae'há,

eLpunt(')" F

hrán .cO''ifftttidM.d> ¡YHs'el.'áre igl,ta'lds •.; !¡;u < ,ll:'::le \1 t ~) La .I~is·ma c~nsecuentia- stE:sadaoor~s_B.eetQ)¡,diJ da (lig. ~'$i~~~ pú'e'S 'si ·s'J!lp~@s<-.que"j al Wl.<;er. !-L;§u· :flerpO'si~qOh , 1a;: E>F ,nQ-diga; ~obEe d,a A6, 'Sillll1l qtue H>me 1lq\'QSi11:i.011 .de ' A.c ,; aa-:<Jtr,m-iaao de la, perp~ diculá,p,~ el'::áng;u!!~w\.G&~:iB..; ser1a;ohtuso:., .yc.d án• .gulO' AcP que rel'lt"eSelqit;a .aHj.~ ser·ia¡ aguao', qUf €g ,cprtiraJél :S'ú:'puesto ;)ue-ga.n'ÍD <se puede s:uponer c;{ue ia DF< é~gal ~hát:ia 'diferloo.te lád'o della: perpen: ~i:cuilat:ll.lee;pll'tt'b de 'la AC.; lúegÓ: -caera el,lda¡a y..\'lt ~nfQndir:á): con,. ella; lU€g~ nO's idáng,uMCi>s _DEF "fj ABe ·se-{!O'úfuradirán ..en :umt~rl!iro IJ': s.eLán: igluales• .~. , . CQ).".. :-m:.:9. 30 9)O} .t'riángul·os<"so;n 'iguates e~¡ímaO ,t ¡elnenct9st l.¡gdrw riguale¡::.é jf;u"v~ UfI:: ¡j.1Jgulo opueetq ~ . ~1I9 o

.1


I

1121

fG.EOMETRfA'.

JréUÓ-S ;~cón 'tGl' qUe el ápgulo opU'esto al:,otf!o' de los tados iguates " se", de.' una mism4' especie e1'J., ambos . ñiángubos. (": ' . Espto' Sean ABC." .ab,c (fig. 26*) d~s triángulos eu'alesquiera" en los que sup~nemos AB==áb BC-be y.A=a,; ~o.y á· demDstrar que si $e sabe aéiemas que: t'.,

'

los ángulos C , c son ambos re..ctos , a¡nbos agud<Js,' ólAtn:Jjo~::obtusos , ' los e~pl\esados triángulos s.on i .. 1. ..) gua'l"s ~. ~ " ~.6 ~ ~ .... Dem • . Su.perpóngase d tríángu}e¡abc·sobJ.:e 1\:BCj tle- modo "l0J! ab' se :confuflda con ,AB, yo ieHdrémos ,!ueJ,. por ser ab=AB, el punto b se~on.fundirá ej¡;a:€ta)~neflte ccmB, y -p.or ser el ángulo, f!=A " el lado (le 1 cal:rá sob-lle d l¡tdo AC. Ahora ,. si el Pu.u,:, to c no' oa"e .prl:cisamente sOIDn: C, caerá ó',á su izquier.da. como. en n ,ó á su 'derecha como en, E~ . .Su pongamos que caiga en D, Y tenchrémos, que ~1: triáEngul0' ab,e \estará repr:escntado por...ARD.., si,en". ¡lo-el ángulo 'e*AD1L Pelio ~i e y C. s~m rectos ha .. b'rá, dos perpendicml;;res ED, Be ,~irad.as desde ..B á la,·AC " 1.0 q úe es tÍ im posible: Si los ángulo~ , e y € fuesen agudos., eL ApB=e seri~ aguQQ, .y BDe, $1Irplemento de ADlLseria .obtuso (2S4Y;y .por con:si'g'uiente'll!ayer (;Z(S:z »)'que .eLángulo. C ~.)que- ~s agu" do; Rr~0 el 'triángu!dill-DC flOS dada ~267y:BC ¡;;. BU, .J.o qu~ " e -contra. -el ~ s.upu·esto-, "l\:!.e exig€ .el que ~~b'C-:"BDr 'Si ldsd álflg\~1>los c y e fuesen _oluusos, el~'A:l~Br,~:efÍ:a, ob11u:so:.;.. y. su s,u plernento BDe sed? 'a g,udo '; vpor lo"qtte .BQ- ·seria (266l ~or. ~ 2.o:y ~67> menor que BD, Y p011 '~.onsiguiente 'q.ue su igual ,be; 16 ,q ue .taq¡.GieR ~eS eontra el supuesto, luego. en ( "¡lingu.go cle 10s, tres Gaws d~ ser 10s ángulQs C, ' C rectos, agudos ú obtusos se 'p uede verifica!' que cl 'punto e: caiga háCia{la\ i1>quier;da::de 'G; , 'al Sl¡"pétpÓ~ 'ne..f~~ !os. ft áángules :;i jlu!@ll1o P@E Uin .razona¡üiento -abálog,o!dedu<f1ríairrosr qU! .tam:J.il0cG , puede ca'.er, di~ cho punto á la derecha de ,e, por. ejemple en E, ~l1esulta ~7qn:e .clebiendq eaer ~:S0br.e · @ A:C, se. hiabrá 'cclilfundido precisam.o• ..f~ cpu ,e ; ,y C01?O b.. se hal'I.'

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.

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GEOMETRf'A....

!lZ::

oc

hía cO!1fUhdído con B, to<;1o ellad@ 'se :,ha~t:á ' ()otf~ fundidO' >( 24'S) ~0nl Be" y habié.ñdose cpnfundido lo.s tres: lados " se nan;. confundido los. triángul0s y po~ coosigured~e<estos sel'.áp; igúaJes' ,.':"q ue·era! L.Q;D:D. : ..Co¡r 7. '?' Dos> t1'iá-nglftos..son iguales. cwanao) tíe; .nen tado' igua~ é ig¡l.at~s. ~ambien. dos· .tingf'los, qu~ eL un6' sea e~ opuesto. atolado· 'gua'lr '. 1 De.m-.. Sean ABC " abc:,(fi gr26;k).,·dos; · triá.ngulo~ cual'es(plicra:, en, los' que se umga: AB=ab ;.. A":":'aa Cr Su peF.·p óngase' el ,triá:l1gl.!!lO· abe: sobre d A&C, 'oe,níod:~" qlTe'( <<b, se' conliúnda;-cor,¡, AB ,. Y tlmdrém!il§ que pOlr ser. An=~.b "" puntO' b' caerá ,ex:a:,c.~Il)entF $0bre :S--, ~ po~ s'el, e1 ang,uJO' :{\~a)l' e11a-d,o- ac' ~ae.· xi s'o!l>re: .AC., Afr0ra:, si: el .pumo, e: no ,s,e~ copfunM '(:un e , caeFá',hácia la, .izq uiercla de éste C(!)Ii:lO' elJ. D Ó' hácia- su: dereaha:' COfia' em E;; y,et tFiál!fgulo, ab,c' estar~ f.cttpl"esentado por el ABD Ó' pOF do ABE; en ' cuyO' caso d ángulo' ACH sería: meno);' q.ue el: BDi\ Y aiayov ' q,úe' eh ~EA (2'~61;:. 'Y €emo· tanto· el, ADB eomb 'el BE-A eS'pTesa-rialV ell ángu10' c" resu,lt5li, que .en nilJgun'o ge esto's ca',sos- pOtd'Jiia seC' el. ángy..l~ c=C, como exi,ge el' su puesto-;. Luego dI' punto' c· no' pl,led~ I ménos' d_ e ca~'r sobre el pU'n oG',e;; en' CUy0 ca'S0·~t0dQ' , et la:do' bit' se' habrá confundid{¡; COlll!BC ,,,y¡ r.ü!·bi'én~!!l.:· se' tonfi.mdi"ro, l'os. tr-es,' hiJoSl del\ .triángulo--abc, con· los dd ABC 1 ~s·tos' seráa ~gua:!es;. q;ue' era. L.Q.D.D,. En eLA};Jéndi'ce puesto' ~,F fin' de' la: s,egtu1Jle: .pav;-· t~ dé la:'GéometrÍ<r, en la' ter(!er<V edidon. dé» t'om_o-I.· parte' 2. ~ delt ':I'rátado demental: demuest-ro' otrcs seis' . casos: de ig!.l~ddad· .de· q'íá'liIgufes; . z74. Teorr <Si una reda tiene',dos:puntio-s: q!!e' dis~' ife-llI ig~tá''lr.l1iej'¡te de 'otro$. dos de: otra). (e. -s.~rá perpen~ dícuVat'., . • ' Espl~. Si fos' ¿'os: puntos' !( J¡ H, ó fi.'y B'~r el' Al {M " del lar recta¡ AH, disnan,:igualmenteld.e.los·,pun:-tos E y 'O de la FD , digo: que lal AH es- R_ellpemUcular: á la:: FD.. j ,,;: Dem., 1.°: Sean, los:' dOSi puntos' PiJ y.. H, ósea-· AE=AC 'y' H~=HC .J' lo ~ue dará ~os .tdállgu'!O$ r

un

e

;1


)

otOM'ETRfA~

223

AEH, AHe ~gu'ales (259),

pl!les,Iademas tienen co.,. mun el lado AH; la igualdad de: ,estos triángulos dará el ángulo EAB=BAC;. luego, los triángulos. I EAB, ABe; st;!rán, ig.uales '~ pues: tíenel1> loS' ángu10s. E~B, BAe ~ iguales) cOl,n un dIado-AS , é ig,ua~ les tambíen.l0S lados AE, AC por. eJ.' supuestO; lue:~o los. áng,u los en B serán iguales" yv'po~ consiguiente rectos; (2) 2);' ll!lego> la' AH. e¡, perpendicuj lár: ií: la FD., . • 0 " 2_. Sean ahora: los puntos' A-y R", Y'tendrémol! AE AC y,BE-Be; y>por lo mi'Smó lo's triáÚgulos ABE, ABe" serán iguales (2'59); ~uego ' I,os áng\l" los' en B' seFán íguaJ:es; y por, consiguiente rec~Qs ~ luego' la ARserá perpendicular fd<t ED~ ,~ , 3.°' Seal1> los cl.os puntoS' A y M',. Y se tendrá _ AE....:'AC ,> ME _Me T luego los- t,riángulos AMB;, ' ~lYIc.", serán. igllales (259)',. lo> q-u~ da: el ;í:ng'ulOEAM=CAM ;, y teníendo, los trláLÍl!gu'!os AEB', ACB~, iguales ~6s áagutos;e¡;¡.' A. ).Ilós la-dos: q,ue los fo(.¡pan,. á sa,lD~r:: AE:=-AG 'pov' el supuesu(]<~ ~ !i AB" pOI" CO,., munl , serán ÍKuaJeSl (i66J;. -1\!leg0l 10s ángUlOS>- enJl , son,iguales" y, por ,ccpnsiguiente rect6Js ';, lu'ego.1a AH es perpeI1dicular á la FD ,:~ qut;, es.L . ,Q. D., D • . , ~:j , Coto Si una- perpendicular eD .tlig'S 2 r) t iene' une PUTfto- cualq,uiera ;p" equidista.nte: rJ;~ dos.,A y: B de:la (inea AB á ,que- lo. es" ·pam,por,.tod'os, toS! puntos, ' CJ.~ en 'dicho plano distan igualmente: de,4 fJ::- de, B , ,Por,:", que si hubi'ese otro' punto' tal como: R con esta: círtU01¡ancÍa-, tirando' por él y pd¡;:D" la DR) esta- seria perpendícula¡; á: la! AB, por lo q.ue a ~ab.amos de de_o 'll1ostrar ;, y CGmo- en lo les ' ppr, e1.s;u p'\!lestU,. re's.·l~,lta­ rían dos perpendímLia'r és; en. un -mismo' punto de ~Jl. Ifeeta AB-, lo qu~~ es ab5u>rd(')' (~66 C<Dr" 5·C!)· 1. ~7S' Probo 1.° Desde un. punto A f~¡el'a de . uJl'{¡ 'linea Be (lig~ 30)" ~ira\7 una perpendicular. tÍ- estaltnea~ , , , Res. y Dem~, HacÍendo -" centra en el' punto' dldo' A" YC011 un. radio cualquiera, trácense dos, arCO$ -<3,ue eonen á. la lw}.a e.t\. .u y E i hacienclo centro en

\ '


224'

~:EOMETR:f;X\

I

.

estos..puiltos 'Th~' E, con ·el ,mismQ' ó-'c<i>n otro Uah~ ' Gualquie¡i;1 ¡ tITáeense por la ' partei0f~ri0r otros d.Q~ aílGGs qüe ' se corten; por el punto de i:nl!ersecdorl'W y el pUi1~Q da'tto A'F tirese la AF, ,.q¡,¡:e será per'pen... d"i(m'lar á la BC~ Porque tiene dos pumos A Y' F á igual d,istancia.de los D y E. " ' ,.,-:2 27 6 Pr0bl. ~ ;o Por ,un punto A. de una'.Ilíne.á. Bq (fig"" 31~J tirar.le :una ferpendicu~~r. ~ "' ,,; " Res. y Dem. Hamendo centro en el pu~to dadó A ,- trace-use- dos -aFóOS el'}' D y ,E con un rapio cual. qui€ta:; ha<i:iendo ' centro (m p y E con un í'adio ar. bitrario; pqo 'may,or qu'e AE, .nrácensé, dos arc'os pG'l'-ar:riba <» po:r iamajo; por el punto .:deinterseccion F y el puntd'<iau<D:A;tírese la 'f A,.:1 que será per' penai€ular- á la,Be:::: Porq,ue ti~lileMos 'puntos .A. y F .á igual di:stanci'a .de.los 'D y E. ' . - ,- . . .' 277 Probl. 3. 0 Dividir"una ' línea AB (fig. 32) efl-dos partes iguales. ,- " . •' fReso Y' Dem. , :bIaci~ndo' centro en sus estremos' t\ 'Y;-B'~cQ'n un mislTI¡¡¡ radio, ~rácense dos arcos ' I!}l!lC se cctten por la pattre.:.de' afcITib"a, 1" otHlS _dos. que se ,:Corten por la parte de abajo; ' 'Y úra{Jd.o/la ,FG_divi. dirá á la AB eh .dos pa~tes iguales. Porq Íle teniendo d~ F@ dos punt,lils equidistantes de -A y B, será ·p 'erpendü:ul¡i.r (2i2!),á la AB" Y .t€FjdFá (273 l!:6F. 3''''), 'tosios su,s puntos ' á 'igual distanc1!r de, A q ¡,¡e de Si -lueg0J AI:I=HB. • ,

'"

.

, '

De las paralelás~ .,

~

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un

--::2'78 ' CuandCJ dos lín€as rectas ~e ha.Han ,en pla: de modo que no ,·se enCuentran aunque. se las prolopgue tode Jo qU€ se 'quiera, como AB, .CF> ·-(fig. "3·3)"se)laman paratelas. , ¡¡. • Cuando dos paralelas AB , GD son córtadas por una línea FE , esta se llama secante; la cual fonna "cdrí las' paral-elas ocho ángúlos :. cüatro, m, tl; pJ, q, -Ínter-n6s,; y- cuatfCil,. k, t, r., s, estemos. ,'~. ¡:. , • Cuand.o. se comparap. dos. ál1g.ulo's . iriterno~ á ·~l·

' DO ·,


\

GEOMETRíA. '

22),

f~rellte)~d!o JI~ !a:s~€ante, uqo en cada paralela, se llaman án~ulos alter·nos internos: tales son los m y q, y los 'nJ quand9:se. ~omparan dos ángulos internos

P;

,

l!ru'n miSD.1Q lado: d.e ,la se,cante , éomo los m, p, <'> los f¡., q, se flamaq ,sCDlamente internos; 1cuando se comp.ll{am. do§ '~~ngu~9s esttll"ilos, unQ.en c<l;da paralela há~ia .diferente ladCD de' la secante, se ,llaman altel"nos esternos : . tale.s . §0nIQs~ k y r, y las 1 LS; cuando s~ cGrppjlran.. dq,s ~j,;lgulos estemos á 'un ¡;pismo lado de la.,,~ecaQ.te , !,ta.l~s. como .k y ~ ó J,"f [~ se llamaJ;l simo: pIe mente estet'~qs.; ~ y.. cuando s~ c~l'?p.aran drs )i~gU; l@§, um.,Q: ~n caqa, pilrálela, a un '[Dl~mO lado de la secaRte, uno, d~.n!ro ,y otr.o fu~!á., se llaman COt'res.pondíentes..¡ ta'~es .s pn los k y, p, los .m y s, los 1 y q, Yt.1os n y, 1;. ,. J..~ , . . 1;. 2.7 9 'f,egr. . .P9s1ífleaJ perpel1dicu,lare$ á una ter. w ;a son 'P.arale.las. .. . . Espt. "S! 13:~ A~~ l~neásfiB, CD t son perp.endicu:" lª'r~s á la GH., ,son~ paralelas, ó no S€ pueden encontfar en ni:pgun p~nto del plano d(jnde se hallan. De-rh. ,P.orq~~ ,si se encontrasen. , desdtl el punto en' ~ue 10 hicies,e n, ,s e té,ndrian tiradas dos perpendic,ulares á.la 'GI,f,)o .q\ue no pu~de ser (266 coro S. 0). Coro 1.° Luegó para tirm' uua para~ela á una ti-

Jlea dada AB" ¡:le~,~e ~1} punto cuat,quiora G, se bajcwá ·4 esta líl}f" dt~.4e {licho punto una perpendicuLar G H, {j, en .4icho . pUflt.o G se tirará_á "esta perpendicular GH , .otra ¡fnea.. GD que 1.U éa perpendicular, la cuaZ ..I~rá paralela á ~a nropuesp,\ AB ,;_~ por ser ambas per.p¡:ndiculares á . ll!, GH. . . . . , .' ~or. 2.° Y comef desde el punto G no se pued.~ .bajar mas de llqa , perpenGlicu1ar. GH á la AB, y-en .G S910 se pJ:1ede ,1~vantar una .perpendicular á G!l.> r~sulta que por un punto dado ,:., sólo se podrá tirar lI!"a paraJela á una linea dada. , . 211o Teor. ~i una línea es perpendicu.lar á una de dos para/.e/M , l·ó· será tambien á la otra. Espl. < Sea~ AB , . CD dos pa,ral~l'as , y GH per. 1S T. 1. o


I , ~z6

CEOMETRÍA,;

pendicular á\ABi, -digo que la GH:,tambi'én. 'es per~ 'p endicular á la CD'r ''í l . ! . ' D'em.· Si la: GH no es perpendi'culalJ." 'á CD., le 'se~ tá oblícua " y por G se podrá cbneebvr una' lineal -T U perpendicular á GH, la cuál (2-79 cor. 1,, °) será·pa: fale~a: á; BA;. Y coma la eD lo' ~s· PIDE, el supuesto; se tendrán por-'et punwG til'ada~ aOS; 'paEalelas CD, UT á la. AB,. lo qu'e na puede'~el'·' \2.79 é<Dr. '2.~): ' ~ 28r Teor.. Si1 dos. rectas· coitaáaSip,or otra :,V of'-! maIÍ á~gulos. alternós. internos ;; 'ó-" alpernOSr esterholJ iguales ;, dichas rectas. será'n, p'iwalel·as.. . - '.' ;,~ \ EsPl., Sean' AB " CD,. dichas rectas ,: y EF la se~ cante;. digo: q ue"si n P',ó m'=='1>,:o .;¿= 1i é l=s ~ di.

chas' Haeas no' s.e -encuentrall> Ó serán paraleias. ' Dem. 1.0' Sea f!=p ó m=q', y se tendrá; "lue Ia~ línea,s' AH, CD 'no se -podrán:' en:€entr~F en. un pli'ntG K háeÍat la:. derecha:' deFE;, porque '· ent6nées las tEes 1ím~¡rs: FE, :CD,. AB" formafiaIlÍ un -triángulo ,_ én el 'éua~ pOE ser n=p Ó m=q,. el ángulo- este1rno n seria igual á: uno de Jos-'intemes 0PUest0s--p" lo, que nlt puéde ser' en virtud de 10 demo5crado (266). . Dd mismo· modo' se demuestra: que no se pueden -eI1C'Ofltra¡; háci'a la izqui'erda ;, luego diehas líneas son ·paralelas., L r.O- Q. D. 1'))., 2.<t> Si se supone k=r ó l=S', suS' opuestos aJvér· tice- n y p (» In Y q) serán i'gua'l~s ; pero estos- son al· 'ternos· 1l1lernos ,. 1uega pbr La: prilIler'a! parte del teo, rema, dichas líne:as, s.on 'paralelas"L 2.° Q. D. D, 2'82 Teor. ' Si: dos tíneas cortadas por otrA, for-

man con ella los ángulos cpn'esponclientes iguales., s~rán paraleras. · v, .. , : Dem. Porque sÍse Supone k_:J!, eorriO k:::::n(§ zS7), será n~1!' 1 que es' ell caso> anterior ; ·lueg,o· serál1 paralelas'. L. Q. D. D. " . ' 1 2 ~.) Tear. Si dos· líneas- cortadaS' pOf' o,trl1, fol'o tiJan angulos internos ó- esternos', llue j'untos VQtg911 GOS rectos', dichas tineas son parale~as. I I Dem. Porque si se supoue m+p='1T1 como m+n:=1f


227

G'EOMETRfA.

,(§.2;4); será (int.ax.

5.0~

m+p=m+n, dedondequi-

tanao m, quedará p=n; luego (28r) serán paralelas., y si se ,sup<;me k+s::'7i j COLDOp+.9='7f., será k+,9 p+s, y quitando s, quedará k 'p; pera estoS soIicorrespon~ dientes; luego (282) serán paralelas. L. Q. Do' D. 284- Teor.. SI una seeante corta dos paratétas , se

'Verifica: 1.(>'1 que los ~rigulos alternos interno.9 son iguales,: 2.·<1 ,; que tos alternos esternos también lq son:', 3. o que tambien son iguabes los .corr.éspdndíentes ;. 4. ° ,qt,! los ,dos intern.os juntos '/Jalen dos )'ectos, ó son; ev una suplementO' det ot'P o ,y 5. o " que lo mismo, se verifica én los: éstemos.. ." , . Espl. Sean AB "DE (fig.. 34)- las paralelas y FK la: secante; digo ¡.o que los ángulos m=n y p=q; 2.° qUé r-:P -'jcu=s, 3,0 que r=n; p=s, u=q y m=t; 4. a que m+q=7t 1 n+p=,7t; y por lo mismo 11i es su: plemtúlto de q; yn de PiY 5.<1 que r+s='7T, u+t='7T. Ó que r eS suplemtimto de s ~ y u de t" - l)em'. t.O ?or el punto L, medio de

-

la:

parté CO delá FK, Íntei'Ceptadá por las paralelas; concíbase , G.Il perpendicu.l¡¡r á una de las dos paralelas; la, cual 1,0 se¡::á tambien a la Illtra (280) 1 Y pOli 10' mÍsmo los dos, triángulos GLO , CLEf '1 serán rectángulos en G y H ~ . y comO LO ' Le por construccÍoI1, y los ángulos er: 'L son iguales (~57) '1 dichos triángulos (2}3- cor: 2.°) ser~n igualef·'.Y darán el ángulo Ien ) m=n; y como los p y q son sus suplementos, 'serán (25 S) tambien íguales. L. 1.ó Q. D, D., , 2,.° Como (§' z57) n¡=r Y n=t, y poI' lo acabado de demoStrar eS 7J1=n.1 será r;=f; del mismo modo se demuestra que U=S " que eS L. 2. 0 Q. D. D. 3.° El ángulo' m=r (§ 257) Y m=n por alternos internos; luego ,v=:n ; del mismo modo se demuestra , que p=s, u=q y m=t, que es L. 3. ° Q, D. .O. 4.°" SÍeqdo flt+P='7r , resulta que por ser m=n, '~e tendr,á n,..¡;,p='7T , !I por 10 mismo n es suplem,e mo lie p; y como lo mismo se demuestra resge~to d~ m y q, l'esulta L. 4.° Q. D. D. 5;0 Siendo p+r;;:;'7T, y p;=s" será r+s='7T , y por


z28 CEOMETRlA. lo mismo r es suplemento de s; .y como lo mismo se demuestra cl.e los u y t , resulta L. S. o Q. p. D. , 2 g) Teor. / Si UTla línea es paralela á una de dOli I paraletas, lo es tambien á la otra. Espl. Sean las líneas AB "DE paralelas, y la XZ . para Ida á AB; digo que tam~ien lo será á la DE. Dem. Por ser AB y XZ paralelas, se tiene (284 3. ") k=r ~ y por serlo las AB, DE, se tiene n::;::r; lueg9 k=n 1 luego XZ es (282) paralela á DE. L . Q•.D. -D•. , 286 Teor. Las par.pes de.pat·'llelas imerceptaaas. entre paralelas son iguales., . ~ Espt. Sean AB-=, CD (~;' 3 S) dos paralelas;, digq que si desde la AB se tiran,á la CD las FG, HE, KL, ~ ; &e. pal'alcdas entre sí, ~odas estas partes, y le( mismo las FH, GE, ó HK, EL, &c. comprendidas por las paralelas, son' igliale~" De¡n. ,Tírese la seca;nte GH, Y se te!1drán 10$ triángulos FGH, GHE " q'l:le por teneJ7 el lade GH €I:lmun,.el ángulo p=m, porhalternos imernos entre las paralelas AB , cn, el áNgulo =q pGr la mjsm~ cazon entre las FG, HE, serán (261) iguales, -lueg9 se tendrá FG= .HE, FH=GE. Del mismo:modo ~e demuestra de todas las dernas, y resulta L. Q. D. D. Ese. 1. 0 Si fuesen perpendiculáns súcedel'ia 10 mismo, y se' deducirá que tas paralelas están equi{l-is: tantes en todos sus pu.ntos. Ese. 2. 0 La igualdad de los triángulos FGH, GHE, da el ángulo GFH~GEH; Y (i:omo n=q, y m p, ser'á sumando n+m=q+p, ó FGE=FHli. 287 Teor. Sí dos Uneas cortadas por otra, fof¡man con ella dos ángulos internos que juntos 'Vatym méno$ que dos rectos, dichas líneas se encontrarán hácia el paraje donde forman dichos , ángulos. . :: Espt. Si las dos líneas UT , AB (fig. 33), cortada:s \ por la GH, forman los d?s. ángulos "QGB., AHG, tales que UGH+AHG <: <¡'(, se llegarán á encontrar háda la izquierda de Ja GR. Dem. Sí no se encuentran, serán paralelas (278]; pero si en G formamos el ángulo HGC lal, q I:lt: j.un·

I


G'EOMETn.fA.

229

to eón el ABG valga dos rectos Ó '1f, la linea De será paralela á la AB ; lu~go se tendrian tiradas por el punto G dos paralelas UT, cn , á una rni'Sma línea AB, lo que no puede ser (279 coro 2.°) ; luego dichas líneas, prelongadas suficientemente~ se en! contrarán. Y esto se verificará hácia la izq uierda de la GH, porque no' pudiendo la UY volv~r á encontrar, (244 Gor. 3'°) en ningun punto á la GD, coa menos razon podrá enC€lntrar á la parte HB; luego se encontrarán hácia la izquier~a., q,ue es hácia donde forman los 'ángulos cuya suma es menor que dos . '" . rectos. L. Q. D. D. 288 Teor . . Dos ángulos que tienen sus lados paralelos, ó son iguales, Ó s011: el uno st¡plemetl'to del otro; S011 iguales, cuando ~~rtices están vueltos hácia mI mi~mo lado, ó en situactOll enteramente opuesta; y son el uno suplemento del otro, cuando te tiefJen vuelto hácja diferente lado. Espk • .' Los dos ángulos n, m.(fig. 36), que tienen sus lados paralelos y sus vértices vuehos hácia un mismo lado, ó los m y o que' los lienen en una si- • tuacion enteramente opuesta, son iguales; y los . DEG y m ,_que tíesen los lados paralelos y su·s vértices háciá diferente lado, son e'l uno su plernénto del Gtre. . Dem. Prolónguese la DE hasta que encuentre á .la BC en H; Y será n~p, por corres póndientes entre las paralelas GF, BC, siendo la secante DH; Yp=m por corres'¡;lOodieq;tes entre las paralelas AB, DH, Y la secante Be; luego m=n; y como n=o por opuesto al vertice , será tambien rn=o. . r, Ahora f DEG es suplemento de ti; luego tambien lo será · de su igual m, que era todo L. Q. D. D. , 289 Te~r. Los tl"eS ángulos de un t'riáng¡¡to _vátea j¡¡ntrfs dos -rectos, Ó 'Tf. G~m. S1\per el: vérti<>:e A (fig. 37), se tira l~ DE par,!-Iela alIado BC, se tendrá m=C, n=B, por alte.rn0S· internos emre las paL'alelas BC, DE, siendo las.seca¡~ies AC; AB; luego,sumando será m+n=ü-I-Bj '


230

C,i OMETRf,.A.

y ' añadiendo el ángulo o, será m+,n+o~C+B-I:-o; perp (§ 254 cor. 3/)~ 1»+?l+O='li' , luego C+B+.o='1f, - .que es L. Q. D. D. Coro J,t' Ltlego .dados .dos ángulos de .,:,n triángUbO , ,s~ ¡:m.lOc!?ní pl ter¡:¡wo , Test(1)do de .dos re.ctos la,

st¿l'na"de tos dos dados; y ..dado U1;J ár!gulo, .se haUará la suma ,de los .otros .dos, .1·est4náolli ,de .dos rectos; así, ,en un .triángulo .ctwtquiera .un . .ángÚl.o ,es suple. mento de la 'suma d~ .bos .otros dos, y .ab contrar;io.; y en .un triángul6 rectánguZ,() cada ángulo agudo es como ple11'ie1J.to d?l otro; pij.es en,tre' loS dos vakn ua recto. Cor. ;Z. o Si iJ,ost'l"i41;Jgulos tien,endps áng.ulos iguales, .el .terc.eI"9 será igual . .al tercer.ó ; pijes ,en ambos' ha de .s er lo 9. ue falta á los otros dos par!! AOS rectos.

:Del ¡;írcu.lo y de pas recMs ponsider.adas en 'él. .

.

El diámetro .es la mayor de todas t-p,s clferaas. Espl. Sea AB!llfl diámetro (Rg. 38), Y AD una .cuerda 1 digo ,q ue AV «: AB ó que AB ¡;> AD. J)em. Tiran.a.o ,el radio ,OD al .otro estrern9 de la ,c uerda ., -se tendrá ,(§ ;z68) AO*OD .;;> AD; pero ,AO+OD=AB, luego ABí>- AD, ,q ue .e ra L. Q. P.D. '~91 Teor. Bn ~n wümo círculo ó en círculos iguales, .arcos}iguales tien.en ~uerd{Js iguales ., :; ¡;uerilas .igual.es $ubtend,en .¡n'¡:os ,igu.afe.s; .. , Espt. Sea ApBF {fig. .S9) un drcuio S díga ,que -si se swpop!,!u los ar.cos A:zD, 4xF iguales, las ,cuer:2 90 'teor.

das AD ~ AF tambien lo·s.e rán ; y .si se 5upon~n las .cuerda§ AP., AF .i,gual~s ) los :ar~os Áz.D) AxF .sed.ii jgual~s . .Dem. 'f.O Tírese el diámetro AB ; Y cand.Menda doblada por illa ilgura, la ·parte.AFB se ~onfundir4 . .(249)~on ADB; Y por ser iguales los a.reos AzD I y AxF, el punto F .caerá ¡;ob).'e .el punto P; pero j;!l punto F .es .talllbj~n j;!stre,llIo .cle 1ta~uerda AF, y D Jo es de la AD; yadel)1as ,dichas lín~as ,tienen '·~o­ ,1l1un ,el pun~o A 5'luego se han ~on.f!lnclido en sus eS~remos;· lue.~(245) ser.án-i~uales. L. l.Q Q. 1;>., ;0. ,

\


: 2:0

C-EoMETllÍA.

231

Si AD=AF, tirando los radios CD, CF, los

triangulos ACD, ACF, s'e rán iglilales (2 S9); y daráq el ángulo CAF= al CAD. Esto tiupuesJ:o, _si se ,dobla la figura por el diámetro AB, Ja :parte AFD , .caerá, sobr'e ADB, Y d 'PUUt0 F ,caerá sabre.el pumo D; , .por la ígualdad d~ tos t·riángu10s; pero el punto F 'y el D, ~strfmGSde las .c uer1as, son .tambien e.s tremos de los ;a,rcos.; luego habiéndose ,confundido los ·estt:.emos de los arcos, 'Serán igIJM)s. L. .2. 9 Q. D. D. . Coro Si en el primer :caso dramos 'los radiqs eD, CF, los triángulos ACD, ACF,seráníguaks (:;:59), y darán .el ángulo ACD- al ACF ; .de .donde .se deduce que' .s~ desde .los es tremas ,de .dos arcos .iguales de un m,ismo círc.ulo ó de círculos iguales, se tiran rpdios .al ICent.r o, .los .ánguJos formados por dichos .radios son igu.ales.. , ~92 Teor. En;un mismo -CÍrculo, ~ en círculos iguales ..el mayor''arco tiene mayol1 cuerda; y la mayor cuerda ,subtende á mayor ,arco, . !.Dem. 1.° Porq!le síse.suponeel arce AzH> AzD, rtirando ias cuerdas AD , AH, Y los ~adios eD , CH, 1105 dós lados AC, .cH del triá¡;¡·gulo ACH, .serán , t i.guales á los dos .lados AG, eD .del ACD; el ángulo ACH ,que ,es ,todo :res.pecto del A~D, será mayor I que él; Y por lo IIlÍsmo,( 27 2 ) el.tercerlado AH> .,AD, J que es L. (.9 Q. D.D. z. Q Si AH:> AD, .digo ,q ue sera A-zH> AzD. Porque si esto no se :verifica, setá AzH_'ó <:AzD. Si AzH_AzD, i'esultará AH=AD., que es contra. el su pllesto~si AzlI -<c AzD, -se .t endóa po:r la primera. l'larte AH -<c AD, q~e tambien .es .cqntra el ·s upuesto; luego no pudiendo ~er AH igual ni menor que AD, será AH> AD, .q Uf es L . .2. 0 .Q: D . .D. 293 Teor. A ·.una l.íneaqu.e corta á la cuerda .de un drcuto, le pueder¡ .suceae,r ..tres cosas .: ! •.a , que pase por el cent1'{); 2.a , ,que .sea .perpe'ndjc~)4:r á la. cuerda: y 3. a , que la divida en .dos partes .igltaJes: digo que si s~, verifican ,dos .de .estas -cosas, se verificará

I

Ja tercera.

r

.

v

-

.


~3 z

.

G'EOMET~fA:

"

Dem. ,Supongamos .primero que Ja CP (fig. 40), salga del centro y sea peÍ'p<;ndi~uhr a la cuerda FM; digo ql.le divide á la c¡.ü!Jda en '40s par~es igijalesl e5to es, qlle FP:;::~M. ' . En efecto, por salir la CP del centro, tiene un punto C equidistante de F y' de ~; y por ser .pe!.'pendiculados rien\! todos (273 ,coro 3.0); luego el punto:P que es punto de la CP, está equidistahte de F que de M; luego las lí.qeas FP, ?M, "~ue miden estas distancias, ~eran ig4ales, L. l. \) Q. D. p. 2.\) Si la (.:P sale del 'centro y di vide a la FM en dos ,partes iguales, digp que eS perpendicular a la FM. ' . En efecto', por S2 lir la CP del ceatro, tiene el punto C equidistante de F y de NI; Y por dividir a 1<¡. j;:ue~da ~n dos Pitrtes igu~les tiene el p'unto P equidistante de 'F y de M;, lu~go .la línea C~ tiene dos puntos C y P equidistantes de los ¡<' y M qe la FM; 'l\.legp (274) ~e sera perpepdjcll1ar. L. 2,.Q Q. D. D. , 3.° ' Si·la CP divide ,na cuerda FM eJi dos pártes iguales, y l~ es p.erpe/:lIH\::ular, pasará por el centro, . ' ,, ' E;n ~fe\::to, por di v,i dir la CP á la FM en dos p¡¡qes iguales, tiene ~l pUMa P equidistante de F que de M; y por serie perpendicular ~ pasa (274 cor.) po): t9do~ los puntos. que en dich0 plano eSl:ln á igual distan\;ia deF quede M; Y como el centro e's uno de estos) ' se qeq,uce que la el? pasara pOl' , ~L L . 3,o' Q. p. p. ~94 Teor. La línea que cumpkeon esta~ circ¡.tl1sfancia~ di'¡Jide im dos pp.ftesig'u'ates qt a 1'CO q'!e ¡ti Cuerda subte1'lde, ' ' ' " D ¡;¡n. :porque siendo perpendicular? y teniendo UQ punto ~quidistant~ de 'F y de M; les tendrá todos , lu~go el Pl+Qto Q dond~ la C·:p 'vaya á encontra:r al arcQ FQM'; 'tambien estará eqlÍ.idistante d~ F que 9,e M; liÚlgo las cu\,!rda$ FQ y' QM serán i. guales; luego. tahibieu· lo serán los arcos FfQ.) Qa'nM, ~lle es L. Q. D. D. ' . '

,1,


. ' . " Cl!OMÉTRíA". ~H : Ese. , Recíprocamente, si una Unta CP sqle det centro y divide al are o en dos partes iguales, será perpendicLllar cí la cu.eraa FM de dicho arco. PElrque por las cIDndiciones con que está tirada, tiene el punto e y el punto Q equidistantes de los estremos F, M., de la cuerdaFM. · ' . 295 Teor. Si 'en un círculo se ti'ran dos cuerdas paralelas, Jos arcos que estas interc~tan serálligua¿eS. . Espl. Seam ·FM y fm estas dos paralelas; digo que los arcos Ff, Mm SO!'1 iguales. ' , Dem. , Si d.esde el centro tiramos una línea c.P perpendicular , á una de ellas) lo &erá igualmente á ,la otra (180), Y dividirá (2 '93 y 294) tanto á ellas como á los .a rcos FQM, fQm, dos pa'rtes iguales, y Ii~ tend,rá FfQ.=MniQ, fQ=mQ ; restando estas ecu<j.dones 'seá FfQ-fQ=MmQ=-mQ, ó altCo Ff=Mm, que era L. Q. p. D•.¡ :' , 296 Teor. Dados tres puntos A,' B, e éfig. 41), que no estén en línea recta, se- puede siempre hacer pa~ ser por eltos u~a circunferencia ' de círculo. Constr'. ,Únanse dichos puntos por inedio de las lí.nea~ A6, Be, y divídanse estas en dos partes igu<lks por m~dio de las perpendiculares EL, KG, las cuales se enc<:)fi~raráf.l en el punto O, que será fl centro. Dem. En efecto, si no se encuentran, serán pa..~ relelas ; y en este caso la AB perpendicular á DE, 5erá perpenaicular (280) á FG en el punto K; pero :SR, prolongado,n qe AB , es diferente de BF, pue~ que los trespun~os A, B, no están en' línea recta, l\lego ~endríamos dos perpendiculares BF, BK, ti.. radas desde un .mismo 'punto B' , á -'la línea GK , 101 que e~ imp9siple? l,lJ~go las perpendiculares DE, :FG, se ~G¡:tarár~ 'en UF! purl,JO tal Gomo :, . 4 hora, por pertenecer d punto O á la perpéndlcu'Iar DE , está :¡ iguaf distaHciá de los dos punto$' A y B ? cd rpismo pqnto O, por pertenecer á la p~rpe!.Jcj.i!!!llar FG , ' eshí á igl~al distancia de 105\ dos' pUntQ's R', C '; luego las tres distª-ncia~ OA, OB, OC,

e

en

e,

.o.

,


!Z H.

~'E0METltíA.

son iguales; luego la circunferencia., tiescrita haden. do centro en O con elradio OB, pasará por los tre$ puntos A, 13) C, que es L. Q. D. D. Coro 1.° ' Para trazar una circunferencia por tres

puntos dados ó por Jos tres vértices de un triángul.o, le aplicará la construccion, del teorema. CO~ 2.° .para hallar el centro de !-,n círculo, ó de un al'co de circuf!lerencia , se tir,arán de ~n modo ,cualquiera dos cuerdas AB, Be; se dividirán en do~ partes iguates por medio ae perpendiculares, y et pun. (o aoude- seefJcuentr¡m será el ,centrD. , 297 Cuando una linea corta á la .ci~cunferencia de un drcu10 , teniendo parte dentro y parte fuera, se llama .secante: tal .es la AB (fig. 42). Y cuanci0 una línea es .tal.q ue no ,tiene mas de un punt(i) camun con la circunferencia, tenilendo fuera todo lo de mas , aunque ~e la prólongue, se .l~ama tangente; tal es laCE. El punto D, que es Gomuñ á la ·Qrcunferencia y ,á la tangente, se llama puntq de c6nfillctG. " . :298 Teoi'. 'Todq UneaCE perpenáicula.t' al estre~ mo D de un radio, es tangente det dnulo. ". Dem. Por ser CE perpendicular á OD , esta lo será á CE .( § 254 coro 2;"~ y ,se tendrá la úblicua ON ~ OD; luego el punto N estará fuera del c~rculoj , luege la línea CDE na tienecomun con la CÍrcunferen. da sinó el punto D; !u,ego es .tangente. L. Q. D. D. , Coro De aquí se deduce que para ttrartma tan. gente por U11 punto dtJdoen una ci:rcu,nferBncia, se t!- (" rm"á' el radio eorrespondiente Ji dicho punto, y en e& .estr.emo de este .se leITJantará una perpendicular../ ( '299 Te@r. ,Toda tangente es pel1endi,cular ,al fa.dio en el punto de ~ontactD. , Dem., Por suponerse la CE tangente, todos sus puntos. están fuera del círculo, escepto el de .contacto D ; luego toda Hnea que desde el centro termine en la CE, es mayor que ola OD ; 'luego la on es l~ línea mas corta que desde O se puede tirar á la CE; luego (273 1.°) es perpendIcular. L. Q. D. D. J


(;nOME~RíA.

De los ángulos considercldosen el cír:cúlo. 300 Teor. Si haciendo centro en el 'Pértice de u~ ángulo, con un 'radio cualquier.a .se Jr.a'Z.a un arco, y sé conciqe ,di'vididr> en U.1l número cualquiera de partes iguales, y por tos puntos de division se tiran radios .al -yér.t.ice, los q,ngutos .en que 'lllJede .dividido el áng1J.lodado .serán iguale;, Espl.Sea el ángulo COA (Rg. 43); digo qut si con un .radio .A O, se traza ,un arco ABe, y se diviqe en panes íguales AB, BD, &c. y por. los puntos de pivision B, D, &c. se tiran losradio.s OB,OD,&c., los ángulos AOB ~ BOn ., ~c. per.án i guales. Dem. Doblando la .;figuFa pór .el. .t:aclio DB, se ten~rá {z49)liJ.ue ~l arce AB caerá sobre .el arco Bne; .y pór .s eriguales los arces AB, :En p ~l estremo A del primero caerá sobre ~l .es tremo D del s~. "gunao ; 'luego habiéndose COllfUFlfido el punto A con .el D , las líneas AO, OD, que parten .desde un mis,. mo p·un.to O, tambien ,se .h abrán confundido (24:S); luego ~ 25 1 .esc.) los ·ángulos ;serán iguales. Como h" mismo .se .demostraría de 10.s demas, !l."esulta L;Q.D.D• .3°1 Teor:. . Si ,ae¡de tos vértices 0,0, de do.s áng[llos ..AOC, aoc , se descdb.en con .un mismo 1'(sa.io dos arcos .de drs;uJ,o, la relacion de los arcos compr.endidos entr.e .los Jadps .de s;ada ángulo, será la mi.sma que .la de .e.stos ángutos, . Espl. Aquí pueden .ocurrir dos casos: ó que los dos arcos AC, aC :t engan una comu.nmedida: (245 ese.), ó que il0 la tengan. ( . J)em. :I. o Si los -dos -a·rcos AC y .lIC tienen por. comun llle.dida alar¡::o. AB=ab, colocánclpla .sobre cada uno d,e ellos ¡tantas ~ec~s ~omo se pueda ., q ue- ' darán sJ.iv¡dido$ .a.mbos ,en panes igua.les.; y .u<j.maq~ do m al núm.er0 pe. par.tes iguales á A~ .que <contie; ne el arco AC, -y .n ,al {ll)merp ,de parJes iguales a . ab=AE , t:},ue contiene el lIC JJ :se tendrá AC=wxAB, .ac;o;;;;nxAB ; y formando proporcion y simpi ifican.do


;3~

d-ÉOM~tIlíA.

por AB, s~ra. AC:ac::mxAB:nxAB::111:n; ahora, SI por los puntos ue division se tiran los radios OB,&c. ob, 'ttc. , el áIlgulo AOC quedará dividido (300) en i:antos <Íl1gú1os iguales con AOB , como partes iguales á 4B cont~nia el arco CA , €Sto es , en m á:ngu. los iguales ;y por la misma razon el ángulo aoc que. d~rª ~ividido én n ángulos iguales á aob=AOB, por lo demostrado (§ 291 cor.); y se tendrá ' · AO~='mxAOB , aQ,c=nxaob;;;;;;lnxAOB; y rOl'tIlando pf-oporcion, será

· .f\.OC:aoc::mxAQ:S:l1xAOB::m:fl; y c;olI}o esta proporciono y la anterior tieñen COl:!1lJn la Tazon m:n, resultará (§ 184, 2. a) AC:abAOCUloe'. Luego l?- rehiCi9n de los arcos &e. . · 2. q¡ Si los arcos AC, ac sen incomensuraQles, - <ligo que la relacion de dichos arcos no pueae ser mayor ni menor que la de les ángulos, y de consi. guiente será igual. . . ' Si se supone (fig. 44) la reladon de los ángulos menor q u~ la de los arcos, ó AOC:aoc<AC:ac, pa. ra que la segunda 'r azon sea igual Gon la primera, se necesita!,"ª, que su' consecuente ac crezca, y se ~onvierta v. g. en ad; lo q(ue dará AOC:aoc::AC:ad. En este caso, concjbrendo dividido el arce AC en dos -partes ig·uales, y luego· en otras dos &c. se llegará 'á Ul) arco menor que ca, el cual €Glocado sobre 'el hará que uno de ·los puntos ~e dj.v,ision caiga entre e y ~, v. g. en e ; cen -h cual J¡¡)S cingulós :AOC y aoe, guardaran 'la misma. relaGion j que los arcos comensurables AC " ae, y se ten\1rá AOC:aoe::.AC:ae i pero esta pr-oporc-ion úen~ los wrsmos antécedentes que la anterior, luego (181'" ~.a cor.) los consecuentes darán aoc:aoe::ad:ae; pero tisto es \10 absurdo, púes la primera razon aoe·:·aoe es de menor desigualdad, y la segunda ad:Ile-', es de mayor; luego la rdacion de lo~ ángu10s na p.llede ser menor q u~ la de 10s- arcos. - \ . Tampoco puede S'er mayor; porque S~' sc supone AOC:aoc :> AC¡a(,l, -

aca,

I


GE01\1E'l'íRA. 231 disminuy.endo el con~ecuente la ~eé}u.nda r razon, lo sufid~me para que resulte igual con l!l primera) y supoaieQdo qae sil ,c~n,-:ierta en a4',¡s~ tendrá

de

.. ~AOC;aoG,;;AC;ad'; . y c(jlps:ibiendo dividido co~o ántes el arco AC eg partes ig!1~les, bastante p,equeñas, para que coloca~ ' da una so~r,e- el arco , qc las , veces que se necesite, , ~aig.a un),punto de di visi'QI} ,entre c y dI, como en e', . se :t endrá .A,OC;a(je~;;A.C-;ae'· '. , ') . q,u~' (1.8,4 ,.,~,.a.cor,) :~,a ~~ ~4~;;'aoe';;a4";áe~, ~'l-ue' es itn absurd0, porqu'e una razon es de mayor desigualj ~ad, y otra,de meRor. L~eg9 si la razog~de 'los ángulos nI¡) ;¡¡>¡,wc;J.e ~e.r ,mtmOr .fli mayor q ae la de l~s ar, cos, debera ser igual. L. Q. D. D. " , ,', , ( go; , I,>Oi" estl!-, J;az~n la ~nedida de los áñgutos e~ el arcQ ,de círculo comprendido entre sus .~~,s lados~ y d~cf-ito desde_s,~ Y~tt!te~ ~Qmo cen.tro. ~ _ , p'at'a" ent~mler\ ~.ien ,esta 'medida debe s.il.~erse que la, cjrºypfeJ;en'ci<t §'~!' c,<ilns~~e,-\a dü,idida en ~3~o par-;te ~ ig!J.a-l~§., que se ll~man grado;s; ~ada grado, en 60 partes iguales, qlJe se llaman ?itinutos ? ~~da mimU@',<;;n, á0"P?,r tes .jgua,!es" 'i ue se Hamau ,segt'n~os; cada:. s~gundo ;en,P9 ' tet'CItros &c. Lm~, gr~dp§ s,~. seña~ , lan ¡¡9ft ~l).a.o) so.~¡:~t~ ~úmero , los mif1utps coP. ul;. ace~lto, 10s segúnqos ,con 'dos &c. de , m~n~ra qu~ S7Q,I7:44'~2"/" quiere d~cir 57 grado~ .; ·}7- ~1!,~nutos, 44 ' segundos, > y 22tprceroJ. :pe consiguiente;; ¡fg. medida de .un ánguJ,o':rect0 ,~s un cuad¡;ante· Ó;'9<:l,o. , 393, :Teor. }j)t , "'ngulp formado p.0r....UIl'!, .t fmgenie ~

una c,uet:da, ti.ene PQr medida la mitad qel arco que

¡acuerda subtende.

f

--,

..

,

,

1,

_

" E'pl. Sea, el ángul9 , ~TA (fig. 4S ~,,~fórmado ~or la cuerda AT Y por la tangente EJ.\t; "~igo que. ~!en~

por medida la .mitad FT del ~~90 T~A que la cuerda ,4T silbtend~. 1,' "' Constr. ,Tírese el diá~e~ro HF perpendi,c}llar á la. ,cuerda ,t\T, el BD' paraleJo ,á la mil'~~ ,cu~f'da , Y tí~ ¡!:se ~l radio eT . . Dem. Por sej." .EH perpendicular á At~ 10 será


~ 38 GEO'METRÍA. tambien 'á su p"aralela BD (§ 280); luegO' el ángulo FCD es retto; ' el ángulO' ETC tambie.fl ·es recto (299), luegó (253) será FCI?==Fl'C Abera , el ángulO' o-1!, por alterne& internos , entre la:s paralelas AT, BD 1 siendo, CT la 'secante; luegO' restandp' estas ecuaciones " se tendréÍ <

FCD-o==ETC~f 1 Ó'

n=ETA;

.

que per' tf;ner n su vért\ce ~n ~l centrO del círculo; tiene por medida al arcó 'FT ; fuego el á[1)gul@ Ei'Al que es 'su igual, tendra: la 'misma; med;ída FT, que es L, Q. D. D'~ , '" '; -. - Esc. Comá entre les des' áng.ulO's E:tA1, A TM" han de valer d@s rectos, el valor del ángulo ,ATM será 10' que fe f¡lIte' á la: mipd ,de AFT para fa: semicircunfetencia, Ó su lÍledída: será la: mÍtad del ario ABHT-;, fuegO' ya ,se considere ~farcQ' mayO'r ó el mé. nor que la cuerda subtenae' , se ,ve.r!fica: la propósidon. 3Q4 Teor~ El ángul'o cuyfi 'lJ'&rtice: está en¿a;cir.cunferen~ia'

, formado por' et concuf'.so' de' dos cuerdas, af1CO' q,ue abra'fan" sus Jos lados. ' ' Espl.. Sea e'} ~ngufo-' BTE (tlg"46)', cuyO' <v,Útice T eStá;- en la circuflferencia, for'madO' por fas' dos cuerdas TE" l'D ; dígg. Hue tÍene pOl:' medída: la mi-

'tien~ por', medi'dcv la mitad del

tad deL arce' ED que sus d0S lados abrazan. , Dem.· Petq'~e ~i en ']'. se tira 'la: tángente AT~ los treS' ángu'Ios ATD, DTE, ETB" valdrán· jutl-tos la mitad!' de la: cÍrcunferencia: TEDM'~ pel'O' e'l ATD tiene per medida: · la mi.tad 'de TMD, ·yel BTE la mitad TE ;:luege' d ·.:D1'E t~ndrá pO'E medida. l~ mitad de' DE ,que era L Q~ D.1:),_ ,,, COI''; ¡JO:.. Si-s'e unerd&s pUritQ& D y E cO'a ,el cen·tro- C 1 el ángulo' DGE tenlliiá: pó.t medída: te'Qe' eHr~ co DE 1 YDl'E SU m1tad;~ lu€go s~rá; DCE;¡;¡¡¡¡;zD'J'E. Al ángulQ DCE, por tener' su vértÍee en c.d· ecntlHil, se le !taina á ngu lo c'entra~; y al DTE; por l ener su. vértice ;en la CÍrcunfétencia: y ' se le' Ha:ma ángulo iriscrito; luegO' e( ánguta centra¡' es duplo det 'ángulo

oe

ir,ucrito.


GliOMETRtA. ~ 39 ----Tbd'ós los" ángulos fB'AE; BOE--, EDE ~fig. ' 47) , que tienen sus vértices en la árcunferencia é insisten' sobre' un ' mismo arco BE, '':son iguales; por~ "

Coro

2.°

que todos tienes por medída la mitad. del arco BE. ~ C0r. ;3,. 0 ••C¡:o~(}, áng~lo AC'~ J~g',,18!, cuy o vértice está en -la czrcunferencza; y cuyos';la#os pasan por lO$ es~remos 4e un diámetro AB, es recto; porque LÍene

por"'medida la' ·mitad: .del arcllf 'AEB " que es un cLladrante# ,:¡ , ' , " -j " :

') Corl. 4. O' Toda án.gutO'. ACD , cuyo vértice esté enl trda :cwcunferenéia y ab,.dée un arCl) mayor que la .seríÍicircunferenciá ·i ~ení.\ obtuso;. -,porque la mi.t:ad de este: áreo' será. mayor jque un cuadrante; y todo án- ~ gula Y.l.eE ,; cuy,o :"-v¿rtic~ esté en tiV circunferencia :Y SI!S lados abracen un arc!) menor que la semicircu1S,~ ferencio, ~s ag-udo;. 'p orque su mi-tª d. será <menor que án 'cuadrante; .\ " .! • , • 30) Probo En el e-stremo ·B de úná -linea AB (fig. 49)

que nó se puede proZ'o'ngar, levantar una p-erpcndictll.a,\ Res. y Dem. Haciendo centró· en un punto cua4.-

' quierre e, trá:cese- úna dn~unferencia que pase por B' -':Y'que adernas cor~e en otr.9 puntO' c.ualq uiera ,A a,dicha línea. 'POl"''este punt? títese el diámetro AD; Únase eI-estrem9 D de &icho diámetr0¡cofl el B por medÍ.<:vde la B'P ':¡y 'esta será lá pérpeadic:ular pedida. Porque e1-áfi gaI6-&BD es reCtO: (304 ·cor. 3.°), y p or 'lo mismo 'Ia-' BD peFí'endícwlar á la AB.._ .J , 30~ Problr Dado un· punto A (1ig. 50'- fu_era de Un ciréuto ·DEB ~~irarl~ una ó áos tang{nPes. I . , 'R:es~ y. Dem.. Unase dicllo ~puritG A eonel centrQ e del círculo ,:p 0'r' .medió. de lla AC; sqbre esta lí· pea como diámet,ró" ,tr;kese UHa eircu'l'Iférencia; de~.,. de-el punto dado' :tfi<erislf 'á los punto~ de interseccÍon I D, B, las líneas AD, AB , las euales ser·án las tan'gentes' pedíd~s. '~Horque, tirando' 10s.>raclios eD, CB, I!bs ángu'lqs ADé>, ABa; que . tienen. su 'vértice en 'la \circuruerencii" del" dr'culo BDA,. y ' eu yos lados pasan por 109 eStremoS del diámetro AC, serán rec~ ,) t es; ' -y -por lo mi$m'o la AD ..sera,; p erpendic ular ~


GEOM~~Rí~.

240

DC, y la AB : ~, C..B ;. y ~omo. De, EtB s<!o .X:4diQS de1 círculo dado DEB; re§ ul~~ Ilye ,las AD) AB~ perpendtculares ~á~ ~JCos ~I:adiqs " SOI1 , ta~tg(:¡l~~~.. i~~ dicho círculo. :'"

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De las figur:as ~n ' gen,erat , driláte;¡os.. "' , ..

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y propie-aades de lós t ría'

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- '3°7 Se lIail.tl:.a JÍg~j"a ,elespaQiq . t!!r~~íqadCi) P:9r Jíl nea's. -En la; idea de figura e'ntran estas ,4?~· fa; <!iel ' espado cerraqo., .,qlle, se Ual1.'la,.,1\Ír~ Ó sl!pelJi9ie..,\ y la d~ l,as .Haeas. que· l~ ciefEa:~.) ,~).j!.~ .,~e, lla¡~~ ~1~.1 tO~'no, o' perZ1llePTq., .~s figu~as, ter'llJu}'!'flas por !\~t ta_s, se llaman, rectilí~ps. ;r las termtnaQ.¡i.s. por una Ó, l!l}l'j chas curvas, curvilíneas; y !~s que .p@r }ínea.$ te~ t-as y CliJ.was ,. mi-stil!neas. \ '¡ ; " " \ ,," !, Cuaflcl.0 dos, figuras tienen s~s· jle,t:ÍLI1etto~~AF:' (~. gual esteasron ; se llaman isoperíf!letr af ; <;úando s%~ superfic!es son iguale,s ; 'se 'díce q'ue~s~n equivatent~s; y 'caando son tales fl,ue superp.u~st?- .la una. á la :o~~~ se' confunden exacta¡mente, se llaIAan igu.aJes. , .' Se dice que una,figura es.tá inlC~"ita en un circulo, ó que un círculo esi.á cireun-Ecrito. á \!r¡.~-fig,ura ¿uanA~ todos sus ángulos e.stán en la eircun~e¡¡encia de, diGrg círculo, como .ABDC (qg. 5.1). . . ~'.. ' _¡ Cuando una:flg,ura es tal que todos sus lados 5011 t;¡.'tlgentes ~e ~9 n círculo, se d.~ce 'i;ue, e~á c'~r:cu!ls.c~ittj al drcalo., ó que el ,cjreul9 ~stá t~~friJo .en la figura: tal es' la kReDE (fig. 52). ~ _, _ . ,~.:< En general se llam.a base d¡; un!l '~figura ,al ladq sobre que se cons-ider.a insi~~iefldo., ; a¡,tul"a , ia: p'erpend,icul'a r baj~da á la ~ase· ,. desqe ~l punto de la, ~_, gu L¡3. que diste más de la ba~e '; ,.y ,~~ llflma aiagonaf i<oda línea 'AD (fig. 52) ,. q ue desd~ un áng,ulo v.a á. parar á auo no ,inmediat-O. .!.., - • L 30& De esto y de lo dicno ('A.7'5? Y 271) sedequ.! ce ) 1. \) que el perímetro de una figul'a inm'ita en ~n.~ 'curva, es menol' que la mim,¡a curpa; _2. Q de dos Jig¡¡.t'CH mscritas en uTla cU1''Da , la qtl ~ teng?l niayor nÚlp e'('o ,C

.d.e ¿ados tiene 'TI?.a;Y.Qf perímetro: , 3- o

~t

pedmetro dé ~'


GEOMETnÍA.

241

toda .f,g!~ra 'circunscrita á ' una curva, es mayor que l'a mismfl curva: y 4. 0 de .dos ó mas figuras circuns!, ¡¡ri%as á una .curva , la que te·nga ¡nayor número de la .. . dos. tiene mello,' perímetro; pues aquí llamamos perí~

metro a lo , qu~ allí conjuntps de líneas. ' 309 C uando una figura está terminada por cua- . tro líneas, se llama e uadritát~ro. Si de estas cuatrQ líneas ninguna es paralela a otra, la figura se llama trape:zoitfte , como ABCD (ñg. 53); cuando dOl> son paralelas entre sí., como AD, Be (fig. 54), se llama t.rapecio ; y paraletogl'amo', cuando las cuatro líneas son paralelas de dos eH dos. " . / Hay cuatro especies de paralelogramos: primero, cuando los angulas A y D (fig. 55) adyacentes. á un ~ismo -lado A D , Y los lados AB, AD que fGrman un . mismo ál~guló, son desígual~s, el paralelpgramo se lIam~ romboide; cu.a ndo los ángul€ls adyacentes á un mismo ladG son desiguale~ , é iguales los lad.os que forman un mis~o ángulo, como ABCD (lig. 56), s,~ llama ,"ombo ; cuando les ángulos adyacentes á un mismo lado son iguales, y -los. lados que forman un mismo .ángulo desiguales, como en la (fig. 57), se llama ,"ectángulo; y cuando los lados que forman ua mis!no ángulo son iguales, y los ángulos adyacentes á un mismo lado tambien .son iguales, como se ve en ABCn (lig. 58), se llama' cuadrado. \. _. Se' llama base de un paJ-ralelogramó el lad.o sobre. que se considera insistiendo, y la perpeadiclllará 1<,\ base 6 á su proloHgaciGn, desde ' el lado opuesto, se llama 'altur.a ; así, BE es la altoura de los paralelo~ gramos ABeD (figs. 55 Y 56), cuando se cOl'lsidera por base el lado AD. En un tra pee.ie se llaman bases los dos lados paralelos; 'y altura la perpendicular úrada desde uno, de ,ellos al. otro. l .310 , Teor.. Los · cUiatf o'angulos eJe un c1Mdrilátero

valen 2'1t ó cuatro rectos. ,,' Dem'. Porq.\.)e (figs. 53)- '54 Y 5 S), tiranq,o ':la c!~a .. gonalAC quedará divi.diclo ~n dos .triángulos, cuyos ángulos valen lo nrismo que los del cuadrUát~€'q; y 115 T. l.


~4z CEOME'TRfA'. , como' los ángulos de cada triángulo 'valen;'7t, los del' <:uadrilátero' valdrán 2<]'( Ó cuan'o rectos. L. Q. D. D • •" 31I 'reor. Si ,dos lados opuestos de Un' cuadriláfero ,són iguales y pewilletos, será un paralelogramo. 'EspL ~i ,los dos lados AB, CD del cuadFilátero ABCD (fig.·5:9), son iguales y.paralelos, los otros dos lados AD, BC, tambien lo serán, y la figura será un para.lelogramo. " , Dem. S! se tira' la dtagonal AC, se tendrán dos triángutos' RAC, DAC , ,q ue tienen AB=CD por el supue's w) el~ lado CA comun, y el ángulo m=n, por alternos internos entre las paralelas AB, CD y la secante AC; l11ego son iguales (260); luego AD=BC, y el ángulo p=q; pero estos S011 alternos interlilOs entre las líneas .AD, BC, cGrtadas por otra AC, luego di'Chas líneas serán par~lelas (281), y la figura un paralelogramo. L. Q. D. D. 312. Teor. Si los lados QPue~tos de tln ctladriláfero son ,igeuale's, el cuallrilátero será un par.atelc¡gramo. , Espt. :- Si en el cu'adl1ilátero ABCD, se supone 4.D=BC, y B'A=CD, digo que AD será paral€la á BC, y ,BA á CD, 'Y la figura un paralelogram6:' Dem. Porq ue tirand.o la, 'diagonal AC, los triánguias ABC, ADC serán ,i guales (259); luego él ánguy p=q; lá pJ;üne'ra, ecuacion da 'que CD es lb (281) p;ilr"aleJa á BA j Y la: segunda q u'e AD lo es á Be; luegó Ila figura es luf paralelogrl.!-IDo. L. Q. D. D; ~ 313 "Si' aplicamos aquí lo demostrado (2 S6), y se sustituy~ el lenguaje de paraletogl'amo, larios, "de. se tendrá : primero , qu.e la 'diagol1al de un paralelog'ramo te divilje e11 dos ~riárlg'Ulos 'iguates. Segundo.

m=r:,

En todo' paralelograíno son 'iguales tos lados y ángulos op'u~stos, Tercero. Dos ,ángtilos A.; D, eontiguo$ 'á 'un mism,o lado de un1>aralelogramo., ,son \. 224; 4.~) el uno supCemento del otro. CllIaTt(!).- Si uno de tos án-gtílos es recto', lo S01l t,odos. , QElil1to.,,~i do'$. lados conliguos de uff, pai'atelog~ " .son iguates, to so'n todos los , eternas. , - ;,' ~.' " ' j, . . . . ' . ' " c', "


ql'O.ME;r,l!,.f.~".'; H~ ~. 3 I~ , Si~dos p.f'r~l,elqgr.a~no.s tien~n:. a.o!)c:.dos :ig~á., ~es ~ igual ~tán.,gu;t.9 comp'r~ndi,do ,:.se[¡~n, iguale,s ; ' PH~~ los otros dos lados lo serán B5W .•<?:puestos á lqs~4~~ 40s; y. 10q ~ ángulG~. qe,rán ~.op.~.~ s~~s :!g!1.a l ¡ü ~a,d0..,l y to§ l,\d);<l;ceJ;ltes ,tafl1;lDien. ~~rán ,~gJl,gl~s:¡}?or sel; iS~P~<Tlj IJ1e~l?tos ~'L!yqs ~i; .. :,:r ~;

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: ..AdeQJas, pueslc¡: o\:>seryats~}:¡ue si R,or. la pa( te su.., 'perior. ó irif.,fH:i<;>r; 9-5! la Ap) u; , P.?n~. ~erech'\~fÍÍ, i,zj . q u·~erdp, de¡:la..ABi, ~e .tirasen va-ri.a s ,líl1l;as, y, po~ ¡'!l Rl!l{nto . C se . ~~r~~en ,~i>~~.aleI4\ ~,ej p.ecti vam,em~..á dii:'; ¡J1as Jín.eás, ¡;es!lL~a~ia~ una pO{~ion c!,~ pa,r a¡lefogra.. m~s. , ~U~ ~9,dos. .t~~drian .l!n.a . ~iB¡;na¡ ~iagolt~~.AC.~ :

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~r 31(. Ul1adig!lP~. termina<la' B0r ."5\as de cU,atrm)ílle~s s~.ll<!.)Il'!. polígO.~9;.si ~s~á : ~~rrpin:1d,!- p,or ? ~i~co.

lados ., .se Hama pentágono; si p,qr. 6"rX"ágono; si.pof • 7, eptágollo;. s~"por 8, octógono; si por 9; eneágono; si por 10, d,ecágol1Q; si JJor } 1 7:'epqe.a~gor:o. ; si.. po\ 12, dodecágono;:Cuando ocurre Flombrar un polígo. no Ae ,.ll}as , lados, se dic~ potígOllP.44,1l: .1 6, ~e ~ o, de 30 lados. , . r. _.• ,., . '. "'.' ::. -1' Un p'olíg9no .e~ regula.,r c~ll~d.!? !~i~,n~ ig~ales to~o~, sus ángLilos y todos sus lados, como ABDEF (ñg. 60); y es irregul.tw Cl,utndo le fatE~:~!Ku~_a .d":, eSt?-.s ,cir~ cunstaflcias, C'0illO ABCDEF (fig.~ 6I). _ " . _; . Se~ Ham,a . Jn~u~p. saliente de. un peJí,gpJ;l0 ' J aquel ~uxo v~fJ.j<:e.mir:~ ~á9Ja fuera. :de li' fi~ura~. C?qJo. J9~ A? B; Y ángulp entl"pnte, aquel: euye;¡ vérti.~e ,mira; há:cia dentro de la.:figura como el D. . Cuando el' poIfg'o,no 5~g~lar hay un punto derj~ tro, tal que t~das . !as 1ín~as q \1~",1esd~ él se .tiran á los ángulos, sorrm..ll¡ales ;_~ste_ p~,n~o.,se Hama . e~ c~'1!: 1~'o 4~J polig0J,10" S .las 1ín~a.s tiraa~~ radios oblicuos; ~. Sti. Uama:q.:Jta3i~s .rectos .Ia~~ perpe,!l.~cúlares tira,aa~ .d,~sde \~l cenJ~g ~¡l<t§: l~goH;Y' ,e n un~J:>.0lígono, se lIa~ ma sajita á la. diferencia entre el radio oblicijo ,y el .r.;adie l'ecto. ) . r . . . . ~. .~" ; ~ . " • • 7 , .... '. { ~ - , ¡;.: ¡ •..,.,...,.... ~ .. '.. - t ..... ". .J.. .);,. _ 1 J - -

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244-' _ G'E'oMETRf.Á~ ~ -31 6 .Teor: ' La- suma de todos lbs '-á~g~los ile 'u,. polígono vale tantas-veces itos rectos, cOliJO l'ados tie-' '1le!:et 'polígono mério'S doi . .'."" .. :pem. Porque ~ sf desde uno' de ' lós ángulos A' -(fi~ 61) se tiran diag(;males; que'dará- di~idido dpolígono en tantos triángulos como lados tiene mé'llos' do,s ; pero los ángulos de estos tri,ángulos componen los dél polígono; luegID los ángulos dé este valen tan" i~ cómd los de los triángulos; y -como los de cáda triángulo valen dos rectos, se deduce L. Q. D. D. ~ Cor. · I ~ ° Luego ~lamando 7/ á dO's 'ángulos ·rectCls' 6 á 1800S n al número de lanos, (n-'-2)7/ será la es.' presion del v alor de toq,os los ángtllos de un potigono. Cor. 2.° Como ·en ua' pOlígOfle'- regular todos los á~gulos son iguales, y hay tantos como la,do s , para h'al1ar el valor <le'luno se d-iv·idirá-e r V"¡110F de todos ' que es <n.,....2 )'1f, 'po'r n que es tambien el número dé I ángulos , y se tendrá: '.'. ~

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( Ese; ' E.a fórmula anterior da lá conocer que el ángulo <,le un pqlígpno regu.l ar siempré es menor que 'lT ;-porq ue,para ootel'ler su' 'va'lClr; se ha de mul.. d .. "'~ ;! tipHcar' '1t por :~l -quebrado prop,io ,n .2,. . ; r n . ·Sustitúyendo 3; 4, S, &c. cri --V'ez. de n,setendrán los ángulos de 10s 'políg0nos' regulares sigilien~ i~s, que es muy útil sab'el' de mellloria. " . .l}.nguio de triángulo equilátero :::6'0°; . 1}ngulo de cuadrado' '-'90°, ,"¡:', :.)': Ang~lo de pent~gono regülar =I 6'8°;! L Angulo de exágono regular =I2'00~ '" ( . , \ 317 Teor. Si se dividen lw oogt¡lo$ ·t1e "11' poL ligono regular en dos-:. partes iguMes' por medi'! ' lineas, 'estas se encontrarán 'en un mismo 'Púnfo 7 ~seJ. rán iguales. 1l11:1. :.x¡.- ..... • " .1 Espl. Si los ángulos Al B, DI &c. (fig; 60)1 se di'" t

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4e


, ~MMUR~. ~~ t~iden en.a.9's partes iguales por medio de las Iíne:a.s

,AC, BC,/ DC, &c., dige- q u~ estas se encontrarán en .un mismo punto C o/ serán tguales • . Dem . . P,ues que (316 ese.) el ángulo FAB<I80~, .su mit(ld CAB, valdrá ,l~énos de ,9q o; . por la mi~IDa razon ABC valdrá ménos 'de 9<D°; luego será ' CAB~ABC -< 180°; , ~ Juego las ,líneas AC, BC se enc0ntrarán (2-8,,) errug ,pUl1to ta,l comq ,C. Y COIDQ los állgu-los CAB, CBA, son iguales ,por s~r mitades d,e los ig'\lales F AB, {\.BD, el triángu'lo ACB será isósceles y dará AC=CB, " r ' D el mis\TIo modo se demostra ~á q u~ la DC encont!rará: á fa BC; p.ero falta probar q'Ue la DC encontr~l'á ,:á, la Be eq el mismo punto el1' que la AC encuentra á Ja BC, Pa:ra, esto observarémos ,-qlle los triáng'ilos ,C,AB, B~D tiepen iguales los .lados AH, BD, é igu~­ les los ángulos adyacentes á estos lados, PQf, set,mi.tad:s ~e lQ,5. ángulos A.~, D, -&c.\del ,polígoqo,;)u~g,o (se ral1 -lg;ug;1~,s·; ~y se. w¡;¡dran su'p ~r:peller; luego }j>odl1~ • .mos co nc~bif( que el triáI'lgulo D.C~. ~e doble Pl\lf lJo ~C, de m,odo ' que'BD caiga sobre 'B A, en cuy@ ,e~~p :pe se coafundirá::-qon AC, é hiáQ. 'Por eonsiguie~te ~ ,encont\ar á la ;Se. en un mismo , pumo C. " -- GOlllo ·l(:) _ m,~sl:Q.0 se demu.e stra de todas las d~q¡a,§, :resulta que todí!-s\ se enc(:)n1;rará~, ~~ C, y q.l.le ,,<' í _'o '- AC:::;BQ:, DC=&c. que es",L. ,Q. D. D. ,.~ v Coro 1.0 Luega el punto C s~r:I(~l centro del poLígono, y laS línea,s AG., BC, De, ~&. l'os radios ob~i.cuas; d {! man,é;!;ª, qué en tollo pptígono regular son

,iguales tos r.adios obl,icuos. . d" , , '; Cor. , 2",° ·Luego tos triángu;Zp$.JC::AB, CBD, C1)1), .)de., so'(! ')isósc,el,es é iguales entre .sí;:'P(:lfq ue_lienen s~s tres lado§ ,¡;espéctivamente 19uªLes. ,_ COI". 3.9Si desde el centro se tirán las perpendictHares ,CP ;GQ, &c.-a;!Qs l~dos de dicho políg~­ no, serán los radios rectos -; y como los triángulos . AC<t, ACP, tienen .. el Jade Ae comun, el ángulo . CAP =CAQ ~';pol" mitades de FAB, y el P=Q \:,>01: - r~ctos, J:esult~ (27-3 c0r . .2, o~ _ ql;le son iguales, .y !K..Ji~]:QN ~WllmW,

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~4~

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~téMÉTRfAI,

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<da:Ii "Cp~ r

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CQ ,I1hiegd in un polígoñó"regúlar todos.'1@

:radios ' fletos 's'Ü 11"ig!fa'lei: J • : ' '.', • A. COl', 4. o If,t radi(Vf..ietO de u'r¡ potígonó l'egular di!. . ~i ¡fe; ':tlt5/ai:lo " éor.t'ésp0rÍdiente en dos 'p.ar~es ·iguales; .pórq Ii~ (26 Se, esé'1~ lbS' td áBgulos ' FeA ,. AC!B, &G. son iséseel@s. ' .. ! (

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Coro 5'° Si desde el éentr·o d¿'un' polígono regu, lJá>rrXéon .e'l raai0!!09}icÍlü, se tr·aza· lUra eireunfert}flL .e~él¡Tesia ·pa·sariap?r. iod?s' los ángulos del polígo!}o~ ~J p0r e'of!.siguiem~ él círwto qued'ará -cí'rcunserito al t(0' . po l zgono. - "" 7H·G6r.:'¡;·.o , 5i tlest'J.e.el centro del poH:gOl1({se traza üríá .c-itcunfeFefiCía:' eóli' iíñ rá¿.io· i"g,tiá¡l ;a-l· rááio ree'tl? " (fi'g-,-62~'i' esta pctsá.r á' pot los! estl'el1!Lds' de t0<10S ellos'; .yJ;sü?ndo 'cada lá!do ;p@rp€ntliculát .a:l .ra-dio "recto, q u~ 'se ha,jco~1v-enid{)'Q!aCbd,i6 :.dél círfelfle ; este quedara '. .J. ,.' .' "1 .-inse';;1,ío'l eii' e.l -pM.Jg0i1o:1 l; " ., o,;sElli.:'al eor~ ·IS~ 9ry,~6,.:o~' ~1>€be ol5s€V:.v.~rs tY 'qúe r.adíiJ ·ttbli'MilpC'de. unpaU'ganó'jnScr;to en 'un drc'ú~ó' , y radio -<'d e'!rml ci~culo eir~1c1'.ít¡j ~á :u.i¡¡ioljgo.'nO·~·t éSJtlna mís~ ~9ínP e'~sa;~ y. ·que!· r,tuJ;'í'~'.f~é'c1io we:: un .póbígofi~ 'circ-uns ~rj~­ ,t8já~i die.:¡¡.bcjJt 'Y hJiiio. de ·un 'l(ír-euio' ~nserito 'en- un polígono" es tamb~éj'l{'Úna!l¡1ú'Óma .e o5'G",. 0l Lfiá·s genera'l, t.et :t-callió ' oblicuó' a~ ~'(jt:losiJ ·tos''P0tígen~s' ¡ que 'se pueden imcrilJir.,' e.n un GÍ!,eJüla: ue¡pet miS17ijo3 lJ.ü~ et;léJel CcÍ,'oúl!o ~? q~e ,estáV-'; -fei::rái#b recto- dé toild$' las ·polígonos -~üéis'él Eueden' eitct'u,js~ribir á un' 6ftíti.t.o ) es. 'ehmts1no ~éjUé é'Nlet 'círe·tll'O~ -qú'eftr/Út/v.n. h ., ,;.,J: ~:'l ¡¡'. I'~ ~. 1. COl'.--;" ...·9 , Cotr15\ téJe!@s 1'os tl'i¡ÍlBg\!l.los rA~Í3 , -BCD1.., .' _.' &c. (fig. 60) son iguales, los ·átigu.lú!,Ii'\)Q!Br::B.<ZD, E!!,€. ,for@ad19s.en.él1ociI1tir'G'':l$,edlil .igu:a1..-es; Sr C6nfo en viratdcf1a'€:fó eShH1es¡tQ~~~H tcor. 3.°) lO"dGs·l va..len ' 360° :0 27'( ,,-y hay' tant.os ~tiotrrd radGs, r:¿s~dta :-qué- ,'. ,; ¿!

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El·,taao"-a.e't 'exágono es ~i'guaI 'al radio Jet porque .los tdángulos ACB, ·~ B,CD;&c·. (fig. 6'3)Ql1e,;en ,todps 19'5 p01~gonos ,reg1J.-

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• '€Í!yctd"O- 'cireunseritó,;'


G];!oM:Erit;í~.. !247 lares son. isó.'seeles, en el ex4gono SOR equiláteros, por ser equiángulos,; pUe.5 siffi~o ABD=IZOo, su mita:q eBA valdrá 60°, y tambien CAB=600; luego él ACB=600; luego GA.:....AB. ' Coro 9:° Luego para inrcribir, un exágono en tlr; círculo basta colocar el radio seis,7Jeces sobre ta cú',. cunferencia" y tit,t;;r lífleqSj por los p,unPos de di7Jision A, B,. D ,.'b'c. Si ahora se quiere inscribir u!,! trián: gulo eqüilª.t~ro, se unirfÍl} qe ,dos.. en ,dos los flstremos de tos lados, con las líneas AV, DF, FA. Coro 10.°. T si se qui'SieseJIfI arco de 30°, s.e di:' 'Vidiria_(z 94) en ~dos. partes dg¡t'ales el afeo Al) corres~ pondiente á una cuercta ig:wl al radio. J • 318 Para inscribir úr[, ~l.la,~rado se tirarán dos diámetro.s AB, ·{;D (fig. 64)., que se cruoerí á al1': galos rectos ,,Q se unirán su~ e¡¡tr:emos por las cuerdas AC~ ifD ,,:DB, BC. Si se levantan en A, B, C; .D per pendiculares á los radio.s DA , DB, OC; OD., se tendrá c.i,pmsqrito el cuad¡'ado MNPQ: en el cual por ser cada lado, V. g. MN igual (313, 2'.0) .a l diáLllJet.f€) AB , se ten.,. diá' q u'e~ el: perí.tnetro det cuadrado circunscrifio 7Jale (;uat,rp diámétl7os. . ' Amo'l',aJ~ por :s~r eUa(lq deLe~ágono igual al ra~ dio del círculo ci,rcunsciito, su perímetro 7Jáldf á s.eis radios ÓrtJ,re{ .di;a!l~etl·os ; peF0 la circunferencia es ma~ yor (308) qJle el ' perímetFo d(¡n:1Jalq uier figura ins. CÍ"ita, y 'menor qoue el de la circunscrita; lu¡!go 19 circunferencia es :menor que ~ul}trQ. d¡iámetros y mayor 9ue , . tres, :Ó' está'entre tres y euat' . rQ ¡f,iámetros.

_. :De las líneas P·",oporcionales. ,

)

- 31 9', , ~eot. Si en una Hnea que con otra forma tui ángulo cualquiera, se .toma. tm número cualquiera de partes iguale$, y por los puntos de di7Jisio!'l se tiran paralelas Je1l~re sí, hasta que, enCMentren á la otra, y . por estos puntos de concurso se tiran pamletas á la prime'ra: cad'el una de estas líneas q~,e~ará dividida ell -partes iguales entre sil.< . .. _

\


~48 , Esp'l~

IG:EOM'E'l'R'ÍAi

Sí en, la: AV {&g'. 65) que con la AZforma un áilgulo cualquiera V AZ, s~ toma ' ,

AB=BC=CD ' &c.: '. per los p~ntos de division .B, G, D, &c. se tiran las BF, CG; .&c. paralelas entre sí: y por los, puntos F, G, H, &c. donde estas encuentran á la AZ., se tiran las FS, GT, &c. paraleias 'á la 'primera AV:'d.igo gue las panes AF, FG, GIJ, &c. de la AZ,.serán i?<uales; y que tarnbienlo serán las de las líneas FS, 'GT, &c., y las de CG , DEI , &c. . " . Dem. .Por el' sl!lpuesto se tiene:! AB=::BC; pero BC:::FK por lados opuestos del paraJelogramo BCKF, luego AB=FK. ~ "El ángulo FKG=ABP '(§ 2,8'3):'" ... el BAF _KFG, por corn~spondien.tes entre las parale·las.A V , .FS, si'endo la seeante AZ; , luego .(261) los triángulos BAF, 'KEG ;}seran igua, les y 'darán AF=FG. ,~ .~ , Del mismo modo se demostrará qué el tl'iangulo FKG=GNH=Nl?Q_&c.; luegó AF~G - ~ GH=HQ=&c. , Abora, FK=BC por lados opuestos de paralelo~ gramo; y poda misma ra7-on KL:::CD} LM::;::IDE, &c~; pero BC=CD....,:DE=&c. por el supues,o, luego FK = KL:::;:LM -;&é.. ., ,,:-.:., ' ,J Para demost·rarlo res pecto de las:(:G; IDEI, &6'., observarémos que CK=.B F por lados 'opu;estos d.e pa~ 'ralelogratno; BF....:.KG por la igualdad .d'e los ~tríáa· gules ABF, KFG; luego CK--:-KG. ., . Ahora , , :DL=CK:y. L~=KG, 'f'odado's ,opuesto,~ de paralelog ram.o ; .pero CK:::KG ,por -lo acabado de demostrar, luego D'L=LN; Y corno' KG=NIf por.la. igualdaa de los triángulos FKG, GNH; res uha tambien que DL=LN,-NH, que era todo !.-: Q. p..D.. Coro Puesto ,q ue AB- BC=&c: y AF RG=&c: resultará q,lle.la razonque tenga AB' con' AF, es~ misma tendrá BC con FG, &c.;' luego AB:AF::BC,:FG::CD:GH:·:&c.:&c.; ', " " y multí plicando los dos térmiflOS ele la ,primera ra:-


r

~~OM~T1tíA.

~4'9

Mn por una misma cantidad, se tenar¡f' AB:AF::2AB:2AF:: gAR: 3AF: :4AB:4AF.:: nxAB:nxAF::mxAB:mxAF::&c.:&c. . / , Estó quiere decir; -que un número cualquiera n de p-,wtes . de la primera es al mismo núrriel'Q.. de partes de la segunda, como o.tro número 'cualquiera ID de parte" de.ta prime!"(J¡ es á .este misma número de partes de la segunda: é. alternada' dirá: ;1On _nú711er:o cualquíel'"Q w de pal'p.es de .la primera es á otro número cualquiera m de partes de la mismá, ·coino :eJ'nÚmBro n 'de partes dda seguítda eS"ol 'númer,o:m de. 'partes la mism'a'; de aianfÍra, que se tendrá esta: s.erié de ra" zones ~guales .;. ~ll.~j.;~' {j .!:m- '~~ ¡;~. L

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AB:AF::BC:FG::eD)GH::DE:HQ;:AG:~G::'

BD:FH::CE:GQ::AB.:AHi:&c.. :~c: ,<"".~~ .. _~; ;! 320 Teor. Si 'por .ull ,puntoJ €ualquier'q .;del ' laJí) ,d:.e un 1Iiiángul'0' 'Se\·t'ír.a~uua pm:aleld á ,la ,ba'Se ,-;;1os la- ' (los ~e; cJi-cho triáJIgulp'queilán divididos en' pht te.s pro. porcionales. ' ' ,.', :. , :', r. ..::'Espb ... Sea 'el- tri-ángilloyABC ~fig;~'66) Vdi-go que si desde un l"uilIG. cÚ'al~.'li.~fa D~de UBO dedos lados, soifa <l.'Illla línea. DE .p:araIela~á.' la basé, esta: 1ínea" dividrra .á los lados.·BA{BC en ,pal1tes ,p9r-porcjonales de modo que. se t.f\ndrá:J~AJBD::BG:BE. ~,' .1-:) ( Dem. " A.quí ¡pu.edepecurrir dos 'casos: l. ~ qu-e BA 0 ~e¡t' eoménsu¡:abIé:"cen{BD; y 2. que ~o lo --sea. En. el. primer caso,:;sea · la ,cbmu'~ :mec!ida.de BA·y ll:O la AP; Y repri$eallande por m el. nlÍmer,a de ve;ces ¡;fue ,está contenida. e!,l iBA, Y par 1'1 lasl'l ue esta. ;conteBid~ en BD, se tendrá AB=inxAlP"BD=nxAP; y formando prop0l\.eia9 y. simplificando;ppr AP, será , ' ,AH:BD::mxAP:nx:&P::m:n; .: ~: ;Pero si ,por los pu~tos de division P se tiran línea~ paralelas á la AC tal.es,como la PQ, ,el lado BC q uedará:::dividido (319) -en",m partes iguale,s>con CQ, y la línea BE ,en n, y .s,e tendrá BC=:::mxCQ; BE=nxCQ; de ,donde BC:BE::mxCQ:nxCQ::m:n; i·~. . luego' esta proporcion°y la anterior (184, 2. a) daráo AB:BD::BC:BE. . " r~ .s J.

T


~'50

~E0M1;:.TnÍ:A,;

z. O> SLBA"y BD SOlT Í1;¡comensúrables', digo que la ra'Z;011 de BA:iBD l'l,O pu'€qe'Se't mayor ni lnéner que la de BC:BE . .l. '(:<::" ' . ' ., En e'fec~o., ,n€l se puede su pmner BA:BO::BCillL, ~i€odo BL<BE). por.g:ue.en este caso .concibieBcS0'la. ' ;EA dhddida !en: llartes iguales, -tal1 peq ueña's qU'e ti· y·aJ¡ldo: pa::ralCd'a's á- AC..pordos p untos.·de ,di'v.isi-on,·.cai. ga.u.n"t¡,¡kl-estas :tal:co1n'o..de',.entore ...E y L, ~á 'causa d~h(1 @Olnell'surabiMid.ad. ,dr BA;:·éon: Bd l 'se ll€Q.d'rá ' L' () "'-'\iBA'B-d"-:BC'Bei ' \"; "';"' '. , . . . .

Ccr~~" proE'~rc,~n' ~:la~ahte.r.i~id~r¡{§·' I 84,- ¡2:~ eor.~

BD.Bd:::R>k,:.Be<; ' esultad-o .<lib.9U'td'o; · porque ,l i , una. r"azon es de mayor desigualdad, y la ouird<:, menos Twpooo,s~, puede s tl'p)rriffi q!tir€!Bl.: BD:!:Be: EL') mendo 'B .L'>,BE:, p:orqi.te~~6im.i:biefidó di-vidiJ::wa EA . eh paFt€su an 'peq uem:ás 'U9J.'F1o se;,pecesite , par.a gue il»na dev la..s.' paralelas \ta1!(roma)¡j''e1r1Í>r'adas ~-¡Ílta base Ae P!l&J..qs;,pm\t'&si.;dtb cl!ivlsiG..n<; :~i1ga·relTtfe: 'K y L', se tendrá BA:Ba::BC:Be ' ; .. ..~ ( y forrnál1rct~¡proBá~cidÍlú;:m:P:JeSl:¿olilsic\:rentes .a~ estas plOS' prQparteiUlll:es., 'S'dr$'iB'ID~Bd(~:;BiU:B(, . .'. ;3 x~su'!ta:d:re étb5:tl'ndm!. p.o¡;í.:las~lñ· Jl'a"l.on <i}llJte ~ ~ntes; li!egomoqJ'lnlj'errd(l)~LTla as1on'-'W"A<:ilf~>- Fri < .BC:\BE, s~rá BAdU:l:ffiC:B.E.;i411e: ésr.J!;¡ ~ .. ]): D~ ~.~ ",: ~ " [',,<'Car:; •'1 .~D.i'lli@.rend'o. ~s:r.a. t:p'ropto¡rci.~n , temir.émos BA+BD;,1,lB!(~e4B:E/BB ,.i1ó<DA:BD: :CE':B-E-, J ~..:c.Ua1;"C0~ruesta!.! yJ ¡¡¡;Í\tdw.tti'.aq~se con:VÍertJ.e en" _", DA-+B~B.A:CE:-j,\BE=Ee~!.13~BM:::DA:GE; .. que. NO . .mamfi.e"S~a~t qu'é.Jl o t~ld~ id?,b::- th&ngCf~o SOll propor.cioiía'le...s-:co'n"'¡':a'G'-pá"ri'e_s':.~IlY<iQies: é itrjfeúoteS" á J.a pa1'at'da.,tffie~tas 'prgpór.ci:Ofjli~l:é$"e'fltt·e.·: sÍ". , ~I!.· - : Coro 2.° De ·aqruí: ;,se;'5J§14e· tafmbie:n( que.s.i tre~ pa1'latet·a'S- i':l~:. 1JE¡,; {de~ '$&' é~t"allip'óq dos se-e,a ntú Ad; Ce, estas j tas'pMtes_en.: '1üe·:oquid'arL 1ttividwlít.::PGrI .Ir¡ .paravela. DE::., s~r4ñ pr"(jp~rdaf¡,a~~ !~t1:e ;¡íJ;,' .de: ma: .pera que~se. tendrá Ad:Ce:,AD":CE::Dd:Ee, '. _5:,1 Ó Ad:AD:Dd:: Ce:CE:Ee. ~.

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'. Porque c.on,cibiendo proloFlga'd:as las secantes..has· ta que se encuentren en B) el triángulo BAe.·l1oS


~n(!)METRíAl.

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dar~'Bd:Be::Ad:ce.'; ·.y;ml

2.5ft

BDE dal1á: Bd'IBe~:Dd:Ee,

~ot:11o ~qu~ (r8'4, l2 1a.) será Ad:Cé~Dd:Ee;~ 4.,a)'; A~~Dd:.oe~::A'd(Ce; :D-d:Ee; ,<lúe r;edl!lciel1do\ p€Jjm(¡tando';l'esul~a' .~

'y' GIS~" .11. ' ¡

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Ad;:Ce:~iAi:mCR:;Dd:Ee,< L;"

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-6'(§- t8·S} Alh4D~IDd¡.:.oe;CE:tEe. ( .~. ! .~ • 32~' i Te<9ti '8LunrrJ r¡e'cta di'lfÍcfd()~ludqs de un trián~ .g1J,l·o e1í partels> p'FóJ!<fréiollatú) ~es rp¡:¡.mZ'et.a;a'. la. base. , (cr,Espt •. lSea< tfl1.H;iáliglbllI(!) ¡BA!G5(tí!g;.~ 67h~digQj 'que Mla:DE divide~ ldsdacdro'6- -BA., , B®i~-:delJ1Iodo que l s~ "1

tténllt~ rBA:BD;:BC.iB~,,,

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sebo ,pa!¡arela .á la ba:sai ~G. ·( -r: '''' ·¡·, Dein. ,Si Jáf;D~ ¡;jQ/:¡¡S.Jparalela á ~a IAG, -seJe po; rlil:áAir..a~,. por: 61 ~.Í1t@ ~ID¡'~pa 1ínuíque ·10 sea:. Si está fuese la De, se teadria (§, :3.20)J BAd3D:I~BC;.~e,; ' 'C') ~:€b~ es ,a . prQp.0rti'l,~miY" la GleLswpuesro otieljen.loftrp prirnlú.-Gs "re'Q1pinosr· oomun,es .\, . t:esl!iJ.ta BE~Bé, ~,ue.¡es !absurd{),~ 'poif$lueriBE'es"tod@ y Be, par.re suya; dueg,@ larpar:a:J.elax <hla, b~.e tIlo }>uede1t:aer- por mas, ar.,.., riba: ,'de.!l],a: DiE~j(51~am,po'(w:"p1fe~e reael';;por.ta~parte 'in~ fllriOl: r[)!>o.r-A.ui''Si. se'gu P611€1que dit. V/¡4 eS'!f'airal'ela á ~a Ac; 'f :resu1tar-áé.BK~iIM,..:qU!le tambiea.ies ah>supdo; Juegt} si" la par.a'lela!' tiraila. por. .elq;u·nto, B ,ida 15a:5e lAG+; 'BID p;m;ede.pása'r IJILpor mas áhdi!ila:.:.¡¡¡i 'p:IDr mas 'abajo{¡rle la: D'É ~ 'estaFs-e:d. la ¡pá.rállera ~' l ¡t Q '. D':~D'. I

",1

3~~¡', :'T~of.r l~'a' ~E ~ ; ~H~ ~s~'p'ét,t1'tttkb'aT&J lh.; base . , \ ,~~ ~

f1l1mblMIí propei"{.lv'ñdl ,e.t1rlS-la 7mafl,n'ál ,ba.s-e·n iJe:- 711aner.a ~Ile se tiene BA:BD~:AO:DE. ,- ~ '~I ,'o L ," ~

•.f 'Dern.' Tirairdq;,po:& ,D:la..lJF pall-a,lelai á, BC, ten" :drém0s {320; coi,.' I'..9~ BA:B-D':':AC:CF; Il. " '}íero~ 'D;E , PIe- po].' h enHades opuestos 'citel para,Ie~ :jbgr~lR@,1 D~CiE.9'j lwego):BA:!BD: :ACd)E ; ~ que eEa 1. Q. p. D. . . - :.: ¡ _ ~, .¡ 3 Esc: '), Si p-or:wnll'punto', E , dentro ,Ut"1n ángute> "RAe (figo. 67), ufü¡,ier.'a.mos tirar.. una reC'ta1:.B'EC; lile ,modo ~qúé BE_EO;utinatríam(!)'s. gl) pa~rakla á CA, .tomaríamos DB=\t)A , ; y tirando }SEC: ,r¡:sultari'a '(3 20) BE~EC. :,1. I '1.' __ , j _ , '." a2 3 . Probl•..Di.vidir una. Mnea d;a&a"::AG-(fig. 6a)


:2.SZ ~,n las

.GÍ'lOMETRÍA;.

partés igualés que se ·quier.a, 'ff.vg. ~ff ocno'. -l} 'Res. y J%),em. •Tírese por uno ,de, sus estremos A una Hn~a c.ualq uier,a '.AQ ; to.m.ense.en 'esta ocho ~ar.. tes iguales á·un,a 'lJiJ;¡Ignitud arbitraria~,. 't al como AB~ únase el eslremo F dS! ,la octa va., di visien con el G de la l1nea propuesta; y p,0r todos los · f'l!(ntos de diyi.:S~<lll1¡ ünlase,'pía¡;aldas á la FG ,.las .cuales divid,irán á la,AG en 19s oc'ho p,al!tes iguales qU,e se desf'laba (3 '19)~ OI.! ,Ese. tl S;·;se q,'t~s!efa' '¿iv,idir la liFlea en dos (ó. ~nas) !partes qJ,te, tuv:iese1i.ll\1a: raz:on dada ,' COm0 de 3,á ~) se dividiria la líne~ AG en S .partes por el ~l1ét@,d(!) anterior; y la línea 'DE ,tirada 'p or el, .punto que. se,' - .ñ.ll:le tUl.(;) , ge I(!lS .'ll1álueros. -da:dos ~araJela: á GF', di.l0idirá: la ,AG en! la:s;,dos pa;l'tesyA,E,,EG, que seráiQ . com0:' 3:5 Q§.:32b :ccl'. 1.°). ·r:..: ,',' •. ul - -'o 324 " .1lro,bl; :iD:adas tr¡es)ín.t:as, G , K ,',L (tigr.- 6,9~i '{LCitlartes. uua w arpa..;proporeiGlIal·ge.ométl'ica. -~_11 ~ (Res. y ,~em• .' Eó.:r.mese im:álH~l1'l? olialq uiera V:.A~ ,(:on dosl lineas: il'lde6inidas ·.AV ,:.~1;; en uno de los Jades Ay · tómese~ulila p.a qe·.·AB= ¡fbm') a I :a ~-G~ ''1 ~én e1' LD..i'5glilJ:1.ac:io~ t@m.ese 0tra!'p.art~ A:C.--:::- con l~ ta;~ K~ ~n el otro Jado AZ.tólilese il ~ia · parte,A.E= á ,la; 3. ~ L, ;únase eh~sJ;r\.emQ ~Bj de la pFilOéra c.ón el E de la ter!. e-e-ra~er ímedio de la BE, y' pe,r-,el estrelle e l deda s.eguno-a. tírllse ,'la 'C F,pa'l'alela' átBE ; kcuaUllá á,eh,· 'Cóntrar:a!:otr¡;.dado" de manera_q li.~Já. 'parte AF será . ..Ia- eua,rta. prop.órli!:i\0.Llal peaida. Potq ue eL tú ángulo ACF (§ 32'01 da AB:AC::AE:4.B~ .;' . ,',, iJ sustituyen lió á estas líneas sus ~gua les, G: K:,:L:'AF. Ese. Si,iot.o se diesen las /los Une.as G, K, Y· ~ pidiese úr{a :tel·cer.a propor-eion·:.st ~geométrica ', se, emJPJea.ri~, l~ mismA ..0lJsn:uccionjsiri n:a:s d>iferenda:¡qluc tomar AE=AC=K. ,'_ I e', '325 :';Pl.'pbl. Formatr la escalallf,miversal que se, c2:"oc~, con e~ 1'!omb.r:e,; de escala de init 'partes. , l. ,.'. Res. y:. Dem. T;ómese ll:l'la': m"agnitud arbitrana¡K , ' .(fig:, 70), y ¡:epÍtª-,se diez ve~es sobre la :AB desde A hasta O; tómese toda la magnitud AO=10K, y rr' (pttase , ,nueve... v,~ées, desde O ·háCiá. la .derecha; elllos I

)


&Ei:>MIfl'RÍ:A.'

2,3'

sst,r,emps Ievá,¡;¡ténse perpendiculares, ~en las cuales se: , tomarán tambien .diez, partes ig.uales con otra magnitud arBitraria, y )se titarán líneas por los, puníos de div,ision 1, 2, J,' &c. que s,e rán paralelas é iguales> Ü 11) ,á la AB; J eh la última CE, fórlllep.se léi'S"mismas partes , que 'en la AB. Desde D á C y desde O á A, póngase 10,20, 3°,&c. en las divisiones La, 2. a &c.; únase el punto O C0n ello de ia)"dé arriba; el 10 de' la AO com el 20 'ti€. la de arriba; y así sucesiv~mente hasta unir el punto 90 de la de abajo con el e de la de arriba;, ún~se tam~ien el pún'to O con el D, Y en los pumos de divisi9f.l ~e l'a"der~cha se pondráfl, tanto arriba CQmo abajo, Hl'O, 200, 30(l), .&c.; 'c oa lo cual quedará formada la esc¡¡la. , En ella se, p0drán tomar hasta. mil partes, de es . . . ta manera; considerando que la distancia A90 ~vale diez p~rtes, la AOvaldrá 100; y como AB=IOAO, se sigúe que la AH que eS,la mayor magnitud que es pued,e tOlnar, valdrá mil partes. f Ese. l.Q Ahorá, para tomar un número cualquiera de partes menor qU'e mil, se pr0cederá del modo siguieI'lte. En ptitner lugar esta distancia se debe tomar, en la paralela' á AB' que pase por el punto que esprests, el gUaf-is.mo de las ,tmidades del núrnero propuesto; y 111 magnitud esta.rá espresada por la parte de estLl línea qu,e hay interceptada entre la línea que espresa las, \ éentenas, :y la que va desde las 4,eeenas de ,abajo á una decena 11!aS de ta de avribaJ Así, si se q;uieren tomar· . '),37 partes', se ecm.ará de ver. q.ue :es,1:a distancia _se debe_ tmmar en la línea 7F, Y estara representada p<ilf , la parte u a:~', jflt(lrceptádareatre la. línea! 200 que espresa Lis. centenas, y la que desde el 'so deJa 'de a:baj.o': que 'espre~ lél's decenas, va al 40 de la de .anibá. ' ,.:; '" ~,.. . •. ,P01'11ue NIi=l3Im+mf'+rN; ahora; Hm es igual á. 2 00, Ypor consiguiente vale 200 paFtesi la Nr=O 30, tambic;;.n por lados opuestos del paralelogramo N,"O 30, y por coasiguiente vaJe 3r¡) de est?s partes' ~ y la rm


~5:4

G.EoME'liR1Á:')

por 10 que ahora probaré m0s vale:c7 ¡le ~<il~chas p~rtes'71 luego NH=2o o-t-$;G-:\-"7=Z 37, par.tes·._ ~. ;;,: tI :,~ Para :p>robar qu~ -r7/l vale -7 ·'p(H:.t~~? SI'! obs,ervari; que el triang.lj.10. <]12.10, por. s¡;r. l¡ev¿ ~1t! par.alft.¡a, ~ Dio, da r-rn:DLO; :.otn:OD:·:7~O t.:loxo.t::7:IC¡); " . " .,' I • :,. ~ ... , Dlox7 luego rm=-'-'--~ 10

•.

...

Y cdmo la distancia •

.

DIO

f' ...

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' , ~\

,

la suponemos· compue3:.ta,.ae,

"'

<

toxi " ~

diez partes, resulta que ,r m=--='7. 10 ~

Ese. 2,0 Es 11'lU)'J im.p.o rtante ~hc~~ocimiento q~ la escala, .pues .es l\:? ,prÍtner<:? qu.e..s~.;l;¡a,de hacer' Fa-.,r a aelinear todb plano, y es la €J.u~ en los rnis [ill!!>'~ planos y mapas sil1ve para, cpflocer la· distancia de cl.os puntos. De la

semejan'i.~

de las ;!ig.uras. ~

,

• "1

.,

I

r' 326' Se llarnaill figuras semejfJn~e¡,-, I¡!.s que t:ien~li SÜ~ ~ngul €ls ig uaLeq'"s us la,dos ~{~pelt(Ú0nales, y. d~

semeJantes, -aquellas a que falta. .algllL!a de estas d05, circunstancias, De m0do que las dés-6gu,ras ABCPE,

a~ede (fig. 71) serán seulejantes ,- siempre que su.s án-

gulos sealil A=a., B-:-b, C=e, &c", S :~-siemas §eJen. ga A.B:ab::BC;b.c.:,:CD:ed;:&e.:&c. . :.• ../'~ , 32éJ ' Teor. Tod.os,. los. 'E0Jigovos. reguláres (1? '!in

mísmfJ número' dec l.ad.os son

• Dem.

semejantes. ~.

'.

~,~.:

Porq ue ..siend. o .en:.. ambos uno mi.,sj.llo el nÚ: , . ~

~e¡;o n de' iado~", ia fórmula ;(§

3

It/C;;. ~.~)~n_

2)~

. . ! . . " . . ' ,..,," 1'. n , dé! rá un l!lismo ~·alor. para oada~ á~gulo; luegp 10.5 .

.

ángulos del uno serán iguales á los del 0t:rO i; y , ú§!,mo en cada uno han ,de ·ser iguá~l€s · 16s· lª-do§ . '~ntre sí.., resulta que la razoi;l que uno ·de ,ellos ' ~eng.a_€~g otro, esa será la"q ue tengan 0Jres des cL'l~1esqiQ.¡era~ Luego .serán se}nejantes. L! Q..D. D',,,,._ ~.' : .' f


2'» :

CEOMETRí;A~,

~ 3 28

Teor. Si por un plmto cualquiera ,pellado eje un triángulo se tira una paralela á .uno . 'de' los . otros' lados, se orijinará un tri4ngulo que será semejante al

primitivo. , .. ~~;~, ".' . <, Espl. Si por el punto, b' delr lad~ AB (fig•. 72), s6 tira la bIC' paralela á BG, -el triángulo Abl el será semejante al ABC. ' , J)em. , Ambos ~riángu:lo.s tiene comun el ángulo en A; el .ángulo en b' =, al en B por correspondientes; el ,en e' = al en C, por la misma razon; luego son equiángulos. Ahora, el triángulo ABG nos da (§ 320 Y 322) AB:Ab~::AC:Ae/::BC:b'd. Luego estos dos triángulos tienen los itngulos iguales, y proporcionales los lados; luego son se-" mejantes. L.Q. D. D. . 329 'reor. Dos tviángulos son semejgntes, cuan-

do 'tienen sus tres lados proporcionales. Espl. Sean los dos triángulos ABC, abe, en que: se su pone AB..=ab::.AC:ae·: :BC:be; digo 'f,ue .1 05 ángulos serán a=A, b=B, e=C, y por lo ~nismo los triángulos serán semejantes. ' , ComPro Tóa::tese en el'lado AB una parte Ab1r-ab, y en AC una parte Ael=ae, y únase el punto b' con el el.. . Dem. Par el supu.esto tenemos .AB:ab::AC:ae; luego su's thuyefldo 'en .,e~ de ,ab .y ae ~S'lrs' : iguales I AH, Ac' , será AB:Abl.:,:AC:Ae' ; lu.ego (32 I) la b' el será 'pa:r·alela ,á la base ; 'y pl1oporCÍenal (322) á la misma base; luego AB;Ab'::B.c:'ble';~ y como ab=l;\bl , esta , proporcion.y la del su puesto tienen los tres 'primeros términos iguales; luego el ctiarto se~á. igual en . ambas, y se tendrá" b',é'=be; lu.ege 10Slriángulos Ab'e',. abc son iguales (2'591; y Como Ab'e' es semejant~ (328) il.A~G, .rgsuha que igual' ~be tambiénse·r á semejante á ABe, li],ue era L. Q~ D.:O. ; . t :.:, , ,- .• , 330 TeQr. Dos> t't1iángulos son semejantes euanaa tienen un .ángul',() igual, -formado pOr tdQiS lados pro-

su

porciona~eso'

,.'

\, ,

(


~EOMETRíA.

256 Espl~ .

·Sean ABe, ab-e dos triángulos, en q lje' se su pone . .A=a, y AB~ab:: AC: (le; digo que son se~ mejantes. \ : Dem. · Hecha la construccion anterior resulta que si en la preporcion del' supuesta sustituimos en ve:4 de ab, ae, sus iguales Ab' y Ae', se tendrá' . AB:4b'::AC:Ac";

:

luego la b'e' divide en partes proporcionales los la-, dos del triángulo ABe, y por, lo mismo será par-alela á la base; luego (328) el triángulo -A.blc' es s'e~ejame al ABC; y como abe es igual (260) con Ab'el, 'resultít que abe será .semejante á ABe::, que es L. Q. D. D., 331 Teor. Dos trzángulos son semejantes 'euandl} tienen sus tres ángulosrespeetiva.mente iguates. Espl. Sean dos triángulos. ABC, abe, en que se ' suponeA:~a, B=b y C~e.; digo que son semejantes. Constr. T'úmese en AB una parte Ab' igua'l con,Qb, Y- p.or bl tírese la 171 e' paralela á BC. ' Dem. El ángulo bl=B po~ correspondientes; y

como B=b pbr el supuesto, sed b'=b; luego hilS dos tri'á,ngu)es Ab'e', abe son igual~s (261,); pero Ab'c' , es semejante con ABC, luego abe tambien lo será, que es)o!. Q..,D. D~ , _ Cor. i. o Cuando dos ángl~los de un triángulo S01l iguales á dos de otro, los tl"iángulos son semejantes;

por,q ue enes,te caso el tercer ángulo es igua-l al tercero. 'Coro 2. 0 Dos triM!g1llos rectángulos son semejantes, siempre que ademas del ángulo recto tenga1l otro igual ó qomun. , ' , ¡ Gor. 3,0 Dos ¡riángulos ABe, DEF (fig. 73), SO" se1nejantes ,cuando tienen slfs - lados paralelos; porquf"

si AB e,s paralelo á DE y' BC á ~F, el ángulo B=E (§ 288,); Y ademas por ser AC paralelo á. DE será igualme¡{te el ,ángulo' C=F y A=D. _ Coro 4,.0 Dos triángulos DEF, ABe (fig. 74), son ·sémejalltes cuando tienen sus lados resp.eeti:pament~ pel~pendieulal'es;

porq uc .dan de á u~o de ellQ§ Ull cuarro de conversion (lo que , no altera el trián¡uló) resultarian sus ladós paralef os á. los d.el otro. ' /


,

J

,;,

C:SQW~Il;¡rA.

,

~

51

~o·Ji:.$,c.'t~':'?-'~ (¡ ngS, t~iárgut.os neetánguEos..'>sonisemeja·nrt

íes cuando tie-nen.,p:·opo¡·cionales ,un e"teto" 'yt-ia; 'J -, ,is :;,\.-., ,

~¡,~pG'"

!~nys,(J, .fl5- GnLJ':! I

,~p::, e,~~c!~.,":si. supOlt~~~s;t.€ctá¡:¡gulos eFl:~ yen b (lig. q:2~J~~ Vi ,alfg uIos AB.G:, a/Pe, y que AH: :A,CE: :ab: ae" , ~er:á:- §~~~j.apt€§¡ p0rq I;H~ íto[1ila'~ldo Ab'=-:-..ab :x Ae!=ae}. 1,!,pJ¡ o,pgr€iGl-k§~ eou V <tl)ti ¡¡á en AiB:AC: :AIY:Ji}> c';Juego: ~i"llQ;~~s ~I ,Pl;l¡JtO' b' ¡q,0~.'~~'J:p0r medio , 'de::la: bf~')¡ esta s~rá ,C3 Z 1)' paralela á BC; y corno el ángul<i ,B: es, r~o~~'~Ii!.Q);.l# s,¡,¡plJest<il! ~ t¡¡;:.q¡pi,en lq setá-:'(z8'4l:: 3.°) . e( b'¡f¡JJle,go¡;('.l7.3 '¡¡¿Of{ ~, 'lJ 'los 1úáñg,uloS J rAb' e',;. ab./:, ~erá{l 'lg!J;al~§· ;. pero. A.b'&~.~s(§~Jn~jjl'L1te. (3,~,8\) ¡a,¡' !ABe;, ffiegp !~iTl'piefl'4ose:rá labc ~;f q~'e er5l L.) ~Q. 'iÜd D;-;..; o,"'" pII-i'l'_~ ~ ~á pl'a¡;¡'GÍs.iei, on slt:xetím.ea a un '-e on :fIlaSJ LYt$e ral.. Vl> .( /"'f)· lidad, el} ~s-tSl,ftí.¡r!1'l-ª_),', i:l(\'J ¡"l" e" .", " ( lAg ..r~~4113iiil.~s , S;Ol1 ml~jam~s Gua,nf!o s.tienerr aO$ lados, I p.rtopor;cÚ>:rfaIH ~ 'igtlia'i. ·el á:nguJo , ,Q:pués.to ~at m.aY91' r,de..:fil~r¡.s • • \, . "1 aó' 5h "1' CJa,~j ~. , E.;>p).li. :!" S~an 10.5 aos ·tltíáng,ulol? &BC ,; . allo> (fig': 7~)' J.

1

t)'

g.

, ~n q!1~1:_~_\supon~J· AHifl_b.N·4C:ac, -A!BC±:aba~; sa ....

biei1!W~a.p.~fts.,\.q.u~ eJ ¡la;up "l./}.F- es ,may¡er ,que.l ¡6\:Bi~ v9X ~Jd~~os,tr:-aI¡. q;u~,sdn¿S.~Q1lej:antes, ~tr:!;l; ~ j-Ie \) , A~m. ':~ ¡;ó~ese. ea ~1}a,p.allt,e All::::ab y ernAC,

AB,. b,J

por, !!led'10.' \de l a:' ~,~c', i ~~\~~9H~~wos q \l~ $.~§~.t1.\Y'l~4(i) \en .la. prope reí'on del supte.s to ~n vez de ab y ac, sus v¡llf r,e5' Ab', A:c/ , .. s~~ .,.A~:~b(~AC:A:.íJ.? yuSg:o '{ la b' el di.~i.Qe en pa r-

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-ABe,

y' p~0:~s r~' luismo se,r.cr (3~i:) ~a»alela ,á l(l¡ i base~; Juego

' tl¡@":i4~·gl.!~~ ,: 1\blc';' eS~tP~,ant,e (328)( ál';:.ABG:~ y gp¡n~!l!' tf¡!¡Sflg;ulo a~c. ~~ Igual ~27 3 Cm>~4 f?)

eon el.

a,b;¡:~ l Pgf,Jt§lile!1. -ab;:;::ikb.'"a.< Ac~\..po¡; ,ªonst~'cciGn l,~q~./J!c/I1, ,:'pprql:}e, ,J,e"Sejr da: b'C(~ :}i>ar~ale.ta ,", á la ' b.!l'$~ ,~C¡; :sf; 'deduGe ' ql'l'e ~~l ~.9gu/o.Ab(c{ : ABC=abe

~~{:elts~líJ!¡:~~t<?)." _re ~ulli~.1ue el tr~áfJIgá10 abe taLn- ~,

blMt••se.r:;a~ §,~meJa~te; ~.btn.allg·ulo ;\:BC~, ¡.o:; . . . . .~~se, ~Z¡~l ':po$' ffi'4llgt¡!Jmsol) sem'ejañP.e's Gllámdo .tie'!I,~nlo.~cJi.q4o.s' 1?ropaT¡q.i/Jllale:$ e ígu,!l eli'J1'1l~ulo opuesto ' flJ ,~f!át0.J1!~ngfi de, lqsl dos Jlifd.Q! y qtie ~eam "de ,un" fllis, 17 T . r. l'


1;'58

.

G,EO¡y.rE'llRíA'

ma e..s,pecie ,tos Jngulos> oyuest.os ál ~ l'dl!O mOyor·lle.!.lo: 03._ r • ,!-ltan. :1 U1:JS qUBJse'l ',

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7. • 't\

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t) .~" " "l, •• ..."o." , ... ~\.;sH~

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.,." ~ ... '

.14.,.1 ~

Sean ABC, abe dos triá~gulos ~n q'u.e· se ti eme AG::u't::AfB:ab y eh a'FJ'gU:l!<ll e,n ~ 'itl;)ewc , y en q~Ue ¡ s.e $3!ee adem,as 'q ue AB....c AC ;iy ~queíl0~;::ángú • . los::eu.lB y Ib .,- son .¿'e , ul¡;¡'a!Jmisrna .espe(tht(¡ I2~·sf0"' es ', ~ ambos ,'a'g u'dos, 'Ó. a'm.b€1s .teCltos " Ó' ·an.'lb'0$-;.e~tusOS; dige qúe... os ' dos l¡;iárlgu1IO's) 'A,Bc.r, 1 Jbe ?'seFl I·se~ '- ' ! ~ ;, ... ';):,.. meJant;~'5.o. J • <.l J. J;L.. .1 ¡\.1 ,.,,?, .... De.1P:'" Tómese .en¡~~ l ~l'l'3,::-pa:r·te A,l:J..(~a:1J~ 'y en AG. ¡.¡!li.pa!."te At'=at y JtÍ.I:ése la 1/Yc.!;, c~~F'l6 ~ual -la '1?spt.

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luegó. ~a( b' c'~ser'á (3'2 p)-pa,r aleia á·,ta 'báse 'B® , ltfego ~r áIig.u:!O'; B;""b5 yíel ¡c'~ Q:......6FJ111~~~~.~(128') €Ptrián~ gldo Ab' e' es semejainte con. el AJi3C';',1p'efJ::'é CP AMé{ es: 'igu'al '; (2g\3r'€@il\ ')~~? ;,c()n,?eÍ' ;'dbe'" 'p1t1.iS ?tiieneh, do~ lad(!)s~ ~g'hl\ales" á';sape,J.l Abf~ :, Ac~"';"'aé '~ (~élr. 'ªl):gtllo e opuesto al 'meiwr de ló:S lados , ab, ;<fgll'alJl'a l c( QPu~o)a¡í rmfÍnol1\ el.'1fí e:l rA~c~D y ' lósr' fi:f¡rgule's1~1 b y b' s0in:-:d:éAllila misrna¡'..es'p~~i.é lWi'l'· §ár<[~e r%eFqüe ·lp..JS.(!)m!qs '¡el! "b"'Y B...q.uexfkse t igaalÜ §bri.l5( f ' l~e.~op el óbe será semejanteJ Mlil!:1l!BQl-fq'á'e éta:1-!)d r~l2Ilr ]P.'1 , , : ESC1::J l.\! ::-.1)os '1if itíMu/.ós- ho;¡.¡. > s-e-lllejfllites ·lcutJ·jido tienen>uw lángulo ig'uQJb9~ ,f-bl'Gfo'eif¡ñáte:s ';'t~s '::I/á¡[;ó'§ ;ifo'é fprmalJ ~p.tY:a. ángwt'I9....?,-"P'li.¡;,e~,éle:lil{t Tm~it>.re'ipec~~-eri . al nbos 'tr-íáng'utos; · G. 11~ V \JO :r~. ";i~ 11~ ('!~~!JqlJ~ bb .~ t,· t 'I'· .-r.l, ".\. ..,rf, Espk , ~ean... CA:B,J.ynij;!~!JE, (fPg.: 76·* i .abs 1.~n~a. gulas, ,ehJIy-sf.q.ue \se ,t'e'l!l 'g-a <ell á-t\gtl.lo rA>B~~EiFfy propor¡::iarHiles los latil..@~ (crÜe ) f!ó,r.l?a-ñllids. rangifl~s ACB., DFE.,( de lEodo:'<t'üe~ 't'en:ga. 'B6:;,l\!at'$f:¡':19F~ .v.oy á dém9strar, 'que, (20~("f.ah'ptH!O Se ,~0p ci lí.u'&I1!es ·e.spr.es.a·G\os. -:¡fugulp~ ACB , ('DiF.E' sok 'a;mb'lfsq l1g~db'S . ó ambllls 00tl1S0S, lds ?t'riáñtu~0§ ' eHá ~'~eme-i~fl\tes: -:: Dem. S.i:por le's pu.mhs~Bl-y"'F s·@:tRta/:l:;f<f5 ¡-e'é1 tas EG,. R6J:§IUe.: fo'.rmen, l~¡l JJáhgulós 'F¡El~'¡;yl'EF~ igua'les con KBC y BCA ,: te J'M.1',ém0;gl :Tq\!leJ~~.lJ ztriífH.i ' ,, ¡n"E'F ¡ r gu 1o ABe ",s.ena semeJa.nt~~a" )"l';6" ' " ,COl'. 1.\lO} ,. rán BCt€Al:;: RF.:FG- ·; y ~co rn o ,. es~ar~pI'Qper;N:otí~'Y:'!á' del s u.pursto_rtienen.la . 'pti1lfera~ (-a~ón ~e'rn:u:ni,J¡ :'$erYá' l

.

'

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.

,re.aa·


~;9

t}EOMETRÜ,l

EF:FG:':EF::DF', ' ti ue da FG"-DJJ 'f;u'é gó:lós trián, g,ellos ,EGF\ y .EDF, tienen el ládo FG..:...FD, el' bdG BF comun ,"'y }'Os ángulo" FEG.:.:.,;'A,.:BC FED, . y los otroS án'g rrfó'li, EFD y EFG de ,la m'isma especie, pb~, ser1o EF:Q tída 'misma que !ACB pbt 'el supuesto, y EFlG ~CB poc'col1strucciOr.i;', ¡'uegQ dichos' trián" gu'los seÚrr ~(2JH 'coc, '61°) íglu.ltles', peir conSÍ'guiente eh ál1gul0 EF G ó· ACB ,igu a:l DPE; Y por lo mislÍló , ~l!0'f'.; t.l!~JQ...s t>r.iámgulos ABC' Y' DEF ,~drl seUJejante~;

=

que era L. Q. D. D. ", , ' ' ,\ I • \ ; E{c" 4,;9 ~ ,JJos\H'I'iángulos " S9ñ semejantes , outlindo ttenefl, un L ángulo r-gt ál, y lbs laJo~ l opU!e:5to> á cbieha ángubo son pr~Qréi;(j.f¡fat,es ~on tasopef'pendieular:es que

se ',bes tiréll-.d,ésdt d'iéUOS

ángúlos. :,' ;1;Espb. , 8Mn ~BG " ?Jbe tf.ig;, 7"5, *~ , dos triátlg1!t1QS , en¡ ~ue el ángulQ: 'BAC=bad ¡ -y/ 'q U'e'·¡¡demas 2e tenga

,J

AlD:BC::a,cUé ,"Iéy lÍ. aemóStÍ'ar que diohos rriám" , g'lillqs SOI'l lsernejaates. . . , J ' . ' : ,!) t' J5)eni ••' Sí:l:o's cl:o~'~ptirner(\js" .t~rmi'ñbS dé la pro!' pGJtG~0'ci'(i.eb $tipU~~to " los mUlltiplioam1il0S por ~.B,. .Y los ~0~.roS¡ do'!:' poi' ab.,. se nos teJ!1>vefuit,á! 'en " I AI!>·x AB:BC>~ ¡(B~:i(I:l.x ab:bck.a'b. /, E<ii fá ' ptoporcion e12mpuéstá ;l,-la podté'mos' descom pÓEléif ~I 90) ' en las dóst prop'orci'ónd "simples si'g'l!iie:ntes AD:AB::ad:ab y\.,NBI~BC:·:ab:,bg J . ':,:;,'''

.

';' r.::

1

La primera ilOif dice que los i:r,íáng1utos A~D,ábd iec't~n¡gul'o$ -re l1' D)' ,d son sernejames ,( esc: l. ':);, 10 que d'a' el 'áfiguld ~DBA=dbq, ó CBA=eba y , comó , POV '¡ el supuesto (el. ángulo 'BAC==bClo "resulta ', eó vilitij~ de lo ,demostrado (cor. 1. 0)i ,g ue los triángu, lÍ'ls . ~BC ~ abe son -'sém;;¡jantes que era 'L , Q. D. D. ' ! Ese., 5. Q , Sie~ré que Se haya.n ,de sacar pf0pordones de t-Fiangu~o's serr¡ejal'ltes- se cQllÍ:pararán lo~ lad"o'sl del1,lno 'con los, homótogos del otro; est0 es , los qtu~ estén ' opuestos, á ángulos~ ilg,uales , él sea~ pualelID~ ,6 perpendiculaFes. ','( ,. + ., - ' ~ ' -:~ 3S'2 :Si ,(lmté el ángulo feetd J:le un "trián.i. gulo ,'eetár~gulo ,se baja una p~rpendicutar á la hipo.!. ténUfa ;.se .i>et;ificarán oei. co'sas: La, el triángulo'que...,

r:t:eot.. .

~~¡~~ t:E{~~


!.a60

GEOM·ETRfA.

G(Sra div'itlido' e!l 'otros c.Jos semejantes al ·fotal , y se.. ,mejante$, entre· s~:· '2.~, la perpendicular-bajada será media proporciona~ entre los dos segmentos de la hipotenusa ~ 3.", cada cafeto será medio proporcional entre la hipot,enusg y el segmento c~r-respondiente: 4. a, d cuadrado Jle Ja hipoténusa será ig",at á la suma de los cuadrados de los cMetos: S•a, los cuadrados de los catetos .se.rán en~re sí como' los segtn'entos corr.espondienfes ; y. 6.", ' li,J perpendic.ylar sertÍc cuarta proporciona' á la hipotenusa y á 'los cate!os. " .' . " Espl. Si cl:esde el .á ngulo , r~~:.to· A.Jfig, '75) del triáQgJ.llo r,~táng.uló ABC, s.e b§ja: utJa perpendi. , ~ ular AD á la hipotenusa Be, ~igpJ q úe se verificarán seis cosa's : La, 10s dos triángulos ADa; ,ADC s.el'áll. .semejantes al; total . BAe, y sem~j antes . entre sí, 2. a , ~a perpendiel,llar AD será . 1J1~dia proporc.ionill en~re los dos ~~gm~t~!os BP y DC qe la hipotenu. sa Be; 3.a., cada cateto AB ó)\.Cserá medio pre-, pro<¡:icmal enrre h!. hipotenusa Be Y- el .segment0. lID,. 9 De q·u'e á ,cada uno ~oFresponde; 4.a., el cuadrado Bez de la hi'P0te.l'l\lsa serª- igltal á'la suma BA2 o+CA2' sie 105 cuadraqos de los cat-etos; 5•a, Los cuadr;¡tqos BAz, CAZ de 105 catetos serán ~ntre sí como los segIp.entos correspondieates Bl) y DG; Y 6. a , la DA $erá ,cuarta propordon-af á la hipotenusa Be y á lq~ :catetos CA, AB. ' , l'. D em. La Por ~en~r 105 triángúlos .BAG; y iBAD 1.\.n ángulo comun en( B,. y ad,emas 'el.primcl1o- una r.ecto A p.0r el su puesto, y el segUNdo el l' ·t¡¡.mbien r~cto, dichQS triángulos serán semejantes (33 1 -COl'. 2.°). Por ' tener ' lo~ triálllgu10S BAC 'y ·DAC C0muu el ángulo en y ade.mas calla. uno uno .rect0 , el primero en A , Y él s.egundo ~n m , tambien.s~rán se, mejantes. -Ahora, de ser semejaNtes BAC y BAcD;,s~ sigllle (ijue ,el, ángulo en C=n; luego les . triángulo$ BAD y D.AC , ademas-dd ángl:llo recto r y m, ,denell otro.-ángulo igual~; luego (331 coro 2.~) SO~ semejantes.: L. l . o· Q. D. D. ' ! -' 2." Por se!; ~os triá,ngulos J~AD y DAQ ,se.f:lle1

c.,


~EOM~T·tlfA.

26t

jan tes , uarál1l (§ Ü 1 esc. 25') BD:AD::DA:DC, que 'es L. 2.° Q. D. D. " 3.a Los triángulos semejantes BAC y BAD da' rán (331 'essc. 2. Q ) BC:BA::BA:BD (m). 'Los BAC, DAC, dan BC:AC::AC:DC (n), J que junta cen la (m) manifiesta L. 3Q Q, D. D. 4. a Las proporei0nes (m) y (n)'?an BAz=BCxBD (p), ACz ~ BCxCD (q); y s'umando, resrlviend,o ,en fact0res y reduciendo, será BAz+BC t BCxBD+BCxCD-BCx(BD+CD} BCxBC=BC' Ó BCz=:ABs+ACz, ,que esL. 4. 0 Q. D. D. P &i eon las dos ecuaciones (p) y (q) formames proporci'on , y simplificam0s por BC, Ser á BA2:Acz::BCxBD:BCxCD::BD:CD, que es Lo 5. 0 Q. D. D. "6. a L0S triámg.ulos BAC, BAD, dan ,BC:CA::BA:AD, que es L. 6. Q Q. D. D . . ·Cor. Una· vez que BC2~BAz-+:CAz, si estraemos la raiz cuadrada de ambo's miembr9s será , BC=VBA?+CAz, , , luego en con9ciendo los do~ 'caFetos se conoéerá la " hipote_nusa" est.rayefldo la t:aiz. c'uad¡'ada 'de La stf1~a ' de los cuadra.dos _de ' los 'catetos. Y 'si en la misma ecuacion se despeja un cate~o, tal cqmo CA"se tendr~

=

.

..

'

,

c

...,

,f,

• •

CAz=BCz--=-BA~T que

da CA=VBCZ-BA~.; la primera quiepe deGÍr ,,<;¡u'e el cuadrado de un cateto

!s igu.11 al c~wcl:rqrl~ de la, hip?tent¡~a_ ménos el cUa'draao ,IJéi ot·ro , oae¡}M· ~:y 'la segunda., que en conociendo la hipotenusa y un Gateto ; se éonocerá el otro catetó éStraye:niJo 'la Ylfiz "cuadrada de lo diferencia de los tuadrad'o's de:' la: ñ:ipotenusrz, y det otro cateto. ' ~ . 333 Teor. 'S i desae -uWpunto cualquiera lA de la 'Ci:cunfer:enci'á (lig. 76) se b.aja un~ pell'endicular at íl:ámetro B0',. se vef'ijiear-án', cuatro cosas:, l.a, la per" p~ I.clicu4m- 11.D' 'Será média ptoporcional entre los dos 'seg¡ment.os 8D,' OC Jel diámetro: 2. a , si desde los es--:trema; 'deL' diú'l1fett:o se, tiran la'S cuerdas BA., CA á ,cJ,ic.M' punto -as la , c.i'rcWl1fe~enc'itJ ,: estas serán medias

, ' v;


26z

CiEOMET.Ríki.

~ropót'Gi:crnaves en1;re:lit díá11~etro y el 'S~g.mef1to f0t:~·ep. poridiente: 3. a losl cuadrados Bf.~, C4 z , d~ dieh~i cu?rdas' :l'er-áll entre; si CQI]lO Itos segment,os ' correspondientes: y 4. a, el .ct¡'a.dra~o BC? de" diámetro es-' igua} á la suma de 10$ {:uadrildlO$ , BIJ.Z, C4.~ dI; las cuerdas, que a~sae.'$l~s e¡tremos se. tiren ·4 ~ri PU1¡'tP c/Jalquierq il de ka cirwl1fersnei·CJ. . '. . f Dem. ,:- Es la ¡pisllla que la del ca§,~ · anterior sólo con susnit~ir las vO~f'!s' d¿iá17Jetfo á la hipoten~sa ; cuer:

da, á C{fteto;

plf)l~O

de la circunfenmcia á pértice

d~

. ángulo r€!fto ; pues/el triángulo BAC es J re~tál1gulo ~lJA

(§. 304 cór. '3.°). .) COl'. I. \> Upa vep <i Ue BA z:::BCxB.Q, .;yl!A

. es

una cue ll~a cualquiera" s~ sigue que· el .cúad,rado d~ una cuerda es siempre igual al diámetra ó duplo det radio multipticad,o por ~t Ifegm~lItO ' ~ílfrespo1)diente á, dicha cuer.da. . .' -. ' , "

• 901"•. ~;. o Luego si:;e ·tienen .dos ~lle.rdas ~ tiradas cada una' de~de ~!J. ' cLiámetr<i¡,el cuadrad~ de ,c,a aa ,una sel'.á ~g~al al ,diámetro muhiplicaQ,@ .]wr s~gmento qJle le corre~ponqa i y fonnando 'p~toporc¡Qn C@I]. las dos' eC\.j.adones '1 Se 'terrdr4de:;pues de s implificar la !Íltima ra;z.on, .q u'e, general tos cuad.'1"ruJo$ de las

eL

en

c;uerd"$ ~ Qn ¡;Omo ' tos scgl1i-efltpS qu~ éaf.!.Úiñ en~.t díá:" metro qU? pasa )or tlhó'¡;J~"iu.i' éstl,errM' ; 'tes perpell!. dicutar~s bajadas 'desde .tq¡ etros., estreJ11W; 'y 1M ·éú"e,rdas -ser4n ~ntre # (~9Q7 'COl1}Q t?l/ r:a.j~ ..~:r;,UC1d.r'Hkas d.g los seg.me.ntos,. . . . . . .', ~,\,~t¡".~. ~ •. ~. 334 pr0pl, En~r;eAoj)11J~a¡ .~á4Ai;lf· ? L(fi'g,''P6) hallar U1?" 111e..djp. p'rgporci.o,nat~ ,) :"t ( r'" c. ~,) ;',1 LL ": Res. '~r Dem. póngfl~.e Itl!!a. ¡Í,~oJ1l~iriuaGie>n'!de' etra de n¡.'odq .que ED=K ,~ ;QO~ lY; ·¡;obte.to.d a ia: BC C:O::-

roo _diam~~,r:o" de:;(;r~~it·s < lill s@rpidr~nf(a'en~na :SAC; <:~ eLp LIN0 . 1> donge .,e,Jl.Jl!e t0R ,_ leyftl7!:es~ la; per.penr dlcular DA. hasta. ~n~ºntga.~ fÍ. la cjr~urífet:el!lci:a..,; ;Ja cual .ser.á .la: media ',~~.epon;i'ol1ª1 ·p.~~icra:~(3'¡¡3 1.i1'. '!.-).. , t -". ~ 3 S T~r . En tQ(lq ~1!'Íál1guto obtil-síf1Jgul,f> ,\ eL¡;~a::­ arado ,~e.k 111ayo.;: .JfuiQ \ e~ may.or que'", /;rf sum.a de. los · cuatf¿"ad:o. s, ¡Je ~os ot!f)S '{a49S'.iY- ~n !Éo(jr;>.. t.t1jlÍ1lg-úl.o

Aº"


Q...;¡;;OM:&T-RÍ;A~

!363

(lcMt~!lguEéb ~el Gu~ilrrt.do de?~}lLaQ . mayor.. es"l'l11~npr; que d.~ los cuadrado,' t;l¡dQs,: otr.ós dos. ladoo: -.• ~ Espt~ ·l:~.€a pr:.ilAero .e~ triángulo! obtus<ÍngllJo ABe

la suma l

(~g. ''17); .(;Ugp~J qtme el cl!-adrad,o de. A.~ es mayor' que la sama de,lo~ cuadragos--.de AC y ,CB .,. ó .que ,.:.; J;\.13?- > as::,2:+:CBz'; y 'si el tri¡Í,ngu,l o ABe ,(fig..\ 7,8) es. acutángulo, 'se ten.d,rá jAJ3~ : -S:;¡ AC~+.CB2.... _ e Del,n. 'J •.? Bajand0 la_~erlpendkl.!lla;¡;. BD éfig" n)';1 eL:!Fiá.ngulctAIDB¡ se.rá reGtáríg,uJ.o ,. 'jI €133Z, 4.3.) daliá AB2=AD2+BDz (0'); ____ . ;: ~~ro~ ADz.:::(l\,C-+¡CD)z:::;Acz-l:<zACxCD4Cl)2 j . y por ser rectángul'<;> el triáfl:guló\CBD .ser.á.(§ 332' cor.. ~ ~P~=B([::Z.....,CD2; Jlueg.o . popJ.eBdG en '~vez ,d:e , e.stos. euadrad0s. S,I;lS v-a.-IQres en JéIt.~e~t+;aci.0n "(n)~ s:e ,cony;er..... tirá en AB2_Acz+zACxCD+G;D2+BC~:-::-CD2= AC2+BC2.+~AGx CD! ;·· lú~go.'~d 'rcúadrado de AB, que es' iguat .á la · sum¡¡. l..cle. ,.105 •cuadrados qe lo~ otros .dos la.do~ , .J~ªs la cantidad zACx~D., e.scederá· á .dieha ':sUliJ:)a ·en !esta caiitidatl1 lúego se¡;á ,m ayor •. T. o ('} D 1'\ ' . . \ " , ~. il~,. ~.' ..(.tI (J "- _' .. ' ...'" ~ '\ ' 1 ~~ ) 2. o Bajan~o lá pe.rpendicu.l~r BD (fig~ .g8): el: t6álrguJo're<¡tiÍ~glllQ ABD .dará.AB~AD2+B.L)2 (p); Eer'i) AI¡)~s:;(4:G-;-CD)2=AC~-2ACxCD+9D2; . y. el BDC dará BD2-'7;gC2_CD~; y ,s,us.tituyend? , es": tos iValo'res e.d, {p) result-a:r,..á, . . '1) . '~!''--' o( I

A:B2=ACf~2AC.>.<CD+CD2+B<;:'~-.CD~= ::~ ¡,

AC2+BC2~2ACxCD; '[uego 'lJ.I cll'adt~do de JAD;

que es iguaol á la s.uma d(f los cuadrados de los. otros' dos ladas';, ~é1?0S la camid~d .24C~GD, . le :faltaná dicha caJnt~dad! 'para ser:.igQallS6r.r.'e.~I¡¡.; 1uego, 's erá 11 · " ' 0 ,nI' D n >"\ \ " , .. Ipenor:. ·~I~.l.a ~'C:.. " ~ ;u . , t' .i.; :' \ ;j,f' _'1" ....

• Ese. l.? ~ P..a r.ard fll a r.,en' ~elia.dol'lés la:.. relacion de }0S lados. de los l1!riángulos-,::y; para la esp@dici0n, de les éáleulos . :se::S.~alaFl en general los ángulos j3@1l las letEas. mayús,cula-s :A ;.:B ; .C, ' que se 'su.pJm,ep' . en Stl's ~vé.r.tic.es·~ y por a.i b, e los l~aos'·SJpll'estos . res,50 pecti va mente á dielws ,ángu1les, como se y:'e (.figs~ '7-'{ y q,8) ; con 'le cuaUa,s do.s ecuaci,¡;{nes an1;erior'e~ 'reunidas el'l~una.) darán c~--:bZ~a2±2bxCD; que quier.e


~t4 GlB~ETRr'AL;1 , ) d,eér;<1u¡e:.!!n~ fo.do. tr'i'áng~lf) oblicuangJl~ ,e~ -cútidrliá3 del tüaO\,moyor ~6 de'i.un lade', es igiictt ~á l'a' slfma dJ' to . t;utlarados de los' otr.o'S ,dos' , \ más ó met¡ús ''el .cluptl) det-t-sdffSobre que sé ~ira M perpelídJi'éular l / 1JíulúpU.., cado por el ségmento ~ interceptC;ldo" p'ot' iti plirpendfcu{al( hn,sfa el ángúlo· !Opaestb id lado qtle ~e c'Onsídera. E~c. 2,0 Si el "se-gmento' en fuese nulo, se ten.! qlria' c~---:-bz-¡"t;I~, y el> t¡:i'~r1gulo seria rectángulil, pues la peipe¡:idicul~r caeria,'por el mismo lado BÚ", Ó s@·' l;,ia él mismo. f ' . 316 'Ie'or, Si- desde dos vértices Cuq.les'quiera de / un triángulo se tiran dos' tíneas al pmítl medio de su t:espectfvo lado opuesto, dichaS .Hneaf se e·noontl·arán á Jas .do"s terceras partes a,e .distanCia 4-' fú vértice respectivo. + " E~rl.) Sea,A:BC (fig. 79) un~ ~r,ilmgulo cualquiera; ru.go ·que si desde ,d0s 'altgulos cualesq;uie1~a A, e, 50' ciran la:s AL, CO, á los puntos .' L, O, medios de los lado.s 0puestos BC, AB, el punto.de interseccion' G distará de A 10's dos tercios de AL ó ,s<!rá. AG:c:tAL, , y-déLglismo modo~CG~O. Dem. Porque tirando la 01" 's e!á (321) paralela' á: A;C, pues -¡;J,ivi~e · en partes iguales á los lados 1-\;B, BD, y..se 5endrá (§ 3i2) A~:BO::AG:OL; , y como por el supuesto BO~fAB; resulta OL;:::IAC.i Ahora, J&s tF-iá¡:¡gáres OGL, AGC;,son semejantés. ~f tener .los ángulos en G ig,uales:pClf epuestos-aL . vórtice, d ángulo O:I;G:zGAC por ltItemos intellnos;' luego 1(3-31 co,r .l l. Py son semejantes, 'Y' qarán AC,OL).:AG:GL:C6': GOj :1' COllHil OL=~A:C, será;· GL'. ~AG, y OG-;CG, ó. se tendrá -AG:GL::z:r;, q.Í1ffi.cgm'poniénde, eomparande con ,el, antecedente, será AG';'¡"GL-:ALlAG::,3l2, que da AG=~AL; de! mismo modo.se dene:CG=iCO, y resulta L. Q. 1>. D. 331 Teor. - Si ;doi líneas se 'encuentran. dentro de UlI drcul'o, ' se cortan en p'llr~es recfpropamente pro~ ':pordon'qles: 5" " ~ ' ' f' - Esp-l': rl-' Se;dice .de dos,líneas que están dividlidas en pane$ redprocamente.. proporcionales, cuando las

!!,


j

I

26~

e:'ioriif:r".-íA: -.: . .,. .

partes de la una, ó ella y:una parte s~ya , forman los medios de una proporCion ~ y las partes qe la <'ltra ~ Ó / ~~~ 1" ,:r:~ ,par~e..~!iya, ~?r~man los est1'e~ó~; '- a~í ,. vatnos;¡. probar que las dó's lmeas B4-., De (lig. ~o) que' se encuentran deni ro del :tírcuto ADBe, se 'cOrtan de mane;fa: qu~ AE·EC::ED:EB.' ' ,,, •. ' - ¡-, Dem. '. , T:JnaI)se 'lbS 'piHit-ós D y A'por la DA, y los B y ([J por la Be; los triángulos DAE, B,BC tienen los:acigulosen E iguates (2·57), y los ·en.D·y en B iguales ( ; 04 coro 2.~) Bor insistir ' sobre un mismo arco AC; luego son seméjanú:s y dará.u AE:EC::PE:EB,. qu~ es L. Q. D. D. . 33-8 Teor. Si des¡],e u.n punto fuer., del círculo se

tiran dos secantes-que tepminen en la párte cóncaV($' de la ciY'cunf.erer¡cia, las partes esternas serán red,: - pl'ocmn§nte proporc-io'nales 'con las secantes enteras.. .. Espl. Si descle el punt€> P (fig. 81) se tiran al cír.' culo 1\BDG d€>s se€antes PD, PC, digo que tend:rémo$ PA:PB::'PD:FC. ' JDe1n. · Si tiramos las CB y DA, los triángulos PBC, PAD; ademas del á:"'rigulo comun F, tienen iguales' (~o4, coto z.O) los e y p; luego (331, cero 1.°) serán sl!mejantes, y nós darán PA:PB::FD:PC ' J ql:le es

L.Q.D.D. 339 Teor. ·Si desd~

ú1f ángtt10

de un .triángulQ

s~

t íf'll una pet-pelJdicul"r .al lado opues·to, el tddo- sobre,

que. cae la ;perpendicular es á la suma de l·os otros dos,~ oo1IJO. la difmmcia de estós es 'á- 'la diferencia de los seg11.¡en1ios. . . ., t..... Espt. ·Si desQ.e el ángulo.B del triángu,l o ABe _ (liig. 82), s,e .tira la perpendicular Bl> alIad.o opues~ te -l\C, se 'verificará que - . .) A:C:AB-,rBC::flB-BC:AD-CD. Dem. Haciendo centro en B con un radio igual al Ja do mene r B<!: , trácese la cireunferencia CEGF p ~ f>1:01(Í¡nguese la AB hasta que enCll.efltre á. dicha cil'cu!~fferenGia" ; eOlf Jo cual las dos secantes .ti,rada~

4~~q~ 4 ,~aF~n ~

.

-

(§ $3.8) ~A;A~;;AG;A,F~

1.. : ... 1.:'~

__

~

,4

.

_

" ,


~Q~

G,EQ,MET.lt{A~

~ AE=AB+BE=AB+B'C ' ,

(

Pi¡G :,~ iíi: )3G 'iíBi.BC, liF.::..ítD'....:.'lJF=AD-:bC ~ .

'beFo

t> "

{uego ,'su~~ft~i~~i(í9 .esto¡¡ 'valores" en la

p'roporcio~

~er~ l\C;~B':¡;BC::AB-BC:AD:""'DC' '~ o ~espresan~do:por S, s', los, ~~gl~eJ;lt0; A'D . sé \~ld¡:á ,b;<¡-ta:.: c;-a:S-s·, qúe es L~-Q. D. B. _,. ~ .. w

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y~ como_S:f-1.-=ADi--Dc.=A,.G:,;:::b;

$etendFá(§154)

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~ ~b :r '(c,+a)(c7-0a} , , .~rb . ']: ' (c+a)(c-a) S.."..-+z;X·,;.:. , y,s-"-'i;- ~x b ' Z

b

.

,2

'

340 Teo);; , si desde dQs A~g~~vos-l1.9móloioLd~ dos ' figuras semejM~e3 ABCDE." abcd\! (fig, tI)) , ~e tira1Í diagonales ,á tos p,'e.mfJS ál'lguto$" tos tl'iárrgutos homó., logos, ó del mismo moda eo~oc'ados , serán semejantes., -:!Dilln. ,Por ser, tas figLlras.,. semej\intes ; pe t,iene : AB:ab:;R~ :bc::CD:cd::P:E:de: ;EA:ea::&e;:&c~,':. · I Y A=a, B::=b , C=c', D=d ; E=e , . &e., ,&c. . .. ~ Lu,eg,?:.los triánguLosLi\BC; aqc ,. tieflen el á¡;¡gu. 10 'B=b 2 forrna,do por- dos, lados proporci0na,h~s; lue~ go, son semejantes (330) y dan BC ~bc::CA:ca::CD:cd (por la serie de ra'Lon~s igu.a,1~s, 4~~ \ ~upu~sto), yet ángulo ACB=acb. ,. _, ;' ,. , '~'. Ahota".'si de 10s:lángl;llos tota,l,es en 'C ,y. c" qu~ son iguales, quitamos los iguales ACB y tlcb, r~& residuos A€ D., CICa, ~ tambien 's.eráll iguales ,; luego ICls t~iáng1110s AeD ~ acd , se ,haljan en el miSIl!o ~a1 so ,que los anteriores; luego son senl(üa~l[es ;.::y. CQ~, IDO lo rnismÓ. 5.'e desrnos~raria,. de' \tc¡>dos ' 1@.s dernas, tesuli:a L. 'Q. D ', D. J "., . \ . ,341 Teor. Re,dpracmnente:,::si, itos figul:as sé Cdl¡¡-

ponen de un mismo nlÍmero de tniángutot se.mejant! s¡ mismO"'lYlodo cot,ocacias en eada figm:a ,- serán semeja·ntes., \ ~" ... ~ ~ ! Dem. De la semejanza de' los triángU'los ABe,

j1-l~et


,:;.~OM:ETRlcAi\

26'¡l

'llbc:" se ,dedu.ce qu~ el ~,ngulQ . B~b~~ y-·l3GA=bcCl; de· la dé los trJá:ogqlosc ACD ; ~cd , se ded,uce qu~ ACD=acd; s!1m~H1do estas dO$ ..e~u¡¡.!;iones será ¡, , ' ·BCA+AC1J=bcCI+gca, ó BQ.ID-:-:-kcd~ .. ' y C0mo 10 o}is.mo demostra.f~amps. 4~',10s 'demas áfÍ~ gulas; J)esu!tá' qllle. l.as {igur,as A.BCD~,., 'abcde, tie~ nen iguales SijS. á:ngu10s. . ,. (.' '. Ahora, los triángulos semeJaqte.6 ABe, abc., da'n AB:ab;;BC:·b.c;;AC:ac; , .' r ' " los ACD , acd, d.aq :AC:a'c::DC:dQ::AD::ad; los, ADE " ade ,dan AD;ad:: DEi;,de,::EA:-ea. ~. ' La s.eguoda!de esta>s. series de razooC1¡ iguales üene eomun con !a prilpera la ,r;a~bn AC:ac , .y la tercera tiene con la segunda comUt1:,la AD'a.d ; ,lue. go podrémos enla:zar .las, trres cle este Ilill!>do , t AB:ab::BC;bc::A8:ac::llC:·dc::AD:adc:DE:de::EA:e.a.;' {,¡ prescindienció de las raZones en que entran las· dia~ glilIía'les' , s~rá . AB;.ab:,:B.G:be::l)C:dc:.D~ ! de::EA:ea: .', ~tlego .; adelncí.s de te.ner ¡lQs ángü.los igu<l'les, tieo(}l1 \ptopore,ionalelllos(ladQ'S',;y p~r lb mism0 son "'1 .' : . '• . ' semejantes. L. Q. D. D. ,' E$c!' : Si~. J)elDr·e.seBta·mos · en g~n~al .por 'L, L', lF"b'c.', J, l', ,el, 'b'c.:lel'.Jaclos ·de dos. figuras ' se.. mejaIf~'és. ;: po.r ,p.., P~' sijs. Í'~rímet!:'os: por D, el, dos. \ ~iago:¡:ral.ts hOIPólo,g,as:: y por R, r, losl.r.,clios I:ctos n oblIcuos de ,~<;\ls pflhg01:IOS .regulares .d un mIsmo. númer!1{~:e J.ado?~ que; entónces son se(Jlej~n~es (~27») ~e tetid!F~ L:l::l!f;V::L";V';:'b'c.:&c.::D:d, qttle {z. 85 , l. ª) dé!.. . ~ . _' , ",::~ L+-L'+L/lH'-tlc.::lri-V+l/l,+'b'c.::L:l: DuJ, {,¡ 'l.1educiendo sel'i P~p:;L:l';:D:d €m), .. ' , y. si, son fegulanes I)ená P;p;;L:l::R:r ,(o). !~: La: r(m.) .quie're _decir ,_que los perím tros de dO$ figrw:as, .-emejante-s SOn' entt/e' sí ,como sus· lados ó diagonates rhómóloga'S ; y la"Cn) die~ que en ~s, polígonoi reg-urpHS semejantes, los "perímetro's son eftre sí, como Jodados h01llótog'os~' Ó C0111Ó las radios l'ecta; tÍ oblicttos'. , <3'1-2 rSi 'siendo· AB (fig.. 83) el lado [e 'uiJ polí. gon(i)¡ regltlar 'cualquie¡;a, insc.uito en , tin, CÍrculo, se

r


2~8

G-EOMETdA.

qtli~iese otro

ik duplo número de tallos ,. no habría mas qu~ tirar el radio recto OE prolongado hasta E', y. únir el punto E' con los A, B; p'ues cada la.do AB' .subtenderia un arco que seria. la mitad del primero. :y sí d'ado un poltgono abcdef (fig. 85) íns-. CFitO , se quisiese ·uno· circunscrito, se tirarialllos radios oblicuos Oa Ob , &c. y. tirando en sus estremos las .tangentes FA, AB, &c. su 'conjunto formaria el pelígono que se queda; pues todos los triángulos oAb, bBc ',~ &c. son iguales (26,1) ' é isósceles ' (303)t de donde se sacará: la ig~aldad de los lados AB, Be, &c. y , la de los ángulos A, B~ e, &c~ . y si tenien~o un' polígono MR VO.(fig. 86) circunscrito 'á 'un drculo, se quisiese otro de duplo mí. mero ,de tatlos, s'eótirarian los raclios oblicuos CM> CR , &c. y en los puntos Q, D, &e. donde encontrasen á la cir,cuRferencia, se tirariCl!n las tangentes PN , .BT &c. y se tendría el poligOflO PNBT &c. que se quería; porque tirando las .AQ, AD, &c. t.odos los triángulO$ QNA ,ABD serian iguales en~ tre si é isósceles. I >, • 343 Teor. Si en un,drcul'o se i~s¡;,ribe' un polígo-

.cualquiera ;: y despues otro' de duplo número; de lados, y así sucesi'Varnente, !a sajita correspondiente á, cada uno ira s'Íendo mas 'tte dos veces menor que ka.¡M anterior; y. por lo "mismo podrá· llegar á ·s.er menor l:jue cualqUier cantidad ,dada "por pequeña ·c¡u~ sea. . Espl. Seá .AB.B!D (fig. ·.84~ un aaadrado i.nscrIto. tlO

en el círculo; digo que si se le inscribe un

oc~ógono.;

y luego. un ),olígono de 16 'lados, y .así sucesi varnente, la sajita Bh.det cuadrado será más d'e dos veces menor que el radio Be; ila Br del octógono. IÍla$ . 4.é dos vec S meno.!!: que la. Bh del cuadr:hh9 , y asi sucesivame~te.;. de manera que al cabo de eLerto, tiFlA~ po podrá sqr menor que cualquier caotidad ·aada .. '~ Dem. Si di.vidimos el areo' :6A ' en- dos. pa-rtes.i guaies en f, ' y tiramos la. AH y la BH, esta s.ená diado lie1polígono de dUpla numero ' de ladro.s·; y q

po~ ser. lQ~ .<{IJailrados de las c~erdas tiJia~as_ clesd;@,

§I~¡:


GEOMETRíA. !:69 los estre,m es '\:le_un d1ámetFp (:333 cor.~.O) como sua segmentos correspondientes., tendré~9¡¡ :>: "" J. BA2:BH2::BC:Bk; pe~o por sel'. obtusángulo el rián. gwlo BHA se-tie,lilS! E33'S, ~ .,~r que, AR2>BH2.-t-'tiH'!; per0 ,A H=BH., luegQ Afp-:::-BH?, y la desig\u~lda¡¡i anterior se ,chnvertüá eu , AB~<2BH2; lue, o la p.ro.p.orcion anterior es ~al que el anteceden e' de la púllle¡;a ra;z.o h e,s mas de dos ves;es mayof~,q u't el cónsecuente".; lueg0 el ante<::.ed~Jlte, ~C , de J~c ~e gunda ~erá tambi{l': mas de' d,os ,ve:es I~ayor q t e su consecuelilte B~, 6 B~>2Bk, e-lo I!}¡u,e es lo ,nhsmo B'k>~BC,' · ~', "! . '1 l Y como ,10 I:1lismQ se dembst,pada de Br, 'r~sp'ec. to de ~k ,&<:;; ,!',esulta (229 cor., 2, °2 L,. Q., D; !::.~) (, '3'44 Teor. , Si g¿ tI.fl c!r,culo S~' te, qi:rcunscr,~?~., u1Í ¡

lf

polígono regular cual6],uierG, y' despues otro de~UPl() _ Ilííl~er.o de ¿ados" y ~sí s.uc.gl..t,'V,a~~en~e.;p. o el l o -d~ este Mtimo será ma's de dos 'Veces menor que el , 1 cmterior; ~ . ~,.~, ¡g)-,s~jítq ;deJ s§g,u!ldo Jetá_.m.as , #!:t).9~ veces menor que , ta d'el páme,rg ; 'Y por lo. mij11iO di· chqs ,14neas :pp.drá'(l' Hegfr ,A,: s.~r" 'fue1!o'lie~i';qu! C~Q!q'l:'j!¡f cantllJaiJ da.da·, pOf' pequena que seli. -' Espl., SeaJWR\l(Q~ (fig·.J!6) Ul}'.,!l},id.rad9(~1'tcún~. erito al círcu.lo, y TBNP &c. 'un oct6gone; d1g0 I.~' que el l.a do.. d~l octógono ~~ . es" de do,s-, vec;e~) mellor que el d~}" c1J.~4radE) ~R, 6 ~!1.e NB.<f~R;. Q _ 2. que l~ .§ll'Jlta Be del oSt9g~l}q (slel~pre.Jla~a~ í ,émos sajita, ,e n ,1:1a polígono. regylar, la aifeJ,'~ñci~. ent,re sus rad~o¡¡ .reCto y oblicU01 ~s mas de d~g :v:e: ¡;es men0,r que la RD del cua4~~dp, ó ,q ue !;lc<:;JRD; ~> si ,se eonti.núa, c~ra~upscribiep~q '~«3~í.¡;OflPS d~,¡:lupi~ número de lal'ios, dichas lín~~s p,oqrán llegar ~ ~er u¡enóre¡¡ que cualquier can~ida.d, aada , . por p,e~ue.. ñ.;r que sea~ Dem. 1.°, ' Ei triá,ngulo .r¡!ctángulo 'B DIt,:di , : B~>BD; Y como (§ 342) BD " ~:B será BR>AB; p.or la mjsma razon será ;M;N>NA; sumanqo or· aeJ,laqaqleq,~e , ~e: te,,~Ar~ ~R+MN>AB+NA, NB; Y añadí'endo NB, lier~ B~-;i:"~+NB>NB+NJ3 ', 6

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€DB~'d~l'á'·~1>:@E¡!(iDsl'BC""'" '; 2 <~~XD.f.~R)i -Ittl' \~b ':) ': '';1' ' l ')!'''' r *:""; ~, : "~.v.\\\,, ¡ ,pC11! ,,'c, I ~bmI)trand~ ~-les C v1flé1i. s,(lnH~!'!~1.d~ ! :f)lt l' J3'c; j' se • L\ ()~t\~~ ,f\' '-l-\ ' 'l; \~ t [I:'¡¡" ~ hh, 1,\ S'¡Ü '" ' , ' : . , qUe 'el\fa~i'oi' ~.:k:. del. p.!!í¡,¡;¡¿rtf!h~sl,lnay(l)r "qU(! , CB ' .h .. C·1> ~" i. 'J), 'i.:'~ ~ di l. ':.~~:, :\'\f.:; eJ!H)'¡ J ,i" d'¿l sé~lih(:{fél:H¡1Ues·'telMiidt) ..igooI denomina-

veíla:'

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(3.4'~ \~as ,de:> éF~~@ieg;ma1~r '<iue ! ~~;D§i4d ;-seg~

d(j {ll'1é~~

él va10rl élé Rt: 'e's' po'r~ l'a.zort.,J@t<faeto'r eH ráz_oIii:,tte'i 1 ráétor D:i m'JS"~e"a.os yéces<lJH!qoT'; ' luego~t~nE máspr-azGln sel'á lñ'álr ~ae '¡)cfds '+eeí?sF m.enor " ti 's~'¡tel1a:ráJtBc<%DR;

fu'iq9r\ue el ¡"4e~~~' ~~iy~ por

qul!~~ tJ:¡: 1 2.a Q>.o/J?/;' ' -,~, ·'br.l <'1 ' , ' .!: -::''34'5; 'fe(1) rf ~I ste~l'Mt' 'círéulo{lsl',ins?:r~My ~1rCUh$~

~ribf' un 1polígo110 r~g,ul,~: ~e un .1~isn:2 ~úm'e-ró' dé .t'a ~ dps_/ 'Y' 'desEues :s-e ¡l1S'-~nbe!i Y c1rcun1s·e'Y'tben ~tros r ~~ iilúp'¡ó, núméro ae liJaos ; 1. así m2esí'¡¡alÍli1Jt~ " .la .7tífe,. rendcffYltre el perímé'tro 'dii ctdunséf.ito1:i 'et del,ill'f? ·:..;,.,J,t:ito podrá llegar' á ser menor que cuWqut~r· c,Muáall 'ílaita', por p~'1u'eñ-a qw~ s~a. ~ , "'-- (",:, ,~¡.,'~


--------------- ,

-


~ÉOM.ETRiA:. 21~ j~s áf:l.t~~· cit'adQs; ;' por 1 tci.: cu.al 'vamos á 'poñer a'lUl ll!:.l .L;ifé.~~o.J. g¡;.á,fico.• Q<l IJY, s(!lll~illo, que p.@ .dd ser'tir para cási todas las aplicaciones práctica~. Es el si.' , ,~. .~' . "', l.' ~ guiente..

Sea AEBD (fig. 87) una eir:cnnferencia; ~irese etlJ!Lp..u;ntlj." A ,una tal'}f§.~nf¡.e: i.!tdéfinida .:F.O; tónme (317 coro 10.°) el arco Am de 30°; .por et punto, m tí,'ese el radio Om hasta F; tómese ahora sobre la' misma. Mngeritg qe-td,e<F .,á ,·la:detre(iha ta .111iJgi ittttl fG i~ilt!L4.::tt¡~s 'llep,es Jel radio ; ~ ¡Jgsde; .?l punto G -Pí¡;e.~ ¡¡hes~'fJem9 iP, {i;eh.jl&41J!.lgt~o 'EG, ,y es.ta'''s·e1<á 'ig~¡at en longitud á la semici'l7cunfe.rencia ADB, aproxim.Qda Aastff1'Q.a$~:4e p.if'Z)(ailé,simas-. , ~ } , ~n- efeata·, tir:a,Fl~0,, 1~ 7.1'1m .perpendkular~ a.l radio AO , . ~!!r.<:1" ,~.e!!lil!1d@, ..de. eJtágono·." y de eensiguieme igual á la mitad del radie .Qm; por lo q,\!l.e el trián: . -" l.:· :.~ ".1;', mn~AO ' , g,ulo AFQ .~ará , On~Qj\:·:mti:F A O' ;~

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Espl. _Sean ABCD, A:BEF(fig~ 88} d~(gar~le. legramos q,u~ tÍ'eneRla:lñisiIf<i:'l:)a'Se AB-, y €Sta u @ '0.m:. prendidos- entre las paraldas' AB" DE (por consí·

glli€n'te ~( 286 es€. l'.?~" t.ie¡;{en';~güai al l'lYa):,;: dig-ó'.'~rU!l:

son iguales €.fi. supe¡;fici~-".ó.:. <tue· ABCD=ABEF;, D..eln.; :; En.lefeG~o'\ ,. diél:lO pafale-lograiCnQ$- 'nos ¡dad ( A:p'_ BC." AP=BE;. . ademas', .de·ser i\.B::::EF y AB=:CD, se' sáca CD=EFi y afiadi,endo.CF, se.r á:CD'+OF -.:;EFf+~ffit\ ó.jD'·F...::0Ef lueg~' los, [l:~á.nghíiós 1?A~,~', ,~~~ ,sen, í&ua!e~J~ ?,?2: Ahora ;. 'SI ,qll!utamos ,esróS't¡:langb1~OS' de~ cUifd¡Fllá!i~ro ABEl)-" .se tefle!;r'a: A:BE:,D~DAli'=A!BiED~GBEi " Ó ABEF-AD¡pn D\;¡"J:.I. , qUA e,,,, ~ T nr.Q • • . . , ~D . ;cu '"":,J:} -;,., Cor., ' .Lueg.o todo pwrqklogx,am,o,.ABEp!'( fig. 89), eqüivav?.' al ,ree,tati.ut'o ·A:B"C1J~'q'Lfe3Vie'ne:::ti¡;J 7'l'lis4há base y ahum; . . -+-_~ _____ 3 5J T~0~ Todo: - f¡'i'á¡!gu'litie'i:¡.¡[zt;<.mitat.l :de\ un pa. raletogirml!1} tkJq mimtJ1 base y' alrn.l:1L-.DeJl1~,~ ' S~a/A~C (Eg. 99'YéLtr.i~'¡'gcr;I.a...~adQ; sr por A se tir ... I<LAD paralela .át,1H2.":"~J!LQ.LCJa;_,C.ll..pa~a• . le~!l; á i&~ st!' r~f.ldrá~ un, pé\rak10g+,ªmBcE-~.m(;:,; 5 <cl'<tl ctlal sCl"á !¿.iagoHa,l e1 la.do' AC:;~:J,~,~g&Ú ¡'3 )' (él'-{J\:i*.[1]<" g.ulo: AlBC AOo. , $-tff>~e r~de~e.: ca tta'} l1\¡:¡ él~~I~i; ~'

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S.iOMETnJA.

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i 'la Ítiftall Qf~i IAB{;D·; ~:ue es D. Q. -D. ' I?

va1dr'á

1.8 L,Ifl;legtl, un Priánguto ABe es la mitad'del

"••Cor.

f'tetángulo oBaEiF:: ~I~& ' tiene

ta J'1'nisma base 'BC!::y la

misma dltuf'¡¡-A0s,' porquc;! él , te"Gtángulo BCEF es

igu'a l: e'n sll1ie'r.fiEiI~r;al:¡ l>ataf~iog¡;amo, ABeD. , • J. (;OD;! 2,Q';s;J'l!ódos I.M · triángulos que ' t'i.enen bases y qltura¡)guale~. sórr. equi''lia!erttes·~ pot ! ser mitades de pciralelografilriés';iguales en super?cie, 1 ,

3 S2 Te0t;<'1Lá-S- .supérficie's dé dos recfángutos ·,de una misma altura; son entre si' como sus bases. - h Esp~" , , ~an ·, A:gc.lD'; abcd' (fig~ 9~Y' ó R; ro ; d05' , r.e-m·tággulo§ '(kigl1ales alturás ' AD"::-iúl; digo que 'serán entte sí é01DO sus' bases AH, ab, " " . ó que Rlf'í:¡<\B:ab. ,. ',[ . "" • • AqNÍ puede ,ocl!f~dr qué !as' ~ases sean c'omensuJ;albles.,. ó '<jIue.a<nlo sea>l'l, ' ~'I , Dem, ''1,0 S r-.las "oases tienen 'la\éomun medida: A:O=áo", y;: rep:feseFttamós por- m,' n, las ,veces que esta édritenida e·a cada umi-, l-se' -teFlddíf' 2tB=mxAO, ab==1¡xa6~nXA.o;- o/ , f~rlnal'ldo"pf0pdtdo'n y shhplificamlo"por A9, liera AB:ab::,mxA€JHixA:O::m~'n~ '-.,~ .Ahora, si porlos punt0s de divisÍOlilO, &c., .o, ~c., se'_co'llciÍb,en .pe,tpendíeulaf€s OP ~ &c'-', op, ~c., ~0 S r.elftangiulos R; 11, quedarán dividídds' d prítU'ero ' en réetáng,ulos-:COffi0:,ttOPD ig.l:la:les(en~Fisí por. lo' de~ l!tlosttado ~3fSQ); y el,segundo' en n' r,ecká:ngulos é'ome aopd iguales entre sí y cori AOiPD por 'la misma:"razoa; lúegó se ,tendrá R=m~A,GPD, r:z::n'xiA0PD;, y¿forma:ndo<;fHI0porcion y símp1ifiGando por i OPD¡ será R:r::mxAOPD:nxAOPD::l1i:n; . , ,~_.j e5¡a..lpr.dpbildOl~ y lal' al'l,teifioF (184, 2.~) dan ,:H"(' R'!" >.'AB'ab 1" 1 • o· (,) o, que es .l.¿. x:. 'D,. D .' U.... 'lf'l,,:,-; - ') 2. Q Sí las Ii>ases son '~m~omensura'bh~s, 'digo' 'que, ~ro , '}il' ued.(r. .seF R:r>~ni <i'\:B:ao, ':'::'.. ~, . , ' " y de consiguiefite 'ser á; R:r::A~:'ab. - - .:;:. I ,::1, S.€a Ri r'> :AB; ab.; en este caso m'eFl'guandó ''e1 con· seeueJlte ab,.cl'e~t!rá la ,segulllc!1á ~Ta~on ; y "'su p6.1'liendo J~lU'€ se. po¡q~ i'eúeJ tin :(lX "papa !i Lfe l~ segunda -razón

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t;,!E:(}~~Tnf..\,;; , H~cbo eS(c;["f:oncíb.a(se ¡;lividigl:lJ. ]a; A] eti d~ . pM~. tes ig-ua~es, y lu ~gQ en otras do~, &~;; . l).a~ta q.ue r~sut­

'J'76.

te una parte' menor qu:e, /1.".;: f,!n:oG,!.lyo ' cas.o ll "oloca~a, derlivlslo!l coaerá elil¡¡r,~, x: y b, v. ' g. en t.;. Y ti¡;anq,o.la pe{p.en§hicú)a.tr ut, I§lS ree.., \áqg,uIgs R y, atud que ,tienen CQll!~IlS\l~rabI~s &'ijs ha~es e\,B ,.at" ·s§!án como<le~tas ,Y;~~ªr~n(; R;(ltud'::AB:,aJj, y como e~ta prop9rcion Y la a!ltet¡ipr J¡jenen lo~ mies . ~npsL amec~~l1t~s ,. los conse.cmeliltes,.lll\¡¡án .' ~ ~ ? '" .r=abGq:.at.ud:o:ap;:a.t; M, , :>,. .) .. ·.:l p,repprc~on absll;r,d<j., PPf ,Stilr la p:r;imerll ra.J;on,de roa. y.or. de,sigua,lg¡¡,q. yo '!'! seg,und.íl de ,ll).enoq~.1uego 'RO: se puede JsuponF,)J?,:,r .:?:AB:pe•. l. J~ i ..... ' .' ' . Por un razonamiento análogo se demuestra que n,o p.ued~ ~eJ," q1eqG[.; l!lJ~g;.0..~~r¡I igua-l. Lu 2. ~ Q.. ld>. D. 353 Teor. Dos ,oeetángírlos eutt/.6squie.fa a.op· entr~ ~í comp los .1'rodu~tQ5, dg· §us ba;ses,p.of.(~uj .qltU~á3,; , ~t, ~spf. ; . S~an i\.:a~D.b",1~(7F ó"R, r l(lig. 9~) estos, dgs J,:,ecté!..ng,lllós,;j9-jgo Jq ue, .R:1;·;b,Bx AD:AExAF.. ..) .. l. Dem. 'Hab>.i ~ndp. ld.is.::ri;U.<iS.t;01o's r~}:tá\'lgl1los de rna,., ner'l- ,q.l:l~, los" áog!¡ll9.s ~n ,A §~téñ ' QPuestos al véFtice" prolóhguense)0s lad.Qs. GE ,)CD h~Jª, que se,€l'lcuen;¡;r~q, ~Q::;FI f , Y (t~j1~r~mos (;}l1 e.1Qs d0\S r~gtál'lg.ú10s o R, lt, (l lHl ti~D,.('~;l11a q¡i!¡!h.a a!t¡;¡ ra',AU jl s,ex án como' suso b.a~~ .!\...B , A :ij:¡,.,y ~ar;á-l'ld\¡K;:AB;:)tXB~.J ' . 1< ~eI mislD(j>;"q¡oAg lGJS.roS\\.tár,¡g ,rl@si\R' , .~ " ~l.e cti.enén la: .I!li,sma al~~ugil :~E, dí!.t<Í1J .R.~: r::AD:,~F . .. '" Co° • '. l\!u...ltii'li~p~ º-~tas; dos...:prPF,orcú\\lp es, y omÍtiefuao ~.!.9~r) el tó! ff1i'nq R~, '$e 'ij;!Ji)d[ á R:r::'ARxAD:AExAlF¡ que es L. Q. D.i P. . 'o A.~.· o', .í- •. o. Ese. r :kueg0 ,se pp ed!;!, toma'r, pOlr~,tnedÍ.~aH~e•.un, rectángulq et .pro,61ueM¡ dUY ba..se P91: si' A.ttura, con !al- q,lf\'l' ~e . ef!rl.s:J.ldíi_.por es te prod-.u,ct@el,de dos 'flÚ- . . rueoró.s -q ue es presea la~ . u{ili.dades lia,l!ªle.s .contenidas . en la ba.se,oY la·s . €onl~ni da,s ef! .su:".!I!ltura;:>r, · 1: • A.s~~'j'dijí~n,~ o p0>J"~ ~pidad ,-cle m(tdit!:a," el cuadra,do a..(~ g. 9 3) ~qyQ ~l ad0,. s'era lan,1l)ici1ad ,de l@l1I!gitud, .~s~o .es_," J píe, J v.af a, '<$l.c , ) ' slJ,poonieÑ.u0 ¡que es,é contmida dictí~ ~Hü~ado d~ lp ngim~ $1ve~¡; ~ en la h>a-se 4~sdea, háda, b , .Yll. pU'l~to

I •


~ÉeM'ETRl:.ü

del'1.ectá::m:gUlló -JI ;.'1 ,3 en Il a altur'3J, se' t~nd,r,á

27"1

A:a::sx3.t,xf::IS:I;' 'lue' da A=l sa=r % ., ? , el rectángulo A e"luivaldrá ,á 5x3a=r sa=I S, opór'l'úe ..éi<'...éuadradG d~ ' { 'es', igua! r ; e6to es , el rea-tángu1lo-, A . vale 1') ~V€c(Ís el elJadraaG a, eome malii','. , JIestá la!iigura. , ':-354",j ~el;)¡¡; ,i'~La ~supe~fie'ie de, un ' ptwaWdg-ram'ó . cualquiera es igua¿ al prodifcto de ,su ,báse por su dltlfflá. . 5., ','¡;'~b", '. ",' • f ,r l. " D~m.l :,porq1U.e'ef p~ra1el9g'ralllo ABEF'(fig. &~) es eq ui valente al reetángu.lo' AlBCD, 'llae tiene' la:' misma base 'A:BT Y la misma altura AD ,; pero,'este 'tjeñe 1>?r medida .NB~~AD;:, lu~eg0' A.BxAD~'es igaa'l áda 6U pete 'fleie d-e:r patalsilogi"alHG At'BEF ,rqú'¿ es L t Q.. ~D,: n. Coro De donde resulta q'áe "lú sU'perfici'eJ~de¡' un triángl¡'i6 ,és'" iguat al; prátl~cto de su base pó" la mitad.. 4e ¡ sw'lfttft,.a' ~ ó tÍI Va dltf.úra" por ' la mí't'acJ,!I ~fP , hv base.' PO'rqo:e ~~~t¡¡.iángüI9 AB(: ,,~fig. 90) es la' mi,tad de1 p'at'a!le!o,~r¡llné ,ABCD 5" y'eol'lÍo la 6uper.fic.i~' de este ~€s ~B~xA\(j)' ¡¡ i!a 'uel 'tl'i,ánguio ::;er,á laornh ad. ' G , ¡,~ " , ,}' BCx.f.AC>=..rBCxArO> r " .' , '1 2 2" "',,E"ez ;l!'Si,llarn:a\rnos P ,á u.n-par~l~logramQ eualqtJ.i'e'~ l'a (Iig ~4)?~iii í'511. altütá', "jlB;Já,sli base, :se te'Bdr-:3. P=Bx4; llamaildo~p"á ~óti>r6 parale'logF¡l.lÍlo, ¡cu.ya:>I;}a. se sea:b,,-~.:: a-.'~ ~ ~)~Ul~a"se terrdr'f p-==vxa; y fOFman\ dO\; 'P¡;QPQi~l.Qñ;.S€ráP:p-:,:BxAi'b~a; que espJi€sa qÍ\:l.e

las superfici~~ Je cJ,'ós 'Pa~dte.togrames' cualesq'Uriertt "SOlJ ~f(J'17ZQ :tos!l'roWu,ctQS ·de 'S'us '/JaséS' por sus (lltt~ras) , ó' .est*tfn -41nl .ráze,1i }ompu~sta;. 'dé--',SttsSlflises y ' abtui'Gs." ' . Si A=a, s~rá P:p::BxA:/iíX..Jl.::B:b; ,gué.1:¡:uieré1ª'eei,r, ',qúe' 1os, pafiJ.lelpgramos quet,iemm .una lq~lu.n~/J\fttfiJra" 'SQn' c61ñe"'!uls 'base~> . , '". Sr -se'. s:m{>0ne B=b ,:"se.r:á. ~p.:'P:,: B'XA:BxOt:: A: a; l¡:~e.)qlii:er~ de'd ir , iiiu~ lrú;rp'aravetegrames de t:guates buses s'oñ c.nl'z:Gn sus a]t-iú:as. 1" " ~ r . " .s¡' f<C!:p;1 ~er~11 ,Tal~1h>i0ti~ ii1J,ales ~us e:¿ pt'es.¡'dnes, -6. seril' E~~bxa,. de ¡I'kiu@e' (§ 18o'~ B:I5:'!a,:A;" , ,es', d.~atl' ,.'<p,¡e cua.nq.o,'los -pdr.:atdogramos sori i~u!abes , '~.CIS lbas~ ' e.if~. ..en"t:aur. ::ñve~...HI d.e ¿a{'á.ttaras~ " ..J


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Si ~l!Itip1ioaJIl.0s,,~s~r,ell!Qs ~~di,cs :en~Wpto.pob don p.rir:p.it! ya "s.erá: P?fljjl!X~ - pX:B}(4,,, Yo ~". : ' 'í de dOJ)q~ li:~::·e-x:~:1'?<4., i.: 1; : '1;:,:) i . :.\J ~!li,,~:} !::¡ .q~f? qU,ié!je ~eci;F , ñq~ ,á ?de~i19u.alq,t;l4rd:Njod.o;, kas bar s~ ~s,t4n ~'t! rQ.z.~n, ?'QmpIJ,e'st a" p'ire~t:a:Jjc. 'Ids, p,ar;t*tir;. gramos, ,é #nversa de ',tas ,atturfl-s; y ,~qP.~ñ'dol de,< :Lf; !~,isqla. ~,,<;~ aci9I1 Ja, F.aZ,¡;¡B·l!le,ll~s ªttÍlJqs 1~e ~eflC:lp'á '. '",ti ~ "A:a:iP1<b: lh$p,:,;~ ., l.J 'Qi<',; j)' ~: , '\t )

'1ue qüiere decir, que á pesiguptdC!-d de .todo, l as. at.~

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1lff:\"S: ptán !m ~ j·a:,1..9[lj&Ompye¡fi,!,) Ai1;p.Il'¡-a-,#~ ,JO'j pa.ra. "' • b " L~Ü~grfJ~n,o., AitlVer:sal de: t;as~.: .Páe$,. 'In) e ':Jn~h~ í '1' :.->,3 ) S'. ¡;S]"e!1líl' prPiR~n·c.i!jln"pri!njd M-.íl- r§.e~sl1lpóner. .,r¡ A ,;,q,:¿,]J:b,?Jln ~a, q?;og ~o~P.u§s,t-.llL:k1?<-B~JqX~A Y.¡;Ü; .u :

~e~ pqd¡;3 .s,url' tit.uir: ~n,'y!!1. ~q\!!_ 11,:0.' ,§}fü~~\;Ial'lB..:ii, 6 ~' Al y M! ~eJ1d;,r{ª,-, Í>jllJ',.i. ~;-, oh :;¡{J ,'l e:') n, ,~ :·,A,v:A' n xn .. nv, ]¡)'b~b"A!'n~"B!, 'l.!,. " { '1'" ".,.:;" "..~ \ ~!!r ." A "0'1 "'~ ·P~cl.Q· ..; .. . ~ ~"'1l ~ .Y' l'., /" 1 Que ,'1UIÍ:e'f~, ~edr, ,CJ:..ue_cIJQ.r},40.,la; .p{~<lJrrqi!.~,orl?,pr\.op.or~ , ~qntr:~u:},~,~

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j;iojjglf:s.. 'C(m ras bp-sf:'s,Ja$. -¡u1w':fi,ci~sJ ¡S Qn ',q,01J'lo:liJ.s ,cu-a" gpatf,os .4gr,eUas; pe;!) ~l:.ser' ¡as pa~€s,il'!WPO'~~jpI]alles CO\! ,¡ª,~ ~J,nlras' ~~. Pr:<;lFi}!<l~q.J!:ie)os;:pql'~t~19g11amo,sse,. lIleja~ites; J~ego

'¡1.os ';PprflÍrl ograino,Sq'J,éJ®jantes son erJ1!:e . ~Í, W!JlO Jos , :~~ruJr:q dos .¡)e, .sus' ,b.a;~~~I,l ¡J,e .sus . . lJt. !ur,Jfi.; y. en gen¡?¡;a~ de. .,sus )íJ!efl~ ,homóJ9g't~ :, 'fomo .se I

.dJ!.!)1!l-t,s~r~,Jambien l g~~~YI!Lcªm,en~~~J¡fri!Jl J.\.x' l.' : - f ¡E.P.) ~f~cFo? seaq f.,¡'p. (fig; ;9.4~ g~~~~~Jogra,!'llos, ~u.§ pon lo ,.djc,hp fim,~ªA¡r.r:<J:n P,:p!~9~fMJ¡¡fxae;, " y"PQJ; . S€~ ;;;emejan!x~, ,'-r~er:á: ,A.J~:aQ;;:&G.:b~ j:\y;!(t" ~ ".J i ~, ~L..ángulp ~-:-b ; 'lf ~om9 Jil.S- en :E\'¡YI¡&~'(l&Jq ;;¡eetos" los triáq·glllps ABE,;qºe, .§p~\~emejap.t,e§Ü.3',r;~0li. 2;°),

y darán 4-B:ap :;A~: ªe',\: _ ::' ::~:; :1 ,,~<~; -=: la Lu\;go§jlst}p.¡yendo &fI,;.!<J. "azo,u cOlPPY'~t!l-).4é;::¡.rrib~,~ en v~z de la ,AE:qe/ ',S \.l:!¡gl;la,I)~~:bc, Q ~\B.~(Jp"s~ten¿'rá , p:p;:a~~J3~~bcxl?c:;~g:.l:,bf;!.::4:Bz:ab~: :·A.E?w.e~;'· e.SG,. Y.. {:0illO ¡as~·mi,~~qeli §on e¡:¡;~r~" ~h (¡bl~o, los t~dos,

se <ied1,l ~e que !0~ )y,i4,r¡gtl-los .son ~OJ)tnQ,(¡:OS¡:F-ro; ducpos {l.,e ¡SJ'S .bases ' P0r-.;,s¡¡$ " {l;~tf!.rqs; q.u~·' '{Í.Jguqt,dad _ de bas~s :, ,spn ~omo s!f.s)-pAtw.as !,'4fIc. $0'br~ '~l!Yª,s~, pr0piedades ,y modo de cA~q,!tl:cidas", ~cons~.htrri(j)s á \Jos princip.iames ',l.~e ~e ej~;9iten~Qdcdo ',l.u.ei 1:lzog11eÍl ne:' J


. G~OMETn,fA:~ (j:.~sarró~,Jl.a.sta: qu\!. seJkgj.Í~O., ,á apropiar

z79

ólamiliarr;zar con este procedimiento; pue.s .son innum€'fa·bles'las coutin~¡i[s ;a'P>li~acio'rie.s .,q¡@.~ xieile.. ~ _ .~. \ :.~ 3 $,6.. ·, flfJ!l'r" r;,~.a. .superfocie.lde Mn 1trapec.io ,ABen (1ig. '9~S~ ..e~ Jigual. tÍ ,sualtur.a EF ~1!uttip.lica.da por ,tes sem.isuma .de Jas .base,s paratdas AB., en'. . ; :! I '.~ .. .D..ém:':':l ~i tR0l' el .pt.¡.'Jito -Gij ,medio ·.de CB, ..se .tira KL <páfCf'iel-at . q,l~lado ,op..uesl:0tAID ;.Jj se prolonga:- DO »s. ~at;,qí!td,,l'![i),,etl-entlie k esJ:a.:eI1 K, los . tri.áng.u1.0.S:GR-L! GC~~s,er4JlF¡j,glia'l;es,~ 26 pues 1.0.5 "ápgu1Gs.en G soq igl¡¡¡lile~{,~o.$~.<G; (ta[JÍbiep~ 'y.::I9.G:::GB ;por .e.onstfUc~ ción .; '~~apñadiendo ,á -ambo s~l,{;CD, resultará el t-l'.apeQir:;¡ J\BCD..eqf\!li valent€a:t :pa·¡¡aldograll1,o)ADKL, , 'y tendrá por .medidaJa..d<ices:~e(4t\'e es EE),A~. , '2 AL ··A,!L+'DK. . f

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susJ¡Ítuyen¡,}(') ,este,varor de AL JEF.x,AL,,..,riesJuUa,rá ,la .supell'fide. del ' . ' AB-I-CD ' ~ .t¡:ap.,ecl;Q "ABCO~EEx " , '; '. . l~s ·tr~á;ñíg·~lbs-.);. ~lleg0

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,tura .?llult,ipb,iéa4a por una: par..ateJa ,equidis'tante de'· .~as QasEs pat:aJ#as¡ " ;" , ,.' . ,3 5-7 •'.Leor•• LIi su.perficiúkzk1,Jo polígono regula¡: es . .J

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G'E(H~,(~1.f!lf.b')

z80

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2. ~r ~Sj. lo~poI~ggnp~'{fl~S~!'l _¡,k).lJi misq::¡o nú~ me,r,o de lades seI'ia¡;¡:::.semej<l'fttes t3~ se tendria (§ 34! esc.) P:p::R:l'::L:l, < ,,' " i'eprclléfita¡¡;¡do por '!L, 't.i! i:h~~líneas hÓ(n0r-oga~;¡ luego 5ustituyed¡l.o en la ta(l01l Q6mfiües:taJaln~YJlItJl\xR¡p~r. tnv.e7. de".!ln:a de .las corn.popemes :sú ig;lial'¡s~a:(;ada de aqqí, se tendrá c: 2..

, . (Jor'

0

::-'

P!:p'::PxP:pxp::R:~R::r'Xr::P'~:p~:::j{l:,)~fV):'l?--f' l¡,

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que qüiere de,cil'; ~e las s!~per.fii!es ~e jos ,pOlíg~llOS regulares semeJar¡tes o de un l1mrrtQ ,fii¡m.JrgJdIf ladá[)

gua.rddll la líiísmá t"ÚZO'1l' ple , tos- GuÍídraqoy.Je.tos perím étros, de tos ~"aitios .1:ectps, y ell 'ge1ledU son ' C01tiO lah q~adrados de su)díneasJwmólog'a$~1,!q ~ ::h: ... l}:sc, l. o Aunq u,e los p(j)lígonesln'@J~eañ r'egtll¡il'I~5, se verifi~a esta proposicion, con ~al qt:le sean semejantes; porque en este Ca,:S0 les pedr®id's:::d.i:Vidir (340,) er~ ~ier~o n~rnero de triángulos A, B, C, b'c. a, b, c, ~.c! s'euiej¡¡.ntes , y será .j:';."'; (l~ _~' -"o'" l '"~~'t -, -, -": " P{=.I1+B+p+b'c. y p' ~lr...¡.¡~.:.¡..a;;f.,:~1a. 1;' y como los tdá'nglüos tendrán la ra"z0n de: los eUaGl'a" dos de los lado.s hOl11ól~gos, se sÍ'g:ll-e 'que 'sí espi'e--. samós por L, l°.t estos . ladcl<s·, ~nQs, o.iesu-ltá.rá i.::. '


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halla la superltGiéJde "!2adª.un.O'3'.y. . sel~encltá.Ja de la

,n'gtnfa. ; 'J I ", ; , : "'~ <':, ' ,','! " '~~ 'ol'" [2 , '(l .uc: g; &oq'feor. ,s,i éfl ú:w.'(;1~¡út?)'1S'e c!it:buflsoribé'ñ ;é.i ífl<S.l' 1<,

I€fiibeff ipálígón9.~s (reg;uVafidJl,r:iie, :UJí\ inisJ11'Q ,tlúnw-ro ,d~ lbdó~ " clésptles d'e"h.ñ.',du:pV.9 nú'niI11,'/¡ :¡lli1 Jutlos~: fj íaJ'i

,rtl~esi'!J:amente , J t.'d 'tdí¡e.'rtll~(a ~en'ty.~) 11~:ún'Uns,éri,to :Jy 'el'-irfkiitrJ"se p¡jdf~'h'ace~ 'l'ifenor qttel,'cu'qllluier ',Gañtif

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.' ~spt.. ,:r ,S,ea~.Q ,uO J;!n'llil1i> .c\lg.1ijl!liera" C ,~U[!.eil'.c'aífl.~ B:relJda r~YI.&:elr;a~i8 ,; ,digSl\.~llte IQ~CX!B:. t, dl,;,;,j " Dem. ' Sj, ~spr~,s¡¡,qlQS 'por p' la super~cie , ~:e, .if¡l¡ -po1:ígOflÓi \i'.eg1l1éfli: ;circUl'J,.&~fi!liQ .ar~í:r,c.ulQi;rpoJt f: su J)et'ítu.eti~" ,~, \P.~t, R su :Iia~io .,re90, ,q¡ue ~es \~l.miSin(!) ¿el 'fV~l;Ilo ~ :tém!1I1érne,s. ~§15,7) , .P'*=;P~~&!;l ReJtój!W ~_e ':p(¡e.d:e !a.c~r..cCbIj ,(36,8 COI1;': )¡á O\taJ1tu comot.-.s~41:LÍer$, ;y,•Px.f & ::'Ge1p~d.e ~c~J'!Ja,¡¡' ,a:hooI:IllJ;¡() ,,ti~lI'lPQ , ;á'~x~R , . tanto como sede$ee, p0r pocl-erlo hacer {§~j*~l ,COf.l) ·13qí. l,g ,,Y'~.al! !l ~ & ;cofu:pn,; ¡.iI:l...ego ~ ;tenemb,s 'aqUiÍC\dos c 'l.n.ticlade's I lIiairi.ahles:. :P~ ,y:f>xf,R ,.;q..ue aLp..aS<illL1l!U'e \Den;g'.uaa ~s ~p(¡ed,elil\ p-y<?IiFa,r-:!á. rlas .dQSrco.flstamtesi,O,'Y CX,~R tono. tl'O ~I1ii:e ,s ji quietf ,"é'Q,n:s,erva,nd!eJi:siell1>pi.e la ra~Ol1 de igualdad i..1ueg,o lás, constantes tendrán \ (231 co. r.. ) , ~'sta llir~ma)',~zón y,-s~J;á\' O==Gx~.R' q1:Í'~ es L. Q. D. p~ . , ':" ' , ".; c~)!" ~ :¡c1b ::B~i,'diS!ndo ; ~(i)Í1 I:Z, "PfÚt ~, ' p.or- n) la. ,ecuacio.n ant€J:Jo.~l) ',s.e .t~ndrJá.,· I'J;, i5 (;>!, p "1 , , ' J "-'1 · .. 1 Ú .L € j¡!'G (:,1 J:) ' O · 'J ¡l; (0,0,,,,,"0 (. b!. ,:1 I

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C!ElOM~'I'R~... 2S:S . rcrDe dlmde ,gei,d'ecluce 1.° que 'PQt" !,®S pun/o.s pue~en '.C ·1l(J.ar., ill¡;nitns.:'¡'kanos. '.. .,. .; \ ~!T r .t , .. .

!JJ. ?,.? Que tllesJ.pUjnfoá ·no s1tt¡~.dQ~ , ell linea rec;tª\,; .9 un triángulo ABe (fig.•,8).,. -dete,rmirllm, la "po.liciQj¡ r. , e:;8r:un p~apo •.". ".; t.. .tI' ~ t~ ~ 'IE . ~" . ,3,0 . Dos 'r.ecta$ AJ}'1.j1C que . s.e. ~ iC"ol'f·atJ ; están e~ un .mismo pJ-allo.? porque concibiende 1:I:,U pJa.nó. ~!lf? pase poda,ifB.., y¿q-ueya j~ran.do balita que :pase p6r:" e, quedará Q:eterminacla la posidon del plano, ~'u~ pasa . por' .los.;tres!pUfioto,Si A ,,,B',; ~, ÓI' .por Ja.s dos p:ota~ dadas,; , -". ¿ . It. ;:-. ~ _ :~ l 4'~ , Dos jiat:al.el,a...AiB, en .Gfig; ' 99) determinan ~a .posicíon .de un plano '; por.qJ:l:e<'si ,se. tirau las s~¡;:a·n:'1 . tt:s EB, HGlq;.l:le.::se corten, el · piauf>-qtie pase ', p-or, estas, será el,'piano.eó qué se ha-llen clicbas .p~J.;ªl~lar¡,; pues cacla U.Ra ti~n!l d0S~Uflt9.sdl, E .yJ.' F 1 G ·el) ~ . plal1ID q us pasa por. las dos sel:lantes¡ . . . .:::2 'J 3.66 Teoi'. Da (ntersec..ci.on :¡;mm,1:1! :4fl: ¡],03 ptanp~ que se cortan,es. una:~lítle,a , recp.a"" •. , ';-.' , , :be~. Porq ue si en los puntos CPallltl$fs ~ Io~-º-~~ pláuos se encoutllSls.\:tp: tres que no es,tJ.ly·ies~n en línea fecta, 19s dos pl'aups' de que se,~:rátª" gU€ pasªp~~a.da, UI.l!'i por , es,t.os ~lir.es ..puntos, no .formarian ,siru;>l)n~Glo y, .mjs!n0 pI~nq;lo qu.e es !;!ontra el ~u,pues[Q ; ., , r ¡e ~óg . ' ['tor•.. Si, Ulla. .recJa -/.lE (~-g.~ 100 ) ' ~s' 'p.g.q~e,n ~· dicutar á otl'as (los "pB, Efe, qúe se cí'u2.ap ell. s!, pit en' el 'plano, zr¡.;ro;.,: será':peJ'pe.vaicul·ar ,"'-.1. 'ptano M..W. ' !Dem. l?@;r~1it.€ , como 'la~ (~os o¡:ectas PB, PC·deter.:: lllin'm la pósicj~n. dd 'plauo MN:, 10 qué s:~G"eda_á. !a~ :l'ectas. debe,islfceder':al plano; pel1o, la !e,cta AP ¡es .perpendÍ'Clu!,\r: fi.J3s ,d<{,S' PB , P~ ',j lu€go €S pe¡:pegdicular ál plano. L. Q. D. D J. , _ . " , qor. 1'.0 . 'L.a,perpendicutM AP'es mas corla que una. oblie:ua cua}quie¡:IJ AQ ';~1?Q.rqu~ es cateto., :y la. oblicua hipofeHUSa¡ de Uil triángulo rectángulo, : ) 00r·, 2~ o Por¡..u'r( 'l/!"pt¿ ~,.d·ado jQbre Jl.n.pla!l@ -' '/lO :Se pue~e lev.fi fitm::JtiríoLUJ'l4 p~j..pe,nc.ikut ..,. 6. este, pl.ano. Coro 3."0 r'ambirl¡ es impesibl.e btlj¿w desq.e } !;1} . PLt1j~ 10 jue,ra.: de jU"I!> p.ttt1!0 dos~.p" WllfJ.l:di~l/¡j ar.es .1! esp~ \p4.c¡.n o. .;¡

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~8tS G-E-OME'J!R)Í i1';1 - 'GO ¡-.-·~4. o' ; :tUergb 'la ve,¡-dadera

drst.ancia de un:pun_ t.o tí un plano, se debe medir.' por.,,~ a.'.perp~ndicut,ar' tÍ' rada al plcyno'desde 'dicho punto'; FQr'll@r-la úlnicá:que , .J " • é' '\ , ~'ellpue\:!e rtrr a!r' "d (F SU'¡eSp ,Cl,~.,, ~_'1'/, r,;-.1.:-. ~ :',') ' ' 1 ¡q :5,6 g Teor., Las obtic'u~s A!J', A~, AD {fig. tI\OI~ qfte lais-fan :iguahne'nt'e:'de t.a per.pendu:ulur ,son iguates; y 'd.e ¡Jos, obHc'uas AE, AD, que' di.rtan desigualmente ail la ;'per1?e41dicutar' ,d a ~ue mas se ,a1ej-a es ,l'f -ma~ la'rga" ' \ ,1 .. ¡~! " ~. l _: \. " \ . ,Dem.. • Florque, s,Íehqo. rec~os')Gs" l á:nghÍoS' ! A!PBi AP'C, APD, si se su ponen las distaneias PB; PC¡ , l? D '.fgual~s éntre sÍ<, lbs"hiáñgulos' A:.PiB-,. Ai?C, AJ,lD tendrán' doS' la:d'os ;íglliales é ig\ua.l el áng'ulID' (!om'¡ pí'é!ldido, luego s'etán rgl1él'les;, lueiw,'las' 'hipot@nu.¡ sa:s'~ ó: hs' oblicuas' A:B;,.· AC" AD ser,~Ul! Íg'ua:les: ,entre , sí., ít-hm-tai, si' ~la dÍsfánda: PE es mayor' ql\Jle PD 6, sq igual EB,. tendrén'I@§ que'"siend<9' recto' el áFl'gulq A,PB, ,~ d ARE S'e'rá Qbtl:iso (26'6 ); luego será mayor que' el AER" y por' lq',.mismo' A'E >' AB=AD ~ qu~ n"" . '( . es L .' Q. D, '" / ~" ,', '. ' . ",'" -~ 36,9 - Tear. Sea A:p.c.(fig. ' Io~,'una' perpendicular at fflano MN'; j BCl una línea situada. en este' pt1l1l0¡ si des lié' el pie 4-e tu perpendicular ~se ~i'ra' ,l a Pl) pe'l. pen;dic'Ular á Be,;y se tira la D4,,, dig,o que:])A:Sel'~ perpe:n,dfciltar'-a, Be" en el plano' q,ue: pasa p.or las. do! tíneas' ,.I1D ;: CE., ' -" . ;'1 " ' ... ' D~in.: p'o rque si' se' ~oma: iDB-DC',,'y" se t.ÍráIi,las P:g',. PC" A'R, 'AC, :será (z73)c.ta"oh>'1icl}a: PB==PC; luego las AB" AC ta:mbien lo seran (368);. fu:ego lit AD-t-ien@'·do& de- s'ús~ puntos Al. y ·D-:equi¿,i:sta:ntes.de h9S est(emos' :S y C;, ie la Bü;, luego'r( 274): té:" es p~r: p endicular L,. Q., D~ D., • I " . • (.¡.' ~'.' : 1, ib :.; '"Ese. '~' S e ve 'alr-tníslllO' tfempq.; ,€[ue.,la: Be' es:..per· pendicular al plano' APD ,pues "es pel'pendÍeulald la s dús redtas AD, PD" que s'e' ha:Han-;eq,' él: c' 370' ' Teor. "'Si U11a Unea A.p"(fig> I03) es;perpel1; d-iculflr á tin plá'ffO' M ,'I'l, t,oda:tí'nea 1:D'E para(eIU, a -:fif' ,será" pe;'p.: Il dit'u:ba'1" áf;mis1no' p-t.cmo._ '" .. _ . ~'; lDé!l'i • .' P:,S>fq lle"coHcigiel!do un planO' que pa<fJ p0t 1.

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GE6METRÍÁ':

237

laS. ~ par~Iélá~ tA;F,; DE, su inters'eec:iQi : cófu :el MN, será PD; Y tiranaO' en el planO' MN la BC pe r\pendieltlar' á PU:, 'y uniendO" él puntO' ,A, :cJ,¡1f , él D, ten. dr.é1ñ0s ''lúe' Be será: :p'étpéftdicular (36!il b e.). al pla~ nci APeE ;.~luege el ángulo BDE será: recto ~ ' peC(;), e! ¡JED;P ,es- tambi'eFl: Í',ecto,,' pues t\.P es pel'penclicuiaF' ;!·PD.., y DE' para.Iela á: AP ;., luegO' ~la "l'Ínea lD E es perpendicular :1 lªs· dO'S rectas DP', DB '; l¡liegO' .es perpendícular ,á su: p!aHO' MN "que es L. Q. _D. D •. ~ ',Cor;. ' •Redpr,oea:mente' ~ si' las· rectM' AP " DE, SDlZ perpendiculares' al mismo: pi ario' MN, ser oo parn~eb.as. 371 TeO'l". Si ~na línea AB (fig; 104) es paralel,a 6 una recttt eD, tir{lda 'efi,'·el plano- MiN--,. será paral-ela á ,esie' plano.. : ,', . . Dem.:"· PO'rque eO',l'lcibieñao' un' planO"; rtt"ras" dos par~~el.aSi AB-" CD, si la 'recta :AB el'lc0ntrase'al plaN€) MN d:e·l!Je'ri'a haeer1O' en ün punte.rde' ¡lk aD, 10 que e-s-~iln ~O'sible;. luegO' la AH '0 0 puede')ed¡i®lmat, al pla~O" MN, Y le s~rá paraiela •• L..' Q. I~/ D. "', . ~ .37"2 ,: ~ TeO't. Dos ptanos MN, Pf¿ (fi'g. l' b S) pe.r.pb!~ cZi~ uta" 'es!' á :una misma- reetá' AB", son pCl'raleto'S' e!l t.re si;, '~"E! ~ , • ''l' _ J. • . D em..." ~o rq ue' sí .se' encóntrásen' " tÍrandO' de 'u n . pu-atO' düalc¡ uierca O,de la hiter secciO'n:déisl:r@c tas 7\.O, OB"':~na eh d ú;Jla plano " la T!!cta: AS seria,' perpeNdicular á! las dO's .linea,s3-OA/O'B:'(§ 3640,'y eH el'.triángulO', AOB; habría: dO'S 3.ngul€is re(:tos ', 10' qué:.e266. éilf; ¡ . ~) 'es ,Ímpósible';, 1u,egCJ 10s"'-P.ra:nd~ :s 0I?-~:p~ rá.l e-; T .In ;t "" ' ." , • 16S411.J.:.o .. ., Q ~'-D ... ~ ~ • r". ,-"', ....("Jo ,. fi'3 " T eGr. rL a-s inferse~ciones' EF, 'GfI (~g-;-':I 06) de' ,iiosLfI;¡Zanos 'p'a1'aLelo$ ' MN?':.PQ " cori- uf¡ tl ,"cef 'p {Ja~ .' ." ñ~ ,F G'" s?3'l'líneas. paratet,as?:,l¡'~·,~" l'.).;r .. : ' ~~ ";v t, , ,.1?,em;b ·P'ó r,q ue si la $! J!nea: slE~S GHe,r si'tu ~ ifas 'eri Uh /;f.¡iSjnói ila:ñÓ\ que a~Fe-s IJ'rlEiF,GWf'fn.O ~bfl.rpi : t ál'élas';- ·pfó'f€J1o'g a:das se enc(;nftrátá¡.¡" l:U~g.9\ !os ,pffl:: fib's 'MN,, ~PQ!/ e!1' q'üe se liaUa~'I y :.t!arn biefl. tse .,eneén; trqfrán ; 'Y' PO'l' 10 'mÍslll'o-'110 ~.e t'i.ap 'pa ~:aJleldS; 'cfl'le" contra el supuesto. LuegO' &c. ."J .·~t ,\' :-1.. .1 o:: 374 '-: lFeol.': i'La Hnea' /JB t(fi g. !(i) S) 'tei:.pend'i¿ular i

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~,E"QME~!U!4'""

288.

,M plano iM N,I¡g~ ,perpendi~.~la.t· tJ~ pl7.lh.o ·P"Q' t:Ch'sleld. cl tM ,N'! i .! i,l r. t'):' -' Del/J' , . Por<tu~ ,si .fi>faHilQ~ á: ~rp"~liri.o la .1íÍ1~a:BO en Iq

¡ 4-

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el .plin0.PQ;j Y>}'Gr ella ~y~porr:la:, AB conce~imo.s un, .plano, ,qs.te.¡ cprtará aL. D¿[N ,eq qna li~eat A-D-.., qu~ s.erá· pal)~lelª" (3;¡ 3UHª:.~q;, F--~Jt ¡ser AB per.penrn-: ~ula.r ,a l p-Iano ~IN lo es. t-ªwbi.eH (3.64) ,á la 1í¡;¡e,a \~'D, _ luego tíljtn\:li'en lq 5§ rá .~~~.9), :á ; ~u~.paralelar B~, ;]~lll~-:: go es , p~~endi(¡,ular, alp,laúo)?Q" q lfe.es L.Q. D. D.: . ' 37"i ::r:~or:. L-as parfes, EG, Fll (6g.. 1 ~6)t.l.e, pa. f;ateta~ . C~71'fpre.f!.dídas' por, drs, p~áf!OS ' paratelo~ MIY,: PQ¡, SOl} ¡guaJes. . - Dem. POFqlu!!'conqibieqdo un pbno: EGHF que, pase por las' paralela-s EC, FH, encontrará á Jos plll: DOS paralelos en ,las lfneas EF y, GH; estas inters~c. ciones .s9!1 taQ1;b~~Jl :p~r.iLlela,.s (37'3 ), así .9omo ]1br. ~I. SUpu€s,t010 l¡;on las EG"Fhl; luego la figura EGHF ~s. l:jn p~r~Üllogr~@i!o~, y fl,9r .l~ fHismo (§ 31 3) Et;zEH, que eJ¡a J,;. Q. :O. D., ¡ , • COl-. ~u7go d?S -pt'a!lfJ~, :earpJe/(},s ' tienen' todos ,SU~ p!.!ntos· !!quzd.JSta1'ltes )O-F UI:!0'- de los .otros); pqrl!l ue ~~ EG Y FH soh perpendiculares á los dos plaoQs l\'lN., ~Q, 1i(~rá:n:.p¡¡.r¡¡J~las -é).g;Il<!les el!tr,~ sÍ. . 376 'Teor. Si dos .ál1gulo,s. CAE; DBF (fi,g. J,071 no sityados cm el ,"!ismp- pt~o, tie1}en su:~ l.a~os pm-a; lelos íY. dú-ijido:s ,en uW!'Q1,ismo ,sentido, .serán igu.al§¡j y los, p-lano~ :aplJd~ ~e 'ha/tt an, s·erá!l'yparajelos. . _ JJem . . róm~se;1\B:-Sp; AE=BF "yv!Ín!Ose)a$ CE" DF, AB, en, EF~ Pues q ue ~C es igual y; pa.r¡¡.l~la:- :~ ;.~!>, , la figu.ra AI}I)~ e~ urhPnalelo~ra. rilO -(3 [1); lqego q:~ :.e~-¡igual y paralc:;lacon (,}.:8;, Por una razon semeJant~ , RF s,erá ~gl¡lal:Y.. para.iel'!-, con AB-;· l~ego 'ta¡pblien. C:o. ~s igual y p.aFªlel\\ ,á;,~F; luego 1$1 Jigu·rg:,<.~':.~F:.tD . ~s '~~p~r:aleloÉra¡1!JQ ., y !}~ la· do C~ ¡gu!!l y p¡¡.r~l.~lo . á· DF ; luego ÁO~ tr:iª~g.u..1t?s. C~E, DB,F" t~enen sus "tres lados ig,ual,!:s ·emre .sí;, !l.:lego... son i~l,lales (2.59) Y :dará,n CAE, , DBJ;i'" qu~

es L. -r:o Q. D.~. .' l ' 1' - , ,," J ·... ~fl s~u~do lugar, digq ql¡l,e el ~Ja{lQ ACE eS,pa.


( CEOMETRtÁ~

~89

.....a~el'b -á1~pt~n~f BDF;' porque si -el plano"pá'fáJelo á :BDF tirado por el :puntd- !li', énc'tlfitrase:á las Hnea~ CD'1 EF e"ª ~tf.'C!Js pUI1tO~ q.a e eri c: y' El, \1'. '15. eñ Gyl H 1 efltóhe~s 1:¡l;S 'tres' l:tneas AB , GD, FH"·serian iguales .(37.5); pero l~s tres ~B , EF , De lo erail' ya, -luegb se t~ndrá en " GD- )liiFH~EF , h,).') qj¡e es' ab~ úrd0';'~'

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és :las unas so'nfades·,. y ~as otras todos"

l~e~<? , ~l _'plall.o AC;:E . t!s·~f·áf;a~elo a~' BD.F\ -que , eI'~

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J í.,~o ': ' <Si 1do'S planoS: p¡''¡;ale.los· MM, ,PQ:;<s{\h .do¡;·t;rt&6s 1>'<31'. O~l'os' -dos p~a>I¡'()S

0/:lBD") E:ABf; lo's angulo's, GAEj":!7!J..BF, fonfi.~Ó~'.. fóJ. t'as interseGcilfnÚ ilé\'~os ip'Umós pimlfktós f -ser.tín1íglltil'é» F TGrq ueJ1a" intersée" cion AC es paralel~ á BD, Y, AE 10 es á' BF:; luego ¡i!1 'á,ngi:I10.. <PA~-: IDBF )~'" ,'" , ' :;. -, '377: (¡f~or. ' . E~ iíf.igCiI~ ;yf>T-maao'; pOf'5i;'a9s, piano! . ·M!J.N ;. MAP (fIg. I08?; se"lmede ..,f¡edif"; Y.'· se \ mid~ 'en" efeeto ; 'pgr el ángttUi íJNAiP que fOfii)ilm¡~ efltref.> sJ ~daS'- "pe'rpefí'di(Jtlla'Y'es ' 7iNT , AP ~!. .tirm:tCHJ:e~· cada ' Un() -de eIJos .á :tÍn,:mi.mG;p,imti)lf&;,'{le· la 'inter'seépi!J ~ e omu1l liM:.!.. ·- ~ ...... ~!:>l 1.'! -3 ~;I! .. ,t !~'. ...De.fu. Porque SI ~e ~up~rie que 'e1: u\q Fiall~ ' esiá ·~0bre-· el oírle ,.comb 'd'os' flej-as de un l1bro';-'y se ~ii'aIi IJás ~perpdnaicu'lar~&'·'A'.Ni,':A.J,?, estas tambielil e~tarál1

.CQHfuflÜ~das. Ah0tá>; ' €_ohciSien<!lo que el plaJn'o PAR ·se'-érn.;pi@'bai"á' s@parar;¡de41 l'4AG ~ la perptlndictrlar A~ estará ·tan inclinada respe€to-de AN ,~ eomo_el ¡lIana *P-:B'1i1~e'GoQtieñe á'lla1 p'rimera, lo está.l'especw deÍ -ANC en que se halla:ia- segunda, Luego el:' áagulo ·¡\(J<2ti*ífleó.',NAP mirlé la ifldinacion de "los planos .P AB, NAC, que es !--. Q. D. D. ' .. , ,., Hsi}. i.?"' ESta iPldinaciofr}P:AMC se sue,le llamat ·ángtilo. ,die-clro ; y e'ua:rido €t-ánguld q'lle -G' mide es lfect0- .,~ sHUée que el un plano es perpendicular a~ ~tro. Ese. 2. 0 CuafldQ. dos planos se ·awivie¡;atl .inútuam'e[}te ',/ro~ ' ángulos o.pues~osal ·vér·tJce · SOR · iguales, y 'los)áng\il.J0s adyacentes valen juntos dGS rectoS'; lll~ gt> sí un plano es l'el'pe11dieuIar á, otra " este es perl>8,ndi'Cu~Qr ..1_ prime·r:o.19 T. l.

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~BOlVI,ETR,fA.

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i ;f¡g.~;t'lfeilt~, ,e.n.@l ::,conJ:!llrso de los, plan't)s pataJdÓlil Con ua t.e:rc~r p.lario "se verifi§a.:n,)~s. mismas -?gl,lªló:~q~ , de áilgl;lJQS\ )y. los misll1a§ ,pr0pie~ades ~ije .e1h e:.l ,cOlicu,r~ cl:e '.,d0s .1í.nea~' ;p~q¡elas con ptra~ ~~J~r.a. "., ti ~~'ü:;:' ; \ .-) . .... t 3:g.8",Tflof. S.i !lfljVMnea #P.(lig. 'I,Q©) , ~.tp,etlen­ fi;:uJ,,,'?fi ;3J.fl pl~no ]Jfl.JNi? ¡~tf)p..o .ptano l./WB1 qu~ pase ¡PO}' ,t a , A\PtJ.,.§~ra pllr:Pfnd:"q~ar. gl MN, . '._ . " " Del1~. , Pórque si' concebimos la PC peip,~Jlcli<;ular .á;.-l;¡. ¡iwe,r~¡,e~cio:n JPB, ~ ·ta AP.que tampi~l'l ~0 é$ 0364), :Ij.R.~ \ lia.l(~ rl~.ángul?, .•A~~ r~fi,G.t.9 ,; y' com\J ~~te , m1d~ (~b·;¡.7) la,.,trlcUQa,eion éc.i.e ~Qs. plaLl.?~ A,PG,JV.lN~; te~u1ta .qll1~·, el· ~l<l~ Q ABE e9, ·tP~r.pepd~c.l1~ar ~l MN" q q.e es

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be aquí se"deduce ql(e :la coman intersecqiol) P,e.¡&I!S p~iI,no~-;. ~'.1.{E , :41f'~' lp;r.p~tlllicuI1}1·g~. 4- un !er• Coro

~ero. UNi ~s lpet·p,en~,p.u~afta~ (T/jismo pl.ano1Y.fM•. Po!'.:q u~, "pod..eQ1~S!_<:oFlgdel·tll'1 .g, 1.!~ l~t plano, A~P<Q " e.s,. l:lp!P ~e. IQs¡!mu..dlOs ;qlle fn~ed_e.ntp.ll,§.~r¡ p~r la .• r.ecta AP, y ~,u.~ ,todo.s;,:so¡i,perpel'!W~1J~1i~S, aLJM:~ ; l:u ~g&da. ilJ;-

, tersecciol'l de 'ellos , que es la AP tambiea es p,e1;pen~ ,..: 1':' . I 1 . 1\'I"'T ... .!:'Jlj:tl:l~'r¡;~.r Ps.-a@.!> 3-~ L"\~ ~t! ''1rJ~ '~) . . ~> l '!~ ~ .~ '", "!,'191; ScftJ:Uª,ma ángula ).~ólYLo (,a l" f;spa¡;:.ip lªogit!'Ja,r B 9m;Ff'e~(#dp..l eutL'e lJ'ly~h~s < ~a:nos Hn.e~s~ <t~,u,@en¡.el) , 'lJ.l'l .IDis!ift~'-lIJ.\Jnj.9 í; . as~ I, ,~~~ ·Áp,gH!q. ~.91iqo· ~ (ag".¡..Q.9), ~stá-J~ln1H~g~ p>or La ,r .e '{liº~.;s.tej los, á9gu1QS¡ plapQS ASB ? BSr .,f'.'SD , Vt.:1'P n~A .u J' _,.,~, ,. ~ : ~,-", . ~ ~ • 3'.8,c:>:~'f~(!)I.i;":.-Si ,dos · á.r¡gt.¡J.qsJ~ó~id@s s~ C'olª}P9n~n:dp IJres ánguLos 'pkmos ig1.f(lLe..9>, cada uno a~ -suyo , .lo,"- pi!!, nos el! qlJ?;~se';.¡hallan tO$: ~'gU~o5;Jgtlales estafl~tl iguaJ~ mente - inclinador. ,;, . ~.' .• .>. • •• LVí . d.- ~ ~'. ,~spt ~ !~ :S~a¡~e'l ,ángulCil ASC:-L>.GF (fiw. P,0V, el í\S~,...J)GE,.'Y. etBSC.=E4F. ~ digo queJos d0S pIa:pos. ASG~}¡ f\iS1.3 . , ten.d¡¡án· . entr~~ §í una ine.Hnado!) igual ;í. la,od~_ 10s :pJªnos; ,ID~F. ,. l)GE. _ ',:.: , Const11 ~~) -: ~ª,b.i:ewi0 tom~aQ ~J>:á arbitriQ. ~.írese, B() -perpe!1d..fculá:.r ar pIanO' ASC_, .<;I.~sde el pun:~o O donde e$.t~ pel .p,¡encl.ic-War . en,c,u,eQ:tra 'il1 plano , -tír~ns~ . lj1~ OA, OC 'per,p endiculares á S..~, y.,. t~l1.ens~. ·JII¡ ' 0'_

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jorátá.l'4:l'l'e I S~~GF.-y ,! 3C=EF. \ r, • . • , • • • .<!.) ' .::; i (~~ ~p1f(NJ14pue.s t(jj f.eLre uami:láteJi0tSAQ'c ~s igual a·1 GDPF·"~ ' p~(I.tle¡ p:OÍliel1~~ ' eh'ángu,l.(;J ~so.blpe ..s~

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.1gnahfDGJfil..a ,€ausa de SU\.=='GDc,f JSC:::::=GR.,. el pUilltó~ A~ c¡¡¡erª, tJrBn:;. 't¡ eLC wF.,'l1,h mismq tliempo laL'}\O ·¡p~..diol:l¡tar) á , ~AI. C¡H!.r,á,í s0Dre 'la ':ID!I? pe-rr p.efidiS.ul'ir',ád G:07~ '~ igw,alinedter.G>O sO'bt.eJ?E ~\ ,1'ue~ gJil ¿e1 Fi_úr'ltQ .ti>3c¡té¡:á sobr.e ~~ y, se,tendrá, AO:!::iD~; Peto; l~s if~¡;¡g,\.!los " AOE ';[ B1?E y-:lson lte'Ctátlgulós en 'O.eY . 'er;¡ · P'VJ'itr hÍlp!!lteúusa AtE., ' IDE>; y .ell'1ado .€LGT;""'BP ;~ duego.: éstus tr,i~ti'gulos~ St:l& .iguales 2( 2? 3 €{)17i, ~.?r"y .por) l~ mismo el áflguJO·@~B:::..PDE ~ Pero eJr\-áogli'tO..oA:B~ ~ 1ru.::ÍIHcliná:cfen cl.e .,lqs doS plan'es ~J\,G_; ctSAB,} ¡.~:;e,l: PDE'".es, la Ín,clina:ciofiude los:~ do& planos DGF, D.G E, luego estás dos lnclÍnacftDilés mn: iguare&.I ili:r.' ~. ~I"D; 'i I ""'.~ r~. ~ :.~t:'.: ,¡'; ]t)e ~dibIila~ JI16S'l!l.~na .q.lie.~)elo'S 'ángulos sólido$' fonwllido{ . ;c~m(mld.s[j:.sut.er.i6re'$< s_e,,pueden lsuperpo'ríef' . tl·~ mudf) lq¡.¡e,....e, confundaru '. [\ . iJ ,')¿; J ~ ,. ' ..... ..

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~us¡.otJes·'¡diJiIlen~iones ·de long.itU'd, latinlld y 1>r'0Í1ufi? didad~ 6, grueso.', Cú'ar;¡d0 ,ía. estensi0il se halla, tertni'i"

nada:

pOI¡ 'plall0s , ~se llama en general sólido., ó má§, pobiearlh . . " '.J;¡,, ~ >.~.d.;:. \ ..

~eQ. cU~~p'o

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~9'3

a.~eMETRfi:.

'_ Cuando 'elc,ü,é rpuiéonsta de cUlI·t:ro cálras', se )laio, roa en partic111ar tetrlJedro ; cua¡;¡d{~ 'de sei5.,. exaedro; cu~n:~q ae oého., .:o.ctael1r.o; euanqo/. de dóce, dode caedl"O ; y cuando de vei01e, icosaedro, &c. ' .: • 4 •

iDa i'l'ltersecájoº' QOmUofi de de,s! caras adyacentes Ó ,ári~ ta .del p0liedro. ~:." ....Guando el polie.d¡;olti~rie aos·.cara1r.'opu~snas igua" les Y;l1anle1as' ~, y.la's d,e.mas ' caLaS son pa~aJlelógra"; mas' , .: s'e .llama priáma 0j- tos. dos. ~phtnos 'paralelos é' iguales, se llaman bases del prisma '; yi Jos paraI.e.... 10gratpos , .C(¡l:as "del prisma; cle-dondé r~su1ta.Ü7 S) ;¡

.de' It n -poliedro ',:sed lama lado

que:'foCl~s ~as ·arij~a! .

de· .un .pr.isma; sonJiguales::;. :::. J.. 38z ,Par.a 'Eoñcebir¿Jorníad(!) u¡;¡ cu ~í:p6 de est~ e.sp.eeie , . supongamosJliielABCDEd(fi.gl :;I ['1) sea'.un po~~gt)rio cualquiera:> ,) y que en un ~l"Ja~o ;'paralelo 2.'1 ABe &~. • se; tír-en.. 11asd íneas FG",. G H,",HL ",' &c. igl.fal~s, y paralelas á.Jos lados. AB i;: B.G , . C~ " .&0 .. ~oh , ~sto se.for.fl1(\![ áí:'i:lñ pO!.ígQt:lO F~mK .igual'oál AReDE ; y si despues se unen tós v.!ertiél\:s de lps án .. ~I;blqs ;h0mólbg0s~ pord¡yedio de:;las...r¡e<ttásrAE,::BGj. 9B" &c., las.:.c araslABGF:, B C.8:G~L&c.t serKn parald6gÍJ:arnos ; 'y"e]: ~cuéllp,¡' AB:€ldfElW GHL "fofmado Iil~ ,este,modo'será.:uíLprisma, cuyas, bas€;~ ~on ABCDE,.

F:.GDIL&. '·

c'"",

G"¡~_', .: .. : ;,j.:':(I

, ':->

y

~'J\l:l

Se llama. att!~ra del prisma !¡t. perp,etlrucuI'alt ti.rad~ d~sél'e, una d~}¡ts báseSl:á;:ia, @ puestarJ.ó ,& SLl prolonga, cion ~ éLlande 'las' ~ristas ack"púsma ~ o:n pupendicu.:': lares á la base, el 'p'risma sé 'Hatna'?rEtcto ', COIllO' el ABCDHFEG (lig. i 12)'; y cuando está no se veri4 ficá., es obtí~uo~, :éO:(fi~Iel ,i\B C;;]}).EKF.GHL (fig. 1 II). ,3 S3 _El prisma se llama triangulqr, cuadrangular p~ntagonal exagonal, '®'c. s:e gJul':se!lJai.base triáng~, ]0, cuadrilátero ', pentágono, exágono, &c. " ,,~ Como hay diferentes especies de cuadriláteros r!:~!r.aA~lJe d prIsma étiadt;angu1!tr d',edb.e tdife¡¡en~es DtltJ1l¡)..re-:l''';: alSt~ , c uando ':la bas.e"e's ",uni paralelógramoj s.e, Haljl;¡' llaratet'epípedo; cua¡;¡do es J Ombúlicle , prisma flQJ.1}boid,a~ ; .clland<ll .r ornbQ , prisma rom&t ; lClu~nl1io. la base es un rectángLllo, prism6J d.ec!'lnzuJan ;::'


I

~EOMET.Jtf~1

I

~~~

¡ua.ndo ,la. Oase és 'un cuadrado: y:-la áltura es el miSnio lado del· cu:ad,rado -, se le~J1ama" 'cubo. • . :, ~ ,.' l' 384 Teor. Dos polieMos:'nopueden tener ~os ñ iis:'

mos vértices, N-;eii el mismo fiúmero) sín coincidir e~ fino con el:otro . .~. : l<. . , Dem. Porque si suponemos construido uno de ellos, y se quiere construir otro ' que .teng'cl J0S mismos vé¡;tict\s y en el mism;o mÍmere, cada: plano ' de los que JO'rmen el segundo ten'diá con su correspon::diente en el primero, tantos pÚtitos comunes comd ángulos ',hay¡a 'la ca'raí"del .poliedro; Y como "en cada cara+ha de "naber · Jo menos" tres ánglitó~, re';' ~lUlta 'q Úé' tédas,Jas caras co:.Áddirán, y por censi1. g~iente los polied!'os qU'edarán ~oufundido en IJUr/) 5dlo:..~,( Q'.::E>., n. ,,,:~, ~ '".. 3'8; ,'l'epr. ':. \J)os prismas son iguales', cu:ando rtien-eh

'en

un áng'ulrq sólidlq ,¡igual cO'mpt:endido por ,tr:~s; pla?léJS~ i.guates cada 'lLn()' aL súyo, fJ semejuntemente 'caldeados! ; . Espl: 1 Sea:wABCL;.abd (lig. 111) dos prismas. ii¡ue tengan el.Jngu:lo sólido B~al 'b, 'y ademas lo's planos fOllma'R,! e~p:eciill'3(ln~nte ABCDE,- .ab'cde, ABGF~~bgf,,"Y l3CHG-b.~hg-; digo que estos pris-

que le

mas son

iguales."

I5em.~·

,':..

.

~,

)

Cm€'ibiendo e}<á'Ogul@ sólido B ,su perpues; ·t0al b, se. e\0IDfiundirán (380 coi. ) p0r·sedguales; por ser i'g uales. los planos que 10s forman, se con~ fun&ir4 rx:exactámeilte ABG;DKcen abcde, ABGF con · obgf', Y BCM'G'~¿on bc1ig 'f"lu e-g1lJ el lado .G'F. caer:á · 50br-e su' ig,ual . gg " GH :s0ore' gh " Y toda f~ base superió'r ;EG~K. sGbret sIDj ig~l!lal fghtk; luego los .des prfsma:s :!ABCL , abc}r ,rlri~len· los .mismos· v.értices; 'luego (384J se coñfunditán; luego son igua~

,

y

· les. L . ~. D::n:; \{ 1 -: . ~ .,' 1 386 Te0'r . En todo p·arabelepípedG ~os pl-afll!1S 'OpuesJ ( tos' son . ígual.es.. y par.at-elvs.';. ·y recipf'ocament~ ·"si· u,! 1>0liedro~ es.tá "teiminado:por sei~...planos pcwalelos de .dos en dos', es un par.aleL:epípe4,o •. " . ;,~ ".: ' . Dem. ·Por ser paralelepípedo, las:qá§es 'ABCD, EFGH,(fi>g. il o! 3) 'seu '.paralel§gramos i.gtlátes ~Y" pa-


.. '~4

G't<!rM'ETR.f.A"~

lleGH ,.tesult¡¡. L,

J.o~. Q. iJ). .D.

,

\

· ialelos::> P.eto: :Aif) .ce~ igblaI y pa.r<l'Ie.laiá~B€~r y.:.A:& · igual y paralela.á:-' BF,;<ll!1'bg~: (37Q)rél,á,¡;¡guló 'D.AE:~ (3BF; , ~ ~l,pl¡¡,'no. D~B' pa,llialeJ.o ..~ ,G1Ji}F ;. ly.eg o (3;13) tI par%l:Je14ig:rám~ DAEfI:E a-1 CBF.G'i ,3 C:tlmo d~ mostr<~riamos lo mismo de 105 paralelógramós :A.BF:E, t I! ',

"v':!

,','.'

..;-' ,Ah<i¡r:ª.; sisup.oneLBGS 'q¡lle,'lIDs'..Seis)planos s~¡m pa~ 1'.¡¡..I(lJ-9s~.¡es;to es,- que·AF ;:;paralelp' á ~p-~,. A;ij;fÍ, ~9.,

;}hAG<* EG, ,se <tendrá. que' laf,comunes' j;Qtersecc~o¡. . nes ¡de .}fo).s,-,planos. AH , DG!...con el :AO;; se.ráfl\ dog;.l,f~ llea~:A:&, De para:lelas ·.(C3n~. La's AP·"B.C-, .cQLE.u-: · nes .seccionef de' 10s -planos paraYelo:s &H.:;·' ,BG. con .el AC;, serar¡. paflvlelas; luego) la ti.~1ilti!J ; A.r;;:, ;,es un .p,axale-j6gr.amo;:., -' .. ~ ; -- " f:' , : . ::: 1 ~":;':", De! mismo modo demdstraríamID.5. q.üe,,!odas, J~.s demas ,oar-a·s:.l<? 'SCH] j per.o el AE'.,. Q.a~E§ 31 3).,~:&, tgual y. p~ale.la, á ·1", EE';' eL8G da llG jg,a'á lby p>a;naJe1¡¡, á EG:; d~ donde se deduce'033.6),~u:e, e.lr,á;ng\!l'lo. E.FG'~ ABe. y. e1: :p~ralelóg¡¡am{)l) ABCp=EF6~~ 'l\.le,~di­ Jb.iH:~~?Q e§ .!.In: p,a\¡¡aleJ.eplífpe®o.:.L! : 2 ! ~ :~. ! D •.Q" ,$l!:t'lle0r• ..Si .to~ áng¡.¡;t.!Jsl 1:Lompl,trgq-$'HPpt!8SfOS':J de ldS:, ~~gr..'de., un p@oialef&!p'edo~ réétó i ~e ivo-!n"'P~lñeiJ.io ·de tas .tÚagor¡aZes DE , HF, ~l ptano,jJfIijF'¡'l9.tl~ pas.~ '[lppefla9.< 5 divi'dirá -al 'p.tfl·alelepípeao-tiJ,BO>HEFG e~ dOf p,r:i:s:más ABJJBEfI1; D~GllF i~w'p-J-.?s::i'. ( ,1, ' • • ,,t , .~De.l'n." ,;JUg,_' B:aturález~ . de-l pa~ale!ep-íp:e~.Q da· '!" ( .t\.:&CU~!EFG:H, : 'f::p~or; Jó ' mism(:)'1 '4'11Bi1)::;:: :pIBC~ :t:~f:t=FG:H.; lluegC!))~el. .;í¡ºgld'o~ $óJjdo -elt.cr&e-~á,¡-t'l:üd ª! ell :E , . ~iJ.e$' ~l:;''Í9g.l:Ilb~ BGG~~EfH: pll)8 ;re.ctCJ;?I; ,el G(:D¡;pAJE'f-:p~.f láf .1J!.iS~ I;a~'oH ,!:lY debBCD<±:H.EE p.~r 1~ jg,l.lalda<$ ídeo;d,i@hQs' ·plÍiá~gi¡Jd.s ~.:Pef' !!nta;p.é!-pie ~3;8¿~ la.s:, Qalas.,B~.GFi; :rli)'([:GH so.q. ir~~~~ÚMamenfe

iguales á AEBD, AEE'G; lueg9 (3.a) )llos «los~pds';, n.-,Q.rD• .El" :- :.i:~ ,. S;OF. ;:-.tLife,go' .:eh,pf.i,wlll ,¡ p,Jial1gubarZ¡:tlIB;{)JlEF l.e$

Alª$('Jú(:l¡;¡,g,l:ll<l,l;és, SQP, htl;Í¡tl~&;·

~lq It~jt·g:d.a.~t pJIWik~¡';pip.~do,t-l..a0DH1}iFG, ') qtle! tíen~ la misma d1tú/(rJ, y c!fya... bas'J!ll. 'AEGD'l e.$ dupla ,ae> l'cs· ~¡D, P)I ~fieJ' .: , . ''''1" -"~.r " '"" f.l :f~PP ... . . . _~:,ny,;I' ~l. :t n"';o V'I!. , I l •••• :..,:' .. ) . ' <. .... .: __

• .:.:p&.8,a ;'egS;.i :S,LdQ~:. ptlna?plepip,eaos, ticnC;1J: uf¡aJfas~ .

,


GEOMETRik.

~·9

s:

tomun , 'y Sus ~ases opH~stas en un mismo plano' y, entre unas mi's211f1S' paratetas , ., estooS paralelepípedos senrn. equivalentes, ó iguales en volúmen. , i Espl. ' Sei¡1.n A:G, AL (lig" 1 14) dos paEalelepípe~ dos que tiene'n.la bass; <;o~un ABCli> , y las opuestas: EFGH, 'NK!l1M en un mismo' plano HK y entrr/\ Jasl

I

paralelas E'K, HL.; voy á demostraor que el parale~ ' le:pípedo At'3:= al AL. . ¡ . '. ' Dem. El jí>araMepípedo A.G da ABCD=EFGH, el AL 'da ABCD:::t'NKLM, lLiego EFGH=Nl.{LM; y añadiendo a ambos mieq¡bros la parte ' FNMG ' resultará EFGH+.FNMG=NKLM+,FNMG, ó ' redu~,iende> S,!O: tefu.drá ENMH=F.KLG; ademns el prime-, re da AEHD=BFGC; y ' 'Por, lo dicho (3 So)! se de...:: duce el' triá;I1gulo AEN=BFK. Luego los prismas triangulares AENMHD, .BFKLFC tienen loS' ángu~_ los sólidos E) F formad0~ por , tres planos iguales; luego' (385) dicho!¡ prismas sQn iguales. . Ahora; 'si del .poliedl'o total AEL se q uit~n dich0Sc' ptismas, los r,esiduos seFáiFf iguales, 'Y se tendrá. <, . AEL-AiEM::::AEL-BFIJ,~ 6 pa,ralelepipedo AL:::: al AG; que es L. Q. D . D . . , , . 3,89 Tear. Dos pafal'elépípedos ,de Za misma base

y altura son iguales en volrJmen, ó son equivalentes~ ; Dem. rP tJrqu€ $i ~1:1,p0netÍlos que ABCD (lig. 1 I S) s~a la b'ase comun,de los do.s paralepípedos AG, AL, ; resulta que por tener una misma altura, sus bases su-> periores EFGH , RKLM se hallarán s9bre un mismo ' plano. Ahora, ii se condliien pr010Flgados los planos. A:EFE ; D([)GH , 'y los· ADMR , .B0LK hasta5 q ue sé encuentren " f?~marán :p~r- su ~9rhH~. in.te~seccion un t;rcer paFalelepLpe,d'0 Iluetefid:ra la ml:~ma'~ase ABCP, y cuya base opues'~a estar,á Fepresentada. por el· pa:' 'ralelógrauio'NOP'Q. Bero"este .tercer 'p1fl'alelepí'peao ' es ígua-l (388) en volúrrren al :~G,;' fluene hiendo la. misma 'mase in.Éed01' , :la.g, sil p"eJ¡'iO'l'es éstan en un mis- \ 'lIla plano y entre las paralelas GQ y FN; Y_por, ufia1;azon' semeJánte 'este térceti p~rale'lepí,pedo será igual con el~f1\L; l~lego ' AG=A:Ly que es L. Q. P.. D. '


~9~ r ~ "3-90', )leót.

aiOMETnf:.t.

Toao piwaJetepípedo se 'p,..ue~e. epnvertif/'

en' uno l'ecto y r.ectángulo de.igttal' votúmen" qué tenga. Id mi~ma ~ltura y u'trIL bcvse . eqlávaJente~ . ,:; .. \ " -:D.e1n. -::-Pollque sL~,G:Jé¡;. 'el paralelepípedo. prop~esto ., ,y desde' los pu'ot<;lS' A, , :B, <;', , R~,; se tiraEi t ,las "HR, CL" DM-, perpendicula!tes al plano d6 la !pse, t~ndrémos fOEmado el pafalelepípedo, n~cto A~, igqal en volúmen al AG. Luego si. la base: ADCD~és-:Uli réctá;ú~UlI0 ,rA:L será d pa.ra!eIepí¡;>edo ;-;ecto yrectángtllo equivalente al propuesto AG. Pe" r-o si ABen (fig. '116) l'l0 es un re.ctlfu'l gulo , se tira.." , r,án las, AO , .8N perpendÍGulares á en, 'despues las ~ perpendiculares OQ y NP- á la base ABe]) , con lo ~ual se. reqdrll el polie.t.ro j\.BNOQPKE' q i:Ie 's erá UF!( p>lralel@\pÍ:peqo 'rec~o .Y~:~reet<lnglllo. y ,"om.o los dos ) , paralele.p'í pedos AP , '4L ~k puede reputar que tie.., ¡ 'nen la,pii$.ma base' ABK.Ei y la misma altura AO, re- o :mlta que son igt¡ates en vohímen;, llJ.égo el parale., Je.pípedo oMÍGuo AG.(fig"J>H) qu'e ~e ha:bia ·t'.!lducido á l).fÍ par~leLepípedo ~i:.ec~0f ~qui'.vd~nte' AL, ¡:¡e el~'J ~-lJef!tra de 'IlUeVQ cO~Vcertid6: en. un pal'aJe1epípedo rectángl,llo . AP, que tiep~, la ,¡nisrr¡a, a,ltura A.E; y ~.!lY!l base ABNO es 'equ,i vale!lle á la AB eD, qu~

AR,

~&

L. Q. 'D; D.

" ," '. ., T,¡¡d'a:sec.cio.n NQPQR (fig. 111) hecha ' lill Uf} .pi is'I1'f.a p.or;~n p¡'ar¡o ,p{J~a¡eto 4:l.Q .l]q,~~ ¡lIJeD E1.' es i.gu:ahi 'eslia b.Cl;se. ;' " . , (· Dem. " Porque .las partes AQ, JlP, ~CQ, &e. · del \ 39 1 " ':f~or,

f

pp.l.:fll.e!a:k compl'ell~,idª~ ell'tr~ lQs plal10s par:¡.·lelosr ABe, NO]?, ,~o.n. igllÉlJ~S~ '~37 SJ 1 y aSí tod,as, las 1h, :l gu¡:as ~J3;PQ" 8COP., ,~c! jlon Ipa¡;akJ9grql~(!)S; • D~; ¡HFlÍ -se si,glle 'qP41e11ad<?, J?Q ~s~ ig!lJla~ y paJa':-J lelo :l A~" G.P, á.:;RC, :;O.N.:-:á cn, &:~,;' Iuego (376) d~

á!lgulQ aBQ¡:¡::QR.Q,:ihQCP.,.,-pON ';J'&c.; luego.JQ~L d,¡os ,poHgQPos ArBCD~,' NO:rQR rri~n~n 10s l:~Jos YJ ~os áng~tQs iguqJe¡;, g~~r:e<]~iva,Q[e!1te ,, ·h~egQ

59!), igua-¡ ' ,(1 . ,3pz Teor, La'$up.e,rficidateral .de. un prisma.es. igttq¿ ptproducto ~ ~e. ,unq ge S1J,-S 41;,i~'@v¡jor el pedm~ J!!s. ,L.

Q",1), :O. . """'l. ~

., l '


----.-----~,

._

,--~~~------~--------~

e-EOMETldA. 291 perpendicular dicha ' ¡w'ista. Dem. Si el .p risma 'fuese el abck (fig. 111), susuperficie láteralr seria igual á la de todas . las ca¡;as ÍJg, .bh, el ,. dk, ef; pero si por un punto cualq lúer~ ¡d'e UHa de .las arist:il's se hace pasar U!1. pla:no. nopqrJ perpendicular á .dicha.arista, será perpendiüular -átodas las demas (370); luego el paralérógra!rlo ag .. gb~pq ' el bh=chxop, el cL.dl X110 el dk~kexnr, el ef-~kxqf' ; y corno to.dadas aristas'a.f; bg, ch; dl, e]¡,: son iguales, Sé t~nará que supo lat. de prisma abcdk=' á la de los paralelógram0s ag+bh+d+.dk.+'ef+--

tro- Jel" -una ,secéíon

a..

,i

bgxpq+chxop+iUxno+kexnr+ek~(qr; sustit\fy~wdo bg. )á las demas aristas, y sa:cándola fuera:' de un p~rén-, t.esis como factof C0IDun, resultará supo lato de ¡trisma abck=bg (pq.-fi'.apft-fto4r¡r:+rq) =bgx p¡!rim. de seco Vlopqr, que es L. Q. D. D. , -

". Cor. . SÍ! el. pri?ma ~s reeto, la seccion será paralela é igual á la base, y por lo mism,? la superficier lateral. de un prismá recto es igual al perímetro de la:. ba.se rnulti¡>/icado ¡>o~ ;u arista :ó 'altura, que es lo mtsm9, '_'.398 Te01:. Dos paralelepípedos rectos IiG, a~) ~fig . .~ 12), de iguales bases ABCD, abed, son, entl"e sí (¡.amó sus alturas AF, af, ó se tendrá AG:ag:,:AF:af. · , -Dem. Aquí '. pueden ocurrir dos casos, ó q_ue his . alturas seaH com«msurables, ó que ñe Jo sean. ' , J. o , Si tieñen la comun medida AX=ax, y es pre-. S¡lmos por m,. n, la! ",,€~es que está conte!lida en ·cada·. ~fla de' ellas, se tendrá AF~mxAX, y lif nxax; y' . formando .propordon :y simplificando . pe!:> . AX=a-'f .s¡!rá AFwf::.m xAX:n~ax:·:m:n. . . . Si por 'los punt0s ' de di'vision X, Z, ;&c" "",z, Q.7c., t SI:.. tll'an:.planos .paralelós á. las aases, el paraJelepí;-l pedo AG quedará dividido en m paráleh~,pí:peaos i.~; guales ,.E:{l)¡;¡ 11.1,]" y el ~g (in .n iguales con au-AU, y. todo,s .ig).:!.ales !!nfre sí (3 89~; Y se tendrá . . 1 ~G=1t1XAU, ag-.nxau=nxAU; y fOl·mapq.o pro.. por~ipn §erá AG:ag::mx¡\{J;r¡xau::rn;l1.


298 crEoME'l'itÍ1\. Esta pxtilporcion y la anteriol!"dará' (§ '184i 2. a, AG:ag:iAF:af, que es L. 1.° Q . D. D. ;, '2. 0 • Si las alturas son incomensurables ', se de mue.stra por UoW , procedimíemo .seq-¡<tiante al que he~ mes segu~d0. ~3 5'2') , que la razml d'e AG:ag no pue~ Q.é sel' rna)íor: ni 'menor que' AF';af; luego sel!'á igual! 1,.: 2.° Q.~ D. D: • " . , ' , 394 Aunque hemos dicho eh el t~orema ante. l!ior q u-e 109 paralelepípedos, han de ser rectos, y- j ~!110s dos sÍg"üentes decimosl ve¡¡:tángulos ; es por la. mayor faciliclad en7las ,construcciones; 'pues las propcisiciones se verifican en cualesquiera paralelepí~ pedos. Poxq ue segUIT hemQ'S visto .(39°) , tqGlo, pa;,; ra:lelepípedo se' puede convertir' en)UlilO reoto' y' rectángulo igua~ eo ,yolúmen; luego' 10\ que se de mues.. tre de estos quedará -demostrado de, aqueUqs., ' ' 4

, ~' 39 s' Te91'· .

Dos 'p~rabe,tepípedos r.!ctangulos AG" AK (fig., I.I7) de, 'una misma akura AE , son entre- , . S,í como slJs, .has,es -ABeD, AMNO, Ó, se ~endrá l.. AG:AK::ABCD:AMNO., " -, Dem. Habiendo colocado el uno 'al lado dd otr(!);

€0mQ representa la. fig,ura, prolóngl,lese' }:l pla,no ()~l{L hasta que encuentre a"l DCGH, cuya comurV s.eec¡:ion :sea: :PQ 7' y. tendrémos un tel'cer para\lelepí. , p,e(,Í0 AQ, ·que se pód¡¡á ~ compa¡;ar ' emn cada, uno , . de los AG, -AKI ·l ,qs AG, AQ que úenen la_mis:. ma,·~a.se, AEHE> , dan AG:AQ::AB:AO; igualmente les ¡ paraldépi ped0s .j\:~ , AK, q \!le tien,en la misma., ~ ~~sre AO~, ~dalil IAQ:AK::AD:AM '; ,multiplicando Qrd.enadameqte y' 0m'itiendo :( f!91:). el~ faetor, comun· AQ , s erá AG:AK::AB :t<AD~AOxAM.; Fero.'ABxi}D F;.p~esema .~3S'3 esc.:~ la: base' ABClil,Jy AOx:AM:cre. presenta }~ Al\1N:(j)I ;~ hrégo A¡G:AR: ;aBCD:AMNO;: ,D ~'T q l!le, . es L . (.)(,D X. ..., . i ' , ,', , - ! , . : - ' . 1396 Teor. D'osLpar.atelepípédo~ recpáng<u~os ', cua~ 'lesquiera , . s~n .entre' s.í (;0 7110 , tos productos a,e'sus base,s: por sus al turas , 'ó c~mo tos .productos. de ',ms tres ,h... -mensiones " '. " • ... t, ' _ .

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C¡.OOJV!~:TRí-:A~) .t:~.tm~. ~ . p:pr~¡Jl~ ;hctpie,ndo . cQloqado ,los ' ,dos

!:99. 'para-' • lelepíp:i:!dos AG, AZ (lig. II7), de manera que suS' ~lljpe.rfici~s ' te. ngat+ ~ el::apgJ:ll<;¡ eOJ'Iluñ ,BAE, prolóngyense,- lo$ plaaos necesarios paraJormar el tercer' p,<tnaJel¿.p-Íp1!do ;AK, :Q.e)¡¡. .¡pklfla <u~urª q,bH~ i"el AG,. y l rt3,95~ ) $~ ,te!Jel-r-á. -AG;AK;:ABCD:AMNO; pera' (3.93). lq¡s dos palia'I~lepípedQs A:K, A2., que ,tienen ~ª,,¡ ¡¡¡isq¡a.;. ba..se: .AMt'J:JD} .dan, Al{:AZ·:,:AE:AX; lue,i go '¡uuhipli¿ando ordenadamente estas dos propor~ dom:,s 'J ~ ólI\i,d.endo·),el.fa<;tor' 'co,mlm AK) 'se tendrá .~:; .AG;A:Z:;ABCDxAE:AMNOxAX; . y. susti!lly,endp en yeg;' de, las tlilses1 ABCD, AMNO, ~U$ valJiÍres AB4<AD y AOxAM, será, , :~ l\G:AZ::ABxADxAE:AOxA:MxAX, que~s · ¡. ,. Q..D. iD. '._ ',' '. . ~ . <_Cor,•. ' De , aq:u¡". se ~ deduce que se .puede tomar.por.. m~a'ida· d~ un ;PataJetepíp{do r.eetángut.o el producta -.a.e_;¡Ít¡bf!K.for !~u alt.ura , ó e,t producto ~e sus' tm di111?nS~Qnes; con tal qlle por esta! espreSlOn se: ~tiendél: el prof.lw:,to de . !~O~, númer.Qs de , uni~ades li,¡éMés, ':q~11 ¡;oll#en?, cadl:J .una, , ,: "' 39r¡-: ' Para" ,tnerur lo~.>yelúmeJlés ,l se ,ha elejido perAl-picl,ad 'ehc14b\;¡, ; ¡e·Ui)';I? : IékrlO.. s,ea:ttambien la u... nidad, esto ¡;S, 1 varl\. , '1 pie, &c. Así ,. si el cubo " .. ~<&g: l"l~) es' ~l ík ~U¡i!: :~.<j.ra .). y: "liu'p:9nemos. que, está cOIJ~enida la -vara el\ siete "' veC~$, en en d0S, ;; y.'en CG CUél:.!ro, ' \}l pa¡;alelepipedo rectángulo ~F< s€rá.:: 'VQl.C.F: ~'i)'<~),<4 yara~ ~úp.icas -:-.,6 va~ r·as.: I¡:úbkás,., :/>, 5"6 CllPoll iguales gon· el a q~e se, t(i¡mÓ' :porí ü!Íífilad; ·. eolPEI. lo manifiesta l;r figura . ... ; ¿1 398~-Te,or~ __ E;t :uc;t,Íf171en , de Un paral~tepipedo, y' en - :generaI el ;v.otú.m~n cJ,e un,pri$ma ' cuatquiera; es i;.) §~"t al pr:'oduéto á~ §4' qá.${ por su ahura. " -,.Dem, : Porque I.Q.~ un ;paralelepipedq cualqUiera' equ~vade ~~'9o).,i¡ uno' recte y rectángl,llo ,de la mis, ma altura. y de \l!la ' há.se e.qui valeFlte.:. Pero el vo·! !timen de ,este -se ..h~lla multiplicandQ Sl!1 ~ase por su;.altu¡;a·F:l'uego . el vol~men del primeto es de! .

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300~

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p<?r ' Sl1.

mismo "médo -igtia1' a,l P¡:9duéio.. dc' -s~u 6is~ ~ltura.

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' ,. ~ 1\ . , ¡'l';" - , .: 2.° Todo prisma: triángular l e5'la " mi1:a~ de un paralelepípedo ,de la, ~rrfi~mál · álturll· y. de .dup'la ba~; se; .y como el volúmen de' esre 'eS igual' .<Í! ;stl ,ba'sei maltiplicalia 'pi>r-'su -altúra-;'~e~u.Ita que la' &1 p ris. ma triángular' es, igua'l al ' p'r6dl!lc~0 de st! maS'e,) mitad' de la del pariIJelepípedo, multiplicada por' $U alona. ~ • ,_ ,_ ' ,l:' , , .:1 :.: , ' 3.0 Un prisma cualquiera se 'puede div.jd,ir ,en tantos I prismas tdángulareS' .áe-Ia, misma alnír-a, ca. mo triángulos se pueden 'form.ar en el p0lígonG que' le sir've de base. pér0 el. voJúmén de ca'da pl'is . ma triánguJar es i:gual á su ',base fl1U<hi plicad:a por su altura; y e omo la, altura es lit , miSll~a pa'ra to~ dos, se' "s~gqe ' q lf~. la :sumá.":.dé .:to'd'Qs los' prismas par<:i ales será igual á ;la suma,de todos "los:: triin'i. gulos que les ~iryen d,e , bas.e's'" ml}ltiplicada'· porlal altura comun. 'e ' , ' ,- • • ' : ~ ';: ' . " Luego el v 01ú fin e n de .ito" prisU;;'a 'cuálql:li'eraJ eSl igual ¡l.l produc~o de su base pon u artura'., L.Q.D.D. . Co.r. 'Luego, bos prismas qué te't1gan" 'bases Y' ni. wras iguat-es:~e(án equiv~be'tlt'e~ ~ (Ngua6e~ e:1l voL~m~t~\; ,

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De la pirá.mide 1J medicion Be "SU superfiéie ..-

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399 : Se U<l!l~a pirámide ' un pGliedl'o que' tieBé ___ por base una" figura-cllaii'¡.lli'era , y cuyas caras son! triángulos ¡;¡ ue tienen 'tlhtárrgülg eó. 'un mismo pun.;¡ to "llamado cúspide ó vé~t.ice de .la pirámiae; ta·h e~ el' S~BP~)é: ~lig . •l I ~) eni q u:é el polígono llB8?E es la hase de la pir,ámide-, "& 5th cúspide ó vér~lce;. y los triángulos "'A&B~, Bse ; es}), &e ~· la~ '.!;)áras.~ Toda linea S(),,~ figs. 11 9'·.y a 20~).::q ue des6.e el ,vérti· ,ee s.e tire perp~ndiculat:arente á' :la báse '~ á 'su ~prCl-l I lunga.ciol1', se llama átvura de la pirámide. ¡ • Una. pirfrmideJ.es: t. ,riángut.a-¡· ,:;cuadr.auguEar, blc•. s'e.gun la bas,e <lS 'un. flriáng.u!'o ) . cu~tilát.erQ ., &c •.~


G,~OM~'l'Rí,é:.

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:.: Cuandp .el 'poHgtlflO de la ba~e es regular, y-a ... demas.1a líní!.fI.,.q!1e ... Uesde el cúspid:e 'V'w al centro d_el i?olígon~r es perp.endicular á la basl!, la piráuri. Pí! ,sdla.l,.l1a·figWilr.J1. y.: <;!uando le ,falt:a ~lguna de es... las d~os circ'unsta,ncias-;, se llamaj ·rrqg;.ut¡¡r... En la-re:~9JjU";sl!:Jla.m.~~p,ot~tl.l9..la perp~ndicular,SK (fig. 119~, que .desde el cúspid~· S .se tira. ~n. :una~de' l'!,SC:ilni.$ . aJ, !ª~~ A~ :4e lla." b¡¡.sg~ ' . ... " , . !L ' :4,00 TeoIT.;" E-n ',·to.dg . Air411Jid~. régtilado$ .lffiáfli. g·~J9s laterat~~ 4SB, ESe, CSD , ~C"I (fig•. Il~9"I SO)i· ~5ó;~~le.s ·é,ígtlal~t .. enJt;~ .sí. _. , " .::_ ~:;~.i . .;,"~! Jq: ;¡L,rP.~m.. ¡>ot SJ.l pelne¡se la 'p~rároide ,(,eguIar "la: fierá perpendicular al pIaBa ABCDE ,:~"0s . 'J",ªdw .()~lic~os ,AO ,' OE , &~. serán i'glla1,es ;-:.lueg.o (&:68) l~!t,jilI!>Ji~l!as :::~~<" Sj"t,. Se., .&0. ~ on, ig.ualeg.,;·, luego . l~,$ ¡!:l'iá¡igulos Sa~, , : S:aG,.~Ql :sQI\1~~cele~ ;.;y :~, :!!JO a@eJpas tie~en .;ig\la.res" los·#~os' l:; CB" ,BC·,; &c.

<. ' sq

;.ge:,:.lª:,l;¡A§..e . ; '·S~:JRti$!r.e 'q~\! ;:ad~¡nª.s 4~ ~e.r 1Zi~,6sóeles

;son' (2 59) ig ~at~s. ,IkQ ... D.• D., ,: '0' ;::'0 ,; " ' , ,' . v\.Cpr. .. Si l $.~ ,,;cQt\.,?i,~eª.,. pla¡:ros. ROF ·,la., ,altura SO' y' IP"Y);, ªadfl, ,<u.n~ d§e( lª~,- ~ris.ta·§:, .rq~sa¡¡f\ri, !. d~vi.did'f"" la

pirc¡.jmide •.en ~ ~qrjt¿as :tirámüJeh '~r¡Wngutares ig.u'a16..r {B'.lI4} ,.c;"omo lp~p$~, t-i~ne. lá ~4!~h;"$. ~\no , á,~m.¡.ue,Ji pi'rámide .se~ iJ.r~guJª,~., se '" puede , di;vidir su: , bas~ dllsde . un punto cualq'Yi~ra ".Q.e ,el¡a:, ,en. ·tantos .ttiá:a. gJ.1'los cqlllo'fléljQ,<¡ls".ci§ll\!, e~pqibk.Qiiótpla:i'!oS p.or":'ca.. ~ac aT~sia y (P'9!:1a.~!í9€'a qlj¡~,;\Hle- dich(')' punto con el yértice , ,que(J,qr.á·,t1;i@fdida fa pit:.átni.4e en t Qni a$ ,J.rf..á1b gular,es' como La.dos ,1!ene. ." Jo: q fi~. ~ :? . . ;{', ( , .~ .,t¡.0,l TeCi!rJ "i. .,I"q sUJ!erficie ]l.a,tera.l¡ S.,de toc1fü'Pirá~ 7ifffle . regut-qf' .§J ig~JiJ :a( ppri7p~'trP tP:;~~ ~a basp,;ppr la mitad ' de la apotema, que llQ1l;1:ar,~'IJ105 Apr ,. ÓJ

-se .

f§l,1,drá. S~P.x~4p'. : '::;:;;: . ._'" :d;: ~~! :;" :,~!,.. • ,. ::)c,. -:.. •¡Dem. , P<j> r'é §e,r regl.llar: ¡lar:¡pirárnide, ·todos. 10$ .t,riánglllos Ja..J~i! lis perán jg!lJ~,1~s1 ' y ppr Jé m~$.llio lil l,superfide late,ra! equiv·~ldrá..á ta~tta:¡; vee,e~ unQ

~\f .ellos, CQlllQ cir~&. ,ti,ene. la,~,'p!rªJni,q~; y. éom~,esta tanta·s ¡·~~r¡is , <;,qmo la..q,ºs · l~. bªs~ ., rS!s~há -que

~Ij!ne

~a~ndQ .n al. flúm~~o_;d~ 1~,a9s de ~ l~ base,~ s'~,('j "

/ 7Jj!l!llll>..~ nll,~

m!.JIIill\18)\


8Ó~

1

~:E(HVlt'!':R1:A:. '. Jl~t'I1t~tUft!l@s ;~p€l'o> la supep/iHre-:<il€1u>fi ( f"r1~t1gIiI¡j <tal eolrto.~el"'ASB I ~e .;halla 'mü'lt-ip'li:€a nd'o la r.Jitá¡i:'áe

s

J¡¡;-apo;elrla ~Sk 0 .Jip., p0r 61- ladp.!}\lB:;' queJlalI!aréi. ·ttr0S !L; b~r~klJ! la :{su1ie'r fide .de... u,n'0.:d:e, "1o~ t>tiá'¡;¡gulos - , T ' O:~ /I, "'1 " ,J ' <~" ~ " .. ~ -". :1atera 1e$ (. . se);a t '-':!~'2.12;P"i o-que;;\:la.'lta.... z.. • • C.v, ,<>"'. ~'t-ñxf:,.}~,-tl.lp.fttñ;tx~Ap¡ 1 y'~GltIf~ ñ,f-::"":'P s s'e,11émiFa

'eSo" · L_<Ji Q D' • D, ¡-' , •....fc '"• ........ p " <,'_c J ~ 'r,' • ' •• " ' Si á la espresign de lai' StíperfiGÍé -1a~e'l'al a~ iíadiml)'sIUi...ad~.'t>a~e j ' s'e , t~hdrá la· S~l gerficie'(:r~tal 'tk~¡J~~1'iitá!ni~e:. 'O u¡:tb\:l¡;¡ ,la pi,r;¡¡'<il4ide,ó- eúalquiér"'b'ti'Q poliedr,o es irregular, se halhv>separadamente 'la 'su, 'P'é¡'iZ:i~"j d~; '"ada :¿ata , ~,& , s u- ].'lÍ:mWls:e;rá la supúflcíe ' ...1 l' '" ".;. ;"" -.1.";, '" , j " ,, ' ,,1, ' • t j ue pe l're dro; 1'" , !, .... ~ ~ ,-,' (';¡ ~d2"T,.ed.~.; ' ~:;;5!i' ú1ta .pirárr:i·(1'ct'! SA~CD" (fig.;;t~I~ ise .'~Gjt.d~ éfJ~-tl.n ...~¡~n~oi pa~átek<>:'&.J~~ ~W~-'B91i!, seuvel'iL fi:/?'ar'~rt. tr-é's::" t'Osas : ' ~L:1c 'Esté'pra11,o':rafj;;:táJf--a l.'aAeaOis ftlQk

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~~s',h(fJMiH:d.g:oi¡Jt:~!ll~s"9.1fiiiltf, lPÉ ;~b %~ &é ¡tf( bebfe:fy d~ lYI/,see:o:if)1Í\:.t~,;'i..,'.bQ. s~eeion-"al11...ecf.';¡!é,r.¡$1semejant'é'-altq hh!éf,;;,1iB.Cp..:i3_.:~I;ia; f.úperfi"Gi~ ,¡J.'éI.}a.tb'ji-se AB(tI!J'f~n}

i:lY.á:! e()~ l-a¡¡-a.Utf4.b (ü j t+{$ )~e-eiol1 l 4¡¡Jmisñiara~o1Í qtW~ó.$ -ctilidi'auós lile l'tts ~lÍif¡,Ífaf. ;$E¡"Se,' : - .:;> ,) ',(, ; .. ¡", :. <M¡ ":' ~:'ill;qíl. ;'l~¡.a, ~ '.pÍ' 'j:H:> i ':1111 It'e'é t a SE:.y ;11'0 rJilá-s1á1,is ta'sidt

la 'ph:-áI~ide 1 si~Gfóhé.1g1llI1::'~~s p~áli0S:SE'l\l., 'S:ffiB, ;SEG)

&ch estos 'cortaran á,"la ' ecc~0' ' iSh~¿Fefl~ -lils~'lí,neás 'éfJ~ eb 1 &e. q.ue serán paralelas Ü1S') 'w'1a,s EA j -gB~~ &'dJ ~uégpt'(;2E) l-o?tr<ia"ñg,Wlós' ASE, ¡gsm, ASB; 'BStlj'&c. , ' . , ' ..1,' '" "' ' b.g' o<'S'~ ' 'S~í{nrse~Ja:h~es él: ,~l~s 'eorrespo¡;ftl:'1c:ñt~"' ¡¡q,é; f!.. ' e; ¡¡ Vi ;¡.,s"C,¡ ,~ ;... , !l"...."' H·~I" '';';' . ."'~'l' . , ,~~ ¡ l . '" f l JV "Ule . yt1.Q.·lalJ.t ~ . . ~~ . ", 'usA·s· \:,',.On.\ 'T~.a .;7 'b "Y··13C;1J SE 'S . e.. 'Cf':··SB·S· .• b'··se·s .. . ~.,.& . " e." . & G,. ;. .' c.· :;:. . l2 ~lf' b~T;Jn¡Vtivre'0 q:J.!ef los ·WáagiHos "1\:.E B; BE,e,

;GEDtj Sic. eWq i1;e·,és1á-divfdr<rl:a ti [Base; i\:'B'<CD, ti~ 1ifen SUs' .ladas r~s p'l!éti v'él:mente Pf¡lf.p'0f:ciOi'rales á, lo,s d"e'1ós¡,triáng!1'ló§:¡¡eb', bé-'J, Ged,;.~E::, en il ué esrá Giv,~l 'i!llld-a ~la: se'CeíQJ;l - a'bcd~ ; *res tiltá , éfll'e<;~Od:0's estos tríá-ii~ i ·U'los:son " se"'nheJ~ntes.:u~os~,á .ólifb~ (3Q'9) ; luego: f¡¡~

,


,-

,GEOMETRíA. /

.

·303

~los =figútas ABCD , ab'cd, tambien I~ 1seián i~341'). , r 'p y por ser se~~ja.9tes las fig,ur¡t~~ABCD, abcd, serán entre sí ,corn;"'1es- euadrados'-cle-su'S ~lín~~ hQ~ \

mólogas ('35-7 ese. 1.°) Ypor 10 misaro ·ABCD:abcd::A,B 2wb 2 ::SE2:SeiZ<

~i:¿S:L.~Q.-D. D: , :. ' ~_."

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COI'. Luygo si 5e .cortan dos pirámides SABCD, SFGH (fig. 122) de ig-fales .!!l!uras SE, SE!, c.on U!l plano pargtelq al de S,us-ps.se" las-secoione5 abcd, fgh~ .~ndráfl tina con otra la ra:<;on de las bases ABCD, FGH; Y si esta¡ son iguales, iál1'leiéi't:jo ,serán la~ seccionp •.,_F~rque por\.}Q~elrno,strado ::.~ti!llamen~e;· ~'.~ s~~¡.,~A'gC,I):ab7{d;~AB!.:·ab2:"S~2!Se2 ;,,;per,.lla ·-misma. razOll FGH:fgh::SE/2:Se/~; pero SE=SE( por el SU~ puest0, 'y como el :plano es paMle~o á lfls,sbase's) e.o;t>ta,m :·ti.all~es •ig1J.ales ~ae.. :las, alturas ·;.'lueg@..siemlo E~'"E(:e! -ig.uales., los. .re~iduos ' ~,e , .Sl er,áfi.-i'guales; y por lQ ,mis'moJJa.g:"~os propprciones -de arriba tea':' d'ra:n.J:guaJ la ,~l~ima :d'azoIT', w Jotmando,prbporcion Cl!lfl las .<iJtra's dos ser;bhABCiJ):abed:~FGH:fgh; ~ A:BfD.FGH:::abcd:fgh,;)ltle'gó si kBCDz:FGI'J, ' re~ sU\Jt~rá 'abcd"':fgh, que~ es rL.~~Q 'D; iI);' G.. '1: ,, _:;,) .....E~e.)o (' S.~ ·ldiee de.-ii<lÍ~ .'pirámiaes. que son ~.e1ñij,!n. feü,.~ :,c..Lta:,iil:docsus 'bas,~g; Sl1n 'sem!é.fante~",,·.y ,;ti~hefi Ji0'" dasd.<1is..-'línea..s hom$IQg~s :ipl[o¡Jor~iohale.s ;~-y ! ·C'IQlJ.lO toda:d,;i~;.deJa ~· pi'fálmAe ' S~<BC.ID sQn;-ptGponh:5ria~. les IjOIP fas ,d:e Ia ,Sabc4d "Y::J'A.B.CD es ) s;~ejante !~á pbcii .,..~e's'uhá :qué '~a:: ,pir ám'i'ae' '.'1 úftada..c~, -aefi'qleñt~

Sabed ,; es semejante ,a lÍa ~S:.AB~D. .: 2.,.!);( l f" , '.. 4~ ~ ·lLa! pal'te' A~Cpp'bcCJ 'que q'ltedo1l' 's e dla;ma trOl1co,¡Ó·,.tKQ'ZO ·de . pitá,mide,,~IÍJÍ'pkámide tíruno{jdil; 1 cuando lá pirámiqe <;le ~q.u , ~~S1ltta el uoz;o,e5'il'eg.u~ lar" ',SU' superficieJateral se' haUCf 'multiptitando.ü¡ piir.. fé d,e la apotému Gcompf.effIUd-a1'entl"e ·/ras<Uos bas.es' o.... puestal.,.p.o!: :la:semistl11m. de los perimetro,s de l:'af baies :parc¡.lera§'i 6_por eP prJíníet'fo- -de una seéc~o~ he... fha &~dii.tá'l1das. íg~,alés- ,de ~'a$ "bases pai''al'elas 10 i;k • . Dem¡¡., j!or:q U~'! observaBdt>Jí ilJ:ue 'todos' lq~' tra.¡re~los _tendtálL u¡l~ misma; aftlwra ~ (ti¡.:.' N!lI~~ se.l'á

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Bu p.la t ~e.titozo=kK!l(mn+~'Kxnh',+kK><:op4-1dtxpm¡:j ~K%~~J~l-hño+op.:+p¿I¡);::;:kJ{x p:erim ~ del I.SI!~) ~(~pii4is" tanter-cde'!lasJ¡¡a:s.Il.;S ,p.a<Ip lel<l!ll.' J¡.!¡ ID. j}:'¡f,!l., :,,\ ." { (

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nC4-Q4r11'~~ll¡; l~ ,A ;;t,Qit:a :pJr..ámi:c:ke ,:.J¡e~pue{1e- .if.!SCflihi\l

&- cju¡fr!-iG.:f.15i.r

·~ I'I., ll-úmeto.

de;,p'tismas., u'f1 :'irl'anera que

hJ •dtf!r~l~e.ifl .ie1J.'t~~. h¡; ;~'a:1ct:e,.:tos :-circ.unsC:i'i'tcis.1Y 'tu

de los in:5cr;ito$, sea .mr!.Jfol\!q,ue. él~a}qHier f'l!ift:i(j.~a. &d!J¡!J, ,1!.em.7; f!S~~~ .sb.B.GJj~fig'l~'I<2 ~}.:J.a pÜ!ám~d€ prolJD'tIes. tª,.;; lli.Jsel.d4,v\de 1a ~lJ¡u;r~ r:en mut nÚfIleJ)Q ocl:llatq:.ui~f.a ~e l,~rtes~ Í;g.llat~~~ " 'V'c; ':g':rea ~ ,..:. y p:or J€l&J1pufi>tbs~de diY,ÍJi§lfl."se.,~pql'!iºel;Í[::.p.k~s t pád'ale10s u "bás~;:se . g:~~t~i~iJü¡iSC 1~, ;pi..('á@1l.id,e~ ert otFá. 'SQRtT","y en tantos;~. tl:Q1Z'Qs.2.~ltl:Nirtl* ,. ~MlNHGE' , ' F.@H~BA; como pautes tenía 'ia',~HJ:\ia mé'nos, ¡una .:eol1'<:iJ:>íeddci ~:

:;.a..s

¡¡!loita ~J1·tP'ms!Jllª, ZVfoT.RiQ ~ ,qu.,e tengadaJ 11isma, ba~ ;t :a1t-l;llr~ €} ue la, :.pi¡¡ároide.."y.,~n íaacl·a;J· :n:ózo dos

.

¡ldsJr1.a§.J d~,J.a misLpft¡aJtura •.,que él; q,ue e~ lWro reng~ p9r,. · h~s..e la 'Q1ayor .<;le.hfID~(i) :'Y el ·óti(')·'la::~eDo:r., se

teJ1Rr.á;\Í! l. tÚ~m~¡¡o de iprismas:oircunsewifO's

OE1:JN,MX:-; LKNI1G-F,. DEHCBA~;"

:?V$TRQ,

yl; eh 'de· ltJs ins1, cü~otd:iR:TNml ~ XMNhIg¡f FGHCbli i p:eto . el 'pri-

mér pris.fiIlª,,~ir.eun§ critc¡¡ ZVSTRQ ¿s iguIél'¡'(<.J9S cot'1

c@Q.;; ~J ~IlriJ:ne r "'i¡;¡se:rit.<:le QR~NmL; el'·segundo 'cjr,?~ñscri~9: , C.0!l ,et ~gij~ld,Q, insáito" y.eLteicer.o .eoa ~


GE6~·r;:TRÍ1\~

eI~ !~~f6.{hieEa

,SOS

la d;ifer.éúcia. entre 'Iar_S~~¡t. de los

circuHscritoS é inscriws estará representa¡ia, .p.or e.1 tí'ltiáY<,hcireúnscrÍoi: o DEliIOBA ; y. siinsctibiéramos y c.ir<fUfiJS'éDíbtél1arm:ds duplo númc:mi> de 'prisma:s , e.l ú~ timo dl"Q:unscri¡¡(') "Íue-espr:esaria:la dife rencia" selTia . . G.'<llS f.v d:~ iI1e'd or rque~" ebDEHCBA; y como c0nt\- 1!UaFld.,ó .de-llriJismo m@aO lj I¡¡:L ~-lltim,o prisrua e:ir'c.I:l ll's~ criro. -erúe fe pre:sa ~ la, ¡~f~re ncia, va .haciém!IDse dos vece~1 Ü\eflOr ., 111 calbo de.tai.ertG tiempo llegará (2'29) á' s~r c\lllen0r q'4e '; c,~aIGfl1ier ,cantidad. 'dada "por p€.queáa:t que §eaJ.' J!,. Q. 'ID., D.' \ ) : ~ ~ ~. ; - c. €ór:, e ~.$ieQc;J,00 d voi.úmell .d'e¡ la 'pirámide mayor que La 5Umiac de' tos prismas il1sc-rh@s , 'yllneQor que -la :de 'losreil1chdserit'IDs coikma-s.. t,:fJ'Zon se t'e podrá ins-cribir -ó dhlunscribir,uh' número :de pris1'Ílas, de. modo ¡quéllta ·i:JiferenGia entre t'a,súm¡r de cuates·quiera .de -es.:$os y ~h,'V'oiúl1ie't¡,¡'lda pirámide l; sea mecrlór que cuat.fquier--f,gnttdacl -dada por..:peqUlifia lJue sea.:, . :1 1 ~o,:s 'Fe-or: (i D06 pir.tÍ11'1ides de igu.a~ base y altur.a :$O~ ig~a~es e~ ~,otúmém :~. :. ~ :1:0 ' . J . '.)' .J ' . ~'¡· ~De·m. ,.. -Sealfl¡;SAiB-G; 51.A((~'G' las. dos pirámides; !si> sé :c'Onci\<>,é 'divi.di~(tsu altura en mu ¡pi.sj¡llo .ti!úllle.'1'0 de lp1fr.res,;1gm¡,ªle& ,~ Y: 'P0IJ dos ¡púntos ,-de dillisipJ¡¡ se hacen p'asaH p~wno's , ,l-a's' sciceiones. qLl:le tau ~<:;:n.: $!S­ t0s~ :plaJilós s~f'án"i'guates ~ (4:1i)2 cIDr.); concibie'l)d,b a:hqra \:ln; pústlla .!cil'~a\nse,r jfo .,'lÍcada una de nla.s par¡·te:s ' .en ;q 1,l.e:: q u~dan. cl:~~ddid:as- ...,las· pirá'mides , .y, Ua:mando'· S ~ 1a; ·Sl¡lr,na ... d~ . rhils ' .pFi'srna,s "cirCU)lscfÍ~@S ' á oS-ABC·,:.j. S' á la :.de'i..lo.$ :ei'rcunse6w·s á- S'iVBr.C', se ,teQdri! S:z:S'-; .puei. ca~a ;prisma de'¡la 'SABC, és ig.ua.l {398. con.] ' con el' c011resp@ ndieflte",cl~ ' la S!.NB'C1.; ·perofS.: s'e pl:l~de ; racericar' (40'41c!0'f\) á SABe, y. S' á .S' A~B(6(' :.taHt0 .<>?m0 ;s~ q Uieral; lueg0 :teHemGs .a quí ·d0S- CaHtidades ¡~S.; - .s;/, !I'v:al'iableS1 ; pero· siempre igu¡¡;le-s , que se pu~deñ acér,c ar .á- las dos cm~stélJll~~s (SA:B0,"S!N.B"O:.'tah1:o óomóql(! 'q·t¡:ieJ¡aJ; }ueg0 (b3 l . J <'!'Ol'.){ estas ; cnhs.tarrres~ &0n ,iguales ., ,y ; ~ :. 1iene tSA;a@=~' I/B/l.', ~e es- L. Q. D . D. ~' : .. l· 406 .a:eox; ~..'EU{:trd ,;pl'isma ,Pffáng,ut¡lr '.,4/..B,CS.n,E r

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T. I.

20

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306

GEOMET~{~~

í: z4) 'j,Se pu~de~ cliviclir~.en fres ' pir¡fmiaes.;· ~quí, vate'ntes. < . Dem • ."Si por las diagonales ADL; AF ,de~de.s ca::-

(&g.

ras cop.tiguas del prisma> sel ~oncibe un ¡pláfi(~, q.ueqará dividiclí;>' el prisma en dGS pidlníaes unai .triángulat: , ADElf ,(fig!_I Z S), cu.y a ',baseDEF \y-::.la :aJtu-" ra AE' serán las mismas quenas deLprísmi!t: r.y ,la otra cuadrangulll!r (fig. n6)qíue- ten~rá por- b~'se á la otra cal'a de! prísq¡a,. >y:'-p.oc_altura á la ... ah~ra., del tri!ingulo BAC .de la base., $.i por las aristas .DA, ~C de esta se concibe un pla~o ,E>AC, su c0:mun secciGm..eolJ d ' BCFD'" sel'á la diagonal De~ , por

lo

qu~ diqha pir~mÍde quedará divídida ,en otras dos triangula~es 'ABCn,; itCDiE., q lktendrán bases igua~

les (313 ,-, 1. "h y W1ct mÍsma.altur'a r por .tener su vértice. comun en.A;. "por' 10. cual 'estas d05.J>iráinides serán igua:les en volt1l'l1en. ,Ahora, la: pirámide D~AC se puede considerar. q;ue.tieoe por _base, aL triáagulo BAC , '~qu.e es una de las hasb del, prisma, y ,por altura la. misma que la del p.risma.;. y como las deoS ;base~ oiu'est~ de. un prisma: son iguales, resu!.l~ 'q ue ·las' dos pi'rámides: DBAC' y . ADE"F'i.~fig. :...l'z_S). ..son , igu~les tambÍea en "volJmen.;¿ lueg0'c las tres ,pil'ámi. c-es: son iguales en \lolúmeá. L Q.~: D. D • •,. ,,<! I

;' COI'. , 1.0 ' Toda pwá'mide.-:.tritmg¡wlarres. e1 tercio: ele 'un: prisma tr-iangutar. de-. igual .bale' y altufla.;. jDórqul! ' eq uiv~lfeüQ;0 eL prislna ':&k([;FEI1.(tigrr 2~1 á tres.ptramfdes iguales con la Ar>EF;> Lcada u'.fla; ele ~s~as s,erá. 'el ttl-rdo.del prisma:; y: COl1'J'Ó pad'etnos e0hce~rr, á toda. 'pirárnidft di~r id,¡:dal en ta:maS\ pirá:mí~e~ tríalilgulares como, lados tiene su base" y ~ cada ',ilOa::. setá, el tersfo - .del p,rJs ma 'ae' igu'at ba:s ~¡ y.. cahl;1ra ~, r.esulta, que ,en Lgen'era~ 'toda pÚ'ámide'r de. .cualc¡uimetase' que. se.a., 'es -iguat ~ á . ta tefléera p'art,e, .deU/;n, pri:ima~, de. iguaLbase "'" '4J.~,._ ,J ' , ' • ,'. y. altura. ~" Gor, 2 o ',;:Jtuego siendo el v,ommeCLdef jDtÍs\lla (398) iguaJ á, la\:superticie.de- .s,a, 'base n:ruhiplicada. p~:ú' su altura> et de ba.pmtmute seráügualr a ~a superficie. de, j la base-riJUltipíi~adapot et- te,:.cio á,d a aHura.


~ÉOMETRiA• . ' ; .... : ...

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307

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l)~~ los .pQliedfi9$' regutafies., ó ¡J~ ~os cincel c'uerpos re-

gulare-s.

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:: 401 , Se llaman. poliedros r.egulares aql1eUo'S cuyas caras Son p!.0Hgonos regulares igualeS, y cuyos *ngules sólidos .son todos iguales' emt.é sí, / De e~t0S sólo hay. los cinco siguientes 1 á saber: el tet~aedro (fig. 127)' que es un cuerpo tetlíllnado pl:.tr cuatro t'riá:ngulo.s equi,l áteros.íguales¡; el oCtaedro (tig" ,~28) "lue !!stá. terminado por ocho triángulos e~i:láterosjgW1les 1 el, icpsaedr:o €fig. ' 129) que está 'terminado por veinte triángulos iguales; 'el exaedro ó 'cubo (fig. 1,30) que esfá .ternúnadd pór seis cuadrados i~uales ,; y el dodecaedro (fig. 1 31) que está terminaaQ por doce pentágonos iguales. ' Para hallar su $upel'ficíe 1 se halla la de uná cara, y §e multipHca por el D:úmer@ de ellas... ' " ~ " Para eñceintrªI' su volúmen 1 observárémoS qye , siendo el teJraedro. une piramide 1 le hallarémos conforme lo .hemos dicho (406 .cor. ·Z.O)1 el octaedro no ~i~Ii!~. á.§el' ..0tr~ c;qsa que- dos pirámi'des cdadraogulares reunidas por su base', y la: regla que acaball1es de citar n_oS- dara su . volUmen l' y sÍendó el eXáedro un,cubo noS servÍr.á la r.egla. dada (398). '. , Ahora ~ pata hallar -el V'(1lúrnen dél dodeéa~di'0 y ,del . ieosa~d'r(!J, ,. l?s cClins'idetatémos Ctifi10 C0!l1.p uestos ~de tantas pirámíGles.:'colIW cª,l',as tien~n '~ 'cuya base séa e-aªa .eara)' y la altura la:. mitad dda distañc!a . que hay éntre dos, caras ,opuésJa,s. . ,

...

~

.

D~ -los tre; . cuerPQ$ l~eJonJ;os.,

-

4<?8 . Se lla~la . cuerpo redon'd.o ,6 de',reV'olueion, ~l ,que está' ~ermil1ado p.or una ·superficie,que n'o presem: t-<l,. esquinas ó ángulos s.ólidos. !: Se llama cilínaro un cuerpo .cuyas dos oases ··O¡\Hl.I!s.las son dos:..d rculos iguales y .pa.ralelo.s , :y 9>uya :;Su peJ.:íi'iie la:ter~l'ef ,~o.l1;v~:x:a-9Jal e~ ~ EF,CD (mg;,t3*


'a~

GJ:O~ETRtA:,

la línea AB, q~e une lo~ ~os cen,tros, s~ l~~~a S? ej;; (!uando el eJe:es pel'p'eual~ula:r.. ~ hls~ hia1s-e'S\ , d :ClliE'~. dro es recto; cuando no, olfticuo, tal corno c,l EFtD (fig.133); en cuyo caso la altura es la perpendicu. ,l ar DQ tirada' desde' mi }'l\!lnto ' cMlqi\,i:i~ti 'ae l~ --base superi<?r á ' la inferi~r ~Ó·' á.ISU ·proiongacion. " " El cilindrQ ' c,acto se pue.fie ·'aoh€cbir ovijinadQ de la revol'ucion .de uq Fectángulo,:!A!B.Cm (fig. 132) al 'l'eded0.F del lado Ínrnóv,H fAB>; con e-sre rncnr,imicll~o r 10'5 léldos AD, BC,describen 10s.cÍll'caios·ig.u'a'les DHP, CGQ~ que son, las b¡tses· dd cilindiro i 'ell~dé CID ~7 .~ribe su su perfide lateerai, y ../Ia línea AB es eFi.ijje> del cilinaro. . ~ . l . " "" 1 ' '" ,'i~ : ' . El cilindro coblícuo se puede. eonsjder~r ' formado del [flovimientpi ~€ un círculo .FGCQ (~g.~ I' 3 3) pa<l'~ lela mente á sí ¡rni-srnqcem la d:jreeei'bI1"cl!e la,línea CID: ,''' 4°9 .' Se dice que..u.n. poJie'd -cualquiera est;í: ins· crito en un cuerpo Jreaoodo t cuando ¡todos los V€r¡~ -tk~s '~e' sUoS ángu,los"s'ÓHdos se; haHam '€n:la superficie ·del cuerp0;:y que eS'Eá: circtlflSCI,jto', cual1ldQ todas sús ~caras Isom tangenteS' del mismo ' cuerpQ , ó. sóio riene ·de cmnu.n con él, una .ttect~,. estando todo lo ·demlti . . : .,, !:.f ,de lea €ara fllleta. . ;' t, v 4Iet -Teo.r. ' T(}dasecc.ionMLHN(fig~. 132)' 'f,H~ hecha en oitj rdr.o paraleta á "'as rbaseS',; 'es un If.W\~U¿o igaat.á' las;,bases. f C' L • ,¡ " "j ~ ,. ~"; Del1':l-' P0r-~'er , el ' pIerno M Jl.;K pára4'e:h::S á la: ba-Je FGG>;"se tiene (§ jns+;jM=BS=KC=&~.S ·luego, si ' ~e..·comeiIDe ull1 •.nÚlne'pó cl1ailq uiera. 'de ', p-laniYs '·EA.!BF, HABG, &c. que pasen par: eh eje AB, t;od'a·s · las.:.~f.i~ guras FBSM, GBSL, &c. serán parale'lógramos (311), que ,d..ai án: E'B=MS'; GBC!t::l;5,-&.c. pero FB= GB=&c.; luego MS=LS=&c.; luego todos los • punt~s de la. seodo¡:í distan igúa'lmenre- de' S,; y:'por · 10 misrnu;¡, es ¡:m 'Qtr.t.uJIil '; : y LOmo su ral'iio es igual-al de la base" resulta que. e1 1<draulo' sec"d0111 será igLtal -"al de la base, ~ L Q. D. n.. . , ,;.;4 r '[ Teo~ l·'$iI en' e,t ci'ti1Jdr..Q 1:ectó se1 infcriben y éir.,C!U'(isq ibenf! do~-' priS7h:,Q'$, ¿a 8!lpet j1c.ie <d'et.'ci:tindf G

un


\

C'EOMETR:iA.

309

e-s. mayor. "que ,ltl.::d~loihsc<r,itj) ~ ''Y menar.. que .la' ael cw~ Clins~f'it.DJ ;',y.Ja'. difere,nci·a. 'e.ntre. ,la .supe¡"ficie del cir" cunscrito y la del .irL5:crit9 ppdr;.á llegar ti. ser menor qÚfll cüalquier: :.cantidad·..dada por peq.ueña que sea.

el

;:.~ .D..enJ.~ 11 QI·tqSea p petÍ91e.tro de l.a .base del prisw'a-.i'ríscritOl) cu:ya~supeFhicie late.¡¡.abespresa.r émos por

Q:;,gí .có!ÍJO¡ su ;a·rasta será , el misrnCin l:ad0 L del cilindró ,..tpnd'rémdls (.§' '3<9Z cbr.)_Q-- pxL.(m)· > , ·1, . . . ., -L ~41l@na ~;si au~neñtas6eJ' ;mtím'erCi). de lados., ,crecet'Ía (3íJo8!} el 1lperimetro p,-, y;: por. consiguiente t~mbién er,~ceria.daf)slllEerficie Q; y:cmno el prisma que tenga masJ' á dos¡,·.tendbá mas,.avi:stas eGlD.unes. con 'la sumer1 \ ' r nek deFí::iHnd:fod~' y' adelll1uJa superhicie .de dicho prisma~s;e \haHal/á:e.ntr.e la, dcH cHindTo y la del prisma:' que;tenga .meReS);l Fes ulia. ''1 U,et Q es :u na cannidad va.f.[·ablei, jqtie.:aJ:: ,pa>se 'Cilue. creee ,se <;tcerca á.la su per~ fideo.eol'l,-;eXa ;.íkl.icilindro. , lque!,.es. coostanne; :luego ·(i2~¡¡.)'esta: es·Jmayor qll'e':aqueUa,f·L. 1.° Q. D. D. . 2.° Si esptesarnios 'por B el perímetro de la bas~ ~elh)!fsrMa1cj:tt\!lI!Scrico , y. pille su sup.erficie.lMe- / 1'a4.., ~e\· télJdr.á.":"n=pxL t.n). ~, ,~ . • ' __Aho1'a: , }si el- número .:de laaQs. de ;l a mase aumenta·~.\. P rruSIil,bi:ú.l!ly".e' (3011) " y ..pol; cWF1sig.uierlte tambien disiniFllli.r.a'.;I'll(·\supe-rooie n .; per..(!) ~ elc pris1.Ra ' que tiene IIJJ.a-s. Ja~os se aCeJ.1oa. lllas .á.la superfieié del cil-ind,m ., 'pp'f. tenumas aÓ1lta'S comumes, coa ella, y ,estar la , sup~l'fiei,e ! de dicho pDisma: .e!1t¡¡e la ~el cilin"dr..b :y..:.!k~€'l t;pTisma Cil'u'e tiene: rnénos, facies; luego. JI eS" ~l[\.a: c<llntidad ..,ya·riable, li},ue al paso que menguéI; . \ 5e~C6rCal.á ti'Fla .censtapte\ 'lue,.es la supeJfic1e.del / Cilili.d ro;, luego {zz,8) esto.'es menor t que "2.<]:ReHa..

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. ·3.°" Si ~estamos las ,(ecs. ¡n., nJ, se ,.tendrá.- ~ l' JI-Q=PxL .....pxL::::i('It.-pjL.

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~, .. Y;\<?0rh~ R.."..:,p pu.ede negar (:~lJ.5) · á sér~ menor que culqu'ier.:ca¡;¡cidad dada, se si:gue '2'29 .eqr: 3.°). que Jambien podrá llega,l'lo á ser la diferencia :{I-o et1tl:.e !as, s.u per.fu:i.es...d.e .dichos~pJ"isliUas. L. 3. o Q. D: I? COI'. Lueg0 CGU mas ra:¡;on se podrá cÍl:cuíls<:ribi.!~


31'~

,

C'l!)'OMETRfA'}

inscribir un' pri.s"np.á ~tl f;itindro'.;¡'Cle .m'a1J.era 'qu-e '16 . diferenciu entre sus superjkie5 sea' .m~nor 'iy,e, f;uaíquie'IJ car¡tj,dud ,lqda por pequerja 1J.uesea. . \:,.. • • ,~., .. .) 41~' Teor. , Lp ;supt;rficie ~on-bexa de un. -cilindr~ .recto, que tíamarémos G, esiguaf ,al prifducto ~dé.}a ~incur¡ferencia (¡:.'de 'S.u base por su ,tnrjir , p G;;:;:::C~J¡;¡7 •• DII'fI¡' ~ Cons~r~a·ndo; ' las_'misrnas I ,denominaciPGes de ámes" se: nehd~á. n=p.~~L ; p;~lf~ ad p~'s.o. ,qll!! atrio menta 'el ,Lltimero' de lacl(!)s /,) cli'sl:nilJu~e' diqba su pe.di": ~ie ,1l yse va a~'ercand!') lá GS de,modo que S'u1.q~1 fúenda puede llegar.(f4:1 J. ~or.)' .á.:1se.r ménGr_q.ue ~ua'¡'q\.l.íer cantidad dada ,.y com!ii aL misln'otiemp.o el. proauclO PxL.'se ace·~a. ;í CxL,," lh¡és::;p .se' pue; de acercar (345 cor:r '¡Í ' CJ tan~o , cpmo~ ,se '¡ quiera, X· el factor L es cómún', ~ F;esulta q 4e- .las ~Qs ~/tan~id~; deoS variable$ ,JI 'y PxL., sien.d0sfempne:i gua1e.s, se pueden acercar res.pec~i vi1mente~ á: !las fd<:ls•.colilsta:n; tell p y CxL ; lu~g,o (2S J ,COI',) estas l ~on j8\.lales ,9 . se tkne G:::;=Cx;L , q ú!! es L. Q. D. Ji>., j ::: ~ ,Cor:, s~ 'en: v~z ¡;le, C~ se sus~ituye. ~ti .,va10i (S4li" , se ~endr4' G=s, 1<j.t$9xDx.L_7f DJi,;;;:27f,RL, ,que 'és la. fórt:P\1la geÍ1~ra.;l, de'. dolJde , se deduceda,.sw.perfi(;.ie del semidlindf0, ~euadr¡¡.nteá.e ~H¡ndr.!il \: &€íi 413 l\:or. .A ~n cilinar9 recto $e puede 'íns¡:ribit y cir¡;;~nscribir ~n prisma taJ, que Ja.aifeJ!enctlJ.~ntr~ et 'pot~1'/'Ien de] ¡:ir¡:unscr;#o 'Y' del , inscritQ seq. mllnpf' qu'e cu~t~t¡,i~,' 'c?Jlltid-a($: 'dada por: pequefj.p, que, sea. . ~ : Dem, Sea¡:¡. a:h0ra -¡JI y -ysl l!!l~ VolulDencs de das pFismas ,circunscrito é ~i,flSCrito á un dJiAdro. ~ . q u~ .tambrell llamarérnos' G; 'PI, pi la~ shperficies de '~us bases, i 11 ,su a'l.wfa G9mIilFl; q'u~ ~s la misma .q·ue la. deh:iHnd!ro, y (398) tend·rémos ll/=]?(xA, fi.1': :p/xl11 qlJ e restando la' lina d~ la: o~ra, resuhar¡¡ ' .. , - n' _¡;j';;;:P'X A_p1 xl1={PI~p')x4 ; . y COlUO ~Ii' eSte ..valor enua por factor P/~p', 'que (3 s8) puede llegar á ser menorq ue ~ualq uier can.. tidad dada por pequroa: que sea, se sigUe" '(229 cór. 3;:0) que 10 mismo· .Sucederá á.lI/_·¡;l , que es Ó

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L. Q. D. D.

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8 11 es pa:rte del i cilin. dro, será menor que él; y, COIDO el -circunscrito es tode¡¡ .r.espe.ilío .cid, miSllil0 } :ilindro ; :s~rá may<lr' que él. Lueg€l con mas ~azon .se ppará. Gil'cu.ns.cr;;bi.r.ó ins.,. cribir.':un..pri'Swa .en.el .dti-ndflo, de m~do ,que la. d4e~ GE0METdA,

• r

(1or; - Cpmo::elj'risma in:scrÍ'.to

r.enG.iaJefl't.r:.e.:.cualqt,iiér.a de' ,s¡¿s. iJoL{tmenes' :y .el .del ',ci. lindrj) ~'!:le¡Emenor' que "cuaJ'luíercamidad .dada. . , ( , 'CI-1f 4: :~¿eor¡~ ,:Er i otúJn.ev . .de ,. un' cilindro G .es .igual ti l~:' ~up~rji;ie " ~, ~et c~rc~~~, d.e .su !base mfJt.~plicadli j?or".s,u ¡¡¡Jtu.'t~ A" ,o .se t,eri.d1.JJ¡ G;-CxA. , : 1)em;' ¡;J .~(lnsfírv.ant1Q . ji\;S~~mj.$mas d~mina~íone5 de' á:fites " teilare1Il0s, respecto <tel pij,s.Lpa ~jjjCl:llJS~ri­ to~ IY rx(L~. p~w íSi.'erece.el núm.eiod~ l¡tdps., TI' se Yaacen;.áj({h~:á G , de 'n:t0ao que ,su· 4ifer,encÍa ('41"3 r.c(!)·F9·~¡p'liede' llegar_..á- '~e~ m~npr q ue 1!ua~quiei' cántirlad"dada '; <. ~ como. a'l.;mislJlo; tielIlJ!0 ~la, ~ts,~re:, ~:ionde. W;;est.bres ." q;>~~4 ;:~e-"pu~de ~cer-ca~ á~Cx4

todo lo qúe ·¡.se. ,quiera ¡ .por ha~1Tlo <3 S8J16r.•) ~ ,á . e y ser :A "éom~'n ", nes.\;lha,.'j.que. las ,d.os " C.ll>.~l¡1.'iia.des , v.a riables,é iguales ll':; y, ..p'~;",S.é iP li~dén Ja.ceJ.~a~, to.cio 10$.1ue .¡s.e.:1fuier!l: ,:á.¡: las ,dos ' " cQnStªflt§~ _;G y, CxA:; jjjego.<~.z {, ,~ oi,.~ (estas ,S0n ;ig~ales )!y tse. ¡je&.e G_Cx:il; qlie ..es ~.fQ. D. D. J.~ ~'I ':1. ',: , .e(;:or. ~¡ :Si-..en ·~ ez ~.de !1 Ü S9 \cQl:. 2:~ . ,ª-u$,títuiq¡o~· . su ,v alor, .se ,teoorá ,G=rrt R zA; rd e ,esta , (Ól;I,IIÚJa. se:·,d~l!lG.é.a ~t0.da's.. las q.l:1e itieaen.relaciQn .~o.n ~l/~o­ hímé1bi:l:e}·. 1CiHndi"o,j. sellticili~re" se~tor" .cWodci.cG." . A. ....l n 'G R.3• \ ' " & c.:; 'y ,,'S\.' 'S,e~ tUV,:le$e =.t\., ,sena. ='1t : ,Ese• .. iba; d!m'loStriLcioh :a~terior ,s'ir-v.e ;tamb.kB.~, ra, el -dlind,r,o rf)\9lieuQ. \. . , " " ," ,. 4lS ,$e ,Hama ·~onf) 'ua ';C.\lerRo ,~figs. 134 'f 1 3s)~ • l"or :base ' iUn ~lrc':l \. 1o"I ,y ,esta' ·.;ten'l'lIla_ ... do que -\t,Ien~ ,

por

una";:SI;l'perfi~ie. :cu;r.~a\tl~e. termina .en ;UR· pUlí-'

S llaumdo, ,cqsf'llde 'Ü y rt:ce .;del• ..c()1-1() ~ .tal es, SCDBE ; aa lmea· ,que deSOle el'-<:usplde ~a al cen-, tro..de da ~b.tise ., ,se Uama .eJ~. del (:ODO; <cuando .el ej@es perpendkqlar ,á la;, base" el .cono,' es_recJo' ~g; 134); Y cuan.a0 .ne, obZicuq (fig" 13S ~ ;,eo ,este. se llama altura ,la perpendicu-la.r. bajada \ie~de, .el lo.

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~12

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eúsijÍíid~~ .J;a: 1J~se :,. 'ó ' lÍ su pro'long'«(!(011J r;::-en ftH·"eco tó ,la ' a:hu:ra, :@"s e~(. /lJ~n(.5 :r::j~. '1:- -¡r"" 1 I.~·) ' ~''';.l :"" f';Ei~'~0fi§6" t'eéto C.se-r.bHj-ifl!a' ·de ' unl: tPiráltJgt'l~\!) treo;

*-ánglilq ,BAR '; q U~~l:j'ír~ ~a h::¡¡ededor,,: de I!¡,j)l< 'catete illrp'óv.i1 ~ ; '1>lld -Iw Oak\tfe"t'novimiento ek¡:atero;'.l\'B d:esc!f>flDe~"lél!_ base -BL>CE 'F yúla. .hir..ót.en.usa ·tm'.'i,lle se llallJ'aHádo·del tO·f.l.ú· ."t~ailaJla,. l1-uJ::€rf;jcie~el~onó! ~~ ¡fu. 6,;' T~efr¡ . 'Toda.- s6ecío'n lFHHL (liglCF.g:ij. J.1I'3 S) h'eohá 'en1 ~n; 'co'no pár.at.eta~lí.'.fu;:.blr",e. a ·s \Un"pí'l"Pl1lo. , ~ Dem, Concí13a-ll's€'F0¡"MHeje', SA (l0's p~{¡s Su\:Jj)t SA!BJi~&.~i" 'cuya~· dnte)-S'e<ruibm}s".t¡oF.\C los 'plaIT@'s'( pa¡'roldos ,;,@])B' í:~FKH1.> 's(!páq~ ~37 5)~!'1 1nJeas 1 paI'a1elas;:

por . d~C~\.¡e . los , t'l!iángulós)-í SAD, J:SM. , ), S}\;E~ f&c:

¡:laranl

S~:SG::'AD:G·:W~1.:S1hs.G::ABe@.H;,·!G,)s

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S'Al;q:(¡J:~J.tE!G.b ,r;&G. '; ~ o/ icom'o, . est'ais';l ip(opllWoi\i!l1(l~ t;ieli~li) Q'Ollfun1'a: rGlrz'oÍ:111S:!\:I$G., tªs¿O'tÍra& .~etlái!iP i!)

g.uafe§ ·y.:~~¡;.á'n". ~IDIGK:. ~B:GH: :MbG:rI&c: :&c:"

pef&,Il~ ~aHte~ede¡;¡res:1idl~q~ ~aieS 'J p.~»;.:radf0s\ :de ' l~

base'~ ~llrl1i~o ' jos ~dbm;¡¡~é'r1teg ·t'arnhn'ennlolt-ser.an, j} , ~~ ,~ .J. , .,; 0K GH P""'L"-~C ....r<>. r.C- o. 'r¡ , ." :¡;:: . ' • se. f<l»l_r¡l "'''-:7 •. que.cmClln1Hesta. qlue d;ist.wncl'@l(t@dosl:los~ uñf<i>s $de fa:' isecciono .ig uatlll1ef.¡t~ del:G ;:itl.itha :s'ec'l<Ílffi 's~Pá: 'Ull \CÍFcuto~ :L ••Q~'¡D. J)~~~:::

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417 La parte,FCDmI dodi'pr:emiídáfentit'lnla' bá..i S'e' Y'dé settci.{jn.., .ge -:ll~m.a tfon'co, ó tr:oié#de 'cono, Q.:ctino ,-th~l¡fad@.';. :'. ~r:'-;-~... J: ,b.j)w; ".~ (r:.:.:t;· 1J:: ..c;4~g, ,rl1J~ot'. ,'Si enl~ufd)Qn'Ó teétol s:el?insc1 'ibe1~' y.' oi;:-; c,unschbell 'dos 1fif,~mi,tJe'S i;¡eg~la¡:es p!.á'! s~ij'~f'fiie: late~ rat del COrlÓ es, mayor 'que vq de la ·tnscr.tta ; y <?n,~f¡of:; iJ!Ie, ¿'á.lile ~ta cirCunlchfa -; •.y 'la difejjenci'a e'nt1'e la } upe'rficie de ~a inscrita y la de l'a .ú rc;a'n'Set:i.tt!;:pQará; tIl~g¡jrV4Her menor':'lJue, JC:i¡~~quief' canliiddd dlad~. l~ ,. í])el1J;:J,J : o ~ Sea:p. el 'peJ,mnetJ.10 .d'eda ,base:-de!/a .pI:; rá(riip er~flShl'ita, eU ya sl'l'J!er.ficie.-'lat-era·l '€l"p>:resaJrémos por 'w, ,y sea ¡ ·su a.potema, y C4or)cendtémds ~ G; ~ ) .l~ ~ 'Q~pxtl (m) 1.' : ! ~ •.~, ' , ' , " '. ) L AhaFaj SI aUll1edtase¡e1numero~de,lados "erecena. ('30 &) e:l perímetr,Q.Ny·1!aml:lien creceiia (3.68}la apo>'!"; t'~n1a t:; '[aego: tall1hi:en ' erece'rá la sUji>erfic.ie '~; y co::¡ _)h~ t<li pi-ii-árnide 'l:l!l.eJten·ga:,m.a~ lados, téa<ikIÍ: mas ar~s~ • •

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G-EOME:I:'lt,f k. 3q uscomúnesLcÉ>n ~ar!SJi per:rrciel:.del ,cQtlQ ,.:y Ia.,sll':perlicie::dr otteh~ ípi~ámtqe~ se,.1ía-Hitá · ~JlJJY.e ,la Ad;' ~.o!l§ ~J la¡ íde lal:,piráll1ide!.d6l\et1or. nÚme!'0. dftJtad:Ps" :re:, sulta! qu(Q.fa.;O:~ifIj¡ida,dNariafbl€,~'1;\T,,;~ iilJ'.pas-Cl 'ti 4 e}~r.ee~~ se ¡acl!\cCfI)rá }a,e s up:e.rfiQie f ClU'tV~oca: ~e)IJGº~oJ,i::;q l:le_ C$. c0nS)ba!flte r;'l1t~,egd 2:ar¡í): e~,\ ¡e's :.m4~~.l:t;~~\le-¡JHl uella,. ;r,, ~ ,.... \lt)\

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, ·6.epa'rán~1f ea-da' "ftlz:;1fi;¡~~~e51.a>, pé'rpendic:gIa¡!" ,..!qll'e ·€& ef¡;eje'¡~e1'¡con@;FY ':lJ,-,® ¿V-állÍa ;' !u:egO:Sbl:a1'diiferencial - ae-:!oriáctores:. .P -¡.: V~p;I)!L·;~ puede. ~raruilll'JT.. ~qJ;lá elil!a!~uJer 'cafolt>ida-cl ~a¿¡'a~r'l}a \ de' ~a \([Jitad.~de s.us prl<il";

dumos l, ytde.!C'<;1n'sigtiiemte¡¡}a difur:éq<.\:ia iII.....T.r; tami!. biendo~í!Jdr,;Í , Hega;s~ 'á¡ke-e.qL. -3' o .Q~ D:,Bb: ". ,¡::; ;;.t Cor,;,; ~u'ego'

óli"in~~rfibtr

CIm ,:¡hG:>; 'lI'U'.ZQ.íl.,'seJpudrá ~~(€un5'cribfn,

úrlcf pi:ránhae'I !zí:iun '(Co'nOí~ .·¡tal\. que: .ka.: di:f~:..

tZenclá ' hMre'{sus rsfl,'p'ei'fioiesJ' sea~ "(neg¡~~ (que~élfa¿qwie;¡;J can!.i4ad, dada por 'Reqúefí¡;~ que seaj _ .<¡a'. '.J ~ _,. i. /4!1'9 .meor. .Jj,',a.sap : éf:frcfé.·li)lief'~t.G. l1e !~n- co,nO"t'ecto es igual á Za circ.unfe-rencia e de -Y:' }jase 'por la ¡'hitad ~¡. '¿ T r.> 1:' ,.:1:. 'I r ' 'fe s~.' a o.,w; &', \!:r,=-~X~..u~>. ti )'i:'" ~f. ~!,¡ ~e~~ ¡¡~ ¡a t

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314

~EoM~TRr~ ~

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Dem.· . CQn-s-etvando'} 'ürs::.:mi~Lnas '.denomina'doRes de áLltes, ;se .tendrá. n:::::.:px~i 3 p.er.o a.l pasü! q,úe.áli~ menta .ell'lúmenr:de-!adu5:; .'illsminuy.e .dkha ~:sU'per't fid\! n:., y .s·e v,!- .ace.rca-tr&'ti 'iá. (J.; >,de ¡[Il(rd011.q.ue_.su _diferenda\ ~uecré; .(4!1')8 '.fJUr:)) Hegar :á ..ser meI'lD.Ii:-.que cualg)).i:ereÍlantídad dada l y,:cb.\RD~flbniSJi¡~ riempo el prodUfto Px~L .se acerca.:á-,CxtL, p'u.es"'P~e ac.er~a tH5 l!0r.~ á e,y.e1 faetón: 'tIq es'com.l1!Fl[;~6.S.ult¡t,que }.w.dos.cahlid'ad'é's "val'Í:~,b}e$ ill[ y.:P.xtiDJ)'sieillilíq :SÍ.bID p¡;élg.~a1'es!, -se pue¡ieJl ¡ace..r:calr. xes~eatí vamente :á-1~ d'osco;¡i&Jantes Gy :C'9!~j, ;l(úbg0i\1Z3'lLCor.) .e~na-&-.so.ó igú,a:!és~-\.ó-.se r.ti~e .@:.::;:~í[¡, ,,q'Ueu.es 1;;. Q."d}.~D.. ~: COY. S;,1.SuitlNiyendo .en i\v.ez fd6 :C¡L s:u <\V~~.i:l .(;34.7J~ . será: G='1fíJDx~n--c7l'X~R!~íÍ;r='1tIF{¡¡; ql:lQ1es.lacf9r~ illu.lagéIl:etaLq ue... ,da .tedáS'-1asLq ~e. :otienen,::i.élacilil.ll (!on .la:oiSl:1'p,ep.frci.e:,qe1 ~ono;,[¡·.. ( 1.0 l!r G.,". Lh ..::.";::r.¡,'~(~ ~ 4.2b :( .eomp;,GxtktCxL, y ,shp.or ·'Cl1_pu,~to ; F medio .d'ill )1a}i0 ~d~l ~c0nózs;eJ cl~.u.nª,¡LSeJ.)(;¡on 'p!ll'l)<Je!a á la base í l:a')cir.canfereneiaJ~'K!ll:r:serHa roÍr4 .tbida ~l:)B)E ,~p(i)'r tS,e r ':Sll ..I;ádi(l)fta.~hacl.l.\(-3:2 2h ..se;lt~Hd·n.á G FKH~rr; ~ue ,q u.iere' :4e~i.J 1} ~q u~ J,4, ,superfi~ie lateriS~ rd:e:<t:oz:la ,qno , .f!ect;Q.,e} ;J&Uc¡Ji!A ..sU:5Já,ª0 fnujtipticado por; Ja drcunJere1lFi9.A? :1fn;-.círcuLo-p1Ir.ateto P/ta'-ba.sel".y ':tifll?l1'Opot, ,el :Pu.n.t1·'me.dio .d~~ .La.d~. ~''!!'q - l42[ " .[;0 .Ilieho <!espect~ .a~l:.c.QHQ y las ; p~sámid€!l inscritas ?I ;CirCll'Fl,S~rl taso~nLél ;~esª plica fiel "mismo _aiodoat'ir.oio:<delf!o¡;jo~ :re~tJi); LF los ~r.02{)~ .:.de;.pír,%ÚJ¡ de~-;irrs.cdtl!ls, ~ ~1Ilcuns.cri.t0é4~~l; '1 ~se ,deduce-q ué~Jb s-uperfic.i-e :LtJte!r::alf!d~toAo fltrpzol.rde .cono .r.ecto .éSl #;UfJ& .sL.SU Jado- Yhut.tipkí·c~iJo ,por.;,JtQJ ',5t¡1ñ.Í!SU71hl .de~ Jas i.Gir'~ " cu~fer.eu~.í6~ .ae j'á;s4J¡¡}es ~!pI:t'l'.at.etiS:riJ,tÓ· .á;su J4![ioJmulA fi:p~~ca.do¡ .;par, Ja ícir:.:cunfe.r.en'/iia: .de ,U1), ;eírculo ;tr~aila ,

equidistant,~\de.:J'tS' .ba.ses,ip:aru:l:¡e~tts; mis~o (.mg;¡:1E34)~S'li'p,erficie..,,¡¡\.e LrGZO ~

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y sÍ'en vez de las circunfere!lc¡as S)lstitLÚmos •.(347)


. Gi;:O'M~~lltÍ'Á'. . . <3I ~S 6us ,~aI011es; 2~xeAT', 2''ll's><,EG, y sa-cati1~s:elSáét0.r.:e.ó.!' "t'

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1.

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mUIil\2~'1f,s(!¡tendrár.sup

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~ g. I ~ . ') ¡1!). 0.,0') i :.. p .~ ,1 S' 2 ;;-) énú : .. 4,Z2 .T~er~ ,: A todo\~c(i),no Jse" pueari'flscf¡ib.ir !Y ci~,. cU4'Iscribir ..una pít'amide, de modo ' que t'P ~dif.er.encifJ · entre~ s'u"l 1Jótú!1Ilf)'Ü teu (men~fl ~'~ue~ iJudt2uier; cantídacl. "'aaila,por' pequeñci' fJuesea~ . . :,f'\ ~:b :J •• ". ... .. oH · o.J)em. l ',Sean 'ahOTa ll/rY. Q/¡JoS,! y.0J.tílneqe~ de,dós .piránlÍdes 'drdFtscmiua 4 inscrjD~' ah&.on0;J)P/, 'p! olas. ~U'Fe¡::fkies .d~JiSll(S hases., _,. 'A¡suralplil!ra comUn', qli¡e ,tambien.'es la del C(;)'110 ,JY ·t406lJ .C'or_ ~ •..c:).htendrémo~ 1I:i=!r:.~xi!4\, ~d \ ·tx~:A ;' qIJe ~estana0:1a, i.IUa de :l~ otra resultará n/_-Z1lcl~xl,)J. :5¡lx:!ttl':::;(P'-p')x!iA¡ I , ,3 ' '"~;¡; '· -;or . I ' Y como,en este .lEalo.c :'entra pGr':' .,Iid.ctor_ lr ~=p ', q~ (358) puede llegar á. ser menor ,que .cualqu.íer .e,a nti. dad dada, se sigue (229 .COf.-,3 :~F'}:ue:llkl~ m,islUo;.sJii! cederá Ji la diferencia n -'1;l;-:que es L. Q~ D. D. Cor:. · Lue.go co'!. m~.r" ra~on · ;e podrá inscribir y . ,circyn¡ér!bi.rtJt~no ul)~-jJrámjde ¡ t'ld:,:q.ue .jit~4ite.i"en~ da entre-su 'Potúmmy. etdet coñO-sea menor2ue cual. ~ui:er....&iWti.:dtJJk:dú1!la!..pfm pequefí,J¡O'que:;:sea.:'iJej 0_ :.,1 42,3 Teor. El 1Jot6men .d.e t.odo cono ·r:ecto_ G ,es iguat ~ , lasuperfifi:e e .d~ la ;bas~" mulJiplicada por et terc¡o .de la ::altura .k ;,1)"G=CX!iA,(T. . ~'S j[)(m'). Co,nservaA\io~ l¡¡;s misllJ3is l aenomipacionc.s de .ántes , se tendJ"<!. r~specto de Ja E.V;á.mide drcuns.. crita n'~/xíA ; -perq s.i Frece el númer.o).d~ lados, ni s.e va acercando Ji GJ de· IDgdo (4=~'~ car.) que S.1l dif€réh~ia .puede ser ~añ pe.qu~áa , ~omo ,se ,quiera<; y. cOll'lo:al mismo tiempqJa.es,presion'd'e lI{"ó P'xf4 . .se¡" puede 1acer.can tolio '10· .que sel.qtlíera, ~L CxíAJ por haeeJllo (,3 58 ,con), P! ate y ser ~A cOJIlun., re~ sul,ta, ¡que las dos.cantidades, v.ariaOles c.é :iguales n', ' ~ F.'xt4 ;,se :pueden l~cer.car t040 lq .que se .quiera. , alas dosflonstantes .G.;y, CX-f4; luego (Z31 cór.) estas son iguales, y .se tiene G=Cx!A" _que es 11. (.) ., ~ , x·. D. D . ...~ ~.J ~ " ~or. 1,- . SL!.stituyenao ~n vez deG',su valor, será

I


~:t~ . ,e-.E0MBWIRÍ:A\ ~~J¡fR~1~<F'¡}¡e::e-S'ta~ l,Qcm'ma: sa¡lert las ,9. u ~ t~e ~~Jelaé¡on con el volúLFlen del CGno. ,Ot:ot. -X- :G:<DmQ:'d ,YojtÍÍn~:fUme:J.llllr)jcHip:dr@, .:de , igual basesr altura: que el cono se~ia CxA, se sigue -qil.e t(()¿:01~eonoi tetf.cefl(l.>pdnt.e. de.. U n'} cifii,,¡lr.q. de ~1faJ~ b.iBe r.:)¡ ·aliiUli'll. "\(,;\') (~\.;, .. "':I~(i: I,h ' .. I'\¡ ",.r'IlJ ~"lBS€í¡Í.1 lill.¡¡y;o1úme'DlJdeLtliOrlo cOl1J(;)'GDBlb sthha.. l. .. Hará restando det cono totak el '&,olúmen;~dd 'dejjafe.11á ~l{j1I ;.::;per.¡;ú€JllrID0cdua1qd:?:·:se e:a;JehraZ0; " 110', -seIco¡;fQC(f~~ 'átLt.,U'.ract"(!ltal <iehcouo., mi ~aJ deJ.¡ ~aé&c.i:ehk.ser.~

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~.~~e d~ eJe; ~:l¡¡ique( es ClJ 'f/!Ü@Hr

'ÚOl.ilBC~~Jl:BxfCq;);, 6~

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dJ.cu:l~l\illb ah e; eLcuerro' d-es<;.rifo por eI1:riá'llg.ulo


6-!EÓMETRt.A~

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miya1?ase comUll

será el círculo des'c:rit'o por 'el rarnQ-Bb; luego (423) eIvol'Ú:m'el1r[ié1é'S"~' Cl.1.erp@ , ' ó' 'v01úménABC -.:... <l:O'no GaG .:f;c@[Í@ AiBbz:éírc::Q,:Bbx'¡CCb;¡" cÍLjC.? Bbx.fAb ~ dr. °Bbx( tCb+iAb )=cír. °BbxtCA. r • .J: .. , •,,"¡;' ;¡ Esto su puesto (§~. 3 S9 cor" , .,O)(S~Jc . o Bb='7l' Bb~ , Y. (§ 4 1 9 cor.) supo cono AB-:"'71'x.8bxAB.;.:y fOIlúaudo pr?porcion" y sl~~I}fican~o :l3.1\ségühda ,razoll por 9t)<íBbl n :s€ra t:r.!J -;\ -: , ,,, t':' ]1";' r.. ~,'r cir. °Bb:sup.~o·no AB~:'7l'xBb2:m;xBb:x'AJ3::Bb:AB. ,: Ahora, los¡ ,~ri,áng,~los rectángulos ABb, CqA, tienen ademas . el án'g,ulo;'-ell _jfv<romuIÍ;f luego SOJ,l semej¡ll1tes y dán"Cq:'itC::Bb:AB'; y como esta propor~ón )' lit ~nterior tienen' éóFDljul"la Fa·zon BbtA'B! I ,,:

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'sup: ABxtCq " qU'e-,,~~ ~P)Q . D. JDJ' ... .:,¡ , " \'. , Eso. ' Si el t l'iángu1.o~ qu:e.jira:sf{i fq~se e,~ AB'C, elil 'Cuyq't:a-so)a' pe;¡:p~f,¡dÜfUla:r. allado:~B' eae f tlwi i en vez de los triángul:<lls AB1n AÜl.; com:pararianll®s AB'h\ IAeq~ y' se. de.cluoir.ia lo mismo: ' :••• _. ; ~'" 42 S Si el.1!I'i'ángu!0 fúese. \.Iie:ctcrngulo eomo DUO ¡(fig;éI 37)~ :f j.,í¡¡ase al.ied€dor ·qe,1 I1\.l!ate ~e, pe·r n.'fane~ cie~ído lai UO pérpendicular.'ár';¡¡VBl\f,.f.se',1i~r.Vfi:ca · tqm­

se.

~en

la ipl"opo~iciQn ;; ',est'0 -es ~-,qU e:; 'V0'1~ ,D1if.O=s·u'p,

rDUxt@:U. ,· .'.

í' .. - " . JlIu·t!:¡ ..;! ;> 'h, ,f' : En' eféct0 1 condbiend:@. fa.""IDM(p'erpendicula:li'1Í MN, el volúmeh del cuerpo enjemdCélab.'poI',DUQ ~será igual al del ;dli¡;rdio engendrado . . ll'lOr I>USJ:M; , meflOS el volúmen del cono enlgehdrado..por 'iDM~, Ó vol.DUO=y<2t DUOM-Nol.DMO....:, ./ :,,~ Ó círc. o,DlVIxDtil..:;.dl'c. o 'DMxfOM~ ''..:.. .,' .. ~ , '-


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€wc:O])Mx(DUc - !QM)r:::eírc,.J OU~,~U:""'l""~DU):;:lt t-~rc,!>,Ji)Mx-lD:U-=iID~DM:xíDlJ ~..)',~. r."!','. ';~' per.o la superfieie, cilíndrica. eng.endrada ' porLJ~U ('§"412) Ó sltp.n.ilíód. DU:::::.cireunf. DMxDU:::: 2'1l'xDMxDU. ." -:,.. ' : " . l " ; ' ! l : ) ,~;;"'

,c'~ sap -Du'l'_~ ~ ; ) r l l l '

que da DU~ ~..,~ ; " (j, ? r.~ . ~ 2'1l':>.<DM ... ~ . 1.' -u.. _ ...!--. luego sustituyendo este v.alor de"DU en' la .espl1esiQu anterior del.V'oríuri(fu,¡,sé tendrá> 1 1 ,:; ..!' '" , 1,. ~ , . SU p', DU ' " I

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DUO, DOM iguales, el primero enjepdra un volú· men ,duplo ,del . ~éJ segU¡¡d0; .pues ':v.~l; " DOM-':; dl'c. DMxtOM; y como entre los dos cuerpos va-

len 'el

cilindro enjendrado' por DU0M Ó, ,~ crr€, DM~OM7 ' ¡;esuha que~ S!J ¡:id enjendrado l por DUO será v01. DIJO=círc, OUxiOM, . . --426 Teur. " Shm pótigono "htgutar ele uli número p,ar d'e tados , se hace' jirar al reJedor de un diámetro

del circulo circu1l.r."4:rito ~ dicho poHgono, tt"qzQt"á U1} ',cuerpo cuyci superfrcie será: iguat ti> la .círcunferencia

. «le uflO ddo$ r.adío$ rectos f muUiplicdda por et ·, diá: "Inetro que sirve, de, ,eie ~ y su volúmelÍ sertÍl. iguat á la . $ifperficie- de dicha.c.uérp·o , muttéptic.adtf, por la .tercéj·~ ' parte' det raaicrrectocde:. dichq PdIígóno •. · _ -" - , Espl, Sea e-l ,polígono ASeDE &c:, (fig, r 38); di" -g0 que sí jira al rededlor:del diámetro AF del circulo ,circunscrho, d~sqibir~ tlp' euer¡~0 , cu:ya: superficie.., será íg~al á la cÍrcul1ferencía de un l'adÍo rectó Op :mulúplicada por' dicho diámetro' AF ~ ó ,se te:na.rá. '1=círcunf.OpxAF, . •y su-volúmen 'l)' será ígual á.la: supetfiicíe del cuer,po, ~ multi pliq~da por la .tercera paite del ,radio rect~ Op, Ó se rendrá v"':cir.c uní',OpXliJ·:xtOPt .

;

Const. : Concíbans0' desde 10$ est-lienlO.S, de 'cad.a la·

)


GEOMETR!ÍA.

·

319

dO' y~desde su, PÚntct medip, las pe!pendiculares pp'; Bb, mn ,;nCc" Da J~ &C:'" ~ la .A:F, Y adema s ,1 05 radios tectos,(!)p 7.,Om , 0l[, &c ; con lo cual el cuer:po des; 'crito por el polí,gol1o,aljiral'; se compondrá de! cono enje1'l¡¡fFad0"p@'r AB; Y de -los. trezos de con6' enjendrados pO'r: los lados;;se, cn (este seFá: c'i1indro) &e., y~ de 0t~os taRtos iguales re~ectí:vamente pOI' la ,p arte de.ihajp d~Oq,. p0r [o que hallando la: su l"erfide d~ cada: unO' de estos cllerpos¡y sum&ndo~" se teadrá 'la. superlicier~pedida.

:

' :.. , 1:0 lhÍsmO' sucede.con,el volúme,n ;perQ cema la.

fórmU'la ~

para. haJfar el del trozo de~ cQno' es muy complicada, para hacer aplícacion de ella:, cofisiderarémo.s, el volúmel'l.,;;llI:d cuerpo...comO' cQmpúe,S·to del que enjendra el triángulO' O~A,. el,OCB, eLOCq:;, &c. f' sLÍs'íguales~ por la pa.fte -inferior.;. y-sulJl~dolos to..- ' d9$; S(il' tend,r á el ,volúmen' total. . • ¡ , , Dem. l. a La superficie cilél cono (420) enjendrada por A~ ..es igual á ABxcir:CllUf.pp'. . 'J • • /n ~~ dehr.ozo enjendrado por Be es igl,la.l (421) ~ ¡BCx¡;:i1/.\el!1.nf.mn. _ , w' • y la del cilindro trazado p.or es Jgual (41;2) á Cqxcírcunf:@q. i 1, • ~,\ -,~.;. ~ '_ ~.' ,; .: :I?el mismo .medo_se. proced~1'Ía si polígQllO ~Jl,rese rna;s j.~(')&., .'. ~,; 1_ ' J', ' v".) ,J'.' i~ • Aqo~3:', los triángu.los AiBb,.pQp'.·s.PJl~r.ectángglos, ~l UI1('t en b, y el otro ~n"p"; ' ~demas tie¡;¡e.'~ !!l ¡J,Ggulo . ~Bb deLp'r,imero ig.ual aj¡ ,pOp' del ~~gundo po¡:que tienen iguales medida , 'cá salter , elJ\:8l> la (3ó4) m~~ ,ta,d. ,iiel arce Ab' ~ue es igual.conJa lf.!,itad,de . A.l?, y la. 'mitad' de we~~e es 1a ;medi~¡¡ del p,Gp.(; . ¡:SIego. ,(33'>1' COl!. 2.,")S0.lil , semejantes" dar.á¡n ·ti\R;Ak:~Op~pp:'~: (§ 346) circunf.Op:circ,unf.pp'; de donae sale " ,ABxcirGlln9'p'=Ab~drc u'I>f.:Gp."¡'<¡Isl!rí.á!Jglllo~:..~Cx, . :Oll~1f, que. tlenen, S,uS; tr.!:!s j ados re ~pe€'m~.a!!l~nte per. pendiculareg, ~ se~án,-, ('3,3 té :cqr. ,:4 ~O);Js~,ll}eji1:-!}tI~& , Uf ,daltán ,BG:Bx::Qrml11f¡~>.e,i.'J.:cunf, Om:Jjr~u!J.f!mn 7 'que 14a- BOxcircun[.mn::¡::;Bx:xej,g>:.Ilnf.0711.:"_' ,~'.~~'J', :. '. Obse~v aJ.ld':l ;a'h ora. 9. ue !;Op;:;:;Q1/1~9~ &c.,' l'P~r ,'J

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dt"tUlrf¡Op~(Nb,+,be+c9>'1A.Ciraunf.OpX:A,0 '.i; <fUc<:b11l0 esta eSi'.Ia: 'mitaá. de la slu.,perfic.i;e;¡,tteLcue,rpo ';1d·u.plit . ~a:nd(jfu1')f~ctor frO, ;swengrá b "dfl ~cffia~;. qi.reJsetá ":"cilfeÍlir.tfOpx.,AE.; ql!1e ~s¡;]i;~ ;r.¡jLQ...D ;-,];}• . [1j] ~f,. 0 2.• Por le ciemostraqo (424) se t.end'l!á',Jb~l:/'.qt;J ;vol:i\!B0ECliqp:.A'B~rOp itehd·~btriáf.lgu.tor B€::0 'será ~g\;lal;,ál enjen&..ádQ' "}l0I' O'CllJ\ me¡;10S ehenjendra:cl3 pór (j)'B.U 1, (i¡ ,lo que. ~s- l@> mi'snte> ,.' • <hfl','" 'u":¡ ,vQl.BC0=vob.UeO-'-vol.UE(J);:::;::: - \ ~ "hl ;'j. '.{ sup .WOS¿tQm..!.-s'up;iBTÚ,x~~frI~} ',' 1, ,"í, j',1 i~ _'o [J , 'f0mx(?!!Ip. U(i}~snl!'~)B!U'=tOmxsup.BC. ,Jj)el-trtis~Q modo ~e continuaria .pr,olo¡;¡garldo' lados:, si llJUbi'ese maS; :;hás¡fadté:ga~rr al. ~uerpo enjencd.radó . PGl, ..OCq, ~u'Yo '~olú~en, ~42 S)-es', ~vóLOC2=sU,p ¡C1x~Oq¡" '... .il -'. 'Su:rna1!1dt'> t0dos, eSl0s v,;óhi¡m~nes parcildes, 's¡. observand,o que Op=Om=Oq=&c" se.'rt'i!'fI!l'l1á · v0Iú:, ,men ,~jé'¡l¡CI;ra(l:o pbto4B.eil~~: .) " '11": • ':: i; !:.t 1.' ¡

sup.ABxlOp+S4p.;SCX'tOp+sup,Cq~t0p= ~,., '~i:~ - (sHp.ABq.:.~up,BC4:;sh:¡;>:6:t¡).xtOp=su.p,ABCqx}bp.

Este es el volúmen del selllicuerpo"e¡i¡9~Í1dradó1ib't A<BCD¡&e:-,-:podo q:u~pci;Pl.i~á)¡)¡tl:Q el factor su.p.~BCq, ~é teíidt.á el ':V@hímelil e¡;¡jenc±.rado·¡:5of todg el .pol¡íg(!JilO; -que s~rá!.vol."A:BCDE";tf: iSClF.ABCqxfÜp"-: J .r~: ~stl:p.ABCl?EFxtOp.;· q,ue es n.~ 2'.'9 ' Q. 'L)¡,¡J): ~ :JI'_ . ': 427 ' ~ Sí el 'polígonó ~ EisJuviese €Í1'cl:).nscn-io'aI éír." :c1110 ;sú 'volúmen seria igual á tá super..ficie, deL e.tIerpa :multi,ptícada.Jpór ta terc?l'(l- ,pat'te,.del· rtvd·io de djc~.~ círculo: ',;' , _::. _' ' _ ! _ .. ~ ,', t " :: 42-8 ' s~ llairna esf~r:a tm c<:u'~l'po terminado por ;ti~a ·sape·pticie curva "cuy~5 'pamos 'esrán todos á. ¡'gual ':aiStaflcia · de ::u¿o 'q u'e,·se. Alama,j,o'entrp;, ' • "': . ~ '~' l,a:.ésfera se .pue1:i:e 1¡:0I1cebiF enjenürada ¡por ,el mQvitniento de , u¡;¡l semid.rreu.lo=íl>A,EI{lI (:/;j;g~ " í 3-91',\1.1 ;ji¡;alJ'ja4 -refledól'e:e1 :~º,i~me~:.ro I>K; pues~ada 'punta


de ,la

.GS:OMETRio:A.

3U

sup,e~ñGie::¡,k este ,cueí:po' se-habrá o.t~irnadb de

uno del semicírculo jene¡-addr" .!ll.l.e dist~ d~d <>:~nt.tQ una. magnitucld:g:ual a1,rad,iQ , de, dicho liemí~.ír.0ul~. El diámetro DK al rededor del eual illa"jÍ'raQ0 d semiclrelil.1€l jeneradQr j ,aedl!li!Da eje de ,la esJer.él '; ' los estremos D y~Kdd ej~, s'~ 'Ha!na.LJ'iol~s; y. radio · d~ l!.\: esfie¡¡a. eir,ihna ,1ínea que desde el eentrocya , á/ term:1,nar á;.~,U!1.s;~ p.erfi.ci e. \:!. ' ',". '" '~I"l: n '\.~' l . [1 ,4zsr :nEIJ.. ou.erp,o ¡D~BO ."IU~ se or,lJ101 de ¡la '.r,eYI0 '7, lucíon del seGtor del círculoJ)eA" se"'llamá sector.. esfi.ri:w,)l! eL cl!!31lf St G.o~ p>0iJJe o',de, la, parte; .DA-F:SM, t;)'ue se H¡lJIi1J.la~ ~asquete ~.sléJ1ic'rLr y d,<:;.l ,~on(:) GAF.BM¡¡ le l1alll~.Dz'O.ti,rKÚ'na: .pa¡rte; de .la.s,u'li'erficie de la esferacomprendida pon• dd'S'~.a;@.§i&; ,pal'ak!Q.s, qué] se,Ma , I mah ·bas~ &C':>ta: zona., • JI ¡, e ":' ;, ,.,¿ ,¡ ''- • 1- t , JI 4.3°, tl;Pe~r, ·Toda 'l5ec.üirm de: tG\~i~M por, t'.~ plan.d, ,S' .U1.' círa.u'lo.. . . ".'" :.t~i\ •.•. fl~ .. ::. ,::..;r ~ h.~ ~ belfl.u,~' ~e5l.AF,BM ia, s~c.clon ei1¡1s'ad¡t p@.¡;~ ml pla~. f!O. ~f.l !ªtej:f,e,D,~ t :descl~ ei ,ciItl:rQ e cO.QcibáSSl}.a"per" p'e~dicu~iar' c,?-tél?1, planQ, \Al\1:S", :-ij difer.ente~1. >re~ta& ' ~M, CJYf. íl &e, ,~ ·.difel1~ptes)puil.~OS de la etlJ~¡~t AM.& e¡Mllj:~ ,1tI:r'mjna; la -seccioID. ¡C.y,;,¡¡€ tenará q,úe 4~.s l ob~,i ... cuas C:tvl) CM', - CB ¡,.~SO¡ ,i g,uaks por ¡¡adi:<tJs de la ~sJ~f.ª ;,oYi' p,0i"d~ lnism~· l~¡, cl:1.r.~a . -AFBM tiene tod,osr sU~, &F'~!W~s\ equidi$tantes 'dd -O:,~ !\l~g0'l e~ :l:lIJ:l" qitl€ulet,*,-"i! 5 ..'C! eb '..,.,.. C Tl~. :;"' lb _. . " ~' <.~ J . O,-GOli.i; n$'~ :?Sl.fll;aI.!eG.do·fl ,~dsaJJj.ót\ el centro: ~e, ta ei.~ ü r;aq stÚ.. '1:¡;¡~jo sera, el¡ de -la 'S1Sf-era 1 ij jpor ' ~'O r miswQ. t1i~,oS;;lq1jtcí11.c'»J.os ¡que, r,esulj~ri ,de tplanos qU'e'paJen pdi'J eJ.c~trQÍ.;iilr¡á~ iguale's.l.?.. };!:>(! , '( • "5:-. __ :;;-,sl I !!'j'T-::' c;.c¡ESf~3~jJ:ám.an , cij"Cu.J1w,m,b;imo~, y' Jos,k¡ue 'no, pap}ln·,~pát !tI ~('eiltro - se llaman: dí'd¡lo~ mmar.eSl¿ - ¡: CO¡ü 2>,B b ilfJ..o..- círculos, máxil7lDS se di-v,iáem 'sié~ ' pre e'n aJo$. p1J.rp.es ,Ítglfakef) i'cor'q,ue,s'u comUil imeá;ecdon es un diámetro. .' ,1 ' " ' , ,~_ ,,, ~",.QJb i3:~-~-To,dó ' tiírcilto ,máximo divide ! á iloa, esfera: y-jJ·l.!.tr s,il!perficid.11 .a1~S i:par:.t~dguflt.w, gu,é sdliunan7\et¡}is!er!as'.;' porql:l€;si ds:~puesde haber separado di,,; ,nas dO.l>; 'partes., se) la~ J a?Ji.Qa sobre la base ;eo'mUR, I

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· €Ol'.~ 4;> '- TotllneéC~'on que no pasepot' el~ ce.ntt·o se.. oí~cúlo .merto.r.< 1J ,'_¡:;;~ . I I e, .' ~~¡:};. c0Ctlt:' -):~ , Los '/;'ircu1o'$l:mellores VMl rSfe11clo, mas pe.

Moun

q>áefíos ,á rvedida t¡zue' se 'ale.jan det centrov G. ~1:G:or . .f67.o_ PodJ;oS'tpu'11.tos:;:de -la superfide dd~' efJ • fera se puede hácet pasar un atco' ,de 'dreulo' máximo:, p@\rq'Ue11&s' dQS pflñto&' 'ctados y el c'~ntllo determi¡;¡an la 'pesiQí:0il i:le ·u¡;¡ '~lado; \, )'¡ , .' '.) _' . .í ~' $iñ,':.e1llbarg(;), si!.fascd'os,l pUflHlS faesea.lqs estre•. rrió's~de"'\U'1 .m~ámetro, entólil'q~sl es~os d0s -plilmos .y el centllQ eSt'aFian en '!'í¡¡íeaJ!reéta; y habIlia t·a'ntoS tÍtculos máxi1Ii9S,e'oIh¿, se flli,isi~e.!l '(36 S~.,r. r-I it, . '1 431 Tear. Sifen ét sem;icírculo :de..\qu-e. se . o-J,ijino Va "e~feN¡ ;n~ :in'JlJtlbe\ ú'n 's~¡h'ipolígono ' t'eg¿tar, se' le cirCtl,nscribe otro, y se c?ncibe que jire!l estos,-'semipo. Jig;Qro'SJalr.?nislrfo'. tfenfp,(), qUff> e't,sei1íiéíl"'eulo<; se.lten~rá tt'n5qudJfo; ins(wÍ-to y1otY,'(j!1:irt-unm·iio ; ry ,JO¿ :Jsuperficie; de ,l'a iesfrmi :~éil~á'in-¡jy(),fl ql!e\la ,del oaelio' ins c'Iliioi " J. ?$J¿lfo~ que.'la dd" circúnsqrito ; y laLd:iferenciti· éritre tei -" 3'ivpkrfióÍ~ 'del circÚ1l§Cf1ito~ y, rtkt in:scr:~to 'p"odrLí1ser .-mé'.... rtar qU;¿Jc!4:alquie," cant:ttiacV'"Wadá.' ¡ l'/~ : J." !' ¡j J -oE'Spt:.i S'ea .s.c.ia1Jsu,p-éI'lficie deH cNerf(O¡ de:sc~ito\ F:tDil" e1poJíglhn9fihsQrit(JJ.'AiB<&ID &c )1(lf~1 j ~ g8).l'!1o l'J..r.J su radio Op, por D el di;ímetro AF de la esfcr.arlÓ' <!le'li e-hmulle 'jeNe"raddr.; t sé<a"~~. :rhn upe't!fii:::ie Yd~b 'cuer.po 'd:esáj,tocpor ,~.1 pC?lígÓ.N0 okeuns'Cl'üo·" cdyO'-' lardo, es'~ G!s.,',su'~~dio ¡;ect:o ,~ ·dehtltf.e·wlb 1ene1l¿l'd'0r.:R!,9.Ia:lr;eje~ GK le Hamarémos H; y sea S.& .la!;~i,Il?ellfi:d,~tie )la.'_ e.sFeralrd(fS-¿ritli p:Ol1 ' ef~¡selíll1i'cí1'li:uh!) ~AB~:IDEiID; " 'digo que. se.,tendtrá S.B.' ¡>., sJe"l ~}E.~< SI. a), Iy ;SJ<}.~s.~¡; pedrá se¡; 'mena:r illre:cualquicrcanvid'ad aada. ' -~<iF)em,.' i !lI . o Pordo ~ich~ (426, ¿r. 9j"5e:r:i:ene ;;,' '":I! s.c.=circunf.rxD (m). . 0' J~' m l~ lf, fl U <.t> r! (,l:l ah€l~a, si 'aurn:erifa e1.númelrÓ:de iladGs;cre~er¡í. :eH;fc~ n0:r¡circCllnf:r, pu~s qlle~cre'c'e:r4.dradifir; e'l-!>a'rC~orp( i

A

permaBec~J:á, e11~~smo rjuqg.ti>' ,deberá .cr~cer)E6'[ld.''\) ¡ cuerpcr;it;r~ctflro S·!,á)

tambien ~ 'c ' ó la ·'~u.pellfic~" del J.

-(!.

J~


. C:EO"METRí:A.. S:2 ~ • mecitn-a :-q- ue', ~uínenra el' ,número cl:d ado,s"del polígo. no jel,1eradol" ';' y com'o .la~ suf'>erficie deLcuet'po brij,i -

nado por el pulígono de mllS :lados, tendrá mas cir. cunfe¡;emHas oo'munes cOI1'la su perficie, de la esfera', y. adelnas Ili.icbra. su perfieie t se 'hallará entre la delocuerp o orijinad ~ (p~rl el polígoD.0 de . mé06S la'dos', "y:.Ia de la es.fera,, 'l'esultá. 'que s·. e, est una v,ariable ' que: al paso qu-e ttece' :s'e , acen~a á la 'su.perficie ddáJ esferia; que es ' ;oo~s 6añt(e; lueg(!) ) (:Z27) ', esta, e~ mayop -que aquelht;: ó~ $. E, ¡> .s.e.. , _qad es' L. ,¡J' Q', L>" D, :... } , 2.° .. l'g;Q'3.lt~ente se tendrá:S.C..=circunf.!Rx!i~nh pero " autf1enr~lIlcdo el ilumer.<D de 'l ados, aismj,muirá , (3"44) el 6a'etol'~ l:b, gue ¡se ~c;:qmp-one' del d1áll,;tetF"O 'j~ del .círcÍJ.lo~eBerador, y de l.as dos' sajitas <iid" polígano d];cu.nscr.ito~i, eLfa;.ctor, cir.'clllnf.R es constante, por ser R el radio del círculo jenerad0~-, luego (61 " 3 ~t 'di.sinifiíu.i:lfá. S .. c0llloi a·1 paSQ-q;ue ~ men­ gua se ~00i-Cá· á la Jsupel'fiicie de 1¡)t esfera; por tene;r . mas circunfe&ndas €ornunest;con 'ella:, Y' eStar dioha 8nperfici'e;:entlie',la del C'l!lfl·rpo enjend!l'ado por íel pol-rgono :ae mérÍos lados, y-Ia de la esfera, se sigue (b8) .q\tle ;8.E' < .S.C., 'll1e ,es ,L. 2.° Q¡ D.:p" . . 3. 9 Restando la ecuacion (m.) lie la (n), nesultara -' " ,S"€;':,,:;;,·s ¡ c.~~ireunf.Rx1:l!04e.ircunf.rxD;: .. , peI0 cir(;'unji. rse¡,¡;iuede acerca!: to~o 10 que se quiera á cireunÍ..R, -pues ~343) 16 puea'e -,hacer 'r á, R; 'Y H se puede aeer,e ar (344) tod0 10 'qlle s.e .q.uie Fa á ,D; luego si.1a:dife·t ene,i a e·mtre lCil5" fae.tores ,circunf.R,H, 'Y-' cir,cllnf. ; j ' D .; puede ilegal:. á ser menor que.. cu'al~ q uier oantidad, dada, la, de. g,IlIS pItodu'eros ," y" de eon~ siguie.f.ite. la;, 4iferen:cÍa S.C.:~s:c, tambien ': lo p-odrá llegar á ser L. ·1.; ·Q. D. D, '. Cor. -. Luego <;Of.l mas 'razon se:podr.á circunscribir

c.:,.: y

ó insqribif" á M esfera un cuerpo' ta'¿; que la difer.enci~ 'entre eua~qtiiera de sus superficie" y la ile la esfera SÚI, 'menor"que cualquier cantú:lad dada. ' . ::; '432 . Teor. 'La superficie dda esf.era es igua.l á la rciyc":InJer:en.eia ,lié un ,circulo máximo multip-Hcada por el diámetro. :1


, S24

- GE(\)ME'l!1ttA,.

Dem. . Conserva'mdo las mismas denorninacionelJ de. á!~tes, se_tendrá resp!!€to del cuerpo .circunscrit() - .' '. S.C.;.;;;.drcunf.R.~H; pero ;> al pase,} que ª,umenta el número de lados del .peLígono, ,d,ismimuy.e, S.C. 'Y se va acercando á S.E. ~e mqdo que: su diferen'c:ia (431 cor.) ,puede llegar á ser menor que cualquier cantid,ad da:da; y como al mismo .tiempo el prpdücto circunf:RxH se acerca á eircunf.RXD, pues 1I se acerca '(344) á D Y circunf.R . es comun, ,[,esuILa . que, las dos cantidades ~ariables ~.C.-y; ·circunf.RxH,. siendo siempre igual<rs., se puedeh acercar respectivamente á las dos,.constantes S.E. y c:ircunf.RxD; luego (231 c0.r.) 'estas son iguales, 6 'se treme S.E. = ,ci,rcunf.RxD, que es L. Q, D. Do , Coro Si en ve~ ; de' circutlf.R s~~ sustituye su va" lo}! (347), será . • J!~ ~~;:. 1",. ~ S.E: =2 '1f RxD::::::.'1I x~ R:.,xD='lt.xJi)xD=r:.iD'; que esJa (órmula genera'! que da tbdasJas que tie~ nen relacioll c0nJa s.uperficie de ,la _esfera. ~~ ¡ , . 433 ,-q:omo la snp'erficie de un drcuhmáxime ,de la esfera será '1fR 2 , y. D~=€2Rl=4l.t';, _se sigue que la $upe.rflcie de -~a esfera 'e~ .cuádrupla de la ,de.:, hnQ a~ :su-S -circulos má~ímos. · , ,, ' " '. - 434 Teór. A toda esfera se pueden inscribir., cirI{unscribi·r do.s-cuerpos, tales, que t,a diferencia entl"e '¡us ~'Volúmenes sea¡mitlor que cua~quier. cantíJfSd dad" • .1.Espt. Sean ahora V.e., 'V.c. lo,s volúmenes de dos ,c üerpos. circunsaric0 é, iás.erito á la :esfera; S.C., s.c., . sus superficies; R.', r,rJos radi0s . r,ec~5s de los polígo~ ,U0S jenep~dOJ'es; y digo ·que la diferencia V.C.--.-u./;. ,p uede ser .menor ,q ue' Gua!q uier ·ca~tiQad dada. '. Dent. Por lo dicho (426) se tieIlf! '" . 't

,V.C.=S.c.xtR-,

'V.c.=.i.c.xif:~

I

y restando será V ..C.!-'V.c:=S.C.x}:R-s.c,xj"; 'y corri,? 1a diferenciá- entre' los factores puede ser (431 y' 344) respectivamente menor. que cualquier ,c'autidad dada, resulta qu~ lo mismo sucederá a ,los productos, y de c,onsiguie.nte á Y.C'.-'1.).c. cuyo valor espresa. L. Q. p. l? ,. .


.

, 32 '~

QEOME!J.'Rf.A.·;

LilegQ cón mas razon se p(}d'f.á circunscribir, 6 inscribir en ta tofera un cuerpo taL, que La diferen:. da entre su voLámen y eL de .'Ia esfera sea menor ~ue , ~u~lquie1' cantidad dada por pequeña que sea, " 435 Teor. El volú11Ien de la esfer9 V.E. es igua& 6 ,su sup~rficie S.E. mu:tipUca~~ el tercioneí raCOt"o

atO R,

rr

<1 V.E._S.E'X'3R.

' Conservando las mismas denominaciones de ántes, se tendrá v.e.=s.c.x~,R; . ' pero al paso que crece el número de lados de! polígQno jeneradoJ;:., va acercán'dose v.e: á V.E., de modo qUe su diferenCia puede ser menor que' cualquier -ca ll.ti dad dada (434 cor.); y coma al mismo tiempq la éspresion de v.e. , esto es, s.e.xtR, se' va acer. cando á S.E.xtR todü-Io.que se quiera (229 cor. p . 0) , por hacerlo s.e.·á S ,E., y ser comun tR, ,resulta . que las dos cantidades variables v.e. y S.C.x!R, siendo siempre iguales, se pueden acercar , todo lo que se ' quiéra á las dos ,corrstañtes V.E. y S.'E.xjR; luego. (231 c'or,) estas son iguales, y se tiene ,," V.E...;.'S.E:xtR., que es L. Q. D. D. . Coro Sustituyendo en vez dé S.E. su valor (432 cer.) será V~E.=7t]i)2xtR='7tDzx~;D=i'7tD3= , iX3,(4I '59&C.xD5~'o" 523 f9sxD3, . c¡ue es la fórmula d'e donde 1 se sacan todas las ' que tienen relacion' con el v·ohí.men de la esfera. Ese. 1 ;,0 Sustituyendo 2R en vez de D, el volúmen de la ~sferá será, V.E.='7t(2R)'xiR=4ftX! Rt; y el del l1emi,sfeFio EKG, que llamarémos H-, será 'H 27tx~R3. Ahora, si concebimos el cilindro ELPG 'circunscf'ito .:á I~ esfera i y ,cuya altura sea el :radio -d'e la misma 'esfera, su volú~en llamándole G será

, Dem.

(§ 414 cor.)' G .7tR3. ", '"

,

la-

.' - Restantlo "de est~ ccüa~i0q 'anterior', el . tesi. auo representará fa porb e'n de cili6d'i b circunscrít~ ELTPGKZSQ, cuy.o volúl):ü~fi tendrá por espre$i~n G~H ' ·'17r:R 3:....:2 '7I'xtR 3=éI --1)'7I'R 3= 7txt R 3. ,~ Esc~ 2. o ~ Anora podríarnos' ¡cómparar las espre: , siones de las superficies Yolú'we~es 'de tode>s los

r


3::6 G>EO:~ElI;ll!í*. cu.erpos;'q'ue hemos d.ad(') .,á, Ct1l10cer" y detérmÍmap la. razon .en. que estaban,;, pero, solo ló harémos 'con lo!; que se llaman sem'ejant~$1 que son a'i.\.I.dI0s· que e(ltári terminado~ por l;lll , ~nismd mÍtnero , de, ca,l,'as semejantes; y cuyos á,ng·ulossólidos_ hom.ójogos son iguales eu número y s:n cami.dad. Sea!) y ; v, los 'vo, ltíLrienes de dos cuerpos ' seLné~ntes; A, ' B, e, las tres dimensiones q u¡ e' <;:onstil l!yen al , p.r.itJ1!lro, [ j, b, c, las del st:gundo; y tendrémos V: ABe " J);-abc ,, ' y¡ fórmando: propo~don será V:v::ABC;:abc; y como ' po~ ser semejamS:$, toda.s ,sus dimensÍons.:s him ele ser proporcionales, SL¡stiruyelldo '(¡89) eil v~z de B, e y b, c, sus proporciona.les A; a, se tendrá V;v::A3.:a';l; 4~e manifiesta q u.e tos volúmenes; de dos cúe'l:pos seo:: mejantes son cornil tos c.ub.qs de $I~$ dimensiones ha.,· motogas. '

.,

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TRIGONOMETRíA' RECTILíNEA. :',J , ., f

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i1' .

436 Se Hama T"igo'J~metría la 'd~nC;Ía-qJ1e ,trata de)a reSO'luciQn de lllls 'rr'¡ángulos, Ctl<l,ncl® el , fl,ritlngulo que se ha de resol v.et ' es r,eCLÍlíneÓ ; Ja Trige.:nometr,Ía se llalIlq. plana" ój'ectitínea; Yi e~an.do está ' formad9 soqr.e' la superfi,ciei .d:~ ,\.1111<1; ,e~ fer,a por }rc~s de círculos máxiLllos, se lIa~a l'rigpnolF~t.da , esférica; El'l t9~O _tri.ªllgulo h_ay ¡:d s, C?~ fl;S,.9~e· cl?ns~de,r;iir, á sabe!; , t¿e,s lados, y tr~ s áL1gylos? ,tr~sAe" Fst0~ ~a.,. tos determinan . un ;riángu.lp" ' con t:aI ,~e¡ gu~ Je~ ,,!o.s rectilín<;:os .entre un la do),; -Y' ,por lp, ~i S;.m,o ~l;, obj.<:t<? de l~ Trig0noine~ría, ,es r.es,üll(!F' es~e!-proble!IJa, ,g~~ neraI: "1 ~ " ~ 1l,:;~rf1i~~o'/ jJ~ J~.,'.,I I.(~ _tt Dadás tres de ~as seis cosas, de que crm,sta un tr~á!'j gul,o , hallar tas "otra{!t!~S; e.~tP.s datps,,?ie,n c(;nnbí• . l1<l-dos ,..ofEe~en l<jl,s :jei? 'Cil§~$l ~iguien~es ,pa.~a, )'.ll5s.~~ lucian de Jo? triáflg!:lJ0s: l . ( ,'" , ( 1 (j ¡ ~: l. D JdjJs. tos.(~resd'!.~os ,ha!lar los ,tm ángul~s.j ~ . Il._ Dado~ ,4psu)q'do~ y ' el . áng~l.o comprendzdo;. ha.ll,a.r. el ot.ro ~~q~ !~)}!,s , d?s' ~p'gulo~. _ {.;! , - ' ., "


:rI~~:~NPM·RTR>ít. Il~C'l'J.LíNE'¡; 327 ¡,Dado un lado y ,las ángulps adYflcentes, ha.. llar el otro áng~lo y los dodacJ,os. ". ~ .' . IV. 'Dados dos ángulos YI un lado opuesto á uno de ellos, ,haUar ~os . otros .dos Jado$. y el .tercer. áng,ulo~ . f V. Dado~ ,dos lados, y e/ ..ánguLo opuesto á..;Uno de dios, hat.Lar el otro lado y Jos, dos ángulos., .í VI.. [Dados los tres ángulos, hallar, los tr.es, lados;

nI.-

437 Los tres primeros son los de la iguald.ad de los tríá:ngulos; y como elicua,r.t.!!l es lo In-iSffi.Q Ji ue el tercero, p(i)l!'q ue d,ados ,dos án~ulo~ se conoc.e el otro (289 COI". 1.0), re.sulta que enJJos Guatro p.rimeros ,; casos siempre se pUJ!.de res·ó.kY~r,: el tJ'iángulo.~. ; 438 . En el ql'linto se pueden dar ,dos sol1.l.cionel! cuando e~ ángulo e,onocid,0,:es,d opuesto al lado !Re,\, nor, porque los datos puede1'l corresponder ,á , dGS triángulos, como manifiesta la (fig..J 40) en, q1.l.e los dos triángulos ABC, BD.C .tienen los mismos datos, ,á saber, co~nun lel ángulo en 'C " Y el lado An . BD~ '. , 439 El sesto easo es deJoqo punto indeterrnina, do 'en l{')$, Jriá,~gulos l1ecti1{neos; porque los datos pueden correspGnder á cua,ntos t,r iángulos se. qúie~ ¡-alil; pues ,tirand0 las bc, bIC', paralelas á BC (fig. l ¡p), los triángulos ABC, Abc, Ablc', 'y otros mU ~hís irnos .q ue se podrian tÓlimar, todos son eq uián,. gulos, y por consiguiente tienen los mismos datos.. Pero como en este caso lós triángulos son semejantes (331) y tienen sus lados proporCionales, la 'Trigonometría. manifiesta de un modo general la relad{')ll' que 'thme'entrt! sí. 1 .1 - 440 Para, fijar esrtla",relation" y que qu~dedeter= minada .cuando se cQliloce une de los lªdo.s ', se ha iRventado une'onjuPlto.. Ó 'óist.eina. de Hneas ,1q u,e S.e lJam<¡.n ,l~?leas llr.igo'nomét1jcas ; la's cuales está¡:¡ dota~ das de ' dos propiedades imponantes: La que con ~st.f 4

mag1'litud y sig'no ,determir;an la .,m.agnitud ,absoluta . de un arco, y .de consiguiente la del ángulo de que es me,dida; y 2.a que dichas' tím:as son próp01"ciona-les con: los lados de los triángulos. • r .. "141 Para1darlas ,á ronbceric~nsidere~p..s un arco J

,

"


'g'28 .'r.R:'YC"O:~t~ME'l'Rí~t"tr~ti!:CT'I,LrN.l!!'A': cualqutet:t, AB (fig. njf2},' ql4e ten~ei1dó lIq"'ipr id¿¡pÍ() tí or~jm en A, vaya'\á terminar I':n':cl;lalq uiér punts :lB '4\'1 .la¡~~re'l,lhfeFencia ;', y h)' que se 1diga.'d& 'eM(¡!.:.o.r. (:o 'se def:¡el"áeflteq~eF ~.e1 ~Hgctlo AGB,cl;() ' q~ue, es meS lEda. EstO SUJlU6"5'éQ., .se,Hama: seno recta' @sano de un arc0, la perpendiculai: ñir-ª-da desde tíü(1) -m !e sus '"ds-" trémó5'.-al.radi0ó',diá¡netrp que palla! pOl! 'lil ONiO es. tremo; ;'asi, 'BD eS ';e1 sán"0 ~del arGo". AB~4a - p.arte Al) tiel radio ó diám'etro'ia(!erceptada: ~emr~ el 'rr,¡n,. dpio A-del arGo' y. ~llfie D del seao';' se Hama Se1l!)+ vIJrso del mismo arco AS Si en el' pd'nó pio A del· arco seo.tira la tangente· indefinida Ae, y se Jilrol~ ga ehadiQ CB nasta' eneontrarla eh E', la parte AE se, lIalna tangente trigon~métrica Ó, taugelite de.1 arGo :AB; y 'e-l radio CB pMltmgado hasta encol1trar ,á la tangente, estó es"', la CE ~ se l'larna secante ,dc-l mis.; UlO.' al'co; de ~nane¡:a. que 1a tangente y secaate se de· terminaio·.mlÍtuamqH6 ~la una a la otra. Así, se dke que 'l a tangente de un.arco es ' ta parte ae la tangente tirada ea ¡.t.110 ¡J,~ sus 'estie11ios , . haoia encontrar dl raaip que' pasa POI" el otro e-sPI"einÓ; y ' secame es· 4 radio p'Y'otongado que pasa pór un e·streálo "hasta en;. c.mtf'.fir 'á la ' tange'nte't;in¡qa e·u 'el ot.rg 'estremo. ·f)OUfo: dd se V'e .qu~ , toda a¡;ce' trene €uatr'o :lí:neás ,; ua senOj un senovérsa, U01f tangelllte -y una secante. , ,," ~ , .. 442 Si ooosideratilOs, ahcl1~a el ;rr,eo BE', b :Bil sed su' seno) FH sll 'Senoverso', .F@ su ~a.ngente, y .eG s'u sécatlte; Y' suponiendo que A:BR sea J un·~cr¡¡¡;., drante, BF será -complemento de AB, -y ¡las, xÍ¡;reas BH ; F:8, FG, le&,:sé¡;án' las~líneas : ael complemen- , te de AB. En muchas ocasi0nes se, hace us'e ,de' é.~~ 1las' ," peRrrlénu0las t0qas ' al 'arca ,pr'imitivo ';' POl' :ltii cual á ,cerda Moo c01?r;e~pondcn ·ºcho.'líneas t,rigond"; métrioas ~ cuatro, propiamente suya~ ',~' y : di,atro~~e su comp>lementP, á saber :_ seno .,.senovér,s~" 't:ang¡ei;!~e.., 'y sec~rít~, y Jas del cbmplel1wnt0 ~ q ue .~e' espresúl ceseno, co~en<l.vel'So ,i ¡;,etangente·, y c.o:~ ecante,' p,a ra ia;; troducir- estas líneas eü.},os cálculos " solo s~~ escxii.. béFl >¡aSl ¡etfll,~ i!ld,is:peQsabl~~ para ue' nllJ se col+f.u¡¡"

g


,'l'It'tG6Nb~MR'fA ·:n.EéTj.LÍN~A:

sen:,.

3,29

:da¡n ~Ú.FláS con otras; a'sÍ ~ solo se pone ser.: ver. , ·tan~,'~eb. l ' coo. ,~'~Q'five4". :; c?ót•., Y: cosee.' . . COI". l. o Como BH=CD , por lados opuestos del .h9tátJ~ulo IJCMB, se .s igue que-CD ~ambie¡;¡ sel'á el .fo~eno _de AH, Y_}lef ¡lo misQleen ~i(ando d seno d y un arco ) ~a parte interceptada int1'e su pie y el centro es el coseno de dicho arco . . ~ Cerr. 2)0 Lyego·'sí espresamcis en términos trigonométricos la proporcion (333, 1. ah di'F-á q \:le ,1 senoverso de un arco .ó_ele un át¡gulo es á fU seno, como ef mismo seno ~s ti fá sum(l deL radio y dd coseno ¡Jet 7/li'sfno ángulo. · ~ . '~ 443 Teor. El seno ele Ul1 arco es-la mitad de .Jo

.cuerda de un, arco duplo. . ~ . Dem." Porque si prolongamos el SI:110 BD hasta -qu'e y.ueNa á encontrar á la ·cirC'unferenei;¡ por abao

jo en el p unto S., ten'drémos que· por ser CA pera pendioular, á BS, la 'd ividirá 0(29 3} en dos partes iguales en D~ y"tambien (294). al arco - BAS; por c0nsiguiente sen.AB=BD ' . ~BS=~cuerda . BAS:::::~cuerda 2AB, que era LO' Q. D. ·D. Coro 'Como (290) la mayor cuerda dt; un drculo es el. diámetro, résulta que. 5ú mitad, que es el se.·Dg 'qe un cuadia"nte, 'ó e[ radio e~ ~¡ m4yQr i¡:·no· que ~e [l!ede lJonsilier.ar. ~ . '4:44 Teor. ; OQ11Qcido el radio de un circulo se CQ4 noce Ilt't valor absotuto' de tre3 tíneas.' trigonQl71étriCfli; o

saber:

el

que es·el mismo ra4, que,tambien es iguál al r.adio; que es i%ual la mitad radio:

seno de un

mo.;.·ta tange1lve de: o

cuadr~nte,

0,

sen~ 4e3~0 tÍ l",J2e1~.- ~l. Q••Está( ~undado . en de momar"(443 co,r.)~ . '.

:y el t

de~ '

"lo q'ue se acaba de

. 2.° Si se supone el arco 4:B ó eL-ángu,Io .ACB ~de, 4$°, el AEC valdrá tambien 45°; lueg0 el triáng·ulo sae es is@sceles','y da AE=AC, ó tang.45°:;:;:R. t'J -3.,Q , Si el an~o .A-,B fuese de . soo, su' duplo :6,1\.S valdria 6.0 ó, y la cuerda BS sería lado de €xágQ!1o J:e~u!lar.Óque ~sÚr7i cpr.. .8, Q)¡gual al, radio R; luego

su

mÍ~~d,

Bl). Q . se~~~~QQ-lR~ 'lue ~s L,

Q.

n. D,

,1


3 3'~ . ~.:R.IG:ON9METltí'A.. :R,E~TIL~N1':~. , 44'S , Tt!or:.. 1)aao' el seno A§ un arc,o y el 'radio, se pueden de,terminqr \ e!l :vqtore,s.,\ su;yQs todaf tai ,demas t#neas tágonométr:ic·as. ~ _ .:-~': . '. ' . ,Dern.\ ..:ml tJiángulo BDC.,r!!ctá¡;¡gijlo"en :9" dará '

r3 l

.

);6DG:=VBC:~~Jm~(D); .

32 . ,c,or. )BDZ+ DCZ=BCZ(i... r ., . . .

~

'y s'~~'titu ye~d'o' su~ ~ai0~e~ sirá ~.~;..::::::vlÚ-::s;¡;¡:z (e). . ' Haci~ndo R=l, las' e¡;¡ijaC~9ne&ae arr·iba se con~ vierten en ',r • .' se~.z+coS.z=I (el'), 'cos:±V I~señ.z

Ce).. Ahor~, p~r se; ÁE 't~mbie~ per'pe~dicu.l~r. á AC,

e,

las BD " y ,AE será,n. p~ral!;!las ,"Y los triángulos semejantes AEC, BDC darán . ' , ' .. , DC~AC:,:iBD:1\E:.:'BC:~C; Ó COS.:,1 ::sen.:tarig.:: I :sec. :Donde d.e!,pej¡llJ.dp la ~ang:ente y la secante, refi... ri~ndonos á 1'1- primera r(izon ,.- .$e :tend,r á ' • sen: " c. -- ' ,sea. r.· .tang;-= , ::;::.(e) __ . 'I(f), .¡ , coso . .V l,-sen. z' , . .

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• ¡~C.=--O-:-

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coso coso .':-V I---,sen.z ~ , ' : Los ,tFi4t1guI0s ,~I)C .) .GFC tambiel'l 'son' s.emejan~ tes, por ser ambos rectángulos, ,el uno en D, y. d otro en F, y .teHer , adem:a.s él ,ángulo: DBC:;=GCF. p,o r altemos')nternos entre -las ' paralelas BO ', Gie,ndo GC la secante; lueg0 dar'á n , , ~p:CF::DC:,F:G::':&C:CG, Ó s~Íl\:pcbs ..:cot.::l:coséci " . . . . ,:.' cos~ '" :'· Vt_sen.Z~L .'': ; De doude sale cot.:=-=(e) ' ::. ' " (h), , sen. , sen., ". ,J 1XII .\ L . \ ' \ ¡ y r cº§~c.=:r-::-±:':; (i). .. : :~ :: .• -'~;: . .:. ..... " ' j~~'. ;-6" sen • . _ . '!-!. ..: !! .~!~:..¡ ~ . _,l!~ .';j. Las ecu~ciones '(e J;-(f); .(g), (h),-(i) ",maBifiéstan que todas las líaeas' trigonométricas dependen ;~el ~eno 'y de! radio. L. ¡Q. D. D. , , . ' . : :" " - ~s~. , Es muy cCilnyeniente encol!ien~ar ,á1131 mc~ ,

Fe,

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,~qJ:ia.1as

f<ill::mulas .

. .__ '~; ,:.}.•' t . . . ~

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TIHG.O~0METRí.A . ' ltEC'1nLÍ~EAt

3 3~

.. ... . " sen. ' . 1 \ ",.': coso . 1 tang.=--"sec.=r-:-, c9 t Y cosec.=--·" COSo cos', . , sen. sen. .

.=-,

.'

.,

,

,

,

pejr la~ lnuc~ísim~s. transform¡¡.dones de ,qJle son sus~ feptibles, y q ~e _cada u'na da, un v .a lor .p¡¡.rticular para la línea que,$~ ,despeja. Ademas debe observarse que el triángulo re<;:tángulo C~E da AC2=;Ecz-AE2, Ó I=sec. 2-tang.2, que tambien da,sec,z=1+tang. 2 ; , t

. ,

. . '

1

Y.cqmo de la (ec. g) se saca cos.=-.-

. _ ' - 1 ! coso 2= __~ . _ • sec,2 1 +tang. 2 ,.,. •

sec,

.será

, ~'446 Entendido est0, para deter.~inar las alteraciones que corres,ponaen á las líneas .de un arco, por las que puedan sobrevenir al mismo arco, y manifestar la jeneralidad de las · fórmulas haHao.as , ,y su conformidad con sus d~Hnicion~s y construcciones g~ométricas, prescindir,émos del se!10verso'Y cose'npv,er,sQ, y principiar-émos fijando las ideas..del modp"siguiente. " . _ , Sea A el principi9 Ú oríjen de todQs)Q& aFCOS que yanlos á considellar; y todos 100s arCO$ que se cuenten . d~,sde 4 ~h¡Í.da B, F, ~c. s~.ráq positivas ', y todos. los ql:le ·ss: ·.cuentel} desde, A. hácia S, y.; ~&c.' serán negati vos. Sea L4e .un.a tangente indefip.ida ,. donde se h~~l .qe I;.ontar . to.d~s las tarigentes. ,. lta:l;l')~ndo , positivas las que se CUenten desde A para arriba, f ?6gati;~c?s las: contrarias; /lea GFQ ~ Una 'cot~ngente lnde~nida, donde se han de conta'c te\;ia·s las, co~a'll·.. ge!l!e~ " lIaaja13do. p'o~itivas , las que se cuenten á la. i~qlJi~¡¡dá de! punto F, y negativas las q\le se cuen.. te,g á la der-ec.ha; sea;'AP, el ,diámetro s~br.eq\:le se !lar de tira,c ,perpendiculares todos ~os senoS, Ila.' ~I!aqdo 'positivos 'los que .estén por la par-t$! de arri .... ha, y negativos los que estén por la pJirt<; de a@aj0, se~ este mismo diámetro donde se han de CQntar los C{)~~¡;¡Q5 ;' llamand-o' positivos los qu:~ estén á la :iz,.., 'llJl~¡d.<ti )Y ªega~i.vQ~.1os ,que estén á deJ.ech,r del

ta

-

l


'1"i-rc;~NOMET!tíÁ lt~eTJ,iÍNitÁ; . cent·r o C ; y como las secantes . y ~osecantes varían de direecion á cada arco, sin 'fue haya línea "ni .pun; to fijo en que se puedan contar, solo las llamarémos pegativas cuando no cumplan exactamente con sú uefinicion, ó lo que' és lo mismo, cuando no sea el radio que pasa por el otro estret110 del arco el que e~c~untra ~á la tangente; sino el radio que está en rureccion. opuesta. I Sentado esto, si el arco AB crece. y $e conviert~ en ABo,; su seno ba será mayor que BD; pérque 'á , mayor arco bAt corresponderá lJ).ayor c\lerda que á RAS, esto es, bt > ES; luego ~bt :> fBS, ó sen.ABb ::;> sen.AB. \ Él cos.eno Cd seri menor que -el 'CD del primero, porq ue es parte respecto de él. La tang'ente Ae se~ rá mayor ' qu~ il a AE del primero; porque com(d~ ha de determinar 'la seca!1te Cb, y esta pasa po~ fue· ra €le la-CE, -la.il'á á encO!1~rar mas arriba (ó por fuera) de! punto E. La: secanfe Ce ha de ser mayor. que 13 CE, por seprorarse mas de ~a perpe!ldicutar CA. La cotangente Fg debe s,e r ~enol' .que FG,'por que debiétldola r~Fminar e! radio· Cb prolo(iJ&adó, y estando este ent~e CG y CF deberá encon,\:rar á la FG ántes del PUrit0.G. la éqsec,ante Cg déoe ser'me; ' fior que lB; CG), pór<l ue"se sépara'ménos de l~ pero pendicu-Ia:F' c::~"; Luego CtIC/nao crcée .un arco sin Uega¡; at cuadrante-, crecen sus bílle/ll~ J mengUQo11. sus egiinea~ ' " ' ,Está mismo lo c6nfiírtnan las fórmulas (445) que espresaa sus valores. ,~.::., ', ' ,:,' 447 . S~ el a:rc6 :A:Bb contit~¿a 't~reciel'ldo, y se éon~ viert~ en el cu-adran(e ABF, edtóhces' de l~s 'seis lí~ neas tr-igoriolh~tricas, dos 1,oñ·.ig~ate.s C01l cero ?_:á, ber, el coseno y ,ta cotangente; 'dos eon. ~~ 1'dilt,o; a 5aber; el seno :i la casecante } y,dQs infinitas', -á 'saberi , «" I l,a t angen t e y t 4J secante. ' En efecto,' el eoseno se reduce á' cero', perque habj~lld{)se €énfu¡;¡dido el estÍ:em.o del' are€! eón elJ~ dio CF no hay ilistancia ninguna e-Ím:.e el pie del $e< 33i

sa:

j.

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~lUGOK0METitiA 11.!2CTIzJNEA..

331

"-

el ~el1tro. , La: ,cotangel1te lo,·hace ig.ualmente; porq,ue ha de ser',!a parte de la tangen~e gtt~métric:, fev~nt~da en el puntoY, y compr¡adlda entre i d~i Qho punto y el Faraje en que la encuentre el ra'dil!! que pasa por F:¡ lueg<? ,para encontrar á di~hc> radio 110 nec~sita s~lir ni separa!,se 'del punto F, Y.por 10 prismo se ·redu~irá .á ¡;:eto dicha cotangente.::;:. J Sie~do el seno ~ntó_l!ces l¡i mi~a~d ,de la cu~rda de J80 0 5> '!(, qut¡ eS,e l Wá~7~¡¡o:, se co~vier.te en el ra~ 410. La cos ~cant,e es tam~len Igua1!lÜéj.dIO:O porque 1~ cosecante es ~l ' r!ldio , prolo!.1g¡¡~9 hasta ,q ue. en,: fuegt,r~_ á la ceta~gente, que se ha. r eduCido al pUfi'r !o F; luegol)lo sfqebe p,rolonga.r na¡da dicho radio ~ara , encontEar- á<la..c<;:)~angente. ,\,' " 1. ' , Fin~lmente", Ja :secante Y " t~ng:ente sen ~Flfil'ljtlis; porqu'e ~ienaC! A~F '1;1:,n c.uadt~rite., la EC ~s perpen: dicl;llar á-.AC; y ~iénclolo, ta~bien -lé! ~Ef re,sulta qué sstas uos, lír:~as son' pa~~le!es" y ;no, se' pueden ea:~ ¡

é9~t~~r;i}ueg()v ~~f.á,q ,infi.q\tas. ! í : ' ~odo esto lo uan

e

'.

á conocer t amkie,n lJls, (órmula~

halIada~ (445), SO~ll) ~ufllq.ui~ra p.t;ede c~m:prol>::¡.rlo. 448 ' Sea ~hQ~'t.,e~ a¡~o :AFM ;, Y...s~)e,qdfá su sen<t ~N :positivo, S,!! ' coseno.:; N~ .mgí'ti'1f0' su.:.: taqgente AL .negativa, y~s.u~s~c~p.le lIegati'l.!l!' :?o t;~:~e c l~

eL

c~é por lí!J ~pa.fte de .aba.J'p A~t pttnte A, y: la secante. én. ve.z .de "sF el ra~p ~SlVL p,rolo,ngjlde há~ Fi~ Q, ~~ al co11tt;ar,ic> prolongado~ desde ,C.:Mcia. L.: Para deducir sus va!ores nega...tiy.9~ .cqmo ,deben se~) .~onsiderarémos lo~ tri4ngulos ~emejaD.tes qN~, ~J\Lf que dan CN:CA::~M:At::CM:CL, 1 l. 'c,~

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~ -,cos!a: :~en.,:t~.ng.::.l:se~., ~. ..

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d~ qon~e sale tang.:;:-¡-.-. , y sec,~_ --:-. _ coso . 'coso ; la ~otange~t~FV ~s negativa, y 1-a cQ.secante Cv. ,es pos~tiva; la cotangente es negativa; ,p orque va d.e~de F hácia la derecha; y la.cose~ª,nte es p0s.itiva, Iparque s¡enlio la secante_del comphm~ento, es e~ac. tawell~e el ¡:adio Jnol(:)Qga~o que pasa -p~~_ e~ eSt~e.. ~

\

\


~34

,

1'iti~'ONOMETRíA RE¿T~LíNll!A','

_,

fR(f) -del ' a rco ) lfasta' ,e'ncontrar ..la' la "cota:l1'geate: ~"1

, COlli'pá'raaub lds lados de; ros t.l'iángulos': se1 mejánteS ' <:; MN!,: CFV "se ol:>tieaen oJ esfos "mismos resulca-dos•.• · , '. 'o ". '.~c.: . \ : '. { ' 449 , Silp'oñ g-lÍl'Í'IoS q{ie 'Cdfi~inúá ,el arco erecfelJ.! do 's ~y_ s'e CO~1Ví"erte en :AF P'; y. se tendrá su seno =::0, su COS,=":"I"/sú 'Umg.=-ó, ~'U seól.~-l ; su totanl g~nt{! F VI 'y sU ¡c-osecante ~CR pr ólcingada 'llega,n á ser paraléf~s ~ 1.('[901- consiog ui'ettte 'són ~nfinÍtas. ',:.~ ~ 4 50 í3e&ah(ira el arco 'WFPZ, y se tendrá' su 'se. nO"Zr;J hega-ti'vól;fsiJ. cdsei10 ,Q.N n'egaÍivo; ·Sú'ta-ngeri" te A.E p cls.iti.f1a;; su' secante CE r¡ég'ativa (p(;)iqu~ en v ez<;'iiéJ'se e'l"'raldi'o' CZ ' ptbll()riga&0 'flácia"-Xi,es 'el mis!?? radio prololl'gallo h acia CJa par.te ' 0puesta)¡ $ü: é0ta:n geflt~~I1fG ' es:

fosit'iv{r; ~y '° l;I:I-< dose~ahh!

CG

(q'ue so'n~:.a &' 1írü!as del 'c'dln-Rlétnefl'to' FPl dd :ittco ~ ue .aOl'ls:íiie.ram6s)Jes,lneg.af'iv,a f l!a 'í>tillfera "pór- ir d:esd~ ,F , l:ia.d~a~ ra 'l i~ui:erdla\ Y~ l~C's'eg¡ihdá. :- potque en. vez de ser, el , radio,c OZ " ,prblon:gado ' -háHa:',~ ~r:.'la tstá::lü 'c'oni:!r:flHot. ,..," \':'..,0 OJ . ' ¡¡~:J) '.J .• <, " ( " 'oJ I . .. Slis-'Y'á!lbr~s1'~e ' uedJc:én·d¡:¡ 116'n Háng·hlo's s'eili¿t "antes UN@'r:CA E " y·· de~ 6'S' ~N~JrC:GF"/ v: :; J , lO ' " , " ~ ~4'S,¡'r; ~ ii po ~gafu.'Os ' a:hora~~ ü(~)! [!ár€o'· llega á ' s'er los ·u .es 'il!a:&¡;'a,tttés '¡ 'est9" ~S ; jAFPY':; ; Y' tead'r érri6s S:U ' S~{l'o ' e Yi neg,aH;Uo ~ :.-~~ : !sü~ cóseno qué se re~ dUce_'al"t);(¡'kt0 se,rá ....:..ú¿,·;ZsG.iti ngent'eJAE,Uega á,.lser ~oo' d" ~sW secame C.m;....:.:-oo·(po rqúe :vierteq

·0,:

a:s€[' 'pa ~#!~'l[á s ,' ~ ~l:h~dtacigetlte · ~ é7ré9:oé·e al pl:l'l1to'·F¡

sú !coséeaut'él'se fedLÍ: rmor -.eó'rí&¡'g h,¡eí'1t~'. .-es · :"'-o ( ,:...í J ce al radio CF ne~ativo< (i J,....;.' -C(! ,:..' J i " , ' j' ,452 ' Sea ahora el arco'W F;¡>Xl8-el :qü¿ :vamm' á considerar, y ·tendrémos su Seno SD negaHvo,; su cq· , seno' Cf) ;pn';itJ7vó ;~ s i1 'tangef¡fe::~dY ñegativa ;" s:¿' S'e! ~~nte' CC posíti,VLI; su co(¡inge ~lt~ FV negativa;,Y sU (losecante CV'''íg dahrieflte negaf;i71a ~' -, , . ,.l '" ,,\ Pára dedücir sus· valores se có ñsíclera>l , l\:js" ~riáñ~ gulas se~eja lHes ¡CD:::¡, C AL, Y'10s' CUS, CFVl ;: .:.' 4 5 3 Su pongamos ahora q tie el 'arca Ileg'á á 'séÍ' "toga ' la 'ci·r¡;,tuifeI1encia; y $e ceaa¡;á su seno' :=-o; '1/... 1

.1",'


, ,TRrC'éNfO.l\U;~Rf:A ':ltECTt$Í,Ñ 'tlÁ:' 33 f :coséné" ' 1'; su:\tangente =-0; su sedñte ,::=:1;: s~c,ot="-bo'; ;SU cosée:~-.::...oo. ' , , . , 454 ,::...Si.1el areo conti'nuasecreciend6, se tendrían! los niismas ;v;31I(jres-que~ áfl.tes, cón, s01o~ aá'adir ,una, , dos,ó maJslcircunf€rencias·á1cada all1CO dé los que aca";J bamos· derconsiderainr. ¡ ~;, ,", ,:;¡~ . , J F4-5~5 ~ 2ISup~ng,am:os:,ah'ora que el arce !AB" en vez? de ir~~e!S-ib~&o, \v~ ,l'I1erígl;l~ndo -(G0U ro ' GU3.'l meng'ua. 1 rán sus líneas y crecerán<" s\!ls colíñ€as)nas,tá. llegar' .reeí1o(,l~ t endrém'bs;:">Lslif , eno:=o'; sU' coseno =1; su ~á:Í1gente =0; ~u: s€c'ilnte-:.::;:1 ; 'sü cotá-rigeiite =00;"' y..sú cdSeC¡=CiiO. 'D0I'l<ie"es 'digno de 'Dotarse que to'das iasFdÍneas;de un 'a:r~G ;é'éro1 s0n laS'mismas \que las' de.rlax::Cir()~nferenc~a e,riter-a' { peros€ njfeJ)eú~i¡ln en.3p0sid0If ,ieSGepto e1¡ cose-lÍl~ , y la: se'Calnte~ ' , " '., > -'4Í56~-S-iIponga:mos( álióra; que el- aréó.rcóntirtlÍa t mellgufl1ndo ~tó'div:'íi , ~a:p@J} mejor ( cl.€cir i '9, ue crece ' epol:msbitid'O ,0p,üé'stc(ialCd.é 'ántes;:y s¿ lle'g'a:;á een-> v.€lai-1>::e¡¡¡1AS,,.- y~ tef.lar,éIDGs l .g ú} seno ,SD né-gativo ; 'S11 , co.s.ent'l. ,CD posítívo1' stJ.l ~ªgelÍ~e. AL nega-ti-tia; i s'U ' seca¡¡¡te ,e~ po'siuva; 's,u 'cot~~gent'er FiV ,:~~ativa; y,t $U'

sa(,co;s~e~te CVrtarn.t!>íe¡¡¡::'ñé.giitiva. 1~', , "1 .'2, la;-~ c6iang€nte á'el áJ!CQ ñegátiVio,> A,S Jsefá

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se

eSp'resad~$' eá el : $en(j)~y,::: ~l .c~se,no-) 'i e.!'l. $abi~de ' lCl$o


&&6. ':fM%ÓNOMETRíA ."lt:i;:Ofi'~tíN:E:A:.· ~qlo¡:e~!ªbso!uEes ~YJ signos de eS:t~.lS"" ~e, h3!rád1ié 'sis~

tltucion coaveniente, y se-tenctr-áin lo·s ·xalo.res )'<sig"'_ IJOS. q,e ,t~ªa-s( Ü¡•s !i!~m<\.s Jjp.e<!-~. trig0J'Iornétri@~s. + e, " 45 8 , : P,a¡:a hac~r e~ta" ;sPsJ#¡lcion I~on ,f acilidad" . cpu vi~ni: §~ª~. Q.i§I!1'.FIieS$!ij.t~ ,~q}le. e&•.d pn m.e!lt¡ cuaJ . . drante que s.e. c;onsidere 'se tienen se.nos y' cQse.nes po. .l siPivos~; Y!I~t} ~~,~. o :sen09 pos i~i12fYJqy(j!Q. er¡o fLltegatirvos 7 en eL 'S 'o sgn~S (j · IfOS~n.OS ne¡;1:tfi,vOS,,-..r , enl,€! 2Jé,~ "sen&,¡f) o

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i'g.ual·es ]>0.r, ~If'¡.¡~sn(l)~ a.h~~r,t!-Q~ ,'Jy,¡rles. ~n~I~ c.J! l.e..¡¡¡r Ji'q Ror ~@CS~.b!:rJl9qllíg4ªl~~~C~~Lhl",y:, ~oa:¡;¡ GAlsmR~~ , ~:Il:7~Q.l; .IJQ " qu~ 'P"tni:qe~~ . qu~ l.la , tau'g§.~~lYJ, se-j

l'4

c~P-t~. 4~t tlJ!P.9 !.h- F seJ}J.~ l~sí:¡~Ill,,!lnªg:Ilit"d~á;..,·lasJ ~ct~~~9 t?~,; ·;lt'(l;to:..;<j.JJ!bªft¡s§~~f~reIJ0.i'.'l.'lii1el1 pitsidon;¡ por,que la tangert~e AL d~l pDi[i(l.'Y'..Q. ~ l?lJdl')ta ~~n ttl'm ~~tido '§lWt<!§t9 ªq uel el1:1~~ Ls.e ha:conta:qp:.ellar.

4

cp,;"'y la IH~.~d "jSegund0,-.se ~entá; en :el mist¡;¡.o ~en"J ti.<!<t q ~e~ §ll't.-,an:Ojf.Lª;s,~~.1Jl#lte'-<tL(d;e!' ,li¡lice ~F~I,ellj vez de ser el radie prolongado q ueO¡!a.sa ~pllr ',eJ ·es.~ t ¡;em9 M ~~~t'flrN' J~e~;la,:;¡proloflga~jon d.ecéj"te ~~qJo en ua ¡s,epfieip·¡o.pugSto4 1:t¡'s~eante'1C.Q.del J:ate.@)iP.M1 es p o§jtive~lpo.rg ue ~'Ul?F!li'~e)Gflttallll~tlJ~rlC@.Q su, de~.

finicion ~J¡;.§to' ¡mis.!I19 sucede _ ~ la , .. o.s~canfe ~GVü ~y, díer con~igui~nte ,conv~en'e S!n. m.ag· 'l1tudq~ p@sicieh,,~ta~v-~


\ TR1GX>WaNI>E'1'1tÍA turc't'uÍNEA:' 33:Z bas arcos. De donli!e ~l'esulta ,- que -i-a.s líneas de un af.éoGon-:las miS;111tfSt ien .lmagnitud quejas ~e su supl€'I1i'entQ ~ :p,er:o se 4ijieflencian en posicion\, ,escepto el sellO y H a.\co.ecante'l~ '~uet afeos. . i ; ,¡~.¡.

c0t'lv,ienen•.en

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LOdo á ambos

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Con gen!1~. ,. De . t,Qfla:-la aoctóna e~u~sta se 9€duce qu~ fX espr~~iiillos~ .29r'{?t el c·ua_c!.~aLlFe. ABF ,:y por , 1» e'l ar90 El?, s~rá "

,_ '-..'.., . sen .. AK,..::seIi?(A:BF=B'F};-sen·rtl1l'~m)~BD~cos.1», y e,os. AB ct 'chs.é~'7Í..!:j¡lt' BH-.J sert~¡fi:- .I.\ J - 1 ~ -'1:: Si'~e 'kacé .iFJM~m; ser á sen. .i:lF!M;::rselt ( i?t-Pmj=

MN--';""cos.1n, (';J

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si' hacemós,-PM::::m"súá ~, '.. '" &é.n.A'FMbS-erí~F.p~~M.)...::..seé€Ji""m)t;MN-"senm; y .cos.AFM=c¡o~( 1! ~ip~=-:;-CN~~os,n~ .. " 460 Puesto .¡¡¡ue dado.el radIO R,de _un círculo, se conoce ~C se~~:\zré :~l'~ ' c~a~r~liIt~~i,ta tangeme a~ 45° que ~(,m i¡g~~~ C.0~ ély y,\e). s,s~ .:~e 3e;0 ql.!le vale !a ,!IIltad del radIO, y conocld9 el seno ' de un a~,dH"se p~i'€~~IFc81loéer todas 'su's' ¡¡meas trigonómétriCéis , 'J v.ad16s/'ál:~er ·leomo p' di ~sú; me(dío se"pedr fiA r 'd caleülar 'las d'e'í:6c'Pi:Ji; 'los arcos ;~ pa.rt';'lo> cual ' se tie!. néñ'Ta-s''tres p'1'0<p&ÁiÉiones' si'g ¡:¡ie'IhéS~~h eh u puesto' de ser el radio R~'[" , y de '<,\he p\ira) fhdiear el e~ a­ drado de un~ lí~~ . frigonofl1étr'~ta, ,d~ un aJj~ 11, por ejemplo de !;!l!i9~EIo. , s.e .escfli>~ ¡t'.g4i~~ren'Fetneftte 5en.~A, Ó sen.A 2 9.:>'c. '-.;.lii, .a '1 Daaó i·sttPd l(J.~ un ~i~5 :A' ' 1~~';ernó de, lu \~itaJ ' . - ¡,¡, 1 , )

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3S1E>em,' )(Sea<'(fi\g~ )143) el arco AHl3=A, Y BD 'sa seno; Con' ro cuáhen'drémos q'u~' si"iiramos la cuerd~ ~, su mita!t AElshá el s~no J?ealdo; y corno ' , ,\.

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T1tI~ONO'METllÍA ·IlECTliL{NEA.

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6:44,~ eHV~~ ~·V l~S~Ll.~~:.~~:e ~s t. Q.'D.:O: , Dado'$ :loSi senos y por ,consiguiente. (445 )-Jo$> .B!,,' kws. .renqs ;r:co¡e.lIoi de .J't suma y: diferencia d,e' dichos árcos son : . ~n:'1.:; 2. a

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$erá ABD:::AB'+BD~A'*"B-.,,;:.y: }\óaíenpo el, ~.~:.r~~~ . de B hasta: M,. será'¡,:A:ilVt'-::A-H.,.,.:.BEl;:;:::f.l:-:.Biil l!:lego , ~aja-.n~(;).las:·p~npefl~ieula~~5' DF~ M~' al - Iia'di~~ J\¡{;

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fDF2sériútm:> :'sen!(7,f+'B);j!::,.J ::' ..'.:; ),,{

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' ¡irarémQS'}~ ,Bft, B~¡;F~~~i'clll'~FJil'!Ac;:) Yst.~ndr~l!}9,1f¡

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MN ".par.alelali_~'--l~' :AC, y observamoS' que los trián. g~u105 MNH? !l.1.J?'(p..0'r~ teHel' lyIIj-:,~ por lo <tic~~,9 {tntes, el' áollgu!~:.fIi'4~=DHL por cqrr~s'po~dieli!.tes ,~ntre

las' paralr l;as l\1N 'f HL siendQ' MD<la. se~ant~~

y'el ánguto MfiN= HqL 1 por la ~Il~sma r~zon entre:

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las paralelas HK, pF> sIendo tamblen la se<>:ame MD) son iguales, y aan lVlN ti.L , YNH=LD ~ las nncas DF., CF, MP, CP que rrat:amos de co'no'~er; lJlII: poJdrémos espresar del modo siguienr~;

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S4'0' TR.tG.ONOMlrrllÜ nm.TTLÍNEA; < • y COlnO cos .2fAI=I~$en.zfA', será , " -1 cos.A'=[ -·sen .2.!.A/~sen2.!.A'=I-2sen.·!!:!.'A'; . . . '2 . 2 , 2 46 [ . Si en Ja fórmula (lI!t~e, hace B=zA } s:e conv.errir:í. ,.en, 'sen. 3A=sen.Aco~ iA+sen.zAc0s.71; y poniendo 'en -ve~ de c·9s~tJF, -sen.2A, Ycos':"A ., sus v.alerés'i(éi) 1 !~p) Y.Ce) (44S)'tdd·o espresado ,eiív·alOi"és . .l

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del seno, se tendrá sen.3A::-se~.A([~.!~~n'1!lH:- ,

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2sen.Ay'I-sen.2AX\!I-=-sen.2A= ' I .- se.¡¡..W'-2s·en.3A42s~m 1l€I -senZ~ " '·:;.1 ~:' , sen. .c.l....;..2 s'efi?3Aql2sen;A-..2~seri.3Zl=3.senrl~4~eii3A,. 'lu'e ~~s la ~órmula que e_s_pf.es,ª¡~l seno d@l-arcó'~trrpío' en va-lores 'déJ a,reo sencillo. <Igtl'alme'nte se 'pt~éd@ ha~ , l~ar el"c0seno d<:,l mismo~ aréd1, 'y por"'fH'0éeét:ifBfeª'i:esr análogos se pue~en de,~rmr'iat:,t'Q~a~ !~~'. 1ín~s .tri-;gonométriear 4e cualql!~e~ ':"'}1iPo, mt'iltipfo "dJ Diitl'(}l dado. , 462 ~demas de la p,r..op,iedad de dete~tfu.'lfla)t) laJ m,!gnitud def'arco, s-e veritica' ambien qúe-~6clas las line~s trigohimiétricas 'son }t.?:p'dt~io'naleS ' cón bpl r,a- ~ ilios ltk los' cí':'cúlo's 'cun' qi:re'1es'fá'n 'tra'Zaa&s'lbs( a¡;cos-: ~. Dem~ En. efecto , Ai sUR,onerrl'os"!l,ue h~eihd0 ;ce,h'! tro en (lig. 1 4S J veniédiél "'á ngul0 DC;G" ?e tl'~­ zan con....los· radros CA : "CD·'" 'dos arcos ·de"' CÍrc¡:ulo AB, DG i i'Jbáj'amo"s desde: k-y D, las' AP ~m~ perserán :fes 1 senos P endicl!lla:ré'S' la 'CG ,· feS-íHtará':'q' ué • I respectivos de los ~rcos AB, nG , que ,renclrá:hSuIt ini SID e. nüinef~tae .gr,·ad3s" p.br.. sGr a:mo~s .in'1didil ..del ángulo'UC6f ;"'l:a s línea' Cp.r~m, serán"sus"c&seaos,. ~ l~;v..ant~l'1dp. én B Y' ~!M. :petl?e,ndi,cular es \B,~!~M a la d:~'()fj erán.las, tal1g~!.He~;,,,y'_.c!'l, ,CM.l<l:.1¡~~ec.tn­ ~es.- ..'\.1J.0Ía ,~qs_. triá!:lgG:lºSj se~~jilPtes _CpE "."CAP, dan CV;CA::DE:AP::CE::CB;;,p¡poníendo ~g, !l':s:..d,~ '. estas líneas sus valore.§" y acentuand0lasJlnea~ cor.resp-Qndientes' al radio, t;;A-;-' qlie tambie~.'s·eñalar'é'" lÍJos coa la' R" acentuada: ' sera ' l."., , R: R':: sert: :sen. ': :C0S". :éos:' ;e'~J' ,' 'los triáng~los~ seme, \ . ' James CGM', CBN , .tambreh !'lfLTán . !,~.; CG;CB;:G.M:BN;;CM:CN, Uf

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TIU¿ONOMETRiA ltECTlLÍZi1~A:

341 ,' Ahora, com,p letanªo Ü,.s cuadrantes GD~, BAQ

ó R:R'::tang.:tang.'::sec.:sec.' (b).

se tendrá que RS, QO, serán las cotangentes de -los. arcos "GD, BA ; 'y., ts , eo serán las cosecan¡es; ?f ,105 .tdáng:ulos semeja'l'ltes eSR , eOQ darán eR:eQ::RS:OQ::~s~ eq.,

.. ,,"

:ÓJURI::cot.:cot/::oosee.:cosec/ (e). , ,.: ~. como las tres séries de razones iguales (a), (b)~ ~c)., t.i'ehen comun l~+a:zo.n R:R', enlaw..ndp las de mas :por,! ue: s()n ig,uales ., se-tendrá ". .. , • R:Rf:':~en.:sen.I;:cos.:coq.';:tang:tang'::sec.:sec./~:cot.:

cot'::cosec.:cosec'., , Coro Luego si resp.ecto de, un YI;dio cualquicl·a se

calculan estas Untas para :todos 'los arcos ~y al l~do de cada arco se pone' eb valor de las líneas trigoñomé!ri. cas que le' corresponden' ,Jas.tabta,s que las contenga1J servirán para hallan es,tas mismas' lí.neas · cuando coY.,. res~ondan á .otro radio.; :y ademas, por;meliio de e~ Has cuando se dé un arco, se podrá deterñliílár.la mag. t:litua,qe .. s,us líneas_t'l1Í'gond1'nétr:icas .; y ~dada t¡,na. tí1le~ trigonométrica, se podrlU,altprel valor·def arco á que cOl'responda~ I" . , ~ h"'~ " . , , " , ' .. '_, '. :. 46 3 ¡~ La,S- t,aQla~ tJq~u'e~56:fQrmasen de este modo, I

esto es ,:J qúe corttu'Yl¿S'éó 'el 'valor de llas linea's 'trigo. nométricas en partes del radio, se llaman tablas trigonoinétricas naturales-;' perdicómo tedos les cá'lGu,los haten-poi' medio, d~ pro'pllJfciones , .pá"ra-haéer ~as operaciones cQn, faeiJIi~d.:y. pr,ont-itlid , - s~ na torna'CIo el mt¡,die.g.e q~e las J abla,S Gontengau"1 n® las. líneas trig(ii1órn~tricas na.iur~les" sino el l{)garhm~ cOfres':' ponaiente á :rlicho nluuero' dé partes de(rad'fo a que equi'V'aIgan -; y en este! easo que es 'tomo las usarnos ¡ .se HaméllLl tablas trigonom#ri.eos at:tifióaVes. 'Las de D. ' .'I'adeo Lópe y Ag4.1~lár _, "q'ue como ya' heltlOS-di:: cho en otra o(:as'ü m, sQn a las que ,¡;¡osotros nO'S re· . ferimos, están calculadas',ille-loen I o' ~gunlios' ;.cu.'y.a construGdo~n y 'u so 'oti1~ümos poi" d ' ¿ones 'analO· gas á las espuestils €2>o8), y pasa-relllosh'i:: l~ ;

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· , 464 Para.la resolucioir'd'e¡lps triál'lg;l1'los·.rectán... gulosLsPlo se\·né.cesitan 'des i"}'0Jporciones 'genera.les-, ' que se Haman Mlalogías~" : ~ .-'. , ., .' I .', '! . I. a El radio de ras tq,bJCIS'''esJol,'s.eno de funbi'dé ,táG ,áng~l'o~ ag'wdJ)'( ,'como la hipot~nu'S{Hú¡ ahateto ,oj!.uest() ,á dirfhó iJ,ngubó agudo; ci eLf'O·il.io !de kas tablas; e,.,s(-r:l'& coseno de Itrl ' ángulo agrIcIo., con(o la hipotenwsa fe'sca! ~at~~o adylleenJe á dichó ,ángulo ,agudo; que')p:u'éstás en proporciones dan " ).. ;:' , .:. . {' R:sen.~'ng. .ag.::h¡pot;:·éa{et.dp~ , , J! .~ :," .'J,' '0 ,',' , , , ... '. R:cos;·áng.ag.::'hip.:cat.ady. '.' ,. . .. ~ -, !

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, Dem., , En eFepo; se:a. OD,E 'un t~iángulo\ reftán.. gulo cl,}a,lqui€Fa ;, si c.(;)ll·;una, parte CA., igua¡tal ;radie . .de Jas rablas " se traza.el arcp ¡AB , y se aira la'p,er'lo' :p'endio)llar.·AP , esta será .el seno que!se. halle en~la:s , tablas, y OP el ~osen@, y 105: tr}álilgu!os.CAP , C;llE;. llerá:a s's!qlejan~es . {.328) ,$ ' dará:Q' ... , ."~' ,,'. " ',l,:. t ~

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l1o-;cn -las 4.qs,prq¡porciones a~' .arriba.;?"

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341

'I'RIGONOMETRIA J:1~CTtLINE.A r

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Dem" Porq ue ~i d~sPlfes de haber de,Scrito el arco , AB con el radio :e~ igual al de 1 as t ablas, se tira la perpendicular J3N, esta será l'a,¡tangente trigono,.;,: métrica del ángulo e-n e; y los t riángulos selnejan. tes CBN, CDE ;' daran CB:BN::C:E:DE, _ ó R:tang.áng;;rg;-::cat.ady.:cat.o\,.' A) ', L. Q. D. D. -; - . .. I - .. rr:\, Coro \. De 'dopde 'tomaudo el radio por unidad, re· suJüt DE-:-9E«BN ; có c~t.=tang.{¡ng.op:'Xcat.; 'quo ,quiere decir, que en .u n triánguto rectángulo :CUlÚ ~ '1

. quietia:,uneapeto ecscigu.a f .á la tá1'.lgentetl"igorJométriea .J, " l o' 1}pue'Sto, \ 1. . ¡.lOGua .1 ' ' I{e . ·u ,angu "1,llU l tipo -pOT' ,el . {)tI"O' .cateto.' Eie. ) S'e llsar.áJa· primer.a aaalCilgía .cUando la hipotenusa entre en los ·.dat0s" .ó sea 10 que se busq:ue,

I

y -de la s:egúnaa;clla'ndo no. 1 .. , ,; .h"466; Esto 5upuesto) para -resolver: eI triángu,10 l\.BC (lig. I46)les:tá:ngulo en e) ,en,que. se. da Ja: hipo ~ ten usa AB:-sz] varas, y eLángulo l L ..,320Z, S/I 5'' ',7;, / se escribeplos ,datos ..deutro de )JQa. l!ave .como se.ve .en (M) y la? partes q u.e se buscan dentro de otra (N); ~e re-stará el ángulo, .A de 90° Y',Sf; hallará :el B de o

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: Ang.4':"'3zoiS/í'SJf,7.

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:{!..I0'g':sen::31202'S!JIÓfl":"- 9,72. 92566 part.corresp.á5'~,7=· . .¡ll9 '). O,?¡, ,'-;l~g~ 3,27,.",,,u.....",•...,, , 2¡)Ifl.5473 , 1 R ~ . , co~R. , Qg. . ~ ... ~ , ... ~: . , 0 ' . -~_ •

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T;E!.:JGONOMETRíA lUUllI'R:f'Nl!:A."'

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" ~e e.uyos valores se co.1oca:n en la.lláve':(N)'y se tiOl'le. Fes uelto el triánguJo., ' : " ' , , ' _ ~ y: ~, . ., . , Ese. Si ,se con(j!ciese b hip9tenusa' y un cateto J se despejaria en da: . analogía' gemeral el segundo 'fA Guarto te rmino, y 'quedada resudto:.el triánguló•. t ~ 46·1·~ Si .se. dies.em en ,el .mislllO triángulo ' UN wa~ teto AC y el ángulo A como ,s:é !Ve en CM); para ~ha\ llar el 'á~gulo "B 'se Testará el A ,me 900,r>y se ten~rá el E de sov33'2 3,'(,2 como .se 've,len (N). • ro ' tM) (N)

' ~ : . AC:;::~29 varas. ' {' ~ B:v·'5oo33/23.~/,2 ~ . '" ~, 4ng.A=39:2~/36"',~.. . :SC: 6~~,~~4 vara~. ·:;. Ang. C=90 •

AB=I073,485.

.

Para hallar el lado BC nos servirá la 'segúnda analogía, q~e qará R:tang.39926'3.oit~8: ;829:.cB~ q,ué po.r logar~t~oS' ser~ .. . ~ . ¡:: • : ~ _. ; ....

(og r"B e = '.

l?g~~ang:39°~6'~~ií-:' \ 9,9 11a.O'34-

par.cor.a........ 6 ,8= , .,~.,. '( ~ 29~ ' r.1 ..log.:8·29,·:······.:·· .. :·::;: !;9'I~SSH l o.g.' R'•.. ;..... .". jo" \ l ., cq,mp. ~ . ... o, . ' l')

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. sum~ Ó log;682,004:-'lt.%~ 3378·7; · . EÚado AB1 e I:rallarémos p0dá primera ana-Iogíi invertida, qu~ dará GOS',:3902.6 '·3·611, 8:R: :829:AB, . que por logaritmos sed: : .. ' ) J.' ~. " . . .~~',... ~V:. lo·g. 82 9· .. :.. ·· .... · ..··.. ··: ··:··::: ' 2,9 18 ,S4S log.AB= ,lo'g .R. :;-;;: ..:: ... ::;:..·.; .. :. ~s ;1'o', . - ""c·onr.log.cos. 39°26' ~6:',8;::; 0, 1122416 , " .. -,! e tr i :;_ _ __ suma 61og. 1073,48 S=.f3)o3079Ó 1

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, mitl¡;ONOMETRíA 1tEG!.TJI;í~P-A;

34<~

.:. Ese.. '1. o ; Si, se .diys,e nJos ,d-os catetos se desF'ejaria ~t . seg.u~do, :té:mn;Íno de,la- prCilp:0r9ien (A, 4 ó S-), Y

des pues se hallaría loa hipote.n llsa; con lo cua~ q)le;daria resuettC/', el triángulo. _ l ' • ~"'Ji¡sc:. z.O . En los .tti,ángtJl0s :se puedtn siem-prr ,co= nacer dos dato:s;sin' necesidad de .iÍ:nalog·i~s, á sabet , umángnlb en, c0no,ciendo -lds:0,tt:.Qs cto.5 '10 cual· con.:viene igualinemé. á .1'05 oblicuángulo,s),; y unó cl,lal ~ quiera de 105 lad<¡Js ,.lClilandQ.se; co.n,o~en, loS 0tro$ dos (33 z, cor. ).; AI,u;q.,!-e es _m~t sc.e,gyil1o en estos caso~ el cálculo logq.rí~lTIlcO, sin embargo aquel puede servir de comprobaé'ibn;-éomo~ se en el prilI!et caso ;' en que se tlime 3z7z ,' ~7S,3'172-h-2\76 ~o31 2 con rnenos de dos d.écima·s-de d1fúencia:" que en nada influJen:¡

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Resoludon '-de' los tri'ángulos ..obncuángulos. '.. -'--

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(1.:46S r.. , La resoluci0n.de los'tjiiángulos oblicuángules, ~s,t~Lunl'!ap"'a_ eq .est,a ,pFQJ?9si~i?n ge.nera1: .. ~

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Loi senos de 1ós"Jngulo$ son C01no'-sus ['ddos opuestos• .

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, Dem. . En efecto, si,enéel triártgu10 ABe (fig. 14¿J dl'cunsGríbimos lln .Glreulo, y-désde,_~1 centro, O se tit~ll las OQ; OR, <OS, petp'e1l1licu·lar.es á hw AC, CB, AB, y-se une ~a¡¡;¡bjen , él 'centro O con los¡;v.ér,.. tiéis dedos ánguJos , se tendrá 'A'ue ~,l ángulo ABe ~erá igual"al A0N) "p0rq1:le·.ambbs,tienen p(9T " me~ dida, el ar-co' AlN";J:y €Qmo e,l ~se-n(j . de AON es -'A Q"':', ~Ac; ,L~ste . ~!~mo seIf .el, seno del-~llgllI0' ABC, -,á. sen.AB-C~-F\.C. ,.¡' .. , , t _ ' . ' , .~ .. l:"l ¡ : ' ._ Asimismo será sen.BCA=faB, ,y sen.BAC=' iBC; y formando tres razones :C(e.ig'ua'ldad ~ ' ser.á. f) t, sen.A~S::fAC~:s~n ;B,CA:t.AB~ :sel1.BAC:fBC. , . Multlp-haan.ao por 2 ,los ' consecuentes , y esel11f bifl)l~ó:abJ:lev.Í'aaafuente , 'se'rW. 2. ' , ' "1 sen.ABC:sen.BCAlsén.E1\C::AC:AB:BC, '. ',:e!! Ó (335 esc. 1:;9) ¡nas -gerieral '':. ', .:+ ~ ' A ;·~~1).~;gen.~;,i-a,;J;I " iP. /il " T. ;G" · ) que '\. es LQDl'1l .sen. . . ~ . .JJ. J


~t(I~ONo'Mi"T ltÍA "'l tE·€T,ttr.lNE"M , 469, - Pas-arnGs á res@lver'alg-u'nos léj.em pIos , ~rset el p'rime-ro , drad~s ,dios' ~a¡¡'os y 'el án~uta.roTÍ1,pren.didb; ·haliar el. otro.ll'a'áQ y. l'os-dos · ángulos. . .~ .1'~ ... " Para poder aplicar á ·este caso tlr ana10gía gene'ra'l ; ~TeS" necesaúo demf>str'ar. que ,la ,suma J!le' .da-s'11a-

Itos l de ·Uf' triángulo es ,áLJU xliJereñ.ci~, ~'omo la :tan~ gefwe!Zfe- la. ,5,elnisJlma.:.detlos áJlgwlh:opue..;:to'S zí drchC1$ lado. es' á la .tangenfe rtll'C .s'u .se1l1idifer.en·ci'a~ " .. · · " r , Para 10 cu'a;l ,;. la' pr,op.or'CiOflt o:gem!fél!l! : . ~._~¡ 1:) sen.A:BC::s'en.B:A!C-'; dará (§ i8~,' 6)} . , ' y. ) I

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sén.A+sen.B:sen. A ·-5.en.B.::BC+A.C:BC~KCrrii) • ... ~ ~ t.1..;.... , ,V r ~

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Sean ahora -ES" CP (fig. ~ 481. 105, ~eno5 ,de. dos arcos .AP ; AC ;.si s~ tira",el diamet.ro AM y. se pro:o ~dnga la BS, .será (294) el arco AD=ACB; por consiguie12te .se teiidíi:á ,DA;C=AB-f.AC, S . CB;::;:; AB-BC. . ' . . _" Tírese ahora 1a CF-pa-rale~a··. al ~diáq{e!r0; ~MJ

~ SÍ)E:....DS+SE=BS+ep=S'e·ti'.An~s~n:Aé;

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I :sera ,í B.E=S#:.B.::..SE=SB-CP=sen.AB .....sen.AC• .. . • '-"'lo¡.

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Sj :se :tIran las ,c uerdas 'Bf , DF, 'Y con un radio FG igual al del .cÍ1:eJl1'0, ,s e qe,scripe .Uf! arco b,G:N, se tendrá.GK=~CAEi....... !(DA+CM:-~(BA+4.q ,. péJ: ~er ambas es presiones medida, del ,ángu}º DFG; por la :Jmisma razon -s.erA Gh=~BC" ~(AB,.;..~q! 4 ::.) . Lue'go si' por el¡p¡.mto G se !ir¡¡, ~a t~lllgel1t,e lGL, la pa·r<te~ GLsérá laJ;a:n:gente "de! a 1\<;0 , . ~ ! ':'l-:,.i !;. .~': GK=l(BA+AC), y la;. .p.<\fH~ -G.kserA.lª" .tapgente· del afco":Gh·:::;,·HA'BrA.c)..! · '~"J~ •• ..l ~'_.j , ::,,",~. Pero los triángulos, DEF, FGLr~:¡¡¡F) E'W.-,' . '''''''t i.,. ~ ." '''tQ.~ " 'FE:FGJ:DE:t:;L . - 1 dam {. ' FE;FG:':'BE'~~J _. \ :; 1 l:¡ 1 °/1

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m~lGONDJ.IlIETRíK 'RE!!TIl1ÍNE':AO'

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;que· ,g;~,i~~e -<:Leci~ ,. f-I,qtr' ~q,.. ~'fln.a , d~ (0$, ~~nos de dos ¡¡rc'os o de dos. 'aJ:lgubos es a s·u dtferenc,za, como la

(tangente, de -ra ser;úst¡;,iJ "dé ' dichos arcds ' eL á laj tan; genfe · )j~ iFa :;i¡f¡iii.l-ife~éñí!;a; ·':'· .' ; " ; ! :'(Y coli1O":fiá:oi~ndo tAB¿l.l-,- AG~B-', flas propor'ch:~n~~(1n

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'otras. diráñ

'~l ~ieq~n cO,m,un la primera (razon , las

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BC~ACl BC~AC;: : tang;~(<'l4"lf.iB): taag. ~(A..L.B) ;)q ue

es la prop~rei@H 'eflU'H€ia®a, ' J " ":' . ' J ~ ... n· , '" Pasemos: ahora á ' ~él/. ~i:ee:olucion r,,¡¡ld triáng,ulo ABC (lig. If9), ~n que se ,:?nocen los· datos, que:,:se

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y @lls'erh réaros'· que e(;)ilodd0···el 'ál,lg:ulo e la- sU'ma de los ot,rb;s': dGs ll+B serfÍ t~Í1!bien conocida, y será / : . ~ 80 °'-77 g 46'28", '5~I02;' I 3'3 I ",S y i (Y1+13)= 5I °6'45~1 ,J,S; .1ul': ge lac prQP'ot~ion' anterior.se con~ verdr á en , ~ \? l ~ C. 1 t¡¡¡:S'..¡..t) S9:748..:..;6 S9::ta¡:¡gf 5{I.o'6·~4-5 'f,7 5.:.fang~~A=-B), ó : I407::,8.9:::táng!~5,Io6'Hf',:7 s,:.t¡mg. ~(47P) ,; de don'.. ,de+.sale . ' ,.,_- 'i: ~ •• , '! -.. ~, .1 f, •. -j . . . . . . . ••

'"~.t ''.,j .;, .... ' .• ~ ....Ilog,tan.SI~6'401l= ~. 01 , " . ; , ' ( 11 0~9i3-5).6 ' .. . ,], rt 'LA. A: - B)" paq :Qr.a ... ·.5 ,7'=' 247 1og.la g;:¡\'.a- ::!! .' ~,l • . ' '" ; Iog.89· .... · .... · .. 1,9493900 . . ! , ~,~. :;; .,,-' C(j1ni ·~@g··I 4'07. ;·= 6,,85 170 59 "1

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~ .~0~Q~idaJ;':'l~ita~' ~é :lá:~ú~~ ,Yod~ Í~ piférensi~ deJos an'g!JIos

4- y~ B, ; t~qdr5!!,1},o~ r:§)

H) .

4=5 IQ6'4SI/;75+4°'29'3",98~ffo3 ~'49t!;73,

~ B~lJ o.~/H~,!7.:5...-4:°29~3'~1 91L.A-6°37'41 ",77Para hallar el Iado AB tenemos esta proporciQl'1 .,~ sen. A;.BC::seBIC: AB f/ .. '- 'C) • e ~, sen-·s SJ3'S't¡:9"}¡ 3-;748'~ se.n 11?~~28e,-S:AJ3;-':l.ueda.~! ,


Tlnr:oNO'ME~kb

343

'llECTrLÍNE'A.

,. : " ..1 " ....10·g.sen····'; · ....·' ···77~46'20"= 9,990ó 338 " . ' ~ .\\..

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A·B_ par.cor ..a......i'~ ....... . 8 ,5.= . . ' 39 1og./'il - 1 1 S· · , . . , og·74 ............;...! ........... 2., 87390r6 , ' 0111 . g:;-¡;; :.- .c,om. 1og.sen.5 Sd .s 4-9 ,.73-;:-.. P,o,S350rr'

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suma ~6 'log.886,or4~:r~.,94'Z4404 r Gón -!-a'.ellal ~q ue~a .r,es~ el tp ·e1segund,o e~sb'-'Y.las partes buscadas son las que s,e ,ven e¡i ( ~). :. ( 4'70 Daaos dos Ángubos y un lado, ~Uqr, ,etl Qtro

/

-áng.ulQ\ y lo'8 dos lados. ,.! _,'o ,. "1 r Si en el triángulo ABe (fig. 15.0) se ti~~elil ~s da~ tos (M), 10 ,primero se hallará el t~r~eF ángu10 .' . " (M) : _,/ . .(~L . . ,0 4qg·C=7 4 5'37",6 B=4 2 11 3°'2'8",7" 'J

{ . {\ñg.A=~3°2i 53",7'.. A~"':65 ~,I.6 . ya-ras. BC=S63 va:ras. ". vAB"':"9Z.S', '218 varas. que será B=rS-o°-=('7'4°:'S/3'P~!,6;f-6 3~~ 2 3¡n",7):::::: 18"oo-I37°29'3I'~,3-:-42Q30'28'~,7~ .· . ) , La. a¡:¡a!logí~ gen.era) :sen. A::BC:':sel'l.B:A~;:seq) C:AB, ser.á sefl.6 3~2;3'5 3'/ ,7:'8613::sen.42.o30'2?i{' J,;:AC:: "', '¡ sen.74 o S'37",6.:AB. .. ' Despejando el' cuafto. y sesto térmrl'l0, se tiene

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l a 8 og.sen .... ··· ..·.. 42 30" 20"_. ~ ' 9, 297'293

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.d~m-.1Gg:sen.63023/53",7=... O;04~$94~

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3'49.

!l11tl"G()N(').Ntl!'1'RflÁ;,' lfEOT;l.ÍNEA....

~7'I - '.:.Jj)a'do's dos,.~atk¡ ;y:e:Lángttlo" ~pu.e§.f¡(-}j á.! un~

de éltos:;!ilüiUrar el tef:4i' (~ad{o\ y ' los:tdds ánguJo:s,., , tEste' c:a-so se res·ue!ve'.cemCi 'eL anterior "y puede en alg:un0s c1is{)s d<ll~ dos sohrdi0nes." p<;? rq lJ.:e 10.s datos pueden convenir á dos tríálíigulos'(Ha~. -er,,, , r::417 2 : t i-':r::a'~íoonstruc0ion$~pr.ej)laratorias f!J.tueJ ¡emos tenid'o:~q'l!le' hacer, se 'P0drian evital\,sh en-t-re.\las seis; G0S\{<S ' q ulr:en~r.an_en ·up.·(t'riál,lguloJ-se. ~ll:~iésen ¡e~c(9~,":I t;rar:tíes ecua'0iones"; .'pUl~S eH \ este caso ·"cifl.d.a~ , tre"s, ~ '\ ~.J.:~ • GOsl:!;s se ·tg!'MJan. tne:s3eC'uucwneSl con ·tnes < "ncog1lJ~as,. que se despejarian inmediatamente. Para es ~o;.~bs ~.,,:. varém't1>s:;,q tl'e (figs'. 77;Y 78) ~or\lq diene (3~~5, ese.'\I. 0) se. tie¡¡¡'e': ~2~a!l+bZ:±:2b~efr-;\ r como' (§.\ 46:4~ ~~P) CD~aG.6s~BCD ,' y en. la .figuTa pl1imera: qolile. e;8 la. que ida ' ele~sÍ'g¡n0" + .·cieL :cb;; i~se .tiene ' cos:BCP= -c()s-::BeA~Gs.C r su~~hflye1'ldo ·este...\ial~J" ¡;y '§ ,-a. lt¡¡¡nd0~iJ;os á.;Hal0'gos pa,ri,\lo' ~etl!las~;:;:s:e.: te~cl:rá \¡(¡T~,. ,,?-f..¡j20,..:.:~7h((t,Qs).C ,',b? ~a*'ilr~~at;),(cos rE,,¡;@1~ , b~""'t'2T'-2iq~OS.:A, que ~ir-Vien. paráj:01l:ID.Q;.e.r J;J.:!1: lacio" Irulrnu"0 !lk!l.ittiü\llcen 'llos; cit1rDS'mlils ,y 'ei ~r~g:\ll~ \lil!.~ I

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'l'llJ:G.,ÓNOM'E'l\lt.Í,A,~:e.'~CTI1';íNÚ ,¡:

d@ una (f¡¡'f.er~:~ c.(!)t?'prBridi(a <F,~..r tF$lS~a:t~'o,~(d.e d~culo máxim@t\ta:Les el \AB,C {.fi,g.,l¡4S1'1 que ,suP,QQ~~lO$COJ!S~ ffuidQ ,I{n: la) ~íUJp.erficie:lder_u!,'la[ : esfera. -; lCJ¡~'Ü:; ,0,!tiítro esrá -Illl ~<Dnl ~ " cw)los dados son lo:s, arc_o~s) cle , círc ~lo¡ máximo 4~;,JAC ! ;:,B.O~tJ GOh ji. ': :,!:\ ,~( _ W" . t:c- 2,d an tpPtlt'll:í/ij1jal' bien l~s, jGl<ta'5)J:c0nx~ne ; sab~rJ qu~ (Oao f f:iá"ngUlcn'sféricOl AíBG ¡;leteb7r~n{J ~ef( ek ,cej¡~'IlOr(JLi!~.J~' eSfef'IlI:un]'.árt[!}ul~o .;,.sóii:d'Q f"r: :c.ompues-tQr tli!, :l1iresJlphmo$¡ ,1J013 ~r!AOC 9:B0G,;:':Iqu,e., ueilJ~n ppr,,(meMtl!} rc;s!pe(\tir'! 'Umn~1íte.-~'¡.Qs ..-arcas'1 ó lra,dos'.:d:ebms7JlO: JriilugutQ -I.lB~ , I.JJ~~r.l rE(J:..'?; r.". '; '.\' ,m¡~.~¡" ibsn:; i" \';1: ~<i¡ ~ ~; - 1 ,'\ I t ~ .1A"Qem<ts ~ eE¡~-áng.tl.l'()-'e!f~f\iGP \G:A;}~ ,e's ~el, lm.i.s(ll¡o _q!l~ e.l ·'i1fle ~for-17l9n,-lra:s,lao's: ~átlg¡:.T)-tes::i1 E, 1l.J1·,~ tir{;l<da~ eJI, et. vé'f'ttc'e lA,. 'r.espeC}i71mlf5.n~e lá .cJ:¡4at ar..co í.l'lQ", ,AE.; I -f.Foi,q¡ue, lal 'indinacipntdel.e:stos aFC:¿<i>ft~esda !Ílis¡na¡ q U:e: ta 'icl'edoSJ ~1,anb9. 'QA';ID ';i,e~D., en Cf\le!lI~ ha.Jlªn;, y.::~ it1f¡;¡:t€r5'~cion':crotlnll111 es ,el radiQ!aO ;:cFtWQ_'!l~1 ine}iaaoi'Ofil d'e" €stes- pia¡¡lÓs:. se '!lÍi~e €3rpt')~ pp.r-et\ ª¡f,¡ g~l()l J1eQtphr€OOEADlfol1lIlaa'O'tPpr 1as,~:Q~pg,rpltn~i~ c¡.u!l~r~,:st:ff.l:~

J<\..D:, :ál lu~Ul'li>smalpuntQ ,A,'.de::.la ,~.b.lltijJl

inters~s cion;'

luego esté ángu!o será tamhlien, el ¡for,

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47,4 ES1Q.l,6.!~p~estP, 10 q ~,_~@s pr.~pon~~o,s es hallar la ,re1acion. que.1lien.en ,entre sí lósd'g!Q.j)_s:, AB, AC i Be, qU'e ~llamarémos' c ,' b , lt¡ ~ Y. los ángulos e, B" A , del triángulo esféri<;o A~b: ' Para esta, sea e1l'adio QA-t; y-py'~i'pªg:uense lQs OC 7 OB, básta que encue'ntren las tangentes en E,:y.:.uñ>D"py, será: IA~'3la tta\nge.Qtí:!J:rig'ÜnRmé"F~·,ªa~~~1 arco AC "y bE será la secante; .y A::P'<7~ 01)" sefá'n ~aLt.angeÍlte %secan:te'd.d a;rc.¡;> aB ..:.Un'l'It§~ 'los Pllntos

D,y !E.;,y:,.el~tria¡:¡guIQ.re.cti1íneo

An~ _da¡rá.(§,i47:i)

DEz=AEz+ADz-2AExADKC}~$~A~i;

:( \ {' , ó haciendo DE=x, y sustítuyendGl en vez de esta9 líneas . :I;~6' ~alo¡¡es q~des -,l1éfEl05 dadó áI!~~s· ,,,,6elia' , .x 2 =tang. zb+tang.!Lc-2 tang:b.tang.ccos.t1 ' ; .:eft~ián. gulo ODE dará igualmente , > ro " ~2=seé. 2b+sec. ~(é~J2f e~"ps·eC!.<;cEl.s" .Q_.(", . 'Rema,odo \!te. es ta_~cu.a.<;io~ la ante~i0r.\se- t~n~r,á -

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T1UG.ONOMET.! d4. JlEC'l'J;ll.í1i~A"

Di(,Ó~sec.~kmse~. 2¡e~2sec.b&ee.eQos.a7

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~f"lJ tang;o 2b.---::<til.ng; lCrh2tang.bta,~g.ecos;A;. ,.,. :. y·tenaendo,pres.énte·(44S esc.) q.ue seco ~k-ta¡:lg.~b=1 y seco 2 e-tango 2 e=IJ, ~. " • ~ , " '." ."( ': .,. '0 i rEsta: ecU'aeio~ ~es p.ues· de ,d~",ja)lC .p0r .2 . se cQn,"', vei:dliá, el1J ;¡Tt«l1ig,btaflg.Qe.o?.A"'i'7s~c(b.sec.eeos.a,\ 'OJ y U'Slthu}"imd(j),ien &ez.:.dertang. ~ ·,SJi~. I.SUSl valores,'.. ~ . ' , , sen,á sen.e" , Ji '1 , ¡ "r., tendr:ar" I."rI~' ::O¡;'"X : :.:: :~CQs•.II__-. -' -. X : ::::~COS¡Jl::¡:O: c~os.v ·cos.C' cos./; cos.e '," óSl;¡gí~~a~.).la~~:op)le~a.crOJQe5. ~ :i-,educie~\dQ ,el :.enJetQ,.iI la espeei'é",'dtel ~ qU'ebrado, suprimíefldo el d~nomina, do~,~ de§}?ejap.q.q. cos.a, se .tf!,?4,r.i.. ~ ..\ ., .' : .

co~:a:,:~o5. b~05: c+iea'."bs~n. ~B.ó"s:;1·t ..'y 'lla¿ieild0gUtl5t~

construd¡lÍÓn.. §emejaflte en cada ángulo] se téndrá el ' $istema:, d<t.:eonllcipÍl,e~:'JC ~:!J :J.:;¡ ~u,tiO'J f, 1 ~f' C" "1 [; ~ ;¡P

L "lf'''le~s.~GQlk~o.s.t~sen ..bs~IÍj.e!l~§>1.1Gl ;J "'JI .íí::) , - t.r ceps..b~O$!;GC!i}.s:,~.:-hs.efl. itSen~ e~s~B .(MJ):;I~ ....;

(-: . ~'( c0s·.Cl!!::lcQs".aeo.s\1lms,eQl.~~eo ..hebs.;~ "~(;ro 3 flJf(l , qué sinrell:;p~a) Q,Qn.o~.erl un:.Iacl:f?J,¡:;c:ua'l'ld<:l;sei.€éift0,€~n! ~s,.0t:rPS ; d0:S·Iy!H áhgÍJ¡lll'>:·.'liu~j~i'ála11lf!1E¡rl ~?:.ri:ie>~ 'f. -114lf"S iJ1Despej~\1dof...enUa:pP.ll'lle.1'a;C~~lr.4 J:;se Jteríldrat ' M a";> omo? ~ ~ &~aé'

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3 54 GEOM~TRfA PRÁCTICA. puntos que. ~.Qm::o:A ., (~N N.I, .-&é.-:' :rlils-nañ d.~sigQalmen_ te del centro O , ~e dice que están en el nivel apa-:renpe', ~' pdr';]r6 c-uall:díflea t lfu rizí(¡l'Ii¿l AW,' S'é'líama' li nea '.1lu'Ili2tJe-kíaparente-s '''jJ ih_\OWc·mlferrenda -tel'.reS't:re ADBC, ó cualq u.ie·r-a: o tr~ !aQc~nyica con ella, se llama línea de nivel verdadero. Así, los puntes A, Q, están en el nivel aparente; losA, R, en el verdadero; y la parte QR; d'el.Eadi:ol-01l{ prolongado has~ ta Q, es lo que se lIama )diferencia del nivel aparen • . te -at 'Vel·d~rd¡ft'O;:->euafldor se.. ha-~en; niveladiotle? 'grandes . y decirn'Purrta¡1CÍ!II con v'lene' teqe¡; ~!1l ' aonsider.a' cf0R. estar d,ifene¡;¡cia. I !> I ,..t. uuí¡-} .. .L " " . ' .J :, IJ lJ ~Ll.,.~ 479 ~ 1ilnLest'CJ €ompeactr<!> ;tornitillios: la . desci.ípdo'n de 10-s~il'lstFL]lI1eri't(i)s.. ciiin¿ ¡;PI:H~ se.t,ejecutata;1las; apera-' . cioneS:l)ltamt'O :p'0rq ue ed¡;¡:> soladal :esj>lieaci<9IÚsin: fe~ Reflas:; iírl'la j~is~<l ~ ',e& tim:p0sibJe.:,f.ormarb.uma;,l dea· de: eNos ,SCUffiO" pPllq ueI.sUl p.resílndia: y ' C'~lIIrrO'-i p.jl.tá'&¡;as~. <!d ' prof(tsor .aprovec4a.u lilas) q ue .d:iez ~lr6jas. de es.. plicéllci:'c;¡u.: No-.obsta:¡ít~ ·cn let. u.:¡¡¡tado eleme.m,tal! $'é,.lIa.: Ha' la, és plica'é,i(!ll1~'cle ~€aaa ·11It:Ql. Y'la 'figuu qUe<Jle b:e..: ,premál; ;:y ~sí.; t s ü po!nie:n&@r.q~ e . se ; úenen , (d,ed!ÍlO~ qu\.!' l"a,r a:>niv>tlPár liiha·.pie:drál5!·min mesa) úHlp1ahó. de·.cuililquiElP illstr'Ulnentt'>!}.si m plea el ¡ni'veJ"-qeJ: al ....

bañi/t ,óreLlrclé .aire. . . .;;: .';'I¡ . ,;. r., ',',- _ r'¡' J~ 'I,'):::' , l.. 4&~ h Bá\ratl1ivelar phrtt0~ .q,u.e h 0'-distelHi'elnilsia'i Q0 ,(I S~ ; e[nptc.!a- el' niv el 1ile-. agu'aS'! JI si. la f;¡i:velá~@fi ha set>JIil1Ilfy:' grande>, I S'e cÍfsaB..''1lirv~les' de ait'e';:€0Ít' pírrmlaiSJ ¿dLnteo.] 0•.' :; : .r;::.'",. ',; !o ¡: .¡, .. ~.~r,\lS;t- . ."":

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. G~al'l~Q., ...pa,ra á'ver.~gm.a.r"<la. dif~renda-'t de~ (1'lJ:ve'J e¡i¡;t re ,d~s ; p)\¡r:ntd SJ; ·soI01·s e c0lo'G á :el ·niv.[el, ~n~' lll{ii~ 1>'al. raje.; 'se' l:l~lÍla nivet'aGioo':,s-il1íple !;1 y' cuanU0 'efi';diil> ¡ 'Q . mas, niveLacion compuesta. , !t,jÍ)'I,'~ c ·j:;:;~ ·! i!; - Si; s-e;¡q:l:liie1'e haHal"'Jla: Icl.ifer'end~ del ,nivel ~¡entre l.os dos t'p uut05'".Q ci¡ D (cfi'g:. : Ii5· 3~ i1 ;se . cól!ocapá:,;~iih1i~ vel ea B ; ~S'<!>'b¡:el'p(\~o' mllls: @!m'é~¡;¡~s:· á-igluQl , ruslgnQiW de C y :B ,:y¡ enJínea .re~ta; -(,wn ¡ello's;, se ,é ¿hállá', ~g.¡j,'a; en el nivd, y.¡Jc~avamloJ<d(,)s2 rhira's"vertiealmeh;¡te'reh> C y D'; s·(t. mira.rá por lQs :pu.citoS'!.m " Node l'a ¡ s.t.ipc.!t~ fieie de! agua,' hácieado que otr·ó -'subar ó.:.ba:je' 'la¡ i~.


MiJU!i

~ltbl'ytl~TR1i\ .- PR1.kT,IC A:. 3H de':I~:tÍlira; h.asta que la yisual tirada 'pó~ :-1V1

y N, vaya á para.r á ,la líne,a , ,que separa 10 blanco de lo negro i '<eGn ,10 'cual los .puntos ,E, F serán dos puntos de nivel verdadero. Ahora, midiendo con l'l!j;[a v;¡¡¡a¡ ;JiV.ididal en 'pulgada's' y líneas, ó mej'ór ,en pies ,y deqin,¡al€& de" pie, laíl'lalruras CE, iDF, J tes; ~ndlillas; el tesiduo' será' la¡di,ferencia ' del nivel en" tr~ ~ '}i D', lestaridól;mas':-alt'O' ~b:punm :C, cu.ya-altl1~ fa CE se ha eneontl'ado menb,¡tJ," ,', ",: n" r' :; Esé¡ :,.Pa:r;a: " áse;gurar" ~ejor.' .iai: q..irec~ioIl: ~de las vi'sua,les~;, suelen "te'ilel";¡lás ·taibJ.illél'S de l lal¡ miI:as'¡ I;J , fut"¿'¡a q u"e . l'eppesenta: ¡l a (fig; ' 1 ~ ~*h esto es, •~ U'~ sÍíe:len 'ser ' cuádÍ'a.das' ó ,GÍrcul'ares "oon dos' lí,neas ó Glálúetl'@S 'qli.é :~s'e rUGen : á -ángulos rectos; y 'en.\. t9nees' ·el punt-t><..cl'~ Hiterseocíól1.. de ; dichas ,'líneas. :¿s " et ' puntb daRde ,Se ~deóe .diri>ji¡;.la,.vi5ual. ' " \',~ " :l-~I Si h :dikt:fMhl. entré' los\.;puntos es muy siOei'ablé, S€ ~ e¡f¡p.lé~ la 'ui:Veláoiol'll. cbmpuesta ,,~del modo ¡¡iguiente,. Supongo' '1úei sé qtld-ere hal'l~r ? la dtfe~refl~ia' de rti;v:d tm'tr,e -ló-s ~qos punt~¡'s 1\ y D (lig. 154); lo primero se clava l.Üi-a¡¡lniJra· en A, y se col€lc:aJehi¡,lv.eil 'enr·)E ; :y, (para.•no:.té,¡:¡~r -que aten'd er á la ·fiifereácia~d'elSni vel ~ patente-ál vetd-áQ~ro) á1i'g\l'ál rl,i;sta-fi'&ia SO~[(!~ P§>~?~lIl~S '6 Ht~~ost s·t lse. pu~dre~ 'v. :g~ eFl>:B, s~ clava otl'a-mlra.. 6 e~adak; l se '5~nalan -lo~ puntos II y ,b' de <ni-v el, s~ .averiguan las, altur,as Aa y.: 'B'b ~ Y se" apunta~ ,ed~ unl>,ape1. t'Despuesse, pasa d /uiveJ,;á: ,otro pucHo.. F, ·déjáñdo1 éliavada: la mtra (jft 1f,- y.a ;igllillil distafÍc.ia .sobre· pó~o 'ínas Ó' ménos ·s e cdloQa 0(Fái :mira?en. Q;:~· se· señ'a:¡a-~ Jl'~s~ puntos ' de ni,:,~l e, e, .Y se apí.inta~, las a,hU:.ras, ;g~ , Ce. Se' 'pasa -cl~ ñh~el'- á G " .y-eon las m·isma'5 ,circuastancias que ~ntes, \sé-ave.r,i gu'a- eJ:va.J'o r·' de, Of, Dd. Se ' Sl:lman :.i!is:valolles-: de Aa ~ ¡Be, €f ,r qüe t,epr'eséntan las 'al:. 'tullas' a.e ·'les 'p-rimetbs térniinbS', se, '~úma-n igualmeh1e J@s ' vaiGlres 'üe B1, "Ce, Da; que' repte's entan 'las ele' 10:5, seguÍldós.~ ~'e:resta~ estas d'os>sumas; y el d'Cieso espresa-IJá' la' diferend·á de, nivel:, estamlo m,a s ' alto el primer término, si la sllma de los pl'Ímere:s

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3S6

C1i:0MÉTlt'iA

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, jéjminos es menor {y el segu,n do) e

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Para ' eje~u~a'r, clla~<'1~ie-r, o:p,eraeion, es ne., cesario primeJ,'o meai-r una lín~aausiliar J que se Hama; base. L0,S ,iilstr.uro,eptos" q.ué j)¡;:~~Ftar:iament~¡ emplea~ ~ s~n,: ~una f a4e.na ó, cuer:_J~ de, JI 00 piéS -(6: ménos), jalones, piqvetesJY' ut} J]ifl-Zg. L 'j ~;'I ~ _ s r. Así; ' si -$e :q¡¡.üe:re-"\11edir , 1a ,Jli~¡ªn~i~ de A á E ~!lg. " I.,,), se ,coloc:alláln ¡los'ialQ.¡lé,s ~., C, D; enJ~s PI~,Qtqsjmen;ll~diq,~ ,; ,de,w~nera qgeroirand0 de,s ac, Al3 E ,queden ¡toclo,s. c;u,l¡¡iertQs;. c!e§p,.l.!~s lit! est~r.l.;~lb n.¡;~d~ ya la r~ct~}~ ,_s~!.~m,Fi~~~, ~a)Il§;9.i~i9ljl <;on la. r~ª,.. ~eaa;.6, cuer.,da i,J prºcAr,¡¡'fldo q.J,l!! ej);r,écQi~,-!,l: tÍtraflt, 6;t}J segun las v~éJ:~ ~'il:l:le se ~910qn~ -,§}! $l.e~u~j..!,á e~! ªáijl<:~ r;t)J~e' ;pi,es~ cl.~ JI ql; COfl~I(:¡I; la , l-Í'qe~ Jdada;.·: ' ' : -1. L :483 Con sele,.la, eadena ,y !os jl!l~Ile~ $e 'pue~dej¡ l!:SQj,ve.r,. vªri0~,::pr1>J:>1~!p9-s" ,,",; ¡... , ..,J , 1~,iJj ,;. 'l",u Jfj . ~, ~. O!Qrn}!}Tfl t¡1~ tÍl!g.uta, rec'to'" ó t,i r¡Qt1 :t~11a·1.~l"p.eJh .djgU14T'é.1.t1FJ;:ti il,ga. fla{l.ih, , ;~ _'. v . / r ( ! ' .. ~ t j\--- R,es. "ji ,Den).. 1 ..'f:{>.mf;psl; j ~ p.ie§ Ó. uQip,ades ~de!l.a ) COª 10s llf~oS ,3 , 4 Y ,~~I!¡ q U¡! se' descéIfip(!)~ ~e el. 12.; fó,n;nese ,ul'l.,triáng').l¡l,o ,-;~(l e! .~-ngulo r C0[n.. iÚ!l}dido p.or¿ l¡¡¡s lado~ 3, y" '4!st;fk (;el. ángulp recLo ' }>edi,d.0, y p.0.t gQªsjg,l.ji~fl~e e(l~.g,~ ,l~M(jp~rp~a~icur lar al otro. Perq ue vilJien<;lo ~o~, ,lados :;del ·~riáng¡¡~ ~ 3, 4 y. S ;..s~ ..11.i~Q~ , 31::'¡"4z=s-z' ;¡ 4~eg@J( e'H.dá&g ~ )Q qu~ se ha qms~l,Iido (.33 5" .t.;~_q~ ~ ~'?)J ~¡ gec;:tá'ngu}Q• .. ! .J4;sc. Si se pi4iese :un. ángyl0 Pt; ! ~lis~nta g~ªdol

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forma~.ia U~l .t~iª-n~jl}10 ~q u;i1á;te;¡:()~ , ::'8 ~

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~ ~ :48~4.

C~an~o s¡: ,na¡;í dI! tir:af, !1J~~4as " pe'rpendi,culaf!;S , ~O!llQ ~uced~ , qlalndo' ha,lf qU¡; ,llle5iir l!lg;ij.jl .~~.rreno " Ó lse ;va, 'á tT&f.ar un cl¡;¡nRillDS[lto" lle ·l1e:;¡-a _eL~p~rato..q ue s~ !lam,a cuer:(;lq , pr;r:pengicutare~, y &9nsiste:; ~!l.. U.!1. t!"i~ogl:l.lQ

te

\só§crle§. (fig. :1 5'~,) ó eql:l~'" Játero cºn e1..cp..;de1 C~, q,ue djvi,de .-en dos panes ;igua!~s Ja.:.!~aS:e.~4B y:'.$'lfía!a la direccioJl 'de:la rp,er.f' <J?end.iQ.~afd ,,-.; ",'r : f' -> " ~ ¡ ó·<~;

,


G'lfOMETn:fA PltACTIl!A';

. 3S1

':, ) Pªra hacer uso de ella se aplica la ba~e 'AB sobte la- línea!',á; que '-se ha de. tirár la perpendicular de modo que el punto E caiga sobre el punto de la, ünea 'en que se ,ha de levantar; y tirando del estre .. miiM la cuerd.a EM, se tendrá· la perpendiculal! pedida. ,) - ' \' , Si 'este aparato se hiciese 'de maaera fuerte, s~ podría llamar 'escuadra doble, y serviria con mucha utilidad par,a ' ti~a¡; pe'rp'endieúlal1es ,en puntos de lí~ neas dadas, como para tirarlas' desde puntos dados fúe'ra de eUas. ' '. ; . , 4 8 5 t' 2. 0 M-edit una línea inaccesible. Re$. y Dem. Sea AB (lig. ' 1 S7) -la línea inaccesi. ble; á causa del rio q'ue la-atraviesa; levántese en SU estFemo ·B ·una perpendicular BL; divídase' en dos I?artes iguales en H, Y clávese en este punto un piq uete;. levántese en L la perpel'ldicular iadefini~a, .liD .; búsqu-ese el punto D, desde el cual tirando u~a 'Visu~l poir H yaya á pll'rar 'al punto A, y :la línea LD se¡;,á,.i'gÍlal á la distanda AB que se pedía. ~ Porque los fr,irángu10s ABH, HLD ', $on rectán.gulas en B y L, Y tienen BIb::HL por cOllstruccion; y.los ángulos en-H iguales por 0puestos al vértice; 'luego est0s lt'riángu,10s son igu<rles, y dan AB=LD, -- "48'()..:-Tambien' se- pueden ,medir las altul'as acce~ ,;sil:51es é ina~cesibles por sll~pie. AsÍ';' sÍ'se quiere me;, ~dÍJ.da totre ~B (fig. ' l. S8) ,,,se plantará bien verti, calmente un jalan EC; á alguna distancia de este ja'J90 ,:s~,( pl'ahtª'r á o:tró :bF-, ,de manera que se pue<ia - :y,er el estrefno.Ard~b tor.re: pof un rayo visua.l FEA que 'fa§e con ellistrem-Ci> 'del,piqtúete. ,Mírese tambien 'u~ ¡pumo deja torre tal" como. ~G ·'por un rayo. visual FG que 'pase por H, de mañera qu~ €H=DF. "~ 'Hecho 'e'Sto';, ~si se eoncil:ie J a .F:.G, será paralda é igual 'á la DB~.y se tendrán 10's dos triángulos ~~Q1eja'ntes .AGE, EHF, que dan FH:HE::IfG:AGi .•y como los 'tres primeros ~érminos de esta pro.Por- cion son <;onocidos, porq\le se pueden medir, se sigue qu'e si _a~ cuarto. AG se.aña4eJa parte GB qtl€

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~-EOMEll'~tÜ. PJtÁC,TI~'\r

9 58

est ~ .aebajo ele l:~)ín~a·,.GF, (lae tam,b~en, se· puede

medir, se ten~ta. la altura AB de la. .t.orr~ Ó de cual4l qui'e r onro oPjeto . ., . : " ~ r ' .{ " ,'¡ .~ ~s.c., .si la t0f re ~uese inacc~sible oPO! su 'pie , §~ me,diria, Pfim.ef0, p.or el métddo anterior Ja distanc;ié!¡ inaccesiblé Be ó BD, Y se ejecutaria lo demas,.C QqJ9 se aGabla de.,mélinifestar.;·· , , .. ,

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De laom.eai(;ió.n de los ,ángülos. , " " l. ~

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487 Pan medir los ángulos ' sirven mpahos inl¡~: trumentos, á saber :J a planchet:a, grq.fómetro;. bl"ú~ juta, ·teodolito, Icua~rantes de círc~to, círéutos.repetidore:s,; ,y recipiángti,tos. En.,el ' papel 'sé tr·azan y . mi, den los ángulos con un ' semicírculo ACB graduado (lig. 15?~, que 'se coloca de ,modo . que el centro ,O c:aiga en el vértiee del ángulo~, y : sobre uno d.e h'lS l<tdos 'el aiámetr,o, del mismo :eirculo. 'De ¡panera que si colocado s0br~ el ángulo.,BOD, .bal1ª,m~sL"lue.QD ca'e sobre la linea "lll:e señaola 'H o,"dkél)Jos 'lue este es el valor .de dieho ángule., raFa) que en Ul'lO de estos semicírculos se pu'di.flsflnrtr'azar medios .grados, se "necesitaria que: Eu:es,: de' .un radio bastante glran~. de; y si se q uisieserr,;ttaza'r háista, 'm!¡:nlt@s., ~e;dª, muy. embarazoso ' Huso ' cliel:ins·f.I!pumentQ:' Par,a, t;:vi-, tat, esto se ,ha ,ide:rdo: u:n !LÍledi~ seaaillo ; ~p.afa obtener ~los ángLllos oOllJnptf umel1tcis ~e.. u~'a '¡regu,l ar .magnitlHi . l' .: .~!·:.:~J,n J : ... ':,1'1 ~ ,i,' :: tiC; .:.:;,: s: ;.' 44Z ~.~ P.ará esplica'l'le:, ,sea:IAG:,;S E&g~JJ'6q); el ,bOJ;' de ó el tiinbo de, Ll'Fl> iQstf:.I.l1tnentc!> ~b:J..l\.e~esté , dividi,do en partes· _q tie se ,distingan rIDie:ru;;,!V,l ,'g,"en,.@rados) .t tlmese. um 11tí.rn~r(i) ~c\!l'a1quiera :de eg ratlos , en .c t ¡li!Ilíba,. v. g. -9R, tómese -ánora (j),lifa~ ipie7Jat , p:e:l m ismo mflta:l 6J:ue el, iQs.t.irnméntó, y de,una magnitud -igual -á, la. de ' IOS39E q:de ;se ; tomar.en., Jar eua,l se (iivi~i~.á ~ n l'l.o)p.ar.tes iguales:' 'esto es,; . im búa -mas,,'que ,la:s 1 q ue s~to ma ron en!'cih i-nstrumento; de ' coasiguiente, cada~ es paei.o de, esta, pieza ( que es lo que se llam.a n,úfÍe:t. )¿'vale ./ p de.gr-ado:ó S4,mil1:utos ;:.f la diEeFel!!#

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.G:E0MErr''RÍA' l'RÁCT>ICA\

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,cia.",'d,e. uh3l ,divjsion del núfie:zrá una. del' J:imbo; ó á gFad0:." yallltrá 6'. ; La, piella .?onde está .el 'flúñe~ se ,a..p ~ica sOQre el lilIi.bo., y. jira __al rededor del) centro del instrumento (ó al con'trario permanece fijo ,el mÍáe·z y. jira el' limb.0-); la primera. dívision ,del nÚñ\!Zi ~j üene p0r lo reg.í:¡Ja~ Ul'la }lO)' de' L !r, y. se Ha.:. ma l-íneff ·de fe:; ~sta . se hace que coinGÍda con la di~ vjsi'Qn 0° ,6 1;80°' en.jeneral, ó sobre otra graduacion -c;ualquÍl:lr,a ,dellimb@,i l' la ,magnitud 'de ,un..án,gulO' s.e aprecLa por .lo , q'lle~ se 'separa laJínea. de fe de .d:ichill graduacion. hhora, si la línea de fe coin.cicle ,exa¡¡ta,menbe con -una. division. dellir¡;¡oo, el valor, él:.e1 áng,ulo será el :JÍúmero . ~k' grad'os )co.m.pren¡- . didQ .d'esde -cero ha,sta , J.icna l~nea; pero{si , la línea de Éec<t<2 .entre dos d;i-v:is¡'~es ,d¡:l limbo ,. el ángulo pedid.o . ,yaldrá un de:rtq>llum.eXQ de gr@.dos, y un, p,\rte de graqo qtle se valúa por la regla siguiente: flJéase Ja d.ivis·ipii del _núñ~i que 'mas .coinGi de con. t~~a :deZ limbo; cuéntense los eüpaéios del núfíez desde la U;nea d: fe has.ta la. q.ue ·c.oincide cpp la del ,limbo ; mul~ tiplíquese el número de espacios hallado por la, diferencia 6' Cen nuestro caso, 'Ó- POI lo~.que . valga segun otra diYision,) que hay. ~n'tre el. espacio ,del limbo al del ntíñez ;.y. el productcn seflán lo'S: minuto~ que se de; berán añadi1", al númerro :de grado; :haita¿o. ,.. . . h 1. Con u'lilejemplo se entenderá .bien3sta¡ regla y su d~llilostraeion.~ En '1!fécto~,;¡si !,e,'qui:e e. 'av.e¡;jguir el valor .deLángulo AOG, est.e 'valdt;á 'e-! n.ú¡qer@ de grad.os dellilÍlbo .cOl'9prt;;hdido~ desde A nasta m (que aqti} Sl1n -3~ ,".:.y ::ademas:da'1"arte' 7p{i; ahora, la línea del núñez .q üe mas . cQn~iIr're con la de} Jimbo, es ·,la q¡ue pasa 'p@r ,B ;...y lJIilulti¡rlit.ea:ndo·"los ,seis. espacio!, del mlñez q,ue ha~ ,:de~de-oG~hast'l, B\'PQr' 6'-, d pro~ dueto' 36' seIfán los !fue 'se deben añadi'r ¡á los, 3.° ha~ ,llaídos.;, 1:'>01: <1<') que,' el: á,ngulo' AOG- vale-3 P 36'. _ , .Pé.lI!que si la Iíne~ del núñez ¡que, coinc'iq.~: e9n la del' limboLfuese .la ..primera de aq ueL"d ~s pac.i.o mG<v~1dI'Ía una vez ,la· cliferencia de , los es;paeios cie! Emho .i¡ ,del núúez , ~est.o .:es; '6'; s¡ fCl€S€ la .§eglln.daJ, ·el .llR

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360

G,JiOM'É'l'It'f.A/ Pl(lÍ'CfTICi"A"\

dicho ' ésp'ácib 'valdria lt2' Ó' '2 '><6' ;' .sHuése' ,ia: tercera. valdria '1&1 Ó 3XIfi', y así suóe'siÑ',amente;' 4Ieg;b' 'sienf.. do . 1á:.. SeSta .; el espacio 11>G 'va'1dtá '6xÓ1==36'; . 'rl',' ", '\ . .i L ."'Q D ' iD. 409 'P,ára: averiguar los á,.¡¡¡gulos qúé for.lIian 'en.l. tre,.si tres puntos que"sed l'aHan sobre"el ter:renef, se emple<l! jener.almente la 'plá·h GhetaM(ftg. 16I'~'r , iob>re el tablero se eSLÍende un pliegp·de papel ·, se' seña1la· el punto;,A: adonáe ceff..e&p(jntfé el V"ér1iic~, Q."d'el án.l. gulodeherréno.; por las e~rdas t, de' la,:regla.'FG que se' llama alidada; $e,'dirijen visuales á- Ios~ otros puntos e Y' E, Y es~a.s ;v;isucales 's,e 'seílí'alatf>l €en' I!IO .lapicero sobre el papel, ,donde l'queda; fOflnado ' el ángulo bAc, igual al que f(mnan los tl'es pUFl'tOS B, Q., e; eld terreno '; ~ 'micl'rémilb este áng.ulo, con el semicírculo, se ' tendrá el. que:..se .deseaba",sobre ' el

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terreho. r~

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490 ' POI: ,fe regulaq ~o; q'ue seinteáta buscar es .

el áhgulo que forman dich@s objetos, suponiéódol'os \ proyectados en un plano horizontal q'ue pase por el vértice; entónces esenG:ia~l;, CiJ. ue se C"oloq ue 'el tab-le~ ro en una situacion horl;ontal por medio .de los ni~ 'veles;, y. como en este ¡::aso ' pu~Qe .0cUitrir -el 'qru.~ 'los ohljet<;>s 1} y e no se v.é.an ·por el ' espacio <>lue, ocu... pan las cerdas, es prefe!ible ,á la alida~a un. anteojo A (lig. r-62) " el cual arm.€tnas 'de' teqer .la 'CÍreunstan·cia de poder_bajar y 's.ubh:.la 'plJnteliÍa cuanto se' necesita, reune la ventaja ' d~ distinguir los 'tilbjetos coa clahm.ad .y á major 'ru'Staneia" j" .~ ~ '. '¡?-" ~.; , 491 Otro de los i'O'S~rulIrent0s'.q1!e. strven .pa:ra . ,mem.ir, los ángules es la ,brújula (lig.J1 63)' " 1 ~ , Su coostr,uccion·y .U:s:o: espriban en '.qrUe las, agu,jas t0c<l;das á ,1<;> que se..J.laipa ,piedr,(J iman, .se dirijcm háda "el norte; y. si colocada .en un paraje' ~er; mira á tin .objt'w Gual<;):uiera, y s'e v,e el áJmgwl@{q¡u:e J'f,(H':-. 'ma la_aguja NS con la linea ~E; Y luégo se .:mira. á otro 0l:5jet0 y . se determina el mismo ánguh; Ja di.fereucia e.O'Ci'e. eHos ' d,os ángtdos. obserViad0s!, ser·á, ,el ~nguJo 'que .forman 4ich<?s :objeto~, .si.la 'aguja ha '

es.


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,~:E(l)Mx..'t'lU A'· '1'lt-" Q~!CA.

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nertÚahi~ido en 'ámbos 'CáS· 0's lá. un mismo lado de ,

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línea AB. I , SI ~li eFlt1lár e'l orra 'objeto', 'la águja .pasase al (ltro :ladú' de la' Unea AB, el á,ngulo buscado estaría represenfado.·pdir la suma iI.~ lbs dos . Ó!)s'e rvad'0s. , • 49'2 -Dé todos los instrumentos qtle J se nan ' in:ventaáo-para las operaciones geodésiGas ;"'105 mas á propósito. son el teodolito, y el c;írclilo';r~»etidor de 13ordá. -\. La primera operadoR que se practica-"es nivelar el teodl(i).I.ito', y ti~ne ' la ventaja de _dar' á un mism€) tiempo y C0n un solo anteojo Gaunque alg.unos tren ea .dos), los ángulos heriz0I\1tales 'JI !de eleva'cien. ~ -, 493 ,Cerno la division 1 de los inst'rumentos no -puede llegar al grade .de exactitud del cálculo, y que 11e ' req uiere· en alguna:s ocasioI\les ,-'se ha. ideaa\,> ,el círculo repetidor, el cual tiene la propiedad de .q'ue en v:ez del ánguh~ 'que se quiere averiguar, se puede wmar 'el duplo, el, tl'iplo, eJ- €u,á dr,upl'o ,, &c. y q.ividiendo de.spues por 2, por 3, por 4, &c. "se ten~h:á el ángulo pedido con la mitad, .tercera, cuarta, &c. parte del enor que se debe .sospechar en el instrumen1r0. ¡ '.'

Medir ahw-as y distancias accesibles é inaccesibles, y modo ,de Jepantar los pla.nrJs topográficos. , ~94{~uando

"

se pueae uno acercar :¡.I pie de una. 'a,ltura 'AS (fig. 164), y, en su' plan!!) se puede med~ Una base, se elije esta de manera que ' sea sobre poco' mas 'ó ménos igual éon :la altura por medir; se colo ~ ca el instrumento en su estremo, y li:on él se mide el> cíngulo de elev:acion AFG; con lo li:ual el raye vi~ual AF, el l horizontal GF, Y la parte AG de laaltura, cfO'rmarán un tlliángulo ' rectángulo , en que se conoce ademas del ángulo recto en C '; uno de los 'angalos' ,agudos, y el cateto PG que es igual con la. l>~s~ médiaa B.D; luego (46,) halIarémos aliado AG.¡Ql<;ü;nd€l.. R:tang.AFQ:;GF=BD:AG; - . ~


-S6:z

.

CEGME'I'RfA PRÁCT·ICA,.

Y.. añaqieqdo. ,á ·esto . 1a': N :.r!e"BG , '$e , t.eli!4tátoda la. altura AB. • .1 . 49, Cuando .hay algun obstáGulo q.u@. impida el ~_cen~arse ,~l pje <¡!om(:). en b (fig. ·I65, )~ .:Y r;se ·p .u ede medir ,sin emba'l'go una base AB en el plano de Slil. .pie, se procede.del. m0do sigu:ie~te: 'cQlocéll,do .el ,ins..; .trumento en.A, se to..lna el,ángulo·de elevaei0,B CAD; .y colocad0 ,ep. B. elángel.o. CB~: ; C0ll lo c.u al ten,e¡mos en pr.i mer lugar un triángulo CAB " en que, cio'~ ·nocemos el ángulo. en ,13 y eHa_do lAB "porque los hemos wedido, y . el á¡.¡g~Jo pAR por Ser s'll,J!>lemento }lel medidro CAD, 'y€n, virtud de la dkho f4-70~ hjlllar:~m<!!se! lado CA,' ,~~a,(:ie.icio este; q'uedª- deteljo mjnadoe en el triáBgltlPJ rectángulo CAD la ~i.pote. lIusa y .un ángulo,. y pod~~m0's hallarr (4~6): el cate.. , ~0 · Cl} _ q4ee,s la: a:hur·a ' <lJ.ue _deseamos .. . : . . . -. . 49Q Mueha$ veoes Ipo .se. sabe si la ba$e ~está: , Ó J;10 cm .el·:lJlismo planQ del ' pie deja: abura i y :<tu.r;l e! q!1e no se vea el p~e de l~ altura por medir: en est~ .·c:.~so es un P9.CO ~as 1lol,llJ!>lio.a da 4 _Qper'acion.· ;> l' Sllp0ngamos que se ~uiera medir la altura iqac~esible ' CD ,(fig. t66)~; · IUecMr.éq).!itS dbn,de el .ter.reno lo 'permita una base AB; en el estrerno A se colo.cará el instrumento, yl se tomará el ángulo horizontal ·~:AD y. e1' vJ'lJ;ti:cal ~AD;: co10c,ánao :en ,e1 .oti0, esúerno .:S" el instrulP~nt(!) " se tomará. el . ángL¡~o horí" zontal DBA ,'y cl vertícal CBD. Hecho esto, el triángulo DAB 'a os.·d¡¡.d (f!.79H l- valor' d~ , ll'nó ' cualq'Uie­ l'¡¡' de :los laq.os ,,. t:ü como AD; con lo) cual en. 'el triángulo re'c t?ngu·lo' CAtD se' ·c0noc.er á. e.l .c.at~to Al)., y, el. áIJgu,10 . CAD; lu~go (4-65)' n0.s ida'rá el valor de CDI, .que es¡lo' qu.e · ~ pedia. · . ¡ i ' , .' l 497 . Cijahdo; lá' dis taf;ldia--que se,i¡1ltemtá ¡médir es acc~9.ibt(t,. s~. ejecuta. cpñf&l'rme iJIelnos. di..cho!se mide 1.¡na ~a.se ·; .c,uando 5010 e$·.aceesiblt: p0r u n o .de sus estrernos, s,e procederá del modcé siguiente¡ ', .: ; , Su ponga,mos _q ue sea la Be. (i'ig. 16']) la 'lin,é a qae Ile qu.iera ,medir.; en este :caso .se- medil'á una~base CA desde destremo .acc~s~bie . yen . S,+5 estre![los'~me-

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PE0~E:II"RíA' PRic.TJ:CA. -g6'3 .diréti'l0Srlos-.tng\}lQs ,BCA , CA}3., y la; Trigonometría (470) nos da,r á ' ellado BC. :Parar 'ha~.e,r esta . a.pera.ci:0h::eon la .p.la.nchela, se, coloGa ' este instrumento d,e manera q.ue su; c.e¡'itro con:esp0ffda,-' sobre, el punta del terreno; despues se tira ~n eLpapel una 1íllea~~ ea la direcéion; d~¡ !at!:>,asf; , -de u,na :magnitud tal q u~ .c ontenga ta.líltas·, iar~es de una e.s.ca~a..eualqlljeta, C9.mo')v.eces. es;tá ~0li~tienida ·la unidad .'dl! medida . ea . la. pasé CA;' despu,es" s~' dirii.e lar¡iVi,sllal _po;r , C al punto B-, 'j: se 1iJ:aJ~ 'fb ,indefinida·; .despues. se PQn~ eUnstrumento en A., y' ~oloead.o ,el :t;ablero , d,e modo que la: base ca se halle ¡en, la direecioll' AC de la ,base me.,. dida, se dkíje la visual al punto 'B~ se tira la ab, .y, d Flúmero 'de"parte.s :que cb lCQntellga \en la misma. es¡ca~a, será ·el l 6úmero .de :llnidades , que , .c ontenga, la. Be de ,la medidR. con' q,ue 'se -midió la-base CA• . <.. ' 498 • Si la distancia cn (Hg. 168Y,es' de todo puno to !inaceesible 'j:¡l'Il.ed1rém0s una base ,AB que sea pra~mamef.lte paliélllela \é ,igual ~con ,l a ·distancia por :me,. dic :OD: 'En A ~0l'Ila·remos· los ángulos CAB, DAB ,y paS'and'O) el instJ.'\l!lmentd á. B t(i)lnarémos los ángulas . <l1BA1, i'DB.A "y. ,tendrémos"GQnocido en el triángulo ,(ZAlB::el 1ado AB y. los árígulqs , a~acentes; -luego 'la. fP..ri,g:0nometria '(47o)¡cia,rá el 'V'Clilbr ' della AC. En el triángui(i) DAB :se' eOl,loce igu~lmente .el lado.AB y los ángulos adY.aQerites,; luego podDémos hall~r el :vaII0:J: ·deHado ~D. Ahora, en el 'triángulo CAD teneolO's ,c onoci·dos les lad(i)s" OA, AD, .p .OI." ' lo, que. acáb:vm'~s; dMaeciq ~ ' el ~ngulo CAD que forman, pon ·ser ola, di(erf;,ñcia entre los~. dos .ángulos observados CAB, DAB; luego la Trigonometría <469) dár~ la . distanCÍ'a C-H que"D1:l:s·Qábamos. . ; 499 " Para hacer esta operacion con la plancheta, se ceoloca el instrumeato' en U00 de los estremos dé la base "tral' comp.A.; yl desp/ues de tirada la "ab en ¡la direc~ion de ~l1a, se diriJen Jas Nis1.1ales á los pUntos. C, ,í[), '_y !se tiran en el pa pe! lás á C" ;'ad; -despues. 'se pasa' gLinstFlimento á B Y se tiran- las :be, bd, .en·la di!.-eel;ion cdda§ vis.uales dirijidas á los

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y averiguando su valor · en la ,mi'sma esc¡ila ' 'en que se' tomar,on.Ias partes de ab ,que ~spresaba~ ,)~§ 'unidades de medida de AB, S'e tendrá el número de·unidades 'que "cGntiene"! la eD. ' : :Soo Se llama mapaló plano topográfieo el dibujo -en que están..represe"ntaclos todo's" l.os , 0~jetos de un paÍ's de cor-taies'tehsion. Para manifestar cómQ ,se con. -sigue esto, sup0ndiém0s ' que se':nos dé un terreno, -en ,el qu~' se tlallan' 10's 'dbjetos C', ¡D, E, F', G, H, 'K, L (fig. 169); y ' que s,e quüirelsacar un dibujo en 'q udos objeto ' guartlen la misma ' p'osicion que He. '1Ien' en el tel'lfeno. ' , .¡,':. ' J • Para lesto ', ,lo p'rimero qu.e ·se .ejecuwes medir una. :base...; AB ," desde <!UyQS es'tremos se vea' el mayor número de objetos pos,i ble; se qolc)'cará' él instv,llrilento -en -A, yse dirijitán viiua.le~ á 'los: plUltos 'C, D, E, E" ,&c. que se veN n-esae ambos estremos deda :base; ·se pasará el instrumento ' á Bi" y 's'e dil1igir.in v,islla:~ 'les á los mismos 6bjftto5-;' y' tendrérnos que si él "il'ls~ - trumento era la pla'il0heta, eLeol'lcwrso ae las visua.. Jes en el papel 'deteJ;JIIÍ,na:rá-lo,s;,oDjetos; y si no:.1o .es, en los ,es~r,ernos a· y b de ul'lá Iiñea ab., ae la1mis~ "roa magnitud que la 'base medida, s'e forman ,c@n' ui1 '$emidrculo/; .;1105 .. á¡,¡g,crlos 'Cnb., ..dab; ''/de. del misma número. d(! grados que los ángulos 'o]jservadas CAB, .DA'B, &c. qm ' lo :cual ,los .,lados: de <;,stos ángullos prolongados, cretermiiíarám 'pbr sl1l (wÍlcursoJos pun10src, el, ~G. Tambie'n se púdieran:ca.fcular-p0r l?ri,gon!.'Jmetría los lados' 'nI:, ail, ~c .., peto esto ·es ma$ ~~~ plicado.

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. Para fijar. ,la posidon dedós', P,lillltOS K, ; H; L~ .q ue 'no ,se ven desde ambo's estremos· 'd eJa'.base AB, se ~lije una llueva base ' que se procura ; tenga sus estr'!!mos en dos', puntos fijos ya, Ji con: 'r e!adon á esta.ba$.e ,se fijan los <temas. L\qui, para fijar: el K, el(jirémos por llueva base la distal'lcia FG~ y colocando en sus ,estremos el instrumento, medirémós ' los ~htgulos ~FG, KGF) que nos fijaún la, p.@si~i.oh del ,

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36,

(;EOMETltIA PRテ,TICA.

puntO Ro Para fijar los puntos H, L, eIejirテゥmos por base la EF; Y a~ se continuaria si qu~dasen mas puntos por determinar. :FIN l)XI. TOMO PRIMERO.

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