ARITMÉTICA – Academia
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PROGRESIÓN ARITMÉTICA
Llamamos así a todo conjunto de números ordenados, de tal manera que, cada uno de ellos (exceptuando al Primero) se obtiene incrementando a su inmediato anterior en una cantidad constante a la cual llamamos; RAZÓN de la progresión aritmética.
+7
# ter minos
ÚLTIMO TÉRMINO ANTERIOR AL1 Tér mino
* 7; 16; 25; 34; ......; 223 +9
ÚLTIMO TÉRMINO ANTERIOR AL1 Tér mino RAZÓN
+9
* 35; 32; 29; 26; .....; 5 -3
-3
(PROGRESIÓN ARITMÉTICA DE RAZÓN -3) En general; dada la siguiente progresión aritmética de razón “r”. t1; t2; t3; t4; t5;...…..; tk;…………; tn. t1 tk tn to
: : : :
1er término Término de lugar “K” Último término Término anterior al 1er término
5; 13; 21; 29;…..; 637 Resolución.Nótese que la progresión aritmética propuesta es de razón 8 donde el primer término es 5; y el último es 637 y el término anterior al primero es: 5 – 8 = -3 Ahora si aplicamos la fórmula para hallar el término 29.
t 29 5 (29 1) 8 5 28 8 t 29 229. Ahora para hallar el # de términos usamos:
# de tér min os
To = t1 – r . n: Número de términos.
1
Ejemplo: calcular el vigésimo noveno término y el número total de términos en:
(PROGRESIÓN ARITMÉTICA DE RAZÓN 9)
Donde :
RAZÓN
+7
(PROGRESIÓN ARITMÉTICA DE RAZÓN 7)
-3
n= tn - t1 - r = tn - t11 + 1 ......(II) r r r
De (I):
# ter minos
* 12; 19; 26; 33; .....; 425
+9
n= tn - t1 + 1 r
De II:
Ejemplos:
+7
n= tn - (t1 - r) = tn - to ...........(I) r r
637 ( 3) 8
640 8
# de tér min os 80
Además: r = t2 – t1 = t3 – t2 = t4 – t3 =.... = tn – tn - 1 .
Luego se observa que : t 2 t 1 t3 t4 t5 Generalizando:
r t 2 r t 1 2r t 3 r t 1 3r t 4 r t 1 4r
t k t 1 (k 1) r .
También: tn = t1 + (n – 1) r Efectuando: tn = t1 + nr – r tn – t1 + r = nr
EJERCICIOS
01) Calcular el trigésimo segundo término de la siguiente progresión aritmética: de 50 términos: 10;….. ; 304 Rpta: 02) Una progresión aritmética empieza en 111; termina en 514 y tiene 3a términos. Entonces el valor de “a” es:
Ahora se despeja “n” y le damos la forma apropiada. Rpta: Prof: José Malpartida R.
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03) Indicar el décimo quinto término de la siguiente progresión aritmética: 16n; 27n; 40n;…..
(53 términos) S2: 2; 11; 20; 29;…
Rpta:
(48 términos)
04) Cuantos términos tiene la siguiente progresión aritmética? 12n; 17n; 24n; 31n;…..; 620n.
Hallar: b – a a) 152 c) 154 e) 150
Rpta: 05) ¿En un sistema de numeración; los numerales: 479; 698 y 907; están en progresión aritmética. Rpta:
b) 153 d) 151
02) Si la diferencia de los términos de lugar 73 y 58 de una progresión aritmética es 90. El décimo quinto término es 104. Calcular el vigésimo término.
06) ¿Cuántos términos tiene la siguiente P.A:
84; ab; ac;....; 1cb sabiendo que: b +c – 1= a? Rpta:
a) 166 c) 186 e) 134
b) 194 d) 144
03) Señalar cuantos términos tiene la siguiente 07) determinar el # de términos de la siguiente P.A.
abn ; ba n 1; 98n 3 ;....;1(n 2)3 q Rpta: 08) En la P.A: 38;…; 87;..; 220; la cantidad de términos que hay entre 87 y 220 es el triple de la cantidad de términos existentes entre 38 y 87. Hallar la cantidad total de términos. Rpta: 09) ¿Cuántos numerales de 3 cifras del sistema de numeración senario, se escribe con 4 cifras al ser convertidas al sistema cuaternario? Rpta: 10) Dada la siguiente serie: 8a 30 ; 4a 29; αa 28 ;.....; ( = diez) Calcular la máxima cantidad de términos si a < 10 Rpta:
progresión aritmética: 78; ab; ac; ...; abc Además: a + b + c = 19 a) 151 c) 153 e) 155
b) 152 d) 154
04) Calcular a + b + n en la siguiente P.A.
a3n ; a5n ; (a 1)1n ; 4bn ;..... a) 12 c) 17 e) 19
b) 15 d) 18
05) En la siguiente P.A; que consta de 33 términos determinar la suma del primer y último término. 3a7; 3a9;..... Si la suma de cifras del último término es 7. a) 779 c) 900 e) 770
b) 778 d) 850
06) ¿Cuántos términos tiene la siguiente P.A.? TAREA
01) Sea a y b los últimos términos de cada serie S1 y S2 respectivamente:
abn ; bc n 1; 88n 2 ;...; 64(n 1)9
a) 16 c) 18 e) 20
b) 17 d) 19
S1:13; 18; 23; 26;…
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4)
Se dice que un conjunto de # se encuentran en progresión geométrica; cuando cada uno de estos puede obtenerse de la multiplicación a el anterior por una misma cantidad constante llamada razón o cociente de la progresión. Clases: 1)
S
8
t1 1 q
Creciente: (razón >1); Razón = 3
Razón =
n
1 2
Alternada u oscilante:
Nos piden:
Ejem: 2; -4; 6; -16;
1 q 1
Ejemplo: Calcular: S 2
Decreciente: ( 0 < razón < 1) Ejem: 64; 32; 16 y 8
3)
P 2x2 8 2 36 5)
Ejem: 2; 6; 8; 54. 2)
n
Pn t 1 t n En el ejemplo anterior:
S 2
4 8 16 .... 3 9 27
4 8 16 .... 3 9 27
n ; q 2
Razón = -2
3
TERMINACIONES: t1 tn n r Sn SL Pn
: 1er Término : Término general. : # términos : razón : Suma de los “n” primeros términos. : Suma limite : producto de los “n” primeros términos.
S
2 2 6 1 2 / 3 1/ 3
b) Interpolacion: Formar una P.G con los datos siguientes:
a;.......... .; b "m"
FORMULAS DE P.G.
q m 1 t t2 3 ......... t1 t2
1)
q
2)
tn T1 qn 1
Ejemplo: Interpolar 4 medios geométricos, entre 3 y 729.
3; .......... ;729
Ejemplo: t 7 t1 q6
4 medios .
; t 5 t1 q4
En general: t n t p qnp
729 3; Si: q 4 1 3
3)
Sn
t 1 qn 1) q1
b a
.
Ejemplo: 2 + 4 + 6 + 16 +…… + 256 Se observa: t1 = 2; n = 8; q = 2 2(2 8 1) S 510 21
3; 9; 27; 81; 293 ; 729 .
EJERCICIOS
01) Si: (x + 2); (x +14); (x + 50) están en P.G. X2 Hallar: E X2 i 1
x4
Rpta: Prof: José Malpartida R.
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Rpta: 02) En una P.G de términos positivos se observa que cada término es igual a la suma de los 2 términos siguientes. ¿Cuál es la razón de la progresión? Rpta:
10) Una P.G. de razón 2; es tal que admite 5n 40 términos; siendo la suma de la n primeros (8) 40 y la suma de los “n” últimos (16) . Calcular el número de términos. Rpta:
do
to
03) Si el 2 y el 6 término de una P.G. son m y n; respectivamente. ¿Cuál es el 4to término? Rpta:
TAREA to
avo
01) Si el 4 y 8 término de una P.G. son m y n; to respectivamente. ¿Cuál es el 6 término? ero
04) Una P.A creciente es tal que los términos 3 , no avo 9 , 27 están en P.G. calcular las razones de la progresión sabiendo que la suma de dichos 3 números (términos) en P.G. es 78.
a) m 2 n 2
b)
mn
c) m n e) N.A
d)
m2 n2
Rpta: 05) En una P.G. que posee 51 términos se conoce que el vigésimo término es 128 y el término décimo 1/8. Hallar el término central.
02) En una P.G. que posee 51 términos se conoce el término vigésimo es 128 y el término décimo 1/8. Hallar el término central. 10
11
a) 2 12 c) 2 14 e) 2
Rpta: 06) Si se interpolan 4 medios geométricos entre 160y 5. hallar la suma de los 2 últimos términos de la progresión geométrica formada. Rpta: 07) Sea el sistema:
2x y z 40 3y z 10
b) 2 13 d) 2
03) En la siguiente progresión de razón q: t1; t2; t3;….; se conocen los términos: t m - n = a t m + n = b. Hallar tm a)
b
b)
a
c)
a
d)
b
a
e) a b Donde: x; y; z son 3 términos consecutivos de una Progresión geométrica creciente; hallar: xy/z Rpta: 08) Se tiene una P.G. de 3 términos cuya suma es 15 y el producto 45. La razón adopta de forma.
r
a b 1 a b 12 2k1
Hallar: 1 2x 2 3x 3 a) 36 c) 81 e) 256
x1
b) 27 d) 4
a b c + k Sabiendo que “K” y “a” z b c d Hallar el valor de “c”; sabiendo que: a + b + c + d = 16
2
Hallar el valor de:
04) Si (x + 2) ; (x + 8) ; (x + 26) están en P.G.
05) En:
abk
Rpta: er
09) En una P.G. iguala 486. de 1 término 2; término de lugar: (n) -3 y ultimo 13122; hallar la razón y el número de términos. Dar como to respuesta el término que ocupa el 6 lugar. Prof: José Malpartida R.
a) 36 c) 64 e) 96
b) 72 d) 26
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06) Una P.G. de razón 2; es tal que admite 5n términos; siendo la suma de los n primeros 40 40 (6) y la suma de los “n” últimos (16) . Calcular: el número de términos.
a) 80 c) 60 e) 40 07) Si:
08) Interpolar 4 medios geométricos entre 3 y 729. to
3; .......... ;729 y dar el valor del 4 término. 4 medios .
a) 27 c) 9
b) 78 d) 50
b) 81 d) 53
e) N.A.
xy8 x 2 y 2 32 3
3
3
Hallar x +y + z sabiendo que Z es el término de la P.G: x, y, z a) 48 c) 72 e) N.A.
3er
b) 36 d) 51
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