Se refiere a un conjunto de métodos para manejar la obtención, presentación y análisis de observaciones numéricas.
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Sus fines son describir al conjunto de datos obtenidos y tomar decisiones o realizar generalizaciones acerca de las caracterĂsticas de todas las observaciones bajo consideraciĂłn.
Estadística Descriptiva (Deductiva): es la encargada de la organización, condensación, presentación de los datos en tablas y gráficos y del cálculo de medidas numéricas que permitan estudiar los aspectos más importantes de los datos.
DESCRIBIR
Estadística Inferencial o Inferencia Estadística: está definida por un conjunto de técnicas, mediante las cuales se hacen generalizaciones o se toman decisiones en base a información parcial obtenida mediante técnicas descriptivas.
INFERIR
El uso de la Estadística es muy amplio. Resulta difícil nombrar un área en la cual no se emplee. Los métodos estadísticos han encontrado aplicación en: ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦
Gobierno Negocios Ciencias Sociales Ingeniería Ciencias Física y Naturales Control de Calidad Procesos de Manufactura Muchos otros campos de la actividad intelectual.
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Esto se debe a la creciente facilidad con la cual se pueden manejar grandes cantidades de datos numÊricos, debido al uso de ‌
Población: es la colección de todas las posibles mediciones u observaciones que pueden hacerse de una variable bajo estudio.
Se clasifica en dos categorías: ◦ Finita: es aquella que incluye una cantidad limitada contable de observaciones, individuos o medidas. Siempre que sea posible alcanzar (contar) el número total de todas las posibles mediciones, se considera como finita la población.
◦ Infinita: es aquella que incluye un gran conjunto de observaciones o mediciones que no pueden alcanzarse por conteo. Al menos, hipotéticamente, no existe límite en cuanto al número de observaciones que el experimento puede generar.
Muestra: ◦ es un conjunto de mediciones u observaciones tomadas a partir de una población. ◦ es un subconjunto de la población.
Muestra aleatoria: se considera aleatoria siempre y cuando cada observación, medición o individuo de la población tenga la misma probabilidad de ser seleccionado.
Variables:
◦ son las características o lo que se estudia de cada individuo de la muestra. Ej: sexo, edad, peso, estatura, color de ojos, estado civil, temperatura, cantidad de nacimientos, presión, grosor, diámetro, ...
Datos:
◦ son los valores que toma la variable en cada caso.
Cualitativos: son datos que solo toman valores asociados a las cualidades o atributos, clasificándolos en una de varias categorías, es decir, no son valores numéricos. Ej: ◦ ◦ ◦ ◦ ◦
Sexo: f/m. Hábito de fumar: Fumador/No fumador Color de ojos: negro, azul, marrón, … Religión: católica, evangélica, … Estado civil: soltero, casado, divorciado,…
Cuantitativos: provienen de variables que pueden medirse, cuantificarse o expresarse numéricamente. Ejemplos: ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦
Peso Edad Estatura Presión Humedad Intensidad de un sismo Cantidad de hermanos
Tipos de variables cuantitativas: ◦ Discretas: es aquella que solo puede tomar un número finito o infinito numerable de valores. Ejemplo: cantidad de hermanos. ◦ Continuas: es la variable que puede tomar cualquier valor en una escala continua. Ejemplo: cantidad de líquido contenido en un recipiente.
Escala Escala Escala Escala Escala
Nominal. Variables Cualitativas Ordinal. de Intervalos. de Razón o Proporción. Variables Cuantitativas Absoluta.
Escala nominal: los datos se pueden agrupar en categorías que no mantienen una relación de orden entre si, por lo tanto no están definidas las operaciones lógicas (>, <, , ) sino solo las de igualdad o diferencia. Ejemplos: color de ojos, sexo, profesión, estado civil, religión.
Escala ordinal: existe un cierto orden o jerarquía entre las categorías (>, <, , ). Ejemplos: grados militares, organigrama de una empresa, escalafón de los profesores universitarios, grados de disnea, estadiaje de un tumor.
Escala de Intervalos: valores numéricos de las variables y además de las relaciones de orden (>, <, , ), se pueden establecer distancias, es decir, tienen sentido las operaciones de suma y resta. Tiene dos propiedades: ◦ Existe una unidad de medida que se mantiene constante para todos los valores que toma la variable. ◦ Existe un valor patrón u origen relativo que no significa la ausencia de valor en la variable.
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Ejemplo: temperatura, nivel de ruido, movimientos sĂsmicos.
Escala de razón o proporción: es la más completa y general de todas las escalas. Se caracteriza porque los valores de la variable son números entre los cuales, además de las relaciones de orden (>, <, , ) y distancia (+,-), se pueden establecer múltiplos y proporciones. Ejemplos: peso, altura, volumen…
Escala Absoluta: se caracteriza porque los valores que toma la variable son el resultado de contar y por lo tanto, está constituida por los enteros positivos y el cero. Ejemplos: número de hermanos, cantidad de autos vendidos, cantidad de accidentes en una intersección, cantidad de hijos,…
Univariantes o unidimensionales: sólo recogen información sobre una característica (Ej: edad de los alumnos de una clase). Bivariantes o bidimensionales: recogen información sobre dos características de la población. (Ej: edad y estatura de los alumnos de una clase).
Multivariantes o pluridimensionales: recogen información sobre tres ó más características. (Ej: edad, estatura y peso de los alumnos de una clase).
Conclusiones erróneas debido a que los datos son numéricamente insuficientes. Representaciones gráficas engañosas (escalas). Datos muestrales no representativos: ◦ Muestra que no incluye a elementos de toda la población. ◦ Ciertas categorías de personas no responden correctamente. ◦ Respuestas voluntarias (sesgadas).
Una vez que se ha realizado la recolección de los datos, se obtienen datos en bruto, los cuales rara vez son significativos sin una organización y tabulación.
Formas de organizar los datos: ◦ Un arreglo: es la forma más sencilla de organizar los datos en bruto, consiste en colocar las observaciones en orden según su magnitud: ascendente o descendente. ◦ Poco práctica cuando se tiene una gran cantidad de datos.
◦ Una distribución de frecuencias: es un arreglo de los datos que permite expresar la frecuencia de ocurrencias de las observaciones en cada una de las clases, mostrando el patrón de la distribución de manera más significativa. Clase
Pto. Medio
fi
Fa
fri
FRa
%i
%a
La Distribución de Frecuencias:
◦ Se recomienda su uso cuando se tienen grandes cantidades de datos (n). ◦ Su construcción requiere, en primer lugar, la selección de los límites de los intervalos de clase. ◦ Para definir la cantidad de intervalos de clase (k), se puede usar: La regla de Sturges: k = 1 + 3.322log(n)
La cantidad de clases no puede ser tan pequeño (menos de 5) o tan grande (más de 20), que la verdadera naturaleza de la distribución sea imposible de visualizar. La amplitud de todas las clases deberá ser la misma. Se recomienda que sea impar y que los puntos medios tengan la misma cantidad de cifras significativas que los datos en bruto. Los límites de las clases deben tener una cifra significativa más que los datos en bruto.
Determinar: ◦ ◦ ◦ ◦
Punto medio = (Li+Ls)/2. Frecuencia absoluta de la clase (fi). Frecuencia acumulada de la clase (Fa). Frecuencia relativa de la clase (fri): fri = fi/n
◦ Frecuencia relativa acumulada de la clase (FRa). ◦ Porcentaje de la clase (fri): %i = fri.100
◦ Porcentaje acumulado de la clase (%a).
A continuaci贸n se presentan las calificaciones de 60 estudiantes
23 80 52 41 60 34
60 77 10 71 78 67
79 81 64 83 89 17
32 95 75 54 76 82
57 41 78 64 84 69
74 65 25 72 48 74
52 92 80 88 84 63
70 85 98 62 90 80
a) Construya una distribuci贸n de frecuencias. b) Qu茅 puede concluir de estos datos.
82 55 81 74 15 85
36 76 67 43 79 61
Los gráficos permiten visualizar en forma global y rápida el comportamiento de los datos. Para datos cuantitativos agrupados en clases, comúnmente se utilizan tres gráficos: ◦ Histogramas. ◦ Polígono de frecuencias. ◦ Ojiva o Polígono de frecuencias acumuladas.
Histograma
Histograma y PolĂgono de Frecuencias
Ojiva
Para datos cualitativos se usan: ◦ Curvas
◦ Barras
◦ Sectores
Barras
Barras
Curvas
Sectores, torta o circular
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Corresponden a valores que generalmente se ubican en la parte central de un conjunto de datos. Forma como los datos pueden condensarse en un solo valor central alrededor del cual todos los datos muestrales se distribuyen.
Las medidas de tendencia central más importantes son: ◦ Media: Aritmética y Aritmética ponderada. ◦ Mediana. ◦ Moda.
Es la suma de todas las observaciones dividida entre el número total de observaciones. Expresada de forma más intuitiva, podemos decir que la media aritmética es la cantidad total de la variable distribuida a partes iguales entre cada observación. (wikipedia) Por ejemplo, si en una habitación hay tres personas, la media de dinero que tienen en sus bolsillos sería el resultado de tomar todo el dinero de los tres y dividirlo a partes iguales entre cada uno de ellos. Es decir, la media es una forma de resumir la información de una distribución (dinero en el bolsillo) suponiendo que cada observación (persona) tendría la misma cantidad de la variable. (wikipedia)
Para datos no agrupados: n
X
x .f i
i 1
i
n
Para datos agrupados: k
X
f .Pm i 1
i
i
n
Donde: Pmi: punto medio de la clase i fi: frecuencia absoluta de la clase i
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Es el valor que ocupa la posiciĂłn central de un conjunto de observaciones, una vez que han sido ordenados en forma ascendente o descendente. Divide al conjunto de datos en dos partes iguales.
Para datos no agrupados: ◦ Si n es impar: posición donde se ubica la mediana es igual a (n+1)/2.
◦ Si n es par: (n+1)/2 no es entero, por lo tanto la mediana será igual al promedio de las dos posiciones centrales.
Datos agrupados: clase mediana es la que contiene a la observación que ocupa la posición n/2.
x F i
Md Lm Donde:
aanterior
2
fi
.I
Lm: límite inferior de la clase mediana. F(aanterior): frecuencia acumulada de la clase anterior a la clase mediana. fi : frecuencia absoluta de la clase mediana. I: amplitud o intervalo de la clase mediana.
Observación o clase que tiene la mayor frecuencia en un conjunto de observaciones. Un conjunto de datos puede ser unimodal, bimodal o multimodal. Es la única medida de tendencia central que se puede determinar para datos de tipo cualitativo.
Para datos no agrupados: es simplemente la observación que más se repite. Para datos agrupados:
f2 Mo Li .I f1 f 2 Donde:
Li: límite inferior de la clase modal. f1: diferencia entre fi de la clase modal y la anterior. f2: diferencia entre fi de la clase modal y la posterior. I: amplitud o intervalode la clase modal (clase de mayor frecuencia).
Cuando los datos son sesgados es mejor emplear la Md
Propiedades: La suma de las diferencias entre las media muestral y el valor de cada observación es cero. La media de una constante es la constante. Si todas las observaciones xi se multiplican por una constante a, la X también se debe multiplicar por ese mismo valor constante.
Si se somete a una variable estadística X a un cambio de origen y escala, Y = a + bX, la media aritmética de dicha variable X varía en la misma proporción. La media de la suma de dos variables es igual a la suma de sus medias.
Ventajas: Emplea en su cálculo toda la información disponible. Se expresa en las mismas unidades que la variable en estudio. Es el centro de gravedad de toda la distribución, representando a todos los valores observados. Es una valor único.
Se trata de un concepto familiar para la mayoría de las personas. Es útil para llevar a cabo procedimientos estadísticos como la comparación de medias de varios conjuntos de datos.
Desventajas: Se ve adversamente afectada por valores extremos, perdiendo representatividad. Si el conjunto de datos es muy grande puede ser tedioso su cálculo manual. No se puede calcular para datos cualitativos. No se puede calcular para datos que tengan clases de extremo abierto, tanto superior como inferior.
Ventajas: Fácil de calcular si el número de observaciones no es muy grande. No se ve influenciada por valores extremos, ya que solo influyen los valores centrales. Fácil de entender.
Se puede calcular para cualquier tipos de datos cuantitativos, incluso los datos con clase de extremo abierto. Es la medida de tendencia central más representativa en el caso de variables que solo admiten la escala ordinal.
Desventajas: No utiliza en su “cálculo” toda la información disponible. No pondera cada valor por el número de veces que se ha repetido. Hay que ordenar los datos antes de determinarla.
Ventajas: No requiere cálculos. Puede usarse para datos tanto cuantitativos como cualitativos. Fácil de interpretar. No se ve influenciada por valores extremos. Se puede calcular en clases de extremo abierto.
Desventajas: Para conjuntos pequeños de datos su valor no tiene casi utilidad, si es que de hecho existe. Solo tiene significado en el caso de una gran cantidad de datos. No utiliza toda la información disponible. No siempre existe, si los datos no se repiten.
En ocasiones, el azar hace que una sola observación se no representativa se el valor más frecuente del conjunto de datos. Difícil de interpretar si los datos tiene 3 o más modas.
Son valores numéricos que indican o describen la forma en que las observaciones están dispersas o diseminadas, con respecto al valor central.
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Son importantes debido a que dos muestras de observaciones con el mismo valor central pueden tener una variabilidad muy distinta.
Rango. Varianza. Desviación Típica. Coeficiente de variación.
Rango (amplitud o recorrido): Está determinado por los dos valores extremos de los datos muestrales, es simplemente la diferencia entre la mayor y menor observación. Es una medida de dispersión absoluta, ya que depende solamente de los datos y permite conocer la máxima dispersión.
Casi no se emplea debido a que depende únicamente de dos valores. No proporciona una medida de variabilidad de las observaciones con respecto al centro de la distribución. Notación: R
Es un valor numérico que mide el grado de dispersión relativa porque depende de la posición de los datos x1,x2,…,xn con respecto a la media. Es el promedio al cuadrado de las desviaciones de cada observación con respecto a la media. Notación: s2, 2, var(X)
Si la varianza de un conjunto de observaciones es grande se dice que los datos tiene una mayor variabilidad que un conjunto de datos que tenga un varianza menor. Para datos NO agrupados:
n
s2
i 1
fi. Pmi x n
2
Para datos agrupados en una distribución de frecuencias: k
s2
2 m x fi i i 1
n k
s2
2 m i fi i 1
n
x
2
Es la raíz cuadrada de la varianza. Notación: s, .
s s
2
Es una medida de dispersión relativa que permite comparar el nivel de dispersión de dos muestras de variables estadísticas diferentes. No tiene dimensiones. Notación: CV
s CV 100% x
Ventajas: Útil cuando se quiere conocer la extensión de las variaciones extremas (valor máximo de la dispersión). Fácil de calcular.
Desventajas: No es una MD con respecto al centro de la distribución. Solo emplea dos valores en su cálculo. No se puede calcular en distribuciones de límite de clase abierto.
Propiedades: 1. Siempre es mayor o igual a cero y menor que infinito. 2. La varianza de una constante es cero. 3. Si a una variable X la sometemos a Y=a+bX, la varianza de Y serรก Var(Y) = b2Var(X)
Ventajas: Es útil cuando se compara la variabilidad de dos o más conjuntos de datos. Utiliza toda la información disponible. Desventajas: No proporciona ayuda inmediata cuando se estudia la dispersión de un solo conjunto de datos. Difícil de interpretar por tener sus unidades elevadas al cuadrado.
Ventajas: Esta expresada en las mismas unidades que la variable en estudio. Utiliza todas las observaciones en su cálculo. Fácil de interpretar. Desventajas: No tiene.
Ventajas: Es la única MD que permite comparar el nivel de dispersión de dos muestras de variables diferentes. Emplea toda la información disponible en su cálculo. Fácil de calcular.
Desventaja: ď ˝ No es una MD con respecto al centro de la distribuciĂłn de los datos.
Son medidas numéricas que permiten determinar la forma que tiene la curva de los datos, por lo tanto, sirven para corroborar lo que los gráficos muestran.
Medidas de forma
-Asimetría
Coeficiente de Pearson Coeficiente de Fisher
-Kurtosis o apuntamiento
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Permiten estudiar la forma de la curva, dependiendo de cĂłmo se agrupan los datos.
Coeficiente de Asimetría de Pearson: Fácil de calcular e interpretar. Cálculo:
3 X Md ASP s
o Interpretación: = 0, X=Md Simétrica ASP
> 0, X>Md Asimétrica Positiva < 0, X<Md Asimétrica Negativa
Coeficiente de Asimetría de Fisher: No es de fácil cálculo, pero si su interpretación.
x X n
ASF
i 1
3
i
ns
Pm x f k
ASF
Datos NO agrupados
3
i 1
3
i
ns 3
i
Datos Agrupados
o Interpretación: = 0, Simétrica ASF
> 0, Asimétrica Positiva < 0, Asimétrica Negativa
Miden si los valores de la distribución están más o menos concentrados alrededor de los valores medios de la muestra (zona central de la distribución). Se definen tres tipos de distribución según su grado de Kurtosis:
Mesocúrtica: grado de concentración medio alrededor de los valores centrales de la variable. Leptocúrtica: grado de concentración elevado. Platicúrtica: grado de concentración reducido.
x X n
CK
i 1
4
i
ns
4
Pm X f k
CK
3
Datos No Agrupados
4
i
i 1
ns
4
i
3
Datos Agrupados
Interpretación:
=0 Mesocúrtica CK
>0 Leptocúrtica <0 Platicúrtica