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Ejercicio: Cuantos tipos de imprenta se utilizaron al enumerar las 648 paginas de un libro.
PAGINACIÓN
Es el acto de numerar páginas; sabiendo que un tipo de imprenta equivale a una cifra. Calculo del número de cifras usadas al escribir en forma consecutiva desde 1 hasta abc número de 3 cifras)
Resolución: Para enumerar las 648 paginas del libro; se debe escribir; en forma consecutiva desde 1 hasta 648; luego; como para cada cifra se usa un tipo de imprenta (es decir un carácter); el número de tipos de imprenta es igual al número de cifras usadas en la escritura. * Como 648 tiene 3 cifras:
1;2;3;.......;9
;
Numero de cifras (648 1) 3 111
10;11;12;...............;99
(649 3) 111 9 números de 9 cifras ; 1 cifra
1947 111 1836
90 números de 180 Cifras 2 cifras
100;101;102;.......;abc
(abc 99)3 cifras
EJERCICIOS
(abc 99)números de 3cifras
o Luego el número de cifras será:
9 180 (abc 99)3 189 abc 3 297 abc 3 98 abc 3 3 111
01) Para enumerar la primera cuarta parte de las páginas de un libro se emplearon 342 cifras. ¿Cuántas cifras se emplearon para enumerar todo el libro?. Rpta: 02) Si un libro tiene 960 paginas. ¿Cuántas cifras se emplean para enumerar sus páginas impares? Rpta: 03) Al
De donde: Números de cifras = (abc 1)3 111. Ahora veamos:
escribir
la
siguiente
sucesión:
abc
11;2 2 ;3 3 ;4 4 ; ; abc se han empleado 522 cifras. Hallar a + b +c. Rpta:
En General: “El número de cifras usadas al escribir desde 1 hasta N; donde N es un número de “K” cifras; es: (N 1) K 111 1 K cifras
Por ejemplo: Si deseamos averiguar cuantas cifras se utilizan al escribir los números naturales desde n hasta 5296;
04) En la numeración de las 5ab páginas de un libro se usan 15ab cifras. Determinar el valor de a + b. Rpta: 05) En la escritura de los números (base y exponente) que forman las siguientes sucesiones:
453125 ; 452126 ;451127 ; ; 15x 4 x
Solución: En primer lugar notamos que 5296 tiene 4 cifras; luego aplicando la formula tendremos:
Numero de cifras (5296 1) 4 1111 5297 4 1111 21188 1111 20077
6
¿Cuántas cifras se utilizaron? Rpta: 06) ¿Cuántas páginas tiene un libro si en la numeración de sus 385 últimas páginas se utilizaron 1340 tipos de imprenta? Rpta: 07) De un libro de 225 páginas se arrancaron cierto número de hojas del principio; notándose que las
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paginas que quedaron sin arrancar se emplearon 452 tipos de imprenta. ¿Cuántas hojas se arrancaron? Rpta: 08) Se han arrancado cierto número de hojas centrales de 2 cifras a un libro de 120 páginas notándose que en las páginas que quedaron se emplearon en su numeración 12 tipos más de lo que emplearon en las páginas arrancadas. ¿Cuántas hojas se arrancaron? Rpta: 09) ¿Cuántas cifras “6” se emplean en la enumeración de los 700 primeros números naturales? Rpta: 10) De un libro se sacan las hojas que terminan en 4; notándose que en ellas se han utilizado 674 cifras. ¿Cuál de las siguientes no puede ser la última página del libro? a) 1123 c) 1122 e) 1119
b) 1110 d) 1121
TAREA
01) Al enumerar la primera mitad de las páginas de un libro se utilizo 702 cifras. ¿Cuántas cifras se empleo en todo el libro? a) 1404 c) 1510 e) 1516
b) 1418 d) 1512
02) En la paginación de las 38 primeras hojas de un libro se ha usado la sexta parte de la cantidad de cifras que se emplean en la paginación total. El número de hojas del libro será: a) 322 c) 161 e) 114
b) 135 d) 228
03) ¿Cuántas páginas tiene un libro si en sus 100 ultimas páginas se han utilizado 283 tipos de imprenta? a) 180 b) 181 c) 182 d) 183 e) 184 04) De un libro de 500 hojas se arrancan 5 hojas seguidas notándose que en las hojas que quedan se habían utilizado; 2866 tipos de
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numeración. Determine el número de la página arrancada por primera vez. a) 95 c) 97 e) 99
b) 96 d) 98
05) De un libro de 321 hojas se arrancan cierto número de hojas del principio; observándose que en las páginas restantes se usan 1679 tipos de imprenta; ¿Cuántas hojas se arrancaron? a) 26 c) 36 e) 38
b) 27 d) 37
06) ¿Cuántas paginas de un libro se podrán enumerar con el doble del número de cifras que utilizan para enumerar un libro de 500 paginas. a) 962 b) 972 c) 964 d) 948 e) 965 07) Considere un cuadernillo cuyo formato sea medio oficio elaborado con papel tamaño oficio. Al enumerarlo se observa que una de las hojas tamaño oficio esta numerado: 35; 36; 799 y 800. ¿Cuántas cifras se escribieron al enumerar las páginas del cuadernillo? a) 2192 c) 3052 e) 3024
b) 2394 d) 2581
08) Para enumerar un libro se necesitan 855 cifras. Si se le divide en 3 capítulos de tal forma que la enumeración de cada capitulo comienza en 1; siendo la diferencia de paginas entre 2 capítulos sucesivos 22 paginas. Hallar cuantas cifras; de mas de menos; se necesitan para su numeración con respecto a la forma inicial. a) b) c) d) e)
200 más 200 menos 202 más 202 menos 147 menos
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II) MÉTODO COMBINATORIO
Rpta:
Fundamento: Las cantidades de números o combinaciones que pueden formarse con varias ordenes o variables independientes entre si; es numéricamente igual al producto de las cantidades de los valores que pueden formar dichas ordenes o variables. Ejemplo Aplicativo: ¿Cuántos números de 2 cifras existen en el sistema decimal tal que su cifra de mayor orden sea par y su cifra de menor orden sea impar? Resolución: Considerando que los números son de la forma ab donde por condición del problema “a” debe ser par y “b” impar; es decir:
a 2; 4; 6; 8 o
b 1; 3; 5; 7; 9
Si combinamos los valores de “a” y “b” se obtienen los números de la forma ab , así:
21; 23; 25; 27; 29; 41; 43; 45; 47; 49 ab 61; 63; 65; 67; 69; 81; 83; 85; 67; 89; Donde puede observarse que hay 20 números de la forma ab * Ahora utilizamos el método combinatorio; será:
VARIABLES:
b 1 VALORES 3 DE LAS 5 VARIABLES 7 9 CANTIDAD DE VALORES 4.5 DE LAS VARIABLES
03) ¿Cuántos números de 4 cifras existen tal que sus cifras de orden par son mayores en 1 que las cifras de orden precedente? Rpta:
04) ¿Cuántos numerales capicúas de 3 cifras del sistema de base 6 tienen como suma de cifras a un número par? Rpta: 05) ¿Cuántos números mayores que 300 pero menores que 800 se pueden formar utilizando solo las siguientes cifras: 0; 2; 3; 5; 6; 7; y 9? Rpta: 06) ¿Cuántos números terminan en 7?
de 4 cifras, comienzan o
Rpta: 07) ¿Cuántos números de la forma a (a b) b existen en el sistema de numeración senario? Rpta: 08) ¿Cuántos números de 4 cifras; todas impares y distintas entre si; existen en el sistema de numeración undecimal?
a 2 4 6 8
Rpta: 09) Determinar ¿Cuántos números capicúas están comprendidos entre 2000 y 20000?
= 20 números.
OJO: “El producto de las cantidades de valores de cada variables indica la cantidad de números”.
Rpta: 10) ¿Cuántos números de 3 cifras de la base 8 utilizan la cifra 2 en su escritura? Rpta:
EJERCICIOS
TAREA
01) ¿Cuántos números de 5 cifras existen en el sistema heptanario de manera que su cifra inicial sea impar, terminen en 2 o 5; su cifra central no sea impar y las otras dos cifras sean significativas?
01) ¿Cuántos números de 3 cifras existen; que tengan por lo menos una cifra impar; y por lo menos una cifra par?
a) 726 c) 802 e) 750
b) 864 d) 720
02) ¿Cuántos
números de la forma: a (a 2) (b 1) (b 2) existen en el sistema de 2 numeración duodecimal?
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a) 225 c) 625 e) 725
b) 900 d) 675
02) ¿Cuántos números de 4 cifras existen tal que el producto de sus cifras sea par? a) 9000 c) 7875 e) 1250
b) 8375 d) 3250
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03) En el sistema de numeración cuaternario hay 3072 números de “n” cifras. ¿Cuál es el valor de n? a) 4 c) 6 e) 8
b) 5 d) 7
04) ¿En que sistema de numeración existen 90 números de la forma: a (a 4) b b 4 ? a) Nonario b) Duodecimal. c) Hexadecimal d) Base 140. e) Base 15. 05) ¿En que sistema de numeración existen 160 numerales capicúas de 5 cifras? a) b) c) d) e)
Quinario Senario Notario Octanario Decimal.
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06) ¿Cuántos números de 4 cifras de la base 7; tiene por lo menos 2 cifras iguales? a) 720 c) 1344 e) 1348
b) 1250 d) 1338
07) ¿Cuántos números de 4 cifras mayores que 4000; terminan en 0 o en 7? a) 1200 c) 1199 e) 1600
b) 599 d) 600
08) En que sistema de numeración existen 648 números de la forma:
a a 2 b (b 2) c (c 1) (c 1)
a) Duodecimal b) Undecimal c) Hexadecimal d) Nonario e) Decimal
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