Texto Paralelo Algebra Lineal

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Universidad Mariano Gálvez De Guatemala Ingeniería en Sistemas y Ciencias de la Computación

Nombre: José Emanuel Alvarez Morales Carné: 7490-21-15215 Curso: Álgebra Lineal Profesor: NOÉ ABEL CASTILLO LEMUS Ciclo Estudiantil: 2021

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Contenido Introducción........................................................................................................................................ 4 Clase 1: Semana del 11 al 18 de julio ........................................................................................... 5 Teoría de Conjuntos ....................................................................................................................... 5 Operaciones básicas entre conjuntos ............................................................................................ 5 Clase 2: Semana del 18 al 25 de julio ................................................................................................ 10 Estructuras algebraicas................................................................................................................. 10 Ley de Composición Interna ......................................................................................................... 12 Inverso Multiplicativo y elemento neutro ................................................................................... 13 Clase 3: Semana del 25 de julio al 1 de agosto ................................................................................. 14 Matrices ........................................................................................................................................ 14 Tipos de Matrices ......................................................................................................................... 14 Operaciones con Matrices ............................................................................................................ 16 Clase 4: Semana del 02 al 08 de agosto ............................................................................................ 19 Determinantes de una Matriz ...................................................................................................... 19 Matriz Inversa ............................................................................................................................... 20 Inversa de una matriz de 3x3 método de Gauss Jordan ............................................................. 20 Clase 5: Semana del 16 al 23 de agosto ............................................................................................ 23 Sistemas de ecuaciones, métodos de resolución ........................................................................ 23 Inversa de una Matriz 3x3 ............................................................................................................ 27 Clase 6: Semana del 23 al 29 de agosto ............................................................................................ 30 Ecuaciones lineales con tres incógnitas ....................................................................................... 30 Clase 7: Semana del 29 al 05 de septiembre. ................................................................................... 33 Definición de espacios vectoriales ............................................................................................... 33 Propiedades o axiomas ................................................................................................................ 33 Definición de Operaciones en un espacio vectorial .................................................................... 34 Clase 8: Semana del 05 al 12 de septiembre .................................................................................... 36 Producto punto de dos Vectores ................................................................................................. 36 Magnitud de un vector ................................................................................................................. 37 Clase 9: Semana 10: del 12 al 19 de septiembre. ............................................................................. 38 Producto escalar en geometría .................................................................................................... 38 Calculo del Angulo entre dos vectores ........................................................................................ 38 Clase 10: Semana 11: Semana del 19 al 26 de septiembre ............................................................... 39

3 Definición de espacio R3 .............................................................................................................. 39 Teorema ........................................................................................................................................ 39 Cálculo de la distancia entre dos puntos en R3............................................................................ 39 Cálculo de la magnitud de un vector en R3 .................................................................................. 40 Clase 11: Semana del 10 al 17 de octubre ........................................................................................ 41 Cálculo de proyecciones en R3...................................................................................................... 41 Producto Cruz de dos Vectores .................................................................................................... 41 Cálculo del área de un paralelogramo en R3................................................................................ 42 Clase 12_S15: Semana del 11 al 18 de octubre ................................................................................ 43 Dependencia e Independencia Lineal .......................................................................................... 43 Uso de la regla de Sarrus para determinar si un vector es linealmente dependiente o independiente .............................................................................................................................. 44 Clase 13_Semana 16: Semana del 24 al 31 de octubre .................................................................... 48 Definición de Vectores por Componentes. .................................................................................. 48 Definición de Nulidad de una matriz ........................................................................................... 49 Comentario Personal ........................................................................................................................ 51 Conclusiones ..................................................................................................................................... 52 Recomendaciones ............................................................................................................................. 53 Biografía ............................................................................................................................................ 54

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Introducción

El texto paralelo es una estrategia educativa que permite al estudiante de un proceso educativo, documentar y valorar la aplicación de conocimientos en su quehacer diario.

En esta ocasión nuestro texto paralelo tratará sobre los diferentes temas tratados en el curso “Álgebra Lineal”.

Trataremos temas desde “Teoría de Conjuntos” hasta temas más complejos como lo son “Dimensión de Vectores de coordenadas” y “Dependencia e Independencia Lineal.

El curso “Álgebra Lineal” es muy importante, ya que es fundamental en casi todas las áreas de las matemáticas. Por ejemplo, el álgebra lineal es fundamental en las presentaciones modernas de la geometría, incluso para definir objetos básicos como líneas, planos y rotaciones. Además, el análisis funcional, una rama del análisis matemático, puede considerarse básicamente como la aplicación del álgebra lineal al espacios de funciones..

Sin más que decir espero que el contenido que se presenta a continuación sea de su agrado.

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Clase 1: Semana del 11 al 18 de julio Teoría de Conjuntos Definición técnica La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas (y de la lógica) que se dedica a estudiar las características de los conjuntos y las operaciones que pueden efectuarse entre ellos.

Es decir, la teoría de conjuntos es un área de estudio enfocada en los conjuntos. Por tanto, se encarga de analizar tanto los atributos que poseen, como las relaciones que pueden establecerse entre ellos. Es decir, su unión, intersección, complemento u otro.

Debemos recordar que un conjunto es una agrupación de elementos, ya sean números, letras, palabras, funciones, símbolos, figuras geométricas u otros.

Para determinar un conjunto se suele definir la característica que tienen en común sus elementos. Por ejemplo, un conjunto A con los números enteros, positivos y pares menores a 20.

A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18}

Operaciones básicas entre conjuntos Unión de conjuntos Supongamos que tenemos los conjuntos y definidos como se muestra en la siguiente figura:

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Podemos crear otro conjunto conformado con los elementos que pertenezcan a o a . A este nuevo conjunto le llamamos unión de y , y lo notamos de la siguiente manera: . En la imagen de abajo puedes observar el resultado de unir los conjuntos y .

Al elegir qué elementos estarán en la unión de nuestros conjuntos y , debes preguntarte cuáles están en el conjunto “o” en el conjunto . El resultado de la operación será el conjunto conformado por todos los elementos del conjunto universal , que cumplan la condición de estar en uno o en otro.

Tenemos en este caso: :

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Intersección de conjuntos Sigamos tomando como ejemplo los conjuntos y definidos anteriormente. Podemos determinar un nuevo conjunto conformado por los elementos que nuestros conjuntos y tienen en común. A este nuevo conjunto le llamamos intersección de y , y lo notamos de la siguiente manera: .

Para determinar que elementos pertenecen a la intersección de los conjuntos y te puedes preguntar qué elementos están en “y” en Todos los elementos del conjunto que cumplan esta condición deberán estar en el conjunto . En la figura de la arriba puedes ver la intersección de nuestros conjuntos y : .

Diferencia de conjuntos Además de la unión y la intersección podemos realizar la diferencia de conjuntos.

En este caso se deben seleccionar los elementos de un conjunto que no estén en el otro. Por ejemplo, si realizas la operación menos , debes seleccionar los elementos de que no están en . Representamos la diferencia M menos N así: . Observa que en este caso .

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Diferencia simétrica de conjuntos Que el nombre esta operación no te alarme, también es muy sencilla.

En esta ocasión se deben escoger los elementos de que no están en , y los elementos de que no están en . Puedes ver el resultado de la diferencia simétrica entre y en la figura de abajo. Representamos la diferencia simétrica a través del símbolo . En el caso de nuestros conjuntos y tenemos: .

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Complemento de un conjunto La ultima operación que estudiaremos no es entre dos conjuntos. Decimos que el complemento de es el conjunto conformado por todos los elementos del conjunto universal , que no pertenecen al conjunto . Es común usar los símbolos , o para representar el complemento del conjunto . Nosotros usaremos el símbolo . En nuestro caso tenemos y .

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Clase 2: Semana del 18 al 25 de julio Estructuras algebraicas Una vez que definido el concepto de conjunto y las operaciones que se pueden realizar entre conjuntos, pasamos a estudiar las estructuras algebraicas que nos podemos encontrar.

Para poder comenzar a enumerar las diferentes estructuras, en primer lugar vamos a distinguir entre dos tipos de operaciones: a) Operación interna: llamamos operación interna en un conjunto A, a la operación que hace corresponder a cada par de elementos de AxA con un único elemento de A. b) Operación externa: llamamos operación externa en un conjunto A sobre otro conjunto K, a la operación que hace corresponder a todo par de elementos (a,k) de AxK un único elemento de A.

Dentro de las estructuras algebraicas más importantes que estudiaremos en este artículo, las clasificaremos en tres grupos: con una operación interna, con dos operaciones internas y con una operación interna y otra externa.

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS CON UNA OPERACIÓN INTERNA Empezaremos nombrando desde la más pequeña a la más grande e importante, ya que cumple mayor número de propiedades. A partir de este momento, utilizaremos * como notación para la operación interna.

-Semigrupo: Diremos que A es un semigrupo, si (A,*) cumple la propiedad asociativa: si para todo a,b y c pertenecientes a A, se tiene que (a*b)*c=a*(b*c). Si además se cumple la propiedad conmutativa: a*b=b*a, entonces diremos que (A,*) es un semigrupo conmutativo.

-Monoide: Si (A,*) es un semigrupo que además tiene elemento neutro que denotamos por e: a*e=e*a=a.

Por ejemplo el conjunto de los números naturales menos el cero, con la operación suma, es un semigrupo conmutativo. Mientras que el conjunto de los números naturales (incluido el cero) con la operación producto es un monoide.

-Grupo: Diremos que G es un grupo si (G,*) cumple las siguientes propiedades: asociativa, existencia de elemento neutro y existencia de elemento simétrico o inverso que denotamos por i: a*i=i*a=e.

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-Grupo conmutativo o abeliano: Si (G,*) es un grupo que cumple además la propiedad conmutativa.

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS CON DOS OPERACIONES INTERNAS Como en este apartado tenemos dos operaciones internas, denotaremos a cada una de ellas con los símbolos * y °.

-Semianillo: Diremos que (A,*,°) es un semianillo si se cumple que: 1) (A,*) es un monoide, es decir, un semigrupo conmutativo con elemento neutro.

2) (A, °) es un semigrupo.

3) Se cumple la distributividad de ° respecto de * : a°(b*c)=(a°b)*(a°c).

-Semianillo conmutativo: Si (A,*, °) es un semianillo y (A,°) es un semigrupo conmutativo.

Si además tiene elemento neutro, entonces (A, *,°) es un semianillo conmutativo con elemento unidad.

Por ejemplo, el conjunto de los números naturales, con las operaciones suma y producto es un semianillo conmutativo con elemento unidad: el cero, 0.

-Anillo: Diremos que (A,*, °) es un anillo, si se cumple que: 1) (A,*) es un grupo conmutativo.

2) (A, °) es un semigrupo.

3) Se cumple la distributividad de ° respecto de *.

Al igual que en el caso de semianillo, si (A, °) es un semigrupo conmutativo, entonces (A, *, °) es un anillo conmutativo, y si además tiene elemento neutro, entonces es un anillo conmutativo con elemento neutro.

Por ejemplo, el conjunto de los números enteros, los racionales, los reales y los complejos con las operaciones suma y producto son anillos conmutativos con elemento unidad.

-Cuerpo: Llamamos cuerpo a la terna (K,*, °) que cumple: 1) (K,*, °) es un anillo 2)(K-{0},°) es un grupo.

Si además (K-{0},°) es un grupo conmutativo, entonces diremos que (K, *, °) es un cuerpo conmutativo.

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS CON UNA OPERACIÓN INTERNA Y OTRA EXTERNA Por último, vamos a ver la estructura algebraica más importante que tiene una operación interna * y otra externa, que denotamos por ●, y utilizaremos como subíndice el conjunto al que hace referencia.

-Espacio vectorial: Diremos que (V,*v,●k) es un espacio vectorial si cumple 1) Si (K, *, ●) es un cuerpo.

2) (V, *) es un grupo conmutativo.

3) Se cumple la propiedad distributiva de ● sobre * por ambos lados.

4) Se cumple la propiedad pseudoasociativa: a●(b*c)=(a●b)●c 5) Existe elemento unidad.

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Ley de Composición Interna

R//No cumple con la ley de composición interna.

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Inverso Multiplicativo y elemento neutro es el número que debes multiplicar a cualquier número diferente de 0 para que el resultado sea 1.

También es conocido como recíproco.

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Clase 3: Semana del 25 de julio al 1 de agosto Matrices El concepto de Matriz es sencillo, es una tabla con m filas y n columnas de números reales ordenados (m,n∈N). Veamos una definición más matemática de las matrices

Tipos de Matrices

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Operaciones con Matrices Antes que todo cabe mencionar qué es una matriz. Una matriz es una forma rectangular donde se ordenan los números reales mediante coordenadas reflejadas en los subíndices.

La dimensión de una matriz se representa como la multiplicación de la dimensión de la fila con la dimensión de la columna. Denominamos (m) para la dimensión de las filas y (n) para la dimensión de las columnas. Entonces, una matriz mxn tendrá m filas y n columnas.

Suma y resta La unión de dos o más matrices solo puede hacerse si dichas matrices tienen la misma dimensión.

Cada elemento de las matrices puede sumarse con los elementos que coincidan en posición en diferentes matrices.

En el caso de restar dos o más matrices se sigue el mismo procedimiento que usamos para sumar dos o más matrices.

En otras palabras, cuando sumamos o restamos matrices nos vamos a fijar en: 1. Las matrices compartan la misma dimensión.

2. Sumar o restar los elementos con la misma posición en matrices distintas.

Como hemos dicho, primero comprovamos que sean matrices de igual dimensión. En este caso, son dos matrices 2×2. A continuación, sumamos los elementos que tienen las mismas coordenadas. Por ejemplo, (d) y (h) comparten la misma posición en matrices distintas. La posición, denotada como P, para (d) y (h) es P22.

17 Cuando restamos matrices es como en álgebra común, multiplicamos por (-1) la matriz que tiene el signo de restar delante. En este caso es la matriz B

Multiplicación Generalmente, la multiplicación de matrices cumple la propiedad no conmutativa, es decir, importa el orden de los elementos durante la multiplicación. Existen casos llamados matrices conmutativas que sí cumplen la propiedad.

Sean Ry X dos matrices no conmutativas, implica que: RX ≠ XR Sean R’y X’dos matrices conmutativas, implica que: Para multiplicar dos matrices necesitamos que el número de columnas de la primera matriz sea igual al número de filas de la segunda matriz.

El orden de multiplicación sería tomar la primera fila de la matriz T, multiplicarla por la primera columna de la matriz F y sumar sus elementos.

Podemos multiplicar una matriz por un escalar z cualquiera. En este caso z=2.

Cada elemento de la matriz queda multiplicado por el escalar z=2.

18 División La división de matrices se puede expresar como la multiplicación entre la matriz que iría en el numerador multiplicada por la matriz inversa que iría como denominador.

También podemos dividir una matriz por un escalar z cualquiera. En este caso z=2.

Cada elemento de la matriz queda dividido por el escalar z=2.

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Clase 4: Semana del 02 al 08 de agosto Determinantes de una Matriz El determinante de una matriz de dimensión mxn es el resultado de restar la multiplicación de los elementos de la diagonal principal con la multiplicación de los elementos de la diagonal secundaria.

En otras palabras, el determinante de una matriz 2×2 se obtiene dibujando una X sobre sus elementos. Primero dibujamos la diagonal que empieza por arriba en lado izquierdo de la X (diagonal principal). Después dibujamos la diagonal que empieza por arriba en el lado derecho de la X (diagonal secundaria).

Para calcular el determinante de una matriz, necesitamos que su dimensión tenga el mismo número de filas (m) y de columnas (n). Por tanto, m=n. La dimensión de una matriz se representa como la multiplicación de la dimensión de la fila con la dimensión de la columna.

Existen otras maneras más complejas para calcular el determinante de una matriz de dimensión mayor de 2×2. Estas formas se conocen como la regla de Laplace y la regla de Sarrus.

Ejemplos

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Matriz Inversa

Nota: Recordad que, si una matriz es de dimensión nxn, diremos que es una matriz cuadrada de dimensión n. Si, por el contrario, el número de filas y de columnas no es el mismo, diremos que es una matriz rectangular.

Sea A una matriz cuadrada de dimensión n, decimos que la matriz B es una matriz inversa de A si se cumplen: siendo In la matriz identidad de dimensión n. De la definición se sigue que la dimensión de B tiene que ser también nxn (para poder calcular los productos matriciales por ambos lados). Durante el texto, veremos que realmente sólo existe una matriz inversa y que, si se cumple una de las dos igualdades anteriores, entonces también se cumple la otra. Como dicha matriz es única, la denotamos por A−1 y la llamamos la inversa de A.

Inversa de una matriz de 3x3 método de Gauss Jordan Recordad que, si una matriz cuadrada es regular, entonces podemos realizar un número finito de operaciones elementales fila para transformar la matriz en la matriz identidad.

En el método de Gauss se realizan las mismas operaciones sobre la matriz identidad, transformándose así en la matriz inversa de A

21 Los pasos del método de Gauss son:

Ejemplos:

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Clase 5: Semana del 16 al 23 de agosto Sistemas de ecuaciones, métodos de resolución En esta página vamos a exponer los 3 métodos básicos para resolver sistemas de ecuaciones lineales: sustitución, reducción e igualación. Para facilitar la comprensión de los métodos, sólo vamos a resolver sistemas de 2 ecuaciones con 2 incógnitas.

Cuando sepamos resolver un aplicación: Problemas de sistemas.

sistema,

ya

podemos

resolver

problemas

de

Recordatorio: El coeficiente de una incógnita es el número que la multiplica. Por ejemplo, • • •

el coeficiente de 2x es 2, el coeficiente de x es 1, el coeficiente de -x es -1

Explicaremos los métodos con 4 pasos y mediante un ejemplo,

1. Método de sustitución.

El método de sustitución consiste en aislar en una ecuación una de las dos incógnitas para sustituirla en la otra ecuación.

Este método es aconsejable cuando una de las incógnitas tiene coeficiente 1.

Ejemplo:

1. Aislamos una incógnita Vamos a aislar la x de la primera ecuación. Como su coeficiente es 1, sólo tenemos que pasar el 4 restando al otro lado:

Ya tenemos aislada la incógnita x.

2. Sustituimos la incógnita en la otra ecuación

24 Como tenemos que la incógnita x es igual 2y-4, escribimos 2y-4 en lugar de la x en la segunda ecuación (sustituimos la x):

Observad que hemos utilizado paréntesis porque el coeficiente 2 tiene que multiplicar a todos los términos.

3. Resolvemos la ecuación obtenida:

Ya sabemos una incógnita: y=3.

4. Calculamos la otra incógnita sustituyendo:

Al despejar la incógnita x teníamos

Como conocemos y=3, sustituimos en la ecuación:

Por tanto, la otra incógnita es x=2.

La solución del sistema es

25 2. Método de reducción

El método de reducción consiste en sumar (o restar) las ecuaciones del sistema para eliminar una de las incógnitas.

Este método es aconsejable cuando una misma incógnita tiene en ambas ecuaciones el mismo coeficiente (restamos las ecuaciones) o los coeficientes son iguales, pero con signo opuesto (sumamos las ecuaciones).

Ejemplo

1. Comprobamos los coeficientes Hay que asegurarse de que al sumar o restar las ecuaciones, alguna de las incógnitas desaparece: Escogemos una incógnita a eliminar: la y.

Sus coeficientes son -1 (en la primera) y 1 (en la segunda).

Como son iguales y de signo contrario, sumaremos las ecuaciones.

Nota: si ninguna de las incógnitas tiene el mismo coeficiente, podemos multiplicar cada ecuación por el número distinto de 0 que sea necesario para conseguirlo. Un ejemplo de esto lo podemos encontrar en el Problema 2.

2. Sumamos o restamos las ecuaciones Sumamos las ecuaciones para eliminar la y:

3. Resolvemos la ecuación obtenida

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4. Calculamos la otra incógnita sustituyendo Sustituimos la incógnita x por 7 en alguna de las ecuaciones y la resolvemos:

La solución del sistema es

Método de igualación El método de igualación consiste en aislar una incógnita en las dos ecuaciones para igualarlas.

Este método es aconsejable cuando una misma incógnita es fácil de aislar en ambas ecuaciones.

Ejemplo

1. Aislamos una incógnita en las dos ecuaciones Escogemos aislar la incógnita x:

2. Igualamos las expresiones

27 Como x=x, podemos igualar las expresiones obtenidas:

3. Resolvemos la ecuación Resolvemos la ecuación de primer grado obtenida:

4. Calculamos la otra incógnita sustituyendo Sustituimos el valor de la incógnita y en alguna de las expresiones calculadas anteriormente (la primera, por ejemplo):

La solución del sistema es

Inversa de una Matriz 3x3

Solución: El proceso es sumamente fácil, simplemente recordemos llevar a cabo todo el proceso por pasos, para que no sea confuso. Así que lo primero que haremos será calcular la determinante, así sabremos si la matriz es invertible, de ser así entonces calculamos, sino entonces sabríamos que no tiene inversa.

a) Paso 1: Comprobar si tiene determinante.

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La determinante nos dio 78, por lo que podemos decir que si tiene inversa.

b) Paso 2: Calcular la Matriz de Cofactores

Ojo, es importante saber obtener la matriz de cofactores, ya tenemos en nuestro blog, un artículo exclusivo sobre matriz de cofactores, donde obtuvimos la matriz adjunta.

Para recordar un poco, por ejemplo, el primer renglón de la matriz de cofactores que está dado por [ -9 , 12 , 24 ], se obtiene de la siguiente manera:

El resto del procedimiento, tendrás que calcularlo como tarea, y se observará el resultado que obtuvimos de los cofactores.

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C) Paso 3: Obtenemos la matriz transpuesta del resultado de cofactores, que es lo conocemos como la matriz adjunta. Recordemos que solamente tenemos que cambiar los renglones por columnas.

D) Paso 4: El siguiente paso para encontrar la matriz inversa es el tener que multiplicar el determinante por cada uno de los elementos de la matriz adjunta. Es decir, realizar el siguiente proceso:

Simplifiquemos la matriz inversa, es decir; si tenemos mitad saquemos mitad, y así sucesivamente ...

Listo, podríamos decir que el ejercicio está completo. Sin embargo, debemos comprobar el proceso y verificar si dicha matriz es correcta.

E) Paso 5: Comprobación de la matriz inversa.

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Clase 6: Semana del 23 al 29 de agosto Ecuaciones lineales con tres incógnitas Se pueden interpretar estos sistemas como un conjunto de tres planos en el espacio real tridimensional . En algunos casos no habrá solución, en otros habrá infinitas (una línea de puntos solución) y en otros habrá una única solución.

Para resolver este tipo de sistemas se aplicará reducción, de forma que cada ecuación tenga una incógnita menos que la anterior. Por ello, se utilizará el método de Gauss.

Ejemplo

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Clase 7: Semana del 29 al 05 de septiembre.

Definición de espacios vectoriales

Propiedades o axiomas

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Definición de Operaciones en un espacio vectorial

Ejemplo suma de vectores

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Clase 8: Semana del 05 al 12 de septiembre Producto punto de dos Vectores

Ejemplos

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Magnitud de un vector

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Clase 9: Semana 10: del 12 al 19 de septiembre.

Producto escalar en geometría

Calculo del Angulo entre dos vectores

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Clase 10: Semana 11: Semana del 19 al 26 de septiembre Definición de espacio R3 Los vectores de la forma (1) constituyen el espacio R3 . Para representar un punto en el espacio, se comienza por elegir un punto en R3 . Se denomina a este punto el origen, denotado por 0. Después se dibujan tres rectas perpendiculares entre sí, a las que se llama el eje x, el eje y y el eje z. Dichos ejes se pueden seleccionar de diferentes formas, pero la más común tiene los ejes x y y horizontales y el eje z vertical. Sobre cada eje se elige una dirección positiva y la distancia a lo largo de cada eje se mide como el número de unidades en esta dirección positiva a partir del origen.

Teorema

Cálculo de la distancia entre dos puntos en R3

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Cálculo de la magnitud de un vector en R3 Formula

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Clase 11: Semana del 10 al 17 de octubre

Cálculo de proyecciones en R3

Producto Cruz de dos Vectores

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Cálculo del área de un paralelogramo en R3

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Clase 12_S15: Semana del 11 al 18 de octubre Dependencia e Independencia Lineal

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Uso de la regla de Sarrus para determinar si un vector es linealmente dependiente o independiente

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Ejemplo 2 Regla de Sarrus

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Clase 13_Semana 16: Semana del 24 al 31 de octubre Definición de Vectores por Componentes.

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Definición de Nulidad de una matriz

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Comentario Personal

Gracias al curso “Algebra Lineal”, pude comprender varios temas que aun desconocía, talvez no se me quedo por completo todo el contenido, pero lo que, si pude retener en la mente, sé que me ayudará para toda la vida, en la vida cotidiana y en el trabajo que actualmente desempeño y en el que mas adelante deseo desempeñar como programador.

Sé que como futuros profesionales debemos de poner en práctica varios temas de los tratados durante el curso, nos ayudará de mucho en todos los aspectos de la vida.

Agradezco al profesor por el tiempo que nos dedicó y por todo lo que pude aprender gracias a él.

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Conclusiones

Llegamos casi a nuestra parte final del texto paralelo, espero que dicho contenido les haya sido útil, así como lo fue para mí, y recordemos siempre:

El algebra lineal nos ayuda en nuestra vida cotidiana, donde quiera que vallemos vamos a necesitar matemáticas, y junto con ella el algebra.

Otra recomendación que hago es que si no entendemos algún tema nos esforcemos por comprenderlo, ahora es mucha la tecnología y junto a ella tenemos un sinfín de libros digitales, cursos tutoriales y otras facilidades.

Recordemos que todos estos temas de la clase de algebra nos ayudara de mucho y la usaremos cuando ya desempeñemos un empleo relacionado a programación, redes y otros que están dentro de las ramas de la ingeniería.

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Recomendaciones

En primer lugar, recomiendo bueno esto es siempre en nuestros estudios tratar de poner atención en cada clase, no hacer como otros alumnos que actualmente lo que hacen es ingresar a la computadora, ingresar a la clase online y ahí dejar sola la computadora, mientras ellos hacen otras cosas nada relacionadas al curso, todo esto que aprendamos sin darnos cuenta un día lo estaremos aplicando en nuestra vida laboral como personal.

Ago otra recomendación tal vez no tenga mucho que ver con la clase, pero recomiendo que tratemos de desarrollar nuestra lógica, todas las personas poseemos lógica, pero unos poseen un pensamiento lógico más avanzado que otras personas, tratemos de desarrollar nuestro pensamiento lógico, ya que existen técnicas, ejercicios y juegos que nos ayudaran a desarrollar nuestra lógica. La lógica nos ayudará en todos los aspectos de nuestra vida.

Y por último es fundamental que comprendamos cada tema que nos impartió el ingeniero en el curso de Algebra lineal, queramos o no durante la carrera y ya en nuestra vida laboral, tendremos que aplicar los temas vistos en clase, como mencionaba anteriormente si no comprendemos algún tema, en estos tiempos tenemos a nuestra mano un sinfín de posibilidades que nos ayudan en nuestros estudios, todo es que queramos aprender y pongamos de nuestra parte.

Agradezco al ingeniero Noe, por todo por el tiempo empleado en enseñarnos, por todo, simplemente gracias ingeniero.

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Biografía

1.

Lay, David c. ALGEBRA LINEAL Y SUS APLICACIONES Pearson. Tercera edición. México, 2007

2.

Boucheron Luc Bramaud. ALGEBRA LINEAL INTERACTIVA. Mc Graw Hill. Segunda edición.

Venezuela, 1995.

3.

Grossman, Stanley I. ALGEBRA LINEAL. Mc Graw Hill. Quinta edición. México, 1996.