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Trabajo Geogebra.

Instrucciones 1. El trabajo debe ser realizado con el programa GeoGebra que se puede descargar en su p´agina web (secci´on Descarga). Tambi´en se puede ejecutar desde la secci´on WebStart. Los archivos de Geogebra tienen extensi´on .ggb. 2. Unos videos sobre el manejo del programa se pueden visualizar en esta direcci´on. Otros videotutoriales se pueden ver aqu´ı. Adem´as en Youtube se pueden encontrar cientos de videos sobre Geogebra, muchos de ellos en espa˜ nol. 3. Todos los ejercicios se deben entregar en formato electr´onico en una carpeta de nombre “TrabajoGeogebra”, seguido del nombre del alumno (es conveniente escribirlo todo junto, sin tildes y sin s´ımbolos extra˜ nos). Si te llamas Juan P´erez debemos nombrar los archivos como JuanPerez01, JuanPerez02, . . . Lo ideal es comprimir dicha carpeta para enviar un solo archivo. 4. Los ejercicios se deben enviar a la direcci´on de correo mhmatetrabajos@gmail.com En la cabecera del mensaje debe ir claramente reconocible el nombre del alumno y los ejercicios que sube en dicho correo. Los ejercicios se pueden enviar de uno en uno o varios a la vez y pueden estar desordenados. La puntuaci´on de cada ejercicio aparecer´a en una hoja de c´alculo en el blog de la asignatura junto al nombre de cada alumno. Si alg´ un alumno no quiere que aparezca su nombre, en el primer env´ıo me manda tambi´en un “apodo” y ser´a dicho nombre el que aparezca en la hoja de c´alculo. Si en alg´ un ejercicio no se obtiene la m´axima puntuaci´on, dicho ejercicio se puede reenviar, advirti´endolo en el cuerpo del email. 5. Si por un casual se constata que dos alumnos han copiado (analizando la estructura interna de los archivos), ambos alumnos tendr´an un cero en el trabajo y una nota muy negativa en la actitud de la asignatura.


Ejercicios §1 Dados dos puntos A y B, llamamos mediatriz de dichos puntos a la recta que pasa por el punto medio de A y B y es perpendicular al segmento AB. Dado un segmento AB tambi´en se puede hablar de su mediatriz. Lo mismo con los lados de cualquier pol´ıgono. Ejercicio. Utilizando u ´nicamente las herramientas Recta, Circunferencia e Intersecci´on de dos objetos, construir la mediatriz de dos puntos arbitrarios. §2 Dado un a´ngulo, entendido como un par de semirrectas que parten de un punto, la recta que divide al a´ngulo en dos partes iguales se denomina bisectriz. En cualquier pol´ıgono por cada v´ertice pasa una bisectriz. Ejercicio. Dibuja un punto y dos semirrectas partiendo de dicho punto. Utilizando u ´nicamente las herramientas Recta, Circunferencia e Intersecci´on de dos objetos, construir la bisectriz de ambas semirrectas. Utilizar la ´ herramienta Angulo para comprobar que efectivamente la bisectriz divide al ´angulo en dos partes iguales. §3 En cualquier tri´angulo se pueden calcular las tres mediatrices de sus lados. Las tres se cortan en un punto, denominado circuncentro, que es el centro de la circunferencia circunscrita. Ejercicio. Dibujar un tri´angulo arbitrario, construir el circuncentro y la circunferencia circunscrita. §4 Dado cualquier tri´angulo se pueden calcular tres bisectrices. Dichas bisectrices se cortan en un punto, denominado incentro, que es centro de la circunferencia inscrita al tri´angulo. Ejercicio. Dibujar un tri´angulo arbitrario y construir su incentro. Dibujar la circunferencia inscrita. §5 En cualquier tri´angulo se pueden calcular varios puntos notables. Euler descubri´o que siempre tres de ellos est´an sobre una recta, denominada en su honor recta de Euler. Buscar en Internet, o en cualquier enciclopedia, informaci´on sobre la recta de Euler. Ejercicio. Dibujar un tri´angulo arbitrario y construir su recta de Euler. §6 Dada una circunferencia y punto exterior O, consideremos una semirrecta de origen O y que pueda girar alrededor de dicho punto. En su giro existen dos posiciones en las que la semirrecta “choca” con la circunferencia, tocando a la circunferencia en un solo punto. Dichas semirrectas (o rectas)


se denominan tangentes exteriores a la circunferencia que pasan por el punto O.

Figura 1: Tangentes exteriores a un c´ırculo Ejercicio. Dada una circunferencia y un punto exterior, trazar las tangentes exteriores a dicha circunferencia que pasan por el punto dado. §7 Ejercicio. Dado un tri´angulo arbitrario construir los puntos medios de todos sus lados. Construir el tri´angulo que tiene por v´ertices dichos puntos medios. Ver si existe alguna relaci´on entre el ´area de los tri´angulos comentados (el ´area de los tri´angulos aparece en la ventana algebraica). Exponer las conclusiones en un cuadro de texto. Exponer, en el mismo cuadro de texto, una posible explicaci´on de las razones por las que las conclusiones son ciertas. §8 Ejercicio. Dados dos puntos arbitrarios A y B y una recta r que no contenga a dichos puntos, construir el tri´angulo is´osceles cuyos v´ertices sean los dos puntos dados y cuyo tercer v´ertice se encuentre en la recta. Medir los lados para comprobar que efectivamente es is´osceles. §9 Para resolver por el m´etodo gr´afico un sistema de dos ecuaciones se dibujan ambas ecuaciones y se hallan los puntos de corte de ambas curvas. Las soluciones (si existen) son los puntos de corte. Ejercicio. Resuelve de modo gr´afico el sistema: ( 2x − 3y = 4 x2 + y 2 = 9


Figura 2: Tri´angulo is´osceles construido con dos puntos y una recta §10 Ejercicio. Utilizando u ´nicamente las herramientas Punto, Segmento, Circunferencia y Punto de intersecci´on construir un tri´angulo equil´atero. §11 Ejercicio. Utilizando u ´nicamente las herramientas Punto, Segmento, Circunferencia, Recta perpendicular y Punto de intersecci´on construir un cuadrado. §12 Ejercicio. Utilizando u ´nicamente las herramientas Punto, Segmento, Circunferencia y Punto de intersecci´on construir un hex´agono regular. §13 Ejercicio. Dibujar la grafica de la funci´on f (x) = x3 − 3x2 + 2x − 1. Dibuja un punto sobre dicha gr´afica y calcula la recta tangente en dicho punto. Comprueba moviendo dicho punto que en los m´aximos y en los m´ınimos la recta tangente es horizontal. §14 Un par´ametro en Geogebra (y en general en matem´aticas) es cualquier n´ umero que puede variar dentro de unos ciertos l´ımites. Para introducir un par´ametro debemos asignarle necesariamente un nombre y un valor. Por ejemplo podemos teclear a = 1. Nos aparece en la ventana algebraica esta expresi´on situada al lado de un c´ırculo vac´ıo. Si pinchamos dentro de dicho circulo este se rellena y aparece en pantalla lo que se llama un deslizador. Pinchando sobre el deslizador con el bot´on derecho y accediendo a sus propiedades podemos especificar entre que valores puede variar el par´ametro. Ejercicio. Dibujar la gr´afica de la funci´on f (x) = mx+n introduciendo m y n como par´ametros. Analizar la gr´afica (esto es, explicar como influyen los valores de m y n en la gr´afica obtenida) y exponer las conclusiones en un cuadro de texto. §15 Ejercicio. Dibujar la gr´afica de la funci´on f (x) = ax2 + bx + c, introduciendo a, b y c como par´ametros con valores arbitrarios. Analizar la gr´afica


variando los valores de los par´ametros a, b y c. Exponer las conclusiones en un cuadro de texto. §16 Ejercicio. Dibuja una circunferencia e inscrita en ella un tri´angulo, de tal modo que el di´ametro sea uno de los lados del tri´angulo. Comprueba que dicho triangulo es siempre rect´angulo (dibuja al a´ngulo del tri´angulo y mueve el punto a lo largo de la circunferencia). §17 Teniendo activada la vista algebraica, factorizar el polinomio x3 − 3x + 2 (utilizar el comando factoriza). Comprobar que las ra´ıces del polinomio coinciden con los puntos de corte de la gr´afica con el eje x. Adem´as si alg´ un factor es doble (aparece al cuadrado) entonces la gr´afica es tangente al eje x. Ejercicio. Escribir un polinomio con tres ra´ıces, una de ellas doble, y comprobar lo afirmado anteriormente. §18 Ejercicio. Dibujar un tri´angulo y sus tres mediatrices. Exportar dicha imagen en formato png. El ejercicio consiste en enviar dicha imagen. §19 Ejercicio. Dibujar un circunferencia y una par´abola que se corten en cuatro puntos. §20 Ejercicio. Enunciar y resolver un problema significativamente distinto a los anteriores. §21 La mejor manera de introducir un vector (a, b) es teclear en la l´ınea de comandos la orden vector[(a,b)]. Ejercicio. Calcular el a´ngulo entre los vectores u = (2, 3) y v = (−2, 1). §22 En la parte inferior derecha est´an todos los comandos que se pueden utilizar en Geogebra. Pinchando en uno de ellos aparece en la ventana de comandos (si lo conocemos de memoria tambi´en podemos teclearlo). Una vez escrito, si pulsamos F1 obtenemos ayuda. Tambi´en se puede mirar en la ayuda de Geogebra. Ejercicio. Explicar en un cuadro de texto cual es la utilidad del comando Desarrolla, y realizar un ejercicio con dicho comando. §23 La herramienta Refleja Objeto en Recta permite calcular la imagen especular (en un espejo) de un objeto. Ejercicio. Dibujar un tri´angulo y una recta que no corte al tri´angulo. Reflejar el tri´angulo en la recta.


Figura 3: Reflexi´on de un tri´angulo en una recta §24 Resolver un tri´angulo es conocer los tres ´angulos y los tres lados del tri´angulo. En general, la informaci´on de tres de estos datos nos permite conocer los otros tres, utilizando teoremas trigonom´etricos. Sin embargo existe un m´etodo m´as “rupestre” que consiste en dibujar el tri´angulo que se obtiene a partir de los datos y “medir” los datos desconocidos. Eso es lo que se pretende en el siguiente Ejercicio. Resolver, utilizando Geogebra, el tri´angulo de lados 5, 6 y 7. §25 Ejercicio. Resolver, utilizando Geogebra, el tri´angulo con los datos a = 3, b = 5 y γ = 680 .

Figura 4: Un tri´angulo de lados 5, 6 y 7


Trabajo de Geogebra