Problemas Teor´ıa de Grafos 1 Dado el conjunto de v´ertices V = {a, b, c, d} y el conjunto de aristas A = {ab, ac, ad, bc}, representar dicho grafo. 2 Escribir el conjunto de v´ertices y aristas del siguiente grafo.
3 Probar, mediante alg´ un razonamiento convincente, que los grafos G1 y G2 no son isomorfos.
4 Encontrar todos los subgrafos del siguiente grafo.
5 Demostrar que todo grafo completo Kn es regular (¿cu´al es el grado de sus v´ertices?). Dar un ejemplo de grafo regular que no sea completo. 6 Encontrar un subgrafo 2-regular de K4 que no sea isomorfo a K3 . 7 Encontrar dos grafos de 6 v´ertices cada uno, que ambos sean 2-regulares y sin embargo no sean isomorfos.
8 Dibujar un grafo de 5 v´ertices cuyos grados sean el conjunto {4, 3, 2, 2, 1}. 9 Construir, si es posible, un grafo simple con 5 v´ertices y 8 aristas. 10 Construir, si es posible, un grafo simple con 5 v´ertices y 12 aristas. Un grafo con 5 v´ertices, ¿cu´antas aristas, como mucho, puede tener? ¿Y si el grafo tiene 7 v´ertices? Intentar encontrar una f´ormula general para el n´ umero m´aximo de aristas que puede tener un grafo con n v´ertices. 11 Dados 7 v´ertices, ¿cu´antas aristas, como m´ınimo, debe tener el grafo para ser conexo? Intentar razonar el caso de n v´ertices. 12 Un grafo 3-regular con 10 v´ertices, ¿cu´antas aristas tiene? Y si el grafo tiene n v´ertices. Explicar razonadamente esta u ´ltima cuesti´on. 13 Encontrar los v´ertices de corte y las aristas puente del siguiente grafo.
14 En el ejercicio 13, encontrar, si es posible, un camino de longitud 6 que una los v´ertices A y D. 15 En el ejercicio 13 construir el grafo generado por el conjunto de v´ertices {A, D, F, G}. 16 Construir el grafo complementario del siguiente grafo.
17 Si se sabe el n´ umero de v´ertices y el de aristas de un grafo, ¿se puede saber el n´ umero de aristas de su complementario? Razonar sobre grafos con un n´ umero peque˜ no de v´ertices e intentar inducir el resultado. Nota. Para realizar los tres ejercicios siguientes se debe tener claro el concepto de matriz de adyacencia asociada a un grafo. Se puede buscar en internet, preguntar al profesor o ver la explicaci´on en alguno de los videos sobre el manejo del programa Algraf.
18 Escribir la matriz de adyacencia asociada al grafo del ejercicio 2. 19 Dibujar un grafo que tenga la siguiente matriz de adyacencia. 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 20 Comprobar que el grado de un v´ertice es la suma de todos los n´ umeros que aparecen en la fila correspondiente de la matriz de adyacencia. 21 Demostrar que el siguiente grafo no es euleriano, pero que a´ un as´ı se puede encontrar un camino (por supuesto no cerrado) que recorra todas las aristas.
22 Encontrar, si es posible, un camino hamiltoniano en el siguiente grafo. A F
O E
J
K T
N
G
P
S
Q
B
L
R M I D
H C
23 Encontrar, si es posible, un circuito euleriano en el siguiente grafo.
24 Encontrar, si es posible, un camino euleriano en el siguiente grafo.
25 Encontrar, si es posible, un camino hamiltoniano en el siguiente grafo. A F
E
J
G
I D
H C
B