1 minute read
Método del gradiente
En matemática, el método del gradiente conjugado es un algoritmo para resolver numéricamente los sistemas de ecuaciones lineales cuyas matrices son simétricas y definidas positivas. Es un método iterativo, así que se puede aplicar a los sistemas dispersos que son demasiado grandes para ser tratados por métodos directos como la descomposición de Cholesky. Tales sistemas surgen frecuentemente cuando se resuelve numéricamente las ecuaciones en derivadas parciales.
El método del gradiente conjugado se puede utilizar también para resolver los problemas de optimización sin restricciones como la minimización de la energía.
Advertisement
El método del gradiente biconjugado proporciona una generalización para matrices no simétricas. Varios métodos del gradiente conjugado no lineales buscan los mínimos de las ecuaciones no lineales.
André-Louis Cholesky
Método del gradiente
Para la optimización de modelos de Programación No Lineal sin restricciones se dispone de una categoría de métodos denominados “Algoritmos Generales de Descenso” entre los cuales se destaca el Método del Gradiente o Método del Descenso más Pronunciado (conocido adicionalmente como Método de Cauchy) que reducen el cálculo de un mínimo local a una secuencia de problemas de búsqueda lineal (o búsqueda unidimensional).
Primero: El cálculo de una dirección de descenso que esta dado por el negativo del gradiente de la función objetivo evaluado en el punto de partida o en el de la k-ésima iteración. En el ejemplo dicha dirección desde la coordenada original x°=(8,7) esta dada en la dirección del vector d°=(8,-4).
Segundo: Obtener la magnitud del paso α (alfa) que determina cuánto se avanza en una determinada dirección de descenso. Esto se logra generando una función unidimensional en términos de este parámetro (respecto a la función objetivo original). En el ejemplo dicha magnitud del paso es α=1/2. Finalmente se actualiza la coordenada según lo descrito previamente alcanzando (x1,x2)=(12,5) que como se corroboró otorga un valor en la función objetivo menor al punto de partida (arbitrario).
André-Louis Cholesky
