Ecuaciones diferenciales exactas 2017

Ecuaciones Diferenciales Exactas

Docente: Jorge Olivares Funes Primer Semestre 2017 IngenierĂ­a en ejecuciĂłn CM-372 DefiniciĂłn: Una ecuaciĂłn diferencial de la forma M(x,y)dx+N(x,y)dy=0

Es llamada exacta , si existe una funciĂłn đ?‘˘:D∠đ?‘… 2 → đ?‘… , tal que đ?œ•đ?‘˘(đ?‘Ľ,đ?‘Ś) đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?‘˘(đ?‘Ľ,đ?‘Ś) đ?œ•đ?‘Ľ

=M(x,y) =N(x,y)

u(x,y)=C, C cte Donde u(x,y)= âˆŤ đ?œ•đ?‘˘(đ?‘Ľ,đ?‘Ś) đ?œ•đ?‘Ľ

đ?‘‘â„Ž

đ?œ•

= đ?œ•đ?‘Ľ(âˆŤ

= N(x,y) đ?‘‘đ?‘Ľ

đ?œ•đ?‘˘(đ?‘Ľ,đ?‘Ś) đ?œ•đ?‘Ś

đ?œ•đ?‘˘(đ?‘Ľ,đ?‘Ś) đ?œ•đ?‘Ś

đ?œ•

(âˆŤ đ?œ•đ?‘Ľ

đ?‘‘y+h(x) đ?œ•

đ?‘‘y+h(x))= đ?œ•đ?‘Ľ(âˆŤ

đ?œ•đ?‘˘(đ?‘Ľ,đ?‘Ś)

h(x)=âˆŤ(N(x, y) −

đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•

đ?œ•đ?‘˘(đ?‘Ľ,đ?‘Ś)

đ?‘‘y)

(âˆŤ đ?œ•đ?‘Ľ

đ?œ•đ?‘˘(đ?‘Ľ,đ?‘Ś) đ?œ•đ?‘Ś

đ?‘‘y))dx

đ?œ•đ?‘Ś

đ?‘‘â„Ž

đ?‘‘y)+ đ?‘‘đ?‘Ľ = N(x,y)

Por tanto đ?‘˘(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = âˆŤ

đ?œ•đ?‘˘(đ?‘Ľ,đ?‘Ś) đ?œ•đ?‘Ś

đ?‘‘y+âˆŤ(N(x, y) −

đ?œ•

(âˆŤ đ?œ•đ?‘Ľ

đ?œ•đ?‘˘ (đ?‘Ľ,đ?‘Ś)

đ?‘‘y))dx=c

đ?œ•đ?‘Ś

AnĂĄlogamente con la variable x podemos hacer los mismo.

Teorema đ?œ•đ?‘€

M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 es exacta ⇔ (

đ?œ•đ?‘Ś

−

đ?œ•đ?‘ľ đ?œ•đ?‘Ľ

) (đ?‘Ľ, đ?‘Ś)=0

Ejemplo 1 Determinar una funciĂłn M de modo que la ecuaciĂłn diferencial

sea exacta.

Para que la ecuaciĂłn diferencial sea exacta debe cumplirse que

Y al integrar con respecto a “y�