Circuitos eléctricos rl y rc en edo de primer orden

Circuitos eléctricos RL y RC en ecuaciones diferenciales lineales de primer orden Docente: Jorge Olivares Funes Primer Semestre 2016 Ingeniería en ejecución CM-372 y CM-371 Consideremos: 1) La ecuación diferencial que rige la cantidad de corriente 𝑖(t) ( amperios ) en un circuito simple RL

Que consiste en una resistencia R ( ohmios), un condensador L ( henrios), y una fuerza electromotriz (abreviada fem) E ( voltios ) es

𝑑𝑖 𝑅 + 𝑑𝑡 𝐿

𝑖=

𝐸 𝐿

Ejemplo En un circuito RL se tiene una fem de 3sen(2t) voltios, una resistencia de 10 ohmios , una inductancia de 0,5 henrios y una corriente inicial de 6 amperios .

Hallar la corriente en el circuito en cualquier momento t.

Solución Sean 𝑖(t) : cantidad de corriente en el tiempo t

E=3sen(2t) R=10 L=0.5 Luego

𝑑𝑖 10𝑖 3𝑠𝑒𝑛(2𝑡)

+

𝑑𝑡 0,5

=

0,5

𝑖(0) = 6

O también 𝑑𝑖 𝑑𝑡

+20 𝑖 =6sen(2t) 𝑖 (0)=6

Cuya solución es

>

> >

Y la gráfica es

2) En un circuito RC dado por

Que consiste en una resistencia R, una capacitancia C ( faradios ), una fem E y ninguna inductancia L , la ecuación que rige la cantidad de carga eléctrica q(t) ( columbios) del condensador es

đ?‘‘đ?‘ž

1

+ q=

đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘…đ??ś

Y la relaciĂłn entre q(t) e đ?’Š (t) es

đ?‘‘đ?‘ž đ?‘‘đ?‘Ą

đ??¸ đ?‘…

=đ?‘–

Ejemplo Un circuito RC tiene una fem dada por 400cos(2t) voltios , una resistencia de 100 ohmios y una capacitancia de 10−2 faradios . Inicialmente no hay carga en el condensador.

Hallar la corriente i(t) en cualquier tiempo t.

SoluciĂłn Sean q(t) : la cantidad de carga elĂŠctrica en el tiempo t E=400cos(2t) R=100 C=10−2 Luego đ?‘‘đ?‘ž đ?‘‘đ?‘Ą

+q=4cos(2t) q(0)=0

Cuya soluciĂłn es

>

>

>

đ?‘‘đ?‘ž

Como đ?‘‘đ?‘Ą = đ?‘–

,

tenemos

> đ?‘–= = Y su grĂĄfica es