Compendio de técnicas para la toma de decisiones by jaquelin mendoza

UNIVERSIDAD FERMIN TORO FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES ESCUELA DE RELACIONES INDUSTRIALES/ADMINISTRACION CABUDARE – ESTADO LARA

¿TE CUESTA DECIDIR? HOY TENEMOS LA RESPUESTA? Autor: Mendoza Durán Jaqueline C.I.V-9149009

EDITORIAL Editor:

Mendoza Durán Jacqueline.

Subdirector:

Alexis Parra

Jefe de Gerencia:

Vanessa Mendoza.

Coordinación Editorial:

Adriana Costales

Diseñadores:

Paulina Rubio

Jefe de Ventas:

Juan Contreras

Jefe de Mercado:

Óvido Sánelas

Pedro Ramos

Tomar decisiones no siempre es fácil, al gerente se le exige un compromiso superior al momento de decidir, pues en sus hombres recae la responsabilidad no solo del servicio prestado dentro de una empresa, sino además ejercer e impulsar las acciones pertinentes que faciliten de manera coherente el surgimiento de la misma. En este sentido, no es fácil decidir, la decisión siempre incide en la vida del hombre, no puede dejarse de lado, la incertidumbre que genera en cualquier faceta de la vida. Por ello, es necesario aprender a tomar decisiones coherentes. Para ello, en esta decisión he decido presentar un compendio de técnicas para la toma de decisiones. Las cuales al ser utilizados de manera adecuada permitirán que los gerentes encuentren mejores soluciones a sus problemas, sean más eficientes y mantengan una aptitud proactiva

Bs. F. 65,00

LA TOMA DE DECISIONES Para López (2007) “La toma de decisiones se corresponde con el hecho de que una persona haga uso de su razonamiento y pensamiento para elegir una solución a un problema que se le presente en la vida” (p.82) Es decir, si una persona tiene un problema, deberá ser capaz de resolverlo individualmente tomando decisiones con ese específico motivo. En la toma de decisiones importa la elección de un camino a seguir, por lo que en un estado anterior deben evaluarse alternativas de acción. Para la toma de decisiones es preciso entender el siguiente proceso:

TECNICAS PARA LA TOMA DE DECISIONES

TÉCNICAS PARA LA TOMA DE DECISIONES

DETERMINISTICAS

Programación lineal

Método simplex

PROBALÍSTICAS

Lógica Bayesana

Teoría de juegos

HIBRIDOS

Método de localización y transporte

Técnica de Monte Carlo

PROGRAMACIÓN LINEAL Según las apreciaciones de Fernández (2001) se refiere a: “la asignación de recursos limitado entre actividades competitivas de la mejor manera posible” (p.53). Es decir consiste en programar de manera efectiva la entrega de recursos a fin de que todos dentro de la empresa cuenten los mismos para la realización de tareas específicas y necesarias para el desarrollo de la empresa. Así mismo, requiere de las siguientes propiedades 1. Proporcionalidad: Significa que la contribución al valor de la función objetivo y el consumo o requerimiento de los recursos utilizados, son proporcionales al valor de cada variable de decisión. 2. Aditividad: Significa que se puede valorar la función objetivo Z, así como también los recursos utilizados, sumando las contribuciones de cada uno de los términos que intervienen en la función Z y en las restricciones. 3. Divisibilidad: Significa que las variables de decisión son continuas y por lo tanto son aceptados valores no enteros para ellas. 4. Certidumbre: Significa que los parámetros o constantes son estimados con certeza, o sea, no interviene una función de probabilidad para obtenerlos.

Disponemos de 210.000 euros para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones. Las del tipo A, que rinden el 10% y las del tipo B, que rinden el 8%. Decidimos invertir un máximo de 130.000 euros en las del tipo A y como mínimo 60.000 en las del tipo B. Además queremos que la inversión en las del tipo A sea menor que el

Ejemplo Disponemos de 210.000 euros para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones. Las del tipo A, que rinden el 10% y las del tipo B, que rinden el 8%. Decidimos invertir un máximo de 130.000 euros en las del tipo A y como mínimo 60.000 en las del tipo B. Además queremos que la inversión en las del tipo A sea menor que el doble de la inversión en B. ¿Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para obtener el máximo interés anual? Solución Es un problema de programación lineal. Llamamos x a la cantidad que invertimos en acciones de tipo A Llamamos y a la cantidad que invertimos en acciones de tipo B

Inversión

Rendimiento

Tipo A

0,1x

Tipo B

0,08y 210000

0,1x+0,08y

Condiciones que deben cumplirse (restricciones):

R1 R2 R3 R4 Dibujamos las rectas auxiliares asociadas a las restricciones para conseguir la región factible (conjunto de puntos que cumplen esas condiciones) r1 x y 0 210000 210000 0

r2 (paralela a OY) x y 130000 0

r3(paralela a OX) x y 0 60000

La región factible es la pintada de amarillo, de vértices A, B, C, D y E

r4 x 0 130000

y 0 65000

A(0, 60000), B(120000, 60000), C(130000, 65000), D(130000, 80000) y E(0, 210000) La función objetivo es; F(x, y)= 0,1x+0,08y Si dibujamos la curva F(x, y) =0 (en rojo) y la desplazamos se puede comprobar gráficamente que el vértice más alejado es el D, y por tanto es la solución óptima. Comprobarlo analíticamente (es decir comprobar que el valor máximo de la función objetivo, F, se alcanza en el vértice D)

METODO SIMPLEX En el año 1947 el doctor George Dantzig presentó el algoritmo que desarrolló y que denominó SIMPLEX. A partir de este logro se pudieron resolver problemas que por más de un siglo permanecieron en calidad de estudio e investigación con modelos formulados pero no resueltos. El desarrollo paralelo de la computación digital, hizo posible su rápido desarrollo y aplicación empresarial a todo tipo de problemas. Importancia de su aplicación: 1 Disminuye sistemáticamente un número infinito de soluciones hasta un número finito de soluciones básicas factibles. 2. Utiliza el conocido procedimiento de eliminación en la solución de ecuaciones lineales de Gauss- Jordan 3. Mantiene la búsqueda dentro de un conjunto de soluciones factibles al problema. 4. Valora una función económica Z, exclusivamente en vértices FACTIBLES (posibles). 5. Dirige la búsqueda haciendo cambios a una solución básica factible adyacente. Ejemplo: Resolver mediante el método simplex el siguiente problema:

Maximizar

Z = f(x,y) = 3x + 2y

sujeto a:

2x + y ≤ 18 2x + 3y ≤ 42 3x + y ≤ 24 x≥0,y≥0

Se consideran las siguientes fases: 15. Realizar un cambio de variables y normalizar el signo de los términos independientes. Se realiza un cambio en la nomenclatura de las variables. Estableciéndose la correspondencia siguiente: 

x pasa a ser X1



y pasa a ser X2

Como los términos independientes de todas las restricciones son positivos no es necesario hacer nada. En caso contrario habría que multiplicar por "-1" en ambos lados de la inecuación (teniendo en cuenta que esta operación también afecta al tipo de restricción). Normalizar las restricciones. Se convierten las inecuaciones en ecuaciones holgura, exceso y artificiales según la tabla siguiente: Tipo de desigualdad

Tipo de variable que aparece

≥

- exceso + artificial

+ artificial

≤

+ holgura

agregando variables

En este caso se introduce una variable de holgura (X3, X4 y X5) en cada una de las restricciones del tipo ≤, para convertirlas en igualdades, resultando el sistema de ecuaciones lineales: 2·X1 + X2 + X3 = 18 2·X1 + 3·X2 + X4 = 42 3·X1 + X2 + X5 = 24

Igualar la función objetivo a cero. Z - 3·X1 - X2 - 0·X3 - 0·X4 - 0·X5 = 0

Igualar la función objetivo a cero. Z - 3·X1 - X2 - 0·X3 - 0·X4 - 0·X5 = 0 Escribir la tabla inicial del método Simplex. La tabla inicial del método Simplex está compuesta por todos los coeficientes de las variables de decisión del problema original y las de holgura, exceso y artificiales agregadas en el paso 2 (en las columnas, siendo P0el término independiente y el resto de variables Pi coinciden con Xi), y las restricciones (en las filas). La columna Cb contiene los coeficientes de las variables que se encuentran en la base. La primera fila está formada por los coeficientes de la función objetivo, mientras que la última fila contiene el valor la función objetivo y los costes reducidos Zj - Cj. La última fila se calcula como sigue: Zj = Σ(Cbi·Pj) para i = 1..m, donde si j = 0, P0 = bi y C0 = 0, y en caso contrario Pj = aij. Aunque al tratarse de la primera tabla del método Simplex y ser todos los Cb nulos se puede simplificar el cálculo, y por esta vez disponer Zj = -Cj.

Tabla I . Interacción nº 1 3

Base

-3

-2

Condición de parada. Si el objetivo es la maximización, cuando en la última fila (fila indicadora) no existe ningún valor negativo entre los costes reducidos (columnas P1 en adelante) se alcanza la condición de parada. En tal caso se llega al final del algoritmo ya que no existe posibilidad de mejora. El valor de Z (columna P0) es la solución óptima del problema.

Otro caso posible es que en la columna de la variable entrante a la base todos los valores son negativos o nulos. Esto indica que el problema no se encuentra acotado y su solución siempre resultará mejorable. Ante esta situación no es necesario continuar iterando indefinidamente y también se puede dar por finalizado el algoritmo. De no ser así, se ejecutan los siguientes pasos de forma iterativa. Elección de la variable entrante y saliente de la base. 0. Se determina en primer lugar la variable que entra en la base. Para ello se escoge la columna cuyo valor en la fila Z sea el menor de entre todos los negativos. En este caso sería la variable X1 (P1) de coeficiente -3. Si existiesen dos o más coeficientes iguales que cumplan la condición anterior (caso de empate), entonces se optará por aquella variable que sea básica. La columna de la variable que entra en la base se llama columna pivote (en color verde). 1. Una vez obtenida la variable que entra en la base, se procede a determina cual será la variable que sale de la misma. La decisión se toma en base a un sencillo cálculo: dividir cada término independiente (columna P0) entre el elemento correspondiente de la columna pivote, siempre que ambos elementos sean estrictamente positivos (mayores que cero). Se escoge la fila cuyo resultado haya resultado mínimo. Si hubiera algún elemento menor o igual a cero no se realiza dicho cociente. En caso de que todos los elementos de la columna pivote fueran de ésta condición se habría cumplido la condición de parada y el problema tendría una solución no acotada. En este ejemplo: 18/2 [=9] , 42/2 [=21] y 24/3 [=8] El término de la columna pivote que en la división anterior dio lugar al menor cociente positivo indica la fila de la variable de holgura que sale de la base. En este caso resulta ser X5 (P5), de coeficiente 3. Esta fila se llama fila pivote (en color verde). Si al calcular los cocientes, dos o más resultados cumplen la condición para elegir el elemento saliente de la base (caso de empate), se escoge aquella que no sea variable básica (siempre que sea es posible).

2 La intersección de la fila pivote y columna pivote marca el elemento pivote, en este caso el 3. Actualizar la tabla. Los nuevos coeficientes de la tabla se calculan de la siguiente manera: 

En la fila del elemento pivote cada nuevo elemento se calcula como: Nuevo Elemento Fila Pivote = Anterior Elemento Fila Pivote / Pivote



En el resto de las filas cada elemento se calcula: Nuevo Elemento Fila = Anterior Elemento Fila - (Anterior Elemento Fila en Columna Pivote * Nuevo Elemento Fila Pivote)

Con esto se normaliza el elemento pivote y su valor pasa a ser 1, mientras que el resto de elementos de la columna pivote se anulan (análogo al método de Gauss-Jordan). Se muestran a continuación los cálculos para la fila P4: Anterior fila P4 Anterior Elemento Fila en Columna Pivote Nueva fila pivote Nueva fila P4

42 2 x 8 = 26

2 2 x 1 = 0

3 2 x 1/3 = 7/3

La tabla correspondiente a esta segunda iteración es: Tabla II. Interacción nº 2 3

Base

1/3

-2/3

7/3

-2/3

1/3

-1

0 2 x 0 = 0

1 2 x 0 = 1

0 2 x 1/3 = -2/3

Al comprobar la condición de parada se observa que no se cumple ya que entre los elementos de la última fila hay uno negativo, -1. Se continúa iterando nuevamente los pasos 4, 5 y 6. 

5.1. La variable que entra en la base es X2 (P2), por ser la variable que corresponde a la columna donde se encuentra el coeficiente -1.



5.2. Para calcular la variable que sale, se dividen los términos de la columna P0 entre los términos correspondientes de la nueva columna pivote: 2 / 1/3 [=6] , 26 / 7/3 [=78/7] y 8 / 1/3 [=24]. Como el menor cociente positivo es 6, la variable que sale de la base es X3 (P3).



5.3. El elemento pivote es 1/3.



6. Actualizando nuevamente los valores de la tabla se obtiene: Tabla III. Interacción nº 3 3

Base

-2

-7

-1

Una nueva comprobación de la condición de parada revela que entre los elementos de la fila indicadora vuelve a haber uno negativo, -1. Significa que aun no se ha llegado a la solución óptima y hay que seguir iterando (pasos 4, 5 y 6): 

5.1. La variable que entra en la base es X5 (P5), por ser la variable que corresponde al coeficiente -1.



5.2. Se escoge la variable que sale calculando el cociente entre los términos de la columna de términos independientes y los términos de la nueva columna pivote: 6/(-2) [=-3] , 12/4 [=3], y 6/1 [=6]. En esta ocasión es X4 (P4).

 5.3. 

El elemento pivote es 4.

6. Después de actualizar todas las filas, se obtiene la tabla siguiente: Tabla IV. Interacción nº 4 3

Base

-1/2

1/2

-7/4

1/4

3/4

-1/4

5/4

1/4

Z Fin del algoritmo.

Se observa que en la última fila todos los coeficientes son positivos cumpliéndose, por tanto la condición de parada. La solución óptima viene dada por el valor de Z en la columna de los términos independientes (P0), en este ejemplo: 33. En la misma columna se puede ver el punto donde se alcanza, observando las filas correspondientes a las variables de decisión que han entrado en la base: X1 = 3 y X2 = 12. Deshaciendo el cambio de variables se obtiene x = 3 e y = 12. LÓGICA BAYESIANA La lógica bayesiana se corresponde con el análisis a través de inferencias, basadas en ele método científico. Para Fernández (2001) la lógica bayesiana “Implica recolectar evidencia que se considera consistente o inconsistente con una hipótesis dada. A medida que la evidencia se acumula, el grado de creencia en una hipótesis se va modificando” (P.52). Esto quiere decir que puede ser utilizada para discriminar entre hipótesis en conflicto: las hipótesis con un grado de creencia muy alto deben ser aceptadas como verdaderas y las que tienen un grado de creencia muy bajo deben ser rechazadas como falsas. Sin embargo, los detractores dicen que este método de inferencia puede estar afectado por un prejuicio debido a las creencias iníciales que se deben sostener antes de comenzar a recolectar cualquier evidencia.

Elementos importantes de esta técnica 

Construcción axiomática



Una sola regla de decisión



La única que ofrece solución para ciertos problemas

Ejemplo Durante miles de millones de años, el sol ha salido después de haberse puesto. El sol se ha puesto esta noche. Hay una probabilidad muy alta de (o 'Yo creo firmemente' o 'es verdad') que el sol va a volver a salir mañana. Existe una probabilidad muy baja de (o 'yo no creo de ningún modo' o 'es falso') que el sol no salga mañana. TEORÍA DE JUEGOS La teoría de juegos para Velázquez (2007) es aquella que: “estudia decisiones realizadas en entornos donde interaccionan. En otras palabras, estudia la elección de la conducta óptima cuando los costes y los beneficios de cada opción no están fijados de antemano, sino que dependen de las elecciones de otros individuos” (p.71).

Esta teoría utiliza modelos para estudiar interacciones en estructuras

formalizadas de incentivos (los llamados juegos) y llevar a cabo procesos de decisión. Sus investigadores estudian las estrategias óptimas así como el comportamiento previsto y observado de individuos en juegos. Los juegos estudiados por la teoría de juegos están bien definidos por objetos matemáticos. Un juego consiste en un conjunto de jugadores, un conjunto de movimientos (o estrategias) disponible para esos jugadores y una especificación de recompensas para cada combinación de estrategias. Ejemplo Un ejemplo muy conocido de la aplicación de la teoría de juegos a la vida real es el dilema del prisionero, popularizado por el matemático Albert W. Tucker, el cual tiene muchas implicaciones para comprender la naturaleza de la cooperación humana. Supongamos que detienen a dos personas por delitos menores que les costarían a cada una dos años de cárcel. La policía sabe que han cometido uno peor, pero necesitan pruebas, supongamos que una declaración de uno de los dos. Si ambos delatan al otro por el delito mayor irán seis años a la cárcel. Si uno delata y el otro no, el delator irá un año por colaborar y el otro irá diez años por el delito.

Teniendo en cuenta que los prisioneros no pueden comunicarse entre ellos (están en habitaciones separadas) ¿qué harán? Supongamos que somos uno de los dos prisioneros, no sabemos que hará el otro por lo que el mejor de los casos es delatar al otro independientemente de lo que haga, ya que en ambas situaciones minimizamos los años de pena esperados en la cárcel. Si el otro nos delata iremos seis años en vez de diez y si no nos delata iremos uno en vez de dos. Dado que el otro es igual de inteligente que nosotros, lo más probable es que llegue a la misma decisión. Al final lo que acaba pasando es que ambos acaban perdiendo seis años entre rejas, mientras que si hubieran cooperado hubieran sido sólo dos. La situación alcanzada es un equilibrio de Nash, porque ambas partes no pueden cambiar sin empeorar. Es decir, no se haya la mejor situación para las partes. METODO DE LOCALIZACIÓN Y TRANSPORTE Para Esteban (2004) “Es una técnica de aplicación de la programación lineal, un enfoque cuantitativo que tiene como objetivo encontrar los medios menos costosos (óptimos) para embarcar abastos desde varios orígenes (fábricas, almacenes o cualquier otro de los puntos desde donde se embarcan los bienes) hacia varios destinos (cualquiera de los puntos que reciben bienes)” (p.64). En los problemas de localización, este método se puede emplear para el análisis de la mejor ubicación de un nuevo centro, de varios a la vez, y en general, para cualquier reconfiguración de la red. Para utilizar el método de transportación hay que considerar los siguientes pasos:  Los puntos de origen y la capacidad o abasto por período, para cada uno.  Los puntos de destino y la demanda por período para cada uno.  El costo de embarque por una unidad desde cada origen hacia cada destino. El primer paso en el procedimiento de este tipo de problema es establecer una matriz de transportación, la cual tiene como objetivo resumir de manera provechosa y concisa todos los datos relevantes y continuar los cálculos del algoritmo. Para crear la matriz de transportación deben seguirse los siguientes pasos:  Crear una fila que corresponda a cada planta (existente o nueva) que se esté considerando y crear una columna para cada almacén.

 Agregar una columna para las capacidades de las plantas y una fila para las demandas de los almacenes, e insertar después sus valores numéricos específicos.  Cada celda que no se encuentre en la fila de requisitos ni en la columna de capacidad representa una ruta de embarque desde una planta hasta un almacén. Insertar los costos unitarios en la esquina superior derecha de cada una de esas celdas. Ejemplo Una empresa dispone de 3 fábricas para la elaboración de sus productos cuyas capacidades de producción son las siguientes: 1

45 000 uds.

93 000 uds.

3 60 000 uds.

También dispone de 3 centros de distribución con capacidades:

28 000 uds.

65 000 uds.

35 000 uds.

Debido al aumento que han experimentado sus ventas (unas 70 000 unidades), la Dirección de la Empresa está evaluando la posibilidades de abrir un nuevo centro de distribución para lo cual tiene dos ubicaciones posibles (D, E).

Los costos de transporte entre las diferentes ubicaciones son:

Solución: Ubicar en D. Costo: 842 000 u.

Producción

45 000

7 000

38 000

93 000

65 000

28 000

60 000

0 28 000

Necesidades

28 000

32 000 65 000

35 000

70 000

Ubicar en E. Costo: 786 000 u.

Producción

45 000

10 000

35 000

93 000

55 000 3

38 000 11

28 000 Necesidades

28 000

60 000

32 000 65 000

35 000

70 000

Luego la solución más económica es ubicar el centro en E con un costo asociado de transporte de 786 000 unidades monetarias.

Almacenes 3

Fábricas

Disponible

Diferencias

Requerida

Diferencias

1 Disponible

Diferencias

Almacenes 3

Fábricas

Requerida

Diferencias

Costo total = 15·0 + 3·5 + 10·4 + 5·5 + 5·2 + 20·3 = 150

Técnica de Monte Carlo Para Esteban (2004) Es una técnica que permite llevar a cabo la valoración de los proyectos de inversión considerando que una, o varias, de las variables que se utilizan para la determinación de los flujos netos de caja no son variables ciertas, sino que pueden tomar varios valores. Por tanto, se trata de una técnica que permite introducir el riesgo en la valoración de los proyectos de inversión. (p.38)

La técnica se basa en simular la realidad a través del estudio de una muestra, que se ha generado de forma totalmente aleatoria. Resulta, por tanto, de gran utilidad en los casos en los que no es posible obtener información sobre la realidad a analizar, o cuando la experimentación no es posible, o es muy costosa. Así, permite tener en cuenta para el análisis un elevado número de escenarios aleatorios, por lo que, se puede decir que hace posible llevar la técnica del análisis de escenarios al infinito ampliando la perspectiva de los escenarios posibles. Ejemplo Si deseamos reproducir, mediante números aleatorios, la tirada sucesiva de una moneda, debemos previamente asignarle un intervalo de números aleatorios a CARA y otro a CRUZ, de manera de poder interpretar el resultado de la simulación. Tales intervalos se asignan en función de las probabilidades de ocurrencia de cada cara de la moneda. Tenemos así: CARA Probabilidad: 0,50 Números aleatorios: 0,000 al 0,499 CRUZ Probabilidad: 0,50 Números aleatorios: 0,500 al 0,999 Después, al generar un número aleatorio a partir de la función RAN de la calculadora, por ejemplo, obtenemos el resultado simulado. Así, si obtenemos el número aleatorio 0,385, observamos que está incluido en el intervalo asignado a CARA. En otras aplicaciones, se asocian intervalos de números aleatorios según las probabilidades de ocurrencia de los eventos a simular.

BOMBAS DE QUESO

INGREDIENTES: 500 Gr. de Ternera Picada 1 PuĂąado de Pan Rallado 1 Chorrito de Leche 1 Huevo Batido Sal y Pimienta Queso Harvati Harina para envolver Aceite de Oliva para freir PREPARACION: Salpimentamos la ternera. Echamos la leche, el huevo batido y mezclamos bien. Espolvoreamos el pan rallado hasta obtener una masa compacta. Cogemos porciones con una cuchara y las damos forma de bola, haciendo un agujero en medio con el dedo. Cortamos un trozo de queso y lo introducimos dentro de la bomba, cerrando el agujero y envolviendo con la harina. Sacudimos bien para quitar el exceso de harina y se frien en abundante aceite hasta que estĂŠn doradas. Servir con la salsa que mas os guste.

REFLEXIONES Desde tiempos remotos conocer el futuro ha atemorizado e intrigado a la humanidad y aunque hoy en día resulta imposible despejar esta incógnita, la construcción de probables escenarios futuros a partir del uso de tecnologías y herramientas que se han ido incorporado a las metodologías de planificación estratégica nos permite predecir rutas alternativas y elegir la que a nuestro criterio resulte la más probable. De aquí en adelante con este mapa teórico del futuro nos tocará navegar manejando con flexibilidad las desviaciones que la práctica nos imponga.

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Horóscopo

ARIES Horóscopo del día 20/01/2014 La Luna en Capricornio está transitando por el sector profesional, lo que pondrá de relieve algunos de tus principales valores como son la iniciativa y la capacidad de acción.... TAURO Horóscopo del día 20/01/2014 La Luna pasando por el sector más filosófico de la vida añadirá un poco de seriedad o trascendencia a tu temperamento sociable y pragmático. GÉMINIS Horóscopo del día 20/01/2014 La Luna está transitando por el sector de las transformaciones personales y en el signo de Capricornio, lo que indica que los cambios que se puedan producir van a ser profundos. CÁNCER Horóscopo del día 20/01/2014 La Luna en Capricornio está transitando por el sector de las uniones, haciendo que las relaciones con la pareja, socios y colaboradores estén muy activadas. LEO Horóscopo del día 20/01/2014 La Luna está transitando por el sector correspondiente a los servicios prestados y obligaciones lo que para un Leo representa una buena oportunidad para poner en práctica tus habilidades.

VIRGO Horóscopo del día 20/01/2014 La Luna está transitando por el sector del amor y la creatividad, incentivando tu potencial creativo que se manifestará de diferentes maneras pero siempre intentando que todo lo puedes lograr. LIBRA Horóscopo del día 20/01/2014 La Luna continúa su tránsito por el sector relativo al hogar, un espacio poco menos que sagrado para un Libra, ya que buscas en él el refugio perfecto donde retirarte. ESCORPIO Horóscopo del día 20/01/2014 Hoy el ambiente en general será tenso emocionalmente y puede que seas demasiado crítico con las personas de tu entorno inmediato. SAGITARIO Horóscopo del día 20/01/2014 La Luna está transitando por el sector de tu economía y posesiones personales, lo que hará que tengas más facilidades para conseguir ingresos, preferentemente mediante una inversión. CAPRICORNIO Horóscopo del día 20/01/2014 La Luna continúa transitando por tu signo y haciendo que todas tus cuestiones personales ocupen un primer plano. Seguramente, tú mismo serás o querrás ser el protagonista de tu vida. ACUARIO Horóscopo del día 20/01/2014 El tránsito de la Luna por el sector más problemático del zodíaco hará que tengas suficientes limitaciones como para estar inactivo o preferir retirarte a recuperar fuerzas y para luego continuar. PISCIS Horóscopo del día 20/01/2014 El tránsito de la Luna en Capricornio por el sector de los amigos y los proyectos, indica que tus propuestas o iniciativas tendrán una finalidad o motivación sumamente.

REFERENCIAS Esteban, Y. (2004) aplicación de la estadística en problemas laborales. España: Madrileña. Fernández, O. (2009) Metodología elemental para la toma de decisiones. Argentina: Espezul. López, E. (2007) Inducción a la lógica. Madrid: Espacios. Velázquez, P. (2007) Deducción matemática. España: Iberia.