Youblisher com 504536 cpii lista geometria plana 9 ano 2012

COLÉGIO PEDRO II – UNIDADE TIJUCA II

LISTA DE GEOMETRIA - 3º TRIMESTRE (9º ANO – 2012) Professor: Bruno Vianna Turma: _______ _____º turno Nome: __________________________________________________ nº _____

RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

Ou seja: Dado um triângulo retângulo de: Hipotenusa : a

;

Catetos : b e c

Projeções : m e n ;

Altura: h

Teremos: 2

1) h = m . n

2) a . h = b . c

2

2

3) b = a . m 4) c = a . n somando-se “(3)” com “(4)” teremos:

b 2  a.m  am  an  b 2  c 2  2 c  a . n   a ( m  n)  b 2  c 2  a.a  b 2  c 2  a 2  b 2  c 2 (teorema de Pitágoras ) Conseqüências Importantes: 1) Diagonal de um quadrado :

d l 2

2) Altura de um triângulo eqüilátero:

h

l 3 2

Resumo: 1) c . h = b . n

2) b . h = c . m

2

4) c = a . n

2

6) a . h = b . c

Observe que:

3) b = a . m

h n 2  m  h  h  m.n  h c h n c I  II        b.h  c.m m h b m b  n  c  c.h  b.n  h b  h n  b  c  ok  h c h n c I  III        a.h  b.c b c a b a  n  c  c 2  a.n  c a  h m  c  b  ok  h b h m b II  III        ok c b a  c a  m  b  b 2  a.m  b a

5) h = m . n 2

2

7) a = b + c

2

2

2

2

8) 1 / h = 1 / b + 1 / c

2

TRIGONOMETRIA Palavra derivada do grego: (trigonos = triângulo , metrein = medir).

Tais noções estão ligadas às relações existentes entre lados e ângulos de um triângulo retângulo. A partir delas desenvolveu-se esse importante ramo da Matemática, com aplicações por exemplo, na Navegação, na Engenharia, etc, principalmente na Física, especificamente no estudo de fenômenos periódicos do som, luz e na eletricidade, entre outros.

1

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3º TRIM -MATEMÁTICA B

1- Triângulo Retângulo:

Logo aplicando Pitágoras: 2 2 2 hipot = x + x



a hipot =

 C

x 2

Aplicando as definições vistas inicialmente, temos:

A

b

2.x2

hipot =

c

Medidas dos lados (a  hipotenusa. b e c  catetos) sen 45º = Definimos os números trigonométricos para um ângulo agudo  de um triângulo retângulo ABC, pelas relações:

c sen  = a b cos  = a c tg  = b sen  =

cos  =

tg  =

cateto oposto

cos 45º =

hipotenusa cateto adjacente

tg 45º =



x 2

x x 2



1

2



2 2

2  2

2 2

.

2

2

1 .

2

x =1 x

hipotenusa

Agora peguemos um triângulo eqüilátero ABC de lado x, ao traçar a altura AH temos o triângulo retângulo AHC abaixo representado

cateto oposto cateto adjacente

b a c a

A

cateto oposto hipotenusa

30º

x

x 3 2

cateto adjacente hipotenusa

b c

60º

cateto oposto C

cateto adjacente

H

x 2

Observe que:  +  = 90º e que:

Obs: HC é x / 2 pois AH é mediana da base e  = 30º pois AH também é bissetriz.

sen  = cos  ; cos  = sen  e

tg 

x

1 tg

Aplicando as definições trigonométricas, temos:

x 2 = 1 sen 30º = x 2

Peguemos agora um, quadrado ABDC de lado x ao traçar a diagonal BC temos o triângulo retângulo isósceles ABC, abaixo representado:

x 3 2  3 cos 30º = x 2

B

45º

x

x

2

45º A

x 3 2  3 sen 60º = x 2

tg 30º = C

x 2

x 2 x 3 2



1 3

.

x 2 = 1 cos 60º = x 2 3 3



3 3

x 3 2  3 tg 60º = x 2 PROF.: BRUNO VIANNA

3º TRIM -MATEMÁTICA Portanto temos:

APÓTEMA → é o segmento com uma extremidade no centro e a outra no ponto médio de um lado.

30º

Sen Cos Tg

1 2 3 2 3 3

45º

60º

2 2 2 2

3 2 1 2

1

E

D ac

F

C

O

ai

3 A

B

M

Observações Importantes 2

M ponto médio do lado AB OD e OE → raios da circunferência O → centro da circunferência e do hexágono regular OM → Apótema ac → ângulo cêntrico ai → ângulo interno do hexágono regular.

2

Relação Trig. Fund. : sen x + cos x = 1 cos (180º - x) = - cos x

POLÍGONOS REGULARES

Em função do raio (R) da circunferência circunscrita: Um polígono convexo é regular se, e somente se, tem todos os seus lados congruentes e todos os seus ângulos internos congruentes.

Assim o único triângulo regular é o eqüilátero.

E o único quadrilátero regular é o quadrado. ► Todo polígono regular é eqüilátero e eqüiângulo . ► Todo polígono regular é inscritível em uma circunferência.

Polígonos → Triângulo Eqüilátero

Lados

Apótema

3  R 3

a3 

→Quadrado

4  R 2

→Hexágono Regular

6  R

► Todo polígono regular é circunscritível a uma circunferência.

Nomenclatura:

► Todo polígono regular que possui número par de lados, possui diagonais passando pelo seu centro(as que unem vértices opostos).

R – Raio do círculo circunscrito r – Raio do círculo inscrito ln – lado do polígono de n lados an – apótema do polígono de n lados

► Todo polígono regular que possui número ímpar de lados, não possui diagonais passando pelo seu centro.

Relações:

Centro do polígono regular → é o centro comum das circunferências circunscrita e inscrita no polígono.

2

2

an  R  2

Ângulo cêntrico → é o ângulo central da circunferência que circunscreve este polígono, formado pelos raios que unem o centro da circunferência a vértices consecutivos do polígono.

ac 

 ln  R = (an) +   2 2

R 2 R 2 a4  2 R 3 a6  2

l n 2 4

 l 2  l 2 n  2 R R  R 2  n   4   

360º n

3

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3º TRIM -MATEMÁTICA ÁREAS DE SUPERFÍCIES PLANAS :

Trapézio:

Retângulo:

b a

h b

B

A=

A = a.b Quadrado:

(b  B). h 2

Polígono Regular:

x

x

A=x

2

A = p.a Paralelogramo: Circunferência: h r

b

A = b.h

A = .r

2

Triângulo: Setor Circular: h

b

A=

b. h 2

(eqüilátero :

l

α em graus 2

3 4

Aset 

)

α em radianos

r  2

360º

ou

Aset 

 r2 2

Segmento Circular: Losango:

d1 d2

A=

Aseg  Aset  A Aseg 

d1. d 2 2

r2   sen  2

α em radianos

4

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3º TRIM -MATEMÁTICA Coroa Circular

06) Calcular o lado do losango cujas diagonais medem 16 cm e 30 cm.

07) A altura de um triângulo retângulo relativa à hipotenusa mede 12m e as projeções dos catetos sobre a hipotenusa diferem de 7m. Calcular os lados do triângulo.



Aco   R 2  r 2

08) Calcular o lado AC de um triângulo acutângulo ABC, sabendo que o lado AB =20 cm e que a altura AH determina no lado BC os segmentos HC = 5cm e HB = 16 cm.



09) (PM-05-1) Na figura abaixo, três círculos iguais estão no interior de um retângulo:

Principais Fórmulas sobre áreas de triângulos

Fórmula de Heron : A 

Se a base do retângulo mede 80cm, e considerando

p( p  a)( p  b)( p  c)

3  1,73, a altura do retângulo é igual a:

p semiperímetro (A) 72,5cm (B) 74,6cm (C) 76,4cm (D) 78,2cm

bc Fórmula do Seno: A   sen 2

10) (OBMEP-05) Uma formiga está no ponto A da malha mostrada na figura. A malha é formada por retângulos de 3 cm de largura por 4 cm de comprimento. A formiga só pode caminhar sobre os lados ou sobre as diagonais dos retângulos.

Qual é a menor distância que a formiga deve percorrer para ir de A até B? (A) 12 cm (B) 14 cm (C) 15 cm (D) 17 cm (E) 18 cm

Triângulo Circunscrito: A = p . r

Triângulo Inscrito:

A

a.b.c 4R

EXERCÍCIOS PROPOSTOS 11) (UFF) Duas réguas de madeira, MN e PQ , com 8 cm cada, estão ligadas em suas extremidades por dois fios, formando o retângulo MNQP (fig. 1). Mantendo-se fixa a

Relações Métricas no Triângulo Retângulo EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO:

régua MN e girando-se 180º a régua PQ em torno do seu ponto médio, sem alterar os comprimentos dos fios, obtêm-se dois triângulos congruentes MNO e QPO (fig. 2).

01)(EPxCEX) Calcule a altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo, cujos catetos medem: 5m e 12 m

a hipotenusa mede

N

M

02) Num triângulo, retângulo cujos ângulos agudos são iguais,

6 m. Calcular o perímetro.

03) Calcular a altura de um triângulo eqüilátero de lado.

N O

10 Q cm

6 3 m de

P 8 cm

04) Calcular o perímetro de um triângulo eqüilátero cuja altura mede

M

fig. 2

2 3 m.

Q

P 8 cm

05) Calcular a diagonal do retângulo cujas dimensões medem 24 cm e 7 cm.

fig. 1 5

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3º TRIM -MATEMÁTICA A distância, em cm, entre as duas réguas, nesta nova posição é: (A) 10 (B)

5 3 (C) 5 2

1º) esticou uma linha , cujo comprimento é metade da altura dela; 2º) ligou B ao seu pé no ponto C;

(D) 6 (E) 5

3º) fez uma rotação de

12)(UFRS) O lampião, representado na figura, está suspenso por duas cordas perpendiculares presas ao teto. Sabendo que essas cordas medem

sobre

com centro B, obtendo o ponto D

;

4º) fez uma rotação

1 6 e , a distância do lampião ao teto 2 5

sobre

com centro C, determinando E

.

é:

Para surpresa da modelo,

(A) 1,69 (B) 1,3 (C) 0,6 (D) ½ (E) 6/13

Tomando

como unidade de comprimento e

considerando da modelo é: (A) 1,3

é a altura do seu umbigo.

= 2,2 , a medida

(B) 1,2

(C) 1,1

da altura do umbigo

(D) 1,0

15)(UFRJ-PE-99) Na figura, o triângulo AEC é equilátero e ABCD é um quadrado de lado 2 cm.

13)(UFF 1999) - A figura abaixo representa o quadrado MNPQ de lado ℓ = 4cm.

Calcule a distância BE. 16)(UFF -2003 -1F) As manifestações da Geometria na natureza vêm intrigando muitas pessoas ao longo do tempo.

Nas proporções do corpo humano e na forma da concha do Nautilus, por exemplo, observa-se a chamada “razão áurea”, que pode ser obtida por meio da seguinte construção geométrica: No quadrado PQRS representado na figura abaixo, considere M o ponto médio do segmento PS. Construa um círculo com centro em M e raio MR, obtendo o ponto T no prolongamento de PS. O retângulo de lados PT e QP é áureo e a razão entre esses

Sabendo que os retângulos NXYZ e JKLQ são congruentes, o valor da medida do segmento YK é: (A) 3 2 cm

(B)2 3 cm

(C) 2 2 cm (D) 2 cm

(E)2 2 cm 14)(UERJ-99-1ª fase) Observe a figura:

lados

 PT    é a razão áurea.

QP  

O valor desta razão é:

5 1 (C) 2 (D) 5  2 (E) 5  3

Depois de tirar as medidas de uma modelo, Jorge resolveu fazer uma brincadeira:

(A)

6

5  1 (B)

5 1 2 PROF.: BRUNO VIANNA

3º TRIM -MATEMÁTICA 20) Na figura, determine o raio da circunferência, sabendo que AC e AD tangenciam a circunferência nos pontos C e D, respectivamente, e que BE = 12 cm e AE = 54 cm

17) (UERJ 2005) Dois atletas partem simultaneamente do ponto A, com movimento uniforme, e chegam ao mesmo tempo ao ponto C. Um deles segue a trajetória AC, com velocidade V1 km/h, e o outro segue a trajetória ABC, com velocidade V2 km/h, conforme ilustra a figura abaixo.

A

B

C

21) Determine a distância entre os pés da altura e da mediana relativas à hipotenusa de um triângulo retângulo de



Sendo a e c, respectivamente, as medidas, em quilömetros, os

(A)

(C)

a2  c2

a2  c2

(B)

ac ac a2  c2

22) Em um triângulo ABC, as medianas que partem de A e de B são perpendiculares. Se BC = 8 e AC = 6, calcule AB.

a c a2  c2 ac

(D)



18  6 3 m de perímetro, sabendo que as projeções dos catetos sobre a hipotenusa são diretamente proporcionais aos números 1 e 3.

v catetos BC e BA, podemos afirmar que 1 corresponde a: v2

23) As bases de um trapézio medem 17 e 6. Os lados não paralelos medem 5 e

18)(FUVEST) A secção transversal de um maço de cigarros é um retângulo que acomoda exatamente os cigarros como na figura. Se o raio dos cigarros é r, as dimensões do retângulo são:

4 5 . Calcule a altura desse trapézio.

24) Uma folha quadrada de papel ABCD é dobrada de modo que o vértice C coincide com o ponto M médio de

AB . Se o

lado de ABCD é 1, o comprimento BP é: (A) 0,300 (B) 0,325 (C) 0,375 (D) 0,450 (E) 0,500 (A) 14r e 2r (1  (C) 14r e 6r (E)

3)

2  3 3 r e 2r

(B) 7r e 3r (D) 14r e 3r

3

25) (Rural-98-2f) Calcule o valor de x na figura abaixo, sabendo que os segmentos AC e BD são perpendiculares.

19) Consideramos dois círculos tangentes como na figura a seguir. Sendo E o centro do círculo menor, F o ponto de tangência entre os dois círculos e a o lado do quadrado, determine o raio do círculo menor em função de a.

E

A

D F O

B

C

7

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3º TRIM -MATEMÁTICA 26) (AFA-00) Na figura, O e M são centros das semicircunferências. O perímetro do triângulo DBC, quando AO = r = 2AM, é

(A) (B) (C) (D)



5



5



10

r3 2 2 r 2 3 2 r 2 3 2 r3 2 2





(A)

A



10

33) Podemos afirmar que a bissetriz interna, relativa a hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos b e c é:

34)(Epcar-2001) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo. A medida do segmento EF é

D



(A) 0,8 (B) 1,4 (C) 2,6 (D) 3,2

C

B



27) (OBM-99-1F) Um quadrado ABCD possui lado 40cm. Uma circunferência contém os vértices A e B e é tangente ao lado CD. O raio desta circunferência é: (A) 20cm (D) 25cm

(B) 22cm (E) 28cm

o



2 1 3



(A) 84

(C) 1  2  3

(A) 10 5  10

(B) 10  5

(C) 10 5  10

(D) 20  10 5





03 -

30) (EN-90) Os centros de dois círculos de raios 1 e 4 distam 13 entre si. O segmento da tangente comum interna compreendido entre os pontos de tangência mede: (D) 9

(D) 64

37) (Epcar – 2003) Num quadrado ABCD de lado 3 cm, os pontos P e Q dividem a diagonal AC , nessa ordem, em partes iguais. A distância de P ao vértice B é um número x que dividido por 5  1 resulta

V

(C) 10

(C) 36

02 -

A

(B) 11

(B) 48

36) (Epcar - 2002) AB = 20 cm é um diâmetro de um círculo de centro O e T é um ponto da tangente ao círculo em A, tal que AT  AB . A reta determinada por O e T intercepta o círculo em C e D, tal que TC  TD . O segmento TD mede

30

(A) 12

C

01 -

(E) 5 3

S

3

35) (Epcar-2002) Num mapa, as cidades A, B e C são vértices de um triângulo retângulo e o ângulo reto está em A. A estrada AB tem 80 km e a estrada BC tem 100 km. Um rio impede a construção de uma estrada que liga diretamente a cidade A com a cidade C. Por esse motivo, projetou-se uma estrada saindo da cidade A e perpendicular à estrada BC para que ela seja a mais curta possível. Dessa forma, a menor distância, em km, que uma pessoa percorrerá se sair da cidade A e chegar à cidade C é

29) (OBM-2004-1ªF) Dois espelhos formam um ângulo de 30 no ponto V. Um raio de luz, vindo de uma fonte S, é emitido paralelamente a um dos espelhos e é refletido pelo outro espelho no ponto A, como mostra a figura. Depois de uma certa quantidade de reflexões, o raio retorna a S. Se AS e AV têm 1 metro de comprimento, a distância percorrida pelo raio de luz, em metros, é (D)

B F

E

(C) 24cm

(B) 2  3

4

A

D

28) Prove que: “Se dois círculos são tangentes exteriormente, o segmento da tangente comum externa é o dobro da média geométrica dos raios destes círculos”.

(A) 2

bc 2bc bc bc 2bc (B) (C) (D) (E) bc bc bc bc bc

(A)

5 5 4

(B)

5 5 4

(C)

5 4

(D)

5 5 5 4

(E) 8

31) Dois círculos de raios R e 4R são tangentes exteriormente e tangentes a uma reta nos pontos A e B, então AB vale: (A) 2R (B) 7/2 R (C) 10/3 R (D) 4R (E) 5R 32) Calcule a hipotenusa de um triângulo retângulo sabendo que um dos catetos mede 3 e que a bissetriz do ângulo reto mede

2.

8

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3º TRIM -MATEMÁTICA TRIGONOMETRIA 43) As medidas dos catetos de um triângulo retângulo são 6 cm e 8 cm. Calcule o valor do seno e do cosseno de cada ângulo agudo desse triângulo.

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO: 38) Calcule o lado x dos triângulos retângulos abaixo:

44) Uma escada de pedreiro de 10 m está apoiada numa parede e forma com o solo um ângulo de 40º . Qual a altura atingida pelo ponto mais alto da escada ? E qual a distância do pé da escada até a parede ?

x a) 45º

2

sen 40º  0,64 cos 40º  0,76  tg 40º  0,84 

Dados  30º

EXERCÍCIOS PROPOSTOS b)

45) Considerando a figura abaixo o valor de x é:

2

B 45º

8

x

30º

C

c)

x

x A

C 60º

(A)

4 2 (B) 6 (C)

6 (D) 4 3

(E) 6

3

46) (UERJ-03-1ªfase) -Um barco navega na direção AB, próximo a um farol P, conforme a figura abaixo.

A

B

9

39) Olhando para o triângulo ao lado, é correto afirmar que: (A) sen ˆ = 12/13 (B) sen ˆ = 12/13 (C) cos ˆ = 5/13 (D) tg ˆ = 12/13 (E) tg ˆ = 5/12

13



5

 12

No ponto A, o navegador verifica que a reta AP, da embarcação ao farol, forma um ângulo de 30º com a direção AB. Após a embarcação percorrer 1.000 m, no ponto B, o navegador verifica que a reta BP, da embarcação ao farol, forma um ângulo de 60º com a mesma direção AB. Seguindo sempre a direção AB, a menor distância entre a embarcação e o farol será equivalente, em metros, a:

40) Uma escada de 10 m é encostada à uma parede vertical, formando com esta um ângulo de 30º. A distância dessa parede ao pé da escada é de: 41) Um avião decola vôo formando com o chão um ângulo de 30º, sabe-se que sua velocidade em vôo é constante no valor de 800 km/h. Após meia hora a altura que se encontra o avião é: (A) 100m (B) 200 m (C) 400m (D) 400 3 m (E) 200 2 m

(A) 500

(B) 500

3

(C) 1.000

(D) 1.000

3

47) (UFRN) Ao se tentar fixar as extremidades de um pedaço de arame reto, de 30 m de comprimento, entre os pontos M e P de um plano, o arame, por ser maior do que o esperado, entortou, como mostra a figura ao lado. A partir desses dados, calcule, em metros:

42) Sabendo que sen 54º  0,8, então o valor de cos 36º é aproximadamente: (A) 0,8 (B) 0,6 (C) 0,1 (D) 0,5 (E) 0,2

(use

9

3  1,7 ) PROF.: BRUNO VIANNA

3º TRIM -MATEMÁTICA 50) (UFSC) Dois pescadores P1 e P2 , estão na beira de um rio de margens paralelas e conseguem ver um bote B na outra

P

margem. Sabendo que

P1 P2  63 m , os ângulos

BPˆ1 P2   e BPˆ2 P1   e que tg  2 e tg  4 , determine a distância (em metros)

20

entre as margens.

N

60º

T

10

51) (Rural 2000-2ª F) Os “pardais eletrônicos”, filmadoras utilizadas para flagrar os motoristas em alta velocidade, têm sido espalhados cada vez mais pela cidade do Rio de Janeiro e causado discussões e controvérsias entre os motoristas e a Prefeitura da Cidade.Uma das filmadoras foi colocada em um poste vertical, formando com o mesmo um ângulo de 30º .

Após 0,125 segundo da passagem do carro pela direção do poste o veículo foi fotografado.Considerando que a velocidade do automóvel, do momento em que passou pelo poste até o momento da fotografia foi de 32 m/s, determine a altura (H) da filmadora.

30º

M

R

S

a) o comprimento dos segmentos MS e SP; b) quanto o arame deveria medir para que tivesse o mesmo tamanho do segmento MP. 48) (Unesp) Ao chegar de viagem, uma pessoa tomou um táxi no aeroporto para se dirigir ao hotel. O percurso feito pelo táxi, representado pelos segmentos AB, BD, DE, EF e FH, está esboçado na figura, onde o ponto A indica o aeroporto, o ponto H indica o hotel, BCF é um triângulo retângulo com ângulo reto em C, o ângulo do vértice B mede 60º e DE // BC. Assumindo o valor 3 =1,7 e sabendo-se que AB = 2 km, BC = 3 km, DE = 1 km e FH = 3,3 km, determine: a) as medidas dos segmentos BD e EF em quilômetros; b) o preço que a pessoa pagou pela corrida do táxi é dado pela função y = 4 + 0,8x, sendo x a distância percorrida em km e y o valor da corrida em reais.

F 3,3 km H

D 1 km

2 km A

52) (UF-MS) Uma caixa-d’água está localizada num ponto P de um terreno plano, conforme representado abaixo. Ela é avistada do ponto A sob um ângulo de 30º e do ponto B sob um ângulo de 45º. Sabendo-se que a medida do ângulo APˆ B é 90º e a distância entre os pontos A e B é 100 m, calcule, em metros, a altura da caixa-d’água.

E

60º B

3 km

P

C

B

49) (Cefet) Calculando o valor de x na figura a seguir obtémse: (A) 720

2

22,5º

A

180 32

53) (Epcar-1ªS-05/06) Na figura abaixo, ABCD é um quadrado de lado “a”. Por A e C traçam-se AM e CN paralelos. Se a distância entre AM e CN

(B) 720 (C) 360

2

é 45º

a , então o seno de  vale 5

(D) 360 (E) 180

2 (A) 0,5

x 10

(B) 0,6

(C) 0,7

(D) 0,8 PROF.: BRUNO VIANNA

3º TRIM -MATEMÁTICA 54) (Epcar-1ªS-05/06) Um piloto de avião, a uma altura de 3100 m em relação ao solo, avista o ponto mais alto de um edifício de 100 m de altura nos instantes T1 e T2, sob os ângulos de 45 e 30, respectivamente, conforme a figura seguinte:

58) (EPCAR-1ªS-01/02) Um avião decola de um ponto B sob inclinação constante de 15 com a horizontal. A 2 km de B se encontra a projeção vertical C do ponto mais alto D de uma serra de 600 m de altura, conforme figura.

D

15

B

C

Dados: cos 15º  0,97

sen 15º  0,26

tg 15º  0,27

É correto afirmar que A distância percorrida pelo avião entre T 1 e T2, é, em m, igual a (A) 3000(1 3 ) (B) 3000 3

(A) não haverá colisão do avião com a serra.

(B) haverá colisão do avião com a serra antes de alcançar 540 m de altura.

(C) haverá colisão do avião com a serra em D. (D) se o avião decolar 220 m antes de B, mantendo a mesma inclinação, não haverá colisão do avião com a serra.

(D) 3000( 3  1)

(C) 2190 3

55) (Epcar-3ªS-02/03) Um observador, no ponto O da figura abaixo, vê um prédio segundo um ângulo de 75. Se esse observador está situado a uma distância de 12 m do prédio e a 12 m de altura do plano horizontal que passa pelo pé do prédio, então a altura do prédio, em metros, é:

12 m

59) (EPCAR -1ªS-02/03) Considere um triângulo ABC inscrito numa semicircunferência de centro O e raio r onde AC é o diâmetro, BM é perpendicular a AC e BAC = . A afirmativa ERRADA é (A) AB = 2r cos  2 (C) AM = 2r cos 

O

12 m

75



(A) 4 3  3 (C)





(B) 6 2  2

3 1

(B) BC = 2r sen  (D) BM = 4r sen  cos 

60) (EPCAR -1ªS-02/03) Um avião está voando em reta horizontal à altura 1 em relação a um observador O, situado na projeção horizontal da trajetória. No instante to, é visto sob ângulo  de 30 e, no instante t1, sob ângulo  de 60.



(D) 2  3

56) (Epcar-1ªS-05/06) Na figura abaixo, o valor da tangente de , sabendo-se que os quadriláteros são quadrados, é

1   O

(A) 0,3

(B) 0,5

(C) 0,6

?

(D) 0,7 A distância percorrida entre os instantes to e t1 é

57) (Epcar-1ªs 00/01) Dois pontos A e B estão situados numa mesma margem de um rio e distantes 100 m um do outro. Um ponto C, situa-se na outra margem, de tal modo que os ângulos o CÂB e A Cˆ B medem 75 cada um. A largura desse rio, em m, é (A) 50 3 (B) 50 (C)100 3 (D) 100

(A)

11

3 3

(B)

3 1

(C)

2 3 3

(D)

3 1 2

PROF.: BRUNO VIANNA

3º TRIM -MATEMÁTICA POLÍGONOS INSCRITOS E CIRCUNSCRITOS

74) (EPCAR) A diagonal do quadrado inscrito num círculo mede 4 m. Achar o lado do triângulo eqüilátero inscrito no mesmo círculo.

61) Qual o perímetro de um triângulo equilátero inscrito em um círculo circunscrito a um quadrado de

2 6 m de lado?

75) (CN) O apótema de um quadrado inscrito num círculo mede

62) Qual o raio do círculo circunscrito a um triângulo eqüilátero de

6 3 m de perímetro?

76) Use o teorema da bissetriz interna para calcular o lado de um decágono regular inscrito numa circunferência de raio R.

63) Num círculo, estão inscritos um quadrado e um triângulo eqüilátero. O perímetro do triângulo é 12 perímetro do quadrado.

5 2 m. Calcular o lado do triângulo eqüilátero inscrito.

6 m. Calcular o

77) Determine a medida do ângulo formado pelos prolongamentos dos lados AB e CD, de um polígono ABCDEF... de 30 lados.

64) O lado de um hexágono regular inscrito em um círculo mede 2 m. Qual o perímetro do quadrado circunscrito ao mesmo círculo?

78) (UFF-97) - A razão entre o lado do quadrado inscrito e o lado do quadrado circunscrito em uma circunferência de raio R é:

65) O lado do triângulo eqüilátero circunscrito a um círculo mede 2 m. Calcular o lado do triângulo eqüilátero inscrito no mesmo círculo.

(A) 66) O lado de um quadrado circunscrito a um círculo mede

2 2 m. Qual o lado do quadrado inscrito neste círculo?

3 2 1 1 (B) (C) (D) (E) 2 3 3 2 2

ÁREAS

67) O lado de um hexágono regular circunscrito a um círculo mede 4 m. Qual o perímetro do triângulo eqüilátero inscrito neste círculo?

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO:

68) O perímetro de um quadrado circunscrito a um círculo

a)

79) Calcule as áreas hachuradas abaixo: 4 b) m

b)

mede 4 3 m. Calcular o lado do triângulo eqüilátero circunscrito ao mesmo círculo.

6m 4m

69) Um quadrado e um hexágono regular estão circunscritos a um mesmo círculo. O lado do hexágono mede lado do quadrado?

10 m

3 3 . Qual o

4m

70) Um trapézio está inscrito em um círculo de raio 1 m e cujo o centro está no interior do trapézio. Sabendo-se que as bases do trapézio são os lados do quadrado e do triângulo eqüilátero inscritos no círculo, calcule a altura do trapézio.

80)(PM-04-2) Aumentando o lado de um quadrado de 20% da sua medida, sua área aumentará de: (A) 20% (B) 22% (C) 40% (D) 44%

71) Um trapézio está inscrito em um círculo de raio 2 m e cujo centro pertence a uma das bases do trapézio. Calcular a altura do trapézio, sabendo que uma das bases é o lado do triângulo eqüilátero inscrito no círculo.

81) (PM-04-1) A Polícia Militar estimou em 15.000 o número de pessoas presentes em uma manifestação realizada numa região retangular de 30 metros de largura. Sabendo que essa estimativa considera 4 pessoas por metro quadrado, o comprimento dessa região é de:

72) Calcular a distância entre dois lados paralelos de um hexágono regular convexo de

(A) 120m

12 3 m de perímetro.

(C) 130m

(D) 135m

82) (PM-04-1) Um evento realizado numa praça circular cuja 2 área é de 2.826 m . A maior distância possível entre dois PM’s que faziam a segurança na praça era de:

73) Calcular o raio do círculo inscrito em um triângulo eqüilátero inscrito em um círculo circunscrito a um quadrado de 10

(B) 125m

2 m de lado.

(A) 74m

12

(B) 70m

(C) 64m (D) 60m

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3º TRIM -MATEMÁTICA 83) (Unirio) Considere um tablado para a Escola de Teatro da UNIRIO com a forma trapezoidal abaixo

88) (UFRJ-2002-PNE) Quantos azulejos quadrados de lado 15 cm são necessários para cobrir uma parede retangular de 90 cm por 1,2 m?

89) (UFRJ-2002-PNE-PA) Uma chapa de vidro tem 0,15 metros quadrados. Quanto mede a sua área em centímetros quadrados?

90) (ESA-99) Na figura abaixo, há dois quadrados. A área do 2 quadrado maior mede 36 m , sabendo-se que AB = 4m, então, a área da região sombreada mede:

Quantos metros quadrados de madeira serão necessários para cobrir a área delimitada por esse trapézio?

(A) 75 m

2

2

(B) 36 m

2

2

2

(C) 96 m (D) 48 m (E) 60 m

2

(A) 16 m 2 (B) 20 m 2 (C) 4 m 2 (D) 32 m 2 (E) 18 m

84) Dada a figura a seguir e sabendo-se que os dois quadrados possuem lados iguais a 4cm, sendo O o centro de um deles, quanto vale a área da parte preenchida?

A

B

91)(ESA-99) O quadrilátero OABC é um quadrado. O raio da circunferência de centro O é 2 hachurada é: (A) 100 (B) 20 (C) 5 85) A área da região hachurada vale:

(D) 10

2 cm. A área da região

(E) 14 2

(A) ( - 2) cm 2 (B) 2( - 2) cm 2 (C) (2 - 2) cm 2 (D) ( - 4) cm 2 (E) 2( - 1) cm 92) (PM-05-1) A figura abaixo mostra um quadrado e duas circunferências tangentes, de raios 2m e 4m, com centros em dois vértices do quadrado

(A) 12π - 2 (B) 16 - 2 π (C) 9 - π (D) 8 - 2 π (E) 4 - π ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– 86) Uma janela foi construída com a parte inferior retangular e a parte superior no formato de um semicírculo, como mostra a figura a seguir. Se a base da janela mede 1,2 metros e a altura total 1,5 metros, dentre os valores adiante, o que melhor aproxima a área total da janela, em metros quadrados, é:

Considerando π = 3,14, o valor da área sombreada é: (A) 20,3 m

2

2

(B) 21,5 m

2

(C) 22,7 m

(D) 23,8 m

2

EXERCÍCIOS PROPOSTOS 93) Calcule as áreas hachuradas sabendo que todos os círculos tem raio 4 cm.

(A) 1,40 (B) 1,65

(C) 1,85

(D) 2,21

(E) 2,62

87) A área do quadrado sombreado: 7

(A) 36 (B) 40 (C) 48 (D) 50 (E) 60

1

1

7

7

1 1

7 13

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3º TRIM -MATEMÁTICA Pode-se afirmar que (A) 0,6 (B) 0,7

S1 é igual a: S2

(C) 0,8

(D) 0,9

(E) 1,0

97) A figura abaixo é chamada de Lúnulas de Hipócrates. Ela é composta por um triângulo retângulo e três arcos de circunferência, cada um tendo como diâmetro um dos lados desse triângulo.

•

94) (UFRJ-2002-PNE-PA) O triângulo ACF tem vértices coincidindo com três dos vértices de um cubo de aresta a, como mostra a figura abaixo.

Mostre que a área da parte hachurada é igual a área do triângulo.

98) (UFRJ-2001-PNE) As cinco circunferências da figura são tais que a interior tangencia as outras quatro e cada uma das exteriores também tangencia duas das demais exteriores.

Determine a área de ACF em função de a.

95) (Colégio Naval - 99)

Sabendo que as circunferências exteriores têm todas raio 1, calcule a área da região sombreada situada entre as cinco circunferências.

Uma pizza circular de raio 30 cm foi dividida em 6 partes iguais para seis pessoas. Contudo, uma das pessoas resolveu repartir ao meio o seu pedaço, como mostra a figura acima.

O valor de x é: (A) 10 2 (B) 10 3 (C) 10  3 3 3 3  5  (D) (E) 10

10

3

99) (UFRJ-96-PE) O hexágono ABCDEF é construído de modo que MNP seja um triângulo equilátero e AMPF, BCNM e DEPN sejam quadrados.

3

96) (UFF-96)- A figura representa dois retângulos XYZW e PQZX, de áreas S1 e S2, respectivamente.

P

X

W

Y Q

A área do hexágono ABCDEF é igual a (3 +

3 ) cm2

Determine o comprimento, em centímetros, do lado do triângulo MNP.

Z

14

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3º TRIM -MATEMÁTICA 100) (ENEM-2010) Em canteiros de obras de construção civil é comum perceber trabalhadores realizando medidas de comprimento e de ângulos e fazendo demarcações por onde a obra deve começar ou se erguer. Em um desses canteiros foram feitas algumas marcas no chão plano.

Foi possível perceber que, das seis estacas colocadas, três eram os pontos médios dos lados desse triângulo, conforme pode ser visto na figura, em que as estacas foram indicadas por letras.

50) 84 m

51) 4 3 m

52) 50 m

53) B

54) A

55) trab

56) B

57) B

58) trab

59) D

60) C

61) 18 m

62) 2 m

63)trab

64) 16 m

65) 1m

66) 2m

67) 18 m

68) 3m

69) 9m

70) 2  1

71) 1m

72) 6 m

73) 5m

74) 2 3m

75) trab

76)

A região demarcada pelas estacas A, B, M e N deveria ser calçada com concreto.

Nessas condições, a área a ser calçada corresponde

78) trab

79) a)64

b) 16-4π

80) D

81) trab

82) D

83) D

84) E

(A) à mesma área do triângulo AMC. (B) à mesma área do triângulo BNC. (C) à metade da área formada pelo triângulo ABC. (D) ao dobro da área do triângulo MNC. (E) ao triplo da área do triângulo MNC.

85) trab

86) B

87) trab

88) trab

89) 225

90) B

91) trab

92) A

2

93) aula

GABARITOS:



97) dem

01) 60/13

02) 3 2  2



05) trab

06) 17

07) 20 e 15

08) trab

09) trab

10) B

11) D

12) trab

13) D

14) B

15) 6  2

17) D

18) A

19) 3  2 2 a

21) 3m

22) 2 5

23) 4

24) trab

25) 10

26) D

27) D

28) dem

29) B

30) A

31) D

32) 3 5

03) 9



04) trab

a2 3 94) 95) D 2 98) 4  4  2 2

5 1 R 2

77) 156º

96) E 99) 1cm

100) trab

16) B



2

 10 

20) 30 cm

2

33) D

34) B

35) B

37) B

38) trab

39) B

40) 5 m

41) B

42) A

44) trab

45) A

46) trab

36) D

43) Aula

47) a) 13,5 m e 22 m b) 29 m 48) a) 4km e 1,7 km b) R$ 13,60

49) B 15

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