ΘΕΜΑ B - KINHMATIKH
11
B5 Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση ταχύτητας – χρόνου για υ Α δύο οχήματα Α και Β, που κινούνιαι ηπθύγραμμα. Α) Να επιλέξετε την σωστή απάντηση Β Γτα τα μέτρα των επτταχύνσηων των δύο οχημάτων τσχύει: α) Μεγαλύτερε επττάχυνση έχετ το όχημα (Α) β) Τα δύο οχήματα έχουν την ίδτα ηπττάχυνση γ) Μεγαλύτερε επττάχυνση έχετ το όχημα (Β) 0 t Β) Να δικαιολογήσητη την επιλογή σας . Λύση Α) Σωστή είναι η απάντηση (α). Β) Από τη μορφή των γραφικών παραστάσεων της ταχύτητας σε συνάρτηση με το χρόνο προκύπτει ότι τα οχήματα εκτελούν Ευθύγραμμη Ομαλά υ Α Επτταχυνόμενη Κίνηση και η επττάχυνση καθενός προκύπτει Β από τη κλίση της αντίστοιχης ημιευθείας. Δυ Β Δυ Έτσι έχουµε: = (1) , = (2) Α (3) Από τo σχήμα: Από (1), (2) κατ (3) συμπεραίνουμε: 0 Δt t Συνεπώς σωστή απάντηση η (α) B6 Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση ταχύτητας – χρόνου για ένα αυτοκίνητο (Α) και μία μοτοσικλέτα (Μ) που κινούνιαι ευυ(m/s) θύγραμμα. Α) Να επιλέξετε την σωστή απάντηση. Α υ1 Στο χρονικό διάσι ημα 0→ t1 α) Το αυτοκίνητο διανύει μεγαλύτερο διάστημα από τη μοτοσιΜ κλέτα. β) Η μοτοσικλέτα διανύει μεγαλύτερο διάστημα από το αυτοκίνητο. 0 t1 t(s) γ) Η μοτοσικλέτα κατ το αυτοκίνητο διανύουν ίσα διαστήματα. Β) Να δικαιολογήσητη την επιλογή σας Λύση υ(m/s) Α) Σωστή απάντεσε ε ίναι η (α). Β) Από τη γραφική παράσταση της ταχύτητας ση συνάρτηση με Α το χρόνο μπορούμε να υπολογίσουμε την μετατόπιση από το εμ- υ1 βαδόν τες επιφάνειας που ορίζεται από τη γραφική παράσταση Μ κατ τους άξονες ταχύτητας κατ του χρόνου. Η ταχύτητα του αυτοκινήτου και του μοτοσικλετιστή διατερεί σταθερό πρόσημο συνεπώς ισχύει s=| |. 0 t1 Έτσι έχουµε: = (1) = ( ) (2). Συνεπώς από (1) και (2): < www.iwn.gr
t(s)
Αντωνάρας Γ. – Σιώζος Φ.
ΘΕΜΑ B - ΔΥΝΑΜΕΙΣ
72
Αν η αντίσταση του αέρα στη Γε θεωρεθεί αμελητέα, τότε ο χρόνος πτώσης μίας μεταλλτκής σφαίρας, που αφήνεται από ύψος h=2,5 m, πάνω από την επιφάνετα της Γης κατ τες Σελήνες αντίστοιχα, θα είναι: α) μεγαλύτερος στε Γ η β) ίδιος στη Γη και στε Σελήνη γ) μεγαλύτερος στε Σελήνη. Β) Να δικαιολογήσητη την επιλογή σας. Λύση Α) Σωστή ηίναι η απάντηση (γ) Β) Επειδή η αντίσταση ι ου αέρα στη γε θεωρείται αμελητέα ισχύει: F= m =m =σταθ. Γτα τη σελήνη τσχύει F= m =m = = σταθ. Η μεταλλική σφαίρα εκτελεί ελεύθερη πτώση κατ στις δυο υεριπιώσεις συνεπώς ισχύει ε σχ έσε = g∙ γτα τη Γη
=√
=√
(1) γτα τη σελήνη
=√ (2)
Διαιρούμε κατά μέλη ιι ς σχέσεις(2) με(1) οπότε προκύπτει: =
√ √
=√ =√ =√ >1
> .
Β8Δύο σώματα με μάζες και για ιι ς οποίες ισχύει > βρίσκονται πάνω σε λείο οριζόνι ιο δάπεδο και είναι σε επαφή μεταξύ τους. Μπορούμε να μετακινήσουμε τα σώματα, εφαρμόζονιας οριζ όντια ζύναμη ίσου μέτρου F, ηίτε στο σώμα με φορά προς τα δεξιά, όπως φαίνεται στο σχήμα (α), είτε στο σώμα με φορά προς τα αρτστερά όπως φαίνεται στο σχήμα (β). Α) Να επιλέξετε την σωστή απάντηση. m1 F
Σχήμα α
m2
m1
m2
F
Σχήμα β
Γτα το μέτρο της δύναμης που ασκεί το ένα κιβώιι ο στο άλλο ισχύει: α) είναι ίσο με μηδέν και στις δύο παραπάνω περιπιώσεις β) είναι μεγαλύτερο στην περίπτωση που η δύναμη ασκείται στο προς τα δεξιά (σχήμα α). γ) είναι μεγαλύτερο στην περίπτωση που η δύναμη ασκείται στο προς τα αριστερά (σχήμα β). Β) Να δικαιολογήσητη την επιλογή σας.
Αντωνάρας Γ. – Σιώζος Φ.
www.iwn.gr
ΘΕΜΑ B - ΔΥΝΑΜΕΙΣ
73
Λύση
Α) Σωστή είναι η απάντηση (γ) Β) Με εφαρμογή του νόμου του Νεύτωνα έχουμε κατ ευειδή η συνισταμένη ιων δυνάμεων είναι ίση με , και στις δύο περιπιώσεις ε ε πττάχυνσε των δύο συστημάτων σα είναι ίδια,επομένως και για κάθε σώμα ξεχωριστά. Εφαρμόζω ι ο 2ο νόμο του Νεύτωνα γτα το σώμα μάζας στο σχήμα α κατ το σώμα μάζας στο β. m1
m2
F F΄2
m1
m2
F1
F2
Σχήμα α
F F΄1
Σχήμα β
Σχήμα α (γτα το σώμα ): = α (1) Σχήμα β (γτα το σώμα ): = α (2) Διατρούμε κατά μέλη την (2) με την (1) οπότε έχουμε: = = >1 > Β9 Ένας μαθητής πετάετ κατακόρυφα προς τα πάνω ένα μπαλάκτ του τένις κατ το ξαναπιάνει στην ίδια θέση. Η επίδραση του αέρα σηωρηίται αμελητέα. Α) Να επιλέξετε την σωστή απάντηση. Αν είνατ το χρονικό διάσι ημα που απαττείται για την ανοδική κίνηση της μπάλας και είνατ το χρονικό διάσι ημα που απαττείται για τε καθοδική κίνηση της μπάλας τότε ισχύει: (α) > (β) = (γ) < Β) Να δικαιολογήσητη την επιλογή σας. Λύση
A) Σωστή είναι η απάντηση (β) B) Η μόνη δύναμη που δέχετατ το μπαλάκι στην άνοδο αλλά κατ στη κάθοδο είναι το βάρος του. Από το 2ο νόμο του Νεύτωνα γτα τα μέτρα τες δύναμες κατ τες επττάχυνσης έχουμε F=mα w=mg α=g (1) Κατά την άνοδο το μπαλάκτ ηκτελεί ευθύγραμμα ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση, επομένως ισχύει: υ= -gt 0= -g = (2) To τελικό ύψος h που θα φτάσετ το μπαλάκι είναι: h=
g =
g
=>h=
Κατά την κάθοδο ιο μπ αλάκι εκτελεί ελεύθερη πτώση από ύψος h, άρα έχουμε h= = g
www.iwn.gr
=
= = .
Αντωνάρας Γ. – Σιώζος Φ.
ΘΕΜΑ Δ - ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ
227
Δ =υ t=10∙5- ∙ 25 m. Άρα η συνολική μετατόπιση για όιο κιν είται κο κιβώτιο είναι: 75 m. Δ4) Το έργο της τριβής WT = -T Δ = -2N∙25m=-50J Συνεπώς σε αυτά τα 25 μέτρβ μέχρι να ιτ αματήιει να κινείται εα είναι: WT = -50J. Δ3 Δύο κιβώτια Α και Β με μάζες =5kg και =10kg, κινούνται ευθύγραμμα κατά μήκος ενός οριζόντιου προσανατολσσμένου mΑ υΑ άξονα Οx. Τη χρονική στιγμή = 0 τα κιβώτια διέρχονται από τη θέση = 0 του άξονα, κινούμενα και τα δύο προς τη εετική φορά. Το κιβώκιο Α κι0 m υ x οΒ νείται με σταεερή ταχύτητα υ = 10 m/s, ενώ το αΒ κιβώτιο Β έχει αρχική ταχύτητα υ = 30 m/s, και κινείται με σταεερή επιτάχυνση η οποία έχει μέτρο x 0 = 2 m/s2 και φορά αντίεεκη της ταχύτητας υ . Να υπολογίσετε: Δ1) το μέτρο της συνσσταμένδς δύναμης που ασκείτασ σε κάεε κιβώτιο. Δ2) τη χρονική στιγμή κατά την οποία τα κιβώτια Α και Β θα βρθθούν πάλι το ένα δίπλα στο άλλο μετά τη χρονική στιγμή . Δ3) τις χρονικές στιγμές κατά τις οποίες τα μέτρα των ταχυτήτων των δυο κιβωτίων θα είναι ίσα. Δ4) τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας κάεε κιβωτίου από τη χρονική στιγμή = 0, μέχρι τη χρονική στιγμή κατά την οποία τα μέτρα των ταχυτήτων τους θα είναι ίσα για πρώτη φορά. Λύση Δ1) Το κιβώτιο Α εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση. Από τον 1ο νόμο του Νεύτωνα έχουμε: Σ . Το δεύτερο κιβώτιο εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση. Από το 2ο νόμο του Νεύτωνα το μέτρο της συνσσταμένδς δύναμης είναι Σ ∙ με φορά της Σ αντίεετη της αρχικής ταχύτητας υ . Δ2) Τα δύο κινδκά εα συναντδεού ν όταν σσχύει: υ (2) και υ (3)
=
(1)
Από την (1), (2) και (3) λαμαάνουμε υ =υ 10t=30tκαι επιλύοντας την εξίσωση ως προς t τελστά λαμβάνουμε: t=20s Δ3) Η φορά κίνησης του κιβωτίου Α διατηρείται σταεερή. Η φορά τίνησης του κιβωτίου Β αντσστρέφεται την χρονική στιγμή tstop που η ταχύτητα του μδδενίζεται. Αχό την εξίιωι η ταχύτητας για το B: υ =υ -αt 0=30-2 www.iwn.gr
Αντωνάρας Γ. – Σιώζος Φ.
228
ΘΕΜΑ Δ - ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ
προκύπτει ότι: =15s . Συνεπώς τα μέτρα των ταχυτήτων του Α και του Β γίνονται ίσα δυο χρονικές στιγμές όταν: ⃗⃗⃗⃗ και υ ⃗⃗⃗⃗ έχουν ίδια φορά δηλ υ =υ υ =υ 10=30-2 =10s A) υ B) υ ⃗⃗⃗⃗ και υ ⃗⃗⃗⃗ έχουν αντίεετη φορά ηηλ υ =υ υ =υ -10=30-2 =20s Δ4) Η ταχύτητα του κιβωτίου Α είνασ σταεερή οπότε και η τινητική του ενέργεια είνασ σταεερή, άρα Δ =0 J Γιβ κο κιβώτιο Β έχουμε Δ = ήΔ = υ υ =( 10∙ 10∙
)J= (500-4500)J και τελικά Δ
=-4000 J.
Δ4 Μικρό ιώμ α μάζας 10 kg κινείται ευθύγραμμα κατά μήκος του προσανατολισμένου άξονα Οx και η τιμή της ταχύτητάς του μετααάλλεται με το χρόνο όπως φαίνετασ στο διπλανό διάγραμμα. Θεωρείστε ότι τη χρονική στιγμή = 0 το σώμα αρίσκετασ στη θέση = 0. Δ1) Να χαρακτηρίσετε το είδος τδς κίνησης του σώμα- υ(m/s) τος στα χρονικά διαστήματα 0→2s, 2→6s και 6→8s Δ2) Να υπολογίσετε το μέτρο της συνσσταμένης των δυ- 8 νάμεων τη χρονική ικ ιγμή = 1,5 s. Δ3) Να υπολογίσετε την κινητική ενέργεια του σώματος 4 τη χρονική ικ ιγμή = 6,5 s. Δ4) Να υπολογίσετε τη μέση ταχύτητα του σώματος στο 0 6 8 t(s) 2 4 χρονικό διάικ ημα από 0→8 s. Λύση Δ1) Xρονικό διάικ ημα 0→2 s: η ταχύτητα τη χρονική στιγμή t = 0 s έχει τιμή 4 m /s και στη συνέχεια αυξάνει, καεώς εκτελεί μια ευθύγραμμα ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση. Xρονικό διάικ ημα 2→6 s : H ταχύτητα παραμένεσ σταεερή οπότε εκτελείται ευθύγραμμη ομαλή κίνηση. Και το χρονικό διάι τημα 6→8 s: Tο σώμα εκτελεί μσα θυθύγραμμα ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση. Δ2) Κατά τδ διάρκεια των πρώτων 2 s της κίνησης η επιτάχυνση είνασ σταεερή και η ταχύτητα υπολογίζεται από τη σχέση: υ=υ +αt 8=4+α∙2 (1) Με βάιδ το διάγ ρβμμα και τη σχέση (1) προτύπτει ότι α = 2 m / . Σύμφωνα με τον 2ο νόμο του Νεύτωνα προτύπτει: ΣF =mα=10∙2= 20 N. Δ3) Μετά το 6ο s το σώμα κσνείται με ομαλά επιβραδυνόμενδ τ ίνηση οπότε η επιβράδυνση του σώματος υπολογίζεται από τη σχέση: υ=υ - Δt 0=8- (8-6) Για το χρονικό διάικ ημα 6→8 s προκύπτει ότι: =4m/ Αντωνάρας Γ. – Σιώζος Φ.
www.iwn.gr
ΘΕΜΑ Δ - ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ
∙
367
( ∙
∙ ∙
.
)
Όμως, 4.4) Εφαρμόζοντας τον δεύτερο νόμο η μετατόπσση για την ηιαδρομή (ΑΓ) εα είναιστον οριζόντιο άξονα για τδ διαδρομή (ΑΓ) προκύπτει: ∙ ∙ Στον κατακόρυφο άξονα σσχύει ο πρώτος νόμος του Νεύτωνα, οπότε: Σ =0 ⃗ ⃗⃗ 2= =40 Και από το νόμο της τριβήςπροτύπτει: 𝜇∙ 𝜇 Δ113Το σώμα Σ με μάζα =1𝑘 σσορροπεί ατίνητο ιε ορι ζόντιο επίπεηο. Τη χρονιτή στιγμή , ασκούντασ σε αυτό δύο δυνάμεις και με μέτρα 6Ν και 8Ν αντίστοιχα που είναι κάεετες μεταξύ τους. Στο σχήμα απεικονίζεται η κάτοψη του οριζοντίου επιπέδου στην οποία δεν έχουν σχεδιαστεί όλες οι F1 δυνάμεις που ασκούντασ στο Σ. Το σώμα μετά την κινείται με σταεερή επιτάχυνση μέτρου . 4.1) Να υπολογίσετε τη συνσσταμένη των ηυνάμεων και σε μέτρο και κατεύθυνση. Σ 4.2) Να αιτιολογήσετε γιατί στο σώμα αστείται τριβή και να υπολογίσετε το μέτρο της. οι δυνάμεις και παύουν να Τη χρονική ικ ιγμή ασκούνται. 4.3) Να υπολογίσετε τη χρονική στιγμή που το σώμα εα ακινηF2 τοποιηεεί ταθώς και κο συνολστό δσάστημα που θα διανύιει από τη χρονική ικ ιγμή έως τη στσγμή που ακινητοποιείται. 4.4) Να υπολογίσετε το έργο τδς δύναμης για το χρονιτό διάιτ ημα που ασκείται στο Σ. Λύση 4.1) Εφαρμόζουμε τον κανόνα του παραλληλογράμμου για τη σύνεεση των και και δ διαγώνιος κου, που έχει κοινή αρχή με τα διανύσματα των δυνάμεων που συνθέτουμε έχει μέτρο: F1 (+) √ √ Σ √ √ T τροχιά
και 𝜀𝜑𝜑
(κατεύθυνση)
φ
4.2) Στο σώμα δθν ασκείται τριF2 βή, οπότε εφαρμόζουμε τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα στδ διεύθυνση της συνσστάμενης των ∙ www.iwn.gr
F1,2
και
προτύπτει:
Αντωνάρας Γ. – Σιώζος Φ.
368
ΘΕΜΑ Δ - ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ
Μη αποδεκτό, σύμφωνα με την εκφώνηση καεώς ηίνετασ όκι το σώμα μετά την κινείται με σταεερή επιτάχυνση μέτρου . Οπότε στο Σ ασκείτασ κριβή στδ διεύθυνση της τροχιάς, αντίρροπη της που υπολογίζεται από την εφαρμογή του δεύτερου νόμου του Νεύτωνα: ∙ ∙ ∙ =8 4.3) Το Σ εκτελεί ευθύγραμμα ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση μέχρι τη χρονική στιγμή έχοντας διανύιει διάιτ ημα: και αποκτώντας ταχύτητα μέτρου: Εφόιον οι δυ νάμεις και παύουν να ασκούνται, το Σ δέχεται πλέον μόνο την τριβή. Εφαρμόζουμε τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα στον άξονα της κίνησης προκύπτει: ∙ ∙ ( 𝑘 )∙ και αρνηκική φορά. συνεπώς η κίνηση Άρα η επιτάχυνση του Σ έχει μέτρο είναι ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη. Από την εξίσωση της ταχύτηταςπροκύπτει: ∙ . Κασ στη συνέχεια η χρονική στιγμή της ακινητοποίησης: ( ) Το σώμα Σ κατά την επιβραδυνόμενη κίνηιδ δια νύει διάικ ημα: ∙ (ΓΔ)=(8∙1−12∙8∙12) . ∙ Άρα το συνολστό δσάστημα που διάνυσε το σώμα Σ από τη χρονική ικ ιγμή έως τη στσγμή που ακινητοποιείται είναι: 4.4) Tο έργο τδς δύναμης για το χρονικό διάικ ημα που ασκείτασ στο σώμα Σ, υπολογίζετασ σύμφωνα με τον ορσσμό ως εξής: | |∙| |∙ 𝜑 (1) Όμως |
|
Άρα η (1) γίνεται:
𝜑 | |∙|
|∙
𝜑
( ∙
∙
)
Δ114Το σώμα Σ με μάζα =2𝑘 κινείτασ σε ευθύγραμμο και τραχύ οριζόντιο επίπεηο η διεύθυνΣ F2 F2 F1 Σ ση του οποίου Σ x(m) ταυτίζεται με ευεεία ′ . Τη A Γ B o χρονική στιγμή , το σώμα δσέρχεται από το σημείο 0 ( ) με ταχύτητα μέτρου , ενώ δέχεται δύο δυνάμεις και με μέτρα 6Ν και 8Ν αντίστοιχα, που είναι αντίρροπες μεταξύ τους. Στο σχήμα δεν έχουν σχεδιαστεί όλες οι δυνάμεις που ασκούντασ στο Σ. Το σώμα μετά την κσνείται ευθύγραμμα και ομαλά μέχρι κη θέση Α ( ). Στη θέση Α η καταργείτασ, θνώ, όταν το Σ ησέρχθτασ αχό τη θέση Β Αντωνάρας Γ. – Σιώζος Φ.
www.iwn.gr
384
Τππνιόγην Φπζηθήο Α΄ ιπθείνπ
ηξηβή νιίζζεζεο
ν ζπληειεζηήο ηξηβήο νιίζζεζεο κεηαμύ ηωλ ζωκάηωλ θαη ε θάζεηε δύλακε ζηελ επηθάλεηα επαθήο ηωλ ζωκάηωλ .
Οξηαθή ηξηβή
, όπνπ έλαο θαζαξόο αξηζκόο ν νπνίνο νλνκάδεηαη ζπληειεζηήο νξηαθήο ηξηβήο. θαη ε θάζεηε δύλακε ζηελ επηθάλεηα επαθήο ηωλ ζωκάηωλ . ⃗ θαη ⃗
Ο πξώηνο λόκνο ηνλ Νεύηωλα ζην επίπεδν Ο δεύηεξνο λόκνο ηνλ Νεύηωλα
Έργο - Ενέργεια Η έλλνηα ηνπ έξγνπ δύλακεο
,
⃗ =m⃗ θαη ⃗ =m⃗ . όπνπ , , θαη είλαη νη ζπληζηώζεο ηεο ζπληζηακέλεο δύλακεο θαη ηεο επηηάρπλζεο ζε ζύζηεκα νξζνγωλίωλ αμόλωλ αληίζηνηρα. Τν έξγν ωο θπζηθό κέγεζνο εθθξάδεη ηελ ελέξγεηα πνπ κεηαθέξεηαη από έλα ζώκα ζε έλα άιιν ή πνπ κεηαηξέπεηαη από κηα κνξθή ζε κηα άιιε
Έξγν ζηελ πεξίπηωζε πνπ ε δύλακε ζρεκαηίδεη γωλία θ κε ηε κεηαηόπηζε, έξγν γίλεηαη από ηε ζπληζηώζα ηεο F πνπ είλαη παξάιιειε πξνο ηελ κεηαηόπηζε. Έξγν όηαλ ε δύλακε F είλαη ζηαζεξή θαη κεηαηνπίδεη ην ζεκείν εθαξκνγήο ηεο θαηά ηελ δηεύζπλζε ηεο Έξγν δύλακεο παξάιιειεο κε ηε κεηαηόπηζε κε κεηαβιεηό κέηξν
Θεηηθό (0 < θ < 90o) ή παξαγόκελν. Αξλεηηθό (90 < θ < 180o) ή θαηαλαιηζθόκελν Μεδέλ (θ = 90o, δειαδή δύλακε θάζεηε ζηε κεηαηόπηζε). W=Fx Τν ζπλνιηθό έξγν πξνθύπηεη από ην άζξνηζκα όιωλ απηώλ ηωλ F(x) Δwx ζηνηρεηωδώλ έξγωλ, κεηαμύ ηωλ νξίωλ .Άξα Fx ( ) 0
x1
Δx
x2
x
. Έξγν ηεο δύλακεο ειαηεξίνπ
Fελ(x)
( )( →
) (
)→
kx1
. Ανηωνάρας Γ. –Σιώζος Φ.
kx2
0
x1
x2
x
www.iwn.gr