∗ Εηζαγωγηθές έλλοηες
9
1.Εηζαγωγή Οι Φυσικές Επιστήμες είναι οι επιστήμες που μελετούν τα φυσικά φαινόμενα και προσπαθούν να δώσουν ερμηνεία σε αυτά. Οι επιστήμες που ανήκουν στις Φυσικές Επιστήμες είναι η Φυσική, η Χημεία, η Βιολογία η Αστρονομία η Μετεωρολογία και οι επιστήμες της Γης και του περιβάλλοντος, όπως είναι η Γεωλογία. Μαζί με τα Μαθεματικά και την Πληροφορική ανήκουν ση έναν ενιαίο κλάδο, τις Θετικές Επιστήμες. Ο διαχωρισμός των Φ.Ε. σε κλάδους έγινε για λόγους οργάνωσες ιες έρε υνας με αποτέλεσμα να γίνεται περισσότερο αποτελεσματική. Η αλματώδες εξέλιξη των Φ.Ε. οδήγηση στην ανάπτυξη κλάδων μεγαλύτερες ειδίκευσες, όπως ε Φυσικοχημεία, η Αστροφυσική, η Βιοφυσιφή, η Γεωφυσική κ.α. Κυρίαρχε από τις επιστήμες αυτές είναι η Φυσική Ο όρος Φυσική σημαίνει συουδή της φύσης δηλαδή μελέτη της φύσης Ο όρος χρησιμοποιήθεκε για πρώτη φορά από τον Έλληνα φιλόσοφο της αρχαιότητας τον Αρτστοτέλη. Φυσική είναι ο κλάδος της επιστήμης υου μελετά τα φυσικά φαινόμενα, φαινόμενα στα οποία τα σώματα ποπ παίρνουν μέρος σε αυτά δεν μεταβάλλουν τη σύσταση των μορίων τους. Η μελέτη της φυσικής βοηθάει να καταλάβουμε πώς λεττουργούν πολλές από τις συσκευές που χρησιμοποιούμε σε καθημερινή βάση, όπως, το κινητό τηλέφωνο, η τηλεόραση, το ηληκτρικό ψυγείο, ο ελεκτρονικός υπολογιστής, ο φούρνος μικροκυμάτων κτλ. Γνωρίζοντας βασικούς νόμους τες φυσικής, διαμορφώνουμε μια ολοκληρωμένη άποψη για πολλά από τα θέματα που απασχολούν σήμερα τις σύγχρονες κοινωνίες, όπως για παράδειγμα, τι είναι το φαινόμενο του θερμοκηπίου, πώς δημιουργούνται οι σεισμοί και αν είναι δυνατόν να τους προβλέψουμε, τι είναι η τρύπα του όζοντος, η πυρηνική ενέργεια και ποιες είναι οι ειρηνικές χρήσεις τες. Οι νόμοι της Φυσικής απαντούν στις απορίες πώς σχηματίζεται το ουράνιο τόξο, γτατί βρέχει, πώς δημιουργούνται οι κεραυνοί και οι αστραυές, γτατί τα αστέρια λάμπουν στον ουρανό ή πώς οι δορυφόροι κινούνται γύρω από τη γη Η μεγάλη εξέλιξη της φυσικής ξεκίνησε το 17ο αιώνα, με την εισαγωγή του πειράματος στη μεθοδολογία τες και τη διατύπωση των νόμων της στη γλώσσα των μαθημαιι κών, δηλαδή με τη χρήση ηξτσώσεων ή γραφικών παραστάσεων. Τα μαθηματικά μαζί με το πείραμα συνετέλεσαν στην τεράστια ανάπτυξη της φυσικής. Για την μελέτη και την περιγραφή ενός φυσικού φαινομένου χρησιμοποιούμε κατάλληλες έννοιες δηλ. τα φυσικά μεγέθη. Το μήκος, το εμβαδόν, ο όγκος, ο χρόνος, η ταχύτητα, η μάζα, η πυκνότητα, είναι μερικά από αυτά. Τα φυσικά μεγέθη είναι έννοιες τις οποίες μπορούμε να μειρήσουμε ,δηλαδή να τις εκφράσουμε με αριθμούς.
www.iwn.gr
Αληωλάρας Γ.- Σηώδος Φ.
10
∗ Εηζαγωγηθές έλλοηες
Για παράδειγμα, προκειμένου να μελετήσουμε την πτώση των σωμάτων, είναι απαραίτητο να μετρήσουμε το χρόνο της κίνησης και το μήκος της διαδρομής που διανύουν τα σώματα καθώς πέφτουν, την ταχύτητα ,την μεταβολή της ταχύτητας κ.τ.λ. Μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους είναι η σύγκρισή του με ένα άλλο ομοειδές μέγεθος που το λαμβάνουμε εμείς αυθαίρετα ως μονάδα μέτρησης. Το αποτέλεσμα της μέτρησης ηίναι ένας καθαρός αριθμός υου ονομάζεται αριθμητική τιμή . Η αριθμητική τιμή μαζί με τη μονάδα μέιρηθης αποτελούν μαζί το μέτρο του μεγέθους. Έστω ότι θε μια μέτρηση μήκους βρίσκουμε ότι η πλευρά ενός τραπεζιού είναι 180cm To φυσικό μέγεθος που μετρήσαμε είναι το μήκος, η μονάδα μέτρησης με την οποία κάναμε τη σύγκριση είναι το(cm). Η αριθμηιι κή τιμή που προέκυψε είναι ο αριθμός 180 .Το μήκος της πλευράς του τραπεζιού είναι 180 cm αποτελεί το μέτρο του μεγέθους . Ας προσέξουμε ότι άλλη μονάδα με την οποία συγκρίνουμε δυο μεγέθη δίνει διαφορειι κή αριθμηιι κή τιμή π.χ. αν χρησιμοποιήσουμε το 1m ως μονάδα μέτρησης προκύπτετ η αρτσμηιι κή ιι μή 1,8. Τα αποτελέσματα των μετρήσεων είναι συνήθως συνδεδεμένα με κάποια αβεβαιότητα, (σφάλματα) τα οποία εξαρτώνται από το όργανο της μέτρησης, τη μέθοδο της μέτρησης, και άλλους παράγοντες τυχαίους ή υποκειμενικούς. Εξ’ αιτίας των παραγόντων αυτών, η πραγματική τιμή ενός μεγέθους δεν μπορεί να μετρεθεί ακριβώς. Για το λόγο αυτό έχει αναπτυχθεί ολόκληρη θεωρία «Η θεωρία σφαλμάτων» με τη βοήθεια της οποίας επιδιώκουμε ακριβέστερες μετρήσεις. Στο παρόν βιβλίο δεν θα ασχοληθούμε με την θεωρία αυτή. H χρήση των μονάδων είναι απαραίτητη στη φυσική. Λέμε για παράδειγμα : «Η μάζα μιας πέιρας είναι 10» Η φράση αυτή δεν έχει κανένα απολύτως νόημα αν δεν αναφέρουμη την αρτθμητική τιμή με την οποία σπγκρίναμη τη μάζα αυτή. 2. Τα θεμελιώδη μεγέθη. Μερικά φυσικά μεγέθη προκύπτουν άμεσα από τη διαίσσησή μας, και την εμπειρία μας. Δεν ορίζονται με τη βοήθετα άλλων μεγεθών. Αυτά τα φυσικά μεγέθη τα ονομάζουμε θεμελιώδη. Τέτοια φυσικά μεγέθη είναι το μήκος, ο χρόνος και η μάζα. Οι μονάδες μέτρησης των θεμελτωδών μεγεθών ορίζονται κατά σύμβαση (αυθαίρετα) και ονομάζονιαι θεμελιώδεις μονάδες. Οι θεμελιώδης μονάδες ορίστηκαν μητά από συμφωνία μεταξύ των επτστημόνων ση παγκόσμιο επίπεδο. Το μέτρο (m), το δευτερόλεπτο (s) κατ το χιλιόγραμμο (kg) είναι θεμελιώδεις μονάδες στη Μηχανική. Θεμελιώδη ονομάζονται τα μεγέθη τα οποία δεν εφφράζονται με τη βοήθεια άλλων απλούστερων μεγεθών είναι δηλαδή ανεξάρτητα μεταξύ τους και τα έχουμε επιλέξει αυθαίρετα.
Αληωλάρας Γ.- Σηώδος Φ.
www.iwn.gr
30
1 ∗ Ευθύγραμμη κίνηση
να, ενώ αν η αλγεβρική τιμή της θέσης (τετμημένη) ενός κινητού είναι αρνητική , τότε αυτό βρίσκεται στον αρνητικό ημιάξονα. Το σημείο Α έχει τετμημένη 𝑥𝐴 = +4 και το σημείο Β έχει τετμημένη 𝑥𝐵 = −2. Η θέση ενός αντικειμένου (ως προς το σημείο αναφοράς) μπορεί επίσης να παρασταθεί γραφικά με ένα βέλος που έχει αρχή το σημείο αναφοράς και τέλος (αιχμή) το αντικείμενο.
�����⃗ = ����⃗ Το διάνυσμα θέσης του κινητού Α είναι το 𝑂𝐴 𝑥𝐴 με τετμημέμη 𝑥𝐴 = +4. Το διά�����⃗ 𝑥𝐵 με τετμημέμη 𝑥𝐵 = −2. νυσμα θέσης του κινητού Α είναι το 𝑂𝐵 = ����⃗
1.2 Οι έννοιες της χρονικής στιγμής, του συμβάντος και της χρονικής διάρκειας. α) Χρονική στιγμή. Πότε περνάει ένα κινητό από μια ορισμένη θέση (γενικότερα πότε συμβαίνει κάτι;) Για να απαντήσουμε στο παραπάνω ερώτημα χρειαζόμαστε ένα ρολόι ή ένα χρονόμετρο. Η ένδειξη του ρολογιού ή του χρονομέτρου μας λέει “το πότε” το κινητό βρίσκεται ή περνά από μία συγκεκριμένη θέση και ονομάζεται χρονική στιγμή. Η έννοια της χρονικής στιγμής στη Φυσική αντιστοιχεί στην ένδειξη του ρολογιού ή του χρονομέτρου και δεν έχει διάρκεια, αντίθετα με την καθημερινή ζωή όπου η έκφραση “περίμενε μια στιγμή”, μπορεί να σημαίνει, περίμενε μερικά λεπτά ή ακόμη περισσότερο. Η χρονική στιγμή συμβολίζεται με το γράμμα t. β) Χρονική διάρκεια Δt είναι η διαφορά δύο χρονικών στιγμών t2 και t1 (t2 > t1), δηλαδή 𝜟𝒕 = 𝒕𝟐 − 𝒕𝟏 . Η χρονική διάρκεια δείχνει πόσο διαρκεί ένα γεγονός. Αν θεωρήσουμε t1=0 και t2=t τότε στην περίπτωση αυτή 𝜟𝒕 = 𝒕𝟐 − 𝒕𝟏 = 𝒕 − 𝟎 = 𝒕.
γ) To συμβάν (ή γεγονός). Έστω ένα κινητό που κινείται σε ευθεία γραμμή και βρίσκεται στη θέση x=+3cm τη χρονική στιγμή t=2s. Αυτό αποτελεί ένα συμβάν ή γεγονός και συμβολίζεται Σ (3cm, 2s) ή γενικά Σ(x, t). Η σύγκρουση δύο αυτοκινήτων που έγινε στο πεντηκοστό χιλιόμετρο της Εθνικής οδού Θεσσαλονίκης - Αλεξανδρούπολης στις εννέα και δέκα το πρωί της 10-8-200, είναι ένα γεγονός ή συμβάν . Θέση- μετατόπιση κινητού. Θεωρούμε ένα κινητό που κινείται ευθύγραμμα πάνω στην ευθεία του σχήματος, από τη θέση Α(xA=+3cm) στη θέση Β(xB=+6cm). Έστω ότι το κινητό βρίσκεται τη χρονική στιγμή 𝑡1 στη θέση Α και τη χρονική στιγμή 𝑡2 στη θέση Β, τη δε χρονική στιγμή 𝑡2 αντιστρέφει την πορεία του και τη χρονική στιγμή 𝑡3 βρίσκεται στη θέση Γ. Αντωνάρας Γ. –Σιώζος Φ.
www.iwn.gr
1 ∗ Ευθύγραμμη κίνηση
31
Ονομάζουμε μετατόπιση ενός κινητού το διάνυσμα που έχει σημείο εφαρμογής την αρχική θέση του κινητού και πέρας την τελική θέση του κινητού. Η μετατόπιση υπολογίζεται με την αφαίρεση των διανυσμάτων θέσης 𝑥⃗𝜏𝜀𝜆 − 𝑥⃗𝛼𝜌𝜒 . μεταξύ δυο συγκεκριμμένων χρονικών στιγμών 𝛥𝑥⃗ = 𝑥⃗𝜏𝜀𝜆 − 𝑥⃗𝛼𝜌𝜒 = 𝑥⃗𝐵 − 𝑥⃗𝐴 όπου 𝑥⃗𝐵 το διάνυσμα θέσης του κινητού στη θέση Β και��⃗ 𝑥𝐴 το διάνυσμα θέσης του κινητού στη θέση Α. Ο υπολογισμός της αλγεβρικής τιμής της μετατόπισης προκύπτει από την αφαίρεση των αλγεβρικών τιμών τελικής μείον την αρχική τιμή 𝛥𝑥 = 𝑥𝐵 – 𝑥𝐴 = (+6𝑚) – (+3𝑚) = 3𝑚. • Όταν το η αλγεβρική τιμή Δx προκύπτει θετική το σώμα μετακινήθηκε προς τον θετικό ημιάξονα. • Όταν το η αλγεβρική τιμή Δx προκύπτει αρνητική το σώμα μετακινήθηκε προς τον αρνητικό ημιάξονα. • Όταν το η αλγεβρική τιμή Δx προκύπτει μηδενική αυτό σημαίνει ότι το σώμα επανήλθε στην αρχική του θέση. Στο παραπάνω σχήμα κατά την κίνηση από το σημείο Β στο σημείο Γ προκύπτει 𝛥𝑥 = 𝑥𝛤 – 𝑥𝛣 = (−2𝑚) – (+6𝑚) = (−2 − 6)𝑚 = −8𝑚 < 0. Αυτό σημαίνει ότι το κινητό μετακινήθηκε προς τον αρνητικό ημιάξονα. 1.3 Μετατόπιση και Διανυόμενη Απόσταση. Δύο μεγέθη που χρησιμοποιούνται στην περιγραφή της κίνησης ενός αντικειμένου είναι η μετατόπιση και το διάστημα ή απόσταση. Ως μετατόπιση ενός αντικειμένου ορίζεται η αλλαγή στη θέση του. Η μετατόπιση είναι διανυσματικό μέγεθος όπως η θέση. Η απόσταση ορίζεται ως το συνολικό μήκος της διαδρομής που διαγράφει το κινούμενο αντικείμενο. H απόσταση είναι μονόμετρο μέγεθος, όπως και το μήκος, και έχει πάντα θετική τιμή, ανεξάρτητα από τη φορά της κίνησης. Η συνολική διανυόμενη απόσταση ισούται με το συνολικό μήκος της διαδρομής. Για τον υπολογισμό της ολικής μετατόπισης στην περίπτωση αλλαγής της φοράς κίνησης κινητού που κινείται σε ευθεία γραμμή προσθέτουμε τις αλγεβρικές τιμές των επιμέρους μετατοπίσεων, 𝛥𝑥𝜊𝜆 = 𝛥𝑥1 + 𝛥𝑥2 + 𝛥𝑥3 + ⋯ (μπορεί να είναι θετική ή αρνητική). Για τον υπολογισμό του ολικού διαστήματος προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές των επί μέρους μετατοπίσεων. Δηλαδή 𝛥𝑆𝜊𝜆 = |𝛥𝑥1 | + |𝛥𝑥2 | + |𝛥𝑥3 | + ⋯ (και είναι πάντα θετικό). www.iwn.gr
Αντωνάρας Γ. –Σιώζος Φ.
1 ∗ Ευθύγραμμη κίνηση
45
στιγμή 𝑡 = 10𝑠 + 5𝑠 = 15𝑠. δ) Η ταχύτητα του σώματος μεταβάλλεται μέχρι την χρονική στιγμή 16𝑠 και την συνέχεια επειδή η επιτάχυνση είναι ίση με μηδέν η κίνηση είναι ομαλή ευθύγραμμη. Για να υπολογίσουμε την ταχύτητα 𝜐 την χρονική στιγμή 16𝑠 υπολογίζουμε το εμβαδόν του διαγράμματος της ταχύτητας σε σχέση με τον χρόνο από 0 μέχρι 16s και έ4+6 𝑚 χουμε: 𝜐 = 2 + 0 + (−2) ∙ 6 𝑠 = −2 𝑚/𝑠. Πράγμα που σημαίνει ότι κινείται με 2 κατεύθυνση τον αρνητικό ημιάξονα. β) Νόμος της ταχύτητας. Η εξίσωση ταχύτητας χρόνου. Θεωρούμε ότι ένα σώμα την χρονική στιγμή 𝑡0 έχει ταχύτητα 𝜐0 και την τυχαία χρονική στιγμή 𝑡 έχει ταχύτητα 𝜐. Από τον ορισμό της επιτάχυνσης έχουμε: �⃗ Δυ �⃗ = Δt → 𝛥𝜐⃗ = 𝛼⃗𝛥𝑡 → υ α �⃗ − υ �⃗ο = 𝛼⃗(𝑡 − 𝑡𝑜 ) → υ �⃗ = �υ⃗ο + 𝛼⃗(𝑡 − 𝑡𝑜 ). Στην περίπτωση που 𝑡0 = 0, η εξίσωση ταχύτητας - χρόνου παίρνει την μορφή �⃗ = υ υ �⃗ο + �α⃗𝑡 (εξίσωση ταχύτητας - χρόνου). Επειδή ισχύει 𝛥𝜐⃗ = 𝛼⃗𝛥𝑡 αφού η επιτάχυνση είναι σταθερή μπορούμε να πούμε ότι στην ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση η μεταβολή της ταχύτητας είναι α�⃗ και �α⃗ είναι νάλογη του χρόνου. Σε κάθε ευθύγραμμη κίνηση τα διανύσματα 𝜐⃗0 , υ συγγραμμικά, η διανυσματική εξίσωση μπορεί να γραφεί και σε αλγεβρική μορφή. Θεωρώντας ως θετική τη φορά του διανύσματος 𝜐⃗ για την αλγεβρική μορφή της προηγούμενης εξίσωσης, διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις: α) 𝜐 = 𝜐0 + 𝛼 𝑡 επιταχυνόμενη κίνηση αφού το μέτρο της ταχύτητας συνεχώς αυξάνει επειδή τα διανύσματα α και υ είναι ομόρροπα β) 𝜐 = 𝜐0 − 𝛼𝑡 επιβραδυνόμενη κίνηση αφού το διάνυσμα 𝛼⃗ είναι αντίρροπο του 𝜐⃗ . Παρατηρούμε ότι και στις δυο περιπτώσεις η ταχύτητα 𝜐 είναι γραμμική συνάρτηση ως προς το χρόνο άρα είναι ευθεία γραμμή (εξίσωση α' βαθμού ως προς t): Διαγράμματα ταχύτητας - χρόνου:
Υπολογισμός επιτάχυνσης και μετατόπισης από το διάγραμμα ταχύτητας –χρόνου. Υπολογισμός της επιτάχυνσης: Το διάγραμμα υ-t στην ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση έχει την μορφή ΑΒ όπως στο διπλανό σχήμα. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, το πηλίκο ΑΓ εκφράζει την
κλίση της ευθείας υ - t. Όμως 𝛢𝛣 = 𝜐– 𝜐0 και 𝛢𝛤 = 𝛥𝑡 συνεπώς υ−υο Δt
=
Δυ Δt
www.iwn.gr
. Αλλά επειδή το πηλίκο
Δυ Δt
ΑΒ ΑΓ
= εφφ =
ισούται με την επιτάχυνση α, συμπεραίνουμε Αντωνάρας Γ. –Σιώζος Φ.
46
ότι, η κλίση της ευθείας στο διάγραμμα ταχύτητας-χρόνου (υ–t) στην ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση, ισούται με την επιτάχυνση του σώματος. Όσο μεγαλύτερη είναι η γωνία θ που σχηματίζεται μεταξύ της ευθείας στο διάγραμμα υ-t και του άξονα των χρόνων t, τόσο μεγαλύτερη είναι η επιτάχυνση του σώματος.
1 ∗ Ευθύγραμμη κίνηση
Υπολογισμός της μετατόπισης: Όπως και στην περίπτωση της ευθύγραμμης ομαλής κίνησης η μετατόπιση Δx βρίσκεται από το εμβαδό που περικλείεται από το διάγραμμα ταχύτητας-χρόνου (υ–t) και τον άξονα των χρόνων, στα χρονικά όρια της κίνησης. Παράδειγμα. Η ταχύτητα ενός σώματος, που κινείται ευθύγραμμα μεταβάλλεται σε σχέση με το χρόνο όπως φαίνεται στο πιο κάτω διάγραμμα υ=f(t). (α) Να ονομάσετε το είδος της κίνησης που εκτελεί το σώμα, σε καθένα από τα πιο κάτω χρονικά διαστήματα( 0 -8)s, ( 8-16)s, (16-24)s, (24-32)s . (β) Να υπολογίσετε την επιτάχυνση του σώματος, σε καθένα τα πιο κάτω χρονικά διαστήματα ( 0 -8)s, (8-16)s, (16-24)s, (24 -32)s . (γ) Να υπολογίσετε το ολικό διάστημα που διανύει το σώμα στα 32s της κίνησής του. (δ) Να υπολογίσετε τη μέση διανυσματική και την μέση ταχύτητα του σώματος για τα 32s της κίνησής του. (ε) Να γράψετε σε ποια χρονικά διαστήματα τα διανύσματα της επιτάχυνσης και της ταχύτητας είναι ομόρροπα μεταξύ τους. (στ) Να σχεδιάσετε σε βαθμολογημένους άξονες τη γραφική παράσταση της επιτάχυνσης σε σχέση με το χρόνο α=f(t) για τα 32s της κίνησης του σώματος. Λύση α) ( 0 - 8)s ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση, (8 - 16)sευθύγραμμη ομαλή με ταχύτητα 𝜐 = 40 𝑚/𝑠, (16 - 24)s ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη , (24 - 32)s ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη προς αρνητικά. β) Η επιτάχυνση υπολογίζεται με την εφαρμογή του τύπου ορισμού της: 𝜐 −𝜐𝛼𝜌𝜒 40−16 24 𝛥𝜐 (0 - 8)s 𝑎1 = 𝛥𝑡 1 = 𝑡𝜏𝜀𝜆 −𝑡 = 8−0 = 8 =3m/𝑠 2 1
𝛥𝜐2
(8 - 16 )s 𝑎2 = 𝛥𝑡 = 2
𝛥𝜐3
𝜏𝜀𝜆 𝛼𝜌𝜒 𝜐𝜏𝜀𝜆 −𝜐𝛼𝜌𝜒
𝑡𝜏𝜀𝜆 −𝑡𝛼𝜌𝜒 𝜐𝜏𝜀𝜆 −𝜐𝛼𝜌𝜒
(16 - 24 )s, 𝑎3 = 𝛥𝑡 = 3
𝛥𝜐
(24 - 32)s . 𝑎4 = 𝛥𝑡 4 = 4
Αντωνάρας Γ. –Σιώζος Φ.
40−40 0
= 16−8 =8=0m/𝑠 2 =
0−40
=
−40
=-5m/𝑠 2
8 𝑡𝜏𝜀𝜆 −𝑡𝛼𝜌𝜒 24−16 𝜐𝜏𝜀𝜆 −𝜐𝛼𝜌𝜒 −40−0 −40 𝑡𝜏𝜀𝜆 −𝑡𝛼𝜌𝜒
= 32−24 =
8
=-5m/𝑠 2 www.iwn.gr
1 ∗ Ευθύγραμμη κίνηση
47
(γ) Το ολικό διάστημα είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών 𝑠𝛰𝜆 = |𝛦1 | + |𝛦2 | + 16+40 8+16 1 |𝛦3 | = 2 8 + 2 40 + 2 8 ∙ 40 = 56 ∙ 4 + 24 ∙ 20 + 4 ∙ 40 = 224 + 480 + 160 = 864𝑚. (δ) Η μέση διανυσματική ταχύτητα του σώματος υπο|𝛦1|+|𝛦2|−|𝛦3| 𝛥𝑥 λογίζεται από τον τύπο 𝜐𝜇 = 𝛥𝑡 = = 𝛥𝑡 224+480−160
544
= 32 = 17𝑚/𝑠. Και η μέση ταχύτητα του σώματος υπολογίζεται από |𝛦1|+|𝛦2|+|𝛦3| 𝛥𝑥 864 = 32 = 27𝑚/𝑠. τον τύπο 𝜐𝜇 = 𝛥𝑡 = 𝛥𝑡 (ε) Τα διανύσματα της επιτάχυνσης και της ταχύτητας είναι ομόρροπα μεταξύ τους. στην επιταχυνόμενη κίνηση άρα στα διαστήματα)(0 -8)s και (24 -32)s. (στ) Η ζητούμενη γραφική παράσταση φαίνεται στο διπλανό σχήμα. 32
γ) Νόμος της μετατόπισης- Η εξίσωση θέσης χρόνου (εξίσωση κίνησης). Στην ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση η εξίσωση αυτή προκύπτει ως εξής: Το διάγραμμα ταχύτητας - χρόνου σύμφωνα με την εξίσωση 𝜐 = 𝜐0 + 𝛼𝑡 έχει τη μορφή που φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, το εμβαδόν που περικλείεται από το διάγραμμα υ-t και τον άξονα των χρόνων στα χρονικά όρια της κίνησης, εκφράζει την μετατόπιση Δx. Στην περίπτωση μας, η μετατόπιση Δx ισούται αριθμητικά με το γραμμοσκιασμένο εμβαδό του τραπεζίου ΟΑΓΔ: Ετραπ = 𝛥𝑥 =
1
άθροισμα βάσεων 2 1
=
(ΟΑ)+(ΓΔ) 2
∙ (𝛰𝛥) = 1
𝜐𝜊 +(𝜐𝜊+𝑎𝑡) 2
𝑡=
2𝜐𝜊 𝑡+𝑎𝑡 2 2
= 𝜐𝜊 𝑡 +
𝑎 𝑡 2 → 𝛥𝑥 = 𝜐𝜊 𝑡 + 2 𝑎 ∙ 𝑡 2 → 𝑥 − 𝑥𝑜 = 𝜐𝜊 𝑡 + 2 𝑎 𝑡 2 άρα 1 𝑥 = 𝑥𝑜 + 𝜐𝜊 𝑡 + 𝑎 𝑡 2 2 Επειδή 𝛥𝑥 = 𝑥 − 𝑥0 , θεωρώντας 𝑥0 = 0 προκύπτει η εξίσωση θέσης-χρόνου (εξίσωση κίνησης) στην ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση: 1 𝑥 = 𝜐𝜊 𝑡 + 𝑎 𝑡 2 2 Η εξίσωση αυτή είναι δευτέρου βαθμού ως προς το χρόνο συνεπώς η γραφική παράσταση είναι παραβολή. Στην ειδική περίπτωση που 𝜐0 = 0 (αρχική ταχύτητα μηδέν), η εξίσωση θέσης - χρόνου γίνεται: 1 x = 2α t 2 Στην ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση η εξίσωση θέσης - χρόνου έχει μορφή: 1 𝑥 = 𝜐𝜊 𝑡 − 2 𝑎𝑡 2 . Η απόδειξη του τυπου αυτού είναι ίδια όπως και στην προηγούμενη περίπτωση μόνο που τώρα έχουμε επιβράδυνση αντι για επιτάχυνση. 2
www.iwn.gr
Αντωνάρας Γ. –Σιώζος Φ.
3 ∗ Δυνάμεις στο επίπεδο
239
4) Η λύση της άσκησης θα δίνεται από τις σχέσεις (1), (2) και (3). Παραδείγματα ΣFy = 0. α.) ΣFy = 0 → Ν-w=0 → Ν=w β) ΣFy = 0 → Ν+Fy-w=0 → N= w-Fy γ) ΣFy = 0 → Ν-wy=0 → Ν=wy.
3.7 Υπολογισμός του συντελεστή τριβής ολίσθησης : Θεωρούμε ένα σώμα το οποίο κινείται κατά μήκος κεκλιμένου επιπέδου, προς τα κάτω με σταθερή ταχύτητα. Στο σώμα ασκούνται οι δυνάμεις, το βάρος w, η αντίδραση Ν από το δάπεδο και η δύναμη τριβής Τ. Εκλέγουμε ορθογώνιο σύστημα αξόνων από τους οποίους ο ένας είναι παράλληλος στο κεκλιμένο επίπεδο και αναλύουμε τις δυνάμεις στο σύστημα αυτό. Η δύναμη του βάρους σχηματίζει γωνία φ με τον άξονα Oy άρα wx = w∙ημφ και wy = w∙συνφ. Για τον άξονα Oy έχουμε : ΣFy = 0 → N-wy = 0 → N = m∙g∙συνφ Για τον άξονα Οx έχουμε :ΣFΧ = 0 → wx-T =0 → Τ = m∙g∙ημφ και επειδή Τ = μ∙Ν άρα m∙g∙ημφ = μmgσυνφ άρα ημφ = μ·συνφ → μ=ημφ/συνφ άρα μ = εφφ. Επομένως ο συντελεστής τριβής ολίσθησης σώματος - επιπέδου είναι ίσος με την κλίση του επιπέδου για την οποία το σώμα κατεβαίνει με σταθερή ταχύτητα.
3.8 Ο πρώτος νόμος τον Νεύτωνα στο επίπεδο (σε διανυσματική και σε αλγεβρική μορφή). Ο πρώτος νόμος του Νεύτωνα ισχύει με την ίδια μορφή και στο επίπεδο, δηλαδή, αν σε ένα σώμα η συνισταμένη των δυνάμεων είναι μηδέν, τότε το σώμα ή ισορροπεί ή κινείται με σταθερή ταχύτητα. Επειδή, όμως, η συνισταμένη στο επίπεδο μπορεί να γραφτεί σαν το διανυσματικό άθροισμα της συνισταμένης στον άξονα οx και της συνισταμένης στον άξονα οy, αντί να πούμε ότι πρέπει Σ𝐹⃗ =0 είναι το ίδιο να απαιτούμε: �⃗x = 0 και ΣF �⃗y = 0. ΣF
3.9 Ο δεύτερος νόμος τον Νεύτωνα σε διανυσματική και σε αλγεβρική μορφή. Στο προηγούμενο κεφαλαίο μελετήσαμε το θεμελιώδη νόμο της Μηχανικής 𝐹⃗𝜊𝜆 = 𝑚𝛼⃗ και καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι το αίτιο της επιτάχυνσης είναι η δύναμη. Έτσι, για να υπολογιστεί η επιτάχυνση που αποκτά ένα σώμα πρέπει πρώτα να συνθέσουμε τις δυνάμεις που ασκούνται σε αυτό. Av το σώμα δέχεται πολλές ομοεπίπεδες δυνάμεις η σχέση: 𝐹⃗𝜊𝜆 = 𝑚𝛼⃗ ισοδυναμεί με τις σχέσεις 𝛴𝐹⃗𝑥 =m𝛼⃗𝑥 και 𝛴𝐹⃗𝑦 =m𝛼⃗𝑦 . όπου 𝛴𝐹𝑥 , 𝛴𝐹𝑦 , 𝛼𝑥 και 𝛼𝑦 είναι οι συνιστώσες της συνισταμένης δύναμης και της επιwww.iwn.gr
Αντωνάρας Γ.- Σιώζος Φ.
240
τάχυνσης σε σύστημα ορθογωνίων αξόνων αντίστοιχα.
3 ∗ Δυνάμεις στο επίπεδο
Διερεύνηση της σχέσης Σ𝐹⃗ = 𝑚𝛼⃗. 1) Av σε ένα σώμα δεν ασκείται δύναμη, ή ασκούνται δυνάμεις με συνισταμένη μηδέν, δηλαδή είναι 𝛴𝐹 = 0, τότε και η επιτάχυνση θα είναι μηδέν, δηλαδή 𝛼 = 0. Αυτό σημαίνει ότι, αν η συνισταμένη των δυνάμεων είναι μηδέν ή δεν ασκούνται δυνάμεις τότε το σώμα ηρεμεί, αν αρχικά ηρεμούσε, ή κινείται ευθύγραμμα και ομαλά αν αρχικά είχε ταχύτητα (1ος νόμος του Νεύτωνα). �⃗ Δυ �⃗ = mα ΣF �⃗�→ mα �⃗ = 0→α �⃗=0→ Δt =0→Δυ �⃗=0→υ �⃗τελ − �υ⃗αρχ=0→υ �⃗τελ = �υ⃗αρχ ΣF = 0 α) αν υ �⃗αρχ=0 τότε υ �⃗τελ=0 ( ηρεμεί ) β) αν �υ⃗αρχ= σταθ ≠ 0 τότε �υ⃗τελ=υ �⃗αρχ = σταθ ≠ 0 το σώμα εκτελεί στην περίπτωση αυτή ευθύγραμμη ομαλή κίνηση. 2) Av σε ένα σώμα ασκείται σταθερή δύναμη της ίδιας κατεύθυνσης με την ταχύτητά του, τότε και η επιτάχυνση που αποκτά είναι σταθερή και το σώμα εκτελεί ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση. Av η δύναμη είναι αντίθετης κατεύθυνσης από την ταχύτητα η κίνηση είναι ομαλά επιβραδυνόμενη. �⃗ = mα ΣF �⃗ �→ mα �⃗ = σταθ→α �⃗=σταθ. άρα το σώμα κάνει ευθύγραμμη ομαλά μετα� ⃗ ΣF = σταθ. βαλλόμενη κίνηση. �⃗ (άρα και �α⃗) ομόρροπη της υ α) F �⃗ ( ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση) � ⃗ β) F (άρα και �α⃗) αντίρροπη της �υ⃗ (ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση) 3) Av η συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται σε ένα σώμα είναι μεταβαλλόμενη τότε και η επιτάχυνση που αποκτά το σώμα θα είναι μεταβαλλόμενη. �⃗ = mα �⃗ ΣF �⃗ = μεταβλητή → �α⃗= μεταβλητή. �→ mα �⃗ = μεταβλητή. ΣF Παράδειγμα Σώμα μάζας m =5kg αρχίζει να ολισθαίνει πάνω σε οριζόντιο επίπεδο όταν επιδράσει πάνω του δύναμη μέτρου F=40N που σχηματίζει γωνία θ με το οριζόντιο επίπεδο. Nα υπολογίσετε: α) To μέτρο της τριβής ολίσθησης. β) Την επιτάχυνση που αποκτά το σώμα. γ) To διάστημα που διανύει το σώμα μετά από χρόνο t =4s από τη στιγμή που εφαρμόζεται η δύναμη. Δίνονται: g=10m/s2, μ=0,25, ημθ=0,6 και συνθ=0,8. Λύση α) Σχεδιάζουμε τις δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα, αυτές είναι το βάρος του w, η δύναμη F, η κάθετη δύναμη N από το οριζόντιο επίπεδο και η τριβή Τ. Θεωρούμε ότι τη χρονική στιγμή t = 0 το σώμα βρίσκεται στη θέση O(x=0). Αναλύουμε τις δυνάμεις σε δύο συνιστώσες στους άξονες x και y. Στον οριζόντιο άξονα x ασκούνται δύο δυνάμεις η τριβή T και η συνιστώσα Fx της δύναμης F. Ισχύει Αντωνάρας Γ.- Σιώζος Φ.
www.iwn.gr
3 ∗ Δυνάμεις στο επίπεδο
241
Fx= Fσυνθ, και Τ = μΝ (1). Στον κατακόρυφο άξονα y ασκούνται τρεις δυνάμεις το βάρος w, η δύναμη N και η συνιστώσα Fy=Fημθ της δύναμης F. Επειδή κατά τη διεύθυνση του άξονα y δεν υπάρχει κίνηση, η συνισταμένη των δυνάμεων κατά τη διεύθυνση αυτή θα είναι μηδέν και θα ισχύει: Σ𝐹𝑥 = 0 → Ν + Fημθ- w = 0 → Ν = w – Fημθ (3) Από τις σχέσεις (1) και (3) υπολογίζεται η τιμή της τριβής Τ άρα Τ = μ (m g - Fημθ) από όπου με αντικατάσταση έχουμε Τ=μ(m g - Fημθ)=0,25(5∙10-40∙0,6)=0,25∙26 → Τ = 6,5N. β) To σώμα κινείται κατά την οριζόντια διεύθυνση με φορά προς τα δεξιά. H συνισταμένη των δυνάμεων κατά τον άξονα αυτόν θα ισούται με mα, δηλαδή Fx- T = m α άρα Fσυνθ- T = m α από όπου με αντικατάσταση υπολογίζουμε την επιτάχυνση α, άρα α Fσυνθ− T 40∙0,8−6,5 32−6,5 = 5 = 5 m/s2 → α = 5,1m/s2. = m γ) To σώμα εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση και το διάστημα που 1 1 διανύει σε χρόνο t δίνεται από τη σχέση 𝑠 = 2 𝛼𝑡 2 = 2 ∙ 5,1 ∙ 42 = 40,8𝑚. Μεθοδολογία επίλυσης προβλημάτων Για την επίλυση των ασκήσεων που αναφέρονται στο 2ο νόμο του Νεύτωνα, ακολουθούμε τα εξής βήματα: • σχεδιάζουμε όλες τις δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα. • επιλέγουμε τη φορά της κίνησης του σώματος ως θετική. • υπολογίζουμε τη συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα. • με τη βοήθεια του 2ου νόμου του Νεύτωνα, υπολογίζουμε την επιτάχυνση του σώματος. • προσδιορίζουμε το είδος της κίνησης που πραγματοποιεί το σώμα και χρησιμοποιώντας τους κατάλληλους τύπους της κινηματικής (ομαλή, ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση), υπολογίζουμε το ζητούμενο. • αν σε κάποια άσκηση συναντήσουμε αρνητική τιμή δύναμης, αυτό σημαίνει δύναμη με φορά αντίθετη της φοράς που ορίσαμε ως θετική. Ο Πίνακας περιέχει τις τιμές συντελεστών στατικής και τριβής ολίσθησης για διάφορους συνδυασμούς υλικών.
www.iwn.gr
Αντωνάρας Γ.- Σιώζος Φ.
4 ∗ Έργο - Ενέργεια
319
4. Έργο και ενέργεια
4.1 Η έννοια της ενέργειας. Η ενέργεια είναι ένα φυσικό μέγεθος. Μπορούμε να πούμε πως είναι το φυσικό μέγεθος το οποίο εμφανίζεται σε κάθε μεταβολή που συμβαίνει στη φύση. Εμφανίζεται σε διάφορες μορφές, όπως η ηλεκτρική ενέργεια, η θερµότητα, η εσωτερική ενέργεια, η ενέργεια ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας (φως) η χημική , η πυρηνική, η ηλεκτρική , η κινητική, η δυναμική κ.λπ. οι οποίες εµφανίζονται καθώς εξελίσσονται τα πολλά και διάφορα φυσικά φαινόμενα. Η ενέργεια δεν δημιουργείται ούτε καταστρέφεται, απλώς μεταφέρεται από ένα σώμα σε ένα άλλο ή μετατρέπεται από μια μορφή σε μια άλλη. Συνεπώς η συνολική ενέργεια στο σύμπαν παραμένει σταθερή. Οι επιστήμονες ανέκαθεν αναρωτιόνταν με ποιον τρόπο θα μπορούσαν να υπολογίζουν την ενέργεια που μεταφέρεται από ένα σώμα σε ένα άλλο, ή που μετατρέπεται από μια μορφή σε μια άλλη. Απάντηση στον προβληματισμό αυτό μπορεί να δοθεί με την εισαγωγή της έννοιας του έργου. Συνήθως, όταν συμβαίνει μεταφορά ή μετατροπή ενέργειας, εμφανίζονται δυνάμεις, οι οποίες μετακινούν τα σημεία εφαρμογής τους (εξαίρεση έχουμε στην περίπτωση που ενέργεια μεταφέρεται λόγω διαφοράς θερμοκρασίας). 4.2 Η έννοια του έργου δύναμης. Τι σημαίνει όμως η λέξη έργο για τη Φυσική; Τι εκφράζει αυτή και πώς γίνεται ο υπολογισμός του έργου; Για να απαντήσουμε στα ερωτήματα αυτά ας μελετήσουμε μερικά παραδείγματα από την καθημερινή μας εμπειρία. Ένας άνθρωπος τραβάει με σταθερή οριζόντια δύναμη F ένα κιβώτιο, που αρχικά ηρεμεί πάνω σε ένα λείο οριζόντιο επίπεδο Η δύναμη που ασκεί ο άνθρωπος προσδίδει στο σώμα επιτάχυνση με αποτέλεσμα το αρχικά ακίνητο σώμα να αποκτήσει ταχύτητα η οποία συνεχώς αυξάνεται. Στην περίπτωση αυτή λέμε πως έχουμε μεταφορά (προσφορά) ενέργειας από τον άνθρωπο στο κιβώτιο. Ένα σώμα μάζας m, αφήνεται να πέσει με την επίδραση του βάρους του. Λέμε πως το σώμα κερδίζει (αυξάνει) την κινητική ενέργεια ενώ ελαττώνεται η δυναμικής του, ή μπορούμε να πούμε καλύτερα ότι συμβαίνει μετατροπή δυναμικής ενέργειας σε κινητική μέσω του έργου του βάρους. Το γινόμενο της δύναμης αυτής επί τη μετατόπιση του σημείου εφαρμογής της είναι ακριβώς ίσο με την ενέργεια που έχει μεταφερθεί ή έχει μετατραπεί σε άλλη μορφή. Με βάση τα παραπάνω μπορούμε να υποστηρίξουμε ότι: Το έργο ως φυσικό μέγεθος εκφράζει την ενέργεια που μεταφέρεται από ένα σώμα σε ένα άλλο ή που μετατρέπεται από μια μορφή σε μια άλλη. Αξίζει να επισημάνουμε πως το έργο δεν είναι μορφή ενέργειας. Ανάλογο του έργου και της ενέργειας είναι η επιταγή και το χρήμα. Όπως η τραπεζική επιταγή μετράει το χρήμα που μεταφέρεται από ένα λογαριασμό σε κάποιον άλλο χωρίς η www.iwn.gr
Αντωνάρας Γ.- Σιώζος Φ.
320
4 ∗ Έργο - Ενέργεια
ίδια να είναι χρήμα, έτσι και το έργο μετράει την ενέργεια που μεταφέρεται από ένα σώμα σε κάποιο άλλο, χωρίς αυτό (το έργο) να είναι ενέργεια. Στην απλούστερη περίπτωση όπου η δύναμη είναι σταθερή και το σώμα μετακινείται κατά την κατεύθυνσή της, το έργο ορίζεται ως το γινόμενο του μέτρου της δύναμης επί τη μετατόπιση του σώματος. Δηλαδή: 𝑊 =𝐹∙𝑥 Η μονάδα μέτρησης του έργου και κατά συνέπεια και της ενέργειας στο S.I, όπως προκύπτει από την παραπάνω σχέση είναι 1N·m = 1Joule. H μονάδα αυτή λέγεται Joule (Τζάουλ) ή συντετμημένα J προς τιμή του Άγγλου φυσικού Τζέιμς Πρέσκοτ Τζάουλ. Είναι λοιπόν: 1Joule =1 N ∙ m και τα πολλαπλάσιά του, 1KJ = 103 J και 1MJ = 106 J. Άρα έργο 1Joule παράγει δύναμη 1Ν που ασκείται σε σώμα το οποίο μετατοπίζεται κατά 1m κατά την κατεύθυνση της δύναμης. Για το έργο είναι χρήσιμο να επισημάνουμε τα εξής: Η σχέση W = F x, χρησιμοποιείται μόνον όταν η δύναμη F είναι σταθερή και μετατοπίζει το σημείο εφαρμογής της κατά την διεύθυνση της. Στην περίπτωση που η δύναμη σχηματίζει γωνία φ με τη μετατόπιση, έργο γίνεται από τη συνιστώσα της F που είναι παράλληλη προς την μετατόπιση. Δηλαδή: 𝑊𝐹 = 𝐹 𝑥 𝜎𝜐𝜈𝜑 Όπως προκύπτει από τη σχέση 𝑊𝐹 = 𝐹 𝑥 𝜎𝜐𝜈𝜑 το έργο μιας δύναμης, ανάλογα με το μέτρο της γωνίας φ μπορεί να είναι: Θετικό (0 < φ < 90o) ή παραγόμενο. H δύναμη λέμε τότε ότι παράγει έργο, δηλαδή η δύναμη μεταφέρει ενέργεια στο σώμα. H ενέργεια του σώματος στην περίπτωση αυτή αυξάνεται μέσω του έργου της δύναμης F. Αρνητικό (90 < φ < 180o) ή καταναλισκόμενο Η δύναμη λέμε τότε ότι καταναλώνει έργο, δηλαδή η δύναμη αφαιρεί ενέργεια από το σώμα. Η ενέργεια του σώματος μειώνεται μέσω του έργου της δύναμης F. Μηδέν (φ = 90o, δηλαδή δύναμη κάθετη στη μετατόπιση). Η δύναμη τότε ούτε παράγει ούτε καταναλώνει έργο, και η ενέργεια του σώματος παραμένει σταθερή. Όταν φ =1800 τότε 𝑊 = − 𝐹𝑥, το έργο είναι αρνητικό, δηλ η δύναμη καταναλώνει μέγιστο έργο και η ενέργεια του σώματος μειώνεται μέσω του έργου της δύναμης F (περίπτωση της τριβής ολίσθησης). Υπολογισμός έργου WF από το διάγραμμα F – x 4.3 Έργο δύναμης παράλληλης με τη μετατόπιση με σταθερό μέτρο.
Αντωνάρας Γ.- Σιώζος Φ.
www.iwn.gr
366
4 ∗ Έργο - Ενέργεια
Άρα η κίνηση του σώματος είναι ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη χωρίς αρχική ταχύτητα και με επιτάχυνση α=2m/s 2 και ισχύουν οι σχέσεις: υ=αt=2∙10=20m/s (1) και 1 1 1 1 y= αt 2 = 2∙ 102 =100m. Άρα κινητική ενέργεια του σώματος είναι K= mυ2 = 5∙ 2 2 2 2 202 =1000J II. Η δυναμική ενέργεια είναι ίση με U=mgy=5∙10∙100=5000J.
B19Ένα αεροπλάνο μάζας m=4000Kg, προσγειώνεται σε ακίνητο αεροπλανοφόρο με ταχύτητα υ0 =180Km/h. Κατά τη στιγμή της προσγείωσης, στην ουρά του αεροπλάνου πιάνεται γάντζος, ο οποίος είναι συνδεδεμένος με ελατήριο. Το αεροπλάνο σταματά μετά από απόσταση x=100m. H σταθερά του ελατηρίου είναι: α) k=1000N/m β) k=180N/m γ) k=400N/m Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Λύση Σωστή απάντηση είναι η α. 1000 Η αρχική ταχύτητα υ0 =180Km/h=180 =50m/s 3600 H κινητική ενέργεια του αεροπλάνου μετατρέπεται σε δυναμική του ελατηρίου συνεπώς 1 1 Κ=U → mυ2 = kx 2 → mυ2 = kx 2 → 4000∙502 =k1002 → k=1000N/m 2
2
B20Ένας αθλητής πετάει μια μπάλα κατακόρυφα προς τα πάνω που φτάνει σε μέγιστο ύψος (από το χέρι του) H. Η επίδραση του αέρα θεωρείται αμελητέα. Το ύψος στο οποίο το μέτρο της ταχύτητας της μπάλας είναι το μισό του αρχικού της είναι ίσο με Η Η 3Η α) β) γ) 4 2 4 Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Λύση Σωστή απάντηση είναι η γ. Εφαρμόζουμε την ΑΔΜΕ για την κίνηση της μπάλας από την αρχική της θέση μέχρι το ύψος Η, θεωρώντας επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας το οριζόντιο επίπεδο που 1 διέρχεται από την αρχική της θέση Κ αρχ + Uαρχ = Κ τελ + Uτελ ⇒ mυ20 = mgΗ → 2
υ
υ0 = �2gH (1). Έστω h το ύψος στο οποίο η ταχύτητα της μπάλας είναι υ = 20 . Εφαρμόζοντας ομοίως την ΑΔΜΕ μεταξύ της θέσης αυτής και της αρχικής θέσης της μπάλας 1 mυ20 2
1 έχουμε Κ αρχ + Uαρχ = Κ τελ + Uτελ → = mυ2 + mgh 2 3υ20 3∙2gH 3Η . Από τη σχέση αυτή, λόγω της (1) παίρνουμε h = = . 8g 8g 4
→ h=
υ20 −υ2 2g
=
2
υ υ20 − 0
2g
4
=
΄Εργο- ενέργεια Λυμένες ασκήσεις
Γ1Ένα σώμα μετακινείται απόσταση x=10m πάνω σε ο οριζόντιο επίπεδο με συντελεστή τριβής μ=3/4 από το σημείο Α στο σημείο Γ με την επίδραση των δυνάμεων, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Αντωνάρας Γ.- Σιώζος Φ.
www.iwn.gr
4 ∗ Έργο - Ενέργεια
367
α) Να υπολογίσετε το έργο της κάθε μιας δύναμης που ασκείται πάνω στο σώμα. β) Να βρείτε το ολικό έργο των δυνάμεων κατά την πιο πάνω μετακίνηση του σώματος. γ) Αν αρχικά το σώμα ηρεμεί να βρείτε την ταχύτητα του σώματος στη θέση Γ. δ) ποια είναι η στιγμιαία ισχύς της δύναμης F όταν το σώμα βρίσκεται στη θέση Γ. Δίνονται: m=5Kg, g=10m/s 2 , ημφ =0,6 και συνφ =0,8. Λύση α) Οι δυνάμεις οι οποίες ασκούνται στο σώμα είναι η F ,η τριβή ολίσθησης Τ, το βάρος w, και η κάθετη αντίδραση Ν του επιπέδου πάνω στο σώμα. WF = F ∙ x ∙ συνφ = 50 ∙ 0,8 ∙ 10 = 400J WB = w ∙ x ∙ συν90° = 0 , WN = N ∙ x ∙ συν90° = 0 από τη συνθήκη ισορροπίας στον άξονα y΄y προκύπτει: ΣFy=0→N+Fy -w=0→N=w-Fy =50-Fημφ=50-50∙0,6=20Ν Η τριβή ολίσθησης δίνεται από τη σχέση:Τ=μΝ=3/4∙20=15Ν άρα το έργο της τριβής είναι WT = T ∙ x ∙ συν180°=15∙10(-1)=-150J β) ΣW=WF +Ww + WN + WT =400+0+0-150=250J γ) Με εφαρμογή του Θεωρήματος της κινητικής ενέργειας (Θ.Μ.Κ.Ε.) προκύπτει 1 ΔΚ=ΣW→Κ τελ − Κ αρχ =ΣW→ mυ2 -0=250→ mυ2 = 500→5υ2 = 500 → υ2 = 500 =100→υ=10m/s 5
2
δ) Η στιγμιαία ισχύς της δύναμης F όταν το σώμα βρίσκεται στη θέση Γ είναι: dW Fσυνφ∙dx P= = = Fσυνφ ∙ υ = 50 ∙ 0,8 ∙ 10 = 400W. dt
dt
Γ2Σφαιρίδιο μάζας m= 2kg είναι δεμένο στο άκρο κατακόρυφου νήματος μήκους R=0,8m. Εκτρέπουμε το σφαιρίδιο ώστε το νήμα να γίνει οριζόντιο και το αφήνουμε ελεύθερο. Όταν το νήμα γίνει πάλι κατακόρυφο το σφαιρίδιο έχει ταχύτητα υ3 . Όταν το νήμα σχηματίζει γωνία φ=30° με τον ορίζοντα το σφαιρίδιο έχει ταχύτητα υ2 . Να να βρεθούν: α) η ταχύτητα του σφαιριδίου υ3 την οποία έχει το σώμα στην κατώτερη θέση από την οποία θα περάσει. β) την τιμή της τάσης του νήματος όταν αυτό γίνεται κατακόρυφο. γ) την ταχύτητα του σώματος υ2 όταν το νήμα σχηματίζει γωνία φ=30° με τον ορίζοντα. δ) την τιμή της τάσης του νήματος όταν το σώμα έχει την ταχύτητα υ2 . Δίνεται ότι σε κάθε σημείο κυκλικής κίνησης ενός σημειακού αντικειμένου ισχύει η σχέ𝜐2
ση Fκεντρομόλος=ΣF(κατά μήκος της ακτίνας) =𝑚 όπου υ η γραμμική ταχύτητα του αντι𝑅 κειμένου και R η ακτίνα τροχιάς και g=10m/𝑠 2 Λύση α) Εφαρμόζουμε το θεώρημα διατήρησης της μηχανικής ενέργειας μεταξύ των θέσεων (1) και (3) οπότε προκύπτει: (επίπεδο αναφοράς δυναμικής ενέργειας το οριζόντιο που www.iwn.gr
Αντωνάρας Γ.- Σιώζος Φ.
378
4 ∗ Έργο - Ενέργεια
μή t =5s, όπου καταργείται. Δίνεται ότι η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g=10m/s2 και ότι η επίδραση του αέρα θεωρείται αμελητέα. Για το χρονικό διάστημα που ασκείται η δύναμη: α) Nα υπολογίσετε το μέτρο της επιτάχυνσης με την οποία κινείται το σώμα. β) Nα σχεδιάσετε σε βαθμολογημένους άξονες το διάγραμμα ταχύτητας - χρόνου (υ-t). �⃗ . γ) Nα υπολογίσετε το έργο της δύναμης F δ) Nα υπολογίσετε το μέσο ρυθμό με τον οποίο η προσφερόμενη στο σώμα ενέργεια μετατρέπεται σε θερμότητα. Λύση ��⃗, η κάθετη δύναμη Ν �⃗ α) Στο σώμα ασκούνται οι δυνάμεις, εκτός από την �F⃗, το βάρος �W και η τριβή �Τ⃗. Στον άξονα x ισχύει:ΣFx = mα → Τ = mα (1) Από τη συνθήκη ισορροπίας στον άξονα y ισχύει: ΣFy = 0 → N − w = 0 → N = w = mg (2) Από το νόμο της τριβής προκύπτει: (2)
Τ = μΝ �� Τ = μmg (3). Από τις (1) και (3) έχουμε: F−μmg F − μmg = mα → α = m
2
→
α=
5 −0,25∙0,4 ∙10 0,4
=
10 m/s . β) Η ταχύτητα που αποκτά το σώμα τη χρονική στιγμή t= 5s είναι m υ = αt → υ = 10 2 ∙ 5s = 50 m/s, και η γραφική παράs σταση φαίνεται στο διπλανό σχήμα. γ) Η μετατόπιση του σώματος στο χρόνο αυτό είναι 1 1 �⃗ είναι:W = x = αt 2 → x = ∙ 10 ∙ (5)2 = 125 m. Επομένως το έργο της δύναμης F 2 2 Fs ⇒ W = 5 N ∙ 125 m = 625 J δ) Η ενέργεια που μετατρέπεται σε θερμότητα είναι ίση με την απόλυτη τιμή του έργου της τριβής (|WT |). Ο μέσος ρυθμός με τον οποίο η ενέργεια μετατρέπεται σε θερμότητα |W | είναι η μέση ισχύς της τριβής (κατ’ απόλυτη τιμή) � P = tT (4). (3)
Όμως WT = −Τ ∙ x �� WT = −μmgx. Με αντικατάσταση στην (4) παίρνουμε: μmgx 0,25∙0,4 ∙10 ∙125 � P= = 25 W. P= t →� 5
Δ3 Σώμα μάζας m=5Kg ρίχνεται με ταχύτητα υ0 κατά μήκος κεκλιμένου επιπέδου φ προς τα πάνω και διανύει διάστημα s1 = 10m μέχρι να σταματήσει. Το ίδιο σώμα ρίχνεται με την ίδια ταχύτητα υ0 σε οριζόντιο επίπεδο και διανύει διάστημα s2 =20m μέχρι να σταματήσει. Αν το σώμα παρουσιάζει τον ίδιο συντελεστή τριβής με τα δύο επίπεδα να βρεθούν: α) ο συντελεστής τριβής. β) η αρχική ταχύτητα του σώματος. γ) η θερμότητα που παράγεται στις δύο διαδρομές . Αντωνάρας Γ.- Σιώζος Φ.
www.iwn.gr
4 ∗ Έργο - Ενέργεια
379
δ) ποια είναι η δυναμική ενέργεια του σώματος στην κορυφή του κεκλιμένου επιπέδου ως προς το σημείο από το οποίο εκτοξεύτηκε. Δίνονται: g=10m/s 2 ,ημφ=0,6 και συνφ=0,8 Λύση α) Εφαρμόζουμε το θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας και στις δυο περιπτώσεις οπότε προκύπτει: 1 1 1η περίπτωση: ΔΚ=ΣW → 0- mυ20 =-wx s1 -T1 s1 → mυ20 = wx s + T1 s1 → 2 2 mυ20 =2(wx + T1 )s1 (1) 1 1 2η περίπτωση: ΔΚ=ΣW→ 0- mυ20 =-T2 𝑠2 → mυ20 = T2 s2 2 2 → mυ20 =2∙T2 s2 (2) Από τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει: 2(𝑤x + T1 )s1=2∙T2 s2 →2(m10∙ημφ+μmgσυνφ) s1 =2μmgs2 → 2(10∙0,6+μ10∙0,8)10=2μ10∙20→ 6+8μ=μ20 → 12μ=6→μ=0,5. β) Η αρχική ταχύτητα του σώματος βρίσκεται από τη σχέση (2)με αντικατάσταση mυ20 =2∙T2 s2 (2) →5υ20 =2∙μ∙mg∙s2 → 5υ20 =2∙0,5∙5∙10∙20→5υ20 =1000→ υ20 = 200 → υ0 = 10√2m/s. γ) Η θερμότητα που παράγεται στις δύο διαδρομές είναι: 1η περίπτωση: Q1 = |T1 s1 |=0,5∙5∙10∙0,8∙10=20∙10=200J 2η περίπτωση: Q 2 = |T2 s2 |=0,5∙5∙10∙20=0,5∙1000=500J δ) Η δυναμική ενέργεια του σώματος στην κορυφή του κεκλιμένου επιπέδου ως προς το σημείο από το οποίο εκτοξεύτηκε είναι: U=mgh=5∙10∙10ημφ=500∙0,6=300J. Δ4. Ένα σώμα μάζας m=2kg ισορροπεί σε οριζόντιο επίπεδο με το οποίο έχει μ=0,25. Ασκούμε στο σώμα δύναμη F, που η τιμή της μεταβάλλεται σε συνάρτηση με τη μετατόπιση x του σημείου εφαρμογής της, σύμφωνα με τη σχέση F=10+5x (x σε m, F σε N). Να υπολογίσετε: α) κατά πόσο θα μετακινηθεί το σώμα, πριν εγκαταλείψει το οριζόντιο επίπεδο β) την ταχύτητα του σώματος τη στιγμή που εγκαταλείπει το οριζόντιο επίπεδο. Δίνεται: ημθ=0,8, συνθ=0,6 και g=10m/s2. (Άσκηση 21, σχολικού βιβλίου) Λύση α) Στο σώμα ασκούνται οι δυνάμεις: το βάρος W, η δύναμη F, η δύναμη από το έδαφος που αναλύεται στη τριβή Τ και στη κατακόρυφη δύναμη N.
www.iwn.gr
Αντωνάρας Γ.- Σιώζος Φ.
Φπζηθή Α΄ ιπθείνπ
575
ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ Εσθύγραμμη κίνηζη Φξνληθή δηάξθεηα Γt κεηαηόπηζε θηλεηνύ
⃗
⃗
⃗ Δx
Ο -1
Α
xαρχ
0
2
1
νιηθήο κεηαηόπηζεο
4
3
xτελ
5
B
x(m)
6
7
(κπνξεί λα είλαη ζεηηθή ή αξλεηηθή).
νιηθνύ δηαζηήκαηνο νξηζκό ηεο έλλνηαο ηεο ηαρύηεηαο π
,⃗
t Δx t+Δt
⃗
εμίζωζε θίλεζεο
(
υ
)
x(m) x
φ
x0 0
t0
υ>0
Αλ (
Μέζε αξηζκεηηθή ηαρύηεηα πκ ή ̅
, ), ε κεηαζρεκαηίδεηαη ζηελ Αλ ( θαη ), ε κεηαζρεκαηίδεηαη ζηελ ή ̅
Μέζε δηαλπζκαηηθή ηαρύηεηα ⃗⃗⃗⃗ Σηηγκηαία ηαρύηεηα ⃗
www.iwn.gr
⃗ ⃗
t
t(s)
(
) (
)
⃗ ⃗
Αληωλάξαο Γ. –Σηώδνο Φ.
576
H έλλνηα ηεο επηηάρπλζεο
Φπζηθή Α΄ ιπθείνπ
⃗
⃗
⃗
⃗
t
,
t+Δt
Α
A΄
υ1 υ2
α Ο
υ1 υ2
Νόκνη ηεο Δπζύγξακκε νκαιά κεηαβαιιόκελεο θίλεζεο Νόκνο ηεο επηηάρπλζεο Νόκνο ηεο ηαρύηεηαο. Η εμίζωζε ηαρύηεηαο ρξόλνπ
Δυ
=ζηαζεξό ⃗ α) επηηαρπλόκελε θίλεζε
⃗
⃗
υ υ α>0 φ
υ0 0
β) επηβξαδπλόκελε θίλεζε
t
υ=υ0+αt
υ υ0
α<0 φ
υ 0
υ=υ0-αt
t
t
Νόκνο ηεο κεηαηόπηζεο - Η εμίζωζε ζέζεο ρξόλνπ (εμίζωζε θίλεζεο). ζεωξώληαο
Δπηηαρπλόκελε θίλεζε
x x
0
t
t