Πολλαπλά Ολοκληρώματα
Τ
α γεωµετρικά προβλήµατα της µέτρησης—που αφορούν τις έννοιες του µήκους, του εµβαδού και του όγκου— ανιχνεύονται ήδη 40 αιώνες πίσω, στην αρχή των πολιτισµών που αναπτύχθηκαν στις εύφοϱες κοιλάδες των ποταµών της Αφρικής και της ΑHenri Lebesgue (1875–1941) σίας, όπου ήταν σηµαντικά τα ϑέµατα του εµβαδού των καλλιεργειών και του όγκου των σιταποθηκών. Αυτά οδήγησαν τελικά στο ολοκλήρωµα, το οποίο χρησιµοποιείται πλέον για τον υπολογισµό (µεταξύ άλλων) εµβαδών κι όγκων καµπυλόγραµµων σχηµάτων. Ωστόσο, µακρόχρονες δυσκολίες σχετικά µε τη µέτρηση και το ολοκλήρωµα κατάφεραν τελικά να επιλυθούν, µόλις στις αρχές του εικοστού αιώνα, κυρίως ως συνέπεια της δουλειάς του Γάλλου µαθηµατικού Henri Lebesgue. Ο Lebesgue στη διατριβή του, η οποία παρουσιάστηκε το 1902 στη Σορβόνη, διερεύνησε έναν νέο ορισµό για το ολοκλήρωµα γενικεύοντας εκείνον του Riemann. Ουσιαστικά, για να ορίσει το ολοκλήρωµα µιας συνάρτησης f από x = a έως x = b, ο Lebesgue αντικατέστησε την υποδιαίρεση του Riemann για το διάστηµα [a, b] µε µη επικαλυπτόµενα υποδιαστήµατα διαµερίζοντας το [a, b] σε ξένα µετρήσιµα σύνολα {E i }. ΄Ετσι το άθροισµα Riemann P f (x⋆i ) ∆x αντικαταστάθηκε µε ένα άθροισµα της µορφής P f (x⋆i ) mi , όπου mi είναι το µέτρο του i συνόλου Ei και x⋆i είναι ένας αριθµός του E i . Για να διαπιστώσουµε το πλεονέκτηµα του «ολοκληρώµατος Lebesgue» ϑεωρούµε ότι υπάρχουν παραγωγίσιµες συναρτήσεις, οι παράγωγοι των οποίων δεν είναι ολοκληρώσιµες κατά Riemann. Για µια τέτοια συνάρτηση, δεν ισχύει το ϑεµελιώδες ϑεώρηµα του λογισµού
Z
b a
f ′ (x) dx = f (b) − f (a)
4
Ωστόσο, µε τον νέο ορισµό ο Lebesgue απέδειξε ότι η παράγωγος f ′ είναι ολοκληρώσιµη και ότι ισχύει το ϑεµελιώδες ϑεώρηµα. Παρόµοια, µε τον ορισµό του Riemann για τα πολλαπλά ολοκληρώµατα η ισότητα µεταξύ των διπλών και των επαναλαµβανόµενων ολοκληρωµάτων (Ενότητα 4.1) ισχύει υπό προϋποθέσεις, οι οποίες ωστόσο εξασθενούν, εάν χρησιµοποιήσουµε το ολοκλήρωµα του Lebesgue. ΄Ετσι, η ϑεωρία µέτρησης κι ολοκλήρωσης του Lebesgue επικράτησε τόσο στη ϑεωρητική, όσο και στην εφαρµοσµένη σύγχρονη µαθηµατική έρευνα. Το ολοκλήρωµα του Lebesgue είναι σηµαντικό σε διαφορετικές περιοχές, όπως είναι οι εφαρµοσµένες πιθανότητες κι η µαθηµατική ϐιολογία, η κβαντική ϑεωρία των ατόµων και πυρήνων, κι η ϑεωρία της πληροφορίας αλλά κι η επεξεργασία σηµάτων στη σύγχρονη υπολογιστική τεχνολογία. Στην Ενότητα ∆ιερεύνησης 4.5 µελετάµε την εφαρµογή των πολλαπλών ολοκληρωµάτων σε προβλήµατα όπως ο ϐέλτιστος σχεδιασµός των τροχών αγωνιστικών αυτοκίνητων.
Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε πολλαπλά ολοκληρώματα για να προσδιορίσουμε τον βέλτιστο σχεδιασμό των τροχών αγωνιστικών αυτοκινήτων.
271