4
Επιπλέον Εφαρμογές της Παραγώγου
Ο
(Gottfried Wilhelm Leibniz) εισήχθη στο Πανεπιστήµιο της Λειψίας όταν ήταν 15 ετών, σπούδασε ϕιλοσοφία και νοµικά, αποφοίτησε σε ηλικία 17 ετών και απέκτησε το διδακτορικό του στην ϕιλοσοφία σε ηλικία 21 ετών. Ολοκληρώνοντας τις σπουδές του, ο Leibniz µπήκε στην πολιτική υπηρεσία (G. W. Leibniz) (1646–1716) του εκλέκτορα του Mainz, στη Γερµανία. Η σοβαρή του ενασχόληση µε τα µαθηµατικά δεν ξεκίνησε παρά µόνο το 1672 (σε ηλικία 26 ετών) όταν εστάλη στο Παρίσι σε διπλωµατική αποστολή. Εκεί, κατά την διάρκεια των επόµενων τεσσάρων ετών, συνέλαϐε τις κύριες αρχές του λογισµού, εργασία για την οποία ϑεωρείται, µαζί µε τον Newton, πατέρας του λογισµού. Οι ανακαλύψεις του Newton είχαν προηγηθεί ελάχιστα (στα τέλη της δεκαετίας του 1660) αλλά η δουλειά του Leibniz δηµοσιεύτηκε πρώτη το 1684. Παρά την ύπαρξη µιας ϑλιβερής αντιδικίας, η οποία διήρκεσε περισσότεϱο από έναν αιώνα, µεταξύ των υποστηρικτών του Newton και του Leibniz σχετικά µε την προτεραιότητα των ανακαλύψεων των δύο επιστηµόνων, είναι πια ξεκάθαρο ότι οι ανακαλύψεις τους έγιναν ανεξάρτητα. Σε ολόκληρη τη Ϲωή του, ο Leibniz αναζητούσε µια καθολική γλώσσα η οποία ϑα ενσωµάτωνε συµβολισµούς και ορολογία τέτοιους που να παρέχουν σε όλους τους µορφωµένους ανθρώπους τη δύναµη µιας ξεκάθαρης και ορθής αιτιολόγησης όλων των αντικειµένων. Ωστόσο, αυτός ο στόχος του επιτεύχθηκε, σε µεγάλο ϐαθµό µόνο στα µαθηµατικά. Ο διαφορικός συµβολισµός του για το λογισµό είναι αναµφισβήτητα το καλύτερο παράδειγµα ενός συστήµατος συµβολισµών επιλεγµένων ώστε να αντικατοπτρίζουν τέλεια τις ϐασικές λειτουργίες και διαδικασίες του αντικειµένου αυτού. Θα έλεγε κάποιος, πράγµατι, ότι ο συµβολισµός του λογισµού από τον Leibniz ϕέρνει στις δυνατότητες ενός τυπικού µαθητή προβλήµατα τα οποία απαιτούσαν κάποτε την ευϕυΐα του Αρχιµήδη ή του Newton για να λυθούν. Για αυτό το λόγο, κατά τη διάρκεια του 18ου αιώνα κυριάρχησε η
προσέγγιση του Leibniz στο λογισµό, παρόλο που η κάπως διαφορετική προσέγγιση του Newton ίσως ήταν πιο κοντά στη σύγχρονη κατανόησή µας για το αντικείµενο. Ο διαφορικός συµβολισµός προέρχεται από ένα απειροστό ορθογώνιο τρίγωνο µε πλευρές dx και dy και υποτείνουσα ένα µικρό κοµµάτι της καµπύλης y = f (x). Αργότερα, ο Leibniz περιέγραψε τη στιγµή που οραµατίστηκε για πρώτη ϕορά αυτό το «χαρακτηριστικό τρίγωνο» σαν µια έκρηξη ϕωτός που ήταν η σύλληψη του λογισµού του. Πράγµατι, µερικές ϕορές αναφέρεται στο λογισµό σαν «η µέθοδός µου, το Χαρακτηριστικό Τρίγωνο».
y = f(x) dy dx
Το χαρακτηριστικό τρίγωνο του Leibniz
Το παρακάτω απόσπασµα παρουσιάζει τις εισαγωγικές παραγράφους του πρώτου δηµοσιευµένου άρθρου του Leibniz (στην Acta Eruditorum του 1684), όπου εµφανίστηκε αρχικά ο διαφορικός συµβολισµός. Στην πέµπτη γραµµή της δεύτερης παραγράφου ο κανόνας γινοµένου για την παραγώγιση εκφράζεται ως
d(xv) = x dv + v dx.
257