6-003- Εισαγωγη στην Αναλυση Ηλεκτρικων Κυκλωματων ΙΙ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12ο ΣΥΖΕΥΓΜΕΝΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΤΕΣ Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται τα µαγνητικά κυκλώµατα που βρίσκονται σε σύζευξη, δηλαδή κυκλώµατα όπου µέρος της µαγνητικής ροής ενός κυκλώµατος διαρρέει κάποιο γειτονικό µαγνητικό κύκλωµα. Το σπουδαιότερο από τα συζευγµένα κυκλώµατα είναι ο µετασχηµατιστής.

12.1 Συζευγµένα πηνία 12.1.1 Συντελεστής αµοιβαίας επαγωγής - συντελεστής σύζευξης Το σχήµα 12.1 απεικονίζει δύο πηνία που διαρρέονται από ρεύµατα i1(t) και i2(t). Οι συντελεστές αυτεπαγωγής των πηνίων είναι L1 και L2 αντίστοιχα και ο αριθµός των σπειρών Ν1 και Ν2. Εξαιτίας του εναλλασσόµενου ρεύµατος που ρέει στα πηνία παράγονται µαγνητικά πεδία. Αν τα πηνία βρίσκονται κοντά το ένα στο άλλο, µέρος της µαγνητικής ροής του πηνίου 1 θα ρέει στο πηνίο 2 και το αντίστροφο. Σε αυτή την περίπτωση λέµε ότι τα δύο πηνία είναι συζευγµένα.

Σχήµα 12.1: Συζευγµένα πηνία.

100

Εισαγωγή στην ανάλυση ηλεκτρικών κυκλωµάτων. Τόµος ΙΙ

Υποθέτουµε ότι το ρεύµα στο πηνίο 2 είναι ίσο µε µηδέν και ότι η µαγνητική ροή του πηνίου 1 δίνεται από το άθροισµα (12.1) ϕ1 = ϕ11 + ϕ12 όπου φ11 το τµήµα της ροής που διαπερνά µόνο το πηνίο 1 και φ12 το υπόλοιπο µέρος της ροής που διαπερνά το πηνίο 2. Η τάση που επάγεται στο πηνίο 1 είναι ίση µε dϕ di v1 (t ) = N 1 1 = L1 1 (12.2) dt dt Η εξ’ επαγωγής τάση στο πηνίο 2 είναι ίση µε dϕ dϕ di di v 2 (t ) = N 2 12 = N 2 12 1 = M 21 1 (12.3) dt di1 dt dt όπου η ποσότητα M 21 = N 2

dϕ12 di1

(12.4)

ονοµάζεται συντελεστής αµοιβαίας επαγωγής του πηνίου 1 σε σχέση µε το πηνίο 2. Ο συντελεστής αµοιβαίας επαγωγής Μ21 µετριέται σε Henry και προσδιορίζει την εξ’ επαγωγής τάση στο πηνίο 2 εξαιτίας της ροής ρεύµατος στο πηνίο 1. Υποθέτουµε τώρα ότι το πηνίο 2 διαρρέεται από ρεύµα i2 και ότι το ρεύµα στο πηνίο 1 είναι ίσο µε µηδέν. Η συνολική ροή στο πηνίο 2 γράφεται ως (12.5) ϕ 2 = ϕ 22 + ϕ 21 όπου φ22 το τµήµα της ροής που διαπερνά µόνο το πηνίο 2 και φ21 το υπόλοιπο µέρος της ροής που διαπερνά το πηνίο 1. Η τάση που επάγεται στο πηνίο 2 είναι ίση µε dϕ 2 di = L2 2 (12.6) v 2 (t ) = N 2 dt dt Η εξ’ επαγωγής τάση στο πηνίο 1 είναι ίση µε dϕ dϕ di di v1 (t ) = N 1 21 = N 1 21 2 = M 12 2 (12.7) dt di2 dt dt

Συζευγµένα κυκλώµατα - Μετασχηµατιστές

101

Η ποσότητα M 12 = N 1

dϕ 21 di2

(12.8)

ονοµάζεται συντελεστής αµοιβαίας επαγωγής του πηνίου 2 σε σχέση µε το πηνίο 1. Στην πλειοψηφία των περιπτώσεων µπορούµε να θεωρήσουµε ότι ισχύει (12.9) M 12 = M 21 = M Από τις 12.4, 12.8 και 12.9 έχουµε M = N2

dϕ12 dϕ = N 1 21 di1 di2

(12.10)

Αν η σχέση φ(i) µεταξύ µαγνητικής ροής και ρεύµατος είναι γραµµική, η 12.10 γράφεται Nϕ Nϕ (12.11) M = 2 12 = 1 21 i1 i2 Ένα άλλο µέγεθος που χρησιµοποιείται σε κυκλώµατα συζευγµένων πηνίων είναι ο συντελεστής σύζευξης. Ο συντελεστής σύζευξης k ορίζεται ως ο λόγος της ροής ενός πηνίου που διαπερνά το άλλο πηνίο, προς τη συνολική ροή. ϕ ϕ (12.12) k = 12 = 21 ϕ1 ϕ2 Ο συντελεστής k λαµβάνει τιµές από 0 ως 1. Όταν µεταξύ των δύο πηνίων δεν υπάρχει κοινή ροή είναι k = 0. Όταν όλη η ροή που παράγει το ένα πηνίο διαρρέει και το άλλο πηνίο, τότε k = 1. Θα συσχετίσουµε στη συνέχεια το συντελεστή σύζευξης µε το συντελεστή αµοιβαίας επαγωγής. Από τη σχέση ορισµού ο συντελεστής αυτεπαγωγής του πηνίου 1 είναι Nϕ Li L1 = 1 1 → ϕ1 = 1 1 (12.13) i1 N1 Ο συντελεστής Μ δίνεται από τη σχέση 12.11 Nϕ N κϕ N k Li N M = 2 12 = 2 1 = 2 1 1 = kL1 2 i1 i1 i1 N 1 N1

(12.14)

Εισαγωγή στην ανάλυση ηλεκτρικών κυκλωµάτων. Τόµος ΙΙ

102

από όπου συνάγουµε ότι ισχύει: N2 M = N 1 kL1

(12.15)

Επειδή µεταξύ των δύο πηνίων οι σχέσεις είναι αντιστρεπτές, κατά όµοιο τρόπο έχουµε N N 2 kL2 M = kL2 1 → = (12.16) N2 N1 M Με εξίσωση των σχέσεων 12.15 και 12.16 προκύπτει η σχέση: M k= L1 L2

(12.17)

Παράδειγµα 12.1 ∆ύο συζευγµένα πηνία 1 και 2 έχουν αριθµό σπειρών Ν1 = 1200 και Ν2 = 1000. Όταν το πηνίο 1 διαρρέεται από ρεύµα i1 = 0,8 A παράγεται στο πηνίο ροή φ1 = 100 µWb από την οποία το 75% διαπερνά το πηνίο 2. Αν το πηνίο 2 διαρρέεται από ρεύµα i2 = 1,2 A υπολογίστε: α) το συντελεστή αυτεπαγωγής του πηνίου 1 και το συντελεστή αµοιβαίας επαγωγής β) το συντελεστή αυτεπαγωγής του πηνίου 2 και τη συνολική ροή που το διαπερνά. α) Από τη σχέση ορισµού είναι N 1ϕ1 1200 x100 x10 −6 L1 = = = 0,15H i1 0,8

ϕ12 1000 x0,75 x100 x10 −6 M = N2 = = 0,094 H i1 0,8 β) Προφανώς k = 0,75 εποµένως είναι k=

M L1 L2

2

→

2

1 M  1  0,094  L2 =   =   = 0,105H L1  k  0,15  0,75 

Συζευγµένα κυκλώµατα - Μετασχηµατιστές

103

Η ροή στο πηνίο 2 υπολογίζεται από τη σχέση Li 0,105 x1,2 ϕ2 = 2 2 = = 126µWb N2 1000

12.1.2 Σύνδεση συζευγµένων πηνίων σε σειρά Το σχήµα 12.2 απεικονίζει δύο συζευγµένα πηνία που συνδέονται σε σειρά και διαρρέονται από ρεύµα i(t). Οι συντελεστές αυτεπαγωγής των πηνίων είναι L1 και L2 αντίστοιχα. Εξαιτίας του εναλλασσόµενου ρεύµατος που ρέει µέσω των πηνίων παράγεται ένα µαγνητικό πεδίο. Αν τα πηνία βρίσκονται κοντά το ένα στο άλλο µέρος της µαγνητικής ροής του πηνίου 1 θα ρέει στο πηνίο 2 και το αντίστροφο. Η εµπλεκόµενη ροή στο πηνίο 2 λόγω του ρεύµατος στο πηνίο 1 παράγει µία επιπλέον πτώση τάσης η οποία προσδιορίζεται µε βάση το συντελεστή αµοιβαίας επαγωγής Μ. Επίσης, µέρος της ροής που παράγει το πηνίο 2 εµπλέκεται µε το πηνίο 1 και παράγει µια επιπρόσθετη πτώση τάσης. Οι κουκίδες στο σχήµα 12.2 καθορίζουν τη φορά σύζευξης και το πρόσηµο του συντελεστή αµοιβαίας επαγωγής. Αν το ρεύµα εισέρχεται ή εξέρχεται των κουκίδων, τότε ο συντελεστής αµοιβαίας επαγωγής λαµβάνεται θετικός. ∆ιαφορετικά αν από το ένα πηνίο το ρεύµα εισέρχεται και από το άλλο εξέρχεται, τότε ο συντελεστής λαµβάνεται αρνητικός.

Σχήµα 12.2: Επαγωγική σύζευξη µεταξύ δύο πηνίων που συνδέονται σε σειρά.

Η πτώση τάσης πάνω σε κάθε πηνίο γράφεται: di di di = (L1 + M ) v1 (t ) = L1 + M dt dt dt (12.18) di di di v 2 (t ) = M + L2 = (M + L2 ) dt dt dt όπου το πρόσηµο του συντελεστή αµοιβαίας επαγωγής λαµβάνεται θετικό επειδή το ρεύµα εισέρχεται των πηνίων. Η συνολική πτώση τάσης στα πηνία είναι:

104

Εισαγωγή στην ανάλυση ηλεκτρικών κυκλωµάτων. Τόµος ΙΙ

di (12.19) dt Από τη σχέση 12.19 συµπεραίνουµε ότι ο ισοδύναµος συντελεστής αυτεπαγωγής του συστήµατος είναι ίσος µε (12.20) Leq = L1 + L2 ± 2M v(t ) = v1 (t ) + v 2 (t ) = (L1 + L2 + 2 M )

όπου το σύµβολο ± χρησιµοποιείται ανάλογα µε τη φορά σύζευξης. Ένα ερώτηµα που προκύπτει είναι: µε ποιο τρόπο µπορούµε να προσδιορίσουµε το συντελεστή αµοιβαίας επαγωγής σε ένα πρακτικό κύκλωµα; Αυτό µπορεί να γίνει συνδέοντας αρχικά τα πηνία έτσι ώστε το ρεύµα να εισέρχεται στις κουκίδες. Ο ισοδύναµος συντελεστής αυτεπαγωγής σε αυτή την περίπτωση είναι ίσος µε Leq (+ ) = L1 + L2 + 2 M (12.21) Στη συνέχεια, αντιστρέφουµε τη φορά σύνδεσης στο ένα πηνίο οπότε ο ισοδύναµος συντελεστής αυτεπαγωγής είναι Leq (− ) = L1 + L2 − 2 M (12.22) Αφαιρώντας την 12.22 από την 12.21 έχουµε 1 M = Leq (+ ) − Leq (− ) (12.23) 4 Η µέτρηση των ποσοτήτων Leq(+) και Leq(-) γίνεται συνήθως µε συνδεσµολογία γέφυρας.

[

]

Παράδειγµα 12.2 Στο παρακάτω κύκλωµα να βρεθεί το ρεύµα και η πτώση τάσης στην αντίσταση.

Συζευγµένα κυκλώµατα - Μετασχηµατιστές

105

Ο νόµος τάσεων του Kirchhoff στον κλειστό βρόχο δίνει V S = RI + jωL1I − jωMI + jωL2I − jωMI +

1 I j ωC

όπου ο συντελεστής αµοιβαίας επαγωγής λαµβάνεται µε αρνητικό πρόσηµο. Το ρεύµα βρόχου είναι VS I = R + j ωL1 + ωL2 − 2ωM − 1 ωC Με αντικατάσταση των τιµών έχουµε

(

I =

)

50 < 0 o 50 < 0 o = = 2,2 < 58 o A 12 − j19,3 22,7 < −58 o

Η πτώση τάσης στην αντίσταση ισούται µε

(

)

V R = IR = 2,2 < 58 o ⋅ 12 = 26,4 < 58 o V

12.1.3 Παράλληλη σύνδεση συζευγµένων πηνίων Θεωρούµε στη συνέχεια την περίπτωση που δύο συζευγµένα πηνία µε συντελεστή αµοιβαίας επαγωγής Μ συνδέονται παράλληλα. Θα υπολογίσουµε τον ισοδύναµο συντελεστή αυτεπαγωγής.

Σχήµα 12.3: Επαγωγική σύζευξη µεταξύ δύο πηνίων που συνδέονται παράλληλα.

Εισαγωγή στην ανάλυση ηλεκτρικών κυκλωµάτων. Τόµος ΙΙ

106

Η πτώση τάσης πάνω σε κάθε ένα από τα πηνία γράφεται ως εξής: di di v1 (t ) = L1 1 + M 12 2 dt dt di di v 2 (t ) = M 21 1 + L2 2 dt dt Ισχύουν οι σχέσεις v(t ) = v1 (t ) = v 2 (t ) i (t ) = i1 (t ) + i2 (t )

(12.24)

(12.25)

Αντικαθιστώντας i2(t) = i(t) - i1(t) στις σχέσεις 12.24 και επιλύοντας ως προς την παράγωγο di1/dt παίρνουµε: di1 L2 − M di = (12.26) dt L1 + L2 − 2 M dt Η αντικατάσταση της 12.26 στη δεύτερη των 12.25 δίνει di2 L1 − M di = dt L1 + L2 − 2 M dt

(12.27)

Αντικαθιστώντας τις 12.26 και 12.27 στην πρώτη εξίσωση των 12.24 έχουµε L1 (L2 − M ) di L2 (L1 − M ) di L1 L2 − M 2 di v(t ) = + = L1 + L2 − 2 M dt L1 + L2 − 2 M dt L1 + L2 − 2 M dt

(12.28)

από όπου συνάγουµε ότι L1 L2 − M 2 Leq = L1 + L2 − 2 M

(12.29)

Παράδειγµα 12.3 Στο παρακάτω κύκλωµα γράψτε τις εξισώσεις απλών βρόχων και υπολογίστε την πτώση τάσης πάνω στις αντιστάσεις R1 και R2.

Συζευγµένα κυκλώµατα - Μετασχηµατιστές

107

Οι εξισώσεις απλών βρόχων γράφονται ως εξής: R1 (I 1 − I 2 ) + jωL1 (I 1 − I 2 ) + jωMI 2 =V S

R1 (I 2 − I 1 ) + jωL1 (I 2 − I 1 ) − jωMI 2 + R2I 2 + jωL2I 2 − jωM (I 2 − I 1 ) = 0

Προσοχή χρειάζεται στο πρόσηµο του συντελεστή αµοιβαίας επαγωγής. Στο 1ο βρόχο λαµβάνεται µε θετικό πρόσηµο, ενώ στον 2ο µε αρνητικό. Σε µορφή πινάκων οι εξισώσεις γράφονται όπως παρακάτω: − R1 − jω (L1 − M ) R1 + jωL1    I 1  V S  − R − jω (L − M ) R + R + jω (L + L − 2 M ) ⋅ I  =  0  1 1 2 1 2  1   2   Αντικαθιστώντας τις τιµές έχουµε το σύστηµα εξισώσεων  10 + j 31,4 − 10 − j15,7   I 1  100 < 0 o   − 10 − j15,7 15 + j 25,1  ⋅ I  =     2  0  Από την επίλυση του συστήµατος προκύπτουν οι τιµές των ρευµάτων βρόχων I 1 = 0,7 − j 4,52 A = 4,57 < −81,2 o A I 2 = 0,36 − j 2,89 = 2,91 < −82,9 o A Η πτώση τάσης πάνω στις αντιστάσεις R1 και R2 θα είναι V R1 = (I 1 − I 2 )R1 = 3,4 − j16,3 = 16,65 < −78,2 o V V R2 = I 2 R 2 = 14,55 < −82,9 o

108

Εισαγωγή στην ανάλυση ηλεκτρικών κυκλωµάτων. Τόµος ΙΙ

Παράδειγµα 12.4 Να υπολογιστεί η αντίσταση εισόδου του κυκλώµατος συζευγµένων πηνίων. ∆ίνονται R1 = 10 Ω, R2 = 5 Ω, L1 = 100 mH, L2 = 60 mH, M = 70 mΗ, ω = 314 rad/s.

Γράφουµε τις εξισώσεις βρόχων του κυκλώµατος. Οι φορές των ρευµάτων είναι όπως στο σχήµα.

(1) V S = R1I 1 + jωL1I 1 + jωMI 1 0 = R2I 2 + RLI 2 + jωL2I 2 + jωMI 1

(2)

Επιλύουµε την (2) ως προς το ρεύµα Ι2 και έχουµε − j ωM (3) I2 = I1 R 2 + R L + j ωL 2 Η εξίσωση βρόχου (1) λόγω της (3) δίνει   ω 2M 2 I 1 V S =  R1 + jωL1 + R2 + RL + jωL2   Εξ΄ορισµού η αντίσταση εισόδου του κυκλώµατος είναι Z in =

VS ω 2M 2 = R1 + jωL1 + I1 R 2 + R L + j ωL 2

Αντικαθιστώντας τις τιµές των στοιχείων έχουµε Ζin = 22,3 + j22,1 = 31, 4 < 44,7o Ω