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sumário 01

PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM

02

5

11

Sistemas Lineares

165

NÚMERO FATORIAL

18

12

Raciocínio Lógico

180

03

Agrupamento simples e Arranjo

30

13

Raciocínio Lógico: Sequências, Palavras e Figuras

231

04

Permutação simples e com repetição

45

05

Combinação

54

06

Triângulo de Pascal

83

07

Conjunto

91

08

Probabilidade

103

09

Progressão Aritmética – PA

133

10

Progressão Geométrica - PG

150


ue01 INTRODUÇÃO O objetivo destas aulas é levar você a um passeio por este assunto tão temido pelos concurseiros: RACIOCÍNIO LÓGICO. Digo passeio porque faremos com calma e de forma leve, sem matematiquês. Depois de ver estas aulas, vai se sentir preparado para as questões que hoje parecem impossíveis e as pegadinhas tão temidas. Tudo de forma tranquila para entender tudo e ficar muito mais confiante frente a este assunto monstruoso. Vamos abordar muitos assuntos, vai aprender coisas “difíceis” antes que perceba que aprendeu, quando se der conta, vai estar fazendo pegadinhas para seus amigos, brincando com questões que antes não sabia como começar. Ainda de quebra, vai aprender coisas úteis para o seu dia a dia e, algumas coisas engraçadas não tão úteis assim, mas que ajudam muito na hora de aprender. Um exemplo: gosta de coxinha? Espero que sim, porque vai ouvir falar muito, desse alimento gorduroso e não recomendado pelos médicos. :-)

PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM

TEORIA Olá pessoal, vamos começar nossas aulas com o tema PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM. Se não fosse ruim no ponto de vista didático, nem colocaria o tema agora, mas para que possam achar os temas e as aulas nos assuntos corretos, preciso colocar o nome aqui :-( O nome é complicado, mas faça de conta que eu não disse ainda, não deixe o tema te assustar! Vamos falar disso usando um assunto polêmico, o guarda-roupa das mulheres. Nem adianta reclamar comigo, esse é o exemplo mais comum na internet.

No guarda-roupas de uma mulher tem:

20 camisetas

30 calças saias shorts

10 calçados, para não gerar mais polêmicas :-)

Quantas combinações conseguimos fazer com esta (não realista) quantidade? Pasmem, são 6.000 combinações, suficientes para 16 anos não repetindo nenhuma combinação!!! Como fiz a conta? 20X30x10 Simples não?

4

5


Vamos agora falar de árvores, bom quase isso, vamos falar de árvores de

Não vamos usar a árvore para resolver os exercícios porque é muito trabalho-

combinações.

sa, mas lembre-se que na prática você está sempre calculando o resultado dela. b1

c1

A1 c2

b2 b3

a= sapato

b1

c= calça

b2 b3

c1

A2

básica de resolver. Opa, viu o que eu disse? Na linha de cima você tem o nome matemático do que estamos estudando! Vamos a mais um exemplo rápido?

b= camiseta

Vamos então falar de senhas. Supondo que você faz uma senha de 6 dígitos:

b1

Vamos fazer uma combinação?

b2 b3

a1 + c1 + b1 = sapato 1 + calça 1 + camiseta 1

b1

c2

Lembre-se que esse é o princípio fundamental da contagem, esta é a forma

Vamos dizer que:

b2 b3

Temos então 1 combinação feita

Quantas combinações temos? Vamos colocar o número de possibilidades em cada campo:

Mais algumas? b1

c1

b2 b3

A3 c2

a1 + c1 + b2 = sapato 1 + calça 1 + camiseta 2

b1

a1 + c1 + b3 = sapato 1 + calça 1 + camiseta 3

b2 b3

a1 + c2 + b1 = sapato 1 + calça 2 + camiseta 1

10

10

10

10

10

10

7

6

5

Por que 10? 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Quantas combinações temos?

Entendeu a lógica?

10x10x10x10x10x10 = 1.000.000

Mas, como saber quantas combinações temos? Basta contar o número dos

E se não pudéssemos repetir os dígitos?

últimos itens b. Somando todos, você terá 18. c1

A1 c2

b1 1 b2 2 b3 3 b1 4 b2 5 b3 6

c1

A2

Se quiser saber fazendo a conta:

6

c2

b1 7 b2 8 b3 9 b1 10 b2 11 b3 12

c1

A3 c2

b1 13 b2 14 b3 15 b1 16 b2 17 b3 18

10

9

8

Quantas combinações temos? 10x9x8x7x6x5 = 151.200 No primeiro dígito, vocês têm 10 possibilidades, no segundo campo têm 9 pos-

3 x 2 x 3 = 18

sibilidades, e assim por diante.

Fácil? Sim, mas trabalhoso.

Fácil? Vamos continuar este assunto na próxima aula. 7


Voltando ao exemplo dos 8 dígitos, seriam cem milhões de combinações, e

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS PARTE 1

agora um hacker levaria 100 segundos para descobrir. Assustado? Não pare

Vamos então falar de mais exemplos, tudo para você ficar craque nestas matérias:

aqui, vamos até o fim da lição :-) Para exercitar, vamos comentar do caso em que não podemos repetir os dí-

Vemos pegar o número de telefone como exemplo, com 8 dígitos:

gitos, então teríamos:

10

9

8

7

6

5

4

3

2

Qual a quantidade de dígitos que podemos ter em cada campo? Quantas combinações teríamos?

10

10

10

10

10

10

10

10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 = 1.814.400

10

Percebeu como a quantidade de combinações diminuiu?

100.000.000 (cem milhões) Se eu acrescentar um dígito, como fica?

Perceba que diminuiu muito! Sobre essa continha: 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 = 1.814.400

10

10

10

10

10

10

10

10

10

1.000.000.000 (um bilhão) Com apenas 1 dígito nós multiplicamos o valor final por 10 (e não por 2 como algumas pessoas imaginam)

Fez de cabeça? Não? Eu também não :-) Geralmente nos concursos não caem contas desse porte para fazer, mas sempre saiba como fazer a mão se necessário! Vamos a mais um exemplo:

Passamos de cem milhões de números de telefone para um bilhão de núme-

Placas de carro. O que temos diferente em placas de carro? Temos as letras.

ros de telefones.

Será que faz alguma diferença colocar letras junto com números?

É claro que não usamos números de telefones como 000000000, mas pode-

Exemplo de placa de carro:

mos ter uma boa ideia de quantidades envolvidas.

Em verde as letras e em azul são números.

Podemos aproveitar e comentar sobre a segurança de suas senhas: Se você fizer uma senha de 2 dígitos para um site por exemplo, quantas combinações possíveis teremos? Apenas 100. Uma pessoa tentando algumas dezenas de vezes, conseguiria descobrir sua senha. Se colocarmos um dígito a mais, temos apenas 1.000 combinações que, por

Um exemplo:

a

b

c

1

2

3

4

curiosidade, um hacker levaria 0,1 segundo para descobrir usando um bom computador. Não está errado não, estamos falando de um décimo de segundo. 8

9


Quantas combinações temos? Vamos começar pelas letras:

26

26

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS PARTE 2

26

Vamos nesta aula fazer exercícios que já caíram em concursos?

Por que 26? de A a Z :-)

Vamos iniciar por este:

São então 26 x 26 x 26 que são 17.576 possibilidades. Muito diferente as

1.000 possibilidades se tivéssemos apenas dígitos.

01

Para mostrar aos seus clientes alguns dos produtos que vende, um comerciante reservou um espaço em uma vitrine, para colocar exa-

tamente 3 latas de refrigerante, lado a lado. Se ele vende 6 tipos diferentes de Quanto teríamos então no total com as letras e números?

26

26

26

10

10

10

refrigerante, de quantas maneiras distintas pode expô-los na vitrine? 10

a) 144 b) 132 c) 120

São: 26 x 26 x 26 x 10 x 10 x 10 x 10 = 175. 760. 000

d) 72

Cento e setenta e cinco milhões e setecentos e sessenta mil combinações!

e) 20

Vamos checar as combinações se as letras não podem ser repetidas: 26

25

24

10

10

10

10

Vamos resolver usando o que aprendemos? Palavras chaves: 3 latas de refrigerante lado a lado 6 tipos diferentes de refrigerante

Temos então: 156.000.000 Cento e cinquenta e seis milhões.

Vamos montar como aprendemos até agora?

E se eu não pude repetir os números? 3 latas de refrigerante lado a lado 26

26

26

10

9

8

7

6 tipos diferentes de refrigerante Temos então: 78.624.000 Setenta e oito milhões, seiscentos e vinte e quatro mil. Entendeu? Não perca as outras lições para aplicarmos o que já aprendeu até agora!

10

Por que 6 5 4? Porque se temos 6 tipos de refrigerantes e não queremos repetir nenhum na vitrine, no primeiro espaço temos 6 possibilidades, no segundo, apenas 5 possibilidades e no terceiro, 4 possibilidades. Então vamos fazer a conta: 6 x 5 x 4 = 120 combinações possíveis. 11


Se o comerciante mudar todos os dias, ele terá 120 dias para ter que repetir

Colocando os números 8, 6 e 4 nos 3 primeiros campos, temos a seguinte

as combinações.

possibilidade:

Fácil não é? Com o que você já aprendeu até agora já permite que você resol-

3

va muitos exercícios!

02

1

Para os outros 3 campos, temos 10 possibilidades para cada campo, mas não

Vamos então pegar uma que parece muito complicado:

2

podemos repetir os dígitos que já usamos então ficam:

(UFSM 2005) Para efetuar suas compras, o usuário que necessita sacar dinheiro no caixa eletrônico deve realizar duas operações: di-

gitar uma senha composta por 6 algarismos distintos e outra composta por 3 letras, escolhidas num alfabeto de 26 letras. Se essa pessoa esqueceu a senha, mas lembra que 8, 6 e 4 fazem parte dos três primeiros algarismos e que as

7

6

5

7

6

5

Para fazer a conta:

letras são todas vogais distintas, sendo E a primeira delas, o número máximo

3

de tentativas necessárias para acessar sua conta será:

2

1

3 x 2 x 1 x 7 x 6 x 5 = 1.260 possibilidades

a) 210 b) 230

Vamos resolver as letras:

c) 2.520

A primeira deve ser a letra E

d) 3.360 e) 15.120

E

Vamos iniciar separando e escolhendo as informações mais importantes: Não podendo repetir as letras (que são todas vogais), temos: 6 algarismos distintos - 8, 6 e 4 fazem parte dos três primeiros algarismos

1

3 letras - alfabeto de 26 letras - são todas vogais distintas - “E” é a primeira delas Agora, acompanhe comigo o passo a passo para resolver esta questão.

4

3

São: 1 x 4 x 3 = 12 possibilidades

Lembre-se de marcar no texto as informações importantes para não se perder! O que precisamos fazer agora? Sobre os 6 dígitos da senha:

Precisamos agora MULTIPLICAR as duas possibilidades encontradas! Cuidado com isso, são 1.260 possibilidades para os dígitos e 12 possibilida-

d

d

d

d

d

d

des para as letras. Quanto temos? 15.120 possibilidades portanto, temos a letra e) como resposta correta.

12

13


Viu, com apenas duas aulas de PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CON-

Para presidente do conselho, temos 11 possibilidades. Isso porque o presi-

TAGEM nós já conseguimos fazer dois exercícios que já caíram em concursos!

dente do conselho não pode ser o mesmo do presidente da diretoria.

Sem contar que um deles parecia ser um monstro de 15.120 cabeças :-)

Para presidente da diretoria, temos 11 possibilidades porque 1 será presiden-

Não perca a próxima aula!

te do conselho.

10

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS PARTE 2 Olá pessoal, vamos continuar resolvendo exercícios:

01

(UNESP-SP) O conselho administrativo de um sindicato é constituí do por doze pessoas, das quais uma é o presidente deste conselho. A di-

retoria do sindicato tem quatro cargos a serem preenchidos por membros do conselho, sendo que o presidente da diretoria e do conselho não devem ser a mesma pessoa. De quantas maneiras diferentes esta diretoria poderá ser formada? a) 40 B) 7920 C) 10890 D) 11! E) 12! Vamos separando as informações: Doze pessoas

9

desses números: 11 x 11x 10 x 9 = 10890 Por tanto, a resposta é a alterativa c) Vamos para a próxima?

02

(UEL-PR) Sejam os conjuntos A={1,2,3} e B={0,1,2,3,4}. Total de funções injetoras de A para B é? a)10 b)15 c)60 d)120 e)125

Vamos ver o desenho?

0

Quatro cargos a serem preenchidos

Usando o formato das senhas:

11

Fazendo da forma que já temos feito várias fezes, fazemos a multiplicação

Uma é o presidente deste conselho O presidente da diretoria e do conselho não devem ser a mesma pessoa

10

1

1

2

2

3

3 4

14

15


Neste desenho, estamos desenhando uma das possibilidades ou, uma

2 tipos de doces do total de 3 então ficam:

função injetora.

3

Para resolvermos usando a forma que já conhecemos, vamos desenhar os campos: Vamos separar:

2

6 x 5 x 4 = 120 Como funciona? Você pode ligar UM elemento do primeiro conjunto a UM elemento do segundo conjunto. Não pode conectar mais de uma vez!

3x2=6 Total de 120 x 6 = 720, alternativa d)

Então o que temos? O primeiro elemento do primeiro conjunto pode ser ligado a qualquer um dos 5 elementos do segundo conjunto. O segundo elemento do primeiro conjunto, pode ser ligado aos 4 elementos que sobraram no segundo conjunto e assim por diante. Como ficamos então?

5

4

3

Fazendo a conta temos 5 x 4 x 3 = 60 funções. Mais um:

03

(Puc-MG) Um buffet produz 6 tipos de salgadinhos e 3 tipos de do ces para oferecer em festas de aniversário. Se em certa festa devem

ser servidos 3 tipos desses salgados e 2 tipos desses doces, o buffet tem x maneiras diferentes de organizar esse serviço. O valor de x é: a) 180 b) 360 c) 440 d) 720 3 tipos de salgados do total de 6 então ficam:

6 16

5

4 17


Pegaram a ideia? É realmente simples de entender a definição.

ue02

Só o caso especial é que complica, porque é um caso especial, não é matemá-

NÚMERO FATORIAL

0! =1

tico, é uma convenção:

Entendeu? Zero Fatorial = 1 Vamos então fazer uma continha:

TEORIA E EXEMPLOS Olá pessoal, vamos para o próximo assunto!

98!

98 x 97 x 96 x 95 x 94 x 93 x 92 x 91 ...

97!

97 x 96 x 95 x 94 x 93 x 92 x 91 ...

Espero que estejam estudando e já estejam craques nas aulas anteriores!

Fez a conta? Espero que não :-)

Hoje vamos aprender sobre número fatorial. É algo bem diferente para quem

Tem uma forma muito melhor de resolver essa continha.

nunca viu.

Deixa eu dar um exemplo antes:

Um número fatorial é representado por um ! (ponto de exclamação) Exemplo: 2! = 2 fatorial 10!= 10 fatorial Vamos ver alguns valores: 2! = 2

5!

5x4x3x2x1

5 x 4!

4!

4x3x2x1

4!

Entendeu? Fácil! Agora vamos aplicar o mesmo princípio para a continha de antes:

3! = 6 4! = 24 5! = 120 Já sabe como é feito? Vamos ver:

18

5

98!

98 x 97!

97!

97!

98

Ficou fácil!!

1! = 1

=1

Vamos agora ver uma expressão:

2! = 2

= 2.1

10! + 9!

3! = 6

= 3x2x1

4! = 24

= 4x3x2x1

Não temos denominador, mas ainda podemos simplificar.

5! = 120

= 5x4x3x2x1

Primeiro vamos abrir em: 10 x 9! + 9!

19


Essa você já sabia, certo? Veja, se juntarmos novamente, voltamos a 10! + 9!

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS PARTE 1

Já consegue ver onde vamos? Vamos isolar o 9! Olá, vamos nesta aula fazer alguns exercícios para entendermos melhor os 9! (10+1)

números fatoriais.

Juntando novamente fica 9!(11) ou simplesmente 9!11

01

Para começar, vamos neste:

E agora? Agora acabou :-) Provavelmente nas respostas das questões, você terá esse tipo de resposta, sem ter que fazer as continhas.

Complicado? Não, na verdade bem simples.

Mais um exemplo: 8! + 7!

Lembre que n! = n(n-1)(n-2)(n-3)!

Separamos o 8! para ter 7! fica: 8 x 7! + 7! Isolando o 7! 7! (8+1) Tenho agora o resultado: 7!9 (sete fatorial vezes nove)

Ou ainda que n! = n(n-1)! Lembre-se também que pode colocar quantos termos quiser, apenas termine com o ! no último termo. Vamos então usar isso e reescrever:

Vamos agora colocar uma letra para exemplo fatorial? X!

Viu, eu disse que era fácil! Agora:

Mas o que pode ser isso? Fácil: X! = (X-1) (X-2) (X-3) (X-4) (X-5)! Entendeu? Abrimos o X mas, não esqueça de terminar com ! E se a letra for outra? Não muda nada, vamos ver?

Para ser mais fácil que isso, só se desse zero :-)

A! = (A-1) (A-2) (A-3)!

Por falar nisso, nunca se esqueça que 0!=1

Em quantos termos posso separar? Em quantas forem necessárias para po-

02

Vamos a outro:

der trabalhar nos exercícios. Vamos ver mais na próxima aula! Estude muito para ficar com prática e fazer essas continhas bem rápido, assim não perde tempo nos concursos. 20

21


Neste caso, pode ser que a resposta não esteja assim, pode ser que tenha que

Vamos ver se deu certo:

aplicar a boa e velha regra de distributiva: n (n-1)! = n² - n Tome muito cuidado para não confundir n x n com n + n

Sim, voltamos para o mesmo lugar, o que quer dizer que são equivalentes. Agora vamos andar mais um passo e reescrever como fatorial:

no caso de n x n temos n² no caso de n + n temos 2n n x n é o mesmo que n¹ x n¹ = n² (somamos o expoente). 03

Vamos a mais um exercício:

A primeira coisa a fazer é abrir o termo maior para igualar com o outro, que neste caso é (X+3)! Então fica assim:

Acabamos? Pode ser, depende de como estão as respostas, mas provavelmente vai ter que fazer a distribuição e depois agrupar os termos assim: (X+3) (X+2) = x² + 2x + 3x + 6 = x² + 5x + 6 Vamos ao próximo:

Neste, vamos inverter a lógica para resolver.

A pergunta é: Escreva na forma de fatorial: 15x14x13

04

Não acredita? Vamos então fazer o caminho todo de volta:

Muito bem, tenho certeza que entendeu!

05

Mais um exercício: Vamos escrever (Y+4) (Y+3) em forma fatorial:

Entendeu? Fizemos o mesmo que o exercício anterior. Primeiro colocamos (Y+2) ! No numerador e no denominador. Se cortarmos, voltamos para onde começamos. Depois escrevemos (Y+4) (Y+3) (Y+2)! Em formato fatorial = (Y+4)! Ficou então:

Já adivinhou? Vamos fazer o caminho inverso da simplificação, vamos primeiro adicionar

Viu, fácil! Vamos checar?

algo no numerador e denominador que sejam iguais: E aqui terminamos mais esta aula, estudem para resolver rapidamente nos seus concursos! 22

23


Muita atenção o ! não poderia ter sido cortado, se todos os termos não esti-

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS PARTE 2

vessem nos parênteses.

Nesta aula vamos fazer alguns exercícios específicos, fique atento.

Exemplo: n-6!= 6! ou n!-6= 6! não poderia cortar o !. O resultado ficaria

01

(Puc – SP) Se (n-6)!= 720, então:

completamente diferente. Vamos a outra:

a) n=10 b) n=11

02

c) n=12

(UFRN) Se (x+1)! = 3 . (x!), então é igual a:

d) n=13

a) 1

e) n=14

b) 2 c) 3

Vamos resolver:

d) 4 e) 5

Uma das possibilidades é testando uma a uma das alternativas, não é o ideal, mas poderíamos fazer. Exemplo: para n=10 (10-6)!= 4! = 26 para n=11 (11-6)!= 5! = 120 para n=12 (12-6)!= 6! = 720 - resultado correto Mas como fazer sem testar uma a uma? Vamos escrever de uma outra forma:

1x2x3… até 720, logo vai descobrir que 6! = 720 Agora vamos reescrever: (n-6)!= 6!

Preste atenção neste truque: Porque temos ! dos dois lados da equação, podemos cancelar o ! assim: (n-6)!= 6! e assim temos (n-6)= 6 e agora ficou fácil:

24

n= 12

em (x+1)! Podemos reescrever (x+1)(x+1-1)! Que temos então: (x+1) (x)! e (x+1)x!

(x+1)x! = 3x!

Primeiro: vamos descobrir quanto vale 720 em fatorial, como? Fazendo

n-6 =6

(x+1)! = 3 . (x!)

No caso de 3 . (x!) vamos reescrever como: 3x! Remontando:

(n-6)!= 720

(n-6)!= 720 ou

Posso cortar o fatorial? NÃO, cuidado. Vamos então reescrever:

- resposta correta

Agora sim, finalmente eu posso cortar! (x+1)x! = 3x! (x+1) = 3 e x= 3-1 x=2 Vamos ver se está certo? Vamos substituir x=2 na expressão dada: (x+1)! = 3 . (x!) (2+1)!= 3.(2!) 3! = 3.2! 6=6

sim, está correto! 25


Mais um:

03

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS PARTE 3

(PUC-RJ) O produto n(n-1) pode ser escrito em termos de fatoriais, Vamos agora entrar na parte 3, vamos detonar mais alguns exercícios!

como:

01

a) n! - (n-2)! b) n!/ (n-2)!

a) 5

c) n! - (n-1)!

b) 7

d) n!/[2(n-1)!]

c) 12

e) (2n)!/[n!(n-1)!]

d) 3

Vamos lá. Para escrever em fatorial:

n(n-1)(n-2)! n(n-1)

(n-2)!

Lembre-se que para checar se está certo, basta cortar os termos iguais de cimae de baixo.

e) 4 Aha! Vamos precisar aprender mais um truque para resolver este! Cuidado, não caia na tentação de cortar o fatorial! Bom, precisamos sumir com esse fatorial! Vamos reescrever: (5X-7)! = 1 como (5X-7)! = 1! e cancelar o ! e calcular x, certo?????

Agora vamos passar para fatorial: n(n-1)(n-2)! = n!

(UEPG-PR) Calcule a soma das raízes da equação (5X-7)! = 1

É justamente a definição que já vimos.

Fica então:

Errado!!!!!!! Vamos ver na questão, uma dica importante: Pede para calcular “a soma das raízes“, bom se tem soma das raízes é porque é mais de uma raiz!

n! (n-2)!

Se precisamos somar as raízes, precisamos fazer algo que nos deixe com mais de uma raiz. Para ter mais de uma raiz, precisamos de mais de uma equação. Lembre-se que fatorial de 1 é 1 mas que também fatorial de zero =1

Esta mesma expressão pode ser escrita: n! / (n-2)!

Então vamos reescrever:

Achamos! A alterativa correta é a b)

(5X-7)! = 1!

Agora estude muito! E não perca a próxima aula!

(5X-7)! = 0! Atenção, só podemos fazer esse truque porque tudo do lado esquerdo da equação está dentro dos parênteses!

26

27


Vamos encerrar o assunto com mais uma questão:

Cortando o fatorial e simplificando: (5X-7) = 1

03

(5X-7) = 0

a) O fatorial de um número n (n pertence ao conjunto dos números naturais) é sempre o produto de todos os seus antecesso-

Vamos agora isolar X nas duas equações: 5X-7 =1 5X-7 = 0

5X = 1+7

5X=8

5X = 7

X= 7/5

X=8/5

Vamos agora somar: 8/5 + 7/5 = 15/5 = 3 Resposta: d) Mais um exercício para treinarmos:

02

(instituto excelência) Assinale a alternativa CORRETA referente a fatorial:

res, incluindo a si próprio e excluindo o zero. A representação é feita pelo número fatorial seguido do sinal de exclamação, n! . b) O fatorial de um número n (n pertence ao conjunto dos números naturais) é sempre o produto de todos os seus antecessores, incluindo a si próprio e também incluindo o zero. A representação é feita pelo número fatorial seguido do sinal de exclamação, n! . c) O fatorial de um número n (n pertence ao conjunto dos números naturais) é sempre o produto de todos os seus antecessores, excluindo a si próprio e também excluindo o zero. A representação

(UFPR) Com base nos estudos de fatorial, calcule a soma das afir-

é feita pelo número fatorial seguido do sinal de exclamação, n! .

mações corretas:

d) Nenhuma das alternativas.

01) 0! = 1

Resolvendo:

02) 1! + 2! = 3!

a) Perfeita descrição. Tudo correto! Aproveite porque serve como definição

04) (3!) . (3!) = 36

e teoria para você!

08) (3!)! =720

b) Quase tudo certo mas… quase não conta… Onde diz “incluindo a si próprio

A primeira é muito fácil e já vimos algumas vezes. Assim, 0! = 1 está correto.

e também incluindo o zero” tem um problema, se incluirmos o zero na mul-

Na segunda cuidado! Não existe essa regra, só será verdadeiro se por coinci-

tiplicação, sempre teríamos zero no resultado de todas as contas de fatoriais.

dência o valor estiver correto. Vamos fazer a conta: 1!=1 2!=2 1+2=3 então 1! + 2! NÃO é igual a 3! Na terceira: (3!) . (3!) = 36 fazendo a conta: (6).(6)=36 sim, está correto!

Claro que está errada. Imagine 3! = 3x2x1x0=0 ERRADO! c) Quase tudo certo mas… quase não conta… Onde diz “excluindo a si próprio” está ERRADO!

Na quarta: (3!)! =720 vamos fazer a conta resolvendo primeiro dentro dos parênteses: (6)!=720 agora tiramos o fatorial de 6 e, sim, está correta! Agora vamos fazer a soma das alternativas corretas: 01 + 04 + 08 = 13 (Note que esta questão não é de alternativas.) 28

Portanto temos o resultado a alternativa a) Essa foi fácil né? Parece que fechamos com chave de ouro e com direito a uma descrição mais técnica do fatorial. Não deixe de estudar! Somente com prática vai conseguir responder os exercícios correta rapidamente. 29


Por que não podemos repetir a letra? Porque estamos estudando Agrupa-

ue03

mento Simples e, em Agrupamento Simples não repetimos os elementos.

Agrupamento simples e arranjo

tras, mas na prática podem ser objetos, pessoas, etc… É como na ordem de

Por que não podemos mudar a ordem? Porque aqui estamos colocando lepremiação de uma corrida, você não pode trocar o prêmio do segundo lugar com o prêmio do primeiro lugar. Pode parecer estranho mas, normalmente se diz que “tomamos os elementos

TEORIA E EXEMPLOS Olá pessoal! Nesta aula vamos aprender algo bem fácil: Agrupamento Simples e arranjo Ele é simples até no nome :-)

dois a dois” e, não se usa outras palavras como “pegamos os elementos dois a dois” Vamos fazer um exemplo com números, para fixar em sua mente que não podemos inverter os elementos na hora do agrupamento: C= {1,2,3} Fazendo o agrupamento simples:

Vamos iniciar com um conjunto:

D= {12,13,21,23,31,32}

A= {a,b,c,d} Note agora que 12 é obviamente diferente de 21, lembre-se disso e não inverAgora vamos fazer agrupamento simples:

ta os elementos!

B= {ab,ac,ad,ba,bc,bd,ca,cb,cd,da,db,dc} Vamos agora fazer um agrupamento tomando 3 elementos do conjunto: Preciso fazer as cores? Claro que não, só coloquei para ajudar a mostrar a sequência que estamos fazendo :-) O que fizemos então? Nós agrupamos de forma simples o primeiro conjunto. O primeiro elemento a foi agrupado com b,c,d O segundo elemento b foi agrupado com a,c,d e assim por diante.

F= {1,2,3} Agrupamento simples tomado de 3 em 3 elementos: G= {123,132,213,231,312,321} Muito bom até aqui, mas o que é o arranjo? Vamos entender usando um problema: Temos 4 candidatos a 2 prêmios. Quantas possibilidades temos para premiação?

É muito importante saber que: 1) Não pode repetir a letra, ou seja, o elemento não pode ser repetido (por isso é Simples) 2) A ordem dos elementos não pode ser alterada. Exemplo: ab é diferente de ba 3) Se diz que: tomamos elementos de 2 em 2 30

Usando o exemplo já dado: A= {a,b,c,d} Agora vamos fazer agrupamento simples: B= {ab,ac,ad,ba,bc,bd,ca,cb,cd,da,db,dc} Temos então 12 possibilidades. 31


Mas, ufa, não precisamos fazer assim, podemos usar uma fórmula:

ARRANJO COM REPETIÇÃO Vamos relembrar da fórmula?

Onde m= número de elementos nos conjuntos e p= número de elementos tomados.

É importante que você saiba que as letras podem ser trocadas para qual-

Complicou? Nãooooooooooooooo Muito fácil! Usando o exemplo acima:

quer uma! Ou seja, podemos fazer:

Não se preocupe, sempre se lembre da fórmula e troque as letras como precisar nos exercícios.

Muito fácil! Vamos fazer o próximo exemplo, usando a fórmula: F= {1,2,3} G= {123,132,213,231,312,321} Fazendo a combinação manualmente, chegamos a 6 possíveis combinações. Usando a fórmula:

Para iniciar, vamos fazer um exercício que já vimos: Em uma placa de carro, temos 3 letras, qual o número de combinações possíveis para: a) se não podemos repetir as letras e b) se podemos repetir as letras: Fácil, lembra? a) = 26 x 25 x 24 b) = 26 x 26 x 26 Primeiro, vamos aplicar a fórmula A m,p no caso a)

Outra que ficou muito fácil! Mais um detalhe: a fórmula pode ser escrita de duas formas, usando A m,p ou Apm Para ficar mais fácil de ler, usamos A m,p mas, ficaria da mesma forma:

Olha só, a resposta é exatamente a mesma! A única diferença é o sinal usado para multiplicação!

Apm = Não deixe de estudar! 32

Se é tudo igual, por que então preciso saber? Porque você pode pegar uma questão que utiliza a fórmula, por exemplo: A 4,3 + A 5,2 + A 3,2 33


O que é isso?????

Viu, fácil!

Vamos ler: Arranjo de 4 elementos tomados de 3 a 3 MAIS Arranjo de 5 elementos tomados de 2 a 2 MAIS

E assim este caso fica: no = 263 que é igual a 26x26x26

Arranjo de 3 elementos tomados de 2 a 2 MAIS

que é exatamente igual que a maneira que estávamos resolvendo:

Vamos substituir na fórmula que já conhecemos:

26 26

26

= 26 x 26 x 26

Viu como é fácil!

A 4,3 + A 5,2 + A 3,2 =

Se acha que esta fórmula é difícil para lembrar, basta lembrar da forma que estávamos fazendo antes:

Bem fácil, só colocamos na fórmula. Para resolver: 26

26

26

= 26 x 26 x 26 = 263

Depois de tudo isso, precisamos de exercícios! Não perca a próxima aula!

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS PARTE 1 Esse então é o resultado e como viu, é simples e fácil. Vamos lá:

E agora, vamos resolver o caso b)

26

26

26

Para isso, precisamos de mais uma formulinha porque agora temos repetição das letras e na fórmula anterior de Agrupamento Simples ou, Arranjo Simples, não podemos repetir as letras.

Ar n,p = no O que é isso? Fácil, vamos ler: Arranjo com repetição de n elementos tomados de p em p 34

01

(UNAERP SP) Uma fechadura de segredo possui 4 contadores que podem assumir valores de 0 a 9 cada um, de tal sorte que, ao

girar os contadores, esses números podem ser combinados, para formar o segredo e abrir a fechadura. De quantos modos esses números podem ser combinados para se tentar encontrar o segredo? a)10.000 b)64.400 c)83.200 d)126 e)720 35


Puxa, que simples!

Três algarismos distintos

Sempre preste atenção no enunciado. Vamos separar algumas informações:

Dentre 1,3,5,7 e 9

4 contadores (cadeado com 4 números) valores de 0 a 9 (cuidado: 10 possibilidades) não tem informação que não possa repetir os dígitos

Maiores que 200 e menores que 800 Vamos iniciar, resolvendo por Princípio Fundamental da Contagem. Veja, não temos todos os números para usar, temos apenas:

Resolvendo:

1,3,5,7 e 9

Vamos fazer da forma mais rápida!

Para ser maior que 200, a primeira posição pode ser dígito 3, e teríamos as possibilidades:

10 10

10

10

= 10 x 10 x 10 x 10 = 104 1

4

3

= 1 x 4 x 3 = 12

Vamos agora resolver utilizando a fórmula:

Ar n,p = no

No primeiro dígito só poderia ser 3, 1 possibilidade. No segundo, temos 4 possibilidades e o terceiro 3 possibilidades.

Arranjo com repetição de n elementos tomados de p em p Podemos também começar com 5: Ar 10,4 = 10⁴ = 10.000 Isso mesmo, chegamos no mesmo resultado! Vamos a outro:

02

Assinale a alternativa na qual consta a quantidade de números

4

3

= temos novamente 1 x 4 x 3 = 12

Podemos também começar com 7:

1

4

3

= temos novamente 1 x 4 x 3 = 12

inteiros formados por três algarismos distintos, escolhidos dentre

1,3,5,7 e 9, e que são maiores que 200 e menores que 800. a)30 b)36 c)42 d)48 e)54 Vamos separar as informações mais importantes: 36

1

Podemos então começar com 3,5 e 7. Não podemos iniciar com 9 porque passa dos 800 pedido na questão. Temos então 12 possibilidades iniciando com dígito 3, mais 12 possibilidades iniciando com dígito 5, mais 12 possibilidades se iniciar com número 7. Fazendo a conta: 12 + 12+ 12 = 36 37


Muita atenção aqui porque estamos somando! Por que estamos somando? Porque temos as possibilidades de iniciar com 3 OU iniciar com 5 OU iniciar com 7. Vamos agora fazer por Arranjo: Temos um número iniciando com 3, um número iniciando com 5 ou um

Vamos primeiro por Princípio Fundamental da Contagem: Veja, estamos fazendo um exercício com a forma de resolução muito parecida com os outros exercícios.

24

23

22

= 24 x 23 x 22

número iniciado com 7. Vamos agora fazer usando a fórmula do Arranjo: Para o número 3 temos: A 4,2 = 12 Para o número 5 temos: A 4,2 = 12 Para o número 7 temos: A 4,2 = 12

Como ficam os valores? Tenho 24 opções e quero saber três posições, então fica: Arranjo de 24 itens tomados de 3 a 3.

E agora, preciso somente somar as possibilidades como fizemos antes: 12 + 12 +12 = 36 Por que estamos fazendo pela fórmula se já temos o resultado? Não perca a próxima aula com mais dois exercícios superinteressantes!

Porque a questão poderia ter na resposta o formato da fórmula e você precisaria saber montar pela fórmula para ter o resultado.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS PARTE 2 Para terminarmos então, temos:

01

(Cesgranrio) Durante a Copa do Mundo, que foi disputada por 24 países, as tampinhas de Coca-Cola traziam palpites sobre os países

que se classificariam nos três primeiros lugares (por exemplo: primeiro lugar, Brasil; segundo lugar, Nigéria; terceiro lugar, Holanda). Se, em cada tampinha, os três países são distintos, quantas tampinhas diferentes poderiam existir? Vamos fazer de duas formas, Princípio Fundamental da Contagem e Arranjo.

Dê uma olhada mais para cima e veja que temos a mesma resposta. O que faltou agora? Fazer a conta:

Vamos separar as informações importantes: 24 países Três primeiros lugares Os três países são distintos 38

24x23x22 = 12144 tampinhas Temos a reposta correta d) 39


Vamos agora pegar mais uma questão:

02

Para as vogais:

(FAAP-SP) Quantas motos podem ser licenciadas se cada placa tiver

No alfabeto temos 5 vogais

2 vogais (podendo haver vogais repetidas) e 3 algarismos distintos?

Podemos repetir (Arranjo com repetição) AR 5,2

a) 25.000 b) 120

Isto porque temos 5 vogais de possibilidade e dois campos, então temos:

c) 120.000 d) 18.000

Arranjo com repetição de 5 itens tomados de 2 em 2

e) 32.000

E os dígitos? Temos:

Vamos separar as informações:

A 10,3

2 vogais

ou seja, Arranjo de 10 elementos tomados de 3 em 3

3 algarismos distintos

Assim, temos as vogais mais os dígitos com as probabilidades multiplicadas:

Primeiro vamos pelas vogais:

AR 5,2 . A 10,3

No alfabeto temos 5 vogais Podemos repetir Temos:

5

Entenderam? A reposta poderia estar neste formato, então aproveite para ver como seria.

= 5x5 = 25

5

Não perca a próxima aula! Vamos ver agora os números, como são distintos, temos:

10

9

8

= 10x9x8 = 720

(para fazer rápido, faça 9x8=72 depois x10 = 720) E agora, o que fazemos? Temos vogais “E” números, isso quer dizer que devemos multiplicar os dois resultados, temos:

01

(Mack-SP) Com os algarismos 1,2,3,4,5 e 6 são formados números de 4 algarismos distintos. Entre eles, são diviseis por 5: a) 20 números b) 30 números c) 60 números d) 120 números

25 x 720 = 18.000 motos Vamos agora fazer pela fórmula: 40

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS PARTE 3

e) 180 números Vamos iniciar por Princípio Fundamental da Contagem. 41


Quais são os números divisíveis por 5?

Vamos para o próximo:

Os números divididos por 5 são sempre terminados em 0 ou 5.

Dê uma olhada na tabuada para conferir!

02

(UFRGS - RS) Quantos números inteiros positivos, com 3 algaris mos distintos, são múltiplos de 5 : a) 128

Então temos?

1

b) 136 c) 144 d) 162

Porque na lista de números dados, não temos o zero, somente o 5. Veja na última posição, se só podemos ter 0 ou 5 para ser divisível por 5 e na lista de números na questão somente temos opção do número 5, o último campo tem somente 1 opção que é o número 5.

e) 648 Quais informações temos: 3 algarismos distintos Múltiplos de 5

Para acabar de montar temos:

Já sabemos pelo exercício anterior que um número múltiplo de 5 é termina-

5

4

3

1

do em 0 ou 5, assim temos:

2

Já sabe o porquê? Não podemos repetir o 5 então sobram 5 possibilidades para o primeiro campo…. Temos então a resposta de 5x4x3 = 60, letra c)

2 porque pode terminar em zero ou cinco. Tem uma pegadinha aqui, ele não dá a lista de números que posso usar,

Vamos agora fazer por Arranjo:

assim eu tenho de 0 a 9 como algarismos válidos, mas tem um problema, se iniciarmos o número com 0, não teremos mais 3 algarismos, teremos

1

apenas 2, porque o algarismo que foi preenchido com zero não conta mais por ser zero.

Usando a mesma lógica que explicado a cima, não temos mais Arranjo no último dígito, porque ele é fixo, não podemos mudar. Então: Sobra A 5,3, ou seja, 5 possibilidades tomados de 3 em 3. Assim fica:

Muita atenção nisso, é uma pegadinha comum! Vamos ter que fazer este exercício com análise de dois casos:

1

E chegamos na mesma resposta que fizemos anteriormente. 42

Nesta análise, vamos calcular para o caso do número terminado em 0 43


9 8

1

ue04

= 9 x 8 x 1 = 72 (72 números terminados em zero)

Atenção: aqui, o zero está na última posição.

Permutação simples e com repetição

Para o próximo caso, o número é terminado em 5: 8 8 1

também temos 1 possibilidade para o último dígito.

No primeiro dígito, não podemos colocar o número zero (porque deixaria de

TEORIA

ser 3 dígitos e passaria a ser 2) e também não podemos colocar o número 5 porque já está no ultimo dígito. No segundo dígito, não podemos ter o 5 e o número que vai no primeiro dígito.

Esse é um assunto divertido, a Permutação simples permite calcularmos os casos de anagramas, lembra o que é? Já vai relembrar!

Temos: 8x8x1 = 64

Vamos iniciar com um exemplo:

E agora? Somamos ou multiplicamos os dois valores de 72 e 64????

Lembre-se que quando se trabalha com anagramas, não se leva em conta

Lembrem que temos um número terminado em Zero OU um número terminado em 5, isso quer dizer que precisamos SOMAR os resultados: 72 + 64 = 136 b) Sempre tenha atenção para isso! Se não tivesse levado em conta o zero no

Vamos usar a palavra TEORIA. acentos, assim as letras A e Á são as mesmas. Quantas combinações posso fazer com a palavra TEORIA? Muito fácil: são 6! combinações! Isso mesmo, 6! combinações, simples assim! Vamos testar:

primeiro dígito, a resposta seria 144 alternativa c) e estaria errado!

6

5

4

3

2

1

Não perca a próxima aula! O que temos aqui? Sim, temos 6! Resposta: 720 maneiras diferentes de colocar as letras. Quantas combinações posso fazer com a palavra MOLE? Fácil, 4! Vamos checar: 44

4

3

2

1

= 4! = 4 x 3 x 2 x 1 45


Quantas combinações posso fazer com a palavra UVA? Fácil, 3!

FELICIDADE São 10 letras. Veja agora que temos letras repetidas, por exemplo a letra D

Vamos checar:

Como fazemos agora? Fácil: vamos marcar quantas letras repetidas nós temos e adicionar um termo 2! no denominador.

3

2

1

= 3! = 3x2x1 Assim:

Um exemplo sem anagramas: Temos 5 pessoas e um carro com 5 lugares. De quantas maneiras diferentes podemos colocar as pessoas?

4

3

10! 2! 2! 2!

Para cada letra repetida, colocamos mais um temo 2! no denominador. As cores são para você não se perder de qual letra gerou o 2! no denominador. Vamos agora resolver:

Considerando que todos são motoristas:

5

FELICIDADE

2

Abrindo o fatorial

1

Mas, isto não pode ser resolvido com Princípio Fundamental da Contagem?

Cortando o 2! do numerador

Sim, pode!

Cuidado para não esquecer dos outros 2! que sobraram

Agora veja: 5x4x3x2x1 = 5! = 120 fazendo a conta de 2! Vamos fazer agora um parecido: cortando o 4

Temos 5 pessoas e um carro com 5 lugares. De quantas maneiras diferentes podemos colocar as pessoas? Apenas 2 são motoristas.

fazendo a continha

2

4

3

2

1

O que mudou? Mudou que agora só posso colocar 2 pessoas para dirigir!

Atenção que nesta linha não temos o número 4 porque cortamos. Cuidado para não ir no embalo e multiplicar o 4 que não existe. E temos então a resposta que precisávamos:

Agora veja, 2x4x3x2x1 ou 2x4! = 48

453.600 combinações!

Vamos avançar na matéria. Vamos agora ver um caso em que existem letras

É muita FELICIDADE :-)

repetidas, como CASA, BABA, etc... 46

Não perca a próxima aula. 47


EXERCÍCIOS DE PERMUTAÇÃO PARTE 1

01

Vamos resolver para treinar?

(Unitau SP) O número de anagramas da palavra BIOCIÊNCIAS que terminam com as letras AS, nessa ordem é: Temos então 30.240 anagramas.

a) 9! b) 11!

Vamos ver mais uma questão:

c) 9!/(3!2!)

d) 11!/2!

e) 11!/3!

02

(CESGRANRIO) Um fiscal do Ministério do Trabalho, faz uma visita mensal a cada uma das cinco empresas de construção civil existen-

tes no município. Para evitar que os donos dessas empresas saibam quando Olha só a pegadinha, as palavras obrigatoriamente deve terminar com “AS”. O que isso quer dizer? Fácil, quer dizer que as letras “AS” são fixas e não entram nos cálculos. Ficando então: BIOCIÊNCIAS Então deixamos AS fixo. Montado a continha que aprendemos na última aula:

9!

BIOCIÊNCIAS

o fiscal as inspecionará, ele varia a ordem de suas visitas. De quantas formas diferentes esse fiscal pode organizar o calendário de visita mensal a essas empresas? a) 180 b) 120 c) 100 d) 8 e) 24

3! 2!

Temos a letra I repetindo 3x e colocamos no denominador 3! Temos a letra C repetindo 2x e colocamos no denominador 2! Vamos agora olhar nas respostas e veja que já está lá! Resposta c)

Olha que beleza, fácil e útil para o dia a dia. Vamos pegar os dados mais importantes: uma visita mensal a cada uma das cinco empresas

Agora veja a pegadinha, na resposta também temos 11! que seria resposta correta se não descartássemos o AS.

5

4

3

2

1

Veja também que várias das repostas contém o 11! para que a pessoa em dúvida, ache que 11! faz parte da reposta.

5 visitas, para 5 empresas, quantas combinações posso fazer?

Veja também que

Já sabe de cor né?

= 9!/(3!2!)

5x4x3x2x1 = 5! = 120 Resposta alternativa b)

48

49


Vamos agora pegar um diferente:

03

EXERCÍCIOS DE PERMUTAÇÃO PARTE 2

Partindo da palavra FELICIDADE, quantos anagramas consigo for Vamos ver mais algumas questões:

mar mantendo a primeira letra com F.

Como resolver?

Vamos fixar e “apagar” o F

01

(FATEC SP) Seis pessoas, entre elas. João e Pedro, vão ao cinema. Existem seis lugares vagos, alinhados e consecutivos. O número de

maneiras distintas como as seis pessoas podem sentar-se sem que Joao e

FELICIDADE

Pedro fiquem juntos é: Agora, só precisamos fazer a continha que já sabemos:

FELICIDADE

A)720

9! 2! 2! 2!

Deixamos o F de fora, as cores indicam as letras repetidas que precisamos colocar 2! no denominador.

B)600 C)480 D)240 E)120 Dados importantes:

Vamos resolver:

Seis pessoas abrimos o 9!

Seis lugares vagos Maneiras distintas Sem que João e Pedro fiquem juntos

cortamos um 2!

Para resolver, vamos fazer o inverso, ao invés de resolver todos os casos sem que João e Pedro fiquem juntos, vamos calcular o total e depois calcular os casos em que João Pedro ficam juntos e no final subtrair!

resolvemos 2!2!

cortamos o 4 e terminamos

Não perca a próxima aula! Estude bastante!

50

Caso geral: como já fizemos várias vezes, temos: 6! = 720

6

5

4

3

2

1

Agora vamos descobrir as possibilidades se João e Pedro ficam juntos:

J

P

4

3

2

1

Aqui, os quadradinhos vermelhos vamos contar como 1 pessoa.

51


5

4

3

2

Temos como se fosse 6 letras, como não temos repedido, só precisamos fazer

1

6! para contar. O que falta agora? Só falta a permutação das 3 vogais que são: 3!

Porque João e Pedro ficam juntos = 5! = 120

Assim podemos escrever: 6!3! = 720.6 = 4.320

Temos então 120 maneiras para o caso de sentar: João,Pedro, _,_,_,_ Precisamos também de Pedro, João, _,_,_,_ (que são mais 120 maneiras)

Portanto a alternativa correta é a e)

Ou seja, precisamos das duas possibilidades e somamos porque teremos

Vamos agora refazer o exercício da palavra BIOCIÊNCIAS colocando AS em

Pedro, João, …. OU João,Pedro, ….

qualquer ordem:

120+120= 240 O número de anagramas da palavra BIOCIÊNCIAS que terminam com as Agora no total serão 720 (total) – 240 = 480 maneiras de sentarem

letras AS, é:

Resposta letra c) Veja que para dificultar e tentar confundir, tem também as opções 120 e 240.

Já temos da primeira parte do exercício BIOCIÊNCIAS calculado que é

Vamos a mais uma questão:

Se tiver dúvida, volte e dê uma olhadinha.

E agora se consideramos AS em qualquer ordem:

02

(PUC-Camp) O número de anagramas da palavra EXPLODIR, nos quais as vogais aparecem juntas, é:

Teremos

a) 360 b) 720

+

Porque agora temos:

c) 1 440 d) 2 160 e) 4 320 Vamos para começar e facilitar reescrever EXPLODIR para EIOXPLDR Veja que temos o mesmo, é apenas mais um caso do anagrama.

combinações para BIOCIÊNCIAS

combinações para BIOCIÊNCISA - note o AS invertido por SA

Agora, vamos considerar as vogais juntas, como 1 caso e trabalhar com o restante: e

x

p

l

o

d

i

r

Por isso, basta somarmos as duas possibilidades de combinação.

e

i

o

x

p

l

d

r

Estudem muito, esforcem-se e voltem para a próxima aula!

e

i

o

x

p

l

d

r

l

o

d

i

r

eio 52

53


Desde que o número apareça no seu resultado, a ordem que o número foi

ue05

sorteado, não importa.

combinação

mero 50, não faz diferença alguma do que se tivesse saído em outra ordem.

Exemplo: saiu no sorteio o número 20 e depois o número 10, depois o nú-

Vamos calcular usando a fórmula:

m= 60 números

TEORIA E EXERCÍCIOS

p= tomados de 6 em 6

Olá, bem-vindo de volta! Vamos hoje falar sobre Combinação. Qual é a primeira coisa que precisamos lembrar? É que em Combinação a

abrimos 60-6

ORDEM NÃO IMPORTA, diferente que em arranjo. Por exemplo: Se temos um sorteio em que o primeiro e segundo sorteado tem exatamente o mesmo prêmio, a ordem não importa.

abrimos o 60!

Precisamos de uma fórmula:

ou

Cpm = abrimos o 60!

Veja que agora temos a mesma fórmula de arranjo mas com um elemento a mais: p! No denominador. A função do p! No denominador é de retirar do resultado das repetições.

fizemos a conta do 6! e

Como já trabalhamos até agora com uma fórmula muito parecida, você vai

terminamos a continha.

ver que não terá dificuldade alguma neste novo assunto! Vamos começar com um exemplo: Será que pode cair exercícios da MEGA-SENA? MEGA-SENA Vamos calcular a possibilidade de combinações de números para o resultado.

Difícil porque as contas são muito grandes.

São ao todo 6 números, e se já acompanhou um sorteio na TV, você já deve ter visto que não faz diferença a ordem dos números sorteados. 54

Vamos ver um exemplo mais fácil de cair: 55


01

(UNIFESP) Quatro pessoas vão participar de um torneio em que os

fizemos 4x3, cortamos 2!, calcu-

jogos são disputados entre duplas. O número de grupos com duas

lamos 2! e fizemos 12/2

duplas, que podem ser formados com essas 4 pessoas, é:

Chegamos na resposta 6 alternativa c) ? NÃOOOOOOOOO

a) 3 b) 4

Opa, o que aconteceu? Aconteceu que calculamos quantas duplas, a questão

c) 6

quer saber quantos grupos de duas duplas!

d) 8 e) 12

Cada grupo são 2 duplas, como são 6 duplas precisamos de:

Separando as informações: Quatro pessoas 3 GRUPOS

Entre duplas Número de grupos com duas duplas Estamos falando neste exercício em duplas, faz alguma diferença se temos João e Maria ou Maria e João na dupla? Não. Neste caso, temos Combinação.

Temos então a letra a) como reposta. Estude muito e venha para a próxima aula!

EXERCÍCIOS DE COMBINAÇÃO PARTE 1

01

(UECE) Assinale a alternativa na qual se encontra a quantidade de modos distintos em que podemos dividir 15 jogadores em 3 ti-

mes de basquetebol, denominados Vencedor, Vitória e Confiança, com 5 Vamos resolver:

jogadores cada. a)3 003 Calculamos 4-2

b)9 009 c)252 252 d)756 756

Aqui, abrimos 4! até 2! para poder cortar com 2!

Separando as informações importantes: 15 jogadores 3 times 5 jogadores cada

56

57


Veja que agora ficamos com uma continha fácil, muito melhor que a conta

Vamos analisar em 3 times. Lembre-se que dentro do mesmo time, não importa a ordem. Isso dentro do mesmo time! Então estamos falando de Combinação:

inicial e gastamos muito menos tempo que fazer a conta toda! Time 2:

Time1: Combinação 15 elementos tomados 5 a 5.

abrindo 15! e

Time2: Combinação 10 elementos tomados 5 a 5.

simplificando

Time3: Combinação 15 elementos tomados 5 a 5.

abrindo 5!, fazendo 5x2 denominador, cortamos 10

Time 1:

Time 2:

Time 3:

divide 8/4=2 e divide 6/3=2 (olha que conta fácil)

9.2.7.2 = 252 Vamos resolver então:

Veja que novamente ficamos com uma continha pequena para fazer, muito mais rápida e fácil que a inicial!

Time 1: abrindo 15! e simplificando

Time 3:

não esqueça que 0!=1 fazendo 5x3 no denominador

neste time temos sonete 1 opção cortando 15

dividindo 12/4=3 e dividindo14/2=7

7.13.3.11 = 3003 58

E agora, o que fazer? Temos o total de 15 pessoas que vão jogar no time 1 E no time 2 E no time 3. Entendeu? As 15 pessoas vão jogar nos 3 times! 59


Muito cuidado aqui, as 15 pessoas não vão jogar em um time OU em outro,

Vamos ver: Para goleiro, defensor e atacante temos apenas 1 e por isso não

as 15 pessoas vão jogar nos 3 times.

tem sentido falar em ordem, mas são 2 Alas. Faz diferença a ordem de chamar os alas? Faz diferença se chama primeiro um ou outro? Não! Bem, se a

Multiplicamos as 3 possibilidades e temos:

ordem não importa em todos os casos, temos então Combinação.

São 756.756 possibilidades de combinações para os 15 jogadores! E assim terminamos nesta aula, não perca a próxima!

Goleiros

Defensores

Alas

Atacantes

EXERCÍCIOS DE COMBINAÇÃO PARTE 2

01

(UFU MG) Para participar de um campeonato de Futsal, um técnico dispõe de 3 goleiros, 3 defensores, 6 alas e 4 atacantes. Sabendo-se

que sua equipe sempre jogará com 1 goleiro, 1 defensor, 2 alas e 1 atacante, quantos times diferentes o técnico poderá montar? A) 216 B) 432 C) 480 D) 540 Informações importantes:

Vamos agora resolver: Goleiros:

3 goleiros, 3 defensores, 6 alas e 4 atacantes Sempre jogará com 1 goleiro, 1 defensor, 2 alas e 1 atacante Quantos times diferentes? Veja que por causa da situação descrita, precisamos dividir o exercício em 4 partes, e depois juntar o resultado. Preste muita atenção! Partes: goleiros, defensores, alas e atacantes. Precisamos saber se a ordem importa, a ordem que se chama os jogadores importa?

60

Veja que temos apenas 3 possibilidades de combinação. Se temos 3 goleiros e uso 1, temos 3 possibilidades para escolher. Você poderia usar a lógica e diminuir o tempo de resolução do exercício. Defensores: O mesmo de goleiros. 61


Alas:

A ordem importa? Não, então estamos falando de combinação. Todos distintos

abrimos o 6! apara

Oito livros - escolher três livros

cortar com 4!

cortamos 4! e

Quatro DVD - escolher dois DVD Livros:

calculamos 2!=2

Atacantes:

DVDs:

Este não vamos resolver assim.

Vou levar para casa os livros E o DVD, portanto multiplicação:

Lembra que para os goleiros, se tenho 3 possibilidades para pegar 1 são 3

56 x 6 = 336 resposta d)

combinações? Não perca a próxima aula com mais conteúdo! Vamos fazer o mesmo aqui: Se temos 4 possibilidades para pegar 1, são 4 combinações! Não esqueça, pode te ajudar muito na hora de resolver os exercícios: Se tenho A possibilidade para escolher 1, teremos sempre A combinações.

EXERCÍCIOS DE COMBINAÇÃO PARTE 3 Vamos lá pessoal para mais um exercício!

Ficam então: 3.3.15.2 = 540

02

(UECE) Participei de um sorteio de oito livros e quatro DVD’s, todos distintos, e ganhei o direito de escolher dentre estes, três dos livros

e dois dos DVD’s. O número de maneiras distintas que eu posso fazer esta escolha é:

01

(PUC-RIO) O número total de maneiras de escolher 5 dos números 1, 2, 3, …, 52 sem repetição é: a) entre 1 e 2 milhões. b) entre 2 e 3 milhões. c) entre 3 e 4 milhões.

a) 32 b) 192 c) 242 d) 336 62

d) menos de 1 milhão. e) mais de 10 milhões. Mas neste caso, a ordem não importa, por isso vamos fazer combinação. 63


Juntando informações mais importantes:

C 52,5 =

Três números inteiros distintos de -20 a 20 Produto seja um número negativo

Vamos lá:

Como resolver? A primeira opção são 3 números negativos e teremos resultado negativo Também podemos usar dois números positivos e um negativo e teremos resultado negativo

abrimos o 5!

3 negativos: Temos de -20 a -1 de opções.

Vamos trabalhar para simplificar:

abrimos o 20! multiplicamos 5x2=10

cancelo o 17!,

e dividimos 50/10 = 5

divido 18/3 20.19.6 = 1140

dividimos 48/4 = 12 1 negativo:

= 52.17.5.49.12 = 2.598.960

Resposta b)

Aqui temos: De 20 opções, preciso escolher 2 números positivos De 20 opções, preciso escolher 1 números negativo

02

(FGV) Três números inteiros distintos de -20 a 20 foram escolhidos de forma que seu produto seja um número negativo. O número de

maneiras diferentes de se fazer essa escolha é?

C 20,2 * C 20,1 Estamos multiplicando porque temos 2 números positivos E 1 negativo

a)4.940

Já sabemos que quando tomamos de um em um, o resultado sempre será o

b)4.250

próprio número de itens, neste caso, 20. Por isso, C 20,1 = 20 mas, vamos

c)3.820

fazer mais uma vez:

d)3.280 e)3.280 64

65


Vamos lá:

Neste exercício, a ordem não importa, então esta questão é de combinação! Este é muito fácil: abrindo o 20!

abrimos o 8!, cancelamos 4! Precisamos agora multiplicar 190 x 20. Dica para fazer esta multiplicação:

dividimos 8/4=2,

Faz o 190 = 19.10

dividimos 6/3=2,

Faz o 20 = 2.10

dividimos 2/2=1

190 x 20 = 19.10 . 2. 10 = 19.2 .100 = 3800 muito mais fácil!

Temos então a reposta: 70

Para ter a resposta, precisamos agora somar as combinações: 1140 + 3800 = 4.940 combinações

(CONSULPLAN) Quantas comissões de 3 funcionários poderão ser

EXERCÍCIOS DE ANÁLISE COMBINATÓRIA PARTE 1 Olá pessoal! Hoje vamos juntar o que aprendemos, dificilmente as questões caem somente de um tipo, por exemplo só de combinação ou só de arranjo! Geralmente as questões tem tudo misturado. A parte mais difícil é justamente descobrir qual a técnica deve ser usada!

01

(IBFC) Um fazendeiro possui oito tipos de sementes para plantar,

02

formadas quando se dispõe de dez funcionários? a) 12 b) 60 c) 90 d) 120 e) cinquenta e seis

Primeira coisa: A ordem interessa? Não Se não importa, trata-se de combinação.

porém, apenas quatro podem ser plantadas ao mesmo tempo. As

Abrimos o 10!, cancela-

possibilidades que ele tem de escolher quatro tipos de sementes, sem ocorrer

mos o 7!, abrimos o 3!

repetição está descrita na alternativa: a) Cento e trinta

dividimos 9/3=3 e

b) Cento e dez

dividimos 8/2=4

c) Setenta d) Quarenta e oito e) Cinquenta e seis 66

10.3.4= 120 C 10,3 = 120 67


Mais um exercício:

03

Nesta questão, temos anagrama, no caso de anagrama a ordem importa sim

(CONED) Com as letras da palavra MATEUS, quantos anagramas se iniciando com consoante e terminando com vogal, podem ser formados?

e precisamos usar arranjo. Pessoal, estudem muito! Quanto mais estudarem, com mais facilidade vão resolver os exercícios!

a) 720

Até a próxima aula!

b) 240 c) 749 d) 216

EXERCÍCIOS DE ANÁLISE COMBINATÓRIA PARTE 2

e) 420 Se está falando de anagrama, estamos falando de permutação.

01

(INTEGRI) Dois casais foram ao cinema de Mogi Mirim, e sentaram na mesma fileira. Quantas são as maneiras que esses dois casais po-

dem sentar-se nas quatro cadeiras em fila se marido e mulher devem sentar-se em cadeiras vizinhas? MATEUS tem 3 vogais e 3 consoantes. Para iniciar com consoante e terminar com vogal temos:

a) 2 b) 4 c) 8

3

3

Agora sobraram 4 letras para utilizar ( 6 do total menos 2 que já colocamos no desenho):

d) 12 Vamos separar as informações: A ordem importa? Sim, precisamos colocar os casais em ordem. Dois casais

3

4

3

2

1

3

Quatro cadeiras Marido e mulher devem sentar-se em cadeiras vizinhas

Temos então: 3.4.3.2.1.3 Para acelerar, podemos agrupar: 3x4 3x2 1x3 Sobra: 12 . 6 . 3

Como a ordem importa, não podemos usar combinação Vamos iniciar tentando por Princípio Fundamental da Contagem:

Novamente agrupando: 12x3 Sobra: 36 x 6 = 216

4

1

Não esqueça:

68

Se a ordem não importa, você vai usar combinação. Se a ordem importa, você

O primeiro homem (H1) chega e encontra 4 cadeiras de possibilidades.

vai usar arranjo.

A mulher dele (M1) chega e só pode ter 1 possibilidade que é sentar ao seu lado. 69


Neste exercício vamos ter 3 espaços:

8

Supondo que o H1 sentou-se na posição acima, você pode achar que a M1 pode sentar-se em 2 lugares mas não pode porque se sentar ao lado esquerdo, vai separar o outro casal. O H2 entra na sala, e quantas opções têm? Duas opções e, M2? Apenas 1 opção.

4

1

2

7

6

Temos então 8.7.6 = 336 Vamos também fazer por arranjo?

1

Agora ficou fácil:

abrindo 8! e fazendo a conta

4x1x2x1 = 8 São 8 possibilidades que o homem consiga sentar ao lado se sua mulher. Vamos a mais uma questão:

02

(OSEC-SP) Uma faculdade mantém 8 cursos diferentes. No vestibu lar os candidatos podem fazer opção por 3 cursos determinando-os

por ordem de preferência. Então, o número de possível de formas de optar é? a) 6720 b) 336 c) 520 d) 120 e) 56 Vamos separando as informações: Opção por 3 cursos, por ordem

Vamos para mais uma?

03

(COMPERVE) Carlos possui os livros: Helena, O Espelho e O Alie nista, de Machado de Assis; Baudolino e Número Zero, de Umberto

Eco, e Ensaio sobre a Cegueira, de José Saramago.O número de maneiras como Carlos pode ordenar seus livros em uma estante, de forma que os livros de um mesmo autor fiquem juntos, é: a) 72 b) 36 c) 120 d) 720 Separando as informações: Livros de um mesmo autor fiquem juntos A ordem importa? Sim, precisamos colocar os livros em ordem

Já está claro que a ordem importa; se importa, não podemos usar combinação. Fique de olho quando o exercício fala de troca de lugares. Quando isso acontece, geralmente se trata de permutação. 70

de autores. Por autor: M, B, H (iniciais para facilitar) 71


M

B

H

Ao final desse processo, conclui-se que: a) há, no mínimo, três bolas pretas na urna B.

Esta é uma combinação mas, podemos ter outra: os livros devem estar em ordem de autor mas, os autores não precisam estar em ordem! Então eu posso fazer:

b) há, no máximo, três bolas brancas na urna A. c) há mais bolas pretas do que brancas na urna B. d) há mais bolas brancas do que pretas na urna A. e) o número de bolas brancas na urna A é igual ao de bolas

3

2

1

pretas na B. Olha só galera, esta é uma questão típica de interpretação. Nem fórmulas va-

Me deixa com 6 possibilidades de ordem de autor.

mos precisar.

Agora, vamos escolher um autor e ver as possibilidades de combinação. Vamos

Urna A: 4 bolas brancas

escolher primeiro Machado de Assis com 3 livros. Tenho assim:

Urna B: 4 bolas pretas Passadas 2 bolas de A para B:

3

2

1

Urna A: 2 bolas brancas Urna B: 4 bolas pretas e 2 bolas brancas

Me deixa com 6 possibilidades de ordem dos livros para este autor. Para o Humberto, tenho 2 opções com 2 livros e 1 opção para Baudolino. Agora temos 6 opções de autor E 6 opções de livros Machado E 2 opções para Humberto E 1 opção para Baudolino. Assim, como já aprendemos, fazemos 6x6x2x1= 72 – reposta a) Não perca a próxima aula!

Sorteia duas aleatoriamente e passadas para urna A Urna A: 2 bolas brancas + 2 aleatórias Urna B: 4 bolas pretas e 2 bolas brancas – 2 aleatórias Agora para resolver, vamos precisar analisar 3 situações para cada resposta: Das bolas aleatórias, as bolas abaixo foram passadas para urna A Possibilidade 1: duas brancas Possibilidade 2: duas pretas Possibilidade 3: uma branca uma preta

EXERCÍCIOS DE ANÁLISE COMBINATÓRIA PARTE 3 Olá pessoal, vamos a outra questão: 01

(FGV) Uma urna A contém quatro bolas brancas e uma urna B con

tém quatro bolas pretas. Inicialmente, duas bolas são passadas da

urna A para a urna B. A seguir, duas bolas sorteadas aleatoriamente são passadas da urna B para a urna A. 72

Vamos analisar a partir da resposta - a) há, no mínimo, três bolas pretas na urna B: Se foi sorteado duas bolas pretas, esta alternativa fica errada, porque ficariam apenas duas bolas pretas. Vamos agora na alternativa: b) há, no máximo, três bolas brancas na urna A. Se foi sorteado duas bolas brancas, esta alternativa fica errada, porque ficariam 4 bolas brancas na urna A 73


Vamos agora na alternativa: c) há mais bolas pretas do que brancas na urna B.

abrimos o 4!

Se foi sorteado duas bolas pretas para urna A, teremos duas pretas e duas brancas na urna A. Errada também. Cancelamos o 4! e Vamos agora na alternativa: d) há mais bolas brancas do que pretas na urna A.

calculamos 2!=2

O mesmo que na alternativa c) Abrimos o 3!

Vamos agora na alternativa: e) o número de bolas brancas na urna A é igual ao de bolas pretas na B. Se passamos 2 bolas pretas: OK

cortamos 2! com 2!

Se passamos 2 bolas brancas: OK Se passamos 1 bola preta e uma branca: OK Então temos a letra e) está correta. Vamos para a próxima:

02

(FUNDATEC) Em uma empresa, trabalham 6 mecânicos e 3 técni cos. Quantas comissões diferentes compostas por 4 mecânicos e 2

técnicos podem ser formadas para prestar assistência técnica a um cliente?

E a reposta? Temos 15 combinações para mecânicos E 3 combinações para Técnicos. Fazemos então 15 x 3 = 45 combinações, resposta d) Próxima questão: 03

a)30

a)12

b)36

b)24

c)40

c)60

d)45

d)80

e)48 Vamos separar as informações mais importantes: 6 mecânicos e 3 técnicos

(AOCP) Quantos anagramas da palavra JUROS começam pela letra J?

e)120 Fácil:

J

4

3

2

1

Comissões diferentes 4 mecânicos e 2 técnicos A ordem não tem importância por isso, temos dois casos de combinação para estudar. Mecânicos: C 6,4 / Técnicos: C 3,2 74

J fica fixo, fica então: 4x3x2x1 = 24 combinações. Alternativa b) Não perca a próxima aula! 75


EXERCÍCIOS DE ANÁLISE COMBINATÓRIA PARTE 4

Conseguimos sim, pense um pouco e depois continue: Então, descobriu? Claro que sim! Fácil! Podemos colocar 1 cadeira sim e duas não!

01

(FGV) Uma mesa circular tem exatamente 24 cadeiras ao seu redor. Há N pessoas sentadas nessas cadeiras, de tal modo que a próxima

Não coloquei no desenho para você poder usar sem a resposta, mas não se es-

pessoa a se sentar, obrigatoriamente sentará ao lado de alguma pessoa já

queça, uma cadeira sim e duas cadeiras não, temos o resultado de 8 cadeiras.

sentada. O menor valor possível de N é a) 12 b) 10 c) 9 d) 8 e) 6 Vamos então separas as informações relevantes:

Vamos para próxima:

02

(Quadrix) Em uma farmácia trabalham 5 homens e 6 mulheres. En- tre esses funcionários, serão criadas comissões, formadas por ho-

mens e mulheres, para a realização de melhorias. Quantas comissões podemos formar, contendo 2 homens e 3 mulheres? a) 200 b) 250

24 cadeiras

c) 320

N pessoas sentadas, o próximo obrigatoriamente sentará ao

d) 120

lado de alguma pessoa.

e) 140

Vamos desenhar:

Informações importantes: 5 homens e 6 mulheres Quantas comissões contendo 2 homens e 3 mulheres A ordem importa? Não. Questão de combinação. Vamos dividir em 2 partes, para homens e mulheres. Temos então: Homens: C 5,2 / Mulheres: C 6,3 Homens: abrindo 5!

Não vá com muita pressa. Precisamos do menor N. Se iniciarmos um sim e uma não, teremos 12 mas Será que não conseguimos menos? 76

cortando 3!, calculando 2!=2 77


Mulheres:

5

4

3

abrindo 6! Já entendi, ficou fácil: cortando 3!, resolvendo 3!=6,

5x4x3 = 60

cotando 6 Já do enunciado, marque o E para lembrar que temos homens E mulheres, por isso, temos:

Resposta alternativa: d) Não perca a próxima aula!

10 x 20 = 200 combinações. Mais uma questão:

03

(CETREDE) De quantas maneiras 5 crianças podem sentar-se em uma mesa que tem apenas 3 lugares?

EXERCÍCIOS DE ANÁLISE COMBINATÓRIA PARTE 4 Para finalizar esse assunto, vamos fazer mais alguns exercícios.

01

(IBFC) Para abrir um cofre é necessário saber uma sequência de 3

a)24

b)36

que a primeira letra da sequência é uma vogal e a terceira letra é uma con-

c)42

soante, então o total de sequências possíveis que podem ser formadas para

d)60

abrir o cofre é:

e)80 Informações importantes:

letras diferentes dentre as 10 primeiras letras do alfabeto. Sabendo

a)210 b)168 c)420

3 lugares e 5 crianças Vamos usar princípio Fundamental da Contagem:

d)324 Vamos separar as informações principais: 3 letras diferentes dentre as 10 primeiras letras do alfabeto Primeira letra é uma vogal (dentro das 10 primeiras letras) Terceira letra é consoante

Lembrou como fazemos nas questões de cadeado? Na primeira posição, temos 5 possibilidades…

78

Para não errar vamos escrever: ABCDEFGHIJ

79


Primeira letra é vogal dentre as 10 primeiras letras do alfabeto: AEI, 3 opções

Vamos agora fazer por Arranjo:

Terceira letra é consoante dentre as 10 primeiras letras do alfabeto BCDFGHJ

Arranjo de 4 elementos tomados de 2 a 2:

Como são diferentes, usei uma no início, uma no final e sobraram 8 possibilidades fizemos 4-2

3

6

7 abrimos 4! e cancelamos 2!

O que temos agora? 3X8x7 = 168 letra b) Este exercício tem uma pegadinha importante, o número de vogais. Muito cuidado não entrar no automático e colocar 5 vogais porque está acostumado

Próximo exercício:

com outros exercícios. Sempre analise com cuidado! Próxima questão:

02

03

(Quadrix) Qualquer ordenação das letras de uma palavra é denominada anagrama. Quantos anagramas têm a palavra FEBRE?

(FUNDATEC) A partir dos elementos do conjunto S={2,3,5,7},

a)80

quantos números de dois algarismos distintos podemos formar?

b)60 c)180

a)6

d)120

b)8

e)220

c)12 d)16

Questão muito fácil!

e)24 Temos 5 letras= 5!

Informação importante:

Temos repetido: E então no denominador, colocamos 2!

Algarismos distintos não tem o elemento zero (que não podemos colocar a esquerda) a ordem importa (13 é diferente de 31)

abrimos o 2! Por PFC, dos 4 elementos posso por qualquer um, no segundo campo, temos 4-1 cancelamos o 2! e termina 4 80

3

= 4x3 = 12

mos com a continha

81


Próximo exercício:

04

Vamos fazer mais um exercício de anagramas. Vamos usar um nome de uma pessoa que curto: EINSTEIN

ue06 Triângulo de Pascal

São 8 letras, então temos 8! Letras repetidas: E, I, N por isso temos três termos 2! no denominador. Temos então:

TEORIA E APLICAÇÃO PARTE 1 calculamos 2!=2 e abrimos o 8!

Curiosidade: O Triângulo de Pascal foi inventado na China em 1303, depois estudado e tra-

calculamos 2!=2 e

balhado por Blaise Pascal 500 anos depois. Vamos entender como é montado:

cortamos o 2

calculamos 2x2 e cancelamos o 4

Não perca a próxima aula!

Nas diagonais externas, temos sempre o número 1. Na terceira linha, vamos fazer a soma dos dois elementos que estão imediatamente a cima: 1 + 1 = 2 Na próxima linha: 1 + 2 = 3 Mais uma linha: 2 + 1 = 3 1+4=5 6 + 4 = 10 82

83


Tudo isso que estamos vendo, não são coincidências!

Vamos fazer as 3 últimas linhas:

Temos na diagonal em azul, na figura os números naturais 1...8

Antepenúltima linha: 1+6 = 7 6+15=21

15+20=35

20+15=35

15=6=21

6+1=7

Lembre-se que o triângulo é infinito, por isso os números naturais vão até o infinito também. Temos o taco de hokey em vermelho: Ele tem sua importância: se somamos

Penúltima linha: 1+7=8

7+21=28

21+35=56

35=21=56

21=8=28

7+1=8

3 5 + 3 5 = 7 0

Não deixe de ver a aula em vídeo! Pratique em casa para fazer rapidamente quando precisar!

1+3+6+10+15+21=56 Todas as vezes que for desenhado um taco de hokey acontecerá o mesmo. Exemplo: 1+5+15=21 Exemplo: 1+6+21=28 Temos também o padrão flor:

Vamos fazer uma análise do triângulo:

Veja os números em amarelo: 10 6 35 Veja os números em roxo: 5 20 21 2a linha: dois números repetidos juntos.

Se você multiplicar os amarelos, terá o mesmo valor que a multiplicação dos

3a linha: número 2 sozinho

roxos: 10x6x35 = 5x20x21 = 2100

4a linha: dois números 3 repetidos juntos. 5a linha: número 6 sozinho A leitura das linhas podem ser feitas da esquerda para direita ou da direita para esquerda. Última linha esquerda para direita:1-8-28-56-70-56-28-8-1 Última linha direita para esquerda:1-8-28-56-70-56-28-8-1 84

Vamos agora resolver um produto notável usando o triângulo. Primeira coisa: Vamos numeras as linhas a partir do zero, assim teremos linha 0, linha 1, linha 2… Linha 0: Linha 1: Linha 2:

85


A equação: (X+Y)2

Olha só que “mágica”!

Na equação temos elevado a 2, então vamos escolher a linha 2 com os ele-

Agora podemos até fazer o produto notável com o triângulo. Bom, mas com a

mentos: 1 - 2 - 1

equação elevada a 2 ficou fácil, mas se fosse elevado a 8? Use a linha 8 (con-

Vamos agora escrever colocando XY ao lado de cada número:

tando a partir de zero) que neste caso é a última linha de nossa figura e, agora sim teríamos uma enorme vantagem do que resolver na mão!

1XY 2XY 1XY

Os elementos dentro do triângulo viram os coeficientes na equação.

Onde tem o número 1 podemos apagar porque usaremos em multiplicação:

Vamos mais uma equação com a linha 3:

XY 2XY XY

1XY + 3XY + 3XY + 1XY

Se na equação temos o sinal de +, colocamos + e fazemos uma equação: XY + 2XY + XY

X³Y⁰ + 3X²Y¹ + 3X¹Y² + X⁰Y³ X³ + 3X²Y + 3XY² + Y³ Fantástico! Não perca a próxima aula!

Agora atenção: Acima das letras X, vamos colocar os números 2 1 0 (porque iniciamos em 2)

TEORIA E APLICAÇÃO PARTE 2

Assim: X²Y + 2X¹Y + X⁰Y Vamos fazer o mesmo com o Y, mas na ordem invertida, ou seja, da direita para a esquerda vamos colocar 2 1 0

Olá pessoal, vamos hoje trabalhar novamente com o triângulo de Pascal montado de forma diferente.

Assim: X²Y⁰ + 2X¹Y¹ + X⁰Y² Como uma equação normal, vamos simplificar: todo número elevado a zero =1 X²Y⁰ + 2X¹Y¹ + X⁰Y² X²1 + 2X¹Y¹ + 1Y²

substituímos X⁰ e Y⁰ por 1

X² + 2X¹Y¹ + Y²

retiramos os 1s

X² + 2X¹Y¹ + Y² Todo número elevado a 1 é ele mesmo: X² + 2X¹Y¹ + Y² X² + 2XY + Y² 86

87


Quantas linhas quer? 8?

Podemos fazer somando os itens anteriores:

Coloque 8 linhas iniciando por 1 na primeira coluna:

1+1=2

Na segunda linha, coloque 1.

2+1=3

3+2=5

5+3=8 ...

Na terceira linha: Some 1 + 1 = 2 e coloque o 1 no fim.

Voltando a produto notável:

Como vou saber esse último 1? Fácil, você precisa formar uma escada de 1s,

Eu acredito que a melhor aplicação do Triângulo de Pascal é a resolução de

sempre terminando na última coluna.

produto notável. Vamos fazer agora usando neste formato usando a linha 3 (iniciando de zero):

Na quarta linha:

1XY + 3XY + 3XY + 1XY

Some: 1+2=3

X³Y⁰ + 3X²Y¹ + 3X¹Y² + X⁰Y³

Some: 2+1=3

X³ + 3X²Y + 3XY² + Y³

Na última linha: 1+6=7

6+15=21

15+6=21

6+1=7

15+20=35

2 0 + 1 5 = 3 5

Vamos aproveitar e fazer uma vez na mão para que relembrem como é feito:

Inicia e termina com 1. Este formato é importante para achar a sequência de Fibonacci.

Tenho:

Siga pela linha vermelha: Em cada diagonal, você soma os números que ela cruza.

Sempre se lembre que:

Linha:

X + X = 2X

Valor:

1

1

2

1

3

2

4

3

5

5

Sequência: 1 - 1 - 2 - 3 - 5 – 8 ... Esta é a sequência de Fibonacci. É uma sequência que serve para várias apli-

X . X = X²

Vamos continuar agrupando: X²+XY+XY+Y² = X²+2XY+Y² Reescrevendo: Temos: X³ + X²Y + 2X²Y + 2XY² + XY² + Y³ Agrupando: X³ + 3X²Y + 3XY² + Y³ Como você pode ver, depois de todo esse trabalho, temos a mesma resposta

cações e pode cair de várias formas em concursos.

que tivemos usando o Triângulo de Pascal.

Como podemos fazer esta sequência sem o gráfico?

Mais uma aplicação fantástica do Triângulo de Pascal: Se precisarmos resolver: C 6,0 + C 6,1 + C 6,2 + C 6,3 + C 6,4 + C 6,5 + C 6,6

88

89


Primeiro montamos assim:

ue07 Vamos agora pegar o Triângulo de Pascal e achar a linha 6 iniciando da linha 0. Temos: 1 – 6 – 15 – 20 – 15 – 6 – 1

conjunto

Agora veja que incrível: Cada item desse tem a resposta de cada temo das combinações!

TEORIA E EXEMPLOS Olá pessoal, vamos fazer uma parada no assunto que estávamos e vamos trabalhar agora com conjuntos. Vamos fazer isso para você ficar craque em

1

6

15

20

15

6

Não perca a próxima aula!

1

conjuntos e pegar as próximas matérias com mais facilidade. CONJUNTOS: Conjunto dos números naturais: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} Este conjunto inicia em zero e vai ao infinito. Conjunto dos números não nulos: N* = {1, 2, 3, 4, 5, ...} Este conjunto é uma variação do conjunto dos números naturais, a diferença é apenas que o zero não está presente e é frequentemente usado em questões. Conjunto dos números inteiros: Z={...,−3,−2,−1,0,1,2,3,...} Números negativos e positivos. Do menos infinito ao mais infinito. Lembre-se que quanto maior o número negativo, menos valor ele tem. Exemplo: Se você está com a conta negativa em 100, você está devendo mais que se estivesse negativa em 10. Inteiros não negativos: Z+={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ,8, …} Aqui temos o conjunto de inteiros não negativos. Ele exclui os números negativos.

90

91


Inteiros não positivos:

Conjunto dos números Irracionais:

Z- = {...,−3,−2,−1, 0}

Formado pelos números decimais infinitos não periódicos.

Aqui temos o conjunto de inteiros negativos. Ele exclui os números positivos.

Para entender:

De menos infinito a zero.

3,2 este é um número decimal (não é irracional) 3,494949… este é um número decimal infinito periódico (não é irracional)

Inteiros não positivos não nulos:

7,182182182… este é um número decimal infinito periódico (não é irracional)

Z*- = {...,−3,−2,−1}

= 1,4142… este é um número decimal infinito não periódico

O mesmo do Z-, mas sem o zero.

pi = 3,141592…. este é um número decimal infinito não periódico

Conjunto dos números Racionais:

Conjunto dos números Reais?

É formado pelos números inteiros, números decimais, números fracionários

É formado pela União de todos os conjuntos anteriores.

e dízima periódica. Q={...; -3; -2,2; -1; 0; 1; 3; 4,5; 7,44; …}

Esta figura nos mostra todos os conjuntos que vimos até agora.

Veja que neste conjunto entram os números com casas decimais. Exemplo:

Cada letra representa um conjunto.

3,33333333333 Podemos representar também com fração: por exemplo 1/10. Racionais não nulos: Q* = {...; -3; -2,2; -1; 1; 3; 4,5; 7,44; …} Este é o mesmo conjunto que Q, mas sem o zero.

R Racionais não negativos:

Q

Z

n

I

Q+={ 0; 1; 3; 4,5; 7,44; …} Todos os números positivos até o infinito. Racionais não negativos não nulos: Q*+ = { 1; 3; 4,5; 7,44; …} Todos os números positivos até o infinito, mas sem o zero.

Vamos ver como entender a figura:

Racionais não positivos:

Números inteiros Z compreendem todos os números naturais N.

Q - = {...; -3; -2,2; -1; 0}

Os números Racionais Q, compreendem todos os números Naturais N e todos os números Inteiros Z.

Racionais não positivos não nulos:

Os números irracionais ficam fora no canto porque não tem nada a ver com

Q* - = {...; -3; -2,2; -1}

os outros. Os números Reais R compreendem todos os números, inclusive os irracionais.

92

93


OPERAÇÕES COM CONJUNTOS:

Quantos alunos bebem tanto o suco A quanto o B? a)40 alunos

União de Conjuntos:

b)50 alunos

É a soma dos conjuntos

c)60 alunos

A={1,2,3,4} conjunto finito | B={0,3,9,7} conjunto finito

d)65 alunos

Cada número é chamado elemento do conjunto A união é feita unindo-se os elementos dos conjuntos: = {0,1,2,3,4,7,9}

Se a questão quer saber tanto um quanto o outro, precisamos fazer a intersecção. Podemos entender assim:

Intersecção de Conjuntos:

Um conjunto de alunos que bebe o suco A

É o que tem em comum nos dois conjuntos.

Um conjunto de alunos que bebe o suco B

A={0,1,2,3} | B={2,3,4,5,6} = {2,3} Este símbolo se lê como Inter. Lendo:

= {2,3}

A inter B é igual a 2 e 3. Diferença entre Conjuntos: É a subtração dos conjuntos. A={2,3,4,5} | B={3,5,7,9}

Temos 600 alunos, 160 não bebem nenhum suco, vamos descartar e ficamos com: 440. Agora quero saber quantos bebem os dois sucos: 270 bebem suco A e 220 bebem suco B Vamos somar 270 + 220 = 490 que bebem os dois sucos.

A – B = {2,4} (Lemos A menos B)

Olha que interessante, não bate com o valor de 440 que tínhamos. Isso acon-

B – A = {7,9} (Lemos B menos A)

teceu porque 50 alunos bebem tanto um suco como outro. Vamos usar um diagrama chamado VENN:

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS - PARTE 1

01

A 220

(FAUEL) Uma pesquisa foi realizada em um colégio com 600 alu nos, sobre a preferência em relação aos sucos A e B, vendidos na

B 50 170

cantina. O resultado foi o seguinte: - 270 alunos bebem o suco A. - 220 alunos bebem o suco B. - 160 alunos não bebem suco.

Para entender: As pessoas que bebem suco A = 220+50 = 270 As pessoas que bebem suco B = 170 + 50 = 220 As pessoas que tomam os dois sucos são: 220+50+170= 440

94

95


Outra questão:

02

Vamos separar as informações importantes:

(IBFC) Dentre os moradores de certa vila de casas, sabe-se que 36

120 frequentadores

deles gostam de assistir à TV, 47 gostam de ir à academia e 23 gos-

72 praticam natação 56 praticam musculação

tam dos dois. Se 92 moradores opinaram, então o total deles que não gostam nem de TV e nem de ir à academia é: a)32 b)55

c)14

d)36

e)43

Nesta questão, precisamos descobrir os que não gostam, é o oposto da anterior. Veja, se somar 36+47+23 temos 106 que é mais do que o número de pessoas

Se somarmos 72 + 56 tenho 128, que tenho mais que o número dos frequentadores. Portanto, 108-120 =8 = número de pessoas que fazem os dois. Musculação: 56-8 = 48 que praticam apenas musculação. Academia: 72-8 = 64 que praticam somente natação.

que opinaram. Vamos fazer o diagrama colocando o meio o que é comum:

MUSC. 48

TV: 36-23= 13 | Academia: 47-23= 24

ACADEMIA 23 24

tv 13

Os que gostaram: 13+23+24 = 60 A questão quer saber de quantos NÃO gostaram: Se 92 opinaram e desses 60 gostaram, então 32 não gostaram! 92-60= 32 Fácil!

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS - PARTE 2

01

(IBFC) Numa pesquisa sobre a preferência entre dois esportes, chegou-se ao seguinte resultado: 130 (cento e trinta) gostavam de

tavam de somente um dos dois. Se todos os entrevistados escolheram pelo

natação ou musculação. Sabe-se que 72 praticam natação e 56 pra-

ticam musculação. Desse modo, o total de frequentadores que praticam somente musculação é: b)64

Não perca a próxima aula!!

vôlei, 85 (oitenta e cinco) gostavam de vôlei e basquete e 70 (setenta) gos-

(IBFC) Numa academia de ginástica, 120 frequentadores praticam

a)8

ACADEMIA 64

A questão pergunta que faz musculação, já temos a resposta que é 48.

Mais uma questão: 03

8

menos um dos esportes, então o total de pessoas que gostam somente de basquete é de: a) 35 b) 45

c)52

d)36

e)48

c) 15 d) 55 e) 25

96

97


Agora preciso calcular: D ∪ C (D união C)

Separando as informações:

D ∪ C = {3,11,12} (soma dos conjuntos sem repetir elementos)

130 gostavam de vôlei 85 gostavam de vôlei e basquete 70 gostavam de somente um dos dois Primeiro precisamos saber que gostam de vôlei:

Tenho então que (A ∩ B) U C é igual ao conjunto C. Resposta b)

03

(IDIB) Em uma sala de 50 estudantes musicais, 18 cantam, 26 to cam instrumentos e 2, tanto cantam como tocam instrumento. De

acordo com essas informações, determine quantos, desses estudantes, nem

vôlei 45

cantam e nem tocam instrumento.

85

basquete

a) 1

b) 2 c) 4 Se 130 gosta de vôlei, então 130-85 = 45 que gostam apenas de vôlei. Para sabermos agora os que gostam de basquete: Não temos no enunciado, o total de pessoas. Se 70 gostam de um dos dois, 70-45=25 que é o número de pessoas que gostam somente de basquete! Resposta e)

02

Separando informações importantes: Total 50 estudantes 18 cantam 26 tocam

Vamos a mais uma questão:

d) 8

2 tanto cantam como tocam

(IDIB) Considerando os conjuntos: A = {3,7,11}, B = {3,9,13}

cantam

e C = {3,11,12}, calcule (A ∩ B) U C.

16

tocam 2 24

a) {3} b) C c) A

d) A∩B Esta é uma questão muito fácil, mas precisamos prestar muita atenção. Primeiro fazemos dentro dos parênteses (A ∩ B) (A inter B) Vou chamar de conjunto D para facilitar. D= (A ∩ B) = {3} (A inter B=3)

Dos que cantam, 18-2 somente cantam. Dos que tocam, 26-2 somente tocam. Preciso saber os que não tocam nem cantam. Se eu somar tudo, vou saber os que cantam, tocam e fazem os dois. 16+2+24=42. Se ao todo tenho 50 estudantes, só preciso fazer 50-42 = 8 Resposta d) Não percam a próxima aula!!!

98

99


EXERCÍCIOS RESOLVIDOS - PARTE 3

02

(IBFC) Numa pesquisa sobre a preferência entre dois candidatos, 48 pessoas votariam no candidato A, 63 votariam no candidato B,

24 pessoas votariam nos dois e 30 pessoas não votariam nesses dois candida

01

(IDIB) Calcule a soma dos números pares existentes no conjunto

abaixo.

tos. Se todas as pessoas responderam uma única vez, então o total de pessoas entrevistadas foi:

A = {x ∈ Z | 1≤x<10}

a) 117 a) 6

b)87

b) 7

c) 141

c) c

d) 105

d) 10

e) 112

e) 20 Vamos separando as informações mais importantes: Vamos primeiro entender os símbolos: ∈ = pertente, quer dizer que está dentro.

48 pessoas votariam no candidato A

| = tal que, de tal forma

63 votariam no candidato B 24 pessoas votariam nos dois

1≤x<10: vamos separar: 1≤ x: Lemos que X é maior ou igual a 1.

30 pessoas não votariam nesses dois candidatos Vamos então montar usando o diagrama de VENN

Quer uma dica de como não confundir? Veja a “boca” do sinal <, onde a boca estiver aberta é maior, e o lado fechada é menor. Note também que é maior ou igual.

30

x <10: Lemos que X é menor que 10.

a 24

b 24 39

Novamente veja o lado da “boca” do sinal, está aberta para o lado do 10. Note que é menor que 10, 10 não serve. Votam no candidato A: 48 – 24 = 24 Vamos então colocar os números no conjunto:

Votam no candidato B: 63 – 24 = 39

A={1,2,3,4,5,6,7,8}

Faltam as pessoas que não votariam em ninguém = 30 Colocamos 30 no gráfico (por fora).

Estão pedindo para somar somente os números pares: 2+4+6+8 = 20 Resposta: e)

Agora fazemos: 24+24+39+30 = 117

Vamos a outra: 100

Resposta a) 101


Mais uma questão:

03

(Quadrix) Numa pesquisa, verificou-se que, das pessoas consulta das, 100 se informavam por meio do site A; 150 por meio do site B;

20 buscavam se informar por meio dos dois sites, A e B; e 110 não se informavam por nenhum desses dois sites. Desse modo, é correto afirmar que o

ue08 PROBABILIDADE

número de pessoas consultadas nessa pesquisa foi de: a) 380 b) 360

TEORIA

c) 340 d) 270

Vamos lá pessoal para o próximo assunto: Probabilidade

e)230

Vamos falar de várias coisas! Vamos começar! Precisamos aprender vários termos utilizados:

Separando informações: 100 se informavam por meio do site A

Experimentos aleatórios:

150 por meio do site B

A probabilidade é baseada em eventos aleatórios. Isso quer dizer que não

20 buscavam os dois sites

importa de onde é feito, os eventos têm que ser aleatórios! Não importa se

110 não se informavam por nenhum desses dois sites

uma experiência é feita aqui ou no Japão, se a resposta for aleatória, ela deve continuar aleatória independente do lugar.

B 30

Dado honesto:

20

A 80

Isto significa que o dado tem sempre valores aleatórios, ou seja, o dado não pode ter alterações que façam com que ele altere o valor dependendo de como for jogado.

110

Por exemplo: um dado com peso diferente em um dos lados, ou qualquer alteração que provoque alteração nos resultados que saem do dado. Outro

Vamos ver quantos são somente do site A: 100-20= 80

exemplo, é o dado que sai mais vezes um número específico que os outros,

Vamos ver quantos são somente do site B: 150-20= 130

por ter sido alterado de alguma forma.

Falta ainda somar os que não se formam por nenhum dos dois sites = 110, colocamos no gráfico para o lado de fora.

Espaço amostral:

Somando: 130+20+80+110= 340 resposta: c)

Quer dizer todos os valores possíveis. Exemplo: um dado comum, os valores de resposta podem ser de 1 a 6, nunca

Não perca a próxima aula!

pode cair 7, dizemos que o espaço amostral do dado é 6. No caso de uma moeda, o espaço amostral é de cara ou coroa.

102

103


Vamos supor que você vai fazer uma pesquisa, você não vai entrevistar todas

Exemplo:

as pessoas que existem para fazer a pesquisa, vai pesquisar em uma AMOS-

A= {1,2,3}

TRA de pessoas. Amostra é uma quantidade menor do Espaço Amostral para

B= {3,4,5}

fazer os testes.

A ∪ B ={1,2,3,4,5}

Evento:

Intersecção de eventos:

Significado chique: qualquer subconjunto do espaço amostral.

Por exemplo: queremos que um dado saia com valor ímpar e primo, se trata

Por exemplo: se eu tenho um dado comum e quero limitar as respostas em

de uma intersecção.

números pares, dizemos que o evento é sair número par.

A={1,3,5}

Se eu quero no mesmo dado que saia somente número 5, meu evento é sair

P={2,3,5}

número 5.

Quero um número que seja ímpar e primo:

No caso de um sorteio, qual é o evento? É você ter ganho o sorteio!

A ∩ P= {3,5}

Se eu jogo cara ou coroa e quero que saia cara, meu evento é sair cara. Falando em dado que saem com números pares, como represento esses

Eventos Complementares:

acontecimentos? Se são números pares, tenho 3 elementos (2,4,6):

São todos os resultados oposto ao que se espera.

m(A)=3 Lendo: número de elementos no meu evento A = 3

Por exemplo, se quero que saia número 5 em um dado comum,

m(B)=1 Lendo: número de elementos no meu evento A = 3

B={5}

Se meu evento é 5, tenho: m(B)=1 porque tenho apenas 1 elemento no meu

= {1,2,3,4,6} = eventos complementares.

evento. Muito bem pessoal, aprendam e decorem estes nomes! Evento certo:

São muito importantes daqui para frente!

Significa que o evento é certo de acontecer! Por exemplo: você pega um dado comum e faz uma aposta com seu amigo, se cair de 1 a 6 você ganha. É um evento certo porque não existe outra possibilidade a não ser as de 1 a 6. Evento impossível: É aquele evento que nunca vai ocorrer, por exemplo apostar no número 7 em um dado comum. União de eventos: Quando eventos são unidos, por exemplo quando existem dois sorteios de

CÁLCULO DE PROBABILIDADE Olá pessoal! Vamos nesta aula tratar de cálculos de probabilidade, este tema tão temido! Para calcularmos probabilidade precisamos dividir:

locais diferentes e os sorteios são colocados juntos, temos uma união de ventos. Um sorteio no mercadinho e um sorteio no posto, se os sorteios forem juntados em apenas 1 lugar, dizemos que houve uma união de eventos.

Escrito de uma maneira mais simples:

A união é feita da mesma forma que dos conjuntos que estudamos. 104

105


Número total de possibilidades= 6 Quando você utiliza as fórmulas, você tem 3 tipos de respostas:

Fração: 3 ou 1/2 6

Fração: quando você apenas monta a equação e/ou simplifica, sem fazer a conta.

Número decimal: = 0,5

Número decimal: quando você faz a conta da fração da fórmula.

Porcentagem: 0,5 x 100 = 50%

Porcentagem: quando você multiplica o decimal por 100. Qual a probabilidade de ter um filho homem: Estes 3 tipos de respostas são muito importantes porque são cobradas das 3

O total de possibilidade que existem: 2

maneiras em concursos.

Fração: 1 ou ½

Vamos então para um caso:

Número decimal: = 0,5

Qual a probabilidade de sair cara quando você joga uma moeda?

Porcentagem: 0,5 x 100 = 50%

2

Analisando: a moeda tem possibilidade de sair cara ou coroa. O número total de possibilidades é (Número de elementos do espaço amostral) = 2

Sabendo que uma caixa contém 4 bolas pretas, duas vermelhas e uma azul,

Somente 1 chance de acontecer, se sair cara. Então a quantidade que interes-

em caso de um sorteio, qual a probabilidade de sair uma bola azul?

sa (Quantidade daquilo que interessa descobrir a probabilidade) = 1

Total de possibilidades = 4+2+1 = 7 Meu interesse (evento) = 1

Fração: 1 ou 1/2 2

Fração: 1 = 1/7 7

Número decimal: 1/2 = 0,5

Número decimal: = 0,1428

Porcentagem: 0,5 x 100 = 50%

Porcentagem: 0,5 x 100 = 14,29%

Qual a probabilidade de sair o número 3 quando se joga o dado?

Em um sorteio realizado com números de 1 até 20, qual a probabilidade de

Fração: 1 ou 1/6

sair um número par?

6

Eventos pares:

Número decimal: = 0,167

P={2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}

Porcentagem: 0,5 x 100 = 16,67%

Número total de possibilidades= 20 Fração: 10 = 1 = 1/5

Muito cuidado para não pegar o valor que quer sair do dado, mas sim a quantidade de valores ou, evento.

20 2 Número decimal: = 0,5 Porcentagem: 0,5 x 100 = 50%

Qual a probabilidade de sair um número par quando se joga os dados. Conjunto par: P= {2,4,6}

106

Valeu pessoal, não perca a próxima aula!

107


P (A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

UNIÃO DE EVENTOS

Neste caso: P (I ∪ P) = P(I) + P(P) – P(I ∩ P)

Dica: “OU” P (A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) Na questão vai ter 2 acontecimentos, se você vai precisar saber a probabilidade de uma OU outra, vai precisar de união. A maior dificuldade é de saber a melhor técnica para usar. A técnica para união de eventos é a técnica do OU

Preciso calcular a probabilidade de A, a probabilidade de B e colocar na fórmula. Conjunto de números ímpares: I= {1,3,5} Conjunto de números primos: P={2,3,5} (cuidado 1 não é primo!)

Vamos falar sobre a fórmula, é muito fácil: P (A ∪ B) significa a probabilidade da união dos eventos A e B Lembra das aulas de conjunto? A ∪ B Significa: união do conjunto A e do conjunto B

Já temos quase tudo! Precisamos agora: P(I ∩ P) I ∩ P = {3,5} (estes são os eventos que podem acontecer nos dois conjuntos)

(deixe em fração porque ainda temos contas para fazer)

P(A ∩ B) significa: Probabilidade da intersecção dos eventos A e B

(deixe em fração porque ainda temos contas para fazer)

Lembra do diagrama de VENN?

(deixe em fração porque ainda temos contas para fazer)

P(A) significa: probabilidade do evento A P(B) significa: probabilidade do evento B

Vamos agora terminar a continha:

a

x

b

Temos o conjunto A (ex. pessoas que jogam vôlei), o conjunto B(ex. pessoas

(não esqueça que precisamos tirar o MMC de 2 e 3 que é 6)

que jogam basquete) e o valor de X são os elementos comuns dos dois conjuntos (ex. pessoas que jogam vôlei e basquete).

Se quiserem em porcentagem: 2/3 = 0,66666

Significa: os elementos que acontecem só em A ou só em B Vamos ver um exemplo: Qual a probabilidade de sair um número ímpar OU primo no lançamento de um dado?(veja que destaquei o OU para você) 108

0,66666 * 100 = 66,67% Mais um exercício: Qual a probabilidade de sair o número 3 OU um número ímpar no lançamento de um dado? 109


Mesmos caso do anterior:

Caso você queira decorar apenas uma das fórmulas, decore a maior e coloque

A={3}

zero no último termos se for um caso de eventos mutuamente exclusivos.

I={1,3,5} A ∩ I= {3}

Vamos ver em um exemplo: Qual é a probabilidade de sair o número 2 ou 3 no lançamento de um dado?

P (A ∪ I) = P(A) + P(I) – P(A ∩ I) Veja que não existe interferência entre um resultado e outro, nunca poderia Probabilidade de A= P(A) = 1/6

sair os dois resultados, por isso eles são mutuamente exclusivos.

Probabilidade de A= P(I) = 3/6 = 1/2

Agora ficou fácil, vamos calcular apenas a soma das probabilidades.

Probabilidade de A= P(A ∩ I) = 1/6 P (A ∪ B) = P(A) + P(B) P (A ∪ B) = P(2) + P(3)

Somando as probabilidades: 1/6 + 1/2 - 1/6 = 1/2

P(2) = 1/6

Neste caso não precisamos fazer MMC porque o 1/6 cancela.

P(3) = 1/6 Não perca a próxima aula!! Agora só preciso somar:

EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS:

P (A ∪ B) = P(2) + P(3) P (A ∪ B) = 1/6 + 1/6

Dica: “OU” Eventos mutuamente exclusivos ocorrem quando eles não podem ocorrer ao mesmo tempo. Se eu tenho um evento A que não tem ligação nenhuma com evento B eles são mutuamente exclusivos.

Veja que para esta soma, os denominadores são iguais e por isso não precisamos calcular o MMC, podemos apenas somar os numeradores. Depois precisamos simplificar, obrigatoriamente:

Também usamos o “OU” como técnica para descobrir se é um evento mutuamente exclusivos. A fórmula é muito parecida, mas não precisamos mais da parte da fórmula

Apenas dividimos numerador e denominador por 2.

de intersecção, porque se são exclusivos, não existe nada no termo da intersecção, ou seja, o termo P(A ∩ B) =0

A resposta em número decimal: 0,333333 A resposta em Porcentagem= 33,33%

P (A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) P (A ∪ B) = P(A) + P(B) 110

111


Mais uma questão:

Vamos agora somar:

Qual é a probabilidade de sair cara ou coroa no lançamento de uma moeda? Novamente, não temos nada em comum entre sair cara e sair coroa, por isso, estamos falando de um evento mutuamente exclusivo.

Novamente não precisa calcular o MMC

P (A ∪ B) = P(A) + P(B)

Em número decimal temos: 0,66666

P(cara)= 1/2

Em porcentagem= 66,67% (arredondando)

P(coroa)=1/2 Não perca a próxima aula!

Veja que interessante o resultado. Se multiplicarmos por 100, temos 100% Neste momento achamos o Evento Certo porque não existe a possibilidade de sair outro valor.

PROBABILIDADE CONDICIONAL: Probabilidade de ocorrer o evento B, dado que já ocorreu o evento A.

Mais uma questão: Qual é a probabilidade nascer um menino ou uma menina? Total de possibilidades =2

Probabilidade de sair o evento B sabendo que o evento A já ocorreu.

P(H)= 1/2 P(M)= 1/2

Como já vimos, é a probabilidade com intersecção do evento A com evento B Podemos ter também: Probabilidade de ocorrer o evento A, dado que já ocorreu o evento B.

Mais uma questão: Qual a probabilidade de sair o número 3 ou um número par no lançamento de um dado? Conjunto dos números pares: P={2,4,6} P(3) = 1/6

Em uma sala de aula, há 50 alunos. Dentre estes alunos 30 meninos, dos

P(par)= 3/6

quais 20 usam óculos. Entre as meninas, 10 usam óculos. Se for realizado

Veja que não existe coincidência de eventos entre eles, por isso, estamos fa-

ela usa óculos?

lando de evento mutuamente exclusivo. Se sair 3 em um dado, nunca vai ser par. 112

Vamos ver como funciona:

um sorteio, qual é a probabilidade de escolher uma menina sabendo que

Veja que você já sabe que ela usa óculos, o evento já ocorreu, você já sabe disso. 113


Em seguida, você pode inverter a segunda fração e trocar o sinal de divisão

Usa óculos

Não usa óculos

Meninos (30)

20

10

Atenção que só pode fazer isso entre multiplicação e divisão.

Meninas (50-30=20)

10

10

invertendo a segunda fração.

Total (50)

20+10=30

10+10=20

por multiplicação. Trocamos uma divisão de fração, por uma multiplicação de fração, apenas

Vamos montar os dados em uma tabela: É importante usar o total para ficar de olho se os valores batem, se não está

Agora podemos cancelar o 5 do denominador da primeira fração com o 5 do

fazendo algo errado.

numerador da segunda fração. Atenção, somente em multiplicação!! Nunca faça isto com somas e subtra-

Vamos chamar de:

ções porque terá o resultado errado!

Evento A: alunos que usam óculos Evento B: alunas

Temos então o resultado de 1/3 Passando para decimal temos: 0,333333 Em porcentagem temos: 33,33% = Menina e usa óculos Probabilidade de alunos com óculos: 30/50 = 3/5 Probabilidade de escolher uma aluna que usa óculos: 10/50 = 1/5

TEOREMA DA MULTIPLICAÇÃO:

(Cuidado para não pegar o total só de meninas porque precisamos saber a probabilidade sobre a classe toda). Aqui, montamos a fórmula e ficamos de uma fração sobre outra. Não se assuste, preste atenção nos simples passos para resolver: Primeiro, você pode pegar a primeira fração colocar sinal de divisão e colocar a segunda fração na frente.

Dica: Sorteio ou qualquer evento sem repetição. A probabilidade de ocorrerem dois eventos simultaneamente. Em uma caixa existem 7 brinquedos azuis, 2 amarelos e 3 vermelhos, qual é a probabilidade, em um sorteio sem reposição, sair um brinquedo azul E vermelho? Veja que temos a possibilidade de sair um brinquedo azul E um brinquedo vermelho. Total: 7 azuis 2 amarelos 3 vermelhos = 12

114

115


Entenda porque é sem repetição:

Temos que diminuir a quantidade total porque já foi sorteado um aluno antes!

Se o total de brinquedos é 12, depois do sorteio serão 11. Não temos mais a mesma quantidade quando tivermos o segundo sorteio! Vamos calcular a probabilidade do brinquedo azul: São 7 brinquedos do total de 12: A= 7/12

Vamos agora multiplicar:

Brinquedos vermelhos: São 3 brinquedos do total de 11: A=3/11 São 11 no total porque já tivemos o sorteio de 1 brinquedo! Agora vamos multiplicar:

Para reposta decimal: 0,1428 Para porcentagem: 14,28%

Foram colocados em uma caixa 4 bolas pretas, 2 vermelhas, 4 azuis, e 10 Para reposta decimal: 0,1590 Em porcentagem: 15,90%

amarelas, qual é a probabilidade de saírem bolas pretas, vermelhas e azuis em um sorteio sem repetição. Queremos bolas pretas E vermelhas E azuis.

Mais uma questão: Uma escola realizou um sorteio, para isso separou seus alunos em três gru-

Total= 4+2+4+10 = 20

pos, o grupo 1 com 4 alunos, o grupo 2 com 6 alunos e o grupo 3 com 5 alunos. Qual é a probabilidade de serem sorteados alunos do grupo dois e três? Vamos calcular a probabilidade de saírem alunos do grupo 2 e multiplicarem

Reduzimos do total 1, porque já tivemos um sorteio e a quantidade de

pela probabilidade de sairem alunos do grupo 3.

bolas diminuiu.

Dica: muito cuidado não confundir os números dos grupos com os valores. Grupo 1 : 4 alunos Grupo 2 : 6 alunos

Reduzimos do total 1, porque já tivemos um sorteio e a quantidade de

Grupo 3 : 5 alunos

bolas diminuiu.

Total de 15 alunos.

116

117


I= {1,3,5}

O que fazemos agora? Multiplicamos as probabilidades:

Em decimal: 0,0046

Para o resultado, multiplicamos: 1/2 x 1/2 = 1/4

Em porcentagem: 0,46%

Em decimal= 0,25 Em porcentagem: 25%

A probabilidade de saírem bolas pretas, vermelhas e azuis em um sorteio sem repetição é de apenas 0,46% Esta técnica é muito importante para acertar muitas questões.

Mais um: Qual é a probabilidade de sair o número 3 na primeira vez em que se jogar um dado e um número par na segunda vez?

Não perca nossa próxima aula!

P={2,4,6}

EVENTOS INDEPENDENTES: DICA “E” Um evento não interfere absolutamente em nada no outro.

Para terminar multiplicamos: 1/6 x 1/2 = 1/12

Qual é a probabilidade de sair um número par, na primeira vez em que se

Em decimal: 0,08333

jogar um dado e um número ímpar na segunda vez?

Para porcentagem: 8,33%

Um evento interfere no outro? Não! São eventos independentes. Veja o E no

Mais uma questão:

enunciado. Sempre que os eventos são independentes, vamos multiplicar as

Qual é a probabilidade de sair cara quando se jogar uma moeda e um nú-

probabilidades.

mero par quando jogar um dado?

Vamos calcular as probabilidades de sair um número par:

Um evento não interfere de forma alguma nos dois eventos.

P= {2,4,6} Total de possibilidades: 6

P={2,4,6}

118

119


Agora multiplicamos: 1/2 x 1/2 x 1/2 = 1/8

Refrigerante A:

Em decimal= 0,125

Total de refrigerantes: 3+4+5=12

Em porcentagem: 12,50%

A probabilidade de sair o primeiro refrigerante A é: 3/12

Não perca a próxima aula!

Quando retiramos o primeiro refrigerante, sobram 1 refrigerante a menos da marca A e também teremos 1 refrigerante a menos no total!

EXERCÍCIOS PARTE 1 Vamos lá pessoal!

Por isso para o segundo refrigerante, a probabilidade é 2/11 Veja também que, como vamos retirar o primeiro refrigerante E vamos retirar o segundo refrigerante, vamos multiplicar as duas probabilidades.

Nesta aula, vamos ver questões com maneiras misturadas de resolver, assim podemos treinar como descobrir que técnica usar! Vamos agora fazer um exercício muito importante, preste muita atenção. 01

(UFPA) De um refrigerador que tem em seu interior 3 refrigerantes

da marca A, 4 refrigerantes da marca B e 5 refrigerantes da marca C,

retiram-se dois refrigerantes sem observar a marca. A probabilidade de que os dois retirados sejam da mesma marca é: a) 1/6 b) 5/33 c) 19/66 d) 7/22 e) 3/11 Cuidado: se eu tiro um refrigerante da geladeira, estou mudando o número total de refrigerantes! Isto não está escrito no enunciado, mas é subentendi-

Para refrigerante B: Temos a mesma quantidade inicial, é como se estivéssemos zerando o exercício e fazendo novamente do início: Total de refrigerantes: 3+4+5=12 A probabilidade de sair o primeiro refrigerante B é: 4/12 Quando retiramos o primeiro refrigerante, sobram 1 refrigerante a menos da marca B e também teremos 1 refrigerante a menos no total! Por isso para o segundo refrigerante, a probabilidade é 3/11

do! Isso porque ninguém vai retirar e repor imediatamente os refrigerantes. Vamos precisar saber qual a probabilidade de sair: 2 refrigerantes A

Para refrigerante C:

2 refrigerantes B

Temos a mesma quantidade inicial, é como se estivéssemos zerando o exer-

2 refrigerantes C

cício e fazendo novamente do início: Total de refrigerantes: 3+4+5=12

120

121


A probabilidade de sair o primeiro refrigerante C é: 5/12 Quando retiramos o primeiro refrigerante, sobram 1 refrigerante a menos da marca C e também teremos 1 refrigerante a menos no total! Por isso para o segundo refrigerante, a probabilidade é 4/11

EXERCÍCIOS PARTE 2 Vamos continuar resolvendo exercícios para vocês ficarem craques em probabilidade!

01

(Unemat-MT) Numa agência de empregos, haviam 15 candidatos pleiteando 6 vagas de vendedor. A probabilidade de cada um conse-

guir a vaga será de: Vamos ver o enunciado novamente:

a) 20%

“A probabilidade de que os dois retirados sejam da mesma marca é...”

b) 50% c) 30%

Podemos entender que:

d) 60%

A probabilidade de que o primeiro refrigerante retirado E o segundo refrige-

e) 40%

rante retirado sejam da mesma marca é... Se temos o E, é porque precisamos, multiplicar as probabilidades para calcu-

Total de candidatos: 15

larmos as probabilidades de sair o segundo refrigerante.

Número de vagas: 6

Foi o que fizemos, mas para terminarmos multiplicamos novamente? NÃO!

Temos:

Teremos refrigerante A OU refrigerante B OU refrigerante C saindo duas vezes e é por isso que no fim do exercício, precisamos SOMAR as probabilidades!

Simplificando:

Vamos então fazer P(A) + P(B) + P(C) Como já deixamos todos os denominadores iguais, podemos somar somente o numerador e manter o denominador:

Dividimos 15/5, 100/5 e depois 6/2=2

Mais um exercício:

02

(Cescem-SP ) A probabilidade de ocorrer pelo menos duas caras num lançamento de 3 moedas é de: a) 3/8

Em decimal: 0,2878

b) 1/2

Em porcentagem: 28,78

c) 1/4 d) 1/3

Veja que neste exercício, precisamos usar tanto a multiplicação de probabili-

e) 1/6

dades como a soma das probabilidades, isso é muito comum em exercícios e obrigam que o candidato tenha muita atenção na hora de resolver.

122

Não perca a próxima aula!

Atenção na expressão “pelo menos”. Isso quer dizer que podem sair 2 caras ou 3 caras! 123


Vamos usar Princípio fundamental da Contagem:

Colocamos umas setas azuis para ajudar a lembrar de como montar a tabela.

Lançamento de 3 moedas:

Precisamos achar ao menos duas caras, vamos achar as linhas que tem ao menos duas caras e contamos no final. Em amarelo temos 3 caras. Em verde duas caras. Somando temos 4 possibilidades de ter ao menos duas caras!

Primeiro lançamento tem 2 possibilidades. Segundo lançamento tem 2 possibilidades.

Agora vamos calcular as probabilidades:

Terceiro lançamento tem 2 possibilidades.

2

2

2 Portanto a resposta é a letra b)

2X2x2 = 8 possibilidades Mais uma questão: Agora precisamos fazer a análise: Como vamos fazer para calcular a saída de 2 ou 3 caras?

Prestem muita atenção nesta forma de resolver, porque precisamos analisar to-

03

das as 8 possibilidades. Precisamos escrever todas as probabilidades possíveis.

serem do mesmo sexo, dado que o primeiro filho é homem, vale: a)1/3 b)1/2

Moeda 1: Cara/Coroa

c)1/ 5

Moeda 2: Cara/Coroa

d)1/4

Moeda 3: Cara/Coroa

e)1/6

Vamos fazer uma tabela!

124

(OSEC-SP) Se um casal tem 3 filhos, então a probabilidade dos três

Se o primeiro filho é homem, não conta na probabilidade porque já foi escolhido!

cara

cara

cara

cara

cara

coroa

cara

coroa

cara

cara

coroa

coroa

coroa

cara

cara

coroa

cara

coroa

coroa

coroa

cara

coroa

coroa

coroa

O segundo e o terceiro filho têm as seguintes probabilidades: P(1) = 1 e

Então queremos que o Segundo Filho E o Terceiro Filho seja homem: Resposta d) Não perca a próxima aula! 125


No total, tenho: 20

EXERCÍCIOS PARTE 3

Interessam-me : 8

Olá pessoal, vamos resolver mais exercícios e ficar bem preparados!

01

(Cesgranrio-RJ) Um prédio de 3 andares, com dois apartamentos por andar, tem apenas três apartamentos ocupados. A probabilidade

de que cada um dos três andares tenha exatamente um apartamento ocupado é:

Chegamos então no resultado letra b) Vamos a outra questão:

a) 1/2

02

(Unemat-MT) No almoxarifado de uma oficina de conserto de ele trodomésticos, existe um estoque de 50 peças novas e 10 usadas.

Uma peça é retirada ao acaso e, em seguida, sem a reposição da primeira,

b) 2/5

a outra é retirada. A probabilidade das duas peças serem usadas nas duas

c) 4/5

retiradas é:

d) 1/5 e)3/5

a) 1/ 60

Vamos iniciar calculando a possibilidade de todos os apartamentos ocupados usando combinação porque a ordem não importa. São seis apartamentos tomados 3 a 3.

b) 3/118 c) 9/60 d) 6/68 e) n.d.a Vamos já notar que não tem reposição. Isso quer dizer que vamos multiplicar. Total do número de peças: 50 + 10 = 60

Abrimos o 6! e cancelamos o 3! Calculamos 3!=6 e cortamos o 6

Vamos simplificar:

Temos 3 andares, 2 apartamentos por andar.

Dividimos 10/60=1/6

Então agora temos a possibilidade de dois apartamentos por andar:

e multiplicamos

2

2

2

dividimos por 3 numerador e denominador.

Tenho estão 2x2x2 = 8 maneiras diferentes de ocupar o prédio. 126

127


Mais um exercício:

03

(PUC – MG) Numa disputa de robótica, estão participando os qua tro estados da Região Sudeste, cada um deles representado por uma

única equipe. No final, serão premiadas apenas as equipes classificadas em primeiro ou em segundo lugar. Supondo-se que as equipes estejam, igual-

Alternativa b) Não perca a próxima aula!

mente preparadas, a probabilidade de Minas Gerais ser premiada é: a) 0,3

EXERCÍCIOS PARTE 4

b) 0,5 c) 0,6 d) 0,8

Vamos lá pessoal, última parte destes exercícios de probabilidade!

Vamos calcular as possibilidades:

Dois lugares para premiação:

01

(COPEVE-UFAL) Sandra e Laís, gêmeas idênticas, foram lotadas na mesma seção da instituição para a qual se submeteram a um con-

curso público. No dia em que assumiram suas funções, foram informadas de que no sábado seguinte (aniversário das gêmeas, com comemoração há

4

3

muito tempo definida) haveria um plantão de atendimento ao público, do qual participariam quatro funcionárias escolhidas através de sorteio. Se com a chegada das irmãs o setor passou a contar com dez funcionárias, qual a

Ao todo temos 4x3=12 possibilidades

probabilidade de que Sandra e Laís não sejam escaladas para o plantão e possam, tranquilamente, comemorar seus natalícios?

Qual a probabilidade de Minas ser premiada: a) 1/2 Para Minas ser premiada, tem que estar em primeiro ou se-

b) 1/3

gundo lugar:

c) 1/5

Se Minas ficou em primeiro lugar, qualquer uma das 3 equipes

d) 2/15

pode ficar em segundo.

e) 8/15

Se Minas ficou em segundo, qualquer uma das 3 equipes pode ficar em primeiro.

Informação inútil: que são gêmeas. Informação mais inútil ainda, que são gêmeas idênticas. Não faz diferença.

Temos então 3 possibilidades de que ela fique em primeiro OU temos 3 possibilidades dela ficar em segundo.

Precisamos tomar cuidado porque é um exercício sem repetição. Veja que não tem reposição, depois que sorteio uma pessoa. No segundo sorteio, te-

Temos então 3+3 =6 possibilidades de resultados para Minas ser premiada.

mos uma pessoa a menos para ser sorteada porque não entra uma pessoa nova quando um deles é sorteado.

128

129


Vamos então resolver:

riamente. Sendo assim, o que podemos, com certeza, afirmar sobre as blusas

Não queremos que Sandra e Laís trabalhem.

que foram estendidas?

Se eu quero saber a probabilidade das gêmeas serem escaladas, para isso fazemos todas as possibilidades de que elas NÃO sejam escaladas: No primeiro sorteio, teremos total de 10 funcionários e 8 possibilidades porque não queremos que as gêmeas trabalhem. No segundo sorteio, teremos total de 9 funcionários e 7 possibilidades. No terceiro sorteio, teremos total de 8 funcionários e 6 possibilidades. No quarto sorteio, teremos total de 7 funcionários e 5 possibilidades.

a) Pelo menos uma das blusas era vermelha. b) Exatamente 2 blusas eram vermelhas e 2 amarelas. c)Pelo menos uma era a blusa azul. d)Exatamente uma blusa era vermelha, 2 eram amarelas e 1 era azul. e) Três blusas eram vermelhas e uma era azul. Primeira coisa que precisamos notar é a expressão: “com certeza” Esta ficou muito fácil. Temos as informações: 3 blusas vermelhas

Vamos agora simplificar esta conta que parece péssima, mas é muito fácil: Cortamos 8 com 8 e 7 com 7.

2 blusas amarelas 1 blusa azul Total de 6 blusas. Vamos analisar cada alterativa iniciando por:

Vamos agora dividir por 10 e por 3:

“Pelo menos uma das blusas era vermelha” Vamos então tentar fazer o inverso do que pede, ou seja, vamos tentar tirar 4 blusas que não sejam vermelhas: Tiramos 1 azul, 1 amarela e 1 amarela (tiramos 3) e olha o que acontece

Então temos 33,33% de não serem sorteadas, resposta b) Note que elas têm 66% de chance de serem escolhidas, é muito alta essa possibilidade!

quando vamos tirar a blusa número 4: não tem mais blusas que não sejam vermelhas! Isso mesmo, obrigatoriamente para tirar 4 blusas, tenho que tirar uma vermelha! Então esta alternativa está correta!

Vamos para a próxima questão:

02

(AOCP) Daniele colocou para lavar na máquina 3 blusas vermelhas, 2 blusas amarelas e 1 blusa azul. Como estava com pressa para sair,

estendeu no varal apenas as quatro primeiras que pegou da máquina aleato130

Sobre alternativas b) c) d) e): Não temos como saber qual foi tirada, por isso, todas elas são falsas. Por exemplo: na alterativa c) “Pelo menos uma era a blusa azul.” Poderíamos tirar 4 vermelhas, então esta não é uma certeza! 131


Mais uma questão:

03

(AOCP) Um empresário, para evitar ser roubado, escondia seu di- nheiro no interior de um dos 4 pneus de um carro velho fora de uso,

que mantinha no fundo de sua casa. Certo dia, o empresário se gabava de sua inteligência ao contar o fato para um de seus amigos, enquanto um ladrão que passava pelo local ouvia tudo. O ladrão tinha tempo suficiente para esco-

ue09 Progressão aritmética - pa

lher aleatoriamente apenas um dos pneus, retirar do veículo e levar consigo. Qual é a probabilidade de ele ter roubado o pneu certo?

TEORIA

a)0,2 b)0,23

Olá pessoa! Vamos hoje falar de Progressão Aritmética!

c)0,25 d) 0,27

e)0,30 Puxa, essa é muito fácil! Temos o total de 4 pneus. Temos a possibilidade de pegar apenas 1.

São aquelas questões que pedem para calcular valores de itens, por exemplo do centésimo dando os primeiros. São questões que caem com frequência. Temos um apelido para Progressão Aritmética que é PA. Isso porque o nome é muito grande e é muito ruim ficar escrevendo tudo isso. A PA sempre tem uma lógica, muitas vezes é simples e fácil, outras vezes, não. Exemplo: 0,2,4,6,8,10,12… Temos neste caso, simples números pares.

Resposta c) Não perca a próxima aula!

Como saber se é uma PA? Fácil, se subtraímos dois itens, o valor deve ser sempre igual para qualquer item. No caso dos números pares: 8-6=2

10-8=2

4-2=2 e assim por diante.

A razão de sempre dar 2, é chamado de Razão que neste caso é 2. Dizemos então que a Razão desta PA é 2. No caso da PA, sempre a “distância” entre itens vai ser igual. Vamos supor que em uma sequência esteja faltando um item e você precisa descobrir qual é, tem várias maneiras diferentes e vamos já ver uma: 132

133


a100= 0 + (100-1)2

Na sequência: 0,2,4,6,8,10,12

Fazendo a conta temos:

Podemos fazer : 0+12=12, 2+10=12, 4+8=12 6+6=12

a100= 0+ 99.2

Este padrão também sempre existe.

a100= 0+ 198

Veja agora, parece mágica:

a100= 198

0,2,4,6,8,10 Podemos fazer: 0+10=10, 2+8=10 4+6=10

Se não temos o primeiro termo:

Apenas tiramos o 12 e a conta mudou para 10

an= am + (n-m)r an= nome do termo que eu quero.

Vamos ver um problema:

Am= termo m que quero usar

Dado uma PA, qual é o valor faltando?

m= posição do termo que escolhi

4,__,8

n= termo que quero achar

Vamos resolver?

r= razão

Fazemos (8+4)/2 = 6 e temos o resultado! No mesmo exemplo, usando o segundo termo temos: Mais um:

a100= 2 + (100-2).2

Dado uma PA, qual é o valor faltando?

a100= 2 + 98.2

0,2,4,6,8,__,12

a100= 2 + 196 = 198

Como fazemos?

Chegamos no primeiro resultado.

Fazemos (8+12)/2 = 10 e temos o resultado! E se quisermos saber a soma dos 100 primeiros termos da PA? Qual o centésimo termo de uma PA?

0,2,4,6,8,10,…

0,2,4,6,8,10,… Primeiro vamos saber o nome que damos aos termos: 0,

2,

4,

6,

8,

10,…

a1,

a2,

a3,

a4,

a5,

a6

Fácil: 0+2+4+6+8+10….. Fácil falar mas não de fazer! Vamos a um truque então:

a1=0 a2=2 a3=4 a4=6 a5=8 Para achar o centésimo termo, não precisamos fazer um a um:

an= a1 + (n-1)r

Então temos:

an= nome do termo que eu quero. A1= primeiro termo n= termo que quero achar r= razão 134

Não perca a próxima aula! 135


EXERCÍCIOS PARTE 1 Nesta aula, vamos treinar e entender o que mais precisamos saber:

01

(CS- UFG) Uma pessoa utiliza o seguinte procedimento para fazer a leitura de um livro de 1024 páginas: no primeiro dia, lê uma pá-

O problema é que não temos todas as informações na fórmula. Acabamos com duas variáveis (incógnitas) na equação. Vamos isolar o que temos: Passando o 2 para o lado direito e multiplicando por 1024:

gina, no segundo dia, três páginas, de modo que o número de páginas lidas em cada dia coincida com o termo da progressão aritmética com primeiro termo igual a 1 e razão igual a 2. Nestas condições, esse livro será lido em quantos dias?

Distribuindo:

a) 32 b) 64 c) 128 d) 512 Informações importantes: Livro de 1024 páginas Primeiro termo igual a 1 Razão igual a 2 Vamos então montar o início da PA: 1,3,5,7,9,11... Primeiro, vamos começar co a fórmula de soma da PA.

Vamos ver agora a segunda equação que precisamos para resolver a equação anterior. Vamos ver a fórmula para encontrar an: an= a1 + (n-1)r an = 1 + (n-1)2 Vamos agora distribuir: an= 1+2n -1 an = 2n -1 Agora com as duas equações, conseguiremos resolver tudo: (A) n + an . n = 2048 (B) an = 2n -1 Vamos agora fazer por substituição: Vamos substituir an da fórmula (A) na fórmula (B).

n + (an) . n = 2048 an= quantidade de páginas que leu no último dia n= dia que acabou de ler o livro. a1= número de páginas no primeiro dia. 136

Substituindo:

n + (2n - 1) . n = 2048 137


Distribuindo:

EXERCÍCIOS PARTE 2 n + 2n2 - 1n = 2048

Simplificando n-n=0:

Olá pessoal, vamos continuar com os exercícios!

2n2 = 2048 Isolando:

01

(IBFC) Numa P.A. (progressão aritmética) o segundo termo é igual a 15 e a razão é igual a (-2). Nessas condições, a soma dos sete pri-

meiros termos dessa P.A. é: a) 77

n2 = 2048/2

Passando 2 que estava multiplicando para dividindo. n2 = 1024

Dividindo por 2.

b) 63 c) 80 d) 64 A primeira coisa que vamos fazer é montar os campos e colocar as informações que temos: ___ 15 ___ ___ ___ ___ ___

n = √1024 = 32

Se temos a razão, podemos facilmente calcular os termos: Primeiro termo depois do 15: 15 +(-2) = 15 -2 = 13

Para fazer esta raiz, você pode multiplicar alguns números de cabeça até chegar no valor, lembrando que a raiz quadrada de um número é o valor que multiplicado por ele mesmo dá o valor dentro da raiz, ou seja, 32x32=1024

Próximo: 13+(-2) = 11

Achamos então o número de dias que precisou para ler o livro.

Depois fazemos o anterior: 15 -(-2) = 15 +2= 17

Estude bastante e na próxima aula vamos continuar com os exercícios.

17 15 13 11 9 5 5

Assim por diante: ___ 15 13 11 9 5 5

Completando:

Agora vamos fazer a soma dos sete primeiros termos:

Não perca a próxima aula!

138

139


Vamos simplificar:

Fazendo: 3-4=-1 73 = 4n -1 4n = 73+1

Resposta a)

4n=80 n= 80/4 n=20

Vamos para a próxima: Temos agora o n para substituir na fórmula anterior:

(IBFC) A soma de todos os números da sequência: 3, 7,11, 15, ..., 79

é igual a: a) 820

b) 792

c) 828

d) 832

dividimos 20/10, s omamos 79+3

Vamos direto para a fórmula da soma: a1= primeiro termo = 3 an = último termo = 79 n= não tenho, vamos descobrir. Resultado= 820 = alternativa a) Vamos usar a fórmula do termo geral:

an= am + (n-m)r

02

(AMEOSC) A seguinte sequência é uma progressão aritmética de ra- zão 3. Quantos termos têm essa P.A.? (9, ..., 81).

Substituindo: an = 79

a) 3

a1= 3

b) 9

n=?

c) 18

r= 7-3=4

d) 25

Então fica:

Fácil, vamos fazer o seguinte:

79= 3 + (n-1)4

an= a1 + (n-1)r

Distribuindo: (n-1)4

an=81, a1=9, r=3, n= quero descobrir.

79= 3 + 4n - 4 140

141


81= 9 + (n-1)3

Passamos o X para esquerda

81=9+3n-3 81 = 6+3n 81-6=3n

Passamos números para a direita

3n=75 n=73/3

4X-12X=-8X

n= 25

Trocamos os sinais dos dois lados

Vamos fazer mais uma, este envolve um conceito de PA que já falamos:

03

(OBJETIVA) Determinar o valor de x, de modo que os números (x + 2),

Finalizamos

(6x - 5),(3x - 4) estejam, nessa ordem, em progressão aritmética: a) 0

Como exercício, você pode substituir o X no enunciado e ver quais são

b) 1

os valores.

c) 2 d) 3

Resposta b)

Como fazemos então? Vamos somar dois termos e dividir por 2 e simplificar muitas vezes, assim, achamos o valor do termo do meio:

Não perca a próxima aula!

EXERCÍCIOS PARTE 3 Vamos para os exercícios! Abrimos os parênteses

Juntamos alguns itens

01

(FGV) Considere a sequência de números naturais que começa com 3, termina com 699 e a diferença entre cada termo, a partir

do segundo e o anterior, é 6. O número de termos dessa sequência é: a) 115

Passamos o 2 para a direita

b) 116 c) 117

Distribuímos 142

d) 118 e) 119 143


Podemos agora somar manualmente os termos. Quando no enunciado fala: “diferença entre cada termo, a partir do se-

Para fazer usando fórmula, teríamos que fazer:

gundo e o anterior, é 6” quer dizer que a razão é 6. an=a1+(n-1)r 699=3+(n-1)6 Vamos agora distribuir e organizar: 699 = 3+6n-6 699= 6n -3

Mas, não tenho a1 porque não vamos somar a partir do primeiro, mas podemos fazer de conta que inicia no sexto termo! Assim:

6n -3 = 699 6n= 699+3 6n= 702 n= 702/6 = 117 Alternativa c)

a1= 38 (sexto termo) an= 68 (último) n=7 (do sexto termo ao décimo segundo )

Próximo exercício:

02

(IOBV) O oitavo termo de uma progressão aritmética com razão igual a 5, é 48. A alternativa que corresponde a soma do sexto termo

ao décimo segundo termo desta progressão aritmética, é:

Resposta alternativa a)

a) 371 b) 404 c) 477 d) 505

03

(FUMARC) A produção mensal de uma indústria cresceu em Pro- gressão Aritmética no primeiro semestre do ano 2013 sendo que, em

janeiro, foram produzidas 1.500 unidades. Se no mês de fevereiro a produção Vamos montar:

registrou o dobro da produção de janeiro, então é CORRETO afirmar que a

__ __ __ __ __ __ __ 48

quantidade de unidades produzidas relativa ao mês de junho desse ano e nessa indústria é igual a:

Temos que a razão =5, podemos achar os anteriores fazendo -5. __ __ __ __ __ 38 43 48

a) 7.500 b) 9.000

144

Vamos continuar na mão porque são poucos:

c) 12.500

__ __ __ __ __ 38 43 48 53 58 63 68

d) 18.000 145


Vamos ver os dados: Preste atenção na sequência dos meses para não calcular o mês errado! Janeiro: 1.500 Fevereiro: 3.000 Junho: A razão já pode ser calculada:

EXERCÍCIOS PARTE 4 Vamos para os exercícios!

01

mam uma progressão aritmética, então o valor de x é:

r= 3000 – 1500 = 1500

a) 37 b) 49

Vamos completar:

c) 57 d) 61

Janeiro: 1.500 Fevereiro: 3.000 Março: 4500 Abril 6000 Maio: 7500 Junho: 9000

(IDECAN) Considere a equação a seguir: 4 + 7 + 10 + ... + x = 424 Sabendo-se que os termos do primeiro membro dessa equação for-

Veja que nem sempre vamos ter números, muitas vezes, vamos ter variáveis. Sobre o texto: “que os termos do primeiro membro dessa equação formam uma progressão aritmética”, significa que o lado esquerdo da equação, a que está antes do sinal de = forma uma PA.

Veja que facilmente fizemos na mão sem fórmula. Para fazer com a fórmula: an=a1+(n-1)r a1=1500 r=1500 n=7

a1= 4 Soma = 424 n= quantidade de termos an= X

Resolvendo chegaria nos mesmos: 9000 Substituindo na fórmula.

Não perca a próxima aula!

Passamos o 2 para o outro lado.

848= 4n+Xn 146

Distribuímos o “n” 147


No momento temos 2 variáveis, não temos como resolver agora. Precisamos achar a segunda equação:

an =a1 + (n-1)r

Resolvemos os sinais.

Sendo que: an =X a1=4

Fizemos a multiplicação.

n= quantidade de termos r=? Vamos descobrir: 7-4 =3 r=3 X= 4 + (n-1).3 X= 4+ 3n -3 X= 3n +1 Temos agora 2 equações e 2 variáveis: (A) 848= 4n+Xn (B) X= 3n +1

n1=-17,66 n2=16

Vamos substituir o X da segunda equação na primeira: 848= 4n+(3n+1).n

Achamos assim a posição desse termo, agora precisamos saber o valor:

Fazendo a distributiva:

an =a1 + (n-1)r

848= 4n+3n² +n

an=4

848= 5n +3n²

n=16

3n² + 5n=848

r=3

Para terminar, vamos resolver:

an =4 + (16-1).3

3n² + 5n - 848 =0

an =4 + (15).3 an =4 + (45) an= 49

a= 3

Resposta: b)

b=5 c=-848 148

Não percam a próxima aula! 149


Vamos ver as fórmulas:

ue010

Para descobrir um termo qualquer:

Progressão geométrica - PG

Para somar os primeiros termos:

TEORIA Olá pessoal, vamos estudar um assunto parecido, com o último. Acompanhem comigo: Progressão Geométrica:

As duas fórmulas resolvem no mesmo resultado:

Característica:

Use a primeira se: Você sabe o primeiro termo

1,2,4,8,16,32

Use a segunda se: Você também sabe o segundo termo

É uma sequência que você vai multiplicando! Lembre-se que na PA, você soma os termos.

Ainda temos mais uma fórmula:

Cálculo da razão:

Soma dos termos da Progressão Geométrica infinita.

q= 8 / 4 Vamos entender o que é Progressão Geométrica infinita: Lembra quando na PA se somasse os extremos dava o mesmo resultado? Na

4,2,1,1/2,1/4

PG é parecido, pegamos os extremos e multiplicamos:

q= 1/2

1,2,4,8,16,32

Se fizermos 1 dividido por 2 teremos 1/2

32x1=32

16x2=32

Se fizermos 2 dividido por 4 teremos 1/2

1,2,4,8,16

Temos uma fração como resultado, e não tem número exato.

16x1=16 8x2=16

4x4=16

Podemos também (para achar o termo do meio):

A fórmula:

1,2,4,8,16,32

150

8x2=16

√16=4

Achamos o termo do meio.

16x4=64

√64=8

Achamos o termo do meio.

Veja que agora temos S, e não mais Sn como antes. 151


Nesta fórmula, não interessa a quantidade de termos, estamos sim, fazendo a soma de infinitos termos de uma Progressão Geométrica que vai ter como razão: uma fração.

EXERCÍCIOS PARTE 1 Vamos hoje fazer uma questão bem completa e complexa!

Vamos calcular o exemplo anterior:

01

(FUVEST) Numa progressão geométrica de quatro termos positivos, a soma dos dois primeiros vale 1 e a soma dos dois últimos vale 9.

Calcule a razão da progressão. a) 3

No denominador, fizemos o MMC e a soma da fração:

b) 5 c) 7 d) 9 e) 11

Vamos continuar:

__ __ __ __ a1 a2 a3 a4 Mudamos o formato para ficar mais fácil de trabalhar.

a1+a2=1 a3+a4=9

Mudamos de divisão para

Para achar a razão, fazemos:

multiplicação. (A) a2=a1.q (B) a3=a2.q Finalmente, multiplicamos

Então S=8 e não importa a quantidade de termos! Quanto mais termos somamos, mais perto de 8 vamos chegar! Se somássemos infinitos termos, chegaríamos a 8. Experimente: 4+2+1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 ... Na próxima aula, vamos aplicar estes conhecimentos em exercícios! Não perca a próxima aula! 152

(C) a4=a3.q Substituindo (A) em (B): a3=(a1.q).q (D) a3=a1.q² Substituindo (D) em (C): a4=(a1.q²).q (E)a4= a1.q³

153


Vamos agora substituir com as informações dadas no enunciado:

Reescrevendo o sistema, o que achamos até agora (F) (I):

a1+a2=1

a1(1+q)=1

a1+(a1.q)=1

Usando (A)

a1.q²(1+q)=9

(F)a1+a1.q=1 Vamos agora fazer por substituição: a3+a4=9 (a1.q²)+a4=9 Usando (D) (a1.q²)+(a1.q³)=9 Usando (E) (G)a1.q²+a1.q³=9 Temos (F) e (G):

Isolando a1 em (F) (J) Agora vamos aplicar (J) em (I) a1.q²(1+q)=9

a1+a1.q =1 a1.q²+a1.q³=9 Vamos fazer fatoração (colocar em evidência). a1+a1.q=1

Veja que por ser uma multiplicação, podemos cortar os dois termos:(1+q) q² = 9

q= -3 ou q=3

(H)a1(1+q)=1 Como fazemos isso? Este é o processo inverso da distributiva, que já fizemos várias vezes. Se fizer a distributiva vai ver que chega na mesma equação anterior. Nós dividimos os dois lados por a1 e colocamos na frente para multiplicar: a1( + )=1 a1(1+q)=1 Vamos fazer fatoração (colocar em evidência) a equação (G) .

No enunciado nós temos: “quatro termos positivos” Para que seja positivo, só podemos usar q=3, caso contrário, teríamos termos negativos ou na primeira posição ou na segunda. Resposta: a) Não perca a próxima aula!

a1.q²+a1.q³=9 O que eu tenho igual? A1 e q a1.q² ( + ) =9 (I) a1.q² ( 1 + q ) =9 Como fizemos:

EXERCÍCIOS PARTE 2 01

(UCS) O valor de x para que a sequência (x+1), x, (x+2) seja uma PG é: a) 1/2 b) 2/3 c) - 2/3 d) -1/2 e) 3

154

155


Lembre-se que, se eu multiplicar os valores das pontas (primeiro e último

Então, (a+c) é igual a:

termos) e tirar a raiz quadrada, acho o termo do meio. a) 21 b) 49

Então:

c) 53 d) 63 e) 70 Fazendo a2=X Esta é uma PG de 3 termos. Veja que o enunciado nos informa que a.c=441 Também posso escrever: (elevando os dois lados da equação ao quadrado)

Isso quer dizer que podemos usar:

Substituindo:

b= 21

X²= (x+1) . (x+2) Distribuindo (x+1) . (x+2): X² = X² +2X +X +2 X² = X² + 3X +2 X² - X² = 3X+2 0= 3X+3 3X+2=0

Usando a primeira equação: a+b+c=91 a+21+c=91 a+c=91-21 a+c= 70

3X= -2 X= -2/3

Veja agora que o pedido é o valor de a+c e acabamos de achar!

Resposta c) Vamos fazer mais uma questão: 02

Como todos os termos são positivos, não precisamos da raiz negativa.

(UFPA) Na PG de termos positivos (a,b,c), temos:

Resposta e) Mais um exercício:

03

(MACK) O sexto termo de uma PG, na qual dois meios geométricos estão inseridos entre 3 e -24, tomados nessa ordem, é: a) -48 b) -96 c) 48 d) 96 e) 192

156

157


Dois meios geométricos significam que têm dois termos no meio:

3 . -2 = -6

__ __ __ __

-6 . -2 = 12

Temos: 3 __ __ -24

3 -6 12 -24

Não temos soma no exercício.

Continuamos para achar o sexto termo:

Vamos usar a fórmula geral:

-24 . -2= 48 48. -2= -96 Resposta b)

Sendo que: a1=3 an=-24

EXERCÍCIOS PARTE 3

q= preciso achar. n= 4 (quarto termo) -24= 3.q4-1

Vamos direto para o exercício: ou

01

(FIA) Numa progressão geométrica, tem-se a3 = 40 e a6 = -320. A soma dos oito primeiros termos é: a) -1700 b) -850 c) 850

Para fazer essa raiz:

d) 1700

Vamos fazer por tentativa e erro:

e) 750

Vamos checar se

é = -2

2.2.2=8 O valor está correto, mas o sinal não.

Vamos para a fórmula, mas qual? Vamos para a fórmula, que não pede o último termo:

Vamos tentar -2: -2.-2.-2 = +4. -2 = -8 Temos então a razão q= -2

Vamos descobrir a1:

Voltando nos termos: 3 __ __ -24 158

159


Precisamos de mais equações:

Agora temos 2 equações com 2 incógnitas:

Agora vamos usar a fórmula de soma:

Vamos fazer a1 em evidência:

Vamos fazer Se o expoente é par, o sinal sempre vai ser positivo na resposta. Vamos substituir a1 aqui:

2.2.2.2.2.2.2.2=256

S8= - 850

q³= -8 q= -2 Resposta: b) Vamos achar a1: Não perca a próxima aula! 160

161


EXERCÍCIOS PARTE 4

Vamos a mais um:

Vamos para os exercícios!

01

02

b) 128

estão em progressão geométrica de razão 2. Um desses ângulos mede:

c) 92 d) 144

a) 28° c) 36°

Temos a razão:

d) 48°

8/4=2

e) 50°

32 / 16 = 2 q=2

Um quadrilátero é uma figura de 4 lados e 4 ângulos. Sempre a soma dos 4 ângulos são 360 graus Se a razão é 2, cada ângulo é o dobro do outro:

32; 64;… } o próximo valor da sequência seria: a) 96

(UEFS) Os números que expressam os ângulos de um quadrilátero,

b) 32°

(PM SC) Com base na seguinte progressão geométrica: {2; 4; 8; 16;

Se q=2, o próximo termos depois de 64 é 64x2=128

X+2X+4X+8X=360

Vamos juntar os termos iguais, se X é a coxinha da lanchonete, eu posso somar todos os X sem problemas, mas não posso somar com 360 porque não é coxinha :-) 15X=360

Mais um exercício:

03

(Cespe) Julgue a afirmação abaixo, relativos a sistemas numéricos e sistema legal de medidas.

“A soma 1+ 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 é inferior a 2” a)Certo b)Errado

Achamos UM ângulo, mas o enunciado diz: “Um desses ângulos mede:” por isso, temos que calcular outro: Se X=24, o segundo ângulo é 2X = 48 Opa, temos esse! Alternativa d) 162

Posso fazer: 1+ 0,5 + 0,25 + 0,125 + 0,0625 + 0,03125 Mas, este exercício é uma PG! A razão = 1/2 a1=1 n= 6 163


Esta fórmula é para somar termos infinitos, não pode ser usado aqui porque

ue011

o último termo = 1/32

Sistemas Lineares Vamos então usar a fórmula geral:

EXERCÍCIOS PARTE 1 Hoje vamos falar sobre Sistemas lineares. Vamos resolver exercícios!

01

(FAUEL) João comprou um carro com motor flex. Quando foi abas- tecer pela primeira vez, pediu para colocar no tanque 20 litros de

álcool e 20 litros de gasolina, pagando um total de R$ 120,00. Cinco dias depois, no mesmo posto, decidiu alterar a proporção do combustível, pedindo para colocar no tanque 10 litros de álcool e 30 litros de gasolina, pagando Fizemos (1/2)⁶ assim.

um total de R$ 130,00. Sabendo-se que o preço do combustível no posto não sofreu alteração, o preço da gasolina é igual a: a) R$ 3,40 b) R$ 3,45 c) R$ 3,50 d) R$ 3,55 Informações importantes: 20 litros de álcool e 20 litros de gasolina pagando um total de R$ 120,00

Resultado < 2 porque numerador é < 32*2 Portanto, resposta a) Não perca a próxima aula!

10 litros de álcool e 30 litros de gasolina pagando um total de R$ 130,00 Vamos chamar Álcool = X Gasolina = Y

164

165


Montando como equação:

Vamos a mais um exercício!

02

(MS CONCURSOS) Em uma determinada competição esportiva, uma equipe recebe 5 pontos caso vença uma partida e perde 2 pon-

tos caso não vença a partida. As partidas dessa competição não podem terVamos usar um truque já de entrada!

minar empatadas. Uma determinada equipe jogou 30 vezes no campeonato e obteve 24 pontos, então o número de derrotas dessa equipe foi:

Tenho 0 em todos os termos? Tenho, vamos então cortar. a)12

Simplificamos todos os termos por 10.

b)15 c) 17 d) d e) 18 Ainda posso dividir a primeira por 2 em todos os termos: Vamos fazer o que vence = X Vamos fazer o que perde = Y X + Y = 30 Venceu 5 e perdeu 2: Podemos aplicar a técnica de adição multiplicando todos os termos por -1 na

5X – 2Y = 24

primeira equação.

Queremos o número de derrotas: Isolamos o X: Vamos agora somar:

X+Y=30 X= 30-Y 5(30-Y) - 2Y=24 150 - 5Y - 2Y =24

Y= 7/2

-7Y= 24 -150 -7Y = -126

Y= 3,5

7Y = 126 Y= 126/7

Resposta c) 166

Y= 18 167


Temos então a quantidade de partidas derrotadas.

2A + C=105 2A + (B - 5) = 105

Resposta e)

2A+ B - 5 = 105 2A + (70 - A) -5 = 105

Não perca a próxima aula!

2A + 70 - A - 5 = 105 2A -A + 70 - 5 = 105

EXERCÍCIOS PARTE 2

01

(FUMARC) Numa loja, os artigos A e B, juntos, custam R$ 70,00. Dois artigos A mais um C custam R$ 105,00 e a diferença de preços

entre os artigos B e C, nessa ordem, é R$ 5,00. Qual o preço de 3 artigos A e 2 artigos C ? a)R$ 170,00 b) R$ 120,00 c) R$ 50,00 d) R$ 25,00

A+ 65 = 105 A= 105 - 65 A= 40 Agora precisamos o valor de C: 2A+C=105 2.40 + C = 105 80 +C = 105 C= 105 - 80 C= 25 Para terminar, 3 artigos A + 2 artigos C:

Vamos precisar de 3 equações porque são 3 itens. A+B=70 2A+C=105 B – C= 5 Vamos lá! Vamos isolar 2 equações e substituir. A+B=70 B= 70 -A B–C=5 -C=5-B C= -5 +B C= B - 5 Vamos agora inserir o que isolamos na segunda equação. 168

3.40 +2.25 = 120 + 50 = 170 Alternativa a) Vamos a mais uma:

02

(COPESE - UFPI) A respeito de três bebês – Ana, Babi e Carla – são dadas as seguintes informações:

I. Ana e Babi pesam juntas 13kg; II. Ana e Carla pesam juntas 14kg; III. Babi e Carla pesam juntas 15kg. Com base nessas informações, pode-se afirmar que o peso de Ana é: a) 4kg b) 5kg c) 6kg d) 7kg e) 8kg 169


Ana = A Babi = B

EXERCÍCIOS PARTE 3

Carla = C

01

(FUNDATEC) Sabe-se que o preço de 4 revistas e 3 agendas é R$ 68,70

A+B=13

e 3 revistas e uma agenda é R$ 35,90. A partir dessas informações,

A+C=14

qual é o preço de 2 revistas e 2 agendas?

B+C=15 a) R$ 35,80. b) R$ 38,20.

Precisamos saber o peso de Ana, por isso, não vamos substituir o A.

c) R$ 40,60. A+B=13

d) R$ 41,90.

B= 13-A

e) R$ 43,10.

A+C=14

Vamos montar 2 equações, revistas = X e agendas=Y

C= 14 -A Vamos substituir: B+C=15

Vamos isolar Y:

(13-A) + (14 -A) = 15

3X+Y=35,90

13 -A + 14 -A = 15

Y=35,90-3X

-2A +13 +14 = 15 -2A + 27 = 15

Agora vamos inserir na primeira equação:

-2A = 15-27

4X+3(Y) = 68,70

-2A= -12

4X+3(35,90-3X) = 68,70

2A = 12

4X+107,70 – 9X = 68,70 Distribuímos 3(...).

A= 12/2 A= 6 KG

Vamos juntar as coxinhas: -5X + 107,70 =68,70

Resposta c)

-5X= 68,70 – 107,70 -5X= -39

Não perca a próxima aula!

5X = 39 Multiplicamos por -1 os dois lados X= 39/5 X=7,80 Sendo que X é a revista.

170

171


Vamos agora fazer o Y:

Vamos substituir o b novamente:

3X+Y=35,90

a + 2a + b - 6 = 9

3(7,80) + Y = 35,90

a + 2a + (2a) - 6 = 9

23,4 + Y = 35,90 Y= 35,9 – 23,4

Juntando coxinhas:

Y= 12,50

5a - 6 = 9

Sendo que Y é a agenda.

5a = 15 a= 15/5 = 3

Para terminar: 2(7,80) + 2(12,50) = 15,60 + 25 = 40,60

Precisamos agora calcular b e c:

Alternativa c)

b= 2a = 6 a+b+c=9

Vamos a mais um exercício:

3+6+c=9 c=9 – 6 – 3

02

(CS-UFG) Seja abc um número com três algarismos. Sabendo-se

c= 0

que a+b+c=9, b−c=6, e que b/a=2, o número abc é igual a: Temos então: a) 126

a=3

b) 243

b=6

c) 261

c=0

d)360 Veja que interessante a resposta, ele pede resposta abc que neste caso, não é Legal, nesta questão já temos até as equações!

a multiplicação deles, é apenas um número colocado ao lado do outro:

a+b+c=9

360 = alternativa d)

b−c=6 b/a=2 ou b= 2a Passamos o “a” que estava dividindo para multiplicando. Vamos isolar o c: b–c=6 c= -6 + b c= b - 6 Já temos os valores de b e c, vamos substituir: a + b + c=9 a + 2a + b-6 = 9 172

EXERCÍCIOS PARTE 4 Olá pessoal, vamos a mais questões:

01

(FGV) As meninas Alice, Beatriz e Célia brincam na balança. Alice e Beatriz juntas pesam 100 kg, Alice e Célia juntas pesam 96 kg e

Beatriz e Célia juntas pesam 108 kg. Beatriz pesa: a)48 kg; b)50 kg; c)52 kg; d)54 kg; e)56 kg. 173


Vamos montar as equações:

Vamos agora achar Beatriz: A + B = 100 44 + B = 100 B = 100 – 44 B= 56 Resposta alternativa e)

Precisamos descobrir o peso da Beatriz. Se você isolar outras letras que não seja B, vai achar direto o valor de Beatriz.

Vamos a mais uma:

Vamos fazer aleatoriamente uma equação, assim você pode treinar mais!

02

(NC-UFPR) A soma das idades de André e de seu filho Bernardo é

Vamos então começar com B:

igual a 36. Sabendo que a idade de Bernardo corresponde a 20% da

B + C = 108

idade de André, qual a diferença entre as idades de André e Bernardo?

B = 108 – C a) 20. Vamos achar C:

b) 24

A + C = 96

c) 25.

C = 96 - A

d) 28. e) 29.

Vamos agora substituir na equação que falta: A + B = 100

Vamos montar as equações:

A + (108 - C ) = 100

A + B = 36

A + 108 - C = 100

B= 20%.A

A + 108 - (96 - A) = 100 Veja aqui e tome cuidado com esse “-” fora dos parenteses.

Vamos alterar o % para resolvermos:

A + 108 - 96 + A = 100

B = 20/100 . A B= 2/10 . A

Vamos juntar as coxinhas:

B= 2A/10

A + A + 12 = 100 2A + 12 = 100

Vamos então substituir:

2A= 100-12

A + B = 36

2A= 88

A + 2A/10 = 36

A= 88/2 A= 44 Alice pesa 44 KG 174

175


Vamos somar as coxinhas usando MMC:

número de notas de 20 reais. Nessas condições, qual a quantia que Gilberto

MMC de 10 e 1 = 10:

sacou no banco? a) R$ 250,00. b) R$ 350,00. c) R$ 400,00.

Multiplicamos numerador e denominador do lado direito para poder de-

d) R$ 450,00.

pois cortar:

Vamos montar então:

10A + 2A = 360 12A = 360 A= 360/12 A= 30 Precisamos achar a idade do Bernardo: A + B = 36 30 + B = 36 B= 36/30 B= 6

X = notas de 20 Y = notas de 10 Agora está muito fácil! Vamos pegar Y e substituir: X + Y = 20 X + (3X) = 30 X + 3X = 30 Juntando as coxinhas: 4X = 20

Agora, vamos terminar: A diferença de idade de André e Bernardo 30 - 6 = 24 Resposta b)

EXERCÍCIOS PARTE 5 Olá pessoal, vamos a mais questões:

X= 20/4 X= 5 Vamos agora achar Y: Y = 3X Y = 3.5= 15 Tenho que Y = notas de 10 reais Tenho que X = notas de 20 reais Qual a quantia que sacou? 15.10 = 150

01

(FUNDEP) Gilberto foi ao caixa automático sacar dinheiro. Ele pe

5.20= 100

gou x notas de 20 reais e y notas de 10 reais. No total, Gilberto pegou

150 + 100 = 250

20 notas. Sabe-se, ainda, que o número de notas de 10 reais era o triplo do 176

Resposta a) 177


Vamos a mais um?

Mais um:

(OBJETIVA) A soma dos brinquedos de Augusto é igual a 7. Se forem

contadas as rodas de todos os brinquedos, o resultado será 18. Sa-

02

03

(FGV) Em uma oficina há um pote com 18 parafusos e 22 porcas. Todos os parafusos têm o mesmo peso, todas as porcas têm o mes-

bendo-se que os brinquedos são triciclos (3 rodas) e patinetes (2 rodas), é

mo peso e o peso total de todas as peças é de 214g. Quando uma porca é colo-

CORRETO afirmar que o número de patinetes é igual a:

cada em um parafuso, o peso do conjunto é de 11g. O peso de um parafuso é de:

a)5

a) 4g;

b)4

b)5g;

c)3

c)6g;

d)2

d)7g; e)8g.

X= 3 rodas Y = 2 rodas

Vamos fazer: X= parafusos

Temos as equações:

Y= porcas

Vamos isolar Y: Vamos isolar X:

Y = 11 – X

X=7–Y Usando a outra equação: Na outra equação:

18X + 22Y = 214

3(7-Y) + 2Y = 18

18X + 22(11-X) = 214

21 -3Y +2Y = 18

18X + 242 – 22X = 214

21 - Y = 18 -Y = 18 – 21

Juntando as coxinhas:

-Y = -3

-4X + 242= 214

Y=3

-4X = 214 – 242 -4X = -28

Achamos 3 patinetes.

4X = 28 X= 28/4

Resposta c)

X= 7g Temos então o peso do parafuso. Resposta: d)

178

179


Proposições Compostas:

ue012

Exemplos: Pedro é médico E Júlia é cantora. Pedro é médico OU Júlia é cantora. OU Pedro é médico OU Júlia é cantora.

Raciocínio lógico

SE Pedro é médico ENTÃO Júlia é cantora. Pedro é médico SE E SOMENTE SE Júlia é cantora. p: Pedro é médico.

PROPOSIÇÕES

q: Júlia é cantora. Símbolos:

Proposição: Conectivo

O resultado da análise sempre será verdadeiro ou falso. Sentença declarativa e sempre terá um verbo.

Símbolo

Nome da Operação

E

Conjunção

OU

Disjunção Inclusiva

OU .......... OU

Disjunção Exclusiva

Eu não gosto de animais.

SE ............ ENTÃO

Condicional

Um retângulo tem quatro lados.

SE E SOMENTE SE

Bicondicional

Exemplos: Eu gosto de português A lua é um satélite natural da Terra.

As proposições são representadas por letras minúsculas.

Tabela Verdade:

p: Um retângulo tem quatro lados.

Exemplos: Uma proposição = 2¹ = 2 linhas

O que NÃO são proposições.

Duas proposições = 2² = 4 linhas

Frases sem verbo: A mochila de Pedro.

Três proposições = 2³ = 8 linhas

Frases interrogativas: Por que você não gosta de cozinhar?

Quatro proposições = 2⁴ = 16 linhas

Frases imperativas (dão uma ordem ou fazem um pedido): Não coma isso.

Cinco proposições = 2⁵ = 32 linhas

Frases exclamativas: Cale-se! Frases optativas (expressam um desejo): Tomara que você passe na prova.

Como montar a tabela verdade:

Sentenças abertas: Se não posso examinar, não é proposição:

Duas proposições =

= 4 linhas

Sempre será montada da seguinte forma (excluindo a coluna de Resultado):

180

x+2=4

x é a capital dos Estados Unidos

Na coluna preposição 1: coloca-se V V F F Na coluna preposição 2: coloca-se V F V F 181


Proposição 1

Proposição 2

V

V

V

F

F

V

F

F

Resultado da Análise

CONJUNÇÃO E DISJUNÇÃO Conjunção: Vai ocorrer todas as vezes com E. Pedro é médico E Júlia é cantora. p: Pedro é médico

Três proposições =

q: Júlia é cantora.

= 4 linhas

Sempre será montada da seguinte forma (excluindo a coluna de Resultado):

Uma dica já de início: Aproveite todos os exercícios e monte a tabela verdade para pegar prática e

Na coluna preposição 1: coloca-se V V VVFFFF

não errar.

Na coluna preposição 2: coloca-se V V F F...

Inicie montar na penúltima coluna, depois a próxima à esquerda.

Na coluna preposição 3: coloca-se V F V F...

Na tabela abaixo, monte primeiro q e depois p. Proposição 1

Proposição 2

Proposição 3

V

V

V

V

V

F

V

F

V

V

F

F

F

V

V

F

V

F

F

F

V

F

F

F

Não perca a próxima aula!!

182

Resultado da Análise

Na coluna q: coloca-se V F V F Na coluna p: coloca-se V V F F

p

q

p^q

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

F

Se a primeira é verdadeira e a segunda é verdadeira, o resultado é verdadeiro. Na segunda linha, p=V e q=F tenho resultado: F Na conjunção, se uma das duas (ou as duas) é falsa, o resultado é falso. Na conjunção, somente se as duas forem verdade, a resposta é verdade.

183


Vamos ver um exercício:

p

q

p⋁q

V

V

V

a) A proposição é verdadeira

V

F

V

b) A proposição é falsa

F

V

V

F

F

F

Julgue a proposição: Pedro é médico E Júlia é cantora, sabendo que Júlia é dentista.

c) Não é possível definir o valor lógico d) É uma bimotora e) N.d.a

Veja que na Disjunção Inclusiva, somente será falsa se as duas forem falsas. Já adianto que “bimotora” não tem nada a ver com isto. Se no fim texto diz que Júlia é dentista, mas não corrige a informação de

Exemplo:

pedro, é porque devemos assumir que Pedro é médico.

Julgue a proposição: Pedro é médico OU Júlia é cantora, sabendo que Júlia é dentista.

Olhando na tabela verdade de conjunção, na linha em que a primeira proposição é verdadeira e a segunda é falsa (segunda linha), teremos que a res-

a) A proposição é verdadeira

posta é falsa.

b) A proposição é falsa c) Não é possível definir o valor lógico

Resposta b)

d) É uma bimotora e) N.d.a

Disjunção Inclusiva: Ela é caracterizada pelo OU:

Veja que, a apesar de que o exercício foi copiado do anterior, e mudamos apenas E para OU, o exercício muda totalmente! Agora a reposta correta é a) porque temos uma proposição verdadeira e uma

Exemplo:

falsa e na linha correspondente da tabela verdade (segunda linha) temos Pedro é médico OU Júlia é cantora p= Pedro é médico

como resultado verdadeiro! Estude bem toda a teoria!

q= Júlia é cantora Aproveite todos os exercícios e monte a tabela verdade para pegar prática e

DISJUNÇÃO EXCLUSIVA E CONDICIONAL

não errar. Inicie montar na penúltima coluna, depois a próxima à esquerda.

Disjunção Exclusiva:

Na coluna q: coloca-se V F V F

Ela é caracterizada pelo OU … OU:

Na coluna p: coloca-se V V F F 184

185


OU Pedro é médico OU Júlia é cantora.

Veja que a informação: Pedro é médico não é corrigida no enunciado. Veja que a informação: Júlia é cantora é corrigida por: Júlia é dentista

p: Pedro é médico

Observando o OU .. OU, sabemos que é Disjunção Exclusiva.

q: Júlia é cantora.

Olhando na tabela, p=V e q=F Tenho: Verdadeira

Vamos montar a tabela verdade:

A alternativa correta é a)

Inicie montar na penúltima coluna, depois a próxima à esquerda. Na coluna preposição 2: coloca-se V F V F

Proposição Condicional:

Na coluna preposição 1: coloca-se V V F F

Caracterizada pelo SE e ENTÃO.

p

q

p⋁q

V

V

F

V

F

V

F

V

V

F

F

F

Na Disjunção Exclusiva:

p: Pedro é médico q: Júlia é cantora. Aproveite para montar novamente a tabela verdade. Inicie com VFVFVF na coluna q. Depois, monte: VVFF na coluna p. p

q

p→q

Se as duas proposições forem verdadeiras, o resultado é falso!

V

V

V

Se as duas proposições forem falsas, o resultado é falso!

V

F

F

Julgue a proposição: OU Pedro é médico OU Júlia é cantora, sabendo que

F

V

V

Júlia é dentista.

F

F

V

a) A proposição é verdadeira

Somente será falso se a segunda proposição é falsa.

b) A proposição é falsa

Julgue a proposição: SE Pedro é médico ENTÃO Júlia é cantora, sabendo

c) Não é possível definir o valor lógico

que Júlia é dentista.

d) É uma bimotora e) N.d.a A segunda proposição está errada, então q= falso. A primeira proposição está certa, então p= verdadeiro. 186

SE Pedro é médico ENTÃO Júlia é cantora.

a) A proposição é verdadeira b) A proposição é falsa c) Não é possível definir o valor lógico d) É uma bimotora e) N.d.a 187


Como já vimos antes, temos que a primeira proposição é verdadeira e a se-

Proposição Bicondicional:

gunda é falsa.

Caracterizada pelo se e somente se

Consultado a tabela da Proposição Condicional, p=V e q=F, tenho p→q = F Resposta: b)

Pedro é médico se e somente se Júlia é cantora. p: Pedro é médico q: Júlia é cantora.

Estude muito a teoria! Não perca a próxima aula!

Aproveite para montar novamente a tabela verdade. Inicie com VFVFVF na coluna q. Depois, monte: VVFF na coluna p.

CONDICIONAL E BICONDICIONAL Condicional (continuação): Outras formas do condicional: Nem sempre encontramos o SE ENTÃO. Se Pedro é médico ENTÃO Júlia é cantora. Também encontramos: Se Pedro é médico, Júlia é cantora. Pedro é médico, se Júlia é cantora. Pedro ser médico implica Júlia ser cantora. Isso porque o ENTÃO fica subentendido na frase. Outras formas: Pedro ser médico é condição suficiente para Júlia ser cantora. Pedro ser médico é condição necessária para Júlia ser cantora. Pedro é médico somente se Júlia for cantora Se chove, então fico molhado. Toda vez que chove, fico molhado. 188

p

q

p↔q

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

V

Na bicondicional, somente é verdadeira quando ambas forem iguais, incluindo quando forem as duas falsas! Mesmo que estiverem escritas coisas absurdas. Vamos ver em exemplo: Julgue a proposição: Pedro é médico se somente se Júlia é cantora, sabendo que Júlia é dentista. a) A proposição é verdadeira b) A proposição é falsa c) Não é possível definir o valor lógico d) É uma bimotora e) N.d.a Pedro é médico= verdadeiro Júlia é cantora= falso Olhando na tabela, p= V, q=F então

p↔q=falso 189


Negação de uma proposição negativa:

Outras formas:

Exemplos: Pedro é médico se e somente se Júlia é cantora. Pedro é médico se e só se Júlia é cantora.

p: Lógica não é divertido

Se Pedro é médico então Júlia é cantora e se Júlia é cantora

p: Não é verdade que lógica é divertido

então Pedro é médico.

p: É falso que lógica é divertido p: Não é o caso que lógica é divertido

Neste último caso, temos duas condicionais conectada por um E faz ser uma bicondicional.

~p: Lógica é divertida.

Veja que a segunda parte da frase é escrita invertida da primeira parte. No caso da Conjunção: Outros casos:

Representação da conjunção: (p ^ q) Representação da negação: ~(p ^ q)

Pedro ser médico implica Júlia ser cantora e Júlia ser cantora implica Pedro ser médico.

Está negando tudo que está dentro do parêntesis, como fazer:

Pedro é médico somente se Júlia é cantora e Júlia é cantora somente se Pedro é médico.

1. Separe em duas proposições.

Pedro ser médico é condição suficiente e necessária para Júlia

2. Negue a primeira proposição simples.

ser cantora.

3. Negue a segunda proposição simples. 4. Para terminar troque o conectivo E por OU.

Estude muito a teoria! Não perca a próxima aula!

Exemplo: Pedro é médico E Júlia é cantora.

NEGAÇÃO Proposição Negação: Trocamos o valor lógico: Verdadeiro → Falso Falso → Verdadeiro Símbolos: ~ (til) e ¬ (cantoneira).

p: Pedro é médico.

q: Júlia é cantora.

2) Negue a primeira proposição simples.

p: Pedro é médico.

~p: Pedro não é médico.

3) Negue a segunda proposição simples.

Exemplo:

190

1) Separe em duas proposições:

p: Eu gosto de matemática

~p: Eu não gosto de matemática

q: Júlia é cantora.

~q: Júlia não é cantora. 191


4) Para terminar troque o conectivo E por OU.

Representação por símbolos:

~(p ⋁ q) = (~ p ⋀ ~ q)

Pedro não é médico OU Júlia não é cantora.

Representação por símbolos:

No caso da Disjunção Exclusiva:

~(p ^ q) = (~ p ⋁ ~ q)

Representação da disjunção Inclusiva: (p ⋁ q) Representação da negação: ~(p ⋁ q)

No caso da Disjunção Inclusiva: Representação da disjunção Inclusiva: (p ⋁ q)

Está negando tudo que está dentro do parêntesis, como fazer:

Representação da negação: ~(p ⋁ q) 1. Basta trocar os conectivos por: SE SOMENTE SE Está negando tudo que está dentro do parêntesis, como fazer: 1. Separe em duas proposições.

2. Não vai utilizar o NÃO. Exemplo:

2. Negue a primeira proposição simples. 3. Negue a segunda proposição simples.

OU Pedro é médico OU Júlia é cantora.

4. Para terminar troque o conectivo OU por E.

Basta trocar o conectivo para SE SOMENTE SE: Pedro é médico SE SOMENTE SE Júlia é cantora.

Exemplo: Representação por símbolos: Pedro é médico OU Júlia é cantora.

~(p ⋁ q) = (p ↔ q)

1) Separe em duas proposições.

No caso da Condicional:

p: Pedro é médico

Representação da condicional: (p → q)

q: Júlia é cantora.

Representação da negação: ~(p → q)

2) Negue a primeira proposição simples.

p: Pedro é médico

~p: Pedro não é médico

Está negando tudo que está dentro do parêntesis, como fazer: 1. Separe em duas proposições. 2. COPIE a primeira proposição simples.

3) Negue a segunda proposição simples.

3. Negue a segunda proposição simples.

q: Júlia é cantora.

4. Troque o conectivo para E.

~q Júlia não é cantora. Exemplo:

4) Unir as duas proposições com o conectivo E Pedro não é médico E Júlia não é cantora. 192

SE Pedro é médico ENTÃO Júlia é cantora. 193


1) Separe em duas proposições.

p: Pedro é médico

q: Júlia é cantora.

Está negando tudo que está dentro do parêntesis, como fazer: 1. Escrever a bicondicional como duas condicionais unidas pelo conectivo E.

2) COPIE a primeira proposição simples.

2. Negue cada uma das condicionais.

3. Unir com o conectivo OU

p: Pedro é médico

3) Negue a segunda proposição simples.

SE Pedro é médico ENTÃO Júlia é cantora E SE Júlia é cantora

q: Júlia é cantora.

ENTÃO Pedro é médico.

~q Júlia não é cantora. 1) Separe as duas condicionais.

4) Unir as duas proposições com o conectivo E

SE Pedro é médico ENTÃO Júlia é cantora

Se Júlia é cantora ENTÃO Pedro é médico.

Pedro é médico E Júlia não é cantora.

Representação por símbolos: ~(p → q) = (p ⋀ ~ q)

NEGAÇÃO, BICONDICIONAL E EXERCÍCIOS No caso da bicondicional: A) Primeira forma de fazer: Representação da bicondicional: (p ↔ q) Representação da negação: ~(p ↔ q) Está negando tudo que está dentro do parêntesis, como fazer: 1. Trocar os conectivos para OU.....OU Pedro é médico SE E SOMENTE SE Júlia é cantora. 2. Troque o conectivo para OU... OU OU Pedro é médico OU Júlia é cantora. B)Segunda forma de fazer: Representação da bicondicional: (p ↔ q)

2) Negue cada uma das condicionais. (VEJA EM: No caso da Condicional)

SE Pedro é médico ENTÃO Júlia é cantora.

Negação: Pedro é médico E Júlia não é cantora.

Se Júlia é cantora ENTÃO Pedro é médico.

Negação: Júlia é cantora E Pedro não é médico.

3) Unir com o conector OU.

Pedro é médico e Júlia não é cantora OU Júlia é cantora e Pedro não

é médico.

Vamos aos Exercícios:

01

(CESPE)Determine a negação da proposição “Lívia é estudiosa e Marcos decora”. a)Lívia é estudiosa ou Marcos decora b)Lívia não é estudiosa e Marcos decora. c)Lívia não é estudiosa ou Marcos decora. d)Lívia não é estudiosa ou Marcos não decora. e)Marcos não decora e Lívia é estudiosa.

Representação da negação: ~(p ↔ q) 194

195


No enunciado temos:

a) Brasília não é a Capital Federal e os Territórios Federais

“Lívia é estudiosa e Marcos decora”

não integram a União.

Se trata de uma conjunção.

b) Brasília não é a Capital Federal ou os Territórios Federais não integram a União.

Para negar a conjunção:

c) Brasília não é a Capital Federal ou os Territórios Federais

Representação da conjunção: (p ^ q)

integram a União.

Representação da negação: ~(p ^ q)

d) Brasília é a Capital Federal ou os Territórios Federais não integram a União.

1. Separe em duas proposições.

e) Brasília não é a Capital Federal e os Territórios Federais

2. Negue a primeira proposição simples.

integram a União.

3. Negue a segunda proposição simples. 4. Para terminar troque o conectivo E por OU. Vamos aproveitar e checar as alternativas que não podem estar corretas, va-

Se trata de uma conjunção. Lembre-se que para negar uma conjunção: 1. Separe em duas proposições.

mos checar as que não estão com OU:

2. Negue a primeira proposição simples. 3. Negue a segunda proposição simples.

Alternativas b) e e) não podem ser a resposta correta.

4. Para terminar troque o conectivo E por OU. Primeira proposição:

Lívia é estudiosa.

Vamos ver se alguma alternativa não está usando o OU:

Proposição negada:

Alternativa a) está usando E, por isso, só pode estar errada.

Alternativa e) está usando E, por isso, só pode estar errada.

Lívia não é estudiosa.

Sobraram alternativas b) c) d). Segunda proposição:

Marcos decora

Primeira proposição:

Proposição negada:

Proposição negada:

Marcos não decora

Brasília é a Capital Federal. Brasília não é a Capital Federal.

Já temos a resposta: alternativa d) Segunda proposição: Mais um exercício:

Os Territórios Federais integram a União.

Proposição negada:

02

(ESAF) A negação da proposição “Brasília é a Capital Federal e os

Os Territórios Federais não integram a União.

Territórios Federais integram a União” é: Temos então a alternativa b) como resposta.

196

197


Mais um exercício:

03

(CONSULPAM) A negação de “hoje é domingo e amanhã não choverá” é:

ANÁLISE DA PROPOSIÇÃO COMPOSTA: Resolver dentro dos parênteses. 1. Faremos as negações (~); 2. Faremos as conjunções ou disjunções, na ordem em que aparecerem;

a) hoje não é domingo e amanhã não choverá

3. Faremos a condicional;

b) hoje não é domingo ou amanhã choverá

4. Faremos o bicondicional.

c) hoje não é domingo então amanhã choverá d) hoje não é domingo nem amanhã choverá Temos mais uma conjunção. Cuidado porque a segunda tem o “não”. Podemos eliminar a) e d) porque não usam OU. Primeira proposição:

Hoje é domingo.

Proposição negada:

Hoje não é domingo.

Segunda proposição:

Amanhã não choverá.

Vamos fazer um exemplo: H(p, q) = ~(p ^ q) ⋁ (p → ~q) H(p, q) significa que é uma proposição composta pelas proposições simples p e q.

~(p ^ q) Está negando uma conjunção

Este símbolo é de disjunção

(p → ~q) Esta é uma condicional Vamos resolver usando a tabela verdade. Vamos iniciar montando a coluna q= VFVF Depois vamos montar coluna p: VVFF

Proposição negada:

p

q

V

V

V

F

Tem uma forma rápida de resolver: as alternativas que tinham sobrado eram

F

V

e) e c), mas a c) tem o ENTÃO, por isso, também não pode estar correta.

F

F

Amanhã choverá.

Temos então a alternativa b) como resposta.

Vamos agora resolver dentro dos parênteses em ordem de aparecimento: (p ^ q)

Não perca a próxima aula!

198

p

q

(p ^ q)

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

F 199


Vamos agora resolver a Negação:

H(p, q) = ~(p ^ q) ⋁ (p → ~q)

Basta trocar F por V e V por F.

Vamos fazer uma Disjunção Inclusiva. Lembrando da tabela:

p

q

(p ^ q)

~(p ^ q)

V

V

V

F

V

F

F

V

F

V

F

V

F

F

F

V

Vamos agora resolver dentro dos parênteses em ordem de aparecimento:

p

q

p⋁q

V

V

V

V

F

V

F

V

V

F

F

F

Usando as colunas destacadas:

(p → ~q) Primeiro vamos fazer ~q: p

q

(p ^ q)

~(p ^ q)

~q

V

V

V

F

F

V

F

F

V

V

F

V

F

V

F

F

F

F

V

V

Lembrando da tabela verdade condicional:

q

(p ^ q)

~(p ^ q)

~q

(p → ~q)

~(p ^ q) ⋁ (p → ~q)

V

V

V

F

F

F

F

V

F

F

V

V

V

V

F

V

F

V

F

V

V

F

F

F

V

V

V

V

TAUTOLOGIA, CONTRADIÇÃO E CONTINGÊNCIA

p

q

p→q

V

V

V

O resultado da proposição composta sempre será Verdadeiro:

V

F

F

F

V

V

(p ^ q) ⋁ (p → q)

F

F

V

Tautologia:

Vamos iniciar montando a coluna q= VFVF Depois vamos montar coluna p: VVFF

Vamos agora fazer a condicional usando as colunas marcadas: (p → ~q)

200

p

p

q

p

q

(p ^ q)

~(p ^ q)

~q

(p→ ~q)

V

V

V

V

V

F

F

F

V

F

V

F

F

V

V

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

F

F

F

F

V

V

V

(p ^ q)

(p ⋁ q)

(p ^ q) → (p ⋁ q)

201


Para resolver: Primeiro dentro dos parênteses:

Veja que não tivemos as condições necessárias para ter F, não temos V e F

(p ^ q) Esta é uma proposição Conjunção

nessa ordem.

(Se ainda não decorou, dê uma olhada na teoria, somente verdadeira se tudo Contradição:

verdade.)

O resultado da proposição composta sempre será Falso. (p ⋁ q)

(p ^ q) → (p ⋁ q)

(p ↔ ~p)

p

q

(p ^ q)

V

V

V

V

F

F

Tem apenas uma proposição, logo a tabela verdade terá apenas DUAS linhas.

F

V

F

Veja que temos apenas o p, para montar a tabela, temos apenas V F

F

F

F p

Agora vamos fazer o segundo parênteses, usando as colunas marcadas.

V

(p ⋁ q) Esta é uma proposição Disjunção Inclusiva.

F

(Se ainda não decorou, dê uma olhada na teoria, somente falsa se os ambos forem falsos.) Cuidado para não olhar na tabela de Disjunção EXclusiva. p

q

(p ^ q)

(p ⋁ q)

V

V

V

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

F

F

F

Fazemos ~p:

(p ^ q) → (p ⋁ q)

p

~p

V

F

F

V

→ Esta é uma proposição Condicional.

p

(Se ainda não decorou, dê uma olhada na teoria, somente falsa se a primeira

~p

(p ↔ ~p)

V

F

F

F

V

F

Fazemos (p ↔ ~p): Agora vamos fazer a condicional, usando as colunas marcadas.

proposição for verdadeira e a segunda for falsa.)

202

p

q

(p ^ q)

(p ⋁ q)

(p ^ q) → (p ⋁ q)

V

V

V

V

V

V

F

F

V

V

F

V

F

V

V

F

F

F

F

V

Contingência: O resultado da proposição composta terá valores Verdadeiros e Falsos. São todos os casos restantes que não são Tautologia ou Contradição. Não perca a próxima aula! 203


Escrevendo de maneira diferente: Algum músico é indiano.

PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS: Já temos a lista para você:

Pelo menos um músico é indiano. Existe um músico que é indiano. Cuidado:

Todo A é B

Algum menino não é fã de futebol.

Todo B é A

Significa que existe pelo menos um menino que não é fã.

Nenhum A é B

Algum fã de futebol não é menino.

Nenhum B é A

Significa que existe pelo menos um fã de futebol que é menina.

Algum A é B Algum B é A

Escrevendo de maneira diferente: Algum menino não é fã de futebol.

Nenhum A é B

Algum menino é não fã de futebol.

Nenhum B é A

Algum não fã de futebol é menino.

Exemplo: Todo mineiro é brasileiro. Dica: Todo A é B, mas nem todo B é A

Super Dica! Podemos usar qualquer conjugação dos verbos ser e estar Exemplos: é, são, foi, eram, está, dentre outros.

Por exemplo, Todo brasileiro é mineiro? Não. Tabela Resumo

Escrevendo de maneira diferente: Todo mineiro é brasileiro. Qualquer mineiro é brasileiro. Cada mineiro é brasileiro. Exemplo: Nenhum cachorro é uma ave.

TODO A é B

Todos elementos de A pertencem a B.

NENHUM A é B

A e B não tem nada em comum.

ALGUM A é B

Pelo menos um elemento de A pertence a B.

ALGUM não A é B

Pelo menos um elemento de A não pertence a B.

Dica: Nenhum A é B tem o mesmo valor lógico que Nenhum B é A, ou seja, nada acontece se você inverter.

Vamos ver a Negação com exemplos:

Por exemplo: Nenhuma ave é um cachorro. Continua correto. Tabela Resumo

Exemplo: Algum músico é indiano. Dica: Algum A é B tem o mesmo valor lógico que Algum B é A, ou seja, nada acontece se você inverter. Por exemplo: Algum indiano é músico. 204

TODO A é B

Todos elementos de A pertencem a B.

NENHUM A é B

A e B não tem nada em comum.

ALGUM A é B

Pelo menos um elemento de A pertence a B.

ALGUM não A é B

Pelo menos um elemento de A não pertence a B. 205


Proposição: Todo leão é bravo.

Válido = quando a conclusão fizer sentido com a lógica proposta.

Negação: Algum leão não é bravo.

Todos os homens são mortais.

Proposição: Todo comerciante não é rico.

Léo é homem.

Negação: Algum comerciante é rico

Logo, Léo é mortal.

Proposição: Nenhuma prova não é difícil. Negação: Alguma prova não é difícil.

Equivalência Lógica da Condicional:

Proposição: Algum cantor é português.

Aprenderemos duas técnicas.

Negação: Nenhum cantor é português. Proposição: Algum menino não é fã de vôlei.

Método Contrapositivo 1. Separe em duas proposições simples

Negação: Todo menino é fã de vôlei.

2. Negue as duas proposições 3. Inverta a ordem delas e use o mesmo conectivo

LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO E EQUIVALÊNCIA LÓGICA Vamos continuar com raciocínio lógico, mais teoria para vocês. Estamos no fim da teoria! Silogismo: O silogismo é composto por duas premissas (proposições iniciais) e uma conclusão. Atenção para termos equivalentes: Premissas = hipóteses Conclusão = tese As premissas e a conclusão formam o argumento Classificação: Válido ou inválido, nunca verdadeiro e falso. Inválido = quando a conclusão não fizer sentido com a lógica proposta. Todos os homens são mortais. Léo é mortal. Logo, Léo é homem. Léo neste caso, poderia ser um animal. 206

Exemplo: Se Pedro é médico, então Júlia é cantora 1) Separe em duas proposições simples

p: Pedro é médico

q: Júlia é cantora.

2) Negue as duas proposições

p: Pedro é médico

~p: Pedro não é médico

q: Júlia é cantora.

~q: Júlia não é cantora.

3) Inverta a ordem delas e use o mesmo conectivo

~p: Pedro não é médico

~q: Júlia não é cantora.

Se Júlia não é cantora, então Pedro não é médico

Resumo: Se Pedro é médico, então Júlia é cantora Se Júlia não é cantora, então Pedro não é médico. p → q = ~q → ~p Veja acima que p e q foram negados e a ordem foi alterada! 207


Ana disse: “Se eu passar, então Denise também passa.”; Segunda Técnica: 1. Separe em duas proposições simples

Denise disse: “Se eu passar, então Beatriz também passa.”; Beatriz disse: “Se eu passar, então Carla também passa.”.

2. Negue a primeira proposição 3. Copie as proposições e troque o conectivo para OU.

As três afirmativas se mostraram verdadeiras, mas apenas duas delas passaram no concurso. As duas que passaram no concurso foram:

Se Pedro é médico, então Júlia é cantora a) Ana e Denise. 1) Separe em duas proposições simples

b) Denise e Beatriz.

p: Pedro é médico

c) Beatriz e Carla.

q: Júlia é cantora.

d) Carla e Ana.

e)Ana e Beatriz. 2) Negue a primeira proposição.

p: Pedro é médico

Dica: O pessoal que faz concurso, gosta de dar uma dica mestre na última

~p: Pedro não é médico

proposição. Tente iniciar pela última.

q: Júlia é cantora. Vamos ter que analisar caso a caso.

3) Copie as proposições e troque o conectivo para OU.

q: Júlia é cantora.

Se Pedro é médico, então Júlia é cantora. Pedro não é médico ou Júlia não é cantora. p → q = ~p ⋁ ~q

EXERCÍCIOS PARTE 1 Espero te tenham estudado muito! Vamos fazer exercícios!

01

(FGV) Ana, Beatriz, Carla e Denise fizeram provas para um concurso. Após as provas, elas fizeram as seguintes afirmativas sobre seus

desempenhos: 208

Para iniciar, vamos lembrar da tabela condicional:

Pedro não é médico OU Júlia não é cantora

Resumo:

Para facilitar, os casos são de condicional, que deixa mais fácil.

~p: Pedro não é médico

p

q

p→q

V

V

V

V

F

F

F

V

V

F

F

V

O resultado da combinação proposta, deve ser verdadeira (a não ser que a questão peça o contrário). Vamos fazer por tentativa e erro! Vamos iniciar dando por verdadeira: Beatriz disse: “Se eu passar, então Carla também passa.”. 209


Beatriz disse: V Se eu passar, então Carla também passa: V

Vamos nesta questão, vamos fazer por equivalência lógica. Vamos aplicar na

Vamos assumir que as duas sejam verdadeiras e checar as outras, porque

condicional.

estão de acordo com alternativa escolhida. Se as duas são verdadeiras, pela tabela da condicional, temos uma sentença

Estudamos na última aula, vamos aplicar a negação na condicional: 1. Separa

verdadeira.

2. Nega cada uma 3. Inverte as proposições

Denise disse: “Se eu passar, então Beatriz também passa.”; Denise disse: F Se eu passar, então Beatriz também passa: V

Vamos checar as alternativas:

Para seguir a alternativa e) como verdadeira, Beatriz passa, mas Denise não disse.

Como precisamos inverter, as proposições, nenhuma alternativa pode iniciar

Se temos F e V, pela tabela da condicional, temos uma sentença verdadeira.

com “Se todos fizerem a sua parte”. Isso já elimina as proposições: c) e d)

Ana disse: “Se eu passar, então Denise também passa.”;

As proposições precisam ser negadas separadamente. A alternativa a) está

Ana disse: F (estamos assumindo que Ana não passou.)

errada porque não estão negadas.

Se eu passar, então Denise também passa: F

Sobraram a alternativa b) que estão negadas as duas proposições.

Neste caso, por causa da tabela condicional, precisamos colocar que Denise não passou porque F e F temos V na sentença. No fim, temos que Beatriz e Carla passaram. Resposta c) Se depois dessa análise não conseguisse o resultado, precisaríamos recomeçar usando outra alternativa como início.

EXERCÍCIOS PARTE 2 Olá pessoal, vamos continuar com os exercícios!

01

(ESAF) Sabendo que os valores lógicos das proposições simples p e q são, respectivamente, a verdade e a falsidade, assinale o item que

apresenta a proposição composta cujo valor lógico é a verdade.

02

(MS CONCURSOS) Considerando verdadeira a afirmação: “Se todos fizerem a sua parte, então acabaremos com o mosquito da dengue.”,

é necessariamente verdade que: a)Se acabar o mosquito da dengue, então todos fizeram a sua parte. b)Se não acabar o mosquito da dengue, então nem todos fizeram a sua parte. c)Se nem todos fizerem a sua parte, então não acabaremos com o mosquito da dengue. d)Todos fazerem a sua parte é condição necessária para acabar com o mosquito da dengue. 210

a)~ p ⋁ q → q b) p⋁ q → q

c) p → q

d) p ↔ q

e) q⋀ (p ⋁ q) Importante: a análise precisa ser feita somente para p=V e q = F Precisamos fazer por eliminação, e somente para p=V e q = F que deve dar V. Só de olhar e conhecendo a Tabela Verdade da c) e da d), já podemos eliminar essas. 211


Fazendo: a) ~ p ⋁ q → q

a)(p ^ q)

p

q

~p

~p⋁q

~p⋁q→q

V

F

F

F

V

b) (p v q) c) (p → q) d) (¬ p) e) (¬ q)

Logo na primeira tentativa achamos a resposta! Esta é a tabela verdade de conjunção, por isso, resposta: a)

Consulte as tabelas se ainda não decorou! Resposta a) Vamos de qualquer forma, fazer as outras, para que você possa estudar!

Fazendo: b) p ⋁ q → q

p

q

p⋁q

p⋁q→q

V

F

F

F

03

(FUNCAB) Ou Francimara viaja de avião, ou Antônio mora em Porto de Galinhas, ou Cíntia mora em Salvador. Se Antônio mora em Por-

to de Galinhas, então Flávia viaja de ônibus. Se Flávia viaja de ônibus, então Cíntia mora em Salvador. Ora Cíntia não mora em Salvador, logo: a)Francimara viaja de avião e Antônio não mora em Porto de Galinhas.

Fazendo: e) q⋀ (p ⋁ q )

b)Francimara não viaja de avião e Flávia não viaja de ônibus. c)Antônio mora em Porto de Galinhas e Cíntia não mora em Salvador.

p

q

p⋁q

p ⋀ (p ⋁ q)

V

F

V

F

De fato, a única alternativa com resultado V é a)

d)Antônio não mora em Porto de Galinhas e Flávia viaja de ônibus. e)Antônio mora em Porto de Galinhas ou Flávia viaja de ônibus. Vamos pegar caso a caso, e fazer por tentativa e erro. Para iniciar, vamos lembrar da tabela condicional:

Mais um exercício:

02

(INSTITUTO AOCP) A tabela verdade apresenta os estados lógicos das entradas e das saídas de um dado no computador. Ela é a base

para a lógica binária que, igualmente, é a base de todo o cálculo computacional. Sabendo disso, assinale a alternativa que apresenta a fórmula que corresponde ao resultado da tabela verdade dada.

212

p

q

p→q

V

V

V

V

F

F

F

V

V

F

F

V

Ainda temos a frase:

p

q

Resultado

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

F

“Ora Cíntia não mora em Salvador”. Quer dizer que “Cíntia não mora em Salvador”. Na proposição: “Se Flávia viaja de ônibus, então Cíntia mora em Salvador.” 213


c) se um funcionário ganhou um bônus de 100 reais, então ele faltou

“Cíntia mora em Salvador” = F Para a frase ter resultado V, precisamos que a primeira proposição seja F:

d) se um funcionário ganhou um bônus de 100 reais, então ele

“Flávia viaja de ônibus” = F

não faltou

Na proposição anterior: “Se Antônio mora em Porto de Galinhas, então Flá-

Podemos analisar a proposição como condicional.

via viaja de ônibus.” Se “Flávia viaja de ônibus” = F, para a sentença ser V, “Antônio mora em Porto de Galinhas” = F

Como pode notar, não tem o ENTÃO, mas podemos encaixar o ENTÃO em: “Se um funcionário não faltar em determinado mês, ENTÃO ganhará um

Na proposição: “Ou Francimara viaja de avião, ou Antônio mora em Porto de

bônus de 100 reais”

Galinhas, ou Cíntia mora em Salvador” É uma disjunção INCLUSIVA, inclusiva porque temos 3 proposições ligadas

Olhando nas alternativas, todas estão invertidas, isso quer dizer que, com

por OU. Para ser verdadeira, precisamos de 1 verdadeira.

certeza, trata-se de equivalência lógica.

Temos:

As duas proposições serão negadas.

“Antônio mora em Porto de Galinhas” = F

Olhando nas alternativas, podemos ver que c) e d) não estão negadas e, por

“Cíntia mora em Salvador”=F

isso, estão erradas.

Portanto: “Francimara viaja de avião” = V Falta analisar a) e b): Nossa resposta é a alternativa a)

“Se um funcionário não faltar” precisa ser negada. Somente alternativa a) tem a forma negada.

Não perca a próxima aula! Resposta a)

EXERCÍCIOS PARTE 3 Vamos resolver mais umas questões:

01

(Prefeitura do Rio de Janeiro) Em uma empresa, o gerente afixou o seguinte informe no quadro de avisos: “Se um funcionário não fal-

tar em determinado mês, ganhará um bônus de 100 reais”. Pode-se concluir corretamente que, em determinado mês: a) se um funcionário não ganhou um bônus de 100 reais, então ele faltou b) se um funcionário não ganhou um bônus de 100 reais, então ele não faltou 214

02

(EXATUS) Se Aldo se casa com Bianca, então Bianca fica feliz. Se Bianca fica feliz, então Clara chora. Se Clara chora, então Dione con-

sola Clara. Ora, Dione não consola Clara, logo: a)Clara não chora e Bianca fica feliz. b)Clara não chora e Aldo não se casa com Bianca. c)Bianca não fica feliz e Aldo se casa com Bianca. d)Bianca fica feliz e Aldo se casa com Bianca. e)Clara chora e Bianca fica feliz. Temos certeza que: “Dione não consola Clara” 215


Separando a proposições:

“Aldo não se casa com Bianca” = V

“Se Aldo se casa com Bianca, então Bianca fica feliz.”

Sentença Verdadeira

“Se Bianca fica feliz, então Clara chora.” “Se Clara chora, então Dione consola Clara”

Analisando: c)Bianca não fica feliz e Aldo se casa com Bianca.

Analisando:

“Bianca não fica feliz” = V

“Se Clara chora, então Dione consola Clara”

“Aldo se casa com Bianca” = F

“Dione consola Clara” = F Para a sentença ser V, a primeira proposição precisa ser F

d)Bianca fica feliz e Aldo se casa com Bianca.

“Se Clara chora” = F

“Bianca fica feliz” = F

Na tabela, F e F = V

“Aldo se casa com Bianca” = F

Analisando:

e)Clara chora e Bianca fica feliz.

“Se Bianca fica feliz, então Clara chora.”

“Clara chora” = F

“Clara chora.” = F (vimos na análise anterior).

“Bianca fica feliz” = F

Para a sentença ser V, a primeira proposição precisa ser F “Se Bianca fica feliz” = F

Correta apenas a alternativa b)

Na tabela, F e F = V Analisando:

“Se Aldo se casa com Bianca, então Bianca fica feliz.”

“Bianca fica feliz” = F

Se a sapatilha é dourada, então o chinelo não é marrom. Se o tênis é verde,

Para a sentença ser V, a primeira proposição precisa ser F

então a sapatilha não é dourada. Ora, a sapatilha é dourada. Então:

03

(INSTITUTO PRÓ-MUNICÍPIO) A bota é preta, ou o sapato é branco ou o tênis é verde. Se o sapato é branco, então o chinelo é marrom.

“Se Aldo se casa com Bianca” = F Na tabela, F e F = V

a)A bota é preta, o sapato é branco e o tênis não é verde; b)A bota não é preta, o sapato não é branco e o tênis é verde;

Vamos analisar as alternativas:

c)A bota não é preta, o sapato é branco e o tênis não é verde;

Analisando:

d)A bota é preta, o sapato não é branco e o tênis não é verde.

a)Clara não chora e Bianca fica feliz. “Bianca fica feliz” = F

Temos certeza que: “a sapatilha é dourada”

“Clara não chora” = V Analisando:

216

Analisando:

“Se o tênis é verde, então a sapatilha não é dourada”

b)Clara não chora e Aldo não se casa com Bianca.

“sapatilha não é dourada” = F

“Clara não chora” = V

Para a sentença ser V, a primeira proposição precisa ser F 217


“Se o tênis é verde” = F

“sapato não é branco” = V

Na tabela, F e F = V

“o tênis é verde” = F

Analisando:

c)A bota não é preta, o sapato é branco e o tênis não é verde;

“Se a sapatilha é dourada, então o chinelo não é marrom”

“A bota não é preta” = F

“sapatilha é dourada” = V

“sapato é branco” = F

“chinelo não é marrom” = V

“o tênis não é verde” = V

Na tabela, V e V = V d)A bota é preta, o sapato não é branco e o tênis não é verde. Analisando:

“A bota é preta” = V

“Se o sapato é branco, então o chinelo é marrom”

“sapato não é branco” = V

“o sapato é branco” = F

“o tênis não é verde” = V

“o chinelo é marrom” = F Para a sentença ser V, a primeira proposição precisa ser F “Se o tênis é verde” = F Na tabela, F e F = V

EXERCÍCIOS PARTE 4

Analisando:

Olá pessoal, vamos a mais questões!

“A bota é preta, ou o sapato é branco ou o tênis é verde” “A bota é preta” = ? “o sapato é branco” = F “o tênis é verde” = F Por ser uma disjunção inclusiva, ao menos uma das alternativas deve ser V, por isso:“ A bota é preta” = V Vamos analisar as alternativas: a)A bota é preta, o sapato é branco e o tênis não é verde; “A bota é preta” = V “sapato é branco” = F “tênis não é verde” = V b)A bota não é preta, o sapato não é branco e o tênis é verde; “A bota não é preta” = F 218

Resposta d)

01

(INSTITUTO PRÓ-MUNICÍPIO) Sabe-se que é falsa a seguinte afir- mação: “Morgana não é médica ou Carla é advogada”. Segue, a par-

tir desta informação, que uma das afirmativas a seguir é verdadeira. Assinale-a: a) Morgana é médica e Carla é advogada; b) Se Morgana é médica, então Carla é advogada; c) Morgana não é médica e Carla não é advogada; d) Se Carla é advogada, então Morgana é médica. A questão informa que a informação é falsa: “Sabe-se que é falsa a seguinte afirmação:” Esta proposição é uma disjunção inclusiva. Proposição: “Morgana não é médica ou Carla é advogada” É falsa. Pela tabela da disjunção inclusiva, para ser falsa, as duas proposições têm que ser falsa.

219


“Morgana não é médica” = F

b) Se Morgana é médica, então Carla é advogada;

“Carla é advogada” = F

“Morgana é médica” = V “Carla é advogada” = F

Tabela da disjunção inclusiva. d) Se Carla é advogada, então Morgana é médica. p

q

p⋁q

V

V

V

“Morgana é médica” = V

V

F

V

Na condicional, temos F V = V

F

V

V

F

F

F

“Carla é advogada” = F

Resposta alternativa d)

Vamos agora analisar as alternativas que são conjunções: Mais uma questão: p

q

p⋀q

V

V

V

V

F

F

p: O rato entrou no buraco.

F

V

F

q: O gato seguiu o rato.

F

F

F

02

(CPCON) Sejam as proposições:

Assinale a proposição “O rato não entrou no buraco e o gato seguiu o rato” correspondente na linguagem da lógica.

a) Morgana é médica e Carla é advogada; “Morgana é médica” = V

a)p ^ q.

“Carla é advogada” = F

b)~ (p ^ q). c)p ^ ~ q.

c) Morgana não é médica e Carla não é advogada;

d)~ p ^ q.

“Morgana não é médica” = F

e)~ p v ~ q.

“Carla não é advogada” = V Vamos separar as preposições: Alternativa Condicional:

“O rato não entrou no buraco e o gato seguiu o rato” “O rato não entrou no buraco”

220

“o gato seguiu o rato”

p

q

p→q

V

V

V

V

F

F

F

V

V

Vamos olhar nas alternativas e ver se alguma não é conjunção:

F

F

V

Podemos descartar alternativa e)

Temos uma conjunção.

221


Vamos analisar a proposição:

b)“Maringá é uma cidade e Pedro não gosta de viajar“

“O rato não entrou no buraco”

Esta é uma conjunção. Por isso está descartada.

Está negada, por isso temos: ~p “o gato seguiu o rato”

c)“Se Maringá é uma cidade então Pedro não gosta de viajar”.

Não está negada, temos : q

Esta é uma condicional.

É uma conjunção = ^ Temos então assim:

d)“Se Maringá não é uma cidade então Pedro gosta de viajar”.

~p^q

Esta é uma condicional.

Pode ser a alternativa b)?

e)“Maringá é uma cidade ou Pedro não gosta de viajar”.

b) ~ (p ^ q)

Esta é uma disjunção. Por isso está descartada.

Não, porque estão com as duas negadas (por causa dos parênteses). Sobraram alternativas: Olhando nas alternativas temos a letra d)

c)“Se Maringá é uma cidade então Pedro não gosta de viajar”. d)“Se Maringá não é uma cidade então Pedro gosta de viajar”.

03

(INSTITUTO AOCP) Considere as proposições: p = “Maringá é uma

Vamos agora analisar:

cidade”, q = “Pedro gosta de viajar”. Assinale a alternativa que cor-

A primeira proposição não pode estar negada.

responde à proposição (p → ~ q).

Olhando nas alternativas que sobraram, a alternativa d) está com a primeira proposição negada, por isso não pode ser a resposta correta.

a)“Maringá é uma cidade ou Pedro gosta de viajar“ b)“Maringá é uma cidade e Pedro não gosta de viajar“

Resposta: c)

c)“Se Maringá é uma cidade então Pedro não gosta de viajar”. d)“Se Maringá não é uma cidade então Pedro gosta de viajar”. e)“Maringá é uma cidade ou Pedro não gosta de viajar”. Procuramos: (p → ~ q) Lendo: p condicional não q. Se é condicional, precisamos de SE Vamos ver as alternativas: a)“Maringá é uma cidade ou Pedro gosta de viajar“ Esta é uma disjunção. Por isso está descartada.

Vamos para a próxima:

04

(Prefeitura do Rio de Janeiro - RJ) Sabe-se que as seguintes propo sições são verdadeiras: Se o time A não é campeão, então o time B se classifica para a Copa Libertadores. O time B não se classifica para a Copa Libertadores ou o time C se classifica para a Copa Sul-Americana. O time C se classifica para a Copa Sul-Americana se, e somente se, o time D não for rebaixado. O time D é rebaixado e o time E vence a última partida.

222

223


Tabela da bicondicional:

Portanto, é necessariamente verdadeiro que: a)o time B não se classifica para a Copa Libertadores se, e somente se, o time D não é rebaixado. b)o time A não é campeão e o time E vence a última partida.

p

q

p↔q

V

V

V

V

F

F

c)o time B se classifica para a Copa Libertadores ou o time D

F

V

F

não é rebaixado.

F

F

V

d)se o time C se classifica para a Copa Sul-Americana, então o time A é campeão.

Vamos começar por: O time D é rebaixado e o time E vence a última partida. Temos uma condicional.

Temos conjunções:

“O time D é rebaixado” = V “o time E vence a última partida” = V

p

q

p⋀q

V

V

V

V

F

F

Proposição:

F

V

F

O time C se classifica para a Copa Sul-Americana se, e somente se, o time D

F

F

F

não for rebaixado. Temos uma bicondicional. “O time C se classifica para a Copa Sul-Americana” = F “o time D não for rebaixado” = F

Tabela da disjunção inclusiva.

Proposição:

p

q

p⋁q

V

V

V

V

F

V

F

V

V

Temos uma disjunção.

F

F

F

“time C se classifica para a Copa Sul-Americana” = F

O time B não se classifica para a Copa Libertadores ou o time C se classifica para a Copa Sul-Americana.

Para a sentença ser V, precismos que a proposição abaixo seja V. “O time B não se classifica para a Copa Libertadores” = V Tabela da condicional: Proposição:

224

Se o time A não é campeão, então o time B se classifica para a Copa Libertadores.

p

q

p→q

V

V

V

V

F

F

“o time B se classifica para a Copa Libertadores” = F

F

V

V

Para a sentença ser V, precisamos que esta proposição seja F

F

F

V

“o time A não é campeão” = F

Temos uma condicional.

225


Vamos agora olhar as alternativas:

a)Paulo é padre e Péricles não é pedreiro.

a)o time B não se classifica para a Copa Libertadores se, e somente se, o time

b)Péricles é pedreiro e Pedrita é paisagista.

D não é rebaixado.

c)Paulo não é padre e Péricles não é pedreiro.

“o time B não se classifica para a Copa Libertadores “ = V

d)Paulinha não é professora e Pedrita não é paisagista.

“o time D não é rebaixado” = F

e)Pedrita é paisagista e Paulo é padre.

Valor lógico da alternativa = F Vamos ver as proposições: b)o time A não é campeão e o time E vence a última partida.

Azul = V e amarelo = F.

“o time A não é campeão” = F

“Se Pedrita não é paisagista, então Péricles não é pedreiro.”

“o time E vence a última partida” = Não importa.

Vamos adotar V e V (em azul), estamos usando a tabela da condicional.

Já temos um F e não tem mais como ter V na sentença. Valor lógico da alternativa = F

“Se Paulinha é professora, então Pedrita é paisagista.“ Já temos que Pedrita não é paisagista.

c)o time B se classifica para a Copa Libertadores ou o time D não é rebaixado.

Para a alternativa ser V, precisamos que Paulinha é professora seja F (em

“o time B se classifica para a Copa Libertadores” = F

amarelo).

“o time D não é rebaixado” = F Valor lógico da alternativa = F

“Paulo é padre ou Péricles é pedreiro.“ Para a alternativa ser V, precisamos que Paulo é padre = V

d)se o time C se classifica para a Copa Sul-Americana, então o time A é campeão. “o time C se classifica para a Copa Sul-Americana” = F

“Paulo não é padre e Pedro não é professor.“

“o time A é campeão” = V Por ser condicional, o valor lógico da alternativa = V

ATENÇÃO! Como não conseguimos completar a lógica de baixo para cima, precisamos recomeçar de cima para baixo:

Resposta: alternativa d) Azul = V e amarelo = F. “Paulo não é padre e Pedro não é professor.”

EXERCÍCIOS PARTE 5

Vamos adotar V e V (em azul), estamos usando a tabela da condicional.

Vamos continuar nos exercícios:

“Paulo é padre ou Péricles é pedreiro.” Esta é uma disjunção, se uma é falsa, a outra obrigatoriamente deve ser V

01

(ESAF) Paulo não é padre e Pedro não é professor. Paulo é padre ou

para a sentença ser V.

Péricles é pedreiro. Se Paulinha é professora, então Pedrita é paisa-

gista. Se Pedrita não é paisagista, então Péricles não é pedreiro. Desse modo,

“Se Pedrita não é paisagista, então Péricles não é pedreiro.”

pode-se, corretamente, concluir que:

Esta é uma condicional, se uma é falsa, a outra obrigatoriamente deve ser F para a sentença ser V.

226

227


“Se Paulinha é professora, então Pedrita é paisagista.”

Temos condicional, aproveite para revisar a tabela.

Deixamos esta por último porque não poderia ser analisada antes. No caso da “Paulinha é professora” não conseguimos definir porque ela pode

“Se Rex é pastor, então João não é louco.”

ser F ou V para a sentença ser V.

Vamos adotar V e V (em azul), estamos usando a tabela da condicional.

Esta é uma condicional. “Se Ana é baiana, então Rex é pastor;” Vamos tentar pelas alternativas.

Não conseguimos montar a lógica porque em “Se Ana é baiana, então Rex é

Azul = V e amarelo = F.

pastor;” e “Rex é pastor” = V, “Ana é baiana” pode ter qualquer valor.

a)Paulo é padre e Péricles não é pedreiro.

Vamos tentar novamente, mas agora com:

b)Péricles é pedreiro e Pedrita é paisagista.

“Se Rex é pastor, então João não é louco.”

c)Paulo não é padre e Péricles não é pedreiro.

Vamos adotar F e V, estamos usando a tabela da condicional.

d)Paulinha não é professora e Pedrita não é paisagista. e)Pedrita é paisagista e Paulo é padre.

“Se Ana é baiana, então Rex é pastor;” Se “Rex é pastor” = F, obrigatoriamente “Ana é baiana” = F

Para a alternativa seja verdadeira, ambas tem que ser V porque são conjunções. “Se Ana não é baiana, então Maria é bonita;” Temos então a alternativa correta = b)

Se “Ana não é baiana” = V, obrigatoriamente “Maria é bonita” = V “Se Maria não é bonita, então João é louco;”

02

(INSTITUTO PRÓ-MUNICÍPIO) Considere as seguintes proposi-

Se “Maria não é bonita” = F, obrigatoriamente “João é louco” = F

ções, todas com valor lógico verdadeiro: Vamos para as alternativas: Se Maria não é bonita, então João é louco; Se Ana é baiana, então Rex é pastor;

a) Maria é bonita;

Se Ana não é baiana, então Maria é bonita;

b) João não é louco;

Se Rex é pastor, então João não é louco.

c) Ana é baiana; d) Rex é pastor.

Com base no raciocínio lógico dedutivo, pode-se garantir que: Veja que agora temos 2 alternativas verdadeira, o que obviamente não a) Maria é bonita;

podemos ter.

b) João não é louco; c) Ana é baiana;

Vamos tentar novamente, mas agora com:

d) Rex é pastor.

“Se Rex é pastor, então João não é louco.” Vamos adotar F e F, estamos usando a tabela da condicional.

228

229


“Se Ana é baiana, então Rex é pastor;”

ue013

Se “Rex é pastor” = F, obrigatoriamente “Ana é baiana” = F “Se Ana não é baiana, então Maria é bonita;” Se “Ana não é baiana” = V, obrigatoriamente “Maria é bonita” = V

Raciocínio lógico: Sequências, Palavras e Figuras

“Se Maria não é bonita, então João é louco;” Se “Maria não é bonita” = F, obrigatoriamente “João é louco” = V Vamos para as alternativas: a) Maria é bonita; b) João não é louco; c) Ana é baiana; d) Rex é pastor. Temos então a resposta a) Fechamos o assunto com chave de ouro com uma questão que nos obrigou a refazer várias vezes (lembrando que é tentativa e erro). Não perca a próxima aula!

EXERCÍCIOS PARTE 1 Olá pessoal, vamos continuar estudando raciocínio lógico e vamos ver questões que pedem sequências, combinação de palavras e figuras. 01

(TRT) Em relação a um código de cinco letras, sabe-se que: -TREVO e GLERO não têm letras em comum com ele; -PRELO tem uma letra em comum, que está na posição correta; -PARVO, CONTO e SENAL têm, cada um, duas letras comuns com o código, uma que se encontra na mesma posição, a outra não; -MUNCA tem com ele três letras comuns, que se encontram na mesma posição; -TIROL tem uma letra em comum, que está na posição correta.

O código a que se refere o enunciado da questão é: A) MIECA.

B) PUNCI. C) PINAI.

D) PANCI. E) PINCA. Vamos analisar por eliminação de alternativas: Tem palavra em comum com TREVO e GLERO: A) MIECA – podemos descartar. 230

231


Estão pedindo o terceiro que chegou, olhando no gráfico, temos o P de Paula. PRELO tem uma letra em comum, que está na posição correta; Alternativa e)

Não ajuda. PARVO, CONTO e SENAL têm, cada um, duas letras comuns com o código, ... Descartamos b)

Mais uma:

MUNCA tem com ele três letras comuns, que se encontram na mesma posição;

Descartamos c) e d)

03

(TRT) Em uma repartição pública que funciona de 2ª a 6ª feira, 11 novos funcionários foram contratados. Em relação aos contratados,

é necessariamente verdade que: Já achamos e) como alternativa correta! a) todos fazem aniversário em meses diferentes. b) ao menos dois fazem aniversário no mesmo mês. c) ao menos dois começaram a trabalhar no mesmo dia do mês.

Vamos a mais uma:

d) ao menos três começaram a trabalhar no mesmo dia da semana.

02

(TRT) Em um dia de trabalho no escritório, em relação aos funcio-

e) algum começou a trabalhar em uma 2ª feira.

nários Ana, Cláudia, Luiz, Paula e João, sabe-se que: Preciso pensar em uma situação que obrigatoriamente é verdade. - Ana chegou antes de Paula e Luís. - Paula chegou antes de João.

A) todos fazem aniversário em meses diferentes.

- Cláudia chegou antes de Ana.

Não, poderiam todos fazer aniversário no mesmo mês.

- João não foi o último a chegar. B) ao menos dois fazem aniversário no mesmo mês. Nesse dia, o terceiro a chegar no escritório para o trabalho foi:

Não, com 11 pessoas, podem se 1 em cada mês.

a) Ana.

C) ao menos dois começaram a trabalhar no mesmo dia do mês.

b) Cláudia.

Não, com 11 pessoas, podem ser 11 no mesmo dia.

c) João. d) Luís.

E) algum começou a trabalhar em uma 2ª feira.

e) Paula.

Não, poderiam iniciar em qualquer dia.

A melhor maneira é montar a sequência na linha do tempo:

D) ao menos três começaram a trabalhar no mesmo dia da semana.

Vamos colocar em ordem conforme o enunciado:

São 11 funcionários, 5 dias da semana: Se eu colocar 2 funcionários para iniciar no mesmo dia, ainda sobram 1 fun-

C 232

A

P

J

L

cionário, o que faz com que ao menos 1 dia da semana, iniciou 3 pessoas. 233


Veja que isto não importa qual é a semana, pode ser qualquer semana do

MÊS não tem letras em comum com ela;

mês, estamos só falando do dia da semana.

Descartamos C).

Resposta d)

SIM tem uma letra em comum com ela, mas que não está na mesma posição; Podemos descartar A). Porque está com o “I “ na mesma posição.

Estude muito porque este é um formato clássico de questão. Note que mudam muitas informações, mas a lógica é a mesma!

BOI tem uma única letra em comum com ela, que está na mesma posição; Descartamos D). e E). Porque tem mais de uma letra em comum com ela.

Não perca a próxima aula!

Já temos a resposta B) Para conferir:

EXERCÍCIOS PARTE 2

01

(TRT) Comparando-se uma sigla de 3 letras com as siglas MÊS, SIM, BOI, BOL e ASO, sabe-se que:

BOL tem uma letra em comum com ela, que não está na mesma posição;OK ASO tem uma letra em comum com ela, que está na mesma posição. OK Resposta B)

- MÊS não tem letras em comum com ela; - SIM tem uma letra em comum com ela, mas que não está na mesma posição; - BOI tem uma única letra em comum com ela, que está na mesma posição; - BOL tem uma letra em comum com ela, que não está na mesma posição; - ASO tem uma letra em comum com ela, que está na mesma posição.

a) BIL

b) ALI

c) LAS e) ABI Vamos fazer uma a uma: 234

02

(TCE) Um departamento de uma empresa de consultoria é compos- to por 2 gerentes e 3 consultores. Todo cliente desse departamen-

to necessariamente é atendido por uma equipe formada por 1 gerente e 2 consultores. As equipes escaladas para atender três diferentes clientes são mostradas abaixo: Cliente 1: André, Bruno e Cecília. Cliente 2: Cecília, Débora e Evandro.

A sigla a que se refere o enunciado dessa questão é:

d) OLI

Cliente 3: André, Bruno e Evandro. A partir dessas informações, pode-se concluir que: (A) André é consultor. (B) Bruno é gerente. (C) Cecília é gerente. (D) Débora é consultora. (E) Evandro é consultor. 235


Vamos montar uma tabela:

(E) Evandro é consultor. Sim, achamos.

Cliente 1

Cliente 2

Cliente 3

André

Cecília

André

Bruno

Débora

Bruno

Cecília

Evandro.

Evandro

Resposta alternativa E)

Equipe formada por 1 gerente e 2 consultores.

03

(TRT) Em uma urna contendo 2 bolas brancas, 1 bola preta, 3 bolas cinzas, acrescenta-se 1 bola, que pode ser branca, preta ou cinza. Em

seguida, retira-se dessa urna, sem reposição, um total de 5 bolas. Sabe-se que apenas 2 das bolas retiradas eram brancas e que não restaram bolas pretas

Vamos ver se tem nomes repetidos 3 vezes, para checar se algum gerente vai

na urna após a retirada. Em relação às bolas que restaram na urna, é correto

em 3 clientes. Não.

afirmar que:

Vamos ver se algum gerente vai em apenas 1 cliente.

A) ao menos uma é branca.

Achamos que apenas a Débora vai somente em 1 cliente.

B) necessariamente uma é branca.

Débora é gerente.

C) ao menos uma é cinza. D) exatamente uma é cinza.

Entenda: se temos 3 clientes e 2 consultores, precisamos repetir consultores

E) todas são cinzas.

nos clientes. O único que poderia não repetir é um gerente. Olhando na tabela, isso faz de Evandro e Cecília consultores.

Separando as informações: 2 bolas brancas 1 bola preta

Vamos olhar as alternativas:

3 bolas cinzas

(A) André é consultor.

Retira-se um total de 5 bolas

Não temos informação. Precisamos saber, com certeza, então: (B) Bruno é gerente. Não temos informação.

Analisando: A) ao menos uma é branca.

(C) Cecília é gerente.

Não tem como saber.

Não, é consultora. B) necessariamente uma é branca. (D) Débora é consultora.

Não tem como saber.

Não, é gerente. 236

237


C) ao menos uma é cinza. Tirou 2 bolas, o total de bolas cinzas é de 3 mais uma que entrou e pode ser cinza.

02

Alternativa verdadeira.

(TRT) Sabe-se que:

I. i. Rifa tem 6 anos a mais que Ana e 13 anos a mais que Bia. II. ii. Paula tem 6 anos a mais que Bia.

D) exatamente uma é cinza. Não tem como saber.

Então, com relação às quatro pessoas citadas, é correto dizer que:

E) todas são cinzas.

A) Rifa não é a mais velha.

Não tem como saber.

B) Ana é a mais nova. C) Paula é mais nova que Ana.

Resposta: c)

D) Paula e Ana têm a mesma idade. E) Rifa e Paula têm a mesma idade.

EXERCÍCIOS PARTE 3 Vamos montar uma linha do tempo:

01

(TRT) Quando somamos um número da tabuada do 4 com um número

A) 2

P

A

R

Bia a Rifa 13 anos

B) 6

Ana a Rifa 6 anos

C) 8

Bia a Paula 6 anos

D) 10

Ana a Bia 13-6 = 7

E) 12 Vamos montar a tabuada! 4x1=4 + 6x1=6

10

4x2=8 + 6x2=12

20

4x3=12 + 6x3=18

30

4x4=16 + 6x4=24

40

Se fizemos fora de ordem: 4+12 = 16 4+24= 28 Temos então a tabuada do 2. Sempre dois números pares terá um número par. Não caia em colocar que é a do 10. Resposta: A) 238

B

da tabuada do 6, necessariamente obtemos um número da tabuada do:

Correta alternativa c)

03

(TRT) Observe atentamente a tabela:

Um

Dois

Três

Quatro

Cinco

Seis

Sete

Oito

Nove

2

4

4

6

5

4

4

4

4

Dez

De acordo com o padrão estabelecido, o espaço em branco na última coluna da tabela deve ser preenchido com o número. A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 239


Depois de quebrar a cabeça, achamos que os números são o número de letras das palavras acima.

EXERCÍCIOS PARTE 4

Por isso, Dez são 3 letras e reposta 3.

Reposta: B)

01

(TRF) Considere os seguintes pares de números: (3,10) ; (1,8) ; (5,12) ; (2,9) ; (4,10). Observe que quatro desses pares têm uma característica

comum. O único par que não apresenta tal característica é: 04

(TRT) São dados três grupos de 4 letras cada um: A) (3,10)

(MNAB) : (MODC) :: (EFRS) :

B) (1,8) Se a ordem alfabética adotada exclui as letras K,W e Y, então o grupo de

C) (5,12)

quatro letras que deve ser colocado à direita do terceiro grupo e que preser-

D) (2,9)

va a relação que o segundo tem com o primeiro é:

E) (4,10)

A) (EHUV) B) (EGUT) C) (EGVU)

Depois de pensar um pouco, achamos o seguinte: (3,10) ; (1,8) ; (5,12) ; (2,9)

E) (EHVU)

3+7=10

ABCDEFGHIJLMNOPQRSTUVXZ

Vamos ver o que eles têm em comum:

D) (EHUT)

Vamos tentar descobrir a lógica.

1+7=8 5+7=12 2+7=9

(MNAB) : (MODC) :: (EFRS) : Lógica entre primeiro e segundo grupo: M-M Inicia mesma letra

Achamos a lógica! Mas 4+7=11

N-O O vem depois do N no alfabeto

Achamos o par errado!

A-D Pula 3 letras.

Resposta alternativa E)

B-C C vem depois do B no alfabeto :: (EFRS) :(EGUT) E Inicia mesma letra

02

(TRF - adaptado) Considere os conjuntos de números:

G Vem depois do F U Pula 3 letras T Vem depois do F Resposta letra d) 240

241


Mantendo para os números do terceiro conjunto a sequência das duas ope-

Vamos ver o alfabeto: ABCDEFGHIJLMNOPQRSTUVXZ

rações efetuadas nos conjuntos anteriores para se obter o número abaixo do traço, é correto afirmar que o número x é:

A cada letra dada, pula uma letra a mais que o anterior. A)10

B-D pula 1

B) 12

D-G pula 2

C) 13

G-L pula 3

D) 15

L-Q pula 4

E) 18

Q- ...pula 5

A questão fala que são duas operações!

Resposta x, alternativa d)

Vamos pensando… Por exemplo:

3+4=7

4-3=1

04

(BACEN) Nas questões desta prova que envolvem sequências de le- tras, utilize o alfabeto oficial que NÃO inclui as letras K, W e Y. A D F I : C F H ....

4x3=12 1x5 não dá 11 12-1=11 não dá para continuar

a) I

...

b) J

Este tipo de questão é tentativa e erro!

c) L

d) N Temos então a operação:

e) P

Somar os dois de cima e soma 5. 3+4+5=12

A D F I : C F H .…

1+5+5= 11 ABCDEFGHIJLMNOPQRSTUVXZ

2+8+5= 15 Reposta alternativa D)

A-C pula 1 D-F pula 1 F-H pula 1

03

(BACEN) Nas questões desta prova que envolvem sequências de le- tras, utilize o alfabeto oficial que NÃO inclui as letras K, W e Y.

Complete a série: B D G L Q .... a) R b) T c) V d) X e) Z 242

I- … pula 1 Resposta L, alternativa c) Não perca a próxima aula! 243


EXERCÍCIOS PARTE 5

02

(BACEN - adaptado) Complete com o próximo item da sequência.

Vamos para os exercícios:

01

(BACEN) Complete:

a) 9 b) 36 c) 42 d) 48 e) 64 Precisamos achar a lógica. Tente achar a lógica por tentativa e erro. Exemplo: 6x3=18 12-6= 6 6-3= 3 6+6=12 4x3=12 6x3=18 … 6x2=12 24x2=48 48x2=96 Opa, achamos! ...= 48 Alternativa d) 244

Pela sequência, posso ver que as peças estão em pé, deitada, em pé, deitada e precisamos de uma em pé. Descartamos b) e d) Vamos ver a lógica: 10/5=2 27/9=3 48/12=4 100/20= 5

Achamos!

Precisamos de uma peça com um número x6 = ao outro. 240/40= 6 150/25=6 Descartamos a) mas sobrou ainda c) e e) Na sequência de peças verticais, temos 5 em cima e 10 em baixo, 48 em cima e 12 em baixo. Precisamos de uma com número menor em cima. Vamos ver se nas alternativas c) e e) temo alguma com número menor em cima para completar a sequência. Sim, temos a letra e). Resposta alternativa e) 245


03

(TRF) Observe que, na sucessão de figuras abaixo, os números que foram colocados nos dois primeiros triângulos obedecem a um mes-

mo critério. Para que o mesmo critério seja mantido no triângulo da direita, o número que deverá substituir o ponto de interrogação é: A)32 A) 13 B) 10 C) 9 D) 7 E) 6

B) 36 C) 38 D) 42

E) 46

Temos uma dica, os números do interior é resultado de operações com os números da parte externa.

Vamos pensar na lógica…

Vamos fazer tentativas para descobrir.

Achamos:

10-5=5

21 – 13 =8

8+5=13

8 x 5 = 40

8x5-10=40-10 = 30 10/5=2

23 - 17=6

10x8/5=16 raiz de 16 = 4

6 x 7 = 42

9x3/4 …. furou.

19 - 7 = 12

Achamos:

12 x 3 = 36

5x8/10= 40/10=4

Alternativa: B)

4x9/3= 36/3 = 12 6x14/12 = 7

Não perca a próxima aula!

Achamos, alternativa D)

EXERCÍCIOS PARTE 6

Vamos para as questões!

246

01

(FCC) Na sucessão de triângulos seguintes, o número no interior de

02

(TRF) Os números abaixo estão dispostos de maneira lógica. 8 1 12 10 14 11 ... 3 7 5 16 9

A alternativa correspondente ao número que falta no espaço vazio é: a) 51 b) 7 c) 12 d) 6 e) 40

cada um é resultado de operações efetuadas com os números que se

encontram em sua parte externa.

Vamos procurar a lógica.

Se a sequência de operações é a mesma para os números dos três triângulos,

Percebo que um número aumenta e um diminui.

então o número X é:

Pela sequência, teria que ser maior que 11. 247


Descartaria b) d) mas não resolve. ... Opa! 8+9=17

1+16=17 12=5=17 10=7=17

14+3= 17

12

42

36

54

?

6

24

18

48

11+?? = 17

Achamos!

A) 5 e 10

Resposta 6 alternativa d)

B) 10 e 15 C) 15 e 25

Não perca a próxima aula!

D) 25 e 35 E) 35 e 45

EXERCÍCIOS PARTE 7

Vamos tentar descobrir a lógica, procure, faça contas, tente na linha, coluna, diagonal, pulando 1, pulando 2, ...

Olá pessoal, vamos para a próxima aula!

Vamos colocar os números em ordem crescente: 6 12 18 36 42 54.

É muito importante pessoal que em todos os exercícios você teste a lógica

Aha! Achamos a tabuada do 6 quase completa.

que encontrou antes de dar o resultado por resolvido. Sempre se lembre de

O que está faltando? 6X5= 30

testar as informações, passar por todas as alternativas para checar se não

Resposta alternativa d)

tem algum erro. Cheque sempre se a lógica que encontrou funciona para todos os itens pro-

Vamos ao próximo!

postos e se nas respostas, apenas uma alternativa é a correta. Caso encontre uma lógica que não funcionou bem, mude ou corrija, não use uma lógica que

não tenha funcionado 100% na questão.

(FCC) No quadro seguinte, as letras A e B substituem as operações

02

que devem ser efetuadas em cada linha a fim de obter-se o corres-

pondente resultado que se encontra na coluna da extrema direita. Algumas alternativas chegam a ter duas alternativas corretas se usar uma lógica ou uma correta se usar outra. Sempre escolha a lógica com 1 alternativa correta. Vamos para o próximo exercício.

01

2

A

4

B

1

=

5

4

A

5

B

6

=

3

7

A

8

B

9

=

?

(FCC) Observe que os números no interior da malha quadriculada abai-

Para que o resultado da terceira linha seja correto, o ponto de interrogação

xo foram colocados segundo determinado critério. Segundo tal cri-

deverá ser substituído pelo número:

tério, o número que substitui corretamente o ponto de interrogação está compreendido entre: 248

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 249


Novamente, procure, teste e tente. Tente multiplicar, dividir, somar, tirar

raiz e elevar a alguns números. Tente mais de uma operação.

01

(FCC) Observe que, no esquema abaixo, há uma relação entre duas primeiras palavras: AUSÊNCIA – PRESENÇA:: GENEROSIDADE - ?

Veja como este é fácil:

a) bondade

Coloque + no lugar de A e – no lugar de B.

b) infinito c) largueza

2

+

4

-

1

=

5

4

+

5

-

6

=

3

7

+

8

-

9

=

?

d) qualidade e) mesquinhez AUSÊNCIA – PRESENÇA: Bom, posso dar aula de matemática, mas sei que são antônimos.

Temos então:

O antônimo de GENEROSIDADE é a alternativa e) mesquinhez.

2+4–1=5 4+5–6=3 7+8–9=6

Vamos para a próxima!

Achamos então a resposta, alternativa c)

02

(FCC) Observe que há uma relação entre o primeiro e o segundo grupo de letras. A mesma relação deverá existir entre o terceiro gru-

Geralmente depois que acha, chega a parecer bobo! Mas é com a experiência

po e um dos cinco grupos que aparecem nas alternativas, ou seja, aquele

que vai descobrir cada vez mais rápido a lógica nas questões, por isso, estude!

que substitui corretamente o ponto de interrogação. Considere que a ordem alfabética adotada é a oficial e exclui as letras K, W e Y.

Não perca a próxima aula!

I - ABCA : DEFD : HIJH : ? A) IJLI

EXERCÍCIOS PARTE 8

B) JLMJ C) LMNL

Olá pessoal! Chegamos na última aula de raciocínio lógico! Pratique muito! Revise várias vezes!

D) FGHF E) EFGE Escrevendo o alfabeto:

Só vai aprender praticando!

ABCDEFGHIJLMNOPQRSTUVXZ

Matemática é igual a jogar futebol, quanto mais joga, melhor fica! Se treinar, vai aprender e vai conseguir! Vamos caprichar nas questões: 250

Vamos ver: ABCA : DEFD 251


A-D: pula 2

Mais uma:

B-E: pula 2 C-F: pula 2

A-D: pula 2

04

(FCC - adaptado) Seguindo o mesmo critério, a palavra que deverá ocupar o lugar do ponto de interrogação é:

A lógica é pular 2x.

arborizado – azar

HIJH:?

asteroides – dias Articular - ?

H-?: pula 2 então: L I-?: pula 2 então: M

A) luar

J-?: pula 2 então: N

B) arar

H-?: pula 2 então: L

C ) lira

Temos: LMNL

D) luta

E) rara Veja que se esquecesse de tirar o K do alfabeto, teria errado a questão. Alternativa c)

Precisamos descobrir a lógica para criação das palavras. Pense, tente e experimente.

Mais uma:

Vamos ver como foi montado: 1) O início e o fim das palavras são o mesmo:

03

(FCC) Qual o melhor complemento para a sentença “O mel está para a abelha assim como a pérola está para .........” ?

arborizado – azar asteroides – dias

A) o colar B) a ostra

2) A primeira sílaba da segunda palavra é a inversão da penúltima sílaba da

C) o mar

primeira palavra:

D) a vaidade E) o peixe

arborizado – azar asteroides – dias

Fácil, colar certo? Não faça correndo para não dançar na prova!

Vamos agora fazer o mesmo com:

Qual é a relação: “O mel está para a abelha assim como a pérola está para

Articular - Luar

.........” A abelha produz o mel.

Aletrnativa a)

A pérola é produzida: B) ostra! 252

253


Mais uma:

05

(FCC) Observe que em cada um dos dois primeiros pares de palavras abaixo, a palavra da direita foi formada a partir da palavra da es-

querda, utilizando-se um mesmo critério. SOLAPAR – RASO LORDES – SELO CORROBORA – ? Com base nesse critério, a palavra que substitui corretamente o ponto de interrogação é: CORA B) ARCO

C) RABO D) COAR

E) ROCA. Vamos ver: SOLAPAR – RASO LORDES – SELO E ainda: SOLAPAR – RASO LORDES – SELO Vamos então montar: CORROBORA – ARCO Resposta: b)

254

255

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