Nou Biaix, 33

biaix

número 33

sumari

Consell de Redacció:

Manel Sol / Josep Pla i Carrera (coordinadors)

Marianna Bosch

Juanjo Cárdenas

Joan Carles Ferrer

Joan Miralles

Romà Pujol

Josep Lluís Solé

Manuel Udina

© dels autors dels articles

Coediten:

Federació dEntitats per a lEnsenyament de les Matemàtiques (FEEMCAT )

Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona feemcat.org

Periodicitat: semestral

Preu d‘exemplar ordinari: 12 € Nombre d‘exemplars: 1.700

Fotografia de la coberta: © Markus Mainka Fotolia.com

ISSN: 2014-2021

Dipòsit legal: B-22.314-2012

Impressió: Gráficas Rey

Publicacions i Edicions de la Universitat de Barcelona

Adolf Florensa, s/n

08028 Barcelona

Tel.: 934 035 430

Fax: 934 035 531 comercial.edicions@ub.edu www.publicacions.ub.edu

articles

El concepte de límit de Newton a Cauchy: entre la geometria i l’àlgebra i el paper dels signes [Segona part]

Gert Schubring

El joc del 1089 en l’ensenyament dels nombres decimals i la introducció del llenguatge algebraic

Carles Dorce

Diàleg entre iguals a l’aula. Eina per a la construcció del coneixement matemàtic

Xavier Vilella Miró

Sobre el sentit de les matemàtiques a l’educació infantil

Àngel Alsina

Societat Catalana de Matemàtiques (SCM) filial de l’Institut d’Estudis Catalans Carme, 47 08001 Barcelona scm.iec.cat ’’ noubiaix@gmail.com sites.google.com/site/noubiaix Editorial 6 22 36 49 63 68 72 75 85 3

Una aproximació etimològica 5: Elements de geometria plana (II)

Jaume Solsona Villaplana

seccions

Per pensar d’un minut a una hora

Jordi Deulofeu

Sabies que... El plegat de tovallons és un ar t molt geomètric?

Claudi Alsina

Cròniques

El racó del creamat

editorialeditorial

Jateniualesmansunaltreexemplardel NouBiaix quearribaquanelnoucursjaestàavançat.Uncursambrestriccionspressupostàriesidificultatsenlescondicionslaborals,tanmateixambelrepted’ensenyarmatemàtiques.Però,comespotcomprovarambelcontingutdelarevista,somuncol·lectiuque,malgrattot,ésactiuiestàil·lusionatamblatasca d’ensenyarmatemàtiquesatotselsalumnes.

Enaquestnúmeropodremtrobarlacontinuaciódel’articledeGertSchubring,professor d’històriadelamatemàticaalesuniversitatsdeBielefeld(Alemanya)iRiodeJaneiro(Brasil),sobrel’evoluciódelconceptedelímitdesqueNewtonl’introdueixalsseus Principia Mathematica.Enaquestasegonapart,mostraambdetalllescontribucionsd’altresmatemàticsquehanestatnecessàriesperaarribaralaformalitzaciórigorosad’aquestconcepte, ques’assoleixambCauchy.

Elcàlculaprimercicled’ESOhaestatsempreuntemadifícilpertald’engrescarl’alumnat.Elprofessor Dorceenspresentaunaactivitatbasadaenunjocambrepte,queaconsegueixinteressarelsnoisiles noiesde2nd’ESO.Peròcreiemquetambécridaràl’atenciód’alumnesmésgrans.Defet,ésunjocque, desdelsseusorígensalsegle XIX,hacaptivatdiferentsmatemàticscomCarroll,PeanooPerelman.

Laclassetradicionalexpositivaperpartdelprofessoratjafatempsquehaentratencrisiiaracalen novesideesinousrecursosperalnostretreballal’aula.X.Vilellaensmostraunabonapràcticad’aula, coméslaconstrucciódelconeixementmatemàticbasateneldebatentreelsalumnes.Desdela sevapràctica,ensdiuquinescondicionss’handedonarperquèaquestdiàlegsiguipossibleiquina ésl’actuaciódelprofessor.Enunsquantsexemples,ensensenyalagranriquesad’aquestaproposta.

Destacarlaimportànciadedesenvoluparlescompetènciesmatemàtiquesdesdelesprimeresedats delsalumneséslaprincipalideaqueensaportal’articled’ÀngelAlsina.Ensegonlloc,ressaltaelgran valordelsprocessoseneldesenvolupamentdelescompetènciesmatemàtiquesifaunrecullde recomanacionsdediferentsorganismesinternacionalsperafacilitaralprofessoratlaimplementació al’aula.Acabaambunapropostaiunaanàlisid’unaactivitatconcretaperalsalumnes.Sibéaquesta partfinalestàadreçadaalsmestresdelnivellinfantil,laprimerapartdel’articlepotinteressarmestres iprofessorsdequalsevolnivell.

Amés,tenimlesseccionsdelscol·laboradorshabituals,alsqualsagraïmelseutreballunavegadamés. Tambés’incloueninformacionsd’activitatsquejahancomençatoqueesportaranatermealllarg d’aquestcurs,comlesnovetatsdelMMACA,lesolimpíadesmatemàtiquesielconcursFemMates.

articl artices les rticles

Elconceptedelímitde NewtonaCauchy: entrelageometriail’àlgebra ielpaperdelssignes [Segonapart]

GertSchubring

Resum Abstract

Aquestasegonapartdel’articlefaèmfasienels autorsque,d’algunamaneraoaltra,han adoptatunllenguatgeméssimbòlicenel tractamentdelconceptedelímit.La presentació,comésnatural,segueixl’ordre cronològiciposal’èmfasienaquellespartsque sóndeutoresdelsautorsprecedentsid’aquelles altresquesóninnovadores.

Thissecondpartofthearticledoesemphasisinthe authorsthat,bysomemeansorother,have adoptedamoresymboliclanguageinthe treatmentoftheconceptoflimit.Thepresentation, howisnatural,followsthechronologicalorderand putstheemphasisinthosepartsthataredebtorsof theauthorsprecedentsandofthoseotherthatare innovative.

1. Stockler

EltextdeStocklerpresentaelprimerintentd’aproximacióaunaelaboracióalgebraicadelconcepte delímiti,enconseqüència,ésd’ungraninterèssistemàtic.FouescritaPortugal,alaperifèriade l’Europamatemàticad’aquelltemps.Elllibreés,amés,uncasexcepcionalperl’efectedemestratge especialitzatqueprovocàenfortintlareflexiósobreelsfonamentsdelamatemàtica.L’autorpertanyia, defet,alaprimerapromociód’estudiantsgraduatsd’estudisespecialitzatsenmatemàtiquesdela FacultatdeMatemàtiquesdelaUniversitatdeCoïmbra,quehavienestatreformatsen1772,ien fouundelsestudiantsmésexcel·lents.FranciscoBorjaGraçãoStockler(1759-1829)ésconegutcom aautordelaprimerapresentaciódelahistòriadelamatemàticaaPortugal(1819).Laimportància d’aquesttextencaranohaestatproureconegudaniapreciada.

Elseuvolumdecentpàgines CompendiodaTheoricadosLimites,ouIntroducçaõaoMethododas Fluxões foupublicatperl’AcadèmiadeCiènciesdeLisboaen1794.Stocklersegueixmoltsdelsseus

predecessorsenargumentarqueelmètodedelslímitsestrobavajaalabasedelsgrecs,id’unamaneraparticularenArquimedes.Tanmateixnol’explicitaren.Elsgeòmetresmodernshaviengeneralitzat laideadelímit,peròalhorahavienintroduïtelsconceptesimperfectesirepel·lents(«imperfeitas,repugnantes»)d’Infinitos i Infinitesimos (Stockler1794, IV)pertald’evitarelsmètodeslaboriososdels antics.Stockler,peraestablir-neeldesenvolupament,esfonamentaensisfonts:lasecció I delprimervolumde PrinciplesofNaturalPhilosophy deNewton,eltextdeMacLaurin,lesentrades«Limite»i «Differentiel»del’Encyclopédie deD’Alembert,elsegoncapítoldeltextdeCousin,lapartconcernent elsprincipisdelcàlculinfinitesimaldeltextdel’abatMartini,finalment,l’assaigpremiatdeL’Huilier. Aixònoobstant,Stocklerindicavaamborgullquegairebétotselsseusresultatseren«completament nous»(ibíd., VIII).Indicavatambéque,eneltext,haviadesenvolupatelsfonamentsque,finsaleshores, noméserenimplícitsenleslliçonsquehaviadonatalaReialAcadèmiaNavaldeLisboa(ibíd., IX).

PeròelsconeixementsprecisosqueStocklertédelaliteraturainternacionalnosolssónremarcables, sinóquetambéconfirmenqueeltextdeMartinde1781nofousolamentsignificatiuenelseu país,sinóquehaviaestatreconegutenl’àmbitinternacional.Amés,lapercepciódeMartinconstitueixunadelesbasesmésimportantsdeStockler.TanmateixStocklersobrepassaàmpliamentles sevesbasesensepararelconceptedelímitdelconceptegeomètricialgebritzar-locomunaexplicacióoperativaperalesvariables,ifinalmenttambéperafuncions.Iultratotaixò,hitrobeml’inici d’operacionsambdesigualtats.Basant-seenelsconceptesdeMartin,StockleradoptaladiferenciaciódeL’Huilierenlímitsperladretaiperl’esquerraintroduint-hi,amés—perl’estatusexcepcionalcaracterísticdelzero—,unadiferenciacióulterior,queportapràcticamentlasuccessiónul·laa l’estatusdeconceptebàsicdelateoriadelslímits.

Stocklerinicialapresentaciócomgairebétotsalsautorsquel’hanprecedit,introduintelsconceptes deconstantidevariable,però,comMartin,fentservirelconceptedevalor:lesconstantssónensque solamentacceptenunúnicvalor,mentrequelesvariablespodenassumir-nediversos(ibíd.,1).Igual quetotselsautorsdelsegledivuit,non’explicitaelrecorregut.AleshoresStockler,ambunacoincidènciamoltgranambMartin,defineixelconceptegeneraldelímit,formulantl’aproximacióarbitrària deformaidènticaaladeMartin:

Unaquantitatconstants’anomena«Límit»d’unavariablesiladarreraéscapaçdecréixer,resp.de decrèixer—àdhucsielvalordelavariablenoesdevémaiigualaldelaconstant—demaneraque s’apropatantalaconstantqueladiferènciaesdevéméspetitaquequalsevolquantitatdonadaper endavant,perpetitaques’hagiagafat(ibíd.,2).

Stocklergairebénoempraelconceptedelímitenlasevaformageneral,sinóenformesespecífiquesquealcomençament,comL’Huilier,distingiaentrelímitsperladretaiperl’esquerraperquè nodisposavadelconceptedevalorabsolut.AllòqueL’Huilieranomenava limiteengrandeur,Stocklerhoanomena limiteemaugmento,iel limiteenpetitesse deL’HuilieresdevéenStockler limiteem deminuçaõ (ibíd.,2).LainnovacióconceptualquedepassaMartinconsisteixenelfetqueStockler oposaaaquestsdosconceptesdelímitelqueaparentmentsemblenconceptescomplementaris d’il limitat:lesvariablesque,quandecreixen,notenenlímit(«quenaõtemlimiteemdeminuiçaõ»), respectivament,tampocnoentenenquanaugmenten(«quenaõtemlimiteemaugmento»).

Defet,noméslesvariablessenselímitquanaugmentense’nsmostrencomail limitadesiperconsegüent,engeneral,nosónaplicablesoperativament.Contràriament,encanvi,lesvariablesquequan disminueixennotenenlímitconstitueixen,adespitdelnom,nosolsunaquantitatlimitada,sinótambéunconceptebàsicnoudelateoriadelslímits.Laraód’aquestfetésl’estatusexcepcionaldelzero. Comhemvistabans,Martinnoreconeixiaelzerocomunaquantitat,nitampoccomavalorpossible peralesvariables.Peraquestmotiu,haviainroduïtels infinimentpetits comunavariableespecialque

finalments’esvaeix.MalgratqueStocklernocomentaexplícitamentaquestaqüestió,elzerotétambéunaposicióexcepcional:totalasevapràcticapalesaclaramentqueelzeromainoespotassolir comunlímit.Stocklerdefiniaelconceptedelímitd’unamaneradiferent:comeld’unavariableque disminueixsenselímit.Aixònosignificaunavariablequecauenl’«infinit»negatiu,sinómésaviatuna variableques’apropaalzerocomsifosunabarrera,quelcomquemostranosolslalimitaciófactual d’aquestavariable,sinótambéelcaràcterexcepcionaldelzero.Lainconsistènciadelaconcepcióde Stockleréselfetd’haver-seabstingutdediscutirlapossibilitatdelslímitsnegatius.

Finsitotelprimerúsquefadelconceptede«variablesenselímitdedisminució»mostraquel’entén comsifossinvariablesqueaquípodríemdesignarsimplementcomasuccessionsnul les.Elprimer teoremarelatiuaaquestesquantitatsestableixquelasumad’unnombrearbitraridevariablesd’aquestamenaéstambéunavariabled’aquestamena.Lademostraciód’aquestfetmostraquel’operaciód’aquestesvariablespotesdevenirméspetitaquequalsevolquantitatperminsaquel’agafem —Stocklernosuposaqueaquestaquantitathagideserpositiva;enell,éstípicunúsconsistentd’unacertaàlgebradelesdesigualtatsque,segonsGrabiner,constitueixunainnovacióquecomparteix ambCauchy:

Sigui n elnombredevariables z , y , x ,etc.i k unaquantitattanpetitacompuguemimaginar.Aleshores,hompotsuposarque z < k n ,y < k n ,x < k n , iigualmentperatoteslesaltresvariables,ihomobtéque z + y + x + etc. < k QED (Stockler1794,4).

Unaaltraproposició,eltercerteoremadeStockler,il·lustralacaracterísticabàsicad’aquestconcepte delímit—aparentmentil limitat—comunasuccessiónul la.Siduesvariablesdiferents x i y tenen elmateixlímit a,lasevadiferència x y notélímitdedisminució(ibíd.,7).

Eldesenvolupamentposteriordelespropietatsd’aquestessuccessionsnul lesportaeventualment Stockleralaformulaciódel PrincipioFundamental delateoriadelslímits,quemostraquelessuccessionsnul lespodenesdevenirelconcepterealmentbàsicd’aquestateoria.Unavariablequeposseeixi unlímitpotserconsideradacomunasuma,respectivamentcomunadiferència,d’unaconstant—i.e., ellímit—id’unasuccessiónul·la:

Totaquantitatcapaçdelímitésnecessàriament,ambelgraudeprecisióquesigui,igualalseu límitmésomenysunaquantitatvariablequenotélímitdedisminució(ibíd., VI).

Ambaquestsconceptesfundacionals,Stocklerdesenvolupaunaconcepciótotalmentalgebraicade lesoperacionsamblímits.Encontrastambelsseuspredecessorsquehavienfocalitzatelseutreball operantambraonsgeomètriques,Stocklerconcepelcomportamentdellímitalgebraicamentiens presenta,deformasistemàtica,lasevaoperativitat:peracadaunadelesoperacionsaplicablescom aral’addició,lasubtracció,lamultiplicació,ladivisióil’obtenciód’unapotència—itambéperalligams d’aquestamenaentreduesomésvariables,entreunaconstantiunavariable,etc.Lesdemostracions delsteoremesindividualss’ofereixen,d’unamaneraconsistent,mitjançantoperacionsalgebraiques ambdesigualtats.Comaexemple,citaremalgunsd’aqueststeoremes:

Siduesvariablessónsuccessionsnul·les,lasuma,ladiferènciaielproducte,també;resultatsanàlegsvalenperalproducted’unavariableiunaconstant,iperaladivisiód’unavariableperuna constantTotaquantitatcapaçdelímitésnecessàriament,ambelgraudeprecisióquesigui,igual alseulímitmésomenysunaquantitatvariablequenotélímitdedisminució(ibíd.,3-10).

Unapotència ax ,on a < 1ésunaconstanti x unavariableambvalorspositiussenselímit d’augment,proporcionaunasuccesssiónul·la(ibíd.,22).

Ellímit,tant emaugmento com emdeminuçaõ,delasuma—resp.ladiferència,resp.elproducte—d’unaconstant a iunavariable x amblímit b ésigualalasuma/diferència/productede a per b.Demostraelsanàlegsperadosomésvariables(ibíd.,28is.).

Aqueststeoremescondueixenimmediatamentaproposicionsd’intercanviabilitatdelímits,iaddicionalmentforensuportatsigeneralitzatsamblacreaciód’unsigneperalconceptedelímit.Amés, elsacompanyàimmediatament,enlaseccióesmentadarelativaalsdosconceptesdelímitquesucceeixenadequadamentlapresentaciódelprincipifonamental(vegeuelparàgrafanterior),del’exposiciódelsconvenisqueconcerneixenelsigneperalslímits—quecontenien«lim»,unsímbolqueja haviaesdevingutestàndard;tanmateixStockler,enl’úsd’aquestsigne,s’abstédediferenciarelslímits perladretaiperl’esquerra:

Sienuncàlculdesitgemexpressarellímitd’unavariableinohemestablertencaraunalletrade l’afabetperadesignar-lo,escriuremlestresprimereslletreslimdelaparaula límit abansdeltermeo del’expressióquerepresentalavariable.Peraexpressarellímitde x ,escriuremlim x ;peraexpressar ellímitde xy ,escriuremlim(xy );peraexpressarellímitde y x ,escriuremlim(y x );iaixíanàlogament (ibíd.,28is.).

Tantpelfetd’introduirsignescomd’usar-los,novamentésmésexplícitiprecísqueelsseuspredecessors.Sibéformulalesproposicions(«theorems»)senseutilitzarelsignedelímit,semprel’usa,de formaoperativa,enlesdemostracions.Aquestúsmostraalhoralaintercanviabilitatdel’operacióalgebraicaielprocésdedeterminaciódellímit.Aleshores,elresultatdelim x = a ilim y = b ésque a + b = lim(x + y ),i ab = lim(xy )(ibíd.,30is.).

Stocklerestableixlaintercanviabilitattambéperafuncionstranscendents,enparticularperallogaritme:Pera b = lim x i a constant,tenimquelim(ax ) = ab ,ianàlogamentlim(y x ) = ba (ibíd.,55is.).

Unfetnouenl’aproximaciódeStocklerésquenolimitaelslímitsalesvariables,sinóqueintrodueix explícitamentidiscuteixelslímitsdefuncions(ibíd.,66is.).Enparticular,comateorema XIII,estableixexplícitamentlasusbtituïbilitatdelprocésdelslímitsperafuncions:«Ellímitd’unafunció Fx d’unavariable x queadmetunlímitésigualalafuncióhomòlogadellímit»(ibíd.,68).Enlaforma ambsignes,Stocklerexpressaaquestteoremad’aquestamanera:Pera a = lim x ,s’obtélim Fx = Fa.

Enlescondicionsd’aquestteorema,introdueix,enelcasdelesproprosicionsgenerals,lacondició quela(les)variable(s)admeti(n)límit(s):«capazdelimite»(ibíd.,11is.).Tanmateixnoconsideraaquesta condiciócomunelementdelapròpiateoriapelquefaal’estudidelcomportamentdelesfuncions.

LazareCarnot(1753-1823)vaescriuretresversionsdiferentsdelfamóstext Reflexionssurlamétaphysiqueducalculinfinitesimal,en1784,1797i1813.Noésgaireconegutquel’aproximaciópassad’un mètodebasatenellímitaunqueelmenyspreai,encanvi,emfasitzaelsinfinitesimalscomasuperiors.Pertant,l’obradeCarnotésundelscasosrarsd’unaccésimmediatacanvisepistemològics.

Laprimeraversiófouescritaen1784perserpresentadaenconcursal’AcadèmiadeCiènciesde Berlín.Mentrequel’Acadèmiahaviadescritelconceptedel’infinitcoma«contradictori»,Carnot—en unanotaapeudepàginaintroductòria—assignaaquestcaràcterúnicamentalesideesprimeren-

2. Carnot

quesimprecisesdelsnovells.«Enrealitat»,continua,«resnoésméssimplequeunconcepteexactede l’infinit»(ibíd.,174).1 Justificaaquestaasserció—queeratotalmentcontràriaalatradició—afirmant queelconcepted’infinitestàdirectamentrelacionatambellímitoamblesraonsprimeresidarreres deNewton,quemainingúnohaviarefusatique,amés,generalmentromanenindefinidesper mordelasevainintel ligibilitat(ibíd.).

ÉsastoradorquelaliteraturaqueexisteixsobrequelamemòriadeBerlíndeCarnotnodiscuteixifins aquinpuntcontradiuobertamentelconceptefonamentaldelaqüestiódelpremi.Usantlamateixa terminologiaamblaquall’Acadèmiahaviafetunacridapertalquehomsusbtituísl’infinit,Carnot exposaqueenpotproporcionarunconcepteprecís,exacteiclar—sibé,admetent-loalsidela teoriadelslímits—:«Pertant,suposantelconceptedelímit,hihaunasolucióprecisa,exactaiclara» (ibíd.,174).

ElqueésdecisiuésqueCarnotnoveuresdecontradictorienelconcepted’infinit,semprequese’l concebidinselmarcdelateoriadelslímits:

Pertant,lesquantitatsinfinitesimalsnosónensimaginaris,sinósimplesquantitatsvariablescaracteritzadesperlanaturalesadelsseuslímits(ibíd.,n.13,182).

AquestanotableindependènciadeCarnotespalesatambéenlasevadistànciadeD’Alembert,elqual desijava,al’Encyclopédie,exclourecompletamentels infinimentpetits deldiscursmatemàticlegítim. L’aspecteproductiuésqueCarnot,nosolamentintrodueixunsignelímitequivalentaldeL’Huilier, sinóquel’aplicatambéoperativament,entred’altres,peraexpressarlapropietatd’esdevenirinfinitamentproper.Laintroducciódelsignenoesfad’unamaneraencoberta,sinóexplícita:

Posodemanifestqueetiquetoellímitoelvalordarrerd’unaquantitatarbitràriausantlamateixa quantitatprecedidadelsigne L (ibíd.,n.36,199).

Aleshoreséshàbilperaformularlapropietatanteriorenlaformabreu L A B = 1(ibíd.,n.51,241). Carnotaplicaaquestsignedellímitd’unaformaextensa,enparticularenlesdemostracions(vegeu ibíd.).Tambél’usaenlademostraciódelseuteoremaque—seguintl’obradeMartin—actualment formapartdelrepertoriestàndarddelateoriadelslímits,asaber,laintercanviabilitatdelslímitsen lesoperacionsmatemàtiques,enelcasdelaformaciódelsquocients:

Laraódarreradeduesquantitatsarbitràrieséssempreigualalaraódelsseusvalorsdarrerso,el queéselmateix,ellímitdelaraódeduesquantitatsarbitràriesésigualalaraódelsseuslímits (ibíd.,n.88,242).

Launiversalitatdelaproposicióperaquantitats quelquonques,laretrobemenendavant,durantmolt detemps,enelsautorsposteriors.Carnotexpressatambéaquestaproposicióambsímbols:

Perconsegüent, L Y Z = 1éselmateixque LY LZ = 1(ibíd.).

Encaraqueaquestasemblaqueéslasevaconclusiórespectedelsmètodesdelcàlculinfinitesimal, iencaraqueambdós,elsingularielcombinat,esbasinenelconceptedelímit,Carnotdiscuteix —inicialmentmoltsorprenentment—un méthodedeslimites separat,«vertader»,quealeshoresprova queéselmètodegeneralsuperior.

1.Podríemconsiderar,potser,aquestaacceptaciódel’infinitcomunaraóperlaquall’Acadèmianoconcedíelprimer premiaaquesttractatdeCarnot.

Comamètodeindependent,Carnotpresentaladeterminaciódellímitperalsquocientsdediferències:

(ibíd.,n.84,239is.).

PeraCarnot,forjarunlligamentreladeterminaciódelsdiferencialsidelsquocientsdediferencials noésmatemàticamenttrivial.Peraixòposal’accentenelfetquelesquantitatsdiferencialsnos’esdevenendeformaseparadaenelmètodeactualdelslímits.Consideraaquestvincleinherentuna «dificultat»quenoestrobaenelques’anomenal’analyseinfinitésimale normal:noespodenseparar lesvariablesiexecutarindividualmentlesoperacionsdetransformació:

Aquís’esdevéquenoespot,comsucceïaenelmètodeanterior,separarlesquantitatsinfinitament petiteslesunesdelesaltres;sempres’handepresentardeformaconjunta,laqualcosaprevéles equacionsallàonestrobendeveure’ssotmesesatoteslestransformacionsqueservirienpera eliminar-les(ibíd.,n.85,2241).

Aquesta«dificultat»confirmaunavegadamés,tantpelcostatmatematicoconceptualcompelmatematicooperacional,queelconceptebàsicenl’anàlisideCarnotésencaraelgeomètricdecorbai nopaseldefunció.

ÉsnomésquanassoleixaquestaformadelmètodedellímitqueCarnotemfasitzaqueoperasolament ambquantitatsfinitesi,pertant,esrestringeixalsmitjansdel’àlgebranormal.Aixòconverteixelcàlcul infinitesimalen«unaaplicaciósimpledelcàlculalgebraicordinari».Comacàlculalgebraicpuramb quantitatsfinites«perceptibles»,noespassejaperla«terradelserrors»;aquestmètodedelslímitsés claramentelqueésgeneralielques’hadepreferir.

Tanmateix,permordelesdificultatsquedescriuensepararvariables,Carnotnodesitjaatorgar-li aquestestatusdeformageneral.Desprésdedesenvolupardiversosteoremessobrelímits—i,enparticular,sobresubstitucions(vegeuelparàgrafanterior)—,proporcionauncamíperdefugiraquesta dificultat:canviarlabasedeladiferencial.Lareproducció,alafigura,d’aquestalíniadepensament presental’aplicacióoperativadelsímboldelímit L.

3. Desenvolupament de conceptes ulteriors: Garnier, Lacroix i Ampère

Retornemaraalescontribucionsd’altresmatemàticspelquefaaldesenvolupamentdeconceptes bàsicsposteriorsdel’anàlisialsidel’ÉcolePolytechnique.

3.1. Garnier

UnpersonatgenotableenaquestacontribuciófouJ.G.Garnier.Vaserelprimer—immediatament desprésd’haverensenyatelseucursnormald’anàlisi—aimprimirlespròpiesversionsabreujadesde lliçonsadreçadesalsestudiants.L’arxiudel’ÉcolePolytechniquecontédiversostextosd’aquestcaire queevidentmentforeneditatscomasimplesmaterialsdecursinoperaunadistribucióàmplia.Un d’aqueststextos,titulat Leçonsd’Analysealgébrique,DifférentieleetIntégrale, 2 peralaprimeraadmissiód’alumnesdel’any1800-1801,contétambéunaversióabreujadad’unaclasseencapçaladaper Coursed’AnalyseDifférentielle,faitl’an9.Desprésd’introduirelstermesconceptualsidepresentarels fonamentsdelcàlculdiferencial,Garnier,alasecciótercera,tractaexplícitamentdelatransiciódeles diferènciesalsdiferencialsiaplicael méthodedeslimites comamitjàperafer-ho.Eralaprimeravegadaqueunaaproximaciód’aquestamenateniallocal’ÉcolePolytechnique,onelcàlculdiferencial s’haviabasatsempreenelcàlculdediferències.Laseccióésencapçaladaper Notionsdelalimiteet passageducalculauxdifférencesfiniesaucalculdifférentiel

L’extensiódeGarnierdelconceptedelímitnoeraunesdevenimentisolat,sinóquejaformavapart delsexàmensfinals.Esconservaundocumentde1799enelqualGarnieranotàlespartsimportantsdelseuprogramasobrecàlculdiferencialiintegralcomaguióperadosexaminadors:Laplace iBonne.Aquesttextrevelaqueundelstòpicsdel’exameneraquenototafuncióposseeixunlímit arreu.Delsdinoutòpicssobreelsfonamentsdelcàlculdiferencial,elstresprimersvanadreçatsala introducciódelconceptedefunció.Ialgunsdelstòpicssegüentstractendelconceptedelímit.En sónexemples:

4.Quès’enténcomalímitd’unafunciód’unavariable.

5.Nototeslesfuncionsadmetenlímit.

7.Assignaelslímitsdelesraonsolesraonsdarreresde corde sinus , sin cos , sin sinvers , tang sin , tang corde , Arc sin , Arc corde .

12.Elslímitsdelesraons

2.Archivesdel’ÉcolePolytechnique,Bibliothèque, AIII a51.Lesllacunesdelapaginacióposentambédemanifest queaquestesimpressionssolamenterend’úsintern.

3. AEP,Bibliothèque, III 3b,J.G.Garnier,ProgrammdeCalculIntégraletdeCalculdifferentiel,remisle16fructidoraux c.enLaPlaceetBonnepourservirauxexamensouvertsle12Complémetaire,an7.

3.2. Lacroix: El propagador del mèthode des limites

Eltextmonumentald’anàlisideLacroixésnosolsl’exposiciómésmodernaicompletadel’estatde l’artenl’anàlisi,sinótambélapresentaciómésconsistentdelmètodedelslímits.DesprésdeGarnier, Lacroixfouelprincipalprofessorqueensenyàcàlculielseubreumanualesconvertíenoficial.

Eltextprincipalpresentaeltractamentenbaseaunmètodeúnic:eldelslímits.Tanmateixnomés utilitzaformulacionstextualsievitaemprartotamenadesignesiaixí,doncs,unaalgebritzacióindependentieldesenvolupamentd’uncàlculamblímits.Pertant,laformadelmètodedelslímitsen Lacroixrepresentaunpasenreresielcomparemambl’obradeMartin,L’Huilier,Carnoti,abansd’ells, deStockler(elqualprobablementnoelserafamiliar).Enresulta,doncs,quehemdecaracteritzar Lacroixcomunmodernitzadorconservador.

Aixònoobstant,fouindubtablementunmodernitzador.L’obradeLacroixéselprimertextgeneral,ja queeltreballmoltaïllatd’Euleresbasaconsistentmentenelconceptedefunció(Lacroix1797-1799, 1is.).Enellajustificalanecessitatdelmètodedelslímitsperlanecessitatquehihadeclarificarla convergènciaodivergènciadelsdesenvolupamentsensèrie,iformulaladefiniciódelímitsegüent, puramenttextual:

Enendavant,anomenaremlímitaquellaquantitatqueunamagnitudnopotdepassarquancreix odecreix,ofinsitotunaquenopuguiatrapar,peròalaquals’apropatantcomdesitgem(Lacroix 1797,6).

Ésimportantobservarl’actitudconservadoradeparlarde«quantitats»d’unamaneraindeferenciada sensedistingirentreconstantsivariables.PeraLacroix,elmètodedelslímitsnoésnoméselfonament necessaridel’anàlisi,sinó,alhora,elmitjàquepermetprescindirdel’úsdelesquantitatsinfinites.

Allòquepotserconsideratmodernésl’èmfasiqueLacroixposa,enlasecciódelsfonaments,enelfet quenototaquantitatofuncióhad’acceptarunlímit.Repetidament—comféuL’Huilierabansque ell—formulalaprecondicióquelafunciórespectiva«éscapaçdeteniruncertlímit»(ibíd.,28).Desprésd’exposarels limites,afirmaquecreenunabasesuficientperal’estudidelprocésdellímit.

3.3. Ampère

DesqueGarnierdeixàl’ÉcolePolytechniqueen1802,desprésqueel Traitééleméntaire deLacroix esdevinguéseltextestàndard,vanpassaralgunsanysabansquelasevatascasobrefonamentsfos continuadadeformadirecta.FourepresairadicalitzadaperAndré-MarieAmpère(1775-1836),elqual, en1804,aconseguíelseuprimerllocdetreballcoma répétiteur abansd’assolir,en1808,eldeprofessord’anàlisiambdedicacióexclusiva.Encaraqueésmésconegutcomafísic,fouunmatemàticiun químicmoltactiuitambédestacàenfilosofia.Menysconegudaencara,ifinsitotdedatadesconeguda,éslacontribucióqueféuenrelacióambelsfonamentsdelamatemàtica.Lessevesaportacions sónevidentmentelresultatdelessevesreflexionsfilosòfiques.Vanemergirtambéenelcontextde l’ÉcolePolytechnique.

Decideixtambéadoptardeformaexplícitaelmètodedelslímitsiproposaidemostrateoremesnous pelquefaalseuúsoperatiu.PrenunadirecciódiferentdeladeStockleriproposateoremesper aoperaramblímitsdedesigualtats.Elsavençosqueféuestrobendocumentatsenlesnotespreparatòriesperalcursd’anàliside1808-1809,uncursqueheretàdeLacroixquanaquestabandonà lasevaplaçaal’ÉcolePolytechniqueperprendrepossessiód’unllocdetreballnoualaFacultatde

Ciències.Aquestesnotessónparticularmentinformativesperquèconfirmenlaindependènciaque manifestarespectedeLacroix.UsaelcurrículumdeLacroixperafegir-hinotespròpiesqueposen demanifestlessevesprioritatsiaproximacions.Enlaprimeranotaadverteixqueelcurss’establirà segonselmètodedelslímitsseguintunprogramageneral.

Lainnovació,latrobemenlasegonadelesnotesd’Ampère.Amésdelsteoremesfamiliarssobre límits,quemencionasolamentdeformaabreujada,enproposaidemostrad’altres.Tantenlaformulaciócomenlademostraciófaservirelsignelim.4 Tambéintrodueixunsignepera«estarentre»o «serproperentre».

Amésdelsteoremesconegutssobrelímits:doslímitsdelamateixaquantitatsóniguals,etc., ajuntar-hiaixò:Si X estrobasempreentre V1 i V2 quetenenlímit v ,aleshorestambélim X = V

Atèsque X estrobaentre V1 i V2 ,aleshoresresultaque X V estrobaentre V1 V i V2 V , iaquestsdosesdevenentanpetitscomesdesitgi,perlaqualcosaellímitde X V1 també.Per tant,lim X = V .c.q.f.d.

Ampèrecontinuaaquestademostraciópredominantmenttextualesbossant-neunaversió algebraica,totintroduintunsignenouperalarelació«estarentre».Aleshoresescriu:

4. Cauchy: El límit i l’infiniment petit

Desdel’any1811enendavant,acausad’uncanviepistemològicimportant,elmètodedelslímits esdeixàd’ensenyaral’ÉcolePolytechnique.Fousubstituïtpeldelsinfinitesimals,les quantitésinfinimentpetites,queesconsiderenméssintètiquesiintuïtives.D’aquestamanera,aFrança,elprocés d’algebritzaciódelconeptedelímitesvaveureinterromputdurantmoltdetemps.

Finsitotenlessevesfamosesnotes, Coursed’analysealgébrique de1821,Augustin-LouisCauchy (1789-1857)nocontribuíal’algebrització,encaraque,perunamenadefórmuladecompromís,va reintroduirl’úsdelslímitsielsdefiníd’unamaneratotalmentretòricasenseusarsímbols.

Immediatamentdesprésd’haverdefinitlesvariables,Cauchydefineixtantel«límit»comles«quantitatsinfinitamentpetites».Ladefiniciódellímitéstotalmenttextual,sensesignesnidesigualtats.Usa eltermeclàssicd’esdevenirarbitràriamentproper—sensemencionar,perexemple,lesquantitats infinitamentpetites:

Quanvalorssuccessiusdonatsdelamateixavariables’apropenindefinidamentaunvalorfixat,de maneraquealfinall’unil’altredifereixentanpoccomesvulgui,aquestdarrers’anomenael límit delsaltresvalors(ibíd.,4).

Novamentésfonamentalperaladefincióquelavariableadopti«successivament»valorssingulars.Seguintlatradiciófrancesa,l’únicrequisitquehadecomplirlasuccessiódevalorsquehemassumit ésque,alfinal,difereixidellímitunaquantitatarbitràriamentpetita.Noesconsideralapossibilitat d’atènyerellímit.Ladefiniciódelímitéspuramenttextual,is’estableixsensel’úsointroduccióde signes.Cauchynointrodueixelsigne«lm.»finsalasecciósegüentinoméscomunaabreviatura —subratllantelseuúsambelpunt:

4.Elprimerautorquemencionaaquestalleid’inclusiód’AmpèreésGrattan-Guinness(1990,199).

5.NachlaßLd’Ampère.Alapartcentral,Ampèreoblidasempreinsertarla« V »alcostatdeladreta.

Quanunaquantitatvariableconvergeixaunlímitfixatperendavant,sovintésútilindicaraquest límitambunanotacióespecial,quefaremcol·locantl’abreviatura lim.

davantdelaquantitatvariablequeestemconsiderant(ibíd.,13).

Defet,Cauchyusaelsignenoméscomunaabreviaturainoadoptanil’aproximaciódeStocklernila d’Ampèreadreçadaaunaautonomiaoperativa.Iprecisamentperquèsolamentésunaabreviatura, alsigne«lim.»deCauchy—comentotselsseuspredecessors—limancaunelementcompletament centralcomaaplicacióoperativa:unacaracteritzaciómésproperaalprocésdellímit—obéindicant elvaloralquals’apropalavariableindependent,obélesvariablesperalesqualselprocésdellímit télloc.Irònicament,ésSpalt(1996,20),tanorgullósdelseumètodede«noafegirresforàalesfonts», qui,gairebédesdelmateixinicideltext,afegeixlanotacióindexadaquesempremancaràenCauchy ienelsfrancesoscontemporanis.Malgratelscomentaris,d’altrabandacopiosos,relatiusacadaun delscanvisdeltext,ésforçamésendavantdelseutextquehihalareproducciód’unaproposició establertaperCauchy.

ambl’observació«afegint,comésusual,l’índexal‘lim’»(ibíd.,144).

Aixònoobstant,ésprecisamentelfetdenegligiraquestíndexallòqueapuntauncampdeproblemes conceptualencaramajor:senseusarsignesqueexpliquinlesvariablesqueelprocésdellímitafecta, ésfàciloblidarque,perexemple,s’hanesdevingutdosprocessosdelímitsdiferents.Així,lamanca d’unaexplicacióambsignesse’nsmostracomunaindicaciódelareflexióinsuficientrealitzadasobre elprocésdellímitenlasevatotalitat.

Ladefiniciódelímitvaseguidadedosexemples:elsnombresirracionalscomalímitsdelsracionals il’àreadelcerclecomalímitalqualconvergeixenlesàreesdepolígonsinscritsambunnombrede costatscreixent.

5. Dirksen

Unamajorprofunditatenl’horitzóconceptualdelsconceptesdelímits’aconsegueixenelscomentarisdeE.H.Dirksensobreladuplicacióomultiplicaciódelesdefinicionsdelímitacausadelconcepte específicdenombrei,enparticular,del’estatusespecialdelzero.Dirksenfouundelslectorsmés diligentsdeCauchyieldefensormésferm,aAlemanya,delesinnovacionsenelsconceptesbàsics aportadesperCauchy.

Cauchycomençaelcapítolsobreconvergènciaodivergènciaintroduintunainnovaciónotacional importantenlamatemàticafrancesaqueserveixcomapremissaperauntractamentmésgeneral delespropietatsdelessèries:laindexaciódelstermesdelasuccessiópertald’identificar-loscoma elementsquepertanyenclaramentaunasuccessiócompleta.Cauchydefineixuna«sèrie»comuna successióil·limitadadequantitatsdemaneraquelaformaciód’unaquantitatalasegüents’obté seguintunalleibendeterminada:

Anomenarem sèrie unasuccessióindefinidadequantitats

u0 ,u1 ,u2 ,u3 , etc.

quederivenl’unadel’altrad’acordambunalleideterminada(Cauchy1821,123).

Contemplalesquantitatscomsifossintermesdiversosdelasuccessió.Cauchycompletaaquesta designacióambl’expressióinotaciódeltermegeneral:

eltermequecorresponal’índex n,ésadir, un ,s’anomena termegeneral (ibíd.).

Mentrequeaquestesnotacionsproveeixenlaclaredatnecessàriaperal’operativitatgeneralamb «successions»,contràriament,elssignesqueintrodueixperalessumesparcialsilasumanoméssón apropiatsperaavaluaraspectesparcialsd’aquestsconceptes,mentrequed’altresnohisónnitan solamentconsiderats.

Cauchyusa

peradescriurelasumadelsnprimerstermesdelasuccessió,amb n ∈ N.Ambaquestanotacióper asumesparcials,introdueixelconceptede convergència:comunlímitdelessumes sn quan n creix —semprequeaquestlímitexisteixi.

Si,peravalorscreixentsde n,lasuma sn s’apropaindefinidamentauncertlímit s,diremquela sèrieés convergent,iellímits’nomenaràla suma delasèrie(ibíd.).

Encontrastambaixò,sipera n creixentlasuma sn nos’apropaacapvalor,lasèries’anomenadivergent,amblaqualcosaquedaestablertqueaquestessèriesnotenensuma(ibíd.).Envistad’aquestes definicions,observemque:

• Cauchynomésintrodueixaquestadefinicióperaquantitatsnumèriquesinoproporcionalesdefinicionsoconsideracionsrelativesalessuccessionsdefuncions.Aixòportaahaverdefercomentaris sobrelanotació.

• LesdefinicionsdeCauchysónunavegadaméspredominantmenttextuals.Nomésusasignespera lessumes.Enparticular,noaplica lim operativamentnienlessevesdefinicionsni,mésendavant, enlessevesdemostracionsdeconvergència.Nomésusaelsigne lim alfinaldel’extenscapítol sobreconvergènciaidivergència.

Elsignedesuma sn o s noproporcionacapindicaciópelquefaalasuccessióperalaqualesbuscala suma,encaraqueunanotaciócomara sn (un )podriahaverresultatapropiada.Encaraqueaixòpodria nohavertingutcapmenadeconseqüèncianegativaamblessuccessionssimplesdenombres,quan estractadesuccessionsdefuncionsaquestssignestansimplesnoproporcionencapindicaciódela funcióidelavariableovariablesqueestrobenenjoc.Iaixòfaquelesoperacionsiargumentacions siguinconfusesifeixugues.

Delamateixamaneraquel’úsdelsigne lim esfasensecapnotaciósobreelprocésdelslímits,ara tampocnohihacapnotacióqueindiquielrecorregutdelsíndexsenelssignes sn i s,tanassolible quans’usaelsignesigma:

Tampocnohitrobemlanotacióabreujadaperalessumesparcials:

queelsignesigmapodriahaverpropiciat:

Cauchyintrodueixlasevapròpianotaciónomésperalcasespecialdelromanentdelasèrieapartir d’uncertíndex n:

(ibíd.130is.).

LanotaciódeCauchyéssuficientperaintroduiriaplicarelseusistemàticdesenvolupamentdels criterisdeconvergènciacomsónelstestsdelquocientidel’arrel(ibíd.,132is.).Elproblemanomés sorgeixambelcontrovertitteoremadecontinuïtatenelqualCauchyrelacionalaconvergènciaala continuïtatdelessuccessionsdefuncions.6 Aquíargumentaambfuncionsdevariable x ,ambincrementsd’aquestesfuncionsiambincrementsd’unavariable x d’un infinitamentpetit α.Tanmateixtot aixòhofadeformatextual,perquènomésposseeixsignesperalestresfuncions: sn ,rn i s,

peròcapvincled’aquestesniamb x ,niamb α,niambelsincrementsdelesfuncions.

Enaquestcontext,unafontexcel·lentd’informacióhauriaestatuncriticismecontemporanidelteoremadecontinuïtatdeCauchyquefocalitzésprecisamentaquestsdèficitspelquefaalssignes.Com éscaracterístic,aixònotinguéllocaFrança,sinóaAlemanya,perpartd’unmatemàticformatenel contextdelsmatemàticsdeGöttingeniBerlín,i,enparticular,pelsquialeshoresestavendominantla combinatòria.L’escolacombinatòria,ambelseuentusiasmeperlesoperacionsalgebraiquesformals ibuscantgeneralitzacionscadacopmésllunyanes,nomésdisposavad’uncamíperasotmetreales sevescombinacionscadavegadamésagosarades:desenvoluparsímbolsapropiatsiaplicar-losde formaestricta.L’autord’aquestcriticismefouunmatemàticque,aAlemanya,actuavacomelmés acuratdefensoriseguidordelsconceptesdeCauchy:EnnoHeerenDirksen(1788-1850),nadiude Frísiadel’Est,quevaestudiarmatemàticaiastronomiaaGöttingenambMayer,ThibautiGauß.AconseguíeldoctorataGöttingenien1820esdevinguéprofessorassociatdelaUniversitatdeBerlínien 1824professorordinari.Senseaconseguirenlasevarecercacapèxitinnovador,elseucampprincipal d’estudifoulareflexiósobreelsfonaments.Lasevaobrainacabada, Organon,delaqualsolamentes publicàmitjasecció,ésundocumentconvincentperaunaexplicacióicontinuaciódelprogramade rigordeCauchy.

ElcriticismedeDirksenalteoremadeCauchyelpodemveureenlesobservacionsqueféualaprimeratraduccióal’alemanydel Coursed’Analyse,fetaperC.L.B.Huzlerl’any1828.Finsitot,jaabans d’aquestesressenyesde1829,Dirksenhaviaintroduïtunainnovacióimportantenl’úsdelssignes.Es trobajadesenvolupadadeformacompletaenunamemòriadel’AcadèmiadeBerlínde1817.Pel quesé,Dirksenfouelprimerqueproporcionàelsignedelímitambindicacionssobreelsprocessos dellímitilesvariablesinvolucrades.Atèsque,enaquellaèpoca,elromanticismealemanyeraparticularmentdur,reemplaçàl’abreujamentdelllatíodelfrancès limes o limites perunabreujamentde laparaulaalemanya Grenze,ienresultàlanotaciósegüent:

enlaquals’establialavariable abans delsignelímit.Peraixò,Dirksenpresentalasevadefinicióde continuïtatcom

6.Enlaliteratura,segonselqueconec,nomésPensivy(1988,12)indicaquelanotacióésambiguai,pertant,queels significatsnosónclars.Enlanotació,mencionalamancad’unarelacióamblavariable

Elfetd’especificarlavariableenelsignedelímitpermetiaaDirksenpoderdiferenciarelprocésdel límitperadiversesvariablesambl’úsdesignes,ienconseqüènciatambéconceptualment.

Pelquesé,doncs,aixòlivapermetredeserelprimeraestudiarelprocésdelslímitsmúltiplesipoder discriminar-losanalíticamentiambsignes.LafigurapresentaunasecciódelamemòriadeDirksen de1827comunaevidènciadelprocésquedesenvolupàdecaraalpasalslímitsmúltiples.Alhora, mostracomdiscuteixla intercanviabilitat delpasallímit.

LaintercanviabilitatéselpuntcentralenelcriticismedeDirksenalteoremadecontinuïtatdeCauchy. ElprimerpasdeDirksenésespecificarelprocéssingularenelpasallímitcomplet.Idesprésdecitarel teorema,nosolamentexposaelsdubtesqueté,sinóqueformulasímbolsapropiatsperaexposar-lo:

Sincerament,elcomentaristahad’admetrequenolisatisfàlademostraciód’aquestteorema,i que,uncopfetaunaanàlisimésacurada,dubtafinsitotqueelteoremasiguicorrecte.Comque homsuposaquetotselstermesdelasèriesónfuncionsde x ,obté,enlamesuraque Sn designa lasumadels n primerstermes,

Sn = f (x,n) (Dirksen1829,columna217).

Araelsigneposaclaramentdemanifestqueenelprocésdepasallímithihainvolucrades dues variables.Emprantelseusigneperalímits,especificainicialmentelpasallímitrespectede n,queés elqueinvolucralaconvergència:

Siaraprencelvalorespecialde x ,queéselqueesconsideraenelteorema,ieldesignocoma a, ilasumadelasèriequelicorresponcoma S,obtinc,d’acordambladefiniciódelasumad’una sèrie:

S = n=∞ Gr f (a,n) = f (a, ∞) (Ibíd).

Encanvi,contràriament,lacontinuïtatfareferènciaal’altravariable, x :

Siperaaquestaquantitathomsuposalacontinuïtatenl’entorndelvalor x = a,homobté,d’acord ambelconceptedecontinuïtat:

S = Δa=0 Gr · f (a + Δa,∞)(Ibíd).

L’esmentatteorema,reconstruïtenaqueststermes,requereix,pertant,queelsdospassosallímit siguinintercanviables:

Combinantaquestaequacióamblaprecedent,resultaque:

Ésadir,si f (x,n)representalasumadels n primerstermesdelasèrie,aleshores,silasumadela sèrieéscontínuaenunentorndelvalor x = a,resultaque:

a,n

(Dirksen1829,columna217s.)

AraDirksenapunta,d’acordambelsegoncapítoldeCauchy,l’únicquededicaalacontinuïtat,que nohihamanerad’aconseguirquelaproposiciópuguisergeneralmentvàlidaapriori,ifinalment formulaunasuccessiódecertesfuncionsracionalscontínuescomacontraexemple.

Enaquestexemple,elsdoslímitsdifereixensegonssielpasallímitde x precedeixelpasallímitde n:

i,viceversa:

Aixòportaaresultats—conflictius—relatiusa«lacondiciónecessàriaperalacorrecciódelteorema» (ibíd.,columna219).Dirksenprecisaambmoltacuralesdiferènciesdelsdospassosallímit:

Laideaprincipalqueesposaenjocaquísemblaqueésqueelconceptedelasumad’unasèrie pera x = a pressuposa,parlantdeformaestricta,que x esdeterminaabansque n,mentreque eljudicisobrelacontinuïtatdelasumaexigeixl’oposatielfetque,quannoesdeveneninfinits, ambdósresultatspodendifereirl’undel’altre(ibíd.).

Sistemàticament,elseudesenvolupamentoperaambaquestssignes;enparticular,fouhàbilpera conceptualitzarelprocésdepasallímitperadiversesvariables.Així,fouelprimermatemàticque reeixíenl’estudidelsprocessosmúltiplesd’aproximacióalslímitsiadistingir-lossimbòlicamenti analítica.

Enparticularsónnotables:

• Laintroducciódelímitsdobles.

• L’extensió,aells,delesoperacions.

• Elfetdebasaraquestesoperacionsenunapràcticaenormementdesenvolupadad’operacionsamb desigualtatsiambl’úsdel’ε

(ibíd.,429).7

7.Elsigne«v.n.»ésl’adaptaciódeDirksendel’expressiótextualdeCauchy«valeurnumérique»,queindicaelvalor absolutdelstermesqueelsegueixen.ElsignequehaesdevingutcomúperalvalorabsolutfouproposatperCrelleen1823, perònos’adoptàd’unamanerageneralfinsafinalsdelsegledinou.

Resuminteldesenvolupamentconceptual,hemvistquenofouuniforme,continu,sinóquetingué llocambvaivensicompromisosiqueestiguésotmèsadiferènciesculturalsquepalesenelcontrastdelspuntsdevistafundacionalsd’algunesdelescomunitatsmatemàtiquesd’Europa(vegeula figura).

Passos en el procés d'algebrització

Retòric Sincopat Simbòlic Newton1678

MacLaurin1742

D’Alembert1765

DelaChapelle1765

R.Simson1776

Cousin1777

Mar tin1781

L’Huil ier1784-1786

Car not1784

Stockler1794

Lacroix1797 [Garnier1799] [Ampère1808]

Cauchy1821 Dirksen1829

Bibliografia

Archivesdel’AcadémiedesSciences.París:Papersd’Ampère.

—chem.75, Coursed’analyse

Carnot,L.(1785).Dissertationsurlathéoriedel’infinimathématique.DinsGellispie,Ch.C.(1971), LazareCarnotSavant (p.169-267).Princeton:PrincetonUniverstyPress.

Cauchy,A.L.(1821). Coursed’Analysedel’ÉcolePolythechnique.PremièrePartie.Analysealgébrique.París: ImprimerieRoyale.

—(1765).Limite(Mathémat.).Dins Encyclopédie,ouDictionnaireraisonnédessciences,desartsetdes métiers,tom IX (p.542).

Cousin,J.-A.-J.(1796). Leçonsdecalculdifférentieletdecalculintégral.París:Cl.A.Jombert.[2aedició].

D’Alembert,J.LeR.(1754).Differentiel.Dins Encyclopédie,ouDictionnaireraisonnédessciences,desarts etdesmétiers,tom IV (p.985-989).

—(1765).Limite.Dins Encyclopédie,ouDictionnaireraisonnédessciences,desartsetdesmétiers,tom IX (p.54).

Dirksen,E.H.(1829).Rezension:A.L.Cauchy’sLehrbuchderalgebraischenAnalysis.AusdemFranzösischenübersetztvonC.L.B.Huzler,Könisberg1828, JahrbücherfürwissenschaftlicheKritik,Band2, 211-222.

GarçaõStockler,F.deB.(1794). CompendiodaTheoricadosLimites,ouIntroducçaõaoMethododas Fluxões.Lisboa:Offic.daAcademiadasSciencias.

Gellispie,Ch.C.(1971). LazareCarnotSavant.Princeton:PrincetonUniverstyPress.[Unamonografia quetractadel’obracientíficadeCarnot,ambunareproducciófacsímildelsseusescritsnopublicats sobremecànicaisobrecàlcul,iunassaigquefareferènciaaaquestdarrertext,d’A.P.Youschkewitsch].

Grabiner,J.V.(1981). TheOriginsofCauchy’sRigorousCalculus. Cambridge,Mass.:TheMITPress.

Lacroix,S.F.(1802). Traitéducalculdifférentieletducalculintégral.Tomprimer.París:Duprat.[2aedició: París,Courcier,1806;3aedició:París,1820;4aedició:París,1828;5aedició:París,Bachelier,1837].

L’Huilier,Simon(1786). Expositionélémentairedesprincipesdescalculssupérieurs,quiaremportéleprix proposéparl’AcadémieRoyaledesSciencesetBelles-Lettrespourl’anné1786.Berlín:G.J.Decker.

Martin,R.(1781). Élémentsdemathématiques.TolosadeLlenguadoc:Robert.Peral’úsdelesescoles defilosofiadelCollègeRoyaldeTolosadeLlenguadoc.

Newton,I.(1972). PhilosophiaeNaturalisPrincipia.Vol.I.Cambridge:CambridgeUniversityPress.[3a edició(1726),amblecturesdiverses.ReunitieditatperAlexandreKoyréiI.BernardCohen,1972].

Pensivy,M.(1987).Jalonshistoriquespouruneépistémologiedelasérieinfiniedubinôme. Sciences etTechnqiuesenPerspective,14.

Spalt,D.D.(1996). DieVernunftimCauchy-Mythos. ThuniFrankfurt:H.Deustch.

Eljocdel1089en l’ensenyamentdelsnombres decimalsilaintroducciódel llenguatgealgebraic CarlesDorce

FacultatdeMatemàtiques-UniversitatdeBarcelona cdorce@ub.edu

Resum Abstract

Quinéselsecretdelnúmero1089?Enaquest articles’exposaunaexperiènciadidàcticaque preténintroduirelllenguatgealgebraical’ESO, paral lelamentalapràcticadelsalgorismesde lesoperacionsbàsiquesambnombresdecimals. Lespeculiaritatsdelnúmero1089nosónnoves, peròaquíespresentendemaneraqueelseu estudipermettreballarlesmatemàtiquesdes d’unavessantmotivadoraiinnovadora.

1. Introducció

Whatisthesecretofnumber1089?Thisarticle showsaneducationalexperiencewhichintroduces thealgebraiclanguageintheCompulsorySchool andallowstopracticethebasicoperationswith decimalnumbers.Thepeculiaritiesofnumber1089 arenotnewbutherearepresentedsothatthey helptolearnMathematicsfromamotivatingand innovativepointofview.

Elconeixementdelsnombresdecimalsésuntemaforçaimportantdinsdelsensenyamentsobligatoris,jaquevamoltlligattantal’aproximaciódemesurescontínuescomalnostreactualsistema monetaridel’euroielscèntims.ACatalunya,elstrobemlligatsespecíficamentaundelsobjectius delcurrículumdel’àreadematemàtiquesdel’educacióprimària(Decret142/2007,pàg.17):

Comprendreelsistemadenumeraciódecimalielsignificatdelesoperacions.Calcularambfluïdesaiferestimacionsraonables,totutilitzantdiferentstècniques:càlculmental,càlculescriticàlcul ambcalculadoraialtresTIC,d’acordamblasituació.

Llegintdetalladamentaquestcurrículum,laintroducciódelsnombresdecimalsesfaalciclemitjà iestàmoltlligadaalseureconeixementencontextosreals(Centeno,1988).Lesoperacionsentre nombresdecimalsnoapareixenfinsalciclesuperior,enquèelcurrículumjaparlade:

Realitzaciód’operacionsambnombresdecimalsquetinguinsentit(iambunnombrereduïtde xifres)emprantelsalgoritmesdelasuma,laresta,lamultiplicacióiladivisió(ambdecimalsnomés aldividend)(Decret142/2007,pàg.22).

Al’educaciósecundàriaobligatòria,elsnombresdecimalsapareixenalprimerciclemoltrelacionats amblaresoluciódeproblemesdelavidaquotidiana,malgratquelesoperacionsesreiterenuncop més(Decret143/2007)isónpartdeltemaride1ri2nd’ESOdelagranmajoriad’editorialsdellibresde text.Enaquestaetapaéselmomentdemostrarlanecessitatrealdel’úsd’aquestsnombresdonadala limitacióquetenenelsnombresentersenmoltsàmbitsdelavidaquotidiana.Paral lelament,també hihad’haverunanecessàriadescontextualització(Konic,GodinoiRivas,2010,pàg.58)quepermeti treballarapartdelshabitualsproblemesdemesures,pesosipreus.Així,enelsdiferentsllibresdetext enstrobemambproblemesqueintentenvincularl’úsdelsnombresdecimals,lessevesoperacionsi lessevesaproximacionsalavidareal.

D’altrabanda,tambétrobemrecollitsforçaexercicisdecàlculdescontextualitzatsqueintentenproporcionarladestresaileshabilitatsnecessàriesperquèl’alumnatdominiperfectamentlesoperacions, lessevespropietatsijerarquia,elsarrodoniments...SeguintIsodaiKatagiri(2012,pàg.98),elcàlcul formalrequereixunafortacomprensiódelmètode,aixícomlacapacitatdefermecànicamentelcàlculsensehaverdepensarenelsignificatdecadaetapa.Steinle,StaceyiChambers(2006)afirmen quemoltsdelsproblemesquetrobal’alumnatenlesoperacionsaritmètiquestenenmoltaveure ambladificultatenlainterpretaciódelanotaciódecimal.Peraquestmotiu,desvinculantelscàlculs delscontextosespotmantenirl’esforçcognitiuiexecutarlesoperacionsmésfàcilment.Tanmateix lapropostad’activitatsmecàniques,repetitives,iquenoméspretenenentrenarl’alumnatenrutines nosolserelmillorexempled’unaclasseparticipativa,rica,interessantiamena(Burgos,Domínguez ialtres,2006).Pertant,latascaal’aulas’hadecentrarenunscontingutsinteressants,quefacilitinla negociaciódesignificatsiquegenerinactitudsderecercaidescobriment.

Enaquestsentit,aquís’intentapresentarunjocnumèricqueenglobilarutinadelapràcticadels algorismesdelesoperacionsambnombresdecimalsi,deretruc,laintroducciódelllenguatgealgebraicdinsd’unaclassequefomentiintensamentlaparticipaciódel’alumnatiaportiunavisiódiferent d’aquellaalaqualespotestaracostumat.Habitualment,alesaulessesolutilitzarunllibredetextde referènciadelsmoltsquehihaalmercatiquepermettantalprofessoratcomal’alumnatdisposar d’unaguiadidàcticaentotelcamídel’aprenentatge.

Enl’experiènciaqueaquestarticledetalla,launitatdidàcticaquetractaespecíficamentelsnombres decimalsdelllibredetextqueserveixdereferènciacontéuntotaldecentsisexercicisiproblemes queinclouenalvoltantdecinc-centsapartatsdiferents.Gairebélameitatdetotsaquestsapartats corresponaoperacionsambnombresdecimals,mésdel90%delesqualssóndescontextualitzades. Pertant,ungrangruixdeltemasecentraaconsolidarelsalgoritmesdelasuma,ladiferència,el producteiladivisiódenombresdecimalsindependentmentdelseuúsenlavidareal.Quinésl’enfocamentcorrectequehemdeseguirsivolemgarantirunbonconeixementiúsdelsalgoritmesdeles operacionsambnombresdecimalssenseconvertirl’aulaenunespairutinariiprevisible?Enparaules deMigueldeGuzmán(1989):

Lesmatemàtiqueshanestatisónartijociaquestcomponentartísticilúdicéstanconsubstancial alamateixaactivitatmatemàticaquequalsevolcampdeldesenvolupamentmatemàticqueno assoleixuncertnivelldesatisfaccióestèticailúdicaromaninestable.

Eljocqueaquís’explicaràhaestatdutatermeentresgrupsde2nd’ESOd’uninstitutpúblic.En general,lafotografiadecadascund’aquestsgrups(quesumenuntotaldevuitantanoisinoies)mos-

traunalumnatd’origenestrangerenunpercentatgedegairebéel50%entreelqualhihaquatre nouvinguts,ésadir,alumnesquesóndinselsistemaeducatiucatalàdesdefamenysdedosanys. Elperfilgeneralnoésdenecessitatseducativesespecífiques,malgratquemajoritàriamentnohiha unaculturadel’esforçcomabase.Elsresultatsdelesprovesinternesd’avaluaciómostrenquel’assolimentdelacompetènciabàsicamatemàticaestàenel50%,dadaquepotserconsideradanogaire dolenta(malgratquemoltmillorable)siescomparaambelsresultatsobtingutsalesprovesexternes decompetènciesbàsiquesdesisèdeprimàriafetesdosanysabans.

2. El joc del 1089

Elnúmero1089ésund’aquellsnombresperalsqualslaparaula«interessant»quedacurtaal’horade definir-los.Noésunnombreprimer(lasevadescomposiciófactorialés32 · 112 )itampocnopertany allimitatiselectegrupdelsnombresperfectes(ésunnombredeficient);notécapnombreamicde parellanitélafortunadeserunnombrefeliç.Així,doncs,quinadeuserlasevavirtut?

2.1. Presentació de l’activitat

Aquestaactivitat,quevadespertarl’interèsdepersonatgesil·lustrescomLewisCarroll,Giuseppe PeanooYakobI.Perelman,esfonamentaenlespropietatsdel1089,númeroquehadepassaraser 10,89perapodertreballar-loenelcontextdelsnombresdecimals:

1.Pensaunnombreformatperunaxifradelesunitatsidosdecimals:dècimesicentèsimes.Elnombrehadesermenorde10,00.

2.Dóna-lilavolta,demaneraquelaxifradelesunitatspassiaserlaxifradelescentèsimesiviceversa.

3.Delsdosnombresdecimalsquetensara,restaelpetitdelgran.

4.Elresultatésunnombredecimalambduesxifresdecimals.Torna-liadonarlavolta.

5.Sumaelresultatdeladiferènciaambelresultatd’haver-logirat.Quinnombreobtens?

Comespotcomprovar,l’activitattreballalasumailarestadenombresdecimalsilaidentificaciódel valorposicionaldelesxifresenelnostresistemadenumeració.

2.2. Una mica d’història

Ésdifícilconcretarl’origend’aquestproblemamalgratqueLewisCarrollse’nvaatribuirdirectament eldescobriment(Carroll,1898,pàg.269):

Enconclusió,donoduescuriositatsnumèriquesquecrecquehanestatdescobertesperMr. Dodgson.

Lareferènciamésantigaquen’hetrobatéslasevaaparicióalarevistalondinenca EducationalTimes, fundadaen1847idedicadaal’educació,laciènciailaliteratura.EljocvaserproposatpelprofessorM. A.Orcharden1890ifeiareferènciaaquantitatsmonetàries.Tanmateixunanotaalfinaldelaresolució signadaperMr.Davisafirmaqueaquest«trick ashecallsit —»jafamesosqueestàdemodaenels cercleslondinencsbeninformats(EducationalTimes,1890,prob.10.441,pàgs.78-79):

Dónaunademostracióalgebraicadelresultatsegüent:haventposatunasumadediners(lliures,xílingsipenics): a)Inverteix-la(detalmaneraqueelspenicsesdevinguinlliures)iresta-la;

b)Inverteixaquestaúltimaresta,isuma;aleshoreselresultatésconstant,iés£12,18x .11p.,talcom esmostraenl’exempleannex.També,(2)generalitzaelteorema:

Laresposta,ladonenM.A.AndersoniB.A.Sewell,queaportenlamajoriadelessolucions.Lasolució parteixdeconsiderar x,y,z elsvalorsenordredecreixentdelestresmonedes.Pertant,existeixendos nombres k , k ∈ Z talsque x = ky i y = k z (suposa k > k > 1).Pertant,totasumadedinersés donadaperl’expressió ax + by + cz amb a, b, c ∈ Z.Comqueelproblemaesrefereixaquantitats monetàries,lasolucióespecificaque a < k i b < k isuposaque c < a perquèespuguiferlaresta. Enaquestescondicions,larestaés: (ax + by + cz ) (az + by + cx )= a (x z ) c (x z )=(a c)(x z )= =(a c)(x y + y z )=(a c)(ky y + k z z )= =(a c)[(k 1) y +(k 1) z ]

Siguin p, q ∈ Z demaneraque a c = k q = k p amb q < k i p < k .Aleshores,larestaesdevé: (a c)[(k 1) y +(k 1) z ]=(a c 1) ky + qy +(a c 1) k z + pz = =(a c 1) x +(a c 1 + q) y + pz = =(k p 1) x +(k 1) y + pz

Invertintelnombreisumant,s’obté:

[(k p 1) x +(k 1) y + pz ]+[ px +(k 1) y +(k p 1) z ]= =(k 1) x + 2 (k 1) y +(k 1) z = = k x +(k 2) y +(k 1) z

resultatqueésindependentde a, b i c si k > 2,cosaqueéscerta,jaques’hasuposatque k > k > 1. Comqueunalliuraequivalavintxílingsiunxílingequivaladotzepenics, k = 20i k = 12i,consegüentment,elresultatfinalés£12,18x . 11p.

Alternativament,s’especificaques’hanrebutrespostesresolentl’apartat(1)suposant a > c ifent l’operaciódirectament: £ x . p.

cba a c 119 c 12 a c 12 a 19 a c 1

Ésadir,£12,18x 11p

Dosanysméstard(1892),W.W.RouseBall, fellow delTrinityCollegedeCambridge,vaincloureel problemageneralcomatercerexempledelasecció«Trobarelresultatd’unasèried’operacionsfetes sobreunnombrequalsevol(desconegutperl’operador)sensepreguntarcapqüestió»(RouseBall, 1892,p.8-9).L’exempleimposaqueelnombre100a + 10b + c compleixi |a c| > 1ihoil·lustra ambunexempleconcretannexatalareglageneral:

237 100a + 10b + c 732 100c + 10b + a

495100(a c 1) + 90 + (10 + c a)

594100(a c 1) + 90 + (10 + c a)

1089900 + 180 + 9

Amésamés,RouseBallvageneralitzarquesielnombredetresxifresestàdonatenbase r(radix),el resultatdelesoperacionsés(r 1)(r +1)2 .Comenl’exemple r = 10,elresultatésiguala9·112 = 1.089. Posteriorment,enlatraduccióiediciófrancesa, Récréationsmathématiquesetproblèmesdestemps anciensetmodernes,J.Fitz-Patrick(RouseBalliFitz-Patrick,1898)vaafegir-hique,enqualsevolbase denumeració,elnombreobtinguts’escriu(r 1)(r + 1)2 = r r 2 + (r 2)r + (r 1).

Elquartexempledelamateixasecció(RouseBall,1892,pàg.9-10)éselproblemamonetarid’Orchard, peròamblaconcrecióqueelnombredelliureshadeserinferiora12iqueladiferènciaentreel nombredelliuresielnombredepenicshad’excedirlaunitat(laprimeracondicióésevident,ja queeninvertirlesxifres,sielnombredelliuresfosmésgrande12,eldepenicsdelanovaquantitat tambéseriamajorde12is’hauriendeconvertirenxílings).Alfinaldel’exemple,RouseBallgeneralitza elresultataqualsevolsistemamonetari,perònoendónacapdemostració.En1893,S.Gibneyva proposarelmateixproblemaalarevista TheBoy’sOwnPaper (Gibney,1893)puntualitzantque«la curiositataritmèticaésforçanova»iaplicant-loalsistemamonetarifrancès(99francsi99cèntims), alsistemamonetarigermànic(29tàlersi29groschen,enquè1tàlerésiguala30groschen)ial sistemadepesos avoirdupois (28 hundredweights,2quartersi27lliures,on1 hundredweight correspon a4quartersi1quarterésiguala28lliures).Jaen1917,H.Dudeneyrecolliaelproblemaafirmant (Dudeney,1917,pàg.5i151):

Lamajoriadelagentsapquesiprensqualsevolsumadedinersenlliures,xílingsipenicsdemaneraqueelnombredelliures(menorde£12)excedeixieldepenics[...],elresultatéssempre£12,18x . 11p Peròsiometemlacondició«menorde£12»ipermetemquenohihagixílingsopenics,(1) Quinaéslamenorquantitatalaqualnopodemaplicarlaregla?(2)Quinaéslamajorquantitata laqualespotaplicar?Perdescomptat,quaninvertimunaquantitatcom£14,15x 3p ,s’had’escriure£3,16x 2p ,queéselmateixque£3,15x 14p

Observemque,menysdevintanysdesprésdelasevaprimerapublicació,Dudeneyjavaafirmar queeraunproblemaconegutper«lamajoriadelagent»ieracapaçdereformular-lobuscantnoves propostes.Lessolucionsquevadonarsón,respectivament,£33i£23,19x 11p Malauradament,no vadonarexplicacionsdelsseuscàlculs.En1922,T.O’ConorSloanevareproduirelcàlculambles monedesbritàniquesivaafegirtambéelcàlculapartird’unaquantitatdedòlarsamericansinferior a10,00$obtenintsempreelresultatfinalde10,89$(O’ConorSloane,1922,pàg.178-180).

Finalment,tornantal’edicióanglesadeRouseBall,elprimerisegonproblemesdels«Altresproblemes ambnombresdel’escaladenària»(RouseBall,1892,pàg.12-13),seccióquepreténrecollirunsquants resultatsque«semblenserdesconegutspermoltsdelscompiladorsdellibresdetrencaclosques», mostrenproposicionsrelativesalresultatdelainversiódelesxifresd’unnombredetresxifres:

Primerproblema:Prenunnombredetresxifres,amblaprimerailaterceraxifradiferents.Inverteix l’ordredelesxifres.Restaelnombreformatdel’original.Aleshores,sil’últimaxifradeladiferència ésdita,totselsdígitsdeladiferènciasónconeguts.

Sielnombreinicialés100a + 10b + c,ésclarqueladiferènciad’ambdósnombresésiguala99 (a c) amb0 < a c ≤ 9.Pertant,aquestadiferèncianoméspotseriguala99,198,297,396,495,594, 693,792o891.Consegüentment,siensdiuenl’últimaxifradeladiferència,lasegonasempreserà 9ilaprimeraseràlarestade9menyslatercera.AquestresultattambéelvanrecollirBerkeleyiT.B. Rowlandalseu CardTricksandPuzzles delmateixany1892(pàg.10),ons’explicaqueelresultatdela restaésdeltipus100A + 90 + C amb A + C = 9.

Segonproblema:(i)Prenqualsevolnombre.(ii)Inverteix-nexifres.(iii)Trobaladiferènciaentreel nombreformata(ii)ielnombreoriginal.(iv)Multiplicaaquestadiferènciaperqualsevolnombre. (v)Esborradelresultatqualsevolxifraexcepteunzero.(vi)Llegeixelromanent.Aleshores,lasuma delesxifresdelromanentrestadadelsegüentmúltiplede9possibledónacomaresultatlaxifra ratllada.Aixòésclar,jaqueelresultatdel’operació(iv)ésunmúltiplede9ilasumadelesxifres dequalsevolmúltiplede9éstambéunmúltiplede9[...].

O’ConorSloane(1922,pàgs.181-182)vaafegirque,siesmultiplicaladiferènciaobtingudaperqualsevolnombre,aquestjoctambéfuncionaambelproducteobtingut.Elresultattémoltaveureambla regladel9peralacomprovaciód’operacions,laqualprobablementtéelseuorigenenlesmatemàtiquesíndiesoàrabsmalgratquel’escriptorromàHipòlit(segle III)jalausavaencertesconsideracions numerològiques(Smith,1958,pàgs.154-156,iKrantz,2010,pàgs.67-70).Fibonaccilavaincloureal seu Liberabaci (Siegler,2002,pàgs.41-42i46-47)idesprésvaseràmpliamentreproduïdaalesaritmètiquesrenaixentistes,comperexempleal Tripartyenlasciencedesnombres deNicolasChuquet (1484,pàgs.51-53)o,acasanostra,ala Summadel’artd’aritmètica deFrancescSantcliment(1482, pàgs.93-101).

Malgratnotenirunarelaciódirectaambelnombre1.089,ésimportantnotarqueunadelesprimeres referènciesaunproblemaqueimplicalainversiódelesxifresd’unnombreespottrobaral TheLadies’ Diary de1751,unapublicacióorientadaalpúblicfemeníquetractavatemesmoltdiversos,entreels qualsproblemesmatemàtics(Leybourn,1817,pàg.49):

Qüestió338,acàrrecdeMr.WilliamLeighton Duespersones,AiB,apostantenunajuguesca,AguanyadeBuncertnombredeguinees,consistenten[unnombrede]tresxifresqueestanenprogressióaritmèticademaneraquesielnombre deguineesesdivideixentrelasumadelessevesxifres,elquocientésiguala48;isirestem198 delnombredeguinees,lesxifresquedeninvertides.Trobaelnombredeguineesguanyades.

Larespostavaserdonadal’anysegüentperR.Gibbonsresolentelsistemad’equacionscorresponent. Sielnombreés100a + 10b + c,comquelesxifresestanenprogressióaritmètica,tenimque a + c = 2b Amésamés:

100a + 10b + c a + b + c = 48i (100a + 10b + c) 198 = 100c + 10b + a

Resolent,obtéelnombre432.

2.3. Presentació didàctica

Aquestaactivitatestàpensadaperdur-laatermedesprésdetreballarlasumailadiferènciaamb nombresdecimalsa2nd’ESO.Sesuposaquel’alumnatjatéuncertbagatgeeneltemadesdecursos anteriors,malgratques’hagidetornararepassar,ienalgunscasosareaprendre.Latemporització programadaésdeduessessionsd’unahoraitotcomençaplantejantlescincinstruccionsinicials.És evidentquel’alumnatnecessitallapisobolígrafipaperiqueenelprocésdelscàlculsésnecessariun silenciremarcable,jaque,siescomencenacompartirresultatsabansd’hora,esperdlagràciafinal deljoc.

Uncopgarantitquetotl’alumnathafinalitzatelscincpassosdemanats,elprofessoroprofessora començaademanarelresultatobtingutpercadascundelsalumnesiaanotar-loalapissarra(taula1).

Taula 1. Resultats obtinguts pels 25 alumnes de segon A després de seguir les instruccions.

10,8910,1010,899,090,00

10,8910,890,0010,8910,89 10,8910,8910,8910,890,00

10,100,0010,890,0010,89 10,8910,8910,8910,8910,89

Amesuraqueelsresultatsesvanescrivintalapissarra,s’esdevélareacciódesorpresaesperada,ja quel’alumnatnopensavaquepartintdequalsevolnombreespoguésarribaraunsresultatscomuns. Comespotveure,vansortirquatreresultatspossibles:0,00,9,09,10,10i10,89.Peralprofessorola professora,ésevidentquehihacinccasosenquèl’alumnathapensatunnombrecapicuaitresen quètédificultatsenl’algorismedelaresta.

Pregunta1:perquès’obté0,00?

Sialcostatdecadascundelsresultatsescrivimaraelnombreoriginalpensatpercadascundelsalumnes(taula2),deseguidasurtl’evidència.

6,707,307,924,733,83

7,259,375,458,232,99

2,252,766,230,576,66 5,279,993,757,573,20

2,997,403,508,377,26

Pertant,entretotselsalumnesdelaclasses’arribaalaconjectura:

sielnombreinicialéspalindròmic ⇒ elresultatés0,00

Araespotsuggeriral’alumnatquehaviaarribataaquestresultatquetorniaferelscincpassosamb unnounombrequenosiguicapicua(taula3)iabordarlasegonapregunta:

Taula 2. Nombres pensats pel 25 alumnes de segon A.

Pregunta2:perquès’obté9,09i10,10?

Taula 3. Nombres pensats (no palindròmics) pels 25 alumnes de segon A i els resultats obtinguts.

6,70 → 10,897,30 → 10,107,92 → 10,894,73 → 9,099,92 → 10,89

7,25 → 10,899,37 → 10,893,35 → 10,898,23 → 10,892,99 → 10,89

2,25 → 10,892,76 → 10,896,23 → 10,890,57 → 10,894,87 → 10,89

5,27 → 10,102,97 → 10,893,75 → 10,895,98 → 10,893,20 → 10,89

2,99 → 10,897,40 → 10,893,50 → 10,898,37 → 10,897,26 → 10,89

Aquesttemaésunpèldelicatperquèestractaderessaltarl’errorcomèspertresalumnesconcrets. Tanmateixl’aclaparadoraapariciódelnombre10,89jahadeferreflexionarelsquinol’hanobtingut comaresultat.Enl’experiènciaconcretad’aquestaaula,undelsalumnesquehaviaobtingutun10,10 vavolersortiralapissarraaferlesoperacionscorresponents: 725208 527 + 802

Deseguidahivahaverunalumnequevaadvertironeral’errorivapassarelmateixperalcas9,09. Pertant,entrel’alumnatesdónauncontroldelsresultatsis’acabaconcloentquetotselsresultats handeser10,89:

sielnombreinicialnoéspalindròmic ⇒ elresultatés10,89

Araenspodempreguntar:

Pregunta3a:perquès’obté10,89?

Aquestapreguntaagafapersorpresal’alumnat,jaquehabitualmentnotéleseinesnecessàriesper apoderabordarlasevaresposta.Desdelpuntdevistadelaresoluciódeproblemes,lademostració finalésl’últimaetapadel’activitatquehad’aconseguirprecisarlesidees(Tall,1991,pàg.16).Seguint Dreyfus(1991,pàg.35),l’estratègiaques’had’adoptarperageneralitzarunresultatésladederivar-lo decasosparticulars,identificantcosescomunesiexpandintelsdominisdevalidesa.Pertant,reconvertiremlatercerapreguntaen:

Pregunta3b:quètenenencomútotselsnombrespensatsperquès’obtinguisempreelnombre10,89?

Lesrespostescorrectesdonadespelsalumnesespodenresumirenlestresafirmacionssegüents:

1.Totselsnombrestenenunaxifrasenar.

2.Capdelsnombrespensatstéun1.

3.Capnombreacabaen4.

Aral’alumnatpotcomprovarpersimateixquèpassaencadascund’aquestscasos.Evidentment, aplicantelproblemaaunnombreamblestresxifresparelles,aunaltrequetinguiun1alaxifrade lesunitatsiaundetercerquetinguiun4alescentèsimes,l’alumnatarribaalamateixaconclusió:el resultatés10,89.Pertant,lacasualitatenlano-apariciódecertsparadigmesnumèricsnoéssuficient perapoderdemostrarlaconjecturainicial.Hemparticularitzatelscasosinohemtrobatcontraexemplesquelarefutin.Amésamés,elsexemplessemblenconfirmar-laiconsegüentmentésmolt probablequesiguicerta.Lajustificacióhadeserdescobertaapartirdel’estructurasubjacentala relacióqueconnectalesdadesdelproblemaamblaconjectura(TorregrossaiCallejo,2011,pàg.41).

Així,doncs,elpassegüentésdemanaral’alumnatquinéselresultatdeladiferènciacalculadaenel segonpasdelproblema(taula4).

Taula 4. Resultats de les diferències obtingudes després del segon pas.

5,946,934,950,996,93

1,981,981,984,956,93

2,973,962,976,932,97

1,984,951,982,972,97

6,936,932,970,990,99

Aral’alumnattreuràpidamentduesconclusions:

1.Laxifradelesdècimessempreés9.

2.Lasumadetoteslesxifresés18.Consegüentment,lasumadelesxifresdelesunitatsideles centèsimesésiguala9.

Elsnombresquecompleixenlesduescondicionsanteriorssón0,99,1,98,2,97,3,96,4,95,5,94,6,93, 7,92,8,91i9,90.Analíticament,ésfàcilcomprovarquelasumad’aquestsnombresambelsrespectius resultatsd’invertirlessevesxifreséssempre10,89.Pertant,noméscaldemostrar:

sielnombreinicialnoéspalindròmic ⇒

lasevadiferènciaambelresultat d’invertirlesxifresésde laforma A,9C ,on A + C = 9

Sensebuscar-ho,elprofessoracabademostrarlanecessitatd’introduirelllenguatgesimbòlic,oalgebraic,alproblema.Així,elpensamentmatemàticquedaabsolutamentgeneralitzatd’unamanera claraisimpleil’alumnatpotcomençaraprocedirformalment(IsodaiKatagiri,2012,pàg.82).Amés amés,hemcanviatl’enunciatdelaconjecturainicialdemaneraqueelproblemaensquedaforça simplificatipodemcanviarlapregunta3bper:

Pregunta3c:siconsideremunnombredetresxifres,liinvertimlesxifresicalculemladiferènciaentre ambdós,sempreobtenimunresultatdelaformaA,9CambA + C = 9?

Larespostaésdonadaperl’argumentdeW.W.RouseBall(1892),segonselqual,ambpaciènciai ambunexemplenumèricconcretalcostat,ésfactiblepoderexplicarqualsevolcosaaalumnatde2n d’ESO.Aixònoobstant,elgraudecomprensiód’aquestúltimpasdelademostraciónoésglobal,ja queéselprimercontactedel’alumnatambelllenguatgealgebraicinoprecisamentd’unamanera senzilla.S’hadetenirencomptequeladificultatenl’abstraccióqueimplicaelllenguatgealgebraicés

unadelestrescategoriesprincipalsenlesqualspodenserclassificadeslesdificultatsd’aprenentatge queimplicalaintroducciódel’àlgebra(Lee,2007).Lesaltresduessónlapocafamiliaritatquel’alumnat téamblasintaxidelllenguatgealgebraicilaconfusiócausadaperlesdiferentsaparicionsdeles lletres.Probablement,s’hauràdetornaraferlademostracióquanelbagatgeenelcampdel’àlgebra siguiméscomplet.Afavordelraonamentquedalapercepcióglobaldelaveracitatdelaconjectura envistadelsresultatsdelataula4,jaquelanociódedemostraciótampocnoestàencaraconsolidada.

2.4. Per tancar... un nou problema

Lapregunta«Quèpassasielnombreésmajorde10,00?»vasorgirdurantlaclasse.Uncopassimiladalapropietat,lacuriositatpotmésqueladificultatiapareixdemaneranaturalunapreguntacom aquesta.Latemporitzaciódel’activitatnovapermetreabordarlarespostadinsdelaprimerasessió,ja quelasevaresoluciónoésfàcililasevacomprensiópassauncopméspelllenguatgealgebraic.Tanmateix,vistl’interèsquesemblavaquehihavia,esvaquedarquel’alumnatquehiestiguésinteressat escollísunparelldenombresentre10,00i99,99ielsapliquéselsmateixoscincpassosinicials;ala classesegüent,vintdelsvint-i-cincalumneshavienfetlafeina(unnombreforçaelevatsiestéen comptequelatascaeravoluntària).Elsnombrespensatsielsresultatsobtingutsesvanentrarenun fulldecàlculambelsalgoritmesintroduïtsquevaserprojectatalapissarradigitalmentreelsaltres cincalumnestambéfeieneljocpensantunnombreiaportanttambélasevaparticipació(taula5).

Taula 5. Resultats d’aplicar el joc del 1089 a nombres de quatre xifres (després dhaver corregit les errades comeses). ’

56,35 → 09,9018,11 → 09,9088,01 → 108,90

27,59 → 99,9998,79 → 09,9058,17 → 99,99

35,27 → 99,9940,53 → 99,9991,91 → 99,99

67,14 → 108,9056,40 → 108,9075,36 → 108,90

41,51 → 99,9910,89 → 108,9018,78 → 99,99

29,04 → 99,9958,00 → 108,9066,17 → 99,99

38,88 → 109,8949,93 → 109,8953,25 → 09,90

24,26 → 99,9987,67 → 108,9048,78 → 99,99

23,62 → 09,9041,39 → 108,9061,46 → 09,90

12,34 → 108,9090,85 → 99,9910,06 → 109,89

97,69 → 09,9054,62 → 99,9940,64 → 09,90

56,97 → 108,9052,55 → 09,9036,77 → 108,90

21,59 → 108,9046,09 → 99,9923,47 → 108,90

58,41 → 108,9025,23 → 99,9968,14 → 108,90

50,74 → 99,9914,41 → 00,0088,71 → 108,90

Envistadelsresultats,l’alumnatintentageneralitzarelquehaaprèsenelcasdetresxifresalanova preguntaideseguidaveuques’obtenencinccasos:00,00,09,90,99,99,108,90i109,89,elprimerdels qualsnomésesdónaquanelnombreéspalindròmic.Pertant,jaespotconjecturar:

sielnombreinicialéspalindròmic ⇒ elresultatés00,00

L’alumnatdeseguidatambééscapaçdereconèixerelsegoncas:

sielnombreinicialtélaprimerail’últimaxifresiguals ⇒ elresultatés09,90

Itambéelcinquè:

sielnombreinicialtélasegonailaterceraxifresiguals ⇒ elresultatés109,89

Enaquestaexperiènciaconcreta,capdelsvint-i-cincalumnes(nitampocelsaltresalumnesde2n)va sercapaçdetrobarlanormaperlaqualespodiaarribara99,99ia108,90.Tanmateix,aïllantelscasos enquèlaxifradelesdesenesésmajorquelaxifradelescentèsimes(taula6),síquehivahavertres alumnesquevandonarlasolució.Enaquestescondicions,silaxifradelesunitatsésmajorquelade lesdècimes,s’obté108,90;silaxifradelesunitatsésmenorqueladelesdècimes,aleshoress’obté 99,99.Apartird’aquí,deseguidavaserfàcilexplicarquesilaxifradelesdesenesésmenorquelade lescentèsimes,aleshoress’obtéelcascontrari.

67,14 → 108,9041,51 → 99,99 58,41 → 108,9050,74 → 99,99

56,40 → 108,9040,53 → 99,99

58,00 → 108,9090,85 → 99,99

87,67 → 108,9054,62 → 99,99 88,01 → 108,9091,91 → 99,99

75,36 → 108,90 68,14 → 108,90 88,71 → 108,90

L’únicintentdedemostraciórealqueesvaferescorresponambeldelsegoncasiesvaduraterme introduintuncopméselllenguatgealgebraic.Lapremissainicialvasersuposarunnombredela forma AB,CA (suposant B > C demaneraqueespuguirestar)icalcularladiferènciacorresponent:

Pertant,elproblemaquedasimplificatacalculartoteslesdiferènciespossiblesdenombresdedues xifresmenyselseuinvers.

Taula 6

Iara,usantl’àlgebra: (B 1 C )+(10 + C B)= 9.Pertant,ladiferènciaplantejadaseràunnombredeltipus0X,Y 0amb X + Y = 9,ésadir,00,90,01,80,02,70,03,60,04,50,05,40,06,30,07,20,08,10i 09,00.Comprovantlasumadecadascundelscasosambelcorresponentresultatd’invertirlesxifres, s’obtésempre09,90.Globalment,elraonamentesvaentendrei,peracomprovar-ho,esvademanar queesresolguéselcinquècas.Esvadividirl’alumnatengrupsheterogenisdetresoquatrepersones (untotaldesetgrups)ielresultatvaserelsegüent:

• Totselsgrupsvancomençarareproduirelraonamentdelsegoncasperanalogia,copiantleslletres A, B i C perarepresentarlesxifresdesconegudes.

• Dosdelsgrupsvancomençarexpressantcorrectamentelnombreinicialcoma AB,BC itresgrups mésvanreferir-s’hicoma AC,CB

• Tresgrupsvanpreguntarsis’haviadesuposarquelaxifradelesdeseneseramajorquelaxifrade lescentèsimesidosméshovandonarperdescomptat.

• Quatregrupsvancomençarabuscarexemplesnumèricscercantparadigmesdelresultatfinal.Tres d’ellsvanconjecturarqueelsresultatsdelesdiferèncieshaviendeserdeltipus X 9,9Y amb X +Y = 9.

• Nomésungrup(unalumneprobablement)vaaconseguirdemostrar-ho.Amésamés,esvamostrar interèspersaberresoldreeltercerielquartcas(referènciaaBogomolny). Unadelesconclusionsinteressantsqueesdesprènd’aquestaactivitatésladeveurequel’alumnat intentaseguirfilperrandaelsegoncasiquenitansolsesplantejaelcanvideleslletresenelseuraonament.Podemobservarque,finsitot,hivahavertresgrupsquevanusarlalletra C perareferir-se alaxifrarepetida,saltant-sel’ordrealfabèticnatural.Unaaltraobservacióinteressantéslaconstataciórealqueelproblemaplantejatésperaellsforçadifícil,enserundelsprimersproblemesen llenguatgealgebraicqueresolen.Jas’haditquemajoritàriamentelsgrupsvancomençaraposar-se exemplesnumèrics,confirmantlaidearecollidaperNeriaiAmit(2004),queverifiquenlaconstatació quel’alumnatprefereixexpressar-sesempreperunavianoalgebraica.Tanmateixl’objectiuinicial quedaassolit:l’alumnathavistlanecessitatdeferunatraduccióalllenguatgealgebraicperapoder generalitzarunresultatquesemblasortirdelscasosconcrets.

Referències

Álvarez,M.D.,Hernández,J.ialtres(2008). Matemàtiques2ESO.Vol.1.Barcelona:GrupPromotorSantillana.

BerkeleyiRowland,T.B.(1892), CardTricksandPuzzles.Londres:GeorgeBell&Sons.

Bogomolny,A.FourDigitsMagicPredictionfromInteractiveMathematicsMiscellanyandPuzzles. http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Arithmetic/FourDigitsPrediction.shtml

Burgos,S.,Domínguez,M.,Rojas,F.J.,Planas,N.,Vilella,X.(2006).Laparticipaciónenelauladematemáticas.DinsJ.M.Goñi(coord.), Matemáticaseinterculturalidad (pàgs.49-62).Barcelona:Graó.

Carroll,L.(1989). TheLewisCarrollPictureBook:ASelectionfromtheUnpublishedWritingsandDrawings ofLewisCarroll.ElibronClassics,2005.

Centeno,J.(1988). Númerosdecimales.¿Porqué?¿Paraqué? Madrid:Síntesis.

Chuquet,N.(1484), Tripartyenlasciencedesnombres.Roma:ImprimeriedesSciencesMathématiques etPhysiques,1884.

Decret142/2007DOGC4915. Currículumdel’EducacióPrimària.Àreadematemàtiques

Decret143/2007DOGC4915. Currículumd’educaciósecundàriaobligatòria.Àreadematemàtiques

Dreyfus,T.(1991).AdvancedMathematicalThinkingProcesses.DinsD.O.Tall(ed.) AdvancedMathematicalThinking (pàgs.25-42).NovaYork:KluwerAcademicPublishers.

Dudeney,H.E.(1917). AmusementsinMathematics.NovaYork:DoverPublications,Inc.,1970.

EducationalTimes(1890). MathematicalQuestionsandSolutionsfromthe «EducationalTimes» with manyPapersandSolutions. Vol. LIII.Londres:FrancisHogson.

Gibney,S.(1893).Anarithmeticalflourishfordrawing-roomshows. TheBoy’sOwnPaper 734i750 (Vol.15).

Guzmán,M.(1989).Juegosymatemáticas. Suma,4,61-64.

Isoda,M.,Katagiri,S.(2012). MathematicalThinking.HowtoDevelopitintheClassroom.NovaJersey, Londres,Singapur:WorldScientific.

Konic,P.M.,Godino,J.D.,Rivas,M.A.(2010).Análisisdelaintroduccióndelosnúmerosdecimalesen unlibrodetexto. Números,54,57-74.

Krantz,S.G.(2010). AnEpisodicHistoryofMathematics.MathematicalCultureThroughProblemSolving. TheMathematicalAssociationofAmerica.

Lee,P.Y.(2007). TeachingSecondarySchoolMathematics:aResourceBook.Singapur:McGraw-Hill.

Leybourn,T.(1817). TheMathematicalQuestionsProposedintheLadies’Diary,andtheirOriginalAnswers, TogetherwithSomeNewSolutions,fromitscommencementintheyear1704to1816.Vol. II.Londres: printedbyW.Glendinning.

Neria,D.,Amit,M.(2004).StudentsPreferenceofNon-AlgebraicRepresentationsinMathematical Communication.Dins Proceedingsofthe28thConferenceoftheInternationalGroupforthePsychology ofMathematicsEducation.Vol.3(pàgs.409-416).

O’ConorSloane,T.(1922). RapidArithmetic.QuickandSpecialMethodsinArithmeticalCalculationTogetherwithaCollectionofPuzzlesandCuriositiesofNumbers.NovaYork:D.vanNostrandCompany.

RouseBall,W.W.(1892). MathematicalRecreationsandEssays.Londres:MacMillanandCo.,Limited. Edicióde1905.

RouseBall,W.W.,Fitz-Patrick,J.(1898). Récréationsmathématiquesetproblèmesdestempsancienset modernes.París:LibrairieScientifiqueA.Hermann.Edicióde1907.

Santcliment,F.(1482). Summadel’artd’aritmètica.Introducció,transcripcióinotesacurad’A.Malet. Vic:Eumo,1998.

Sigler,L.E.(2002). Fibonacci’sLiberabaci.NovaYork:Springer-Verlag.

Smith,D.E.(1958). HistoryofMathematics.Vol. II.NovaYork:DoverPublications,Inc.

Steinle,V.,Stacey,K,Chambers,D.(2006). Teachingandlearningaboutdecimals.Melbourne:University ofMelbourne.

Tall,D.O.(1991).ThePsychologyofAdvancedMathematicalThinking.DinsD.O.Tall(ed.). Advanced MathematicalThinking (pàgs.3-24).NovaYork:KluwerAcademicPublishers.

Torregrossa,G.,Callejo,M.L.(2011).Procesosmatemáticosenlaeducaciónsecundaria.DinsJ.M.Goñi (coord.). Matemáticas.Complementosdeformacióndisciplinar (pàgs.29-56).Barcelona:Graó.

Diàlegentreigualsal’aula. Einaperalaconstrucciódel coneixementmatemàtic

XavierVilellaMiró

Resum Abstract

Laconstrucciódelconeixementmatemàtic implicaquel’alumneestableixilesconnexions adientsentreelnouconeixementiaquellsdels qualsjadisposa,queelsconnectiamblaseva xarxapersonaldepensament.Elprocés d’aprenentatgequeespotesdevenirenuna aulaésdeterminatpeltipusd’ensenyamentde lesmatemàtiquesqueesplantegi.Hem departirdelprincipiquetoteslespersones sabenmatemàtiques,podenaprendre’ni podencomunicarlessevesideesalsaltres.El diàlegentreigualsésunaeinapotentpera aconseguirqueal’aulahihagiconstruccióde coneixementmatemàtic.Perafacilitaraquesta menadediàleg,calqueesdoninalgunes condicions(relacionadesambelsobjectiusd’alt nivellqueespersegueixen,lestasquesielseu enriquiment,lesintervencionsdelprofessor,el tractamentdel’errorielpaperdelcontrast,etc.). Al’auladematemàtiquestambéhemd’ajudara aprendreadialogar.

Thebuildingofmathematicalknowledgeimplies thatthestudentsestablishtheappropriate connectionsbetweenthenewknowledgeandtheir priorknowledge,connectingthemwiththeir personalnetworkofthought.Thelearningprocess thatcanoccurinaclassroomisdeterminedbythe typeofteachingofmathematicsdevised.Westart fromtheprinciplethatallpeopleknow mathematics,canlearnmathematicsandareable tocommunicatetheirideastoothers.Dialogue amongpeersisapowerfultooltoaccomplishthe buildingofmathematicalknowledgeinthe classroom.Tofacilitatesuchdialoguecertain conditionsarenecessary(relatedtothehigh-level goalstobeachieved,tasksandtheirenrichment, teacher’sinterventions,thetreatmentoferrorsand theroleofcontrast,etc.).Inthemathclassroomwe alsoneedtohelplearninghowtodialogue.

«Ah, és clar, ara ho veig!»

Arahoveu,abansnohoveia.Quanaquestaafirmació,veritabledeclaraciópúblicad’haverarribata unpuntfinalenlacomprensió,apareixdeformaespontàniaal’auladematemàtiques,enmigd’un diàlegentrealumnes(oambelprofessoroprofessora),acostumaaindicarquealgunaspectedel coneixementmatemàtichatrobatoncol·locar-seenlaxarxadesabersd’unalumne,hapassatdeser

informacióaconeixement.Sis’hanestablertlesconnexionsentreelnouconeixementiaquellsdels qualsl’alumnejadisposava—laxarxapersonal—,s’estàconstruintconeixementmatemàtic.

EnunaentrevistavaigsentirdiraJorgeWagensbergqueunboneducadorés,sobretot,unbon proveïdord’estímuls.Calqueenspreguntem:quinamenad’estímulshemdeproveiral’auladematemàtiques?Iperaobtenirquinsresultats?

Eldiàlegentreigualsquecondueixalaconstrucciódeconeixementmatemàticacostumaadonar-se deformaespontàniaperpartdel’alumnatsiestrobaenlasituacióadient.Elpaperdelprofessorat noésconduirl’alumnatperundiàlegprevist—programatprèviamentpelprofessor—,sinóafavorir queflueixiallòqueestrobaal’interiordelcapdel’alumne,enunainteraccióquemaipodremsaber deltotperonaniràionacabarà.Aquíhihal’oportunitatilafortalesai,alhora,lafeblesadelmètode dialògic.Pertant,caldràmesurarambmoltacuralaintervenciódelprofessorperquè,adestemps, pottallarlariquesailacreativitatdel’alumnat.Encanvi,unaintervencióoportunapotconduir(o reconduir)eldiàlegentreigualscapaladesitjadaconstrucciódelconeixementmatemàtic.

Condicions per a un diàleg constructiu a l’aula

Elprimerquecalferésprepararunabonapropostadetasca,enriquida1 desdelpuntdevistadel desenvolupamentdelescompetènciesmatemàtiques,quecontinguialgunreptematemàtic(Burgosialtres,2006).

Tambécalestablir,decomúacordambl’alumnat,lescondicionsquepermetinundebatqueportia construircol lectivamentconeixementmatemàtic.

Aquestescondicionssón:

• Alaclassedematemàtiquesnomésparlaunapersona,siguielprofessorosiguiunalumne.Quan unapersonaparla,lesaltresescoltem.

• Siqualsevoldenosaltresvoldiralgunacosa(perquènoestàd’acordambquihaparlat,perquè voldemanarunaclariment,perquèvolampliarelques’hadit...),aixecalamàiesperaqueseli concedeixilaparaula.

• Quanescoltemunapersonaqueparla,reflexionemsobreallòquediu:noestemesperantqueacabi peradir-hilanostra,sinóqueintentemesbrinarsielques’haditfainnecessàrialanostraintervenció, obépodemlligarelquevolemdirambelquehaplantejatquienshapreceditocontradiralgun delsargumentsescoltats.

• Quanunapersonasurtalapissarraiexposaallòquepensaescrivint,operant,argumentantdavant detotalaclasse,deixaremqueacabid’exposarlasevaopiniói,sinohiestemd’acord,aixecaremla mà:seràl’alumnequehasortitquidonaràlaparaulaauncompanyocompanya,escoltaràelque lihadedirihimostraràelseuacordoelseudesacord.Llavorspodràdonarlaparaulaaunaltre companyocompanya.

• Enelmomentques’arribiaunacord,s’acabaràeldebat.

S’had’intentarnegociaraquestescondicionsambl’alumnat.Unabonamaneradefer-hoésplantejar eltemaalaclasseiesperar(d’unamaneraconduïda,sical)queelsalumnesvaginplantejant-les perquèlesveginmoltraonables.

1.Lescaracterístiquesd’aquestamenadetasquesriquesespodentrobaral’article«Laparticipaciónenelaulade matemáticas»esmentatalabibliografia.

Primer exemple: La fracció que més s’acosta a 0

Treballantlesfraccionsaprimerd’ESO.

Professor:«Escriufraccionspròximesa0».

Elsalumnesvandient1/10,1/30,1/1milió...

Nil: «Lafraccióméspròximaazeroés 1/∞,oi,Xavier?»

Algunscompanyslidemanenexplicacions;surtala pissarraifaundibuix.Primerdibuixaunarecta,marca0i1,enfameitatsiterços,idiu:

Nil:«Sianemdividintpernombrescadavegadamésgrans,ensacostemazero;lafraccióquetéel denominadormésgranseràdivididaperinfiniti,pertant,laméspròximaazeroés1/∞».

Discutimsiésunafracció,quinamenadenombreshihaenelnumeradorieneldenominador,isi l’infinit,totidisposard’unsímbol,ésunnombreono.

L’ensenyamentdelesmatemàtiquesenunauladeterminal’aprenentatgeques’hipotadquirir.Si allòquepretenemésquel’alumnatconstrueixiconeixementmatemàtic,caldràensenyard’unadeterminadamanera,bendiferentdecomhofaremsielquevolemésquehihagireproducciódelque elprofessorolaprofessorapresenta.

Sielquevolemésqueelnouconeixementmatemàticesrelacioniambcoherènciaamballòque l’alumnejasap,permetentqued’aquestamaneraesreestructurinelsseusesquemesmentals,caldrà queplantegemunasituacióquehofaciliti.

Aquestessituacionsesbasaranenl’activitatdel’alumnat,peròaixònovoldirnecessàriamentque hagidesermanipulativaoexploratòriacompulsiva,sinómésaviatactivitatinterna,basadaenles connexionsilesreflexions.Lainteraccióentrealumnesientreaquestsielprofessorésunadelesformesmésindicadesdepromoureaquestesconnexionsireflexions.

El paper del professor és actiu i significatiu

Laintervenciódelprofessoroprofessoraduranteldebatésunpuntmoltimportant:comjahedit abans,caltrobarelmomentadequatperaintervenir,siésquecalfer-ho.Desdelpuntdevistadel queesvolaconseguirenaquestapropostaquepresento,elfetqueunalumnecometiunerroren unaargumentació,perexemple,noimplicanecessàriamentqueelprofessorhagiderectificar-loimmediatament.Benalcontrari,allòqueinteressaésveuresialgunapersonadelaclassesen’adonai intervéperaentrarendebatoperacomunicarlasevaopinió.Noaconseguiremdesenvoluparl’esperitcríticnilesopinionspersonalsenelsalumnes,delesqualsparlaSkovmose(1994),sinoelsdeixem equivocar-seirectificargràciesaldebatentreiguals.

Alfinaldelsdebats,desprésdelasessiódeclasse,oquanelprofessorhocreguioportú,convéferuna intervencióquerecullielquehapassat,allòquehasortitenformad’arguments,laconclusió,iestructurarelconeixementadquirit.Sical,ésaraqueelprofessorpotarrodonireldebatielsseusresultats,

omplirelsbuitsqueencarahaginquedat.Aquestaintervencióquedallunydelatradicionalclasse magistralperquès’esdevédesprésdeldebat,cosaqueafavoreixquel’alumnatpuguitrobaramb mésfacilitatelspuntsd’enllaçentreelseupensamentilesideesquepresenta—quecompleta—el professor.

Duranteldebat,calanarprenentnotadelquecadaalumneensestàmostrant:laconstrucciódel coneixementmatemàticieldesenvolupamentdelescompetènciesnoespodenveured’unamanera directa,calobservar-losenlesintervencionsdetotamenaqueesvanfental’aulaitambéenles produccionsescrites(quadernsd’aula,apunts,treballs,exàmens).

Peròlesanotacionsd’aquestsdebatssónunaeinafonamentalperal’avaluació.Enaquestarticle nopodrédesenvoluparmésaquestaspecte,peròpucassegurarqueeldesenvolupamentdeles habilitatsdelprofessoratperferanotacionsd’aquestamenadurantlesclassesdematemàtiquesés unobjectiuconstantenlesmevessessionsdeformaciódelprofessorat.

El diàleg que ens porta més enllà del que havíem previst

Noésgensestranyqueundebatentreigualsaclassevagimoltmésenllàdelcontingutqueelprofessorpensavadonar.Aquestaésunasituacióquepotresultarcomplicadaperalprofessoroprofessora, perquèanemjustosdetemps,novolemallargar-nosgaireenuntemadeterminat,tenimprogramats unscontingutsperadeterminadeshores,etc.Laveritatésqueaquestproblemanotéunaresposta únicaperquèpensoquedepèndecadacas.Enmoltscasosquejoheviscut,eldebatm’hamostrat nouscaminsperaensenyaruncontingut,obéalgunescausesdelesdificultatsquerepresental’aprenentatged’uncontingutperaalgunsalumnes,obéhevistclarqueelsostredelquepodiadonar eramésaltdelqueempensava.Enelsegonexemplequepresentoacontinuacióespotobservar, entred’altresaspectes,comalumnesdesegond’ESOpodenanarmoltmésllunydelqueensindica elcurrículumoficialdel’ESO.

Pertant,allòqueaconselloésqueelprofessoroprofessoradecideixiencadacaselquecreguimés oportú,tenintencomptelespossibilitatsqueeldebatentreigualsenspotoferir.

Segon exemple: Duplicar la longitud dels costats d’un quadrat

Segond’ESO.Primertemadelcurs,primerdiadeclasse.

Professor:«Pensaenunquadrat,imagina-te’l.Ara,doblalalongituddelsseuscostats,conservantla formaquadrada.Te’lsimaginesdoblats?D’acord,arapensa:sial’àreadelquadratquehaspensat inicialmentlidonemelvalord’1,quinaàreatéelquadratdecostatsdoblats?».

Elprofessoranotalespropostesderesultatalapissarraiinvitaquecadaresultatsiguidefensatper unapersonadelaclasse:

Núria:«1».

Pep:«2».

Marina:«8».

Hajar:«4».

Andy:«0,5».

LaNúria(propostaderesultat1)surtalapissarraidibuixaunquadrat:

Seguidament,al’ordre«Doblaelsseuscostats»dibuixaaixò:

Idiu:«Hedoblatelscostats,aran’hiha8,il’àreasegueixessent1».

LaMarionaliexplica:«Elquehasfetéstallarelscostatsperlameitat,perònotens8costats,entens 4comabansinosónmésllargs».

LaNúriahohacomprèsdeseguida:«Ésveritat!Aixònoésdoblarelscostats.Noés1».

SurtenPep,quehaproposatelresultat2.Dibuixaunquadrat.Seguidament,«doblaelsseuscostats», dibuixantaixò:

Pep:«Ui,no,noésunquadrat,m’heequivocat,és4».

Llavorsdibuixaleslíniesdiscontínuesiescriuelsnombres.

LaMarina,quepensavadefensarelresultat8,demanalaparaulaperrectificarabansdesortirala pissarraiexplicaquehaviadoblatelnombredecostats,nolallargària.Hajar,quehaviadedefensar elvalor4,afirmaquejahohafetenPep.

Quedal’Andy,quedefensaelvalor0,5.Emcridafortamentl’atencióaquestresultat.Lasevaargumentacióéslasegüent:

L’Andysurtalapissarraidibuixaunquadrat.Quanhadedoblarelscostatsdoblegaelscostatscapa dins,iafirma,coherentmentambaquestainterpretaciódel’enunciat,que:

›—Lafiguraquelidónaésunquadrat.

—Lasevaàreaésaralameitatdelainicial:0,5.

EnManellicriticaaquestainterpretació:«Aixòquehasfetésdoblegarlespuntes,elquehaviesdefer eradoblarlalongituddelscostats».

L’Andyadmetlacrítica,peròdiuqueésunquadratiqueelresultatéscorrecte,perònoperaaquest problema.Elprofessorassenyalaquedinsdelasevainterpretacióelqueafirmaéscorrecte,encara quenoeraelqueesperavadelainterpretaciódel’enunciat.

Laseqüènciadeclassesegueixaixí:

Professor:«Quèpassaràambl’àreasitripliquemlallargàriadelscostats?».

Mariona:«Serà6».

Robert:«No,serà12».

Irene:«Serà9».

Josep:«12nopotser,tornesatriplicarelnúmerodecostats».

Robert:«6tampocés,perquèn’hicabenmés».Surtalapissarraidibuixa:

Assentimentgeneral;ningúdemanacapaclariment.Prosseguimlapetitainvestigació.

Professor:«Isiquadrupliquemelscostats?».

Diversosalumnes:«16».Bonapartdelaclassedónal’aprovacióafirmantmoventelcapamuntiavall.

Professor:«Isiquintupliquemelscostats?».

Moltsalumnes:«25».

Professor:«Prepareuunataulaambelsvalorsd’incrementdecostatielseucorresponentincrement d’àrea».

Elquesurts’assemblaaaixò:

Professor:«Mireudedescobrir-hialgunpatró»(elspatronss’hantreballataprimerd’ESOespecialment ambelsprojectesmatemàtics).

Josep:«Elprimersurtsumant2i2,peròelsegon,no».

Marina:«Multiplicantsurtentots:2per2,3per3,4per4...».

Hajar:«Aixònoésallòde...?»iambunditdibuixaal’aireelsímbold’unaarrel.

Professor:«Quèenpenseu?Ésl’arrelquadrada?».

Moltsalumnesafirmenqueéselevaralquadrat.Elprofessordemanaqueposinunanovacolumnaa lataulautilitzantlarepresentacióenformadepotència.

Professor:«Representeulesdadesdelataulaenungràfic.Al’eixhoritzontal,poseu-hielsincrementsdel costatial’eixvertical,elsincrementsdel’àrea.Unavegadahotingueu,intenteuesbrinarquinamenade líniaés».

Elsalumneshovanfent,algunsambajudadelprofessor,is’adonendeseguidaquelalínianoés,com habitualment,unarecta,sinóunacorbaestranya.Demanensiestàbenfet...

Unavegadafetaamà,se’lsdemanaquerepresentinelmateixambelGeogebra(apareixlaparàbola senceraigeneranovespreguntesenl’alumnatméscompetent).

Podem,finalment,establirunacomparacióentresituacionslinealsiproporcionalsisituacionsquadràtiques.

A1:«PerquèsurtenduesbranquesenelGeogebra?Amim’hasortitunabrancaalallibreta...».

A2:«Éscomunmirall,hihavalorsadretaiesquerra».

A1:«Nohoentenc».

A2:«Unmirall;tantpodemelevaralquadratelspositiuscomelsnegatius».

A3:«Peròllavors,sifoscomunmirall,tambéhauriad’anarcapavall».

A4:«Ambelsquadrats,nopotseravall».

P:«Isinofossinquadrats?».

A4:«Podríemelevarelcostatalcub...».

P:«Quèenssortirà?».

A4:«Unabrancaaniràamuntil’altraaniràavall».

Professor:«Hihaaltressituacionsqueesresolenambaquestarelació».

Podenbuscar-lesaInternet.Tambése’lsanimaperquèinventinunasituacióproblemàticaquees resolguiambaquestarelació.

Tercer exemple: L’ull d’Horus i l’infinit

Espresental’ulld’Horusenunaclassedeprimerd’ESO.Esdemanaqueesfixinenlesfraccionsquehi apareixen.Hihaalgunarelacióentreelles?

S’adonendelarelacióentrelesfraccions,icalaclarirquinessóneldobleolameitatdequines.Posteriorment,esplantejaquècreuenquedonaràlasumadetoteselles:algunsalumnesintueixenque donarà1.

P:«Sumalesfraccionsrepresentadesal’ulld’Horus».

Passaalgunacosa...Nodóna1.Intentensumarunameitatdel’últimafracció,discuteixenlafracció quesegueixiacordenqueés1/128.

Abansquefacinlaprovadesumarel128è,se’lsproposaquehipensinunmoment,quefacinuna previsiód’allòquepassarà.

Professor:«Sihiafegim1/128,aconseguiremarribaral’ullsencer,al’1?».

Rebeca:«...Ésinfinit!».

Jaume:«Nohiarribarem,perquèensfaltaràunaltre128è».

P:«Isihiafegim1/256,arribarema1?».

Rebeca:«No,mainohiarribarem,hopodemfertantesvegadescomvulguem;nohiarribaremmai: ésinfinit».

Hem d’ensenyar a dialogar a l’aula de matemàtiques?

Freire(1997)afirmavaque,adialogar,sen’aprèn.Dialogarimplicaunadisciplinaforçaexigent:calescoltar,icalparlar.Totesduesaccionssóncomplexesicadapersonalesviudemaneresmoltdiferents. Amés,calsabercentrar-seenunproblemadefiniticoncret.TeniaraóFreire:desdel’auladematemàtiques(nosolamentdesd’aquestaaula,peròésmoltimportantperal’aprenentatgematemàtic quetambédesd’ella)hemd’ajudaral’aprenentatgedeldiàleg.

TanmateixFlecha(1997)ialtreshaninsistitenelfetqueunaprenentatgedialògicfacilitaquel’alumne prenguiconsciènciadelseuprocésd’aprenentatge,metareflexiu.Iaixòpassaenunambientenel qualesvaconsolidantelpensamentargumentatiuicrític.

Mesurar la superfície d’algunes illes gregues i comparar-ho

Eneltemadelamesuradelasuperfície,aprimerd’ESOse’lsplantejacommesurarienl’àread’algunesillesgreguesquese’lspresentenenpaper.Disposen,alatauladelprofessor,defildecosir, transparènciaambunaquadrícula,regles,compassos...ipodenagafarqualsevold’aquestsmaterials sicreuenqueelspotserd’utilitat.Nose’lsindicacapúsconcretperpartdelprofessorat.Treballen unaestona,primerindividualment,desprésenpetitsgrups.Finalment,posadaencomú.

Ferran:«Jocrecqueelpaperquadriculatserveixperaposar-loaldamuntdel’illaicomptarelsquadrets».

Edgard:«Iquèfasquanunquadrettéterraitéaigua?».

Ferran:«Elquehefetjohasigutcomptar-lostambé».

Josep:«Bé,peròjonoesticd’acordambenFerran;aquestmètodeésmoltpocexacte.Jocrecque elques’hadeferésquesiunquadrettélameitatdeterrailameitatd’aigua,calajuntar-loambun altrequetinguielmateixiaixícomptesunsolquadret».

Ferran:«Nocrecquehihagiproblemaambelmeumètode,perquèsifaselmateixatoteslesilleses corregeixl’errorisortiràbélacomparació».

Alba:«Joesticd’acordambenJosep,perquèsicomptesl’aiguadelsquadretsdelacosta,lamesura del’illaetsortiràmésgran,isihofasatotes,aleshorestoteslesmesuresseranmassagrans».

Jaume:«Joesticd’acordambenFerran.Aixòd’ajuntartrossetséspocexacte,perquè(dibuixaun exemplealapissarra)mainosapsquanttrossetdemarhihaacadaquadret».

Josep:«Segueixopensantquelamevapropostaésmillor:elquecalésagafarquadretsméspetits quanarribesalacosta,iaixílapartqueagafesdemarésmoltpetita».

Edgard:«Però,comcomptaràsaquestsquadretspetits?Comsapsquinapartsóndelsquadretsgrans?».

Toni:«Jotambéopinoqueelsquadretsméspetitsseranmoltcomplicatsdecomptar».

Jaume:«Nomésvulldirquearahecanviatd’opinió.ElquehaproposatenJosepm’haconvençut. Recordoqueperamesurarl’amplàriadelaclasse,quanarribemalfinalinohicapunapassa,agafem mitjapassa,iunquartdepassaiaixí.Éselmateixambelsquadrets».

Javier:«Pucsortiralapissarra?».Surtifadibuixossobrecomferquadretsméspetitsicomptar-los. «Tenimelsquadretsgransquetenenterra.Araarribemalacostaipassaaixò(dibuixdequadrets ambmar).Araagafemelquadretielpartimenquatreparts,perexemple.Jadeixemmoltdemarfora ilamesuraésmoltmésexacta».

EsnotaalaclasseunmovimentdeconfirmaciódelquediuenJavier.Discuteixensobrecomaplicar aquestmètodedefer-nequadretsdecostatméspetitidecomcomptar-los.

Elprofessorintervépermostrarcomesfanlessubdivisionsdelquadretinicialenelsistemamètric decimal:undm2 conté100cm2 ,etc.Llavorsintervél’Esther:

Esther:«Aixòéscomlaformafractal,quevamestudiar,oi?».

(Esther.Tressuspensosenelprimertrimestre,suspeseslesmatemàtiques,habitualmentpocaparticipació...Recordaiconnectaambelquehantreballatmesosabans,lesformesilafuncióquefanala naturaialasocietat.Unadelesformesestudiadesfoulaformafractal.)

Dialogar

a l’aula obre moltes possibilitats

Sidesitgemqueelsnostresalumnesordeninelseupensamentiargumentinlessevesopinionsquan elshoproposem,calquese’lsdemanisistemàticamentquejustifiquinlessevesrespostesiquecomentinlesdelsaltres.D’aquestamaneras’aniràestablintelcostumdepensarenelsargumentssempreques’arribaaunasolució.

Unavegadas’hanestablertalgunsdebatsal’aula,l’alumnatarribaacomprendrefinsaquinpunt eltreballcol laboratiupotajudarenl’exploracióilasoluciódeproblemesmatemàtics.Enlessituacionsdetreballenpetitgrupposteriorsaaquestsdebats,espotobservarunamilloraenlarelació col laborativademoltsimoltesalumnes,quehancomprèsmillorqueabansquinesintervencionsen l’equipdonenbonsresultats.

Respectedelprofessorat,convéestarméspendentdelautilitzaciódeldiàlegperaimplicarl’alumnat enelpensamentmatemàticquedetractard’obtenirràpidamentrespostescorrectes.Elcamípelqual l’alumnatarribiaaquestesrespostespotserladiferènciaentreaconseguirunnivellalt,connectiui reflexiu,ounnivellbaix,puramentreproductiu.

Tambéespotobservarunamilloraenl’evoluciódelesrepresentacionsdel’alumnat,2 ques’explica perlanegociaciódesignificatsques’estableixal’aulaenelsdebatsentreiguals.

2.Alcapítoltitulat«Teacher-researchersandenculturednegotiationofmeanings»del Handbookofmathematics TeachingResearch (2008)inclòsalabibliografia,hihaexemplesdesituacionsd’aulaenelsqualsespotveureaquestaevolució delesrepresentacionsil’anàlisi.

D’altrabanda,quanelprofessorolaprofessoraescoltalesaportacionsdel’alumnat,hipothaver uncanvienlasevamaneradeveurealgunaspectedel’aprenentatgedelsseusalumnes.Lamillor maneradeconèixercompensaunalumneconsisteixafer-liproduiralguntipusdemissatgeoral oescrit,queensdonipistesdelrecorregutdelessevesideessobreelproblemaplantejat.Aquesta rutamentalenspotajudaradescobrircomdonarsuportenelpuntadequatiprepararlabastidaper ajudar-loaavançar.

El diàleg a l’aula, connectat amb el tractament de l’error i l’atenció a la diversitat

Laformad’interaccionarméshabitualeneltracteentrepersoneséseldiàleg.Parlar,escoltar,decidir siestàsd’acordonoambelquesents,criticar,donarsuport,argumentar...Habermas(1987)afirma,en lasevateoriadelacompetènciacomunicativa,quetoteslespersonessóncapacesdecomunicar-se idegeneraraccions.Pertant,calqueal’auladematemàtiquestothomtinguioportunitatsdeposar enpràcticaaquesteshabilitatscomunicatives.Ieldiàlegquecomportaaprenentatgeéscapaçde transformarlesrelacionsentrelespersonesielseuentorn.Noésaquestundelsobjectiusfonamentals del’educacióengeneralidel’educaciómatemàticaenparticular?

Si,comafirmaGoffman(1970),lespersonesactueniconstrueixenlarealitatenfunciódelesregles delcontextidelesexpectativesdelsaltres,resultaessencialqueelprofessoratmostriunaactitud derespecteid’interèsverslesopinionsquel’alumnatdefensaaclassedematemàtiques,destacant especialmentaquellesopinionsbasadesenargumentacionssòlides(equivocadesono)queapareguineneldiàlegpromogutperlapropostadelprofessorat.Delamateixamanera,elsestereotipsa classeinfluencienl’alumnat,iperprestarunaatenciócorrectaalesdiversitatsquesónpresentsen qualsevolgrupclasse3 caldràqueeldiàleghisiguipresentdeformahabitual,promovent,entred’altres,hàbitsdecorrecciórespectealserrorsdecompanysicompanyes,críticaargumentadadeles opinionsamblesqualsnoestemd’acord,ordreenlesintervencionsitancamentdelesdiscussions ambunaconclusióquehemderecollirdeformaescrita.

Peranarconstruintunaaulainclusivahauremd’escoltartothomidiscutirtoteslesaportacions.No importaquilesfa,totesmereixenlanostraatenció,inohemdefercasdelesetiqueteshabituals.La ideafortaésquetoteslespersonessabenmatemàtiques,podenaprendre’nipodencomunicarles sevesideesalsaltres.Elprocésd’aprenentatgeinclounecessàriamentreflexionar,prendreposiciói contrastar:l’errorformapartd’aquestprocésin’aprenemsisomcapaçosd’analitzar-loirepensarel camíseguit.

Allòquecaracteritzalavidaensocietatnoéstantcallariobeircomparticipar,ilaprimeraformade participacióéslaparaula,eldiàlegilesdecisionsquese’ndesprenen.

Bibliografia

Alr ǿ ,H.,Skovmose,O.(2003). DialogueandlearninginMathematicsEducation.Intention,Reflexions, Critique.MathematicsEducationLibrary.Dordrecht:Kluwer.

3.Almeullibre Matemáticasparatodos.Enseñarenunaulamulticultural,inclòsalabibliografia,espottrobaruna anàlisiextensaialgunespropostesperaafrontarelreptedeladiversitatal’auladematemàtiques.

Bishop,A.J.(1999). Enculturaciónmatemática.Laeducaciónmatemáticadesdeunaperspectivamulticultural.TemasdeEducación.Barcelona:Paidós.

Burgos,S.,Domínguez,M.,Rojas,F.J.,Planas,N.,Vilella,X.(2006).Laparticipaciónenelauladematemáticas. AuladeInnovaciónEducativa,232,49-62.

Euclides(1999). LosseislibrosprimerosdelaGeometríadeEuclides.TraduccióalcastellàdeRodrigo Zamoranoen1576.Salamanca:EdicionesUniversidaddeSalamanca.

Flecha,R.(1997). Compartiendopalabras.Barcelona:Paidós.

Freire,P.(1997). Alasombradeesteárbol.Barcelona:ElRoure.

Goffman,E.(1970). Ritualdelainteracción.BuenosAires:TiempoContemporáneo.

Gorgorió,N.,Planas,N.,Vilella,X.(2002).Inmigrantchildrenlearningmathematicsinmainstream schools.DinsG.d’Abreu,A.J.BishopiN.Presmeg(ed.), TransitionsBetweenContextsofMathematicalPractices.MathematicsEducationLibrary.Dordrecht:Kluwer.

Habermas,J.(1987). Teoríadelaaccióncomunicativa.Vol. I i II.Madrid:Taurus.

Planas,N.,Gorgorió,N.(2004).Interacción,negociaciónydiálogoenelauladematemáticas. Aulade InnovaciónEducativa,132,22-26.

Skovmose,O.(1994). TowardsaPhilosophyofCriticalMathematicsEducation.MathematicsEducation Library.Dordrecht:Kluwer.

Vilella,X.(2007). Matemáticasparatodos.Enseñarenunaulamulticultural.CuadernosdeEducación, 53.Barcelona:ICE-UAB,HORSORI.

Vilella,X.,Giménez,J.(2008).Teacherresearcherambenculturednegotiationofmeanings.DinsB. Czarnocha(ed.) HandbookofMathematicsTeachingResearch:TeachingExperiment.AtoolforTeacherResearchers.Cracòvia:UniversityofRzeszów.

Sobreelsentitdeles matemàtiques al’educacióinfantil

ÀngelAlsina

UniversitatdeGirona

Resum Abstract

Enaquestarticles’argumenta,enprimerlloc, quinéselpaperdel’educacióinfantilen l’adquisicióprogressivadel’alfabetisme matemàticodelacompetènciamatemàtica;en segonlloc,s’ofereixenalgunesbasesal professoratd’aquestaetapaeducativa, principalmentapartirdelesdeclaracionsde posiciósobrelesmatemàtiquesal’educació infantildelcontextamericàiaustralià;i, finalment,esdocumentais’interpretauna pràcticamatemàticaenlaqualungrupd’infants aprènausard’unamaneracomprensivaieficaç elsconeixementsmatemàticsenuncontext d’aprenentatgedelavidaquotidiana,perquè progressivamentidentifiquinientenguinla funciódelesmatemàtiques,emetinbonsjudicis ilesusinis’hirelacioninperasatisferles necessitatsdelasevavidacomaciutadans constructius,compromesosireflexius.

Thisarticleprimarilyaddressestheroleofearly childhoodeducationintheprogressiveacquisition ofmathematicalliteracyorcompetence.In addition,itofferssomesupportingstructuresto teachersatthislevel,basedmainlyon mathematicspositionstatementsinearly childhoodeducationintheUnitedStatesand Australia.Finally,itdocumentsandexplainsa mathematicalpracticeinwhichagroupof childrenlearntousemathematicalknowledge comprehensivelyandefficientlyinalearning contextrelatedtodailylife.Inthisway,they progressivelyidentifyandunderstandthefunction ofmathematics,demonstrategoodjudgement anduseandrelatetomathematicstomeettheir needsasconstructive,committedandreflective citizens.

Introducció

Finsfarelativamentpocsanys,lesmatemàtiquesques’ensenyavenal’escolaservien,sobretot,pera emmagatzemarcontinguts(numeracióicàlcul;àlgebra;geometria;mesura;estadísticaiprobabilitat), peraresoldrecorrectamentexercicisiperasuperarambèxitelsexàmens.

Enelsdarrerstemps,diversosorganismesinternacionals,comaraelNationalCouncilofTeachers ofMathematicsdelsEstatsUnits(NCTM,2000)ol’OrganisationforEconomicCo-operationandDevelopment(OECD,2006),hanalertatsobreelproblemaquesuposafocalitzarl’ensenyamentdeles matemàtiquesexclusivamentenelscontinguts.Moltsintèticament,aquestsorganismesassenyalen queaquestenfocamentpotserútilperatenirunbonrendimentmatemàtical’escola,peròaixòno pressuposaladestresanecessàriaperaaplicaralavidaquotidianaelscontingutsapresos,demanera queencaraavuiéshabitualtrobarpersonesque«hanaprès»moltesmatemàtiquesdurantlaseva escolarització,peròquetenendificultatsdecomprensióideresoluciómatemàticasatisfactòriaen moltessituacionsdelavidaquotidianaenlesqualslesmatemàtiquestenenunpaperrellevant.

Persuperaraquestesdificultats,darreraments’havistlanecessitatdeprepararelsalumnesnosols peradominarelscontingutsmatemàtics,sinóespecialmentperapoder-losusard’unamaneracomprensivaieficaçenelmomentnecessariiambunobjectiuconcret.Aquestnouplantejament,que esrecullenelsdocumentslegislatiusactualsenmatèriad’educació,implicapartird’unensenyament delesmatemàtiquesqueafavoreixil’alfabetismematemàtic(mathematicalliteracy )olacompetència matemàtica(mathematicalcompetence).L’alfabetismematemàticéseldominisobrematemàtiques queesvaestudiarenelProjectePISA2003(OECD,2004)i,unsanysméstard,enelProjectePISA 2006(OECD,2007)esvausarl’expressió«competènciamatemàtica»peraemfatitzarelcaràcterfuncionaldelconeixementmatemàtic.Enaquestarticle,d’acordambRico(2005),s’usenindistintament ambdóstermesis’assumeixladefiniciódelcentredeterminologiaTERMCAT,creatl’any1985perla GeneralitatdeCatalunyail’Institutd’EstudisCatalans,quedefineixl’alfabetismematemàticcom «lacapacitatdecomprendreconceptesiprocedimentsmatemàticsfonamentalsisaber-losaplicar endiferentscontextos».Sis’esmicolaaquestadefinició,s’hiobserventreselementsclau:

a)La«capacitatdecomprendre»,ques’associaalaresoluciódesituacionsproblemàtiques;elraonamentilacomprovació;lacomunicaciódelesideesmatemàtiques;lesconnexionsentreles diferentsideesmatemàtiques,obélasevarepresentació.Totssónprocessosdepensamentindispensablesperaafavorirlacomprensiódelesmatemàtiques.

b)Els«conceptesiprocedimentsmatemàticsfonamentals»,queesrefereixenalatotalitatdelconeixementmatemàtic:elscontingutsmatemàtics(numeracióicàlcul,àlgebra,geometria,mesura,i estadísticaiprobabilitat)ielsprocessosmatemàticsabansesmentats.

c)«L’aplicacióendiferentscontextos»,queposademanifestquenon’hihaproud’ensenyarconeixementsmatemàticsperaaplicar-losnomésensituacionsescolars(fercorrectamentelsexercicis proposats,superarunexamen,etc.),sinóquehandeservirsobretotperausar-losambeficàciaen elsdiferentscontextosdelanostravidaquotidiana.

Endefinitiva,l’ensenyamentdelesmatemàtiquesalnostreseglehad’afavorirlacapacitatdelsindividusperaidentificarientendrequinaéslafunciódelesmatemàtiques,emetrebonsjudicisiusar-les irelacionar-s’hidemaneraqueespuguinsatisferlesnecessitatsdelavidacomaciutadansconstructius,compromesosireflexius.

El paper de leducació infantil en ladquisició de la competència matemàtica

Diversosautors(Castro,2006;Alsina,2011;Castro,Molina,Gutiérrez,MartíneziEscorial,2012)assenyalenqueésapropiatpensarquelacompetènciamatemàticaesvaconformantdesd’edatsprimerenques,jaquelescapacitatsmatemàtiquestenenunagènesiivanevolucionantcapaunamajor complexitatamesuraqueavançaeldesenvolupamentcognitiu.Així,doncs,lacompetènciamatemàticadepèndelescapacitatsdesenvolupadesdesdelainfànciaidecoms’hanadquirit.

Aladeclaracióconjuntadeposiciósobrelesmatemàtiquesalesprimeresedatsdelesassociacionsnord-americanesNationalAssociationfortheEducationofYoungChildreniNationalCouncilfor TeachersofMathematics(NAYECiNCTM,2002)s’indicaque,perquèlacompetènciamatemàticadels ciutadanscontinuïmillorant,s’hauriadedonarunaatenciómoltmajoralesprimeresexperiències matemàtiques,jaquelainvestigacióacumuladasobrelescapacitatsil’aprenentatgedelsnensen elsprimersanysdevidaconfirmaquelesexperiènciesinicialstenenresultatspersistents.Enaquest sentit,s’insisteixquetotselsinfants,evitantlaideaquelesmatemàtiquessónúnicamentperauns quantsescollits,hauriendetenirl’oportunitatielsuportnecessariperaaprendreprogressivament coneixementsmatemàticsimportantsambprofunditaticomprensió,jaquemaifinsarahaviaestat tangranlanecessitatd’entendreisercapaçd’usarlesmatemàtiquesenlavidadiàriaieneltreball.

Unparelld’anysabansd’aquestadeclaracióconjuntaespublicavenels Principlesandstandarsfor schoolmathematics (NCTM,2000),delsqualsexisteixunatraduccióalcastellà(NCTM,2003).Aquest documentpreténserunaguiaperatotselsquiprenendecisionsqueafectenl’educaciómatemàtica desdelstresfinsalsdivuitanys,ofereixargumentssobrelaimportànciadelacomprensiómatemàticaidescriumaneresd’aconseguir-la.Unadelesnovetatsmésrellevantsésque,peraaconseguir unasocietatquetinguilacapacitatdepensariraonarmatemàticament,iunabaseútildeconeixementsidedestresesmatemàtiques,organitzenelsconeixementsmatemàticssobrelabasede deuestàndards,cincdelsqualscorresponenacontingutsmatemàticsicincmésaprocessosmatemàtics.Elsestàndardsdecontinguts(nombresioperacions,àlgebra,geometria,mesuraianàliside dadesiprobabilitat)descriuenexplícitamentelscontingutsques’hauriend’aprendre,ielsestàndards deprocessos(resoluciódeproblemes,raonamentiprova,comunicació,connexionsirepresentació) posenenrelleulesformesd’adquisicióiúsd’aquestscontinguts(NCTM,2003,pàg.31).Apartirde lapublicaciód’aquestsestàndardsperalesmatemàtiquesescolars,diversosautorsd’unprestigireconeguthanargumentatlaimportànciadeltreballsistemàticdelsprocessosmatemàticsal’escola. Així,perexemple,Guzmán(2001,pàg.9)javaposardemanifestque:

Enlasituaciódetransformacióvertiginosadelacivilitzacióenlaqualenstrobem,ésclarqueels processosveritablementeficaçosdepensament,quenoestornenobsoletsambtantarapidesa, sónelmésvaluósquepodemensenyaralsnostresjoves.Enelnostremóncientíficiintel·lectual tanràpidamentcanviantvalmoltmésproveir-sedeprocessosdepensamentútilsquedecontingutsqueràpidamentesconverteixenenideesinertes...

Peraaquestautor,lamatemàticaés,sobretot,saberfer;ésunaciènciaenlaqualelmètodepredominaclaramentsobreelcontingut.Peraquestmotiuconsideraqueelsprocessossónelcentrede l’educaciómatemàtica.Enunalíniasimilar,Niss(2002)assenyalalanecessitatdesubstituirelscurrículumsdematemàtiquesorientatsal’adquisiciódecontinguts,jaquesecentrenexclusivamenten l’adquisiciódesímbolsidetècniques,percurrículumsorientatsal’ússignificatiud’aquestscontinguts enunavarietatdesituacionsenlesqualslesmatemàtiquespodenexercirunpaper.Desd’aquesta perspectiva,endiversostreballspreviss’hanofertalgunesorientacionsespecífiquesalprofessorat d’educacióinfantilperaafavorireltreballsistemàticdelsprocessosmatemàticsalesprimeresedats (Alsina2011,2012a,2012b;CoronataiAlsina,2012).

Enladeclaracióconjuntadeposiciósobrelesmatemàtiquesal’educacióinfantilabansesmentada (NAYECiNCTM,2002)tambés’incideixenlaimportànciadelaincorporaciódelsprocessosmatemàticsenlespràctiquesmatemàtiquesdelesprimeresedats,perlaqualcosaformapartd’unadelesdeu recomanacionsques’hauriendeconsiderarenlespràctiquesd’aulaperaaconseguirunaeducació matemàticadequalitat.

Quadre 1. Deu recomanacions essencials per als mestres i altres professionals per a aconseguir una educació matemàtica de qualitat (NAYEC i NCTM, 2002).

1.Potenciarl’interèsnaturaldelsnensenlesmatemàtiquesilasevadisposicióautilitzar-lesper donarsentitalseumónfísicisocial: Lesinvestigacionsmostrenquemoltabansdecomençarl’escola elsnensusenlesmatemàtiquesdemaneraintuïtivaensituacionsd’exploració,joc,etc.Desd’aquesta perspectiva,ésimportantqueelsprimerscontactesdelsnensamblesmatemàtiquess’esdevinguindins d’unclimaatractiuiestimulant.

2.Aprofitarlesexperiènciesielsconeixementsprevisdelsnens,inclososelsfamiliars,lingüístics, culturalsielsdelasevacomunitat,lessevesaproximacionsindividualsal’aprenentatge,iels seusconeixementsinformals: Elsmestreshandeconèixerlesexperiènciespersonalsdecadanenamb lesmatemàtiquesiconstruirllaçosentreaquestesexperiènciesielsnousaprenentatgesperaconseguir l’equitatil’eficàciaeducativa.

3.Basarelscurrículumsdematemàtiquesilespràctiquesdocentsenelconeixementsobreeldesenvolupamentcognitiu,lingüístic,físic,socialiemocionaldelsnens: Mésenllàdeldesenvolupament cognitiu,elsmestreshand’estarfamiliaritzatsambeldesenvolupamentsocial,emocionalimotordels nens,acausadelarellevànciadetotsellsperaldesenvolupamentmatemàtic.Desd’aquestaperspectiva,idonadal’enormevariabilitatpròpiadeldesenvolupamentinfantil,noésrecomanableestablirun momentfixperal’adquisiciódecadaaprenentatgeespecífic.

4.Utilitzarcurrículumsipràctiquesdocentsqueenforteixinelsprocessosinfantilsderesolucióde problemesiraonament,aixícomelsderepresentació,comunicacióiconnexiód’ideesmatemàtiques: Aquestsprocessosesdesenvolupenalllargdeltemps,semprequesiguinfomentatsatravésde situacionsd’aprenentatgebendissenyades,ifanpossiblequeelsnensadquireixinelconeixementdel contingut.Enaquestsentit,lautilitzaciód’aquestsprocessosperacomprendreiusarelscontingutsde formaeficaçésundelsassolimentsmésperdurablesdel’educaciómatemàtica.

5.Assegurarqueelcurrículumsiguicoherenticompatibleamblesrelacionsilesseqüènciesconegudes delesideesmatemàtiquesfonamentals: Enlesàrees(blocsdecontingut)claudelesmatemàtiquesa lesprimeresedatss’hanestablertseqüènciesdidàctiquesd’aprenentatgequevandelconcretal’abstraccióprogressiva.S’indicaqueaquestesàreesclausónelsnombresilesoperacions,geometriaimesura, mentrequeelpensamentalgebraic(aexcepciódelspatrons)il’estadísticailaprobabilitattenenunpes inferiorenelsprimersanys,sensedesmerèixer,però,encapmomentlasevaimportància.

6.Facilitarqueelsnensinteractuïnd’unamaneracontinuadaiprofundaamblesideesmatemàtiques clau: Elsmestresdelaprimerainfànciahauriendeplanificarlaimplicacióprofundadelsnensambles ideesmatemàtiques,aixícomdonarsuportalesfamíliesperquèaquestesideess’ampliïnidesenvolupin foradel’escola.

7.Integrarlesmatemàtiquesambaltresactivitatsialtresactivitatsamblesmatemàtiques: Elsnensno percebenelmóndemaneraparcel·lada,perlaqualcosaésrecomanableajudar-losadesenvoluparel seupensamentmatemàticdesd’unaperspectivaglobalitzada,duranttoteldiaiatravésdetotelcurrículum.Aixòsignificaquelespràctiquesd’aulahand’afavorirlesconnexionsentrediversesdisciplines,i tambélesconnexionsambl’entorn,perexempleatravésdeprojectesquetravessenlesfronteresdeles assignatures.Desd’aquestenfocamentintegrat,elsmestress’hand’assegurarquelesexperiènciesmatemàtiquessegueixenexperièncieslògiques,permetenfocalitzar-seenlesmatemàtiquesiaprofundir-hi.

8.Proporcionartempssuficient,materialsisuportdelprofessorperquèelsnenss’impliquineneljoc, uncontextenelqualexplorarimanipularideesmatemàtiquesambunviuinterès: Eljocnogaranteix eldesenvolupamentmatemàtic,peròofereixoportunitatsvaluoses,perlaqualcosaésimportantque elsmestresplanteginbonespreguntesensituacionslúdiquesqueprovoquineldesenvolupamentde nousconeixements.

9.Introduiractivamentconceptesmatemàtics,mètodesillenguatgeatravésd’unavarietatd’experiènciesiestratègiesd’ensenyamentapropiades: Elsbonsmestresd’educacióinfantilesbasenenel coneixementmatemàticinformaldelsnensienlessevesexperiènciesprèvies,isobrelasevabaseafavoreixenlaconstrucciódenousconeixementsapartirdecontextosdevidaquotidiana,rutines,materials manipulables...quecentrinl’atenciódelsnenssobreunaideamatemàticaenparticularounconjunt d’ideesrelacionades,atèsquelesmatemàtiquessónmassaimportantsperadeixar-lesal’atzar.

10.Donarsuportal’aprenentatgemitjançantl’avaluaciócontínuaireflexivadelconeixement,les destresesilesestratègiesdetotselsnens: L’avaluacióésmoltútilperaidentificarelspuntsfortsifebles enelconeixementdelsnensidelespròpiesactivitats,peraorientarlaplanificaciódocent.Desd’aquest marc,unabonaavaluaciós’hauriadefonamentarenl’observaciósistemàticailadocumentaciódeles accions;mentrequeconfiarl’avaluacióenunaúnicaprovaperadocumentarlacompetènciamatemàtica delsnensvaencontradelesrecomanacionscontemporàniessobrel’avaluaciódenenspetits.

LesassociacionsaustralianesTheAustralianAssociationofMathematicsTeachersInc.iEarlyChildhoodAustralia(2006)tambéaportenunadeclaraciódeposicióperagarantirunaeducaciómatemàticadequalitatalaprimerainfànciaenlaqualexposendiferentsrecomanacionsperalsprofessorsen actiu,peralaformacióinicialdelseducadorsitambéperaaltresinstitucionsqueofereixenserveisa lainfància.Alquadre2s’ofereixunasíntesidelesrecomanacionsperalsmestresenactiu,iesremet ellectorinteressataldocumentoriginalobéalasevatraducciócastellana(AsociaciónAustralianade ProfesoresdeMatemáticaseInfanciaenAustralia,2012).

Enlesrecomanacionsanteriorsesposademanifestquelespràctiquesdocentsdelsmestresd’educacióinfantils’hauriendebasarenenfocamentsquedoninrespostaalesnecessitatsd’aprenentatgede totselsnensdelaprimerainfància,atenentlessevesdiferènciesindividuals:lacuriositat,l’úsdematerials,laresoluciódeproblemes,lainteracció,lacomunicació,etc.D’aixòesdesprènquel’educació matemàticas’hauriadefonamentarenpràctiquesrellevantsperaellsqueafavoreixinl’experimentació,lamanipulacióil’activitatheurística,iquetinguinmoltencompteelcontextsocioculturalen elqualesdesenvolupen.L’avaluaciós’hadebasarenl’observaciód’aquestespràctiquesinoeninstruments(comperexemplequadernsd’activitats)quetenenmoltpocaveureambelsenfocaments d’aprenentatgeacceptatsenlaprimerainfància.

Quadre 2. Pràctiques docents recomanades per a educadors de la primera infància (Asociación Australiana de Profesores de Matemáticas e Infancia en Australia, 2012).

Atreurelacuriositatnaturaldelsnensperaafavorireldesenvolupamentdelesideesidelacomprensiódeles matemàtiquesinfantils.

Utilitzarenfocamentsacceptatsperal’educacióenlaprimerainfànciacomeljoc,elcurrículumemergent,el currículumcentratenelsnensoelcurrículuminiciatpelsnensperafacilitareldesenvolupamentinfantilde lesideesmatemàtiques.

Assegurarquelesideesmatemàtiquesamblesqualsinteractuenelspetitssiguinrellevantsperalasevavida actualiqueformenlabaseperalseufuturaprenentatgedelesmatemàtiques.

Reconèixer,valorariconstruirapartirdel’aprenentatgedelesmatemàtiquesqueelsnenshandesenvolupati utilitzarelsmètodesinfantilsderesoluciódeproblemesmatemàticscomabaseperalseudesenvolupament posterior.

Animarelspetitsaveure’scomamatemàtics,estimulantelseuinterèsilasevahabilitatenlaresolucióde problemesilainvestigacióatravésd’activitatsrellevantsperaells,quesuposinunrepteiexigeixinmantenir l’esforç.

Reconèixerquel’aprenentatgedelesmatemàtiquesésunaactivitatsocialquehadesersecundadaienla quals’had’aprofundir,tantatravésdelainteraccióambaltresnenscomambelsadults.

Proporcionarmaterialsapropiats,espai,tempsialtresrecursosperaanimarelsnensaimplicar-seenelseu aprenentatgematemàtic.

Fixar-seenl’úsdelllenguatgeperadescriureiexplicarideesmatemàtiques,reconeixentl’importantpaper quejugaelllenguatgeeneldesenvolupamentdetotaprenentatge.

Atendrelesnecessitatsd’aprenentatgedelsnensambdiscapacitatintel lectualatravésdel’ensenyament explícitdelvocabularipertinentid’altresestratègiesapropiadesperacadainfant.

Atendrelesnecessitatsenl’aprenentatgedelesmatemàtiquesdelsnensperalsqualsl’anglèséslasegonao posteriorllengua.

Respondrealsdiversosantecedentsculturalsdelsnensd’aquestpaísigarantirquetotselsinfants,enparticular elsdecomunitatsindígenesméstradicionals,tinguinaccésalaformacióculturalial’idiomaenquèesbasa l’aprenentatgedelesmatemàtiquesoccidentals.

Animarelspetitsajustificarlessevesideesmatemàtiquesatravésdelacomunicaciód’aquestesidees,d’una maneradesenvolupadapelsnens,quemostrinnivellsadequatsderigormatemàtic.

Reconèixerque,encaraqueelsmaterialspodenserimportantseneldesenvolupamentinfantildelesidees matemàtiques,aquestesesdesenvolupenenrealitatatravésdelpensamentsobrel’acció.S’had’animarels nensaimplicar-seenlamanipulaciómentald’ideesmatemàtiques.

Reconèixerqueeldesenvolupamentmatemàticdelsnensésintern,esveuafectatper,ihadeserrellevanten diferentscontextoscomlafamília,elsgrupsculturals,comunitaris,lesescolesbressolil’escola.

Avaluareldesenvolupamentmatemàticdelsnensatravésdemitjanscoml’observació,leshistòriesd’aprenentatge,elsdebats,etc.,quesiguinsensiblesaldesenvolupamentgeneraldelsinfants,alseudesenvolupamentmatemàtic,alsseusantecedentsculturalsilingüísticsialanaturalesadelesmatemàtiquescomatasca oesforçperllongatd’investigacióiresoluciódeproblemes.

Reconèixerquelafinalitatprincipaldelarecollidad’informaciósobreeldesenvolupamentmatemàticdels petits,atravésdel’avaluació,ésferunseguimentdeldesenvolupamentifacilitarlaplanificaciódelesinteraccions,tasques,activitatsiintervencionssegüents.

Finalment,tambévolemferreferència,encaraquenoméssiguidepuntetes,alespropostesdela UnióEuropeaperamillorarlaqualitatdel’educacióil’atencióalaprimerainfància:

Trobarunequilibriadequatentreelsaspectescognitiusielsnocognitiusenelsprogramespedagògics.

Fomentarlaprofessionalitzaciódelpersonal:determinarlaqualificaciónecessàriaperalesdiferentsfuncions.

Quadre 3. Qualitat de leducació i latenció a la primera infància (Consejo de la Unión Europea, 2011).

Aplicarmesuresperaatreurepersonalqualificat,formar-loifidelitzar-lo.

Millorarl’equilibrientrehomesidonesentreelpersonal.

Evolucionarcapasistemesqueintegrinl’educacióil’atencióimillorar-nelaqualitat,l’equitatil’eficàcia.

Facilitarlatransiciódelsnenspetitsentrelafamíliaielsserveisd’educacióoatencióientreelsdiferentsnivells delsistemaeducatiu.

Garantirlaqualitat:elaborarmarcspedagògicscoherentsibencoordinats,implicant-hielsprincipalsinteressats.

Enrelacióambelsprogramespedagògics,s’emfatitzaques’handeconcebreiprestardemanera queresponguinatotelconjuntdenecessitatsdelsnens(cognitives,emocionals,socialsifísiques). Alhora,esrecomanaque,atèsqueelventalldepràctiquesquecoexisteixenactualmentenlaUEés moltampli,ésimportantcentrar-seenlaqualitatil’adequaciódelsprogramespedagògics,aixícom analitzarlesbonespràctiquesdelsestatsmembreiaprendred’aquelles,afidegarantirquel’educació il’atencióalaprimerainfànciatinguinl’impacteméspositiuquesiguipossible.Abandad’aquestes orientacionsgenèriques,recentmenthaestatpublicateldocument MathematicsinEducationinEurope:CommonChallengesandNationalPolicies,delqualexisteixunaversiócastellana(EACEA,2011). Lamentablement,enaquestdocumentenquèesdescriuenlespolítiqueseuropeesenmatèriad’educaciómatemàticanoesfareferènciaexplícitaal’educacióinfantilitampocnos’aportenorientacions específiquesperalsmestresenactiud’aquestaetapaeducativaperaincentivarl’adquisicióprogressivadelacompetènciamatemàticaatravésdebonespràctiques,adiferènciadelscontextosamericà iaustralià.

Apesard’aquestdèficitd’orientacionsenl’àmbiteuropeu,aCatalunyadisposemd’undocument extraordinariperalaplanificacióigestiód’activitatsqueafavoreixeneldesenvolupamentdelacompetènciamatemàtica:«Preguntesquepodenservird’indicadorsdelnivellderiquesacompetencial d’unaactivitat»(CREAMAT,2009).Aquestdocument,inspiratsobretotenfontsamericanes,ésextraordinariperdiversosmotius:primer,perquèposal’èmfasieneltreballsistemàticdelsprocessosdepensamentmatemàticperapotenciarlacomprensióil’ússignificatiudelscontinguts;segon,perquèho fad’unamanerasenzillaisintètica,itercer,perquèelsdeuindicadorsqueesproposen(cincperala planificacióicincperalagestió)sónextrapolablesatoteslesetapeseducatives,tambéal’educació infantil.Alquadre4esmostralarelacióentreelsindicadorscompetencialsielsprocessosmatemàtics:

Quadre 4. Relació entre els deu indicadors competencials (CREAMAT, 2009) i els processos matemàtics (NCTM, 2000).

Indicadorscompetencials

Ésunaactivitatquetéperobjectiurespondreunapregunta?Lapreguntaes potreferirauncontextquotidià,espotemmarcarenunjoc,pottractard’una regularitatod’unfetmatemàtic.

Ésunaactivitatqueespotdesenvolupardeformesdiferentsiestimulalacuriositatilacreativitatdel’alumnat?

Implical’úsd’instrumentsdiversoscomaramaterialqueespuguimanipular, einesdedibuix,programari,calculadora,etc.?

Esfomental’autonomiailainiciativadel’alumnat?

Processos

Resoluciódeproblemes

Indicadorscompetencials Processos

Implicaraonarsobreelques’hafetijustificarelsresultats?

S’intervéapartirdepreguntesadequadesmésqueambexplicacions?

Esposaenjoceltreballil’esforçindividualperòtambéeltreballenparellesoen grupsqueportaaparlar,argumentar,convèncer,consensuar,etc.?

S’avançaenlarepresentaciódemaneracadavegadamésprecisais’usaprogressivamentllenguatgematemàticmésacurat?

Portaaaplicarconeixementsjaadquiritsiafernousaprenentatges?

Ajudaarelacionarconeixementsdiversosdinslamatemàticaoambaltresmatèries?

Raonamentiprova

Comunicaciói representació

Connexions

Cap a la planificació i gestió de pràctiques matemàtiques competencials a les primeres edats: un exemple de bona pràctica

Cadavegadasónméselsprofessionalsdel’etapad’educacióinfantilque,comaresultatdelareflexió sistemàticasobrelapròpiapràctica,vandeixantenrerelespràctiquesdocentsdescontextualitzades, pocsignificativesisovintbasadesenl’adquisiciódetècniquesisímbolsquebusquenunrendiment escolarsatisfactori...perdonarpasatasquesplanificadesigestionadesencontextosd’aprenentatge significatiusenlesqualselsinfantsdelesprimeresedatsaprenenausardemaneracomprensivai eficaçlesmatemàtiques.Enaltresparaules,estractadeprofessionalsqueapostenpersubstituirla instrucciómatemàticaperl’educaciómatemàtica.

Lapràcticaqueesdescriuacontinuacióreuneixaquestsrequisits:elpared’unnenhaobertuna sabateriapropdel’escolai,desprésd’haverestatalainauguració,l’endemàunanenaportalesseves sabatesvellesal’escolaperjugar.Apartird’aquestfetespontani,lesmestresestirenelfilidemanen alsaltresnensquetambéportinsabatesvellesdecasa.Amesuraquevanportantlessabates,les presentenalsaltres(comentencomsón,peraquèserveixen,etc.).Fanjoclliureambtoteslessabates ientretotsdecideixenmuntarunasabateriaalaclasse...

• Títoldel’activitat: Oinetakodenda (lasabateria).

• Llocd’implementació:AndraMariIkastola,Etxarri-Aranatz(Navarra).

• Mestresresponsablesdelaimplementacióidocumentació:JosuneArrazubi,JaioneAzpirotz,Teresa Goikoetxea,MilaBerastegi,GloriaLopez,JuanaMariJakaiInésGoñi.

• Nivell:3-4anysi5-6anys.

• Assessoramentpedagògiciinterpretació:ÀngelAlsina.

Acontinuacióesmostraladocumentacióilainterpretaciódelesaccionsmatemàtiquesquesorgeixendurantl’activitat:

Qualitats sensorials

Enlafaseinicialdel’activitat,amesuraqueelsnensvanportantlessabates,endescriuenlescaracterístiquesfísiques(qualitatsiatributs)idemicaenmicalesagrupenilesclassifiquenpercriteris qualitatiusdiversos.

Quadre 5. Documentació i interpretació daccions en les quals els nens usen continguts referents a les qualitats sensorials.

Documentació

Quantitats

Interpretació

Reconeixementdelescaracterístiquessensorials:explorenlessabatesiesfixenenelcolor,el tipusdematerial,etcètera.

Aparellamentsiagrupacionspercriterisqualitatius:primeraparellenlessabatesquesónigualsi despréslesagrupensegonsdiferentscriteris(les quetenenflors,lesquetenencordons,etc.).

Classificacionspercriterisqualitatius:classifiquenlessabatessegonssisónboteso esportives.

Seriacions:col·loquenlessabatesseguintunpatróderepetició(parelldesabatespetites-parell desabatesgrosses).

Elsalumnesobservenelnúmerodelessabates,lesclassifiquenperaquestcriteri...iquandecideixen entretotsmuntarlasabateriaposenpreualessabatesi,amblamediaciódelesmestres,s’iniciala compravenda.

Quadre 6. Documentació i interpretació daccions en les quals els nens usen continguts referents a les quantitats.

Documentació

Posicions i formes

Interpretació

Reconeixementiúscomprensiudequantitats: elsalumnesesposend’acordsobreelpreude lessabatesilesetiqueten.

Composicióidescomposiciódequantitats/nocionsd’afegiridetreure:elsvenedors fanservirlamàquinaregistradoraperacomptar quantvalenlessabatesquecomprenels alumnes,itornenelcanvi.

Representacióescritadelsnombres:alguns alumnesrepresentenperescritlessituacionsde compravenda(apuntenl’importquevalcada parelldesabates,elquevaltotalacompra,etc.).

Enprepararl’espai,elsalumnesprenenmúltiplesdecisionssobrecomorganitzarlasabateria,on col·locarelstaulells,etcètera.

Quadre 7. Documentació i interpretació d’accions en les quals els nens usen continguts referents a les posicions i les formes.

Documentació

Interpretació

Posiciórelativaidistància:organitzenlasabateriaamblestaulesarrambadesalaparet,separadeslesunesdelesaltressegonssivenenbotes, esportives...Elsvenedorsescol·loquenaldarrereielscompradorshandecircularpelmig.

Atributs mesurables

Eneltranscursdel’activitattambésorgeixenespontàniamentaccionsenlesqualselsalumnesfan servirconeixementsreferentsalsatributsmesurables(lesmagnitudscontínues),comaraencomparar lamidadelessabates,sicabenonodinsdelescapses,elseupes,etcètera.

Quadre 8. Documentació i interpretació d’accions en les quals els nens usen continguts referents als atributs mesurables.

Documentació

Interpretació

Reconeixementi/ocomparaciódelamida:un alumnecomparalamidadelessevessabates ambunaltreparelldesabatesméspetites;una altraalumnacomprovasilivanbéunesbotes, iungrupd’alumnesanalitzaenquinacapsacabenlessabates.

Reconeixementdelamassa:unsalumnescomprovenquelabossadelessabatesquehan compratpesabastant.

Enl’activitatanteriors’exemplificacomconstruirconeixementmatemàticalesprimeresedatsdemanerasignificativaapartird’unasituacióquesorgeixespontàniament.Davantdel’arribadapersorpresa d’unessabatesvellesal’escola,lesmestresteniendiversespossibilitats:fercasomísdelessabates; presentar-lesalaclasse;fer-neunabreuanàlisi(comsón,peraquèserveixen,etc.)iprosseguiramb eltreballplanificat,obéconvertir-lesenelcentred’atenció,coméselcasqueensocupa.Ésevident quesilesmestresnohaguessingestionatl’arribadadelessabatesalaclasseperquèesconvertissin enuncentred’interès,elsaltresalumnesnohaurienportataltressabatesvelles,amblaqualcosa hauriaestatimpossibleduratermetoteslesactivitatsqueesvandesencadenarposteriorment,la majoriaproposadespelsmateixosalumnes.

Éssorprenentobservarlagranquantitatdecontingutsmatemàticsqueelsnenstreballendemanera integradaapartirdelmuntatgedelasabateriaal’aula:analitzenmúltiplesqualitatssensorialsdeles sabates(color,olor,textura,etc.)ilesagrupen,classifiquen,aparelleniseriend’acordambaquestes qualitats;etiquetenelpreudelessabatesiduenatermeactivitatsdecompravenda;distribueixen l’espaiperacol locarelsmostradors;analitzenlamesuradelessabates;etcètera.

L’activitatdescritasembla,doncs,unabonapràcticaqueposademanifestques’afavoreixlacompetènciamatemàticaquanesreptaelsalumnesaaplicarl’aprenentatgematemàticainvestigacionsi projectesmatemàticsamplis,coméselcasdelasabateria.Però,compodemconstatarques’afavoreixlacompetènciamatemàtica?L’anàlisidelsdeuindicadorscompetencialsdelCREAMATalsquals jas’hafetreferènciaanteriormentenspodendonarmoltespistes:

• Esresponunapregunta,esresolunrepte?Lesmestresformulendiversespreguntesireptes,sempreambobjectiusmoltclars:preguntenalsalumnescomsónlessabatesqueportenal’escola, quinspreustindranlessabates,quinsdinersfaranservir,obécomhopodenferperaorganitzarla sabateria.

• S’usenestratègiesdiverses?Esplantegenpreguntes,esfomentaeltreballcooperatiu,etc.

• S’useninstrumentsvariscomperexemplematerialqueespuguimanipular,einesdedibuix,programari,etc.?S’usenmaterials(lessabatesvelles)queesdevenenelnuclidel’activitat;tambés’usen bitlletsilamàquinaregistradora,etiquetesperaanotarelspreus,etcètera.

• Esposaenjocl’autonomiailainiciativa?Entoteslesfasesesfomentaeltreballautònomdelsalumnes,jaquesónelsprotagonistesdel’acció,elsquevanprenentdecisionsqueacabendeterminant eldesenvolupamentdel’activitat.

• Implicaraonarsobreelques’hafetijustificarelsresultats?Lesmestrescondueixenelraonament (perexempleenorganitzarlasabateriaobéenlessituacionsdecompravenda)idesprésdemanen alsalumnesquehoexpliquinperassegurarquehohaninterioritzat.

• Esplantegenpreguntes?Esplantegenbonespreguntes:laformulacióésoberta,nosónpreguntes perquèresponguinsíono;algunesvegades,lesmestresencaminenlarespostasiésnecessari,però noladoneniaixífanpensari,alhora,ofereixenmodelsdecomavançarenelraonament.

• Esfomentaeltreballcooperatiuiescomuniquend’unamaneraargumentadaelsaprenentatges realitzats?Elsalumnesprenendecisionsconjuntamentperaorganitzarlasabateria,lessituacions decompravenda,etcètera.

• S’avançaenlarepresentaciód’unamaneracadavegadamésprecisais’usaprogressivamentllenguatgematemàticmésadequat?Durantelsdiàlegsesfomental’úsdellenguatgematemàticcorrecte,ialgunesvegadess’incentival’inicidelarepresentació(perexempleenlessituacionsde compravenda).

• S’apliquenconeixementsjaadquiritsiesfannousaprenentatges?L’activitathapermèsusar d’unamaneracomprensivacontingutsdiversos,principalmentreferentsalesqualitatssensorials, lesquantitats,lesposicionsielsatributsmesurables,itambéfernousaprenentatgesenconnexió ambl’entorn(comsónlessabateries,etc.).

• Esrelacionenconeixementsdiversosdinsdelamatemàticaoambaltresmatèries?Enl’activitat descritas’hantreballatd’unamaneraintegradadiferentstipusdecontinguts,totiqueaquesta vegadanohansorgitespontàniamentaccionsenlesqualss’haginaplicatcontingutsreferentsa lespropietatsgeomètriquesdelesformesol’estadísticailaprobabilitat. Endefinitiva,l’educacióinfantilésunaetapaeducativaòptimaperacomençaraapoderarlacompetènciamatemàtica,unescenariidoniperadescobrirquinsconeixementsmatemàticsaprenenels nensdelesprimeresedatsicomelsaprenen;quinsconeixementsmatemàticsusenicomelsusen. Aprendreiusarmatemàtiques,usariaprendrematemàtiques:duescaresd’unamateixamonedael bescanvidelaqualésl’educaciómatemàticaalesprimeresedats.

Bibliografia

Alsina,A.(2011). Aprendreausarlesmatemàtiques.Elsprocessosmatemàtics:propostesdidàctiquesper al’EducacióInfantil. Vic:Eumo.

—(2012a).Másalládeloscontenidos,losprocesosmatemáticosenEducaciónInfantil. Edma0-6: EducaciónMatemáticaenlaInfancia,1(1),1-14.

—(2012b).Haciaunenfoqueglobalizadodelaeducaciónmatemáticaenlasprimeresedades. Números,80,7-24.

Castro,C.de,Molina,E.,Gutiérrez,M.L.,Martínez,S.,Escorial,B.(2012).Resolucióndeproblemaspara eldesarrollodelacompetenciamatemáticaenEducaciónInfantil. Números,80,53-70.

Castro,E.(2006).Competenciamatemáticadesdelainfancia. PensamientoEducativo,39(2),119-135.

ConsejodelaUniónEuropea(2011).ConclusionesdelConsejosobreeducacióninfantilyatencióna lainfancia:ofreceratodoslosniñoslamejorpreparaciónparaelmundodemañana(DOC175,del 15.6.2011).

Coronata,C.,Alsina,A.(2012).HacialaalfabetizaciónnuméricaenEducaciónInfantil:algunosavances enChileyEspaña. Edma0-6:EducaciónMatemáticaenlaInfancia,1(2),42-56.

CREAMAT(2009). Preguntesquepodenservird’indicadorsdelnivellderiquesacompetenciald’unaactivitat.[Recuperatel17d’octubrede2009,dehttp:phobos.xtec.cat/creamat]

EACEA(2011). LaenseñanzadelasmatemáticasenEuropa:Retoscomunesypolíticasnacionales. Madrid: SecretaríaGeneralTécnica,SubdirecciónGeneraldeDocumentaciónyPublicacionesdelMinisterio deEducación,CulturayDeporte.

Guzmán,M.de(2001).Tendenciasactualesdelaeducaciónmatemática. Sigma,19,5-25.

NationalAssociationfortheEducationofYoungChildreniNationalCouncilforTeachersofMathematics(2002). Earlychildhoodmathematics:Promotinggoodbeginnings.Ajointpositionstatement.[Recuperatel12dedesembrede2012,dehttp://www.naeyc.org/files/naeyc/file/positions/psmath.pdf]

NationalCouncilofTeachersofMathematics(2000).Principlesandstandardsforschoolmathematics. Reston,Va.:TheNationalCouncilofTeachersofMathematics.[Trad.Castellana:NCTM(2003). Principiosyestándaresparalaeducaciónmatemática.Sevilla:SociedadAndaluzadeEducaciónMatemática Thales,2003]

Niss,M.(2002). Mathematicalcompetenciesandthelearningofmathematics:TheDanishKOMProject. Roskilde:RoskildeUniversity.

OrganisationforEconomicCo-operationandDevelopment(2004).LearningforTomorrow’sWorld: FirstresultsfromPISA2003.París:OECD.

—(2006). Assessingscientific,readingandmathematicalliteracy:AframeworkfromPISA2006. París: OECD.

—(2007). PISA2006Sciencecompetencefortomorrow’sworld. París:OECD.

Rico,L.(2005).LaalfabetizaciónmatemáticayelproyectoPISAdelaOCDEenEspaña. Ceapa,82,7-13.

TheAustralianAssociationofMathematicsTeachersInc.iEarlyChildhoodAustralia(2006). Position paperonearlychildhoodmathematics.Adelaide&DeakinWest:AMT&ECA.[Recuperatel10dejuny de2012dehttp://www.aamt.edu.au/Publications-and-statements/Position-statements/Early-Childhood.Traducciócastellana:AsociaciónAustralianadeProfesoresdeMatemáticaseInfanciaenAustralia(2012).Declaracióndeposiciónsobrelasmatemáticasenlaprimerainfancia. Edma0-6:Educación MatemáticaenlaInfancia,1(2),1-4]

Unaaproximació etimològica5: elementsde geometriaplana(II)

JaumeSolsonaVillaplana

Enaquestnúmerodelarevista NouBiaix,continuaréambl’etimologiadetermesmatemàticsque femservirengeometriaplana.

Començaremambladetermesrelatiusalstipusd’angles,iperaaixòrepassareml’etimologiadela paraula angle,quejavamdonaraldarrerarticle:

Angle: delllatí angulus,«angle,racó»,iaquestdel’adjectiugrec άγκύλος ,«encorbat,tort».

Angleagut: delllatí acutus («esmolat,fi»)iaquestdelgrec άκιδωτός ,«punxegut»,derivatde άκίς , «punta».

Anglerecte: del’adjectiullatí rectus («recte,dret,benfet»),participidelverb regere («redreçar,dirigir»).

Angleobtús: delllatí obtusus,«triganer,poca-traça»,participid’obtundere,quesignifica«colpejarla puntaperdeixar-laroma». Obtusus ésunaparaulallatinacompostapelprefix ob («enfront,contra»)i tusus («colpejat»),participidelverb tundere («colpejar»).

Anglepla: delllatí planum,«pla,planura».Laparaulallatina planus vedel’arrelindoeuropea pelә-, pl-ā , quesignifica«plaoextensió».

Anglesadjacents: delllatí adiacere, iaceread,significa«jeureoromandrealcostatde».Elsseus componentslèxicssón:elprefix ad («proper»)i iacere («jeure»).

Anglescomplementaris: delllatí complementum,«queformaelcomplementd’unacosailacompletaolaperfecciona».

Anglessuplementaris: delsubstantiullatí suplementum,«suplement,elques’afegeixperasuplir allòquemanca»,delverbllatí suppleo, supplere,«suplir,completarafegintallòquemanca».

A B C α β

Goniòmetre: delsubstantiugrec γωνία ,«angle»,idelsubstantiugrec μέτρον ,«mesura».Elgoniòmetreésuninstrumentqueserveixperamesurarangles.

Graus,minutsisegons: ElmatemàticiastrònomgrecPtolemeu(segle II aC)vadividirlacircumferènciaenseixantapartsigualsalesquals vaanomenargraus.Alavegada,vadividircadagrauenseixantaminuts, partesminutprimae (partspetitesprimeres)icadaminutelvasubdividir enseixantasegons, partesminutaesecund (partspetitessegones).L’etimologiadelesparaulesgrau,minutisegonés:

• Grau: delllatí gradus,«pas,esglaó».

• Minut: delllatí minus,«petit».

• Segon: delllatí secundus,«elsegüent».

seccions seccions rcions

pensar per pensar d’un minut a una hora

JordiDeulofeu

DepartamentdeDidàcticadelaMatemàtica idelesCiènciesExperimentals UniversitatAutònomadeBarcelona jordi.deulofeu@uab.cat

Laportadadeldiari Ara deldimecres12dedesembrede2012,unadatabenbonica(12-12-12),començavaambeltitularsegüent: Elproblemasónlesmatemàtiques,icontinuavaambunanotíciaen quèescomentavaque,d’acordambuninformedel’OCDE,elsnensdenouanyssuspenenaquesta assignaturaiaprovenjustenllenguaiciències.Noésd’aquestanotíciaquevullparlar-vos,sinódel significatestrictedeltitular:Elproblemasónlesmatemàtiques?Lesmatemàtiquessónunproblema? Potserelsnostresjovestenenmésdificultatsperaaprendrematemàtiquesquealtresciències(?)o queelsjovesd’altrespaïsos,potserelsquiensdediquemaensenyar-lesnohofemglobalmentprou bé,opotserelnostresistemaeducatiunoposaelsmitjansnecessarispertalquelesmatemàtiques ocupinelllocqueelscorrespon.Entotcas,elproblemanosónlesmatemàtiques,sinól’úsqueen femquanlesensenyem,perquèlasalutdelesmatemàtiquesseguramentespodriamesurarprecisamentpelsproblemes:commésimésinteressantsproblemestinguem,imésganesderesoldre’ls, mésbonaseràlasalutdelesmatemàtiques,suposant,ésclar,queentretotssiguemcapaçosderesoldre’nunsquants.ComdeiaHalmos(1980),elsproblemessónelcordelesmatemàtiques,allòque realmentlesfaavançar.Enmatemàtiques,tenirbonsproblemesésessencial,adiferènciadelquesol passarenlanostravidaquotidiana.

Començarélamevapropostad’avuiambunasituaciódenombres,elementalperòmoltinteressant. Aquesthivern,cercantproblemesdedescomposiciódenombresenters,enJoanJareñome’nva explicarunqueemvaagradarmoltiqueelltitula:tallarimultiplicar.Vaigpassarunabonaestona treballant-hi,tantjocomelsmeusestudiants,iperaixòm’hasemblatadequatportar-loaaquesta secció.Enpodeutrobarunestudidetallatalracósegüentdelajaantigaperòencaramagnífica,iplenadebonesidees,pàginad’enJoan:http://calaix2.blogspot.com.es/2012/10/tallar-i-multiplicar.html D’aquestapàgina,men’agradenmoltescoses,peròlacitacióquel’encapçalaésperfectaperauna secciócomaquestaiempermetolallicènciadereproduir-la:«Bensovint,l’esforçqueelshomesposenenactivitatsquesemblendeltotinútilsacabasentmoltimportantpercaminsqueningúno haviapogutpreveure.Eljochaestatsemprelafontdelacultura(ItaloCalvino)».

Apropòsitdelproblema,enJoandiu:«Hihaproblemesquesónespecials,ielquehofaéslapossibilitatd’explorar-losdemaneresdiferentssegonselnivelleducatiuenquèensmoguem.Aixòvoldir queelproblemanos’esgota.Quepermetdiferentsaprofundimentsique,comaquest,ensporten delaprimàriaalbatxillerat».

L’enunciatdelproblemaéselsegüent:

Problema1.Tallarimultiplicar. Descomponemunnombreenterpositiuenunasumad’altres enterspositius.Comhauremdeferladescomposiciósivolemque,quanmultipliquemelssumands deladescomposició,elproductesiguimàxim?Perexemple,37 = 5 + 12 + 20i5 12 20 = 1200.És possibletrobarunadescomposiciómillor?Quinseràelproductemàxim?Sabríeutrobarunamanera d’arribaralasolucióperaqualsevolnombre?Enaquestcas,preguntarpelproductemínimnoté gairesentit,jaquesemprehihaunasoluciótrivial.

Ésund’aquellsproblemesbonics,d’aparençasenzillaisobretotambrepte,enquètothompotcomençarafercoses,descobrirregularitatsiapropar-sealasolució,encaraquetantlageneralització comlademostraciódelfetquehemobtingutelresultatcorrectesiguiunamicamésdifícil.

Hemcomençatambunproblemanumèricicontinuaremambundegeomètricqueemvaproposar, jafauntemps,l’amicicompanyXavierVallsiquediuaixí:

Problema2.Cerclesitriangles. Donadestrescircumferènciesexteriors(nonecessariamentdel mateixradi),construïueltrianglequetéunvèrtexsobrecadacircumferènciaitéàreamínima.També podeucercareltriangledeperímetremínim.

Adiferènciadel’anterior,costaunamicamésposar-s’hi,sobretotperquèalprincipisemblaquevagisperdut,icertamentnoésunproblemasenzill,peròsiusagraden,comami,elsproblemesde construccionsgeomètriques,imésconcretamentelsproblemesd’extrems,segurquehipassareu unabonaestona.

Eltercerproblemame’lvaproposarenLluísBibiloni,ambqui,juntamentambenXavierValls,formem untriounit,entrealtrescoses,perlanostraaficióaplantejarproblemesiadiscutirsobrelesdiferents maneresdesolucionar-los,cosaquefemsemprequepodem.Elseuenunciatéselsegüent:

Problema3.Puntsvermellsiblaus. Tenim12punts(6devermellsi6deblaus)sobreunacircumferència(comsiassenyalessinleshoresd’unrellotge).Demostreuque,peraqualsevoldistribuciódels 12punts,sempreespottraçarundiàmetredemaneraqueacadacostathihagi3puntsvermellsi3 deblaus.Elproblemaadmetunageneralitzacióevidentsiconsiderem n punts(n/2decadacolor),de maneraqueacadacostathihagi n/4puntsdecadacolor.

Finsaquítresproblemesdematemàticaelemental,quenonecessàriamentvoldirsenzilla,peròque sónabordablesperqualsevolpersonaaquiagradiresoldreproblemes.Lasegonapartdel’article,el dedicaréalspetitsjocsd’estratègia.Elsquiseguiuaquestaseccióiconeixeulesmevesaficionssabeu quem’agradenespecialmentelspetitsjocsd’estratègiaperadosjugadors.Vistund’aquestsjocs, elproblemaconsisteixadeterminarperaquinjugador(elprimeroelsegon)hihaunaestratègia guanyadoraiquinaés,ésadir,comhadejugareljugadorperalqualexisteixaquestaestratègiaper aguanyarsempre,juguicomjugui,elseuadversari.Elprimerjocésmoltsenzillifàcilmentportableal’aula;elsegon,coml’anterior,admetunaestratègiaderesolucióclàssica,mentrequeenel terceraquestaestratègiaésdifícilmentaplicable,cosaqueelfaforçamésdifícil.

Problema4. Jocperadosjugadors.Enuntaulerrectangularde n filesi m columnessituem n fitxes blanques,unaencadacaselladelaprimeracolumna,i n fitxesnegres,unaencadacaselladela darrera.Acadajugada,unjugadormouunafitxadelseucolorseguintlafilaonestroba,tantes casellescomvulgui(comamínimuna),endavantoendarrere,aunacasellabuida,sensesobrepassar lafitxadel’adversari.Elprimerjugadorquenopuguimourecapfitxadelseucolorperdlapartida.

Analitzeueljocsegonselnombredefilesidecolumnesdeltauleridetermineu,peracadatauler, quinjugadortéavantatgeicomhadejugarperguanyar.

Unapetitaanàlisideljocenspermetveurequenoésgairedifíciltrobarlamaneradeguanyar.L’interèsdelproblemarauenlageneralitzaciódeljocauntaulerqualsevolienladeterminaciódeles característiquesdeltaulerperquèguanyiunjugadorol’altre.

SinoconeixeuelwebdelprojecteNRICH(enrichingmathematics),usanimoavisitar-lo;n’hihaprou d’anaral’adreça:http://nrich.maths.org.Enaquestapàgina,hitrobareuunaàmpliacol·lecciódeproblemesijocsmoltinteressanttantperaensenyarmatemàtiquesaprimàriacomasecundària.Elsdos problemessegüentsd’avui,iambelsqualfinalitzolasecció,sóndospetitsjocsd’estratègia.Elprimer éssenzilliadmetunaestratègiaguanyadoratípicad’aquestamenadejocs.Elsegon,encanvi,m’ha tingutentretingutforçatemps,juntamentambl’amicXavierValls,ambquihemjugaticomentatla resoluciódeljoc,il’estratègiaguanyadoradelqualenshacostatforçadetrobar;finalmenthohemfet, iesperoquevosaltrestambé,perònohemestatcapaçosdetrobarunasoluciógeneralprouelegant, jaqueelquehemfetésreduireljocaunnombremoltpetitdepartidesiveurequeperacadascuna existiaunaestratègiaguanyadora,entotselscasosperalmateixjugador.

Problema5. Jocperadosjugadors.Col·loqueu25fitxesdelmateixcolorenuntaulercomelde lafigura.Alseutorn,cadajugadorretiraelnombredefitxesquevulgui(comamínimuna)sempre quesiguinsobreunamateixalíniarectamarcadaaltauleriseguides(noseparadesperunespaibuit). Quinjugadortéavantatge?Coms’hadeferperguanyar?

Problema6.L’estrelladecincpuntes. Jocperadosjugadors.Tenimunaestrelladecincpuntes que,encomençar,téunafitxaacadapuntaiunaacadavèrtexdelpentàgoninterior(10fitxes).Cada jugador,alseutorn,pottreureunaoduesfitxes,peròenaquestcascaldràquelesduesfitxesestiguin unidesperunsegment(isensecapfitxa,oespaibuit,entreelles).Eljugadorquetreul’últimafitxa guanyalapartida.Quindelsdosjugadorstéavantatge?Coms’hadeferperguanyar?

Aquís’acabenelsproblemesdelnostrearticled’avui.Esperoquepasseuunabonaestonaambles propostesqueushefetiqueensretrobembenaviat.

Bibliografia

Halmos,P.(1980).TheHeartofMathematics. TheAmericanMathematicalMonthly,87(7),519-524.

Jareño,J.Calaix +ie.Recreacionsmatemàtiques.http://www.xtec.cat/~jjareno/.Elproblemaproposat estrobaa:http://calaix2.blogspot.com.es/2012/10/tallar-i-multiplicar.html

ProjecteNRICH(enrichingmathematics).http://nrich.maths.org

sabies sabies que

Elplegatdetovallons ésunart moltgeomètric?

ClaudiAlsina claudio.alsina@upc.edu

Elmóndelapapiroflèxiaidel’origamihaesdevingutunameravellosafontdecreativitatgeomètrica id’activitatsmanipulativesmoltinteressants.Hihaavuitotuncorpusdoctrinaldeteoriamatemàtica delesconstruccionsamborigami(ambresultatsalternatiusalesconstruccionseuclidianesfetesamb regleicompàs)quemereixserexplorat.

Però,almargedel’origamijaponès,hihauncurióscampdeplegatsgeomètricsquevanéixera Europacapal’any1400iqueencaraesmantéavuibenviu: elplegatdetovallons

Lestaulesnoblesmedievalscomençarenusanttovallonshumitsiolorososielsplegatsartísticsd’aquestestelesformarenpartdelritualdepararlestaulesmésdistingides.Icomquelatradicióera menjarusanttresditsdelamàdreta,elstovallonsdevienaportarunacertadignitatal’apetitósacte demenjar.En1639espubliquenelstractatsitalians Letretrattati deMatthiaGieger,onjaesdescriuentècniquesrefinadesdeplegatdetovallons.DurantelRenaixement,elbarrociespecialment elromanticisme,l’úsdelstovallonsanàencaraamés,especialmentaAnglaterraiAlemanya.Elque haviaestatunatradiciónobles’exportàalaburgesiaengeneral.

En1861apareixlapublicació MrsBeeton’sbookofHouseholdManagement,quevainclourenombrosos diagramesperaferplegatsbàsicsdetovallonsiaquestesnouformes(«blintzes,caps,fans,layers, lilies,obelisks,rolls,sachets,andtwins»)esdevingueren,finsavui,lesfiguresreferents.Recentment, l’editoraCh.Birnbaumhapublicatelcelebratllibreil·lustrat TheBeautyoftheFold:AConversationwith JoanSallas (Berlín:SternbergPress,2012),onJoanSallasexplicalasevarecercasobrelahistòriadel temailessevespossibilitatsméscreatives.ÉsungoigdescobrirqueunbadaloníresidentaAlemanya, enJoanSallas,ésconsideratavuil’eminènciamundialenlarecercasobretovallonsienl’organització d’exposicionsespectacularsalsEstatsUnitsiaEuropasobregransconfiguracionshistòriquesfetesa partirdetovallons.

EntreuaGoogle-imatges«foldingnapkins»itambé«JoanSallas»...descobrireuunatractiumónde formesgeomètriquesfetesambtovallons.Visiteuwebsdedicadesaltema(perexemple,http://www. napkinfoldingguide.com)ibensegurqueacabareuanantaclasseambtovallonsperaferexercicis.No éspasques’hiaprenguigairegeometria,peròelstemesdesimetriesirotacionsespacialsquedaran visualitzatsi,elqueésmésimportant,laidead’algorismequedaràclarapersempremés.

cròniques cròniques riques s

XXVOlimpíadaMatemàticaEspanyola. Catalunya2014

LuisaAlmazán CoordinadoraOlimpíadaMatemàticaperCatalunya lalmazanster@gmail.com

Entreelsdies25i29dejunyde2014celebraremaCatalunyalaXXVOlimpíadaMatemàticaEspanyola, adreçadaaalumnesde2nd’ESOdetotl’Estat.Comptemambunaparticipacióde62alumnesi21 professorsacompanyants.Hiseranrepresentadestoteslescomunitatsautònomesespanyolesila ciutatdeMelillaihihauràconvidatsdelPrincipatd’AndorraidelscentresespanyolsalMarroc.

L’Olimpíadaéslaculminaciód’unprocésquecomençaambolimpíadeslocalsiprovincialsatotl’Estat iquecontinuaambolimpíadesautonòmiques,queseleccionenelsmillorsalumnesperarepresentarlasevacomunitat.Aquestesfasesprèviestenencomaobjectiuinvolucrarelsalumnesenuna activitatderesoluciódeproblemes,totinsistintenlacooperació,enelsaspectescomunicatiusien eltreballdelescompetènciesbàsiques.Pretén,amés,posarencontactealumnespreocupatsper l’excel lènciaambd’altresambinteressossimilars.Volenser,finalment,activitatsorientadesalaformaciódelprofessorat,totoferint-liunbancd’activitatsinteressantsimostrant-lilessevespossibilitats didàctiques.

Laconcreciódel’OlimpíadaaCatalunyaéselconcursFemMatemàtiques,dirigitaalumnesdel’últimcursdeprimàriaidelsdosprimerscursosdesecundària,enlesdarreresedicionsdelqualhan participatmésdedeumilalumnes.

L’Olimpíada,convocadaanualmentperlaFederacióndeSociedadesdeProfesoresdeMatemáticas (FESPM),ésorganitzadacadaanyperunacomunitatautònomadiferent.LaFEEMCATs’hacompromèsaorganitzarl’ediciódel2014.

Catalunya,queparticipaenl’OlimpíadaMatemàticaEspanyolapràcticamentdesdelcomençament, vaacollir-neladesenaedició,iara,quinzeanysméstard,enshasemblatunbonmomentperquè FEEMCATorganitzilesnocesd’argent.Volemmostraraixíelnostrecompromísambunaactivitaten laqualcreiemienquèvolemparticipar.

Elprogramaestàdissenyatdeformaquecombina:

• lesactivitatsielsconcursosmatemàtics, centratsenlaresoluciódeproblemestantindividualmentcomengrup;

• activitatsivisitesturístiquesiculturals quemostrinlanostraculturaialgunstretsemblemàtics delnostrepaís,i

• momentsd’esportid’esbarjo, quepossibilitinqueelsalumnescomparteixinexperiències.

CrònicadelFEMMatemàtiques2013

MireiaLópeziBeltran CoordinadorageneraldelFEMMatemàtiques2013 INSMilàiFontanalsdeBarcelona mireia.lopez@gmail.com

Durantelcurs2012-2013,laFEEMCATvaorganitzarladivuitenaediciódelFEMMatemàtiques.Aquestavegada,vacorrespondreaABEAMser-nel’associacióorganitzadora.L’activitatdelFEMMatemàtiquesestàdirigidaal’alumnatdesisèdeprimàriaiprimerisegond’ESO.Enlaprimerafase,més devuitmilalumnes,engrupsdetresoquatre,vanhaverd’elaboraruninformedelstresproblemes proposats.Aquestsproblemes,aixícombonapartdelainformaciódel’activitat,elspodeutrobarals moodles delFEMMatemàtiques1 id’ABEAM.2

Apartirdelesseleccionsdecadaunadelesquatreassociacionsesvancelebrarlessegonesfases respectivesaReus(APMCM),Palafrugell(ADEMGI),Rubí(APaMMs)iBarcelona(ABEAM).Enaquestes segonesfases,l’alumnatgaudeixd’unajornadamatemàticacomapremialasevaclassificaciói,a més,l’esdevenimentenspermetseleccionarelsseixantanoisinoiesdetotCatalunyaqueaniranala fasefinaldel’activitat.

LafasefinaldelFEMMatemàtiques2013esvacelebrardissabte11demaigaManresa.Lajornada vacomençarambelsalumnesesmorzantijugantadiversosjocsd’estratègiaal’EPSEM(EscolaPolitècnicaSuperiord’EnginyeriadeManresa)delaUPC.Totseguitvanferlaprovaindividualtambéala universitat.

Desprésvanduratermelaprimeradelesprovesdegrups«Alt,mésalt,elmésalt»perahomenatjarel 2013,AnyInternacionaldel’Estadística.Enacabar,ensvamdirigircapal’EscolaBages,onvamdinar idescansarunamica.

Lasegonaprovadegrupsvaserunacompeticióquevamanomenar«CopaFemProblemes»ique estàinspiradaenla«CopaCanguro»,unacompeticióitaliana.

1. Prova de grups del matí. 2. Guanyadors de la prova individual de segon d’ESO representants a l’Olimpíada Espanyola 2013.

1.http://phobos.xtec.cat/edumatcat/fem_mates/moodle[revisat12/05/2013].

2.http://abeam.feemcat.org/course/view.php?id=5[revisat12/05/2013].

LajornadaesvaacabaralTeatreConservatorideManresa,primerambl’espectacledelgrupSetde Màgiaitotseguitambl’actedelliuramentdepremis,quevacomptaramblapresènciadeIolanda Guevara(presidentadeFEEMCAT),JoanMateo(secretaridePolítiquesEducativesdelDepartament d’EnsenyamentdelaGeneralitat)iAntoniLlobet(regidord’Educaciódel’AjuntamentdeManresa).

DesdelgrupdetreballdelFEMMatemàtiquesd’ABEAMvolemagrairalprofessoratdeManresaien especialalprofessorAlbertArmenteresl’organitzaciódelafasefinal.Tambévolemfelicitarelsmés devuitmilalumnesd’arreudeCatalunyaquevanparticiparenlaprimerafasedelFEMMatemàtiques 2013iesperemtrobar-vosdenoualFEMMatemàtiques2014,queseràmoltespecialperaFEEMCAT, jaqueassumimelrepted’organitzarl’OlimpíadaEspanyola.

ElteoremadePitàgoresvistpelMMACA

GuidoRamellini

Enaquestsanys,lapropostadelMMACAhaanatcreixent.Amésd’incrementarelnombredemòduls, hemorganitzatrecorregutstemàtics,hemdissenyattallers,hemfetdiversesxerradesihemintervingutenfiresienjornadesd’animació.Cadaunad’aquestesactuacionstéunescaracterístiquespròpies iperaixòéspossibleproposardiferentsactuacionssobreunmateixàmbit:

Xerrada: Encaraqueestiguipensadaambunaparticipacióactivadelpúblic,lapropostaéscontroladapelponent,quepotreaccionaralasevarespostaestimulant,tallant,afegint,profunditzant...; proposantexemples,imatges,citacions,objectes,activitats...Enaquestasituació,unobjecteambun fortimpacteemocionalocognitiu(metàfora)ésessencialperacaptarl’atenciódelsassistents.

Taller: Larelaciómaterials/públicésmésobertaiactiva,peròelmonitorhiéssemprepresentipot anarcreantomodificantrecorregutsmésomenysllargsiexplícitssegonslesexigènciesdelsparticipants.Ésnecessaridisposardemoltsmaterialsdiferentsperatenirtothomactiu.

Animació: Ésunminitallerqueescreaespontàniamentalasalad’exposicions.Éslarespostaàgili immediatadelmonitordavantlareacciód’unvisitant,unplusdecomunicacióounadinamització. Lacartaguanyadoraéspoderdisposard’unmòdulquefuncionicomunaparadoxa,queprovoquila desestabilitzaciócognitivaqueésalabasedel’aprenentatge.

Exposició: Desdelcomençament,vampensarlesexposicionscomunaexperiènciaobertailliure. Cadavisitantpodiatrobarelseuitinerarientreelsobjectesexposats,ambelmínimpossibled’explicacions,instruccions,imatgesointervencionsdelsmonitors,alsqualssemprehemvistcomaanimadors inocomaguies.Davantd’unobjecte«difícil»,hemreaccionat:

• Millorant-nelapotènciacomunicativa.

• Comprovantsilacol laboracióquegeneravaentreelsvisitantseraprouintensaperadonarl’empentanecessàriaperasuperarlaprimeraperplexitat.

• Construintunaprepropostamésimmediataiinductiva,ésadir,unrecorregut.

Intervenció (firesifestesdelaciència):Ésunabarrejaentreexposició,animacióitaller.Elmonitor hiéspresentcomaanimador;elsassistentsmanipulenelsmaterials,peròguiats;lesactivitatssón mésbreus,perquèhihamoltamésgent;elsmaterialsengeneralhandeserméspetitsilleugersper raonsd’espaiidecostdeltransport,encaraqueunparelld’objectesgranspodenserimportants peraatraureelpúblic.

ElsmòdulsdelMMACArelatiusalteoremadePitàgoressónunbonexempledecomesgestionen materials,espaisitemps:

1.Elprimermòdulquevamcrearvaserl’explicaciódelteoremaatravésdelaigualtatd’àrees,amb figuresdefustadelmateixgruix(quadrats,peròtambéaltrespolígonsregularsisemicercles)iuna balança.1

2.Enunsegonmoment,hivamafegirunpuzle,queapareixalllibredeV.G.Boltianski Figurasequivantesyequicompuestas iquereportalaimatgedelllibredeD.O.Shkliarski etal.Problemasyteoremasseleccionadosdelamatemáticaelemental.

3.Després,l’HelenaCusíielQuimTarradasvanconstruirsispuzlesmésdedemostracionsdelteorema,amblespecesfetesenfoamyiplàsticimantat,perajugardamuntd’unesplanxesmetàl·liques i,algunavegada,vamarribaraexposarunpuzlepitagòricfetamblespecesdedostangramsxinesos.

Ambelstangramsespottreballarelproblemadedoblarl’àread’unquadrat.

1.Tincunrecordimmillorabled’aquestaactivitat,queésalsllibresdel’EmmaCastelnuovo.Unanylavaigpreparar ambunaalumnaambproblemesintel lectiusiellalavapresentaralarestadelaclasse(2nd’ESO)comaintroduccióde l’estudidelteoremadePitàgores.Haviaretallatlespecesencartróilabalançaeraforçaprimitiva,peròvapresentarmoltbéel temaielsseuscompanyslavanaplaudir.Lanoiaesvaposaraplorariemvadir:«Avuiheentèsquejotambésócintel ligent». Perdoneusiéspoc.

4.Mentrestant,elJosepReyenshaviaensenyattrescosesmés:Unafinestrapitagòrica,l’element metafòric,basadaenunainterpretaciódel’EnricBrassód’unaideadeMartinGardner.Vamportar aquestmòdulal’EcsitedeTolosadeLlenguadocivasuscitarcomentarisentusiàstics,finsitotper partdel’AlbrechtBeutelspacher,directordelMathematikumdeGiessen.

5.Unaparadoxapitagòrica.

6.Unescoronescircularsambunarelacióforçasubtilamblesternespitagòriques,querepresenta unaampliaciódel’activitatamblabalança.

Deixemqueellectordescobreixilarelaciód’aquestmòdulambelteoremadePitàgoresoamb lesternespitagòriques.

7.Finalment,alaxerradafetaperManelUdinaiJosepReyenl’àmbitdel’exposició«Imaginary»ala capelladeSantaÀgataaBarcelona,esvapresentaraquestsimplemòdul,querecordaelsteoremes d’Euclides,perademostrarelteoremadePitàgoressensenecessitatdeparaules,càlcul,fórmules obalança.

Tornantalesreflexionsdelcomençamentdel’article,sensevolersercategòricsideixantobertsels materialsainterpretacionsiutilitzacionsdiferents,pensemqueelsmòdulsquehempresentates podrienutilitzarpera:

Mòduls Balança PuzleShkliarski Altrespuzles Finestra Paradoxa Corones Triangles

ExposicióXX

Voldríemacabarsubratllantquequasitotsaquestsmòduls,ambaltresresultatsestètics,peròno menysútils,sónproufàcilsdeferal’aulaoauntallerescolar.

Comsempre,l’objectiufinald’aquestapropostanoéslasimpleutilitzacióolaconstrucciód’objectes, sinólaconstrucciódeconceptes.

EncapdelmòdulsfetsapartirdelteoremadePitàgoreshemfetservirfórmulesoàlgebra,encara queaquesttipusdellenguatgeapareixalplafóqueacompanyaelmòduldelabalança.Sónallí,al fons,adisposiciódequilesnecessitiperacomprovarquecontinuemfentmatemàtiques.

Encapcasl’activitatcomençaràambunafórmulaiqualsevolvisitantjavisualitzaràelteoremade Pitàgorescomunasumad’àrees.

Bibliografia

Castelnuovo,E.(2004).Monografía1deSUMA(p.61-65).

Boltianski,V.G.(1981). Figurasequivantesyequicompuestas (pàgs.18-19).Moscou:Mir. http://es.scribd.com/doc/41460675/Ed-MIR-Bolt-Ian-Ski-Figuras-Equivalentes-y-Equicompuestas

http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml[Siamb98demostracionsenteniuprou]

http://www.xtec.cat/∼ ebraso/visual/geometria2d/pitagores2peces/pitagores2peces.htm

creamat el racó del creamat

vídeoMAT.

Matemàtiques per respondre preguntes

Sovint,alesclassesdematemàtiques,idemaneramoltespecialasecundària,sentimalgunaveu quedemana:«Iaixò,peraquèserveix?».Seriacuriósferunaantologiadelesrespostesquemestres iprofessorstenimpreparadesperasortirdelpasd’unapreguntatantemuda.Però,enelfons,cada vegadaquelasentims’hauriaderemourealgunaalarmaalnostreinterior,perquèse’nsestàindicant quealgunacosanovadeltotbé.Marcarungol,dibuixarunapoma,escriureunpoemaointerpretar unamelodiaambuncarillótampoc«serveix»perares,enunsentitutilitari,peròenaquestesactivitats escolarsclàssiquesningúnos’interpel·lasobrelaseva«utilitat».

Lesmatemàtiquessónunaciènciafonamentaliprecisamentperquèestanenelsfonamentsdel’edificidelacièncias’esdevéunacertaocultaciódelessevesaplicacions.Enstrobem,així,davantd’una paradoxa:lainvisiblerellevànciadelesmatemàtiques.Moltsalumnes,comtambéunamajoriadela ciutadaniaadulta,afirmarienquelesmatemàtiquessónútils,peròtindriendificultatsperaconcretar algunautilitatmésenllàde«lesquatreoperacions»ilamesura.Sovintlamatemàticaescolars’hacentratenaspectesformalsoteòricsquenoacabendeposardemanifestlasevafuncionalitatpràctica, devegadesambl’argumentquemésendavant,encursosposteriors,jase’nveuranlesaplicacions. Però,tambésovint,aquestapresentaciónoarribamai.Laconseqüènciaésquel’alumnatsurtdel’escolavinculantlamatemàticamésafórmulesescritesalapissarraquealafeinasobresituacionsreals concretes,mésal’abstraccióqueal’aplicació,amblaqualcosase’nperpetuaunaimatgesocialpobra iesbiaixada.

Sensedeixardedonarimportànciaalsaspectesformalsiabstractesdelamatemàtica,hemd’admetre queseriaconvenientferunesforçperaconseguirportaraclasseaplicacionsconcretesdelamatemàticaendiversosàmbitsdelnostreentornnatural,socialicultural.Desdefatemps,unapartimportant delprofessorattreballaenaquestalíniaalaqual,desdelCREAMAT,intentemdonarsuport.Peraixòhemimpulsatalgunsprojectessecundantaquestenfocament,entreelsqualsdestaquemelque presentemenaquestarticle:elvídeoMAT.

ElprojectevídeoMATestàorganitzatpelCREAMATielMMACA(MuseudeMatemàtiquesdeCatalunya)ambelsuportdelaFEEMCAT,laSocietatCatalanadeMatemàtiquesiTV3iambl’ajuteconòmic delaFundacióCELLEX.EltermevídeoMATésacompanyatd’unsubtítolqueeldefineixbé:«matemàtiquesperrespondrepreguntes».Estractad’unapropostadecreaciódevídeoscurts(d’unmàximde tresminuts)enelsquals,apartird’unapregunta,l’alumnat,treballantenequip,posademanifestla presènciadelesmatemàtiquesenl’entornoexposaalgunadelessevesaplicacionsenàmbitscom laciència,latecnologia,l’art,l’economiaolasocietatengeneral.

Estractad’unprojectecol·lectiuenquè,amblesaportacionsdelsequipsparticipants,s’aniràconstruintunreculldevídeosqueestaràadisposiciódetotelprofessoratiqueespodràutilitzarales classes,d’unamaneradirectaocoma«fontd’inspiració».Peraestimularlaparticipacióireconèixer l’esforçdelsdiversosequips,elvídeoMATesplantejaenformadeprojecteobertatoteslesetapes educativesiatorgaunspremisespecialsperalesproduccionsmésdestacadesiperalesmésvotadespelpúblic.Ambaquestavotacióespreténincentivarqueelsequips(incloent-hitotal’escola, amistats,familiars...)vegindiversosvídeosrealitzatsperaltresparticipants.Sibésemblanaturalque siguielprofessoratquiportilainiciativadelprojecte,espreténquesiguil’alumnatquieldesenvolupi, ajudatpelpersonaldocentambunaintensitatquedependràdel’etapaeducativa.Espreténaixícontribuirapromoureunavivènciadelesmatemàtiquesquen’incorporilafuncionalitatiqueimpliqui lanecessitatdecomunicard’unamaneraclaraicreativa.

Elprojectedisposad’unweb(videomat.cat)enelquals’ofereixenalprofessoratorientacionsisuport peralasevaaplicacióconcretaenelpropicentreescolar:

• CompodemtreballarelprojectevídeoMATal’aula? Enaquestapartatesfanrecomanacionsmetodològiquesresponentpreguntesipropostescom:Dequinamanerapodemorganitzar-nos?Per oncomencem?Enfoquemeltreballenl’àmbitmatemàtic:ensplantegemunapregunta!Somcomunicadors:informem-nossobrecomunicació!Treballemleseinesmatemàtiquesperrespondre lapregunta!Avancemenlapreproducció,laproduccióilapostproducció!Jatenimelvídeo!Iara, què?...

• Comhandeserlespreguntes? Aquís’ofereixunamostraorientativadepossiblespreguntes.

• Orientacionssobredivulgacióicomunicaciócientífica elaboradesperJaumeVilalta,directordelprograma Quèquicom deTV3.

• Orientacionsreferentsalaprotecciódedades,d’imatgesidelapropietatintel lectual

• Recursos peralaproduccióilapostproducciódevídeos.

Ambaquestmaterialespreténacompanyarlaconcreciódelprojecteencadacentreparticipant, aportantideesquepuguinserútilsperalseudesenvolupamentiperaobtenirelmajorbenefici didàcticpossible.

Laprimeraconvocatòriad’aquestprojecte,enelcurs2012-2013,hatingutmoltbonaacollida.Hi hanparticipat123equips(29d’educacióinfantiliprimàriai94d’ESOibatxillerat)querepresenten propd’unmilerd’alumnes.Aquestsequipspertanyenaseixantacentresambunaàmpliadistribució territorial.Potserinteressantconèixeralgunesdelespreguntesqueaquestsequipss’hanformulati hanrespostperaveure’nelgrauderiquesaivarietat:

Algunespreguntesd’educacióprimàriaiinfantil

• Perquèlesvespesfanlescel leshexagonalsinoquadrangulars?

• Quantsmetresrecorreuncotxementreescrivimelmissatge«arribotard»?

• Quinésl’esmorzarquemengemmés?

• Quantmesuraunbilió?

• QuèpassariasitotselsalumnesdeCatalunyaanéssimalamateixaescola?

• Caben18trilionsdegranetsdeblatalcamiódelMarc?

Algunespreguntesd’ESOibatxillerat

• Quantesgomeselàstiquesnecessitaunaninaperaferunsaltde4metres?

• QuantagentpodríemalimentarsiféssimservirlaplanadeVicd’ollaperaferbullirespaguetis?

• VariariagaireelradidelaTerrasiaugmentés10metresdeperímetre?

• Lesmatemàtiquesensajudenaguardarelsnostressecrets?

• Comestancol·locatselstrastsd’unaguitarra?

• Quinasuperfícieocuparientoteslespersonesdelmón?

Coms’haditabans,delconjuntdevídeospresentats,estàprojectatfer-neunaseleccióentreelsque podenserdemésinterès,peranarformantunamenade«col·lecciópermanent»quepuguiserútila lesaules.Demoment,podemveuretotselsvídeospresentats,premiatsono,alwebdelvídeoMAT.

L’equipdel creamat

PremiMariaAntòniaCanals2014

LaFederaciód’Entitatsperal’EnsenyamentdelesMatemàtiquesaCatalunya(FEEMCAT),laSocietatBalearde MatemàtiquesSBM-XEIXilaSocietatd’EducacióMatemàticadelaC.V.«Al-Kwhrizm āī »convoquenelPremi «MariaAntòniaCanals»2014,peraprojectesd’innovacióeducativarealitzatsenalgun/sdelstrescursosanteriors alaconvocatòria.Elsprojecteshand’estardirigitsal’ensenyamentdelamatemàticaenelsnivellseducatius següents:educacióinfantil(0-6),educacióprimària(6-12),educaciósecundària(12-18),iuniversitària.

Potoptaralpremiqualsevolprofessionaldel’ensenyament,desdel’escolabressolfinsalauniversitat,sempre quefaciservirelcatalàenqualsevoldelessevesvariants.

Nopodranoptaralpremitreballsjapublicatsopremiatsenaltresconcursos.

Elsprojecteshandeserpresentatsensuportinformàtic(Word,OpenOffice,PDF),ambunaextensiód’entre10 i40pàginescomamàxim(Arial11adobleespai).

Lapresentaciódelprojecteconstaràdelsapartatssegüents:

• Resumde5a10línies,redactatsencatalà,ambArial11adobleespai.

• Exposiciódelsobjectiusidelcontextenquès’hadesenvolupat.Referènciesemprades(webs,textos...)

• Descripciódel’experiènciaidelsmaterialsusats.

• Unamostradelesproduccionsdel’alumnat(fotografies,produccionsescanejades...)

• Conclusionsireflexiófinalsobreelquèharepresentatelprojectepelquefaal’aprenentatgematemàticde l’alumnatimplicatenelprojecte.

• Document,apartdel’anterior,quecontinguilesindicacionssegüents: —nomicognomsdelsautors; —adreçapostalielectrònica,itelèfondelsautors; —NIFdelsautors; —unadeclaraciósignadapelsautorsqueeltreballésinèditinohaestatpremiatenaltresconcursos.

S’atorgaràunsolpremipernivelleducatiu,dotatamb600 e i,siescau,mencionsespecialsalstreballsqueho mereixincitant-losal’actadeljuratifacilitant-neladifusió.

Elspremispodenrestardesertsonoésseradjudicats.

Elterminidelliuramentdelstreballsfinalitzaràel31dejuliolde2013

Elveredicteseràcomunicatpersonalmentalsguanyadorsiellliuramentesfaràenunactepúblic.

Lessocietatsconvocantsesreserveneldretalapublicaciódelsprojectespremiats.Aquestapublicaciópotser alarevista NouBiaix oenformatdellibreod’altresquepuguinsermésescaientsenfunciódeltipusdetreball premiat.

Lessocietatsescomprometenadivulgarelspremisiadonaral’autorl’oportunitatdepresentarelseutreballen lesjornadesrespectives.

Eljuratestaràformatperunmembredesignatpercadasocietat,unmembredelconsellderedacciódelarevista NouBiaix iunespecialistaendidàcticadelamatemàticaambveuivot,ielsecretarid’unadelestressocietats convocants,ambveuisensevot,queactuaràdesecretari.

Elguanyadorescomprometaferconstarelguardóenulteriorspublicacions.

Elstreballss’hand’adreçarindistintamenta:premi.mantoniacanals@gmail.comobéalesseusdelessocietats:

FEEMCAT

PremiM.AntòniaCanals c/PauGargallo,5 08028Barcelona

SocietatBaleardeMatemàtiquesSBM-XEIX PremiM.AntòniaCanals c/MartíRubí,37,alts. 07141SaCabaneta(Marratxí)

Societatd’EducacióMatemàticadelaCV Al-Kwhrizm āī PremiM.AntòniaCanals Apartatdecorreus:22045 46071València

La FEEMCAT(Federaciód’Entitats per a l’Ensenyament de les Matemàtiques a Catalunya), la SCM (Societat CatalanadeMatemàtiques), i la RealAcademiadeCiencias anuncienla convocatòria per a l’admissióenel seu

projecteESTALMATaCatalunya (DeteccióiestímuldeltalentprecoçenMatemàtiques)

Onzenapromoció2013-2015

Objectiudelprojecte:fomentarl’aficióihabilitatespecialenmatemàtiquesdenoisinoiesque l’ viuenaCatalunyaiamb datadenaixementl’any2000oany2001. l’

Activitats:Totselsdissabtesdelperíodelectiudelscursos2013-2014i2014-2015,de10ha13ha laFacultatdeMatemàtiquesiEstadística(FME)delaUPC,aBarcelona.

Aquestesactivitatsserangratuïtes peralsnoisinoiesseleccionats,elsparesotutorsdelsquals s’haurandecomprometreaportar-losirecollir-losaleshoresesmentades.

Procésdeselecció:

La selecciódel grupde 24nois i noies queparticiparanenelprojectetéduesfases:

1. Testd’aptitud: eldissabte8dejunyde2013ales10halesciutatsdeBarcelona,Girona, LleidaiReus.

2. Entrevistapersonal ambelsparesotutorsielsnois/espreseleccionats/des.

Inscripció:

formulari

Lamare,elpareotutorlegalhaurand’omplirunquetrobaranalapàginawebdel’organització,www.estalmat.org.Veuranquehihaunenllaçespecialperalsdetallsd’aquestaconvocatòria,iunaltreenllaçonpodranllegirinformaciódelprojecteaCatalunya.

Termini: del15dabrilfinsal31demaigde2013. ’

Dadesqueesdemanen: nomidatadenaixementdel’alumne/ainteressat/daaparticiparenel projecteESTALMAT,adreça,correuelectrònic,númerodetelèfondecontacteicentreescolaron estudiadurantelcurs2012-2013.

aquinapoblaciódesitjarienferlaprova (Barcelona,Reus,Gironao Caldràqueindiquin

Lleida).

Lallistad’inscritsielsdetallsdelarealitzaciódelaprovadeseleccióespodranconsultaralweb www.estalmat.org,onzenapromoció2013-2015.Tambéespotdemanarinformaciósobreelprocés d’inscripcióalaNúriaFuster,SocietatCatalanadeMatemàtiques(telèfon:933248583;correu electrònic:scm@iec.cat).

Màster Oficial de Recerca en Didàctica deles Matemàtiques i de les Ciències

DepartamentdeDidàctica delaMatemàticailes CiènciesExperimentals–UAB

Lafinalitatdel

éscapacitarl’estudiantperidentificarunproblemaderecercaenl’àmbitdel’educació matemàticaocientífica,tantformalcomnoformal,persituar-loenelseucontextsocialiteòric, donant-hirespostaatravésdelesmetodologiesadientsicomunicar-neelsresultatsiles conclusionsalacomunitatcientíficaieducativaialesadministracionscorresponents.

MàsterOficialdeRecercaenDidàcticadelesMatemàtiquesidelesCiències Elsestudiantsaquivadirigitaquestmàstersónaquellsllicenciats,diplomatsograduatsque,a mésdecomplirelsrequisitsilescondicionsestablertesperlanormativaoficial,teneninterèsen:

Aprofundiricontribuiralscampsdeconeixementpropisdelesàreesdedidàcticadeles matemàtiquesidelesciènciesid’àreesafins,atravésdeprocessosderecercadecaràcterfonamental.

Incidirenlainnovacióeducativa,atravésdeprocessosderecercadecaràcteraplicaten elsdiferentscontextosdaprenentatgematemàticicientífic.

Conèixerelsmecanismesperalamilloradelaformaciódelsagentsresponsables d’educarenmatemàtiquesienciènciesalapoblació,tantenàmbitsformalmentinstitucionalitzatscomforad’ells.

Analitzarelsaspectessocials,culturalsipolíticsimplicatsenl’educaciódelapoblacióen matemàtiquesienciències,ambl’objectiudefer-hiincidència,tantanivelld’institucions comdepolítiqueseducatives.

Avaluar,entenentl’avaluaciócomaprocésderegulaciótantinterncomextern,lapràctica docent,lainnovacióilaformacióqueespromouen.

Haversuperatambèxitaquestmàsterpermet,entrealtrescoses,al’estudiantiniciareldoctorat enl’àmbitdeladidàcticadelesmatemàtiquesidelesciències.

Pla d’estudis:60 crèditsECTS.

Enfunciódelaformacióprèviadel’estudiant,lacoordinaciódelmàsterpodràdemanarquees cursincomplementsdeformació.

Preu:elcurs2012-2013,elpreudelsmàstersoficialsdelaUABsesituacapals40percrèdit peralsestudiantsdepaïsoscomunitarisiperalsestrangersambresidència.

Informaciói inscripció:

http://www.uab.cat/servlet/Satellite/estudiar/masters-oficials/informacio-general/recerca-en-didacticade-les-matematiques-i-de-les-ciencies-1096480139517.html?param1=1096482842172

Peramésinformació:conxita.marquez@uab.cat

Normes per a la presentació de contribucions

1. La revista Nou Biaix accepta per a la seva publicació contribucions originals relacionades amb experiències didàctiques, activitats d’ensenyament i aprenentatge, escrits d’opinió, de divulgació i d’investigació en el camp de la matemàtica i el seu ensenyament en qualsevol nivell educatiu.

2. Les contribucions rebudes seran sotmeses a una avaluació prèvia a càrrec de dos especialistes reconeguts. L’acceptació de la publicació serà notificada directament a l’autor amb una indicació de la data aproximada de publicació. En cas que una comunicació no fos acceptada, també se n’enviarà notificació.

3. Per a la presentació de treballs originals, l’autor trametrà a l’adreça noubiaix@gmail.com un arxiu, preferiblement en Word, amb un document a doble espai i amb marges amplis (65 caràcters per línia). Els gràfics, diagrames i figures hauran de ser originals (no fotocopiats). Els arxius gràfics es presentaran en format eps o tif.

4. La contribució haurà d’incloure el títol, el nom de l’autor o autors, la seva adreça professional completa i la seva adreça electrònica. S’adjuntarà un resum no més llarg de 300 paraules en català i anglès. Al final del document s’inclourà obligatòriament la bibliografia per ordre alfabètic de cognoms, d’acord amb la normativa APA; exemples:

Articles

Albertí, M. (2002). Les Matemàtiques des d’una perspectiva cultural: Etnomatemàtiques. Biaix, 20, 6-25. Llibres

Godino, J., Font, V. (2003). Razonamiento algebraico para maestros Granada: Universidad de Granada.

Capítols de llibres

Edo, M., Revelles, S. (2004). Situaciones matemáticas potencialmente significativas. Dins M. Antón i B. Moll (ed.), Educación Infantil. Orientaciones y Recursos (0-6 años) (p. 410/103-410/179). Barcelona: Praxis

Actes de congressos

Morales, M., Font, V., Planas, N. (2004). Estudio microetnográfico en torno a un conocimiento matemático situado. Dins A. Franzé i altres (ed.), Actas de la I Reunión Científica Internacional sobre Etnografía y Educación (CD-ROM). València: Germanía, Polis Paideia.

Pàgines web

Ibanyez, A., Paolu, N., Pedreira, J (2007). Reloj Binario de sobremesa, a Microsiervos. http://www.microsier vos.com/archivo/gadgets/reloj-binario -sobremesa.html

5. Les contribucions acceptades quedaran en propietat de Nou Biaix i podran ser impreses sense autorització expressa de l’autor. Per a la seva reproducció total o parcial, se n’haurà de sol licitar l’autorització a Nou Biaix En cas de treballs presentats per diferents autors, s’entén que el primer autor té la conformitat dels altres.

6. Els articles es publicaran en llengua catalana. Només es traduiran al català les contribucions acceptades realitzades per autors no residents als Països Catalans.

7. Els autors es responsabilitzaran del compliment de les normes establertes per a l’autorització de la reproducció de material procedent d’altres fonts bibliogràfiques.

8. Els articles tindran una extensió d’entre 6 i 12 pàgines de text és a dir, un total màxim de 12.000 caràcters , incloses les notes a peu de pàgina. Podran anar acompanyats d’il lustracions, sempre que no superin l’extensió de dues pàgines. En definitiva, tot complet quan el text contingui quadres, figures, fotografies, gràfics, mapes, etc. no podrà superar, en cap cas, les 15 pàgines.