BSCM, 37-1 by Institut d'Estudis Catalans

BUTLLETÍ

DE LA SOCIETAT CATALANA DE MATEMÀTIQUES

Institut d’Estudis Catalans

Volum 37 • Número 1 • Juny 2022

Editat per la Societat Catalana de Matemàtiques filial de l’Institut d’Estudis Catalans

Carrer del Carme, 47 08001 Barcelona

Text original revisat lingüísticament per la Unitat d’Edició del Servei Editorial de l’IEC

Compost per Rosa M. Rodríguez

Imprès a Ediciones Gráficas Rey, SL

ISSN: 0214-316-X

Dipòsit Legal: B 19272-1987

Els continguts del Butlletí de la Societat catalana de MateMàtiqueS estan subjectes —llevat que s’indiqui el contrari en el text, en les fotografies o en altres il lustracions— a una llicència Reconeixement - No comercial - Sense obres derivades 3.0 Espanya de Creative Commons, el text complet de la qual es pot consultar a http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/es/deed.ca. Així, doncs, s’autoritza el públic en general a reproduir, distribuir i comunicar l’obra sempre que se’n reconegui l’autoria i l’entitat que la publica i no se’n faci un ús comercial ni cap obra derivada..

ButlletídelaSocietatCatalanadeMatemàtiques Vol.37,núm.1,2022

Índex

JordiDelgadoiEnricVentura

AutòmatsdeStallings,uncamíd’anadaitornada..................................5

GáborLugosi

Estimaciódelamitjana:unarevisiód’avençosrecents............................61

Englishsummaries......................................................................95

ButlletídelaSocietatCatalanadeMatemàtiques Vol.37,núm.1,2022.Pàg.5–59. DOI:10.2436/20.2002.01.102

AutòmatsdeStallings,uncamíd’anadaitornada JordiDelgadoiEnricVentura

L’algèbren’estqu’unegéometrieécrite; lagéométrien’estqu’unealgèbreﬁgurée. SophieGermain(1776–1831)

Resum: Enaquestarticlerevisemalgunesdelespropietatsfonamentalsdelgrup lliureifemunaexposiciódetalladadelateoriadelsautòmatsdeStallings,unainterpretaciógeomètricadelsseussubgrupsquehaestat(isegueixessent)immensament fructífera,tantcomamitjàperaentendreresultatsclàssicscomcomafontdenous resultats.N’expliquemalgunsdelsmésrellevants.

Paraulesclau: gruplliure,subgrup,autòmat,Stallings,problemaalgorísmic,problema dedecisió.

ClassiﬁcacióMSC2010: 20-02,20E05,20F05,20F10,20F65,05C25.

1Introducció

Larelacióentrel’àlgebrailageometriaés,probablement,unadelesmés fructíferesentrelesdiferentsàreesmatemàtiques.Valadirqueestractad’una relacióbidireccional.Sibéinicialmentl’àlgebraesvaconstituircomunpotent recursperaresoldre(entred’altres)problemesgeomètrics(perexemple,amb eltreballd’EuclidesalLlibre ii dels Elements,moltsseglesméstard,deforma sistemàtica,ambeldescobrimentdeDescartesdelageometriaanalítica,o, mésmodernament,ambeldesenvolupamentdelatopologiaalgebraica),a mesuraqueaquestaguanyavaenabstracció,iesconstituïaenunadisciplina matemàtica perse,s’haanatconﬁguranttambéunarelaciófructíferaensentit contrari:elsargumentsgeomètricsitopològicshanesdevingutuninstrument essencialperaresoldreproblemesd’origenimotivacióalgebraics.

Aquestainﬂuènciahaestatespecialmentacusadaduranteldarrerseglei escaigenl’àmbitdelateoriadegrupsinﬁnits,onl’enfocamentcombinatori

(basatenlaideadepresentaciód’ungrup)hadonatpasaunaexplosióde mètodesiargumentsgeomètricsquehanacabatconformantl’àreaanomenada teoriageomètricadegrups.

Elconceptedepresentaciód’ungrup(vegeuladefinició20)esbasaenelde gruplliure,unamenadellenç1 ontotselsgrupspodenserdibuixats.Noés, pertant,genssorprenentlarellevànciaquehatingutl’estudidelgruplliureen eldesenvolupamentdelateoriadegrups,especialmentdelsgrupsinfinits.Per alsnoavesats,convérecordarqueelgruplliureadmetunainterpretaciómolt senzillaiintuïtivacoma«conjuntdeparaules»usantunconjuntpredefinitde lletres(vegeulasecció2).

Laconcisiódeladescripciócombinatòriadonadaperlespresentacionsés especialmentpropíciaperalaformulaciódeqüestionsalgorísmiques,que, duranteldarrersegle,hanesdevingutunterceringredientestretamentlligata l’àlgebrailageometriadelsgrups.

Malgratlasevaaparentsimplicitat,reforçadapelfetqueelsseussubgrups sóntambélliures(teoremadeNielsen-Schreier),lesrelacionsentreelssubgrupsdelgruplliuresónintricadesiamaguensorpresesinteressants.Per exemple,veuremque—encontrastambelquesucceeixenelsambientsabeliansclàssics—elgruplliurederang2tésubgrupsdequalsevolrangfinit,ifins itotderanginfinit.Iestudiaremelcomportamentdelessevesinterseccions, quevadonarllocalaconegudaconjecturadeHannaNeumann,unproblemaobertdurantmésdemigsegle,iresoltfaunsanysindependentmentper Friedmana[18]iperMineyeva[36](vegeutambélessimplificacionsremarcablesdeDicksa[18,apèndixB]i[17]).

Totilainnegablecomplexitatdelseureticledesubgrups,veuremque, desdelpuntdevistaalgorísmic,elsgrupslliures,engeneral,escomporten moltbé.Multituddeproblemesalgorísmicsnaturals(incloent-hielsproblemes clàssicsdeDehn,aixícomelsdelapertinença,2 laintersecciódesubgrups olaﬁnituddel’índex)sóndecidiblesalgruplliure Fn;moltsd’ellsgràcies, precisament,atècniquesbasadesenelsautòmatsdeStallings.Vegeu[12] perauninventari(noexhaustiu)deproblemesdecidiblesusantautòmats deStallings,elsprotagonistesd’aquestarticle.Calassenyalar,però,queels comportamentsdíscolstampocnoestanlluny:éssuﬁcientferunproducte directededosgrupslliurespercomençaratrobarproblemesmoltnaturals quesónalgorísmicamentindecidibles(vegeu[35]).

Enaquestarticlecomençaremfentunabreuintroduccióalgruplliureiles sevespropietatsprincipals.Totseguit,exposemelsfonamentsdelateoria delsautòmatsdeStallings,unainterpretaciógeomètricamoltaclaridoradels subgrupsdelgruplliureque,amés,haresultatimmensamentfructíferaen termesd’aplicacions.Alasecció4enrevisaremalgunesdelesmésimportants.

1 Comveuremalasecció2,unfulld’origami,delqualsorgeixentotselsaltresgrupsdesprés de«plegar-lo»adequadament,éspotserunametàforamésacurada.

2Enanglès, MembershipProblem (MP).

1.1Notació,terminologiaiconvenis

Lamajorpartdelanotacióilaterminologiautilitzadesenaquestarticlesón estàndard;tanmateix,acontinuacióaclarimalgunsaspectesperevitarpossibles confusions.

Elconjuntdelsnúmerosnaturals,designatper N,inclouelzero,iespeciﬁquemcondicionssobreellmitjançantsubíndexs;perexemple,designem per N≥1 elconjuntdenúmerosnaturalsestrictamentpositius.Elcardinald’un conjunt S esdesignaper#S,ilanotació |·| esreservaperaindicarlongitud(en diferentscontextos).Escrivimcoma [m,n] ={k ∈ N : m ≤ k ≤ n} elconjunt denúmerosnaturalsentre m i n (ambdósinclosos)i [0, ℵ0] = N ∪{ℵ0}

Designemper F ungruplliuregenèric,mentrequelesnotacions FA i Fκ (resp., Fn) s’usenperaemfatitzarunabase A ielrang κ (resp., n,siésﬁnit) de F,respectivament.Lesprimereslletresdel’alfabetllatí(a,b,c,... )s’usen normalmentperadesignarelssímbolsdelsalfabetsformals,mentrequeles últimes(u,v,w,... )solendesignarparaulesformalsoelementsdelgruplliure.

Lesfuncionsactuenperladreta.Ésadir,designemper (x)ϕ (osimplement per xϕ)laimatgedel’element x perlafunció ϕ,idesignemper φψ lacomposició A φ B ψ C.Enconseqüència,escrivim,perexemple, gh = h 1gh (el conjugatde g per h)i [g,h] = g 1h 1gh (elcommutadorde g i h).

Designemlaconjugació(d’elementsosubgrups)per ∼,iescrivim H G, H G, H fg G, H ff G, H fi G,perdesignarque H éssubgrup,subgrup normal,subgrupfinitamentgenerat,factorlliure,isubgrupd’índexfinit(de G), respectivament.

2Gruplliure

Comencemrecordantlesdeﬁnicionsdemonoideidegrup.Un monoide ésun parell (G, ·) on G ésunconjuntarbitrari,i · : G × G G , (g1,g2) g1 · g2 és unaoperacióassociativaambelementneutre(querepresentaremper1).Si,a més,totelement g ∈ G téun(únic)invers g 1 (i.e.,talque g ·g 1 = g 1 ·g = 1) diemque (G,) ésun grup.Si A ⊆ G,designaremper A 1 elconjuntd’inversos d’elementsde A, i.e., A 1 ={a 1 : a ∈ A}.Usualmentometremelsímbolper al’operacióiescriurem g h = gh.Si,amés, gh = hg peratot g,h ∈ G,direm queelmonoide(oelgrup)és commutatiu o abelià;enaquestcasl’operacióse soldesignarper«+»il’elementneutreper0(notacióadditiva).

Hihamoltesmaneresdedeﬁnirelsgrupslliuresilessevesbases:geomètriques,algebraiques,combinatòries,categòriques...Lamésconcretaés,potser, laqueadaptalanocióestàndarddebasedel’àlgebralinealalcontextdegrups, mentrequelamésabstractaésprobablementlacategòrica.3 Alllargd’aquesta secciólesdesenvoluparemtotesduesiveuremcomestanrelacionades.Abans, però,emfasitzemelpolimorﬁsmedelgruplliureambduescaracteritzacions addicionals,decaràctergeomètric,queenunciemsensedemostració.

3Vegeu https://en.wikipedia.org/wiki/Abstract_nonsense

Teorema 1. Sigui F ungrup.Aleshores,elsenunciatssegüentssónequivalents:

(a) F ésungruplliure;

(b) F éselgrupfonamentald’ungrafconnex;4

Totilaindubtablerellevànciad’aquestresultat,hempreferitferunapresentació«algebraica»delgruplliure,ambl’esperançaqueellectorlatrobimés natural.Comencemnotantqueésimmediatdeladeﬁniciódegrupqueelsfactorstrivials1ielsproductes gg 1 (anomenats cancel.lacions)sónsuperﬂusen qualsevolproducte g1 ··· gn d’elementsd’ungrup G (perexemple, h1k = hk i hgg 1k = hk).Unproducteenelqualnoapareixenfactorstrivialsnicancellacionss’anomena productereduït (incloent-hielproductebuit,querepresenta l’elementneutre—tambéanomenat elementtrivial enaquestcontext).Ésclar que,eliminantrepetidamentfactorstrivialsicancel.lacions,totproducteespot convertirenunproductereduït,ambelmateixresultatdinsde G.

Definició 2 Sigui G ungrupi A ⊆ G.Diemque A ésunsubconjunt lliure (o independent)en G sidosproductesreduïtsdiferentsd’elementsde A± = A ∪ A 1 sempredonenresultatsdiferentsde G (o,equivalentment,sielbuit ésl’únicproductereduïtquedonal’elementtrivialde G).Diemque A genera (oqueésun conjuntdegeneradors pera) G sitotelementde G ésigualaun producte(quepodemsuposarreduït)d’elementsde A±.Finalment,diemque A ésuna base de G ique G ésungruplliure(sobre A)si A éslliureen G i genera G.Faremservirlanotació F perareferir-nosalsgrupslliures.

Definició 3 S’anomena rang d’ungrup G,designatper rk(G),lamínima cardinalitatd’unconjuntdegeneradorspera G.Siungrupadmetunconjunt degeneradorsﬁnit,diremqueés ﬁnitamentgenerat.

Exemple 4. Consideremelgrupdelsenters Z ambnotacióadditiva.6 Elsconjunts {1} i {−1} ensónbasesjaque,clarament,generen Z icapexpressióde laforma 1 + 1 + n) ···+ 1obé ( 1) + ( 1) + n) ···+ ( 1) amb n ≠ 0donaigualazero.Enparticular, {1} ésunconjuntdegeneradors (òbviamentmínim)de Z,ipertantrk(Z) = 1.

Exemple 5 Encanvi, {1}={1+nZ} no ésunabasede Z/nZ,pera n ≥ 2,jaque, totiser-negenerador,noésunsubconjuntlliure,degutala relació 1+ n) ···+1 = 0.Defet, cap subconjunt A ⊆ Z/nZ noésbasejaqueelsubconjuntbuitno genera,iqualsevolelement a ∈ Z/nZ compleixlarelació: a + n) ···+ a = 0;per tant,elgrup Z/nZ noéslliure.

4 Vegeuladeﬁnició33peraladeﬁniciódegrupfonamental,il’observació50ilaproposició54(ii)peraunareformulacióentermesd’autòmats.

5Unarbreésungrafconnexsensecicles.Vegeu[6,capítol3].

6 Ennotacióadditiva,1éselgeneradornaturaldelgrup (Z, +) inopaselneutre,designat per0.

Noteuqueelgruptrivialéslliure(ambbase i,pertant,ambrang0)i, comhemvistal’exempleanterior,elgrupdelsenters Z tambééslliure(ité duesbases, {1} i {−1}).Ésimmediatdeladeﬁnicióqueaquestssónelsúnics grupslliuresabelians.D’altrabanda,hemvistque Z/nZ noéslliurepera cap n ≥ 2.Ambelmateixargumentespotdemostrarquecapgrupﬁnitnoés lliure,excepteeltrivial.

Observació 6 Si A ⊆ F ésbased’ungrup(lliure) F,aleshores A ésunsistema degeneradors minimal de F;ésadir, A = F,però A \ S ≠F peratot ≠ S ⊆ A

Prova. Siexistísun S ≠ talque A \ S generéstot F,aleshores,perqualsevol s ∈ S,tindríem s ∈ F = A \ S ,il’element s ∈ G elpodríemobtenir comunalletrade A i,alhora,comunproductereduïten A \ S,contradientla hipòtesique A ésunafamílialliure. ✷

Totseguitconstruiremgrupslliuresambbasesdecardinalarbitrari.

Definició 7 Sigui A unconjunt(finitoinfinit),queanomenarem alfabet,o conjuntde lletres elementals.Una paraula sobre A ésunaseqüènciaordenada ifinitadelletres, a1a2 an,on n 0,i ai ∈ A,ambpossiblesrepeticions. Elnombretotaldelletres n d’unaparaulas’anomena longitud,iescrivim |a1a2 ··· an|= n.Comaconveni,designaremper1l’únicaparauladelongitud zero,o paraulabuida.Elconjuntdetoteslesparaulessobre A eldesignem per A∗ .

Observació 8 Peratotalfabet A,elconjunt A∗ ésunmonoideambl’operació deconcatenació, u · v = uv, u,v ∈ A∗.Amés, |uv|=|u|+|v| i,pertant, l’únicelementinvertibleéselneutre,1.

Aproﬁtantlanotacióexponencialperaproductessuccessiusd’unelement ambsimateix, un = u n) ···u,podemabreujarlesparaulesde A∗ totescrivintla potènciacorresponentcadavegadaqueunalletraapareixdiversesvegadesconsecutivament;perexemple, aabaaabbab = a2ba3b2ab.Sifemaixòagrupant almàxim,cadascunadelespotènciesdelletresqueapareixens’anomenauna síl.laba;perexemple,laparaulaanteriortélongitud2 + 1 + 3 + 2 + 1 + 1 = 10,i 6síl.labes.

Observemque,sobreunalfabetd’unasolalletra, A ={a},elmonoide A∗ és isomorfaldelsnúmerosnaturals(enefecte, A∗ ={1,a,a2,a3 ,... } i an · am = an+m,per n,m 0).Encanvi,sobreunalfabet A deduesoméslletres, elmonoide A∗ ésforçaméscomplicat;enparticular,comque ab ≠ ba,noés unmonoidecommutatiu.

Anemenlabonadireccióperaconseguirque A siguiunabasede A∗:efectivament A genera A∗,icapproductedelongitud n ≠ 0d’elementsde A no donamaiiguala1.Elproblemaésque A∗ nomésésunmonoide(defet,un monoidelliure);peròésmoltllunydeserungrupjaquecapelement,llevat delneutre1,notéinvers.Peraconvertir-loenungrup,hauremd’introduirels

inversosdetotselselements.Comveurem,seràsuﬁcientd’introduir«inversosformals»peraleslletreselementals, A 1 ={a 1 : a ∈ A}.Ésadir,doblem l’alfabet A ambunalletranovapercadascunadelesantigues,ieldesignem per A± = A A 1 ={a,a 1 | a ∈ A}.Lanotacióusadasuggereixquecada a 1 ésl’inversdelcorresponent a,iaixíseràenacabarlaconstrucció,peròde momentésnomésunaqüestiónotacional: a i a 1 sónsimplementdueslletres diferentsdelnoualfabet A± (inversesformals,sivoleu).

Consideremelmonoide (A±)∗,ésadir,elconjuntdetoteslesparaules sobrel’alfabet A± ambl’operaciódeconcatenació.Perexemple,si A ={a,b} tindrem A± ={a,a 1,b,b 1} i (A±)∗ contéexactament42 = 16paraulesde longitud2,asaber a2 , aa 1 , ab, ab 1 , a 1a, a 2 , a 1b, a 1b 1 , ba, ba 1 , b2 , bb 1 , b 1a, b 1a 1 , b 1b,i b 2 (on x n = (x 1)n,per n 0).Peraaconseguir que,percadalletra a ∈ A,l’element a 1 siguirealmentl’inversde a,calfer algunacosaperaforçarque aa 1 = 1 = a 1a.Unamanerad’aconseguir-hoés fentelconjuntquocientperlarelaciód’equivalènciaapropiada.

Definició 9. Anomenem reduccióelemental,designadaper ,latransformacióconsistentaeliminarunacancel laciódinsd’unaparaula;ésadir,si a ∈ A i u,v ∈ (A±)∗,aleshores uaa 1v uv i ua 1av uv. (1)

Latransformacióinversal’anomenem insercióelemental,ilasevaclausura simètrica(designadaper ), transformacióelemental.Ésadir, w w w w ó w w. (2)

Òbviament,si w w llavors |w|=|w |± 2.Finalment,deﬁnim ∼ comla clausurareﬂexotransitiva de ;ésadir,peratot w,w ∈ (A±)∗

(i) w ∼ w i

(ii) w ∼ w ∃w0 = w,w1,...,wn = w t.q. w0 w1 ··· wn, ésadir, w ∼ w siespotpassarde w a w fentunaquantitatﬁnitade reduccionsi/oinsercionselementals,entenentqueaixòinclouelcasamb n = 0passes.Perexemple, a2a 1bb 1a 2b ∼ a2c 1ca 3b jaque a2a 1

Ésimmediatdeladefinicióque ∼ ésunarelaciód’equivalènciaalconjunt (A±)∗.Podemconsiderar,doncs,elconjuntquocient,quedesignemper FA = (A±)∗/ ∼.Ésclarquealaclasse [w] ∈ FA hihaprecisamenttotes lesparaules«iguals»a w ∈ (A±)∗ mòdullesigualtatselementalsdesitjades aa 1 = 1 = a 1a, a ∈ A.Finalment,definima FA = (A±)∗/ ∼ unaoperació binària(claramentbendefinida)adaptantdemaneranaturallaconcatenació de (A±)∗:peratot u,v ∈ (A±)∗ , [u] · [v] = [uv]. (3)

Proposició 10. Elconjunt FA ambl’operació (3) ésungrup.

Prova. Lapropietatassociativaésconseqüènciaimmediatadel’associativitat delaconcatenacióen (A±)∗;l’elementneutreés [1];il’inversd’unaclasse [a 1 i1 ··· a n in ] ∈ FA (on j =±1)éslaclasse [a n in ··· a 1 i1 ].Pertant, FA amb l’operació(3)téestructuradegrup. ✷

Jatenimelgrup FA construït.Vegemaraque FA éslliureambbase A.Lamaneranaturaldeveure A dinsde FA éscomelconjuntdeclassesdelesparaules positivesdelongitud1,ésadir, {[a] : a ∈ A}.Peròhihaunpetitproblema tècnicaquí:estemsegursquedueslletrespositivesdiferentsestansempreen classesdiferents?Enaltresparaules,estemsegursquel’aplicació ιA : A FA, a [a],ésinjectiva?Intuïtivamentsemblaclarque,si a,b ∈ A sóndueslletres diferents,llavors a b jaquenosemblapossibletransformarlalletra a en unadediferent b,simplementusantreduccionsiinsercionselementals.Pera demostrar-horigorosamentusaremlaproposiciósegüent,queésimportant tambéperaaltresqüestions.

Definició 11 Unaparaula w ∈ (A±)∗ és reduïda sinocontécapparellde lletresconsecutivesmútuamentinversesformals.Ésadir, w = a 1 i1 a 2 i2 ··· a n in ésreduïdasi,semprequedueslletresconsecutivescoincideixin, aij = aij+1 , elsseussignestambé, j = j+1.Elconjuntdeparaulesreduïdesen A el designaremper R(A) ⊆ (A±)∗ .

Proposició 12. Totaclassed’equivalència [w] ∈ FA contéunainomésuna paraulareduïda(designadaper w).

Prova. Ésclarquetotaclassecontéalgunaparaulareduïda,jaquepodem prendreunrepresentantqualsevol w ∈ [w] i(sinoésjareduït)reduir-loaplicantreduccionselementalssuccessivesﬁnsquenoenquedicapdedisponible.

Aquestprocéssempreacabaenunnombreﬁnitdepassos,jaque |w| ésﬁniti acadapaslalongituddisminueixenduesunitats.

Perveurelaunicitat,suposemqueduesparaulesreduïdesdiferents w,w ∈ R(A) pertanyenalamateixaclasseibusquemunacontradicció.Sigui w = w0 w1 ··· wn 1 wn = w unasuccessiódetransformacions elementalsminimitzant N = n i=0 |wi|.Comque w ≠ w iambduessón reduïdes,nopotserni n = 0,ni n = 1,ni n = 2;pertant, n 3.Amés, |w0| < |w1| i |wn 1| > |wn| i,pertant,hihaun j ∈ [1,n 1] talque |wj 1| < |wj | > |wj+1|.Fixem-nosaraenlesreduccionselementals wj 1 wj wj+1, ienlesdueslletresde wj afectadespercadascunad’aquestesreduccions.Si n’hihauna(odues)encomú,aleshores wj 1 = wj+1 cosaquecontradiula minimalitatde N.Isielsparellsdelletreseliminadesenambduesreduccions sóndisjunts,aleshores wj = xaa ybδb δz,peracertesparaules x,y,z ∈ (A±)∗,certeslletres a,b ∈ A,icertssignes ,δ =±1;canviant wj 1 wj wj+1 per wj 1 = xybδb δz xyz xaa yz = wj+1 ó wj 1 = xaa yz xyz xybδb δz = wj+1 segonsconvingui,reduïmelvalor de N,encontradicciótambéamblasevaminimalitat. ✷

Observació 13. Donatqueatotaclasse [w] ∈ FA hihaunaúnicaparaula reduïda w ∈ R(A) (talque [w] = [w]),podempensarelgrup FA,alternativament,comelconjuntdeparaulesreduïdes R(A) ambl’operació u · v = uv. Sovintaplicaremaquestainterpretacióiescriuremsimplement w ∈ FA per referir-nosal’element [w] = [w] ∈ FA.

Comqueleslletres(lesparaulesdellargada1,perserprecisos)sónclaramentreduïdes,elresultatsegüentésimmediatdelaproposició12.

Corol.lari 14 L’aplicació ιA : A FA, a [a] ésinjectiva. ✷

Ara,pensant A ⊆ FA via ιA,ésclarquetotaparaulareduïdaésproducted’elementsde A± (ésadir, A genera FA),iqueelbuitésl’únicproductereduït d’elementsde A± quedona1 ∈ FA (ésadir, A ésunsubconjuntlliurede FA).

Corol.lari 15 Peratotalfabet A,elgrup FA éslliureambbase A ✷

Hemprovatl’existènciadegrupslliuresambbasesdequalsevolcardinal. Lapreguntanaturalaraésquandosd’aquestsgrups, FA i FA ,sónisomorfs (comagrups).Iésforçaraonablepensarqueserà,precisament,quan A i A tinguinelmateixcardinal.Efectivament,aixíés;iperademostrar-hoensserà demoltautilitatlacaracteritzaciósegüentde«gruplliure»,que,enrealitat, n’ésladeﬁnicióestàndardentermescategòrics.

Proposició 16. Siguin F ungrupi A ⊆ F .Designemper ιA : A F lainclusió natural.Aleshores, F éslliureambbase A siinoméssi,peratotgrup G,itota aplicació(deconjunts) ϕ : A G,existeixunúnicmorﬁsmedegrups ϕ : F G talque ιAϕ = ϕ

Figura 1: Deﬁniciócategòricadegruplliure F

Prova. Suposemque F éslliureambbase A.Donats G i ϕ : A G,elmorfisme ϕ : F G quebusquemhadecomplir aϕ = aϕ peratotelement a ∈ A i, pertant, (a 1 i1 ··· a n in )ϕ = (ai1 ϕ) 1 ··· (ain ϕ) n = (ai1 ϕ) 1 ··· (ain ϕ) n ,per atotproductereduïtd’elementsde A, a 1 i1 ··· a n in .Comque A genera F ,el possiblemorfisme ϕ quedacompletamentdeterminatper ϕ,laqualcosa ensdonalaunicitat.D’altrabanda,comque A ésunsubconjuntlliurede F (i.e.,capelementde F noadmetduesexpressionsdiferentscomaproducte reduïtd’elementsde A)ésclarquelaigualtatanteriorpera ϕ ensdonauna aplicació F G bendefinida.Finalment,veiemque ϕ ésmorfismedegrups: donats x,y ∈ F ,consideremlesseves(úniques)expressionsreduïdes, x = a n in a 2 i2 a 1 i1 i y = bδ1 j1 bδ2 j2 bδm jm ,

amb ai1 ,...,ain ,bj1 ,...,bjm ∈ A i 1,..., n,δ1,...,δm =±1.Fixant-nosen les0 ≤ r ≤ min{n,m} cancel.lacionsqueapareixenenelproducte xy,tenimque a 1 i1 =

.Enaquestasituació, l’(única)expressióreduïdaperal’element xy entermesde A és xy = a n in ··· a

= = (x)ϕ · (y)ϕ.

Perveurel’altraimplicació,suposemcertalapropietatuniversalpera F . Considerem H = A F ,elsubgrupde F generatper A,idesignemper i : H F lainclusió.Aplicantlapropietatuniversalalainclusió ϕ : A H, obtenimunmorﬁsme ϕ : F H quecompleix ιAϕ = ϕ.Peròaratornema aplicarlapropietatuniversalalacomposició ιA = ϕi : A H F :elmorﬁsme ϕi compleix ιA(ϕi) = (ιAϕ)i = ϕi,ilaidentitat idF : F F tambéhocompleix ιA idF = ιA = ϕi.Pertant,perlaunicitat, idF = ϕi,d’ondeduïmque F = im(idF ) = im(ϕi) = im ϕ H = A i,pertant,que A genera F .

=idF

Peraltrabanda,podempensarenelconjunt A comunalfabetformali construirelgrup G = FA;aplicantlapropietatuniversalalainclusió ϕ : A FA, a [a],existeixunmorﬁsme ϕ : F FA quecompleix ιAϕ = ϕ,ésadir, quecompleix (a 1 i1 a n in )ϕ = (ai1 ϕ) 1 (ain ϕ) n = [ai1 ] 1 [ain ] n = [a 1 i1 ··· a n in ],peracadaproductereduït a 1 i1 ··· a n in d’elementsde A.Pertant,si dosproductesreduïtsd’elementsde A, a 1 i1 ··· a n in i bδ1 j1 ··· bδm jm donenelmateix resultata F , a 1 i1 ··· a n in =F bδ1 j1 ··· bδm jm ,llavors [a 1 i1 ··· a n in ] =FA [bδ1 j1 ··· bδm jm ], ilaproposició12ensasseguraquesónlamateixaexpressióreduïda: n = m, ai1 = bj1 ,...,ain = bjn ,i 1 = δ1,..., n = δn.Pertant, A ésunsubconjunt lliurede F . ✷

Proposició 17. Siguin F ungruplliureambbase A ⊆ F, F ungruplliureamb base A ⊆ F ,idesignemper ιA i ιA lesrespectivesinclusions.Llavors, F i F són grupsisomorfssiinoméssi A i A tenenelmateixcardinal: F F #A = #A

Prova. Perlaimplicaciócapal’esquerra,suposem#A = #A iprenemuna aplicacióbijectiva η : A A .Aplicantlapropietatuniversalde F a ηιA obtenim unmorﬁsme α : F F quecompleix ιAα = ηιA ;anàlogament,aplicantla propietatuniversalde F a η 1ιA,obtenimunmorﬁsme β : F F quecompleix

ιA β = η 1ιA;vegeulapartsuperiorde (4).Peròaraapliquemlapropietat universalde F alainclusió ιA:òbviamentlaidentitatcompleix ιA idF = ιA;però elmorﬁsme αβ : F F F també: ιAαβ = ηιA β = ηη 1ιA = ιA.Perunicitat, deduïmque αβ = idF.Iambunargumentsimètric, βα = idF .Pertant, F F .

Peralaimplicaciócontràriafaremunargumentdenaturalesadiferent. Ésfàcilveureque,si#A ℵ0,llavors#FA = #A.Pertant,si#A, #A ℵ0 el resultatésevident.Restringim-nos,doncs,alcas#A< ∞

Observeuque,percadagrup G,lapropietatuniversalde F ensdona unabijecció, Map(A,G) Hom(F,G), ϕ ϕ,entreelconjuntd’aplicacions de A a G,ielconjuntdemorﬁsmesdegrupsde F a G (lainversaéslarestricció, φ|A φ).Pertant,aquestsdosconjuntstenenelmateixcardinal, # Map(A,G) = # Hom(F,G).Si F i F sóngrupsisomorfs,llavors,mirantaplicacionsimorﬁsmesa Z/2Z,tenim

2#A = #Map(A, Z/2Z) = #Hom(F, Z/2Z) = = #Hom(F , Z/2Z) = #Map(A, Z/2Z) = 2#A , d’onesdedueixque#A = #A ✷

Observació 18. Ungruplliure F,doncs,potser-hosobrediversossubconjunts seus A,A ⊆ F;però,enaquestcas,totshaurandetenirelmateixcardinal#A = #A .Donatquelesbasesde F sónsistemesdegeneradorsminimals,veiemara que,defet,sónsistemesdegeneradorsdecardinalmínim:si A ésbasede F, aleshores rk(F) = #A.Escriurem Fκ perdesignarelgruplliurederang κ (sino volemferreferènciaacapbaseconcreta).

Aquestasituacióésanàlogaaladel’àlgebralineal:un K-espaivectorial E sobreuncos K pottenirdiversesbases,peròtoteshandetenirsempreel mateixcardinal(la K-dimensióde E).Comjahemvist,hihagrupslliuresde

qualsevolrang,delamateixamaneraquehiha K-espaisvectorialsdequalsevol dimensió.Unadiferènciaimportant,però,ésqueenàlgebralinealtot K-espai vectorialtébases(i,pertant,dimensió),mentrequehihamoltsgrupsqueno tenencapbase,ésadirque nosónlliures sobrecapsubconjunt(elsgrupsﬁnits notrivials,perexemple).

Algebraicament,lafamíliadelsgrupslliuresésd’unagranrellevància.Com que,llevatd’isomorﬁa,n’hihaundesolperacadarang κ,eldesignaremper Fκ sivolemobviarlareferènciaal’alfabetconcret A usatperalasevaconstrucció.

Aixítindrem:

Clarament,elsúnicsgrupscommutatiussónelsdosprimers,forçaespecials dinsd’aquestafamília.Larellevànciad’aquestsgrupsrauenelfetque,d’alguna manera,contenen tota lainformaciópossiblesobre tots elsgrupspossibles. Aixòesconcretaatravésdelresultatclàssicsegüent,forçasenzilldedemostrar, ialhoradefonamentalimportànciaperalateoriadegrups.

Teorema 19 Totgrup G ésquocientd’ungruplliure.Ésadir,peratotgrup G existeixenuncardinal κ iunsubgrupnormal N Fκ talsque G Fκ /N.

Prova. Sigui A ⊆ G unconjuntdegeneradorsde G (sempreespotprendre A = G),isigui κ = #A elseucardinal.Pensem A comunconjuntabstracte,iconsideremelgruplliure FA.Perlapropietatuniversalaplicadaala inclusió ϕ : A G,existeixun(únic)morﬁsmedegrups ϕ : FA G talque [a]ϕ = a,peratot a ∈ A.Comque A genera G, ϕ ésexhaustiui,pelprimer teoremad’isomorﬁa, N = ker ϕ ésunsubgrupnormalde FA quecompleix FA/N Im(ϕ) = G. ✷

Sialteorema19ﬁxemunabasepera Fκ ,iunafamíliadegeneradorsde N comasubgrupnormal de Fκ ,aleshoresobtenimelconceptedepresentació, essencialenteoriadegrups.

Definició 20 Sigui G ungrup.Una presentació pera G ésunparell (A,R) on A ésunconjuntdesímbols, R ésunsubconjuntde FA,i G FA/ R . 8 Abusantlleugeramentdelllenguatge,sesolescriure G = A | R ,iesdiuque elselementsde A (resp., R)sónels generadors9 (resp., relators)de G donats perlapresentació A | R ,ique w ∈ (A±)∗ ésuna paraulaenelsgeneradors de G.

Corollari 21 Elgruplliureambbase A admetlapresentació FA = A |−

7 Quivulguiquesiguin...Vegeu https://ca.wikipedia.org/wiki/Hipòtesi_del_ continu

8 La clausuranormal R éselsubgrup(normal)generatpertotselsconjugatsd’elements de R

9 Formalment,elsgeneradorsde G donatsperlapresentació G = A | X sónlesimatges [a]ϕ delselements a ∈ A perlaseqüènciad’homomorﬁsmesexhaustius (A±)∗ FA G

Noteuqueelteorema19ensdiuquetotgrupadmetunapresentació—de fet,infinitespresentacions.Diemqueunapresentació A | R és finita sitant A com R sónconjuntfinits.Esdiuqueungrupés finitamentpresentat siadmet unapresentaciófinita.

Elteorema19admetduesinterpretacionscontraposades.Peruncostat,implicaque,col.lectivament,elsreticlesdesubgrups(normals)delsgrupslliures contenentotalainformacióalgebraicapossiblesobrequalsevolgrupconcebible;aixòelsconverteixenunscandidatsnaturalsimoltconcretsonbuscar informaciósobrequalsevolgrup.Però,peraltrabanda,peraquestamateixa raó,aquestsreticleshandeserextraordinàriamentcomplicats,iésutòpic pretendreentendre’lscompletament.

Lespresentacionsconstitueixenlamaneranaturaldedescriureelsgrups desdelpuntdevistadelateoriacombinatòriaialgorísmicadegrups.La contrapartidageomètricaméselementalésl’anomenat digrafdeCayley,deﬁnit acontinuació.

Definició 22 Siguin G ungrupi S ⊆ G unconjuntdegeneradorsper G Aleshores,el digrafdeCayleyde G respectede S,designatper Cay(G,S),és elgrafdirigit(digraf)ambconjuntdevèrtexs G,iunarc g s gs peracada element g ∈ G icadagenerador s ∈ S ± .

ObserveuqueelsdigrafsdeCayley(respecteaconjuntsgeneradors)són connexos:comque S = G,qualsevol g ∈ G espotescriureenlaforma g = s 1 i1 ··· s k ik ,peracerts k ≥ 0, sij ∈ S,i j =±1i,llavors,elcamí

(5)

connectaelvèrtex1 ∈ G ambelvèrtexgenèric g ∈ G.Peraltrabanda,els digrafsdeCayleysóntambé (2#S)-regulars:10 perdeﬁnició,decadavèrtex g ∈ G ensurtexactamentunaarestapercada s ∈ S ± (quevaalvèrtex gs ∈ G) in’arribatambéexactamentunapercada s ∈ S ± (quevede gs 1 ∈ G);en general,algunesd’aquestesarestespodenserparal leles,ollaços.

Recalquemque Cay(G,S) depènfortamentdelconjuntdegeneradorsescollit S (vegeuﬁgura2).Pertant,noésunobjectegeomètriccanònicament associatalgrup G,sinóalgrup G iaunconjuntdegeneradorsconcret S

Exemple 23. EldigrafdeCayleydelgruplliure F{a} Z respectealabase {a} (ésadir, {1} ennotacióadditiva)ésuncamídirigitambinfinitsvèrtexsconsecutius,connectatscadascunalsegüentperuna a-aresta(ial’anteriorper una (a 1)-aresta).Alafigura2podeuveuredibuixatselsdigrafsdeCayley Cay(Z, {1}) i Cay(Z, {2, 3}) on,coméshabitualambelsdigrafsinvolutius(vegeuladefinició32),dibuixemnoméselsarcspositius,iassenyalemamb el vèrtexcorresponental’elementneutre.

10 Undigraf Γ és regular sielnombred’arcsqueentrenenunvèrtexielnombred’arcsqueen surtensónindependentsdelvèrtex p ∈ VΓ

Figura 2: Cay(Z, {1}) (adalt)i Cay(Z, {2, 3}) (asota).

Exemple 24 ÉsfàcilveurequeeldigrafdeCayleydelgruplliure F{a,b} respecte delabase{a,b} tél’aspectedelafigura3.Peraconvèncer-nos-en,noméscal tenirencomptelesduesobservacionsanteriors(estractad’undigrafconnex,i 4-regular),juntamentambelsfetsd’ésserinfinit(#F{a,b} =ℵ0)id’ésserunarbre: unhipotèticcamítancatensdonariaduesexpressionsdiferentsd’unmateix element g comaproductereduïtdeleslletres a, a 1 , b, b 1,contradientelfet que F{a,b} éslliureen {a,b}.Anàlogament,eldigrafdeCayleydelgruplliure Fκ derang κ respecteaunabaseéselcorresponentarbreinfinit2κ-regular.

Figura 3: EldigrafdeCayleyde F{a,b}

Comveuremalasecciósegüent,eldigrafdeCayleydelsgrupslliures respecteaunabasetindràprotagonismeenlateoriad’autòmatsdeStallings. Concretament,elsubgrafdeﬁnitacontinuació.

Definició 25. Sigui A unalfabet,i a ∈ A±.Anomenem a-brancadeCayley de FA lacomponentconnexade Cay(FA,A) \ F queconté ,on F éselconjunt d’arcsincidentsa excepte a • (ielseuinvers);vegeulaﬁgura4.

Dedicaremlarestad’aquestarticleaferunaprimeraaproximacióal’estudi delreticledesubgrupsde Fn,amb n 2ﬁnit.I,talcomintuíemmésamunt, ensadonaremdeseguidaque,efectivament,ésextremadamentcomplicat. D’entrada,presentacertscomportamentsquerecordenpatronsdel’àlgebra linealisuggereixenque,potser,algunsaspectesnoserantanintricats;però gairebésempreacabaapareixentalguncomportamentdistintiu,sovintdetipus fractal,queeldistanciaradicalmentd’ambientsalgebraicsmésbenignes.

Acabemaquestaseccióproposantunparelldeproblemessobreelreticle desubgrupsde F2 = F{a,b} indicatiusdelacomplexitatalaqualensreferim. Estractadeproblemesmoltnaturals,anàlegsaproblemestípicsdel’àlgebra lineal,queenaquellcontextesresolenfàcilmentplantejantiresolentsistemes d’equacions.Noméscalendinsar-seunamicaenambdósproblemes,comfarem acontinuació,peracopsarladiﬁcultatextraquesuposaelfetd’estartractant ambgrupsfortamentnocommutatius.Convidemellectoraintentarresoldre’ls abansdecontinuarllegint,pertaldepercebrelacomplexitataquèensreferim. Totiqueenunprimerapropamentpodensemblardifícilsderesoldre,veurem alasecció4quehihaunamaneraelegant,eﬁcientisorprenentmentsenzilla detractar-los:usarlateoriadelsautòmatsdeStallings,queexpliquemendetall alasecció3.

Exemple 26 Sigui F2 elgruplliuresobre A ={a,b} iconsideremelsubgrup H = v1,v2,v3 F2 generatpelselements v1 = baba 1 , v2 = aba 1,i v3 = aba2.Éscertquel’element u = b2aba 1b7a 2b 1a2 ∈ F2 pertanya H? I,encasaﬁrmatiu,sabemexpressar-locomaproductede v1, v2, v3 ielsseus inversos?

Peracertesparaules,decidirlapertinençaa H ésfàcil.Perexemple,pera veureque a3 pertanya H,éssuﬁcientobservarque v 1 2 v3 = (ab 1a 1)(aba2) = a3.Unaltreargumentsenzillenspermetdeduirquel’element a no pertany a H:tantsevalcommultipliquem v1, v2, v3 oelsseusinversos,el a-exponent (ésadir,elnombretotalde a obtingutsumantlesd’exponentpositiuirestant lesd’exponentnegatiu)alresultatsempreseràmúltiplede3.Enefecte,els a-exponentsdelsgeneradorssón |v1|a = 1 1 = 0, |v2|a = 1 1 = 0,i |v3|a = 1 + 2 = 3;comque |w1w2|a =|w1|a +|w2|a (jaquelapossible cancel.lacióentre w1 i w2 eliminalamateixaquantitatde a positivesque de a negatives),totselselementsdelsubgrup H = v1,v2,v3 handetenir forçosament a-exponentmúltiplede3.I,comque |a|a = 1noésmúltiplede3, deduïmque a ∈ H

Figura 4: La (a 1)-brancadeCayleyde F{a,b}.

Peròenelcasdel’element u = b2aba 1b7a 2b 1a2,el a-exponenttotalés |u|a = 0,pertant,nopodemdescartar-lousantl’argumentanterior.Òbviament, aixòtampocnoensasseguraquehihagidepertànyer:notenim, apriori,cap indicaciódecompodemmultiplicarentresilesparaules v1, v2, v3 ielsseus inversos,pertald’aconseguir u;nidesiaixòésrealmentpossible,ono.Siels elements v1, v2, v3 commutessin,elproblemaesreduiriaadecidirsi u ésde laforma v α 1 v β 2 v γ 3 amb α,β,γ ∈ Z,ésadir,si u ésuna combinaciólineal de v1, v2, v3 ambcoeﬁcientsenters.Comespotpercebre,però,lanocommutativitat delselements v1, v2, v3 complicamoltelplantejamentilaresoluciód’aquest problema.

Larespostaenaquestcasésaﬁrmativa,peròtrobarunproducteadequat (quedoni u)janoéstanfàcilasimplevista:

v1v 1 2 v1(v1v 1 2 )7v 1 3 v 1 2 v3 =

= baba 1(aba 1) 1baba 1(baba 1(aba 1) 1)7(aba2) 1(aba 1) 1aba2 = = baba 1ab 1a 1baba 1(baba 1ab 1a 1)7a 2b 1a 1ab 1a 1aba2 = = bbaba 1b7a 2b 1a2 = b2aba 1b7a 2b 1a2 = u.

Evidentment,ferelscàlculspercomprovarsiundeterminatproductedels generadorsdona u ésfàcil.Peròtrobar,omésencara,decidirl’existènciad’un productede v ±1 1 , v ±1 2 , v ±1 3 quedonilaparaulacandidata u,nohosembla tant.11 Ésfàciladonar-sequelacomplicacióderivadecomderecargolada siguil’eventualexpressió (dellargadaﬁnitaperòarbitràriamentgran) del candidat u entermesdelsgeneradors.Alasubsecció4.2explicaremuna manerasistemàticaderesoldreaquestproblema.

Preguntesaﬁnsambunaevidentimportànciaalgebraicasón:ésaquesta l’únicamanerad’obtenir u apartirde v1, v2, v3?Sin’hihad’altres,podem descriure-lestotes?Podemcalcularlaparaulaméscurta(potsernoúnica)que doni u?...

Observeuqueelproblemaanàlegenàlgebralinealseriadeltipussegüent: «pertanyelvector (1, 2, 3) alsubespaivectorial ( 1, 2, 1),(0, 1, 3) de R3?». Perarespondre,noméshemdemirarsielsistemad’equacions (1, 2, 3) = α( 1, 2, 1) + β(0, 1, 3) téonosolucionsa R.Enl’ambientnocommutatiuen quèenstrobemnoconeixem,demoment,capeinaquepuguiferunpaper semblantalquefanelssistemesd’equacionsenl’àlgebralineal.Comveurema continuació,enelcasdelsgrupslliures,elsautòmatsdeStallingsfaranaquest paper.

Peracabarlasecció,usproposemunaltreproblemaqueinvolucrainterseccionsdesubgrupsdelgruplliure.

11 Almenysalamajoriadelshumans(vegeu https://ca.wikipedia.org/wiki/P_versus_ NP).

Exemple 27. Sigui F2 elgruplliuresobre A ={a,b},iconsideremelssubgrups H = u1,u2,u3 F2 i K = v1,v2,v3 F2 donatsperlesparaules u3 = a 1bab 1a,i v1 = ab, v2 = a3,i v3 = a 1ba, u1 = b, u2 = a3 . Comveuremalcorol.lari66,elssubgrupsdelgruplliurenotenenperquèser ﬁnitamentgenerats.Hoéslaintersecció H ∩ K?I,entalcas,podeucalcular-ne unconjuntdegeneradors?

Asimplevistajaesveuquel’element a3 éspresentaambdóssubgrups: a3 = v2 ∈ H,i a3 = u2 ∈ K.Tambése’nveufàcilmentunaltre:

Iambunamicamésd’imaginació(odetreballdecàlcul)aquítenimuntercer elementdelaintersecció:

Comque H ∩ K ésunsubgrupde F2,deduïmque a3,b 1a3b,a 1ba3b 1a estàcontinguta H ∩ K.Seguirtrobantnouselementsasimplevistanosembla fàcil;peròlapreguntacontràriaencarasemblaméscomplicada:éscertque H ∩ K = a3,b 1a3b,a 1ba3b 1a ?Ocaltrobariafegir-himésgeneradors?

Ellectorinteressatpotprovarderespondretotesaquestespreguntesper sisol.Nosaltres,demoment,hodeixaremaquí,itornarematractaraquests exemplesalasecció4,onjadisposaremd’einesadequadesperarespondre totesaquestespreguntes...imés!

3AutòmatsdeStallings

Definició 28. Sigui A unalfabet.Un A-autòmat Γ (osimplement autòmat,si l’alfabetésclarpelcontext)ésungrafdirigitambelsarcsetiquetatsen A i unvèrtexdistingit;mésformalment,ésunatupla Γ = (V, E,ι,τ, , ),on V i E sónconjunts, ι,τ : E V i : E A sónfuncions,i ∈ V.Elsconjunts V = VΓ i E = EΓ s’anomenenconjuntde vèrtexs id’arcs (o arestesdirigides)de Γ ,respectivament,ilesfuncions ι, τ i assignenacadaarc e ∈ E elseu origen ι(e) ∈ V,el seu ﬁnal τ(e) ∈ V,ilaseva etiqueta (e) ∈ A,respectivament.Si ιe = p, τe = q i (e) = a,aleshoresdiemque e ésun a-arcde p a q,iescrivim e ≡ p a q.El vèrtexdistingit s’anomena vèrtexbase o puntbase del A-autòmat.El digraf subjacent d’un A-autòmat Γ éseldigrafresultatd’ignorar-nelafunció iel puntbase

Observeuque,segonslanostradefinició,unautòmatnoésnecessàriament connex,iadmetlapossibilitattantd’arcsambelmateixorigenifinal(llaços), comtambédemúltiplesarcsambelmateixorigenielmateixfinal(arcs paral.lels).

Definició 29 Sigui Γ un A-autòmat.Unvèrtex p de Γ s’anomena saturat si peracadalletra a ∈ A hiha(almenys)un a-arcamborigen p.Encascontrari, diemque p ésinsaturat(o a-deﬁcient,sivolemreferir-nosal’etiquetaque

falta).El a-dèﬁcit de Γ ,designatper defa(Γ ),éselnombre(cardinal)devèrtexs a-deﬁcientsa Γ .Un A-autòmat Γ s’anomena saturat sitotselsseusvèrtexsho són, i.e.,sidefa(Γ ) = 0peratot a ∈ A.

Definició 30. Un camí(dirigit) enun A-autòmat Γ ésunaseqüènciaalternada finita γ = p0e1p1 ··· elpl,on pi ∈ VΓ , ei ∈ EΓ , ιei = pi 1,i τei = pi pera i = 1,...,l.Aleshores, p0 i pl s’anomenen origen i final de γ respectivament,i escrivim p0 = ι(γ) i pl = τ(γ).Diemque γ ésuncamíde p0 a pl,ihodesignem per γ : p0 pl.Sil’origenielfinalde γ coincideixen,diemque γ ésun camí tancat.Uncamítancatde p a p s’anomena p-camí.La longitud d’uncamí γ, designadaper |γ|,éselnombred’arcsa γ (comptantpossiblesrepeticions). Elscaminsdelongitud0s’anomenen caminstrivials icorresponenalsvèrtexs de Γ

Recordemque A± = A A 1,on A 1 éselconjuntd’inversosformalsde A.

Definició 31 Un A-autòmatinvolutiu ésun A±-autòmatambunainvolució e e 1 alsseusarcstalquesi e ≡ p a q aleshores e 1 ≡ p a 1 q.Aleshores,diemque(l’arcetiquetat) e 1 ésl’invers de e.Observeuque (e 1) 1 = e; ésadir,enunautòmatinvolutiu,elsarcsetiquetatsapareixenaparellatsamb elsseusrespectiusinversos(vegeulaﬁgura5).

Figura 5: Unarcenunautòmatinvolutiuambelseuinverspuntejat.

Definició 32. Unarcenun A-autòmatinvolutiu Γ esdiu positiu (resp., negatiu) silasevaetiquetapertanya A (resp., A 1).S’anomena partpositiva de Γ , designadaper Γ +,l’autòmatobtingutdesprésd’eliminarde Γ totselsarcs negatius.Ésclarquetotautòmatinvolutiuquedadeterminatperlasevapart positiva,quehabitualmentfaremservirperadescriurel’autòmat,ambel convenitàcitqueelsarcspositius p a q espodentravessarcapenrere(i.e., de q a p)llegintlalletrainversa a 1.Observeuque,identificantelsparellsd’arcs mútuamentinversos(enuna aresta,nodirigida),recuperemlanocióestàndard degraf nodirigit,queanomenarem graf(nodirigit)subjacent de Γ .Farem serviraquestacorrespondènciaperatraslladaral’àmbitdelsautòmatsalgunes nocionsbàsiquesdeteoriadegrafs.Perexemple,diremqueunautòmat Γ és connex sihoéselseugrafsubjacent,diremque T ésun arbregenerador 12 de Γ sihoésdelseugrafsubjacent,idefiniremel grau d’unvèrtex p,designat per deg(p),comelnombred’arestesincidentsa p enelgrafsubjacent,iel rang de Γ ,designatper rk(Γ ),comelrangdelseugrafsubjacent(vegeula definició33).Enparticular,si Γ ésunautòmatinvolutiu,connexifinit,aleshores rk(Γ ) = 1 #VΓ + #EΓ + 12Enanglès, spanningtree

Si Γ ésun A-autòmatinvolutiu,aleshoresel A±-etiquetatgede Γ s’estén deformanaturalaun (A±)∗-etiquetatgedelscamins,totconcatenantles corresponentsetiquetes:si γ = p0e1p1 ··· elpl ésuncamí,deﬁnimlaseva etiqueta,ilaseva etiquetareduïda com (γ) = (e1) (el) ∈ (A±)∗,i (γ) = (γ) ∈ FA,respectivament.Enambdóscasos,s’enténquel’etiqueta d’uncamítrivialésl’elementtrivial1.Si (γ) = w ∈ (A±)∗ diemqueelcamí γ llegeix w,oquelaparaula w etiqueta elcamí γ,iescrivim γ : p0 w pl. Esdiuqueuncamípresenta retrocés13 sitédosarcssuccessiusinversos l’undel’altre.Uncamísenseretrocésesdiu camíreduït.Ésobvique,si (γ) ésunaparaulareduïda,aleshoreselcamí γ hadeserreduït,peròelrecíproc noéscertengeneral,jaqueespodendonarlessituacions(nodeterministes) delaﬁgura6.Observeutambéque,si T ésunarbregeneradord’un A-autòmat connex Γ ,aleshoresperacadaparelldevèrtexs p, q a Γ existeixunúnic camí reduït de p a q usantnomésarcsde T ;l’anomenem T -geodèsicade p a q, ieldesignemper γT [p, q],osimplementper p T q

Figura 6: Situacionsnodeterministesalvèrtex p.

Si γ = p0e1p1 elpl ésuncamíenun A-autòmatinvolutiu Γ (llegint (γ) = (e1)··· (el)),aleshoress’anomena camíinvers de γ a γ 1= ple 1 l pl 1···e 1 1 p0 (llegint (γ) 1 = (el) 1 ··· (e0) 1).Ésclarque,també, (γ 1) = (γ) 1 .

Éselmomentdecomençararelacionarels A-autòmatsambelsgrups. Potserlamaneramésnaturaldefer-hoésatravésdelaideatopològicadegrup fonamentald’ungraf.Comveurem,siadmetemetiquetesalesarestes,aquesta ideadesembocaenladesubgrupreconegut,que,comesmostraacontinuació, ésunsubgrupconcretde FA,enllocd’ungrupabstracte.

Definició 33. Siguin Γ ungrafnodirigiticonnex,i p ∈ VΓ .El grupfonamental de Γ alvèrtex p,designatper πp(Γ ),éselconjuntdeclassesde p-camins a Γ mòdulretrocés,omòdulreducciódecamins(que,enelcasdelsgrafs vistoscomaespaistopològics,equivaladirmòdulhomotopia),juntamentamb l’operaciódeconcatenacióde p-camins.Ésbensabutque,independentment delvèrtex p triat, πp(Γ ) ésungruplliurederangigualalnombre(cardinal) d’arestesforad’unarbregenerador T de Γ ;aaquestvalor,quenodepènde l’arbre T ,l’anomenemel rang(gràﬁc) de Γ ,designatper rk(Γ );ésfàcilveure que,si Γ ésﬁnit,aleshores

rk(Γ ) 1 = #EΓ #VΓ = 1 2 q∈VΓ (deg(q) 2), (6)

on#VΓ éselnombredevèrtexsi#EΓ elnombred’arestes(nodirigides)de Γ

13Enanglès, backtracking

Definició 34. Sigui Γ un A-autòmatinvolutiuiconnex,i p ∈ VΓ .Ésfàcilveure queelconjuntd’etiquetesreduïdesde p-caminsa Γ , Γ p ={ (γ) : γ : p p}, (7)

ésunsubgrupde FA;l’anomenem subgrupreconegutper Γ alvèrtex p.El subgrup Γ eldesignemsimplementper Γ

Observació 35. Engeneral,elsubgrupreconegutperun A-autòmat Γ iel grupfonamentalde(elsubgrafsubjacentde) Γ enunvèrtex p sónconceptes diferents,peròestretamentlligatsperl’aplicació llegiretiquetesreduïdes:

(8)

Ésclarque Γ estàbendeﬁnitiésunhomomorﬁsmedegrupsexhaustiu ino injectiu,engeneral.Mésendavantveuremunacondiciósobre Γ ,sotalaqual Γ seràinjectiu.

Ladeﬁnició34(prenent p = )determinal’aplicaciósegüent,querelaciona els A-autòmatsambelreticledesubgrupsde FA: {(classesd’isomorﬁade) A-autòmats} {subgrupsde FA} Γ Γ . (9)

Ésfàcilveurequeaquestaaplicacióésexhaustiva;ésadir,totsubgrup H FA és elsubgrupreconegutperalgun A-autòmat.Enefecte,si S ={wi}i∈I ⊆ FA ésun conjuntdeparaulesreduïdesquegeneren H,aleshoresconsiderem,pera cada wi = ai1 ai2 ··· ail ∈ S (aj ∈ A±),elcicleorientatllegint wi (ó w 1 i en direcciócontrària);anomenat pètal associata wi,idesignatper Fl(wi) (vegeu laﬁgura7).

7: Elpètal Fl(wi).

Acontinuaciódefiniml’autòmatflor Fl(S) coml’autòmatobtingutdesprés d’identificarelspuntsbasedelspètalsassociatsalselementsde S (vegeula figura8).

Figura

8: L’autòmatﬂor Fl(w1,w2,...,wp ).

Ésclarquelesetiquetesreduïdesdels -caminsde Fl(S) descriuenprecisamentelsubgrup H; i.e., Fl(S) = S = H FA.Pertant,l’aplicació (9) és exhaustiva.Observeutambéque (9) estàllunydeserinjectivajaque,perexemple,diferentsfamíliesdegeneradorspera H proporcionendiferentsautòmats ﬂor,totspreimatgede H per(9).

ElresultatclaudeStallingsa[50]ensdiuqueespoteliminartotala redundànciadelarepresentaciódonadaper (9) (iassolirunúnicrepresentant Γ peracadasubgrup H FA)simplementimposantunparelldecondicions forçanaturalssobreelsautòmatsinvolucrats:ésserdeterminista,iéssercor.

Definició 36 Un A-autòmat Γ esdiu determinista sidecapdelsseusvèrtexs nosurtendosarcsdiferentsamblamateixaetiqueta;ésadir,siperacada vèrtex p ∈ VΓ ,iperacadaparelld’arcs e, e sortintde p, (e) = (e ) implica e = e .(Noteuqueunautòmatinvolutiuésdeterministasiinomésside capvèrtexnosurteniacapvèrtexnoarribenarcsdiferentsamblamateixa etiquetapositiva.)

Definició 37. Unautòmatinvolutiuesdiu cor 14 sitotvèrtex(i,pertant,tot arc)apareixenalgun -camíreduït.El cord’unautòmatinvolutiu Γ ,designat per core(Γ ),éselmàximsubautòmatcorde Γ quecontéelpuntbase.Ésclarque core(Γ ) ésunsubautòmatinduït,15 de Γ (defet,delacomponentconnexade Γ queconté ),connex,iquereconeixelmateixsubgrup, i.e., core(Γ ) = Γ

Observeuque core(Γ ) pottenirencaraunvèrtexdegrau1que,encas d’existir,hadesernecessàriamentelpuntbaseal’extremd’un«pèl»penjant de core(Γ ).Eliminantaquesteventualpèlobtenimelqueanomenem correstringit de Γ ,designatper core∗(Γ ) (formalment,eldigrafetiquetatobtingutdesprés d’eliminarsuccessivamenttotselsvèrtexsdegrau1de core(Γ ) iignorarel vèrtexbase).

Observació 38 Ésfàcilveureque rk(core∗(Γ )) = rk(core(Γ )) = rk(Γ ) (vegeu lasubsecció4.6),ique core∗(Γ ) p ésconjugata core(Γ ) = Γ ,peratot p ∈ V(core∗(Γ )) (vegeulasubsecció4.4).

Definició 39. Un A-autòmatinvolutiuesdiu reduït siésdeterministaicor.

14Enanglès, core. 15 Unsubautòmatés induït sicontétotselsarcs(del’autòmatoriginal)incidentsalsseus vèrtexs.

Figura

Exemple 40. Principalsvariantsd’autòmatinvolutiuideterminista:

Γ b a

(Γ ) core∗(Γ )

Figura 9: D’esquerraadreta,unautòmatdeterministanoreduït Γ (amb dospèls),elseucorcore(Γ ),ielseucorrestringitcore∗(Γ ).

Perveurequecadaﬁbrade (9) admetunúnicrepresentantreduïtadaptarem unresultatclàssicdeteoriadellenguatges.

Definició 41 Siguin Γ = (V, E,ι,τ, , ) i Γ = (V , E ,ι,τ, , )A-autòmats. Un homomorﬁsme(de A-autòmats) de Γ a Γ ésunafunció θ : V V queenvia elpuntbasealpuntbase( θ = )italque,peracada p, q ∈ V icada a ∈ A,si p a q aleshores pθ a qθ.Habitualment,abusemlleugeramentdel llenguatgeieldesignemper θ : Γ Γ .

Proposició 42. Siguin Γ i Γ A-autòmatsreduïts.Aleshores, Γ Γ siinomés siexisteixunhomomorﬁsme Γ Γ i,enaquestcas,l’homomorﬁsmeésúnic.

Prova. Launicitatésconseqüènciadeldeterminismede Γ .Enefecte,suposem que θ1,θ2 : Γ Γ sónhomomorﬁsmes,i p ∈ VΓ unvèrtextalque pθ1 ≠ pθ2. Aleshoreslesimatgesper θ1 i θ2 dequalsevolcamí γ : p a Γ serancamins a Γ ambelmateixorigen, ,ilamateixaetiqueta, (γ),peròdiferentﬁnal, pθ1 ≠ pθ2,encontradiccióambeldeterminismede Γ

[⇐] laimplicaciócapal’esquerraéscertasensecaphipòtesiaddicional sobre Γ , Γ :si θ : Γ Γ ésunhomomorﬁsmed’autòmats,aleshoreslaimatge dequalsevol -camía Γ ésun -camía Γ amblamateixaetiqueta,ipertant,la mateixaetiquetareduïda;pertant, Γ Γ .

[⇒] Suposemaraque Γ i Γ són A-autòmatsreduïtsamb Γ Γ iconstruïmunhomomorﬁsme θ : Γ Γ .Òbviament,prenem θ = .Peratot vèrtex p ≠ ,consideremun -camíreduït γ a Γ quepassiper p:

γ : u p v

(sabemquen’existeixalmenysunperquè Γ éscor).Amés,comque Γ éstambé determinista,tenimquetant u com v sónparaulesreduïdes,isensecancellacióentreelles.Enparticular, uv ∈ Γ ipertant uv ∈ Γ .Aixòvoldirque uv ésl’etiquetareduïdad’un -camía Γ i,comque Γ ésdeterminista, uv és tambél’etiquetad’un -camíreduït γ a Γ ,quepodemdescompondrecoma

γ : u p v .

Deﬁnim pθ = p .Perveurequeestàbendeﬁnit,sigui w p z unaltre -camíreduïtde Γ quepassaper p,considerem w p z elcorresponent -camíreduïta Γ ,ivegemque p = p .Observeuque u p z ésun -camía Γ ambpossibleretrocésa p;sianomenem q elvèrtexonacaba aquestretrocés,aleshorestenim

on u = u1u2, z = z1z2, u2 = z 1 1 ,ielcamí u1 q z2 ésreduït.Pertant, uv = u1u2v, wz = wz1z2 i u1z2 handeserllegibles(sensecancel.lacióentre síl labes)comaetiquetesde -caminsreduïtsa Γ :

Finalment,peldeterminismede Γ ,ésclar,primerque q = q = q ,idesprés (tenintencompteque u2 = z 1 1 )que p = p ,talcomreclamàvem.Pertant, θ : VΓ VΓ estàbendeﬁnit.

Peracabar,vegemque θ ésunhomomorﬁsmed’autòmatsentre Γ i Γ .En efecte,comque Γ éscor,donatunarc e ≡ p a q a Γ ,sabemqueexisteixun -camíreduïta Γ queusal’arc e: u p a q v .

Pertant, uav ∈ Γ Γ (sensecancel.lacióentresíl.labes).I,perladeﬁnició de θ,a Γ hitenimel -camíreduït

u pθ a qθ v .

Enparticular,tenimunarc pθ a qθ a Γ ,ipertant, θ ésunhomomorﬁsme d’autòmatsde Γ a Γ ,talcomvolíemdemostrar. ✷

Elscorol.larissegüentssónimmediats,icapturenexactamentlapropietat queperseguim.

Corollari 43. Si Γ ésunautòmatreduït,aleshoresl’únichomomorﬁsme Γ Γ éslaidentitat. ✷

Corollari 44. Sidos A-autòmatsreduïtsreconeixenelmateixsubgrup,aleshoressónisomorfs.Ésadir,si Γ i Γ són A-autòmatsreduïts,aleshores Γ = Γ Γ Γ .

Pertant,d’entretotsels A-autòmatsquereconeixenuncertsubgrup H FA, seràsuﬁcienttriar-neundereduïtpertald’obtenirunrepresentantúnic,i restringir (9) aunabijecció.Vegemacontinuacióqueaquestrepresentant reduïtsempreexisteix,icomesrelacionaambunaltreautòmatnaturalment associatalsubgrup H corresponent.

Definició 45. Siguin G ungrup, H unsubgrupde G,i S ⊆ G unconjuntde generadorspera G.Aleshores,l’autòmatdeSchreier(perladreta)de H respecte a S,designatper SchG(H,S),ésel S-autòmatambconjuntdevèrtexs H\G (el conjuntdeclasseslateralsperladretade G mòdul H),unarc Hg s Hgs peracadaclasselateral Hg ∈ H\G icadaelement s ∈ S ±,ilaclasselateral H comavèrtexbase.

Observació 46 Noteuque,si H G,llavors SchG(H,S) = Cay(G/H,S).En particular, SchG(1,S) = Cay(G,S).

Donatqued’araendavantsempreconsiderarem G = FA,prendremhabitualmentlabase A comaconjuntdegeneradorsiescriuremsimplement SchFA (H,A) = Sch(H,A).El A-autòmat Sch(H,A) télespropietatssegüents.

Proposició 47. Sigui H unsubgrupde FA.Aleshores,

(i) Sch(H,A) ésun A-autòmatinvolutiu,deterministaisaturat;

(ii) Sch(H,A) ésconnex;

(iii) Sch(H,A) = H;

(iv) cadaarc e nopertanyenta core(Sch(H,A)) ésunpontde Sch(H,A);ésa dir, Sch(H,A) \{e} téduescomponentsconnexesi,amés,laquenoconté ésunarbreinﬁnitisaturat exceptealvèrtexincidenta e;

(v) Sch(H,A) noésnecessàriamentcor.

Prova. L’apartat(i)ésimmediatdeladeﬁniciód’autòmatdeSchreier(deﬁnició45).Laconnexióde Sch(H,A) ésconseqüènciadirectadelfetquetotvèrtex Hw estàconnectatambelpuntbase:enefecte,posant w = a 1 i1 a 2 i2 ··· a l il comaparaulaen A±,tenimelcamí

γ :

Hw. (10)

Aixòdemostra(ii).L’apartat(iii)sesegueixdelfetqueelcamí (10) éstancatsii noméssi Hw = = H,ésadir,siinoméssi (γ) = w ∈ H.

Perveure(iv)consideremunarc e de Sch(H,A) nopertanyenta core(Sch(H,A)).Sihihaguéscamins,ipertantcaminsreduïts, γ i η a Sch(H,A)\ {e},de a ιe,ide a τe,respectivament,llavors γeη 1 seriaun -camíreduït,cosaquecontradiuque e noformapartdelcor.Pertant, e ésunponta Sch(H,A).Canviant e per e 1 sical,podemsuposarquehihauncamí γ de a ιe,quenopassaperl’arc e.Llavors,silacomponentconnexade Sch(H,A)\{e} queconté τe nofosarbre,hihauriaun τe-camíreduïtnotrivial ξ,i γeξe 1γ 1

seriaun -camíreduïtquepassaper e icontradiuunaltrecopelfetque e no pertanyalcor.Pertant,lacomponentconnexade Sch(H,A) \{e} queconté τe ésunarbre;ihauràdeserforçosamentinﬁnitjaquesino,tindriavèrtexsde grau1,cosaquecontradiriaelfetque Sch(H,A) éssaturat.Comquecadavèrtexéssaturat,aquestarbreésnecessàriamentunabrancadeCayley(vegeula ﬁgura10).

Finalment,peraveure(v)noméscalobservarl’autòmat Sch(b, {a,b}), dibuixatalaﬁgura10:un b-llaçalpuntbase ,iduesbranquesdeCayley naixentdelsdosarcsdisponiblesalpuntbase.

Figura 10: L’autòmatdeSchreierde b F{a,b}.

Delaproposició47ésclarquelapropietatd’éssercorésl’únicaquelifalta a Sch(H,A) peraserunautòmatreduïtquereconeix H

Definició 48. Sigui H unsubgrupde FA.Anomenem autòmatdeStallings de H respectea A,designatper St(H,A),elcorde Sch(H,A);ésadir St(H,A) = core(Sch(H,A)).Tambédeﬁniml’autòmatrestringitdeStallings de H respecte a A comeldigraf St∗(H,A) = core∗(St(H,A)).Silabasedereferència A és clarapelcontext,habitualmentl’ometremiescriuremsimplement Sch(H), St(H),i St∗(H).

Exemple 49. (Lapartpositivade)l’autòmatdeStallings St(FA,A) téunúnic vèrtexiunllaçetiquetatpercada a ∈ A.Aquestautòmats’anomena rosa (de #A pètals),iesdesignaper BA o Bn,on n = #A:

Figura 11: B3,unarosadetrespètals.

Observació 50 Ésclarque,peraqualsevolcardinal n,elgrupfonamentalde larosade n pètalséselgruplliurederang n;ésadir, π(Bn) Fn.

Acontinuacióresumimlespropietatsprincipalsdel’autòmatdeStallingsi lasevarelacióambeldeSchreier.

Proposició 51 Sigui H unsubgrupde FA.Aleshores,

(i) St(H,A) ésun A-autòmatinvolutiu,determinista,icor(pertant,reduït);

(ii) St(H,A) = H;

(iii) St(H,A) éssaturat St(H,A) = Sch(H,A) Sch(H,A) éscor;

(iv) St(H,A) noésnecessàriamentsaturat;

(v) Sch(H,A) consisteixen St(H,A) ambuna a-brancadeStallingsadjacent acadavèrtex a-deﬁcientde St(H,A),on a ∈ A±; (vi)l’índex |FA : H| ésﬁnitsiinoméssi St(H,A) éssaturati #VSt(H,A)< ∞.

Prova. L’apartat(i)ésimmediatdeladefiniciód’autòmatdeStallings(definició48),mentreque(ii)sesegueixdelamateixadefinicióil’observació38.

Peraveure(iii)noméscalrecordarque Sch(H) éssempresaturat, St(H) és semprecor,i St(H) = core(Sch(H)).Pertant,(iv)ésconseqüènciadelaproposició47(v).

(v)Si p ésunvèrtex a-deﬁcientde St(H),l’arcde Sch(H) llegint a des de p nopertanya St(H) ialeshoreselresultatreclamatnoésmésqueuna reinterpretaciódelaproposició47(iv).

(vi)Recordemque |FA : H|= #V Sch(H,A).Si St(H) éssaturatitéunnombre ﬁnitdevèrtexs,aleshores |FA : H|= #V Sch(H,A) = #V St(H,A)< ∞,onhem usatl’apartat(iii)alasegonaigualtat.Recíprocament,suposem |FA : H| < ∞: perunabanda#V St(H,A) ≤ #V Sch(H,A) =|FA : H| < ∞;iperunaaltra,si St(H,A) fosinsaturat,(v)implicariaque Sch(H,A) téarbresinﬁnitspenjantde totselsvèrtexsinsaturats,cosaquecontradiuque#V Sch(H,A) =|FA : H| < ∞. ✷

Ésconvenienttenirpresentque,comaconseqüènciadelateoriadesenvolupada,lespropietats(i)i(ii)delaproposició47,ilapropietat(i)dela proposició51,caracteritzen,defet,elsrespectiustipusd’autòmats.

Corollari 52. Sigui Γ un A-autòmatinvolutiuideterminista.Aleshores:

(i)si Γ éssaturaticonnex,aleshores Γ Sch( Γ ,A); (ii)si Γ éscor,aleshores Γ St( Γ ,A). ✷

Disposemjadetotselsingredientsnecessarisperaestablirlabijeccióque buscàvementre A-autòmatsisubgrupsde FA,totrestringint (9) aldomini adequat.

Teorema 53 (J.R.Stallings[50]). Lafunció

{(classesd’isomorﬁade) A-autòmatsreduïts} {subgrupsde FA} Γ Γ (11)

ésunabijecció,ambinversa St(H,A) H.

Prova. Lesduesaplicacionsestanbendeﬁnides:enefecte,peratot Γ , Γ és unsubgrupde FA;i,gràciesalaproposició51(i),peratotsubgrup H FA, St(H,A) ésun A-autòmatreduït.Isónunainversadel’altra:perlaproposició51(ii), St(H,A) = H i,comque Γ ésreduït, St( Γ ,A) = Γ ,aconseqüència delcorol lari44. ✷

Elpassegüentésgarantirelcaràctercomputacionaldelabijecció (11), queseràfonamentalperalsnostresinteressos.Veuremqueelssubgrups finitamentgenerats corresponenprecisamentals A-autòmatsreduïts finits i quelaconversióentreambdósésalgorísmica.Trobaremmètodeseficientsper acomputarlesduesdireccionsdelabijecció (11):(a)donatun A-autòmatreduït ifinit Γ ,calcularemexplícitamentunsistemadegeneradorsfinitde Γ (millor encara,encalcularemunabase,idemostraremdepassadaque Γ sempre tornaaserungruplliure);i(b)donatunsistemadegeneradorsfinitde Γ , construiremelseuautòmat(finit)deStallings St(H,A).

Proposició 54. Sigui Γ un A-autòmatinvolutiuiconnex,sigui T unarbregeneradorde Γ ,iconsiderem

ST ={we : e ∈ E+Γ \ ET }⊆ Γ FA, (12) on we = ( T • e • T ).Llavors,

(i) ST ésunsistemadegeneradorsper Γ ;

(ii) si Γ ésdeterminista,aleshores Γ ésungruplliurei ST n’ésunabase;en particular,elrangalgebraic rk( Γ ) ielranggràfic rk(Γ ) coincideixen; (iii) si Γ ésreduït,aleshores Γ ésfinitamentgeneratsiinoméssi Γ ésfinit;i enaquestcas, rk( Γ ) = 1 #VΓ + #E+Γ .

Prova. (i)Sigui w ∈ Γ ,iexpressem-locoma w = (γ),peracert -camí reduït γ a Γ .Sidistingimlesvisitesde γ aarcsforade T ,podemescriure

T ,

on e1,..., el ∈ E+Γ \ ET (ambpossiblesrepeticions)i j =±1.Observemara que γ télamateixaetiquetareduïdaqueelcamíampliat

γ : T • e 1 1 • T T • e 2 2 • T ··· T • e l l • T . (13)

Pertant, w = (γ) = (γ) = w

∈ ST . (ii)Suposemara,amés,que Γ ésdeterminista.Demostraremque ST és,de fet,unabasede Γ ique,pertant, Γ ésungruplliure.Éssuﬁcientveure quequalsevolparaulareduïdanobuidaen ST representaunelementnotrivial de FA.Enefecte,sigui w = w 1 e1 w 2 e2 w l el ,amb l ≥ 1, e1,..., el ∈ E+Γ \ ET (ambpossiblesrepeticions),italquenohihadosfactorssuccessiusinversos l’undel’altre, i.e., ei = ei+1 implica i = i+1.Aleshores, w = w 1 e1 w 2 e2 ··· w l el = ( T • e 1 1 • T T • e 2 2 • T

T • e l l • T ) = ( T • e 1 1 • T • e 2 2 • T

T • e l l • T ).

Peròaquestúltim -camíésnobuit(l ≥ 1),ireduït(donatqueelsarcs e i i estantotsforade T ,idosdeconsecutiusmainopresentenretrocés).Com que Γ ésdeterminista,aixòsigniﬁcaque w ≠ 1,comvolíemdemostrar.Per tant, ST ésunabasede Γ ielrangalgebraicielranggràﬁccoincideixen, rk( Γ ) = #ST = rk(Γ ).

(iii)Finalment,suposemque Γ ésreduït.Si Γ ésfinit,llavors#(E+Γ \ET)< ∞ i Γ ésfinitamentgenerat.Recíprocament,si Γ = core(Γ ) térangfinit,aleshores ésfinit(jaque,afegintunnombrefinitd’arcsaunarbreinfinit,noresultamai uncor).Ienaquestcas, rk( Γ ) = rk(Γ ) = 1 #VΓ + #E+Γ .Lademostracióestà completa. ✷

Exemple 55. Considereul’autòmatdeterministasegüent,il’arbregenerador T formatpelsarcshoritzontals(representatsambtraçmésgruixut).

D’acordamblaproposició54(ii),elsubgrup Γ reconegutper Γ éslliure ambbaseelconjunt ST ={b,a3,a2bab 1a 2} i,pertant,derang3.

Elsegüentresultatfonamental,demostratprimerperJ.Nielsen,pera subgrupsﬁnitamentgenerats,iunsanysméstardperO.Schreier,ambtotal generalitat,sesegueixarademaneratransparentdelateoriadeStallings.

Teorema 56 (TeoremadeNielsen-Schreier,[40, 45]). Totsubgrupd’ungrup lliureéslliure.

Prova. Pelteorema53,totsubgrup H FA ésdelaforma H = St(H,A) ;i, perlaproposició54,éslliure. ✷

Finalment,situem-nosenelcasfinit,ibusquemunalgorismeeficientper computarelsdossentitsdelabijecció (11).Elcàlculd’unabasedelsubgrup reconegutperun A-autòmatreduïtifinit Γ ésdirectedelaproposicióanterior: calculemunarbregenerador T de Γ i,peracadaarc e ∈ E+Γ \ ET (n’hihaun nombrefinit),calculemlaparaulareduïda we = ( T • e • T ).Perla proposició54(ii), ST ={we : e ∈ E+Γ \ ET } ésunabasede Γ FA.

Peracomputarladirecciócontrària,donatunsubgrup H FA (mitjançant unafamíliafinita S degeneradors,quepodemsuposarparaulesreduïdes),hem detrobarunamaneraefectivadecalcular St(H,A);o,elqueéselmateix,una maneradecalcularun A-autòmat Γ quesiguiinvolutiu,reduït,finit,iquereconegui Γ = H.Jaconeixemun A-autòmat,moltfàcildeconstruir,iquegairebé compleixtotesaquestescondicions:l’autòmatflor Fl(S) ésinvolutiu,cor,finit, reconeix Fl(S) = S = H,iésdeterminista exceptepotseralvèrtexbase (ja queelsdiferentselementsde S podencomençaroacabaramblamateixalletra de A±).Pera«reparar»l’eventualnodeterminismede Fl(S),necessitemun procedimentqueconverteixiun A-autòmatfinitendeterminista(senseperdre lesaltrespropietats);eldesenvolupemacontinuació.

Definició 57. Sigui Γ un A-autòmatinvolutiu;isiguin e1 i e2 dosarcsde Γ quevioleneldeterminisme, i.e.,quecompleixen ιe1 = ιe2, (e1) = (e2), però e1 ≠ e2.Anomenem plegament(elemental)deStallings, 16 ieldesignem per Γ Γ ,latransformacióconsistentaidentiﬁcarelsarcs e1 i e2 (iels seuscorresponentsinversos)a Γ .Sielsarcs e1 i e2 nosónparal lels(i.e.,si τe1 ≠ τe2),diremqueésun plegamentobert;iencascontrari,diremqueés un plegamenttancat (vegeulaﬁgura12).

Figura 12: Unplegamentobert(esquerra)iundetancat(dreta).

Unsenzillrecomptedevèrtexsiarcsproporcionaelresultatsegüent,que seràrellevantmésendavant.

Observació 58. Si Γ ésﬁniti Γ Γ ésunplegamentelementaldeStallings, aleshores: rk(Γ ) = rk(Γ ) si Γ Γ ésobert, rk(Γ ) 1si Γ Γ éstancat.

(14)

ÉsclarqueelsplegamentsdeStallingsnomodiﬁquenelsubgrupreconegut.

Lema 59 Si Γ Γ ésunplegamentdeStallings,aleshores Γ = Γ ✷

Llavors,si Γ ésun A-autòmatinvolutiu,finit,reconeixent H,el procésde Stallings peraconvertir Γ endeterministaéscomsegueix:si Γ jaésdeterminista, nocalferres;encascontrari,detectemsuccessivamentpossiblesplegaments (obertsotancats)ielsrealitzemfinsquenoenquedicapdedisponible, ésadir,finsaobtenirunautòmatdeterminista.Observeuquerealitzant unplegamentpodemprovocar-nedenousifinsitot augmentar elnombre deplegamentsvisiblesafer.Malgrataixò,estàgarantitquearribaremauna situaciódeterministaambunnombrefinitdepassesjaquel’autòmatinicial Γ és finit,iencadaplegamentelnombred’arcsdecreixexactamentenunaunitat.Un coparribemaun A-autòmatdeterminista,prenemelcoridesignemper Γ el Aautòmatreduïtresultant.Observeuque,pellema59il’observació38, Γ = Γ . Ipelcorol.lari44, Γ hadeser(isomorfa)l’autòmatdeStallings St(H,A).El procésdescrits’anomena(una) seqüènciadeplegamentsdeStallings pera Γ :

p) St(H,A).

16Enanglès, stallingsfolding

Observeuquehipothaver,enprincipi,diferentsplegaments—ipertant,diferentsseqüènciesdeplegaments—disponiblesa Γ .Arabé,comquel’autòmat finalésreduït,elcorol.lari44ensgaranteixquel’objectefinalobtingutserà sempreelmateix(mòdulisomorfisme), independentmentdelaseqüènciade plegamentsseguida.

ConstruintunaseqüènciadeplegamentsdeStallingsperal’autòmat flor Fl(S),obtenimunamaneraefectivadecalcular St(H,A) apartirdequalsevolconjuntdegeneradorsfinit S pera H.Noésdifícildemostrarque,en aplicarunaseqüènciadeplegamentsdeStallingsal’autòmatflor Fl(S) d’un conjunt S deparaules reduïdes,capdelsplegamentsdelaseqüèncianotrenca elcaràctercordel’autòmatiniciali,pertant,noésnecessarirealitzarelpas finaldeprendreelcor:

(S) =

= St(H,A).

Observeuﬁnalmentqueelresultatdelaseqüènciadeplegaments, St(H,A), depèncanònicamentdelsubgrup H i,pertant, tambéésindependentdelsistema degeneradorsﬁnit S de H ambquèhaguemcomençatelprocés(mentreque Fl(S) endepènfortament).Aixòconcloulacomputaciódelabijecció(11).

Incorporantal’enunciatdelteorema53elsresultatsqueacabemdedemostrar,obtenimelteoremaprincipald’aquestasecció.

Teorema 60 (J.R.Stallings[50]). Lafunció

St: {subgrupsde FA} {(classesd’isomorfiade) A-autòmatsreduïts} H St(H,A) (15) ésunabijecció,ambinversa Γ Γ .Amés,elssubgrupsfinitamentgenerats corresponenprecisamentalsautòmatsreduïtsfinitsi,enaquestcas,labijecció éscomputableenambdóssentits. ✷

Exemple 61 Siguin F2 elgruplliuresobre A ={a,b}, S ={u1,u2,u3}⊆ F2 i H = S F2 elsubgrupgeneratpelselements u1 = a3 , u2 = abab 1,i u3 = a 1bab 1.Perobtenirunabase(i,pertant,elrang)de H,calcularem primer St(H,A).Comencemconstruintl’autòmatflor Γ0 = Fl(S),ianemfent plegamentsfinsaobtenirl’autòmatdeStallings St(H,A):alafigura13teniu unapossibleseqüènciadeStallings Γ0 Γ1 Γ2 Γ3 Γ4 Γ5 Γ6 = St(H),totindicant,encadapas,ambtraçgruixut,elsarcsqueespleguenal passegüent(observeuqueelprimerpassónenrealitattresplegamentsfets simultàniament):

Finalment,prenent b • comaarbregeneradorde St(H),laproposició54(ii)ensdiuque {a,bab 1} ésunabasedelsubgrup H;enparticular, rk(H) = 2.

Γ0 = Fl(S) a b

Γ6 = St(H) a b

Figura 13: UnaseqüènciadeplegamentsdeStallingspelsubgrup H = a3,abab 1,a 1bab 1 F{a,b}

Tornemperunmomentalmorfisme Γ definita (8).Dèiemmésamuntque noeraunmorfismeinjectiu,engeneral.I,efectivament,pel A-autòmat Γ0 = Fl(S) del’exempleanterior(alvèrtexbase )nohoésjaque π(Γ0) ésungrup lliurederang rk(Γ0) = 1 #VΓ0 + #E+Γ0 = 1 9 + 11 = 3 = #S,mentreque Γ0 = S = H ésun(sub)grup(de FA)lliurederang2.Aixòvoldirqueels tresgeneradorsinicials u1, u2, u3 de H no sónbasede H,ésadir,nosón independents;pertant,hihad’haverunproductereduïtinobuitd’ellsiels seusinversosquedonil’elementtrivial, w(u1,u2,u3) = 1.Aixòés,exactament, lacontrapartidaalgebraicadelfetgràficque Γ nosiguiinjectiu:hihaun element1 ≠ [γ] ∈ π(Γ0) (i.e.,un -camíreduïtinobuital A-autòmatflor Γ0) talque (γ) = 1(i.e.,quellegeixil’etiquetareduïdatrivial).Fentcàlculsveiem, perexemple, u2u 1 3 u 1 1 u2u 1 3 u 1 1 u2u 1 3 = 1.Podemanarencaraunamica mésenllàenaquestparal.lelismeentreàlgebraigeometria,iquantificarla noinjectivitatdelmorfisme Γ : π(Γ ) Γ FA, [γ] (γ),desdelsdos puntsdevista:unamaneraalgebraicadefer-hoésmirantelnombremínim degeneradorsde ker( Γ ) comasubgrupnormalde π(Γ );comveurema continuació,lacontrapartidagràficaéselnombredeplegamentstancatsque apareixenenuna(i,pertant,enqualsevol)seqüènciadeplegamentsdeStallings de Γ a St(H,A)

Observació 62. Si Γ ésdeterminista,llavors Γ ésinjectiu. ✷

ÉsclarquelapèrduaderanggràﬁcenqualsevolseqüènciadeStallings perun A-autòmatﬁnit Γ ésprecisamentelnombredeplegamentstancats,ja queelsplegamentsobertsnoalterenelrang,ielstancatselredueixenenuna unitat(vegeul’observació58).Espotusarunargumentgeomètricalgebraicper ademostrarqueaquestnombretambécoincideixamblaquantitatmínima degeneradorsde ker( Γ ) comasubgrupnormalde π(Γ ) (perraonsd’espai, ometemelsdetallstècnicsd’aquestademostració).

Proposició 63. Sigui Γ un A-autòmatinvolutiu,connex,iﬁnit,quereconeixel subgrup H FA,isigui

unaseqüènciadeplegamentsdeStallingspera Γ .Aleshores,elstresnombres següentscoincideixen:

(a)elnombredeplegamentstancatsa (16);

(b) rk(Γ ) rk(St(H,A));

Pertant,aquestnombreésindependentdelaseqüènciaconcretadeplegaments inomésdepènde Γ .

Aquestvalor—independentdelaseqüènciaconcretadeplegamentsinomés dependentde Γ —s’anomenala pèrdua de Γ ,designadaper loss(Γ ).Podem ampliaraquestadeﬁnicióperacobrir A-autòmatsinﬁnitsdelamanerasegüent:

Definició 64. Sigui Γ un A-autòmatinvolutiuiconnex.Definimla pèrdua de Γ ,designadaper loss(Γ ),comelsuprem(quepotser ∞,si Γ ésinfinit)del nombredeplegamentstancats,pressobreelconjuntdetoteslesseqüències (finites)deplegamentsdeStallingscomençanta Γ .

Observeuquesi Γ ésfinitlestalsseqüènciesdellargadamaximalsón, precisament,lesqueacabenenun Γp determinista;icomque core(Γp) = St( Γ ), totesellestenenelmateixnombredeplegamentstancats,perlaproposició63. Pertant,enelcasfinit,elsupremaladefinicióde loss(Γ ) ésunmàxim,ies prensobretoteslesseqüènciesdeplegamentsdeStallingscomençanta Γ .

Acabemlaseccióambunexempleperail.lustrarqueelcanvidelabase dereferènciapotcanviardràsticamentl’aspectedel’autòmatdeStallings.De fet,entendrecomescomportalafunció St(H,A) St(H,B) (on A, B sónbases de F)ésundelsgransreptesencaraperaclarirdelateoriadeStallings.

Exemple 65 (Exemple 2 2 a[34]). Sigui F3 ungruplliureambbase A ={a,b,c} isigui H = ab,acba .Ésfàcilveureque B ={a,b,c } éstambéunabasede F3,on a = a, b = ab,i c = acba.ElsautòmatsdeStallingsde H respectede A i B estanrepresentatsalaﬁgurasegüent.

4Aplicacions

Enaquestasecciópresentemalgunesdelesaplicacionsmésrellevantsdela teoriadelsautòmatsdeStallings,desenvolupadaalasecció3.Començarem ambalgunsteoremesclàssicssobreelssubgrupsdelgruplliurequeemergeixendeformanatural—devegadescomasimplesreinterpretacions—dels resultatsdelateoriadeStallings,ianiremprogressantcapaaplicacionsmés elaborades,comaraelproblemadelaintersecció,fontd’unadelesqüestions mésfamosesdeldarrersegleenteoriageomètricadegrups.

4.1Estructuradelssubgrups

Talcomhemvistalasecció3,unadelesprimeresaplicacionsdelteoremade Stallings(teorema60)éselteoremadeNielsen-Schreier(teorema56).Fixeu-vos quelabijecció (15) enspermetnonomésgarantirquetotselssubgrupsd’un gruplliuresón,denou,lliures,sinótambédescriureexactament(lesclasses d’isomorﬁade)elssubgrupsd’ungruplliuredonat:comqued’autòmatsde Stallingssobreunalfabetdedueslletresn’hihadequalsevolrangﬁnsa numerable(inclòs),ladescripciósegüentsesegueiximmediatament.

Corollari 66. Sigui Fκ elgruplliurederang κ ∈ [2, ℵ0].Aleshores,peratot cardinal µ ∈ [0, ℵ0] existeixunsubgrup H Fκ talque H Fµ ✷

Enparticular,subgrupsdequalsevolrangfiniti,finsitot,deranginfinit numerablepodenaparèixercomasubgrupsde F2;acontinuaciópresentem dosexemplesclàssicsd’aquestfet.Aquestésuncomportamentradicalment diferentdeldel’àlgebralineal(un K-espaivectorialdedimensió n només conté subespaisdedimensions0, 1,...,n),queconfereixalreticledesubgrupsd’un gruplliureuncertcaràcterfractal.

Exemple 67 Sigui F{a,b} = a,b |− ungruplliurederang2.Aleshores,la clausuranormalde b,designadaper b ,ésunsubgrupde F{a,b} derang infinitambautòmatdeStallings(deranginfinit) St( b ) representatala figura14.Prenentcomaarbregeneradorelmarcatambtraçgruixut(defet, l’únicpossible)obtenimlabase {akba k : k ∈ Z}.

Figura 14: L’autòmatdeStallingsde b F{a,b}

Exemple 68. Unaltreexempletípicéselcommutador H = [F{a,b}, F{a,b}] F{a,b}, i.e.,elsubgrupnormalde F{a,b} generatpertotselselementsdelaforma [v,w] = v 1w 1vw,amb v,w ∈ F{a,b}.Elsubgrup H téranginﬁnitjaque, comtotselssubgrupsnormals,elseuautòmatdeStallings St(H) = Sch(H) éseldigrafdeCayleydelgrupquocient F{a,b}/H Z2,respectedelsgeneradors {[a],[b]}, i.e.,respectedelabasecanònicade Z2:lagraellabidimensional

inﬁnita,ambelsarcshoritzontalsetiquetatsper a,ielsarcsverticalsetiquetats per b;vegeulaﬁgura15.Proposemallectordescriureunabasedelcommutador H apartirdelvostrearbregeneradorpreferit.

15: L’autòmatdeStallingsdelcommutador

4.2Elproblemadelapertinença

Enaquestaseccióestudiaremelproblemadelapertinençaengrupslliuresi hidonaremunasoluciógeneral.Acontinuaciól’enunciemengeneralperaun grupﬁnitamentpresentat G = A | R

Problemadelapertinençaa G = A | R , MP(G). Donadaunafamíliaﬁnita u,v1,...,vk deparaulesenelsgeneradorsde G,decidirsi(l’element g ∈ G representatper) u pertanyalsubgrup v1,...,vk G G;i,encasaﬁrmatiu, trobarunaexpressiópera u comaproductedels v ± i .

Situem-nosalgruplliure FA;elselements u,v1,...,vk sónparaules(que podemsuposarreduïdes,jaquelareduccióéstrivialmentalgorísmica)en l’alfabet A,ihemdedecidirsi u ∈ H = v1,...,vk .

Atalefecte,primercalculeml’autòmatdeStallings St(H) talcomhemvist alaseccióanterior:construïml’autòmatﬂor, Fl(S),depètals S ={v1,...,vk}, ianemfentplegamentssuccessius(enqualsevolordre)ﬁnsaobtenir St(H), Fl(S) = Γ0 Γ1 ···

p 1

p = St(H). (17)

Perlespropietats(i)i(ii)alaproposició51,sabemque St(H) ésunautòmat deterministaquereconeixelsubgrup H.Pertant, u ∈ H siinoméssipodem llegirlaparaulareduïda u comaetiquetad’algun -camía St(H).Però,gràcies aldeterminismede St(H),aixòésmoltfàcildecomprovar:començanta , anemresseguintl’únicpossiblecamíetiquetatambleslletresconsecutives de u = a 1 i1 a 2 i2 ··· a l il ;sienundeterminatpuntnopodemllegirlalletrasegüent,deduïmque u ∈ H;sipodemcompletarlalecturade u ambuncamí quenoacabaa ,deduïmigualmentque u ∈ H;iﬁnalment,sicompletemla lecturade u mitjançantuncamítancatqueretornaa (i.e.,un -camí),concloemque u ∈ H.Donatqueaquestprocedimentcobreixtotselsdesenllaços possibles,aixòenspermetdecidiralgorísmicamentsi u ∈ H.

Figura

Lasegonapartdel’algorismeconsisteixasuposarquelarespostaésafirmativa(i.e.,que u ∈ H itenimaquestaparaularealitzadacoml’etiquetad’un -camíreduït γ al’autòmat St(H)),ibuscarunamaneraefectivad’expressar u entermesdelsgeneradorsoriginals v1,...,vk.Depassada,entendremquan aquestaexpressióésúnicaiquanno.Laideaéslasegüent:anomenem γp = γ il’anem elevantenrere,plegamentaplegament,alllargdelaseqüènciade plegamentsusadaperacalcular St(H),finsaobtenirun -camíreduït γ0 a l’autòmatflor Fl(S) = Γ0:

(S) =

Perunabanda,gràciesalaformadel’autòmat Fl(S),aquestúltimcamí γ0 noés resmésqueunasuccessiódepètalsopètalsinversos,ésadir,uncamíreduït ambetiquetanonecessàriamentreduïdaa (A±)∗ , peròigualaunaparaula reduïdaen v ±1 1 ,...,v ±1 k .Peraltrabanda,fareml’elevació γi+1 γi atravésde cadaplegamentelementaldemaneraqueelresultatsiguiuncamíreduïtamb etiqueta (γi) = ui nonecessàriamentreduïda,peròtalque ui = u;ésadir, representantelmateixelementque u a FA.Pertant,elprocésd’elevacióde γ produiràunaseqüènciadeparaules u = up,up 1,...,u1,u0 ∈ (A±)∗,totes ambetiquetareduïdaiguala u ∈ FA,introduintunaodiversescancel.lacionsa cadapas,demaneraque u0 siguil’etiquetad’un -camíreduïtde Fl(S),ésa dir,uncertproductedels v ±1 i ,queéselqueestembuscant.

Fixem-nos,doncs,enundelsplegamentselementals Γi Γi+1 delaseqüència (17),consideremun -camíreduït γi+1 a Γi+1 (amb ui+1 = (γi+1) ∈ (A±)∗), iestudiemcomfer-nel’elevacióa Γi.Permutantiinvertintlletresde A si cal,podemsuposarqueelplegamentelementalenqüestióconsisteixenla identiﬁcaciódedosarcsdiferents,diguem-ne e1 i e2,talsque ιe1 = ιe2 i (e1) = (e2) = a;vegeulaﬁgura12.

Observeuqueelsautòmats Γi i Γi+1 sónidènticsexcepteenelsdosarcs e1 i e2 (quesóndiferentsa Γi iestanidentiﬁcatsa Γi+1),iexceptepotserenels vèrtexs q1 = τe1 i q2 = τe2 (quesónigualsa Γi+1,i potser diferentsde Γi).Si q1 ≠Γi q2 elplegamentésobert,iencascontraritancat.Aixòésindependent delfetqueelvèrtex p = ιe1 = ιe2 coincideixionoamb q1 i/oamb q2 (ésadir, que e1 i/o e2 siguinonollaços);aquestapossibilitatcomplicalavisualització delprocedimentquefarem,perònoafectaelsarguments.Distingimdoscasos.

• Cas1: Γi Γi+1 ésobert( i.e., q1 ≠Γi q2).Sigui k ≥ 0elnombredevisites delcamíreduït γi+1 alvèrtexidentiﬁcat q1 = q2;cadascunad’aquestes visitess’anomena crítica si γi+1 arribaa q1 = q2 perunarcincidenta q1 en Γi iensurtperund’incidenta q2 (oviceversa).Ésevidentquecada segment γ de γi+1 entrevisitescrítiquesconsecutivesa q1 = q2 s’eleva alcamíidèntic γ de Γi (entenentquecadavisitaal’arcplegat e1 = e2 calsubstituir-laper e1 o e2 segonsquinssiguinelsarcsadjacentsa γi+1; observeuquenoméshihaunapossibilitat).Aixòensdonaunaelevacióde γi+1 aun« -camí»de Γi amblamateixaetiqueta ui+1,peròamb

unadiscontinuïtat(saltantde q1 a q2,oviceversa)percadavisitacrítica de γi+1 alvèrtex q1 = q2.Aquestproblemaelpodemresoldrefàcilment intercalantelsegment e 1 1 e2 (ó e 1 2 e1)percadascunadelesvisitescrítiques,iobtenimaixíel -camíreduït γi a Γi.Amés,comquel’etiqueta d’aquestssegmentsafegitséssempre a 1a,l’etiqueta ui = (γi) serà (γi+1) = ui+1 amb k segments a 1a intercalatsenlesposicionsdeles k ≤ k visitescrítiquesa q1 = q2;enparticular, ui = ui+1 ∈ FA Calesmentarunapossibilitatdegeneradaquepotocórrerquan = q1 = q2 a Γi+1 (i,posempercas, = q1 a Γi).Enaquestasituació,el -camí γi+1 potcomençar(resp.,acabar)ambunarc e incidenta q2:enaquestscasos, calafegirelsegment e 1 1 e2 (resp., e 1 2 e1)alcomençament(resp.,ﬁnal) de γi pertalquel’elevaciórealmentcomenci(resp.,acabi)a ∈ Γi.

• Cas2: Γi Γi+1 éstancat(i.e., q1 =Γi q2).Lanociódevisitacríticaal vèrtex q1 = q2 notésentitjaqueara q1 = q2 tambéa Γi,il’elevació de γi+1 espotferd’unatirada(comsitot γi+1 fosunsolsegmententre visitescrítiques):noméscalconsiderarelmateix -camía Γi utilitzant nomésunqualsevoldelsarcsplegats.Ésmés,hihainﬁnitespossibles elevacionsde γi+1 (a -caminsreduïtsde Γi llegint (γi+1)):percadafactorització γi+1 = γ rγ ,ipercadacamíreduït γ de r a p = ιe1 = ιe2 (resp., a q = τe1 = τe2),podemelevar γi+1 coma γ rγ p(e1qe 1 2 )kp(γ ) 1rγ (resp., γ rγ q(e 1 1 pe2)kq(γ ) 1rγ ),on k ∈ Z \{0}.Espotveureque aquestaéslafamíliadetotesleselevacionspossiblesde γi+1 a -camins reduïtsde Γi llegint ui+1 ∈ FA

Totaquestprocedimentdemostraelresultatsegüent.

Teorema 69. Elproblemadelapertinençaperagrupslliures, MP(FA),ésresoluble. ✷

Podeuveureil.lustrataquestmètodegràﬁcamblaresoluciódel’exemple següent.Proposemallectorelseguimentd’aquestmateixmètodeperdeduir laparaula v1v 1 2 v1(v1v 1 2 )7v 1 3 v 1 2 v3,queal’exemple26enshapermèsd’expressar u entermesde v1, v2, v3 (senseexplicar-nel’origen).

Exemple 70. Sigui F2 elgruplliuresobre A ={a,b} iconsideremelsubgrup H = v1,v2,v3 F2 generatpelselements v1 = a3 , v2 = abab 1,i v3 = a 1bab 1.Decidiusil’element u = a ∈ F2 pertanya H i,encasaﬁrmatiu, expresseu-loentermesde v1, v2, v3.

Percomençar,construïml’autòmat St(H),apartirdelconjuntdegeneradors {v1,v2,v3};aixòestàfetal’exemple61;vegeulaﬁgura13.Observeuqueelprimerpas F Γ1 sónenrealitattresplegamentselementals simultanis(noenscaldràdistinguir-losentreells).Noteutambéquetotsels plegamentsd’aquestaseqüènciasónobertsexcepteun, Γ4 Γ5,queéstancatperquèidentiﬁcados a-llaçosenundesol.D’aquestprocésdeduïmque H = v1,v2,v3 = a,bab 1 ;o,millorencara,que {a,bab 1} ésunabase de H (corresponental’arbremaximal • de Γ6).

D’aquíveiemclaramentque a ∈ H,jaqueésl’etiquetadel -camí γ6 = a1 de Γ6 = St(H),assenyalataldibuixambunalíniadiscontínuadecolorgris:

a1 γ6

Al a-llaçincidenta (i.e.,l’únicarctravessatper γ6)l’hemanomenat a1; ensreferiremalsdiversosarcsdelsautòmats Γi delaseqüènciadeplegaments amblalletradelessevesrespectivesetiquetes(a peralesblaves,i b perales vermelles)iunscertssubíndexsqueaniremdeﬁnintdinàmicament;alsarcsno usatsnoelsassignaremcapnom.

Comaprimerpas,elevemelcamí γ6 atravésdel’últimplegament Γ5 Γ6: comque γ6 novisitaelvèrtexidentiﬁcat,s’elevaal -camí γ5 = a1 de Γ5 (on, ambunpetitabúsdellenguatge,tornemadir a1 al’arccorresponentde Γ5): a1 γ5

Observeuaraelplegament Γ4 Γ5,queéstancat;permantenirunanotació coherent,anomenem a11 i a12 elsdos a-llaçosde Γ4 queespleguenen a1.Per elevar γ5 al’autòmat Γ4,lamaneraméssenzillaésusantundelsdos a-llaços plegats,perexemple, γ4 = a11:

11 a12

(Hiha,però,altresmaneresdefer-ho, γ4 = a12, γ4 = a11a12a 1 11 , γ4 = a11a 1 12 a11,etc).Elpassegüentésl’elevacióa Γ3:designemper a121 i a122 elsdos a-arcsde Γ3 queespleguensobre a12,ielevemelcamí γ4 a γ3 = a11a 1 122a121: a11

3 a121 a122

Anomenant a1211 i a1212 elsdosarcsde Γ2 queespleguensobre a121,el camí γ3 s’elevaa Γ2 coma γ2 = a11a1211a 1 1212a 1 122a1211: a11 a1211 a122 a1212 γ2

Elpassegüentéselevar γ2 a Γ1 coma γ1 = a111a1211a 1 1212a 1 122a 1 112a111a1211:

Finalment,sidesignemper a2, b1,i b2 elsarcsde Γ1 encaranousats,i mantenimelconvenidenotacióperalsarcscorresponentsde Γ0 =F ,podem elevar γ1 a

= a

Assenyalantambparèntesislesvisitescompletesacadapètalopètalinvers (marcadesperlesvisitesde γ0 a )obteniml’expressiódesitjadade u = a en termesde v1, v2, v3: a = (abab 1)(ba 1

= = v2v 1 3 v 1 1 v2v 1 3 .

Comhemcomentatmésamunt,leselevacionsatravésdeplegamentsoberts sónúniques,peròl’elevacióde γ5 atravésdelplegamenttancat Γ4 Γ5 té diversespossibilitats(queacabaranenresultatsdiferents, i.e.,enexpressions alternativesde u = a entermesde v ±1 1 , v ±1 2 , v ±1 3 ).Convidemellectoraprendre γ4 = a12 enllocde γ4 = a11,iacalcularlasevaelevacióﬁnsa Γ0 perobtenirla novaexpressió a = (a 1bab 1)(ba 1b 1a 1)(aaa) = v3v 1 2 v1.

Elfetdepoderobtenir a entermesde v ±1 1 , v ±1 2 , v ±1 3 de duesmaneres diferents, v2v 1 3 v 1 1 v2v 1 3 = a = v3v 1 2 v1,ensconﬁrmaelfetque {v1,v2,v3} generen H,però nosónunconjuntlliure (vegeuladeﬁnició2).Ditd’unaaltra manera, v2v 1 3 v 1 1 v2v 1 3 v 1 1 v2v 1 3 = 1ésunarelaciónotrivialentreelstres generadors v1, v2, v3 de H.

4.3Generadors,basesirang

Comencemrecordantquelaproposició54garanteixlacomputabilitatd’una baseperqualsevolsubgrupde FA apartird’unconjunt ﬁnit degeneradors.

Corol.lari 71. Si S ésunconjuntﬁnitd’elementsd’ungruplliure FA,aleshores unabase(i,pertant,elrang)de S FA éscomputable.Mésconcretament, rk(S) = 1 #VΓ + #E+Γ ,on Γ = St(S).

Moltsaltresresultatsfonamentalssobrebasesde(subgrupsde)grupslliures esderivenfàcilmentdelaconstrucciódeStallings.L’observaciósegüentens portaràalaimportantpropietatdehopﬁanitatdelsgrupslliures.

Sigui Γ un A-autòmatinvolutiu,finit,iconnex,isigui Γ φ Γ unplegament elemental.Elcorresponentmorfismed’autòmats φ : Γ Γ indueixunmorfismeexhaustiudegrups φ : π(Γ ) π(Γ ), [γ] [γφ] talque φ Γ = Γ .A més,ésfàcilveureque,sielplegamentésobert,llavors φ ésbijectiu,mentre quesiéstancat(posempercas,amb e1, e2 ∈ EΓ elsdosarcsques’identifiquen a Γ , p = ιe1 = ιe2, q = τe1 = τe2,i (e1) = (e2) ∈ A±),llavors ker φ està generat,comasubgrupnormalde π(Γ ),perl’element [ηpe1qe 1 2 pη 1],on η ésuncamíqualsevola Γ de a p

L’enunciatsegüentmostracomlateoriadesenvolupadacapturageomètricamentelsdosingredients(algebraics)deladeﬁnicióelementaldebase (deﬁnició2).

Proposició 72. Sigui S ⊆ FA.Aleshores, (i) S genera FA siinoméssi St(S) =BA; (ii) S ésunafamílialliurede FA siinoméssi loss(Fl(S)) = 0;i,enaquestcas, rk(S) = #S.

Ambduescondicionssónalgorísmicamentdecidiblessi S ésﬁnit.

Prova. L’apartat(i)ésclarjaque St(FA) =BA. Perveurel’apartat(ii)distingimdoscasos.Si S ésfinit,considereml’autòmat flor Fl(S),iunaseqüènciaqualsevoldeplegamentselementalsfinsaobtenir St(S),

(S) =

p = St(S).

Componentels corresponentsmorﬁsmesobtenimeldiagramacommutatiu

Γ0)π(

1) ·· ·

(19) on rk(π(Γ0)) = #S,amb(lesclassesde)elspètalscomabase;ion p és bijectiujaque Γp ésdeterminista.Si loss(Fl(S)) = 0,totselsplegaments sónoberts,cadascundelsmorﬁsmes φ1,...,φp ésbijectiuiconcloemque

0 = φ1 ··· φp p éstambébijectiu;pertant, S estàlliurementgeneratper

lesetiquetesdelspètalsde Fl(S),ésadir,per S.Recíprocament,si S ésuna famílialliured’elementsde FA,llavors S ésbasede S FA,ielmorﬁsme 0 ésbijectiu;lacommutativitatdeldiagramaanteriorimplicaaleshoresque φ1,...,φp sóntotsbijectiusi,pertant,totselsplegamentsdelaseqüència sónoberts;enconseqüència,loss(Fl(S)) = 0.

Finalment,suposemque S ésinfinit.Si S noésunafamílialliure,llavors existeixunsubconjuntfinit S0 ⊂ S quetampocnoéslliurei,aplicantelcas finit,deduïmque loss(Fl(S)) ≥ loss(Fl(S0)) ≥ 1.Recíprocament,si S ésuna famílialliure,totasubfamíliafinita S0 ⊆ S tambééslliurei,aplicantelcas finit,loss(Fl(S0)) = 0;pertant,capseqüènciafinitadeplegamentselementals començanta Fl(S) (queinvolucraràforçosamentunnombrefinitdepètals)no potcontenirunplegamenttancat;ésadir,loss(Fl(S)) = 0. ✷

Noteuqued’aquestresultatse’nsegueixunaprovaalternativaperala proposició17:si B ésunabasede FA,aleshores loss(Fl(B)) = 0i St(B,A) = BA;pertant,#B = rk(Fl(B)) = rk(St(B,A)) = rk(BA) = #A.Tambéenpodem deduirlaimportantpropietatdehopﬁanitatdelsgrupslliuresﬁnitament generats:

Teorema 73. Elgruplliure Fn és hopﬁà:totendomorﬁsme ϕ : Fn Fn exhaustiuésautomàticamentinjectiu.(Equivalentment, S ⊆ Fn ésbasede Fn siinomés si S = Fn i #S = n.)

Prova. Denou,lademostracióésimmediatadelateoriadeStallings:si S = Fn i#S = n,aleshores St(S) =Bn,irk(Fl(S)) = n.Pertant,

loss(Fl(S)) = rk(Fl(S)) rk(St(S)) = n n = 0 (20) i,perlaproposició72(ii),tenimque S ésunafamílialliure;pertant, S ésbase de Fn. ✷

D’acordambl’observació6,italcomsucceeixals K-espaisvectorials,les basesdegrupslliures F sónsempreconjuntsminimalsdegeneradors.El recíproc—tambécertals K-espaisvectorials—ésfalsalsgrupslliures,ﬁnsala màximadegeneraciópossible.

Lema 74. Existeixenconjuntsdegeneradorsminimalsde Fn, n ≥ 1,dequalsevol cardinalitatﬁnita m ≥ n.

Prova. Aquestcomportamentjaespotobservara Z = F1 perraonspurament aritmètiques:consideremunconjuntdenúmerosprimers {p1,...,pm} diferentsdosados,iprenem S = i≠j pi : j = 1,...,m ;clarament mcd(S) = 1 i,pertant, S = Z.Però mcd S \ i≠j pi = pj i,pertant, S \ i≠j pi = pj Z≠Z.

UsantlateoriadeStallingspodemconstruirexemplesméssoﬁsticats.Per exemple,algrup F{a,b} considereulafamíliad’autòmatsinvolutius Γk, k ≥ 2, representadaacontinuació:

Prenentcomaarbregeneradoreldonatpelsarcsrepresentatsentraç gruixutobtenimelconjuntdegeneradors:

Sk ={aba 1,akbab 1a 1b 1ak 1,akba 1ba 2b 1a k}∪ ∪{aiba 1b 1a (i 1) : i ∈ [2,k 1]} (decardinal k + 1)pera Γk .Observem,però,que Γk noésdeterminista(ho seriasenseundelsdos a-arcssortintde )ique,fent-liplegamentsdeStallings, col.lapsaﬁnsalarosa B{a,b}.Pertant, Sk = Γk = F{a,b} i,peratot k ≥ 2, Sk ésunafamíliade k + 1generadorsde F{a,b}.Arabé,sieliminemunqualsevol delsgeneradorsde Sk (equivalentment,sieliminemde Γk l’arccorresponent foradel’arbregenerador),elprocésdeplegamentsquedabloquejatjustament al’arceliminatis’obtéun A-autòmatdeterministadiferentde B{a,b}.Pertant, Sk ésunsistemadegeneradors minimal de F{a,b},decardinal k + 1. ✷

Fixeu-vos,ﬁnalment,quelafamília Sk tambéserveixcomacontraexemple algruplliuredelapropietatfonamentalenàlgebralinealquetotafamíliade generadorscontéunabase.

4.4Conjugacióinormalitat

Undelsconceptesfonamentalsenteoriadegrupséselde conjugació:si G és ungrup,esdiuquedoselements g,g ∈ G (resp.,subgrups H,H G)són conjugats,iescrivim g ∼ g (resp., H ∼ H )siexisteixunelement z ∈ G tal que z 1gz = g (resp., z 1Hz = H ).Aleshoresdiemque g (resp., H )és g (resp., H) conjugatper z,iescrivim g = gz = z 1gz (resp., H = Hz = z 1Hz).

LateoriadeStallingspermetcaracteritzarlaconjugaciódesubgrupsde formamolttransparent.

Lema 75. Siguin H unsubgrupde FA,i w ∈ FA.Aleshores, St(Hw ,A) éselcor del’autòmat SchHw (H,A) obtingutcanviantelpuntbasede Sch(H,A) per Hw.

Prova. Ésclardelaproposició47iladeﬁnició34que SchHw (H,A) ésun A-autòmatinvolutiu,determinista,saturaticonnexquereconeixelsubgrup Hw . Elresultatsesegueiximmediatamentdelcorol.lari52(ii). ✷

Comaconseqüènciadellemaanteriorobtenimlasegüentcaracterització gràﬁcadelaconjugaciódesubgrupsalgruplliure,queésòbviamentdecidible encasqueelssubgrupssiguinﬁnitamentgenerats.

Proposició 76. Siguin H i K dossubgrupsde FA.Aleshores, H i K sónconjugats siinomessi St∗(H) = St∗(K)

Prova. Observeuque,perconstrucció, St(H) coincideixamb St∗(H) reintroduintelpèl(eventualmentbuit)ﬁnsa H

Suposemque St∗(H) = St∗(K).Reintroduïma St∗(H) = St∗(K) elsdospèls ﬁnsalsvèrtexs H i K isigui w l’etiquetad’uncamíreduïtqualsevolde H a K .Ésfàcilveureque Hw = K;pertant, H i K sónconjugats.

Recíprocament,suposemque Hw = K peralgunaparaula(reduïda) w ∈ FA Sigui γ l’úniccamípossiblea St(H) començanta H illegint w:launicitat ésclarapeldeterminismede St(H);isinon’existeixcap,afegima St(H) el pèlnecessariperapodercompletar γ.Declarem τγ comanoupuntbase,i designemper Γ l’autòmatobtingut.Perconstrucció, core∗(Γ ) = core∗(St(H)) = St∗(H) ésdeterminista,i Γ = w 1 St(H)w = Hw = K.Pertant, core∗(Γ ) = core∗(St(K)) = St∗(K),d’ondeduïm St∗(H) = St∗(K). ✷

Observeuque,encasque H i K siguinﬁnitamentgeneratsiconjugats,la demostracióanteriorproporciona,amés,unmètodeperacalcularefectivament unconjugador w.Aixòdemostraque

Corol.lari 77. Elproblemadelaconjugaciódesubgrups SCP(F) ésdecidibleperagrupslliures:existeixunalgoritmeque,donatsdossubconjuntsﬁnits S1,S2 ⊆ F,decideixsielscorresponentssubgrupsgeneratssónconjugatsi, encasaﬁrmatiu,retornaunelementconjugador.

Recordemqueunsubgrup H d’ungrup G esdiu normal (a G),designat H G,siinoméssi Hg = H,peratot g ∈ G.Dellema75tambésesegueix fàcilmentunacaracteritzaciógràﬁcadenormalitatenelgruplliure(ilaseva decidibilitatenelcasﬁnitamentgenerat).

Proposició 78 Sigui H ≠ 1 unsubgrupde FA.Aleshores,elsenunciatssegüents sónequivalents:

(a)Hésnormala FA;

(b) Sch(H) ésvèrtex-transitiu;17

(d) St(H) ésvèrtex-transitiuisaturat.

Prova. L’equivalènciaentre(a)i(b)sesegueixclaramentdelesdeﬁnicionsa travésdellema75.Concretament,peratot w ∈ FA:

Hw = H Sch(Hw ) = Sch(H) SchHw (H) = Sch(H).

Lainterpretaciódel’esquerracorresponalanormalitatde H,mentrequela deladretacorresponalavèrtex-transitivitatde Sch(H).

17 Un A-autòmat Γ és vèrtex-transitiu siperaqualsevolparelldevèrtexs, p, q de Γ ,existeixun automorﬁsme de A-digrafsetiquetats (ésadir, respectantlesetiquetesdelesarestes i ignorantel puntbase)de Γ queenvia p a q.(Informalment,si«Γ téelmateixaspectevistdesdequalsevol vèrtex»).

Perveurel’equivalènciaentre(b)i(c)éssuﬁcientveureque(b)implica(c).En efecte,si Sch(H) ésvèrtex-transitiu,aleshoreshadesercorjaque,clarament, noexisteixcapautomorﬁsmede A-autòmats Γ enviantunvèrtexdelcorde Γ (i,pertant,pertanyentaun -camíreduïtde Γ )aunvèrtexforadelcorde Γ (i, pertant,nopertanyentacap -camíreduitde Γ ).

Finalment,l’equivalènciaentre(c)i(d)ésconseqüènciaimmediatadela proposició51(iii). ✷

Observació 79 Totiqueperdecidirsiunsubgrupfinitamentgenerat H FA ésnormal,n’hihaproudecomprovarsielsconjugatsdelsgeneradorsper leslletresde A± tornenapertànyera H (unnombrefinitd’instànciesdel problemadelapertinença),laproposicióanteriorensdonaunacaracterització gràficamoltnaturalperalanormalitat,quetambéespotusarperadonarun algorismealternatiuperdecidirlanormalitatde H.

4.5Elproblemadel’índex

Recordemque,si H ésunsubgrupd’ungrup G,aleshores G sempreadmet unapartició G = i∈I Hgi,on gi ∈ G.Elsconjunts Hgi s’anomenen classes laterals(perladreta) de H a G;elcardinaldelconjuntdeclasseslaterals H\G ={Hgi : i ∈ I} s’anomena índex de H en G,iesdesignaper |G : H|;es diutambéque {gi}i∈I ésuna famíliaderepresentants (o transversal)deles classeslaterals(perladreta)de H en G.

EnaquestaseccióusaremelsautòmatsdeStallingsperaestudiarqüestions relativesal’índexdelssubgrupsdelsgrupslliures,iresoldremelproblemade laﬁnituddel’índex,queenunciemengeneralacontinuació.

Problemadelafinituddel’índexa G = A | R , FIP(G) Donadaunafamíliafinita v1,...,vk deparaulesenelsgeneradorsde G,decidirsielsubgrup v1,...,vk G ésd’índexfinita G i,encasafirmatiu,calcularaquestíndexi unafamíliaderepresentantsdelescorresponentsclasseslaterals.

Recordem(deﬁnició45)queelsvèrtexsdel’autòmatdeSchreier Sch(H) sónprecisamentlesclasseslateralsperladretade H a F,ésadir, |F : H|= #VSch(H);iobservemquel’apartat(vi)delaproposició51prenlaforma següentperasubgrupsﬁnitamentgenerats.

Corol.lari 80. Sigui H unsubgrupﬁnitamentgeneratd’ungruplliure F.Aleshores,l’índex |F : H| ésﬁnitsiinoméssi St(H) éssaturat;enaquestcas, |F : H|= #VSt(H) ✷

Comaprimeraconseqüènciapodemdeduirque Fn téunaquantitatfinita desubgrupsd’uníndexfinit k donat(vegeu[21]peraunafórmularecurrent quecomptaaquestnombredesubgrups).D’aquíesdedueixfàcilmentelmateix resultatperaqualsevolgrup G finitamentgenerat.

Corol.lari 81 Sigui G ungrupﬁnitamentgenerat.Peratot k ≥ 1, G conté unaquantitatﬁnitadesubgrupsd’índex k.

Exemple 82. AcontinuaciórepresentemelsautòmatsdeStallingsdels13subgrupsd’índex3de F2 = a,b |− (amblescorresponentsclassesdeconjugació encercladesengris).Òbviament,elssubgrupsnormalscorresponenalesclasses ambunúnicrepresentant.

Figura 16: Els13 subgrupsd’índex3de F2 = a,b |− .

Delcorol.lari80sesegueiximmediatamentelresultatsegüent.

Teorema 83. Elproblemadelaﬁnituddel’índexperagrupslliures, FIP(F),és computable.

Prova. Ladecidibilitatde FIP(F) ésconseqüènciadelcorol.lari80idelacomputabilitatde St(H) enelcasﬁnitamentgenerat.

Suposemaraque St(H) éssaturatiﬁnit.Peracalcularunafamíliade representantsdelesclassesperladretamòdul H,noméshemd’observarque, al’autòmat St(H) = core(Sch(H)) = Sch(H),qualsevolcamí γ ambinici té laforma (13) i,pertant,compleix τγ = Hw,on w = (γ) ∈ FA.Pertant, podemformarunafamíliaderepresentantsdelesclasseslateralsperladreta mòdul H simplementprenentuncamíqualsevoldelpuntbase acadascun delsvèrtexsde St(H).Unamanerasistemàticadefer-hoéscalcularunarbre generador T de St(H),iprendrelesetiquetesdeles T -geodèsiquesde acada vèrtex: { (T[,p]) | p ∈ VSt(H)} ésunafamíliaderepresentantsdelesclasses lateralsperladretamòdul H,ésadir,

H\FA = p∈VSt(H) H (T[,p]). (21)

Òbviament,l’índex |F : H| éselcardinal(ﬁnit)d’aquestconjunt.Aixòresol completamentelproblemadelaﬁnituddel’índexperagrupslliures.(Sivolem representantsdelesclassesperl’esquerra,noméshemd’invertirlesparaules obtingudes,jaque (Hw) 1 = w 1H 1 = w 1H.) ✷

Exemple 84 Sigui F2 elgruplliuresobre A ={a,b} iconsideremelsubgrup H = v1,v2,v3,v4 F2 generatpelselements v1 = a, v2 = b2 , v3 = ba2b 1 ,

i v4 = baba 1b 1.Perdecidirsi H ésd’índexﬁnita F2 calculem St(H) apartir del’autòmatﬂor Fl({v1,v2,v3,v4}),talcomhemexplicatalteorema53.El resultatésl’autòmatsegüent:

Comqueelstresvèrtexsde St(H) tenenun a-arcentrantiundesortint, iun b-arcentrantiundesortint,l’autòmat St(H) éssaturati,pertant, H és d’índexﬁnita F2,concretamentd’índex#VSt(H) = 3.Prenentcomaarbre generadoreldonatpelsdosarcsdibuixatsambtraçgruixut,obtenim {1,b,ba} comaconjuntderepresentantsdelesclassesperladretamòdul H,ésadir, F2 = H Hb H(ba)

Comveiemacontinuació,laconegudafórmuladeSchreier,querelaciona l’índexd’unsubgrupd’índexﬁnitambelseurang,tambéesdedueixdeforma transparentdelateoriadeStallings.

Teorema 85 (FórmuladeSchreier). Sigui Fκ elgruplliurederang κ,isigui H Fκ unsubgrupd’índexfinit.Aleshores, rk(H) 1 =|Fκ : H|(κ 1).En particular,unsubgrupd’índexfinitésfinitamentgeneratsiinoméssielrang ambient κ ésfinit.

Prova. Perlaproposició51(vi),si H ésd’índexﬁnit,llavors St(H) és2κ-regular i#VSt(H)< ∞.Pertant, rk(St(H))< ∞ (i.e.,hihaunnombreﬁnitd’arcsfora dequalsevolarbregenerador)siinoméssi κ< ∞.Enparticular,si κ =∞ llavorsrk(H) =∞ ijahemacabat.

Suposemara κ< ∞.Sabemque H ésfinitamentgenerati,pertant, St(H) ésfinit.Sigui T unarbregeneradorde St(H);talcoms’hademostratalfinalde laprovadelteorema53, H téunabasede#(E+St(H) \ ET) elements;pertant,

rk(H) 1 = #(E+St(H) \ ET) 1 = #E+St(H) #ET 1 = = #E+St(H) #VT = κ#VSt(H) #VSt(H) = =|Fκ : H|(κ 1),

onlapenúltimaigualtatprovéde2κ #VSt(H) = 2#E+St(H),obtingutsumant elsgrausdetotselsvèrtexs. ✷

Combinantlescaracteritzacionsgràﬁquesd’índexﬁnit(corol lari80)inormalitat(proposició78),arribemaunamenaderecíprocdellemadeSchreier perasubgrupsnormalsnotrivialsdelgruplliure.

Corol.lari 86 Unsubgrupnormalnotrivial H de Fn ésﬁnitamentgeneratsii noméssitéíndexﬁnit. ✷

Corol.lari 87. Unsubgrupnormalnotrivial H de Fℵ0 tésempreranginﬁnit.✷

Acabemaquestaseccióambunademostraciógràﬁcaparticularmentnetad’unresultatclàssicdeMarshallHall,Jr.,quemostraespecialmentbéla potènciadel’enfocamentgeomètricperobtenirresultatsalgebraics.

Recordemque,donats H i K subgrupsd’ungruplliure F,esdiuque H és factorlliure de K,ihodesignemper H ﬀ K,siunabase(i,pertant,totes lesbases)de H espotampliaraunabasede K.Observeutambéque,si ∆ és unsubautòmatde Γ ,aleshores ∆ ésunfactorlliure Γ (ampliantunarbre generadorde ∆ aunarbregeneradorde Γ ).

Unresultatbensabutd’àlgebralinealdiuque,donatunespaivectorial E iun subespaiseu F E,totabasede F espotampliaraunabasede E (tècnicament, aixòcorresponalfetque F ésunsumanddirectede E,nociódelaqualels factorslliuressónlageneralitzacióaambientsnocommutatius).Elresultat corresponentenungruplliureésfals:sabemque Fn tésubgrups H derang superiora n (finsitotderanginfinit)que,clarament,noenseranfactors lliures, H ff Fn.ElclàssicteoremadeMarshallHall,Jr.ensdiuqueunresultat d’aquestanaturalesasíqueéscert,siensrestringimasubgrupsfinitament generats,icanviem Fn perunsubgrupd’índexfinitadequat.

Teorema 88 (M.Hall,Jr.[22]). Si H ésunsubgrupﬁnitamentgeneratde FA, aleshores H ésunfactorlliured’unsubgrupd’índexﬁnitde FA;ésadir:

H fg F ⇒∃K : H ﬀ K ﬁ F. (22)

Prova. Si H jaésd’índexfinita FA,elresultatésobvi.Encascontrari,sabemque St(H) ésun A-autòmatfinitiinsaturat.Araéssuficientadonar-se delsegüentfetpuramentgeomètric:18 enun A-autòmatinvolutiuifinit,per atot a ∈ A, defa(Γ ) = defa 1 (Γ ).Pertant,noméscaldràsaturar St(H) aparellant,percada a ∈ A,elsvèrtexs a-deficientsambels (a 1)-deficients,i afegintun a-arcdelsprimersalssegons.L’autòmat Γ obtingutésfinitisaturat(pertant,reconeixunsubgrupd’índexfinit)iconté St(H) comasubautòmat. Pertant, H = St(H) ff Γ ,talcomvolíemdemostrar.Noteuquel’aparellamentdevèrtexsdeficientsde St(H) espotfer,engeneral,dediversesmaneres i,pertant,elsubgrupobtingut K noésúnic,engeneral.

Exemple 89. Sigui H = a 1b,ab2,a 2b4,a 2baba 1b 1a2 F{a,b}.Pera obtenirunsubgrupd’índexfinitde F{a,b} delqual H siguifactorlliure,és suficientcalcular St(H) (entraçcontinualafigura17)icompletar-loaun autòmatsaturat(perexemple,talcoms’indicaambtraçdiscontinu).L’autòmat obtingutreconeixunsubgrup K d’índex6a F{a,b} queconté H comafactor lliure.

18Estractad’unaadaptaciónaturaldelbenconegut handshakinglemma

Figura 17: Exempledelteorema88(MarshallHall,Jr.).

4.6Elproblemadelaintersecció

EnaquestadarreraseccióusaremelsautòmatsdeStallingsperaresoldreel problemaproposatal’exemple27:elproblemadelaintersecciódesubgrups.

Recordemqueexisteixengrups G quecontenenparellesdesubgrups H,K G finitamentgeneratsambintersecció H ∩ K nofinitamentgenerada(a[9]i[14] trobareuexemplesrelativamentsenzillsdegrupsd’aquesttipus;analitzats, amés,usantgeneralitzacionsdelestècniquesgràfiquesqueexpliquemen aquestasecció).A.G.Howsonvaestudiaraquestfenomenenelgruplliureiel seunoms’usaperareferir-sealsgrupsquenotenenaquestcomportament «estrany»:ungrup G esdiuquetéla propietatdeHowson (oqueés Howson)sila intersecciódequalssevoldossubgrupsfinitamentgenerats H,K G éssempre finitamentgenerada(perinducció,elmateixéscertllavorsperainterseccions d’unaquantitatfinitadesubgrups).Peraungrupqualsevol G = A | R té sentit,doncs,plantejar-seelproblemadedecisiósegüent:

Problemadelaintersecciódesubgrupsa G= A | R , SIP(G). Donadesdues famíliesfinitesdeparaulesenelsgeneradorsde G, u1,...,uk; v1,...,vl ∈ (A±)∗ , decidirsilaintersecciódelscorresponentssubgrupsgenerats u1,...,uk ∩ v1,...,vl (a G)ésfinitamentgeneradai,encasafirmatiu,calcular-neun sistemadegeneradors.

Al’article[23],Howsonvademostrarqueelsgrupslliuressatisfanlapropietatqueportaelseunom.Acontinuació,veuremcomelsautòmatsdeStallings aportenunademostraciógràficamoltnetaitransparent(i,amés,constructiva!) d’aquestfetremarcable:delamateixademostracióensortiràunamanera efectivadecalcularunabaseperalaintersecció,iunafitasuperiorperalrang de H ∩ K entermesdelsrangsde H ide K:lafamosaconjecturadeHanna Neumann,resoltarecentment,delaqualparlaremalfinaldelasecció.

Definició 90 Siguin Γ1 = (V1, E1,ι1,τ1, 1, 1) i Γ2 = (V2, E2,ι2,τ2, 2, 2) dos A-autòmats.El producte19 de Γ1 i Γ2,designatper Γ1 × Γ2,ésel A-autòmatamb:

• conjuntdevèrtexselproductecartesià V1 × V2;

• unarc (p1, p2) a (q1, q2) peracadaparelld’arcs p1 a q1 a Γ1,i p2 a q2 a Γ2 amblamateixaetiqueta a ∈ A;

19O pull-back,enterminologiacategòrica.

• lesfuncionsnaturals ι, τ, comafuncionsd’incidènciaid’etiquetatge;

• vèrtexbase = ( 1, 2); vegeulaﬁgura18.

Figura 18: Esquemadelproducte(enblau)dedos A-autòmats(ennegre).

Pertant, Γ1 × Γ2 noésresmésqueelproductetensorialocategòric20 de Γ1 i Γ2, respectantlesetiquetesdelsarcs (i.e.,noaparellantmaiarcsambetiquetes diferents).Ambunexemples’enténclaramentelfuncionamentd’aquesta operacióbennaturalentre A-autòmats.

Exemple 91. Consideremelssubgrups H= b,a3,a 1bab 1a i K= ab,a3,a 1ba de F{a,b}.Alaﬁgura19podemveurel’autòmat St(H) dibuixatalapartesquerra (enformatvertical),l’autòmat St(K) dibuixatalapartsuperior(enformat horitzontal),ielproducte St(H) × St(K) alapartcentral(ireorganitzat,ala dreta).

Figura 19: Productedels autòmats St(H) i St(K)

Laproposiciósegüentreculllespropietatsprincipalsd’aquestproducte d’autòmats,queelrelacionenmoltdepropamblaintersecciódesubgrups.

Proposició 92 Siguin Γ1 = (V1, E1,ι1,τ1, 1, 1) i Γ2 = (V2, E2,ι2,τ2, 2, 2) dos A-autòmats.Aleshores, 20Vegeu https://en.wikipedia.org/wiki/Graph_product

(i)peratot (p, q) ∈ Γ1 × Γ2,tenim 0 deg(p, q) min{deg(p), deg(q)}; (ii) si Γ1 i Γ2 sóndeterministes,llavors Γ1 × Γ2 tambéésdeterminista,i,ental cas, Γ1 × Γ2 = Γ1 ∩ Γ2 ;

(iii)encaraque Γ1 i Γ2 siguinconnexos, Γ1 × Γ2 potnoserconnex; (iv)encaraque Γ1 i Γ2 siguincor, Γ1 × Γ2 potnosercor.

Prova. (i).Ésclardeladeﬁnició90,jaquetot a-arcsortintde (p, q) ∈ V(Γ1 ×Γ2) corresponaun a-arcsortinttantde p ∈ VΓ1 comde q ∈ VΓ2.

(ii).Queelproducted’autòmatsdeterministesés,denou,determinista ésclardeladeﬁnició.Suposemque Γ1 i Γ2 sóndeterministes;aleshores,si w ∈ Γ1 × Γ2 ,hihaun -camíreduïta Γ1 × Γ2 ambetiqueta w;projectant-lo alaprimeraialasegonacoordenades,obtenim -caminsreduïtsa Γ1 ia Γ2, respectivament,llegintigualment w;pertant, w ∈ Γ1 ∩ Γ2 .I,recíprocament, si w ∈ Γ1 ∩ Γ2 ,aleshoreshiha -caminsreduïtsa Γ1 ia Γ2,respectivament, ambdósllegintlaparaula w;«cosint-los»arcperarc,obtenimun -camíreduït a Γ1 × Γ2 quellegeix w i,pertant, w ∈ Γ1 × Γ2 (iii)i(iv).Elssubgrups H = a2,b i K = b,aba 1 de F{a,b} serveixende contraexemple(deixemallectorelcàlculdelsrespectiusautòmatsdeStallings, idelseuproducte). ✷

Corollari 93. Per H,K FA,tenim St(H ∩ K) = core(St(H) × St(K)). ✷

Combinatamblaproposició54,aixòensdemostralapropietatdeHowson, laﬁtadeHannaNeumann,iensresolelproblemadelainterseccióperagrups lliures.Deﬁnimel rangreduït d’ungruplliure Fn com rk(Fn) = max{0,n 1}, ésadir, rk(Fn) = n 1excepteperalgruptrivial,perlaqualcosaposem rk(1) = 0(enllocde 1).

Teorema 94 (Howson,[23];H.Neumann,[38]). Elsgrupslliures F (dequalsevolrang)sónHowson.Amés,si H,K fg F,aleshores rk(H ∩ K) ≤ 2rk(H)rk(K).

Prova. Observeuque,comquelapropietatdeHowsonnomésinvolucrasubgrupsfinitamentgenerats,éssuficientdemostrar-laquanl’ambient F ésderang finit,cosaqueassumiremdurantlademostració.Si H,K Fn sónfinitament generats,aleshores St(H) i St(K) sónfinits,ipertant, St(H) × St(K) tambéserà finit,d’on(perlaproposició92(ii))esdedueixque H ∩ K tornaaserfinitament generada.Enconseqüència, Fn (i,pertant,totgruplliure)ésHowson.

Perveureladesigualtat,observemprimerque,si Γ ésungrafconnexiﬁnit, i ∆ éselgrafobtingutdesprésd’eliminarsuccessivamentvèrtexsdegrau1(i lescorresponentsarestesincidents),aleshores rk(∆) = rk(Γ ).D’altrabanda, perlaproposició92(i),sideg(p) ≥ 2ideg(q) ≥ 2,aleshores

deg(p, q) 2 ≤ (deg(p) 2)(deg(q) 2). (23)

Ésclarqueenspodemrestringiralcas H,K,H ∩ K ≠ {1}.Siguinara ΓH = St(H), ΓK = St(K), Γ lacomponentconnexade ΓH × ΓK quecontéelpunt base,i Γ ∗ H , Γ ∗ K i Γ ∗ ⊆ Γ ∗ H × Γ ∗ K elsrespectiuscorsreduïts.Comque Γ ∗ tétots elsvèrtexs (p, q) degrau2osuperior(i,pertant, p i q també),usantles observacionsanteriors,l’equació6ilespropietatsdelcorreduïtobtenim:

(H ∩ K) 1

) 2)) = = 2(rk(H) 1)(rk(K) 1).

Ambunademostracióunamicaméstècnicaespotveureunadesigualtat mésforta,quevademostrarWalterNeumanna[39]: w∈

on Hw = w 1Hw,ielsumatorirecorretotsels w d’untransversalqualsevol delconjuntdeclasseslateralsdobles H\FA/K ={HwK | w ∈ FA} (espotveure queelssumandsnonulsescorresponenbijectivamentamblescomponents connexesnoarbreinocícliquesdelproducte St(H) × St(K)).

Arribatsaaquestpunt,ésobligatmencionarqueHannaNeumannprimer (sobreladesigualtatalteorema94)iWalterNeumannméstard(sobrela desigualtat (24))vanconjecturarqueelfactor«2»espoteliminardelesﬁtes respectives.Aquestessónlesfamoses«conjecturadeHannaNeumann»i«conjecturafortadeHannaNeumann»,21 demostrades(independentmentiquasi simultània)fapocsanysperJ.FriedmaniI.Mineyev;vegeu[18],[36],iles remarcablessimpliﬁcacionsobtingudesperW.Dicks,a[18,apèndixB]ia[17], respectivament.

Teorema 95 (J.Friedman[18]iI.Mineyev[36]). Sigui F ungruplliurei H, K subgrupsﬁnitamentgeneratsde F.Aleshores, w∈H\FA/K rk(Hw ∩ K) ≤ rk(H)rk(K).

Comjahemjustiﬁcat,latècnicadelproducted’autòmatstambéenspermet resoldreelproblemadelaintersecció.

Teorema 96. Elproblemadelaintersecciódesubgrupsperagrupslliures, SIP(F),ésresoluble. ✷

21Enanglès, HannaNeumannconjecture i StrenghtenedHannaNeumannconjecture

Exemple 97. Comaexemple,acabemelcàlculcomençatal’exemple27.Es tractavadecalcularlainterseccióde H = u1,u2,u3 i K = v1,v2,v3 donatsperlesparaules u1 = b, u2 = a3 , u3 = a2bab 1a, v1 = ab, v2 = a3,i v3 = a 1ba,comasubgrupsde FA, A ={a,b}.Asimplevistajahemtrobat elselements a3,b 1a3b,a 1ba3b 1a ∈ H ∩ K;perònoquedavagensclar siaqueststreselementsgeneren H ∩ K,oenfaltendeméscomplicatsper descobrir.

Al’exemple91hemcalculat St(H), St(K) i St(H) × St(K).Comqueaquest últimjaésconnexicor,elcorol.lari93ensdiuque St(H ∩ K) = St(H) × St(K) Prenentcomaarbremaximal T l’indicatambarcsentraçgruixutalaﬁgura19, obtenimlabase

ST ={b 1a3b,a3,a 1ba3b 1a,a 1bab 1a3ba 1b 1a, a 1bab 1aba 1ba 1b 1a} peralaintersecció H ∩ K.

Amés,comquecadascundelscincgeneradorsa ST ésl’etiquetad’un -camí reduïta St(H)×St(K),elpodemprojectaralaprimeraialasegonacoordenades, respectivament,i,usantelmètodedelasecció4.2,podemreescriure’lcoma paraulaen {u1,u2,u3} ien {v1,v2,v3}:

H u 1 1 u2u1 = b 1a3b = v 1 1 v2v1 ∈ K, H u2 = a3 = v2 ∈ K,

H u3 3 = a 1ba3b 1a = v3v2v 1 3 ∈ K,

H u3u2u 1 3 = a 1bab 1a3ba 1b 1a = v3v 1 1 v2v1v 1 3 ∈ K,

H u3u1u 1 3 = a 1bab 1aba 1ba 1b 1a = v3v 1 1 v2v3v 1 2 v1v 1 3 ∈ K.

Observació 98. Talcomsucceeixambelproblemadelapertinença(vegeu[35]),noésdifícildemostrarqueelproblemadelainterseccióéstambé indecidibleperaproductesdirectesdegrupslliures(vegeu[14,corol lari2.3]), fetqueconﬁrmalaindocilitatalgorísmicad’aquestafamília,encertsentit properaalgruplliure.

Peracabar,vegemquelamateixaideaésútiltambéperaresoldreel problemadelaintersecciódeclasseslateralsenungruplliure.Recordemque, si G ésungrupqualsevol, u,v ∈ G doselements,i H,K G dossubgrups, llavorslesclasseslaterals Hu i Kv obésóndisjuntes,obés’intersequen exactamentenunaclasselateralde H ∩ K, i.e., Hu ∩ Kv = (H ∩ K)w.

Problemadelaintersecciódeclasseslateralsa G = A | R , CIP(G). Donadesduesfamíliesﬁnitesdeparaules u,u1,...,uk; v,u1,...,ul ∈ (A±)∗,decidirsilaintersecció u1,...,uk u ∩ v1,...,vl v ⊆ G ésbuida,i,encasnegatiu, calcular-neunrepresentant.

Teorema 99 Elproblemadelaintersecciódeclasseslateralsperagrupslliures, CIP(F),ésresoluble.

Prova. Donadesparaulesreduïdes u,u1,...,uk; v,v1,...,vl ∈ FA,calculem elsautòmatsdeStallingsde H = u1,...,uk i K = v1,...,vl .Araintentem seguiruncamíreduïta St(H) començanta H illegint u = ai1 ··· ain (on ai1 ,...,ain ∈ A±).Sinoéspossible,perquèdesprésdellegir aij arribemaun vèrtex (aij+1 )-deﬁcient r,amplieml’autòmat St(H) totafegintel pèl r aij+1 • aij+2 • aij+3 ain p (25) (perpodercompletarlalecturade u comaetiquetad’uncamíde H a, diguem-ne p)idesignemper Stu(H) l’autòmatresultant.Anàlogament,construïm Stv (K) (assegurant-nosquecontéuncamíllegint v,de K a,diguem-ne q) icalculemelproducte Γ = Stu(H) × Stv (K).

Ara,si ( H , K ) i (p, q) estanalamateixacomponentconnexade Γ ,prenem uncamí γ de ( H , K ) a (p, q),ielprojectema Stu(H) ia Stv (K),respectivament. Comqueambduesprojeccionstenenetiqueta w = (γ),ivande H a p,i de K a q,respectivament,concloemque Hu = Hw i Kv = Kw;pertant, w ∈ Hu ∩ Hv

Recíprocament,si ( H , K ) a (p, q) sónacomponentsconnexesdiferents,no hihacapparelladecaminsreduïts,de H a p (a Stu(H))ide K a q (a Stv (K)), compartintlamateixaetiqueta.Pertant, Hu ∩ Kv ≠ siinoméssi ( H , K ) i (p, q) sónalamateixacomponentconnexade Stu(H) × Stv (K).Aixòcompleta lademostració. ✷

Peracabard’il.lustrarlautilitatd’aquestatècnicadelproductede A-autòmats,donemunargumentforçacurtielegantperdemostrar,enl’àmbitdels grupslliures,unresultatsobresubgrupsforçaconegutivàlidengeneral(la provadelcasgeneralrequereixeinesalgebraiquesméssoﬁsticades,compot serelteoremadelsubgrupdeKurosh).

Proposició 100. Sigui G ungrupisiguin H, K, H , K subgrupsde G.Si H ff K i H ff K ,llavors H ∩ H ff K ∩ K .

Prova. (Femlademostraciónomésenelcasque G ésungruplliure, G = F.) Veuremprimerque,si H ff K F,i L F,llavors H ∩ L ff K ∩ L. Consideremunabase A de K queestenguiunabasede H,iobservemque St(H,A) éssimplementunarosad’unsquantspètals(precisament,elsetiquetatspelselementsde A pertanyentsa H).Considerem St(K ∩ L,A) icalculem H ∩ L = H ∩ (K ∩ L) fentelproducted’aquestsdos A-autòmats:clarament, St(H,A) × St(K ∩ L,A) ésel A-subautòmatde St(K ∩ L,A) determinatpelsarcs ambetiquetaa H.Pertant, H ∩ L ff K ∩ L,talcomvolíem. Aplicantaquestfetduesvegades,obtenim H ∩ H ff K ∩ H ff K ∩ K i, pertant, H ∩ H ff K ∩ K ,talcomvolíemdemostrar. ✷

5Persaber-nemés

LateoriadelsautòmatsdeStallingsésuntemamoltconegutibenrepresentat alaliteratura.Amésdel’articleoriginaldeStallings[50](d’orientaciómésaviat

topològica),existeixendiversesrevisionsambunpuntdevistamésproper alques’hausatenaquestarticle(vegeu e.g. [2, 12, 25]).Elsarticlesquefan servirlateoriadeStallingsperaresoldrealtresproblemesespecíﬁcssón innombrablesicontinuenapareixentambregularitat.Podeutrobar-nealguns exemplesa[1,3,4,10,15,31,33,34,43,49,52].

Arrandel’èxitimmensdelateoriadeStallingsperalgruplliure,tambéhiha hagutmúltiplesextensionsd’aquestaideaaàmbitsmésgenerals,perexemple: grafsdegrups[19, 20, 26, 44, 46, 47, 51];monoidesisemigrups[16, 30, 31, 53]; grupsquesatisfancertespropietatsdepetitacancel lació22 [1];grupstotalmentresidualmentlliures[28, 37, 41];producteslliures[24];amalgamesde grupsﬁnits[32];grupsqueactuenlliurementa Zn-arbres[42];grupsvirtualmentlliures[48];subgrupsquasiconvexos[27];productesdirectesisemidirectesdegrupslliuresambgrupslliure-abelians[8, 11, 13];complexoscúbicsCAT(0)[5];grupsrelativamenthiperbòlics[29];igrupsdeCoxeterd’angle recte23 [7],entred’altres.

Agraïments

Elsautorsagraïmelsuportparcialrebutdel’AgenciaEstataldeInvestigación, atravésdelprojectederecercaMTM2017-82740-P(AEI/FEDER,UE).Elprimer autorvarealitzarlaprimerapartd’aquesttreballalaUniversitatdelPaís Basc(UPV/EHU)ambsuportparcialdelMINECOatravésdelprojectePID2019107444GA-I00,idelGovernbascambelprojecteIT974-16.

Agraïmalsrevisorsieditorsl’acuradalecturad’aquesttextielspertinents comentarisisuggerimentsrealitzats.

Referències

[1] Arzhantseva,G.N.;Ol’shanskii,A.Yu. «Theclassofgroupsallofwhose subgroupswithlessernumberofgeneratorsarefreeisgeneric». Math. Notes,59(4)(1996),350–355.

[2] Bartholdi,L.;Silva,P.V. «Rationalsubsetsofgroups».A: Handbookof AutomataTheory.Vol.II.AutomatainMathematicsandSelectedApplications.Berlín:EMSPress,2021,841–869.

[3] Bassino,F.;Martino,A.;Nicaud,C.;Ventura,E.;Weil,P. «Statistical propertiesofsubgroupsoffreegroups». RandomStructuresAlgorithms, 42(3)(2013),349–373.

[4] Bassino,F.;Nicaud,C.;Weil,P. «Randomgenerationofﬁnitelygenerated subgroupsofafreegroup». Internat.J.AlgebraComput.,18(2)(2008), 375–405.

22Enanglès, smallcancellation

23Enanglès, right-angledCoxetergroups

[5] Beeker,B.;Lazarovich,N. «Stallings’foldsforcubecomplexes». IsraelJ. Math.,227(1)(2018),331–363.

[6] Clay,M.;Margalit,D. (ed.). OﬃceHourswithaGeometricGroupTheorist Princeton,NovaJersey:PrincetonUniversityPress,2017.

[7] Dani,P.;Levcovitz,I. «Subgroupsofright-angledCoxetergroupsvia Stallings-liketechniques». J.Comb.Algebra,5(3)(2021),237–295.

[8] Delgado,J. «Extensionsoffreegroups:algebraic,geometric,andalgorithmicaspects».Tesidoctoral.UniversitatPolitècnicadeCatalunya,2017.

[9] Delgado,J.;Roy,M.;Ventura,E. «Intersectionconﬁgurationsinfree andfreetimesfree-abeliangroups».Preprint(2022).[Disponibleenlíniaa: arXiv:2107.12426]

[10] Delgado,J.;Silva,P.V. «Onthelatticeofsubgroupsofafreegroup: complementsandrank». J.GroupsComplex.Cryptol.,12(1)(2020),article núm.1,24p.

[11] Delgado,J.;Ventura,E. «Algorithmicproblemsforfree-abeliantimes freegroups». J.Algebra,391(2013),256–283.

[12] Delgado,J.;Ventura,E. «AlistofapplicationsofStallingsautomata». Trans.Comb.,11(2022),181–235.

[13] Delgado,J.;Ventura,E. «Stallingsautomataforfree-times-abelian groups:intersectionsandindex». Publ.Mat.,66(2)(2022),789–830. DOI: 10.5565/PUBLMAT6622209.

[14] Delgado,J.;Ventura,E.;Zakharov,A. «IntersectionproblemforDroms RAAGs». Internat.J.AlgebraComput.,28(7)(2018),1129–1162.

[15] Delgado,J.;Ventura,E.;Zakharov,A. «Relativeorderandspectrum infreeandrelatedgroups». Commun.Contemp.Math. (peraparèixer). [Disponibleenlíniaa: arXiv:2105.03798]

[16] Delgado,M.;Margolis,S.;Steinberg,B. «Combinatorialgrouptheory, inversemonoids,automata,andglobalsemigrouptheory». Internat.J. AlgebraComput.,12(1-2)(2002),179–211.

[17] Dicks,W. «SimpliﬁedMineyev’sproofofHannaNeumannconjecture». Preprint(2011).

[18] Friedman,J. «Sheavesongraphs,theirhomologicalinvariants,anda proofoftheHannaNeumannconjecture:withanappendixbyWarren Dicks». Mem.Amer.Math.Soc.,233(1100)(2015),106p.

[19] Guirardel,V. «Approximationsofstableactionson R-trees». Comment. Math.Helv.,73(1)(1998),89–121.

[20] Guirardel,V. «Readingsmallactionsofaone-endedhyperbolicgroup on R-treesfromitsJSJsplitting». Amer.J.Math.,122(4)(2000),667–688.

[21] Hall,M.,Jr. «Subgroupsofﬁniteindexinfreegroups». Canad.J.Math.,1 (1949),187–190.

[22] Hall,M.,Jr. «Atopologyforfreegroupsandrelatedgroups». Ann.of Math.(2),52(1950),127–139.

[23] Howson,A.G. «Ontheintersectionofﬁnitelygeneratedfreegroups». J. LondonMath.Soc.,29(1954),428–434.

[24] Ivanov,S.V. «Ontheintersectionofﬁnitelygeneratedsubgroupsinfree productsofgroups». Internat.J.AlgebraComput.,9(5)(1999),521–528.

[25] Kapovich,I.;Myasnikov,A. «Stallingsfoldingsandsubgroupsoffree groups». J.Algebra,248(2)(2002),608–668.

[26] Kapovich,I.;Weidmann,R.;Miasnikov,A. «Foldings,graphsofgroups andthemembershipproblem». Internat.J.AlgebraComput.,15(1)(2005), 95–128.

[27] Kharlampovich,O.;Miasnikov,A.;Weil,P. «Stallingsgraphsforquasiconvexsubgroups». J.Algebra,488(2017),442–483.

[28] Kharlampovich,O.G.;Myasnikov,A.G.;Remeslennikov,V.N.;Serbin,D.E. «Subgroupsoffullyresiduallyfreegroups:algorithmicproblems».A: GroupTheory,Statistics,andCryptography.Providence,RI: Amer.Math.Soc.,2004,63–101.(Contemp.Math.;360)

[29] Kharlampovich,O.;Weil,P. «Onthegeneralizedmembershipproblem inrelativelyhyperbolicgroups».A: FieldsofLogicandComputation.III Cham:Springer,2020,147–155.(LectureNotesinComput.Sci.;12180)

[30] Margolis,S.W.;Meakin,J.C. «Freeinversemonoidsandgraphimmersions». Internat.J.AlgebraComput.,3(1)(1993),79–99.

[31] Margolis,S.;Sapir,M.;Weil,P. «Closedsubgroupsinpro-V topologies andtheextensionproblemforinverseautomata». Internat.J.Algebra Comput.,11(4)(2001),405–445.

[32] Markus-Epstein,L. «Stallingsfoldingsandsubgroupsofamalgamsof ﬁnitegroups». Internat.J.AlgebraComput.,17(8)(2007),1493–1535.

[33] Martino,A.;Ventura,E. «Onautomorphism-ﬁxedsubgroupsofafree group». J.Algebra,230(2)(2000),596–607.

[34] Miasnikov,A.;Ventura,E.;Weil,P. «Algebraicextensionsinfreegroups». A: GeometricGroupTheory.Basel:Birkhäuser,2007,225–253.(Trends Math.)

[35] Miha˘ilova,K.A. «Theoccurrenceproblemfordirectproductsofgroups». Dokl.Akad.NaukSSSR,119(1958),1103–1105.[Enrus]

[36] Mineyev,I. «SubmultiplicativityandtheHannaNeumannconjecture». Ann.ofMath.(2),175(1)(2012),393–414.

[37] Myasnikov,A.G.;Remeslennikov,V.N.;Serbin,D.E. «Fullyresidually freegroupsandgraphslabeledbyinﬁnitewords». Internat.J.Algebra Comput.,16(4)(2006),689–737.

[38] Neumann,H. «Ontheintersectionofﬁnitelygeneratedfreegroups». Publ. Math.Debrecen,4(1956),186–189.

[39] Neumann,W.D. «Onintersectionsofﬁnitelygeneratedsubgroupsof freegroups».A: Groups—Canberra1989.Berlín:Springer,1990,161–170. (LectureNotesinMath.;1456)

[40] Nielsen,J. «OmRegningmedikke-kommutativeFaktorerogdensAnvendelseiGruppeteorien». Mat.Tidsskr.B (1921),77–94.

[41] Nikolaev,A.V.;Serbin,D.E. «Finiteindexsubgroupsoffullyresidually freegroups». Internat.J.AlgebraComput.,21(4)(2011),651–673.

[42] Nikolaev,A.;Serbin,D. «Membershipproblemingroupsactingfreelyon Zn-trees». J.Algebra,370(2012),410–444.

[43] Puder,D. «Primitivewords,freefactorsandmeasurepreservation». Israel J.Math.,201(1)(2014),25–73.

[44] Rips,E.;Sela,Z. «Cyclicsplittingsofﬁnitelypresentedgroupsandthe canonicalJSJdecomposition». Ann.ofMath.(2),146(1)(1997),53–109.

[45] Schreier,O. «DieUntergruppenderfreienGruppen». Abh.Math.Sem. Univ.Hamburg,5(1)(1927),161–183.[Enalemany]

[46] Sela,Z. «Acylindricalaccessibilityforgroups». Invent.Math.,129(3) (1997),527–565.

[47] Sela,Z. «Diophantinegeometryovergroups.I.Makanin-Razborovdiagrams». Publ.Math.Inst.HautesÉtudesSci.,93(2001),31–105.

[48] Silva,P.V.;Soler-Escrivà,X.;Ventura,E. «FiniteautomataforSchreier graphsofvirtuallyfreegroups». J.GroupTheory,19(1)(2016),25–54.

[49] Silva,P.V.;Weil,P. «Onanalgorithmtodecidewhetherafreegroupisa freefactorofanother». Theor.Inform.Appl.,42(2)(2008),395–414.

[50] Stallings,J.R. «Topologyofﬁnitegraphs». Invent.Math.,71(3)(1983), 551–565.

[51] Stallings,J.R. «Foldingsof G-trees».A: ArborealGroupTheory.Nova York:Springer,1991,355–368.(Math.Sci.Res.Inst.Publ.;19)

[52] Stallings,J.R.;Wolf,A.R. «TheTodd-Coxeterprocess,usinggraphs».A: CombinatorialGroupTheoryandTopology.Princeton,NJ:PrincetonUniv. Press,1987,157–161.(Ann.ofMath.Stud.;111)

[53] Steinberg,B. «Inverseautomataandproﬁnitetopologiesonafreegroup». J.PureAppl.Algebra,167(2-3)(2002),341–359.

DepartamentdeMatemàtiques

UniversitatPolitècnicadeCatalunya(UPC)

EscolaPolitècnicaSuperiord’EnginyeriadeManresa(EPSEM) Av.delesBasesdeManresa, 61, 73, 08242 Manresa(Barcelona) {jorge.delgado,enric.ventura}@upc.edu

ButlletídelaSocietatCatalanadeMatemàtiques Vol.37,núm.1,2022.Pàg.61–93. DOI:10.2436/20.2002.01.103

Estimaciódelamitjana: unarevisiód’avençosrecents

GáborLugosi

Resum: Seguramentelproblemaestadísticmésbàsicésestimarelvaloresperat d’unavariablealeatòriabasant-hoenobservacionsindependentsdelamateixadistribució.Aquestapreguntaaparentmentsenzillaplantejadiﬁcultatssorprenentstantdes delpuntdevistaestadísticcomcomputacional.Enaquestarticleanalitzemalgunsdels avençosrecentsenl’estimaciódelamitjana.Enparticular,esdescriuenestimadorsde mitjanessubgaussiansperadadesquepodentenircuespesades,tantenconﬁguracionsunivariantscommultivariants.Enscentremenestimadorsbasatsentècniquesde medianesdemitjanesperòtambéesrevisenaltresmètodescomlamitjanaretalladai l’estimadordeCatoni.Presentemdemostracionsdetalladesdelsresultatsbàsics.

Paraulesclau: estimaciódelamitjana,distribucionsdecuapesada,robustesa,aprenentatgeestadístic.

ClassiﬁcacióMSC2010: 62G05,62G15,62G35.

1Introducció

Sensdubte,elproblemamésfonamentaldel’estadísticaésestimarelvalor esperat µ d’unavariablealeatòria X basant-seenunamostrade n observacionsindependentsiidènticamentdistribuïdesextretesd’unadistribucióde X. L’eleccióòbviad’estimadorés,perdescomptat,lamitjanaempírica.Lesseves propietatssónbenconegudesapartirderesultatsclàssicsdelateoriadela probabilitat.Tanmateix,desdelsinicis,elsexpertsenestadísticas’hanpreocupatperlaqualitatdelamitjanaempírica,especialmentquanladistribució potserde cuapesada ohipothaver dadesatípiques.Aquestapreocupacióva donarllocal’àreadel’estadísticarobusta,queabordaelproblemad’estimació delamitjana(ialtresproblemesestadístics)peraaquesttipusdedades.Les referènciesclàssiquesinclouenHuber[31],HuberiRonchetti[32],Hampel, Ronchetti,RousseeuwiStahel[23]iTukey[59].

Motivatperaplicacionsenaprenentatgeautomàticienciènciadedades,en elsdarrersanyshihahagutuninterèscreixentenlaconstrucciód’estimacions

delamitjanaidefuncionsderegressióambelrequisitqueelsestimadors hagind’aconseguir altaprecisió ambunagran confiança.Avuidia,s’entén moltmillorquinéselmillorbalançprecisió/confiançaqueespotassoliri l’objectiud’aquestarticleésanalitzar-nealgunsdelsavençosrecents.Ens centraremenelproblemad’estimaciódelamitjana,tantenconfiguracions univariantscommultivariants.Presentemunadiscussiódetalladasobrequin éselmillorrendimentquehompotesperar,sobrecomdescriureunavarietat d’estimadorsisobrecomanalitzar-neelrendiment.Paremunaatencióespecial aunametodologiasenzillaperòpotentbasadaentècniquesde medianesde mitjanes.

Alasecció2,abordemelproblemaméssimple,eld’estimaciódelamitjana univariant.Enscentremenestimadors subgaussians in’exploremlespossibilitatsilimitacions.Lasecció3esdedicaalproblemamultivariant,queés substancialmentmésdifícil.Ampliemlanociód’estimadorsubgaussiàenel contextmultivariantianalitzemdiversosestimadors.

Peraunarevisiómésdetallada,remetemellectoralrecentarticledeLugosi iMendelson[45].

2Estimaciódelamitjanad’unavariablealeatòriareal

Comencemexaminantelproblemaclàssicd’estimarlamitjanad’unavariable aleatòria.Siguin X1,...,Xn variablesaleatòriesindependents,distribuïdesde maneraidèntica,ambmitjana µ = EX1.Espreténestimar µ apartird’observacionsd’aquestesvariablesaleatòries.Unestimador µn = µn(X1,...,Xn) és simplementunafunció(mesurable)de X1,...,Xn

Perdescomptat,l’opciómésnaturald’unestimadordelamitjanaésla mitjanaempíricaestàndard

Tanmateix,talcomargumentemacontinuació,hipothaveraltresestimadorsmésadients,segonsquinsiguil’objectiu.

Laqualitatd’unestimadorespotmesurardediversesmaneres.Elsprimers treballsestadísticsesvancentrar,enlasevamajoria,enmesuresdelrisc esperat,comaral’errorquadràticmitjà E[(µn µ)2].

Sihomsecentraenl’errorquadràticmitjà,aleshoreslamitjanaempírica téunrendimentexcel.lent.Suposemqueels Xi tenenunsegonmomentﬁnit i σ 2 = E[(Xi µ)2] denotalasevavariància.Aleshores,ésunexercicifàcil veurequel’errorquadràticmitjàde µn ésiguala σ 2/n.Almateixtemps,això ésòptimﬁnsitotsisuposemqueladistribucióde Xi ésgaussiana.Defet, delteoremaclàssicdeRao-Blackwell([55, 4, 36])esdesprènquenoespot esperarobtenirunerrorquadràticmitjàméspetitquans’estimalamitjana d’unavariablealeatòriagaussiana.

Noobstantaixò,lesmesuresderisccoml’errorquadràticmitjàpoden induiraerror.Defet,siladiferència |µn µ| noésprouconcentrada,aleshores elvaloresperatnonecessàriamentreﬂecteixelcomportament«típic»del’error. Permotiuscomaquest,sovintpreferimelsestimadors µn,quesónpropers a µ ambaltaprobabilitat.Així,elnostreobjectiuésentendre,peraqualsevol midademostra n ielparàmetredeconﬁança δ ∈ (0, 1),elvalorméspetit possible = (n,δ) talque

Ésimportantdestacarque (1) ésuncriterinoasimptòtic:homvoldriaobtenir estimacionsquantitativessobrecomlaprecisió s’escalaambelparàmetre deconﬁança δ ilamidadelamostra n.Aquesttipusd’estimaciórecordael PAC (acrònimde probablementaproximadamentcorrecte),unmarcadoptat habitualmentenlateoriadel’aprenentatgeestadístic;vegeuValiant[61],Vapnik iChervonenkis[63]iBlumer,Ehrenfeucht,HaussleriWarmuth[5].

Lespropietatsdelamitjanaempíricas’entenenmoltbé,jaquelesmitjanes devariablesaleatòriesindependentss’hanestudiatdesdelsinicisdelateoriade laprobabilitat.Unapedraangulard’aquestateoriaéselteoremadellímit central.Aquestteoremagaranteixquelamitjanaempíricatécuesgaussianes, asimptòticament,quan n tendeixainﬁnit.Mésprecisament, P |µn µ| >

1(1 δ/2)

on Φ(x) = P{G ≤ x} éslafunciódedistribucióacumuladad’unavariable aleatòrianormalestàndard G.Espotveurefàcilment(perexemple,utilitzantel fetquepera t ≥ 1,exp( t2/2) ≤ t exp( t2/2)),queperatotsels x ≥ 0, 1 Φ(x) ≤ e x2/2

Aixòimplicaque Φ 1(1 δ/2) ≤ 2log(2/δ),ielteoremadellímitcentral aﬁrmaque lim n→∞ P |µn µ| > σ 2log(2/δ) √n ≤ δ.

Noobstantaixò,aquestaésunaestimacióasimptòticainolaquantitativa queesperàvem.Totiaixí,elnostreobjectiuésobtenirﬁtesderendimentno asimptòtiquesdelamateixaforma.Enparticular,diemqueunestimadordela mitjana µn és L-subgaussià siexisteixunaconstant L> 0demaneraquepera toteslesmidesdemostra n iambprobabilitatalmenys1 δ,sesatisfà |µn µ|≤ Lσ log(2/δ) √n . (2)

Vallapenaesmentar,enaquestpunt,elfetconegutque,sitotelquese sapésqueladistribuciódesconegudaésgaussiana,llavorslamitjanaempírica

P{|µn µ|

(1)

ésòptimaperatoteslesmidesdemostra n itotselsnivellsdeconfiança δ (vegeuCatoni[8,proposició6.1]peraunenunciatprecís).Amés,lasegüent observació,establertaperDevroye,Lerasle,LugosiiOliveira[17],mostraque (2) ésessencialmentelmillorqueespotesperarengeneral,finsitotsihom estàinteressatenunnivelldeconfiançafixat:

Teorema 1 Sigui n> 5 unnúmeroenterpositiu.Siguin µ ∈ R, σ> 0 i δ ∈ (2e n/4 , 1/2).Aleshores,peraqualsevolestimadordelamitjana µn,existeix unadistribucióambmitjana µ ivariància σ 2 talque

P |µn µ| >σ log(1/δ) n ≥ δ.

Prova. Pertrobarlaﬁtainferior,n’hihaproudeconsiderarduesdistribucions, P+, P ,ambduesconcentradesendospunts,deﬁnitsper

P+({0}) = P ({0}) = 1 p,P+({c}) = P ({−c}) = p,

on p ∈ [0, 1] i c> 0.Observemquelesmitjanesdelesduesdistribucions són µP+ = pc i µP =−pc iquetotesduestenenvariància σ 2 = c2p(1 p).

Pera i = 1,...,n,consideremparellsindependentsdevariablesaleatòries devalorsreals (Xi,Yi) talsque

P{Xi = Yi = 0}= 1 p i P{Xi = c,Yi =−c}= p.

Fixem-nosque Xi esdistribueixcom P+ i Yi esdistribueixcom P .Sigui

δ ∈ (0, 1/2).Si δ ≥ 2e n/4 i p = (1/(2n)) log(2/δ),aleshores(utilitzant1 p ≥ exp( p/(1 p))), P{(X1,...,Xn) = (Y1,...,Yn)}= (1 p)n ≥ 2δ.

Sigui µn unestimadordelamitjanaqualsevol,quepossiblementdepèn de δ.Aleshores, max(P{|µn(Xn 1 ) µP+ | >cp}, P{|µn(Y n 1 ) µP | >cp}) ≥

1 2 P{|µn(X1,...,Xn) µP+ | >cp o |µn(Y1,...,Yn) µP | >cp}≥

1 2 P{µn(X1,...,Xn) = µn(Y1,...,Yn)}≥ ≥ 1 2 P{(X1,...,Xn) = (Y1,...,Yn)}≥ δ.

Apartirde σ 2 = c2p(1 p) i p ≤ 1/2,tenimque cp ≥ σ p/2,ipertant,

D’aquíse’ndesprènelteorema1.

Considerantelteorema1,elnostreobjectiuésdissenyarestimadorsque tinguinunrendimentambunataxad’errorsubgaussiana.

Naturalment,laprimeratascaaferéscomprovarsil’elecciómésòbvia d’estimadordelamitjana—lamitjanaempírica—és L-subgaussiàperaalgun L.D’unabanda,ésfàcilveureque,sotadeterminadescondicionssobrela distribucióde Xi,lamitjanaempíricamostraunrendimentsubgaussià.Defet, siels Xi sóntalsqueexisteix L> 0talqueperatot λ> 0

aleshoreslamitjanaempírica µn és L-subgaussianaperatota δ ∈ (0, 1),tal comesveufàcilmentamblaﬁtadeChernoﬀ.

D’altrabanda,elssupòsitsd’aquesttipussónforçarestrictiusiimposen condicionsfortessobreeldecaïmentdelaprobabilitatdelacuadeles Xi.Quan les Xi nopresentenaquestdecaïmentdelacua,lamitjanaempíricanotéper quèsersubgaussiana.

Perexemple,siassumimnomésque σ existeix(ésadir,quelavariància de Xi ésﬁnita),llavorsespotutilitzarladesigualtatdeTxebixev.Aquesta desigualtatimplicaque,ambprobabilitatalmenys1 δ,

Noobstantaixò,sotaelsupòsitdelafinituddelsegonmoment,aixòés essencialmentelmillorqueespotesperar.Totiquelafitade (3) decauamb lamidadelamostraalavelocitatòptimade O(n 1/2),ladependènciadel paràmetredeconfiança δ ésexponencialmentpitjorquea (2).Remetema Catoni[8,proposició6.2]peraunaformulacióprecisaiperaunexemple senzillque(gairebé)saturaladesigualtatdeTxebixev. Totplegatcondueixaunaconclusióinevitable:sihomestàbuscantun estimadordelamitjanaquesiguisubgaussiàperaqualsevolvariablealeatòria quetinguiunamitjanaiunavariànciabendefinides,llavorscaltrobaralternativesalamitjanamostral.Caldirque,potsersorprenentment,existeixen estimadorsdelamitjanaqueaconsegueixenunrendimentsubgaussiàpera toteslesdistribucionsambunavariànciafinita.Enlesduesseccionssegüents espresentenis’analitzendosestimadorsforçadiferents.

2.1L’estimadormedianadelesmitjanes

L’estimadormedianadelesmitjanesqueespresentaacontinuaciós’haproposatdemaneresdiferentsendiversosarticles;vegeuNemirovskyiYudin[53], Hsu[28],Jerrum,ValiantiVazirani[33]iAlon,MatiasiSzegedy[1].

L’estimadormedianadelesmitjanesdivideixprimerlesdadesen k grups demidaaproximadamentigual,calculalamitjanaempíricadecadagrup,i prenlamedianadelsvalorsobtinguts.

Formalment,recordemquelamedianade k númerosreals x1,...,xk ∈ R esdeﬁneixcoma M(x1,...,xk) = xi,on xi éstalque

(Sihihadiversosíndexs i ques’ajustenaladescripcióanterior,prenemelmés petit.)

Consideremara1 ≤ k ≤ n idividimelconjunt [n] ={1,...,n} en k blocs B1,...,Bk,cadascund’ellsdemida |Bi|≥ n/k ≥ 2.

Donat X1,...,Xn,calculemlamitjanamostraldecadabloc

ideﬁniml’estimadormedianadelesmitjanescoma µn = M(Z1,...,Zk).

Percopsardemaneraintuïtivaperquèfuncionaaquestestimador,observemque,peracadabloc,lamitjanaempíricaésunestimadornoesbiaixat delamitjana,ambdesviacióestàndard σ/ n/k.Pertant,lamedianadela distribuciódelesmitjanesempíriquesperblocsdifereixcomamàxim σ/ n/k del’esperança.Així,doncs,lamedianaempíricaésunestimadoraltament concentratd’aquestamediana.

Acontinuacióestablimunaﬁtadelrendimentdel’estimador.Persimplicitat, suposemque n ésdivisibleper k,demaneraquecadablocté m = n/k elements.

Teorema 2. Siguin X1,...,Xn variablesaleatòriesindependentsidistribuïdes demaneraidènticaambmitjana µ ivariància σ 2.Siguin m, k enterspositius isuposemque n = mk.Aleshores,l’estimadormedianademitjanes µn amb k blocssatisfà

P{|µn µ| >σ 4/m}≤ e k/8

Enparticular,peraqualsevol δ ∈ (0, 1),si k = 8 log(1/δ) ,aleshores,amb probabilitatalmenys 1 δ, |µn µ|≤ σ 32log(1/δ) n .

Prova. PerladesigualtatdeTxebixev,peracada j = 1,...,k,ambprobabilitat almenys3/4,

Zj µ|≤ σ 4 m

Així, |µn µ| >σ 4/m implicaquealmenys k/2delsmitjanes Zj són talsque |Zj µ| >σ 4/m.Pertant,si Bin(k, 1/4) ésunavariablealeatòria binomial (k, 1/4), P{|µn µ| >σ 4/m}≤ P{Bin(k, 1/4) ≥ k 2 }= = P Bin(k, 1/4) E Bin(k, 1/4) ≥ k 4 ≤ ≤ e k/8 , onenl’últimpashemutilitzatunaﬁtaexponencialestàndardperalacuad’una variablealeatòriabinomial(perexemple,ladesigualtatdeHoeﬀding[24]). ✷

Elteorema2mostraquel’estimadormedianadelesmitjanestéunrendimentsubgaussiàamb L = 8peratoteslesdistribucionsambunavariància finita.Tanmateix,ésimportantassenyalarquel’estimador µn depèndelnivell deconfiança δ jaqueelnombredeblocs k estriaenfuncióde δ.Estractad’una propietatpocdesitjable,jaqueperadiferentsvalorsdelparàmetredeconfiança δ s’obtéunestimadorpuntualdiferent.Malgrataixò,senseinformació addicionalsobreladistribució,ésimpossibleconstruirunsolestimadorque siguisubgaussiàperaunrangnotrivialdevalorsdelparàmetredeconfiança δ; vegeuDevroye,Lerasle,LugosiiOliveira[17]peramésdetalls.Noobstant,en elteorema4,queenunciemmésendavant,espresentaunresultatméspositiu.

ElsresultatsdeBubeck,Cesa-BianchiiLugosi[7]iDevroye,Lerasle,Lugosii Oliveira[17]mostrenquel’estimadormedianadelesmitjanesespotutilitzar finsitotsiladistribucióde Xi téunavariànciainfinitaperòtéunmomentfinit d’ordre1 + α peraalguna α ∈ (0, 1).Enconcret,tenimelresultatsegüent:

Teorema 3. Sigui α ∈ (0, 1] isuposemque X1,...,Xn sónvariablesaleatòries independentsidistribuïdesidènticamentambmitjana µ imomentcentral (1+α)èsim M = E[|Xi µ|1+α].Siguin m, k númerosenterspositiusisuposemque n = mk.Aleshores,l’estimadormedianademitjanesamb k = 8 log(2/δ) blocs satisfà

P |µn µ| > 8

12M 1/α log(1/δ) n α/(1+α) ≤ δ.

Amés,peraqualsevolestimadordelamitjana µn,existeixunadistribucióamb mitjana µ imomentcentral (1 + α)-èsim M talque

P |µn µ| > M 1/α log(2/δ) n

α/(1+α) ≥ δ.

Laprovadelaprimeraparts’obtédemostrantque,si c(α) ésunaconstant adientquenomésdepènde α i

aleshores

Laprovadelasegonaafirmacióvaenlalíniadelteorema1. Acabemaquestasecciódemostrantque,siladistribucióde X téunmoment finitd’ordre2 + α peraalgun α> 0,aleshoresl’estimadormedianademitjanes téunrendimentsubgaussiàsotaunrangmésamplid’eleccionsdelparàmetre k quecomptaelnombredeblocs.LafitasegüentesdeuaMinskeriStrawn[52]. Persimplificarl’exposició,nomésconsideremelcas α = 1.

Teorema 4 Siguin X1,...,Xn variablesaleatòriesindependentsdistribuïdes idènticamentambmitjana µ,variància σ 2,itercermomentcentral ρ = exp |X µ|3.Siguin m, k númerosenterspositiustalsque n = mk.Suposemque

Aleshores,l’estimadormedianademitjanes µn amb k blocssatisfàque,amb probabilitatalmenys 1 δ,

2/δ)

, on c = φ(Φ 1(3/4)) ésunaconstant,mentreque φ i Φ denoten,respectivament, lesfuncionsdedensitatidedistribuciónormalsestàndard.

Observemqueelprimertermealapartdretadelaﬁtaésdeformasubgaussiana.Elsegontermeésmenorqueelprimersemprequeelnombre k deblocs satisfaci

≤ 2σ 3 ρ n log(2/δ).

Enparticular, k ≤ 2σ 3 ρ √n éssuﬁcientpertald’obtenirunrendimentsubgaussià.Aixòésbo,jaqueambaquestaopciól’estimadornodepèndelvalor delparàmetredeconﬁança δ i,simultàniament,l’estimadoréssubgaussiàper atotelrangdevalorsde δ permesosperlacondició (4).Amés,observem queespottriarelnombredeblocsmoltmésgranquel’elecciósuggeridapel teorema2.Enparticular, k potsertangrancomunmúltipleconstantde √n Enaquestcas,l’estimadormedianademitjaneséssubgaussiàsimultàniament

peratota δ ≥ e c0√n peraunaconstant c0 adequada.Elpreuapagaréslahipòtesiaddicionaldel’existènciadeltercermoment.MinskeriStrawn[52]també demostrenque,quan k = o(√n),aleshores,sotaleshipòtesisdelteorema4, √n(µn µ) ésasimptòticamentnormalambmitjanazeroivariància σ 2π/2.

Prova. Observemque µn ∈ [µ a,µ + a] si a> 0éstalque

Demostremque,ambprobabilitatalmenys1 δ,podemprendre

Atalefecte,notemque

(on G ésunavariablealeatòrianormalestàndard).

Notemprimerque,perladesigualtatdeHoeﬀding,ambprobabilitatalmenys1 δ/2,

Peralsegontermedelcostatdret,podemutilitzarelteoremadeBerryEsseen(vegeuShevtsova[56]),queimplicaque

Pertant,tenimque,ambprobabilitatalmenys1

Així, (1/k) k j

ambprobabilitatalmenys1 δ/2,sempreque a siguitalque

Si log(2/δ) 2

+ ρ

≤ 1/4,aleshoresn’hihaproudeconsiderarvalorsde a talsque a√m/σ ≤ Φ 1(3/4).Llavors,

amb c = φ(Φ 1(3/4)).Pertant,podemprendre

Elmateixargumentmostraque,ambprobabilitatalmenys1 δ/2,

perl’eleccióde a quehemfetmésamunt. ✷

2.2L’estimadordeCatoni

Acontinuació,presentemunenfocamentcompletamentdiferentperconstruir unestimadordemitjanes,introduïtianalitzatperCatoni[8].Perintroduirla ideadeCatoni,observemprimerquelamitjanaempírica µn ésprecisament lasolució y ∈ R del’equació n i=1 (Xi y) = 0.

Catonivaproposarsubstituirelcostatesquerredel’equacióanteriorper unaaltrafuncióestrictamentdecreixentde y delaforma Rn,α(y) = n i=1 ψ(α(Xi y)),

on ψ : R → R ésunafunciócreixentantisimètricai α ∈ R ésunparàmetre.La ideaésque,si ψ(x) augmentamoltméslentamentque x,llavorsesredueix l’efectedelesdadesatípiquespresentsacausadelescuespesades.Catoni ofereixtotunventallde funcionsd’inﬂuència ψ.Perfacilitarl’exposició,triem unafuncióconcreta,comara

ψ(x) = log(1 + x + x2/2) if x ≥ 0, log(1 x + x2/2) if x< 0

Deﬁniml’estimadordelamitjanadeCatoni µα,n comelvalorúnic y talque Rn,α(y) = 0ambaquestaeleccióde ψ.Comque ψ(x) ≤ log(1 + x + x2/2) per atot x ∈ R,tenimque,peratot y ∈ R, E[eRn,α(y)] ≤ E 1 + α(X y) +

2(X y)2 2 n = = 1 + α(µ y) + α2(σ 2 + (µ y)2) 2 n ≤ ≤ exp nα(µ y) + nα2(σ 2 + (µ y)2) 2 ,

semprequeels Xi tinguinunavariànciaﬁnita σ 2.Així,perladesigualtatde Markov,tenimque,peraqualsevol y ∈ R ﬁxi δ ∈ (0, 1), P Rn,α(y) ≥ nα(µ y) + nα2(σ 2

Suposemqueelparàmetre α éstalque α

+ 2 log(1/δ)/n ≤ 1.Aleshores elpolinomiquadràticen y nα(µ y) + nα2(σ 2 + (µ y)2) 2 + log(1/δ) téalmenysunaarrel.Enparticular,prenentl’arrelmenor y+ = µ +

tenimque Rn,α(y+)< 0ambprobabilitatalmenys1 δ.Comque Rn,α(y) ésestrictamentdecreixent,aixòimplicaque µα,n <y+ ambprobabilitatalmenys1 δ.Unargumentsimètricserveixperademostrarque µα,n >y amb probabilitatalmenys1 δ,on

Ara,mitjançantﬁtessenzillesiescollintelparàmetre α pertald’optimitzar lesﬁtes,obtenimlasegüentestimaciódelrendiment.

Teorema 5. Siguin X1,...,Xn variablesaleatòriesindependentsidistribuïdes demaneraidènticaambmitjana µ ivariància σ 2.Sigui δ ∈ (0, 1) talque n> 2log(1/δ).L’estimadordelamitjanadeCatoni µn,α ambparàmetre

α = 2log(1/δ)

nσ 2 1 + 2log(1/δ) n 2log(1/δ)

satisfà,ambprobabilitatalmenys 1 2δ,

|µn,α µ| <

2σ 2 log(1/δ) n 2log(1/δ). (5)

Elteoremadestacaque,ambunparàmetre α triatdemaneraescaient,l’estimadordeCatonitéunrendimentsubgaussià.Calremarcarquelaconstant √2 éslamillorpossible.Undesavantatgedel’estimadordeCatonirespectedela medianadelesmitjanesésque—almenysenlaformadonadaalteorema— depèndelavariància σ 2.Engeneral,noésrealistasuposarelconeixement de σ 2.Sihomsubstitueix σ 2 alafórmulade α perunafitasuperior v,llavors lafita (5) encaraesmantésisubstituïm σ 2 per v.Encasquenoexisteixicap fitasuperiorbonapera σ 2,Catoni([8])mostracomseleccionar α apartirdeles dadesquetenenunrendimentgairebéòptim.Huber([30])combinal’estimador medianadelesmitjanesambl’estimadordeCatonienunprocedimentdedos passosiobtéunestimadoramblaconstantdeltermedominantòptimaenla fitasubgaussianaquan |σ/µ| estàfitadaperunaconstantconeguda.

Unaltreproblema—compartitambl’estimadormedianadelesmitjanes— ésquel’estimadordeCatonitambédepèndelnivelldeconﬁançarequerit δ. Aquestadependència,talcoms’haesmentatanteriorment,ésnecessària.Una solucióràpidaésutilitzarl’estimadorambunparàmetreindependentde δ,tot iquel’estimacióresultant,naturalment,nopodràsersubgaussiana.Unaopció raonableés α = 2/(nσ 2).Enaquestcas,ésfàcilveureque,sempreque n> 2(1 + log(1/δ)),l’estimadordeCatonisatisfà,ambprobabilitatalmenys1 2δ,

Acausad’unfactoraddicional log(1/δ),aquestaﬁtanoéssubgaussiana,però lesprobabilitats«subexponencials»delescuessónencaranotrivialsiútils.

2.3Mitjanaretallada

L’intentmésnaturaldemillorarelrendimentdelamitjanaempíricaéspotser eld’eliminarpossiblesvalorsatípicsmitjançantuntruncamentde X.Defet, l’estimadoranomenat mitjanaretallada (o mitjanatruncada)esdeﬁneixeliminantunafracciódelamostra,queconsisteixenels n puntsmésgransimés petitsperaalgunparàmetre ∈ (0, 1),idesprésferlamitjanasobrelaresta.

AquestaideaésunadeleseinesmésclàssiquesenestadísticarobustairemetemaTukeyiMcLaughlin[60],HuberiRonchetti[32],Bickel[3]iStigler[58] perconsultarelsprimerstreballssobrelespropietatsteòriquesdel’estimador mitjanaretallada.Noobstantaixò,fabenpocqueesvaintroduirlapropietat subgaussiananoasimptòticadelamitjanaretallada.Enefecte,OliveiraiOrenstein([54])vandemostrarque,sis’escull proporcionalmenta log(1/δ)/n, aleshoresl’estimadormitjanaretalladatéunrendimentsubgaussiàperatotes lesdistribucionsambunavariànciaﬁnita.

Permostrardelamaneraméssenzillacomfuncionaaquestaidea,acontinuacióanalitzemunavariantsenzilladel’estimadormitjanaretallada.

L’estimadordivideixlesdadesenduespartsiguals.Unameitats’utilitza peradeterminarelnivelldetruncamentcorrecte.Ambelspuntsdel’altra meitatse’ncalculalamitjana,sensetenirencomptelesdadesquequedenfora delaregiódetruncament.Percomoditatdenotació,suposemquelesdades consisteixenen2n còpiesindependentsdelavariablealeatòria X,denotades per X1,...,Xn,Y1,...,Yn

Pera α ≤ β,deﬁnimlafunciódetruncament

α,β(x) =

β si x>β, x si x ∈ [α,β], α si x<α,

ipera x1,...,xm ∈ R sigui x∗ 1 ≤ x∗ 2 ≤···≤ x∗ m lasevareordenacióno decreixent.

Uncopestablertaaquestanotació,ladeﬁniciódel’estimadoréslasegüent:

(1)Donatelnivelldeconﬁança δ ≥ 8e 3n/16,deﬁnim

ε = 16log(8/δ) 3n .

(2) Siguin α = Y ∗ εn i β = Y ∗ (1 ε)n (assumint,persimpliﬁcar,que εn ésun enter)ideﬁnim µ2n = 1 n n i=1 φα,β(Xi).

Teorema 6. Siguin X1,...,Xn,Y1,...,Yn variablesaleatòriesindependentsi distribuïdesdemaneraidènticaambmitjana µ ivariància σ 2.Sigui δ ∈ (0, 1) talque n>(16/3) log(8/δ).Aleshores,ambprobabilitatalmenys 1 δ, |µ2n µ|≤ 9σ log(8/δ) n .

Prova. Comencemdemostrantqueelnivelldetruncamentésproperals quantilsadequatsdeladistribució.Ambaquestaﬁnalitat,pera p ∈ (0, 1), introduïmelsquantils

Qp = sup{M ∈ R : P{X ≥ M}≥ 1 p}.

Perfacilitarl’exposició,suposemque X téunadistribuciónoatòmica. (Aquestasuposiciónoésnecessària,peròsimpliﬁcalanotació.)Enaquestcas, P{X>Qp}= P{X ≥ Qp}= 1 p. Mitjançantunaaplicaciósenzillad’unadesigualtatdecuabinomial (enparticular,ladesigualtatdeBernstein),ambprobabilitatalmenys 1 2exp( (3/16)εn),tenimtantque

|{i ∈ [n] : Yi ≥ Q1 2ε}|≥ εn

comque

|{i ∈ [n] : Yi ≤ Q1 ε/2}|≥ (1 ε)n.

Aixòimplicaque,ambprobabilitatalmenys1 2exp( (3/16)εn),

(6)

Seguintelmateixargument,ambprobabilitatalmenys1 2 exp( (3/16)εn),

Apartird’aquí,simplementnecessitemprovarque |Eφα,β(X) µ| éspetiti que (1/n) n i=1 φα,β(Xi) esconcentraalvoltantdelasevamitjana.

Peralprimerpas,considereml’esdeveniment E consistentenelfetquetant (6) com (7) sóncertes.Aquestesdevenimenttéunaprobabilitatd’almenys1 4exp( (3/16)εn) = 1 δ/2.Enl’esdeveniment E,

E[φα,β(X)

Perarelacionaraquestsdostermes,caltenirencompteque,perladesigualtatdeTxebixev,

Pertant,perladesigualtatdeCauchy-Schwarz,

Unargumentsimètricprovaque |E(X Q2ε) X≤Q2ε |≤ σ √8ε,ipertant,en l’esdeveniment E,tenimque

/δ) n

α,β(Xi)

peralanostraeleccióde .Acontinuació,considerem Z = 1 n n i=1

[φα,β(X)|Y1,...,Yn]

iobservemque

= 1 n n i=1

Pertant,enl’esdeveniment E (quenomésdepènde Y1,...,Yn), Z ésuna mitjanadevariablesaleatòriescentradesqueestàﬁtadapuntapuntper M = max{|Qε/2 µ|, |Q1 ε/2 µ|}≤ σ 2/ε ilavariànciadelaqualéscomamàxim σ 2.Pertant,perladesigualtatdeBernstein,ambprobabilitatalmenys1 δ/2, Z ≤ σ 2log(2/δ) n + log(2/δ)σ 2/ε n ≤ 3σ log(2/δ) n

Ajuntanttoteslespeces,obtenimlaﬁtaanunciada. ✷

Amésdelasevasenzillesaconceptual,unavantatgeimportantdelamitjana retalladaencomparacióambaltresestimadorsambrendimentsubgaussiàés queésrobustaalacontaminacióantagonistadelesdades.Aquestapropietat esvaformalitzaridemostrara[47],ontambése’npresentaianalitzauna extensiómultivariant.

Tanquemaquestaseccióobservantque,enuntreballrecent,LeeiValiant([41])construeixenunestimadorsubgaussiàamblaconstant(gairebé) òptima L = √2 + o(1).Elseuestimadoresbasaenunacombinacióintel.ligent demedianadelesmitjanes,mitjanaretalladaiestimadordeCatoni.Peruna altrabanda,MinskeriNdaoud([51])vanproposarunenfocamentdiferent.Igual quelamedianademitjanes,elseuestimadordelamitjanatambécomença calculantmitjanesempíriquesenblocsdisjuntsdelesdades.Acontinuació, tornenaponderarlesmitjanesdelblocenfunciódelasevadesviacióestàndard empírica.Utilitzantpropietatsnotrivialsdesumesautonormalitzades,obtenen unestimadorquenonoméséssubgaussiàsinóquetambéésasimptòticamenteﬁcient,enelsentitquel’estimadorésasimptòticamentnormalambuna variànciaasimptòticatanpetitacomsiguipossibleenelsentitminimax.

3Estimaciódelamitjanad’unvectoraleatori

Acontinuació,discutimlesextensionsdelproblemad’estimaciódelamitjanaal casmultivariant.Pertald’establirelproblema,consideremunvectoraleatori X queprenvalorsa Rd.Suposemqueelvectordemitjanes µ = EX ilamatriude covariància Σ = E(X µ)(X µ)T existeixen.Donades n mostresindependents idistribuïdesdemaneraidèntica X1,...,Xn extretesdeladistribucióde X, volemestimarelvectordemitjanes.

Igualqueenelcasunivariant,unaelecciónaturaléslamitjanamostral µn = (1/n) n i=1 Xi,quetéuncomportamentgairebéòptimsemprequela distribuciótinguiunacuaproulleugera.Tanmateix,compassaenelcas univariant,semprequeenspreocupinlescuespesades,calevitarlamitjana mostraljaquepottenirunrendimentsubòptim.

3.1Rendimentsubgaussià

Hemvistdiversosexemplesd’estimadorsdemitjanesambunrendiment subgaussià.Pertald’establircorrectamentelnostreobjectiuperalcas d-dimensional,primerhemd’entendrequèvoldir«rendimentsubgaussià».Com enelcasunivariant,homvoldriaconstruirestimadorsquefossin«aprop»de laveritablemitjana µ amb«altaprobabilitat».Apartird’ara, · denotaràla normaeuclidianahabituala Rd .

Si X téunadistribuciónormalmultivariantambvectordemitjanes µ imatriudecovariància Σ,llavorslamitjanamostral µn tambéésnormal multivariantambmitjana µ imatriudecovariància (1/n)Σ.Així,peratot t> 0,

on X ésunvectorgaussiàen Rd ambmitjanazeroimatriudecovariància Σ. Unapropietatclaudelsvectorsgaussiansésque X télamateixadistribució que Σ1/2Y ,on Y ésunvectornormalestàndard(ésadir,ambunamatriude covariànciaigualalaidentitatiambmitjanazero)i Σ1/2 ésl’arrelquadrada semideﬁnidapositivade Σ.Observemtambéqueperatotsels y,y ∈ Rd ,

on Σ1/2 2→2 éslanormaespectralde Σ1/2.Així, Σ1/2y ésunafuncióde Lipschitzde y ∈ Rd ambunaconstantdeLipschitz Σ1/2 2→2 = λmax,on λmax = λmax(Σ) denotaelvalorpropimésgrandelamatriudecovariància Σ. Ara,deladesigualtatdeconcentraciógaussianadeTsirelson,Ibragimovi Sudakov[14](vegeutambéLedoux[39]iBoucheron,LugosiiMassart[6]pera mésinformació),esdedueixque P{ X − E X ≥ t√n}≤ e nt2/(2λmax) .

Observantque

E X ≤ E X 2 = Tr(Σ), on Tr(Σ) éslatraçadelamatriudecovariància Σ,tenimque,pera δ ∈ (0, 1), ambprobabilitatalmenys1 δ,

Així,enelcasmultivariant,diremqueunestimadordelamitjanaés subgaussià si,ambprobabilitatalmenys1 δ,satisfàunadesigualtatdelaforma (8) (ambfactorsconstantspossiblementdiferents).Observemque,peraqualsevol distribucióambmitjana µ imatriudecovariància Σ,l’errorquadràticmitjàde lamitjanaempíricaésiguala

Enparticular, E

.Unacaracterísticaimportantdelapropietatsubgaussiana (8) ésquelesﬂuctuacionsaleatòriesestancontroladesper lanormaespectral λmax delamatriudecovariància,quepossiblementésmolt méspetitaqueTr(Σ),lasumadetotselsvalorspropisde Σ

3.2Medianademitjanesmultivariant

Peradistribucionsnogaussianesipossiblementdecuapesada,noespot esperaruncomportamentsubgaussiàdelamitjanamostralsemblanta(8).

Comaalternativa,espotintentarestendrel’estimadormedianademitjanes alcasmultivariant.Unaideaòbviaésdividirlesdadesenblocsdisjunts,calcular lamitjanaempíricadinsdecadablocicalcularunamedianamultivariantde lesmitjanesempíriquesobtingudes.Tanmateix,nohihaunanocióestàndard demedianaperadadesmultivariants,inoestàdeltotclarquinadeﬁnicióde medianamultivariantfuncionamillorperalsestimadorsmedianesdemitjanes. Entrelesnombrosespossibilitats,esmentemla medianapercoordenades, la medianageomètrica(oespacial),la medianadeTukey(odesemiespai),la medianad’Oja ila medianadeLiu;vegeularevisiódeSmall[57],queconté,a més,referènciesrellevants.

Independentmentdequinanociódemedianamultivariantdecidimadoptar, comencemdividint [n] ={1,...,n} en k blocs B1,...,Bk,cadascundelsquals demida |Bi|≥ n/k ≥ 2.Aquí, k ésunparàmetredel’estimadorquees triaràmésendavant.Persimpliﬁcar,suposemque km = n peraalgunenter positiu m.Comabans,calculemlamitjanamostraldelsvectorsaleatorisdins decadabloc:pera j = 1,...,k,considerem

Elprimerintentmésnaturalés,possiblement,deﬁnir µn comelvectordeles medianescoordenadaacoordenadadeles Zj (ésadir,la -èsimacomponent delvector µn éslamedianadeles -èsimescomponentsde Z1,...,Zk,per a ∈ [d]).Aleshores,elteorema2ilaﬁtadelaunió(desigualtatdeBoole) impliquenque,peraqualsevol δ ∈ (0, 1),prenent k = 8 log(1/δ) ,amb probabilitatalmenys1 δ, µn µ ≤

32Tr(Σ) log(d/δ) n ,

onhemutilitzatelfetque Tr(Σ) = E X EX 2 éslasumadelesvariànciesde les d componentsde X.Clarament,aquestaﬁtaquedallunydeladesigualtat subgaussiana (8) perdiversesraons.Enprimerlloc,noésindependentdela dimensiójaque d hiapareixexplícitament.Segurament,però,ésmésimportant encaraque log(d/δ) vemultiplicatper Tr(Σ) enllocde λmax(Σ),iaixòpotser unadiferènciarellevantenproblemesd’altadimensió,especialmentquanhom estàinteressatenprobabilitatsd’errorpetites.Unexempleil.lustratiuésquan totselsvalorspropisde Σ sónidènticsiigualsa λmax.Siladimensió d és gran,l’expressió (8) ésdel’ordrede (λmax/n)(d + log(1/δ)) mentrequela ﬁtaanteriornomésdonal’ordre (λmax/n)(d log(d/δ)).

Detotamanera,aixòespotmillorarambforçafacilitatambunanoció diferent(noestàndard)demedianaaladeﬁniciódel’estimació:triem µn com elpuntde Rd quetélapropietatquelabolaeuclidianacentradaen µn que contémésde k/2delspunts Zj téunradimínim.Comque E Zj µ 2 = Tr(Σ)/m,perladesigualtatdeTxebixev, Zj µ ≤ r := 2 Tr(Σ)/m amb unaprobabilitatd’almenys3/4.Així,escollint k = 8 log(1/δ) ,tenimque, ambprobabilitatalmenys1 δ,mésdelameitatdelspunts Zj compleixen

Zj µ ≤ r.

Denotemaraaquestesdevenimentamb E (així, P{E}≥ 1 δ.)Enl’esdeveniment E,aquestradiéscomamàxim r .Pertant,almenysundels Zj estrobaa ladistància r tantde µ comde µn i,perladesigualtattriangular, µn µ ≤ 2r . Hemobtingut,doncs,laproposiciósegüent.

Proposició 7 Siguin X1,...,Xn vectorsaleatorisi.i.d.en Rd ambmitjana µ i matriudecovariància Σ.Sigui δ ∈ (0, 1) isigui µn l’estimadordeﬁnitanteriormentamb k = 8log(1/δ) .Aleshores,ambprobabilitatalmenys 1 δ,

µn µ ≤ 4

Tr(Σ)(8log(1/δ) + 1) n

Laﬁtadelaproposició7ésremarcablejaquenodepèndeladimensió inoesfacaphipòtesiquenosiguil’existènciadelamatriudecovariància. Tanmateix,encaranoassoleixunaﬁtaderendimentsubgaussiàques’assembli a (8).Amés,lanociódemedianautilitzadaaquí(ésadir,elcentredelabola méspetitaquecontéalmenyslameitatdelspunts)ésproblemàticadesdel

puntdevistacomputacional,jaquecalcularaquestamedianaésunproblema notrivial.

Unaversiócalculabledemaneraeﬁcientd’unamedianamultivariantés l’anomenada medianageomètrica,deﬁnidacoma

AquestestimadorvaserproposatperMinsker[50]iindependentment perHsuiSabato[29](vegeutambéLerasleiOliveira[43]).Enparticular, Minsker([50])vademostrarqueaquestaversiómultivariantdel’estimador medianadelesmitjanesassoleixunrendimentsemblantalaproposició7.A més,calcularlamedianageomètricai,pertant,l’estimadormedianadeles mitjanesmultivariant,implicaresoldreunproblemad’optimitzacióconvex. Així,lamedianageomètricaespotaproximardemaneraeﬁcient;vegeuCohen, Lee,Miller,PachockiiSidford[15]peralresultatmésrecentiperalarica històriadelproblema.RemetemellectoraAloupis[2]peraunarevisiódels aspectescomputacionalsd’altresnocionsdiversesdemedianesmultivariants.

Peraunestimadordelamitjanamoltdiferent,basatenlaideadela medianadelesmitjanesambgaranties«gairebé»subgaussianesperòambun costcomputacionalimportant,vegeuJoly,LugosiiOliveira[34].

Pertald’aconseguirunrendimentrealmentsubgaussià,hemdedefinirun nouestimador.Acontinuació,endefinimunqueaconsegueixelrendiment desitjat:aquestestimadoresvaintroduira[46],basatenlaideadetorneigs demedianademitjanes.Tambéesmentemunaltreestimador,proposata[47], queesdefineixapartird’unaextensiómultivariantdel’estimadormitjana retallada.Tanmateix,abansdepresentaraquestesestimacions,recordemun estimadormoltdiferentintroduïtperCatoniiGiulini[10].

3.3Llindardelanorma:l’estimadordeCatoni-Giulini

Enaquestasecciódiscutimbreumentunestimadornotablementsenzill,suggeritianalitzatperCatoniiGiulini[10].L’estimadordeCatoni-Giuliniés

µn = 1 n n i=1 Xi min 1, 1 αXi , (9)

on α> 0ésunparàmetre(petit).Fixem-nosque µn éssimplementunamitjana empíricadels Xi,onelspuntsquetenenunanormagranesfantendira zero.Aquestaestimacióéstrivialdecalcular,adiferènciadelsestimadors méscomplexosquediscutiremalasubsecció3.4.D’altrabanda,valadirque fertendirazeroésunamicaarbitrariiantinatural.Defet,l’estimadornoés invariantpertranslacionsdelesdadesenelsentitque µn(X1 + a,...,Xn + a) noésnecessàriamentiguala µn(X1,...,Xn) + a quan a ≠ 0.

CatoniiGiulinidemostrenque,siestriaelparàmetrecoma α = c log(1/δ) vn ,

on v ≥ λmax i c> 0ésunaconstantnumèrica,aleshoresl’estimador (9) compleix,ambprobabilitatalmenys1 δ, µn µ ≤ C (Tr(Σ) + v + µ 2) log(1/δ) n ,

on C ésunaconstantquenomésdepènde c.Aquestafitaéssimilarperò mésfeblequeladelaproposició7,principalmentacausadedosfets.En primerlloc,l’estimadorrequereixunconeixementprevi(unabonafitasuperior)de λmax,mentrequel’estimadormedianageomètricadelesmitjanesno assumeixaquestainformacióprèvia.Ensegonlloc, µ 2 apareixalafitasuperiorque, apriori,potserarbitràriamentgranencomparacióamb Tr(Σ).La presènciad’aquesttermeesdeualamancad’invariànciapertranslacionsde l’estimador.Aquestsegonproblemaespotsolucionarmitjançantladefinició d’unestimadordeduesetapes:primerespotutilitzarunestimadorinvariant pertranslacionscomlamedianageomètricademitjanesdefinitalasecció anteriorpertald’obtenirunaestimacióaproximadadelamitjana.Aleshores, utilitzantunnouconjuntdedadesindependents,espodencentrarlesdades alamitjanaestimadaidesprésutilitzarl’estimadordeCatoni-Giulinipera lesdadescentrades.Aquestnouestimadorésinvariantpertranslacions,iel terme µ 2 espotsubstituirperl’errorquadràticdel’estimadordelprimer pas,ésadir,per Tr(Σ) log(1/δ)/n.Però,finsitotambaquestamodificació,la fitanoéssubgaussianaenelsentitde(8).

Tanmateix,ésremarcablequeelrendimentdel’estimadordeCatoni-Giulini s’acostiasersubgaussiàenelsentitdesitjatambnomésunapetitahipòtesi addicional.Enparticular,si E X β < ∞ peraalguns β> 2,llavors,ambla mateixaeleccióde α quel’anterior,tenimque µn µ ≤ C v log(1/δ) n + (Tr(Σ) + v) n + κβ n(β 1)/2 , on κβ ésunaconstantquedepènde β idel β-èsimmomentde X .Així,si elparàmetreanterior v ésunabonaestimacióde λmax enelsentitqueestà ﬁtatperunmúltipleconstant,aleshoreselsdosprimerstermesdelaﬁta sóndelaformasubgaussianadesitjada.Eltercertermeésd’ordreméspetit, encaraque,novament,potserarbitràriamentgransilamitjanaestàllunyde l’origen,cosaqueespotsolucionarfentl’estimadorméscomplex.Remetem aCatoniiGiulini[9]peraaltresestimacionsambunesperitsimilaripera mésdiscussiósobrelaqüestió.Lestècniquesdedemostracióde[9, 10]es basenenlesanomenadesdesigualtats PAC-bayesianes,elsdetallsdelesquals sobrepassenl’abastd’aquestarevisió.

3.4Torneigsdemedianademitjanes

Enaquestaseccióintroduïmunestimadordelamitjana,proposatperLugosi iMendelson[46],ambunrendimentsubgaussiàperatoteslesdistribucions lamatriudecovariànciadelesqualsexisteixi.L’estimadorqueespresentaa continuacióésl’exempleprimariiméssenzilldelqueanomenem torneigsde medianademitjanes

Recordemquepartimd’unamostra X1,...,Xn devectorsaleatorisi.i.d.a Rd . Comenelcasdel’estimadormedianadelesmitjanes,comencemdividintel conjunt {1,...,n} en k blocs B1,...,Bk,cadascundelsqualsdemida |Bj |≥ m = n/k ,on k ésunparàmetredel’estimadorelvalordelqualdepèndel nivelldeconfiançadesitjat,talcoms’especificaacontinuació.Persimplificar lapresentació,suposemque n ésdivisibleper k i,pertant, |Bj |= m peratot j = 1,...,k.

Deﬁnimlamitjanamostraldinsdecadabloccoma

Peracada a ∈ Rd,sigui

Ta ={x ∈ Rd : ∃J ⊂ [k] talque |J|≥ k/2i,peratot j ∈ J, Zj x ≤ Zj a } (10)

ideﬁniml’estimadordelamitjanacoma

µn ∈ argmin a∈Rd radi(Ta),

on radi(Ta) = supx∈Ta x a .Així, µn estriaperaminimitzar,sobretot a ∈ Rd,elradidelconjunt Ta deﬁnitcomelconjuntdepunts x ∈ Rd peralsquals Zj x ≤ Zj a peralamajoriadelsblocs.Sihihadiversosminimitzadors, se’npottriarunqualsevol.

Elconjunt Ta espotveurecomelconjuntdepuntsde Rd queestanalmenys tanapropdelnúvoldepunts {Z1,...,Zk} comelpunt a.L’estimador µn s’obté minimitzantelradide Ta

Observemquesempres’aconsegueixelmínim.Aixòesdeualfetque radi(Ta) ésunafunciócontínuade a (jaque,peracada a, Ta éslaintersecció d’unaunióﬁnitadebolestancades,ielscentresiradisdelesbolestancades sóncontínuesen a).

Espotinterpretar argmina∈Rd radi(Ta) comunaaltranociómultivariantde lamedianade Z1,...,Zk.Defet,quan d = 1,ésunaeleccióparticulardela medianail’estimadorcoincideixambl’estimadormedianadelesmitjanes.

Laﬁtaderendimentsegüentmostraquel’estimadortéelrendimentsubgaussiàdesitjat.

Teorema 8 (LugosiiMendelson[46]). Sigui δ ∈ (0, 1) iconsidereml’estimadordelamitjana µn ambelparàmetre k = 200 log(2/δ) .Si X1,...,Xn són vectorsaleatorisi.i.d.a Rd ambmitjana µ ∈ Rd imatriudecovariància Σ, aleshoresperatot n,ambprobabilitatalmenys 1 δ,

µn µ ≤ max 960 Tr(Σ) n , 240 λmax log(2/δ) n .

Igualquelafitaderendimentdelaproposició7,elteorema8és«infinitodimensional»enelsentitquelafitanodepènexplícitamentdeladimensió d. Defet,elmateixestimadorespotdefinirperavectorsaleatorisqueprenguin valorsenespaisdeHilbertielteorema8continuasentvàlidmentre Tr(Σ) = E X µ 2 siguifinit.

Elteorema8ésdesprèndelresultatsegüent.

Teorema 9 Utilitzantlanotacióprèviaiﬁxant

r = max 960 Tr(Σ) n , 240 λmax log(2/δ) n ,

ambprobabilitatalmenys 1 δ,peraqualsevol a ∈ Rd talque a µ ≥ r ,es té Zj a > Zj µ peramésde k/2 índexs j.Enaltresparaules, a µ ≥ r implicaque a ∉ Tµ .

Elteorema9implicaqueperaunacol.lecció«típica» X1,...,Xn, µ ésmés properalamajoriadels Zj encomparacióambqualsevol a ∈ Rd queestigui proullunyde µ.Òbviament,peraunacol.leccióarbitrària x1,...,xn ⊂ Rd,ni tansolscalqueexisteixiaquestpunt,iéssorprenentqueperaunaconﬁguració típicai.i.d. µ satisfaciaquestapropietat.

Elfetqueelteorema9impliquielteorema8éssenzill.Defet,ladeﬁnicióde µn ielteorema9impliquenque,ambprobabilitatalmenys1 δ, radi(Tµn ) ≤ radi(Tµ ) ≤ r .Comque,obé µ ∈ Tµn obé µ ∈ Tµ ,llavorssegurque µn µ ≤ r ,talcomesdemana.

Certament,lesconstantsqueapareixenalteorema8nosónòptimes;esvan obtenirambl’objectiudeferlademostracióméstransparent.

Lademostraciódelteorema9esbasaenlaideasegüent.Lamitjana µ ésel minimitzadordelafunció f(x) = E X x 2.Unenfocamentpossibleésutilitzarlesdadesdisponiblesperaendevinar,peraqualsevolparell a,b ∈ Rd,si f(a)<f(b).Unaopciónaturalésferservirunestimadormedianademitjanes pertaldedecidirquindelsdosésmillor.El«torneig»éssimplementuna maneradecompararcadaparell,talcomesdescriuacontinuació.1

1 Talcomexpliquemacontinuació,n’hihaproud’assegurar-sequelacomparacióéscorrecta entre µ iqualsevolpuntquenoestiguimassaapropde µ

Perdeﬁnireltorneig,recordemque [n] estàdividiten k blocsdisjunts B1,...,Bk demida m = n/k.Pera a,b ∈ Rd,diemque a derrota b si 1 m i∈Bj (Xi b 2 − Xi a 2)> 0(11)

enmésde k/2blocs Bj .Elprincipallematècnicéselsegüent.

Lema 10. Sigui δ ∈ (0, 1), k = 200log(2/δ) ,ideﬁnim r = max 960 Tr(Σ) n , 240 λmax log(2/δ) n .

Ambunaprobabilitatalmenys 1 δ, µ derrotatotsels b ∈ Rd demaneraque b µ ≥ r .

Elresultatdellema10ésraonable:si b µ ésprougran,aixòesreﬂectirà enels«valorstípics»de (Xi µ)n i=1 i (Xi b)n i=1.Lacomparaciódels valorsmitjançant (11) assegura«estabilitat»,ielfetque b estiguillunyde µ esmostraambaltaprobabilitat.Subratllemquel’estimaciódeprobabilitatha deser uniforme en b.Aquestesestimacionsuniformesesdevindranuntema recurrentenelquerestad’article.

Prova. Notemque Xi b 2 − Xi µ 2 = Xi µ

+ b

2 , deﬁnim X = X µ idenotem v = b µ.Així,peraun b ﬁxquesatisfaci b µ ≥ r , µ derrota b si

i,v + v 2 > 0 alamajoriadelsblocs Bj

m i∈Bj

Pertant,perademostrarlanostraaﬁrmaciónecessitemque,ambprobabilitatalmenys1 δ,peracada v ∈ Rd amb v ≥ r ,

i,v + v 2 > 0(12) enmésde k/2blocs Bj .Clarament,n’hihaproudedemostrarque (12) es compleixquan v = r

Consideremun v ∈ Rd ﬁxamb v = r .PerladesigualtatdeTxebixev,amb unaprobabilitatd’almenys9/10,

≤

onrecordemque λmax éselvalorpropimésgrandelamatriudecovariància Σ de X.Així,si

r = v ≥ 4 10 λmax m , (13)

aleshoresambprobabilitatalmenys9/10, 2 m i∈Bj Xi,v ≥ r 2 2 . (14)

AplicantladesigualtatdeHoeﬀding([24]),obtenimque (14) éscertaper aunsol v ambprobabilitatalmenys1 exp( k/50) enalmenys8/10dels blocs Bj .

Arahohemd’estendreatotselsvectorsambnorma r apartird’unvector fix v.Pertaldedemostrarque (14) éscertasimultàniamentperatotsels v ∈ r · Sd 1 enalmenys7/10delsblocs Bj ,primerconsideremunconjunt V1 ⊂ r Sd 1 maximali -separatrespectealanorma L2(X).Enaltresparaules, V1 ésun subconjuntde r Sd 1 decardinalitatmaximaltalqueperatotsels v1,v2 ∈ V1, v1 v2 L2(X) = v1 v2, Σ(v1 v2) 1/2 ≥ .Podemestimaraquestacardinalitat perladesigualtat«dualdeSudakov»(vegeuLedouxiTalagrand[40]itambé Vershynin[64]peraunaversióamblaconstantespecíficautilitzadaaquí):la cardinalitatde V1 estàfitadaper log(|V1|/2) ≤ 1 32 E[G, ΣG 1/2] /r 2 ,

on G ésunvectornormalestàndarda Rd.Observemqueperaqualsevol a ∈ Rd , EX a,X 2 = a, Σa i,pertant, E[G, ΣG 1/2] = EG[(EX [G,X 2])1/2] ≤ (EX EG[G,X 2])1/2 = = (E[X 2])1/2 = Tr(Σ).

Pertant,ﬁxant = 2r 1 k Tr(Σ) 1/2 , (15)

tenim |V1|≤ 2ek/100 iperlaﬁtadelaunió,ambprobabilitatalmenys1 2e k/100 ≥ 1 δ/2, (14) ésvàlidaperatotsels v ∈ V1 enalmenys8/10dels blocs Bj .

Acontinuació,comprovemquelapropietat (12) escompleixsimultàniament peratotsels x amb x = r enalmenys7/10delsblocs Bj .

Peracada x ∈ r Sd 1,sigui vx l’elementméspropera x en V1 respectea lanorma L2(X).N’hihaproudedemostrarque,ambprobabilitatalmenys1 exp( k/200) ≥ 1 δ/2, sup x∈r ·Sd 1 1 k k j=1 {|m 1 i∈Bj Xi,x vx |≥r 2/4} ≤ 1 10 . (16)

Defet,enaquestesdevenimentesdedueixqueperacada x ∈ r · Sd 1 , almenysen7/10delsblocs Bj ,tant

sesatisfani,pertant,enaquestsblocs, 2 m i∈Bj Xi,x + r 2 > 0,talcom volíem.

Quedaperdemostrar(16).Observeuque

Comque x vx L2(X) = E X,x vx 2 ≤ ,esdedueixque,peracada j,

i,pertant, E sup x∈

Perﬁtar (B),notemque,usant(15),

sempreque

Podemﬁtar (A) mitjançanttècniquesestàndarddeprocessosempíricscom aralasimetrització,lacontraccióperamitjanesdeRademacheriladessimetrització.Enefecte,si σ1,...,σn sónvariablesaleatòriesdeRademacher

independents(ésadir, P{σi = 1}= P{σi =−1}= 1/2),independentmentde totsels Xi,aleshores

(A) ≤ 8 r 2 E sup x∈r Sd 1 1 k k j=1 σj 1 m i

(perunadesigualtatdesimetritzacióestàndard; vegeu,perexemple,[62,Lemma2.3.6])

≤ 8 r 2 E sup x∈r Sd 1 1 k k j=1 σj 1 m i

(perunlemadecontraccióperamitjanesdeRademacher;vegeu[40])

≤ 16 r 2 E sup x∈r Sd 1 1 n n i=1 Xi,x vx ≤

(vegeuunaaltravegada[62,Lemma2.3.6])

≤ 32 r E sup {t: t ≤1} 1 n n i=1 Xi,t ≤

(observemque x vx ≤ 2r ) ≤ 32 r E X 2 √n = 32 r Tr(Σ) n 1

Així,pera

hemdemostratque EY ≤ 1/60 + 1/30 = 1/20.Finalment,peraobtenir (16), n’hihaproudedemostrarque P{Y> EY + 1/20}≤ e k/200,queesdesprènde ladesigualtatdediferènciesﬁtades(vegeu,perexemple,[6,teorema6.2]). ✷

Demostraciódelteorema9 Elteorema9esdedueixfàcilmentdellema10. Fixemunbloc Bj irecordemque Zj = 1 m i∈Bj Xi.Siguin a,b ∈ Rd.Aleshores, 1 m i∈Bj (Xi a 2 − Xi b 2) = 1 m i∈Bj (Xi b (a b) 2 − Xi b 2) = =− 2 m i∈Bj Xi b,a b + a b 2 = (∗).

Observemque

b,a b ,i,pertant,

Enconseqüència, (∗)> 0(ésadir, b derrota a albloc Bj )siinoméssi Zj a > Zj b .

Recordemqueellema10estableixque,ambprobabilitatalmenys1 δ,si a µ ≥ r ,llavorsenmésde k/2blocs Bj , 1 m i∈Bj (Xi a 2 − Xi µ 2)> 0,que,segonsl’argumentanterior,éselmateixquedirquealmenyspera k/2índexs j,escompleixque Zj a > Zj µ . Reﬂexionant-hi,quedaclarquelesideesutilitzadesenlademostraciódel teorema8sónforçagenerals.Defet,sónalcordel mètodedelabolapetita introduïtperMendelson[48](vegeutambé[49]peramètodesdecairesimilar). Elmètodedelabolapetitas’aplicaensituacionsmoltmésgeneralsqueel teorema8.Pertald’explicarcomse’npotestendrel’argument,tornema esbossarelstrespassosqueenshanpermèscompararcada b i µ:

(1) Peraqualsevol b ﬁxat de Rd,obtenimunaﬁtaqueescompleixambuna altaprobabilitat.

(2) Aleshores,gràciesal’estimacióambaltaprobabilitatde(1),podeminvocar laﬁtadelaunióicontrolarunacol.lecciógran(peròencaraﬁnita)de punts.

Tenimtotalllibertatperatriaraquestacol lecció,ilaseleccionemcom unaxarxaderadi alconjuntenqüestió.

(3) Lapartcrucialdel’argumentéspassardelcontrolquetenimencadapunt delaxarxaalcontroluniformedesitjatatotalaclasse;concretament, mostremquesiun«centre»,ésadir,unelementdelaxarxa,téunbon comportament,2 llavorselmateixéscertperaqualsevolpuntprouproper alcentre.Ambaquestaﬁnalitat,mostremqueles«oscil lacionsaleatòries» nodestrueixenelboncomportamentd’uncentreengairesblocs.

3.5Consideracionscomputacionals

Untemaimportantquehempassatdellargﬁnsaaquestpuntéslaviabilitat computacionaldelsestimadorsdemitjanes.Totiquelamitjanaempíricaés trivialdecalcular,moltsdelsestimadorsméssoﬁsticatsquehemdiscutiten aquestarticleestanllunydeser-ho.Enparticular,unrequisitbàsicperquè qualsevolestimadormultivariantdelamitjanasiguiútilalapràcticaésque espuguicalcularentempspolinomial(ésadir,enuntempsquesiguiun polinomidelamidadelamostra n ideladimensió d).Comjahemassenyalat,

2 Alademostraciódelteorema8,«boncomportament»signiﬁcaque (12) ésvàlidaperala majoriadelsblocs.

algunsdelsestimadorsdescritsanteriormententrenenaquestacategoria.Per exemple,l’estimadormedianageomètricadelesmitjanesol’estimadorde Catoni-Giulinisóncalculablesdemaneraeficientenaquestsentit.Noobstant això,aquestsestimadorsestanllunydesersubgaussians.L’estimadorde torneigdemedianesdemitjaneséssubgaussià,peròelseucàlculsuposaun reptegenstrivial.Defet,talcomesdefineixl’estimador,ésprobablequesigui computacionalmentintractable(ésadir,NP-complex).Noobstantaixò,enun articlerecent,Hopkins([25])defineixunarelaxaciósemidefinidaenginyosa del’estimadordetorneigdemedianesdemitjanesqueespotcalcularen temps O(nd + d log(1/δ)c ) peraunaconstantindependentdeladimensió i,almateixtemps,garanteixlacondiciósubgaussianadesitjadasotal’únic supòsitqueexisteixilamatriudecovariància.Aquestéselprimerestimador delamitjanamultivariantsubgaussiàcalculabledemaneraeficient.Encara mésrecentment,Cherapanamjeri,FlammarioniBartlett([13])vanmillorarel tempsd’execucióa O(nd + d log(1/δ)2 + log(1/δ)4) combinantlesideesde Hopkinsambunaoptimitzacióastutadegradientdescendent.Basant-seen ideesde«reponderacióespectral»deCheng,DiakonikolasiGe[12],Depersin iLecué[16]iLei,Luh,VenkatiZhang[42]millorenencaraméseltemps d’execució.Hopkins,LiiZhang([27])mostrencomlareponderacióespectral ésessencialmentequivalentalanociódemedianaintroduïdaanteriorment. Remetemaaquestsarticlesperaunarevisióexhaustivadelaliteraturasobre elsaspectescomputacionalsdel’estimaciódelamitjanarobusta,queestà creixentràpidament.

Alacomunitatdelainformàticateòricahihahagutrecentmentunaugment importantderesultatsqueabordenelproblemadel’estimaciódelamitjana robusta icomputacionalmenteﬁcient.Enaquestcontext,unestimadores deﬁneixcomarobustsifuncionabéenpresènciad’unapetitafraccióconstant devalorsatípics(possiblementantagonistes).S’hanproposatdiversosmodels; vegeuCharikar,SteinhardtiValiant[11],Diakonikolas,Kamath,Kane,Li,Moitra iStewart[18, 19, 20],Diakonikolas,KaneiStewart[21],Diakonikolas,Kongi Stewart[22],HopkinsiLi[26],Klivans,KothariiMeka[35],Kothari,Steinhardt iSteurer[37],Lai,RaoiVempala[38],LohiTan[44],peratenirunamostra d’aquestimportantgruixdeliteraturaenplenaexpansió.Larevisiód’aquesta àrea,però,vamésenllàdel’abastd’aquestarticle.

Referències

[1] Alon,N.;Matias,Y.;Szegedy,M. «Thespacecomplexityofapproximating thefrequencymoments».Twenty-eighthAnnualACMSymposiumonthe TheoryofComputing(Philadelphia,PA,1996). J.Comput.SystemSci., 58(1),part2(1999),137–147.

[2] Aloupis,G. «Geometricmeasuresofdatadepth».A: DataDepth:Robust MultivariateAnalysis,ComputationalGeometryandApplications.Provi-

dence,RI:Amer.Math.Soc.,2006,147–158.(DIMACSSer.DiscreteMath. Theoret.Comput.Sci.;72)

[3] Bickel,P.J. «Onsomerobustestimatesoflocation». Ann.Math.Statist., 36(1965),847–858.

[4] Blackwell,D. «Conditionalexpectationandunbiasedsequentialestimation». Ann.Math.Statistics,18(1947),105–110.

[5] Blumer,A.;Ehrenfeucht,A.;Haussler,D.;Warmuth,M.K. «Learnability andtheVapnik-Chervonenkisdimension». J.Assoc.Comput.Mach.,36(4) (1989),929–965.

[6] Boucheron,S.;Lugosi,G.;Massart,P. ConcentrationInequalities.A NonasymptoticTheoryofIndependence.PrefacideMichelLedoux.Oxford: OxfordUniversityPress,2013.

[7] Bubeck,S.;Cesa-Bianchi,N.;Lugosi,G. «Banditswithheavytail». IEEE Trans.Inform.Theory,59(11)(2013),7711–7717.

[8] Catoni,O. «Challengingtheempiricalmeanandempiricalvariance:a deviationstudy». Ann.Inst.HenriPoincaréProbab.Stat.,48(4)(2012), 1148–1185.

[9] Catoni,O.;Giulini,I. «Dimension-freePAC-Bayesianboundsformatrices, vectors,andlinearleastsquaresregression».Preprint(2017).[Disponible enlíniaa: arXiv:1712.02747]

[10] Catoni,O.;Giulini,I. «Dimension-freePAC-Bayesianboundsforthe estimationofthemeanofarandomvector».Preprint(2018).[Disponible enlíniaa: arXiv:1802.04308]

[11] Charikar,M.;Steinhardt,J.;Valiant,G. «Learningfromuntrusteddata».A: STOC’17—Proceedingsofthe49thAnnualACMSIGACTSymposium onTheoryofComputing.NovaYork:ACM,2017,47–60.

[12] Cheng,Y.;Diakonikolas,I.;Ge,R. «High-dimensionalrobustmeanestimationinnearly-lineartime».A: ProceedingsoftheThirtiethAnnual ACM-SIAMSymposiumonDiscreteAlgorithms.Filadèlﬁa,PA:SIAM,2019, 2755–2771.

[13] Cherapanamjeri,Y.;Flammarion,N.;Bartlett,P.L. «Fastmeanestimationwithsub-Gaussianrates».Preprint(2019).[Disponibleenlíniaa: arXiv:1902.01998]

[14] Cirel’son,B.S.;Ibragimov,I.A.;Sudakov,V.N. «NormsofGaussian samplefunctions».A: ProceedingsoftheThirdJapan-USSRSymposiumon ProbabilityTheory.Berlín:Springer,1976,20–41.(LectureNotesinMath.; 550)

[15] Cohen,M.B.;Lee,Y.T.;Miller,G.;Pachocki,J.;Sidford,A. «Geometric medianinnearlylineartime».A: STOC’16—Proceedingsofthe48thAnnual ACMSIGACTSymposiumonTheoryofComputing.NovaYork:ACM,2016, 9–21.

[16] Depersin,J.;Lecué,G. «Robustsubgaussianestimationofamean vectorinnearlylineartime».Preprint(2019).[Disponibleenlíniaa: arXiv:1906.03058]

[17] Devroye,L.;Lerasle,M.;Lugosi,G.;Oliveira,R.I. «Sub-Gaussianmean estimators». Ann.Statist.,44(6)(2016),2695–2725.

[18] Diakonikolas,I.;Kamath,G.;Kane,D.M.;Li,J.;Moitra,A.;Stewart,A. «Robustestimatorsinhighdimensionswithoutthecomputationalintractability».A: 57thAnnualIEEESymposiumonFoundationsofComputer Science—FOCS2016.LosAlamitos,CA:IEEEComputerSoc.,2016,655–664.

[19] Diakonikolas,I.;Kamath,G.;Kane,D.M.;Li,J.;Moitra,A.;Stewart,A. «Beingrobust(inhighdimensions)canbepractical».A: ICML’17:Proceedingsofthe34thInternationalConferenceonMachineLearning.Vol.70. Sydney,NSW,Austràlia:JMLR.org,2017,999–1008.

[20] Diakonikolas,I.;Kamath,G.;Kane,D.M.;Li,J.;Moitra,A.;Stewart,A. «RobustlylearningaGaussian:gettingoptimalerror,eﬃciently».A: ProceedingsoftheTwenty-NinthAnnualACM-SIAMSymposiumonDiscrete Algorithms.Filadèlﬁa,PA:SIAM,2018,2683–2702.

[21] Diakonikolas,I.;Kane,D.M.;Stewart,A. «Eﬃcientrobustproperlearningoflog-concavedistributions».Preprint(2016).[Disponibleenlíniaa: arXiv:1606.03077]

[22] Diakonikolas,I.;Kong,W.;Stewart,A. «Eﬃcientalgorithmsandlower boundsforrobustlinearregression».A: ProceedingsoftheThirtiethAnnualACM-SIAMSymposiumonDiscreteAlgorithms.Filadèlﬁa,PA:SIAM, 2019,2745–2754.

[23] Hampel,F.R.;Ronchetti,E.M.;Rousseeuw,P.J.;Stahel,W.A. Robust Statistics.TheApproachBasedonInﬂuenceFunctions.NovaYork:John Wiley&Sons,Inc.,1986.(WileySeriesinProbabilityandMathematical Statistics:ProbabilityandMathematicalStatistics)

[24] Hoeffding,W. «Probabilityinequalitiesforsumsofboundedrandom variables». J.Amer.Statist.Assoc.,58(1963),13–30.

[25] Hopkins,S.B. «Meanestimationwithsub-Gaussianratesinpolynomial time». Ann.Statist.,48(2)(2020),1193–1213.

[26] Hopkins,S.B.;Li,J. «Mixturemodels,robustness,andsumofsquares proofs».A: STOC’18—Proceedingsofthe50thAnnualACMSIGACTSymposiumonTheoryofComputing.NovaYork:ACM,2018,1021–1034.

[27] Hopkins,S.B.;Li,J.;Zhang,F. «Robustandheavy-tailedmeanestimation madesimple,viaregretminimization».Preprint(2020).[Disponibleen líniaa: arXiv:2007.15839]

[28] Hsu,D. «Robuststatistics»(2010).[Nopublicat]

[29] Hsu,D.;Sabato,S. «Lossminimizationandparameterestimationwith heavytails». J.Mach.Learn.Res.,17,treballnúm.18(2016),40p.

[30] Huber,M. «Anoptimal (,δ)-randomizedapproximationschemeforthe meanofrandomvariableswithboundedrelativevariance». RandomStructuresAlgorithms,55(2)(2019),356–370.

[31] Huber,P.J. «Robustestimationofalocationparameter». Ann.Math. Statist.,35(1964),73–101.

[32] Huber,P.J.;Ronchetti,E.M. RobustStatistics.2aed.Hoboken,NJ:John Wiley&Sons,Inc.,2009.(WileySeriesinProbabilityandStatistics)

[33] Jerrum,M.R.;Valiant,L.G.;Vazirani,V.V. «Randomgenerationof combinatorialstructuresfromauniformdistribution». Theoret.Comput. Sci.,43(2-3)(1986),169–188.

[34] Joly,E.;Lugosi,G.;Oliveira,R.I. «Ontheestimationofthemeanofa randomvector». Electron.J.Stat.,11(1)(2017),440–451.

[35] Klivans,A.;Kothari,P.K.;Meka,R. «Eﬃcientalgorithmsforoutlierrobustregression».A: ProceedingsofMachineLearningResearch.Vol.75. PMLR,2018,1420–1430.

[36] Kolmogorov,A.N. «Unbiasedestimates». IzvestiyaAkad.NaukSSSR.Ser. Mat.,14(1950),303–326.[Enrus]

[37] Kothari,P.K.;Steinhardt,J.;Steurer,D. «Robustmomentestimation andimprovedclusteringviasumofsquares».A: STOC’18—Proceedingsof the50thAnnualACMSIGACTSymposiumonTheoryofComputing.Nova York:ACM,2018,1035–1046.

[38] Lai,K.A.;Rao,A.B.;Vempala,S. «Agnosticestimationofmeanand covariance».A: 57thAnnualIEEESymposiumonFoundationsofComputer Science—FOCS2016.LosAlamitos,CA:IEEEComputerSoc.,2016,665–674.

[39] Ledoux,M. TheConcentrationofMeasurePhenomenon.Providence,RI: AmericanMathematicalSociety,2001.(MathematicalSurveysandMonographs;89)

[40] Ledoux,M.;Talagrand,M. ProbabilityinBanachSpaces.Isoperimetry andProcesses.Berlín:Springer-Verlag,1991.(ErgebnissederMathematik undihrerGrenzgebiete(3)[ResultsinMathematicsandRelatedAreas(3); 23]

[41] Lee,J.C.H.;Valiant,P. «Optimalsub-Gaussianmeanestimationin R».A: 2021IEEE62ndAnnualSymposiumonFoundationsofComputerScience— FOCS2021.LosAlamitos,CA:IEEEComputerSoc.,2022,672–683.

[42] Lei,Z.;Luh,K.;Venkat,P.;Zhang,F. «Afastspectralalgorithmformean estimationwithsub-Gaussianrates».A: ProceedingsofMachineLearning Research.Vol.125,PMLR,2020,2598–2612.

[43] Lerasle,M.;Oliveira,R.I. «Robustempiricalmeanestimators».Preprint (2011).[Disponibleenlíniaa: arXiv:1112.3914]

[44] Loh,P.-L.;Tan,X.L. «High-dimensionalrobustprecisionmatrixestimation: cellwisecorruptionunder -contamination». Electron.J.Stat.,12(1)(2018), 1429–1467.

[45] Lugosi,G.;Mendelson,S. «Meanestimationandregressionunderheavytaileddistributions:asurvey». Found.Comput.Math.,19(5)(2019), 1145–1190.

[46] Lugosi,G.;Mendelson,S. «Sub-Gaussianestimatorsofthemeanofa randomvector». Ann.Statist.,47(2)(2019),783–794.

[47] Lugosi,G.;Mendelson,S. «Robustmultivariatemeanestimation:the optimalityoftrimmedmean». Ann.Statist.,49(1)(2021),393–410.

[48] Mendelson,S. «Learningwithoutconcentration». J.ACM,62(3)(2015), Art.21,25p.

[49] Mendelson,S. «Learningwithoutconcentrationforgenerallossfunctions». Probab.TheoryRelatedFields,171(1-2)(2018),459–502.

[50] Minsker,S. «GeometricmedianandrobustestimationinBanachspaces». Bernoulli,21(4)(2015),2308–2335.

[51] Minsker,S.;Ndaoud,M. «Robustandeﬃcientmeanestimation:anapproachbasedonthepropertiesofself-normalizedsums». Electron.J.Stat., 15(2)(2021),6036–6070.

[52] Minsker,S.;Strawn,N. «Distributedstatisticalestimationandratesof convergenceinnormalapproximation».Preprint(2017).[Disponibleen líniaa: arXiv:1704.02658]

[53] Nemirovsky,A.S.;Yudin,D.B. ProblemComplexityandMethodEﬃciency inOptimization.AWiley-IntersciencePublication.NovaYork:JohnWiley &Sons,Inc.,1983.(Wiley-InterscienceSeriesinDiscreteMathematics). [Traduïtdelrusiambprefacid’E.R.Dawson]

[54] Oliveira,R.I.;Orenstein,P. «Thesub-gaussianpropertyoftrimmed meansestimators».Informetècnic,IMPA(2019).

[55] RadhakrishnaRao,C. «Informationandtheaccuracyattainableinthe estimationofstatisticalparameters». Bull.CalcuttaMath.Soc.,37(1945), 81–91.

[56] Shevtsova,I.G. «OnabsoluteconstantsininequalitiesofBerry-Esseen type». Dokl.Akad.Nauk,456(6)(2014),650–654.[Enrus;traduccióa: Dokl.Math.,89(3)(2014),378–381]

[57] Small,C.G. «Asurveyofmultidimensionalmedians». Int.Stat.Rev.,58(3) (1990),263–277.

[58] Stigler,S.M. «Theasymptoticdistributionofthetrimmedmean». Ann. Statist.,1(1973),472–477.

[59] Tukey,J.W. «Mathematicsandthepicturingofdata».A: Proceedingsofthe InternationalCongressofMathematicians.Vol.2.Montreal,Que.:Canad. Math.Congress,1975,523–531.

[60] Tukey,J.W.;McLaughlin,D.H. «Lessvulnerableconﬁdenceand signiﬁcanceproceduresforlocationbasedonasinglesample:Trimming/Winsorization.I». SankhyaSer.A,25(1963),331–352.

[61] Valiant,L.G. «Atheoryofthelearnable». CommunicationsoftheACM, 27(11)(1984),1134–1142.

[62] vanderVaart,A.W.;Wellner,J.A. WeakConvergenceandEmpirical Processes.WithApplicationstoStatistics.NovaYork:Springer-Verlag,1996. (SpringerSeriesinStatistics)

[63] Vapnik,V.N.;Chervonenkis,A.Ya. TheoryofPatternRecognition.Moscou:StatisticalproblemsoflearningIzdat.«Nauka»,1974.[Enrus]

[64] Vershynin,R. «LecturesinGeometricFunctionalAnalysis»(2009).[No publicat]

Departamentd’EconomiaiEmpresa,UniversitatPompeuFabra ICREA,Pg.LluísCompanys 23, 08010 Barcelona BarcelonaGraduateSchoolofEconomics gabor.lugosi@upf.edu

ButlletídelaSocietatCatalanadeMatemàtiques Vol.37,núm.1,2022.Pàg.95–96

Englishsummaries

JordiDelgadoandEnricVentura

Stallingsautomata:Aroundtripbetweenalgebraandgeometry

Inthispaper,wereviewthefundamentalpropertiesofthefreegroupandgive adetailedaccountofStallings’sautomatatheory,ageometricinterpretation ofitssubgroups.Stallingsautomatatheoryhasbeen(andremains)immensely fruitful,bothasameansofunderstandingclassicalresultsandasasourceof newones.Wedescribesomeofthemostimportantapplicationsofthistheory.

Keywords: freegroup,subgroup,automaton,Stallings,algorithmicproblem, decisionproblem.

MSC2010SubjectClassiﬁcation: 20-02,20E05,20F05,20F10,20F65,05C25.

GáborLugosi

Meanestimation:Asurveyofrecentadvances

Perhapsthemostbasicstatisticalproblemistoestimatetheexpectedvalueof arandomvariablebasedonindependentobservationsofthesamedistribution. Thisseeminglysimplequestionraisessurprisingdifficultiesbothfromastatisticalandacomputationalpointofview.Inthispaperwesurveysomeofthe recentadvancesinmeanestimation.Inparticular,wedescribesub-Gaussian meanestimatorsforpossiblyheavy-taileddatainboththeunivariateandmultivariatesettings.Wefocusonestimatorsbasedonmedian-of-meanstechniques, althoughothermethodssuchasthetrimmedmeanandCatoni’sestimatorare alsoreviewed.Weofferdetailedevidenceforourcorefindings.

Keywords: meanestimation,heavy-taileddistributions,robustness,statistical learning.

MSC2010SubjectClassiﬁcation: 62G05,62G15,62G35.

Instruccionsperalsautors

Elsarticlessotmesosapublicaciós’hand’enviaralseditorsoaqualsevol membredelcomitèeditorialpercorreuelectrònic,preferentmentenformat PDF.Elsoriginalshandecontenirlaversióanglesadeltítol,unresumbreuen catalàienanglès,paraulesclauencatalàienanglèsielscodisdelaclassiﬁcació permatèriesMSC2010.

Lesversionsdeﬁnitivesdelsarticlesacceptatss’handepresentarencodiTEX,preferentmentenl’estilLATEXpropidel Butlletí.Aquestestilespot obteniralespàgineswebdelaSocietatCatalanadeMatemàtiques(SCM).Fem notarqueenaquestapublicaciós’utilitzapreferentmentelpuntperaseparar decimals,enllocdelacomarecomanadaperl’IEC,perapoderfacilitarla comprensiódelesexpressionsmatemàtiques.Pertald’accelerarelprocésde producció,espregaalsautorsquesegueixinlesindicacionscontingudesenel documentd’exemple.

Laversióenpaperdel Butlletí s’imprimeixenblancinegre.Quanun articlecontinguifiguresencoloriesconsidericonvenient,l’autorproporcionarà unaversiódelsgràficssubstituintelcolorpertonsdegrisosilíniesdegruix variable.Aixímateix,modificaràelscomentarisquefacinreferènciaalcolorde lesfigures.Enqualsevolcas,el Butlletí publicaràl’originalencolorenelseu formatelectrònic.

Lapropietatintel.lectualdelsarticlesésdelsrespectiusautors.

Elsautors,enelmomentdelliurarelsarticlesal Butlletí perasol.licitar-ne lapublicació,acceptenelstermessegüents:

—ElsautorscedeixenalaSCM(ﬁlialdel’Institutd’EstudisCatalans)els dretsdereproducció,comunicaciópúblicaidistribuciódelsarticlespresentats peraserpublicatsal Butlletí.

—ElsautorsresponendavantlaSCMdel’autoriail’originalitatdelsarticles presentats.

—Ésresponsabilitatdelsautorsl’obtenciódelspermisosperalareproducciódetotelmaterialgràﬁcinclòsenelsarticles.

—LaSCMestàexemptadetotaresponsabilitatderivadadel’eventual vulneraciódedretsdepropietatintel.lectualperpartdelsautors.

CadaautorrebràunacòpiaenPDFd’altaqualitatdelaversiódigitaldelseu articleiunexemplarimprèsdelnúmerodel Butlletí enelqualespubliqui.

Lacorrespondènciaadministrativarelacionadaambel Butlletí s’had’adreçaralaSCM.

Pelquefaalaprotecciódedadespersonals,l’Institutd’EstudisCatalans(IEC) compleixelqueestableixelReglamentgeneraldeprotecciódedadesdelaUnió Europea(Reglament2016/679,del27d’abrilde2016).Deconformitatamb aquestanorma,s’informaque,ambl’acceptaciódelesnormesdepublicació, elsautorsautoritzenquelessevesdadespersonals(nomicognoms,dadesde contacteidadesdeﬁliació)puguinserpublicadesenelcorresponentvolum del Butlletí.

Aquestesdadesseranincorporadesauntractamentqueésresponsabilitat del’IECamblafinalitatdegestionaraquestapublicació.Únicaments’utilitzaranlesdadesdelsautorsperagestionarlapublicaciódel Butlletí ino serancedidesatercers,niesproduirantransferènciesatercerspaïsosoorganitzacionsinternacionals.Uncoppublicatel Butlletí,aquestesdadeses conservarancomapartdelregistrehistòricd’autors.Elsautorspodenexercir elsdretsd’accés,rectificació,supressió,oposició,limitacióeneltractament iportabilitat,adreçant-seperescrital’Institutd’EstudisCatalans(carrerdel Carme,47,08001Barcelona),obéenviantuncorreuelectrònical’adreça dades.personals@iec.cat,enquès’especifiquidequinapublicacióestracta.

Comitèeditorial

AntoniGuillamon(editorencap)

DepartamentdeMatemàtiques UniversitatPolitècnicadeCatalunya antoni.guillamon@upc.edu

CarmeCascante

Dep.deMatemàtiquesiInformàtica UniversitatdeBarcelona cascante@ub.edu

BartomeuColl

Dep.deMatemàtiquesiInformàtica UniversitatdelesIllesBalears tomeu.coll@uib.cat

NúriaFagella

Dep.deMatemàtiquesiInformàtica UniversitatdeBarcelona fagella@maia.ub.es

ArmengolGasull

DepartamentdeMatemàtiques UniversitatAutònomadeBarcelona gasull@mat.uab.cat

GáborLugosi

ICREAiDepartamentd’Economia UniversitatPompeuFabra gabor.lugosi@upf.edu

RosaCamps(editoraadjunta)

DepartamentdeMatemàtiques UniversitatAutònomadeBarcelona rcamps@mat.uab.cat

MarcNoy

DepartamentdeMatemàtiques UniversitatPolitècnicadeCatalunya marc.noy@upc.edu

FrancescPlanas

DepartamentdeMatemàtiques UniversitatPolitècnicadeCatalunya francesc.planas@upc.edu

JoanSaldaña

Dep.d’Informàtica,Mat.AplicadaiEstadística UniversitatdeGirona joan.saldana@udg.edu

MartaSanz-Solé

Dep.deMatemàtiquesiInformàtica UniversitatdeBarcelona marta.sanz@ub.edu

GilSolanes

DepartamentdeMatemàtiques UniversitatAutònomadeBarcelona solanes@mat.uab.cat

SocietatCatalanadeMatemàtiques

La SocietatCatalanadeMatemàtiques(SCM) ésunasocietatﬁlialdel’Institutd’EstudisCatalans,quecontinualesactivitatsdelaSecciódeMatemàtiques delaSocietatCatalanadeCiències,quefoufundadaperl’Institutl’any1931. Lesﬁnalitatsdela SCM són:elconreudelesciènciesmatemàtiques,l’extensió delseuconeixementenlasocietatcatalana,elfomentdelseuensenyament idelasevainvestigacióteòricaiaplicada,aixícomlapublicaciódetotamena detreballsques’adeqüinaaquestsobjectius.La SCM desenvolupalesseves activitatsenlesterresdellenguaiculturacatalanes.Elcatalàés,doncs,la llenguapròpiadela SCM ilaqueésusadanormalmententotselsseusactesi publicacions.

La SCM editalespublicacionsperiòdiques SCM/Notícies i Butlletídela SocietatCatalanadeMatemàtiques.Elssocisdela SCM reben,gratuïtament, aquestesduespublicacions.

La SCM téconvenisdereciprocitatambdiversessocietatsmatemàtiques d’arreudelmón,mitjançantelsqualselssocisdela SCM obtenenunareduccióenlaquotadesocid’aquestessocietats.Aixímateix,elssocisdela SCM podenfer-sesocisdelaSocietatMatemàticaEuropeapagantunaquota complementària.

LaJuntaDirectivadela SCM estàconstituïdaperlespersonessegüents:

Presidenta:DolorsHerberaiEspinal

Vicepresident:JosepVivesiSanta-Eulàlia

Adjuntalavicepresidència:AbrahamdelaFuentePérez

Secretària:ImmaculadaBaldomáiBarraca

Tresorer:AlbertGranadosiCorsellas

VocalEmpresa:AleixRuizdeVilla

VocalPublicacions:MontserratAlsinaiAubach

Vocals:JosepGranéiManlleu,MireiaLopeziBeltran,AlbertRuizi Cirera,ManelUdinaiAbelló

Delegadadel’IEC:PilarBayeriIsant

L’adreçadela SCM éscarrerdelCarme,47,08001Barcelona.Telèfon: 933248583.Fax:932701180.Correuelectrònic: scm@iec.cat.Adreçaweb: http://scm.iec.cat.