Segundo Ciclo del Nivel Básico
MÓDULO 6 El espacio tridimensional Taller 3 Volumen de cuerpos geométricos.
Autoras Dra. Leandra Tapia Dra. Nurys del Carmen González Noviembre 2012
Denia
Printcorp Servicios Grรกficos Corporativos, S.R.L.
Segunda Edicion, noviembre 2012
CONTENIDO
Taller 3 Volumen de cuerpos geomĂŠtricos.
7
Actividad 1
7
Actividad 2
8
Actividad 3
9
Actividad 4
10
Actividad 5
11
Actividad 6
13
Actividad 7
15
Actividad 8
17
Actividad 9
20
Actividad 10
22
Actividad 11
23
Actividad 12
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Actividad 13
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Actividad 14
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Actividad 15
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Anexos
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TALLER 3 Volumen de cuerpos geométricos.
Simbologías Trabajo Individual Trabajo en Pareja Trabajo en Grupo Puesta en Común
Taller 3 Conos, cilindros y esferas. Volumen. Unidades cúbicas.
ACTIVIDAD 1 Volumen El cuerpo que muestra la figura siguiente está formado por una superposición de piezas de un centímetro cúbico cada una.
c = 5 cm
b = 3 cm a = 7 cm ¿Qué cantidad de piezas hay a lo largo de la arista a? ¿Qué cantidad de piezas hay a lo largo de la arista b? ¿Qué cantidad de piezas hay a lo largo de la arista c? ¿Cuántas piezas hay en la capa del fondo? ¿Cuántas capas hay? ¿Cuántas piezas hay en total? ¿Cuántos centímetros cúbicos (cm3) hay en total? Se puede afirmar que el volumen del cuerpo es V = a x b x c ?. Justificar su respuesta.
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ACTIVIDAD 2 Volumen del prisma Seleccionen las barajas (fichas, cartulina del mismo grosor y tamaño, etc.) que indica el profesor y realicen lo que se les pide: Coloquen sobre sus mesas las barajas de forma similar a las de la pila (a), (b) y (c) siguientes: En la (a) forman un prisma recto. En las (b) y (c) las barajas o cartulinas se han movido y deslizado. Luego respondan:
a
b
c
Observen cada apilamiento de barajas. Si se considera a cada baraja como una sección paralela a la base, ¿ha variado la altura con el deslizamiento?. ¿Qué se puede afirmar del volumen del prisma (a) en relación al volumen de (b) y en relación al volumen de (c) ?.
Si se construye un prisma superponiendo pentágonos congruentes de cartulina y luego se deslizan las cartulinas, ¿variará el volumen?.
¿Se podría afirmar que el volumen de cada prisma o cuerpo depende del área que tiene la baraja y de la cantidad de barajas que hay en el apilamiento? Justifiquen su respuesta.
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ACTIVIDAD 3 Problemas
¿Cuántos centímetros cúbicos se necesitan para rellenar el prisma siguiente cuyas aristas miden 6 cm, 3 cm, y 4 cm?.
Observe cómo se dispondrán los centímetros cúbicos:
3
¿Cuántos cm se necesitan para completar la capa sobre la base? ¿Se podría afirmar que se requieren 6 x 3 cm? ¿Cuántas capas de 6 x 3 cm se necesitan para completar el prisma? ¿Cuál es el volumen del prisma? ¿6 cm x 3 cm x 4cm? ¿Se puede afirmar que el volumen del prisma es V = B x h, con B igual al área de la base del prisma y h su altura? Justifique su respuesta.
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ACTIVIDAD 4 El Principio de Cavalieri Investiguen qué dice el Principio de Cavalieri. Utilicen la imagen siguiente para explicar el Principio de Cavalieri
Si se construyen dos prismas de la misma altura, uno de base rectangular y el otro de base pentagonal, tal que el área de la base uno sea igual al área de la base del otro, por el Principio de Cavalieri, ¿qué se puede afirmar de los volúmenes de ambos prismas?
Por el Principio de Cavalieri, el volumen de un prisma de base cualquiera será igual al volumen de un prisma de base rectangular con la misma área de la base. Vprisma = B × h Donde B es el área de la base y h es la altura del prisma.
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ACTIVIDAD 5
Cálculo de volúmenes Determine el volumen de cada prisma dado a continuación:
5 cm
5 cm
16.3 cm 13 cm
8 cm 14.5 cm
Para determinar el volumen de un prisma se utiliza la fórmula: V=Bxh Donde la B representa el área de la base. Es importante saber qué tipo de prisma se trata en cada caso ya que B dependerá de qué polígono sea la base.
En el gráfico anterior el prisma de la izquierda es triangular. En ese sentido, B es el área de un triángulo. El prisma de la derecha es un prisma rectangular. En ese caso, B es el área de un rectángulo. ¿Cuánto mide h en cada caso?
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ACTIVIDAD 5 Calculen el volumen de cada uno de los prismas siguientes: 5 cm
5 cm
24 cm
6 cm
14 cm
10 cm 5.2 cm
4 cm
6 cm
6 cm
¿Cuántos pies cúbicos de cemento se requieren para preparar una zapata si el hueco excavados de 18 pies de largo por 16 pies de ancho por 24 pies de profundidad?
¿Cuál es el volumen de un prisma hexagonal cuya altura mide 20 cm y el área de la base mide 63 cm2? Hallen el volumen de un cubo cuya arista mide 8 cm. 12 cm
Calculen el volumen del prisma colocado a la derecha. 8 cm 18 cm
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ACTIVIDAD 6 Volumen de un cilindro ¿Se puede construir un prisma rectangular y un cilindro de igual altura, de forma que el área de la base del prisma sea igual al área de la base del cilindro? .
Como la base del cilindro es un círculo, ¿podría considerarse este círculo como el límite al que llegaría un polígono cuyos lados aumentan indefinidamente? Justifiquen su respuesta.
Por el Principio de Cavalieri, ¿qué se puede afirmar de los volúmenes del prisma y el cilindro de igual altura y cuyas bases tienen igual área?
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ACTIVIDAD 6
Por el Principio de Cavalieri, el volumen de un prima y un cilindro con igual área de la base e igual altura es: Vcilindro = B × h
Como el área de la base cilindro es B = π r2, entonces el volumen de un cilindro es: Vcilindro = π r2 × h
Argumenten por qué es posible afirmar que por el Principio de Cavalieri el volumen de un cilindro se determina mediante la fórmula Vcilindro = π r2 × h
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ACTIVIDAD 7
Resolución de problemas Lean el problema siguiente: Un silo tiene 35m de altura y 16 metros de diámetro interior. ¿Qué cantidad de trigo cabe en el silo, en metros cúbicos? Respondan: ¿Qué es un silo?
Para resolver el problema, ¿por qué es importante saber lo que es un silo?
¿Cuál es la pregunta que se debe responder?
¿Qué se debe hacer para responderla?
¿Con cuáles datos se cuenta para responderla?
¿Se cuenta con los datos suficientes para responder la pregunta?
¿Qué estrategia seguirá para responderla?
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ACTIVIDAD 7 A continuación se presenta una resolución. Justifique cada paso.
Resolución del problema:
Razones
V=Bxh
B = π x r2
r=8m
B = (3.1416) x (8 m)2 = (3.1416) x 64 m2 = 201.06 m2
V = (201.06 m2) x (35 m) = 7,037.1 m3
En el silo caben 7,037.1 m3 de trigo
Presenten sus resultados en la puesta en común.
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ACTIVIDAD 8 Experimento Grupo 1 En la caja de cuerpos geométricos seleccionen un prisma y una pirámide huecos que tengan igual base e igual altura. Llene, completamente, el interior de la pirámide con agua, arena, azúcar o polvo talco, etc. y viértalo en el interior del prisma. ¿Cuántas veces es necesario llenar la pirámide de agua, arena, etc. y verterla en el prisma para que éste quede completamente lleno? h
¿Qué se puede decir acerca del volumen del prisma respecto del volumen de la pirámide?
Escriban una fórmula para determinar el volumen de la pirámide.
Presenten su resultado en la puesta en común. Entonces se puede afirmar que:
volumen de una pirámide es igual a un tercio del producto del área de su base B por su altura h:
V
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B h 3
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ACTIVIDAD 8 Grupo 2 En la caja de cuerpos geométricos seleccione un cilindro y un cono huecos y de igual base e igual altura. Llene, completamente, el interior del cono con agua, arena, azúcar o polvo talco y viértalo en el interior del prisma. ¿Cuántas veces es necesario llenar el cono de agua, arena, azúcar o polvo talco y verterlo en el cilindro para que este quede completamente lleno? h
¿Qué se puede decir acerca del volumen del cilindro respecto al volumen del cono?
Escriba una fórmula para determinar el volumen del cono.
Presenten su resultado en la puesta en común.
El volumen de un cono es igual a un tercio del producto del área de su base B por su altura h:
V
B h 3
Si no se dispone de los cuerpos geométricos, entonces puede construir un prisma, un cono y una pirámide cuyos patrones se presentan en el anexo.
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ACTIVIDAD 8 Grupos 1 y 2 Completen las preguntas siguientes:
Altura: 9 cm
Se hallará el volumen de una pirámide rectangular cuya base mide 20 cm2 y su altura mide 9 cm. Al leer comprensivamente el problema, se entiende que en el mismo se pide buscar el volumen de una pirámide rectangular. Para dar mayor claridad a las ideas se hace un dibujo de la pirámide.
Area de la base: 20 cm
2
A partir de este paso se determinan cuáles son los datos. Esto es, de qué se dispone para obtener el volumen pedido.
Los datos son: Área de la base: B = 20 cm2 h = 9 cm Respondan: 2
¿Por qué se puede afirmar que 20 cm es el área de la base?.
¿Son suficientes el área de la base y la altura para obtener el volumen de una pirámide rectangular?.
En la fórmula del volumen de una pirámide se sustituyen los datos y se efectúan los cálculos:
V
V
B h 3
20cm 2 9cm 180cm3 60cm3 3 3 3
Solución: El volumen de la pirámide es: V= 60 cm . Sin plantear ni resolver otro problema, ¿se puede decir cuál es el volumen de un prisma rectangular de igual base e igual altura a la pirámide dada?
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ACTIVIDAD 9 Metodología de Polya Polya (1945) planteó una metodología para la resolución de problemas. El proceso propuesto está compuesto por cuatro etapas fundamentales. Estas son: 1. Comprender el problema. - Leer el enunciado despacio y comprensivamente. - Poder determinar qué se busca. - Obtener cuáles son los datos - Ayuda tratar de hacer un dibujo de la situación. - Busca la relación entre los datos y las incógnitas.
2. Trazar un plan para resolver el problema, estando abiertos a explorar diferentes caminos, si estos surgen.
3. Poner en Práctica el plan.
4. Comprobar los resultados.
Resuelvan el problema siguiente, usando las etapas de Polya: Una fosa tiene 8 m de largo, 6 m de ancho y 4m de profundidad. ¿Qué cantidad de metros cúbicos de material de construcción se requiere para tapar completamente la fosa? Primera etapa: 1. Comprender el problema Lean comprensivamente el enunciado del problema. ¿Cuál es la pregunta que hay que responder? ¿Con cuáles datos se cuenta para trabajar? ¿Se tienen todos los datos que se requieren? ¿Vale la pena representar la fosa? La representación puede ser:
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ACTIVIDAD 9 Segunda etapa: Trazar un plan Se está ante un problema sencillo. Se ha dibujado un prisma y para calcular la cantidad de material para llenar la fosa es necesario saber cuál es el volumen de la fosa. La fosa tiene forma de prisma y se conocen las tres dimensiones necesarias para calcular su volumen: largo, ancho y alto. Así, la estrategia será primero calcular el área de la base del prisma y este resultado multiplicarlo por la altura del prisma. Tercera etapa: Poner en práctica el plan En esta etapa es importante acompañar cada operación matemática de una explicación de lo que se hace y para qué se hace. Si se tropieza con alguna dificultad u obstáculo, se analiza la estrategia y se reordenan las ideas, se vuelve a comenzar y probar de nuevo. Se recuerda que los procesos de pensamiento no son lineales y es natural que una idea no resulte. No hay nada de malo en recomenzar. Se aprende en cada intento y en cada propuesta de resolución que se plantea. Vale la pena cultivar con los estudiantes las discusiones y heurísticas en torno a cuáles serían los mejores caminos para explorar la resolución de un problema y fundamentalmente el por qué de cada uno de ellos. A continuación el proceso de resolución. Respondan las preguntas:
¿Por qué? B = 8 m x 6 m = 48 m2
¿Por qué? V = 48 m2 x 4 m = 192 m 3
¿Por qué? 3
Para tapar la fosa se requiere 256 m de material
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ACTIVIDAD 9 Cuarta etapa. Comprobar los resultados Para tapar la fosa se requiere 256 m3 de material. ¿Se puede comprobar la solución? ¿Hay algún otro modo de resolver el problema? ¿Se puede encontrar alguna otra solución? ¿Qué tipo de unidad de medida es más utilizada en el país? Convierte la solución a otra unidad de medida.
ACTIVIDAD 10 Resolver problemas Resuelvan el problema siguiente usando las etapas de Polya: En un almacén de dimensiones 5 m de largo, 3 m de ancho y 2 m de alto se necesita almacenar cajas de dimensiones 10 dm de largo, 6 dm de ancho y 4 dm de alto. ¿Cuantas cajas se podrá almacenar? Recuerden en el proceso poner atención a los aspectos siguientes: Realizar un esquema o dibujo que permita “ver” el problema y aporte a la comprensión del mismo.
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ACTIVIDAD 10
Se debe trabajar con una sola unidad de medida, “o todas en dm o todas en m”. Sin embargo, aunque parezca una decisión personal no lo es. No tiene mucho sentido trabajar en dm si las dimensiones del almacén están dadas en metros. ¿Por qué se hace esta afirmación?
Es tan importante saber el volumen del almacén como el volumen que ocupa cada caja. ¿Por qué?
ACTIVIDAD 11 Etapas A continuación se presentan tres problemas resueltos. Organicen cada resolución de acuerdo a las etapas de Polya ofreciendo en cada una, las justificaciones y explicaciones de por qué se hace un determinado cálculo o se sigue un determinado camino en la resolución.
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ACTIVIDAD 11 Problema 1. Calcula el volumen de un cono cuya altura mide 4 cm y el radio de la base es de 3 cm.
Problema 2. Calcula el volumen, en centímetros cúbicos, de una habitación que tiene 5 m de largo, 40 dm de ancho y 2500 mm de alto.
Problema 3 Calcula el área lateral, total y el volumen de un cono cuya generatriz mide 13 cm y el radio de la base es de 5 cm.
Solución:
Solución:
Solución:
.
L argo = 5 m Ancho = 40 dm = 4 m Alto = 2,500 mm = 2.5 m V = 5 x 4 x 2.5 = 50,000,000 cm3
50 m
3
=
2
Alateral = π x 13 x 5 = 204.20 cm 2 Area total = ( π x 13 x 5) + ( π x 5 )= 2 282.74 cm
2
3 4 V 37.70cm 3 3
13
2
=h
2
+5
132 52 12cm 2
h= V
V
2
2
5
52 12 314.159cm3 3
Explique sus respuestas en la puesta en común.
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ACTIVIDAD 12
Resuelvan los problemas siguientes: Idear un problema que pueda ser resuelto de la siguiente manera:
V
B h 3
V
20cm 2 9cm 180cm3 60cm3 3 3
Idear un problema para el cual se requiera utilizar el prisma siguiente:
Una fábrica de aluminio desea cuadruplicar la capacidad de una lata cilíndrica. ¿Cuál de las siguientes variaciones debe efectuar sobre la lata? Duplicar solo el radio de la base. Duplicar solo la altura de la lata. Cuadruplicar solo el radio de la base. Duplicar el radio de la base y la altura de la lata.
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ACTIVIDAD 12 Utilicen las etapas de Polya para hacer un planteamiento y estrategia de resolución para cada problema siguiente: Calculen el volumen de una pirámide de 8 pies de altura y 25 pies cuadrados de área de la base.
Calculen el volumen de una pirámide cuadrada de 12 centímetros de altura y base con 3 centímetros de lado.
Calculen el volumen de una pirámide que tiene 18 unidades de altura y 72 unidades cuadradas de base.
Calculen el volumen de una pirámide rectangular con 7 unidades de altura y base con lados de 3 y 5 unidades respectivamente.
Calcule el área lateral, total y el volumen de una pirámide cuadrangular de 10 cm de arista de la base y 12 cm de altura.
Un cilindro tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la base y la altura mide 31.42 cm. Calculen el volumen del mismo.
Un recipiente cilíndrico hecho de fibra de vidrio transparente, de 1.5 m de radio y 2.5 m de altura, se piensa trasladar a una fiesta de cumpleaños para llenarlo de juguetes y rifarlo entre los participantes. ¿Cabe el recipiente en la habitación? ¿Qué espacio ocupará en una habitación con forma de prisma cuadrangular con 3 m de arista?
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ACTIVIDAD 13 Experimento Seleccionen de la caja de cuerpos geométricos un cilindro y una esfera, tal que la altura del cilindro y el diámetro de su base sean iguales al diámetro de la esfera. Llenen la esfera de agua, arena, azúcar o polvo talco, etc. y viértala en el cilindro. ¿Qué parte del cilindro ocupa el agua vertida? ¿Cómo lo averiguó?
Compruébelo. Como consecuencia de lo anterior, ¿cómo es el volumen de la esfera respecto al volumen del cilindro?
Entonces:
La fórmula para calcular el volumen de una esfera es:
V=
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4 r3 3
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ACTIVIDAD 14
Volumen de la esfera Halle el volumen de las esferas siguientes:
r
r = 9 cm
r
r = 13 cm
Utilizar cada etapa de Polya para plantear y resolver el problema siguiente: Calcular el volumen de una esfera inscrita en un cilindro de 2 m de altura. Primera etapa Como parte de la primera etapa se le da el dibujo siguiente:
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ACTIVIDAD 14 ¿Por qué es una buena visualización del problema? ¿Qué ventajas ofrece disponer de un dibujo?.
¡Siga usted! Un cubo de 30 cm de arista se ha llenado de agua. Con esa agua, ¿puedo llenar una esfera de 30 cm de radio?
ACTIVIDAD 15 Tarea
1. Prepárese para realizar la prueba escrita del módulo 5.
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Anexo
ACTIVIDAD 16 Sin tapa
15 cm
10 cm
15 cm
10 cm Sin base
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Impreso en Santo Domingo, Reública Dominicana Por Printcorp Servicios Gráficos Corporativos, S.R.L. 825 Ejemplares
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