Segundo Ciclo del Nivel Básico
MÓDULO 6 El espacio tridimensional Taller 2 Conos, cilindros y esferas. Volumen. Unidades cúbicas. Autoras Dra. Leandra Tapia Dra. Nurys del Carmen González Noviembre 2012
Denia
Printcorp Servicios Grรกficos Corporativos, S.R.L.
Segunda Edicion, noviembre 2012
CONTENIDO
Taller 2 Conos, cilindros y esferas. Volumen. Unidades cĂşbicas.
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Actividad 1
8
Actividad 2
8
Actividad 3
10
Actividad 4
11
Actividad 5
12
Actividad 6
13
Actividad 7
15
Actividad 8
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Actividad 9
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Actividad 10
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Actividad 11
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Actividad 12
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Actividad 13
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Anexos
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TALLER 2 Conos, cilindros y esferas. Volumen. Unidades cúbicas.
Simbologías Trabajo Individual Trabajo en Pareja Trabajo en Grupo Puesta en Común
Taller 2 Conos, cilindros y esferas. Volumen. Unidades cúbicas.
ACTIVIDAD 1 Cilindros ¿Qué forma tienen los objetos de las fotografías siguientes? Nombre cada uno de ellos.
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ACTIVIDAD 1 Nombre otros objetos que tengan forma de cilindro. Los cilindros pueden ser rectos u oblicuos.
Un cilindro es recto si sus bases son círculos paralelos, perpendiculares al eje del cilindro. Cuando esto no ocurre son cilindros oblicuos.
ACTIVIDAD 2 Área lateral y total de un cilindro ¿Podemos considerar al cilindro circular recto como un caso especial de prisma recto? Justifiquen su respuesta.
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ACTIVIDAD 2 Imagínense un prisma cuya base es un polígono regular de 50 lados. Si el perímetro de dicho polígono permanece igual y en vez de 50 lados tiene 100, 1,000, 1,000,000, más de un millón de lados, el número de lados aumenta de forma indefinida, ¿cuántas caras laterales tienen estos prismas?
En tal caso, se puede afirmar que cuando se aumenta el número de caras laterales del prisma en forma indefinida, éste deviene en un cilindro, es decir, su forma se aproxima cada vez más a la de un cilindro.
De lo anterior se concluye que el área lateral de un cilindro se calcula igual que el área lateral de un prisma que tiene infinitos lados. Entonces, la superficie lateral del cilindro da lugar a un rectángulo con un lado de longitud igual a la longitud de la circunferencia de la base C = 2 r, cuya altura es igual a la altura h del cilindro.
Recuerden: El área del círculo es ACírculo = r2
Por lo anterior las áreas laterales y totales de un cilindro se calculan de la forma siguiente:
Área lateral del cilindro es igual al perímetro de la base por la altura ALateral = C h ALateral = 2 r h Área total del cilindro: área lateral más dos veces el área de la base ATotal = 2 r h + 2 r 2
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ACTIVIDAD 3 Conos Observen las imágines siguientes, ¿qué forma tienen?
Nombren otros objetos de forma cónica.
En un cono circular recto, la base es un círculo y es perpendicular al eje del cono. El eje y la altura son el mismo segmento. Los elementos principales de un cono son los siguientes:
Vértice
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ACTIVIDAD 4 Área lateral y total de un cono Consideren el cono circular recto como un caso especial de pirámide: una pirámide en la que aumentó el número de lados indefinidamente. ¿Cómo obtendrían la fórmula para calcular el área lateral y total del cono? Háganlo. Escriban el proceso seguido. Los resultados son:
Pirámide
p a 2 p a Área total: T B 2 Área lateral: L
Cono
2 r g rg 2 pa 2 Área total: T B rg r 2 Área lateral: L
¿Cuál es el área lateral y total del cono siguiente?
Para calcular g, ¿qué procedimiento utilizan?
Hagan los cálculos necesarios y respondan la pregunta del problema
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ACTIVIDAD 5 La esfera Imagínense una esfera como un poliedro con una cantidad de caras infinitamente grande. Piensen en una pelota de jugar fútbol, o en este poliedro.
Los elementos de la esfera son los siguientes:
simiesfera
Busquen una esfera de la caja de materiales y señalen sus elementos.
Nombren objetos que tengan forma de esfera.
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ACTIVIDAD 6
Superficie de la esfera Tomen una esfera de esterofón de la caja de materiales, hilo de lana y alfileres. Realicen el proceso siguiente: Claven un alfiler en la superficie de la esfera, este será uno de los polos. Enrollen el hilo desde el polo tratando de cubrir toda la superficie de la esfera. Pueden utilizar alfileres para sujetar los hilos. Corten el hilo sobrante. Desenrollen el hilo y córtenlo a la mitad. Cada mitad del hilo cubría la superficie de la mitad de la esfera, es decir, cubre una semiesfera. Dividan la esfera en dos partes exactamente iguales. Es decir, divídanla en dos semiesferas. Marquen el centro del círculo en la base de la semiesfera con un alfiler. Desde él enrollen uno de los dos trozos de hilo hasta cubrir todo el círculo. ¿Qué parte del hilo utilizaron para cubrir el círculo?, ¿la mitad?.
Esta parte del hilo, ¿qué parte de la esfera cubre?.
¿Pueden afirmar que la superficie de la semiesfera es igual a dos veces la superficie del círculo base de la semiesfera?.
¿Qué pueden concluir de la superficie de la esfera, cuántas veces es respecto de la superficie del círculo que pasa por su centro?.
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ACTIVIDAD 6
La superficie de una esfera es igual a cuatro veces la superficie del círculo que pasa por su centro: ACírculo = r S Esfera = 4 r
2
2
Calculen el área de la superficie de las esferas siguientes:
r = 7 cm
r = 12 cm
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ACTIVIDAD 7
Volumen Un almacén tiene acumulada sobre una plataforma las cajas siguientes, ¿cuántas cajas hay?
¿Cómo lo averiguaron?
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ACTIVIDAD 7 Si toma
como unidad de medida, ¿cuál es el volumen de cada figura?
¿Cuántas unidades cúbicas llenan estas cajas?
Unidad
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ACTIVIDAD 8 Volumen de una caja En la caja siguiente, ¿cuántas unidades se necesita para cubrir la base de la caja?
Unidad
¿Cómo lo averiguaron?
Si se forma una segunda capa, ¿tendrá en mismo número de unidades?, ¿por qué?
¿Cuántas capas iguales se necesita para completar la caja?
¿Cuántas unidades caben en la caja?
¿Esto significa que puedo multiplicar la cantidad de unidades de la primera capa por 3? ¿Por qué?
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ACTIVIDAD 9
¿Qué es un metro cúbico? Un cubo de un metro de lado, ¿cómo lo imaginan?
Busquen metros cuadrados de los construidos en el módulo 3. Formen un cubo utilizando los metros cuadrados como lado: podemos decir que el cubo formado delimita un metro cúbico.
Expresen verbalmente lo que entienden por metro cúbico.
Averigüen cuántos metros cúbicos caben en el aula en que dan clases.
Expliquen cómo lo averigüaron.
3
3
Construyan un dm y un cm . Pueden utilizar un patrón como el que utilizaron para construir
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ACTIVIDAD 10
Aplicación Resuelvan el problema siguiente: En el almacén de Don José necesitan almacenar 150 cajas de mercancía. Las cajas tienen forma de cubo de 1 m de lado. Si la habitación que disponen para el almacenaje es de 4 m de ancho, 10 m de largo y 3 m de altura, ¿caben en él todas las cajas?
Para responder esta pregunta hagan un esquema de la situación presentada:
Para averiguar cuántas cajas pueden acomodar, ¿cómo lo hicieron? Justifiquen su respuesta.
Expliquen cómo encontraron el resultado.
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ACTIVIDAD 11
El metro cúbico Observen el gráfico siguiente.
¿Qué ilustra el gráfico?
¿Cuáles relaciones permite visualizar?
¿Cuántos decímetros cúbicos, dm3, componen el metro cúbico, m3?
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ACTIVIDAD 11 ¿Cómo lo averiguaron?
3
¿Cuántos centímetros cúbicos forman un dm ? 3
¿Cuántos centímetros cúbicos forman un m ? 3
Si dividimos un cm en 1000 unidades cúbicas iguales, cada una se denomina milímetro cúbico, 3 mm . ¿Cuántos mm3 hay en un dm3? ¿Y en un m3? ¿Cuántos dm3 hay en un m3? ¿Cuántos cm3 hay en un dm3?
1000 m3 conforman un decámetro cúbico, Dm3; 1,000 Dm3 conforman un hectómetro cúbico, Hm3; 1000 Hm3 conforman un kilómetro cúbico, Km3.
3
¿Cuántos metros cúbicos contiene un km ? 3
3
¿Cuántos dm hay en un Km ? ¿Cuántos mm3 hay en un Km3? Complete: 3
3
4 m = _______ dm . 5 dm3 = _______ mm3. 2 Km3 = _______ Dm3. 43 cm3 = _______ dm3. Presenten en la puesta en común las estrategias utilizadas para realizar las conversiones.
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ACTIVIDAD 12
El decímetro cúbico Observen la ilustración siguiente. Busquen en la actividad anterior la parte de la gráfica 3 que ilustra el dm . Compárenla con la siguiente. Esta nueva ilustración, ¿les ayuda a visualizar los 1000 cm3 que forma un dm3?
1 decímetro cúbico, dm3, está formado por 1,000 centímetros cúbicos, cm3;
Completen: 3
3
2 dm =
cm .
4 dm3 =
mm3.
20037 mm3 = 3
12 cm =
cm3. 3
dm .
Presenten en la puesta en común las estrategias utilizadas para realizar las conversiones.
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ACTIVIDAD 13 Tarea 1. La ilustración siguiente muestra una construcción en PVC que delimita un metro cúbico.
¿Cuánto mide cada uno de los lados? ¿De qué están construidos los vértices? Construyan uno por centro educativo. Tráiganlo al próximo taller si le es posible. Los que no puedan, traigan una foto.
2 Para cada uno de los problemas siguientes:
Realicen un dibujo que represente la situación presentada. Resuelvan el problema. Escriban la o las respuestas. a. Se desea construir gorros de forma cónica para el cumpleaños de Laura. ¿Cuánta cartulina se necesita para construir un gorro de 15 cm de radio y 25 cm de generatriz? ¿Cuánta cartulina utilizará para construir 20 gorros?
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ACTIVIDAD 13
m 25 c 15 cm
b. Calcule el área lateral y el área total de un cono cuya generatriz mide 13 cm y el radio de la base mide 5 cm. c. Calcule la cantidad de hojalata que se necesitará para construir 10 latas de forma cilíndrica de 4 dm de diámetro y 6 dm de altura. d. El radio de la tierra, suponiendo que es una esfera prefecta, es aproximadamente 6,370 km. Calcule: Longitud del ecuador. El área de la superficie terrestre.
3. Busque en el libro de texto de sus estudiantes cuáles de los temas trabajados en este taller se trabajan en el, también en el texto.
a. Revise los contenidos trabajados y las actividades propuestas. b. Realice todos los ejercicios planteados. ¿Pudo resolverlos? c. ¿Qué estrategia puede utilizar para resolverlos? d. Una de las estrategias que puede utilizar es ingresando al foro propuesto en el blog del diplomado. Puede ingresar y realizar sus consultas en:
Blog del Diplomado: http://www.matematicaparadocentes.blogspot.com/ Correo electrónico del módulo: ensenanzadelamatematica.intec@gmail.com Todos los que ingresen y consulten al foro recibirán 10 puntos extras en la evaluación del módulo.
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ANEXO
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Impreso en Santo Domingo, Reública Dominicana Por Printcorp Servicios Gráficos Corporativos, S.R.L. 825 Ejemplares
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