Résolution des problèmes aux limites de Laplace en cylindriques 3D par les transformations de Hankel et les transformations de Kontorovich-Lebedev– p 212
Méthode de résolution des problèmes aux limites de l'équation de Laplace en coordonnées cylindriques 3D sur des domaines non bornés par les transformations intégrales de Hankel On aborde en quelques pages les problèmes aux limites cylindriques sur des domaines non bornés radialement et partiellement bornés sur l'axe z. Les conditions aux limites sur l'axe z sont inhomogènes. Les solutions de base obtenues par séparation sont les suivantes dans le cas où les conditions aux limites présentent une dépendance d'angle polaire : T ( r , , z ) A Cos (n ) B Sin( n ) C Cosh(z ) D Sinh(z ) E J n (r ) F Yn (r ) . Si les conditions aux limites sont axi-symétriques (pas de dépendance d'angle polaire), alors les solutions se restreignent au cas n=0 : T ( r , z ) C Cosh (z ) D Sinh(z ) E J 0 (r ) F Y0 (r ) Si le domaine radiale est non borné, par exemple r€[0,+∞], dans ce cas les solutions séparables ne forment pas en général un système à partir duquel on peut développer une série discrète de fonctions propres notamment parce que les conditions de finitude des solutions ne peuvent être respecter en même temps en 0 et +∞ pour les fonctions radiales. Si le domaine est non borné supérieurement, r€[r0,+∞], alors toute fonction de la forme : Y0 (r0 ) J 0 (r ) Y0 (r ) J 0 (r0 ) respecte manifestement une condition aux limites homogène de Dirichlet en r=r0, mais pas la condition de finitude en r=+∞. Devant cette impossibilité de construction, on peut envisager des formes intégrales comme solutions d'un problème aux limites axi-symétrique non borné en r€[0,+∞] et borné en z avec des conditions aux limites inhomogène en z€[0,z0], soit proposer une solution de la forme :
T (r , z )
d J
0
(r )C Cosh(z ) D Sinh(z )
. Les coefficients C et D sont alors devenus des fonctions du paramètre d'intégration que l'on peut considérer variant dans spectre continu de valeur propre λ. Pour cela on est aidé par l'existence d'une transformation de Hankel qui garantie le développement de toute fonction ayant les propriétés adéquates en un couple de formes intégrales dénommées couramment intégrales de Fourier-Bessel. 0
La plupart des exemples donnés ci-dessous sont tirés de deux ouvrages d'exemples et d'exercices de Physique Mathématique : N.N.Lebedev, Special Functions and their applications, 1965 ainsi que N.N.Lebedev, I.P.Skalskaya et Y.S.Ufliand, 1965, « Problems of Mathematical Physics », section 2 « The Hankel transform » pages 160 et suivantes. Les énoncés ont été parfois modifiés pour ne faire apparaître que la formalisation mathématique du problème aux limites de Laplace, sans se préoccuper de la forme exacte des grandeurs physiques en jeu. On utilisera également la transformation de Hankel dans la section dédiée aux systèmes de coordonnées paraboloïdal ou parabolique de révolution, en s'inspirant également des exercices proposés dans cet ouvrage.