Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-
Solution de l'équation de Laplace à trois dimensions en coordonnées sphériques avec conditions aux limites Dirichlet, Neumann ou Robin par la méthode de séparation des variables, passage à deux dimensions Le système de coordonnées sphériques est défini par le changement de variable : x r Sin( )Cos ( ) y r Sin( ) Sin( ) z r Cos ( )
Typiquement nous recherchons la solution du problème aux limites intérieur en coordonnées sphérique sur un espace limité dans l'espace des valeurs r 0, lr ; 0, ; 0,2 Dans ce système de coordonnées l'équation de Laplace s'écrit sous la forme : 1 2 T ( r , , ) 1 T ( r , , ) 1 2T (r , , ) T ( r , , ) 2 0 r 2 Sin( ) 2 r r r 2 r Sin( ) r Sin( ) 2T (r , , ) 2 T ( r , , ) 1 2T (r , , ) Cos ( ) T ( r , , ) T ( r , , ) 2 2 r 2 r r r 2 r Sin( ) 2 1 T (r , , ) 2 0 r Sin( ) 2 Le Jacobien en coordonnées sphériques et la métrique sont : x r y J det r z r
x Sin( )Cos ( ) rCos ( )Cos ( ) y det Sin ( ) Sin( ) rCos ( )Cos ( ) Cos ( ) rSin ( ) z Sin( )Cos ( ) Cos ( )Cos ( ) Sin( ) Sin( ) 2 J r det Sin( ) Sin( ) Cos ( )Cos ( ) Sin ( )Cos ( ) Cos ( ) Sin ( ) 0 x y z
rSin ( ) Sin( ) rSin ( )Cos ( ) 0
J r 2 Sin( ) ds 2 dr 2 r 2 d 2 r 2 Sin( )d 2
Le gradient dans ce système de coordonnées prenant la forme : 1 T ( r , , ) 1 T (r , , ) T (r , , ) Grad T (r , , ) I I r I r r rSin
Les conditions mixtes de Robin sur une iso-surface r=Cste (sphère) ou θ=Cste (cône de révolution) prennent alors la forme : Iso surface r Cste Iso surface Cste C .L.
.
T ( r , , ) 1 T ( r , , ) T (r , , ) f ( , ) C.L. T (r , , ) f ( r , ) r r r r0 0