Solutions-Analytiques-Separation-Variables-Laplace-Poisson-partie-02-Spherical

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Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-

Solution de l'équation de Laplace à trois dimensions en coordonnées sphériques avec conditions aux limites Dirichlet, Neumann ou Robin par la méthode de séparation des variables, passage à deux dimensions Le système de coordonnées sphériques est défini par le changement de variable : x  r Sin( )Cos ( ) y  r Sin( ) Sin( ) z  r Cos ( )

Typiquement nous recherchons la solution du problème aux limites intérieur en coordonnées sphérique sur un espace limité dans l'espace des valeurs r  0, lr  ;   0,   ;   0,2   Dans ce système de coordonnées l'équation de Laplace s'écrit sous la forme : 1   2 T ( r ,  ,  )  1   T ( r ,  ,  )  1  2T (r ,  ,  ) T ( r ,  ,  )  2 0 r  2  Sin( )  2 r r  r   2  r Sin( )    r Sin( )  2T (r ,  ,  ) 2 T ( r ,  ,  ) 1  2T (r ,  ,  ) Cos ( ) T ( r ,  ,  ) T ( r ,  ,  )    2  2 r 2 r r r  2 r Sin( )  2 1  T (r , ,  )  2 0 r Sin( )  2 Le Jacobien en coordonnées sphériques et la métrique sont :  x   r  y J  det r   z  r 

x      Sin( )Cos ( ) rCos ( )Cos ( )  y   det Sin ( ) Sin( ) rCos ( )Cos ( )    Cos ( )   rSin ( )  z     Sin( )Cos ( ) Cos ( )Cos ( )  Sin( ) Sin( )    2 J  r det  Sin( ) Sin( ) Cos ( )Cos ( ) Sin ( )Cos ( )   Cos ( )   Sin ( ) 0   x  y  z 

 rSin ( ) Sin( )   rSin ( )Cos ( )   0 

J  r 2 Sin( ) ds 2  dr 2  r 2 d 2  r 2 Sin( )d 2

Le gradient dans ce système de coordonnées prenant la forme : 1  T ( r ,  ,  )  1  T (r ,  ,  )   T (r ,  ,  )  Grad T (r ,  ,  )     I  I r   I    r r   rSin        

Les conditions mixtes de Robin sur une iso-surface r=Cste (sphère) ou θ=Cste (cône de révolution) prennent alors la forme : Iso  surface r  Cste Iso  surface   Cste C .L. 

.

T ( r ,  ,  ) 1 T ( r ,  ,  )   T (r , ,  )  f  ( ,  ) C.L.    T (r , ,  )  f  ( r ,  ) r r  r  r0  0


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