Operació món: Matemàtiques 1º ESO (demo)

DEMO

INCLOU

IC

ÈN

C IA 1 2 ME

SO

C. l Va

en cian

1

S

LL

PROJECTE DIGITAL

a

ESO

MATEMÀTIQUES José Colera J., Ignacio Gaztelu A., Ramón Colera C.

r e p

ió c a

n ó O m

Índex Els sabers bàsics del curs

B reu història de les matemàtiques 10 ..

Unitat inicial 0 Resolució de problemes

...................................... 14

• Anàlisi d’algunes estratègies Problemes per a practicar

BLOC I.

4 F órmules i funcions trigonomètriques

Aritmètica i àlgebra

1 Nombres reals

.. ....................................................................... 34

1.

2.

3.

4.

Llenguatge matemàtic. Conjunts i símbols Nombres reals. La recta real Logaritmes Expressió decimal dels reals.

Nombres aproximats 5. Concepte de successió 6. Algunes successions especialment interessants Exercicis i problemes Autoavaluació

2 Àlgebra

. . ...............................................................................................

60

Polinomis. Factorització Fraccions algebraiques Resolució d’equacions Resolució de sistemes d’equacions Inequacions i sistemes d’inequacions amb una incògnita 6. Inequacions lineals amb dues incògnites Exercicis i problemes Autoavaluació Autoavaluació del bloc I

2

.................................................. 132

1. En què consistixen els nombres complexos 2. Operacions amb nombres complexos en forma binòmica 3. Nombres complexos en forma polar 4. Operacions amb complexos en forma polar 5. Radicació de nombres complexos 6. Nombres complexos amb la calculadora 7. Descripcions gràfiques amb nombres complexos Exercicis i problemes Autoavaluació Autoavaluació del bloc II

Geometria

6V ectors

................................................................................................. 158

1. Els vectors i les seues operacions 2. Coordenades d’un vector 3. Producte escalar de vectors Exercicis i problemes Autoavaluació

Trigonometria i nombres complexos 1. Raons trigonomètriques d’un angle agut (0° a 90°) 2. Raons trigonomètriques d’angles qualssevol (0° a 360°) 3. Angles fora de l’interval 0° a 360° 4. Trigonometria amb calculadora 5. Relacions entre les raons trigonomètriques d’alguns angles 6. Resolució de triangles rectangles

1. Fórmules trigonomètriques 2. Equacions trigonomètriques 3. Funcions trigonomètriques Exercicis i problemes Autoavaluació

BLOC III.

BLOC II.

........................................

.......................................................... 114

5 Nombres complexos

1.

2.

3.

4.

5.

3 Resolució de triangles

7. Resolució de triangles obliquangles.

Estratègia de l’altura 8. Dos importants teoremes per a resoldre triangles qualssevol Exercicis i problemes Autoavaluació

90

7 Geometria analítica

................................................

174

1. Punts i vectors en el pla 2. Equacions d’una recta 3. Feix de rectes 4. Reflexions sobre equacions amb i sense «paràmetres» 5. Paral·lelisme i perpendicularitat 6. Posicions relatives de dues rectes 7. Angle de dues rectes 8. Càlcul de distàncies Exercicis i problemes Autoavaluació

8 Llocs geomètrics. Còniques

............... 202

1. Llocs geomètrics 2. Estudi de la circumferència 3. Les còniques com a llocs geomètrics 4. Estudi de l’el·lipse 5. Estudi de la hipèrbola 6. Estudi de la paràbola 7. Tangents a les còniques mitjançant papiroflèxia Exercicis i problemes Autoavaluació Autoavaluació del bloc III

BLOC IV.

................................................................................. 296

1. Mesura del creixement d’una funció 2. Obtenció de la derivada a partir de l’expressió analítica 3. Funció derivada d’una altra 4. Regles per a obtindre les derivades d’algunes funcions 5. Taula de derivades 6. Utilitats de la funció derivada 7. Optimització de funcions 8. Regla de L’Hôpital 9. Representació de funcions Exercicis i problemes Autoavaluació Autoavaluació del bloc IV

Anàlisi

9 Funcions elementals

. . ...................................... 236

1. Les funcions i el seu estudi 2. Domini de definició 3. Famílies de funcions elementals 4. Funcions definides «a trossos» 5. Transformacions elementals de funcions 6. Composició de funcions 7. Funció inversa o recíproca d’una altra 8. Funcions arc Exercicis i problemes Autoavaluació

10 L ímits de funcions.

Continuïtat i branques infinites 1.

2.

3.

4.

5.

11 D erivades

BLOC V.

Estadística i probabilitat

12 Distribucions bidimensionals

............... 334

1. Distribucions bidimensionals.

Núvols de punts 2. Correlació lineal 3. Paràmetres associats a una distribució bidimensional 4. Recta de regressió 5. Hi ha dues rectes de regressió 6. Taules de contingència Exercicis i problemes Autoavaluació

13 Combinatòria i probabilitat . . ................................... 266

Comportament d’una funció en l’infinit Càlcul de límits de funcions quan x → +∞ Límit d’una funció quan x → –∞ Càlcul de límits de funcions quan x → –∞ Comportament d’una funció en un punt. Límits i continuïtat 6. Càlcul de límits en un punt 7. Branques infinites. Asímptotes 8. Branques infinites en les funcions racionals 9. Branques infinites en les funcions trigonomètriques, exponencials i logarítmiques Exercicis i problemes Autoavaluació

. . .......... 356

1. Diagrama en arbre 2. Variacions i permutacions (importa l’ordre) 3. Quan no influïx l’ordre. Combinacions 4. Factorials i nombres combinatoris 5. Càlcul de probabilitats Exercicis i problemes Autoavaluació Autoavaluació del bloc V

Annex S olucionari

de les autoavaluacions

............................................. 375

3

5 Els nombres decimals La major part de les antigues civilitzacions van utilitzar sistemes de numeració amb base decimal, és a dir, representaven quantitats emprant deu dígits diferents.

L’ús de la base decimal prové, sens dubte, de comptar amb els dits de les mans.

D’ací l’origen de la paraula «dígit», que ve del llatí digitus, dit.

A Babilònia, no obstant això, van emprar un sistema de numeració de base 60 (sexagesimal). Que complicat, veritat? Perquè el més sorprenent és que es va mantindre moltíssims segles en algunes cultures, com l’àrab, i ha arribat fins als nostres dies per a mesurar, per exemple, el temps. T’imagines per què? Perquè va ser a Babilònia on es va establir el sistema de mesura del temps.

En el segle vii, a l’Índia es va afegir a la base decimal una notació posicional (el valor de cada dígit depén del lloc que ocupa). En tots els sistemes de numeració anteriors, cada dígit tenia un valor independent del lloc. Per a arribar a aquest avenç grandiós, un pas importantíssim va ser la invenció del zero, perquè s’hi assenyalaven les posicions en les quals no hi ha quantitat.

Aquest sistema de numeració decimal posicional es va usar a Europa durant molt de temps només per a designar nombres enters (per a les parts de la unitat es continuava utilitzant el sistema sexagesimal dels babilonis!). Va ser en el segle xvi quan el sistema decimal es va fer extensiu, també, per a quantificar parts de la unitat, incorporant nous ordres (dècims, centèsims, mil·lèsims…), amb la mateixa estructura que els ordres enters.

86

Amb el que ja saps, resol Carmela té tendència a engreixar i la dietista li ha recomanat baixar el consum de sucre. Com a exemple, li ha suggerit substituir els refrescos, que en tenen molt, per sucs naturals.

A la fruiteria del barri oferixen suc de taronja fet en el moment, en botelles de dues grandàries:

suc

2,35 €

1,10 €

50 cL

20 cL

1. Quina és la capacitat, en litres, de cada botella?

2. Quantes botelles xicotetes equivalen a una de gran?

3. A quant ix el litre de suc en cada grandària?

Carmela en compra una botella gran i n’ompli tres gots.

4. Quant de suc entra en cada got? Expressa’n el resultat en centilitres aproximant als dècims. I també en litres aproximant als mil·lèsims.

5. A quant li ix cada got? Expressa’n el resultat en cèntims.

T’animes a fer-ho tu? ?

Pots investigar pel teu compte fent-te les mateixes preguntes amb algun altre producte que veges en el supermercat. Per exemple, amb gaspatxo.

I millor encara: pots fer el pressupost per a una festa d’aniversari, indicant el nombre de convidats i convidades, les compres necessàries, consultant els preus, etc.

87

1

Estructura dels nombres decimals Los órdenes de unidades decimals Per a expressar quantitats més xicotetes que la unitat, utilitzem els ordres d’unitats decimals.

1 DÈCIM

• En dividir una unitat en deu parts iguals, cada part és un dècim.

5,3

5

1 UNITAT 1 0,1 = — 10

1 CENTÈSIM 10 DÈCIMS

5,4

100 CENTÈSIMS

1 MIL·LÈSIM

6

5,3 → Cinc unitats i tres dècims • En dividir un dècim en deu parts iguals, cada part és un centèsim.

5,3

5 1 0,01 = — 100

5,5

5,36

5,4

5,5

5,36 → Cinc unitats i trenta-sis centèsims • En dividir un centèsim en deu parts iguals, cada part és una mil·lèsim.

5,36

1 000 MIL·LÈSIMS

5,365

5,37

1 0,001 = — 1000

5,365 → Cinc unitats i tres-cents setanta-cinc mil·lèsims 2,34 € ↓

• En el sistema de numeració decimal, una unitat de qualsevol ordre es dividix

en deu unitats de l’ordre immediat inferior.

1 U = 10 d = 100 c = 1 000 m = …

2

dècims centèsims mil·lèsims deumil·lèsims centmil·lèsims milionèsims

0,3

unitats desenes

0,04 Dues unitats i trenta-quatre centèsims

…

D

U,

d

c

m dm cm mm …

1

3,

0

5

7

4

retze unitats i cinc-cents T setanta-quatre deumil·lèsims • Per a llegir un nombre decimal:

— S’anomena la part entera expressada en unitats. anayaeducacion.es

➜

Practica la lectura de nombres decimals.

88

— S’anomena

la part decimal expressada en l’ordre d’unitats de la xifra decimal que queda a la dreta.

U5

Ordre en els nombres decimals Els nombres decimals queden ordenats en la recta numèrica.

–0,5

–1,7 –2

TIN EN COMPTE

Els zeros a la dreta d’un nombre decimal no modifiquen el valor del nombre.

U,

d

c

2,

5

2,

5

0

2,

5

0

m

0

–1

2,5

1,7

0,4 1

3

2

–1,7 < –0,5 < 0,4 < 1,7 < 2,5 Però també pots comparar nombres sense fer-ne la representació en la recta, observant les xifres i el lloc que ocupen: • Per a comparar dos nombres decimals, U, d c m se’n compara la part entera.

5, 3 7 5 Per exemple: 6, 1 0 0 5,375 < 6,1 → perquè 5 U < 6 U • Si tenen la mateixa part entera, s’iguala la quantitat de xifres decimals posant zeros a la dreta i es compara la part decimal.

Per exemple: U, d c m 3,25 3,4

0

↓

↓

3,25 < 3,40 → perquè 25 c < 40 c

2,5 = 2,50 = 2,500

3,

2

5

3,

4

0

PER A PRACTICAR

1 Escriu amb xifres:

6 Observa la taula

a) Huit dècims.

b) Dos centèsims.

c) Tres mil·lèsims.

d) Tretze mil·lèsims.

2 Escriu com es lligen:

3

a) 1,2

b) 12,56

c) 5,184

d) 1,06

e) 5,004

f ) 2,018

Escriu amb xifres:

U,

d

i contesta les preguntes.

c

m dm cm mm

4

0

2

0

0

3

0

0

0

a) Quants centèsims hi ha en 40 mil·lèsims? b) Quants centèsims fan 200 deumil·lèsims? c) Quants milionèsims hi ha en 3 mil·lèsims?

7 Indica el valor que representa cada lletra.

a) Onze unitats i quinze centèsims. b) Huit unitats i huit centèsims.

3

A

B

4

c) Una unitat i tres-cents onze mil·lèsims. d) Cinc unitats i catorze mil·lèsims.

6,2

N

M

D

C

P

Q

6,4

4 Escriu com es lligen:

a) 0,0007

b) 0,0042

c) 0,0583

d) 0,00008

e) 0,00046

f ) 0,00853

g) 0,000001

h) 0,000055

i) 0,000856

5 Escriu amb xifres:

1,56

X

Y

Z

T

1,57

8 Ordena els nombres de menor a major.

a) Quinze deumil·lèsims.

a) 5,83

5,51

5,09

5,511

5,47

b) Cent huitanta-tres centmil·lèsims.

b) 0,1

0,09

0,099

0,12

0,029

c) Cinquanta-huit milionèsims.

c) 0,5

– 0,8

– 0,2

1,03

–1,1 89

1

Estructura dels nombres decimals

Entre dos decimals sempre hi ha altres decimals • Triem dos nombres qualssevol; per exemple, 2,3 i 2,6. És evident que entre aquests hi ha uns altres decimals: 2,3 < 2,4 < 2,5 < 2,6 • Busquem, ara, un nombre decimal comprés entre 2,3 i 2,4.

Aquests dos nombres es diferencien en un dècim, i aquest dècim es pot dividir en deu centèsims.

2,32

2,3

2,35

2,38

2,4

Afegint algun d’aquests centèsims a 2,3, obtenim decimals compresos entre 2,3 i 2,4.

2,3 = 2,30 < 2,32 < 2,35 < 2,38 < 2,40 = 2,4 El procés pot continuar indefinidament o repetir-se per a qualsevol altre parell de nombres.

PER A FIXAR IDEES

1 Intercala en cada cas un nombre decimal diferent al que es mostra en

l’exemple. a) 2 <

< 2,1

b) 2,1 <

< 2,11

c) 4,9 <

<5

d) 4,99 <

<5

Exemple

a) 2,00 < 2,05 < 2,10 b) 2,100 < 2,105 < 2,110 c) 4,90 < 4,95 < 5 d) 4,990 < 4,995 < 5

PER A PRACTICAR

9 Copia en el quadern i escriu un nombre en cada case-

lla. a) 7 < < 8 c) 2,6 < < 2,8 e) 0,4 < < 0,5

b) 0,3 < < 0,5 d) 1,25 < < 1,27 f ) 3,42 < < 3,43

13 Laia té una bàscula al lavabo que aprecia fins als dè-

cims de quilo. Si el pes no coincidix amb un nombre exacte de dècims, parpelleja entre el dècim anterior i el següent. Quin pes li atribuiries si la bàscula parpelleja entre 53,6 kg i 53,7 kg?

10 Intercala un nombre decimal entre cada parell de nom-

bres. a) 0,5 i 0,6 d) 0 i 0,1 g) 0,9 i 1

b) 1,5 i 1,6 e) 3 i 3,1 h) 2,9 i 3

c) 1,35 i 1,36 f ) 3,2 i 3,21 i) 2,99 i 3

11 Escriu, en cada cas, un nombre decimal que estiga a la

mateixa distància dels dos nombres donats. a) 4 i 5 b) 1,8 i 1,9 c) 2,04 i 2,05

12 Intercala, a intervals iguals, tres nombres entre 2,7 i 2,8.

90

14 En una trobada internacional d’atletisme, es disputa la

prova dels 100 metres llisos. Dos jutges s’encarreguen de prendre el temps del guanyador, però obtenen una lleugera diferència en els mesuraments: • Jutge A → 9 segons i 92 centèsimes

2,7

2,8

• Jutge B → 9 segons i 93 centèsimes

2,700

2,800

Quin temps li assignaries al guanyador de la prova?

U5

Aproximació per arredoniment En algunes ocasions se’ns presenten nombres amb massa xifres decimals i preferim, o ens hi veiem obligats, a substituir-los per uns altres més manejables de valor aproximat. |Exemple Al banc m’han calculat els interessos de dos comptes bancaris: A → 18,2733 € B → 35,3682 € No obstant això, les quantitats ingressades han estat: A → 18,27 € B → 35,37 € Per què les quantitats aplicades no coincidixen amb les que s’havien calculat?

La unitat monetària més xicoteta és el cèntim. Per això, els resultats amb moltes xifres decimals s’han de concretar amb arredoniment als cèntims.

• En el primer cas, el compte A, la quantitat 18,2733 està més a prop de 18,27 que de 18,28. Per això es prenen 27 cèntims (observa que la xifra dels centèsims no canvia).

18,27

18,2733

18,28

• En el segon cas, el compte B, la quantitat 35,3682 està més a prop de 35,37 que de 35,36. Ara es prenen 37 cèntims (observa que s’ha sumat 1 a la xifra dels centèsims).

OBSERVA

En les transaccions bancàries i comercials, s’apliquen els arredoniments considerant que els que van a la baixa es compensen amb els que van a l’alça.

35,36

35,3682

35,37

Com pots comprovar, en cada cas es pren el cèntim complet més pròxim.

Per arredonir un nombre a un determinat ordre d’unitats: • Se suprimixen totes les xifres a la dreta d’aquest ordre.

• Si la primera xifra suprimida és igual o major que cinc, se suma 1 a la xifra

anterior. I si no ho és, es deixa com està.

PER A PRACTICAR

15 Arredonix als dècims.

a) 6,27 d) 0,094

18 Aproxima als grams el pes de cada caixa. Recorda que

b) 3,84 e) 0,341

c) 2,99 f ) 0,856

un gram és un mil·lèsim de quilo.

16 Arredonix als centèsims.

a) 0,574 d) 3,0051

b) 1,278 e) 8,0417

c) 5,099 f ) 2,998

17 Aproxima als decilitres la capacitat d’una botella.

4L 4 : 3 = 1,3333…

5,000 kg

19 Copia les frases i completa-les.

!

El valor 3,5777… = 3, 57 s’ha arredonit a 3,6. !

3, 57 3,5 3,6 L’error de l’arredoniment és menor que cinc…

91

2

Suma, resta i multiplicació de nombres decimals Ja coneixes la suma, la resta i la multiplicació de decimals. Per això, ens limitarem a repassar-les incorporant el maneig dels nombres negatius.

Suma i resta PROBLEMA RESOLT

Per a sumar o restar nombres decimals: • Es col·loquen en columna fent correspondre les comes.

• S e sumen (o es resten) unitats amb unitats, dècims amb dècims, etcètera. anayaeducacion.es

➜

Practica la suma i la resta de nombres decimals.

Al depòsit de refrigeració d’una granja, que estava buit, hi han abocat dos pitxers de llet, amb 12,35 litres i 7,65 litres. Després, se n’han extret dos bidons per a fer formatge, un de 8,9 litres i un altre de 5,45 litres. Quants litres queden al depòsit? entren ixen 12,35 8,9 + 7,65 + 5,45 20,00 14,35 ?L 12,35 L queden 7,65 L 8,9 L 5,45 L 20,00 – 14,35 (12,35 + 7,65) – (8,9 + 5,45) = 20 – 14,35 = 5,65 5,65 Solució: Al depòsit queden 5,65 litres de llet.

Multiplicació PROBLEMA RESOLT

Per a multiplicar nombres decimals: • Es multipliquen com si foren enters.

Si una hora d’aparcament costa 2,50 €, quant pagarem per una estada de tres hores i quart (3,25 h)?

•E s col·loca la coma en el producte, apartant tantes xifres decimals com les que reunisquen entre tots els factors.

3, 2 5 ← 2 xifres decimals × 2, 5 ← 1 xifra decimal 1 6 2 5 ⏐ 6 5 0 ↓ 8, 1 2 5 ← 2 + 1 = 3 xifres decimals arredoniment Solució: 8,125 € ⎯⎯⎯⎯⎯→ 8,13 € pagarem per l’estada.

anayaeducacion.es

➜

Practica la multiplicació de nombres decimals.

Multiplicació per 10, 100, 1 000…

Recorda que per a multiplicar un nombre decimal per 10, per 100, per 1 000… només s’ha de moure la coma cap a la dreta un, dos, tres... llocs. |Exemple es fotocòpi

at ,04 € unit ................. 0 at D’1 a 10 ..... n ,025 € u it ................. 0 0 10 a 1 ’1 D € unitat ....... 0,019 ... ...

0 10 e Més d

92

Tenint en compte els preus que anuncia el cartell de l’esquerra, calculem: • Cost de 10 fotocòpies → 0,04 · 10 = 0,40 € • Cost de 100 fotocòpies → 0,025 · 100 = 2,50 € • Cost de 1 000 fotocòpies → 0,019 · 1 000 = 19,00 €

U5 PER A FIXAR IDEES

1 Fes aquests càlculs mentalment:

a) 1 – 0,4 d) 0,75 – 0,5

Ajudes

b) 1,5 – 0,6 e) 1,25 – 0,75

c) 2,1 – 0,2 f ) 2 – 1,25

1 Imagina-t’ho en una recta.

0,8

2 Observa les operacions, copia-les i completa-les en el quadern.

0

a) 1,5 – 1 = 0,5 → 1 – 1,5 = … b) 1 – 0,75 = 0,25 → 0,75 – 1 = … c) 2,2 – 0,4 = 1,8 → 0,4 – 2,2 = …

0,5

1

0,8 – 0,5 = 0,3 2 0,5 – 0,3 = 0,2 → 0,3 – 0,5 = –0,2 3 Aplica la regla dels signes:

3 Fes els càlculs.

a) (–0,3) · 4 c) (–0,1) · 0,4

• (–0,5) · 3 = –1,5

b) 0,8 · (–2) d) (–0,2) · (–0,3)

• (–0,3) · (–0,4) = +0,12

PER A PRACTICAR

1 Fes aquests càlculs mentalment.

8 Fes els càlculs amb llapis i paper.

a) 0,8 + 0,4

b) 1,2 + 1,8

c) 3,25 + 1,75

a) 3,25 · 16

b) 2,6 · 5,8

c) 27,5 · 10,4

d) 1 – 0,3

e) 2,4 – 0,6

f ) 2,5 – 0,75

d) 3,70 · 1,20

e) 4,03 · 2,7

f ) 5,14 · 0,08

2 Recorda les operacions amb nombres positius i negatius

i fes els càlculs mentalment. a) 0,4 – 0,6 b) 0,9 – 1,6 d) 1,2 – 1,5 e) 0,5 – 0,75

c) 0,25 – 1 f ) 2 – 1,95

= 5,6 + 1,47 = 7,07 b) 3,5 – 0,2 · (2,6 – 1,8)

c) (5,2 – 6,8) · (3,6 – 4,1) d) (1,5 – 2,25) · (3,6 – 2,8)

a) 0,25 - 0,50 - 0,75 - … b) 8,25 - 8,2 - 8,15 - 8,1 - …

10 Vertader o fals?

4 Resol les operacions en el quadern.

a) En multiplicar un nombre per 0,8, n’augmenta el valor.

a) 17,28 – 12,54 – 4,665 b) 17,28 – (12,54 – 4,665) c) 12,4 – 18,365 + 7,62 d) 12,4 – (18,365 + 7,62)

b) El resultat de multiplicar un nombre per 1,1 és major que el nombre original.

5 Copia les operacions en el quadern i col·loca la coma de-

cimal que falta a cada producte. a) 2,7 · 1,5 → 405 b) 3,8 · 12 → 456 c) 0,3 · 0,02 → 0006 d) 11,7 · 0,45 → 5265

6 Fes les multiplicacions.

b) 35,29 · 10 e) 6,24 · 100

c) 4,7 · 1 000 f ) 0,475 · (–10)

7 Fes aquestes multiplicacions.

a) (–2) · 0,7 c) 0,6 · (–3) e) (–0,2) · (–0,8)

• 5,6 – 2,1 · (0,5 – 1,2) = 5,6 – 2,1 · (–0,7) = a) 8,3 + 0,5 · (3 – 4,2)

3 Afegix tres termes a aquestes sèries:

a) 3,26 · 100 d) 9,48 · 1 000

9 Opera com en l’exemple.

b) (–0.5) · 4 d) 0,2 · (–10) f ) (–4) · (–0,25)

c) Per a multiplicar per 100, es desplaça la coma dos llocs a la dreta. d) Desplaçar la coma un lloc cap a l’esquerra equival a multiplicar per deu.

11 D’un llistó de 2 m de longitud se’n talla un tros de

0,97 m. Quant mesura el tros que queda?

12 En la carrera de 200 metres llisos, Jon Dalton ha in-

vertit vint-i-dos segons i tres dècimes, i Bobi Garcia, vint-i-tres segons i catorze centèsimes. Quant de temps ha tret Jon a Bobi?

13 Quantes botelles de suc, de mig litre, es necessiten

en un menjador escolar, amb 65 comensals, si se’n donara a cada un un got de 15 centilitres?

93

3

Divisió de nombres decimals Ara aprofundiràs en el que saps sobre la divisió de nombres decimals. Començarem amb les divisions de divisor enter.

Divisor enter. Aproximació del quocient Repassarem la forma d’obtindre les xifres decimals del quocient fins a aconseguir l’aproximació desitjada.

PROBLEMES RESOLTS

Per a obtindre el quocient decimal: • En baixar la xifra dels dècims del dividend, es posa la coma decimal en el quocient i es continua la divisió.

• S i no hi ha suficients xifres decimals en el dividend, s’hi afegixen els zeros necessaris per a aconseguir l’aproximació desitjada. anayaeducacion.es

➜

Practica la divisió de nombres decimaes.

1. Volem repartir un bidó de 15 litres d’oli en quatre garrafes iguals.

Quants litres posarem a cada garrafa?

15 3

4 3

→ El quocient enter deixa un residu de 3 unitats.

4 1 5, 0

Transformem les tres unitats del residu en 30 dècims 3 0 3,7 → i els dividim entre 4. Per a això, posem la coma en el quocient. Sobren 2 dècims.

2 4 1 5, 0 Continuem la divisió transformant els 2 dècims en 3 0 3,75 → 20 centèsims.

20 0 Solució: Posarem 3,75 litres a cada garrafa.

2. La senyora Emília compra un formatge d’un quilo i set-cents vint-i-cinc grams per a repartir-lo amb les dues germanes. Quina quantitat de formatge tocarà a cada una?

1, 725

3 0

→ 1, 725 2

3 0,5

→ 1, 725 22 15 0

3 0,575

Solució: Cada germana s’endurà 0,575 kg de formatge (575 grams).

Divisió entre 10, 100, 1 000…

Recorda que per a dividir un nombre entre 10, entre 100, entre 1 000… només s’ha de moure la coma cap a l’esquerra un, dos, tres... llocs. |Exemple Tenint en compte el pes del paquet de 500 folis, calculem: • Pes de 100 folis → 2 331 : 5 = 466,2 grams • Pes de 10 folis → 466,2 : 10 = 46,62 grams • Pes d’1 foli → 466,2 : 100 = 4,662 grams

2 331 grams

94

Per a dividir un nombre decimal entre la unitat seguida de zeros, es desplaça la coma cap a l’esquerra tants llocs com zeros acompanyen la unitat.

U5

Divisió amb nombres decimals en el divisor Fins ara no hem abordat divisions amb xifres decimals en el divisor. Per a resoldre-les, ens ajudarem d’una propietat que ja coneixes i que ara convé recordar. ❚ una propietat important de la divisió

Compara els exemples següents:

TIN EN COMPTE

Si la divisió és entera, en multiplicar el dividend i el divisor pel mateix nombre, el residu queda multiplicat per aquest nombre. · 10

13 1

2 130 6 10 · 10

20 6

|Exemples • Si envasem 15 quilos de cireres en 3 caixes, en posem 5 quilos en cada caixa.

15 3 0 5

• Si envasem 150 quilos de cireres en 30 caixes, en posem 5 quilos en cada caixa.

150 30 00 5

Observa que en multiplicar per 10 el nombre de quilos (dividend) i el nombre de caixes (divisor), el resultat no varia.

Propietat de la divisió: En multiplicar el dividend i el divisor pel mateix nombre, el quocient no varia. ❚ procediment per a eliminar les xifres decimals del divisor

Quan el divisor és un nombre decimal, utilitzem la propietat anterior per a canviar la divisió per una altra amb el mateix resultat i el divisor enter. |Exemple El cambrer ompli un pitxer amb 0,6 litres de llet i a cada café posa, per terme mitjà, 0,04 litres. Quants cafés podrà atendre amb el contingut del pitxer?

0,6 0,04 ⎯→ Multipliquem el dividend i el divisor per 100. Segons la propietat anterior, el quocient no varia. · 100

· 100

60 4 ⎯→ El divisor és ara un nombre enter. Ja podem fer la divisió.

20 15 0 Solució: Podrà posar 60 : 4 = 15 tasses de café.

Quan hi ha decimals en el divisor: • Es multipliquen el dividend i el divisor per la unitat seguida de tants zeros

com xifres decimals hi haja en el divisor.

• Així, la divisió es transforma en una altra de divisor enter. El quocient no varia.

EXERCICI RESOLT

Obtindre el quocient de les divisions següents: · 10

21 : 16,8 210 0420 0840 000

168 1,25

· 10

· 10 000

0,3 : 0,0025 3000 50 00

· 10 000

25 120

95

3 Divisió de nombres decimals PER A FIXAR IDEES

1 Fes els càlculs arredonint el quocient als dècims.

Exemples

a) 10 : 3

b) 16 : 9

c) 25 : 7

d) 9,2 : 8

e) 15,9 : 12

f ) 45,52 : 17

1 Observa.

7 18 arredoniment 40 2,57 ⎯⎯⎯⎯→ 2,6 50 1

2 Calcula el quocient amb dues xifres decimals.

a) 3 : 4

b) 3 : 7

c) 30 : 8

d) 2 : 9

e) 6 : 11

f ) 5 : 26

3 Per a dividir 7,158 : 0,03 multipli-

3 Copia i completa cada divisió en el quadern.

18 : 2,4

· 10

… … …

· 10

2,7 : 0,075

· 1 000

24 7,5

2700 … …

· 1 000

… …

quem per 100.

7,158 : 0,03 · 100

· 100

715,8 : 3

PER A PRACTICAR

1 Fes les divisions mentalment.

7 Fes aquests càlculs.

a) 1 : 2

b) 5 : 2

c) 7 : 2

d) 1 : 4

e) 2 : 4

f) 5 : 4

g) 1,2 : 2

h) 1,2 : 3

i) 1,2 : 4

2 Fes els càlculs amb dues xifres decimals, si n’hi ha.

a) 28 : 5

b) 53 : 4

c) 35 : 8

d) 47 : 3

e) 6,2 : 5

f ) 12,5 : 4

a) 5 : 10

b) 8 : 100

c) 2 : 1 000

d) 3,6 : 10

e) 5,7 : 100

f ) 2,8 : 1 000

3 Fes aquestes division

4 Fes els càlculs amb tres xifres decimals, si n’hi ha.

a) 0,9 : 5

b) 0,5 : 4

c) 0,3 : 9

d) 1,2 : 7

e) 0,08 : 2

f ) 0,02 : 5

5 Copia les divisions en el quadern i completa-les.

a) 8 : 0,9 = … : 9

b) 15 : 0,35 = … : 35

c) 2 : 1,37 = … : 137

d) 7 : 0,009 = … : 9

6 Substituïx cada divisió per una altra equivalent sense de-

cimals en el divisor i calcula’n el quocient. a) 32 : 0,8

b) 6 : 0,7

c) 1,82 : 0,7

d) 18 : 0,24

e) 0,72 : 0,06

f ) 1,52 : 0,24

g) 7 : 0,05

h) 0,2 : 0,025

i) 11,1 : 0,444

96

a) 0,4 : 0,84 d) 2 : 5,4

b) 0,7 : 1,4 e) 3,2 : 8,36

c) 0,8 : 1,25 f ) 3,654 : 6,3

8 Tres llaunes de refresc fan un litre. Expressa en litres la

capacitat d’una llauna.

9 Una empresa de manteniment de carreteres es com-

promet a senyalitzar 15 quilòmetres d’una nova autopista en huit dies. Quants quilòmetres ha de senyalitzar per terme mitjà cada dia?

10 Quantes files de caixes de 0,2 m × 0,2 m × 0,2 m es po-

den apilar en un contenidor d’1,85 m d’alçària? Quin forat quedaria entre la darrera caixa i el sostre del contenidor?

11 Una dosi d’una certa vacuna conté 0,25 mil·lilitres

(0,00025 litres) de principi actiu. Quantes dosis se n’obtindran d’un litre de principi actiu?

COMPRÉN I APLICA EN EL DESAFIAMENT

12 Una aixeta que goteja ha omplit un got de 0,2 litres en

10 minuts. Si per a recollir el goteig posem un poal de 12,5 litres, quant tardarà l’aigua a eixir-se’n del poal?

U5

4

Arrel quadrada i nombres decimals El concepte d’arrel quadrada, que ja coneixes, s’aplica de la mateixa forma en els nombres decimals. a = b ↔ b 2 = a

0, 81 = 0,9 ↔ (0,9)2 = 0,81

No obstant això, la majoria dels nombres no tenen arrel exacta; en aquest cas, treballarem amb aproximacions.

2 " 2 2 = 4 < 7, 5 7, 5 = * 3 " 3 2 = 9 > 7, 5

2, 7 " 2, 7 2 = 7, 29 < 7, 5 7, 5 = * 2, 8 " 2, 8 2 = 7, 84 > 7, 5

7, 5 = 2, …

7, 5 = 2, 7…

L’arrel quadrada en la calculadora El càlcul de les aproximacions per tempteig és lent i molest, per això se sol recórrer a la calculadora.

7, 5 → 7 . 5 $ → {“…|«°\‘“|} Normalment, no és necessari prendre totes les xifres decimals que oferix la màquina, i per això s’arredonix a un determinat ordre d’unitats.

2, 7 " Arredoniment als dècims 7, 5 = * 2, 74 " Arredoniment als centèsims

Càlcul amb llapis i paper Recorda l’algoritme que vas aprendre en la unitat 2 per al càlcul de l’arrel quadrada de nombres naturals.

Amb els nombres decimals has d’actuar de la mateixa manera, tenint en compte que les xifres se separen de dues en dues, a la dreta i a l’esquerra de la coma. |Exemple √ 7 , 50 2 – 4 3

√ 7 , 50 2,7 – 4 47 · 7 = 329 3 50 –3 29 21

√ 7 , 50 00 2,73 – 4 47 · 7 = 329 3 50 543 · 3 = 1 629 –3 29 21 00 –16 29 71

El procés pot continuar, afegint parelles de zeros en el radicand, fins a aconseguir l’aproximació desitjada.

PER A PRACTICAR

1 Fes aquests càlculs mentalment.

2 Aproxima als dècims i als centèsims.

a) 0, 01

b) 0, 09

c) 0, 25

a) 58

b) 7, 2

c) 0, 5

d) 0, 64

e) 0, 0001

f ) 0, 0049

d) 14

e) 8, 5

f ) 0, 03 97

Exercicis i problemes DOMINES EL BÀSIC?

11

El sistema de numeració decimal

1

2

3

Escriu com es llegixen: a) 13,4 b) 0,23 d) 0,0017 e) 0,0006

c) 0,145 f ) 0,000148

Escriu amb xifres: a) Huit unitats i sis dècims. b) Tres centèsims. c) Dues unitats i cinquanta-tres mil·lèsims. d) Dues-centes tretze centmil·lèsims. e) Cent huitanta milionèsims.

Expressa en dècims: a) 6 desenes. c) 200 centèsims.

b) 27 unitats. d) 800 mil·lèsims.

Multiplicación y división 12 Fes les multiplicacions i les divisions mentalment. a) 0,12 · 10 b) 0,12 : 10 c) 0,002 · 100 d) 0,002 : 100 e) 0,125 · 1 000 f ) 0,125 : 1 000 13

Fes aquestes multiplicacions. a) 0,6 · 0,4 b) 0,03 · 0,005 c) 1,3 · 0,08 d) 15 · 0,007 e) 2,65 · 1,24 f ) 0,25 · 0,16

14

Fes els càlculs amb dues xifres decimals, si n’hi ha. a) 0,8 : 0,3 b) 1,9 : 0,04 c) 5,27 : 3,2 d) 0,024 : 0,015 e) 2,385 : 6,9 f ) 4,6 : 0,123

15

Fes les multiplicacions. Què hi observes? a) 6 · 0,5 b) 10 · 0,5 c) 22 · 0,5 d) 0,8 · 0,5 e) 1,4 · 0,5 f ) 4,2 · 0,5

16

Fes les divisions. Què hi observes? a) 3 : 0,5 b) 5 : 0,5 c) 11 : 0,5 d) 0,4 : 0,5 e) 0,7 : 0,5 f ) 2,1 : 0,5

Ordre. Representació. arredoniment

4

5

Ordena-ho de menor a major en cada cas. !

1, 39 a) 1,4 1,390 1,399 1,41 b) – 0,6 0,9 – 0,8 2,07 –1,03 Aproxima, en cada cas, a les unitats, als dècims i als centèsims.

a) 2,499 b) 1,992 6 Indica el valor de cada lletra: 7

7 8

M

N

P

c) 0,999

7,2

Q

T

Intercala un nombre decimal entre: a) 3 i 4 b) 2,3 i 2,4 c) 3,25 i 3,26

Operacions combinades

17

Intercala, a intervals iguals, tres nombres entre a) 0 i 1 b) 7 i 8 c) 15 i 16

4,8 + 1,3 – 1,8 3 + 1,3 4,3

Suma i resta

10

98

Fes aquests càlculs mentalment. a) Quant li falta a 4,7 per valdre 5? b) Quant li falta a 1,95 per valdre 2? c) Quant li falta a 7,999 per arribar a 8?

Realitza aquestes operacions: a) 13,04 + 6,528 b) 2,75 + 6,028 + 0,157 c) 4,32 + 0,185 – 1,03 d) 6 – 2,48 – 1,263

EXERCICI RESOLT

4,8 + 2,6 · 0,5 – 18 · 0,1

Operacions

9

Opera les expressions següents: a) 5 – (0,8 + 0,6) b) (3,21 + 2,4) – (2,8 – 1,75) c) 2,7 – (1,6 – 0,85) d) (5,2 – 3,17) – (0,48 + 0,6)

4,8 + 2,6 · 0,5 – 18 · 0,1 = 4,8 + 1,3 – 1,8 = = 3 + 1,3 = 4,3 18

Fes les operacions ajudant-te del càlcul mental. a) 5,6 – 0,8 : 0,5 + 6,2 · 0,5 b) 0,62 : 0,1 – 4,3 – 12 · 0,1 c) 15 · 0,5 + 0,5 : 0,2 – 9,8 d) 5,5 · 0,2 + 1,1 + 0,66 : 0,6

U5

Arrel quadrada

a) 0, 04

b) 0, 16

c) 0, 36

d) 0, 0009

e) 0, 0025

f ) 0, 0081

a) 13

b) 217

c) 2 829

d) 42

e) 230

f ) 1425

Copia i completa en el quadern. a) 8 U = 80 d = … c = … m b) … U = … d = 30 c = … m c) … U = … d = … c = 1 700 m

Fes els càlculs, observa els resultats i respon: a) 200 · 0,1 30 · 0,1 8 · 0,1 Què li ocorre a un nombre en multiplicar-lo per 0,1? b) 7 : 0,1 35 : 0,1 0,5 : 0,1 Què li ocorre a un nombre en dividir-lo entre 0,1?

30

Fes les multiplicacions mentalment. a) 18 · 0,1 b) 15 · 0,01 c) 400 · 0,001 d) 5 · 0,2 e) 200 · 0,02 f ) 3 000 · 0,002 g) 20 · 0,5 h) 20 · 0,05 i) 2 000 · 0,005

31

Fes les divisions mentalment. a) 7 : 0,1 b) 9 : 0,01 d) 2 : 0,2 e) 6 : 0,02 g) 1 : 0,5 h) 1 : 0,05

Observa i completa en el quadern.

22

U,

d

c

m

0,

0

7

2

dm

cm

mm

32

El nombre que veus en la tabla és igual a… a) … dècims. b) … centèsims. c) … mil·lèsims. d) … milionèsims.

23

29

Resol les operacions amb la calculadora i aproxima els resultats als centèsims.

ENTRÉNATE Y PRACTICA 21

Escriu els nombres que dividixen l’interval 0,7-0,8 en cinc parts iguals.

Fes aquests càlculs mentalment.

19

20

28

Escriu amb xifres: a) Mitja unitat. c) Mig centèsim.

A

B

6

b) Mig dècim. d) Un quart d’unitat.

M R

N

2,3 5,28

C

6,5

S

O 5,29

D

E

P 2,4 T

U

EXERCICI RESOLT

3,25 · 2,4 – 1,5 · (2,1 – 3,9) = 7,8 – 1,5 · (–1,8) = = 7,8 + 2,7 = 10,5 3,25 3,9 1,5 7,8 × 2,4 – 2,1 × 1,8 + 2,7 1300 1,8 120 10,5 650 15 7,800 2,70

Associa un nombre a cada lletra.

24

c) 8 : 0,001 f ) 10 : 0,002 i) 1 : 0,005

33

Fes aquests càlculs. a) 1,9 + 2 · (1,3 – 2,2) b) 0,36 – 1,3 · (0,18 + 0,02) c) 2,5 – 1,25 · (2,57 – 0,97) d) 6,5 · 0,2 – 0,4 : (2,705 – 3,105) e) 12 : 6,4 – 2 · (1 : 8) f ) – (3,5 · 1,2) : 2,1 + (0,865 – 3) g) (–5,33 + 1,79) · 3 – (8,75 : 0,5)

34

Observa l’exemple i resol les operacions amb la calculadora.

• 1,42 – 2,4 · (2,15 – 1,6) ⇒ ⇒ 2,15 - 1,6 = * 2,4 µ 1,42 ≤ Ñ ⇒ {∫∫≠Ÿ‘} 1,42 – 2,4 · (2,15 – 1,6) = 0,1 a) 2,755 – 0,5 · (1,69 – 0,38) b) 2,3 · (6,07 – 3,77) – 0,45

Q V

25

Intercala un nombre decimal entre: a) 0,5 i 0,6 b) 1,1 i 1,2 c) 0,24 i 0,25 d) 6,16 i 6,17 e) 1 i 1,1 f ) 3 i 3,01

26

Calcula, copia i completa en el quadern. a) 4,75 – … = 1,86 b) … + 12,44 = 15,33 c) 11,09 + … = 13,98 d) … – 1,27 = 1,62

27

Copia les divisions en el quadern i completa-les. a) 72 : … = 7,2 b) 3,8 : … = 0,038 c) … : 1 000 = 0,05 d) … : 100 = 2,3

99

Exercicis i problemes RESOL PROBLEMES SENZILLS

41

35

Adela mesura 1,67 m i el seu germà xicotet, un metre i nou centímetres. Quant li trau Adela al germà?

36

Bernat compra un retolador, un llapis i una goma. Si paga amb dues monedes de 2 euros, quant li tornen?

2 € i 8 cèntims

60 cèntims

0,85 €

37 38

Una caixa conté 80 bossetes de te de 3,125 grams.

Quants grams de te conté la caixa?

Fes primer: Amb un depòsit que contenia 28 litres d’aigua s’han omplit quatre bidons de 5 litres. Quanta aigua queda en el depòsit?

COMPRÉN I APLICA EN EL DESAFIAMENT

42

En una ciutat de 100 000 habitants, cada habitatge alberga, de mitjana, 2,44 persones. Quants habitatges hi ha a la ciutat? (Aproxima’n el resultat als milers).

43

Un aparcament públic cobra 0,50 € per entrar, més 0,012 € per minut. Quant pagarà una persona que hi ha aparcat durant una hora i tretze minuts?

44

Un depòsit té una capacitat de 19,35 metres cúbics i s’abastix d’un pou connectat a una bomba que aporta un cabal de 4,3 litres per segon. Quan tarda a omplir-se el depòsit si la bomba es connecta quan està buit?

PROBLEMA RESOLT

Resol un problema similar, amb dades més senzilles.

Amb un pitxer que contenia 2,8 litres d’aigua s’han omplit quatre tassons de 45 centilitres. Quanta aigua queda en el pitxer?

Un paquet de te pesa 150 grams. Quants paquets porta una comanda si el contingut de la caixa pesa tres quilos i sis-cents grams?

Recorda que un metre cúbic equival a 1 000 litres.

COMPRÉN I APLICA EN EL DESAFIAMENT

• Proposem un altre problema similar, amb dades més senzilles: Un paquet de te pesa 0,5 kg. Quants paquets porta una comanda si el contingut de la caixa pesa tres quilos?

Dividim el pes de la caixa entre el pes d’un paquet de te: 3 : 0,5 = 6 paquets Solució: La caixa en porta 6 paquets.

• Resol de la mateixa forma el problema original.

39

400 metres?

100

L’aixeta del jardí goteja i el poal que té davall ha recollit 1,5 litres d’aigua en 2 hores.

Quant perd en un minut? Expressa’n el resultat en litres i en mil·lilitres.

46

Rosa i Xavier compren al supermercat: — Cinc litres de llet a 1,05 € el litre.

— Una bossa de bacallar de 0,92 kg a 13,25 €/kg.

— Un paquet de galetes que costa 2,85 €.

— Un quart de quilo de pernil a 38,40 €/kg.

Quant paguen en caixa per la compra?

47

Amb 15 quilos de mel s’han omplit 25 pots.

Quin és el pes de cada pot, tenint en compte que el casc i la tapa pesen 120 grams?

Gustau avança 67 cm en cada pas. Quants passos fa per anar des de casa al col·legi, que està a 1 km i 340 m?

Fes primer: Gustau avança 0,5 m en cada pas. Quants passos fa per anar des de casa al col·legi, que està a

40

45

Maria compra al forn tres croissants que li costen 4,05 €. El client que entra després demana quatre croissants i els paga amb un bitllet de 10 €. Quant li tornen?

Fes primer: Amb 10 quilos de mel han omplit 20 pots.

Quant pesa cada pot si el casc i la tapa pesen 0,2 quilos?

48

Amb una botella de suc de taronja de 0,75 litres, hem omplit dos gots de 25 centilitres. Quant de suc queda en la botella?

U5

PER A PENSAR UNA MICA MÉS

57

49

Un cotxe avança 2,68 metres per cada volta que pega la roda. Quantes voltes farà en el trajecte de 620 quilòmetres entre Madrid i Barcelona? (Aproxima el resultat a les centenes).

50

El cistell del forner, buit, pesa 8,5 kg; i carregat amb barres de 250 grams pesa 18,750 kg. Quantes barres hi ha al cistell?

51

52

53

En una cafeteria, Anna, Àlex, Toni i Montse prenen un entrepà cada un. Els d’Anna, Àlex i Toni són iguals, però el de Montse és de pernil ibèric i costa 1,80 € més. Si en total paguen 14,60 €, quant costava el panet de Montse?

2,25 €

55

58

Quants prestatges de 0,8 m de longitud i 0,25 m d’amplada pot obtindre una fusteria tallant un tauler de 2,40 m × 1,75 m?

59

Es vol tancar la finca que apareix en la figura amb una tanca de filferro que es ven en rotllos de 5 metres, a 12,99 € el rotllo. Quin serà el pressupost de la tanca?

9,85 m 5,75 m 19,95 m 28,2 m

60

Una empresa de productes lactis ven els iogurts a 1,20 € la unitat. D’aquesta quantitat, la tercera part correspon a l’envàs; la meitat, a costs de producció, comercialització i guanys, i la resta, al contingut. Quant costa el contingut?

De les 42 tones de raïm que ha recol·lectat un viticultor, un de cada cinc quilos és de raïm de taula, i la resta, per a fer vi. Si són necessaris 1,25 quilos de raïm per a obtindre un litre de vi, quant de vi eixirà del celler en aquesta campanya?

61

Després de consultar amb el dietista, el senyor Honorat s’ha posat a règim. En la taula ha recollit els resultats de la bàscula presos el primer dia de cada un dels sis darrers mesos:

Un celler compra una partida de 30 000 litres de vi per 72 000 € i els envasa en botelles de 75 centilitres. Les botelles, buides, li ixen a 14 € la centena, i els suros, a 10 € el miler. A quant ha de vendre la botella per obtindre 54 000 € de beneficis?

62

Les taules següents recullen els tirs a cistella i els encerts aconseguits per dues jugadores en els cinc darrers partits.

1r

2n

91,38

90,16

3r

4t

88,815 87,801

5é

6é

86,9

86,15

a) En quin mes s’ha aprimat més? b) Quant ha perdut al mes, de mitjana, en aquest període?

56

50 ud.

Què ix més car, un clip o una xinxeta?

Fes primer: Recorda que un metre cúbic equival a 1 000 litres.

54

1,13 €

100 ud.

Meta 6.1. L’aigua és un recurs escàs. Suposa que tardes 5 minuts a dutxar-te i que l’aixeta, completament oberta, n’aboca 0,4 litres cada segon.

Quantes vegades et deus haver dutxat aquest mes si es calcula que n’has fet una despesa de 40 hectolitres?

Què faries per a reduir aquest consum a la meitat?

Quant tardarà una bomba que mou un cabal de 0,4 litres per segon a buidar una bassa que conté 7,2 hectolitres?

Larisa compra una caixa de 100 clips de colors i una altra de 50 xinxetes d’acer.

A la papereria venen els bolígrafs a 1,65 € i els retoladors a 2,40 €. Quants bolígrafs podré comprar si m’enduc dos retoladors i no vull gastar més de 10 €?

Quants diners em sobraran?

Jugadora A

1r

2n

3r

4t

5é

tirs

4

3

4

2

5

encerts

2

3

3

2

4

Jugadora B

1r

2n

3r

4t

5é

tirs

5

7

3

8

7

encerts

2

5

2

7

5

Quina de les dues jugadores creus que té el tir més segur? Justifica la resposta.

101

Taller de matemàtiques LLIG I REFLEXIONA Tipus de decimals Ja saps que, a més dels decimals exactes, com 2,50, n’hi ha uns altres les xifres decimals dels quals continuen i continuen, i no acaben mai.

Per exemple, si # un marxador recorre 111 metres en 99 passos, en cada pas avança 1,121212… = 1,12 metres. És un decimal periòdic, el valor del qual no es completa mai. Per moltes xifres que hi poses, sempre n’hi ha més.

A més, hi ha altres decimals amb infinites xifres però que no es repetixen cíclicament, com els anteriors. És a dir, són no exactes i no periòdics. Com a exemple, ens en podem inventar un: 0,123456789101112131415…

• Quines serien les tres xifres següents?

INVESTIGA

1:9

0,11111…

2:9

0,22222…

)

a) Completa diverses files d’aquesta taula emprant la calculadora: 0,1

3:9

b) Ara, dividix entre 9 diversos nombres d’aquesta sèrie: 1 - 10 - 19 - 28 - 37 - …

• Què tenen en comú aquests nombres?

• Què tenen en comú els quocients? c) Fes el mateix amb els nombres d’aquestes sèries: 2 - 11 - 20 - 29 - 38 - …

3 - 12 - 21 - 30 - 39 - …

4 - 13 - 22 - 31 - 40 - …

• Què hi observes?

• Quins nombres has de dividir per a obtindre 4,555…?

DE LÒGICA • Tres motoristes, Robert Roig, Bartomeu Blanc i Gener Gris, es disposen a eixir de passeig: — Vos heu fixat —diu Robert— que una de les nostres motos és roja, una altra blanca i l’altra grisa, però que en cap cas el color coincidix amb el cognom de qui la pilota?

— No m’hi havia fixat —diu el de la moto blanca—, però tens raó.

De quin color és cada moto?

102

R

B

roberto rojo bartolomé blanco greta gris

?

G

U5

AUTOAVALUACIÓ

➜

1 Escriu com es lligen les quantitats següents:

6 Ordena els nombres de menor a major i representa’ls en

anayaeducacion.es Resolucions d'aquests exercicis.

la recta.

0,004 mm

2,07 - 2,27 - 2,71 - 2,7 - 2,17

7 Fes els càlculs.

1,025 kg

16,99 s

0,000004 m

a) 4,2 – 0,2 · 5 – 0,6

b) 4,2 – 0,2 · (5 – 0,6)

c) (4,2 – 0,2) · 5 – 0,6

d) 4,2 – (0,2 · 5 – 0,6)

8 Fes els càlculs amb dues xifres decimals.

2 Escriu amb xifres:

a) Vint-i-huit mil·lèsims. b) Dues unitats i set centèsims. c) Cent trenta-dos deumil·lèsims. d) Nou milionèsims.

a) 7 : 13

c) 8,34 : 15,25

9 Per fer un regal a Rosa, hem de posar 33 € entre 10

amics. Per fer un regal a ma mare, hem de posar 10 € entre els 3 fills. Quin dels dos regals m’ix més car?

3 Pensa i contesta les preguntes.

a) Quants mil·lèsims fan un dècim? b) Quants milionèsims hi ha en un mil·lèsim?

4 Observa i escriu…

a) … la longitud d’un llistó més llarg que el llistó A i més curt que el llistó B. A

b) 54,5 : 12

2,25 m

10 El meló es ven a 1,75 €/kg. Quant costarà un meló de

2,800 quilos?

11

Manel fa feina de forma eventual, en una botiga, empaquetant paquets de regal. Per cada paquet li donen huitanta cèntims. Ahir va fer 30 paquets. Quant va guanyar?

12 Un senderista inicia una travessia que, segons el llibre de

rutes, fa 9,36 km. Quant tarda a recórrer-la si camina a una velocitat mitjana d’1,2 metres per segon?

B

2,26 m

b) … el pes d’una pruna més pesada que la roja i menys pesada que la verda.

REFLEXIONA

5 Aquestes són tres ofertes que presenta hui el super-

mercat:

Fins ara has delimitat la teua investigació, plantejat els instruments de recollida d’informació i registrat les dades. Ja podràs segurament anticipar alguns aspectes o conclusions principals que es poden extraure del procés, però encara ens queden aspectes rellevants que tractar i que veurem en la unitat didàctica següent. Ara revisa els aspectes treballats i planteja solucions als problemes que s’hi detecten.

Descarrega d’anayaeducacion.es la rúbrica, reflexiona de manera individual i compartix en grup.

1€

1€

1€

a) A quant n’ix la unitat en cada lot? b) Arredonix les quantitats obtingudes als cèntims.

POSA A PROVA LES TEUES COMPETÈNCIES

Realitza l’autoavaluació competencial inclosa en anayaeducación.es.

103

6 Les fraccions En l’antic Egipte, en el segle xviii aC, manejaven les fraccions d’una forma molt curiosa; només admetien aquelles el numerador de les quals és 1 (fraccions unitàries): 1 2

1 3

…

1 7

…

1 10

…

1 100

Les fraccions es van usar per a respondre a la necessitat de mesurar o de repartir. Per exemple, en el papir de Rhind (s. xvi aC), el primer tractat de matemàtiques que es conserva, es va trobar un problema que dividix 4 pans entre 7 persones.

Com ho expressaven?

4 En lloc de donar el resultat com , hi po7 saven: 1 1 + 14 2 Expressaven totes les fraccions com a suma de fraccions unitàries diferents!

Aquesta exigència feia que el maneig de les fraccions fora una tasca complicadíssima, per la qual cosa s’havien d’ajudar d’unes llargues i enutjoses taules.

Per estrany que ens semble, aquesta manera de tractar les fraccions no sols va ser imitada pels grecs, sinó que fins i tot va arribar a l’Europa del segle xiii, tres mil anys més tard, on la van simultaniejar amb l’ús de fraccions ordinàries.

104

7

10

100

1 7

1 10

1 100

Amb el que ja saps, resol Reprenguem el problema egipci que apareix en la pàgina anterior. La manera egípcia de presentar la solució segurament responia a la manera de fer el repartiment: • Es partixen els pans per la meitat. Cada una de les set persones agafa mig pa i en sobra mig.

• El mig pa sobrant es dividix en set parts i cada persona se n’emporta una.

1. Quina fracció de pa suposa cada una d’aquestes últimes parts?

2. Expressa amb una suma de fraccions els dos trossos de pa que s’emporta cada una de les set persones participants en el repartiment dels quatre pans.

+

A nosaltres ens sembla més senzill fer el repartiment dividint cada pa en set parts i donant a cada un quatre d’aquestes parts.

3. Quina fracció de pa toca a cada persona?

4. Traduïx a fraccions la sèrie d’igualtats que veus en el gràfic i comprova que, en les dues formes de repartiment, cada persona obté la mateixa quantitat de pa. →

+

=

=

=

1 1 7 1 + = + =…

14 14 14 2

T’ANIMES A FER-HO TU? Pots imaginar altres repartiments similars, resoldre’ls pels dos mètodes anteriors i comparar-ne els resultats.

105

1

Una fracció es pot contemplar com una part de la unitat, com un operador o com una divisió. Vegem cada un d’aquests conceptes amb més detall.

RECORDA

• Una fracció amb el numerador menor que el denominador és una fracció pròpia.

0

3 — 5

Les fraccions expressen parts de la unitat Un tot es pren com a unitat i es dividix en porcions iguals. Una fracció indica una determinada quantitat d’aquestes porcions. unitat unitat unitat

1

3 — • Una 0 fracció5 amb el1 numerador igual o major que el denominador és una 7 — fracció impròpia.

0 1 5 0

1

7 — 5

• Una fracció major que la unitat es pot expressar amb un nombre enter més una fracció (nombre mixt).

7 = 5 + 2 =1+ 2 5 5 5 5

El significat de les fraccions

2

2

2 1 4 — — — Dos cinquens Un sisé Quatre dotzens 5 6 12 Una fracció pot representar una quantitat menor, igual o major que una unitat.

Observa:

1 <1 — 4

4 =1 — 4

5 >1 — 4

Les fraccions són operadors

anayaeducacion.es

➜

Practica el concepte de fracció. anayaeducacion.es

➜

Practica amb les fraccions com operadors.

Una fracció és un nombre que opera una quantitat i la transforma. Per exemple, si el bidó té una capacitat de 20 litres: Z ] 1 de 20 = 20 : 5 = 4 4 2 Al bidó hi ha de 20 litres. [ 5 4 5 ] 2 de 20 = 4 · 2 = 8 20 L 4 \5 4 2 de 20 litres = (20 : 5) · 2 = 8 litres 4 5 Per a calcular la fracció d’un nombre, es dividix el nombre entre el denominador, i el resultat es multiplica pel numerador.

Les fraccions són divisions indicades RECORDA

Una fracció és una divisió indi­cada: a = a :b b

Observa: • 2 → La unitat es dividix en 5 parts i se’n prenen 2, que equival a prendre 5 quatre dècims.

0

0,4

1

• 2 : 5 → Dividim dues unitats entre 5, i obtenim també quatre dècims.

0 0 anayaeducacion.es

➜

GeoGebra. Concepte de fracció

106

0,4 0,4

1 1

2 2

2– = 2 : 5 = 0,4 52 – = 2 : 5 = 0,4 5

Una fracció equival al quocient entre el numerador i el denominador.

U6 PER A PRACTICAR

1 Escriu la fracció que ocupa la part groga en cada figura.

a)

b)

9 Expressa cada divisió amb una fracció que represente el

mateix valor.

0

1

0

1

0

1

2

0

1

2

a) 1 : 4 = 0,25

c)

d)

b) 1 : 5 = 0,2 c) 2 : 3 = 0,66...

2 Representa les fraccions següents:

a) 3 5

d) 5 8

c) 3 4

b) 1 3

3 Indica, per a cada fracció, si és menor, igual o major que

la unitat. a) 2 b) 3 2 7

c) 6 6

d) 8 5

e) 3 3

f ) 5 6

4 Expressa les particions com a fracció i com a nombre

mixt: a)

d) 2 : 6 = 0,33...

10 Reflexiona: Què val més, tres setens d’un o un seté de tres?

0 1

3 de 1 7 1 de 3 7

0

1

2

3

11 Representa, reflexiona i digues si aquests enunciats són

b)

vertaders o falsos:

a) La meitat de cinc és tant com cinc meitats. b) La tercera part de dues unitats val el mateix que dos terços d’una unitat.

5 Reflexiona i contesta les preguntes.

a) Quina fracció de l’any és un trimestre? b) Quina fracció del dia són dues hores?

12 A classe, entre xics i xiques, som 27. Les xiques repre-

c) Quina fracció d’hora són deu minuts? d) Quina fracció de minut són 15 segons?

6 Les set desenes parts dels clients d’una botiga de discos

tenen menys de 25 anys. Quina fracció dels clients tenen 25 anys o més?

7 Fes els càlculs mentalment, en l’ordre en què apareixen.

a) 1 de 15 b) 3 2 de 15 3 3 de 15 3

1 de 20 c) 1 de 35 5 7 2 de 20 2 de 35 7 5 3 de 20 3 de 35 7 5

8 Fes els càlculs.

a) 3 de 45 5 d) 2 de 72 8 g) 1 de 384 4

b) 3 de 48 4 e) 2 de 90 3 h) 5 de 483 7

c) La cinquena part de tres és el mateix que tres cinquens d’un.

c) 4 de 63 7 f ) 3 de 85 5 i) 3 de 715 5

senten els 4/9 del total. Quants xics i xiques hi ha a classe?

13 El pollastre està hui al mercat a 5 € el quilo. Quant

costa un pollastre d’un quilo i tres quarts?

14 Segons una enquesta, de cada 100 persones amb faena,

només quatre fan faena els diumenges, i la resta, les dues terceres parts tampoc fan faena els dissabtes. Quina fracció de les persones ocupades no fan faena ni els dissabtes ni els diumenges?

COMPRÉN I APLICA EN EL DESAFIAMENT

15 He llegit en el periòdic que a la nostra ciutat, cada habi-

tatge alberga, de mitjana, 2,5 persones. a) Quants habitatges hi ha a la ciutat, si en som 80 000 habitants? b) Quina fracció del nombre d’habitants coincidix amb el nombre d’habitatges?

107

2

Relació entre fraccions i decimals Pas de fracció a decimal Ja has vist que una fracció es pot contemplar com una divisió indicada. Això ens permet expressar el valor de les fraccions mitjançant nombres decimals. |Exemples

0,333…

0

1

1 = 1 : 3 = 0,3333…

— 3 0,7

0

1 7 — 10

Set dècims

5 = 5 : 4 = 1,25 3 = 3 : 8 = 0,375 1 = 1 : 10 = 0,1 8 4 10 Algunes fraccions generen decimals periòdics. Observa: 2 = 2 : 11 = 0,181818… = 0,# 1 = 1 : 3 = 0,33333… = 0, !

3 18 11 3 En aquests casos, la fracció resulta més exacta i precisa que l’expressió en forma de nombre decimal, ja que el seu maneig exigix prendre aproximacions.

Pas de decimal exacte a fracció Seguint el procés invers a l’anterior, un nombre decimal exacte es pot transformar en una divisió entre 10, 100, 1 000… i aquesta en una fracció. |Exemples 0,25 = 25 : 100 = 25 100

0,7 = 7 : 10 = 7 10 PER A FIXAR IDEES

1 Expressa en forma de fracció i en forma decimal el nombre representat

en cada cas.

Ajudes 1

a) 0

1

b) 0

0,7 0,8

1

2 Passa les fraccions a forma decimal i, de cada parella de fraccions, esbrina

quina és la major. a) 3 i 4 4 5

_

2 2 = 2 : 3 = 0, 666…b b

3 5 = 5 : 8 = 0, 625 8

c) 4 i 7 5 10

b) 4 i 3 7 5

0,6

0

` b a

1

3 — 5

0, 666…> 0, 625 2>5 3 8

PER A PRACTICAR

Dividix i expressa-ho en forma decimal.

1

a) 1 2

b) 3 2

c) 3 8

d) 7 10

e) 2 2

f) 4 2

g) 5 4

h) 5 2

para’ls. a) 1 i 5 2 9 d) 6 i 7 11 13

b) 3 i 5 4 7 e) 8 i 9 10 11

c) 2 i 6 3 9 f ) 6 i 4 13 9

4 Quina d’aquestes dues fraccions és major? Per què?

2 Expressa en forma de fracció:

a) 0,1

b) 1,4

c) 0,01

d) 0,3

e) 1,5

f ) 0,23

g) 0,5

h ) 1,9

i) 1,11

108

3 Transforma les fraccions en un nombre decimal i com-

0

1

0

1

1 — 3 2

2 — 6

U6

3

Fraccions equivalents Fraccions diferents amb el mateix valor Observa que les fraccions 1 , 2 i 5 tenen el mateix valor decimal, encara que 2 4 10 els seus termes siguen diferents. Són fraccions equivalents.

EXEMPLE

1 kg 2

1 =— 2 — 2 4 1 1 kg kg 4 4

1 — 2 2 — 4 5 — 10

Mig quilo equival a dos quarts de quilo.

Practica amb fraccions equivalents.

1

1 : 2 = 0,5 2 : 4 = 0,5 5 : 10 = 0,5

Com obtindre fraccions equivalents Observa que en multiplicar o en dividir els dos termes d’una fracció pel mateix nombre, la porció d’unitat representada no varia.

3:3 =— 1 1·2 =— 2 3 —— —— — 12 : 3 4 4·2 8 12

OBSERVA

1 — 4

1·3 —— 4·3

3:3 —— 12 : 3

0,5

Diem que dues fraccions són equivalents quan expressen la mateixa porció d’unitat; és a dir, quan tenen el mateix valor numèric.

anayaeducacion.es

➜

0

Com veus, les fraccions anteriors són equivalents. → 1 = 2 = 3 4 8 12 Propietat fonamental de les fraccions Si es multipliquen, o es dividixen, els dos termes d’una fracció pel mateix nombre, s’obté una altra fracció equivalent a la primitiva. És a dir, el valor de la fracció no varia.

3 — 12

12 — 18

Simplificació de fraccions Simplificar una fracció és substituir-la per una altra d’equivalent amb els termes més senzills. Això s’aconseguix dividint els dos termes pel mateix nombre.

12 : 6 —— 18 : 6

6 — 9

2 — 3

|Exemple 12 8 12 : 2 = 6 8 6 : 3 = 2 18 18 : 2 9 9:3 3

Fracció irreductible

Observa que hem dividit dues vegades, primer per 2 i després per 3, ambdós comuns de 12 i 18.

• Per simplificar una fracció, es dividixen el numerador i el denominador pel

mateix nombre.

• Una fracció que no es pot simplificar es diu que és irreductible.

109

3 Fraccions equivalents PER A FIXAR IDEES

1 Completa les operacions en el quadern i observa que s’obté el mateix resultat.

3 =3:2= 2

3·2 = 2·2

=

:

3·3 = 2·3

=

=

:

=

2 Copia i completa en el quadern per a obtindre fraccions equivalents.

Recorda 1 i 2 Per a obtindre fraccions equiva-

lents a una dada, es multipliquen o es dividixen els dos termes de la fracció pel mateix nombre.

a) 1 = 1 · 2 = 5 5·

1· = b) 1 = 5 5· 3

3 Simplificar és dividir el numerador i

c) 18 = 18 : 2 = 30 30 :

18 : = d) 18 = 30 30 : 3

Reflexiona

el denominador pel mateix nombre.

4 Si dues fraccions expressen la mateixa

part d’un tot, són equivalents?

3 Simplifica les fraccions.

a) 15 → dividint entre 5.

20

b) 7 → dividint entre 7.

21

1 de 12 = 4 3

4 Fes els càlculs i raona. Què pots dir de les fraccions 4 i 6 ?

10

15

2 de 12 = 4 6 30 magdalenes

4 de 30 = …

10

PER A PRACTICAR

➜

6 de 30 = …

15

anayaeducacion.es GeoGebra. Practica calculant fraccions irreductibles.

1 Cerca, entre les següents, tres parells de fraccions equi-

valents:

1 — 2

2 — 3

6 — 8

4 — 6

3 — 4

2 — 4

a) 8 20

b) 2 3

110

b) 3 6 f ) 21 28

c) 42 70

Què pots dir de les fraccions 2 , 3 6 de 45 = ?

2 de 45 = ?

9 3

d) 90 108

6 i 10 ?

9 15 10 de 45 = ?

15

COMPRÉN I APLICA EN EL DESAFIAMENT

c) 15 20

d) 18 24

c) 5 10 g) 33 22

d) 9 12 h) 13 26

3 Simplifica aquestes fraccions:

a) 6 8 e) 10 18

b) 36 24

5 Fes els càlculs i contesta:

2 Escriu, en cada cas, dues fraccions equivalents:

a) 1 4

4 Calcula, en cada cas, la fracció irreductible:

6 Observa: en el got s’ha recollit la quantitat d’aigua que

ha perdut l’aixeta en un quart d’hora.

Expressa amb fraccions irreductibles:

a) La fracció de litre d’aigua que conté el got. b) La fracció de litre que perd l’aixeta cada hora. c) La fracció de litre que haurà perdut en cinc hores.

100 80 60 40 20 mL

U6 OBSERVA

3 = 3$2 4 4$2

3=6 4 8

↔

3.4.2=4.3.2

Com esbrinar si dues fraccions són equivalents (relació entre els termes) Observa aquestes tres fraccions equivalents i algunes relacions entre els seus termes:

3.8=4.6

3 — 4

6 — 8 3=6 4 8

TIN EN COMPTE

Als termes de dues fraccions equivalents se’ls sol anomenar extrems i mitjans. extrem

mitjà

mitjà

extrem

3 · 12 = 4 · 9 El producte dels extrems és igual al producte dels mitjans.

9 — 12

3 · 8 = 24 * 4 · 6 = 24

6= 9 8 12

Si dues fraccions són equivalents, els productes creuats dels termes són iguals.

6 · 12 = 72 * 8 · 9 = 72 a = c ↔ a·d=b·c b d

|Exemples • Són equivalents 2 i 3 ?

• Són equivalents 3 i 2 ?

4 5 10 15 2 · 15 = 10 · 3 → Són equivalents. 3 · 5 ≠ 4 · 2 → No són equivalents.

Com calcular un terme desconegut en la igualtat de dues fraccions equivalents La relació anterior ens permet calcular un dels termes de dues fraccions equivalents quan es coneixen els altres tres.

NO HO OBLIDES

Recorda aquest esquema:

=

|Exemples

·

x= x →

• 3= 4 • 3= x

9 → 3 · x = 4 · 9 → 3 · x = 36 → x = 36 : 3 = 12 x 9 → 3 · 12 = x · 9 → 36 = x · 9 → x = 36 : 9 = 4 12

PER A FIXAR IDEES

1 Quant val el producte m · n en cada cas?

a) 1 = n m 14

b) 10 = n m 10

c) m = 8 6 n

Ajuda

d) 5 = n m 12

5 El producte dels extrems és igual

al producte dels mitjans.

2 Copia i completa les operacions per a trobar el valor de cada lletra.

2 = a 8a= 10 5

$ 10

=

4 = 6 8b = b 9

$ 6

3 = n 8 3 $ 20 = m $ n m 20 m . n = 60

=

PER A PRACTICAR

7 Comprova si són equivalents.

a) 1 i 2 d) 6 i 8

3 4 9 11

b) 2 i 6 5 15 e) 2 i 3 12 20

8 Calcula el terme desconegut en cada cas:

c) 4 i 6 6 9 f ) 20 i 30 24 36

a) 5 = 10 d) x = 15

3 x 4 20

b) 4 = 8 5 x e) 2 = x 12 18

c) 4 = 8 x 12 f ) 10 = 5 x 6 111

4

Alguns problemes amb fraccions Estudia atentament els processos que s’han seguit en els problemes que venen a continuació. Et serviran per a resoldre altres molts problemes amb fraccions.

68 68 — 85

❚ càlcul de la fracció

Joana va enviar el mes passat 85 missatges amb el mòbil. D’aquests, 68 van ser per a la colla. Quina part dels missatges va ser per a la colla?

PER A LA COLLA

85

TOTAL

4 — 5

" 85

" 68 FRACCIÓ DE MISSATGES 68 2 $ 2 $ 17 4 4 = = " PER A LA COLLA 85 5 $ 17 5

Solució: Quatre missatges de cada cinc d 4 n varen ser per a la colla.

5 ❚ fracció d’un nombre: problema directe

En una carrera de fons, van eixir 85 corredors o corredores, però només quatre de cada cinc arribaren a meta. Quants corredors i corredores van completar la carrera?

85

85 : 5

17

17 · 4

68

O TAMBÉ…

Anomenant «x» els que arribaren a meta, la fracció x serà equivalent a 85 la fracció 4 .

5 x = 4 → x = 85 · 4 = 68 85 5 5

4 de 85 = (85 : 5) · 4 = 68 5 Solució: Van arribar a la meta 68 corredors i corredores. ❚ fracció d’un nombre: problema invers

O TAMBÉ…

Anomenant «x» el total d’habita­cions, la fracció 68 serà equivalent a la fracx ció 4 .

5 68 = 4 → x = 68 · 5 = 85 4 5 x

Un hotel té 68 habitacions ocupades, que representen quatre cinquenes parts del total. Quantes habitacions té en total?

68

68 : 4

17

17 · 5

85

4 del total = 68 → 1 del total = 68 : 4 = 17 → 5 del total = 17 · 5 = 85 5 5 5 Solució: L’hotel té, en total, 85 habitacions.

PER A PRACTICAR

1 Raquel té ja 180 dels 300 cromos de la col·lecció que va

començar el trimestre passat. Quina part de la ­col·lecció ha reunit fins ara?

➜

anayaeducacion.es Practica problemes amb fraccions.

4 A la piscina hi ha 42 banyistes prenent el sol, que són les

dues terceres parts del total de banyistes.

Quants n’hi ha a l’aigua? Quants en són en total?

2 Dels 15 missatges que ha enviat Albert amb el mòbil, dos

de cada tres eren per a les seues amigues i amics. Quants missatges els ha enviat?

3 Manel té ja 200 cromos, que són les dues terceres parts

de la col·lecció. Quants cromos té la col·lecció?

112

COMPRÉN I APLICA EN EL DESAFIAMENT

5 Si quatre de cada cent habitatges necessiten els serveis

d’un llanterner al llarg d’un any, quants serveis s’estimen a l’any en una ciutat amb 55 000 habitatges?

U6

Exercicis i problemes DOMINES EL BÀSIC?

Fraccions equivalents

8

Significat de les fraccions

1

Observa i expressa amb una fracció.

9

a) La part del cartó d’ous que està ocupada. b) La part d’euro que val la moneda. c) La part del triangle gran que està acolorida.

2

La taula mostra dades dels resultats acadèmics dels grups de 1r d’ESO en una escola. ho aproven tot

no ho aproven tot

1r A

22

6

1r B

20

6

Simplifica. a) 2 b) 4 e) 5 f) 25

10 14 6 27

c) 5 15 g) 21 28

15 20 d) 18 22 h) 22 33

10

Obtén la fracción irreducible en cada caso: a) 30 b) 20 c) 56 d) 275 45 60 330 80

11

¿Qué fracciones expresan la parte coloreada?

a) 10 b) 15 c) 20 18 36 30

d) 5 e) 12 f ) 36 20 9 25

12

Calcula x en cada caso. a) 3 = 9 b) 2 = x 5 20 7 x d) 3 = 4 e) 4 = x 18 27 15 x

a) Quina fracció de primer ocupa 1r B? b) Quina fracció de primer ho aprova tot? c) Quina fracció de 1r B en suspén alguna? d) Quin grup obté millors resultats?

La fracción d’un nombre

Cerca parells de fraccions equivalents.

3 3 12 3 1 12 4 4 15 5 12 4 28 7

c) 5 = 10 x 16 f ) 3 = 2 x 14

ENTRENA’T I PRACTICA

3

Fes els càlculs mentalment. a) 2 de 9 b) 4 de 20 c) 3 de 80 4 5 3 d) 2 de 14 e) 5 de 60 f ) 5 de 400 6 8 7 4 Sabent que 2 de x valen 20, calcula: 5 1 a) de x b) 3 de x c) 5 de x 5 5 5 d) Quin és el valor de x?

13

Expressa amb una fracció irreductible la part del cub gran que representa cada figura.

Fraccions i nombres decimals

14

Vertader o fals? a) Tres mesos són un terç d’any. b) Sis dies són la cinquena part del mes de març. c) Nou hores són 3/8 de dia. d) Deu minuts fan un cinqué d’hora. e) Dotze segons fan un cinqué de minut.

15

Ordena de major a menor, sense dividir, simplement observant.

5 3 3 3 4 9 10 8 8 8

5

Transforma cada fracció en nombre decimal. a) 3 b) 2 c) 7 d) 11 e) 5 5 10 8 5 20

6

Expressa cada decimal en forma de fracció. a) 0,6 b) 1,7 c) 2,5 d) 0,04 e) 0,21

7

Pasaa a decimal i ordena de major a menor. a) 2 b) 3 c) 5 d) 7 e) 8 5 10 11 6 3

113

Exercicis i problemes Calcula.

16

RESOL PROBLEMES SENZILLS

a) 2 de 192 3

b) 4 de 375 5

c) 3 de 749 7

d) 3 de 332 4

e) 5 de 1 096 8

f ) 4 de 153 9

Copia, fes els càlculs mentalment i completa.

17

a) Els 3 de … valen 15.

4

b) Els 2 de … valen 40.

3

c) Els 4 de … valen 20.

5

d) Els 3 de … valen 9.

5

18

La taula recull els llançaments i les cistelles aconseguides per tres jugadores en un partit de bàsquet. llançaments cistelles

A

B

C

7 4

14 7

4 2

a) Indica amb una fracció i amb un nombre decimal l’eficàcia en el llançament de cada jugadora. b) Quina de les tres té el llançament més segur?

19

Escriu tres fraccions equivalents a 7/21 que tinguen per denominador 3, 6 i 30, respectivament.

20

Emparella les fraccions que siguen equivalents i, tenint això en compte, associa els valors corresponents de les columnes que veus baix.

75 100

25 100

20 100

5 100

1 20

1 4

3 4

La quarta part d’un euro.

0,75 €

Tres quarts d’euro.

0,25 €

La cinquena part d’un euro.

0,05 €

Un vinté d’euro.

0,01 €

Un cèntim d’euro.

0,20 €

22

D’un paquet de 500 folis se n’han gastat 125.

Quina fracció del paquet queda?

23

Amb un bidó de 20 litres, s’omplen 30 botelles d’aigua. Quina fracció de litre entra a cada botella?

24

Una família gasta 1/3 dels ingressos a pagar la hipoteca del pis i 7/20 en la cistella de la compra. En quina de les dues partides se’n gasta més?

25

Una capsa de galetes pesa tres quarts de quilo, i un pot de confitura, 0,8 kg. Quin pesa més?

26

Un quilo de maduixes costa 2,80 €. Quant pagaràs per tres quarts de quilo?

27

Dels 1 200 € que guany al mes, estalvi tres vintens. Quant estalvi cada mes?

28

Júlia va comprar un formatge de 2 quilos i 800 grams, però ja n’ha consumit dos cinquens. Quant pesa el tros que hi queda?

29

Un hotel té 80 habitacions, de les quals el 20 % estan buides. Quina fracció de les habitacions estan buides? Quantes hi estan buides?

30

Observa, reflexiona i respon les preguntes. a) En aquest bidó hi ha 12 litres d’aigua.

Quants litres caben en total al bidó?

1 5 c) He comprat 2/5 d’una coca que han pesat 300 g. Quant pesava la coca completa?

300 g

31

Meta 14.4. Un vaixell de pesca torna a port amb 8 550 kg de peix, el màxim permés per a restablir les poblacions de peixos. Els 5/6 de la captura són sardines, que ven a la llotja a 1,80 €/kg. Quant obté per la venda de les sardines?

32

Una bossa de magdalenes de tres quarts de quilo costa 2,25 €. A com n’ix el quilo?

HO HAS COMPRÉS? 21

114

Vertader o fals? a) Una fracció equival a una divisió indicada. b) Qualsevol fracció té un nombre decimal associat. c) Dues fraccions amb termes diferents no poden tindre el mateix decimal associat. d) Un decimal periòdic s’expressa amb major exactitud mitjançant una fracció.

COMPRÉN I APLICA EN EL DESAFIAMENT

33

Una aixeta que goteja ha omplit, en una hora, les tres quartes parts del poal que s’ha col·locat davall.

Quant tardarà encara a omplir-lo per complet?

U6

PER A PENSAR UNA MICA MÉS

39

COMPRÉN I APLICA EN EL DESAFIAMENT

34

En una ciutat hi ha 53 500 habitatges. Norantahuit de cada cent tenen llavadora per a la roba, i 3 de cada 20, assecadora. Quantes llavadores i quantes assecadores hi ha a la ciutat?

35

Laura té, en una bossa, 10 boles roges i 6 boles verdes.

40

He tret 5/6 dels diners que tenia a la vidriola i encara hi queden 11 euros. Quants diners hi havia abans d’obrir-la?

41

S’han sembrat d’alfals els 3/5 de la superfície d’una finca, i encara queden 600 metres quadrats sense sembrar. Quina és la superfície total de la finca?

42

Un cine ha rebut 320 espectadors en la darrera sessió, fet que representa els quatre setens del total.

Quantes butaques han quedat buides?

43

Ma mare ens va fer anit una pizza. Jo me’n vaig menjar dues terceres parts, i la meua germana, Eva, la meitat del que quedava. Quina fracció de la pizza va sobrar?

a) Quantes boles roges caldria afegir a la bossa perquè en foren els tres quarts del conjunt? b) Quantes en caldria llevar perquè en foren només la quarta part?

36

Resol els problemes mentalment. a) Un quart de quilo d’olives costa 1,50 euros. Quant en costa un quilo? b) Tres quarts de quilo d’ametles costen 9 euros. A quant n’està el quilo?

COMPRÉN I APLICA EN EL DESAFIAMENT

37

38

Un ramader ha munyit ja 3/5 de les vaques que té.

Quan en munya quatre més, ja només li faltarà per munyir-ne una cinquena part. Quantes vaques té el ramader?

El reg gota a gota que ha posat Laura en els geranis de la terrassa aporta 1/20 de litre cada 10 minuts. Respon amb un nombre decimal: quants litres hi aporta si es manté actiu durant una hora?

Ajuda’t amb alguns d’aquests gràfics.

PROBLEMA RESOLT

Dibuixa un gràfic en el qual et pugues ajudar i organitzar les dades.

Un agricultor ha collit dues cinquenes parts de les pomeres del seu camp i encara li’n queden 24 arbres per collir. Quantes pomeres té al camp?

Dibuixem un gràfic:

8

8

8

Resolució ràpida a la vista del gràfic: 24 : 3 = 8 → 8 · 5 = 40 pomeres Resolució raonada: • En queden per collir 3/5 del camp, que són 24 arbres.

• 1/5 del camp són 24 : 3 = 8 arbres.

• El camp complet (5/5) té 8 · 5 = 40 pomeres.

44

Un hortolà va regar ahir la meitat de l’hort i hui la tercera part del que quedava. Quina fracció de l’hort li queda encara per regar?

45

Un forn va vendre ahir al matí la meitat de les pataquetes que van eixir del forn i, a la vesprada, les tres quartes parts de les que quedaven. Quina part de les pataquetes hi va quedar sense vendre?

46

En un club de bàsquet, la meitat de les jugadores fa més d’u huitanta i només les dues terceres parts han estat titulars alguna vegada a l’equip. Quantes són en total, sabent que passen de 20 però no arriben a 25?

47

Un comerciant va comprar, a principi de temporada, una partida de camisetes per 3 600 € i les va posar a la venda a 12 € la unitat. Passat un mes, havia venut les tres cinquenes parts del gènere, i amb això va cobrir la inversió. Quant guanyarà quan acabe de vendre les que li queden?

115

Taller de matemàtiques INVESTIGA La possibilitat que ocórrega un esdeveniment que depén de l’atzar, es pot expressar amb una fracció.

Per exemple, en llançar una moneda, la 1 probabilitat que isca cara és .

2 No obstant això, no sempre és tan senzill. Suposa ara que es llancen dues monedes i observa com raonen Manel i Cristina.

CARA

CREU

Guanye si ix una cara i una creu.

Jo guanye si ixen dues cares.

MANEL

CRISTINA

Hi ha tres casos possibles:

Hi ha quatre casos possibles:

— Ixen dues cares

→ guanya manel

— Ixen dues creus

→ no guanya ningú

— Ixen cara i creu

→ guanya cristina

1a moneda 2a moneda

C C + +

C + C +

→ → → →

guanya manel guanya cristina guanya cristina no guanya ningú

Probabilitats: Manel → 1 ; Cristina → 1 3 3

Probabilitats: Manel → 1 ; Cristina → 2 = 1 4 4 2

Els dos tenim les mateixes possibilitats!

Jo tinc el doble de possibilitats que en Manel!

• Quin dels dos creus que té raó?

Per a comprovar-ho, llança dues monedes vint vegades, anota els resultats i comprova si donen la raó a Manel o a Cristina.

UTILITZA EL TEU ENGINY • Un autobús escolar ix de l’escola carregat d’estudiants.

— En la primera parada descarrega la meitat dels estudiants, més mig.

— Després, l’autobús torna al garatge perquè s’ha quedat buit.

Quants escolars van pujar a l’autobús?

Explica la solució detallant, en cada parada, quants en baixen i quants n’hi queden.

• Quina és l'altura del pedestal?

29 cm

— En la segona ocorre el mateix: baixa la meitat més mig.

— I el mateix passa en la tercera parada, en la quarta i en la cinquena.

116

35 cm

U6

AUTOAVALUACIÓ

➜

1 Quina fracció d’hora són 10 minuts? I 20 minuts?

10 Escriu.

I 24 minuts?

a) Una fracció equivalent a 6 que tinga per denomi21 nador 14. b) Una fracció equivalent a 9 que tinga per denomi15 nador 10.

11 2 Representa en el quadern,

amb gràfics com el que tens a continuació o amb altres que tu decidisques, les fraccions 8/9 i 15/9.

3 A la fruiteria s’han venut al matí deu caixes de ma-

duixes i, a la vesprada, les quatre que hi quedaven.

Quina fracció de les maduixes hi va quedar sense vendre al matí?

4 La pizza de Carme va costar 4,20 €, i la de Carles,

4,80 €. En quant valores el tros que li queda a cada un?

anayaeducacion.es Resolucions d'aquests exercicis.

Simplifica les fraccions. a) 14 b) 36 28 48

c) 40 60

12 Anna i Rosa han comprat un bolígraf cada una. Anna

ha gastat les quatre cinquenes parts d’un euro, i Rosa, 75 cèntims. Quin dels dos bolígrafs ha eixit més car?

13 Un poble costaner té 4 500 habitants. La tercera part viu

de la pesca; dos cinquens, de l’agricultura, i la resta, del sector serveis. a) Quants viuen del sector serveis? b) Quina fracció de la població viu del sector serveis?

14 Amanda, en comprar unes sabates esportives per 75 €,

gasta les tres quartes parts dels diners que li va donar la seua padrina. Quants diners li va donar la padrina?

15 Els tres cinquens dels fruiters d’un hort són pomeres, i 5 El tros de la pizza que va menjar Carme en l’activitat

anterior pesava 270 grams, i el que va menjar Carles, 180 grams. Quant pesava cada pizza completa?

la resta, pereres. Si les pereres són 44, quants en són les pomeres?

¿Cuánto pesaba cada pizza completa?

6 Fes els càlculs.

a) Tres quarts de 240 c) 3 de 35 3

b) 2 de 80 5 d) Tres mitjos de 10

7 Reflexiona i completa l’exercici en el quadern.

a) 1 de … = 8 3 c) 5 de … = 7 5

b) 3 de … = 12 4 d) 7 de … = 14 5

8 Expressa les fraccions en forma decimal.

a) 4 b) 4 c) 1 10 5 8 9 Expressa els decimals com una fracció. a) 0,2 b) 1,2 c) 0,24

REFLEXIONA

Hasta ahora has delimitado tu investigación, planteado los instrumentos de recogida de información y registrado los datos. Ya seguramente podrás anticipar algunos aspectos o conclusiones principales que se pueden extraer del proceso, pero aún nos queda aspectos relevantes que tratar y que veremos en la unidad didáctica siguiente. Ahora revisa los aspectos trabajados y plantea soluciones a los problemas que se detecten.

Descarga de anayaeducacion.es la rúbrica, reflexiona de manera individual y comparte en grupo.

POSA A PROVA LES TEUES COMPETÈNCIES

Realitza l’autoavaluació competencial inclosa en anayaeducación.es.

117

© GRUPO ANAYA, S.A., 2022 - C/ Juan Ignacio Luca de Tena, 15 - 28027 Madrid.

Reservats tots els drets. El contingut d’aquesta obra està protegit per la llei, que estableix penes de presó, multes o ambdues ensems, ultra les indemnitzacions corresponents per danys i perjuís, per a aquells qui reproduïren, plagiaren, distribuïren o comunicaren públicament, en tot o en part, una obra literària, artística o científica, o la seua transformació, interpretació o execució artística fixada en qualsevol tipus de suport o comunicada per qualsevol mitjà sense autorització prèvia.