Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales 2º Bachillerato. Andalucía.

DEMO

2

INCLUYE

PROYECTO DIGITAL BANCO DE RECURSOS Y LIBRO DIGITAL

O T A R E L L I H C

BA

S A C I T Á M E T A S A M L AS A

D A I C I I L S P E A L A I C O S S A I C N CIE z, nzále o G a r vei ª J. Oli .

PÉREZ M , A Í z e C R n é A ra Jim Cañas, R. G e l o C J. era R. Col

SUMA

piezaS 1

2

3

ASÍ ES

tu libro para empezar

asos para pautas y p Te damos blema. e a un pro enfrentart

problemas

a los buenos ya lo hayas resuelto de aprendizaje. Aunque nuevo. de es una magnífica fuente e intenta resolverlo Un buen problema a él al cabo del tiempo (con o sin ayuda), vuelve

Sácales partido

Problemas: retos

el el problema duda después de leer sobre él. Si tienes alguna atención y reflexiona s necesarias.

• Léelo con toda las veces que considere

1. Comprender

a tu alcance

las leerlo te pide, cuáles son enunciado, vuelve a qué conoces, qué se claro en qué consiste, • Has de tener muy

: o qué es un problema Empecemos recordand ya conoces un camino, para cuya resolución camino, y ni Si estás ante una dificultad si no conoces ningún s, un ejercicio. Pero ante la que te encuentra te encuentras ante magnitud de la dificultad problema. tan siquiera sabes la ante un auténtico estés nte, montar entonces, segurame Como correr, nadar, requiere un gran esfuerzo. estas actividades, proporResolver problemas que gimnasia. Pero, al igual en bicicleta o hacer nes. es su ciona grandes satisfaccio supone un reto: esta un problema también nte lúdica, Por otro lado, resolver una fuerte compone . Y, además, tiene aventurecomponente deportiva juego creatividad, curiosidad, espíritu en … pues es necesario poner caminos nuevos, descubrir con ro: indagar, recorrer saber mucho. Basta , a veces, no hace falta abierta y creativa.

Para resolver un problema positiva, mental una actitud sea pensar bien y tener problemas» (algo, aunque entrada, sabe «resolver Todo el mundo, de mundo puede mejorar. que se sepa, todo el poco). Pero, por mucho

Lo primero que encontrarás al empezar el libro es una unidad dedicada a la resolución de problemas y un repaso de las épocas más importantes de la historia de las matemáticas.

condiciones… de actuación practiques para que conozcas y que de estrategias que conviene algunas de ellas.

Existe una gran variedad s. Más adelante veremos de de resolver problema encuadre en ninguna mejorar tu capacidad actuación que no se s y sigas un plan de claro te resulte a ti.

Es posible que encuentre ¡Mejor! El camino ideal es el que más s. las estrategias aprendida

2. Elaborar un plan

o que el plan previsto si ves que te atascas , llévala a cabo. Pero una elegido tu estrategia te convenga probar Una vez que hayas paso anterior. Tal vez sin salida, vuelve al entras en un camino estrategia nueva.

3. Llevar a cabo

a . la solución obtenid como todos los anteriores y es tan importante a olvidamos de este paso completa, si responde Muy a menudo nos dado es buena: si es si la solución que has …

• Tienes que verificar planteaba, si es razonable es que has tenido (inlo que el problema y sobre las dificultad el proceso que has seguido has aprendido algo). que seguro • Reflexiona sobre tal a la solución, no importa; otras soluciones o, cluso si no has llegado s o intentar buscar salía. plantearte nuevos problemaresolver aquel otro problema que no te • También puedes te pueda servir para vez, la solución obtenida . Redactarla ro o on a otra persona ejemplo, a un compañe 5. Contar la resoluci a otra persona, por forma le cuentes la resolución . Intenta hacerlo de resolución de • Es muy útil que puedes redactar el proceso otra persona. compañera. Además ida por todo pueda ser comprend clara, ordenada, que enunciado. Fíjate sobre con los términos del términos. de manera coherente • Da la solución responderla en los mismos se te hace y trata de buena redacción descrien la pregunta que a resolverlo, hacer una no te ha sido capaz de llegar el por qué crees que • Aunque no hubieras los sucesivos intentos, para que quien seguido, útil has que muy proceso resultar puede biendo el a mejorar. Además, s para ti. salido, etcétera, te ayudarálas orientaciones que sean más adecuada darte te lo propuso pueda

4. Reflexionar sobre

ar vas para mejor Actitudes positi problemas la resolución de Sé metódico

El método no te asegura

el éxito pero te ayuda

en su búsqueda.

capacidades

tus , para resolver un problema es necesario saber mucho o de que está a tu alcance.

Con frecuencia no ente. Actúa convencid basta con pensar correctam

Ten confianza en

te

Sé paciente y constan

problema menor dificultad. Cada No abandones a la lo. es imprescindible dedicárse Concéntrate en

de problemas

ción able que des un problema es recomend te propocuando vayas a resolver Nosotros Para actuar con método, los mismos y siempre en el mismo orden. siempre una serie de pasos, : nemos los siguientes

Etapas en la resolu

as

Resolución de problem

requiere su tiempo

lo que haces

y

. Requiere poner

l compleja es una actividad intelectua Resolver problemas resortes mentales. en tensión todos nuestros o

tiempo emplead tarea ha sido suque dediques a esta que todo el tiempo el problema!

Ten la seguridad de sido capaz de resolver o. ¡Aunque no hayas mamente provechos

Da por bueno el

Te mostramos distintas estrategias y te planteamos problemas para que las apliques.

1313

12

12

ue cada bloq Al final de io c a ic d s in encontrará la r ra a p pre nes para de bachin ió c a lu eva llerato.

bloques de contenidos

También dispones de una larga autoevaluación para repasar los contenidos de todas las unidades del bloque.

Préparate onl anayaeducaciine en on.es

En la evaluación de bachillerato puedes encontrarte con ejercicios y problemas de distintas dificultades:

Ejemplos de ejercicios y problemas.

¡

PARA LA EVALUACIÓN DE BACHILLERATO

¡¡

probabilidad

conceptos y técnicas básica Probabilidad has aprendido En tu preparación de vamos a recordar algunos. multitud de problemas, con las que puedes afrontar s de los sucesos ¿Conoces las propiedade y sus probabilidades?

P [A ∪ B] = P

A∩B

Con estas técnicas y

la curva ¿Dominas el manejo de s? normal y sus característica

[A] + P [B] – P

[A ∩ B]

P [A/B] =

algunas otras puedes

Los iconos incluidos en algunas actividades sugieren la clave del proyecto que puede aplicarse en cada caso.

–k

de problemas.

b. Probabilidad de que la verdura sea de proximidad o ecológica.

Análisis

b. Para el cálculo de P[PROX o ECOL] tendremos en cuenta: que P[PROX ∪ ECOL] = P[PROX] + P[ECOL] – P[PROX ∩ ECOL]

Estadística y Probabilidad

– a. N(μ, 7), muestra de tamaño n = 64, x = 34.

E

p = 0,992 zα/2 de árbol ¿Te sabes valer del diagrama probabilíspara interpretar problemas ticos y para resolverlos?

B

α/2

p

k = zα/2

z , ¿Sabes hallar el valor crítico, a/2 ? asociado a una probabilidad

Álgebra

a. Probabilidad de que la verdura comprada no sea ecológica.

a. Un diagrama en árbol nos permite visualizar los datos y razonar sobre ellos.

0,3 ° P[ECOL] = 0,21 + 0,03 = 0,24 PROX ECOL ° P[PROX y ECOL] = 0,7 · 0,3 = 0,21 0,7 § § ¢ ¢ § § no PROX 0,1 0,3 ECOL £ P[NO PROX y ECOL] = 0,3 · 0,1 = 0,03 £ P[no ECOL] = 1 – 0,24 = 0,76

P[z < za/2] = 0,996 8 za/2 = 2,65

n ¿Sabes valerte de la representació las propiedades gráfica para visualizar es? de los sucesos y sus probabilidad

A p=1–α

α/2

P [B]

resolver un montón

En un mercado agropecuario el 70 % de las verduras que se comercializan son de proximidad y, el resto, no. El 30 % de las verduras de proximidad son ecológicas, mientras que, de las que no son de proximidad, solo son ecológicas el 10 %. Si un cliente elegido al azar ha realizado una compra de una verdura, calcula las siguientes probabilidades:

El precio mensual de las clases de Pilates en una región se puede aproximar mediante una variable aleatoria con distribución normal de media μ euros y varianza 49 euros2. a. Seleccionada una muestra aleatoria de 64 centros en los que se imparte este tipo de clases, el precio medio mensual observado fue de 34 euros. Obténgase el intervalo de confianza al 99,2 % para estimar el precio medio mensual, μ, de las clases de Pilates. b. Determínese el tamaño muestral mínimo que debería tener una muestra aleatoria simple para que el error máximo cometido en la estimación de la media sea, como mucho, de 3 euros, con una confianza del 95 %.

P[A ∩ B]

= A∪ B

El libro está dividido en cinco bloques:

de la media, ¿Sabes estimar el valor – muestral, x, µ, a partir de la media normal? mediante la distribución z , q, n ¿Relacionas los parámetros a/2 con el tamaño del intervalo

x ± za/2

q n

asociado a un nivel de

confianza?

1–p

A

_ A

Se obtiene el intervalo: 34 ± 2,65 ·

7 64

0,992 : 2 +0,5 = 0,996 b. La relación za/2 ·

7 < 3, nos da el valor de n. n

za/2 = 1,96 que es el valor crítico correspondiente a p = 0,95

B

B

Las técnicas que se han necesitado para resolver estos tres problemas son izquierda.

las que se han revisado a la

En anayaeducacion.es encontrarás:

de modo que puedas adquirir • Un camino de aprendizaje de estas técnicas básicas para la geometría su uso y aplicarlas. una razonable agilidad para comprenderlas, reconocer la oportunidad de

propuestos, con ayudas, indi• Una colección de problemas de la evaluación de bachillerato, resueltos, caciones…

331

330

Cada bloque se inicia con un eje cronológico en el que se destacan los principales avances en el campo de las matemáticas.

Las claves

del proyecto

ODS

4

Compromiso ODS

Plan Lingüístico

Desarrollo del pensamiento

Aprendizaje cooperativo

Descubre los Objetivos de Desarrollo Sostenible y forma parte activa de nuestro compromiso para lograr un mundo más igualitario y habitable.

Pon en práctica tus destrezas comunicativas en los diferentes tipos de texto que te proponemos. El lenguaje siempre está presente, ¡comunícate!

Trabaja estrategias de pensamiento: reflexiona sobre los contenidos que estás aprendiendo, genera ideas, organízalas, priorízalas, arguméntalas, exponlas…

Implícate en tu aprendizaje y participa en el de todo el grupo; comprobarás que cooperar mejora el rendimiento y la convivencia en clase.

Unidad 10

Desarrollo de cada unidad Las dos primeras páginas de cada unidad están dedicadas a introducir sus contenidos más importantes a través de una introducción histórica.

3

Unidad 2

determinantes de orden cualquiera a 11 a 21 … a i1 … a n1

a 12 a 22 … a i2 … a n2

… … … … … …

a 1j a 2j … a ij … a nj

… … … … … …

a 1n a 2n … a in … a nn

Ten en cuenta

El determinante de una matriz n × n es el resultado de sumar todos los posibles productos de n elementos, uno de cada fila y uno de cada columna, con su signo o con el signo cambiado según un cierto criterio.

Vamos a analizar la definición anterior: • En el desarrollo del determinante hay muchos sumandos, cada uno de los cuales es un producto de n factores así: a1σ(1) a2σ(2) … an σ(n).

Los primeros subíndices, 1, 2, …, n, corresponden a las filas. Los segundos subíndices, σ(1), σ(2), …, σ(n), corresponden a las columnas y son una permutación (a la que llamamos σ) de los números 1, 2, …, n. Por tanto, en ese producto hay un elemento de cada fila y uno de cada columna.

• ¿Cuántos sumandos hay? Pues tantos como posibles permutaciones se puedan hacer con los números 1, 2, …, n. Es decir, n! sumandos.

• ¿Qué signo se le asocia a cada sumando? Pues + o – según una cierta propiedad de la permutación σ. Veámosla.

■

Las unidades se dividen en epígrafes y subepígrafes, en los que te mostramos los conceptos y herramientas que debes aprender.

Para definir los determinantes de orden 2 y de orden 3, se han dado unas reglas fácilmente visualizables (producto en cruz, regla de Sarrus) con el fin de recordar qué sumandos intervienen y qué signos se les asocian.

El interés de la definición general que damos en esta página es exclusivamente teórico. Si se prescinde de su lectura, el resto del tema sigue siendo inteligible y suficiente para manejarse con toda soltura con los determinantes.

Para n = 4, en el sumando: a13 a21 a34 a42 los subíndices de las filas son (1, 2, 3 , 4) y los de las columnas forman la permutación (3, 1, 4, 2). Es decir, q(1) = 3, q(2) = 1, q(3) = 4, q(4) = 2.

a12 · a24 · a33 · a45 · a51 Los índices de las columnas son (2, 4, 3, 5, 1), que es una permutación de (1, 2, 3, 4, 5).

Por tanto, es uno de los sumandos del desarrollo del determinante. Veamos cuál es su signo.

Para ello contamos sus inversiones:

En una permutación, cada dos elementos se dice que están en sucesión, cuando conservan el mismo orden en que estaban en la disposición inicial y en inversión si cambian el orden. Si el número total de inversiones que presenta la permutación de los índices de las columnas es par, entonces el sumando correspondiente mantiene su signo (+) y si es impar, cambia de signo (–).

Introducimos la matriz, como vimos en la . En la unidad anterior y pulsamos pantalla aparece:

Elegimos la opción 2:Determinante.

Añadimos, entonces, la matriz A definida 3 y pulsamos =. por

1 está en sucesión con todos los posteriores 8 (0 inversiones) 4 está en inversión con 2 8 (1 inversión)

Atención

(–1)n.º de inversiones de σ

a1σ(1) a2σ(2) … an σ(n)

σ ∈ P (n) significa que cada sumando se obtiene de una permutación de los elementos (1, …, n).

•

4 está en inversión con 3 y 1 8 2 inversiones

•

3 está en inversión con 1

8 1 inversión 8 1 inversión

está inversión con 1

En cada fila y en cada columna solo hay un elemento distinto de 0. Por tanto, de los 4! = 24 sumandos solo uno de ellos es distinto de cero (pues en los restantes hay algún factor 0). Este es el sumando: 5 · (–2) · 3 · 7

0 0 5 0 0 0 0 –2 3 0 0 0 0 7 0 0

Veamos qué signo le corresponde. Se trata del producto a13 · a24 · a31 · a42.

Los índices de las filas están ordenados (1, 2, 3, 4). Los índices de las columnas son (3, 4, 1, 2).

3 8 dos inversiones; 4 8 dos inversiones; 1 8 0 inversiones Hay en total 4 inversiones, par. Por tanto, el producto mantiene su signo; y el valor del determinante es 5 · (–2) · 3 · 7 = –210.

En cada epígrafe encontrarás ejercicios resueltos y otros que te proponemos para que los resuelvas.

Piensa y practica

1 ¿Verdadero o falso? En una matriz A, 4 × 4, sus 16 elementos son números positivos. Entonces: a) En el desarrollo de | A | hay 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24 sumandos, todos positivos. b) En el desarrollo de | A | hay 12 sumandos positivos y 12 negativos. c) | A | es, con seguridad, un número positivo. d) | –A | = | A |.

2 a) ¿Cuántos sumandos tiene el desarrollo del determinante | aij | de orden 5? b) Comprueba que el producto a41 · a32 · a55 · a24 · a13 es uno de ellos. ¿Qué signo le corresponde?

Hay, en total, 3 inversiones, un número impar. Por tanto, el sumando correspondiente cambia su signo 8 –a13 a21 a34 a42.

La definición de determinante queda así:

2 está en inversión con 1

2 Justificar que los determinantes si- a) Los elementos de la 3.ª fila son todos cero. guientes son cero: Por tanto, por la propiedad 2, el determinante es cero.

3 –1 5 0 2 1 2 –4 b) La cuarta columna se obtiene multiplicando por –2 la primera. Es decir, las colum2 7 0 1 7 0 1 –14 nas 1.ª y 4.ª son proporcionales. a) b) 0 0 0 0 3 1 1 –6 El determinante es cero por la propiedad 6.

5 –1 2 4 11 0 1 –22

Determinantes con calculadora

Por ejemplo, en un determinante 4 × 4, el sumando a13 a21 a34 a42 tiene ordenados los índices de las filas (1, 2, 3, 4). Los índices de las columnas (3, 1, 4, 2) son una permutación suya. Veamos cuántas inversiones presenta: 3 está en inversión con 1 y con 2 8 (2 inversiones)

8 1 inversión

•

•5

Propiedades de los determinantes

Como ya hemos dicho, las diez propiedades enunciadas en el apartado anterior para determinantes de orden 3 valen para determinantes de cualquier orden.

S

Ordenamos los cinco factores por los índices de sus filas:

a24 · a33 · a12 · a51 · a45 es uno de los sumandos de un determinante de orden 5 y averiguar el signo que le corresponde.

3 Hallar el valor de este determinante:

Signo de cada sumando

q é P (n)

1 Comprobar que el producto

En total hay 5 inversiones, impar. Le corresponde signo menos (–).

Ejemplo

En el sumando a1σ(1) a2σ(2) … an σ(n) los n factores están ordenados por el índice de sus filas (1.er subíndice). Los segundos subíndices, σ(1), σ(2), …, σ(n), corresponden a las columnas y σ es una permutación de los elementos (1, 2, …, n). Es decir, σ(i ) significa el elemento que ocupa el lugar i en la permutación σ.

| aij | =

Ejercicios resueltos

Esta definición, tan complicada, es muy poco operativa. Para hallar determinantes de órdenes superiores a 3, obtendremos, en los próximos apartados, una nueva propiedad y un procedimiento basado en ella.

3 Calcula el valor de los siguientes determinantes: a)

4 3 1 27 1 1 4 9 2 4 –1 36 0 6 2 54

b)

1 0 1 0 2 4 0 3 612 704 410 103 6 7 4 1

4 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 1 0 –3 0 0

c)

d)

1 0 0 0 4 –1 0 0 7 –1 1 0 3 1 4 1

6 0 0 0 0 8 0 5 0 0 4 0 3 0 0 0

e)

70

71

Ejercicios y autoevaluaciones ar el material Recuerda seleccion o. para tu portfoli

dosos uest s guia s prop lema lema y prob s ysprob cicio cicio Ejer Ejer 1. Propiedades de los determinantes Si c1, c2 y c3 son las columnas 1.ª, 2.ª y 3.ª de una matriz cuadrada de orden 3 tal que |c1 c2 c3 | = 7, calcular:

a) Observa que se han permutado las columnas 2.ª y 3.ª; y después, la 1.ª y 2.ª. b) Ten en cuenta que hay dos columnas que se han multiplicado por números.

a) |c3 c1 c2 |

c) Recuerda que al sumar a una línea, otra multiplicada por un número, el valor del determinante no cambia.

Solución:

c) |c1 + 2c3

a) 7

2c3 – c1 |

b) –21

c) 28

2. Resolver una ecuación con un determinante Estudiar, según los valores de a, el número de soluciones reales que tiene la siguiente ecuación: x2 a a a a x2 a a =0 a a x2 a a a a x2

• Para desarrollar el determinante, suma a la primera columna las otras tres y después extrae factor común de esa primera columna. Resta la primera fila a las otras tres y llegarás al determinante de una matriz diagonal.

Dadas las siguientes matrices: A=e

2 1 o 0 1

B=e

2 a–3 o b+ 2 c

determinar los valores de a, b y c de modo que | B | = 8 y AB = BA.

Solución: Si a = 0 8 x = 0; si a > 0 8 x = ± a ; si a < 0 8 x = ± –3a .

1 –1 –1 b B = f –1 1 0 2 p 1 a 2 –2

1 Resuelve las siguientes ecuaciones: b)

2 1 1 c) 0 2 2 = 0 2 3 a2

a +1 1 1 d) 1 2 a = 0 1 a 2

2 Halla el valor de los siguientes determinantes de orden 4:

a)

a)

Solución: a = 1, b = –2, c = 4

• Ten en cuenta cuál es el rango máximo que puede tener esa matriz.

• Calcula el valor de a que anula el menor formado por las tres primeras filas y columnas y determina el rango de B cuando ese menor es distinto de cero.

• Halla el valor de b que anula el menor formado por las columnas 1.ª, 3.ª y 4.ª.

Solución: Si a ≠ –1 o bien b ≠ –2, ran (B ) = 3. Si a = –1 y b = –2, ran (B ) = 2.

5. Resolver una ecuación matricial

a) Calcular los valores de m para los que A tiene inversa. b) Para m = 1, calcular la matriz X que verifica XA + X – 2A = 0.

a) Obtén los valores de m para los que | A | = 0. b) • En la ecuación, pasa 2A al segundo miembro y saca X factor común. Para ello, ten en cuenta que X = XI. • Multiplica los dos miembros por la matriz adecuada para despejar X. Recuerda que el producto de matrices no es conmutativo y decide si debes multiplicar por la izquierda o por la derecha.

Solución: a) A es regular para m ≠ 0 y m ≠ 2.

84

a – 1 1 –1 0 a +6 3 = 0 a –1 2 0

3 4 –5 a) 1 –1 1 = 0 1 –1 a

1 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 6 0 1

b)

6 –2 2 b) X = f 2 0 2 p –2 0 0

1 0 –1 2 2 3 2 –2 2 4 2 1 3 1 5 –3

b)

1 2 3 4 2 1 2 1 c) 1 2 4 5 3 4 1 2

2 1 –3 1 3 1 1 0 4 0 3 1 5 2 –2 1

b)

p m q n

3n –m 3q –p

d)

p 2m q 2n

1 n/m e) mp mq

3 7 2 7 … 7 = + 5 –3 3 –3 … –3

anayaeducacion.es Ejercicios de ecuaciones matriciales.

3 5 1 10 –2 0 1 4 5 0

f 61

p

2 –1 0 0 0 0 2 –1 c) C = 0 2 –1 0 2 0 –1 0

f

1 2 3 1 –1 b) B = f 4 5 6 2 1 p 1 0 0 3 4

p

1 2 0 3 d) D = f 0 1 –1 –2 p 2 7 –3 0

10 Estudia el rango de las siguientes matrices según el valor del parámetro que aparece en ellas:

m 5m f) p 5p

– 4 3 6 –1 … … b) = + 2 0 2 0 2 0

x 2x + 1 3x + 2 x 2x + 3 3 x + 4 x 2x + 5 3x + 6

a) A =

5 Sustituye los puntos suspensivos por los números adecuados para que se verifiquen las siguientes igualdades: a)

7 Utiliza las propiedades para desarrollar este determinante y calcula su valor:

9 Halla el rango de estas matrices:

m n = –5, ¿cuál es el valor de cada uno de los siguienp q tes determinantes? Justifica las respuestas: m + 3n p + 3 q n q

–3 a + 3 x d) –3 b + 3 y –3 c + 3 z

Rango de una matriz

–1 3 2 –1 2 –2 1 3 d) 0 –5 10 4 7 – 8 9 –2

c)

0 0 1 b) c – a b – c c z–x y–z z

1– x 1– y 1– z c) a + 2x b + 2y c + 2z 2x 2y 2z

b) Obtén el valor del determinante de la matriz 2A2 para a = 1.

1 –1 2 0 2 1 3 1 3 1 4 3 2 1 7 0

a)

1 1 1 a) a + 7 b + 7 c + 7 x/2 y/2 z/2

a 0 2a 8 a) Resuelve la ecuación | A | = 0 siendo A = f 0 a – 1 0 p.

–a 0 – a

4 Si

• Analiza qué condiciones deben cumplirse para que ran (B ) = 2.

–2 m 0 Dada la matriz A = f 0 0 m p: 1 –1 0

1 1 1 6 Sabiendo que a b c = 5, calcula el valor de los siguienx y z tes determinantes:

3 Calcula el valor de los siguientes determinantes:

• Desarrolla | B | e iguala a 8 la expresión obtenida.

• Halla los productos AB y BA e iguala término a término.

• Obtendrás un sistema de ecuaciones cuyas soluciones son los valores buscados.

4. Rango de una matriz que depende de dos parámetros Estudiar el rango de esta matriz:

Unidad 2

os

Determinantes. Propiedades

• Para resolver la ecuación, iguala a cero cada factor y ten en cuenta el signo de a.

3. Determinar los elementos de una matriz

Se completa la presentación teórica con varias páginas de ejercicios resueltos y unos ejercicios guiados para que los resuelvas siguiendo unos pasos que te indicamos brevemente.

esta unidad

Para practicar

b) | 3c1 c2 + c1 – c3 | c2

de trabajo de

lemas propuest

Ejercicios y prob

2 1 0 a) A = f 1 1 –2 p 3 1 a

a 1 0 b) B = f –1 2a –2 p 1 –1 2

2 –1 a c) C = f a 3 4 p 3 –1 2

1 1 1 d) D = f 1 –a 1 p 1 1 a

11 Halla los valores del parámetro m para los que el rango de 1 1 1 A = f m m 2 m 2 p es menor que 3. m m m2 85

Al final de la unidad te proponemos una gran cantidad de ejercicios y te plantemos una autoevaluación que te ayudará a comprobar tus avances.

Educación emocional

Cultura emprendedora

TIC

académica y profesional

Evaluación

Aprende a conocerte; identifica las situaciones que te generan emociones bloqueantes y gestiónalas con experiencias de autoafirmación constructiva.

Confía en tus aptitudes y conocimientos, desarrolla la creatividad, adáptate a las situaciones cambiantes y ten una actitud proactiva y responsable.

Aprende a obtener información, seleccionarla y aplicarla; a planificar, gestionar y elaborar trabajos; a colaborar en Red de forma ética y segura.

Valora tus capacidades personales, descubre y despierta tu vocación, entrénate en la toma de decisiones y aprende a orientarte entre distintas opciones.

Descubre diversas estrategias para analizar qué has aprendido y cómo lo has aprendido; entrénate para asumir compromisos o superar dificultades.

Orientación

5

ASÍ ES

el proyecto

digital

libro digital Banco de recursos

Regístrate en www.anayaeducacion.es. Solo necesitas tener un correo electrónico, el código que se indica en la primera página de este libro y el permiso de tu padre, madre, tutor o tutora legales. Así podrás acceder al banco de recursos y descargar el libro digital.

Una versión digital de tu libro, que podrás usar en condiciones offline y online, con acceso a los recursos digitales tanto agrupados por tipologías como asociados a los contenidos de cada unidad.

Un espacio con recursos, técnicas y actividades, diseñado para afianzar tus conocimientos.

Recursos relacionados con LAS CLAVES del proyecto ODS

Más sobre las claves

Compromiso ODS, con microvídeos que te ayudarán a conocer cuáles son las metas para alcanzar los Objetivos de Desarrollo Sostenible trabajadas en el proyecto.

Plan Lingüístico, con infografías que te darán las pautas para abordar el trabajo por medio de distintos tipos de textos (descriptivo, narrativo, expositivo, etc.).

Desarrollo del pensamiento, donde se incorporan explicaciones sobre cómo aplicar las distintas estrategias de pensamiento planteadas en el proyecto.

Aprendizaje cooperativo, que incluye la descripción de las técnicas de aprendizaje cooperativo propuestas en el proyecto.

Educación emocional, con orientaciones para superar la inquietud generada en diferentes situaciones de tu proceso de aprendizaje (inicio del curso, enfrentarte a un examen, etc.).

TIC, mediante fichas que reforzarán tu uso saludable, correcto y seguro de las tecnologías de la información y la comunicación.

Orientación académica y profesional, con información sobre diferentes profesiones vinculadas a los contenidos tratados en la asignatura.

Evaluación, se presentan orientaciones para hacer tu portfolio, así como rúbricas y dianas que facilitan tu autoevaluación.

6

Unidad 10

Recursos DESTACADOS de la materia Tutoriales Actividades con GeoGebra Glosario Aprende jugando Autoevaluaciones Preparación de la evaluación de bachillerato.

Recursos clasificados por unidades

Todos los recursos clasificados para que puedas localizar fácilmente los relacionados con cada apartado de tu unidad.

descartes ã René Descartes (1596 - 1650)

René Descartes es, al igual que Leibniz, tan conocido por sus trabajos en Filosofía como en Matemáticas. En 1637 publicó el Discurso del método para dirigir bien la razón y buscar la verdad en las ciencias, como introducción a tres tratados científicos, uno de los cuales, la Geometría, es la única obra que dedica a las matemáticas. En ella introduce como unidad un segmento arbitrario a imagen de lo que en Aritmética supone el número uno, asignando a cada punto del plano dos números que expresan su distancia a dos líneas rectas no necesariamente perpendiculares entre sí. En realidad, en su Geometría1, no aparecen explícitamente los términos coordenadas o ejes, pero sí las ideas que les dan origen (Descartes emplea únicamente una recta horizontal como eje X y, además, no utiliza las abscisas negativas).

Por otra parte, indica los datos a través de letras, siguiendo métodos algebraicos, y expresa las relaciones entre las letras, es decir ecuaciones. Un siglo después, Voltaire se referirá a Descartes como el inventor del método que permite asignar ecuaciones algebraicas a las curvas.

Según Rey Pastor, Descartes aspira a una ciencia única en la que las matemáticas constituirían únicamente la envoltura, y manifiesta a veces un cierto cansancio de los aspectos formales. Para él la Geometría está siempre tan ligada a consideraciones sobre las figuras que no pueden ejercer el intelecto sin cansar mucho la imaginación, y en el álgebra se está tan sujeto a ciertas reglas y ciertas letras que en lugar de una ciencia que eduque a la mente se convierte en un arte oscuro y confuso que la turba.

A pesar de este aparente menosprecio, las aficiones geométricas de Descartes son tempranas; así, en su juventud, descubre la fórmula c + v = a + 2, que relaciona el número de caras, vértices y aristas de un poliedro convexo. También resuelve algunos problemas planteados doce siglos antes por Pappus, el matemático de Alejandría.

Ya en su madurez, polemiza con su contemporáneo Fermat sobre la forma de determinar la tangente a una curva.

(*) Descartes ironiza al final de su tratado con la siguiente frase: «Mi objeto no es escribir un libro abultado; trata más bien de muchas cosas en pocas palabras (...). Espero que la posteridad me juzgue con benevolencia, no solo por las cosas que he explicado, sino también por aquellas que he omitido intencionadamente, para dejar a los demás el placer de descubrirlas».

7

contenidos del curso breve historia de las matemáticas Resolución de problemas • • • • • •

Análisis de algunas estrategias El proceso deductivo 1 Método de reducción al absurdo El método de inducción completa Principio del palomar Problemas para practicar

I álgebra

1

Sistemas de ecuaciones.

Método de Gauss

1. Sistemas de ecuaciones lineales 2. Posibles soluciones de un sistema de ecuaciones lineales 3. Sistemas escalonados 4. Método de Gauss 5. Discusión de sistemas de ecuaciones Ejercicios y problemas Autoevaluación

2

8. Sistemas homogéneos 9. Discusión de sistemas mediante determinantes 10. Cálculo de la inversa de una matriz Ejercicios y problemas Autoevaluación

4

Álgebra de matrices

1. En qué consiste la programación lineal.

Algunos ejemplos 2. Programación lineal para dos variables. Enunciado general Ejercicios y problemas Autoevaluación Evaluación de bachillerato: bloque I Autoevaluación del bloque I

1. Nomenclatura. Definiciones 2. Operaciones con matrices 3. Propiedades de las operaciones con matrices 4. Matrices cuadradas 5. n-uplas de números reales 6. Rango de una matriz 7. Forma matricial de un sistema de ecuaciones Ejercicios y problemas Autoevaluación

1. Determinantes de orden dos 2. Determinantes de orden tres 3. Menor complementario y adjunto 4. Desarrollo de un determinante por los elementos de una línea 5. El rango de una matriz a partir de sus menores 6. Criterio para saber si un sistema es compatible 7. Regla de Cramer

8

5 II análisis

3

Resolución de sistemas mediante determinantes

Programación lineal

Límites de funciones.

Continuidad

1. Idea gráfica de los límites de funciones 2. Sencillas operaciones con límites 3. Indeterminaciones 4. Comparación de infinitos.

Aplicación a los límites cuando x 8 ±∞ 5. Cálculo de límites cuando x 8 +∞ 6. Cálculo de límites cuando x 8 – ∞ 7. Límite de una función en un punto.

Continuidad 8. Cálculo de límites cuando x 8 c Ejercicios y problemas Autoevaluación

Pág. 110

Derivadas. Técnicas de derivación

1. Derivada de una función en un punto 2. Función derivada 3. Reglas de derivación Ejercicios y problemas Autoevaluación

7

Aplicaciones de las derivadas

1. Recta tangente a una curva 2. Crecimiento y decrecimiento de una función en un punto 3. Máximos y mínimos relativos de una función 4. Información extraída de la segunda derivada.

5. Optimización de funciones Ejercicios y problemas Autoevaluación

8

Representación de funciones

1. Elementos fundamentales para la construcción de curvas 2. El valor absoluto en la representación de funciones 3. Representación de funciones polinómicas 4. Representación de funciones racionales 5. Representación de otros tipos de funciones Ejercicios y problemas Autoevaluación

9

Integrales

1. Primitivas. Reglas básicas para su cálculo 2. Área bajo una curva. Integral definida de una función 3. Función «área bajo una curva» 4. Cálculo del área entre una curva y el eje X 5. Cálculo del área comprendida entre dos curvas Ejercicios y problemas Autoevaluación Evaluación de bachillerato: bloque II Autoevaluación del bloque II

iii estadística y probabilidad

6

Unidad 10

10

azar y probabilidad

11

Las muestras estadísticas

1. Experiencias aleatorias. Sucesos 2. Frecuencia y probabilidad 3. Ley de Laplace 4. Probabilidad condicionada.

Sucesos independientes 5. Pruebas compuestas 6. Probabilidad total 7. Probabilidades «a posteriori». Fórmula de Bayes Ejercicios y problemas Autoevaluación

1. El papel de las muestras 2. ¿Cómo deben ser las muestras?

3. Tipos de muestreos aleatorios 4. Técnicas para obtener una muestra aleatoria de una población finita 5. Muestras y estimadores Ejercicios y problemas Autoevaluación

12

Inferencia estadística.

Estimación de la media

1. Distribución normal. Repaso de técnicas básicas 2. Intervalos característicos 3. Distribución de las medias muestrales 4. En qué consiste la estadística inferencial 5. Intervalo de confianza para la media 6. Relación entre nivel de confianza, error admisible y tamaño de la muestra 7. ¿En qué consiste un test de hipótesis estadístico?

Ejercicios y problemas Autoevaluación

13

Inferencia estadística.

Estimación de una proporción

1. Distribución binomial. Repaso de técnicas básicas para el muestreo 2. Distribución de las proporciones muestrales 3. Intervalo de confianza para una proporción o una probabilidad 4. Contraste de hipóstesis para una proporción Ejercicios y problemas Autoevaluación Evaluación de bachillerato: bloque III Autoevaluación del bloque III Soluciones de la autoevaluación

9

10

azar y probabilidad La probabilidad y los juegos de azar Desde tiempo inmemorial existe afición a los juegos de azar: dados, cartas, tabas… fueron habituales instrumentos de juego. Los lances de azar presentaban situaciones problemáticas que algunos intentaron resolver de manera más o menos científica. El primero que dio pasos serios para afrontar sistemáticamente algunos de estos problemas fue Cardano, algebrista italiano del siglo xvi y jugador empedernido. Su Libro de los juegos de azar es un manual para jugadores, que dedica una pequeña parte al estudio del azar. No fue publicado hasta 1663, casi un siglo después de su muerte, porque estos temas estaban muy perseguidos por la Iglesia.

En el siglo xvii, el caballero De Méré (filósofo, literato y jugador compulsivo) consultó con su amigo Blaise Pascal algunos problemas que le habían surgido en juegos de dados. Pascal los estudió y se los propuso, por carta, a Pierre de Fermat. Ambos matemáticos mantuvieron una fructífera correspondencia en la que intercambiaron resoluciones a los problemas propuestos y elucubraciones sobre otras situaciones probabilísticas. Esta correspondencia, cuyas conclusiones publicó Christiaan Huygens en 1657, supuso el nacimiento de la teoría de la probabilidad.

Desarrollo como ciencia A finales del siglo xvii había ya una buena cantidad de conocimientos sobre sucesos aleatorios y gran acopio de problemas propuestos y correctamente resueltos relacionados con los juegos de azar. Pero faltaba un enfoque teórico que los englobara.

El primero que abordó el estudio del azar desvinculándolo del mundo de los juegos fue Jacob Bernoulli. En 1713 se publicó de manera póstuma El arte de la conjetura, libro en el que Jacob recoge los conocimientos anteriores, los sistematiza y da la primera definición formal de probabilidad.

El inglés Thomas Bayes y el italiano Lagrange unificaron las ideas sobre probabilidad que había hasta mediados del siglo xviii. El segundo de ellos compiló la primera Teoría general de las probabilidades.

Pierre-Simon Laplace, un siglo después, publica Teoría analítica de las probabilidades, donde recoge y organiza multitud de resultados que había ido obteniendo y difundiendo desde hacía 40 años. Se trata de la mayor aportación de la historia a esta teoría.

Esta obra inició el tratamiento del cálculo de probabilidades como un área autónoma de las matemáticas, lo que la dotó del impulso para alcanzar el extraordinario desarrollo que posee en nuestros días.

254

254

La probabilidad moderna. Aplicaciones A comienzos del siglo xx la teoría de la probabilidad se va formalizando gracias a la aportación de varios matemáticos entre los que destacan los de origen ruso. En 1933, Andrei Kolmogorov unifica puntos de vista diversos y, apoyándose en la teoría de conjuntos, establece las definiciones, axiomas y postulados en los que se basa la teoría de la probabilidad dotándola de rigor y generalidad.

La probabilidad moderna tiene multitud de aplicaciones en economía, informática, ciencias físicas, biología (por ejemplo, su aportación para descifrar las secuencias de ADN)…

La ciencia que nació de los juegos, hoy en día dista mucho de ser un juego.

Resuelve Obtención experimental de la probabilidad

Cálculo matemático de la probabilidad

Cuadriculamos un folio con cuadrados de 3 cm × 3 cm.

Resolvemos ahora el problema anterior de forma matemática.

Si dejamos caer sobre él una moneda de 2 céntimos de euro (19 mm de diámetro), puede caer «tocando raya», como A, o «sin tocar raya», como B.

La posición de la moneda queda determinada por su centro.

r r

A

r r B

Vamos a estimar la probabilidad del suceso S: S = «la moneda cae sin tocar raya» Para ello, se realiza la experiencia muchas veces y se calcula la frecuencia relativa del suceso S. Supongamos que 30 personas (los alumnos y las alumnas de una clase) lo realizan 100 veces cada una (un total de 3 000 experiencias), y que se contabiliza que el suceso S ha ocurrido 385 veces.

La frecuencia relativa y la probabilidad serán: fr (S ) = 385 = 0,128 → P [S ] ≈ 0,13 3 000 ••Estima tú la probabilidad de S lanzando 100 veces una moneda de 2 céntimos sobre una cuadrícula como la que se acaba de describir.

¿En qué puntos de la cuadrícula debe quedar el centro de la moneda para que esta no toque raya?

Es claro que debe estar en el interior del cuadrado pequeño, es decir, su distancia a cada raya debe ser mayor que el radio de la moneda. Área del cuadrado grande: 32 = 9 cm2 Área del cuadrado pequeño: (3 – 1,9)2 = 1,21 cm2 Probabilidad: P [S ] = 1, 21 = 0,134 9 La probabilidad obtenida por este método (0,134) ha sido sensiblemente igual a la obtenida por el método experimental (0,13).

••Calcula matemáticamente cuál es la probabilidad de que un botón de 1 cm de diámetro «no toque raya» en la cuadrícula de 3 cm × 3 cm.

255 255

1

Experiencias aleatorias. Sucesos Si lanzamos una piedra y conocemos las condiciones iniciales de altura, de velocidad, etc., sabremos con certeza dónde caerá, cuánto tiempo tardará, etc. Es una experiencia determinista.

Si echamos un dado sobre una mesa, ignoramos qué cara quedará arriba. El resultado depende del azar. Es una experiencia aleatoria.

Experiencia aleatoria es aquella cuyo resultado depende del azar.

Sucesos aleatorios

Suceso aleatorio es un acontecimiento que ocurrirá o no dependiendo del azar.

El número de coches que pasarán por un tramo de carretera cierto día, ¿es un suceso aleatorio? Podríamos preguntar, previamente, a cada uno de los posibles viajeros y realizar con cierta exactitud la previsión. ¿Imaginas la inmensa dificultad de la consulta? Sin embargo, los expertos, tratando como aleatorio el suceso y recurriendo a experiencias anteriores, prevén con notable aproximación lo que va a ocurrir.

La vida cotidiana está plagada de experiencias aleatorias. Muchas de ellas, de tipo sociológico (viajes, accidentes, número de personas que acudirán a un gran almacén…), aunque son suma de muchas decisiones individuales, pueden ser estudiadas, muy ventajosamente, como aleatorias.

Para empezar, nos fijaremos en experiencias aleatorias sencillas como lanzar dados, extraer cartas de una baraja, sacar bolas de urnas…

■■

Espacio muestral

Se llama espacio muestral al conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria. En adelante lo designaremos por E. Por ejemplo: En un dado, E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

En una moneda, E = {C, +}

■■

Sucesos

Se llama suceso a cualquier subconjunto de E. Los elementos de E se llaman sucesos elementales o sucesos individuales. También se llaman casos.

También son sucesos el suceso vacío o suceso imposible, ∅, y el propio E, suceso seguro. Al conjunto de todos los sucesos de una experiencia aleatoria lo designaremos S. Si E tiene un número finito, n, de elementos, el número de sucesos de E es 2n.

Por tanto, el conjunto S tiene 2n elementos.

Cuando «ocurre» un suceso

Se dice que un suceso se verifica, o que ocurre, cuando al realizar la experiencia aleatoria correspondiente, el resultado es uno de los casos de dicho suceso.

Por ejemplo, si al tirar un dado sale un 5, han ocurrido, entre otros, los sucesos {5}, {3, 5, 6}, {1, 5}, E.

Por ejemplo: En un dado, {1, 2}, {2, 4, 6}, {3, 5} son sucesos.

{1}, {2}, {3}, … son sucesos elementales.

Hay 26 = 64 sucesos.

Al lanzar una moneda hay 22 = 4 sucesos:

S = {∅, {C}, {+}, {C, +}} Piensa y practica

1 Numeramos con 1, 2, 3 y 4 las cuatro caras de un dado con forma de tetraedro. Lo dejamos caer y anotamos el número de la cara inferior.

256

1 3

a) ¿Cuál es el espacio muestral? b) Escribe un suceso elemental y tres que sean no elementales. c) ¿Cuántos sucesos tiene esta experiencia?

Unidad 10

■■

Operaciones y relaciones con sucesos

Dados dos sucesos, A y B, damos las siguientes definiciones: • Unión de sucesos. A ∪ B (se lee A unión B ) es el suceso formado por todos los casos de A y de B. El suceso A ∪ B se verifica cuando ocurre uno de los dos, A o B, o ambos.

• Intersección de sucesos. A ∩ B (se lee A intersección B ) es el suceso formado por todos los casos que son, a la vez, de A y de B.

A

A«B

A

A»B

A

A–B

A

_ A

E B

E B

El suceso A ∩ B se verifica cuando ocurren simultáneamente A y B. • Diferencia de sucesos. A – B (se lee A menos B ) es el suceso formado por todos los casos de A que no son de B.

E B

A – B se verifica cuando lo hace A y no B. • Suceso complementario. El suceso A = E – A se llama suceso contrario o complementario de A.

E

El suceso A se verifica siempre y cuando no se verifique A. Al suceso A también se le suele designar con A' .

• Sucesos incompatibles. Dos sucesos, A y B, se llaman incompatibles cuando no tienen ningún caso común. Es decir, cuando A ∩ B = ∅. Los sucesos inccompatibles no se pueden verificar simultáneamente.

■■

E

A

B

Propiedades de las operaciones con sucesos

Las operaciones anteriores cumplen, entre otras, las siguientes propiedades: Distributivas

A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )

A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C )

De simplificación

A ∪ (B ∩ A ) = A

A ∩ (B ∪ A ) = A

Del complementario `Aj = A Leyes de Morgan

1.ª A , B = A ∩B

A – B = A ∩B = A – (A ∩ B) 2.ª A + B = A , B

Piensa y practica

2 Justifica gráficamente a partir de los siguientes conjuntos la primera ley de Morgan, A , B = A ∩B .

E A

E A

4 Justifica gráficamente la segunda ley de Morgan, A + B = A , B , a partir de estos conjuntos.

E

E A

A

B B

B

B

5 Justifica gráficamente las siguientes igualdades: 3 Justifica gráficamente la siguiente igualdad: A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )

a) A – B = A ∩B = A – (A ∩ B) b) (A ∪ B) – (A ∩ B ) = ( A ∩ B) ∪ (A ∩ B )

257

2

Frecuencia y probabilidad ■■

Frecuencias absoluta y relativa de un suceso

Realizamos N veces una experiencia aleatoria. Recordemos las siguientes definiciones.

Se llama frecuencia absoluta de un suceso S o, simplemente, frecuencia de S, al número de veces que ocurre S. Se designa por f (S ).

Se llama frecuencia relativa de S a la proporción de veces que ocurre S. f (S ) f r (S ) = N ■■

Ley de los grandes números

Al realizar reiteradamente una experiencia aleatoria, la frecuencia relativa de un cierto suceso, f r (S ), va tomando distintos valores. Estos valores al principio sufren grandes oscilaciones pero, poco a poco, se van estabilizando (oscilan cada vez menos). Cuando N crece mucho, se aproximan a un cierto valor que es la probabilidad de S, P [S ].

Hoja de cálculo en la que puedes comprobar experimentalmente la ley de los grandes números.

0,200 0,180

lím f r (S ) = P [S ] ley de los grandes números

N "∞

0,160 0,140

Por ejemplo, al lanzar un dado se obtienen los valores de f r (3) para N = 20, 40, 60, 80, 100, 120, ...

0,120 0,100

Los valores de f r (3) se van estabilizando en torno a 1/6 = 0,166.

(Observa la evolución en la gráfica del margen).

■■

anayaeducacion.es

40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440 480 520 560 600 640

¿Por qué la frecuencia relativa tiende a estabilizarse?

Al lanzar reiteradamente un dado, ¿es posible obtener el suceso «3» cinco veces consecutivas? Por supuesto que sí; es difícil, pero posible. ¿Cómo afecta esa racha a la f r (3)? Pues depende de cuántas experiencias se lleven a cabo. Por ejemplo, supongamos que antes de la racha era f r (3) = 0,16: Para N = 100 f (3) = 16 fr (3) = 0, 16 Con la racha de 5 veces «3», 4 N = 105 f (3) = 21 fr (3) = 0, 20 f r (3) aumenta 4 centésimas.

anayaeducacion.es GeoGebra.

Simulador interactivo que ejemplifica el lanzamiento de un dado n veces.

Para N = 1000 f (3) = 160 fr (3) = 0, 160 4 f r (3) aumenta 4 milésimas.

N = 1005 f (3) = 165 fr (3) = 0, 164 Para N = 10 000 f (3) = 1600 fr (3) = 0, 1600 4 f r (3) aumenta 4 diezmilésimas.

N = 10 005 f (3) = 1605 fr (3) = 0, 1604 Es decir, f r (3) se estabiliza porque, al ser el denominador cada vez más grande, al cociente le afectan cada vez menos las fluctuaciones del numerador.

Piensa y practica

1

¿Verdadero o falso? a) Estoy jugando con un dado correcto y en las últimas 20 jugadas no he conseguido ningún «5». Según la ley de los grandes números, en la siguiente jugada es muy muy probable que ya me salga «5».

258

b) Aunque en las últimas 20 tiradas no haya salido ningún «5», la probabilidad de que ahora salga «5» sigue siendo la misma que antes de la racha: 1/6 (el azar «no tiene memoria»).

Unidad 10

■■

Propiedades de las probabilidades

Cada suceso de un espacio muestral lleva asociada una probabilidad. Estas probabilidades deben cumplir las propiedades que damos a continuación.

• Las tres primeras se imponen, es decir, son axiomas.

• Las siguientes se deducen de las primeras, es decir, son teoremas.

AXIOMAS La probabilidad de cada suceso es un número. Se han de cumplir los siguientes axiomas: Ax.1 Cualquiera que sea el suceso S, P [S ] ≥ 0.

Ax.2 Si dos sucesos son incompatibles, la probabilidad de su unión es igual a la suma de sus probabilidades.

A ∩ B = ∅ ⇒ P [A ∪ B ] = P [A ] + P [B ] Ax.3 La probabilidad total es 1: P [E ] = 1

Andréi Kolmogórov (1903-1987). Matemático ruso que dio rigor a la teoría de la probabilidad construyendo un sistema axiomático inspirado en la teoría de conjuntos.

En esencia, estas tres propiedades indican que la cantidad total de probabilidad es igual a 1 y se reparte aditivamente entre los distintos sucesos. Por tanto, la probabilidad de cada suceso es un número comprendido entre 0 y 1: 0 ≤ P [S ] ≤ 1 TEOREMAS T.1 P [ A ] = 1 – P [A ] T.2 P [∅] = 0 T.3 Si A ⊂ B, entonces P [B ] = P [A ] + P [B – A ] T.4 Si A ⊂ B, entonces P [A ] ≤ P [B ] T.5 Si A1, A2, …, Ak, son incompatibles dos a dos, entonces: P [A1 ∪ A2 ∪ … ∪ Ak ] = P [A1] + P [A2] + … + P [Ak ] T.6 P [A ∪ B ] = P [A ] + P [B ] – P [A ∩ B ] T.7 Si el espacio muestral E es finito y un suceso es S = {x1, x2, …, xk }, entonces: P [S ] = P [x1] + P [x2] + … + P [xk]

anayaeducacion.es Justificación de los axiomas a partir de las frecuencias relativas de los sucesos.

anayaeducacion.es Demostración de los teoremas T.1 a T.7.

Ejercicio resuelto

1 Los sucesos A y B cumplen lo siguiente: P[A] = 0,6

P[B] = 0,7

P[A ∪ B] = 0,9

• P [ B ] = 1 – P [B ] = 1 – 0,7 = 0,3 • En el T.6 se despeja P [A ∩ B ] = P [A ] + P [B ] – P [A ∪ B ] P [A ∩ B ] = 0,6 + 0,7 – 0,9 = 0,4

Calcular: P[ A ] P[B ] P[A ∩ B]

• Por el T.1, P [ A ] = 1 – P [A ] = 1 – 0,6 = 0,4

• Tenemos en cuenta que A ∪ B = A + B (2.ª ley de Morgan)

P[ A ∪ B ]

P [ A ∪ B ] = P [ A + B ] = 1 – P [A ∩ B ] = 1 – 0,4 = 0,6

Piensa y practica

2 Conocemos las siguientes probabilidades: P [A ] = 0,4 P [B ] = 0,7 P [ A ∪ B ] = 0,8 Calcula P [ A + B ], P [A ∩ B ], P [A ∪ B ].

3 Sabemos que: P [M ∪ N ] = 0,6 P [M ∩ N ] = 0,1 P [ M ] = 0,7 Calcula P [M ], P [N ], P [ N ], P [ M ∩ N ].

259

3

Ley de Laplace La propiedad T.7 de la página anterior permite calcular la probabilidad de un suceso S conociendo las probabilidades de los sucesos elementales que lo componen.

Si, además, el espacio muestral consta de n sucesos elementales equiprobables (todos ellos con la misma probabilidad 1/n), entonces la probabilidad de S solo depende del número de sucesos elementales que lo componen: P [S ] = 1 + 1 + … + 1 n n n

tantos sumandos como elementos tiene S

Ley de Laplace Si E = {x1, x2, …, xn} y P [x1] = P [x2] = … = P [xn ], entonces: P [S ] = número de elementos de S = número de casos favorables a S n número de casos posibles Se dice que un instrumento aleatorio es de Laplace cuando la probabilidad de todos sus sucesos elementales (casos) es la misma. Por ejemplo, un dado correcto, una moneda, una baraja…

Pierre-Simon Laplace (1749-1827)

Ejercicios resueltos

1 En una baraja de 40 cartas, hallar: a) P[as] b) P[oros] c) P[figura]

a) P [as] =

n.º de ASES = 4 = 1 = 0, 1 n.º total de cartas 40 10

b) P [oros] =

n.º de OROS = 10 = 1 = 0, 25 n.º total de cartas 40 4

c) Las figuras de la baraja española son sota, caballo y rey.

Hay, pues, 12 figuras en la baraja. Por tanto: P [figura] = 12 = 3 = 0, 3 40 10

2 En una baraja hemos suprimido varias cartas. Entre las que quedan, se dan las siguientes probabilidades de ser extraídas: P[rey] = 0,15 P[bastos] = 0,3 P[ni rey ni bastos] = 0,6 a) ¿Está entre las que se quedan el rey de bastos? ¿Cuál es la probabilidad de extraer esta carta? b) ¿Cuántas cartas hay?

a) Llamamos R al suceso rey y B al suceso bastos.

El suceso rey de bastos lo interpretamos como R ∩ B (y, por tanto, el dato que nos dan «ni rey ni bastos» como R ∩ B ).

Aplicando T.6: P [R ∩ B ] = P [R ] + P [B ] – P [R ∪ B ] = 0,15 + 0,3 – P [R ∪ B ] Por otro lado:

P [R ∪ B ] = 1 – P [ R , B ] = 1 – P [ R ∩ B ] = 1 – 0,6 = 0,4

Por tanto, P [rey de bastos] = 0,15 + 0,3 – 0,4 = 0,05 = 1 20 Como la probabilidad es distinta de cero, el rey de bastos está entre las cartas no eliminadas. b) Una porción de cartas de una baraja es un instrumento aleatorio de Laplace, pues la probabilidad de extraer cada una de ellas es la misma. Si en este montón la probabilidad del rey de bastos es 1/20, es porque hay 20 cartas.

Hazlo tú Repite el problema con los datos siguientes: P [copa] = 1 , P [as] = 1 , P [ni copa ni as] = 5 . Halla P [as de copas] y di 2 16 4 cuántas cartas hay.

260

Unidad 10

■■

Cuándo no se puede aplicar la ley de Laplace

La ley de Laplace se puede aplicar cuando todos los sucesos elementales (elementos del espacio muestral) tienen la misma probabilidad. Pero hay muchos casos en que esto no ocurre. Veamos dos situaciones tipo.

••Instrumentos irregulares Hay instrumentos aleatorios claramente irregulares: un dado mal construido, una chincheta, una taba. ¿Cómo evaluar las probabilidades de los sucesos en estos casos?

Si el instrumento es irregular, para evaluar la probabilidad de un suceso, S, recurrimos a la ley de los grandes números. Efectuaremos un número, N, grande de expef (S ) riencias, obtendremos la frecuencia, f (S ), y así, la frecuencia relativa fr (S ) = N será una medida aproximada de la probabilidad. Cuanto mayor sea N, más confianza tendremos en la estimación.

Por ejemplo, si dejamos caer 100 chinchetas del mismo tipo 10 veces, obtendremos 1 000 resultados.

Supongamos que f (

) = 243 y f (

) = 757.

Las frecuencias relativas nos sirven para estimar las probabilidades: P [

] ≈ fr (

) = 0,243

P [

] ≈ fr (

) = 0,757

Si quisiéramos tener más seguridad en las estimaciones, acumularíamos más experiencias: 2 000, 5 000, 10 000, …

••Instrumentos regulares, sucesos elementales no equiprobables Lanzamos dos dados correctos y sumamos sus resultados. El espacio muestral de esta experiencia es {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. Pero la experiencia o el sentido común nos hacen ver que no es igualmente probable que la suma sea 2 o 7 o 10.

Sin embargo, podemos modificar la descripción de la experiencia de modo que los sucesos elementales sean equiprobables, tal como hacemos en el cuadro del margen.

P [suma 2] = 1 36

P [suma 7] = 6 = 1 6 36

P [suma 10] = 3 = 1 36 12

2.º dado

De este modo, el espacio muestral consta de 36 sucesos elementales (1, 1), (1, 2), …, (3, 5), …, (6, 6), todos ellos con la misma probabilidad: 1 . Los resultados 36 «suma 2», «suma 7», «suma 10», que antes eran considerados sucesos elementales, en la nueva descripción son sucesos no elementales. Sus probabilidades se obtienen con sencillez:

1.er dado

+

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

7

2

3

4

5

6

7

8

3

4

5

6

7

8

9

4

5

6

7

8

9

10

5

6

7

8

9

10 11

6

7

8

9

10 11 12

Piensa y practica

1 Lanzamos un dado «chapucero» mil veces. Obtenemos: f (1) = 117 f (2) = 302 f (3) = 38 f (4) = 234 f (5) = 196 f (6) = 113 Estima las probabilidades de las distintas caras y, basándote en ellas, calcula las probabilidades de estos sucesos: par menor que 6 {1, 2}

2

¿Cuál es la probabilidad de obtener 12 al multiplicar los resultados de dos dados correctos? ¿Y la de obtener 9? ¿Y la de obtener 4?

3 ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos dados correctos la diferencia de sus puntuaciones sea 2? ¿Y la probabilidad de que la diferencia sea 1?

261

4

Probabilidad condicionada. Sucesos independientes Tenemos una bolsa con bolas de colores numeradas. Vamos a exhibirlas para apreciarlas con claridad.

1

2

3

4

5

6

7

8

Si se extrae una bola al azar, la probabilidad de que el número sea par es 4 = 1 .

8 2 Esto es claro. Pero si, antes de mirar el número, nos dicen cuál es el color, las cosas cambian: • Si la bola es verde, la probabilidad de par es 1 .

3 2 • Si la bola es roja, la probabilidad de par es = 1.

2 4 • Y si es negra, seguro que es par. La probabilidad de par es 1.

Estas probabilidades se llaman condicionadas: «la probabilidad de que el número sea par con la condición de que el color sea…».

Dados dos sucesos, A y C, con P[A] ≠ 0 y P[B] ≠ 0, se llama probabilidad de A condicionada a C y se escribe P [A/C ] a:

A

A∩C

E C

Mide la proporción de veces que ocurre A P [A/C ] = P [A + C ] P [C ] de entre las que ocurre C. De la expresión anterior se deduce que P [A ∩ C ] = P [C ] · P [A/C ].

Análogamente, P [C/A ] = P [C + A] ⇒ P [A ∩ C ] = P [A ] · P [C/A ].

P [A] Calculemos las probabilidades del ejemplo anterior aplicando la fórmula: 2 P [par / verde] = P [PAR Y VERDE] = P1 [ 2 ] 3 = 1/8 = 1 P [VERDE] P [ , , ] 3/8 3

Análogamente, obtendríamos P [par /rojo] = 1 , P [par / negro] = 1.

2 ■■

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Ejercicios de probabilidad condicionada.

Sucesos independientes

Observamos que la probabilidad de par condicionada a rojo es igual que la probabilidad de par sin condiciones, P [par /rojo] = P [par].

Por eso decimos que los sucesos par y rojo son independientes. Sin embargo, el suceso par no es independiente de verde ni de negro.

Dos sucesos, A y C, se dice que son independientes cuando:

par

y roja son independientes

La proporción de par entre las bolas rojas es la misma que la proporción de par en el total. El dato «la bola es roja» no modifica la expectativa de obtener par.

P [A/C ] = P [A ] lo que es equivalente a P [C/A ] = P [C ] Cuando dos sucesos son independientes, la probabilidad de su intersección es igual al producto de sus probabilidades: A y C independientes ⇒ P [A ∩ C ] = P [A ] · P [C ] Hasta hace poco, en los seguros de coches a las mujeres les cobraban menos que a los hombres. Era debido a que P [accidente/mujer] < P [accidente]. Es decir, los sucesos tener accidente y ser mujer no son independientes. Sin embargo, no les cobran ni más ni menos a quienes tengan Rh+ o sean rubios. Es lógico, pues el suceso tener accidente es independiente tanto del suceso tener Rh+ como del suceso ser rubio.

262

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Ejercicios sobre independencia de sucesos.

Unidad 10

■■

Probabilidades condicionadas en tablas de contingencia

Recordemos en qué consisten las tablas de contingencia y veamos, sobre un ejemplo, cómo se interpretan y se calculan en ellas las probabilidades condicionadas.

punkia

Se ha seguido la pista, durante un año, a 100 000 teléfonos móviles de tres marcas distintas: punkia, pijia y kakia. Unos han tenido alguna avería (av) y otros no (no av). Se reparten como ves en la primera tabla de la derecha.

4 000

av no av

pijia

kakia

2 000

4 000

46 000 18 000 26 000

Una tabla de este tipo se llama tabla de contingencia. El colectivo total (teléfonos) se reparte según dos características (marcas y si han tenido o no avería). El estudio de los datos permite averiguar las relaciones entre ambas características.

Para analizar una tabla de contingencia debemos empezar completándola con las sumas parciales y con la suma total (segunda tabla).

Las sumas parciales nos permiten ver que, por ejemplo, hay 20 000 teléfonos de la marca pijia o que hay 10 000 teléfonos que han tenido avería.

Si entre los 10 000 teléfonos que han tenido avería, av, elegimos uno al azar, es fácil hallar las probabilidades condicionadas:

punkia

4 000

pijia

2 000

kakia

total

4 000

10 000

no av

46 000 18 000 26 000

90 000

total

50 000 20 000 30 000 100 000

av

P [punkia /av] = 4 000 = 0, 4 10 000 Esto significa que si sabemos que el teléfono ha tenido avería, la probabilidad de que sea punkia es 0,4.

Análogamente, P [pijia /av] = 2 000 = 0, 2 y P [kakia /av] = 0,4.

10 000 También se puede calcular la probabilidad de que un teléfono de una cierta marca tenga avería: P [av/punkia] = 4 000 = 0, 08 50 000

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Ejercicios sobre probabilidades condicionadas en tablas de contingencia.

P [av/pijia] = 2 000 = 0, 10 20 000 P [av/kakia] = 4 000 = 0, 13 30 000 Estos resultados nos hacen ver que la marca más segura es punkia y la menos, kakia.

Comparando estas últimas probabilidades condicionadas con la probabilidad total P [av] = 10 000 = 0, 10 ; advertimos que los sucesos pijia y av son independientes, 100 000 mientras que punkia y kakia no son independientes con av.

Piensa y practica

1 Observa las bolas que hay en la urna.

2 1 1 1 1 1 2 2 2 1

a) Completa el cuadro de doble entrada en el que se reparten las bolas según el color (V, R, N) y el número (1, 2).

V

R

1

2

2

3

total

5

N

total

b) Calcula la probabilidad de rojo, negro, verde, 1 y 2, sin más que observar la composición de la urna. c) Comprueba que las probabilidades obtenidas en b) se pueden obtener sumando filas o columnas del cuadro formado en a). d) Calcula las probabilidades condicionadas: P [1/rojo], P [1/verde], P [1/negro], P [2/rojo], P [2/verde], P [2/negro], P [rojo/1], P [verde/1]. e) Di si alguno de los caracteres rojo, negro, verde es independiente de 1 o de 2.

263

5

Pruebas compuestas Hay experiencias en las que fácilmente podemos distinguir dos o más etapas. Se llaman pruebas compuestas. En ellas, el cálculo de probabilidades de sucesos compuestos se simplifica mucho calculando las probabilidades de sus componentes.

Dos pruebas compuestas son independientes cuando el resultado de una no influye en la otra. Si no es así, se llaman dependientes.

• Ejemplo 1. Lanzamos una moneda y un dado. Es evidente que el resultado de una no influye en la otra. Son independientes.

• Ejemplo 2. Extraemos dos cartas de una baraja. El resultado de la segunda sí depende de la primera (por ejemplo, si la primera es as, es menos probable que la segunda lo sea). Son dependientes.

■■

Experiencias independientes

Analicemos el ejemplo 1 de arriba. En este caso, el cálculo de probabilidades es especialmente sencillo si suponemos que la moneda y el dado son de Laplace.

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

1

2

3

4

5

6

1/2

C

C, 1 C, 2 C, 3 C, 4 C, 5 C, 6

1/2

+

+, 1 +, 2 +, 3 +, 4 +, 5 +, 6

1 — 2

C 1 — 6

+

P [(C, 3)] = P [C] · P [3] = 1 · 1 = 1 2 6 12 La probabilidad del suceso compuesto es igual al producto de las probabilidades de los sucesos componentes. Por ejemplo: P [(C y par)] = P [C] · P [par] = 1 · 1 = 1 2 2 4

1 2 1 ·— 1 =— 1 3 P[C y 3] = — 2 6 12 4 5 6 1 2 3 4 5 6

Diagrama en árbol para el lanzamiento de una moneda y un dado.

Se dice que dos o más pruebas son independientes cuando el resultado de cada una de ellas no influye en las probabilidades de los distintos resultados de las otras.

Por tanto, los sucesos correspondientes a la primera son independientes de los sucesos correspondientes a la segunda.

Ten en cuenta

Si n pruebas son independientes y los sucesos S1, S2, …, Sn corres­ponden, respectivamente, a cada una de ellas se cumple que: P [S1 en la 1.ª y S2 en la 2.ª y … y Sn en la n-ésima] = P [S1] · P [S2] · … · P [Sn ]

Hay ocasiones en las que las pruebas no son sucesivas, sino simultáneas. Pero, si se puede, resulta muy ventajoso pensar en ellas como si se sucedieran en el tiempo.

Piensa y practica

1 ¿Verdadero o falso? a) En una bolsa tenemos 5 bolas verdes y 5 bolas rojas. Extraemos una bola y luego otra. Las dos extracciones son independientes. Por tanto: P [1.ª roja y 2.ª verde] = = P [roja en 1.ª] · P [verde en 2.ª] = 5 · 5 = 1 = 0, 25.

10 10 4 b) Tenemos dos bolsas, cada una de ellas con 5 bolas verdes y 5 bolas rojas. Extraemos una bola de la primera bolsa y una bola de la segunda bolsa. Las dos extracciones son independientes. Por tanto: P [1.ª roja y 2.ª verde] = = P [roja en 1.ª] · P [verde en 2.ª] = 5 · 5 = 1 = 0, 25.

10 10 4

264

2 Calcula la probabilidad de obtener tres cuatros al lanzar tres dados.

3 Calcula la probabilidad de que no nos salga el número 6 (ningún seis) al lanzar cuatro dados (cuatro veces no seis).

4 Calcula la probabilidad de obtener algún seis al lanzar cuatro dados. (Algún seis es el suceso contrario de ningún seis).

5 Calcula la probabilidad de obtener algún seis al lanzar seis dados.

Unidad 10

■■

Experiencias dependientes

Tenemos una moneda y dos urnas con bolas. Lanzamos la moneda y si sale cara, extraemos una bola de I y si sale cruz, extraemos una bola de II.

URNA I

Describimos, mediante un diagrama en árbol, la experiencia compuesta e incluimos las correspondientes probabilidades.

6 — 10

1 — 2

1 — 2

C

P[C y 3 — 10

1 — 10

2 — 10

+ 2 — 10

P[C y P[C y P[+ y

6 — 10

P[+ y P[+ y

1 ·— 6 =— 6 ]=— 2 10 20 1 ·— 3 =— 3 ]=— 2 10 20 1 ·— 1 =— 1 ]=— 2 10 20

URNA II

1 ·— 2 =— 2 ]=— 2 10 20 1 ·— 6 =— 6 ]=— 2 10 20 1 ·— 2 =— 2 ]=— 2 10 20

Observemos que las probabilidades de las segundas flechas son probabilidades condicionadas.

Por ejemplo, P [ /C] = 6 y, por tanto 10 P [C y ] = P [C ∩ ] = P [C] · P [ /C] = 1 · 6 = 6 20 2 10 Dos experiencias son dependientes cuando el resultado de la primera influye en las probabilidades de los sucesos de la segunda. Las probabilidades de sucesos compuestos se obtienen así: P [S1 en la 1.ª y S2 en la 2.ª] = P [S1] · P [S2/S1]. Es decir: P [S1 en la 1.ª] · P [S2 en la 2.ª supuesto que ocurrió S1 en la 1.ª] Si se encadenan más de dos experiencias dependientes, las probabilidades de los sucesos compuestos se obtienen análogamente. Por ejemplo, para tres pruebas: P [S1 en la 1.ª y S2 en la 2.ª y S3 en la 3.ª] = = P [S1] · P [S2/S1] · P [S3/S1 y S2] Piensa y practica

6 ¿Verdadero o falso?

En una bolsa tenemos 5 bolas verdes y 5 bolas rojas. Extraemos una bola y luego otra. La segunda extracción depende del resultado de la primera. Por tanto: P [1.ª y 2.ª ] = P [ en 1.ª] · P [ en 2.ª/ en 1.ª] = = 5 · 5 = 25 = 5 10 9 90 18

7 Tenemos un dado y las dos urnas descritas en el dibujo que aparece a continuación.

Lanzamos el dado. Si sale 1 o 2, vamos a la urna I. Si sale 3, 4, 5 o 6, acudimos a la urna II. Extraemos una bola de la urna correspondiente.

2 — 6 4 — 6

{1, 2} I {3, 4, 5, 6} II

a) Completa las probabilidades en el diagrama en árbol. b) Halla: P [{3, 4, 5, 6} y P [ /5]

]

P [ /1] P [2 y

]

265

6

probabilidad total

punkia averiados

Recordemos el ejemplo de los teléfonos móviles que vimos al estudiar las probabilidades condicionadas en tablas de contingencia. Allí los datos aparecían muy ordenados en una tabla. Pero supongamos que no los tenemos así, que solo conocemos la proporción de teléfonos de cada marca, P [punkia], P [pijia], P [kakia], así como la proporción de averiados en cada marca: P [av/punkia], P [av/pijia], P [av/kakia]. ¿Cómo averiguar la proporción total de teléfonos averiados, P [av]?

pijia kakia

P [kakia] · P [av/kakia] da, de la proporción total de teléfonos averiados, aquellos que proceden de kakia.

Análogamente, P [punkia] · P [av/punkia] y P [pijia] · P [av/pijia].

P [kakia] · P [av/kakia]

Por tanto: P [av] = P [punkia] · P [av/punkia] + P [pijia] · P [av/pijia] + P [kakia] · P [av/kakia] Tenemos n sucesos, A1, A2, …, An.

...

Son incompatibles dos a dos y tales que A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An = E.

A1

E

Entonces, para cualquier suceso S se cumple que: An

P [S ] = P [A1] · P [S /A1] + P [A2] · P [S /A2] + … + P [An] · P [S /An] A la probabilidad P [S ] descompuesta de este modo se la llama probabilidad total.

S ...

A2

Demostración Descomponemos S en sucesos incompatibles: S = (A1 ∩ S ) ∪ (A2 ∩ S ) ∪ … ∪ (An ∩ S ) Aplicamos la propiedad T.5 de las probabilidades: P [S ] = P [A1 ∩ S ] + P [A2 ∩ S ] + … + P [An ∩ S ] Teniendo en cuenta que P [Ak ∩ S ] = P [Ak ] · P [S /Ak ], se obtiene la expresión buscada.

■■

La probabilidad total en el caso de pruebas sucesivas

El resultado anterior es especialmente útil para experiencias compuestas que se suceden en el tiempo. Vamos a ilustrarlo en el caso de dos etapas sucesivas: Observa el gráfico. Los sucesos A1, A2, …, An son de la primera etapa e incompatibles dos a dos. S es un suceso de la segunda etapa. Se puede llegar a S pasando por A1, A2, … o An. Observando el diagrama en árbol se aprecia el significado que tienen, en este caso, las probabilidades siguientes:

P [S /Ai ]

P [Ai ∩ S ] = P [Ai ] · P [S /Ai ]

así como la P [S ] como probabilidad total.

También es claro el interés que tiene este proceso para estos casos, pues solo se puede llegar al suceso S pasando por alguno de los sucesos A1, A2, …, An. 266

A1

P[S/A1]

A1 » S

P[S/A2]

A2 » S

P[S/An]

An » S

P[A1] P[A2]

P[An]

A2

. . .

An

S

Unidad 10

Ejercicios resueltos

1 Lanzamos un dado. Si sale 1 o 2 extraemos una bola de la urna I, si sale 3, 4, 5 o 6 extraemos bola de la urna II.

Describimos el proceso mediante un diagrama en árbol en el que se incluyen las probabilidades de todos los sucesos que intervienen.

I

II

3 — 10

2 — 6

{1, 2}

4 — 6

{3, 4, 5, 6}

P[{1, 2} y

2 ·— 3 =— 1 ]=— 6 10 10

I 6 — 10

P[{3, 4, 5, 6} y

4 ·— 6 =— 4 ]=— 6 10 10

II

Hallar P[ ] (la probabilidad de que la bola sea roja).

Ahora, hallamos la probabilidad total.

P [ ] = 1 + 4 = 5 = 1 10 10 10 2 Hazlo tú En el ejercicio anterior, calcula P [ ] y P [ ]. Comprueba que la suma P [ ] + P [ ] + P [ ] es igual a 1.

2 Un gato persigue a un ratón. Este puede entrar en uno de los callejones A, B o C.

Describimos el proceso mediante un diagrama en árbol: A

0,4

+

P[A y +] = 0,3 · 0,4 = 0,12

B

0,6

+

P[B y +] = 0,5 · 0,6 = 0,30

C

0,1

+

P[C y +] = 0,2 · 0,1 = 0,02

0,3

A B

0,5

C

En cada uno de ellos puede cazarlo, +, o no. Se sabe: P[entre por A] = P[A] = 0,3 P[B] = 0,5 P[C] = 0,2 P[lo cace habiendo entrado en A] = = P[+/A] = 0,4 P[+/B] = 0,6 P[+/C] = 0,1 Calcular la probabilidad de que el gato cace al ratón.

+

lo caza

0,2

La probabilidad de que el gato acabe cazando al ratón es: P [+] = 0,12 + 0,30 + 0,02 = 0,44 Observa que, razonando sobre el gráfico, se obtiene la fórmula de la probabilidad total: P [+] = P [A ] · P [+/A ] + P [B ] · P [+/B ] + P [C ] · P [+/C ] =

= 0,3 · 0,4 + 0,5 · 0,6 + 0,2 · 0,1 = 0,44

Hazlo tú En el ejercicio anterior, si la probabilidad de que cace al ratón es 0,44, entonces la probabilidad de que escape ( ) es 0,56 (P [ ] = 1 – P [+] = 1 – 0,44 = 0,56).

Calcula dicha probabilidad, P [ ], siguiendo todo el proceso.

Piensa y practica

1 ¿Verdadero o falso?

I

2 Tenemos dos urnas:

II

Primero extraemos una bola de I y la introducimos en II. Después extraemos una bola de II.

a) P [2.ª /1.ª ] = 1 b) P [2.ª /1.ª ] = 1 2 2 c) P [2.ª /1.ª ] = 1 d) P [1.ª y 2.ª ] = 1 · 1 = 1 3 3 2 6

I

II

La experiencia consiste en extraer una bola de I, introducirla en II, remover y extraer, finalmente, una bola de II. Calcula la probabilidad de que la segunda bola extraída sea: a) roja b) verde c) negra

267

7

Probabilidad «a posteriori». Fórmula de Bayes En una experiencia compuesta de dos, si A es un suceso correspondiente a la primera y S es un suceso correspondiente a la segunda, el significado de la probabilidad condicionada P [A/S ] es interesante.

A

S

...

S

...

S

Se puede llegar al suceso S pasando por A o por otros sucesos. Si sabemos que finalmente ha ocurrido S, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido «pasando por A»? P [A/S ].

Es decir, de las distintas formas en que se puede llegar a S, ¿en qué proporción de ellas se pasa por A? Intuitivamente puede admitirse que dicha proporción es: P [A/S ] = P [A + S ] P [S ]

Un ejemplo

Otro ejemplo con teléfonos y averías: El 80 % de los teléfonos es de la marca guay y el 20 % de puaf: P [guay] = 0,8 P [puaf ] = 0,2 Los guay tienen averías 1 de cada 20, los puaf, 3 de cada 10: P [av/guay] = 1 P [av/puaf ] = 3 10 20 Un teléfono tomado al azar tiene avería. ¿Cuál es la probabilidad de que sea guay?

Para resolverlo, sigamos la pista a 100 teléfonos que se reparten de forma ideal: 100

g, 80 p, 20

1/20 3/10

g y av 4 p y av 6

av, 10

¿No está claro que si un teléfono, elegido al azar, tiene avería, la probabilidad de que sea guay es 4/10 y la de que sea puaf es 6/10?

Su demostración no es difícil: P [A + S ] = P [A] · P [S/A] 4 P [A] · P [S/A] = P [S ] · P [A/S ] P [A + S ] = P [S ] · P [A/S ] Despejando: P [A/S ] = P [A]· P [S/A] = P [A + S ] P [S ] P [S ]

A1

S

Si expresamos P [S ] como probabilidad total, se obtiene la llamada fórmula de Bayes:

A2 .. .

S

Ai .. .

An

S

P [A i] · P [S/A i] P [Ai /S ] = P [A 1]· P [S/A 1] + … + P [A n]· P [S/A n]

P[S]

S

En la práctica, más que la fórmula, resulta muy útil seguir el proceso en un diagrama en árbol: A1

P[S/A1]

S

...

.. .

.. .

P[A1] P[Ai]

Ai

P[S/Ai]

S

...

An

P[S/An]

P[Ai » S ]

P[S]

.. .

.. .

P[An]

P[A1 » S ]

S

...

P[An » S ]

Si sabemos que ocurrió S, sobre el gráfico se obtiene que: P [Ai /S ] =

268

P [A i + S ] P [S ]

Placa conmemorativa en la casa en la que vivió Thomas Bayes en Tunbridge Wells (Condado de Kent, Inglaterra).

Unidad 10

Ejercicios resueltos

1 Retomamos el problema del dado y las dos urnas resuelto en el apartado anterior.

Sabemos que, finalmente, se ha obtenido una bola negra. ¿Cuál es la probabilidad de que se haya extraído de la urna II? Es decir, P[II/ ].

2 Retomamos el problema del ratón y el gato que vimos en el ejercicio resuelto 2 del apartado anterior. Supongamos que vemos a un gato perseguir a un ratón. Al poco rato llega con él en la boca. ¿En cuál de los tres caminos lo habrá cazado?

Nos valemos de un diagrama en árbol para calcular la probabilidad total P [ ].

2 — 6

1 — 10

I

4 — 6

2 — 10

II

P[I

y

P[II

y

2 ·— 1 =— 2 ]=— 6 10 60 4 ·— 2 =— 8 ]=— 6 10 60

P [ ] = 2 + 8 = 10 60 60 60 Para hallar P [II/ ] obtenemos el cociente entre P [II y ] y P [ ].

P [II y ] 8/60 = = 8 = 0, 8 P [II/ ] = P[ ] 10/60 10 Vamos a describir el resultado de forma ingenua: «De cada 60 veces que se realiza la experiencia, en 10 de ellas sale bola negra. De esas 10 veces, en 2 procede de la urna I y en 8 procede de la urna II».

Hazlo tú Si lo que se obtiene finalmente es bola roja, ¿qué probabilidad hay de que provenga de la urna I? Es decir, calcula P [I/ ].

Naturalmente, no sabremos dónde lo ha cazado, pero sí podemos calcular la probabilidad de que lo haya hecho en un cierto callejón: P [A/+], P [B/+] o P [C/+].

Ya conocemos algunos resultados obtenidos en el apartado anterior: A

+ P [A y +] = 0,12

B

+ P [B y +] = 0,30 P [+] = 0,44

C

+ P [C y +] = 0,02

El cálculo de las probabilidades pedidas es inmediato: P [A y +] 0, 12 = = 0, 273 P [A/+] = P [+] 0, 44 P [B y +] 0, 30 = = 0, 682 P [B/+] = P [ +] 0, 44 P [C y +] 0, 02 = = 0, 045 P [C/+] = P [+ ] 0, 44 Piensa y practica

1

2

¿Verdadero o falso?

En el ejemplo de los teléfonos guay y puaf visto anteriormente, sabemos de un teléfono que, pasado el tiempo prudencial, no tiene averías. Ignoramos la marca pero podemos calcular sus probabilidades.

100

G,

80

19/20

P,

20

7/10

G

y no av , 76

P

y no av , 14

P [guay /no av] = 76 = 0,84 90 P [puaf /no av] = 14 = 0,16 90

no av , 90

I

II

Se extrae una bola de I y se introduce en II. Se remueve y se extrae una bola de II.

a) Sabiendo que la segunda bola ha sido negra, ¿cuál es la probabilidad de que la primera también lo fuera?

P [1.ª /2.ª ] b) Sabiendo que la segunda bola ha sido roja, ¿cuál es la probabilidad de que la primera haya sido negra?

P [1.ª /2.ª ] c) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera fuera verde siendo verde la segunda? P [1.ª /2.ª ]

269

ueltos

mas res e l b o r p y s io jercic

E

1. Propiedades de las probabilidades Dados dos sucesos A y B, se conocen estas probabilidades: P[A ∪ B] = 0,55 P[ A ∪ B ] = 0,90

P[B/A] = 0,25 Se pide: a) Hallar P[A ∩ B], P[A], P[B] y P[B/ A ]. b) Deducir de manera razonada si A y B son independientes.

Hazlo tú a) Con

los mismos datos, calcula: P [A ∩ B ] y P [A ∪ B ]

b) ¿Son A y B incompatibles?

a) Sabemos que A ∪ B = A + B , por tanto: P [A ∩ B] = 1 – P [ A + B ] = 1 – P [ A ∪ B ] = 1 – 0,90 = 0,10 Por otra parte: P [B/A] = P [A + B] = 0, 10 = 0,25 8 P[A] = 0,4 P [A] P [A] También sabemos que: P [A ∪ B] = P [A] + P [B] – P [A ∩ B] 8 0,55 = 0,4 + P [B] – 0,1 8 P [B] = 0,25 Para la última probabilidad que se pide, viene bien hacer un diagrama: E

A

P [B/ A ] = P [B + A] = P [B] – P [A + B] = 0, 25 – 0, 1 = 0, 25 1 – P [A ] 1 – 0, 4 P [ A]

B

_ B∩A

b) Como P [B/ A ] = P[B], A y B son independientes. También se podría deducir que son independientes comprobando que P [A ∩ B] = P [A] ∙ P [B].

2. Lanzamiento de tres dados Al lanzar tres dados, hallar la probabilidad de que la puntuación obtenida en uno de ellos sea igual a la suma de las puntuaciones de los otros dos.

Las posibles sumas de las puntuaciones de dos dados se recogen así:

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12

Como solo nos interesa que coincida con la puntuación del otro dado, las probabilidades que necesitamos son: 2 1 P [suma = 2] = P [suma = 3] = 36 36 3 4 P [suma = 4] = P [suma = 5] = 36 36 5 P [suma = 6] = 36 (Observa que no es posible «suma = 1»).

Hacemos un diagrama en árbol para hallar la probabilidad de que la puntuación del primer dado coincida con la suma de los otros dos: 1.er dado 0 1 1 — 6

2 3 4

Hazlo tú En el lanzamiento de dos dados rojos y uno verde, halla la probabilidad de que la puntuación obtenida en el verde coincida con la diferencia de las puntuaciones (mayor – menor) de los dos dados rojos.

270

5 6

—1— 36 —2— 36 —3— 36 —4— 36 —5— 36

suma2.º y 3.º suma = 1 suma = 2

Por tanto, la probabilidad de que la puntuación del primer dado coincida con la suma de los otros dos es: P1 =

suma = 3 suma = 4 suma = 5 suma = 6

1 ·0+ 1 · 1 + 1 · 2 + 1 · 3 + 6 6 36 6 36 6 36 1 4 + · + 1 · 5 = 15 = 5 6 36 6 36 216 72

Hay que tener en cuenta que también podría ocurrir que el resultado del segundo dado coincidiera con la suma del primero y el tercero, o que el resultado del tercer dado coincidiera con la suma del primero y el segundo.

Por tanto, la probabilidad pedida sería: P = 3 ∙ P1 = 3 ∙

5 = 5 72 24

Unidad 10

3. Cálculo de probabilidades utilizando diagramas Se sabe que en cierto pueblo el 50 % de la población tienen coche, el 35 % tienen moto y el 22 % tienen coche y moto.

Se elige al azar un ciudadano del pueblo.

Hallar la probabilidad de que:

Dibujamos el siguiente diagrama, dividiendo el espacio muestral en subconjuntos incompatibles. Por ejemplo, si hay un 50 % de habitantes con coche y un 22 % con coche y moto, entonces habrá 50 % – 22 % = 28 % de ellos con coche pero sin moto. Así rellenamos el resto. coche

A

a) Tenga coche o moto.

d) Sabiendo que tiene moto, que no tenga coche. e) Que tenga solo uno de los dos. anayaeducacion.es GeoGebra.

Ejercicios de cálculo de probabilidades mediante diagramas de Venn.

B

28%

b) No tenga ni coche ni moto. c) Sabiendo que tiene coche, que tenga moto.

moto

+

a) P [coche o moto] =

+

36%

23%

= 0,28 + 0,22 + 0,13 = 0,63

b) P [no coche y no moto] =

= 1 – P [coche o moto] = 1 – 0,63 = 0,37

= 0, 22 = 0,44 0, 5

c) P [moto /coche] =

= 0, 13 = 0,37 0, 35

d) P [no coche /moto] =

e) P [solo coche o solo moto] =

+

= 0,28 + 0,13 = 0,41

4. Probabilidades en tablas de contingencia En la casa de la cultura de cierta población hay 300 socios. Cada uno puede apuntarse a una actividad: bailes de salón (bai), marchas por la montaña (mon) o videojuegos (vid).

Hay dos rangos de edad: jóvenes (jov), los menores de 26 años; y mayores (may), de 26 años en adelante.

• Entre los socios hay 180 jóvenes, de los cuales 15 hacen bailes de salón y 60 van a la montaña.

• Al grupo de montaña se han apuntado 100 personas.

• Solo hay 13 mayores en el grupo de videojuegos. a) Construir una tabla de contingencia. b) Tomando un socio al azar, hallar estas probabilidades: P[may] P[mon] P[jov y vid] P[vid/jov] P[may/bai] c) Comprobar que el suceso mon es independiente de la edad.

a) Construimos la tabla de contingencia con los datos que nos dan (en rojo) y, haciendo cuentas, rellenamos los huecos que quedan.

bailes de salón

montaña

videojuegos

total

jóvenes

15

60

105

180

mayores

67

40

13

120

total

82

100

118

300

b) Calculamos las probabilidades: P [may] = 120/300 = 0,4 (Hay 120 mayores.)

P [mon] = 100/300 = 0,33 (Hay 100 socios apuntados a la montaña.)

P [ jov y vid] = 105/300 = 0,35 (Hay 105 jóvenes apuntados a videojuegos.)

P [vid/jov] = 105/180 = 0,58 (De los 180 jóvenes, 105 practican videojuegos.)

P [may/bai] = 67/82 = 0,82 (De los 82 que bailan, 67 son mayores.) c) Vamos a ver que mon es independiente de jov y may.

P [ jov/mon] = 60/100 = 0,6 P [ jov] = 180/300 = 0,6

→ P [ jov/mon] = P [ jov]

Por tanto mon y jov son independientes.

Análogamente se comprueba que P [may/mon] = P [may].

Esto significa que entre los que salen a la montaña (mon) los socios se reparten por edades en las mismas proporciones que en el total.

Hazlo tú Calcula P [vid/may].

271

psuesltos o e r R p s s a a m m e e l l b b o o r r s sy yp p ioio cic EjEejrecric 5. Probabilidad condicionada Un mueble tiene 9 cajones. La probabilidad de haber guardado la cartera en el mueble es 1/2 y, si está en el mueble, tiene la misma probabilidad de estar en cualquiera de los 9 cajones. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la cartera esté en el noveno cajón? b) Si abrimos los ocho primeros cajones y la cartera no está en ninguno de ellos, ¿cuál es la probabilidad de que esté en el noveno cajón?

Llamamos otro al suceso «alguno de los 8 primeros cajones»: 1 — 9

sí

1 — 2

1.º 2.º .. .

8.º

1·8= 8 2 9 18 1 1 1 P [sí y 9.º] = · = 2 9 18 P [sí y otro] =

9.º 1 — 2

no

1 +0= 1 18 18 8 +0= 8 = 4 b) P [otro] = P [sí y otro] + P [no y otro] = 18 18 9 P [9.º y no otro] P [9.º] 1/18 = 1 P [9.º/no otro] = = = P [no otro] 1 – P [otro] 1 – 8/18 10 a) P [9.º] = P [sí y 9.º] + P [no y 9.º] =

Para hacer intuitivo este resultado, vamos a describir la experiencia de forma simplona: imaginemos que realizamos la experiencia 18 veces; en la mitad de ellas, 9, la cartera está en alguno de los cajones, y en la otra mitad no está en ningún cajón.

2

1.er cajón 2.º cajón

.. .

.. .

Hazlo tú azlo tú

8

8.º cajón

Repite el apartado b) del problema suponiendo que fueran 6 cajones y se abrieran los cinco primeros, sin que estuviera en ninguno de los cinco.

9

9.º cajón

10 .. .

1

sabemos que esto no ha ocurrido

¿cuál de estos 10 casos ocurrirá?

ningún cajón

18

Evidentemente, el caso recuadrado en verde ocurrirá 1 de cada 10 veces: la probabilidad de que ocurra es 1/10.

6. El juego de la suma Un juego consiste en lanzar dos dados hasta que la suma de sus puntuaciones sea 10 o 7. Si es 10, ganamos; si es 7, perdemos. ¿Qué probabilidad tenemos de ganar?

Observa la tabla que aparece en el problema resuelto 2, que recoge las posibles sumas que podemos obtener al lanzar dos dados. Es fácil ver que: 27 = 3 3 = 1 6 =1 P [10] = P [7] = P [otro] = 36 12 36 4 36 6 Hacemos un diagrama en árbol: 1 +3· 1 +3·3· 1 + = P [ganar] = …

12 4 12 4 4 12 —1— «10» G 12 1 — 6

3 — 4

«7»

P

—1— 12

otro S 3 — 4

«10»

G

«7»

P

1 — 6

otro

=

S…

G [ganar] P [perder] S [seguir]

1 > 3 + 3 2· 3 3+ H= 1 1+ c m c 4 m … 12 · 4 = 13 12 4 4

En la penúltima igualdad hemos hecho la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica con a1 =1 y r = 3/4: a 1 = 1 = 4 S∞ = 1 = 1– r 3 1 1– 4 4

Hazlo tú azlo tú

Otra forma de verlo:

Repite el problema, suponiendo que ganáramos si la suma fuera 3 y perdiéramos si la suma fuera 7.

Observamos que siempre hay el doble de posibilidades de sacar un 7 que de sacar un 10; por lo tanto, habría el doble de posibilidades de perder que de ganar; es decir, 2/3 de perder y 1/3 de ganar.

272

Ejercicios

Unidad 10

uiados g s a m e l b o r p y

1. Propiedades de las probabilidades De los sucesos A y B se sabe que: P[A] = 0,4

a) Podemos relacionar P [A ∪ B ] con P [ A ∩ B ], probabilidad conocida, aplicando una de las leyes de Morgan: A ∩ B = A , B

P[B] = 0,5

Por tanto, P [ A ∩ B ] = P [ A , B ] = 1 – P [A ∪ B]

P[ A ∩ B ] = 0,3

b) Para calcular P [A ∩ B ] aplicamos la igualdad: P [A ∪ B ] = P [A ] + P [B ] – P [A ∩ B ]

Hallar: a) P[A ∪ B]

Solución: a) 0,7 b) 0,2

b) P[A ∩ B]

2. Probabilidades en experiencias compuestas Un dado está trucado de manera que son iguales las probabilidades de obtener 2, 4 o 6; también son iguales las probabilidades de sacar 1, 3 o 5, y la probabilidad de obtener 2 es el doble que la de sacar 1.

• Observa que la probabilidad de obtener par es el doble que la de obtener impar:

Deducir razonadamente cuál es la probabilidad de que, al lanzar el dado dos veces, se obtenga una suma de puntos igual a 7.

Observa que todas las parejas tienen un número par y otro impar.

P [1] = P [3] = P [5] = p

P [2] = 2P [1] = P [4] = P [6] = 2p

Para hallar el valor de p, utiliza la propiedad P [E ] = 1.

• Para «suma 7», debemos sacar 1 y 6, 6 y 1, 2 y 5, … Completa los demás resultados.

• ¿Cuál es la probabilidad de que salga cada una de las parejas?

• ¿Qué probabilidad hay de que la suma de los puntos sea 7?

Solución: P [suma 7] = 12/81 = 0,15

3. Probabilidad «a posteriori» El 12 % de la población de un país padece cierta enfermedad. Se dispone de una prueba para detectarla, pero no es fiable.

• Da positivo en el 90 % de los casos de personas realmente enfermas.

Completa el diagrama en árbol, poniendo las probabilidades que faltan: E 8 Enfermo; S 8 Sano; + 8 Positivo; – 8 Negativo 0,12

E

• Da positivo en el 5 % de personas sanas. ¿Cuál es la probabilidad de que esté sana una persona a la que la prueba le ha dado positivo?

S

0,90

Pos Neg

0,05

Solución: 0,2895

Pos

La probabilidad pedida será: P [S/+] =

P [S y +] =…

P [+]

Neg

4. Experiencias compuestas. Probabilidad total y probabilidad «a posteriori» Tenemos estas dos urnas:

urna

I

• Completa el siguiente diagrama en árbol:

urna

2 — 5

II

Se extrae al azar una bola de la urna I y se deposita en la urna II. Luego, se extrae al azar una bola de la urna II. Calcular las siguientes probabilidades: a) P[ en I]; b) P[ en II / en I] c) P[ en I]: d) P[ en II / en I] e) P[ en II]: f ) P[ en II] g) P[ en I / en II]

urna I

7 — 10

urna II

3 — 5

urna II

P[

en I y

3 — 10 6 — 10

P[

en I y

P[

en I y

4 — 10

P[

en I y

2 ·— 7 =— 14 en II] = — 5 10 50 2 ·— 3 =— 6 en II] = — 5 10 50 3 ·— 6 =— 18 en II] = — 5 10 50 3 ·— 4 =— 12 en II] = — 5 10 50

• A partir de ahí, calcula todas las probabilidades que se piden.

Solución: a) 2/5

b) 7/10

c) 3/5

d) 3/5

e) 16/25

f) 9/25

g) 7/16 273

l de trabajo de nar el materia io cc le se a rd Recue lio. para tu portfo

esta unidad

puestos

as pro m e l b o r p y s jercicio

E

Para practicar

Propiedades de la probabilidad

6 Observa los siguientes conjuntos:

Espacio muestral. Sucesos

1 Di cuál es el espacio muestral correspondiente a cada experiencia aleatoria: a) Lanzar dos monedas y decir lo que sale en cada una. b) Lanzar dos monedas y anotar el número de caras. c) Lanzar una moneda y un dado. d) Extraer una carta de una baraja y anotar el palo. e) Lanzar una pelota a canasta (encestar o no). f ) Preguntar a una persona por el día de la semana en el que cae su cumpleaños este año.

2 Se extrae una carta de una baraja española. Consideramos los sucesos A, figura; B, bastos, y C, menor que 4. a) Expresa en función de A, B y C estos sucesos: • Se realiza alguno de los tres.

• No se realiza ninguno de los tres.

• Se realizan los tres.

• Alguno no se realiza.

• Se realiza el A o el B, pero no el C. b) Describe los elementos correspondientes a cada uno de los sucesos del apartado a).

3 Lanzamos tres monedas y anotamos el resultado, C y +, de cada una. Consideramos los sucesos A = «Sacar más caras que cruces» y B = «Sacar una o dos cruces». Halla todos los casos que integran los sucesos A ∪ B y A ∩ B. 4 Relaciona cada diagrama con un suceso. a) AAA

B B B

I. A ∩ B

A b) AA

B B B

II. A – B

A A c) A

B B B

III. A ∪ B

A A d) A

B B B

IV. A ∩ B

5 Ayúdate de diagramas para resolver cada apartado. a) Expresa A ∪ B como unión de tres sucesos incompatibles. Puedes utilizar alguno de los siguientes: A , B , A – B, B – A, A ∩ B. b) El suceso A – B es igual a algunos de los siguientes sucesos; di a cuáles: A ∩ B, A ∩ B , A ∩ B, A – (A ∩ B) 274

A 28%

B 36%

23%

Calcula P [A ∪ B], P [ A /B], P [A /B ] y P [A ∩ B ].

7 De los sucesos A y B se sabe lo siguiente: P [A ] = 2 P [B ] = 1 P [ A ∩ B ] = 1 5 3 3 Calcula P [A ∪ B] y P [A ∩ B].

8 Sean A y B dos sucesos tales que: P [A ∪ B ] = 3 P [ B ] = 2 4 3 Calcula P [A ], P [B] y P [ A ∩ B ].

P [A ∩ B ] = 1 4

9 Sean A y B dos sucesos de manera que P [A ] = 0,4; P [B] = 0,3 y P [A ∩ B ] = 0,1. Halla razonadamente: a) P [A ∪ B ] b) P [ A ∪ B ] c) P [A ∩ B ] d) P [ A ∩ B ]

10 Se sabe que P [A ] = 1 , P [B] = 1 y P [A ∪ B ] = 2 .

4 3 2 Determina si los sucesos A y B son compatibles o incompatibles.

11 Sean A y B dos sucesos del mismo espacio muestral con P [A ] = 0,7; P [B] = 0,6 y P [A ∪ B ] = 0,9. a) Justifica si A y B son independientes. b) Calcula P [A /B ] y P [B / A ].

12 Sean A y B dos sucesos con P [A] = 0,3; P [B] = 0,54 y P [B/A] = 0,4. Calcula. a) P [A ∪ B]

b) P [A ∩ B]

13 Dados dos sucesos, A y B, tales que: P [A] = 4 , P [B] = 1 y P [A ∪ B] = 2 3 9 2 a) Comprobar si los sucesos A y B son independientes. b) Calcular P [ A /B].

14 Sean A y B dos sucesos de un experimento aleatorio tales que P [A] = 0,4, P [B] = 0,6 y P [A ∪ B] = 0,8 Calcula. a) P [ A ∩ B]

b) P [ A , B /A] 15 Sean A y B dos sucesos tales que P [B] = 0,7; P [A ∩ B] = 0,3; P [A ∩ B ] = 0,2. Calcula. a) P [A ∪ B] b) P [B/ A ]

16 Sean A y B dos sucesos. Calcula P [A] si P [B] = 0,8; P [A ∩ B] = 0,2 y P [A ∪ B] es el triple que P [A].

Unidad 10

Probabilidades en experiencias compuestas

17 Lanzamos cuatro monedas. Calcula la probabilidad de obtener: a) Ninguna cara. b) Alguna cara.

18 De una baraja se extraen dos cartas. Calcula la probabilidad de que: a) Dos sean copas. b) Al menos una sea copas. c) Una sea copas y la otra espadas.

Considera dos procesos distintos: I. Después de extraer una se devuelve al mazo.

II. Se extraen las dos a la vez.

19 Se extraen dos cartas de una baraja española y se tira un dado. ¿Cuál es la probabilidad de que las cartas sean sotas y el número del dado sea par?

Para resolver 24

La probabilidad de que cierto río esté contaminado por nitratos es 0,6; por sulfatos es 0,4; y por ambos es 0,2.

Calcula la probabilidad de que dicho río: a) No esté contaminado por nitratos, si se sabe que está contaminado por sulfatos. b) No esté contaminado ni por nitratos ni por sulfatos.

25 En una ciudad, el 40 % de la población es rubia, el 25 % tiene ojos azules y el 15 % es rubia de ojos azules. Se escoge una persona al azar: a) Si es rubia, ¿cuál es la probabilidad de que también tenga ojos azules? b) Si tiene ojos azules, ¿cuál es la probabilidad de que sea rubia? c) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea rubia ni tenga los ojos azules?

* Usa una tabla como la siguiente:

ojos azules

Probabilidad total y «a posteriori»

cabello rubio

total

II

26 ¿Cuál es la probabilidad de que sean del mismo color? ¿Y de distinto color?

21 Hay dos cajas de bombones; la primera tiene 7 bombones de chocolate blanco y 3 de chocolate negro y la segunda, 3 de chocolate blanco y 6 de chocolate negro.

Se extrae sin mirar un bombón de la primera caja y se pone en la segunda. ¿Qué probabilidad hay de que al coger un bombón de la segunda caja sea de chocolate blanco?

22 Observa estas cajas con bolas de colores: Caja A

Caja B

Tenemos un dado que tiene cuatro caras marcadas con la letra A y las otras dos, con la letra B. Tiramos el dado, elegimos la caja que indica y sacamos, al azar, una bola. a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea roja? ¿Y negra? b) La bola extraída ha resultado ser roja. ¿Cuál es la probabilidad de que proceda de la caja B?

23 Un bote A contiene 6 clips blancos y 4 negros. Otro bote B tiene 5 clips blancos y 9 negros. Elegimos al azar un bote, extraemos dos clips y resultan ser blancos. Halla la probabilidad de que el bote elegido haya sido el A.

total

40

25

100

cabello no rubio

20 Extraemos una bola de cada una de estas urnas: I

ojos no azules

15

Se dispone de dos urnas, A y B. La urna A contiene 3 bolas blancas y 5 negras, mientras que la B contiene 10 bolas negras. Se toma al azar una bola de cada una de las urnas al mismo tiempo y se intercambian (es decir, la bola extraída de la urna A se introduce en la urna B y la bola extraída de la urna B se introduce en la urna A). Si a continuación se extrae una bola de la urna A, ¿cuál es la probabilidad de que sea negra?

27 Una compañía farmacéutica vende un medicamento que alivia la dermatitis atópica en un 80 % de los casos. Si un enfermo es tratado con un placebo, la probabilidad de mejoría espontánea es del 10 %. En un estudio, la mitad de los pacientes han sido tratados con el medicamento y la otra mitad con un placebo. a) Determina cuál es la probabilidad de que un paciente elegido al azar haya mejorado. b) Si el estudio se hubiera hecho con 500 pacientes, ¿cuántos habrían mejorado aproximadamente? c) Si un paciente elegido al azar ha mejorado, halla la probabilidad de que haya sido tratado con el medicamento.

28 En un bosque hay 50 abetos, 30 cipreses y 120 pinos. Una enfermedad provocada por una oruga afecta a 25 abetos, 9 cipreses y 48 pinos. Calcula la probabilidad de que: a) Un pino elegido al azar esté infectado por la oruga. ¿Qué porcentaje de pinos están infectados por la oruga? b) Un árbol elegido al azar esté infectado por la oruga. c) Sea un pino, si se toma al azar un árbol infectado.

275

puestos

as pro m e l b o r p y s jercicio

E

29 Una prueba rápida para detectar una enfermedad da un 2 % de falsos positivos (personas sanas en las que la prueba da positivo, clasificándolas como enfermas) y un 1 % de falsos negativos (personas enfermas en las que la prueba da negativo, clasificándolas como sanas). En una población hay un 4 % de enfermos. a) Calcula la probabilidad de que un test dé negativo. b) Si una persona da positivo, ¿qué probabilidad hay de que esté sana?

30

Hay una epidemia de cólera (C ). Se considera como uno de los síntomas la diarrea (D ), pero el síntoma se presenta también en personas con intoxicación (I ), e incluso en algunas que no tienen nada serio (N ). Las probabilidades son: P [D/C ] = 0,99

P [D/I ] = 0,5

P [D/N ] = 0,004

Se dan estos porcentajes: el 2 % de la población tiene cólera; el 0,5 %, intoxicación, y el resto, 97,5 %, nada serio.

Si una persona tiene diarrea, ¿cuál es la probabilidad de que tenga cólera?

31 Lara y Rebeca tienen una bolsa con 9 bolas numeradas del 1 al 9. Lara saca al azar una bola, mira el número y la vuelve a introducir en la bolsa. Después, lo mismo Rebeca. Si suman los números que han sacado, cada una, averigua cuál será la cifra de las unidades más probable para esa suma.

Cuestiones teóricas 33 ¿Se puede asegurar que P [{1, 2}] < P [{1, 2, 7}]?

34 Sírvete de un diagrama para verificar estas afirmaciones y, si no fueran ciertas, pon un ejemplo: a) Si A ∩ B = ∅, entonces A ∩ B = B. b) Si A ∪ B = E, entonces P [B ] = 0. c) Si A y B son incompatibles, entonces A y B son incompatibles.

35 El siguiente enunciado es falso: «Si A y B son compatibles, entonces A y B son compatibles». Pon un ejemplo de un experimento y dos sucesos A y B de forma que A y B sean compatibles, pero A y B sean incompatibles.

36 Al tirar tres dados podemos obtener suma 9 de seis formas distintas: 1-2-6, 1-3-5, 1-4-4, 2-2-5, 2-3-4, 3-3-3 Y hay otras seis de obtener suma 10: 1-3-6, 1-4-5, 2-2-6, 2-3-5, 2-4-4, 3-3-4 Sin embargo, la experiencia nos dice que es más fácil obtener suma 10 que suma 9. ¿Por qué?

37 Demuestra la siguiente propiedad: P [A ∪ B ] = P [A] + P [B ] – P [A ∩ B ] descomponiendo A ∪ B en tres sucesos distintos.

Para profundizar 38 Tenemos una urna con tres bolas blancas y tres negras. Tiramos un dado y extraemos de la urna tantas bolas como indica el dado. ¿Cuál es la probabilidad de que sean todas blancas?

32 Un estudio sobre la obsolescencia programada en una marca de electrodomésticos reveló que la probabilidad de que un microondas se estropee durante su periodo de garantía es 0,02. Esta probabilidad se eleva a 0,05 para sus hornos eléctricos y se sabe que estos sucesos son independientes.

Cuando el microondas se ha estropeado en el periodo de garantía, la marca la amplía por dos años más. El 40 % de los clientes con garantía ampliada no conserva la factura de compra durante los dos años de ampliación. a) Un cliente compra un horno y un microondas de esta marca. Obtén la probabilidad de que se estropee al menos uno de ellos durante el periodo de garantía. b) Halla la probabilidad de que a alguien que compra un microondas se le estropee durante el periodo de garantía y conserve la factura durante los dos años de ampliación.

276

39 Gema y Pascual juegan al tiro al plato. Gema acierta 1 de cada 3 disparos y Pascual, 1 de cada 2. Al lanzar un plato al aire, se oyen dos disparos consecutivos; que de forma equiprobable fueron hechos ambos por Gema, ambos por Pascual, o uno por cada uno. Observamos que el plato no ha sido alcanzado. a) ¿Qué probabilidad hay de que haya sido Gema la que hizo los dos disparos? ¿Y de que fuera Pascual? b) ¿Y de que haya hecho un disparo cada uno de los dos?

Unidad 10

40 Una moneda se arroja repetidamente. Calcula la probabilidad de que salga dos veces consecutivas el mismo lado si el experimento consta: a) Exactamente de 2 lanzamientos. b) Exactamente de 4 lanzamientos. c) Exactamente de n lanzamientos, n ≥ 2. d) Como máximo, de 10 lanzamientos.

n autoevaluació

41 D e una urna en la que hay 2 bolas blancas, 3 rojas y 4 negras, se extraen 3 bolas a la vez.

Halla la probabilidad de que dos de ellas (y solo dos) sean del mismo color.

42 Lanzamos 3 dados. ¿Cuál es la probabilidad de que el valor intermedio sea 5? ¿Y 2? ¿Y 1?

* Ten en cuenta que, por ejemplo, el valor intermedio del resultado 5-1-4 es 4; el de 2-1-2 es 2 y el de 4-4-4 es 4.

Resoluciones de estos ejercicios.

1 En el experimento aleatorio de lanzar una moneda tres veces se consideran los siguientes sucesos: A = «Sacar al menos una cara y una cruz» B = «Sacar a lo sumo una cara» a) Determina el espacio muestral asociado a ese experimento y los sucesos A y B. b) ¿Son independientes ambos sucesos?

2 Sean A y B dos sucesos tales que P [A] = 3 , P [B/A] = 1 y 4 4 P [A /B] = 3 .

4 a) Calcula P [A ∩ B]. b) Demuestra que A y B son sucesos independientes, pero no incompatibles. c) Calcula P [[ A /B ].

3 Observa esta urna: 1 1 2 1 1 2 2 2 1 1

Copia en tu cuaderno y completa la siguiente tabla:

4 Extraemos al azar una bola de la urna A y la metemos en B. RemoA B vemos y volvemos a extraer al azar una bola, pero esta vez de la urna B. Calcula las siguientes probabilidades: a) P [1.ª y 2.ª ], P [2.ª /1.ª ] b) P [1.ª y 2.ª ], P [2.ª /1.ª ], P [2.ª ] c) P [2.ª ], P [1.ª /2.ª ] 5 En una agencia de viajes, el 75 % de los clientes busca un billete de transporte y el 80 % busca una reserva de hotel. El 65 % busca las dos cosas. Elegido un cliente al azar, calcula la probabilidad de que: a) Busque un billete de transporte o una reserva de hotel. b) Sabiendo que busca una reserva de hotel, también busque un billete de transporte.

6 Una empresa fabrica dos modelos de ordenadores portátiles, siendo la producción del modelo A el doble que la del modelo B. Se sabe que la probabilidad de que un ordenador portátil del modelo A salga defectuoso es de 0,02, mientras que esa probabilidad en el modelo B es de 0,06.

total

1 2 total

Calcula: a) P [ ], P [ ], P [ ], P [1], P [2] b) P [ ∩ 1], P [ /1], P [1/ ]. Explica el significado de estas probabilidades. c) P [ /1], P [ /1] d) El suceso «1» es independiente con uno de los sucesos , o . ¿Con cuál? Explica por qué.

Calcula la probabilidad de que un ordenador fabricado por dicha empresa elegido al azar: a) No salga defectuoso. b) Aproximadamente, cuántos defectuosos habrá en un pedido de 1 500 ordenadores. c) Sea del modelo A, si se sabe que ha salido defectuoso.

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