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Ecuaciones diferenciales
Sustituyendo las dos condiciones anteriores en (2.18) anterior, se obtiene: 5 3 0 y u C 2y 2 u D y 4 : 3
(2.19)
que es una ecuación diferencial lineal, para u en función de y, cuyo proceso de solución es: 5 3 Se divide entre y , para normalizar la ED: 3 6 1 3 u0 uD y: 5 y 5 6 1 . 5 y Calculando el factor integrante .y/: Se tiene que p.y/ D
De
Z
p.y/ dy
) De
Z
61 dy 5y
6 5
De
Z
1 dy y
De
6 ln y 5 Dy
6 5 :
Multiplicando por la ecuación diferencial lineal (2.19) y aplicando la igualdad conocida: y
6 5
u0
6 1 u Dy 5 y
6 5
3 y 5
)
0 6 D 5u
y
3 y 5
1 5 :
Integrando: Z
y
0 6 dy D 5u
4
3 5
Z
y
1 5 dy
) y
6 5 u C C1 D
3 y5 C C2 ) y 5 45
3 4 y5 CC : 4
6 5u D
Despejando u y sustituyendo por x 3 obtenemos: uD
6 3 2 y C Cy 5 ) x 3 D 4
6 3 2 y C Cy 5 ; 4
que es la solución general de la ecuación diferencial de Bernoulli. Ejercicios 2.4.1 Ecuaciones diferenciales de Bernoulli. Soluciones en la página 464 Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales. 1. y 0 C y D xy 2 .
9. y 0 C xy D xy 2 .
2. y 0
3y D xy 4 .
10. y 0
3. x 0
3x D tx 3 .
11. 3.1 C x 2 /
1 4. x C x D x 3 . 5 0
0
12. 2
5. s C 7s D r s . 7
6. r 0 7. x y 2
2r D s r 1 . 0
xy D x
7
x2y D x2y 4
dy y D dx x 1 dy
13. y 2 1 y2 . 3
8. x 3 y 0 C x 2 y D x 7 y 4 .
dy D 2xy.y 3 dx
dx
14. e x .y 0
1/ .
x con y.1/ D 1 . y2 3
C y 2 D 1 con y.0/ D 4 . y/ D y 2 .
15. y 2 dx C .xy
x 3 / dy D 0 .