2.4 Ecuaciones diferenciales de Bernoulli
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Calculando el factor integrante .x/: De
R
p.x/ dx
) De
R 1 4 1 5 x dx 2 D e 10 x :
Multiplicando por la ecuación diferencial lineal (2.16) y aplicando la igualdad conocida: 0 1 5 1 51 1 1 x5 4 1 1 5 x e 10 x u 0 C x 4 u D e 10 x x 4 ) e 10 D e 10 x : u 2 2 2 Integrando: Z
0
1 5 e 10 x u
dx D
1 2
Z
1
5
e 10 x x 4 dx :
(2.17)
Resolviendo la integral del lado derecho por sustitución:
D
1 2 Z
Z
1
1 5 t D 10 x ) dt D
5
e 10 x x 4 dx D 1
1 4 x dx 2
1 4 x dxD 2 Z 1 5 D e t dt D e t D e 10 x C C :
e 10 x
5
Sustituyendo en (2.17): 1
1
1
5
5
e 10 x u D e 10 x C C
Despejando u y sustituyendo por y 2 , obtenemos: u D 1 C Ce
1 5 x 10
1
) y 2 D 1 C Ce
1 5 x 10 ;
que es la solución general de la ecuación diferencial dada. Ejemplo 2.4.5 Resolver la ecuación diferencial: 5y 3 dx
y 2 . 2x C y 2 x 4/ dy D 0.
H Como vimos anteriormente [Ejemplo 2:4:1, página .53/], considerando a y como la variable independiente, podemos transformar la ecuación diferencial en 5y 3
dx C 2y 2 x D y 4 x 4; dy
que es una ecuación diferencial de Bernoulli para x en función de y, con r D 4. Multiplicando todo por x r D x 4 : 5y 3
dx 4 x C 2y 2 x 3 D y 4 : dy
Realizando el cambio de variable: u D x1 r D x1 4 D x 3 : Derivando con respecto a y: u0 D
d x 3D dy
3x 4x 0 )
1 0 dx u Dx 4 : 3 dy
(2.18)