2.3 Ecuaciones diferenciales lineales
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Calculando el factor integrante: Z Z sen x p.x/ dx D dx D cos x ) .x/ D e
R
p.x/ dx
ln.cos x/ D ln.cos x/ 1 )
D e ln.cos x/
1
D .cos x/ 1 D
1 : cos x
Multiplicando la ED (2.4) por .x/ y aplicando la igualdad . y/ 0 D .y 0 C py/: 0 1 h 0 sen x i 1 1 2x sen x cos x y C y D x sen 2x ) y D D 2x sen x: cos x cos x cos x cos x cos x
De donde:
Z
0 Z 1 y dx D 2x sen x dx: cos x
Integrando por partes la integral de lado derecho:
1 y D 2x cos x C 2 sen x C C: cos x Por lo tanto la solución general es: yD
2x cos2 x C 2 sen x cos x C C cos x ) y D 2x cos2 x C sen 2x C C cos x: x 0 C 2yx D y.
Ejemplo 2.3.11 Resolver la siguiente ED lineal: H
En este caso la ED está normalizada. El factor integrante es: Z Z R 2 p.y/ dy D 2y dy D y 2 ) .y/ D e p.y/ dy D e y : 2
Multiplicando la ED normalizada por .y/ D e y y aplicando la igualdad conocida se tiene: 2
e y Œx 0 C 2yx D ye y
2
2
2
) Œe y x 0 D ye y :
Integrando: 2
ey x D Por lo tanto la solución general es :
Z
2
ye y dy D
xD
1 y2 e C C: 2
1 2 C Ce y : 2
Ejemplo 2.3.12 Resolver la siguiente ecuación diferencial:
dy 1 D y . dx e x
H Considerando a y en función de x, esta ecuación diferencial ordinaria no es lineal; pero si consideramos a x en función de y se tiene que: dy D 1 ) ey dx ) x 0 C x D ey:
.e y
x/
xD
dx ) dy (2.5)
Esta última expresión es una ecuación diferencial lineal. Para resolverla se procede como en los ejercicios anteriores. El factor integrante es: Z Z p.y/ dy D dy D y ) .y/ D e y :