Segundo departamental 1 LONGITUD DE ARCO Y CELERIDAD Anterirormente se obtuvo una formula para la longitud de arco de una curva en el plano dada en forma parametrica. Este mismo tratamiento se puede aplicar sobre trayectorias en el espacio tridimensional, solo con pequeos cambios. Recordemos que la longitud de arco se define como el limite de las aproximaciones poligonales. Para obtener una aproximación poligonal a una trayectoria:
r(t) x t ,y t ,z t , a t b Se elige la partición a t 0 t1 ... tN b y se unen los puntos terminales de los
vectores r t j mediate segmentos, como en la figura 1.
Figura 1. Aproximacciones poligonales al arco r(t) para a t b
De igual manera se obtiene r '(t) existe y es continua en a,b , entonces las longitudes de las aproximaciones poligonales tienden a un limite L cuando el máximo de las amplitudes t j t j1 tiende a cero. Este limite es la longitud s de la trayectoria, el cual se calcula como una integral en el siguiente teorema. 1|Página
TEOREMA 1 LONGITUD DE UNA TRAYECTORIA Suponga que r(t) es derivable y
que r '(t) es continua en a,b . Entonces la longitud s de la trayectoria r(t) para
a t b es igual a: b
b
s r '(t) dt x '(t)2 y '(t)2 z'(t)2 dt a
(1)
a
Nota. Recuerde que la longitud s en la ecuación 1, es la distancia recorrida por la particula siguiendo la trayectoria r(t) . La longitud de la trayectoria s no es igual a la longitud de la curva subyacente salvo en la situación en que r(t) recorra la curva solo una vez sin cambiar de sentido. EJEMPLO 1 Halle la longitud s de r(t) cos3t,sen3t,3t
2|Página
Solución La derivada es r '(t) 3sen3t,3cos3t,3 y por tanto:
2
r '(t) 9sen2 3t 9cos2 3t 9 9 sen2 3t cos2 3t 9 18 2
Por consiguiente: s
0
2
r '(t) dt
18dt 6 2
0
3|Página
La celeridad es, por definición, la tasa de variación de la distancia recorrida respecto al tiempo t . Para calcular la celeridad, se define la función de longitud de arco. t
s(t) r '(u) du a
Por tanto s(t) es la distancia recorrida en el intervalo a,t . Por el teorema fundamental del cálculo:
Celeridad el instante t
ds r '(t) dt
Ahora se puede ver porque r '(t) se conoce como el vector velocidad (y también como el vector tangente). Apunta en la dirección del movimiento y su norma es la celeridad (figura 2). A menudo se denota el vector velocidad como v(t) y la celeridad como v(t) :
v(t) r '(t), v(t) v(t)
4|Página
Figura 2. El vector velocidad es mayor en t 0 que en t1 , indicando que la particula se mueve mas rapido en t 0 EJEMPLO 2 Halle la celeridad en t 2s de una particula cuyo vector posición es
5|Página
r(t) t 3i et j 4tk
Solución El vector velocidad es v(t) r '(t) 3t i e j 4k y en t 2 : 2
t
v(2) 12i e2 j 4k
La celeridad de la particula es v(2) v(2) 12 e 2
2
2
42 ~ 14.65m / s
2 PARAMETRIZACIÓN POR LONGITUD DE ARCO Se ha visto que las parametrizacione no son unicas. Por ejemplo, tanto r1(t) t,r como r2 (s) s ,s 3
6
2
parametrizan la parabola y x . Observe, en este caso, que 2
r2 (s) se obtiene sustituyendo t s3 en r1(t) . 6|Página
En general, se obtiene una nueva parametrización sustituyendo t g(s) , es decir
reemplazando r(t) por r1(s) r g s
(figura 3). Si t g(s) aumenta de a a b
cuando s pasa de c a d , entonces la trayectoria r(t) para a t b tambien se parametriza por r1(s) para c s d .
Figura 3. La trayectoria se parametriza por r(t) y por r1(s) r g s
EJEMPLO 3 Parametrice la trayectoria r(t) t ,sent,t 2
para 3 t 9
usando el
parametro s , donde t g(s) e
s
Solución Sustituyendo t e
s
en r(t) , se obtiene la parametrización:
r1(s) r g s e2s ,sen es ,es Como s ln t , cuando el parametro t pasa de 3 a 9, s pasa de ln3 a ln9 . Por tanto la trayectoria se parametriza mediante r1(s) para ln3 s ln9 . Una manera de parametrizar una trayectoria es seleccionar un punto inicial y “caminar a lo largo de la trayectoria” a celeridad unitaria (digamos 1 m / s ). Una parametrización de este tipo se denomina una parametrización de longitud de arco [figura 4A].
7|Página
Figura 4. Una parametrización por la longitud de arco: todos los vectores tangentes son de longitud 1, con lo que la celeridad es 1.
Figura 5. Una parametrización que no sea por la longitud de arco: las longitudes de los vectores tangentes varían por loq ue la celeridad variará.
Queda definida por la propiedad de que la celeridad es constante e igual a 1: 8|Página
r '(t) 1 para todo t En una parametrización por la longitud de arco, la distancia recorrida sobre cualquier
intervalo a,b
es igual a la longitud del intervalo:
b
b
a
a
r '(t) dt 1dt b a
Distancia recorrida a lo largo de a,b
Para hallar una parametrización por la ongitud de arco, empiece con cualquier parametrización r(t) tal que r '(t) 0 para todo t y obtenga la integral de la longitud de arco: t
s(t) r '(u) du 0
Como r '(t) 0 , s(t) es una función estrictamente creciente y, en consecuencia, admite una inversa t g(s) . Por la formula de la derivada de una inversa (y como
s'(t) r '(t) ): g'(s)
1 1 s'(g(s)) r '(g(s))
Ahora se puede demostrar la parametrización:
r1(s) f(g(s)) Es una parametrización por la longitud de arco. De hecho, por la regla de la cadena:
r '1(s) r '(g(s))g'(s) r '(g(s))
1 r '(g(s))
9|Página
En muchos casos no se puede evaluar la integral de la ongitud de arco s(t) explicitamente y no se puede hallar una expresión para su inversa g(s) tampoco. Por eso, aunque las parametrizaciones por la longitud de arco existan, en general, solo se pueden determinar algunos caso sparticulares. EJEMPLO 4 Parametrización por la longitud de arco Halle la parametrización por la longitud de arco de la hélice r(t) cos 4t,sen4t,3 t Solución En primer lugar, evaluamos la función longitud de arco:
r '(t) 4sen4t,4 cos 4t,3 16sen2 4t 16 cos 2 4t 3 2 5 t
t
0
0
s(t) r '(t) dt 5dt 5t Ahora observamos que la inversa de s(t) 5t es t 5 / s ; es decir, g(s) s/ 5 . Tal y como se probó anteriormente, una parametrización por la longitud de arco es:
4s 4s 3s s r1(s) r(g(s)) r cos ,sen , 5 5 5 5 Como comprobación, constante que r1(s) tiene celeridad unitaria:
4 4s 4 4s 3 sen , cos , 5 5 5 5 5
r '1(s)
16 4s 16 4s 9 sen2 cos2 1 25 5 25 5 25
RESUMEN
La longitud s de una trayectoria r(t) x(t),y(t),z(t) para a t b es: b
b
a
a
s r '(t) dt x '(t)2 y ' t z'(t)2 dt 2
10 | P á g i n a
t
Funcion de longitud de arco: s(t)
r '(u) du a
La celeridad es la derivada respecto al tiempoo de la distancia recorrida:
v(t)
ds r '(t) dt
El vector velocidad v(t) r '(t) apunta en la dirección del movimiento (siempre que r '(t) 0 ) y su norma v(t) r '(t) es la celeridad del objeto.
Se dice que r(s) es una parametrización por la longitud de arco si
r '(s) 1 para todo s . En tal caso, la longitud de la trayectoria para a s b es b a .
Si r(t) es cualquier parametrización por la longitud de arco, donde t g(s) es la inversa de la longitud de arco.
11 | P á g i n a