Apuntes Calculo Vectorial

Coordenadas Cartesianas Antes de entender el concepto de vector en tres dimensiones, se debe poder identificar puntos en el sistema de coordenadas tridimensional.

Se puede construir este sistema trazando en el origen un eje z perpendicular al eje x y al eje y .

La figura 1 muestra la porciĂłn positiva de cada eje de coordenadas.

Tomados por pares, los ejes determinan tres planos coordenados: plano xy , el plano xz y el plano yz .

Figura 1.

Sistema de Coordenadas Tridimensional

Estos tres planos coordenados dividen el plano tridimensional en ocho octantes. El primer octante es el que todas las coordenadas son positivas.

En este sistema tridimensional, un punto p en el espacio estå determinado por una terna ordenada  x, y, z  donde x, y, z son:

Figura 2.

Los puntos en el sistema de coordenadas tridimensional se representan por medio de ternas ordenadas.

Recordar que un sistema de coordenadas tridimensional puede tener orientaciรณn levรณgira o dextrรณgira.

En nuestro curso de trabaja exclusivamente con el sistema dextrรณgiro.

Muchas de las formulas establecidas para el sistema de coordenadas bidimensional pueden extenderse a tres dimensiones por ejemplo, para encontrar la distancia entre dos puntos en el espacio, se usa dos veces el teorema pitagรณrico, como se muestra en la siguiente figura:

¿Y cómo obtenemos la longitud de un vector tridimensional como el siguiente, en el cual no aparece haber un triángulo con dos catetos?

Figura 3.

Vector tridimensional

Lo podemos hacer de la siguiente manera. Primero obtenemos la longitud L de la hipotenusa del triángulo rectángulo formado por los catetos a y b .

Figura 4.

Primer Triangulo

Por el teorema de Pitágoras en dos dimensiones, sabemos que:

L2  a 2  b2 Una inspección al diagrama nos revela que al lado L es a su vez el cateto del otro triangulo rectángulo formado por los catetos L y c :

Figura 5.

Segundo Triangulo

Para este triangulo plano, la aplicación del teorema de Pitágoras nuevamente nos da:

d 2  L2  c2 Pero puesto que L2  a 2  b2 , tenemos entonces que la longitud de un vector tridimensional cuyas componentes en los tres ejes son, a, b y c está dada por la fórmula:

d  a 2  b2  c 2 Por lo tanto, la fórmula de la distancia entre los puntos

 x2 , y2 , z2  d

 x1, y1, z1 

y

es:

 x2  x1    y2  y1    z2  z1  2

2

2

Formula de la distancia para dos puntos en el espacio tridimensional Una esfera con centro en  x0 , y0 , z0  y radio r está definida como el conjunto de todos los puntos

 x, y, z  y  x0 , y0 , z0  es

 x, y, z 

tales que la distancia entre

r.

Se puede usar la fórmula dela distancia para encontrar la ecuación canónica o estándar de una esfera de radio r , con centro en  x0 , y0 , z0  . Si

 x, y, z 

esfera es:

es un punto, arbitrario de la esfera, la ecuación de la

 x  x0    y  y0    z  z0  2

2

2

 r2

(1.1)

Ecuación de la esfera

Figura 6.

Esfera

Como se muestra en la figura 6. El punto medio del segmento de recta que une a los puntos  x1 , y1 , z1  y  x2 , y2 , z2  tiene coordenadas

 x1  x2 y1  y2 z1  z2  , ,   2 2   2 Regla del punto Medio

(1.2)

Problemas Problema 1 Encuentre las longitudes de los lados del triangulo con vértices en A 3, 4,1 , B(5, 3,0) y C (6, 7,4) . ¿Es ABC un triangulo rectángulo isósceles?

Solución Podemos encontrar los lados de un triangulo usando la formula de la distancia entre los pares de vértices:

AB 

 5  3

BC 

 6  5

CA 

3  6

2

  3   4     0  1  4  1  1  6 2

2

2

  7   3    4  0   1  16  16  33

2

  4   7    1  4   9  9  9  27  3 3

2

2

2

2

El Teorema de Pitágoras se satisface por AB  CA  BC , ABC es 2

2

2

un triangulo rectángulo. ABC No es isósceles, además dos de sus lados no tienen la misma longitud.

Problema 2 Describa verbalmente la región de 3 representada por la desigualdad 1  x2  y 2  z 2  25 .

Solución La inecuación 1  x2  y 2  z 2  25 es equivalente a 1  x 2  y 2  z 2  5 , por lo tanto la región consiste en los puntos que van del origen en el rango de 1 a 5. Es decir son todos los puntos concéntricos a la esfera con radio 1 y 5 y centro C (h, , k )  C  0,0,0  .

Problema 3 Encuentre la ecuación de una esfera si uno de sus diámetros tiene puntos extremos  2,1,4  y  4,3,10  .

Solución A través de los medios puntos del diámetro (el diámetro de la esfera) es C  3,2,7   x  x y  y2 z1  z2  Q 1 2 , 1 ,  2 2   2  4  2 3  1 10  4  Q , ,  2 2 2   Q   3,2,7 

El radio es la mitad del diámetro, por lo tanto

r

1 2

 4  2   3  1  10  4  2

2

2



1 44  11 2

Entonces la ecuación de la esfera es

 x  3   y  2    z  7  2

2

2

 11

Problema 4 Encuentre la ecuación de la esfera con centro  0,1, 1 y radio 4. ¿Cuál es la intersección de esta esfera con el plano yz ?

Solución Tenemos que C  h, , k 

 x  h

2

  y  1   z  1  16   x    y  1   z  1  16 2

2

2

Con la condición de que   x  0     La intersección 2 2 y  1  z  1  16        

2

2

[CALCULO VECTORIAL] Unidad I

Coordenadas Cilíndricas Introducimos el sistema de coordenadas polares para dar una descripción cómoda de ciertas curvas y regiones. En tres dimensiones tenemos dos sistemas de coordenadas que son semejantes al de las coordenadas polares y dan descripciones cómodas de algunas superficies y sólidos que aparecen frecuentemente.

En el sistema de coordenadas cilíndricas un punto P

del espacio

tridimensional esta representado por la terna ordenada  r , , z  donde

r y  son las coordenadas polares de la proyección de P en el plano xy y z es la distancia dirigida del plano xy a P véase la siguiente figura 1

Figura 1.

Coordenadas Cilíndricas

Para convertir de coordenadas cilíndricas a rectangulares empleamos las ecuaciones: x  r cos , y  sen , z  z

(1.1)

Mientras para convertir de coordenadas rectangulares a cilíndricas usamos: Coordenadas Cilíndricas

Página 1

[CALCULO VECTORIAL] Unidad I

r 2  x 2  y 2 , tan  

y ,z  z x

(1.2)

Ejercicios Propuestos Ejercicio 1 Determine el punto en coordenadas cilíndricas  2,2 / 3,1 y encuentre sus coordenadas rectangulares (r,t,z) = (2,2pi/3,1)

z

x

y

Coordenadas Cilíndricas

Página 2

[CALCULO VECTORIAL] Unidad I

De las ecuaciones anteriores, sus coordenadas rectangulares son:  2   1 x  2cos    2     1  3   2  2 y  2sen   3

 3   2   3    2 

z 1

Entonces el punto

 1,



3,1

Ejercicio 2 Encuentre las coordenadas cilíndricas del punto con coordenadas rectangulares P(3, 3, 7)

Coordenadas Cilíndricas

Página 3

[CALCULO VECTORIAL] Unidad I (x,y,z) = (3,-3,-7)

z

x

y

De las ecuaciones anteriores tenemos que: r  32   3  3 2 2

tan  

3   7 7  1        2      2n 3 4 4 4 4

z  7

Por lo tanto las coordenadas cilíndricas son tanto



como 3 2,  / 4, 7

Coordenadas Cilíndricas

3

2,7 / 4, 7



 Página 4

[CALCULO VECTORIAL] Unidad I

Por lo tanto las coordenadas cilíndricas son útiles en problemas que tienen simetría alrededor de un eje, en ese caso se selecciona el eje z de manera que coincida con el eje de simetría, como se muestra en las siguientes figuras:

Cilindro x 2  y 2  9

Paraboloide x2  y 2  4 z, r  2 z Coordenadas Cilíndricas

Página 5

[CALCULO VECTORIAL] Unidad I

Cono x2  y 2  z 2 , r  z

Hiperboloide x2  y 2  z 2  1, r 2  z 2  1

Coordenadas Cilíndricas

Página 6

[CALCULO VECTORIAL] Unidad I

Coordenadas Cilíndricas

Página 7

[CALCULO VECTORIAL] Unidad I

Coordenadas Esféricas Las coordenadas esféricas  p, ,  de un punto P en el espacio se ilustran en la siguiente figura 2

Figura 1.

Coordenadas Cilíndricas

Donde P  OP es la distancia del origen a P ,  es el mismo ángulo que las coordenadas cilíndricas, y 

es el ángulo entre el semieje

positivo z y el segmento de la recta OP .

Note que:

  0,0     El sistema de coordenadas esféricas es especialmente útil en problemas donde hay simetría alrededor de un punto, y el origen se pone en ese punto. Por ejemplo:

Coordenadas Esféricas

Página 1

[CALCULO VECTORIAL] Unidad I

Esfera p  c

Coordenadas Esféricas

Página 2

[CALCULO VECTORIAL] Unidad I z

x

y

semiplano vertical   c

Coordenadas Esféricas

Página 3

[CALCULO VECTORIAL] Unidad I

  Semicono :   c  0  c   2  Para convertir de coordenadas esféricas a rectangulares empleamos las ecuaciones: x   sen cos y  sen sen , z   cos

(1.1)

Del mismo modo, la fórmula de la distancia muestra que:

 2  x2  y 2  z 2

(1.2)

Ejercicios Propuestos Ejercicio 1 El punto dado esta dado en

coordenadas esféricas

 2, / 4, / 3

encuentre sus coordenadas rectangulares Coordenadas Esféricas

Página 4

[CALCULO VECTORIAL] Unidad I (rho,theta,phi) = (2,pi/4,pi/3)

z

x

y

De las ecuaciones anteriores tenemos  3  1   3      x   sen cos  2sen   cos    2    2  3 4 2 2           3  1   3      y   sen sen  2sen   sen    2    2  2 2 3 4         1 z   cos   2cos    2    1 3 2

Por lo tanto el punto  2, / 4, / 3 es





3 / 2, 3 / 2,1

en coordenadas

rectangulares.

Coordenadas Esféricas

Página 5

[CALCULO VECTORIAL] Unidad I

Ejercicio 2 El punto P(0,2 3, 2) esta dado en coordenadas rectangulares.

Encuentre sus coordenadas esféricas. (x,y,z) = (0,2sqrt(3),-2) z x

y

De las ecuaciones anteriores tenemos que:

  x2  y 2  z 2  0  12  4  4 Y por lo tanto las ecuaciones dan:

Coordenadas Esféricas

Página 6

[CALCULO VECTORIAL] Unidad I

cos   cos 

z





2 1 2     4 2 3

x  0    sen 2

Por lo tanto las coordenadas esféricas del punto dado son

 4, / 2,2 3 Ejercicio 3 Encuentre

una

ecuación

en

coordenadas

esféricas

para

el

hiperboloide de dos hojas con ecuación x2  y 2  z 2  1 Solución

Sustituyendo una ecuación en coordenadas esféricas para el hiperboloide de dos hojas con ecuación anteriores Coordenadas Esféricas

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[CALCULO VECTORIAL] Unidad I

 2 sen 2 cos 2    2 sen 2 sen 2   2 cos 2   1  2  sen2  cos 2  sen2   cos 2    1  2  sen2 cos 2  cos 2    1 Ejercicio 4 Hallar una ecuación de coordenadas cilíndricas para la superficie presentada para la siguiente ecuación rectangular y 2  x Solución

La gráfica de la superficie y 2  x es un cilindro parabólico con rectas generatrices paralelas al eje z Sustituyendo y

2

como se muestra en la figura.

por r sen  y x por r cos , se obtiene la ecuación 2

2

siguiente en coordenadas cilíndricas

Coordenadas Esféricas

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[CALCULO VECTORIAL] Unidad I

y2  x r 2 sen 2  r cos r  rsen 2  cos   0 rsen 2  cos  0 cos sen 2 r  csc cot ecuación cilindrica r

Coordenadas Esféricas

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