1.8. CONCEPTOS BÁSICOS DE TOPOLOGIA EN RN
47
7. Cada pareja de vectores u, v y w de R3 forma un angulo de kuk = 2 , kvk = 2 y kwk = 3 , calcule ku + v + wk
3
. Suponiendo que:
8. Los tres angulos directores de un cierto vector unitario son iguales y su valor esta entre 0 y 2 , cual es el vector ? 9. Si u; v; w son vectores ortonormales y u+ v+ w = demuestre que = u, = w y de una interpretación geometrica.
= v,
10. Si v1 ; v2 ; :::; vn es una base ortonormal de Rn y x = s1 a1 + s2 a2 + ::: + sn an , y = t1 a1 + t2 a2 + ::: + tn an entonces x y = s1 t1 + s2 t2 + ::: + sn tn . 11. Demuestre que si v es un vector de R3 y , y son los angulos que forma v con los respectivos ejes de coordenadas, entonces cos2 + cos2 + cos2 = 1 12. Sean u, v y w vectores unitarios que son ortogonales entre si. Mostrar que si a = u+ v+ w entonces = a u , = a v , = a wc 13. Si v y w son vectores de R3 y ademas kvk = 3 y kwk = 7. Si v kv wk 14. Demuestre que v
w = 5 halle
proyw v es ortogonal a w, para todo v y w:
15. Demuestre que si T : V ! W es una transformación lineal y si T T 1 es una transformación lineal.
1
existe, entonces
16. Si A es una matriz de 2 2 demuestre que el polinomio caracteristico de A es igual a P ( ) = 2 traza(A) + jAj 17. Sean P; Q; R tres puntos no colineales de R3 Si v = P Q y w = P R y S es el punto medio del vector QR demuestre que P S = 21 (v + w) 18. Hallar la ecuacion del conjunto de rectas que pasan por el punto (2; 3; 4) y son paralelas al plano XY y al plano XZ 19. Hallar la ecuación del plano que satisface las condiciones dadas: a) Pasa por el punto P = (3; 2; 1) y es paralelo al plano 3x
2y + 4z = 7
con el eje X positivo. 4 c) Sus intersecciones con los ejes son : X = A, Y = B y Z = C
b) Contiene al eje Z y forma un ángulo de
20. Dos caras de un cubo se encuentran en los planos 3x Calcule el volumen del cubo.
y + 2z = 5 y 3x
y + 2z = 7
21. Mostrar que tres vectores A, B y C estan en el mismo plano que pasa por el origen si y solo si existen escalares , y no todos nulos, tales que A + B + C = 0