5.6. TEOREMA DE GREEN
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! ! 20. Veri…car el teoremapde Green para F(x; y) = y n i + xn j sobre la región acotada por las curvas y = a2 x2 con a > 0 y y = 0. 21. Use el teorema de Green para calcular la integral de F(x; y) = [3y; 1] en la región interior al circulo x2 + y 2 = 25 y exterior a 4 circulos de radio 1 y centros en (2; 0) ; ( 2; 0) ; (0; 2) y (0; 2) 22. Use el teorema der Green para calcular la integral de F(x; y) = [x + y; 2x región interior al circulo x2 + y 2 = 1 y exterior a jxj + jyj = 1
y] en la
23. Utilice el teorema de Green para hallar el área de la lemniscata de Bernoulli (x2 + y 2 )2 = a2 (x2 y 2 ) 24. Supongamos que F (x; y) = x2 4x + 4 + y 2 + 2y + 1. Sea R C la curva que empieza en (2; 1) y termina en algún otro punto. Mostrar que C rF d es (estrictamente) mayor que cero. 25. Dados dos campos escalares U y V diferenciables en un conjunto abierto que contiene el disco R cuya frontera es la circunferencia x2 + y 2 = 1. De…nimos dos campos @U ! @U ! ! i + vectoriales F y G así: F(x; y) = V (x; y) i + U (x; y) j ; G(x; y) = @x @y R R @V ! @V j Encontrar el valor de la integral doble R F GdAsi se sabe que @x @y sobre la frontera de R se tiene que U (x; y) = 1y V (x; y) = y.
PROBLEMAS 1. Un hombre de 90 pies160 lb de peso sube con una lata de 25 lb de pintura por una escalera helicoidal que rodea un silo, con radio de 20 pies. Si el silo mide 90 pies de alto y el hombre hace exactamente tres revoluciones completas. ¿Cuanto trabajo realiza el hombre contra la gravedad al subir hasta la parte superior? 2. El trineo de papa Noel sube una montaña cuya ecuación es x2 + y 2 + z = 2 (con z 0), realiza un giro completo para llegar a la cima, siendo su pendiente de subida constante. Durante el viaje ejerce una fuerza descrita por el campo vectorial Fp (x; y; z) = yi + xj + k. ¿Cuál es el trabajo realizado por el trineo al viajar desde 2 ; 0; 0 hasta la cima? 3. Un astronauta está atrapado en una habitación alienígena sujeto a un campo de lado oscuro de la fuerza, de ecuación F (x; y) = [yexy + 2xy 3 ; xexy + 3x2 y 2 + cos y] suponiendo que el astronauta esta en el punto (0; 0) y la puerta de salida (a la liberación) está en (5; 4) , halle el camino de mínimo esfuerzo para escapar.