El Conjunto de los Números Reales

Los números reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Desigualdades

Introducción al Cálculo Los números reales, axiomas de campo y orden, desigualdades CNM-107 Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Antioquia c 2008. Reproducción permitida bajo los Copyleft términos de la licencia de documentación libre GNU.

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Los números naturales

Los números naturales: Históricamente surgen ante la necesidad de contar o enumerar en las diversas civilizaciones. Informalmente hablando los números naturaless son aquellos que sirven para designar el número de elementos de um conjunto finito.

N = {0, 1, 2, 3, . . .} En N se definen las operaciones de adición (+) y multiplicación (·), estas operaciones poseen las siguientes propiedades:

Los números reales

1

2

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Uniformidad: Para cada x, y, w, z ∈ N vale x+w = x = y o =⇒ x·w = w = z

Desigualdades

y+z y·z

Asosiatividad: Para cada x, y, z ∈ N vale (x + y) + z = x + (y + z); (x · y) · z = x · (y · z).

3

Conmutatividad: Para cada x, y ∈ N vale x + y = y + x; x · y = y · x.

4

Modulativa: Existen elementos neutros, zero (0) y uno (1) tales que para cada x ∈ N vale x + 0 = x = 0 + x; x · 1 = x = 1 · x.

5

Distributiva: Para cada x, y, z ∈ N vale x · (y + z) = x · y + x · z.

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Los números enteros

Los números enteros: Surgen ante la imposibilidad de resolver algunas necesidades matemáticas sólo con los números naturales.

Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .} N⊂Z En Z están definidas la adición + y la multiplicación · La adición en Z cumple una nueva propiedad (no válida en N) 1

Inverso aditivo: Para cada x ∈ Z, existe un y ∈ Z tal que x + y = y + x = 0.

El elemento y para el cual x + y = 0 se llama inverso aditivo de x.

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Los números racionales Los números racionales: Surgen ante la imposibilidad de resolver algunas necesidades matemáticas sólo con los números enteros.

Q=

nm n

o : m ∈ Z, n ∈ Z, n 6= 0

Z⊂Q

En Q están definidas +, · y cumplen una nueva propiedad 1

Invertividad: Para cada x ∈ Q, existe un único y ∈ Q tal que x + y = y + x = 0.

Si x 6= 0, existe un único y ∈ Q tal que x · y = y · x = 1.

Cuando x 6= 0, el número racional y para el cual x · y = 1, se llama el inverso mutiplicativo de x y se denota por x−1 o por x1 .

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Los números irracionales Los números irracionales: Diversos problemas relacionados con geometrı́a dieron surgimiento a nuevos números cuyas magnitudes son inconmensurables, i.e., no admiten representación racional. Se denotan por Q∗ Ejemplos de números irracionales son √ √ √ √ − 2, 2, − 3, 3, −π, π

+, · no son operaciones en Q∗

No necesariamente la suma o la multiplicación de dos números irracionales es de nuevo un número irracional, por ejemplo √ √ − 2 + 2 = 0, √ √ 2 · 2 = 2.

Pero 0, 2 no son números irracionales.

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Los números reales

Los de números reales: La unión del conjunto de los números racionales y el conjunto de los números irracionales forma el conjunto de los números reales, que se denota por R, o sea R = Q ∪ Q∗ .

Una representación geométrica de R es la recta real

−1

0

1

√ 2

7 2

R

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Axiomas de campo AC1 Uniformidad: Para cada x, y, w, z ∈ R, x+w x = y o =⇒ x·w w = z

= =

y+z y · z.

AC2 Asociatividad: Para cada x, y, z ∈ R, (x + y) + z = x + (y + z); (x · y) · z = x · (y · z).

AC3 Conmutatividad: Para cada x, y ∈ R, x + y = y + x; x · y = y · x.

AC4 Modulativa: Existen reales cero (0), uno (1) tales que para x ∈ R, x + 0 = x = 0 + x; x · 1 = x = 1 · x.

El real 0 es llamado módulo o elemento neutro para la adición. El real 1 es llamado módulo o elemento neutro para la multiplicación.

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Axiomas de campo

AC5 Invertividad: Para cada x ∈ R, existe un único número real llamado el inverso aditivo u opuesto de x y denotado por −x, tal que x + (−x) = 0.

Para cada número real x 6= 0, existe un único número real llamado el inverso multiplicativo de x y denotado por x1 ó x1 , tal que x · x−1 = x ·

1 = 1. x

AC6 Distributiva: Para cada x, y, z ∈ R, x · (y + z) = x · y + x · z.

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Diferencia y División Empleando la propiedad de invertividad P C5, se definen las operaciones de resta y división de números reales, en efecto para cada x, y ∈ R, x − y = x + (−y); Si y 6= 0,

x 1 = x · = x · y −1 . y y

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Consecuencias de los axiomas de campo

Ley cancelativa de la adición: Para cada x, y, z ∈ R, x + y = x + z =⇒ y = z.

Demostración: x+y (−x) + x + y (−x + x) + y 0+y y

= = = = =

x+z (−x) + x + z (−x + x) + z 0+z z

Hipótesis (AC1) (AC2) (AC5) (AC4)

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Consecuencias de los axiomas de campo

Ley cancelativa de la multiplicación: Para cada x, y, z ∈ R, (x 6= 0 ∧ x · y = x · z) =⇒ y = z.

Demostración: x 6= 0 ∧ x · y (x−1 ) · (x · y) (x−1 · x) · y 1·y y

= = = = =

x·z (x−1 ) · (x · z) (x−1 · x) · z 1·z z

Hipótesis (AC1) (AC2) (AC5) (AC4)

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Más consecuencias de los axiomas de campo Para cada x, y ∈ R x · 0 = 0.

1 6= 0. x · y = 0 =⇒ x = 0 ∨ y = 0. x 6= 0 =⇒ x−1 6= 0. −(−x) = x. x 6= 0 =⇒ (x−1 )−1 = x. −(x + y) = (−x) + (−y). x 6= 0 ∧ y 6= 0 =⇒ (x · y)−1 = x−1 · y −1 .

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Más consecuencias de los axiomas de campo Para cada x, y, z, w ∈ R, y 6= 0, w 6= 0 z x·w+y·z x + = y w y·w

x z x·z · = y w y·w

−x = (−1) · x (−x) · (−y) = x · y −(x · y) = (−x) · y = x · (−y) −

−x x x = = y y −y

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Reales positivos

Axioma (PO1) Existe un subconjunto R+ de R tal que 1

Para cada x, y ∈ R+ , se tiene que x + y ∈ R+ ;

2

x · y ∈ R+ .

Para cada x ∈ R, se cumple una y solamente una de las siguientes proposiciones x ∈ R+ ; x = 0; −x ∈ R+ .

Los elementos del conjunto R+ se llaman reales positivos. Los números reales diferentes del cero que no son números reales positivos, son llamados reales negativos, y se denotan por R− .

R = R− ∪ R+ ∪ {0}.

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Observación Como consecuencia de la notación y del axioma (P O1) se tiene 0∈ / R+ ∧ 0 ∈ / R−

x ∈ R− ⇐⇒ −x ∈ R+

Reescribiendo P O1 a) La suma y producto de reales positivos es de nuevo un real positivo, b) Todo número real es positivo, es el cero o es negativo.

(1)

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Definición (Desigualdad) Si x, y son números reales. x < y se lee x es menor que y, se define como x < y ⇐⇒ y − x ∈ R+ .

Observación Si en (2) x = 0, se tiene 0 < y ⇐⇒ y − 0 = y ∈ R+ .

Luego R+ = {x ∈ R : x > 0}.

Analogamente si en (2) y = 0 usando (1) se tiene R− = {x ∈ R : x < 0}.

(2)

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Más desigualdades

x > y se lee como x es mayor que y x > y ⇔ x − y ∈ R+

x ≤ y se lee como x es menor o igual que y x ≤ y ⇔ y − x ∈ R+ ∨ x = y

x ≥ y se lee como x es mayor o igual que y x ≥ y ⇔ x − y ∈ R+ ∨ x = y

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Consecuencias de los axiomas de orden

Teorema (Ley de tricotomı́a) Si x, y ∈ R, entonces se cumple una y solamente una de las siguientes afirmaciones x < y; x = y; x > y.

Demostración: Como consecuencia del Axioma (P O1) para el número x − y, se tiene una de las siguientes afirmaciones x − y ∈ R+ ; x − y = 0; x − y ∈ R− ; o de forma equivalente, x < y;

x = y;

x > y.

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Consecuencias de los axiomas de orden

Teorema (Propiedades adicionales) Transitividad: Para cada x, y, z ∈ R. (x < y ∧ y < z) =⇒ x < z.

Monotonı́a de la suma: Para cada x, y, z ∈ R. x < y ⇐⇒ x + z < y + z.

Monotonı́a de la multiplicación: Para cada x, y, z ∈ R. z > 0 ∧ x < y ⇐⇒ x · z < y · z. z < 0 ∧ x < y ⇐⇒ x · z > y · z.

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Propiedades adicionales

Ley de los signos Para x, y ∈ R.

x < 0 ∧ y < 0 =⇒ x · y > 0. x > 0 ∧ y < 0 =⇒ x · y < 0.

Leyes de cuadrados Para cada x ∈ R, si se escribe x · x = x2 , entonces x2 ≥ 0.

Para cada x, y ∈ R+ ,

x < y ⇐⇒ x2 < y 2 .

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