__MAIN_TEXT__
feature-image

Page 1


INDHOLD Forord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1 ■ Hjælp dit barn – og dig selv

............................7

2 ■ Tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Naturlige tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Decimaltal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Negative tal

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Endnu flere tal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3 ■ Regnemetoder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Gange

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Minus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Plus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4 ■ Brøker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5 ■ Ligninger, algebra og funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Ligninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Algebra, reduktion og formler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Funktioner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

6 ■ Procent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 7 ■ Geometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 8 ■ Statistik og sandsynlighed

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Sandsynlighed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

9 ■ Lære udenad

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

10 ■ Tekstopgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 11 ■ Åbne opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 12 ■ It

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

13 ■ Matematik er andet end lektier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 14 ■ Talblindhed og andre matematikvanskeligheder . . 149 Litteratur og andre ressourcer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 Stikordsregister . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157


1 - Hjælp dit barn – og dig selv Formålet med denne bog er at gøre dig og dit barn gladere. For nogle læsere er ”gladere” måske for stort et ord, men håbet er, at du i hvert fald sjældnere er i dårligt humør. Lektielæsning kan være en hyggestund for både forældre og børn, men lige præcis i matematik går det tit i hårknude. Matematik er jo svært – det har vores mødre og kammerater lært os, og mange matematiklærere har ubevidst støttet opfattelsen – så når vi sætter os omkring spisebordet for at læse matematiklektierne starter vi en smule negativt. Det går ud over vores humør, når vi skal gøre noget, vi ikke mestrer. Med denne bog vil vi vise, at matematik ikke nødvendigvis er svært, og at det svære godt kan være spændende, også selvom man ikke øjeblikkelig kan finde ud af det. Matematik er fyldt med fremmedgørende underlige tegn og ord, som har sin helt egen betydning, men giv dem en chance, og du vil opdage, at du ret hurtigt godt forstår, hvad der står. Denne bog er også til dig, som elsker matematik, og gerne vil give denne følelse videre til dit barn. Måske er du lidt bange for at overbebyrde eller presse dit barn. Med denne bog kan du få nye pædagogiske vinkler på matematikken og lære mere om, hvilke tanker der er bag skolens matematikundervisning. Vi fortæller om alle de faglige emner, som behandles i grundskolen, og giver konkrete råd til, hvad du skal fokusere på. Vi starter hvert kapitel med en lille historie fra det virkelige liv. De er baseret på de mange snakke vi i tidens løb har haft med forældre, og illustrerer både de faglige og psykologiske problemstillinger der er i lektielæsningen. Du får en liste over tegn på, at dit barn er på rette vej, og en liste over faresignaler på det modsatte. Med andre ord: Med denne bog får du mulighed for bedre at forstå, hvad dit barn fortæller, du læser lærebogen fra skolen med andre øjne, og du forstår bedre lærerens intention. Og med lidt held bliver du dermed et lykkeligere menneske og en bedre forælder.

Matematik Matematik har været en del af vores kultur i flere tusinde år. Matematik opstod som en måde at lave modeller af praktiske problemer, og udvidede sig hurtigt

Du kan regne med dit barn

7


1 - Hjælp dit barn – og dig selv

til at blive svaret på rigtig mange spørgsmål om næsten alt mellem himmel og jord. Kan man formulere et problem matematisk, er problemet næsten løst. I dag er matematikken gået nogle skridt videre og blevet sit eget selvstændige videnskabsfag, hvor ikke alt nødvendigvis har en anvendelse. Matematik er også et videnskabeligt fag og lider dermed af det akademiske problem med, at alt skal gøres så kortfattet og præcist som muligt. Matematik er derfor et ultra kompakt sprog, hvilket får mange til at stå af. Mange ved ikke, hvad ”x<10” er for noget. Men det betyder bare ”de tal som er mindre end 10”, hvad vi jo alle forstår. Alene den måde matematik skrives på er skyld i mange problemer med at forstå matematikken, men det er desværre ikke noget, der nemt kan ændres på. Der er mange gode grunde til, at vores børn skal lære en masse matematik. I et moderne samfund har vi alle brug for en del matematik i vores hverdag. Vi har for eksempel brug for at kunne dele slik ud til en børnefødselsdag, læse en køreplan, købe mad ind i passende mængder til en passende pris eller bruge netbank. Langt de fleste uddannelser og job rummer matematik. Stort set alle job indebærer, at læse tal i skemaer eller grafer, foretage vurderinger af antal, holde en tidsplan, modtage penge eller lignende. Disse helt basale matematiske kompetencer lærer man i grundskolen. Et moderne samfund har brug for mange job med et stort indhold af matematik. Samfundet har for eksempel brug for økonomer, dataloger, ingeniører, farmaceuter og arkitekter. Samfundet har også brug for forskere indenfor naturvidenskab og teknik. Da man jo ikke kan se på børn, om de skal være operasangere eller atomfysikere, er det fra samfundets side mest effektivt at give alle et godt matematisk fundament, så alle i princippet har muligheden for at vælge den karrierevej, de synes passer bedst til dem. Matematik kan bruges som et af mange sæt briller til at betragte verden gennem. Man kan bruge matematiske principper som symmetri og det gyldne snit som hjælp til at vurdere kunst. Man kan analysere Erasmus Montanus’ argumenter ud fra en ren matematisk synsvinkel for at undersøge, hvordan Erasmus snyder sin familie og venner. Og man kan regne på, hvad man bruger på tøj og fornøjelser for at vurdere, om SUen er rimelig. Det er forskelligt, hvor meget hvert enkelt menneske vælger at bruge matematik, og mange mennesker synes slet ikke, at de gør det. Alle skal have mulighed for at kunne bruge matematik, som giver effektive værktøjer – også til vurdering af kultur og samfundsforhold. Vi har i Danmark et demokrati, der bygger på deltagende, aktive og kritiske borgere. Samfundet bygger på, at alle er i stand til at danne sig meninger om samfundet og deltage i samfundsdebatten. Der er brug for, at borgeren kan deltage i sportsforeningens bestyrelse og være med til at bestemme, hvor stort

8

Du kan regne med dit barn


1 - Hjælp dit barn – og dig selv

kontingentet skal være, og hvor meget der skal bruges på jubilæumsfesten. Der er brug for, at folk kan vurdere om deres overenskomst er rimelig. Og der er brug for, at alle kan tage stilling til, om euroen skal erstatte kronen. Matematiske overvejelser indgår i alle ovenstående valg. Matematisk uddannelse er et væsentligt element i dannelsen af aktive, kritiske medborgere. En tur i skoven er sjovere, når vi kender nogle af de planter, dyr og dyrespor, vi ser. Og hvad betyder ”kender”? Det betyder ikke, at vi har set dem før – nej vi ”kender” først noget, når vi har et navn på det. Sådan er det også i matematik. Hvis alle firkanter blot er firkanter, er de nærmest ens. Hvis nogle af firkanterne er kvadrater, andre rektangler og atter andre er trapezer, ja så kender vi figurerne bedre og kan bedre håndtere og vurdere dem. Vi ser simpelthen flere trapezer, når vi ved, hvad de hedder. Ligesom vi ikke tør plukke og spise ramsløg i skoven, hvis vi ikke ved, hvad de hedder. Og i øvrigt også ved, hvordan de adskiller sig fra de Trapezer giftige liljekonvaller.

Hvordan arbejder man med matematik? Før i tiden var matematik et meget smalt fag (faktisk så smalt, at det hed regning), og de få ting man skulle lære, kunne man bruge utrolig megen tid på at øve. Matematik rummer mange flere elementer i dag, og det betyder også, at arbejdsmetoderne i matematikundervisningen har flere facetter. Pernille har en lille historie fra det virkelige liv herom: ”Jeg vidste det bare”. Det er Tobias’ standardsvar, når hans lærer i 4. klasse spørger, hvordan han havde løst en matematikopgave, og det irriterer læreren. Min gamle studiekammerat Jytte og jeg vendte verden og var nået til emnet børn og skole. Jytte havde lige været til skole-hjemsamtale og matematiklæreren havde sagt, at Tobias skulle arbejde på at blive bedre til at forklare, hvordan han løste opgaverne og deltage mere i samtalerne i matematiktimerne. Som enhver hønemor blev Jytte selvfølgelig ked af kritikken af sit barn. Og som man så tit gør i den situationen, rettede hun nu skytset mod skolen: ”Hvorfor skal han forklare, hvad han har gjort, hvis bare svaret er rigtigt? Hvorfor skal han være åh så social, når han nu ikke er sådan? Han vil hellere bare sidde og regne for sig selv, og det er han jo rigtig god til!” Jytte forstod ikke, hvorfor Tobias skulle forklare, hvordan han tænker i

Du kan regne med dit barn

9


1 - Hjælp dit barn – og dig selv

matematik. Det var hun aldrig blevet bedt om i hendes egen skoletid. Og Jytte troede ikke på, at nogen lærer kunne ændre Tobias’ manglende villighed til at give sådanne forklaringer. Tobias’ personlighed er indadvendt, han har svært ved at sætte sig i andres sted og interagerer generelt ikke ret godt med sine omgivelser, og Jytte vurderede, ganske givet helt korrekt, at Tobias’ matematiklærer ikke var den, der kunne gøre noget ved det. Når en lærer kritiserer ikke alene ens barns faglighed, men også barnets personlighed, bliver man ked af det som forældre. Og – som i Jyttes tilfælde – også berettiget arrig over, at Tobias’ skole ikke fokuserer på at udnytte de styrker hans personlighed giver, men på de problemer den også giver. Når det er sagt, er jeg i øvrigt enig med læreren i, at man bliver nødt til at forklare, hvad man gør. Jeg trak i første omgang eksamenskortet overfor Jytte: ”Jytte, der er to gode grunde til, at Tobias skal lære at forklare, hvad han gør. For det første får man til afgangsprøven kun halvdelen af pointene for et korrekt svar uden forklaring. Og for det andet får man til afgangsprøven mere end halvdelen af pointene for en korrekt forklaring med et forkert svar. Forklaring er simpelthen en knaldgod forsikring - og en forkert forklaring kan aldrig trække ned.” Jytte mente faktisk, at det var grunde, som Tobias ville acceptere. Der er mange andre gode argumenter for mundtligheden. Man forstår ting bedre, når man også har forklaret, hvad man gjorde. Når matematikopgaverne bliver vanskelige, kan ingen mennesker finde løsningen uden at dele opgaven op i flere skridt og notere undervejs. Hvis man kun kan løse de opgaver man kan løse i hovedet, bliver man kun i stand til at løse meget enkle problemer. Forklaring af hvordan man har regnet en opgave i 4. klasse, danner grundlaget for senere at kunne notere flere skridt i opgaveløsningen. Men en ting er at få Tobias overbevist om, at han skal komme med forklaringer og prøve at sige, hvad han tænker. En anden ting er at hjælpe ham til at kunne gøre det. For når Tobias siger ”Jeg vidste det bare”, er det ikke en stædig modvilje mod indblanding fra Tobias’ side men, oprigtig udtryk for hvordan han har det. Andre børn siger noget lignende: ”Jeg kan se det”, eller ”Jeg brugte mit hoved”. Overordnet set er der fire meget nyttige måder at udtrykke sig på om matematik: Man kan vise sine overvejelser med konkrete genstande og i konkrete situationer. Man kan vise sine tanker gennem tegninger. Man kan udtrykke sine overvejelser sprogligt, enten mundtligt eller skriftligt. Og man kan udtrykke sine overvejelser med tal, regnestykker, regneudtryk og/eller andre matematiske symboler. Man kan selvfølgelig bruge en kombination af alle fire udtryksmåder. Konkrete genstande kan være tællematerialer: Ens ting som kan flyttes rundt og tælles. Det skal være ting, som man har mange af, for eksempel

10

Du kan regne med dit barn


1 - Hjælp dit barn – og dig selv

kikærter eller tændstikker. Penge er mere end et tællemateriale, da mønter og sedler også har en værdi. Vi har mange hverdagserfaringer med penge, så med penge ved man mere, end man tror, man ved. For eksempel ved man, at 0,5 + 0,5 = 1, fordi to 50-ører er 1 krone. Skåle kan bruges til at fordele tællematerialer i. Vægt, litermål, tommestokke og andre af hverdagens måleinstrumenter kan bruges til opgaver om måling. Og endelig kan man bruge helt konkrete materialer som nævnes i opgaver. Tegninger er i matematik skitser med prikker og streger (erstatter tællematerialer), mængdeboller og kasser (erstatter skålene), pile (udtrykker bevægelse, ændringer og sammenhænge), linjer (tallinjer og tidslinjer), pindemænd samt tal, bogstaver og ord. Sproglige formuleringer af matematik er svært for mange børn. I begyndelsen vil de sproglige formuleringer ofte være ret ubehjælpsomme, men efterhånden opbygges et mere præcist ordforråd. Evnen til at formulere matematiske opgaver gennem matematiske symboler er et centralt mål med matematikundervisningen. Man kan tænke på det som, hvordan skriver man et regnestykke der giver svaret, eller hvad skal man taste ind på lommeregneren for at få det rigtige svar. Man skal finde den udtryksform som passer ens barn bedst. Tegning er nemmere end at bruge konkrete genstande, men for mange børn bliver man nødt til at starte med de konkrete genstande. Fra tegningen eller de konkrete genstande kan man tit gå til sproglige formuleringer, der kan udregnes direkte, eller via en symbolsk opskrivning.

Hvordan hjælper man? For at blive god til at hjælpe sit barn med matematik skal man indse, at: 1 Skolen ikke er ligesom resten af livet. 1 Matematik adskiller sig fra de fleste andre fag. 1 Det er ikke nødvendigvis børns første prioritet i skolen at lære så meget som muligt. 1 Det er dit barn og ikke dig, som skal lære. 1 Tålmodighed er en dyd. Bogen igennem snakker vi om ”dit barn”. Men det kan naturligvis lige så godt handle om, at bedsteforældre hjælper deres børnebørn, at man hjælper sine nevøer og niecer og lignende. Skolen er ikke ligesom resten af livet. I resten af livet handler det om resultatet – i skolen handler det om at blive god til senere at kunne finde resultatet. Når man behersker en metode til at finde resultater, kan den bruges igen og igen. Den konkrete løsning på en opgave kan tit findes meget hurtigere af en maskine end af dit barn, men dit barn skal gennem arbejde med konkrete

Du kan regne med dit barn

11


1 - Hjælp dit barn – og dig selv

opgaver erfare nogle metoder, som kan bruges i mange situationer. Resultatet er altså ikke målet – men naturligvis er resultatet heller ikke ligegyldigt. Troværdigheden af en metode øges jo betragteligt, hvis den giver korrekte resultater, ligesom dit barn typisk vil gå meget mere op i resultatet end metoden. Dit barn har ikke erfaringer nok til at forstå, at resultatet betyder mindre, og metoden er det vigtigste, men du skal altid selv huske på det. Matematik og dansk er skolens største fag. Behovet for dansk forstår vi alle. Hvis vi ikke kan læse og skrive, udelukkes vi fra utrolig mange glæder, megen viden og får svært ved at klare vores hverdag. Danskundervisningens mål accepterer vi alle: Vi skal kunne skrive, læse, tale og forstå sprogets rolle i kultur og kommunikation. Matematikundervisningens mål er derimod mere abstrakte og underlige. Her tales om for eksempel repræsentationskompetence, talfølger, ligningssystemer og geometriske argumenter. Denne forskel opleves også i den daglige undervisning. Når en klasse afleverer 24 danske stile vil de være gode (og dårlige) på vidt forskellige måder, hvorimod gode besvarelser af matematikopgaver ofte vil være relativt ens. I dansk, historie og lignende føler mange forældre sig godt rustede til at hjælpe, hvorimod alt for mange tror, at de ikke forstår noget af matematikundervisningen. Matematik tager tid. I de fleste andre skolefag kan man godt tage bogen med hen i hængekøjen eller skolens læsekrog, men matematik kan man ikke læse uden en (eventuel virtuel, hvis man er meget moderne) blyant i hånden og et stykke papir ved siden. Når man læser dansk eller historie går det hurtigt, når man læser matematik, går det langsomt. Når man læser litteratur starter man i den ene ende og arbejder sig frem til slutningen. I matematik hopper man frem og tilbage. Læring indgår i en kompleks social sammenhæng. I hjemmet er der måske enighed om, at faren er den, der har styr på matematik, men moren er måske den, som hjælper mest med lektier. Det kan gøre hjælpen svær. Mor er bedst til at hjælpe men ringest til matematik, og når far hjælper, ender det i skænderier. I skolen handler det for barnet også om samværet med klassekammeraterne. I nogle år handler livet meget mere om det andet køn end om indlæring. Nogle børn bruger alt deres mentale krudt på at finde ud af, hvordan man opfører sig. Måske er der nogle klassekammerater, man ser op til, og hvordan har de det med skolearbejdet? Hvis det ikke går så godt med skolearbejdet, bør du som forælder overveje, hvor vigtig skolen er for dit barn netop nu. Hun må naturligvis ikke nedprioritere skolen fra 0. til 9. klasse, men hvis du altid insisterer på, at skolen skal prioriteres højere end alt andet risikerer du at blive droppet som hjælper. Det er vigtigt at fastholde, at det er barnet, som skal løse opgaverne. Det er fristende blot at overtage opgaverne og løse dem samtidig med, at man fortæl-

12

Du kan regne med dit barn


1 - Hjælp dit barn – og dig selv

ler barnet, hvad man gør. Nu har man jo sagt det, og så må det da sidde fast. Det gør det ikke! Man lærer kun ved selv at gøre. Det er altså helt centralt at vi som forældre kun støtter og ikke overtager. Følgende idéer kan bruges som en guide, indtil det falder naturligt ikke at overtage opgaverne: 1 Spørg ”Hvad forstår du?” og ikke ”Hvad er det, du ikke forstår”. 1 Fortæl barnet, at du hverken vil løse hele opgaven eller fortælle præcist, hvad der skal udregnes. Hvilken hjælp vil barnet så have? Tilbyd gerne at regne lidt, men ikke hele opgaven. 1 Tilbyd barnet at være hendes hukommelsesmaskine. Barnet fortæller, hvad du skal huske på og beder selv om tallet igen, når hun har brug for det. 1 Giv handlingsanvisninger, men ikke regnestykker. Det kan evt. være nødvendigt, at du selv udfører handlingerne, men vær meget tydelig om, hvilke handlinger du udfører, så barnet bliver bevidst om, at de selv skal gøre det om et øjeblik. 1 Udfør nogle af de dele af opgaven som ikke er centrale for det barnet lærer netop nu. 1 Gæt/giv overslag. 1 Giv barnet løsningen, og lad hende kontrollere, at det er korrekt. Det er ikke alle, der kan få hjælp hjemmefra, ligesom det ikke er alle forældre, som er lige gode til at hjælpe. Er det så ikke snyd, at de børn, som i forvejen er godt stillet, endda også kan få hjælp med skolearbejdet? NEJ, det er det ikke. Det er en forbrydelse at forhindre børn i at blive dygtigere, og der må findes andre måder at støtte de elever, der ikke kan få støtte i hjemmet. Hele klassen profiterer i øvrigt også af, at det enkelte barn bliver dygtigere. Dit barn må endelig ikke skjule, at du har hjulpet med lektierne eller at I har arbejdet med fagene på anden måde. Hvis dit barn stolt fortæller læreren, at i weekenden talte I alt muligt derhjemme, og det viste sig, at far og datter havde næsten lige så mange sko tilsammen som mor, får man skabt begejstring og måske spredt idéen til andre familier. Hvis læreren griber det, får hun måske endda startet på introducerende statistik ved at skabe et overblik over, hvor mange sko klassens mødre har. En anden rigtig god grund til at være åben om i hvilket omfang, du hjælper dit barn er, at dit barn risikerer at få alt for svære opgaver, når læreren ser, hvor godt det er gået med de seneste opgaver. Det er centralt for lærerens mulighed for at udfordre dit barn på passende niveau, at hun har et realistisk billede af, hvad dit barn selv kan finde ud af.

Myter En af forhindringerne for både at kunne modtage og give hjælp er de myter, der omgiver matematik. Vi vil gerne illustrere det med en historie.

Du kan regne med dit barn

13


1 - Hjælp dit barn – og dig selv

”Det kan være, at jeg gerne vil have, at Pernille hjælper Andrea med matematik, når hun nu starter i 3. klasse her efter sommerferien. Jeg kan jo ikke rigtig selv finde ud af matematik, så jeg har svært ved at hjælpe hende.” Vi drak en øl med en af vores naboer og blev noget overrasket over udmeldingen fra Betina. ”Øh, har du svært ved matematik? Du er uddannet elektriker, der er da en del matematik?” Betina forklarede, at hun da godt kunne finde ud af det, men havde bare aldrig rigtig forstået det. Og nu var hun bange for at det skulle gå ligesådan med Andrea. ”Det er jo noget helt andet med Mathias, han har bare så nemt ved det, han er superhurtig til at regne og fatter alt med det samme”, fortalte Betina om storebroderen. Havde Andrea svært ved matematik, eller var der andre ting i spil? For det første kunne det være arvesynden. Der er mange forældre, der uforvarende kommer til at projicere deres egne følelser over på deres børn. Betinas dårlige matematikerfaringer var hun opsat på ikke at give videre, og netop derfor kom hun måske til at give dem videre gennem hendes fokus på, om Andrea nu var god til matematik. Der kunne også være noget andet i spil, nemlig hvad det vil sige at være god til matematik. Mange mennesker forbinder ”god til matematik” med at være hurtig til at regne. Matematik er meget mere end regning, og det kommer man nemt til at glemme. De fleste hurtige regnere er dog også gode til matematik, men de skal tidligt have et bredt billede af faget matematik og af, at matematik også kan kræve tid og anstrengelser, ellers kan de få knækket selvtilliden eller ødelagt deres fortsatte glæde ved faget på mellemtrinnet, hvor matematik tydeligvis bliver meget mere end regning. En tredje årsag til Betinas misforståelse kunne være holdningen om, at piger ikke kan matematik. Vi havde lige for nylig mødt den i fuld flor hos nevø Hans, som er på Mathias’ alder: ”Ved du hvad onkel Erik, jeg er bare rigtig god til matematik. Det er alle drengene i min klasse. Der er ingen af pigerne, der er gode. Piger er bare ikke gode til matematik”. ”Øh, Hans, du ved da godt, at moster Pernille er ret god til matematik?” ”Ja, men det er noget andet”. Hvad ”andet” det var, fandt vi aldrig ud af. Men der er ingen tvivl om, at myten om, at piger er ikke gode til matematik lever i bedste velgående, både blandt børn og voksne – børnene får det jo et sted fra. Og da Andrea er meget piget passer det fint ind i hendes verdensbillede, at man egentlig er mere piget, når man ikke er god til matematik. Betinas syn både på sin egen og Andreas matematikforståelse kan også være udtryk for et usikkert matematiksyn. Rigtig mange piger siger som Betina: ”Jeg kan jo godt finde ud af det, jeg forstår det bare ikke.” Og igennem de sidste mange år har de i skolen hørt, hvor vigtigt det er at forstå matematik, det er slet ikke nok at kunne finde ud af det. Forståelse er noget, man hele tiden får

14

Du kan regne med dit barn


1 - Hjælp dit barn – og dig selv

mere af. Det er altså ikke sådan, at man enten forstår det eller slet ikke forstår det. For mange – måske især piger - skal forståelsen stå lysende klart for dem, ellers føler de sig slet ikke berettigede til at arbejde med faget. Men forståelse er noget som vokser hele tiden, nogen gange kommer det i store portioner, men mange gange i små bitte skridt.

Samarbejde med skolen Skolen er en stor organisation, der konstant mødes af utallige krav fra blandt andet elever, lærere, forældre, skolebestyrelse, nærområdet, sociale myndigheder, politi, kommune, ministerium og folketing. Den enkelte lærer skal håndterer krav fra eleverne, forældre, kolleger og skoleledelse ud over de mange krav som stilles i cirkulærer og lovgivning. Dit barns lærere skal altså konstant navigere i noget nær kaos, og i den situation er det nødvendigt at have en lang række kerneværdier, som man holder fast i. Disse kerneværdier har nogle skoler skrevet ned, mens de på andre skoler er uudtalte. Værdier kan for eksempel handle om respekt, tolerance, ansvarlighed, nysgerrighed, kulturformidling, fantasi, aktiv medvirken, oplevelse, glæde, trivsel, selvværd, ligeværd, faglighed og kompetence. Der er en arbejdsdeling mellem skole og hjem. Skolen kan med rette forvente, at dit barn møder i skolen til tiden, veludhvilet og i god foderstand. Hvis der gives lektier for, forventes forældrene at hjælpe børnene med at huske dem. Forældrene deltager i skole-hjem-samarbejdet. Kritik og ros gives konkret og konstruktivt. Og så videre. Skolen kan også med rette have nogle faglige forventninger til dig. Du bør i perioder læse med dit barn dagligt, og du skal sørge for at bruge et præcist sprog i forhold til de før-faglige ord vi behandler i kapitel 10. Du ved det godt, men vi siger det lige igen: Dit barn gør ikke, som du siger, men som du gør. Hvis du måler vand og vejer sukker, når du bager, sender du et andet signal til dit barn, end hvis du slår noget dej sammen på slump. Hvis du altid saver brædder over pr. øjemål i stedet for at bruge en tommestok, sender du også et signal. Du får kun dit barn til at bruge tal og måleredskaber, hvis du også selv gør det. Det allervigtigste du kan gøre for at give dit barn en god skolegang er derfor, at du selv er oprigtig interesseret i skolearbejdet og løbende viser respekt for skolens arbejde. Lad os tage et lille eksempel: Det er en klassiker, at matematiklæreren gang på gang fortæller forældrene til forældremøder eller i nyhedsbreve, at børnene skal huske at have deres vinkelmåler med i skole. Børnene glemmer den – eller har måske aldrig fået en. Hvis forældrene med begejstring tager imod muligheden for at købe et så herligt hjælpemiddel som en vinkelmåler, og sammen med barnet nysgerrigt udforsker, hvordan den virker efter den er hjembragt, ja så er der større chance for, at barnet husker den

Du kan regne med dit barn

15


54

Du kan regne med dit barn


5 - Ligninger, algebra og funktioner Pernille ”Hun siger, de bare skal prøve sig frem. Kan det passe? Jeg synes jeg kan huske noget med, at man skal flytte over på den anden side af lighedstegnet.” Min fætter Peder var i telefonen. Han var ved at hjælpe sin datter Marie Margrethe i 5. klasse med ligninger. Marie Margrethe synes, at det var svært, og Peder synes det var svært at hjælpe. Peder kunne ikke selv huske, hvordan man gjorde, og Marie Margrethes bog fra skolen hjalp ham ikke. Den skrev ikke noget om, hvordan ligninger skal løses, eller hvordan man kan arbejde sig frem til en løsning. Der var bare en masse opgaver. Internettet kan åbenbart ikke svare alle på alt. Peder havde prøvet at slå op på Wikipedia, men de mange ting, der stod der om ligninger, kunne ikke hjælpe ham med at hjælpe Marie Margrethe videre. Måske ville det have hjulpet, hvis Peder havde brugt 16 minutter på at se min video om ligningsløsning på pindogbjerre.dk, men den mulighed var ikke rigtig faldet ham ind. Marie Margrethe selv var heller ikke til meget hjælp, synes Peder. Marie Margrethe sagde, at læreren havde sagt, at de bare skulle gætte og prøve sig frem. Men Marie Margrethe vidste slet ikke hvad hun skulle gætte på, eller hvad hun så skulle gøre. Peder synes ikke det kunne være rigtigt, at de bare skulle gætte. Han mente bestemt at der var en metode, og hvorfor skulle de så ikke bare lære den i stedet for at gætte på må og få? Peder har helt ret i, at der findes metoder til at løse ligninger, og at en af de metoder er noget med at flytte over på den anden side af lighedstegnet. Og Marie Margrethe har garanteret ret i, at læreren har sagt, at de bare skal prøve sig frem. Dette kapitel handler om ligninger, algebra og funktioner. Det er eksempler på avanceret matematik, som kan bruges, når man skal sende folk til månen og planlægge landets økonomi. Til avanceret brug findes naturligvis elektroniske hjælpemidler, men dit barn skal lære om denne matematik for at få en forståelse for, hvordan den type problemer kan håndteres. Hvis vi tror, det er det rene hokus-pokus risikerer vi mistro til de beslutninger, som træffes

Du kan regne med dit barn

55


5 - Ligninger, algebra og funktioner

på baggrund af matematiske beregninger, og så bliver verden vanskeligere at lede – eller vi bliver sure og fulde af mistro.

Ligninger Hvad er en ligning? En ligning er et regneudtryk, hvori der indgår variable (som skrives som bogstaver) og et lighedstegn. Ligningsløsning går ud på at finde det (eller de) tal, som sat ind på de variables plads, får højre side af lighedstegnet til at være lig med venstre side af lighedstegnet. Man bruger ligninger til at simplificere problemer, så man kan regne på dem. Virkelige problemer er tit meget indviklede og involverer mange forskellige ting, som man ikke nødvendigvis kan få med i ligningen. En ligning er altså en forsimpling – som til gengæld har den store fordel, at den kan løses. Og så må man håbe og kontrollere, at løsningen også giver mening i forhold til det oprindelige problem fra den virkelige verden. De fleste mennesker oplever nok aldrig, at ligningsløsning faktisk løser nogle af deres virkelige problemer. Det skyldes dels, at de problemer vi almindelige mennesker oplever - også dem, der kan omsættes til ligninger - som regel løses uden at vi behøver opstille en ligning, og dels, at vi i vores skolegang har arbejdet meget med teknikken til at løse ligninger og meget lidt med at opstille ligninger.

Ligninger i skolen I dag møder eleverne ligninger allerede i indskolingen. Ikke med x’er som ubekendte, men tomme kasser eller pladser, der skal udfyldes, som for eksempel 23 + __ = 29. På mellemtrinnet – i nogle lærebogssystemer først i slutningen af mellemtrinnet - dukker x’erne op, og vi kan genkende opgaverne som rigtige ligninger. I grundskolen skal eleverne

56

Du kan regne med dit barn

Multi 1B


5 - Ligninger, algebra og funktioner

ikke lære at løse andengradsligninger, som for mange forældre var højdepunktet i deres skolegangs ligningskarriere. Nogle lærere vælger stadig at behandle andengradsligninger, fordi de synes det er sjovt eller nødvendigt for deres elevers almene matematik-dannelse, men det er altså ikke et krav.

Arbejdet med ligninger Nedenfor beskrives de to mest grundlæggende måder at løse ligninger. Man starter med disse metoder, og det er disse metoder man vender tilbage til, når man har glemt de avancerede metoder.

Prøv dig frem En god måde at løse ligninger er at gætte på en løsning, sætte gættet ind og se, hvad det giver. Metoden understreger, at vi leder efter et tal, der gør at ligningen passer, det vil sige, at højreside er lig med venstreside. Ved denne metode er det vigtigt at prøve flere tal, så man kan forfine sit gæt og komme tættere og tættere på løsningen. I dag er man heldigvis langt mere bevidst om, at det at prøve sig frem, er verdens bedste generelle strategi. Der er selvfølgelig områder, hvor det kan være en livsfarlig strategi, for eksempel hvis man skal rydde miner. Men matematik er på den måde ganske ufarlig, og det, at prøve sig frem i matematik, er virkelig en fremragende strategi. Jeg brugte den i mange år uden at turde sige det højt, fordi jeg troede det var en plat måde, som kun jeg brugte. Erik havde godt fanget at det var plat, og prøvede sig ikke frem, hvilket betød, at han ikke kunne finde ud af ret mange af opgaverne. Først langt henne i vores universitetsstudier gik det op for os, at selv professorerne prøver sig frem. Ved at prøve sig frem bliver man klogere på problemet, man lærer området lidt bedre at kende og forstår dermed tingene lidt bedre samtidig med, at man nærmer sig en løsning. Når man omvendt bare anvender en metode, oplever man tit at stå med en løsning - uden at have styr på, hvad løsningen løser eller hvad problemet egentlig er. For at kunne prøve sig frem skal man have en vis grundlæggende forståelse for det, man arbejder med. Det var sikkert her et af Marie Margrethes problemer lå. Hun havde ikke rigtig et billede af, hvad en ligning egentlig var for noget, og hvad man egentlig prøvede at finde ud af, når man løste en ligning. Når man prøver sig frem, er der et par gode råd, man kan have glæde af: 1. Start med at gætte på nemme tal, for eksempel 10. Prøv derefter med 2, 5 eller 100. Prøv også altid med 1 og 0. Men vær opmærksom på, at 1 og 0 er listige tal. Man kommer nemt til at lave tanketorsk med 0 og 1, for eksempel tro, at 1 gange 7 er 8 eller 0 gange 7 er 7.

Du kan regne med dit barn

57


5 - Ligninger, algebra og funktioner

2. Hold orden på dine forsøg, så du kan være lidt systematisk i dine gæt. Lav et

skema til at notere dine forsøg i. På den måde kan du se, om gættene ser ud til at gå i den rigtige retning eller bliver dårligere, og undgå at prøve de samme tal flere gange.

Vi tager et eksempel: 7x + 45 = 136. Første gæt: Andet gæt: Tredje gæt: Fjerde gæt:

x = 10. 7 ∙ 10 + 45 = 115. Tæt på, men mindre end 136. x = 3. 7 ∙ 3 + 45 = 66. Meget længere væk end før, venstresiden er stadig alt for lille. Lidt større end 10, x = 15. 7 ∙ 15 + 45 = 150. Lidt for stort. Midt imellem, x = 13. 7 ∙ 13 + 45 = 136. Korrekt.

I et skema kunne det se sådan ud:

Et andet eksempel: 2x + 20 = 55–5x

40 og 5 er noget fra hinanden Forskellen blev mindre, vi er på rette vej Forskellen blev større igen, så resultatet må være et sted mellem x = 2 og x = 10 Korrekt

58

Du kan regne med dit barn


5 - Ligninger, algebra og funktioner

Optrævling De ligninger, hvor x kun optræder på den ene side af lighedstegnet, kan løses ved at bruge optrævling. Man betragter siden med x som et regneudtryk og ser på rækkefølgen af de skridt, man skal tage for at udregne det. Man starter med at finde ud af, hvad det sidste skridt er, og så trævler man op ved at gå baglæns. Man holder fingeren over alt, undtagen det sidste man skal gøre, og spørger sig selv om, hvad det under fingeren skal være lig med, for at ligningen passer. Så har man et nyt spørgsmål (faktisk en ny ligning), hvor det under fingeren er lig med det tal, man fandt ovenfor. Sådan kan man fortsætte afhængig af, hvor kompliceret ligningen er. Et eksempel: 7x + 45 = 136 På venstresiden indgår x. Som regneudtryk betragtet skal man først gange med 7 og derefter lægge 45 til. Det sidste, man skal gøre, er altså at lægge 45 til. Man holder fingeren over 7x og spørger: ”Hvad skal man lægge til 45 for at få 136?” Svaret er 91. Den nye ligning er så 7x = 91. Så holder man fingeren over x og spørger: ”Hvad skal man gange 7 med for at få 91?” Svaret er 13. x er altså 13.

Algebraiske metoder Der findes andre, mere tekniske metoder, end de to ovenstående. Metoder, hvor man bruger algebraens regler, for at regne med bogstaver. En af de mest brugte er at betragte lighedstegnet som en balancevægt, hvor der konstant skal være ligevægt. Man må gøre hvad man vil i ligningen - bare man gør det samme på begge sider af lighedstegnet. En anden metode er at flytte over på den anden side af lighedstegnet samtidig med, at man gør det omvendte (plus til minus og gange til division). Disse metoder kan man se mere om på videoerne på pindogbjerre.dk

Brug af it Der findes en masse forskellige it-programmer, der kan løse ligninger. Man kalder dem under et for CAS programmer, hvor CAS står for Computer Algebra System. Et af de lettest tilgængelige er et tilføjelsesprogram til Word, hvor man kan taste ligningen ind, trykke på ”Løs ligning”, og så er den potte ude. Er det ikke snyd? Næh. Det er tilladt til problemløsningsdelen af afgangsprøven og i resten af livet, så der er ingen grund til at forbyde det i undervisningen. It skal tværtimod opfattes som et hjælpemiddel til de nemme dele af opgaverne, som frisætter energi til at kunne løse vigtigere opgaver – som for eksempel at opstille ligninger.

Du kan regne med dit barn

59


5 - Ligninger, algebra og funktioner

Hvordan hjælper man? Peder kunne hjælpe Marie Margrethe ved at: 1 Forklare hende, hvad en ligning egentlig er for noget. 1 Hjælpe hende i gang med at prøve sig frem, for eksempel ved at foreslå hende at gætte på, at løsningen er 10. 1 Hjælpe Marie Margrethe med at lave et skema, så hun kunne holde styr på sine gæt.

Hvordan klarer dit barn sig? Det er tegn på, at dit barn er på vej i den rigtige retning, når hun: 1 Genkender en ligning, som noget andet end et almindeligt regnestykke. Også hvis genkendelsen bare resulterer i, at barnet ikke ved, hvad hun så skal gøre. 1 Kan gætte på et tal som løsningen. Så ved hun, at det er et tal, vi leder efter. Også selv om det eventuelt er et helt tosset gæt. 1 Kan indsætte tallet i ligningen. Også selvom barnet har brug for hjælp fra lommeregner eller voksen til selve udregningerne. 1 Kan afgøre om det gættede tal er en løsning eller ej. Altså ved at højreside af lighedstegnet skal være lig med venstreside, og kan afgøre om det er tilfældet. 1 Kan komme med et nyt gæt. Altså, at barnet ved, at det er helt forventeligt ikke at gætte rigtigt første gang, og at man så bare må fortsætte. 1 Kan forbedre sine gæt. Altså, at barnets gæt efterhånden nærmer sig den korrekte løsning. Omvendt er det tegn på, at dit barn ikke har fået styr på, hvad ligninger er, hvis hun ikke genkender en ligning, som noget andet end et almindeligt regnestykke, men bare hovedkulds begynder at regne på de tal, hun ser. For eksempel giver sig til at lægge 2 og 7 sammen i ligningen 2x + 7 = 19, fordi der står tallene 2 og 7 og et plus.

Algebra, reduktion og formler Hvad er algebra, reduktion og formler? Algebra er regning med bogstaver (variable), for eksempel x’er, a’er og b’er. Bogstaverne kan altid erstattes af tal. Det er en matematisk sædvane, at man sjældent skriver gangetegn mellem bogstaver eller mellem bogstaver og tal, så

60

Du kan regne med dit barn

Profile for Forlaget Pind og Bjerre

Smagsprøve på du kan regne med dit barn  

Smagsprøve på du kan regne med dit barn  

Advertisement

Recommendations could not be loaded

Recommendations could not be loaded

Recommendations could not be loaded

Recommendations could not be loaded