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Física y Cultura: Cuadernos sobre Historia y enseñanza de las ciencias - No. 8 , 2014 / ISSN 1313-2143 / Análisis Histórico-Críticos
quiera, o un efecto, por la unidad; la expresión de cualquier otra fuerza no es más que una relación, una cantidad matemática que puede ser representada por números o líneas; es bajo este punto de vista que deben ser consideradas las fuerzas en la mecánica (Lagrange, 1788/1965, p. 1).
En la visión planteada aquí por Lagrange es claro que la fuerza o potencia solo se puede determinar por el movimiento que esta sea capaz de producir. En condiciones de equilibrio solo se tienen tendencias al movimiento que para ser determinadas requieren considerar la velocidad que adquiriría el cuerpo o parte del sistema si el equilibrio fuera roto y que él denomina velocidad virtual. Se debe entender por velocidad virtual, dice Lagrange (p.17) “aquella que un cuerpo en equilibrio está dispuesto a recibir, en caso de que el equilibrio sea roto, es decir la velocidad que el cuerpo obtendría realmente en el primer instante de su movimiento”. Y el principio del equilibrio, refiriéndose a un sistema sobre el cual se aplican dos fuerzas, “consiste en que las fuerzas o potencias estarán en equilibrio cuando ellas están en razón inversa a sus velocidades virtuales, estimadas según las direcciones de estas fuerzas” (Lagrange, 1788/1965, p. 17). Con estas ideas en mente Lagrange enuncia el principio general del equilibrio de la siguiente manera: Si un sistema cualquiera de tantos cuerpos o de puntos como se quiera, actuados cada uno por fuerzas cualesquiera, está en equilibrio, y si se le hace a este sistema un pequeño movimiento cualquiera, en virtud del cual cada punto recorrerá un espacio infinitamente pequeño que expresará su velocidad virtual, la suma de las fuerzas multiplicadas cada una por el espacio desde el punto donde aquella es aplicada y que recorre siempre la dirección de esta misma fuerza, será siempre igual a cero; mirados como positivos los pequeños espacios recorridos en el sentido de las fuerzas, y como negativos los espacios recorridos en el sentido opuesto (Lagrange, 1965, p. 20).
Para determinar las leyes mediante las cuales se realiza el equilibrio, según la perspectiva utilizada por Lagrange, se comienza por suponer una ruptura de su equilibrio en una parte del sistema, ruptura que producirá en el primer instante un desplazamiento en cada punto del mismo. Los desplazamientos generados en ese instante, en las direcciones de las fuerzas, son proporcionales a las velocidades virtuales de los puntos en cuestión adquiridas en esas direcciones. El hecho de que la velocidad virtual sea la velocidad adquirida en el primer instante después de la ruptura del equilibrio es lo que sustenta el carácter virtual de estas, tomando en consideración la configuración y ligaduras del sistema.
Esta visión de Lagrange supone que la cantidad relevante para expresar el equilibrio es el momento de la fuerza definido como el producto de la velocidad virtual y la fuerza actuando en la dirección del movimiento, ésta es la medida de la tendencia al movimiento debido a las fuerzas aplicadas;1 pero al igual que la tendencia a caer galileana, es una magnitud que tiene un carácter estrictamente relacional. Así pues, en la condición del equilibrio la sumatoria de los momentos de las fuerzas aplicadas sobre el sistema debe ser igual a cero. Esta condición se puede expresar, siguiendo la notación de Lagrange: Pdp - Qdq - Rdr - ... = 0 Donde P, Q, R... representan las fuerzas que se consideran actuando sobre el sistema; p, q, r... representan las distancias entre los puntos de aplicación de las fuerzas y los centros de fuerza correspondientes (puntos a los que estas fuerzas se dirigen); dp, dq, dr... representan los desplazamientos efectuados en las direcciones de las fuerzas en el primer instante cuando es roto el equilibrio y que son proporcionales a las velocidades virtuales; y los productos Pdp, Qdq, Rdr, etc., representan los momentos de las fuerzas P, Q, R, etc.2 Es importante resaltar que la fuerza no puede ser pensada como una magnitud independiente del resultado de las condiciones del sistema. Por ejemplo, si se suponen unos resortes con una condición de deformación impuesta (un resorte deformado puede ser considerado como un indicador de la medida de una fuerza), el sistema sometido a estas condiciones, para estar en equilibrio, debe adoptar una configuración espacial particular; por el contrario, si se impone una disposición espacial de las partes del sistema los resortes se adoptan la deformación que se ajuste a dicha disposición.
1. Hoy en día se asume torque y momento de fuerza como términos sinónimos; pero como bien lo hace notar Lagrange el momento de fuerza, así definido, tiene un carácter más importante dada su generalidad. 2. Basados en el principio de velocidades virtuales podemos llegar igualmente a las condiciones de equilibrio conocidas para este caso y derivadas desde un enfoque de corte newtoniano. Considere el sistema formado por dos cuerpos de pesos P y Q respectivamente unidos por una cuerda donde uno de ellos (el de peso P) descansa sobre un plano con un ángulo de inclinación β y el otro cuelga verticalmente. Según la formulación del principio debe cumplirse que: Pdhp + QdhQ = 0; donde dhP y dhQ son los desplazamientos infinitesimales que representan las velocidades correspondientes a las fuerzas P y Q respectivamente. Como dsP, es el desplazamiento a lo largo del plano y este es igual a dhQ y como dhP es igual a dsPsenβ, entonces al despejar de Pdhp + QdhQ = 0, Q = Psenβ, que es la bien conocida expresión para la condición de equilibrio en el plano inclinado.