Material contenido mate i unidad 1 g3

1 Documento elaborado por la Prof. Jacqueline Allende para uso exclusivo de los alumnos de la asignatura de Matemรกtica I

GUÍA DIDÁCTICA

1. SÍLABO ……………………………………………………………………………………………………………

3

2. PROGRAMACIÓN DE ACTIVIDADES……….……………………………………………………….

7

3. GUÍA DEL ESTUDIANTE……………………………………………………………………………………

14

4. PRUEBA DE ENTRADA…....………………………….……………………………………………………

17

5. UNIDADES DIDÁCTICAS...………………………….……………………………………………………

19

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SÍLABO DE MATEMÁTICA I

1.

1.1 Datos Generales Administración de Negocios y Finanzas

FACULTAD

Administración de Negocios y Finanzas

EAP

Adm. de Negocios, Adm. de Negocios y Marketing, Adm. de Negocios y Finanzas y Negocios Internacionales, Contabilidad Financiera

ASIGNATURA

Matemática I

CODIGO

MA10

CICLO

I

CARACTER

Obligatorio

CREDITOS

4

PERIODO ACADÉMICO

2013-I

PRE REQUISITOS

-----

HORAS

8 horas a la semana

1.2 DESCRIPCIÓN DE LA ASIGNATURA Las matemáticas representan una ciencia muy importante de la cual se sirven casi todas las áreas del conocimiento y es indispensable en la formación de los profesionales en gestión empresarial. La presente asignatura proporciona los conceptos relevantes a la parte inicial del Cálculo como: operaciones algebraicas, la resolución de ecuaciones y desigualdades, y la representación e interpretación de gráficos tanto lineales como no lineales.

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1.3 FUENTES DE INFORMACIÓN BIBLIOGRAFÍA

• HAEUSSLER, Paul. (2003). Matemáticas para Administración y Economía.

Edit. Prentice Hall.

• BUDNICK, Frank. (2006). Matemáticas aplicadas a la Administración, Economía y Ciencias Sociales. Edit. Mc Graw Hill.

• HOFFMAN, Laurence. (2005). Cálculo aplicado a Administración, Economía y Ciencias Sociales. Edit. Mc Graw –Hill.

• JAGDISH, Arya. (2002). Matemáticas aplicadas a la administración y a la economía. Edit. Pearson, Prentice Hall.

• STEWART, James. (1999). Cálculo, concepto y contextos. Edit. International Thomson Editores.

• SYDSAETER, Knut. (2000). Matemáticas para el Análisis económico. Edit.

Prentice Hall.

INTERNET • http://www.ematematicas.net/ • http://www.thatquiz.org/es/ • http://www.mamutmatematicas.com/ejercicios/ • http://ejerciciosdematematicas.org/ • http://www.vitutor.com/ejercicio.html 1.4 LOGRO DEL CURSO Resuelve ejercicios sobre números reales, ecuaciones y funciones, aplica estos conocimientos en la solución de casos relacionados al ámbito laboral y valora los fundamentos matemáticos como base para el aprendizaje de conocimientos posteriores relacionados a su carrera.

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1.5 CAPACIDADES

a. Resuelve operaciones algebraicas y las aplica en la solución de problemas propuestos, respetando las reglas para la ejecución de las operaciones.

b. Desarrolla ecuaciones a través del uso de técnicas y métodos de cálculo y valora este conocimiento para el lograr la resolución de problemas.

c. Compara las funciones lineales y no lineales, emplea gráficas y aprecia su valor en su ámbito laboral.

1.6 TÓPICOS CUBIERTOS Unidad I: Los números reales El conjunto de los números reales. Clasificación: naturales, enteros, racionales, irracionales. Propiedades. Expresiones algebraicas. Factorización: usando factor común y aspa simple.

Unidad II: Ecuaciones Ecuaciones lineales. Ecuaciones cuadráticas. Aplicaciones a la Administración de las Ecuaciones lineales y cuadráticas.

Unidad III: Funciones Funciones: Definición, Notación. Función Lineal: Rectas, pendiente de una recta.

Aplicaciones: Funciones de Oferta, Demanda y Punto de Equilibrio. Función Cuadrática:

La

Parábola.

Aplicaciones

a

la

Administración

de

la

Función

Cuadrática.

1.7 EVALUACIÓN Fórmula para calificación 25% F + 25% TA +50% EF Dónde:

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F= FOROS TA= Tareas Académicas EF= Evaluación Final

1.8 DURACIÓN Unidad

I:

Del 11 de marzo al 18 de Marzo

Unidad II:

Del 19 de Marzo al 07 de Abril

Unidad III:

Del 08 de Abril al 04 de mayo

1.9 PROFESORA Dra. Teodora Livia Barolo Licenciada en Matemática y graduada en Ciencias Contables; magister en docencia universitaria y matemática aplicada.

Doctora en educación con 30 años de experiencia en la docencia en educación superior, tanto en Universidades como en Institutos.

Especializada en la enseñanza de Algebra, Geometría Trigonometría, Geometría, Aritmética, Cálculo superior, Razonamiento Matemático, Estadística y Matemática Financiera. Amplia experiencia en la enseñanza de la Matemática aplicada, en el campo de los Negocios Internacionales, la Electrónica, Mecánica, Electricidad, Computación, Fuerza Motriz, y Financiera.

Autora del libro “Fundamentos de las Estructuras Algebraicos”. Matemática II. Módulo IV: “Gestión educativa e Innovación de materiales en Ciencia” y diversos manuales, fascículo, folletos, guías didácticos, motivaciones, planes de clase la especialidad (Matrices y determinantes; árboles; problemas de análisis matemático, matemática

aplicada

a

la

electrónica,

trigonometría,

geometría.

etc.)

para

estudiantes de universidades e institutos.

Ganadora de proyecto

de Investigación a nivel

nacional

por el ministerio de

educación en el año 2003.

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2. PROGRAMACIÓN DE ACTIVIDADES (Del 11/03/13 al 04/05/13)

Ítem 1

Actividades Unidad I: Operaciones con números reales

1.1

1.2

Inicio

Fin

Lunes 11/03/13

Lunes

Visualización del video presentación de la tutora en PRESENTACIÓN (plataforma) Realización de la evaluación exploratoria en línea.

Comentario

18/03/13 Lunes

Mensaje grupal de bienvenida por parte de la tutora.

11/03

Lunes

Lunes

11/03

11/03

Prueba en línea. Se podrá resolver la prueba a lo largo del día.

Carácter auto evaluativo.

Sección: Actividades

1.3

Foro Nº 1: Los números reales

Lunes

Viernes

11/03

15/03

Ver videos: a. Fibonacci: La magia de los Números b. El número de Oro. (Plataforma- Unidad I – Materiales para Foro 1 )

1.4

1.5

Lectura de la Unidad I.

Lunes

Viernes

Realización de la lectura del Material de Estudio, obligatorio y complementario

11/03

22/03

Desarrollo de la

Lunes

Vie.

Tarea N°1

11/03

15/03

Lectura de apoyo a la resolución de ejercicios.

Manual: capítulos 1, 2 y 3.PPT: operaciones con reales.

Avance de los ejercicios según avance temático.

Sección: Actividades – tarea Nº1

1.6

1.7

Tutoría virtual (chat)

Visionado de los Videos.

Mar.

De 10:15 pm a 11:00 pm

12/03

Se considerarán puntos adicionales en FORO para los asistentes.

Lunes

Viernes

11/03

22/03

Videos de apoyo a resolución de ejercicios.

la

Sección Material de Estudio – unidad 1

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1.8

1.9

Visionado los links páginas interactivas

de

Lunes

Viernes

11/03

11/03

Tutoría Grupal Presencial

Sección: Sitios – unidad 1 (plataforma)

Sábado

Asistencia obligatoria

16/03

Los alumnos fuera de Lima deben conectarse a plataforma.

2:30 pm a 4:00 pm

1.10

Realización de la evaluación en línea n°1.

Lunes

Lunes

18/03

18/03

Se podrá resolver la prueba a lo largo del día. carácter obligatorio.

Sección: Actividades

1.11 Entrega de Tarea Nº 1

Entrega de ejercicios resueltos manualmente y escaneados en PDF o en archivo por editor de ecuaciones.

Se calificará junto a la evaluación en línea n°1

Martes 19/03

Sección: Actividades 1.12

2

Tutoría virtual

Mar.

De 10:15 pm a 11:00 pm

CHAT

19/03

Se considerarán puntos adicionales en FORO para los asistentes.

Unidad II:

Martes 19/03/13

Domingo 07/04/13

Lectura de la Unidad I.

Martes

Viernes

Ecuaciones lineales y cuadráticas. Sólo ejercicios.

19/03

22/03

Ecuaciones 2.1

Realización de la lectura del Material de Estudio.

Obligatorio Complementario.

2.2

Lectura del complementario:

y

Foro Nº 2:

Lectura de apoyo a la resolución de ejercicios.

Manual del curso: ejercicios de ecuaciones: temas 1, 2, 3 y 4. material

Archivo Ecuaciones Martes 19/03

Aplicación de las ecuaciones

Viernes 22/03

Ver video: Punto de equilibrio (resolver actividad) Plataforma- unidad 2- Foro 2

2.3

Visionado de los Videos.

Martes 19/03

Viernes 22/03

Videos de apoyo a resolución de ejercicios.

la

Sección Material de Estudio – Unidad 2

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2.4

Visionado los links páginas interactivas

de Martes 19/03

Viernes 22/03

Páginas interactivas de los temas de la presente unidad.

Sección: Sitios

2.5

Avance de la Tarea N°2

Martes 19/03

Temas: Ecuaciones cuadráticas.

Viernes 22/03

lineales

y

Ejercicios propuestos bajo el nombre de Tarea n°2.

Sólo ejercicios.

2.6

Avance paulatino de los ejercicios según contenidos desarrollados.

Sección: Actividades

Tutoría Grupal presencial

Sábado

Asistencia obligatoria

23/03

Los alumnos fuera de Lima deben conectarse a plataforma.

2:30 pm a 4:00 pm

2.7

2.8

Tutoría virtual (chat)

Lectura del material complementario: Aplicación de las Ecuaciones

Mar.

De 10:15 pm a 11:00 pm

26/03

Se considerarán puntos adicionales en FORO para los asistentes

Sábado

Viernes

23/03

29/03

Lectura de apoyo a la resolución de problemas utilizando ecuaciones lineales y cuadráticas.

Lectura del complementario:

material

Archivo problemas ecuaciones 2.9

Avance de la Tarea N°2

Sábado 23/03

Temas: Ecuaciones cuadráticas.

29/03 lineales

y

Tutoría Grupal presencial

Avance de los ejercicios según contenidos desarrollados.

Ejercicios propuestos bajo el nombre de Tarea n°2.

Sólo ejercicios.

2.10

Viernes

de

Sección: Actividades Sábado

Asistencia obligatoria

30/03

Los alumnos fuera de Lima deben conectarse a plataforma.

2:30 pm a 4:00 pm

2.11

Tutoría virtual (chat)

Mar.

De 10:15 pm a 11:00 pm

02/04

Se considerarán puntos adicionales en FORO para los asistentes

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2.12

Entrega de Tarea Nº 2

Lun.

Entrega de ejercicios resueltos manualmente y escaneados en PDF o en archivo por editor de ecuaciones.

Se calificará junto a la evaluación en línea n°2

08/04

Sección: Actividades 2.13

Tutoría Grupal presencial

Sábado

. Asistencia obligatoria

06/04

Los alumnos fuera de Lima deben conectarse a plataforma.

2:30 pm a 4:00 pm

2.14

Realización de la evaluación en línea n°2.

Domingo.

07/04

Resolver la prueba a lo largo del día.

Carácter obligatorio.

Sección: Actividades

3

Unidad III: Funciones

3.1

3.2

Lunes 08/04/13

Sábado 04/05/13

Lectura del material complementario: Funciones.

Características. Dominio y rango

Lunes

Viernes

08/04

12/04

Visionado de los Videos.

Lunes

Viernes

08/04

12/04

Lectura de apoyo a resolución de ejercicios.

la

Material complementario.

Tema: Funciones.

Videos de apoyo a resolución de ejercicios.

la

Sección Material de Estudio – Unidad III 3.3

Visionado los links páginas interactivas

de

Lunes

Viernes

08/04

12/04

Páginas interactivas de los temas de la presente unidad.

Sección: Sitios

3.4

Participación en el Foro Nº 3:

Miércoles

Lunes

10/04

15/04

Caso Práctico 3.5

Ver la presentación en power point y contestar las preguntas que se encuentran la última diapositiva.

Tutoría virtual

Mar.

De 10:15 pm a 11:00 pm

CHAT

09/04

Se considerarán puntos adicionales en FORO para los asistentes

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3.6

Avance de la Tarea

Lunes

Viernes

N° 3: Funciones.

Características. Dominio y rango

08/04

12/04

Avance paulatino de los ejercicios según contenidos desarrollados.

Ejercicios propuestos bajo el nombre de Tarea n°3.

Sección: Actividades

3.7

Tutoría Grupal Presencial

Sábado

Asistencia obligatoria

13/04

Los alumnos fuera de Lima deben conectarse a plataforma.

2:30 pm a 4:00 pm

3.8

3.9

3.10

Tutoría virtual

Mar.

De 10:15 pm a 11:00 pm

CHAT

16/04

Se considerarán puntos adicionales en FORO para los asistentes

Lectura del material:

Lunes

Viernes

Función lineal: Ecuaciones y problemas

15/04

19/04

Visionado de los Videos.

Lunes

Viernes

15/04

19/04

Lectura de apoyo a resolución de ejercicios.

la

Material obligatorio y complementario.

Tema: Función lineal: ecuaciones Videos de apoyo a resolución de ejercicios.

la

Sección Material de Estudio.

3.11

Visionado los links páginas interactivas

de

Lunes

Viernes

15/04

19/04

Páginas interactivas de los temas de la presente unidad.

Sección: Sitios

3.12

Avance de la Tarea

Lunes

Viernes

N° 3

15/04

19/04

Temas:

Ejercicios propuestos bajo el nombre de Tarea n°3.

Función lineal: Ecuaciones y problemas 3.13

Tutoría Grupal presencial

Avance paulatino de los ejercicios según contenidos desarrollados.

Sección: Actividades Sábado

Asistencia obligatoria

20/04

2:30 pm a 4:00 pm Los alumnos de provincia deben conectarse a plataforma.

11 Documento elaborado por la Prof. Jacqueline Allende para uso exclusivo de los alumnos de la asignatura de Matemática I

3.14

3.15

3.16

Tutoría virtual (chat)

Mar.

De 10:15 pm a 11:00 pm

23/04

Se considerarán puntos adicionales en FORO para los asistentes

Lectura del material:

Lunes

Viernes

Función cuadrática: Ecuaciones y problemas

22/04

26/04

Visionado de los Videos.

Lunes

Viernes

22/04

26/04

Lectura de apoyo a resolución de ejercicios.

la

Material obligatorio y complementario.

Tema: Función lineal: ecuaciones

Videos de apoyo a resolución de ejercicios.

la

Sección Material de Estudio.

3.17

Visionado los links páginas interactivas

de

Lunes

Viernes

22/04

26/04

Páginas interactivas de los temas de la presente unidad.

Sección: Sitios

3.18

Avance de la Tarea

Lunes

Viernes

N° 3

22/04

26/04

Función cuadrática: ecuaciones y problemas.

Avance paulatino de los ejercicios según contenidos desarrollados.

Ejercicios propuestos bajo el nombre de Tarea n°3.

Sección: Actividades

3.19

Tutoría Grupal presencial

Sábado

Asistencia obligatoria

27/04

Los alumnos fuera de Lima deben conectarse a plataforma.

2:30 pm a 4:00 pm

3.20

Realización de la evaluación en línea n°3.

Domingo.

28/04

Domingo.

28/04

Prueba en línea. Se podrá resolver la prueba en el momento conveniente a lo largo del día. Esta prueba es de carácter obligatorio.

Sección: Actividades

12 Documento elaborado por la Prof. Jacqueline Allende para uso exclusivo de los alumnos de la asignatura de Matemática I

3.22

3.21

El alumno se prepara para la evaluación presencial.

Lunes

Viernes

29/04

29/04

Tutoría virtual

De 10:15 pm a 11:00 pm

(chat)

Mar.

Se considerarán puntos adicionales en FORO para los asistentes.

30/04

3.22

Realización de la evaluación exploratoria en línea.

Lunes

Miércoles

29/04

01/05

SIMULACRO DE EXAMEN FINAL

Entrega de Tarea Nº 3

Jue

3.24

Visualización del solucionario del simulacro

Evaluación Final Presencial

Jueves

Viernes

02/05

03/05

Sáb

Prueba en línea. Se podrá resolver la prueba en el momento conveniente dentro de las fechas indicadas. Esta prueba es de carácter auto evaluativo y no obligatorio.

Entrega de ejercicios resueltos manualmente y escaneados en PDF o en archivo por editor de ecuaciones.

Se calificará junto a la evaluación en línea n°3

02/05

3.23

Repasar y Estudiar para la Evaluación Final

Se podrá tener acceso vía mensajería interna a la solución completa y explicada del simulacro en línea.

Asistencia Obligatoria

04/05

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3. GUÍA DEL ESTUDIANTE 3.1 OBJETIVO

Describir las diversas actividades que se desarrollarán durante el curso y la participación de ellas en las evaluaciones del caso. Las actividades contempladas son las siguientes:

I. FOROS (F)

OBJETIVO Propiciar el aprendizaje colaborativo, a través de la participación activa de los alumnos y la moderación del docente, en un espacio de intercambio de ideas y debate. Debe permitir desarrollar el pensamiento crítico y creativo, el respeto a las ideas de los demás y promover la argumentación de ideas y que estos conduzcan a mejorar los niveles de rendimiento y a la construcción o validación de conocimientos.

DESCRIPCIÓN Durante el presente curso se llevarán a cabo 03 foros, las fechas de inicio y fin de cada uno de ellos se registra en la Programación de Actividades del Aula Virtual. La participación se realiza en base al material dejado, pudiendo ser una o más lecturas, videos o cualquier otro material de apoyo. En base a ellos los alumnos responderán a las interrogantes planteadas en el foro correspondiente por el(los) tutor(es), pudiendo ampliar el campo de acción de la pregunta siempre en base a la información entregada y/o otra información adicional que guarde relación con el tema tratado.

EVALUACIÓN La participación de cada foro, será evaluada bajo el sistema vigesimal, obteniéndose de ellas un promedio final. El peso de este promedio en la nota final es del 25%.

Los criterios de evaluación son: La exigencia mínima para el puntaje completo, es de dos intervenciones por estudiante, en días distintos. Una correspondiente a tú respuesta y otra de comentario a un compañero, el cual será calificado dentro de “Comentario Adicional”.

14 Documento elaborado por la Prof. Jacqueline Allende para uso exclusivo de los alumnos de la asignatura de Matemática I

Para efectos de la calificación de cada foro, esta será de 0 a 20, bajo los siguientes criterios de cinco puntos cada uno:

a) Argumentación b) Redacción c) Aportes d) Comentario Adicional

II. TAREAS (TA) Cada unidad de aprendizaje tiene al menos una tarea que el alumno debe realizar para aplicar los principales conceptos que aparecen en dicha unidad.

UNIDAD I Tarea 1 Realización: INDIVIDUAL.

Se desarrollarán los ejercicios de la ficha “trabajo n°1” referidos a los temas de operaciones con número reales y expresiones algebraicas. claridad y desarrollo correcto de los ejercicios.

Se calificará el orden,

70% de la nota de tarea 1.

Evaluación en línea n°1: acceso a la plataforma virtual para responder la evaluación en línea correspondiente a la unidad 1. 30% de la nota de la tarea 1

UNIDAD II Tarea 2 Realización: INDIVIDUAL.

Se desarrollarán los ejercicios de la ficha “trabajo n°2” referidos a los temas de ecuaciones lineales, cuadráticas y sus aplicaciones en el campo de la Administración.

Se calificará el orden, claridad y desarrollo correcto de los ejercicios. 70% de la nota de tarea 2.

Evaluación en línea n°2: Acceso a la plataforma virtual para responder la evaluación en línea correspondiente a la unidad 1. 30% de la nota de la tarea 2 15 Documento elaborado por la Prof. Jacqueline Allende para uso exclusivo de los alumnos de la asignatura de Matemática I

UNIDAD III Tarea 3 Realización: INDIVIDUAL (evaluación en línea)

Se desarrollarán los ejercicios de la ficha “trabajo n°3” referidos a los temas de operaciones de Función Lineal, cuadrática y sus aplicaciones en la Administración.

Se calificará el orden, claridad y desarrollo correcto de los ejercicios. 70% de la nota de tarea 3.

Evaluación en línea n°3: Acceso a la plataforma virtual para responder la evaluación en línea correspondiente a la unidad 1, 2 y 3. 30% de la nota de la tarea

III.

CHAT

OBJETIVO Debatir diferentes puntos de vista y analizar los avances temáticos, a fin de reforzar el aprendizaje del participante, en forma colaborativa, se realizará un chat.

DESCRIPCIÓN

Esta actividad se desarrollará de acuerdo a las fechas y horarios definidos en la Programación de Actividades. Se recomienda la participación. Esta actividad se cumplirá principalmente para las Tutorías Virtuales.

EVALUACIÓN Esta actividad no es evaluada

IV. EVALUACIÓN DEL CURSO

NOTA FINAL

=

F (25%)

+

TA (25%)

+

EF (50%)

F = FOROS TA = TAREAS ACADÉMICAS EF = EVALUACIÓN FINAL

16 Documento elaborado por la Prof. Jacqueline Allende para uso exclusivo de los alumnos de la asignatura de Matemática I

4.

EVALUACIÓN DE ENTRADA

1) Resolver :

T = 33 − {(80 − 40 ) − 7 x 2} − {(12 + 4 x 8 ) ÷ (31 − 9 )} + 5

a) 10 b) 16 c) 12 d) 22 e) 11 2) Se tienen las siguientes equivalencias:

= 500 monedas

= 1200 monedas ¿Cuántas monedas cuesta una cartera? a) b) c) d)

100 200 300 400

3) Reducir:

a) 0

 1  −1  1  −1  1  −1  −1 J =   .  .  .12  2   3   4   b) 6

c) 12

d) 2

e) 1

4) Observar la balanza e indicar a cuántas manzanas equivale una botella:

a) b) c) d)

3 manzanas 2 manzanas 1 manzana media manzana

17 Documento elaborado por la Prof. Jacqueline Allende para uso exclusivo de los alumnos de la asignatura de Matemática I

5) luego de resolver (4x + 1) (6x -1) el resultado es: a) b) c) d)

24x 24x2- 1 24x2+ 2x- 1 10x

6) El administrador de un local comercial decide revisar cierta documentación, por ello ingresa su asistente al almacén encontrando: 7 cajas, y en cada una de ellas hay 4 cajas más pequeñas; y en cada una de éstas hay 3 cajas aún más pequeñas. Entonces el número de cajas que encontró es: A) 86

B) 98

C) 119

D) 84

7) El resultado de: (-3 + 5 – 8)- (13 – 3 + 1) a) 6

b)0

c)13

d)-17

8) Indicar la afirmación que es verdadera: a) b) c) d)

5x.(4x – 3) = -60x (3x + 2)2 = (3x)2 + 22 3/2 – 2/3 = 5/6 -1+2-3+4 = -2

9) Halla el valor de

C:

 1  − 1  − 1   1    1  1  − 1   C =        ÷     2 2 2        2    4  4  4    a) -14 10)

b) -6

c) -4

d) -2

e) 11

Encontrar el valor de “x” que cumple con la siguiente ecuación 3x(5x – 4) = 15x2 -12x

a) 13/60 b) Todos los números reales c) No se puede resolver 0

18 Documento elaborado por la Prof. Jacqueline Allende para uso exclusivo de los alumnos de la asignatura de Matemática I

19 Documento elaborado por la Prof. Jacqueline Allende para uso exclusivo de los alumnos de la asignatura de Matemรกtica I

ÍNDICE UNIDAD I: LOS NÚMEROS REALES 1.1

El conjunto de los números reales……………………………………………………………………

21 1.2 Clasificación de los números reales…………………………………………………………………

21 1.2.1 Números Naturales (N)……………………………………………………………………….… 21 1.2.2 Números Enteros (Z)……………………………………………………………………….……. 22 1.2.3 Números Racionales (Q)……… ………………………………………………………………. 22 1.2.4 Números Irracionales (Q´)…………………………………………………………….……… 23 1.3 Propiedades de los números reales………………………………………………………………….

24 1.3.1 Otras propiedades……………………………………………………………………………….…. 25 1.4 Expresiones Algebraicas…………………………………………………………………..………………

28 1.4.1 Definiciones……………………………………………………………………………………………… 28 1.5 Factorización…………………………………………………………………………….……………………….

32 1.5.1 Factorización usando Factor Común…………………………………………………… 32 1.5.2 Factorización usando el Método del Aspa……………………………………………… 32 1.6 Glosario: Números reales.………………………………………………………………………….…….

37 1.7 Videos recomendados: Números reales……………………………………………………….….

39

UNIDAD II: ECUACIONES 2.1 Ecuaciones……………………………………………………………………………..………………………… 41 2.2 Ecuación Lineal……………………………………………………………….…………………………………

42 2.3 Despeje de una variable dada (Ecuaciones Literales) ……………………………………

45 2.4 Ecuación Cuadrática………………………………………………………………………………………….

47 2.4.1 Solución por Factorización……………………………………………………………………… 47 2.4.2 Usando la fórmula cuadrática………………………………………………………………… 48 2.5 Aplicación a la Administración de la ecuaciones……………………………………………… 50 2.5.1 Aplicación a las ecuaciones lineales…………………………………………………….… 50 2.5.2 Aplicación a las ecuaciones cuadráticas………………………………………………… 55 2.6 Glosario: Ecuaciones…………………………………………………………………………………………

66 2.7 Videos recomendados: Ecuaciones…………………………………………………………….……

68 UNIDAD III: FUNCIONES 3.1 Elementos del Plano Cartesiano ……………………………………………………………………… 70 3.1.1 Par Ordenado…………………………………………………………………………………………. 70 20 Documento elaborado por la Prof. Jacqueline Allende para uso exclusivo de los alumnos de la asignatura de Matemática I

3.2

Función…………………………………………………………………………………………………………… … 71 Función Lineal……………………………………………………………………………………………………

73 Aplicaciones a la Administración de la función lineal………………………………………

78 Función Cuadrática ………………………………………………………………………………………….. 85 Glosario: Funciones…………………………………………………………………………………………. 95 Videos recomendados: Funciones…………………………………………………………………… 97

3.3 3.4 3.5 3.6 3.7

ANEXO 4.1 Videos de Repaso Básico…………………………………………………………………………………. 99 4.2 Videos Adicionales …………………………………………………………………………………………… 99

Unidad I: LOS NÚMEROS REALES

1.1 El conjunto de los números reales Los números reales se usan en la visa cotidiana para describir cantidades como temperatura, salario, tasas de interés, talla de un zapato, calificaciones, etc.

La teoría de los números agrupa a estos signos en distintos grupos como por ejemplo los naturales, enteros, racionales, irracionales, reales.

21 Documento elaborado por la Prof. Jacqueline Allende para uso exclusivo de los alumnos de la asignatura de Matemática I

1.2 Clasificación de los números reales Los números reales se clasifican en: naturales, enteros, racionales e irracionales.

A continuación se presenta la definición y representación de cada uno: 1.2.1 Números Naturales (N) El conjunto de los números naturales contiene clases simbolizadas por cifras que expresan el número de elementos que contiene un conjunto dado. Por ejemplo, el número natural 4 representa a un conjunto formado por cuatro elementos.

El conjunto de los números naturales se denota por N = {1, 2, 3, 4...} y se representan en una semirrecta.

En sentido estricto, este conjunto no contiene al cero; si se quiere incluir este elemento en el conjunto, se denota por N* = {0, 1, 2, 3, 4...} (Llamados también enteros no negativos)

Entre los números naturales no se contemplan los valores negativos. Por tanto, este conjunto puede interpretarse intuitivamente como aquel que sirve para contar. En él pueden definirse operaciones de suma, resta, multiplicación y división, así como relaciones de orden (mayor que, menor que).

Representación gráfica del conjunto N.

1.2.2 Números enteros (Z) Surge de la resta de números y de la necesidad de expresar cantidades negativas; como por ejemplo temperatura bajo cero (puede ser -4°C).

De forma intuitiva, puede decirse que el conjunto de los números enteros es el formado por los elementos siguientes: {..., -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, ...}.

Este conjunto se denota por Z, e incluye como subconjunto al de los números naturales; es decir: N

Z.

Representación gráfica del conjunto Z.

22 Documento elaborado por la Prof. Jacqueline Allende para uso exclusivo de los alumnos de la asignatura de Matemática I

1.2.3 Números Racionales (Q) El concepto de fracción surge intuitivamente cuando se pretende dividir una unidad en partes del mismo tamaño (por ejemplo, un pastel). Cada uno de los elementos individuales obtenidos es una parte fraccionaria de la unidad.

Conceptualmente, el conjunto de los números enteros y los fraccionarios así obtenidos conforma un conjunto más general, llamado de los números racionales.

Por ejemplo: 1 , 3

4 , 5

37 , 39

3 , 2

6 , 5

11 7

Representación gráfica del conjunto Q

1.2.4 Números irracionales (Q´) En la resolución de problemas mediante ecuaciones cuadráticas con coeficientes enteros o fraccionarios (racionales) aparecen continuamente soluciones que no son números racionales, como las raíces de 2, 3, 5, etcétera. Estos números, llamados irracionales, que no pueden ser representados por fracciones La expresión decimal de los números irracionales es infinita no periódica y por lo tanto los números decimales infinitos no periódicos no pueden expresarse en forma de fracción y por tanto son irracionales.

Hay muchos números irracionales, como: √3; √5; ...; π= 3,14159···, e = 2.71828···· Números reales: Representación R

23 Documento elaborado por la Prof. Jacqueline Allende para uso exclusivo de los alumnos de la asignatura de Matemática I

La unión de los números racionales y los irracionales conforma un conjunto denominado de los números reales. Así, este conjunto engloba como subconjuntos a los de los números racionales e irracionales. R = Q U QI

El conjunto R de los números reales se representa sobre una línea llamada recta real. Los números reales llenan completamente esta recta.

Representación gráfica del conjunto R

1.3

Propiedades de los números reales

24 Documento elaborado por la Prof. Jacqueline Allende para uso exclusivo de los alumnos de la asignatura de Matemática I

Si a, b y c son números reales entonces:

Propiedad Conmutativa

Asociativa

Operación Suma

a+b = b+a

Multiplicación

ab = ba

Suma

a+(b+c)=(a+b)+c

Multiplicación

Identidad

Suma

Multiplicación

Inversos

Definición

Suma

Suma respecto a

Ejemplo

El orden al sumar o multiplicar reales no afecta el resultado.

2+3 = 3+2

Puedes hacer diferentes asociaciones al sumar o multiplicar reales y no se afecta el resultado.

4+(2+3)= (4+2)+3

a+0=a

Todo real sumado a 0 se queda igual; el 0 es la identidad aditiva.

6+0 = 6

a x 1= a

Todo real multiplicado por 1 se queda igual; el 1 es la identidad multiplicativa.

4*1 = 4

La suma de opuestos es cero.

5 + (-5) = 0

a(bc) = (ab)c

a + ( -a) = 0

El producto de recíprocos es 1.

Multiplicación

Distributiva

Que dice

a(b+c) = ab + ac

El factor se distribuye a cada sumando

3*2 = 2*3

4*(3*2) (4*3)*2

=

3*(1/3) = 1

3*(4+5) = 3*4 + 3*5

Multiplicación

25 Documento elaborado por la Prof. Jacqueline Allende para p uso exclusivo de los alumnos de la asignatura de Matemática I

1.3.1 Otras propiedades

Propiedad de los opuestos

Que dice

Ejemplo

-( -a ) = a

El opuesto del opuesto es el mismo número.

-( -6 ) = 6

(-a)(b)= a (-b)= -(ab)

El producto de reales con signos diferentes es negativo.

(-3)*4= -(3*4)= 3*(-4)

( -a)( -b) = ab

El producto de reales con signos iguales es positivo.

( -3)( -4) = 3*4

-1 ( a ) = - a

El producto entre un real y -1 es el opuesto del número real.

(-1)*5 = - 5

Autoevaluación 1 Para reforzar tu aprendizaje sugerimos la realización de los siguientes ejercicios cuya resolución está al final del capítulo.

1. Identifica la propiedad: 5 ( 4 *3 ) = ( 5 * 4 ) 3 14 + ( -14 ) = 0 3 ( 8 + 11 ) = 3 ( 8) + 3 (11) ( 5 + 7 ) 9 = 9 (7 + 5) 2. Aplica la propiedad indicada: 5(x + 8) (conmutativa de suma) (3 x 6) 2

(asociativa de multiplicación)

(9 + 11) + 0 (identidad aditiva) 12(x + y)

(distributiva)

9(6 + 4)

(conmutativa de multiplicación)

(x + y) + z

(asociativa de suma)

26 Documento elaborado por la Prof. Jacqueline Allende para uso exclusivo de los alumnos de la asignatura de Matemática I

Ejercicios propuestos 1 En los ejercicios 1 al 8, clasifique los números según su tipo. Por ejemplo ½ es racional y real, mientras que √5 es irracional y real.

1. -3 2. -420 3.

4. 5. √11 6. - √5 7.

8. 2.71828…

En los ejercicios 9 al 18, indique la propiedad de los números reales que justifique el enunciado 9. (2x + y) + z = z + (2x + y) 10. 3x + (2y + z) = (3x + 2y) + z 11. u (3v + w) = (3v + w) u 12. a2(b2c) = (a2b2)c 13. u(2v + w) = 2uv + uw 14. (2x + 3y) + (x + 4y) = 2x + [3y + (x + 4y)] 15. (a + 2b) (a – 3b) = a (a - 3b) + 2b (a – 3b) 16. a – [- (c + d)] = a + (c + d) 17. – (2x + y) [-(3x+ 2y)] = (2x + y) (3x+ 2y) 18. 0 (2a + 3b) = 0

27 Documento elaborado por la Prof. Jacqueline Allende para uso exclusivo de los alumnos de la asignatura de Matemática I

1.4 Expresiones Algebraicas

1.4.1 Definiciones: - Expresión algebraica: Es una combinación de números y letras unidos entre sí por los signos de las operaciones básicas.

Ejemplo: 3x -4y, 2x2 – y, - Polinomio: Un p o l i n o m i o es una expresión algebraica de la forma: P(x) = an xn + an Siendo a n , a n

-1

- 1

xn

- 1

+ an

- 2

xn

- 2

+ ... + a1 x1 + a0

. . . a 1 , a o números, llamados c o e f i c i e n t es .

n un número natural. x la v a r i a b le o in d e t e r m in a d a . a n e s e l c o e f ic ie n t e p r in c ip a l . a o e s e l t é r m in o i n d e p e n d ie n t e .

28 Documento elaborado por la Prof. Jacqueline Allende para uso exclusivo de los alumnos de la asignatura de Matemática I

- Grado de un polinomio El g r a d o de un polinomio P(x) es el m a y o r e x p on en te al que se encuentra elevada la variable x.

Ejemplo: En Q(x) = 5 x 3 − 2 x − 7 , e l g r a d o d e l p o l in o m i o e s 3 - Valor numérico de un polinomio Es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera.

Ejemplo: Si P(x) = 2x3 + 5x − 3 ; siendo x = 1 1

2 1

5 1

3

4

- Suma de Polinomios: Ejemplo: Dado P(x) = 2x3 + 5x – 3 y Q(x) = 4x − 3x2 + 2x3.

Hallar P(x)+P(Q) P(x)+P(Q) = 2x3 + 5x – 3 + 4x − 3x2 + 2x3 = 4x3 + 9x – 3 − 3x2 = 4x3 + 9x – 3x2 – 3 (el término independiente se pone al final) - Resta de Polinomios: Ejemplo: Dados P ( x ) = 2 x 3 + 5 x – 3 y Q ( x ) = 4 x − 3 x 2 + 2 x 3 .

H a l la r P ( x ) - P ( Q ) P(x)-P(Q) = (2x3 + 5x – 3) – (4x − 3x2 + 2x3) = 2x3 + 5x – 3 – 4x + 3x2 - 2x3 Se reduce respetando los grados: = 3x2 + x – 3 - Multiplicación de un número por un polinomio Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número.

Ejemplo:

3 * (2x3 − 3 x2 + 4x − 2)

= (3 * 2x3) – (3 * 3 x2) + (3 * 4x) – (3 * 2) = 6x3 − 9 x2 + 12x − 6 - Multiplicación de un monomio por un polinomio Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.

29 Documento elaborado por la Prof. Jacqueline Allende para uso exclusivo de los alumnos de la asignatura de Matemática I

Ejemplo: 3x2 · (2x3 − 3x2 + 4x − 2) = (3 x2 . 2x3 ) – (3x2

. 3x2 ) + (3x2 . 4x) − (3x2 . 2)

= 6x5 − 9x4 + 12x3 – 6x2

- Multiplicación de polinomios Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio.

Ejemplo: Hallar P(x) . Q(x), dados P(x) = 3x2 – 2 y Q(x) = x3 − 4x2 + 5x Solución: P(x) ·Q(x) = (3x2 – 2) (x3 − 4x2 + 5x) = (3x2 . x3 ) − (3x2 . 4x2 ) + (3x2 . 5x) – (2 . x3 )+ (2 . 4x2 ) + (2 . 5x) = 3x5 − 12x4 + 15x3 - 2x3 + 8x2 + 10x = 3x5 − 12x4 + 13x3 + 8x2 + 10x

Autoevaluación 2 Para reforzar tu aprendizaje sugerimos la realización de los siguientes ejercicios cuya resolución está al final del capítulo.

Sean los polinomios: P(x) = 4x2 − 1 Q(x) = x3 − 3x2 + 6x − 2 R(x) = 6x2 + x + 1 U(x) = x2 + 2 Calcular: 1. P(x) + Q (x) 2. P(x) − U (x) 3. R(x) . U(x)

30 Documento elaborado por la Prof. Jacqueline Allende para uso exclusivo de los alumnos de la asignatura de Matemática I

Ejercicios propuestos 2 En los ejercicios 1-10, realice las operaciones indicadas y simplifique 1. (2x + 3) + (4x – 6) 2. (7x2 – 2x + 5) + (2x2 + 5x – 4) 3. (5y2 – 2y + 1) – (y2 – 3y – 7) 4. (2x2 – 3x + 4) – ( - x2 + 2x – 6) 5. (2x + 3) ( 3x – 2) 6. (3r – 1) ( 2r + 5) 7. (2x – 3y) ( 3x + 2y) 8. (5m – 2n) ( 5m + 3n) 9. (3r + 2s) (4r – 3s) 10. (2m + 3n) (3m – 2n)

31 Documento elaborado por la Prof. Jacqueline Allende para uso exclusivo de los alumnos de la asignatura de Matemática I

1.5 Factorización Cuando se multiplican entre sí dos o más expresiones, éstas reciben el nombre de factores del producto. Por lo que si c= a b, entonces a y b son factores del producto c. Al proceso por el cual una expresión se escribe como el producto de sus factores se le llama factorización.

1.5.1 Factorización usando Factor Común Ejemplo 1: Factorice la expresión = x (a + b) Ejemplo 2: Factorice la expresión = ax3 (1 + bx2)

1.5.2 Factorización usando el Método del Aspa !"# Ejemplo 1: Factorice la expresión 3

$"

%

7

6

= (3a – 2) (a + 3) Luego,

a= 2/3

a = -3

Ejemplo 2: Factorice la expresión 7&

23&

6

= (7m – 2) (m - 3) 32 Documento elaborado por la Prof. Jacqueline Allende para uso exclusivo de los alumnos de la asignatura de Matemática I

Luego, m = 2/7

m=3

Autoevaluación 3 Para reforzar tu aprendizaje sugerimos la realización de los siguientes ejercicios cuya resolución está al final del capítulo. a) Usando el factor común, factorice las siguientes ecuaciones: 1. ' 2.

' ( )

3 . 6' (

7'

b) Usando el método del aspa, factorice las siguientes ecuaciones: 1. 12'

6

'

2. 3'

7'

6

3. 2'

9'

10

33 Documento elaborado por la Prof. Jacqueline Allende para uso exclusivo de los alumnos de la asignatura de Matemática I

Ejercicios propuestos 3: En los ejercicios 1-10, factorice el máximo factor común: 1 ) 6m

2m

2 ) 9ab 3 ) 4t

6a b 12t

4 ) 12x y

16x y

5 ) 10m n

15mn

6 ) 6x y

4x y

7 ) 3x 2x

1

2x y 5 2x

8 ) 2u 3v 9 ) 3a

20mn

w

5v 3v

b 2c

d

1 0 ) 4uv 2u

1

v

2a 2c 6u v v

w d 2u

En los ejercicios 11-20, factorice el polinomio 1 1 ) 2m 1 2 ) 6x

11m x

1

13) x

xy

1 4 ) 2u

5uv

15)x

6y

3x 2m

1 7 ) 4a

b

19)u v 2 0 ) 4a b

12v 1

16)m 1 8 ) 12x

6

3

3y w 25c

RESOLUCIÓN DE AUTOEVALUACIONES

34 Documento elaborado por la Prof. Jacqueline Allende para uso exclusivo de los alumnos de la asignatura de Matemática I

Autoevaluación 1 1. Identifica la propiedad: 5 ( 4 *3 ) = ( 5 * 4 ) 3

(asociativa de multiplicación)

14 + ( -14 ) = 0

(inverso de suma)

3 ( 8 + 11 ) = 3 ( 8) + 3 (11)

(distributiva)

( 5 + 7 ) 9 = 9 (7 + 5)

(conmutativa de multiplicación)

2. Aplica la propiedad indicada: 5(x + 8) (conmutativa de suma) = 5 (8+ x) (3 * 6) 2

(asociativa de multiplicación)

= 3 . (2 * 2) (9 + 11) + 0 (identidad aditiva) = (9 + 11) 12(x + y)

(distributiva)

= 12x + 12y 9(6 + 4)

(conmutativa de multiplicación)

=(6+ 4) 9 (x + y) + z

(asociativa de suma)

= x + (y + z) Autoevaluación 2 I) Sean los polinomios: P(x) = 4x2 – 1 R(x) = 6x2 + x + 1

Q(x) = x3 − 3x2 + 6x − 2 U(x) = x2 + 2

Calcular: 1. P(x) + Q (x) =(4x2 – 1) + (x3 − 3x2 + 6x – 2) = 4x2 – 1 + x3 − 3x2 + 6x – 2 = x2 – 3 + x3 = x3 + x2 – 3 2. P(x) − U (x) = (4x2 – 1) – (x2 + 2) = 4x2 – 1 – x2 – 2 = 3x2 – 3 3. R(x) . U(x) =(6x2 + x + 1) (x2 + 2) 35 Documento elaborado por la Prof. Jacqueline Allende para uso exclusivo de los alumnos de la asignatura de Matemática I

= 6x4 +12x2 + x3 + 2x + x2 + 2 = 6x4 + x3 + 13x2 + 2x + 2

Autoevaluación 3 a) Usando el factor común, factorice las siguientes ecuaciones:

1.

' ( = n 5 ( a - y)

'

2.

)

3.

6' (

7'

= ab2 (b3c2

1)

= n2 (6n3y

7 x)

b) Usando el método del aspa, factorice las siguientes ecuaciones: 1.

12'

'

6

4n+3 3n -2 = (4n + 3) (3n – 2)

2.

3'

7'

6=

3n -2 n 3 = (3n - 2) (n 3.

2'

9'

3)

10

2n -5 n- 2 = ( 2 n – 5 ) ( n- 2 )

1.6 Glosario Unidad I: Los números reales Factorización 36 Documento elaborado por la Prof. Jacqueline Allende para uso exclusivo de los alumnos de la asignatura de Matemática I

La a factorización es expresar una un expresión algebraica como producto de otras otr expresiones (factores). Por ejemplo, a²-b² a² se factoriza como binomio conjugados (a - b)(a + b).

Número entero Los números enteros son un conjunto de números que incluye a los números naturales distintos de cero (1, 2, 3, ...), los negativos de los números naturales (..., −3, −2, −1) y al cero, 0. Los enteros negativos, como −1 o −3 (se leen «menos uno», «menos tres», etc.), son menores que todos los enteros positivos (1, 2, ...) y que el cero. Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos, negativos, a veces también se escribe un signo «más» delante de los positivos: +1, +5, etc. Cuando no se le escribe signo al número se asume que es positivo. El conjunto de todos los números enteros se representa por la letra = {..., −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, ...}, Los números enteros no tienen parte decimal. decimal Por ejemplo: 783 y 154 son números enteros −783 45,23 y −34/95 no son números enteros Número irracional Un n número irracional es un número que no puede ser expresado como una fracción , donde y son enteros, enteros con diferente de cero y donde esta fracción es irreducible. Es cualquier número real que no es racional Número natural Un número natural es cualquiera de los números que se usan para contar los elementos de un conjunto.. Reciben ese nombre porque fueron los primeros que utilizó el ser humano para la enumeración. enumeración Número racional Número racional es todo número que puede representarse como el cociente de dos números enteros (más precisamente, un entero y un natural positivo) positiv es decir, una fracción común a/b con numerador a y denominador b distinto de cero. cero

Monomio Monomio es una expresión algebraica en la que se utilizan potenciales naturales de variables literales, un número llamado coeficiente. Las únicas operaciones que aparecen entre las letras son el producto y la potencia potencia de exponentes naturales. Se denomina polinomio a la suma de varios monomios. Un monomio es una clase de polinomio con un único término.

37 Documento elaborado por la Prof. Jacqueline Allende para p uso exclusivo de los alumnos de la asignatura de Matemática I

Polinomio Un polinomio es una expresión constituida por un conjunto finito de variables (no determinadas o desconocidas) y constantes (números fijos llamados coeficientes), utilizando únicamente las operaciones aritméticas de suma, resta y multiplicación, así como exponentes enteros positivos. En otras palabras, es una combinación lineal de productos de potencias enteras de una o de varias indeterminadas.

Propiedad asociativa Propiedad que establece que cuando se suman tres o más números reales, la suma siempre es la misma independientemente de su agrupamiento. Esto es, (a + b) + c = a + (b + c)

Propiedad que establece que cuando se multiplican tres o más números reales, la suma siempre es la misma independientemente de su agrupamiento. Esto es, (a × b) × c = a × (b × c)

Propiedad commutativa Propiedad conmutativa de la suma También llamada propiedad de orden de la suma. Esta propiedad significa que los sumandos se pueden sumar en cualquier orden y que la suma siempre es la misma.

Propiedad conmutativa de la multiplicación También llamada propiedad de orden de la multiplicación. Esta propiedad significa que los factores se pueden multiplicar en cualquier orden y que el producto siempre es el mismo Propiedad distributiva La suma de dos números por un tercero es igual a la suma de cada sumando por el tercer número. Por ejemplo 4 * (6 + 3) = 4 * 6 + 4 * 3

38 Documento elaborado por la Prof. Jacqueline Allende para uso exclusivo de los alumnos de la asignatura de Matemática I

1.7 Videos recomendados

Videos para cumplir la UNIDAD 1

Video 1: Conjuntos de n煤meros

Video 2: Expresi贸n algebraica

Video 3: Suma de polinomios

Video 4: Resta de polinomios

Video 5: Multiplicaci贸n de polinomios

http://www.youtube.com/watch?v=TfaGtDNQL8w&feature=cha nnel&list=UL http://www.youtube.com/watch?v=m3bed7Yf8I&feature=relmfu

http://www.youtube.com/watch?feature=endscreen&NR=1&v=i 6kCR1eq2Dc http://www.youtube.com/watch?v=7Yc0bcbyieM&feature=relmf u

http://www.youtube.com/watch?v=fhMBrzn7VTE&feature=relmf u

http://www.youtube.com/watch?v=V3j9rkFYNfY&feature=relmf u

http://www.youtube.com/watch?v=TCcC_Uey2Y&feature=relmfu

Video 6: 39 Documento elaborado por la Prof. Jacqueline Allende para uso exclusivo de los alumnos de la asignatura de Matem谩tica I

Factorizaci贸n (usando factor com煤n)

http://www.youtube.com/watch?v=sEu5u3EnIoU

Videos 7:

http://www.youtube.com/watch?v=Jlw1DuGmvWQ

Factorizaci贸n (usando Aspa)

http://www.youtube.com/watch?v=jbt6nX3JDE4&feature=relat ed

Video 8:

http://www.youtube.com/watch?v=8Ae0sJjKbQs&feature=relat ed

Productos notables

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