Usikkerhet og stoy i maalinger

,!7II2E5-acacfa!

FAGBOKFORLAGET

ISBN 978-82-450-2025-0

USIKKERHET OG STØY I MÅLINGER

Helga Jonsdottir studerte ved NTNU i Trondheim og har vært førsteamanuensis i biostatistikk ved samme institusjon. Hun har også arbeidet som statistiker ved Matís og deCode genetics på Island. Siden 2005 har hun vært førsteamanuensis ved Høgskolen i Bergen og Høgskolen Stord/Haugesund.

HELGA JONSDOT TIR

Denne boken er en lærebok for studenter i teknologifag. Den tar for seg teori omkring det å anslå usikkerhet i målinger. Det kreves at man har kunnskap i grunnleggende sannsynlighetsteori og statistikk. Boken vil være nyttig for ingeniører og andre teknologer som arbeider med problemstillinger knyttet til usikkerhet i måling.

Helga Jonsdottir

Usikkerhet og støy i målinger

Helga Jonsdottir

USIKKERHET OG STØY I MÅLINGER

Usikkerhet og støy_tittelsider.indd 3

28.06.2016 08:37:51

Copyright © 2016 by Vigmostad & Bjørke All Rights Reserved ISBN: 978-82-450-2025-0 Grafisk produksjon: John Grieg, Bergen Design og layout ved forfatteren Omslagsdesign ved forlaget Omslagsfoto: © Shutterstock/Iakov Filimonov

Spørsmål om denne boken kan rettes til: Fagbokforlaget Kanalveien 51 5068 Bergen Tlf.: 55 38 88 00 Faks: 55 38 88 01 e-post: fagbokforlaget@fagbokforlaget.no www.fagbokforlaget.no Materialet er vernet etter åndsverkloven.

Uten uttrykkelig samtykke er eksemplarfremstilling bare tillatt når det er hjemlet i lov eller avtale med Kopinor.

Usikkerhet og støy_tittelsider.indd 4

28.06.2016 08:37:51

Forord Denne boken ble til ved at man ved Høgskolen i Bergen ønsket å undervise måleteknikk sammen med et grunnkurs i statistikk for ingeniørstudenter. Det ble utarbeidet et fag der laboratorieoppgaver ble en viktig del, og regneoppgaver ble knyttet til egne målte eller simulerte data.

Jeg vil takke fysikere ved Institutt for elektrofag for inspirerende samarbeid om laboratorieoppgaver, noe som har vært viktig for å knytte statistikkfaget til beregning av usikkerhet i fysiske målinger og målesystemer. Her vil jeg spesielt nevne førsteamanuensis Johan Alme og professor Kjell-Eivind Frøysa.

Jeg vil takke høgskolelektor Aasmund Kvamme og forsker Espen Albregtsen som har undervist og gitt nyttige kommentarer underveis i utviklingen av det som i dag utgjør denne boken. Sist, men ikke minst vil jeg takke min mann, høgskolelektor Inge Vivås, for både faglig og moralsk støtte i hele denne prosessen.

I denne læreboken beskrives målinger og målesystemer ved å de nere stokastiske variabler knyttet til målesituasjonen. Usikkerhet i måling de neres ved standardavvik i fordelingene til de enkelte variabler som inngår i målingen. Det kreves at man har kunnskap i grunnleggende sannsynlighetsteori og statistikk. Det vil være en fordel å gi praktiske oppgaver i form av laboratorieøvinger, der studentene analyserer konkrete målesystemer og anvender teorien på egne målinger eller simulerte målinger.

Noen delkapitler er stjernemerket, og det betyr at det kreves noe mer kunnskap enn grunnleggende sannsynlighetsregning og statistikk for å forstå fullt ut innholdet i det aktuelle delkapittel.

Bergen, juli 2016 Helga Jonsdottir

Innhold 1 Innledning

7

2 Målinger

9

3 Tallfesting av målinger

11

4 Måleteknikk 13 4.1 Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 5 Målesystemer 5.1 Inngangsstørrelse og sensorelement 5.1.1 Følsomhet i sensor . . . . .

5.1.2 Signalbehandling . . . . . .

5.1.3 Signalprosessering . . . . .

5.1.4 Utgangssignal . . . . . . . .

5.2 Oppgaver . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

6 Statistikk 6.1 Sann verdi, feil og usikkerhet . . . . . . . . . . .

6.2 Måleusikkerhet . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.2.1 De nisjon og forklaring av noen begreper 6.3 Data målte verdier . . . . . . . . . . . . . . .

6.4 Tilfeldig variasjon støy . . . . . . . . . . . . .

6.4.1 Fakta om normalfordelingen . . . . . . .

5

. . . . . . . . . . . .

. . . . . .

19 19 23 23 23 24 24

. . . . . .

25 26 28 29 30 32 33

Usikkerhet og støy i målinger 6.4.2 Spredningsintervall . . . . . . . . . . . . . .

6.5 Relativt standardavvik * . . . . . . . . . . . . . . .

6.6 Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 Usikkerhet 7.1 Hvordan nne usikkerhet . . . . . . . . .

7.1.1 Type B-evaluering . . . . . . . .

7.1.2 Type A-evaluering . . . . . . . .

7.2 Målefunksjon . . . . . . . . . . . . . . .

7.3 Presentasjon av måleresultater . . . . . .

7.4 Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.5 Kombinert standard usikkerhet . . . . .

7.5.1 Tilnærmet uttrykk for varians* .

7.5.2 Estimering av varians . . . . . . .

7.5.3 Følsomhetsfaktor . . . . . . . . .

7.5.4 Eksempler på kombinert standard usikkerhet . . . . . . . . . . . . .

7.6 Usikkerhetsbudsjett . . . . . . . . . . . .

7.7 Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . .

34 36 37

. . . . . . . . . .

39 39 44 49 50 53 54 55 57 58 61

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

62 72 74

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

8 Kalibrering 79 8.1 Kalibreringskurver . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 8.2 Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 9 Sensitivitet i målesystem 91 9.1 Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 10 Løsning på oppgaver

97

Register

103

Bibliogra

105

6

Kapittel 1 Innledning To personer ser en hendelse samtidig og uavhengig av hverandre.

De beskriver den ved hjelp av det samme sprĂĽket og ordforrĂĽdet.

Beskrivelsene vil aldri vĂŚre eksakt de samme, men begge kan vĂŚre riktige i en viss forstand.

Mange store avgjørelser i vürt liv er basert pü beskrivelser i form av anslag og kvali sert gjetting av verdier (f.eks. prognoser). Vi investerer i eiendommer basert pü prognoser om rente og fremtidig inntekt, vi kjøper aksjer basert pü børsnoteringer, vi kler oss etter vÌrmeldingen, og vi anslür sannsynligheter direkte eller indirekte og ofte uten engang ü vite at vi gjør det.

Nür vi tar avgjørelser basert pü prognoser og mer eller mindre kvali sert gjetning om størrelser, sü vet vi at det er en løpende risiko for ü tape eller ü vÌre uheldig . Det vil normalt vÌre greit ü vite hvor stor risiko vi har for ü mislykkes eller ta feil. Men enda viktigere er det ü vÌre i stand til ü vite om en kvali sert gjetning er basert pü riktigheter , og om vi har en mulighet til ü vite hvor tre sikker gjettingen er. Hvis vi i en situasjon har tatt avgjørelse basert pü prognoser og vÌrt uheldige og for eksempel tapt penger, sü kan det vÌre greit med god samvittighet ü kunne si at jeg visste ikke bedre eller jeg kunne ikke vite det , og dermed fraskrive seg 7

Usikkerhet og støy i mülinger ansvar. Det vil imidlertid ikke vÌre en fordel over tid, og det vil alltid før eller siden vÌre noen som mü ta ansvar.

Aldri før har vi mennesker hatt tilgang til mer data, og datamengden øker mer enn noen kan forestille seg. Vi kommer lettere til mülinger og resultater enn noensinne. Det er derfor blitt en krevende oppgave ü tolke og analysere den stadig økende og lett tilgjengelige mengden av data og mülte verdier. Det at vi har lett tilgang til utstyr som müler og beregner med mer eller mindre kompliserte analysemetoder, fritar oss ikke fra ansvar for ü vite hva som faktisk er observert og lest av instrumenter. Avstanden mellom det vi faktisk vet og det vi tror vi vet, har aldri vÌrt større (Nate Silver)[6].

Vi skal i denne boken fokusere pü generelle trekk ved mülesituasjoner og mülesystemer. Vi skal se hvor avgjørende det er, nür en størrelse skal tallfestes (müles/anslüs), at det er ska et til veie all eksisterende og tilgjengelig informasjon om størrelsen og dens omgivelser. Dette er viktig for ü minimalisere risikoen for at vi ikke müler det vi mener at vi müler. For et gitt mülesystem som vi mener oppfyller dette, er det viktig ü sørge for at metodene vi bruker, er slik at tre sikkerheten er god (metoden har god presisjon).

8

Kapittel 2 Målinger Det å måle og å bruke målinger er sentralt for en ingeniør. For at en måling skal være av nytte for oss, så må vi kjenne til en del mer enn den verdien som vi registrerer, regner ut eller leser av et instrument. En måling kan ha sporbarhet og nøyaktighet og vil alltid være heftet med usikkerhet. Når måleutstyret har kjent usikkerhet og kjent avvik fra målestandarder, sier vi at usikkerheten er sporbar. Måleresultatet kan da korrigeres i henhold til sporingen og bli mer nøyaktig (korrigeringen har imidlertid også usikkerhet).

I tillegg kan det være andre kilder til usikkerhet enn de som knyttes til måleinstrumentet. Å vurdere hvor mange kilder til usikkerhet og hvordan disse påvirker en målestørrelse, krever god kjennskap til selve målesituasjonen, måleoppsettet og de fysiske egenskapene i og rundt målingen. I en gitt målesituasjon vil måleteknikk være den prosessen som har til hensikt å lage prosedyrer som er skreddersydd for det systemet/fagfeltet man arbeider med, og gjerne kreve fagfolk med ulik ekspertise.

Det er egenskaper, og det nnes faktiske forhold som er felles i de este målesystemer. Vi skal her se nærmere på generell oppbygning av målesystemer og eksempler på disse. Vi vil siden se hvordan opplysninger om systemet (f.eks. fysiske) og kjennskap 9

Usikkerhet og støy i målinger til måleinstrumenter brukes til å anslå usikkerhet knyttet til en måling. For at anslag om usikkerhet skal ha verdi for oss, knytter vi sannsynlighet til anslaget slik at vi for eksempel kan påstå at størrelsen som vi måler med ca. 95 % sannsynlighet, ligger mellom måleresultat minus usikkerhet og måleresultat pluss usikkerhet (se om kon densintervaller, f.eks. [4]).

Når en måling er justert (korrigert) for all kjent påvirkning, som vi kaller systematiske feil (se kapittel 3), vil det alltid være knyttet usikkerhet til måleresultatet. Det kalles tilfeldig variasjon, og de egenskapene den har beskrives ved lover om sannsynlighet og sannsynlighetsfordelinger (se f.eks. [4]). Vi vil her ta for oss målevariabler som er kontinuerlige og har symmetriske sannsynlighetsfordelinger som normalfordeling, rkantfordeling eller trekantfordeling.

10

,!7II2E5-acacfa!

FAGBOKFORLAGET

ISBN 978-82-450-2025-0

USIKKERHET OG STØY I MÅLINGER

Helga Jonsdottir studerte ved NTNU i Trondheim og har vært førsteamanuensis i biostatistikk ved samme institusjon. Hun har også arbeidet som statistiker ved Matís og deCode genetics på Island. Siden 2005 har hun vært førsteamanuensis ved Høgskolen i Bergen og Høgskolen Stord/Haugesund.

HELGA JONSDOT TIR

Denne boken er en lærebok for studenter i teknologifag. Den tar for seg teori omkring det å anslå usikkerhet i målinger. Det kreves at man har kunnskap i grunnleggende sannsynlighetsteori og statistikk. Boken vil være nyttig for ingeniører og andre teknologer som arbeider med problemstillinger knyttet til usikkerhet i måling.

Helga Jonsdottir

Usikkerhet og støy i målinger