للعام الدراسي
طبعة جديدة ومنقحة
2017
أعداد األسـتاذ
شرح مفصل لجميع أمثلة وتمارين الفصل الخامس . حلول التمارين العامة وجميع األسئلة الوزارية للفصل الخامس . أسئلة أضافية محلولة .
أعذاد /األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلية
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلٌة المعادلة التفاضلٌة هً المعادلة التً تحتوي على مشتمة واحدة أو أكثر للدالة المجهولة فً المعادلة ( أي للمتغٌر التابع فً المعادلة ) مالحظة :المعادلة التفاضلٌة االعتٌادٌة هً عاللة بٌن متغٌرٌن ( المتغٌرر اوول متغٌرر مقرتمل ولرٌكن ) ( ودالرة غٌر معروفة ولتكن مثال ) ( وبعض مشتمات الدالة ) ( بالنقبة للمتغٌر ) ( مثال )𝟒(
𝟎
̿ ̅
𝟓
𝟐
𝟐
̅
𝟓
𝟐
كلها معادالت تفاضلٌة اعتٌادٌه الن المتغٌر ) ( ٌعتمد فمط على المتغٌر ) (
درجة المعادلة التفاضلٌة : رتبة المعادلة التفاضلٌة :وهً رتبة أعلى مشتمة موجودة فً المعادلة التفاضلٌة .
وهً أكبر لوة (اس) مرفوعة له اعلى مشتمة فً المعادلة التفاضلٌة . 𝟎
من الرتبة االولى والدرجة االولى من الرتبة الثانٌة والدرجة االولى
𝟑
من الرتبة الثالثة والدرجة الثانٌة من الرتبة الرابعة والدرجة الخامقة من الرتبة الثالثة والدرجة الثانٌة
مالحظة
𝟕
𝟏
𝟎
𝟐
𝟑
̿
𝟐 𝟐
)̅ ̿(
̿
𝟓 )𝟒(
𝟕)̿(
̅
𝟕
𝟓
)
𝟐
)̿ ̅(
(
𝟑) ̿ ( ❺
:عند اٌجاد درجة المعادلة التفاضلٌة ورتبتها ٌجب أزالة الجذور أو االقس الكقرٌة مثال : 𝟐
من الرتبة الثالثة والدرجة الثانٌة
)̿ ̅(
𝟓
𝟗)̅(
)بالتكعٌب(
𝟑
𝟐
)̿ ̅(
⇒
𝟓√
𝟑)̅( ❻
حل المعادلة التفاضلٌة االعتٌادٌة حرررل المعادلرررة التفاضرررلٌة االعتٌادٌرررة هرررو اٌرررة عاللرررة برررٌن متغٌررررات المعادلرررة التفاضرررلٌة بحٌررر أن هرررذ العاللرررة ❶ خالٌة من المشتمة ❷ معرفة على فترة معٌنة ❸ تحمك المعادلة التفاضلٌة . وزاري / 2013د3
مثال ( /)1بٌن ان العاللة
وزاري / 2014د1
𝟑
𝟐
𝟐
حال للمعادلة التفاضلٌة
الحل /
̅
𝟑 𝟑 𝟑
∴ العاللة المعطاة هً حل للمعادلة التفاضلٌة أعال
400
𝟐
𝟐
𝟐
) 𝟑
̅
𝟐 𝟐
𝟐(
)𝟑 𝟐
(
𝟑
𝟐
̅ 𝟐
𝟐
أعذاد /األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلية
الحل الخاص والحل العام للمعادلة التفاضلٌة أن الحل العـــــــام وي معادلة تفاضلٌة هرو الحرل الرذي ٌشرتمل علرى عردد مرن الثوابرت االختٌارٌرة مقــــرـاوي لرتبرة المعادلة ,فإذا كانت المعادلة من الرتبة اوولرى وجرب أن ٌكرون حلهرا مشرتمال علرى ثابرت اختٌراري واحرد (هرو ثابرت التكامل ) الذي ٌظهر عند اجراء خطوة التكامل الوحٌدة لمعادالت الرتبرة اوولرى ,أمرا اذا كانرت المعادلرة مرن الرتبرة الثانٌة وجب ان ٌكون حلها مشتمال على (ثابتً تكامل) نظرا وجرراء خطروتً تكامرل عنرد حرل معادلرة الرتبرة الثانٌرة وهكذا بالنقبة للمعادالت التً لها رتبة أعلى . أحد حلول المعادلة
مثال ( /)2أثبت ان
𝟎
الحل / 𝟏 ) (
)𝟏(
𝟏
)
∴ العاللة المعطاة )
(
(هً أحد حلول المعادلة التفاضلٌة أعال .
وزاري / 2014د2
مثال (/)3
𝟐
بٌن
( حال للمعادلة 𝟎
حٌ )
̅𝟐
الحل / ̅𝟐
𝟎
𝟐
∴ العاللة المعطاة )
مثال (/)4
هل 𝟐
̅𝟐
𝟑
𝟏
̅
) (𝟐
𝟐
𝟐
(هً حل للمعادلة التفاضلٌة أعال
حال للمعادلة التفاضلٌة
𝟔
𝟐 𝟐
؟
الحل /
𝟔 ∴ العاللة المعطاة )𝟐
𝟑
𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
(هً حل للمعادلة التفاضلٌة أعال
401
𝟑
𝟐
𝟑
أعذاد /األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلية
وزاري / 2012د1
مثال (/)5
برهن ان ) 𝟐(
) 𝟐(
𝟐
هو حال للمعادلة التفاضلٌة
𝟑
𝟎
̿
𝟒
الحل / ) 𝟐(
𝟔
) 𝟐(
∴ العاللة المعطاة ) 𝟐(
𝟐
𝟒
)𝟐() 𝟐(
) 𝟐( ]) 𝟐(
)𝟐() 𝟐(
𝟐
) 𝟐(
𝟖
) 𝟐(
𝟐
) 𝟐(
𝟑
)𝟐() 𝟐(
𝟐𝟏 ) 𝟐(
𝟑[4
) 𝟐(
̅
𝟖
) 𝟐(
) 𝟐(
𝟖 𝟐𝟏
𝟐
)𝟐() 𝟐(
𝟒
) 𝟐(
) 𝟐(
𝟐𝟏
) 𝟐(
𝟑
𝟖
𝟔 ̿
𝟒
) 𝟐(
̅
𝟐𝟏
هً حل للمعادلة التفاضلٌة أعال
𝟑
وزاري / 2011د2
مثال ( /)6هل ان
𝟐
𝟑
𝟐
𝟑
هو حال للمعادلة التفاضلٌة
𝟓
𝟐)̅(
𝟑
؟
̿
الحل / ) 𝟐 (
𝟔
∴ العاللة المعطاة
𝟐
)𝟑
)̅ 𝟐(̅
𝟔 𝟑
5 𝟐
𝟑
)̅ ( 𝟐 𝟐)̅ (
𝟑
𝟐
𝟑
𝟑
̅ 𝟐
𝟔
)̅ (
𝟑
𝟐
𝟐)̅ (
𝟑
𝟑
)̅ (
( لٌقت حل للمعادلة التفاضلٌة أعال
وزاري / 2015د3
مثال ( /)7بٌن ان
𝟐
𝟑
هو حال للمعادلة التفاضلٌة 𝟎
̅
𝟔
̿
الحل / 𝟑
]
𝟑
𝟗 𝟐
𝟐
[6
̿
𝟒 ]
𝟑
𝟑
𝟑
𝟐
𝟑 𝟑
𝟐[ 𝟑
∴ العاللة المعطاة )
𝟑
𝟐
(هً حل للمعادلة التفاضلٌة أعال
402
𝟐
𝟐 𝟐
𝟗 𝟔
𝟐
𝟑
̅ 𝟒 6
𝟔 𝟑
𝟔
𝟐
̿
̅ 𝟐
𝟔
𝟐
أعذاد /األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلية
𝟓(
تمارين)𝟏 س / 1بٌن رتبة ودرجة كل من المعادالت التفاضلٌة التالٌة :
𝟎
من الرتبة االولى والدرجة االولى
)𝟐
𝟑
𝟐
(
𝟐
𝟕
من الرتبة الثانٌة والدرجة االولى
𝟓
𝟑
من الرتبة الثالثة والدرجة الثالثة
𝟐
̅𝟐
𝟖
𝟐
𝟓
من الرتبة الثالثة والدرجة الثانٌة
س / 2برهن ان
𝟎
هو حل للمعادلة 𝟎
𝟑
𝟑
(𝟐
)
)̿ ̅(
𝟑
)
𝟑
(
̿
الحل / ̅
̿ 𝟎
∴ العاللة المعطاة )
̿
(هً حل للمعادلة التفاضلٌة أعال
س / 3برهن ان العاللة ) 𝟑(
) 𝟑(
𝟔
هً حل للمعادلة 𝟎
𝟖
𝟐
𝟗
𝟐
الحل / ) 𝟑(
𝟖𝟏
) 𝟑(
)𝟑() 𝟑(
𝟒𝟐
𝟔
)𝟑() 𝟑(
) 𝟑(
𝟐𝟕
) 𝟑(
𝟖
) 𝟑(
𝟔
𝟖 𝟐
) 𝟑(
𝟒𝟓
)𝟑() 𝟑(
)𝟑() 𝟑(
𝟖𝟏
𝟒𝟐 𝟐
]) 𝟑(
𝟔 𝟎
∴ العاللة المعطاة ) 𝟑(
𝟔
) 𝟑( ) 𝟑(
) 𝟑(
) 𝟑(
𝟖[𝟗 𝟒𝟓
) 𝟑(
𝟖
403
𝟒𝟓 𝟐𝟕
) 𝟑( ) 𝟑(
𝟐𝟕 𝟒𝟓
هً حل للمعادلة التفاضلٌة أعال
𝟗 ) 𝟑(
𝟐
𝟐𝟕
𝟐
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلية
س / 4هل ان 𝟐
أعذاد /األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
حال للمعادلة
̿ ؟
̅𝟑
الحل / ̿
𝟎 𝟓
∴ العاللة المعطاة )𝟐
س / 5هل
𝟐
)𝟐
𝟑
̅
𝟏 (
)𝟏(𝟑
𝟐 ̅𝟑
𝟎
̿
( لٌقت حل للمعادلة التفاضلٌة أعال
)𝟐
حال للمعادلة
𝟏( 𝟐
̿
الحل / 𝟐
)
𝟐
( 𝟐
∴ العاللة المعطاة )
𝟐
س / 6هل 𝟏
̿
𝟐 𝟐
𝟐
)
𝟐
̅
𝟏(
)𝟐
𝟐
𝟏( 𝟐
( حل للمعادلة التفاضلٌة أعال
𝟐
𝟐 حال للمعادلة 𝟐
̿
𝟑
الحل / 𝟐
̅
̅
𝟐 𝟐
𝟐
𝟒
)𝟐 (
⇒
𝟐
𝟐
𝟐
̿
̅ 𝟐
𝟒
𝟒
)
𝟐
𝟐
𝟎
̅ 𝟐
(
)𝟏(𝟐
) ̅ ()
)𝟐
𝟐
𝟐 ∴ العاللة المعطاة )𝟏
𝟐
𝟐
𝟐 ( حل للمعادلة التفاضلٌة أعال
404
𝟒
𝟐
)
(
𝟐
(𝟐 𝟐
𝟐
𝟏
(
𝟑
)
(
𝟐
𝟒
̿
𝟐
𝟑
𝟐
𝟐
̿
̿
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلية
س / 7هل
أعذاد /األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
حال للمعادلة
𝟓
𝟎
̅𝟐
𝟓𝟐
؟
̿
الحل / 𝟓
̅
𝟓𝟐
̿
𝟎
∴ العاللة المعطاة ) 𝟓
وزاري / 2012د3
̅
𝟓 ̅𝟐
𝟓𝟐
̅
𝟓
̿
𝟓 𝟓
𝟎
𝟓𝟐
̿
̅𝟐
( حل للمعادلة التفاضلٌة أعال
وزاري / 2013د1
هو حال للمعادلة 𝟎
س / 8بٌن ان
̅
حٌ )
(
الحل /
̅ ̅
𝟎
( حل للمعادلة التفاضلٌة أعال
∴ العاللة المعطاة )
وزاري / 2015د2 𝟐
س / 9بٌن ان
,
| |
هو حال للمعادلة
𝟐
𝟐
𝟒
̅
الحل / )̅ ( 𝟐
𝟐
̅
𝟐 𝟐
∴ العاللة المعطاة )
𝟐
̅
𝟐
𝟒
𝟐 )
𝟐
𝟐( 𝟐
̅
𝟐
𝟐
̅
)̅( 𝟐
( حل للمعادلة التفاضلٌة أعال
******************************************************************
س : 1هل ان س : 2هل ان
𝟏 𝟑
𝟓
حال للمعادلة التفاضلٌة حال للمعادلة التفاضلٌة 𝟎
405
𝟐
𝟐
) 𝟓
̅(
̅ حٌ ) ̅𝟐
(
أعذاد /األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلية
طرق حل المعادالت التفاضلٌة من الرتبة اوولى والدرجة اوولى اوو :المعادالت التً تنفصل متغٌراتها فرررً هرررذا النرررو مررر ن المعرررادالت نقرررتطٌع أن نعرررزل كرررل الحررردود الترررً تحتررروي علرررى ) ( مرررع ) ) ( والحرررردود التررررً تحترررروي علررررى ) ( مررررع ) ( فررررً الطررررر اوخررررر فنحصررررل علررررى ثم نكامل الطرفان فنحصل على مثال ( /)1حل المعادلة 𝟓
( فرررً طرررر ) (
) ( ∫ حٌ ٌمثل) ( ثابت التكامل .
) ( ∫ 𝟐
الحل / 𝒙𝒅)𝟓 𝟓
مثال ( )/
حل المعادلة
𝟐(
𝟓
𝟐
𝒙𝒅 )𝟓
𝟐
𝟐(∫
∫
𝟏
الحل / 𝒙𝒅)𝟏
𝟐
𝟐
)حٌث 𝟐
مثال ( /)3حل المعادلة
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏
(
𝟐
)𝟐 (
⇒ 𝟐
𝟏
حٌ
)𝟎
(
𝟐
𝟐 𝟐
𝟏
𝒙𝒅 )𝟏
𝟐
√
𝟐
𝝅
𝒚𝒔𝒐𝒄(
𝟐
)𝟏
(∫ 𝟐
𝒏𝟐(
𝟐
∫
√
𝒚
الحل / ) 𝟐
𝟐
(
⇒
𝟐
∫
406
𝟐
∫
أعذاد /األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلية
وزاري / 2016د1
أوجد حل المعادلة 𝟎
مثال (/)4
√
̅ عندما
𝒚
𝟗
𝒙
𝟐
الحل / 𝟏
𝟏
𝟐) (
𝟏
𝟐) (
𝟏
𝟐) (
𝟎
√
𝟐) ( 𝟐
𝟐
√𝟐
𝟐
نعوض 𝟗
𝟐
𝒚
𝟏
𝟐) ( 𝟏 ) ( 𝟐
𝟐
𝟏 𝟐
∫
) (∫
𝒙 فٌنتج : 𝟐
𝟒
𝟔
𝟐
) تربٌع الطرفٌن(
𝟐
𝟐)𝟐( 𝟐
√
𝟒
𝟐
(
)𝟐
𝟗√𝟐
𝟒
⇒
𝟐
𝟐
) حل المعادلة(
√𝟐
𝟐
)𝟐
𝟒
(
وزاري / 2015د1
مثال (/)5
𝟐
حل المعادلة
عندما
𝒚
𝟎
𝒙
𝟎
الحل / ) 𝟐 ( 𝟐
نعوض 𝟎
)
) 𝟐 (
(
𝟏 𝟐
𝒚
)
𝟎
)
𝟐
)
𝟏 ()𝟐(∫ 𝟐
(
⇒
( )
)
(∫
𝒙 فٌنتج :
𝟐 |
) 𝟐 (∫
()𝟏 (∫
𝟑 𝟐
𝟐 𝟑
() 𝟐 (
)
𝟐
𝟐
|
𝟐
)𝟑 |
𝟐
𝟑
(
𝟏 𝟑 𝟐
𝟏
𝟐
𝟐 𝟑
𝟏 𝟐
𝟎
𝟐
|
407
)نأخذ
∴
𝟐
للطرفٌن(
⇒
𝟐
𝟏 𝟐
)𝟑
𝟐
𝟏 𝟐
𝟎
(
أعذاد /األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلية
وزاري / 2015د2
جد الحل العام للمعادلة التفاضلٌة :
مثال (/)6
)𝟏
𝟐
(
الحل / (
)𝟏
𝟐)𝟏
𝟐
(
)𝟏 (
𝟐
| |
| | ( 𝟐)𝟏
𝟐 (
)𝟏
)نأخذ
)حٌث
𝟏
(
)𝟏 | |
𝟐
⇒
𝟐)𝟏
(
(
)𝟏
(
)𝟏
| | ( 𝟐)𝟏
للطرفٌن(
𝟐 ∫𝟐
𝟐)𝟏
∫
(
𝟐)𝟏
𝟏
(
| | | |
(
******************************************************************
𝟓(
تمارين)𝟐 س / 1حل المعادالت التفاضلٌة اوتٌة بطرٌمة فصل المتغٌرات :
𝟑
𝟏 )
𝟐
(
)
(
)
𝟑
(
)
𝟑
̅ ) ( 𝟑
(
𝟐 𝟐
∫
𝟐
∫
)
𝟐
()
وزاري / 2014د3 𝟐 ∫
)
𝟑(
∫ )𝟏 (
𝟏 𝟐 𝟐
𝟐
𝟏 𝟐
|
𝟑|
𝟐)𝟏(
)𝟏
𝟐 (
𝟏 𝟐
)𝟐
𝟏 𝟏 (𝟐
⇒
𝟐
|𝟐
408
𝟑 𝟑
𝟑|
𝟑| )𝟐
𝟏 𝟐
(
𝟐
𝟏 𝟐 𝟐
𝟑
𝟑|
|
𝟏 𝟐 𝟐
𝟑
) (
𝟐
𝟐
|
وزاري / 2013د2
𝟑(
)
𝟑(
)
)𝟏(
𝟏
(
)𝟐
𝟏 𝟐
(
𝟎
𝟑
أعذاد /األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلية
)𝟏
)𝟏 𝟏
(∫
)
𝟐
𝟐
(
)𝟏
)𝟏
∫
(
𝟐
)
𝟐
(
)𝟏
)𝟏
(
)نأخذ
(
⇒
𝟑 )𝟑
𝟐
𝟐
)𝟏
(
𝟑 𝟐
𝟑
𝟐
𝟑
𝟐
𝟐 𝟑
(
)𝟑
𝟐
𝟑 𝟐 )𝟐
𝟒
𝟏( ) (
𝟒
𝟑 𝟐) 𝟐
(∫
𝟑 𝟐 )𝟐
𝟐
𝟒
𝟒
𝟒
𝟒
𝟏√
د𝟐 𝟑
) حٌث
𝟒
𝟐
𝟒 𝟐
𝟒
𝟏(√𝟒
(
(∫
) (
̅
𝟑 𝟐) 𝟐
𝟏(𝟒
𝟒
𝟒
𝟒√
409
𝟑 𝟐 )𝟐
𝟒∫
𝟏
وزاري 𝟏𝟏𝟎𝟐
𝟏
( ) (
)𝟏
)𝟏
𝟏(𝟒
𝟏 𝟏( ) (𝟐 ∫ 𝟐
𝟒
(
𝟐
𝟒
𝟐
𝟐 𝟐
(
𝟏(
𝟒∫
𝟏
(
)𝟏
̅ )𝟏
𝟑) 𝟐 𝟑 𝟐) 𝟐
()𝟏
𝟐
𝟑
𝟐
𝟑
𝟐
(
𝟐
للطرفٌن(
𝟏
𝟒
()𝟏
) (
∫ 𝟒
𝟒√
𝟒
𝟏 𝟐 )𝟐
𝟏( ) (∫
𝟏(
𝟏 𝟐
𝟏 𝟐
𝟑
𝟎
) ( 𝟑
∫ 𝟒
𝟒
𝟒
أعذاد /األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلية
𝟏 𝟐 𝟑
∫𝟐
∫
)𝟑
𝟐
𝟐
𝟑
𝟒
𝟒
𝟖
(
𝟑
𝟐
𝟒
𝟐
⇒
𝟐
𝟐
𝟐
𝟖
𝟏
𝟎
𝟏
𝟒
𝟑
𝟒
𝟐
√
𝟖
𝟐 𝟑
𝟐 𝟐
(
)𝟐
𝟒
𝟏
̅ ) (
𝟐
⇒ 𝟎
𝟐
𝟐
𝟒
𝟏
𝟒
𝟖
𝟐 𝟐
𝟏 ) ( 𝟐 𝟏
𝟒
𝟐
س /2جد الحل العام للمعادالت التفاضلٌة اوتٌة : 𝟐
)𝟐
𝟐
)𝟐
𝟏( ∫
𝟏 𝟒 )𝟐
𝒙𝒄
𝟐
𝟏
𝟐
𝟒)𝒙𝒄(
)نأخذ
𝟏( 𝟐
للطرفٌن(
⇒
𝟏 𝒙𝒄
𝟏
) حٌث 𝟒𝒄𝟐
|𝒙𝒄|𝒏𝒍 𝟐
𝟐
𝟏 𝟒𝒙 𝟏𝒄
𝟏𝒄(
)𝟐 𝟏 𝟒 )𝟐
𝟏
𝟐
𝟏(
𝟐
)𝟒 ( 𝟏 ∫ 𝟐 𝟏( 𝟒 𝟐
𝟒
𝟏√
∫
𝟏(𝒏𝒍
|𝒄|𝒏𝒍
𝒙𝒄
𝟐
𝟐
𝟏 𝟒𝒙 𝟒𝒄𝟐
𝟏
)𝟐
𝟏(
𝟐 𝟐
𝟐
𝟏√
𝟏 𝟏 𝒏𝒍 𝟒
𝟏 𝟒) 𝟐
𝟏 𝟒)𝒙𝒄(
𝟐
∫
𝟏
𝒙𝒄
𝟒
𝟏 𝟐
𝟐
|𝒙|𝒏𝒍
𝟏
𝟏 √ 𝟐
𝟐
) (
𝟏(
𝟐 𝟐
𝟏
𝟐
وزاري / 2015د1 ) (
𝟎 ) |
|
|
|
( )
(
) (∫
𝒄𝒆
) |
410
(∫ |
) |
( |
) |
( |
أعذاد /األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلية
𝟐
𝟎 ∫
𝟐
𝟐
𝟐
(
⇒
𝟐
)حٌث 𝟏𝒄
𝟐
⇒
𝟐
)𝟐
𝟐
𝟐
)
∫
𝟐
𝟐
(
𝟐
∫
𝟐
𝒄𝟐(
𝟐
𝟐
𝟏
∫
)
𝟐
)𝟏
𝟐
(∫
𝟐
∫
𝟐
𝟐
𝟐
𝟑
𝟏(∫
) (
𝟐
𝟑
∫ ∫
∫
) ( 𝟐
∫
𝟐
∫
𝟑
𝟑
𝟐
𝟏 𝟏(∫ 𝟐
) 𝟐
𝟐
𝟐
∫ 𝟏 𝟒
𝟐
∫ 𝟏 𝟐
∫ )حٌث 𝟏𝒄
د𝟏
𝟏 𝟐
𝟐
𝒄𝟐 (
∫
𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
411
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏 ( 𝟐
) (
𝟑 𝟐
𝟑(∫
𝟐
̅
) (
𝟐
() ( 𝟐
(
)
∫
𝟎 )
𝟐
𝟐
𝟑 𝟑 𝟑
𝟑
𝟐
𝟏 𝟐
) 𝟐
وزاري 𝟏𝟏𝟎𝟐
نوفر المشتمة
)
∫
𝟐
𝟐
) (
)𝟐
(
⇒
̅ 𝟐
𝟏 𝟐
أعذاد /األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلية
قؤال خارجي /أثبت أن كال من : 𝒙𝒆𝑩
𝒙𝒆𝑨
هو حل للمعادلة التفاضلٌة
𝒚 )𝒄( 𝒚
𝟎
𝒚 )𝒃(
𝒙𝟑
𝒙̅ 𝒚
𝟏(̿ 𝒚
)𝒙
̅ 𝒚
𝒙𝒆𝟐 𝟎
𝒙𝒆𝟐
𝒙𝒆𝟐
∴ العاللة المعطاة ) 𝒙𝒆𝟐
𝒙𝒆𝒙𝟐
𝒙𝒆𝟐
𝒙𝒆𝟐
∴ العاللة المعطاة )𝒙𝟑
𝒚 ( حل للمعادلة التفاضلٌة 𝟎
𝒙̅ 𝒚
)𝒙
𝟎
̅ 𝒚
𝒚
𝒙̅ 𝒚
𝒙𝟑
𝒚 ( حل للمعادلة التفاضلٌة 𝟎
𝒚
𝒙̅ 𝒚
)𝒙
𝟏(̿ 𝒚
𝒙𝒆𝑩
𝒙𝒆𝑨
̅ 𝒚
) 𝒙𝒆𝑩 𝟎
𝒙𝒆𝑨
𝒙𝒆𝑩
𝒙𝒆𝑨 𝒙𝒆𝑨(
)𝒙
𝒙𝒆𝑨
𝟏() 𝒙𝒆𝑩
𝒙𝒆𝒙𝑩
𝒚 ( حل للمعادلة التفاضلٌة 𝟎
412
𝒚
𝒙𝒆𝑨(
𝒙𝒆𝒙𝑨
𝒚
𝒙𝒆𝒙𝑩
𝒙̅ 𝒚
)𝒙
̅ 𝒚
𝟑
𝟑
̅ 𝒚
𝒙𝒆𝟐
𝒚 )𝒂(
𝟏(̿ 𝒚
𝟏(̿ 𝒚
)𝒙
𝒙𝒆𝑨(
∴ العاللة المعطاة ) 𝒙𝒆𝑩
)𝒙
𝟏( 𝒙𝒆𝟐
𝒙𝒆𝟐
̅ 𝒚
𝟏()𝟎(
𝒙𝒆𝑩 ) 𝒙𝒆𝑩
𝒙𝒆𝟐
𝒚
𝟎
𝒙𝒆𝟐
𝒚 )𝒂(
𝒙̅ 𝒚
𝒙𝟑 )𝒙
𝒙𝒆𝑩
𝒚
𝒙̅ 𝒚
𝒙𝒆𝒙𝑨
)𝒙
)𝒙 𝒙𝒆𝑩
𝟏(̿ 𝒚
𝒚 )𝒃(
𝟏(̿ 𝒚
𝒙𝒆𝑨 𝟏(̿ 𝒚 𝒙𝒆𝑨
𝒚 )𝒄(
أعذاد /األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلية
ثانٌا :المعادلة التفاضلٌة المتجانقة هً المعادلة التً نقتطٌع كتابتها بالشكل كتابتها على الصورة
* فمثال المعادلرة
( )+
) بقسمة طرفً المعادلة على
𝟒
𝟒
𝟑
𝟒
)𝟒
( ٌمكرن
(
) ( 𝟏
مثال /بٌن أي المعادالت التالٌة متجانقة ؟ 𝟑
𝟑 𝟐
) نقسم البسط والمقام على 𝟎
𝟑
𝟑
( 𝟑
𝟑
𝟏
𝟑
𝟑 𝟐
) (𝟑
𝟑
𝟑
∴ المعادلة متجانقة
𝟎 ) نقسم البسط والمقام على 𝟎
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
( 𝟐
𝟐
𝟎
) (
𝟐
̅
𝟐
𝟐
𝟐
) (𝟐
𝟎
) (
) (𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
) (𝟐
) (
∴ المعادلة متجانقة
𝟐 𝟑
المعادلة غٌر متجانسة النه الٌمكن كتابتها بالشكل ] ) (
[
413
̅) (𝟐
أعذاد /األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلية
طرٌمة حل المعادلة التفاضلٌة المتجانقة لحل المعادلة التفاضلٌة المتجانقة نتبع الخطوات التالٌة :
❶ نكتب المعادلة بالصورة ( ) + ❷ نشتك ]
* ثم نعوض عن كل +
* أو ]
[ بالنقبة الى ) ( فنحصل على +
❸ نربط بٌن الخطوتٌن ❶ و ❷ فنحصل على +
❹ بعد فصل المتغٌرات نحصل على +
* ) (
) (
) (
مثال ( /)1حل المعادلة التفاضلٌة
𝟐
*
*
❺ نكامل الطرفٌن فنحصل على الحل العام وأخٌرا نعوض عن +
𝟐 𝟑
[ حٌ ) ( دالة الى ) (
*
̅
𝟐
الحل / 𝟐 𝟐
) نقسم البسط والمقام على 𝟎
(
𝟐 𝟐
𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
𝟑
) (𝟑
𝟐
𝟑
𝟐
𝟐
) (𝟐
𝟐
) وضعنا
𝟏
(
𝟐
𝟑
𝟐 ∵
نعوض المعادلة 𝟏
فٌنتج :
فً المعادلة 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐 | |
𝟐
𝟏
𝟏 𝟐
𝟐
𝟏
𝟑
𝟑
𝟐
| |
𝟏
)𝟐
𝟐
( )
𝟐
𝟐 𝟐
𝟐
𝟐
) (
𝟑
𝟐
)𝟏
𝒙
𝟐
𝟏
𝟐
∫ )نأخذ
𝟐 𝟏
414
𝟏
∫
⇒
(
𝟐 𝟏
للطرفٌن(
𝟐 𝟐
𝟐
𝟑
)𝟏
𝟐
(
𝟐
∴
| |
𝟐
(
)𝟏
𝟐
(
∵
أعذاد /األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلية
مثال ( /)2حل المعادلة التفاضلٌة الحل / ) نقسم البسط والمقام على 𝟎
(
𝟏 𝟏 ) وضعنا
𝟏 𝟏
(
∵
نعوض المعادلة
فٌنتج :
فً المعادلة )𝟏
𝟏
(
𝟏 𝟏
𝟏 𝟐
𝟏
𝟏 𝟏 𝟐
𝟐
𝟏
𝟏
𝟏 𝟐
𝟏 | |
| | 𝟏 𝟐
𝟏
𝟏
|
𝟐√
𝟐
|
𝟏 𝟐
𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
) نضرب طرفً المعادلة ب )حٌث
𝟏 𝟐
(
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
415
𝟏 𝟏
|
⇒
𝟏 𝟐
𝟐
𝟏 𝟐
|
) تربٌع الطرفٌن(
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏 )𝟐 (∫ 𝟐 𝟐
𝟐
| 𝟐√
( 𝟏
𝟐
∫
𝟏
𝟐
𝟏
𝟏
𝟏 𝟐 𝟏
𝟐
𝟏
∫
𝟐
| 𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟐
∫
𝟐
𝟐√
𝟐
𝟏
∴
𝟐
𝟏 𝟐
) ( 𝟐
) (𝟐 𝟏 𝟐
∵ 𝟐
𝟐
𝟐
أعذاد /األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلية
وزاري / 2013د2
مثال ( /)3حل المعادلة التفاضلٌة
𝟑(
̅)
الحل / ) نقسم البسط والمقام على
(
𝟑
𝟏 𝟑
𝟑 ) وضعنا
𝟏 𝟑
(
∵
نعوض المعادلة 𝟏
فٌنتج :
فً المعادلة
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏
𝟑
𝟏 𝟑
𝟑
𝟑
( (
)𝟑 𝟐)𝟏
∫
∫
𝟐 𝟐)𝟏
(
∫ )𝟏 𝟐)𝟏
∫
𝟑( ) ( 𝟐)𝟏
∫ ( (
𝟏 𝟑
∫
𝟐 )𝟏
| |
∫
𝟐
)𝟏 𝟏
(
|𝟏
| | 𝟐
𝟑 ]𝟐 )𝟏 𝟐)𝟏
∫
∫
|
𝟐)𝟏
|𝟏
(
(∫ )𝟐( )𝟏
∫ )𝟏 (
𝟏
()𝟐(
|𝟏
𝟏
([ (
|
| |
|
∵
𝟏 𝟐
|
|
𝟐
|)𝟏
(
𝟐
| )
416
|𝟏 (
∫
|
| |
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلية
وزاري / 2012د1
أعذاد /األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
وزاري / 2014د1
وزاري / 2012د3
مثال ( /)4جد الحل العـــــام للمعادلة التفاضـــلٌة
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
الحل / ) نقسم البسط والمقام على 𝟎 𝟐
) (
𝟐
𝟐 (
𝟐 𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐 𝟐
) وضعنا
𝟏
(
𝟐 ∵
نعوض المعادلة 𝟏
𝟐 𝟐
فٌنتج :
فً المعادلة 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏
𝟐 𝟐
∫
) نضع
𝟏 𝟐
(𝟐 ∫
)𝟏
∫
| |
( | |
𝟐
𝟐
𝟐 𝟐
𝟐)𝟏
( 𝟐 𝟏
| | 𝟐
| | )
417
(
𝟐)𝟏
∫
𝟐 𝟏
𝟐 | |
𝟏
| | (
(𝟐
)𝟏 𝟏 𝟐 𝟏
𝟐 | |
أعذاد /األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلية 𝟐
مثال محلول /حل المعادلة التفاضلٌة 𝟎
𝟐
̅
𝟐
الحل / 𝟐
𝟐
̅
𝟐
) نقسم البسط والمقام على
𝟐
(
𝟐 𝟐
𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
) (
𝟐
𝟐
𝟐
) (𝟐
𝟐
) وضعنا
𝟐
𝟏
(
𝟐 ∵
نعوض المعادلة
فٌنتج :
فً المعادلة
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏 𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐 𝟐
)𝟏
𝟐 𝟐
𝟏
(
𝟐 | | 𝟏 | |
)𝟏
𝟐
| |
𝟏
𝟐
𝟏
(
𝟐 ∫
)𝟏
𝟐
)𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
∫
| |
(
𝟏 𝟐
𝟐
𝟐 𝟏
)𝟏
(
𝟏 (
𝟏 𝟐
𝟐
)
418
𝟐
𝟏
𝟐
)𝟏
𝟐
| |
𝟏 𝟐
𝟏 𝟐
(
𝟐
)
𝟐
𝟐 𝟐
(
(
∴
أعذاد /األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلية
𝟓(
تمارين)𝟑 حل كال من المعادالت التفاضلٌة اوتٌة :
وزاري / 2012د2
وزاري / 2013د1
̅ )𝟏( ) وضعنا
( ∵
نعوض المعادلة
فٌنتج :
فً المعادلة
∫
∫
∫ ) (
∫
| |
| |
𝟐
𝟎
𝟐
)
( ) 𝟐(
𝟐
) نقسم البسط والمقام على
(
)𝟐
𝟐 𝟐
𝟐
( 𝟐
) (
) (
𝟐
𝟐
𝟐 𝟐
𝟏
𝟐
) وضعنا
) نعوض المعادلة ∫
| |
فً المعادلة 𝟐
(
∵
(
∫
𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
| |
)𝟏
(
⇒
𝟏
𝟐
∴ 𝟏
| |
| |
𝟏
) (
)حٌث
419
𝟏
(
𝟏
| |
أعذاد /األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلية
) 𝟑
𝟎 ) نقسم البسط والمقام على
𝟐 𝟑
(
) 𝟐
𝟐 ) (𝟐
𝟐
𝟑
𝟐 𝟐
𝟐
𝟑 ) 𝟑 𝟒 )𝟏
∫
(
𝟐(
𝟐 𝟑
𝟐
𝟐 𝟏 𝟑 𝟐
(
∵
( 𝟐 𝟏 𝟑 𝟐
𝟏
𝟏 𝟐(𝟐 ∫) ( 𝟐 𝟐 𝟑(
∫
𝟒
|𝟏
𝟐 𝟏 𝟑 𝟐
) 𝟑 𝟒 )𝟏 𝟐
| |
) 𝟑
𝟐
) وضعنا
) نعوض المعادلة
) 𝟐
𝟏
) (𝟑
فً المعادلة
𝟐(
( )𝟑(
𝟐
𝟑|
𝟐( 𝟐
𝟑(
)𝟏
∫
𝟏 𝟐
∴ 𝟐
𝟒 𝟑
𝟐
𝟏
| |
𝟑(
𝟒
𝟐
𝟐
𝟑
𝟐
)𝟒(
𝟐 𝟐
) نقسم البسط والمقام على 𝟐
) (
𝟐
(
𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
) (𝟐
𝟐 𝟐
) وضعنا
) نعوض المعادلة 𝟐
فً المعادلة 𝟐
𝟏
𝟐
𝟐 | |
| |
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
𝟏 𝟐
𝟏
𝟐 𝟐
𝟐 ∵
𝟐 𝟏
(
∫
𝟐
𝟐
)𝟐
𝟏(
420
𝟏(
𝟏
∴
𝟐 𝟐 )𝟐
𝟏(
∫
𝟐 )𝟐
𝟏
(
𝟐
𝟏 𝟐
| |
)𝟐 )𝟐
𝟏(
𝟐 𝟏(
أعذاد /األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلية
)𝟐
𝟎
وزاري / 2014د2
)𝟐
𝟐
𝟐
( 𝟐
) نقسم البسط والمقام على
𝟐
( 𝟐
𝟐
) (
( )𝟓(
𝟏
𝟐 𝟐
𝟐
) (
𝟐 𝟐
) وضعنا
𝟏
(
∵
نعوض المعادلة 𝟐
فً المعادلة 𝟐
فٌنتج : 𝟐
𝟏
| |
|
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏|
𝟏
𝟏 𝟒
|
𝟏
𝟒 𝟐
)𝟐
𝟐
𝟏(
𝟐
𝟏 𝟒
∫
)𝟐
𝟐
𝟏
𝟏
)𝟒 ( 𝟏 ∫ 𝟒 𝟐 𝟏(
)𝟐
𝟏(
𝟐
𝟏
)
𝟐
𝟐
𝟏( |
𝟏 𝟒 𝟐
) ) (𝟐
421
)𝟒( 𝟐
| |
𝟏(
|
𝟏 𝟒) 𝟐
𝟐
𝟏|
∴ 𝟐
𝟏(
أعذاد /األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلية
)𝟑
وزاري / 2016د1
𝟑
𝟐
(
)𝟔(
𝟐
) نقسم البسط والمقام على
(
𝟑
𝟑
𝟐
) ( 𝟑
) (
) وضعنا
𝟑
𝟏
𝟑
𝟑
𝟑
𝟑
(
𝟑
𝟏 ∵
نعوض المعادلة
فٌنتج :
فً المعادلة 𝟒 𝟑
𝟒
𝟏 )
| |
𝟑
𝟏
𝟏 𝟑 𝟑
𝟒
| |
(∫
𝟏 ∫
)𝟏
(
⇒
𝟑
∫
| |
)
𝟏
𝟑
𝟏
𝟒
𝟒
)𝟑
(∫
𝟏(
𝟒 𝟑
𝟏 𝟑
𝟑
)حٌث
𝟏
422
𝟑
𝟏
| |
| | (
𝟏
| |
𝟑 𝟏 𝟑
) (𝟑
| | | |
أعذاد /األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلية
)
) وضعنا
(
)𝟕(
( ∵
نعوض المعادلة
فٌنتج :
فً المعادلة ∫ )
∫
( |
|
| |
|
| |
| |
|
∫
∫ ∴
******************************************************************
س : 1حل المعادلة التفاضلٌة التالٌة
𝟑
̅) 𝟐
س : 2أوجد حل المعادلة التفاضلٌة التالٌة
س : 3أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلٌة التالٌة س : 4حل المعادلة التفاضلٌة التالٌة س : 5حل المعادلة التفاضلٌة التالٌة
𝟒
𝟒( )𝟐
𝟏( )𝟐
)𝟐
) (
423
̅ 𝟐
√ 𝟐
( (
أعذاد /األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلية
حلول التمارٌن العامة الخاصة بالفصل الخامس س / 14حل المعادلة التفاضلٌة اوتٌة 𝟏 :
𝝅
𝒙
𝒚 𝟐𝒔𝒐𝒄
𝒚
𝟒
̅ 𝒚
𝒙
الحل /
)𝒚 𝟐𝒔𝒐𝒄 𝒙
(
𝒙𝒅𝒚 𝟐𝒔𝒐𝒄
]
𝒙𝒅 𝒙 )نعوض 𝟏
𝒙
𝝅 𝟒
𝒚(
𝒚 𝟐𝒔𝒐𝒄 𝒙
𝒚𝒅 𝒚 𝟐𝒔𝒐𝒄
∫
𝒄
∫
𝒙𝒅 𝒙
|𝒙|𝒏𝒍
𝟏
𝟏
𝟎
𝒙𝒅 𝒙
𝒚𝒅
س / 15حل المعادلة التفاضلٌة اوتٌة 𝟐𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝒚 :
𝒙𝒅
𝝅 𝟒
|𝟏|𝒏𝒍
|𝒙|𝒏𝒍
𝟏
𝒙 عندما
حٌ أن 𝟎
𝒚𝒅 𝒚 𝟐𝒔𝒐𝒄
𝒚𝒅 𝒚 𝟐𝒄𝒆𝒔 ∫
∫
𝒄
𝒚𝒅 𝒙𝒅
𝝅 𝟐
∴
𝒚
الحل /
)𝒚 𝒏𝒂𝒕 𝒙𝒅 𝒙𝟐 ∫ 𝟐𝒙 𝟐 𝟐
𝒄
𝒚𝒅 𝒚 𝒏𝒊𝒔 ( ) 𝒚 𝒔𝒐𝒄
|𝒚 𝒏𝒊𝒔|𝒏𝒍
)نعوض 𝟎 𝟎
𝒄 𝟐𝒙
𝒆
∫
424
𝒙𝒅 𝒙𝟐
𝒚(
𝟐𝒙
𝒄
𝟏 𝒏𝒍
𝒚 𝒏𝒊𝒔
𝒙𝒅 𝒚 𝒏𝒂𝒕 𝒙𝟐
𝒙𝒅 𝒙𝟐 ∫ 𝝅 𝟐
𝒙
(
]
𝒄 )نأخذ
للطرفٌن(
⇒
𝒚𝒅
𝒚𝒅 𝒚 𝒏𝒂𝒕
𝒚 𝒔𝒐𝒄 ∫ 𝒚𝒅 𝒚 𝒏𝒊𝒔 |𝒚 𝒏𝒊𝒔|𝒏𝒍
𝟎
𝟐𝒙
𝝅 | 𝟐
𝒏𝒊𝒔| 𝒏𝒍
|𝒚 𝒏𝒊𝒔|𝒏𝒍
∴
أعذاد /األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلية
وزاري / 2013د3
س / 16حل المعادلة التفاضلٌة
𝒚
𝒙
̅ 𝒚 𝒙 حٌ أن 𝟏
𝒚
𝒙
𝟏
الحل /
)𝒙
(
𝒙
𝒚𝒅 𝒙𝒅
𝒚 𝒙
𝒚
𝒚𝒅 𝒙𝒅
𝒚 𝒙
𝒚𝒅 𝒙𝒅
𝒙 𝟏 ) وضعنا
𝒙
𝟏
(
∵
نعوض المعادلة
فً المعادلة
فٌنتج : 𝟏 𝒙𝒅 𝒙
𝐜 نعوض 𝟏
𝒙
𝟏
𝟏 )𝒙 (
𝒗𝒅
| |
𝐜
] 𝒙𝒅 𝒙
| |
∫
𝒗𝒅 ∫
𝒚 وٌجاد لٌمة الثابت 𝒄 𝐜
𝟏
𝟎
𝐜
𝟏 𝟏
425
| |
|𝟏|
𝟏 𝟏 ∴
أعذاد /األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلية
س / 17حل المعادلة التفاضلٌة اوتٌة
𝟎
𝒙𝒅) 𝟐𝒚𝟑
𝒚𝒅 𝒚𝒙𝟐
𝟐𝒙(
الحل /
𝒙𝒅) 𝟐𝒚𝟑
𝒚𝒅 𝒚𝒙𝟐 𝟐𝒚𝟑 ) نقسم البسط والمقام على
𝒚𝒅 𝒙𝒅
𝟐𝒙
𝟐𝒚𝟑 𝒚𝒙𝟐
(
𝟐𝒚 𝟐 𝟑 𝒙 𝒚𝒙𝟐 𝟐𝒙
) وضعنا
𝒚𝒙𝟐
𝟐𝒙
𝒚𝒅 𝒙𝒅
𝟐𝒙 𝟐𝒙
𝟐 𝒚 ) (𝟑 𝒙 𝒚 ) 𝒙( 𝟐 𝟐𝒗𝟑 𝒗𝟐
(
𝟐𝒙(
𝒚𝒅 𝒙𝒅
𝟏
𝒚𝒅 𝒙𝒅
𝟏
∵ نعوض المعادلة
فً المعادلة
𝟐𝒗𝟐 𝟐𝒗𝟑 𝒗𝟐
𝟏
𝟐𝒗( 𝒄
𝒙
𝟐𝒗𝟑 𝒗𝟐
𝒗 ∫
)𝟏
فٌنتج :
𝒗𝟐 𝟏 𝟐𝒗 )𝟏
𝟐𝒗𝟑 𝒗𝟐
𝟏
𝟏 𝟐𝒗 𝒗𝟐
𝒗𝟐 𝟏 𝟐𝒗
∫
𝟐𝒗( 𝒄
| 𝒙|𝒏𝒍 )
𝟐𝒙 𝟐𝒙
426
𝟐𝒚 (𝒄
|𝒙|𝒏𝒍 𝒙
𝟏
| | )𝟏
𝟏
𝟐𝒗
𝟐𝒚 𝟐 (𝒄 𝒙
𝒙
أعذاد /األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلية
حلول األسئلة الوزارٌة الخاصة بالفصل الخامس قؤال وزاري / 2012د2 حل المعادلة التفاضلٌة )𝟏
حٌ
(
()𝟏
عندما 𝟐
𝟐
الحل /
)𝟏
(∫
)𝟏
(
)𝟏
∫
(
(
)𝟏
)𝟏
()𝟏
(
)𝟏
()𝟏
(
𝟐
)𝟏
𝟐
نعوض 𝟐
𝒙
𝟐
(
𝒚 وٌجاد لٌمة الثابت 𝒄 𝟒
𝟒
𝟐
𝟎
𝟐
𝟏
𝟐
𝟒
𝟐
قؤال وزاري / 2014د3 أثبت ان
أحد حلول المعادلة
𝟎
الحل / 𝟏
)𝟏(
𝟏 ) (
)
∴ العاللة المعطاة )
(هً أحد حلول المعادلة التفاضلٌة أعال
427
𝟏(
)𝟏
(
∴
أعذاد /األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلية
قؤال وزاري / 2015د3 𝟐
جد الحل العام للمعادلة التفاضلٌة
𝟐
𝟐
) نقسم البسط والمقام على
(
𝟐 𝟐
𝟐
) ( 𝟐
𝟏
𝟐
) وضعنا
(
𝟏 ∵
نعوض المعادلة
فً المعادلة
فٌنتج : 𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
𝟏 )
𝟏
𝟏( ∫
𝟐
𝟏 ∫
∫
)
| |
𝟏
)حٌث
428
(
)𝟏
(∫ )𝟏
| | 𝟏
𝟏
(
| |
⇒ 𝟏
| |
(
| | | |