للعام الدراسي
طبعة جديدة ومنقحة
2017
أعداد األسـتاذ
شرح مفصل لجميع أمثلة وتمارين الفصل األول . حلول التمارين العامة وجميع األسئلة الوزارية للفصل األول . أسئلة أضافية محلولة .
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل األول /األعداد المركبة تعرٌف :
مالحظة ٌمكننا كتابة الجذر ألي عدد حمٌمً سالب بداللة 𝒊 فمثالا :
مثال /)1أكتب ما ٌلً فً أبسط صورة :
𝟑𝟏𝒅 𝒊−
1
𝟑𝟗𝒄 𝒊𝟏𝟐𝒏+
𝟖𝟓𝒊 𝒃
𝟔𝟏𝒊 𝒂
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
3 − 5i
مالحظة
مثال / 2أكتب األعداد التالٌة على الصورة 𝒊𝒃 𝒂 + 𝟓𝟐𝟏 + − 𝟒
𝒅
𝟎𝟎𝟏−
𝟑𝒄 − 𝟏 − −
مثال /أكتب األعداد التالٌة بالصٌغة الجبرٌة للعدد المركب :
𝟓𝒂 −
𝒃
𝟏 𝟓𝟐𝟏 + − 𝒊𝟓𝟐 𝟓 𝟏 = + = 𝒊 + 𝟒 𝟒 𝟒 𝟒 𝟒
𝒅
𝒊𝟎 𝒂 𝒊𝟏𝟔 = 𝒊𝟒 𝟒 = 𝟏 𝟒 = 𝟏 = 𝟏 + 𝐢 𝒃 𝒊𝟏𝟓 = 𝒊𝟏𝟐 . 𝒊𝟑 = 𝟏 . −𝐢 = −𝐢 = 𝟎 − 𝟏 𝟒𝟐𝒊 𝒊 = 𝟐𝟑 = 𝟐𝟑 = 𝒊 = 𝟎 + 𝒊 𝒊
𝟑𝟐−
𝟖𝒊 𝟏 𝐢𝟎 = 𝟔 = 𝟔 = 𝒊𝟐 = −𝟏 = −𝟏 + 𝒊 𝒊 𝟏 𝟒𝟒𝒊 𝐢𝟎 = 𝟒𝟒 = 𝟒𝟒 = 𝟏 = 𝟏 + 𝒊 𝒊 𝒊 𝒊 −𝟏𝟑 = 𝒊 −𝟏𝟑 . 𝒊 𝟏𝟔 = 𝒊𝟑 = −𝒊 = 𝟎 −
𝒓𝒐
2
𝟏 𝟔𝟏𝒊 = 𝒊 = 𝒊𝟑 = −𝒊 = 𝟎 − 𝟑𝟏 𝟑𝟏 𝒊 𝒊
𝒊 𝒄
𝟔−
𝒊 𝒅
𝟒𝟒−
𝒊 𝒆
= 𝟑𝟏𝒇 𝒊 −
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
مثال /أكتب كال مما ٌأتً بالصٌغة : bi ,
,
,
مثال /عٌن الجزء الحمٌمً والجزء التخٌلً لؤلعداد المركبة التالٌة ثم ضعها بالصٌغة الجبرٌة للعدد المركب .
ضع كالا مما ٌأتً بالصٌغة العادٌة أو الجبرٌة للعدد المركب
خاصٌة التساوي
مثال ( /)3جد لٌمة كل من x ,yالحمٌمٌتٌن التً تحممان المعادلة فً كل مما ٌأتً : 𝒊 𝟏 𝒂 𝟐𝒙 − 𝟏 + 𝟐𝒊 = 𝟏 + 𝒚 +
3
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝒊𝒚𝟖 𝒃 𝟑𝐱 + 𝟒𝒊 = 𝟐 +
𝒊𝟑 (c ) 𝟐𝒚 + 𝟏 – 𝟐𝒙 – 𝟏 𝒊 = −𝟖 +
عملٌة الجمع على األعداد المركبة عند جمع األعداد المركبة نجمع األجزاء الحمٌمٌة مع بعضها واألجززاء التخٌلٌزة مزع بعضزها والنزاته زو أٌضزا عزدد مركب وكما ٌلً : نفرض 𝒊 𝟏𝒃 𝑪𝟏 = 𝒂𝟏 +
و
𝒊 𝟐𝒃 𝑪𝟐 = 𝒂𝟐 +
عددان مركبان فأن :
𝒊 𝟐𝒃 𝑪𝟏 + 𝑪𝟐 = 𝒂𝟏 + 𝒂𝟐 + 𝒃𝟏 +
خواص الجمع على األعداد المركبة : مغلمة أبدالٌة تجمٌعٌة النظٌر الجمعً العنصر المحاٌد زمرة أبدالٌة مثال ( /)4جد مجموع العددٌن فً كل مما ٌأتً : 𝒊𝟐 𝟐𝒂 𝟑+𝟒 𝟐𝒊 , 𝟓− 𝟐 𝟐=𝟖+
𝟐 𝟐= 𝟑+𝟓 + 𝟒 𝟐 −
𝟐 𝟐𝟓−
𝟐 𝟒𝟑+
+
𝟓 𝟑 ,𝟐 − 𝟓=𝟓−
𝟓= 𝟑+𝟐 + 𝟎−
𝟓+ 𝟐−
𝟎𝟑+
𝟑 , 𝟐=𝟏+
4
𝟑 = 𝟏 + 𝟎 + −𝟏 +
𝟑+ 𝟎+
𝟏− 𝟏−
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
مثال /أوجد ناته جمع األعداد المركبة التالٌة : = −𝟏 − = 3 +
+ 5+7−
=
+3−
,
𝟕=𝟑+
𝟓= 𝟏+
,
= +
+5 + 3+7 + − −
𝟐 , −𝟓+ 𝟐 𝟐 = −𝟑 +
= 𝟐−𝟓 +
𝟐 𝟐+
𝟐 + −𝟓 +
𝟏
+
𝟐𝟐 + −
𝟐
𝟐 𝟐+
طرح األعداد المركبة أذا كان
+
و
=
+
فأن
=
+ −
−
=
مثال ( /)5جد ناته : 𝟑𝟏 𝟕 −
𝟒− 𝟗+ 𝟒 + −𝟗 − 𝟕𝟏 = −𝟐 −
مثال ( /)6حل المعادلة
= −𝟓 +
𝟓 = −𝟕 +
مثال /أذا كان فأوجد ما ٌلً
,
𝟒 + −𝟐 +
𝟕 = −𝟏 −
,
𝟗 = −𝟏 −
𝟑
𝟑+
𝟐
𝟒− 𝟐−
𝟐= 𝟏+
𝟕 − 𝟒 −𝟏 −
𝟑𝟑 + −𝟑 −
أذا كان
= −𝟓 +
= −𝟓 +
𝟒 −𝟐 − 𝟏𝟏 + 𝟑 −𝟏 −
𝟏𝟏 = −𝟏 −
𝟒 𝟕 − 𝟗 + −𝟏𝟑 −
𝟒 𝟐 −حٌث ℂ
𝟒 = −𝟓 − 𝟐 + 𝟏 +
𝟏𝟏 = −𝟏 − 𝟑+
+
𝟑𝟏 𝟕 −
, + +
𝟖𝟐 + 𝟒 +
𝟒 = −𝟐 −
𝟑𝟑 = −𝟐 + 𝟒 − 𝟑 + −𝟒 + 𝟐𝟖 −
𝟕 = −𝟏 − 𝟑
𝟐 + 𝟑 = −𝟐 𝟏 +
𝟒 −𝟐 −
,
𝟐= 𝟏+
𝟐−𝟑 +𝟐 −𝟒 +
5
فأوجد ما ٌلً : 𝟑+
+
𝟐
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
عملٌة الضرب على األعداد المركبة أذا كان
+
=
،
+
+
,
= −
+
k =
𝟐
فأن +
+
+
=
+
+
=
= .
+
= .
+
𝟏 𝟐
خواص عملٌة الضرب على األعداد المركبة ( )1عملٌة الضرب مغلمة أي أن الناته دائما عدد مركب = 𝟐 𝟏. ( )2عملٌة الضرب أبدالٌة أي أن 𝟏 𝟐 . ( )3عملٌة الضرب تجمٌعٌة أي أن 𝟑 = 𝟏 . 𝟐 . ( )4المحاٌد الضربً و ( )1وٌكتب 𝟎 𝟏 = 𝟏 + ( )5النظٌر الضربً للعدد ( ) cو
𝟏−
.
𝟑
.
𝟐
وٌمكن أن ٌكتب بالصٌغة
𝟏
𝟏
مثال ( / )7جد ناته كال مما ٌأتً : 𝟓𝟑− 𝟗 = 𝟔 − 𝟏𝟓 + −𝟏𝟎 −
𝟗𝟏 = −𝟗 −
𝟐
𝟓𝟏 = 𝟔 − 𝟏𝟎 − 𝟗 +
𝟒𝟐 = 𝟗 − 𝟏𝟔 + 𝟐𝟒 = −𝟕 +
𝟐
𝟑𝟐−
𝟓𝟑−
𝟑𝟐−
𝟐
𝟒𝟑+
𝟐
𝟔𝟏 = 𝟗 + 𝟐𝟒 +
𝟒𝟑+
𝟏+ 𝟐
= − 𝟏 = −𝟏 +
𝟏+
= +
𝟓− 𝟑𝟒+ 𝟐 𝟓𝟏
i
𝟐
= −𝟏𝟎 −
𝟑
𝟓 𝟐
𝟒 − 𝟐
𝟎= 𝟐=𝟐 −
𝟐
+ 𝟏−𝟐 +
𝟐
= 𝟏+𝟐 +
𝟓− 𝟐
=
𝟑𝟒+
+ 𝟏− 𝟐
𝟐
+ 𝟏−
𝟐
𝟓− 𝟐
𝟏+ 𝟏+
جد ناته كل مما ٌلً : 𝟐𝟏+ 𝟐
𝟑
𝟏+
𝟐
𝟑𝟏 + 𝟐 −
𝟑𝟐 + −
𝟏
−
𝟐𝟐 + −
𝟒
𝟐𝟑 + −𝟖 𝟐 + 𝟐 −
𝟑
6
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
مرافك العدد المركب أذا كان Cعدد مركب فأن مرافمه ٌرمز له ̅ أي أذا كان فمثالا :
و مرافك العدد
𝟑+
=
𝟑 −وبالعكس ,وكذلن مرافك العدد
و مرافك العدد 𝟐 𝟑 −
𝟐𝟑+
+
فأن
− و
=̅.
−وبالعكس .
وبالعكس ,وكذلن مرافك العدد 𝟑 و 𝟑 .
مالحظة أذا كان
+
=
𝟏
عدد مركب مرافقه هو
−
=
و
𝟐
فأن 𝟐=𝟐 + 𝟏+ 𝟐= 𝟐 𝟐 = 𝟐 + 𝟐 𝟏 𝟏
الجدول أدناه ٌوضح المرافك للعدد المركب والنظٌر الجمعً والضربً : النظٌر الضربً النظٌر الجمعً العدد المركب +
𝟏 + 𝟏 𝟐𝟑− 𝟏 𝟒− 𝟏 𝟔−
− −
𝟐𝟑−
𝟐 −𝟑 +
𝟒−
𝟒
𝟔−
𝟔
𝟑
=
𝟑
−
𝟐
𝟏=
𝟐
−
𝟒𝟏 , − مثال ( / )8أذا كان
= 𝟏+
𝟏
المرافك − 𝟐𝟑+ 𝟒− 𝟔
𝟏 𝟑
𝟏= −
𝟐
=
𝟏 𝟒𝟏 , −
𝟒 −𝟏 ,
,
𝟏 𝟐 𝟑
𝟐=𝟑−
𝟐
𝟏 𝟐
𝟏= −
𝟐
𝟒𝟏 ,
فتحمك من : ̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝟏 𝟐 𝟏+ 𝟐 = 𝟏+
.
= .
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅ 𝟏+ 𝟐 = 𝟏+ +𝟑−𝟐 = 𝟒− =𝟒+
.
̅̅̅̅̅̅̅ = 𝟐̅̅̅ ̅̅̅𝟏 + ̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝟏 + + 𝟑−𝟐 =𝟏− +𝟑+𝟐 = 𝟒+
.
̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝟐 𝟐 𝟏− 𝟐 = 𝟏−
.
= .
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝟑 𝟏 − 𝟐 = 𝟏 + − 𝟑 + 𝟐 = −𝟐 + 𝟑 = −𝟐 −
.
̅̅̅̅̅̅̅ = 𝟐̅̅̅ ̅̅̅𝟏 − ̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝟏 + − 𝟐𝟑−𝟐 =𝟏− − 𝟑+
.
𝟑 = −𝟐 −
7
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝟑 𝟐 𝟏. 𝟐 = 𝟏 . ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝟐 𝟏 + . 𝟑 − ̅̅̅̅̅̅̅ = 𝟐 𝟐 𝟑 − 𝟐 + 𝟑 − 𝟓+ =𝟓− =𝟓−
𝟐
𝟐=𝟑+𝟐 −𝟑 −
𝟐. 𝟑+
̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝟐 𝟏.
.
̅̅̅̅̅̅̅ = 𝟐̅̅̅ ̅̅̅𝟏 . ̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝟏 + . 𝟑−𝟐 = 𝟏−
.
𝟏 𝟏
= 𝟏̿̿̿
𝟒
̿̿̿̿̿̿̿ = 𝟏̿̿̿ ̅̅̅̅̅̅̅ = 𝟏 + = 𝟏− =𝟏+ 𝟎
̅̅̅̅̅̅ 𝟏̅̅̅ 𝟏 =) ( 𝟐̅̅̅ 𝟐
𝟐
𝟓
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝟏+ 𝟏+ 𝟐𝟑+ 𝟐 𝟐𝟑+𝟐 +𝟑 + 𝟓𝟏+ 𝟓𝟏− 𝟏 ( =) ( (=) )=. (=/ =) 𝟐𝟑− 𝟐𝟑− 𝟐𝟑+ 𝟒𝟗+ 𝟑𝟏 𝟑𝟏 𝟐 𝟓𝟏− 𝟑𝟏
𝟐
=
.
𝟏̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅ 𝟏+ 𝟏− 𝟏− = = = 𝟐̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝟐𝟑+ 𝟐𝟑+ 𝟐𝟑−
𝟐𝟑− 𝟐𝟑−𝟐 −𝟑 + = 𝟐𝟑− 𝟒𝟗+
.
مالحظة ( )1عند ظهور
فً الممام نضرب ممام البسط وكسره بمرافك الممام لتبسٌط الحل .
(ٌ )2مكن أستخدام التعبٌر (مملوب العدد المركب) بدل (النظٌر الضربً) وٌرمز له بالرمز مثال ( / )9جد النظٌر الضربً للعدد المركب
مثال ( / )10أذا كان
𝟐𝟑−
,
𝟓𝟏+
𝟐= 𝟐−
مترافمان فجد لٌمة كل من
,
𝟏 𝟏 = 𝟐𝟐− 𝟐𝟐−
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ − 𝟐𝟑− = ( ) 𝟓𝟏+
𝟓𝟏+ 𝟕𝟏 = −𝟕 +
−
𝟐
=
.
− 𝟐𝟑+ = − 𝟓𝟏+
−
و و ٌساوي
وضعه بالصٌغة العادٌة للعدد المركب
𝟐𝟐+ 𝟐𝟐+ 𝟐𝟐+ 𝟐𝟐+ 𝟐 𝟐 𝟏 𝟏 𝟐 = = = = + = + 𝟐 𝟐𝟐+ 𝟐𝟐 + 𝟒𝟒+ 𝟖 𝟖 𝟖 𝟒 𝟒
−
𝟏−
𝟏
𝟐= 𝟑+
𝟎𝟏 = 𝟑 + 𝟏𝟓 + 𝟐 +
− 𝟐
+
− −
من تساوي األعداد المركبة نجد أن الحقيقي التخيلي
8
𝟕=
𝟕− = −
𝟕𝟏= −
−
𝟕𝟏 =
𝟏
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
مثال ( / )11أذا كان
𝟐=𝟑−
𝟏
أعداد /األستاذ علً حمٌد
=𝟏+
,
𝟐
̅̅̅̅̅̅ = )𝟏 (
̅̅̅̅ 𝟏
فتحمك من
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
̅̅̅̅ 𝟐
𝟐
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝟐𝟑− 𝟐𝟑− 𝟏− 𝟐 𝟐𝟑−𝟑 −𝟐 + 𝟓𝟏− 𝟓𝟏+ 𝟓 𝟏 𝟏 ( =) ( (=) )=. / = ( ) = = + 𝟏+ 𝟏+ 𝟏− 𝟐𝟏 𝟏𝟐 + 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
.
𝟏̅̅̅ = ̅̅̅̅ 𝟐
.
𝟓𝟏+ 𝟓 𝟏 = + 𝟐 𝟐 𝟐
𝟐
=
̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝟐𝟑− 𝟐𝟑+ 𝟐𝟑+ = = ̅̅̅̅̅̅̅ 𝟏− 𝟏− 𝟏+
𝟏+ 𝟐𝟑+𝟑 +𝟐 + = 𝟏+ 𝟐𝟏 𝟏𝟐 +
لسمة األعداد المركبة عند لسمة عدد مركب على عدد مركب أخر نضرب بمرافك الممام وكما ٌلً مثال ( / )12ضع كال مما ٌأتً بالصورة
̅̅̅̅ 𝟐
𝟐
=
𝟐
:
+
𝟐 = =𝟎+ 𝟐 𝟏𝟏 𝟐 − 𝟏𝟏 𝟐 − 𝟐 𝟏𝟏 = = − 𝟔𝟏 𝟗 + 𝟓𝟐 𝟓𝟐 𝟓𝟐 𝟓𝟎− 𝟓− = =− =𝟎− 𝟓 𝟓
̅̅̅̅ 𝟐
𝟏
𝟏
𝟒𝟑− 𝟒𝟔−𝟖 −𝟑 + = 𝟒𝟑− 𝟐𝟒 𝟑𝟐 +
𝟐− 𝟒𝟑+
𝟐− 𝟒𝟑+
−𝟐 − 𝟐 −𝟐 − − 𝟒 − = −𝟐 − 𝟐𝟏 −𝟐 𝟐 +
𝟐𝟏+ −𝟐 +
𝟐𝟏+ −𝟐 +
𝟐
= 𝟐
=
𝟐
𝟏+ 𝟏+ + + = 𝟏+ 𝟐𝟏 𝟏𝟐 +
𝟏+ 𝟏−
𝟏+ 𝟏−
=
مالحظة ٌمكن تحلٌل
𝟐
+
𝟐
الى حاصل ضرب عددٌن مركبٌن كل منهما من الصورة +
−
=
𝟐 𝟐
−
𝟐
=
مثال ( / )13حلل كالا مما ٌأتً الى حاصل ضرب عاملٌن من الصورة
𝟐
+
+ 𝟐
حٌث
+
𝟗𝟑 𝟑+ 𝟐𝟕+ 𝟑 𝟔+
9
أي :
,
أعداد نسبٌة .
𝟑𝟓 = 𝟑−
𝟐
𝟏𝟎 = 𝟗 + 𝟏 = 𝟗 −
𝟐= 𝟕−
𝟐
𝟒 𝟓𝟑 = 𝟒𝟗 + 𝟒 = 𝟒𝟗 −
𝟑 = 𝟔−
𝟐
𝟑 𝟑𝟗 = 𝟑𝟔 + 𝟑 = 𝟑𝟔 −
𝟎𝟏
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
تمارين
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
−
س / 1ضع كالا مما ٌأتً بالصٌغة العادٌة للعدد المركب : , 𝟏𝟎 + 𝟑 𝟎 + 𝟔 , 𝟑𝟑+ 𝟑 𝟐+ 𝟒𝟏+ ( ) , , 𝟏+ 𝟏− 𝟒+
𝟐 + 𝟏𝟐 + ,
𝟑𝟐+
𝟐
𝟏𝟒 +
𝟑, 𝟐+ 𝟒𝟑+ , 𝟒𝟑−
,
𝟏𝟐 +
,
𝟗𝟗𝟗
𝟒
,
𝟒𝟐𝟏
,
,
𝟒
− 𝟏−
𝟔
,
𝟓
𝟏+
𝟑 𝟏+ 𝟑+ 𝟏− 𝟓 = 𝟒. = 𝟏 . = = 𝟎 + 𝟎 = 𝟏 −𝟏 = −𝟏 = −𝟏 + 𝟎=𝟏=𝟏+ . 𝟐 . = 𝟏. −𝟏 . = − = 𝟎 − = =𝟎+ 𝟒𝟏 + 𝟏𝟐 + 𝟐 = 𝟕 + 𝟎𝟔 = −𝟏𝟖 + 𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
= 𝟏+𝟐 + 𝟐 𝟐− 𝟏−𝟐 + 𝟎−𝟒 𝟐 =𝟎=𝟎+
𝟐
𝟐
𝟒𝟐 −𝟕 + 𝟒𝟐 𝟕− = + 𝟔𝟏 𝟗 + 𝟓𝟐 𝟓𝟐
=
𝟒
𝟏 = .
𝟗 = 𝟒 + 𝟏𝟐 +
=
𝟒
= .
𝟒
− −𝟏𝟐 − = − 𝟐−
𝟒𝟑+ 𝟔𝟏 𝟗 + 𝟏𝟐 + 𝟏𝟐 + = 𝟒𝟑+ 𝟐𝟒 𝟑𝟐 +
𝟑 𝟏− 𝟐 𝟑−𝟑 + − 𝟑 𝟐𝟒− ) =. (= / 𝟑 ) = 𝟐− 𝟏− 𝟐𝟏 𝟏𝟐 + 𝟐 𝟒𝟐− = 𝟒−𝟒 + 𝟐 𝟐− = 𝟑−𝟒 𝟐− =𝟔−𝟑 −𝟖 +
= 𝟐
𝟑𝟐+ 𝟒
=
10
𝟏+ 𝟏𝟐 +
𝟒𝟑+ 𝟒𝟑+ = 𝟒𝟑− 𝟒𝟑−
𝟐
𝟑𝟐+
=
𝟑
𝟑𝟐+
𝟑 𝟑+ 𝟑+ ( (= ) 𝟏+ 𝟏+ = 𝟐−
𝟒𝟏+ 𝟏𝟏 𝟐 + 𝟖 + 𝟑 + 𝟏𝟐 𝟐 −𝟏𝟎 + 𝟏𝟏 −𝟏𝟎 + 𝟑𝟓+ = = = 𝟒+ 𝟐 𝟒+ −𝟒 − 𝟑𝟓− 𝟑𝟓− 𝟑𝟓+ 𝟐 𝟑𝟑 −𝟓𝟎 − 𝟑𝟎 + 𝟓𝟓 + 𝟓𝟐 −𝟖𝟑 + 𝟓𝟐 −𝟖𝟑 + 𝟓𝟐 𝟑𝟖− = = = = + 𝟐 𝟐 𝟑𝟓 + 𝟗 𝟐𝟓 + 𝟒𝟑 𝟒𝟑 𝟒𝟑 = 𝟏+ 𝟐 𝟏+ + 𝟏− 𝟐 𝟏− = 𝟏+𝟐 + 𝟐 𝟏+ + 𝟏−𝟐 + 𝟐 𝟏− 𝟎 = 𝟐 + 𝟐 𝟐 − 𝟐 + 𝟐 𝟐 = 𝟒 𝟐 = −𝟒 = −𝟒 +
𝟏𝟒 +
𝟑 𝟏𝟎 +
− 𝟏− 𝟏𝟐 +
𝟑
𝟏𝟏 = 𝟐 −
𝟑
.
𝟔𝟎+
𝟑𝟐− 𝟐𝟐 −𝟑 𝟐 𝟑+ 𝟐𝟑+ 𝟑 𝟐 𝟐 = = = = + 𝟐 𝟑𝟐− 𝟑𝟐 + 𝟗𝟒+ 𝟑𝟏 𝟑𝟏 𝟑𝟏
𝟐
𝟗𝟒𝟐 𝟒
=
𝟗𝟗𝟗
𝟐 + 𝟏𝟐 +
𝟖𝟏 = 𝟎 + 𝟔𝟎 + 𝟎 +
𝟐
𝟏𝟑 𝟒
=
𝟒𝟐𝟏
𝟏 =
𝟏 =
= 𝟏+ 𝟐 𝟐− 𝟏− 𝟒 = 𝟐 𝟐= 𝟐 𝟐 − −
𝟐𝟏 𝟏 − 𝟐𝟏 = 𝟏 − 𝟏 𝟐
𝟐
𝟗𝟒𝟐
𝟏𝟑
𝟐
.
𝟒
=
𝟔
+ 𝟏−
𝟑𝟐+ 𝟏−
𝟑
𝟏+
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
س / 2جد لٌمة كل من ,
أعداد /األستاذ علً حمٌد
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الحمٌمٌتٌن اللتٌن تحممان المعادالت األتٌة : 𝟐+
−𝟐 + 𝟒 +
𝟐
𝟐
𝟐 = 𝟓+
معادلة①
𝟐−
𝟐
+𝟓 = 𝟐 +
𝟐+
+
𝟐=
𝟒+
𝟓−𝟐 +
𝟐
𝟐
𝟐= 𝟓+ 𝟐 = 𝟓+
نعوض في معادلة① 𝟏 = 𝟐 𝟎=𝟐−𝟐=𝟐− 𝟎=
𝟏+ 𝟑−
𝟐+
𝟐+
= 𝟖 𝟑
معادلة①
𝟏+
=
نعوض في معادلة① 𝟑− 𝟎= 𝟏−
=𝟒− ② 𝟐 𝟎= 𝟑−𝟒 +
𝟏=
نعوض في معادلة
𝟒= 𝟑=
𝟐
/
𝟏− 𝟏− − + ) = −𝟑 + 𝟒 − . 𝟏− 𝟐𝟏 𝟏𝟐 + 𝟑= −
𝟓=
𝟓 = −𝟑 +
𝟏− 𝟏+
(−
+
𝟐 𝟑
=
1
𝟔−𝟑 −𝟐 + 1 +0 𝟐𝟏 𝟐 𝟐 +
𝟐= 𝟏+
=
𝟑𝟓 𝟏−
𝟐− ] 𝟐−
+
+
𝟏− 𝟑− [] + 𝟏− 𝟐+
𝟐− [ 𝟏+
=
𝟑− 𝟐+
+
𝟎𝟏 ( 𝟑𝟏− 𝟓𝟓− [] + ] =− ⇒ 𝟐 𝟓 𝟎𝟏 𝟓 − 𝟏𝟓 + 𝟏𝟎 − 𝟏𝟎 = 𝟎 −
[
تحل أنيآ بالجمع
معادلة
نعوض في معادلة① 𝟓− 𝟓𝟏𝟎 = − = 𝟎𝟏 𝟏=
𝟏− 𝟐
𝟐= 𝟏+
(
𝟐− 𝟏+
معادلة①
=
+ 𝟐
) نضرب بالعدد
𝟎𝟏= −
𝟏− )+ 𝟏+
𝟏− (− 𝟒) = 𝟏+𝟒 + 𝟏+ 𝟐− ( = −𝟑 + 𝟒 − ) = −𝟑 + 𝟒 + 𝟐
𝟐−𝟐 − + 0 𝟐𝟏 𝟏𝟐 +
𝟓+𝟐 𝟓−
⇒
𝟎=𝟏−
𝟏 𝟐
𝟐
𝟖= 𝟐𝟐 + 𝟑 = 𝟒−
𝟎=𝟑−
𝟏=
𝟒
= 𝟖 = 𝟖
𝟎=𝟑−
+ 𝟒 −
𝟐
= 𝟖
𝟒+𝟐 +𝟐 + 𝟐−𝟑 + 𝟐 +
𝟑=
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐+
𝟑=
نعوض في معادلة
𝟑=
𝟐+
𝟓=𝟓 𝟏 𝟐=
11
𝟎 = 𝟎𝟏 𝟓 + 𝟎𝟏−𝟏𝟓 − 𝟏𝟎 = − 𝟎𝟏−𝟏𝟎 = − 𝟎 = 𝟎𝟏 𝟓 𝟏 +
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
س / 3أثبت أن : 𝟖 𝟓𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 (= () − ) 𝟐− 𝟐+ 𝟐 𝟐 𝟐+ 𝟐− 𝟐 ( 𝟐 () − ) 𝟐𝟏 𝟐 + 𝟐𝟏 𝟐 +
𝟒𝟑+ 𝟒𝟑− ()− ) 𝟓𝟐 𝟓𝟐
𝟐
𝟐 𝟐− ) 𝟐−
𝟒−𝟒 + /−. 𝟓𝟐
(=/
=
𝟏 𝟐+
𝟐
𝟏 − 𝟐 𝟐+
𝟐
− 𝟐
𝟏 𝟐−
𝟐 𝟐+ 𝟏 () − 𝟐+ 𝟐+
𝟏 𝟐−
الطريقة األولى
𝟏 ( 𝟐−
𝟐 𝟐+ 𝟐 𝟐− 𝟒+𝟒 + ( () − ) =. 𝟓 𝟓 𝟓𝟐
𝟐
𝟒𝟑+𝟒 −𝟑+ 𝟖 = 𝟓𝟐 𝟓𝟐 𝟐 𝟒+𝟒 + 𝟐 − 𝟒−𝟒 + = 𝟐 𝟒−𝟒 + 𝟐 𝟒+𝟒 +
𝟐 𝟐
− 𝟐− 𝟐 𝟐+
𝟐
𝟐+ = 𝟐−
𝟒𝟑+𝟒 −𝟑+ 𝟖 𝟖 = = 𝟐 𝟐 𝟒𝟑 + 𝟓𝟐 𝟔𝟏 𝟗 + 𝟏 𝟏 − 𝟒𝟑− 𝟒𝟑+
=
𝟐
𝟏 𝟒+𝟒 +
−
𝟐
𝟒𝟑− 𝟒𝟑+ 𝟒𝟑− 𝟐 (=) 𝟐 ()− ) 𝟐 𝟒𝟑− 𝟒𝟑 + 𝟐𝟒 𝟑 +
𝟏 − 𝟐 𝟐+
الطريقة الثانية
𝟒𝟑+𝟒 − 𝟑− 𝟒𝟑−𝟒 𝟑+
=
𝟏 𝟒−𝟒 +
𝟐
𝟏 𝟐−
=
𝟐
𝟏 𝟐+
− 𝟐
𝟒𝟑+ 𝟏 ()− 𝟒𝟑+ 𝟒𝟑+
𝟏 𝟐−
الطريقة الثالثة
𝟏 ( 𝟒𝟑−
𝟒𝟑+ 𝟒𝟑− 𝟒𝟑+ 𝟒𝟑− 𝟒𝟑+𝟒 −𝟑+ 𝟖 ( ()− (=) ()− =) = 𝟔𝟏 𝟗 + 𝟔𝟏 𝟗 + 𝟓𝟐 𝟓𝟐 𝟓𝟐 𝟓𝟐
وزاري / 2012د3 𝟐
𝟐= − 𝟏+
𝟏+
𝟐 + 𝟐
𝟏−
𝟐
𝟐−
𝟏− + 𝟏+ 𝟐𝟏 𝟏𝟐 + =
𝟏+
𝟒−𝟐 − 𝟐 − = 𝟐= − 𝟐 𝟐
𝟐
𝟐
𝟏−
𝟑
=
+ 𝟏+𝟐 + 𝟏𝟏+ 𝟐
=
12
𝟐+ 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
=
𝟏+ 𝟏−
𝟐
+
𝟏− 𝟑+ 𝟏+ 𝟏+ 𝟏− 𝟏−
𝟐
𝟏−𝟐 + 𝟐
𝟐+𝟐 + 𝟐
𝟐 −𝟐 +
𝟏− 𝟏+
الطريقة األولى
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة 𝟏+ 𝟏+ 𝟏− 𝟏+ ) 𝟏+ 𝟏+
𝟏+ (+ 𝟏−
𝟐 +( ) 𝟏+ 𝟐
𝟏− ) 𝟏− 𝟏−
𝟐− ) 𝟏− 𝟐
𝟏− 𝟏− 𝟏+
+ 𝟏− 𝟏+ 𝟐
(=
𝟐= −𝟏 − 𝟏 = −
𝟐
𝟐− 𝟐 + 𝟏+ 𝟏−
+
𝟐
𝟐
=
+ +
𝟏+𝟐 + 𝟏−
=
(=
𝟐
𝟐
+
=
𝟏+ ) 𝟏+ 𝟏−
𝟏+ + + 𝟐𝟏 𝟏𝟐 +
/ 𝟏+ 𝟐
𝟐
𝟏+ + 𝟏− (+
𝟏+
𝟏−𝟐 + 𝟏+
𝟏− − + 𝟐𝟏 𝟏𝟐 +
/ 𝟏−
=− +
𝟐
=
𝟏− الطريقة الثانية 𝟏+
𝟏− ( ) 𝟏− 𝟏+ 𝟐
+.
𝟐
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
+
𝟏+ 𝟏−
𝟏− 𝟐
+
.
−
𝟏− 𝟏+
الطريقة الثالثة
الحظ عزٌزي الطالب نا تستطٌع أن تضرب كل جزء بالمرافك أو توجد المضاعف (توحٌد الممامات) 𝟒−𝟐 − 𝟐 − = 𝟐= − 𝟐 𝟐
𝟐
=
𝟐
𝟐+ 𝟏𝟏+ 𝟐
𝟏+ 1 𝟏+ 𝟐
1
1
𝟏+ 𝟐
𝟐
1+0
𝟏+ 𝟏𝟏+ 𝟏− 𝟐
𝟐
𝟐
=
𝟏− 𝟏+ 1+0 𝟏− 𝟏−
𝟏+
𝟐−
𝟐 −𝟐 + 𝟐 𝟐 + 𝟐 + = 𝟐𝟏 𝟏𝟐 +
1+0
1=0
𝟐
𝟏− =0 𝟏+
+𝟐 𝟏+ 𝟏− 𝟐
𝟏+ + 𝟏−
−𝟐 𝟏 − 𝟏+ 𝟐
𝟏− الطريقة الرابعة 𝟏+
𝟑 𝟏− 𝟑 𝟏+ 𝟏− 𝟐 𝟏− 𝟐 =0 𝟐 1+0 1=0 𝟐𝟏 𝟏 + 𝟐𝟏 𝟏 + 𝟏𝟏+
𝟏+𝟐 + 𝟐 𝟏+ 𝟐
1+0
𝟏−𝟐 + 𝟐 𝟏− 𝟐
=0
𝟐 𝟐 −𝟐 + 𝟐 𝟐𝟐 + 𝟐 −𝟐 − 𝟐 −𝟐 + =0 1+0 [=1 []+ 𝟐] = −𝟏 − − 𝟏 + = − 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
] 𝟏 + 𝟏 [𝟏 − − 𝟒=𝟐=𝟐+
𝟐
𝟐=𝟐−
𝟐
𝟐=𝟐+𝟐 −𝟐 −
س / 4حلززل ك زالا مززن األعززداد 𝟓𝟖 𝟐𝟗 , 𝟏𝟐𝟓 , 𝟒𝟏 , الصورة +حٌث ,عددان نسبٌان :
𝟒=
𝟑
𝟏−
𝟐
𝟏−
𝟏−
= 𝟏−
𝟑
𝟏−
𝟐
𝟏−
𝟏−
𝟐 [𝟏 + ] = 𝟏 −
𝟏−
𝟐𝟐+
الززى حاصززل ضززرب عززاملٌن مززن
𝟐 𝟐𝟗 = 𝟐𝟓 + 𝟒 = 𝟐𝟓 − 𝟒 𝟐 = 𝟓 − 𝟐 𝟓 + 𝟐 𝟏𝟐𝟓 = 𝟏𝟐𝟏 + 𝟒 = 𝟏𝟐𝟏 − 𝟒 𝟐 = 𝟏𝟏 − 𝟐 𝟏𝟏 + 𝟒 𝟒𝟏 = 𝟐𝟓 + 𝟏𝟔 = 𝟐𝟓 − 𝟏𝟔 𝟐 = 𝟓 − 𝟒 𝟓 + 𝟐 𝟖𝟓 = 𝟖𝟏 + 𝟒 = 𝟖𝟏 − 𝟒 𝟐 = 𝟗 − 𝟐 𝟗 +
13
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
س/ 5جد لٌمة
أعداد /األستاذ علً حمٌد
𝟔
أذا علمت أن
,
نغٌر إشارة البسط والممام للعدد التخٌلً 𝟔 𝟐+ 𝟑− 𝟎𝟑 𝟑𝟎 + = 𝟎𝟏 =
,
+ 𝟑+
𝟑+ 𝟐−
مترافمان .
لكً ٌصبح العددان متساوٌان ونحل المعالة .
𝟐−
𝟑−
+ 𝟓𝟔 𝟓+ 𝟏𝟗+
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟐
=
=
+
𝟑− 𝟐+
𝟔 𝟐+
𝟑+ 𝟔 𝟔+𝟐 +𝟑 + = 𝟑+ 𝟐𝟏 𝟑𝟐 + =𝟑 , 𝟑=
=
𝟔 +
=
+
𝟔 𝟐+ 𝟑− 𝟑=𝟑+
+
******************************************************************
أمثلة أضافية محلولة مثال /أكتب بالصٌغة العادٌة أو الجبرٌة كل مما ٌأتً : 𝟐
𝟒=𝟓+
𝟖= 𝟐+
𝟒+ 𝟑−
𝟐
+ 𝟐−
+ 𝟒−𝟒 +
𝟐
𝟏+
𝟏
𝟑𝟓+
𝟑𝟓+𝟓 +𝟑 + 𝟗
𝟑 −
. / 𝟑 𝟏+ 𝟗
𝟗
𝟗 𝟒− ( = ) ) = − 𝟒
𝟐
𝟑 𝟑 −𝟑 − + 𝟐
𝟑
𝟗
( = /
𝟏𝟐 +
𝟑 𝟏−
𝟑 −
𝟑 𝟏−
𝟑 𝟏+
=− =𝟎− 𝟐
𝟐
𝟑+
𝟑 𝟒+ 𝟒−
𝟐
𝟑+
𝟑 𝟐= 𝟏−
𝟑 𝟔 = −𝟏 −
𝟗
𝟖
/ =.
𝟑 𝟏+
.
= −
𝟑+ 𝟐 − −
𝟐
𝟑 −
𝟐
𝟑 + 𝟐−
𝟑 𝟒+ 𝟏−
𝟐
𝟑𝟏 − −
𝟐
𝟑
𝟑 𝟏−
𝟑 𝟐 −𝟐 −
مثال /جد عددٌن مركبٌن مترافمٌن مجموعهما = 𝟔 وحاصل ضربهما = 𝟎𝟏 نفرض أن العدد هو
+
=
𝟏
عدد مركب مرافقه هو 𝟑=
𝟏= ∴ العددان هما
𝟑−
و
𝟏=
𝟐
𝟐=𝟔 𝟐
𝟑+
14
−
=
𝟐
𝟏𝟎 = 𝟑𝟐 +
𝟐= 𝟐
+
𝟐
+
𝟐
=
𝟐
𝟏 𝟏.
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
مثال /أكتب العدد
−𝟐 +
أعداد /األستاذ علً حمٌد
𝟐 𝟑 +بالصٌغة العادٌة ثم جد النظٌر الضربً له بالصٌغة الدٌكارتٌة . الصيغة االجبرية
𝟖− 𝟏 (= الصيغة الديكارتية ) , 𝟓𝟔 𝟓𝟔
مثال /أذا كان 𝟐 = −𝟏 +
𝟐
= −𝟖 −
−𝟐 +
𝟐 = −𝟔 + 𝟑 − 𝟒 +
−𝟖 + −𝟖 + 𝟏 𝟖− = = + 𝟐 𝟐 −𝟖 + 𝟏 −𝟖 + 𝟓𝟔 𝟓𝟔
فأوجد لٌمة المعادلة 𝟓 + 𝟐 + 𝟓+
𝟎 + 𝟓 = −𝟑 − 𝟒 − 𝟐 + 𝟒 + 𝟓 = 𝟎 = 𝟎 +
مثال /أذا كان ℂ
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟏 𝟏 = −𝟖 − −𝟖 −
𝟐
𝟐 + 𝟐 −𝟏 + 𝟒 + −𝟐 +
𝟐
𝟐
𝟐 + 𝟐 + 𝟓 = −𝟏 +
𝟐
𝟒= 𝟏−𝟒 +
و ̅ مرافك له جد العدد المركب الذي ٌحمك 𝟑 𝟑 + ̅ =𝟐 + − 𝟑=𝟐 +
−
𝟑𝟑 +
+
=̅
+
𝟑=𝟐 +
𝟑 𝟒
−
𝟏𝟑− 𝟒+
=
,
𝟕− 𝟐−
=
أثبت أن
𝟑
+
=
𝟑= 𝟒
𝟑=
𝟑 +
𝟏=
𝟐= 𝟐
𝟐=
𝟑 −
مترافمان ثم أحسب الممدا ر
,
=
+
𝟑 + 𝟒
مثال /أذا كان
𝟐𝟑+
=
𝟐
+
=
𝟐+
𝟐
.
نثبت أن ناتج عملية الجمع والضرب ينتمي الى مجموعة األعداد الحقيقية 𝟕𝟏 𝟓𝟏 − 𝟕𝟏 𝟏𝟓 = − =𝟑− 𝟕𝟏 𝟕𝟏 𝟕𝟏
𝟐
=
𝟓 𝟏𝟓 + =𝟑+ 𝟓
𝟒− 𝟓𝟐 − 𝟏𝟑 − 𝟒 + = 𝟒− 𝟐𝟏 𝟒𝟐 + 𝟐
=
𝟏𝟑 − 𝟏𝟑 − = = 𝟒+ 𝟒+
𝟐+ 𝟏𝟒 + 𝟕 − 𝟐 − = 𝟐+ 𝟐𝟏 𝟐𝟐 +
𝟕− 𝟕− = 𝟐− 𝟐−
𝟔=
+ 𝟑−
𝟑+
𝟑−
𝟑+
𝟎𝟏 = 𝟏 = 𝟑𝟐 + 𝟏𝟐 = 𝟗 +
مترافقان 𝟎𝟔 = 𝟔 𝟎𝟏 =
15
+
=
=
𝟐
, +
𝟐
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
مثال /أكتب بالصٌغة العادٌة أو الجبرٌة بدون الضرب بالعامل المنسب (المرافك) 𝟐=𝟏+
𝟓 𝟐 𝟒𝟏+𝟒 𝟏− 𝟐𝟏−𝟐 𝟏+ = = = 𝟐𝟏− 𝟐𝟏− 𝟐𝟏− 𝟐𝟏−
𝟓 𝟐𝟏−
𝟓 𝟒+𝟏 𝟒− = = 𝟐− 𝟐− 𝟐−
𝟓 𝟐−
𝟐− 𝟐+ 𝟐−
=𝟐+
𝟐= 𝟐 𝟏−
𝟐
=
𝟑=𝟐−
𝟑𝟏 𝟐 𝟗𝟒+𝟗 𝟒− 𝟑𝟐−𝟑 𝟐+ = = = 𝟑𝟐+ 𝟑𝟐+ 𝟑𝟐+ 𝟑𝟐+
𝟑𝟏 𝟑𝟐+
𝟐=𝟑−
𝟑𝟏 𝟐 𝟒𝟗+𝟒 𝟗− 𝟐𝟑−𝟐 𝟑+ = = = 𝟐𝟑+ 𝟐𝟑+ 𝟐𝟑+ 𝟐𝟑+
𝟑𝟏 𝟐𝟑+
𝟎𝟏 𝟓 𝟐 𝟒𝟐 𝟏+ 𝟒𝟐 𝟏− = = = 𝟐𝟏+ 𝟐𝟏+ 𝟐𝟏+ 𝟐𝟏+
𝟎𝟏 𝟐𝟏+
𝟐𝟐 𝟏−𝟐 𝟏+ 𝟐𝟏+
𝟐
=
𝟎𝟏 𝟒=𝟐− 𝟐𝟏+ 𝟐=𝟒−
𝟐 𝟐− 𝟐+ 𝟐+
= 𝟐 𝟐−
𝟐
=
𝟎𝟏 𝟐+
𝟎𝟏 𝟓 𝟐 𝟏𝟐 𝟒+ 𝟐 𝟒− = = = 𝟐+ 𝟐+ 𝟐+ 𝟐+
مثال /حلل الى عاملٌن لعددٌن مركبٌن كل مما ٌأتً : 𝟐+ 𝟓−
𝟓+ 𝟔𝟏 − )
𝟐
𝟏 𝟗
+
𝟒−
𝟏 𝟑
+
𝟐
𝟐− =
𝟐
𝟏 () 𝟑
𝟒+
=
=( −
𝟑
𝟏 𝟕𝟐
𝟑+
𝟒−
𝟏 𝟑 𝟐
𝟐−𝟐 +
𝟐−𝟐 −
+
𝟐
𝟐𝟏 −
𝟐+ =
𝟓𝟐 −
𝟐
𝟓+ 𝟐
𝟐−
𝟒−
16
= 𝟒𝟔 −
𝟑
𝟒𝟔 −
𝟑
𝟑
=
𝟏 𝟕𝟐
+
𝟑
𝟏 𝟕𝟐
+
𝟑
𝟒
=( −
𝟏 𝟕𝟐
+
𝟑
= 𝟐𝟏 +
−
𝟐
𝟕+
𝟐
𝟎𝟏 −
𝟐−
𝟒+
−
𝟐
=
𝟐
𝟐
𝟑
𝟐
=𝟒+ 𝟐
=
𝟒𝟔 +
𝟏 () 𝟑 −
𝟓𝟐 +
𝟐
𝟐
𝟒−
𝟐
𝟑
𝟏 ) − 𝟗 =
𝟐 𝟐
𝟐
=
𝟒+
𝟐
𝟏
𝟑
𝟎𝟏 + = 𝟒+
𝟓𝟐 +
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐𝟏 +
𝟐
−
𝟐
𝟓
𝟕+
𝟐
𝟔
𝟐−
𝟕
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
مثال /أوجد لٌمة
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الحمٌمٌتٌن والتً تحمك المعادلة فً كل مما ٌأتً :
,
𝟗−
𝟔+
𝟐
= 𝟒− 𝟗− 𝟓
معادلة
𝟐
𝟐𝟏 𝟗 +
𝟗+
𝟐
𝟑+
𝟐
=
𝟔+
𝟎=𝟗−𝟓 −
𝟐
𝟒
𝟗 𝟐
=
𝟗−
𝟐
𝟒= 𝟓
𝟐= −
𝟏−
𝟑+
𝟐= 𝟓+
= 𝟓
+
𝟗 𝟒
𝟗𝟒 −
𝟐+
+
=
𝟐= 𝟓+
+
+𝟓 = 𝟐 +
+
+𝟓 = 𝟐 +
𝟓 𝟑
𝟐
=
𝟐+ 𝟏𝟔 + 𝟖 + 𝟐 + = 𝟐+ 𝟐𝟏 𝟐𝟐 + 𝟐=
𝟏−
𝟐
𝟐=
𝟑= 𝟓
𝟐−
+
=
+
𝟐=𝟑+
+
𝟖+ 𝟖+ = 𝟐− 𝟐−
𝟏= − 𝟐+
𝟐
=
𝟑=
𝟐
− 𝟐+
=
− −
𝟐
17
𝟏 + − 𝟐+
=
𝟒
𝟎=𝟏+
=𝟖+
=
𝟐
𝟐 𝟓 𝟓𝟐 𝟎𝟓 𝟗 𝟓𝟎 − = 𝟏= 𝟐( ) −𝟏 = 𝟐( )− =𝟏− 𝟑 𝟗 𝟗 𝟗
=
+
𝟐
=
𝟎=𝟗𝟒 −
𝟏= −
نعوض في معادلة①
𝟎𝟏 𝟏𝟓 + 𝟐=𝟑+ 𝟓
𝟔 = 𝟐𝟏
𝟎= 𝟗−𝟓 −
𝟗= 𝟒
𝟏= 𝟐 = 𝟐 −
𝟐
𝟐
= 𝟒𝟗 −
= 𝟐
معادلة
𝟏𝟒 𝟗
𝟒 𝟗 + 𝟏𝟐 +
𝟗− 𝟗𝟐 𝟐− 𝟗𝟒 𝟐− = = 𝟓 𝟓 𝟓
𝟗 ) (𝟐 = 𝟐 = 𝟒
𝟐
𝟐
𝟐𝟑+
𝟐
𝟗−
𝟐
𝟎= 𝟏+ =
𝟐
=
𝟗−
نعوض في معادلة①
𝟐
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
=
+ 𝟏 +
𝟐
+ =
+
𝟐
+
=
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
= 𝟏𝟑 − −
= 𝟏𝟑 −
𝟐
+
𝟐
+
−
= 𝟏𝟑 −
+ −
معادلة معادلة
نعوض معادلة②في ①
𝟏+
𝟑𝟏 = 𝟏 + 𝟐 + 𝟎= 𝟐− 𝟐= −
𝟑+
+
=𝟔−
𝟑=
=
=
𝟐
نعوض في معادلة①
+
𝟐
𝟏+
− +
𝟎 = 𝟐𝟏 + 𝟐 −
𝟐=
=
𝟐
𝟗𝟒 − 𝟕𝟑 +
𝟗
=
𝟐
𝟗=
𝟐
𝟑
=
=
+
=
= − 𝟐
𝟐
𝟐
𝟎 = 𝟐−
𝟕𝟑 −𝟕 𝟑 + 𝟕𝟑 +
−𝟑 + 𝟐 −
𝟐
𝟎=𝟑+
معادلة 𝟑
𝟐
𝟑𝟏 =
𝟑= −
𝟏+𝟏=𝟐+
=
𝟐
+
𝟐
𝟏= −
⇒
𝟐
𝟕= 𝟑 −
+
𝟑𝟏 =
𝟗𝟒 𝟗 𝟐 + 𝟕𝟑 +
𝟐
𝟐
+
) نقسم المعادلة على 𝟐(
𝟐
𝟏 + 𝟏 = −𝟑 +
𝟐
+
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
= 𝟕𝟐+ 𝟑
− + 𝟐
𝟐
𝟐+
−𝟐 + 𝟐 −
−𝟑 + 𝟐 − 𝟑 = 𝟑−
𝟕= −
=−
𝟐
𝟐−
=−
س / 1حلل كل مما ٌأتً الى عاملٌن لعددٌن مركبٌن: 𝟏 𝟓𝟐𝟏
+
𝟑
𝟒
−
𝟐
𝟓
𝟐𝟏 −
𝟕+
𝟐
𝟔
𝟐
𝟐−
𝟑
𝟖
𝟔+
𝟗+
18
𝟗+ 𝟐
𝟒+
𝟐
𝟏
𝟔𝟏 +
𝟐
𝟐
𝟖−
𝟑
𝟑
𝟐
𝟏−
𝟕
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
س / 2أوجد لٌمة
أعداد /األستاذ علً حمٌد
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الحمٌمٌتٌن والتً تحمك المعادلة فً كل مما ٌأتً :
,
𝟒
𝟏=
𝟐= 𝟐+ 𝟑
𝟑 𝟑
𝟐 𝟑 𝟐−
𝟐
𝟏+
𝟏+ 𝟏−
𝟐+ +
𝟏−
=
+
𝟏 + = 𝟏+ 𝟏+ +
𝟐= 𝟓+
س / 3ضع كال مما ٌلً بالصٌغة العادٌة للعدد المركب : 𝟐
𝟐−
𝟒𝟑+
𝟏−
𝟐𝟏+
𝟐−
𝟒𝟑+
𝟐𝟓+
******************************************************************
الجذور التربٌعٌة للعدد المركب 𝟐
أما أذا كانت 𝟒 = = و ً الجذور التربٌعٌة للعد د أذا كان = 𝟐 فأن احد جذري المعادلة وألٌجاد الجذور التربٌعٌة للعدد المركب توجد طرٌمتان الحظ األمثلة التالٌة . مثال ( / )14جد الجذور التربٌعٌة للعدد
𝟔=𝟖+
𝟐 +
𝟐
𝟐
و
+
𝟔=𝟖+
𝟐 𝟐
𝟐+
+
𝟐
𝟔=𝟖+ معادلة①
نعوض معادلة②في ① 𝟎= 𝟏+
𝟐
𝟗−
𝟐
فأن 𝟐 =
𝟔=𝟖+
الطرٌمة ① /نفرض أن الجذر التربٌعً للعدد )(c −
زو
𝟑
معادلة②
𝟎 = 𝟗−
𝟐
𝟖−
𝟐
𝟒
= 𝟖=𝟗−
نعوض في معادلة② 𝟏 يهمل الجذران هما
𝟑 =
𝟏= −
, −𝟑−
𝟖=
𝟑=
𝟐
𝟒
=
𝟐
+ 𝟐
−
𝟔=
)نضرب 𝟐 (
⇒
𝟖=
𝟗 𝟐
𝟐 −
𝟐
𝟗= 𝟑 𝟑 = = 𝟑 𝟐 𝟎=𝟏+
𝟑+
الطرٌمة ② /نجزئ الجزء الحمٌمً الى عددٌن 𝟑+
=
بالجذر
⇒
𝟐
𝟑+
الجذران هما
19
=
𝟐
𝟗+𝟔 +
, −𝟑−
𝟑+
𝟐
= 𝟏= 𝟗+𝟔 −
𝟔𝟖+
𝟐
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
مالحظة نفرض الجزذر زو عند أٌجاد الجذور التربٌعٌة لعدد مركب ٌحتوي على فً المثال التالً . مثال ( / )15جد الجذور التربٌعٌة لؤلعداد 𝟖 , − , −𝟏𝟕, −𝟐𝟓 :
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
ثزم نربعزه ونكمزل الحزل كمزا
+
𝟖
الطرٌمة ① /نفرض أن الجذر التربٌعً للعدد 𝟐 +
𝟐
−
𝟐
و
𝟖
+ 𝟐 𝟐
= 𝟖
𝟐+
+
𝟐
𝟐
= 𝟖
+
معادلة① نعوض معادلة②في ①
𝟒
معادلة②
𝟎= 𝟒+
𝟐
𝟐
𝟒−
نعوضها في معادلة ②
=
𝟐
𝟒= 𝟐
تهمل الجذران هما
𝟒=
𝟎 = 𝟔𝟏 − =
)نضرب 𝟐 (
𝟒
𝟐
,
𝟔𝟏 𝟐
𝟐 −
𝟐
𝟐
𝟎=𝟒− 𝟒 𝟒 = = 𝟐 𝟐 𝟎=𝟒+
𝟐
𝟒= −
𝟐
−
𝟐
𝟖= ⇒ 𝟎=
=
𝟐 −𝟐 −
𝟎=
= 𝟖
𝟐𝟐+
الطريقة ② / بالجذر
𝟐𝟐+
𝟐
⇒
الجذران هما
𝟐𝟐+
𝟐
= ,
𝟐 −𝟐 −
𝟒𝟒+𝟖 +
= 𝟒𝟖 = 𝟒+𝟖 −
𝟐𝟐+ −
الطرٌمة ① /نفرض أن الجذر التربٌعً للعدد 𝟐 +
𝟐
−
𝟐
نعوضها في معادلة ② 𝟏 𝟐
𝟏 𝟐 =
−
𝟐 𝟐
= −
نعوض معادلة②في ① 𝟎= 𝟏+
و
𝟐
=
𝟐
+
𝟏− 𝟐
معادلة② 𝟐 𝟏−
+
𝟐 𝟏 𝟐
𝟐+
=
𝟏− 𝟏 ) 𝟐
20
(𝟐 𝟐
= − معادلة① 𝟏− = 𝟐
=
𝟎=𝟏− 𝟐
𝟐
𝟐
𝟏= =
𝟒
𝟐
)نضرب
𝟒 𝟐
𝟐
+ 𝟎=
= − 𝟐
−
𝟏= − 𝟒( 𝟏 = 𝟎 ⇒ 𝟐 𝟒
𝟎 = 𝟏−
𝟏− 𝟏− = 𝟏 𝟐 (𝟐 ) 𝟐
𝟐
=
𝟐
𝟐
𝟐 −
𝟐
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة 𝟏− 𝟐 𝟏
تهمل 𝟏
الجذران هما
𝟐
−
𝟏
,
𝟐
𝟐
= +
𝟐
𝟏= −
𝟐
𝟐
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟎=𝟏+
𝟐
𝟐
𝟏− 𝟐
الطريقة ② / 𝟏
)
𝟐
𝟏
الجذران هما
𝟐
−
−
𝟐
𝟏
(
𝟐
𝟏
= ) 𝟏
,
𝟐
𝟏
𝟐
−
𝟐 +
𝟏 𝟐
(√ =
𝟐
𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 − =√ − − =√ − + 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
𝟏− 𝟐 𝟕𝟏 −
𝟕𝟏
𝟐
=
𝟕𝟏
= 𝟏𝟏𝟕 −
= 𝟕𝟏−
=
𝟓𝟐
= 𝟏𝟐𝟓 −
= 𝟓𝟐−
=
𝟕𝟏= −
𝟐
𝟓𝟐 − 𝟓
𝟐
=
𝟓𝟐= −
𝟐
حل المعادلة التربٌعٌة فً ℂ كل معادلة تربٌعٌة ال ٌمكن حلها بطرٌمة التجربة فهً تحل بطرٌمة الدستور مثالا حٌث 𝟎
و
𝟒𝟐 −
فزأن
, ,
− 𝟐
𝟎=
+
+
𝟐
ونالحـزـظ أنــــزـه أذا كزان ممــزـدار الممٌـزـز
=
𝟒 𝟐 −سالبا ا فأن مجموعة الحلول الخاصة بالمعادلزة تنتمزً الزى مجموعزة األعزداد المركبزة وٌوجزد نوعزان من حل المعادالت التربٌعٌة . النوع األول /الممٌز ال ٌحتوي على مثال ( / )16حل المعادلة التربٌعٌة 𝟎 = 𝟓 + 𝟒 + حسب قانون الدستور فأن = 5
,
=4 ,
𝟐
فً مجموعة األعداد المركبة .
= 𝟒−
𝟒𝟏𝟔 − 𝟐𝟎 − 𝟒− = 𝟐 𝟐
=
𝟐
𝟐= − مجموعة حل المعادلة هي
} −𝟐 −
,
𝟓 𝟏 𝟒 𝟏𝟔 − 𝟏 𝟐 𝟒− 𝟐
{−𝟐 +
21
𝟒− 𝟐
=
=
𝟒−
𝟐
− 𝟐
𝟏𝟒 − 𝟒− 𝟒 = 𝟐 𝟐
𝟒−
= =
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
مالحظة من لانون الدستور نعلم أن جذري المعادلة التربٌعٌة
𝟎= 𝟒−
𝟐
+
+
− −
=
𝟐 𝟒−
𝟐
−
𝟒−
−
𝟐
− +
𝟐
𝟒−
=
𝟐
التً معامالتها الحمٌمٌة ً
− − 𝟐
−
)مجموع الجذرين(
=
𝟐
𝟒−
𝟐
+
𝟒−
+
𝟐 − +
𝟐
𝟐− 𝟐
𝟏 𝟐
𝟒−
𝟐 =
𝟐
𝟒 𝟒
=
𝟒+ 𝟐
𝟐
−
𝟐
𝟐
𝟒−
=
𝟒
𝟐
−
𝟒−
−
𝟐
𝟏
=
𝟐
+
=
𝟐
+
𝟏
− + +
=
𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
− +
𝟐
− −
𝟒−
𝟐
𝟒−
,
𝟐
𝟐
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
=
𝟏.
𝟐
𝟐
=
𝟒
) حاصل ضرب الجذرين(
=
𝟏.
𝟐 𝟐
𝟏.
وٌمكن االستفادة من الخاصٌة أعاله فً أٌجاد الجذور التربٌعٌة وكما ٌلً : 𝟎=
−
+
𝟎 = ) حاصل ضرب الجذرين( ) +مجموع الجذرين( −
𝟐
مثال ( / )17جد المعادلة التربٌعٌة التً جذرا ا مجموع الجذرين حاصل ضرب الجذرين
𝟐
𝟐𝟐+ 𝟎=𝟎+
𝟐 = −𝟐 + 𝟐 + −𝟐 +
𝟖= −𝟒 − 𝟖 + 𝟒 = −
𝟐
𝟐+ 𝟐+
𝟐 −𝟐 −
𝟐. 𝟐+
𝟐 −𝟐 −
𝟒 = −𝟒 − 𝟒 − 𝟒 −
𝟎 = ) حاصل ضرب الجذرين( ) +مجموع الجذرين( −
𝟐
𝟎 −
𝟐
المعادلة التربيعية
𝟎= 𝟖−
مالحظة المعادلززة التربٌعٌززة التززً معامالتهززا حمٌمٌززة والتززً أحززد جززذرا ا والعكس صحٌح . −
𝟐
𝟎=
+
𝟖+ −
حٌززث 𝟎
فززأن الجززذر األخززر ززو
مثال ( / )18كون المعادلة التربٌعٌة التً معامالتها حمٌمٌة وأحد جذرٌها 𝟒 𝟑 − ∵ معامالت المعادلة حقيقية وأحد الجذرين هو 𝟒 𝟑 − ∴ الجذر األخر هو المرافق ويساوي 𝟒 𝟑 + مجموع الجذرين حاصل ضرب الجذرين
𝟔=
𝟓𝟐 = 𝟔𝟏 = 𝟗 +
𝟒 = 𝟑 + 𝟑 + −𝟒 + 𝟐
𝟔𝟏 = 𝟗 + 𝟏𝟐 − 𝟏𝟐 −
𝟒+ 𝟑+
𝟒𝟑−𝟒 . 𝟑+
𝟎 = ) حاصل ضرب الجذرين( ) +مجموع الجذرين( −
المعادلة التربيعية
𝟎 = 𝟓𝟐 − 𝟔 +
22
𝟐
𝟒𝟑−
𝟎 = 𝟓𝟐 +
𝟔 −
𝟐 𝟐
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
تمارين − 2 س / 1حل المعادالت التربٌعٌة األتٌة وبٌن أي منها ٌكون جذرا ا مترافمان ؟ ) جذراها مترافقان(
𝟑 𝟐
𝟐
=
𝟐𝟏
𝟐𝟏= −
𝟐
𝟐𝟏 =
𝟐
𝟐
=
𝟐
𝟎= −𝟑 +𝟑+ تحل بالدستور
=𝟑+
𝟗−𝟒 𝟏 𝟑+ 𝟏 𝟐 𝟒 −𝟑 − 𝟐
معادلة①
𝟒 = −𝟑 −
𝟐+
𝟐
𝟑− − 𝟑
𝟐
𝟒 = −𝟑 −
𝟐−
معادلة③ )نضرب 𝟎= 𝟏−
=
𝟐
تربيع الطرفين
⇒ 𝟒 −𝟑 −
+
𝟐
𝟒+
𝟐
𝟒− 𝟐
=
(
𝟐
𝟑= −
نعوض في معادلة③
𝟏 𝟐
الجذران هما
∴ مجموعة الحل هي } , 𝟐 −
𝟒 𝟐
𝟎=𝟒− )يهمل(
𝟐 , −𝟏 +
𝟐 𝟒 𝟗 − 𝟏𝟐 − 𝟐
معادلة② نعوض معادلة③ في
=
𝟐
− 𝟑
ثم نعوضه فً المعادلة ①
األن نحسب ممدار الجذر 𝟒 −𝟑 − −
𝟑= − 𝟒−
𝟏=
𝟐
−
𝟒= −
= =
=
𝟒
𝟐
𝟐− 𝟏
=
𝟑− 𝟒 = −
𝟎=𝟒+
𝟐
𝟎 = 𝟏−
𝟐
𝟐−
=
𝟐 𝟏 −نعوض في المعادلة ① =𝟏+
𝟐𝟐+ 𝟐
=
𝟐𝟑−𝟏+ 𝟐
=
=𝟐−
𝟐𝟒− 𝟐
=
𝟐𝟑+𝟏− 𝟐
=
{𝟏 +والجذران غير مترافقان
23
𝟐
𝟒= −
𝟐
𝟐
𝟏=
𝟑= −
−
𝟐 𝟐− 𝟑− ( ) = −
𝟐
𝟑+
= 𝟐
+
𝟐 𝟐
𝟒
= =
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎 𝟐
𝟎 = 𝟑𝟏 − 𝟓 + تحل بالدستور 𝟑𝟏 = 𝟒𝟎𝟏 𝟐𝟓 − 𝟒
∴ مجموعة الحل هي -
𝟗𝟕 𝟒
−
𝟓
𝟗𝟕 𝟒
𝟓 𝟒
𝟗𝟕
𝟓
𝟒
𝟒
,
𝟒
𝟑𝟏 𝟐 𝟒 𝟐𝟓 − 𝟓 = 𝟐 𝟐 𝟗𝟕 𝟒
=
𝟓= −
𝟓− −
𝟐
𝟓
=
=
𝟗𝟕 𝟒
𝟒−
𝟐=
𝟐
−
تحل بالدستور
𝟐 𝟗𝟕− 𝟓 = 𝟒
𝟓
𝟐=𝟏+ 𝟐−
𝟐
=𝟐 −
𝟐−
𝟐𝟒−𝟒 𝟏 𝟏+ 𝟏 𝟐
=
𝟐−
=
+𝟐 +
𝟐−
=
𝟒−
𝟏=
𝟐
− 𝟐 𝟐−
𝟖− 𝟐
األن نحسب مقدار الجذر 𝟖 −ثم نعوضه في المعادلة ① 𝟐+
𝟖=𝟎−
𝟐
𝟐
𝟖= −
𝟐
تربيع الطرفين
⇒ 𝟖−
+
معادلة② نعوض معادلة③ في
نعوض في معادلة③
الجذران هما
𝟒−
معادلة③ )نضرب
𝟐 , −𝟐 +
𝟐
𝟖− 𝟐
=
𝟎=
𝟐
𝟎= 𝟒+
𝟐
(−
𝟐
=
𝟐
=
−
𝟐
𝟐
𝟒− 𝟐
=
𝟐
=− = −𝟐 + {−والجذران غير مترافقان
24
−
𝟐
) −
𝟐 𝟒−
𝟎 = 𝟔𝟏 − 𝟎=𝟒−
=
𝟐
𝟖= −
𝟎=
𝟐
𝟒=
𝟎=
+
𝟐
𝟔𝟏
𝟒−
=
𝟒−
𝟐
=
𝟐 𝟐 −نعوض في المعادلة ①
∴ مجموعة الحل هي } , − 𝟐 +
=
𝟐
𝟐=
معادلة①
−
=
, +والجذران مترافقان 𝟎=
𝟖𝟒−𝟒− 𝟐
𝟐
𝟐 −𝟐 + 𝟐 − 𝟐− = 𝟐 𝟐
=
𝟐 −𝟐 − 𝟐 + 𝟐 −𝟒 + = 𝟐 𝟐
=
𝟒
(
=
=
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
ٌمكن حل الفرع ) (dالسابك بطرٌمة أخرى بواسطة لانون التجربة الحظ الحل 𝟐−
𝟎= 𝟎=
+𝟐−
= −𝟐 + ∴ مجموعة الحل هي } , − 𝟐 +
+𝟐 +
+
=−
{−والجذران غير مترافقان
𝟐
𝟒
𝟐
𝟒
𝟎 = 𝟓𝟐 + 𝟓 𝟐
𝟐 𝟓𝟐 𝟒
= 𝟓
∴ مجموعة الحل هي -
𝟓
,
𝟐
𝟐
𝟐 𝟓𝟐 𝟒
√=
=
𝟓𝟐− 𝟒
𝟐
=
𝟐
=−
𝟑−
+
𝟑=
𝟎= +
𝟐
=
𝟑−
𝟐−
𝟐
𝟐
{−والجذران غير مترافقان
𝟐
∴ مجموعة الحل هي } 𝟑 ,
𝟎=𝟑+
𝟎= 𝟑−
تحل بالدستور 𝟑 =
𝟐
𝟐
𝟐−
𝟎=
) حل أخر(
𝟒
𝟓𝟐= −
,−والجذران مترافقان
𝟎=
∴ مجموعة الحل هي } 𝟑 ,
𝟐
=
𝟔𝟏− 𝟐
𝟑 𝟏 𝟒 −𝟒 − 𝟐 = 𝟏 𝟐
𝟎=𝟑+ 𝟐= −
𝟐− −
=
𝟒−
𝟐
𝟐− 𝟏=
𝟐
− 𝟐
=
{−والجذران غير مترافقان
س / 2كون المعادلة التربٌعٌة التً جذرا ا
,
حٌث : =𝟏−
مجموع الجذرين حاصل ضرب الجذرين
=𝟐+
𝟐=𝟏+
𝟏= 𝟏+𝟏 + 𝟐−
=𝟑+
𝟐
𝟐=𝟏− +𝟐 −
+ 𝟏−
𝟐𝟏+
𝟏+𝟐 . 𝟏−
𝟎 = ) حاصل ضرب الجذرين( ) +مجموع الجذرين( −
𝟐
− 𝟐+
𝟐
المعادلة التربيعية
25
𝟎=
+ 𝟑+
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟐
𝟐
𝟒𝟐− 𝟐
𝟐=𝟏−
𝟐𝟏 = 𝟓 −
𝟐𝟏 = 𝟓 − مجموع الجذرين
𝟒𝟏 = 𝟔 −
حاصل ضرب الجذرين
𝟑− 𝟏+
𝟐= 𝟑−
𝟏− 𝟑−𝟑 − + = 𝟏− 𝟐𝟏 𝟏𝟐 +
=
𝟐
𝟐𝟐 = −𝟏𝟗 −
=
𝟑− 𝟑− = = 𝟏+ 𝟏+ 𝟐
𝟒 = 𝟗 − 𝟏𝟐 +
𝟐𝟏 = 𝟏 + 𝟓 + −𝟐 − 𝟐
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟐= 𝟑−
𝟐𝟏 + 𝟓 −
𝟒𝟐 = 𝟓 − 𝟏𝟐 − 𝟏𝟎 +
𝟐𝟏−
𝟐𝟏 𝟏 − 𝟐 . 𝟓 −
𝟎 = ) حاصل ضرب الجذرين( ) +مجموع الجذرين( −
𝟐
𝟒𝟏 − 𝟔 −
𝟐
المعادلة التربيعية
𝟐𝟐 + −𝟏𝟗 −
𝟎=
س / 3جد الجذور التربٌعٌة لؤلعداد المركبة األتٌة : 𝟔− 𝟔= −
𝟐 𝟐
+
𝟐+
𝟐
𝟔= −
𝟐
تربيع الطرفين
⇒
+
𝟔 =
𝟔= −
𝟐 +
معادلة① نعوض معادلة
في ①
𝟑−
معادلة②
𝟎=𝟗−
𝟒
)نضرب
𝟐
𝟔− 𝟐
=
(
⇒
𝟎=
𝟎= 𝟑+ نعوض في معادلة
=
𝟑
𝟑= 𝟑
) تهمل( الجذران هما
𝟐
𝟑 𝟑−
26
𝟗 𝟐
𝟑−
=
𝟐
−
𝟐
𝟐
−
𝟐
𝟐
𝟔= −
𝟐
𝟐 𝟑− 𝟎= ) (−
𝟐
𝟎=𝟗−
𝟐
𝟑− 𝟑
𝟑= −
𝟎=
𝟎=𝟑−
=
,
−
+
𝟐
𝟑 − 𝟑+
𝟐
𝟑−
=
𝟎=𝟑+
𝟐
=
𝟐
𝟒
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎 𝟒𝟐 𝟕 +
تربيع الطرفين
𝟐 + 𝟒𝟐 = 𝟕 + 𝟐 𝟐 − 𝟐 + 𝟒𝟐 = 𝟕 +
نعوض في معادلة① 𝟐
𝟐𝟏
معادلة②
𝟕 = 𝟒𝟒𝟏 −
)نضرب
𝟒
نعوض في معادلة②
𝟐
=
(
⇒
𝟎= 𝟗+ 𝟒
𝟒𝟐 = 𝟕 + ⇒ 𝟐 𝟐 + 𝟒𝟐 = 𝟕 +
𝟐
𝟗= −
𝟒𝟐 =
𝟐
𝟑 , −𝟒 −
𝟐
𝟐
𝟐 𝟒
𝟕−
𝟐
𝟎 = 𝟔𝟏 − 𝟐𝟏 = 𝟒
𝟐
−
𝟐
𝟐
𝟕=
𝟎 = 𝟒𝟒𝟏 −
=
𝟐+
𝟐
𝟐 𝟐𝟏 𝟕= ) (−
𝟐
𝟑 ) تهمل(
𝟐
−
𝟐
𝟔𝟏 =
الجذران هما
𝟒𝟒𝟏
𝟕= 𝟔𝟏 −
=
معادلة① 𝟒𝟐 = 𝟐
+
𝟐𝟏
𝟎=𝟗+
=
𝟐
𝟑𝟒+ 𝟒 𝟑 𝟏−
ٌجب تحوٌلة الى الصٌغة 𝟑 =𝟏+
عن طرٌك الضرب بمرافك الممام
+
𝟑 𝟒 𝟏+ 𝟒
𝟑 𝟒 𝟏+ 𝟑𝟏+
=
=
𝟑 𝟒 𝟏+ 𝟐
𝟑 𝟏+
=
𝟑 𝟏+
𝟏𝟐 +
𝟑
𝟒
𝟒
=
𝟑 𝟏−
𝟑 𝟏−
الطرٌمة ① / 𝟑 =𝟏+ 𝟑 = 𝟏+
𝟐
تربيع الطرفين
+ 𝟐
𝟐 +
𝟑 = √𝟏 +
⇒
−
𝟐
𝟑 =𝟏+
𝟐 𝟐
+
معادلة① نعوض في معادلة① 𝟐
نعوض في معادلة②
𝟒
𝟒=
𝟏 𝟐 𝟑 𝟐
𝟑
معادلة②
𝟐
)نضرب 𝟐 𝟒 (
𝟒𝟑−
⇒ 𝟎= 𝟏− 𝟏 𝟐 = 𝟐
=
𝟏= 𝟐
𝟐 𝟑+ 𝟏=
𝟐
𝟐
𝟐
) تهمل( الجذران هما
𝟏 𝟐
−
27
𝟑= − 𝟑 𝟐
−
,
𝟏=
𝟐
𝟏=
𝟏 𝟐
+
𝟐
𝟐
𝟎=𝟑− 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐 𝟑
/ − 𝟐 𝟒𝟒 𝟒+
𝟐 𝟑
=
𝟎=𝟑+ 𝟑
−
𝟐
𝟑 =
𝟎=𝟏−
𝟐
𝟐
𝟐
𝟑 𝟑 = 𝟏 𝟏 (𝟐 ) (𝟐 𝟐 ) 𝟐 𝟐
=
𝟐+
=
𝟑 − 𝟐 𝟒 𝟐
𝟐
+
𝟐 𝟐
𝟐
=
.
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الطرٌمة ② / /
𝟏 𝟐
+
𝟑 𝟐
𝟐
.
= /
𝟏 𝟐
+
𝟑 𝟐
= √.
الجذران هما
𝟐
𝟏 𝟐
𝟏 + 𝟐
𝟏 𝟑 − 𝟑 =√ + 𝟐 𝟐
𝟑
𝟑
−
−
𝟐
𝟏
,
𝟐
+
𝟑 𝟑 =√ + 𝟐
𝟑 √𝟏 +
𝟐
س / 4ما المعادلة التربٌعٌة ذات المعامالت الحمٌمٌة وأحد جذرٌها و :
المعامالت أعداد حمٌمٌة لذا فان الجذر األخر و المرافك و و − مجموع الجذرين
𝟎=𝟎+
𝟏= 𝟎+𝟎 + 𝟏−
حاصل ضرب الجذرين
𝟏 = 𝟏= − −
𝟐
+ −
=−
. −
𝟎 = ) حاصل ضرب الجذرين( ) +مجموع الجذرين( −
𝟐
𝟎 −
𝟐
المعادلة التربيعية
𝟎=𝟏+
𝟐
𝟎= 𝟏 +
𝟓− المعامالت أعداد حمٌمٌة لذا فان الجذر األخر و المرافك و و 𝟓 + مجموع الجذرين 𝟎𝟏 = 𝟏 + 𝟓 + = 𝟓 + 𝟓 + −𝟏 + حاصل ضرب الجذرين 𝟔𝟐 = 𝟏 . 𝟓 + = 𝟐𝟓 − 𝟓 + 𝟓 − 𝟐 = 𝟐𝟓 +
𝟓− 𝟓−
𝟎 = ) حاصل ضرب الجذرين( ) +مجموع الجذرين( −
𝟐
𝟎 = 𝟔𝟐 − 𝟏𝟎 +
𝟐
المعادلة التربيعية
𝟑𝟐 + 𝟒
المعامالت أعداد حمٌمٌة لذا فان الجذر األخر و المرافك و و )
𝟑 𝟒
−
𝟐 𝟒
(
𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 𝟐 𝟐 𝟑 𝟑 𝟐 𝟐 𝟐 + /+. − = ) /=. + /+( − = مجموع الجذرين 𝟒 𝟒 𝟒 𝟒 𝟒 𝟒 𝟒 𝟒 𝟒 𝟐 𝟐
حاصل ضرب الجذرين
المعادلة التربيعية
.
𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 𝟐 𝟐 𝟑 𝟐 𝟗 𝟏𝟏 . + /.. − = ) (/=. / + + = 𝟒 𝟒 𝟒 𝟒 𝟒 𝟒 𝟔𝟏 𝟔𝟏 𝟔𝟏 𝟎 = ) حاصل ضرب الجذرين( ) +مجموع الجذرين( −
𝟐
−.
𝟐
𝟏𝟏 𝟎= 𝟔𝟏
+
𝟏 𝟐
28
−
𝟐
𝟐 𝟏𝟏 𝟎=) (/ + 𝟐 𝟔𝟏
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
س / 5أذا كان 𝟑 +و أحزد جــــزـذري المعادلزة 𝟎 = وزاري / 2011د1 لٌمة الجذر األخر؟
−
𝟓+ 𝟓+
𝟐
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
؟ ومزا
فمزا لٌمزة
نفرض الجذر األخر و معادلة①
)مجموع الجذرين(
) حاصل ضرب الجذرين( )الجذر األخر(
𝟎𝟏 𝟐𝟎 + =𝟐+ 𝟎𝟏
𝟐
=
=
+
𝟓=𝟓+
𝟑+ .
𝟑+
𝟓𝟓+ 𝟓𝟓+ 𝟑− 𝟓 𝟏𝟓 − 𝟓 + 𝟏𝟓 − = = = 𝟑+ 𝟑+ 𝟑− 𝟐𝟏 𝟑𝟐 + =𝟐+ )نعوض في معادلة① ( =
𝟐=𝟓+
𝟑+
+ 𝟐+
+
=
𝟑+
******************************************************************
أمثلة أضافية محلولة مثال /أوجد الجذور التربٌعٌة للعدد المركب 𝟖𝟒 −𝟓𝟓 −ثم أســــتخدم الناته فً أٌجاد الحل للمعادلة التربٌعٌة 𝟐 𝟐+ 𝟏+ التالٌة 𝟎 = + 𝟏𝟑 𝟏 + + و نفرض أن الجذر التربٌعً للعدد 𝟖𝟒 −𝟓𝟓 − تربيع الطرفين
𝟐 𝟖𝟒 + = −𝟓𝟓 − ⇒ + 𝟖𝟒 = −𝟓𝟓 − 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐+ + 𝟖𝟒 = −𝟓𝟓 − − 𝟐 + 𝟖𝟒 = −𝟓𝟓 − 𝟐 𝟓𝟓− 𝟐 = − معادلة① 𝟖𝟒− 𝟒𝟐− 𝟐 𝟖𝟒= − = = معادلة② نعوض في معادلة① 𝟐 )نضرب 𝟐 ( 𝟔𝟕𝟓 𝟐 𝟒 − 𝟓𝟓= − ⇒ 𝟐 𝟓𝟓𝟓𝟕𝟔 − 𝟒 = − 𝟎 = 𝟔𝟕𝟓 − 𝟓𝟓 𝟐 − 𝟐
𝟎= 𝟗+ 𝟒𝟔 = 𝟖 = نعوض في معادلة② 𝟒𝟐−𝟐𝟒 − = = 𝟑 = 𝟖 𝟐 𝟐 𝟎=𝟗+ 𝟗= − يهمل
𝟐
𝟒𝟔 −
𝟐
𝟐
الجذران هما
األن نحل المعادلة 𝟎 =
+ 𝟏𝟑 𝟏 +
𝟐+ 𝟏+
𝟖𝟑−𝟖 , −𝟑+ 𝟐
بأستخدام لانون الدستور حٌث = 𝟏𝟑 𝟏 +
𝟑𝟏 𝟏 + 𝟐 𝟐 − 𝟒 𝟏 𝟏𝟑 + 𝟏 𝟐 𝟐𝟓 𝟏 + 𝟒 − 𝟒 − 𝟓𝟐 + 𝟐
𝟐− 𝟏+
=
29
,
𝟐− 𝟏+
𝟐𝟓 − 𝟓𝟐 +
𝟐
𝟐= 𝟏+ =
𝟒𝟏+𝟒 + 𝟏 𝟐
𝟒−
𝟐
=𝟏 , −
𝟐 𝟐− 𝟏+
=
=
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة 𝟖𝟒 −𝟓𝟓 −
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟐𝟓 𝟏 + 𝟒 − 𝟒 − 𝟓𝟐 − 𝟐− 𝟏+ = 𝟐
𝟐
𝟐− 𝟏+
=
األن نعوض الجذور التً لمنا بحسابها سابما للعدد 𝟖𝟒 −𝟓𝟓 − 𝟐− 𝟏+
𝟖𝟑− 𝟐 𝟑 = −𝟐 +
𝟏
𝟖 −𝟏 − 𝟐 − 𝟑 + 𝟔 −𝟒 + = 𝟐 𝟐
=
𝟖 −𝟏 − 𝟐 − 𝟑 − 𝟐
=
𝟏
𝟓= 𝟏−
𝟐
𝟖 −𝟏 − 𝟐 + 𝟑 − 𝟎𝟏 𝟐 − = 𝟐 𝟐
=
𝟖 −𝟏 − 𝟐 + 𝟑 − 𝟐
=
𝟐
مجموعة الحل ً } 𝟓 , 𝟏 −
𝟑 {−𝟐 +
مثال /كون المعادلة التربٌعٌة التً جذر ا
=𝟑+
𝟎𝟏
, 𝟑−
𝟑−
𝟑+ 𝟏𝟎 𝟑 + 𝟏𝟎 𝟑 + 𝟐 = = 𝟐 𝟑+ 𝟏𝟑 + 𝟎𝟏
𝟐
مجموع الجذرين حاصل ضرب الجذرين
𝟔=
𝟎𝟏 𝟎𝟏 = 𝟑− 𝟑−
=
مثال /جد الجذور التكعٌبٌة للعدد المركب 𝟎=
𝟖−
,
𝟐
𝟏 = 𝟑 + 𝟑 + −𝟏 +
𝟎𝟏 = 𝟏 = 𝟗 +
𝟐
=𝟑−
+ 𝟑+ . 𝟑+
𝟑−
𝟎 = ) حاصل ضرب الجذرين( ) +مجموع الجذرين( −
𝟐
𝟎 = 𝟎𝟏 − 𝟔 +
𝟐
𝟖−
𝟑
𝟎=
𝟎= 𝟒−
𝟐+
𝟐
𝟖−
𝟐
𝟑
𝟐−
𝟎= 𝟖+ =
𝟐
𝟒+ 𝟐=
𝟐+
𝟑
𝟐
𝟏
𝟐− 𝟎= 𝟐−
) بالدستور(
𝟒= −
𝟏
𝟑−
=𝟗+𝟑 −𝟑 −
المعادلة التربيعية
𝟑
=
𝟐= 𝟔𝟏 −𝟒 + 𝟐
⇒
𝟏= 𝟐
𝟒− 𝟒 𝟏 − 𝟐− = 𝟏 𝟐 𝟑
∴ مجموعة الحل هي }𝟑 {𝟐 , − + 𝟑 , − −
30
=−
𝟒
𝟎=𝟒− 𝟐−
𝟑 𝟐
= 𝟐−
𝟐
𝟐+ 𝟒−
=
𝟖= −
𝟑
𝟖−
𝟑
𝟑
𝟐
𝟐
− 𝟐
=
𝟐−
𝟐𝟏 𝟐
=
=
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
مثال /جد الجذور التكعٌبٌة للعدد المركب 𝟖 𝟎= 𝟒+𝟐 +
𝟐
=𝟖−
𝟐−
𝟑
𝟎=𝟖− 𝟐=
𝟑
𝟖=
𝟎=𝟐−
) بالدستور(
𝟒=
𝟏=
𝟐= 𝟔𝟏 𝟒 − 𝟐 𝟑
∴ مجموعة الحل هي } 𝟑 , −𝟏 −
⇒
𝟐−
𝟑 𝟐
𝟏= −
𝟐
𝟐−
=
𝟐
𝟐−
𝟐𝟏
𝟒−
=
𝟐
𝟐− 𝟐
𝟐
−
𝟐𝟏−
=
𝟐− 𝟐
=
=
𝟑 {𝟐 , −𝟏 +
مثال /أوجد مجموعة الحل للمعادلة التالٌة
𝟎= 𝟐−𝟐 −
𝟐
) نقسم المعادلة على 𝟒
𝟎=𝟐−
𝟐
𝟎=𝟒+𝟐 +
𝟒 𝟏 𝟒𝟒− 𝟏 𝟐
=
𝟑
𝟑
𝟐−
𝟐
𝟐
𝟎=𝟐−
(
−
𝟎= 𝟐−𝟐 −
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
−
𝟐
𝟎=𝟐−
𝟐+
𝟐
𝟐
−
𝟎=
−
) تحل بالدستور(
𝟐=
𝟐= −
⇒
𝟏=
𝟐𝟐 𝟐 − 𝟒 𝟏 − 𝟐− = 𝟏 𝟐
𝟖 −𝟒 + 𝟐
𝟏
𝟐−
𝟒−
=
𝟐
𝟐
=−
𝟐− 𝟐
𝟒
=
𝟐− 𝟐
=
=
∴ مجموعة الحل هي }𝟏 {− + 𝟏 , − −
مثال /أوجد مجموعة الحل للمعادلة التالٌة 𝟎 = 𝟒 +
𝟒−
𝟐
) تحل بالدستور(
𝟒= −
𝟒=
𝟏=
𝟒 𝟏 𝟒−
𝟏− 𝟒
𝟒 𝟐
𝟐
𝟐
=
𝟐
⇒ 𝟒− 𝟏 𝟐
𝟔𝟏 𝟐 𝟐
𝟎=𝟒+ 𝟒− −
𝟒
𝟔𝟏 𝟐
= 𝟒
𝟔𝟏 − 𝟐
=
𝟐
=
𝟒 −
𝟒−
𝟐
𝟐 𝟔𝟏 𝟐
𝟒
𝟏𝟔 − 𝟐
𝟒 𝟐
∴ مجموعة الحل هي }
𝟐−
𝟐 ,
𝟐+
31
𝟐{
−
𝟐
=
= =
𝟐=
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
مثال /أوجد لٌمة كل من x , yمن المعادلة التالٌة
𝟎 = 𝟓𝟏 +
𝟖𝟖− 𝟏+
−
𝟐
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
+
𝟖𝟖− 𝟖𝟖− 𝟐 𝟎 = 𝟓𝟏 + 𝟐+ =𝟐 𝟐 + 𝟓𝟏 − 𝟏+ 𝟏+ 𝟖𝟖− 𝟏− 𝟐 𝟐− 𝟐 + (= 𝟓𝟏 ) − 𝟏+ 𝟏− 𝟐 𝟖𝟖−𝟖 −𝟖 + 𝟐 𝟐− 𝟐 + =. 𝟓𝟏 / − 𝟐𝟏 𝟏𝟐 + 𝟔𝟏− 𝟐 𝟐 𝟐− 𝟐 + (= 𝟓𝟏 ) − 𝟐− 𝟐 + 𝟓𝟏 = −𝟖 − 𝟐 𝟐 𝟓𝟏− 𝟐 = − معادلة① 𝟖− 𝟒− 𝟖𝟐 = − = = معادلة② نعوض في معادلة① 𝟐 −
𝟐
𝟓𝟏= −
𝟒
)نضرب
𝟐
𝟏𝟔 −
(
⇒
𝟓𝟏= −
𝟎= 𝟏+ نعوضها في معادلة②
𝟒
𝟐
𝟐
=
𝟔𝟏 − 𝟔𝟏 =
𝟐
مثال /أوجد لٌمة كل من x , yمن المعادلة التالٌة 𝟐𝟑− ) 𝟐𝟑−
𝟐𝟑+
𝟐 𝟑𝟔 − (= 𝟐𝟑+
𝟖𝟕 𝟏𝟎𝟒 − 𝟖𝟕 𝟏𝟎𝟒 − (=) ) 𝟒𝟗+ 𝟑𝟏 معادلة① نعوض في معادلة① 𝟐
𝟖=
𝟐 𝟐
𝟖=
−
𝟑−
)نضرب
𝟗−
𝟐
𝟖=
=
𝟐
𝟗+ 𝟏=
𝟑 تهمل
32
=.
𝟐+
𝟐
−
𝟔=𝟖−
𝟐+
𝟐
−
𝟐
𝟗= −
− 𝟐
𝟔= −
𝟖=
𝟐
𝟐
𝟎 = 𝟏− =
𝟑−
𝟐
=
𝟎=𝟗+
𝟐
𝟐
𝟐 𝟑− ( ) −
𝟎=𝟗−
𝟑− 𝟏 𝟐
=
𝟗
𝟐
=
=
𝟐
+ 𝟐
𝟔− 𝟐
(
𝟎= 𝟏− نعوضها في معادلة②
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐 𝟑𝟔 − 𝟐𝟑+
=
⇒
𝟏
𝟐
+
𝟎=𝟏+
𝟒 𝟏𝟎𝟖 − 𝟕𝟐 − 𝟔 + 𝟐𝟐 𝟑 𝟐 +
(=/ 𝟐
𝟎 = 𝟔𝟏 − 𝟒−𝟒 − = = 𝟒
𝟏= −
𝟐+
𝟐
𝟓𝟏 −
𝟒
𝟐
𝟐
+ 𝟐
معادلة② 𝟒
=
𝟎 = 𝟔𝟏 −
=
تهمل
𝟐 𝟒− ( ) −
𝟐
𝟓𝟏= −
𝟐 𝟐
𝟏
𝟐𝟑𝟔−
−
𝟔𝟏
𝟐
+
𝟐
𝟖+
𝟒
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
مثال /كون المعادلة التربٌعٌة التً معامالتها حمٌمٌة وأحد جذرا ا الجذر األول
𝟐
𝟐−
𝟐 𝟐= 𝟐−𝟐 𝟐 −𝟏 =𝟏−
معامالت المعادلة حمٌمٌة لذا فأن الجذر األخر و المرافك مجموع الجذرين
𝟐=
حاصل ضرب الجذرين 𝟗 = 𝟖 = 𝟏 +
𝟐
𝟐
−𝟐 𝟐 +
=
𝟐
𝟐
𝟐−
𝟐 𝟐𝟏+
𝟐 𝟐 = 𝟏 + 𝟏 + −𝟐 𝟐 +
𝟐
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟐 𝟐+ 𝟏+
𝟐 𝟐 =𝟏+𝟐 𝟐 −𝟐 𝟐 −
𝟐 𝟐𝟏− 𝟐 𝟐𝟏−
𝟐 𝟐. 𝟏+
𝟎 = ) حاصل ضرب الجذرين( ) +مجموع الجذرين( −
𝟐
𝟎=𝟗−𝟐 +
𝟐
المعادلة التربيعية
******************************************************************
جد الجذور التكعٌبٌة لؤلعداد التالٌة
𝟕𝟐−𝟔𝟒 , 𝟔𝟒 , 𝟏𝟐𝟓 , −
ثم جد الجذر التربٌعً للعدد
𝟒𝟔
الجذور التكعٌبٌة للواحد الصحٌح =
+
+
=
−
=
−
)الجذر األول( = 𝟏−
𝟑− 𝟐
=
𝟒𝟏−
=
𝟏− 𝟐
=
)بالدستور(
𝟏 𝟏 𝟒𝟏− 𝟏 𝟐
=
𝟏−
3 2 )الجذر الثاني( )الجذر الثالث(
نان ثالثة جذور للواحد الصحٌح و ً
𝟐
,
𝟏 ,حٌث أن الرمز
خواص الجذور التكعٌبٌة للواحد الصحٌح جذران تخٌلٌان مترافمان الجذران 𝟐 , 𝟐 𝟎=𝟏+ مجموع الجذور الثالثة ٌساوي صفر أي 𝟐 حاصل ضرب الجذور الثالثة ٌساوي واحد أي 𝟏 =
33
+
=
= +
+
𝟒−
=
𝟐
− 𝟐
𝟏− 𝟐
𝟑
=
𝟏− 𝟐
3 = 2
+
3 = 2
−
𝟏− 𝟐 𝟏− 𝟐
ٌمرأ أومٌكا
=
=
= =
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
أستنتاجات لخواص الجذور -1مجموع أي جذرين = سالب الجذر األخر مثال -2أي جذر =سالب مجموع الجذرين األخرين مثال -3
=
=
-4كل wهي مرافق
-5
3
-6
=
=
=−
+
,
=− −
=− ,
,
+
=− ,
=− −
−
=
=
=3 =4
.
3 +5 4 +2
الحظ 3 2 3 =+ 3 =/ 2 2 3 −2 3 =− 3 =/ 2 2
=
=− −
وبالعكس أي يمكن أستبدال أحدهما باألخر كما في المثالين التاليين +5 +2 −
+
3 𝟏− − /−. 2 𝟐 3 𝟏− + /−. 2 𝟐
𝟏− + 𝟐 𝟏− − . 𝟐 .
الحظ 2
2
𝟏− 3 𝟏− 3 𝟏− 3 3 4 + − /.. = = /=( ) +. / = + 𝟐 2 𝟐 2 𝟐 2 4 4 4
-7 -8نستخدم
=
+
..,
,حيث
= , ,2,3,4,5,
عددصحيح
في عمليات التبسيط
ومن ذه االستنتاجات نتوصل الى أن ناته wمرفوعة الى لوة معٌنة و أحد جذور الواحد األمثلة التالٌة : = 2
=
=
. 2
= =
}𝟐
= .
3
{𝟏 , ,الحظ
.
3
27
=
.
3
=
=
2
=
3 2
3 27
.
3
= = =
3 2
34
=
=
=
.
3
=
=
−
.
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
3
=
=
2
=
2
3
=
2
−
=
5
3 2
2
=
=
.
.
=
=
=
5
5
=
.
.
7
2
=
+
.
5
.
.
3 7
3 2
5
=
= .
6
+
=
+
.
=
مثال ( / )19جد ناته ما ٌلً ,
2
.
3
=
=
=
=
−
=
𝟖𝟓−
,
𝟓𝟐
,
=
−
+
=
−
−
=
−
𝟑𝟑 𝟏𝟏
𝟏= = 𝟏 𝟖.
=
𝟐
=
.
𝟏 =
𝟖 𝟑
𝟖𝟓𝟔𝟎−
𝟏𝟏 𝟑
=
=
𝟎𝟔
. .
𝟒𝟐
𝟖𝟓−
=
𝟑𝟑
=
𝟓𝟐
𝟖𝟓−
=
مثال ( / )20أثبت أن : 𝟎=𝟏+ =
+
=
=
+
+
𝟒= =4 ] +
= 2
= 5−3
+ ] = −4[2 − =4
+ 𝟑 𝟐
= 5+3 − +
.
𝟐+ + +
= −4[2
=
+
+
=
= −𝟒 𝟐 +
𝟐 𝟐
𝟑+
𝟑𝟓+
= 5+3
𝟐 𝟐
𝟑+
𝟑𝟓+
= −4 2 + 2
𝟑 𝟐
−𝟒 𝟐 +
𝟐+
= −4[− ] = −4 −
= −4 −
مثال ( / )21كون المعادلة التربٌعٌة التً جذرا ا :
وزاري / 2012د3 𝟐
,𝟏 − مجموع الجذرين حاصل ضرب الجذرين
=𝟐+ =
𝟏 =
𝟏 =𝟐+ 𝟐
𝟓
+
𝟕
−
−
= −
𝟑
= 𝟏+𝟏 + − 𝟐
+
𝟐
−
=𝟏−
−
𝟏−
+ −
− −
.
𝟎 = ) حاصل ضرب الجذرين( ) +مجموع الجذرين( −
𝟐
− 𝟐+
𝟐
المعادلة التربيعية
35
𝟎= +
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟐 𝟏− 𝟐𝟐+𝟐− 𝟏+𝟏−
+ +
𝟐
=
𝟑
𝟐𝟐−𝟐 +𝟐− 𝟏− − 𝟐+
4 2− −
4
=
2 𝟐 − +𝟐 − =) − − 𝟏− 𝟏𝟒 − 𝟐 − 𝟔 𝟐𝟒+ = = 𝟐= = 𝟏𝟐 − − 𝟑 𝟏𝟐+
=
+ −
+
𝟒 −
+
𝟐
2 −
()+
)مجموع الجذرين( =
,
𝟐 𝟏−
𝟏−
𝟒
=
2 =) − − 4 4 = = 2+ 3
𝟏−
)حاصل ضرب الجذرين (
2 −
().
𝟎 = ) حاصل ضرب الجذرين( ) +مجموع الجذرين( −
𝟐
−𝟐 +
𝟐
4 𝟎= 3
المعادلة التربيعية
(
(
أمثلة أضافية محلولة مثال /أوجد الناته فً أبسط صورة ) = 8
−6
= 8
−5
= −3
−
5
/= − −2
+
−
𝟓
) (𝟏 −
+
𝟐
−
𝟐
2
/. 𝟐
𝟐
(𝟏 + +
−
𝟏
𝟏
.
𝟏
) 𝟐 (𝟏+ − 𝟏+
=
−2+
+
−2
/ = − +
=
−
−
) =. −
−
− 2 = − − 2 = −3
مثال /أذا كان )
𝟑− 𝟐
+
𝟏− 𝟐
(=
فأثبت أن
𝟎=
𝟑𝟐
+
𝟐𝟐
+
𝟐𝟏
وكذلن 𝟏 =
𝟐𝟑
−
−
+
.
𝟔𝟏
.
𝟐
(
=
𝟗
− −3 − 3 =. + =/ + = 2 2 2 2 =
+
+
=
+
+ =
36
= =
+ = . .
=
+ .
.
𝟑𝟐
+ =
𝟐𝟐
𝟐𝟑
+ .
𝟔𝟏
𝟐𝟏
.
𝟗
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
مثال /بر ن أن
𝟐 𝟐+
=
+
𝟒
𝟏 𝟐
𝟏+
√
− − −
√=
= = −
أعداد /األستاذ علً حمٌد
−
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
− 2+ −
√=
2+
√=
+
−
2+
√ =
+
√
+
∴ الطرف األيمن = الطرف األيسر مثال /بر ن أن 𝟏𝟖 =
𝟖 𝟐
−
الطرٌمة األولى : =8
3
= −9
) = 3
=
(=
3
=
3
=
3
𝟖 𝟐
−
الطرٌمة الثانٌة : = − −2
= −3
+
−2
+
=
=
−2 . =8
مثال /بر ن أن
𝟕=
𝟑 𝟖
−
−
+
+
𝟕
+ 𝟏−
𝟑 𝟒
= −
−
=− +8=7
𝟔 −
مثال /أوجد الناته − (/ ) −
2
𝟐
)𝟓 ( ) + 𝟏+ / .2 +
−
2+2 +2 2 3
= 3
2
= −2
𝟔
𝟐( )
)=.
−
𝟐
− 2 −
−
+
+
=
=− + 2
−
− −
+
−
+
+
=−
( 𝟒−
2 − ( ) ) (2 + +
/=( −
2+2
−
=
2
−
=
2
−
=
+2 =
−3
𝟏
=) (
=
=
𝟏+ −
𝟏
−
= 9
=
𝟖 𝟐
−
+
37
2 − + ). +
) (2
−
(
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
مثال /جد ناته x , yوالتً تحمك المعادلة التالٌة
𝟖− 𝟐
=
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
+
يمكن حله بطريقتين الحظ الحل 3 = −8 .− + /= 4−4 3 2 2 = −4 3 3 −2 + 2 4−4 3 4−4 3 = = 3 3 3 )(4) + (4 −2 + 2 (2) + . 2 /
= −8
=4 , −8 3 −2− 2
=
=4−4 3
+
−8 3 −2 − 2
=4−4 3 = −4 3
=4 ,
−8
=
+
=
−8
=
4−4 3
الطريقة األولى
+
=
+
=4−4 3
+
الطريقة الثانية
طرق حل المسائل التي تحتوي على 𝓦 نان بعض الطرق األساسٌة التً تستخدم فً تبسٌط حل المسائل و ً :
الطرٌمة األولى /أٌجاد عامل مشترن مثال /جد لٌمة : 𝟐 𝟏𝟏𝟐+𝟏𝟏 + 𝟐 𝟓𝟐−𝟓 −
2− −9 3 √= = 2+5 7 7
√=
+ +
2+ 2−5
√
2+ + 2−5 −5
√=
√
𝟐 𝟎𝟏 𝟏 + 𝟏𝟎 + 𝟐 𝟑𝟏−𝟑 − − −9 3 = √= +3 4 2
38
√=
+ +
+ −3
√ =
+ + −3 −3
√
√
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
مثال /أثبت أن
𝟏 𝟗
=−
]
𝟐 𝟐 𝟐
[ 2+2
+5 − 9
=
− 9
=
مثال /جد لٌم
9
+
2 −
+ 9
=
+ 𝟐
𝟐𝟐+𝟐 +
+5
+
أعداد /األستاذ علً حمٌد
=
9
𝟐
𝟐𝟐+𝟓 +
] +5 +
9
=
[ 2+2
+5
+
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
=
2 −
=
3
2+2 +5
]
+
+
+5
3
=
[2
+
+
+5
2+5 +2
] +5
−2
3+ +
+ ) − 4−2 +
4−2 2
+
−2 + 5
−
] +
+
) − [
+
+
(=
4−2 = 2
3+ +
) −
+
+
+
(=
+
=( − + −
+
=( −
+
=
+
3−3 + − +
=( − −
3+ +
) −
+
+
+
(=
+
) −
4−2 = 2
+
+
) −
4−2 =− − 2− 2
= −3 +
] [−
−
=
/
)
−
= −3 ,
x , yالتً تحمك المعادلة 𝟏 𝟐
(= /
+
x , yالتً تحمك المعادلة :
− −
مثال /جد لٌم
[2
−
= .
−
+
=
/
+
= .
−
+
=
/
+
/ = −
) يمكن حساب الجذر بطريقتين(
39
𝟐
+ 𝟐
+
=.
+
=.
+
− =. = −
+ +
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
الطرٌمة ① /نفرض أن الجذر التربٌعً للعدد 𝟐 +
𝟐
−
𝟐
− 𝟐 𝟐
= −
𝟐
𝟎= 𝟏+
𝟐+
+
𝟐 𝟏 𝟐
=
𝟐
𝟏
𝟐
𝟐 𝟏−
𝟏
+
𝟏− معادلة② 𝟐
نعوضها في معادلة①
نعوضها في معادلة②
و
𝟐
𝟏=
𝟏−
=
𝟒
𝟒
𝟐
𝟏− 𝟏− = 𝟏 𝟐 (𝟐 ) 𝟐
𝟏= −
𝟐
𝟐
−
𝟏 𝟎= 𝟐 𝟒 𝟐
𝟎=𝟏−
𝟐
= − 𝟐
𝟏= −
⇒
𝟐
(𝟐 𝟐
الجذران هما
𝟎=
)نضرب 𝟐 𝟒 (
=
𝟏 𝟐 ) 𝟐 𝟏− 𝟐 = تهمل 𝟐 𝟏− 𝟏 𝟏 𝟏 + , − 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
+
معادلة① 𝟏− = 𝟐
=
𝟐
𝟐
= −
𝟎=𝟏− =
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟐 −
𝟐
𝟐
=
𝟐
𝟎=𝟏+
𝟐
الطرٌمة ② / )
𝟏
−
𝟐 𝟏
الجذران هما
−
𝟐 𝟏
𝟏 𝟐
= )
(
𝟏
,
𝟐
=
𝟐
𝟐
,
𝟏
𝟏
𝟐 𝟏
𝟐
+
−
𝟐
(√ =
−
𝟏− 𝟐 𝟏
=
𝟐
𝟏
𝟐
𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 =√ − − =√ − + 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
𝟐
𝟏 𝟐
+
=
+
= −
مثال /جد لٌمة :
𝟐
𝟐
𝟒 = −𝟒 −
𝟐
𝟒−
+ 𝟓 −𝟏 − 𝟐
𝟒=
𝟐
𝟑− 𝟓+
𝟐− −
𝟐
𝟐 𝟐
𝟐= −
𝟏− 𝟐
=
𝟑 𝟐
𝟓+
𝟑− 𝟓+
𝟒
𝟏−
𝟑 𝟐
𝟓+
𝟑− 𝟓+
𝟒
𝟏−
𝟓−𝟓− 𝟒=
40
𝟑− 𝟓+
𝟐 𝟐
𝟏−𝟐 +
= −𝟒 −
𝟐
= −𝟒 𝟏 +
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة 𝟐 𝟐
مثال /كون المعادلة التربٌعٌة التً جذرا ا )الجذر األول(
𝟗=
)الجذر الثاني(
𝟔𝟏 =
𝟐
𝟑= −
𝟐
𝟒 =
𝟐
𝟐
𝟏−
𝟐−
𝟐+𝟐+
𝟐𝟐−
,
𝟏−
+ 𝟐 −𝟏 −
𝟐 =
𝟐
𝟐= 𝟐−
𝟐
𝟐−𝟐−
𝟐
− 𝟐 −𝟏 −
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟐
𝟏−
𝟐+ 𝟐
𝟐 =
مجموع الجذرين
𝟏−
𝟐 𝟐
𝟐= 𝟐−
𝟐 𝟐+
𝟐−
𝟓𝟐 = 6
حاصل ضرب الجذرين
𝟐
𝟐𝟐−
9 + 9 .
𝟒𝟒𝟏 = 6
𝟎 = ) حاصل ضرب الجذرين( ) +مجموع الجذرين( −
المعادلة التربيعية مثال /كون المعادلة التربٌعٌة التً جذرا ا
,
𝟏−
𝟐
𝟎 = 𝟒𝟒𝟏 − 𝟐𝟓 +
𝟐
𝟐
𝟏−
𝟐
3
الجذر األول
−i
−
=
−
=
3
الجذر الثاني مجموع الجذرين i = 2 + i حاصل ضرب الجذرين = i
−
i= 2 +
2
+i −
=
−
+ − − −i +
+3 +2
= 2
= 3
−
−
−3 −2
−4−9−6
= −6
حاصل ضرب الجذرين = −7
المعادلة التربيعية
−i
2
=
+ −
−i −i
.
𝟎 = ) حاصل ضرب الجذرين( ) +مجموع الجذرين( − − 𝟐+
𝟐
𝟐
𝟐−
𝟑
3
−3
=2
=3
مجموع الجذرين = −5i
=
2
−
=
𝟐
المعادلة التربيعية
مثال /كون المعادلة التربٌعٌة التً جذرا ا
+
−
=
−
−
3
+6
,
−2
+
i = 5i
=− 3+6
وزاري / 1999د1
𝟐
=2
−3
=2
−3
2
= 3
−2
= 3
−2
3
=5 i+5
+9 −
𝟐
𝟎=
𝟑−
+
+4
=6
= − 3+6 −
+2 2
+ 3
2
. 3
2
+2 2 +2
. 3
+3 +3
2 2
+3
2
𝟎 = ) حاصل ضرب الجذرين( ) +مجموع الجذرين( −
𝟐
𝟓− −
𝟐
𝟎=𝟕−
𝟓+
41
𝟐
𝟎 = 𝟕+ −
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الطرٌمة الثانٌة /طرٌمة االستبدال 𝟐 𝟐
مثال /جد الناته
𝟑+
𝟏=
𝟏−
مثال /بر ن أن
𝟑 𝟐
= −
=
= 2+3 −3−3
𝟐
)𝟐
𝟏 + 𝟒 −𝟏 −
) 𝟐
𝟑𝟐+
𝟏 𝟒𝟑+𝟓 +
𝟓𝟑+
−𝟏 + − −𝟐 − ) =. −𝟐 − −𝟏 +
/ 𝟏𝟏 + 𝟒 − 𝟗
𝟐
=
𝟒𝟏+
+ 𝟗
𝟐
=
𝟐 −
𝟓𝟑+𝟒 +
𝟏 − −𝟏 +
𝟐
𝟒𝟏+𝟐 𝟐 𝟏+𝟒 + (= ) = ) 𝟐 𝟏𝟐+ 𝟐𝟑
𝟐
مثال /كون المعادلة التربٌعٌة التً جذرا ا =3−4
الجذر الثاني
𝟐
(= ) 𝟐
𝟓−
+5+5
,
= =2−
مجموع الجذرين =2 − 6 − 6 − − حاصل ضرب الجذرين
𝟐
= ) 𝟐
𝟐−
−6 +2+2
=7+4
𝟏 𝟒𝟑+𝟓 +
𝟐 𝟏 𝟏 (= ) 𝟒−𝟒− −𝟐 −
𝟏−𝟑 − = 𝟗 𝟑
الجذر األول
(
𝟏 𝟑 + 𝟒 + 𝟓 −𝟏 −
−
𝟐
= 2+3 +3 − −
𝟏
𝟐
𝟓𝟑+
−
−
𝟐𝟏+ (= ) 𝟐− − 𝟏 𝟒𝟑+𝟓 +
𝟐−
𝟐
−
𝟐
𝟏 𝟓+
( 𝟒𝟑+
𝟏 𝟓−𝟓−
𝟐
𝟐
( 𝟒𝟑+
−𝟏 + + 𝟐 + ( 𝟐−𝟐 + − 𝟏 ( 𝟓𝟑+𝟒 +
𝟔𝟏−
−6 −2 − − −5 − −
=
=2−
= =3−4 +7+4 = 2 + 2 − 28 − 6
= 37
2+3 +3
−6 −2 2−
−5
3−4
+ 7+4
=2 − 6 + 6+ 6
𝟎 = ) حاصل ضرب الجذرين( ) +مجموع الجذرين( − المعادلة التربيعية
𝟎 = 𝟕𝟑 − 𝟏𝟎 +
𝟐 𝟐
الطرٌمة الثالثة /معامالت البسط والممام متساوٌة مثال /جد الناته
𝟑𝟏𝟎 + 𝟎𝟏𝟑 𝟐 +
=
42
+3 +
3
=
+3 +
+3 = + 3
3
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة 𝟒
−
مثال /أثبت أن 𝟗 = ) 𝟒
/
−
𝟐−
𝟐
𝟐
− 𝟐−
−
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟐
−
𝟐
𝟗=
𝟐
(
−
𝟒
− −
𝟑
𝟐 𝟐
𝟐
− 𝟐−
/ = .
𝟑= −
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟐 𝟐
𝟑 = )
−
𝟑
𝟑
(=
𝟒
− −
/ = .
𝟐
− −
−
−
𝟐
− 𝟒
𝟒
𝟑
=
𝟒
−
𝟐
.
= )
−
𝟏
(
الطريقة الرابعة /أيجاد المضاعف المشترك 𝟐
مثال /أوجد الناته
𝟏
+ 𝟐
−
𝟐+
− 1 +2 + +
𝟏 𝟐+
*
− = 1 3
−2 9
𝟏−𝟑 − = 𝟗 𝟑
مثال /أثبت أن
𝟓𝟕− 𝟗𝟔𝟏
𝟐
= )𝟐 𝟐
= / 𝟐
−2− +2 +
1 =0 4+2
𝟓 𝟑−
=
−
−
=
𝟗
+
𝟐− 𝟗
=
𝟐+ 𝟐− / 𝟗𝟔𝟏
=0 5+2
+
+
𝟐− 𝟗
𝟐
𝟑− ) = 𝟐𝟓 . 𝟐 𝟑−
𝟏 − 𝟑−
𝟐
𝟏 ( 𝟓𝟐 = ) 𝟐 𝟑− 𝟐
− 𝟐+ − 𝟐+ = 𝟓𝟐 = 𝟓𝟐 / . / . 𝟑 𝟑 𝟏𝟎 − 𝟑 𝟐 − 𝟏𝟎 + 𝟑 − 𝟐 − 𝟐
𝟒
/ = 𝟐𝟓 .
=
(
𝟐
/
−
2+
2+
𝟑− 𝟐
− 𝟑− 𝟐 𝟑−
− 2+ 2+
− 1 =0 1 = 0 5+2 −
𝟐−
𝟓
2+ 1 =0 4+2
2+ ] =0 2+
−
[
−𝟐 𝟑+ 𝟗𝟔𝟏
𝟐
𝟒
/ = 𝟐𝟓 .
𝟐
−𝟑+ 𝟐−𝟑 +
𝟑− 𝟐𝟓 . 𝟑𝟗−
𝟐
− 𝟐+ − 𝟐+ = 𝟐𝟓 . / = 𝟐𝟓 . 𝟏 𝟑 𝟏𝟎 + 𝟑𝟏
𝟐+ 𝟐 − 𝟐 −𝟏 − 𝟑− 𝟓𝟕− =) / = 𝟐𝟓 . ( 𝟓𝟐 = / 𝟗𝟔𝟏 𝟗𝟔𝟏 𝟗𝟔𝟏 𝟗𝟔𝟏
43
𝟓 − 𝟑−
𝟓 ( 𝟑−
𝟐+ 𝟐 − / = 𝟐𝟓 . 𝟗𝟔𝟏
𝟒
= 𝟐𝟓 .
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
تمارين − 3 س / 1أكتب الممادٌر التالٌة فً أبسط صورة : ,
𝟒𝟐 −
𝟓𝟗 +
𝟏
𝟏+
𝟐𝟑−
𝟐𝟏 𝟐𝟑−
𝟒𝟔
𝟏+ 𝟒𝟔
=
.
= 𝟏.
𝟏𝟐 𝟑
=
𝟒𝟔
𝟓𝟐𝟑− 𝟑 𝟐
=
𝟖𝟎𝟏−
.
𝟏 =
𝟏
.
𝟖𝟎𝟏𝟑 −
=
𝟏−
.
𝟒𝟐𝟑−
𝟓𝟐𝟑−
=
𝟏 𝟐𝟏 𝟐𝟑−
𝟏 𝟏= 𝟖 𝟏
=
𝟏 𝟖 𝟑
=
𝟏 𝟒𝟐
=
𝟏 𝟐𝟏 𝟐
=
−
𝟏 𝟏+
𝟐𝟏
=
𝟏 −𝟑𝟐 .
𝟐𝟏 𝟑𝟑
𝟏+
=
𝟏+ 𝟏
𝟐𝟏 𝟐𝟑−
𝟒𝟐 − 𝟐
=
𝟏
𝟏 𝟑.
=
=
𝟏 𝟒
=
𝟏 𝟒
−
=
𝟒−
= −
𝟏+
𝟏+
𝟒𝟐 −
𝟏+
𝟓𝟗 + 𝟐
=
𝟐
= 𝟏.
𝟐
.
𝟑 𝟑
=
𝟓
.
𝟗
=
𝟓𝟗 +
س / 2كون المعادلة التربٌعٌة التً جذرا ا : 𝟐
,𝟏 +
مجموع الجذرين
𝟏=𝟏=𝟐−
=𝟐+
+
حاصل ضرب الجذرين
=
= 𝟏+𝟏 +
+ =
−
= −
+
𝟏+
+ +
+ +
.
𝟎 = ) حاصل ضرب الجذرين( ) +مجموع الجذرين( −
𝟐
−
𝟐
المعادلة التربيعية
44
𝟎=𝟏+
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟐
,
𝟐− 𝟐
𝟐
− +
𝟐 + = 𝟐𝟓−
𝟐− 𝟐 + 𝟐 𝟐− 𝟐 − 𝟐+𝟐 𝟐− = = 𝟐− 𝟐 𝟐− 𝟒−𝟐 −𝟐 𝟐+ 𝟐 + 𝟏− = = مجموع الجذرين 𝟏𝟓 − 𝟐 − 𝟕 𝟑 𝟏 = = حاصل ضرب الجذرين 𝟐 𝟐− 𝟐− 𝟕
𝟒 𝟑
حاصل ضرب الجذرين
المعادلة التربيعية
س / 3اذا كان + 𝟏 = 𝟎 :
+
+
𝟐
𝟏
𝟏−
𝟕
𝟕
𝟎=) () +
𝟏−
𝟑− 𝟐
𝟐−
وزاري / 2011د2
𝟐
𝟑= 𝟐 𝟑
𝟐
𝟐
𝟗=
− 𝟑=/ − −𝟑 𝟐 − 𝟑=. / −
𝟑+
.
𝟑
𝟑−
+
𝟑−
𝟑
, 𝟑
𝟑 𝟐
𝟑
𝟑 𝟐
𝟐
𝟐
= 𝟐
=
𝟑−
𝟑− −
𝟐
𝟑+
𝟐
𝟐
𝟑
𝟏𝟏 𝟑𝟏+𝟑 𝟏𝟎 +
فجد قيمة 𝟒𝟏−
𝟐
+
𝟐
𝟎 = ) حاصل ضرب الجذرين( ) +مجموع الجذرين( − 𝟎 = 𝟗+ −
𝟑
𝟑− 𝟐
𝟖 𝟑𝟏−𝟑 𝟕 −
= =
𝟐
𝟐−
وزاري / 2014د3
𝟎=𝟗−
𝟐
𝟐
(−
+
𝟗= −
𝟐−
𝟐−
𝟐
وزاري / 2015د3
مجموع الجذرين 𝟑= 𝟑 −𝟏 = −
+ 𝟐
𝟎 = ) حاصل ضرب الجذرين( ) +مجموع الجذرين( −
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏 𝟏 𝟎= + 𝟕 𝟕
المعادلة التربيعية
𝟐
𝟐−
=
=
𝟏 𝟏 𝟒𝟏− 𝟏− = 𝟏 𝟐
)بالدستور( 𝟏−
3 2
= 𝟒−
= 𝟏− 𝟐
+
+
𝟐
− 𝟐 𝟑
=
𝟏− 𝟐
)الجذر األول(
3 = 2
+
)الجذر الثاني(
3 = 2
−
𝟏− 𝟐 𝟏− 𝟐
= =
= =
= 𝟏𝟏 − 𝟑 −𝟐 − = = 𝟑𝟏+ 𝟒 𝟐
=
+ +
+3 −3
=
+3 −3
+3 −3
=
. .
+3 −3
. .
+3 −3
=
نعيد الحل مرة أخرى بنفس الطريقة أليجاد قيمة المقدار
45
+3 −3 𝟐
+3 −3
=
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
وزاري / 2011د1
س / 4أثبت أن :
وزاري / 2015د1
𝟏− 𝟑 𝟐
/
− +
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐𝟓+
𝟐
−𝟐− 𝟐𝟐+ +
/ =. 𝟑
𝟐+ 𝟐𝟒+
𝟏−𝟏 − 𝟐 −𝟑 − = = = . . 𝟗 𝟗 𝟑
𝟐
/ = .
=
𝟐−
𝟐
𝟐
+
= )
𝟐
𝟐
𝟑
𝟒
+
𝟐
𝟐
𝟐+ 𝟐+
=
𝟗
𝟐
) =. 𝟐
− 𝟐+ 𝟐+
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟐−
𝟐
𝟏 𝟐+ 𝟏 𝟐+
−
𝟏 𝟐+
− 𝟐
=
𝟑
𝟏 𝟐+
− 𝟐
𝟏 − 𝟏 −𝟏 − = 𝟐 − 𝟐 −𝟏 −
𝟐
+ +
𝟐
.
𝟐 𝟑
𝟏− = 𝟐 . 𝟐−
+ +
𝟑
𝟐
𝟐
=
𝟒𝟏
𝟐 𝟏− = 𝟐𝟓− 𝟑 𝟒
( = . .
𝟐𝟓−
𝟕
(
+ 𝟏𝟎 +
𝟒𝟏
𝟑 𝟏+ 𝟕− . 𝟎𝟏 = الطرف األيسر = 𝟑 𝟑 𝟓 . + 𝟐− 𝟐 𝟐− = = الطرف األيمن = 𝟑 𝟑−
وزاري / 2014د1
𝟖𝟏 = ) 𝟐
الطرف األيمن = 𝟖𝟏 =
𝟑
𝟓− 𝟖𝟏 =
𝟐
𝟏+ 𝟐
𝟔−
+
𝟐)= 𝟏− 𝟐
𝟑= −
𝟓
𝟓−
𝟐
+ −
𝟑
−
𝟓
) (𝟏 +
−
𝟐
− +
الطرف األيمن = 𝟐= −𝟏 − 𝟏 = −
𝟔
−
𝟑
=−
𝟑 𝟐
𝟐 𝟐
+ 𝟐
الطرف األيسر
= (𝟏 −
= 𝟏 − 𝟐 + −𝟏 −
𝟐= − = −
) (𝟏 +
𝟐
𝟐
(𝟏 −
𝟑
𝟑
+ 𝟏+
+ 𝟏+ 𝟑 𝟐
𝟑 𝟐
𝟏+
= 𝟏 +الطرف األيسر
******************************************************************
التمثٌل الهندسً لؤلعداد المركبة بالمحور − حٌث ٌسمى المحور , ٌمكن تمثٌله ندسٌا ا بالنمطة + العدد المركب فٌسمى المحور التخٌلً و و ٌمثل − الحمٌمً و و ٌمثل الجزء الحمٌمً للعدد المركب ,أما المحور الجزء التخٌلً للعدد المركب ,وٌمكن تمثٌل بعض العملٌات التً تجري على األعداد المركبة تمثٌالا ندسٌا ا وتسمى األشكال الناتجة بأشكال أرجاند وٌسمى المستوي الذي ٌحتوٌها بالمستوي المركب .
46
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
أذا كان 𝟐, 𝟐
𝟏 𝟐
+ فأن : 𝟏
=
𝟏
,
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟐
+
=
𝟐
عددان مركبان ممثالن بالنمطتٌن
𝟐
𝟐
وٌمكن تمثٌل 𝟐 + وكما موضح بالشكل :
𝟏
بالنمطة
𝟐
+
𝟏
,
𝟐
+
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟏
𝟑
+
𝟏
+
𝟐
+
,
𝟏
=
𝟏
𝟐
مثال ( / )22مثل العملٌات األتٌة ندسٌا ا فً شكل أرجاند : 𝟐+ 𝟓+ 𝟒 𝟑, 𝟐 𝟓,
𝟑
𝟏 𝟐
𝟐= 𝟑+𝟒 + 𝟓+ 𝟔= 𝟑 = 𝟖+
𝟐𝟔, − 𝟓 −𝟐,
𝟏 𝟐
𝟒𝟑+
𝟒=𝟑+ 𝟐=𝟓+
𝟓− 𝟐−
𝟐 𝟐
𝟏 𝟐
+ 𝟏+ 𝟏
𝟐𝟔−
𝟐=𝟔− 𝟓=𝟐−
𝟏 𝟐
𝟓 + − 𝟐 = 𝟔 − 𝟐 + −𝟐 + 𝟑𝟏+ 𝟐 = 𝟑 = 𝟒+ 𝟑𝟑 = 𝟒+ 𝟑 𝟑 𝟒, 𝟏
47
𝟏
+
𝟏
وذلن بأستخدام المعلومات المتعلمة بالمتجهات
أي أن ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑𝟏 + ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑𝟐 = ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑𝟑 :
𝟔 𝟖,
𝟏
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
تمارين − 4 س / 1أكتب النظٌر الجمعً لكل من االعداد األتٌة ثم مثل ذه االعداد ونظائر ا الجمعٌة على شكل أرجاند . =
𝟒
,
=𝟏−
تمثٌله البٌانً
𝟑
,
𝟑 = −𝟏 +
نظٌره الجمعً
العدد
𝟑 𝟏 = −𝟐 − 𝟑 𝟏 = −𝟐 , −
− −
𝟑𝟏 =𝟐+ 𝟑𝟏 = 𝟐 ,
𝟐
− −
𝟐
𝟑 = −𝟏 + 𝟑 𝟐 = −𝟏 ,
𝟑
− −
𝟑
=𝟏− 𝟏𝟑 = 𝟏 , −
𝟒
− −
= 𝟏𝟒 = 𝟎 ,
𝟑=𝟏− 𝟑 𝟐 = 𝟏 ,−
= −𝟏 + 𝟏 𝟑 = −𝟏 ,
=− 𝟏𝟒 = 𝟎 , −
48
𝟐
,
𝟑=𝟐+
𝟏
𝟒
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
س / 2أكتب العدد المرافك لكل من االعداد التالٌة ثم مثل األعداد ومرافماتها على شكل أرجاند 𝟐= −
𝟒
,
=𝟏−
تمثٌله البٌانً
𝟑
,
𝟐 = −𝟑 +
𝟐
مرافك العدد
49
,
𝟑=𝟓+
𝟏
العدد
𝟑 ̅𝟏 = 𝟓 − 𝟑 ̅𝟏 = 𝟓 , − 𝟏
𝟏
𝟑=𝟓+ 𝟏 𝟑𝟏 = 𝟓 ,
𝟐 ̅ 𝟐 = −𝟑 − 𝟐 ̅ 𝟐 = −𝟑 , − 𝟐
𝟐
𝟐 = −𝟑 + 𝟐 𝟐 𝟐 = −𝟑 ,
̅𝟑 = 𝟏 + 𝟏 ̅𝟑 = 𝟏 , 𝟑
𝟑
=𝟏− 𝟑 𝟏𝟑 = 𝟏 , −
𝟐 = 𝟒̅ 𝟐 ̅𝟒 = 𝟎 , 𝟒
𝟐= − 𝟐𝟒 = 𝟎 , −
𝟒
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
س / 3أذا كان
𝟐= 𝟒+
س / 4أذا كان
𝟐=𝟒−
أعداد /األستاذ علً حمٌد
فوضح على شكل أرجاند كآل من
,−
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
,
= 4,2 = 4 , −2 − = −4 , −2
𝟏
=𝟏+𝟐 ,
𝟐
=4+2 =4−2 − = −4 − 2
فوضح على شكل أرجاند كآل من : +
𝟐
−3
= −3 , −6
= 8 , −4
𝟏
,
𝟐
−
𝟏
= −3 − 6 2
,
𝟏
+2
=8−4
𝟐 ,
𝟑−
𝟐
−3
= −3 = 2 4−2
= 3−4
= 4 − + −2 − 2 = 3, −4
+2
= 4−2 − = = 3−4
− −
= 5+ i
= 4 + + −2 + 2 = 5,
= 4−2 + +2 = = 5+ i
+ +
50
2
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الصورة المطبٌة 𝒎𝒓𝒐𝑭 𝒓𝒂𝒍𝒐𝑷 للعدد المركب ارا كان
,
+
=
فان
=
=
انجضء انحقٍقً نهعذد انمشكب حقٍقً غٍش سانب وٌسمى = أو ٌكتب
حٍث
و
=
=
انجضء انتخٍهً نهعذد انمشكب )
( مقٍاط انعذد انمشكب وهو عذد
𝟐[ 𝟎 ,
وٌمكه انقول أن
‖ ‖=
+
= 𝟐
مثال ( / )23اذا كان 𝟑 = 𝟏 +
فجد الممٌاس والمٌمة األساسٌة لسعة 𝟐= 𝟑= 𝟏+
الربع األول
=
وٌشمض نه بانشمض ‖ ‖ و تسمى ( 𝜃 ) سعة انعذد انمشكب وتكتب
+
𝟑
حٍث أن
𝟑 𝟐
=
=
‖ ‖
=
𝟐
+
=‖ ‖=
‖
‖= =
‖
‖= =
. 𝟐
+
𝟐
=‖ ‖= 𝟏 𝟐
=
=
‖ ‖
=
=
𝟑
مثال ( / )24اذا كان
= −𝟏 −
فجد الممٌاس والمٌمة األساسٌة للعدد 𝟐 = 𝟏= 𝟏+
الربع الثالث
𝟒
=
𝟏− 𝟐
=
‖ ‖
=
=
=
. 𝟐
+
𝟐
=‖ ‖= 𝟏− 𝟐
=
𝟓 𝟒
51
=
‖ ‖
=
𝟒
=
+
= =
=
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
مثال ( / )25عبر عن كل من االعداد التالٌة بالصٌغة المطبٌة : وزاري / 2013د1
وزاري / 2012د2
𝟐−𝟐+ 𝟐 = −𝟐 +
𝟐𝟐 𝟑− 𝟐= 𝟐 𝟑− 𝟒 = 𝟏𝟐 +
𝟑 𝟐
𝟏− 𝟐
𝟐
= =
+
𝟐
𝟑 𝟐 𝟒 𝟐−
𝟏𝟏 𝟔
𝟒 =
𝟏𝟏 ) 𝟔
𝟒= 𝟒+
= =‖ ‖= 𝟒 = 𝟔𝟏 =
= =
𝟔
‖ ‖ ‖ ‖
=
=
=
=
𝟏− 𝟐
𝟏
=𝟐 − 𝟏𝟏 + 𝟔
( 𝟒=
𝟐−
=
𝟐 𝟐
𝟐
=
𝟐 =
𝟐
+
𝟐
𝟐 𝟐 𝟑 𝟒
= =‖ ‖= 𝟐 𝟐=𝟖 =
= =
=
𝟑 ) 𝟒
‖ ‖ ‖ ‖
𝟒
−
= =
= =
=
𝟑 + 𝟒
= ( 𝟐 𝟐=
مثال ( / )26عبر عن كل من االعداد التالٌة بالصٌغة المطبٌة : −
𝟏 − 𝟎 +
𝟎
𝟏= 𝟎𝟏=𝟏+
+ )
𝟏 = 𝟎 − 𝟏 = −𝟏 + +
𝟐
𝟑 ) 𝟐
𝟏
( 𝟏= =𝟎+
𝟐
𝟑 + 𝟐
( 𝟏 = − = 𝟎−
مالحظة من خالل المثال ( )26السابك نستنته طرٌمة ٌمكن تطبٌمها على األعداد المركبة وكما ٌلً : 𝟎
𝟎 + )
𝟐
+ 𝟑 + 𝟐
𝟑 ) 𝟐
52
𝟑= +
𝟐=
𝟐
𝟎𝟑= 𝟑 𝟏 =𝟑 𝟏+ (𝟓 =
𝟓 = 𝟓 𝟎+
𝟎 −𝟐 = 𝟐 −𝟏 = 𝟐 −𝟏 +
(𝟕 =
=𝟕 𝟎−
−𝟕 = 𝟕 −
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
مبر نة دٌموافر 𝒎𝒆𝒓𝒐𝒆𝒉𝑻 𝒔 𝑫𝒆 𝑴𝒐𝒊𝒗𝒓𝒆′ لكل لكل
−
,
فأن
+
=
+
=
,
فأن
−
=
−
=
𝟏−
= 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑,
, 𝟒
𝟑
مثال ( / )27أحسب )
𝟖
𝟑 )=𝟎− 𝟐 مثال ( / )28بين لكل ]
−
𝟐𝟏 (=) 𝟖
(
+
فأن
, [=
+
)+
(
(
𝟖
𝟑 𝟐
+
))
𝟑
+
𝟐+
𝟐+
(
𝟏 ) (
=
+ −
وبجعل
−
=
= ]
=−
−
=
−
−
+
+
= الطرف األيسر −
[= [=
+ +
=
−
مالحظة الموانٌن التالٌة مهمة فً عملٌات التبسٌط :
53
(
−
−
= ]
+ =
𝟐𝟏 𝟖
𝟒 𝟑 (= ) 𝟖
𝟑 𝟖
+
=
+
−
=
−
−
=
+
+
=
−
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة 𝟏𝟏
مثال ( / )29أحسب بأستخدام مبر نة دٌموافر = 2
4
+
. 𝟏+
=
=
8 +3 8 +3 ( ( )+i i )) 4 4
=‖ ‖=
+ =
2
)) ( ( ) + i i 4 4
(
(
وزاري / 2013د2
2
2
= ))
2
=
( ))+
2
( )+
= −32 + 32
2
𝜃 𝜃+i i ( )+i i
4
] = 32 − +
2
+
− 2
2
(
4
(2 +
( )−
3 )/1 = 32 4
[ 2
=
2
3 3 )) ) + i i (2 + 4 4 ( ( )) +
وزاري / 2015د1 +
=𝜃
=
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
‖ ‖
=
=
+
(
2
=
2 2
=
(* 2
= 32
(2 0
= 32
3 ( )) + . 4
(
=𝜃
=
( 2
=
مالحظة −
−
=
−
+
−
=
+
=
−
مثال ( / )30حل المعادلة 𝟎 = 𝟏 +
𝟑
𝟐 = 𝟎, 𝟏,
=
−
حٌث ℂ
بالجذر التكعيبي )
−
𝟐+ 𝟑
+
=
(
)+
𝟏 𝟑 = + 𝟐 𝟐
𝟑
𝟏= − 𝟐+ 𝟑
) ( 𝟑
𝟏= −𝟏 + 𝟎 = −
=
(
𝟏 𝟑
( )+ 𝟑 +
𝟓 ) 𝟑
𝟏 𝟑 = − 𝟐 𝟐
(
𝟏 𝟑 , −𝟏 , + مجموعة الحل للمعادلة هي 3 𝟐 𝟐
54
𝟑
𝟎=𝟏+
𝟓 )+ 𝟑
(
𝟏 𝟑 2 + 𝟐 𝟐
+
=
=
𝟎=
=
𝟏=
=
𝟑
𝟐=
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
مثال ( / )31أوجد الصٌغة المطبٌة للممدار :
𝟐
𝟐=𝟏= 𝟑+
𝟔 )
𝟑
+
𝟑
(𝟒 =
75
ثم جد الجذور الخمسة له .
𝟑+ 𝟐
+ 𝟏 𝟐
=
𝟐
=‖ ‖=
=
𝟐
𝟔
𝟐( )+ 𝟑 7+i i 6 𝟓
𝟐( )+ 𝟑 6 𝟓
])
𝟓 𝟑
𝟓 + 𝟑
= )
4
𝟔+ 𝟑
+
𝟑
5+
(
+
𝟔
𝟏 𝟓
‖ ‖
𝟔
𝟏 ( )𝟓(𝟒
𝟑
𝟔+ 𝟑 𝟓
4
46
𝟔+ 𝟓𝟏
(
[𝟒
)+ 𝟓
=
𝟕 + 𝟓𝟏
𝟒
𝟓
=
𝟐
𝟏=
𝟑𝟏 𝟓𝟏
𝟑𝟏 + 𝟓𝟏
𝟒
𝟓
=
𝟑
𝟐=
𝟗𝟏 𝟓𝟏
𝟗𝟏 + 𝟓𝟏
𝟒
𝟓
=
𝟒
𝟑=
𝟓𝟐 𝟓𝟏
𝟓𝟐 + 𝟓𝟏
𝟒
55
+
𝟓𝟏
𝟒
𝟓
=
𝟓
=
(𝟐 =
𝟏
𝟕 𝟓𝟏
𝟒
)
=
=
𝟎=
𝟓𝟏
𝟓
𝟐
44
𝟔+ 𝟑 𝟓
57
=
= 𝟑 𝟐
( 𝟐𝟐 =
𝟔
𝟒 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑,
= 𝟑+
=
𝟐
)
+
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟒=
=
𝟏 𝟓 𝟐
=
𝟓
=
𝟐
𝟓
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
تمارين − 5 س / 1أحسب ما ٌلً : 𝟒
( − )+ 𝟔
𝟓 *=] 𝟔
( − )+ 𝟔
( 𝟔 )+
+
(𝟔) −
𝟎𝟐 [=] 𝟒𝟐
𝟓 𝟔
* ( 𝟔 )+ +
𝟎𝟐 𝟒𝟐
+
𝟏 𝟑 − + 𝟐 𝟐
+
=−
𝟔
𝟑− 𝟕 ] 𝟐𝟏
𝟕 ] 𝟒
−
𝟕− [=] 𝟒
𝟕 𝟒
+
𝟕− 𝟒
+
(𝟐 − )+ 𝟐
( 𝟒 )+
𝟏 𝟐
+
* ( 𝟒 )+ −
𝟏
(𝟐 − ) − (𝟒) +
𝟐
*=
( )+
𝟐
=
𝟒
𝟐
=) (
𝟐
𝟒
𝟐
+
𝟕 𝟐𝟏
[ *=
𝟒
(𝟒) −
𝟕 𝟐𝟏
[
𝟑− 𝟕 [= ] 𝟐𝟏
𝟏𝟐− 𝟐𝟏
+
𝟐
[
* =
𝟔
𝟏𝟐− [=] 𝟐𝟏
+
𝟓 𝟒𝟐
𝟒 𝟓 [= ] 𝟒𝟐
(𝟔) +
=
𝟓 ] 𝟒𝟐
+
𝟓 𝟒𝟐
[
𝟒
س / 2أحسب بأستخدام مبر نة دٌموافر (أو التعمٌم ) ما ٌأتً : وزاري / 2012د1 𝟕 𝟏− = 2 7 4
الربع الرابع
=
4
=2 −
+
=
+ −
,
2
7 7 +i i ) 4 4 ( + 2 ) + i i ( + 2 )+ 4 4 )+
2
) (4 i ( )+ 4
+
2
( )+ 4
=‖ ‖=
=
( 2
*
=𝜃 2 2
=
=
2
𝜃 𝜃+i i
) ) + ( i (4 )+ = 8
2
) ( )+ ( i
−
4
= 8+8
) (4
2
+
2
‖ ‖
=
49 49 +i i =) 4 4
2
56
= ,
) (4
* 2
−
( (*
) (
]=8 2
4
+
𝟕
=
= =𝜃
= 𝟏− 2
=
2 2
=
(* 2
=8
[ 2
=8
2
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
وزاري / 2014د2 𝟗−
=2 الربع األول
6
= 3+
=‖ ‖=
+
=
2
−
=
𝟑+ = 𝟑+
= 𝟑 2
=𝜃
𝟗−
س / 3بسط ما ٌأتً :
5 2
وزاري / 2013د2
𝟑 𝟎𝟏
=
+
+ +
𝟗
=
𝟒
] 𝜃 i
[
𝜃 𝜃i 4
𝜃 i
4𝜃 +
𝜃+ =
𝜃 i
𝜃−
= ] 𝜃 i
𝜃−
𝜃 i
= ] 𝜃 i
𝜃+
س / 4باستخدام مبر نة دٌموافر جد الجذور التربٌعٌة للعدد المركب =
+3 = 4=2 2 = − الربع الثاني 3 3 ) ( 2 2 ( =2 )) ( ( ) + i i 3 3 2 +6 2 +6 3 3 4 5+i i 4 57 2 2 ) (
) (
−
𝜃 i
=
) (
𝜃 𝜃+i i 57 = 2 6 ])
𝟏 = 𝟎,
𝟐 𝟑
𝟑
𝜃
+
𝟐 + 𝟑 +
𝜃 i
𝜃+
=
𝜃 i
𝜃+
=
[ 𝜃 i
𝜃+
=
=
) (
=− + 3
= 𝟏− 2
,
=
‖ ‖
=
=𝜃
= √− + 3 = − + 3
2 +2 5+i i 4 3 2
2 +2 43 2
= 26
2 +6 ( )+i i 6
2 +6 ( 6
[= 2
2 2 𝟏 𝟑 𝟏 𝟑 )+ ( ( )] = 2 + ) = 2. + + =/ 6 6 𝟑 𝟑 𝟐 𝟐 2 2 8 8 𝟒 𝟒 ( )+ ( ( )] = 2 + *𝟐 = ) ( + )+ ( + )+ 6 6 𝟑 𝟑 𝟑 𝟑 ( )− * ( )] + ( )+ ( )+ 𝟑 𝟑 𝟑 𝟑 𝟏− 𝟑 𝟏− 𝟑 ( )− ( )] = 2 . − − =/ 𝟑 𝟑 𝟐 𝟐 2 2
−
+
[
(
57
𝟓
𝜃+ 𝜃+
5 2
=
𝟑 −𝟏 +
=‖ ‖= 3 = =𝜃 2
+
𝟐 𝟑
𝟖
𝜃 i
2
𝟐 + 𝟑 +
[ = [
+ +
𝟑] 𝟑
(
=
−
=] [ − −
𝟓
𝟓] 𝟐
𝟑+
=
−
‖ ‖
= − ( 𝜃+i i 𝜃 − =2− +i i ) 6 6 −9 −9 −3 −3 ( ( )+i i = )) ( ( ( )+i i = )) ( 6 6 5 2 2 2 5 2
3 3 −i i ) 2 2
−
=
=
=𝜃
[= 2 [= 2 [= 2 = 2[−
𝟎= 𝟏=
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
س / 5باستخدام مبر نة دٌموافر جد الجذور التكعٌبٌة للعدد المركب 𝟕𝟐 = الربع االول 𝟏 ) ( 𝟑
)
𝟐 +
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
=𝟐 + 𝟕𝟐 = 𝟏= 𝟕𝟐
𝟕𝟐
= 𝟏 ) ( ( 𝟑
𝟐 = 𝟎, 𝟏,
=‖ ‖= =
𝟐+
55
𝟑
𝟑 𝟏 𝟑 𝟑 𝟑 = ( )] = 𝟑 0 + 1 + 6 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 5 * 𝟑 = ]) ( ( − )+ ( − )+ 6 6 6 𝟏 𝟑 − 𝟑 𝟑 𝟑− ( )+ = 𝟑 0 =+ 1 + 6 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟑= −
3 ( )] = 𝟎 + 𝟑 − 2
س / 6جد الجذور األربعة للعدد
3 )+ 2
9 [ 𝟑 = ]) 6
(
= ,
+
𝟏 ) ( 𝟑
𝟐4
5+
( )+ 6 5 ( )+ 6 ( )+ 6
=
𝟎 𝟎= 𝟔𝟏 𝟏 ) ( 𝟒
+
𝟔𝟏 =
=
=4 𝟐 ] = 𝟐+
𝟏 𝟐
=
𝟏 ) ( 𝟒
,
𝟑
))
+2
𝟏 ( )] = 𝟐 [ + 4 𝟐
]) ( 𝟒
( )+ 𝟒
( − )] = 𝟐[− 𝟒
( − )+ 𝟒
]) ( 𝟒
( )− 𝟒
( + )] = 𝟐[− 𝟒
( + )+ 𝟒
𝟑 [𝟐 = ]) 𝟒
𝟓 [𝟐 = ]) 𝟒
[= 3 [= 3
𝟏=
]) (𝟐 − 𝟒
𝟕 [𝟐 = ]) 𝟒
(𝟐 − ) + 𝟒 𝟏
𝟐 ] = 𝟐− 𝟐
𝟏 ( )] = 𝟐 [ − 𝟒 𝟐
58
𝟑
=
𝟑
=
𝟑
𝟑
𝟐=
[= 3
𝟔𝟏= −
𝟔𝟏− 𝟏= − 𝟔𝟏 =
𝟏 ) ( 𝟒
𝟐
𝟐
(
[= 2
+
[𝟐 = 𝟏− 𝟐
𝟓 ( )+ 𝟒 𝟏
‖ ‖
−
=
𝟏−
(6
𝟒
= =
𝟎=
𝟐
𝟏=
[𝟐 = [𝟐 =
𝟐
=
𝟔𝟏−𝟏𝟔 = −
𝟑 ( )+ 𝟒 𝟏
=
+2
( )+i i
𝟐 ] =− 𝟐− (
𝟐4
𝟐𝟕 4
=
𝟐 ] =− 𝟐+ (
𝟕𝟐 = 𝟕𝟐
𝟎=
( )+ 4 (
=
= 𝟑 *−
𝟏 ) ( 𝟒
+
𝟏 ) ( 𝟑
𝟐+
9 ( )+ 6
(
𝟕𝟐 =
𝟎 = = 𝟎= 𝟕𝟐 ‖ ‖
𝟔𝟏 −باستخدام مبر نة دٌموافر . = 𝟐 𝟐+ =‖ ‖= 𝟔𝟏 = 𝟐 𝟔𝟏 =
𝟏 ) ( 𝟒
𝟕𝟐
𝟏 ) ( 𝟑
𝟕𝟐 =
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟑
𝟐=
[𝟐 =
𝟕 ( )+ 𝟒
[𝟐 =
( )− 𝟒
[𝟐 =
𝟒
𝟑=
𝟒
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
س / 7جد الجذور الستة للعدد
أعداد /األستاذ علً حمٌد
−64بأستخدام مبر نة دٌموافر . = 64
64
3 2 )
3 ( 3 +i i ) 2 2
3 +4 ( )+i i 2
])
]
𝟏 𝟐
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
=
+
𝟒𝟔− =− 64
=
(
) (
= 64
3 +4 ( 2
𝟏 ( )+ = 𝟐 [ + 𝟒 𝟐
=‖ ‖=
) (
=
𝟎 = 64
,
) (
=
) (
3 * 𝟐 = ]) ( 2
=
‖ ‖
=𝜃
=
−64 = −64
3 +2 5+i i 4 2 6
[ 57 = 2
( )+ 𝟒
=
=𝜃
𝜃 𝜃+i i
= −64
3 +2 42 6
3 ( )+ 2
=
64 6
[= 2
=
𝟎=
𝟐 = 𝟐+ ]) ( + 𝟒 𝟑
𝟕 [𝟐 = ]) ( 𝟐𝟏
( + )+ 𝟒 𝟑
𝟕 ( )+ 𝟐𝟏
[𝟐 =
𝟏=
𝟐
(* 𝟐 =
) ( ( )− ) ( ( ( )) + ) ( ( )+ ) ( ( ))+ 𝟑 𝟒 𝟑 𝟒 𝟑 𝟒 𝟑 𝟒 𝟏 𝟏 𝟏 𝟑 𝟏 𝟑 𝟏 𝟏 𝟏 𝟑 𝟑 𝟏 = 𝟐 0. − + − + /+ . /1 = 𝟐 0. /+ . /1 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏𝟑+ 𝟑 𝟏− + = /1 𝟐 𝟐 𝟐
𝟏𝟑+ 𝟐 ]) 𝟐𝟏 ( ))+ 𝟐𝟏
( −
( )− 𝟐𝟏 ( − )+ 𝟔 𝟒
( ))+ 𝟔
)+ 𝟐𝟏
𝟏𝟏 [𝟐 = ]) 𝟐𝟏
( −
( ( )) + 𝟐𝟏 ( − )+ 𝟔 𝟒
𝟏𝟏 ( )+ 𝟐𝟏
(
( )+ 𝟐𝟏 ( )+ = *− 𝟐𝟏
[𝟐 =
𝟑
𝟐=
(* 𝟐 =
( )+ 𝟐𝟏
= 𝟐 *−
) ( ( )+ ) ( ( ( )) + ) ( ( )− ) ( 𝟒 𝟔 𝟒 𝟔 𝟒 𝟔 𝟒 𝟑 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟑 𝟏 𝟏 𝟏− 𝟑− 𝟏𝟑− = 𝟐 0− . + − + 1 /+ . /1 = 𝟐 0 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏− 𝟑− 𝟏𝟑− = + 𝟐 𝟐
(
𝟓 )+ 𝟒
(
5 [ 𝟐 = ]) 2
5 )+ 2
(
]) ( + ( )+ 𝟒
( ( )) +
𝟐 ]= − 𝟐−
𝟏 𝟐
−
𝟐
59
𝟒
( )−
𝟒
𝟏−
(
( + )+
𝟒
𝟒
𝟐 𝟐
( = 𝟐 *−
𝟓 ]) 𝟒
( ))+
/+ .
𝟑 𝟏−
= 𝟐 0.
𝟒
[𝟐 = (* 𝟐 =
𝟒
[ 𝟐 = ( )+
[= 2
( )− 𝟒
= 𝟐 *−
𝟑=
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة 𝟓 ]) 𝟐𝟏 𝟓 ])) ( 𝟐𝟏
𝟓 )+ 𝟐𝟏
(𝟐 −
𝟓 )− 𝟐𝟏
𝟐
أعداد /األستاذ علً حمٌد
(
(𝟐 −
𝟓 ( ( )) + 𝟐𝟏
𝟐 ( + )+ 𝟔 𝟒
( ))+ 𝟔
( + )− 𝟔 𝟒
𝟐
𝟓
([ 𝟐 =
𝟓 ( )− 𝟐𝟏
[𝟐 =
) ( ( )− ) ( ( ( )) − ) ( ( )+ ) ( 𝟒 𝟔 𝟒 𝟔 𝟒 𝟔 𝟒 𝟑 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟑 𝟏 𝟏 𝟏𝟑− 𝟏𝟑+ = 𝟐 0. − + − 1 /− . /1 = 𝟐 0 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏𝟑− 𝟏𝟑+ = − 𝟐 𝟐
𝟐
(𝟐 −
( )− 𝟐𝟏
)+ 𝟐𝟏 𝟐
𝟑𝟐 ( [𝟐 = ]) 𝟐𝟏
(𝟐 −
( ( )) + 𝟐𝟏
( − )+ 𝟔 𝟒 ( ))+ 𝟔
𝟓 ( )+ 𝟐 𝟐𝟏 𝟓 * = ]) ( 𝟐𝟏
[𝟐 =
𝟒=
(* 𝟐 =
]) 𝟐𝟏 ( ))+ 𝟐𝟏
𝟗𝟏 ( [𝟐 = ]) 𝟐𝟏
𝟗𝟏 ( )+ 𝟐𝟏
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟐
( − )− 𝟔 𝟒
𝟑𝟐 ( )+ 𝟐𝟏
( )+ 𝟐𝟏
* = ( )+ 𝟐𝟏
[𝟐 =
𝟐
𝟓=
𝟔
(* 𝟐 = *𝟐 =
( )− 𝟐𝟏
(* 𝟐 =
) ( ( )+ ) ( ( ( )) − ) ( ( )− ) ( 𝟒 𝟔 𝟒 𝟔 𝟒 𝟔 𝟒 𝟑 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟑 𝟏 𝟏 𝟏𝟑+ 𝟏𝟑− = 𝟐 0. + − − 1 /− . /1 = 𝟐 0 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏𝟑+ 𝟏𝟑− = − 𝟐 𝟐
******************************************************************
حلول التمارين العامة الخاصة بالفصل األول س / 1جد لٌمة
,
والتً تحمك : 𝟐
−2
𝟒𝟐 +
𝟐+
𝟒− 𝟐+
=
𝟐
=
وزاري / 2013د3
𝟏+
𝟏− = 𝟏−
𝟐
𝟒+ 𝟐+
𝟏+
−
𝟐+
𝟐
𝟐− 𝟐+
𝟐= نعوض في معادلة
𝟒=
=
− 𝟐𝟏𝟏𝟐 +
=𝟐 −4 −
⇒
𝟐=
60
=
𝟏+
−
= −4
−
𝟐=𝟒
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة 𝟔
س / 2جد ناته : 𝟔
)
𝟒
+
س / 3أذا كان
)𝟒
+
𝟐
𝟑] 𝟐
𝟒
𝟓 +
𝟗
+
𝟑(
𝟔
𝟓 𝟔
𝟓
أعداد /األستاذ علً حمٌد
]
𝟑
𝟒 𝟑.
𝟏 𝟑( = )
+ 𝟒[−𝟏 −
+
𝟓 𝟑.
𝟐
𝟔 𝟐
𝟓= 𝟑+
𝟔
+
𝟑 𝟑
𝟑( = )
𝟒
𝟒+
𝟒
𝟓/ = 𝟑+
𝟑 𝟏− 𝟑𝟏+ −
عددا ا مركبا ا ,جد بأستخدام مبر نة دٌموافر
=
𝟑
+
𝟑𝟏−𝟐 𝟑 + = 𝟑𝟏+
𝟐
𝟑 𝟏−
𝟐
=
𝟏𝟐 +
𝟑
𝟑 𝟏−
𝟑 𝟏−
𝟑 𝟏−
𝟑 𝟏+
𝟓
𝟐
𝟐
𝟑 − 𝟐
تقع في الربع الثالث
𝟏
)𝟐( 𝟒 ) 𝟑
𝟒 + 𝟑
=
2 =) ( − )+ ) ( − 3 3 3 (𝟑) − ( 𝟑 )+
=
𝟏
𝟏 =
(2 − ) +
3
2
,
=
(𝟑) −
5 =/ 3 2
.
=
𝟑 𝟏−
=
𝟑𝟏 + −
=
=
𝟏 ) ( 𝟐
57
2 ( )+ 3 * ( 𝟑 )] +
5 /+ 3
2 2
61
4 ( )+ 6
=
𝟏 𝟐
(𝟑) +
[=
𝟏 𝟐
( )− 𝟑
=
𝟏 𝟐
(
𝟒 +2 𝟑4 5+ 2
𝟎𝟏 =/ 6
* ( 𝟑 )] +
𝟏 𝟑 ( )= − 𝟑 𝟐 𝟐
𝟏 𝟏− 𝟐 𝟑 =. − )𝟐( = / + 𝟐 𝟐 𝟒 𝟒 +2 +2 𝟑 =6 4 𝟑 5+i i 4 2 2
4 =) 6
.
=‖ ‖=
=
𝟏 ) (
𝟏 𝟑 ( )= − + 𝟑 𝟐 𝟐 𝟒 𝟔𝟒 + +2 𝟑 𝟑4 = ]5 4 5+ 2 2
𝟔𝟒 + 𝟑 4 5 2
𝟓= 𝟑+ = [ 𝟏+
𝟏− 𝟏( 𝟐 ) − = = = = ‖ ‖ 𝟏 𝟐 𝟒 = = + 𝟑 𝟑
.
= , (
= .𝟑 +
𝟐
𝟑 − 𝟐 /
𝟏 ) ( ( 𝟐
𝟑(
𝟑 𝟐 −𝟐 − 𝟒
𝟏− 𝟑 − 𝟑 𝟏 𝟐 + 𝟐 = √. / +. 𝟏= 𝟏 = / =√ + 𝟐 𝟐 𝟒 𝟒
(𝟑 )+
𝟓
+
𝟗
𝟏 𝟐
𝟏− 𝟑 − 𝟐 𝟐
3
+
𝟒
𝟔 𝟑
𝟓
𝟔 𝟑] 𝟐 − 𝟒 − 𝟒 𝟔 = −𝟏 + = [ −𝟏 + = [𝟏 − 𝟐 + 𝟐 𝟕𝟐− 𝟐 ]𝟑 = [− − 𝟐 ]𝟑 = [−𝟑 ]𝟑 = −𝟐𝟕 𝟑 = −
𝟐
) (2 −
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
.
𝟎𝟏 /+ 6
𝟎=
[=
𝟏 𝟐
=
𝟏 𝟐
.
(𝟑) +
2
[=
𝟏 𝟐
( )− 𝟑
2
=
𝟏 𝟐
𝟏=
𝟏 𝟐
𝟏 𝟐
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
حلول األسئلة الوزارية الخاصة بالفصل األول سؤال وزاري /98د :1ضع
𝟐
𝟐+ 𝟑−
𝟐
𝟑 𝟏 +بالصٌغة العادٌة للعد المركب.
الحل/
+6 +9 +9− 2 +4 + 6 − 9 + 9 − 2 − 4 = −3 − 6
سؤال وزاري /98د :1جد الجذر التربٌعً للعدد:
𝟐 +
𝟕+
𝟐 −
𝟏−
− −+
الحل/
=
+
−
−
−
+
=
+
+
+
−
= 3−4 +2 ... 2 +
=
−
=
= −2
−4
−
بالتربيع
= 3−4
⇒ = −4 =−4
⇒
2
−3
....
−4=3
=
+
+
−
−
=
= 3 − 4نفرض
+
,
−
= المقدار =
=3
−
⇒ =3
−
.
يهمل −
=−
=
=
2 = 2 −2
=−4
=4
2− 3−4 = , −2 + سؤال وزاري /98د :2أكتب المعادلة التربٌعٌة التً جذر ا الحل/
+
+2
+
−
𝟐
𝟐 ,
𝟐
−
−
= −
−
+2
−
2
−
.
−2
= −4 − 2
+
= −3 − 2
−2 +
−2
−2
=4 +
= −3 + 2 المعادلة التزبيعية
62
=
𝟐 . = 2مجموع الجذرين =
= 2حاصل ضرب الجذرين
+ −3 + 2
−2
−
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة 𝟐 𝟑
سؤال وصاسي /99د :1كون انمعادنة انتشبٍعٍة انتً جزسها انحم/
+
= −5
=5
+5
−
𝟐,
+2
=3
+3
=2
=5
+3
+3 +6
−
− − − −
+2
2
𝟑
−
=3
3 i−
−
=2
2 i−
= 3مجموع الجذرين
+2
= 3حاصل ضزب الجذرين
+2
+4 .
𝟐 𝟐
+9
=6
−9−4−6
= −6
= − 3 + 6 = −7
−6
= − 3−6
+
= − 3−6
المعادلة التزبيعية سؤال وصاسي /99د :1جذ قٍمتً xو yانحقٍقٍتٍه إرا عهمت أن:
𝟎𝟎𝟐 𝟑𝟒+
=
=−7
𝟐
انحم/
+
−
. 2
−
=
− 6 = 32
= −4
+4
=
+ 2
−4
= 32 − 24
+ 2
−4
9
⇒ = −24 9
=
2
.
⇒ = 32 +4
,
..
= 32
−4
−
9
) = 32
(− 4
=− 6
9
يهمـــل = −
−
=
=
63
+ 2 9
+
= −2
+5
𝟐𝟑 +
− −
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
2 = 2 −2
=4
− 32 =+4 =−4
9
9 9 9 9أما أو
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
سؤال وصاسي /2000د :1إرا كان:
أعداد /األستاذ علً حمٌد
,
𝟑=𝟐+
انحم/
,جذ قٍمة
= 𝟑− = −5 + 2
سؤال وزاري /2000د :1جد لٌمة: الحل/
.
−2+
𝟐
𝟏
) 𝟐 𝟏+ =
𝟏
−
𝟐
.
=4+ 2 +9
=8−6 = = −5 + 2 + 6 − 2
𝟐
𝟐 +
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
= 2+3 = 3−
=9−6 +
+2
= −5 + 2 + 2 8 − 6
(.
𝟏+
− 2
+
= −3
) = − +
=
+
− 2 = −2 −
−
−
(−
=
سؤال وصاسي /2000د :2جذ قٍمة كم مه xو yانحقٍقٍتٍه إرا عهمت: + = 3 انحم/
= 3+
+
−
.. 2
+
=
= −2
+3
+
+ =
+
−
=+2 + − 3 =−6
= −2
سؤال وصاسي /2001د :1جذ قٍمة انمقذاس
𝟐 𝟐
انحم/ +4
= 8− 2 −8
= 8 + 8 = 26
+
+
64
= 3 ⇒
𝟐
= 3
+
+
+ 2
=+3
=2
=−2
𝟐. 𝟑−
+9− 2 .
+
+
=+2 − 2
= −3
=2+
𝟐+ 𝟑− +4
,
−
.
+
= −3 + =3
−
+ = 3
+
+
+4
= 8−8
= 9 − 2 + 4المقدار = 8− 2 −8 = 8−8 −8
โ ซุฃุนุฏุงุฏโ ช /โ ฌุงุฃู ุณุชุงุฐ ุนู ู ุญู ู ุฏโ ฌ
โ ซุงู ู ุตู ุงุฃู ู ู โ ช /โ ฌุงุฃู ุนู ู ู ู ุฏุงุฏ ุงู ู ุฑู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ุจุฉโ ฌ โ ซ๐ โ ช๐ +โ ฌโ ฌ
โ ซุณุคุคุคุคุงู ู ุตุงุณู โ ช/2001โ ฌุฏโ ช :1โ ฌุถุคุคุคุคู ุงู ู ู ุคุคุคุคุฐุงุณโ ฌ
โ ซ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ โ ฌ
โ ซุจุงู ุตุคุคุคู ุงุฉ ุงู ุนุงุฏู ุคุคุคุคุฉ ู ู ุนุคุคุคุคุฐุฏ ุงู ู ุดู ุคุคุคุคุจ ุงุคุคุคู ุฌุคุคุคุคุฐ ุงู ู ู ู ุคุคุคุคุงุท ู ุงู ู ู ู ุคุคุคุคุฉโ ฌ
โ ซ๐ ๐ โ ช๐ +โ ฌโ ฌ
โ ซุงุฃู ุณุงุณู ุฉ ู ู ุณุนุฉโ ช.โ ฌโ ฌ โ ซุงู ุญู โ ช/โ ฌโ ฌ โ ซโ ชโ 3โ ฌโ ฌ โ ซโ ชโ โ ฌโ ฌ
โ ซ=๐ โ ชiโ ฌโ ฌ
โ ซโ ชโ โ ฌโ ฌ
โ ซ=โ ฌ โ ซโ ช๐ = ,โ ฌโ ฌ
โ ซุณุคุคุคุคุงู ู ุตุงุณู โ ช/2002โ ฌุฏโ ช :1โ ฌุถุคุคุคู โ ฌ โ ซู ุจุงู ุตู ุงุฉ ุงู ุนุงุฏู ุฉ ุฃู ุงู โ ช.โ ฌโ ฌ
โ ซโ ชโ ๐ +โ ฌโ ฌ
โ ซุณุคุงู ู ุตุงุณู โ ช/2001โ ฌุฏโ ช :2โ ฌู ู ู ุงู ู ุนุงุฏู ุฉ ุงู ุชุดุจู ุนู ุฉ ุงู ุชู ุฌุฒุณู ุงโ ฌ โ ซโ ชโ 4 = โ 3 โ 4โ ฌโ ฌ
โ ซโ ช+โ ฌโ ฌ
โ ซโ ชโ 6โ ฌโ ฌ
โ ซโ ช=9โ ฌโ ฌ
โ ซ=โ ฌ
โ ซ๐ โ ชโ โ ฌโ ฌ
โ ซ=โ ฌ โ ซ= ุงู ู ู ู ุงุณโ ฌ
โ ซ= โ ช+3โ ฌโ ฌ
โ ซโ ชโ 2โ ฌโ ฌ
โ ซโ ชโ +โ ฌโ ฌ โ ซโ ช+โ ฌโ ฌ โ ซ๐ โ ฌ
โ ซ=โ ฌ
โ ซโ ชโ 2 +โ ฌโ ฌ
โ ซโ ชโ +โ ฌโ ฌ โ ซโ ชโ +โ ฌโ ฌ
โ ซ๐ โ ชโ ๐ ,โ ฌโ ฌ
โ ซโ ชโ โ โ ฌโ ฌ
โ ซโ ช3+2โ ฌโ ฌ
โ ซ= ุงู ู ุธู ุฒ ุงู ุถุฒุจู โ ฌ
โ ซ๐ โ ช.โ ฌโ ฌ
โ ซโ ช = 3 โ 2 + 3โ ฌู ุฌู ู ุน ุงู ุฌุฐุฑู ู โ ฌ
โ ซโ ชโ 2 =3โ ฌโ ฌ
โ ซโ ช = 3 โ 2โ ฌุญุงุตู ุถุฒุจ ุงู ุฌุฐุฑู ู โ ฌ
โ ซโ ช3โ ฌโ ฌ
โ ซโ ชโ 4=5+6โ ฌโ ฌ
โ ซโ ช+โ ฌโ ฌ
โ ซุงู ู ุนุงุฏู ุฉ ุงู ุชุฑุจู ุนู ุฉโ ฌ โ ซุณุคุงู โ ช/2002โ ฌุฏโ ช :2โ ฌุงุฐุง ู ุงู ๐ โ ช= โ ๐ ,โ ฌโ ฌ โ ซุงุฃู ุณุงุณู ุฉ ู ุณุนุชู โ ช.โ ฌโ ฌ
โ ซโ ช+โ ฌโ ฌ
โ ซโ ช= โ 6 + 3 โ 4 + 2โ ฌโ ฌ โ ซโ ชโ โ ฌโ ฌ
โ ซโ ช+โ ฌโ ฌ
โ ซโ ช+4โ ฌโ ฌ
โ ซโ ช+โ ฌโ ฌ
โ ซโ ช+โ ฌโ ฌ
โ ซ= โ ช ๐ = 2 โ โ ฌุงู ู ู ู ุฉ ุงุฃู ุณุงุณู ุฉ ู ู ุณุนุฉโ ฌ
โ ซโ ช= โ 8 โ โ ฌโ ฌ
โ ซโ ชโ 6โ ฌโ ฌ
โ ซ=โ ฌ
โ ซโ ชโ โ ฌโ ฌ
โ ซ=โ ฌ
โ ซ๐ โ ช ๐ +โ ฌุจุงู ุตุคุคุคู ุงุฉ ุงู ุนุงุฏู ุคุคุคุฉ ู ู ุนุคุคุคุฐุฏ ุงู ู ุดู ุคุคุคุจ ุงุคุคุคู ุฌุคุคุคุฐ ู ู ุคุคุคุด ุงู ุคุคุคุดุจู โ ฌ
โ ซุงู ุญู โ ช/โ ฌโ ฌ
โ ซุงู ุญู โ ช/โ ฌโ ฌ
โ ซโ ชโ โ ฌโ ฌ
โ ซโ ช+โ ฌโ ฌ
โ ซโ ชโ โ ฌโ ฌ
โ ซโ ช4=2,โ ฌโ ฌ
โ ซ๐ ุชู ุบ ู ู ุงู ุฒุจุบ ุงู ุฒุงุจุบโ ฌ
โ ซโ ชโ โ ฌโ ฌ
โ ซโ ช+โ ฌโ ฌ
โ ซโ ช+โ ฌโ ฌ
โ ซโ ช=9โ 6โ ฌโ ฌ โ ซ=โ ฌ
โ ซโ ช+ 5+6โ ฌโ ฌ
โ ซโ ชโ โ 3 โ 4โ ฌโ ฌ
โ ซุนุฏุฏุง ุง ู ุฑู ุจุงุงโ ช ,โ ฌุฃู ุชุจ ุงู ุดู ู ุงู ุฌุจุฑู ู ู ุฐุง ุงู ุนุฏุฏ ุซู ุฌุฏ ู ู ู ุงุณู ู ุงู ู ู ู ุฉโ ฌ
โ ซุงู ุดู ู ุงู ุฌุจุฑู โ ฌ
โ ซุงู ุญู โ ช/โ ฌโ ฌ โ ซ=๐ โ ช, iโ ฌโ ฌ
โ ซโ ชโ โ ฌโ ฌ
โ ซโ ช ,โ ฌุงู ู ู ู ุงุณ โ ช= 4 = 2โ ฌโ ฌ
โ ซ=๐ โ ฌ
โ ซ๐ ุชู ุน ู ู ุงู ุฑุจุน ุงู ุซุงู ู โ ฌ
โ ซโ ช65โ ฌโ ฌ
โ ซโ ช5โ ฌโ ฌ โ ซโ ช6โ ฌโ ฌ
โ ซ=โ ฌ
โ ซโ ช6โ ฌโ ฌ
โ ซโ ชโ โ ฌโ ฌ
โ ซโ ช=โ 3+โ ฌโ ฌ โ ซโ ช= 3+โ ฌโ ฌ
โ ซ= ๐ ุงู ู ู ู ุฉ ุงุฃู ุณู ุงุณู ุฉ ู ู ุณุนุฉโ ฌ
โ ซโ โ ฌ
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
سؤال وزاري /2002د :2جد لٌمة
𝟐+
𝟐
𝟑𝟐+
𝟐
الحل/
−
=4+3 +9 = −5 + 6
+ −6
+
+3
=4
+ 3 ][2
+
= 4 𝟐
سؤال وزاري /2002د :1كون المعادلة التربٌعٌة التً جذر ا الحل/
𝟑 . −𝟏 +
] =4
=4−3
+3
= [−
+
−2
=
+3
𝟑. 𝟐−
𝟑, 𝟐−
= 2 − 3مجموع الجذرين
+2−3
=4−6
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
= 2 − 3حاصل الضرب
2−3
= −5 − 6 المعادلة التربيعية
سؤال وزاري /2003د :1إذا كان 𝟐 = 𝟑 +
=
− 4+3
+ −5 + 6 إثبت أن
+
=
=4+ =4−
−
= 3+2 +
+
= 3+2 + − =3−2 + + = 4−
+
=
+
= 𝟏− ,
الحل/
. +
+ سؤال وزاري /2003د :1جد النظٌر الضربً للعدد المركب 𝟓 𝟑 +ثم ضعه بالصورة العادٌة. الحل/
−
سؤال وزاري /2003د :1جد لٌمة الممدار
=
−
−
=
𝟏 𝟐 𝟒𝟑+𝟓 +
+
+
−
=
−
𝟏 𝟐
𝟓𝟑+𝟒 +
+
الحل/ − +
− − −
+
. − −
+
=
= النظير الضربي
− −
=
+
=
+
− −
− + − − + −
+
−
+
66
− −
+
+
+ − −
=
=−
+ − −
+
− +
− + −
=
− − − +
−
= = = =
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
سؤال وزاري /2003د :2إذا كان Zعددا ا مركبا ا ممٌاسه ( )2وسزعته ) ( جزد كزال مزن الشزكل الزدٌكارتً والجبزري 𝟑 لهذا العدد. الحل/
=
= = 3
=
=
=𝜃
=
i
الشكل الجبري
=𝜃 i + 3
الشكل الديكارتي 𝟓
سؤال وزاري /2004د :1كون المعادلة التربٌعٌة التً جذر ا ) ) , ( − الحل/
−5
=
+2 = 5+2 −5
+ 25
+
+ 25
= − +
−5
−
𝟓
=
.( −
𝟐
−5
= −
=
−
= − 5 + − 5مجموع الجذرين
= −5 =
,
, 3
=
−5
= حاصل ضرب الجذرين
−5
= − −5 = 24 + 5
المعادلة التربيعية
=
+ 24 + 5
سؤال وزاري /2004د :1جد الصٌغة العادٌة للعد المركب الحل/
+4−4 𝟑 +3
− 5+2 𝟐
𝟑
−2 𝟑 +3
+ 𝟐− =
𝟐
𝟑
. 𝟏−
𝟑
+ 2−
𝟑
−
=5−6 𝟑 −3−3 𝟑 =− −6 سؤال وزاري /2004د :2جد لٌمة الحل/
+
𝟐
+ .
+ 𝟐+ +
𝟐 𝟐
. 𝟐+
=8+4 = 3
67
+4+4 + =4−
+ +
= 4 + 4المقدار =8−4+
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟑 + 𝟒 𝟐 + 𝟓 − 𝟑 𝟏 +بالصٌغة الدٌكارتٌة. = 9 + 24 + 6 + 5 + 5 − 3 − 3المقدار = 9 − 6 + 5 + 3 + 24 + 5 − 3 = + 26 ,26 الصيغة الديكارتية
سؤال وزاري /2005د :1جد ناته الحل/
سؤال وزاري /2005د :1كون المعادلة التربٌعٌة التً جذرا ا ) الحل/
−3
=
+2 =3+2 +9
= −
+
−3
= −3 −3
𝟑
.( − ) , ( −
−
=
𝟐
𝟑
−3
,
=
−3
=− −3
المعادلة التربيعية فجد 𝟓 + 𝟑 +
سؤال /2005د :2إذا كان 𝟐 = −𝟏 +
=
−3+6 +5=− +2
+ 8+3
+3 +5= − +2 −4 +4
𝟐
+
𝟏+
𝟐
−
𝟏−
.
الحل/
−
−
−
+
=− −
= −
=
+
=
− ,2
سؤال وزاري /2005د :2جد الجذر التربٌعً للممدار
. 2
− 3+2
بالصٌغة الدٌكارتٌة.
+3 − +2 +5
الصيغة الديكارتية
= حاصل الضرب
−3
+
𝟐
= −
−
= − 3مجموع الجذرين
+ −3
+9=8+3
−
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
+2
−
=
=−
2
−
2
−
⇒
, =
=
بالتربيع
= − 2
+
=
+
− + −−+
+
= −نفرض =
.
−
−
=
+
..
−
=
+
+
−
4
⇒
=
يهمل
=
+
− 2
أما
= =
−
=
=8
=
2
=
−
2
− +
68
− = 8−
أو
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟓
سؤال وزاري /2006د :1إذا كان zعددا مركبا ا ممٌاسه ( )4وسعته االساسٌة ) ( فجد كال من الشكل الدٌكارتً 𝟔 والشكل الجبري للعدد .z الحل/
= −2 3
2 = −4 3 =2
=
2 =4
− =
الشكل الجبري
=
سؤال وزاري /2006د :1كون المعادلة التربٌعٌة التً جذرا ا الحل/
−2
=
+4 −4= 2 −
+ +
+2
= 25 +
+
+5+2
= 5 + 2مجموع الجذرين
5+2
= 5 + 2حاصل الضرب
= 25 + المعادلة التربيعية
+ 2 −
=
سؤال وزاري /2006د :1جد لٌمتً xو yالحمٌمٌتٌن من المعادلة= 𝟐 + 𝟗 : الحل/
=2+9
= −2 3, 2
𝟐 .𝟓 +
𝟐, 𝟓+ =
−2 + 4 +
2
=
−2
𝟐+
=2+9 =2
+2
=4
=−9 +2
+2=9
4
4
+
2
=8
=
4
4 =
69
= 2 2
=
=2
+4
2
−2=2
2
=9 .
⇒
= −2
= 4
−
. 𝟐 +
. 2
2
i
= −2 3 + 2
الشكل الديكارتي
𝟐
=
=
4 +
4 + =9 4 −
4 −
=−2
أما
أو
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟐. 𝟑− سؤال وزاري /2006د :2كون المعادلة التربٌعٌة التً جذرا ا 𝟐 𝟐 , 𝟑 − = 3 − 2 + 3 − 2مجموع الجذرين =6−2 + = 6+2 الحل/ −6
+4
= 3 − 2حاصل الضرب =9−6
3−2 =9−6 + −4= 5+6
المعادلة التربيعية سؤال وزاري /2006د :2جد لٌمتً xو yالحمٌمٌتٌن إذا علمت أن:
=
+ 5+6 =7
الحل/
+7
=
+7 −
..
=
+
=
− 6+2
+
2 +
−
−2
⇒
=−7 +4
.
⇒ =
−
=
−
−
=
= −
= −2
=
6
3 −2 =7
3
=
6 6
=+ 2
. 2 3
+3
+ 2 + 3 −2
= −2
+4=7
3 −
−
3 − 2( ) = 7 3 −4
−
=3 −4
3 =4 =
−
=
سؤال وزاري /2007د :1جد الجذر التربٌعً للعدد 𝟒 .𝟑 + بالتربيع
الحل/
2
.. 2 =
+
= −4
⇒ =4
=2 =−4
−3
70
2
+2
= 3+4
2 {= −2
3+4 =,
−
=3
.. .
−4=3
= =− 2+ −2 −
,
+
= 3 + 4نفرض
⇒ =4
=3
− 4
−
=−4
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
سؤال وزاري /2007د :1جد لٌمة ) −
+
+
− −
−
𝟐
أعداد /األستاذ علً حمٌد
+ −
𝟏 𝟐
) (𝟏 − =)
𝟏
+ +
− ]= −
.(𝟏 −
[]
−
=4
الحل/ =𝜃 i
=𝜃
=
,
𝟐
= −2 (.
𝟏+
+
= + =𝜃
,
= −2 + 2 3 =𝜃 i
=
−
,
−
=
−
=
=𝜃
=
تقع في الربع الثاني سؤال وزاري /2008د :1أكتب المعادلة التربٌعٌة التً جذرا ا
𝟐
+
الحل/
= −3 − +
+
+
+
+3
+3
=9
+
3
−
.
= 8−3 المعادلة التربيعية
71
=
=
+ 3
=
=3 +
= 3
=3
+
𝟑.
+
+
= المقياس
= −
= 3 + +
+
+
= = 4 + 2المقياس
6=4 ,
𝟐
−
=
𝟑 . 𝟏+
+2 3 +3
𝟑 ,
−
= 2
𝟐
سؤال وزاري /2008د :1جد الممٌاس والمٌمة األساسٌة للسعة للعدد المركب الحل/
[=
+
−2
سؤال وزاري /2007د :2جد الممٌاس والسعة األساسٌة للعدد المركب ) +
= ( −المقدار
+ )( − +
= 4
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
+
+3
=3
3 + +
3
= 3 +المجموع
= 3 +حاصل الضرب
+3
=9+3
+
=8+3
+ 8−3
− −3 −
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
سؤال وزاري /2008د :2جد لٌمتً xو yالحمٌمٌتٌن واللتان تحممان المعادلة
الحل/
+3
+5 = 2
−
=
سؤال وزاري /2009د :1جد لٌمة الممدار
𝟐 𝟐
𝟓+
𝟒
] +3 −4
.
=
−
𝟏+
.
𝟐𝟏𝟒+ 𝟏+
+
. 2 =
+
−
−9
= −3 =−9
⇒ −8
=2
= 2( ) −
= المقدار
[
+
[ +2 +
=
= −4 − 4
.
−
= 8−6
=
=
= −4
الحل/
−
−
] − [5
+
=4
+2
+2
= ] ] − [−5 + 3
4
سؤال وزاري /2009د :1جد الجذر التربٌعً للعدد:
,
−
=
𝟑− 𝟓+
الحل/
+
+5 =2
+
5=3 =4
+
+5 = 2 +
= 8−6
= −6
=
بالتربيع
, 2
⇒
−
+
−
+ + −
=
−
+
=
= 8 − 6نفرض
+
..
=8 .
−9=8
+
⇒
=8
− 9
−
يهمل =− =
3 −3
{=
=9 3− −3 +
72
=−9 8−6 =,
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة 𝟐
سؤال وزاري /2009د :2حل المعادلة 𝟎 = 𝟔𝟑 +
𝟑𝟏 +
𝟒
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
حٌث zعدد مركب.
الحل/
= +4 3 2
=
=
=9
+9
= −9
=4
=+9 =+4
= −4
} = {−2 , 2 , −3 , 3مج 𝟐
سؤال وزاري /2009د :2جد لٌمة الممدار )
𝟐
𝟓+
𝟐 𝟐
𝟐
+ 𝟐) (𝟓 + )
+5
𝟑
+
] [5
+
] [−5 + 2 =9
=9
=9
= (2 +المقدار
+ 2) (5 +
5+2 +5 ] +2
𝟐( .
. 9
=9
+2
= 2 +3
+3
= [2
]
+
= [−2
+3
=
=
−3
سؤال وزاري /2010د :1جد لٌمتً xو yالحمٌمٌتٌن واللتان تحممان المعادلة: 𝟓 = 𝟏𝟐 + الحل/
+ 6 + −2 + 3
= 2+5
𝟐−
= 2+5 =
.
𝟑+
−6
=6
+6= 2
2 =+5 − 8
+ 8=5
2
−2
+3
−2 + 3 = 5 .
⇒
−2 + 3 ( ) = 5 = −2
−
=
=
−
=
= =3
73
−
=
= =
−2
2 = −9 =2
2 +9 =2 +9 =−2
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
سؤال وزاري /2010د :1جد لٌمة )𝟏 +
𝟏
𝟐
𝟒 + 𝟐) ( +
الحل/
𝟐 𝟑+
𝟐
(.
) +4 +
( )+ 3 2 + 2
+4 +
+3 2 + 2
] +4
[ ] +3 2
+
− +4 = 24
= 24
سؤال وزاري /2010د :2جد الجذرٌن التربٌعٌٌن للعدد المركب zحٌث الحل/
=−9
3
𝟏+
𝟕 = −𝟏 +
+8
+2
−
= −8 + 6
=
=3
=6
⇒
2
.
⇒ = −8
− 9 = −8
,
−
= 2 2
=− − +7 +7 +
= −8 + 6نفرض
. −
−
= −8
− ( ) = −8
يهمل =3 = −3
=
= [ 2
3
=
{=
2
+
8
بالتربيع
(=
= − 2 +3 2
= −8 + 6
.. 2
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
=
+9
−
=+9
أما
−
أو
=
+3 −8 + 6 = , − −3
74
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
سؤال وزاري /2010د :2أكتب المعادلة التربٌعٌة التً جذرا ا +
الحل/
,
𝟐𝟏+ +
+ +
=
+
𝟐
𝟐 𝟐𝟏+
+
=
3
=
+
5+2
=
=
+4
− −
=
+
+
+
+
=
+2 +2
= مجموع الجذرين
+
+ +
=
.
+
+
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
+ +
=
+
+ + + +
+2
+
=
+
= حاصل ضرب الجذرين
+2
المعادلة التربيعية سؤال وزاري /2012د :1إذا كان الحل/
𝟓
,
+
+
+
+
−
𝟐+ 𝟑−
−
= +
مترافمٌن ,جد لٌمتً x , yالحمٌمٌتٌن.
=
+
= 5+5 +
=5
=
+
2− +
+
+
=5 ,
سؤال وزاري /2012د :2ضع بالصٌغة العادٌة للعدد المركب الممدار :
+ 𝟏−
𝟓
+
+
=
+
=5+5
+
+
𝟓
−
=
+
𝟏+
الحل/ 𝟏−
سؤال وزاري /2013د :1جد لٌمة : الحل/
𝟐
𝟑
= [ 𝟏 + 𝟐 ]𝟐 𝟏 + − [ 𝟏 − 𝟐 ]𝟐 𝟏 − 𝟐 = 𝟏+𝟐 + 𝟐 𝟐 𝟏+ − 𝟏−𝟐 + = 𝟐 𝟐 𝟏 + − −𝟐 𝟐 𝟏 − = −𝟒 𝟏 + − −𝟒 𝟏 − 𝟖 = −𝟒 − 𝟒 + 𝟒 − 𝟒 = −𝟖 = 𝟎 −
𝟏−
𝟐
𝟏−
𝟏−
ذا السؤال محلول فً الصفحة ) (13بصٌغة أثبت 𝟒 = ] 𝟐 [𝟏 + 𝟒=𝟐=𝟐+
𝟐
𝟐=𝟐−
𝟐
𝟑
𝟏−
𝟐
𝟏−
𝟏 + 𝟏 [𝟏 − − ] = 𝟏 −
= 𝟏−
𝟐𝟐+
= 𝟏−
𝟐=𝟐+𝟐 −𝟐 −
75
𝟓
− 𝟏−
𝟓
𝟏− 𝟑
𝟏−
𝟐
𝟏−
𝟏−
𝟏+
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
سؤال وزاري /2013د:3 أذا كان 𝟒𝟏 =𝟑+ الحل/
,
أعداد /األستاذ علً حمٌد
𝟐=𝟓+
وضح فً شكل أرجاند
𝟐
𝟒𝟑 , 𝟐𝟓 ,
=
𝟐 𝟓 +
+
𝟐=𝟏= 𝟑+
𝟔 )
𝟑
+
𝟑
(𝟒 =
75
𝟐
𝟏 𝟐
=
𝟐
=
𝟐
𝟔
𝟐( )+ 𝟑 7+i i 6 𝟓
𝟐( )+ 𝟑 6 𝟓
])
𝟓 𝟑
𝟓 + 𝟑
+
𝟔
𝟏 ( )𝟓(𝟒
𝟑
𝟔+ 𝟑 𝟓
4
46
𝟔+ 𝟓𝟏
(
[𝟒
)+ 𝟓
=
𝟕 + 𝟓𝟏
𝟒
𝟓
=
𝟐
𝟏=
𝟑𝟏 𝟓𝟏
𝟑𝟏 + 𝟓𝟏
𝟒
𝟓
=
𝟑
𝟐=
𝟗𝟏 𝟓𝟏
𝟗𝟏 + 𝟓𝟏
𝟒
𝟓
=
𝟒
𝟑=
𝟓𝟐 𝟓𝟏
𝟓𝟐 + 𝟓𝟏
𝟒
76
+
𝟓𝟏
𝟒
𝟓
=
𝟓
= (𝟐 =
𝟏
𝟕 𝟓𝟏
𝟒
𝟑
‖ ‖
=
𝟎=
𝟓𝟏
𝟓
+
5+
=
𝟔
𝟏 𝟓
(
𝟐
= 𝟑+
)
4
𝟔+ 𝟓𝟏
𝟔 = 𝟖 +
𝟑
=
𝟐
44
+
√
𝟑+
= )
𝟐
𝟓
𝟑 𝟐
𝟔+ 𝟑 𝟓
57
=
𝟒 = 𝟑 +
=
𝟏
𝟏
𝟑
𝟑 𝟐
( 𝟐𝟐 =
𝟔
𝟒 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑,
𝟐 = 𝟓 +
=
𝟐
)
+
𝟒 = 𝟑 +
=‖ ‖=
=
𝟏
𝟏 𝟐
سؤال وزاري /2014د :1جد الصٌغة المطبٌة للجذور الخمسة للممدار : +
𝟐
=
𝟔𝟖 ,
+
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟒=
=
𝟏 𝟓 𝟐
=
𝟓
=
𝟐
𝟓
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟔 𝟏𝟓 𝟐 −
سؤال وزاري /2014د :2اثبت ان 𝟏) = −
𝟓+
(
الحل/ 𝟔
/
𝟓 + 𝟓+
𝟔 𝟑
𝟐
𝟐
𝟐
+ 𝟓+
/ = .
𝟓
𝟔
𝟐
𝟑
/ = .
𝟏= −
𝟐
𝟐
−𝟏 − 𝟓+
𝟐𝟏
𝟔
𝟏𝟓 𝟐 − 𝟓 . / = . 𝟓+
𝟔
=
𝟐
=
سؤال وزاري /2014د :3جد الصٌغة المطبٌة للعدد المركب 𝟓 = 𝟓 − الحل/ 𝟐
𝟐 𝟓 = 𝟎𝟓 = 𝟓𝟐 = 𝟐𝟓 + 𝟏− 𝟐
=
𝟓− 𝟐 𝟓
= ‖
+
‖=
𝟐
= ‖ ‖ =
= 𝟏
,
𝟐
𝟓
=
𝟐 𝟓 𝟕
الربع الرابع
𝟒
𝟕
+
𝟒
= ‖
=
𝟒
‖=
−
𝟕
𝟐 = 𝟐 𝟓 =
𝟒
𝟐 𝟑𝟏−
سؤال وزاري /2015د :2عبر عن العدد بالصٌغة المطبٌة
𝟐 −
𝟏−
الحل/ 𝟒𝟒− 𝟐 –𝟐 = 𝟐
=
𝟒 𝟏+
𝟏− 𝟏−
𝟒 𝟏+
=
=
𝟐
𝟐 𝟐 = 𝟖 = 𝟒𝟒+ 𝟏− 𝟐
زاوٌة االسناد ى
𝟒
=
𝟐− 𝟐 𝟐
=
والسعة
𝟑𝟏+ 𝟏− + =
الصورة القطبية
𝟕 ) 𝟒
77
𝟐+ −
=
𝟐
𝟏
,
𝟐
𝟐
=
= 𝟐 𝟐 𝟐
𝟐
=
+
𝟐
=
=
تمع بالربع الرابع 𝟕 𝟒
𝟕 + 𝟒
𝟐
=
𝟐
𝟐 𝟑𝟏− 𝟏− −
=
=
𝟒
( 𝟐 𝟐 =
−
𝟐 = +
= =
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
سؤال وزاري /2015د :2اذا كان 𝟒 𝟐 −و أحد جذري المعادلة 𝟎 = 𝟔 – + , معامالتها حمٌمٌة ,جد لٌمتً
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
–
–
𝟐
𝟐 ,
الحل /بما ان المعامالت حمٌمٌة فان الجذران مترافمان 𝟒 = 𝟐+ 𝟒 =
,
𝟒 = 𝟐−
𝟒 + 𝟐+
𝟒 = 𝟐−
𝟎𝟐 = 𝟔𝟏 = 𝟒 +
𝟎 = 𝟎𝟒 + +
𝟎 = 𝟔 −
𝟒 𝟐+
𝟒 = 𝟐−
𝟐.
𝟖–
𝟐
𝟐
⇒ 𝟎 = 𝟎𝟐 +
–
𝟐
𝟐
بالمقارنة مع
𝟏 +
بالجذر التكعيبي
( )+ 𝟐 57
])
𝟒+ 𝟔
(
𝟐+ 𝟑
)+
( )+ 𝟐
𝟐4
5+
𝟒+ 𝟔
(
𝟐+ 𝟑
𝟔𝟒 =
𝟎𝟒 = 𝟔 –
𝟖=
𝟑
𝟏 +
𝟑
𝟎= 𝟖−
𝟑
𝟏 𝟑
( )/ = 𝟐 6 𝟐 𝟒+ 𝟐 𝟑
[ 𝟐 = 57
𝟒–
5+
4
( )+ 𝟐 𝟒+ 𝟐 𝟑
4
= 𝟐.
= 𝟐6
𝟐 = 𝟎, 𝟏, = 𝟑+
=− 𝟑+
𝟐= −
𝟏 𝟑 ( )+ = 𝟐 0 + 1 𝟔 𝟐 𝟐
( )+ 𝟔
*𝟐=
𝟎=
𝟓 𝟏 𝟑 − )] = 𝟐 0 + 1 𝟔 𝟐 𝟐
(
𝟓 ( )+ 𝟔
[𝟐=
𝟏=
𝟗 ] )] = 𝟐[𝟎 − 𝟔
(
𝟗 ( )+ 𝟔
[𝟐=
𝟏=
مجموعة الحل للمعادلة هي }
, −𝟐 , − 𝟑 +
78
𝟐
𝟕 =
𝟑
𝟐4
.
𝟖 =
سؤال وزاري /2015د:3 جد مجموعة حل المعادلة فً مجموعة األعداد المركبة بأستخدام مبر نة دٌموافر − 𝟖 = 𝟎 : الحل/ *𝟖 =
+
{ 𝟑+
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة 𝟔
سؤال وزاري /2016د :1أثبت أن:
𝟑
+
𝟒𝟔 = )𝟐
𝟓
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
. (𝟓 −
𝟏𝟐 +
الحل/ 𝟔
𝟔 𝟑
/
𝟑
𝟐
𝟑
+
𝟔] 𝟑 + = 64
𝟑
𝟏 = 64
= 64
𝟓
𝟐
𝟔
) = .𝟓 +
)
𝟑 𝟐
𝟑
+
𝟐
𝟏𝟐 +
𝟓 = (𝟓 − − 𝟐
𝟓= 𝟓+
+ 𝟑 ]𝟔 = [−𝟐 ]𝟔 = 64
= [𝟓 −
= [𝟓 𝟏 +
𝟔
+
𝟓
= (𝟓 −الطرف األيمن
𝟑+
سؤال وزاري /2016د :1بأستخدام مبر نة دٌموافر ,جد الجذور التكعٌبٌة للعدد 𝟖 . الحل/ 𝟖= الربع االول 𝟏 ) ( 𝟑
)
𝟐
𝟐 +
𝟐
𝟖
=
𝟖 𝟏= 𝟖
= 𝟏 ) ( ( 𝟑
𝟐
𝟐 = 𝟎, 𝟏,
𝟐
+
𝟐
𝟖 =
=‖ ‖= =
𝟏 ) ( 𝟑
𝟐+
55
𝟑
( − )+ 6
5 * 𝟐 = ]) 6
(
𝟏 𝟑 − ( )+ = 𝟐 0 + 1 = − 𝟑+ 6 𝟐 𝟐 𝟐= −
3 ( )] = 𝟎 + 𝟐 − 2
3 )+ 2
(
9 [ 𝟐 = ]) 6
79
=
𝟏 ) ( 𝟑
𝟐4
5+
=
=
𝟏 ) ( 𝟑
𝟐+ 𝟑
‖ ‖
=
𝟖 = 𝟖
𝟐4
𝟖4
( )+ 6
[= 2
𝟎=
(
[= 2
𝟏=
5 )+ 6 ( )+ 6
(
𝟎 𝟎= 𝟖
, +
𝟑 𝟏 ( )] = 𝟐 0 + 1 = 𝟑 + 6 𝟐 𝟐 ( − )+ 6
=
𝟖=
9 ( )+ 6
= 𝟐 *− [= 2
𝟐=
= 𝟑
=
𝟑
=
𝟑
𝟑
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
أسئلة حول األعداد المركبة س /1إذا كان ( )a – iأحد الجذرٌن التربٌعٌن للعدد ( )3 + biحٌث b ,aأعداد حمٌمٌة ,جد السعة للعدد المركب 𝟗𝟏 −
𝟐
−𝟑 −
𝟑
س /2أثبت أن= 𝟓 : س/3
𝟐
𝟐
𝟐
ل أن العددٌن
= −
𝟒
−
𝟓−
𝟐+ , 𝟐−
𝟐
𝟔 𝟏 −مترافمتان.
𝟐−
س /4جد ناته ما ٌلً : 𝟓
𝟓
𝟑 − 𝟏+
𝟑 𝟏+
𝟐
𝟏−
𝟒
𝟔
س /5أوجد الجدور التربٌعٌة للعدد س /6أذا كان 𝟑 +
=
=
+
س /7إذا كان
𝟐+ 𝟏−
س /8أذا كان
𝟏+
س /9العدد المركب
𝟕
𝟓
𝟖
𝟏+
𝟑
𝟐𝟏 𝟓 +
عدد مركب ممٌاسه 𝟐 ,جد لٌمة فأثبت أن 𝟕 =
]𝟑
+
𝟑
.
[𝟐
و أحد الجذور المعادلة التربٌعٌة للعدد
𝟐𝟏−
+
√
𝟏
و أحذ جذور المعادلة 𝟎 = 𝟕 −
س /10بأستخدام مبر نة دٌموافر ,حل المعادلة 𝟎 = 𝟕𝟐 +
𝟐
𝟒+ +
فجد لٌمتً −𝟐 −
𝟐
, فجد لٌم
,
حٌث ℂ
س /11حل المعادالت التالٌة فً المجموعة ℂبطرٌمتٌن مختلفتٌن 𝟎= 𝟖−
𝟑
𝟐
𝟎=𝟖−
𝟑
𝟏
𝟎 = 𝟒𝟔 −
𝟑
𝟒
𝟎 = 𝟒𝟔 +
𝟑
𝟑
س /12أحسب بأستخدام مبر نة دٌموافر كالا مما ٌأتً : 𝟓
𝟏+
𝟕
−𝟏 +
80
𝟕
𝟑−