أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل المواعد األساسٌة للمشتمة ( مراجعة ) الماعدة األولى :مشتمة الدالة الثابتة تساوي صفر
الماعدة الثانٌة :أذا كان
فأن
) (
𝟐
𝟏
𝟏 / 𝟐
√𝟐
.
𝟕
الماعدة الثالثة :أذا كان
) (
(
)𝟏
𝟏 𝟐 𝟖
)
𝟏 / 𝟐
√𝟐
𝟏 ) (𝟕 𝟐
.
𝟓𝟏
𝟒
𝟒
𝟏 . / 𝟐
𝟕
𝟕
) (
)𝟏(
) (
)𝟐(
) (
)𝟑(
حٌث ) (̅
𝟒𝟐
𝟒 𝟏 . / 𝟐
) (̅
𝟕
) (̅
𝟓𝟏
√
) (̅
) (̅
(
𝟑
) (̅
𝟑
𝟕
𝟎
) (̅
𝟐 𝟓
) (
)𝟑(
) (̅
𝟑
𝟖
فأن
𝟎
) (̅
𝟒√
) (
)𝟐(
) (̅
(
)𝟏
𝟎
) (̅
𝟑
) (
)𝟏(
𝟗
𝟑
𝟔
) (
)𝟏(
√𝟕
) (
)𝟐(
𝟓
) (
)𝟑(
) (
)𝟒(
) (̅
𝟗
الماعدة الرابعة :مشتمة مجموعة دوال = مجوع مشتماتها 𝟕 𝟏 𝟐
𝟏
𝟓 𝟓
𝟐
𝟐 𝟏 / 𝟐
𝟐 𝟓
.
𝟏 . / 𝟐
𝟕
𝟏 ) (𝟕 𝟐
𝟐
𝟕
𝟐
√𝟐
127
𝟐
𝟑
𝟑
) (̅
𝟒𝟐
) (̅
) ( ) (̅ ) (̅
𝟑
) (
)𝟏(
𝟔
) (
)𝟐(
√𝟕
) (
)𝟑(
𝟕 𝟏
𝟓
𝟐
𝟒
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل الماعدة الخامسة ] :مشتمة حاصل ضرب دالتٌن = الدالة األولى 𝟑
𝟒𝟏
𝟒𝟐
𝟑
𝟒𝟏
𝟖
)𝟕
الماعدة السادسة :مشتمة لسمة دالتٌن = 𝟑
𝟔 𝟖 𝟐)𝟏
𝟒
𝟒
𝟐
𝟔 (
مشتمة الدالة الثانٌة +الدالة الثانٌة
𝟐𝟏() 𝟐(
الممام
𝟐 𝟓
𝟔
)
𝟒) 𝟕
𝟑
𝟒()𝟓𝟑
(𝟐𝟐)𝟑 ,
𝟏)(𝟏)-
𝟐
𝟐)𝟐 (𝟐)-
𝟐( ( 𝟑)𝟐
)𝟏
)𝟕
𝟐(𝟐
, ( )-
𝟐𝟏( 𝟒) 𝟕
𝟏
𝟐) 𝟐
𝟑
𝟒( 𝟐
𝟐
)𝟐 𝟏
𝟐) 𝟐
𝟐𝟏( 𝟑
𝟒(𝟓
𝟐(𝟑𝟏)𝟐 , 𝟐( 𝟐)𝟏
(𝟔
) (̅
𝟐) 𝟐
𝟑
𝟑
𝟒(
𝟏
𝟐 )𝟐 ,𝟐 -
𝟒(
𝟐
𝟑)𝟐
𝟏
𝟑
𝟒(𝟐 𝟐
𝟖
𝟒
𝟐
𝟔𝟏 𝟐
𝟑
𝟒
𝟐
𝟐𝟏
𝟑
) 𝟐
𝟒( 𝟒
)𝟐
𝟐) 𝟐
𝟑
𝟏
𝟒√𝟐
𝟑
𝟒(
) (
)𝟏(
(
) (
)𝟐(
𝟐
√𝟐
) (
𝟒
𝟏 𝟒( ) (6 𝟐 𝟐𝟏(
) (
) (̅
𝟐( 𝟐)𝟏
𝟐
𝟐𝟏( 𝟐 ) 𝟐
𝟑
𝟐
𝟒
(, ( )-
𝟓) 𝟕
) ( 𝟐
𝟐)7
)𝟏
) (̅
(
𝟏
𝟐
𝟑
𝟒
(
𝟑
𝟏 𝟏
) (̅
فأن ) ( ̅
) (
) (̅
𝟐)𝟐
) 𝟐() 𝟕
)الممام(
𝟒()𝟏
𝟐
البسط
𝟑
𝟒(
) (
مشتمة الممام
𝟑 𝟐( ) 𝟔()𝟏 𝟐)𝟏 𝟒 (
الماعدة السابعة :مشتمة مجموعة دوال مرفوعة ألس معٌن 𝟎𝟔(
)𝟐() 𝟕
مشتمة البسط
𝟑
𝟑
𝟒(
) (̅
مشتمة الدالة األولى[
)𝟑(
) (̅
𝟐
𝟐
) (̅
𝟒(𝟐
المواعد األساسٌة ألشتماق الدوال الدائرٌة ) (
𝟐
) (̅
) (
) (
)𝟒(
) (̅
) (
)𝟓(
) (
) (̅
) (
)𝟔(
)
(𝟐
) (̅
) (
)𝟏(
) (̅
) (
)𝟐(
) (̅
) (
)𝟑(
بعض الموانٌن والعاللات المهم 𝟐
) 𝟐(
𝟐
𝟐 𝟐
𝟏
𝟐 𝟐
𝟏
) 𝟐(
𝟐
𝟏 𝟐 𝟏
128
𝟏
𝟐
𝟏
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل 𝟐 𝟐
𝟏
𝟏
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05 𝟐
) 𝟐(
)
𝟏
) 𝟐(
(
𝟐
𝟏
𝟐
𝟏
) 𝟐(
𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
)تعكس األشارة(
)
(
)
(
مثال /جد مشتمة كالً مما ٌأتً : 𝟏
) (̅
) (
)𝟏(
) (
)𝟐(
) (
)𝟑(
) (
)𝟒(
) (
)𝟓(
) (
)𝟔(
) (̅
𝟐)
(
𝟐
) (
)𝟕(
) (̅
𝟐)
(
𝟐
) (
)𝟖(
) (
)𝟗(
√𝟐 𝟏 𝟐
𝟏
) (̅
)𝟏
) (̅
) (̅
(
√
𝟐
) (̅ ) (̅ 𝟏
√
√𝟐 𝟏 √𝟐
𝟐 𝟐 )
(
)
𝟐
) 𝟐(
𝟏
𝟏 )𝟏
𝟐 𝟐 𝟐
129
) (̅
) (̅ ) (̅ ) (̅
( 𝟐
) (̅
(
√
) (̅ ) (̅ ) (̅
√
) (
)𝟗(
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
المشتمات ذات الرتب العلٌا دالة تتوافر فٌها شروط األشتماق فأن مشتمتها األولى هً ̅ ( )1
أذا كانت ) (
̅ 0وهً تمثل
دالة جدٌدة ,والدالة الجدٌدة أذا كانت لابلة لألشتماق فأن مشتمتها الثانٌة تكون أٌضا دالة جدٌدة وٌرمز لها بالرمز 𝟐 ̅ حٌث ̅ ( )1 ̅ , 0والدالة الجدٌدة أذا كانت لابلة لألشتماق فأن مشتمتها الثالثة تكون أٌضا دالة 𝟐
𝟑
̅ حٌث ̅ ( )1 جدٌدة وٌرمز لها بالرمز ̅
̅ ̅ 0وهكذا فأذا كان ) (nعدد صحٌح موجب فأن المشتمة
𝟑
) (
من الرتبة ) (nتكون كالتالً ( )1
0
مالحظات عامة ,حٌث ) ( تمثل أزاحة الجسم عند أي زمن ) ( لذا فأن :
أذا كانت ( ) - ① ) (̅ ② ) (̅ ̅̅ ③) (
(المشتمة األولى) وهً تمثل السرعة اللحظٌة للجسم وٌرمز لها بالرمز ) ( 𝟐 𝟐 𝟑 𝟑
(المشتمة الثانٌة) وهً تمثل التعجٌل للجسم (معدل تغٌٌر السرعة ) وٌرمز لها بالرمز ) ( (المشتمة الثالثة) وهً تمثل (معدل التغٌٌر الزمنً للتعجٌل)
④ بعض الدوال لابلة لألشتماق أكثر من مرة ,لذا فأن مشتمة ناتج األشتماق األول تسمى بالمشتمة الثانٌة ,ومشتمة ناتج األشتماق الثانً تسمى بالمشتمة الثالثة
المشتمـــــــــة الضمنٌة دالة بداللة ) ( فعند أشتماق معادلة تحتوي على ) ( و ) ( بالنسبة للـ ) ( نضٌف )̅ ( بعد
أذا كانت ) (
كل مشتمة لل ) ( ( وتستخدم المشتمة الضمنٌة عندما ٌكون لٌمة أس ) ( أكبر من واحد ) كما فً المثال التالً : مثال /أوجد )̅( لكالً مما ٌأتً : 𝟐
𝟒 ̅
̅
̅
)𝟐 (
⇒
̅
𝟑 ̅
̅
130
𝟐
①
) (
𝟐 )̅
𝟐
(
②
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
مثال ) /)1أذا كان
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
فجد
𝟐
𝟒 𝟒
الحل /
𝟐
𝟐
)𝟐() 𝟐
𝟒
𝟐
𝟐 (
𝟐
𝟐
)𝟐() 𝟐
𝟐
(
𝟒
𝟐
)𝟐() 𝟐
𝟔𝟏 𝟐
مثال ) ) /أذا علمت بأن 𝟏
𝟐
𝟖(
𝟑
𝟐
𝟒
فبرهن على أن :
𝟐
𝟎
𝟐
)𝟐() 𝟐
𝟖
𝟒(
𝟑
𝟑
𝟑
𝟑
الحل /
𝟏 )𝟐 ( )واالن نشتك الطرفٌن بالنسبة للمتغٌر
𝟐
𝟎
(
𝟐
𝟐
)
( 𝟐
𝟎
(
) 𝟐
𝟎
)
𝟏
(
( )
5
𝟐
𝟐
)واالن نشتك الطرفٌن بالنسبة للمتغٌر
𝟎
/
𝟐 𝟐
𝟑.
𝟑/
𝟑
مرة أخرى (
𝟎
.
𝟎
𝟎 𝟐/
𝟐
.
𝟏
𝟐
4 𝟐
(
) 𝟐/
𝟐
5
.
4
𝟐
𝟑/
𝟑
.
𝟐
)وهو المطلوب(
مثال /لتكن 𝟎
𝟑𝟏
حٌث 𝟎
𝟎
𝟐
𝟑
𝟑
𝟑
فجد المشتمة الثانٌة
𝟎
الحل / 𝟎
المشتمة األولى
𝟎
𝟎 𝟐
𝟎
̅
)𝟏(̅
المشتمة الثانٌة
131
̅
𝟎
̅𝟐
̅
𝟐
𝟎
̅𝟐
̅
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل 𝟐
مثال /أذا كانت
وكان 𝟓
) (
)𝟏( ̅ فجد
)𝟏( ̅ وكان 𝟒
)𝟏( وكان 𝟑
الحل /
معادلة ① معادلة ②
𝟑
𝟒
𝟐 𝟒
)𝟐 (𝟐
𝟑
𝟎
مثال /أذا كانت
) 𝟏( ̅
𝟐
𝟑 𝟕
فبرهن أن
) 𝟏( ̅
) 𝟏( 𝟐
𝟑
𝟕
) 𝟏(
𝟓
𝟐
نعوض فً ② نعوض فً ①
𝟓
𝟐
𝟐) 𝟏(
𝟓
) 𝟏( 𝟐
) (̅
𝟐
) (̅ 𝟐
𝟑 ) 𝟕(
𝟓
)𝟐 (
𝟐
𝟐
𝟐
الحل /
𝟐
)
𝟐
(
𝟐
𝟐
𝟐
س / 1جد
𝟐
𝟐
𝟐
تمارين)𝟏 𝟐
𝟐 𝟐
𝟑(
لكل مما ٌأتً : 𝟐
) (
𝟐√
الحل / 𝟏 𝟐
𝟏 𝟐( 𝟐
)
)𝟏 (
𝟏 𝟑)
𝟏 𝟐
)
𝟏 𝟐(√ 𝟒
𝟑 𝟐)
132
𝟏 𝟐( 𝟐
𝟏 𝟐) 𝟑
)𝟏 ( 𝟐 ) 𝟐(𝟒
𝟏 𝟏 𝟐( ) ( ) 𝟐 𝟐
𝟐( 𝟐
(
𝟐
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05 𝟐 ) ( 𝟐 𝟐
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
الحل / 𝟐
)
𝟒
𝟐(𝟒
𝟐)
𝟐 𝟐)
𝟐(
)𝟏()
𝟐
𝟐( 𝟐)
𝟐(
𝟐(
)𝟏 () 𝟐(
𝟐
𝟖 𝟑)
)𝟏( 𝟑 )
𝟐(
𝟎
𝟐()𝟐 ()𝟒 (
𝟐
𝟓
𝟎
𝟐
𝟐 ) (
𝟒
الحل /
𝟎 𝟐
𝟐
𝟐(
)𝟒
𝟒
𝟎
𝟐(
)𝟒
[𝟐
] 𝟒
𝟎
𝟐
𝟐
𝟐
𝟎
𝟐
𝟒
𝟐
𝟐
𝟐
𝟒 𝟐
𝟐 𝟐)𝟐
𝟐
(
)𝟒
𝟖 𝟐)𝟐
𝟐(
(𝟒
𝟐)𝟒
𝟎
𝟐
𝟐
𝟒
𝟐
)𝟒
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐(
𝟐
𝟐
𝟐
𝟖
7
𝟐6
𝟐(
)𝟒 (
)𝟒
𝟐(
𝟐
طرٌمة أخرى لحل السؤال 𝟓 𝟏
)𝟐
𝟓 ( 𝟐
𝟓
𝟓 )𝟐 𝟐
𝟓 𝟑)𝟐
(𝟐 )𝟐
𝟓
𝟐(
)𝟒 𝟓 ( 𝟐
)𝟏( 𝟐 )𝟐
𝟐 𝟑
(
𝟐
133
)𝟐
(𝟓
)𝟏( 𝟑 )𝟐
𝟒 )𝟒
𝟐 𝟐(
𝟓 ()𝟏 ( 𝟐 𝟓 ()𝟐 ( 𝟐
𝟐 𝟐
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
̅ س / 2جد )𝟏( ̅ لكل مما ٌأ تً : 𝟐
𝟑
) (
𝟔√𝟒
) (
الحل / 𝟏
𝟐) 𝟐
𝟑
𝟐) 𝟐
𝟐𝟏 𝟓
𝟐) 𝟐
𝟓
𝟐) 𝟐
𝟏 𝟔( ) ( 𝟒 𝟐
) (̅
)𝟐 ( 𝟐 ) 𝟐
𝟏 𝟔( ) 𝟐
(𝟒
) (̅
)𝟐 ( 𝟐 ) 𝟐
𝟑 𝟔( ) 𝟐
(𝟒
) (̅
𝟏
)𝟐 ( 𝟐 ) 𝟐
𝟔(𝟒
𝟑
𝟔(𝟒
𝟓
𝟔(𝟐𝟏
𝟔( 𝟑 𝟖
𝟐𝟏 𝟓)𝟐(
𝟐𝟏 𝟐𝟑
𝟐𝟏
𝟐𝟏
𝟐𝟏
𝟓 𝟐) 𝟐𝟐(
𝟓 𝟐)𝟒(
𝟏
𝟐) 𝟐
) (
𝟔(𝟒
̅ )𝟏(̅
𝟓 𝟐)𝟐
𝟔(
) (
) (
الحل / ) (̅
) ( 𝟐
) (
𝟑
𝟑
) ( (𝟑
)𝟏
) (̅
)𝟏(
𝟐
) ( ̅̅
𝟑
)𝟏( ̅
𝟑
𝟐
𝟐
) (
الحل / 𝟐 𝟑
𝟖𝟏 𝟒)
𝟒
𝟐(
) )
)
𝟐( 𝟐(
𝟐(𝟖𝟏
)𝟏 ( )
(
)𝟏 (
𝟑
𝟒
) )
𝟐
)
𝟐(𝟑
𝟐()𝟐 (𝟑 𝟐()
(
) (
134
) (̅ ) (̅ ̅ ) (̅ ̅ )𝟏(̅
𝟏
)
𝟐(𝟑
) (
) (
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
س / 3أذا كانت
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
فبرهن أن
)𝟐
𝟐
𝟏( 𝟐
)𝟏
حٌث
𝟐
𝟐( 𝟐
الحل / 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐 𝟐
𝟐
𝟐
𝟏 𝟐
)𝟐
فبرهن أن 𝟎 :
س / 4أذا كانت
𝟏( 𝟐
)
𝟐
𝟐
𝟏(
𝟐
)𝟒(
𝟒
الحل / )𝟏( 𝟐
𝟐
𝟐
)𝟏(
𝟐
𝟐
(
)
𝟐
𝟑
𝟐
̅
𝟐
𝟐
𝟑
𝟐
𝟒
𝟐
𝟐
𝟒
̅
𝟐
𝟒
𝟒 𝟒
/و هـ م.
𝟎
𝟒
) 𝟒(
𝟎
𝟐
𝟐
𝟒
المعدالت المرتبطة لحل مسائل المعدالت المرتبطة بالزمن وهً أحدى تطبٌمات المشتمة الضمنٌة نتبع الخطوات التالٌة : ① نرســـــــــم مخطــط للمســــــــألة (أن أحتجــت الــى ذلــن ) ونحــدد المترٌــرات والثوابــت ونضــع لهــا الرمــوز ونحــدد العاللــة الرئٌسٌة لحل السؤال ② نحاول أٌجاد عاللة أخرى بٌن المترٌرات لكً ٌمل عدد المترٌرات الداخلة فً الحل ③ نشتك الطرفٌن بالنسبة للمترٌر ( tالزمن) ④ نعوض معطٌات السؤال من المترٌرات بعد األشتماق فٌنتج المطلوب
135
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟐 ٌتســــرب منه
مثال ( /)1خزان مملوء بالماء على شكل متوازي سطوح مستطٌلة لاعدته مربعة طول ضلعها الماء بمعدل 𝟎 𝟒 𝟑 ⁄جد معدل ترٌر أنخفاض الماء فً الخزان عند أي زمن t وزاري / 2013د2 وزاري / 2011د1 الحل /
نفرض ارتفاع الماء فً الخزان مســـــــــــــاحة الماعـــــــــدة نفرض حجم الماء فً الخزان
{
فً أي زمن t
العاللة هً لانون حجم الخزان ) ( = ] مساحة الماعدة
األرتفاع[
𝟐)𝟐(
𝟒
األن نشتك بالنسبة للزمن 𝟒 𝟒𝟎 𝟒
) 𝟎𝟏 ( ⁄
𝟒
∴ معدل ترٌر أنخفاض الماء فً الخزان = ) ⁄
𝟒𝟎
𝟏 𝟎(
𝟐 𝟔𝟗 ٌتمـدد طولــــــها بمعـدل ⁄ مثال ( /)2صفٌحة مستطٌلة من المعـدن مسـاحتها تسـاوي 𝟖 تبمى مساحتها ثابتة ,جد معدل النمصان فً عرضها عندما ٌكون عرضها وزاري / 2014د 3وزاري / 2011د2
𝟐 بحٌـث
الحل / نفرض طول المستطٌل نفرض عرض المستطٌل
8
فً اي زمن t
العاللة هً مساحة المستطٌل ) ( = -
,
)نحسب لٌمة ( 𝟐𝟏
معادلة①
𝟔𝟗 𝟖
𝟔𝟗 )𝟖(
𝟔𝟗
األن نشتك معادلة ① بالنسبة للزمن 𝟎
)𝟐()𝟖(
)𝟐𝟏(
𝟎 𝟒 ( 𝟑
𝟔𝟏 𝟐𝟏
∴ معدل التنالص فً عرض المستطٌل = ⁄ /
𝟒
) ⁄
𝟑
.
136
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟖 مرطـى بطبمـة مـن الجلٌـد بحٌـث شـكله ٌبمـى مكعـب ,فـأذا بـدأ الجلٌـد مثال ( /)3مكعب صلد طـول حرفـه 𝟑⁄ 𝟏 𝟔 فجد معدل النمصان بسمن الجلٌد فً اللحظة التً ٌكون فٌها هذا السمن = بالذوبان بمعدل وزاري / 2015د1
الحل / نفرض سمن الجلٌد نفرض حجم الجلٌد
8فً أي زمن t
المطلوب حساب . /عندما ) 𝟏
حجم الجلٌد
𝟑⁄
( حٌث /
حجم المكعب مغطى بالجلٌد
𝟔
حجم المكعب األصلً 𝟑)𝟖(
)نشتك بالنسبة للزمن( 𝟎
𝟑) 𝟐
)𝟐( 𝟐) 𝟐 ))𝟏(𝟐
𝟖(𝟔
𝟔
𝟐)𝟎𝟏(
𝟏
𝟏 𝟎𝟎𝟏
لذا فأن معدل النمصان فً سمن الجلٌد = ⁄
𝟖(
𝟖(𝟑
𝟐
⁄
.
0.01
مثال ( /)4سلم طوله 𝟎𝟏 ٌستند طرفه االسفل على أرض أفمٌة وطرفه العلوي على حائط رأســــً ,فاذا انزلـك الطـر األسفل مبتعد مبتعدا عن الحائط بمعدل 𝟐 ⁄عندما ٌكون الطر األسفل على بعد 𝟖 عن الحائط فجد : ② سرعة ترٌر الزاوٌة بٌن السلم واألرض ① معدل أنزالق الطر العلوي
وزاري / 2014د2 الحل ① / نفرض بعد الطر األسفل عن الحائط فً أي لحظة نفرض بعد الطر األعلى عن األرض فً أي لحظة نفرض لـــــٌاس الزاوٌـــــة بٌــــن الســــلم واألرض )فٌثاغورس( 𝟔
𝟎𝟎𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
𝟎𝟎𝟏
𝟐
𝟒𝟔
)نشتك الطرفٌن(
𝟎𝟎𝟏
𝟐
𝟐
𝟔𝟑
𝟎 𝟎 𝟐𝟑
𝟐𝟏
𝟐 )𝟔(𝟐 𝟎
𝟐 )𝟐()𝟖(𝟐
𝟐𝟏
𝟖 ) ( ⁄ 𝟑
∴ معدل انزالق الطرف العلوي = ⁄
𝟖 𝟑
137
𝟐𝟑
وزاري / 2012د1
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
الحل ② / )نشتك الطرفٌن(
) نعوض لٌمة
(
) نضرب الطرفٌن ب 𝟎𝟏 (
) نمسم الطرفٌن على 𝟖 ( سرعة تغٌٌر الزاوٌة بٌن السلم واالرض
(
) ⁄
𝟒𝟐 وطــول لطــر مثــال ( /)5مرشــح مخروطــً لاعدتــه أفمٌــة ورأســــــــه الــى االســفل ارتفاعــه ٌســـــــاوي 𝟑⁄ 𝟑⁄ 𝟏 جـد معـدل 𝟓 بٌنما ٌتسرب منه السا ئل بمعـدل 𝟔𝟏 ٌصب فٌه سائل بمعدل لاعدته 𝟐𝟏 ترٌر عمك السائل فً اللحظة التً ٌكون فٌها عمك السائل الحل / نفرض أرتفاع الســـــــائل نفرض نصف لطر الماعدة نفرض حجم الســــــــائل
مالحظة
{ فً أي زمن t
معدل تغٌر حجم السائل معدل الصب معدل التسرب )
𝟑⁄
( 𝟒 𝟏 𝟓
العاللة هً حجم السائل فً المرشح المخروطً 𝟏
𝟐
معادلة①
𝟑
نعوض فً معادلة①
𝟑
𝟐
𝟏 𝟕𝟐
) ( 𝟑
𝟏 𝟑
𝟐 𝟑
)نشتك بالنسبة للزمن(
𝟕𝟐 𝟐
𝟐)𝟐𝟏(
𝟗
معدل أزدٌاد أرتفاع السائل ) ⁄
𝟏 𝟑
𝟑
𝟕𝟐
𝟐
𝟒
𝟗
(
𝟏 𝟒
)𝟗()𝟒( 𝟒𝟒𝟏
138
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟒 𝟐 بحٌــث ٌكــون معــدل أبتعادهــا عــن النمطــة مثــال ( /)6لــتكن Mنمطــة متحركــة علــى منحنــً المطــع المكــاف )𝟎 𝟕( ٌســــاوي ⁄ 𝟐 𝟎 جــــد المعــــدل الزمنــــً لترٌــــر األحــــداثً الســــٌنً للنمطــــة Mعنــــدما ٌكــــون 𝟒 الحل / لتكن النمطة )
(
لتكن النمطة )
(
للمطع المكافئ
Sالمسافة بٌن N , M 𝟐 𝟐
𝟗𝟒 )
𝟒
𝟐
𝟒𝟏 𝟐
)𝟏
𝟐
√
(
𝟏
)نشتك بالنسبة للزمن(
(
𝟐)𝟎 𝟒
𝟐)𝟗𝟒
𝟐
𝟐
𝟎𝟏
)𝟏
𝟐
𝟐)𝟕
( 𝟗𝟒
(
𝟒𝟏
𝟗𝟒
𝟐( 𝟐 )𝟗𝟒
𝟗𝟒 𝟗𝟒 𝟐 𝟎𝟏 ) ⁄
( 𝟏
𝟐𝟎
𝟐
𝟎𝟏
√
𝟏 ( 𝟐
𝟐
𝟎𝟏
𝟐
√𝟐
)𝟒(𝟐
)𝟒(𝟎𝟏
√
𝟐
𝟎𝟏
𝟎𝟏 𝟎𝟏
(√ 𝟐
𝟏
)𝟎𝟏
(√
𝟐)𝟒(√ 𝟐 𝟐 𝟓𝟐√𝟐 𝟐𝟎
139
𝟐𝟎 𝟐𝟎 𝟐𝟎
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟑(
تمارين)𝟐
س / 1سلم ٌستند طرفه األسفل على أرض أفمٌة وطرفـه األعلـى علـى حـائط رأسـً فـأذا أنزلـك الطـر 𝟐 فجد معدل أنزالق الطر
الحائط بمعدل
العلوي عندما ٌكون لٌاس الزاوٌة بٌن السلم واألرض تساوي
الحل /
الطريقة① نـــــفرض طــــــــــول الســـــــــــــلم نفرض بعد لاعدة الســــــــــلم عن الجدار نفرض بعد رأس السلم عن عن األرض نفرض الزاوٌة بٌن الســــــــلم و األرض
{فً أي زمن t
العاللة هً فٌثاغورس 𝟐
معادلة① 𝟑√ 𝟐
𝟐
𝟐
𝟑
𝟏 𝟐
𝟑
األن نشتك المعادلة ① بالنسبة للزمن 𝟑√ 𝟐4 5 𝟐
𝟎
) ( ⁄ معدل االنزالق الطر
𝟏 )𝟐( ) ( 𝟐 𝟐
𝟐
𝟐
𝟑√
𝟑√
العلوي للسلم = m/s
𝟎 𝟎
𝟐 𝟑√
𝟐 𝟐
𝟐 𝟑√
الطرٌمة② 𝟑√
𝟑√
𝟑
األن نشتك المعادلة ① بالنسبة للزمن 𝟎
)𝟐() (𝟐
) 𝟑√(𝟐
) ( ⁄
𝟐
𝟒
𝟑√
𝟑√𝟐
األسـفل مبتعـدا عــن
𝟎 𝟎
140
𝟐 𝟑√𝟐
𝟐 𝟒
𝟑
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟐 𝟕 فــً نهاٌتــه مصــباح ٌتحــرن رجــل طولــــــــــه س / 2عمــود طولـــــه 𝟑𝟎 ⁄جد معدل ترٌٌر طول ظل الرجل وبســــرعة
𝟖 𝟏 مبتعــدا عــن العمــود وزاري / 2013د1
الحل / نفرض بعد الرجل عن لاعدة المصباح نفرض طــــــول ظل الرجــــــــــــل
حٌث 𝟎𝟑
8فً أي زمن t
العاللة هً تشابه مثلثات او أستعمال )(tan 𝟐𝟕
فً المثلث الكبٌر
𝟖𝟏
فً المثلث الصغٌر 𝟒
𝟏
𝟖𝟏
)نشتك بداللة ( 𝟏𝟎 ( ⁄
)
معدل ترٌٌر طول ظل الرجل = )
𝟑 /
𝟎𝟑 𝟑
𝟐𝟕 𝟒
.
𝟑
𝟑
𝟏𝟎 ( ⁄ 𝟐
𝟒 𝟖 س / 3جد النمط التً تنتمً للدائرة 𝟖𝟎𝟏 لترٌٌر ) ( ٌساوي المعدل الزمنً لترٌٌر ) ( بالنسبة للزمن t
𝟐
الحل / العاللة معطاة وهً
)𝟖𝟎𝟏
) نعوض بدل كل
ب
)نمسم المعادلة على
𝟐(
𝟖
𝟒
(
𝟎
𝟖
𝟎
)𝟒
𝟔𝟗 ()𝟐𝟏
(
𝟎 𝟎𝟏 𝟔
النمطتان)
()
𝟖 𝟖
𝟎 )
𝟐(𝟒
𝟐
𝟒
𝟐
𝟐
𝟖
𝟖
𝟐
𝟐 𝟒
𝟐𝟏 𝟖𝟒
𝟐
𝟒
𝟐
𝟖𝟎𝟏 𝟐
𝟒
𝟖
𝟖𝟎𝟏
𝟔𝟏
𝟐
𝟎
) نعوضها فً العاللة المعطاة(
𝟐
( حٌث
𝟐
𝟐 𝟐) 𝟐
𝟖𝟎𝟏
𝟐
𝟐( 𝟒 𝟐
𝟔𝟏 𝟖𝟒
𝟐𝟏
𝟐
𝟐𝟏
)𝟒 (
𝟐
𝟒
(
141
𝟒
𝟖
𝟐 𝟐
والتً عندها ٌكون المعدل الزمنً وزاري / 2012د3
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل 𝟐
س / 4لتكن Mنمطة تتحرن على المطع المكاف
جد أحداثً النمطة Mعندما ٌكون المعدل الزمنً ألبتعادها
𝟑
وزاري / 2012د2
عن النمطة ٌ .𝟎 /ساوي ثلثً المعدل الزمنً لترٌٌر األحداثً الصا دي للنمطة M 𝟐
الحل /
لتكن النمطة )
𝟐
للمطع المكافئ
(
𝟑
𝟑
لتكن النمطة .𝟎 𝟐 / Sالمسافة بٌن N , M 𝟐 )𝟏
𝟗 ) 𝟒
𝟑
𝟐
𝟐 𝟑 ) 𝟐
√
(
𝟐
(
𝟐 )𝟏
(
𝟐
𝟐 𝟑 ) 𝟐
√
̅̅̅̅̅
(√
𝟐
(
𝟐)𝟎
𝟐 𝟗 ) 𝟒
𝟐
(√
𝟏
)نشتك بالنسبة للزمن( 𝟏
)
𝟐
𝟐(
)𝟐
) تربٌع الطرفٌن (
𝟐 )𝟏
𝟗 𝟒
(𝟑
𝟐
𝟎
𝟐
𝟐 )𝟏
√𝟐
𝟗 𝟒 𝟐
(𝟗
𝟖𝟏
𝟐
𝟐 𝟗
)𝟐
𝟐(
𝟏
)𝟏 𝟐
(
𝟐
𝟐 𝟗 𝟒/
𝟐. 𝟐
𝟏 ( 𝟐
𝟐
)𝟐
𝟐 𝟑
𝟏
𝟐 𝟗 𝟒/
𝟐
𝟐 𝟗 ) 𝟐( 𝟒
𝟐
(
𝟐 𝟎 تهمل)𝟎 𝟎( 𝟎 )𝟐 𝟐√ ( 𝟐√
(𝟐 𝟐
𝟐 𝟗 ) 𝟒 𝟗
𝟐.
√ 𝟐 𝟐
𝟗
𝟐 𝟑
𝟖 𝟎𝟏
𝟎 𝟎 𝟐 )𝟐 𝟐√ (
𝟐
(𝟒 𝟐 𝟐
𝟒 𝟓
س / 5متوازي سطوح مستطٌلة ابعاده تترٌر بحٌث تبمى لاعدتـه مربعـة الشـكل ز ٌـزداد طـول ضـلع الماعـدة بمعـدل ) ⁄ 𝟑( 𝟒(واالرتفاع ) 𝟓 𝟎( جد معدل ترٌٌر الحجم عندما ٌكون طول ضلع الماعدة ) وأرتفاعه ٌتنالص بمعدل ) ⁄ الحل / نفرض طول ضلع الماعدة نفرض ارتفاعـــــــــــــه حجمــــــــــــــــــــــه
{فً أي زمن t العرض
العاللة هً لانون الحجم حٌث الطول
𝟐
)نشتك بالنسبة للزمن(
) نعوض المجاهٌل(
)
𝟑⁄
(𝟖 𝟎
𝟐𝟕
االرتفاع 𝟐
) 𝟐(
)𝟑 𝟎()𝟒
𝟐( )𝟑(
)𝟓 𝟎 ( 𝟐)𝟒(
𝟖
)𝟖()𝟗 𝟎(
)𝟓 𝟎 ()𝟔𝟏(
142
𝟑 𝟎(
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
أمثلة أضافٌة محلولة مثال /سلم ٌستند طرفه األسفل على أرض أفمٌة وطرفه األعلى على حائط رأسً فأذا أنزلك الطر األسفل مبتعدا 𝟐( فجد معدل أنزالق الطر العلوي عندما ٌكون لٌاس الزاوٌة بٌن السلم واألرض عـن الحائط بمعدل ) تساوي 𝟒
الحل /
الطريقة① نــــــفرض طــــــــــول الســـــــــــــلم نفرض بعد لاعدة الســــــــــلم عن الجدار نفرض بعد رأس السلم عن عن األرض نفرض الزاوٌة بٌن الســــــــلم و األرض
{فً أي زمن t
العاللة هً فٌثاغورس 𝟐
معادلة①
𝟐
𝟐
𝟏 𝟒
𝟐√ 𝟏
𝟒
𝟐√
األن نشتك المعادلة ① بالنسبة للزمن )
𝟎
𝟏 𝟐√
) 𝟐( ⁄
∴ معدل االنزالق = )
(𝟐
𝟏 (𝟐 )𝟐( ) 𝟐√ 𝟐√𝟐
𝟎 𝟎
𝟐√
𝟐
𝟐
𝟐√
𝟐√𝟐
(𝟐
الطريقة② 𝟏
𝟒
األن نشتك المعادلة ① بالنسبة للزمن 𝟎
) (𝟐 ) 𝟐( ⁄
)𝟐() (𝟐 𝟒 𝟐
𝟎
𝟐 𝟎
143
𝟐 𝟐
𝟒
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
مثال /لطعة معدنٌة على شكل لطـع نـالص بمسـاحة ثابتـة تسـاوي ) 𝟎𝟔( وحـدة مربعـة فـأذا أزداد طـول محـوره األصـرر بمعـدل )𝟐 𝟎( وحــدة طول/دلٌمـة فجـد معــدل النمصـان فـً طــول محـوره االكبـر عنــدما ٌكـون طـول محــوره االصرر )𝟐𝟏( وحدة طول الحل / نفرض طول المحور االكبر نفرص طول المحور االصغر
8فً اي زمن t
العاللة هً لانون المساحة حٌث 𝟎𝟔 ) نضرب الطرفٌن ب
(
. /. / 𝟐 𝟐
𝟎𝟒𝟐
𝟎𝟒𝟐 𝟏
)نشتك بالنسبة للزمن( )
𝟎𝟒𝟐 𝟐
𝟐
( 𝟖𝟒 𝟒𝟒𝟏
𝟏 𝟑
𝟏
∴ معدل النمصان فً طول محوره االكبر
𝟑
𝟎𝟔
𝟎𝟒𝟐
𝟎𝟒𝟐
𝟎𝟒𝟐 )𝟐 𝟎( ) 𝟐)𝟐𝟏(
(
)وحدة طول ⁄دلٌمة (
******************************************************************
س : 1كــرة مملــؤة بالرــاز ٌتســرب منهــا الرــاز بمعدل ) عندمـــــا ٌكون حجمها /
𝟑⁄
𝟑 ( جــد معــدل النمصــان فــً طــول نصـ
لطرهــا
𝟐𝟑 𝟑
.
س : 2نمطة مادٌة تتحرن على المنحنً الذي معادلته 𝟕 𝟐 √ فأذا كان معدل ترٌـــــر األحداثً السـٌنً للنمطة = ) ⁄ 𝟑( عندما , x=4جد معدل ترٌر بعد النمطة عن نمطة األصل )(0,0 س : 3رجل طوله )ٌ (175 cmم أمام مصباح ٌرتفع عن سطح األرض ) (7 mفـاذا أخـذ الرجـل باالبتعـاد عـن لاعدة المصباح بمعدل ) (6 m/sفجد معدل ازدٌاد طول ظل الرجل
144
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
مبرهنتا رول والمٌمة المتوسطة دالة معرفة على الفترة المرلمة - أذا كانت , تأخذ لٌمة عظمى عند حٌث - ①
,فأن : أذا وفمط أذا :
,
أذا وفمط أذا :
) ( ②
تأخذ لٌمة صررى عند
حٌث -
) (
) ( مبرهنة)𝟏 𝟑( أذا كانت دالة معرفة على الفترة المرلمة - وأن ) ( ̅ موجودة فأن 𝟎 ) ( ̅ ( عند Cحـٌث )
) (
,وكان للدالة
مبرهنة)𝟐 𝟑( لتكن الدالة أذا كان 𝟎 ) ( ̅ أو ان الدالــــة غٌر لابلة لالشتماق فً Cوتسمى )) (
لكل -
,
لكل -
,
𝒙 𝒙
لٌمـة عظمـى أو لٌمـة صـررى
معرفة عند العدد ٌ Cـمال عــــــــن العدد Cبأنه عدد حرج )(critical number
مثال ( /)1لتكن |
|
) (
,بٌن هل الدالة
, 𝟏 𝟏-
( بالنمطة الحرجة تمتلن لٌمة عظمى او صررى
الحل / الدالة
تمتلن أعظم لٌمة عند كل من 𝟏
الدالة
غٌر لابلة لألشتماق عند 𝟎
𝟏
وتمتلن أصرر لٌمة عند 𝟎
أي أن )𝟎( ̅ غٌر موجودة وهذا ال ٌشترط أن ٌكون 𝟎
) (̅
( وٌالحظ أن الدالة معرفة عند الصفر وأن )𝟎( ̅ غٌر موجودة لذا ٌمال أن العدد " صفر " هو العدد الحرج للدالة النمطة ))𝟎( 𝟎( هً النمطة الحرجة )ز
مبرهنة رول ()ROLLE'S THEOREM اذا كانت الدالة f ② لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة )
① مستمرة فً الفترة المرلمة -
,
فأنه ٌوجد على األلل لٌمة واحدة
تنتمً الى الفترة )
( بحٌث 𝟎
145
(
) ( ̅ كما مبٌن أدناه
③ ) (
) (
وأن
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
مالحظات 𝟏 هذه النظرٌة تعنً هندسـٌا وجود نمطة واحدة على األلل تنتمً للمنحنً وتكون موازٌة لمحور السٌنات 𝟐 عند عدم توفر أحد الشروط الثالثة فأن مبرهنة رول ال تنطبك
الممكنة :
مثال ( /)2بٌن هل أن مبرهنة رول تتحمك لكل من الدوال التالٌة ؟ ثم جد لٌمة
𝟐)
,𝟎 𝟒-
) (
𝟐(
) (
الحل / ① الدالة مستمرة فً الفترة المرلمة ,𝟎 𝟒-النها كثٌرة حدود ② الدالة لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة )𝟒 𝟎( النها كثٌرة حدود ③ نوجد )𝟎( )𝟒(
)𝟒( الدالة ضمن الفترة المعطاة تحمك مبرهنة رول لذا نفرض )
)𝟎(
) (̅
𝟐(𝟐 )
𝟎
𝟐)𝟐 (
𝟐)𝟒
𝟐(
) (
) (̅
( ونفرض 𝟎 )
𝟐)𝟐(
𝟐)𝟎
𝟐(
) (
𝟐) )
𝟐(𝟐
𝟐(
𝟑
, 𝟏 𝟏-
) (̅
𝟐(𝟐 )𝟒 𝟎(
𝟐
) (
𝟗
𝟑
𝟐
) (
) (
الحل / ① الدالة مستمرة فً الفترة المرلمة , 𝟏 𝟏-النها كثٌرة حدود ② الدالة لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة )𝟏 𝟏 ( النها كثٌرة حدود ③ نوجد )𝟏( )𝟏 ( 𝟏 𝟏
𝟑
𝟗
𝟑
𝟗 𝟑)𝟏 (
)𝟏( الدالة ال تحمك مبرهنة رول ألن الشرط الثالث لم ٌتحمك
146
𝟑)𝟏(
𝟐)𝟏(𝟑
𝟐)𝟏 (𝟑
)𝟏 (
) (
)𝟏(𝟗
)𝟏 (𝟗
)
(
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟐 𝟏 ,, 𝟒 𝟏-
𝟐
𝟏
) (
{
𝟏
) (
الحل / 𝟐 𝟒 ,مجال الدالة ① الشرط األول 𝟐
𝟏
الدالة غٌر مستمرة ألن 𝟐 الدالة ال تحمك مبرهنة رول
𝟏
)𝟏
)𝟏 (
𝟏
𝟐
𝟐
(
)𝟏 ( )𝟏 (
فً الفترة , 𝟒 𝟐-
-
) (
,
) (
الحل / ,النها دالة ثابتة ① الدالة مستمرة فً الفترة المرلمة - ( ② الدالة لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة ) ③ نوجد ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ٌمكن أن تكون أي لٌمة ضمن الفترة )
الدالة تحمك مبرهنة رول وأن لٌمة
) (
(
******************************************************************
أمثلة أضافٌة محلولة عند تحمك المبرهنة
مثال /بٌن هل أن مبرهنة رول تتحمك لكل من الدوال التالٌة ؟ ثم جد لٌمة
𝟐
, 𝟐 𝟐-
𝟖
𝟒
) (
)𝟏(
الحل / ① الدالة مستمرة فً الفترة المرلمة , 𝟐 𝟐-النها كثٌرة حدود ② الدالة لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة )𝟐 𝟐 ( ③ نوجد )𝟐 ( )𝟐( 𝟔𝟏 𝟐𝟑
𝟔𝟏
𝟐𝟑 𝟔𝟏
𝟐)𝟐 (𝟖
) ( الدالة ضمن الفترة المعطاة تحمك مبرهنة رول لذا نفرض )
𝟔𝟏 𝟎 )𝟐 𝟐 (
𝟐
𝟒
𝟐
147
)𝟒
𝟒 𝟐
𝟒)𝟐 (
)𝟐 (
) (
) (̅
( ونفرض 𝟎 𝟑
𝟐)𝟐(𝟖
𝟔𝟏
𝟒)𝟐(
)𝟐(
) (̅
𝟐
( 𝟒 )𝟐 𝟐 (
) 𝟑 (𝟒
) (𝟔𝟏 𝟎
𝟖
𝟒
𝟎
𝟒
) ( ) (̅
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
) (
,𝟎 𝟐 -
)𝟐(
الحل / ① الدالة مستمرة فً الفترة المرلمة ,𝟎 𝟐 -ألنها دالة دائرٌة ② الدالة لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة ) 𝟐 𝟎( ③ نوجد ) 𝟐( )𝟎( )𝟎( ) 𝟐( )𝟎( ) 𝟐( الدالة ضمن الفترة المعطاة تحمك مبرهنة رول لذا نفرض )
) ( ) 𝟐(
) (̅
( ونفرض 𝟎
) (̅ ) ( ) 𝟐 𝟎(
𝟑 𝟐
𝟑 𝟐
) ( ) (̅
) (
) 𝟐 𝟎(
𝟐
𝟐
,𝟓 𝟗-
𝟗
) (
)𝟑(
الحل / ① الدالة مستمرة فً الفترة المرلمة ,𝟓 𝟗-النها دالة ثابتة ② الدالة لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة )𝟗 𝟓( ③ نوجد )𝟗( )𝟓( 𝟗 𝟗 )𝟗( الدالة تحمك مبرهنة رول وأن لٌمة
) ( ) (
)𝟓(
ٌمكن أن تكون أي لٌمة ضمن الفترة )𝟗 𝟓(
𝟐
, 𝟐 𝟐-
𝟔𝟏√
) (
)𝟒(
الحل / 𝟒 𝟒 ,𝟒 أوسع مجال للدالة ① الدالة مستمرة فً الفترة المرلمة , 𝟒 𝟒-النها مستمرة على المجموعات الجزئٌة ② الدالة لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة )𝟒 𝟒 ( الحظ
𝟔𝟏
𝟐
𝟐
𝟎 𝟐
𝟐
③ نوجد )𝟐 ( )𝟐(
𝟔𝟏√
𝟐
𝟔𝟏√𝟐
𝟔𝟏
) (̅
𝟐)𝟐(
𝟔𝟏√ ) ( 𝟒 𝟔𝟏√ 𝟐𝟏√ 𝟐 )𝟐 ( 𝟔𝟏√ ) ( 𝟒 𝟔𝟏√ 𝟐𝟏√ )𝟐( )𝟐 ( ( ونفرض 𝟎 ) ( ̅
الدالة ضمن الفترة المعطاة تحمك مبرهنة رول لذا نفرض ) )𝟒 𝟒 (
𝟎
𝟎
148
𝟐
𝟔𝟏√
) (̅
𝟐
𝟔𝟏√
) (̅
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟐
, 𝟏 𝟏-
𝟑
√
) (
)𝟓(
الحل / ① الدالة مستمرة فً الفترة المرلمة , 𝟏 𝟏-النها مستمرة على المجموعة الحمٌمٌة R ② غٌر لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة )𝟏 𝟏 ( ألنها غٌر معرفة عند الصفر الحظ 𝟐
𝟏 𝟑
𝟐
𝟑
𝟏 𝟑5
√𝟑
𝟐 𝟑
𝟑4
) (̅
∴ ال تتحمك مبرهنة رول وال ٌمكن تطبٌمها ألن الشرط الثانً غٌر متحمك
******************************************************************
بٌن هل أن مبرهنة رول تتحمك لكل من الدوال التالٌة ؟ وجد لٌمة Cالممكنة الفترة, 𝟓 𝟓-
الفترة, 𝟏 𝟎-
𝟑 𝟏 ,, 𝟓 𝟏-
𝟏
𝟑
𝟐
𝟒
𝟐
𝟑
𝟏
الفترة, 𝟏 𝟒-
, 𝟏 𝟏-
𝟑
|𝟑
𝟗
) ( )𝟒(
{
) ( )𝟔(
(
) ( )𝟖(
𝟐
𝟏 𝟐)𝟑
الفترة, 𝟓 𝟑-
𝟒
) ( )𝟐(
𝟐
الفترة, 𝟒 𝟒-
𝟏𝟏
𝟐)
الفترة, 𝟒 𝟒-
الفترة-
الفترة, 𝟓 𝟑-
𝟐
) ( )𝟎𝟏(
𝟐|
) ( )𝟐𝟏( الفترة𝟐 -
149
𝟐𝟏
الفترة, 𝟑 𝟑-
𝟐 ,
𝟐
𝟑
) ( )𝟏(
𝟐(
) ( )𝟑(
) ( )𝟓(
,
𝟗
𝟒)𝟏
𝟐
𝟐
𝟑
) ( )𝟕(
(
) ( )𝟗(
) ( )𝟏𝟏(
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
مبرهنة المٌمة المتوسطة ()THE MEAN VALUE THEOREM اذا كانت
دالة مستمرة فً الفترة المرلمة - ( وتحمك
لٌمة واحدة Cتنتمً الى )
,ولابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة ) ) (
) (
) (̅
او ٌكتب ) ( ̅ )
(
( فأنه ٌوجد على األلل ) (
) (
المخطط التالً ٌبٌن التفسٌر الهندسً لمبرهنة المٌمة المتوسطة ① المماس ٌوازي الوتر ̅̅̅̅ ② مٌل الوتر المار بالنمطتٌن
③ ميل المماس للمنحنً ػنذ
ٌساوي
) (
) (
= المشتقت األولى للذالت
أً . ̅ ( )/
ػنذ
④ المماس والوتـــــــــر متوازٌـــــــــــــــــــان لذا ٌتساوى مٌلهما ,أي أن
) (
) (
) (̅
مالحظات 𝟏 مبرهنة رول تعتبر حالة خاصة من مبرهنة المٌمة المتوسطة السبب/
) ( غٌر موجود فً مبرهنة المٌمة المتوسطة
ألن الشرط ) (
𝟐 فً مبرهنة رول :الممــــــاس والوتــــــــــر كالهــــــما ٌــــــــوازي المحــــــــور الســـــــــــــــــٌنً أي أن 𝟎 اي فرق الصادات
𝟎
لذا ٌصبح المٌل
𝟑 ألٌجاد لٌمة Cالتً تحمك
) (
) (
𝟎 ) ( ̅ ٌجب توافر الشرطٌن التالٌٌن :
① أن تكون
دالة مستمرة فً الفترة المرلمة -
② أن تكون
لابلة لالشتماق فً الفترة المفتوحة )
, (
150
) (̅
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
مثال ( /)3برهن أن الدوال األتٌة تحمك شروط مبرهنة المٌمة المتوسطة و أوجد لٌمة وزاري 𝟐𝟏𝟎𝟐 ⁄د 𝟑
, 𝟏 𝟕-
: 𝟔
𝟒
𝟐
) (
) (
الحل /
① الدالة مستمرة فً الفترة المرلمة , 𝟏 𝟕-النها كثٌرة حدود ② الدالة لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة )𝟕 𝟏 ( النها كثٌرة حدود مبرهنة المٌمة المتوسطة متحممة الشروط متحممة نبحث عن النمطة Cالتً تحمك المبرهنة ) مٌل المماس( ) مٌل الوتر(
𝟎
∵ مـــــــٌل الممـــــاس = مـــــــٌل الوتـــــــر
𝟐 ) (̅ 𝟔 ) 𝟕( 𝟏𝟏 𝟏𝟏 )𝟏 ( )𝟏 ( 𝟕 𝟖𝟏 𝟔
) (̅
𝟐 𝟔 ) ( ) (
𝟎 𝟐 )𝟕 𝟏 (
, 𝟒 𝟎-
𝟔 𝟑
𝟓𝟐√
𝟐
) (̅ 𝟐
) (
) (
الحل / 𝟓 𝟓 ,) أوسع مجال للدالة ( ① نبحث أستمرارٌة الدالة فً الفترة المفتوحة )𝟎 𝟒 ( 𝟑
∴ الدالة
𝟓
𝟓𝟐√
𝟎
𝟓𝟐√.
𝟐/
𝟓𝟐√
𝟔𝟏
𝟗√ 𝟓
𝟐
𝟓𝟐
𝟐/
𝟓𝟐√
𝟎
) (
)𝟒 (
𝟓𝟐√.
𝟐
𝟓𝟐
)𝟒 (
) (
)𝟎(
)𝟎(
مستمرة فً الفترة المرلمة , 𝟒 𝟎-
②الدالة لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة )𝟎 𝟒 ( مبرهنة المٌمة المتوسطة متحممة الشروط متحممة نبحث عن النمطة Cالتً تحمك المبرهنة ) مٌل المماس(
𝟐
𝟓𝟐√ 𝟏 𝟐
/مٌل الوتر.
𝟐
) (̅ 𝟐 𝟒
𝟐
𝟑
𝟐
𝟓𝟐√
)𝟎( )𝟒 ( )𝟒 ( 𝟎
𝟓 𝟒
) (̅
𝟓𝟐√𝟐 ) (
) (
) (̅
∵ مـــــــٌل الممـــــاس = مـــــــٌل الوتـــــــر )تربٌع الطرفٌن(
√
𝟓 )𝟎 𝟒 (
𝟐
𝟐
𝟐
𝟓𝟐 √
151
𝟓𝟐√ 𝟐
𝟐 𝟐
𝟓
)𝟎 𝟒 (
𝟓𝟐√ 𝟐
𝟒 √
𝟏 𝟐 𝟓𝟐
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
مثال ( /)4أذا كانت وكانت
𝟐
𝟒
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05 𝟑
,𝟎 -
) (
𝟐
تحمك مبرهنة المٌمة المتوسطة عند
فجد لٌمة
𝟑
الحل /
𝟐𝟏 𝟑
) (̅
) مٌل المماس( 𝟒
) مٌل الوتر(
𝟒
𝟐
𝟎
𝟐
𝟔𝟏 𝟑
𝟒
𝟒 𝟑 𝟑
𝟑
) (̅
𝟔𝟏 𝟑
𝟒 ) (𝟑 𝟗
)𝟎( 𝟎
𝟐
𝟖 𝟐 ) ( 𝟑
) (
) (̅
𝟑
𝟐 ) (𝟑 𝟑
) (
𝟐 ) (̅ 𝟑
) (
) (̅
∵ مـــــــٌل الممـــــاس = مـــــــٌل الوتـــــــر 𝟐
𝟎
)𝟐
()𝟐
(
𝟎
𝟐
𝟒
𝟒
******************************************************************
أمثلة أضافٌة محلولة مثال /اثبت فً كل مما ٌأتً تحمك شروط مبرهنة المٌمة المتوسطة على الفترة ) ,𝟎 𝟏-
( المعطاة ثم أوجد لٌمة C 𝟏
𝟐
𝟐
)𝟏(
) (
الحل / ① الدالة مستمرة فً الفترة المرلمة ,𝟎 𝟏-النها كثٌرة حدود ② الدالة لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة )𝟏 𝟎( الشروط متحممة
مبرهنة المٌمة المتوسطة متحممة
نبحث عن النمطة Cالتً تحمك المبرهنة ) مٌل المماس( /مٌل الوتر.
𝟑
𝟐
)𝟏 ( 𝟏
) (̅
𝟐 𝟐
)𝟎( 𝟎
)𝟏( 𝟏
𝟐 ) (
𝟐 ) (
) (̅ ) (̅
∵ مـــــــٌل الممـــــاس = مـــــــٌل الوتـــــــر )𝟏 𝟎(
152
𝟏 𝟐
𝟏
𝟐
𝟑
𝟐
𝟐
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
,𝟎 𝟒-
) (
𝟒√
)𝟐(
الحل / ) أوسع مجال للدالة (
𝟒
𝟒
𝟎
① الدالة مستمرة فً الفترة المرلمة ,𝟎 𝟒-النها مستمرة على المجموعات الجزئٌة ② الدالة لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة )𝟒 𝟎( الشروط متحممة
مبرهنة المٌمة المتوسطة متحممة
نبحث عن النمطة Cالتً تحمك المبرهنة 𝟏
) مٌل المماس(
𝟒√𝟐 )𝟐( 𝟒
𝟏 𝟐
/مٌل الوتر.
) (̅ )𝟎( 𝟎
𝟎
𝟏 𝟒√𝟐 )𝟒( 𝟒
) (
) (
) (̅ ) (̅
∵ مـــــــٌل الممـــــاس = مـــــــٌل الوتـــــــر )تربٌع الطرفٌن(
𝟏
𝟏
)𝟒 𝟎(
𝟑
𝟐
𝟐 𝟐
𝟐
𝟎
)
) (̅ )
𝟒√𝟐 𝟏 𝟒
) (
𝟐 ) (
𝟐(
)𝟑(
) (
) (
) (̅
𝟎
∵ مـــــــٌل الممـــــاس = مـــــــٌل الوتـــــــر 𝟎(
𝟏
𝟎,
الحل / ① الدالة مستمرة فً الفترة المرلمة ,𝟎 -ألنها دالة دائرٌة ② الذالت لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة ) 𝟎( مبرهنة المٌمة المتوسطة متحممة الشروط متحممة نبحث عن النمطة Cالتً تحمك المبرهنة 𝟐 ) (̅ ) مٌل المماس( ) (
𝟎
𝟐
𝟒
𝟏
-
/مٌل الوتر.
𝟏 𝟐
𝟒√
𝟏
) (
) (
𝟐
𝟐
******************************************************************
اثبت فً كل مما ٌأتً تحمك شروط مبرهنة المٌمة المتوسطة على الفترة ) ,𝟏 𝟒-
𝟏
𝟒
) (
)𝟐(
𝟒 𝟐 ,, 𝟏 𝟏-
153
( المعطاة ثم أوجد لٌمة C 𝟏 𝟐)𝟑
𝟐
𝟐
(
) (
)𝟏(
) (
)𝟑(
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
التمرٌب بأستخدام مبرهنة المٌمة المتوسطة ( نتٌجة مبرهنة المٌمة المتوسطة ) دالة مستمرة ومعرفة على - 𝟎 ( حٌث
أذا كانت )
) (
(
)
( ولـــــو أعتبرنا ) ,ولابلة لألشـــــتماق فً ) فأنه بموجب مبرهنة المٌمة المتوسطة نحصل على -: ) (
) (̅
)
(
) (
) (̅ ) (̅
) لانون التغٌٌر التمرٌبً للدالة (
( فأن ) (
) (
) (̅ (
)
وعندما ٌكون ألتراب ) ( من ) ( لربا ً كافٌا ً تكون فً هذه الحالة ) ( صرٌرة وٌصبح الوتر صرٌرا ً ونهاٌتٌه لرٌبتان من ) ( ,أي أن المماس عند ) ( سٌكون مماسا ً للمنحنً عند نمطة لرٌبة جدا من النمطة حٌث ) ( وٌصبح : ) (̅
) (
)
وٌمال للممدار ) ( ̅ الترٌٌر التمرٌبً للدالة
(
هنان ثالث أنواع لمسائل التمرٌب النوع األول :عندما تكون الدالة غٌر موجودة فً السؤال الحظ مثال ()5 مثال ( /)5جد بأستخدام نتٌجة مبرهنة المٌمة المتوسطة تمرٌبا مناسبا ً للعدد 𝟔𝟐√ الحل /
نفرض )𝟓𝟐
( ألرب رلم للعدد المعطى ٌسهل حسابه
نفرض )𝟔𝟐
( معطى 𝟏
𝟏 √𝟐
𝟏
) (̅
𝟏 . / 𝟐
𝟏 / 𝟐
.
𝟐 𝟓
𝟏𝟎
𝟏 𝟎𝟏
)𝟓𝟐( ̅
𝟏 )𝟓()𝟐(
𝟏 𝟐
) (̅
𝟏 . / 𝟐
)𝟓𝟐( )𝟓𝟐( ̅
𝟓𝟐√ 𝟏 𝟓𝟐√𝟐
𝟓𝟐
) (
𝟏𝟓
)
()𝟏(
𝟓
√
)𝟓𝟐(
√ 𝟏
)𝟓𝟐( ̅ ) (̅
)𝟔𝟐(
𝟔𝟐
)𝟓𝟐( ̅ )𝟏(
√𝟐 ) ( )𝟓𝟐( 𝟏𝟓
154
) (
) ( ) (̅
)
(
)𝟏
𝟓𝟐( 𝟔𝟐√
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
النوع الثانً :عندما تكون الدالة موجودة فً السؤال الحظ مثال ()6 مثال ( /)6أذا كانت 𝟓
𝟐
𝟒
𝟑
𝟑
فجد بصورة تمرٌبٌة )𝟏𝟎𝟎 𝟏(
) (
الحل /
( ألرب رلم للعدد المعطى ٌسهل حسابه
نفرض )𝟏
( معطى
نفرض )𝟏𝟎𝟎 𝟏
𝟏𝟎𝟎 𝟎 𝟒 ) 𝟏(
𝟑𝟏
𝟓 𝟑𝟏
𝟐
𝟔
𝟑
𝟐) 𝟏( 𝟑
) 𝟏( 𝟒
) 𝟏( ̅
𝟒
) (̅
𝟑) 𝟏(
) 𝟏( 𝟔
) 𝟏(
𝟏 𝟓
𝟒
𝟐
𝟑
𝟑
) (
𝟓
𝟒
𝟐
𝟑
𝟑
) (
) 𝟏( ̅
𝟐) 𝟏( 𝟑
𝟏𝟎𝟎 𝟏
𝟒
𝟔
) (̅ )𝟑𝟏()𝟏𝟎𝟎 𝟎(
𝟑𝟏
)𝟏( ̅ )𝟏𝟎𝟎 𝟎(
)𝟏𝟎𝟎 𝟏(
𝟑𝟏𝟎 𝟑𝟏
)𝟏𝟎𝟎 𝟏(
𝟐
𝟑
) (̅
)
(
) ( ) 𝟏(
𝟑𝟏𝟎 𝟎
𝟏(
)𝟏𝟎𝟎 𝟎
)𝟏𝟎𝟎 𝟏(
𝟑𝟏
النوع الثالث :عندما تكون الدالة فً السؤال عبارة عن لانون مساحة او حجم او ما شابه ذلن الحظ مثال ()7 مثال (/)7
مكعب طول حرفه )
𝟖𝟗 𝟗( جد حجمه بصورة تمرٌبٌة بأستخدام نتٌجة مبرهنة المٌمة المتوسطة
الحل / لٌكن
حجم المكعب الذي طول حرفه ) (
نفرض )𝟎𝟏
( ألرب رلم للعدد المعطى ٌسهل حسابه ( معطى
نفرض )𝟖𝟗 𝟗
𝟐𝟎 𝟎 𝟐
𝟎𝟎𝟎𝟏 𝟎𝟎𝟑
𝟑
𝟑)𝟎𝟏(
)𝟎𝟏( )𝟎𝟏(̅
𝟐)𝟎𝟏(𝟑
𝟎𝟏 ) (̅ )𝟎𝟏( )𝟎𝟏(̅ ) (̅
)𝟎𝟏(̅ )𝟐𝟎 𝟎 ( 𝟑
𝟒𝟗𝟗
)𝟖𝟗 𝟗(
𝟔
155
𝟎𝟎𝟎𝟏
𝟖𝟗 𝟗
)𝟎𝟏(
)𝟎𝟎𝟑()𝟐𝟎 𝟎 (
𝟑
) (
𝟑
) ( 𝟑
) (̅
)
(
))𝟐𝟎 𝟎 (
𝟎𝟏(
𝟐
) (
𝟎𝟎𝟎𝟏
)𝟖𝟗 𝟗(
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
مثال (/)8
لتكن
𝟐
𝟑
√
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
) (
من 𝟖 الى 𝟔𝟎 𝟖 فما ممدار الترٌٌر التمرٌبً للدالة ؟
فاذا ترٌرت
الحل /
نفرض )𝟖 نفرض )𝟔𝟎 𝟖
( معطى ( معطى 𝟐 𝟑
√ 𝟑 𝟏 𝟑
) (̅
𝟏 𝟐 ( ). 𝟑 / 𝟑
𝟐 𝟔
)𝟖( ̅
( ).𝟑/
) (
𝟐
) (̅ 𝟐
)𝟖( ̅
𝟖√ 𝟑
𝟏 ) ( )𝟔𝟎 𝟎( 𝟑
𝟐𝟎 𝟎
𝟎𝟏( فـأذا كـان سـمن الطـالء )
𝟑
√
𝟐
𝟐
)𝟖( ̅
𝟑
ممدار التغٌٌر التمرٌبً
مثال (ٌ /)9راد طالء مكعب طـول حرفـه )
𝟔𝟎 𝟎
𝟖
𝟔𝟎 𝟖
𝟑
√ 𝟑
)𝟖( ̅
) ( ) (̅
) (̅
𝟓𝟏 𝟎( أوجـد حجـم الطـالء بصـورة
تمرٌبٌة وبأستخدام نتٌجة مبرهنة المٌمة المتوسطة الحل / لٌكن
حجم المكعب الذي طول حرفه ) (
نفرض )𝟎𝟏 نفرض )𝟑 𝟎𝟏
( ألرب رلم للعدد المعطى ٌسهل حسابه ( 𝟑𝟎 𝟐
𝟎𝟎𝟑
)𝟎𝟏(̅
𝟐)𝟎𝟏(𝟑
حجم الطالء بصورة تمرٌبٌة
156
𝟑
𝟎𝟗
𝟑
𝟎𝟏
𝟑 𝟎𝟏
) (̅
𝟑
)𝟎𝟏(̅ )𝟎𝟎𝟑()𝟑 𝟎(
𝟐
)𝟎𝟏(̅
𝟑
) ( ) (̅ ) (̅
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
مثــال ( /)10بأســــــــــــتخدام نتٌجــة مبرهنــة المٌمــة المتوســـــــــــطة جــد وبصــورة تمرٌبٌــــــــــــة وممربــا ً لــثالث مراتب عشرٌة على األلل كالً من : 𝟑
𝟖 𝟕√ ) (
𝟑
𝟑
𝟐𝟏 𝟎√ ) (
𝟑
𝟓
𝟑)𝟖𝟗 𝟎(√ ) ( 𝟒)𝟖𝟗 𝟎( 𝟒 𝟕𝟏√ ) ( 𝟕𝟏√ 𝟓
𝟒)𝟖𝟗 𝟎(
𝟑)𝟖𝟗 𝟎(√ ) (
الحل /
( ألرب رلم للعدد المعطى ٌسهل حسابه نفرض )𝟏 ( معطى نفرض )𝟖𝟗 𝟎 𝟐𝟎 𝟎 𝟒
𝟑 𝟑
𝟓
)𝟏( ) 𝟏( ̅
𝟔𝟒
)𝟔 𝟒()𝟐𝟎 𝟎 ( 𝟖𝟎𝟗 𝟒
𝟑
𝟑
𝟒
𝟐
) (̅
𝟓
√ 𝟓
𝟒𝟏
𝟑 𝟑 𝟓
𝟒
𝟑
( ). 𝟓/
𝟑 (𝟏 ). 𝟓/ 𝟓
𝟐𝟏√
)𝟖𝟗 𝟎(
𝟓
𝟑
) 𝟏( 𝟑
𝟑) 𝟏( 𝟒
) (
𝟓
𝟑
𝟒 𝟑 √ 𝟐 𝟑 ( ). 𝟓 / 𝟓
𝟒
) 𝟏( ̅
𝟑
𝟒
) (̅ )𝟏( ̅ )𝟐𝟎 𝟎 ( )𝟏(
𝟑)𝟖𝟗 𝟎(√
𝟑 ) . 𝟓/
𝟒
𝟑
𝟓
𝟒)𝟖𝟗 𝟎(
𝟏
𝟖𝟗 𝟎 𝟓
) ( ) (̅ ) (
(
𝟑
) (̅
𝟓
𝟐
√ 𝟓 ) ) ( ))𝟐𝟎 𝟎 (
𝟐𝟗𝟎 𝟎
( 𝟏(
)𝟖𝟗 𝟎(
𝟓
𝟑
وزاري 𝟏𝟏𝟎𝟐 ⁄د𝟏
𝟖 𝟕√ ) (
الحل /
( ألرب رلم للعدد المعطى ٌسهل حسابه نفرض )𝟖 ( معطى نفرض )𝟖 𝟕 𝟐𝟎 𝟏 . / 𝟑
𝟏 𝟐
𝟑
√ 𝟑 𝟐
𝟑𝟖𝟎 𝟎
)𝟖 ( ̅ )𝟑𝟖𝟎 𝟎()𝟐 𝟎 (
𝟐 . / 𝟑
) 𝟖(
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟐𝟏
)𝟒()𝟑(
𝟑
𝟑
𝟐 ) 𝟖 𝟕( 𝟒𝟑𝟖𝟗 𝟏
𝟒𝟔√ )𝟑(
𝟑
𝟖 𝟕√
157
𝟐𝟖√ 𝟑
𝟑
) (
𝟏
) (̅
𝟖
𝟖𝟕
) (̅ 𝟑 𝟑 𝟖√
𝟐 / 𝟑
.
𝟑
) 𝟖(
) 𝟖( ̅
√ 𝟏 𝟑 √
𝟏 𝟑
𝟐 √ 𝟑
) ( ) (̅ ) (
) (̅
) (̅ ( ) ) ( ) 𝟖( ̅ ) 𝟐 𝟎 ( ) 𝟖( ))𝟐 𝟎 ( 𝟖( 𝟔𝟔𝟏𝟎 𝟎 𝟐 )𝟖 𝟕(
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟒
𝟕𝟏√ ) (
𝟕𝟏√ الحل /
( ألرب رلم للعدد المعطى ٌسهل حسابه ( معطى
نفرض )𝟔𝟏 نفرض )𝟕𝟏
𝟏 𝟏 . / 𝟒
𝟑
𝟏
𝟏
√ 𝟒
√ 𝟐
𝟔
)𝟔𝟏(
𝟒
𝟏 )𝟖()𝟒(
𝟏 . / 𝟐
𝟏
) (̅
𝟑 . / 𝟒
𝟒 𝟒 𝟐 𝟒 𝟔𝟏√ 𝟏 𝟏
𝟏 )𝟒()𝟐(
𝟒
) 𝟔𝟓𝟏 𝟎()𝟏(
𝟔𝟓𝟏 𝟔
𝟐 𝟔𝟏√
𝟕𝟏√
𝟑 / 𝟒
𝟏 𝟒
.
)𝟔𝟏(
𝟏 . / 𝟐
√
√ 𝟏
)𝟔𝟏( ̅
𝟏
𝟒
𝟑
√𝟐
√𝟒
𝟓
𝟏 𝟒
𝟏
𝟏
𝟐𝟑
𝟐𝟑
𝟐𝟑
𝟖
) ( )𝟔𝟏(
𝟕𝟏√
) (̅ ) ( ) (̅
)𝟔𝟏( ̅ ) )𝟏
𝟔𝟓𝟏 𝟎
) (
√ 𝟏 𝟐
𝟒
) (̅ )𝟔𝟏( ̅ )𝟏(
)𝟕𝟏(
𝟔
√
)𝟔𝟏( ̅
𝟔𝟓𝟏 𝟎
𝟒
𝟒
) (̅
𝟔𝟏√ 𝟐
𝟑)𝟔𝟏(√ 𝟒
𝟔𝟏
) (
𝟏 𝟏 . / 𝟐
𝟕𝟏
( 𝟔𝟏( )𝟕𝟏(
𝟔
𝟑
𝟐𝟏 𝟎√ ) ( الحل /
نفرض )𝟓𝟐𝟏 𝟎 نفرض )𝟐𝟏 𝟎
( ألرب رلم للعدد المعطى ٌسهل حسابه ( معطى 𝟓𝟐𝟏 𝟎
𝟓𝟎𝟎 𝟎 𝟏 . / 𝟑
𝟏 )𝟓𝟐 𝟎()𝟑(
𝟑
𝟏 𝟐
𝟏 𝟐
𝟓𝟐𝟏 𝟎√
(𝟑)(𝟎 𝟏𝟐𝟓).𝟑/ (𝟑)((𝟎 𝟓)𝟑 ).𝟑/ 𝟑𝟑𝟑 𝟏 )𝟓𝟐𝟏 𝟎( ̅
𝟐 . / 𝟑
) (̅
𝟐 . / 𝟑
𝟓𝟎
𝟑
) (
𝟏 )𝟓𝟐𝟏 𝟎(
𝟐𝟏 𝟎
𝟑
𝟒 𝟑
𝟓𝟕
𝟏 𝟐 𝟑
. / 𝟏 𝟓𝟕 𝟎
) (̅ ) )𝟓𝟐𝟏 𝟎( ̅ )𝟓𝟎𝟎 𝟎 ( )𝟓𝟐𝟏 𝟎( ))𝟓𝟎𝟎 )𝟑𝟑𝟑 𝟏()𝟓𝟎𝟎 𝟎 ( 𝟑 𝟓𝟔𝟔𝟔𝟎𝟎 𝟎 𝟓𝟑𝟑𝟑𝟗𝟒 𝟎 𝟐𝟏 𝟎√
158
) (̅ ) (
√
𝟎( ̅ 𝟎𝟎𝟏
√ 𝟏 𝟑 𝟑
)𝟓𝟐𝟏 𝟎(
)𝟓𝟐𝟏
) (
) (̅ 𝟑 )𝟓𝟐𝟏
𝟎( ̅
( ) ( 𝟎 ( 𝟓𝟐𝟏 𝟎( 𝟓 𝟎 )𝟐𝟏 𝟎( 𝟓 𝟎 )𝟐𝟏 𝟎(
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟑(
تمارين)𝟑 س / 1أوجد لٌمة Cالتً تعٌنها مبرهنة رول فً كل مما ٌأتً : , 𝟑 𝟑-
𝟑
𝟗
) (
) (
الحل / ① الدالة مستمرة فً الفترة المرلمة , 𝟑 𝟑-النها كثٌرة حدود ② الدالة لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة )𝟑 𝟑 ( النها كثٌرة حدود ③ نوجد )𝟑 ( )𝟑( 𝟎 𝟕𝟐 𝟕𝟐 𝟕𝟐 )𝟑 (
𝟎 الدالة ضمن الفترة المعطاة تحمك مبرهنة رول لذا نفرض )
𝟑
𝟐
𝟐
𝟗
) (̅
( ونفرض 𝟎 𝟐
𝟎
𝟑
𝟕𝟐 )𝟑(𝟗 𝟑)𝟑( )𝟑( )𝟑 (𝟗 𝟑)𝟑 ( )𝟑 ( )𝟑(
) (̅
𝟑 𝟗
𝟐
𝟑
𝟗
𝟑
𝟐
𝟗 )𝟑 𝟑 (
𝟏 ]𝟐 𝟐
𝟐
[
) ( ) (̅
𝟑
𝟑√
) (
𝟐
) (
الحل / 𝟏
𝟏
① الدالة مستمرة فً الفترة المرلمة 0𝟐 𝟐1الن 0𝟐 𝟐1
𝟎 𝟏
𝟏
② الذالت لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة .𝟐 𝟐/الن 0𝟐 𝟐1 ③ نوجد )𝟐(
𝟎
𝟏
.𝟐 / 𝟏
𝟓
𝟐 )𝟐(
𝟒
)𝟐(
)𝟐(𝟐
𝟒
𝟓
)𝟐( الدالة ضمن الفترة المعطاة تحمك مبرهنة رول لذا نفرض ) 𝟐 𝟐
𝟐
) (̅
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
) (̅
𝟐 𝟎
𝟏 𝟐
𝟐 𝟐
159
𝟐
𝟏 𝟏
𝟏 ) (𝟐 𝟐
.𝟐 /
) (̅
( ونفرض 𝟎 𝟐
𝟐 𝟏 .𝟐/
𝟏 ) ( 𝟐
𝟐
𝟐
) (
𝟐 𝟐 𝟎 𝟐 𝟏 نهمل السالب )𝟐 ( 𝟐
𝟐 𝟐
𝟏
) (
𝟐
) (̅
𝟐 𝟏
𝟐
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟐)𝟑
, 𝟏 𝟏-
𝟐
) (
(
) (
الحل / ① الدالة مستمرة فً الفترة المرلمة , 𝟏 𝟏-النها كثٌرة حدود ② الدالة لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة )𝟏 𝟏 ( النها كثٌرة حدود ③ نوجد )𝟏 ( )𝟏( 𝟒 𝟐)𝟐 ( 𝟐)𝟑 𝟏( 𝟐)𝟑 𝟐𝟏( )𝟏( 𝟐)𝟐 ( 𝟐)𝟑 𝟏( 𝟐)𝟑 𝟐)𝟏 (( )𝟏 ( )𝟏( )𝟏 (
𝟒 الدالة ضمن الفترة المعطاة تحمك مبرهنة رول لذا نفرض ) )𝟑
𝟐
( 𝟒
) (̅
( ونفرض 𝟎 𝟐
) 𝟐()𝟑
(𝟐 )𝟑
𝟎
) (̅ 𝟐
𝟐)𝟑
( 𝟒
)𝟏 𝟏 ( )𝟏 𝟏 (
𝟐
)𝟑
𝟎 𝟐
(
) (̅
( 𝟒
𝟎
𝟑
𝟑√
𝟐
) (
𝟒
𝟎
𝟐
𝟑
س / 2جد تمرٌبا ً لكل مما ٌأتً بأستخدام مبرهنة المٌمة المتوسطة : 𝟑
𝟑𝟔√) (
𝟑𝟔√ الحل / ألرب رلم للعدد المعطى ٌسهل حسابه
نفرض 𝟒𝟔
معطى
نفرض 𝟑𝟔
𝟏
𝟏 𝟐
𝟏
𝟑
√ 𝟑
√𝟐
𝟐𝟏
)𝟒𝟔(
𝟏 )𝟔𝟏()𝟑(
𝟐 𝟏 ( ). 𝟑 / 𝟑
𝟒 𝟏 )𝟖()𝟐(
𝟏 √𝟐 𝟖
𝟏
( ).𝟑/
) (̅
𝟑
)𝟒𝟔(
𝟒𝟔√ 𝟏
)𝟒𝟔( ̅
𝟏 𝟑
𝟐)𝟒𝟔(√ 𝟑 𝟑𝟖𝟎 𝟎
𝟒𝟔√ 𝟐
) (
𝟑
√
√
)𝟒𝟔(
𝟑
√
) (
√ 𝟏
)𝟒𝟔( ̅ 𝟏 𝟐𝟏
)𝟒𝟔( ̅
𝟒𝟔
) (
√
𝟒𝟔√
𝟐
𝟏 𝟑 𝟖𝟒
𝟒 𝟖𝟒
) (̅ )𝟒𝟔( ̅ )𝟏 ( 𝟕𝟏𝟗 𝟏𝟏
𝟑
)𝟑𝟔√
𝟑𝟔√(
𝟑𝟖𝟎 𝟎
160
𝟐𝟏
𝟑𝟔
)𝟒𝟔(
𝟏
𝟑
√𝟑 𝟏 𝟖𝟒
) (
√𝟐 𝟏 𝟔𝟏
) (̅ )𝟒𝟔( ̅
)
(
) )𝟏 (
𝟒𝟔(
𝟐𝟏
)𝟑𝟔(
)𝟑𝟖𝟎 𝟎( )𝟏 (
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟑)𝟒𝟎 𝟏( ) (
𝟒)𝟒𝟎 𝟏(𝟑 الحل / ألرب رلم للعدد المعطى ٌسهل حسابه
نفرض 𝟏
نفرض 𝟒𝟎 𝟏 = bمعطى 𝟒𝟎 𝟎 𝟑
𝟒
)𝟏(
𝟓𝟏
)𝟏( ̅
𝟐
𝟐𝟏
𝟑)𝟏(𝟐𝟏
𝟏
) (̅
𝟑
𝟒)𝟏(𝟑
𝟒𝟎 𝟏
𝟑)𝟏(
𝟐)𝟏(𝟑
)𝟏( )𝟏( ̅
𝟑
) (̅
)𝟒𝟎 𝟏(
𝟔𝟒
𝟒
𝟑
𝟑
) (
𝟒
𝟑
𝟑
) (
𝟐
𝟐𝟏
) (
)𝟏( ̅
)𝟒𝟎
𝟎(
𝟔𝟎
𝟒
)𝟓𝟏( )𝟒𝟎 𝟎(
)𝟏(
) (̅
𝟑
(
)
𝟏(
)𝟒𝟎 𝟎
)𝟒𝟎 𝟏(
𝟒
𝟏 𝟑
𝟗√
) (
الحل / ألرب رلم للعدد المعطى ٌسهل حسابه معطى
نفرض 𝟖 نفرض 𝟗
𝟏 𝟒 𝟏 ( ). 𝟑 / 𝟑
𝟏 𝟐
𝟏 𝟐
)𝟖( 𝟏
(𝟑).𝟐𝟒 /
)𝟖( ̅
𝟏
)𝟐(
)𝟒𝟑 ( 𝟑 𝟏 .𝟐 / 𝟑
𝟏 / 𝟑
) (̅
𝟏
(𝟐𝟑 ). 𝟑 /
)𝟖(
𝟏
(𝟖). 𝟑 /
𝟒 𝟏 ) ( 𝟑 )𝟖( 𝟑
)𝟖( ̅
𝟏 𝟖𝟒
𝟖 𝟏
.
𝟏 . / 𝟑
𝟏 𝟖𝟒
𝟗𝟕𝟒 𝟎
)𝟗(
161
𝟏 𝟐
.
𝟏 )𝟔𝟏()𝟑(
) ( )𝟖(
𝟏 ) 𝟖𝟒
( )𝟏(
) ( ) (
𝟒 𝟏 ) ( 𝟑 ) ( 𝟑
) (̅ )𝟖( ̅ )𝟏( 𝟑𝟐 𝟖𝟒
√
)𝟖(
)𝟖( ̅
𝟏 𝟒𝟐 𝟖𝟒
𝟑
𝟏 / 𝟑
)𝟖( ̅
𝟏 𝟖𝟒
𝟗 𝟏
) (̅ )𝟖( ̅
) )𝟏
( 𝟖(
𝟏 𝟐
)𝟗(
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05 𝟏 ) ( 𝟏𝟎𝟏
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
الحل / ألرب رلم للعدد المعطى ٌسهل حسابه معطى
نفرض 𝟎𝟎𝟏 نفرض 𝟏𝟎𝟏
𝟏 𝟐
)𝟎𝟎𝟏(
𝟏𝟎 𝟎
𝟏 𝟐)𝟎𝟎𝟏( 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝟎
𝟗𝟗𝟎𝟎 𝟎
𝟏 𝟎𝟎𝟏
)𝟎𝟎𝟏( ̅
𝟐
)𝟎𝟎𝟏(
𝟏
)𝟎𝟎𝟏( ̅
𝟏 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏
𝟏𝟎𝟎𝟎 𝟎
𝟏
)𝟎𝟎𝟏(
)𝟎𝟎𝟏( 𝟏
)𝟎𝟎𝟏( ̅
)𝟏𝟎𝟏(
) (̅
) (𝟏 𝟏
𝟎𝟎𝟏
𝟏𝟎𝟏 𝟏
𝟐
) ( ) ( ) (̅
) (𝟏
)𝟎𝟎𝟏( ̅
) (̅ ( ) ) ( )𝟏 𝟎𝟎𝟏( )𝟎𝟎𝟏( ̅ )𝟏( )𝟎𝟎𝟏( 𝟏𝟎 𝟎 )𝟏𝟎𝟎𝟎 𝟎 ( )𝟏( 𝟏𝟎 𝟎 )𝟏𝟎𝟏(
وزاري 𝟒𝟏𝟎𝟐 ⁄د 𝟐
𝟏 √ ) ( 𝟐
وزاري 𝟐𝟏𝟎𝟐 ⁄د 𝟐
الحل / نفرض 𝟗𝟒 𝟎
ألرب رلم للعدد المعطى ٌسهل حسابه
نفرض 𝟎𝟓 𝟎
معطى 𝟏𝟎 𝟎 𝟏 √𝟐 𝟕𝟎
𝟒𝟏𝟕 𝟎
)𝟗𝟒 𝟎( ̅
)𝟗𝟒 𝟎( 𝟏 𝟒𝟏
𝟗𝟒 𝟎√
𝟏 )𝟕 𝟎()𝟐(
𝟏 𝟗𝟒 𝟎√𝟐
𝟗𝟒 𝟎 ) (̅
√
) (
)𝟗𝟒 𝟎(
√
) (
𝟒𝟏𝟕𝟎𝟕 𝟎
𝟏 ) ( 𝟐
𝟒𝟏𝟕𝟎𝟎 𝟎
162
𝟕𝟎
𝟏
)𝟗𝟒 𝟎( ̅ ) (̅
)𝟗𝟒 𝟎( ̅ )𝟏𝟎 𝟎(
𝟎𝟓 𝟎
√𝟐 ) (
)𝟗𝟒 𝟎(
)𝟒𝟏𝟕 𝟎( )𝟏𝟎 𝟎(
)
) (̅ (
)𝟏𝟎 𝟎
𝟗𝟒 𝟎(
𝟕𝟎
)𝟓 𝟎(
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
س / 3كرة نص لطرها ) مبرهنة المٌمة المتوسطةز الحل /
𝟏 𝟎( جـد كمٌـة الطـالء بصـورة تمرٌبٌـة بأسـتخدام وزاري / 2014د1
𝟔( طلٌت بطالء سمكه )
حجم كمٌة الطالء = حجم الكرة مع الطالء – حجم الكرة ألرب رلم للعدد المعطى ٌسهل حسابه
نفرض 𝟔 ونفرض 𝟏 𝟔
المطر للكرة مضافا ً له كمٌة الطالء ز
وٌمثل نص
𝟏𝟎 𝟐
س / 4كرة حجمها
̅
𝟒 𝟒𝟏
𝟒 𝟑
𝟑
)𝟔( ̅
𝟐)𝟔( 𝟒
𝟑
) كمٌة الطالء بصورة تمرٌبٌة(
)𝟑
𝟒
)𝟔( ̅
𝟒𝟒𝟏
𝟒𝟖( جد نص
)𝟐
𝟑(
𝟒 𝟑
𝟔
𝟏𝟔
𝟐
) 𝟒𝟒𝟏( )𝟏 𝟎(
) (̅
𝟒
) (̅
)𝟔( ̅
لطرها بصورة تمرٌبٌة بأستخدام مبرهنة المٌمة المتوسطة ز
الحل / نفرض الحجم نفرض نص
المطر 𝟒 𝟑
𝟑
𝟑
𝟑𝟔
𝟑𝟔√ نفرض 𝟒𝟔
)𝟏𝟐() (
) 𝟒𝟖()𝟑( 𝟒
𝟑
𝟑
𝟒 𝟑
𝟒𝟖
ألرب رلم للعدد المعطى ٌسهل حسابه معطى
نفرض 𝟑𝟔
𝟏 𝟐 𝟏 ( ). 𝟑 / 𝟑
)𝟒𝟔(
𝟒 )𝟐
𝟏 ()𝟒( 𝟑 𝟐𝟎 𝟎
𝟏
(𝟒𝟑 ).𝟑/
𝟏 𝟑 . 𝟐/ 𝟑 ) 𝟒( 𝟑
𝟏 )𝟔𝟏()𝟑(
)𝟒𝟔(̅
𝟏 . / 𝟑
) (̅ 𝟏
(𝟔𝟒).𝟑/
𝟏 ) 𝟐𝟒()𝟑(
)𝟒𝟔( ̅
𝟐𝟎 𝟎
163
) ( ) ( ) (̅
)𝟒𝟔(̅
)𝟒𝟔( ̅ )𝟏 ( 𝟖𝟗 𝟑
√
𝟐 𝟏 ( ). 𝟑 / 𝟑
) (̅
)𝟑𝟔(
𝟑
𝟏 . / 𝟑
)𝟒𝟔(
𝟐 𝟏 (𝟔𝟒). 𝟑 / 𝟑
)𝟒𝟔( ̅
𝟒𝟔
𝟑𝟔
𝟒
)𝟒𝟔(
)
(
) (
) )𝟏 (
𝟒𝟔(
𝟒
)𝟑𝟔(
)𝟐𝟎 𝟎( )𝟏 (
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟖𝟗 𝟐( فجـد حجمـه
س / 5مخروط دائري لائم أرتفاعه ٌساوي طول لطر الماعدة فأذا كان ارتفاعه ٌساوي ) بصورة تمرٌبٌة بأستخدام مبرهنة المٌمة المتوسطة أو نتٌجتها ز الحل / نفرض األرتفاع نفرض نص
المطر 𝟏 𝟐
)
𝟐
𝟐
( 𝟐
𝟑
نفرض 𝟑 نفرض 𝟖𝟗 𝟐
ألرب رلم للعدد المعطى ٌسهل حسابه معطى
𝟓𝟐 𝟐
)𝟑(
𝟓𝟐 𝟐
)𝟑( ̅
𝟗 𝟒 𝟗 𝟒
)𝟐
𝟒 𝟕𝟐 𝟐𝟏 )𝟑( ̅
𝟑(
𝟑)𝟑(
𝟑
𝟓𝟎𝟐 𝟐
𝟓𝟒𝟎 𝟎
𝟐𝟎 𝟎 ̅
𝟐𝟏
)
𝟓𝟐 𝟐
𝟑
𝟐𝟏
)𝟐𝟎 𝟎
𝟑
𝟖𝟗 𝟐 𝟑
𝟐𝟏 𝟑
)𝟑(
𝟏 𝟐)𝟑( 𝟒
)𝟑( ̅ )𝟖𝟗 𝟐(
) ( 𝟐
𝟐𝟏
𝟐
𝟑
)𝟑( ̅
𝟐𝟏 𝟏 𝟒
𝟐
) (̅ ( )𝟑(
) ( ))𝟐𝟎
𝟓𝟐 𝟐( )𝟐𝟎 𝟎 (
) ( ) (̅
( 𝟑(
)
(
𝟎
)𝟖𝟗 𝟐(
𝟓𝟐 𝟐
س / 6بٌن أن كل دالة من الدوال التالٌة تحمك مبرهنة رول على الفترة المعطاة ازاء كل منها ثم جد لٌمة C وزاري 𝟏𝟏𝟎𝟐 ⁄د𝟐
𝟒)𝟏
, 𝟏 𝟑-
(
) (
) (
الحل / ① الدالة مستمرة فً الفترة المرلمة , 𝟏 𝟑-النها كثٌرة حدود ② الدالة لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة )𝟑 𝟏 ( النها كثٌرة حدود ③ نوجد )𝟏 ( )𝟑( 𝟒)𝟐 (
𝟔𝟏
𝟒)𝟐(
𝟔𝟏
)𝟑(
( ونفرض 𝟎
الدالة ضمن الفترة المعطاة تحمك مبرهنة رول لذا نفرض )
𝟑)𝟏 𝟎 )𝟑 𝟏 (
164
𝟏
(𝟒 𝟑)𝟏
𝟒)𝟏
𝟏 ( 𝟒)𝟏
)𝟏 (
𝟑(
)𝟑(
)𝟏 (
) (̅ ) (̅
𝟒)𝟏 𝟑)𝟏
(𝟒 𝟎
𝟏
𝟎
(
) (
(𝟒
) (̅
𝟑)𝟏
(
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل ⁄د
وزاري
𝟑
, 𝟏 𝟏-
) (
) (
الحل / ① الدالة مستمرة فً الفترة المرلمة , 𝟏 𝟏-النها كثٌرة الحدود ② الذالت لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة )𝟏 𝟏 ( النها كثٌرة الحدود ③ نوجد )𝟏( )𝟏 ( 𝟑)𝟏 (
)𝟏 (
)𝟏 ( )𝟏( الدالة ضمن الفترة المعطاة تحمك مبرهنة رول لذا نفرض )
) (
)𝟏 (
) (̅
( ونفرض 𝟎
𝟐
𝟏
) (̅
𝟑
𝟐
𝟏
𝟑
𝟑
𝟐
𝟏
𝟏
)𝟏 𝟏 (
)
𝟑)𝟏(
(
) ( ) (̅
𝟑
𝟐
𝟐
𝟑√
, 𝟏 𝟒-
𝟐
𝟑
) (
𝟑
) (
الحل / ① الدالة مستمرة فً الفترة المرلمة , 𝟏 𝟒-النها كثٌرة الحدود ② الدالة لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة )𝟒 𝟏 ( النها كثٌرة الحدود ③ نوجد )𝟒(
)𝟏 ( 𝟑
𝟒 𝟒
𝟏 𝟐𝟏
)𝟏 (𝟑 𝟔𝟏 )𝟒(
الدالة ضمن الفترة المعطاة تحمك مبرهنة رول لذا نفرض )
( ونفرض 𝟎 𝟑
)𝟒 𝟏 (
𝟑 𝟐
𝟐
165
𝟐)𝟏 (
)𝟏 (
𝟐)𝟒(
)𝟒(𝟑
)𝟒(
)𝟏 (
) (̅ 𝟐 𝟎
) (̅ 𝟑
𝟑 𝟐
𝟑
𝟐
) ( 𝟐
) (̅
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
) (
,𝟎 𝟐 -
) 𝟐(
𝟐
) (
) (
الحل / ① الدالة مستمرة فً الفترة المرلمة ,𝟎 𝟐 - ② الدالة لابلة لالشتماق على الفترة ) 𝟐 𝟎( ③ نوجد ) 𝟐( )𝟎( 𝟑 الدالة ضمن الفترة المعطاة تحمك مبرهنة رول لذا نفرض ) 𝟐 ) 𝟐( ) ( ) ( 𝟐 ) 𝟐( 𝟎
𝟏-
) (
𝟐( ),
𝟎 ) 𝟐 𝟎(
𝟐 )𝟎 ( 𝟏 )𝟎( 𝟐 ) 𝟒( ) 𝟐( )𝟎( ) 𝟐(
𝟑 )𝟏(𝟐 )𝟏(𝟐 𝟏
) (̅
( ونفرض 𝟎 ) (̅
𝟐
𝟐 ) 𝟐( ) ( 𝟐 ) 𝟐( ) ( 𝟐
𝟐 ) (
) (
) ( 𝟑
) السالب ٌمع فً الربع الثانً و الثالث(
𝟐 𝟐
𝟎 𝟎
فً الربع الثانً فً الربع الثالث
) 𝟐 𝟎(
) (
) 𝟐(
) (
𝟏
𝟐 𝟑 𝟒 𝟑
) ( ) (̅
) (
𝟎
) ( ) 𝟐 𝟎(
)𝟎( ) 𝟐(
𝟐
𝟑 𝟑
س / 7أختبر أمكانٌة تطبٌك مبرهنة المٌمة المتوسطة للدوال األتٌة على الفتـرة المعطـاة ازاءهـا مـع ذكـر السـبب. وأن تحممت المبرهنة جد لٌم Cالممكنة 𝟏
, 𝟏 𝟐-
𝟑
) (
) (
الحل / ① الدالة مستمرة فً الفترة المرلمة , 𝟏 𝟐-النها كثٌرة حدود ② الدالة لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة )𝟐 𝟏 ( النها كثٌرة حدود الشروط متحممة
مبرهنة المٌمة المتوسطة متحممة
نبحث عن النمطة Cالتً تحمك المبرهنة ) مٌل المماس( /مٌل الوتر.
𝟔 𝟑
𝟐
𝟏 )𝟏 ( 𝟑
𝟓
𝟑
) (̅
)𝟐( )𝟏 ( )𝟏 ( 𝟐
𝟏 ) (
𝟐
) (̅
𝟑
) (
) (̅
∵ مـــــــٌل الممـــــاس = مـــــــٌل الوتـــــــر 𝟏
𝟏
𝟐
𝟑 )𝟐 𝟏 (
166
𝟐
𝟑
𝟐
𝟏
)𝟐 𝟏 (
𝟐
𝟑
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟓
, 𝟏 𝟓-
𝟐
𝟒
) (
) (
الحل / ① الدالة مستمرة فً الفترة المرلمة , 𝟏 𝟓-النها كثٌرة حدود ② الدالة لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة )𝟓 𝟏 ( النها كثٌرة حدود الشروط متحممة
مبرهنة المٌمة المتوسطة متحممة
نبحث عن النمطة Cالتً تحمك المبرهنة ) مٌل المماس( ) مٌل الوتر(
𝟎
𝟒
𝟎
𝟎𝟏
𝟎𝟏
𝟔
𝟏
𝟓
) (̅
𝟐
)𝟓(
)𝟏 ( )𝟏 (
𝟒 ) (
𝟐 ) (
𝟓
) (̅ ) (̅
∵ مـــــــٌل الممـــــاس = مـــــــٌل الوتـــــــر )𝟓 𝟏 (
𝟒
𝟐
𝟐
𝟒
𝟎
𝟒
, 𝟏 𝟐-
𝟐
) (
𝟐
) (
الحل / ① الدالة مستمرة فً الفترة المرلمة , 𝟏 𝟐-ألن , 𝟏 𝟐-
𝟐
② الدالة لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة )𝟐 𝟏 ( ألن )𝟐 𝟏 ( الشروط متحممة
𝟐
مبرهنة المٌمة المتوسطة متحممة
نبحث عن النمطة Cالتً تحمك المبرهنة 𝟒 𝟐)𝟐
) مٌل المماس( ) مٌل الوتر(
𝟏
𝟑 𝟑
𝟏
𝟒 𝟑
𝟒 𝟐)𝟐
) (̅
(
)𝟏 ( )𝟏 (
)𝟐(
) (
( ) (
𝟐
) (̅ ) (̅
∵ مـــــــٌل الممـــــاس = مـــــــٌل الوتـــــــر /جذر الطرفٌن .
𝟒
𝟐)𝟐
𝟒 𝟐)𝟐
(
𝟏
𝟎
𝟐
𝟐 )𝟐 𝟏 ( )𝟐 𝟏 (
167
𝟒
𝟐
𝟐 𝟐
(
𝟐
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟐)𝟏
, 𝟐 𝟕-
𝟑
(√
) (
) (
الحل / ① الدالة مستمرة فً الفترة المرلمة , 𝟐 𝟕- ( ألن )𝟕 𝟐 (
② الدالة غٌر لابلة لالشتماق عند )𝟏
𝟏
∴ ال ٌمكن تطبٌك نظرٌة المٌمة المتوسطة ألن الدالة غٌر لابلة لالشتماق عند )𝟏
(
******************************************************************
أمثلة أضافٌة محلولة مثال /أختبر أمكانٌة تطبٌك مبرهنة المٌمة المتوسطة للدالة األتٌـة علـى الفتـرة المعطـاة ازاءهـا مـع ذكـر السـبب. وأن تحممت المبرهنة جد لٌم Cالممكنة , 𝟏 𝟑-
𝟐
𝟏
𝟑
) (
الحل / ① الدالة مستمرة فً الفترة المرلمة , 𝟏 𝟑-النها كثٌرة حدود ② الدالة لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة )𝟑 𝟏 ( النها كثٌرة حدود الشروط متحممة
مبرهنة المٌمة المتوسطة متحممة
نبحث عن النمطة Cالتً تحمك المبرهنة ) مٌل المماس(
𝟏
𝟐
𝟐 𝟔𝟏 𝟒
/مٌل الوتر.
) (̅
𝟑
𝟏
)𝟑( )𝟏 ( )𝟏 ( 𝟑
𝟎 𝟔𝟏 𝟒
𝟐
𝟐 ) (
) (̅
𝟑
) (
) (̅
∵ مـــــــٌل الممـــــاس = مـــــــٌل الوتـــــــر 𝟎
)𝟏
()𝟓
𝟑(
𝟎 )𝟐 𝟏 (
𝟓
𝟐
𝟐
𝟓 𝟑
𝟑 𝟓
)𝟐 𝟏 (
168
𝟒 𝟑 𝟏
𝟏
𝟐
𝟎
𝟓 𝟎
𝟐
𝟑 𝟏
𝟑 أما أو
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
مثال /جد تمرٌبا ً لكل مما ٌأتً بأستخدام مبرهنة المٌمة المتوسطة أو نتٌجتها : 𝟒
𝟐𝟖√ )𝟏( الحل / ( ألرب رلم للعدد المعطى ٌسهل حسابه ( معطى
نفرض )𝟏𝟖 نفرض )𝟐𝟖
𝟏 𝟑 / 𝟒
𝟗𝟎𝟎 𝟎
)𝟏𝟖( ̅
.
𝟏 𝟒 𝟑
𝟏 . / 𝟒
) (̅
𝟏𝟖
) ( 𝟒
)𝟏𝟖( 𝟑 . / 𝟒
) (̅
𝟗𝟎𝟎 𝟑
)𝟐𝟖(
) (
)𝟗𝟎𝟎 𝟎( )𝟏(
𝟑
𝟒
) (
𝟒
) (
√
)𝟏𝟖( 𝟏𝟖√ 𝟑 𝟏 𝟏 𝟒 . 𝟑/ )𝟏𝟖( ̅ )𝟏𝟖( ̅ (𝟖𝟏). 𝟒 / 𝟒 ) 𝟑( 𝟒 𝟒 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 )𝟏𝟖( ̅ )𝟑 ()𝟑( 𝟑 𝟒 )𝟑( 𝟒 𝟖𝟎𝟏 𝟗𝟎𝟎 𝟎
𝟐𝟖
√ 𝟏 𝟒
) (̅
)
(
𝟑
)𝟐𝟖(
𝟑
𝟔𝟐𝟏 𝟎√
)𝟐(
الحل / نفرض )𝟓𝟐𝟏 𝟎 نفرض )𝟔𝟐𝟏 𝟎
( ألرب رلم للعدد المعطى ٌسهل حسابه ( معطى 𝟏𝟎𝟎 𝟎 𝟐 / 𝟑
𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟏
.
𝟏 𝟑
𝟓𝟐𝟏 𝟎 𝟏 . / 𝟑
) (̅ 𝟑
𝟔𝟐𝟏𝟎
) (
𝟑
√
) (
)𝟓𝟐𝟏 𝟎(
𝟑
) (
𝟓 𝟎 )𝟓𝟐𝟏 𝟎( 𝟓𝟐𝟏 𝟎√ 𝟐 𝟐 𝟏 𝟏 )𝟓𝟐𝟏 𝟎( ̅ )𝟓𝟐𝟏 𝟎( ̅ (𝟎 𝟏𝟐𝟓). 𝟑 / ((𝟎 𝟓)𝟑 ). 𝟑 / 𝟑 𝟑 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 ( )𝟐 )𝟓𝟐𝟏 𝟎( ̅ )𝟓𝟐𝟏 𝟎( ̅ )𝟓 𝟎( 𝟑 𝟐)𝟓 𝟎( 𝟑 𝟓𝟕 𝟎
) (̅
𝟑𝟑𝟏𝟎𝟓 𝟎
)𝟔𝟐𝟏 𝟎(
𝟑𝟑𝟏𝟎𝟎 𝟎
169
𝟓𝟎
)𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟏( )𝟏𝟎𝟎 𝟎(
𝟐 . / 𝟑
) ( 𝟓𝟎
√ 𝟏 𝟑
)
) (̅
(
)𝟔𝟐𝟏 𝟎(
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟓
𝟏𝟑 √
)𝟑(
الحل / ( ألرب رلم للعدد المعطى ٌسهل حسابه ( معطى
نفرض )𝟐𝟑 نفرض )𝟏𝟑
𝟏 𝟏 . 𝟒/ 𝟓 𝟓 )𝟐𝟑 (
)𝟐𝟑 (
𝟏 . / 𝟓
) (̅
𝟓
) (
𝟓
) (
)𝟐𝟑 (
𝟓
) (
√
𝟐 𝟐𝟑 √ 𝟒 𝟏 )𝟐𝟑 ( ̅ )𝟐𝟑 ( ̅ ( 𝟑𝟐). 𝟓 / 𝟓 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 )𝟐𝟑 ( ̅ )𝟒 ()𝟐 ( 𝟒 𝟓 )𝟐( 𝟓 𝟎𝟖
𝟒 𝟏 𝟓 .𝟓/ ) )𝟐 (( 𝟓 𝟓𝟐𝟏𝟎 𝟎 )𝟐𝟑 ( ̅
) (̅
)𝟏𝟑 (
𝟓𝟕𝟖𝟗 𝟏
مثال /أذا كانت
𝟐
𝟑
𝟑
) (
𝟏𝟑
𝟓𝟐𝟏𝟎 𝟎
𝟒 . / 𝟓
) (
)𝟓𝟐𝟏𝟎 𝟎( )𝟏(
𝟐
جد بصورة تمرٌبٌة )𝟏𝟎𝟎 𝟏(
√ 𝟏 𝟓
) (̅
)
( )𝟏𝟑 (
𝟐
ولثالث مراتب عشرٌة
الحل / ( ألرب رلم للعدد المعطى ٌسهل حسابه نفرض )𝟏 ( معطى نفرض )𝟏𝟎𝟎 𝟎 𝟔 𝟐 𝟑 𝟐)𝟏(𝟑 𝟑)𝟏( )𝟏(𝟔 𝟐)𝟏(𝟑
)𝟏( )𝟏( ̅
𝟒 𝟗
𝟏𝟎𝟎 𝟎 𝟏 𝟏𝟎𝟎 𝟏 𝟑 ) (̅ ) ( 𝟐 𝟑 𝟑 𝟐 ) ( )𝟏( 𝟑 𝟔 𝟐 𝟑 ) (̅ )𝟏( ̅
) (̅ 𝟗𝟎𝟎 𝟒
مثال /أذا كانت 𝟏
𝟑√
)𝟏𝟎𝟎 𝟏(
) (
𝟗𝟎𝟎 𝟎
) (
)𝟗( )𝟏𝟎𝟎 𝟎(
𝟒
(
)
)𝟏𝟎𝟎 𝟏(
𝟒
جد بصورة تمرٌبٌة )𝟗𝟗 𝟎(
الحل / ( ألرب رلم للعدد المعطى ٌسهل حسابه نفرض )𝟏 ( معطى نفرض )𝟗𝟗 𝟎 𝟏𝟎 𝟎 𝟑 𝟏 𝟓𝟕 𝟎
𝟑√ 𝟐 𝟐 )𝟏( 𝟑 𝟒
)𝟏( ̅
)𝟏( ̅
𝟏
𝟏).𝟐/
) (̅
𝟏 𝟑 𝟏
𝟑(
) (
𝟏
)𝟏(𝟑√
)𝟏(
𝟏
)𝟏(𝟑√ 𝟐
)𝟏( ̅
) (̅ 𝟓𝟐𝟗𝟗 𝟏
)𝟗𝟗 𝟎(
𝟓𝟕𝟎𝟎 𝟎
170
𝟏
𝟗𝟗 𝟎
𝟐
𝟑√
) (
𝟑√
) (
𝟑 𝟏
𝟑√ 𝟐
) (
)𝟓𝟕 𝟎( )𝟏𝟎 𝟎 (
) 𝟐
) (̅
( )𝟗𝟗 𝟎(
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
مثال /بأستخدام مبرهنة المٌمة المتوسطة جد بصورة تمرٌبٌة طول ضلع مربع مساحته
)𝟐
𝟎𝟓(
الحل / ∵ مساحة المربع = مربع طول الضلع نفرض )𝟗𝟒 نفرض )𝟎𝟓
( ألرب رلم للعدد المعطى ٌسهل حسابه ( معطى 𝟏 𝟐
𝟎𝟓√ 𝟏 𝟕 )𝟗𝟒( 𝟏 )𝟗𝟒( ̅ 𝟒𝟏
)𝟗𝟒( ̅
𝟏𝟕𝟎 𝟎
𝟏𝟕𝟎 𝟕
𝟎𝟓
) (̅
√𝟐 𝟗𝟒√
)𝟗𝟒( 𝟏
𝟗𝟒√ 𝟐 𝟏𝟕𝟎 𝟎
𝟕
𝟏
)𝟗𝟒( ̅
) (̅
)𝟎𝟓(
𝟗𝟒
𝟎𝟓 𝟐
√
) (
√
) ( ) (̅
√𝟐
) (
)𝟏𝟕𝟎 𝟎( )𝟏(
)
(
𝟕
)𝟎𝟓(
******************************************************************
جد بصورة تمرٌبٌة بأستخدام مبرهنة المٌمة المتوسطة كل مما ٌأتً : 𝟑
) (
𝟖𝟖 𝟓𝟏√
) (
𝟓
) (
𝟒
) (
𝟑
𝟑)𝟐𝟏 𝟖(
) (
) (
𝟒𝟏 𝟕𝟐√ 𝟖𝟐 𝟏𝟑√ 𝟓
𝟑)𝟐𝟏 𝟖(
𝟐
171
𝟎𝟖√ 𝟐𝟏 𝟗 √
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
دراســـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــة الدالة النمطة الحرجة :هً النمطة التً تنتمً لمنحنً الدالة والتً ٌكون عندها 𝟎
) ( ̅ أو تكون غٌر معرفة ز
كٌفٌة اٌجاد النمط الحرجة الحالة األولى :نجد ) ( ̅ ثم نجعل 𝟎
) ( ̅ ثم نحل المعادلة المتكونة ونجد لٌم ) (Xولتكن ) (X1 ,X2 , X3 ,….ثـم نعوض لٌم ) (Xفً الدالة األصلٌة ونجد لٌم ) (Yالممابلة لها فتكون … (X1,Y1),(X2,Y2),(X3,Y3),هً النمط الحرجة مثال توضٌحً /جد النمط الحرجة للدوال التالٌة : 𝟐 𝟐 ) ( ) ( 𝟏 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐
𝟐 𝟐
) (̅ (
)𝟎
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟎
𝟎 𝟏 𝟐 𝟏 )𝟏( النمطة الحرجة هً)𝟑 𝟏(
𝟐 𝟑
𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
)غٌر ممكن ( 𝟎
𝟏 𝟐
𝟑
) (̅ (
)𝟎
𝟑 𝟑 𝟐
𝟑
) (
) (
) ( ) (̅
) (̅ 𝟎
𝟑( )𝟑() 𝟐 𝟏( 𝟔 𝟑
) (̅
𝟐) 𝟐 𝟏( 𝟐 𝟔
)نجعل 𝟎
)
)غٌر ممكن ( 𝟎
𝟐) 𝟐 𝟏( 𝟏 (̅( 𝟐) 𝟐 𝟏(
) (
𝟐
𝟐 𝟏
) (̅
𝟐 𝟑 𝟐 ) (̅ )نجعل 𝟎 ) ( ̅ ( 𝟎 ) (̅ )غٌر ممكن ( 𝟎 𝟐 التوجد نمطة حرجة
) (
𝟑
التوجد نمطة حرجة 𝟐( ) ( ) ( 𝟔 𝟑)𝟏 𝟐(𝟑 ) ( ̅ 𝟔 )𝟐( 𝟐)𝟏 𝟐(𝟔 ) ( ̅ 𝟔 𝟐)𝟏 )𝟔 ( 𝟐(𝟔 𝟎 𝟔 𝟐)𝟏 𝟐( 𝟎 𝟏 𝟐)𝟏 𝟒 𝟐 𝟒 𝟎 𝟏 𝟏 𝟐 )𝟒 ( 𝟒 𝟒 𝟎 𝟐 ( 𝟎 𝟎 )𝟏 𝟎 𝟏 𝟏 𝟓 النمط الحرجة هً)𝟏 𝟎()𝟓 𝟏( 𝟏 𝟑 ) ( ) ( )𝟐 ()𝟏
𝟑 𝟔 𝟔 ) (̅ 𝟔 )نجعل 𝟎 ) ( ̅ ( 𝟔 𝟎 𝟔 𝟎 𝟏 )𝟏(𝟔 𝟐)𝟏(𝟑 )𝟏( 𝟑 النمطة الحرجة هً)𝟑 𝟏(
) (
) (
𝟐
𝟑 𝟏
𝟏
) (̅
𝟐
𝟑
𝟑
) ( ) (̅
𝟐
) (̅ 𝟏 𝟎 𝟐) 𝟐 𝟏( التوجد نمطة حرجة
172
𝟐
𝟑
) ( 𝟑 𝟗 𝟓 𝟔 𝟐 𝟑 ) (̅ 𝟗 )نجعل 𝟎 ) ( ̅ ( )𝟑 ( 𝟔 𝟐 𝟑 𝟎 𝟗 𝟐 𝟐 𝟎 𝟑 ( ()𝟑 𝟎 )𝟏 𝟑 𝟏 𝟓 𝟕𝟐 𝟕𝟐 𝟕𝟐 )𝟑( 𝟐𝟐 )𝟏 ( 𝟎𝟏 𝟓 𝟗 𝟑 𝟏 النمط الحرجة هً)𝟐𝟐 𝟑( )𝟎𝟏 𝟏 ( 𝟒 ) ( 𝟏 𝟐 𝟐 𝟒 𝟑 𝟒 ) (̅ )نجعل 𝟎 ) ( ̅ ( )𝟒 ( 𝟒 𝟑 𝟒 𝟎 𝟑 𝟎 )𝟏 𝟐 ( 𝟎 𝟎 𝟏 𝟏 𝟎 𝟏 𝟎 النمط الحرجة هً)𝟎 𝟏 ()𝟎 𝟏( )𝟏 𝟎(
) (
) (
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
الحالة الثانٌة :اذا أعطٌت نمطة حرجة ٌستفاد من ذلن فً أٌجاد الثوابت فً الدالة المعطاة مثال توضٌحً ① /لتكن 𝟓 لٌم الثوابت
𝟑
𝟐
وكانت للدالـة نمطـة حرجـة هـً )𝟎𝟏 𝟏 ( فجـد
) (
الحل / ) (-1,10تحمك دالة المنحنً 𝟐
𝟐
𝟑
𝟓
𝟏
) (̅
𝟐
وبحل المعادلتٌن أنٌا ً نحصل على :
مثال توضٌحً② /لتكن
𝟐)𝟏 (𝟑
𝟎𝟏
𝟐
𝟔
)𝟏 ( ̅
𝟗
) معادلة①( 𝟐
𝟎
𝟑
/معادلة②.
𝟑
وكانت للدالة نمطة حرجة هً ) (1,3فجد لٌم الثوابت
) (
الحل / )𝟑 𝟏( تحمك دالة المنحنً 𝟐
𝟏
𝟑 𝟐
) ( 𝟎
)معادلة①(
𝟐
) (̅
𝟐)𝟏(
)𝟏( 𝟐
)𝟏( ̅
𝟐 /معادلة②.
وبحل المعادلتٌن أنٌا ً نحصل على :
𝟏
𝟐
أختبار التزاٌد والتنالص للدالة بأستخدام المشتمة األولى لتكن
دالة مستمرة فً الفترة المرلمة -
,ولابلة لألشتماق فً الفترة المفتوحة )𝑏 𝑎( فأذا كانت : متزاٌدة
𝟎
) (̅
)
(
①
متنالصة
𝟎
) (̅
)
(
②
طرٌمة أٌجاد مناطك التزاٌد والتنالص oنجد لٌم ) ( التً تجعل المشتمة االولى مساوٌة للصفر أو غٌر موجودة كما تعلمنا سابما ز oنختبر المٌم على خط األعداد فأذا كانت ) ̅( الدالة متزاٌدة ( ) ) ̅( الدالة متنالصة ( )
173
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
مثال ( /)1لتكن
𝟐
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
ز جد مناطك التزاٌد والتنالص
) (
الحل / ) (̅ .
/نجعل 𝟎
) (̅
) (̅ * ) (̅ *
متزاٌدة فً + متنالصة فً +
مثال ( /)2جد مناطك التزاٌد والتنالص لكل من الدالتٌن األتٌتٌن : 𝟐
𝟑
𝟗
𝟑
) (
) (
الحل / ) (̅ .
/نجعل 𝟎 ) 𝟏
𝟎
𝟑
)𝟏
(
()𝟑
نختبر على خط األعداد إشارة المشتمة األولى بالتعوٌض بمٌم مجاورة للعددٌن 𝟑
* 𝟏+ متنالصة فً 𝟑+ متزاٌدة فً الفترة المفتوحة )𝟑 𝟏 (
(
𝟐
𝟔 𝟑 𝟐 𝟑 𝟎 𝟑
𝟗
𝟐
*
𝟑
√
) ( ) (
الحل/ 𝟐 𝟑
√𝟑 ( أي ان )𝟎
) (̅
𝟏 𝟑
) (
( عدد حرج
نختبر على خط األعداد إشارة المشتمة األولى بالتعوٌض بمٌم مجاورة للعدد 𝟎 متنالصة فً 𝟎+ متزاٌدة فً 𝟎+
𝟔 𝟐
𝟗
𝟏
𝟐
) ( ̅ غٌر معرفة أذا كانت )𝟎
) (̅
* *
174
𝟐 𝟑
) (̅
𝟐 𝟑)
(
) (
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
النهاٌة العظمى والنهاٌة الصررى المحلٌة دالــة مســـــــــــتمرة علــى الفتــرة - لــتكن المفتوحة ) ( فأذا كانت :
( التــً تنتمــــــً الــى الفتـــــرة
,ولابلــة لألشــتماق عنــد ) ) )
( (
𝟎 𝟎 𝟎
) (̅ ) ( ) (̅ ) (̅
) )
( (
𝟎 𝟎 𝟎
) (̅ ) ( ) (̅ ) (̅
مالحظة اذا كانت النمطة نمطة نهاٌة صغرى
)
(
نمطة نهاٌة عظمى
(
)
حرجة فمط
(
)
)
(
مثال ( /)3جد نمط النهاٌات العظمى والصررى المحلٌة للدالة fفً حالة وجودها أذا علمت أن : 𝟒𝟐
𝟐
𝟗
𝟑
) (
) (
𝟐) 𝟐
(
) (
𝟏
) (
𝟐) 𝟐
(
𝟏
) (
) (
𝟐) 𝟐
(
𝟏
) (
) (
الحل/ ) (̅ .
𝟐
/نجعل 𝟎 𝟎 𝟐
متنالصة فً + متزاٌدة فً + النمطة ))𝟐( 𝟐(
* )𝟏 𝟐( تمثل نمطة نهاٌة صررى محلٌة
175
𝟎 )𝟐 𝟐( 𝟏 ) 𝟐(
(𝟐
𝟏
*
)𝟐
(
) (̅
𝟐) 𝟐
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟐) 𝟐
(
) (
𝟏
) (
الحل/ ) (̅ .
/نجعل 𝟎 𝟎
𝟐
)𝟐
𝟐
متنالصة فً 𝟐+ متزاٌدة فً + النمطة ))𝟐( 𝟐(
(
𝟎 )𝟐 𝟐( 𝟏
𝟐) 𝟐
𝟏
) (̅
(𝟐
) 𝟐(
* * )𝟏 𝟐( تمثل نمطة نهاٌة عظمى محلٌة
𝟐
𝟒𝟐
𝟑
𝟗
) (
) (
الحل/ /نجعل 𝟎 𝟎
𝟖
) (̅ . )𝟑 (
𝟐
𝟔
𝟒
𝟎𝟐 𝟖𝟒 𝟔𝟑 𝟖 𝟔𝟏 𝟔𝟗 𝟒𝟒𝟏 𝟒𝟔
النمطة ))𝟐( 𝟐( النمطة ))𝟒( 𝟒(
𝟖𝟏
𝟎 𝟒𝟐 𝟎 )𝟐
⇒
𝟐
متنالصة فً الفترة المفتوحة ) * + متزاٌدة فً +
𝟒𝟐
𝟐 𝟑
𝟐)
𝟐( 𝟗 𝟐) 𝟒( 𝟗
)𝟐(𝟒𝟐 )𝟒(𝟒𝟐
𝟖𝟏 ()𝟒
𝟑)
𝟐( 𝟑) 𝟒(
) (̅ 𝟐 𝟑
(
) 𝟐( ) 𝟒(
( *
)𝟎𝟐 𝟐( تمثل نمطة نهاٌة عظمى محلٌة )𝟔𝟏 𝟒(تمثل نمطة نهاٌة صررى محلٌة
تمعر وتحدب المنحنٌات ونمط األنمالب بأنهـا محدبـــــة أذا كانـت
أذا كانت fدالـــــة لابلة لألشتماق فً الفترة المفتوحـــة ) ( فٌمال عن الدالـــــة ̅ متنالصة خالل تلن الفترة وتسمى ممعرة اذا كانت ̅ متزاٌدة خالل تلن الفترة ز مالحظة
,ولها مشــــــتمة أولى ومشـــــتمة ثـــــانٌة على ) أذا كـــــانت fمـــــعرفة فـــــً - 𝟎 ) (̅ ( ) تكون ممعـرة على ) ( أذا حممت الشرط األتً : تكون محدبة على )
( أذا حممت الشرط األتً :
𝟎
176
) (̅
)
(
( فأنهــا :
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
مثال (/)1
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
أدرس تمعر وتحدب كل من الدالتٌن : 𝟑
) (
) (
𝟐
) (
) (
𝟐
) (
) (
الحل/ ) (̅
) الدالة ممعرة على
) (̅
(
𝟑
الحل/ ) (̅
نجعل
ممعرة فً + محدبة فً + النمطة ))𝟎( 𝟎(
) (̅
) ( 𝟐
) ( ̅ ألٌجاد مناطك التمعر والتحدب 𝟎 )𝟎( 𝟎 𝟎
) ( ) (̅
𝟔
* * )𝟎 𝟎( تسمى نمطة أنمالب
نمطة األنمالب : هً النمطة التً تنتمً لمنحنً الدالــــة والتً عندها ٌنملب المنحنً مـن حالـة التحـدب الـى حالـة التمعـر أو بـالعكس ( تنتمـً لمنحنـً الدالـة والمشـتمة ( هً نمطة أنمـالب أذا كانـت النمطـة ) (أو بأسلوب أخر) النمطة ) الثانٌة عندها تساوي صفر )
) ( (
177
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
كٌفٌة اٌجاد نمط األنمالب ) (̅ ̅ ثـم نحـــل المعادلــــة المتكونـة ونجـد لــــــــٌم الحالة األولى :نجد ) ( ̅ ومــن ثـــم نجـد ) ( ثـم نجعـــل 𝟎 ) (Xولـتكن ) ( X1 ,X2 , X3,..ثـــــــم نــــــعوض لـٌم ) (Xفـً الدالـة األصلٌـــــــــة ونجـد لـــــــٌم ) (Yالممابلـــــة لهــــــــــــا فتكون … (X1,Y1),(X2,Y2),(X3,Y3),هً نمط االنمالب
مالحظات حول طرٌمة أٌجاد مناطك التمعر والتحدب :
نجد لٌم ) ( التً تجعل المشتمة الثانٌة مساوٌة للصفر ومن ثم نجد لٌم ) ( الممابلة لها ̅
نختبر المٌم على خط األعداد فأذا كانت ̅ اذا لم تترٌر إشارة ) ( فأن النمطة هً لٌست نمطة أنمالب وأنما هً نمطة حرجة /
مثال ( /)2جد نمطة األنمالب للمنحنً :
𝟏
) (
الدالة محدبة .أو /
𝟐𝟏
𝟐
𝟑
𝟑
𝟐
) (
̅
الدالة ممعرة .
) (
الحل/ 𝟐𝟏 ) ( ̅ 𝟔 ̅ ) ( ألٌجاد مناطك التمعر والتحدب نجعل
𝟐𝟏
𝟔
ممعرة فً 3 محدبة فً 3 𝟏
النمطة (𝟐)/
𝟏
𝟐.
𝟐
𝟔
𝟎
𝟐𝟏 𝟏𝟏 𝟐
) (̅
𝟔 𝟔
𝟏 ) ( 𝟐
𝟐𝟏
𝟏 𝟐
) (̅ 2الن ̅ 2الن ) ( سالبة
موجبة
𝟏𝟏 / 𝟐
𝟏
𝟐 .هً نمطة أنمالب
مثال ( /)3جد مناطك التحدب والتمعر ونمط األنمالب أن وجدت للدوال التالٌة : 𝟑
𝟒
) (
) (
) (
) (
(
𝟒
) (
) (
𝟐
𝟑
) (
) (
) (
) (
𝟏
𝟎 𝟒) 𝟐 𝟐
𝟑
178
𝟒
𝟐
𝟑
𝟒
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟒
الحل/ 𝟐
نجعل
𝟑
) (̅ 𝟑 𝟒 ) ( ̅ ألٌجاد مناطك التمعر والتحدب
𝟎
)𝟐𝟏 (
𝟐
𝟐
) (̅
𝟐
𝟎 𝟔𝟏
) 𝟎(
𝟎
𝟐
𝟎
⇒
𝟎
) (
𝟒
) (
(
)
) 𝟐(
*و+ محدبة فً + ممعرة فً الفترة المفتوحة ) ( النمطتان ) ( ) ( هما نمطتا أنمالب *
الحل/
𝟏
𝟎 𝟐 𝟑
) (
) ( 𝟏
) (̅
) (̅
𝟐
)𝟎( ̅ غٌر معرفة * محدبة فً + * ممعرة فً + ال توجد نمطة أنمالب ألن 0ال ٌنتمً لمجال الدالة
𝟒) 𝟐
الحل/
𝟐)𝟐 نجعل
محدبة فً𝟐+ الدالــــــــة ∴ ال توجد نمطـة أنمـالب عنـد ) على جهتٌها
* * و 𝟐+ ( ألن الدالـة محدبـة
179
(
) (
𝟒
) (̅ ( 𝟑)𝟐 ̅ ) ( ألٌجاد مناطك التمعر والتحدب 𝟐 ( )𝟐 𝟎 𝟎 𝟐)𝟐 𝟎 𝟐 (
) ( ) (̅̅̅
(
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟐
الحل/
𝟐
) (̅
𝟑 𝟐
) (
) ( ) (̅
𝟐
) (̅
ال ٌمكن جعل الدالــــــــة محدبة فً ∴ ال توجد نمطة أنمالب
الحل/
𝟑 𝟎
الدالــــــــة
ممعرة فً
𝟔
𝟐
𝟐𝟏
𝟐
𝟑
) (̅
𝟒
) ( 𝟑 𝟒
𝟔
) ( ) (̅
لذا ال توجد نمطة أنمالب
أختبار المشتمة الثانٌة لنمط النهاٌات العظمى والصررى المحلٌة ٌستفاد من المشتمة الثانٌة فً فحص ومعرفة نوعٌة النمط الحرجة دون دراستها على خط االعداد وكما ٌلً :
) ̅( فأنـه ٌمكننـا أسـتخدام فبدال ً مـن مالحظـة كٌفٌـة ترٌٌـر إشـارة ̅ عنـد المـرور بالنمطـة الحرجـة حٌـث األختبار التالً لنمرر فٌما أذا كانت النمطة الحرجة تمثل نمطة نهاٌة عظمى أو صررى محلٌة وذلن بأستخدام أختبار المشتمة الثانٌة وكما ٌأتً : تمتلن نهاٌة عظمى محلٌة عند ) (ز ) ̅( فأن ) ̅( وأن ) ( أذا كانت ) ̅(
) ( أذا كانت
) ̅(
وأن
) ( أذا كانــت
) ̅(
أو ) ̅( غٌــر معرفــة فــال ٌصــح هــذا األختبــار ( وٌعــاد األختبــار بواســطة الطرٌمــة
فأن
(ز
تمتلن نهاٌة صررى محلٌة عند )
السابمة عن طرٌك المشتمة األولى ) ز
مالحظة
:
ٌستفاد من نمطة االنمالب فً أٌجاد الثوابت كما هو الحال فً النمطة الحرجة مثال ( /)1بأستخدام أختبار المشتمة الثانٌة أن أمكن ,جد النهاٌات المحلٌة للدوال األتٌة : 𝟏
𝟐
𝟑 𝟒
𝟎
𝟐
𝟗 𝟒) 𝟏
180
𝟔
𝟐
𝟑 (
𝟑
𝟒
) (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل الحل/
𝟐
𝟏
) (̅.
/نجعل 𝟎 )𝟏( ̅
𝟎
𝟏 𝟎
∵ 𝟎 )𝟏( ̅ و 𝟎 𝟔 ( ∴ توجد نهاٌة عظمى محلٌة عند )𝟏 𝟐 )𝟏(𝟑 ∴ النهاٌة العظمى المحلٌة هً 𝟏 𝟐 :
𝟑
𝟔
𝟔
) (̅
𝟔
𝟔 𝟔 )𝟏( ̅
𝟔
) (
) (
𝟔 ) (̅
𝟎
𝟔
𝟔
)𝟏( ̅
)𝟏(
)𝟏(𝟔
الحل/
𝟒
𝟎
𝟐
𝟎
)𝟐 ( ̅
𝟐
𝟑
𝟖
𝟎 𝟒𝟐
𝟎 ∵ 𝟎 )𝟐 ( ̅ و 𝟎 ∴ توجد نهاٌة عظمى محلٌة عند )𝟐 ∴ النهاٌة العظمى المحلٌة هً 𝟑 :
𝟑
𝟎
𝟑
𝟒𝟐
) (̅
𝟒
𝟐
𝟏
𝟐
)𝟐 (
الحل/
𝟐
) (̅.
/نجعل 𝟎 𝟎
عندما 𝟏 𝟎 𝟐𝟏 فأن 𝟎 ∴ توجد نهاٌة عظمى محلٌة عند )𝟏 ∴ النهاٌة العظمى المحلٌة هً 𝟗 𝟓 : عندما 𝟑 فأن 𝟎 )𝟑( ̅ و 𝟎 𝟐𝟏 ∴ توجد نهاٌة صررى محلٌة عند )𝟑 ∴ النهاٌة الصررى المحلٌة هً 𝟐𝟕 :
𝟖
𝟏
( 𝟒 𝟒
𝟗
)𝟏 ( ̅ و
𝟑
)𝟐 ( ̅
𝟔𝟏
)𝟐 ( ̅
𝟖
𝟏
) (̅
𝟖
) (̅.
/نجعل 𝟎
) (
) (
𝟑 𝟏
𝟐
𝟑 𝟗
)𝟑 (
𝟐
⇒
𝟑
)𝟏 ( ̅
( 𝟑
𝟏
) 𝟏 (𝟗
𝟐)𝟏
(𝟑
𝟑)𝟏
(
)𝟏 (
)𝟑( ̅
( 𝟕𝟐
𝟕𝟐
𝟕𝟐
)𝟑(𝟗
181
𝟐)𝟑(𝟑
𝟑) 𝟑(
)𝟑(
𝟑
𝟔
𝟎 𝟗 𝟎 )𝟏 𝟔
𝟐
) (
) (
𝟑
) (̅ 𝟐
𝟑
𝟔 ( ()𝟑 𝟔 ) (̅
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟒) 𝟏
(
) (
𝟒
) (
الحل/ ) (̅.
/نجعل 𝟎 )𝟏 ( ̅
𝟎
𝟎
𝟏
𝟑)𝟏
𝟏 𝟎
∵
𝟎
𝟎 )𝟏 ( ̅
𝟎
𝟑)𝟏
(𝟒
(
𝟐)𝟏
)𝟏 ( ̅ أذن هذه الطرٌمة ال تنفع لذا نعود الى مالحظة ترٌٌر إشارة ̅
fمتزاٌدة فً 𝟏+ * fمتنالصة فً 𝟏+ ∴ توجد نهاٌة عظمى محلٌة هً 𝟒 :
𝟑)𝟏
(𝟒
) (̅
بجوار )𝟏
) (̅
(𝟐𝟏
(
*
مثال (/)2 فجـد لٌمـة محلٌة ز
𝟒)𝟏
𝟒
𝟏 (
)𝟏 (
𝟐 ) ( 𝟎 لتكن علمـا ً أن الدالـة تمتلـن نمطـة أنمـالب عنـد
ال تمتلـن نهاٌـة عظمـى
,ثـم بـٌن أن الدالـة
الحل/ /نجعل 𝟎
) (̅ .
𝟐
𝟐
𝟐 𝟑)𝟏(
𝟐
𝟐
)𝟏( ̅
𝟐
𝟑
𝟏 )نجعل 𝟎 𝟏 𝟐
√
𝟎 𝟏
𝟔 𝟑
∴ توجد نهاٌة صررى محلٌة عند √ 5 𝟐 ∴ الدالة
𝟐
𝟏 𝟐
𝟑
) (̅
𝟒
4
ال تمتلن نهاٌة عظمى محلٌة
182
𝟐 𝟏
) (̅(
𝟐
𝟑
𝟐
) (̅
𝟐 𝟏 .𝟐/
𝟐
𝟐
𝟐
𝟎
𝟏
) (̅ 𝟑
𝟎
𝟏
𝟐
) (̅
) (̅
𝟐
𝟐
𝟐
) ( 𝟏
𝟎 𝟐 𝟑
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
) (̅
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
وزاري/ 2013د3 وزاري / 2013د2 وزاري / 2012د1 لكً ٌكون لمنحنً الدالـة مثال ( /)3عٌن لٌمتً الثابتٌن ثم جد نمطة األنمالب ز ونهاٌة عظمى محلٌة عند 𝟐 عند 𝟏 𝟑
𝟐
نهاٌة عظمى محلٌة
الحل/ 𝟐
𝟐 ∵ للدالة نهاٌة عظمى محلٌة عند
𝟏
∵ للدالة نهاٌة صررى محلٌة عند
𝟐
⇐ ) معادلة
(
) معادلة
𝟑
̅
𝟎
𝟎
⇐ 𝟎
𝟐
̅
𝟑
𝟐
𝟐)𝟏 (𝟑
)𝟏 ( 𝟐
𝟑
𝟎
̅
(
𝟒
𝟎
𝟐)𝟐(𝟑
)𝟐( 𝟐
𝟐𝟏
𝟎
وبحل المعادلتٌن ( )1و ( )2أنٌا نحصل على : 𝟑 𝟐
𝟔 )نجعل 𝟎
̅(
𝟑
̅
𝟔
𝟔
𝟐
𝟑
𝟑
𝟏 𝟐 𝟏 𝟐
𝟑𝟏 𝟒 الدالة fممعرة الدالة fمحدبة
∴ /
𝟑𝟏
𝟏
𝟒
𝟐
𝟔𝟐 𝟖
4 5 𝟏 فً 3 𝟐 𝟏 فً 3 𝟐
𝟏
𝟒𝟐 𝟑 𝟖
̅
𝟑 𝟖
𝟑
𝟏 𝟐
𝟏 𝟖
𝟔4 5
𝟐
𝟔
𝟑
𝟑 𝟐
𝟔
𝟑
𝟎
𝟐 𝟏 𝟑 4 5 𝟐 𝟐
𝟑
𝟑
𝟏 4 5 𝟐
𝟔
𝟏 4 5 𝟐
2 2
.نمطة أنمالب
مثال ( /)4أذا كان منحنً الدالة وٌمس المستمٌم 𝟐𝟖 :
𝟑
𝟐
𝟗
* ومحـدب فً 𝟏+ ) ( ممعـــر فـــً 𝟏+ عند النمطة )𝟏 𝟑( فجد لٌم األعداد الحمٌمٌة
الحل/
*
وزاري / 2014د1
∵ الدالة مستمرة ألنها كثٌرة الحدود و ممعـــرة فــــً 𝟏+
* ومحـــدبة فً 𝟏+
*
∴ الدالة تمتلن نمطة أنمالب عند 𝟏 /نجعل 𝟎
)𝟏( ̅ .
∵ مٌل المماس للمستمٌم 𝟖𝟐
)𝟏( ̅
𝟐
𝟔
) معادلة
(
𝟐
𝟗
𝟔
𝟑
هو )𝟗
) (̅
𝟎
𝟐 𝟑
)𝟐 (
⇒
𝟐
𝟑
𝟎
) (̅
𝟔
𝟐
̅( عند 𝟑
∴ )𝟑( ̅ هو مٌل المماس لمنحنً الدالة fعند 𝟑 /معادلة
𝟐
.
النمطة )𝟏 𝟑( تحمك معادلة منحنً الدالة
𝟗
)𝟑 (
𝟑
𝟐
⇒
𝟑
𝟔
𝟕𝟐
𝟗
𝟔
𝟕𝟐
)𝟑( ̅
) ( ) معادلة ③(
𝟗
𝟕𝟐
𝟏
وبتعوٌض المعادلة ( )1فً ( )2نحصل على :
𝟑 وبتعوٌض (𝟏
) و (𝟑
𝟑
𝟏
𝟑
𝟔
𝟗
𝟑
) فً المعادلة ) (3نحصل على :
𝟏
183
𝟕𝟐
𝟕𝟐
𝟏
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
مثال (/)5
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
أذا كان للدالة فجد لٌمة عند
نهاٌة عظمى محلٌــة تســــاوي , 8و نمطة األنمالب وزاري / 2015د2
) (
الحل/ ∵ للدالة نمطة أنمالب عند
𝟔 ⇐ 𝟎
𝟏
̅
𝟔
𝟔
𝟐
𝟑
̅
𝟏 ∵ للدالة نهاٌة عظمى محلٌة تساوي )𝟖( )𝟐
̅
⇐ 𝟎
̅
( 𝟑
𝟎
𝟔 𝟔
𝟐
𝟑
𝟔
𝟔 𝟐
𝟔
𝟎
)𝟏( 𝟔
̅
𝟑
𝟐
𝟎
𝟎
****************************************************************** ) ( نهاٌة صررى محلٌــــة تســــاوي , 4و نمطة األنمالب واجب /أذا كان للدالة فجد لٌمة عند
تمارين)𝟒 س / 1لتكن
𝟐
𝟔
(أ) الدالة fمحدبة
) (
حيث
𝟑(
* 𝟒 𝟖+ ,
جد قيمة
اذا كانت :
(ب) الدالة fممعرة
الحل/
𝟐 /أ .أذا كانت الدالة
) (̅
𝟐
𝟔
محدبة 𝟒
/ب .أذا كانت الدالة
) (̅
𝟔
𝟐
) (
𝟎
𝟎
𝟐
𝟎
) (̅
مقعرة 𝟎
𝟖
184
𝟎
𝟐
𝟎
) (̅
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
س / 2أذا كانت ) (2,6تمثل نمطة حرجـــــة لمنحنً الدالة 𝟒) النمطة الحرجةز
) (
(
فجد لٌمة
وبٌن نوع
)𝟏( 𝟑)
) (̅
الحل/ 𝟑) )نجعل 𝟎
) ( ̅ ( عندما 𝟐
) (̅
(𝟒
(𝟒
ألن النمطة )𝟔 𝟐( نمطة حرجة 𝟑)
/بالجذر الثالث .
𝟐(
)𝟒
𝟎
(
𝟑)
⇒
𝟐(𝟒
𝟎
𝟐 النمطة )𝟔 𝟐( تحمك معادلة منحنً الدالة 𝟒)𝟐
(
𝟎
) ( 𝟎
𝟔
𝟒
𝟔
)𝟐
𝟐(
𝟔
(𝟒
) (̅
لبٌان نوع النمطة الحرجة نالحظ الرسم : ∴ النمطة )
𝟑)𝟐 ( تمتلن نهاٌة عظمى محلٌة
𝟑 𝟐 ) ( وكان 𝟐𝟏 𝟏 ) ( س / 3أذا كان نمطة األنمالب وكانت للدالة fنمطة أنمالب ) (1, -11فجد لٌم الثوابت
متماســـــــان عند
وكان كل من
وزاري / 2014د2
الحل/
∵ الدالتٌن ) ( ) ( متماستان عند نمطة األنمالب ∴ مٌل الدالتٌن ) ( ) ( عند ) ( متساوٌان أي أن
) (̅ 𝟑 ) (
𝟐
𝟐
) (̅ 𝟐
) (̅
𝟐𝟏 ) معادلة①(
∵ النمطة )
𝟐𝟏
𝟐
( نمطة أنمالب لدالة ) ( ) معادلة②(
النمطة )
)𝟏( 𝟐
𝟑
⇐
𝟐)𝟏(
) ( ̅ ( عندما )
)𝟎
𝟎
𝟑
)𝟐 (
⇒
𝟐
𝟑
𝟐𝟏
𝟑
𝟏 𝟐
) ( ) ( 𝟐
( 𝟐
𝟔
𝟔
) (̅
( تحمك معادلة الدالة ) ( ) معادلة③(
وبحل المعادالت ① و ② و ③ أنٌا ً سو
) (
𝟏𝟏
نحصل على بالطرح بالطرح
185
𝟑
) معادلة①( ) معادلة③( ) معادلة②(
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
س / 4أذا كانت )𝟔( تمثل نهاٌة صررى محلٌة لمنحنً الدالــــة معادلة المماس للمنحنً فً نمطة انمالبه ؟
𝟐
𝟑
فجد لٌمة
) (
𝟑
ثم جد
الحل/
) (̅ (
)نجعل 𝟎
𝟐
النمطة )
𝟐
𝟎
𝟑
) (̅
𝟔
𝟐(
)
𝟑
𝟐
𝟎
)𝟑 (
𝟐
⇒
𝟐 𝟐
) (
𝟑 𝟑
𝟔
𝟎
( تنتمً لمنحنً الدالة ) ( 𝟑)𝟎(
𝟔
𝟐)𝟎(𝟑
) (̅ .
/نجعل 𝟎
𝟔
𝟔 𝟔
𝟑 𝟐
) (̅
𝟔
𝟏
𝟑
𝟑
𝟑
𝟑
𝟑
𝟑 𝟐 ) ( وكانت ممعــــــرة )𝟏 س / 5أذا كانت وللدالة fنمطة نهاٌة عظمى محلٌة هً )𝟓 𝟏 ( فجد لٌم الثوابت
𝟐
) 𝟐)𝟏(𝟑
𝟔
(𝟑 𝟖 )𝟏 ) معادلة المماس للمنحنً(
𝟖
𝟑
𝟔
𝟔
𝟏( 𝟑 ) 𝟏( 𝟖 𝟔 𝟏 𝟑 𝟔 𝟑) 𝟏( 𝟖 )𝟏( ∴ النمطة ) ( تمثل نمطة أنمالب وهً نمطة مٌل المماس ( اي نحسب ) ̅( عندما 𝟑
𝟑 𝟔
𝟐)
)𝟏( ̅
𝟐
)
𝟑
)𝟏(𝟔
) (̅
𝟔
𝟎
) ( )𝟏( ̅
(
( ومحدبــــــة )𝟏
الحل/
) (
(
وزاري / 2012د3
النمطة )𝟓 𝟏 ( تحمك دالة المنحنً ) ( ) معادلة①(
𝟐
)𝟏 (
𝟓
)𝟏 (
النمطة )𝟓 𝟏 ( نمطة نهاٌة عظمى محلٌة للدالة ⇐ f ) معادلة②(
∵ الدالة ∴ نجعل 𝟎
𝟐
𝟎
ممعـــرة )𝟏
( ومحدبـــــة )𝟏
̅ ) ( عندما )𝟏
𝟎
)𝟏 ( 𝟐
𝟑
𝟑
)𝟏 (
𝟐
𝟓
عندما )𝟏
) ( 𝟐
)𝟏 ( 𝟑
𝟑
) (
(
𝟎
𝟐
𝟐
𝟑
) (
(
( النه توجد نمطة انمالب
) معادلة③(
وبحل المعادالت ① و ② و ③ أنٌا ً سو
𝟎
𝟔
𝟐
𝟐
)𝟏( 𝟔
𝟐
𝟎
نحصل على ) معادلة①(
بالجمع
) معادلة②( )
بالجمع
) معادلة③(
)
186
(
(
𝟔
) (̅
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
) (
س / 6لتكن
ال تمتلن نهاٌة عظمى محلٌة ز
برهن أن الدالة
وزاري / 2013د1
الحل/ )نجعل 𝟎
) (̅ (
/معادلة
𝟐
𝟐
.
) (̅
𝟐
𝟑
𝟐
) (̅
𝟐
𝟑
/معادلة
𝟐
𝟐
.
𝟑
𝟐
𝟐
) (̅
𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
) (
𝟑
𝟐
𝟎
) (̅
𝟐
وبتعوٌض المعادلة ( )1فً ( )2نحصل على : ) (̅
𝟔 ∴ الدالة ∴ الدالة
𝟒
𝟔
𝟐
𝟐
4 5
𝟐
𝟏
𝟐
𝟐 /
) (̅
تمتلن نهاٌة صررى محلٌة ألن 𝟎 𝟔 ال تمتلن نهاٌة عظمى محلٌة مهما كانت لٌمة ) (
س / 7المســـتمٌم 𝟕 محلٌة عند
𝟑 ٌمس المنحنً جد لٌمة
𝟏 𝟐
الحل/
النمطة )𝟏
𝟐
عند )𝟏
) معادلة①(
𝟏
∵ للمنحنً نهاٌة محلٌة عند
𝟒
(
𝟏 𝟐
)𝟐(
وزاري / 2016د1
)𝟐(
𝟐
𝟏
عندما
⇐
𝟐
.
,وما نوع النهاٌة ؟
𝟐( تحمك معادلة المنحنً :حٌث نعوض )𝟐 𝟏
𝟐
𝟐( وكانت له نهاٌــــــة
وزاري / 2015د1 𝟐
𝟐
) (̅
) معادلة②(
) ( 𝟐
𝟎
𝟐
𝟎
نجد معادلة مٌل المستمٌم المماس من معادلته : معامل معامل نجد مٌل منحنً الدالة عند نمطة التماس ( اي نجد
)
عندما
𝟒 ∵ مٌل المستمٌم المماس
𝟐
مٌل منحنً الدالة عند نمطة التماس ) معادلة③(
𝟒
𝟑
بحل المعادلتٌن ( )2و ( )3أنٌا ً نحصل على : بالطرح
) معادلة②( ) معادلة③(
)نعوض فً معادلة②( )نعوض فً معادلة ① ألٌجاد 𝐜 ( ) ( ) (
𝟑 𝟏 𝟒 𝟏 ∴ النمطة 𝟑 𝟒/ 𝟑
𝟐
) (
𝟏 𝟏 𝟏 𝟑 𝟐 𝟐 𝟒 𝟏 𝟐 .تمثل نهاٌة صررى محلٌة
187
𝟒
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
أمثلة أضافٌة محلولة مثال /جد أن وجدت مناطك التزاٌد والتنالص والنمط الحرجة ولٌم نماط النهاٌات للدوال األتٌة: 𝟐
) (̅ .
/نجعل 𝟎 النمط الحرجة هً)
𝟎 𝟎
𝟐 𝟎 ()
)𝟐
𝟑
𝟑
) ( ) (
) (̅
( 𝟒
(
النمطة( (0,0نهاٌة عظمى محلٌة لٌمة النهاٌة العظمى المحلٌة تساوي ) ( النمطة( (2,-4نهاٌة صررى محلٌة لٌمة النهاٌة الصررى المحلٌة تساوي ) ( مناطك التزاٌد
2
3
مناطك التنالص = الفترة )
(
𝟒 /نجعل 𝟓 النمط الحرجة هً)𝟓
𝟒 𝟑(
𝟖𝟏
𝟗
النمطة ( (3,-5نهاٌة صررى محلٌة لٌمة النهاٌة الصررى المحلٌة تساوي ) * مناطك التزاٌد + * مناطك التنالص +
) (̅ .
𝟔
𝟐
) ( ) (
) (̅
𝟑
(
𝟒
/نجعل 𝟎 النمط الحرجة هً)𝟎 𝟎( النمطة( (0,0نهاٌة صررى محلٌة لٌمة النهاٌة الصررى المحلٌة تساوي ) ( * مناطك التزاٌد + * مناطك التنالص +
188
) (̅ .
) (̅
) ( ) (
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟑
𝟐
) (̅ .
/الٌمكن جعل
𝟎
) ( ) ( ) (̅
ال توجد نمط حرجة مناطك التزاٌد
*
+
𝟎𝟏
) (̅ (
) نجعل 𝟎
𝟐
)𝟒
𝟏 𝟒 𝟏 النمط الحرجة هً ) 𝟒 𝟏
النمطة /
𝟒
𝟐 𝟑 𝟐
𝟐
𝟐
(
)𝟒
𝟎
𝟏 𝟒
𝟐
) 𝟐()𝟏 𝟐 ( ) 𝟐()𝟒 𝟐 (
𝟖 𝟑 𝟐 𝟐
𝟐
𝟐
(
𝟎
)𝟒
𝟎𝟏
𝟐
(
𝟎
) ( ) ( ) (̅
𝟎𝟏 𝟐)𝟒 𝟐 (
𝟎(
𝟎 .نهاٌة عظمى محلٌة
لٌمة النهاٌة العظمى المحلٌة = { و مناطك التنالص
مناطك التزاٌد الفترة)
مثال /جد لٌم الثوابت محلٌة هً )
(
{ (
الفترة)
) ( نمطة نهاٌة صررى
أذا كان لمنحنً الدالــــــــــة (
الحل/ النمطة ) (3,-5تحمك دالة المنحنً والمشتمة األولى عندها تساوي صفر عندما )𝟑 معادلة①
𝟑
𝟑
)𝟑 (
⇒
𝟑
𝟗
𝟗
𝟒
𝟑
𝟗 𝟓 ̅ ) ( .
/نجعل معادلة②
وبحل المعادلة ① والمعادلة ② حالً أنٌا ً نحصل على :
189
(
𝟎
𝟒
𝟐
𝟐 𝟔
)𝟑( 𝟐
) ( ) (̅ 𝟎
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
مثال /جد لٌم الثوابت صررى محلٌة هً ) الحل/
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
أذا كان لمنحنً الدالــــــة
(
)
نمطة نهاٌــــــة
) (
(
النمطة )𝟔 𝟏( تحمك دالة المنحنً والمشتمة عندها تساوي صفر معادلة① /نجعل
(
)
)
𝟔 ) (̅ .
(
)
) ( ) (̅
( )
)𝟐 (
معادلة② نعوض المعادلة ② فً المعادلة ① فنحصل على :
⇒
𝟏
𝟎
)𝟐
()𝟑
(
𝟎
(
𝟎
)
𝟔
(
)ٌهمل(
مثال /لتكن
) ( جد لٌم الثوابت
عندما ) الحل/
اذا علمت أن للدالة نمطة نهاٌة عظمى محلٌـــة
( ونهاٌة صررى محلٌة عندما )
(
فً هذا السؤال حدد نماط النهاٌات العظمى والصررى فمط لذلن نعتمد فً الحل على المشتمة األولى فمط /نجعل 𝟎
) معادلة①( ) معادلة②( 𝟕𝟐
𝟑
) ( ̅ ثم نعوض لٌم )
𝟒
) ( ) (̅
. ) ( ) (
( ) (
𝟏 𝟑
وبحل المعادلة ① والمعادلة ② حالً أنٌا ً نحصل على : 𝟑 𝟐
نعوض فً معادلة ①
𝟔𝟏
𝟒𝟐 𝟑
)
مثال /أذا كانت ) (5تمثل نهاٌة عظمى محلٌة للدالة الحل/
𝟑
𝟑
𝟑
𝟐
(
) ( فجد لٌمة
( فمط لذا ٌجب أٌجاد لٌم فً هذا السؤال لم تعطى النمطة كاملة وأنما لٌمة )𝟓 محلٌة او صررى محلٌة عندما مشتمة الدالة تساوي صفر )𝟎 ) ( ̅ ( /نجعل 𝟎 ( ()𝟏 𝟎 )𝟏 𝟏 𝟏
حتى ٌكون للدالة نمطة نهـــــاٌة عظمى ) (̅ .
) (̅
النمطة ( (-1,5نهاٌة عظمى محلٌة وتحمك الدالة 𝟏
𝟑
) (
𝟑
190
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
مثال /أذا علمت أن لمنحنً الدالة الحل/
) ( نمطة نهاٌة صررى محلٌة هً ) (3,10فجد لٌمة
النمطة ) (3,10تحمك دالة المنحنً والمشتمة عندها تساوي صفر ) معادلة①(
) نجعل
𝟔
) (̅ (
)
) معادلة②(
𝟎𝟐
)𝟐 (
⇒
𝟎𝟏
) (̅
(
𝟎
𝟑
𝟑
)
) (
𝟎𝟏
) (̅
(
)
) (
(
)𝟒 (
⇒
𝟒
)
وبحل المعادلة ① والمعادلة ② حالً أنٌا ً نحصل على :
(
نعوض فً معادلة ②
) 𝟐
( 𝟎𝟐
𝟎𝟏
) (
مثال /أذا كانت
𝟗
𝟐
𝟑
)𝟑( ̅ و 𝟓
وكانت 𝟎
) (
فجد لٌم
)𝟏 (
الحل/ )
)
(
(
)
(
) معادلة①( 𝟗
/معادلة②𝟑 .
𝟐
)𝟑( 𝟐
) (
)𝟏 ( 𝟒
𝟐)𝟑( 𝟑
𝟗
𝟓 )𝟑( ̅
𝟐
𝟗
𝟐
𝟑
𝟎
) (̅ 𝟎
مثال /جد أن وجدت مناطك التحدب ومناطك التمعر ونمط االنمالب للدوال التالٌة : 𝟐
/نجعل
) (̅
̅ ) ( .
𝟏 النمطة)
( نمطة انمالب مرشحة
النمطة ) ( نمطة انمالب * مناطك التحدب + * مناطك التمعر +
191
𝟑
𝟑
) ( ) ( ) (̅
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟒)𝟏 ̅ ) ( .
/نجعل
)
) (̅
(
)
𝟏
)
( ) (̅
(
(
) ( ) (
(
)
النمطة)𝟎 𝟏( حرجة مرشحة مناطك التمعر
*
}* +
𝟐 ̅ ) ( .
/نجعل 𝟎
𝟒𝟐
𝟐
𝟑
𝟑
) (̅
) ( ) ( ) (̅
)
(
)
(
)
(
النمطة)𝟖𝟐 𝟏 (نمطة انمالب مرشحة مناطك التحدب 𝟏+ مناطك التمعر 𝟏+
* *
𝟐 وكان * 𝟐 𝟓+ ) ( حٌث مثال /لتكن فجد لٌمة Aاذا كانت الدالة ) (ممعرة ) ( محدبة
الحل/
) (̅ تكون الدالة محدبة أو ممعرة اعتمادا على أشاره
لذلن سو ) (̅
) (̅ نجد ) (̅
) (
) ( أذا الدالة ممعرة ) (̅ ) ( أذا الدالة محدبة ) (̅
192
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل 𝟐
مثال /منحنً الدالــــــــــــــة 𝟓
𝟑
) (
ٌمس محــور الســـٌنات عند النمطة )(2,0
وله نمطــــــة أنمالب هً ) (0,5فجد لٌم الثوابت الحل /النمطة )𝟓 𝟎( تحمك دالة المنحنً والمشتمة الثانٌة عندها تساوي صفر ولٌمة ) ( عندها تساوي صفر ) ال ٌنفع(
𝟎
𝟓
𝟎
𝟐
𝟐
)𝟎(
)𝟎( 𝟔
)𝟎(
)𝟎(
) (
𝟐
𝟔
𝟎
𝟐
𝟓 ) (̅
𝟑
) (
𝟐
𝟐
) (̅
𝟑
النمطة )𝟎 𝟐( تحمك دالة المنحنً معادلة①
𝟓
𝟖
𝟐
𝟐
𝟓
المشتمة األولى ) (̅ عند النمطة )𝟎 𝟐( تساوي )صفر) عندما )𝟐
𝟑
( ألنها تمس محور السٌنات ) (̅
𝟐
) نعوضها فً معادلة①(
𝟓
𝟓
𝟔𝟏
𝟒𝟐
𝟓
𝟖
) 𝟐𝟏 (𝟐
𝟓
𝟖
𝟓 ) ( 𝟔𝟏
𝟐
مثال /لتكن
) (
محلٌة عندما )𝟒
𝟑
) (
𝟐
𝟖
𝟓 𝟔𝟏
اذا علمت أن للدالـــــــة نهاٌة صــــــررى
جد لٌم كل من
( ونمطة انمالب عندما )𝟏
(
الحل/ 𝟐
𝟔
) (̅
𝟐
𝟐
𝟑
) (̅
𝟐
) (̅
) ( ) ()
(
193
𝟐
𝟐
𝟑
) (̅
𝟑
) (
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل 𝟐
مثال /أذا كانت ) (6تمثـل نهاٌـة عظمـى محلٌـة للدالـة معادلة المماس للمنحنً عند نمطة انمالبه ز
𝟑
𝟑
فجـد لٌمـة
) (
ثـم جـد
الحل/ ) (̅ (
) نجعل
𝟐
𝟔
)
𝟐
) (
𝟑
(
𝟑
𝟐
𝟐
𝟑
) ( 𝟐
𝟔
𝟑
𝟎
النمطة ) (0,6نمطة نهاٌة عظمى محلٌة وتحمك الدالة
𝟔 /نجعل 𝟎 𝟔
النمطة )
𝟑
𝟎 ̅ ) ( .
𝟔
𝟎 𝟔
𝟐
𝟔 ) (̅
𝟑
𝟑 𝟐
𝟔
) (
) ( ) (
𝟑 𝟔
𝟔
( نمطة انمالب وتحمك معادلة مٌل المماس
األن نجد مٌل المماس عند نمطة األنمالب حٌث (مٌل المماس = المشتمة األولى) ونستخدم لانون معادلة المماس 𝟔
𝟑 𝟑
𝟑
)𝟏(𝟔
𝟑
)𝟏
𝟒
𝟐)𝟏(𝟑 (𝟑
𝟐
𝟔
𝟑
)𝟏
𝟒
) معادلة المماس للمنحنً عند نمطة انمالبه (
(
𝟎
𝟕
) ( 𝟏
𝟑
******************************************************************
جد أن وجدت مناطك التزاٌد والتنالص والنمط الحرجة ولٌم نماط النهاٌات للدوال األتٌة :
𝟏 𝟏
𝟐 𝟑
) ( ) (
𝟐
) ( ) (
194
𝟐 )
𝟑
𝟏 𝟑
) ( ) (
𝟒(
𝟑
) ( ) (
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
رســم المخطط البٌانً للدالة لرسم المخطط البٌانً ألي دالة معطاة نتبع الخطوات التالٌة والتً تمثل النمط األساسٌة للرسم :
❶ اوسع مجال للدالة ❷ نمط التماطع مع المحورٌن ❸ التناظر ❹ المحاذٌات ❺ دراسة ) ( ̅ ❻ دراسة ) ( وما ٌنتج عنها ❼ تحدٌد النمط الخاصة بالرسم ومن ثم رسمها
وما ٌنتج عنها
❶ اوسع مجال للدالة :أذا كانت بواسطة الدالة ) ( ولهذا ٌمكن تمسٌم الدوال الى ثالث أشكال حسب المترٌرات الموجودة فٌها
هً دالة الى ) ( فأن أوسع مجال للدالة هو كل لٌم ) ( الحمٌمٌة التً لها صــور) (
ⓐالــدوال كثٌــرات الحــدود :وهــً الــدوال التــً مترٌرهــا ) ( غٌــر موجــود فــً ممــام الدالــة وكــذلن غٌــر موجــود فــً داخــل الجذر وٌكون اوسع مجال لها ⓑالــــدوال الكســــــــــــــرٌة :وهــــــــــً الــــدوال التــــً مترٌرهــــــــــا ) ( موجــــود فــــً ممــــام الدالـــــــــــة وٌكـــــــــــون اوســــــــــع مجــــــال لــها
}المٌم
التً تجعل الممام 𝟎{
ⓒالدوال الجـــــــــــــــذرٌة :وهً الدوال التً مترٌرها ) ( موجود فً داخل الجذر وهً نوعان : النوع األول :دوال جذرٌة دلٌل جذرها فردي وٌكون اوسع مجال لها هو لٌم ) ( التً تجعل الجذر معرفا النوع الثانً :دوال جذرٌة دلٌل جذرها زوجً وٌكون اوسع مجال لها هو لٌم ) (التً تجعل الجذر معرفا
مثال توضٌحً ① /جد أوسع مجال لكل من الدوال التالٌة : ) أوســـــــــع مجال للدالة
ألنها كثيرات الحدود(
➨
) (
) أوســـــــــع مجال للدالة
ألنها كثيرات الحدود(
➨
) أوســـــــــع مجال للدالة
ألنها كثيرات الحدود(
➨
) أوســـــــــع مجال للدالة
ألنها كثيرات الحدود(
➨
) ( ⓑ ) ( ⓒ ) ( ⓓ
) أوســـــــــع مجال للدالة
ألنها كثيرات الحدود(
➨
) ( Ⓔ
) أوســـــــــع مجال للدالة
ألنها كثيرات الحدود(
➨
) ( Ⓕ
) أوســـــــــع مجال للدالة
ألنها كثيرات الحدود(
➨
) أوســـــــــع مجال للدالة
ألنها كثيرات الحدود(
➨
) أوســـــــــع مجال للدالة
ألنها كثيرات الحدود(
➨
)
√
195
)
(
()
(
√
√
ⓐ
) ( Ⓖ
) ( Ⓗ ) ( Ⓘ
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
مثال توضٌحً ② /جد أوسع مجال لكل من الدوال التالٌة : 𝟑 𝟐
➨
⁄*𝟐+
⁄* 𝟐+
➨
⁄* 𝟏+
➨
𝟐
) ( ①
𝟐
) ( ②
𝟐
𝟒 𝟏 𝟏
) ( ③
𝟐
ال تستخذم طرق تبسيظ المقام النها تؤدي الى الحل الخاطئ ) حل خاطئ(
𝟏
⁄* 𝟏+
𝟏 (
)𝟏
)𝟏
()𝟏
➨
)
𝟏 𝟏
( 𝟑 𝟑 /
⁄* 𝟑+
) ( ④
𝟐. 𝟐( 𝟐
➨
⁄*𝟎+
𝟐
𝟐
𝟐 ( )𝟑
𝟑
) (
) (
𝟑
) (
أما الدوال الجذرٌة فالمنهج خالً من الدوال الجذرٌة ولم ٌعطً أي مثال علٌها لذلن سأضع أمثلة لالطالع
مثال توضٌحً ③ /جد أوسع مجال لكل من الدوال التالٌة: ➨
*
𝟒+
𝟖
𝟐√ 𝟏
➨
⁄*𝟒+
𝟐
𝟖
𝟐
𝟐
√
) ( ①
) ( ②
❷ نمط التماطع مع المحورٌن :وهو على نوعٌن : ( )aالتماطع مع المحور الصادي ) ( )bالتماطع مع المحور السٌنً )
(الٌجاد لٌم ) ( ( الٌجاد لٌم ) (
( :ألٌجاد نمط التماطع مع المحور) ( نجعل )𝟎 ( :ألٌجاد نمط التماطع مع المحور) ( نجعل )𝟎
مثال توضٌحً ④ /جد نمط التماطع لكل من الدوال التالٌة : 𝟒 𝟎 𝟎
)𝟐
()𝟐
(
نمط التماطع
𝟎
)𝟒
𝟐
(
) 𝟎 𝟎( )𝟎 𝟐 ( )𝟎 𝟐(
196
𝟎
𝟒
𝟑
) ( 𝟎
𝟑
𝟎
) (
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟑)𝟐
) (
(
𝟖 𝟐 نمط التماطع
)𝟖
𝟎
𝟑)𝟐
𝟎
(
𝟎
𝟎( )𝟎 𝟐(
𝟑
) (
𝟒 𝟑 𝟒 𝟑 نمط التماطع
) (
𝟑 𝟑 ) 𝟒
𝟎
𝟑
𝟎
) (
𝟎
𝟒
𝟎( )𝟎 𝟑(
❸ التناظر :وهو على نوعٌن : (ٌ )aكون المنحنً متناظر مع المحور الصادي) (y-axisاذا كانت أسس المترٌر ) (xكلها زوجٌة أي أن ) ( ) ( ) ( (ٌ )bكون المنحنً متناظر حول نمطة األصل اذا كانت أسس المترٌر ) (xكلها فردٌة أي أن ) (
➨
(
➨
) (
)
)
( أي أن
)
) ( ( أي أن )
(
مثال توضٌحً ⑤ /جد التناظر لكل من الدوال التالٌة ثم برهن ذلن فً حالة وجود التناظر : ⓐ
/متناظرة مع الصادي الن أسس
كلها زوجية➨ .
/متناظرة مع الصادي الن أسس
كلها زوجية➨ .
) ( ⓑ
/متناظرة مع الصادي الن أسس
كلها زوجية➨ .
) ( ⓒ
/متناظرة مع الصادي الن أسس
كلها زوجية➨ .
/متناظرة مع الصادي الن أسس
كلها زوجية➨ .
) ( Ⓔ
/متناظرة مع نقطة االصل الن أسس
كلها فرديـــــــة➨ .
) ( Ⓕ
/متناظرة مع نقطة االصل الن أسس
كلها فرديـــــــة➨ .
) ( Ⓖ
/متناظرة مع نقطة االصل الن أسس
كلها فرديـــــــة➨ .
) ( Ⓗ
) ال يوجد تناظر الختالف اسس المتغيير ( ➨
197
) (
) (
} )
(
) ( ) ( ) (
ⓓ
Ⓘ
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل البرهان متشابه فً جمٌع األمثلة السابمة لذا سنبرهن مثال لكل نوع من التناظر ) (
) (
)
)
(
(
)
-
(
,
)
(
)
(
)
(
)
)
(
) ( Ⓔ
(
)
) ( Ⓕ
(
❹ المحاذٌات :دراستنا للمحاذٌات تمتصر على الدوال الكسرٌة فمط
المحاذي األفمً الموازي لمحور السٌنات الطرٌمة األولى : نجعل
) (
ثم نجعل 𝟎
) (
ونجد لٌم ) ( ولتكن )
) (
( فهً تمثل معادلة المستمٌم األفمً ز
الطرٌمة الثانٌة : هذا العدد هو حاصـــل لسمة معامل الحد االكبر درجة من البسط على معامل الحد االكبر درجة من
تكون معادلته عدد
الممام بشرط تساوي الدرجتٌن
المحاذي الشالولً الموازي لمحور الصادات الطرٌمة األولى : نجعل
) (
ثم نجعل 𝟎
) (
ونجد لٌم ) ( ولتكن )
) (
( فهً تمثل معادلة المستمٌم الشالولً ز
الطرٌمة الثانٌة : هذا العدد هو العدد الذي ٌستثنى من المجموعة Rفً الممام عند حساب أوسع مجال ز
تكون معادلته عدد
مثال توضٌحً ⑥ /جد أوسع مجال ومعادالت المستمٌمات المحاذٌة لكل من الدوال التالٌة : 𝟒 𝟐 المستمٌم المحاذي الشالولً 𝟐
𝟒
)𝟑
(
𝟐
𝟒
𝟒
𝟑
المستمٌم المحاذي األفمً
𝟑
𝟑 𝟎
𝟑
𝟐 𝟒 𝟐
𝟐
𝟑 𝟐 𝟑
𝟑
𝟒
او الحظ الطرٌمة الثانٌة +
*⁄
المستمٌم المحاذي الشالولً المستمٌم المحاذي األفمً
198
𝟑
) ( 𝟎
𝟒 𝟐
𝟑
) ( 𝟐 ) (
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟑 𝟒
+
) (
𝟐
) (
*⁄ المحاذٌات الشالولٌة
)نساوي الدرجتٌن(
𝟐
𝟑
𝟑 𝟒
𝟎
𝟐
𝟒
المحاذٌات االفمٌة
𝟐
𝟑
𝟐
𝟑
) (
𝟓
) (
⁄* + المحاذٌات الشالولٌة 𝟑 )نساوي الدرجتٌن( 𝟓
𝟐
𝟑 𝟐
𝟑
𝟎
𝟑
𝟐
المحاذٌات االفمٌة
𝟓 غٌر معرف
𝟓
) (
) (
⁄* + المحاذٌات الشالولٌة
)نساوي الدرجتٌن(
𝟓
𝟎
𝟓
مثال ( /)1أرسم باألستعانة بمعلوماتن فً التفاضل منحنً الدالة : الحل/
𝟓
المحاذٌات االفمٌة
) ( وزاري / 2013د3
أوسع مجال للدالة التناظر /المنحنً متناظر حول نمطة األصل ألن : ) (
) ) (
المحاذٌات /ال توجد ألن الدالة لٌست نسبٌة ( كسرٌة )
نمط التماطع مع المحورٌن
(
➨ 𝟓
𝟎 𝟎 النمطة )𝟎 𝟎( نمطة تماطع مع المحورٌن األحداثٌٌن
199
)
(
𝟓)
(
𝟎 𝟎
)
(
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
دراسة ) (
وما ٌنتج عنها
دراسة ) (
وما ٌنتج عنها
تحدٌد النمط الخاصة بالرسم ومن ثم رسمها
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05 ) نجعل 𝟎
) (̅ (
𝟎 𝟎
𝟎
/نجعل 𝟎
)𝟎(
𝟓
̅ ) ( .
𝟑
200
𝟎 𝟎
)𝟎(
𝟎𝟐 𝟑
𝟓
𝟓 𝟒 𝟓 ) (
𝟎
𝟎 𝟎
𝟒
) (̅
) (̅
𝟎𝟐 ) (
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
مثال ( /)2أرسم باألستعانة بمعلوماتن بالتفاضل الدالة : الحل/
𝟐
𝟒
𝟑
𝟑
) (
أوسع مجال للدالة التناظر / 𝟑 𝟒 𝟐 𝟒 𝟐) ∴ ال ٌوجد تناظر مع محور الصادات او مع نمطة األصل ألن :
𝟑)
(𝟑
(
)
) (
المحاذٌات /ال توجد ألن الدالة لٌست نسبٌة ( كسرٌة )
نمط التماطع مع المحورٌن
➨
( )
)
(
(
) (
)
𝟒
(
𝟎 𝟎
) ال ٌمكن حل المعادلة( النمطة )𝟒 𝟎(نمطة التماطع مع المحور الصادي
دراسة ) (
دراسة ) (
وما ٌنتج عنها
) نجعل 𝟎 𝟐
𝟎
𝟎
)𝟐
(
) (̅ ( 𝟐 𝟎
𝟐
𝟔 𝟐
)𝟒 𝟎( )𝟎 𝟐(
𝟑 𝟐
𝟔
𝟎
𝟒 𝟎
𝟒 𝟎
) (̅ 𝟑
)𝟎( )𝟐(
وما ٌنتج عنها ̅ ) ( .
/نجعل 𝟎
𝟔
𝟏 )𝟐 𝟏(
201
𝟔 𝟐
𝟔
) (̅
𝟔 𝟔
𝟎 𝟐
𝟔 )𝟏(
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
تحدٌد النمط الخاصة بالرسم ومن ثم رسمها
𝟏
مثال ( /)3أرسم باألستعانة بمعلوماتن بالتفاضل الدالة : الحل/
𝟑
) (
𝟏
أوسع مجال للدالة }/{-1 التناظر / ∵ العدد )𝟏( ٌنتمً الى مجال الدالة ولكن العدد )𝟏 ( ال ٌنتمً الى مجال الدالــــــة لذلن فالمنحنً غٌر متناظر مع محور الصادات وغٌر متناظر مع نمطة األصل ∴ ال ٌوجد تناظر المحاذٌات /
المستمٌم المحاذي الشالولً 𝟏
)𝟑
(
𝟑
𝟏
المستمٌم المحاذي األفمً
𝟑
𝟏
𝟏
𝟑
𝟎
𝟑
𝟎 𝟏 𝟏
𝟑
) (
𝟏
𝟑
نمط التماطع مع المحورٌن 𝟏 𝟏 𝟑
النمط )𝟏
𝟏
دراسة ) (
𝟎( 𝟎/
𝟑
𝟏
𝟏
𝟎
𝟑
𝟏
𝟎 𝟑
𝟎
𝟎
𝟏
𝟏
.نمط التماطع مع المحورٌن
𝟑
وما ٌنتج عنها ) () )
(
)
) غٌر ممكن(
202
(
𝟎
( )
𝟒
𝟎
(
) () (
) (̅
𝟒 𝟐 )𝟏
(
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
دراسة ) (
تحدٌد النمط الخاصة بالرسم ومن ثم رسمها
وما ٌنتج عنها 𝟖 𝟑)𝟏
𝟏)-
(𝟖 )𝟏 ( 𝟒)𝟏
(
(𝟐
(𝟐𝟏) 𝟎) 𝟒, ( 𝟒)𝟏
) غٌر ممكن(
𝟐
مثال ( /)4بأستخدام معلوماتن بالتفاضل أرسم المنحنً : الحل/
(
أوسع مجال للدالة التناظر / 𝟐
) (
𝟐) 𝟐
𝟏
∴ المنحنً متناظر حول محور الصادات ألن ( ) :
)
) (̅
) (
𝟐
𝟏
(
𝟏 )
( 𝟐)
(
(
)
➨
)
(
(
المحاذٌات /
ال ٌوجد محاذي عمودي
𝟎
𝟏
𝟐
𝟐
)𝟏
(𝟐
المستمٌم المحاذي األفمً
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏
𝟏
203
𝟎
𝟏
) ( 𝟐
𝟏
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
نمط التماطع مع المحورٌن 𝟎 𝟎
𝟎 𝟎 )𝟎 𝟎( نمطة التماطع مع المحورٌن
دراسة ) (
وما ٌنتج عنها
دراسة ) (
وما ٌنتج عنها
) )
)
(
()
(
( )
)
() (
𝟐
𝟎
) ) (̅
/نجعل
(
)
), (
)-
(
, )
(
(
) (̅
(
𝟐 )𝟏
(
) ( ) (
. )
√ )
. / . /
⇒
)
(
(
√ )
204
(
) √
(
√
(
) (
) (̅
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
تحدٌد النمط الخاصة بالرسم ومن ثم رسمها
𝟑(
تمارين)𝟓 أرسم بأستخدام معلوماتن فً التفاضل الدوال التالٌة :
𝟐
الحل/
𝟑
) (
𝟎𝟏
أوسع مجال للدالة التناظر / 𝟐 𝟑 𝟎𝟏 𝟐) ( ∴ ال ٌوجد تناظر مع محور الصادات او مع نمطة األصل ألن :
)
(𝟑
)
𝟎𝟏
المحاذٌات /ال توجد ألن الدالة لٌست نسبٌة (كسرٌة )
نمط التماطع مع المحورٌن
➨
(
) (
)
)
(
( )
) (
𝟎𝟏 )
()
(
𝟎
( 𝟐
)𝟏(
نمط التماطع
) 𝟎𝟏 𝟎( )𝟎 𝟐( )𝟎 𝟓 (
دراسة ) (
وما ٌنتج عنها ) نجعل 𝟎
𝟓
) (̅ (
𝟑
𝟐
𝟐
𝟗𝟒
𝟗 𝟖𝟏 𝟎𝟒
𝟗
𝟗
𝟒
𝟒
𝟒
𝟐
𝟎𝟏
205
𝟐 𝟑
.𝟐/
𝟑 𝟑
𝟑. / 𝟐
𝟐 𝟎
𝟎𝟏
) (̅
𝟑 𝟐 𝟑
𝟑
.𝟐/
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
النمطة /
𝟗𝟒 𝟒
𝟑 𝟐
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
.نمطة نهاٌة عظمى محلٌة
) ( متزاٌدة فً 3
𝟑
2
𝟐
𝟑 ) ( متنالصة فً } 𝟐
دراسة ) (
{
وما ٌنتج عنها ) سالب دائما مهما تكون لٌمة
) ( محدبة فً+
فلهذا منحنً الدالة محدب دائما وال توجد نمطة انمالب (
*
تحدٌد النمط الخاصة بالرسم ومن ثم رسمها
𝟑 الحل/
) (̅
𝟒
𝟐
) 𝟐(
) (
أوسع مجال للدالة التناظر / 𝟐 𝟑 ) 𝟒 𝟑 ∴ ال ٌوجد تناظر مع محور الصادات او مع نمطة األصل ألن :
(𝟒
𝟐)
( ) (
المحاذٌات /ال توجد ألن الدالة لٌست نسبٌة (كسرٌة )
نمط التماطع مع المحورٌن
)
➨
( )
(
𝟑 ) نمط التماطع
) 𝟑 𝟎( )𝟎 𝟏 ( )𝟎 𝟑 (
206
()
(
)
( )
) (
𝟎
(
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
دراسة ) (
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
وما ٌنتج عنها ) (̅ (
) نجعل 𝟎
𝟏
𝟒
𝟐
) (̅
𝟎
𝟐
𝟐
𝟒
𝟐 ( نمطة نهاٌة صررى محلٌة
النمطة )𝟏 ) ( متزاٌدة فً𝟐+ ) ( متنالصة فً𝟐+
* *
دراسة ) (
وما ٌنتج عنها
∴) (
ممعرة فً+
) موجب دائما مهما تكون لٌمة *
تحدٌد النمط الخاصة بالرسم ومن ثم رسمها
وزاري 𝟑𝟏𝟎𝟐 ⁄د𝟐 الحل/
فلهذا منحنً الدالة ممعر دائما وال توجد نمطة انمالب (
𝟐
) (̅
وزاري 𝟏𝟏𝟎𝟐 ⁄د𝟐
𝟑)
𝟏
𝟏(
) 𝟑(
) (
أوسع مجال للدالة التناظر / 𝟏 𝟑) 𝟏( 𝟏 ∴ ال ٌوجد تناظر مع محور الصادات او مع نمطة األصل ألن :
𝟑
))
(
)
𝟏( ) (
المحاذٌات /ال توجد ألن الدالة لٌست نسبٌة (كسرٌة)
نمط التماطع مع المحورٌن 𝟐 بالجذر الثالث للطرفٌن
نمط التماطع
𝟐 𝟏 𝟏 𝟏( 𝟑)
) 𝟐 𝟎( )𝟎 𝟐(
207
𝟏
( )
𝟑
➨
)
(
)𝟎 𝟏( 𝟏 𝟑)
( )
) (
𝟎 𝟏(
(
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
دراسة ) (
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
وما ٌنتج عنها ) (̅ (
) نجعل
(
)
) (̅
)
( ) )نجذر الطرفٌن ( 𝟏
𝟏
𝟎
𝟏
𝟑)𝟏
𝟏(
)𝟏(
𝟏
( )
)
(
( )
𝟑)
𝟏(
( ) (
النمطة )𝟏 𝟏( نمطة حرجة فمط
) ( متنالصة فً 𝟏+
دراسة ) (
*
* 𝟏+
وما ٌنتج عنها /نجعل
̅ ) ( .
)
(
) (̅
)
( )
( )
∴ النمطة ) (1,1نمطة أنمالب * ) ( ممعرة فً𝟏 + * ) ( محدبة فً𝟏 +
تحدٌد النمط الخاصة بالرسم ومن ثم رسمها
208
) (̅ (
) (̅
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟑
وزاري 𝟓𝟏𝟎𝟐 ⁄د𝟏 الحل/
) (
𝟔
) 𝟒(
أوسع مجال للدالة التناظر / 𝟑
)𝟑 𝟔( ∴ التناظر حول نمطة األصل ألن :
𝟔
𝟑)
(
)
(𝟔
)
➨
(
(
) ) (
المحاذٌات /ال توجد ألن الدالة لٌست نسبٌة
نمط التماطع مع المحورٌن 𝟎 )𝟐
𝟑
𝟔(
(
)
𝟎 𝟔 أما
نمط التماطع
دراسة ) (
)𝟎
√ ( )𝟎
𝟐
√ √( )𝟎 𝟎(
𝟐
𝟔
أو
وما ٌنتج عنها ) نجعل 𝟎
) (̅
) (̅ (
√ ) ( √ 𝟐√𝟒
النمطة النمطة
) ( ) (
√ 𝟐√𝟐
√ 𝟑
𝟐√𝟔
)𝟐√ (
)𝟐√ (𝟔
)𝟐√ (
√( نهاٌة عظمى محلٌة
) √ √ ( نهاٌة صررى محلٌة ) √ متزاٌدة فً ) √ √ ( { } 𝟐√ متنالصة فً }𝟐√
دراسة ) (
) √(
) √(
) √(
{
وما ٌنتج عنها /نجعل 𝟎
∴ النمطة ) (0,0نمطة أنمالب * ) ( ممعرة فً𝟎 + * ) ( محدبة فً𝟎 +
209
̅ ) ( .
) (̅
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
تحدٌد النمط الخاصة بالرسم ومن ثم رسمها
𝟏 الحل/
)𝟓(
) (
أوسع مجال للدالة = *𝟎+ التناظر / 𝟏
𝟏 ) (
(
)
➨
(
)
∴ التناظر مع نمطة األصل ألن : ) (
المحاذٌات
نمط التماطع مع المحورٌن ال ٌوجد تماطع مع محور الصادات الن )𝟎 ال ٌوجد تماطع مع محور السٌنات الن )𝟎
)
المستمٌم المحاذي الشالولً المستمٌم المحاذي األفمً
دراسة ) (
𝟏
𝟎
𝟎 𝟏
𝟏
(
) (
الن 𝟏 𝟎( الن 𝟏 𝟎(
وما ٌنتج عنها ) نجعل 𝟎
) (̅ (
𝟏
𝟐
𝟐
)غٌر ممكن(
∴ ال توجد نمطة حرجة
210
) (̅
𝟎
𝟏
𝟏
) (
𝟎
𝟏 𝟐
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
دراسة ) (
∴ ال توجد نمطة أنمالب * ) ( ممعرة فً𝟎 + * ) ( محدبة فً𝟎 + تحدٌد النمط الخاصة بالرسم ومن ثم رسمها
وما ٌنتج عنها /نجعل 𝟎
) (̅
̅ ) ( . )غٌر ممكن(
𝟏 𝟏 الحل/
أوسع مجال للدالة + التناظر /
) (
*
∴ ال ٌوجد تناظر مع محور الصادات او مع نمطة األصل ألن :
𝟏 𝟏
) ) (
) 𝟔(
➨
( )
)
(
( )
) (
(
المحاذٌات /
المستمٌم المحاذي الشالولً 𝟏
)𝟏
(
المستمٌم المحاذي األفمً
𝟏
𝟏 𝟏 𝟏
𝟏
𝟎
𝟏
211
𝟎
𝟏
𝟏
𝟏 ) (
𝟏
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
نمط التماطع مع المحورٌن 𝟏 𝟏 النمط )𝟏
دراسة ) (
𝟎
𝟎
𝟏
𝟏
𝟎
𝟎
𝟏
𝟎( )𝟎 𝟏( نمط التماطع مع المحورٌن وما ٌنتج عنها 𝟐 𝟐)𝟏
𝟏
𝟏 𝟐)𝟏
(
)𝟏()𝟏 (
( 𝟐)𝟏
)𝟏()𝟏
(
) (̅
(
𝟎
𝟐 𝟐)𝟏
(
ال توجد نمطة حرجة
دراسة ) (
تحدٌد النمط الخاصة بالرسم ومن ثم رسمها
وما ٌنتج عنها ) )
(
( )
)(
( , ) ) غٌر ممكن(
212
(
) ( ) ( )
) (̅ (
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟐) 𝟏 الحل/
(
()𝟐
) 𝟕(
) (
أوسع مجال للدالة التناظر / 𝟐)𝟏 ∴ ال ٌوجد تناظر مع محور الصادات او مع نمطة األصل ألن :
(
()𝟐
)
) (
المحاذٌات /ال توجد ألن الدالة لٌست نسبٌة (كسرٌة)
نمط التماطع مع المحورٌن )𝟏()𝟐(
𝟐
𝟎
𝟏
➨
( )
)
(
) (
𝟐
)𝟏 𝟎()𝟐 𝟎( ( ()𝟐 𝟐)𝟏 𝟎 𝟐 𝟎 𝟐)𝟏
𝟐 𝟏
( )
(
𝟎 𝟎
𝟎
(
النمط )𝟐 𝟎( )𝟎 𝟐 ( )𝟎 𝟏( نمط التماطع مع المحورٌن
دراسة ) (
وما ٌنتج عنها 𝟏-
𝟎 𝟒
𝟒
𝟐)𝟏 𝟏()𝟐 𝟏( 𝟐)𝟏 𝟏 ()𝟐 𝟏 (
)𝟏( ( 𝟐𝟏), ) نجعل 𝟎
)𝟏( )𝟏 (
𝟐)𝟏
)𝟏𝟑-
(
) (̅ (
𝟎
𝟏 𝟏
(𝟐𝟐), 𝟑𝟏), 𝟑𝟏), 𝟑( (
) (̅ ) (̅
(
𝟏 𝟑
𝟎
𝟑
النماط )𝟎 𝟏( )𝟒 𝟏 ( نماط حرجة
) ( متزاٌدة فً 𝟏+
* 𝟏+
*
) ( متنالصة فً الفترة المفتوحة )𝟏 𝟏 ( ∴ النمطة )𝟎 𝟏( صررى محلٌة ∴ النمطة )𝟒 𝟏 ( عظمى محلٌة
دراسة ) (
وما ٌنتج عنها ) () /نجعل 𝟎 𝟐
𝟐)𝟏
𝟎()𝟐
𝟎(
∴ النمطة )𝟐 𝟎( نمطة أنمالب
) ( محدبة فً 𝟎+ ) ( ممعرة فً 𝟎+
* *
213
)𝟎(
( ) (̅
) ()
( ) (̅
. 𝟎
𝟔
) (̅
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
تحدٌد النمط الخاصة بالرسم ومن ثم رسمها
𝟐
𝟏 𝟏 الحل/
ألن )
أوسع مجال للدالة التناظر /
∴ التناظر مع محور الصادات ألن
➨
𝟐
𝟏
𝟎 𝟐
𝟏 𝟏 )
) (
𝟐
𝟐
𝟏
(
𝟐) 𝟐)
𝟏 𝟏
) (
𝟐
( (
)
➨
(
(
)
(
المحاذٌات /
ال ٌوجد مستمٌم المحاذي الشالولً 𝟏
)𝟏
𝟏
𝟐
(𝟐
المستمٌم المحاذي األفمً
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
𝟎
𝟎 𝟏 𝟏
𝟐
𝟏
𝟏
𝟐
𝟐
) (
𝟐
𝟏
𝟐
𝟏
نمط التماطع مع المحورٌن 𝟏 𝟏 النمط )𝟏
)𝟖(
دراسة ) (
𝟎
)𝟏
(
()𝟏
𝟎
𝟏
𝟐
𝟏 𝟏
𝟐
𝟎( )𝟎 𝟏( )𝟎 𝟏 ( نمط التماطع مع المحورٌن
𝟎 𝟎
𝟎
𝟐
وما ٌنتج عنها 𝟐
𝟑
𝟐 𝟐)𝟏
𝟐
𝟐 (
𝟑
𝟐
) 𝟐()𝟏
) نجعل 𝟎
𝟐
( 𝟐)𝟏
𝟐
) 𝟐()𝟏 𝟐 ( 𝟒
) (̅ (
𝟐)𝟏
𝟎
𝟐
)
𝟏
214
(
) (̅
𝟏
)𝟏(
) (̅
( (
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
∴ النمطة )𝟏 ) ( متزاٌدة فً 𝟎+ ) ( متزاٌدة فً 𝟎+
𝟎( نمطة نهاٌة صررى محلٌة
دراسة ) (
* *
وما ٌنتج عنها () )
)
( ) -
))
(
()
( () )
( , (
)
,
)
𝟐
( ),
(
𝟐
𝟎
) ( )
) ) (̅
/نجعل 𝟎 𝟐
(
( (
𝟏 𝟐
𝟐 𝟒
𝟏 𝟐
∴ النماط /
𝟏 𝟐
𝟏 𝟑√
) ( محدبة فً } ) ( ممعرة فً )
𝟐 𝟑 𝟒 𝟑
𝟐 𝟒
/ . 𝟏
𝟑√ 𝟏
𝟑√
𝟑 𝟑 𝟑 𝟑
𝟐 𝟑 𝟒 𝟑
𝟏
𝟏 𝟑 𝟏 𝟑 𝟑 𝟑 𝟑 𝟑
𝟏 𝟑 𝟏 𝟑
𝟏
.
)
𝟏
(
𝟐
𝟎
)𝟏
𝟏 𝟑 𝟏 𝟑
𝟏 𝟑 𝟏 𝟑
𝟏 𝟏
𝟏
.نماط أنمالب 𝟑√ 𝟏
𝟐
{ }
𝟏
𝟑√
𝟑√
{
(
215
𝟑√
𝟐 𝟏 ) 𝟑√ 𝟐 𝟏 ) ( 𝟑√ 𝟏 𝟏
) (̅
𝟐
(
𝟏
) (̅
(
𝟏 𝟏
) (̅
𝟐
𝟏 𝟏
𝟐 𝟏 ) 𝟑√ 𝟐 𝟏 ) ( 𝟑√ (
)
𝟐
𝟏 𝟏
𝟏 𝟑√
𝟐 𝟐
)
(
𝟏 𝟑√
(
𝟐
(
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
تحدٌد النمط الخاصة بالرسم ومن ثم رسمها
𝟒
وزاري 𝟐𝟏𝟎𝟐 ⁄د𝟐 الحل/
𝟐
) (
𝟐
أوسع مجال للدالة التناظر / 𝟒 𝟐 𝟐 ∴ التناظر مع محور الصادات ألن :
𝟒)
𝟐)
(
المحاذٌات /ال توجد ألن الدالة لٌست نسبٌة ( كسرٌة )
نمط التماطع مع المحورٌن
𝟒
(𝟐
) (
)
𝟐
)
𝟐
(
➨
(
)
(
𝟎 )𝟐
𝟐( 𝟐
𝟎 𝟐
𝟒
𝟐 𝟐
نمط التماطع
) 𝟗(
دراسة ) ( 𝟏
)𝟎
√ ( )𝟎
) ( ) (
أو
𝟐
وما ٌنتج عنها 𝟎
𝟏 𝟏
النمطة النمطة النمطة
𝟐
√ √( )𝟎 𝟎(
𝟐
أما
) ) ) متزاٌدة فً )𝟏 𝟎( 𝟏+ متنالصة فً )𝟎 𝟏 ( 𝟏+
𝟐
)𝟏 𝟏
) نجعل 𝟎
) (̅ (
𝟎
𝟑
(
𝟒
𝟎
( نهاٌة صررى محلٌة ( نهاٌة عظمى محلٌة ( نهاٌة عظمى محلٌة
* *
216
𝟐
𝟐
𝟑 )𝟒
) (
(
⇒
𝟎
𝟒 𝟑
) (̅
𝟒 𝟒
𝟒
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
دراسة ) (
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
وما ٌنتج عنها ̅ ) ( .
/نجعل 𝟎 𝟏 𝟑
𝟏 𝟑√
𝟐
𝟓 𝟗
النمط )
𝟓
𝟏
𝟗 𝟑√
𝟓 𝟏
()
) ( ممعرة فً )
𝟏
𝟗 𝟑√
𝟑√ 𝟑√
𝟏 ) ( محدبة فً 9 𝟑√
𝟏
𝟎 𝟔
𝟏 𝟗
( نمط أنمالب مرشحة (
𝟏 9 8 𝟑√
𝟐
8
تحدٌد النمط الخاصة بالرسم ومن ثم رسمها
217
𝟏 𝟗
𝟑 𝟐 𝟑
𝟐 )𝟒
𝟏 𝟒
)
(
𝟏 𝟑√
⇒ 𝟐
(
)
𝟏 𝟑√
𝟐𝟏 𝟐
(𝟐
) (̅
𝟒 𝟒
𝟐𝟏 )
𝟏 𝟑√
𝟎 (
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟔 𝟑 الحل/
ألن ) 𝟎
أوسع مجال للدالة التناظر /
𝟐
𝟑
( 𝟔
∴ التناظر مع محور الصادات ألن
المحاذٌات /
نمط التماطع مع المحورٌن
𝟐
𝟑 ) (
) (
𝟐
)
𝟔 𝟐)
𝟑
)
(
➨
(
(
)
(
ال ٌوجد محاذي الشالولً 𝟑
𝟐
𝟔
𝟔
المستمٌم المحاذي األفمً
𝟑
𝟎
𝟔
𝟔 النمطة )𝟐 𝟎( نمطة التماطع مع المحور الصادي
𝟐
𝟎
𝟔
𝟎
𝟐
) (
𝟐
𝟑
𝟎
𝟎
𝟐
𝟑
𝟑
𝟔
𝟐
𝟑
𝟎
𝟐
دراسة ) (
)𝟎𝟏(
وما ٌنتج عنها 𝟐𝟏
) (̅ (
) نجعل 𝟎
)
)
) ()
( )
(
( (
𝟎
) (̅
𝟐𝟏
𝟐
)𝟎(
𝟐
∴ النمطة )𝟐 𝟎( نمطة نهاٌة عظمى محلٌة
) ( متزاٌدة فً 𝟎+ ) ( متنالصة فً 𝟎+
دراسة ) (
* *
وما ٌنتج عنها )
(
() )
) (
))
(
( ()
()
( )
)
𝟐
218
)
( )
(
), (
̅ ) ( . 𝟐
( )
(
( /نجعل 𝟎
)
(
)
𝟎
( 𝟐
) (̅ ) (̅ ) (̅
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل 𝟑 𝟐 𝟑 𝟔 𝟐 𝟒
∴ النماط /
𝟑
𝟑
𝟐
𝟐
𝟏/ .
𝟔 𝟒
𝟐)𝟏(
𝟑 𝟔 𝟑 𝟐)𝟏 (
)
(
𝟏 .نماط أنمالب
) ( ممعرة فً 𝟏+ ) ( محدبة فً )𝟏
𝟔
) (
*
* 𝟏+
𝟏 (
تحدٌد النمط الخاصة بالرسم ومن ثم رسمها
******************************************************************
مثال ( /)1باستخدام معلوماتن فً التفاضل أرسم منحنً كل من الدوال األتٌة 𝟑)𝟏 𝟒
𝟐( 𝟐
𝟐
) ( ) (
) ( ) (
𝟏
𝟐
𝟐
𝟓
) (
) (
𝟒
) (
) (
𝟐 ( ) ( متنــاظرة حــول محــور الصــادات جــد لٌمــة ) (bومــن ثــم )𝟏 مثــال ( /)2أذا كانــت 𝟏 استخدام معلوماتن فً التفاضل وأرسم منحنً الدالة ز
مثــال ( /)3أذا كانــت الدالــة للدالة جد كل من
𝟐
) ( وكانــت النمطــة ) (-1,3نمطــة تمــاطع المحاذٌــات االفمٌــة والعمودٌــة
ومن ثم استخدام معلوماتن فً التفاضل وأرسم منحنً الدالة ز
219
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
تطبٌمــــــات عملٌة على النهاٌــات العظمى والصررى المحلٌة: ظهرت فـً الفٌزٌـاء الكثٌـر مـن المسـائل التـً أدت الـى تطـور حسـاب التفاضـل والتكامـل ومـن هـذه المسـائل مسـائل حساب ألصى أرتفاع تصله لذٌفة أطلمت بزواٌا مختلفة أو ألصى أرتفاع ٌصله جسم ممذو شالولٌا ً الـى األعلـى أو ألل كلفة أو ألل زمن ومسائل من الصناعات مثل ألل مساحة وأكبر حجم وألل محٌط ,ززز ألخ ز لحل المسائل المتعلمة بهذا الموضوع نتبع الخطوات التالٌة : Ⓘنرسم رسـم توضـٌحً للمسـألة كلمـا كـان ذلـن ممكنـا ونثبـت علـى الشـكل كـل المترٌـرات والثوابـت ومـن ثـم نبـدأ بتكوٌن الفرضٌة التً تعتمد على كلمة (جد ,ماهً ,عٌن ,احسب ,ززز ) أي نكون الفرضٌة على أساس المطلوبز ② نكــون الدالــــــة المطلــوب أٌجـــــــاد النهاٌــة العظمــى أو الصــررى لهـــــــا ز بمعنــى أخــر نبحــث فــً المســألة عــن الكلمات التً تدل على النهاٌـــــات العظمى أو الصررى المحلٌـة مــــثل (اكبـر مـا ٌمكـن ,اصـرر مــــا ٌمكـن ,الـــــل كمٌة ,اطول مسافة ,ززز) ثم نبدأ بتكوٌن الدالة على أساس هذه الكلمات وفً أكثر األحٌان تكون هذه الدالة (لانون حجم ,مساحة ,محٌط ,فٌثاغورس ,تشابه مثلثات ,دوال دائرٌة ,ززز) ③ اذا كانت الدالة المكونة اعاله تعتمد على اكثر من مترٌر لذا ٌجب اٌجاد عاللـة بـٌن المترٌـرات لتكـوٌن دالـة ذات مترٌر واحد وأكثر االحٌان هذه العاللة هً (لانون حجم ,مساحة ,ززززززززززز) مشابهة للموانٌن السابمةز ④ أخٌر نبدأ بدراسة الدالة المتكونة والتً تحتوي على مترٌر واحد ألٌجاد النهاٌة العظمى أو الصررى المحلٌة كما تعلمنــــــا ســــــابما عــــــن طرٌــــــك أٌجــــــاد األعــــــداد الحرجــــــة فــــــً أطــــــرا الفتــــــرة أي ( أٌجــــــاد لــــــٌم الدالــــــة)ز الى مربعه ٌكون الناتج أصرر ما ٌمكن :
مثال ( /)1جد العدد الذي أذا أضٌ الحل/
األختبار
الفرضيت :نفرض الؼذد = مربغ الؼذد =
𝟐
الذالت :الؼذد +مربؼو 𝟐
) (
الذراست: ) (̅ (
) نجؼل 𝟎
𝟏 𝟐 𝟎
∴ توجد نهاية صغرى محلية عندما 𝟏
𝟐
𝟐
𝟏 𝟐
𝟎 𝟏 ̅ 4 5 𝟐
) (̅
𝟐
𝟏 𝟐
∴ العدد هو . 𝟐 /
220
𝟏 ) (̅
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟐𝟏( وذلـن بمـص أربـع مثال ( /)2صنع صندوق مفتوح من لطعة مـن النحـاس مربعـة الشـكل طـول ضـلعها ) مربعات متساوٌة األبعاد من أركانها األربعة ثم ثنً األجزاء البارزة لها ز ما هو الحجم األعظم لهذه العلبة ؟ وزاري / 2015د1
الحل/ الفرضٌة :نفرض طول ضلع المربع الممطوع ( أبعاد الصندوق = ) 𝟐 𝟐𝟏 𝟐 𝟐𝟏 الدالة :هً لانون حجم الصندوق = حاصل ضرب أبعاده الثالثة
) () 𝟐 𝟐𝟏() 𝟐 𝟐𝟏( 𝟖𝟒 𝟒𝟒𝟏( ) () 𝟐 𝟒 𝟒𝟒𝟏 𝟑 𝟒 𝟐 𝟖𝟒 العاللة :ال نحتاج الى عاللة الن المعادلة تحتوي مترٌر واحد الدراسة : ) نجعل 𝟎
𝟐
(
)𝟐𝟏 ( 𝟎
)
𝟐()
𝟎 𝟔(
𝟐𝟏 𝟐
𝟒𝟒𝟏
𝟔𝟗 𝟐𝟏
𝟎 ال ٌمكن
𝟔𝟗 𝟐
𝟒𝟒𝟏 𝟖
𝟔 𝟐
∴ عندما )𝟐
( توجد نهاٌة عظمى للحجم تساوي : 𝟑
𝟖𝟐𝟏
)𝟐()𝟖()𝟖(
األختبار ( :لألطالع )
221
𝟐𝟏
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
مثال ( /)3جد بعدي أكبر مثلث متساوي السالٌن ٌمكن أن ٌوضع داخـل دائـرة نصـ 𝟑√𝟑
أن نسبة مساحة المثلث الى مساحة الدائرة كنسبة
𝟒
الحل/ الفرضٌة :نفرض أرتفاع المثلث = h
طول لاعدة المثلث = 𝟐
الدالة :هً لانون مساحة المثلث
) () 𝟐( العاللة :فٌثاغورس 𝟐)𝟐𝟏( 𝟒𝟒𝟏
𝟒𝟒𝟏
𝟑
𝟒𝟐√
)𝟐𝟏 𝟒𝟐
𝟐
𝟒𝟐√
𝟐 𝟒
𝟐
/
𝟏 𝟐
(
𝟐
𝟐
𝟐
𝟒𝟐
𝟐
𝟒𝟐√.
𝟐
الدراسة: 𝟑
) نجعل 𝟎
(
𝟒
𝟒
𝟑
𝟎 )𝟒 (
𝟑
𝟎
𝟑√𝟔
𝟒 ) 𝟎
)الٌمكن (
𝟐𝟕
𝟒𝟐√)𝟐( 𝟑 𝟒 𝟐 𝟐𝟕
𝟒
𝟎
𝟑 𝟒𝟐√)𝟐( 𝟐 𝟐𝟕 𝟖𝟏( 𝟐
𝟖𝟏 )𝟖𝟏(𝟒𝟐√
𝟐)𝟖𝟏(
)𝟔()𝟖𝟏(√
𝟐
∴ طول لاعدة المثلث تساوي : 𝟑√𝟐𝟏
𝟐
) 𝟑√𝟔(𝟐
نسبة مساحة المثلث الى مساحة الدائرة : مساحة الدائرة
𝟐
𝟒𝟒𝟏
𝟐)𝟐𝟏(
)𝟖𝟏()𝟑√𝟔( مساحة المثلث
𝟐
𝟐
𝟏 ) () 𝟐( 𝟐 𝟑√𝟖𝟎𝟏
𝟏 𝟐 𝟐
𝟑√𝟑
𝟑√𝟖𝟎𝟏
𝟐
مساحة المثلث
𝟒
𝟒𝟒𝟏
𝟏
مساحة الدائرة
األختبار ( :لألطالع )
222
لطرهـا )
𝟐𝟏( ثـم بـرهن
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
مثال ( /)4جد بعدي أكبر مستطٌل ٌمكن أن ٌوضع داخل مثلـث طـول لاعدتـه ) (24 cmوأرتفاعـه ) (18 cmبحٌـث أن رأسٌن متجاورٌن من رؤوسه تمعان على الماعدة والرأسٌن البالٌان تمعان على سالٌه ز وزاري / 2013د2 الحل/ الفرضٌة :نفرض بعدي المستطٌل : حاصل ضرب بعدٌه الدالة :هً مساحة المستطٌل
العاللة :تشـــــــابه المثلثات ( btr , bcqلتســـاوي زواٌاهما المتناظرة لذا تتناسب أضالعهما المتناظرة وكذلن أرتفاعهما ) 𝟖𝟏 𝟖𝟏
) )𝟐
𝟒 𝟖𝟏( 𝟑 𝟒 𝟖𝟏( 𝟑
𝟒𝟐
𝟖𝟏 ) ( 𝟒𝟐 𝟖𝟏 𝟒 𝟖𝟏( ( 𝟑
))
الدراسة: ) نجعل 𝟎
(
𝟒 ) 𝟑 𝟐𝟏
) 𝟐
(
𝟗
𝟒 𝟖𝟏( 𝟑
𝟎
) 𝟐
𝟎
𝟐
𝟒 𝟖𝟏( 𝟑 𝟖𝟏
∴ بعدي المستطٌل هما )𝟐𝟏( )𝟗( األختبار ( :لألطالع )
طرٌمة ثانٌة لألختبار : 𝟎
𝟖 𝟑
هذا ٌعنً أن للدالة مساحة نهاٌة عظمى محلٌة عندما )
𝟐
𝟒 )𝟐 ( 𝟑 𝟗
𝟐
(
223
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟎𝟔( أثبـت أنـه عنـدما ٌكـون مجمـوع مسـاحتً الشـكلٌن أصـرر مـا مثال ( /)5مجموع محٌطً دائرة ومربـع ) وزاري / 2013د3 ٌمكن فأن طول لطر الدائرة ٌساوي طول ضلع المربع ز الحل/ الفرضٌة :نفرض طول ضلع المربع = x cm الدالة :هً مساحة المربع +مساحة الدائرة
لطر الدائرة = R cm
ونص
𝟐
𝟐
العاللة :محٌط المربع +محٌط الدائرة= 60 cm )𝟐 ( 𝟐
𝟎𝟑
𝟐
𝟎𝟑 (
𝟐
) )𝟐
𝟒
𝟎𝟎𝟗(
𝟎𝟐𝟏
𝟏
𝟐
𝟐
𝟒
𝟐
𝟎𝟑
𝟐
𝟐
𝟐) 𝟐
𝟎𝟔
𝟐
𝟎𝟑(
𝟏
𝟐
الدراسة: ) نجعل 𝟎
/ 𝟎𝟔
𝟐
(
) 𝟖
.
𝟎
(
)𝟒
𝟎𝟐𝟏 ( ) 𝟖 𝟎
𝟎𝟐𝟏 ) 𝟒 𝟎𝟔 𝟒
𝟎𝟑(
) 𝟒
𝟐
𝟎𝟑
(
𝟐
𝟏
𝟒
𝟐
𝟎𝟔 𝟎𝟔 𝟒
𝟏 𝟎𝟑( 𝟐 4
𝟎𝟐𝟏 𝟎𝟐𝟏 ) 𝟒
𝟐
𝟎𝟐𝟏 (
طول ضلع المربع
𝟐 )5
𝟏
𝟐 𝟎𝟑 𝟐 (
لطر الدائرة
لطر الدائرة
األختبار : 𝟎
)𝟖(
𝟏
𝟐
𝟐
هذا ٌعنً أن الدالة تمتلن نهاٌة صررى محلٌة
224
𝟐
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
مثال ( /)6جد نمطة أو نماط تنتمً للمطع الزائد 𝟑
𝟐
𝟐
بحٌث تكون ألرب ما ٌمكن للنمطة )𝟒 𝟎( وزاري / 2011د2
الحل/ الفرضٌة :نفرض أن النمطة ) الدالة :هً لانون المسافة
𝟐)𝟒 العاللة𝟑) :
(
𝟐)𝟎
( 𝟐
هً من نمط المنحنً 𝟑
𝟐
𝟐
وزاري / 2013د1
بحٌث تكن ألرب ما ٌمكن للنمطة )𝟒 𝟎(
(√
𝟐 (
𝟔𝟏 𝟔𝟏
𝟐
𝟖
𝟐
𝟖
𝟐
√
𝟐 (√
)𝟑 𝟑𝟏
𝟐
𝟖
𝟐√
الدراسة: ) نجعل 𝟎
𝟖
(
𝟑𝟏
𝟐
𝟖 𝟖
𝟎 𝟎
𝟒
𝟑𝟏
𝟒 𝟐
𝟖
𝟐
𝟐√)𝟐(
𝟎
𝟐√)𝟐( 𝟒
𝟖
𝟐 𝟏 النماط هً )𝟐 𝟏 (
𝟏
𝟑
𝟒
𝟑
𝟐
𝟐
)𝟐 𝟏(
******************************************************************
مالحظات : ٌ Ⓘمكن المول عن دالة المساحة فً بعض األحٌان أكبر أو أصرر مسطح للشكل ② ٌمكن المول عن دالة الحجم أو السعة فً بعض األحٌان أكبر أو أصرر مجسم للشكل ③ فً كال الحالتٌن أعاله ٌكون الحل هو نفس الحل السابك عن طرٌك أٌجاد الفرضٌة ,الدالة ,العاللة (فمط فً حالة وجود أكثر من مترٌر) ,الدراسة ,االختبار
225
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
تمارين)𝟔
𝟑(
س / 1جد عددٌن موجبٌن مجموعهما ) (75وحاصل ضرب أحدهما فً مربع األخر أكبر ما ٌمكن ز الحل/ والعدد الثانً = الفرضٌة :نفرض العدد األول = حاصل ضرب العدد األول مربع العدد الثانً = الدالة :هً عاللة عددٌة )معادلة
𝟐
( 𝟓𝟕
)معادلة ②(
𝟓𝟕
نعوض معادلة ② فً معادلة
𝟐
𝟓𝟕( 𝟐 𝟓𝟕
)
𝟑
الدراسة: ) نجعل 𝟎
̅(
𝟐
𝟑
𝟎𝟓𝟏 𝟐
)𝟑 ( 𝟎 𝟎
𝟓𝟐
𝟎𝟓
𝟓𝟕
)
𝟎𝟓(
)ٌهمل( 𝟓𝟕
̅
𝟎
𝟎𝟓𝟏
𝟑 𝟐
𝟎𝟓
𝟎 𝟎𝟓
العدد األول )𝟓𝟐( والعدد الثانً )𝟎𝟓( األختبار :لألطالع
226
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
س / 2جد أرتفاع أكبر أسطوانة دائرٌة لائمة توضع داخل كرة نص
لطرها
√𝟒
وزاري / 2012د3
الحل/ الفرضٌة :نفرض نص
ونفرض أرتفاع االسطوانة =
لطر لاعدة االسطوانة =
الدالة :هً لانون حجم االسطوانة
)معادلة (
)
𝟐( 𝟐
العاللة :فٌثاغورس 𝟐
.𝟒√𝟑/ 𝟐
)معادلة②(
𝟐
𝟐
𝟖𝟒( 𝟐
𝟐 𝟖𝟒( 𝟐
)𝟑
)معادلة③(
𝟐
𝟖𝟒
نعوض معادلة ② فً معادلة )𝟐
𝟐
الدراسة: ) نجعل 𝟎
)
𝟎
(
)𝟐
𝟖𝟒( 𝟐
𝟑
) 𝟐 ( 𝟎 )𝟐 𝟑 𝟐 )𝟑 ( 𝟑 𝟎 𝟐 𝟒( 𝟒() 𝟎 𝟒 ) ٌهمل ( 𝟒 𝟐𝟑
𝟐√𝟒
𝟔𝟏
𝟖𝟒
𝟐
𝟖𝟒( 𝟐 𝟖𝟒 𝟔𝟏
𝟖𝟒
𝟐
أكبر ارتفاع لالسطوانة : 𝟖
األختبار:
) 𝟒(𝟐
𝟐
( لألطالع )
227
𝟐
ونفرض الحجم =
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
دائرة نص
س / 3جد بعدي أكبر مستطٌل ٌوضع داخل نص
لطرها
√𝟒
وزاري / 2012د1
الحل/ الفرضٌة :نفرض طول المستطٌل = 𝟐
ونفرض مساحة المستطٌل = A
نفرض عرض المستطٌل
الدالة :هً لانون مساحة المستطٌل
)معادلة (
𝟐
العاللة :فٌثاغورس فً المثلث المائم )(ABC 𝟐
𝟐𝟑
𝟐
𝟐
نعوض معادلة ② فً معادلة 𝟐
)𝟒
𝟐
)معادلة②( 𝟐/
𝟐
.𝟒√𝟐/
𝟐𝟑√
𝟐𝟑√𝟐 .
𝟐
𝟐
𝟐𝟑√𝟐 .
𝟒/
𝟐𝟑(𝟒√
𝟐
𝟒
𝟐
𝟖𝟐𝟏√
الدراسة: 𝟑
) نجعل 𝟎
(
𝟔𝟏
𝟒/
𝟔𝟓𝟐 𝟖𝟐𝟏√𝟐 .
𝟐
𝟑
𝟎
𝟑
𝟔𝟓𝟐
𝟔𝟏 )𝟐
(
𝟎
)
𝟔𝟏
𝟒
𝟔𝟓𝟐
𝟐
𝟖𝟐𝟏√( 𝟐
𝟑
𝟎 ) ٌهمل(
𝟔𝟏
𝟎 𝟐
)ٌهمل السالب ( ) عرض المستطٌل ( √ ) طول المستطٌل (
𝟐𝟑√
𝟐
𝟖
𝟒 𝟒 𝟐𝟑√ )𝟒(𝟐
األختبار :لألطالع
228
𝟐
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
س / 4جد أكبر مساحة لمثلث متساوي السالٌن طول كل من سالٌه
√𝟖
الحل/ الفرضٌة :نفرض أرتفاع المثلث الدالة :هً لانون مساحة المثلث
ونفرض طول لاعدة المثلث = 𝟐
)معادلة (
𝟏
) 𝟐(
𝟐
العاللة :فٌثاغورس 𝟐
𝟖𝟐𝟏 )معادلة②(
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
.𝟖√𝟐/
𝟐
𝟖𝟐𝟏√
𝟐
𝟖𝟐𝟏
نعوض معادلة ② فً معادلة
𝟐
𝟖𝟐𝟏√.
𝟐/
𝟐
𝟒
𝟖𝟐𝟏√
الدراسة: 𝟑
) نجعل 𝟎
(
)𝟒
𝟔𝟓𝟐
𝟒
𝟖𝟐𝟏√( 𝟐
𝟐
𝟑
𝟎
𝟑
𝟔𝟓𝟐
𝟒 𝟎
)
𝟐
𝟎
𝟒𝟔(
𝟐
𝟒𝟔
)
) ٌهمل ( 𝟖
𝟒
𝟒
𝟔𝟓𝟐 𝟐
𝟖𝟐𝟏√(𝟐
𝟑
𝟎
) ٌهمل( 𝟎 𝟐 𝟒𝟔 𝟎 𝟖 األرتفاع
) طول لاعدة المثلث(
𝟔𝟏
)𝟖(𝟐
اكبر مساحة للمثلث : 𝟐
األختبار:
𝟒𝟔
𝟒𝟔
)𝟖()𝟖(
لألطالع
229
𝟐
ونفرض مساحة المثلث =
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل 𝟐
س / 5جد ألل محٌط ممكن للمستطٌل الذي مساحته
𝟔𝟏
الحل/ الفرضٌة :نفرض طول المستطٌل = ونفرض مساحة المستطٌل =
ونفرض محٌط المستطٌل =
ونفرض عرض المستطٌل =
الدالة :هً لانون محٌط المستطٌل
)معادلة ( العاللة :مساحة المستطٌل
)معادلة②(
𝟐
𝟔𝟏
𝟐
𝟔𝟏
نعوض معادلة ② فً معادلة 5
𝟔𝟏
𝟐4
𝟐 𝟏
𝟐
𝟐
𝟐𝟑
𝟐
الدراسة: ) نجعل 𝟎
𝟐
(
)𝟐 ( 𝟒
)نضرب المعادلة ب 𝟒
𝟐
(
𝟐𝟑 𝟎 𝟎
𝟎
𝟐
𝟐 𝟐𝟑
𝟐
𝟔𝟏
𝟔𝟏
𝟐
ألل محٌط ممكن : 𝟔𝟏
األختبار:
)𝟒 (𝟐
)𝟒 (𝟐
𝟐
𝟐
لألطالع
230
𝟐 𝟏
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
س / 6جد حجم أكبر مخروط دائري لائم ٌمكن وضعه داخل كرة نص
لطرها )(3 cm
الحل/ الفرضٌة :نفرض نص
ونفرض أرتفاع المخروط =
لطر لاعدة المخروط =
الدالة :هً لانون حجم المخروط
𝟏 𝟑
𝟐
)معادلة (
العاللة :فٌثاغورس ( للمثلث المائم الزاوٌة ) ABC 𝟐
)معادلة②(
𝟐)𝟑( 𝟗 𝟗
𝟐
𝟔
نعوض معادلة ② فً معادلة )
𝟑
𝟐
الدراسة:
𝟔(
𝟑
)
𝟏 𝟔( 𝟑
𝟐
) نجعل 𝟎
𝟐)𝟑 𝟔
( )𝟑
)
𝟐
𝟐
𝟏 𝟑
𝟑
𝟑
𝟐𝟏(
𝟐
𝟎
𝟒( 𝟎 ) ) ٌهمل( األرتفاع 𝟖 )𝟔𝟏( )𝟒(𝟔 نصف المطر
)
(
𝟐
𝟐𝟏(
𝟎
( )
𝟐
(
𝟐
𝟑
𝟐
𝟒 𝟐
𝟎
𝟒
𝟎 𝟒 𝟐
𝟐√𝟐
𝟔
𝟐
𝟖√
أكبر حجم للمخروط : 𝟑
𝟐𝟑 𝟑
𝟏 𝟐 )𝟒( )𝟐√𝟐( 𝟑
𝟑
𝟐
𝟏 𝟑
األختبار :لألطالع
231
ونفرض الحجم =
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
س / 7جد معادلة المستمٌم الذي ٌمر بالنمطة ) (6,8والذي ٌصنع مع المحورٌن فً الربع األول أصرر مثلث الحل/ الفرضٌة :نفرض )𝟎 ( نمطة تماطع المستمٌم مع المحور ونفرض مساحة المثلث = A نفرض أبعاد المثلث = x , y الدالة :هً لانون مساحة المثلث 𝟏 )معادلة ( 𝟐 العاللة :لانون المٌل ( مٌل ̅̅̅̅ = مٌل ̅̅̅̅ ) تنتمً للمستمٌم ̅̅̅̅
النمطة )𝟖 𝟔(
𝟎
𝟖 𝟔
𝟖 𝟔
𝟎 )
𝟖𝟒 𝟖 𝟎
𝟖𝟒
𝟏
𝟐
( 𝟔 𝟔
𝟔()𝟖 𝟖𝟒 𝟖
𝟖
)معادلة②(
𝟏
𝟐
)
𝟖
𝟔
𝟔(
نعوض معادلة ② فً معادلة 𝟐
)معادلة③(
𝟒
𝟐
𝟒
𝟐
𝟖
𝟐)
)
𝟔
الدراسة: )𝟏
𝟖𝟒
() 𝟐
𝟔(
) نمسم على 𝟒 ( 𝟎
( 𝟐
𝟖𝟒
)𝟐𝟏
𝟔
𝟒 ( 𝟐)
) نجعل 𝟎
𝟎
𝟖
𝟏 𝟐
(
𝟔(
) 𝟖 () 𝟔( 𝟖𝟒 𝟐 𝟒 𝟔( 𝟐) 𝟎
𝟒 𝟎
( ) ٌهمل(
𝟒 𝟑
𝟎 𝟖 𝟐𝟏 𝟔
𝟐
𝟖𝟒 𝟐)
𝟒
𝟔( 𝟐
𝟐𝟏
𝟎 𝟐𝟏 ( المحور السٌنً )
∴ )𝟎 𝟐𝟏( نمطة تماطع المستمٌم مع المحور 𝟖 𝟔
𝟏 𝟐
𝟐
𝟏 𝟏
معادلة المستمٌم الذي ٌمر بالنمطة ) (6,8الذي مٌله /
)̅̅̅̅(
𝟐
𝟒 𝟑
.هً :
( )𝟏 )𝟑 ( 𝟒 () ( 𝟖 𝟑 ⇒ )𝟔 𝟑 𝟑 𝟎 𝟖𝟒 𝟏
𝟒𝟐
𝟒
𝟒𝟐
232
𝟒
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟐 𝟐𝟏 ) ( س / 8جــد بعــدي أكبــر مســــــتطٌل ٌوضــــــع داخــل المنطمــة المحــددة بالدالـــــة الســـــٌنات ,رأسان من رؤوسه على المنحنً والرأسان األخران على محور السٌنات ,ثم جد محٌطه ز
الحل/
ومحــور
وزاري / 2012د2
الفرضٌة :نفرض طول المستطٌل = 𝟐
نفرض عرض المستطٌل =
الدالة :هً لانون مساحة المستطٌل
)معادلة ( العاللة :المعادلة
)𝟐
𝟐
(
𝟐𝟏
𝟐
)معادلة②(
𝟐𝟏
نعوض معادلة ② فً معادلة )𝟐
𝟐𝟏( 𝟐 𝟑
𝟐 𝟒𝟐
𝟐
الدراسة: ) نجعل 𝟎
𝟎
العرض
الطول 𝟖
𝟐
𝟒
𝟐
(
𝟒 𝟐 𝟒
𝟔 𝟐
𝟎
𝟐𝟏
𝟒𝟐 𝟔
𝟐 𝟐𝟏
𝟐
أكبر محٌط للمستطٌل : ) 𝟒𝟐
𝟔𝟏
𝟖
)𝟖(𝟐
)𝟐(𝟒
𝟐(𝟐 𝟒 𝟐
األختبار ( :لألطالع )
233
𝟒𝟐
ونفرض مساحة المستطٌل
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
س / 9جد مســــــــاحة أكبر أسطوانة دائرٌة لائمة توضـع داخـل مخـروط دائـري لـائم أرتفاعــــه ) 𝟐𝟏( لطر لاعدته )
𝟖( وطـول
الحل/ الفرضٌة :نفرض نص لطر لاعدة األسطوانة =R الدالة :هً لانون حجم االسطوانة
ونفرض أرتفاع األسطوانة =h 𝟐
)معادلة ( العاللة :تشابه مثلثات )(ADE , ABC 𝟏
) نقسم الطرفين على 𝟒 𝟒𝟐 /معادلة②. 𝟑
𝟐
𝟔
(
𝟖 𝟖
𝟑
𝟒
𝟒𝟐
نعوض معادلة ② فً معادلة )
𝟑
𝟐
𝟒
𝟒𝟐(
الدراسة:
)
𝟑
) نجعل 𝟎
) 𝟒
(
𝟎
𝟐
𝟒
𝟒 𝟑
)
(
𝟎
𝟐
𝟐
𝟖𝟒(
𝟐𝟏
𝟎
𝟔𝟏
)
𝟒𝟐 (
𝟐
)
𝟒( ) ٌهمل(
𝟐
𝟑
𝟐𝟏
𝟖𝟒(
𝟐
𝟎
𝟒
𝟎
𝟖 𝟑
𝟒
أكبر مساحة لألسطوانة ( لألطالع ) : )محٌط الماعدة
𝟐𝟑
𝟒𝟔 𝟑
مساحة الماعدتٌن 𝟖 𝟐)𝟒( 𝟐 ) ( )𝟒( 𝟐 𝟑 𝟎𝟔𝟏 𝟐 𝟑
𝟐
األرتفاع( 𝟐
𝟐
𝟒𝟔
𝟔𝟗 𝟑
234
𝟑
ونفرض حجم المخروط=V
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟑√𝟔 دورة كاملة حول س / 10جد حجم أكبر مخروط دائري ناتج من دوران مثلث لائم الزاوٌة طول وتره وزاري / 2014د 1وزاري / 2011د1 أحد ضلعٌه المائمٌن الحل/ الفرضٌة :نفرض نص لطر لاعدة المخروط =R الدالة :هً لانون حجم المخروط
ونفرض أرتفاع المخروط =h 𝟐
)معادلة ( العاللة :فٌثاغورس على المثلث المائم الزاوٌة
𝟑
𝟐
𝟐
𝟐
𝟖𝟎𝟏
𝟐
)𝟑√𝟔(
نعوض معادلة ② فً معادلة )𝟑
𝟖𝟎𝟏(
الدراسة:
)معادلة②(
)𝟐
𝟑
𝟖𝟎𝟏(
) نجعل 𝟎
)
𝟎
(
𝟐
(
𝟐
)
𝟐
𝟑
𝟐
𝟑 𝟖𝟎𝟏(
𝟑
𝟎
𝟔𝟑
) ٌهمل(
)
𝟐
𝟑
𝟑 𝟖𝟎𝟏(
𝟐
𝟎 𝟔
𝟔𝟑
𝟔
𝟐𝟕
𝟔𝟑
𝟐
𝟖𝟎𝟏
𝟐
𝟖𝟎𝟏 𝟐𝟕√
أكبر حجم للمخروط : 𝟑
𝟒𝟒𝟏
)𝟔()𝟐𝟕( 𝟑
𝟐
)𝟔( )𝟐𝟕√(
𝟐
𝟑
𝟑
235
𝟑
ونفرض حجم المخروط=V
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
س / 11علبة أسـطوانٌة الشـكل مفتوحـة مـن األعلـى سـعتها المعدن المستخدم فً صناعتها ألل ما ٌمكن ز
)
𝟓𝟐𝟏( جـد أبعادهـا عنـدما تكـون مســــــاحة
𝟑
الحل/ الفرضٌة :نفرض نص
لطر االسطوانة =R
نفرض أرتفاع األسطوانة =h
الدالة :هً لانون المساحة المساحةالجانبٌة
مساحة لاعدة واحدة
)معادلة (
𝟐
𝟐
العاللة :لانون حجم األسطوانة 𝟐
𝟐
𝟓𝟐𝟏
𝟓𝟐𝟏
)معادلة②(
𝟐
نعوض معادلة ② فً معادلة
)
𝟓𝟐𝟏 𝟐
(
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐 𝟏
𝟐
𝟎𝟓𝟐
الدراسة: ) نجعل 𝟎
)
𝟐
𝟎𝟓𝟐
( (
𝟐
𝟎
𝟐
𝟐
𝟓𝟐𝟏
𝟎𝟓𝟐
) 𝟐 (
𝟎
⇒
𝟐
𝟎 𝟓
𝟓𝟐𝟏 𝟓𝟐
𝟓𝟐𝟏 𝟐
𝟐 𝟎𝟓𝟐
𝟐
𝟐
)𝟓𝟐𝟏
𝟑
𝟓
األختبار ( :لألطالع )
236
(
ونفرض المساحة الكلٌة بدون غطاء =A
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
س / 12خزان على شكل متوازي سطوح مستطٌلة طول لاعدته ضـع عرضـها فـأذا كانـت مسـاحة المعـدن المسـتعمل فـً صناعته 𝟐 𝟖𝟎𝟏 جد أبعاد الخزان لكً ٌكون حجمه أكبر ما ٌمكن علما ان الخزان ذو غطاء كامل
الحل/ الفرضٌة :نفرض عرض الماعدة = xونفرض طول الماعدة = 2x الدالة :هً لانون حجم الخزان 𝟐
)معادلة (
ونفرض االرتفاع =y
) () () 𝟐(
𝟐
العاللة :مساحة المعدن مساحة الماعدتٌن
المساحة الجانبٌة 𝟐
)
𝟒 𝟐
)𝟐 (
𝟐(𝟐 𝟖𝟎𝟏 ) 𝟑(𝟐 𝟖𝟎𝟏 𝟑 𝟒𝟓 𝟐
𝟒 𝟐
𝟐
𝟐
)معادلة②(
𝟒𝟓
𝟐
مساحة المعدن
𝟐
𝟑
𝟑
𝟒𝟓
نعوض معادلة ② فً معادلة )𝟑
𝟐
𝟐 𝟒𝟓( 𝟑
𝟐
5
𝟐 𝟑
𝟒𝟓 4
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
الدراسة: ) نجعل 𝟎
)𝟔
(
𝟎
𝟐
𝟔
(
)𝟐
𝟒𝟓
𝟐 𝟒𝟓( 𝟑
𝟔
)𝟐
𝟎 𝟎
طول الماعدة
𝟐 𝟔 𝟖𝟏 𝟒𝟓 𝟔𝟑 𝟗 𝟗 عرض الماعدة 𝟐
𝟐 𝟒𝟓( 𝟑
𝟔 𝟐
𝟗
𝟑 𝟐
𝟒𝟓 𝟑 𝟒
األختبار ( :لألطالع )
مالحظة للتذكٌر ( :لوانٌن المساحة لمتوازي السطوح المستطٌلة ) المساحت الجانبيت = محيظ القاػذة × االرتفاع المساحت الكليت = المساحت الجانبيت +مجمىع مساحتً القاػذتين
237
ونفرض حجم الخزان= V
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
أمثلة أضافٌة محلولة مثال /مخروط دائري لائم مجموع نص الحل/ الفرضٌة :نفرض نص
لطر لاعدته وأرتفاعه ) (12 cmجد أكبر حجم لهذا المخروط ز ونفرض أرتفاع المخروط = h
لطر المخروط = R
الدالة :هً لانون حجم المخروط 𝟐
)معادلة (
𝟑
العاللة: )معادلة②(
𝟐𝟏
𝟐𝟏
نعوض معادلة ② فً معادلة 𝟐𝟏( 𝟐
)
𝟐
𝟑
𝟑
)𝟑
)معادلة③(
𝟐
𝟐𝟏(
𝟑
الدراسة: ) نجعل 𝟎
𝟎
)𝟐
( 𝟖(
)
𝟖(
)الٌمكن (
𝟐𝟏
𝟎
)𝟐
𝟒𝟐(
𝟑 )𝟐
𝟎
𝟑 𝟒𝟐(
𝟑 𝟐
𝟎
𝟖
𝟎 𝟖
𝟒
أكبر حجم للمخروط : 𝟑
𝟔𝟓𝟐 𝟑
)𝟒( 𝟐)𝟖(
𝟐
𝟑
𝟑
238
𝟑
ونفرض حجم المخروط = V
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
لطرهـا
مثال /اسطوانة دائرٌـة لائمـة موضـوعة داخـل كـرة نصـ حجمها أكبر ما ٌمكن ز
𝟗 أحسـب أرتفـاع االسـطوانة لكـً ٌكـون
الحل/ ونفرض أرتفاع االسطوانة = 2 h الفرضٌة :نفرض نص لطر لاعدة االسطوانة = R الدالة :هً لانون حجم االسطوانة ) 𝟐( 𝟐 )معادلة ( العاللة :فٌثاغورس 𝟐
)معادلة②(
𝟐
𝟏𝟖
نعوض معادلة ② فً معادلة )𝟐
𝟐𝟗
𝟐
𝟐 𝟐 𝟏𝟖( 𝟐
𝟏𝟖( 𝟐 )𝟑
)معادلة③(
𝟐
الدراسة: ) نجعل 𝟎
𝟎
𝟐
𝟑
)𝟐
( 𝟏𝟖
)
𝟑
(
)
⇒ 𝟎 )
𝟏𝟖( 𝟐
(
𝟐 ⇒ 𝟕𝟐 ) ٌهمل( 𝟑√𝟑
𝟔√𝟑
𝟐 𝟐
𝟏𝟖( 𝟐
𝟑
𝟏𝟖
𝟑
𝟑√𝟑
أكبر ارتفاع لالسطوانة : 𝟑√𝟔
) 𝟑√𝟑(𝟐
األرتفاع
𝟐
مثال /عددان الفرق بٌنهما ) (12جد هذان العددان بحٌث ٌكون حاصل ضربهما أكبر ما ٌمكن ز الفرضٌة :نفرض العدد األول = xوالعدد الثانً =𝟐𝟏 وحاصل ضربهما =y الدالة :هً عاللة عددٌة 𝟐 ( )𝟐𝟏 𝟐𝟏 الدراسة: ) نجعل 𝟎
𝟎
𝟔
) (̅ (
𝟐
𝟐𝟏
𝟐𝟏
𝟎 𝟔
العدد األول )𝟔( والعدد الثانً )𝟔 (
239
𝟐
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
مثال /جد بعدي مستطٌل مساحته
𝟐
𝟓𝟐 بحٌث ٌكون محٌطه ألل ما ٌمكن
الحل/ ونفرض محٌطه =m الفرضٌة :نفرض بعدي المستطٌل هما x, y الدالة :هً لانون محٌط المستطٌل 𝟐 𝟐 )معادلة ( العاللة :مساحة المستطٌل 𝟓𝟐
)معادلة②( نعوض معادلة ② فً معادلة
𝟐 𝟏
)معادلة③(
𝟎𝟓
)
𝟐
𝟓𝟐
𝟐 𝟐
(𝟐
الدراسة: ) نجعل 𝟎 𝟐
𝟎 𝟓𝟐 ) ٌهمل( 𝟓
𝟐
(
𝟓𝟐
𝟏
𝟎𝟓 𝟐
𝟎 𝟎 𝟓
𝟐
𝟐 𝟎𝟓 𝟐
𝟓𝟐
𝟓
𝟐
𝟓
مثــال /حــوض علــى شــكل متــوازي ســطوح مســتطٌلة لاعدتــه مربعــة الشــكل ,فــأذا كــان مجمــوع محــٌط لاعدتــه وأرتفاعه , 24 mجد ابعاد الحوض لكً تكون سعته (حجمه ) أكبر ما ٌمكنز الحل/ الفرضٌة :نفرض ابعاد الحوض x , x, yونفرض حجمه =V الدالة :هً لانون حجم الحوض 𝟐 )معادلة ( العاللة ( :محٌط الماعدة المربعة +االرتفاع ) للحوض )معادلة②(
نعوض معادلة ② فً معادلة
𝟒
𝟒𝟐
𝟒
𝟐 𝟒𝟐
𝟒
𝟒𝟐 𝟐
𝟑
) 𝟒
𝟒𝟐(
𝟐
الدراسة: ) نجعل 𝟎
𝟎
𝟐
𝟖
( 𝟒
𝟐
𝟐𝟏 𝟎
𝟖𝟒 𝟐
𝟎 ) ٌهمل( 𝟎 𝟒
𝟐𝟏 )
𝟖𝟒 𝟒(
240
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
مثال /جد بعدي أكبر مستطٌل محٌطه
𝟎𝟎𝟏
الحل/ الفرضٌة :نفرض بعدي المستطٌل هما x, y الدالة :هً لانون مساحة المستطٌل )معادلة ( العاللة :محٌط المستطٌل
ونفرض مساحته =A
𝟎𝟎𝟏
/معادلة②.
𝟐
𝟐 𝟎𝟓
𝟎𝟓
نعوض معادلة ② فً معادلة 𝟐
𝟎𝟓
𝟎𝟓(
)
الدراسة: ) نجعل 𝟎
𝟐
( 𝟓𝟐 𝟓𝟐
𝟎
𝟎𝟓 𝟐
𝟎
𝟎𝟓
𝟓𝟐
مثال /مستطٌل محٌطه ) (30 cmأدٌر حول أحد أضالعه فكون أسطوانة دائرٌـة لائمـة ,جـد بعـدي هـذا المسـتطٌل لكً ٌكون حجم األسطوانة المتكونة أكبر ما ٌمكن ز الحل/ الفرضٌة :نفرض نص لطر لاعدة االسطوانة = x الدالة :هً لانون حجم االسطوانة )معادلة ( العاللة :محٌط المستطٌل )معادلة②(
𝟓𝟏
𝟓𝟏
ونفرض أرتفاع االسطوانة = y 𝟐
𝟎𝟑
𝟐
𝟐
نعوض معادلة ② فً معادلة 𝟓𝟏( 𝟐
)
)𝟑
𝟐 𝟐
𝟓𝟏(
الدراسة: ) نجعل 𝟎
(
)𝟐 𝟑
𝟎𝟑(
𝟐 𝟎 )𝟐 𝟑 𝟎𝟏 𝟎 𝟎𝟏( 𝟎 ) 𝟎 ) ٌهمل( 𝟎𝟏 𝟓 بعدي األسطوانة هً )(10 cm , 5 cm
𝟎𝟑(
241
ونفرض الحجم =V
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
مثال /جد حجم أكبر أسطوانة دائرٌة لائمـة ٌمكـن وضـعها داخـل مخـروط دائـري لـائم أرتفاعـه ) (12 cmونصـ لطر لاعدته ) (9 cmبحٌث أحد لاعدتً األسطوانة والمخروط متماستان ز الحل/ الفرضٌة :نفرض نص لطر لاعدة االسطوانة =R الدالة :هً لانون حجم االسطوانة )معادلة ( العاللة :تشابه مثلثات
ونفرض أرتفاع االسطوانة = h 𝟐
𝟐𝟏 𝟐𝟏
)𝟑 ( 𝟒
𝟑
𝟔𝟑
𝟒 𝟒
)معادلة②(
)𝟑
𝟐
𝟒
𝟔𝟑(
الدراسة: ) نجعل 𝟎
)
(
𝟐
𝟎
(
𝟐𝟏 𝟎
𝟒
)
)𝟐
𝟐𝟕
𝟑 𝟔𝟑
𝟗
𝟔𝟑
𝟑
نعوض معادلة ② فً معادلة 𝟑
ونفرض الحجم =V
𝟔𝟑 (
𝟑
𝟐𝟕(
𝟐𝟏 )𝟐
𝟎
𝟔( ) ) ٌهمل( 𝟒
𝟐
𝟑
𝟐𝟏
𝟐𝟕(
𝟐
𝟔
𝟑
𝟎 𝟔
أكبر حجم لالسطوانة : 𝟒𝟒𝟏
𝟐
)𝟒( 𝟐)𝟔(
******************************************************************
𝟐
جد مساحة أكبر مستطٌل رأسان منه ٌمعان على المنحنً 𝟖 ② جد مساحة أكبر مستطٌل ٌمكن رسمه داخل دائرة نص ③أوجد النمط التً تنتمً لمنحنً الدالة
𝟐
𝟏 𝟐
𝟗
والرأسان األخران ٌمعان على المستمٌم 𝟒
لطرها )
𝟐(
بحٌث تكون ألرب ما ٌمكن من نمطة األصل
④ جد حجم أكبر أسطوانة دائرٌة لائمة ٌمكن وضعها داخل مخروط دائري أرتفاعه ) ⑤ جد العدد الذي : ⒜زيادته على مربعه يكون أكبر ما يمكن ⒝عند أضافته الى مربعه يكون أصغر ما يمكن ⒞عند أضافته الى مقلوبه يكون الناتج أصغر ما يمكن ⑥ أذا كان 𝟒𝟐
𝟒
جد لٌم كل من x , yالتً تجعل
𝟐
أكبر ما ٌمكن
242
𝟐𝟏( ونص
لطر لاعدته )
𝟗(
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
حلول التمارٌن العامة الخاصة بالفصل الثالث س / 5جد
( مرتبطة بموضوع التكامل
لكل مما ٌأتً :الفروع )
𝟑 𝟐 𝟐
𝟓
𝟑
𝟐 𝟐
𝟑
𝟐
𝟒
𝟑
𝟐 𝟓
𝟑
)𝟐
𝟓
𝟐
𝟐(
𝟐
) 𝟐 𝟑( 𝟐
𝟐 𝟐 𝟐
𝟓
𝟑
)
𝟓
𝟐
𝟒
𝟐
𝟐
𝟐
𝟒
)𝟐( 𝟐
𝟑
𝟑
𝟐
𝟑 𝟓 𝟑 𝟐
𝟐 ) 𝟒( 𝟒
𝟐(
𝟐 𝟐 𝟐
𝟐
𝟐 𝟑
) (
) (
𝟒
𝟐
𝟒
س / 6أستخدم مبرهنة رول ثم مبرهنة المٌمة المتوسطة ألٌجاد لٌم Cللدالة 𝟐
𝟐 𝟐 ,الحل /
وزاري /2013د2
𝟒
𝟐
) (
وزاري / 2013د3
① الدالة مستمرة فً الفترة المرلمة , 𝟐 𝟐-النها كثٌرة الحدود ② الدالة لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة )𝟐 𝟐 ( النها كثٌرة الحدود ③ نوجد )𝟐( )𝟐 ( 𝟖 𝟖
𝟖
𝟖
𝟔𝟏
𝟐)𝟐(𝟐
𝟐)𝟐 (𝟐
𝟔𝟏
𝟒)𝟐(
𝟒)𝟐 (
)𝟐 ( أوال :الدالة ضمن الفترة المعطاة تحمك مبرهنة رول لذا نفرض )
𝟑 𝟒
𝟎
)𝟏
𝟐
(
)𝟐 𝟐 (
𝟎 𝟏
𝟑
)
(
⇒
𝟎
)𝟐 𝟐 (
243
)𝟐(
𝟐
) (̅
𝟒 𝟏
)𝟐 (
) (̅
( ونفرض 𝟎
𝟒
)𝟐(
𝟑
𝟒
𝟒
𝟐 𝟒
)𝟐 𝟐 (
𝟑
𝟎
𝟒
) (
) (̅
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل ثانٌا :الدالة ضمن الفترة المعطاة تحمك مبرهنة المٌمة المتوسطة ∴ نبحث عن النمطة Cالتً تحمك المبرهنة ) مٌل المماس(
𝟑 𝟒
𝟒 𝟎 𝟒
/مٌل الوتر.
𝟖
) (̅
𝟒
)𝟐( )𝟐 ( )𝟐 ( 𝟐
𝟖 𝟒
𝟑 𝟒
) (
) (̅
) (
) (̅
∵ مـــــــٌل الممـــــاس = مـــــــٌل الوتـــــــر 𝟎
)𝟐 𝟐 ( 𝟐 ) ( 𝟒 س𝟓 / 7 تنتمً للفترة ) 𝟏 ( فجد لٌمة
𝟐 (
)𝟏
𝟎
)𝟐 𝟐 (
𝟏
)
𝟑
(
⇒
𝟏
دالة تحمك شـروط مبرهنـة رول علـى الفتـرة -
𝟒
𝟎
)𝟐 𝟐 (
𝟑 𝟒
𝟎
𝟏 ,فـأذا كانـت 𝟐
الحل /
الدالة
تحمك شروط مبرهنة رول ز
)𝟐(̅
𝟎 𝟒 𝟎 𝟒 𝟒 𝟐 𝟓 )𝟏 ( 𝟒 𝟒 ( ()𝟓 )𝟏
𝟏
𝟓 𝟎
𝟒 𝟐) 𝟏 ( 𝟎 𝟓
𝟒
ٌهمل
𝟒
𝟐 ) (
)𝟏 ( 𝟐
𝟒
𝟎
) 𝟐( ̅
𝟒 ) (
) (̅ ) (̅ ) (
𝟓
𝟎𝟏 𝟎 𝟎
𝟓 𝟏
𝟒
𝟐
أما أو
𝟓 𝟏
س / 8متوازي سطوح مستطٌلة لاعدته مربعة و أرتفاعه ثالثة أمثال طول لاعدته ,جد الحجم التمرٌبً لـه عنـدما 𝟕𝟗 𝟐( ٌكون طول لاعدته ) الحل / نفرض طول الماعدة ∴ األرتفاع
𝟑 𝟑
𝟑
𝟑
) (
𝟑
𝟐
𝟑
𝟐
) ( 𝟐
نفرض 𝟑
𝟗
) (̅
ألرب رلم للعدد المعطى ٌسهل حسابه معطى
نفرض 𝟕𝟗 𝟐
𝟑𝟎 𝟎
𝟏𝟖
)𝟗 (𝟗
𝟐)𝟑(𝟗
)𝟑( ̅
𝟑
𝟏𝟖
)𝟕𝟐(𝟑
) (̅ )𝟑( ̅ )𝟏 ( 𝟑
𝟕𝟓 𝟖𝟕
)𝟕𝟗 𝟐(
𝟑𝟒 𝟐
244
𝟏𝟖
𝟕𝟗 𝟐
)𝟑(
𝟑)𝟑(𝟑
)𝟑(
)
(
) (
))𝟑𝟎 𝟎 (
)𝟏𝟖( )𝟑𝟎 𝟎 (
𝟏𝟖
𝟑(
)𝟕𝟗 𝟐(
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
س / 9مخــروط دائــري لــائم حجمـــــــ ــه أرتفاعه )
)𝟑
لطــر لاعدتــه أذا كــان
𝟎𝟏𝟐( جــد المٌمـــــة التمرٌبٌــة لنص ـ
وزاري / 2013د2
𝟎𝟏(
الحل / )𝟑()𝟏𝟐(
)𝟑()𝟎𝟏𝟐( 𝟎𝟏
𝟐
𝟐
𝟏 𝟑
)𝟎𝟏( 𝟐
𝟐
𝟎𝟏𝟐
𝟐
𝟑𝟔
𝟑𝟔√ نفرض 𝟒𝟔
𝟏 𝟑
ألرب رلم للعدد ٌسهل حسابه
نفرض 𝟑𝟔 𝟏 𝟖 𝟏 𝟔𝟏
𝟑𝟔𝟎 𝟎
)𝟒𝟔(
𝟒𝟔√
𝟏 )𝟖()𝟐(
𝟏
𝟒𝟔
) ( )𝟒𝟔( ̅
𝟒𝟔√ 𝟐
)𝟒𝟔( ̅ )𝟏 (
𝟏
) (̅
√𝟐
𝟕𝟑𝟗 𝟕 𝟓
س / 10أذا كانـــت 𝟏
)𝟒𝟔(
)
) )𝟏 (
𝟒𝟔(
𝟖
)𝟑𝟔(
جـــد بأســـــــتخدام نتٌجـــــــة مبرهنـــة المٌمــــــة المتوســــــطة المٌمــــــة
) (
𝟏𝟑√
𝟑𝟔𝟎 𝟎
) (
) (̅
(
)𝟑𝟔𝟎 𝟎( )𝟏 (
𝟖
) (
√
) (̅
)𝟑𝟔(
𝟑𝟔
وزاري / 2013د1
التمرٌبٌة الى )𝟏𝟎 𝟏( الحل / نفرض 𝟏
ألرب رلم للعدد المعطى ٌسهل حسابه معطى
نفرض 𝟏𝟎 𝟏
𝟏𝟎 𝟎 𝟏
𝟐 𝟓𝟕𝟖𝟑 𝟎
𝟓 𝟓
.𝟐 /
𝟏𝟑 𝟎𝟖
𝟏 𝟓)
𝟏𝟑 𝟒)𝟐(𝟓
𝟏 𝟓)
𝟐𝟑(
𝟏
𝟏𝟑(
𝟏𝟑
𝟏𝟑
𝟒 𝟓) 𝟓𝟐(𝟓
𝟒 𝟓)𝟐𝟑(𝟓
𝟏 𝟓)
)𝟏(
𝟏
𝟏𝟑
)𝟏( ̅
𝟒 𝟓)𝟏
𝟏
𝟏𝟑(
𝟓𝟕𝟖𝟑𝟎𝟎 𝟐
)𝟏𝟎 𝟏(
245
𝟏𝟑√
𝟏
𝟏 𝟏𝟑( 𝟓
𝟒
𝟏𝟑(𝟓
)𝟏( ̅ )𝟏𝟎 𝟎( 𝟓𝟕𝟖𝟑𝟎𝟎 𝟎
𝟓
)𝟏𝟑( 𝟓 )𝟏
) (̅
𝟐
𝟏𝟎 𝟏
)𝟏(
)
) (
)𝟓𝟕𝟖𝟑 𝟎( )𝟏𝟎 𝟎(
) (̅
(
))𝟏𝟎 𝟎( 𝟐
) (
𝟏(
)𝟏𝟎 𝟏(
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟐
س / 11بأستخدام معلوماتن فً التفاضل أرسم المنحنً البٌانً للدالة 𝟏 الحل/
𝟏
𝟏
𝟐
أوسع مجال للدالة
التناظر /المنحنً متناظر حول المحور الصادي ألن :
المحاذٌات /
نمط التماطع مع المحورٌن ⁄ال ٌوجد تماطع مع المحورٌن ألن 𝟎
𝟐
⁄ *𝟎+
)
) (
➨
( ) (
المستمٌم المحاذي الشالولً المستمٌم المحاذي األفمً
دراسة ) (
وما ٌنتج عنها
دراسة ) (
وما ٌنتج عنها
) 𝟎
𝟐
) (̅ (
𝟑
الدالة ممعرة فً الفترتٌن 𝟎+
*
𝟎+
246
𝟏
𝟐
𝟐)
)
(
𝟎
𝟎 𝟏
𝟎
( 𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
𝟎
𝟑
𝟐
𝟎/
*
)
𝟏
(
) (̅
̅ ) ( .
𝟏
𝟐
𝟔 𝟒
𝟐
𝟒
𝟔
) (
) (̅
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
تحدٌد النمط الخاصة بالرسم ومن ثم رسمها
******************************************************************
حلول األسئلة الوزارٌة الخاصة بالفصل الثالث سؤال وزاري /96د1 جد نمطة على الدائرة التً معادلتها 𝟒
𝟒
𝟐
𝟐
ٌكون عندها معدل ازدٌاد yمساوٌا ً لمعدل ازدٌاد xز
الحل: ) ( نمسم على )
-
(
) ( ) )
نمسم على ) (
(
⇒
النمطة ) النمطة )
(
247
(
(
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
سؤال وزاري /97د1 سٌارة تسٌر بسرعة ( )30m/sاجتازت إشارة مرورٌة حمراء ارتفاعها ( )3mعن سطح األرض وبعد أن ابتعدت عنها مسافة ) 𝟑√𝟑( اصطدمت بسٌارة أخرى نتٌجة عدم االلتزام بموانٌن المرورز جد سرعة ترٌر المسافة بٌن السٌارة واالشارة الضوئٌةز الحل:
√ فٌثاغورس ) √ (
Y 3m
√
√
)
√
السٌارة
( √
√ X
سؤال وزاري /98د1 إذا كانت ( )1,6تمثل نهاٌة صررى محلٌة للدالة 𝟐) الموجبتٌنز الحل:
)
(
𝟐
) ( جد لٌمة كل من , b
الحمٌمٌتٌن
الدالة
(
تحمك معادلتها
(
)
) (
) ( )
-
(
) (
) ( )
()
(
ٌهمل
248
)
(
) (̀
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
سؤال وزاري /98د1 𝟔𝟏𝟐( جد ابعادها إذا كانت مساحة المعدن المستخدم فً حاوٌة على هٌئة اسطوانة دائرٌة لائمة حجمها صناعتها ألل ما ٌمكنز مع العلم أن الحاوٌة مفتوحة من األعلىز )𝟑
المانون الرئٌسً
الحل: العاللة
/ )
) (
.
(
̅
⇒
سؤال وزاري /98د1 𝟑 𝟐 ) ( ٌمر بالنمطة ( )-2,2وكانت للدالة نمطة انمالب عند x=1جد لٌمتً إذا كان المنحنً ثم جد نمطة النهاٌة العظمى المحلٌة للدالة fز ) ( الدالة الحل: ) ( تحمك معادلتها ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) (̅ ) ̅( ) ( ) ( ) (̀ ) ̅( ) ( ) (
)
()
)
(
) )
( نهاٌة عظمى محلٌة تزاٌد
إشارة (̀ )x
تنالص
++++++
(
)
+++++++ -1
249
→
تزاٌد
------3
(
(
)
(
) ( ) ( ) (
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
سؤال وزاري /98د 2 لطرها ()3cmز
جد أبعاد مخروط دائري لائم حجمه ألل ما ٌمكن وٌحٌط بكرة نص الحل :نفرض أبعاد المخروط r ,h
المانون الرئٌسً فً المثلث abcالمائم الزاوٌة فً :b )
√
(
من تشابه المثلثٌن ade , abcنحصل على: بالتربٌع )
)
(
(
√ )
(
)
(
العاللة
)-
( ,
)
(
) )
نضع
)
) (
)
(
)
(
(
) )
(
(
(
(
(
(, )
)
(
)
)
-
)
√
̀
(
,
)
(
̀
(
̀ )
(
)
(
⇒
(
)
ٌهمل )
(
) )
( ( √
250
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
سؤال وزاري /99د1 جد إبعاد اسطوانة دائرٌة لائمة مساحتها الجانبٌة أكبر ما ٌمكن موضوعة داخل كرة نص الحل:
لتكن
المساحة الجانبٌة
𝟐√𝟔ز
لطرها
المانون الرئٌسً
نفرض أبعاد االسطوانة r, 2h فٌثاغورس العاللة
√
)
(
)
)
(
( )
(
√
( √
)
√ )
) √ (
(
)
(
)
→ )
̅ ̅
( ( ٌهمل √
√ االرتفاع
) (
سؤال وزاري /2000د2 اسطوانة دائرٌة لائمة ٌزداد ارتفاعها بمعدل ( )0.5 cm/sبحٌث ٌظل حجمها دائما ً مساوٌا ً معدل ترٌر نص لطر الماعدة عندما ٌكون االرتفاع ()5 cmز
)𝟑
𝟎𝟐𝟑( جد
الحل: العاللة
)
(
251
)
( ̅
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
سؤال وزاري /2000د2 𝟐
خزان من الحدٌد ذو غطاء كامل على شكل متوازي سطوح مستطٌلة لاعدته مربعة وحجمه لتكون مساحة الصفائح المستخدمة فً صنعة ألل ما ٌمكنز االرتفاع × محٌط الماعدة الحل :لتكن Aالمساحة الكلٌة
𝟔𝟏𝟐 جد ابعاده
المانون الرئٌسً
نفرض طول المربع ,xاالرتفاع y العاللة ̅
/ )
.
) (
(
→
̅
⇒
سؤال وزاري /2001د1 جد بعدي علبة اسطوانٌة دائرٌة لائمة مسدودة من نهاٌتها ,مساحتها السطحٌة تساوي حجمها أكبر ما ٌمكنز
𝟐
𝟒𝟐 عندما ٌكون
الحل :نفرض ابعاد االسطوانة r , h المانون الرئٌسً
)
(
⇒
العاللة ) )
( )
(
⇒
252
(
⇒
(
) )
(
)
(
̅
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
سؤال وزاري /2002د1 لتكن 𝟖 𝟐 جد نمطة تنتمً إلى المنحنً وتكون ألرب ما ٌمكن إلى النمطة ()6,0 الحل :نفترض النمطة ()x ,y ( ) المانون الرئٌسً √ العاللة (
)
)
√
̅ (
) نجعل
(√
)
√
√ (
)
̅
( ) (
النماط ()2,-4( , )2,4 سؤال وزاري /2002د2 جد نمطة االنمالب لمنحنً الدالة 𝟐 الحل:
𝟑
𝟑
) ( ثم جد معادلة مماس المنحنً عند نمطة انمالبهز ) ( )
) ( ( نمطة انمالب ) ( )
( ) معادلة المماس سؤال وزاري /2003د2 𝟑 ٌمس المنحنً المستمٌم 𝟕 𝟏 جد لٌمة محلٌة عند 𝟐 الحل:
𝟐
)
(
⇒
) (̀ (
مٌل المماس
عند النمطة ( )2,-1وللمنحنً نهاٌة صررى ̀ المٌل
) ( معامل
) ( بالطرح
) (̀
المٌل
معامل 𝟏 ) عند 𝟐
) (
(
⇒
)
( ̀
) ( )
(
الدالة
تحمك معادلتها )
(
253
) (
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
سؤال وزاري /2004د1 لطعة سلن طولها 8 cmلطعت إلى لطعتٌن بحٌث صنع من األولى دائرة ومن الثانٌة مستطٌل طوله نص جد طول كل لطعة لٌكون مجموع مساحتً المستطٌل والدائرة ألل ما ٌمكنز
عرضه
الحل :لٌكن محٌط الدائرة x نفرض عرض المستطٌل y محٌط المستطٌل هو 8-x طول المستطٌل = 2y االرتفاع × محٌط الماعدة
المانون
) محٌط المستطٌل
( (
)
العاللة) (
العاللة ) ( )
محٌط الدائرة )
( )
)
(
(
)
.
/
)
( )
(
(
)
(
()
(
̀ ̀
طول المطعة االولى
)
254
(
طول المطعة الثانٌة
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
سؤال وزاري /2005د1 𝟐 لتكن 𝟏 توجد نمطة انمالب للدالة؟ز الحل:
)
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
𝟑
هل
) ( )-1,2( ,نمطة نهاٌة عظمى محلٌة للدالةز جد لٌمتً الدالة
(
تحمك معادلتها ) ( )
)
(
) (̀
( ) ( ) (
) ( ) ( ) /
(
.تمثل نمطة انمالب
سؤال وزاري /2007د1 إذا كانت الحل:
𝟑
𝟐
)
(
جد لٌمة
إذا علمت أن المنحنً الدالة نمطة انمالب هً ( )1,2ز تحمك معادلتها
الدالة
) (
) (
) ( ) (̀ )𝟐 𝟏( نمطة انمالب ⇐ 𝟎
) ( ̿ عندما )𝟏
) (̀
( ) (
) ( بالطرح
255
) (
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
سؤال وزاري /2007د2 عددان موجبان حاصل ضربهما ( )16ومجموعهما اصرر ما ٌمكنز فما العددان؟ز المانون الرئٌسً
الحل :نفرض العددان x, y
العاللة ̅ )
(
⇒
سؤال وزاري /2008د2 جد مساحة أكبر مستطٌل ٌمكن رسمه داخل مثلث متساوي االضالع وارتفاعه الحل :نفرض أبعاد المستطٌل 2x, y
𝟑 √𝟒
المانون الرئٌسً
A=2x y
فً المثلث abcالمائم الزاوٌة فً :b √
√
√
√
√
من تشابه المثلثٌن dec , abcنحصل على: )
(
√
√
√ العاللة
√ )
√ √ (
√ √
) √
(
√
√
√ √
256
√
√
√
√
√
) √ () (
̀
โ ซุฃุนุฏุงุฏโ ช /โ ฌุงุฃู ุณุชุงุฐ ุนู ู ุญู ู ุฏ ๐ โ ช๐ ๐ 8๐ 083๐ 05โ ฌโ ฌ
โ ซุงู ู ุตู ุงู ุซุงู ุซโ ช /โ ฌุชุทุจู ู ุงุช ุงู ุชู ุงุถู โ ฌ
โ ซุณุคุงู ู ุฒุงุฑู โ ช/2009โ ฌุฏโ ช1โ ฌโ ฌ โ ซุทุฑู ู ุงู ู ุชุนุงู ุฏุงู ู ู ุชู ู ุงู ู ู โ ชmโ ฌุฒ ุชุญุฑู ุช ุณู ุงุฑุชุงู ู ู ู ู ุทุฉ โ ช mโ ฌู ู ู ู ู ู ุง ู ู ุทุฑู ู ู ู ุงู ู ุนุฏู ุณุฑุนุฉ ุงู ุณู ุงุฑุฉโ ฌ โ ซุงุฃู ู ู โ ช 80km/hโ ฌู ู ุนุฏู ุณุฑุนุฉ ุงู ุณู ุงุฑุฉ ุงู ุซุงู ู ุฉ โ ช60km/hโ ฌุฒ ุฌุฏ ู ุนุฏู ุงุงู ุจุชุนุงุฏ ุจู ู ุงู ุณู ุงุฑุชู ู ุจุนุฏ ุฑุจุน ุณุงุนุฉ ู ู ุจุฏุกโ ฌ โ ซุงู ุญุฑู ุฉ ู ู โ ชmโ ฌุฒโ ฌ โ ซุงู ุญู โ ช:โ ฌโ ฌ โ ซุงู ู ุณุงู ุฉ ุงู ุชู ู ุทุนุชู ุง ุงู ุณู ุงุฑุฉ ุงุฃู ู ู ู ุจุนุฏ ุฑุจุน ุณุงุนุฉโ ฌ
โ ซโ ช. /โ ฌโ ฌ
โ ซุงู ู ุณุงู ุฉ ุงู ุชู ู ุทุนุชู ุง ุงู ุณู ุงุฑุฉ ุงู ุซุงู ู ุฉ ุจุนุฏ ุฑุจุน ุณุงุนุฉโ ฌ
โ ซโ ช. /โ ฌโ ฌ โ ซุณู ุงุฑุฉ โ ช2โ ฌโ ฌ
โ ซู ู ุซุงุบู ุฑุณโ ฌ โ ซ)โ ฌ
โ ซ(โ ฌ
โ ซ)โ ฌ
โ ซ(โ ฌ โ ซโ ชYโ ฌโ ฌ
โ ซโ ชZโ ฌโ ฌ
โ ซโ ฌโ ซ)โ ฌ
โ ซ(โ ฌ
โ ซ(โ ฌ
โ ซ)โ ฌ
โ ซโ ช. /โ ฌโ ฌ
โ ซุณู ุงุฑุฉ โ ช1โ ฌโ ฌ
โ ซโ ชmโ ฌโ ฌ
โ ซโ ชXโ ฌโ ฌ
โ ซุณุคุงู ู ุฒุงุฑู โ ช/2009โ ฌุฏโ ช1โ ฌโ ฌ โ ซุฅุฐุง ู ุงู ุช ๐ )โ ฌ โ ซุงู ุญุฑุฌุฉุฒโ ฌ โ ซุงู ุญู โ ช:โ ฌโ ฌ
โ ซ)โ ฌ
โ ซ๐ โ ฌ
โ ซ(โ ฌ
โ ซ(โ ฌ
โ ซ) (โ ฌ
โ ซู ุงู ู ู ุทุฉ (โ ช )1,-2โ ฌุญุฑุฌุฉุฒ ุฌุฏ ู ู ู ุฉ โ ช b,aโ ฌุงู ู ู ุฌุจุชู ู ุซู ุจู ู ู ู ุน ุงู ู ู ุทุฉโ ฌ โ ซุชุญู ู ู ุนุงุฏู ุชู ุงโ ฌ
โ ซุงู ุฏุงู ุฉโ ฌ
โ ซ)โ ฌ โ ซ)โ ฌ
โ ซ(โ ฌ โ ซ(โ ฌ
โ ซ) (โ ฌ โ ซโ ช-โ ฌโ ฌ
โ ซ)โ ฌ
โ ซโ ช257โ ฌโ ฌ
โ ซ(โ ฌ
โ ซ) (โ ฌ
โ ซ)โ ฌ
โ ซ(โ ฌ
โ ซ) (ฬ โ ฌ
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
) ( )
(
()
ٌهمل
)
) (̀
(
( نهاٌة صغرى محلٌة
)
سؤال وزاري /2009د2 إذا كان المستمٌم 𝟖𝟐 الحل:
)
(
𝟗
مماسا للدالة 𝟏
𝟑
𝟐
الدالة
) ( عند النمطة ( )3,1جد لٌمة
تحمك معادلتها )
) (
ز
) (
( ) ( ) (
) مٌل المماس(
) (
) (̀
) (̀ ) (̀ معامل معامل )
) (
مٌل المماس
(
⇒
وبضرب المعادلة) ( بالعدد) ( نحصل
نعوض فً المعادلة)𝟏( لحساب لٌمة ) ( )
258
(
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
سؤال وزاري /2009د2 سلم طوله (ٌ )13mرتكز على حائط شالولًز فاذا تحرن الطر األسفل للسلم مبتعدا من الحائط بمعدل 4m/sجد معدل انزالق الطر األعلى للسلم عن األرض فً اللحظة التً ٌكون فٌها الطر األسفل على بعد 5mمن الحائطز الحل: فٌثاغورس )
(
Y 13m
) (
) ( ⁄
5m
سؤال وزاري /2010د2 جد مساحة أكبر مثلث متساوي السالٌن ٌمكن رسمه داخل دائرة نص الحل :نفرض ابعاد المثلث 2x, h
X
لطرها ()6 cmز )
(
المانون الرئٌسً ) العاللة
√ (
) )
(
)
)
(
√ )
√ (
( )
̅
( )
(
(
̅
⇒ ٌهمل
√
√ √
259
) ()
(√
) () √ (
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
سؤال وزاري /2014د1 𝟐
لتكن ) ( نمطة تتحرن على المطع المكاف
جد أحداثً النمطة ) ( عندما ٌكون المعدل الزمنً ألبتعادها
𝟑
عن النمطة ٌ .𝟎 /ساوي ثلث المعدل الزمنً لترٌٌر األحداثً الصا دي للنمطة ) ( 𝟐
الحل /
لتكن النمطة )
(
𝟏
للمطع المكافئ
𝟑
𝟑
لتكن النمطة .𝟎 𝟐 / Sالمسافة بٌن N , M 𝟐 )𝟏
𝟗 ) 𝟒
𝟑
𝟐
(
𝟐 𝟑 ) 𝟐
√
(
𝟐
(
(√
𝟐
𝟐 𝟑 ) 𝟐
√
𝟐
𝟐 )𝟏
̅̅̅̅̅
(
𝟐)𝟎
𝟐 𝟗 ) 𝟒
𝟐
(√
𝟏
)نشتك بالنسبة للزمن( 𝟏
) )𝟐
𝟐
𝟐(
) تربٌع الطرفٌن (
𝟐 )𝟏
(𝟑
𝟐
𝟐(
𝟏
𝟐 𝟗 / 𝟒
𝟐. 𝟗 𝟒
𝟐
𝟐
)𝟏
√
)𝟏 𝟔𝟑
𝟐
𝟐
𝟗 𝟒
)𝟒 (
𝟐 𝟐𝟕
𝟐
𝟐
𝟐
𝟓 √ 𝟐𝟑
𝟏√
𝟐
𝟖 𝟐
𝟓 √ 𝟐𝟑
260
𝟐𝟑
𝟐 𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
𝟒
𝟐
𝟐)𝟏
𝟓 √ 𝟐𝟑
𝟏
𝟐
𝟐
𝟒𝟔
𝟏
𝟏 𝟑
√ 𝟐
𝟗 𝟐 (𝟗 𝟒 𝟔𝟑 𝟗
𝟕𝟐 𝟐 𝟎 𝟕𝟐 ⇒ 𝟐 𝟎 𝟐𝟑 𝟕𝟐 )نضٌف العدد )𝟏( الى طرفً المعادلة لكً ٌصبح مربع كامل( 𝟐𝟑 𝟕𝟐 𝟏 𝟏 𝟐𝟑 𝟓 )جذر الطرفٌن( 𝟐𝟑 𝟓 𝟐𝟑
𝟐.
(𝟐
)𝟐𝟑 (
√
𝟏 ( 𝟐
𝟐
)𝟐
𝟏 𝟑
𝟏
𝟐 𝟗 / 𝟒
𝟐
𝟐(
𝟐 𝟗 ) 𝟒
𝟐
(
(
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
سؤال وزاري /2014د3 جــــــد معادلــة المنحنــً عندها ٌساوي )𝟏( )
الحل /
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05 𝟑
𝟐
حٌــث النمطــة )𝟒 𝟏 ( نمطــة أنمــالب لــه ومٌــل الممــاس
) (
الدالة
(
تحمك معادلتها ) ( مٌل المماس عند نمطة األنمالب ٌساوي )(1 ̅( ) ∴ ) ( ) (
) ( )
)
(
(̀ ) ( ) (
)
(
)
(
) (̀
تحل أنٌا ) ( ( نمطة أنمالب ⇐
النمطة ) ( )
̅(
)
)
̿( ) ) ( ) (
(
) ̿(
تحل أنٌا نعوض فً معادلة ) ( نعوض فً معادلة ) (
) )
)
(
(
( ) (
سؤال وزاري /2014د3 جــــد العدد الذي أذا أضٌ الى نظٌره الضربً ٌكون الناتج أكبر ما ٌمكن ز الحل / الفرضيت :نفرض الؼذد = النظير الضربً للؼذد =
𝟏
الذالت :الؼذد +نظيره الضربً 𝟏
) (
الذراست: ) نجؼل 𝟎
𝟏
𝟏
𝟏
) (̅ (
𝟐
𝟏
𝟐
𝟑
𝟏
)𝟏 ( ̅
𝟏
𝟏
𝟐
𝟐
𝟎
𝟏
𝟐
𝟏
𝟏
𝟎 𝟑
) (̅
𝟐 𝟎
𝟐
𝟏 𝟑
261
𝟏 ) (̅ )𝟏( ̅
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
∴ توجد نهاية عظمي محلية عندما 𝟏 سؤال وزاري /2014د3 أرسم منحنً الدالة الحل/
𝟑
) (
𝟐
أوسع مجال للدالة
بأستخدام معلوماتن فً التفاضل
⁄ *𝟎+
التناظر /المنحنً متناظر حول المحور الصادي ألن :
المحاذٌات /
نمط التماطع مع المحورٌن ⁄ال ٌوجد تماطع مع المحورٌن ألن 𝟎
) (
(
)
➨
) (
المستمٌم المحاذي الشالولً المستمٌم المحاذي األفمً
دراسة ) (
وما ٌنتج عنها
دراسة ) (
وما ٌنتج عنها
) 𝟎
𝟔
) (̅ (
𝟑
𝟑 𝟐)
𝟐
)
(
𝟎
𝟎 𝟏
𝟎
( 𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
𝟎
𝟑
𝟔
𝟎/
262
)
𝟑
(
) (̅
̅ ) ( .
𝟐
𝟖𝟏 𝟒
𝟑
𝟒
𝟑 𝟐
𝟖𝟏
) (
) (̅
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل الدالة ممعرة فً الفترتٌن 𝟎+
*
*
𝟎+
تحدٌد النمط الخاصة بالرسم ومن ثم رسمها
1
𝟑√
2
𝟑 √ 𝟐
3
𝟏
سؤال وزاري / 2015د2 أذا كان
𝟏
) (
√
من 𝟒 الى 𝟏𝟎 𝟒 ؟
جد ممدار الترٌٌر التمرٌبً للدالة أذا ترٌرت
الحل /
( معطى
نفرض )𝟒
( معطى
نفرض )𝟏𝟎 𝟒
𝟏𝟎 𝟎 𝟏 𝟑
𝟓𝟐𝟔𝟎 𝟎
√ 𝟐
)𝟒( ̅
) (̅ 𝟏 𝟔𝟏
ممدار التغٌٌر التمرٌبً
𝟑 𝟏 ( ). 𝟐 / 𝟐
𝟏 )𝟖(𝟐
)𝟒( ̅
𝟓𝟐𝟔𝟎𝟎𝟎 𝟎
263
𝟏
( ). 𝟐 /
) (̅ 𝟏 𝟑)𝟒(√
𝟐
𝟏𝟎 𝟒
𝟒
𝟏
) (
)𝟒( ̅
)𝟓𝟐𝟔𝟎 𝟎 ()𝟏𝟎 𝟎(
√ 𝟏 𝟑
) 𝟒( ̅
√ 𝟐
) ( ) (̅
) (̅
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
سؤال وزاري / 2015د2 جد نمطة تنتمً للمنحنً 𝟓
𝟐
𝟐
لكً تكون ألرب ما ٌمكن من النمطة )𝟎 𝟒(
الحل/ الفرضٌة :نفرض أن النمطة )
(
هً من نمط المنحنً 𝟓
الدالة :هً لانون المسافة
𝟐)𝟎 العاللة𝟓) :
𝟐)𝟒
( 𝟐
𝟐 ( 𝟐
𝟔𝟏
𝟐 (
)
(√ 𝟐
𝟖
𝟔𝟏
𝟐 √
𝟖
𝟏𝟐
√
𝟐√
𝟐
𝟖
الدراسة: ) نجعل 𝟎
(
𝟖
𝟐 𝟐√)𝟐(
𝟏𝟐
𝟎
𝟎
𝟖
𝟒
𝟏𝟐
𝟐
𝟖
𝟒
𝟖
𝟐 𝟐√)𝟐( 𝟎
𝟒
𝟖
𝟐 𝟑 النماط هً )𝟑
𝟗
(
𝟒
𝟐
𝟐
)𝟑 𝟐(
264
𝟐
𝟐
بحٌث تكن ألرب ما ٌمكن للنمطة )𝟎 𝟒(
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
سؤال وزاري / 2015د2 مصـباح علـى أرتفــاع 𝟒 𝟔 متـر مثبـت علــى عمـود شــالولً وشـخص طولـــــــــه 𝟔 𝟏 متــر ٌتحـرن مبتعـدا عــن 𝟑𝟎 ⁄جد سرعة ترٌٌر طول ظل الرجل العمود وبســــرعة الحل / نفرض بعد الرجل عن لاعدة المصباح نفرض طــــــول ظل الرجــــــــــــل
حٌث 𝟎𝟑
8فً أي زمن t
العاللة هً تشابه مثلثات او أستعمال )(tan 𝟒𝟔
فً المثلث الكبٌر
𝟔𝟏
فً المثلث الصغٌر 𝟒
𝟏
⇒
)نشتك بداللة ( )
𝟎𝟑 𝟑
𝟏𝟎 ( ⁄
معدل ترٌٌر طول ظل الرجل = )
𝟔𝟏
)𝟔 𝟏 (
𝟒𝟔
𝟑 /
𝟒
.
𝟑
𝟑
𝟏𝟎 ( ⁄
سؤال وزاري / 2015د3 ســلم ٌرتكــز طرفــه األعلــى علــى حــائط شــالولً وطرفــه األســفل علــى أرض أفمٌــة ,فــأذا كانــت ســرعة حركــة طرفــه األســفل 𝟏
/
𝟓
, .جد معدل أنزالق طرفه األعلى فً اللحظة التً تكون الزاوٌة المحصورة بٌن السلم واألرض
الحل /
الطريقة① نـــــفرض طــــــــــول الســـــــــــــلم نفرض بعد لاعدة الســــــــــلم عن الحائط نفرض بعد رأس السلم عن األرض نفرض الزاوٌة بٌن الســــــــلم و األرض
{فً أي زمن t
العاللة هً فٌثاغورس معادلة① 𝟑√ 𝟐 𝟏 𝟐
𝟑 𝟑
265
𝟐
𝟐
𝟐
𝟑
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل األن نشتك المعادلة ① بالنسبة للزمن 𝟑√ 5 𝟐
𝟎
𝟐4
𝟏
) ( ⁄ معدل االنزالق الطر
𝟏 𝟏 ) () (𝟐 𝟐 𝟓 𝟑√𝟓
𝟑√𝟓
العلوي للسلم = m/s
𝟎
𝟐
𝟐
𝟎
𝟑√
𝟏 𝟓
𝟐 𝟑√
الطرٌمة② 𝟑√
𝟑√
𝟑
األن نشتك المعادلة ① بالنسبة للزمن 𝟎
𝟏 ) ( ) (𝟐 𝟓
) 𝟑√(𝟐
) ( ⁄
𝟐
𝟏
𝟑√𝟎𝟏
𝟑√𝟓
سؤال وزاري / 2015د3 𝟑 𝟐√ ) ( أذا كانت 𝟔
𝟎
𝟐
𝟐
𝟎
𝟑√𝟐
𝟐 𝟓
جد بأستخدام نتٌجة مبرهنة المٌمة المتوســطة المٌمـة التمرٌبٌة لـ )𝟐𝟎 𝟏(
الحل / ألرب رلم للعدد المعطى ٌسهل حسابه
نفرض 𝟏 نفرض 𝟐𝟎 𝟏
معطى 𝟐𝟎 𝟎 𝟏
𝟑 𝟑
.𝟐 /
𝟐 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟏 𝟎
𝟏 𝟔
𝟏 𝟑)
𝟐 𝟐)𝟐(𝟑
𝟖(
𝟏 𝟑)
𝟔
𝟐(
𝟐
𝟐
𝟐 𝟑) 𝟑𝟐(𝟑
𝟐 𝟑)𝟖(𝟑
𝟏 𝟑)
)𝟏(
𝟏
𝟔
𝟐(
𝟐
)𝟏( ̅
𝟐 𝟑)𝟔
𝟑𝟑𝟑𝟎𝟎 𝟐
)𝟏𝟎 𝟏(
266
𝟐√
𝟔
𝟏 𝟐( 𝟑
𝟐
𝟐(𝟑
)𝟏( ̅ )𝟐𝟎 𝟎( 𝟑𝟑𝟑𝟎𝟎 𝟎
𝟑
)𝟐( 𝟑 )𝟔
) (̅
𝟐
𝟐𝟎 𝟏
)𝟏(
)
) (
)𝟔𝟔𝟔𝟔𝟏 𝟎( )𝟐𝟎 𝟎(
) (̅
(
))𝟐𝟎 𝟎( 𝟐
) (
𝟏(
)𝟐𝟎 𝟏(
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
سؤال وزاري / 2015د3 جد مساحة أكبر مستطٌل ٌمكن رسمه داخل نص
لطرها 𝟔 سم
دائرة نص
الحل/ الفرضٌة :نفرض طول المستطٌل = 𝟐
ونفرض مساحة المستطٌل = A
نفرض عرض المستطٌل
الدالة :هً لانون مساحة المستطٌل
)معادلة (
𝟐
العاللة :فٌثاغورس فً المثلث المائم )(ABC 𝟐 𝟔𝟑 )معادلة②(
𝟐)
𝟐
𝟐
𝟔(
𝟐
𝟔𝟑√
نعوض معادلة ② فً معادلة
𝟐/ )𝟒
𝟐
𝟔𝟑√𝟐 .
𝟐
𝟐
𝟔𝟑√𝟐 .
𝟒/
𝟔𝟑(𝟒√
𝟐
𝟒
𝟐
𝟒𝟒𝟏√
الدراسة: 𝟑
) نجعل 𝟎
(
𝟔𝟏
𝟒/
𝟖𝟖𝟐
𝟐
𝟒𝟒𝟏√𝟐 .
𝟑
𝟎
𝟑
𝟖𝟖𝟐
𝟔𝟏 )𝟐
𝟎
(
)
𝟔𝟏 𝟐
𝟒
𝟖𝟖𝟐 𝟒𝟒𝟏√( 𝟐
𝟑
𝟎 ) ٌهمل(
𝟖𝟏
𝟎 𝟐
)ٌهمل السالب (
𝟐√𝟑
) عرض المستطٌل ( 𝟐√𝟑 √ ) طول المستطٌل (
مساحة أكبر مستطٌل
𝟐
𝟔𝟑
𝟐√𝟑 𝟔𝟑√ 𝟐√𝟔
𝟐 𝟔𝟑√ )𝟐√𝟑(𝟐
)𝟐√𝟑()𝟐√𝟔(
𝟐
األختبار :لألطالع
267
𝟐
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
سؤال وزاري / 2015د3 𝟑 ٌمــس المنحنــً المســـــتمٌم 𝟕 جد لٌمة محلٌة صررى عند 𝟓
𝟐
عنــد )𝟏
𝟐( وكــان للمنحنــً نهاٌـــــ ــة
الحل/
النمطة )𝟏
𝟐( تحمك معادلة المنحنً
) معادلة①(
𝟏
𝟐
∵ للمنحنً نهاٌة صررى محلٌة عند 𝟓 ) معادلة②(
𝟐
)𝟐( عندما
𝟒
⇐ 𝟎
)𝟐(
𝟐
𝟏
) ( 𝟐
𝟎𝟏
𝟐
𝟎
نجد معادلة مٌل المستمٌم المماس من معادلته : معامل معامل نجد مٌل منحنً الدالة عند نمطة التماس ( اي نجد
)
عندما
𝟒 ∵ مٌل المستمٌم المماس
𝟐
مٌل منحنً الدالة عند نمطة التماس ) معادلة③(
𝟑
𝟒
𝟒
بحل المعادلتٌن ( )2و ( )3أنٌا ً نحصل على : ) معادلة②(
بالطرح
) معادلة③(
)نعوض فً معادلة②( )نعوض فً معادلة ① ألٌجاد 𝐜 (
) ) (
268
)
(
(
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
سؤال وزاري / 2016د1 جـد أبعـاد أكبـر أســــــطوانة دائرٌـة لائمــــة توضـــــع داخـل مخـروط دائـري لـائم أرتفاعـــــه ) 𝟎𝟏( لاعدته )
𝟔( وطـول لطــر
الحل/ الفرضٌة :نفرض نص لطر لاعدة األسطوانة =R الدالة :هً لانون حجم االسطوانة
ونفرض أرتفاع المخروط =h 𝟐
)معادلة ( العاللة :تشابه مثلثات )(ADE , ABC
𝟓
𝟔
/معادلة②.
𝟔 𝟔
𝟎𝟑
𝟓
𝟓
𝟔
𝟎𝟑
نعوض معادلة ② فً معادلة )
𝟑
𝟐
𝟔
𝟎𝟑(
الدراسة:
)
𝟓
) نجعل 𝟎
)𝟔
(
𝟐
𝟎
𝟔 𝟓
(
𝟎𝟑 (
)
𝟐
𝟐
𝟐
𝟎𝟔(
𝟖𝟏
𝟖𝟏
𝟎𝟔
𝟎
𝟎
) 𝟑
𝟎𝟏(
𝟎
𝟎𝟐
𝟎𝟑
𝟎𝟏 𝟓
𝟓
𝟐
𝟑
)
) ٌهمل( 𝟎𝟏 𝟑 𝟎𝟏 𝟔. 𝟑 / 𝟓
𝟐
𝟖𝟏
𝟓 𝟎𝟔(
𝟓
𝟎𝟏
𝟎 𝟎
𝟎𝟑
𝟑
𝟔
𝟎𝟏
𝟎𝟑 𝟓 𝟐
∴ أبعاد أكبر أسطوانة هً :
𝟎𝟏
𝟐 ,
𝟑
مالحظة ٌ :مكن كتابة العاللة فً السؤال السابك بالشكل التالً : العاللة :تشابه مثلثات )(ADE , ABC
𝟓 𝟔
𝟔 𝟎𝟑
𝟔 𝟓
𝟓
𝟎𝟑
269
𝟔
ونفرض حجم المخروط=V
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
سؤال وزاري / 2016د1 𝟔𝟗 ٌتمـدد عرضـها بمعـدل ⁄ صــــفٌحة معدنٌة مستطٌلة الشكل مسـاحتها 𝟐𝟏 ثابتة ,جد معدل ترٌٌر الطول عندما ٌكون الطول مساوٌا ً لـ 𝟐
𝟐 بحٌـث تبمـى مســـــاحتها
الحل /
نفرض طول المستطٌل نفرض عرض المستطٌل
فً اي زمن t
8
العاللة هً مساحة المستطٌل ) ( = -
,
)نحسب لٌمة
(
𝟖
𝟔𝟗 𝟐𝟏
𝟔𝟗
معادلة① )𝟐𝟏(
𝟔𝟗
األن نشتك معادلة ① بالنسبة للزمن 𝟎
)𝟖(
)𝟐()𝟐𝟏(
𝟎
) ⁄
𝟒𝟐 𝟖
( 𝟑
∴ معدل التنالص فً طول المستطٌل = ) ⁄
سؤال وزاري / 2016د1 𝟑 ) ( أذا كانـــت 𝟐 𝟒 عـــندما
𝟐
حٌـــث
𝟑 (
-
وكانـــت
𝟎,
تحمـــك مــــــبرهنة المٌمــــــة المتوســـــــطة
فجد لٌمة
𝟑
الحل / 𝟐
𝟖
𝟑
) (̅
𝟐
𝟒
𝟑
) (
الدالة تحمك شروط مبرهنة المٌمة المتوسطة
) مـــــــٌل الوتـــــــر
𝟒 𝟐
𝟐
𝟐𝟏 𝟑
𝟒 𝟎
)𝟐
()𝟐
𝟔𝟏 𝟑
𝟐
) (
مـــــــٌل الممـــــاس (
𝟒 𝟑
(
𝟎
270
𝟒
)𝟎(
)𝟐
) 𝟒
𝟐
𝟒
𝟐
𝟒 (
) ( 𝟑
(
) (̅
𝟖
𝟑
𝟐 𝟐 ) (𝟑 𝟑
𝟐 ) (𝟖 𝟑 𝟒
𝟐
𝟐
𝟒
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
لوانٌن مفٌدة جدا ) العرض
𝟐
محٌط المستطٌل
الطول(𝟐
حجم المخروط
𝟑
العرض
الطول
مساحة المستطٌل
)طول الضلع(𝟒
𝟐
مساحة المربع
الدائرة محٌط
𝟐
محٌط الماعدة
مساحة الماعدتٌن
مساحة الكرة
𝟒 𝟐
حجم األسطوانة 𝟒 𝟑
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟐
األرتفاع
المساحة الجانبٌة
المٌل
271
المساحة السطحٌة للمكعب
المساحة الجانبٌة لمتوازي المستطٌالت
المساحة الكلٌة لمتوازي المستطٌالت
األرتفاع
حجم متوازي المستطٌالت
مجموع أطوال أضالعه الثالثة
محٌط المثلث
𝟏 )األرتفاع()الماعدة( 𝟐
مساحة المثلث
𝟐
حجم الكرة
𝟐
) طول الضلع(𝟔
مساحة الماعدة
مساحة الدائرة
𝟐
𝟑
𝟐
محٌط المربع
) طول الضلع(
𝟐
𝟑
) طول الضلع(
حجم المكعب
)𝟏
(
𝟐
)𝟏
(√
المسافة