matematiksel iktisat ders notları (matris işlemleri) by Ertaç GÜÇLÜ

MATRİS İŞLEMLERİ

2 Temel

matris

yapmadan

işlemlerinin

önce,

bir

doğrudan

eşanlı

matematik

denklem

sisteminin

açılımını matris

işlemleri kullanılarak nasıl daha kolay ve sistematik bir çözüm verdiğini, basit bir piyasa modeliyle görmeye çalışalım. Bu modeli tanımlayalım ve ilk olarak sıradan denklem çözüm yöntemiyle (yerine koyma ya da yok etme yollarından biriyle) sonuca ulaşalım, daha sonra da aynı modeli matris yoluyla çözelim.

3 Tek mallı basit bir piyasa modeli düşünelim. Bu piyasaya ilişkin talep ve arz denklemlerinin şöyle olduğunu varsayalım:

Qd = a − bP

a, b > 0

Qs = − c + dP

c, d > 0

Piyasa Dengesi:

Qd =Qs

Şekil 2.1a. İki Ürünlü Piyasa Modeli

Qd = a − bP Q

Qs = − c + dP S

•

D 0 −c

c d

a b

Şekil 2.1b. İki Ürünlü Piyasa Modeli

a 1 P = − Qd b b

a b

•

c d −c 0

c 1 P = − + Qs d d

D Q*

6 Buna göre piyasa dengesini sağlayan (yani piyasanın arz ve talep miktarını eşitleyen) denge fiyatı ve denge miktarını basitçe bulabiliriz:

Qd = Qs

→

a − bP = − c + dP

Q = Q = Q = a − bP * s

* d

ad − bc Q = b+d *

→

a+c P = b+d *

⎛ a+c⎞ Q = a − b⎜ ⎟ ⎝ b+d ⎠ *

7 Şimdi bu çözümü, matris işlemleriyle yapalım:

Qd = a − bP

Q + bP = a

Qs = − c + dP

Q − dP = − c

⎡1 ⎢ ⎢⎣1

b ⎤ ⎥ − d ⎥⎦

⎡Q ⎤ ⎡ a ⎤ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢⎣ P ⎥⎦ ⎢⎣ − c ⎥⎦

8 Cramer yöntemiyle denge fiyatı ve miktarını çözebiliriz:

bc − ad ad − bc = = Q = − (b + d ) A b+d *

⎡1 A= ⎢ ⎢⎣1 ⎡a A1 = ⎢ ⎢⎣ − c

b ⎤ ⎥ − d ⎥⎦ b ⎤ ⎥ − d ⎥⎦

→

A = − (b + d )

A1 = bc − ad

− (a + c)

a+c = = P = − (b + d ) b + d A *

⎡1 A= ⎢ ⎢⎣1 ⎡1 A2 = ⎢ ⎢⎣1

b ⎤ ⎥ − d ⎥⎦

→

A = − (b + d )

a⎤ ⎥ − c ⎥⎦

→

A2 = − ( a + c )

10 Buna bir sayısal örnek verelim:

Qd = 53 − 3 P Qs = −10 + 6 P Bu örneği ilk olarak yok etme yöntemiyle çözelim:

Qd = Qs P =7 *

→ ,

53 − 3 P = −10 + 6 P

Q = 32 *

11 Şimdi bu çözümü, matris işlemleriyle yapalım:

Qd = 53 − 3 P

Q + 3 P = 53

Qs = −10 + 6 P

Q − 6 P = −10

⎡1 ⎢ ⎢⎣1

3⎤ ⎥ −6 ⎥⎦ A

⎡ Q ⎤ ⎡ 53 ⎤ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢⎣ P ⎥⎦ ⎢⎣ −10 ⎥⎦

12 Cramer yöntemiyle denge fiyatı ve miktarını çözebiliriz:

−288 = = 32 Q = −9 A *

⎡1 A= ⎢ ⎢⎣1

3⎤ ⎥ −6 ⎥⎦

⎡ 53 A1 = ⎢ ⎢⎣ −10

A = [ (1)( −6) − (3)(1)] = −9

→

3⎤ ⎥ −6 ⎥⎦

→

A1 = [ (53)( −6) − (3)( −10)] = −288

−63 P = = =7 A −9 *

⎡1 A= ⎢ ⎢⎣1 ⎡1 A2 = ⎢ ⎢⎣1

3⎤ ⎥ −6 ⎥⎦ 53 ⎤ ⎥ −10 ⎥⎦

→

A = −9

A2 = −63

14 Yukarıda incelediğimiz tek ürüne ilişkin piyasa modelini iki ürüne genişletelim ve piyasanın denge fiyatları ve miktarlarını bulalım. Bu çözümlemeyi yerine koyma yöntemiyle ya da matris yöntemiyle yapabiliriz. Bu andan itibaren matrisleri kullanarak çözümlemeyi yapalım. Modelimiz şöyledir:

Qd 1 = a0 + a1 P1 + a2 P2 Qs1 = b0 + b1 P1 + b2 P2 Qd 2 = α 0 + α1 P1 + α 2 P2 Qs 2 = β 0 + β1 P1 + β 2 P2

1. piyasa

2. piyasa

15 Her iki piyasada da arz ve talep eşit olduğunda, piyasa dengesi kurulmuş olacaktır.

Qd 1 = Qs1

Qd 2 = Qs 2

→

a0 + a1 P1 + a2 P2 = b0 + b1 P1 + b2 P2

→

( a1 − b1 ) P1 + ( a2 − b2 ) P2 = ( b0 − a0 )

→

α 0 + α1 P1 + α 2 P2 = β 0 + β1 P1 + β 2 P2

→

( α1 − β1 ) P1 + ( α 2 − β 2 ) P2 = ( β 0 − α 0 )

( a1 − b1 ) P1 + ( a2 − b2 ) P2 = ( b0 − a0 ) ( α1 − β1 ) P1 + ( α 2 − β 2 ) P2 = ( β 0 − α 0 ) ( a2 − b2 ) ⎤ ⎡ P1 ⎤ ⎡ ( b0 − a0 ) ⎤ ⎥ ⎥⎢ ⎥=⎢ ( α 2 − β 2 ) ⎥⎦ ⎢⎣ P2 ⎥⎦ ⎢⎣( β 0 − α 0 ) ⎥⎦

⎡ ( a1 − b1 ) ⎢ ⎢ ( α1 − β 1 ) ⎣ A

Her iki piyasanın denge fiyatını, Cramer yöntemiyle bulabiliriz.

A =

( a1 − b1 ) ( a2 − b2 ) = a − b α − β − a − b α − β ( ( 1 1 )( 2 2) 2 2 )( 1 1) ( α1 − β 1 ) ( α 2 − β 2 )

A1 =

( b0 − a0 ) ( a2 − b2 ) = b − a α − β − a − b β − α ( ( 0 0 )( 2 2) 2 2 )( 0 0) ( β0 − α0 ) ( α2 − β 2 )

A2 =

( a1 − b1 ) ( b0 − a0 ) = a − b β − α − b − a α − β ( ( 1 1 )( 0 0) 0 0 )( 1 1) ( α1 − β 1 ) ( β 0 − α 0 )

∗ 1

P =

∗ 2

P =

∗ 1

A1 A

A2 A

( b0 − a0 ) ( α 2 − β 2 ) − ( a2 − b2 ) ( β 0 − α 0 ) = ( a1 − b1 )( α 2 − β 2 ) − ( a2 − b2 )( α1 − β1 ) ( a1 − b1 ) ( β 0 − α 0 ) − ( b0 − a0 ) ( α1 − β1 ) = ( a1 − b1 )( α 2 − β 2 ) − ( a2 − b2 )( α1 − β1 ) ∗ 1 1

∗ 2

Q = a0 + a P + a 2 P

∗ 2

∗ 1 1

∗ 2

Q = α0 + α P + α2 P

19 Bu modeli çözerken, öncelikle denge fiyatlarını eşanlı olarak (matris

biçimiyle)

çözdük,

ardından

arz-talep

miktarlarını

belirledik. Modelin tümünü matris biçimde ifade ederek, tüm denge miktar ve fiyatları aynı anda belirleyebiliriz. Bunun için modeli Q ’ları da içerecek şekilde matris biçiminde yazalım.

Qd 1 = Qs1 = Q1

Qd 2 = Qs 2 = Q2

Q1 = a0 + a1 P1 + a2 P2

→

Q1 + 0Q2 − a1 P1 − a2 P2 = a0

Q1 = b0 + b1 P1 + b2 P2

→

Q1 + 0Q2 − b1 P1 − b2 P2 = b0

Q2 = α 0 + α1 P1 + α 2 P2

→

0Q1 + Q2 − α1 P1 − α 2 P2 = α 0

Q2 = β 0 + β1 P1 + β 2 P2

→

0Q1 + Q2 − β1 P1 − β 2 P2 = β 0

⎡1 ⎢1 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0

A =

− a1

0 − b1 1 −α1 1 −β1

− a2 ⎤ ⎡ Q1 ⎤ ⎡ a0 ⎤ − b2 ⎥⎥ ⎢⎢ Q2 ⎥⎥ ⎢⎢ b0 ⎥⎥ = −α 2 ⎥ ⎢ P1 ⎥ ⎢ α 0 ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ −β 2 ⎦ ⎣ P2 ⎦ ⎣ β 0 ⎦

− a1 − b1

− a2 − b2

0 1 −α1 0 1 −β1

−α 2 −β 2

1 0 1 0

= ( −1 )

3+ 2

1 − a1 1 − b1 0 −β1

− a2

− b2 + ( −1) −β 2

− a1

− a2

1 − b1 0 −α1

− b2 −α 2

1 4+ 2

22 1+ 1 2+1 ⎡ A = − ( −1) ( b1β 2 − b2β1 ) + ( −1) ( a1β 2 − a2β1 ) ⎤ + ⎣ ⎦

⎡( −1)1+ 1 ( b1 α 2 − b2 α1 ) + ( −1) 2 + 1 ( a1 α 2 − a2 α1 ) ⎤ ⎣ ⎦ A = a2 ( β1 + α1 ) − a1 ( α 2 + β 2 ) + b1 ( β 2 + α 2 ) − b2 ( β1 + α1 )

⎡1 ⎢1 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0 a0 b0 A1 = α0 β0

0 − a1 0 − b1 1 −α1 1 −β1 0 − a1 0 − b1 1 −α1 1 −β1

− a2 ⎤ ⎡ Q1 ⎤ ⎡ a0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ − b2 ⎥ ⎢ Q2 ⎥ ⎢ b0 ⎥ = −α 2 ⎥ ⎢ P1 ⎥ ⎢ α 0 ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ −β 2 ⎦ ⎣ P2 ⎦ ⎣ β 0 ⎦ − a2 a0 − b2 3+ 2 = ( −1 ) b0 −α 2 β0 −β 2 + ( −1 )

4+ 2

a0 b0 α0

− a1 − b1 −β1 − a1 − b1 −α1

− a2 − b2 −β 2 − a2 − b2 −α 2

1+ 1 2+1 3+1 ⎡ A1 = − a0 ( −1) ( b1β2 − b2β1 ) + b0 ( −1) ( a1β 2 − a2β1 ) + β0 ( −1) ( a1b2 − a2 b1 ) ⎤ ⎣ ⎦

1+ 1 2+1 3+1 ⎡ + a0 ( −1) ( b1α2 − b2 α1 ) + b0 ( −1) ( a1α2 − a2α1 ) + α0 ( −1) ( a1b2 − a2 b1 ) ⎤ ⎣ ⎦

A1 = a0 ⎡⎣b1 ( α2 − β2 ) − b2 ( α1 − β1 ) ⎤⎦ + b0 ⎡⎣a2 ( α2 + β 2 ) − a1 ( α1 + β1 ) ⎤⎦ + α0 ( a1b2 − a2 b1 ) + β0 ( a1b2 − a2 b1 )

a0 ⎡⎣b1 ( α2 − β2 ) − b2 ( α1 − β1 ) ⎤⎦ + b0 ⎡⎣a2 ( α2 + β 2 ) − a1 ( α1 + β1 ) ⎤⎦ ∗ 1

Q =

A1 A

+ α0 ( a1b2 − a2 b1 ) + β0 ( a1b2 − a2 b1 )

a2 ( β1 + α1 ) − a1 ( α2 + β 2 ) + b1 ( β 2 + α2 ) − b2 ( β1 + α1 )

∗ 2

Q =

A2 A

∗ 1

P =

A3 A

∗ 2

P =

A4 A

Örnek 1:

Qd 1 = 10 − 2 P1 + P2 Qs1 = −2 + 3 P1

Qd 2 = 15 + P1 − P2 Qs 2 = −1 + 2 P2

1. piyasa

2. piyasa

Qd 1 = Qs1 = Q1

Qd 2 = Qs 2 = Q2

Q1 + 0Q2 + 2 P1 − P2 = 10 Q1 + 0Q2 − 3 P1 + 0 P2 = −2 0Q1 + Q2 − P1 + P2 = 15 0Q1 + Q2 + 0 P1 − 2 P2 = −1

⎡1 ⎢1 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0

A =

−1⎤ ⎡ Q1 ⎤ ⎡ 10 ⎤ ⎢ ⎥ 0 −3 0 ⎥⎥ ⎢ Q2 ⎥ ⎢⎢ −2 ⎥⎥ = 1 −1 1 ⎥ ⎢ P1 ⎥ ⎢ 15 ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 1 0 −2 ⎦ ⎣ P2 ⎦ ⎣ −1⎦ 0

1 0

−1

1 0 −3

0 1 −1

0 1

−2

= ( −1 )

3+ 2

1 2 −1 1 2 −1 4+ 2 1 −3 0 + ( −1 ) 1 −3 0 0

−2

0 −1

3+ 3 1+ 1 2+1 ⎡ ⎤ ⎡ A = − ( −1) ( −2 )( −3 − 2 ) + ( −1) ( −3 ) + ( −1) ( 2 − 1) ⎤ = −14 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

10 0

−2 0 −3 A1 = 15 1 −1 −1 1

−1

0 3+ 2 4+ 2 = ( −1 ) −2 −3 0 + ( − 1 ) − 2 − 3 − 0 1 15 −1 1 −1 0 −2 −2

2+1 2+ 2 ⎡ A1 = − ( −1) ( −2 )( −4 ) + ( −1) ( −3 )( −21) ⎤ ⎣ ⎦

2+ 2 2+ 2 ⎡ + ( −1) ( −2 )( −1) + ( −1) ( −3 )( 25 ) ⎤ = −128 ⎣ ⎦

−128 64 Q = = = A −14 7 ∗ 1

85 Q = = A 7 ∗ 2

26 P = = A 7 ∗ 1

46 P = = A 7 ∗ 2

31 Yukarıda

incelediğimiz

piyasa

modeline

benzer

şekilde,

Keynesyen bir basit makro model dikkate alalım ve bu modeli her iki yöntemle de çözelim.

Y = C + I 0 + G0 C = C 0 + cY İlk olarak yerine koyma yöntemini kullanarak denge ulusal gelir ve denge tüketim düzeylerini belirleyelim.

Y = C + I 0 + G0

C = C 0 + c ( C + I 0 + G0 )

C = C 0 + cY

1 ⎡⎣ C 0 + c ( I 0 + G0 ) ⎤⎦ C = 1− c

Y = C + I 0 + G0

∗

1 ⎡C 0 + c ( I 0 + G0 ) ⎦⎤ + I 0 + G0 Y= ⎣ 1− c 1 Y = C 0 + I 0 + G0 ) ( 1− c ∗

33 Şimdi bu modeli matris işlemlerini kullanarak çözelim.

Y = C + I 0 + G0 C = C 0 + cY

Y − C = I 0 + G0 − cY + C = C 0

−1⎤ ⎡Y ⎤ ⎡ I 0 + G0 ⎤ ⎥ ⎥⎢ ⎥ =⎢ 1 ⎥⎦ ⎢⎣ C ⎥⎦ ⎢⎣ C 0 ⎥⎦

⎡1 ⎢ ⎢⎣ − c

34 Cramer yöntemiyle ulusal gelir ve tüketim denge değerlerini belirleyelim.

A =

A2 =

−1

−c

=1− c

I 0 + G0

−c

−1

= C 0 + I 0 + G0

= C 0 + c ( I 0 + G0 )

C 0 + I 0 + G0 Y = = A 1− c ∗

A1 =

I 0 + G0

∗

C =

A2 A

C 0 + c ( I 0 + G0 ) 1− c

Matrisler ve Vektörler: Genel olarak

değişkenli,

sayıda denklemli bir doğrusal

denklem sistemini şöyle yazabiliriz:

a11 x1 + a12 x2 + ..... + a1n xn = d1 a21 x1 + a22 x2 + ..... + a2 n xn = d 2 ................................................ am 1 x1 + am 2 x2 + ..... + amn xn = d m

36 Yukarıdaki genel doğrusal denklem sisteminin üç temel öğesi vardır:

¾ aij katsayıları kümesi ¾ xj değişkenler kümesi ¾ di sabit terimler kümesi Bu öğeleri matris biçimde şöyle ifade edebiliriz:

⎡ a11 ⎢ ⎢ a21 A= ⎢ ⎢ ... ⎢ ⎢a ⎣ n1

a12

...

a22

...

an 2

...

a1n ⎤ ⎥ a2 n ⎥ ⎥ ... ⎥ ⎥ ann ⎥⎦

⎡ x1 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ x2 ⎥ x =⎢ ⎥ ⎢# ⎥ ⎢ ⎥ ⎢x ⎥ ⎣ n⎦

⎡ d1 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ d2 ⎥ d =⎢ ⎥ ⎢ # ⎥ ⎢ ⎥ ⎢d ⎥ ⎣ m⎦

37 Örneğin aşağıdaki doğrusal denklem sistemini, matris biçimde ifade edelim.

6 x1 + 3 x2 + x3 = 22 x1 + 4 x2 − 2 x3 = 12 4 x1 − x2 + 5 x3 = 10 ⎡6 ⎢ ⎢1 ⎢ ⎢⎣ 4

3 4 −1

1 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ 22 ⎤ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ −2 ⎥ ⎢ x2 ⎥ = ⎢ 12 ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 5 ⎥⎦ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎢⎣ 10 ⎥⎦

ya da

Ax = d

38 Bir matriste bulunan sütun ve sıra sayısı, matrisin boyutunu belirler. Yukarıda genel olarak yazdığımız doğrusal denklem sistemi m tane sıraya, denklem

sisteminden

tane de sütuna sahiptir. Dolayısıyla bu oluşan

katsayılar

matrisi

(A),

mxn

boyutundadır. Katsayılar matrisinde yer alan her bir elemanı, aij ile

gösteriyoruz.

i satır sayısını, j sütun sayısını ifade

etmektedir. Satır ve sütun sayısının eşit olduğu matrise, kare matris diyoruz.

39 Yalnızca bir sütuna sahip matrise, vektör diyoruz. Örneğin x ve

d, birer vektördür. x ’in boyutu nx1, d ’nin boyutu mx1 ’dir.

⎡ x1 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ x2 ⎥ x =⎢ ⎥ ⎢# ⎥ ⎢ ⎥ ⎢x ⎥ ⎣ n⎦

x ′ = ⎡⎣ x1

...

xn ⎤⎦

Matrislerde Eşitlik İki matris ancak ve ancak aynı boyuta sahiplerse ve karşılıklı elemanları özdeş ise eşittirler.

⎡4 ⎢ ⎢⎣ 2

3⎤ ⎡ 4 ⎥ =⎢ 0 ⎥⎦ ⎢⎣ 2

3⎤ ⎡ 2 ⎥ ≠⎢ 0 ⎥⎦ ⎢⎣ 4

0⎤ ⎥ 3 ⎥⎦

Matrislerde Toplama ve Çıkarma İki

matris

ancak

aynı

boyuta

sahiplerse

toplanabilirler. Çıkarma işlemi de aynı özelliklere sahiptir.

⎡ a11 ⎢ ⎢⎣ a21

a12 a22

⎡⎣ aij ⎤⎦

a13 ⎤ ⎡ b11 ⎥+⎢ a23 ⎥⎦ ⎢⎣ b21

b12 b22

⎡⎣ bij ⎤⎦

b13 ⎤ ⎡ a11 + b11 ⎥ =⎢ b23 ⎥⎦ ⎢⎣ a21 + b21

a12 + b12 a22 + b22

⎡⎣ cij ⎤⎦

a13 + b13 ⎤ ⎥ a23 + b23 ⎥⎦

Örnek 2:

⎡0 ⎢ ⎢3 ⎢ ⎢⎣ 1

5 ⎤ ⎡ −3 ⎥ ⎢ −1⎥ + ⎢ 0 ⎥ ⎢ −4 ⎥⎦ ⎢⎣ 1

1 ⎤ ⎡ −3 ⎥ ⎢ 7⎥ = ⎢ 3 ⎥ ⎢ 2 ⎥⎦ ⎢⎣ 2

5 ⎤ ⎡ −3 ⎥ ⎢ −1 ⎥ − ⎢ 0 ⎥ ⎢ −4 ⎥⎦ ⎢⎣ 1

1⎤ ⎡3 ⎥ ⎢ 7⎥ = ⎢3 ⎥ ⎢ 2 ⎥⎦ ⎢⎣ 0

6⎤ ⎥ 6⎥ ⎥ −2 ⎥⎦

Örnek 3:

⎡0 ⎢ ⎢3 ⎢ ⎢⎣ 1

4⎤ ⎥ −8 ⎥ ⎥ −6 ⎥⎦

Matrislerde Skaler Çarpımı Bir matrisi bir sayı (skaler) ile çarpma işlemi, bu matrisin her bir elemanı bu skaler ile çarpılarak yapılır.

⎡ a11 k⎢ ⎣ a21 ⎡3 7⎢ ⎣0

a12 ⎤ ⎡ ka11 =⎢ ⎥ a22 ⎦ ⎣ ka21 −1⎤ ⎡ 21 = 5 ⎥⎦ ⎢⎣ 0

−7 ⎤ 35 ⎥⎦

ka12 ⎤ ka22 ⎥⎦

Matrislerde Çarpma İki matrisin çarpımın yapılabilmesi için, ilk yazılan matrisin sütun sayısının ikinci matrisin satır sayısına eşit olması gerekir.

⎡ a11 ⎢ ⎢⎣ a21

⎡ b11 a13 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ b21 a23 ⎥⎦ ⎢ ⎢⎣ b31

a12 a22

b12 ⎤ ⎥ ⎡ a11 b11 + a12 b21 + a13 b31 b22 ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢⎣ a21 b11 + a22 b21 + a23 b31 b32 ⎥⎦

B n

cij = ∑ aik bkj k =1

⎛ i = 1, 2, ....., m ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ j = 1, 2, ....., n ⎠

a11 b12 + a12 b22 + a13 b32 ⎤ ⎥ a21 b12 + a22 b22 + a23 b32 ⎥⎦

Örnek 4:

⎡5 ⎢ ⎢⎣ 1

−1 3

⎡1 0 ⎤⎢ ⎥ ⎢ −1 −2 ⎥⎦ ⎢ ⎢⎣ 3

2⎤ ⎥ ⎡5 + 1 + 0 1 ⎥ =⎢ ⎥ ⎢⎣1 − 3 − 6 −2 ⎥⎦

10 − 1 + 0 ⎤ ⎡ 6 ⎥=⎢ 2 + 3 + 4 ⎥⎦ ⎢⎣ −8

Örnek 5:

⎡ 6 3 1 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ 6 x1 + 3 x2 + x3 ⎤ ⎢ 1 4 −2 ⎥ ⎢ x ⎥ = ⎢ x + 4 x − 2 x ⎥ 2 3⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ 1 ⎢⎣ 4 −1 5 ⎥⎦ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎢⎣ 4 x1 − x2 + 5 x3 ⎥⎦

9⎤ ⎥ 9 ⎥⎦

Vektörlerde Çarpma

mx1

boyutlu u sütun vektörü ile

çarpımı,

1xn

boyutlu

v′

satır vektörünün

mxn boyutlu bir matris verir.

⎡ a11 ⎤ ⎢a ⎥ u = ⎢ 21 ⎥ ⎢ ... ⎥ ⎢⎣ am 1 ⎥⎦

v ′ = ⎡⎣b11

⎡ a11 ⎤ ⎢a ⎥ uv ′ = ⎢ 21 ⎥ ⎡⎣b11 ⎢ ... ⎥ ⎢⎣ am 1 ⎥⎦ ⎡ 3⎤ u = ⎢ ⎥ , v ′ = [1 ⎣ 2⎦ ⎡3 uv ′ = ⎢ ⎣2

12 8

b12

4 15 ⎤ 10 ⎥⎦

b12

...

b1n ⎤⎦

⎡ a11 b11 ⎢a b b1n ⎤⎦ = ⎢ 21 11 ⎢ ... ⎢⎣ am 1 b11

5] →

⎡ 3(1) uv ′ = ⎢ ⎣ 2(1)

a11 a12 a21 b12 ... am 1 b12 3(4) 2(4)

... ... ... ... 3(5) ⎤ 2(5) ⎥⎦

a11 b1n ⎤ a21 b1n ⎥ ⎥ ... ⎥ am 1 b1n ⎥⎦

Birim Matris Ana köşegen elemanlarının

diğer elemanlarının da

kare matrise, birim matris diyoruz.

⎡1 I2 = ⎢ ⎢⎣ 0

0⎤ ⎥ 1 ⎥⎦

⎡1 ⎢ I3 = ⎢0 ⎢ ⎢⎣ 0

0 1 0

0⎤ ⎥ 0⎥ ⎥ 1 ⎥⎦

olduğu

IA = AI = A ⎡1 A= ⎢ ⎢⎣ 2 ⎡1 IA = ⎢ ⎢⎣ 0 ⎡1 AI = ⎢ ⎢⎣ 2

3⎤ ⎥ 3 ⎥⎦

2 0

0⎤ ⎡ 1 ⎥⎢ 1 ⎥⎦ ⎢⎣ 2

2 0

3⎤ ⎥ 3 ⎥⎦

⎡1 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢⎣ 0

3⎤ ⎡ 1 ⎥=⎢ 3 ⎥⎦ ⎢⎣ 2 0 1 0

2 0

0⎤ ⎥ ⎡1 0⎥ = ⎢ ⎥ ⎢⎣ 2 1 ⎥⎦

3⎤ ⎥= A 3 ⎥⎦

2 0

3⎤ ⎥= A 3 ⎥⎦

Boş Matris Tüm elemanlarının sıfır olduğu matrise, boş matris diyoruz.

⎡0 0=⎢ ⎢⎣ 0

0⎤ ⎥ 0 ⎥⎦

⎡0 0=⎢ ⎢⎣ 0

0 0

A+ 0 = 0+ A = A A0 = 0

0A= 0

0⎤ ⎥ 0 ⎥⎦

Devrik (Transpose) Matris Bir matrisin satırlarının sütunlara ve sütunlarının da satırlara dönüştüğü matrise, devrik matris diyoruz.

⎡ a11 A= ⎢ ⎢⎣ a21

a12 a22

a13 ⎤ ⎥ a23 ⎥⎦

→

⎡ a11 ⎢ A′ = ⎢ a12 ⎢ ⎢⎣ a13

a21 ⎤ ⎥ a22 ⎥ ⎥ a23 ⎥⎦

Devrik Matrislerin Özellikleri

( A′ )′ = A ( A + B )′ = A′ + B′ ′ AB ( ) = B′A′

Ters Matris Bir matris kare matris ise tersi alınabilir. Bir A matrisinin tersini

A-1 biçiminde gösteririz. Bir A kare matrisinin, tersiyle çarpımı birim matrise eşittir. −1

−1

AA = A A = I

Ters Matrislerin Özellikleri

(A ) −1

( AB ) ( A′ )

−1

=A −1

=B A

=(A

−1

)

′

−1

Ters Matris ve Doğrusal Denklem Sisteminin Çözümü

Ax=d A −1 A x = A −1 d −1

x=A d

→

Ix = A−1 d

Bir Matrisin Tekil Olmama Koşulları Bir matrisin tersinin alınabilmesi için, kare matris olmasının yanında tekil olmama koşulunu da sağlaması gerekir. Bir kare matrisin

satırları

sütunları

arasında

bir

doğrusal

bağımlılık yoksa, buna tekil olmayan kare matris diyoruz. Bu tür bir matrisin tersi alınabilir. Aşağıdaki gibi bir dikkate alarak, tekil olmama koşuluna bakalım.

kare matrisini

⎡ a11 ⎢ ⎢ a21 A= ⎢ ⎢ ... ⎢ ⎢a ⎣ n1

a12

...

a22

...

an 2

...

∑ k v′ = i =1

i i

(1x n )

a1n ⎤ ⎡ v1′ ⎤ ⎥ ⎢ ⎥ a2 n ⎥ ⎢ v2′ ⎥ ⎥ =⎢ ⎥ ... ⎥ ⎢ ... ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ann ⎥⎦ ⎢⎣ vn′ ⎥⎦

Örnek 6:

⎡3 ⎢ A = ⎢0 ⎢ ⎢⎣ 6

4 1 8

5 ⎤ ⎡ v1′ ⎤ ⎥ ⎢ ⎥ 2 ⎥ = ⎢ v2′ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ 10 ⎥⎦ ⎢⎣ v3′ ⎥⎦

∑ k v′ = i =1

i i

(1x n )

2v1′ + 0v2′ − v3′ = [ 6

10] + [ 0

= [0

0] − [ 6

10]

Determinant Yoluyla Tekil Olmamanın Sınanması

Bir A kare matrisinin determinantı sıfıra eşitse, o matris

tekildir. Bu durumda A matrisinin tersi belirlenemez. Bir A matrisinin determinantının nasıl bulunacağını, basit bir 2x2 matristen başlayarak görelim.

⎡ a11 A= ⎢ ⎢⎣ a21

a12 ⎤ ⎥ a22 ⎥⎦

a11

a12

a21

a22

A =

⎡10 A= ⎢ ⎢⎣ 8

= ( −1 )

1+ 1

a11 a22 + ( −1)

4⎤ ⎥ = 10 ( 5 ) − 4 ( 8 ) = 18 5 ⎥⎦

1+ 2

a12 a21 = a11 a22 − a12 a21

⎡ a11 ⎢ A = ⎢ a21 ⎢ ⎢⎣ a31

a22 a32

a13 ⎤ ⎥ a23 ⎥ ⎥ a33 ⎥⎦

a11

a12

a13

A = a21

a22

a23 = ( −1)

a31

a32

a33

a12

1+ 1

+ ( −1 )

a11

1+ 3

a22

a23

a32

a33

a13

+ ( −1 )

a21

a22

a31

a32

1+ 2

a12

a21

a23

a31

a33

A = a11 ( a22 a33 − a23 a32 ) − a12 ( a21 a33 − a23 a31 ) + a13 ( a21 a32 − a22 a31 )

⎡2 ⎢ A = ⎢4 ⎢ ⎢⎣ 7

3⎤ ⎥ 6⎥ ⎥ 9 ⎥⎦

6 = ( −1 )

A = 4 7

1+ 1

2 8

+ ( −1)

1+ 2

A = 2 ( 45 − 48 ) − ( 36 − 42 ) + 3 ( 32 − 35 ) = − 9

+ ( −1)

1+ 3

n x n matrisine genelleştirme:

⎡ a11 ⎢ ⎢ a21 A= ⎢ ⎢ ... ⎢ ⎢a ⎣ n1 A = ( −1 ) n

a12

...

a22

...

an 2

...

1+ 1

a11 M 11 + ( −1)

A = ∑ ( −1 ) j =1

a1n ⎤ ⎥ a2 n ⎥ ⎥ ... ⎥ ⎥ ann ⎥⎦

1+ j

→

1+ 2

A =

a11

a12

...

a1n

a21

a22

...

a2 n

...

a n1

an 2

...

ann

a12 M 12 + ..... + ( −1) n

a1 j M 1 j

1+ n

A = ∑ a1 j C1 j j =1

a1n M 1n

⎡ a11 ⎢ ⎢ a21 A= ⎢ ⎢ ... ⎢ ⎢a ⎣ n1 A = ( −1 ) n

a12

...

a22

...

an 2

...

1+ 2

A = ∑ ( −1 ) i =1

a1n ⎤ ⎥ a2 n ⎥ ⎥ → ... ⎥ ⎥ ann ⎥⎦

a12 M 12 + ( −1) i+2

2+ 2

a11

a12

...

a1n

a21

a22

...

a2 n

...

a n1

an 2

...

ann

a22 M 22 + ..... + ( −1) n

ai 2 M i 2

n+ 2

A = ∑ ai 2 C i 2 i =1

an 2 M n 2

Örnek 8:

⎡1 ⎢ ⎢4 A= ⎢ ⎢3 ⎢ ⎢⎣ 8

−2

−1

0⎤ ⎥ 5⎥ ⎥ 4⎥ ⎥ −5 ⎥⎦

→

A =

−2

−1

−5

−1

−2

( 3) 3

4 + ( −1)

( 1) 3

−5

−2

( −1 ) ( 0 ) 4

−1

5 + ( −1)

( 1) 4

−1

−5

4 A = ( −1 )

1+ 3

3+ 3

2+ 3

4+ 3

⎡ −1 3+1 A = ( 3 ) ⎢ ( −1 ) ( 8 ) ⎢⎣ 2 ⎡ 3 1+ 3 − ⎢ ( −1 ) ( 0 ) ⎢⎣ 8 ⎡ 4 1+ 3 − ⎢ ( −1 ) ( 0 ) ⎢⎣ 3

5 4 2 3

+ ( −1)

−1 2

+ ( −1)

2+ 3

+ ( −1 )

3+ 2

( 3)

( 4)

2+ 3

−2

( 5)

+ ( −1)

−2

3+ 3

+ ( −1)

( −5 )

( 4)

3+ 3

4 3

−1 ⎤ ⎥ 2 ⎥⎦ −2 ⎤ ⎥ 2 ⎥⎦ −2 ⎤ ⎥ −1 ⎥⎦

A = ( 3 ) ⎡⎣ ( 8 )( −14 ) − ( 3 )( 1) + ( −5 )( 11) ⎤⎦ − ⎡⎣ − ( 4 )( 19 ) + ( −5 )( 8 ) ⎤⎦ − ⎡⎣ −5 ( 8 ) + ( 4 )( 7 ) ⎤⎦ A = −382

Örnek 9:

7 x1 − 3 x2 − 3 x3 = 7 2 x1 + 4 x2 + x3 = 7 −2 x 2 − 3 x3 = 2 denklem sisteminin çözümü tek midir? Bu

soruya

matrisinin bakarız.

yanıt

verebilmek

determinantının

için,

sıfırdan

sistemin

farklı

olup

katsayılar olmadığına

−3

A = 2

−2

−3

A = ( −1 )

1+ 1

(7) ( −12 + 2 ) + ( −1)

2+1

(2) ( 9 − 6 ) = −76 ≠ 0

matrisinin determinantı sıfırdan farklı olduğundan, denklem

sistemindeki tüm içsel değişkenlerin tek çözümü vardır.

Ters Matrisin Bulunması Bir matrisin tersi bulunurken, şu işlemler yapılır. 1. Tersi bulunacak matris bir kare matris olmalıdır.

2. Kare matris tekil olmamalıdır. Yani determinantı sıfırdan farklı olmalıdır. 3. Matrisin kofaktör matrisi bulunarak, devriği determinantına oranlanır.

Yukarıdaki aşamaları, bir örnek

matrisle görelim. Bunun için

öncelikle kofaktör kavramını inceleyelim.

Kofaktör

⎡ a11 ⎢ ⎢ a21 A= ⎢ ⎢ ... ⎢ ⎢a ⎣ n1

C11 = ( −1)

a12

...

a22

...

an 2

...

1+ 1

a1n ⎤ ⎥ a2 n ⎥ ⎥ ... ⎥ ⎥ ann ⎥⎦

M 11 = ( −1)

1+ 1

C ij = ( −1)

i+ j

M ij

a22

a23

...

a2 n

a32

a33

...

a3 n

...

an 2

an 3

...

ann

C12 = ( −1)

1+ 2

C 21 = ( −1)

2+1

M 12 = ( −1)

1+ 2

M 21 = ( −1)

2+1

a21

a23

...

a2 n

a31

a33

...

a3 n

...

a n1

an 3

...

ann

a12

a13

...

a1n

a32

a33

...

a3 n

...

an 2

an 3

...

ann

⎡ C11 ⎢ ⎢ C 21 C=⎢ ⎢ ... ⎢ ⎢C ⎣ n1

C12

...

C 22

...

C n1

...

C1 n ⎤ ⎥ C2n ⎥ ⎥ ... ⎥ ⎥ C nn ⎥⎦

Örnek 10: Aşağıdaki A matrisinin, kofaktör matrisini bulalım.

⎡1 ⎢ A= ⎢ 2 ⎢ ⎢⎣ −3 C11 = ( −1)

4 0 1 1+ 1

C13 = ( −1)

1+ 3

3⎤ ⎥ − 1⎥ ⎥ 5 ⎥⎦ M 11 =

M 13 =

−1

−3

= 1 , C12 = ( −1)

1+ 2

= 2 , C 33 = ( −1)

M 12 = −

3+ 3

M 33 =

−1

−3

= −7

= −8

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ C=⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣

−1

−

−1

−3

−1

−

0 ⎤ ⎥ −3 1 ⎥ ⎥ 1 4 ⎥ ⎥ − ⎥ −3 1 ⎥ ⎥ 1 4 ⎥ ⎥ 2 0 ⎥⎦ 2

⎡ 1 ⎢ C = ⎢ −17 ⎢ ⎢⎣ −4

−7

⎡1 ⎢ C ′ = ⎢ −7 ⎢ ⎢⎣ 2

−17

14 7

14 −13

2 ⎤ ⎥ −13 ⎥ ⎥ −8 ⎥⎦ −4 ⎤ ⎥ 7⎥ ⎥ −8 ⎥⎦

A = −21

1 A = C′ A −1

⎡ 1 ⎢ − 21 ⎢ ⎢ 7 −1 A =⎢ ⎢ 21 ⎢ ⎢− 2 ⎢⎣ 21

→

17 21 14 − 21 13 21

⎡1 ⎢ 1 ⎢ −7 A −1 = −21 ⎢ ⎢⎣ 2 4 ⎤ 21 ⎥ ⎥ 7⎥ − ⎥ 21 ⎥ ⎥ 8 ⎥ 21 ⎥⎦

−17 14 −13

−4 ⎤ ⎥ 7⎥ ⎥ −8 ⎥⎦

Cramer Kuralı

Ax = d →

⎡ C11 ⎡ x1∗ ⎤ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ x2∗ ⎥ 1 ⎢ C12 ⎢ ⎢ ⎥= ⎢ ... ⎥ A ⎢ ... ⎢ ⎢ ⎥ ⎢C ⎢ x∗ ⎥ ⎣ n⎦ ⎣ 1n

∗

−1

x =A d →

C 21

...

C 22

...

C2n

...

1 x = C′d A ∗

C n1 ⎤ ⎡ d 1 ⎤ ⎥⎢ ⎥ Cn2 ⎥ ⎢ d2 ⎥ ⎥⎢ ⎥ ... ⎥ ⎢ ... ⎥ ⎥⎢ ⎥ C nn ⎥⎦ ⎢⎣ d n ⎥⎦

⎡ d1 C11 + d 2 C 21 + ... + d n C n1 ⎤ ⎡ x1∗ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ x2∗ ⎥ 1 ⎢ d1 C12 + d 2 C 22 + ... + d n C n 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ... ⎥ A ⎢ ............................................ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ d C + d C + ... + d C ⎥ ⎢ x∗ ⎥ 2 2n n nn ⎦ ⎣ n⎦ ⎣ 1 1n ⎡ ⎢ ∑ d i Ci1 ⎢ i =1 ⎡ x1∗ ⎤ ⎢ n ⎢ ⎥ ⎢ x2∗ ⎥ 1 ⎢ ∑ d i C i 2 ⎢ i =1 ⎢ ⎥= ⎢ ... ⎥ A ⎢ ⎢ ........... ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ x∗ ⎥ ⎣ n⎦ ⎢ n ⎢ ∑ d i C in ⎢⎣ i =1 n

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦

1 ∗ x1 = A 1 x = A ∗ 2

∑d i =1

Ci1

Ci 2

C in

∑d i =1

......... 1 x = A ∗ n

∑d i =1

80 n

∑d i =1

C i 1 = A1

∑d i =1

C i 2 = A2

∗ 1

x = ⎡ A1 ⎤ ⎡ x1∗ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ x2∗ ⎥ 1 ⎢ A2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ... ⎥ A ⎢ ...........⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ A ⎥ ⎢ x∗ ⎥ n ⎣ n⎦ ⎣ ⎦

∗ 2

x =

, ..........,

i =1

x =

C in = An

A1 A A2 A

......... ∗ n

∑d

An A

∗ j

x =

Aj A

j = 1, 2, ....., n

a11

a12

...

a1n

a21 1 x ∗j = = A A ...

a22

...

a2 n

...

a n1

an 2

...

ann

j. sütunun yerine d vektörü geldi.

Örnek 11:

7 x1 − x2 − x3 = 0 10 x1 − 2 x2 + x3 = 8 6 x1 + 3 x2 − 2 x3 = 7

denklem sisteminin çözümünü yapalım.

Ax = d ⎡7 ⎢ ⎢10 ⎢ ⎢⎣ 6

−1 −2 3

−1⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 1 ⎥ ⎢ x2 ⎥ = ⎢ 8 ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ −2 ⎥⎦ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎢⎣ 7 ⎥⎦

−1

A = 10

−2

1 = −61

A1 = 8

−2

1 = −61

−2

−1

A2 = 10

1 = −183

A3 = 10

−2

8 = −244

−2

−61 x = = =1 A −61 ∗ 1

−183 = =3 x = −61 A ∗ 2

−244 = =4 x = −61 A ∗ 3

IS-LM Modeli

Matris işlemlerinin ekonomi uygulamasında IS-LM modelini inceleyelim. Bu model mal piyasaları (reel kesim) ve para piyasasından

(parasal

kesim)

oluşmaktadır.

Reel

kesimde

ulusal gelir tüketim, yatırım ve kamu harcamaları tarafından belirlenmekte; parasal kesimde para arz ve talep dengesi, bir yandan para arzı merkez bankası tarafından dışsal olarak, diğer yandan para talebi de işlem amaçlı ve spekülatif amaçlı olarak içsel biçimde belirlenmektedir. Amacımız, her iki kesimi de dengede tutacak olan ulusal gelir, tüketim, yatırım düzeylerinin ve faiz oranının belirlenmesidir.

87 Modelin denklemleri ve kısıtlamaları şöyledir:

Reel Kesim

Parasal Kesim

Y = C + I +G

M=L

C = C 0 + c(1 − t )Y

M = M0

I = I0 − e r

L = fY − gr

G = G0 0<c<1 , 0<t <1 e>0

f,g > 0

88 Bu modelin içsel değişkenleri Y, C, I ve r ; dışsal değişkenleri C0,

I0, G0 ve M0 ’dır. Modeli bir bütün olarak oluşturduktan sonra, matris biçime dönüştürebilmek için içsel değişkenleri eşitliğin sol yanına, dışsal değişkenleri de sağ yanına toparlarız.

Y = C + I + G0 C = C 0 + c(1 − t )Y I = I 0 − er fY − gr = M 0

Y − C − I + 0r = G0 − c(1 − t )Y + C + 0 I + 0r = C 0 0Y + 0C + I + er = I 0 fY + 0C + 0 I − gr = M 0

1 ⎡ ⎢ ⎢ − c(1 − t ) ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢⎣ f

−1

⎡Y ⎤ ⎡ G0 ⎤ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢C ⎥ ⎢ C0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎢ I ⎥ ⎢ I0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢⎣ r ⎥⎦ ⎢⎣ M 0 ⎥⎦

0 ⎤ ⎥ 0 ⎥ ⎥ e ⎥ ⎥ − g ⎥⎦

∗

Y =

A1 A

∗

C =

A A2 A

∗

I =

A3 A

∗

r =

A4 A

−1

C0 1 = Y∗ = A A I0

−g

G0 A1

A =

−1

− c(1 − t )

−g

A1 =

A =

−1

− c(1 − t )

−g

− c(1 − t ) A = ( −1)( −1)

1+ 3

e + ( 1)( −1)

−g

3+ 3

−1

− c(1 − t )

−g

A = − ( 1)( −1)

1+ 2

−g

A = − ( ef + g [1 − c(1 − t )] )

+ ( − g )( −1)

3+ 3

−1

− c(1 − t )

A1 =

−1

−g

−1 A1 = ( C 0 ) ( −1)

2+1

−1

e + ( 1)( −1)

−g

2+ 2

−1

−g

A1 = − ( C 0 ) ( −1)( −1)

1+ 1

⎛ −1 3+1 + ⎜ ( M 0 ) ( −1 ) ⎜ 1 ⎝

−g 0 e

+ ( − g )( −1)

3+ 3

G0 I0

−1 ⎞ ⎟ 1 ⎟⎠

A1 = − gC 0 − eM 0 − g ( I 0 + G0 ) = − ⎡⎣ eM 0 + g ( C 0 + I 0 + G0 ) ⎤⎦

∗

Y =

∗

Y =

A1 A

− ⎡⎣ eM 0 + g ( C 0 + I 0 + G0 ) ⎤⎦ − ( ef + g [1 − c(1 − t )] )

eM 0 + g ( C 0 + I 0 + G0 ) ef + g [1 − c(1 − t )]

Şekil 2.2. IS-LM Modeli

r LM

•

IS 0

97 Dışsal değişkenlerde meydana gelebilecek değişmelerin, denge gelir düzeyi (Y*), tüketim düzeyi (C*), yatırım düzeyi (I*) ve faiz oranı (r*) üzerindeki etkilerini, karşılaştırmalı durağanlık analiziyle görebiliriz. Örneğin para arzını artıran bir para politikasının, ulusal gelir denge düzeyini nasıl etkileyebileceğine bakalım. Bunun için, matris işlemleriyle çözümünü yaptığımız ulusal gelir denge değerinin, para arzı değişkenine (M0) göre türevini alırız.

∗

Y =

eM 0 + g ( C 0 + I 0 + G0 ) ef + g [1 − c(1 − t )] (+)

∗

∂Y e = >0 ∂M 0 ef + g [1 − c(1 − t )] (+)

(+)

Şekil 2.3. IS-LM Modelinde Para Politikası

r LM 0

LM1 r0* r

* 1

•

IS Y0* Y1*

100 Ya da vergi oranını azaltan bir maliye politikasının, ulusal gelir denge düzeyini nasıl etkileyebileceğine bakabiliriz. Bunun için, matris işlemleriyle çözümünü yaptığımız ulusal gelir denge

değerinin, ortalama gelir vergisi oranına (t ) göre türevini alırız.

101

∗

Y =

eM 0 + g ( C 0 + I 0 + G0 ) ef + g [1 − c(1 − t )]

∂Y ∗ − ( eM 0 + g ( C 0 + I 0 + G0 ) ) ( gc ) = <0 2 ∂t ( ef + g [1 − c(1 − t )])

Şekil 2.4. IS-LM Modelinde Maliye Politikası (Vergi Oranındaki Azalış)

IS1 r

IS0

•E

r1* r0*

•

Y0*

Y1*

102

103

IS-LM Modeli İçin Sayısal Örnek:

Bir ekonomi için şu bilgilere sahip olduğumuzu düşünelim: Marjinal tüketim eğilimi, 0.75; ortalama gelir vergisi oranı, 0.30; yatırımların faize olan duyarlılık katsayısı, 60.0; işlem amaçlı para talebi katsayısı, 0.20; spekülatif amaçlı para talebi katsayısı,

50;

kamu

harcamaları,

1000;

otonom

tüketim

harcamaları, 600; otonom yatırım harcamaları, 1200; para arzı, 700. Bu ekonomini denge ulusal gelir düzeyi, tüketim düzeyi, yatırım düzeyi ve faiz oranını belirleyelim.

104 Modeli, yukarıdaki verileri dikkate alarak yeniden yazalım.

c = 0.75 , t = 0.30 , e = 60 , f = 0.20 , g = 50 G0 = 1000 , C 0 = 600 , I 0 = 1200 , M 0 = 700 Y = C + I + G0

→

Y = C + I + 1000

C = C0 + c (1 − t ) Y

→

C = 600 + 0.75(1 − 0.3)Y

I = I 0 − er

→

I = 1200 − 60 r

fY − gr = M 0

→

0.2Y − 50r = 700

105

Y − C − I − 0r = 1000 −0.525Y + C + 0 I + 0r = 600 0Y + 0C + I + 60r = 1200 0.2Y + 0C + 0 I − 50r = 700

⎡ 1 ⎢ ⎢ −0.525 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢⎣ 0.2

−1

0 ⎤ ⎥ 0 ⎥ ⎥ 60 ⎥ ⎥ −50 ⎥⎦

⎡Y ⎤ ⎡1000 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ C ⎥ ⎢ 600 ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ I ⎥ ⎢1200 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ r ⎥⎦ ⎢⎣ 700 ⎥⎦

106

−1

−0.525

0.2

−50

1000

−1

600

1200

700

−50

A1 =

→

A = −35.75

→

A1 = −182000

107

−182000 = = 5090.9 Y = −35.75 A *

C = 3272.7 , I = 818.2 , r = 6.36 *

Bu denge ulusal gelir düzeyinde yatırım-faiz esnekliği nedir?

∂I r 6.36 ε Ir = = ( −60 ) * ∂r I 818.2 *

→

ε Ir = −0.47

Basit Bir Duopol Modeli

108

Bu uygulamada, iki firmanın yer aldığı ve homojen bir ürünün üretildiği bir oligopol piyasa dikkate alalım. Amacımız, eşanlı olarak her iki firmanın da kârını maksimize eden firma üretim düzeylerinin ve dolayısıyla piyasa fiyatının belirlenmesidir.

Öncelikle her iki firma için kâr fonksiyonlarını kuralım, ikinci aşamada kâr maksimizasyonu için birinci sıra koşulları elde edelim ve denge üretim miktarları için çözelim.

109

P = a − bQ = a − b ( q1 + q2 ) TC = cqi

Q = q1 + q2 , a , b > 0

i = 1, 2

π1 = Pq1 − cq1 = ⎡⎣ a − b ( q1 + q2 ) ⎤⎦ q1 − cq1

π 2 = Pq2 − cq2 = ⎡⎣ a − b ( q1 + q2 ) ⎤⎦ q2 − cq2

110 Bu aşamada şöyle bir varsayım yapalım: ”Firmalar, rakibinin üretim davranışını dikkate almadan kendi kârını maksimize eden üretim düzeyini belirlemektedir”. Bu varsayıma, COURNOT varsayımı

diyoruz.

varsayıma

dayalı

duopol

modeli,

COURNOT DUOPOL MODELİ olarak adlandırıl-maktadır. Bu varsayımın matematik olarak anlamı şudur: Bir firma üretim düzeyini değiştirirken, rakibinin üretim düzeyi kendisi için dışsaldır (sabittir).

111

∂π1 = a − 2bq1 − bq2 − c = 0 ∂q1 ∂π 2 = a − bq1 − 2bq2 − c = 0 ∂ q2 P = a − b ( q1 + q2 )

112

0 P + 2bq1 + bq2 = a − c 0 P + bq1 + 2bq2 = a − c P + bq1 + bq2 = a ⎡0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢⎣ 1

2b b b

b⎤ ⎥ 2b ⎥ ⎥ b ⎥⎦

⎡ P ⎤ ⎡a − c ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ q1 ⎥ = ⎢ a − c ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ q2 ⎥⎦ ⎢⎣ a ⎥⎦

113

∗

P =

A1 A

A = 0

a−c

A1 = a − c

A = ( 1)( −1)

3+1

A1 = ( a − c )( −1)

+ ( a )( −1)

114

3+1

1+ 1

= 3b 2

(

+ ( a − c )( −1)

)

(

2+1

)

(

A1 = ( a − c ) b 2 − 2b 2 + ( a − c ) b 2 − 2b 2 + ( a ) 4b 2 − b 2

( )

(

)

A1 = −2 ( a − c ) b 2 + ( a ) 3b 2 = ( a + 2c ) b 2

)

115

∗

P =

∗

P =

∗ D

A1 A

2 a c b + 2 ( )

( a + 2c ) 3

∗ 1

∗ 2

Q =q +q =

2(a − c) 3b

a−c q =q = 3b ∗ 1

∗ 2

116 Tam rekabet piyasası durumunda

fiyatı içsel değil, dışsal

(veri) olacaktır. Tam rekabetteki bir firmanın denge üretim düzeyinde P=MC olacağını dikkate alalım ve tam rekabetçi piyasanın toplam üreteceği miktarı belirleyelim.

P = MC a − bQC = c

→

a−c QC = b

117 Piyasa tekel olsaydı:

MR = MC a − 2bQM = c

→

a−c QM = 2b

Şimdi her üç piyasanın toplam üretim miktarlarını bir arada yazalım:

a−c QM = 2b

QD =

2(a − c) 3b

a−c QC = b

118 Genel

olarak,

Cournot

varsayımı

altında

piyasadaki

firma

sayısıyla (n) toplam üretim miktarı (Q) arasındaki şu ilişkiyi yazabiliriz:

n ⎛a−c⎞ Q= ⎜ ⎟ ( n + 1) ⎝ b ⎠ Firma sayısı sonsuza giderse, toplam piyasa üretimi tam rekabetçi piyasa üretimine yaklaşır:

⎡ n ⎛ a − c ⎞⎤ a − c = lim Q = lim ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ n →∞ n →∞ ( n + 1) b ⎝ b ⎠⎦ ⎣

L’Hospital kuralını uygulayarak

Şekil 2.5. Cournot Duopol Modelinde Denge

119

PM PD

PC = c

•

MC P = a − b ( q1 + q2 )

QM QD

MR = a − 2bq1

120 Cournot

varsayımı

altında

duopoldeki

firmaların

eşanlı

dengesini bir de tepki fonksiyonları adını verdiğmiz bir araçla ve geometrik olarak görelim. Tepki

fonksiyonlarını,

kâr

maksimizasyonu

birinci

koşulundan elde ediyoruz.

∂π1 = a − 2bq1 − bq2 − c = 0 ∂q1 ∂π 2 = a − bq1 − 2bq2 − c = 0 ∂ q2

→

a−c 1 q1 = − q2 2b 2

→

a−c 1 − q1 q2 = 2b 2

sıra

Şekil 2.6. Duopolde Cournot-Nash Dengesi

1. Firmanın tepki fonksiyonu:

a−c 1 q1 = − q2 2b 2 Cournot-Nash Dengesi

∗ 2

• E ∗ 1

2. Firmanın tepki fonksiyonu:

a−c 1 − q1 q2 = 2b 2

121

122

Cournot Duopol Modeli İçin Bir Sayısal Örnek: Şimdi yukarıdaki Cournot varsayımına dayalı duopol modeline sayısal bir örnek yapalım. Piyasaya ve firmalara ilişkin talep ve toplam

maliyet

fonksiyonları

aşağıda

verilmiştir.

fonksiyonlardan yararlanarak, ilk olarak kâr fonksiyonlarını oluşturalım ve birinci sıra koşulları elde edelim.

P = 100 − 2Q

TC = 5qi

i = 1, 2

Q = q1 + q2 , a , b > 0

123

π1 = Pq1 − cq1 = ⎡⎣ a − b ( q1 + q2 ) ⎤⎦ q1 − cq1 π1 = ⎡⎣100 − 2 ( q1 + q2 ) ⎤⎦ q1 − 5q1

π 2 = Pq2 − cq2 = ⎡⎣ a − b ( q1 + q2 ) ⎤⎦ q2 − cq2 π 2 = ⎡⎣100 − 2 ( q1 + q2 ) ⎤⎦ q2 − 5q2

124

∂π1 = 100 − 4q1 − 2q2 − 5 = 0 ∂q1 ∂π 2 = 100 − 2q1 − 4q2 − 5 = 0 ∂ q2 0 P + 4q1 + 2q2 = 95 0 P + 2q1 + 4q2 = 95 P + 2q1 + 2q2 = 100

125

⎡0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢⎣ 1

2⎤ ⎥ 4⎥ ⎥ 2 ⎥⎦

4 2 2

⎡ P ⎤ ⎡ 95 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ q1 ⎥ = ⎢ 95 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ q2 ⎥⎦ ⎢⎣100 ⎥⎦

440 = = 36.7 P = 12 A ∗

A = 0

4 = 12

∗ 1

∗ 2

q = q = 15.8

A1 = 95

4 = 440

100

126 Yukarıda incelediğimiz duopol modeli Cournot varsayımına dayanmaktaydı. Yani firmalar, rakiplerinin üretim miktarını veri (dışsal) alarak kendi kârlarını maksimize etmeye çalışıyorlardı. Şimdi bu varsayımı kaldıralım, yerine her bir firmanın rakibinin üretim davranışını izlediğini ve buna tepki vererek kendi kârını maksimize etmeye çalıştığı varsayımını getirelim. Bu varsayım matematik olarak, kâr fonksiyonlarında kısmi türevler alınırken, rakip firma üretim miktarını bir değişken gibi dikkate almamızı gerektirir.

127 Yukarıdaki varsayım değişikliği dışında, modelimizin yapısı önceki incelememizle aynıdır.

P = a − bQ = a − b ( q1 + q2 ) , Q = q1 + q2 , a , b > 0 TC = cqi

i = 1, 2

π1 = Pq1 − cq1 = ⎡⎣ a − b ( q1 + q2 ) ⎤⎦ q1 − cq1 π 2 = Pq2 − cq2 = ⎡⎣ a − b ( q1 + q2 ) ⎤⎦ q2 − cq2

128 Kâr

maksimizasyonu

için

gereken

birinci

sıra

koşulları

oluşturalım:

⎛ ∂q1 ∂q2 ∂π1 = ⎡⎣ a − b ( q1 + q2 ) ⎤⎦ − b ⎜ + ∂q1 ⎝ ∂q1 ∂q1

⎞ ⎟ q1 − c = 0 ⎠

⎛ ∂q1 ∂q2 ∂π 2 = ⎡⎣ a − b ( q1 + q2 ) ⎤⎦ − b ⎜ + ∂ q2 ⎝ ∂ q2 ∂ q2

⎞ ⎟ q2 − c = 0 ⎠

129 Amacımız, kârı maksimize eden üretim miktarları ve fiyatı aynı anda belirlemektir. Bunu elde edebilmek için, üç bilinmeyen (q1,

q2, P) yanında üç denklem gereklidir. Denklemlerden ikisi birinci sıra

koşullardan,

üçüncüsü

de piyasa talep denkleminden

gelmektedir.

⎛ ∂ q2 ⎡⎣ a − b ( q1 + q2 ) ⎤⎦ − b ⎜ 1 + ∂q1 ⎝

⎞ ⎟ q1 − c = 0 ⎠

⎛ ∂q1 ⎞ ⎡⎣ a − b ( q1 + q2 ) ⎤⎦ − b ⎜ + 1 ⎟ q2 − c = 0 ⎝ ∂ q2 ⎠ P = a − bq1 − bq2

130

⎛ ∂ q2 0P + ⎜ 2 + ∂q1 ⎝

⎞ a−c ⎟ q1 + q2 = b ⎠

⎛ ∂q1 0 P + q1 + ⎜ 2 + ∂ q2 ⎝

⎞ a−c ⎟ q2 = b ⎠

a P + q1 + q2 = b

131

⎡ ⎢0 ⎢ ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢1 ⎢⎣

∂ q2 2+ ∂q1 1

⎤ 1 ⎥ ⎥ ⎥ ∂q1 ⎥ 2+ ∂ q2 ⎥ ⎥ ⎥ 1 ⎥ ⎥⎦

⎡a − c⎤ ⎢ b ⎥ ⎡P⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢a − c⎥ ⎢ q1 ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ b ⎥ ⎢⎣ q2 ⎥⎦ ⎢ ⎥ ⎢ a ⎥ ⎢⎣ b ⎥⎦

132

⎛ ∂ q2 ⎞ ⎜2+ ⎟ ∂q1 ⎠ ⎝

A = 0

⎛ ∂q1 ⎞ ⎜2+ ⎟ ∂ q2 ⎠ ⎝

∗ 1

q =

A2 A

133

a−c b

A2 = 0

a−c b

⎛ ∂q1 ⎞ ⎜2+ ⎟ ∂q2 ⎠ ⎝

a b

134

⎛ ∂ q2 ⎞ ⎛ ∂q1 A = ⎜2+ ⎟⎜ 2 + ∂q1 ⎠ ⎝ ∂ q2 ⎝

⎞ ⎟−1 ⎠

⎛ ∂q1 ⎞ ⎛ a − c ⎞ ⎜1+ ⎟⎜ ⎟ A q b ∂ ⎠ 2 2 ⎠⎝ ⎝ ∗ q1 = = A ⎛ ∂ q2 ⎞ ⎛ ∂q1 ⎞ ⎜2+ ⎟⎜ 2 + ⎟−1 ∂q1 ⎠ ⎝ ∂ q2 ⎠ ⎝

⎛ ∂q1 A2 = ⎜ 1 + ∂ q2 ⎝

⎞⎛ a − c ⎞ ⎟⎜ ⎟ ⎠⎝ b ⎠

135 Şimdi üç firmalı (triopol) bir sayısal örneği yapalım. Firmaların maliyetlerinin farklı olduğu varsayımını da ekleyelim. Piyasa talep

fonksiyonu,

firmaların

maliyet

fonksiyonları

varsayımsal değişimler aşağıda verilmiştir.

P = 100 − 2Q TC1 = 2q1

TC 2 = 5q2

TC 3 = 10q3

∂ q3 ∂ q3 ∂q1 ∂q1 ∂ q2 ∂ q2 =1 , = 0.5 , = 0.8 , = 0.5 , =1 , = 1.2 ∂ q2 ∂ q3 ∂q1 ∂ q3 ∂q1 ∂ q2

136 Kâr fonksiyonları:

π1 = ⎡⎣100 − 2 ( q1 + q2 + q3 ) ⎤⎦ q1 − 2q1 π 2 = ⎡⎣100 − 2 ( q1 + q2 + q3 ) ⎤⎦ q2 − 5q2 π 3 = ⎡⎣100 − 2 ( q1 + q2 + q3 ) ⎤⎦ q3 − 10q3

137 Kâr maksimizasyonu için birinci sıra koşullar:

⎛ ∂q1 ∂q2 ∂q3 ∂π1 = ⎡⎣100 − 2 ( q1 + q2 + q3 ) ⎤⎦ − 2 ⎜ + + ∂q1 ⎝ ∂q1 ∂q1 ∂q1

⎞ ⎟ q1 − 2 = 0 ⎠

⎛ ∂q1 ∂q2 ∂q3 ∂π 2 = ⎡⎣100 − 2 ( q1 + q2 + q3 ) ⎤⎦ − 2 ⎜ + + ∂ q2 ⎝ ∂ q2 ∂ q2 ∂ q2

⎞ ⎟ q2 − 5 = 0 ⎠

⎛ ∂q1 ∂q2 ∂q3 ∂π 3 = ⎡⎣100 − 2 ( q1 + q2 + q3 ) ⎤⎦ − 2 ⎜ + + ∂ q3 ⎝ ∂ q3 ∂ q3 ∂ q3

⎞ ⎟ q3 − 10 = 0 ⎠

138 Varsayımsal değişim değerlerini ilgili yerlere yazalım:

⎡⎣100 − 2 ( q1 + q2 + q3 ) ⎤⎦ − 2 ( 1 + 0.8 + 1) q1 − 2 = 0 ⎡⎣100 − 2 ( q1 + q2 + q3 ) ⎤⎦ − 2 ( 1 + 1 + 1.2 ) q2 − 5 = 0 ⎡⎣100 − 2 ( q1 + q2 + q3 ) ⎦⎤ − 2 ( 0.5 + 0.5 + 1) q3 − 10 = 0

139 Talep denklemini de dikkate alarak, yukar覺daki denklemleri d羹zenleyelim:

0 P + 7.6q1 + 2q2 + 2q3 = 98 0 P + 2q1 + 8.4q2 + 2q3 = 95 0 P + 2q1 + 2q2 + 6q3 = 90 P + 2q1 + 2q2 + 2q3 = 100

140 Yukarıdaki denklemleri matris biçimde tanımlayalım:

⎡0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢⎣ 1

7.6

8.4

2⎤ ⎥ 2⎥ ⎥ 6⎥ ⎥ 2 ⎥⎦

⎡ P ⎤ ⎡ 98 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ q1 ⎥ ⎢ 95 ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ q2 ⎥ ⎢ 90 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ q ⎥ ⎢⎣100 ⎥⎦ ⎣ 3⎦

141

A4 =

7.6

8.4

= −311.04

7.6

8.4

100

= −3067.2

142

−3067.2 = = 9.86 q = A −311.04 ∗ 3

∗ 1

q =

∗

P =

A2 A

A1 A

= 8.47 ,

= 49.4

∗ 2

q =

A3 A

= 6.94

143

Leontief Girdi-Çıktı Modeli Wassily

Leontief

tarafından

ortaya

konulan

girdi-çıktı

modeli, nihai talebin karşılanabilmesi için bir ekonomide yer alan

tane sektörün her birinin ne kadar üretim yapması

gerektiğine

yanıt

vermektedir.

sektörlerin

bazıları,

kendi

aralarında girdi alış-verişi yaparlar. Örneğin tekstil sektörü mobilya, otomobil sektörleri gibi çok sayıda endüstriye girdi sağlar.

Aşağıda

matris

işlemlerini

kullanarak

modeli

anlatacağız. Öncelikle varsayımlarımızı belirleyelim ve bazı kavramları tanıyalım.

144 Varsayımlar:

¾ Her bir sektör yalnızca bir türdeş mal üretmektedir. ¾ Her bir sektörün çıktısını elde edebilmek için, girdiler sabit bir oranda kullanılmaktadır.

¾ Her bir sektör ölçeğe göre sabit getiriyle çalışmaktadır.

145 Girdi Katsayıları Matrisi: Girdi katsayıları matrisi, belirli bir ürünün bir liralık üretimi için, diğer sektörlerden ne kadar girdi alması gerektiğini tanımlar.

aij , j. maldan bir birim üretmek için gerekeli olan i. girdi miktarını göstermektedir. Girdi-çıktı matrisinin her sütunu, belirli bir sektörün bir birim üretim için ne kadar girdilere gereksinimi olduğunu gösterir. Örneğin a23, üçüncü sektörün bir birim üretim yapabilmek için ikinci sektörden ne kadar girdi alacağını gösterir. Kapalı model durumunda sütun toplamı 1’e eşittir.

146

ÇIKTI

GİRDİ

[I ⎡ I ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ I I ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ III ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ... ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ N ⎥ ⎣ ⎦

⎡ a 11 ⎢ ⎢ ⎢ a 21 ⎢ ⎢ a 31 ⎢ ⎢ ⎢ ... ⎢ ⎢a ⎣ n1

]

III

...

a 12

a 13

...

a 22

a 23

...

a 32

a 33

...

an2

an3

...

a1 n ⎤ ⎥ ⎥ a2n ⎥ ⎥ a3n ⎥ ⎥ ⎥ ... ⎥ ⎥ a nn ⎥⎦

147 Bir sektör, girdi-çıktı sektörleri dışındaki bir sektörün çıktısına da (örneğin işgücüne) gereksinim duyuyorsa, girdi-çıktı modeli açık modele dönüşmüş olacaktır. Bu durumda ilgili sektörün bir birimlik üretim için gereksindiği girdileri gösteren sütun toplamı 1’den küçük olur. n

∑a i =1

j = 1, 2, ....., n

148 Şimdi her bir için toplam arz ve toplam talebi eşitleyerek yazalım. Açık sektörün talebini de ( di ) dikkate alalım.

x1 = a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + ..... + a1n xn + d1 x2 = a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + ..... + a2 n xn + d 2 ................................................................... xn = an1 x1 + an 2 x2 + an 3 x3 + ..... + ann xn + d n

149 Amacımız, her bir sektörün girdi gereksinimini tam olarak karşılanması

için

sektörlerin

denge

üretim

düzeylerini

belirlemektir. Yani x1, x2,…,xn için eşanlı çözüm yapacağız. Bunun için, yukarıdaki denklemleri matris biçimine uygun olarak düzenleyelim ve daha sonra ters matris yoluyla çözelim.

x1 − a11 x1 − a12 x2 − a13 x3 − ..... − a1n xn = d1 x2 − a21 x1 − a22 x2 − a23 x3 − ..... − a2 n xn = d 2 ................................................................... xn − an1 x1 − an 2 x2 − an 3 x3 − ..... − ann xn = d n

150

( 1 − a11 ) x1 − a12 x2 − a13 x3 − ..... − a1n xn = d1 − a21 x1 + ( 1 − a22 ) x2 − a23 x3 − ..... − a2 n xn = d 2 ..................................................................... − an1 x1 − an 2 x2 − an 3 x3 − ..... + ( 1 − ann ) xn = d n

151

⎡ ( 1 − a11 ) ⎢ ⎢ ⎢ − a21 ⎢ ⎢ ... ⎢ ⎢ ⎢⎣ − an1

− a12

...

( 1 − a22 )

...

− an 2

...

− a1n ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ d1 ⎤ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − a2 n ⎥ ⎢ x2 ⎥ ⎢ d 2 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ... ⎥ ⎢ ... ⎥ ⎢ ... ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ( 1 − ann ) ⎥⎦ ⎢⎣ xn ⎥⎦ ⎢⎣ d n ⎥⎦

152

⎛ ⎡1 ⎜⎢ ⎜⎢ ⎜ ⎢0 ⎜⎢ ⎜ ⎢0 ⎜⎢ ⎜⎢ ⎜ ⎢0 ⎝⎣

0 ⎤ ⎡ a11 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ a21 ⎥−⎢ 0 ⎥ ⎢ ... ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 1 ⎥⎦ ⎢⎣ an1

a12

...

a22

...

an 2

...

( I − A) x = d

a1n ⎤ ⎞ ⎥⎟ ⎥⎟ a2 n ⎥ ⎟ ⎥⎟ ... ⎥ ⎟ ⎥⎟ ⎥⎟ ann ⎥⎦ ⎟⎠

⎡ x1 ⎤ ⎡ d1 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ x2 ⎥ ⎢ d 2 ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ... ⎥ ⎢ ... ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ xn ⎥⎦ ⎢⎣ d n ⎥⎦

153

( I − A) x = d

I − A) ( I − A) x = ( I − A) (

−1

→

Ix = ( I − A ) d −1

→

x = ( I − A) d −1

−1

154 Leontief girdi-çıktı modeline sayısal bir örnek verelim ve çözümü ters matris yoluyla yapalım. Ekonominin girdi-çıktı matrisi ve nihai talep şöyledir:

⎡ a11 ⎢ ⎢ A = ⎢ a21 ⎢ ⎢⎣ a31

a32

d1 = 10 ,

d2 = 5 ,

a12 a22

a13 ⎤ ⎡ 0.2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ a23 ⎥ = ⎢ 0.4 ⎥ ⎢ a33 ⎥⎦ ⎢⎣ 0.1

d1 = 6

0.3 0.1 0.3

0.2 ⎤ ⎥ ⎥ 0.2 ⎥ ⎥ 0.2 ⎥⎦

155

I ⎡ 0.2 ⎢ ⎢ A = ⎢ 0.4 ⎢ ⎢⎣ 0.1

II 0.3

0.3

III 0.2 ⎤ ⎥ ⎥ 0.2 ⎥ ⎥ 0.2 ⎥⎦

0.7 0.3

0.6 0.4

0.1

156

x = ( I − A) d −1

⎡1 ⎢ ⎢ I − A = ( ) ⎢0 ⎢ ⎢⎣ 0 ⎡ 0.8 ⎢ ⎢ I A − = ( ) ⎢ −0.4 ⎢ ⎢⎣ −0.1

0 1 0

0 ⎤ ⎡ 0.2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ − ⎢ 0.4 ⎥ ⎢ 1 ⎥⎦ ⎢⎣ 0.1 −0.3 0.9 −0.3

−0.2 ⎤ ⎥ ⎥ −0.2 ⎥ ⎥ 0.8 ⎥⎦

0.3 0.1 0.3

0.2 ⎤ ⎥ ⎥ 0.2 ⎥ ⎥ 0.2 ⎥⎦

157 Şimdi (I-A) matrisinin tersini bulalım.

( I − A)

−1

( I − A)

1 = C′ ( I − A)

0.8

−0.3

−0.2

= −0.4

0.9

−0.2 = 0.384

−0.1

−0.3

0.8

158

⎡ 0.66 ⎢ ⎢ C = ⎢ 0.30 ⎢ ⎢⎣ 0.24 C11 = ( −1)

0.34 0.62 0.24

1+ 1

C 23 = ( −1)

2+ 3

M 11

M 23

0.21⎤ ⎡ 0.66 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0.27 ⎥ → C ′ = ⎢ 0.34 ⎥ ⎢ ⎢⎣ 0.21 0.60 ⎥⎦ →

→

C11 = ( −1)

1+ 1

C11 = ( −1)

2+ 3

0.30 0.62 0.27

0.9

0.24 ⎤ ⎥ ⎥ 0.24 ⎥ ⎥ 0.60 ⎥⎦

−0.2 = 0.66

−0.3

0.8

−0.3 = 0.27

−0.1

−0.3

159

( I − A)

−1

⎡ 0.66 ⎢ 1 1 ⎢ C′ = 0.34 = ⎢ 0.384 ( I − A) ⎢ ⎢⎣ 0.21 ⎡1.72 ⎢ ⎢ = ⎢ 0.89 ⎢ ⎢⎣ 0.55

0.78 1.62 0.70

0.63 ⎤ ⎥ ⎥ 0.63 ⎥ ⎥ 1.56 ⎥⎦

0.30 0.62 0.27

0.24 ⎤ ⎥ ⎥ 0.24 ⎥ ⎥ 0.60 ⎥⎦

160

x = ( I − A) d −1

⎡ x1 ⎤ ⎡1.72 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ x2 ⎥ = ⎢ 0.89 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎢⎣ 0.55

0.78 1.62 0.70

0.63 ⎤ ⎥ ⎥ 0.63 ⎥ ⎥ 1.56 ⎥⎦

⎡10 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢5⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 6 ⎥⎦

x1∗ = ( 1.72 )( 10 ) + ( 0.78 )( 5 ) + ( 0.63 )( 6 ) = 24.84 x2∗ = ( 0.89 )( 10 ) + ( 1.62 )( 5 ) + ( 0.63 )( 6 ) = 20.68