matematiksel iktisat ders notları 2 (fark denklemleri sistemi) by Ertaç GÜÇLÜ

FARK DENKLEMLERİ SİSTEMİ

Daha

önce

altıncı

bölümde

tek

değişken

durumunda

2 fark

denklemlerini ele almıştık. Burada değişken sayısının iki ya da daha fazla

olduğu

fark

denklemlerinden

oluşan

bir

sistemin

çözümü

üzerinde duracağız. Bazı örnekleri aşağıda görebiliriz.

x t = 2 x t − 1 + yt − 1 + 3 z t − 1

xt = axt −1 + byt −1 (1)

yt = cxt −1 + dyt −1

(2)

xt = 4 xt − 1 + 2 yt = −3 x t − 1 − 2 yt − 1 + 3

(3)

yt = 0.8 xt −1 zt = 1.4 xt −1 − 2 yt −1

3 Yukarıda yer alan üç fark denklemi sistemi de birinci sıradandır. Yani her

bir

sistem,

değişkenlerin

yazılmıştır. Burada otonom (yani denklemleri

üzerinde

yüksek

birinci

farkına

göre

değişkeninden bağımsız) fark

yoğunlaşmaktayız yoğunlaşmaktayız.

Eğer

sistemdeki

tüm

denklemler doğrusal ve homojense, bu sisteme birinci dereceden (doğrusal) homojen sistem diyoruz. diyoruz Sistemdeki denklemlerden en az birisi doğrusal değilse ya da homojen değilse, sistem doğrusal ve homojen olmaktan çıkar. Örneğin 1 ve 3 numaralı sistemler doğrusal homojen, 2 numaralı sistem homojen olmayan doğrusaldır.

4 Şimdi iki değişkenden oluşan bir doğrusal homojen fark denklemi sistemini tanımlayıp, bunu matris biçimde yazalım.

xt = axt −1 + byt −1 yt = cxt −1 + dyt −1

  xt   a b   xt −1    =      yt   c d   yt −1 

ya da

u t = Au t-1 Sistem homojen değilse,

u t = Au t-1 + s

u t-1

5 Bu genel yazıma göre, 2 ve 3 numaralı denklem sistemlerini de matris biçimde gösterelim.

xt = 4 xt − 1 + 2 yt = − 3 x t − 1 − 2 yt − 1 + 3

x t = 2 x t − 1 + yt − 1 + 3 z t − 1 yt = 0.8 xt −1 zt = 1.4 xt −1 − 2 yt −1

  

 xt   4 0   xt − 1   2  y  =  y +     t   −3 −2   t − 1   3 

    

1 3   xt − 1   xt   2       yt  =  0.8 0 0   yt −1   zt  1.4 −2 0   zt −1 

6 Sistem

dengedeyken,

tüm

değerlerinde

xt=xt−1=x*

olacağından, şunu yazabiliriz:

 x*  a b   x*   * =   *   y  c d   y 

u = Au

ya da

Buna göre, denge çözümünü de şöyle elde edebiliriz:

u = Au

(I - A) u

→

u - Au = 0

→

u = (I - A) 0 = 0 *

-1

yt=yt−1=y*

7 Sistem homojen değilse, denge çözümü şöyle sağlanacaktır:

 x *   a b   x *   s1   * =   * +     y   c d   y   s2 

u = Au + s

ya da

Buna göre, denge çözümünü de şöyle elde edebiliriz:

u = Au + s

(I - A) u (I−A)−1

→

u - Au = s

→

u = (I - A) s *

-1

var olduğu sürece, tanımlı denge değerleri elde edilir.

Örnek 1:

x t = 2 x t − 1 + 3 yt − 1 yt = − 2 x t − 1 + yt − 1

  xt   2 3   xt −1    =      yt   −2 1   yt −1 

 −1 −3  I-A=    −2 0  * *    − 1 3 0 −     x x =0 * (I - A)u =   * =   →  *  −2 0   y   0   y =0

Örnek 2:

xt = 4 xt − 1 + 2

  xt   4 0   xt −1   2    =  +   yt = −2 xt −1 − 2 yt −1 + 3   yt   −3 2   yt −1   3  -1

u = (I - A) s , *

(I - A)

-1

 − 13 0  =   − 1 − 1

*  x = −2 3   2 − 0     x  * u = * =    →  *  y   − 1 − 1  3   y = 5 3 *

1 3

10 Yukarıda bir fark denklemi sisteminin denge noktalarının nasıl belirlenebileceğini gördük. Bundan sonraki aşamada, sistemin, denge değerlerinden yakınsayıp

uzaklaştığında,

yeniden

yakınsamayacağına

kararlı

bakacağız.

biçimde

Sürecin

dengeye

kararlılığını

belirlemek, sistemin çözülmesiyle görülebilir. görülebilir Örneğin birinci sıradan doğrusal homojen bir sistemi dikkate alalım.

u t = Au t-1 = A ( Au t-2 ) = A u t-2 2

= A ( Au t-3 ) = A u t-3 2

11 Bunun çözümü: t

ut = A u0 Birinci

sıradan

homojen

olmayan

doğrusal

fark

denklemini

yukarıdaki gibi çözebiliriz.

u t = Au t-1 + s = A ( Au t-2 + s ) + s = A u t-2 + As + s 2

= A ( Au t-3 + s ) + As + s = A u t-3 + A s + As + s 2

(

)

u t = A t u 0 + I + A + A 2 + ... + A t-1 s

12 Birinci sıradan homojen olmayan doğrusal fark denklemini farklı bir biçimde de çözebiliriz. Homojen olmayan bu sistemi, dengeden sapmaları dikkate alarak homojene dönüştürürüz:

u t = Au t-1 + s *

u = Au + s

-u zt

) = A(u

t-1

-u

z t-1

)

→

z t = Az t-1

13 Şimdi yeniden birinci sıradan homojen doğrusal fark denklemini çözümüne bakalım. Bunun için karakteristik köklerden yararlanacağız. Fark denklemleri sistemini matris biçimde yeniden tanımlayalım.

 xt   a b   xt − 1  y  =  y    t   c d   t −1 

ya da

A Bunun çözümünü de şöyle belirlemiştik: belirlemiştik t

ut = A u0

u t = Au t-1

matrisinin karakteristik kökleri ve vektörlerini kullanarak, fark

denklem

sisteminin

çözümüne

ulaşmak

için,

ilk

köşegenleştirme yapalım.

b 2 D= 0

0 -1 = V AV  b1 

(

)(

(

)(

A 2 = V -1 DV

A 2 = V -1 D2 V t

-1

A =V DV

→

V -1 DV = A

)

V -1 DV = V -1 D2 V

)

V -1 DV = V -1 D3 V

olarak

15 t

-1

A =V DV t

-1

u t = A u 0 = V D Vu 0 t  -1 b1 ut = V  0

0 Vu 0 t b2 

Buna göre (belirli olmayan) genel çözüm: çözüm

t 1 1

t 2 2

ut = A b v + A b v

V =  v b1

v b2 

16 Genel çözümdeki belirsiz

genel

çözüm

terimleri belirli olmadığından, bu çözüme

diyebiliriz diyebiliriz.

t=0

alarak,

terimleri

belirleyebiliriz.

u t = A1b1t v b1 + A2 b2t v b2 , t = 0 → u 0 = A1 v b1 + A2 v b2 u 0 = A1 v + A2 v =  v b1

 A1  -1   = V u0  A2 

 A1   A1  v    = V    A2   A2  b2

Örnek 3:

x t + 1 = −8 − x t + yt yt + 1 = 4 − 0.3 xt + 0.9 yt

x 0 = 2 , y0 = 8 Bu, birinci sıradan homojen olmayan bir fark denklemi sistemidir. Bunu homojen hale dönüştürmek için, dengeden farkını alalım.

xt + 1 = xt = x

, yt + 1 = yt = y

x t + 1 = −8 − x t + yt *

x = −8 − x + y *

(

xt + 1 − x = − xt − x

)+(y

−y

)

yt + 1 = 4 − 0.3 xt + 0.9 yt *

y = 4 − 0.3 x + 0.9 y *

(

yt + 1 − y = −0.3 xt − x

) + 0.9 ( y

−y

)

19 Bu durumda her iki fark denklemi de homojen hale dönüşmüştür. İkinci aşamada bu sistemi matris biçimiyle yazalım ve karakteristik kökleri ve vektörleri araştıralım.

(

) (

x t + 1 − x * = − x t − x * + yt − y * *

(

yt + 1 − y = −0.3 xt − x

)

) + 0.9 ( y

−y

 xt + 1 − x   −1 1   xt − x  =    * *  yt + 1 − y   −0.3 0.9   yt − y  *

)

20 Karakteristik kökler:

1   −1 A=   −0.3 0.9  1   −1 − b A - bI =    −0.3 0.9 − b  −1 − b 1 2 A - bI = = b + 0.1b − 0.6 = 0 −0.3 0.9 − b b1 = 0.7262 , b2 = −0.8262

21 Karakteristik vektörler:

b1 = 0.7262

( A − b1I ) v

=0 →

( A − 0.7262I ) v

b1  − 1.7262 1   v1   0     b1  =   0.1738   v2   0   −0.3

1’e normalleştirme

  b1  v2 = 1 → b1 b1 −0.3v1 + 0.1738v2 = 0  b1 1

b1 2

−1.7262v + v = 0

b1 1

v = 0.5793

b2 = −0.8262

( A − b2 I ) v

=0 →

( A + 0.8262I ) v

b2  − 0.1738 1   v1   0     b2  =   1.7262   v2   0   −0.3

  b2  v2 = 1 → b2 b2 −0.3v1 + 1.7262v2 = 0  b2 1

b2 2

−0.1738v + v = 0

b2 1

v = 5.7537

V =  v

 b1t ut = V  0

 0.5793 5.7537  v  =   1   1 b2

0  -1 V u0 t b2 

( 0.7262 ) ut = V   0  x 0 = 2 , y0 = 8

 -1  V u0 t ( −0.8262 )  0

→

 −4.4  u0 =    −12.8 

24 t  0.7262 )  xt + 1 − x  ( ut =  = V *  0  yt + 1 − y   *

 0.5793 5.7537  V= ,  1   1

 -1  −4.4  V   t − 12.8  ( −0.8262 )   0

 −0.193 1.11  V =   0.193 −0.11 −1

t t  −7.75 ( 0.7262 ) + 3.35 ( −0.8262 )   xt + 1 − x    =   * t t y − y  t +1   −13.38 ( 0.7262 ) + 5.83 ( −0.8262 )  *

25 t

xt + 1 − x = −7.75 ( 0.7262 ) + 3.35 ( −0.8262 ) *

yt + 1 − y = −13.38 ( 0.7262 ) + 5.83 ( −0.8262 ) *

Denge değerlerini de (x*, y*) belirleyerek, sistemin grafiğini çizebiliriz.

x t + 1 = −8 − x t + yt yt + 1 = 4 − 0.3 xt + 0.9 yt x t + 1 = x t = x * , yt + 1 = yt = y *  * * x = 6.4 , y = 20.8  y * = 4 − 0.3 x * + 0.9 y * 

x * = −8 − x * + y *

xt + 1 = −7.75 ( 0.7262 ) + 3.35 ( −0.8262 ) + 6.4 t

yt + 1 = −13.38 ( 0.7262 ) + 5.83 ( −0.8262 ) + 20.8

Yukarıdaki sonuç, sistemin belirli genel çözümüdür. Bu sisteme ilişkin aşağıdaki

7.1a

71.b

grafiklerinden

gerçekleşmesini görebilmekteyiz.

yakınsama

sürecinin

Şekil ekil 7.1a. Fark Denklemlerinin Yakınsama Süreci

yt + 1 = −13.38 ( 0.7262 ) + 5.83 ( −0.8262 ) + 20.8 20 15

x(t) y(t) 10

xt + 1 = −7.75 ( 0.7262 ) + 3.35 ( −0.8262 ) + 6.4

0 1 -5

Şekil ekil 7.1b. Fark Denklemlerinin Yakınsama Süreci

25.0

y( t )

20.0 •

20.8

•

15.0

x t + 1 = −8 − x t + yt 10.0

yt + 1 = 4 − 0.3 xt + 0.9 yt x0 = 2 , y0 = 8

5.0

•

0.0 -4

-2

6.4

x( t ) 8

29 Sistemdeki değişken sayısı üçe çıktığında. çıktığında t

-1

A =V DV t

-1

u t = A u 0 = V D Vu 0  b1t -1  ut = V  0 0 

t 1 1

0 t 2

0  0  Vu 0 t b3 

t 2 2

b1  V = v

t 2 2

ut = A b v + A b v + A b v

v  b3

Örnek 4:

x t = x t − 1 + 2 yt − 1 + z t − 1 yt = − x t − 1 + yt − 1 z t = 3 x t − 1 − 6 yt − 1 − z t − 1 x 0 = 3 , y0 = − 4 , z 0 = 3 Bu, birinci sıradan homojen doğrusal bir fark denklemi sistemidir. Bunu ilk olarak matris biçimde tanımlayalım. tanımlayalım Sonraki aşamalarda, karakteristik kökler ve vektörleri belirleyerek çözüme ulaşalım.

 xt   1 2 1   xt − 1        y = − 1 1 0 y t      t −1   zt   3 −6 −1  zt −1  2 1  1 − b   A - bI =  −1 1 − b 0   3 −6 −1 − b 

(

)

A - bI = b b − b − 2 = 0 b1 = −1 , b2 = 0 , b3 = 2 ,

b1 = −1

( A − b1I ) v

=0 →

( A − ( −1)I ) v

b1  2 2 1 v   1  0    b1     −1 2 0   v 2  =  0   3 −6 0   v3b1   0 

2v + 2v + v = 0    b1 b1 b1 − v1 + 2v2 = 0  v1 = 1   3v1b1 − 6v2b1 = 0  b1 1

b1 2

1’e normalleştirme

b1 3

}

1 v = , v3b1 = −3 2 b1 2

b2 = 0

( A − b2I ) v

=0 →

( A − (0)I ) v

b2  1 2 1 v   1  0    b2     −1 1 0   v 2  =  0   3 −6 −1  v3b2   0 

b2 1

b2 2

b2 3

v + 2v + v = 0 − v1b2 + v2b2 = 0 3v1b2 − 6v2b2 − v2b2 = 0

   b2  v1 = 1   

1’e normalleştirme

}

v2b2 = 1 , v3b2 = −3

b3 = 2

( A − b3I ) v

=0 →

( A − (2)I ) v

b3  − 1 2 1 v   1  0    b3    1 1 0 v = 0 − − 2        3 −6 −3   v3b3   0   

b3 1

b3 2

b3 3

− v + 2v + v = 0 − v1b3 − v2b3 = 0 3v1b3 − 6v2b3 − 3v2b3 = 0

   b3  v1 = 1   

1’e normalleştirme

}

v2b3 = −1 , v3b3 = 3

 1  1 1       v b1 =  0.5  , v b2 =  1  , v b3 =  −1  −3   −3   3  1 1  1  0 −2 −0.67  3       V =  0.5 1 −1 , V −1 =  0.5 2 0.5  , u 0 =  −4   −3 −3 3   0.5 0 0.167   3   ( −1 ) t  xt     u t =  yt  = V -1  0   zt   0 

( 0) 0

0   0  Vu 0  t ( 2 ) 

36 t

xt = 6 ( −1) + 2 ( 2 ) yt = 3 ( − 1 ) − 2 ( 2 ) t

zt = −18 ( −1) + 6 ( 2 )

Ĺ&#x17E;ekil ekil 7.2. Fark Denklemlerinin Iraksama SĂźreci

250000

200000

150000

100000

50000

-50000

x(t)

-100000

y(t) Z(t)

38 Şu ana kadar fark denklemleri sistemini çözerken, doğrusal

bağımsız

öz-vektörlerinden vektörlerinden

sürecinde kullandığımız

( V)

A matrisinin

yararlandık.

Çözüm

A ve V’nin Jordan biçimini sistematik olarak

tanımlayalım. -1

V AV ≡ J

→

u t = Au t-1  b1t  0 t  J =    0

→ 0 t 2

A = VJ V ut = A t u0

0  0   t bn 

-1

→

u t = VJ t V -1u 0

39 Buna göre, fark denklemleri sisteminin çözümüne ulaşabilmek için yapmamız gereken,

J ve V matrislerini bulmaktır.

b1, b2,…,bn A matrisinin farklı öz-değerleriyse, değerleriyse, bu durumda birbirinden doğrusal bağımsız olan değerler

(karakteristik

v1, v2,…,vn öz-vektörleri belirlenebilir. Özkökler)

tekrar

ediyorsa,

öz-vektörlerin

doğrusal bağımsızlığı ortadan kalkar. kalkar Yani köşegenleştirme işlemi yapılamaz. Bununla birlikte, çözümün elde edilmesine olanak sağlayan bir sahte köşegenleştirme olanaklıdır. olanaklıdır

40 Şimdi farklı kökler, tek kök ve sanal kökler durumlarını, iki değişkenli bir fark denklemi (2x2 matris) için özetleyelim. özetleyelim

 b1 V AV ≡ J 1 =  0 -1

0  b2 

b 1 V AV ≡ J 2 =   0 b -1

0  α + βi V AV ≡ J 3 =   α − βi   0 -1

41 Sistemin

çözümünü

belirledikten

sonra,

kararlı

olup

olmadığını

inceleriz. Bunun için sistemin aşama grafiğini bize sağlayacak olan bir dönüşüm yapalım.

u t = Au t −1 -1

u t = V AV = Vz t u t = Vz t = AVz t −1 z t = Jz t −1

→

 b1 J= 0

-1

V Vz t = V AVz t −1 0  b2 

zt=Jzt-1 , ut=Aut-1 ifadesinin temel ve sade biçimi olarak tanımlanmaktadır. Çeşitli dönüştürme işlemleriyle elde ettiğimiz bu sade biçimin çözümü de şöyledir:

t  b t 1 zt = J z0 =  0

 z1t   b1t  =  z2 t   0

0 z t 0 b2 

0   z10   t b2   z20 

-1

z 0 = V u0

(z2t / z1t) oranına bakarak, sistemin kararlı hareket edip etmeyeceğini söyleyebiliriz. t 1 10

z1t = b z

t 2 20

, z2 t = b z t

 b2   z20  z2 t b z = =    z1t b z  b1   z10  t 2 20 t 1 10

Buna göre, sistemin kararlılığı,

(b2 / b1) oranının hem işaretine hem de

sayısal büyüklüğüne bağlıdır. Bunları özetleyelim:

İki farklı reel kök durumunda sistemin kararlılığı kararlılığı:: 1.

|b1|<1 ve |b2|<1 ise, sistem kararlıdır. kararlıdır

| b1|>1 ve | b2|>1 ise, sistem kararsızdır. kararsızdır

| b1|>1 ve | b2|<1 ise, sistem kararsızdır. kararsızdır

Tek reel kök durumunda sistemin kararlılığı kararlılığı:: 1.

|b|<1 ise, sistem asimptotik olarak kararlıdır.

|b|>1 ise, sistem asimptotik olarak kararsızdır.

Örnek 5: İki Farklı Reel Kök Durumu

xt + 1 = −0.85078 xt − yt yt + 1 = xt + 2.35078 yt

  

xt + 1 = xt = x * = 0 yt + 1 = yt = y * = 0

−1   x t   xt + 1   −0.85078 y  =  y   1 2.35078   t   t +1   (A - bI) = 0 →

−1  −0.85078 − b   =0 1 2.35078 − b  

( −0.85078 − b ) ( 2.35078 − b ) + 1 = 0

→

b1 = 2 , b2 = −0.5

46 Belirlediğimiz birinci kökü kullanarak, birinci öz-vektörü bulalım.

b1 = 2 b1

(A - b1I)v = 0 →

(A - 2I)v = 0

−1   v1b1   0   −2.85078  b1  =     1 0.35078   v2   0   −2.85078v1b1 − v2b1 = 0 b1 1

b1 2

v + 0.35078v = 0

  b1 b1  v1 = 1 , v2 = −2.8508 

47 Benzer şekilde ikinci kökü kullanarak, ikinci öz-vektörü bulalım.

b2 = −0.5 b2

(A - b2 I)v = 0 →

(A − ( −0.5)I)v = 0

b2  − 0.35078 − 1   v1   0   b2  =     1 2.85078   v2   0  

b2 1

b2 2

−0.35078v − v = 0 b2 1

b2 2

v + 2.85078v = 0

  b2 b2  v1 = 1 , v2 = −2.8508 

48 Şimdi, yukarıdaki öz-vektörleri bir arada yazalım.

 1   −2.8508  b2 v =  , v =   −2.8508   1  b1

−2.8508   1 V=  1   −2.8508 Vektörlerden birisi kararlı yolu, diğeri de kararsız yolu göstermektedir. Hangisinin kararlılık yolunu gösterdiğini belirleyebilmek için, sistemi sade (kanonik) biçimde yeniden tanımlayalım. Kanonik biçime dönüştürme işlemini şöyle yapmıştık: yapmıştık

z t + 1 = V -1u t + 1 Dönüştürme işlemini birinci öz-vektör vektör için yapalım ve kanonik çözümü elde edelim.

 −0.14 −0.40  V =   −0.40 −0.14  −1

-1

z t +1 = V u t +1 →

-1

z 0 = V u0

 −0.14 −0.40   1   0  z0 =  =      −0.40 −0.14   −2.8508   1 

50 t 1 10

z1t = b z

t 2 20

z2 t = b z

→ →

z1t = 2 ( 1) = 2 t

z2 t = ( −0.5 ) ( 0 ) = 0

Benzer biçimde, ikinci öz-vektörleri vektörleri kullanarak, diğer kanonik çözümleri elde ederiz.

t 1 10

z1t = b z

t 2 20

z2 t = b z

→ →

z1t = 2 ( 0 ) = 0 t

z2 t = ( −0.5 ) ( 1) = ( −0.5 )

51 İlk olarak birinci kanonik çözümlere bakarak, sistemin kararlı ya da

kararsız yollarından hangisi olduğunu görelim.

olmaktadır. Bu durum,

v b1

z1t→+∞ iken, t →+∞

vektörünün, kararsız yolu temsil ettiğini

söylemektedir. Diğer vektör (

v b2 ) için de aynı sınamayı yapalım. Yani

z2t→0 iken, t →+∞ olmaktadır. Bu durum,

vektörünün, kararlı yolu

temsil ettiğini söylemektedir. Sistemdeki öz-vektörlerden biri kararlı

diğeri de kararsız yol olduğundan, bir eyer dengesi vardır.

52 Bu örnekte

| b1|=2>1 ve | b2|=0.5< <1 olduğundan, sistem kararsızdır.

Kararsız yol, sistemin başat durumunu belirler. Ancak başlangıç noktasının seçimi önemlidir. Aşağıdaki şekillerde, başlangıç noktası

olarak (1,

Ancak

−2.8508)’in seçilmesi, kararlı bir dinamik sürece yol açar.

t=10’dan ötede bir başlangıç noktasının belirlenmesi, sistemin

kararsız hareket etmesine neden olur. olur

Şekil ekil 7.2a. Örnek 5’te Kararlı Yol

1.2

(1, −2.8508)

•

1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0

-4

-3

-2

-1

•

-0.2 0 -0.4 -0.6

Şekil ekil 7.2b. Örnek 5’te Kararsız Yol

0.0 0 -500.0 -1000.0 -1500.0 -2000.0 -2500.0 -3000.0 -3500.0

200

400

600

800

1000

1200

Şekil ekil 7.2c. Örnek 5’te Kararlı ve Kararsız Yol 0

2.0

-500

1.5

-1000 1.0 -1500 0.5 -2000 0.0 -2500

x(t) y(t)

-3000

-3500

x( t )

-0.5

y( t )

-1.0

Tek Reel Kök Durumu: Durumu:

Karakteristik denklemin çözümünde elde edilen reel kök sayısı iki tane olduğunda, genel olarak şu çözümü yazıyorduk: t b1 1 1 1

t b2 2 2 1

xt = A b v + A b v

yt = A3 b2t v2b1 + A4 b2t v2b2

  t t  u t = A1b1 v1 + A 2 b2 v 2 

Karakteristik denklemin çözümünden tek reel kök elde edildiğinde, her

bir

denklemde

ayrıca

Antb terimini de ekleyerek çözüme

ulaşmıştık. Şimdi bir denklem sistemi için bunun yeterli olmayacağını görelim ve genel çözüme nasıl ulaşabileceğimizi belirleyelim.

57 İlk olarak

Antb terimini deneyelim. t

u t = tb v1 ,

( t + 1) b

t +1

u t + 1 = Au t , b ≠ 0 t

v1 = Atb v1

Av1 = bv1

t +1

b v1 = 0 , b ≠ 0 , v1 ≠ 0 b≠0 ve v1≠0 olması nedeniyle, Antb çözüm değildir. Şimdi şu çözümü deneyelim: t

u t = tb v1 + b v 2

58 t

u t = tb v1 + b v 2 ,

( t + 1) b

t +1

u t + 1 = Au t , b ≠ 0

t +1

v1 + b v 2 = Atb v1 + Ab v 2

Av1 = bv1 , Av 2 = bv 2 Av 2 − bv 2 = bv1

( A − bI ) v 2 = bv1

→

Bu çözüm, doğrusal fark denklemi sisteminin çözümüdür. Buna göre, genel çözümü yazalım.

(

u t = A1b v1 + A 2 tb v1 + b v 2

)

Örnek 6: Tek Reel Kök Durumu

  

x t + 1 = 4 + x t − yt yt + 1 = −20 + xt + 3 yt

xt +1 = xt = x * = 12 * yt + 1 = yt = y = 4

 xt + 1  1 −1  xt   4  y  =  y +    1 3 − 20  t    t +1   (A - bI) = 0 →

1 − b −1   =0 3 − b  1

(1 − b ) ( 3 − b ) + 1 = 0

→

b1 = b2 = b = 2

60 Belirlediğimiz tek reel kökü kullanarak, birinci öz-vektörü bulalım.

b1 = b2 = b = 2 b

(A - bI)v = 0 →

(A - 2I)v = 0

 − 1 − 1  v   0   =     1 1  v  0 b 1 b 2

− v − v = 0   − 1 b b  v1 = −1 , v2 = 1 , v1 =   b b 1    v1 + v2 = 0  b 1

b 2

61 Şimdi ikinci öz-vektörü bulalım.

( A − bI ) v 2 = bv1  −1 −1  v1   − 1   = 2     1 1   v2  1

→

 v1   1  v2 =   =    v2   0 

Buna göre, tüm vektörleri ve Jordan matrisini bir arada yazalım.

V =  v1

 −1 1  v 2  =  ,   1 0

b 1  2 1 J= =    0 b   0 2

62 x ve y terimlerinden oluşan doğrusal ikinci sıra homojen olmayan fark denklemini,

Jordan

matrisini

kullanarak,

kanonik

dönüştürelim. t

-1

u t = VJ V u 0 t  b t J = 0

t   tb 2 =   t b  0 t −1

t −1

t2 t 2

2 zt =  0

zt = J z0

→

   t2  z t  0 2  t −1

biçime

(z)

z1t = 2t z10 + t 2t −1 z20 t

z2 t = 2 z20 Bu çözümden görülebileceği gibi, koşulu ne olursa olsun

z1t→+∞ ve z2t→+∞ iken, başlangıç

t →+∞ olmaktadır. olmaktadır Bu kararsız süreci, Şekil

7.3a ve 7.3b’de de görebiliriz. Ayrıca, fark denklemi çözümünü kanonik biçimden, normal biçimine dönüştürelim.

( )

xt = 12 − 11.9 2t + 7.9t 2t

( ) t

( )

yt = 4 − 3.9 2 − 7.9t 2

Şekil ekil 7.3a. Örnek 6’da Kararsız Süreç

100000

( )

xt = 12 − 11.9 2t + 7.9t 2t

90000 80000

( )

yt = 4 − 3.9 2t − 7.9t 2t

70000

x(t) y(t)

60000 50000 40000 30000 20000 10000 0 1

Şekil ekil 7.3b. Örnek 6’da Kararsız Süreç

x( t )

0 -10000

10000

-20000 -30000 -40000 -50000 -60000 -70000 -80000 -90000 -100000

y( t )

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000

Karmaşık Kökler Durumu Durumu:: Karakteristik kökler karmaşık sayı olduğunda, Jordan matrisi ve kanonik biçim şöyle yazılacaktır.

 h + vi J=  0

0  ,  h − vi 

( h + vi ) t t zt = J z0 =   0 

( h + vi ) t t J =  0    z0 t ( h − vi )  0

  t ( h − vi )  0

67 t

z1t = ( h + vi ) z10 = R t cos ( t θ ) + i sin ( t θ )  t

z2 t = ( h − vi ) z20 = R t cos ( t θ ) − i sin ( t θ ) 

R = h2 + v 2 Karakteristik köklerin sanal sayı olması, fark denklemi sisteminin salınımlı olmasına neden olacaktır.. aralığında salınım gösterirler. terimine bağlıdır.

sin

cos

fonksiyonları,

ile

-1

t →+∞ →+ iken z1t ve z2t ’nin limitleri, |R|t

1. |R|<1 ise sistem asimptotik olarak kararlıdır.

2. |R|=1 ise sistem denge değeri etrafında sürekli salınır.

3. |R|>1 ise sistem kararsızdır.

Örnek 7: Karmaşık Kökler Durumu

xt + 1 = 0.5 xt + 0.3 yt yt + 1 = − x t + yt x0 = 10 , y0 = 5

    

xt + 1 = xt = x * = 0 yt + 1 = yt = y * = 0

 xt + 1   0.5 0.3   xt  y  =  y   t + 1   −1 1   t  (A - bI) = 0 →

 0.5 − b 0.3  =0  −1  1 − b 

b 2 − 1.5b + 0.8 = 0 b1 = 0.75 + 0.49i , b2 = 0.75 − 0.49i

b1 = 0.75 + 0.49 i , b2 = 0.75 i − 0.49 h

R= h +v

→

( 0.75 )

+ ( 0.49 ) = 0.89

|R|=0.89<1 olduğundan, sistem kararlıdır. kararlıdır Denge noktasından (x*=0 , y*=0) herhangi bir şekilde uzaklaşıldığında, yeniden denge noktasına dönülmektedir. Örneğin başlangıç noktasını

x0=10 , y0=10 olarak

seçtiğimiz grafikte, yakınsak süreci izleyebiliriz (Şekil 7.4a ve 7.4b).

Şekil ekil 7.4a. Örnek 7’de KararlıKararlı-Dalgalı Süreç

y( t )

10.0

( x 0 , y0 )

•

5.0

0.0 -10

-5

• 0

-5.0

-10.0

-15.0

x(t ) 5

Şekil ekil 7.4b. Örnek 7’de KararlıKararlı-Dalgalı Süreç

12 10 8

x(t) y(t)

6 4 2 0 1 -2

73 Şimdi bu fark denkleminin çözümünü açık olarak

x ve y cinsinden

görelim. Ancak unutmayalım ki, fark denkleminin

x ve y cinsinden

çözümü ile kanonik biçimdeki çözümünün kararlılık davranışları aynıdır.

Yukarıda karakteristik kökleri belirlemiştik. belirlemiştik Bu kökleri kullanarak karakteristik vektörleri (öz-vektörleri) vektörleri) bulalım.

74 b1

(A - b1I)v = 0  0.5 − ( 0.75 + 0.49i )   v1b1   0  0.3    b1  =   1 1 − ( 0.75 + 0.49i )   v2   0   b1 b1 − 0.25 − 0.49 i v + 0.3 v ( ) 1 2 = 0

v1b1 + ( 0.25 − 0.49i ) v2b1 = 0 v1b1 = 1 ⇒ v2b1 = 0.83 + 1.63i

75 b2

(A - b2 I)v = 0  0.5 − ( 0.75 − 0.49i )   v1b2   0  0.3    b2  =   1 1 − ( 0.75 − 0.49i )   v2   0   b2 b2 − 0.25 + 0.49 i v + 0.3 v ( ) 1 2 = 0

v1b2 + ( 0.25 + 0.49i ) v2b2 = 0 v1b2 = 1 ⇒ v2b2 = 0.83 − 1.63i

 v1b1 V= b 1 v  2

1 1 v    =  v   0.83 + 1.63i 0.83 − 1.63i  b2 1 b2 2

 0.5 + 0.26i V =  0.5 − 0.26i -1

b t J = 0

t 1

−0.31i   0.31i 

t  0  ( 0.75 + 0.49i )  =  b2t   0 

  t ( 0.75 − 0.49i )  0

 u01   −6.58  x0 = 10 , y0 = 5 , u 0 =   =    u02   4.39   xt + 1  t -1 = u = VJ V u0 y  t  t +1  t t   xt + 1  ( 0.66 + 2.36i ) ( 0.75 − 0.49i ) + ( 0.66 − 2.36i ) ( 0.75 + 0.49i )   y  =  t t  t + 1   ( 4.39 + 0.90i ) ( 0.75 − 0.49i ) + ( 4.39 − 0.90i ) ( 0.75 + 0.49i ) 

Örnek 8: Karmaşık Kökler Durumu

x t + 1 = x t + 2 yt yt + 1 = − x t + yt

  

xt + 1 = xt = x * = 0 yt + 1 = yt = y * = 0

 xt + 1   1 2   xt   =     yt + 1   − 1 1   yt  (A - bI) = 0 →

2  1 − b  =0  −1 1 − b 

b − 2b + 3 = 0 b1 = 1 + i 2 , b2 = 1 − i 2

Şekil ekil 7.5a. Örnek 8’de KararsızKararsız-Dalgalı Süreç

y( t )

1000.0

500.0

( x 0 , y0 )

0.0 -500

• 0

-500.0

-1000.0

-1500.0

-2000.0

x( t ) 500

1000

1500

2000

2500

Şekil ekil 7.5b. Örnek 8’de Kararsız Kararsız--Dalgalı Süreç

150 100 50 0 -50

-100 -150 -200 -250 -300

x(t) y(t)

Örnek 9: Karmaşık Kökler Durumu

xt + 1 = 0.5 xt + 0.5 yt yt + 1 = − x t + yt

  

xt + 1 = xt = x * = 0 yt + 1 = yt = y * = 0

 xt + 1   0.5 0.5   xt  y  =  y   t + 1   −1 1   t  (A - bI) = 0 →

 0.5 − b 0.5   =0 1 − b  −1

b − 1.5b + 1.25 = 0 b1 = 0.75 + 0.66i , b2 = 0.75 − 0.66i

b1 = 0.75 + 0.66i , b2 = 0.75 − 0.66i 2

R= h +v

→

( 0.75 )

+ ( 0.66 ) = 1

|R|=1 olduğundan, sistem belirsizdir (ne ıraksak ne de yakınsak). Denge noktasından (x*=0 denge

noktasına

, y*=0) herhangi bir şekilde uzaklaşıldığında,

yeniden

dönülememekte,

başlangıç

noktasının

etrafında aynı salınım yinelenmektedir. yinelenmektedir Örneğin başlangıç noktasını

x0=5 , y0=5 olarak seçtiğimiz grafikte, tekrarlı dalgalı süreci izleyebiliriz (Şekil 7.6a ve 7.6b).

Şekil ekil 7.6a. Örnek 9’da BelirsizBelirsiz-Dalgalı Süreç

y( t )

10.0 8.0

( x 0 , y0 )

6.0

•

4.0

•

2.0

x( t )

0.0 -6

-4

-2

-2.0 -4.0 -6.0 -8.0 -10.0

Şekil ekil 7.6b. Örnek 9’da BelirsizBelirsiz-Dalgalı Süreç

x(t) y(t)

10 8 6 4 2 0 1 -2

Fark Denklemi Sisteminin Süreç Grafikleriyle Gösterilmesi Aşağıdaki fark denklemi sistemini dikkate alalım.

∆ x t + 1 = α 0 + α 1 x t + α 2 yt

∆x t + 1 = x t + 1 − x t

∆ yt + 1 = β 0 + β 1 x t + β 2 yt

∆yt + 1 = yt + 1 − yt

Şimdi bu sistemi denge değerlerinden sapmalar olarak yeniden tanımlayalım. Dengede,

xt + 1 = xt = x

yt + 1 = yt = y

x t + 1 − x t = α 0 + α1 x t + α 2 yt yt + 1 − yt = β 0 + β 1 x t + β 2 yt *

0 = α 0 + α1 x + α 2 y *

0 = β 0 + β1 x + β 2 y

(

∆xt + 1 = α 0 + α1 xt − x

(

∆ yt + 1 = β 0 + β 1 x t − x

)+α (y 2

)+β (y 2

−y

)

−y

)

Dikkate

aldığımız

fark

denklemi

sisteminin

katsayılarına

87 çeşitli

kısıtlamalar koyarak, süreç grafiklerini (phase diagrams) çizebiliriz.

∆x t + 1 = α 0 + α1 x t + α 2 yt

α1 , α 2 > 0

∆ yt + 1 = β 0 + β 1 x t + β 2 yt

β1 > 0 , β 2 < 0

∆x t + 1 = 0 ⇒

 −α 0   α1  yt =   −   xt  α2   α2 

∆ yt + 1 = 0 ⇒

 −β 0   β1  yt =   −   xt  β2   β2 

∆xt+1=0 ve ∆yt+1=0 için elde ettiğimiz xt ve yt denklemleri, süreçlerin nasıl gelişeceğini belirlemede kullanacağımız eş-denge eğrileridir (isoclines).

Bunların

üstünde

altındaki

diğer

vektörleri

belirleyerek, bu referanslar dışındaki süreçlerin de nasıl oluşacağını görebiliriz.

∆xt + 1 > 0 ⇒

 −α 0   α1  yt >   −   x t , α1 , α 2 > 0  α2   α2 

∆xt + 1 < 0 ⇒

 −α 0   α1  yt <   −   x t , α1 , α 2 > 0  α2   α2 

∆yt + 1 > 0 ⇒

 −β 0   β1  yt <   −   xt , β1 > 0 , β 2 < 0  β2   β2 

∆yt + 1 < 0 ⇒

 −β 0   β1  yt >   −   xt , β1 > 0 , β 2 < 0  β2   β2 

Birinci eş-denge eğrisinin eğiminin negatif, ikincinin eğiminin de pozitif olacağına dikkat edelim. Buna göre, eş-denge eğrileri ve süreç grafiklerini Şekil 7.7a ve 7.7b olarak çizdik.

Şekil ekil 7.7a. Süreç Grafiği Grafiğ ((Phase Phase Diagram) Diagram) ve EşEş-Denge Eğrileri E

yt ∆x t + 1 > 0 ∆x t + 1 < 0 ∆xt + 1 = 0

Şekil ekil 7.7b. Süreç Grafiği Grafiğ ((Phase Phase Diagram) Diagram) ve EşEş-Denge Eğrileri E

∆yt + 1 = 0 ∆yt + 1 < 0

∆ yt + 1 > 0

92 Şekil 7.7a ve 7.7b olarak çizdiğimiz süreç grafikleri, dengenin eyer dengesi biçiminde oluştuğunu göstermektedir. göstermektedir dengeden uzaklaşma,

x vektörüne göre

y vektörüne göre de dengeye yaklaşma söz

konusudur. Şimdi her iki vektörü (eş-denge eğrilerini) tek grafik üstünde gösterelim ve süreç kuvvetlerini de belirtelim. Bunu Şekil 7.8 ile çizdik.

Şekil ekil 7.8. Süreç Grafiği ve Vektörel Kuvvetler

yt Kararlı Yol

∆yt + 1 = 0 Kararsız Yol

• ∆x t + 1 = 0

Örnek 10 10::

∆xt + 1 = −12 + 0.3 xt + 3 yt ∆yt + 1 = 4 + 0.25 xt − 1.5 yt ∆xt + 1 = 0 ⇒ yt = 4 − 0.1 xt ∆ yt + 1

 * * x = 5 , y = 3.5  = 0 ⇒ yt = 2.67 + 0.17 xt 

İlk olarak sistemi, bu denge değerlerinden sapmalara göre yazalım ve çözümünü elde edelim. Ardından da dinamik davranışını belirleyelim.

∆xt + 1 = xt + 1 − xt = −12 + 0.3 xt + 3 yt xt + 1 = −12 + 1.3 xt + 3 yt x * = −12 + 1.3 x * + 3 y*

t +1

−x

) = 1.3 ( x

−x

) + 3( y

−y

)

∆yt + 1 = yt + 1 − yt = 4 + 0.25 xt − 1.5 yt yt + 1 = 4 + 0.25 xt − 0.5 yt y* = 4 + 0.25 x * − 0.5 y*

t +1

−y

) = 0.25 ( x

−x

) − 0.5 ( y

−y

)

96 Buna göre, denge değerleri yakınında sistemin dinamik davranışı, sistemin

dengeden sapmalarına

göre

belirlediğimiz

katsayılarının oluşturacağı matris ile belirlenecektir.

3   1.3 A=   0.25 −0.5  Öz-değerleri bulalım.

A - bI =

1.3 − b

0.25

−0.5 − b

b1 = 1.65 , b2 = −0.85

= b − 0.8b − 1.4

denklemlerin

97 Şimdi de öz-vektörleri belirleyelim.

b1 = 1.65 −0.35 3 A - b1 I = 0.25 −2.15 v b1

b1  − 0 . 35 3   v1   0  b1 A - b1 I v = 0 →   b1  =     0.25 −2.15   v2   0 

  b1 b1  v2 = 1 , v1 = 8.6 b1 b1 0.25v1 − 2.15v2 = 0  b1 1

b1 2

−0.35v + 3v = 0

b2 = −0.85 2.15 3 A - b2 I = 0.25 0.35 b2  2 . 15 3   v1   0  b2 A - b2 I v = 0 →   b2  =     0.25 0.35   v2   0 

  b2 b2  v2 = 1 , v1 = −1.4 b2 b2 0.25v1 + 0.35v2 = 0  b2 1

b2 2

2.15v + 3v = 0

V =  v

 8.6 −1.4  v  =   1   1

Ayrıca Jordan matrisini de yazalım.

( b ) t 1 t J =  0 

t   0 1.65 ) ( = t ( b1 )   0

  t ( −0.85 )  0

u0 için rasgele değerler alarak sistemin çözümü bulalım.

1 u0 =    2

100

 xt  t -1  y  = u t = VJ V u 0  t t

xt = −2.26 ( −0.85 ) + 3.26 ( 1.65 ) t

yt = 1.62 ( −0.85 ) + 0.38 ( 1.65 )

Sistemin çözümünü bu şekilde elde ettikten sonra, süreç grafikleriyle dinamik davranışlarını inceleyelim. inceleyelim Örneğin en başında eş-denge eğrilerini belirlemiştik. Bunları yeniden yazalım ve bunların üst ve alt bölgelerindeki davranışların (vektörsel kuvvetlerin) ne olacağına bakalım.

101

yt = 4 − 0.1 xt yt = 2.67 + 0.17 xt ∆xt + 1 > 0 ⇒ yt > 4 − 0.1 xt ∆xt + 1 < 0 ⇒ yt < 4 − 0.1 xt ∆yt + 1 > 0 ⇒ yt > 2.67 + 0.17 xt ∆yt + 1 < 0 ⇒ yt < 2.67 + 0.17 xt Eş-denge eğrileri ve vektörsel kuvvetler, Şekil 7.9’da çizilmiştir.

Şekil 7.9. Süreç Grafiği ği ve Vektörsel Kuvvetler

yt Kararlı Yol

∆yt + 1 = 0

•

y = 3.5

Kararsız Yol

2.67 ∆x t + 1 = 0

x* = 5

102

103 Şekil 7.9’da da kararlı sürecin yalnızca kararlı yol üzerindeyken olanaklı hale geldiği görülebilmektedir. görülebilmektedir Başlangıç noktasının bu yolun üzerinde bulunmadığı diğer tüm durumlar, sistemin kararsız (yani dengeden uzaklaşan) bir dinamik davranış izlemesine neden olacaktır.

104

Ekonomide İç ve Dış Denge Ekonomide aynı anda iç dengenin tam istihdamı karşıladığı reel GSYİH düzeyi ve dış dengenin de ödemeler bilançosu dengesi ile sağlamanın amaçlandığı bir politika karması düşünelim. düşünelim Tinbergen’e göre (1956), iki farklı politikanın gerçekleştirilebilmesi için, iki farklı araca gerek duyulur.

Birincisi

iç

dengenin

gerçekleştirilebilmesi

için

kamu

harcama politikası, ikincisi dış dengenin gerçekleştirilebilmesi için, yurt dışı sermaye akışlarını etkileyecek olan faiz oranı. Şimdi bu iki politika aracını, dengeden sapmalara göre tanımlayalım.

105

(

∆gt + 1 = gt + 1 − gt = k1 gt − g

(

* t

∆rt + 1 = rt + 1 − rt = k2 rt − r

Burada

)

* t

)

, k1 < 0

, k2 < 0

g*t , t dönemindeki hedeflenen kamu harcamaları düzeyi; rt* , t

dönemindeki hedeflenen faiz oranıdır. oranıdır Bunu sayısal değerleri dikkate alarak çözelim. İç

dış

dengenin

(bir

modelden

tanımlanmış olduğunu varsayalım.

hareketle)

aşağıdaki

gibi

106 İç Denge :

Dış Denge :

rt = −3.925 + 0.5 gt rt = 7.958 + 0.186 gt

İç ve dış dengenin oluştuğu durumlarda, şunlar sağlanmış olmalıdır: * t

g = 7.85 + 2rt * t

r = 7.958 + 0.186 gt Buna göre, iç ve dış dengedeki değişimlerin sağlanması için gereken kamu harcama politikası ve faiz politikasını yazabiliriz.

107

∆gt +1 = k1 ( gt − 7.85 − 2rt ) , k1 < 0 ∆rt + 1 = k2 ( rt − 7.958 − 0.186 gt ) , k2 < 0 Bu iki denklemi

∆gt+1=0 ve ∆rt+1=00 için çözerek, eş-denge eğrilerini

(isoclines) bulabiliriz. Elde edeceğimiz bu referans vektörler sırasıyla yurt içi ve yurt dışı dengeyi sağlamaktadır. sağlamaktadır Her iki denklemin eşanlı çözümüyle elde edilecek olan

g* ve r* değerleri de, iç ve dış dengenin

aynı anda sağlanabileceği denge kamu harcama düzeyi ile denge faiz oranını gösterecektir.

108

rt = −3.925 + 0.5 gt rt = 7.958 + 0.186 gt

  

g * = 37.84 , r * = 15

Kuvvet vektörlerini de aşağıya yazarak, süreç grafiğini Şekil 7.10’da çizelim.

∆gt + 1 > 0 ⇒ rt > −3.925 + 0.5 gt , rt artıyor art . ∆gt + 1 < 0 ⇒ rt < −3.925 + 0.5 gt , rt azalıyor azal . ∆rt + 1 > 0 ⇒ rt < −7.958 + 0.186 gt , rt artıyor art . ∆rt + 1 < 0 ⇒ rt > −7.958 + 0.186 gt , rt azalıyor azal .

Şekil 7.10. Ekonomide İç ve Dış Dı Denge İçin Süreç Grafiğii ve Kuvvet Vektörleri

∆gt + 1 = 0

İç Denge

Dış Denge

∆rt + 1 = 0

•

r * = 15

III

2.67 IV 0

g* = 37.84

109

110 İç dengeyi gösteren eş-denge eğrisinin sol üst kısmında (yani I. ve IV. bölgeler)

gt artıyor (yatay kuvvet vektörleri bunu gösterecek biçimde

sağ yöne doğru çizilmiştir), sağ alt kısımda (yani II. ve III. bölgeler)

gt azalıyor (yatay kuvvet vektörleri bunu gösterecek biçimde sol yöne doğru çizilmiştir). Benzer şekilde dış dengeyi gösteren eş-denge eğrisinin sol üst kısmında (yani I.. ve II. bölgeler) kuvvet

vektörleri

bunu

gösterecek

biçimde

rt azalıyor (dikey

aşağı

yöne

doğru

çizilmiştir), sağ alt kısımda (yani III. III ve IV. bölgeler) rt artıyor (dikey kuvvet

vektörleri

çizilmiştir).

bunu

gösterecek

biçimde

yukarı

yöne

doğru

111 Dengeden

sapma

karşısında

değiştirebileceğimiz

kamu

harcama

değişiminin duyarlılık katsayısı (k1) ile, faiz politikası duyarlılık katsayısına (k2) sayısal değerler vererek, dinamik sürecin izleyeceği yörüngeyi de görebiliriz. Şu değerleri dikkate alalım:

k1 = −0.5 , k2 = −0.75

∆gt + 1 = −0.5 ( gt − 7.85 − 2rt ) ∆rt + 1 = −0.75 ( rt − 7.958 − 0.186 gt )

112

gt + 1 = 3.93 + 0.5 gt + rt rt + 1 = 5.97 + 0.14 gt + 0.25rt g0 = 20 , r0 = 9 Bu

sistemi

başlangıç

değerlerini

dikkate

alan

kararlı

süreç

grafikleri Şekil 711a ve Şekil 7.11b b ile gösterilmiştir. Şekil 7.11’deki süreç grafiğinde olduğu gibi, sistem kararlı davranarak, denge dışı bir durumdan (g0=37.84, r0=15) , dengeye (g*=37.84, r*=15) dönüş yapmaktadır.

Şekil ekil 7.11a. Ekonomide İç ve Dış Dı Dengenin Kararlı Davranı Davranışı

113

rt gt

60 50 40 30 20 10

0 1

Şekil ekil 7.11b. Ekonomide İç ve Dış Dı Dengenin Kararlı Davranı Davranışı

114

rt 19.0 17.0

g ( •

15.0

,r *

)

13.0 11.0

• ( g ,r )

9.0

7.0

5.0 15

115 Şimdi bu örneğe tam tersi bir şekilde yaklaşım. Faiz oranını iç dengeyi sağlamak,

kamu

harcamalarını

dış

dengeyi

kullanalım.

İç Denge :

Dış Denge :

rt = −3.925 + 0.5 gt rt = 7.958 + 0.186 gt rt* = −3.925 + 0.5 gt gt* = −42.785 + 5.376rt

sağlamak

için

116

(

* t

∆rt + 1 = k3 rt − r

(

) = k ( r + 3.925 − 0.5 g ) ,

∆gt + 1 = k4 g t − g Bu iki denklemi

* t

) = k (g 4

k3 < 0

+ 42.785 − 5.376rt ) , k4 < 0

∆gt+1=0 ve ∆rt+1=00 için çözerek, eş-denge eğrilerini

g* değerleri de, iç ve dış dengenin

aynı anda sağlanabileceği denge faiz oranı ile denge kamu harcama düzeyini gösterecektir.

117

rt = −3.925 + 0.5 gt rt = 7.958 + 0.186 gt

  

g = 37.84 , r = 15

Kuvvet vektörlerini de aşağıya yazarak, süreç grafiğini Şekil 7.12’de çizelim.

∆rt + 1 > 0 ⇒ rt < −3.925 + 0.5 gt , rt artıyor art . ∆rt + 1 < 0 ⇒ rt > −3.925 + 0.5 gt , rt azalıyor azal . ∆gt + 1 > 0 ⇒ rt > −7.958 + 0.186 gt , gt artıyor art . ∆gt + 1 < 0 ⇒ rt < −7.958 + 0.186 gt , gt azalıyor azal .

118

Şekil ekil 7.12. Ekonomide İç ve Dış Denge: Eyer Dengesi

rt Kararsız Yol

∆rt + 1 = 0

İç Denge

∆g t + 1 = 0

Dış Denge

•

r = 15

III

2.67 IV 0

Kararlı Yol

g* = 37.84

119 I. bölgede faiz oranı azalırken, kamu harcamaları artıyor; III. bölgede de

faiz

oranı

artarken,

kamu

harcamaları

azalıyor.

Ekonomi

başlangıçta kararlı yol üzerindeki bir konumdaysa, kararlı yol boyunca bir eyer dengesi süreci yaşanır. Başlangıç noktası kararlı yolun dışında ise, sistem kararsız bir davranış sergileyecek, yani ekonomi dengeden giderek

uzaklaşacaktır.

II.

IV IV.

bölgelerin

uzaklaşılacak başlangıç noktalarına sahiptir.

tamamı

dengeden

120

Lucas’ın Rasyonel Beklentiler Modeli Bu bölüm, ekonomide beklentilerin rasyonel bekleyişe uygun olarak oluşturulduğunda, eyer çözümünün elde edileceğini göstermektedir. Uyarlamacı beklenti yaklaşımında ekonomik karar birimlerinin, geçmiş dönemlerdeki yönelik

bir

(gerçekleşmiş) enflasyon

enflasyonu

beklentisi

dikkat

oluşturdukları

alarak

geleceğe

varsayılmaktadır.

Rasyonel beklenti modeli ise, ekonomik karar birimlerinin beklenti oluştururken, yanılma payını en aza indirecek şekilde ellerindeki tüm mevcut

bilgileri

kullandıklarını

varsayarak

farklı

bir

yaklaşım

getirmektedir. Eğer ekonomik karar birimleri bu mevcut bilgilerden tam yararlanıyorlarsa, ileriyi iyi görebilmelerinin mümkün olabileceğini kabul edeceğiz.

121 Lucas’ın rasyonel beklentiler modeli, ekonomik karar birimlerinin mevcut bilgiyle tam öngörü yapabildiklerini varsaymaktadır. İlk olarak beklenti kavramını tanımlamaya çalışalım. İki kavrama gereksinim duymaktayız: duymaktayız Birincisi beklentinin ne zaman oluşturulduğu, ikincisi beklentinin hangi zamana yönelik oluşturulduğu. Örneğin bir ekonomik karar biriminin X değişkeni için t döneminde bir beklenti oluşturmasını şöyle tanımlayabiliriz: tanımlayabiliriz Et . Benzer biçimde, beklenti bir dönem ileriye dönük yapılırsa, EtXt+1 ; iki dönem ileriye dönük ise EtXt+2 . Ya da Et-1Xt+1 , X ’in t+1 dönemindeki değerine ilişkin, t-

1 döneminde oluşturulmuş olan beklenti anlamına gelmektedir. Değişkenimiz enflasyon (π) ise, t+1 dönemi enflasyonunun t döneminde oluşturulan beklentisini şöyle yazabiliriz: yazabiliriz Etπt+1 .

122 Fiyatlar

genel

düzeyi

genellikle

doğal

logaritma

biçiminde

tanımlandığından, Etπt+1 ifadesini, şöyle de yazabiliriz:

Et π t + 1 = Et pt + 1 − pt Lucas’ın rasyonel beklentiler yaklaşımını şu model çerçevesinde ele alacağız:

ytd = a0 + a1 ( mt − pt ) + ε t , a0 > 0 , a1 > 0 yts = yn + b1 ( pt − E t −1 pt ) + ν t , b1 > 0 ytd = yts = yt

(

)

(

ε ∼ N 0, σ ε2 , ν ∼ N 0, σ υ2

)

123 Modeldeki değişkenlerin anlamları şöyledir: şöyledir

ytd

t dönemindeki toplam talep düzeyi (logaritmik)

yts mt pt

t dönemindeki toplam arz düzeyi (logaritmik)

t dönemindeki nominal para arzı (logaritmik)

t dönemindeki fiyatlar genel düzeyi (logaritmik)

: milli gelirin doğal düzeyi (logaritmik)

Modelde dikkati çeken birkaç nokta vardır: Birincisi toplam talep ve arz denklemleri deterministik değil, normal dağılıma sahip birer rassal değişken (ya da şok) eklenerek stokastik biçimde tanımlanmıştır. Toplam arz eğrisinin tanımlandığı ikinci denklem, Lucas’ın tanımladığı biçimdeki Phillips eğrisini göstermektedir; göstermektedir yani, milli gelirin doğal düzeyi, gerçekleşen fiyatlar

genel

sapmasına göre düzeltilmektedir.

düzeyinin beklenen değerden

124 Toplam talep ve arz denklemlerindeki normal dağılıma sahip rassal terimler birer şok görevi görürler. görürler Bu şokların ortalaması sıfır, varyansı da sabittir. İlk olarak modeli beklentilerin sabit olduğu varsayımı altında ele alalım. Bu durumda model şöyle oluşacaktır: oluşacaktır

yt + a1 pt = a0 + a1 mt + ε t yt − b1 pt = yn − b1 Et −1 pt + ν t 1 a1   yt   a0 + a1 mt + ε t   p  = y −b E p + ν  t 1 − b1   t   n 1 t −1 t

125 Bu matrisi yt ve pt için çözelim.

a0 b1 + a1 yn a1b1 mt a1b1 E t −1 pt b1ε t + a1 ν t yt = + + + a1 + b1 a1 + b1 a1 + b1 a1 + b1 a0 − yn a1 mt b1 Et −1 pt ε t − ν t pt = + + + a1 + b1 a1 + b1 a1 + b1 a1 + b1 Bu denklemler, fiyat beklentilerinin dışsal olduğu varsayımı altında oluşturduğumuz indirgenmiş denklemlerdir. denklemlerdir Bu sürecin bir sonraki aşamasında

pt için beklentiyi t-1 dönemi için yazalım.

a0 − yn a1 E t −1 mt b1 E t −1 pt Et −1ε t − E t −1 ν t E t −1 pt = + + + a1 + b1 a1 + b1 a1 + b1 a1 + b1

126 Rassal terimlerin (şokların) ortalaması (E) tüm dönemler için sıfır varsayıldığı için,

t-1 dönemine yönelik pt beklentisi:

E t −1ε t = Et −1 ν t = 0 a0 − yn a1 Et −1 mt b1 Et −1 pt E t −1 pt = + + a1 + b1 a1 + b1 a1 + b1

a0 − y n E t −1 pt = + E t −1 mt a1 Bu çözümü, indirgenmiş denklemdeki yerine yazalım ve düzenleyelim.

yt = yn +

a1b1 ( mt − E t −1 mt ) a1 + b1

b1ε t + a1 ν t + a1 + b1

a0 − yn a1 mt − b1 Et −1 mt ε t − ν t pt = + + a1 a1 + b1 a1 + b1

127 Şimdi para arzının sabit, bekleyişlerin doğru olduğu durumu dikkate alarak, enflasyon oranı ile para arzı arasındaki bağlantıyı görelim. Bu amaçla ilk olarak enflasyon oranını tanımlayalım.

π t = pt − pt −1 a0 − yn a1 mt − b1 E t −1 mt ε t − ν t pt = + + a1 a1 + b1 a1 + b1 pt −1

πt =

a0 − yn a1 mt −1 − b1 Et − 2 mt −1 ε t −1 − ν t −1 = + + a1 a1 + b1 a1 + b1 a1 ( mt − mt −1 ) − b1 ( Et −1 mt − Et − 2 mt −1 ) a1 + b1

ε t − ε t −1 ) − ( ν t − ν t −1 ) ( + a1 + b1

128 Şimdi para arzının sabit, bekleyişlerin doğru olduğu varsayımını dikkate alarak denklemi yeniden tanımlayalım. tanımlayalım

mt = mt −1 , E t −1 mt = E t − 2 mt −1 πt

ε t − ε t −1 ) − ( ν t − ν t −1 ) ( = a1 + b1

Eğer rassal şoklar yoksa:

ε t = ε t −1 = 0 , ν t = ν t −1 = 0 → π t = 0 İkinci olası durum, para arzının sabit bir hızla büyüdüğü ve öngörülerin doğru olmasıdır.

mt − mt −1 = λ , E t −1 mt − E t − 2 mt −1 = λ ε t − ε t −1 ) − ( ν t − ν t −1 ) ( a1λ − b1λ ( ε t − ε t −1 ) − ( ν t − ν t −1 ) → πt = λ + πt = + a1 + b1 a1 + b1 a1 + b1

129 Eğer rassal şoklar yoksa:

ε t = ε t −1 = 0 , ν t = ν t −1 = 0 → π t = mt − mt −1 = λ Bu durumda enflasyon oranı , para arzı artış hızına eşitlenmektedir. Lucas’ın rasyonel beklentiler modelinden şu sonuçları çıkarabiliriz: 1. Kısa dönemde talep ya da arz yanlı şoklara bağlı olarak, reel milli gelir (yt) doğal düzeyinden (yn) sapma gösterebilir. 2. Bu sapmalar yalnızca rassal değişkenlerin düzeyine değil, aynı zamanda ekonomik sistemin parametrelerine, parasal yetkililerin uygulayacağı para politikalarının doğru öngörülebilme derecesine bağlıdır. 3. Para arzı beklenenden yüksek olursa (mt>Et-1mt) yt , pt ve

πt artar.

130 4.

öngörü hatalarına sahip olsa da, rassallıktan dolayı hataların

ortalaması sıfırdır. Yani sistematik öngörü hatası yoktur.

pt − Et −1 pt =

a1 ( mt − E t −1 mt ) a1 + b1

εt − νt + a1 + b1

Para arzı sabitse (mt=Et-1mt) ya da para arzı düzeyi doğru öngörülürse (Et-1mt=mt) tamamen bir rassal değişkene dönüşür. Bu durumda koşullu bekleyişi şöyle belirleriz.

E ( pt − E t −1 pt ) =

E ( εt ) − E ( νt ) a1 + b1

131 Şimdi

bir

aktif

para

politikasının

ekonomi

üzerine

etkilerini

inceleyelim. Aktif politika kuralında, t dönemindeki politikalar önceki dönem gelişmelerine bağlıdır. Bu amaçla para tabanı ya da faiz oranı gibi, MB tarafından kontrol edilebilen bir politika aracını (x) dikkate alalım. Ayrıca

q, ekonomiyi temsil eden değişkenler vektörünü göster-

sin. Sırasıyla aktif ve pasif politika kurallarını şöyle yazabiliriz:

mt = f ( xt −1 ,q t −1 ) mt = g ( xt − 1 ) Her iki fonksiyon da stokastik değildir. değildir Yeniden ekonominin reel gelir düzeyinin belirlendiği denklemi dikkate alalım.

yt = yn +

a1b1 ( mt − Et −1 mt ) a1 + b1

b1ε t + a1 ν t + a1 + b1

132 Bu denkleme baktığımızda, gelirin doğal düzeyinden şu iki nedenle sapabileceğini söyleyebiliriz: 1.

mt ’nin Et-1mt ’den sapması

2. Talep ya da arz yanlı şokların oluşması. oluşması Para politikasının etkilerini incelemek istediğimizden, birincisinin üzerinde duralım ve politika kurallarını yeniden tanımlayalım.

Et −1 mt = Et −1 f ( xt −1 ,q t −1 ) = f ( xt −1 ,q t −1 ) → mt − Et −1 mt = 0 E t −1 mt = E t −1 g ( xt −1 ) = g ( xt −1 ) → mt − E t −1 mt = 0 Bu sonuç, politika kuralının aktif ya da pasif olmasının bir önemi olmadığını

göstermektedir.

Sapmalar,

ekonomik

karar

birimleri

politikayı yanlış algıladığı sürece pozitif olacaktır. Özellikle de politika kamuoyuna açıklama yapmaksızın uygulandığında ortaya çıkar.

133 Ancak rasyonel beklentiler teorisinde, ekonomik karar birimlerinin, uygulanmakta olan iktisat politikasını çok kısa sürede öğrendikleri ve yanıgılarını en aza indirdikleri varsayılmaktadır. varsayılmaktadır Yukarıda politika kurallarını deterministik biçimde yazdık. yazdık Şimdi her ikisine de birer ortalaması sıfır varyansı da sabit olan birer rassal değişken ekleyelim ve sapmalara bakalım.

mt = f ( xt −1 ,q t −1 ) + wt mt = g ( xt −1 ) + w t Et −1 mt = Et −1 f ( xt −1 ,q t −1 ) + Et −1 wt = f ( xt −1 ,q t −1 ) → mt − Et −1 mt = wt E t −1 mt = E t −1 g ( xt −1 ) = g ( xt −1 ) → mt − E t −1 mt = wt

134 Deterministik durumda da stokastik durumda da gelir dinamiğinin aynı olduğu görülmektedir. Yani reel gelirdeki sapmalar para politikasından etkilenmemekte, yalnızca şoklardan etkilenmektedir.

Deterministik durum:

b1ε t + a1 ν t yt − yn = a1 + b1

Stokastik durum:

a1b1 wt b1ε t + a1 ν t yt − yn = + a1 + b1 a1 + b1