Problema UNAC – 2017, Matemática para Economistas II Ejercicio1 Resolver la siguiente ecuación en diferencias: +
=0
(1.1)
El polinomio característico asociado a (1.1) es: ( )= Como ( )=
(
)=
+
[ (
+ 1)] = 0
(1.2)
≠ 0, tenemos que el polinomio característico se reduce a: (
+ 1) = 0
(1.3)
Siendo = = 0, dos raíces de la ecuación (1.3), las otras raíces están determinadas por la siguiente ecuación: ( )=
(1.4)
+1=0
La ecuación (1.4) no es factorizable en ℚ, esto es, no tiene ceros racionales2. Ésta ecuación es denominada binómica, y puede ser expresada del siguiente manera = ± , por lo que encontrar sus raíces, equivale a encontrar las raíces del número complejo ± , esto es: ( )=
+1=0⇔
(1.5)
= ±√
Podemos expresar (1.5) de la siguiente forma: = (0 ± )
⁄
(1.6)
Para el primer caso, expresándolo en forma general, tenemos que: = 0 + = cos
1
2
+ sin
2
= cos
2
+2
+ sin
2
+2
(1.7)
Examen Sustitutorio 2017-B.
Por un conocido teorema del álgebra, se establece la existencia de ceros racionales. Del polinomio de grado n, ( ) = + +⋯+ + . Si ⁄ es un cero racional, enton-
2
ces
debe ser divisor de
y
divisor de
. Para su demostración, véase Kurosh (1968).
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