Problema UNAC - 2017, Sustitutorio

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Problema UNAC – 2017, Matemática para Economistas II Ejercicio1 Resolver la siguiente ecuación en diferencias: +

=0

(1.1)

El polinomio característico asociado a (1.1) es: ( )= Como ( )=

(

)=

+

[ (

+ 1)] = 0

(1.2)

≠ 0, tenemos que el polinomio característico se reduce a: (

+ 1) = 0

(1.3)

Siendo = = 0, dos raíces de la ecuación (1.3), las otras raíces están determinadas por la siguiente ecuación: ( )=

(1.4)

+1=0

La ecuación (1.4) no es factorizable en ℚ, esto es, no tiene ceros racionales2. Ésta ecuación es denominada binómica, y puede ser expresada del siguiente manera = ± , por lo que encontrar sus raíces, equivale a encontrar las raíces del número complejo ± , esto es: ( )=

+1=0⇔

(1.5)

= ±√

Podemos expresar (1.5) de la siguiente forma: = (0 ± )

(1.6)

Para el primer caso, expresándolo en forma general, tenemos que: = 0 + = cos

1

2

+ sin

2

= cos

2

+2

+ sin

2

+2

(1.7)

Examen Sustitutorio 2017-B.

Por un conocido teorema del álgebra, se establece la existencia de ceros racionales. Del polinomio de grado n, ( ) = + +⋯+ + . Si ⁄ es un cero racional, enton-

2

ces

debe ser divisor de

y

divisor de

. Para su demostración, véase Kurosh (1968).

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