DISTRIBUCION ESPACIAL DE COEFICIENTES DE UN POLINOMIO ELEVADO A LA m : RESUMEN 𝑩𝑰𝑵𝑶𝑴𝑰𝑨𝑳𝑬𝑺:
𝒏 𝒏 𝒏 𝒏 𝒏 𝒏 𝑭𝟎𝒏 = {( )} = {( ) , ( ) , ( ) , … , ( ) , ( )} 𝒊 𝟎 𝟏 𝟐 𝒏−𝟏 𝒏
𝑻𝑹𝑰𝑵𝑶𝑴𝑰𝑨𝑳𝑬𝑺:
𝑻𝑬𝑻𝑹𝑨𝑵𝑶𝑴𝑰𝑨𝑳𝑬𝑺:
Y ………… MAS
𝒎 𝒎 𝒏 𝒏 )} 𝑭𝒎−𝒏 = ( ) )} = {( {( 𝒏 𝒏 𝒊 𝒊
𝒎 𝒏 𝒏 𝒎 𝑻𝒎 𝒏 = ( 𝒏 ) {( 𝒊 )} = {( 𝒊 )} 𝒋 𝒋
Resumen de resultados sobre la distribuciĂłn espacial de coeficientes Binomiales, Trinomiales, Tetranomiales, Pentanomiales y Polinomiales
Coeficientes Binomiales: Se corresponden con la distribuciĂłn de nĂşmeros o coeficientes que resultan de la expansiĂłn de las potencias sucesivas de un binomio elevado a una potencia k, como (đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ2 )đ?‘˜ , cuando k varia de cero a n. Se despliegan en lĂneas paralelas, que normalmente agrupamos en un plano triangular isĂłsceles rectĂĄngulo (∆đ?&#x;Ž ), que podemos ubicar en el plano coordenado cartesiano, con un vĂŠrtice en el origen de coordenadas 0, y los dos lados iguales, apoyados sobre los ejes 0X+, y 0Y+respectivamente .Este agrupamiento es conocido como triĂĄngulo de Pascal. Las filas del triĂĄngulo se numeran de arriba abajo, tal como sea el valor de k, y los tĂŠrminos de la fila n, son los coeficientes que corresponden al desarrollo del binomio (đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ2 )đ?‘› o binomio de Newton. Estos coeficientes se denominan coeficientes binomiales y se denotan usualmente como: đ?‘›! đ?‘›(đ?‘› − 1)(đ?‘› − 2) ‌ (đ?‘› − đ?‘š + 1) đ?‘› ( )= = đ?‘š (đ?‘› − đ?‘š)! đ?‘š! 1.2.3 ‌ đ?‘š đ?‘› Como es conocido, la expresiĂłn ( ), se denomina nĂşmero combinatorio, y representa el nâ ° de đ?‘š combinaciones que se pueden formar con los n elementos de un conjunto, tomados de m en m, de tal manera que todos los grupos resultantes se diferencien entre sĂ, al menos en un elemento (combinaciones simples, sin repeticiĂłn, y por ende , el orden de los elementos en el grupo no hace diferenciaciĂłn alguna).Por conveniencia ,en lo que respecta a la nomenclatura a utilizar, para nuestros fines, hemos incluido el valor 1 en el vĂŠrtice superior del triĂĄngulo, de manera de incluir el 0 caso trivial (đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ2 )0 =1, correspondiente a k=0, y al combinatorio ( ) = 1. AsĂ aparece en la fila 0 cero (0), el coeficiente 1, como Ăşnico elemento. Una identidad fundamental e inmediata de estos đ?‘› đ?‘› nĂşmeros es ( )=( ), implĂcita en su propia definiciĂłn. đ?‘š đ?‘›âˆ’đ?‘š La expresiĂłn analĂtica, en tĂŠrminos combinatorios para una fila genĂŠrica n, estĂĄ dada por: đ?’? đ?’? đ?’? đ?’? đ?’? đ?‘đ?&#x;Žđ?’? = {( )} = {( ) , ( ) , ‌ , ( ) ( )}, đ?’Š đ?&#x;Ž đ?&#x;? đ?’?−đ?&#x;? đ?’?
con � = 0,1,2, ‌ , �
AquĂ đ?‘š − đ?‘› = 0, đ?‘’đ?‘ đ?‘‘đ?‘’đ?‘?đ?‘–đ?‘&#x;, đ?‘š = đ?‘› Donde m es la potencia a la que se eleva el binomio n, es la fila considerada đ?‘š − đ?‘›, representa el nivel o altura sobre el eje zeta
0 1 1 1 1 1 1 1
3
5 6
1 2
4
1 3
1
6 10
15
Filas 0 1 2 3 4 5 6
4 10
20
1 5
15
1 6
1
đ?’™+
đ?’š+ RepresentaciĂłn de ∆đ?&#x;Ž , para m=0,1,2,3,4,5 y 6, sobre el plano 0XY+
Coeficientes Trinomiales: Si sobre cada uno de los tres semiplanos coordenados positivos, construimos el triangulo de Pascal (∆đ?&#x;Ž ), correspondiente a los coeficientes del desarrollo de potencias del binomio hasta un determinado valor de m (cada uno con m+1 filas paralelas), queda determinado un sĂłlido regular interior, conocido como tetraedro o pirĂĄmide de Pascal, cuyo vĂŠrtice coincidirĂĄ con el origen de coordenadas, y cuyos caras serĂĄn los tres triĂĄngulos isĂłsceles rectĂĄngulos correspondientes a los triĂĄngulos de Pascal previamente construidos, mientras que su base estĂĄ constituida por un triĂĄngulo equilĂĄtero cuyos lados iguales corresponden a las filas m+1 de los ∆đ?&#x;Ž , base que resulta sesgada un ĂĄngulo aproximado de 54,74° (arctg √2), con respecto a los planos coordenados. En dicha ĂĄrea triangular se ubica la distribuciĂłn de coeficientes trinomiales para el mismo caso de m considerado .Ver figuras đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?, đ?‘‘ Los coeficientes trinomiales como un todo, se despliegan en el ĂĄrea triangular, que hemos denominado ∆đ?‘ť , (triĂĄngulo de coeficientes trinomiales).Estos coeficientes tambiĂŠn se organizan por filas dentro de dicho triĂĄngulo, y la expresiĂłn analĂtica para obtener los coeficientes de una fila genĂŠrica n estĂĄ dada por: đ?’Ž đ?’Ž đ?’Ž đ?’Ž đ?’? đ?&#x;? đ?’?! đ?’? )} đ?‘đ?’Žâˆ’đ?’? = ( ) đ?’?! = ( ) = ( ) )} = { } { } {( {( đ?’? (đ?’?−đ?’Š)!đ?’Š! đ?’? đ?’? (đ?’?−đ?’Š)!đ?’Š! đ?’? đ?’Š đ?’Š Con: đ?‘› = 0,1,2, ‌ , đ?‘š , e
� = 0,1,2, ‌ , �
Donde m es la potencia a la que se eleva el trinomio n, es la fila considerada đ?‘š − đ?‘›, representa el nivel o altura sobre el eje zeta đ?’? đ?’? đ?’? đ?’? NĂłtese, que para m=n, resulta: đ?‘đ?&#x;Žđ?’? = ( ) {( )} = đ?&#x;?. {( )} = {( )} (coeficientes Binomiales) đ?’? đ?’Š đ?’Š đ?’Š A continuaciĂłn algunos ejemplos de construcciĂłn de ∆đ?‘ť en los planos coordenados:
RepresentaciĂłn de ∆đ?‘ť , para los casos de m=1,2,3 y 4
TambiĂŠn hemos desarrollado un mĂŠtodo grĂĄfico directo y sencillo para la determinaciĂłn de la distribuciĂłn de coeficientes en ∆đ?‘ť , para el caso m+1, a partir del caso previo m, Este mĂŠtodo lo hemos denominado “Diagramas de Colmenaâ€?, por su semejanza con la habilidosa arquitectura constructiva de las abejas y avispas. A continuaciĂłn se muestra la aplicaciĂłn del mĂŠtodo para los casos đ?‘š = 1,2,3 đ?‘Ś 4
DIAGRAMAS DE COLMENAS Caso de partida
Operaciones (+)
(+)
Caso de llegada
Coeficientes Tetranomiales: Para el caso de un tetranomio elevado a la potencia m, entero positivo, hemos encontrado que los coeficientes del desarrollo de (đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ2 + đ?‘Ľ3 + đ?‘Ľ4 )đ?‘š , se distribuyen espacialmente en las caras, aristas, y vĂŠrtices de un tetraedro principal (T.P), y un tetraedro secundario (T.S.), y que para los casos en que m es mĂşltiplo de 4, aparece tambiĂŠn un tetraedro punto, o singularidad adicional. CaracterĂsticas de esta distribuciĂłn tetraĂŠdrica: 
El tetraedro principal (T.P.), tiene como base justamente, el triĂĄngulo equilĂĄtero de coeficientes trinomiales ∆ đ?‘‡ , para el mismo caso de m considerado, y cada una de sus caras tambiĂŠn se corresponde con dicho ∆ đ?‘‡ . Como consecuencia, los coeficientes de una fila n genĂŠrica de cualquiera de sus caras (incluyendo su base), responden a la expresiĂłn ya determinada para obtener los coeficientes trinomiales de una fila cualquiera de ∆ đ?‘‡

đ?‘đ?’Žâˆ’đ?’? đ?’?
đ?’Ž đ?’Ž đ?’? = ( ) {( )} = {( đ?’? )}, Con: đ?‘› = 0,1,2, ‌ , đ?‘š , e đ?’? đ?’Š đ?’Š
� = 0,1,2, ‌ , �
Donde m es la potencia a la que se eleva el tetranomio n, es la fila considerada đ?‘š − đ?‘›, representa el nivel o altura sobre el plano base ∆ đ?‘‡ 
El tetraedro secundario (T.S.), y las singularidades (si las hay), sĂłlo aparecen a partir de đ?‘š = 4, y sus coeficientes, que podrĂamos denominar como los “coeficientes verdaderamente Tetranomialesâ€?, que estĂŠn distribuidos en la fila n de una cualquiera de sus caras, responden a la expresiĂłn: đ?’Ž đ?&#x;? đ?‘đ?’Žâˆ’đ?’? =( ) (đ?’? + đ?&#x;‘)! {(đ?’Š+đ?&#x;?)!(đ?’?−đ?’Š+đ?&#x;?)!} đ?’? đ?’?+đ?&#x;‘
con i=0,1,2,‌,n
đ?‘š ≼ đ?‘› + 3 ,luego la expresiĂłn es vĂĄlida sĂ đ?‘š − đ?‘› ≼ 3 
Dichos tetraedros, principal (T.P.), y tetraedro secundario (T.S.), mĂĄs la singularidad cuando se presenta, deben combinarse en un solo tetraedro que podemos denominar Tetraedro Suma (T.Suma), o prisma tetraĂŠdrico con las particularidades siguientes:
1.) Los tetraedros secundarios (TS), deben ubicarse en el interior del tetraedro principal (TP), del caso correspondiente, manteniendo la misma orientaciĂłn y el paralelismo de sus caras, para ello deberemos colocar siempre su vĂŠrtice en el nivel 3 de dicho TP, extendiĂŠndose hasta ubicar su nivel de base, siempre en el nivel đ?’? − đ?&#x;? , del tetraedro principal del caso. Al tetraedro resultante le podemos denominar como tetraedro suma ( T.Suma). (4đ?‘›)!
2.) Las singularidades se dan para las m, mĂşltiplos de 4 y responden a la sucesiĂłn: {(đ?‘›!)4 } = 4!
,
8! 12! 16!
,
,
,
20!
14 24 64 24 4 1204
,‌
Si denominamos los casos de singularidad para múltiplos de 4, como CS, y al nivel de alojamiento de dicha singularidad en el prisma principal, como NA, tendremos la siguiente relación: CS: m=4j NA: 3j , con j=1,2,3,... Asà para j=1 y m=4 la singularidad, que tiene un valor igual a 24, se alojarå en el nivel 3 del T.Suma Para j=2 y m=8 la singularidad que tiene un valor igual a 2520, se alojara en el nivel 6 del T.Suma Y asà sucesivamente. Los niveles en cada caso los contabilizamos, desde un valor cero (0), en el vÊrtice, hasta un valor n correspondiente al nivel de base del tetraedro principal, como se muestra en la figura: Nivel 0 1 2 3‌... . . . n-1.. n
Tetraedro principal
Singularidad
Nivel 0 Tetraedro secundario ...........................
AsĂ por ejemplo, sĂ para los coeficientes del tetraedro secundario correspondiente al caso de m=8, consideramos el valor de n para cada fila, como el valor del nivel correspondiente del TS, para determinar su nivel de ubicaciĂłn en el tetraedro principal, para conformar el tetraedro suma, bastarĂĄ aumentar cada valor de n en tres unidades. Ello es vĂĄlido para cualquier otro caso considerado m=8
Filas TS 0 1 2 3 4
Niveles TS 0 1 2 3 4
Nivel T.Suma 3 4 5 6 7
Para la obtenciĂłn de los coeficientes Tetranomiales podemos utilizar la expresiĂłn general: đ?’Ž đ?’? đ?’? đ?’Ž đ?’Š đ?‘ťđ?’Ž đ?’? = ( đ?’? ) {( )} = {( đ?’Š )}, con đ?’Š = đ?&#x;Ž, đ?&#x;?, đ?&#x;?, ‌ , đ?’? y para cada đ?’Š , serĂĄ đ?’‹ = đ?&#x;Ž, đ?&#x;?, ‌ , đ?’Š đ?’‹ đ?’‹
que equivale a una expansiĂłn al siguiente nivel, de la ya utilizada para obtener los coeficientes trinomiales. Donde m representa la potencia del tetranomio, y n representa el nivel correspondiente del tetraedro suma que agrupa los coeficientes, desde n= cero en el vĂŠrtice, hasta n=m en la base igual a ∆đ??“ para dicho caso de m En la grĂĄfica siguiente se representa esquemĂĄticamente la distribuciĂłn de coeficientes Tetranomiales para el caso đ?’Ž = đ?&#x;”.
T.S. T.P. ∆đ?‘‡
∆0
RepresentaciĂłn esquemĂĄtica y sin escala del tetraedro suma (T. Suma) o prisma tetraĂŠdrico correspondiente a la distribuciĂłn de coeficientes Tetranomiales para đ?’Ž = đ?&#x;” . La base de este tetraedro exterior coincide con el ∆đ?‘ť para đ?‘š = 6, el cual a su vez constituye la base del tetraedro interior, o pirĂĄmide de Pascal del mismo caso, que tiene como vĂŠrtice, el origen de coordenadas, y como caras, los triĂĄngulos de Pascal (∆0 ), construidos c/u sobre uno de los tres semiplanos coordenados, que contienen las 6 primeras filas del mismo (đ?‘š = 6). En la figura, se ha abierto una ventana triangular “ad-hocâ€? en el tetraedro principal (T.P.) para poder observar la ubicaciĂłn y el contenido del tetraedro secundario (T.S.) Como ejemplo de utilidad, podemos mostrar como quedarĂan las secciones nivel por nivel para el caso del tetraedro suma para m=8 Nivel 0
.1
Nivel 1
8 8
(VĂŠrtice del T.Suma) Nivel 2
28
8
56 28
56 56
28
Nivel 3
56
Nivel 4
168 168 56
70
168
280
336
168
168
168
420 56
280
280 840
840
70
280
420 840
420
280 280
70
NĂłtese como en el nivel 3 del T.Suma ya aparece el valor 336, correspondiente al vĂŠrtice (nivel 0) del tetraedro secundario del caso, y en el nivel 4, aparecen los tres valores 840 correspondientes a la secciĂłn del nivel 1 del TS del caso. Nivel 5
56 280
280
560
1120
560 1680 280 56
1120 280
560 1 680
1680 560
1120
560
Nivel 6
560 280
280
56
28 168 420 560 420 168 28
168
840 1680
1680
840
168
1680 2520
1680 420
420 560 1680
1680 560
420
840 420
168 168
28
Notamos que en este nivel se aloja la singularidad del caso m=8, correspondiente al valor 2520
Nivel 7
8 56 168 280 280 168 56
8
168
840
840
56
336
1120
336
56
840
1680 1680
840 168
280
1120 1680
840
1120 280
280
840
168 336
280
56
168
56
8
Como podemos notar, en este nivel se aloja la base del tetraedro secundario del caso m=8 Nivel 8
1 8 28 56
28 8 1
8
280
280
168 56
420
420
56 280
560 560
280 56
28 168
560
168 28
56
168
70 56
8
280 420
280 70
70 56 168 168
56
28 56
28
8 8
1
Esta secciĂłn o base del T.Suma, se corresponde con el triĂĄngulo de coeficientes trinomiales ∆ đ?‘‡ , para m=8 Diagramas de Colmena para coeficientes Tetranomiales Hemos observado que los diagramas de colmena, que ya utilizamos en el estudio “Prisma Combinatorioâ€? como mĂŠtodo grĂĄfico para obtener la distribuciĂłn de los coeficientes Trinomiales ∆đ?‘ť , correspondientes a un caso m+1 , partiendo de los conocidos para un caso anterior m, son aplicables a la determinaciĂłn de los coeficientes Tetranomiales para cada nivel n de un caso m+1,partiendo de los coeficientes Tetranomiales de los niveles n-1, y n del caso anterior m. A continuaciĂłn un ejemplo clarificador para obtener los coeficientes del caso m=4 a partir de los del caso m=3 (obviando el paso de nivel 0 en m=3, a nivel 0 en m=4, siempre unitario, sea cual sea el caso)
DIAGRAMAS DE COLMENA PARA LA OBTENCIÓN LAS SECCIONES DEL TETRAEDRO SUMA (CASO m=3 a m=4) Casos de m=3
Diagrama de colmena
N:0
Caso de m=4
N:1
N:1
3
1 3
N:1
3
3
3
1
1
3
3
4
3
3
4
N:2
3 6
6
3
3
3
3
6
3
6
3 3
6
4
N:2
3
3
+
3
3
6
3 6
6
6 3
3
3
12
12
3 6
3
6
12
6
Caso de m= 3
Diagrama de colmena
N: 2
Caso de m=4
N:3
N:3
1
1
1
4
3 3 6
3
6
3 3
3
6
6
3
3
3
3
3
3
12
1
3
3
1
6 3
6
6
6 3
1
3
6 3
3
3
6 3
3
1
1
6 3
6 3
12
24
1
4
12
N:4 1
N:3
Diagrama de colmena
1
1 4
3
3
3
3
6
3
3
6
3
1
1
3
12
6
3 4
3
4
3 6
3
12
12
4
1 1
4
12
3 3
Los niveles de base se corresponden con los ∆ đ?‘‡ de ambos casos:
1
12
3
6
4
1
12
4
Coeficientes Pentanomiales: Es “evidenteâ€? que los resultados obtenidos hasta ahora en estos trabajos, pueden ser extendidos para cualquier potencia entera, y para cualquier polinomio de r tĂŠrminos. Las fĂłrmulas y secuencias a utilizar deberĂan resultar muy semejantes. El Ăşnico inconveniente parece ser, el determinar cĂłmo se agrupan espacialmente dichos coeficientes, ya que para combinatorios pentanomiales en adelante, estarĂamos hablando de cuerpos de 4 o mĂĄs dimensiones, de los cuales, solo en algunos casos, podemos conocer sus proyecciones tridimensionales. Por analogĂa, si para los coeficientes Tetranomiales la base del tetraedro que los contiene, corresponde al ∆ đ?‘‡ del mismo caso de m, y todas las secciones de dichos tetraedros son triĂĄngulos anĂĄlogos a ∆ đ?‘‡ , podrĂamos suponer que si la base del cuerpo 4D que contiene los coeficientes pentanomiales es el tetraedro suma correspondiente al mismo caso de m, todos los niveles o secciones de dicho cuerpo 4D, deberĂan ser tambiĂŠn tetraedros sumas anĂĄlogos a dicha base. Evidentemente serĂa muy interesante hacer un estudio detallado de estos coeficientes y su distribuciĂłn espacial, basados en la hipĂłtesis ya expuesta en el pĂĄrrafo anterior. Por el momento hemos encontrado que la expresiĂłn general ya utilizada para el cĂĄlculo de los coeficientes trinomiales y Tetranomiales, puede expandirse tambiĂŠn al caso de los coeficientes pentanomiales: đ?’Ž đ?’? đ?’? đ?’Ž đ?’Š đ?’Š đ?‘¸đ?’Ž , donde m representa la potencia del pentanomio o fila del đ?’? = ( đ?’? ) {( đ?’‹ )} = đ?’‹ đ?’Œ { ( đ?’Œ )}
triĂĄngulo de coeficientes, y n representa el nivel correspondiente del cuerpo 4D que los contiene, desde n=0 en el “vĂŠrticeâ€?, hasta n=m en la base o tetraedro suma de coeficientes Tetranomiales para dicho caso de m. La secuencia de los elementos de los tetranomios , y de los pentanomios involucrados, vendrĂĄ dada por: đ?‘– = 0,1,2, ‌ , đ?‘› Para i=0 j=0 una sola vez, y k=0 una sola vez Para i=1 j= 1vez 0 j= 2 veces 1 Para i=2 j= 1vez 0 j= 2veces 1 j= 3veces 2
y k=0 k=0,1
k=0 k=0,1 k=0,1,2
Para i= 3 j= 1vez 0 j= 2veces 1 j= 3veces 2 j= 4veces 3
k=0 k=0,1 k=0,1,2 k=0,1,2,3
AsĂ sucesivamente.
Coeficientes Polinomiales: Podemos inferir que la expresiĂłn, ya utilizada para el cĂĄlculo de los coeficientes trinomiales, Tetranomiales y pentanomiales, puede expandirse y generalizarse para coeficientes polinomiales de r elementos elevado a cualquier potencia m entera positiva, mediante: đ?’? đ?’Š đ?’‹ đ?’Ž đ?‘ˇđ?’Ž = đ?’Œ đ?’? = (đ?’?) â‹Ž đ?’‘ {(đ?’’)}
đ?’Ž đ?’? đ?’Š đ?’‹ , siendo m la potencia del polinomio y n el nivel considerado. đ?’Œ â‹Ž đ?’‘ { ( đ?’’ )}
con đ?‘– = 0,1,2, ‌ , đ?‘› y una secuencia para cada uno de los demĂĄs tĂŠrminos involucrados j,k...p,q muy similar a la ya utilizada en el caso de los coeficientes pentanomiales. El desarrollo de estas secuencias para el caso general, son relativamente fĂĄciles de deducir a partir de los casos anteriores ya explicados. Observaciones finales:  En el caso del tetraedro (tetraedro o pirĂĄmide de Pascal) cuyas secciones se corresponden con los planos ∆ đ?‘‡ , que contienen los coeficientes trinomiales, los niveles se contabilizan en forma ascendente desde n=0 en su vĂŠrtice, en el origen de coordenadas, hasta n=m en el plano considerado.  En el caso del tetraedro suma cuyas secciones se corresponden con los planos ∆ đ?‘‡ , que contienen los coeficientes Tetranomiales, los niveles se contabilizan de forma inversa, desde su nivel mĂĄs elevado situado a una altura m-n sobre el plano ∆ đ?‘‡ de base (para el mismo caso de m), donde se ubica su vĂŠrtice ( n=0 ), y descendiendo hasta dicho plano de base (n=m ).  Cada secciĂłn del T.Suma, es un ∆ đ?‘‡ , y puede tratarse como tal para determinar los coeficientes que contiene por filas. BibliografĂa: Prisma Combinatorio 1997-2016 DistribuciĂłn TetraĂŠdrica de coeficientes Tetranomiales 2016 Coeficientes Multinomiales y generalizaciĂłn del triĂĄngulo de Pascal 2016 Enrique R. Acosta R. Dic 2016