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Coeficientes multinomiales y generalizaciĂłn del triĂĄngulo de Pascal đ?‘š đ?‘–

( ) Binomiales

đ?‘Žđ?‘› đ?‘Žđ?‘›âˆ’1 đ?‘Žđ?‘›âˆ’2 .. . đ?‘Ž3 đ?‘Ž2 ( đ?‘Ž1 )

đ?‘š (đ?‘›) đ?‘– Trinomiales

đ?‘š đ?‘› (đ?‘–) đ?‘—

Tetranomiales

‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌..

đ?‘š đ?‘› đ?‘–. .. đ?‘? (đ?‘ž) polinomiales Enrique R .Acosta R. 2016


Coeficientes multinomiales y la generalizaciĂłn del TriĂĄngulo de Pascal Intentaremos en este trabajo explicar cĂłmo se pueden construir anĂĄlogos del triĂĄngulo de Pascal ( ∆đ?&#x;Ž ), como una expansiĂłn de las interrelaciones entre las sucesiones paralelas constituyentes del triĂĄngulo y al uso del concepto de multinomiales. DefiniciĂłn: Dados un sucesiĂłn de nĂşmeros enteros (que puede incluir al cero),{đ?‘Žđ?‘– } = {đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 , ‌ , đ?‘Žđ?‘›âˆ’1 đ?‘Žđ?‘› } , donde đ?‘Ž1 ≤ đ?‘Ž2 ≤ â‹Ż ≤ đ?‘Žđ?‘›âˆ’1 ≤ đ?‘Žđ?‘› , podemos definir un nĂşmero combinatorio denominado multinomial de dicho conjunto, como: đ?‘Žđ?‘› đ?‘Žđ?‘›âˆ’1 đ?‘Žđ?‘›âˆ’2 đ?‘Žđ?‘› ! .. = . (đ?‘Žđ?‘› − đ?‘Žđ?‘›âˆ’1 )! (đ?‘Žđ?‘›âˆ’1 − đ?‘Žđ?‘›âˆ’2 )! ‌ (đ?‘Ž3 − đ?‘Ž2 )! (đ?‘Ž2 − đ?‘Ž1 )! đ?‘Ž1 ! đ?‘Ž3 đ?‘Ž2 ( đ?‘Ž1 ) Un multinomial de n elementos, se obtiene como el producto de (đ?‘› − 1 ) coeficientes Binomiales sucesivos, asĂ­: đ?‘Žđ?‘› đ?‘Žđ?‘›âˆ’1 đ?‘Žđ?‘›âˆ’2 đ?‘Žđ?‘› ! đ?‘Žđ?‘›âˆ’1 ! đ?‘Ž3 ! đ?‘Ž2 ! đ?‘Žđ?‘› đ?‘Žđ?‘›âˆ’1 đ?‘Ž3 đ?‘Ž2 .. = (đ?‘Ž ) (đ?‘Ž ) ‌ (đ?‘Ž ) (đ?‘Ž ) = ‌ . (đ?‘Ž )! (đ?‘Ž )! (đ?‘Ž )! (đ?‘Ž đ?‘›âˆ’1 đ?‘›âˆ’2 2 1 − đ?‘Ž đ?‘Ž ! − đ?‘Ž đ?‘Ž ! − đ?‘Ž đ?‘Ž ! − đ?‘Ž1 )! đ?‘Ž1 ! đ?‘› đ?‘›âˆ’1 đ?‘›âˆ’1 đ?‘›âˆ’1 đ?‘›âˆ’2 đ?‘›âˆ’2 3 2 2 2 đ?‘Ž3 đ?‘Ž2 ( đ?‘Ž1 )

Este concepto nos ayuda a construir “triĂĄngulos de coeficientesâ€? trinomiales, Tetranomiales, pentanomiales, etc., y en general, para cualquier polinomio elevado a la potencia m, como anĂĄlogos, o generalizaciones del “triĂĄngulo de Pascalâ€? AsĂ­, un trinomial, serĂĄ el producto de dos Binomiales, por ej. : 3 3 2 (2) = ( ) ( ) = 3đ?‘Ľ2 = 6 2 1 1 Un tetranomial, serĂĄ el producto de tres Binomiales, por ej. : 5 5 3 2 (3) = ( ) ( ) ( ) = 10đ?‘Ľ3đ?‘Ľ2 = 60 2 3 2 1 1 Pero tambiĂŠn un tetranomial, puede ser visto como el producto de un binomial por un trinomial, asĂ­ con los valores del ejemplo anterior, tendremos: 5 3 5 2 5 3 2 5 (3) = ( ) ( ) ( ) = (3) ( ) = ( ) (2) = 60 2 1 3 2 1 3 1 2 1


AnĂĄlogamente, el producto de cuatro Binomiales, puede considerarse como un pentanomial, pero tambiĂŠn como el producto de un binomial por un tetranomial, o como el producto de dos trinomiales, pej. : 5 4 5 3 4 5 4 3 1 5 3 3 = ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) (1) = (4) (1)= 60 4 3 1 0 4 1 3 0 0 0 ( ) Estas interpretaciones pueden extenderse a cualquier orden, siempre que los elementos del producto, estĂŠn organizados de manera que cumplan las condiciones establecidas al inicio.

TRIANGULO DE PASCA L y COEFICIENTES BINOMIALES El triĂĄngulo que a continuaciĂłn se muestra ( ∆đ?&#x;Ž ) , se denomina en Occidente como triĂĄngulo de Tartaglia (1500-1557) o mĂĄs comĂşnmente triĂĄngulo de Pascal (1632-1662), porque su descubrimiento es atribuido a dichos matemĂĄticos europeos, pero ya dicha distribuciĂłn de nĂşmeros, aparece en la portada del Rechnung, un libro de aritmĂŠtica del matemĂĄtico y astrĂłnomo alemĂĄn Peter Apian (1499-1552), y el matemĂĄtico chino Chu Shih Chien, lo mencionĂł en 1303 (3 siglos antes) en su libro “El espejo maravilloso de los 4 elementosâ€?, refiriĂŠndose a ĂŠl como el antiguo mĂŠtodo (usado desde 2 siglos atrĂĄs). Probablemente dicho triĂĄngulo se remonta al aĂąo 1100 d.C., cuando el poeta y matemĂĄtico persa Omar Khayyam, parece referirse a ĂŠl en su famosa ĂĄlgebra. TRIANGULO DE PASCAL ( ∆ đ?&#x;Ž ), (filas desde n=0, hasta n=8) đ?‘şđ?&#x;?

1 1 1 1 1 1 1

5 6

7 8

3 4 10

21 28

4

20

56

đ?‘şđ?&#x;”

1 5

15 35

70

đ?‘şđ?&#x;“

1

10

35

đ?‘şđ?&#x;’

1 3

6

15

đ?‘şđ?&#x;‘

1 2

1

Filas 0 1 2 3 4 5 6 7 8

đ?‘şđ?&#x;?

1

6 21

56

đ?‘şđ?&#x;•

1

đ?‘şđ?&#x;–

1 7

28

đ?‘şđ?&#x;—

1 8

1

El triĂĄngulo de Pascal, se construye a partir de las sucesiones de nĂşmeros, constituyentes de las series , obtenidas a partir de la relaciĂłn de recurrencia: đ?‘Ľ(đ?‘Ľ+1)(đ?‘Ľ+2)‌(đ?‘Ľ+đ?‘šâˆ’1)(đ?‘Ľ+đ?‘š) 1.2.3‌đ?‘š(đ?‘š+1)

−

(đ?‘Ľâˆ’1)đ?‘Ľ(đ?‘Ľ+1)‌(đ?‘Ľ+đ?‘šâˆ’1) 1.2.3‌đ?‘š(đ?‘š+1)

=

đ?‘Ľ(đ?‘Ľ+1)(đ?‘Ľ+2)‌(đ?‘Ľ+đ?‘šâˆ’1) 1.2.3‌đ?‘š

,


Nosotros hemos denotado a dichas sucesiones como : đ?‘şđ?&#x;? , đ?‘şđ?&#x;? , đ?‘şđ?&#x;‘ , ‌ , đ?‘şđ?’Ž , donde consideramos los primeros n tĂŠrminos de la sucesiĂłn, y el sub Ă­ndice m, es un contador para indicar su ubicaciĂłn como serie paralela, que hacemos coincidir con el segundo tĂŠrmino de la serie respectiva. Cada una de estas series paralelas de n tĂŠrminos se caracteriza porque su tĂŠrmino n-ĂŠsimo, es igual a la suma de los n tĂŠrminos de la sucesiĂłn precedente. La manera mĂĄs usual de representar estas sucesiones, es agrupĂĄndolas en forma de un triĂĄngulo equilĂĄtero numĂŠrico (con igual nĂşmero de elementos en cada lado), y simĂŠtrico respecto a su “alturaâ€?, en el cual estas sucesiones de nĂşmeros figurados, o combinatorios đ?‘şđ?’Ž , aparecen repetidas en ambas direcciones oblicuas del triĂĄngulo. El triĂĄngulo resulta ilimitado por su base y la lectura de sus filas horizontales tiene el mismo tenor, si su lectura se hace en un sentido o en el contrario. AsĂ­ mismo, cada fila inicia y termina en un valor unitario y los restantes tĂŠrminos de cada fila se puede obtener de la anterior, sumando cada dos nĂşmeros consecutivos de la fila anterior, siendo esto una consecuencia inmediata de que cada serie paralela, viene a ser la serie de las diferencias primeras de la serie anterior. (Ver a modo de ejemplo el trazado de color rojo entre fila 5 y fila 6 en el grĂĄfico numĂŠrico del triĂĄngulo) El triĂĄngulo de Pascal, se puede considerar horizontalmente, como la distribuciĂłn de nĂşmeros o coeficientes que resultan de la expansiĂłn de las potencias sucesivas de un binomio elevado a una potencia k, como (đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ2 )đ?‘˜ , cuando k varia de cero a n. Las filas del triĂĄngulo se numeran de arriba abajo, tal como sea el valor de k, y los tĂŠrminos de la fila n, son los coeficientes que corresponden al desarrollo del binomio (đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ2 )đ?‘› o binomio de Newton: đ?‘›

(đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ2

)đ?‘›

đ?‘› = ∑ ( ) đ?‘Ľ1 đ?‘›âˆ’đ?‘– đ?‘Ľ2 đ?‘– đ?‘– đ?‘–=đ?‘œ

Estos coeficientes distribuidos en filas (lĂ­neas), se denominan coeficientes binomiales y se denotan usualmente como: đ?‘›! đ?‘›(đ?‘› − 1)(đ?‘› − 2) ‌ (đ?‘› − đ?‘š + 1) đ?‘› ( )= = đ?‘š (đ?‘› − đ?‘š)! đ?‘š! 1.2.3 ‌ đ?‘š

đ?‘› Como es conocido, la expresiĂłn ( ), se denomina nĂşmero combinatorio, y representa el nâ ° de đ?‘š combinaciones que se pueden formar con los n elementos de un conjunto, tomados de m en m, de tal manera que todos los grupos resultantes se diferencien entre sĂ­, al menos en un elemento (combinaciones simples, sin repeticiĂłn, y por ende , el orden de los elementos en el grupo no hace diferenciaciĂłn alguna).Por conveniencia ,en lo que respecta a la nomenclatura a utilizar, para nuestros fines, hemos incluido el valor 1 en el vĂŠrtice superior del triĂĄngulo, de manera de incluir el 0 caso trivial (đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ2 )0 =1, correspondiente a k=0, y al combinatorio ( ) = 1. AsĂ­ aparece en la fila 0 cero (0), el coeficiente 1, como Ăşnico elemento. Una identidad fundamental e inmediata de estos đ?‘› đ?‘› nĂşmeros es ( )=( ), implĂ­cita en su propia definiciĂłn. đ?‘š đ?‘›âˆ’đ?‘š


TRIANGULO DE COEFICIENTES COMBINATORIOS ( ∆𝟎 ) , (filas desde n=0, hasta n=8)

𝟖 ( ) 𝟎

𝟕 ( ) 𝟎

𝟔 ( ) 𝟎 𝟖 ( ) 𝟏

𝟓 ( ) 𝟎 𝟕 ( ) 𝟏

𝟒 ( ) 𝟎 𝟔 ( ) 𝟏 𝟖 ( ) 𝟐

𝟑 ( ) 𝟎 𝟓 ( ) 𝟏 𝟕 ( ) 𝟐

𝟐 ( ) 𝟎 𝟒 ( ) 𝟏 𝟔 ( ) 𝟐 𝟖 ( ) 𝟑

𝟏 ( ) 𝟎 𝟑 ( ) 𝟏 𝟓 ( ) 𝟐 𝟕 ( ) 𝟑

𝟎 ( ) 𝟎 𝟐 ( ) 𝟏 𝟒 ( ) 𝟐 𝟔 ( ) 𝟑 𝟖 ( ) 𝟒

𝑺𝟏

fila

𝑺𝟐 𝟏 ( ) 𝟏 𝟑 ( ) 𝟐 𝟓 ( ) 𝟑 𝟕 ( ) 𝟒

0

𝑺𝟑 𝟐 ( ) 𝟐 𝟒 ( ) 𝟑 𝟔 ( ) 𝟒 𝟖 ( ) 𝟓

1

𝑺𝟒 𝟑 ( ) 𝟑 𝟓 ( ) 𝟒 𝟕 ( ) 𝟓

2

𝑺𝟓 𝟒 ( ) 𝟒 𝟔 ( ) 𝟓 𝟖 ( ) 𝟔

3

𝑺𝟔 𝟓 ( ) 𝟓 𝟕 ( ) 𝟔

4

𝑺𝟕 𝟔 ( ) 𝟔 𝟖 ( ) 𝟕

5

𝑺𝟖 𝟕 ( ) 𝟕

6

𝑺𝟗 𝟖 ( ) 𝟖

Las sucesiones paralelas, se pueden expresar en términos combinatorios como: 𝒊 𝑺𝒎 ={( )} 𝒎−𝟏

con i = (m-1),m,…,(m+n-2),

para cada m=1,2,…,n ,

y su valor suma, 𝑺+ 𝒎 , corresponde a las combinaciones con repetición de n números naturales, tomados m a m, 𝑪𝒓𝒏,𝒎 . Luego para m=1 , con i= 0,1,…,(n-1)

resulta:

𝑛 𝑖 0 1 2 𝑛−1 𝑖 𝑆1 = {( )} = {( ) , ( ) , ( ) , … , ( )} = {1,1,1,1,1, … ,1} , y: 𝑆1+ = 𝐶𝑟𝑛,1 = ∑𝑛−1 𝑖=0 ( ) = (1) 0 0 0 0 0 0

Si m=2 , con i=1,2,…,n 𝑛 𝑖 𝑖 1 2 3 𝑛+1 𝑆2 = {( )} = {( ) , ( ) , ( ) , … , ( )} = {1,2,3,4,5,6, … , 𝑛}, y: 𝑆2+ = 𝐶𝑟𝑛,2 = ∑𝑛𝑖=1 ( ) = ( ) 1 1 1 1 1 1 2

Si m=3, con i=2,3,…,(n+1) (𝑛+1)𝑛 𝑖 2 3 4 𝑛+1 𝑖 𝑛+2 𝑆3 = {( )} = {( ) , ( ) , ( ) , … , ( )} = {1,3,6,10,15,21, … , },y: 𝑆3+ = 𝐶𝑟𝑛,3 = ∑𝑛+1 ) 𝑖=2 ( ) = ( 2! 2 3 2 2 2 2 2

Para m=4, con i=3,4,…,(n+2) (𝑛+2)(𝑛+1)𝑛 𝑖 4 𝑖 3 𝑛+2 𝑛+3 5 𝑆4 = {( )} = {( ) , ( ) , ( ) , … , ( )} = {1,4,10,20,35,56, … , }, y:𝑆4+ = 𝐶𝑟𝑛,4 = ∑𝑛+2 ) 𝑖=3 ( ) = ( 3! 3 3 3 3 3 3 4

………………………………………………………………………………….. La expresión general será: 𝑺𝒎 = {(

[𝒏+(𝒎−𝟐)][𝒏+(𝒎−𝟑)]…𝒏 𝒎 (𝒎+𝟏)𝒎 (𝒎+𝟐)(𝒎+𝟏)𝒎 𝒎 𝒊 𝒎−𝟏 𝒎+𝟏 𝒎+𝒏−𝟐 )} = {( ),( ),( ),…,( )}={𝟏, , , ,…, }, (𝒎−𝟏)! 𝒎−𝟏 𝟏! 𝟐! 𝟑! 𝒎−𝟏 𝒎−𝟏 𝒎−𝟏 𝒎−𝟏

7 8


đ?‘– đ?‘›+đ?‘šâˆ’1 + y: đ?‘†đ?‘š = đ??śđ?‘&#x;đ?‘›,đ?‘š = ∑đ?‘›+đ?‘šâˆ’2 )=( ) đ?‘–=đ?‘šâˆ’1 ( đ?‘šâˆ’1 đ?‘š El triĂĄngulo de Pascal tambiĂŠn se puede representar convenientemente, como un triĂĄngulo isĂłsceles rectĂĄngulo, donde las series paralelas se ubican en las columnas paralelas al cateto vertical, y en las direcciones paralelas a la hipotenusa del triĂĄngulo, tal como se muestra a continuaciĂłn: TRIANGULO DE PASCAL (∆đ?&#x;Ž ) đ?‘şđ?&#x;? đ?‘şđ?&#x;? đ?‘şđ?&#x;‘

đ?‘şđ?&#x;’

đ?‘şđ?&#x;“

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 4 10 20 35 56

1 5 15 35 70

1 2 3 4 5 6 7 8

1 3 6 10 15 21 28

đ?‘şđ?&#x;”

(Valores numĂŠricos)

đ?‘şđ?&#x;• đ?‘şđ?&#x;– đ?‘şđ?&#x;—

1 6 1 21 7 1 56 28 8

1

Notamos que en la fila 0 solo hay un elemento, en la fila 1 aparecen 2 elementos, en la dos aparecen 3 elementos, y asĂ­ sucesivamente, es decir el nĂşmero de elementos de cada fila, corresponde a la đ?‘– 1

sucesión �2 = {( )} = 1,2,3, ‌ , �, con i=1,2,‌,n Anålogamente, podemos representar en un triångulo isósceles rectångulo, los coeficientes Binomiales, tal como se muestra en la figura:

TRIĂ NGULO DE COEFICIENTES COMBINATORIO BINOMIALES ( ∆đ?&#x;Ž ) 0 ( ) 0 1 ( ) 0 2 ( ) 0 3 ( ) 0 4 ( ) 0 5 ( ) 0 6 ( ) 0 7 ( ) 0 8 ( ) 0

1 ( ) 1 2 ( ) 1 3 ( ) 1 4 ( ) 1 5 ( ) 1 6 ( ) 1 7 ( ) 1 8 ( ) 1

2 ( ) 2 3 ( ) 2 4 ( ) 2 5 ( ) 2 6 ( ) 2 7 ( ) 2 8 ( ) 2

3 ( ) 3 4 ( ) 3 5 ( ) 3 6 ( ) 3 7 ( ) 3 8 ( ) 3

4 ( ) 4 5 ( ) 4 6 ( ) 4 7 ( ) 4 8 ( ) 4

5 ( ) 5 6 6 ( ) ( ) 5 6 7 7 7 ( ) ( ) ( ) 5 6 7 8 8 8 8 ( ) ( ) ( ) ( ) 5 6 7 8

Donde ya se evidencia de manera inmediata, la secuencia de ordenaciĂłn para los coeficientes binomiales .


COEFICIENTES TRINOMIALES: En trabajos anteriores (Prisma Combinatorio), hemos establecido que dichos coeficientes se agrupan en este caso, en lugar de en lĂ­neas, en ĂĄreas triangulares equilĂĄteras, que hemos denominado TriĂĄngulos de coeficientes trinomiales ∆ đ?‘‡ , que se obtienen al multiplicar todos los valores contenidos en cada fila de ∆đ?&#x;Ž , hasta la potencia considerada del binomio, o fila n del triĂĄngulo de Pascal ( ∆đ?&#x;Ž ), por el valor ,de igual ubicaciĂłn relativa, en la propia fila n. Veamos a continuaciĂłn algunos ejemplos:

Tabla de transformaciĂłn de ∆đ?&#x;Ž , en ∆đ?‘ť m 0 1 2

3

4

5

Filas de ∆đ?&#x;Ž / ∆ đ?‘‡ 0 0 1 0 1 2 0 1 2 3 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 5

Elementos de cada Fila de ∆đ?&#x;Ž 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1

Factores de La fila n 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1

Resultado o triĂĄngulo de Coeficientes trinomiales ∆ đ?‘‡ 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 1 3 3 3 6 3 1 3 3 1 1 4 4 6 12 6 4 12 12 4 1 4 6 4 1 1 5 5 10 20 10 10 30 30 10 5 20 30 20 5 1 5 10 10 5 1

Notamos que en la primera fila, o fila 0 de cualquier caso de ∆0 , solo hay el Ăşnico elemento del conjunto {1} ,y para obtener el tĂŠrmino correspondiente de igual nĂşmero de fila en ∆ đ?‘‡ , hay que multiplicar dicha fila, por la unidad, que representa en cada caso el elemento de igual posiciĂłn relativa en la sucesiĂłn paralela đ?‘†1 = {( đ?‘– )} = 1,1,1, ‌ , 1 0

En la segunda fila o fila 1 de cualquier caso de ∆0 , siempre tendremos los elementos del conjunto {1,1}, y para obtener los tĂŠrminos correspondientes de igual nĂşmero de fila en ∆ đ?‘‡ , hay que multiplicar dicha fila, por m, que representa en cada caso, el elemento de igual posiciĂłn relativa en đ?‘– 1

la sucesión paralela �2 = {( )} = 1,2,3,4,5, ‌ , �


En la tercera fila, o fila 2 de cualquier caso de ∆0 , siempre tendremos los elementos del conjunto {1,2,1}, y para obtener los tĂŠrminos correspondientes de igual nĂşmero de fila en ∆ đ?‘‡ , hay que multiplicar dicha fila, por el elemento de igual posiciĂłn relativa en la sucesiĂłn paralela (đ?‘› + 1)đ?‘› đ?‘– đ?‘†3 = {( )} = 1,3,6,10, ‌ , 2 2! En la cuarta fila , o fila 3 de cualquier caso de ∆0 , siempre tendremos los elementos del conjunto {1,3,3,1}, , y para obtener los tĂŠrminos correspondientes de igual nĂşmero de fila en ∆ đ?‘‡ , hay que multiplicar dicha fila, por el elemento de igual posiciĂłn relativa en la sucesiĂłn paralela đ?‘– 3

�4 = {( )} = {1,4,10,20,35,56, ‌ ,

(đ?‘› + 2)(đ?‘› + 1)đ?‘› } 3!

Y asĂ­ sucesivamente, para cada caso de m AnalĂ­ticamente, si a una fila genĂŠrica de ∆đ?&#x;Ž , la denotamos como : đ?’? đ?’? đ?’? đ?’? đ?’? đ?’? đ?‘­đ?&#x;Žđ?’? = {( )} = {( ) , ( ) , ( ) , ‌ , ( ) , ( )}, la distribuciĂłn de coeficientes trinomiales en la đ?’Š đ?&#x;Ž đ?&#x;? đ?&#x;? đ?’?−đ?&#x;? đ?’? fila n correspondiente de ∆đ?‘ť , vendrĂĄ dada por: đ?’Ž đ?’Ž đ?’? đ?’Žâˆ’đ?’? đ?’? )} con đ?’Š = đ?‘­đ?’Žâˆ’đ?’? = ( ) )}, que podemos expresar trinomialmente como đ?‘­ = {( {( đ?’? đ?’? đ?’? đ?’Š đ?’Š đ?&#x;Ž, đ?&#x;?, đ?&#x;?, ‌ , đ?’?, donde m, representa la potencia del trinomio, y n la fila considerada. Podemos expresar cada una de estas multiplicaciones, indicadas en la obtenciĂłn de los coeficientes trinomiales, como los productos de los sucesivos coeficientes combinatorios binomiales involucrados, y aplicar entonces la expresiĂłn definida para los coeficientes multinomiales, al caso particular de los coeficientes trinomiales. AsĂ­ por ej. para el caso de m=0, y n=0, solo tendremos un valor: 0 0 0 0 0 đ??š00 = ( ) {( )} = ( ) ( ) = (0) = 1 0 0 0 0 0

Para m=1, y n= 0 y 1, tendremos 3 valores, uno en la fila 0, y dos en la fila 1 1 1 0 1 0 đ??š01 = ( ) {( )} = ( ) ( ) = (0) = 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 đ??š10 = ( ) {( ) , ( )} = {( ) ( ) , ( ) ( )} {(1) , (1)} = 1,1 1 0 1 1 0 1 1 0 1

Para m=2, y n=0,1 y 2, tendremos 6 valores, uno en la fila 0, dos en la fila 1, y tres en la fila 3 2 2 0 2 0 đ??š02 = ( ) {( )} = ( ) ( ) = (0) = 1 0 0 0 0 0


2 2 2 1 1 2 1 2 1 đ??š11 = ( ) {( ) , ( )} = {( ) ( ) , ( ) ( )} = {(1) , (1)} = 2,2 1 0 1 1 0 1 1 0 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 đ??š20 = ( ) {( ) , ( ) , ( )} = {( ) ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( )} = {(2) , (2) , (2)} = 1,2,1 2 0 1 2 2 0 2 1 2 2 0 1 2

Para m=3, y n= 0,1,2 y 3, tendremos 10 valores, 1 en la fila 0, dos en la fila 1, tres en la fila 2, y 4 en la fila 3 3 3 0 3 0 đ??š03 = ( ) {( )} = ( ) ( ) = (0) = 1 0 0 0 0 0

3 3 3 1 1 3 1 3 1 đ??š12 = ( ) {( ) , ( )} = {( ) ( ) , ( ) ( )} = {(1) , (1)}=3,3 1 0 1 1 0 1 1 0 1 3 3 3 3 2 2 2 3 2 3 2 3 2 đ??š21 = ( ) {( ) , ( ) , ( )} = {( ) ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( )} = {(2) , (2) , (2)} = 3,6,3 2 0 1 2 2 0 2 1 2 2 0 1 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 đ??š30 = ( ) {( ) , ( ) , ( ) , ( )} = {( ) ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( )} = {(3) , (3) , (3) , (3)} = 1,3,3,1 3 0 1 2 3 3 0 3 1 3 2 3 3 0 3 1 2

Y así sucesivamente, hasta el valor de m que consideremos necesario. Notamos que en el caso de los coeficientes trinomiales, es la sucesión �3 = {( � )} = 1,3,6,10, ‌ ,

(đ?‘›+1)đ?‘›

2

2!

con i=3,4,‌,(n+2) la que determina el número de elementos de cada fila. Estos pocos valores obtenidos, ponen en evidencia la secuencia necesaria para su organización en triångulos de coeficientes, como una analogía del triångulo de Pascal. Para el caso de valores numÊricos, podemos construir el cuadro siguiente:

TRIANGULO DE COEFICIENTES TRINOMIALES (NUMÉRICOS), desde m=0, hasta m=6 Columnas ,como Filas de ∆ đ?‘‡ 3 4

m 0 1 2 3 4 5 6

0 1 1 1 1 1 1 1

1 1 2 3 4 5 6

2 1 2 3 4 5 6

1 2 1 3 6 3 6 12 6 10 20 10 15 30 15

1 3 4 12 10 30 20 60

3 12 30 60

1 4 10 20

1 4 6 4 1 5 20 30 20 5 15 60 90 60 15

�3 5

1 5 10 10 5 1 6 30 60 60 30 6

6

1 6 15 20 15 6 1

1 3 6 10 15 21 28

,


Notamos fĂĄcilmente que se pueden establecer unas reglas sencillas, para la obtenciĂłn de los elementos de cada columna del cuadro, en base a los valores recogidos en ∆đ?&#x;Ž : Los elementos de la primera columna del cuadro anterior, (correspondiente a las filas 0 de ∆ đ?‘‡ , para cada caso de m), son todos iguales a la unidad. Se obtendrĂ­an multiplicando el Ăşnico elemento de la fila 0, de ∆đ?&#x;Ž , es decir el conjunto {1} , sucesivamente por los elementos de la sucesiĂłn paralela đ?‘†1 = {( đ?‘– )} = 1,1,1, ‌ , 1, productos que evidentemente siempre serĂĄn igual a 1. 0

Para obtener los elementos de la segunda columna (correspondientes a las filas 1 de ∆ đ?‘‡ , para cada caso de m), bastarĂĄ multiplicar los dos elementos de la fila 1 de ∆đ?&#x;Ž , es decir del conjunto {1,1} , đ?‘– 1

sucesivamente, por los elementos de la sucesiĂłn paralela đ?‘†2 = {( )} = 1,2,3, ‌ , đ?‘›, Para obtener los elementos de la tercera columna (correspondientes a las filas 2 de ∆ đ?‘‡ , para cada caso de m ) bastarĂĄ multiplicar los tres elementos de la fila 2 de ∆đ?&#x;Ž , es decir del conjunto {1,2,1} , (đ?‘›+1)đ?‘› đ?‘– sucesivamente, por los elementos de la sucesiĂłn paralela đ?‘†3 = {( )} = 1,3,6,10, ‌ , 2! 2 Para obtener los elementos de la cuarta columna (correspondientes a las filas 3 de ∆ đ?‘‡ , para cada caso de m), bastarĂĄ multiplicar los cuatro elementos de la fila 3 de ∆đ?&#x;Ž , es decir del conjunto {1,3,3,1} , sucesivamente por los elementos de la sucesiĂłn paralela (đ?‘› + 2)(đ?‘› + 1)đ?‘› đ?‘– đ?‘†4 = {( )} = {1,4,10,20,35,56, ‌ , } 3 3! Y asĂ­ sucesivamente. đ?’Ž đ?’Ž đ?’? đ?’? )}, con đ?’Š = đ?&#x;Ž, đ?&#x;?, ‌ , đ?’?. para cada đ?’? = đ?&#x;Ž, đ?&#x;?, ‌ , đ?’Ž. sigue La expresiĂłn đ?‘­đ?’Žâˆ’đ?’? = ( ) )} = {( {( đ?’? đ?’? đ?’Š đ?’Š siendo vĂĄlida para calcular , u obtener los coeficientes trinomiales de cada fila de este triĂĄngulo generalizado, pero tomando en cuenta que debemos aplicarla separadamente para cada n, como valor de columna, considerada como fila de ∆ đ?‘‡ ,asĂ­ p.ej.: para la fila 3 (m=3), tendrĂ­amos:

3 0 ( ) {( )} 0 0 3 = {(0)} 0 n=0. i=0 1

3 1 1 ( ) {( ) , ( )} 1 0 1 3 3 = {(1) , (1)} 0 1 n=1. i=0,1 3 3

3 2 2 2 ( ) {( ) , ( ) , ( )} 2 0 1 2 3 3 3 = {(2) , (2) , (2)} 0 1 2 n=2 i=0,1,2 3 6 3

3 3 3 3 3 ( ) {( ) , ( ) , ( ) , ( )} 3 0 1 2 3 3 3 3 3 = {(3) , (3) , (3) , (3)} 0 1 2 3 n=3 i=0,1,2,3 1 3 3 1

En general, para obtener los elementos de la columna đ?’? de este triĂĄngulo de coeficientes trinomiales, bastarĂĄ multiplicar todos los elementos de la fila đ?’? del triĂĄngulo de Pascal (∆đ?&#x;Ž ), sucesivamente, por los elementos de la sucesiĂłn paralela đ?‘şđ?’?+đ?&#x;? , con n=0,1,2,3,...


Del triĂĄngulo de valores combinatorios, hemos obtenido los siguientes coeficientes trinomiales:

para m=0, con una sola fila (fila0) :

0 ( 0) 0

Para m=1, con dos filas (filas 0 y 1) :

1 1 1 (0) , (1) , (1) 0 0 1

Para m=2, con tres filas ( filas 0,1,y 2 ) :

2 2 2 2 2 2 (0) , (1) , (1) , (2) , (2) , (2) 0 0 1 0 1 2

Para m=3, con cuatro filas (filas 0,1,2,y 3) :

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 (0) , (1) , (1) , (2) , (2) , (2) , (3) , (3) , (3) , (3) 0 1 2 3 0 0 1 0 1 2

Es inmediata la secuencia, que nos permite obtener los trinomiales de las filas sucesivas

TRIANGULO DE COEFICIENTES COMBINATORIOS TRINOMIALES (desde m=0, hasta m=4) m

Columnas, como Filas de ∆ đ?‘‡ 0

0

1

0 (0) 0 1 (0) 0

1 (1) 0

2

2 (0) 0

2 (1) 0

3

3 (0) 0 4 (0) 0

3 (1) 0 4 (1) 0

1

4

2

1 (1) 1 2 (1) 1 3 (1) 1 4 (1) 1

2 (2) 0 3 (2) 0 4 (2) 0

2 (2) 1 3 (2) 1 4 (2) 1

3

2 (2) 2 3 (2) 2 4 (2) 2

3 (3) 0 4 (3) 0

3 (3) 1 4 (3) 1

4

3 (3) 2 4 (3) 2

3 (3) 3 4 (3) 3

4 (4) 0

4 (4) 1

4 (4) 2

4 (4) 3

4 (4) 4


COEFICIENTES TETRANOMIALES De manera anĂĄloga a como cada una de las columnas del triangulo de coeficientes trinomiales se genera a partir de los valores de cada una de las filas de ∆đ?&#x;Ž , el triĂĄngulo de coeficientes Tetranomiales, se puede construir a partir del conjunto de los coeficientes de cada uno de los ∆đ?‘ť , correspondientes a cada caso de m, utilizando el mismo mecanismo de generaciĂłn, por intermedio de las sucesiones paralelas Para obtener los coeficientes de la columna 0, del triangulo de coeficientes Tetranomiales, bastarĂĄ multiplicar el Ăşnico elemento del triĂĄngulo de coeficientes trinomiales ∆đ?‘ť , para m=0, es đ?‘– decir del conjunto {1} , sucesivamente por los elementos de la sucesiĂłn đ?‘†1 = {( )} = 1,1,1, ‌ , 1 0 ,

con i= 0,1,‌,(n-1) , productos que evidentemente siempre serĂĄn igual a 1. Para obtener los coeficientes de la columna 1, del triĂĄngulo de coeficientes Tetranomiales , bastarĂĄ multiplicar todos los elementos del triĂĄngulo de coeficientes trinomiales ∆đ?‘ť , para m=1, đ?‘– es decir del conjunto {1,1,1} , sucesivamente, por los elementos de la sucesiĂłn: đ?‘†2 = {( )} = 1 1,2,3, ‌ , đ?‘›, con i=1,2,‌,n Para obtener los coeficientes de la columna 2, del triĂĄngulo de coeficientes Tetranomiales, bastarĂĄ multiplicar todos los elementos del triĂĄngulo de coeficientes trinomiales ∆đ?‘ť ,para m=2, es decir (đ?‘›+1)đ?‘› đ?‘– del conjunto {1,2,2,1,2,1} , por los elementos de la sucesiĂłn đ?‘†3 = {( )} = 1,3,6,10, ‌ , 2! , 2 con i=3,4,‌,(n+2) Para obtener los coeficientes de la columna 3, del triĂĄngulo de coeficientes Tetranomiales, bastarĂĄ multiplicar todos los elementos del triĂĄngulo de coeficientes trinomiales ∆đ?‘ť , para m=3, es decir del conjunto {1,3,3,3,6,3,1,3,3,1} , por los elementos de la sucesiĂłn : (đ?‘›+2)(đ?‘›+1)đ?‘› đ?‘– đ?‘†4 = {( )} = {1,4,10,20,35,56, ‌ , } , con i=3,4,‌,(n+2) 3! 3

Y asĂ­ sucesivamente. Podemos concluir que para la obtenciĂłn de los coeficientes de la columna đ?‘› , de este triĂĄngulo de coeficientes Tetranomiales, bastarĂĄ multiplicar todos los elementos del triĂĄngulo de coeficientes trinomiales ∆đ?‘ť , para m=n , sucesivamente por los elementos de la sucesiĂłn paralela đ?‘†đ?‘›+1 , con đ?‘› = 0,1,2,3, ‌ AdemĂĄs , notamos que en el caso de los coeficientes Tetranomiales, es la sucesiĂłn (đ?‘›+2)(đ?‘›+1)đ?‘› đ?‘– đ?‘†4 = {( )} = {1,4,10,20,35,56, ‌ , }, la que determina el nĂşmero total de elementos de cada 3! 3 fila del triĂĄngulo

En base a estas reglas, hemos elaborado a continuaciĂłn, el triĂĄngulo de coeficientes Tetranomiales, correspondientes a los valores numĂŠricos, desde m=0, hasta m=5.


TRIANGULO NUMERICO DE COEFICIENTES TETRANOMIALES (desde m=0, hasta m=5)

Columnas, como casos de ∆đ?‘ť m 0 1 2 3 4 5

0 1 1 1 1 1 1

1

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

2

1 2 3 4 5

1 3 6 10

3

2 6 12 20

2 6 12 20

1 3 6 10

2 6 12 20

1 3 6 10

1 4 10

3 12 30

3 12 30

3 12 30

6 24 60

4

3 12 30

1 4 10

3 12 30

3 12 30

1 4 10

1 5

4 20

5

4 20

6 30

12 60

6 30

4 20

12 60

�4

12 60

4 20

1 5

4 20

6 30

4 20

�4

1

5

5

10

20

10

10

30

30

10

5

20

30

20

5

1

5

10

10

5

1

6

30

30

60

120

60

60

180

180

60

30

120

180

120

30

6

30

60

60

30

6

56

Como puede observarse, la primera fila de cada una de las columnas de la tabla corresponde al conjunto de los coeficientes trinomiales ∆đ?‘ť ,para cada caso de m. Para generar los coeficientes de las demĂĄs filas de cada columna, deberemos multiplicar los coeficientes de esa fila inicial sucesivamente, por los elementos de la sucesiĂłn paralela correspondiente. En general, para obtener los elementos de la columna đ?’? de este triĂĄngulo de coeficientes tetranomiales, bastarĂĄ multiplicar todos los elementos del triĂĄngulo de coeficientes trinomiales ∆đ?‘ť , para m=n, sucesivamente, por los elementos de la sucesiĂłn paralela đ?‘şđ?’?+đ?&#x;? ,con n=0,1,2,3,...

1 5

1 4 10 20 35


Como en el caso del triĂĄngulo de coeficientes trinomiales, la construcciĂłn del triĂĄngulo de coeficientes Tetranomiales no nos informa directamente sobre la distribuciĂłn espacial de dichos coeficientes. En el caso de los primeros, hemos determinado en el trabajo denominado “Prisma Combinatorioâ€? que los coeficientes trinomiales se agrupan en triĂĄngulos que hemos denominado ∆đ?‘ť , y cuyo nĂşmero de elementos siguen la secuencia correspondiente a la sucesiĂłn đ?‘†3 . En el caso de los coeficientes Tetranomiales, el nĂşmero de sus coeficientes sigue la secuencia de la sucesiĂłn đ?‘†4 , y en otro trabajo anterior, denominado “DistribuciĂłn Tetraedrica de coeficientes Tetranomialesâ€? , hemos propuesto una distribuciĂłn espacial en tetraedros regulares principales (TP) , y tetraedros regulares secundarios (TS) , acompaĂąados de tetraedros –punto o singularidades , cuando m es mĂşltiplo de 4. El desarrollo de este nuevo trabajo, ha permitido confirmar tal distribuciĂłn, y dar luces sobre la necesaria ubicaciĂłn de estos TS, y singularidades, al interior de los TP, ubicando siempre su vĂŠrtice en el nivel 3 de los TP (utilizando la misma contabilidad por nivel, que para las filas de ∆đ?‘ť ), y desarrollando sus niveles inferiores, hasta colocar siempre su base a la altura del nivel đ?‘› − 1, del tetraedro principal del caso, para asĂ­ construir el que hemos denominado tetraedro suma, contenedor del total de los coeficientes del caso de m considerado. AnalĂ­ticamente, hemos desarrollado una fĂłrmula , que hemos ya utilizado para la determinaciĂłn đ?’Ž đ?’Ž đ?’? đ?’? )}, con i=0,1,...,n de los coeficientes trinomiales: đ?‘­đ?’Žâˆ’đ?’? = ( ) )} = {( {( đ?’? đ?’? đ?’Š đ?’Š Donde m representa la potencia del trinomio, y n representa la fila considerada de ∆đ?‘ť , correspondientes a las columnas del triĂĄngulo de coeficientes trinomiales. Para la determinaciĂłn de los coeficientes Tetranomiales, hemos tambiĂŠn desarrollado una expresiĂłn, que viene siendo una expansiĂłn al siguiente nivel, de la formula precedente:

đ?‘ťđ?’Ž đ?’?

đ?’Ž đ?’? đ?’? đ?’Ž = ( ) {( đ?’Š )} = {( đ?’Š )}, con đ?’Š = đ?&#x;Ž, đ?&#x;?, đ?&#x;?, ‌ , đ?’? y para cada đ?’Š , serĂĄ đ?’‹ = đ?&#x;Ž, đ?&#x;?, ‌ , đ?’Š đ?’? đ?’‹ đ?’‹

Donde m representa la potencia del tetranomio, y n representa el nivel correspondiente del tetraedro suma que agrupa los coeficientes, desde n= cero en el vĂŠrtice, hasta n=m en la base igual a ∆đ??“ para dicho caso de m, y que se corresponden con los valores de las columnas como casos de ∆đ?‘ť , en el triĂĄngulo de coeficientes Tetranomiales. AsĂ­, para obtener los coeficientes Tetranomiales de la fila m=3, del triĂĄngulo correspondiente, deberemos aplicar la expresiĂłn anterior, por cada nivel del tetraedro que los contiene, que equivalen a las columnas del mismo, como casos de ∆ đ?‘‡ Nivel o columna: 0 , un Ăşnico elemento đ?‘ťđ?&#x;‘đ?&#x;Ž

3 0 3 = ( ) {(0)} = {(0)} = {1} 0 0 0 0 i=0 j=0


Nivel o columna: 1, 3 elementos đ?‘ťđ?&#x;‘đ?&#x;?

3 3 3 1 1 1 3 1 1 = ( ) {(0) , (1) , (1)} = {( ) , ( ) , (1)} = {3,3,3} 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 i=0 i=1 j=0 j=0 , 1

Nivel o columna : 2, 6 elementos đ?‘ťđ?&#x;‘đ?&#x;?

3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 = ( ) {(0) , (1) , (1) , (2) , (2) , (2)} = {( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , (2)} = {3,6,6,3,6,3} 0 1 2 1 2 2 2 0 0 1 0 1 2 0 0 1 0 1 2 I=0 i= 1 i=2 J=0 j= 0, 1 j=0 , 1 , 2

Nivel o columna: 3, 10 elementos 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 đ?‘ťđ?&#x;‘đ?&#x;‘ = ( ) {(0) , (1) , (1) , (2) , (2) , (2) , (3) , (3) , (3) , (3)} = 3 0 0 1 0 1 2 0 1 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 {(3) , (3) , (3) , (3) , (3) , (3) , (3) , (3) , (3) , (3)} = {1,3,3,3,6,3,1,3,3,1} 0 1 1 2 2 2 3 3 3 3 0 0 0 0 3 1 1 2 1 2 i=0 i=1 i=2 i=3 j=0 j=0, 1 j=0, 1, 2 j=0, 1, 2, 3

Utilizando esta misma expresiĂłn, podemos transformar cada uno de los valores ya recogidos en el triĂĄngulo de coeficientes numĂŠricos tetranomiales a su forma combinatoria, siendo la secuencia resultante muy similar a la obtenida y utilizada para confeccionar la tabla de coeficientes combinatorios trinomiales. A continuaciĂłn, con ciertas limitaciones por motivos de espacio en Word, hemos confeccionado la tabla de coeficientes Tetranomiales combinatorios, desde m=0, hasta m=5.


TRIANGULO DE COEFICIENTES COMBINATORIOS TETRANOMIALES (desde m =0, hasta m= 5)

Niveles del tetraedro o Columnas como casos de ∆ đ?‘‡ 0 0 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0 3 0 0 0 4 0 0 0 5 0 0 0

1

1 1 0 0 2 1 0 0 3 1 0 0 4 1 0 0 5 1 0 0

1 1 1 0 2 1 1 0 3 1 1 0 4 1 1 0 5 1 1 0

2

1 1 1 1 2 1 1 1 3 1 1 1 4 1 1 1 5 1 1 1

2 2 0 0 3 2 0 0 4 2 0 0 5 2 0 0

2 2 1 0 3 2 1 0 4 2 1 0 5 2 1 0

2 2 1 1 3 2 1 1 4 2 1 1 5 2 1 1

3

2 2 2 0 3 2 2 0 4 2 2 0 5 2 2 0

2 2 2 1 3 2 2 1 4 2 2 1 5 2 2 1

2 2 2 2 3 2 2 2 4 2 2 2 5 2 2 2

3 3 0 0 4 3 0 0 5 3 0 0

3 3 1 0 4 3 1 0 5 3 1 0

3 3 1 1 4 3 1 1 5 3 1 1

3 3 2 0 4 3 2 0 5 3 2 0

3 3 2 1 4 3 2 1 5 3 2 1

4

3 3 2 2 4 3 2 2 5 3 2 2

3 3 3 0 4 3 3 0 5 3 3 0

3 3 3 1 4 3 3 1 5 3 3 1

3 3 3 2 4 3 3 2 5 3 3 2

3 3 3 3 4 3 3 3 5 3 3 3

4 4 0 0 5 4 0 0

4 4 1 0 5 4 1 0

4 4 1 1 5 4 1 1

4 4 2 0 5 4 2 0

4 4 2 1 5 4 2 1

4 4 2 2 5 4 2 2

4 4 3 0 5 4 3 0

4 4 3 1 5 4 3 1

5

4 4 3 2 5 4 3 2

4 4 3 3 5 4 3 3

4 4 4 0 5 4 4 0

4 4 4 1 5 4 4 1

4 4 4 2 5 4 4 2

4 4 4 3 5 4 4 3

4 4 4 4 5 4 4 4

5 5 0 0

5 5 1 0

5 5 1 1

5 5 2 0

5 5 2 1

5 5 2 2

5 5 3 0

5 5 3 1

5 5 3 2

5 5 3 3

5 5 4 0

5 5 4 1

5 5 4 2

5 5 4 3

5 5 4 4

5 5 5 0

5 5 5 1

5 5 5 2

5 5 5 3

Notas: Por razones de espacio, se han obviado los valores de m, que coinciden siempre con el primer valor constante en cada lĂ­nea. AsĂ­ mismo, no se han colocado los valores dentro de los parĂŠntesis ( ) del sĂ­mbolo usual para coeficientes combinatorios.

5 5 5 4

5 5 5 5


Es “evidenteâ€? que los resultados obtenidos hasta ahora en este trabajo, pueden ser extendidos para cualquier potencia entera, y para cualquier polinomio de r tĂŠrminos. Las fĂłrmulas y secuencias a utilizar deberĂ­an resultar muy semejantes. El Ăşnico inconveniente parece ser, el determinar cĂłmo se agrupan espacialmente dichos coeficientes, ya que para combinatorios pentanomiales en adelante, estarĂ­amos hablando de cuerpos de 4 o mĂĄs dimensiones, de los cuales, solo en algunos casos, podemos conocer sus proyecciones tridimensionales. Pero ello no nos impide construir el triĂĄngulo correspondiente al caso general de coeficientes polinomiales, y en este caso, resulta mĂĄs prĂĄctico el triĂĄngulo de coeficientes combinatorios, ya que es inmediato desarrollar las secuencias involucradas, en base a los casos anteriores que hemos determinado, que luego se podrĂ­an fĂĄcilmente llevar a valores numĂŠricos. Para construir el triĂĄngulo de coeficientes numĂŠricos pentanomiales por columnas, deberemos partir en cada una de ellas del total de coeficientes del tetraedro que los contiene correspondientes al mismo caso de m. Para ello bastarĂĄ determinar dichos coeficientes en cada nivel del tetraedro suma. AsĂ­ por ejemplo el total de coeficientes de la fila 3 del triangulo de coeficientes Tetranomiales, constituyen los coeficientes de partida de la columna 3, del triangulo de coeficientes pentanomiales. COEFICIENTES PENTANOMIALES TambiĂŠn hemos expandido y comprobado la expresiĂłn utilizada para el cĂĄlculo, al caso de los coeficientes pentanomiales: đ?’Ž đ?’? đ?’? đ?’Ž đ?’Š đ?’Š đ?‘¸đ?’Ž , donde m representa la potencia del pentanomio o fila del đ?’? = ( đ?’? ) {( đ?’‹ )} = đ?’‹ đ?’Œ { ( đ?’Œ )}

triĂĄngulo de coeficientes, y n representa el nivel correspondiente del cuerpo 4D que los contiene, desde n=0 en el “vĂŠrticeâ€?, hasta n=m en la base o tetraedro suma de coeficientes Tetranomiales para dicho caso de m, y donde n se corresponde con los valores de columna como casos de tetraedro suma, en el triĂĄngulo de coeficientes. La secuencia de los elementos de los tetranomios , y de los pentanomios involucrados, vendrĂĄ dada por: đ?‘– = 0,1,2, ‌ , đ?‘› Para i=0 j=0 una sola vez, y k=0 una sola vez Para i=1 j= 1vez 0 j= 2 veces 1 Para i=2 j= 1vez 0 j= 2veces 1 j= 3veces 2

y k=0 k=0,1

k=0 k=0,1 k=0,1,2


Para i= 3 j= 1vez 0 k=0 j= 2veces 1 k=0,1 j= 3veces 2 k=0,1,2 j= 4veces 3 k=0,1,2,3 AsĂ­ sucesivamente. Comprobemos entonces lo afirmado anteriormente, calculando los coeficientes correspondientes a la fila đ?‘š = 3 , del triĂĄngulo de coeficientes pentanomiales, mediante la expresiĂłn ya obtenida. Columna 0 1elemento 0 3 đ?&#x;‘ đ?‘¸đ?&#x;Ž = ( ) {(0)} = 0 0 0

3 0 = {1} 0 0 { (0 )}

Columna 1 4 elementos 1 1 1 1 3 0 1 1 đ?&#x;‘ đ?‘¸đ?&#x;? = ( ) {( ) , ( ) , ( ) , (1)} = 0 0 1 1 1 0 0 0 1

3 3 3 3 1 1 1 1 0 , 1 , 1 , 1 ={3,3,3,3} 0 0 1 1 {(0) (0) (0) (1)}

Columna 2 10 elementos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 đ?‘¸đ?&#x;‘đ?&#x;? = ( ) {(0) , (1) , (1) , (1) , (2) , (2) , (2) , (2) , (2) , (2)} = 0 0 1 1 0 1 1 2 2 2 2 0 0 0 1 0 0 1 0 1 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 , 1 , 1 , 1 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 = {3,6,6,6,3,6,6,3,6,3} 0 0 1 1 0 1 1 2 2 2 {(0) (0) (0) (1) (0) (0) (1) (0) (1) (2)}

Columna 3 20 elementos đ?‘¸đ?&#x;‘đ?&#x;‘ = 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 0 3 3 3 3 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 ( ) {(0) , (0) , (1) , (1) , (0) , (1) , (1) , (2) , (2) , (2) , (0) , (1) , (1) , (2) , (2) , (2) , (3) , (3) , (3) , (33)} = 3 0 0 0 1 0 0 1 0 1 2 0 0 1 0 1 2 0 1 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 0 , 1 , 1 , 1 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 3 , 3 , 3 , 3 , 3 , 3 , 3 , 3 , 3 , 3 = 0 0 1 0 1 2 0 1 2 3 3 1 1 2 2 1 2 2 3 3 {(0) (0) (0) (1) (0) (0) (1) (0) (1) (2) (0) (0) (1) (0) (1) (2) (0) (1) (2) (3)} {1,3,3,3,3,6,6,3,6,3,1,3,3,3,6,3,1,3,3,1}

Estos Ăşltimos 20 valores, como ya hemos seĂąalado, corresponden al total de coeficientes de la fila 3 del triĂĄngulo de coeficientes Tetranomiales y a su vez son los valores iniciales de la columna 3, del triĂĄngulo de coeficientes pentanomiales .


Podemos inferir que la expresiĂłn, ya utilizada para el cĂĄlculo de los coeficientes trinomiales, Tetranomiales y pentanomiales, puede expandirse y generalizarse para coeficientes polinomiales de r elementos elevado a cualquier potencia m entera positiva, mediante: đ?’? đ?’Š đ?’‹ đ?’Ž đ?‘ˇđ?’Ž = đ?’Œ đ?’? = (đ?’?) â‹Ž đ?’‘ {(đ?’’)}

đ?’Ž đ?’? đ?’Š đ?’‹ , siendo m la potencia del polinomio y n el nivel considerado. đ?’Œ â‹Ž đ?’‘ { ( đ?’’ )}

Con đ?‘– = 0,1,2, ‌ , đ?‘› y una secuencia para cada uno de los demĂĄs tĂŠrminos involucrados j,k...p,q muy similar a la ya utilizada en el caso de los coeficientes pentanomiales. El desarrollo de estas secuencias para el caso general, son relativamente fĂĄciles de deducir del triĂĄngulo de coeficientes combinatorios polinomiales que presentamos a continuaciĂłn Este triĂĄngulo general de combinatorios polinomiales, serĂĄ aplicable para un polinomio tal como: (đ?’™đ?&#x;? + đ?’™đ?&#x;? + đ?’™đ?&#x;‘ + â‹Ż + đ?’™đ?’“ )đ?’Ž Y el nĂşmero total de tĂŠrminos en cada fila, responderĂĄ sucesivamente, a los elementos de la [đ?’?+(đ?’“−đ?&#x;?)][đ?’?+(đ?’“−đ?&#x;‘)]‌đ?’? đ?’“ (đ?’“+đ?&#x;?)đ?’“ (đ?’“+đ?&#x;?)(đ?’“+đ?&#x;?)đ?’“ , ,‌, } đ?&#x;?! đ?&#x;‘! (đ?’“−đ?&#x;?)!

sucesiĂłn paralela: đ?‘şđ?’“ = {đ?&#x;?, đ?&#x;?! , m=0 , un Ăşnico elemento 0 0 0 0 0. . . 0 ( 0)

m=1,

đ?‘&#x; 1!

elementos

1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 ‌ 0 0 1 .. 0 0 1 . 0 0 1 1 1 0 0 ( 0) ( 0) ( 0) ( 1)


m=2,

(𝑟+1) 2!

elementos

2 0 0 0 0. .. 0 0

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 0 0 1 2 1 1 1 2 2 2 2 0 0 0 0 1 2 1 1 1 1 2 0. … 1. 0. 0. … 1. 0. 0. … 1. 0. … 2. 1. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 1 1 1 0 1 0 2 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 2 ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )

m=3,

(𝑟+2)(𝑟+1)𝑟 3!

elementos

3 0 0 0 0. .. 0 0

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 2 2 2 3 3 3 3 3 3 1 2 2 0 0 1 2 1 1 2 0 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 0 0 0 0 0 0 0 0 3 1 1 2 1 1 1 1 2 2 0. … 1. 0. 0. … 1. 0. … 2. 0. 0. … 2. 0. 0. … 1. 0. 1. … 1. 0. … 3. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 2 0 3 0 1 0 0 1 0 2 1 0 0 1 0 2 0 0 0 0 3 ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

..................................................................................................................................................................................... m=n, 𝑛 0 0 0 0. .. 0 0

[𝑛−(𝑟−2)][𝑛−(𝑟−3)]…𝑛 (𝑟−1)!

elementos

𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 3 𝑛 𝑛 1 2 2 2 3 3 𝑛−1 𝑛−1 𝑛 𝑛 𝑛 1 2 2 𝑛−1 𝑛−1 𝑛 𝑛 𝑛 0 0 1 2 0 1 0 𝑛−1 0 1 𝑛−1 1 1 2 1 1 𝑛 0 0 0 0 0 0 0 0 𝑛−1 0 0 𝑛−1 1 1 2 1 0 𝑛 0. … 𝑛. 0. … 1. 0. 0. … 1. 0. … 2. 0. 0. … 0. 1. 0. 0. … 𝑛 −. 1 0. … … 𝑛 −. 1 .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 𝑛 0 0 1 0 0 1 0 2 0 0 0 1 𝑛−1 0 0 𝑛−1 0 𝑛 0 0 1 0 0 1 0 2 0 0 0 1 𝑛−1 0 0 𝑛−1 0 ) ( ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( ) ) (


AsĂ­ como el nĂşmero total de elementos en una fila para cualquier caso de m, responde sucesivamente a los tĂŠrminos de la sucesiĂłn paralela đ?‘şđ?’“ , el nĂşmero de elementos por columna responde a la secuencia de la sucesiĂłn paralela đ?‘şđ?’“−đ?&#x;? Con este caso general, creemos que por ahora, hemos agotado el tema de los coeficientes multinomiales y su aplicaciĂłn a la generalizaciĂłn del triĂĄngulo de Pascal. Enrique R. Acosta R. 2016

Coeficientes multinomiales y generalizacion del triangulo de pascal  

Utilización de los coeficientes multinomiales para la generalización del triángulo de Pascal

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