El Uso de las determinantes y matrices en la vida real

El enigmatico mundo de las matematicas, Revista santos.

La Editorial

Este periódico cuyo tiene como objetivo dejar en claro porque se debería enseñar las matemáticas en la escuela, el periódico considera que es bastante malo saber que la mayoría de los alumnos piensen que gran parte de las matemáticas no tienen cavidad en el mundo real, y para eso estamos nosotros, pues a base de datos, ejercicios prácticos e información didáctica que se puede entender para todas las edades, se demostrara el uso de las matemáticas en la vida cotidiana, en este caso empezaremos con las matrices y determinantes, analizando desde su esencia ejemplar, hasta su uso cotidiano pasando por varios ejercicios prácticos de aprendizaje para poder comprender porque en las escuela se enseñan las matemáticas y se debería seguir haciendo, es muy claro, necesitamos quitar cualquier duda de los estudiantes sobre el uso de las matemáticas en la vida cotidiana, dándoles una razón muy validad para seguir estudiando y seguir practicando las matemáticas.

Esta revista incluye una manera didáctica de aprender las matrices y determinantes para entender bien el uso de estas en el mundo real y como lo conocemos

Aprender matemáticas de la manera

Correcta es lo mejor para todos

La matriz

La matriz se denomina a un conjunto de números dispuestos y ordenados mediante renglones y columnas ubicados entre corchetes y a cada una se la asignara una letra mayúscula.

Para empezar vamos a ver un ejemplo de una matriz cualquiera.

A= 5 8 9 2 5 0 3 8 1

Esta cumple con las características de la matriz, pues esta entre 2 corchetes, tiene asignada la letra A y en su interior tiene un conjunto de números cualquiera.

Ahora que sabemos que son las matrices ahora veremos que todas las matrices deben llevar un orden determinado, pues en matemáticas las matrices no tienen un tamaño si no un orden.

Acá algunos ejemplos

A= 5 1 4 0 5 0 3 8 1

Esta es una matriz de orden 3*3, el primer numero viene de los renglones y el segundo de las columnas, para tener mejor idea de esto veremos otros ejemplos

H= 5 5 3 9 2 3 5 0 8 1

¿Esto parece bastante a una matriz no? Al observar que es un conjunto de números cualquiera y tiene asignada otra letra es bastante probable que pensemos que es una matriz, pero no, al fijarnos bien podemos ver que no cumple con la otra característica, pues no esta entre corchetes, si no entre líneas, así que este conjunto de números no es una matriz si no una determinante, que veremos mas adelante.

O= 4 8 6 1 3 1

Esta es una matriz de orden 2*3

D= 4 1 −5 2 1 3

Finalmente esta es una matriz de 3*2, si nos damos cuanta estas 2 matrices tienen la misma cantidad de números, pero lo que las diferencian es el orden, este orden será importante mas adelante en las llamadas operaciones de matrices

Tipos de matrices

Ahora vamos a ver lo que son los diferentes tipos de matrices pues este conjunto de números tiene bastantes tipos que serán importantes de al menos ver y comprender.

Esto es una matriz, pues como vimos anteriormente cumple todas las características, pero tiene otra característica mas que la diferencia con las demás y es que en esta matriz contiene puros 0, a este tipo de matrices se les llama nulas, todas las matrices que contienen 0 son nulas sin ninguna excepción A= �� ��

Por ejemplo otra matriz nula pues todos sus términos son 0.

todos los números del conjunto deben ser 1, por ejemplo la matriz de la izquierda es una matriz unitaria, a estas alturas pensaras que la matriz de la derecha también lo es pero no, ¿porque?, fácil simplemente esta otra matriz tiene un orden de 2*1, y las matrices unitarias a diferencia de las nulas deben tener el mismo orden, como no tiene el mismo orden no se puede considerar unitaria, acá empezamos a notar la importancia del orden.

Ahora veremos otro tipo de matrices, la matriz unitaria pues al igual que la nula

Ambas son matroces de 3*3, sin embargo tienen una cosa en comun, lo que pasa es cuando los terminos se contraponen, para simplificar se intercambian renglones y columnas se le llama una matriz transpuesta, a esta matriz se le coloca la letra anterior ademas de una T como exponente, indicando que es transpuesta, otro dato interesante de las matrices transpuestas es cuando al intercambiar renglones y columnas dan el mismo reslutado del conjunto de numeros, se le llama una matriz simetrica

Ahora veremos algo mas complejo pero igual util y estas son las matrices triangulares, este tipo de matrices no son triangulos, pues siguen la regla del orden, para comprender mas sobre este tipo de matrices necesitamos un ejemplo claro.

En esta otra matriz tiene todos los elementos de una matriz, pero como se puede observar tiene todos los terminos arriba de la diagonal principal como nulos, en este caso 0 por lo tanto a esta matriz se le llama triangular inferior. Bien, pero que pasa si estas 2 martricess se combinan, para simplificar todos los numeros tanto encima como debajo de la diagonal principal, son 0, en este caso la matriz se lle llama matriz diagonal.

Como vemos en la imagen hay una matriz de 3*3, esta matriz se llama triangular superior, esto se debe a que la matriz tiene una diagonal principal, esta diagonal corre desde el primer termino hasta el ultimo termino de forma diagonal, en este caso para que sea matriz triangular superior tiene que tener todos los terminos abajo de la diagonal principal con una valor de 0, en la imagen se cumple esto por lo tanto es una matriz triangular inferior

Pero eso no es todo, todavia nos falta un tipo de matriz y esta es de las mas importantes, pues a diferencia de las otras a esta matriz ya se le tiene seleccionado una letra, en este caso la I. I= 1 0 0 0 1 0

Como podemos ver en la matriz, se parece bastante a la diagonal, pues todos los numeros arriba y debajo de la diagonal principal, son 0, sin embargo tiene una caracteristica unica, y esta es que todos los nuemeros de la diagonal principal son 1, en este caso la matriz se le llama matriz Identidad, y es la unica matriz que se le tiene asgnada una letra por defecto, en este caso la I, una matriz bastante facil de identificar

La corporacion Santolas te invita a.

Ser parte de un programa muy beneficioso para jóvenes emprendedores.

Ofrecemos una inversión para su empresa y para su producto para un beneficio de los jóvenes que desean emprender pero que no cuenten con el capital, aproveche que el interés es menor que ofrece la banca.

Lo único que se tiene que hacer para recibir una inversión para su negocio es mandarnos una idea creativa del producto que planea vender, como este producto nos beneficia y si cumple con las normativas ambientales, además de explicarnos porque el es muy fácil, solo tienes que regístrate en el correo: santiago.molina@colegiosalesiano.com.mx Los esperamos y que las mejores ideas ganen.

Ahora viene la parte chida de las matrices, pues veremos sus operaciones resolviendo ejercicios prácticos que nos ayudaran a comprender mucho mejor la función de las matrices en el mundo real.

Empezaremos por las operaciones mas fáciles, la suma y la resta empezando por la suma

A= 5 8

2 6

B= 1 3 7 0

Para poder sumar estas 2 matrices por ejemplos, tenemos que saber su orden, tanto la matriz A como la matriz B tienen un orden de 2*2 por lo tanto se pueden sumar, ya que ambas deben tener el mismo orden lo cual se cumple, ahora lo unico que se tiene que hacer para sumar las matrices es efectuar una simple suma entre cada una de las partes de las matrices, por ejemplo A+B

A+B= 5+1 8+3 2+7 6+0 = 6 11 9 6 Podemos ver el resultado de la suma de las matrices A+B, este tipo de operaciones es muy sencillo, pues se trata de realizar operaciones basicas a una matriz, no necesitando de una explicacion detallada, la resta de matrices es igual de sencilla que la suma, pues es lo mismo solo que restando las matrices para obtener el resultado deseado, aca otro ejemplo.

A-B= 5 1 8 3 2 7 6 0 = 4 5 4 6

En este otro ejemplos de matrices aplicamos el mismo ejemplo de A y B, en este caso se resuelve igual de sencillo, pues solo aplicamos la resta como si de una operacion basica se tratase, hasta en estos momentos solo explicamos lo basico, ahora viene lo avanzado, ¿Listos?, pues para alla vamos.

Multiplicacion de matrices

Como se menciono anteriormente ahora viene la parte donde las matrices se vuelven mas complejas, pues ahora toca el tema de la multiplicacion de matrices, a diferencia de la suma o resta esta tiene un proceso complejo pero no mucho mas complicado, una cosa a aclarar muy importante es que el orden de la multiplicaion de las matrices si importa, pues no es lo mismo A*B que B*A.

A= 5 8 2 6 B= 1 3 7 0

Encontrar A*B.

Muy bien, usaremos el ejemplo anterior para resolverlo, primero identificamos el

orden de las 2 matrices, luego colocamos el orden de las matrices como se ve en la imagen, nuestras matrices son 2*2, por lo tanto. 2*2 2*2, la parte señalada en negrita tiene que ser el mismo numero, si no lo es no se puede multiplicar, en este caso si se pueden multiplicar, las partes señaladas en subrayado y cursiva nos indicaran el orden de la matriz, en este caso, la matriz resultante es 2*2.

Despues de realizar estos pasos ahora tenemos que identificar que la primera matriz se multiplicara a partir de renglones, y la segunda a partir de columnas, lo veremos mas a detalle en la siguiente hoja

En este caso como se puede ver en los ovalos se tiene que multiplicar en renglones y columnas, ahora vamos a poner en flechas como se multiplicara.

Como podemos ver con las flechas azules primero multiplicamos el 5*1, dando 5, despues multiplicamos el 8 por 7, resultando 56, ya tenemos el primer termino de la matriz, sumando estos 2 resultados nos da, 61, ese el el primer termino de la matriz, repetimos con la primera fila de la primera matriz, pero con la segunda columna de la segunda matriz, en este caso 5*3 y 8*0, dando resultando en 15 y 0, sumando estos nos da 15, el segundo termino de la matriz, ahora repetimos todo el proceso pero con la segunda fila de la matrtiz como nos indican las flechas negras, 2*1=2 y 6*7=42, 2+42=44, siendo este el tercer termino, finalmete

2*3=6 y 6*0=0, 6+0=6, siendo este el ultimo termino. Aqui podemos ver el proceso de multiplicacion de matrices mas resumido.

En resumen, y para simplificarlo las filas de la primera matriz se multiplican por columnas de la segunda matriz, dándonos el resultado, sin embargo al realizarlo alrevez no nos dará el mismo resultado ya que en matrices el orden si altera al producto, y lo comprobaremos. Hallar B*A.

AL final observamos que las 2 matrices resultantes no son lo mismo, a pesar de haber multiplicado A*B y B*A, en las matrices el orden si altera al producto, suceso que el el resto de las matematicas no deberia ser asi, esta propiedad de las matrices es bastante interesante e importante de comprender, pues vaya que podria meternos en algunos problemas

Los invitamos a nuestra congregación religiosa, acá intentamos comprender la palabra de Dios, a que vinimos a este mundo, como podemos ayudar en la misión que dios nos preparo para nosotros. Nosotros tenemos el como podemos ayudarte a seguir la palabra de Dios, solo falta tu voluntad.

Lo único que necesitas para convertirte en miembro de nuestra congregación es registrarse en la pagina https://www.siervodedios.com.mx, tu voluntad para ayudar a expandir la palabra de Dios, así como la suficiente experiencia para enseñar a otras personas.

“Que esperas”, estas es una excelente oportunidad, aquí los esperamos.

Mas información en: https://www.siervodedios.com.mx

Realicemos otro ejercicio de operaciones con matrices, solo que en esta ocasión quedan con diferente orden.

2+30+3 4 12 9

1+20+2 2−8−6

6+0+5 12+0 15

= 35 17 23 −12

1 27

Observamos en este caso que la matriz A es de orden 3*2 mientras que la matriz B es de orden 3*3, primero vamos a multiplicar A*B, ya sabemos el primer paso a realizar y es saber si las 2 matrices se pueden multiplicar, mediante este paso, 3*2 3*3, ahora vemos que los números en negro no son el mismo numero, por lo tanto no se pueden multiplicar, por lo tanto A*B no se pueden multiplicar, ahora veremos B*A, realizamos la misma comprobación, y observamos que, 3*3 3*2 , al observar que los números en negritas si son el mismo numero la matriz si se puede multiplicar, ahora ponemos atención en los números en rojo, pues nos dará el orden de la matriz, resultando de 3*2.

Ahora que vimos el orden de la matriz nos toca ejecutar la multiplicación de matrices.

Ya conocemos el proceso de multiplicación de matrices por lo que vamos al proceso como tal de la multiplicación, en la imagen se ve el proceso para resolver el problema, y para confirmarlo tenemos que ver el orden de esta nueva matriz, resultando con un 3*2, lo cual en el proceso de identificar si se puede multiplicar lo cual confirmamos el orden de la matriz y por lo tanto tenemos el resultado correcto.

Ya para finalizar con las operaciones de la matrices para entrar en su variante, la determinante, no es posible realizar la división de matrices debido a que propiamente no existe y para que sea posible debemos de ejecutar una multiplicación de la matriz del numerador por la matriz inversa del denominador, lo cual es propiamente lo que vimos en anteriores paginas pero que es importante saber por si nos cabe alguna duda.

Las determinantes en matemáticas se le denomina a una forma multilineal alternada sobre un espacio vectorial, normalmente son aplicadas sobre una matriz y eso es lo que vamos a aplicar, determinantes sobre una matriz empezando sobre un ejemplo de una de las matrices de los ejemplos anteriores.

A= 5 8 2 6 B= 1 3 7 0

Calcular la determinante de A. Calcular las determinantes es mucho mas sencillo que calcular las multiplicaciones de matrices, empezamos a cambiar la matriz a modo de que sea una determinante, simplemente cambiando los signos de la matriz de esta manera, para que sea una determinante.

Det A = 5 8 2 6

Como vemos los signos han cambiado, ahora esto es una determinante, como la determinante tiene un orden de 2*2 no es necesario usar ningún método, simplemente operamos cruzada mente para resolver la determinante de esta forma.

= 5 8 2 6

Como vemos con las flechas primero multiplicaremos los números de la flecha negra, en este caso 5*6 siendo 30, luego

multiplicamos los números de la flecha azul, en este caso 2*8, dándonos 16 de resultado, luego restamos el primer resultado con el segundo resultado, en este caso 30-16=14, este numero es el resultado de la determinante, a continuación vemos el proceso mas resumido.

Det A= 5 8 2 6 =(30)-(16)=14

Ahora haremos lo mismo con B pero mas resumido.

Det B= 1 3 7 0 =(0)-(21)=-21 En este caso la matriz es negativa lo cual es perfectamente posible, ahora veremos el orden 3*3 lo cual es mas complejo pero bastante sencillo, utilizando 3 métodos, usaremos a otra matriz de 3*3 como ejemplo.

B= 2 6 3 1 4 2 6 0 5

Lo primero a realizar es evidentemente a convertir a esta matriz de orden 3 a una determinante del mismo orden.

Det B= 2 6 3 1 4 2 −6 0 5

Luego aplicamos una de los 3 métodos mostrados en la siguiente pagina

El primer método que conoceremos para realizar la operación de la determinante es el de renglones, que mostraremos a continuación, consiste en expandir la determinante con los mismos números de la primer y segundo renglón para ponerlos como si el orden de la nueva matriz fuera mayor, en este caso 5*3, un mejor resumen será en el siguiente paso representado.

Det B=

Ahora que ya tenemos la expansión de renglones ahora vamos a operar como lo hemos hecho en la otra ocasión, en este caso el termino de suma del primer termino es (2*4*5)+(1*0*3)+ (-6*6*2)=40+0-72=-32, para el segundo termino que tiene un signo menos será (-6*4*3)+(2*0*2)+(1*6*5)=-(-72+0+30)=42, al final operamos el final, -32+42=10, observamos que la determinante de B es 10 lo cual es positivo, después tenemos el método de las columnas y es básicamente lo mismo que el de las filas solo que en vez de expandir mas filas expandiremos mas columnas como este ejemplo de acá.

Ahora el primer termino se calcula de la misma manera solo que multiplicando términos de las columnas, (2*4*5)+(6*2* -6)+(3*1*0)=32, y para el segundo termino con signo menos, (-6*4*3)+(0*2*2)+(5*1*6)=-(-42)=42, fíjese como los resultados han sido los mismos lo cual nos da el mismo resultado final, ahora vamos con el 3 método donde no se necesita expandir la determinante, solo hay que pensar en el siguiente numero como si el de columnas se tratase solo que no transcrito oficialmente. Det B=

Como es el mismo método solo que imaginando las columnas es bastante mas fácil de resolver, para el primer termino, (2*4*5)+(6*2*6)+(3*1*0)=-32, y para el segundo termino con signo menos, (-6*4*3)+(0*2*2)+(5*1*6)=-(-42)=42, al final observamos que sigue siendo el mismo resultado lo cual los 3 métodos son comprobados y funcionan bastante bien, puede usar el que mejor le parezca, ya para terminar con la un poco aburrida teoría y como dato que debería conocer es que las determinante transpuestas no cambian ningún resultado, pues sigue siendo el mismo resultado

Inculcar buenos valores para tu familia, como el respeto la solidaridad, la humildad y muchos mas valores que te enseñaran a ser mejores personas.

También tendremos un método de enseñanza no tradicional que te preparara de verdad para la vida con clases de finanzas personales, educación social y sexual, el mundo laboral y otras que son dinámicas donde la evaluación no será principalmente por exámenes si no por aprendizajes.

Consideramos que los métodos tradicionales no aportan verdadera preparación para el futuro del estudiante, nosotros proponemos cambiar este sistema de enseñanza por uno no tradicional que prepara a los alumnos para los retos de la vida.

Mas información en la pagina

www.escuelagenios.com.mx

Viene el examen de mate:

Los alumnos

Todos repueban el examen de mate: El profe

Cuando me preguntan porque reprobe conta: Yo

Uso practico de la matriz en la vida real

Llegamos a la parte mas esperada y la mas útil, pues en este ultimo apartado veremos para que sirven las matrices y determinantes empezando por las matrices, en la vida real.

Las matrices son una herramienta matemática muy útil que se puede usar en la vida real, mas exactamente en una variedad de aplicaciones en la vida real.

Existen varios campos de la ciencia y la tecnología en donde se puede usar, pero hay un campo en donde realmente nos interesa, las finanzas.

Pues bien, empezamos por decir que las matrices sirven para representar simples procesos de producción y flujos de

producción. Basándonos en el hecho de que la economía adquiere mucha importancia en la comprensión de los estudiantes en los procesos de producción simple y flujos de producción, y que los estudiantes ya han adquirido un sentido sobre la industria.

Acá puede haber varios ejemplos de la utilización de las matrices en la vida real en modelos económicos-administrativos.

Cálculo de riesgos financieros: Las matrices se usan para evaluar los riesgos y oportunidades en inversiones financieras, haciendo de la inversión mucho mas estable y segura.

Gestión de recursos humanos: En la área de recursos humanos, las matrices se usan para evaluar la capacitación y el desempeño de los empleados.

Marketing y publicidad: Las matrices en el área de marketing se usan para identificar los grupos demográficos objetivo y segmentar los mercados, sirviendo mucho en las empresas, entes y negocios económicos pata aumentar las ganancias.

Análisis de sistemas de información: Las matrices se usan para identificar los puntos de falla y mejorar los sistemas de

información.

Manufactura: Las matrices se usan para planificar y controlar la producción en una fábrica. Este y muchas otras funciones tiene la matriz como uso en la vida real, y eso que solo vimos un campo, definitivamente hay mucho mas usos en las matrices en otros campos aplicables en la vida real, pues cada aspecto de mate tiene su función en la vida real, así que en la siguiente pagina veremos la función de la determinante en la vida real.

Uso de la determinante en la vida real

Ahora vamos a conocer una de las funciones de la determinante en la vida real, realmente la determinante tiene varias funciones en la vida real, como al emplear en disimiles modelaciones, cálculos del álgebra y el análisis también pueden trascender a áreas como la graficación 3D, tratamiento de imágenes, problemas de optimización, economía, física, entre varias otras opciones.

Las determinantes también se pueden usar para saber si un sistema de ecuaciones lineales tiene solución, en este punto nos vamos a enfocar, pues considero bastante importante conocer el uso de las matrices en la vida real de las ecuaciones, pensemos en un problema común.

En una empresa hay 3 productos, llamémoslos X, Y y Z, acá hay unas operaciones con estos 3 productos y sus mismos resultados,

representa las ventas y perdidas obtenidas en las 3 operaciones, al parecer parece que esto solo se puede responder de forma aleatoria, pero no, hay una manera mucho mas sencilla de resolverla y tiene justamente que ver tanto con las matrices como con las determinantes, lo primero a realizar será una determinante que llamaremos d, y los términos serán los mismos que en el sistema de ecuaciones, mas precisamente los elementos remarcados en rojo, también hay que recordar que si la letra esta sola el termino será 1

Det D=

Ahora procederemos a resolver la determinante, y al resultado lo llamaremos D de determinante, (2+2+3)-(-1-1+12)=-3, esta matriz se resolvió mediante el 3 método explicado anteriormente donde no se necesita expandir la matriz, en la siguiente pagina veremos como calcular las demás determinantes necesarias para resolver el ejercicio, estas determinantes se llamaran Dx, Dy y Dz, D de la determinante y x, y y z de la incógnita representada en letra.

Este es un sistema de ecuaciones que

Para calcular Dx necesitamos los mismos números del sistema de ecuaciones solo que remplazamos los términos donde aparece X con los resultados de las ventas en este caso, mejor explicado a continuación. ��+���� ��= �� ����+��+��=�� ��−��+����=��

Como se puede ver usaremos los números remarcados en color azul en lugar en la fila de las x, representado acá abajo. Det

determinante por el 3 método, (-6+12+4)-(-6+6+16)=10-13=-3, por lo tanto el termino Dx=-3, ahora aplicaremos el mismo método para los términos Dy y Dz. Det

Resolviendo por el 3 método nos queda así, (8-3-18)-(-4+6-18)=-13+16=3, ahora sabemos que Dy=3, ahora finalizamos con el resultado de Dz. Det

Ya que observamos a que nos referimos con remplazar el resultado en lugar de los términos x procederemos a resolver la

Resolviendo por el mismo método que los 2 anteriores nos queda de la siguiente manera (6+8+9)-(-3-4+36)=23-29=-6

Ya que calculamos Dx, Dy y Dz ahora lo único que falta es dividir estas 3 entre D que es la base para resolver los sistemas de ecuaciones de 3*3, el final nos queda estas 3 divisiones, X= ���� �� , Y=���� �� y Z= ���� �� , Sustituyendo nos quedara así, X=−�� −��, Y= �� −�� y Z= −�� −��, dándonos como resultados final

X=1, Y-1 y Z=2, podemos comprobarlo en este caso lo haremos, ahora remplazamos X, Y y Z para asegurarnos de estar en lo correcto

(��)+��( ��) (��)= ��

�� �� + �� +(��)=��

(��) ( ��)+��(��)=��

Al final nos queda

Como pudimos comprobar los resultados son correctos, y ahora sabemos gracias a las determinantes el valor de cada producto, definitivamente las matemáticas tienen muchos usos en la vida real y nuestro propósito es ejemplificarlos y comprender el uso de las matemáticas para darle una razón a los estudiantes de porque matemáticas debe ser una materia obligatoria en términos educativos.

Articulo proporcionado por: Santiago A Dimayuga Molina

El mundo de las matemáticas tiene grandes enigmas, por ejemplo para que sirven, en esta revista te enseñaremos para que sirven, especialmente en las matrices y determinantes