Multiplicacion de matrices

Como se menciono anteriormente ahora viene la parte donde las matrices se vuelven mas complejas, pues ahora toca el tema de la multiplicacion de matrices, a diferencia de la suma o resta esta tiene un proceso complejo pero no mucho mas complicado, una cosa a aclarar muy importante es que el orden de la multiplicaion de las matrices si importa, pues no es lo mismo A*B que B*A.

A= 5 8 2 6 B= 1 3 7 0

Encontrar A*B.

Muy bien, usaremos el ejemplo anterior para resolverlo, primero identificamos el orden de las 2 matrices, luego colocamos el orden de las matrices como se ve en la imagen, nuestras matrices son 2*2, por lo tanto. 2*2 2*2, la parte señalada en negrita tiene que ser el mismo numero, si no lo es no se puede multiplicar, en este caso si se pueden multiplicar, las partes señaladas en subrayado y cursiva nos indicaran el orden de la matriz, en este caso, la matriz resultante es 2*2.

Despues de realizar estos pasos ahora tenemos que identificar que la primera matriz se multiplicara a partir de renglones, y la segunda a partir de columnas, lo veremos mas a detalle en la siguiente hoja

En este caso como se puede ver en los ovalos se tiene que multiplicar en renglones y columnas, ahora vamos a poner en flechas como se multiplicara.

Como podemos ver con las flechas azules primero multiplicamos el 5*1, dando 5, despues multiplicamos el 8 por 7, resultando 56, ya tenemos el primer termino de la matriz, sumando estos 2 resultados nos da, 61, ese el el primer termino de la matriz, repetimos con la primera fila de la primera matriz, pero con la segunda columna de la segunda matriz, en este caso 5*3 y 8*0, dando resultando en 15 y 0, sumando estos nos da 15, el segundo termino de la matriz, ahora repetimos todo el proceso pero con la segunda fila de la matrtiz como nos indican las flechas negras, 2*1=2 y 6*7=42, 2+42=44, siendo este el tercer termino, finalmete

2*3=6 y 6*0=0, 6+0=6, siendo este el ultimo termino. Aqui podemos ver el proceso de multiplicacion de matrices mas resumido.

En resumen, y para simplificarlo las filas de la primera matriz se multiplican por columnas de la segunda matriz, dándonos el resultado, sin embargo al realizarlo alrevez no nos dará el mismo resultado ya que en matrices el orden si altera al producto, y lo comprobaremos. Hallar B*A.

AL final observamos que las 2 matrices resultantes no son lo mismo, a pesar de haber multiplicado A*B y B*A, en las matrices el orden si altera al producto, suceso que el el resto de las matematicas no deberia ser asi, esta propiedad de las matrices es bastante interesante e importante de comprender, pues vaya que podria meternos en algunos problemas

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Realicemos otro ejercicio de operaciones con matrices, solo que en esta ocasión quedan con diferente orden.

2+30+3 4 12 9

1+20+2 2−8−6

6+0+5 12+0 15

= 35 17 23 −12

1 27

Observamos en este caso que la matriz A es de orden 3*2 mientras que la matriz B es de orden 3*3, primero vamos a multiplicar A*B, ya sabemos el primer paso a realizar y es saber si las 2 matrices se pueden multiplicar, mediante este paso, 3*2 3*3, ahora vemos que los números en negro no son el mismo numero, por lo tanto no se pueden multiplicar, por lo tanto A*B no se pueden multiplicar, ahora veremos B*A, realizamos la misma comprobación, y observamos que, 3*3 3*2 , al observar que los números en negritas si son el mismo numero la matriz si se puede multiplicar, ahora ponemos atención en los números en rojo, pues nos dará el orden de la matriz, resultando de 3*2.

Ahora que vimos el orden de la matriz nos toca ejecutar la multiplicación de matrices.

Ya conocemos el proceso de multiplicación de matrices por lo que vamos al proceso como tal de la multiplicación, en la imagen se ve el proceso para resolver el problema, y para confirmarlo tenemos que ver el orden de esta nueva matriz, resultando con un 3*2, lo cual en el proceso de identificar si se puede multiplicar lo cual confirmamos el orden de la matriz y por lo tanto tenemos el resultado correcto.

Ya para finalizar con las operaciones de la matrices para entrar en su variante, la determinante, no es posible realizar la división de matrices debido a que propiamente no existe y para que sea posible debemos de ejecutar una multiplicación de la matriz del numerador por la matriz inversa del denominador, lo cual es propiamente lo que vimos en anteriores paginas pero que es importante saber por si nos cabe alguna duda.

Las determinantes en matemáticas se le denomina a una forma multilineal alternada sobre un espacio vectorial, normalmente son aplicadas sobre una matriz y eso es lo que vamos a aplicar, determinantes sobre una matriz empezando sobre un ejemplo de una de las matrices de los ejemplos anteriores.

A= 5 8 2 6 B= 1 3 7 0

Calcular la determinante de A. Calcular las determinantes es mucho mas sencillo que calcular las multiplicaciones de matrices, empezamos a cambiar la matriz a modo de que sea una determinante, simplemente cambiando los signos de la matriz de esta manera, para que sea una determinante.

Det A = 5 8 2 6

Como vemos los signos han cambiado, ahora esto es una determinante, como la determinante tiene un orden de 2*2 no es necesario usar ningún método, simplemente operamos cruzada mente para resolver la determinante de esta forma.

= 5 8 2 6

Como vemos con las flechas primero multiplicaremos los números de la flecha negra, en este caso 5*6 siendo 30, luego multiplicamos los números de la flecha azul, en este caso 2*8, dándonos 16 de resultado, luego restamos el primer resultado con el segundo resultado, en este caso 30-16=14, este numero es el resultado de la determinante, a continuación vemos el proceso mas resumido.

Det A= 5 8 2 6 =(30)-(16)=14

Ahora haremos lo mismo con B pero mas resumido.

Det B= 1 3 7 0 =(0)-(21)=-21 En este caso la matriz es negativa lo cual es perfectamente posible, ahora veremos el orden 3*3 lo cual es mas complejo pero bastante sencillo, utilizando 3 métodos, usaremos a otra matriz de 3*3 como ejemplo.

B= 2 6 3 1 4 2 6 0 5

Lo primero a realizar es evidentemente a convertir a esta matriz de orden 3 a una determinante del mismo orden.

Det B= 2 6 3 1 4 2 −6 0 5

Luego aplicamos una de los 3 métodos mostrados en la siguiente pagina

El primer método que conoceremos para realizar la operación de la determinante es el de renglones, que mostraremos a continuación, consiste en expandir la determinante con los mismos números de la primer y segundo renglón para ponerlos como si el orden de la nueva matriz fuera mayor, en este caso 5*3, un mejor resumen será en el siguiente paso representado.

Det B=

Ahora que ya tenemos la expansión de renglones ahora vamos a operar como lo hemos hecho en la otra ocasión, en este caso el termino de suma del primer termino es (2*4*5)+(1*0*3)+ (-6*6*2)=40+0-72=-32, para el segundo termino que tiene un signo menos será (-6*4*3)+(2*0*2)+(1*6*5)=-(-72+0+30)=42, al final operamos el final, -32+42=10, observamos que la determinante de B es 10 lo cual es positivo, después tenemos el método de las columnas y es básicamente lo mismo que el de las filas solo que en vez de expandir mas filas expandiremos mas columnas como este ejemplo de acá.

Ahora el primer termino se calcula de la misma manera solo que multiplicando términos de las columnas, (2*4*5)+(6*2* -6)+(3*1*0)=32, y para el segundo termino con signo menos, (-6*4*3)+(0*2*2)+(5*1*6)=-(-42)=42, fíjese como los resultados han sido los mismos lo cual nos da el mismo resultado final, ahora vamos con el 3 método donde no se necesita expandir la determinante, solo hay que pensar en el siguiente numero como si el de columnas se tratase solo que no transcrito oficialmente. Det B=

Como es el mismo método solo que imaginando las columnas es bastante mas fácil de resolver, para el primer termino, (2*4*5)+(6*2*6)+(3*1*0)=-32, y para el segundo termino con signo menos, (-6*4*3)+(0*2*2)+(5*1*6)=-(-42)=42, al final observamos que sigue siendo el mismo resultado lo cual los 3 métodos son comprobados y funcionan bastante bien, puede usar el que mejor le parezca, ya para terminar con la un poco aburrida teoría y como dato que debería conocer es que las determinante transpuestas no cambian ningún resultado, pues sigue siendo el mismo resultado

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